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COLEGIO SANTO ÁNGEL DE LA GUARDA
C/ Julián Cañedo, 9; 33008 - Oviedo
Tlf: 985221728; Fax: 985221728
MATEMÁTICAS
1º ESO
SEGUNDO TRIMESTRE
4. ECUACIONES
A. Ecuaciones del tipo x+a=b
B. Ecuaciones del tipo ax+b=c
C. Ecuaciones con denominadores
D. Ecuaciones con paréntesis
E. Ecuaciones de otros tipos
5. PROPORCIONALIDAD
A. Proporcionalidad directa.
B. Proporcionalidad indirecta.
C. Porcentajes
6. FUNCIONES
A. Representación de puntos
B. Obtención del valor de una función dado un punto
C. Obtención de puntos de una función
D. Representación de funciones
Recopilación de ejercicios propuestos y resueltos
pertenecientes a los contenidos trabajados
durante la segunda evaluación de
Primer Curso de Matemáticas de 1º de ESO:
Ecuaciones, Proporcionalidad y Funciones.
ECUACIONES DE GRADO UNO
Ejercicios propuestos A. Ecuaciones del tipo x+a=b
4) x+2=4 5) x – 4 = 12
B. Ecuaciones del tipo ax+b=c
6) 30x = 60 11) 9x – 2 = 4 – 2
7) 3x = – 4 12) 16x + 3 – 4 – 2 = – 4 – 2
8) –2x = –14 13) 12x – 2 – 4 = –3 – 4 – 4
9) 2x + 2 = 12 14) 4x – x + x = 3 + 10
10) 9x – 4 = 14
C. Ecuaciones con denominadores
18) 5x 1 3
5= - 15) x 2 13 7 3+ =
6 7 3-
19) 11x 14 1 14 8
= + 16) x 1
23 4- = 1
2 6- + -
20) 3x 1
x 2 2x+ 17) 3x 3 12 4 2
2 4+ - =+ =
D. Ecuaciones con paréntesis
21) x 3=- 4(3 )- -
22) 1 x- + 4(3 x) ( 3 5x)- - - - - =
23) 3x 1)- - - 4(3 x) ( 3 5x) 2(x- - - = -
24) x 1 x
2 8- =
25) x 1 x 1 3
2
3 6+ ++ =
Ecuaciones. Grado 1
5
26) 3(x 4) 5(2x 1) 2x
2 3- ++ =
4
27) 3(2x 4 x) 5(2x 1) 2(x 3)
2 3 4- + - -- =
E. Ecuaciones de otros tipos
28) 1
2x=
29) 3 52 7x=
30) 5 1
1
31) 5 1
3 22 3x
- + =
32) 2x 3
5=
1 x-
33)
12x
- = 2 7x= -
1 1
Soluciones
a) Ecuaciones del tipo x+a=b
1) x+2=4
Solución:
x = 4 – 2 x = 2
2) x – 4 = 12
Solución:
x = 12 + 4 x = 16
b) Ecuaciones del tipo ax+b=c
3) 30x = 60
Solución:
60x 2
30= =
4) 3x = – 4
Solución:
4x
3=-
5) –2x = –14
Solución:
14 14x 7
2 2-= = =-
2x 12 2= -
6) 2x + 2 = 12
Solución:
10
2x 10 x 52
= = =
Ecuaciones. Grado 1
6
7) 9x – 4 = 14
Solución:
9x 14 4= + 18
9x 18 x 29
= = =
9x 4 2 2= - +
8) 9x – 2 = 4 – 2
Solución:
4
9x 4 x9
= =
16x 4 2 4 2 3=- - + + -
9) 16x + 3 – 4 – 2 = – 4 – 2
Solución:
316x 3 x
16 =- =-
12x 3 4 4 2 4=- - - + + 12x 3 4 4 2 4=- - - + +
10) 12x – 2 – 4 = –3 – 4 – 4
Solución:
512x 5 x
12 =- =-
11) 4x – x + x = 3 + 10
Solución:
134x 13 x
4= =
c) Ecuaciones con denominadores
12) x 2 13 7 3+ =
Solución:
m.c.m(3,7) 21= . Entonces:
x 7 2 3 1 7 7x 6 721 21 21 21 21 21⋅ ⋅ ⋅+ = + = 1
7x 6 7 7x 1 x7
+ = = =
13) x 1
23 4- =
Solución:
m.c.m(4, 3) 12= . Entonces:
x 4 1 3 2 12 4x 3 2412 12 12 12 12 12⋅ ⋅ ⋅+ = + = 21
4x 3 24 4x 21 x4
+ = = =
Ecuaciones. Grado 1
7
14) 3x 3 12 4 2
+ =
Solución:
m.c.m(2, 4) 4= . Entonces:
3x 2 3 1 1 2 6x 3 2 16x 3 2 6x 1 x
4 4 4 4 4 4 6⋅ ⋅ ⋅+ = + = + = =- =-
15) 5x 3
5 1
6 7 3- = -
Solución:
m.c.m(3,6,7) 42= . Entonces:
5x 7 1 6 3 12 5 4242 42 42 42⋅ ⋅ ⋅ ⋅- = - 35x 6 36 210
42 42 42 42 + = -
35x 6 36 210 + = - 36x 36 210 6 36x 180= - - = 180x 5
36 = =
16) 11x 14 1 14 8
- + = + 12 6
-
Solución:
m.c.m(2, 4,6,8) 24= . Entonces:
11x 12 14 4 1 24 1 6 1 3 132x 56 26 6 3
24 24 24 24 24 24 24 24 24 24⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅- + - = + - + - = -
27 9132x 56 26 6 3 132x 27 x
132 44- + - = - =- =- =-
17) 3x
x+ 1
x 2 22 4+ - =
Solución:
m.c.m(2, 4) 4= . Entonces:
3x 2 x 4 2 4 1 1 2x 4 6x 4x 8 1 8x4 4 4 4 4 4 4 4 4 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ - = + + - = +
96x 4x 8 1 8x 6x 4x 8x 1 8 2x 9 x
2 + - = + + - = + = =
Ecuaciones. Grado 1
8
d) Ecuaciones con paréntesis
18) 4(3 x) 3- - =-
Solución:
20)
Solución:
4(3 x) ( 3 5x) 2(x 3x 1)- - - - - = - -
4 3 4 x 312 4x 3
4x 3 129
4x 9 x4
- ⋅ + ⋅ =- - + =- =- +
= =
12 4x 3 5x 1 x4x 5x x 1 3 12
- + + + =- + + - =- - +
8x 8 x 1 = =
12 4x 3 5x 2x 6x 24x 5x 2x 6x 2 12 3
713x 7 x
13
- + + + = - - + - + =- + -
= =
19)
Solución:
4(3 x) ( 3 5x) 1 x- - - - - =- +
21) x 1 x
2 8- =
Solución:
m.c.m(2,8) 8=
( )
. Entonces:
( )x 1 4 x 1x 1 4 x 4x 4 x 4x x 4
8 8- ⋅ ⋅= - ⋅ = - = + =
45x 4 x
5 = =
22) x 1 x 1 3
3 6 2
+ ++ =
Solución:
m.c.m(2,3,6) 6=
( )
. Entonces:
( ) ( ) ( )x 1 2 x 1 1 3 3x 1 2 x 1 1 9
6 6 6+ ⋅ + ⋅ ⋅+ = + ⋅ + + ⋅ =
2x 2 x 1 9 2x x 9 2 1 + + + = + = - -
63x 6 x 2
3= = =
23) 3( 1) 2x
x 4) 5(2x2 3 4- ++ =
Solución:
Ecuaciones. Grado 1
9
m.c.m(2,3, 4) 12= . Entonces:
3(x 4) 6 5(2x 1) 4 2x 318(x 4) 20(2x 1) 6x
12 12 12- ⋅ + ⋅ ⋅+ = - + + =
18x 72 40x 20 6x 18x 40x 6x 72 20 - + + = + - = -
5252x 52 x 1
52 = = =
24) 3(2x 4 x) 5(2x 1) 2(x 3)
2 3- + - -- =
4
Solución:
m.c.m(2,3, 4) 12= . Entonces:
3(2x 4 x) 6 5(2x 1) 4 2(x 3) 312 12 12- + ⋅ - ⋅ - ⋅- =
18(3x 4) 20(2x 1) 6(x 3) - - - = -
54x 72 40x 20 6x 18 - - + = -
34 1754x 40x 6x 18 72 20 8x 34 x
8 4 - - =- + - = = =
e) Ecuaciones de otros tipos
25) 1
2x=
Solución:
1 2 1 1 2 x 11 2x x
x 1 x x 2⋅ ⋅= = = =
26) 3 52 7x=
Solución:
3 7x 5 2 1021x 10 x
14x 14x 21⋅ ⋅= = =
Ecuaciones. Grado 1
10
27) 5 1
12 7x= -
Solución:
5 7x 1 2 1 14x21x 2 14x 21x 14x 2
14x 14x 14x⋅ ⋅ ⋅= - = - + = 35x 2=
2x
35 =
28) 5 1
3 22 3x+ = -
Solución:
5 3x 3 6x 1 2 2 6x15x 18x 2 12x
6x 6x 6x 6x⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ = - + = -
215x 18x 12x 2 45x 2 x
45 + + = = =
29) 2x 3
1 x 5=
-
Solución:
3 (1 x)2x 5 310x 3 3x 10x 3x 3 13x 3 x
(1 x) 5 (1 x) 5 13⋅ -⋅ = = - + = = =
- ⋅ - ⋅
30)
121 1x
- =
Solución:
1 111 1 1 x 1 x 1 1 12 2 x x x x 2x
1 x 1 x x x 2 2 2
⋅⋅ ⋅- =- - =- - =- + = =
1 1x x
2 2 4 = =
⋅
Ecuaciones. Grado 1
11
PROPORCIONALIDAD
Ejercicios propuestos a) Proporcionalidad directa 1) Quince libros cuestan 300 €.
¿Cuánto costarán 7 libros? 2) Un árbol de 5 m da una sombra
de 7 m. ¿Qué sombra da un edificio de 15 m?
3) Un alumno tarda en escribir 12
palabras en 30 s. ¿Cuánto tiempo tardará en escribir,
como mínimo, una redacción de 150 palabras?
4) Un trabajador gana 120 € en
dos días. ¿Cuánto ganará en un mes?
5) Tres cucharadas suponen 60 ml
de sopa. ¿Cuánto supondrán 40 cucharadas?
b) Proporcionalidad indirecta 6) Un coche tarda 15 minutos en
hacer cierto recorrido cuando va a 120 km/h. ¿Cuánto tardará si va a 50 km/h
8) 60 obreros hacen un puente en 10 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para hacer ese puente en 3 días?
7) Cinco asnos comen cierta
cantidad de heno en 10 días. ¿Cuántos días tardarán en comer esa misma cantidad de heno 25 asnos?
9) Las ruedas delanteras y traseras de un tractor tienen 0,5 y 1,2 metros, respectivamente. Cuando las ruedas delanteras dan 100 vueltas, ¿cuántas vueltas han dado las delanteras?
c) Porcentajes 10) ¿Cuál es el 30 % de 500?
¿Cuál es el 90 % de 3500?
13) En una sala hay 80 personas, siendo chicas el 60 % de sus integrantes. ¿Cuántas chicas hay en la sala? ¿Y chicos? 11) Si en una clase de 27 alumnos
hay 21 con los ojos marrones, ¿cuál es el porcentaje de éstos?
14) Cierto concesionario de coches hace un descuento del 17 % al que se compre uno antes de que acabe el mes. Si estamos interesados en un coche de 20000 €, ¿por cuánto nos saldrá si nos beneficiamos de esa oferta?
12) Un arriesgado inversor de bolsa ha perdido en un día 500 € de los 20000 € que invirtió. ¿Cuál ha sido el porcentaje de las pérdidas?
Proporcionalidad
12
Soluciones
a) Proporcionalidad directa
1) Quince libros cuestan 300 €. ¿Cuánto costarán 7 libros?
1. Tabla de datos
libros €
15 300
7 x
2. Tabla de proporcionalidad
libros €
+ +
- -
P. Directa
üïïïïïïïïïï
3. Ecuación
2) Un árbol de 5 m da una sombra de 7 m. ¿Qué sombra da un edificio de 15 m?
1. Tabla de datos
altura (m) sombra (m)
5 7
15 x
2. Tabla de proporcionalidad
altura sombra
+ +
- -
P. Directa
üïïïïïïïïïï
3) Un alumno tarda en escribir 12 palabras en 30 s. ¿Cuánto tiempo tardará en escribir, como mínimo, una redacción de 150 palabras?
1. Tabla de datos
palabras s
12 30
150 x
2. Tabla de proporcionalidad
palabras s
+ +
- -
P. Directa
üïïïïïïïïïï
3. Ecuación
5 7 1055 x 15 7 x 21 m
15 x 5= ⋅ = ⋅ = =
3. Ecuación
12 30 450012 x 150 30 x 375 s 6 15
150 x 12¢ ¢¢= ⋅ = ⋅ = = =
15 300 210015 x 300 7 x 140 €
7 x 15= ⋅ = ⋅ = =
Proporcionalidad
13
4) Un trabajador gana 120 € en dos días. ¿Cuánto ganará en un mes?
1. Tabla de datos
días €
2 120
30 x
2. Tabla de proporcionalidad
días €
+ +
- -
P. Directa
üïïïïïïïïïï
3. Ecuación
2 120 36002 x 30 120 x 1800 €
30 x 2= ⋅ = ⋅ = =
5) Tres cucharadas suponen 60 ml de sopa. ¿Cuánto supondrán 40 cucharadas?
1. Tabla de datos
cucharadas ml
3 60
40 x
2. Tabla de proporcionalidad
cucharadas ml
+ +
- -
P. Directa
üïïïïïïïïïï
3. Ecuación
b) Proporcionalidad inversa
6) Un coche tarda 15 minutos en hacer cierto recorrido cuando va a 120 km/h. ¿Cuánto tardará si va a 50 km/h
1. Tabla de datos
minutos km/h
15 120
x 50
2. Tabla de proporcionalidad
minutos km/h
+ -
- +
P. Indirecta
üïïïïïïïïïï
3 60 24003 x 60 40 x 800 ml 0,8 l
40 x 3= ⋅ = ⋅ = = =
3. Ecuación
x 120 180050 x 120 15 x 36 minutos
15 50 50= ⋅ = ⋅ = =
Proporcionalidad
14
7) Cinco asnos comen cierta cantidad de heno en 10 días. ¿Cuántos días tardarán en comer esa misma cantidad de heno 25 asnos?
1. Tabla de datos
asnos días
5 10
25 x
2. Tabla de proporcionalidad
asnos días
+ -
- +
P. Indirecta
üïïïïïïïïïï
3. Ecuación
8) 60 obreros hacen un puente en 10 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para hacer ese puente en 3 días? 1. Tabla de datos
obreros días
60 10
x 3
2. Tabla de proporcionalidad
obreros días
+ -
- +
P. Indirecta
üïïïïïïïïïï
9) Las ruedas delanteras y traseras de un tractor tienen 0,5 y 1,2 metros, respectivamente. Cuando las ruedas delanteras dan 100 vueltas, ¿cuántas vueltas han dado las delanteras?
1. Tabla de datos
diámetro vueltas
0,5 m x
1,2 m 100
2. Tabla de proporcionalidad
diámetro vueltas
+ -
- +
P. Indirecta
üïïïïïïïïïï
25 10 5025 x 10 5 x 2 días
5 x 25= ⋅ = ⋅ = =
3. Ecuación
x 10 6003 x 10 60 x 200 obreros
60 3 3= ⋅ = ⋅ = =
3. Ecuación
1,2 x 1201,2 100 0,5 x x 240 vueltas
0,5 100 0,5= ⋅ = ⋅ = =
Proporcionalidad
15
c) Porcentajes
10) ¿Cuál es el 30 % de 500? ¿Cuál es el 90 % de 3500?
Solución:
30
30% de 500: 500 150100
⋅ =
11) Si en una clase de 27 alumnos hay 21 con los ojos marrones, ¿cuál es el porcentaje de éstos?
Solución:
90
90% de 3500: 3500 3150100
⋅ =
12) Un arriesgado inversor de bolsa ha perdido en un día 500 € de los 20000 € que invirtió. ¿Cuál ha sido el porcentaje de las pérdidas?
Solución:
500
100 2,5 %20000
⋅ =
13) En una sala hay 80 personas, siendo chicas el 60 % de sus integrantes. ¿Cuántas chicas hay en la sala? ¿Y chicos?
Solución:
Calculamos el 60% de 80 personas para saber el nº de chicas. El resto es obvio
60
60% de 80: 80 48 chicas100
⋅ =
- =
80 personas 48 chicas 32 chicos.
14) Cierto concesionario de coches hace un descuento del 17 % al que se compre uno antes de que acabe el mes. Si estamos interesados en un coche de 20000 €, ¿por cuánto nos saldrá si nos beneficiamos de esa oferta?
Solución:
Primero calculamos el 17% de 20000 € y luego restamos esa cantidad a 20000, que será lo que pagaremos finalmente por el coche
17
20000 € 3400 € de descuento100
⋅ =
- =
.
20000 € 3400 € 16600 €.
Proporcionalidad
16
FUNCIONES Ejercicios propuestos
1) Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos: A(1,4); B(-1,3); C(0,2); D(4,-3); E(3,0)
2) Indica las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el siguiente sistema cartesiano.
3) Halla el valor de f x 2 x 7 para los siguientes valores de x:
a) x b) c) x4 x 0 4 d) 3
x8
4) Halla el valor de 2x x 1
f x2 x
para los siguientes valores de x:
a) x b) c) x4 x 0 4 d) 3
x8
5) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función 23f x x 4x 1
2
6) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función 2
3
10 2x 3xf x
x
7) Representa la siguiente función:
f x 2x 1
8) Representa la siguiente función: f x 2x 1
1 2 3 4
4
3
2
1
4
3
2
1
1 2 3 4 x
f x
0
Funciones
17
9) Representa la siguiente función: f x x 3
10) Representa la siguiente función:
f x 3x Soluciones
1) Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos:
A(1,4); B(-1,3); C(0,2); D(4,-3); E(3,0); F(-3,-1); G(-4,4); H(-1,-3); I(0,-2); J(0,0); K(2,3); L(-3,1); M(2,-3)
Solución:
f x
2) Indica las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el siguiente sistema cartesiano.
1 2 3 4
4
3
2
1
4
3
2
1
1 2 34 x
0
A
B
C
D
E
G
F
H
I
L
M
1 2 3 4
4
3
2
1
4
3
2
1
1 2 3 4
M
L
K
J
I
H
G
F
E
D
C
A
B
0
f x
A(1,0); B(2,1); C(4,2); D(3,-1);
Solución:
E(-4,-4);F(0,-2); G(-1,-4); H(-1,-1); I(-3,-2); J(-4,0);K(-3,3); L(-1,2); M(0,3)
x
Funciones
18
3. Halla el valor de f x 2 x 7 para los siguientes valores de x:
a) x b) c) x4 x 0 4 d) 3
x8
Solución:
a) Si x 4 , entonces: f 4 2 4 7 1
b) Si x 0 , entonces: f 0 2 0 7 7
c) Si x 4 , entonces: f 4 2 4 7 15
d) Si 3
x8
, entonces: 3 3 28 8 4
5f 2 7
4) Halla el valor de 2x x 12 x
f x
para los siguientes valores de x:
3 a) x ; b) ; c) x3 x 0 ; d) 1
x2
Solución:
d) Si 1
xa) Si x 3 , entonces:
23 3 1
f 3 72 3
2 , entonces:
21 11
2 2f 3 12
2
b) Si x 0 , entonces:
20 0 1 1
f 02 0 2
1 1
14 2 03
2
c) Si x 3 , entonces:
23 3 1f 3
2 3
9 3 1 13
2 3 5
Funciones
19
5) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función 23f x x 4x 1
2
Solución:
Elegimos 5 valores de x y los llevamos a la función. Cada par (x,y) será un punto de la función.
x f x Puntos
2 232 4 2 1
2
1 A 2, 1
1 232 4 2 1
2
1 B 1, 1
0 230 4 0 1
2
0 C 1, 1
-1 23 13
1 4 1 12 2
13D 1,
2
-2 232 4 2 1 1
2
5 E 2,15
6) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función 2
3
10 2x 3xf x
x
Solución:
Elegimos 5 valores de x y los llevamos a la función. Cada par (x,y) será un punto de la función.
x f x Puntos
2 2
3
10 2 2 3 2 32 4
3A 2,
4
1 2
3
10 2 1 3 15
1
B 1, 5
0 2
3
10 2 1 3 1No existe
0
No existe
-1
2
3
10 2 1 3 19
1
D 1, 9
-2
2
3
10 2 2 3 2 142
1E 2,
4
Funciones
20
7) Representa la función f x 2x 1 .
Solución:
x f x Puntos
1 f 1 2 1 1 3 A 1,3
-1 f 1 2 1 1 1 B 1, 1
f x
4 3
4
1 2 3 4 x
4
3
2
1
3
2
1
1 2 0
Llevamos estos dos puntos al plano cartesiano
8) Representa la función f x 2x 1
Solución:
x f x Puntos
1 f 1 2 1 1 1 A 1, 1
-1 f 1 2 1 1 3 B 1,3
f x
4 3
3
4
1 2 3 4 x
4
3
2
1
2
1
1 2 0
Llevamos estos dos puntos al plano cartesiano
Funciones
21
9) Representa la función f x x 3 .
Solución:
x f x Puntos
3 f 3 3 3 0 A 3,0
0 f 0 0 3 3 B 0, 3
1 2 3 4
4
3
2
1
4
3
2
1
1 2 34 x
f x
0
Llevamos estos dos puntos al plano cartesiano:
10) Representa la función f x 3x .
Solución:
x f x Puntos
1 f 1 3 1 3 A 1, 3
-1 f 1 3 1 3 B 1,3
1 2 3 4
4
3
2
1
4
3
2
1
1 2 34 x
f x
0
Llevamos estos dos puntos al plano cartesiano:
Funciones
22
