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Material de apoyo

para tercer parcial

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TÉCNICAS DE CONTEO.

Resultado de aprendizaje Conocer el concepto de diagrama de árbol, así como también su aplicación en problemas de la vida

cotidiana.

Conocer las técnicas que son usadas para enumerar distintos experimentos difíciles de cuantificar y aplicar los principios de la suma y la multiplicación con ejemplos reales cotidianos

Identificar los acomodos de objetos o personas donde el orden importa y las distintas situaciones en que se pueden dar las permutaciones.

Identificar los posibles acomodos de objetos o personas en donde no importa el orden de los mismos para aplicar los conceptos y formulas de combinación en la resolución de problemas reales del entorno

APERTURA

Actividad 1. (Preguntas contestadas de recuperación de conocimientos previos.) 1. De manera individual contesta las preguntas que a continuación se plantean. ¿Tienes idea de cómo se organizan los folios para hacer las placas de los coches? ¿Cómo es que no se repiten las placas y cada quien tiene la suya? Discute con tus compañeros estas cuestiones y anota aquí las conclusiones a las que llegaron. ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2. Responde los siguientes cuestionamientos de manera individual. ¿Cuáles son las características de los arboles? ¿Qué entiendes por gráfico? ¿Qué es un diagrama? 3. Responde los siguientes cuestionamientos de manera individual.

Escojan a 3 compañeros del grupo para la siguiente actividad y pásenlos al frente. Ahora formen con ellos equipos de 3 personas. ¿Cuántos equipos se formaron?______________

Ahora coloquen 3 bancos al frente. Sienten a sus compañeros. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar sus compañeros?____________

¿Qué diferencia hubo en las dos actividades? ___________________________________________________________________________________

¿A qué se debió que salió un número distinto? ___________________________________________________________________________________

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DESARROLLO INTRODUCCIÓN TÉCNICAS DE CONTEO. Son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Las siguientes cuestiones son ejemplos donde se puede hacer uso de las técnicas de conteo.

1) ¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?

2) ¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) ¿si se desea que estas consten solo

de alumnos de Ingeniería Química?, b) ¿se desea que el presidente sea un químico?, c) ¿se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.

3) ¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Para determinar sin describir directamente el número de casos posibles de un experimento en particular o el número de elementos de un conjunto finito, se requieren algunos principios básicos que faciliten el proceso, destacando:

Diagrama de árbol

El principio fundamental del conteo

Las permutaciones

Las combinaciones

Actividad 2 DIAGRAMA DE ÁRBOL INTRODUCCIÓN Diagrama de árbol. Es un grafico que ilustra como enumerar todos los posibles casos de una serie de experimentos, en donde cada experimento puede suceder un numero finito de maneras. Es llamado de árbol debido a su apariencia y se emplea frecuentemente en conexión con el principio fundamental de conteo. TAREA I.- De acuerdo al concepto de diagrama de árbol y a los ejemplos respectivos. Resuelve en binas los siguientes ejercicios: 1) Hallar el conjunto resultante del producto de P x Q x R en donde: P = { a, b, c} Q = {1, 3, 5} y R = {d, e, f} Resp: 27

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2) Se va a conformar un comité de 3 miembros, compuesto por un representante de los trabajadores, uno de la administración y uno del gobierno. Si hay 3 candidatos de los trabajadores, dos de la administración y 4 del gobierno, determinar, ¿Cuantos comités diferentes pueden conformarse? Resp: 24 comités 3) Un encuadernador ofrece dos tipos de cubierta: dura o suave, y para cada una de ellas se puede escoger colores rojo, azul o verde. ¿De cuántas maneras es posible encuadernar un libro? Resp: 6 maneras 4) Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de

sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de

árbol diga en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

Resp: 24 clasificaciones

5) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que

gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante

un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo.

Resp: 10 maneras

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PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en los siguientes Ejemplo: 1) Determinar cuántos números de dos cifras distintas pueden formarse con los cuatro dígitos siguientes: 2, 4, 6 y 8. La solución quedaría ilustrada en un diagrama de árbol de la siguiente manera:

Construir el diagrama de árbol para encontrar el total de posibles formas de resolver un examen de 3 preguntas de falso o verdadero.

Actividad 3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

INTRODUCCIÓN Los dos principios fundamentales del conteo básico son: • Regla del producto: Se utiliza cuando un procedimiento se realiza en tareas separadas. • Regla de la suma: Se utiliza cuando un procedimiento se puede realizar en varias formas diferentes. Principio de la multiplicación También llamado “Principio fundamental de conteo”

Si una operación puede realizarse independientemente de n1 maneras diferentes y si continuamos el procedimiento una segunda operación puede efectuarse independientemente de n2 maneras diferentes

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después de realizadas, una tercera operación puede efectuarse independientemente de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta ni de maneras diferentes.

Donde: k es el numero finito de operaciones, entonces el número total de maneras diferentes de las cuales

pueden efectuarse todas las operaciones en el orden indicado es el producto de TAREA II.- En binas resuelve los siguientes ejercicios aplicando el principio de suma y multiplicación. Principio de multiplicación y Principio de la suma 1) ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante? Resp: 60 formas 2) Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que ningún dígito se pueda repetir. Resp: 136080 3) ¿Cuántas cadenas de longitud 4 pueden formarse mediante las letras ABCDE si no se permiten repeticiones? Resp: 120 cadenas. 4) ¿Cuántas cadenas del ejercicio anterior comienzan con la letra B? Resp: 24 cadenas que comienzan con la letra B. 5) Las ciudades A y B están unidas por 6 caminos diferentes, B y C por 10, y C y D por 8. ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de A a D pasando por B y C? Resp: 480 formas 6) Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas Apodaca o en 8 tiendas de Escobedo. ¿De cuantas formas se puede adquirir el repuesto? Resp: 14 formas 7) Se desea cruzar un rio, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el rio utilizando los medios de transporte señalados? Resp: 6 formas

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8) En una carrera de automóviles participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no es posible llegar al mismo tiempo, ¿de cuantas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros? Resp: 6840 maneras 9) ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra? REsp: 504 números 10) Se quiere cambiar la bandera de una ciudad de tal forma que esté formada por tres franjas horizontales de igual ancho y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arco iris? Resp: 210 banderas distintas 11) Para preparar un aderezo para ensalada un chef de cocina debe elegir un condimento en polvo, un tipo de aceite y un tipo de vinagre. Si tiene 4 condimentos en polvo, 3 tipos de aceite y 5 tipos de vinagre, ¿Cuantos aderezos diferentes puede preparar? Resp: 60 aderezos diferentes 12) Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido

¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C? Resp: 14 formas (Reglas de la suma y del producto) 13) ¿De cuántas formas podemos elegir 2 libros de diferentes materias entre cinco libros distintos de computación, tres libros distintos de matemáticas y dos distintos de arte? Resp: 31 formas

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(Reglas de la suma y del producto) 14) Se tienen 9 bolas en una urna y se quien saber de cuántas maneras podemos sacar primero 2, luego 3 y luego 4 Resp: 306 maneras 15) De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a B sin retroceder

Resp: 36 formas PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en los siguientes Ejemplos: 1) Determinar cuántos números de dos cifras distintas pueden formarse con los cuatro dígitos siguientes: 2, 4, 6 y 8. ____ _____ D U Cualquiera de los 4 enteros se elige como la cifra de las decenas (D), una vez elegido un digito, nos quedan 3 enteros de entre los cuales podemos escoger la cifra de las unidades (U). Al aplicar el principio fundamental de conteo nos queda (4)(3) = 12. Por lo tanto se pueden formar 12 números de dos cifras con los cuatro dígitos dados. 2) ¿Cuantos números de dos cifras podrán formarse con los cuatro enteros dados, si se permiten repeticiones? Aplicando el principio fundamental de conteo, el resultado es: (4)(4) = 16 (2,4) (4,2) (6,2) (8,2) (2,6) (4,6) (6,4) (8,4) (2,8) (4,8) (6,8) (8,6) (2,2) (4,4) (6,6) (8,8)

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Por lo tanto se pueden formar 16 números de dos cifras con los cuatro enteros dados, permitiéndose las repeticiones. Principio de Suma Si una operación tiene n resultados distintos y otra operación tiene m resultados diferentes, distintos también a los resultados de la primera operación y, además, si solo se puede realizar una de las dos operaciones (es decir, realizar una no permite hacer la otra), entonces el total de maneras distintas de realizar la operación conjunta (es decir la primera o la segunda) es n + m. Lo mismo se aplica a un número mayor de operaciones. Ejemplos: 1) Si se lanza un dado de seis lados o una moneda entonces los resultados posibles son: 6 + 2 = 8 2) En una biblioteca hay 40 libros de texto sobre matemática discreta y 50 libros de texto sobre calculo. Calcular de cuantas maneras distintas puede un estudiante escoger un libro de cualquiera de las dos asignaturas. 50 + 40= 90 Por lo tanto existen 90 formas en que un estudiante pueda elegir un libro de cualquiera de las dos asignaturas. Además, estos dos simples principios combinados permiten obtener resultados bastante complejos. 3) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric El primer paso es encontrar el número de formas en que M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

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Actividad 4 PERMUTACIONES INTRODUCCIÓN Es cada una de las posibles maneras en que pueden ser ordenados los elementos de un conjunto finito. Ejemplo: 1. Si los objetos dados son tres b, g y o, se agrupan tomando los tres a la vez, pueden quedar ordenados en las siguientes formas: bgo, bog, gbo, gob, obg, ogb Ordenados de izquierda a derecha en seis formas diferentes. PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en lo siguiente Tipos de permutaciones

Permutaciones de n elementos tomados todos a la vez. Se utiliza el símbolo nPn o P(n,n) que representa el número total de permutaciones de n objetos distintos, tomados de n en n, es decir, n = n

Matemáticamente se representa por la ecuación:

¿De cuantas formas diferentes podemos colocar n elementos distintos de uno en uno tomados todos a la vez y colocándolos en fila? Para dar respuesta, consideramos que se tienen n espacios vacios que deben ser ocupados con n objetos cada espacio. El primer espacio puede estar ocupado de n formas distintas, el segundo de (n – 1) formas distintas; el tercero de (n – 2) maneras diferentes y así sucesivamente hasta llegar al último espacio que será ocupado por el único objeto que hemos dejado para el final. Por lo tanto el número total de permutaciones posibles de los n elementos quedaría: nPn = n(n −1)(n − 2)(n − 3)...1 = n! Ejemplos: 1) ¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 6 personas en una fila de 6 asientos? El primer asiento puede ser ocupado por cualquiera de las 6 personas, es decir, son 6 formas de ocupar el primer asiento. Cuando lo anterior haya sucedido, hay 5 formas de ocupar el segundo asiento. Después hay 4 formas de ocupar el tercer asiento; 3 formas de ocupar el cuarto asiento; 2 formas de ocupar el quinto asiento y solamente 1 de ocupar el ultimo asiento.

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Por lo tanto el número de ordenaciones posibles de las 6 personas en una fila de 6 asientos, quedaría así: (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 6!= 720 maneras

También puede resolverse de la siguiente manera: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 6 personas 6P6 = 6! 720 maneras

= 720 n = 6 asientos 2) Cinco amigos que están en una piscina, después de haberse lanzado por el deslizadero gigante, observan que cada vez que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer cola para arrojarse de nuevo? Observe que para la primera posición hay cinco personas, cuatro para la segunda, etc. De esta forma tenemos que el número de formas distintas de hacer cola es: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 5 personas 5P5 = 5! 120 formas

= 120 n = 5 posiciones Como observamos, en este caso intervienen a la vez todos los elementos y unicamente varia el orden de colocacion.

3) Queremos permutar (arreglar) las letras abc. ¿Cuantos arreglos se obtienen?

El arreglo de las letras quedaria de la siguiente forma: abc, acb, bac, bca, cab y cba. Son 6 permutaciones diferentes DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 3 letras 5P5 = 3! 6 arreglos

= 6 n = 3 posiciones TAREA III III.- En binas apliquen los conocimientos para resolver las siguientes permutaciones. 1) ¿De cuántas maneras pueden arreglarse 5 libros en un estante, si es posible cualquier ordenación?

Resp: 120 maneras

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2) Obtener cuántos números pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir ningún digito Resp: 120 números

3) ¿Cuantas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)

Resp: 40320 maneras 4) Una madre tiene 3 hijos ¿de cuantas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar?

Resp: 6 maneras 5) Debe asignarse a siete hombres a siete trabajos diferentes ¿De cuantas formas se puede hacer?

Resp: 5040 formas

Permutación de n diferentes elementos tomados en grupos de r a un tiempo. Se utiliza el símbolo nPr P(n, r) que representa el total de permutaciones de n objetos distintos, tomados de r en r, siendo r < n

Matemáticamente se representa por la ecuación:

Ejemplos: 1) Determina el número de permutaciones de los seis enteros 1, 2, 3, 4, 5, 6 tomados de tres en tres. DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN n = 6

r = 3 , ,

RESULTADO: 6P3 = 120 Es el número de permutaciones de los 6 enteros tomados de tres en tres 2) En una empresa siete ejecutivos asisten a una junta donde hay cinco sillas. Calcula de cuántas formas pueden ocupar las sillas. Como únicamente se ocupan 5 sillas, el número de diferentes modos de ocuparlas es igual al número de permutaciones de 7 objetos considerados en grupos de 5.

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DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 7 r = 5

7P5 = 2520 Formas de ocupar cinco sillas

TAREA IV IV.- En binas resuelve los siguientes problemas de permutaciones con aplicación real. 1) Si 12 personas suben a un autobús en el que hay 5 asientos desocupados, ¿De cuántas maneras pueden sentarse?

Resp: 95040 maneras 2) ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de basquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?

Resp: 95040 maneras 3) En un grupo de 10 personas, se elegirá a 5 y se les ubicará en fila para una foto. ¿Cuántas disposiciones son posibles?

Resp: 30 240 disposiciones posibles 4) Sea S = {Pérez, López, González, Moreno}de este conjunto se escogerán 2 personas para los puestos de gerente y supervisor, de cuántas maneras se puede hacer.

Resp: 12 maneras

Permutaciones circulares. Se define como el arreglo posible de “n” objetos alrededor de un círculo o cualquier otra curva simple cerrada, en donde uno de ellos mantiene una posición fija.

El número de permutaciones circulares Pc de “n” objetos se determina por la ecuación: Pc = (n −1)! Ejemplos:

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1) ¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 9 personas alrededor de una mesa redonda? Una persona puede sentarse en cualquier posición fija de la mesa, las otras pueden arreglarse de 8! maneras alrededor de la mesa, es decir: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 9 Pc = (n −1)! Pc = (9 −1)!

Pc = (8)!

Pc = (8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)

Pc = 40320

2) ¿De cuantas formas pueden sentarse 7 personas a una mesa redonda si dos insisten en sentarse una al lado de la otra? Si consideramos a las dos personas que insisten en sentarse una al lado de la otra como una sola; entonces hay seis personas para sentarse alrededor de la mesa y que pueden acomodarse de: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 6 Pc = (n −1)! Pc = (6 −1)!

Pc = (5)!

Pc = (5)(4)(3)(2)(1)

Pc = 120

Pero las dos personas consideradas como una sola pueden ordenarse entre sí de 2! maneras. En total hay: ( 5! ) ( 2! ) ( 120 )( 2 ) = 240 Por lo tanto hay 240 maneras de acomodarse. 3) .De cuantas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura?

Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y segundo las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de Pc= (6 −1)! formas; por lo tanto:

El número de maneras es igual a (7)(5! ) = (7)(120) = 840 TAREA V V.- En binas resuelve los siguientes problemas de permutaciones circulares. 1) ¿De cuantas maneras se pueden acomodar en una reunión de 13 personas, en una mesa redonda?

Resp: 479001600 maneras

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2) Calcular de cuántas formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa. Resp: 5040 formas

3) ¿De cuantas formas pueden sentarse 10 personas a una mesa redonda?

Resp: 362880 formas

Permutaciones de objetos que no sean todos diferentes. (Permutaciones con repetición). El numero de permutaciones diferentes de “n” objetos, tomados todos a la vez, de los cuales hay “n1” iguales entre sí, otros “n2” iguales entre sí, etc.

Matemáticamente se determina por la ecuación:

Ejemplos: 1) ¿De cuántas maneras pueden disponerse en una fila cinco fichas rojas, idénticas entre 6 fichas blancas, también idénticas entre si y cuatro fichas azules, iguales entre sí? DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 15 n1 = 5 fichas rojas n2 = 6 fichas rojas n3 = 4 fichas rojas

P = 630630 maneras de disponer en una fila 5 fichas rojas, 6 fichas blancas idénticas entre si y 4 fichas azules idénticas entre sí.

2) Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 6 n1 = 2 banderines rojos n2 = 3 banderines verdes

n3 = 1 banderín morado

P = 60 señales diferentes.

3) ¿De cuantas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?

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DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 7 n1 = 3 círculos n2 = 2 cuadrados

n3 = 1 triángulo

n4 = 1 rombo

P = 420

TAREA VI VI.- Resuelve individualmente los problemas que a continuación se presentan. 1) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra CHIHUAHUA?

Resp: 15120 2) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse utilizando todas las letras de la palabra: a) ESTADISTICA, b) MATEMATICAS, c) MISSISSIPPI

Resp: a) 2494800 permutaciones, b) 1663200 permutaciones, c) 34650 permutaciones 3) ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3,3?

Resp: 280 claves 4) ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?

Resp: 1250 maneras 5) ¿Cuantas señales diferentes, cada una de 10 banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas amarillas idénticas, 4 banderas rojas idénticas y dos banderas azules idénticas?

Resp: 3150 señales

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6) Se ordenan en una fila 7 bolas verdes, 4 bolas amarillas y 5 bolas anaranjadas. Si todas las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿De cuántas formas posibles se pueden ordenar?

Resp: 1441440 formas de ordenar

Permutaciones con sustitución. Esta permutación se da cuando se tiene un numero “n” de objetos, tomamos uno y antes de

tomar el otro se reemplaza el que ya se había tomado.

Matemáticamente quedaría: Pcs = (n)(n)(n)(n)… (n) = nr

Permutaciones diferentes de tamaño r con sustitución (cs) Ejemplos: 1) Supóngase que una urna contiene 7 bolas. Hallar el número de permutaciones que se pueden tener al tomar 3 de una en una, con sustitución Datos Fórmula Sustitución Resultados n = 7 Pcs = (n)(n)(n)(n)… (n) = nr Pcs =(7)(7)(7) Pcs = 343

2) ¿Cuantas maneras existen para asignar tres premios de un sorteo en donde el primer premio es un departamento, el segundo es un auto y el tercer es un centro de computo?, si los participantes en este sorteo son 120 personas y la asignación se puede hacer con sustitución Datos Fórmula Sustitución Resultados n = 120 Pcs = (n)(n)(n)(n)… (n) = nr Pcs =(120)(120)(120) Pcs = 1,728,000

Permutaciones sin sustitución Esta permutación se da cuando se tiene un numero “n” de objetos, tomamos uno y para tomar

el otro NO se reemplaza el que ya se había tomado. Matemáticamente quedaría: Pss = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)….. (n – r + 1)=

Ejemplos: 1) ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de tres personas de un grupo de 35 personas, sin sustitución? Como la condición es que no hay sustitución, entonces la primera persona puede seleccionarse de 35 maneras diferentes, la segunda persona del comité puede ser seleccionada de 34 maneras distintas, la tercera y última persona puede seleccionarse de 33 maneras, es decir:

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DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 35 r = 3

Pss = 39,270

2) ¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es un departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de computo? , si los participantes en este sorteo son 120 personas, y la asignación se debe hacer sin sustitución. DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 120 r = 3

Pss = 1,685,040

Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo. TAREA VII VII.- En equipo de tres resuelve cada uno de los siguientes problemas aplicando la formula de permutaciones con o sin sustitución según sea el caso. 1) Se tiene una urna con 10 bolas. Hallar el numero de permutaciones que se pueden obtener tomando 4, de una en una: a) Con sustitución, b) Sin Sustitución

Resp: Pcs = 10000, Pss = 5040

2) ¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de formula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación es totalmente al azar.( Sin sustitución)

Resp: Pcs = 11881376, Pss = 7893600

3) ¿Cuántas formas hay de asignar el orden de participación de las primeras 5 concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss Mundo? (Sin sustitución)

Resp: Pss = 55440 formas

4) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?

Resp: Pcs = 1000 números

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5) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si: a) se pueden repetir las cifras, b) no se pueden repetir las cifras?

Resp: Pcs = 10000 números, Pss = 5040 números

Actividad 5 COMBINACIONES INTRODUCIÓN Supongamos que se desea formar un comité de dos personas que debe seleccionarse de un grupo de tres personas; ¿Cuántos comités se pueden formar? Representando por (a, b, c) al grupo de 3 personas, de las cuales se tomaran dos para formar el comité, si aplicamos la fórmula de permutaciones se formarían exactamente 6 comités, quedando de la siguiente manera: (ab, ba, ac, ca, bc, cb) Se pueden decir que tenemos 6 comités de tamaño dos, se hace notar que ab y ba son permutaciones diferentes porque el orden es primordial en una permutación. Pero en combinaciones, ab y ba son indistinguibles, es decir, el orden en el que se anoten los miembros del comité no presentan influencia alguna en su integración. Por lo anterior, se concluye que puede haber solamente tres comités de dos personas cada uno, es decir, (ab, ac, bc). Cada uno de los comités se hace llamar combinaciones donde se hace notar que el orden carece de importancia en sus elementos. Combinación “Una combinación es un conjunto no ordenado de objetos distintos”

PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en lo siguiente

Combinaciones “r” de “n” objetos Una combinación de “n” objetos tomados de “r” es una selección de “r” de los “n” objetos sin atender a la ordenación de los mismos.

El número de “combinaciones” de “n” objetos tomados de “r” en “r” siendo r<n se simboliza por:

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Matemáticamente se expresa por la ecuación:

Ejemplos:

1) Calcular 8C5

Datos Fórmula Sustitución Resultado n=8 r=5

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2) En un curso de 15 hombres y 10 mujeres. .De cuantas maneras puede formarse un comité de 3 hombres y 2 mujeres? Datos Fórmula Sustitución Resultado n=8 r=5

=(455)(45) =20,475

El comité se puede formar de 20475 maneras 3) En un examen, un alumno debe contestar ocho de un total de doce preguntas, debiendo incluir exactamente cinco de entre las seis primeras. ¿De cuántas maneras puede resolver su examen? Datos Fórmula Sustitución Resultado n 1=6 r1=5 n2 = 6 n 3 = 3

=(6)(20) =120

El alumno puede contestar el examen de 120 maneras diferentes. TAREA VIII VIII.- En binas resuelve los siguientes problemas de combinaciones con aplicación real del entorno. 1) ¿De cuántas maneras puede invitar a tomar café la esposa del director de una escuela a 3 de las 8 esposas de los profesores del plantel?

Resp: 56 maneras

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2) ¿De cuántas formas puede elegirse un comité de 3 entre un grupo de 10 personas distintas? Resp: 120 formas

3) ¿De cuántas formas puede elegirse un comité de 2 mujeres y 3 hombres de un grupo de 5 mujeres distintas y 6 hombres distintos?

Resp: 200 formas 4) En una fabrica se presentan a solicitar trabajo 9 hombres y 5 mujeres. ¿De cuantas formas el jefe de personal puede hacer la selección si únicamente puede contratar a 6 hombres y 3 mujeres?

Resp: 840 formas 5) Se va a organizar un comité de investigación de 5 personas entre 7 representantes del partido mayoritario y 6 del minoritario. Calcular el número de comités que se pueden formar si deben constar exactamente de 3 representantes del partido mayoritario.

Resp: 525 comités