MATEMÁTICA • B

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Guía de estudio Educación Adultos 2000

*Material de distribución gratuita

MATEMÁTICAB

Terminá la secundaria

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MATEMÁTICA • B

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Ministra de Educación e Innovación

Soledad Acuña

Subsecretaria de Coordinación Pedagógica y Equidad Educativa

Andrea Fernanda Bruzos Bouchet

Subsecretario de Carrera Docente y Formación Técnica Profesional

Jorge Javier Tarulla

Subsecretario de Gestión Económico Financiera y Administración de Recursos

Sebastián Tomaghelli

Subsecretario de Planeamiento e Innovación Educativa

Diego Meiriño

Directora General de Educación de Gestión Estatal

Carola Martínez

Directora de Educación del Adulto y el Adolescente

Sandra Jaquelina Cichero

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Primera impresión septiembre - 2018

MATEMÁTICA • B

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Guía de Estudios

Equipo Docente:

Prof. Claudio Mayayo

Prof. Gabriela Otero

Prof. Cristina Ben

Prof. Rubén Gallego

Prof. Blanca Gallardo

Prof. Andrés Crivaro

Prof. Matías Bruzzoni

Prof. Claudia Mazzeo

Prof. Luis Calvi

Adultos 2000

Matemática B

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MATEMÁTICA • B

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Índice

Presentación de la materia 8Programa 10

Unidad 1 11Funciones lineales 11Ecuación de una recta. Función lineal 14Actividades de autoevaluación 20

Unidad 2 22Sistemas de ecuaciones lineales 22Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 24Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 26Actividades de autoevaluación 28

Unidad 3 30Funciones de proporcionalidad directa. Funciones de proporcionalidad inversa 30Proporcionalidad directa. Funciones de proporcionalidad directa 32Proporcionalidad inversa. Funciones de proporcionalidad inversa 38Actividades de autoevaluación 43

Unidad 4 45Funciones Cuadráticas. Funciones exponenciales 45Fórmula cuadrática 46Función cuadrática. Parábola 47Fórmulas para determinar el eje de simetría y los ceros de una función cuadrática 50Fórmula de la función exponencial 57Logaritmo 60

Propiedades del logaritmo 61Cálculo de logaritmos con la calculadora 61

Actividades de autoevaluación 63

Unidad 5 65Estadística 65Población. Muestra. Distribución de frecuencias. Frecuencia absoluta. Frecuencia relativa 70Frecuencia acumulada 72Medidas de centralización: Media, Mediana y Moda 73Tipos de variables 75Actividades de autoevaluación 77

Respuestas a actividades de autoevaluación 81

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Presentación de la materiaUsted ya ha estudiado esta materia en otras oportunidades y sus experiencias al respecto

pueden haber sido muy variadas.

Quienes diseñamos la propuesta de enseñanza de Matemática en Educación Adultos 2000 partimos de algunas ideas generales sobre cómo estudiar esta materia que queremos compartir:

Usted utiliza en su vida diaria una gran cantidad de nociones matemáticas; las usa de manera tal que le permiten resolver diferentes situaciones relativas a su vida cotidiana. Nosotros consideramos que, partiendo de su «experiencia matemática», es posible avanzar hacia la interpretación de los conceptos matemáticos y es por eso que le proponemos no dejarla de lado al momento de ponerse a estudiar la materia.

Por otro lado, cada nuevo concepto matemático que se aprende se apoya en otros ya adquiridos como si se tratara de hileras de ladrillos que se asientan unas en otras para que la pared que se construye sea sólida. Cada adquisición pasa por una serie de etapas que van desde lo más concreto y ligado a nuestra experiencia cotidiana, hacia niveles de complejidad y abstracción cada vez mayores. Nosotros le proponemos acompañarlo en su tránsito por esas etapas de modo que pueda ir aprendiendo satisfactoriamente los temas de la materia.

En síntesis, le proponemos aprender Matemática de una manera semejante a la que el hombre ha seguido en la creación de las ideas matemáticas: descubriendo los conceptos a partir de problemas que debió resolver en su vida cotidiana (o a través de problemas de otras ciencias que requieren de conceptos matemáticos para ser resueltos) y avanzando luego hacia la resolución de problemas más complejos. Dado que la Matemática se expresa a través de un sistema de símbolos y representaciones que le es propio, también nos proponemos que usted pueda comprender el lenguaje con el que se expresa, desde su significado matemático y desde su relación con situaciones concretas.

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La Guía de estudio constituye la herramienta fundamental para el aprendizaje de los contenidos de la materia. Por lo tanto, un uso adecuado de la misma favorecerá su proceso de aprendizaje. Para ello tenga en cuenta las siguientes recomendaciones:

Respete el orden de presentación de los temas y las actividades.

Resuelva cada una de las actividades a medida que se van presentando. Anímese a dar respuesta aunque no esté seguro si la misma es correcta o no. El error es un elemento más de aprendizaje que le permitirá avanzar hacia la construcción de los conceptos con los que esté trabajando.

No se anticipe leyendo las Orientaciones. Estas solo tendrán sentido para usted si previamente realizó la actividad propuesta.

Consulte todas las dudas que le vayan surgiendo. Puede hacerlo a través de cualquiera de los medios que le ofrecemos. Tenga en cuenta que, si usted puede asistir a una consultoría presencial, tendrá también la oportunidad de intercambiar y compartir el trabajo con otros alumnos. En la Hoja de recursos de la materia encontrará información sobre las formas de contactarse con un consultor.

Utilice un cuaderno o carpeta para resolver por escrito las actividades propuestas en la Guía, escribir sus dudas y realizar anotaciones vinculadas con el trabajo que está realizando. Tenga en cuenta que las actividades propuestas deben ser resueltas por usted mismo y que este trabajo será el que le irá indicando qué ha comprendido y cuáles son sus dificultades. Tener registro de esto facilitará su tarea y le resultará un material fundamental para hacer sus consultas.

Vaya registrando, de algún modo que a usted le resulte útil, toda la simbología matemática que la Guía vaya presentando, de modo que pueda tenerla «a mano» cuando la necesite.

Respete su propio ritmo de trabajo. No hay un tiempo ni un ritmo que sea más apropiado que otro. Cada persona tiene el ritmo que necesita de acuerdo con sus tiempos y circunstancias y no lo ayudará alterarlo.

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Programa

Unidad 1:Funciones lineales. Variación constante de una función lineal. Identificación de puntos que pertenecen al gráfico de una función. Problemas que se modelizan con funciones lineales con una variable. Ecuación de la recta.

Unidad 2:Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Representación gráfica de sistemas de ecuaciones. Sistemas compatibles determinados. Sistemas compatibles indeterminados. Sistemas incompatibles.

Unidad 3:Función de proporcionalidad directa. Constante de proporcionalidad directa. Función de proporcionalidad inversa. Constante de proporcionalidad inversa. Representación gráfica de funciones de proporcionalidad directa e inversa.

Unidad 4:Funciones no lineales. Función cuadrática. Función exponencial. Función logarítmica. Ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logarítmicas.

Unidad 5:Mociones de estadística. Interpretación de información organizada en tablas, gráficos, cuadros, diagramas. Población. Muestra. Organización de la información. Tabla de frecuencias y porcentajes. Medidas de tendencia central: media, moda y mediana. Medidas de dispersión. Tipos de variables.

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Unidad 1Funciones lineales

Actividad 1Las siguientes representaciones gráficas corresponden a funciones que expresan la cantidad de hectolitros de agua que tuvieron nueve piletas, instante a instante, durante un período de cinco horas de observación. Todas las funciones graficadas tienen como dominio al intervalo [0 ; 5] de tal manera que para todo instante t entre 0 y 5 existe y es única su imagen. En la pileta 1, todo instante t entre 0 y 5 tiene su imagen f (t) y cada punto es la representación gráfica del par ordenado (t ; f (t)). Por ejemplo, el punto (3; 6) es la expresión gráfica del par ordenado (3; f (3)) e indica que a la hora 3 en la pileta 1 había 6 mil hectolitros de agua.

(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=f(t)

t (horas)

Pileta nº 1f: [0; 5] R/y = f(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=g(t)

t (horas)

Pileta nº 2g: [0; 5] R/y = g(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=h(t)

t (horas)

Pileta nº 3h: [0; 5] R/y = h(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=j(t)

t (horas)

Pileta nº 4j: [0; 5] R/y = j(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=k(t)

t (horas)

Pileta nº 5k: [0; 5] R/y = k(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=m(t)

t (horas)

Pileta nº 6m: [0; 5] R/y = m(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

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(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=n(t)

t (horas)

Pileta nº 7n: [0; 5] R/y = n(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

(EN

MIL

ES

DE

HL

)

y=p(t)

t (horas)

Pileta nº 8p: [0; 5] R/y = p(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

(EN

MIL

ES

DE

HL)

y=q(t)

t (horas)

Pileta nº 9q: [0; 5] R/y = q(t)

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

02 3 4 5 6

Le pedimos que observe las dos primeras representaciones gráficas y que a partir de ellas responda:

1. Las piletas que representan estos gráficos, ¿se estuvieron llenando o vaciando?

2. ¿Qué cantidad de hectolitros tenía cada una de ellas al inicio de la observación?

3. ¿Qué cantidad de hectolitros tuvo cada una de ellas al finalizar la primera hora de trabajo? ¿Y al finalizar la segunda hora? ¿Y al finalizar la tercera hora?

4. Complete la siguiente tabla:

Tiempo t, en horas 0 1 2 3 4 5

Cantidad y de hectolitros de agua en la pileta n.° 1Cantidad y de hectolitros de agua en la pileta n.° 2

5. A partir de la tabla anterior indique: ¿qué cantidad de hectolitros ingresó en cada una de las piletas durante la primera hora de trabajo? ¿Y durante la segunda hora? ¿Y durante la tercera hora?

6. ¿Qué diferencia observa en la forma en que se llenó o vació la pileta n.° 1 respecto de la forma en que se llenó o vació la pileta n.° 2? Describa esa diferencia con sus palabras.

OrientacionesEn la primera pileta ingresó la misma cantidad de hectolitros por hora, es decir, el contenido de la pileta aumentó un valor constante por unidad de tiempo o aumentó a una velocidad constante de 2hl/h (dos hectolitros por hora).

Actividad 21. Considere los gráficos de la actividad 1 correspondientes a las piletas que se estuvieron llenando durante todo el período de observación y responda:

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a) ¿Cuáles de los gráficos muestran que el contenido de la pileta aumentó un valor constante por unidad de tiempo? ¿Qué característica tienen estos gráficos?

b) ¿Qué característica observa en los gráficos que corresponden a piletas cuyo contenido no aumentó a velocidad constante?

2. Identifique ahora los gráficos de las piletas que se están vaciando durante todo el período de trabajo y observe:

a) ¿En cuáles sale del tanque la misma cantidad de hectolitros por hora durante el período analizado? Es decir, ¿cuáles tienen velocidad de disminución constante? ¿Qué características tienen estos gráficos?

b) ¿Qué característica observa en los gráficos que corresponden a piletas cuyo contenido no disminuyó a velocidad constante?

OrientacionesEn las piletas n.° 1, n.° 4, n.° 6 y n.° 9, el contenido se modificó en un valor constante por unidad de tiempo, es decir, todas ellas variaron su contenido a velocidad constante.

La representación gráfica de la cantidad de hectolitros que contiene cada una en cada instante del tiempo de trabajo es un segmento de recta.

Actividad 3Analicemos los gráficos correspondientes a piletas que variaron su contenido a velocidad constante durante todo el período de control. A partir de estos gráficos responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál de ellos muestra que el contenido de la pileta aumentó a razón de 0,5 hectolitro por hora? O, dicho de otra forma, ¿en qué caso la velocidad con que varía el contenido de la pileta es de 0,5hl por hora?

2. ¿En cuál de las piletas el contenido disminuyó a razón de 2hl por hora?

3. Encuentre otra pileta que se haya llenado a velocidad constante y determine el número que indica dicha velocidad.

4. Encuentre otra pileta que se haya vaciado a velocidad constante y determine el número que expresa dicha velocidad.

5. Trate de formular, lo más precisamente que pueda, lo que se debe observar y/o calcular para poder determinar, en los gráficos que estamos analizando, cuál es el número que indica la velocidad a la que está ocurriendo el proceso.

OrientacionesPodemos observar a través de sus representaciones gráficas que en la pileta n.° 9 el contenido aumentó a razón de 0,5hl/h y que en la pileta n.° 6 el contenido del tanque disminuyó a razón de 2hl/h. Para señalar que la cantidad de hectolitros que contiene la pileta n.° 6 está disminuyendo diremos que su velocidad es de –2hl/h.

En la pileta n.° 7, el contenido del tanque se mantuvo constante. Podemos decir que el contenido no se modificó, la velocidad es de 0hl/h.

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Actividad 41. Vuelva a mirar el gráfico correspondiente a la pileta n.° 9 y complete la tabla que le damos a continuación formulándose previamente las siguientes preguntas:

• ¿Cuál es la velocidad con que varía su contenido?

• ¿Qué cantidad de hectolitros tenía la pileta al inicio de la observación?

• ¿Qué puede decirse de su contenido una hora después de iniciada la observación? ¿Y dos horas después?

Tiempo t, en horas 0 1 2 3 4 5

Cantidad y de hectolitros de agua en la pileta n.° 9

2. De acuerdo con los datos que le proporcionan sus respuestas a las preguntas anteriores, y teniendo en cuenta la tabla que acaba de completar, escriba una fórmula que permita calcular la cantidad y de hectolitros de agua que contiene la pileta n.° 9 en cada instante t. Complete la siguiente igualdad: y =

3. Repita lo que analizó para la pileta n.° 9 en el ítem anterior, para las piletas n.° 1, 4 y 6. Es decir, encuentre en cada caso una fórmula que le dé la cantidad y de hectolitros de agua que tiene cada pileta en cada instante t.

4. En cada una de las fórmulas que usted determinó:

• ¿Dónde aparece expresado el valor de la velocidad de variación del contenido de la pileta? Señálelo en cada una de las fórmulas.

• ¿Dónde aparece expresada la cantidad de hectolitros que tiene la pileta en el momento inicial de las observaciones? Señálelo en cada una de las fórmulas.

5. Si la fórmula que da la cantidad de hectolitros y que contiene «una pileta cualquiera» cuyo contenido varía a velocidad constante en cada instante t es y = m · t + b,

• ¿Qué indica m?

• ¿Qué indica b?

OrientacionesLa fórmula que da la cantidad y de hectolitros de agua para cada instante t, por ejemplo en la pileta n.° 6, es y = - 2 t + 10.

En esta fórmula aparece expresado el valor de la velocidad de variación del contenido de la pileta en el número - 2, ya que esta pileta se estuvo vaciando a razón de 2hl por hora.

El número 10 expresa la cantidad de hectolitros de agua que contiene la pileta en el momento inicial, es decir en t = 0.

Ecuación de una recta. Función lineal Cualquiera de las fórmulas anteriores es de la forma y = m · t + b. Cada una de ellas indica

la cantidad y de hectolitros de agua en cada instante t, cuando el contenido de cada pileta está variando en forma constante o a velocidad constante m, siendo el contenido inicial b hectolitros.

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Fuera de la situación concreta, una función definida por una ecuación de la forma y = m · t + b, admite a cualquier número real en su dominio. En ese caso la función definida es de la forma:

f : R → R / y = f (t) = mt + b

y se la llama función lineal. La representación gráfica de una función lineal es una recta y a la ecuación y = f (t) = mt + b la llamaremos ecuación de la recta.

y

b

t

y=mt+b

Al número m lo llamaremos pendiente de la recta, y al número b ordenada al origen. En el contexto de la situación planteada, m es la cantidad de hectolitros que ingresa o egresa del tanque por hora, y b es la cantidad de agua que contiene la pileta al comenzar, en el gráfico es el lugar donde corta al eje y que también es la imagen para x = 0.

Las representaciones gráficas de las funciones que expresan la cantidad de hectolitros que contiene cada pileta en el período de observación resultan ser segmentos de recta porque el dominio de cada una de ellas, en el contexto de la situación concreta presentada, es el intervalo [0 ; 5].

Actividad 5Determine, analíticamente, si los puntos (3 ; 5) y (2 ; 7) pertenecen a la recta cuya ecuación es y = 3 x + 1.

OrientacionesPara determinar si el punto (3 ; 5) pertenece a la recta indicada debemos reemplazar en la ecuación la x por 3 y la y por 5 y constatar si la afirmación resultante es verdadera o falsa.

En este caso: 5 = 3 . 3 + 1 es una afirmación falsa, entonces se concluye que el punto (3 ; 5) no pertenece a la recta.

De manera análoga se procede para determinar si (2 ; 7) pertenece a la recta. 7 = 3 · 2 + 1 es una afirmación verdadera, entonces se concluye que el punto (2 ; 7) pertenece a la recta indicada.

Actividad 6Dos recipientes se comienzan a llenar con agua en el mismo instante y durante 10 minutos, a razón de 5 litros por minuto. En el instante inicial, uno de los recipientes tiene 3 litros y el otro, 7 litros.

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1. Defina para cada uno de los recipientes una función que describa la cantidad de litros de agua que contiene en función del tiempo trascurrido en minutos.

2. ¿Cómo son las pendientes de ambas ecuaciones?

3. Grafique ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

4. ¿En algún instante los dos recipientes tendrán la misma cantidad de agua?

5. Trace las rectas que contienen a cada uno de los segmentos graficados. ¿Se cortan en algún punto dichas rectas?

OrientacionesLas rectas trazadas de acuerdo a las indicaciones del ítem 5 no se cortan, son rectas paralelas. Las rectas que son la representación gráfica de funciones lineales son paralelas si sus pendientes son iguales.

Actividad 7Determine, analíticamente, la ecuación de la recta paralela a la de ecuación y = 2 x +7 que «pasa» por el punto ( 4 ; 3 ).

OrientacionesRecordemos que dada una recta y un punto que no pertenece a la misma, existe una única recta paralela a la misma y que «pasa» por el punto indicado.

La ecuación de la recta a determinar debe tener pendiente 2 y entonces es una expresión del tipo y = 2 x + b. Por otro lado, el punto (4 ; 3) debe pertenecer a la recta y entonces debe ser solución de la ecuación y = 2 x + b.

Reemplazamos la x por 4 y la y por 4 y resolvemos la ecuación resultante:

3 = 2 · 4 + b

3 = 8 + b

3 – 8 = b

-5 = b

Entonces la ecuación de la recta es y = 2 x – 5.

Actividad 8Determine, analíticamente, la ecuación de la recta a la que pertenecen los puntos (1 ; -2) y (3 ; -8).

OrientacionesDado que los puntos (1 ; -2) y (3 ; -8) deben pertenecer a la misma recta, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

- 2 = a · 1 + b-8 = a · 3 + b

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Escribimos b en función de a , a partir de la primera ecuación:

- 2 - a = b

Y en la segunda ecuación reemplazamos b por la expresión - 2 - a y la resolvemos:

- 8 = a · 3 + (+ 2 - a)

-8 = 3a - 2 - a

-8 + 2 = 3a - a

- 6 = 2a

- 6 : 2 = a

- 3 = a

Por lo tanto la pendiente de la recta «buscada» es -3 y para determinar su ordenada al origen reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones la letra a por -3 y la resolvemos:

- 2 = a · 1 + b

- 2 = - 3 · 1 + b

- 2 = - 3 + b

- 2 + 3 = b

1 = b

Entonces la ecuación de la recta a la que pertenecen los puntos (1 ; -2) y (3 ; -8) es y = -3x + 1

Actividad 9En un sistema de coordenadas trace la recta que pasa por los puntos (5 ; 1 ) y (5 ; 3).

1. ¿Es la recta trazada la representación de una función?

2. ¿Qué condición cumplen los puntos que pertenecen a la recta trazada?

Orientaciones

La recta trazada no es la representación gráfica de una función ya que todos sus puntos tienen como primer coordenada al 5, por lo tanto 5 tiene infinitas imágenes y entonces no es una función.

La recta trazada es la representación gráfica de la ecuación x = 5 y cualquier recta paralela al eje y del sistema de coordenadas será la expresión gráfica de una ecuación del tipo x = a, donde a es un número real cualquiera.

6

5

4

3

2

1

0-1 0 1 2 3 4 5 6 7

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Actividad 10Resuelva los siguientes problemas:

1. Don Gregorio es repartidor de plaguicidas líquidos en el campo. Lleva los plaguicidas desde la fábrica hasta las granjas, chacras y estancias de sus clientes. Cobra $ 30 por cada litro de plaguicida, y por el servicio a domicilio cobra $ 40. Por limitaciones legales en el medio de transporte no puede llevar más de 100 litros por viaje.

a) ¿Cuánto le cobra Don Gregorio a un cliente que le compra 17 litros de plaguicida?

b) ¿Cuánto le cobra a un cliente que le pide 65 litros?

c) ¿Y a uno que le pide 30,5 litros?

d) Pasa una vez por mes por el establecimiento de cada cliente. Si un mes, al visitar a un cliente, este le dice que no necesita plaguicida, ¿cuánto le cobra?

e) ¿Y si un cliente le pide 100 litros?

f) Si llamamos x a la cantidad de litros de plaguicida que compra un cliente de Don Gregorio y llamamos y al importe a pagar por dicha compra, escriba una fórmula que le permita calcular y a partir de x.

g) Defina una función f que describa la situación concreta planteada. Es decir, la función que relaciona la cantidad de plaguicidas que puede vender Don Gregorio a cada cliente con el importe a pagar.

h) Dé el dominio de la función que definió en el ítem g.

i) Si por una compra un cliente le paga $ 460 a Don Gregorio, ¿cuántos litros de plaguicida compró?

j) Represente la función f en un sistema de ejes coordenados cartesianos.

k) A partir del gráfico que hizo en el ítem anterior, dé el conjunto imagen de dicha función.

2. Juan alquila un puestito de ventas en una feria a $200 por día en el que solo vende peras a $40 el kilogramo.

a) Escriba una fórmula que describa la ganancia diaria de Juan en función de los kilogramos de peras vendidos.b) Determine analíticamente cuántos kilogramos de peras debe vender Juan para no perder dinero.

3. En el siguiente gráfico se ha representado la demanda d de un producto en función del precio p de venta por unidad de dicho producto.

a) Cuando el precio de venta de cada unidad del producto es de $ 1, o sea p = 1, ¿qué cantidad d del producto es demandado? b) Si el precio de venta es de 6 pesos la unidad, ¿cuál es la demanda? c) Si aumenta el precio de venta unitario, ¿qué ocurre con la demanda? d) ¿A qué velocidad disminuye la demanda? e) Encuentre una fórmula que permita calcular la demanda d para cada precio de venta unitario p. f) Escriba una función que describa la situación concreta planteada.

1211

10987654321

1 2 3 4 5 60

d (Kg)

p ($)

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4. Un móvil se desplaza de manera que la posición y (en metros) en función del tiempo t (en minutos) está dada por la función r : [ 0 ; 10 ] → R / y = 2t + 5

a) Represente gráficamente la función r.

b) ¿Con qué velocidad se desplaza el móvil?

c) ¿Cuál es su posición inicial? (la posición del móvil en t = 0).

d) Indique la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es: y = 2t + 5

e) Escriba la fórmula de un móvil que se desplaza con mayor velocidad y desde la misma posición inicial.

f) Escriba la fórmula de un móvil que se desplaza con la misma velocidad pero desde otra posición inicial.

5. Armando inicia un viaje en auto a la hora 0 en el kilómetro 200 de la ruta 63. Dos horas después Armando se halla en el kilómetro 380 de la misma ruta y seis horas después del inicio del viaje en el kilómetro 700. La posición de Armando en la ruta en función de las horas de viaje, ¿es lineal?

6. Un tanque de agua que contiene 10 litros se desagota a razón de 4 litros por minuto.

a) Exprese la fórmula que permite calcular la cantidad y de litros que tiene el tanque en cada instante t (en minutos).

b) Escriba la función f que describe la situación planteada.

7. Dada la recta de ecuación y = 34 x - 5

a) Determine si los siguientes puntos pertenecen a la recta:

(-4 ; -8), (0 ; 0), ( 13 ; – 5), (8 ; 1).

b) Encuentre otros dos puntos que pertenezcan a la recta.

c) Represente gráficamente la recta.

d) Escriba la ecuación de una recta paralela a la recta dada.

8. Escriba, a partir de sus representaciones gráficas, las ecuaciones de cada una de las siguientes rectas:

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

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y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

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-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

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-4

-3

-2

-1

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02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

y

x1-1-2-3-4-5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

5

6

02 3 4 5

9. Determine en cada caso, la ecuación de una recta que verifique las siguientes condiciones:

a) Una recta de pendiente –2 que pase por el punto (0 ; 5). b) Una recta de pendiente –2 que pase por el punto (1 ; 4) c) Una recta de ordenada al origen 3 y que pase por el punto (4 ; 11) d) Una recta paralela a la del ítem c) que corte el eje x en x = 5.

Actividades de autoevaluación1. Una pileta contiene 2.000 litros de agua y se desagota a razón de 12 litros por minuto. ¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la cantidad (y) de litros que tiene el tanque en cada instante (x, en minutos) desde el inicio del «desagote» hasta el instante en que el tanque queda vacío? :

a) y = 12x – 2.000. b) y = -12x + 2.000.c) y = 12x.d) y = 2.000x.

2. Un móvil A se desplaza de tal manera que la posición y (en metros respecto a un punto de referencia) en función del tiempo x (en minutos) está dada por la función f : [0;12]→R / y = 4x + 11. Tres de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Indique cuáles son:

a) La fórmula y = 5x + 7 corresponde a otro móvil B que se desplaza en el mismo sentido y con una velocidad mayor que la del móvil A. b) La fórmula y = 3x + 11 corresponde a otro móvil C que se desplaza en el mismo sentido, con la misma velocidad y con distinta posición inicial que la del móvil A. c) La fórmula y = 5x + 8 corresponde a otro móvil D de manera tal que en el minuto tres se encuentra en la misma posición que el móvil A. d) La fórmula y = 4x + 3 corresponde a otro móvil E que se desplaza en el mismo sentido, con distinta velocidad y con la misma posición inicial que la del móvil A. e) La fórmula y = -4x + 7 corresponde a otro móvil F que se desplaza en sentido contrario y con distinta posición que la del móvil A.

MATEMÁTICA • B

. 21 .

3. Indique cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una recta de pendiente 3 y que «pasa» por el punto (1 ; 8).

a) y = 3x + 6 b) y = 3x + 5 c) y = x + 8 d) y = 8x + 1

4. Una de las siguientes es la ecuación de la recta representada. Indique cuál es:

a) y = 2x + 1 b) y = 2x – 1 c) y = - 2x + 1 d) y = - 2x – 1

5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta a la que pertenecen los puntos ( 2 ; 5 ) y ( 4 ; 11 )?

a) y = 3x – 1 b) y = - 3x – 11 c) y = – 1x + 3 d) y = - 3x – 1

. 22 .

Unidad 2Sistemas de ecuaciones lineales

Actividad 1Luis Alberto consulta en dos agencias acerca de la tarifa correspondiente al alquiler de un auto por un día. Los resultados fueron: Agencia A, $150 por el retiro del auto más $3 por kilómetro recorrido. Agencia B, $300 por el retiro del auto más $2 por kilómetro recorrido. Sean x es la cantidad de kilómetros recorridos en el día y P el precio a pagar por el alquiler del auto.

a) Complete la siguiente tabla:

x PA PB

0

100

200

1200

b) Escriba dos fórmulas, una para cada agencia, que permita calcular el precio a pagar sabiendo la cantidad de kilómetros recorridos (en función de la cantidad de kilómetros recorridos).

c) Utilice las fórmulas para determinar el precio a pagar en cada agencia para 760 km y 1260 km.

d) Utilice las fórmulas para determinar, en cada agencia, cuántos kilómetros puedo recorrer si dispongo de $720 para el alquiler del auto.

e) ¿Para qué cantidad de kilómetros recorridos es indistinto alquilar el auto en una agencia o en la otra?

f) Represente en un mismo sistema de coordenadas ambas funciones. ¿Se cortan en algún punto? Halle, analíticamente dicho punto.

g) Indique los «intervalos de conveniencia» de cada agencia.

OrientacionesLas fórmulas para cada agencia son PA = 3x + 150 y PB = 2x + 300. Para determinar para qué cantidad de kilómetros es indistinto alquilar una u otra agencia podemos resolver la ecuación PA = PB . Esto es, para qué valor de x se verifica 3x + 150 = 2x + 300. Entonces:

3x - 2x = 300 - 150

x = 150

Y podemos verificar que si recorremos con el auto alquilado 150 kilómetros ambas agencias cobran $600.

Acabamos de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (letras) que se escribe

de la siguiente manera: PA = 3x + 150

PB = 2x + 300{

MATEMÁTICA • B

. 23 .

Diremos que (150 ; 600) es la única solución del sistema de ecuaciones indicado y que S = {(150 ; 600)} es el conjunto solución del sistema de ecuaciones.

Si reemplazamos la letra x por 150 y la letra P por 600 vemos que resultan dos afirmaciones verdaderas: 600 = 3 · 150 + 150 y 600 = 2 · 150 + 300

Observemos la representación gráfica del sistema de ecuaciones:

Las escalas elegidas para cada eje del sistema de coordenadas cartesianas son distintas, para que la representación gráfica sea adecuada.

El punto (150 ; 600) es el único punto de intersección entre ambas rectas graficadas.

Para valores de x mayores o iguales que 0 y menores que 150, es más económica la agencia A y para valores de x mayores a 150 es más económica la agencia B.

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una expresión del tipo y = ax + by = cx + d{ donde a, b, c, d son números reales cualesquiera es

un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. En este caso ambas ecuaciones

corresponden a funciones lineales. Diremos que el punto (s; t) es solución del sistema si al

reemplazar la letra x por el número s y la letra y por el número t, quedan dos afirmaciones

verdaderas.

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

100

200

300

400

500

600

700

800

. 24 .

Como ya vimos en la unidad 1, las rectas paralelas al eje y (el vertical) no son la representación gráfica de funciones lineales, por lo que también son sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas las expresiones del tipo:

y = ax + by = c{ o y = a

y = bx + cd{ o y = ay = b{

Actividad 2Determine si el punto (1 ; 5) es solución del siguiente sistema de ecuaciones:

y = 2x + 3y = x + 8

OrientacionesReemplazamos la x por 1 y la y por 5 en cada una de las ecuaciones:

5 = 2 · 1 + 35 = 1 + 8{ y resulta que la primera igualdad es verdadera, pero la segunda no.

Entonces (1 ; 5) no es solución del sistema de ecuaciones.

Actividad 3Resuelva (halle el conjunto solución) de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) y = 3x + 1y = x + 5{ b) y = 5x + 1

y = 5x - 2{ c) y = 4x + 7y = 4x + 7{ d) y = 3x + 1

x = 3{

Orientacionesa) Observemos que el sistema consiste en dos ecuaciones de rectas con pendientes diferentes, 3 y 1, por lo tanto podemos anticipar que ambas rectas se «cortarán» en un solo punto. En este caso el único punto de intersección entre ambas rectas es (2 ; 7) y el conjunto solución es:

S ={(2; 7)} . A continuación, la representación gráfica del sistema de ecuaciones:

{

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

4

6

7

8

2

3

1

-1

0

5

0

MATEMÁTICA • B

. 25 .

b) En este caso el sistema consiste en dos ecuaciones que tienen la misma pendiente, 5, por lo tanto ambas rectas son paralelas y no hay ningún punto de intersección entre ambas rectas y que el conjunto solución es vacío: S = Ø.

Veamos cómo se manifiesta analíticamente esta situación.

5x + 1 = 5x - 2

5x - 5x = -2 - 1

0 = -3 y esta igualdad es falsa para cualquier valor de x.

A continuación, la representación gráfica del sistema de ecuaciones:

-4 -3 -2 -1 1

1

-1

-2

-3

-4

2

0

0

c) Ahora el sistema consiste en dos ecuaciones iguales, entonces ambas rectas son iguales, de tal manera que existen infinitos puntos de intersección entre ambas rectas, que son todos los puntos de la recta(que es la misma), y el conjunto solución es el conjunto de todos los puntos (x ; y) tales que y = 4x + 7 es decir: S ={(x ; y)/ y = 4x +7}.

Para encontrar una solución basta reemplazar la x por un número cualquiera y haciendo los cálculos obtener el valor de y. Por ejemplo si x = 8, y = 4 · 8 + 7 = 39; entonces (8 ; 39) es una solución del sistema de ecuaciones.

A continuación, la representación gráfica del sistema de ecuaciones:

-4 -3 -2 -1 1 2

4

6

7

2

3

1

-1

0

5

0

. 26 .

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitasSi el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una única solución, como

el del ítem a) de la actividad anterior, diremos que es un sistema compatible determinado. En la representación gráfica tendremos dos rectas que se cortan. ¿Cómo son las pendientes de esas rectas?

Si el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas no tiene solución, como el del ítem b), diremos que es un sistema incompatible. ¿Cómo son las rectas en este caso? ¿Qué sucede con las pendientes?

Si el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, como el del ítem c), diremos que es un sistema compatible indeterminado.

¿Cómo son las rectas en este caso? ¿Qué sucede con las pendientes?

Actividad 4En un recital se ofrecieron entradas populares a $50 y plateas a $80. En total se vendieron 323 entradas y se recaudaron $18.400. ¿Cuántas populares y cuántas plateas se vendieron? Exprese la situación planteada mediante un sistema de ecuaciones y luego resuélvalo.

OrientacionesLlamaremos x a la cantidad de entradas populares vendidas y llamaremos y a la cantidad de plateas vendidas. Como cada popular se vendió a $50, cada platea a $80 y la recaudación total fue de $18.400, entonces 50x + 80y = 18400.

Se vendieron 323 entradas, entonces x + y = 323.

El sistema de ecuaciones es: x + y = 32350x + 80y = 18400{

Vamos a reescribir el sistema con el formato de la actividad 1, y = ax + by = cx + d{ , y luego lo resolvemos.

Para ello, en ambas ecuaciones escribiremos a la letra y en función de la letra x:

y = 323 - x

y = 18400 - 50x80

Lo resolvemos:

323 - x = 18400 - 50x80

(323 - x) · 80 = 18400 - 50x323 · 80 - x · 80 = 18400 - 50x25840 - 18400 = -50x + 80x7440 = 30x

744030

= x

248 = x

Hallamos el valor de x, resta hallar el valor de y. Para ello reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones la x por 248:

y = 323 - x

y = 323 - 248

y = 75

{

MATEMÁTICA • B

. 27 .

La única solución del sistema es (248; 75) y la respuesta al problema es que se vendieron 248 populares y 75 plateas.

Con un pequeño esfuerzo se puede verificar si la respuesta es correcta:

248 + 75 = 323

50 · 248 + 80 · 75 = 18400

Actividad 5Resuelva los siguientes problemas:

1. Un joven consiguió emplearse como vendedor de teléfonos e inesperadamente la patronal le ofrece dos alternativas para su salario y debe optar por una de ellas. Una de las propuestas es la siguiente: un salario fijo de $5.000 más una comisión de $100 por teléfono vendido. La otra: $3.000 fijos más una comisión de $150 por teléfono vendido.

a) ¿A partir de cuántos teléfonos vendidos es conveniente la segunda propuesta?

b) Si no lo hizo, plantee un sistema de ecuaciones adecuado al problema y resuélvalo para responder la pregunta del ítem a.

2. Complete el siguiente cuadro:

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

4y + 2x = 82y + x = 2

1 + 2y = 3xy - 3

2 x = - 12

Interpretación gráfica

3 y + 2x = 6

y = x + 1

6

2

3

1

00

83

53

Conjunto solución

Tipo de sistema de acuerdo a la solución

Compatible indeterminado

3. Determine si (3 ; 2) es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 3x - 6y = - 3x + 7y = 17{ b) x - y = 1

-2x + y = 4{

{

{ {

. 28 .

4. Halle el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 3x + 2y = 145x - y = 19{ b) 3x + 4y = 7

6x + 8y = 10{ c) 2x + 8y = 43x + 12y = 6{ d) 2x + 8y = 4

x = 6{5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

a) Hoy un juego de muebles de dormitorio vale $ 720 y su precio aumenta a

razón de $10 por mes. Ignacio tiene posibilidad de ahorrar $ 50 por mes y hoy tiene $ 80. ¿Cuántos meses tendrá que esperar para poder comprar ese juego de muebles? ¿Cuánto costarán los muebles entonces?

b) En un partido de básquet, el equipo Embogol anotó 3 tantos menos del doble de lo que anotó el equipo Errogol. En el partido hubo 156 tantos. ¿Cuál fue el resultado del partido?

c) En una librería una carpeta cuesta $ 2 y un cuaderno vale $ 3. Por compras al por mayor se hace un descuento de $ 10. Los padres de los alumnos de un curso se organizan para realizar una compra comunitaria y beneficiarse con el descuento. En total deben comprar 60 artículos y recaudaron $ 128. ¿Cuántas carpetas y cuántos cuadernos podrán comprar usando exactamente el dinero recaudado?

Actividades de autoevaluación1. Considere el sistema de ecuaciones lineales representado a continuación:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

4

6

7

8

2

3

1

-1

0

5

0

MATEMÁTICA • B

. 29 .

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a) El sistema es incompatible (no tiene solución). b) El sistema es compatible determinado y el conjunto solución es {(5 ; 2)}. c) El sistema es compatible determinado y el conjunto solución es {(2 ; 5)}. d) El sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).

2. El siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x + 3y = -4- x -2y = 3{ tiene una única solución. Indique

cuál es:

a) (2 ; 1) b) (0 ; -4) c) (4 ; -4) d) (1 ; -2)

3. Indique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: « 2x + 3y = 54x + 6y = 7{ es un sistema de

ecuaciones lineales incompatible.»

a) Verdadera.b) Falsa.

4. Gladys necesita transportar una mercadería y averiguó los precios de dos empresas de fletes. La empresa A cobra un costo fijo de $1.000 más $30 por kilómetro recorrido. La empresa B cobra $500 fijos más $50 por kilómetro recorrido. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.

a) Siempre es conveniente elegir la empresa A.

b) Siempre es conveniente elegir la empresa B.

c) Para transportar la mercadería a más de 25km, conviene elegir A.

d) Para transportar la mercadería a más de 25km, conviene elegir B.

5. En un teatro, la entrada de adultos tiene un costo de $150 y la de menores de $50. En una función a la que concurrieron 76 personas se recaudaron $7.200. ¿Cuántos adultos y cuántos menores asistieron a la función? Indique cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales es adecuado para resolver el problema planteado.

a) x + y = 7.20050x - 150y = 76{ b) x - y = 76

50x + 150y = 7.200{ c) x + y = 7650x + 150y = 7.200{ d) x + y = 76

50x - 150y = 7.200{

. 30 .

Unidad 3Funciones de proporcionalidad directa. Funciones de proporcionalidad inversa

Actividad 1En la feria del barrio hay varios puestos que venden frutas. En algunos de esos puestos se hacen ofertas por compras de grandes cantidades. Cada puestero, don Manuel, don José y doña Perla, va registrando las compras que hacen sus clientes. Anota la cantidad de mercadería que vende en cada oportunidad y el dinero que cobra. Las siguientes tablas muestran lo que registró cada uno:

Puesto de don Manuel

x (kg de manzanas) 0,5 1 1,5 2,5 3 4 5 10 15

y ($) 1 2 3 5 6 8 10 20 30

Puesto de don José

x (kg de peras) 0,5 1 2 4 8 10

y ($) 0,75 1,5 3 5 10 12

Puesto de doña Perla

x (kg de duraznos) 1 2 4 10 20

y ($) 2,5 4,5 8 18 35

1. Usando la información anterior, responda las siguientes preguntas:

a. Cualquiera sea la cantidad de manzanas vendida en el puesto de don Manuel, ¿se venden al mismo precio por kilogramo?

b. Cualquiera sea la cantidad de kilogramos de peras vendida en el puesto de don José, ¿se cobra el mismo precio por kilo?

c. Cada kilogramo de duraznos vendido en el puesto de doña Perla, ¿vale lo mismo?

2. Teniendo en cuenta lo respondido en el ítem 1, ¿en cuál o cuáles de los puestos se hacen ofertas por la venta de grandes cantidades de frutas?

3. a) ¿Es posible calcular el precio de venta del kilogramo de fruta para cualquier venta en cada puesto?

b) ¿En qué puesto o puestos es posible calcular el precio de venta del kilogramo de fruta para cualquier venta? ¿En cuál o cuáles no es posible?

c) Fundamente las respuestas que dio en el ítem b. 4.

a) Represente en un sistema de ejes coordenados los puntos que expresan el precio y a pagar en función de la cantidad x de kilogramos de manzanas que se compren en el puesto de don Manuel.

MATEMÁTICA • B

. 31 .

b) Represente en un sistema de ejes coordenados los puntos que expresan el precio y a pagar en función de la cantidad x de kilogramos de peras que se compren en el puesto de don José.

c) Represente en un sistema de ejes coordenados los puntos que expresan el precio y a pagar en función de la cantidad x de kilogramos de duraznos que se compren en el puesto de doña Perla.

5. Responda las siguientes consignas a partir de los gráficos realizados en el ítem 4:

a) ¿Qué diferencia observa entre ellos?

b) ¿En qué caso o casos la fórmula que representa a los puntos del gráfico es lineal?

c) En aquellos casos en que la fórmula sea lineal, escriba dicha fórmula.

d) ¿Cómo interpreta la fórmula lineal obtenida en el punto c. relacionándola con la situación de las ventas de los puesteros de la feria?

6. ¿Cuánto vale el kilogramo de manzanas en el puesto de don Manuel?

7. a) Realice las divisiones entre el precio de la compra y la cantidad de kilogramos comprados, es decir, las divisiones y : x, para todos los ejemplos dados de los puestos de don Manuel, don José y doña Perla.

b) ¿En qué caso o casos todas las divisiones dan el mismo resultado?

c) ¿Cuál es ese resultado para los casos en que las divisiones dan siempre lo mismo?

d) ¿Qué significado tiene ese resultado en términos de las ventas de los puesteros en la feria?

OrientacionesEn el puesto de don Manuel, cualquiera sea la compra que se haga, el cliente debe pagar $2 por cada kilogramo de manzanas.

En los otros dos puestos, se hacen ofertas por compras de grandes cantidades.

Es decir que, si un cliente compra mucha fruta, paga menos por cada kilogramo.

Cuando representamos gráficamente las posibles compras en el puesto de Don Manuel, observamos que los puntos quedan alineados entre sí. En cambio, los puntos que representan las posibles compras en los otros dos puestos no quedan alineados entre sí.

y($)

x

(kg. de manzana)1

123

56

8

15

10

20

25

30

0 3 4 5 10 15

y($)

x

(kg. de pera)1

1

2

3

5

10

12

0 2 4 8 10

y($)

x

(kg. de durazno)1

58

18

2,5

35

0 2 4 10 20

. 32 .

Cuando realizamos las divisiones y : x para las posibles compras en el puesto de don Manuel, los resultados dan todos 2 (que es el precio de 1kg de manzanas). En cambio, al hacer lo mismo con las posibles compras en los otros puestos, de don José y de doña Perla, los cocientes dan distintos valores, ya que el precio de 1kg de fruta no es siempre el mismo. Si se compran grandes cantidades, cada kilogramo vale menos.

La fórmula que permite calcular el precio y a pagar por la compra de x kg de frutas, resulta una fórmula lineal solo en el caso del puesto de don Manuel.

La fórmula es y = 2 · x.

En los casos de los otros dos puestos, no hay una fórmula sencilla que permita calcular el precio y a pagar por x kilogramos de frutas.

Actividad 2Las siguientes tablas muestran posibles compras de frutas en otros puestos:

Puesto de doña Rosa

x (kg de naranjas) 2 3 4 5 6

y ($) 2,5 3,75 5 6,25 7,5

Puesto de don Carlos

x (kg de naranjas) 2 3 4 5 6

y ($) 3,5 5,25 6,75 8 9

Usando la información de estas tablas, responda las siguientes preguntas:

1. ¿En cuál de estos dos puestos se cobra siempre lo mismo por cada kilogramo de frutas?

2. Represente gráficamente los puntos que expresan el precio a pagar en función de las cantidades de kilogramos de frutas vendidas en estos dos puestos.

3. Para el puesto en que se cobra siempre lo mismo por cada kilogramo de frutas:

a) ¿Cuánto vale cada cociente y : x?

b) Desde el punto de vista de la situación planteada de estos dos puestos, ¿con qué valor coincide dicho cociente?

c) Escriba la fórmula que le permite calcular el precio y que se debe pagar por comprar x kg de fruta en ese puesto.

MATEMÁTICA • B

. 33 .

Proporcionalidad directa. Funciones de proporcionalidad directaEn los puestos de Don Manuel y Doña Rosa, el precio de cada kilogramo de fruta es el

mismo cualquiera sea la cantidad que se compre. En estos casos, decimos que el precio y a pagar es directamente proporcional al peso x de la fruta comprada.

O también podemos decir que hay proporcionalidad directa entre el precio y el peso.

Como observamos, en estos dos casos, al realizar los cocientes y : x, estos resultan constantes. Al valor obtenido en cada caso, que coincide con el precio de 1kg de fruta, lo llamamos constante de proporcionalidad.

Por ejemplo, en el puesto de Don Manuel la constante de proporcionalidad es 2 y en el puesto de Doña Rosa es 1,25. En general, si identificamos con k a la constante de proporcionalidad, resulta y : x = k.

En estos dos casos, las fórmulas que permiten calcular el precio y a partir del peso x de fruta comprada son lineales. Son fórmulas del tipo y = k . x, donde k es la constante de proporcionalidad. Por lo tanto, en la representación gráfica, los puntos que expresan posibles compras, quedan alineados entre sí y con el origen de coordenadas.

La función f : {0,5; 1; 1,5; 2,5; 3; 4; 5; 10; 15} → R / y = 2x modela matemáticamente las ventas de manzanas registradas en el puesto de don Manuel.

La función g : {2; 3; 4; 5; 6} → R/ y = 1,25x expresa las ventas de naranjas registradas en el puesto de doña Rosa. Ambas son ejemplos de funciones de proporcionalidad directa. Las representaciones gráficas de estas funciones son:

y($)

x

(kg. de manzana)1

123

56

8

15

10

20

25

30

0 3 4 5 10 15

y($)

x

(kg. de naranja)1

2,5

3,75

5

6,25

7,5

0 2 4 5 63

En general, llamamos función de proporcionalidad directa a una función del tipo:

f : A → R / y = k · x . En ella, el dominio A es un subconjunto de números reales adecuado a cada situación y k es la constante de proporcionalidad y es un número real distinto de cero.

. 34 .

Actividad 3En una empresa llenan semanalmente dos tanques con combustible para el uso de sus maquinarias. Cada tanque tiene una capacidad de 9 hectolitros (hl). Para llenar uno de los tanques se usa una bomba denominada HTK y el otro se llena con la bomba FPD.Quieren controlar el funcionamiento de ambas bombas. A José le encargaron tomar la información de la bomba HTK y a Pedro de la bomba FPD. Entre José y Pedro acordaron en llenar simultáneamente los dos tanques, llamar t = 0 hora al instante inicial y registrar la cantidad de combustible que contenía el tanque cada media hora. Al terminar, cada uno presentó un informe. Los informes son los siguientes:

Bomba HTKEn la siguiente tabla se describe la cantidad y de hl de combustible que tenía en el tanque, en los intasntes t (en horas) en que se observó:

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3y 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9

A partir de la tabla, se representó gráficamente lo que ocurrió en el transcurso de las tres horas en que se llenó el tanque. El gráfico es el dado a la derecha.

Bomba FPBEn la siguiente tabla se describe la cantidad y de hl de combustible que tenía en el tanque, en los intasntes t (en horas) en que se observó:

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3y 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9

A partir de la tabla, se representó gráficamente lo que ocurrió en el transcurso de las tres horas en que se llenó el tanque. El gráfico es el dado a la derecha.

1. Teniendo en cuenta lo que puede observar en cada tabla y su respectivo gráfico, ¿usted diría que los tanques se llenaron de la misma «forma»? ¿Por qué? Explíquelo con sus palabras.

2. El jefe de José y Pedro les hizo algunas preguntas respecto de la forma en que se llenaron los tanques, o de la forma en que actuaron las bombas para llenarlos.

a) Para cada pregunta responda lo que diría José respecto del llenado del tanque con la bomba HTK y lo que diría Pedro respecto de cómo se llenó el tanque con la bomba FPD.

• ¿Qué cantidad de hectolitros de combustible entró en el tanque durante la primera media hora de funcionamiento de la bomba?

• ¿Y durante la segunda media hora?

• ¿Y durante la tercera media hora?

b) ¿Podría usted decir que en cada tanque entró la misma cantidad de hectolitros de combustible por cada media hora que iba transcurriendo?

c) Para responder la siguiente pregunta observe cada tabla y cada gráfico: ¿Podría decir

y

t

0,5

3

1,50

4,50

6

7,5

9

0 1 2 2,5 31,5

y

t

0,5

4

1

2,25

0,25

6,25

9

0 1 2 2,5 31,5

MATEMÁTICA • B

. 35 .

que entró la misma cantidad de hectolitros de combustible en cada tanque por cada hora transcurrida? Por ejemplo, entre las 0,5 hora y las 1,5 horas, ¿entró la misma cantidad que entre las 2 horas y las 3 horas? Indique qué cantidad fue la que entró a cada tanque en cada una de esas horas. Para responder esta pregunta complete la siguiente tabla:

Tanque llenado porla bomba HTK

Tanque llenado por la bomba FPD

Entre las 0,5 horas y las 1,5 horas

Entre las 2 horas y las 3 horas

3. A continuación, en el cuadro, hacemos ciertas afirmaciones que usted deberá comprobar si pueden ser aplicadas o no a cada una de las bombas. Para responder debe basarse solo en lo que pueda deducir de la situación planteada. Si alguna expresión le resulta muy desconocida, trate de encontrarle sentido de acuerdo con el contexto de la situación. Para contestar, complete el cuadro.

Frase¿Puede ser aplicada a la...

bomba HTK? bomba FPD?La bomba llenó el tanque, es decir que a medida que

pasaba el tiempo también aumentaba la cantidad de combustible que había en el tanque.

La bomba llenó el tanque en tres horas.

La bomba llenó el tanque de tal forma que: la relación entre el tiempo t y la cantidad y de hl que hay en el tanque puede expresarse mediante una función.

La bomba llenó el tanque a velocidad constante.

La bomba llenó el tanque a razón de 3 hl por hora.

La bomba llenó el tanque en forma proporcional al tiempo. Es decir, por ejemplo: si en 1 hora llenó 3 hl, en 2 horas llenó 6hl. Porque 3 es a 1 como 6 es a 2 (esto se escribe así: 3

1 = 62 ).

La bomba llenó el tanque en forma proporcional al tiempo porque, por ejemplo, para cualquier tiempo t, si la cantidad de tiempo t se cuadruplica, también se cuadruplica la cantidad y de hl que hay en el tanque.

La bomba llenó el tanque de manera que, cualquiera sea la cantidad y de hl dividida por el tiempo t correspondiente, en la función que describe el llenado, se mantiene constante, es decir: y

t = 3 (para t distinto de cero).

La función que vincula la cantidad de hl en el tanque con el tiempo es una función de proporcionalidad directa.

La bomba llenó el tanque de manera que la cantidad de hl se pude obtener a partir del tiempo t con la formula y = 3 · t .

. 36 .

OrientacionesEn el tanque llenado por la bomba FPD, la cantidad de hectolitros de combustible aumenta a velocidad constante. Es decir, en dicho tanque entra la misma cantidad de combustible en una hora y esto ocurre en cualquier hora que se considere.

En los gráficos de las dos funciones que describen el llenado de los tanques, observamos que para el tanque llenado con la bomba FPD resultan puntos alineados con el origen de coordenadas. En cambio, en el gráfico correspondiente al llenado del tanque con la bomba HTK, los puntos no quedan alineados.

También se puede observar que, en el tanque llenado con la bomba FPD, resulta que al calcular las divisiones y : t los cocientes resultan todos iguales a 3.

Es decir, resulta y : t = 3. Esta constante expresa la cantidad de hectolitros de combustible que entran al tanque por hora. Además, la fórmula que permite obtener la cantidad y de hectolitros en cada instante t es y = 3 · t.

Por lo tanto, podemos decir que en el llenado del tanque FPD, la cantidad de hectolitros es directamente proporcional al tiempo.

En cambio, en el tanque HTK, la cantidad de hectolitros no es directamente proporcional al tiempo.

Actividad 4Martín es empleado en una fábrica de jarabes. En esa fábrica se producen 12 litros de jarabe por hora. La producción de jarabe de cada hora se envasa en recipientes de distintos tamaños según el uso que se le vaya a dar. Martín es el encargado de decidir cuántos recipientes se van a usar para el envasado.1. La producción de la primera hora de trabajo de un día debe envasarse en recipientes de 2 litros cada uno. ¿Cuántos recipientes se necesitan? 2. La producción de la segunda hora se envasa en recipientes de 1 litro cada uno. ¿Cuántos recipientes se necesitan? 3. La producción de la tercera hora va en recipientes de 1

2 litro cada uno. ¿Cuántos recipientes hacen falta? 4. Martín confeccionó la siguiente tabla para organizar la información de cuántos recipientes necesita para envasar la producción de jarabe de una hora según la capacidad de cada uno de ellos. Complétela.

x (capacidad de cada recipiente en litros 2 1 1

2 3 4 6 14

110 12 1

3

y (cantidad de recipientes) 6 12 24

5. Para poder prever la cantidad y de recipientes que debe disponer para envasar la producción de una hora si la capacidad de cada uno es de x litros, Martín decidió buscar una fórmula que le permita calcular y a partir de conocer x.

Le pedimos que dé la fórmula hallada por Martín, teniendo en cuenta los cálculos que hizo para completar la tabla anterior. 6. Teniendo en cuenta los pares de valores obtenidos en la tabla anterior, represente en un sistema de ejes coordenados cartesianos los puntos que expresan la cantidad y de recipientes necesaria para envasar x litros de jarabe.

MATEMÁTICA • B

. 37 .

7. El recipiente más chico tiene una capacidad de 110 de litro y el más grande de 12 litros.

Además, suponga que es posible tener recipientes de cualquier capacidad entre las dos anteriores. Teniendo en cuenta esta información, defina una función f que describa la situación planteada.8. Represente la función f que definió en el ítem anterior en un sistema de ejes coordenados cartesianos.Teniendo en cuenta la tabla que completó en el ítem 4, indique cuáles de las siguientes frases son verdaderas:

a) Al duplicar la capacidad de cada recipiente, la cantidad de recipientes necesaria es la mitad.

b) Si la capacidad de los recipientes se reduce a la mitad, la cantidad de recipientes necesaria se duplica.

c) Al multiplicar la cantidad y de recipientes necesaria por la capacidad x de cada uno de ellos, se obtiene siempre el mismo resultado.

d) Si se triplica la capacidad del recipiente, la cantidad de recipientes necesaria se reduce a la tercera parte.

e) En cualquier caso se verifica que x · y = 12.

f) Para calcular la cantidad y de recipientes necesaria para envasar los 12 litros de jarabe que se producen por hora, en recipientes de x litros se usa la fórmula y = 12

x.

OrientacionesTodas las afirmaciones anteriores son verdaderas. Decimos que la cantidad de recipientes es inversamente proporcional a la capacidad de cada uno.

Actividad 5Por su trabajo, Martín cobra $ 6.000 por mes. En marzo ha logrado organizarse de manera que, en los 6 primeros días después de cobrar, gasta $ 200 por día. Teniendo en cuenta la información anterior, responda:

1. Complete la siguiente tabla:

x (días después del cobro) 1 2 3 4 5 6

y ( dinero que le queda) 5.800 5.600

2. Entre las siguientes fórmulas, elija la que permite calcular el dinero y que le queda a Martín x días después de haber cobrado.

a) y = 6.000 + 200x b) y = 6.000

xc) y = 6.000 - 200x

3. Defina una función g que describa lo que ocurre con el dinero de Martín en los 6 primeros días después del cobro.

4. Represente la función g que definió en el ítem anterior en un sistema de ejes coordenados cartesianos.

. 38 .

Actividad 6En el mes de abril gastó el dinero de su sueldo de manera que la cantidad y que le queda después de x días del cobro está indicada en la siguiente tabla:

x (días después del cobro) 1 2 3 4 5 6

y ( dinero que le queda) 6.000 3.000 2.000 1.500 1.200 1.000

1. Entre las siguientes fórmulas, elija la que permite calcular el dinero y que le queda a Martín x días después de haber cobrado.

a) y = 6.000 + 200x b) y = 6.000

xc) y = 6.000 - 200x

2. Defina una función h que describa lo que ocurre con el dinero de Martín en los 6 primeros días después del cobro.

3. Represente la función h que definió en el ítem anterior en un sistema de ejes coordenados cartesianos.

Proporcionalidad inversa. Funciones de proporcionalidad inversa

En el caso del envasado de jarabes y en el del dinero que le queda a Martín en abril, las magnitudes que intervienen se relacionan de manera que al multiplicar x . y el resultado es siempre el mismo, es decir, es constante. Cuando esto ocurre, decimos que las magnitudes son inversamente proporcionales entre sí. La constante obtenida se llama constante de proporcionalidad.

En el caso del dinero que le queda a Martin en el mes de marzo, si bien con el paso de los días disminuye el dinero que le queda, no hay proporcionalidad inversa. En el caso del envasado de jarabes, dicha constante es 12 y expresa la cantidad de litros de jarabe producidos por hora.

En el caso de la cantidad de dinero que le queda a Martín en abril, la constante es 6.000 y expresa su sueldo mensual.

La función f : [ 110 ; 12] → R / f (x) = 12

x, que describe la situación del envasado de jarabe, y la

función h : { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } → R / h(x) = 6.000x que describe lo que ocurre con el dinero de

Martín en los 6 primeros días del mes, son funciones de proporcionalidad inversa.

En general, llamamos función de proporcionalidad inversa a aquella de la forma:

f : A → R / f (x) = cx

(donde el conjunto A es un dominio a d e c u a d o a cada situación, c es la

constante de proporcionalidad y x es un número real distinto de cero).

Si se representa una función de proporcionalidad inversa, se obtienen puntos que están sobre una curva llamada hipérbola. Por ejemplo, la representación gráfica de la función:

f : [ 110

; 12] → R / f (x) = 12x

es la siguiente:

y

x

00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

MATEMÁTICA • B

. 39 .

Actividad 7Usted definió la función f : [ 1

10 ; 12] → R / f (x) = 12

x para describir lo observado en el

envasado de jarabes. También representó esa función. Retomaremos, ahora esa actividad. 1. Vamos a imaginar que se pueden tener recipientes todo lo chicos que uno desee. Teniendo en cuenta esto, responda las siguientes consignas:

a) Si el recipiente tiene una capacidad de 0,05 litro, ¿cuántos recipientes se necesitan para envasar los 12 litros de jarabe? b) Si en cada recipiente caben 0,01 litro, ¿cuántos recipientes se necesitan? c) Complete la siguiente tabla en la que se tienen en cuenta recipientes de capacidades cada vez más chicas.

x (capacidad de cada recipiente en litros) 0,05 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,0001

y (cantidad de recipientes)

d) Imagine qué pasaría con la cantidad de recipientes necesaria para envasar el jarabe si se consiguieran recipientes aún más pequeños. Explique con sus palabras lo que supone que ocurriría. e) Vuelva al gráfico que hizo en el ítem 8 de la Parte A. Complételo, teniendo en cuenta los pares de valores que calculó en la tabla del ítem c. f) Describa, con sus palabras, lo que observa en el gráfico respecto de la curva y el eje y.

2. Vamos a suponer, ahora, que se pueden tener recipientes todo lo grande que uno desee. Teniendo en cuenta esto, responda las siguientes consignas:

a) Si el recipiente tiene una capacidad de 24 litros, ¿qué fracción del recipiente se ocupa con 12 litros de jarabe? b) Si en cada recipiente caben 100 litros, ¿qué fracción del recipiente se ocupa? c) Complete la siguiente tabla en la que se consideran recipientes de capacidades cada vez mayores.

x (capacidad de cada recipiente en litros) 24 100 1000 10000

y (fracción de recipiente)

d) Si se consiguieran recipientes aún más grandes para envasar el jarabe, imagine qué pasaría con la fracción del recipiente que se ocupa. e) Vuelva al gráfico que comenzó a completar en el ítem 1.e. de esta Parte de la Actividad Complételo, teniendo en cuenta los pares de valores que calculó en la tabla del ítem 2.c. f) Describa, con sus palabras, lo que observa en el gráfico respecto de la curva y el eje x.

3. a) ¿Puede un recipiente tener 0 litro de capacidad? b) ¿Qué pasa si hace la cuenta 12 : 0 en su calculadora?

4. a) Defina una función k que describa la nueva situación. Es decir, debe ser una función que tenga en cuenta recipientes de cualquier capacidad. b) Represente gráficamente la función k que definió en el ítem a.

. 40 .

Actividad 8Resuelva los siguientes problemas:

1. a) Determine en cuáles de las siguientes tablas hay proporcionalidad directa entre x e y.

b) Determine en cuáles de las siguientes tablas hay proporcionalidad inversa entre x e y.

c) Explique qué tiene en cuenta para responder los ítems a y b.

x 2 4 5 8

y 6 3 2 1

x 3 7 12 15

y 4,5 10,5 18 22,5

x 5 3 2 0,5

y 6 10 15 60

x 2 4 5 8

y -4 -8 -12 -16

x 9 5 3 1

y 7 3 1 -1

2. a) Determine en cuáles de los siguientes gráficos hay proporcionalidad directa entre x e y.

b) Determine en cuáles de los siguientes gráficos hay proporcionalidad inversa entre x e y.

c) Explique qué tiene en cuenta para responder los ítems a y b.

1

1

2

20

y

x

1

0

2

1-1

1

1 20

y

x

1

1

3

3

2

20

y

x

1

1

3

4

3 4 5 6

2

20

y

x

1

1

3

3

2

20

yy

x x

3.a) Determine cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones de proporcionalidad directa.

b) Determine cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones de proporcionalidad inversa.

MATEMÁTICA • B

. 41 .

c) Explique qué tiene en cuenta para responder los ítems a y b.

• y = 3 · x + 2 • y = 15 x • y = -3

x • y = -4 · x

• y = x2 • y = 5x • y = 1

x -2

4. Complete el siguiente cuadro teniendo en cuenta que en todos los casos se trata de funciones de proporcionalidad directa:

Función Gráfico Valor de x . y

Constante de proporcionalidad

Fórmula que permite hallar y a

partir de xEn la que la docena de huevos vale $2

f : N → R / f(x) =0,5 · xy

x

00

1 2

3

6

-3

-5

y = 1,5 · x

5. Complete el siguiente cuadro teniendo en cuenta que en todos los casos se trata de funciones de proporcionalidad inversa:

Función Gráfico Valor de x . y

Constante de proporcionalidad

Fórmula que permite hallar y a

partir de xEn la que envasan 480 litros de combustible en recipientes de distinta capacidad

y

x

00

1 2

2

1

-3

-5

y = 10x

f : N → R / f(x) = 15x

. 42 .

6. Responda a las siguientes preguntas: a) Si por 3kg de manzanas se paga $6, ¿cuánto debe pagarse por 1/4kg de manzanas?

b) Si se venden manzanas a razón de $2 el kg, ¿cuánto debe pagarse por 7kg?

7. Responda: a) Un móvil que se mueve a velocidad constante recorrió 80 km en 2 horas. ¿Puede usted determinar cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?

b) Un auto se desplaza de un pueblo a otro. La distancia entre los pueblos es de 500 kilómetros. Cuando pasaron 3 horas había recorrido 300 km. ¿Puede usted determinar cuánto tiempo le falta para llegar?

c) En un pueblo se distribuye el agua potable a través de una cooperativa. Cada casa de familia debe pagar una tarifa que consiste en una cuota mensual de $20 más un monto proporcional a lo consumido en el mes. Una familia que consumió 100hl en un mes pagó a la cooperativa un total de $60. ¿Cuál es la cifra correspondiente a una familia que consume 200hl al mes?

d) En una ferretería hay un cartel que dice: «Por cada 100 metros de manguera para riego que compre, le regalamos 2 metros».

• ¿Qué cantidad de metros le regalarán si compra 300 metros?

• Si en el cartel dijera: «Le regalamos el 3 % de la cantidad de metros de manguera para riego que usted compre». ¿Qué cantidad de metros le regalarían si compra 300 metros?

e) Al año de vida, un niño tiene una altura de 80cm. ¿Cuánto medirá cuando cumpla 18 años?

8. Cada una de las situaciones planteadas en la ejercicio 7 puede ser expresada por una función.

a) Decida si la situación puede expresarse o no con una función de proporcionalidad directa.

b) En los casos en que la situación puede expresarse con una función de proporcionalidad directa:

• Indique la constante de proporcionalidad.

• Escriba la fórmula de la función.

• Escriba la función de proporcionalidad que expresa la situación.

9. Resuelva las siguientes situaciones: I. Un móvil se desplazó por una autopista entre un cierto lugar A y otro B. Lo realizó en 6 horas viajando a una velocidad constante de 120 km/hora. Si en otro momento realiza el mismo viaje a 100 km/hora, ¿cuánto tiempo tardará en realizarlo?

II. En una fábrica se elabora la misma cantidad de kilogramos de un fertilizante por día. Cuando lo elaborado en un día se embala en bolsas de 250 gramos se emplean 170 bolsas. Si en otra oportunidad se embalaron 85 bolsas, ¿cuántos gramos contendrá cada bolsa en dicha oportunidad?

III. El alquiler de un ómnibus para realizar una excursión es de $130. La capacidad del mismo es de 40 pasajeros. Si solo van 26 personas a la excursión,

• ¿Cuánto debe pagar cada uno para cubrir los gastos del alquiler? • ¿Es posible que se logre que cada pasajero que concurra a la excursión abone $2,6? • Justifique su respuesta.

MATEMÁTICA • B

. 43 .

IV. En un experimento de laboratorio se midió, por cada minuto x que pasaba, la temperatura y que adquiría la sustancia con la que se experimentaba. Los datos se indicaron en la siguiente tabla:

Tiempo x (min) 1 2 3 4

Temperatura y (°C) 12

14

18

116

¿Podría indicar la temperatura de la sustancia a los 5 minutos?

10. Cada una de las situaciones planteadas en el ejercicio 9 puede ser expresada por una función.

a) Decida si la situación puede expresarse o no con una función de proporcionalidad inversa.

b) En los casos en que la situación puede expresarse con una función de proporcionalidad inversa:

• Indique la constante de proporcionalidad.

• Escriba la fórmula de la función.

• Escriba la función de proporcionalidad que expresa la situación.

Actividades de autoevaluación1. Indique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

x 3 5 10

z 75 125 250

Entre las variables z y x indicadas en la tabla existe una relación de proporcionalidad directa.

a) Verdadera. b) Falsa.

2. ¿Cuál, de las siguientes fórmulas, describe una relación de proporcionalidad directa?

a) y = 5 · x

b) y = 5 : x

c) y = 5 + x

d) y = 5 – x

3. ¿Con qué número se debe completar la tabla para que exista una relación de proporcionalidad inversa entre las variables x y z?

a) 25 b) 5

c) 10 d) 2

x 5 10 25

z 10 5

. 44 .

4. Cuatro compañeros de trabajo ponen, cada uno, $150 para comprar un regalo. A último momento y con el regalo ya comprado se suman dos compañeros. ¿Cuánto dinero le corresponde poner a cada uno de los compañeros, en estas condiciones?

a) $150 b) $100 c) $200 d) $75

5. En una fábrica de alfajores se produjeron en un día 2.400 unidades. Para la comercialización se utilizan cajas de distinta capacidad. Tres de las siguientes afirmaciones referidas a la situación planteada son verdaderas. Indique cuáles son:

a) Si utilizan cajas con capacidad para 6 alfajores son necesarias 400 cajas.

b) Si utilizan cajas con capacidad para 12 alfajores son necesarias 200 cajas.

c) Entre la cantidad de alfajores por caja y la cantidad de cajas utilizadas existe

una relación de proporcionalidad inversa.

d) Entre la cantidad de alfajores por caja y la cantidad de cajas utilizadas existe

una relación de proporcionalidad directa

e) Es posible guardar la totalidad de los alfajores producidos en el día en cajas con capacidad para 9 alfajores.

MATEMÁTICA • B

. 45 .

Unidad 4Funciones Cuadráticas. Funciones exponenciales

Actividad 1En un taller de artesanías, un cliente solicita la decoración de chapas cuadradas de diferentes dimensiones.

El trabajo consiste en pintar una cara de cada chapa de lado x (en cm) y colocarle un listón de cobre como indica el siguiente dibujo:

{XListón

Para presupuestar el trabajo, el dueño del taller realiza una serie de cálculos y averiguaciones:

• El costo de pintar la chapa es de $3 el cm2.

• El listón de cobre vale $2 el cm.

• El costo de mano de obra es de $4 por cada chapa.

Como el precio a cobrar por el trabajo depende de la medida x del lado de la chapa, necesita organizarse para realizar los cálculos. Para ello decide confeccionar una tabla considerando los siguientes rubros:

• Medida del lado de la chapa.

• Área de la chapa.

• Gasto en pintura.

• Precio del listón.

• Costo de mano de obra.

• Tarifa total.

1. Complete en la tabla que sigue, los casilleros que el dueño del taller dejó en blanco:

Si la medida (en cm) del lado de la chapa es:

El área de la chapa es:

El gasto en pintura es:

El listón vale:

El costo por mano de obra es:

El total a cobrar, o tarifa, por esta chapa es:

2 22 3,22 3,22 + 2 · 2 + 4

5 2,5

7 3,72 + 2 · 7 + 4

10

. 46 .

2. Escriba una fórmula que exprese la tarifa total y a cobrar por un trabajo realizado en una chapa de lado x. Para hacerlo tenga presente las cuentas que realizó en la tabla anterior al calcular la tarifa total a partir de las diferentes medidas de los lados de las chapas.

OrientacionesLuego de completar la tabla le habrá resultado más sencillo escribir la fórmula que expresa la tarifa y en función de la medida del lado x de la chapa. La fórmula es: y = 3 · x2 + 2 · x + 4

Observándola, podemos ver que el máximo exponente al que está elevada la variable x es un cuadrado. Por esa razón decimos que es una fórmula cuadrática.

Fórmula cuadrática Llamamos fórmula cuadrática a cualquier fórmula del tipo: y = a · x2 + b · c + c con a, b y

c números reales y a ≠ 0 (a distinto de 0). A los números a, b y c los llamamos coeficientes.

Por ejemplo, en la fórmula y = 3 · x2 + 2 · x + 4 hallada, los coeficientes son: a = 3, b = 2, c = 4.

Actividad 2Todas las fórmulas que siguen son fórmulas cuadráticas. Identifique, en cada una de ellas, los valores de los coeficientes a, b y c:

• y = 5 · x2 - 2 · x - 3 • y = 3 · x2 - x + 23 • y = -2 · x2 + 1

2 · x + 1

• y = 34 · x2 - 5 · x • y = -x2 + 2 • y = 3 · x - 5 + x2

• y = x2 • y = 1 - x2

Actividad 3En un laboratorio se somete una barra metálica a distintas condiciones físicas. En cada caso se mide la temperatura de la barra durante los primeros 6 minutos de prueba.

Los gráficos que siguen representan funciones que expresan, para distintos casos, la temperatura y (en °C) en función del tiempo t (en minutos) durante los 6 minutos de prueba.

Las fórmulas de las funciones graficadas son cuadráticas y están indicadas debajo de cada uno de los gráficos.

y

t0

1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

y

t

3

1 2 3 4 5 6 70

1

2

4

5

6

7

8

9

10y

t

-6

2 4 6

-12

-10

-8

-4

-2

0

2

4

MATEMÁTICA • B

. 47 .

yt

-7

1 2 3 4 5 6 7

-10

-9

-8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

t

3

1 2 3 4 5 6 70

1

2

4

5

6

7

8

9

10

11y

t

-6

2 4 6

-12

-10

-8

-4

-2

0

2

4

Para cada uno de los gráficos indique:

a) La temperatura inicial.

b) Los instantes en los que la temperatura es igual a 0 ºC.

c) Los instantes en que las temperaturas fueron mayores que 0 ºC.

d) Los instantes en que las temperaturas fueron menores que 0 ºC.

e) La temperatura máxima y en qué instante o instantes se alcanzó la misma.

f) La temperatura mínima y en qué instante o instantes se alcanzó la misma.

g) Los instantes en los que la temperatura aumenta.

h) Los instantes en que la temperatura disminuye.

Función cuadrática. Parábola En todos los casos anteriores, la función que modela cada situación es una función del tipo

f : [0 ; 6] → R / f (t) = at2 + bt + c con a, b y c números reales y a ≠ 0.

El dominio de todas ellas es el conjunto [0 ; 6] ya que las pruebas sobre la barra se realizaron durante 6 minutos.

Saliéndonos de la situación concreta de referencia, con cada una de las fórmulas anteriores podemos definir una función con dominio en el conjunto de todos los números reales. En ese caso estaríamos definiendo una función de la forma:

f : R → R / f (x) = ax2 + bx + c con a, b y c números reales y a =/ 0.

Llamaremos a estas funciones, funciones cuadráticas. Sus representaciones gráficas son curvas llamadas parábolas. Las representaciones gráficas de la actividad anterior son trozos de parábolas debido a que las funciones representadas están definidas en un subconjunto de números reales [0 ; 6]. Si extendiéramos el dominio de cada una de ellas al conjunto R, la representación gráfica de cada una de las funciones sería una parábola completa. Por ejemplo, la representación gráfica de la función correspondiente al caso III, considerando al conjunto de los números reales como dominio, resulta:

. 48 .

y

t

-6

2 4 6

-12

-14

-10

-8

-4

-2

0

2

4

6

Entre las representaciones gráficas anteriores puede observar parábolas con esta forma: ∪ y parábolas con esta forma: ∩ . A las primeras las llamaremos parábolas cóncavas hacia arriba y a las otras, parábolas cóncavas hacia abajo.

Las parábolas cóncavas hacia arriba alcanzan en algún valor x de su dominio, un valor f(x) que es el mínimo valor de la función. Análogamente, si la parábola es cóncava hacia abajo, alcanza en algún valor x de su dominio, un valor f(x) que es el máximo valor de la función. En cualquiera de los dos casos, el punto de la parábola donde la misma alcanza su punto máximo o su punto mínimo se llama vértice. Sus coordenadas son (xv ; yv), siendo f(xv) = yv .

Como la función f toma el mismo valor y para cada par de valores de x que se encuentran a igual distancia de la recta vertical que pasa por el vértice, la gráfica de f resulta ser simétrica respecto de esta recta. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría de la parábola y su ecuación es x = xv .

En el gráfico que precede este párrafo, la parábola es cóncava hacia abajo, el vértice es (4;4) y el eje de simetría es x = 4.

Actividad 4En un laboratorio se somete una barra metálica a distintas condiciones físicas. En cada caso se mide la temperatura de la barra durante los primeros 6 minutos de prueba.

Responda las siguientes preguntas a partir de las representaciones gráficas de la actividad anterior correspondientes a cada uno de los casos:

1. Observe las representaciones gráficas correspondientes a los casos I, II y V, y a partir de ellas responda las siguientes preguntas:

a) ¿Son parábolas cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo?

b) ¿Cuál es el signo del coeficiente a en la fórmula correspondiente a cada una de ellas?

2. Observe ahora las representaciones gráficas correspondientes a los casos III, IV y VI, y a partir de ellas responda las siguientes preguntas:

MATEMÁTICA • B

. 49 .

a) ¿Son parábolas cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo?

b) ¿Cuál es el signo del coeficiente a en la fórmula correspondiente a cada una de ellas?

3. A partir de sus respuestas a las preguntas anteriores, trate de contar con sus palabras cómo reconocería a través de la fórmula de una función cuadrática si la parábola que la representa es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

Actividad 51. Reproduzca en su cuaderno la representación gráfica de la función correspondiente al caso I pero considerando al conjunto de los números reales como dominio.

2. Represente, en el sistema utilizado para representar la parábola correspondiente al caso I, una parábola diferente a la anterior que tenga sus mismos ceros. Es decir, que corte al eje x en x = 1 y x = 5.

3. Represente también en el mismo sistema anterior, otras cuatro parábolas distintas que tengan como ceros a x = 1 y x = 5.

4. ¿Cuántas parábolas podría representar que tengan los mismos ceros que las anteriores?

5. Señale el punto correspondiente al vértice en cada una de las parábolas dibujadas e indique gráficamente sus coordenadas.

6. ¿Cuál es la distancia en cada una de las parábolas dibujadas desde el valor xv hasta cada uno de los ceros de la parábola?

7. A partir de sus respuestas a las preguntas anteriores, ¿qué podría decir sobre la ubicación de xv en relación con la ubicación de los ceros en cada una de las parábolas dibujadas?

OrientacionesEs posible representar infinitas parábolas que tengan a x = 1 y x = 5 como ceros. Todas ellas son simétricas respecto del mismo eje. Como el eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice de la parábola, todas ellas también tienen la misma abscisa del vértice (xv). Las representaciones gráficas de algunas de las parábolas que verifican las condiciones anteriores son:

La distancia desde xv a cualquiera de los dos ceros de

la parábola es la misma, es decir que la abscisa xv está

ubicada en el punto medio entre los dos ceros de la

parábola. Por esta razón, xv se puede calcular como el

promedio de los valores de los ceros. O sea, en este caso:

xv = 1 + 5

2 = 3.

y

t

-3

1-1 2 3 4 5 6 7

Eje de simetría

-6

-5

-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

. 50 .

Fórmulas para determinar el eje de simetría y los ceros de una función cuadrática

Dada la ecuación y = ax2 + bx + c de una función cuadrática, podremos determinar la

ecuación del eje de simetría resolviendo el siguiente cálculo, xv = -b2a .

Dada la ecuación y = ax2 + bx + c de una función cuadrática, podremos determinar los

posibles ceros o raíces de la función cuadrática resolviendo los siguientes cálculos:

x1 = -b - √b2 - 4ac2a y x2 = -b + √b2 - 4ac

2a , que podemos escribir también de la siguiente

manera: x1,2 = -b ± √b2 - 4ac2a .

Ejemplo:

Utilizando las fórmulas indicadas, hallaremos el eje de simetría y los ceros de la función

cuadrática f(x) = y = x2 + 2x -3.

En este caso a = 1, b = 2, c = 3.

Entonces xv = -22 · 1 = -2

2 = -1 es la ecuación del eje de simetría.

El vértice es el punto de coordenadas (xv ; f(xv)), en este caso (-1 ; f(-1)) = (-1 ; -4).

Los ceros de la función son x1 = -2 - √22 - 4 · 1 · (-3)2 · 1 =

-2 - 42 = -3

y x2 = -2 + √22 - 4 · 1 · (-3)2 · 1 =

-2 +42 = 1.

A continuación la representación gráfica de la función f (x) = y = x2 + 2x - 3, donde podemos

observar que -3 y 1 son los ceros de la función y (-1 : -4) es el vértice.

-5 -3 -2 -1 1-4 2 3 4 5

3

1

2

4

5

-3

-4

-2

-1

-5

MATEMÁTICA • B

. 51 .

Actividad 6Halle, utilizando las fórmulas, los ejes de simetría y los ceros de las funciones indicadas y representadas en la actividad 2 (casos I a VI).

OrientacionesEn el caso V, la función es f(t) = t2 - 6t + 11.

Entonces a =1, b = -6 y c = 11.

x = -b2a = -(-6)

2 · 1 = 62 = 3; entonces la ecuación del eje de simetría es x = 3.

f(3) = 32 - 6 · 3 + 11 = 2, por lo que el vértice de la parábola es (3 ; 2).

Determinemos los posibles ceros de la función, utilizando la fórmula:

x1,2 =-b ± √b2 - 4ac

2a = -(-6) ± √(-6)2 - 4 · 1 · 11

2 · 1 = 6 ± √36 - 44

2 = 6 ± √-8

2La raíz cuadrada de -8 no existe en el conjunto de los números reales, por lo tanto la parábola no tiene ceros.

Podemos verificar, observando el gráfico de la actividad 2, los resultados obtenidos.

Actividad 7Resuelva los siguientes problemas:

1. En este ejercicio se nos han mezclado enunciados, gráficos y fórmulas que se corresponden entre sí. Es por eso que le pedimos que los ordene, es decir que encuentre el gráfico y la fórmula que corresponden a cada uno de los enunciados.

Enunciados:

Cada uno de los enunciados que siguen corresponden a situaciones concretas que se pueden modelar matemáticamente con una función f : A → R de fórmula cuadrática. El conjunto A es algún subconjunto de números reales que se pueda utilizar como dominio de la función de modo que la situación concreta planteada tenga sentido. Los enunciados son los siguientes:

Situación A: Se observan las posiciones de un submarino respecto del nivel del mar (y = 0) durante un lapso de 4 horas a partir de la 0 hora de un determinado día, instante que consideramos como x = 0. Al comenzar la observación, el submarino estaba a una profundidad de 10 hectómetros y además se observó que no se asomó a la superficie del mar.

Situación B: Se registró la altura alcanzada por un objeto que fue tirado hacia arriba desde una plataforma de 6 metros de altura. Se consideró como tiempo x = 0 (minutos) al momento de lanzamiento y se observó hasta el instante en que el objeto tocó el suelo. También se vio que la altura máxima la alcanzó 1 minuto después de ser tirado.

Situación C: Al comenzar a observar la evolución de la cantidad de agua (en kilolitros) en un tanque, se vio que el mismo estaba vacío. A partir de ese instante, que llamaremos x = 0 (en horas) el tanque se empezó a llenar y volvió a quedar vacío en algún momento después de la tercera hora de observación y antes de la cuarta hora. Las velocidades de llenado y de vaciado no son constantes.

Situación D: Una parte de un informe de un laboratorio dice, respecto del proceso químico XKL: Tiempo de duración del proceso 5 horas. La temperatura tiende naturalmente a

. 52 .

disminuir, por esta razón, después de 2 horas de iniciado el proceso, se colocó un dispositivo con el fin de revertir el descenso de la temperatura. El instante en el que se puso en funcionamiento el dispositivo se consideró x = 0, y, en dicho instante, la temperatura era de 4° C. Aun con el dispositivo la temperatura siguió bajando hasta alcanzar temperaturas bajo cero, pero luego aumentó volviendo a obtener valores mayores a cero.

Gráficos:

Cada uno de los enunciados anteriores puede ser representado a través de alguno de los siguientes gráficos:

y

x1

1

2

3

4

5

6

7

8

02 3 4 5 6

y

x1

123456789

0 2 3 4

Gráfico 1 Gráfico 2

3,5

y

x1

1

-1

2345

67

910

8

02 3 4 5

Gráfico 3 Gráfico4

-1

y

x1

1

-1

2

3

4

5

6

7

9

10

8

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-2

-3

02 3 4 5-1

MATEMÁTICA • B

. 53 .

y

x1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 2-2 -1-1

3 4 5

y

x1

123456789

1110

1213141516

0 2 3 4 5 6 7 8

Gráfico 5 Gráfico 6

y

x1-1

-2-3-4-5-6-7-8-9

-10-11-12-13-14-15-16-17-18

10

2 3 4

Gráfico 3 Gráfico4y

x

10

14

2020

30

35

2 3 4

4

5 6 7 8-3

-3 -2-2

4

Fórmulas:

Las fórmulas y = f (x) que pueden corresponder a los gráficos y a los enunciados anteriores son:

• y = 3x2 - 192 · x + 4 • y = -2 (x + 1)(x - 3) • y = -x + 8x • y = -x2 + 2x -10

• y = (x - 2)(x - 3) • y = 12 x2 - 3x + 4 • y = x2 + x - 10 • y = -3x2 + 10x

• y = 3 ·(x - 83 )(x - 1

2 ) • y = -2x2 + 4x + 6

. 54 .

A partir de la información dada en los gráficos, enunciados y fórmulas anteriores, responda las siguientes consignas:

a) Determine cuál es el gráfico y cuál es la fórmula que corresponde a cada una de las situaciones enunciadas. Una vez que lo haya hecho, vuelque la información en el cuadro que le damos a continuación.

Situación A Situación B Situación C Situación D

Gráfico n.°

Fórmula

b) Para cada una de las funciones que expresan a las situaciones

anteriores, determine:

• El Dominio de la función.

• El conjunto imagen de la función.

• La imagen de cero u ordenada al origen de la función. En símbolos f (0).

• Los ceros de la función (si existen).

• Los intervalos de positividad y negatividad de la función (si existen).

• Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

• Los máximos o mínimos de la función.

c) Exprese cada una de sus respuestas a las preguntas del ítem 2 en términos de cada una de las situaciones concretas enunciadas. Por ejemplo: el dominio de la situación A es el intervalo de tiempo, entre la 0 hora y las 4 horas, durante el que se observan las posiciones del submarino.

2. Represente la función f : R → R / f (x) = x2 a partir de los valores que obtenga al completar la siguiente tabla:

x -2 -1 - 12

0 12 1 2

f(x)

Represente la función g : R → R / g (x) = (x - 1)2.

Represente la función h : R → R / h (x) = x2 + 1.

3. Dada la función f (x) = 2x2 + 4x - 30.

a. Halle la ecuación del eje de simetría de la parábola.

b. Halle los ceros o raíces.

c. Halle la ordenada al origen ( f (0) ).

d. Halle el vértice de la parábola.

e. Grafique la función f .

MATEMÁTICA • B

. 55 .

Actividad 8La fórmula y = -2x2 + 6x + 8 describe la altura (en metros) en la que se encuentra un objeto en cada segundo transcurrido desde un instante x = 0 hasta el instante en que alcanza el piso.

Responda a las siguientes preguntas:

a) ¿En qué momento el objeto alcanzó la altura máxima?

b) ¿Cuál fue la altura máxima?

c) ¿Después de cuántos segundos el objeto llegó al piso?

OrientacionesEn la fórmula dada a = -2, b = 6 y c = 8.

Vamos a realizar la representación gráfica de la función cuadrática entre x = 0y el instante que el objeto llega al piso.

El eje de simetría es x = -b2a = -6

2 · (-2) = 1,5 .

El vértice es el punto (1,5 ; f(1,5)) = (1,5 ; 12,5) .

La ordenada al origen es f(0) = 8.

Los ceros son -1 y 4.

Por lo tanto, la representación gráfica de la función, entre los valores de x indicados, es:

1 3 4 5 6 72 8 9 10

10

8

9

7

0

11

12

4

33

5

6

2

1

Y las respuestas son que el objeto alcanzó una altura máxima de 12,5 metros al segundo y medio y que alcanzó el piso a los cuatro segundos.

. 56 .

Actividad 9Parte AEl volumen de un objeto en un instante determinado, que llamaremos x = 0, es de 1 metro cúbico y se observa que dicho volumen se duplica cada hora. Nombramos con la letra x al tiempo (en horas) transcurrido desde el instante 0 y con la letra y al volumen del objeto.

1. Complete la siguiente tabla:

x (en horas) 0 1 2 3 4 5 6 7

y (en metros cúbicos)

1 1 · 2 = 2 1 · 2 · 2= 4 1 · 2 · 2 · 2 = 8

2. Escriba una fórmula que permita calcular el volumen del objeto en cada instante.

3. Utilice la fórmula para determinar el volumen del objeto a la hora 10.

4. Utilice la fórmula para completar la siguiente tabla, donde los valores negativos de x indican instantes previos al x = 0:

x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y

5. Grafique la función que a cada instante le hace corresponder el volumen del objeto.

OrientacionesLa tabla se puede completar de la siguiente manera:

x (en horas) 0 1 2 3 4 5 6 7

y (en metros cúbicos)

1 = 1 · 20 1 · 2 = 1 · 21 1 · 2 · 2 = 1 · 22 1 · 2 · 2 · 2 = 1 · 23 1 · 24 1 · 25 1 · 26 1 · 27

Entonces la fórmula que permite escribir el volumen en función del tiempo es y = 1 · 2x o y = f (x) = 2x y su representación gráfica es la siguiente:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

8

9

7

0

4

3

5

6

2

1

MATEMÁTICA • B

. 57 .

Parte BSi el volumen del objeto en el instante x = 0 hubiera sido de 5 metros cúbicos, ¿cómo se completaría la siguiente tabla, cuál sería una fórmula adecuada y cuál su representación gráfica?

OrientacionesLa fórmula adecuada sería y = g(x) = 5 · 2x y su representación gráfica:

-7 -5 -4 -3 -2 -1-6 1 2-9-10 -8

8

6

7

5

0

9

2

1

3

4

-1

10

11

Fórmula de la función exponencialLas fórmulas f(x) = 2x y g(x) = 5 · 2x son ejemplos de fórmulas exponenciales, ya que en

ellas, la variable aparece en el exponente.

En general, una función es exponencial si se expresa con una fórmula del tipo h(x) = k · ax, donde la base a debe ser un número real positivo distinto de 1, el coeficiente k debe ser un número real distinto de cero y el dominio de h es el conjunto de los números reales.

¿Por qué decimos que la base a debe ser positiva?

Si la base a fuera un número negativo, la potencia no estaría definida para algunos exponentes. Por ejemplo: (-4)1/2 y 0-3 no existen en el conjunto de los números reales.

¿Por qué decimos que la base a debe ser distinta de 1?

Si a = 1, para cualquier valor de x resulta que h(x) = k · ax = k · 1x = k y entonces h(x) = k, que es una función constante y no se la considera como una función exponencial.

¿Por qué decimos que el coeficiente k debe ser distinto de 0?

Si k = 0, resulta h(x) = 0 · ax = 0 · 1x = 0y entonces h es constante.

. 58 .

Actividad 10Luis Alberto deposita $10.000 a principios de enero mediante un plazo fijo en un banco.

El interés mensual ofrecido por el banco es del 2% sobre el dinero depositado. Es decir, que al cumplirse un mes del depósito, a este se le agrega una suma equivalente al 2% de la cantidad depositada. Si el cliente no retira el dinero, el plazo fijo se renueva automáticamente en las mismas condiciones ya indicadas.

Responda las siguientes preguntas:

1. Al mes de haber hecho el depósito,

a) ¿Cuánto dinero se agrega al capital depositado?

b) ¿Cuánto dinero hay en el plazo fijo de Luis Alberto a comienzos de febrero?

2. Luis Alberto deja todo ese dinero depositado durante otro mes. A principios de marzo,

a) ¿Cuánto dinero se agrega a su plazo fijo?

b) ¿Cuánto dinero tiene Luis Alberto en el plazo fijo entonces?

3. Luis Alberto confía en el banco y deja depositado durante otro mes todo el dinero obtenido hasta el momento. A principios de abril,

a) ¿Cuánto dinero se agrega a su plazo fijo?

b) ¿Cuánto dinero tiene Luis Alberto en dicho plazo fijo?

4. Escriba una fórmula que permita determinar cuánto dinero tendrá Luis Alberto en su plazo fijo a comienzos del mes t.

Orientaciones

Repasemos las cuentas que hizo para contestar las preguntas anteriores para construir una fórmula que permita calcular el capital después de una cantidad de meses de efectuado el depósito.

Para calcular el interés del primer mes, calculamos el 2% de 10.000 esto es:2

100 · 10.000 = 0,02 · 10.000 = 200

Esta suma se agrega a los $10.000. Por lo tanto, a fines de enero tendrá $ 10.200 en su plazo fijo

También podríamos plantear el cálculo de la cantidad de dinero que dispondrá Luis Alberto a principios de febrero del siguiente modo: 10.000 + 0,02 · 10.000, que también podemos escribir 10.000 · (1 + 0,02) = 10.000 · 1,02 = 10.200.

Para calcular el interés del segundo mes, calculamos el 2 % de 10.200. Esto es:

0,02 · 10.200 = 204 y a esta suma se le agregan los $10.200 para determinar la cantidad de dinero que dispondrá a comienzos de marzo. Esto es:

10.200 + 0,02 · 10.200 = 10.200 · (1 + 0,02) = 10.404.

Pero, como vimos, 10.000 · (1 + 0,02) = 10.200. Por lo tanto podemos escribir la cuenta anterior así: 10.000 · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) = 10.000 · (1 + 0,02)2 =10.000 · 1,022.

Para calcular el interés del tercer mes, calculamos el 2 % de 10.404. Esto es 0,02 · 10.404 = 208,08

Esta suma se agrega a los $ 10.404. Esto es:

10.404 + 0,02 · 10.404 = 10.404 · (1 + 0,02) = 10.612,08.

MATEMÁTICA • B

. 59 .

Pero como vimos 10.000 · (1 + 0,02)2 = 10.404. Por lo tanto, podemos escribir la cuenta anterior así: 10.000 · (1 + 0,02)2 · (1 + 0,02) = 10.000 · (1 + 0,02)3 = 10.000 · 1,023.

Resumiendo los cálculos anteriores para hallar los capitales obtenidos o montos m, teniendo en cuenta el tiempo t (en meses), podemos escribir:

Después de un mes (t = 1), resulta: m(1) = 10.000 · 1,021

Después de dos meses (t = 2), resulta: m(2) = 10.000 · 1,022

Después de tres meses (t = 3), resulta: m(3) = 10.000 · 1,023

Así podríamos seguir para los demás meses que dure el depósito.

Después de t meses, resulta m(t) = 10.000 · 1,02t. Esta fórmula exponencial nos permite calcular el monto de dinero que Luis Alberto tiene en su plazo fijo al cabo de t meses después de haber depositado $10.000 al 2% mensual.

Actividad 11Un objeto es lanzado hacia arriba de tal manera que la altura en que se encuentra está determinada por la fórmula y = f (x) = 16x , donde y es el altura (en metros) en que se encuentra el objeto y x es el tiempo (en segundos) transcurrido desde su lanzamiento

Responda las siguientes preguntas:

1. ¿Desde qué altura fue lanzado el objeto?

2. ¿A qué altura estaba el objeto a los dos segundos?

3. ¿Después de cuánto tiempo el objeto está a 65.536 metros de altura?

4. ¿Después de cuánto tiempo el objeto está a 524.288 metros de altura?

5. ¿Después de cuánto tiempo el objeto está a 40.000.000 metros de altura?

OrientacionesPara determinar la altura del lanzamiento es necesario calcular el valor de la función parax = 0, esto es f (0) = 160 = 1, entonces podemos afirmar que el objeto fue lanzado desde una altura de un metro.

Para responder la segunda pregunta reemplazamos la x por 2 en la fórmula, f (3) = 162 = 256, por lo que a los dos segundos de su lanzamiento el objeto está a 256 metros de altura.

Para responder la tercera pregunta, en la fórmula y = f (x) = 16x debemos reemplazar la letra y por 65.536 y queda 65.536 = 16x . Al número x al cual hay que elevar a 16 para obtener 65.536 lo llamaremos logaritmo en base 16 de 65.536 y lo notaremos de la siguiente manera: log16 65.536.

Probamos con una calculadora científica:

163 = 4.096164 = 65.536Entonces, a los 4 segundos la altura del objeto es de 65.536 metros.

Escribimos log16 65.536 = 4 dado que 164 = 65.536.

Procedemos de manera análoga para responder la cuarta pregunta. Reemplazamos la letra y por 524.288 y queda 524288 = 16x. Por lo expuesto en la respuesta a la pregunta anterior es x = log16 524.288.

164 = 65.536165 = 1.048.576

. 60 .

A los 4 segundos el objeto está a 65.536 metros de altura, y a los 5 segundos a 1.048.576 metros de altura. Seguimos probando con la calculadora para valores de x entre 4 y 5.

164,25 = 131.072

164,5 = 262.144

164,75 = 524.288

Por lo tanto, a los 4,75 segundos el objeto está a 524.288 metros de altura.

Escribimos log16 524.288 = 4,75 dado que 164,75 = 524.288.

Debemos determinar, finalmente, para qué valor de x es 40.000.000 = 16x.

165 = 1.048.576

166 = 16.777.216

Si a 16.777.216 lo multiplicamos por 16, claramente el resultado superará a 40.000.000, por lo que en lugar de hacer «16 elevado a la 7», probaremos con valores de x entre 6 y 7.

166,1 =̃ 22.137.669

166,2 =̃ 29.210.830

166,3 =̃ 38.543.920

166,4 =̃ 50.859.008

Seguimos probando con valores de x entre 6, 3 y 6,4.

166,31 =̃ 39.627.537

166,32 =̃ 40.741.620

166,313 =̃ 39.958.525

166,3133 =̃ 39.991.776

Y podemos seguir buscando mejores aproximaciones.

La respuesta a la quinta pregunta es que el objeto alcanza los 40.000.000 de metros de altura a los 6,3133 segundos, aproximadamente y log16 40.000.000 =̃ 6,3133 dado que 166,3133 es un número muy «cercano» a 40.000.000.

Logaritmo El logaritmo en base a de un número b positivo es el número c al que hay que elevar a para

obtener como resultado el número c , con a positivo y distinto de 1.

En símbolos loga b = c si y solo si ac = b.

Ejemplos fáciles de calcular:

log2 8 = 3 ya que 23 = 8

log51 = 0 ya que 50 = 1

log7737 = 37 ya que 737 = 37

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y para ellos se usa la notación log, es decir, no se indica la base. Las calculadoras científicas disponen de la tecla log para calcular logaritmos en base diez.

Ejemplo: log100 = 2 ya que 102 = 100

MATEMÁTICA • B

. 61 .

Propiedades del logaritmo 1. loga 1 = 0 para cualquier base a.

Ejemplo: log71 = 0

2. loga (x · y) = logax + loga y

Ejemplo: log2(4 · 8) = log2 32 = 5 y log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5

3. loga (x : y) = logax - logay

Ejemplo: log(1000 : 100) = log10 = 1 y log1000 - log100 = 3- 2 = 1

4. loga bc = c · logab

Ejemplo: log5252 = log5625 = 4 y 2 · log525 = 2 · 2 = 4

Cálculo de logaritmos con la calculadora Ejemplo:

¿Cómo hallar el logaritmo en base 7 de 479?

log7479 = x si y solo si 7x = 479, entonces aplicando el logaritmo decimal a ambos miembros de la igualdad nos queda log7x = log479 y por la propiedad de logaritmos xlog7 = log479. La

solución de la ecuación precedente es x = log479log7 y usando la calculadora que nos permite

calcular logaritmos en base 10: x =̃ 3,1716.

Entonces log7479 = log479log7 y en general logab =

logalogb

Otro ejemplo: log312.323 = log12.323log3 =̃ 8,5737

Actividad 12Grafique la función f (x) = log2x.

Orientaciones

El logaritmo se calcula solo para valores de x mayores que 0, por lo que podemos completar

la siguiente tabla para luego graficar:

x 0,25 0,5 0,75 1 2 4 8

f(x) -2 -1 -0,415 0 1 2 3

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4

2

3

1

0

5

-4

-2

-3

-1

-5

-7

-6

. 62 .

Actividad 13Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

a) 2 · 5x + 7 = 29

b) 4 · log3x - 7 = 1

Orientaciones

a)

2 · 5x + 7 = 29

2 · 5x = 29 - 7

2 · 5x = 22

5x = 22 : 2

5x =11

x = log511

Entonces,log511 es la única solución de la ecuación y con el uso de la calculadora:

log511 = log11log5 =̃ 1,4899

b)

4 · log3x - 7 = 1

4 · log3x = 1 + 7

4 · log3x = 8

log3x = 8: 4

log3x = 2

Entonces x = 32 = 9 es la única solución de la ecuación.

Actividad 14Resuelva los siguientes problemas:

1. Grafique la función f (x) = 3x.

a) ¿Es f una función estrictamente creciente? ¿Es f una función estrictamente decreciente?

b) Indique, si es posible, un valor a ℜ∈a R tal que f (a) > 12.000.

c) Indique, si es posible, un valor b ℜ∈a R tal que f (b) < 0.

d) Halle el conjunto solución de la ecuación f (x) = 3x = 145.207.

e) Halle el conjunto solución de la ecuación f (x) = 3x = -25.

MATEMÁTICA • B

. 63 .

2. Grafique la función f (x) = 0,5x.

a) ¿Es f una función estrictamente creciente? ¿Es f una función estrictamente decreciente?

b) Indique, si es posible, un valor a ℜ∈a R tal que f (a) >12.000.

c) Indique, si es posible, un valor b ℜ∈a R tal que f (b) < 0 .

d) Halle el conjunto solución de la ecuación f (x) = 0,5x = 345.207

e) Halle el conjunto solución de la ecuación f (x) = 0,5x = -25

3. Grafique la función f (x) = -5x .

a) ¿Es f una función estrictamente creciente? ¿Es f una función estrictamente decreciente?

b) Indique, si es posible, un valor a ℜ∈a R tal que f (a) > 0.

c) Indique, si es posible, un valor b ℜ∈a R tal que f (b) < -32.000.

d) Halle el conjunto solución de la ecuación f (x) = -5x = 5207

e) Halle el conjunto solución de la ecuación f (x) = -5x = 21

4. La cantidad de habitantes de una ciudad es de 345.000 habitantes. Sabiendo que la población de dicha ciudad crece a razón de un 2% anual, encuentre una fórmula que permita estimar la cantidad de habitantes que tendrá la ciudad en los próximos años. Utilice la fórmula para estimar cuántos habitantes tendrá la ciudad en cinco años y para determinar en cuántos años la población se duplicará, si se mantiene estable la tasa de crecimiento.

Actividades de autoevaluación1. ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría de la parábola correspondiente a una función cuya fórmula es f (x) = 2x2 + 4x + 1?

a) x = 4

b) x = 3

c) x = -1

d) x = -2

2. ¿Cuál es el vértice de la parábola cuya fórmula es y = -2x2 + 4x - 1?

a) (-1 ; 7)

b) (1 ; 1)

c) (1 ; 7)

d) (-1 ; -1)

3. Una función cuadrática cumple las siguientes condiciones: Uno de sus ceros es 7. La ecuación del eje de simetría de la parábola que la representa es x = 3.

Determine si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «El otro cero de la función es –1».

a) Verdadera.

b) Falsa.

. 64 .

4. Solo una de las fórmulas indicadas a continuación se corresponde con la siguiente representación gráfica:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

4

6

7

2

3

1

0

5

0

y

x

Indique cuál es:

a) y = 0,25x

b) y = 0,5x

c) y = 2x

d) y = 4x

5. Indique cuál es la única solución de la ecuación exponencial 2 · 4x + 3 = 20.

a)

172√

4 b) log4 (172 ) c) log47 d) √ 74

6. Indique cuál es la única solución de la ecuación logarítmica 8log2(x + 1) = 40 :

a) 31 b) 33 c) log25 - 1 d) log2(408 -1)

MATEMÁTICA • B

. 65 .

Unidad 5Estadística

Actividad 1En el gráfico siguiente se muestra la evolución de la población en números absolutos según los censos de población realizados en Argentina desde 1869 hasta 2010.

Fuente: INDEC. Censos de población de 1869 a 2010.

a) ¿Cuál fue la población en la Argentina en el último censo del año 2010?

b) ¿Cuál fue el crecimiento de la población, en números absolutos, entre el censo de 1970 y el de 1980?

c) ¿En qué porcentaje aumentó la población entre los años 1970 y 1980?

OrientacionesEn números absolutos, el crecimiento de la población entre 1970 y 1980 fue de 4.585.049 y en porcentaje fue de 19,62%, dado que (4585049 : 23364431) · 100 = 19,62.

. 66 .

Actividad 2

Observe el siguiente gráfico:

«Distribución relativa de la población por provincia. Total del país. Año 2010».

Fuente: INDEC. Censo Nacional de Población, Hogares y Vivienda 2010.

a) ¿Cuál es la provincia con mayor población en la Argentina?

b) ¿Qué población fue la de la provincia de Buenos Aires, según el censo de 2010?

c) ¿Qué población fue la de la provincia de Tierra del Fuego e Islas del Atlántico Sur según el censo de 2010?

OrientacionesEn el gráfico de la actividad anterior, observamos que la población de la Argentina fue de 40.117.096 habitantes en el año 2010. Entonces la población de la provincia de Buenos Aires fue de 15.645.667, dado que (39 : 100) · 40.117.096 = 15.645.667. En Tierra del Fuego la población fue de 120.351 habitantes.

MATEMÁTICA • B

. 67 .

Actividad 3

Observe la siguiente tabla:

Fuente: Servicio Meteorológico Nacional (SMN).

a) ¿Cuál fue la temperatura media del mes de mayo de 2014 en Posadas?

b) ¿Cómo se calcula la temperatura media de un mes según la información dada al pie de la tabla?

Actividad 4El departamento de marketing de la fábrica de chicles «Superglobo» decidió realizar un estudio acerca de sus productos en el mercado.

Contrató una consultora que se ocupó del relevamiento de la información y de la elaboración de conclusiones a partir de los datos recogidos.

La fábrica estima que existen aproximadamente 15.000 consumidores de chicles marca Superglobo en la ciudad de Buenos Aires. La consultora realizó una encuesta a consumidores del producto de diferentes edades. Entre otras cuestiones preguntó sobre las preferencias de los consumidores en relación con los gustos que se fabrican: menta, mentol, frutilla, naranja y uva. Los datos obtenidos a través de la encuesta se volcaron en la siguiente tabla:

Sabor Cantidad de consumidores que lo prefieren*

Frutilla 224

Naranja 25

Mentol 140

Menta 441

Uva 170

*Cada una de las personas encuestadas debía seleccionar sólo una de las opciones.

. 68 .

Parte AA partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. La encuesta de la consultora, ¿se realizó a todos los consumidores de chicles de marca Superglobo de la ciudad de Buenos Aires?

2. Si su respuesta a la pregunta anterior es negativa, indique cuál es la cantidad de consumidores que fue encuestada.

3. ¿Podría usted estimar qué cantidad de consumidores de chicles de marca Superglobo de la ciudad de Buenos Aires prefieren chicles de uva? En caso de que su respuesta sea afirmativa, indique de qué modo lo haría y cuál es la cantidad de consumidores obtenida. Si considera que no es posible estimar dicha cantidad indique la/s razón/es por la/s cual/es no puede hacerlo.

4. ¿Cuál es el sabor más elegido por los consumidores?

Parte BResponda las siguientes consignas:

1. Exprese cada uno de los valores de la tabla como fracción de la cantidad total de encuestados.

2. Agregue una columna a la tabla anterior y vuelque en ella cada uno de los valores determinados en el ítem 1.

3. ¿Cuánto vale la suma de todos los valores de esta columna? ¿Por qué?

4. Escriba el porcentaje de consumidores que prefiere cada uno de los sabores que elabora la fábrica.

5. A partir de las respuestas a los ítems anteriores, responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la cantidad esperable de consumidores de chicles de menta de marca Superglobo en la ciudad de Buenos Aires?

b) ¿Es posible que en la ciudad de Buenos Aires haya 800 consumidores de chicles de menta de marca Superglobo? Escriba las razones que le permiten decidir su respuesta.

c) ¿Es posible que haya 5.000 consumidores de esos chicles? Escriba las razones que le permiten decidir su respuesta.

OrientacionesLa encuesta realizada a un grupo de consumidores de chicles de marca Superglobo en la ciudad de Buenos Aires puede darnos información sobre el resto de los consumidores de la ciudad. Pero debemos ser cuidadosos con el manejo de esa información. Es importante tener en cuenta que cualquier estimación que hagamos sobre el total de consumidores de chicles de la ciudad, basándonos en los resultados de la encuesta, puede coincidir o no con los valores reales de este grupo.

La encuesta que estamos analizando se realizó a 1.000 consumidores del producto en la ciudad de Buenos Aires. De ellos, el 44,1 % respondió que prefiere chicles sabor menta. A partir de este valor sería esperable que, de los 15.000 consumidores que supone tener esta fábrica en la ciudad de Buenos Aires, 6.615 prefieran chicles de sabor menta. De todos modos, más allá de lo esperable a partir de los resultados obtenidos con la encuesta, puede ocurrir que el grupo de consumidores no encuestados tenga los mismos hábitos de consumo que el grupo encuestado o no; o que un sinnúmero de razones influya en el nivel de consumo del resto de los consumidores.

MATEMÁTICA • B

. 69 .

Así, la cantidad de 6.615 consumidores de chicles de menta, estimada a partir de la encuesta, podría coincidir con la realidad o no. La cantidad real de consumidores de chicles de menta podría ser totalmente distinta que la cantidad esperada. Por lo tanto, es posible que haya 800 o 5.000 o una cantidad cualquiera diferente de consumidores de chicles de menta en la ciudad de Buenos Aires.

La Estadística provee otros recursos que permiten estimar con mayor seguridad los resultados posibles en el conjunto que se está analizando a partir del estudio de un subconjunto del mismo.

Expresar los datos obtenidos en la encuesta como porcentajes o como fracción del total de encuestados nos puede permitir obtener conclusiones adicionales a las que brinda la tabla. Nos permite establecer comparaciones con encuestas realizadas a un número diferente de encuestados, o en otras ciudades, o realizar algunas estimaciones para el total de consumidores de chicles de la ciudad de Buenos Aires. Lo importante es tener en cuenta que cuando obtenemos conclusiones sobre el total de consumidores a partir de los resultados obtenidos en el grupo encuestado, se trata solo de estimaciones y que la realidad puede comportarse de un modo diferente.

Actividad 51. Elija cuál o cuáles de las siguientes representaciones gráficas expresa la información que proporciona la tabla de los sabores de chicles preferidos por los consumidores de la actividad anterior:

Frutilla Naranja Mentol Menta

100

200

0

300

400

500

UvaFrutilla Naranja Mentol Menta

100

200

0

300

400

500

Uva

Frutilla

Naranja

Mentol

Menta

Uva

Frutilla

Naranja

MentolMenta

Uva

2. Escriba los argumentos a partir de los cuales realizó la selección de los gráficos en el ítem anterior.

. 70 .

Población. Muestra. Distribución de frecuencias. Frecuencia absoluta. Frecuencia relativa En la situación que estamos analizando, llamamos población al conjunto de todos los

consumidores de chicles de marca Superglobo en la ciudad de Buenos Aires.

En general, llamamos población al conjunto formado por todos los elementos cuyo estudio nos interesa.

Con frecuencia, es imposible, o demasiado costoso, recopilar los datos correspondientes a una población completa. Por eso, para analizar las características de la población, se trabaja solo con un subconjunto de la misma. En nuestro ejemplo, este subconjunto está formado por los consumidores de chicles Superglobo que fueron encuestados. A este subconjunto lo llamamos muestra.

Llamamos observación a cada dato obtenido sobre cada elemento de la muestra. Los datos obtenidos a través de encuestas, censos u otros medios, son grupos de valores en principio desorganizados. Para poder obtener, a partir de ellos, conclusiones sobre la población que se está investigando, deben previamente ordenarse y organizarse. Una forma de hacerlo es construir tablas y gráficos que los representen.

A una tabla como la presentada en la situación que estamos analizando, las llamamos tabla de frecuencia o distribución de frecuencias. En ella, la primera columna representa a los valores que toma la variable, y la segunda representa a la cantidad de observaciones registradas para cada uno de esos valores.

Llamamos frecuencia absoluta a cada una de las cantidades de esta segunda columna. Por lo general nombramos a esta columna directamente como frecuencia absoluta. En símbolos: f.

Para poder extender los datos proporcionados por una muestra a la población completa, o establecer comparaciones con resultados obtenidos en otras muestras de la misma población, es conveniente expresar el resultado de las observaciones como fracción del total. A cada uno de estos valores lo llamamos frecuencia relativa, y la columna de la tabla en la que registramos a cada uno de ellos, la identificamos también con ese nombre. En símbolos fr.

También es útil expresar las cantidades observadas como porcentajes del total de encuestados.

Para representar gráficamente la información relevada podemos usar gráficos de barras y gráficos circulares, entre otros tipos de gráficos.

Los gráficos de barras se construyen en un sistema de coordenadas cartesianas. Si el gráfico es de barras verticales, en el eje horizontal se registran los valores de la variable y en el eje vertical se registran las frecuencias correspondientes a cada uno de los valores de la variable. Si el gráfico es de barras horizontales, se registran los valores de la variable en el eje vertical y las frecuencias en el eje horizontal.

El gráfico de barras que representa a las preferencias de los consumidores de chicles marca Superglobo encuestados es:

Frutilla Naranja Mentol Menta

100

200

0

300

400

500

UvaFrutilla Naranja Mentol Menta

100

200

0

300

400

500

Uva

Frutilla

Naranja

Mentol

Menta

Uva

Frutilla

Naranja

MentolMenta

Uva

MATEMÁTICA • B

. 71 .

Para construir un gráfico circular debemos dividir la superficie del círculo en tantos sectores como valores tenga la variable en estudio. El área de cada sector debe ser directamente proporcional a la frecuencia absoluta registrada para cada uno de esos valores. Para ello debemos calcular el ángulo central correspondiente a cada sector teniendo en cuenta la siguiente proporción:

• En ella consideramos que al total de observaciones de la muestra, corresponde el área completa del círculo y un ángulo central de 360°. A cada sector a representar le corresponde la cantidad de observaciones indicada por su frecuencia absoluta y un ángulo central que denominamos α.

El gráfico circular que representa a las preferencias de los consumidores de chicles marca Superglobo encuestados es:

Frutilla Naranja Mentol Menta

100

200

0

300

400

500

UvaFrutilla Naranja Mentol Menta

100

200

0

300

400

500

Uva

Frutilla

Naranja

Mentol

Menta

Uva

Frutilla

Naranja

MentolMenta

Uva

Actividad 6En la encuesta realizada por la consultora, se preguntó a los consumidores por las cantidades de paquetes de chicles que cada unos de ellos compra semanalmente. En la siguiente tabla se indican las cantidades señaladas por los consumidores de chicles de menta:

Paquetes de chicles comprados semanalmente Candidad de compradores

1 82 323 784 1425 1206 567 5

1. ¿De qué manera nombra la Estadística a la segunda columna de la tabla?

2. Represente la información proporcionada por la tabla en un gráfico de barras.

3. Represente la información proporcionada por la tabla en un gráfico circular.

4. Agregue a la tabla una nueva columna y vuelque en ella los valores correspondientes a las frecuencias relativas.

5. Calcule el porcentaje de consumidores de chicles de menta que compra cada una de las cantidades de paquetes de chicles indicadas en la tabla.

6. ¿Cuántos de los consumidores encuestados compran semanalmente menos de 4 paquetes de chicles?

. 72 .

7. ¿Cuántos de los consumidores encuestados compran semanalmente hasta 4 paquetes de chicles?

Orientaciones

Para responder las dos últimas preguntas, resulta útil agregar a la distribución de frecuencias una columna en la que se registren en forma acumulada la cantidad de observaciones registradas hasta cada valor de la variable.

Paquetes de chicles comprados semanalmente Candidad de compradores Cantidad acumulada de

compradores1 8 82 32 8 + 32 = 403 78 40 + 78 = 1184 142 118 + 142 = 2605 120 260 + 120 = 3806 56 380 + 56 = 4367 5 436 + 5 = 441

En la columna agregada es más sencillo leer la información necesaria para responder.

Allí vemos que son 118 los consumidores encuestados que compran menos de 4 paquetes de chicles semanales y que son 260 los que compran hasta 4 paquetes semanalmente.

Frecuencia acumulada A la columna agregada a la distribución anterior la llamamos frecuencia acumulada y la

simbolizaremos Fa o Fac.

Actividad 71. ¿Cuál es la cantidad de paquetes de chicles de menta que los consumidores compran más frecuentemente?

2. ¿Cuántos paquetes de chicles de menta compran en total los consumidores encuestados por semana? Escriba las cuentas que realiza para calcular este valor.

3. ¿Cuál es la cantidad de consumidores que compran semanalmente la cantidad de paquetes de chicles que calculó en el ítem 2?

4. ¿Qué cantidad promedio de paquetes de chicles de menta compra semanalmente cada consumidor encuestado?

5. Si usted fuera el dueño de la fábrica Superglobo, ¿qué cantidad de paquetes de chicles de menta debería fabricar semanalmente para cubrir la demanda en la ciudad de Buenos Aires? Para responder, tenga en cuenta la estimación que hizo en la actividad 4 sobre la cantidad de consumidores de chicles de menta de la ciudad de Buenos Aires.

6. ¿Podría ocurrir que la cantidad calculada en el ítem 5 fuera excesiva o insuficiente? ¿Por qué?

7. Determine el valor de la variable correspondiente a la observación central, es decir a la observación que divide al total de observaciones en dos conjuntos de igual cantidad de elementos.

MATEMÁTICA • B

. 73 .

Medidas de centralización: Media, Mediana y Moda Hemos observado que el sabor menta es el más elegido por los consumidores. A este valor

lo llamamos moda.

En general, llamamos modo o moda al valor de la variable que se observa mayor cantidad de veces.

En la distribución de la cantidad de paquetes de chicles de menta que compran los consumidores semanalmente, la moda es 4 paquetes. Lo escribimos simbólicamente: Mo = 4.

Para la distribución de la cantidad de paquetes de chicles de menta que compran los consumidores semanalmente, observamos el valor de la variable correspondiente a la observación central.

¿Cómo determinamos este valor? Para hacerlo tenemos en cuenta la cantidad total de observaciones. En el caso que estamos

analizando son 441 observaciones, porque son 441 los consumidores que prefieren chicles de menta. Al tratarse de una cantidad impar, el valor central se ubica en la observación número 221, que deja 220 observaciones antes y 220 después. El valor de la variable correspondiente a la observación número 221 es 4 paquetes. A este valor lo llamamos mediana.

En general, llamamos mediana al valor central de un conjunto de valores ordenados. Simbólicamente: Me = 4.

Si la cantidad de observaciones hubiera sido par, no habría un valor que divida al total de observaciones de la muestra en la mitad. En este caso tomamos a las dos observaciones centrales, es decir al par de observaciones que divide a la muestra en dos conjuntos de igual cantidad de observaciones.

La mediana es el promedio de este par de observaciones.

La columna de frecuencias acumuladas resulta útil para calcular el valor de la mediana, porque en ella podemos ver rápidamente cuál es la fila de la tabla en la que se encuentra la observación que divide a la muestra en la mitad.

Otro de los valores calculados es la cantidad promedio de paquetes de chicles de menta comprados semanalmente por los consumidores de chicles encuestados. A este valor lo llamaremos media aritmética o, simplemente, media o promedio.

Seguramente usted ha calculado promedios en muchas ocasiones en su vida cotidiana. No pierda de vista todas esas cuestiones que usted maneja eficientemente todos los días.

Para calcular la media de esta muestra deberíamos sumar la cantidad de paquetes de chicles que compraron los 441 consumidores encuestados y luego dividir al resultado de esa suma por 441.

Como multiplicar es equivalente a sumar repetidamente, y cada uno de los valores de la muestra se observa varias veces, en lugar de sumar 8 veces 1, 32 veces 2 y así con el resto de los valores de la tabla, podemos sumar los productos 1 · 8, 2 · 32, etc. Es decir:

8 + 64 + 234 + 568 + 600 + 336 + 35441

1 · 8 + 2 · 32 + 3 · 78 + 4 · 142 + 5 · 120 + 6 · 56 + 7 · 5441

= = 4,1837

En términos de la situación que estamos trabajando, la cantidad media de paquetes de chicles comprada semanalmente por los consumidores encuestados sería de 4 paquetes, ya que no tiene sentido pensar en una cantidad no entera de paquetes de chicles. De todos modos, para cálculos estadísticos vinculados a la media de la distribución usaremos el valor 4,1837 calculado.

. 74 .

En general, la media de una población o muestra es el promedio de todas las observaciones realizadas.

En el caso de la media de una muestra la simbolizamos x.

Actividad 8Las edades de los estudiantes de un curso son: 22; 20; 22; 21; 23; 20, 24; 22; 23; 21; 22; 20; 23; 21.

Organice la información en una tabla de frecuencias absolutas.

Orientaciones

Organizamos la información en una tabla de dos columnas, en la de la izquierda irán las distintas edades ordenadas de menor a mayor, y en la columna de la derecha sus respectivas frecuencias absolutas.

Edad Frecuencia20 321 322 423 324 1

Actividad 9Las alturas (en metros) de los estudiantes de un curso de quinto año son las siguientes:

1,65; 1,52; 1,78; 1,85; 1,75; 1,65; 1,55; 1,64; 1,74; 1,80; 1,79; 1,59; 1,53; 1,66; 1,54; 1,62; 1,76; 1,83; 1,85; 1,65.

Organice la información en una tabla de frecuencias absolutas.

Orientaciones

Teniendo en cuenta la gran diversidad de datos, vamos a clasificar los mismos en intervalos. Por ejemplo, las alturas mayores o iguales a 1,50 y menores que 1,60 estarán dentro del intervalo [1,50 ; 1,60).

Altura Frecuencia absoluta

[1,50 ; 1,60) 5[1,60 ; 1,70) 6[1,70 ; 1,80) 5[1,80 ; 1,90) 4

MATEMÁTICA • B

. 75 .

Tipos de variables Desde el comienzo de esta unidad usted trabajó con diferentes tipos de variables.

Los valores que toma la variable en el caso de los sabores de chicles preferidos por los consumidores, son los diferentes sabores de chicles que se fabrican. En este caso la variable se refiere a características no medibles en términos numéricos.

A este tipo de variable la llamamos variable cualitativa.

En otra de las situaciones trabajadas, la variable interviniente se refiere a características medibles en términos numéricos, por ejemplo, las edades y las alturas de los estudiantes. A este tipo de variable la llamamos variable cuantitativa.

La altura de los estudiantes es una variable cuantitativa continua, ya que entre dos valores cualesquiera siempre es posible encontrar otro valor. Por ejemplo, entre 1,50 y 1,51 está el 1,503, y así con cualquier otro par de valores.

La edad de los estudiantes es variable cuantitativa discreta, no es continua. Por ejemplo, entre 20 y 21 no es posible encontrar otra edad.

Actividad 10Las siguientes tablas describen la distribución de las notas de un mismo examen de matemáticas en dos cursos distintos, A y B.

Curso A Curso B

Nota examen

Frecuencia Absoluta

2 1510 15

Nota examen

Frecuencia Absoluta

6 30

1. Halle la media en ambos cursos.

2. ¿Se puede afirmar que el rendimiento de los estudiantes fue similar en ambos cursos?

Orientaciones

En ambos cursos la media es 6, pero es claro que los rendimientos en ambos cursos no fueron similares. Por ello existe la necesidad de presentar una medida cuantitativa que distinga ambas situaciones, una medida de dispersión, un número que indique qué tan lejos están los datos de la media. Cuanto mayor sea ese número mayor será la dispersión de los datos, y cuanto menor lo sea mayor será la homogeneidad de los mismos. Una de las medidas de dispersión es la desviación estándar o típica que notaremos con la letra griega σ, y que es la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de todas las distancias entre los datos y la media.

Calculemos σ para los cursos A y B:

Notaremos d(a ; b) a la distancia entre los números a y b.

σA = 15 · [d(2 ; 6)]2 + 15 · [d(10 ; 6)]2 30√

= 15 · 42 + 15 · 42 30√ = √16 = 4

σB = 30 · [d(6 ; 6)]2

30√ = 30 · 0

30√ = √0 = 0

. 76 .

Actividad 11Resuelva:

1. Responda cada uno de los siguientes ítems:

a) Se presentó una lista con 40 notas correspondientes al examen de Matemática B del turno de marzo:

• Describa una situación en la que estas 40 notas representen a las observaciones sobre una población.

• Describa una situación en la que estas 40 notas representen a las observaciones sobre una muestra.

• Si se presenta la lista sin ninguna otra información que la dada en el enunciado del ejercicio, ¿es posible determinar si esas 40 notas representan a observaciones de una población o de una muestra de la misma?

b) En el Departamento de Control de Calidad de la fábrica de lamparitas «Masluz», seleccionan para su control una de cada 200 lamparitas fabricadas. El conjunto de lamparitas controladas, ¿representa a la población o a una muestra de la misma?

c) En un grupo de autoayuda para bajar de peso, se pesa a todos los participantes el día de comienzo del tratamiento. El conjunto de personas pesadas, ¿representa a la población o a una muestra de la misma?

d) En una fábrica de productos lácteos están probando la eficacia de un nuevo conservante. Para ello necesitan medir el tiempo de duración de cada uno de sus productos. ¿Deberían hacer el análisis sobre una muestra o sobre la población? ¿Por qué?

2. Determine qué tipo de variable es la involucrada en cada una de las siguientes situaciones:

• Edad de los aspirantes a un trabajo. • Tiempo de demora del servicio de subterráneos durante el mes de Abril. • Asignaturas preferidas por los estudiantes de una escuela. • Pesos de los bebés nacidos en el hospital Ramos Mejía. • Talla de los bebés nacidos en el hospital Ramos Mejía. • Notas de los exámenes de Matemática del turno de marzo. • Cantidad de goles de una fecha del campeonato de fútbol.

3. En el club de fútbol infantil necesitan comprar botines para los 30 jugadores. Se tomó nota del número de calzado de cada uno de los chicos y se confeccionó la siguiente tabla:

Número de calzado Cantidad de chicos

29 1

30 2

31 12

32 8

33 1

34 1

35 1

a) ¿Qué tipo de variable es la utilizada en la distribución anterior?

MATEMÁTICA • B

. 77 .

b) Agregue a la tabla la columna de las frecuencias relativas y complete cada uno de estos valores.

c) ¿Qué porcentaje del total de jugadores calza 31?

d) Agregue a la tabla la columna de las frecuencias acumuladas y complétela.

e) ¿Qué cantidad de jugadores calza menos de 32?

f) ¿Qué cantidad de jugadores calza más de 33?

g) Represente la distribución anterior utilizando un diagrama de barras.

h) Calcule la media de la distribución.

4. Escriba las notas de un examen de matemática en el que participaron 15 alumnos, de tal manera que la moda sea 6 y la media 7.

5. Sin realizar cálculos, observe las siguientes distribuciones representadas en gráficos de barras y decida en cuál de ellas es mayor la dispersión. Luego calcule la desviación típica y verifique si su decisión fue correcta.

a)

1 2 3 4

1

2

0

3

456

b)

1 2 3 4

1

2

0

3

456

Actividades de autoevaluación1. El siguiente diagrama de barras describe la distribución de las edades de los estudiantes de un curso.

¿Cuál es la media de dicha distribución?

a) 20,24

b) 21,19

c) 19,44

d) 22,55

2. Dada la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

x Frecuencia absoluta10 511 412

¿Con cuál de los siguientes números se puede completar la tabla para que la moda sea 10?

a) 10 b) 7 c) 6 d) 4

20 21 22 23

2

4

0

6

8

10

12

14

. 78 .

3.

1 2 3 4

2

4

0

6

8

10

A partir de la observación del diagrama de barras y sin realizar cálculos, determine si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «La media es 3,9».

a) Verdadera.

b) Falsa. 4. La siguiente representación gráfica describe la distribución de las notas de un examen de los estudiantes de un curso universitario.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

0

30

40

50

60

70

80

90

100

NotasIndique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a) 550 estudiantes se presentaron a rendir examen.

b) La moda es 4.

c) 38 estudiantes obtuvieron un 2.

d) La media es 8,32.

5. La siguiente tabla está incompleta pero se sabe que la única moda es 5.

x Frecuencia absoluta

2 7

3 21

4 18

5

MATEMÁTICA • B

. 79 .

Solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a) Puedo completar la tabla con cualquier número.

b) Puedo completar la tabla con cualquier número mayor que 21.

c) Puedo completar la tabla con cualquier número entero mayor que 21.

d) Puedo completar la tabla con ∞.

. 80 .

MATEMÁTICA • B

. 81 .

Respuestas a actividades de la autoevaluación

Unidad 11. b.

2. a, c, e.

3. b.

4. c.

5. a.

Unidad 21. c.

2. d.

3. a.

4. c.

5. c.

Unidad 31. a.

2. a.

3. d.

4. b.

5. a, b, c.

Unidad 41. c.

2. b.

3. a.

4. b.

5. b.

6. a.

Unidad 51. b.

2. d.

3. b.

4. b.

5. c.

. 82 .

MATEMÁTICA • B

. 83 .

. 84 .

Terminá la secundaria

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