Materiały dydaktyczne Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”

Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin

1

Materiały dydaktyczne

Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Semestr III

Ćwiczenia




2

Temat 1 (6 godzin): Obwody prądu stałego

Zagadnienie: 1. Obwody pasywne prądu stałego. (3h)

Obwodem pasywnym nazywa się obwód elektryczny złożony wyłącznie z elementów

pasywnych, czyli określonych tylko rezystancją R.

Rozwiązanie obwodu pasywnego polega na obliczeniu rozpływu prądów w gałęziach i

rozkładu napięć na poszczególnych elementach przy podanym stałym napięciu zasilania,

uproszczenie obwodu pasywnego rozgałęzionego sprowadza się do wyznaczenia rezystancji

zastępczej dla elementów połączonych szeregowo ze wzoru

n

nz RR1

lub równolegle

n

nz RR 1

11

Do rozwiązania obwodu pasywnego nierozgałęzionego wystarczy znajomość prawa

Ohma

RUI

W metodzie rozwiązywania obwodów pasywnych wyodrębnia się dwie części. W

pierwszej części należy uprościć obwód do postaci nierozgałęzionej w celu obliczenia

prądu płynącego ze źródła, natomiast w drugiej należy rozwijać obwód do postaci

pierwotnej jednocześnie obliczając spadki napięcia na gałęziach. Biegunowość napięcia

przyjęto oznaczać na schematach za pomocą strzałki, której grot wskazuje potencjał wyższy,

czyli zacisk dodatni. Dodatni zwrot prądu przyjmuje się, zgodnie z tradycją, od zacisku

dodatniego do ujemnego. Wobec tego spadek napięcia na rezystancji R ma zwrot przeciwny

do kierunku prądu.




3

Zadanie 1

Cztery jednakowe oporniki, każdy o rezystancji R, połączono w sposób pokazany na

rys. 1. Obliczyć rezystancję zastępcze w poszczególnych przypadkach.

Rys. 1




4

Zadanie 2

Znaleźć spadki napięcia na poszczególnych gałęziach obwodu (rys. 2), jeżeli

amperomierz wskazuje 3A, R1 = 3, R2 =2, R3 =4.

Rys. 2

Zadanie 3

Trzy jednakowe uzwojenia stojana silnika trójfazowego połączono w trójkąt (rys. 3).

Rezystancja zmierzona między zaciskami A i B wynosi 44Ω . Obliczyć rezystancję jednego

uzwojenia.

Rys. 3

Zadanie 4

Obwód podany na rys. 4 zasilany jest ze źródła napięcia stałego o wartości U = 220V.

Liczby oznaczają rezystancję w omach. Obliczyć prąd pobierany ze źródła.




5

Rys. 4

Zadanie 5

W obwodzie przedstawionym na rys. 5 obliczyć rozpływ prądów. Liczby oznaczają

rezystancje w omach.

Rys. 5.

Zadanie 6

Rozwiązać obwód pasywny, podany na rys. 6 (liczby oznaczają rezystancje w

omach).

Rys. 6.




6

Zadanie 7

W obwodzie pasywnym (rys. 7) znane są rezystancje oraz prąd płynący przez

rezystancję R4. Obliczyć rozpływ prądów i napięcie zasilania.

Rys. 7.

Zadanie 8

Rozwiązać obwód rozgałęziony, przedstawiony na rys. 8.

Rys. 8.




7

Zadanie 9

Rozwiązać obwód pasywny, podany na rys. 9.

Rys. 9

Zadanie 10

W obwodzie, podanym na rys. 10 prąd I2 = 2A. Wartości rezystancji: R1 = 3Ω, R2 =

18Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6 Ω. Obliczyć rezystancje zastępcze obwodu i napięcie zasilające.

Rys. 10




8

Zadanie 11

Dziewięć jednakowych oporników o rezystancji R każdy, połączono w sposób pokazany

na rys. 11. Obliczyć rezystancje zastępcze RAB i RAC.

Rys. 11

Zadanie 12

W obwodzie przedstawionym na rys. 12, obliczyć prądy we wszystkich gałęziach,

napięcie doprowadzone do układu oraz rezystancję zastępczą układu. Dane obwodu: R1 = 5Ω,

R2 = 12Ω, R = 6Ω, R4 = 3Ω, R5 = 4Ω oraz I = 15A.

Rys. 12




9

Zadanie 13

W obwodzie (rys. 13) napięcie w rezystorze R5 jest równe 120V. Obliczyć prądy we

wszystkich gałęziach oraz napięcie zasilające, jeżeli R1 = R4 = 2Ω, R2 = R3 = R6 = 4Ω, R5 =

12Ω.

Rys. 13

Zadanie 14

Obliczyć całkowity prąd i napięcie doprowadzone do obwodu (rys. 14) jeżeli spadek

napięcia U6 = 36V, R1 = 1Ω, R2 = 5Ω, R3 = 12Ω, R4 = 12Ω, R5 = 21Ω, R6 = 4Ω.

Rys. 14




10

Zadanie 15

Wyznaczyć prądy w gałęziach obwodu (rys. 15), jeżeli U = 120V, R1 = R6 = 45Ω, R2

= 220Ω, R3 = 76Ω, R4 = 240Ω, R5 = 360Ω.

Rys. 15

Zadanie 16

W obwodzie pokazanym na rys. 16 o danych U = 44V, R1 = 40Ω, R2 = R4 = 120Ω, R3

= 20Ω, R5 = 35Ω, R6 = 45Ω obliczyć prądy w gałęziach i prąd całkowity.

Rys. 16

.




11

Zadanie 17

Obliczyć rezystancje zastępcze między punktami A i E oraz G i F, jeżeli w

obwodzie (rys. 17) dane są: R1 = 3Ω, R2 = R5 = R7 = R8 = 4Ω, R3 = 12Ω, R4 = 6Ω, R6 =

12Ω.

Rys. 17

Zadanie 18

Do dzielnika napięcia składającego się z rezystorów R1 i R2 doprowadzono napięcie U =

200V (rys. 18). Obliczyć napięcia U2 na wyjściu dzielnika przy otwartym i zamkniętym

wyłączniku W. R1 = 100Ω, R2 = R3 = 300Ω .

Rys. 18




12

Zadanie 19

Odbiornik o rezystancji Rodb = 40Ω zasilany jest z potencjometru (Rp = 80Ω), do

którego końców doprowadzono napięcie U = 120V (rys. 19). Obliczyć prąd i napięcie od-

biornika, jeżeli suwak potencjometru znajduje się w położeniu środkowym (Rg = Rd).

Rys. 19

Zadanie 20

Odbiornik zasilany jest z potencjometru (rys. 19). Rezystancja potencjometru Rp =

200Ω, napięcie zasilające U = 300V. Jaka jest rezystancja odbiornika, jeżeli przy położeniu

środkowym suwaka potencjometru napięcie na odbiorniku Uodb = 120V ?

Zadanie 21

Do obwodu pokazanego na rys. 20, doprowadzono napięcie UAC = 6 V. Dane obwodu:

R1 = 1Ω, R3 = 3Ω, R2= R4 = 6Ω. Obliczyć napięcie UBD przy otwartym wyłączniku W.

Rys. 20




13

Zadanie 22

W obwodzie przedstawionym na rys. 20, napięcie między biegunami otwartego

wyłącznika W wynosi 3V. Obliczyć napięcie zasilające U.

Zadanie 23

W obwodzie z zadania 21 (rys. 20) obliczyć, czy większy będzie prąd w obwodzie

przy zamkniętym, czy przy otwartym wyłączniku W.

Zadanie 24

Obliczyć prąd w gałęzi BD obwodu (rys. 20) przy zamkniętym wyłączniku W. Dane

obwodu: U = 36V, R1 = 2Ω, R2 = 3Ω, R3 = 6Ω, R4 = 4Ω.

Zadanie 25

Trzy spirale grzejnika połączono w trójkąt, z którego wierzchołków wyprowadzone są

trzy przewody (rys. 3). Mierząc rezystancję między poszczególnym przewodami otrzymano

następujące wyniki: RAB = 16Ω, RBC = 25Ω i RCA = 21Ω. Obliczyć rezystancje

poszczególnych spiral grzejnika.

Zagadnienie: 2. Obwody aktywne prądu stałego. (3h)

Obwody aktywne prądu stałego to takie, w których znajduje się co najmniej jeden

element aktywny. Może nim być prądnica, akumulator, silnik itd. W każdym elemencie

aktywnym wytwarzana jest siła elektromotoryczna (SEM).

Jedną z wielu metod rozwiązywania rozgałęzionych obwodów aktywnych jest metoda

równań Kirchhoffa. I prawo Kirchhoffa podaje bilans prądów w węźle.




14

0I

II prawo Kirchhoffa podaje bilans sił elektromotorycznych E i spadków napięć IR w dowolnie

wybranym obwodzie zamkniętym, czyli w oczku

0 IRE

Pierwszą czynnością w rozwiązaniu obwodu rozgałęzionego jest upraszczanie

(wyznaczanie rezystancji zastępczych oraz sumowanie algebraiczne SEM występujących w

jednej gałęzi).

Ilość gałęzi (zarówno pasywnych i aktywnych) określa liczbę niewiadomych prądów nx,

a więc i równań niezależnych, jeśli obwód posiada w węzłów, to należy ułożyć nx1 = w - 1

równań węzłowych (według I prawa Kirchhoffa). Pozostałą liczbę równań nx2 układa się dla

oczek niezależnych według II prawa Kirchhoffa

nx2 = nx – (w – 1)

Przed zapisem równań należy:

a) Wybrać nx1 niezależnych węzłów, oznaczyć prądy w gałęziach i nadać im zwroty w

dowolny sposób. Spadek napięcia na rezystancji oznaczyć w kierunku przeciwnym do

prądu.

b) Wybrać nx2 niezależnych oczek. Niezależność tę można uzyskać wtedy, gdy

powierzchnie zamknięte w oczkach nie nakrywają się wzajemnie.

c) Zorientować oczka, tzn. nadać dodatni zwrot przy obiegu oczka. Jeżeli, wędrując

wzdłuż gałęzi tworzących oczko, spotyka się SEM lub napięcie źródła o zwrocie

zgodnym z orientacją dodatnią, to przypisuje się im znak dodatni i odwrotnie.

Podobnie ze spadkiem napięcia na rezystancjach.

II prawo Kirchhoffa dla podanych założeń ma postać:

0 IRE




15

(suma sił elektromotorycznych i spadków napięcia na rezystancjach po lewej stronie

równania równa jest zero).

w obwodach prądu stałego zarówno aktywnych (prądnica, silnik), jak i pasywnych

(grzejnik) moc elektryczna P wyrażona jest wzorem:

P = U I

Moc źródła Pźr:

Pźr = E I

Moc odbiornika Podb będącego opornikiem o rezystancji R = const. wynosi:

Podb = I2R lub Podb = U2/R

Zadanie 26

Dwa źródła połączone równolegle zasilają odbiornik. Stosunek prądów źródeł jest

odwrotnie proporcjonalny do ich rezystancji wewnętrznych. Jaki jest stosunek sił elektro-

motorycznych źródeł?

Zadanie 27

W obwodzie przedstawionym na rys. 21 obliczyć napięcie U oraz prądy I, I1, I2, jeżeli

E1 = E2 = 6,3V, E3 = 6,2V, Rw1 = 0,4Ω, Rw2 = 0,6Ω, Rw3 = 0,26Ω, R = 2Ω.

Rys. 21




16

Zadanie 28

Przy jakiej wartości E2 prąd I w gałęzi zawierajęcej siłę elektromotoryczną E2, równa

się zero (rys. 22).

Rys. 22

Zadanie 29

W obwodzie, przedstawionym na rys. 23, E2 = 1/3 E1. Przyjmując prąd I w gałęzi

zawierającej siłę elektromotoryczną E2 równy zero, obliczyć rezystancję Rx.

Rys. 23

Zadanie 30

W obwodzie, przedstawionym na rys. 24, siły elektromotoryczne równają się E =

100V, E = 200V. Przy jakim stosunku rezystancji R1 i R2 zwarcie między punktami A i B nie

spowoduje zmiany rozpływu prądu w obwodzie?

Rys. 24




17

Zadanie 31

W obwodzie, podanym na rys. 25, siły elektromotoryczne E1 = 100V, E2 = 120V,

rezystancje R1 = 10Ω, R2 = 40Ω. Obliczyć prąd I.

Rys. 25

Zadanie 32

Obliczyć napięcie U, jeżeli siły elektromotoryczne E1 = 120V, E2 = 160V, rezystancje

R1 = 20Ω, R2 = 10Ω, R = 50Ω (rys. 26).

Rys. 26

Zadanie 33

W obwodzie (rys. 27) przedstawiono wycinek obwodu elektrycznego. Dane są siły

elektromotoryczne E1 = 100V, E2 = 130V, prąd I = 8A, rezystancje R1 = 3Ω ,R2 = 5Ω,

napięcie UAC = 70V. Obliczyć wartości bezwzględne prądów I1 i I2.

Rys. 27




18

Zadanie 34

Dla układu mostkowego (rys. 28) napisać równania Kirchhoffa oraz obliczyć prąd w

gałęzi 5, jeżeli E = 16V, R1 = 6Ω, R2 = 2Ω, R3 = 2Ω, R4 = 6Ω, R5 = 2Ω, R6 = 2Ω.

Rys. 28

Zadanie 35

W podanym na rys. 29 obwodzie aktywnym znane są rezystancje oraz SEM idealnych

źródeł. Obliczyć rozpływ prądów.

Rys. 29

Zadanie 36

Obliczyć rozpływ prądów w obwodzie aktywnym (rys. 30).

Rys. 30




19

Zadanie 37

Przy jakiej rezystancji R3 napięcie UAB będzie się równać 20V, jeżeli obwód (rys. 31)

posiada parametry: E1 = 10V, E2 = 20V, E3 = 20V, R1 = 5Ω, R2 = 10Ω.

Rys. 31

Literatura:

1. Koś E., Krasucka E.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Skrypt Wyższej Szkoły

Morskiej w Szczecinie 1982.

2. 2) Cichowska Z.: Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika Śląska,

1971.




20

Temat 2 (2 godziny): Obwody magnetyczne nierozgałęzione

Zagadnienie: 1. Obwody magnetyczne nierozgałęzione.

Obwód magnetyczny jest torem, w którym skupiają się linie pola magnetycznego.

Przyczyną powstawania tych linii może być magnes trwały, umieszczony w obwodzie lub

prąd płynący w cewce. Kształt torów można formować za pomocą ferromagnetycznego

materiału. Wzory opisujące obwód magnetyczny są w swej postaci podobne do wzorów

opisujących obwód elektryczny. Analogia ta jest tylko formalna i nie zawsze posiada

interpretację fizyczna. Formalny charakter posiada również terminologia przeniesiona z

obwodów elektrycznych. Wielkości elektryczne i magnetyczne wzajemnie sobie

odpowiadające podano w poniższym zestawieniu.

Wielkości elektryczne Wielkości magnetyczne

Siła elektromotoryczna (SEM) - E [V] Siła magnetomotoryczna (SMM) - Θ = Iz [A]

Prąd - I [A] Strumień magnetyczny - Φ [Wb]

Rezystancja - ][

S

lR

Reluktancja - ][

S

lR

Napięcie - U = RI [V] Napięcie magnetyczne - Um = RmΦ = Hl [A]

Prawo Ohma dla obwodu zamkniętego

REI

mR

Pierwsze prawo Kirchhoffa dla węzła

0E 0

Drugie prawo Kirchhoffa dla oczka

0RIE 0Hl

(prawo przepływu)




21

Obok analogii istnieją również różnice, które nie pozwalają na stosowanie identycznej

techniki obliczeniowej. Przede wszystkim obwody magnetyczne są obwodami nieliniowymi z

powodu istnienia w nich materiału ferromagnetycznego. Krzywa magnesowania sprawia, że

prawo Ohma i prawa Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego przedstawiają zależności

nieliniowe i nie odpowiadają zasadzie superpozycji.

W obliczaniach obwodów nieliniowych stosowane są metody wykreślne i analityczno-

wykreślne. Metody czysto analityczne są stosowane jedynie w poszczególnych przypadkach

przy odpowiednia sformułowaniu tematu zadania. W obwodach elektrycznych występują

zwykle dwa typy zadań:

a) przy danych SEM i rezystancji należy obliczyć rozpływ prądów;

b) przy danym prądzie i rezystancji należy obliczyć napięcie lub SEM źródła.

Jeżeli obwód jest nieliniowy, zadanie typu „a” nie jest analitycznie rozwiązywalne. W

obwodach magnetycznych można rozpatrywać takie same typy zadań, w których zamiast

SEM i prądu przyjmie się odpowiednio SMM i strumień magnetyczny. Jednakże, z powodu

nieliniowości, znaczenie praktyczne posiada tu zadanie typu „b”. Zakłada się wymaganą

wartość strumienia magnetycznego i przy znanych wymiarach oraz własnościach

magnetycznych rdzenia stalowego wyznacza się analitycznie siłę magnetomotoryczną

(SMM). O własnościach magnetycznych stali informuje krzywa magnesowania. Posługiwanie

się tę krzywą jest więc nierozłączną czynnością przy obliczaniach obwodów magnetycznych.

Rozwiązanie analityczne zadania typu „b” w obwodach magnetycznych

nierozgałęzionych przebiega według następującego schematu:

1. Przy założeniu strumienia magnetycznego Φ oblicza się indukcję magnetyczną B:

S

gdzie S jest przekrojem rdzenia prostopadłym do kierunku strumienia.

W obwodzie doskonałym Φ = const. i wartość indukcji magnetycznej zmienia się

wraz z przekrojem. Należy więc podzielić cały obwód na szereg odcinków, w którym S =

const. Szczelinę powietrzną wyodrębnia się w oddzielny odcinek.




22

2. Znajomość indukcji w poszczególnych odcinkach obwodu umożliwia wyznaczenie w nich

natężenia pola magnetycznego H.

- Natężenie pola H w stali wyznacza się wprost z krzywej magnesowania B = f(H). Znana

zależność H = B/μ nie może być tu wykorzystana, gdyż przenikalność dla stali jest zmienna i

na ogół nie podawana w literaturze.

- Odcinki obwodu magnetycznego wykonane z materiałów nie ferromagnetycznych

(powietrze, miedź, aluminium, drewno itd.) są elementami liniowymi. Dla nich przyjmuje się

przenikalność próżni:

a następnie oblicza się natężenie pola Hp ze wzoru :

3. Siłę magnetomotoryczną (SMM) czyli przepływ Θ oblicza się z drugiego prawa

Kirchhoffa:

Hl

gdzie przez „l” rozumie się długość tej części obwodu, w której natężenie pola jest stałe.

Długość ta musi być mierzona wzdłuż środkowej linii rdzenia i równoległej do kierunku

strumienia. Przy prostokątnym kształcie rdzenia można przyjmować w narożnikach długość

nie w formie łuku, lecz w formie dwóch odcinków do siebie prostopadłych.

UWAGA

- Zwrot strumienia określa ale za pomocą reguły korkociągu lub śruby prawoskrętnej.

- Przy istnieniu izolacji międzyblachowej przekrój rdzenia S oblicza się następująco:

S = S1 kF

gdzie: S1 - przekrój rdzenia obliczony z wymiarów geometrycznych, kF - współczynnik

wypełnienia przekroju czynną blachą.

]108,0][108,0 46

cmA[B

mA B

104B

μB

H pp7-p

0

pp

][104 7

mH μ0

π




23

Zadanie 1

Na toroid wykonany z materiału o μ>>μ0 nawinięto dwa uzwojenia (rys. 32). W

pierwszym uzwojeniu o z1 = 100 płynie prąd I1 = 4A, w drugim uzwojeniu o z2 = 70 płynie

prąd I2 = 5A. Jaki zwrot ma strumień magnetyczny w toroidzie?

Rys. 32

Zadanie 2

Na rysunku 33 przedstawiono toroid wykonany z materiału o μ = 103μ0 i wymiarach

geometrycznych R1 =10cm, R2 = 15cm, h = 5cm. Na toroid nawinięto cewkę o z = 1000

zwojów. Przez cewkę płynie prąd I = 1A. Obliczyć strumień magnetyczny przenikający przez

rdzeń toroidu.

Rys. 33




24

Zadanie 3

Toroid o przekroju kołowym (rys. 34) wykonano z materiału o μ = 103μ0 i wymiarach

R1 =12cm, R2 = 14cm. Na toroid nawinięto cewkę o z = 100 zwojów. Strumień przenikający

przez rdzeń toroidu Φ = 2,42 x 10-5 Wb. Obliczyć prąd I płynący przez cewkę.

Rys. 34

Zadanie 4

Na rdzeń o przekroju prostokątnym ze szczeliną (rys. 35a) nawinięto cewkę o z = 200

zwojów. Średnia droga strumienia w rdzeniu l = 100cm, długość szczeliny δ = 0,3 mm. Na

rysunku 35b przedstawiono krzywe magnesowania materiału, z którego wykonano rdzeń.

Przy jakiej wartości prądu I w cewce, indukcja w szczelinie osiągnie wartość B = 1T ?

Rys. 35




25

Zadanie 5

Na toroid ze szczeliną (rys. 36a) nawinięto cewkę o ilości zwojów z = 300, przez którą

płynie prąd I = 2A. Średnia długość drogi strumienia w toroidzie l = 80cm, szczelina δ =

0,2mm, powierzchnia przekroju toroidu S = 6cm2. Na rysunku 36b przedstawiono krzywą

magnesowania materiału, z którego wykonano toroid. Obliczyć strumień indukcji

magnetycznej w toroidzie.

Rys. 36

Zadanie 6

W ciągu jakiego czasu strumień sprzężony z cewka zmaleje z wartości Φ1, do wartości

Φ2, jeżeli wiadomo, że siła elektromotoryczna indukowana w cewce jest stała i posiada

wartość e?

Zadanie 7

W chwili t = 0 przez cewkę o z = 100 zwojów przenika strumień magnetyczny o

wartości Φ = 10-5 Wb. Jaką wartość osiągnie strumień po upływie jednej sekundy, jeżeli




26

wiadomo, że strumień wzrasta, a w cewce indukowana jest stała siła elektromotoryczna E =

1V ?

Zadanie 8

Na rysunku 37 (wymiary podano w centymetrach) przedstawiono cewkę o ilości

zwojów z = 100 nawiniętą na obwód magnetyczny o μ = 10-3 H/m. Wyznaczyć indukcyjność

cewki.

Rys. 37

Literatura:


Morskiej w Szczecinie 1982.

2. Markiewicz A.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Warszawa, WsiP 1978.




27

Temat 3 (7 godzin): Obwody prądu przemiennego

Zagadnienie: 1. Okres, częstotliwość, pulsacja, wartość skuteczna i średnia. (1h)

Częstotliwość i okres prądu sinusoidalnego:

gdzie T - okres w sekundach, f - częstotliwość w hercach (Hz), ω - pulsacja w radianach na

sekundę (rad/s). Zależność między prędkością obrotową - n, liczbą par biegunów - p i

częstotliwością - f:

gdzie n podane jest w obr/min. Wartości chwilowe SEM, napięcia i prądu sinusoidalnie

zmiennych:

e = Em sin ωt

u = Um sin(ωt+φu)

i = Im sin(ωt+φi)

gdzie φ - faza początkowa w chwili t = 0; Em, Um, Im wartości maksymalne.

Wartość średnia półokresowa:

Wartość średnia całookresowa:

2πω

T1f

60pnf

2T

0śr dt i

T2I




28

Dla prądu sinusoidalnego wartość średnia półokresowa wynosi:

Wartość skuteczna:

Dla prądu i napięcia sinusoidalnego wartości skuteczne wynoszą:

2II m ;

mU707,02

UU m .

Zadanie 1

Hydrogenerator zasila sieć o częstotliwości f = 50Hz. Prędkość kątowa wirnika ω =

20,9rad/s [n = 200obr/min]. Obliczyć liczbę par biegunów generatora.

Zadanie 2

Obliczyć częstotliwość prądnicy o dwóch parach biegunów i prędkości kątowej

wirnika ω = 52,3rad/s [n = 500obr/min].

2T

0śr dt i

T1I

m

2T

0mśr I

π2 dt ωt sin I

T2I

dt i T1I

T

0

2




29

Zadanie 3

Prąd i napięcie maja następujące przebiegi: u = 310sin(ωt), i = 2sin(ωt – π/4).

Obliczyć wartości chwilowe napięcia i prądu dla t = 0,005s, jeżeli f = 50Hz.

Zadanie 4

Dwie wielkości sinusoidalnie zmienne przesunięte są w fazie o kąt φ = π/6. Jakie

jest przesunięcie w czasie ich dodatnich wartości maksymalnych, jeżeli częstotliwość f =

500Hz.

Zadanie 5

Trzy źródła napięcia sinusoidalnego połączono szeregowo. SEM każdego źródła

zmienia się w czasie według następujących funkcji: e1 = 28,3 sin(ωt), e2 = 56 sin(ωt -

π/4), e3 = 113 sin(ωt + 4). Posługując się wektorami wyznaczyć wykreślnie i analitycznie

SEM na zaciskach obwodu oraz napisać jej sinusoidę.

Zadanie 6

Wskazanie woltomierza włączonego do sieci o napięciu sinusoidalnym wynosi 220V.

Obliczyć wartość maksymalną napięcia.

Zadanie 7

Prąd o przebiegu i = Im sin(ωt + 2π/3) jest mierzony amperomierzem

elektromagnetycznym. Jakie jest wskazanie amperomierza, jeżeli w chwili t = 0 wartość

chwilowa prądu i = 1,3A.

UWAGA: Mierniki elektromagnetyczne wskazują wartość skuteczną.




30

Zagadnienie: 2. Obwody nierozgałęzione jednofazowe, rezonans napięć (2h)

Do analizy obwodu prądu przemiennego wprowadzone zostały następujące wielkości,

tzw. elementy obwodu:

a. Rezystancja R.

b. Reaktancja indukcyjna, która występuje w każdej cewce indukcyjnej:

XL = ωL = 2πfL,

gdzie L - indukcyjność a henrach (H).

c. Reaktancja pojemnościowa, występująca w każdym kondensatorze:

XC = 1/ωC = 1/2πfC,

gdzie C - pojemność w faradach (F).

d. Reaktancja, która jest różnicę reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej:

X = XL - XC

e. Impedancja, określona wzorami

22 XRZ

i odwzorowana za pomocą trójkąta impedancji.

Między wektorami prądu i napięcia występuje kąt przesunięcia fazowego:

cos φ = R/Z, sin φ = (XL - XC)/Z

przy tym za dodatni zwrot kąta φ przyjmuje się kąt mierzony od wektora prądu do napięcia.

Kąt przesunięcia fazowego zależy od charakteru elementów obwodu:

a. Na elemencie rezystancyjnym nie ma żadnego przesunięcia fazowego.

b. Na reaktancji indukcyjnej wektor napięcia wyprzedza wektor prądu o kąt π/2 .

c. Na reaktancji pojemnościowej wektor napięcia opóźnia się względem wektora prądu o

kąt π/2.

d. Przy szeregowym łączeniu elementów RLC wektor napięcia wyprzedzę lub opóźnia się

względem wektora prądu o kąt φ jaki wynika z trójkąta impedancji.

Rzut wektora napięcia na wektor prądu wyznacza składową czynną napięcia:




31

Ucz = U cosφ = RI,

a rzut wektora napięcia na prostą prostopadłą do wektora prądu - składową bierną napięcia:

Ub = U sinφ = XL I lub Ub = U sin(-φ) = -XC I

Napięcie można więc wyznaczyć, jako:

2b

2cz UUU ,

W obwodzie nierozgałęzionym działa prawo Ohma:

gdzie prąd I oraz napięcie U wyrażone są w wartościach skutecznych.

Moc jest dostarczona do obwodu w postaci:

a) mocy czynnej P = U I cos φ (W), gdzie cos φ nazywa się współczynnikiem mocy;

b) mocy biernej Q = U I sin φ (var);

c) mocy pozornej S = U I (VA).

Moc pozorna tworzy z pozostałymi mocami trójkąt mocy, który wynika z relacji:

22 QPS

W obwodzie szeregowym RLC wystąpi rezonans napięć, gdy źródło zasilające ma

częstotliwość:

ZUI

PQ tg




32

UWAGA: W treści zadań niniejszego rozdziału nie jest podana częstotliwość źródła zasilania,

należy zatem przyjąć wartość częstotliwości sieciowej f = 50Hz.

ω = 2πf = 314rad/s

Jako wektor odniesienia na wykresach wektorowych przyjmują się z reguły wektor prądu.

Zadanie 8

Do źródła prądu sinusoidalnego o napięciu U = 220V (wartość skuteczna) przyłączono

idealną cewkę o indukcyjności L = 86mH. Obliczyć prąd płynący przez cewkę (wartość

skuteczną) oraz moc czynną, bierną i pozorną pobieraną przez cewkę.

Zadanie 9

Do sieci prądu sinusoidalnego o napięciu U = 380V przyłączono idealny kondensator o

pojemności C = 36,7μF. Obliczyć prąd płynący przez kondensator oraz moc czynną, bier-

ną i pozorną pobierane przez kondensator.

Zadanie 10

Cewkę o rezystancji R = 80Ω i indukcyjności L = 255mH włączono do źródła prądu

sinusoidalnego o napięciu U = 24V. Obliczyć prąd w obwodzie, napięcia na rezystancji U

oraz na cewce U , a także przesunięcie fazowe między prądem i napięciem. Ponadto obliczyć

moc pobierane ze źródła i wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 11

W cewce bezrdzeniowej włączonej do źródła o napięciu stałym U = 4,2V, płynie prąd I

= 0,14A a przy włączeniu jej do źródła o napięciu sinusoidalnym (U = 76V) prąd w cewce I =

LC21 f0




33

1,5A. Obliczyć reaktancję indukcyjną i indukcyjność cewki oraz moc pobieraną z sieci przy

prądzie stałym i przemiennym; wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 12

Przy włączaniu cewki z rdzeniem stalowym do źródła o napięciu U = 120V i

częstotliwości f = 100Hz prąd w cewce był równy 0,5A. Po wyjęciu rdzenia z cewki prąd

zwiększył się do 8A. Rezystancja cewki R = 4Ω Obliczyć indukcyjność cewki w obu

przypadkach, nie uwzględniając strat energii w rdzeniu.

Zadanie 13

W celu obliczania parametrów cewki indukcyjnej włączono ją wraz z miernikami do

sieci napięcia przemiennego. Mierniki wskazywały następujące wartości: woltomierz U =

220V, amperomierz I = 5,3A, watomierz P = 780W. Sposób włączenia mierników podano na

rys. 38. Obliczyć parametry cewki (R, L, Z), moc bierną i pozorną pobierane z sieci oraz wy-

konać wykres wektorowy.

Rys. 38




34

Zadanie 14

Kondensator o pojemności C = 10μFpołączono szeregowo z opornikiem o rezystancji

R = 500Ω i włączono do sieci napięcia przemiennego o napięciu skutecznym U = 240V.

Należy obliczyć prąd w obwodzie, spadki napięć UR, Uc, przesunięcie fazowe między

prądem a napięciem oraz moc pobieraną z sieci. Ponadto wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 15

Szeregowo z grzejnikiem o mocy P = 40W i napięciu znamionowym U = 220V

włączono kondensator. Jaka musi być pojemność kondensatora, aby po doprowadzeniu do

układu napięcia U = 380V napięcie na grzejniku było równe 220V.

Zadanie 16

W nierozgałęzionym obwodzie, złożonym z opornika o rezystancji R = 400Ω i dwóch

kondensatorów (C1 = 16μF, C2 = 4μF) płynie prąd I = 0,24A. Obliczyć prąd w obwodzie,

poszczególne napięcia i kąt φ między prądem i napięciem zasilającym, po zwarciu

kondensatora C2. Ponadto obliczyć moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z sieci oraz

wykonać wykres wektorowy przed i po zwarciu kondensatora C2.

Zadanie 17

Rtęciowa lampa wyładowcza zasilana napięciem 220V ma moc 500W i pobiera prąd

4A; lampa ta musi być wyposażona w dławik szeregowy. Obliczyć napięcie na lampie,

samoindukcji dławika UL oraz na zaciskach dławika URL (przy rezystancji jego uzwojenia

wynoszącej R = 2Ω), a także indukcyjność dławika, moc całkowitą pobieraną z sieci, moc

dławika oraz cos φ układu. Sporządzić wykres wektorowy.




35

Zadanie 18

Cewkę o rezystancji R = 150Ω i indukcyjności L = 319mH połączono szeregowo z

kondensatorem o pojemności C = 31,9μF. Do układu doprowadzono napięcia przemienne U =

240V. Należy obliczyć prąd w obwodzie, napięcia na cewce i kondensatorze oraz

przesunięcie fazowe między prądem i napięciem, moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z

sieci oraz moc na cewce i kondensatorze. Sporządzić bilans mocy a na podstawie trójkąta

mocy wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 19

W szeregowym obwodzie RLC (rys. 39), UR = 40V, UL = 40V, U = 50V, R = 160Ω.

Obliczyć indukcyjność cewki i pojemność kondensatora oraz wykonać wykres wektorowy.

Rys. 39

Zadanie 20

Obwód podany na rys. 40 zasilany jest z sieci o napięciu przemiennym U = 212V, R1

= 40Ω, R2 = 60Ω, L1 = L2 = L3 = 180mH, C1 =33μF, C2 = 22μF. Obliczyć impedancję obwo-

du i prąd płynący z sieci, napięcia na poszczególnych elementach, moc pozorną, czynną i

bierną pobierane z sieci oraz wykonać wykres wektorowy.




36

Rys. 40

Zadanie 21

Do źródła napięcia przemiennego włączono szeregowo cewkę indukcyjną o

rezystancji R1 = 2Ω i indukcyjności L1 = 121mH, opornik o rezystancji R1 = 4Ω oraz

kondensator o pojemności C = 55μF (rys. 41). Zmierzone napięcie na zaciskach kondensatora

wynosi U = 350V. Obliczyć: prąd płynący ze źródła, napięcie źródła oraz napięcie na cewce

U1. Wykonać wykres wektorowy.

Rys. 41

Zadanie 22

Trzy odbiorniki połączono szeregowo włączono do sieci prądu przemiennego (rys.

42). Napięcie na odbiornikach odpowiednio wynoszą: U1 = 50 V, U2 = 150V, U3 = 220V. Od-

biornik pierwszy posiada tylko rezystancję R1 = 25Ω, drugi rezystancję R2 = 35Ω oraz

indukcyjność, trzeci rezystancję R3 = 50Ω oraz pojemność. Należy obliczyć: indukcyjność

drugiego odbiornika i pojemność trzeciego odbiornika, napięcie sieci i kąt fazowy między

tym napięciem i prądem oraz wykonać wykres wektorowy.




37

Rys. 42

Zadanie 23

Odbiornik pobiera moc czynną P2 = 420kW i bierną pojemnościową Q = 560kvar przy

napięciu U = 3,1kV. Zasilanie odbiornika odbywa się za pomocą linii napowietrznej, której

rezystancja R = 1,2Ω, a reaktancja indukcyjna XP = 3,2Ω. (rys. 43). Należy obliczyć napięcie

UL, współczynnik mocy, moc czynną, bierną i pozorną na początku linii oraz sprawność

przesyłania. Wykonać wykres wektorowy.

Rys. 43

Zadanie 24

Dany jest obwód prądu przemiennego z szeregowo połączonymi elementami R, L, C.

Napięcie zasilania U = 220V, R = 15Ω, L = 158mH (rys. 44). Dobrać pojemność tak, aby




38

uzyskać rezonans napięć przy f = 50Hz a następnie obliczyć prąd płynący ze źródła i

współczynnik mocy w warunkach rezonansowych oraz napięcia na każdym elemencie obwo-

du przy rezonansie. Wykonać wykres wektorowy dla rezonansu.

Rys. 44

Zadanie 25

Przy pomiarze indukcyjności metodą rezonansową do zacisków generatora

akustycznego włączono obwód szeregowy złożony z amperomierza, kondensatora

wzorcowego o pojemności CN = 40nF i badanej cewki. Regulując częstotliwość generatora,

maksymalny prąd uzyskano przy f = 3kHz. Obliczyć indukcyjność cewki.

Zagadnienie: 3. Obwody równoległe. Rezonans prądów. (1h)

Dla obwodów równoległych wprowadzono następujące wielkości:

a. Konduktancja

G = 1/R (S)

b. Susceptancja indukcyjna:

BL = 1/ωL (S),

gdzie L - indukcyjność a henrach (H).

c. Susceptancja pojemnościowa:

BC = ωC (S)

gdzie C - pojemność w faradach (F).

d. Admitancja:




39

Z1 B - BGY 2

L2C

2 )( (S),

która jest odwzorowana za pomocą trójkąta admitancji. Kąt przesunięcia fazowego między

prądem i napięciem:

GBB

arctg LC .

Prawo Ohma dla obwodu równoległego:

I = UY

Podstawą obliczeń układów równoległych obok prawa Ohma jest I prawo Kirchhoffa -

bilans prądowy w węźle:

mówiący, że prąd płynący za źródła jest sumą wektorową znanych prądów gałęziowych.

Na wykresach wektorowych jako wektor odniesienia należy przyjęć wektor napięcia, gdyż na

gałęziach równoległych panuje to samo napięcie. Rzut wektora prądu na wektor napięcia

nazywa się składową czynną prądu:

Icz = I cos φ ,

a rzut wektora prądu na oś prostopadłą do wektora napięcia - składową bierną prądu:

Ib = I sin φ

Moduł prądu wypadkowego (pobieranego ze źródła):

22 bcz II I ,

zaś współczynnik mocy:

cos φ = Icz/I

n2 1 II I I

...




40

Przy częstotliwości f , takiej, że:

LC21 f0

,

wystąpi rezonans prądów (obwód równoległy jest bezsusceptancyjny B = 0, φ = 0).

Zadanie 26

Obwód złożony z opornika o rezystancji R = 110Ω i cewki o indukcyjności L =

350mH połączonych równolegle, włączono do źródła o napięciu U = 220V i częstotliwości f

= 50Hz Obliczyć admitancję obwodu, prądy w gałęziach, prąd źródła oraz przesunięcie

fazowe między prądem i napięciem. Wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 27

Odbiornik energii elektrycznej o rezystancji R = 100Ω jest połączony równolegle z

kondensatorem 10μF. Obliczyć prąd odbiornika IR kondensatora IC, prąd wypadkowy ze

źródła, admitancję obwodu i przesunięcie fazy pomiędzy prądem wypadkowym I, a

napięciem sieci U = 220V. wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 28

Kondensator C = 8μF i cewka o indukcyjności L = 4H zostały połączone równolegle.

Określić susceptancję pojemnościową i indukcyjną gałęzi, admitancję układu oraz wszystkie

prądy przy zasilaniu obwodu napięciem sieci 220V. Wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 29

W równoległym obwodzie RC prąd w oporniku o rezystancji R = 70Ω wynosi 1,5A.

Przesunięcie fazowe między prądem całkowitym i napięciem φ = 60°. Obliczyć prąd IC, Z,

susceptancję BC i admitancję Y oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji.




41

Zadanie 30

Obliczyć prąd w oporniku oraz narysować trójkąt prądów dla obwodu równoległego

RC, jeśli prąd całkowity I = 2,5A, prąd w kondensatorze IC = 1,2A.

Zadanie 31

Obliczyć parametry BL, R, G oraz Y obwodu równoległego RL, jeżeli wiadomo, że

I/IL = 2 oraz XL = 2,5Ω. Narysować trójkąt prądów i trójkąt admitancji.

Zadanie 32

W odbiorniku o charakterze indukcyjnym włączonym do źródła o napięciu U = 380V,

prąd I = 5,2A, współczynnik mocy cos φ = 0,3. O jakiej pojemności kondensator należy

dołączyć równolegle do obwodu, aby prąd źródła zmalał do połowy przy niezmienionym

charakterze obwodu? Przy jakiej pojemności kondensatora prąd w obwodzie miał najmniejszą

wartość? Obliczenia przeprowadzić w oparciu o wykres wektorowy.

Zadanie 33

Do obwodu równoległego RLC (G = 0,03S, BL = 0,16S, BC = 0,12S) doprowadzono

napięcie sinusoidalne U = 50V. Obliczyć parametry Y, IR, IL, IC, I, kąt między prądem cał-

kowitym i napięciem oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji.

Zadanie 34

W obwodzie równoległym złożonym z cewki idealnej L = 20mH i kondensatora

idealnego C = 0,12μF, obliczyć częstotliwość rezonansową f oraz impedancję i admitancję

obwodu przy częstotliwości rezonansowej.




42

Zadanie 35

Obwód równoległy RLC należy zastąpić równoważnym obwodem szeregowym. Dane

obwodu: GR = 0,4S, BCr = 0,8S, BLr = 0,5S. Obliczyć Rs, XLs, XCs.

UWAGA: Moc czynna i moce bierne w obu równoważnych obwodach są takie same.

Zadanie 36

W układzie obie gałęzie złożone są z szeregowego połączenia rezystancji oraz

indukcyjności R1 , L1 (R2, L2). Elementy te mają wartości: R1 = 5Ω, R2 = 7Ω, L1 = 0,01H, L2

= 0,2H. Należy wykonać wykres wektorowy prądów i napięć, obliczyć impedancje obu

gałęzi, prądy w gałęziach oraz cos φ i cos φ2, wypadkowy prąd I oraz jego składową czynną i

bierną, a także wypadkowy współczynnik mocy dla całego obwodu. Obwód jest zasilany

napięciem przemiennym U = 24V.

Zadanie 37

Obwód, przedstawiony na rys. 45, zawiera elementy: C = 4μF, L = 1H, R = 50Ω i jest

zasilany napięciem przemiennym U = 220V, f = 50Hz. Jaką częstotliwość powinno mieć

źródło napięcia, aby wystąpił rezonans? Obliczyć wartość prądu rezonansowego. Narysować

wykres wektorowy.

Rys. 45




43

Zadanie 38

Jaką pojemność należy przyłączyć równolegle do zacisków silnika jednofazowego o

indukcyjności L = 2H oraz rezystancji R = 5Ω, żeby współczynnik mocy wynosił cos φ = 1?

Napięcie zasilające U = 220V.

Zadanie 39

Dane znamionowe silnika indukcyjnego jednofazowego są następujące: P = 200W, U

= 220V, cos φ = 0,6. Równolegle z silnikiem włączono kondensator do poprawy cos φ .

Obliczyć jaka musi być pojemność kondensatora, aby cos φ układu zwiększył się do 0,9 ?

Wykonać wykres wektorowy.

Zadanie 40

Trzy odbiorniki połączono równolegle i włączono do sieci o napięciu U = 220V (rys.

46). Parametry odbiorników są następujące: R1 = 21,6Ω, C1 = 70,8μF, R2 = 27Ω, L2 =

45,5mH, R3 = 15,4Ω, C3 = 168μF, L3 = 192mH. Wykonać wykres wektorowy i obliczyć: prąd

płynący w każdym odbiorniku oraz z sieci, moc czynną, bierną i pozorną każdego odbiornika,

moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z sieci.

Rys. 46




44

Zagadnienie: 4. Obwody trójfazowe symetryczne.(2h)

W układzie symetrycznym wszystkie napięcia mają taką samą wartość skuteczną (i

szczytową), a kąt przesunięcia między napięciami poszczególnych faz wynosi 2π/3, tj 120º.

W każdej fazie płyną prądy równe sobie co do modułu (IR = IS = IT = I), lecz przesunięte

względem siebie o kąt fazowy 120º, a względem napięć fazowych – o kąt fazowy φ (rys. 47).

Rys. 47

W obwodach trójfazowych występują wielkości fazowe If, Uf oraz wielkości

przewodowe I, U, w zależności od tego, czy układ trójfazowy jest skojarzony w gwiazdę czy

w trójkąt. W układzie gwiazdowym (rys. 48a):

I If oraz 3

U Uf ,

a wektor napięcia przewodowego wyprzedza wektor napięcia fazowego o kąt fazowy

30°. W układzie trójkątnym (rys. 48b):

3I If oraz U U f ,

a wektor prądu przewodowego opóźnia się względem wektora prądu fazowego o kąt

fazowy 30°.




45

Rys. 48

Obliczenia symetrycznych obwodów trójfazowych sprowadzają się do obliczeń obwodów

jednofazowych. Zamiast schematu trójfazowego można analizować schemat jednofazowy

(jednej fazy) i odpowiadający mu jednofazowy schemat wektorowy. Prawo Ohma dla

obwodów symetrycznych trójfazowych:

f

ff Z

U I

Moc pobierana przez odbiornik trójfazowy symetryczny

a) przy danych wielkościach fazowych:

P = 3Uf If cos φ (W)

Q = 3Uf If sin φ (var)

S = 3Uf If (VA)

b) przy danych wielkościach przewodowych:

P = 3 U I cos φ

Q = 3 U I sin φ

S = 3 U I




46

Równoległe łączenie odbiorników do sieci trójfazowej

Jeżeli odbiorniki są różnie połączone, tzn. jeden w gwiazdę, a drugi w trójkąt, to należy

dokonać przekształcania gwiazdy w trójkąt lub odwrotnie, a następnie rozwiązać schemat

jednofazowy, w którym jedna faza każdego odbiornika staje się jedną gałęzią równoległą.

Impedancje fazowe przelicza się zgodnie ze wzorem:

ZΔ = 3 ZY

gdzie: ZΔ – impedancja jednej fazy w trójkącie,

ZY – impedancja jednej fazy w gwieździe.

Zadanie 41

Trzy grzejniki o rezystancjach R = 11Ω połączone w trójkąt zasilane są z sieci

trójfazowej o napięciu przewodowym U = 220V. Obliczyć prądy fazowe odbiornika, prądy

przewodowe oraz moc odbiornika.

Zadanie 42

Obliczyć znamionowe prądy przewodowe prądnicy trójfazowej o mocy znamionowej

Pn = 25MW, napięciu przewodowym U = 6,3kV i cos φ = 0,75.

Zadanie 43

Odbiornik trójfazowy symetryczny o rezystancji fazy Rf = 10Ω i cosφ = 1 włączono

do źródła trójfazowego symetrycznego o napięciu przewodowym U = 380V za pośrednic-

twem przełącznika gwiazda - trójkąt. Obliczyć prądy przewodowe przy połączeniu odbiornika

w gwiazdę i trójkąt oraz stosunek mocy PΔ/PY.




47

Zadanie 44

Trzy jednakowe impedancje połączone w gwiazdę pobierają moc P = 5 kW przy cos

φ= 0,8 gdy napięcie przewodowe wynosi 380V. Obliczyć prąd fazowy i przewodowy płynący

do odbiornika przy połączeniu tych samych impedancji w trójkąt oraz moc pobieraną przez

odbiornik w połączeniu w trójkąt.

Zadanie 45

Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V włączono dwa odbiorniki

trójfazowe symetryczne o rezystancji fazy Rf = 100Ω i cos φ = 1. Jeden z odbiorników po-

łączony jest w trójkąt, drugi - w gwiazdę. Obliczyć wypadkowe prądy w linii zasilającej i

narysować schemat zastępczy jednofazowy.

Zadanie 46

Dwa odbiorniki trójfazowe symetryczne włączono do sieci trójfazowej o napięciu

przewodowym U = 380V. Jeden złożono z trzech oporników połączonych w trójkąt, drugi z

trzech kondensatorów połączonych w gwiazdę. Obliczyć wypadkowe prądy przewodowe oraz

współczynnik mocy cos φ całego układu, jeżeli wiadomo, że prądy fazowe obu odbiorników

są równe 1A; wykonać wykres wektorowy oraz schemat zastępczy jednofazowy.

Zadanie 47

Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V przyłączono dwa

symetryczne odbiorniki w układzie gwiazdowym o następujących parametrach: L1 = 91 mH,

R2 = 20Ω , C2 = 79,6μF (rys. 49). Obliczyć prąd fazowy i przewodowy każdego odbiornika,

prąd przewodowy płynący z sieci, moc pobieraną z sieci. Wykonać wykres wektorowy i

schemat zastępczy jednofazowy.




48

Rys. 49

Zadanie 48

Odbiorniki o parametrach, jak w zadaniu 47, połączono w trójkąt. Obliczyć prąd

fazowy i przewodowy każdego odbiornika, prąd przewodowy płynący z sieci, moc pobieraną

z sieci. Wykonać wykres wektorowy i schemat zastępczy jednofazowy.

Zadanie 49

Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V przyłączono równolegle dwa

symetryczne odbiorniki o następujących parametrach jednej fazy:

odbiornik 1 – R1 = 6Ω, L1 = 25,5mH;

odbiornik 2 – R2 = 5,75Ω, C2 = 139μF.

Należy obliczyć rozpływ prądów i moc pobierane z sieci przy następujących połączeniach

odbiorników:

a) obydwa odbiorniki są połączone w gwiazdę;

b) obydwa odbiorniki są połączona w trójkąt;

c) odbiornik 1 jest połączony w gwiazdę, a drugi - w trójkąt;

d) odbiornik 1 jest połączony w trójkąt, a drugi - w gwiazdę.

Dla każdego przypadku wykonać wykres wektorowy dla jednofazowego schematu

zastępczego.




49

Zadanie 50

Dwa silniki trójfazowe włączono do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U =

500V. Pierwszy silnik pobiera moc P1 = 10kW przy cos φ1 = 0,866, drugi silnik moc P2 =

8kW, cos φ2 = 0,707. Obliczyć wypadkowe prądy w linii zasilającej oraz wypadkowy cos φ

układu.

Zadanie 51

Dwa symetryczne odbiorniki połączono w trójkąt:

odbiornik 1 – P1 = 2840W, cos φ1 = 0,71 (indukcyjny);

odbiornik 2 – L2 = 43mH, C2 = 48μF (rys. 50).

Obliczyć rozpływ prądów oraz moc pobieraną z sieci, jeżeli napięcie przewodowe U = 380V.

Wykonać wykres wektorowy dla zastępczego schematu jednofazowego.

Rys. 50

Zadanie 52

Trzy symetryczne odbiorniki o następujących danych:

- R1 = 22Ω, L1 = 70mH, C1 = 65μF, gwiazda;

- C2 = 20,3μF, trójkąt;

- P3 = 7,5kW, cos φ3 = 0,85 indukcyjny,




50

przyłączono do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V (rys. 51). Należy

wykonać wykres wektorowy oraz obliczyć rozpływ prądów i moc trójfazową pobieraną z

sieci przez cały układ.

Rys. 51

Zadanie 53

Zakład przemysłowy pobiera moc czynną P = 1200kW przy cos φ = 0,6 i napięciu U

= 6kV. Obliczyć pojemność baterii kondensatorów służącej do poprawy cos φ z wartościami

0,5 do 0,8 przy połączeniu kondensatorów:

a) w gwiazdę,

b) w trójkąt.

Zadanie 54

Do sieci o napięciu przewodowym U = 380V włączono odbiornik trójfazowy

symetryczny w układzie gwiazdowym o parametrach R1 = 9,3Ω, L1 = 94,3mH dla jednej fazy.

Ze względu na jego niski współczynnik mocy przyłączono równolegle do niego kondensator

w układzie gwiazdowym o pojemności C2 = 65μF. Obliczyć prąd pobierany z sieci przed i po




51

skompensowaniu, współczynnik mocy przed i po kompensacji, moc bierną skompensowaną i

nieskompensowaną. Wykonać schemat zastępczy oraz wykres wektorowy.

Zadanie 55

Odbiornik trójfazowy o mocy P = 30kW, cos φ = 1 i napięciu przewodowym U =

380V zasilany jest ze źródła trójfazowego odległego o 200m. Obliczyć przekrój przewodów

aluminiowych linii zasilającej, jeżeli dopuszczalny spadek napięcia w linii wynosi 5 proc.

Obliczyć ponadto straty mocy w linii w watach i procentach. γAl = 35 • 10 S/m

(konduktywność). Nie uwzględniać indukcyjności linii.

Zadanie 56

Odbiornik trójfazowy symetryczny o mocy P = 40kW, cos φ = 1 i napięciu

przewodowym U = 6kV zasilany jest ze źródła za pomocą linii trójprzewodowej o rezystancji

R1 = 4Ω i reaktancji X1 = 3Ω (indukcyjnej) każdego przewodu. Obliczyć spadek i stratę

napięcia w linii odniesione do jednego przewodu i do napięcia fazowego oraz straty mocy

czynnej w linii.

UWAGA: Spadek napięcia w linii występuje na rezystancji linii, strata napięcia - na

impedancji linii.

Zadanie 57

Grupa silników trójfazowych zasilana jest ze źródła linią trójfazową o rezystancji

każdego przewodu Rp = 0,18Ω. Obliczyć prądy pobierane przez każdy silnik, spadek napięcia

w całej linii oraz straty mocy czynnej w linii. Dane znamionowe silników P1 = 20kW, cos

φ1 = 0,8, η1 = 0,85, P2 = P3 = 5kW, cos φ2 = cos φ3 = 0,866, η2 = η3 = 0,8. Napięcie

przewodowe wynosi U = 380V.




52

UWAGA: Spadek napięcia na rezystancji linii spowodowany jest przez składową czynną

prądu płynącego w przewodzie.

Zagadnienie: 5. Analiza obwodów metodą liczb zespolonych. (1h)

Analizę obwodów elektrycznych o wymuszeniu sinusoidalnym umożliwia w całym

tego słowa znaczeniu metoda symboliczna polegająca na zastąpieniu działań na wektorach

reprezentujących przebiegi sinusoidalne odpowiadającymi im działaniami algebraicznymi.

Wiadomo, że wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora

wodzącego, o module równym amplitudzie taj wielkości, obracającego się na płaszczyźnie ze

stałą prędkością kątową. Jeśli wektor wodzący OA umieścimy na płaszczyźnie liczb

zespolonych (rys. 52), to do jego opisania wystarcza jedna liczba zespolona „z” i na odwrót

każdej liczbie zespolonej „z” jest przyporządkowany jednoznacznie odpowiadający jej wektor

wodzący na płaszczyźnie liczbowej.

Rys. 52

Postacie liczby zespolonej

a) Algebraiczna

z = a + jb

gdzie: a = Re z – część rzeczywista liczby zespolonej „z”,

b = Im z – część urojona liczby zespolonej „z”,

j = 1 – jednostka urojona.




53

b) Trygonometryczna

z = r (cos α + j sin α)

gdzie: r = |z| = 22 ba – moduł liczby zespolonej „z”,

α = arctg (b/a) – argument liczby zespolonej “z”.

c) Wykładnicza jαer z

Liczba jαe jest liczbą zespoloną o module jednostkowym. Liczbą zespoloną sprzężoną z

daną liczbą „z” nazywamy taka liczbę „z*” która różni się od liczby „z” tylko znakiem części

urojonej lub też znakiem argumentu:

jαer ) jsin r(cos jba z

-jαer ) jsin r(cos jba z

1 ba zz 22

Zadanie 58

Dla napięcia sinusoidalnego o wartości skutecznej U = 220V, częstotliwości f = 50Hz

i fazie początkowej Ψu = 60° napisać wartość skuteczną zespoloną w postaci wykładniczej,

trygonometrycznej i algebraicznej oraz funkcję zespoloną w postaci wykładniczej i

trygonometrycznej.

Rozwiązanie:

Wartość skuteczna zespolona j190 11060 jsin 60 (cos 220e 220 U ooj600

)

Wektor wodzący )) 3

j(314t tj(m e 2220 e2 220 (t)U u

314t ft2 ωt π




54

3 60 o

u

))

3sin(314t j

3(314t cos2 220 (t)Um

Zadanie 59

Dla przebiegu prądu i = 28,3 sin(ωt - 30°) napisać równania wektora wodzącego Im(t) i

obliczyć wartość skuteczną zespoloną I.

Zadanie 60

Dla podanych wartości kątów φ lub α przedstawić operator obrotu w postaci wykładniczej

i w postaci algebraicznej :

a) φ = 60°; b) φ = 45°; c) φ = 90°; d) cos φ = 0,8 (φ > 0);

e) cos φ = 0,8 (φ < 0); f) α = 120°; g) α = 120°.

Zadanie 61

Podać wartości zespolone i funkcje zespolone odpowiadające podanym niżej

przebiegom sinusoidalnym:

a) i = 5 2 sin (ωt - 36,9°); b) i = -2,83 sin(ωt - 60°);

c) u = 220 2 cos ωt; d) u = 500 2 sin ωt;

e) u = -380 2 sin (ωt + 120°); f) u = 220 2 sin (ωt - 240°).




55

Zadanie 62

Wyznaczyć przebiegi sinusoidalne odpowiadające danym wartościom zespolonym:

a) U = -j220; b) U = -110-j190; c) E = -500; d) I = 10; e) I = 1- j; f) I = -1- j; g) I = 3 + j.

Zadanie 63

Dana jest wartość zespolona prądu I = 3 - j4. Wyznaczyć wartość zespoloną napięcia o

module U = 120V przesuniętego względem prądu o kąt:

a) 0°; b) 30° w przód; c) 60° wstecz; d) 90° wstecz; e) 90° w przód; f) φ = arctg 0,75 w

przód.

Zadanie 64

Z danego węzła odpływają dwa prądy o wartościach skutecznych I1 = 20A; I2 =

10A, przy czym przebieg prądu i2 jest opóźniony w fazie względem przebiegu prądu i1 o

kąt 60°, a częstotliwość obu prądów f = 50Hz. Wyznaczyć przebieg prądu dopływającego i

odpowiadające mu funkcję wykładnicze, przyjmując dla prądu I1 fazę początkową Ψ1 = 90°.

Zadanie 65

W dwóch gałęziach równoległych płyną następujące prądy: I1 = (2 + j3)A, I2 = (2,5 -

j2,5)A. Obliczyć prąd w gałęzi wspólnej. W której gałęzi amperomierz wskaże większy prąd?

Zadanie 66

Pomnożyć dwie liczby zespolone: I = 3 + j4 oraz Z = 2-j4; iloczyn przedstawić w

postaci wykładniczej.




56

Zadanie 67

Obliczyć iloraz, U/Z, jeżeli U = 380e j90º, a Z = 76e j30º.

Zadanie 68

Iloczyn dwóch liczb zespolonych Z1 i Z2 podzielić przez ich sumę Z1 = 2 + j4; Z2 = 2 – j6.

Zadanie 69

Cewka idealna o indukcyjności L = 0,1H jest zasilana napięciem U = 125,6 + j94,2, o

częstotliwości f = 50Hz . Wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną i przebieg prądu w cewce.

Zadanie 70

Gałąź R, L, C o parametrach R = 21Ω , L = 0,2H, C = 40μF włączono na napięcie U =

215V, f = 50Hz. Faza początkowa napięcia Ψu = 30°. Wyznaczyć: wartości skuteczne

zespolone prądu i napięć na poszczególnych elementach (l, UR, UL ,UC) w postaci

algebraicznej i wykładniczej oraz przebiegi i, uR, uL, uC w funkcji czasu. Wykonać wykres

wektorowy.

Zadanie 71

Obwód złożony z opornika o rezystancji R = 110Ω i cewki o indukcyjności L = 0,35H,

połączonych równolegle, włączono do źródła o napięciu U = 220V i częstotliwości f = 50Hz.

Obliczyć admitancję obwodu, prądy w gałęziach, prąd źródła oraz przesunięcie fazowe

między prądem i napięciem. Sporządzić wykres wektorowy.

Zadanie 72

W układach podanych na rys. 53 a, b, c, d zmierzono prąd I1 = 10A. Wyznaczyć

wartość zespoloną prądu zasilającego I w postaci algebraicznej i w postaci wykładniczej,




57

jeżeli faza początkowa prądu I2 wynosi Ψi2 = -30°, a między parametrami zachodzą

zależności:

a) XL = 2R, b) XC = 4R, c) XL = 4R, d) XC = 2XL = 2R. Wykonać wykresy wektorowe

prądów.

Rys. 53

Zadanie 73

W równoległym obwodzie RC prąd w oporniku o rezystancji R = 70Ω wynosi 1,5A.

Przesunięcie fazowe między prądem całkowitym i napięciem φ = 60°. Obliczyć prąd IC, I,

susceptancję BC i admitancję Y oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji.

Literatura:


Morskiej w Szczecinie, 1982.

2. Markiewicz A.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Warszawa, WsiP, 1978.

3. Cichowska Z.: Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika Śląska, 1971.

4. Sikora R.: Zbiór zadań testowych z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika

Szczecińska, 1990.

5. Zawalich E.: Zadania z elektrotechniki ogólnej. Politechnika Gdańska, 1972.

Documents

Materiały dydaktyczne Podstawy elektrotechniki i elektroniki