Material de apoyo para primer parcial

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS

1 G.F.S.

Material de apoyo

para primer parcial


2 G.F.S.

Probabilidad ETAPA DE APERTURA Se pretende que en esta etapa de la secuencia, y a través de la estrategia: ejercicio vivencial, el alumno identifique y describa las experiencias y conocimientos previos, mediante: Actividad 1. 1. Teniendo en cuenta el concepto intuitivo de conjuntos. Contesta las preguntas al problema en cuestión. Unos amigos llegaron a una fonda a comer tacos al pastor. La mesera tomó la orden de tacos, de los cuales 18 deberán tener cebolla, 23 salsa picante y 29 cilantro. Además anotó que nueve sólo llevaban cilantro y picante, tres solo picante, ocho sólo cilantro y cinco los tres ingredientes. a) ¿Cuántos tacos llevaban cebolla y picante, pero no cilantro? b) ¿Cuántos cebolla y cilantro, sin picante? c) ¿Cuántos sólo cebolla? d) Si los tacos cuestan tres pesos y además se consumieron cuatro refrescos de ocho pesos cada uno, ¿a cuánto asciende la cuenta? e) ¿Cuántas personas eran? 2. De manera individual contesta las preguntas que a continuación se plantean. ¿Tienes idea de cómo se organizan los folios para hacer las placas de los coches? ¿Cómo es que no se repiten las placas y cada quien tiene la suya? Discute con tus compañeros estas cuestiones y anota aquí las conclusiones a las que llegaron. ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 3. Responde los siguientes cuestionamientos de manera individual. ¿Cuáles son las características de los arboles? ¿Qué entiendes por gráfico? ¿Qué es un diagrama? 4. Responde los siguientes cuestionamientos de manera individual.

Escojan a 3 compañeros del grupo para la siguiente actividad y pásenlos al frente. Ahora formen con ellos equipos de 3 personas. ¿Cuántos equipos se formaron?______________

Ahora coloquen 3 bancos al frente. Sienten a sus compañeros. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar sus compañeros?____________

¿Qué diferencia hubo en las dos actividades? ___________________________________________________________________________________


3 G.F.S.

¿A qué se debió que salió un número distinto? ___________________________________________________________________________________ ETAPA DE DESARROLLO Se pretende que en esta etapa de la secuencia, y a través de la estrategia por proyecto en trabajo colaborativo, ejercicio vivencial, y a las instrucciones que de manera expositiva te presentó el facilitador y a la guía de apoyo con respecto a los conocimientos previos desarrolles las siguientes: Actividad 2.

INTRODUCCIÓN

Actividad 2

TEORÍA DE CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN En este tema fundamental: teoría de conjuntos; aprenderás a interpretar, describir y aplicar en la solución de problemas los conceptos:

Teoría básica

Operación con conjuntos y,

Diagramas de Venn El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas. Ahora bien, Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto". Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto intuitivo", el cual pues no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elementos lo cual contradice la idea que teníamos. TAREA

I. Contesta cada una de las siguientes preguntas. 1) Define que es un conjunto. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Menciona tres métodos descriptivos para “nombrar” conjuntos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) Escribe los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos.


4 G.F.S.

El conjunto de las asignaturas que está usted cursando este semestre.

El conjunto de los meses del año.

El conjunto de los números pares menores de 25.

El conjunto de los días de la semana que comienzan con la letra M.

El conjunto de los planetas del sistema solar.

4) Escribe los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos descritos por la notación de conjuntos. B = { x / x es un número impar y menor o igual a 9 }

G = { x / x es un día de la semana que inicia con la letra L }

5) Describe cada uno de los siguientes conjuntos por medio de la notación de conjunto. K= {octubre, noviembre, diciembre}

G= {a, b, c, d, e, f}


5 G.F.S.

II. Si consideramos los conjuntos: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 1, 3, 5, 7 } y C = { 2, 5, 6, 7}. De manera colaborativa. Obtén lo indicado en cada uno de los siguientes casos y representa los resultados por medio del Diagrama de Venn.

1) A U C

6) A - C

2) A U B

7) A - B

3) B ∩ A

8) C - B

4) A U B U C

9) A'

5) A ∩ B ∩ C 10) B'


6 G.F.S.

III. Desarrolla en binas los problemas propuestos de acuerdo a todo lo desarrollado por tu maestro(Problemas resueltos de operación de conjuntos) 1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B.

206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B. a ¿Cuántas personas consumían A? . b. ¿Cuántas personas consumían B? c. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? d. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? 2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.

294 personas consumían A.

78 personas consumían A pero no B. a) ¿Qué porcentaje de personas consumía B? b) ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos? 3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.

270 personas consumían A.

205 personas consumían B pero no A. Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles. 4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A

25 personas consumían sólo B.

10 personas consumían sólo C

15 personas consumían A y B, pero no C.

80 personas consumían B y C, pero no A.

8 personas consumían C y A, pero no B.


7 G.F.S.

17 personas no consumían ninguno de los tres productos. a. ¿Cuántas personas consumían A? b. ¿Cuántas personas consumían B?. c. ¿Cuántas personas consumían C?. d. ¿Cuántas personas consumían A, B y C?. e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? f. ¿Cuántas personas consumían A o B? g. ¿Cuántas personas no consumían C ?. h. ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A? 5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A, B y C: 30 personas consumían A.

85 personas consumían B.

103 personas consumían C.

10 personas consumían A y C, pero no B.

13 personas consumían A y C.

18 personas consumían B y C. 5 personas consumían A y B, pero no C a. ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? b. ¿Cuántas personas consumían los tres productos? c. ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? d. ¿Cuántas personas no consumían A? e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? 6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que:

16 alumnos leen novelas.

18 alumnos leen ciencia ficción.

17 alumnos leen cuentos.

3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos.

1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción.

8 alumnos leen sólo cuentos.

4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción. ¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? 7) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

59% usan A.

73% usan B.

85% usan C.

41% usan A y B.

33% usan A y C.

47% usan B y C.

15% usan los tres productos. ¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué? . PROCESO


8 G.F.S.

Para poder desarrollar adecuadamente la tarea, se te pide que observes los siguientes documentos: Teoría de conjuntos Presentación de conjuntos Conjuntos video Video ejemplo En base a lo anterior se te pide que analicen los siguientes ejemplos: Ejemplos

O también analices la información que se te presenta a continuación:

TEORÍA DE CONJUNTOS

La idea de un conjunto es básica en el pensamiento humano. Continuamente resulta conveniente agrupar

objetos o cosas para poder clasificar u ordenar. De manera intuitiva podemos decir que conjunto es algo

que tiene “elementos o miembros”

Por ejemplo:

Una colección de monedas antiguas.

Los miembros del Senado forman un conjunto llamado Senado de la República.

Los números 2, 3, 5; forman un conjunto de tres elementos.

CONJUNTO. Es una agrupación, clase o colección de objetos que poseen una característica en común, en

donde a cada uno de los cuáles se le denomina elemento del conjunto.

Métodos para describir un conjunto.

Se cuenta con tres métodos para describir un conjunto:

1.- Descripción verbal de los elementos:

Es la manera más sencilla de dar a conocer el contenido de un conjunto.

Ejemplos:

“El conjunto de los números superiores a 25”

“El conjunto de los días de la semana”

“El conjunto de los billetes actuales en

2.- Lista de los elementos:

Estos se separan por comas y se encierran entre llaves. Esta forma permite denotar simbólicamente el

contenido de un conjunto.

Ejemplos:

“El conjunto de los números naturales menores que 10”; puede representarse por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

“El conjunto de las vocales del alfabeto castellano”, puede representarse por:

V = { a, e, i, o, u }

http://www.slideshare.net/guest59e22b5/teora-de-conjuntos-1670190

http://webquest.carm.es/majwq/public/files/files_user/GabrielFlores/presentacion_de_conjuntos.pptx

http://www.youtube.com/watch?v=n2_0nFlwY6k

http://www.youtube.com/watch?v=mwvSLpM3WOg

http://webquest.carm.es/majwq/public/files/files_user/GabrielFlores/problemas_de_aplicaciÓn_de_conjuntos.pdf


9 G.F.S.

Aplicando este método en la descripción de “El conjunto de todos los números naturales inferiores

a 1000”; tendríamos que escribir 999 números; sin embargo puede representarse por:

N = { 1, 2, 3,…,998, 999 }

Para representar conjuntos infinitos por ejemplo “El conjunto de todos los números superiores a

5”; lo representaríamos por:

N = { 6, 7, 8,… }

Cabe aclarar que utilizamos los puntos suspensivos para dar una idea de cuáles son los elementos que lo

constituyen.

3.- Notación de conjuntos:

Dado “El conjunto de los números impares mayores que 4 y menores que 14” que puede expresarse por:

N = { x | x es un número impar mayor que 4 y menor que 14 }

La simbología { | } que se denomina “notación de conjuntos” describe al conjunto en base a las condiciones

de un elemento arbitrario del grupo, es decir, establece las condiciones bajo las cuales un elemento

cualesquiera puede o no pertenecer al conjunto.

Las llaves { } indican el conjunto.

La línea vertical “|” se lee como “tal que” la letra “x” es un elemento arbitrario del conjunto y a su vez es

una variable.

Al lado izquierdo de la línea vertical leemos “el conjunto de las x” y al lado derecho de la línea vertical

enumeramos las propiedades que caracterizan dichos elementos.

Ejemplos 1:

Descripción verbal de los elementos:

“El conjunto de todos los elementos menores o iguales que 7”

Lista de los elementos:

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7}

Notación de conjunto:

{ x | x es un número natural, menor o igual que 7 }

Ejemplo 2:

Descripción verbal de los elementos:

“Los números enteros menores que -2”

Lista de los elementos:

B = {-3,-4,-5,-6,….}

Notación de conjunto:

B = { x | x es un número entero, menor que -2 }


10 G.F.S.

Definiciones básicas de conjuntos.

Conjunto bien definido. Se dice que un conjunto es “bien definido” cuando se especifica cuáles elementos

pertenecen y cuales no pertenecen al conjunto.

Ejemplo: “Los números impares que van del 5 al 15”; {5, 7, 9, 11, 13, 15}

Pertenencia de elementos a un conjunto: Para indicar “pertenencia” se usa el símbolo "∈".

Sí “a” es un objeto y “A” es un conjunto, escribiríamos “a ∈ A”, que significa que “a” es un elemento que

pertenece al conjunto “A”. La expresión a ∉ A indica que el elemento “a” no pertenece al conjunto “A”.

Ejemplo: Dado el conjunto:

A = {a, e, i, o, u} para expresar que “u” es un elemento del conjunto A, se indica de la siguiente manera:

"u∈ A"

Dado el conjunto A = {a, e, i, o, u} para expresar que “m” no es un elemento del conjunto A, se indica de la

siguiente manera: " m∉ A"

Conjunto universal. Es el conjunto que contiene a los elementos de los conjuntos que se estén considerando

en un análisis cualesquiera y se representa por la letra mayúscula “U”.

Ejemplos:

1) Sean los conjuntos: A = { aves}, B = { peces}, C = { conejos }, D = { monos }.

Pero existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = { animales } . Gráficamente se

representa por un rectángulo tal como se observa a continuación:

2) Sean los conjuntos: E = { mujeres }, F = { hombres }

Pero existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = { seres humanos }. Gráficamente se

representa por un rectángulo tal como se observa a continuación:


11 G.F.S.

SUBCONJUNTOS.-

Cuando un conjunto cualquiera “A” en el que todos sus elementos son también miembros de otro conjunto

“B”, se dice que el conjunto “A” es subconjunto del conjunto “B”, el símbolo empleado para indicar esta

relación es "⊂" .

Ejemplos:

1) Sean los conjuntos K = {a, b, c, d, e} y L= {a, c, e}

Se establece que el conjunto “L” es un subconjunto de “K”, simbólicamente se representa por L⊂K.

Conjunto vacío. Un conjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío y se representa por: Ø ó { }

También se establece que “el conjunto vacío o nulo es subconjunto de todos los subconjuntos”.

Ejemplos:

A = {Los perros que vuelan} A ={ } A= Ø

B = {x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } B= Ø

CONJUNTO INFINITO.-

Se tiene un “conjunto infinito”, cuando no es posible indicar el número de elementos que están contenidos

en él.

Ejemplos:

1) “El conjunto de todos los números naturales”

N = { 1, 2, 3, 4,… }

2) “El conjunto de todos los números pares”

M = { 2, 4, 6, 8,… }

CONJUNTO FINITO.-

Se tiene un “conjunto finito”, cuando es posible indicar el número de elementos que están contenidos en él.

Simbólicamente el número de elementos de un conjunto finito se expresa por “n”.

Ejemplos:


12 G.F.S.

1) Si tenemos el conjunto de los días de la semana, es decir:

K = { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

Se establece que “K” es un conjunto finito ya que consta de 7 elementos, es decir: n(K) = 7

Es necesario aclarar que un conjunto puede ser finito, aunque puede resultar físicamente mucho muy difícil

o estar fuera de la capacidad humana, el determinar cuántos elementos están contenidos.

2) “El conjunto de estrellas en el firmamento”

Se considera un conjunto finito aunque ¿quién podrá contarlas?

3) M = {x / x es un río de la tierra}

4) P = {x / x es un país de la tierra}

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Las operaciones con conjuntos es el proceso que conduce a formar conjuntos a partir de otros conjuntos.

Las principales operaciones de conjuntos son:

UNIÓN.

Si A y B son dos conjuntos, entonces la unión de A y B es el conjunto formado por los elementos que son de

A o de B o de ambos y se denota B U A .

INTERSECCIÓN.

Si A y B son dos conjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos que

los son de A y B simultáneamente y se simboliza por B ∩ A .

DIFERENCIA.

A partir de dos conjuntos A y B, se obtiene otro conjunto, cuyos elementos son aquellos que pertenecen al

conjunto “A” pero no están contenidos en el conjunto “B”; a este proceso se le denomina “diferencia de

conjuntos o complemento relativo de B respecto de A” y se representa simbólicamente por “A - B“.

COMPLEMENTO.

A partir de un conjunto “A” y un conjunto “U”, se obtiene otro conjunto, cuyos elementos deben ser todos

los que estén contenidos en el conjunto “U” y que no pertenecen al conjunto “A”, este proceso de

denomina “complemento de un conjunto cualquiera en relación a un conjunto universal dado”.

Simbólicamente se representa por una “comilla” que se ubica en la parte superior derecha de la literal que

define al conjunto cualquiera. A'

Producto cartesiano. A partir de dos conjuntos A y B, se obtiene otro conjunto, cuyos elementos se

denominan “pares ordenados” que se escriben entre paréntesis curvos; el orden significativo de dichos


13 G.F.S.

pares ordenados, se indican de acuerdo a la posición de los elementos, es decir, el primer componente

pertenece al conjunto “A” y el segundo componente pertenece al conjunto “b”, este proceso se denomina

“producto cartesiano” y simbólicamente se representa por “x”.

Ejemplos:

Realiza las operaciones con conjuntos en cada uno de los siguientes casos:

1) Sean los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } y B = { 3, 4, 5, c, d }

Entonces la unión de los conjuntos es:

A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, c, d }

2) Sean los conjuntos: S = { a, b, c, d } y M = { a, b, 1, 2, 3 }

Entonces la intersección de los conjuntos es:

S ∩ M = { a, b }

Puesto que “a, b” son los únicos elementos que lo son tanto de S como de M.

3) Sean los conjuntos: P = { a, e, i, o, u } y Q = { w, x, y, z }

Se observa que los conjuntos no tienen ningún elemento en común, por lo que su “intersección” es el

“conjunto vacío”; es decir: S ∩ M = Ø

4) Sea los conjuntos: A = { 4, 6, 8, 10, 12 } y B = { 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

La diferencia de estos conjuntos da como resultado:

A - B = { 4, 6, 8 }

5) Sea U = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } y S = { a, g, h, i } que es un subconjunto de U.

Entonces el conjunto complemento o S' = { b, c, d, e, f, j }

6) Sean los conjuntos A = {a, b, c} y B = {c, b, s}

Se puede formar otro conjunto que contenga a todos los pares ordenados que resulten de la ejecución del

producto cartesiano A x B, es decir:

A x B = {(a, c), (a, b),(a, s),(b, c),(b, b),(b, s),(c, c),(c, b),(b, s)}

Los conjuntos que se emplean en la construcción de un “producto cartesiano”, no tienen que ser

necesariamente diferente.

7) Sea el conjunto G= {2, 4, 6}, realizar la operación G x G.

G x G = {(2,2), (2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

DIAGRAMAS DE VENN


14 G.F.S.

La manera más fácil de comprender las ideas de la teoría de conjuntos es por medio de los diagramas

llamados “Diagramas de Venn”. Dichos gráficos nos ayudan a relacionar entre los conjuntos a la igualdad,

las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento.

En los Diagramas de Venn, los conjuntos se representan mediante óvulos, círculos o nubes y el punto de

referencia es el conjunto universal “U” que se representa por un rectángulo.

Con los conjuntos A y B contenidos en el conjunto universal “U”, por medio de los Diagramas de Venn se

pueden determinar las siguientes relaciones:

En este diagrama se representa la igualdad entre A y B; también se establece que el conjunto A es

un subconjunto del conjunto B o viceversa. ∴ A = B, A ⊂ B o B ⊂ A.

En este diagrama el conjunto A representa a un subconjunto propio del conjunto B, es decir, todos

los elementos de A están contenidos en B, mientras que B tiene por lo menos un elemento no

contenido en A.

En este diagrama los conjuntos A y B tienen en común algunos, pero no todos los elementos es

decir, representan la intersección entre A y B.

Las superficies sombreadas en las siguientes figuras, ilustran la unión del conjunto A con el

conjunto B. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que

pertenecen a “A” ó a “B” ó a ambos.


15 G.F.S.

Las superficies sombreadas en la siguiente figura, ilustran la diferencia del conjunto A con el

conjunto B. Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los

elementos de A pero que no pertenecen a B.

El complemento A’ del conjunto A, se obtiene sombreando la superficie del conjunto universal U no

contenida en A, es decir:

Unión de conjuntos

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” o a

“B” o a ambos. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x ∈ A o x ∈ B}

Cuando tienen algunos elementos en común

Cuando no tienen elementos en común

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto

Los conjuntos tienen exactamente los mismos Elementos


16 G.F.S.

Ejemplos:

1) Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } efectuar y construir los

diagramas indicados:

a) B ∪A b) C ∪A c) C ∪B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la unión de los conjuntos A y B. A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la unión de los conjuntos A y C A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 }

c) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la unión de los conjuntos B y C. B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }


17 G.F.S.

Intersección de conjuntos

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B.

A ∩ B = {x / x ϵ A y x ϵ B}

Cuando tienen elementos en común

Cuando no tienen elementos en común

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto

Los conjuntos tienen exactamente los mismos elementos

Ejemplos:

2) Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas

indicados:

a) A ∩ B b) A ∩ C c) B ∩ C

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 }

Representación gráfica de la intersección de los


18 G.F.S.

Representación gráfica de los conjuntos

conjuntos A y B. A ∩ B = { 3, 5 }

b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la intersección de los conjuntos A y C. A∩ C = { 2, 4 }

c) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la intersección de los conjuntos B y C. B ∩ C = Ø

Diferencia de dos conjuntos.

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que

no pertenecen a B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x ϵ A y x ∉ B}


19 G.F.S.

Cuando tienen elementos en común.

Cuando no tienen elementos en común.

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro

conjunto

Ejemplos:

3) Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas

indicados:

a) A − B b) B − C c) A - C

a) A = { a, b, c, d }, B = { a, e } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la diferencia de los conjuntos A y B. A - B = { b, c, d }

b) B = { a, e } y C = { d, f, g }, Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la diferencia de los conjuntos B y C. B - C = { a, e }

c) A = { a, b, c, d } y C = { d, f, g } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la diferencia de los conjuntos A y C. A - C = { a, b, c, e }


20 G.F.S.

Complemento de dos conjuntos.

El complemento A’ del conjunto A, se obtiene sombreando la superficie del conjunto universal U no

contenida en A, es decir: Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A'

formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.

Simbólicamente se expresa: A' = {x / x ∈ U y x ∉ A}

Ejemplos:

4) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }, obtén el complemento de A y construye su diagrama

El complemento de A es: A' = { m, a, r }

Representación gráfica del complemento de A

A' = { m, a, r }

2) Sean U = { letras de la palabra aritmética } y B = { vocales de la palabra vida }, obtén el complemento de

B y construye su diagrama.

U = { a, r, i, t, m, e, c } y B = { i, a } El complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }

Representación gráfica del complemento de B

Ejemplos de aplicación

1) En una escuela de idiomas hay 120 alumnos de los cuales 65 estudian alemán, 55 ejercitan su inglés; 30

estudian a la vez alemán e inglés. Aplicando el diagrama de Venn, determinar:


21 G.F.S.

a) Los alumnos que sólo estudian alemán.

b) Los alumnos que sólo estudian inglés.

c) El número de alumnos que estudian alemán o inglés.

d) El número de alumnos que no estudian ninguno de estos idiomas

Solución:

Representamos por medio del diagrama de Venn, el conjunto universal “U” de 120 alumnos, el conjunto “A”

de alumnos que estudian alemán, y el conjunto “B” de alumnos que estudian inglés; por la intersección de

ambos conjuntos, tenemos 30 alumnos que estudian alemán e inglés a la misma vez, es decir:

a) Los alumnos que sólo estudian alemán son:

n ( A ) - n ( A ∩ B ) = 65 - 30 = 35

Por lo tanto, solo 35 alumnos estudian alemán

b) Los alumnos que solo estudian inglés son:

n ( B ) - n ( A ∩ B ) = 55 - 30 = 25

Por lo tanto, solo 25 alumnos estudian inglés

c) El número de alumnos que estudian alemán ó inglés son:

n ( A U B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A ∩ B ) = 65 + 55 - 30 = 90

d) El número de alumnos que no estudian ninguno de estos dos idiomas es:

n ( A U B )' = U - n ( A U B ) = 120 - 90 = 30

2) Una encuesta basada en 250 estudiantes del nivel medio superior dio lugar a la siguiente información

acerca de su ingreso a los cursos de química, física y matemáticas:

101 estudian química

163 estudian física

163 estudian matemáticas

35 estudian química y física

32 estudian química y matemáticas

70 estudian física y matemáticas


22 G.F.S.

20 estudian química, física y matemáticas

a) ¿Cuántos estudiantes llevan química como único curso?

b) ¿Cuántos no siguen ninguno de los tres cursos?

c) ¿Cuántos estudian química y matemáticas, pero no física?

d) ¿Cuántos alumnos no siguen los cursos de química ni física?

Solución:

Representamos por medio del diagrama de Venn:

El conjunto universal “U” es 250 estudiantes

El conjunto “A” de estudiantes que cursan química

El conjunto “B” de estudiantes que cursan física

El conjunto “C” de estudiantes que cursan matemáticas

Por la intersección de los tres conjuntos, tenemos a los 20 estudiantes que cursan química, física y

matemáticas a la misma vez.

a) Los estudiantes que sólo cursan química son:

n ( A ) - n ( A ∩ B ) - n ( A ∩ C ) + n ( A∩ B ∩ C ) = 101 - 55 - 52 + 20 = 14

Por lo tanto, sólo 14 estudiantes cursan química

b) Los estudiantes que no siguen ninguno de los tres cursos

n ( A U B U C )' = U - n ( A U B U C ) = U – [n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) - n ( A ∩ B ) - n ( A ∩ C ) - n ( B ∩ C ) + n ( A∩

B ∩ C )] = 250 - 101 + 163 + 163 - 55 - 52 - 90 + 20 = 0

Por lo tanto, todos los estudiantes siguen por lo menos uno de los tres cursos.

c) Los estudiantes que cursan química ó matemáticas, pero no física, son:

n ( A U C ) = n ( A ) + n ( C ) - ( A ∩ B ) - n ( A ∩ C ) - n ( B ∩ C ) + n ( A∩ B ∩ C ) = 101 + 163 - 52 - 55 - 90 +

20 = 87

ó también:

solo matemáticas + solo química + solo química y matemáticas = 41 + 14 + 32 = 87


23 G.F.S.

Alumnos que solo cursan matemáticas:

n ( C ) - n ( A ∩ C ) - n ( B ∩ C ) + n ( A∩ B ∩ C ) = 163 - 52 - 90 + 20 = 41

Alumnos que solo cursan química y matemáticas

n ( A ∩ C ) - n ( A∩ B ∩ C ) = 52 - 20 = 32

Por lo tanto, 87 estudiantes cursan química

d) Los estudiantes que no cursan química ni física, son:

n ( A U B )' = U - n ( A U B ) = U -[ n ( A ) + n ( B ) - n ( A ∩ B )] = 250 - [ 101 + 163 - 55 } = 41

Por lo tanto, 41 estudiantes no cursan química ni física

Actividad 3

INTRODUCCIÓN TÉCNICAS DE CONTEO. Son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Las siguientes cuestiones son ejemplos donde se puede hacer uso de las técnicas de conteo.

1) ¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?

2) ¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) ¿si se desea que estas consten solo

de alumnos de Ingeniería Química?, b) ¿se desea que el presidente sea un químico?, c) ¿se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.

3) ¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Para determinar sin describir directamente el número de casos posibles de un experimento en particular o el número de elementos de un conjunto finito, se requieren algunos principios básicos que faciliten el proceso, destacando:

Diagrama de árbol

El principio fundamental del conteo

Las permutaciones

Las combinaciones

DIAGRAMA DE ÁRBOL INTRODUCCIÓN Diagrama de árbol. Es un grafico que ilustra como enumerar todos los posibles casos de una serie de experimentos, en donde cada experimento puede suceder un numero finito de maneras. Es llamado de árbol debido a su apariencia y se emplea frecuentemente en conexión con el principio fundamental de conteo. TAREA


24 G.F.S.

I.- De acuerdo al concepto de diagrama de árbol y a los ejemplos respectivos. Resuelve en binas los siguientes ejercicios: 1) Hallar el conjunto resultante del producto de P x Q x R en donde: P = { a, b, c} Q = {1, 3, 5} y R = {d, e, f} Resp: 27 2) Se va a conformar un comité de 3 miembros, compuesto por un representante de los trabajadores, uno de la administración y uno del gobierno. Si hay 3 candidatos de los trabajadores, dos de la administración y 4 del gobierno, determinar, ¿Cuantos comités diferentes pueden conformarse? Resp: 24 comités 3) Un encuadernador ofrece dos tipos de cubierta: dura o suave, y para cada una de ellas se puede escoger colores rojo, azul o verde. ¿De cuántas maneras es posible encuadernar un libro? Resp: 6 maneras 4) Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de

sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de

árbol diga en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

Resp: 24 clasificaciones


25 G.F.S.

5) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que

gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante

un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo.

Resp: 10 maneras

PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en los siguientes Ejemplo: 1) Determinar cuántos números de dos cifras distintas pueden formarse con los cuatro dígitos siguientes: 2, 4, 6 y 8. La solución quedaría ilustrada en un diagrama de árbol de la siguiente manera:

Construir el diagrama de árbol para encontrar el total de posibles formas de resolver un examen de 3 preguntas de falso o verdadero.


26 G.F.S.

Actividad 3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

INTRODUCCIÓN Los dos principios fundamentales del conteo básico son: • Regla del producto: Se utiliza cuando un procedimiento se realiza en tareas separadas. • Regla de la suma: Se utiliza cuando un procedimiento se puede realizar en varias formas diferentes. Principio de la multiplicación También llamado “Principio fundamental de conteo”

Si una operación puede realizarse independientemente de n1 maneras diferentes y si continuamos el procedimiento una segunda operación puede efectuarse independientemente de n2 maneras diferentes después de realizadas, una tercera operación puede efectuarse independientemente de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta ni de maneras diferentes.

Donde: k es el numero finito de operaciones, entonces el número total de maneras diferentes de las cuales

pueden efectuarse todas las operaciones en el orden indicado es el producto de TAREA II.- En binas resuelve los siguientes ejercicios aplicando el principio de suma y multiplicación. Principio de multiplicación y Principio de la suma 1) ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante? Resp: 60 formas 2) Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que ningún dígito se pueda repetir. Resp: 136080 3) ¿Cuántas cadenas de longitud 4 pueden formarse mediante las letras ABCDE si no se permiten repeticiones? Resp: 120 cadenas. 4) ¿Cuántas cadenas del ejercicio anterior comienzan con la letra B? Resp: 24 cadenas que comienzan con la letra B. 5) Las ciudades A y B están unidas por 6 caminos diferentes, B y C por 10, y C y D por 8. ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de A a D pasando por B y C? Resp: 480 formas


27 G.F.S.

6) Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas Apodaca o en 8 tiendas de Escobedo. ¿De cuantas formas se puede adquirir el repuesto? Resp: 14 formas 7) Se desea cruzar un rio, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el rio utilizando los medios de transporte señalados? Resp: 6 formas 8) En una carrera de automóviles participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no es posible llegar al mismo tiempo, ¿de cuantas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros? Resp: 6840 maneras 9) ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra? REsp: 504 números 10) Se quiere cambiar la bandera de una ciudad de tal forma que esté formada por tres franjas horizontales de igual ancho y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arco iris? Resp: 210 banderas distintas 11) Para preparar un aderezo para ensalada un chef de cocina debe elegir un condimento en polvo, un tipo de aceite y un tipo de vinagre. Si tiene 4 condimentos en polvo, 3 tipos de aceite y 5 tipos de vinagre, ¿Cuantos aderezos diferentes puede preparar? Resp: 60 aderezos diferentes 12) Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido

¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C? Resp: 14 formas


28 G.F.S.

(Reglas de la suma y del producto) 13) ¿De cuántas formas podemos elegir 2 libros de diferentes materias entre cinco libros distintos de computación, tres libros distintos de matemáticas y dos distintos de arte? Resp: 31 formas (Reglas de la suma y del producto) 14) Se tienen 9 bolas en una urna y se quien saber de cuántas maneras podemos sacar primero 2, luego 3 y luego 4 Resp: 306 maneras 15) De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a B sin retroceder

Resp: 36 formas PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en los siguientes Ejemplos: 1) Determinar cuántos números de dos cifras distintas pueden formarse con los cuatro dígitos siguientes: 2, 4, 6 y 8. ____ _____ D U Cualquiera de los 4 enteros se elige como la cifra de las decenas (D), una vez elegido un digito, nos quedan 3 enteros de entre los cuales podemos escoger la cifra de las unidades (U).


29 G.F.S.

Al aplicar el principio fundamental de conteo nos queda (4)(3) = 12. Por lo tanto se pueden formar 12 números de dos cifras con los cuatro dígitos dados. 2) ¿Cuantos números de dos cifras podrán formarse con los cuatro enteros dados, si se permiten repeticiones? Aplicando el principio fundamental de conteo, el resultado es: (4)(4) = 16 (2,4) (4,2) (6,2) (8,2) (2,6) (4,6) (6,4) (8,4) (2,8) (4,8) (6,8) (8,6) (2,2) (4,4) (6,6) (8,8) Por lo tanto se pueden formar 16 números de dos cifras con los cuatro enteros dados, permitiéndose las repeticiones. Principio de Suma Si una operación tiene n resultados distintos y otra operación tiene m resultados diferentes, distintos también a los resultados de la primera operación y, además, si solo se puede realizar una de las dos operaciones (es decir, realizar una no permite hacer la otra), entonces el total de maneras distintas de realizar la operación conjunta (es decir la primera o la segunda) es n + m. Lo mismo se aplica a un número mayor de operaciones. Ejemplos: 1) Si se lanza un dado de seis lados o una moneda entonces los resultados posibles son: 6 + 2 = 8 2) En una biblioteca hay 40 libros de texto sobre matemática discreta y 50 libros de texto sobre calculo. Calcular de cuantas maneras distintas puede un estudiante escoger un libro de cualquiera de las dos asignaturas. 50 + 40= 90 Por lo tanto existen 90 formas en que un estudiante pueda elegir un libro de cualquiera de las dos asignaturas. Además, estos dos simples principios combinados permiten obtener resultados bastante complejos. 3) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric


30 G.F.S.

El primer paso es encontrar el número de formas en que M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Actividad 3 PERMUTACIONES INTRODUCCIÓN Es cada una de las posibles maneras en que pueden ser ordenados los elementos de un conjunto finito. Ejemplo: 1. Si los objetos dados son tres b, g y o, se agrupan tomando los tres a la vez, pueden quedar ordenados en las siguientes formas: bgo, bog, gbo, gob, obg, ogb Ordenados de izquierda a derecha en seis formas diferentes. PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en lo siguiente Tipos de permutaciones

Permutaciones de n elementos tomados todos a la vez. Se utiliza el símbolo nPn o P(n,n) que representa el número total de permutaciones de n objetos distintos, tomados de n en n, es decir, n = n

Matemáticamente se representa por la ecuación:

¿De cuantas formas diferentes podemos colocar n elementos distintos de uno en uno tomados todos a la vez y colocándolos en fila? Para dar respuesta, consideramos que se tienen n espacios vacios que deben ser ocupados con n objetos cada espacio. El primer espacio puede estar ocupado de n formas distintas, el segundo de (n – 1) formas distintas; el tercero de (n – 2) maneras diferentes y así sucesivamente hasta llegar al último espacio que será ocupado por el único objeto que hemos dejado para el final.


31 G.F.S.

Por lo tanto el número total de permutaciones posibles de los n elementos quedaría: nPn = n(n −1)(n − 2)(n − 3)...1 = n! Ejemplos: 1) ¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 6 personas en una fila de 6 asientos? El primer asiento puede ser ocupado por cualquiera de las 6 personas, es decir, son 6 formas de ocupar el primer asiento. Cuando lo anterior haya sucedido, hay 5 formas de ocupar el segundo asiento. Después hay 4 formas de ocupar el tercer asiento; 3 formas de ocupar el cuarto asiento; 2 formas de ocupar el quinto asiento y solamente 1 de ocupar el ultimo asiento. Por lo tanto el número de ordenaciones posibles de las 6 personas en una fila de 6 asientos, quedaría así: (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 6!= 720 maneras

También puede resolverse de la siguiente manera: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 6 personas 6P6 = 6! 720 maneras

= 720 n = 6 asientos 2) Cinco amigos que están en una piscina, después de haberse lanzado por el deslizadero gigante, observan que cada vez que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer cola para arrojarse de nuevo? Observe que para la primera posición hay cinco personas, cuatro para la segunda, etc. De esta forma tenemos que el número de formas distintas de hacer cola es: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 5 personas 5P5 = 5! 120 formas

= 120 n = 5 posiciones Como observamos, en este caso intervienen a la vez todos los elementos y unicamente varia el orden de colocacion.

3) Queremos permutar (arreglar) las letras abc. ¿Cuantos arreglos se obtienen?

El arreglo de las letras quedaria de la siguiente forma: abc, acb, bac, bca, cab y cba. Son 6 permutaciones diferentes DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 3 letras 5P5 = 3! 6 arreglos

= 6


32 G.F.S.

n = 3 posiciones TAREA III III.- En binas apliquen los conocimientos para resolver las siguientes permutaciones. 1) ¿De cuántas maneras pueden arreglarse 5 libros en un estante, si es posible cualquier ordenación?

Resp: 120 maneras 2) Obtener cuántos números pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir ningún digito

Resp: 120 números 3) ¿Cuantas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)

Resp: 40320 maneras 4) Una madre tiene 3 hijos ¿de cuantas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar?

Resp: 6 maneras 5) Debe asignarse a siete hombres a siete trabajos diferentes ¿De cuantas formas se puede hacer?

Resp: 5040 formas

Permutación de n diferentes elementos tomados en grupos de r a un tiempo. Se utiliza el símbolo nPr P(n, r) que representa el total de permutaciones de n objetos distintos, tomados de r en r, siendo r < n

Matemáticamente se representa por la ecuación:

Ejemplos: 1) Determina el número de permutaciones de los seis enteros 1, 2, 3, 4, 5, 6 tomados de tres en tres. DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN


33 G.F.S.

n = 6

r = 3 , ,

RESULTADO: 6P3 = 120 Es el número de permutaciones de los 6 enteros tomados de tres en tres 2) En una empresa siete ejecutivos asisten a una junta donde hay cinco sillas. Calcula de cuántas formas pueden ocupar las sillas. Como únicamente se ocupan 5 sillas, el número de diferentes modos de ocuparlas es igual al número de permutaciones de 7 objetos considerados en grupos de 5. DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 7 r = 5

7P5 = 2520 Formas de ocupar cinco sillas

TAREA IV IV.- En binas resuelve los siguientes problemas de permutaciones con aplicación real. 1) Si 12 personas suben a un autobús en el que hay 5 asientos desocupados, ¿De cuántas maneras pueden sentarse?

Resp: 95040 maneras 2) ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de basquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?

Resp: 95040 maneras 3) En un grupo de 10 personas, se elegirá a 5 y se les ubicará en fila para una foto. ¿Cuántas disposiciones son posibles?

Resp: 30 240 disposiciones posibles 4) Sea S = {Pérez, López, González, Moreno}de este conjunto se escogerán 2 personas para los puestos de gerente y supervisor, de cuántas maneras se puede hacer.

Resp: 12 maneras


34 G.F.S.

Permutaciones circulares. Se define como el arreglo posible de “n” objetos alrededor de un círculo o cualquier otra curva simple cerrada, en donde uno de ellos mantiene una posición fija.

El número de permutaciones circulares Pc de “n” objetos se determina por la ecuación: Pc = (n −1)! Ejemplos: 1) ¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 9 personas alrededor de una mesa redonda? Una persona puede sentarse en cualquier posición fija de la mesa, las otras pueden arreglarse de 8! maneras alrededor de la mesa, es decir: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 9 Pc = (n −1)! Pc = (9 −1)!

Pc = (8)!

Pc = (8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)

Pc = 40320

2) ¿De cuantas formas pueden sentarse 7 personas a una mesa redonda si dos insisten en sentarse una al lado de la otra? Si consideramos a las dos personas que insisten en sentarse una al lado de la otra como una sola; entonces hay seis personas para sentarse alrededor de la mesa y que pueden acomodarse de: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 6 Pc = (n −1)! Pc = (6 −1)!

Pc = (5)!

Pc = (5)(4)(3)(2)(1)

Pc = 120

Pero las dos personas consideradas como una sola pueden ordenarse entre sí de 2! maneras. En total hay: ( 5! ) ( 2! ) ( 120 )( 2 ) = 240 Por lo tanto hay 240 maneras de acomodarse. 3) .De cuantas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura?

Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y segundo las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de Pc= (6 −1)! formas; por lo tanto:


35 G.F.S.

El número de maneras es igual a (7)(5! ) = (7)(120) = 840 TAREA V V.- En binas resuelve los siguientes problemas de permutaciones circulares. 1) ¿De cuantas maneras se pueden acomodar en una reunión de 13 personas, en una mesa redonda?

Resp: 479001600 maneras 2) Calcular de cuántas formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa.

Resp: 5040 formas 3) ¿De cuantas formas pueden sentarse 10 personas a una mesa redonda?

Resp: 362880 formas

Permutaciones de objetos que no sean todos diferentes. (Permutaciones con repetición). El numero de permutaciones diferentes de “n” objetos, tomados todos a la vez, de los cuales hay “n1” iguales entre sí, otros “n2” iguales entre sí, etc.

Matemáticamente se determina por la ecuación:

Ejemplos: 1) ¿De cuántas maneras pueden disponerse en una fila cinco fichas rojas, idénticas entre 6 fichas blancas, también idénticas entre si y cuatro fichas azules, iguales entre sí? DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 15 n1 = 5 fichas rojas n2 = 6 fichas rojas n3 = 4 fichas rojas

P = 630630 maneras de disponer en una fila 5 fichas rojas, 6 fichas blancas idénticas entre si y 4 fichas azules idénticas entre sí.

2) Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.


36 G.F.S.

DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 6 n1 = 2 banderines rojos n2 = 3 banderines verdes

n3 = 1 banderín morado

P = 60 señales diferentes.

3) ¿De cuantas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?

DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO

n = 7 n1 = 3 círculos n2 = 2 cuadrados

n3 = 1 triángulo

n4 = 1 rombo

P = 420

TAREA VI VI.- Resuelve individualmente los problemas que a continuación se presentan. 1) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra CHIHUAHUA?

Resp: 15120 2) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse utilizando todas las letras de la palabra: a) ESTADISTICA, b) MATEMATICAS, c) MISSISSIPPI

Resp: a) 2494800 permutaciones, b) 1663200 permutaciones, c) 34650 permutaciones 3) ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3,3?

Resp: 280 claves 4) ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?


37 G.F.S.

Resp: 1250 maneras 5) ¿Cuantas señales diferentes, cada una de 10 banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas amarillas idénticas, 4 banderas rojas idénticas y dos banderas azules idénticas?

Resp: 3150 señales 6) Se ordenan en una fila 7 bolas verdes, 4 bolas amarillas y 5 bolas anaranjadas. Si todas las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿De cuántas formas posibles se pueden ordenar?

Resp: 1441440 formas de ordenar

Permutaciones con sustitución.

Esta permutación se da cuando se tiene un numero “n” de objetos, tomamos uno y antes de

tomar el otro se reemplaza el que ya se había tomado.

Matemáticamente quedaría: Pcs = (n)(n)(n)(n)… (n) = nr

Permutaciones diferentes de tamaño r con sustitución (cs) Ejemplos: 1) Supóngase que una urna contiene 7 bolas. Hallar el número de permutaciones que se pueden tener al tomar 3 de una en una, con sustitución Datos Fórmula Sustitución Resultados n = 7 Pcs = (n)(n)(n)(n)… (n) = nr Pcs =(7)(7)(7) Pcs = 343

2) ¿Cuantas maneras existen para asignar tres premios de un sorteo en donde el primer premio es un departamento, el segundo es un auto y el tercer es un centro de computo?, si los participantes en este sorteo son 120 personas y la asignación se puede hacer con sustitución Datos Fórmula Sustitución Resultados n = 120 Pcs = (n)(n)(n)(n)… (n) = nr Pcs =(120)(120)(120) Pcs = 1,728,000

Permutaciones sin sustitución

Esta permutación se da cuando se tiene un numero “n” de objetos, tomamos uno y para tomar

el otro NO se reemplaza el que ya se había tomado.


38 G.F.S.

Matemáticamente quedaría: Pss = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)….. (n – r + 1)=

Ejemplos: 1) ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de tres personas de un grupo de 35 personas, sin sustitución? Como la condición es que no hay sustitución, entonces la primera persona puede seleccionarse de 35 maneras diferentes, la segunda persona del comité puede ser seleccionada de 34 maneras distintas, la tercera y última persona puede seleccionarse de 33 maneras, es decir: DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 35 r = 3

Pss = 39,270

2) ¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es un departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de computo? , si los participantes en este sorteo son 120 personas, y la asignación se debe hacer sin sustitución. DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO n = 120 r = 3

Pss = 1,685,040

Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo. TAREA VII VII.- En equipo de tres resuelve cada uno de los siguientes problemas aplicando la formula de permutaciones con o sin sustitución según sea el caso. 1) Se tiene una urna con 10 bolas. Hallar el numero de permutaciones que se pueden obtener tomando 4, de una en una: a) Con sustitución, b) Sin Sustitución

Resp: Pcs = 10000, Pss = 5040

2) ¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de formula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación es totalmente al azar.( Sin sustitución)

Resp: Pcs = 11881376, Pss = 7893600


39 G.F.S.

3) ¿Cuántas formas hay de asignar el orden de participación de las primeras 5 concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss Mundo? (Sin sustitución)

Resp: Pss = 55440 formas

4) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?

Resp: Pcs = 1000 números

5) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si: a) se pueden repetir las cifras, b) no se pueden repetir las cifras?

Resp: Pcs = 10000 números, Pss = 5040 números

Actividad 4 COMBINACIONES INTRODUCIÓN Supongamos que se desea formar un comité de dos personas que debe seleccionarse de un grupo de tres personas; ¿Cuántos comités se pueden formar? Representando por (a, b, c) al grupo de 3 personas, de las cuales se tomaran dos para formar el comité, si aplicamos la fórmula de permutaciones se formarían exactamente 6 comités, quedando de la siguiente manera: (ab, ba, ac, ca, bc, cb) Se pueden decir que tenemos 6 comités de tamaño dos, se hace notar que ab y ba son permutaciones diferentes porque el orden es primordial en una permutación. Pero en combinaciones, ab y ba son indistinguibles, es decir, el orden en el que se anoten los miembros del comité no presentan influencia alguna en su integración. Por lo anterior, se concluye que puede haber solamente tres comités de dos personas cada uno, es decir, (ab, ac, bc). Cada uno de los comités se hace llamar combinaciones donde se hace notar que el orden carece de importancia en sus elementos. Combinación “Una combinación es un conjunto no ordenado de objetos distintos”

PROCESO Para poder desarrollar la tarea, te invito a observar la siguiente información de internet:

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O también apóyate en lo siguiente

Combinaciones “r” de “n” objetos


40 G.F.S.

Una combinación de “n” objetos tomados de “r” es una selección de “r” de los “n” objetos sin atender a la ordenación de los mismos.

El número de “combinaciones” de “n” objetos tomados de “r” en “r” siendo r<n se simboliza por:

Matemáticamente se expresa por la ecuación:

Ejemplos:

1) Calcular 8C5

Datos Fórmula Sustitución Resultado n=8 r=5

56

2) En un curso de 15 hombres y 10 mujeres. .De cuantas maneras puede formarse un comité de 3 hombres y 2 mujeres? Datos Fórmula Sustitución Resultado n=8 r=5

=(455)(45) =20,475

El comité se puede formar de 20475 maneras 3) En un examen, un alumno debe contestar ocho de un total de doce preguntas, debiendo incluir exactamente cinco de entre las seis primeras. ¿De cuántas maneras puede resolver su examen? Datos Fórmula Sustitución Resultado n 1=6 r1=5 n2 = 6 n 3 = 3

=(6)(20) =120

El alumno puede contestar el examen de 120 maneras diferentes. TAREA VIII VIII.- En binas resuelve los siguientes problemas de combinaciones con aplicación real del entorno.


41 G.F.S.

1) ¿De cuántas maneras puede invitar a tomar café la esposa del director de una escuela a 3 de las 8 esposas de los profesores del plantel?

Resp: 56 maneras 2) ¿De cuántas formas puede elegirse un comité de 3 entre un grupo de 10 personas distintas?

Resp: 120 formas 3) ¿De cuántas formas puede elegirse un comité de 2 mujeres y 3 hombres de un grupo de 5 mujeres distintas y 6 hombres distintos?

Resp: 200 formas 4) En una fabrica se presentan a solicitar trabajo 9 hombres y 5 mujeres. ¿De cuantas formas el jefe de personal puede hacer la selección si únicamente puede contratar a 6 hombres y 3 mujeres?

Resp: 840 formas 5) Se va a organizar un comité de investigación de 5 personas entre 7 representantes del partido mayoritario y 6 del minoritario. Calcular el número de comités que se pueden formar si deben constar exactamente de 3 representantes del partido mayoritario.

Resp: 525 comités

Actividad 5

Probabilidad: Introducción La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cuál es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4. El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cuál de los resultados se va a presentar: Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cuál de ellos va a salir. En la Lotería de Navidad, el "Gordo" (en España se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier número entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo esta lección).


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Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad. Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo. Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos: Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar. Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2…, hasta el 6. Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales. Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6 O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los números que van del 1 al 18). Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles). Ejemplo: si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz. Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz). Cálculo de probabilidades Probabilidad Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").

El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

¿Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles: P(A) = Casos favorables / casos posibles Veamos algunos ejemplos:

Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:


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P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%) Merece la pena. Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías? Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:

El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.

b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.

A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades. ¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia? No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista): Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades. Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%. Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%. Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista. En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.


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Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista. A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cuál es la probabilidad de cada suceso. Probabilidad de sucesos Probabilidad de sucesos Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo 1: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b). P(A) = 1/6 = 0,166 P(B) = 3 / 6 = 0,50 Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).

Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo 2: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos. P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersecan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.

Ejemplo 3: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6. Su probabilidad será por tanto: P(A∩ B) = 2 / 6 = 0,33

Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección

Ejemplo 4: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6. P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50 P (A ∩ B) = 2 / 6 = 0,33


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Por lo tanto, P (A U B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).

Ejemplo 5: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a: P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166 Por lo tanto, P(A U B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo 6: lanzamos un dado al aire. El suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar. La probabilidad del suceso (A) es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0,50 Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a: P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50 Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50

Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a: P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50 Por lo tanto, P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1 Ejemplo 7: De la producción de tornillos de cierta magnitud resulta que el 5 % de ellos no tienen el largo especificado, el 7 % no tienen el diámetro especificado y el 2 % tiene ambos defectos. Se elige un tornillo al azar de la producción de estas magnitudes. ¿Cuál es la probabilidad que: a) tenga al menos uno de los dos defectos?. b) tenga sólo el defecto del largo? c) tenga sólo uno de los dos defectos? d) no tenga defectos? Solución A ={ tornillos con defecto del largo} B ={ tornillos con defecto del diámetro}


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Ejemplo 8: La alimentación de cierta especie se considera completa si cada individuo consume tres tipos de alimentos en cantidades adecuadas. En una población se encontró que el 75 % consume alimento tipo A, el 70 % alimento tipoB, el 50 % alimento tipo C, el 50 % alimento tipo A y B, el 30 % alimento tipo A y C, el 30 % alimento tipo B y C y el 15 % consume de los tres tipos de alimentos. Se elige un individuo al azar en la población, calcular la probabilidad que: a) consuma sólo alimento tipo C. b) consuma sólo un tipo de alimento. c) consuma al menos dos tipos de alimentos Solución: M = {individuo de la población que consume alimento tipo A} N = {individuo de la población que consume alimento tipo B} Q = {individuo de la población que consume alimento tipo C}


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a) La probabilidad de que un individuo sólo consuma alimento tipo C es de 0,05 b) La probabilidad de que un individuo consuma sólo un tipo de alimento es de 0,20 . c) La probabilidad de que un individuo consuma al menos dos tipos de alimentos es de 0,80. TAREA I. Realiza los siguientes ejercicios. Ejercicio 1. Se hace una quiniela con un dado para hacer quinielas que lleva en sus caras tres veces el 1, dos veces la X y una vez el 2. Calcula la probabilidad de que salga una X o un 2.

REP: 0,5

Ejercicio 2. Un dado está trucado para que el 6 tenga una probabilidad de salir de 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 6?

RESP: 0,75 Ejercicio 3. Se lanza dos veces un dado. Representamos el espacio muestral de la siguiente forma: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (2, 1), (2, 2), (2, 3), ..., (6, 6)} donde en cada pareja el primer número representa lo que se obtiene en la primera tirada y el segundo en la segunda. Sean los sucesos: A = "la suma de las dos tiradas es 7" y B = "el primer número es par". Calcula la probabilidad de AUB.

RESP: 36

21


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Ejercicio 4. En el lanzamiento de un dado, consideramos los sucesos A = {2, 3} y B = {2, 4, 6}. Halla la probabilidad del suceso unión de A y B.

RESP 6

4

Ejercicio 5. Calcula la probabilidad de aprobar un examen de matemáticas si se sabe que hay una probabilidad de 0,4 de no aprobar. RESP 0,6. Ejercicio 6. Se lanza dos veces un dado. Representamos el espacio muestral de la siguiente forma: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (2, 1), (2, 2), (2, 3), ..., (6, 6)} donde en cada pareja el primer número representa lo que se obtiene en la primera tirada y el segundo en la segunda. Sean los sucesos: A = "obtener primero un 4 y después un 3" = (4, 3), B = "la suma de las dos tiradas es 7", C = "el primer número es par" y D = "obtener el mismo número en las dos tiradas". Halla los siguientes sucesos:

RESP:

suceso imposible. Ejercicio 7. Una urna contiene 3 bolas blancas (B), 2 rojas (R) y 1 amarilla (A). Se extrae una bola al azar. Indica cuáles son los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible. RESP: Sucesos elementales: B, R, A. Suceso seguro: extraer una bola blanca, roja o amarilla. Suceso imposible: extraer una bola que no sea blanca, roja o amarilla.


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Ejercicio 8. En el lanzamiento de un dado, consideramos los sucesos A = {2, 3} y B = {2, 4, 6}. Halla el suceso unión de A y B y el suceso intersección de A y B.

RESP:

Ejercicio 9. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento "suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados"?

RESP: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Ejercicio 10. De un total de 500 estudiantes, se encuentra que 210 fuman, que 258 toman bebidas

alcohólicas, que 216 toman alimentos entre comidas, que 122 fuman y toman bebidas alcohólicas, que 83

toman alimentos entre comidas y también bebidas alcohólicas, que 97 fuman y toman alimentos entre

comidas y que 52 practican estos tres dañinos hábitos. Si se escoge aleatoriamente a un miembro de esta

generación, encuentre la probabilidad de que el estudiante:

a) fumen, pero no tome bebidas alcohólicas.

b) tome alimentos entre comidas e ingiera bebidas alcohólicas, pero no fume.

c) no fume y no tome alimentos entre comidas.

a) 88/500

b) 31/500

c) 171/500

Ejercicio 11. La probabilidad de que una industria XX se ubique en la ciudad A es de 0,7; de que se localice

en la cuidad B es de 0,4 y de que se encuentre en A o en B, o en ambas es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de

que la industria se localice:

a) en ambas cuidades?.

b) en ninguna de ellas?.

a) 0.3

b) 0.2

Ejercicio 12. En una bolsa hay 36 fichas numeradas del 1 al 36, respectivamente. Si se extrae una ficha,

calcular la probabilidad de que la ficha extraída sea:

a) un número par b) un número primo c) un múltiplo de 5 d) un número terminado en 2 e) un número

divisible por 6 f) un número impar mayor que 20.

a) 1/2, b) 11/36, c) 7/36, d) 1/9, e) 1/6, f) 2/9


50 G.F.S.

Actividad 1

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)

Probabilidad y Estadística

Evidencia: Desempeño y Producto

Grupo:

Evaluador: Gabriel Flores Sánchez

Alumno: Fecha de aplicación:

No Indicador a evaluar

CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES

1 Muestra disposición para trabajar de manera colaborativa

2 Actúo con disciplina y cumpliendo con la norma en el aula.

3 Contesta de manera intuitiva cada uno de los cuestionamientos del problema 1.




Calificación promedio

Actividad 2

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:



No Indicador a evaluar CUMPLIMIENTO: OBSERVACIONES


51 G.F.S.

Si No

1 Muestra disposición para trabajar de manera colaborativa.


3 Define claramente que es un conjunto

4 Menciona claramente los tres términos descriptivos que pudieran utilizarse para “nombrar” ciertos conjuntos

5 Escribe claramente los elementos de cada uno de los conjuntos, del problema 3(cinco incisos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

6 Escribe claramente los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos descritos por la notación de conjuntos, del problema 4(dos incisos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

7 Describe claramente cada uno de los siguientes conjuntos por medio de la notación de conjunto, del problema 5(dos incisos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

8 Obtén los elementos en cada una de las operaciones de conjuntos, según lo indicado en cada uno de los casos y representa los resultados por medio del Diagrama de Venn. (Son diez casos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

9 Da solución de manera correcta a cada cuestionamiento que se presenta en los problemas de aplicación de conjuntos. (Siete problemas propuestos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.


Actividad 3

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:




52 G.F.S.


CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES



3 Define claramente que es un conjunto

4 Da solución de manera correcta a cada una de las tareas que son aplicables a los diferentes tipos de permutaciones, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.


Actividad 4 Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:




CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES



3 Da solución de manera correcta a cada una de las tareas que son aplicables al concepto de combinación, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.


Actividad 5 Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



53 G.F.S.

Probabilidad y Estadística Grupo:




CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES



3 Da solución de manera correcta a cada uno de los problemas que son aplicables al concepto del cálculo de probabilidad, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.


Rúbrica de la situación didáctica.

(Hetero-evaluación)

Competencia genérica: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. Atributo: 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.Competencia disciplinar: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Evidencia: Conocimiento

Cálculo Integral Evaluador: Gabriel Flores Sánchez Grupo:

Alumno: Periodo a evaluar:

Criterio Evidencia En proceso el logro de la competencia ( 6 o menos)

Nivel 1 INICIAL RECEPTIVO ( 7 )

Nivel 2 BÁSICO. ( 8 )

Nivel 3 AUTÓNOMO. ( 9 )

Nivel 4 ESTRATÉGICO. ( 10 )


54 G.F.S.

Describe las teorías de conjuntos, del conteo, y de la probabilidad; con el fin de determinar la solución a problemas del entorno real

Actividad 2, 3, 4, 5 Situaciones Problema resueltos (Evaluación de evidencias), prueba escrita cerrada. .

No logro de la competencia. Menos de seis de calificación.

Tiene nociones a consecuencia de la participación grupal en una interacción expositiva del facilitador, requiriendo apoyo constante del mismo

Aplica e interpreta a la solución de problemas con enfoques simples o sencillos

Aplica e interpreta de una manera autónoma los problemas planteados con criterio y argumentación en su proceso de solución

Aplica e interpreta con planteamientos concluyentes y de innovación, trascendiendo en el logro de la competencia


Documents

Material de apoyo para primer parcial