MATEMÁTICA I - USMP

MATEMÁTICA I

Manual del estudiante

Ciudad Universitaria Santa Anita, 2019

© UNIVERSIDAD DE SAN MARTÍN DE PORRES

Unidad Académica de Estudios Generales

Manual publicado con fines académicos, 2019

Elaborado por: Revisado por: Aprobado por: Versión

Equipo docente Comisión de Acreditación

y Calidad

Coordinación

Académica de la UAEG 01

Fecha: 23 de enero del 2019 Fecha: 30 de enero del

2019

Fecha: 1 de marzo del

2019

h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |3

Presentación

La matemática es una ciencia formativa, fomenta el razonamiento de las personas, en todos

los ámbitos donde se pueda desarrollar, por lo que el curso de Matemática I, es una

asignatura que cumple uno de los objetivos básicos de la universidad, enseñar a los

alumnos a obtener conocimientos en forma clara, ordenada, razonada, bajo estructuras

sólidas de la ciencia, para que ellos a su vez puedan aplicarlos en su vida personal y

profesional.

El presente Manual de Matemática I, elaborado especialmente para los estudiantes de

Estudios Generales, está orientado a incrementar y consolidar el conocimiento, desarrollar

habilidades, fortalecer el aprendizaje autónomo, los hábitos de lectura, de análisis y de

síntesis. Por ello, es indispensable que los estudiantes usen el manual tanto en clase y,

como un instrumento de práctica, fuera de ella. Se insta también a los alumnos usar la

bibliografía recomendada en el sílabo.

El manual que se presenta, contiene teoría, ejercicios resueltos y propuestos,

problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el

presente semestre académico 2019-I, por lo que está organizado en cuatro unidades de

aprendizaje, en las cuales se hace referencia a los contenidos, capacidades y actitudes que

se espera alcancen los estudiantes. Estas unidades de aprendizaje son: I. Lógica

matemática y Teoría de conjuntos. II. Los números reales. III. Funciones y Tópicos de

Geometría Analítica. IV. Programación lineal. Aplicaciones de la Programación lineal.

Los docentes de la asignatura


ÍNDICE

Presentación ............................................................................................................................... 3

Índice .......................................................................................................................................... 4

UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

Lógica matemática ..................................................................................................................... 6

Cuantificadores lógicos ............................................................................................................ 13

Conjuntos .................................................................................................................................. 18

Operaciones con conjuntos ...................................................................................................... 22

UNIDAD II: LOS NÚMEROS REALES

Ecuación lineal.......................................................................................................................... 36

Ecuación cuadrática o de segundo grado................................................................................ 48

Inecuación lineal ....................................................................................................................... 58

Inecuación cuadrática o de segundo grado ............................................................................. 69

UNIDAD III: FUNCIONES Y TÓPICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Funciones ................................................................................................................................. 78

Evaluación funcional................................................................................................................. 93

Funciones especiales ............................................................................................................. 101

Función lineal .......................................................................................................................... 110

UNIDAD IV: PROGRAMACIÓN LINEAL. APLICACIONES

Función cuadrática ................................................................................................................. 121

Desigualdades en el plano cartesiano ................................................................................... 136

Programación lineal ................................................................................................................ 145

Maximización y minimización de una función objetivo .......................................................... 149

GLOSARIO ............................................................................................................................ 172

FUENTES DE INFORMACIÓN ............................................................................................. 174


COMPETENCIA, UNIDAD, CAPACIDADES Y ACTITUDES DE LA ASIGNATURA

Competencia Unidad Capacidad Actitudes

Aplica conceptos

y métodos de la

Matemática

Básica en la

solución de

problemas en

contextos reales

propios de su

formación

profesional.

Unidad I:

Lógica matemática y

teoría de conjuntos

Aplica racionalmente los

métodos de la Lógica

Matemática y Teoría de

Conjuntos para la solución de

problemas específicos de su

formación.

Respeto a la

persona.

Compromiso.

Conservación

ambiental.

Búsqueda de

la excelencia.

Unidad II:

Los números reales

Utiliza axiomas y/o

propiedades de los Números

Reales para la solución de

problemas relacionados con

operaciones de negocios.

Unidad III:

Funciones y tópico

de geometría

analítica.

Aplica y utiliza los conceptos

de funciones de la variable

real considerando las

condiciones del contexto en

la que se desarrollara el

profesional.

Unidad IV:

Programación lineal.

Aplicaciones

Utiliza los métodos de la

Programación Lineal en la

solución de problemas

relacionados con su

especialidad en contextos

reales.


SEMANA

1

UNIDAD I

Tema: Lógica matemática

La lógica

La lógica tiene sus inicios desde el tiempo de Aristóteles, nacido en Grecia (384-322 a.c.)

plasmado en su obra “Organum”, llamada lógica aristotélica o clásica. Luego el alemán

Gottfried Wilhem Liebnitz (1646–1716), introduce los símbolos lógicos los cual facilitaban el

estudio, utilizándolos como instrumentos matemáticos. Sin embargo no es sino hasta la

genialidad de George Boole (1815–1864) Inglés, quien publicó su obra “Una investigación

de las leyes del pensamiento”, que realmente dio un gran salto al estudio de la matemática

simbólica que gracias a Bertrand Russell (1872–1970) y Alfred Whitchead (1864–1947) con

su obra “Principia Mathemática” publicada en 1910 y 1913; que proponen como la base para

el desarrollo vertiginoso de la lógica llamada “lógica simbólica”.

Figura 1. Características fundamentales de la inteligencia lógico-matemática.

CONCEPTO: La Lógica es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo é deductivo. El

razonamiento inductivo es aquel que lleva a conclusiones generales a partir

de observaciones particulares y el razonamiento deductivo parte de

conclusiones generales y llega a conclusiones particulares.


1. Enunciado. Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de

afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.

Ejemplos:

¡Qué bueno que estudio matemática

¿Quieres tener éxito en tus estudios?

Hola, ¿cómo estás?

2. Enunciado abierto. Es aquel enunciado, el cual no se puede responder con verdadero

o falso.

Ejemplos:

3x<6

4x - 3y = 8

Ella es contadora

3. Proposición lógica. Una proposición es un enunciado, cuya propiedad fundamental

es que puede responderse como verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez.

Por tanto, no existe ambigüedad en la respuesta. Una proposición se representa

simbólicamente por letras minúsculas tales como: p , q , r , s llamadas variables

proposicionales.

Ejemplos:

p: La matemática es una ciencia pura.

q: Todos los ingresantes a la USMP han rendido un examen de admisión.

4. Valor de verdad. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con ( )V p y

escribimos: ( )V p V si el valor de p es verdadero y ( )V p F si el valor de p es

falso.

5. Proposición lógica simple. Es aquella proposición lógica que consta de un solo

sujeto y un predicado.

Ejemplos:

p : Las flores son parte de una planta.

q: El curso de matemática I es pre-requisito para poder llevar el curso de Matemática

II en la USMP.

r : Janet y Stefany son amigas.

6. Proposición lógica compuesta. Está conformada por dos o más proposiciones

simples unidas por palabras (operadores lógicos) que enlazan a dichas proposiciones.

Ejemplo:

Los universitarios tienen carnet de identificación y pagan medio pasaje

p q


7. Operadores lógicos. Son signos o símbolos que representan palabras y que son

usados para relacionar proposiciones. Tenemos:

Símbolo Nombre Algunas palabras

Conjunción “y”, “pero”, “también”

Disyunción inclusiva “o”, “a menos que”

Disyunción exclusiva “ o….o….”

Condicional “entonces”, “por lo tanto”, “luego”

Bicondicional “si y solo si”

Negación “no”, “ni”, “nunca”, “no es verdad que”

ACTIVIDAD 01

RECONOCIENDO LOS ELEMENTOS BÁSICOS DE LA LÓGICA

Objetivo

Reconocer los elementos fundamentales de la lógica y establecer su importancia.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.

NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Coloca (E) si es enunciado, (P) si es proposición lógica y

(EA) si se trata de un enunciado abierto.

Expresiones

1. ¡Me gusta el color blanco! ( )

2. Roma es la capital de Italia ( )

3. 5 2 13x . ( )

4. El número 333 es divisible por 3. ( )

5. El, es el Presidente del Perú ( )

6. Viajo el fin de semana a Piura ( )


NIVEL Pregunta Nº2

CONOCIMIENTO Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda a cada

una de las afirmaciones.

Afirmaciones

1. es el conector lógico llamado disyunción inclusiva. ( )

2. es el conector lógico llamado condicional. ( )

3. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con uno o

más conectores lógicos. ( )

4. Luis y Ricardo son muy amigos. Es una propisicion lógica simple ( )

5. El día tiene 24 horas si y solo si una hora tiene 60 minutos. Es una

propisicion lógica compuesta. ( )

NIVEL Pregunta Nº3

COMPRENSIÓN Responda brevemente lo planteado.

1. De acuerdo a lo leído, ¿Cuál es la diferencia entre enunciado y proposición lógica?.

2. ¿Cuál es la diferencia entre proposición lógica simple y proposición lógica compuesta?

NIVEL Pregunta Nº4

APLICACIÓN

Utilizando los conceptos de proposición lógica

simple, compuesta y conectores lógicos, identifica

las proposiciones lógicas siguientes y simboliza:

Proposición lógica Simbolización

1. Marisol estudia la carrera de administración.

2. Lima es la ciudad de los Virreyes y Trujillo la ciudad de la

eterna primavera.

3. Alessandro es muy estudioso, también Ana.

4. O María está de viaje o se encuentra hospitalizada.

5. Si Edica es estudiosa entonces no aprobará la asignatura de

matemática I.

6. Luis, Ángel y Enrique son economistas.

7. Santiago o Lucio serán excelentes contadores, si y solo si

estudian mucho.

8. Blanca viene a la universidad en el tren o en colectivo

9. Si la empresa de Mario tiene muchas fortalezas y

oportunidades, entonces será un éxito

10. Lima es la capital del Perú sin embargo se encuentra muy

descuidada. Por consiguiente, el nuevo alcalde tiene un gran

reto.


SEMANA

2

UNIDAD I

Tema: Tablas de verdad y formalización de proposiciones

1. Tablas de verdad.

2. Signos de agrupación o de colección. Los signos de agrupación , , se

usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos. Otra

finalidad de estos signos es darles mayor o menor jerarquía a los operadores.

3. Fórmula lógica. Es una combinación de variables proposicionales y operadores

lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad.

Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de valores

de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n, donde n

es el número de proposiciones.

Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su

operador principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA.

Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN.

Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una

CONTINGENCIA.

Disyunción inclusiva

p Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Conjunción

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Disyunción exclusiva

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

Condicional

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Negación

p ~ p

V

F

F

V

Bicondicional

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V


Ejemplo de Evaluación Lógica

[ ( p ~ q ) Λ ( ~ r v q ) ] ~ p

V F F F F V V V F

V F F F V V V V F

V V V F F F F V F

V V V V V V F F F

F V F V F V V V V

F V F V V V V V V

F V V F F F F V V

F V V V V V F V V

El esquema lógico responde a una: CONTIGENCIA


CUANTIFICADORES

1. Función proposicional. La función proposicional es un enunciado abierto de la forma

( )P x , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser

sustituida por un valor particular se convierte en proposición.

Por ejemplo:

2( ) : 3 10P x x ; es un enunciado abierto

2(2) : 2 3 10P ; es una proposición falsa

2(3) : 3 3 10P

; es una proposición verdadera

2. Cuantificadores. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto

o función proposicional en una proposición para lo cual su misión es indicar cuántos

elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función proposicional.

2.1 Cuantificador universal. Representado por se emplea para afirmar que todos

los elementos de un conjunto cumplen con determinada función proposicional.

Notación:

”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”

2.2 Cuantificador existencial. Representado por , se usa para indicar que al

menos un elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional

Notación:

” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que”

Figura 2. Concepto de los cuantificadores lógicos.


3. Negación de los cuantificadores.

~ / ( ) :x A p x x A ( )~ p x “la negación de un existencial da un universal”

~ : ( ) /x A p x x A ( )~ p x “la negación de un universal da un existencial”

NOTA.

En general, la proposición universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x

lo es, es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al

menos un elemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .

En general, la proposición existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos un

elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningún elemento de A cumple con ( )P x , esto

es, todo elemento de A no cumple ( )P x .

ACTIVIDAD 02

RECONOCIENDO Y UTILIZANDO LAS TABLAS DE VALORES DE VERDAD Y

LOS CUANTIFICADORES LÓGICOS

Objetivo

Conocer las tablas de valores de verdad y cuantificadores lógicos.

Orientaciones

De manera individual responda según lo señalado en cada uno de los ítems.

NIVEL Pregunta Nº1



1. Si dos proposiciones verdaderas se unen mediante la conjunción,

entonces el resultado es falso. ( )

2. Si dos proposiciones, la primera verdadera y la segunda falsa, se

unen con la disyunción exclusiva, entonces el resultado es verdadero. ( )

3. En la condicional cuando la segunda proposición es verdadera, sin

importar el valor de verdad de la primera, el resultado es verdadero. ( )

4. Si al evaluar un esquema logico, de manera indirecta, el resultado del

conector principal todos son falsos, entonces el esquema es una

tautologia.

( )

5. Si al evaluar un esquema logico, de manera directa, el resultado del

conector principal es verdadero, entonces el esquema es una

tautologia.

( )

6. La proposición: O Mario Vargas Llosa es escritor o es poeta, es falsa. ( )


NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Responda brevemente las preguntas planteadas.

1. Explique brevemente, ¿Cuándo una proposición, cuantificada universalmente es

verdadera?.

2. Explique brevemente, ¿Cuándo una proposición, cuantificada existencialmente es

falsa?

NIVEL Pregunta Nº3

APLICACIÓN

Utilizando las tablas de valores de verdad y los

conceptos de las proposiciones lógica cuantificada,

responde.

1. Evaluar los esquemas lógicos y determina si es una tautología, contradicción o

contingencia.

a) ~p q p q p q

b) ~p q p r q p

2. Dado el conjunto * +, determine el valor de verdad de:

a) 1) b) ( )

c) d)

e)

f)


3. Dado el conjunto * + , negar las proposiciones cuantificadas y

determinar su valor de verdad:

a) b)

c)

d) ( )( )

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

I. Determina cuáles de las siguientes expresiones representa un enunciado (E) una

proposición (P) o un enunciado abierto (EA)

a. El examen parcial de matemática I, está muy difícil............... ( )

b. ………………………………………………………. ( )

c. El número cero, es un número par…………………… …….. ( )

d. El, es el mi profesor de matemática.…………………… …… ( )

e. La USMP es una universidad licenciada…………….…… … ( )

f. Tienes que estudiar para la práctica calificada de mañana. .( )

II. Según tus conocimientos sobre el tema responde V o F a las siguientes

expresiones:

a. En la bicondicional si ambas proposiciones son V el resultado el Falso…… .. ( )

b. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con un conector… . ( )

c. Si el resultado de la evaluación directa de un esquema lógico es falso, el ….. ( )

esquema es contradictorio.

d. En la conjunción, si una proposición es falsa sin importar el valor de la otra... ( )

el resultado es falso.

III. Pedro determina el valor de verdad de las siguientes expresiones y obtiene que

son: V V F V F; ¿son correctos estos valores?. Si no lo es ¿cuáles son los valores?

a. [√ √ ] ( )

b. 0.

/ .

/1

c. √ √ [(√ ) √ ]

d. √ , - ( )

e. [ √ ] ( √ ( )( )


IV. Interpreta, comprende, simboliza y determina el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

a. Miguel Grau fue el Caballero de los Mares o el Brujo de los Andes

………………………………………………………………………………..

b. Lima es la ciudad de los Virreyes y Cuzco es la ciudad imperial.

………………………………………………………………………………..

c. 10 es múltiplo de 3 si y solo si 30 es divisor de 600.

…………………………………………………………………………………

d. Si Paolo estudió administración en la USMP, luego es un buen profesional.

…………………………………………………………………………………

e. El día tiene 24 horas a menos que una hora tenga 60 minutos.

………………………………………………………………………………..

V. Enrique el estudiante promedio del aula siguiendo las pautas para resolver una

Evaluación Lógica determinó los resultados en cada una de ellas. Coloca una A si

estás de acuerdo y NA si no estás de acuerdo:

a. ~ ~ ~ ~p q p q p q ……………..Contradicción…… ( )

b. ~ ~ ~p q p r ………………………….. Contingencia……. ( )

c. ~ ~p q p q ……………………………… Tautología……… ( )

VII. De la falsedad de ~ ~p q r s deduzca el Valor de Verdad de:

a. ~ ~ ~p q q p

b. ~ ~r q q q r s

c. ~r s q p s

VIII. Dado el conjunto * +. Hallar el Valor de Verdad inicial y luego

Negar cada una de las siguientes proposiciones y establecer el nuevo Valor de

Verdad:

a) b) x B :4 1

55

x

c) d)

e) f)


SEMANA

3

UNIDAD I

Tema: Conjuntos

Desde que nacemos nos encontramos con agrupaciones. En primer lugar, con personas a

nuestro alrededor tratando de conocernos, luego con cosas con las cuales empezamos a

diferenciar formas, texturas, etc. Así continuamos aprendiendo a relacionar objetos y los

vamos agrupando según las necesidades. Por ejemplo los compañeros de la escuela, las

enfermedades del corazón, los estudiantes de matemática, entre otros. Nos hacemos

preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la matemática se

encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de Conjuntos.

1. Idea intuitiva de conjunto. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una

colección bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos

elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayúscula, sus elementos

se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado por

extensión.

2. Determinación de conjuntos.

2.1. Por extensión. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista de

elementos la escribimos entre llaves.

2.2. Por comprensión. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los

elementos que están en el conjunto.

3. Relación de pertenencia. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice

“que este elemento pertenece al conjunto” y se denota por “pertenece”.

4. Subconjunto. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee “es

subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si

cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A B .

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A.

5. Diagrama de Venn-Euler. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. En el

caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usan generalmente

círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal.

6. Cardinal de un conjunto. Es la cantidad o número de elementos de un conjunto y se

denota por n A

7. Conjuntos especiales.

7.1. Conjunto universal. Es aquel formado por todos los elementos con los cuales

estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es muy

importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinará nuestro marco

de referencia.

7.2. Conjunto vacío. Es aquel que carece de elementos. Se denota por ó .

7.3. Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en

común.


7.4. Conjunto unitario. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

7.5. Conjunto potencia. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto

formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el número de

elementos de 2nP A , donde n es el número de elementos de A .

7.6. Conjunto finito. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.

7.7. Conjunto infinito. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. Por

ejemplo el conjunto de números reales.

8. Cardinalidad con y sin intersección

Sea A un conjunto cualquiera y “n” el número de elementos de A, luego se entiende

como cardinalidad de un conjunto precisamente al número de elementos que el

contiene el mismo.

Ejemplo:

A = {0, 1, 2, 3, 4 ,5}

El número de elementos de A se representa como n(A) = 6; lo que equivale a decir; “A”

tiene 6 elementos.

8.1 Cardinalidad de dos conjuntos sin intersección

Sean A y B dos conjuntos sin intercepto: A ∩ B = Ø

Luego:

n(A U B) = n(A) + n(B)

8.2 Cardinalidad de dos conjuntos con intersección

Sean A y B dos conjuntos con intercepto: A ∩ B ≠ Ø

Luego: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

8.3 Cardinalidad de tres conjuntos con intersección

Sean A, B y C tres conjuntos con intercepto: A ∩ B ∩ C ≠ Ø

Luego:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

8.4 Cardinalidad de la diferencia de dos conjuntos con intersección

Sea A – B el conjunto diferencia entre ellos:

Luego: n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

NOTA: En 8.2 se puede expresar n(A U B) = n(A – B) + n(B)


Figura 3. Estructura de la teoría de conjuntos. Concepto, clasificación, operaciones y tipos de

conjuntos.

ACTIVIDAD 03

RECONOCIENDO ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Objetivo

Reconocer los elementos básicos de la teoría de conjuntos y establecer su importancia.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº 1

CONOCIMIENTO Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda

1. Un conjunto determinado por comprensión es aquel cuyos elementos

deben de cumplir con ciertas propiedades. ( )

2. / ; 1 4A x x x es un conjunto determinado por extensión. ( )

3. Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. ( )

4. / ; 0B x x x es un conjunto unitario. ( )

5. /H x x es un conjunto infinito. ( )

6. Si 1,3,4,6,7C entonces (C) 16nP . ( )


NIVEL Pregunta Nº2


1. Elabore un concepto de lo que es un conjunto.

2. De acuerdo a la teoría de conjuntos, de un concepto de subconjunto. Muestre un

ejemplo.

NIVEL APLICACIÓN

Utilizando los conceptos de la teoría de conjuntos responda las preguntas.

Pregunta Nº 3

Expresa los conjuntos siguientes por extensión:

* ⁄ +

2 N ⁄ 3

* ⁄ +

* ⁄ ( )( )( )+ + Pregunta Nº 4

Hallar el conjunto potencia de:

* ⁄ +

* ⁄ +

* ⁄ +

Pregunta Nº 5

Hallar el cardinal de la expresión indicada.

1. Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A) = 6; n(B) = 3 y n(A ∩ B) = 2 determinar: n(A Δ

B)

2. Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A U B) = 24; n(A – B) = 10 y n(B – A) = 6

determinar: 5n(A) – 4n(B)


SEMANA

4

UNIDAD I

Tema: Operaciones con conjuntos

1. Unión o reunión. Dado dos conjuntos A y B, la unión de A y B se define como:

/A B x x A x B

Nota; Siempre se cumple que A A

2. Intersección. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como:

/A B x x A x B

Dos conjuntos son disjuntos sí A B . Además siempre se cumple que A .

3. Diferencia de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y

B se define como:

/A B x x A x B

A

B

U A B

U

A

B

U A B

U

A B

U A

B

U

A B U

A B U

A B U


4. Diferencia simétrica. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y

B se define como:

/A B x x A B x B A

5. Complemento de un conjunto. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde

A U , se define el complemento de A como:

/' cA A x x U x A

Nota: Siempre se cumple que: 'U y ' U .

Figura 4. Operaciones con conjuntos.

U

A

A B U A

B

U

A’

A B U


Aplicaciones

1. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la música rock o salsa. La cantidad de los

que gustan el rock es el quíntuplo de los que sólo gustan la salsa; la cantidad de los que

sólo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos géneros. ¿Cuántos alumnos

sólo gustan de un género?

2. Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes

especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30

ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20

ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres, pero no en

cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además, se

sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron la

especialidad de pastas.

Determine ¿cuantos ganaron al menos, en dos de las especialidades? ¿Cuántos

ganaron? en las especialidades de Postres y Cremas? Y ¿Cuántos no ganaron en

ninguna especialidad?

Paul uno de los mejores estudiantes resuelve el problema y afirma lo siguiente:

16 ganaron en al menos dos especialidades

5 ganaron en postres y cremas

2 no ganaron en ninguna de las especialidades

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta.

3. En un aula de clase se sabe que 22 estudiantes prefieren lenguaje, 24 estudiantes

matemática y 20 prefieren biología. Si los que prefieren al menos una asignatura son 35

y los que prefieren solamente una asignatura son 5. ¿Cuántos prefieren las tres

asignaturas?


ACTIVIDAD 04

REALIZANDO LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Realizar operaciones con conjuntos y utilizarlas en la solución de problemas de aplicación

Orientaciones





Afirmaciones

1. ( )A B representa a la operación de intersección de dos conjuntos. ( )

2. ( )A B representa a la operación de diferencia de dos conjuntos. ( )

3. Si 1,2,4A y 0,2,4B entonces 0,1A B . ( )

4. Si 3,5,7M y 4,6,8B entonces 0,1M N . ( )

5. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces A B . ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Define, brevemente, cada una de las operaciones

con conjuntos.

NIVEL APLICACIÓN

Utilizando las definiciones de operaciones con conjuntos responda las preguntas.

Pregunta Nº 3

Sean los conjuntos: * + , * + y

* +

Determinar:

a) A B b) ' 'A B c) ( ) 'A B c) A B

Pregunta Nº 4

Sean los conjuntos: * +, * + y .

Determinar:

a) ( ) ' 'A B A b) ( ) 'A B A c) ( )c cA B A


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 5

Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:

De un aula de 35 estudiantes del primer ciclo de la Universidad San Martín de Porres que

son evaluados, 22 aprobaron matemática I, 20 aprobaron Filosofía, 21 aprobaron Realidad

Nacional, 10 los tres cursos y 12 solo dos cursos. Algunos de ellos no aprobaron ninguno

de los tres cursos. ¿Cuántos aprobaron un solo curso?.

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 6

Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de la teoría de

conjuntos y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.

César, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de turistas

europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamérica y se obtuvo

que: 13 prefieren Brasil y Perú, pero no Argentina; 12 prefieren sólo Brasil. 9 sólo prefieren

Perú. 50 prefieren Perú o argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil, pero no Perú y 4

prefieren Perú y argentina pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si todos los turistas

prefieren por lo menos un país, determine:

a) El número de turistas que prefieren al menos dos países.

b) El número de turistas que prefieren solo un país.

c) El número de turistas que fueron encuestados.

Visto el panorama al final de la encuesta el funcionario afirma lo siguiente:

32 personas prefieren al menos dos países

30 personas prefieren solo un país

62 personas fueron encuestadas


Método de Polya aplicado a un problema de Operaciones con Conjuntos

UNIDAD I

CONJUNTOS

CAPACIDAD: Aplica racionalmente los métodos de la Teoría de Conjuntos para la

solución de problemas específicos de su formación profesional.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica la Teoría de Conjuntos en la resolución de

problemas basados en casos (Identifica el problema, Selecciona y Ejecuta la estrategia de

solución y reflexiona sobre los resultados) de la vida cotidiana.

FICHA N°:

Resolver el siguiente problema, en torno a la Teoría de Conjuntos, utilizando

la metodología de POLYA

PROBLEMA: Operaciones con Conjuntos

Sean los conjuntos U = {x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5}, A = {x Ɛ N*/ x (x + 3) (x – 5) = 0} y

B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.Se afirma que luego de realizar las operaciones con estos

conjuntos: [(A U B)C Δ (BC – A) = {- 1, 4, 5 } ¿Es o no correcto?

CRITERIO PASOS DESARROLLO

Identifica Entender

el

problema

a) Identifica la/las incógnitas

¿Cuál es la/las incógnitas del problema?

Determinar si es o no correcto la afirmación en el sentido de

que: [(A U B)C Δ (BC – A) = {- 1, 4, 5 }

b) Identifica los datos

¿Cuáles son los datos del problema?

U = { x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5 }, A = { x Ɛ N*/ x (x + 3)( x – 5) = 0 }

y B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.

c) Identifica las condiciones

¿Cuál es la condición o condiciones del problema?

Determinar si la afirmación es o no correcta

Relaciona Configurar

un plan

Relaciona la condición con los datos y las incógnitas.

¿Cuál sería el planteamiento de solución del problema?

1.- Determinar los conjuntos por Extensión.

2.- Analizar el resultado obtenido sobre el cual basa la

afirmación.

3.- Ejecutar todas las operaciones de conjuntos hasta lograr

un resultado y compararlo con el anterior.

4.- Comprobar el resultado.

5.- Responder a la pregunta sobre si la afirmación es o no

correcta.


Resuelve

Ejecutar

el plan

Resolver:

Conjuntos por extensión:

U = { x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5 } = {-1, 0,1,2,3 4,5}

A = { x Ɛ N*/ x (x + 3)( x – 5) = 0} = {-3, 0}

B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.= {1,2,3}

Operaciones:

(A U B) = {-3,0,1,2,3} A U B)C = {-1,4,5}

(BC – A ) = {-1,4,5}

Luego:

Si tenemos en cuenta que: (A Δ B) = (A U B) – (A ∩ B),por lo

tanto

[(A U B)C Δ (BC – A) = Ø

Reflexiona

Examinar

la

solución

Revisamos la solución obtenida:

¿Cómo verificarías tu resultado?

1.- Revisando paso a paso cada operación realizada.

2.- Gráficamente

Respuesta: La Diferencia Simétrica motivo del problema

resulta un vacío.

Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la

afirmación

Resolviendo el problema planteado en el tema de

Operaciones con Funciones y comparando con el resultado

previo sostengo que la afirmación es incorrecta ya que al final

sr observa que el conjunto resultante de la Diferencia

Simétrica propuesta no tiene elementos.


EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS:

I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y de ser el caso completar la

expresión:

a. La expresión /A B x x A x B corresponde a la Diferencia… ( )

Simétrica

b. Los elementos del Conjunto Potencia se calculan con la expresión:…………….

c. El conjunto / 2 0M x x es vacío…..… ( ).

d. El complemento del Conjunto Vacío es:……………………………………………….

II. Expresar los siguientes conjuntos por Comprensión:

a. * ⁄ ( )( )( )+ +

b. * ⁄ +

III. Jorge estableció el Valor de Verdad de las siguientes expresiones en el siguiente

orden: V F V F V F ¿Es este el verdadero orden? Según sus conocimientos ¿está

usted de acuerdo? Si no lo está ¿Cuál sería el orden de los Valores de Verdad?

a) * ⁄ + es un conjunto vacío

b) { √ ⁄ } es un conjunto nulo

c) / 3B x x es múltiplo de es un conjunto infinito.

d) 1,2,3A y 1,1,3,2,3B son disjuntos

e) 1,2,3,4E es subconjunto de * ⁄ +

f) P

IV. Interpreta, Comprende y Determina el Valor de Verdad de las siguientes

proposiciones:

Sea el conjunto 3,4, 6 ,8A , colocar verdadero o falso, según corresponda:

a) 3 A

b) 4 A

c) 8 A

d) 3,8 A e) A f) 6 A

g) A h) 6 A i) * + A


V. Calcular el conjunto potencia de los siguientes conjuntos:

) * ⁄ +

) * ⁄ +

VI. Aplica los conceptos de operaciones con conjuntos y resuelve:

Sean los conjuntos:

) * + * + y

* +

Determinar:

1) A B 2) ' 'A B 3) A B

b) * +, * + ,y .

Determinar:

1) B A b) ( ) 'A B A c) A B

c) * ( )( ) + , * ( )( ) + y

Determinar: ( )

d) * +, * + y

* +

Determinar:

1) A U 2) ' 'A B A 3) A B

e) U = { x Ɛ Z / - 2 ≤ x ≤ 15 }, A = { x Ɛ N*/ x ≤ 8 }

B = {x Ɛ N / 5 < x < 15}, C = {x Ɛ Z / -1 ≤ x < 5} y

X = (A ∩ C) ∩ B e Y = (A – BC) - CC

Determinar si: X ≠ Y

VII. Aplica solo los conceptos de Cardinalidad de Conjuntos con y sin intersección y

resuelve:

a) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A) = 4; n(B) = 3 y n(A ∩ B) = 2 determinar:

n[P(A) U P(B)] + n[P(A U B)]

b) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A U B) = 30; n(A – B) = 12 y n(B – A) = 10

determinar: n(A) + n(B)


Aplicaciones de conjuntos

1. En una reunión de doctores de 54 participantes, 35 dominan inglés y física, 21 inglés y

química y 16 física y química. Si todos por lo menos dominan 2 cursos ¿cuántos

dominan los 3 cursos?

2. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14 fútbol

y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican fútbol y básquet pero no

tenis, 1 practica básquet y tenis pero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos

alumnos practican sólo un deporte?

3. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con

conocimientos de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés,

21 francés y 17 alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11

francés y alemán y 9 inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al

concurso?

4. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:

60 casas tenían aparatos de TV a color

30 casas tenían equipo de sonido

20 casas tenían DVD

21 casas tenían TV a color y equipo de sonido.

15 casas tenían TV a color y DVD

4 casas tenían equipo de sonido y DVD.

¿Cuántas casas, como máximo, no tenían estos aparatos?

5. Se lleva a cabo una investigación de 1000 personas para determinar que medio utilizan

para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias

en forma regular por TV. 300 personas escuchan noticias por la radio y 275 se enteran

de las noticias por ambos medios.

a) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por TV?

b) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la radio?

c) ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?

Jorge el estudiante promedio del aula resuelve el problema y afirma lo siguiente:

Se enteran de las noticias solo por TV: 115 personas

Se enteran de las noticias solo por Radio: 35 personas

585 personas no ven ni escuchan las noticias

Resuelve y luego emite un juicio personal si estas o no de acuerdo con Jorge

justificando tu respuesta.

6. Un grupo de alumnos de Administración ha planeado realizar una investigación sobre

las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A, B y C.

Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto la

película A; 17 han visto la película B; 23 han visto la película C. 6 han visto las películas

A y B, 8 han visto las películas B y C, 10 han visto las películas A y C. Además, se sabe

que 2 han visto las tres películas.

La finalidad del grupo es conocer lo siguiente:


¿Cuántas personas han visto una sola película?, ¿Cuántas personas han visto al menos

dos películas y cuantas no han visto ninguna de las películas?

Uno de los integrantes del grupo se adelanta y afirma que:

18 personas han visto solo una película.

18 personas han visto al menos dos películas

12 personas no han visto ninguna de las tres películas.

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta.

7. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automóvil que prefieren los

peruanos, se realizó una encuesta a 310 personas obteniéndose los siguientes

resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y 110

la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota, pero no la marca

Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas prefieren las

marcas Nissan y Toyota. Además, se sabe que el número de personas que prefieren

las tres marcas, es la séptima parte de los que prefieren la marca Volvo.

a) ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de

Automóvil?

b) ¿Cuántas personas prefieren solo Volvo y Toyota?

c) ¿Cuántas personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo?

Omar uno de los estudiantes distraídos del aula resuelve el problema y afirma lo

siguiente:

60 personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de Automóvil

30 personas prefieren solo Volvo y Toyota

15 personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta

8. César, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de turistas

europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamérica y se obtuvo

que: 13 prefieren Brasil y Perú, pero no Argentina; 12 prefieren sólo Brasil. 9 sólo

prefieren Perú. 50 prefieren Perú o argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil, pero no

Perú y 4 prefieren Perú y argentina pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si todos los

turistas prefieren por lo menos un país, determine:

d) El número de turistas que prefieren al menos dos países.

e) El número de turistas que prefieren solo un país.

f) El número de turistas que fueron encuestados.

Visto el panorama al final de la encuesta el funcionario afirma lo siguiente:

32 personas prefieren al menos dos países

30 personas prefieren solo un país

62 personas fueron encuestadas



CASOS

CASO 1: “Preparándose para la evaluación”

Luis, Pedro y Marcial se encuentran en el patio de la Universidad y el primero le pregunta a

Marcial ¿Estudiaste para el examen?, éste le responde que todavía pero que sería bueno

juntarse para estudiar. Caminando con destino al aula de clases pasan por un quiosco de la

facultad y observan un letrero que decía: ¡Aproveche la oferta!, se trataba de 2 obras de

Mario Vargas Llosa y una publicación de un autor cubano disidente nacido en La Habana.

Terminada la clase decidieron pasear cerca de la Villa Deportiva y visualizaron a su

compañera María Flores entrenando en la pista de atletismo con mucho entusiasmo. Ella,

es una atleta con futuro dijo Pedro y a su vez recordó que pronto la ciudad de Lima

festejaría su aniversario de fundación.

Todos recordaron que el docente de la asignatura de Matemática había enfatizado que para

la evaluación en lógica los estudiantes deberían conocer fechas, capitales de países,

nombres de presidentes y organizaciones mundiales, entre otros, por lo que solicitarían en la

biblioteca un compendio que los ayude.

Finalmente, el docente les adelantó que una pregunta segura en el examen sería la

Evaluación de un Esquema Lógico.

El 1er ejercicio que se les presentó para desarrollar fue el que se detalla líneas abajo:

procure Ud. dar respuesta al mismo:

1.

Lee el contenido de la lectura: Reconoce y responde colocando V o F según sea el

caso:

a.- La expresión ¿Estudiaste para el examen? es un Enunciado Abierto

b.- Ella, es una atleta con futuro es un Enunciado

c.- Mario Vargas Llosa escribió “El mundo es ancho y ajeno” es una Proposición

d.- La expresión ¡Aproveche la oferta! es un Enunciado

e.- Lima fue fundada el 18 de Enero de 1534 es un Enunciado Abierto

f.- La capital de Cuba no es La Habana es una Proposición

El 2do ejercicio se trataba de determinar el Valor de Verdad de ciertas expresiones procure

Ud. dar respuesta al mismo:

2.

Asigna una variable proposicional a cada expresión parcial de la proposición

compuesta presentada, asigna el conector adecuado, simboliza y determina el Valor

de Verdad.

a) Lima es la capital del Perú y Cali la capital de Colombia

b) O PPK es el Presidente del Perú o PPK es el Presidente de la FIFA

c) Si Elena estudia a conciencia este fin de semana entonces aprobará el curso


3.-El 3er ejercicio precisamente se trataba de una “fija” y optaron por realizarlo en forma

individual. Luis afirma que se trata de una Contradicción

EL Esquema Lógico a evaluar fue el siguiente:

[ ]~ ~p q p q q r

Realice Ud. La evaluación y determine si Luis está o no en lo correcto

CASO 2: Preferencias Profesionales

Tres amigos terminan de estudiar Lógica y empiezan con el tema de Conjuntos, para lo cual

leen el siguiente caso:

La Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP realizó una

encuesta dirigida a 60 estudiantes de la Institución Educativa “Santa Anita” y obtuvo los

siguientes resultados:

30 eligieron “Contabilidad”,

24 eligieron “Negocios Internacionales”,

22 eligieron “Administración de empresas”,

8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,

6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,

7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,

2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.

El empleado Ramírez emite un informe en el que entre otras cosas afirma lo siguiente: 40

eligen sólo una de las tres carreras,17 eligen al menos 2 de las tres carreras, 35 eligen

Contabilidad y Negocios Internacionales, pero no Administración de Negocios y 3 no eligen

ninguna de ellas.

1. Use los datos obtenidos en la encuesta realizada por la La Facultad de Ciencias

Contables, Económicas y Financieras de la USMP para elaborar la gráfica

correspondiente y dar respuesta a las siguientes preguntas:

a) n(A C) =

b) n(P A) =

c) n(A – C) =

d) d) n(A P) =

e) e) nP-(A C) =

f) f) n( A P)-C =

2. Coloque V o F según corresponda luego de resolver cada pregunta

a) ¿Cuántos eligen sólo una de las carreras profesionales?

b) ¿Cuantos eligen al menos 2 de las carreras profesionales?

c) ¿Cuántos eligen Contabilidad y Negocios Internacionales, pero no Administración de

Negocios?

d) ¿Cuántos no prefieren ninguna de las tres carreras profesionales?


SEMANA

5

UNIDAD II

Tema: Los números reales

Ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones

que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el

signo de igualdad “=”

La ecuación lineal de primer grado con una variable es aquella que adopta la forma

canónica: ax + b = 0 / a 0 a, b

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera

dicha igualdad.

La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: a

bx

Discusión de las raíces:

Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente:

1º La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones)

Si: a 0 b

2º La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones)

Si: a = 0 b = 0

3º La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda)

Si: a = 0 b / b 0

1.- Resolver * , ( )-+

Solución:

Se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis, respetando los signos, luego los

corchetes y finalmente las llaves.

* , ( )-+ * , -+ * , -+

* +

Luego x toma cualquier valor de los Reales. C.S= R

ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN LOS

NÚMEROS REALES

EJEMPLOS:


2.- Resolver:

Solución:

Aplicando las siguientes identidades

ad =bc

( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd

Obtenemos:

(X+3)(x–4) = (x-2)(x+1)

x2- 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2

Simplificando: - x – 12 = - x - 2

-12 = -2 ABSURDO.

la ecuación es Incompatible. C.S= Ǿ

3.- Que valor de “x” satisface a la ecuación:

Solución:

Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se obtiene:

3 (3x-2) – 4 (5x–1) = 2 (2x-7)

9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14

Simplificando:

-11x-2 = 4x-14

-15x = -12

De donde: x = C.S.: x ε 2

3

4.- Qué valor de “x” satisface a la ecuación:

4x

1x

2x

3x

d

c

b

a

6

7x2

3

1x5

4

2x3

15

12x

5

4

x5

2x1

43

25

3x

1x1

43

25


Solución:

Debe tenerse en cuenta que los términos que son iguales en los dos miembros de la

ecuación se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1

con 1; quedando:

o lo que es lo mismo:

Por proporciones

x2 5x-x+5=x2-2x-3x+6

Simplificando:

-x+5=6 x = -1 C.S.= {– }

5. Resolver las ecuaciones con radicales siguientes

a) 2 9 9x x

Solución

Elevando al cuadrado ambos miembros:

2 2 2( 9) (9 )x x

Resolviendo: 2 29 81 18x x x

18 81 9x

5x

Verificando: 25 9 9 5 4 4

Entonces: C.S.= 5

b) 3 2 5x x

Solución

Pasando la raíz negativa al segundo miembro y elevando al cuadrado ambos

miembros:

2 2( 3) (5 2)x x

Resolviendo: 3 25 10 2 2x x x

3 23 10 2x

2 2x Elevando al cuadrado ambos miembros: 2 2( 2) ( 2)x

4 2x

6x

Verificando: 9 4 5 1 5 es absurdo.

Entonces: C.S.=

x5

2x

3x

1x

5x

2x

3x

1x


APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES

Lee detenidamente los siguientes problemas y utilizando los conceptos de las

ecuaciones lineales, resuelve.

1. Una compañía produce harina de pescado, con un costo variable de $38 por tonelada.

Si los costos fijos son $55 000 por mes y el alimento se vende en $63 por tonelada,

¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual

de $270 000?.

2. La compañía Jimmys fabrica rodilleras para deportistas, que tienen un precio unitario de

venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos, que no dependen de la

producción, ascienden a $60 000, determine:

a. El número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90 000.

b. ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?

c. ¿Cuál será el costo total para esa utilidad?


SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Al conjunto de ecuaciones:

253

542

yx

yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales

con 2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar

valores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera

simultánea). a estos valores se les llama soluciones del sistema.

Interpretación Geométrica.

Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en

un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:

1 .

2.

3.

y

L1

L2

(xo; yo)

xo x

L1

L2

y

x

Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:

No hay intersección.

El sistema no tiene solución.

Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.

y

x

L1 L2


Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es

conveniente alinear los términos en x y en y:

A. Método de eliminación por adición

Ilustramos este método para el sistema: 2 4 5 .. . . . ( 1)3 5 2 .. . . . ( 2)

x yx y

Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para

esto multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema

equivalente:

4106

15126

yx

yx

Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es una

ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: 2/11y

Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones

originales (1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación

(1):

2/11

542

y

yx

o 5)2/11(42 x

que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así 2/17x . Por lo tanto, la

solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx

Esta solución cumple en ambas ecuaciones.

B. Método de eliminación por sustitución

Ilustramos este método, con el sistema:

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las

variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:

2534

25

yx

xy

Sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una

variable, fácil de resolver:


2)4

25(53

x

x , luego 2/17x .

Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la

variable y, fácil de resolver:

54)2

17(2

y , luego 2/11y .

Por lo tanto, la solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx .

Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y

despejar la variable x, y proceder de manera similar.

Figura 5. Forma, representación, métodos de solución y tipos de solución de los sistemas de

ecuaciones lineales.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

5123

34

yx

yx b)

830043

920062

yx

yx

c)

2

11

6

5

8

3

22

1

3

2

yx

yx

d)

121)10()10(

22

xyyx

yx


ACTIVIDAD 05

RESOLVIENDO ECUACIONES LINEALES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y

SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y sus aplicaciones

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una ecuación lineal es ax + b = 0 donde, a 0 ( )

2. Si ax + b = 0 y a = 0 luego la ecuación lineal es incompatible ( )

3. 5 2 1 2

1 2

x x x

x x x

es una ecuación racional ( )

4. La ecuación 64

89

2

37

xx tiene como C.S. = {- 2} ( )

5. La ecuación 2 7 1x x tiene como C.S. = {2}. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique, brevemente, cuando un sistema de

ecuaciones lineales es compatible e incompatible


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Utiliza los conceptos y propiedades de las ecuaciones determina el conjunto solución de:

1. 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x

2. 21

53

14

98

3

72

xxx

3. 65

13

12

1

82

2222

xxxxxx

4. 9 10 2 3 2x x x

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 4


La fábrica de comida para perros Omar’s, vende cada bolsa de comida en $200. El costo

de fabricación de cada bolsa es de $120. Los costos fijos mensuales son de $80 000.

¿Cuántas bolsas de comida para perros debe vender el fabricante para llegar al punto de

equilibrio?

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 5

Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las

ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.

Si la razón entre el número de horas que una tienda de electrodomésticos está abierta, al

número de clientes diarios, es constante. Cuando la tienda está abierta 8 horas, el número

de clientes disminuye en 92 menos que el número máximo de clientes. Cuando la tienda

está abierta 10 horas el número de clientes es 46 menos que el número máximo de

clientes. Carlos, administrador de la tienda, ha determinado que el número máximo de

clientes es de 276.


EJERCICIOSCOMPLEMENTARIOS

I. Resolver las siguientes ecuaciones lineales.

a) 15x - 10 = 6x - (x + 2) + (-x + 3) b) 4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x

c) 5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x d) 6 2 8 3 2 14x x x

e) 2 2 2

3 1 5 3 4 2x x x

f) 64

89

2

37

xx

g) 11 4 10

2 33 6

x xx

h)

5

4

4

3

3

2

xxx

II. Resolver las siguientes ecuaciones lineales racionales:

a) 4

2

2

x

x

x

x

b)

2

2

2 1

2 2 4

x x

x x x

c) 2

3 4 3 5 12

2 4 2 8

x x

x x x x

d) 3

9

14

3

12

3 2

xx

x

x

x

e) 14

114

7

8

37

12

xx

x

x

f)

34

4

9

1

32

2222

xxx

x

xx

x

III. Resolver las siguientes ecuaciones lineales con radicales:

a) 6 2 5 0x b) 2 7 1x x

c) 5 2 4 2x x d) 1 1x x

e) 5 14 2 1x x f) 5 2 4 5x x x

g) 9 7 16 7x x x

APLICACIONES

1. Un fabricante de zapatos de cuero para caballero, vende cada par en $40. El costo de

fabricación de cada par de zapatos es de $24. Los costos fijos mensuales son de $16

000. ¿cuántos pares de zapatos debe vender el fabricante para llegar al punto de

equilibrio?

2. Para una compañía que fabrica ollas a presión, el costo combinado de mano de obra y

material es de $3 por olla. Los costos fijos son $10 000. Si el precio de venta de una

olla es $5.

a. ¿Cuántas ollas debe vender para que la compañía tenga una utilidad de $140 000?

b. ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?


3. Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de

10002

q dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un

ingreso de $5 000?

4. La fábrica de comida para perros Omar’s, vende cada costal de comida en $200. El

costo de fabricación de cada costal es de $120. Los costos fijos mensuales son de $80

000. ¿Cuántos costales de comida para perros debe vender el fabricante para llegar al

punto de equilibrio?

5. El ingreso mensual total de un academia por la enseñanza de x alumnos está

dado por 450I x , y sus costos mensuales totales están dados por

380 3500C x . ¿Cuántos alumnos se necesitan inscribir mensualmente para llegar

al punto de equilibrio?

6. Un negociante vende primero 1/3, luego los 2/5 de una pieza de tela y sucesivamente 1

/ 4 de la parte que queda; sabiendo que vende en toral 48 metros. Determinar cuántos

metros quedará por venderse.

Rpta. 12 m.

7. Un negociante vende los 2/5 de un lote de aceite a un primer comprador, a un segundo

vende 1/3 de la cantidad de aceite que queda después de la primera venta; al final

quedan todavía 16 litros de aceite para vender. Cuántos litros ha vendido en total el

negociante.

IV. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

326

6124

pq

qp b)

3(2 ) 712 72 10 10

2 4

3 9 2

x yx

x y x y

Rpta: 24 litros.


SEMANA

6

UNIDAD II

Tema: Ecuaciones de segundo grado

Definición.

Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2,

siendo además racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde , ,a b c , son

números reales y 0a .

Completas: 2 0ax bx c

Incompletas: 2 0ax bx donde 0c ; 2 0ax c donde 0b

Figura 6. Ecuación de segundo grado y sus tipos.

METODOS DE SOLUCION

Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: Por factorización o por la

fórmula general

a) Por Factorización. - Pueden ser mediante factor común, aspa simple, completando

cuadrados, etc.


Ejemplo:

Resolver: 032 2 xx

Factorización mediante aspa simple: 032 2 xx

x2 3

x 1

Los factores son: (2 3)( 1) 0x x

Igualando a cero cada factor: 01 ; 032 xx

Resolviendo se obtiene: 1 ; 2

3 xx

El conjunto solución es: 3

2. ; 1 C S

Ejemplo:

Resolver:

Usando el factor común: ( )

* +

b) Por la Formula General:

Una ecuación de segundo grado se puede resolverse utilizando la formula general:

2 4

2

b b acx

a

; donde cba , y son los coeficientes de la ecuación.

Procedimiento

a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .

b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general.

c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro

d) Se despeja la incógnita.

Además, de acuerdo al valor de la discriminante se tiene:

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales y diferentes.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son complejas.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales e iguales.

Ejemplo:


Resolver: 0682 2 xx

Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c

Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:

2( 8) ( 8) 4(2)(6)

2(2)x

=

8 64 48

4

=

8 16

4

=

4

48

Entonces: 4

48

1

x y

4

48

2

x 3

1x y 1

2x

1 ; 3 . SC

APLICACIONES

1. La ecuación de ingresos de cierta compañía es: 2340 4I p p ; donde p es el precio en

dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio para que el ingreso

sea de $ 6 000, si el precio debe ser mayor de $ 40?.

2. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso

total por las ventas será q100 . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y el costo fijo

es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación no

es lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Método de eliminación por

sustitución. Ejemplos:

1. Resolver:

0

2

yx

xy ;Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuación lineal.

Por ejemplo y, así:

0

2

yx

xy

Reemplazamos en la ecuación no lineal: 2xx , la cual es una ecuación cuadrática,

que al resolver se obtiene las raíces: 10 xóx .

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

sí 0x entonces 0y ; sí 1x entonces 1y .


(0,0)

(-1,1)

x + y = 0

x

y

Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:

0

0

y

xó

1

1

y

x

Forma Gráfica

2. Resolver:

1

1

xy

xy

Observamos que en la ecuación lineal, la variable y está despejado. Sólo queda sustituir

en la ecuación no lineal: 1 1 x x , la cual es una ecuación con radical que nos lleva a

una ecuación cuadrática. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 xx , entonces resolviendo

se tiene: 10 xóx

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

sí 0x entonces 1y ; sí 1x entonces 0y

Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:

1

0

y

x o

0

1

y

x

Forma Gráfica

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

03

4y 2

yx

x b)

43

6

xy

yx c)

0

8

2

2

xy

yx

(0,1) (-1,0)

y = x+1

x

y


ACTIVIDAD 06

RESOLVIENDO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SISTEMAS DE

ECUACIONES NO LINEALES Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones no lineales y aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una ecuación cuadrática es 2 0ax bx c , donde, a =

0 ( )

2. El Discriminante de una ecuación cuadrática es: 2 4b ac ( )

3. Para resolver una ecuación cuadrática se usa el método de factorización

y la fórmula general. ( )

4. La ecuación 2 7x x tiene como C.S. = { 7 } ( )

5. En la ecuación 2 1 0x x el discriminante es 5. ( )

NIVEL Pregunta Nº2


2. Explique, brevemente, el tipo de solución que tiene una ecuación cuadrática cuando el

discriminante es 0 , 0 y 0 .


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas

determina el conjunto solución de:

a) 2 132 0x x b) 2 22 6 6 8x x x x

c) 23 1 0x x d)

22 3 5 0x x

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 4


Una compañía de muebles para computadoras tiene la ecuación de ingresos mensuales

dada por: 2450 9I p p , donde p es el precio en dólares de cada mueble. Determine e

precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400 dólares, si el precio debe

ser mayor que 20 dólares.

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 5



Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dólares por

unidad, donde qp 150 . El costo total de producir q unidades de camisas es de

)401800( q dólares. El fabricante indica que debe vender 60 camisas a la semana para

obtener una utilidad de 1 200 dólares, si el número de camisas debe ser mayor que 50.



I. Resolver las siguientes ecuaciones por cualquier método de solución:

a) 0192322 xx b) 0125202 xx

c) 2 22 6 6 8x x x x d) 2 2 9 0x x

e) (x-1)(x+2) - (2x-3)(x+4) - x + 14 = 0 f) 1 + 4(2x - 3)² = 4(2x - 3)

II. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

a) x2 25x b) 2x2 – 72x = 0

c) x2 – 4x + 4= 0 d) 2x2 + x – 3 = 0

e) x2 – 2x + 9= 0 f) x2 + 8x + 16= 0

APLICACIONES

1. Un terreno rectangular de 4 x 8 m. se usa como jardín. Se decide poner una vereda en

toda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser

el ancho de la vereda?.

2. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por 2800 7 ,R p p donde p es el

precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso

será de S/. 10 000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?

3. Cuando el precio de un producto es de p dólares por unidad, suponga que un

fabricante suministrará 23 4p p unidades del producto al mercado y que los

consumidores demandarán 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la oferta

es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio, halle el valor de p .

4. Suponga que un comerciante venderá q unidades de un producto, cuando el precio es

de )110( q dólares por unidad. Determine el número de unidades que debe vender a

fin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dólares, si debe vender más de 50

unidades.

5. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p

dólares por unidad, donde qp 185 . El costo total de producir q unidades de

pantalones es de )452800( q dólares. Halle el número de pantalones que debe

vender a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares, si el número de

pantalones debe ser mayor que 60.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

2qp

qp b)

2 0

3 2 1 0

p q

q p

c)

25

1

p q

p q


Dilema Ético

Alteración de la parte contable y financiera de Enron

Enron Corporación, pasó de ser una pequeña empresa a convertirse en una de las

empresas de mayor valor en los Estados Unidos. Enron hizo participes de su

crecimiento a sus trabajadores, a través de múltiples formas para obtener acciones,

las que se iban cotizando cada vez más en el mercado de valores. El gerente

General, cuyo objetivo principal era que Enron aumentará cada vez su valor, pidió al

Jefe del área contable y financiera de la empresa, que modificara los balances y

mostraran beneficios no existentes; así como la falsificación de documentos, que

describían una situación financiera no real. El jefe del área contable y financiera, que

no quería perder su trabajo y además perder también el valor de la gran cantidad de

acciones que había adquirido, no puso reparos a la solicitud el Gerente General.

1. Menciona y explica los valores éticos y morales que estuvieron en juego en la

alteración de la parte contable y financiera de Enron.

2. Si usted estuviera a cargo del área contable y financiera, ¿hubiera obedecido al

Gerente General?

3. ¿Cuál sería su actuación ética, si usted hubiese sido Jefe del área contable y

financiera de Enron?


SEMANA

7

UNIDAD II

Tema: Inecuaciones lineales

Desigualdades:

Es un enunciado que establece una relación de orden (< ,>, ≤, ≥ )

Ejemplo: 5 > 8 8 < 5

Propiedades de las desigualdades

1) Si: Ejemplo:

2) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 6 < 9 y 3 >0 ⇾ 6.3 < 9.3 y

3) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 3 < 7 y -2 < 0 ⇾ 3 ( -2) > 7 ( -2) y

El conjunto solución de las desigualdades se da mediante INTERVALOS: Sea I un

subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos

los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser reales o

ideales).

Figura 7. Representación de las desigualdades mediante intervalos.


INECUACIONES LINEALES

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en primer grado y entes matemáticos

Ejemplo 1:

Resolver:

Pasando las variables al primer miembro:

Simplificando:

Dividiendo entre 4:

⟨

⟩

Ejemplo 2:

Resolver:


Simplificando:

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 10:

⟨

⟩

Ejemplo 3:

Resolver:

Multiplicando por 30 (MCD):


Simplificando:

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 90:

[

[

Ejemplo4.

Resolver:

Solución:

5623

xxx

M.C.M. (3; 2; 6) = 6


556

32

x

xxx

C.S. = <5; +>

Ejemplo 5:

Resolver

Separando las inecuaciones:


Simplificando:

Dividiendo entre9:


Simplificando:

Dividiendo entre 2 :

⟨

⟩

I

II

5

2/9

7/2


APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES

Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C

No obtener pérdida: 0U ; 0t tI C

1. Una empresa produce cartucheras. Las cartucheras tienen un precio unitario de venta de

S/. 20 y un costo unitario de S/. 15. Si los costos fijos son de S/. 500 000, determine el

número mínimo de cartucheras que deben venderse para que la empresa tenga

utilidades.

2. En la producción del periódico “La Voz” se tiene que el costo de materia prima es de

S/. 0,20 y el costo de mano de obra es S/. 0,30, por unidad. El costo que se tiene sin

importar el volumen de ventas, es de S/. 1000 mensual. El precio de cada periódico es

S/. 1,00. Determine el número de periódicos que se deben vender para que la empresa

editorial obtenga utilidades.

ACTIVIDAD 07

RESOLVIENDO INECUACIONES LINEALES Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver inecuaciones lineales y aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La expresión 2 10 es una inecuación lineal. ( )

2. Si ;x es lo mismo que x ( )

3. La expresión “para obtener ganancias” se representa por: I – CT ≥ 0 ( )

4. La expresión “para no tener pérdidas” se representa por: I – CT > 0 ( )

5. Si se tiene 50q entonces el mínimo valor de q es 50. ( )


NIVEL Pregunta Nº2


Explique, brevemente, el procedimiento a seguir en la solución de una inecuación lineal

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas


1. 57

3

5

6

3

2

xxx

2. 3 1

2 5 2

x x x


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 4


Un empresario en venta de repuestos para celulares exclusivos, estima que para obtener

ganancias mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por mes. Si los costos

que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos combinados de mano

de obra y material es de $21 por unidad y cada repuesto se vende en $35, analiza y

determina si el empresario está o no en lo cierto.

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 5



Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto es

S/. 4,0. El próximo mes el precio por unidad se incrementará en S/. 0,50. El fabricante

quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que

S/. 10750, ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes?

Armando el estudiante más calificado resuelve el problema y afirma que el número de

unidades que pueden venderse hoy es 1000.


.


Método de Polya aplicado a un problema de Desigualdades Lineales

UNIDAD II

NUMEROS REALES

CAPACIDAD: Utiliza axiomas y/o propiedades de los Números Reales para la solución de

problemas relacionados con operación de negocios.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Reconoce y aplica los fundamentos teórico – prácticos

de los Números Reales en la solución de casos de contexto real relacionados con

operaciones de negocios.

FICHA N°:

Resolver el siguiente problema, en torno a números reales, utilizando la metodología

de POLYA

PROBLEMA: Desigualdad Lineal

La empresa de Pérez se dedica a la venta de impresoras, cada impresora tiene un precio

unitario de venta de $ 130 y un costo unitario de $ 100. Si los costos fijos son de $ 3000,

determine el número mínimo de impresoras que deben venderse para que la empresa no

tenga perdida. El dueño del negocio estima que como mínimo debe producir y vender 101

impresoras para no obtener perdida. ¿Es o no correcto lo afirmado?


Identifica

Entender

el

problema


¿Cuál es la incógnita del problema?

qmínimo para que la empresa no obtenga perdida.


¿Cuáles son los datos del problema?

Precio de venta: $ 130

Costo unitario: $ 100

Costos fijos: $ 3000

c) Identifica la condición del problema

¿Cuál es la condición del problema?

Determinar la cantidad mínima para que la empresa no

obtenga perdida (U ≥ 0)

Relaciona

Configurar

un plan



1.- Reconocer e Interpretar el significado de U ≥ 0

2.- Comprender y Aplicar la fórmula: U = I – CT

3.- Reemplazar la expresión anterior en U ≥ 0

4.- Operar

5.- Determinar la q mínima.

6.- Comprobar en la desigualdad U ≥ 0


Reflexiona

Examinar

la

solución


Verifica el resultado

(130 * 100) – ( 100*100 + 3000) ≥ 0

13000 – 13000 ≥ 0

Respuesta: La cantidad mínima para no obtener perdida es

100 impresoras.


afirmación

Luego de aplicar la expresión correcta para que la empresa no

obtenga perdida observamos que la cantidad mínima es 100

impresoras y no 101 como lo estimado por el dueño del

negocio.


I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:

a) Definir Desigualdades Lineales e Inecuaciones Lineales es lo mismo……… ( )

b) El intervalo [¨1 ; 4] se puede escribir…………………………………………………..

c) U ˃ 0 significa………………………………………………………………………………

d) I – CT ≥ 0 significa no obtener ganancias…………………………………………( )

e) El Equilibrio se da cuando………………………………………………………………..

f) Si se requiere la cantidad mínima para que U ˃ $10000 y luego de operar los

datos nos resulta q ˃ 500 la respuesta será 501…………………………………( )

g) El intervalo abierto en “a” y cerrado en “b” se denota………………………………..

II- Resolver e indicar el conjunto solución de los siguientes ejercicios:

a) (3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42 b) (x + 2)2 – (x - 2)2 16

c) (x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10 d) (x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13


e) x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3) f) 3 4 2 18

2 5 3

x x x

g)

2

1

3

12

1

2

5

x

x

x

APLICACIONES

1. Julio se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio de venta al público es de

S/. 1,50 cada uno. Si el costo unitario de S/. 0,80 y los costos fijos de S/. 20,0 determine

el número de sándwich de pollo que deben venderse para que Julio no tenga pérdidas.

2. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulce sabor” al precio de

102

q por unidad. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben

venderse para que el ingreso sea mayor que S/. 130?

3. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta y

S/. 0,20 en otros insumos (como azúcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad.

Además, debe aportar S/. 20,0 mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza para

la preparación de los mismos. Si los vende a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuántos marcianos

debe elaborar y vender para obtener utilidades?.

4. Un empresario que vende repuestos para celulares, estima que para OBTENER

GANANCIAS mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por mes. Si los

costos que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos combinados

de mano de obra y material es de $21 por unidad y si cada repuesto se vende en $35,

determine si el empresario está o no en lo cierto. Emita un juicio personal sobre la

afirmación.

5. Un empresario en venta de carros exclusivos y reparados, estima que para NO

OBTENER PERDIDAS debe vender como mínimo 11 carros por mes. Si los

costos que no se relacionan con la producción son de S/.96, 000, los costos

combinados de mano de obra y material son de S/.2400 por carro y si cada carro

se vende en S/.12, 000 determine si el empresario está en lo cierto. Emita un

juicio personal sobre la afirmación.

6. Una empresa produce fundas de automóvil y cada una tiene un precio unitario de venta

de $80 y un costo unitario de $35. Si los costos fijos son de $100000, determine el

número mínimo de fundas que deben venderse para que la empresa obtenga una

Utilidad no menor a $800000.

El estudiante Juan sostiene que la empresa debe vender algo menos de 20000 fundas

para que pueda obtener la utilidad deseada. Critica o Defiende la afirmación.


SEMANA

8

UNIDAD II

Tema: Inecuaciones de segundo grado

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en segundo grado y entes

matemáticos.

Casos: a, b, y c y 0a

Procedimiento:

Resolver la inecuación como si fuera una ecuación, hasta encontrar las raíces, o soluciones

de la ecuación, éstas serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al

conjunto solución.

Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el conjunto

solución.

Caso 1.- 2 0ax bx c , entonces:

1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m y

2x n

2) Como la relación de orden es ≥

; ;x m n y m < n

Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería:

; ;x m n

Caso 2.- 2 0ax bx c

, -

Nota: En el caso de ser solo <

m n

𝑚 𝑛


Ejemplo:

Resolver 2 6 0x x

1) 2 6 0x x 0)2)(3( xx 31 x ó 22 x

2) Como la inecuación es

⟨ - , ⟩

Aplicaciones de inecuaciones cuadráticas

(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es

p dólares están dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes del

artículo es )5650( xC dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse

y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?

Solución.

( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad

)3200( xxI

23200 xxI

El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)

obtenida por producir y vender x unidades está dada por:

CIU

)5650()3200( 2 xxxU

2 195 3 650U x x

Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que

2200 U

2195 3 650 2200x x

Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la

desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:

2 65 950 0x x

Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el

intervalo cerrado 8.42 ; 2.22

-2 3

+ +

xpI


Rpta.

Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes

debe estar entre 23 y 42 inclusive.

(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un

costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $0,75 en el precio, la

peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de

modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

Solución.

Sea x el número de incremento de $0, 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte

de cabello es (8 0,75 )x dólares, y el número de clientes será de (120 10 )x por semana.

Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes×precio por corte

)75.08)(10120( xxI

Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$ 8120 por tanto los nuevos ingresos

deben ser al menos $960

(120 10 )(8 0,75 ) 960x x

Simplificando

2 10 7,5 0x x

Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 4/3 , 0

Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 + 0,75(4/3)) = $9,00

Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9,00

(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo

pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 .¿Cuántas unidades deberán

venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12 500?

Solución.

Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio

; 12 500 I

(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0 x x

2 100 2500 0 x x 2( 50) 0 x

La solución de la desigualdad es 50x

Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.

)5-(500 xxI


ACTIVIDAD 08

RESOLVIENDO INECUACIONES CUADRÁTICAS Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver inecuaciones cuadráticas y sus aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una inecuación cuadrática es 2 0ax bx c , donde

a = 0 ( )

2. Un método para resolver una inecuación cuadrática es mediante la

fórmula general. ( )

3. Un método para resolver una inecuación cuadrática es mediante

los puntos críticos. ( )

4. La inecuación 2 2 3 0x x tiene como C.S. = ( )

5. La inecuación 2 1 0x x tiene como C.S. = ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique, brevemente, el procedimiento a realizar

en la solución de una inecuación cuadrática o de

segundo grado.

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las inecuaciones cuadráticas


a) 22 5 3 0x x b) 2 24 7 20 5 8x x x x

c) 2 24 5 3 7 9x x x x d) 2 6 25 16x x


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 5


El costo de producir “ x ” lámparas esta dado 2300 70C x x . Si estas se pueden

vender a‎ 140 soles. ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidades

semanales de al menos 900 soles?

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 6


inecuaciones cuadráticas y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.

Una compañía de productos de belleza vende 300 unidades de un cosmético cuando su

precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45

unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos

$19 500? José uno de los más destacados estudiantes del aula afirma que el precio

máximo es mayor que 49 pero menor que 51.


.


I. Resolver e indicar el conjunto solución

1. x2> 3 2. x3 + 1 < (x - 1)3 3. x2 – 2x – 1 0

4. x2 – 6x + 25 < 11 4. 5. x2 – 11x + 24 < 0 6. x2 – 9x + 20 > 0

7. x2 – 8x – 9 0


APLICACIONES

1. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado

por la expresión G(x) = - 6x2 + 48x - 76 donde ( x en miles) es el número de unidades

producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos

S/. 14 000?

2. La demanda mensual de un cierto artículo cuando su precio es de p dólares viene dada

por 200

3

p

unidades. Los costos generales de la planta son 650 dólares mensuales

y el costo de producción de cada unidad es de 46 dólares. ¿Qué producciones garantizan

que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dólares?

3. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio de p dólares por unidad, x unidades

de cierto artículo, con 120p x . Si los costos totales son de (950 15 )x dólares,

¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes para obtener una utilidad

de al menos $1800?

4. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El costo

C (en dólares) de producir x unidades cada semana, está dado por 2 300 26400C x x . ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana

para obtener alguna utilidad?

JUICIO DE VALOR:

1. Si el precio “ p ” de cierto articulo depende de la cantidad demandada “ q ” y está dado

por 120 2p q , y además se tienen costos fijos de $300 y el costo de producción de

cada unidad es de $20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener

utilidades de al menos $900? Ramiro el estudiante más aplicado del aula afirma que

matemáticamente la respuesta se debe expresar: 20 ≤ x ≤ 30


2. Las ventas mensuales “ x ” de cierto producto cuando su precio es “ p ” dólares está

dada por: 240 4p x . El costo de producir “ x ” unidades del mismo artículo es

700 20C x dólares. ¿Cuántas unidades de éste artículo deberán producirse y

venderse de modo que las utilidades mensuales son sea menor que $2 300? Arturo el

estudiante más distraído del aula afirma que el número de unidades a producirse y

venderse está entre 20 y 30.


3. Un editor puede vender 12 000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por

cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio

máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo menos

de $ 300 000?. Juana una de las más destacadas estudiantes del aula afirma que el

precio máximo resulta de resolver la siguiente expresión: n2 - 5n ≤ 0



4. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender

rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p céntimos por kilo,

venderá x kilos, con 1000 20x p . ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener

ingresos de por lo menos $12000?.

Norma acostumbrada a participar en clase afirma que el precio debe estar entre 20 y 30


CASOS:

CASO 1: EMPRESARIO EMPRENDEDOR

Un empresario del Emporio Comercial de Gamarra

revisa con su contador la situación de uno de sus

productos estrellas (Jean Clásico con bordado) para

determinar la cantidad a producir y vender

semanalmente si desea obtener una utilidad semanal

de $1800. El contador revisa sus registros y verifica

que el costo de producción por prenda es de $15, los costos fijos de $950 y cada jean se

vende en $70. Ambos convienen en que es necesario establecer una expresión fija que

represente el precio del jean y establecen la misma como p = 120 – q. Además, el contador

manifiesta que con 50 o 55 unidades podrían alcanzar la utilidad presentada anteriormente.

1. Comprensión del caso

1A. ¿Qué representan las siguientes fórmulas? Explique con sus propias palabras.

Cu.q Cu.q + CF p.q CV + CF

2. Selección de la estrategia

2A. Si la Utilidad = Ingreso - Costo Total, plantear en función de “q” la Ecuación lineal y la

Ecuación cuadrática, tomando los datos del caso 2.

3. Ejecución de la estrategia

3A. Con las mismas ecuaciones planteadas anteriormente, determine el valor de “q” en la

Ecuación Lineal y valores que pueda tener la variable “q” en la Ecuación Cuadrática.

3B. Analizar el Discriminante y determinar el tipo de raíces de la Ecuación cuadrática

resultante en el caso planteado.

4. Evaluación de los resultados

4A. El contador manifiesta que con 50 o 55 unidades podrían alcanzar la utilidad de

$1800 ¿Estas o no de acuerdo con la afirmación? Justificar

https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=&url=https://www.pyme.es/importancia-la-contabilidad-parte-2/&psig=AOvVaw1UvmoMxRMf9OZFVrOI295h&ust=1524093396795451

https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=&url=https://www.pyme.es/importancia-la-contabilidad-parte-2/&psig=AOvVaw1UvmoMxRMf9OZFVrOI295h&ust=1524093396795451


CASO 2: CONTIENDA AMIGABLE

El docente del aula propone el siguiente problema

Una empresa produce fundas de automóvil y cada una tiene un precio de venta de $80 y un

costo unitario de $35. Si los costos fijos son de $150000, determine el número mínimo de

fundas que deben venderse para que se obtenga una Utilidad no menor que $500000.

Omar y Luis estudiantes sobresalientes del aula luego de analizar, plantear y solucionar el

problema sostienen que la empresa debe producir y vender como mínimo 10 000 fundas

para que pueda obtener la utilidad deseada.

Omar quien se encarga de plantear el problema propone establecer un punto de partida

fijando una expresión simbólica de la Utilidad empleando el criterio de obtener una utilidad:

1.- ¿Cuál de las siguientes expresiones fijó Omar como su punto de partida?

a) U = 0 b) U > 0 c) U < 0 U ≥ 0

2.- Cuál de las tres expresiones mostradas a continuación debió emplear Omar en el

planteamiento del problema:

U = I + CT I = p x q CT = Cuxq + CF

3.- Si Ud. fuera Omar como plantearía el problema:

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

4.- Entregado el planteamiento a Luis procedió a operacionalizar la información al punto que

obtuvo la siguiente expresión: U ≥ 10000 con lo que ambos confirman la afirmación inicial

de que son 10000 fundas que se deben producir y vender como mínimo.

5.- Del planteamiento realizado por Ud. anteriormente realice las operaciones adecuadas y

muestre su resultado:

6.- De coincidir con el trabajo de Omar y Luis comprobar el resultado:


SEMANA

9

UNIDAD III

Tema: Funciones

I. Sistema Coordenado Bidimensional

El sistema coordenado bidimensional o o rectangular o plano, se representa mediante

dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan o cruzan en

un punto llamado origen O. A la línea horizontal se le llama eje X (eje de abscisas), y a la

línea vertical, eje Y (eje de las ordenadas).

Cada punto P en un plano XY debe tener asignado un par de números llamado par

ordenado, se denota ( , )P a b , a se llama abscisa de P y b ordenada de P. Se dice que

P tiene las coordenadas ),( ba .

EJERCICIOS

Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares e indique el cuadrante al que

pertenece cada punto.

a) ( 2,6) (1, 1) (5,7) (6, 3)

b) )9,2()11,0()0,2()8,1(

c) (0, 3) (2, 1) (3,5) ( 4,6)

d) (0,0) (3, 3) (4, 5) ( 1, 6)

II. Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como:

, /A B x y x A y B

y

x

I

CUADRANT E

II

CUADRANT E

III

CUADRANT E

IV

CUADRANT E

(eje de las ordenadas)

( eje de las abscisas)

y

xa

b

( , )a b

o


Ejemplo 1

Dado los conjuntos: 2;1;0A y 4;2B , hallar: BA

Solución:

)4,2();2,2();4,1();2,1(();4,0();2,0(BA

Ejemplo 2

Dado el conjunto: 4; 3; 1A hallar: A A

Solución:

(4, 4); (4,3); (4, 1); (3, 4); (3,3); (3, 1); ( 1, 4); ( 1,3); ( 1, 1)A A

Propiedad

ABBA

III. RELACIONES

Dado un producto cartesiano A x B, mediante una regla de correspondencia entre la

abscisa y la ordenada de sus pares ordenados se dice que existe una RELACIÖN.

Las abscisas de los pares ordenados de la relación se les llaman DOMINIO

Las ordenadas de los pares ordenados de la relación de les llama RANGO

Observación

Si BA tiene n elementos entonces existen n2 relaciones de A en B

EJERCICIOS

1. Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) / .R x y A B x y es un número par

b) 2 ( , ) / 0R x y A B x y

c) 3 ( , ) / 2R x y A B x y

2. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) /R x y A A x y

b) 2 ( , ) / 0R x y A A x y

c) 3 ( , ) / 2R x y A A x y


IV. Funciones

Definición de Función

Una función de A en B , es una relación BAf que hace corresponder a cada

elemento ""x del conjunto A a lo más un elemento "" y del conjunto .B

La notación de una función es )(xfy que se lee “ y es igual a f dé x ”, donde ""x

es la variable independiente e "" y la variable dependiente.

El conjunto de valores que puede tomar ""x se denomina dominio de una función, y al

conjunto de valores que puede tomar "" y se le denomina rango de la función.

Formas de Representar una Función

Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas:

a) Verbal (mediante una descripción con palabras).

El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté

depositado.

b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).

Con una fórmula: A(r) = r2 que es el área de un círculo.

c) Visual (con una gráfica).

d) Numérica (a través de una tabla de valores).

Con una tabla de valores.

w (kilos) C(w) (dólares)

0 < w 1

1 < w 2

2 < w 3

3 < w 4

4

6.5

8.5

10

Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.

x

y


e) Diagrama Sagital

Dominio Rango

f) Conjunto de Pares Ordenados

1 2

4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5

g

g es una función

Formas para determinar si una Relación ó Correspondencia es una función

Existen dos formas para determinar si una relación o correspondencia es o no es una

función:

1. Estableciendo los siguientes Principios:

Principio de Existencia:

“Cada elemento de A está asociado a otro elemento de B”

Principio de Unicidad:

“A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B”

2. Aplicación del Método de la Recta Vertical:

“Se traza una recta vertical paralela al eje “Y” y si corta a la gráfica de la supuesta

función en un solo punto; luego la gráfica representa una función”

Nota:

Se debe analizar la gráfica presentada como posible función de izquierda a derecha

aplicando el método referido.

Ejemplos:

Establecer si la correspondencia de pares ordenados mostrada es una función:

g: A B {(1;3),(2;4),(,(3;5),(4;6),(5;7)} f: A B {(1;2),(5;2),(3;a),(a;-2),(a;5)}

A B

f


Determinar si las siguientes gráficas representan una función:

1.

2.

No es función ya que al trazar la recta vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

No es función ya que al trazar la recta vertical, corta a la gráfica en 2 puntos.

g

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

f

2

a

-2

5

1

5

3

a

A B

y

x

y

x

A B

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5


3.

4.

Figura 7. Representación de las desigualdades mediante intervalos.

Si es función ya que la vertical que se traza corta a la gráfica en 1 punto.

No es función ya que la vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

y

x

y

x


Cálculo de las variables a y b en una función

1.- Si f es una función encontrar el valor de “a” y “b”

a) f: {(-1;42a – b),(2;3a + b),(6;1),(2;243),(-1;256)}

Solución

Para x = -1 tenemos y = 42a - b = 256

De acuerdo a la propiedad de los exponentes. 42a - b = 256 = 44 . . . . . . . . ( 1)

Para x = 2 tenemos y = 3a + b = 243

Por el misma propiedad se tiene: 3a + b = 243 = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Luego de (1) y (2); igualamos los exponentes resultando un sistema de ecuaciones con

dos incógnitas donde obtenemos que a = 3 y b = 2

b) f : {(a; a + b),(a;14),(b; b - a),(b ; 4)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a + b = 14 y b – a = 4

Resolviendo tenemos que: a = 5 y b = 9

c) f : {(-1; 2a – 3b),(2; 5a + b),(3; 5),(2; 25),(-1; 64)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a – 3b = 6 y a + b = 2

Resolviendo tenemos que: a = 3 y b = -1

2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una

función.

a) (2; 3), (3;4), ( 3;1), (4;5)

b) 2 3(1;5),(( 1) ;9),( 1;5),( 1;9)

c) { (2;2),(2;3),(3;3),(3;4),(4;5),(5;6)}

d) (1;2),(5;2),(3; ),( ; 2),( ,5)a a a

e) { (0;8),(-1;3),(0;16/2),(-1;5),(1;-6)}

f) ( 2;1),(6; 2);(3; 16),(4;1),(3, 4)

g) 3( 3;0),(0;0),(2; 8),(5;3),(2; 2)

h) { (4;2),(-62;8),(-1;2

2),(0;2),(-36;9)}

i) 1 4

1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3

a a

3) Si f es una función determinar ba, e indicar su dominio y rango.

a) (3;4),(7;8),(3; ),(7; )f b a

b) f = { (x; x +y),(x;12),(y; y – x),(y; 6)}


c) f = { (3; 8),(3; 22a – 1),(4; 81),(5;6),(4; 33b + 5),(7; a + b)}

d) f = { (3;27),(3, 32a – 1),(4;625),(9;4),(4; 53b + 5),(-4; a + b)}

e) f = { (2; 81),(2; 33a – 2b),(7,1),(5; 144 ),(3; a + b),(5; 122b -1)}

f) f = { (4,-1),(2;a),(4; b2 – a),(2;1)}

4) ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función?

b)

d)

a) A B

f)

h)

e) A B1

2

3

4

A Ba

b

c

d

e

1

2

3

4 5

A B

g)

A B

.

A B

AB

A B

c)


DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En la definición de una función encontramos que los valores que puede asumir “x” y los

valores que asume “y” forman el Dominio (Dom) y Rango (Rang) respectivamente.

Para el caso de una función representada gráficamente puede asumirse una metodología

aparente para determinar el Dom y el Rang y es la siguiente:

Cuando se trata de definir Dom analizamos la totalidad de la gráfica de izquierda a derecha

y proyectamos la misma sobre el eje X con lo que obtenemos el resultado cuidando la forma

de los intervalos en cada tramo analizado.

Para el caso del Rangf hacemos exactamente lo mismo pero esta vez se proyecta la gráfica

sobre el eje Y.

Ejemplo: En las siguientes gráficas determinar Domf y Rangf

Dominio: , , * + rango:: - -

Df : - -

Rf : * +

2

2 5

1 2

2

6

x

4

3 1 3

y

4

2

5


ACTIVIDAD 09

RECONOCIENDO LAS RELACIONES Y FUNCIONES EN

Objetivo

Reconocer relaciones y funciones, estableciendo sus diferencias.

Orientaciones





Afirmaciones

1. El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario ( )

2. Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos

definido el par ordenado ( x; y) ( )

3. Si 1,2A y 3,4B entonces (3,1),(4,2)R es una relación

de A en B. ( )

4. La inecuación 2 2 3 0x x representa a una función. ( )

5. Si el conjunto de pares (3,1),(1,2),(4,2),(3,1) representa a una

función entonces 3,1,4Dom y 1,2Rang . ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Si los pares ordenados siguientes son funciones,

halla el valor de a y b.

1. 2 3( 1;2 ),(2;5 ),(3;5),(2, 625),( 1;64)a b a bf

2. 2 2(5;7),( 1; ),( ;2 ),(5; 2 ),( 1;2)f a b a b b a a b

3. 2(1;27),(7;2),(2;4 ),(1,3 ),(2;16)a b a bf


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Utilizando los conceptos de domino y rango de una función, determina el dominio y rango

a partir de las gráficas de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

y

x1

3

5 73 8

1

4

3

2

2

y

x461

2 2

3

4

2

8

( )f x

3

4

2


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 5

Analiza detenidamente, cada una de las gráficas siguientes y establece cual representan a

una función. Explica la justificación.

a) b)

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 6

Juan ha establecido que el dominio y rango de la gráfica de la función es:

5;4 2;3 3;5Dom y 2; 1 1;5 1;4Rang . Critica o defiende la

afirmación de Juan. Justifica tu respuesta.

.

y

x

y

x

y

x55

2

4

4

2

3 1

1

4




a) El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario………… ( )

b) Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos………….. ( )

definido el par ordenado ( x; y)

c) El Producto Cartesiano A x B = B x A……………………………………………… ( )

d) Si A = {0;1;2} y B = {2;4} luego (4;2) es una relación de A X B……………………( )

e) Si a cada “x” elemento de A le corresponde un solo elemento “y” de B decimos

que…………………………………………………………………………………………………

f) La Regla de Correspondencia de una función se expresa como:……………………..

g) Los Principios de Unicidad y Existencia determinan…………………………………….

………………………………………………………………………………………………..

d) Una supuesta función expresada en pares de ordenado se reconoce si lo es cuando

………………………………………………………………………………………………..

e) El Método de la Recta Vertical consiste en……………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….

f) El Rango de una función está formado por………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….

g) Si A = 1 4

1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3

a a

luego representa una función…………….( )

II- Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) / . 1R x y A B x y

b) 2 ( , ) / .R x y B A x y es un número impar

c) 3 ( , ) / 0R x y B A x y

d) 4 ( , ) / 1R x y B A x y

III. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) / 1R x y A A x y

b) 2 ( , ) /R x y A A x y

c) 3 ( , ) / 1xR x y A A y


IV. Si f es una función encontrar los valores de “a” y “b” así como el dominio y rango:

a) f = {( 7;42a – b),(12;3a + b),(3;1),(12;243),(7;256)}

b) )64;1(),625,2(),5;3(),5;2(),2;1( 32 babaf

c) )2;1(),2;5(),2;(),;1(),7;5( 22 baabbabaf

d) )16;2(),3,1(),4;2(),2;7(),27;1( 2 babaf

V. Determine que grafica representa una función:

x x

y y(a) (b)

y

x

y

x

(c) (d)

(e) (f) y

x

y

x

(g) (h) y

x

y

x


VI. Hallar el dominio y el rango sólo de los gráficos que representan una función:

4

3

1 4 5 -1

-2

-2

-4 2 4 x

-2

(b)

(d)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

-4

6

2

1

(a)

(c)

-2

2

5

6 f(x)

1 2 5

y

x

5

1

2

-2 -3

-4 -6

6

(2; 3)

6 8 10

(e) (f)

-2 2 8

-2

(4; 7)

(g) y

x(0, 1)

(3, 6)

(0, 4)(4, 4)

y

x3

3

35

4

1 2

(h)

3

7

8 f(x)


SEMANA

10

UNIDAD III

Tema: Características y evaluación de una función

Características de una función

Función creciente: Una función f es

estrictamente creciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica crece o sube de izquierda a

derecha conforme el valor de x también

aumenta.

Función decreciente: Una función f es

estrictamente decreciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica decrece o baja de izquierda a

derecha conforme el valor de x aumenta.

Ejemplo

La función 2( ) ( 1) , 0,5f x x x es estrictamente creciente.

Solución

Considerando 01 x y 52 x , entonces:

1)10()0()( 2

1 fxf

36)15()5()( 2

2 fxf

Se tiene que si )()( 2121 xfxfxx se cumple 5,0, 21 xx

Por lo tanto la función es estrictamente creciente en 5,0

Signos de la función

i. 0)( xf )(xf es negativa ;x a b

ii. 0)( xf )(xf es positiva ;x b c

y

1( )f x

2( )f x

1x2x x

x

y

( )f x

a b c

y

2( )f x

1( )f x

1x 2x x


Intersecciones con los ejes coordenados

- Intersección con el eje x

Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor de x .

- Intersección con el eje y

Hacemos 0x , y hallamos el valor de y .

Ejemplo

Dada la siguiente gráfica de la función: )(xfy

Tenemos:

Dominio:

, 8 6 5,0 1,8domf

Rango:

, 4 3 2,3Ranf

Intervalos de crecimiento:

5,0 , 5,8

Intervalos de decrecimiento

1,5

)(xf es positiva en

6 , 1,3 , 7,8

)(xf es negativa en

, 8 , 5,0 , 3,7

Puntos de

intersección con el

eje x

(3,0), (7,0)

Punto de

intersección con el

eje y

(0, 4)

y

x1

3

5 5 7

4

3 8

1

68

3 2


Evaluación de una función

Evaluar una función significa encontrar un valor para la misma y éste puede ser numérico o

literal.

La evaluación de una función tiene dos características:

- Evaluación Analítica

- Evaluación Gráfica

Ejemplos:

a). Evaluación Analítica

1) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados:

Función f(a) f(0) f(-2) f(5) f(x + h)

f(x) = 4x2 + 1 4(a)2 + 1 1 17 101 4(x + h)2+1

f(x) = x / 2 a/2 0 -1 5/2 X + h / 2

f(x) = 2x - 6 2a - 6 -6 -10 4 2(x+h) - 6

f(x) = 3x 3a 0 -6 15 3(x+h)

2) Evaluar la función f(x) = 6x – 2 para: f(0) ; f(-2) ; f(8)

f(0) = 6(0) – 2 = -2 ; f(-2) = 6(-2) – 2 = -14 ; f(8) = 6(8) – 2 = 46

3) Evaluar la función ( ) √ √ ( ) ( )

( ) √ √ ; ( ) √ √

4) Evaluar la función ( ) { ( – )

( ) ( ) ( ) (√ )

Para evaluar debemos tener en cuenta el dominio en el que se sitúa el valor de x

examinado y el respectivo valor de la función para ese valor de x.

Luego:

( ) ( ) – ( )

( ) ( )

( ) ( ) – ( )

(√ (√ ) – (√ ) (√ )

5) Evaluar función: ( ) {

( ) ( )

( ) – ( )

Luego:

f(0) = 02 –1 = -1 ; f(7) = 36 – 72 = -13; f(-4) = (-4)2 –1=15 ; f(10)=36 – 102 = - 64


Así: ( ) ( )

( ) – ( )

b). Evaluación gráfica

1) Dada la gráfica Nº 1:

Determinar los valores de: f(-3), f(0), f(2), f(4), f(5) y f(8)

f(-3) = 0 f(0) = -4 f(2) =-6 f(4) = -6 f(5) = 4 f(8)= No existe

2) Dada la gráfica Nº 2:

Hallar: ( ) ( )

( ) ( )

f(-4) = 5 f(0) = -3 f(5) = 4 f(3) = 0

Luego: –

–

x

y

-4

-6

-6

4

8 5 2 -3

x

y

-4

0

-3

-5

4

5

5 3


ACTIVIDAD 10

IDENTIFICANDO LAS CARACTERISTICAS DE UNA FUNCIÓN Y SU

CORRESPONDIENTE EVALUACION

Objetivo

Identificar las características principales de las funciones especiales y evaluarlas.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, evalúa y responde.

NIVEL Pregunta Nº1



Afirmaciones

1. El dominio de una función es el conjunto de valores que están sobre

el eje x. ( )

2. El rango de una función es el conjunto de valores que están sobre el

eje y.. ( )

3. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con uno o

más conectores lógicos. ( )

4. Luis y Ricardo son muy amigos. Es una propisicion lógica simple ( )

5. El día tiene 24 horas si y solo si una hora tiene 60 minutos. Es una

propisicion lógica compuesta. ( )

NIVEL Pregunta Nº2


1. De acuerdo a lo establecido en la sesión, explique brevemente, que es evaluar una

función.

2. A partir de la gráfica de una función, ¿Cuándo se dice que la función es positiva o

negativa? ¿Cuándo la función es creciente o decreciente?


x

y

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Considerando que la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , halla:

a. Dominio

b. Rango

c. Los intervalos de crecimiento

d. Los intervalos de decrecimiento

e. Los intervalos en el cual 0)( xf

f. Los intervalos en el cual 0)( xf

g. Los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Pregunta Nº 4

En cada una de las funciones siguientes, hallar los valores funcionales indicados

a. f(x) = 4x4 + 1 )5(;)(;)4( fhff

b. 5

( )3

xf x

x

,

( 1) ; (0) ; ( )f f f x h

c. 42)( 2 xxxf ( ) ; (0) ; ( 3)f h f f

d. 62

1)( xxf

1( ); (0) ; ( 1)3

f f f

e. ( ) √ (0) ; ( 1)f f

f.

84;16

44;)(

2

2

xx

xxxf )0(;)6(;)

3

1( fff ; )2(f

g. 2

5 ; 3 3( )

6 8 ; 3 9

x xf x

x x

3 ( 2) 2 (3)

3 (4) 2 (8)

f fA

f f


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 5

Analiza la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , y halla:

a. ( 1)f

b. ( 5)f

c. (1)f

d. ( 2)f

e. (4)f

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 6

Luego de analizar la función ( )f x , Luis ha encontrado que el valor de la expresión R es 4.

¿Estás de acuerdo con lo encontrado por Luis?. Justifica tu respuesta

2

3 2

5 ; 0

( ) 2 3 4 ; 0 6

10; 6

x x

f x x x x x

x x

( 2)

(2)(0) 8 ( 1) (6)

(3)

f

ff f f

fR

x

y4

3

1

-1 -2

-5 1

-2


EJERCICIOS ADICIONALES:

1. Dada la gráfica de la función:

a) Hallar (7) ( 3)

(2) ( 6) (0)

f f

f f f

b) Hallar los “ x ” para los cuales se cumple que

.0)( xf

c) Halle el dominio y el rango.

d) Indique los intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

e) Indique los intervalos en que la función es

constante.

f) ¿En qué intervalos la función es negativa?

g) Hallar los puntos de intersección con los ejes

coordenados.

Tomando la gráfica Nº 1 como modelo: hallar

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Tomando la gráfica Nª 2 como modelo: hallar

( ) ( )

( ) – ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2. Dada la gráfica de la función f (x), determina los intervalos donde es creciente o

decreciente. Así como los intervalos donde ( ) ( ) .

x

y

6 4

-1

9

6

2

1 3 5 7 8 9

-2

4


SEMANA

11

UNIDAD III

Tema: Funciones especiales

Funciones especiales

1. Función lineal: ( ) ( ) ( )

2. Función constante.

cxf )( , donde c es una constante, fDom , cfRan

3. Función cuadrática

,)( 2 cbxaxxf 0a , fDom .

4. Función polinomial

),()( xpxf Donde )(xp es un polinomio, fDom

5. Función Racional

( )( )

( )

p xf x

q x , donde )()( xqyxp ; q(x) ≠ 0 son funciones polinomiales.

0)(/ xqxfDom

6. Función radical

( ) ( )nf x p x , si n es par, 0)(: xpfDom

7. Función por partes o tramos

33

22

11

,)(

,)(

,)(

)(

fDomxxf

fDomxxf

fDomxxf

xf 21 fDomfDomfDom 3fDom .

8. Función valor absoluto

f x x , donde

, 0

, 0

x si xx

x si x

, )( fDom


Ejemplo

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1. 2

4( )

xf x

x x

04 x

x4

02 xx

10

0)1(

xx

xx

,4 0,1Dom f

2. 6 3 3

( )3 4

xf x

x

036 x

x2

043 x

43x

3/ 4,2Dom f

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

2. Diferencia de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

3. Multiplicación de funciones

xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(

4. División de funciones

xg

xfx

g

f

, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx

5. Composición de funciones

,)()( xgfxgf )()()()( fDomxggDomxgfDom

,)()( xfgxfg )()()()( gDomxffDomxfgDom

Observación

Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las

nuevas funciones sea distinto de vacío.

2


Ejemplos

1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f

xg

Solución

;1Dom f y, RgDom )( , entonces:

;1Dom f g , ;1 2f

Domg

Luego:

21)()()( xxxgxfxgf

2

1

)(

)()(

x

x

xg

xfx

g

f

2. Si 7,3,2)( xxxf y 3,0,4)( xxxg . Hallar )(xgf y )(xfg

Solución

a) )()()()( fDomxggDomxgfDom

7,343,0 xx

31

743

x

x

3,0)( gfDom

1 0 3

Por lo tanto:

xxxfxgfxgf 2)4(24)()(

b) )()()()( gDomxffDomxfgDom

3,027,3 xx

21

12

320

x

x

x

)( fgDom

Por lo tanto:

)(xfg No está definido.


y

x

y

GRÁFICA DE FUNCIONES

1) Función constante

cxf )( , c = constante

( ) , ( ) * +

3) Función cuadrática

2)( xxf

( ) , 0;Ran f

5) Función valor absoluto

, 0( )

, 0

x xf x x

x x

( )

0;Ran f

2) Función lineal

xxf )(

( ) , ( )

4) Función raíz cuadrada

,)( xxf

,0fDom , 0;Ran f

6) Función racional

x

xf1

)(

( ) * +;

( ) * +

y

y y

c

x x 1

1

1

1 -1

-1

- 1 1

1

1 4

2

1

x

-1 1

1

x

y


ACTIVIDAD 11

RECONOCIENDO LAS FUNCIONES ESPECIALES SU GRÁFICA, DOMINIO Y

RANGO. REALIZANDO OPERACIONES CON FUNCIONES

Objetivo

Reconocer las funciones especiales, su gráfica, dominio y rango. Así como las operaciones

entre funciones.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Observa, analiza, calcula y responde.

NIVEL Pregunta Nº1


una de las proposiciones.

Proposiciones

1. ( ) 2 1f x x es la función especial valor absoluto. ( )

2. 1

( )f xx

es la función especial lineal. ( )

3. La función 2( )f x x tiene como dominio a . ( )

4. Si 2( ) 2 1f x x x y ( ) 2g x x

entonces 2( )( ) 2 3g f x x . ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN De acuerdo a lo establecido en la sesión, indica el

nombre de las funciones especiales siguientes.

Justifica.

a) b)

y

x

y

x


c) d)

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

En cada una de las funciones siguientes, hallar el dominio

a. 12

3)(

2

xx

xxf

b. xxf 25)( ,

c. 42)( 2 xxxf

d. 6

)(2

xx

xxf

e. 2 3( )

6 2

xf x

x

f. 6( )

3

xf x

x

y

x

y

x


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 4

Analiza la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , y halla el valor de E:

)20)((5

)8)((2)15)((3

gf

gfgfE

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 5

Luego de analizar la función ( )f x , Pedro ha encontrado que el valor de la expresión M es

8. ¿Estás de acuerdo con lo encontrado por Luis?. Justifica tu respuesta

Si : 2

2 4 ; 0( )

; 0

x xf x

x x

y

2( 4) 6 ; 1

( )

5 2 5 ; 1

x x xg x

x x

halle el valor de la expresión:

1 2

34 /

f g f gM

g f

x

y( )g x

3

8

6 5

4



I . Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. 9)( xf

2. xxxf 22

3. 2518)( xxxf

4. 216)( xxf

5. xx

xxf

2

3)(

2

6. 232

25)(

2

4

xx

xxxf

7. x

xxxf

24)(

2

8. 16

22)(

2

x

xxf

9. 1

326)(

2

x

xxf

10. 2

14

7)(

x

xxf

11. xx

xxf 5

32

49)(

12. 21

2)(

x

xxf

13. 12

1054)(

2

2

xx

xxxf

14. 65)( 2 xxxf

15. 4

65)(

2

x

xxxf

16.

2;1

2;2)(

3 xx

xxxf

II. Dada las funciones:

,24)(13)( xxgyxxf hallar las operaciones siguientes:

a) ))(( xgf b) ))(( xgf c) ))(.( xgf d) ))(( xg

f

xxf )( y ,123)( 2 xxxg hallar las operaciones siguientes

a) ))(( xgf

b) ))(( xgf

c) ))(.( xgf d) ))(( x

f

g

III. Sean las funciones:

2;63

2;42)(

xx

xxxf

y

4;4

4;24)(

2

xx

xxxg

Hallar: 6)2)((2

5)2)(.(3)

gof

fgHa

2 . 6 12)

7 0/

f g g fb H

f g

IV. Sean Las funciones:

1;256

1;46)(

2

xx

xxxf

y

0;

0;24)(

2 xx

xxxg


hallar: a)

3 2 2 1

3 3

/f g f gH

g f

1/ 2

3 . 2 2)

2

f g f gb H

f g g f

V. Si 9,5,4,0,5,1,2,3 f y 6,8,1,5,2,3,4,2g

Hallar:2; ; . ; ; 3/f g f g f g f g f g

VI. Sean las funciones:

2,3,4,0,5,1,2,2 f y 6,0,1,5,2,3,4,2g

Hallar:

(2) 2 (0)

4 (3)

/f g f gM

g f

VII. Sean las Funciones

Hallar: a) )6)((3

)0)((4)5.)(.(2

gf

gfgfE )

VIII. En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de gf , fg y hallar su regla de

correspondencia si existe.

a) 4,1,4)( xxxf y 5,0,12)( xxxg

b) 7,1,33)( xxxf y ( ) 12, 2;4g x x x

c) 8,3,1)(2

xxxf y ( ) 3 , 5;2g x x x

x

y( )f x

4

6

6 4

4

3

2

2


SEMANA

12

UNIDAD III

Tema: Función lineal

RECTAS

Pendiente de una recta

Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la

recta se define como: tg Ø = 2 1

2 1

y y cambio verticalm

x x cambio horizontal

Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:

Pendiente cero Recta horizontal

Pendiente indefinida Recta vertical

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha

FORMAS DE ECUACION DE UNA RECTA

Ecuación de la recta con punto – pendiente conocido

Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuación:

0 0( )y y m x x

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.

Solución.

Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es 4 5( 1)y x

simplificando : 5 1L y x .

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuación de recta

es: 2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x


Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).

Solución.

Es claro que 5 2 3

3 ( 1) 4m

y tomando como punto de paso cualquiera de ellos,

digamos el punto (3,5) se tiene la ecuación: 3

5 34

y x . Reduciendo tenemos:

3 11:

4 4L y x

Ecuación pendiente – intersección

Sea la recta L con pendiente m que interseca al eje y en b, tiene por ecuación:

bmxy

Ecuación lineal general: 0 CByAx

Ecuación de una recta vertical: ax

Ecuación de una recta horizontal: by

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas Paralelas

Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:

21 // LL si sólo si 21 mm .

Rectas Perpendiculares

Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la

siguiente relación 1 2. 1m m .

Es decir 1 2 1

2

1

L L mm

si y solo si .

Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto

(1,2) y es paralela a la recta 2 3y x .

Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x entonces la

pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos

2 2( 1) : 2y x L y x . Luego la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que

pasa por (1,2) es L1: 1

2 12

y x resolviendo tenemos L1:1 3

2 2y x que es la

recta perpendicular a L.


APLICACIONES

Demanda Lineal Oferta Lineal

m es cantidad de equilibrio

n es precio de equilibrio.

Ejemplo

Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio

de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de

demanda, si dicha ecuación es lineal.

Solución.

Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que

es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos

representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos 150,40 300,35y , hallando

así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que

q

p Pendiente negativa

q

p

Pendiente

positiva

q

p

m

n (m,n) Punto de equilibrio


35 40 1

300 150 30m

, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)

tenemos la recta 1 454

30 3p q

, que es la ecuación de demanda.

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES

VARIADAS DE OFERTA – DEMANDA- PUNTO DE EQUILIBRIO

1. Dada las ecuaciones de oferta y demanda para un determinado producto, donde “p“

representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades por unidad de

tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

Oferta: 35 2 250 0q p ;demanda: 65 785 0q p

2. Dado el ingreso total TI en y el costo total TC , en dólares para un fabricante donde “q”

representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades

vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio y esquematice un diagrama de equilibrio.

2 4500

3

T

T

C q

I q

3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p

y 100 1100 0p q respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad

de equilibrio.

4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6

5150

p q y 9

20 0150

p q

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número

de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.


ACTIVIDAD 12

RECONOCIENDO LAS FUNCIONES LINEALES Y ENCONTRANDO LA

ECUACIÓN DE UNA RECTA

Objetivo

Reconocer las funciones lineales y determinar la ecuación de una recta.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Observa, analiza, calcula y responde.

NIVEL Pregunta Nº1


una de las proposiciones.

Proposiciones

1. La pendiente de una recta es:

verticalm sen

horizontal

( )

2. Para encontrar la ecuación de una recta se utiliza:

0 0( )y y m x x . ( )

3. La gráfica de una recta que va de izquierda a derecha tiene

pendiente positiva.. ( )

4. Si dos rectas son paralelea, entonces sus pendientes son diferentes. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN De acuerdo a lo establecido en la sesión, indica el

nombre de las funciones especiales siguientes.

Justifica.

Un fabricante vende todo lo que produce. Su ingreso total está dado por: 7TI q y el

costo total es 6 800TC q donde “q” representa el número de unidades producidas y

vendidas. Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama

de equilibrio.

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

En cada una de los casos siguientes, hallar la ecuación de la recta que:

1. Corta al eje Y en 5 de pendiente 4.


2. Pasa por el punto A (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2.

3. Que pasa por A (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1

4. Pasa por A (5, 4) y paralela al eje Y.

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 4

Analiza la siguiente situación problemática y responde

(Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio

es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de oferta,

sabiendo que es lineal.

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 5



(Función de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por

( ) 5 20p f q q y ( ) 15 120p f q q respectivamente. Un consumidor acude al

mercado con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el

consumidor está dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, ¿Cuál de los

bienes debería comprar?

Omar el estudiante más calificado del aula afirma que el bien B debe ser comprado





a) Cuando se conoce dos puntos de la recta la pendiente es calculable……... ( )

b) Dos rectas paralelas tienen pendientes…………………………………………..

c) La pendiente m de una de dos rectas perpendiculares se expresa:……………

d) La recta paralela al eje “X” tiene pendiente 0………………………………….…( )

e) La recta paralela al eje “Y” tiene pendiente positiva……………………….…… ( )

f) La gráfica de una recta que va de derecha a izquierda tiene pendiente……..

II. Realizar la gráfica de la recta que:

a) Por el punto (-2;1) y tiene pendiente m = 3

b) Pasa por los puntos (-1;3) y (2;5)

c) Pasa el eje “X” y al eje “Y” en 5 y 6 respectivamente

III. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la recta con las

condiciones dadas:

Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.

Pasa por 4

2;5

y m = 5.

Pasa por 1 6

;5 5

y 3

24

m

Pasa por (-1,3) y (2,5)

Pasa por el punto 3

,12

y 2

7 31

2 4

m

Pasa por el origen y su pendiente es -4.

Corta al eje X en 3, y su pendiente es 2.

Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.

Pasa por (1,5) y es paralela a la recta de ecuación: y = -x + 3.

Pasa por el punto A (2, 4) y es paralela, a la recta que pasa por los puntos B (0, 2) y

C (-1, 5).

Pasa por el punto A (2,1) y es perpendicular, a la recta que pasa por los puntos

B (2,6) y C (9,1).

Pasa por el punto A (3,4) y es perpendicular a la recta de ecuación: y = -x + 2 y

Pasa por B (2, 4) y paralela al eje X.


APLICACIÓNES DE FUNCION LINEAL

1) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un

producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de

$ 40 cada una. hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el

precio por unidad cuando se requiere 35 unidades.

2) (Ecuación de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de

30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precio

es de $ 25 c/u. hallar la ecuación de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.

3) (Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio

es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de

oferta, sabiendo que es lineal.

4) (Ecuación de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado

50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio

es de $ 30. determine la ecuación de oferta, sabiendo que p y q están relacionados

linealmente.

5) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado

bien son, respectivamente:

180 15 6 18

2

pq s p

y . Obtenga el punto de equilibrio.

6) (Ecuación de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto

es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C está relacionado de

forma lineal con la producción q, determine el costo de producir 35 unidades.

JUICIO DE VALOR:

7) (Función de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda

son: 90 3

( )5

pq f p

y ( ) 140 12q f p p , respectivamente, donde p está expresado

en dólares.

Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, ¿Cuál de los dos bienes tendrá

mayor demanda?

¿Existe algún precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la

misma?

Jaime el estudiante más distraído del aula afirma que el bien B2 es de mayor demanda y

no existe precio en el mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la misma.



8) (Punto de equilibrio) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son,

respectivamente:

180 15 6 18

2

pq s p

y . Obtenga el punto de equilibrio.

Pedro estudiante sobresaliente del aula afirma que PE (30; 8)


9) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 6) y es perpendicular a la recta

L1 que corta a “X” e “Y” en 3 y 4 respectivamente.

Oscar el estudiante más calificado del aula afirma que la ecuación general es:

4y – 3x – 9 = 0


10) (Ecuación de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una

lámpara es de S/ 2 000, no hay lámparas disponibles, sin embargo, por cada S/ 1 000 de

aumento en el precio, se dispone de 20 lámparas más para el mercado. Asumiendo que

la relación entre la cantidad ofrecida S y el precio unitario p es lineal. ¿Cuál es la

ecuación de la oferta?

Alfredo el estudiante más relajado del aula se propone resolver seriamente el problema y

afirma que la ecuación de la oferta es:

p= 50q + 2000


11) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Un fabricante de “MOUSE” para laptops produce 5200 unidades cuando el precio es de

$1240 y de 3200 unidades cuando el precio es de $1050. Suponga que el precio p, y la

cantidad q, producidas están relacionadas de manera lineal. Determina la función de

oferta.

Paul estudiante de EE.GG. en la asignatura de matemática afirma que la ecuación de la

Oferta es:

Sistemas de ecuaciones

1. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p y

3 100 1800 0q p , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en

dólares y “q” el número de unidades vendidas por periodo.

a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una

gráfica.

b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos por

unidad, al proveedor.


2. A un precio de $2 400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que su

demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2 700 por unidad, la oferta y la

demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente.

a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales.

b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.

3. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13 500

unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertará unidades a $1 y el

consumidor no demandará unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y

demandas si ambas son lineales.

4. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artículo es de 4 500kg.,

mientras que la oferta es de 3 300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la

demanda y la oferta serán de 4 400 y 4 200kg., respectivamente. Encontrar la ecuación

de la oferta y demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio.

5. Un empresario de ropa para niños observa, que el punto de equilibrio del mercado

ocurre cuando se producen 10 000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El

consumidor no demandará unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor no

ofertará unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuación de la oferta y demanda

sabiendo que son lineales.

6. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los

costos fijos son de son de $2 116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad. ¿A qué

nivel de producción existirán utilidades de $ 4 600? ¿A qué nivel de producción ocurre

el punto de equilibrio?

7. La compañía de Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del material

es de $ 0.80 por par, y el costo de mano de obra es de adicionales e $ 0,90 por par.

Hay costos adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $ 70 000.Si cada par

se vende a $ 2,50 ¿Cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al

equilibrio?


SEMANA

13

UNIDAD IV

Tema: Función cuadrática

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma 2( )f x ax bx c ;

donde a, b y c son constantes, con 0a .

Representación gráfica de una función cuadrática.

Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical

hx , llamada eje de simetría y con vértice khV , .

si 0a , 2 y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2

la parábola se abre hacia arriba. la parábola se abre hacia abajo.

( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k

k valor mínimo de la función k valor máximo de la función

Coordenadas del vértice

Las coordenadas del vértice son: , ,2 2

b bV h k f

a a

Ejemplo 1

Determinar dominio, rango y gráfica de 2( ) 2 8 3y f x x x

Solución:

Primero hallamos el vértice

y

x h

k ( h ; k )

y

x h

k ( h ; k )


Como ,2a 8b y 3c , luego 2)2(2

)8(

2

a

bh y

2(2) 2(2) 8(2) 3 5f

Entonces el vértice es: (2, 5)V

Como 02 a , entonces la parábola se abre hacia arriba

Gráfica

Ejemplo 2

Determinar dominio, rango y gráfica de 2362)( xxxfy

Solución:

Primero hallamos el vértice

Como ,3a 6b y 2c , luego h= 1)3(2

6

2

a

b y

5)1(3)1(62)1( 2 f

Entonces el vértice es: )5,1(V

Como 03 a , entonces la parábola se abre hacia abajo

Gráfica

3

x

2

-5 ( 2 ; -5 )

y

5 (-1; 5)

y

x

-

1

2

4

1


APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA

Recuerda:

Ejemplo:

El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la

siguiente función 224 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el

tiempo medido en años.

a) ¿En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será

b) Grafique la función ingreso.

Resolución:

a) 6)24(2

288

2

a

bth 224 288 64I t t

Luego: 2(6) 24(6) 288(6) 64I

(6) 800I

El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año.

El máximo ingreso será de 800 mil dólares.

b)

U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario. q cantidad.

V (h, k) = el vértice de una parábola.

I

t 6

800 (6,800)


ACTIVIDAD 13

RECONOCIENDO LAS CARACTERISTICAS DE LA FUNCION CUADRÁTICA Y

SUS APLICACIONES

Objetivo

Reconocer las características de la función cuadrática y utilizarlas en la solución de

aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una función cuadrática es 2( )f x ax bx c . ( )

2. La grafica de una función cuadrática es una parábola. ( )

3. Al vértice de una parábola se le representa por (h;k). ( )

4. En una función cuadrática, si 0a entonces la gráfica se extiende

hacia abajo ( )

5. La función cuadrática 2( ) 2 4 10f x x x presenta punto máximo. ( )

NIVEL Pregunta Nº2


3. Explique brevemente, las características de la función cuadrática cuando el coeficiente

del término cuadrático es: 0a y 0a .


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Utilizando los conceptos de la función cuadrática, realiza la gráfica e indica su punto

máximo o mínimo y su dominio y rango

a) 2

( ) 4 1y f x x x b) 2

( ) 6 2f x x x

c) 2

( ) 2 4f x x x d) 2

( ) 3 2 1f x x x

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nº 4


La función de demanda para el fabricante de un producto es ( ) 1200 3p f q q en

donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.

b) Determine este ingreso máximo.

c) Grafique la función ingreso.

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 5



Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene

que la Función Costo se expresa como 2( ) 2 100 2500C q q q , determina la cantidad

bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha

empresa.

Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es de

1250.




Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:

a) Si a ≤ 0 la parábola va para abajo………………………………………………………….. ( )

b) El par ordenado que representa el vértice de la parábola es:………………………………..

c) Si la parábola va para arriba, entonces (h,k) es:………………………………………….

d) Si la gráfica de la parábola va para abajo, se deduce que debo maximizar f… … . ( )

e) Si la gráfica de la parábola va para arriba me indica que debo minimizar f…………….( )

f) La parábola en una función cuadrática tiene pendiente 0……………………… ……….( )

Grafica las siguientes funciones cuadráticas

a) f = 12 + - 4x – x2 b) f = X2 – 4x + 1

c) f = 1400 x – 7x2 d) f = 2x2 + 2x + 3

Determinar dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar las siguientes

funciones:

a) 2232)( xxxfy b)

2342)( xxxfy

c) 2

( ) 3 4 y k x x d)

2( ) 2 8 y h x x x

e) ( ) ( 3) 14 f x x x f) 2

( ) 6 13 t f s s s

g) ( ) ( 3) 14 f x x x h) 261)( xxxfy

i) 154)( 2 xxxfy j) 32)( xxxfy

k) xxxfy 2)( l)

25)( xxfy

APLICACIONES

1. La función de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , donde p

es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo.

2. La función de demanda para una compañía de seguros para autos es

qqfp 132600)( , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se

demandan q unidades (semanales).

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo.



3. La función de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp en

donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.

b) Determine este ingreso máximo.


4. La utilidad diaria por la venta de árboles de jardinería de un almacén, está dada por 2( ) 169 16P x x x , en donde x es el número de árboles vendidos.

a) Determine la cantidad de árboles vendidos que maximizará la utilidad.

b) Determine dicha utilidad máxima.

5. El ingreso mensual, en soles, por conceptos de venta de q unidades de cierto artículo

está dado por 2( ) 12 0,01I q q q . Determine el número de unidades que debe venderse

cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el máximo ingreso

correspondiente?

JUICIO DE VALOR:

6. Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene

que la Función Costo se expresa como C (q) = 2q2 – 100q + 2500, determinar la cantidad

bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha

empresa.

Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es de

1250.



7. Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa

mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de

computadoras ensambladas.

a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo

sea mínimo.

b) Determinar dicho costo.

c) Graficar la función costo.

Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea

mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para

abajo.


8. Se estima que, de aquí a “t” años, el número de personas que visitarán el parque de las

leyendas será dado por la función 2( ) 30 120 3 000N t t t .

a) Actualmente ¿Cuál es el número de personas que visitan el parque de las leyendas

b) Determinar el año en que será registrado el menor número de visitantes.


Toñito sostiene que en la actualidad 2800 personas visitan el parque y en 3 años se

registrara el menor número de visitantes.


9. La función de demanda de un fabricante de pieles es p = 2600 – 13q, donde p es el precio

(en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo

Piero afirma que el nivel de producción que maximiza el ingreso es 100 y el ingreso

máximo alcanza la cifra de 130000 euros.


CASO 1. EQUILIBRIO ENTRE LA DEMANDA Y OFERTA

Las ecuaciones de la Oferta y Demanda de un producto que se vende en el Emporio

Comercial de Gamarra son: 3q -200p +1800 = 0 y 3q +100p – 1800; donde p representa el

precio / unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.

1.- Muestre las ecuaciones dadas de forma que representen las funciones Oferta y

Demanda:

....................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………

2.- ¿Qué sentido tienen las rectas que representan a la Oferta y la Demanda?

Mostrarlo en una expresión matemática:

…………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………….

3.- ¿Cómo se expresaría el equilibrio entre la Oferta y la Demanda?

……………………………………………………………………………………………………………

4.- Determinar el precio y la cantidad en el equilibrio y muéstrelo mediante una

gráfica:

CASO 2. VISITANTES AL ZOOLOGICO DE HUACHIPA

Los directivos del zoológico de Huachipa se reúnen con el propósito de dilucidar algunas

dudas de parte del directorio quienes andaban preocupados por el ingreso de efectivo a fin

de cubrir los gastos y generar beneficios con la asistencia de público a las instalaciones.

Uno de ellos, matemático de profesión sostiene que de aquí a “t” años el número de

personas que visitaran el zoológico se puede expresar mediante la siguiente función:

N(t) = 30 t2 – 120 t + 3000

1.- ¿Cuál es el número de personas que asisten actualmente al zoológico?

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………


2.- Tratándose de una función cuadrática ¿Cuál sería la gráfica que tendríamos que

trabajar en este caso?

……………………………………………………………………………………………………………

3.- De tratarse de una parábola determinar su sentido y vértice

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

4.- ¿En qué año en se registrará el menor número de visitantes al zoológico? Graficar

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

1. En el problema siguiente, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda

para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de

unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

Oferta : 2 20p q ; demanda :2200 2p q

2. En el problema siguiente se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo

total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades

producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de Equilibrio.

Esquematice un diagrama de equilibrio

303

)10( 2

qC

qI

T

T

3. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 - 200 = 0,



4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 - 248 = 0




Método de Polya aplicado a un problema de Función Cuadrática

UNIDAD IV

PROGRAMACIÓN LINEAL. APLICACIONES

CAPACIDAD: Aplica y Utiliza los conceptos de funciones de la variable real de la

geometría analítica en el tema de Función Cuadrática considerando las condiciones del

contexto en la que se desarrollara el profesional.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica reglas de procedimiento para optimizar una

función en operaciones de negocios.

FICHA N°:

Resolver el siguiente problema, en torno a funciones y tópicos de geometría

analítica, utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Función Cuadrática

Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa

mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de


Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea

mínimo

Determinar dicho costo.

Graficar la función costo.

Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo

es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo.

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.


Identifica

Entender

el

problema


¿Cuál es la/las incógnitas del problema?

1.- Cantidad para que el Costo sea mínimo

2.- Costo mínimo

b) Identifica los datos y condición del problema

¿Cuáles son los datos y condición del problema?

1.- La función C(q) = 3q2 – 780q + 60000

2.- Determinar el costo mínimo

c) Cual es la dirección de la gráfica, porqué y cuáles

son los componentes del vértice

1.- La grafica de la parábola va para arriba porque a > 0

2.- Vèrtice (h; K) :

( )

3.- K es mínimo


Relaciona

Configurar

un plan



1.- Analizar la función y determinar el sentido de la parábola

2.- Determinar el vértice de la parábola

3.- Graficar

4.- Determinar el .K mínimo = Costo mínimo

Resuelve

Ejecutar

el plan

Resolver:

Sea la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000

a = 3 ; b = - 780 ; c = 60000

Luego aplicando en Vèrtice (h; K) :

( )

h = 130 y K = 9300

Hasta el momento esta es una respuesta algebraica que nos

permite deducir que siendo. K mínimo = Costo mínimo

El costo mínimo es: 1300 para una cantidad q = 130


Gráfico:

Reflexiona

Examinar

la

solución


Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado?

El resultado algebraico debe coincidir con el resultado gráfico

y como estamos siguiendo la metodología de Polya debemos

comprobar cada paso.

Respuesta:

Costo mínimo = 9300

Cantidad de computadoras ensambladas: 130


afirmación

Paolo está en un error cuando afirma que el número de

computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo

es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función

ésta va para abajo


SEMANA

14

UNIDAD IV

Tema: desigualdades en el plano cartesiano

Desigualdades en el plano cartesiano

Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el

conjunto de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos 1

p y 2

p formados por los

puntos que están a uno y otro lado de la recta L .

Consideremos la recta vertical x a .

Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que

están a la izquierda satisfacen la inecuación x a , y los puntos que están a la derecha

satisfacen la inecuación x a .

Ejemplo 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y x

Primero graficamos a la recta y x .

La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del

conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la

frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen.

y x

a


Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos

puntos. Uno que esté por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la

desigualdad determina el semiplano que representa la solución.

En nuestro caso tomamos los puntos ( 2; 2) y (3; 2) , entonces el punto que satisface la

desigualdad es (3; 2) , por lo que la gráfica de y x es el semiplano bajo la recta

fronteriza.

Ejemplo 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad 1y x

Primero graficamos a la recta 1y x .

Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este

es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que

contiene al origen.

y x


Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las

siguientes desigualdades:

Ejemplo 3

25

0

0

x y

x

y

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la

intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Primero graficamos la desigualdad 0x :

Es decir: 0x . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que 0x )

Segundo graficamos la desigualdad 0y :

Es decir: 0y . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que 0y ).

Tercero graficamos la desigualdad 25x y :

Es decir: 25x y .

Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta 25x y (puesto que

25x y ).


Ejemplo 4.

Indicar los vértices del polígono formado.

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la

intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Es claro que la región que corresponde a 0x es el semiplano ubicado a la derecha del

eje Y , y la que corresponde a 0y es el semiplano ubicado arriba del eje X .

Graficaremos las rectas 2 6x y y 4x y .

Ejemplo 5

SOLUCIÓN

( ) ( )

Y

X

25

25


Ejemplo 6

SOLUCIÓN

( ) ( )

A, B y C son los vértices del

polígono.

A, B y C son los vértices del polígono.


ACTIVIDAD 14

GRAFICANDO DESIGUALDADES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES

LINEALES EN EL PLANO

Objetivo

Graficar desigualdades y sistemas de desigualdades lineales en el plano.

Orientaciones





Expresiones

1. La grafica de la desigualdad 2x es la región situada a la derecha

de la recta frontera. ( )

2. Los puntos que están situados a la derecha de la recta frontera se

representan como x < a ( )

3. La recta frontera que representan a la desigualdad x < a es una recta

vertical. ( )

4. La recta frontera que representan a la desigualdad x > a es una recta

horizontal. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique en forma breve, cual es el procedimiento a

realizarse para graficar una desigualdad en el plano.

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Graficar en el plano cartesiano los sistemas de desigualdades lineales siguientes:

a)

2 3 12

4

0

0

x y

x y

x

y

b)

4 4

2 2

0

0

x y

x y

x

y

c)

7

3 3

5

0

0

y

x y

x y

x

y


SEMANA

15

UNIDAD IV

Tema: Introducción a la programación lineal

Introducción a la Programación Lineal

La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por

matemáticos tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La

programación lineal sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión

lineal sujeta a un conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el

problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor

manera posible, esto es, en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de

operaciones, ciencias administrativas, física y biología.

Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una

variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los

cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren

conseguir los máximos beneficios?

FORMA DE REPRESENTAR LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

FORMA GENERAL:

FUNCIÓN OBJETIVO

FO: Máx. / Min Z = C1X1 + C2 X2 + ... + CJXJ + ... + CnCn

a. RESTRICCIONES ESTRUCTURALES

Re:

{

Donde:

n = número de variables de decisión.

m = número de restricciones, y n > m

aij = son coeficientes técnicos, que indican la proporción de un determinado recurso

que requiere un producto, por cada unidad que se elabore de ella. Sirve para

indicar también en algunos casos, una relación lógica de las variables.


bj= son las constantes, referidos al nivel de recursos disponibles.

En algunos casos representan los valores que tienen las relaciones lógicas.

Cj= representan los costos o utilidades que generan cada una de las variables del

modelo por unidad.

c) RESTRICCIONES DE “NO NEGATIVIDAD” (RNN)

XJ > 0 ; J = 1, 2, ..., n

X2

X1

VARIABLES ESTRUCTURALES O DE DECISION:

Son variables bases del modelo, que están directamente relacionadas con el problema real.

EJEMPLO N° 1:

FO: MIN Z = 2x1+ 15x2 + 10x3 + 5x4

Re:

{

+

+


ACTIVIDAD 15

RECONOCIENDO LAS CARACTERISTICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.

IDENTIFICANDO LA FUNCION OBJETIVO

Objetivo

Reconocer los elementos y características de la programación lineal.

Identificar la región factible

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente y responde.




Expresiones

1. La programación lineal tiene su aplicación en las situaciones

problemáticas referidas a la asignación óptima de recursos escasos. ( )

2. El objetivo fundamental de la programación lineal es maximizar o

minimizar una función llamada función objetivo. ( )

3. Las desigualdades: 0x e 0y se denominan restricciones de no

negatividad. ( )

4. La expresión ( , , ) 2 4F x y z x y z representa a una función objetivo. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique en forma breve, cual es el procedimiento a

realizarse para obtener la región factible


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 3

Utilizando los conceptos de graficas de desigualdades en el plano y de programación

lineal, determina la región factible en los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales.

a)

2 80

3 2 120

0

0

x y

x y

x

y

b)

3

3

5 25

0, 0

x y

x y

x y

x y


SEMANA

16

UNIDAD IV

Tema: Maximización y minimización de una función objetivo.

Aplicaciones

Maximización y minimización de una función objetivo

Aplicaciones

EJEMPLO 1

Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El

alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2

unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento cuesta $ 1,20 por unidad y el B $

0.8 por unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben prepararse para minimizar el

costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

SOLUCIÓN

Carbohidratos (x) A B

Proteínas (y) X 2 4

Y 2 1

Sujeto a:

{

( )

( )

( )

( )

VERTICES:

( ) ( )

B:

( )


( ) ( )

( ) ( ) ( )

RESPUESTA:

Deben comprarse 8 unidades de carbohidratos y ninguna unidad de proteínas para

minimizar el costo. El costo mínimo será de 9,6 dólares.

EJEMPLO 2

Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 Kg.

de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesita 1Kg de

acero y 3 Kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesita 2kg de

acero y 2kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a $200 y las de montaña a $150.

¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es

el beneficio máximo?

SOLUCIÓN

ACERO ALUMINIO

A 1 3 X : Bicicleta de paseo

B 2 2 Y : Bicicleta de montaña

Total 80 120 U : Utilidad

Máx

S. A.

{

( )

( )

( )

( )

VERTICES

( )

( )

B:

( )

RESPUESTA:

( ) ( )


( ) ( ) ( )

( ) ( )

Respuesta:

Deben construirse 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña. La utilidad máxima es de $8

500.

EJEMPLO 3

Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50

kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A

se utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B

se utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30

soles por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada tipo debe

fabricar y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?

SOLUCIÓN

Consideremos: x : Número de DVD del modelo A

y : Número de DVD del modelo B.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo, que se debe maximizar, es: 30 40U x y

50 (1)

2 80 (2)

0 (3)

0 (4)

. .

x y

x y

x

y

s a

A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible.

Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene:

MODELO A MODELO B TOTAL

Cantidad de caucho 1x 1x 50 kg.

Horas de mano de obra 1x 2x 80 horas


Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este

valor es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región

factible y después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son:

A (0, 0) B (50, 0) C (20, 30) D(0, 40)

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (0, 0) = 30 (0) + 40 (0) = 0

U (50, 0) = 30 (50) + 40(0) = 1500

U (90, 0) = 30 (20) + 40 (30) = 1800

U (0, 40) = 30 (0) + 40 (40) =1600

Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: 20x e 30y .

Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima

es de de S/. 1 800.

EJEMPLO 4

Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada

uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto

manual requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina

B y de una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos

horas en B y una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas

disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente.

La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la

compañía vende todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben

elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?

Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla

Y

X

40

50 80

50

A B

C

D


A B A Utilidad

Manual 2h 1h 1h 4

Eléctrica 1h 2h 1h 6

Horas disponibles 180 160 100

Consideremos

x : Número de artefactos manuales que se fabrican en el mes.

y : Número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo es:

: 4 6U x y Maximizar

2 180 (1)

2 160 (2)

100 (3)

0 (4)

0 (5)

x y

x y

x y

x

y

A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible.

Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la

función de utilidad.


Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta

afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función

objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la

función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, tenemos

A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D(0, 0) E (0, 80) .

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520

U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440

U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360

U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0

U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480.

Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde 40x e 60y .


ACTIVIDAD 16

MAXIMIZANDO Y MINIMIZANDO UNA FUNCIÓN OBJETIVO

Objetivo

Maximizar y minimizar una función objetivo.

Orientaciones


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nº 1

Utilizando los conceptos de la programación lineal, maximiza o minimiza la función

objetivo en cada uno de los casos siguientes:

1. Dada las restricciones

0,0

3

42

yx

yx

yx

Determine el máximo valor de yxyxf 32),(

2. Dada las restricciones

7

3 3

5

0, 0

y

x y

x y

x y

Determine el mínimo valor de ( , ) 15 8f x y x y


NIVEL ANÁLISIS

Pregunta Nº 2


Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80

Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1

Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2

Kg. de acero y otros 2 Kg. de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 soles y las

de montaña a 150 soles. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el

beneficio sea máximo?


NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nº 3



Un estudiante de la San Martín dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda

publicitaría. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con

folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una

para los impresos A, en la que cabe 120, y otra para los impresos B, en la que cabe 100

Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. El estudiante

asegura que debe repartir 80 propagandas de la empresa A y 70 de la empresa B para

que su beneficio diario sea máximo.

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación del estudiante, justificando tu

respuesta.



1. Maximice: 5 7z x y

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 2 7x y ; 2 5 12x y

2. Minimice: 4 3z y x

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 4 4x y ; 6 8x y

3. Maximice: 2z x y

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 2 1y x ; 4 9y x

4. Minimice: 2z y x

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 1y x ; 3 2y x

5. Dada las siguientes restricciones: 2 4x y ; 2 5x y ; 0x ; 0y

a) Grafica la región defina por las restricciones indicando sus vértices.

b) Calcule el valor máximo de la función objetivo 5 2z x y sujeta a las restricciones

dadas.

6. Grafique el sistema de inecuaciones

0,0

54

1

3

yx

xy

yx

yx

7. Dado el siguiente problema de programación lineal: : ( , ) 5 4f x y x y max

Sujeta a

0,0

602

15053

yx

yx

yx

. esboce la gráfica

8. Maximizar la función yxyxf 50002000),(

Sujeta a las restricciones

2 3 3

2 9

2 5 5

0, 0

x y

x y

x y

x y


Maximización y minimización de una función objetivo

Aplicaciones

1. Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2.

La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y

420 de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de

reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 000 y es

capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día, el tipo B es un

diseño más económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30

unidades de P2 por día. Debido a los costos de operación es necesario tener al menos

4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para

minimizar el costo de construcción y aun así satisfacer el programa de producción

requerido? (Suponga que existe un costo mínimo).

2. Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación una compañía

química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso que reemplaza al

proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El proceso anterior

descarga 25 gramos de dióxido de carbono y 50 gramos de partículas a la atmósfera

por cada litro de producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15 gramos de

dióxido de carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La

compañía obtiene una utilidad de 40 y 50 centavos por litro en los procesos anteriores y

nuevos respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar más de 12 525

gramos de dióxido de carbono ni más de 20 000 gramos de partículas a la atmósfera

por día, ¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente por cada uno

de los procesos para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

3. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos

artículos: camiones y camionetas con base en la información siguiente:

Máquina A Máquina B Máquina C

Camión 2h 3h 5h

Camioneta 1h 1h 1h

Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la

máquina A, 80 horas, para la B 50 horas, para el acabado 70 horas. Si las utilidades en

cada camión y cada camioneta son de $7 y $2 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de

cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la

utilidad máxima?

4. La empresa de transporte “Viaje Feliz”, desea vender a lo más 260 pasajes de Lima a

Tumbes, , de dos clases: clase VIP y clase económica.

Las ganancias correspondientes son de 60 y 40 soles respectivamente. Además, la

empresa decide vender por lo menos 120 pasajes de la clase económica. Se pide:

a) La cantidad de pasajes de cada clase para que las ganancias sean máximas.

b) Cuál es la ganancia máxima.


5. Si “X” es el número de unidades del producto A; “Y” el número de unidades del producto

B, el administrador formula el modelo utilizando la técnica de programación lineal (P.L.):

G = 500x + 200y

s.a.:

2x + 3y > 12

2x + y < 8

x > 0; y > 0

Afirma que cuando se producen y venden 3 unidades del producto A y 2 unidades del

producto B; la ganancia máxima será $19 000.

Se pide defender o cuestionar dicha afirmación justificando su respuesta.

6. La mueblería ESTILO S.A. fabrica y vende juegos de dormitorio en caoba y cedro. Cada

juego de dormitorio de caoba le origina una ganancia de $120 y cada juego de

dormitorio de cedro le origina una ganancia de $150. Se sabe que la fábrica produce al

mes no más de 200 juegos de dormitorios de caoba y no más de 250 juegos de

dormitorios de cedro; y que al mes en tienda no se venden más de 300 juegos de

dormitorios. Al utilizar la técnica matemática de la programación lineal, que consiste en:

a) Plantear tus incógnitas y darles variables.

b) Formular la ecuación o función ganancia.

c) Plantear el sistema de inecuaciones.

d) Graficar el sistema de inecuaciones.

e) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos juegos de dormitorio y de qué tipo se deben producir y vender

para maximizar las ganancias de la empresa.

7. Un empresario textil para su departamento de ropa de vestir encarga la confección de

pantalones y poleras de damas estilo deportivo. El fabricante dispone para la confección

750 m de tejido de algodón y 1 000 m de tejido de poliéster; se sabe que cada pantalón

precisa de 1 m de algodón y 2 m de poliéster y que cada polera necesita de 1.5 m de

algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en S/.100 y el de la polera en S/.80. Su Gerente de Ventas

le indica que debe vender 250 pantalones y 375 poleras para que el Ingreso sea

máximo, Se le pide a Ud. que defienda o cuestione la opinión del Gerente de Ventas e

indique además cuál sería el Ingreso Máximo.

8. La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una

ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha

empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no

debe sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la

programación lineal, que consiste en:

a) Plantear tus incógnitas y darles variables.

b) Formular la ecuación o función ganancia.


c) Plantear el sistema de inecuaciones.

d) Graficar el sistema de inecuaciones.

e) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar

las ganancias de la empresa.

9. Una compañía fabrica dos tipos de artefactos manuales y eléctricos. Cada uno de ellos

requiere en su fabricación el uso de dos máquinas: A y B. Un artefacto manual requiere

del empleo de la máquina A durante una hora y de una hora en la máquina B.

Supóngase, además, que el número máximo de horas por mes que dispone para el uso

de las dos máquinas A y B es de 180 y 100 respectivamente.

La Utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y para los eléctricos es de

$6. Su Gerente de Ventas le indica que la Utilidad Máxima se obtiene cuando se venden

80 artefactos manuales y 20 artefactos eléctricos. Se le pide a Ud. que defienda o

cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique además cuál sería la Utilidad

Máxima.

CASO 1 MAXIMIZANDO EL BENEFICIO

Finalizado el semestre de estudio un estudiante de la USMP decide aprovechar su tiempo

repartiendo propaganda publicitaria.

La empresa A le paga $5 por cada impreso repartido y la empresa B con folletos más

grandes le paga $7 por impreso repartido. El estudiante lleva 2 bolsas:

Una para los impresos de A en la que caben 120

Otra para los impresos de B en la que caben 100

Así mismo, el estudiante ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como

máximo entre ambos.

Analice, comprenda e interprete la lectura del caso y responda las preguntas siguientes

1.- Determinar la Función Objetivo

……………………………………………………………………………………………………………

2.- Establecer las condiciones (Desigualdades) que se generan en el problema

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

3.- Gráfica y obtenga el polígono resultante calculando cada vértice del mismo

4.- Evalué cada vértice y determine en cuál de ellos se generará el máximo beneficio, es

decir, la combinación perfecta de folletos de A y B.


Método de Polya aplicado a un problema de Programación Lineal

UNIDAD IV

PROGRAMACION LINEAL Y APLICACIONES

CAPACIDAD: Utiliza y aplica axiomas y/o propiedades de la programación lineal para la

solución de problemas relacionados con su especialidad.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Reconoce las características de la programación lineal,

alcances y formas de representación con el propósito de plantear, modelar y solucionar

problemas específicos de su formación profesional.

FICHA N°:

Resolver el siguiente problema, en torno a la Programación Lineal y sus

aplicaciones, utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Maximizar una función objetivo

La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una

ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha

empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no debe

sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la programación lineal,

que consiste en:

2. Plantear tus incógnitas y darles variables.

3. Formular la ecuación o función ganancia.

4. Plantear el sistema de inecuaciones.

5. Graficar el sistema de inecuaciones.

6. Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar las

ganancias de la empresa.


Identifica

Entender el

problema


1.- x = LCD ; y = LED

2.- Función Objetivo

3.- Sistema de inecuaciones

4.- Principio de No negatividad


x genera una ganancia de $120 , y genera una ganancia de

$80

x + y ≤ 520 ; x ≥ 250 ; y ≥ 150; x ≥ 0 ; y ≥ 0

c) Identifica la condición del problema

Evaluar y maximizar la función Ganancia


Relaciona

Configurar

un plan


1.- Determinar la Función Objetivo (Ganancia)

2.- Plantear las restricciones (Desigualdades)

3.- Graficar

4.- Determinar la Región Factible

5.- Determinar los vértices de la Región Factible

6.- Evaluar

7.- Determinar la ganancia

Resuelve

Ejecutar el

plan

Resolver:

Función Objetivo: G = 120x + 80y

Restricciones:

x ≥ 250; y ≥ 150; x + y ≤ 520; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Gráfica: Cada estudiante debe graficar

A:(250;150)

B:(250;270)

C:(370;150)

Luego, evaluando la función G =120x + 80y

A= 42000 G máxima = $ 56400 si se vende:

B = 51600 x = 370 ; y = 150

C = 56400


Reflexiona

Examinar

la solución



Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado?

Los valores de x e y encontrados los comprobamos en las

restricciones y cumplen con ellas.

Respuesta:

Después de realizar las operaciones respectivas tenemos

que:

1.- El número de televisores LCD y LEDs que se debe

producir y vender para que la Ganancia sea máxima es:

x = 370 ; y = 150


RESOLUCION DE PROBLEMAS POR EL METODO DE CASOS

UNIDAD Nª1

CONJUNTOS

CASO: Preferencias Profesionales

La Facultad de Ciencias

contables, económicas y

financieras de la USMP realizó

una encuesta dirigida a 60

estudiantes de la Institución

educativa “Santa Anita” y obtuvo

los siguientes resultados:

30 eligieron “Contabilidad”,

24 eligieron “Negocios

Internacionales”,

22 eligieron “Administración de empresas”,

8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,

6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,

7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,

2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.

Fuente: http://www.usmp.edu.pe/contabilidadyeconomia/index.php

Ficha de encuesta

Estimado estudiante, esta encuesta permitirá conocer las preferencias sobre

las diferentes Carreras que ofrece la Facultad de Ciencias contables,

económicas y financieras de la USMP, por favor, responde las preguntas con

franqueza completando los espacios.

Nombre:

________________________________

Edad:

__________

Grado:

________

Mujer: Varón:

1. Contabilidad

2. Administración de empresas

3. Marketing

4. Negocios Internacionales

http://www.usmp.edu.pe/contabilidadyeconomia/index.php


1. Responda las siguientes preguntas. (2 puntos)

a) ¿Qué carreras ofrece la Facultad de Ciencias Contables, Económicas y

Financieras de la USMP?

(0,5 puntos)

1 ) ________________________________________

2 ) ________________________________________

3 )________________________________________

4 ) ________________________________________

b) ¿Los que prefieren Negocios Internacionales son 28? (0,5 puntos)

__________________________________________________________________

c) ¿Los que prefieren Contabilidad son 24? (0,5 puntos)

__________________________________________________________________

d) ¿Los que prefieren tres de los cursos son 9? (0,5 puntos)

2. Si: M = Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP.

(3 puntos)

a = Contabilidad , b = Administración de empresas

c = Marketing d = Negocios Internacionales

e = Ingeniería Industrial f = Matemática Pura.

a) Determina por Extensión el conjunto M = Facultad de Comunicaciones (los

elementos serán las carreras de dicha facultad)

(0,5 puntos)

M = ,

b) Determina por Comprensión el conjunto M = Facultad de Ciencias Contables,

Económicas y Financieras (0,5 puntos)

M = {x/x es una _____________________________________________________ }

c) Determina si cada elemento pertenece o no pertenece a cada conjunto escribiendo V

o F.

(0,5 puntos)

a M ( )

b M ( )

d M ( )

c M ( )

f M ( )

e M ( )

d) Si tenemos que M = { a, b, c, d } y N = { b }

(0,5puntos)

Determina la inclusión o no inclusión escribiendo V o F.


N M ( )

b M ( )

d M ( )

M N ( )

e) Colocando Si o No en los paréntesis determine lo que se le pide: (1

punto)

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M tiene:

2 elementos ( ) 4 elementos ( ) 1 elemento ( )

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto N es:

Unitario ( ) Vacío ( )

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M es:

Finito ( ) Infinito ( )

En relación a los datos de la pregunta d) los conjuntos M y N son:

Disjuntos ( ) Iguales ( )

Si definimos los siguientes conjuntos

A = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Contabilidad”

C = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Negocios Internacionales”

P = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Administración de empresas”

UNIDAD Nª2

INECUACION LINEAL

MOVISTAR empresa de prestigio en la rama de venta de celulares de marcas conocidas

como NOKIA encarga a la Gerencia de Marketting realizar un estudio para ampliar su

negocio, pero esta vez en la producción y venta de repuestos más solicitados por sus

clientes.

Dicha gerencia escoge el repuesto más solicitado y con el apoyo del personal que labora en

el Área de Costos proceden a evaluar una supuesta situación en la que se considera

importante la amplia demanda del repuesto y las posibilidades económicas de la empresa

para tomar una decisión tan importante.

Luego de costeado el repuesto se concluye que el Costo unitario de mano de obra y

material por unidad es de $21, los Costos Fijos por mes son de $70000 y el repuesto

debe venderse a $35.

Para que la empresa Obtenga Ganancia el encargado de Marketting sostiene que

MOVISTAR debe de producir y vender como mínimo 5001 unidades por mes.

Finalizado el estudio la empresa decide dar el paso importante de ampliar su negocio en la

producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes

1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (4 puntos)

a) La expresión U > 0 significa que se obtiene ganancia……………………………… ( )


b) Costo Variable es igual a Costo unitario por la cantidad…………………………………( )

c) Costo Fijo es aquel que tiene que ver con la producción……………………………… ( )

e) El alquiler del local es un costo variable……………………………………………………( )

2.- Responda a las siguientes preguntas: ( 6 puntos)

¿Qué expresión utilizaría para obtener el ingreso?

a) I = p*q b) I = CV + CF c) U = 0 d) I < 0

¿Cuándo la empresa desea estar en el equilibrio se cumple?

a) U = I – CT b) I – CT = 0 c) U ≤ 0 e) U ≥ 0

¿Cuándo la empresa desea no obtener perdida se cumple?

a) I – CT ≥ 0 b) No vende c) I = 0 e) I = CT

¿Qué expresión utilizaría para obtener el costo total?

a) CT = Cuq + CF b) CT = Cuq – CF c) CT = I d) CT = q

En la simulación la desigualdad resultante es:

a) 35q – (21q + 70000) ≤ 0 b) 35q – (21q + 70000) ≥ 0

En la simulación la q mínima resultante es:

a) q = 4999 b) q = 5000 c) q = 5001 d) q = 4900

¿Si ud fuera el gerente de Marketting que recomendaría al Directorio de MOVISTAR?

UNIDAD Nª3

FUNCION LINEAL

En la fábrica de confecciones de la marca UMBRO se reúne el Gerente General con sus

asesores para delinear la expresión que representa a la Demanda y Oferta de un nuevo

modelo de zapatos de futbol.

Para ello, el Gerente de Producción en función a su experiencia y para no tener resultados

arriesgados propone una supuesta situación a través del siguiente caso:

“Cuando se oferta 50 pares de zapatos de futbol el precio será de $240 y cuando se

ofertan 70 pares del mismo modelo el precio es de $276”.

Pero, si la demanda es de 70 pares el precio será de $340 y cuando la demanda sea de

110 pares el precio es de $260”


a) La pendiente tiene la siguiente expresión

……………………………… ( )

b) La Ecuación punto / pendiente se aplica al conocer 2 puntos de la recta…………… ( )


c) La intersección de las rectas de oferta y demanda representa el Equilibrio….. ………( )

e) Cuando la Oferta y la Demanda son iguales se obtiene ganancia……………………. ( )

2.- Responda V o Fa las siguientes expresiones: (4 puntos)

Pendiente cero Recta horizontal ( )

Pendiente indefinida Recta vertical ( )

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha ( )

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha ( )

3.- Responda las siguientes preguntas: (12 puntos)

La pendiente de la Oferta es:

a)

b)

c)

d)

La pendiente de la Demanda es:

a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1

La Ecuación de la Oferta es:

La Ecuación de la Demanda es:

Los valores de “q” y “p” en el Equilibrio son:

a) (280;100) b) (100; 280) c) (100; 180) d) (180, 100)

Ubica los puntos de la Oferta y la Demanda en los gráficos dados:

q

p

Pendiente

negativa

q

p

Pendiente

positiva


UNIDAD Nº 4

PROGRAMACION LINEAL

El Departamento de Diseño de la fábrica de muebles OLIMPIA presenta dos sillones A y B a

la Gerencia de Ventas de la empresa para su análisis y pronunciamiento respectivo.

El responsable de ventas recurre al Gerente de Producción entregándole la Ficha Técnica

de cada sillón, ya que en una reunión de ventas los agentes coincidieron en que tenían todo

lo necesario para lograr un buen ingreso para la empresa.

La inquietud llegó al Gerente General quien con una visión de negocio propuso que el área

productiva emita un informe sobre la forma más adecuada de obtener una ganancia

máxima antes de aprobar la producción de ambos sillones.

La Ficha Técnica para producir el sillón A manifestaba que era necesario 1 hora de

Carpintería y 2 horas de Tapicería y para producir el sillón B necesario 3 hora de Carpintería

y 1 hora de Tapicería.

La disponibilidad total de los talleres de Carpintería y Tapicería es 80 y 90 horas

respectivamente. Ventas estima que las ganancias por la venta del sillón A es de $60 y por

la del sillón B es de $30


La función objetivo en este caso es:

a) G = x + 3y b) G = 2x + 6y c) G = 60x + 30y

Una de las restricciones es:

a) 2x + 6y > 0 b) x + 3y ≤ 90 c) 2x + 6y ≥ 0

El Polígono formado tiene:

a) 3 vértices b) 2 vértices c) 4 vértices

Uno de los vértices del polígono es:

a) (30;0) c) (30;20) c) (0;90)

2.- Complete las siguientes expresiones: (4 puntos)

a) La restricción en el área de Carpintería es:……………………………………………………..

b) La restricción en el área de Tapicería es:……………………………………………………….

d) El valor de “x” y “y” luego de solucionar el sistema de ecuaciones es:………………. ……..


3.- Cual de los gráficos adjuntos se asemeja al resultado del tema propuesto: (1

punto)

a) b)

4.- Si llamamos A, B , C y D a los vértices encontrados (3 puntos)

A: (0 ; 0) B: (0 ; 30) C: (30 ; 20) d) (40 ; 0) y evaluamos la

Función Objetivo la Ganancia máxima se da cuando:

a) X = 30 y Y = 20 b) X = 0 y Y = 30 c) X = 30 y Y = 90

Luego la ganancia máxima es de:

a) 900 b) 1600 c) 2400 d) 1700

Si ud fuera el Gerente General que juicio emitiría al respecto de la producción de

ambos sillones:

Y

X

40

50 80

50

A B

C

D


GLOSARIO

Enunciado. Un enunciado es una expresión, frase u oración a través del cual se comunica

algo. Un enunciado no siempre es una proposición lógica.

Proposición lógica. Es una enunciado que admite un valor de verdad (puede ser verdadero

o falso). Dicho valor de verdad debe ser único; es decir que el enunciado no puede ser

ambiguo.

Formula lógica. Representa de manera formal, mediante los símbolos p, q ,r, s, etc, a las

proposiciones lógicas compuestas.

Cuantificador. Expresión que permite convertir en proposición lógica a todo enunciado

abierto. El cuantificador puede ser existencial o universal.

Conjunto. Es toda agrupación o reunión de objetos, de cualquier naturaleza, que cumplen

determinadas propiedades o características, a los cuales se les denomina elementos.

Cardinal de un conjunto. Es el número de elementos que presenta un conjunto. Si uno o

más elementos se repiten, solo se toma en cuenta una sola vez, para establecer el cardinal

de dicho conjunto.

Operaciones con conjuntos. Llamado también algebra de conjuntos, permiten obtener un

nuevo conjunto a partir de otro. Las operaciones con conjuntos son: unión, intersección,

diferencia, diferencia simétrica y complemento.

Ecuación lineal. Es una igualdad en la que aparecen una o más variables. Presenta dos

partes llamadas primer miembro (lado izquierdo de la igualdad) y segundo miembro (lado

derecho de la igualdad). El máximo exponente de las variables es la unidad.

Ecuación cuadrática. Es una igualdad en la que el máximo exponente de las variables es

dos. Es llamada también ecuación de segundo grado.

Inecuación lineal. Es una desigualdad (se puede utilizar los símbolos >, <, o ), en la

que aparecen una o más variables. El máximo exponente de las variables es la unidad.

Inecuación cuadrática. Es una desigualdad en la que el máximo exponente de las

variables es dos. Es llamada también inecuación de segundo grado.

Relación. Es la correspondencia establecida entre dos conjuntos. Al elemento del primer

conjunto le corresponde, por lo menos, un elemento en el segundo conjunto.

Función. Es una relación donde a cada elemento del primer conjunto, le corresponde uno y

solo un elemento del segundo conjunto.

Dominio. Es la reunión de los elementos del primer conjunto (conjunto de partida), que

tienen una correspondencia con algún elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada).


Rango. Es la reunión de los elementos del segundo conjunto (conjunto de llegada) que

tienen una correspondencia con algún elemento del primer conjunto (conjunto de partida).

Suele llamársele codominio o imagen.

Función lineal. Es una expresión de la forma ( )f x mx b , donde el exponente de la

variable es la unidad, m es la pendiente y b es la constante.

Función cuadrática. Es una expresión de la forma 2

( )f x ax bx c , donde el exponente

de la variable es dos, a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del

término lineal y c la constante.

Programación lineal. Procedimiento basado en algoritmos que permite optimizar un

conjunto de variables con la finalidad de usarlas de manera racional.

Función objetivo. Expresión en la cual se desea obtener un valor máximo (maximización) o

un valor mínimo (minimización).

Portafolio. Procedimiento utilizado en la evaluación. Consiste en disponer una carpeta en la

que un individuo va reuniendo evidencias sobre la actividad que desarrolla, las cuales

constituyen la base para realizar una valoración de dicho individuo.


FUENTES DE INFORMACIÓN

Haeussler, E. y Richard, P. (2008). Matemáticas para administración y economía. (12ª. Ed).

Ciudad de México: Pearson Educación.

Hoffmann L. y Geral, B. (2006).Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales.

(8ª. Ed.). México: McGraw-Hill.

Arya,J. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. (4ª. Ed.). Ciudad

de México: Pearson Educación.

Leithold, L. (1998). Matemáticas previas al cálculo. (3ª. Ed.). Ciudad de México: Oxford

México.

Loa, G. (2013) Matemática con aplicaciones en Ciencias de la Empresa. (T. I). Perú: Grupo

Editorial Megabyte.

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MATEMÁTICA I - USMP