Material Apoyo 2012

7/26/2019 Material Apoyo 2012

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Material de Apoyo

LGEBRA ICLCULO I

FACULTAD DE INGENIERA UNIVERSIDAD PEDRO DE VALDIVIA

Prof. Haroldo Cornejo Olivar


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LGEBRA

LOS NMEROS

El concepto de nmero en la sociedad actual nos es tan familiar que es difcil concebir hoy en da

que el proceso de abstraccin y construccin del sistema numrico y su aritmtica ha sido largo y lento.

El proceso ms interesante es el aprendizaje del conteo. En la poca de los romanos, los cabreros utilizaban piedrecillas para contar sus rebaos.

Esta accin puede abstraerse a trminos matemticos estableciendo una aplicacin biunvoca entre el objeto "piedra" y el objeto a contar, en este caso "una cabra", si se establece que existen tantas piedras como cabras, entonces, nuestro conteo es correcto, eso se denomina establecimiento de una biyeccin entre dos conjuntos equipotentes.

En pleno siglo XIX, muchas doncellas de la aristocracia inglesa no saban contar, pero enseguida se

daban

cuenta

si

faltaban

cubiertos

o

algn

comensal

no

tena

asiento.

Muchas sociedades menores en sus respectivos idiomas tienen palabras para designar al nmero "uno", "dos" e incluso "tres", pero ms all, se dice "muchos", es decir, no hay un sistema numrico formalizado.

No obstante, ha servido de base, el uso de los dedos de las manos, de los pies, e incluso de las partes del cuerpo, para contar.

Los conjuntos numricos son agrupaciones de nmeros que guardan una serie de propiedades estructurales. Sus caractersticas estructurales ms importantes son:

No son conjuntos finitos

Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

Estn dotados de propiedades topolgicas (o pueden llegar a estarlo)

Admiten relacin de orden

Admiten relacin de equivalencia

Son representables mediante diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudindose tomar una combinacin de ambos en un diagrama de Euler Venn con la forma caracterstica de cuadriltero y adems pudindose representar internamente un diagrama de Hasse (es una

recta).

Todos los conjuntos numricos se construyen desde una estructura ms simple hasta otra ms compleja.

El orden de construccin de los conjuntos numricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:


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N: Conjunto de los nmeros naturales Z: Conjunto de los nmeros enteros Q: Conjunto de los nmeros racionales R: Conjunto de los nmeros reales C: Conjunto de los nmeros complejos

Todos los conjuntos numricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto C de los nmeros complejos, que sera el Universo de los Nmeros.

Conjunto de los Naturales

Surgieron en el proceso de aprendizaje que tuvo el hombre cuando descubri la forma de contar. Son los nmeros ms simples de los que hacemos uso, estn formados por los nmeros 1,2,3,4,5...

El conjunto de los nmeros naturales, se define por extensin de esta forma:

IN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . }

Su construccin axiomtica parte de los axiomas de Peano, que a partir de un primer elemento, el uno, se genera el elemento siguiente, y el siguiente del siguiente, de tal forma que obtenemos un conjunto, que si bien est acotado inferiormente (es la nica excepcin existente entre los conjuntos numricos), no lo est superiormente, por lo que podemos conjeturar que este conjunto tiene un nmero infinito de elementos.

NMEROS Z ENTEROS:

Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de expresar situaciones tales como: Temperaturas bajo cero, deudas, posiciones bajo el nivel del mar (10 pies bajo el nivel del mar, por ejemplo). Aparecen los Inversos aditivos de los Naturales y el Cero.

El conjunto de los Enteros se denotan por Z y estn formados por los nmeros Naturales, el cero y los inversos aditivos de los naturales.

Por extensin, sera aproximadamente: Z = { . 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..} El conjunto de los nmeros enteros incluye a los naturales. Los naturales son un subconjunto de los enteros.

NMEROS Q RACIONALES:

Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se denotan por

y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y , como por ejemplo: 3/5, 2/3. etc. En general:

Los nmeros enteros son tambin racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1).

Tambin se consideran nmeros racionales los siguientes decimales:


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a) Los decimales finitos: aquellos que tienen un nmero finito de cifras decimales, como por ejemplo: 0.23, 2.3, 0.324

b) Los decimales infinitos peridicos puros (d.i.p.p.): Aquellos que tienen un nmero infinito de cifras decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por ejemplo: 0.2222 ,0.3535353 ,2.3333, 1,7777

c) Los decimales infinitos peridicos mixtos (d.i.p.m.): Aquellos que tienen un nmero finito de cifras decimales que no se repiten y a continuacin un nmero infinito de cifras decimales que se repiten, como por ejemplo: 0.23333, 0.2355555., 0.32424242, 3.25555., 1.2345454

Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al dividir dos nmeros enteros. La fraccin que los origina se denomina fraccin generatriz.

El conjunto de los nmeros racionales incluye a los enteros.

NMEROS Q IRRACIONALES: Surgen por la necesidad de encontrar la medida exacta de la hipotenusa de un tringulo rectngulo; as mismo de la necesidad de expresar las races inexactas reales. Se denotan por Q y son todas las races inexactas reales y los decimales infinitos no peridicos, como por ejemplo:

2 =1,414213562, = 3.14157 , e = 2,71828 18284

NMEROS IR REALES Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por IR.

NMEROS IR IMAGINARIOS: Surgen por la necesidad de obtener las races de ndice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los nmeros imaginarios es la raz cuadrada de 1 y se denota por i:

i = 1 Se debe tener en cuenta que:

i = 1 i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1

La unin de los nmeros reales con los imaginarios dan origen a los nmeros complejos notados C, as que: C = IR U IR.

Observar bien que: N Z Q R C.


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CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS (Z)

Con los nmeros naturales no era posible realizar diferencias (restas)

donde el minuendo era menor que el que el sustraendo , pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un nmero menor hay que restarle uno mayor.

En la resta A B se tiene que A= Minuendo B = Sustraendo

Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar , etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de nmeros naturales, introduciendo un nuevo conjunto numrico llamado nmeros enteros .

El conjunto de los nmeros enteros est formado por:

= {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o nmeros naturales, enteros negativos y el cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los nmeros naturales como un subconjunto de lo s enteros .

Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero entero es el nmero natural que resulta al suprimir su signo. Algebraicamente se define:

0 3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

7 > 10 | 7| < | 10 |


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4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7 |10| > |7 | Suma de nmeros enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores

absolutos y al resultado se le pone el signo comn.

3 + 5 = 8 ( 3) + ( 5) = 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del nmero de mayor valor absoluto.

3 + 5 = 2 3 + ( 5) = 2

Propiedades (Axiomas) de la suma de nmeros enteros

1. Clausura o Interna : El resultado de sumar dos nmeros enteros es otro nmero entero.

a + b 3 + ( 5)

2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no vara el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)]

5 5 = 2 + ( 2)

0 = 0 3. Conmutativa : El orden de los sumandos no vara la suma.

a + b = b + a 2 + ( 5) = ( 5) + 2

3 = 3 4. Elemento Neutro Aditivo: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo nmero sumado con l

da el mismo nmero. a + 0 = a

( 5) + 0 = 5

5. Aditivo Inverso u opuesto: Un nmero es el aditivo Inverso del otro si al sumarlos obtenemos como

resultado el cero . a + ( a) = 0 5 + ( 5) = 0

El Inverso Aditivo del Inverso Aditivo de un nmero es igual al mismo nmero.

( 5) = 5


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La resta de nmeros enteros se obtiene sumando al minuendo el Aditivo Inverso del sustraendo.

a b = a + ( b) 7 5 = 2

7 ( 5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de nmeros enteros

1. Clausura o Interna : La resta dos nmeros enteros es otro nmero entero .

a b 10 ( 5)

2. No es Conmutativa : a b b a 5 2 2 5

Multiplicacin de nmeros enteros

La multiplicacin de varios nmeros enteros es otro nmero entero , que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicacin de la regla de los signos .

Regla de los signos

2 5 = 10 ( 2) ( 5) = 10 2 ( 5) = 10 ( 2) 5 = 10


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Divisin de nmeros enteros

La divisin de dos nmeros enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicacin de la misma regla de los signos que en el producto.

Regla de los signos

10 : 5 = 2 ( 10) : ( 5) = 2 10 : ( 5) = 2 ( 10) : 5 = 2

Propiedades de la divisin de nmeros enteros

1. No es una operacin interna, No cumple la propiedad de Clausura: El resultado de dividir dos nmeros enteros no siempre es otro nmero

entero .

( 2) : 6

2. No es Conmutativa : a : b b : a

6 : ( 2) ( 2) : 6


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GUA N 1 Conjunto de los enteros (Z)

I. Completar con los signos > o <

1. 3 ____ 2 R: > 2. 3 ____ 4 R: < 3. 6 ____ 9 R: <

II. Calcular el valor de las siguientes expresiones: 1. (+6) + (12) R: 6 2. (+7) + (3) R: 4 3. (+10) + (4) R: 6 4. 12 + (15) R: 27 5. 8 + 7 + (3) + 2 R: 14 6. 2 + (4) + 3 + (1) R: 4 7. 3 + (2) + (6) + (10) R: 21 8. 18 + 6 (3) 3 (2) R: 22 9. 3 5 6 (2) + 3 (3) R: 1 10. 10 (2) 8 (4) R: 7 11. 4 + 5 (6 4) + 8 2 12. 4 + 5 6 4 + 8 2 R: 34 13. (4 + 5) 6 (4 + 8) 2 14. 4 + (5 6 4 + 8) 2 R: 21


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GUA N2 Conjunto de los Enteros (Z)

1. Obtenga la suma de:

a) 23 5 + 191 + 4 23 5 + 191 + 4 (R: 12) b) (4 2)1+(38)(4+26) (R: 10) c) 0 7+( 4 3+2 (5 2 8) (R: 7)

2. Obtenga el resultado de:

a) 4 (3)2 (R: 24) b) (1)4(2)5(3) (R: 120) c) 9[2 (1) 0] (3) (R: 0)

d) (0 379) + (5 + 0) (R: 5) e) (2) (1) + 5(3 1 + 4) (R: 2) f) (1346) (4)+(172) (R: 40)

3. Un hombre que tena $ 87.553 hizo una compra por un valor de $ 93.201. Exprese su estado econmico. (R: Debe $ 5.648)

4. Tena US$ 200. Cobr US$ 56 y pagu deudas por US$189. Cunto tengo? (R: US$ 67).

5. Compro ropas por valor de $ 66.500 y alimentos por $ 117.800. Si despus recibo $ 228.000,

Cul

es

mi

estado

econmico?

(R: Tiene $ 43.700 sobre 10que tenia antes de comprar).

6. Tena US$ 20. Pagu US$ 15 que deba; despus cobr US$ 40, y luego hice gastos por US$ 75. Con cunto qued finalmente? (R: Debo US$ 30).

7. Al empezar el da no tenia dinero. Despus de recibir US$ 200 hago tres gastos sucesivos por US$ 78, US$ 81 y US$ 93. Ms tarde me dan US$ 41 y hago un nuevo gasto por US$ 59. Cul es mi situacin finalmente? (R: Estoy debiendo US$ 70).

8. Pedro tena deudas de $ 45.000; $ 66.000 Y$ 79.000. Al recibir $ 200.000 pag sus deudas y luego gast $ 10.000, cunto tiene? (R: No tiene dinero)

9. A las 9:00 hrs., el termmetro marca 12 C y despus de once horas la temperatura ha bajado 15 C. Qu temperatura marca el termmetro a las 20:00 hrs. del da?.

(R: 3 C o 3 grados Celsius bajo cero)

10. A las 3:00 hrs. el termmetro marca _8 C y al medioda +5 C Cuntos grados ha subido la temperatura? (R: Ha subido 13 C) .


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Potencias

ANTECEDENTES:

Sin duda el trmino potencia nos da la idea de poder, intensidad, energa y fuerza. Ya en tiempos remotos, se aplic esta idea a los nmeros. Los babilonios utilizaban la elevacin a potencia, como auxiliar de la multiplicacin. Los griegos tenan una especial preferencia, por los cuadrados y cubos.

Diofanato, insigne matemtico del siglo III d de C, utiliz la yuxtaposicin sucesiva de smbolos iguales, para la notacin de potencias. Asimismo, se sabe que en 1554 el alemn Michel Stfen (1487 1567) en su trabajo titulado Ariymetica Integra us por primera vez, el trmino exponente.

Segn la teora del Bing Bang sobre el origen del universo, el instante que demor la explosin que le dio origen fue de 0,000.01 segundos (43 cifras), lo que en forma de potencia se

expresa como 4310 s. Del mismo modo, el radio del universo que se estima en 15.000 millones de

km, se escribe 10105,1 km.

Definicin: Potencia es la multiplicacin de un nmero (llamado base) por si mismo, tantas veces como lo indique otro (llamado exponente), es decir:

bn =b b b b b .... b / b lR n lN

Ejemplos: 1) 43 = 4 4 4 2) (5)2= (5) (5)=25 3) 52 = (5 5)= 25

4) 81

21

21

21

21

3

=

=

La potencia de exponente natural de un nmero entero es otro nmero entero , cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicacin de las siguientes reglas :


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Propiedades

1. La potencia no es conmutativa an n a 2. Producto de potencias con la misma base: a m

a n = am+ n

3.

Divisin

de

potencias

con

la

misma

base:

am

:

a n

=

am n

4. Potencia de una potencia: (a m)n=am n

5. a 0 = 1 a 0 6. a 1 = a 7. 0n = 0 n>0 8. Producto de potencias con el mismo exponente: a n

b n = (a b) n 9. Cociente de potencias con el mismo exponente: a n

: b n = (a : b) n 10. Dos potencias de igual base son iguales, si sus exponentes tambin son iguales

Si ax = ay x = y

11 . Potencias de exponente entero negativo

La

raz

cuadrada

La raz cuadrada es la operacin inversa de elevar al cuadrado y consiste en averiguar el nmero cuando se conoce su cuadrado.

Raz cuadrada exacta (Racional)

La raz cuadrada es exacta, siempre que la cantidad subradical (radicando) sea un cuadrado perfecto.

Nmeros Irracionales

La raz cuadrada es irracional, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.

Ejemplos:


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Prioridades de Operaciones combinadas

1. Efectuar las operaciones entre parntesis, corchetes y llaves. 2. Calcular las potencias y races. 3. Efectuar los productos y cocientes.

4. Realizar las sumas y restas.


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NOTACION CIENTIFICA Prof: Patricia Rojas Salinas

Es una manera de escribir cantidades muy grandes o muy chicas en forma abreviada utilizando

un entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, junto a una potencia de 10 tanto con exponentes negativos como positivos.

A continuacin se presenta un resumen de las potencias de 10 y los prefijos y sufijos que se sustentan en ellas y que son de gran utilidad en las diferentes asignaturas de tu especialidad:

NOMBRE SIMBOLO VALOR

Yotta Y 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2410 Zetta Z 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2110

exa

E

1. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 18

10 peta P 1. 000. 000. 000. 000. 000 = 1510 tera T 1. 000. 000. 000. 000 = 1210 giga G 1. 000. 000. 000 = 910 mega M 1. 000. 000 = 610 kilo K 1. 000 = 310 hecto H 100 = 210 deca D 10 unidad 1 deci d 0.1 = 110 centi c 0. 01 = 210 mili m 0. 001 = 310 micro 0. 000. 001 = 610 nano n 0. 000. 000. 001 = 910 pico p 0. 000. 000. 000. 001 = 1210 femto f 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1510 atto a 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1810 zepto z 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2110 yocto y 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2410

Ej: 2 nanmetro=2 nm = 9102 = 0. 000. 000. 002 m = 0. 000. 001mm= 0. 001 m


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Gua N 3 Prof. Patricia Rojas Salinas

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LAS POTENCIAS DE 10.

1) Usando notacin cientfica, escribir en forma abreviada

a) 0,000.001.8= b) 400.000.000.000= c) 0,0342 = d) 5,36 = e) 62,8 = f) 108.000.000= g) 0,000.49= h) 200.000= i) 0,000.0002= j) 32.500=

2) Escribir en notacin cientfica, las magnitudes indicadas:

a) En el espacio, la luz recorre 25.920.000.000 km diario.

b) El espesor de una hoja de papel blanco corriente, es 7 cienmilsimas de metro.

c) La longitud de un meridiano terrestre, es de 40.000.000 m.

d) La velocidad del sonido, es de 1.200.000 m/hr.

e) La distancia de la tierra al sol, es de 150.000.000 km.

f) La velocidad de la luz, es de 300.000.000 m/s.

g) La masa del electrn, es 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.91kg

h) El dimetro de un glbulo rojo de la sangre, es de un cienmilsimo de metro.

i) La sal de mesa est formada por iones de sodio y cloro. La distancia entre un in de sodio y uno de cloro es de 0,000000028 cm., aproximadamente. Expresar esta distancia en metros.

j) El espesor de la pelcula que forma una pompa de jabn, mide aproximadamente un cienmilsimo de centmetro.

k) En un milmetro cbico de sangre hay, aproximadamente, 5.500.000 glbulos rojos.

l) La distancia media de Marte al sol, es de 229.000.000 km

m) Uno de los tomos ms pesados es el de Plutonio, cuyo peso y dimetro son respectivamente 0,000.000.000.000.000.000.000.000.39 kg y 0,000.000.06 cm.


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3) Determinar el valor con decimales (cifra) que corresponde a:

a) =3102,7 b) = 2104,6 c) = 4109 d) = 21018,1 e) = 2102,3 f) = 5106 g) =3102,1 h) =2106,3

4) Aplicando notacin cientfica y las propiedades de las potencias, calcular:

a) =000.000.53100000.25

b) =032,0004,0

000.000.1686,0

c) =08.000,0

006.000,0400 d)

=

2

43

105,0

1014105,2

e) =+

2

11

104102,2103

f) =

3

4

105104,0

g) =2

3

106,11064,0

h) =

3

2

1005,010025,0

i) =12

1016,0108,4

j) =

5

4

1081096

k) =900001,0

00045,05,7 l)

( ) =

25

1012

1,010

101010

m) =032,04.000,0000.000.1618,0

n) ( )=00001,0015,0000000025,0000075,0


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Gua N 4 EJERCICIOS DE LAS PROPIEDADES DE POTENCIAS.

Prof: Patricia Rojas Salinas

1) Potencias de exponente entero negativo ; es conveniente que siempre dejes expresado las potencias con exponente entero positivo.

Ejemplo: 91

31

3 22 ==

425

25

52

22

=

=

a)2 3 = b) 3 1 = c) 4 )( 24 = d) 22 b = e) )( = 22b f) = 3105

g) =210

8 h) =

22

4

y x i) =

3

4

3

j) =

3

y x

k) ( ) =102,0 l) =

baab

2

4

m) ( ) ( ) ( ) =++ 336 125,025,05,0

n) ( ) =

3

3

31

1

75,0

2) Propiedad Exponente fraccionario; de esta propiedad nacen las races.

Ejemplo: 86444 323

===

a) =32

8 b) ( )32

8 = c) ( ) = 31

3 x

d) =

2

1

161

e) =

32

81

f) = 31

x

g) =

32

8 h) ( )1 =53

i) ( ) = 31

3 x

3) Propiedad Exponente cero: slo se afecta la letra o nmero que lleva de exponente el 0.

Ejemplo: 202

33 aba =

a) =07 b) =

0

32

c) ( ) = 03

d) =0104 e) ( ) = 0 y x f) =03 x g) ( ) =03 x h) ( ) ( ) =00 43 y x


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4) Potencia de otra potencia:

Ejemplo: ( ) 3331 ++ = nn x x a) ( ) =242 x b) ( ) =+ 11 nn x

c)

=

43232

ya

d)

( ) =63

3,0 x

e) =

3254

t f) ( ) =4051,0 ym

5) Multiplicacin de potencias de igual base: Ejemplo: bababa x x x 2332 + = a) = x x 23 2 b) = + 11 nn x x

c) = abba 5,032 2 d) = 54 3,03,0 x x

e)

= aa x

5,051

1

f)

= x xn

6,041

2

6) Multiplicacin de potencias de igual exponente:

Ejemplo: ( ) 102

42

24

31

331

3 x x x x x =

=

a) ( ) =

222

21

26,0 nn aa b) ( ) ( ) = + nnnn x x 121 5,06,0

c) =

nn x x 2

52

21

1 d) ( ) ( ) = x x aa 32

7)

Divisin

de

potencias

de

igual

base:

Ejemplos: 2464

6

x x x ==

337474 1 x x x x ===

a) = x x 5 b) = 106 22

c) = +163 x x aa d) = + 1143

32 nn x x

e) =++

3

42

x

x

aa

f) =

x

x

33 1

8) Divisin de potencias de igual exponente:

Ejemplo: 91

31

34

94

311

94

2222

= = =

a) =

33

310

25

b) ( ) ( ) = + 3232 x x aa

c) =2

2

51,0

d) =3

3

75,02


21/138

GUA N 5POTENCIAS Y NOTACIN CIENTFICA

Potencia

1) Si a es un nmero real y n es un nmero natural, entonces,

aaaaa n = ..... , ( n veces)

2) Si a es un nmero real distinto de cero y n es un nmero natural, entonces,

nn

aa

1= 3) Si a es un nmero real distinto de cero, entonces,

10 =a

1. Calcule el valor de las siguientes potencias.

a) 42 b) 35 c) 27

d) 54 e) 56 f) 68

g) ( )62 h) ( )53 i) ( )25

j) 42 k) ( )32 l) 35


a) 43 b) 15 c) 36

d) 52 e) 27 f) 18

g) ( ) 25 h) ( ) 43 i) ( ) 15


a)3

21

b)5

32

c)2

45

d)2

52

e)

3

56

f)

4

23


22/138


a)2

23

b)1

65

c)3

27

d)1

32

e)

2

74

f)

3

53

Propiedades de Potencias

1) mnmn aaa += 2) mnmn aaa =:

3) ( )nnn baba = 4) ( )nnn baba :: =

5) ( ) mnmn

aa

=

5. En cada caso, calcule el valor de la expresin.

a)6

53

222 b)

64

73

6666 c)

78

23

5555

d)

810

29

8888

e) ( ) ( )

( )422143

2

22 f) ( ) ( )( ) 432

2324

55

55


a) 13

24

5221

2

b) 22

1

345+

c) ( )2132

435

22+

+

d)( )

4

1

3

2

21

2

241

5

e)33

22

2232

31

f)

( )

( ) 22

222

202,02

103,031


a)22

23

32

22

12

21

5272

2415

4232

+

b)

+

1221

23

31

2:32

21

c) +

+

2

212

732

9:41

31

5


23/138

NOTACIN CIENTFICA

Notacin cientfica

Un nmero se escribe en notacin cientfica de la forma:

x n10

donde M es un nmero tal que 1 M < 10; y n es un nmero entero.

8. Los siguientes nmeros estn escritos en notacin cientfica. Escrbalos ennotacin estndar (normal).

a) 65,7 x 510 b) 8,6 x 310 c) 3,9 x 710

d) 5 x 410 e) 5,2 x 110 f) 2,7 x 210

g) 7,4 x 510 h) 61,2 x 610

9. Escriba los siguientes nmeros en notacin cientfica.

a) 93.000.000 b) 68.000 c) 160.723,4

d) 7.281,3 e) 0,08 f) 0,7

g) 0,000047 h) 0,00022

10. Usando una calculadora cientfica, realiza las siguientes operaciones y luego elresultado lo escribes en una hoja.

a) 9.800.000 x 4.500.000 b) 2.540.000 x 1.900.000

c) 8.100.000 x 6.500.000 d) 5.260.420 x 2.682.521

e) 2 : 5.687.945.122 f) 6 : 6.897.254.211

11. Realiza las siguientes operaciones ( SIN CALCULADORA) y el resultado loescribes en notacin cientfica.

a) (2,52 x 210 ) : (4,2 x 310 ) b) (4,1 x 210 ) (2 x 310 )

c) (6 x 410 ) (2,2 x 310 ) d) (3,2 x 210 ) : (0,16 x 410 )

e) 000000002,0:000128,0


24/138

f) 000000009,02780000 g) 00060000000000,0:20000000001,0003430000000000,0 h) 00000120000000000,0000000000000003000000000:0000000001548000000

i)

0040000000002,08970000000452,02120000000000,0 + j) 0000030000000000,012000000000000000002,0:0000004532,0 k) 0,00000000000024 30000000000 : 0,00002 0,000000000036: 0,0000000000012 0,0000005 +

PROBLEMAS DE APLICACION

12. Una camioneta de reparto, entrega en 6 almacenes el mismo pedido duranteuna semana. 6 cajas con 6 bebidas cada una, 6 veces a la semana.Cuntas bebidas reparte en una semana?

13. A un cubo de arista 4 le aumentaron los lados al doble.a) Cul es el volumen del cubo de arista 4?b) Cul es el volumen del nuevo cubo?c) En cuntas veces aumenta el volumen?Volumen del cubo = a 3 , con a : medida de la arista

14. Cmo se puede expresar como potencia el siguiente enunciado? Pedro camina la cuarta parte de la cuarta parte de la cuarta parte del viaje quehace en bus

15. Una bacteria cada una hora se reproduce 10 veces ms que la hora anterior.

a) Cuntas bacterias hay al cabo de 4 horas?

b) Si se tienen 10 millones de bacterias Cuntas haba en la hora anterior?

16. Los exponentes pueden utilizarse para medir el crecimiento poblacional. Sisuponemos que la poblacin mundial se incrementa a razn de 2 % cada ao(los expertos dicen que la tasa se encuentra entre un 2% y un 4%), podemospredecir la poblacin mundial para el ao siguiente multiplicando la poblacinactual del mundo por 1,02, as:La poblacin P despus de 1 ao es P 02,1 La poblacin P despus de 2 aos es ( ) P P = 202,102.102,1 La poblacin P despus de 3 aos ( ) P P = 302,102.102,102,1 Si la poblacin P en el ao 2001 era de 6730 millones de personas, Cul esla poblacin al trmino del ao 2005?. Exprese el resultado en notacincientfica.

17. La velocidad de la luz puede medirse al dividir la distancia desde el Sol a laTierra (1,47 x 10 11 metros), con el tiempo que le toma a la luz del Sol llegar ala Tierra (4,9 x 10 2 segundos). Por lo tanto la velocidad de la luz es:

2

11

109,41047,1

. A cuntos metros por segundo equivale esta expresin?

18. La fisin nuclear se utiliza como fuente de energa Cunta energa proporciona

un gramo de uranio 235?. R: 235

107,4 9 Kilocaloras.

Escrbalo en notacin cientfica.


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EJERCICIOS PARA ESTUDIO PERSONAL.

19. El valor de la potencia, ( )43 es:a) 81 b) 81 c) 27 d) 27

20. El valor de la potencia, 62 es:a) 64 b) 32 c) 64 d) 34

21. El valor de la potencia, ( ) 52 es:

a) 0,125 b) 0,0625 c) 0,25 d) 0,03125

22. El valor de la potencia,2

32

es:

a)23

b)49

c)94

d)49

23. El valor de la expresin,7

54

222

es:

a) 4 b) 8 c) 2 d) 16

24. El valor de la expresin,( )

( )3

22

2

221

+

es:

a) 2 b) 2 c) 1 d) 1

25. La expresin, 6,25 x 610 representa al nmero:

a) 6.250 b) 62.500 c) 6.250.000 d) 625.000

26. La expresin, 2,1 x 410 representa al nmero:

a) 0,00021 b) 0,21 c) 0,021 d) 0,0021

27. Al realizar la operacin: (4,2 x6

10 ) (2 5

10

) se obtiene el nmero:

a) 8,4 b) 840 c) 84 d) 8.400

28. Al realizar la operacin: (4,62 x 210 ) : (2,2 x 410 ) se obtiene el nmero:

a) 2100 b) 2,1 c) 21 d) 210


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SOLUCIONES GUA DE EJERCICIOS N 5

POTENCIAS Y NOTACIN CIENTFICA

1. a) 16 b) 125 c) 49

d) 1.024 e) 7.776 f) 262.144

g) 64 h) 243 i) 25

j) 16 k) 8 l) 125

2. a)81

1 b)

5

1 c)

216

1

d)321

e)491

f)81

g)251

h)811

i)51

3. a)8

1 b)

243

32 c)

16

25

d)254

e)125216 f)

1681

4. a)94

b)56

c)343

8

d)23 e)

1649

f)27

125

5. a) 4 b) 1 c) 145

d) 58 e) 4 f) 125


27/138

6. a) 2560 b)125

1 c)

21299

d)64321

e) 4 f)6481

7. a)475.11496.10

b)44

153 c) 0

8. a) 765.000 b) 6.800 c) 93.000.000 d) 50.000

e) 0,25 f) 0,072 g) 0,000047 h) 0,00000261

9. a) 9,3 x 710 b) 6,8 x 410 c) 1,607234 x 510

d) 7,2813 x 310 e) 8 x 210 f) 7 x 110

g) 4,7 x 510 h) 2,2 x 410

10. a) 4,41 x 1310 b) 4,826 x 1210 c) 5,265 x 1310

d) 1,411118712 x 1310 e) 3,516 x 1010 f) 8,6991 x 1010

11. a) 6 x 010 b) 8,2 x 510 c) 1,32 x 810 d) 2 x 510

12. 6 4 = 1296 cajas 13. a) 64 b) 512 c) 8 veces

14. 33

441 =

15. a) 10 4 bacterias b) 10 6 bacterias

16. 1,02 4 * 6730000000 = 7,28 x 10 9 aproximadamente.

17. 3 x 10 8 sm

18. 2 * 10 7

Respuestas de seleccin mltiple

Pregunta 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28Respuesta b c d b a d c a c d


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GUA N 6 POTENCIAS CON OPERATORIA ALGEBRAICA.

Prof: Patricia Rojas Salinas

1) ( ) ( )=+

22

11

n

nnnn x x Rp: 2 x

2) ( )= x x x 321 1648 Rp: x5112

3) ( ) ( )

( ) =

+

+

n

nn

62

1412

2

22 Rp:

41

4) =

33

6475

7532

nmq p

q pnm

Rp:81

5) =++

+

+

p p

p p

25555

1

12

Rp:1

6) ( )( )

=

25

28

42

24 Rp:4

7) ) = 43213 5,0125,025,0 nn Rp: 115,0

8) =++

+

+

12

136

64842

p p

p p

Rp:131

9) =

+ nnn1

22

24255 Rp:25

10) ( ) ( ) ( ){ } ( ) = 321 3333 nnnn Rp: 33 11) ( ) ( )=+ 211 2222 nnnn Rp:6 12) Si xa =2 ; ya =3 , entonces cul es el valor de a12 ?

13) ( ) ( ) =+ nn 23 84 Rp: n612 +

14) ( )[ ]{ }132 x = Rp:6

1

x

15) Si x=2 , calcular ( ) ( )

( ) =

+

2

32

1

23

x

x Rp:

6481

16) =

2

20

22222

Rp21


29/138

17) Si x= 6, entonces ( ) = 23 2 x Rp41

18) = 3

2043

32

82168 Rp41

19) Si x=4, y=81

entonces = + + 01

3

2012

3

2354 y y y x x x Rp:89

20) ( )

=

1

31

0

8

2 Rp:2

21) Si x=8, calcular =++ 031

32

234 x x x Rp:9

22) Si a= x+2, b= x 2 entonces = 22 ba Rp:8x 23) Si a= 2x+1, b= x 2 Calcular; [ 2a ( b+a)]= Rp:1 3x 24) ( )( )=++ p p p p x x x x 335 Rp: p x 2

25) 11

112

11

233

1332

+

++ = Rp:

121

26) =

+

+

+

3

1

22

13

131

131

2

121

Rp: 41015

27) =++ 7777

3333

Rp:3

28)( ) =+ 042 24 Rp:3 29) =++++++ 310123 2222222

2

30) =++++ 21123 1010101010

31) =++

q

p

p pq

q p

2

2

33

33

Rp: q p3

32) = 125,01 Rp:0,25 33) ( ) ( ) = 1112 22 Rp: 2 34) ( ) ( )33 25,05,0 = Rp:8

35) ( ) =

22

21

25,12 Rp:25

36) =1214131

aaa Rp: 32

a

37) ( ) ( ) 101 111 ++ = Rp:1


30/138

38)( ) ( ) ( ) =++ 321 2,02,02,0 Rp:155

39) = 45 x x Rp: 1

40) ( ) =+ 2103

2253327 x Rp:11

41) ( ) ( ) =++ 312131210 027,04825,025 Rp: 0,8

42) =

53

76

4936

Rp67

43) ( ) =

34254

4,0 Rp:425

44) =

55

94

32

Rp:32243

45) ( ) 25,1 : =

3

32

Rp:23

46) ( ) ( ) ( ) =

3

244 4,0

41

62,08,0 Rp:1280507

47) =

+

3

6

54

23

222

Rp:92

48) =++

x x

x x

bbaa 26

Rp: x xba4

49) =

+

+

2.0531

35.02 x x x aaa Rp: xa

1

3


31/138

CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES (Q)

En la Unidad anterior recordaste y trabajaste con los nmeros enteros pero, a medida que ha progresado la Humanidad, el hombre se ha enfrentado a situaciones problemticas que consideran la idea de fracciones o partes de una unidad entera como las que se sealan a continuacin:

Situacin 1: Un hacendado tena una hacienda de 200 hectreas y vendi un sexto de 48 hectreas. Qu parte o fraccin de la finca le queda?

Situacin 2: Un caballo, que cost US$ 1.250, se vende por los 2/5 de su costo. Cunto dinero se pierde?

Situacin 3: De una hacienda de 500 Hectreas se cultivan tres vigsimas partes; se alquila una

dcima parte y el terreno restante se vende a US$ 500 la hectrea. Cunto es el dinero obtenido por la venta?

Situacin 4: En un colegio hay 42 alumnos varones que representan los 3/13 del total de alumnos. Cuntos alumnos hay en total y cuntos de ellos son mujeres?

Se llama nmero racional a todo aquel nmero que se puede representar como el cociente de dos enteros , con denominador distinto de cero.

Se representa por Q .

Donde a = Numerador b = denominador


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Representacin de los nmeros racionales

Los nmeros racionales se representan en la recta numrica junto a lo s nmeros enteros .

Para representar con precisin los nmeros racionales :

1. Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.

2. Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en la s partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

3. Unimos el ltimo punto del segmento auxiliar con el

extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la particin del segmento auxiliar.

A menudo se utilizan nmero racional y fraccin como sinnimos , aunque no siempre corresponde, dado que hay fracciones que son irracionales, dependiendo su estructura.

Amplificacin de un racional: Es la multiplicacin del numerador y denominador de la fraccin por un mismo nmero, sin alterar su valor o representatividad . Ejemplos:

503010105330186653106225353======

Simplificacin de un racional: Es la divisin del numerador y denominador de la fraccin por un mismo nmero, sin alterar su valor o representatividad . Ejemplos:

65

318315

1815

=

=

Suma y resta de nmeros racionales

Para

sumar

o

restar

racionales,

estos

deben

tener

el

mismo

denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.


33/138

Con distinto denominador

En primer lugar se transforman lo s denominadores a un comn denominador (amplificando cada fraccin), y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

1217

122135

1221

1235

22

61

33

45

61

45

=+

=+=+=+

1213

12215

122

1215

22

61

33

45

61

45 ====

Para encontrar el Mnimo Comn Mltiplo ( M.C.M.) o Mnimo Comn Denominador (M.C.D.)

1 Se descompone cada denominador en sus factores primos 2 Se expresan en forma de potencias agrupando aquellas de igual base. 3 Se eligen todas las potencias existentes con el mayor de los exponentes. 4 El producto de dichas potencias (3) es el M.C.M.

Ejemplos:

El M.C.M. entre 4 y 6 es : 4 = 22 6 = 2 3 En esta dupla de nmeros existen las potencias de 2 y 3 las cuales con sus

mximos exponentes nos entrega el M.C.M. = 22 3 = 12

El M.C.M. entre 12 , 16 y 10 ser: 12 = 22 3

16 = 24 M.C.M. = 24 3 5 = 240 10 = 2 5

(habitualmente no es recomendable multiplicar los factores) El M.C.M. entre 18 , 24 y 16 ser: 18 = 32 2 16 = 24 M.C.M. = 24 32 = 144 24 = 23 3

El M.C.M. entre 36 , 24 y 20 ser: 36 = 32 22

20 = 22 5 M.C.M. = 23 32 5 = 360

24 = 23

3

El M.C.M. entre 3 #2, #2, 2 # es 3 2

El M.C.M. entre: (x + 1)2 (x + 1)(x 1)3 M.C.M. = (x 1)3(x + 1)2 (x 1)(x + 1)


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Comparacin de fracciones

Fracciones con igual denominador De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que

tiene menor numerador. Fracciones con igual numerador

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor la que tiene mayor denominador.

Con numeradores y denominadores distintos En primer lugar las tenemos que poner a comn denominador , buscando el

M.C.D. y amplificando individualmente cada una de las fracciones a comparar. Es menor la que tiene menor numerador (de la s fracciones amplificadas).

Producto de nmeros racionales

El producto de dos nmeros racionales es otro nmero racional que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores . Por denominador el producto de los denominadores .

dbca

dc

ba = donde b 0 y d 0

Recordar que cualquier entero se puede representar como racional dividindolo por 1 Ejemplos:

13

3 = 1x

x = 15

5 =

Divisin de nmeros racionales

Si recordamos que toda divisin es equivalente a multiplicar por el Inverso multiplicativo (o recproco del nmero), y el recproco de una fraccin o racional es la fraccin invertida.

cd

ba

dc1

ba

dc

ba

dc

ba 1 ==

=

Podra quedar ms evidente la regla:

Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la segunda invertida.


35/138

Gua N 7 NMEROS RACIONALES (Prof. Patricia Rojas Salinas)

1) Escribe la fraccin que representan cada una de las figuras.

a) b)

c) d)

2) Completa con el signo =, segn corresponda.

a) 41

61

b) 97

118

c) 114

73

d) 357

7592

3) Amplifica la fraccin dada por el nmero indicado.

a) 53

; 5 = b) 119

; 3 = c) 101

; 6 =

4) Simplifica al mximo las siguientes fracciones.

a) 42

= b) 96 = c)

5117 = d)

327129 =

5) Resuelve las siguientes operaciones con fracciones

a) 52 :

++

1915

*54

2107

187

43

= b) =+

1

43

94

1211

c) =

+

3028

85

73

253

6 d) =+

+

21

247

5187

3221

87

743

e)

+

7

32

52517

52

395

53

6149

773

10

f) g) h) i)

21

1

11

11

++

+

21

1

11

11

21

2

22

22

++

+

21

2

12

21

2

+


36/138

k) = l) j) m)

n) o) p) q)

6) Resolver los problemas planteados

a) El nuevo automvil del pap de Pedro consume 3

17 litros por cada 150 kilmetros, mientras que

el automvil antiguo que tena consuma 4

30 litros por cada 150 kilmetros. Cuntos litros de

gasolina consumen cada automvil en 1 kilmetro? b) ngel pesa 65 kilogramos, y Ana,

54 de esa cantidad. Cuntos kilos pesa Ana?

c) A la mitad de los 30 estudiantes de una clase le gusta el ftbol, a 31 del curso le gusta ms el

baloncesto, y los dems prefieren otros deportes. Calcula cuntos estudiantes son aficionados al ftbol, al baloncesto y a otros deportes.

d) Tres amigos se renen para hacer un trabajo. El primero realiza los 5

2 , y el segundo, 3

1 del

mismo. Cunto realizar el tercer integrante del grupo?

e) Gabriel compr 85 de barniz para las puertas de su casa. Slo us

41 del barniz. Cunto barniz

le sobr?

f) Al final del primer trimestre, falta trabajar los 2/3 del libro de Ciencias Sociales. Durante el segundo trimestre, se trabaja el equivalente a medio libro. Cunto resta del libro para ser trabajado en el tercer trimestre?

g) Tengo 3/4 de man y lo quiero repartir entre varias personas dndole 1/20 de kilo a cada una,

para cuntas personas me alcanza?

j) Ricardo pasa 1/3 del da en el colegio, de esa parte, 7/8 est en la sala de clases, y el resto est en recreo. Qu fraccin del da pasa Ricardo en la sala de clases?

15

6

5

163

31

+

+=

+

+

++

21

2

64

311

53

4

1

8

581

43

+

+=

4

12

4

16

31

431

2

=

+

21

2

222

=+

+

43

12

85

21

=

+

41

21

121

21

57

141

101

121

2

94

23

41

187

+

+


37/138

Gua N 8 Racionales


38/138


39/138

Gua N 9 RACIONALES

I. Calcular:

1.

47

165

21

83

+

R:

332

2.

31

187

65

94

3.

+

32

6831

50 R: 3

55

4. ++ + 354

322

32

5.

++

+

32

21

32

21

R: 34

6.

21

1

11

11

11

++

++

7. 1

52

85

423

2

254,0

31

++

R: 45

563

8. 54

21

2,1

172

241

395

6

74

253

08,1

251

64,0

25,154

8,0

+

+

II. Si

a b

ba

ab b2a

+ es igual a Z, Cul es el valor de Z para a = 3 y b = 1?

III. Determine el valor exacto de T si 21

x = e 41

y = , donde:

++

++

+= + 22 yx

22 xy1

xy2yx

yxyx

yxyx

T


40/138

IV. Resolver:

1. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento de l edificio y el resto se emplea en

limpieza.

a) Qu fraccin de lo s ingresos se emplea en limpieza? b) De acuerdo con la fraccin de ingresos empleada, ordena la s partidas

enumeradas de menor a mayor.

2. Realizar la s siguientes operaciones:

3. Resolver simplificando al mximo:

4 Simplificar al mximo:

5 Alicia dispone de 300 para compras. El jueves gast 2/5 de es a cantidad y el sbado lo s 3/4 de lo que le quedaba. Cunto gast cada

d a

y

cunto

le

queda

al

final?


41/138

Logaritmos

El logaritmo de un nmero, en una base dada, es el exponente al cual se

debe elevar la base para obtener el nmero.

Siendo a la base, x el nmero e y el logaritmo. De la definicin de logaritmo podemos deducir:

Propiedades de los logaritmos:

Logaritmos decimales: Son los de base 10 . Se representan por log (x).

Logaritmos Naturales o Neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x ) o L(x).


42/138

GUA N 10 POTENCIAS, RAICES Y LOGARITMOS

I. Calcular:

1. 2

4

13

21

2

52

R:82

1

2. 1

22

5

43+

3. ( )3221

22435

++

R:99

212

4. 22

33

32

31

22

5. 112024221610

91036182475

R: 4

6. ( ) ( )

( ) ( )

2

243

35

30635

144815

7. ( ) ( )( ) ( )

1

23

32

23

2222

R: 4

8. ( ) ( )( ) ( )

2

243

35

30635

144815

9. ( )32

3132

6623

23

R:

2536

10. 1

52

85

423

2

254,0

31

++


43/138

11. 54

21

2,1

172

241

395

6

74

253

08,1

251

64,0

25,154

8,0

+

+

II. Sabiendo que:1. Si : 32 = x , calcular : x x x E 1684 ++=

2. Si: 32 =n , hallar : 18 += n E

3. Si:

122

2

13

52

12116

31

+

+

=

A . Entonces el valor de :3

1

152

+

A A

;

es :

4. Si : 143 =n , entonces n29 es igual a :

5. Si : y x 75 = , calcular el valor de : 1123

5775

++

++

x y

y x

6. Siendo : 2

3

6

6

3

=

x x

x x

A ; Efecte : 2

3

6

6

3

=

A A

A A

B

III. Calcular:

1. 32827250 +++ R: 219 2. 2721007512 +++ 3. 333 1000827 ++ R: 114. 16144169 +++

IV. Expresar en notacin logartmica

1. 2 x = 5 R: log 2 5 = x

2. 3 x

= 73. 6 x = 1 R: log 6 1 = x4. 11 y = 2


44/138

V. Expresar como potencias:1. log p q = c R: p c = q2. log a x = y 3. log 2 a = 5 R: 2 5 = a4. log 5 4 = a 5. log 10 1000 = x R: 10 x = 10006. log a+1 x = y 7. log 2 8 = 3 R: 2 3 = 88. log 1/2 16 = 4

VI. Calcular el valor de x:

1. log 2 x = 1 R: 22. log 6 x = 3

3. log 0,2 x = 1 R: 54. log x 121 = 25. log x 16 = 4 R: 26. log x 1/9 = 27. log 2 32 = x R: 58. log 3 81 = x9. log 4 16 = x R: 2

VII. Si log 2 = a, log 3 = b y log 7 = c determine:

1. log 8 R: 3a2. log 93. log 5 R: 1 a4. log 54

5. log61

R: (a + b)

6. log981

7. log36

1 R: 2 (a + b)


45/138

Gua N 15

Gua N 11

Ejercicios de logaritmos

I. Calcular, aplicando la definicin de logaritmo el valor de:

1. log 3 81 2. log 2 16 3. log 8 2 4. log 9 3 5. log 16 2 6. log 81 3 7.- 25,0log

21

8.- log 27 (3) =9.- log 5 (0,2) =

10.- log 2 (0,25)=

11. log 0,5 (16) =

12. 125log 5

13.

5e

1ln

14. log 0,001

15. 53 81

1log

16. log 2 32 17. log 0,1 (100) = 18. log 5 (25) log 5 (5)

19. log 4 (64) + log 8 (64) = 20. log (0,1) log (0,01) =

21. 31

log 9

22. 25,0log21

23. 49 3log

24. 4

1log 2

25. log (5) + log (20) = 26. log (2) log (0,2) =

27. log (32) / log (2) =

28. log (3) / log (81) =

II . Calcular el valor de x si :

log x 81 = 4 log 2 x3

= 6 III. Si log 2 = a y log 3 = b, calcular los siguientes logaritmos .

1. log 0,02

2. log 4 8 3. log 5 4. log 0,0625 5. log 12

6. log 24 7. log 36 8. log 45 9. log 60

IV. Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrollar las expresiones que se indican:

1. nm

)nm(yxln2

+

2. baba

log22

2

3. 2222log


46/138

Gua N 12

Races

I. Aplicar las propiedades de races a los siguientes ejercicios:


47/138

II. Desarrollar las operaciones indicadas:

III. Racionalizar las siguientes expresiones:


48/138

Gua 13 Ejercicios sobre Races

1. 10242565

1236184

35

2. 5 62

11055221112081211331

3. 3 18

4. 30

5. ( )31

23

6. 32

51

2

7. 222

8. 387

1127

43

254

9. 132

157

32

2

1

154 3532

652

6

+

++

10. ( ) ( ) ( ) 32333 27:3913211 +++

En los ejercicios 11 al 25, calcular el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las races y de las potencias. ( Suponer todas las cantidades subradicales positivas).

11)

+++

ba

baba

ba

ba 2222 2 : ba 12) 2222 21

21

y xy x y xy x +

++

13) 3

3

2

6 313 14)

27

12

5

5 325 + 15) ( )

66

2

16) 3 3 33 : 9 53 17) 4 xy 12 1 x

18) 4

22

a

aa


49/138

19) 3 4 3 x 6 x x 20) 24250 + 21) 53

6 64

13

z

z z : 60

22) 116 2 + x siendo x = 23

32 + 23)

n

n

nn

1

2

1

4

1

3399

+

24) 22222 25) 65618193

26) Resolver la ecuacin exponencial.

15 32 xa : 20 94 xa = 30 278 xa 24 681 xa : 4 9a

Respuestas: 11) 2 ; 12) 22

2 y x

y

; 13) 3 ; 14) 25 ; 15) 8 ; 16) 3

17) 24 3 xy ; 18) aa

; 19) 6 5 x ; 20) 4 4 2 ; 21) 1 ; 22) 6

23) 27 24) 32 312 ; 25) 9 ; 16) 103

En los ejercicios 27 al 38 , expresar en la forma ms simple posible usando las propiedades de las potencias y races.

27) )1()1()1( x x x 28) 4 4913

4 175

a y x

y xa

4 55

4 94

y xb

xyb

29) 4

222

ba

b abb

ba

x x

x 30)

5,1

3

2

3

b

a : 2

12

6 35,0

caba

31)

( ) ( )3 2

16632

16632

+

y x x y x x x

y x =

32)

6

2/1

3/12

3/1

2/1

4 1

3

ba

ab

b

a 33) nnn 4629 +


50/138

34)

cb

abc

bac

bca

cba

cab

464

5

4

3

32

2

: 322

bcba

35) =

4

31

522

1

221

xy

yx

xy

yx 36) ) =

2

4

46

132

a b

ba:

a b

ba

37) =

31

434

31

31

21

:: xax xa 38) ( )

aa

an n

nn

n2

112 ++ =

Respuestas :

27) (x 1)7/8 28) 3

x y

29) x16(a b) 30) a8 c2 31) y x +

1 32) b4 b 33)

3n 2n 34) 622

cba

ca

35) 322

1

1 x x

36) ba3

37) 91

x


51/138

GUA N 14 Racionalizacin

Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:


52/138

RESPUESTAS:


53/138

Gua N 15 Racionalizacin

I. Evaluar las expresiones para el valor indicado de la variable, racionalizar los denominadores de

las expresiones, simplificando al mximo para volver a evaluar . 1.

x2

x4

x = 4 R: x2 + 4

2.7x3

8x6x 2

++ x = 2 R: ( ) )7x3(4x ++ 12

3.3 x1

x1

x =1 R: 3 23 xx1 ++ 3

I. Evaluar las expresiones para el valor indicado de la variable, racionalizar los numeradores de las expresiones, simplificando al mximo para volver a evaluar .

1. 1x1x

x = 1 R:

1x1+ 2

1

2. 9x3x

x = 9 R:

3x

1

+

61

3. x3

5x21

x = 3 R: 5x21

2

+ 1

4. 49x

3x22

x = 7 R: 7x

1+

14

1

5. 1x

23x

+ x = 1 R: 23x

1

++

41

6. 2x

2xx

+ x = 2 R: 2xx

1x

+++

43

7. 1x

38x 2

+ x = 1 R:

38x

1x2 ++

+ 31

8. 2x

x22x3

x = 2 R: x22x3

1

+

41

9. x

x1x1 + x = 0 R:

x1x1

2

++ 1

10. 233 2

)1x(1x2x +

x = 1 R: 233 2 )1xx(

1

++ 91

11. 2x

4x1x2

+ x = 5 R: ( ) 4x1x21x

1

++

241

12. 3x4x

6x2x6x2x2

22

+++ x = 3 R:

x14

2


54/138

13. 2

3 2

x

1x1 + x = 0 R:

( ) 1x1x11

3 23 22 ++++ 31

14. 4x

3xx1

+ x = 4 R:

( )( )3xx1x2

2

+

41

15. ( )( )2

2

5x

21x

x = 5 R:

( )221x1

+ 161

16. 2x3x

xx29xx32

22

++++ x = 2 R:

++++ 22 xx29xx3)1x(

3

17. 2x

1x3x2 55

x = 2

R : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 45 355 25 255 35 4 1x1x3x21x3x21x3x23x2

1

++++

II. Evaluar las expresiones para el valor indicado de la variable, racionalizar los numeradores y denominadores de las expresiones, simplificando al mximo para volver a evaluar .

1. x51

x53

+ x = 4 R:

x53

x51

+++

31

2. 4x

8x3

x = 64 R: 8x

16xx 33 2

+++

49

3. 1x1

7x3

+ x = 2 R:

7x3

1x1

+++

31

4. 23x38x

++

x = 1 R: 38x23x

++++

32

5. 3x7x2

5x1x2

++ x = 4 R:

5x1x2

3x7x2

++++

31

6. 1x

1x4

3

x = 1 R: ( ) )

++

++

1xx

1x1x33 2

4

34

7. 1x

xx 2

x = 1 R: )( )

xx

1xx1xx2

2

++++

3

8. 3x21

1x1 3

x = 2 R:

( ) 11x1x3x21

33 2 ++

+ 3

1

9. x22x

2x2x2

2

+

x = 2 R: ( )( )( )( )2x2x4x2xx

x22x4x4x2x22

223

++++++++

67

10. 8x1

2x52

3

x = 3 R:

( )( )3x2x5

8x19x3x

3

22

+

+

+++

109


55/138

Expresiones algebraicas

Trabajar en lgebra consiste en manejar relaciones numricas en la s que una o ms cantidades son desconocidas . Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por letras .

Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros ligada por lo s signos de la s operaciones: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y potenciacin.

Llamaremos, trmino algebraico, al producto de un nmero real por una o ms variables. El nmero real se llama "coeficiente" y las variables, "factor literal".

Por ejemplo, 3xy, 4abc son trminos algebraicos; donde 3 y 4 son los coeficientes numricos y xy, abc son los factores literales.

Llamaremos multinomio, a la suma y/ diferencia de trminos algebraicos.

Por ejemplo, 2x+3xy abe y 3ex+2by 4dz son multinomios.

Valor numrico (Imagen)

El valor numrico de una expresin algebraica es el nmero que se obtiene al sustituir la s letras de la misma por nmeros determinados y efectuar la s operaciones indicadas en la expresin.

Monomios:

Un MONOMIO es una expresin algebraica en la que la s nicas operaciones que aparecen entre la s variables son el producto y la potencia de exponente natural .

El coeficiente del monomio es el nmero que aparece multiplicando a la s variables.

La parte literal est constituida por la s letras y sus exponentes. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras

o variables. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Suma de Monomios:

Slo podemos sumar monomios semejantes . La suma de lo s monomios es otro monomio que tiene la misma parte

literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

Producto de un nmero por un monomio: El producto de un nmero por un monomio es otro monomio

semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el nmero .


56/138

Producto de monomios:

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de lo s coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando la s potencias que tenga la misma base.

Cociente de monomios:

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de lo s coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo la s potencias que tenga la misma base.

Polinomios: Un POLINOMIO es una expresin algebraica de la forma:

P(x) = a n x n + a n 1 x

n 1 + a n 2 x n 2 + .. . + a 1 x

1 + a 0

Siendo a n , a n 1 .. . a 1 , ao nmeros, llamados coeficientes .

n un nmero natural. x la variable o indeterminada. a o es el trmino independiente.

Grado de un polinomio: El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra

elevada la variable x.

Polinomio completo: Es aquel que tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayor grado.

Polinomio ordenado Un polinomio est ordenado si lo s monomios que lo forman estn escritos de mayor a menor grado.

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado . Los coeficientes de lo s trminos del mismo grado son iguales .

Valor numrico de un polinomio (Imagen) Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un nmero cualquiera.

Suma de polinomios: Para sumar dos polinomios se suman lo s coeficientes de lo s trminos del mismo grado. La DIFERENCIA consiste en sumar el opuesto del sustraendo .


57/138

Producto:

Producto de un nmero por un polinomio Es otro polinomio que tiene el mismo grado de l polinomio y como coeficientes el producto de lo s coeficientes del polinomio por el nmero .

Producto de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de lo s monomios que forman el polinomio .

a( b + c d) = ab + ac ad

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

2 Se suman lo s monomios de l mismo grado.

(x b)(a + b c) = ax + bx cx ab b2 + bc

Productos notables:

Binomio al cuadrado (a b) 2 = a2 2 a b + b2

Suma por diferencia (a + b) (a b) = a2 b2

Binomio al cubo (a b) 3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3

Prod. de 2 binomios con trmino comn ( + a) ( + b) = 2 + (a + b) + a b

Suma y diferencia de cubos (a 3 + b3) = ( a + b)(a2 ab + b2)

(a 3 b3) = ( a b)(a2 + ab + b2)

Factorizacin: Es la transformacin de una suma y/o diferencia en un producto (proceso inverso al producto de polinomios).

Factores son lo s componentes de un producto o multiplicacin.


58/138

Gua N

Gua 16 EXP. ALGEBRAICAS Y REDUCC. TRMINOS SEMEJANTES

Reducir los trminos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas: a. =++ cabcaaba 4253

b. =

+ abaaba 80

41

254 22

c. ( ) =+ abcbaac 3454 d. ( ) ( )[ ] =++++ 525754238 abcabcbccbaab e. ( ) ( ){ } =++ abcababacbccbaac 435667537 22

Factorice las siguientes expresiones algebraicas: a.

=+ acab

b. =+ zababf abc c. = 22 abba d. =+ caca 332 36 e. =+ 22323 15279 caabcca f. =+ z y y xy 342 1269 g. =+++ abbaba 22

MULTIPLICACION DE MONOMIOS, BINOMIOS Y POLINOMIOS

a. (2

x

+

1)(2

x

1)

b. ( x + 1)( x + 1) c. (5 x + 3)(4 x + 6) d. (4 x 2)(4 x 6) e. ( 2 x 3)(3 x + 6) f. (7 3 x)(4 x 9) g. (15a + 30)(15a 30) h. (a x+ b)(a x b) i. (2 x 2 3) (4 x 2 + 6 x + 9)

j. (

x

4)

(

x

+

4)

k. ( x + 3) ( x + 1) ( x 4) l. (2 x + 1) (3 x 2) (3 x) m. (2 x 2 + 3) (9 x 2 ) + (3 x3 2) (4 x) n. ( x3 2 x + 1) (2 x) + ( x 2 2) (3 x 2 2) o. (2 x3 x 2 ) (6 x 5) + (3 x 2 5 x) (6 x 2 2 x)

p. ( x 4 3 x 2 + 5) (2 x + 3) + ( x 2 + 3 x) (4 x 2 6 x)


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Gua N 17

ALGEBRA DE

POLINOMIOS

1. Desarrollar los productos algebraicos, y reducir trminos semejantes:

[ ]

{ } { }

[ ]

( )( )22432234432234

32222

322

22

2

2

222

b-a b+abba+ ba-)(a b+ab+ ba+ ba+a)m

b)+2(a-1)+ b+1)(a+ b+(a+ b)+ b)(a+(a- b)+ b)(a-a(a-3b)- b)(a+a(a)l

a41

b3 ba52

ab3ab83

)k

ba34

ab89

ba32

j)

4b)]-(a+2b)+4(a- b)[5b-(2a)i

6x)}]+3(3-{9x-x[7x-2 h)

3c)-3(2b-c)-2(3a-2b)-(7a g)

y)+2z(4x+8y-4xy2x-4z+4x)-3y+(6z4x-48y2y+44xf)

9b)-4(3a-7b)-2(14a -9-3b)+(10aa-8 e)

4y)+3x)(15x-(4y-2y)+8y)(5x-(9x-26xyd)

7b)-4a(a5b)-3(3a-8b)2(5a c)

)z2x3y5(3)z2y3x2(5) b

)yx4xy5x3(2xy6)a

+

+

++

++


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2. Desarrollar los siguientes productos notables:

a) ( )2432 57 xba + b) ( )( )2323 baba + c) ( )( ) z y x z y x +++ d) ( )32 2ba e) ( )( )86 33 + x x f) ( )( )66 3333 + y x y x g) ( )( )4575 11 ++ x x aa h)

+ 23462346 11

32

1132

abcbaabcba

i) ( )32 35 x

j)

+

++ 2712/12712/1

51

751

7 cbbacbba m xm x

k) ( )2312 32 + nmmn

l) 2

432

51

32

y xba

m) ( )( )22 mmnnmm +++ n) ( )232 cba + o) ( )( )cba z y xcba z y x 7363273632 55 +

3. Factorizar

a) 2298

43

xy y x

b) 24524332161

81

41

21

babababa ++

c) babaabba 33222516

158

512

354 + .

d) 18x 12 3xy + 2y + 15xz 10z

e) z x yz xy xz x 753

1433

10421

415 2 ++

f) bnbmamam5

1654

38

32 +

g) x2 + 14xy + 24y2

h) h2

27h + 50

i) 2x2 17xy + 15y2

j) 223649

259

ba

k) 45m3n 20mn

l) 16x6y8 8 x3y4z7 + z14

m) 3x2 75y2

n) 2a5 162 a3

o) 321 my ymy +

p) 25a2c2 + 20acd + 4d2

q) 16x6

y8

8 x3

y4

z7

+ z14

r) 222222 )(4 z y x y x +

s) x6 y6

t) 278

81 3 + x

u) 6413 x


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4. Simplificar las siguientes expresiones:

a) 168

162

2

++ x x

x

b)

)(

)(22

22

cba

cba

c) y x y x

33441824

d) 106

25309 2

+++ x x

e) 232

22

++

x x x x

f) 26

41

641

c

c

g) 11ab

ba

ab

h)

11

1

11

+1

+

a

a-

i)

yxy2x

xx+y

yxyx

x-yx+y

++

+

5. Calcular:

a)

149

3:

13

1

31

31

+

+

aa

a

a

aaa

b)

i)

x x

x x

x

x x

x x

x

1

111

2

1

111

2

2

2

2

+

++


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6. Si bc

acb x

2

222 += e22

22

)()(acb

cba y

+= , calcular:

xy y x

z +=

1

7. Si a, b, c son nmeros reales positivos, probar que:

a) ( ) ( ) 33323332333

4acb

cbacba =+

++

b) ( ) +=

+

+++

+122

22

22

2 2344

22.na

aaaa

aacaca

aa

8. Simplifique la expresin:

a) ( )

bcacc

cc

cac

bcbaca

cacaaa +

+

+

+++ 11

12

22

33

22

2

b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) y z z x

z z y y x

y z x y x

x

222

9. Sea 0a un nmero real, con 31 =

+

aa . Calcule: 3

3 1a

a +


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Gua N 18 Expresiones Algebraicas y Factorizacin


65/138

Respuestas:


66/138

Respuestas:


67/138

Gua N 19 Ejercicios de racionales algebraicos

I. Simplificar las fracciones algebraicas :

1.

2.

3.

4.

5.

II . Resolver simplificando al mximo :

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.


68/138

Resolver Simplificando al mximo:

Respuestas:


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Resolver las operaciones simplificando al mximo

ba

b3ba2

a3ba2 +

3a

4a2a2

)2a(31a2 2

22 yxy2x

y4x2yxyx3

yxx2

++

+

25a4a2

5a6a

6a7a

2 +

+

2xx

3x2

4x

4x

2x3x

x2222

+

+++

9x3

16x1

12x7x2

222

+

++

x6x2x24

12xx4x2

x12x34x

222

+

+

x9x3

x3x2

15x8x

x4

x15x3

x32

2

22 ++

+++

+


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Ecuaciones

Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa:

2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2. Cierta

2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2 Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras o variables.

2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Ecuacin

Una ecuacin es una igualdad que se cumple para algunos valores de las variables.

x + 1 = 2 x = 1

Los miembros de una ecuacin son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los trminos son los sumandos que forman los miembros.

Las incgnitas son las letras que aparecen en la ecuacin.

Las soluciones son los valores que deben tomar las variables (incgnitas) para que la igualdad sea cierta.

2x 3 = 3x + 2 x = 5 2 ( 5) 3 = 3 ( 5) + 2

10 3 = 15 + 2 13 = 13 El grado de una ecuacin es el mayor de los grados de los monomios que forman sus

miembros.

Ec. polinomiales segn su grado:

5x + 3 = 2x +1 Ecuacin de primer grado. 5x + 3 = 2x2 + x Ecuacin de segundo grado.

5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuacin de tercer grado. 5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuacin de cuarto grado.


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Ecuaciones no polinmicas:

Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incgnita aparece en el exponente.

Ecuaciones logartmicas

Son ecuaciones en la que la incgnita aparece afectada por un logaritmo.

Ecuaciones

trigonomtricas

Son las ecuaciones en las que la incgnita est afectada por una funcin trigonomtrica. Como stas son peridicas, habr por lo general infinitas soluciones.


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Problemas de ecuaciones de primer grado

Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un nmero: 2x El triple de un nmero: 3x El cudruplo de un nmero: 4x La mitad de un nmero: x/2. Un tercio de un nmero: x/3. Un cuarto de un nmero: x/4. Un nmero es prop. a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.. Un nmero al cuadrado: x2 Un nmero al cubo: x3 Dos nmeros consecutivos: x , x + 1. Dos nmeros consecutivos pares: 2x , 2x + 2.

Dos nmeros consecutivos impares: 2x + 1 , 2x + 3. Descomponer 24 en dos partes: x , 24 x. La suma de dos nmeros es 24: x , 24 x. La diferencia de dos nmeros es 24 : x , 24 + x. El producto de dos nmeros es 24: x , 24/x. El cociente de dos nmeros es 24; x , 24 x.


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Gua N 20 Ecuaciones de primer grado

Resolver:

1. -

2. -

3. -

4. -

5. -

6. -

7. -

8. -

9. -

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-


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Gua N 21 Problemas de ecuaciones de primer grado

1. Un padre tiene 35 aos y su hijo 5. Al cabo de cuntos aos ser la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

2. Si al doble de un nmero se le resta su mitad resulta 54. Cul es el nmero? 3. La base de un rectngulo es doble que su altura. Cules son sus dimensiones si

el permetro mide 30 cm? 4. En una reunin hay doble nmero de mujeres que de hombres y triple nmero

de nios que de hombres y mujeres juntos . Cuntos hombres, mujeres y nios hay si la reunin la componen 96 personas?

5. Se han consumido 7/8 de un bidn de aceite. Reponemos 38 l y el bidn ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidn.

6. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. Cuntos cerdos y pavos hay?

7. Lus hizo un viaje en el coche, en el cual consumi 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumi 2/3 de la gasolina que tena el depsito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: a) Litros de gasolina que tena en el depsito. b) Litros consumidos en cada etapa.

8. En una librera, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cmic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librera tena 12 . Cunto dinero tena Ana?

9. Las dos cifras de un nmero son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El nmero es igual a seis veces la suma de las cifras. Cul es el nmero?

10. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 aos a la edad de ste. Hace cuatro aos la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

11. Trabajando juntos , dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. Cunto tiempo tardarn en hacerlo por separado si uno es el doble de rpido que el otro?

12. Halla el valor de los tres ngulos de un tringulo sabiendo que B mide 40 ms que C y que A mide 40 ms que B.


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Gua N 22 Ecuaciones de Primer Grado

Resolver las ecuaciones:

1.x6

x73131

x49

x38

x27 =+

2.8

1x54

3x3

1x21

25x3 =++

3. 1)5x(8758

)4x(6851 =

4. 2113 7x2)6x(2 30x11x2

= +

5. 16x4

9x3x21x3 =

+

6.6x47x2

9x4

441

3x27x

2 +

=

+

7. 21x3x

3x1x =

+

8.

x8

11x

311

x1

31 x

1

3

1

+=

+

9. bax

x =

10. 2a

bxb

ax =+

11. 0c6

axc11b3

cxb5a2

bxa7 =

12. 22 xa)x2c(a

xaxc

xaxb

=

++


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Gua N 23 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

(Prof. Ral Adasme Gallegos)

I. Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones:

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

a) 5y + 6y 81 = 7y + 102 + 65y b) x [ 5 + 3x ( 5x (6 + x) ) ] = 3 c) 3x (x 3) + 5 (x + 7) x (x + 1) 2 (x2 + 7) + 4 = 0 d) 14 (5x 1) (2x + 3) = 17 (10x + 1) (x 6) e) 7 (x 4)2 3 (x + 5)2 = 4 (x + 1) (x 1) 2 f) (x + 2) (x + 3) (x 1) = (x + 4) (x + 4) (x 4) + 7

g) (2

222

x3

6x7x15

6x4x5

4x23

7x2 +=+

h) 4x2

31

2

2x23

2x2

1x1

=

i) 24x6

76x2

1

12x7x

1x32 +

++

=++

2. ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO:

a) m2

m1

xm = R:

3m 2

b) xa4

2 b

xa =+ R:

ba6

c) 1xn

mn

xm +=+ R: 1

d) x

2a321

a1a =+ R: m

e) ( )ab ba2

bx b

axa = R: 2a

f) a1

abxa2

a

a3x2

= R: 2

g) 2mn

nmn

nxm

mx 22 +=++ R: 2a


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h) b

ax2

a bx = R: n m

i) 23

3 ba2

x4 =+

R: a + b

j) ( )

ax4ax62

axx3a2

+

=++

R:

8 b3a6 +

k) ( )

( )) bx4cx2

bx4cx2

+=

R: 4a

l) x1

mn1

xm

n1 = R:

( )c2 b2 bc3+

m) ( )( )

( )( )2

x b2aaxax2 b2x =

++

R: mn

n) xmxn

nxmx

++=

+

R: ( )a b32

o) ( )( ) 22 b bxx2 b3x

bx b3x2x +=+

++ R: m2

nm 22 +

p) a12

b13a5ax

bx

31

ax

bx

43 ++

=

+ R:

5 b3

q) ( )

a3x9 b3ab3

ax3 bx

3ax 22

+

=+ R: b

r) ax3

bx5 bx3ax5

=

++

R: 2a

s) ( )

22ax

abx2a

ax

ax

ax

ax

+=+

+ R:

2

a b

t) 22 a16x

a112

a4xa3x2

=

+

R: 4a 1

u) a

ax

axa

xax

12

2 +=+

++

R: 2

a1

v) ( ) ( )

ab b2a6

ax b3

bxa2 22 =++ R: 2a + 3b

w) ( ) ( )( ) ( )nm3mn2n1

nxmnmxnm 222 =+ R: n 2m

x) ab2x b2aabx 222 =+


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Problemas caractersticos Problemas de grifos:

En una hora el primer grifo llena 1/ t 1 del depsito. En una hora el segundo grifo llena 1/ t 2 del depsito. Si existe un desage

En una hora el desage vacia 1/ t 3 del depsito. En una hora los dos grifos juntos habrn llenado: Sin desage

Con desage

Ejemplo:

Un grifo tarda en llenar un depsito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. Cunto tiempo tardarn en llenar los dos grifos juntos el depsito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depsito. En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depsito. En una hora los dos grifos juntos habrn llenado:

7x = 12 x = 12/7 horas Problemas de mezclas

C1 1 cantidad. C1 = x

C2 2 cantidad. C2 = Cm x

Cm Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2

P1 Precio de la 1 cantidad

P2 Precio de la 2 cantidad

Pm

Precio

de

la

mezcla

C1 P1 + C2 P2 = Cm Pm


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Tambin podemos poner los datos en una tabla

Cantidad Precio Coste

1 sustancia C1 P1 C1 P1

2 sustancia C2 P2 C2 P2

Mezcla C1 + C2 P C1 P1+ C2 P2

C1 P1 + C2 P2 = (C1 + C2) Pm Ejemplo:

Un comerciante tiene dos clases de caf, la primera a 40 el kg y la segunda a 60 el kg. Cuntos kilogramos hay que poner de cada clase de caf para obtener 60 kilos de mezcla a 50 el kg?

1 clase 2 clase Total

N de kg x 60 x 60

Valor 40 x 60 (60 x) 60 50

40x + 60 (60 x) = 60 50 40x + 3600 60x = 3000; 60x + 40x = 3000 3600; 20x = 600 x = 30; 60 30 = 30 Tenemos que mezclar 30 kg de la 1 clase y otros 30 de la 2 clase.

Problemas de aleaciones: La ley de la aleacin es la relacin entre el peso del metal fino, es decir, ms

valioso, y el peso total. Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo en

cuenta que la ley de la aleacin equivale al precio de la mezcla. C1 L1 + C2 L2 = (C1 + C2) La

Ejemplo: Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. Qu

peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

1 ley 2 ley Total

N de g x 1800 x 1800

Plata 0.750 x 0.950 (1800 x) 0.900 1800


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0.750 x + 0.950 (1 800 x) = 0.9 1800 0.750 x + 1 710 0.950x = 1 620 0.750x 0.950x = 1 620 1 710 0.2x = 90 x = 450

1 ley 450 g

2 ley 1350 g

Problemas geomtricos con ecuaciones de primer grado:

Halla el valor de los tres ngulos de un tringulo sabiendo que B mide 40 ms que C y que A mide 40 ms que B.

C x B x + 40 A x + 40 + 40 = x+ 80 x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 40 80;

3x

=

60;

x

=

20

C = 20 B = 20 + 40 = 60 A = 60 + 40 = 100

Problemas de mviles:

Para plantear problemas sobre mviles que llevan velocidad constante se utilizan las frmulas del movimiento rectilneo uniforme:

distancia = velocidad tiempo

Caso 1

Los mviles van en sentido contrario.

eAC + e CB = e AB Ejemplo:

Dos ciudades A y B distan 300 km entre s . A las 9 de la maana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

1) El tiempo que tardarn en encontrarse. 90t + 60 t = 300 150t = 300 t = 2 horas

2) La hora del encuentro. Se encontraran a las 11 de la maana .

3) La distancia recorrida por cada uno. e AB = 90 2 = 180 km e BC = 60 2 = 120 km


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Caso 2

Los mviles van en el mismo sentido.

eAC e BC = e AB Ejemplo:

Dos ciudades A y B distan 180 km entre s . A las 9 de la maana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1) El tiempo que tardarn en encontrarse. 90t 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas

2) La hora del encuentro.

Se encontraran a las 3 de la tarde.

3) La distancia recorrida por cada uno. e AB = 90 6 = 540 km e BC = 60 6 = 360 km

Caso 3:

Los mviles parten del mismo punto y con el mismo sentido. e 1 = e 2

Ejemplo:

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas ms tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecucin del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:

1) El tiempo que tardar en alcanzarlo.

90t = 120 (t 3) 90t = 120t 360 30 t = 360 t = 12 horas

2) La distancia a la que se produce el encuentro.

e 1 = 90 12 = 1080 km


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Gua N 24 PROBLEMAS DE PLANTEO

EC. DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

1) Un nmero multiplicado por 5 sumado con el mismo nmero multiplicado por 6 da 55. Cul es el nmero?

2) Qu nmero se debe restar de p+2 para obtener 5?

3) El doble de un nmero aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. Cul es el nmero?

4) Tres nmeros impares consecutivos suman 81. Cules son los nmeros?

5) El doble de un nmero ms el triple de su sucesor, ms el doble del sucesor de ste es 147. Hallar el nmero.

6) La diferencia entre los cuadrados de dos nmeros consecutivos es 103. Cules son los nmeros?

7) En el tringulo ABC, los lados BC3 AB = y AC21

BC = . Si su permetro es 84 m. Cunto mide

cada lado?

8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su permetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.

9) Las dimensiones de un rectngulo estn en la razn 3 : 5 y su permetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.

10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su permetro se triplica. Cunto mide el lado?

11) Un padre tiene 20 aos ms que su hijo. Dentro de 12 aos, el padre tendr el doble de la edad del hijo. Cuntos aos tiene cada uno actualmente?

12) Las edades de un matrimonio suman 62 aos. Si se casaron hace 10 aos y la edad de la novia era

43 de la edad de la novia. Qu edad tienen actualmente?

13) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 aos y a la de su amigo Juan en 2 aos. Hace 6 aos la razn entre sus edades era 2:3:4. Qu edad tienen actualmente?

14) La edad de Mara es el triple de la de Ester y excede en 5 aos a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 aos. Hallar la edad de cada una.


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15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de s

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