MATEMATIKA Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií ... · MATEMATIKA Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 8. ročníka základných škôl Zbierka

MATEMATIKAZvyšovanie kľúčových matematických kompetencií

žiakov 8. ročníka základných škôlZbierka problémových úloh bežného života

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITREUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE

FAKULTA STREDOEURÓPSKYCH ŠTÚDIÍ

JJozef Fulier – Attila Komzsík – Rastislav Žitný a kol.

Zvyšovanie kľúčových matematických kompetenciížiakov 8. ročníka základných škôl

Zbierka problémových úloh bežného životammmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooových úloh bežnéhoooooooooooooooooooooooooooooooooooooo žžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžžiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiivvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvooooooooooooooooooooooooooooooooooooooottttttttttttttta

Nitra2014

© Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre, Fakulta stredoeurópskych štúdií

Recenzenti:RNDr. Attila Tóth, PhD.RNDr. Zuzana Árki, PhD.

Publikácia vznikla s podporou grantu Ministerstva školstva Slovenskej republiky KEGA 015 UKF-4/2012 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií II – alternatívne a doplňujúce učebné programy z matematiky pre základné školy v zmysle cieľov nového štátneho vzdelávacieho progra-mu a zvyšovanie matematickej gramotnosti podľa dopadov PISA.

Autori: prof. RNDr. Béla László, CSc., prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc., doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD., doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc., doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc., PaedDr. Patrícia Benická, PhD., PhD., PaedDr. Kristína Ca� ková, Mgr. Antal Csáky, Mgr. Anna Hrešková, Mgr. Mária Kó-šová, PhD., Mgr. Monika Krčmárová, Mgr. Lukáš Lednický, Mgr. Alexandra Maceková, PhD., Ing. Patrícia Pišteková, RNDr. Ľubomír Rybanský, PhD., Mgr. Tibor Szabó, PhD., Mgr. Edita Szabová, Mgr. Gabriela Szendy, PhD., PaedDr. Eva Uhrinová, PhD., Mgr. Zuzana Vitézová

Editori: prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc., RNDr. Attila Komzsík, PhD., Ing. Rastislav Žitný, PhD. Prvé vydanieNitra 2014

ISBN: 978-80-558-0616-7EAN 9788055806167

Úvod

Štvrtá publikácia: „Matematika. Zvyšovanie kľúčových matematic-kých kompetencií žiakov 8. ročníka základných škôl. Zbierka prob-lémových situácií bežného života.“ je pokračovaním predchádzajú-cich publikácií vydaných postupne pre 5., 6., a 7. ročník.

Publikácia je rozdelená tak, ako je to v štátnom vzdelávacom progra-me na sekcie: Čísla, premenná, počtové výkony s číslami; Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy; Geometria a meranie; Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika; Logika, dôvodnenie, dôkazy.

Publikácia vznikla s podporou grantu Ministerstva školstva Slo-venskej republiky KEGA 015 UKF-4/2012 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií II – alternatívne a doplňujúce učebné programy z matematiky pre základné školy v zmysle cieľov nové-ho štátneho vzdelávacieho programu na zvyšovanie matematickej gramotnosti podľa dopadov PISA.

Cieľom publikácie je poskytnúť učiteľom, žiakom a rodičom hod-notnú pomôcku na výučbu matematiky s aplikovaním problémov bežného života a ich riešením. Autori problémov ponúkajú rieše-nia porovnateľné s riešením problémov v štúdiách PISA.

Veríme, že táto publikácia prispeje k zlepšeniu matematického vzdelávania na základných školách.

Autori

7

Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 8. ročníka základných škôl

Čísla, premenná, počtové výkony s číslami

Autori problémov: Mgr. Anna Hrešková 8.1.2, 8.1.3, 8.1.7, Mgr. Monika Krčmárová 8.1.1, 8.1.4, 8.1.8, doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc. 8.1.5, 8.1.6.

8


Niektoré banky ponúkajú pre klientov osobné účty, ktoré klien-tov „odmeňujú“ za to, že platia kartou (namiesto toho, aby plati-li v hotovosti). Pri platbe kartou banka odmení klienta určitým percentom zo zaplatenej sumy.

Úloha 1Ktorá z bánk ponúka vyššiu od-menu za platbu kartou (v %)?

Úloha 2Aká je výška mesačného poplatku za vedenie účtu v Prima banke?

Úloha 3Vypočítajte si vašu odmenu za platbu kartou v Prima banke:

Koľko mesačne zaplatím kartou (€):

10 50 200 500

Moja odmena je (€):

10 7,5

Úloha 4Vie si klient Slovenskej spori-teľne zabezpečiť, aby mal účet zdarma, ak nespĺňa podmienku, že má zostatok na účte aspoň 10 000 €? Ak áno, vysvetlite, ako.

Úloha 5Vyjadrite závislosť odmeny y od výšky kartou zaplatenej sumy x.

8.1.1 Účet, ktorý odmeňuje

Prima banka má takúto ponuku:

Osobný účet bez mesačného poplatku!

Odmeníme vás za nákup kartou. Je len na vás, koľko nákupov v danom mesiaci zaplatíte kartou a účet môžete mať až so 100 % zľavou mesačne. Napríklad, ak zaplatíte kartou 480 EUR mesačne, vrátime vám odmenu 2,40 EUR. Zaplaťte kartou 780 EUR mesač-ne a vrátime Vám toľko, koľko stojí vedenie účtu na mesiac, teda účet máte úplne zadarmo.Navyše, poplatok za vedenie účtu vám vôbec nezapočítame v mesia-ci, v ktorom zostatok Vášho účtu neklesne pod sumu 10 000 EUR.

Slovenská sporiteľňa ponúka podobný produkt, účet s takýmito výhodami:

– odmena za platby platobnou kartou: vrátenie 0,5 % z objemu vybraných platieb kartou (čím viac, platíte, tým viac vás odme-níme)

– vedenie účtu zdarma (bez poplatku): ak mesačný zostatok na účte neklesne pod 10 000 EUR.

Poznámka: Mesačný poplatok za vedenie účtu je 4,90 €.

Zdroj: www.slsp.sk a www.primabanka.sk

Riešenia úloh:Úloha 1. Ak v Prima banke zaplatíme kartou 480 EUR mesačne, vrátia nám odmenu 2,40 EUR. Vypočítajme, koľko je to percent. 2,40 : (480 : 100) = 0,5 %. V Prima banke nám pripočítajú teda rov-nakú odmenu za platbu kartou ako v Slovenskej sporiteľni, 0,5 %.

Úloha 2. Výšku mesačného poplatku za vedenie účtu zistíme z tex-tu („Zaplaťte kartou 780 EUR mesačne a vrátime Vám toľko, koľko stojí vedenie účtu na mesiac, teda účet máte úplne zadarmo.“).Ak zaplatíme 780 € kartou, banka nás odmení sumou 0,5 % z 780, to je 3,90 €. A to je suma za vedenie účtu v Prima banke.

Úloha 3. V úlohe 3 počítame trojčlenkou či vzorcom buď hodno-tu príslušnú počtu percent (0,5%) alebo základ,

Koľko mesačne zaplatím kartou (€): 10 50 200 500 2000 1500

Moja odmena je (€): 0,05 0,25 1 2,5 10 7,5

pričom žiakov naveďme k tomu, že nie vždy treba počítať kaž-dý stĺpec zvlášť (Potrebujeme skutočne 6 trojčleniek?). Odmenu 0,25 € dostaneme ľahko z predchádzajúceho stĺpca, odmena v po-slednom stĺpci sa rovná trom štvrtinám odmeny z predchádzajú-ceho stĺpca a pod.).

9


Vidíme, že odmeny banky za platby kartou sú nízke, pri platbe 10 € je to len 5 centov a celé euro dostaneme až pri platbe 200 €.

Úloha 4. Pod účtom zdarma by sme mali rozumieť to, že banka nám neúčtuje poplatok za vedenie účtu. To je možné v prípade, o akom sa hovorí v zadaní, ak zostatok na účte je min. 10 000 €, čo však klient podľa zadania úlohy nespĺňa. Preto pod „účtom zdarma“ by sme mohli rozumieť aj prípad, že banka nám popla-tok za vedenie účtu účtuje, ale tento poplatok nám bude vrátený v rámci odmeny za platbu kartou.Zaujíma nás teda, koľko musíme kartou vyplatiť, aby sme dostali odmenu, ktorá by pokryla poplatok za vedenie účtu, čím by sme ho mali vlastne zadarmo.Poplatok za vedenie účtu je 4,90 €. Vypočítajme, z koľkých eur 0,5 % je 4,90:

(100 . 4,90) : 0,5 = 980 €.Takže ak za mesiac za nakúpené tovary a služby zaplatíme kartou min. 980 €, budeme mať účet vlastne zdarma.

Úloha 5. y = 0,005 . xŽiaci si môžu pomôcť tabuľkou z úlohy 3.

10


8.1.2 Problém s peniazmi

Evka v septembri nastúpila na zahraničný študijný pobyt vo Fínsku. Na začiatku mesiaca rodičia poslali Evke na debetný účet 300 €. Spôsob, akým Evka s peniazmi hospodárila je zachytený v nasledujúcej tabuľke:

Číslo obratu

Popis obratuDátumzúčtovania

Platby VkladyZostatok na účte

1Peniaze od ro-dičov

1.9.2012 300 € 300 €

2 Nájomné 5.9.2012 186 €

3Mesačný auto-busový lístok

14.9.2012 72 €

4Nákuppotravín

25.9.2012 58 €

5Divadelné pred-stavenie

29.9.2012 18 €

RiešenieÚloha 1. Určte jednotlivé zostatky na účte po každej transakcii a zapíšte ich do tabuľky. Ak by výška Evkiných výdajov prevýšila výšku vkladov na účet, zapíšte hodnotu zostatku ako záporné čís-lo. Ktorá platba spôsobila, že sa Evka dostala do mínusu?

Číslo obratu

Popis obratuDátum

zúčtovaniaPlatby Vklady

Zostatok na účte

1Peniaze od ro-dičov

1.9.2012 300 € 300 €

2 Nájomné 5.9.2012 186 € 114 €

3Mesačný auto-busový lístok

14.9.2012 72 € 42 €

4Nákuppotravín

25.9.2012 58 € –16 €

5Divadelné pred-stavenie

29.9.2012 18 € –34 €

Jednotlivé výsledky dostaneme postupným odčitovaním hodnôt v stĺpci Platby od poslednej aktuálnej hodnoty v stĺpci Zostatok na účte. Dostávame teda: 300 – 186 = 114 114 – 72 = 42 42 – 58 = –16 –16 – 18 = –34Po dopísaní chýbajúcich údajov do tabuľky je zrejmé, že Evka sa dostala do dlhu platbou za nákup potravín.

Úloha 2. Po tom, čo si Evka všimla, že sa jej minuli peniaze, roz-hodla sa, že zavolá rodičom, aby jej poslali ďalších 300 €. Aký zo-statok bude na účte po tom, čo jej rodičia danú sumu pošlú?

Úloha 1Určte jednotlivé zostatky na účte po každej transakcii a zapíšte ich do tabuľky. Ak by výška Ev-kiných výdajov prevýšila výšku vkladov na účet, zapíšte hodnotu zostatku ako záporné číslo. Ktorá platba spôsobila, že sa Evka do-stala do mínusu?

Úloha 2Po tom, čo si Evka všimla, že sa jej minuli peniaze, rozhodla sa, že zavolá rodičom, aby jej poslali ďalších 300 €. Aký zostatok bude na účte po tom, čo jej rodičia danú sumu pošlú?

Úloha 3Teraz, keď má Evka na účte opäť nejaké peniaze, rozhodla sa, že si za 180 € ešte dokúpi veci, ktoré potrebuje na internát a za 100 € si nakúpi oblečenie a topánky. Bude na to mať G nančné pro-striedky? Aký bude zostatok na jej účte po týchto nákupoch? Aká bude hodnota Evkiných celkových mesačných výdajov za september?

11


V tomto prípade ide najmä o to, aby si žiaci uvedomili, že sčitujú záporné a kladné číslo. Výslednú sumu dostanú sčítaním záporné-ho zostatku na účte a vkladu Evkiných rodičov –34 + 300 = 266Odpoveďou teda je, že Evka bude mať po vklade na účte 266 €.

Úloha 3. Teraz, keď má Evka na účte opäť nejaké peniaze, roz-hodla sa, že si za 180 € ešte dokúpi veci, ktoré potrebuje na in-ternát a za 100 € si nakúpi oblečenie a topánky. Bude na to mať 7 nančné prostriedky? Aký bude zostatok na jej účte po týchto ná-kupoch? Aká bude hodnota Evkiných celkových mesačných výda-jov za september?

Úlohu riešime tak, že od posledného zvyšku na účte (teda 266 €) odpočítame cenu položiek, ktoré chce ešte Evka kúpiť. Dostávame nasledovné: 266 – 180 = 86 86 – 100 = –14 Keďže sa Evka po týchto nákupoch opäť dostala do mínusu, zna-mená to, že na dané nákupy 7 nančné prostriedky nemá a zostane v dlhu –14 €.

Aby sme získali sumu, ktorú Evka počas tohto mesiaca minula, sčítame všetky položky, ktoré patria do stĺpca Platby, nemožno však zabudnúť ani na posledné dve transakcie, teda nákup vecí na internát a nákup oblečenia a topánok.

86 + 72 + 58 + 18 + 180 + 100 = 614 € Dokopy teda Evka minula 614 €.

Existuje aj jednoduchšie a rýchlejšie riešenie, stačí si uvedomiť, že po oboch vkladoch, ktoré dokopy činili 600€ Evka zostala po nákupoch v dlhu 14€, a teda minula dokopy 614 €.

Metodické poznámkyŽiaci pracujú s tabuľkou, v ktorej je potrebné správne doplniť chý-bajúce údaje. Prostredníctvom riešenia úloh o dlhoch a $ nančných vkladoch si žiaci precvičujú počtové operácie s celými číslami v reál-nom kontexte. Úloha taktiež ponúka žiakom možnosť zamyslieť sa nad korektným spôsobom hospodárenia s peniazmi.

12


8.1.3 Piati kamaráti

Po náročnom dni v škole sa piati kamaráti – Miško, Frederik, Zuz-ka, Veronika a Jurko rozhodli, že spolu zájdu na kofolu. Rozprá-vali sa niečo vyše hodiny, keď si uvedomili, že všetkých ešte čaka-jú nejaké povinnosti, a tak sa rozišli domov. Zuzka pri stretnutí stihla vypiť 4/5 pohára veľkej kofoly, Miško 9/6, Jurko 9/5, Vero-nika 9/12 a Frederik 19/10. Niektorí pri posedení vypili viac, než jednu kofolu.

RiešenieÚloha 1. Prvou úlohou žiakov je teda vyznačenie daných hodnôt na číselnej osi. Je dobré si uvedomiť, že nie všetky zadané zlomky sú v základnom tvare a je praktické si ich na tento tvar najskôr upraviť.

Jednoduchými úpravami dostávame hodnoty: 4/5, 3/2, 9/5, 3/4 a 19/10.

Ďalším krokom je vyznačenie týchto hodnôt na číselnej osi, pri-čom každý bod označíme písmenom, ktorým začína meno osoby, ktorej daná hodnota prislúcha.pr

Z obrázku už jednoducho vyčítame, že najviac kofoly vypil Fre-derik a najmenej vypila Veronika. Viac, než jeden pohár vypili Miško, Jurko a Frederik.

Aby sme určili, koľko celých pohárov vypili v súčte, musíme sčítať hodnoty všetkých piatich zlomkov. Dostávame teda

4 3 9 3 19 3— + — + — + — + — = 6 —,5 2 5 4 10 4

pričom výsledok je zapísaný v tvare zmiešaného čísla. Na základe tohto výsledku je zrejmé, že v súčte všetci piati kamaráti vypili 6 celých pohárov kofoly.

Úloha 2. Aby sme vypočítali objem vypitého nápoja, budeme po-stupne násobiť zadané zlomky číslom 500, ktoré v ml vyjadruje objem jedného pohára. Dostávame

pre Zuzku: 500 .4

, teda vypila 400 ml kofoly.—5

Pre Miška: 500 .3

, vypil teda 750 ml kofoly. —2

Úloha 1 Na číselnej osi vyznačte jednot-livé hodnoty vyjadrené v zlom-koch. Kto z piatich kamarátov vypil najviac a kto najmenej ko-foly? Ktorí z nich vypili viac, než jeden pohár? Koľko celých pohá-rov vypili v súčte všetci piati?

Úloha 2Vypočítajte, koľko ml kofoly vy-pil každý z kamarátov ak vieme, že jedna veľká kofola má 500 ml. Ktorému z nich zostalo v pohári po odchode najviac kofoly?

Úloha 3V základnom tvare zlomku vy-jadrite, koľko pohárov veľkej ko-foly by sme dostali, ak by sme zliali dokopy všetku kofolu, ktorá v pohároch po odchode zostala.

13


Pre Jurka: 500 .9

, vypil 900 ml kofoly.—5

Pre Veroniku: 500 .3

, vypila 375 ml kofoly.—4

A pre Frederika: 500 .19

, teda vypil 950 ml kofoly.—10

Aby sme vypočítali, koľko ml kofoly zostalo v pohári po každom z piatich kamarátov po ich odchode, musíme odpočítať od 500, resp. 1000 (podľa toho, či si dotyčný objednal len jeden alebo až dva poháre kofoly) počet ml, ktoré stihli vypiť.

Zuzka: 500 – 400 = 100, po Zuzke zostalo v pohári ešte 100 ml nedopitej kofoly.Miško: 1 000 – 750 = 250, zostalo po ňom ešte 250 ml kofoly.Jurko: 1 000 – 900 = 100, zostalo po ňom, rovnako ako po Zuzke, 100 ml kofoly.Veronika: 500 – 375 = 125, takže nedopila 125 ml kofoly.Frederik: 1 000 – 950 = 50, teda Frederik nechal v pohári ešte 50 ml nápoja.

Tu už jasne vidíme, že najviac kofoly zostalo po Miškovi a to kon-krétne 250 ml.

Úloha 3. Pri riešení tejto úlohy využijeme výsledky z úlohy predo-šlej. Ako prvé spočítame, koľko ml kofoly v súčte po kamarátoch zostalo.

100 ml + 250 ml + 100 ml + 125 ml + 50 ml = 675 mlAby sme teraz dostali počet pohárov kofoly, vydelíme výsledok číslom 500, vyjadrujúcim objem jedného pohára kofoly v ml.

675 : 500 = 5—4

Odpoveďou teda je, že by sme dostali jeden plný a jeden do jednej štvrtiny naplnený pohár.

Metodické poznámkyŽiak má za úlohu riešiť problém s využitím základných poznatkov o zlomkoch ako je porovnávanie zlomkov či sčitovanie zlomkov. V úlohe je kombinované počítanie so zlomkami a s objemovým vy-jadrením množstva. Taktiež si žiaci precvičia počítanie s celými čís-lami a zlomkovým vyjadrením časti z celku.

14


8.1.4 Vedomostná súťaž

Vo vedomostnej televíznej súťaži Šanca súťažia dvaja hráči proti sebe. Hráči si „na striedačku“ vyberajú z otázok. Môžu si vybrať otázku s bodovou hodnotou 20, 40, 60 alebo 80, každú najviac šty-rikrát. Každý hráč odpovie spolu na 12 otázok. Keď hráč odpovie na otázku správne, príslušný počet bodov sa mu pripočíta na konto (na začiatku súťaže majú obaja hráči nulu). Ak neodpovie správne, pripočíta sa mu záporná hodnota danej otázky. Navyše môže každý hráč najviac trikrát v súťaži pred výberom otázky požiadať o tzv. zdvojnásobenie, kedy sa mu hodnota vybranej otázky zdvojnásobí, a môže získať dvojnásobne vyšší počet bodov. Ak však neodpovie správne, aj záporná hodnota, ktorá sa mu pripočíta, bude dvojná-sobná. Vyhráva ten hráč, ktorý má najvyššie skóre.

RiešenieÚloha 1. Najviac nahráme, ak všetky otázky odpovieme správne, budeme vyberať najviac bodované otázky, a tri zdvojnásobenia použijeme na najvyššie bodované otázky. Nahráme tak:2 . 80 + 2 . 80 + 2 . 80 + 80 + 60 + 60 + 60 + 60 + 40 + 40 + 40 + + 40 = 960.

Úloha 2. Riešenie je analogické s riešením úlohy jedna s tým roz-dielom, že na všetky otázky odpovieme nesprávne:2 . (–80) + 2 . (–80) + 2 . (–80) + (–80) + (–60) + (–60) + (–60) + (–60) + (–40) + (–40) + (–40) + (–40) = –960.Žiaci by sa tomuto dlhému výpočtu po vyriešení úlohy 1 mohli vyhnúť a vziať opačné číslo k 960.

Úloha 3. Úlohu riešme pomocou tabuľky. Vpisujeme do nej otáz-ky (hodnoty), ktoré si Jakub určite vybral a ich pravdivosť. Máme 12 otázok, z každej môže byť najviac po štyri.

Vysvetlivky k tabuľke: zelená znamená, že odpoveď je správna, červená prislúcha nesprávnej odpovedi, farebne neoznačené hodnoty otázok zna-menajú, že Jakub si otázku vybral, ale zatiaľ sme pravdivosť nevyšetrovali.

z 1) vyplýva20 40 60 80

80 sme vyčerpali

z 2) vyplýva20 40 40 40 60 80

40 sme vyčerpali

z 3) vyplýva, že 20–bodových otázok musí byť nutne 4, keďže je to maximálny možný počet:

20 20 20 20 40 40 40 60 80

20 sme tiež vyčerpali, takže zvyšné otázky museli byť 60–bodové

Úloha 1Koľko bodov sa dá najviac nahrať?

Úloha 2Aké je najnižšie skóre, ktoré sa dá nahrať?

Úloha 3Jedným zo súťažiacich hráčov je Jakub. O Jakubovej hre vieme na-sledovné:1) Jakub odpovedal správne aspoň

na jednu otázku každej hodno-ty – s výnimkou najvyššej hod-noty, túto otázku si vybral len jednu, ako jedinú zo všetkých otázok ju zdvojnásobil, no od-povedal nesprávne

2) vybral si tri 40 bodové otázky3) 20-bodových otázok bolo viac

ako 40-bodových4) odpovedal správne len na štvr-

tinu 60-bodových otázok5) na polovicu otázok odpovedal

správne6) buď boli správne všetky 40

bodové otázky a jedna 20-bo-dová, alebo naopak, vsprávne boli všetky 20-bodové a iba jedna zo 40-bodových otázok.

Otázka 1Aký počet 20-bodových a 60-bo-dových otázok si vybral Jakub?

Otázka 2Koľko bodov nahral Jakub?

15


zo 4) vyplýva, že správne mal len jednu 60–bodovú otázku:20 20 20 20 40 40 40 60 60 60 60 80

Podľa 6) musí platiť druhá časť tvrdenia, lebo v opačnom prípade by bol správnych spolu len 5 otázok, no musí ich byť presne polo-vica zo všetkých. Dostaneme teda záverečnú tabuľku:

20 20 20 20 40 40 40 60 60 60 60 80

Odpoveď 1. Jakub si vybral štyri 20–bodové otázky a tri 40–bo-dové otázky.

Odpoveď 2. Jakub nahral:20 + 20 + 20 + 20 + 40 + (–40) + (–40) + (–60) + 60 + (–60) + (–60) + 2 . (–80) = –240 bodov.

16


8.1.5 Sporenie a kúpa

Banka A pri ročnom termínovanom vklade poskytuje úrokovú sadzbu 3 %. Pri predčasnom výbere do 80 dní od založenia vkladu sa žiaden úrok nedáva a pri predčasnom výbere nad 80 dní sa znížia úroky z vyberanej sumy o 80 dní.V banke B pri ročnom termínovanom vklade poskytujú úrokovú sadzbu 4 %. Pri predčasnom výbere sa úrokové sadzby z vyberanej sumy menia takto:

Doba uloženia od – do (počet dní) úrok. sadzba0 – 29 0,00 %

30 – 89 0,50 %90 – 179 1,00 %

180 – 269 1,50 %270 – 364 2,00 %

365 4 %.Riešenia úlohÚloha 1. Ak by mala rodina Sporivých uložené peniaze v ban-ke A, tak by za nedodržanie uloženia mala úrok počítaný iba za 260 – 80 = 180 dní. Za rok by bola dostala úrok

10 000. 3 = 300 eur, za 180 dní

300

. 180 = 147,95 eur.

100 365V banke B podľa tabuľky mala úročený vklad úrokovou sadzbou 1,5 % a teda dostala úrok

150 .260

= 106,85 eur.365

Pre rodinu Sporivých sa situácia vyvinula tak, že by bolo výhod-nejšie mať uložené peniaze v banke A.

Úloha 2. Do tabuliek pre obe banky zapíšme aj počet skutočne úročených dní a úrokovú sadzbu platnú pre deň výberu.

Banka Ax 60 120 180 240 300 360 365

počet úročených dní 0 40 100 160 220 280 365

úroková sadzba 3 % 3 % 3 % 3 % 3 % 3 % 3 %

úrok 0 32,88 82,19 131,50 180,82 230,13 300

Úrok za úročený deň sa rovná 300/365 = 0,8219 eur. Úrok za po-čet úročených dní sa rovná počet úročených dní krát 0,8219, teda (x – 80) . 0,8219 eur okrem výberu po 60 dňoch.

Banka Bx 60 120 180 240 300 360 365

počet úročených dní 60 120 180 240 300 360 365

úroková sadzba 0,50 % 1 % 1,5% 1,5% 2 % 2 % 4 %

úrok 8,22 32,88 73,97 98,63 164,38 197,26 400

V tomto prípade úrok závisí nielen od počtu úročených dní, ktorý sa neznižuje, ale aj od meniacej sa úrokovej sadzby:

Banky poskytujú rôzne úroče-né E nančné produkty s rôznymi sankciami pri predčasnom výbe-re vkladu. Pri stabilizovanom E -nančnom trhu je úroková sadzba vkladu s dlhšou dobou viazanos-ti obyčajne väčšia. Nevýhodou pravda je dlhšia doba viazanosti.

Úloha 1Rodina Juraja Sporivého uložila na jeden rok do banky B sumu 10 000 eur s tým, že peniaze ne-budú počas celého roka vyberať. V priebehu roka však nečakane predajňa áut značky Škoda po-skytla zľavu pri predaji nového modelu 800 eur, pričom v cene bola aj klimatizácia. Juraj Spo-rivý vybral po 260 dňoch všetky peniaze a kúpil auto zo spomína-nej akcie.Bolo výhodnejšie pre rodinu Sporivých mať uložené peniaze v banke A alebo v banke B?

Úloha 2Vypočítajte úroky v bankách A, B po každých 60 dňoch a po roku z vloženej sumy 10 000 eur.

x 60 120 180 240 300 360 365AB

Úloha 3Vyjadrite rozdiel úrokov v banke A a v banke B v závislosti od poč-tu dní uloženia vkladu od 90 dní po 179 dní.

17


60 dní: 50 ∙ 60/365 = 8,22; 120 dní: 100 ∙ 120/365 = 32,88; 180 dní: 150 ∙ 180/365 = 73,97;240 dní: 150 ∙ 240/365 = 98,63; 300 dní: 200 ∙ 300/365 =164,38; 360 dní: 200 ∙ 360/365 = 197,26.

Úloha 3. Úrok v banke A za každý úročený deň sa rovná 300/365 eur = 0,8219 eur. Po 90 dňoch uloženia sa pri predčasnom vý-bere počíta úrok iba za 10 dní, teda prislúchajúci úrok sa rovná 10 ∙ 0,8219 = 8,22 eur. Po 91 dňoch je úrok 11 ∙ 0,8219 = 9,04 eur; po 92 dňoch je úrok 12 ∙ 0,8219 = 9,86 eur; po x dňoch je úrok (x – 80) ∙ 0,8219 eur, pričom za x môžeme dosadiť ľubovoľné číslo od 90 po 179.Úrok v banke B za každý úročený deň sa rovná 100/365 eur = 0,2739 eur. Po 90 dňoch je úrok 90 ∙ 0,2739 = 24,65 eur; po 91 dňoch je úrok 91 ∙ 0,2739 = 24,92 eur; po 92 dňoch je úrok 92 ∙ 0,2739 = 25,20 eur; po x dňoch je úrok x ∙ 0,2739 eur, pričom za x môžeme dosa-diť ľubovoľné číslo od 90 po 179.Potom rozdiel úrokov v banke A a v banke B v závislosti od počtu dní uloženia vkladu od 90 dní po 179 dní je vyjadrený výrazom

(x – 80) ∙ 0,8219 – x ∙ 0,2739.Tak napríklad, ak x = 90, tak tento rozdiel sa rovná 8,22 – 24,65 = –16,43. To znamená, že pri výbere vkladu po 90 dňoch bolo výhodnejšie mať vklad vedený v banke B. Ak x = 179, tak uvažovaný rozdiel sa rovná

(179 – 80) ∙ 0,8219 – 179 ∙ 0,2739 = 32,34.To znamená, že pri výbere vkladu po 179 dňoch bolo výhodnejšie mať vklad vedený v banke A.

Didaktické poznámkyPredovšetkým v úlohách 2 a 3 ide o formovanie lineárnych výrazov s jednou premennou a dosadzovanie čísel za túto premennú. Ko-nečná hodnota úrokov bola približne vyjadrená na dve desatinné miesta (suma zaokrúhlená v centoch).

18


Pani Kupecká nechcela pôvod-ne nakúpiť v MODERNE tovar za viac ako 75 eur. Zľava 40 % ju však lákala. Dohodla sa s priateľ-kou Peniažkovou, že spoja svoje * -nančné prostriedky. Pani Kupecká vložila do spoločnej kasy 90 eur, pani Peniažková 60 eur a urobili spoločný nákup.

Úloha 1Stačili spojené * nančné prostried-ky 150 eur pani Kupeckej a pani Peniažkovej na spoločný nákup v hodnote 250 eur so zľavou?

Úloha 2Ak obe priateľky nakúpili tovar v rovnakej hodnote 125 eur, akú zľavu vyjadrenú v percentách mala v skutočnosti vzhľadom na svoj príspevok 60 eur do spo-ločnej kasy pani Peniažková?

Úloha 3Ako sa majú pani Kupecká a pani Peniažková vyrovnať, ak obe priateľky nakúpili tovar v rovnakej hodnote 125 eur a ak by sa za kritérium spravodlivé-ho vyrovnania považovalo to, že poskytnuté zľavy (dosiahnuté zvýhodnenia) oboch priateliek budú v rovnakom pomere ako ich vložené peniaze, teda 3 : 2. Treba pravda poznamenať, že uvedené vyrovnanie nie je spra-vodlivé.

Úloha 4Navrhnite iný spôsob vyrovna-nia pani Kupeckej a pani Peniaž-kovej ako v úlohe 3.

8.1.6 Predaj so zľavou – akcia

Obchody často ponúkajú tovar v tzv. akciách. Na reklamnom letá-čiku obchodu MODERNA bolo okrem iného ponúkané, že za ná-kup v celkovej cene aspoň 250 eur je zľava 40 %. Za nákup v hod-note menšej ako 250 eur nebola poskytnutá žiadna zľava.

Riešenia úlohÚloha 1. Za nákup v hodnote 250 eur je zľava 40 %, čo činí 250/100 ∙ 40 = 2,5 ∙ 40 = 100 eur.Takže za spoločný nákup v hodnote 250 eur priateľky teda zaplati-li 250 – 100 = 150 eur. To je aj suma v spoločnej pokladni.

Úloha 2. Pani Peniažková ušetrila 125 – 60 = 65 eur. Teda jej zľava v percentách je také číslo x, ktorým keď vynásobíme číslo 125/100 dostaneme 65: 125/100 ∙ x =65 x = 6 500/125 = 52.Teda pani Peniažková mala vzhľadom na svoj príspevok 60 eur do spoločnej kasy zľavu 52 percent.

Žiaci môžu aj počítať percentá zo 125:– 1 % zo 125 sa rovná číslu 125/100 , teda 1,25; – 50 % zo 125 sa rovná číslu 125/100 ∙ 50, teda 62,5;– 52 % zo 125 sa rovná číslu 125/100 ∙ 52, teda 65;– x % zo 125 sa rovná 125/100 ∙ x.Možno uvažovať pravda aj takto: 1 % zo 125 je 1,25; Potom 65 je 65/1,25 percent zo 125 a 65/1,25 = 52.

Úloha 3. Obe mali zľavu 125 . 0,4 = 50 eur. Pani Peniažková dá pani Ku-peckej takú čiastku, aby ich celkove ušetrené peniaze boli v pomere 3 : 2.Pani Peniažková dá p. Kupeckej 5 eur 10 eur x eur

Ušetrené peniaze pani Kupeckej 55 60 50 + x

Ušetrené peniaze pani Peniažkovej 45 40 50 – x

Pomer ušetrených peňazí 55 : 45 = 11 : 9 60 : 40 = 3 : 2 (50 + x) : (50 – x)

Pani Peniažková dá ako vyrovnanie pani Kupeckej 10 eur, čo by sme pravda boli aj uhádli.

Didaktické poznámky1. Úlohu 2 treba riešiť bez použitia rovnice 125/100 ∙ x = 75.2. Spôsob vyrovnania z úlohy 3 navrhla a presadila pani Peniaž-ková. Najjednoduchší spravodlivý spôsob vyrovnania by vzhľa-dom na nákup tovaru oboch priateliek v rovnakej hodnote bol, aby prispeli do spoločnej kasy rovnakou čiastkou. Toto by sa dosiahlo tak, že pani Peniažková dá pani Kupeckej 15 eur. Pravda bola ale taká, že pani Peniažková do tejto spoločnej akcie nechcela ísť. Preto ju pani Kupecká prehovorila s tým, že sa vyrovnajú tak, ako na-vrhne priateľka. Pani Peniažková bola chodiaca kalkulačka. Spôsob vyrovnania možno nechať aj na diskusiu žiakov v rámci úlohy 4.

19


Úloha 1Do tabuľky doplňte chýbajúce údaje, ak viete, že platí:

K = 273 + °CToto znamená, že počet Kelvino-vých stupňov dostaneme tak, že k počtu Celziových stupňov pri-počítame pre zjednodušenie 273. Ak by sme chceli presnejší výsle-dok, pripočítavali by sme 273,16. Toto je totiž hodnota, o ktorú sú od seba vzdialené nulové hodnoty týchto stupníc, a zároveň pre ich teplotné intervaly platí 1 K = 1 °C, teda veľkosť dielika odpovedajúca 1 K je rovnaká, ako veľkosť dieli-ka odpovedajúca 1 °C.Ďalšie vzťahy, ktoré pre premenu jednotiek platia, sú nasledovné:

°C=5/9 (°F-32)°F=9/5°C+32

Z prvého vzťahu teda vidíme, že počet °C dostaneme tak, že od príslušného počtu °F odpo-čítame 32 a následne výsledok vynásobíme racionálnym číslom 5/9. Druhý vzťah dostaneme ek-vivalentnými úpravami prvého.

Úloha 2Aký je rozdiel medzi teplotou na mesiaci Titan a najnižšou nameranou teplotou na Zemi? A čo teplotný rozdiel medzi žia-rením vo vesmíre a našim hlav-ným mestom? Odpovedajte v °C.

Úloha 3Traja kamaráti – Jožko, Erika a Maťo, dostali na domácu úlo-hy z fyziky počas dňa desaťkrát vonku odmerať teplotu. Z týchto hodnôt mali potom určiť prie-mernú teplotu pre daný deň. Aby však úloha nebola až taká jedno-duchá, každý z nich meral teplotu

8.1.7 Počítanie s teplotami

Pravdepodobne ste sa už v škole, alebo pri čítaní viac odborných tex-tov stretli s pojmom „absolútna nula“, ale čo to vlastne je? Absolútna nula je teoreticky úplne najnižšia možná teplota, pri ktorej ustáva vše-tok pohyb a zároveň je počiatkom Kelvinovej stupnice. V Celziovej stupnici, ktorú u nás používame bežnejšie, má absolútna nula hodno-tu približne –273,16 °C, čo už je naozaj poriadna zima. Ďalšou stupnicou, ktorá sa často používa najmä v USA, je Fahren-heitova stupnica. Nemecký fyzik Fahrenheit vzal ako počiatok tej-to stupnice, teda hodnotu 0 °F, najnižšiu teplotu, akú sa mu poda-rilo pri experimente v roku 1 724 dosiahnuť. Nasledujúca tabuľka nám udáva niekoľko miest, látok alebo javov a príslušných teplôt v rôznych stupniciach. Všimnite si napríklad, aký teplotný rekord bol v roku 1983 nameraný vo Východnej An-tarktíde na ruskej výskumnej stanici Vostok.

°C K °F Miesto, látka alebo jav

5 505 5 778 Slnečný povrch

299 78,8 Bratislava, Slovensko – najvyššia priemerná teplota v júli

268 Štokholm, Švédsko – najnižšia priemerná teplota v januári

–89,2 183,8 –128,6 Vostok, Východná Antarktída – najnižšia nameraná teplota

–178 –288,4 Titan – mesiac planéty Saturn

–196 –320,8 Tekutý dusík

–253 –423,4 Tekutý vodík

3 Reliktné žiarenie vo vesmíre

–273 0 –459,4 Absolútna nula

RiešeniaÚloha 1. Do tabuľky doplňte chýbajúce údaje, ak viete, že platia nasledovné vzťahy:

K = 273 + °C°C = 5/9 (°F – 32)°F = 9/5 °C + 32

°C K °F Miesto, látka alebo jav5 505 5 778 9 941 Slnečný povrch

26 299 78,8 Bratislava, Slovensko – najvyššia priemerná teplota v júli

–5 268 23 Štokholm, Švédsko – najnižšia priemerná teplota v januári

–89,2 183,8 –128,6 Vostok, Východná Antarktída – najnižšia nameraná teplota

–178 95 –288,4 Titan – mesiac planéty Saturn–196 77 –320,8 Tekutý dusík–253 20 –423,4 Tekutý vodík–270 3 –454 Reliktné žiarenie vo vesmíre–273 0 –459,4 Absolútna nula

20


na inej stupnici. Keďže bol chlad-ný januárový deň, Jožko nameral priemernú teplotu -8 °C, Erika vypočítala ako priemernú teplotu 264 K a Maťo, ktorý meral teplotu vo Fahrenheitoch, nameral ako priemernú teplotu 14° F.Aké priemerné teploty títo traja žiaci namerali v Celziových stup-ňoch? Aká je priemerná hodnota týchto troch teplôt v Kelvinoch?

Úloha 2. Počítame vlastne vzdialenosť dvoch čísel na číselnej osi, ktorú dostaneme ako absolútnu hodnotu rozdielov daných čísel. Dostávame teda|–178 °C – (–89,2 °C)| = |–178 °C + 89,2 °C| = |–88,8 °C| = 88,8 °CRozdiel medzi teplotami na Titane a najnižšou nameranou teplo-tou na Zemi (vo Vostoku), je 88 °C. Obdobne v druhom prípade máme:

|26°C – (–270°C)| = |26 °C + 270 °C| = |296 °C| = 296 °CMedzi teplotou vesmírneho reliktného žiarenia a priemernou jú-lovou teplotou v Bratislave je rozdiel 296 °C.

Úloha 3. Traja kamaráti – Jožko, Erika a Maťo, dostali na domácu úlohy z fyziky počas dňa desaťkrát vonku odmerať teplotu. Z tých-to hodnôt mali potom určiť priemernú teplotu pre daný deň. Aby však úloha nebola až taká jednoduchá, každý z nich meral teplotu na inej stupnici. Jožko nameral priemernú teplotu -8 °C, Erika vy-počítala ako priemernú teplotu 264 K a Maťo, ktorý meral teplotu vo Fahrenheitoch, nameral ako priemernú teplotu 14 °F.Aké priemerné teploty títo traja žiaci namerali v Celziových stup-ňoch? Aká je priemerná hodnota týchto troch teplôt v Kelvinoch?Použitím rovnakých vzorcov, ako v úlohe 1 dostávame:

Jožko nameral –8 °C, Erika namerala (264 – 273)°C = –9 °C a Maťo nameral 5/9 (14 – 32)°C = 5/9 (–18) = –10 °C.

Ako ďalší krok môžeme najskôr vypočítať priemernú teplotu, ktorú následne prevedieme na Kelviny, alebo môžeme tri teploty najskôr previesť na Kelviny a počítať priemernú teplotu až potom. Ak po-stupujeme prvým spôsobom, ako priemernú teplotu dostávame

(–8 °C – 9 °C – 10 °C)/3 = -9 °C.Premenou na Kelviny dostávame -9 + 273 = 264 K. Ak by sme zvolili druhý postup, premenou získavame hodnoty

-8 + 273 = 265 K -9 + 273 = 264 K -10 + 273 = 263 K

Ako priemernú teplotu potom máme (265 K + 264 K + 263 K) / 3 = 264 KOdpoveďou teda je, že celkovou priemernou teplotou je 264 K.

Metodické poznámkyŽiaci si precvičia prevádzanie jednotlivých jednotiek teploty prostred-níctvom operácií sčítania a násobenia racionálnych čísel. V ďalších úlo-hách tiež pracujú s pojmom priemerná hodnota, či absolútna hodnota.

21


zdroj obrázka: http://www.123rf.com

Úloha 1Vieme, že ak by štyria žiaci z I. A prestúpili do I. B, bolo by v I. A presne dvakrát menej žiakov ako v I. B. Aký je pôvodný počet žia-kov v I. B?

Úloha 2Súčet žiakov v I. B a I. A zmen-šený o podiel počtu žiakov v I. A a najmenšieho párneho priro-dzeného čísla udáva počet žiakov v 3. triede. Koľko je tretiakov?

Úloha 3Vieme, že spolu je tretiakov a druhákov o 16 viac ako všet-kých prvákov. Navyše vieme, že ak 5 chlapcov a 3 dievčatá zo štvrtej triedy nepôjdu do školy, bude štvrtákov presne toľko, koľ-ko všetkých druhákov. Koľko je teda druhákov a štvrtákov?

Úloha 4Ak už ste vypočítali, koľko žia-kov je v ktorej triede, všimnite si, čo je na týchto číslach zaujímavé, akú spoločnú vlastnosť má všet-kých päť čísel?Počty žiakov:

I. A ...I. B ...2. ...3. ...4. ...

8.1.8 „Múdra“ škola

Základná škola na Múdrej ulici je vychýrená nadanými žiakmi. Tento rok má navyše i zaujímavé počty žiakov v triedach prvého stupňa. Prvý ročník má až dve triedy, I. A a I. B, ostatné ročníky (2., 3., 4.) po jednej. I. A navštevuje 16 žiakov, 7 chlapcov a 9 diev-čat, v 4. triede je 8 dievčat.

Úlohy sú zamerané na premenné, úvod k riešeniu lineárnych rovníc (slovných úloh). Dajú sa však riešiť aj úsudkom, bez riešenia rov-níc. Pri riešení pomocou rovníc je dôležité správne zostaviť rovnosť a dbať na to, aby rovnosť skutočne platila [pozri napr. (1)].V úvodnom zadaní sú zámerne uvedené nadbytočné informácie („I. A navštevuje 7 chlapcov a 8 dievčat, v 4. triede je 8 dievčat“).

Riešenia úloh Úloha 1. Vieme, že v I. A je 16 žiakov.Označme počet žiakov v I. B ........ xAk štyria žiaci z I. A prestúpia do I. B, v I. A bude 16 – 4 = 12, v I. B bude x + 4 žiakov. V I. A je takto dvakrát menej žiakov ako v I. B (alebo v I. B je dvakrát viac žiakov ako v I. A), 12 je teda dvakrát menšie ako x + 4, preto zostavíme nasledujúcu rovnicu

12 . 2 = x + 4odkiaľ

x = 20V I. B bolo teda pôvodne 20 žiakov.Poznámka: pozor na chybnú rovnicu (1)

12 / 2 = x + 4 príp. 12 = 2 . (x + 4) (1)

Úloha sa ľahko rieši aj úsudkom – ak zo 16 žiakov z I. A štyria odídu, ostane 12, čo má byť polovica žiakov, ktorí sú práve v I. B. V I. B je teda dvakrát viac žiakov ako 12, teda 24. Treba však dávať pozor, že tento výsledok nie je pôvodný počet žiakov v I. B, ten je o 4 menší, teda 20.

Úloha 2. Ak vieme, že najmenšie párne prirodzené číslo je 2, po-čet žiakov v 3. triede je (16 + 20 ) – 16 / 2 = 28Odpoveď: Tretiakov je 28.

Úloha 3. Ešte sme nevypočítali, koľko je druhákov a štvrtákov. Treba si uvedomiť, že najprv musíme zistiť, koľko je druhákov, aby sme mohli vypočítať aj počet štvrtákov.Počet druhákovVieme, že tretiakov a druhákov spolu je o 16 viac ako všetkých prvákov. Prvákov je 16 + 20 = 36. Tretiakov a druhákov spolu je ešte o 16 viac, teda 52. Keďže vieme, že tretiakov je 28, druhákov je 52 – 28 = 24. Alebo: Ak by sme počet druhákov označili neznámou x, môžeme zostaviť rovnicu: x + 28 = (16 + 20) + 16

odkiaľ x, počet druhákov, je 24.

22


Úloha 5Označte počet žiakov v I. A triede ako neznámu x. Viete pomocou výrazu s premennou x zapísať (prípadne aj upraviť na jedno-duchší tvar), aký je počet všet-kých žiakov na prvom stupni ZŠ?

I. A ... xI. B ...2. ...3. ...4. ...

Úloha 6Úloha je totožná s predchádzajú-cou úlohou – ale označme teraz ako x počet žiakov v 2. triede.

I. A ...I. B ... 2. ... x3. ...4. ...

Vypočítajme teraz, koľko je štvrtákov. Žiaci si musia uvedomiť, že informácia „Ak 5 chlapcov a 3 dievčatá zo štvrtej triedy nepôjdu do školy, ...“, teda delenie žiakov na chlapcov a dievčatá, je pre nás nepodstatné, dôležité je, že do školy nepôjdu ôsmi. Označme plný počet žiakov v 4. triede ... xak ôsmi neprídu, žiakov bude x – 8, čo je presne toľko, koľko je druhákov, teda x – 8 = 24 odkiaľ x = 32. Štvrtákov je teda 32.Alebo: Ak by sme počet štvrtákov označili neznámou x, môžeme zostaviť rovnicu:

odkiaľ x, počet štvrtákov, je 32.Odpoveď: Druhákov je 24 a štvrtákov je 32.

Úloha 4. I. A ... 16 ž. I. B ... 20 ž.2. ... 24 ž.3. ... 28 ž.4. ... 32 ž.

Vidíme, že všetky čísla vyjadrujúce počet žiakov v jednotlivých triedach, sú deliteľné štyrmi. Dokonca, nie sú to ľubovoľné násob-ky štyroch, ale tvoria postupnosť, každá „nasledujúca“ trieda má počet žiakov o 4 vyšší ako „predchádzajúca“.

Úloha 5. Ak sme už zistili, že počty žiakov pravidelne narastajú o 4 (tvoria aritmetickú postupnosť s diferenciou 4), vieme teda, že počet žiakov každej „vyššej“ triedy je o 4 väčší, teda máme:

I. A ... x I. B ... x + 4 2. ... (x + 4) + 4 = x + 83. ... (x + 8) + 4 = x + 12 4. ... (x + 12) + 4 = x + 16

Počet všetkých žiakov je 5x + 40.

Úloha 6. Ak označíme x počet žiakov v 2. triede: I. A ... x – 8I. B ... x – 42. ... x3. ... x + 4 4. ... x + 8

Počet všetkých žiakov bude(x – 8) + (x – 4) + x + (x + 4) + (x + 8) = 5x.

23


Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy

Autori problémov:PaedDr. Kristína Ca! ková 8.2.7, Mgr. Antal Csáky 8.2.3, prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. 8.2.10, Mgr. Lukáš Lednický 8.2.1, 8.2.2, 8.2.8, 8.2.9, 8.2.10, PaedDr. Patrícia Benická, PhD., 8.2.4, 8.2.6, Mgr. Edita Szabová 8.2.7, Mgr. Zuzana Vitézová 8.2.5.

24


Úloha 1Vyjadrite závislosť výšky hladiny vody v pohári od jej množstva (objemu) a načrtnite túto závislosť.

Úloha 2V nasledujúcom grafe je zaznačená závislosť výšky hladiny od objemu vody v dvoch pohároch rovnakým spôsobom ako v prvej úlohe.Zistite o koľko centimetrov stú-pne hladina vody pri naliatí 1 dl vody v oboch pohároch. Ak sú rôzne, vysvetlite, čo spôsobuje tento rozdiel.

8.2.1 Hladina vody

Majme pohár tvaru valca. Ak do tohto pohára nalejeme 1 dl vody, tak jej hladina bude vo výške 2 cm od dna. Pri každom doliatí 1 dl vody do pohára voda stúpne o 2 cm.

Riešenie:Úloha 1: Ak označíme x množstvo vody v dl a y výšku hladiny, tak túto závislosť opisuje lineárna funkcia (priama úmernosť) y = 2x.

Úloha 2: Z grafov treba určiť o koľko stúpne hladina vody po do-liatí 1 dl vody. Potrebujeme určiť o koľko stúpla hladina pri doliatí nejakého množstva vody. Najlepšie sa to dá určiť pre 4 dl vody. V prvom pohári má hladina vody vtedy výšku 6 cm a v druhom 10 cm. Z toho zistíme, že v prvom pohári stúpne hladina o 6 : 4 = 1,5 cm a v druhom o 10 : 4 = 2,5 cm. Tieto rozdiely sú spôsobené rôznymi priemermi (polomermi) podstáv. Pri doliatí 1 dl vody dostaneme stĺpec tvaru valca s výškou 1,5 a 2,5 cm. Oba valce majú rovnaký objem, preto musia mať rôzne aj priemery (polomery) podstáv.

Metodické poznámkyObe úlohy sú zamerané na prácu s priamou úmernosťou, jej gra% cké znázornenie a získavanie údajou z grafu. Pre riešenie druhej úlohy je potrebná aj znalosť vzorca na objem valca. Obe úlohy si vyžadujú aj správne premieňanie jednotiek objemu a dĺžky.

25


Úloha 1Aký približný vek má strom s priemerom kmeňa 25 cm?

Úloha 2Aký približný vek má strom z úlohy 1, ak vieme, že to je jedľa?

Úloha 3Zistite, ktorý strom je starší, buk s priemerom kmeňa 40 cm alebo smrek s priemerom kmeňa 35 cm?

Úloha 4Zistite zo vzorcov na výpočet veku buka, jedle a smreka, ktorý z nich rastie najrýchlejšie.

8.2.2 Vek stromov

Vek zrezaných stromov sa dá určiť podľa počtu letokruhov. Ak však chceme zistiť vek žívých stromov v lese, tak tento údaj nemáme k dis-pozícií. Preto potrebujeme iné spôsoby určenia veku stromov. Pri-bližný vek stromu môžeme určiť z obvodu kmeňa pomocou vzorca

k =o kde k je vek stromu v rokoch a o je obvod kmeňa v milimet-

roch meraný vo výške 1,3 m. Presnejší odhad veku stromu,25,4

získame zo vzorcov, ktoré sú určené pre daný druh stromu. Napríklad:Buk Jedľa Smrek

ko

– 2,5 ko

– 3 ko

– 3,5= = =16 14 13

RiešenieÚloha 1. Je potrebné premeniť priemer z centimetrov na milimet-re a vypočítať obvod, a ten potom dosadiť do vzorca.

d = 25 cm = 250 mmo = πd = 3,14 . 250 mm = 785 mm

ko 785 .

30,9= = =25,4 25,4

Odpoveď: Strom má približne 31 rokov.

Úloha 2: Vypočítaný obvod z prvej úlohy je potrebné dosadiť dopresnejšieho vzorca:

ko

– 3785

– 3.

53,1= = =14 14

Odpoveď: Strom má približne 53 rokov.

Úloha 3. Vypočítame približný vek oboch stromov a porovnáme ich.Buk d

1 = 40 cm = 400 mm

o = π . d1 = 3,14 . 400 = 1 256 mm

Smrekd

2 = 35 cm = 350 mm

o = π . d2 = 3,14 . 350 = 1 099 mm

ko

1 – 2,5 =1 256

– 2,5 = 76 ko

2 – 3,5 =1 099

– 3,5 81= = =16 16 13 163

Odpoveď: Starší je smrek o 5 rokov.

Úloha 4. Stačí porovnať stromy s rovnakým obvodom kmeňa. Ten, ktorý bude mať najmenej rokov bude rásť najrýchlejšie. Do-saďme za obvod napríklad 1 000 mm.Buk Jedľa Smrek

k1 000

– 2,5 = 60 k1 000

– 3 = 68,4 k1 000

– 3,5 = 73,4= = =16 14 13

Odpoveď: Najrýchlejšie rastie buk.

Metodické poznámkyTieto úlohy sú zamerané na výpočet hodnoty zo vzorca. Je potrebné, aby žiaci ovládali aj výpočet obvodu kruhu. Druhá úloha si vyžadujú výber správneho vzorca. V tretej úlohe porovnávame dva stromy, ktoré majú rozdielny vek a obvod kmeňa. Chceme využiť prekvapivosť toho, že strom s menším obvodom môže byť starší ako strom s väčším obvodom. Je to spô-sobené nerovnakou rýchlosťou rastu jednotlivých stromov. Tá sa skúma v poslednej úlohe. Porovnáva sa vek stromov s rovnakým obvodom kmeňa.

26


8.2.3 Rastliny a hodnota pH pôdy

Možno vás už prekvapil fakt, že niektoré rastliny sú v našej záhrade schopné rásť až k nebu a niektoré sa ani nepohnú. Čo môže byť príčinou tejto záhady? Často to súvisí s pH hodnotou pôdy, ktorá niektorým rastlinám prospieva, kým ostatným zabraňuje klíčeniu alebo rastu. V uvedenom diagrame môžeme nájsť informácie o pH hodnotách pre niektoré dôležité úžitkové rastliny. Hrubou čiarou je označená príslušná pH hodnota pôdy, ktorá je prospešná k pestovaniu danej rastliny.

Riešenie:Úloha 1. Rastliny rastúce najmä v kyslých pôdach: raž, ovos, kuku-rica, zemiaky, ďatelina, hrach, jahoda, hruška, jablko, bobuľoviny, ihličnany, listnaté stromy, rastliny rastúce na rašelinisku.

Rastliny rastúce v neutrálnych pôdach: pšenica, jačmeň, repka, cukrová repa, ďatelina, lucerna, hrach, mrkva, fazuľa, jahoda, hruška, jablko, bobuľoviny.

Rastliny, ktoré sú schopné prežiť aj v zásaditých pôdach: pšenica, jačmeň, repka, cukrová repa, ďatelina, lucerna, hrach, mrkva, fazuľa, jablko, bobuľoviny.

Úloha 2. Na kyslých pôdach.

Úloha 3. Lucerna.

Úloha 4. Bobuľoviny áno, ihličnaté stromy nie.

Úloha 5. Keď v našej záhrade má pôda pH 5,5, podľa diagramu uvedených rastlín je odporúčané pestovať: raž, ovos, zemiaky, bobuľoviny, ihličnaté a listnaté stromy, rastliny rastúce na rašelinisku.

Metodické pokynyPomocou uvedeného príkladu si môžeme precvičiť ako získať, resp. prečítať informácie z diagramu iného typu. Príklad sa môže použiť aj na hodinách biológie či na hodine chémie pri príslušných tematických okruhoch.Pri Úlohe 1 máme zaradiť jednotlivé rastliny do rôznych množín. Niek-toré rastliny môžeme zaradiť súčasne do viacerých množín. Pri Úlo-hách 2 a 3 máme vyčítať jednoduché informácie z diagramu. Úloha 4 nám slúži na porovnanie troch rastlín pomocou prislúchajúcich údajov. V Úlohe 5 máme opäť vytvoriť množinu na základe údajov z diagramu.

Internetové stránky: http://www.matematikamodszertan.hu/wp-content/uploads/2009/10/gyakorlo.pdf

Úloha 1Zaraďte jednotlivé rastliny pou-žitím uvedeného diagramu do nasledujúcich množín, ak platí:

kyslá: pH < 7neutrálna: pH = 7zásaditá: pH > 7

a) Rastliny rastúce v kyslých pôdach:

b) Rastliny rastúce v neutrálnych pôdach:

c) Rastliny, ktoré sú schopné pre-žiť aj v zásaditých pôdach:

Úloha 2V akej pôde sú schopné rásť list-naté stromy?

Úloha 3Ktorá rastlina znesie pôdu s pH 8?

Úloha 4Odporúčali by ste pestovať bobuľoviny a ihličnaté stromy vedľa kukurice?

Úloha 5Pestovanie ktorých rastlín je odporúčané, keď v našej záhrade máme pôdu s pH 5,5?

27


8.2.4 Vianočné nákupy

Janka si na kúpu vianočných darčekov odkladala peniaze takmer celý rok. Začala si odkladať po 5 € už v januári a skončila v októ-bri. Rozhodla sa, že na rodičovské darčeky minie z vyhradených peňazí a zvyšné minie na darčeky pre brata Romana. Riešenie 1. Janka si odkladala peniaze od januára do októbra, čo je 10 mesiacov. Každý mesiac si odložila 5 €, za 10 mesiacov si odložila

10 . 5 € = 50 €.Odpoveď. Janka si na vianočné darčeky našetrila 50 €.

Riešenie 2 Najprv zistíme koľko eur má Jana vyhradených na darčeky pre rodičov:

50 € .4

40=5

Odpoveď: Jana môže kúpiť pre mamu darček v hodnote 20 €.

Riešenie 3. Zistíme koľko eur má Jana vyhradených pre Romanov darček (z celkového rozpočtu odpočítame peniaze vyhradené pre rodičovské darčeky)

50 € – 40 € =10 €.Jana má vyhradených pre Romana 10 €. Za túto sumu si môže vybrať z dvoch USB kľúčov, keďže chce minúť celú sumu vyčlenenú na Romanov darček vyberie si 8 GB USB kľúč.

Odpoveď: Jana kúpi Romanovi 8 GB USB kľúč.

Metodická poznámka:Pri riešení úloh využívame prácu s aritmetickými operáciami (+; –; *; /).

Úloha 1Koľko eur sa podarilo Janke našetriť na vianočné darčeky?

Úloha 2Za koľko eur môže kúpiť Janka darček pre svoju maminu, ak sa rozhodla, že na darček pre maminu venuje 2/5 sumy a darček pre ocina bude rovnako drahý ako pre maminu.

Úloha 3Roman by chcel na Vianoce USB kľúč. Janka zistila že 4 GB USB kľúč stojí 8 €; 8 GB USB kľúč stojí 10 € a 16 GB USB kľúč stojí 17 €. Ktorý USB kľúč Janka vyberie, ak vieš že minie všetky našetrené pe-niaze vyhradené pre Romana.

28


8.2.5 Priemerná teplota ovzdušia

Arborétum Mlyňany Slovenskej akadémie vied je chránený areál v obciach Tesárske Mlyňany a Vieska nad Žitavou v okrese Zlaté Moravce. Má rozlohu 67 ha, a za chránený areál bol vyhlásený v roku 1951. V súčasnosti

je arborétum vedeckým pracoviskom SAV. Je prístupné pre verejnosť od apríla do septembra. Ide o najvýznamnejšie dendrologické zari-adenie Slovenska, v zbierkach ktorého sa nachádza viac ako 2 300druhov drevín zo Stredomoria, Ameriky, Afriky a Ázie. V areáli arboréta bola v mesiaci marec 2013 nameraná priemerná teplota znázornená na nasledujúcom diagrame.

Porovnaj údaje z neho s údajmi z diagramu z marca 2012 a odpovedz na otázky uvedené v stĺpci naľavo.

Riešenie:1. Odpoveď: Vyššia maximálna priemerná teplota bola dosiahnu-

tá v roku 2012 a dosiahla hodnotu takmer 16°.2. Odpoveď: Nižšia minimálna priemerná teplota bola dosiahnutá

v roku 2013 a dosiahla hodnotu takmer –3°.3. Odpoveď: V marci 2013 bola teplota pod bodom mrazu počas

8 dní.

Úloha 1V ktorom roku bola dosiahnutá vyššia maximálna priemerná teplota a akú hodnotu dosiahla?

Úloha 2V ktorom roku bola dosiahnutá nižšia minimálna priemerná teplota a akú hodnotu dosiahla?

Úloha 3Počas koľkých dní v marci 2013 dosiahla teplota bod mrazu?

Úloha 4Počas koľkých dní v marci 2012 a v marci 2013 vystúpila priemerná teplota na hodnotu vyššiu ako 9°?

Úloha 5Rozhodni, či je pravdivé nasledovné tvrdenie: „V marci 2013 bol počet dní s teplotou vyššou ako 0° väčší ako v predchádzajúcom roku.“

Úloha 6Približne koľko stupňov bolo na-meraných 8. marca 2013?

Úloha 7Z diagramu pre marec 2013 urči všetky dni, počas ktorých priemerná teplota klesala.

Úloha 8V ktorom období marca 2013 došlo k najväčšiemu poklesu priemernej teploty a o koľko stupňov klesla vtedy teplota?

29


4. Odpoveď: V marci 2012 dosiahla priemerná teplota hodnotu vyššiu ako 9° počas 12 dní a v marci 2013 to boli 3 dni.

5. Odpoveď: Toto tvrdenie nie je pravdivé.6. Odpoveď: 8. marca 2013 bolo nameraných približne 9 stupňov.7. Odpoveď: Priemerná teplota klesala v dňoch: 1.3. – 3.3., 7.3. – 8.3.,

9.3. – 12.3., 13.3. – 15.3., 20.3. – 24.3., 25.3. – 26.3., 30.3. – 31.3.8. Odpoveď: K najväčšiemu poklesu priemernej teploty došlo v dňoch

od 13.3. do 15.3., kedy teplota klesla približne o 8 stupňov.

Metodické poznámkyÚloha je zameraná na prácu so spojnicovým grafom a získavanie údajov z neho. Keďže grafy majú odlišnú stupnicu na osi s teplota-mi, žiaci využijú a precvičia si aj odhad. Pri práci s údajmi môžu využiť počtové operácie + a –. Odporúčame analyzovať so žiakmi tvar tohto grafu podrobnejšie. Poukážeme na to, že hodnoty grafu klesajú a rastú.

30


8.2.6 Školský večierok

V škole sa koná večierok. Žiaci v triede sa dohodli, kto prinesie aké občerstvenie. Na Jurka vyšli pizza rožteky. Keď Jurko pri-šiel domov, našiel na internete tento recept.

Postup prípravy receptu

1 Do trošky mlieka dať cukor a droždie. Nechať kysnúť kvások. Zvyšok múky

preosiať, pridať soľ, vegetu a oregano, potom pridať vykysnutý kvások,

vo vlažnom mlieku rozšľahané 1 vajíčko a olej. Vypracovať lesklé cesto.

Cesto nechať kysnúť. Ja robím kysnuté cestá tak, že keď vykysne, ešte

raz ho prepracujem a znovu dám kysnúť. Zdá sa mi cesto potom lepšie.

2 Vykysnuté cesto rozdeliť na 8 čas� . Kažú časť rozvaľkať do kruhu, po-

trieť kečupom, ktorý zmiešame s korením na pizzu (podľa chu� ). Kruh

rozrezať na 8 čas� . (Vzniknú trojuholníky). Na širšiu časť trojuholníka

klásť kúsok šunkovej salámy, syra a slaniny. Stočiť od širšej čas� k ten-

šej, vytvarovať rožtek a klásť na plech vyložený papierom na pečenie.

3 Rožteky potrieť rozšľahaným vajíčkom, posypať strúhaným syrom,

môže sa aj sezamom, nechať podkysnúť a dať piecť. Upečené rožteky

ihneď potrieť olejom zmiešaným so soľou a pretlačeným cesnakom.

Riešenie 1Suroviny: Na 64 kusov je potrebných 900 g hladkej múky, na 30 ku-sov teda potrebujeme: 900 g ................ 64 ks

x g .................... 30 ks

x 30=

900 64x = 421,875 ≈ 422 g hladkej múky.

Rožteky:Mlieko: Droždie: Kryštálový cukor:

x =30

. 450 x =30

. 75 x =30

. 264 64 64

x = 210,9375 x = 34,6153 x = 0,9375x = 211 ml mlieka x = 35 g droždia x = 1 KL kr. cukru

Olej: Vajcia: Vegeta: Oregano:

x =30

. 220 x =30

. 2 x =30

. 2 x =30

. 264 64 64 64

x = 103,125 x = 0,9375 x = 0,9375 x = 0,9375x ≈ 103 ml oleja x ≈ 1 vajíčko x ≈ 1 KL vegety x ≈ 1 KL oregána

Plnka:Syr: Šunková saláma: Slanina:

x =30

. 120 x =30

. 120 x =30

. 20064 64 64

1 KL = 1 kávová lyžička

Úloha 1Keďže Jurko ešte nikdy predtým tieto rožteky nepiekol, rozhodol sa, že recept najprv vyskúša a na-pečie iba pre rodinu. Mama mu poradila, že pre ich rodinu bude stačiť 30 kusov pizza rožtekov. V recepte je však uvedené množ-

31


stvo surovín pre 64 kusov. Vypo-čítaj, aké množstvo jednotlivých surovín bude potrebovať.

Úloha 2Na školskom večierku sa zú-častní 60 ľudí. Jurko znova musí vypočítať aké množstvo surovín bude potrebovať na prípravu pizza rožtekov, aby sa každému ušli dva kusy.

Úloha 3Ako dlho bude Jurkovi trvať peče-nie pizza rožtekov na školský ve-čierok, ak vieš, že na jeden plech sa mu zmestí 18 kusov. Do rúry na pečenie môže vložiť len jeden plech.

x = 56,25 x = 56,25 x = 93,75 x ≈ 56 g syra x ≈ 56 g šunk. salámy x ≈ 94 g slaniny.

Riešenie 2Jurko musí na školský večierok pripraviť 120 kusov pizza rožtekov.Suroviny: Na 64 kusov je potrebných 900g hladkej múky, na 120 kusov teda potrebujeme:

900 g ................ 64 ksx g .................... 120 ks

x 120=

900 64x = 1 687,5 ≈ 1 688 g hladkej múky.

Rožteky:

Mlieko: Droždie: Kryštálový cukor:

x =120

. 450 x =120

. 75 x =120

. 2

64 64 64

x = 843,75 x = 140,625 x = 3,75x ≈ 844 ml mlieka x ≈ 141 g droždia x ≈ 4 KL kr. cukru

Olej: Vajcia: Vegeta: Oregano:

x =120

. 220 x =120

. 2 x =120

. 2 x =120

. 2 64 64 64 64

x = 412,5 x = 3,75 x = 3,75 x = 3,75x ≈ 413 ml oleja x ≈ 4 vajíčka x ≈ 4 KL vegety x ≈ 4 KL oregána

Plnka:

Syr: Šunková saláma: Slanina:

x =120

. 120 x =120

. 120 x =120

. 200

64 64 64

x = 225 x = 225 x = 375x ≈ 225 g syra x ≈ 225 g šunk. salámy x ≈ 375 gr slaniny.

Riešenie 3Jurko ide piecť 60 kusov pizza rožtekov, na jeden plech sa mu zmestí 18 kusov. 120

= 6,66 ≈ 718

Jurko potrebuje vymeniť 7 plechov, pokiaľ upečie všetky pizza rožteky. Pečenie jedného plechu trvá 30 – 35 minút.

Odpoveď. Jurkove pečenie pizza rožtekov bude trvať od 3 hodín a 30 minút do 4 hodín 5 minút.3 . 7 = 210 minút 35 . 7 = 245 minút

2103 hodiny 30 minút

2454 hodiny 5 minút= =

60 60

Metodická poznámkaPri riešení uvedených úloh žiaci používajú priamu úmernosť, troj-členku, rovnice.

32


Úloha 1Keď chce Matúš kúpiť čo naj-väčšie množstvo krmiva, ktoré výrobky a koľko balení by mal kúpiť? Koľko gramov krmiva tak kúpi Ňufákovi?

Úloha 2Aký by bol Matúšov výber, keby chcel kúpiť čo najväčšie množ-stvo krmiva, ale z každého dru-hu pre psov by chcel skúsiť as-poň jedno balenie?

8.2.7 Darček pre Ňufáka

Matúšov najlepší kamarát je jazvečík Ňufák. Rozhodol sa, že kúpi Ňufákovi nejaké dobroty na jeho piate narodeniny. Keďže ide o ju-bileum Ňufákových narodenín, chcel by zo svojich peňazí kúpiť čo najviac balíčkov dobrôt. So svojimi 10 eurami navštívil najbližší obchod, kde predávajú krmivo pre psov. Pozrel si všetky výrobky a rozhodol sa, že si vyberie z nasledovných druhov krmív:

Názov výrobkov Množstvo/balenie CenaVankúšiky plnené morčacím mäsom 100 g 1,30 €Biela kosť z obilia s vápnikom 50 g 0,80 €Bonbóniky pre psa 300 g 4,20 €

Riešenie. Úloha 1. Najskôr potrebujeme zistiť, ktorý výrobok je vzhľadom na svoju hmotnosť najlacnejší. Prepočítame ceny na 50 g.

Názov výrobkov Množstvo/ba-lenie

Cena Cena za 50 g

Vankúšiky plnené morčacím mäsom 100 g 1,30 € 1,30 : 2 = 0,65Biela kosť z obilia s vápnikom 50 g 0,80 € 0,80 €Bonbóniky pre psa 300 g 4,20 € 4,20 : 6 = 0,70 €

V prepočte na 50 g výrobku vidíme, že najlacnejšie sú vankúšiky plnené morčacím mäsom. Ak chceme zistiť, koľko balíčkov môže-me kúpiť za 10 eur, vydelíme túto sumu cenou za 1 balíček.

10 : 1,30 = 7,69231Z desiatich eur môže kúpiť Matúš Ňufákovi 7 balíčkov vankúšikov plnených morčacím mäsom, ktoré budú stáť 7 . 1,30 = 9,10 eur. Zvý-ši mu ešte 90 centov, z ktorých môže kúpiť ešte jednu bielu kosť s vápnikom. Matúš teda Ňufákovi kúpil 7 balíčkov plnených vankú-šikov a jednu bielu kosť s vápnikom, čo je spolu 750 g krmiva.

Úloha 2. Matúš chce kúpiť z každého druhu krmiva aspoň po jed-nom balíčku. Ak kúpi z každého druhu práve po jednom balíčku, minie 1,30 + 0,80 + 4,20 = 6,30 eur. Ostáva mu ešte 3,70 eur. Z nich chce kúpiť čo najviac krmiva. Z riešenia úlohy 1 vyplýva, že najlac-nejšie vzhľadom na svoju hmotnosť sú plnené vankúšiky. Za 3,70 eur môže Matúš kúpiť 2 balenia plnených vankúšikov a zostane mu 3,70 – 2 . 1,30 = 1,10 eur, teda zvýšia mu peniaze ešte na jednu bielu kosť s vápnikom.Matúš teda kúpi 3 vankúšiky plnené morčacím mäsom, dve biele kosti s vápnikom a jedny bonbóniky pre psov. Krmivo bude mať hmotnosť 3 . 100 + 2 . 50 + 1 . 300 = 700 g.

33


Názov výrobkov Balenie Cena Počet kusov Hmotnosť v gramoch

Cena spolu v €

Vankúšiky plnené morčacím mäsom

100 g 1,30 € 3 300 g 3,90

Biela kosť z obilia s vápnikom

50 g 0,80 € 2 100 g 1,60

Bonbóniky pre psa 300 g 4,20 € 1 300 g 4,20

Spolu: 6 700 g 9,70

Metodické poznámkyŽiaci si musia uvedomiť, že na to, aby zistili, ktorý výrobok je ceno-vo najvýhodnejší, musia prepočítať ceny na rovnakú gramáž. Záro-veň musia výrobky kombinovať tak, aby nakúpili čo najviac krmiva zo stanoveného rozpočtu 10 eur.Zároveň musí výrobky kombinovať tak, aby nakúpili čo najviac kr-miva zo stanoveného rozpočtu 10 eur.

34


Úloha 1Vypočítajte rýchlosť bicykla, ak jeho kolesá majú priemer 65 cm a koleso sa otočilo za 0,5 s.

Úloha 2Tachometer z jedného bicykla presunieme na iný. Ten však má menší priemer kolies, tento údaj sme však zabudli v tachometri upraviť. Akú rýchlosť bude teraz tachometer ukazovať v porovnaní so skutočnou rýchlosťou bicykla?

Úloha 3Aký je rozdiel medzi skutočnou rýchlosťou bicykla a rýchlosťou, ktorú ukazuje tachometer, ak uvažujeme situáciu z úlohy 2? Priemer kolies prvého bicykla je 60 cm, priemer kolies druhého bicykla je 50 cm a koleso druhé-ho bicykla sa otočilo za 0,75 s.

8.2.8 Tachometer

Tachometer na bicykli zobrazuje mnoho údajov. Jedným z týchto údajov je aj rýchlosť akou sa práve pohybujeme. Túto rýchlosť me-ria tak, že najprv sa odmeria čas jedného otočenia kolesa.Rýchlosť sa potom vypočíta podľa vzorca

v = s/t,kde v je rýchlosť, s je obvod kolesa a t je čas, za ktorý sa koleso otočí práve raz. Obvod kolesa je údaj, ktorý sa musí pri inštalovaní tachometra zadať.

Riešenie:Úloha 1: Rýchlosť bicykla vypočítame podľa zadaného vzorca. Musíme najprv vypočítať obvod kolesa.

s = π.d = 3,14 . 65 cm = 204,1 cm = 2,401 mRýchlosť býva daná v metroch za sekundu, preto si obvod kolesa premeníme na metre. Teraz môžeme vypočítať rýchlosť.

v = s/t = 2,401 m / 0,5 s = 4,802 m/s Odpoveď: Rýchlosť bicykla je 4,802 m/s.

Úloha 2: Tachometer vypočítava rýchlosť so zlým údajom o obvo-de kolesa. Ak by boli obvody kolies oboch bicyklov rovnaké, mu-seli by byť rovnaké aj rýchlosti na tachometri. Ak tachometer po-číta s väčším obvodom kolesa, tak musí ukazovať väčšiu rýchlosť. Odpoveď: Tachometer bude ukazovať väčšiu rýchlosť.

Úloha 3: Vypočítajme podľa zadaného vzorca:

Skutočná rýchlosť v1 =

3,14 . 0,5 m2,093 m/s=

0,75 s

Rýchlosť, ktorú ukazuje tachometer

v2 =

3,14 . 0,6 m2,512 m/s=

0,75 sOdpoveď: Rozdiel medzi rýchlosťami je 0,419 m/s.

Metodické pokynyVytvorené úlohy sa zameriavajú na prácu so vzorcom. Sledujeme, ako zmena jednej premennej ovplyvňuje výsledok. Úloha 2 je zame-raná všeobecne na uvedomenie si tejto závislosti. Je možné ju zadať žiakom ako úlohu na samostatné riešenie a úlohou 3 získať spätnú väzbu, či úlohu riešili správne.

35


8.2.9 Stopa po kolesách

Určite ste už videli stopy kolies auta alebo bicykla potom, čo prešli cez mláku. Uvažujme ako budú vyzerať stopy kolies po prechode cez čerstvo natretý pás farby. Vo všetkých úlohách kreslite sto-pu do pripravených diagramov. Neberte do úvahy vzor a drážky na povrchu pneumatiky.

RiešenieÚloha 1. Po prechode cez pás na kolese zostane 25 cm dlhý usek zafarbený a zvyšok kolesa bude nezafarbený. Po prvom otočení kolesa zafarbená časť zanechá odtlačok dlhý 25 cm. Ďalší odtlačok sa vytvorí až po otočení kolesa znova na začiatok zafarbenej časti. To spôsobuje striedanie 25 cm dlhého odtlačku a 165 cm dlhej medzery. Na úseku 5 m vzniknú dva odtlačky.

Úloha 2. Obe kolesá majú rovnaký obvod, preto zanechávajú rov-naké stopy. Ich vzdialenosť nemá vplyv na tvar stopy, ale len na to, že zadné koleso vytvorí svoju stopu neskôr. Zadné koleso však za-nechá odtlačky na tých miestach, kde aj predné, preto je výsledná stopa rovnaká ako v úlohe 1.

Úloha 3. Postup riešenia je rovnaký ako v úlohe 1. Teraz však na ko-lese budú 2 zafarbené časti, medzi ktorými je 15 cm široká medzera.

Úloha 4. Úlohu treba riešiť tak, že vytvoríme stopy oboch bicyk-lov rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcich úlohách. Vý-slednú stopu tvorí zjednotenie oboch stôp, teda zafarbené budú tie časti, ktoré boli zafarbené aspoň jedným bicyklom. Výslednú stopu môžeme vidieť na obrázku.

Úloha 1Nakreslite stopu jedného kolesa bicykla, ktoré prejde kolmo cez pás čerstvo natretej farby. Koleso má obvod 190 cm a pás farby je široký 25 cm.

Úloha 2Uvažujme rovnakú situáciu ako v úlohe 1. Nakreslite stopu, kto-rú zanechajú obe kolesá bicyk-la, ktorých stredy sú vzdialené od seba 96 cm.

Úloha 3Nakreslite stopu kolesa pri pre-chode cez 2 pásy čerstvo natretej farby. Oba pásy sú široké 25 cm a medzi pásmi je 15 cm široká medzera.

Úloha 4Uvažujme rovnakú situáciu ako v úlohe 3. Nakreslite stopu dvoch bicyklov, ktoré idú za sebou. Obvod kolies prvého bicykla je 220 cm a obvod kolies druhého bicykla je 190 cm.

36


Metodické pokynyÚlohy v tomto zadaní sa zameriavajú na periodicky sa opakujúce vzory. Žiaci si musia všimnúť ako jednotlivé údaje vplývajú na vý-sledný vzor. Tieto vzory môžu kresliť do pripravených diagramov. Riešenia úloh môžu obsahovať malé odchýlky v presnosti spôsobené možnosťami, ktoré poskytoval sofrwér, v ktorom boli vytvárané.

37


8.2.10 Rýdzosť drahých kovov

Výrobky z drahých kovov ako sú zlato, striebro a platina, dostáva-jú značku, ktorá označuje ich kvalitu. Tieto značky sú pridelené na základe podielu drahého kovu v danom výrobku. Tieto značky a podmienky ich získania určuje zákon a vydáva ich puncový úrad. V nasledujúcej tabuľke sú minimálne podiely zlata striebra a platiny v zliatinách prislúchajúce k určeným značkám.

Značka kvality 0 1 2 3 4 5

Rýdzosť

Zlato 999/1000 986/1000 900/1000 750/1000 585/1000 375/1000

Striebro 999/1000 959/1000 925/1000 900/1000 835/1000 800/1000

Platina 999/1000 950/1000 900/1000 850/1000 800/1000 –

Riešenie: Úloha 1. Pomer medzi hmotnosťou zlata v prsteni a hmotnosťou prsteňa môže byť najmenej 0,585. Ak označíme x hmotnosť zlata v prsteni, tak platí

x0,585.≥

5Pre najmenšiu hodnotu x platí x = 5 ∙ 0,585 = 2,925 gramov.Pomer hmotnosti zlata v prsteni a hmotnosti samotného prsteňa musí byť menší ako 0,750. Platí teda

x0,75.≤

5Pre najväčšiu hodnotu x platí x = 5 ∙ 0,75 = 3,75 gramov. Prsteň môže obsahovať najmenej 2,925 gramov a menej ako 3,75 gramov zlata.

Úloha 2. Označme y množstvo prímesí ktoré musíme pridať. Pri-daním týchto prímesí sa nezmení množstvo striebra v zliatine. Koľko bude v zliatine striebra vieme určiť z toho, že v 1 kg pôvod-nej zliatiny je 94 % striebra. To znamená, že v pôvodnej zliatine je 0,94 kg striebra. Hmotnosť novovytvorenej zliatiny bude y + 1 kg. Pridávaním prímesí sa zmenšuje rýdzosť striebra (nepriama úmernosť). Najmenej však môže byť 0,925. Preto platí

0,940,925.=

y + 1Vyriešením tejto rovnice zistíme množstvo prímesí, ktoré musíme pridať.

0,940,925 / . (y + 1)=

y + 1 0,94 = 0,925 . (y + 1) 0,94 = 0,925 . y + 0,925 / –0,925 0,015 = 0,925 . y / : 0,925 y = 0,016216Odpoveď: K zliatine môžeme pridať najviac 16,216 gramov prímesí.Úloha 3. V tejto úlohe bude postup podobný. Označme z hmot-nosť striebra, ktoré pridáme k pôvodnej zliatine. V pôvodnej zlia-

Úloha 1Koľko najmenej a koľko najviac zlata by mohol obsahovať zlatý prsteň kvality 585/1000, ktorý váži 5 gramov? (Výsledok za-okrúhlite na tisíciny gramu.)

Úloha 2Z 1 kg zliatiny, ktorá obsahuje 94 % striebra sa budú odlievať prstene kvality 925/1000. Aké množstvo prímesí môžeme pri-dať k zliatine, aby jej bolo čo naj-viac, ale nezmenila sa jej značka kvality? (Výsledok zaokrúhlite na tisíciny gramu)

Úloha 3Majme rovnakú zliatinu ako v úlohe 2. Koľko rýdzeho striebra by sme k nej museli pridať, aby sme získali zliatinu so značkou kvality 1? (Výsledok zaokrúhlite na tisíciny gramu)

38


tine rovnako ako v úlohe 2 je 0,94 kg striebra. Pridaním striebra k pôvodnej zliatine sa jeho hmotnosť v zliatine zväčší, zväčší sa aj hmotnosť zliatiny a zväčší sa aj rýdzosť. Hmotnosť striebra v novej zliatine bude z + 0,94 kg a hmotnosť zliatiny bude z + 1. Pridaním striebra chceme dosiahnuť pomer 0,959. Platí teda

z + 0,940,959.=

z + 1Vyriešením tejto rovnice zistíme potrebné množstvo striebra.

z + 0,940,925. / .(z + 1)=

z + 1z + 0,94 = 0,959 . (z + 1)

z + 0,94 = 0,959z + 0,959 / –0,959z – 0,94

0,041z = 0,019 / :0,041

z = 0,463415Odpoveď: K zliatine musíme pridať aspoň 463,415 gramov striebra.

39


Geometria a meranie

Autori problémov: doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD. 8.3.3., 8.3.8., Mgr. Alexandra Maceková, PhD. 8.3.6, 8.3.7, Mgr. Gabriela Szendy, PhD. 8.3.1, 8.3.2, Mgr. Zuzana Vitézová 8.3.4, 8.3.5, 8,3.9.

40

Geometria a meranie

8.3.1 Váza

Danka si kúpila vázu s podstavou lichobežníka. Ak do nej dá kyti-cu ruží, hladina vody stúpne o 7 cm. Maximálne koľko litrov vody (zaokrúhli na celé číslo) môže dať do vázy, aby voda nevytiekla? Pomôž Danke, ak vieš, že váza je vysoká 30 cm a podstava má nasledovné rozmery:ry

Riešenie:Musíme vypočítať objem hranola s podstavou lichobežníka. Treba si uvedomiť, že hladina vystúpi o 7 cm, ak do vázy vložíme kvety, preto namiesto výšky vázy, čo je 30 cm, použijeme maximálnu výšku hladiny vody, a to je 30 – 7 = 23 cm. Na záver jednotku objemu premeníme na litre. V = S

p . v

V(a + c) . v

1

. v=2

V(12 + 5,5) . 5,4

. 23=2

V = 1 086,75 cm3

V = 1,08675 dm3

V ≈ 1 l vodyDanka môže do vázy naliať maximálne 1 liter vody.

41


8.3.2 Vlajka triedy

Deti ôsmeho ročníka dostali za domácu úlohu vymyslieť vzor pre vlajku svojej triedy. Deti priniesli svoje návrhy do školy a hlasova-ním sa zistilo, že najkrajšia vlajka bola Miškova. Vlajku sa rozhod-li zhotoviť vyšitím na plátno. Plátno už mali kúpené. Koľko kusov bavlniek budú potrebovať z každej farby, ak viete, že na 1 cm2 spot-rebujú 12 cm bavlnky; 10 % ešte počítajte na odpad a na jednom klbku sú 3 m bavlnky. Rozmery vlajky sú znázornená na obrázku.

Riešenie:Treba si uvedomiť, že vlajku tvorí obdĺžnik, do ktorého sú vpísané dve kružnice. Šírka vlajky je 80 cm, čiže priemer jednej kružnice je 40 cm, čo je aj druhý rozmer vlajky a z toho – polomer kružnice je 20 cm. Najskôr si musíme vypočítať aký obsah zaberajú jednotlivé farby. Obsah červenej farby S

č vypočítame ako obsah dvoch kružníc

Sč = 2 . π . r2

Sč = 2 . π . 202

Sč = 2 513,274 123

zaokrúhlene Sč =2 513,3 cm2.

Obsah žltej farby vypočítame ako obsah obdĺžnika od ktorého od-počítame obsah dvoch kružníc: S

ž = a . b – 2. π . r2

Sž = 40 . 80 – 2. π. 202

Sž = 3 200 – 2 513,3

teda Sž = 686,7 cm2.

Teraz si musíme vypočítať koľko centimetrov bavlnky budeme potrebovať. Označíme si neznáme: x – červená bavlnka y – žltá bavlnka x = 2 513,3 . 12 y = 387,7 . 12 x = 30 159,6 cm y = 8 240,4 cmEšte musíme pripočítať 10 % na odpad. Môžeme riešiť cez jedno percento.

Červená 100 %.............. 30 159,600 cm 100 % ............ 8 240,400 cm 1 % ....................... 301,569 cm 1 % ..................... 82,404 cm 10 % .................. 3 015,690 cm 10 % ................. 824,040 cm 110 %............... 33 175,560 cm 110 %............. 9 064,440 cm Nakoniec vypočítame počet klbiek a to tak, že počet centimetrov bavlnky, ktorú potrebujeme vydelíme počtom centimetrov nachá-dzajúcich sa na jednom klbku (musíme si najskôr premeniť, pre-tože v zadaní máme zadané metre → 3m = 300 cm).Červená

33 175,56 : 300 = 110,5852 → 111 klbiekŽltá

9 064,44 : 300 = 30,2148 → 31 klbiek Na výrobu danej vlajky spotrebujeme 111 klbiek červenej bavlnky a 32 klbiek žltej bavlnky.

80 cm

42

Geometria a meranie

Miro začal uvažovať o nasledujú-cich problémoch:

Úloha 1Ako sa dá z tejto drevenej skladač-ky vytvoriť rám na zarámovanie obrazu s rozmermi 20 cm × 15 cm? Môžeme orámovať aj 2 takéto obrazy z jednej sady skladačky? Susedné dielce rámu sa majú do-týkať celou plochou dielcov (nie len hranou).

Úloha 2Aký najväčší obraz by sa dal za-rámovať použitím len teplých farieb (žltá, oranžová, červená)?

Úloha 3Aký najväčší obraz by sa dal za-rámovať použitím len studených farieb (zelená, modrá, 8 alová)?

Úloha 4Koľko váži najväčší rám (ak sa použije celá skladačka vyhotove-ná z bukového dreva), ak jeden m3 vysušeného bukového dreva váži 570 kg?

8.3.3 Orámovanie obrazu

Miro by sa chcel stať bytovým dizajnérom, preto si rád vymýšľa úlohy súvisiace so zariadením bytu. Jeho mladší brat dostal dreve-nú skladačku, ktorú vidíme na obrázku. Drevené dielce skladačky sú hranoly so štvorcovou podstavou 2,5 cm × 2,5 cm.

Skladačka obsahuje nasledovné dielce zoradené podľa najväčšieho rozmeru:

dĺžka počet

10 cm 8 ks

7,5 cm 8 ks

5 cm 8 ks

2,5 cm 8 ks

RiešenieÚloha 1. Vonkajší rozmer rámu na orámovanie obrazu 20 cm × 15 cm bude 25 cm × 20 cm. K rámu môžeme použiť všetkých 8 najdlhších dielcov, ktoré umiestnime so šikmou stenou do rohov. Týmto dve kratšie strany rámu sú hotové. Na dlhších stranách chýbajú dve 5 cm--ové časti, doplníme ich použitím 8 najmenších dielcov, alebo dvoch 5 cm-ových a dvoch 2,5 cm-ových častí.

Ak zo skladačky chceme zlepiť dva rámy, tak k jednému rámu po-užijeme len štyri 10 cm-ové k dlhším stranám a štyri 7,5 cm-ové

43


ku kratším stranám. Chýbajúcich 5 cm na každú stranu rámu mô-žeme doplniť kombináciou 5-cm-ovej a najmenšej časti. opop ej aj ej

Úloha 2. a 3. Otázka slúži na experimentovanie, žiaci môžu vypočítať obsah zarámovaných obrazov a porovnať ich. Zis-tia napr., že rám vytvorený z teplých farieb môže mať vonkajšie rozmery 20 cm × 22,5 cm – keď kratšie strany obdĺžnika sú žlté, alebo 15 cm × 27,5 cm, atď. V prvom prípade obsah zarámo-vaného obrazu je 15 . 17,5 = 262,5 cm2, v druhom prípade len 10 . 22,5 = 225 cm2. Žiaci zistia, že obsah zarámovaného obrazu je tým menší, čím väčší je rozdiel medzi dĺžkami strán obdĺžnika.)

Úloha 4. Rozmery poskladanej skladačky (ako na prvom obráz-ku) sú 20 cm × 20 cm × 2,5 cm. Objem je teda 1 000 cm3 = 1 dm3. 1 000 dm3 bukového dreva váži 570 kg, teda 1 dm3 váži 570 g.

44

Geometria a meranie

Úloha 1Súčasťou presýpacích hodín je drevená kostra, ktorá pozostáva z dvoch podstáv a väčšinou troch pilierov. Všetky časti kostry majú tvar valca. Podstavy sú vysoké 1,5 cm a majú priemer 19 cm. Ako piliere slúžia tiež valce, kto-ré majú priemer 1 cm a výšku 24,5 cm. Ujo stolár tieto časti na-tiera priehľadným lakom, ktorý sa predáva v plechoviciach s obje-mom 0,75 l. Koľko celých takých kostier sa stolárovi podarí natrieť z jednej plechovky laku, ak vie-me, že natiera každú časť oso-bitne dvakrát. Taktiež vieme, že na stĺpikoch nenatiera podstavy a 0,75 l laku stačí na natretie 8 m2.

Úloha 2Po vyrezaní všetkých častí jednej kostry presýpacích hodín z jedné-ho hranola s rozmermi 19 x 19 x 25 cm zostane ujovi stolárovi nejaký odpad. Ako sa zmení množstvo odpadu, ak podstavami nebudú valce ale pravidelné štvorboké hra-noly vysoké 1,5 cm, ktorých šírka a dĺžka sú 18,5 cm? Nezabudni, že pri hranatých podstavách sa na stavbu kostry už využívajú na-miesto troch pilierov štyri.

Úloha 3Keďže po vyrezaní dvoch pre-sýpacích hodín z dvoch hrano-lov zostalo ujovi stolárovi pri-veľa odpadu, rozhodol sa znížiť množstvo odpadu tak, že z jed-ného hranola vyrezával len pod-stavy tvaru štvorbokého hranola a z druhého len stĺpiky. Podarilo sa mu dokopy vyrezať podstavy na 8 presýpacích hodín. Vypočí-taj, aký objem odpadu mu zostal z obidvoch hranolov spolu, ak sa

8.3.4 Presýpacie hodiny

Presýpacie hodiny boli jednou z mála spoľahlivých metód merania času na mori, takže sa má všeobecne zato, že sa používali už v 11. storočí, kedy pomáhali spoločne s magnetickým kompasom navigovať loď. Avšak dôkazy o existencii presýpacích hodín pochá-dzajú až zo 14. storočia, vďaka obrazu z roku 1328

maliara Ambrogia Lorenzettiho. Najstaršia písaná zmienka pochá-dza z rovnakého obdobia. Od 15. storočia sa už presýpacie hodiny používali v najrôznejších odvetviach, na mori, v kostole, v priemysle či v gastronómii. Boli prvým spoľahlivým, opakovane použiteľným a pomerne presným meradlom času. http://www.hodinkar.sk/presypacie-hodiny/t-341/

Riešenie:Úloha 1. V prvej časti príkladu je úlohou žiakov vypočítať počet kostier presýpacích hodín, ktoré stolár môže natrieť z jednej ple-chovky laku. Taká plechovka stačí na natretie 8 m2. Začnú výpoč-tom povrchu jednej podstavy:

S1 = 2πr . (r + v) = 2πr2 + 2πrv

S1 = 2 . 3,14 . 9,52 + 2 . 3,14 . 9,5 . 1.5

S1 = 566,77 + 89,49

S1 = 656,26 cm2

Pre dve podstavy bude povrch: 2 . 656,26 = 1 312,52 cm2.Potom sa pustia do výpočtu povrchu jedného piliera. Tu si ale žia-ci musia uvedomiť, že sa nenatierajú podstavy:

S2 = 2πrv

S2 = 2 . 3,14 . 0,5 . 24,5

S2 = 76,93 cm2

Pre tri piliere bude povrch 3 . 76,93 = 230,79 cm2

Ďalej vypočítajú, akú celkovú plochu natrie stolár, keď každú časť natiera dvakrát:

S = 2 . (230,79 + 1 312,52) = 2 . 1 543,31 = 3 086,62 cm2 Žiaci si budú musieť premeniť 3 086,62 cm2 na m2 3 086,62 cm2 = 0,308662 m2. Potom podelia 8/0,308662 = 25,92 a to je výsledok.Odpoveď: Stolár môže z jednej plechovky laku natrieť 25 kostier presýpacích hodín.

Úloha 2. V druhej časti pracujú žiaci s množstvom odpadu, ktorý zo-stane po vyrezaní podstáv a pilierov na jedny hodiny z jedného hranola. Vypočítajú objem kostry s 2 podstavami tvaru valca a 3 piliermi:

V1 = 2 . [π . (d

1/2)2 . v] + 3 . [π . (d

2/2)2 . v]

V1 = 2 . [3,14 . (19/2)2 . 1,5] + 3 . 3,14 . (1/2)2 . 24,5

V1 = 2 . 3,14 . 90,25 . 1,5 + 3 . 3,14 . 0,25 . 24,5

V1 = 2 . 425,08 + 3 . 19,23

V1 = 907,85 cm3

Potom musia zistiť, koľko dreva bude treba stolárovi, ak podstava-mi budú dva pravidelné štvorboké hranoly a počet pilierov sa zvý-ši na štyri. Objem jedného piliera už poznajú z predchádzajúceho

45


rozhodol, že stĺpikov vyreže len toľko, aby spolu s tými vyrezaný-mi podstavami dostal kompletné kostry presýpacích hodín.

výpočtu. Stačí im teda vypočítať objem podstavy a celej kostry:Podstava: V

2 = a . b . c

V2 = 1,5 . 18,5 . 18,5

V2 = 513,375 cm3

Teraz sčítajú objem dvoch podstáv a štyroch stĺpikov: 2 . 513,375 + 4 . 19,23 = 1 026,75 + 76,92 = 1 103,67

Ďalej vypočítajú objem jedného hranola, ktorý má stolár k dispozícii: 19 . 19 . 25 = 9 025 cm3

Potom odčítajú:9 025 – 907,85 = 8 117,15 a 9 025 – 1 103,67 = 7921,33 cm3.

Porovnajú: 8 117,15 > 7 921,33.Odpoveď: Množstvo odpadu sa zníži na 7 921,33 cm3.

Úloha 3. V tretej úlohe by si mali žiaci precvičiť svoju predstavivosť a vypočítať, koľko podstáv vyrezal stolár z jedného hranola, koľko stĺpikov vyrobí z druhého hranola a koľko odpadu mu potom zo-stane, ak vedia, že z nich dokáže zložiť 8 celých presýpacích hodín:Hranol má rozmery 19 . 19 . 25 cm. Z jedného hranola mu vyšlo len 16 podstáv tvaru štvorbokého hranola a z druhého hranola vyreže 8 . 4 = 32 stĺpikov (štvorcové podstavy sa spájajú štyrmi piliermi).Žiaci si musia vypočítať objem 16 podstáv. Objem jednej podstavy už mali v predchádzajúcej úlohe a preto im už len stačí vynásobiť:

16 . 513,375 = 8 214 cm3

Takisto pri stĺpikoch im stačí využiť predchádzajúce výpočty a vynásobiť: 32 . 19,23 = 615,36 cm3

Celkové množstvo odpadu potom vypočítajú žiaci len tak, že od objemu jedného hranola odčítajú objem podstáv, od druhého odčítajú objem stĺpikov a výsledky sčítajú:

V = (9 025 – 8 214) + (9 025 – 615,36) = 811 + 8 409,64 = = 9 220,64 cm3

Odpoveď: Ujovi stolárovi sa podarilo vyrezať z jedného hranola 16 podstáv, z druhého hranola vyrobí 32 pilierov a zostane mu potom celkom 9 220,64 cm3 odpadu.

Metodické poznámkyCelý príklad je zameraný na výpočet povrchu a objemu telies: val-ca a pravidelného štvorbokého hranola. Pri výpočtoch sa uplatňujú všetky počtové operácie – sčitovanie, odčitovanie, násobenie a dele-nie. Pracuje sa tu nielen s celými, ale aj s desatinnými číslami. Tak-tiež si žiaci precvičia premenu jednotiek obsahu. Pri riešení tretej úlohy si precvičia aj svoju priestorovú predstavivosť.

46

Geometria a meranie

Úloha 1Vypočítaj, koľko m3 zeminy majú robotníci vybagrovať?

Úloha 2Kvôli nízkemu rozpočtu starost-ka mohla prenajať na odvoz ze-miny len dve tatry. Koľko jázd museli pri odvoze zeminy urobiť autá, ak vnútorné rozmery korby každej z nich sú: šírka 2 340 mm, dĺžka 4 320 mm a výška 900 mm. Výsledok zaokrúhli na celé číslo.

Úloha 3

Okrem toho, že starostka obce za-platí za prenájom tatier a bagra, bude musieť zaplatiť aj na5 u. Vypo-čítaj, koľko bude stáť na5 a do oboch tatier spolu, ak vieš, že miesto, kam odvážajú zeminu je vzdialené 2,3 km a priemerná spotreba paliva tatry je 31,5 litrov na 100 km. Cena na5 y je 1,45 € za liter. Výsledok za-okrúhli na celé číslo.

8.3.5 Kanalizácia

V jednej malej dedinke na strednom Slovensku sa starostka obce rozhodla, že dá urobiť novú kanalizáciu. Výkop pre obecnú kana-lizáciu bol 38 m dlhý, 2,2 m široký a 3 m hlboký.

Riešenie:Úloha 1. V prvej úlohe majú žiaci vypočítať, koľko zeminy majú robotníci pri kopaní kanalizácie vybagrovať. Rozmery kanála sú známe: dĺžka 38 m, šírka 2,2 m a hĺbka 3 m. Vypočítajú teda ob-jem podľa vzorca: V = a . b . c V = 38 . 2,2 . 3 V = 250,8 m3

Odpoveď: Robotníci majú vybagrovať pri výkope 250,8 m3 zeminy.

Úloha 2. V druhej úlohe sa počíta počet jázd, ktoré musia urobiť tatry, aby odviezli vykopanú zeminu. Žiaci už poznajú množstvo vykopanej zeminy a majú udané rozmery korby. Musia teda vypo-čítať objem korby jednej tatry, potom pre obidve spolu a týmto ob-jemom vydelia množstvo vykopanej zeminy. Ešte predtým si však budú musieť premeniť rozmery korby z milimetrov na metre. V

1 = a . b . c

V1 = 2,34 . 4,32 . 0,9

V1 = 9,09792 m3

2V1 = 2 . 9,09792 = 18,19584 m3

Dve tatry odvezú na jednu jazdu dokopy približne18 m3 zeminy.Už len stačí vydeliť množstvo vykopanej zeminy objemom tatier:

X = V / 2V1 = 250,8 / 18 = 13,9333 ≈ 14

Odpoveď: Každá tatra musí urobiť 14 jázd.

Úloha 3: Úlohou žiakov je vypočítať, koľko na5 y minie každá tat-ra pri odvážaní zeminy. Žiaci už z predchádzajúcej úlohy vedia, koľko jázd musí urobiť každá tatra. Tiež vedia, že trasa, ktorú prej-dú je dlhá 2,3 km. Musia si však uvedomiť, že tatry prejdú túto trasu na jednu jazdu dvakrát – tam aj späť. Najprv vypočítajú koľko km prejde každá tatra: d = 2 . 2,3 . 14 km d = 64,4 kmObidve tatry dokopy prejdú 64,4 . 2 = 128,8 km.Potom zistia aká je spotreba tatry na 1 km: 31,5/100 = 0,315 litrov.Týmto výsledkom vynásobia počet prejdených kilometrov: 0,315 . 128,8 = 40,572 litrov.Nakoniec už len vynásobia 40,572 . 1,45 = 58,8294 €Odpoveď: Na5 a do tatier bude stáť 59 €.

Metodická poznámkaŽiaci v príklade pracujú s výpočtom objemu štvorbokého hranola. Pri výpočtoch využívajú všetky počtové operácie (+; –; *; / ) a za-okrúhľovanie na celé čísla.

47


Zdroj:http://www.inspireli.com/data/big/000001 /10767.JPG

Úlohy:a) Akú plochu treba obložiť, ak

chce otecko vyložiť podlahu a obložiť steny do výšky 70 cm od stropu?

b) Koľko kusov obkladu s roz-mermi 10 cm × 10 cm musí otecko kúpiť v obchode, ak potrebuje 10 kusov obklada-čiek do rezervy?

c) Keďže v jednom balíku je 20 kusov obkladačiek a balík stojí 10,5 €, koľko balíkov musí otec-ko kúpiť a koľko za ne zaplatí?

8.3.6 Kúpeľňa

Otecko sa rozhodol zrekonštruovať kúpeľňu, a tak išiel do obcho-du kúpiť nový obklad. Kúpeľňa má obdĺžnikový pôdorys s roz-mermi 2 m × 3 m a je vysoká 2,5 m. Do kúpeľne vedú dvere s roz-mermi 70 cm × 180 cm a nie je tam žiadne okno.

Riešenie

a) Potrebujeme si vypočítať plochu, ktorú treba obložiť, teda spo-čítame obsah pôdorysu a stien do výšky 70 cm od stropu, pri-čom si premeníme jednotky na cm.

70 cm od stropu znamená, že treba obložiť steny do výšky 180 cm.

Sk – obsah podlahy a stien do výšky 180 cm

Sk = 300 . 200 + 2 . 200 . 180 + 2 . 300 . 180

Sk = 60 000 + 72 000 + 108 000

Sk = 240 000 cm2

Ďalej potrebujeme vypočítať obsah dverí S

d – obsah dverí

Sd = 70 . 180

Sd = 12 600 cm2

Treba teda obložiť 240 000 – 12 600 = 227 400 cm2.

b) Vypočítame si obsah jednej obkladačky S

o= obsah jednej obkladačky

So= 10 . 10

So= 100 cm2

Na obloženie bude otecko potrebovať 227 400 : 100 = 2 274 kusov a ešte pripočítame 10 kusov do rezervy, teda 2 284 kusov obkladu.

c) Keďže v jednom balíku je 20 kusov, otecko potrebuje 2 840 : 20 = 114,2 teda otecko musí kúpiť 115 balíkov obkladu.

Za týchto 115 balíkov otecko zaplatí 115 . 10,5 = 1 207,5 €.

48

Geometria a meranie

Koľko metrov štvorcových látky krajčírka použije na ušitie sukne, ak má Anička obvod pásu 63 cm a suknička má byť 30 cm dlhá? Počítajte 10 % na záhyby. (Vnú-torný polomer zaokrúhlite na celé čísla.)

8.3.7 Balet

Anička potrebuje na balet novú kruhovú sukničku, ide si ju dať teda ušiť ku krajčírke (strih na sukňu je na obrázku).

Na obrázku je detail olejomaľby Edgara Degasa: Skúška

RiešenieJedná sa o výpočet obsahu medzikružia. Z obvodu Aničkinho pásu si vypočítame polomer vnútornej kruž-nice a potom jej obsah:

r1 =

o 6310 cm= ≈

2 . π 2 . 3,14

S1 = π . r

12 = 3,14 . 102 = 314 cm2

Keď k tomuto polomeru pripočítame dĺžku sukne, dostaneme po-lomer vonkajšej kružnice:

r2 = 10 + 30 = 40 cm

a teda obsah vonkajšej kružnice je

S2 = π . r

22 = 3,14 . 402 = 5 024 cm2

Obsah medzikružia je

S = 5 024 – 314 = 4 710 cm2

Aby sme zistili koľko látky krajčírka použije na ušitie sukne, mu-síme ešte pripočítať 10 % na záhyby, teda

100 % .............................4 710 cm2

10 % ..................................471 cm2 4 710 + 471 = 5 181 cm2 = 0,5181 m2

Krajčírka použije 0,5181 m2 látky.

49


Ako vstupný materiál si zvolili silikó-nový odpad z neďaleké-

ho závodu. Odpad tvorili rôzne žlté, oranžové, zelené a modré silikónové listy hrúbky 1,3 mm trojuholníkového tvaru. Keďže dĺžky všetkých strán trojuhol-níkov sa pohybovali v rozmedzí od 20 do 39 cm, výrobné druž-stvo sa rozhodlo, že budú vyrábať podložky s priemerom 20 cm.Z každého trojuholníka vystrihli 3 kruhové výseky s polomerom 10 cm okolo vrcholov. Zlepením týchto výsekov potom dostali kruhové podložky.

Úloha 1Koľko podložiek mohli vyrobiť z prvej dávky odpadu, ak tam bolo 1126 trojuholníkov?

Úloha 2V druhej dávke odpadu zo su-sednej továrne boli samé pravo-uhlé trojuholníky. Navrhnite, aké typy dvojfarebných podložiek by sa mohli vyrábať z dvoch pra-vouhlých trojuholníkov rôznej farby. Koľko rôznych dvojfareb-ných kombinácií sa dá vytvoriť zo spomínaných 4 farieb (zelená, žltá, modrá, oranžová)?

8.3.8 Silikón

Silikón je pomenovanie takých polymérov, ktorých kostra je tvorená reťazcom, kde sa striedajú atómy kremíka (po latinsky silicium) a kyslí-ka. Hromadná výroba silikónu sa začala najprv v 40-ich rokoch minu-lého storočia v USA a za 20 rokov sa rozšírila do celého sveta. Dnes sa silikón používa v rôznych oblastiach kvôli vynikajúcim elektroizolač-ným vlastnostiam, odolnosti proti vode, olejom a vysokým teplotám. Keďže dlhodobá tepelná odolnosť sa pohybuje medzi –100 až +260° C a krátkodobá môže byť až 320° C, jedno malé výrobné družstvo sa roz-hodlo vyrábať okrúhle silikónové podložky do kuchyne.

RiešenieÚloha 1. Keďže súčet uhlov v trojuholníku je 180°, kruhové vý-seky s polomerom 10 cm z dvoch trojuholníkov vystačia práve na jednu podložku s polomerom 10 cm (pozri obrázok 1). Preto z 1 126 trojuholníkov dostaneme 563 podložiek.

Obrázok 1

Úloha 2

Obrázok 2

Z pravouhlých trojuholníkov sa dajú vyrobiť takéto typy dvojfa-rebných podložiek:

Obrázok 3

50

Geometria a meranie

Stále treba mať na zreteli, že súčet uhlov jednej farby v strede kru-hu je 180 stupňov (pozri napr. štvrtý kruh na obrázku 3 – vyzna-čené uhly sa majú rovnať).

Farebné kombinácie:zelená + žltá žltá + modrá modrá + oranžová + modrá + oranžová + oranžová

Spolu teda sa dá vytvoriť 3 + 2 + 1 = 6 farebných kombinácií.

Metodická poznámkaPri riešení úlohy si žiaci uvedomujú dôležitosť systematického hľa-dania vyhovujúcich možností a precvičujú si ich triedenie. Vyskytu-je sa tu geometrické a kombinatorické uvažovanie a práca s uhlami v praktickom kontexte.

51


8.3.9 Dráha kolesa

Prvé vozidlá, ktoré sa pohybovali bez koní, boli poháňané parou. V Anglicku Richard Trevithick staval skúšobné cestné vozidlá. Už začiatkom štyridsiatych rokov 19. storočia pravidelne premávali parné dostavníky na linkách z Londýna a do Londýna. Boli však ne-motorné, komplikované a poškodzovali cesty. Roku 1859 Belgičan Etienne Lenoir zdokonalil nový, ľahší typ motora. Palivo – uhoľ-ný plyn – sa spaľovalo vo valci, namiesto spaľovania uhlia mimo parného kotla. Tento proces sa nazýva vnútorné spaľovanie. Neskôr vynašiel Nicholas Otto štvortaktný cyklus, čím umožnil vznik vý-konnejších motorov. Vtedy sa už v Spojených štátoch amerických vyrábal benzín, palivo oveľa vhodnejšie na použitie ako uhoľný plyn. Roku 1874 sa vo Viedni objavilo vozidlo, ktoré malo štvortak-tový motor a štyri kolesá, preto je niekedy nazývané prvým autom. Jazdilo však na uhoľný plyn, nie na benzín, preto sa z neho nikdy nemohlo stať dobre fungujúce vozidlo. Prvé autá sa vyrábali ručne a boli také drahé, že si ich mohli dovoliť iba bohatí ľudia. Roku 1902 mladý mechanik zo Spojených štátov amerických založil automobi-lovú spoločnosť, ktorá niesla jeho meno – Ford.

RiešenieÚloha 1. Pri riešení úlohy 1 potrebujú žiaci vypočítať najprv obvod kolesa a následne počet otočení kolesa. Dôležité je, aby si všimli, že si musia ešte pred výpočtom premeniť všetky údaje na rovnaké jednotky. Keďže s celými číslami sa im počíta lepšie, zrejme budú potrebné údaje premieňať na centimetre. Zo zadania majú dráhu

128,5 km = 128 500 m = 12 850 000 cm a priemer d = 51 cmVypočítajú obvod kolesa podľa vzorca: o = π . d = 3,14 . 51 = 160,14 cmĎalej už len delia dráhu obvodom kolesa:

x = 12 850 000 : 160,14 = 80 242,288 = 80 242Odpoveď: Kolesá auta sa otočia na ceste tam si 80 242 krát.

Úloha 2. Žiaci majú opačný postup. Majú udanú prejdenú dráhu a počet otočení kolesa a chcú vypočítať polomer kolesa. Opäť však musia najprv premieňať jednotky.Zo zadania majú dráhu

14 km = 14 000 m = 1 400 000 cm a počet otočení 5 945.Obvod kolesa dostanú tak, že vydelia dráhu počtom otočení:

o = 1 400 000 : 5 945 = 235,49 cmPotom vypočítajú priemer d = 235,49 : 3,14 = 74,9968 = 75 cmA polomer je polovica priemeru: r = 75 : 2 = 37,5 cm.Odpoveď: Polomer kolies bicykla je 37,5 cm.

Metodická poznámkaPri počítaní príkladu si žiaci precvičia okrem výpočtu polomeru kruhu a dĺžky kružnice, aj premenu jednotiek a zaokrúhľovanie ce-lých a desatinných čísel. Používajú násobenie a delenie nielen celých ale aj desatinných čísel.

http://www.fodor.sk/spectrum/automobilizmus.htm

Úloha 1Janíkovci sa vybrali na výlet do Bojníc. Z Poltára im trvala cesta 2 h a 4 min. Počas cesty prešli 128,5 km tam a rovnakú vzdialenosť aj späť. Syna Petra zaujalo, že počas jazdy sa kolesá auta museli otočiť nespočetne veľa krát. Na mamino povzbudenie sa teda pustil do po-čítania. Vedel/a by si aj ty vypočí-tať, koľkokrát sa koleso otočilo na ceste tam? Kolesá auta, ktoré vlast-nia Janíkovci, majú priemer 51 cm. Výsledok zaokrúhli na celé číslo.

Úloha 2Potom si Peter spomenul, že ko-lesá na jeho bicykli sú zrejme väčšie. Pokús sa zistiť, aký majú polomer, ak sa pri prejdení 14 km otočia asi 5 945 krát. Ak dostaneš pri výpočte desatinné číslo, výsle-dok uveď s presnosťou na jedno desatinné miesto.

52

Geometria a meranie

53


Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika

Autori problémov: Mgr. Mária Kóšová, PhD. 8.4.6, 8.4.7, 8.4.8, RNDr. Ľubomír Ry-banský, PhD. 8.4.9, 8.4.10, 8.4.11, 8,4.13, PaedDr. Eva Uhrinová, PhD. 8.4.1, 8.4.2, 8.4.3, 8.4.12, 8.4.13, doc. RNDr. Marta Vrábelo-vá, CSc. 8.4.4, 8.4.5, 8.4.7, 8.4.13.

54


Zdroj: http://www.festivaly.sk/KEPER_pictures.ashx? Size=2&ImageID=3620

Úloha 1Jakub (vodič) navrhol, že náhod-ne vylosuje mená tých, čo pôjdu s ním autom. Ostatní sa dopravia na festival autobusom a stretnú sa na mieste. Aká je šanca, že Anička pôjde na festival autom?

Úloha 2Aká je šanca, že Anička a Michal pôjdu spolu autobusom?

Úloha 3Ktorá šanca je väčšia, že Anička pôjde s Richardom autom, alebo pôjde s Richardom autobusom?

8.4.1 Letný festival

Siedmi kamaráti zo stredného Slovenska pravidelne chodievajú na letné festivaly. Na leto 2012 si zvolili festival FUN rádia Dohoda s konaním 4.8.2012 v Malackách. Vyskytol sa však problém s dopra-vou. Len jeden z nich vlastnil vodičský preukaz a päťmiestne auto.

Riešenie:Úloha 1. Šanca vyjadruje pomer počtu priaznivých a nepriaz-nivých možností.Počet priaznivých možnosti, že Anička pôjde na festival v aute, predstavuje výber 3 ľudí (ktorí pôjdu ešte autom, okrem šoféra a Aničky) zo zvyšných 5 ľudí (počet všetkých kamarátov bez šofé-ra a Aničky, lebo oni určite pôjdu autom).Výber 3 z 5, pričom nám nezáleží na poradí prvkov, je

5 . 4 . 3 / 3 . 2 . 1 = 60 / 6 = 10 možností.Počet nepriaznivých možností, že Anička nepôjde autom, je vý-ber 4 prvkov (tí, čo pôjdu päťmiestnym autom, okrem šoféra) z 5 prvkov (počet všetkých kamarátov bez šoféra a Aničky, ktorá ne-pôjde autom). Výber 4 z 5, pričom nám nezáleží na poradí prvkov, je

5 . 4 . 3 . 2 / 4 . 3 . 2 . 1 = 5 možností.Šanca je 10 : 5 = 2 : 1.Odpoveď: Šanca, že Anička pôjde autom je 2 : 1.

Úloha 2. Počet priaznivých možností, že Anička aj Michal pôjdu spolu autobusom, je počet výberu 4 prvkov zo 4 prvkov (výber 4 ľudí do auta zo zvyšných 4 – bez šoféra, Aničky a Michala), pri-čom nám nezáleží na poradí prvkov, teda 1 možnosť. Počet nepriaznivých možností, že Anička a Richard nepôjdu spolu autobusom, môžeme vypočítať tak, že od počtu všetkých možností odpočítame počet priaznivých možností.Počet všetkých možností je výber 4 prvkov zo 6 prvkov, pričom nám nezáleží na poradí prvkov, teda

6 . 5 . 4 . 3 / 4 . 3 . 2 . 1 = 30 / 2 = 15 možností. Počet nepriaznivých možností je potom 15 – 1 = 14. Šanca je 1 : 14.Odpoveď: Šanca, že Anička a Michal pôjdu spolu autobusom je 1 : 14. Šanca, že Anička pôjde s Richardom autobusom je 1 : 14 (úloha 2).

Úloha 3Šanca, že Anička pôjde s Richardom autom:Počet priaznivých možností, že Anička pôjde s Richardom au-tom, je počet výberu 2 prvkov zo 4 prvkov (výber 2 ľudí zo zvyš-ných 4 (bez šoféra, Aničky a Richarda), pričom nám nezáleží na poradí prvkov, je

4 . 3 / 2 . 1 = 12 / 2 = 6 možností. Počet nepriaznivých možností, že Anička a Richard nepôjdu spolu autom, môžeme vypočítať tak, že od počtu všetkých mož-ností odpočítame počet priaznivých možností.

55


Počet nepriaznivých možností je potom 15 – 6 = 9. Šanca je 6 : 9 = 2 : 3.Porovnanie: 1 : 14 je menšia ako 2 : 3Odpoveď: Šanca, že Anička a Richard pôjdu spolu autobusom je menšia ako šanca, že pôjdu spolu autom.

Metodické pokyny

Výpočet priaznivých možností môžeme dostať buď vypísaním mož-ností, alebo jednoduchým výpočtom (bez priamej aplikácie vzorca). Odporúčame, aby sa už žiaci vyhýbali zisťovaním počtu možností ich vypisovaním. Výpočet priaznivých možností z prvej úlohy, že Anička pôjde na festival v aute, predstavuje výber 3 ľudí zo zvyšných 5 ľudí, pričom nám nezáleží na poradí prvkov a to je

5 . 4 . 3 / 3 . 2 . 1 = 60 / 6 = 10 možností.Vysvetlenie:5: Na prvé miesto vyberáme jedného z piatich.4: Na druhé miesto vyberám jedného už len zo zvyšných štyroch.3: Na tretie miesto vyberám jedného zo zvyšných troch.Počet 5 . 4 . 3 = 60 možností obsahuje – počet možností výberu troch prvkov z piatich prvkov a zároveň počet usporiadaní každej vybra-tej trojice prvkov. Keďže nám však nezáleží na tom, koho sme vybrali ako prvého, druhého a tretieho (nezáleží nám na poradí prvkov), musíme 60 po-deliť počtom usporiadania troch prvkov, tým dostaneme počet mož-ností výberu troch prvkov z piatich prvkov.Počet usporiadaní troch prvkov je 3 . 2 . 1 = 6Na prvé miesto vyberáme jeden prvok z troch prvkov. Na druhé miesto vyberám jeden prvok už len z dvoch prvkov.Na tretie miesto vyberám jeden prvok až len zo zvyšného jedného prvku.Celkový výsledok je 60 / 6 = 10 možností.

56


Úloha 1 Zahraj sa hru 5 krát. Aký odkaz ti vyšiel? Zapíš výsledky hier všetkých žiakov v triede.

Názov cieľovej polohy

Počet výsledkov všetkých hier v triede

Einstein II

Truhlík

Polepetko

Tĺčik

Koťuha

Šašo

Hlavička

Úloha 2Aká je šanca, že - gúrku posunie-me po hode mincou doprava?

Úloha 3Posun - gúrky doprava označ-me 1 a doľava 0. Takto môžeme zakódovať všetky cesty pomo-cou postupnosti núl a jednotiek. Koľko ciest vedie k jednotlivým cieľovým polohám?

Úloha 4Čím môžeme nahradiť mincu pri hre tak, aby bola šanca po-sunu - gúrky doprava a doľava zachovaná?

8.4.2 Galtonova doska

Pomôcky: hrací plán, minca, $ gúrka.Zahraj sa jednoduchú hru s mincou. Na začiatku hry sa položí - -gúrka na východiskovú polohu, ktorou je hlavný vrchol (temeno) trojuholníka, cieľovou polohou je ľubovoľný krúžok ležiaci na zák-ladni tohto trojuholníka. Počas hry sa hádže mincou a podľa toho, či padne líce (averz – tá strana mince, na ktorej je vyznačený vyda-vateľ mince), alebo rub, posunieme - gúrku v hracom pláne v zmys-le priloženej legendy (averz – doľava, reverz – doprava). Aby sme sa dostali na základňu, je potrebných 6 hodov mincou. Ak sa - gúrka ocitne v cieľovej polohe, prečítame si zodpovedajúci odkaz.

Obrázok 1: Hrací plán k hre Galtonova doska

Riešenia:Úloha 1. Výsledky opakovania hier 100 krát môžu vyzerať nasledovne.

Názov cieľovej polohy

Počet výsledkov všetkých hier v triede

Einstein II 0

Truhlík 6

Polepetko 25

Tĺčik 41

Koťuha 16

Šašo 11

Hlavička 1

Výsledky sme získali pomocou simulácie hodu Guľôčky po Galtono-vej doske v programe Quincunx, dostupnom na internetovej stránke http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html

57


Úloha 2. Počet priaznivých možností je 1.Počet nepriaznivých možností je 1.Šanca, že & gúrku posunieme doprava je 1 : 1.

Úloha 3. Jedna cesta môže vyzerať takto: 111111. Máme 6 rôznych miest, na ktoré môžeme dávať buď jednotku, alebo nulu.Na prvom mieste môže byť jednotka, alebo nula – 2 možnosti a zároveňna druhom mieste môže byť jednotka, alebo nula – 2 možnostiatď.Máme teda 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26 = 64 možností.Dostávame šesťčlenné variácie núl a jednotiek (variácie šiestej triedy z dvoch prvkov s opakovaním (V

6(2) = n

k = 26 = 64).

Úloha 4. 2 farebné guľôčky vo vrecúšku, kocka – párne čísla a ne-párne čísla, ruleta – čierne a červené políčka, hracie karty – buď len 2 karty vyberiem, alebo 2 farby (rovnaký počet z každej farby).

Metodické pokynyGaltonova doska (alebo tiež Quincunx) – je losovací nástroj, ktorý pozostáva z krabičky rozdelenej na 8 očíslovaných sektorov a veka, ktoré je do nej naklonené. Na veku sú rozmiestené kolíky valcového tvaru v siedmich radoch nabitých do tvaru rovnostranného troju-holníka postupne 1, 2, 3, ..., 7 kolíkov. Guľka po spustení po doske naráža na kolíky, ktoré ju odrazia vpravo alebo vľavo s pravdepo-dobnosťou 0,5. Guľka končí svoju dráhu v jednej z ôsmich priehra-dok očíslovaných 0, 1, 2, ..., 7.Pád veľkého počtu guľôčok po Galtonovej doske nám umožňuje-me simulovať program Plinko probability (http://phet.colorado. edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html), alebo aj program Quincunx (http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html), ktoré sú voľne dostupné na internete. Táto hra je modi% káciou Galtonovej dosky, pretože sa neposúvame po medzerách, ale po kolíkoch.

58


http://ekonomika.sme.sk/c/6296561/pocet-aut-sa-na--slovensku-zvysil-za-5-rokov-takmer-o-tretinu.html

Úloha: Vašou úlohou je urobiť prieskum o počte áut v domác-nostiach v obci, kde sídli vaša škola a porovnať zistené výsledky so zisteniami uvedených v článku v úvode. Zároveň sa zamerajte aj na skúmanie štatistického znaku farba auta a zistite, ktorá farba auta je v danej obci najviac preferovaná.

Obsah prácea) Výber štatistického súboru

(Každý žiak zistí údaje z 10 do-mácností. Výber domácností je potrebné robiť v spolupráci s ostatnými žiakmi triedy, aby sa zvolené domácnosti nepre-krývali).

b) Plánovitý a systematický zber údajov o počte a farbe auta pre jednotlivých členov domácností (Zistené údaje treba poskytnúť ostatným žiakom triedy).

c) Spracovanie získaných údajov (Spracovanie všetkých údajov zistených žiakmi celej triedy, tvorba tabuľky – vyjadrenie údajov v absolútnych číslach aj percentách).

d) Gra; cké vyjadrenie zistených údajov (ručne, aj pomocou programu excel).

e) Záver (vyhodnotenie priesku-mu, porovnanie zistených úda-jov s článkom v úvode, vytvore-nie plagátu o veľkosti A3, ktorý bude informovať o výsledkoch prieskumu).

8.4.3 Počet automobilov v domácnosti

BRATISLAVA. Za posledných päť rokov sa na Slovensku počet evidovaných osobných vozidiel zvýšil o 416 000, čo predstavuje takmer tretinový nárast. Informovala o tom Poštová banka. „Kým v roku 2006 bolo podľa štatistík Ministerstva vnútra SR v eviden-cii 1,333 milióna osobných vozidiel, tak v roku 2011 ich už bolo 1,749 milióna,“ uviedla spoločnosť.V súčasnosti tak na 10 dospelých Slovákov pripadajú 4 osobné vo-zidlá. Pred piatimi rokmi pripadali na hlavu 3 autá. V prepočte

na slovenské domácnosti používa automobil momentálne v prie-

mere 9 domácností z 10. V roku 2006 to však bolo iba 7 z 10.

Projektová úloha

Hlavný cieľ: Vedieť urobiť plánovitý zber údajov a ich systemi-záciu. Vedieť spracovať získané údaje a zobraziť skupiny údajov, vytvoriť graf.

Metodické pokyny

Žiakom zadáme projektovú úlohu s tvorbou prieskumu pre kon-krétnu obec, v ktorej sa nachádza škola. Každý žiak zistí potrebné údaje z 10 domácností v danej obci. Žiaci sa však musia dohodnúť, do ktorých domácnosti pôjdu, aby sa im domácnosti neprekrývali. Následne každý žiak spracuje zistené údaje od všetkých žiakov trie-dy, aby vzorka bola dostatočne veľká. Treba upozorniť žiakov na to, že nemôžu robiť závery len zo vzorky s počtom 10, to je veľmi malá vzorka, závery budú značne skreslené a nepravdivé.Na vypracovanie projektu dáme žiakom 1 mesiac. Priebežne sa však žiakov môžeme pýtať, ako postupujú pri projekte a aký problém sa im vyskytol. Výstupom z projektu bude plagát (A3), na ktorom budú žiaci in-formovať o výsledkoch svojho prieskumu. Pri odovzdávaní plagá-tov budú žiaci ústne popisovať postup práce, problémy, s ktorými sa stretli, skúsenosti, ktoré nadobudli.Na začiatku zadania projektu je vhodné so žiakmi zopakovať poj-my: štatistický súbor, štatistický znak, náhodný výber vzorky, tabuľ-ka, graf (stĺpcový, spojnicový, koláčový).

59


Úloha 1Zisti svoje údaje o narodení. Vy-tvor takú tabuľku údajov o naro-dení ako vytvoril Michal a zapíš si do tabuľky svoje údaje ako aj údaje o narodení všetkých tvo-jich spolužiakov.

Meno Deň narodenia

Pôrodná hmotnosť

Pôrodná dĺžka

Úloha 2Z údajov o narodení zisti, aké krstné mená sa vyskytujú vo va-šej triede a koľko žiakov sa tak volá. Vytvor tabuľku rozdelenia početností a stĺpcový graf rozde-lenia početností krstných mien žiakov vašej triedy. Ktoré meno sa vo vašej triede vyskytuje naj-častejšie?

Meno Počet žiakov

Úloha 3Koľko percent žiakov vašej triedy sa narodilo v pondelok? Koľko percent žiakov vašej triedy sa na-rodilo v utorok? ... Koľko percent žiakov vašej triedy sa narodilo v nedeľu? Napíš tabuľku rozdele-nia počtu percent a nakresli kolá-čový graf rozdelenia počtu percent dní narodenia žiakov vašej triedy.Deň narodenia

Počet žiakov

Počet percent

8.4.4 Údaje o narodení

Narodil som sa v stredu, bol som dlhý 49 cm, moja pôrodná hmot-nosť bola 3 250 g, rodičia mi dali meno Michal. Údaje o mojom narodení som si zapísal do tabuľky:Meno Deň narodenia Pôrodná hmotnosť Pôrodná dĺžkaMichal streda 3 250 49

RiešenieÚloha 1Meno Deň narodenia Pôrodná hmotnosť Pôrodná dĺžkaMichal streda 3 250 49Dominika streda 3 400 50Lukáš piatok 3 850 52Dávid pondelok 4 100 54Monika sobota 3 000 48Lucia utorok 3 200 49Adam nedeľa 3 650 52Dávid sobota 3 150 49Lukáš piatok 3 700 52Veronika pondelok 2 900 47Viktória streda 3 450 51Janka streda 3 550 51Denisa sobota 3 050 48Dávid štvrtok 3 450 52Šimon nedeľa 3 800 53Matúš nedeľa 3 250 49Adam štvrtok 3 850 52Viktória piatok 3 600 51Alžbeta utorok 3 200 50Šimon streda 3 900 53Lucia sobota 3 300 50Lucia streda 3 350 50Tomáš štvrtok 3 150 49Michal sobota 3 550 51Viktória nedeľa 3 200 49Hanka pondelok 3 250 49

Úloha 2Meno Počet žiakovAdam 2Alžbeta 1Dávid 3Denisa 1Dominika 1Hanka 1Janka 1Lucia 3Lukáš 2Matúš 1Michal 1Monika 1Šimon 2Tomáš 1Viktória 3

60


Úloha 4Vytvor tabuľku rozdelenia počet-ností pre pôrodnú dĺžku chlapcov vašej triedy, vytvor tabuľku rozde-lenia početností pre pôrodnú dĺžku dievčat vašej triedy a tieto rozdele-nia početností znázorni pomocou jedného stĺpcového grafu.

Úloha 5Usporiadaj žiakov vašej triedy podľa pôrodnej hmotnosti. Odpovedz na nasledovné otázky:• Ktorý žiak vašej triedy mal

najnižšiu pôrodnú hmotnosť? • Ktorý žiak vašej triedy bol pri

narodení najťažší? • Ktorý chlapec vašej triedy mal

najnižšiu pôrodnú hmotnosť? • Ktoré dievča z vašej triedy

bolo pri narodení najťažšie? • Narodili sa chlapci vašej triedy

v priemere ťažší ako dievčatá vašej triedy?

Graf k úlohe 2

Najčastejšie sa vyskytuje meno (mená): Dávid, Lucia, Viktória (každé trikrát).

Úloha 3Deň narodenia Počet žiakov Počet percent

Pondelok 3 3/25*100 = 12

Utorok 2 8

Streda 5 20

Štvrtok 3 12

Piatok 3 12

Sobota 5 20

Nedeľa 4 16

Spolu 25 100

Graf k úlohe 3

Úloha 4 Pôrodná dĺžka Počet chlapcov Počet dievčat

47 1

48 2

49 3 3

50 4

51 1 3

52 5

53 2

54 1

61


Graf k úlohe 4

Úloha 5 Meno Deň narodenia Pôrodná hmotnosť Pôrodná dĺžka

Veronika pondelok 2 900 47

Monika sobota 3 000 48

Denisa sobota 3 050 48

Dávid sobota 3 150 49

Tomáš štvrtok 3 150 49

Lucia utorok 3 200 49

Alžbeta utorok 3 200 50

Viktória nedeľa 3 200 49

Matúš nedeľa 3 250 49

Hanka pondelok 3 250 49

Lucia sobota 3 300 50

Lucia streda 3 350 50

Dominika streda 3 400 50

Viktória streda 3 450 51

Dávid štvrtok 3 450 52

Janka streda 3 550 51

Michal sobota 3 550 51

Viktória piatok 3 600 51

Adam nedeľa 3 650 52

Lukáš piatok 3 700 52

Šimon nedeľa 3 800 53

Lukáš piatok 3 850 52

Adam štvrtok 3 850 52

Šimon streda 3 900 53

Dávid pondelok 4 100 54

Najnižšiu pôrodnú hmotnosť mal/a Veronika (2 900g).Najťažší bol/a Dávid (4 100g).Najnižšiu pôrodnú hmotnosť z chlapcov mal Dávid (3 150g)Najťažšia z dievčat bola Viktória (3 600g)Aritmetický priemer pôrodnej hmotnosti chlapcov je 3 616,667 g.Aritmetický priemer pôrodnej hmotnosti dievčat je 3 265,385 g.Chlapci našej triedy sa narodili v priemere ťažší ako dievčatá našej triedy.

62


Metodické pokynyV probléme Údaje o narodení ide o zber a triedenie údajov. Meno a Deň v týždni sú tzv. kategorické premenné. Pre tieto premenné možno so žiakmi zostrojiť graf rozdelenia početností, relatívnych početností, počtu percent a nakresliť stĺpcový graf alebo (ak je kategórií menej) koláčový graf pre počet percent. Ďalej možno určiť najčastejšie sa vyskytujúcu kategóriu resp. kategórie (modus).Premenné Pôrodná hmotnosť a Pôrodná dĺžka sú kvantitatívne. Ich hodnoty možno usporiadať podľa veľkosti (vytvoriť usporiadanú ta-buľku), určiť minimálnu a maximálnu hodnotu. V prípade, že pre-menné nadobudnú len málo rôznych hodnôt, možno zostrojiť tabuľku rozdelenia početností, relatívnych početností, počtu percent a zostrojiť príslušné grafy, prípadne určiť modus (najčastejšiu hodnotu). Ako tzv. charakteristika polohy sa môže vypočítať aritmetický priemer (má zmysel, keď sa nevyskytujú príliš odľahlé hodnoty danej premennej). V našich údajoch nepriamo vystupuje aj premenná Pohlavie. Vzhľa-dom na túto kategorickú premennú sa údaje rozpadajú na údaje pre chlapcov a údaje pre dievčatá a možno ich štatisticky spracovať zvlášť.Úlohy 2 – 5 možno riešiť nezávisle od seba. K tabuľke údajov o naro-dení ľahko vymyslíte vlastné úlohy. Pri časovej tiesni môžete pracovať s tabuľkou uvedenou v riešení úlohy 1.

63


Úloha 1Pozri sa na graf a zisti, z ktorých štátov počet návštevníkov v pr-vom polroku 2011 klesol oproti prvému polroku 2010.

Úloha 2O koľko percent stúpol počet návštevníkov z Českej republi-ky v prvom polroku 2011 oproti prvému polroku 2010?

Úloha 3Akú časť z celkového počtu náv-števníkov v prvom polroku 2011 tvorili návštevníci z USA? Po-rovnaj tento údaj z rokom 2010.

Úloha 4Ak máš k dispozícii počítač, po-kús sa v Exceli z tabuľky údajov zostrojiť graf uvedený v zadaní problému.

8.4.5 Počet návštevníkov

Tabuľka a graf znázorňujú počet návštevníkov ubytovacích za-riadení cestovného ruchu na Slovensku v prvom polroku 2011 a v prvom polroku 2010.

Štát 2011 2010 Nárast v 2011 oproti 2010Česká republika 199 549 179 582 19 967Francúzsko 15 260 14 723 537Holandsko 7 437 7 279 158Litva 6 147 5 950 197Maďarsko 31 335 25 795 5 540Nemecko 60 422 62 128 –1 706Poľsko 84 661 80 662 3 999Rakúsko 26 404 22 590 3 814Rumunsko 9 754 7 582 2 172Taliansko 22 162 23 482 –1 320Veľká Británia 18 400 18 960 –560Južná Kórea 13 143 10 441 2 702Rusko 16 918 12 334 4 584Ukrajina 16 533 12 635 3 898USA 12 354 9 218 3 136Spolu 540 479 493 361

RiešenieÚloha 1Odpoveď: Počet návštevníkov klesol zo štátov: Veľká Británia, Ta-liansko, Nemecko

Úloha 2Odpoveď: 11,1186 %.

Úloha 3Odpoveď: Návštevníci z USA tvorili 0,0229 z celkového počtu návštevníkov v prvom polroku 2011 a 0,0187 z celkového počtu v prvom polroku 2010. Podiel návštevníkov z USA sa oproti prvé-mu polroku 2010 zvýšil.

64


Úloha 4Postup tvorby grafu pre Excel 2003:Tabuľku bez posledného riadku skopírujeme do Excelu a vyberie-me (označíme).Na hornej lište klepneme na ikonu Sprievodca grafom.Klepneme na vlastné typy, vyberieme Čiarový + stĺpcový s dvoma osami a klepneme na Ďalej a potom Dokončiť.Vzniknutý graf upravíme. Poklepaním ľavým tlačidlom myši na ktorúkoľvek časť grafu môžeme meniť jej farbu, hrúbku čiary. Legendu presunieme pomocou ľavého tlačidla myši.Na graf klepneme pravým tlačidlom myši a vyberieme Možnosti grafu.

V záložke Názvy napíšeme názov grafu: NÁVŠTEVNÍCI V UBYTOVACÍCH ZARIADENIACH CR

NA SLOVENSKU ZA I. POLROK 2011 / 2010Os kategórií X: ŠtátOs hodnôt Y: Počet návštevníkovVedľajšia os hodnôt Y: Nárast počtu návštevníkov v 2011 oproti 2010.V záložke Mriežka, K osi hodnôt Y zaškrtneme Hlavné čiary mriež-ky, Vedľajšie čiary mriežky.

Metodické pokynyCieľom problému je uviesť typ grafu s dvoma osami, zopakovať čí-tanie z grafu a z tabuľky, výpočet počtu percent. V úlohe 3 ide o vý-počet relatívnej početnosti počtu návštevníkov z USA ako podielu počtu návštevníkov z USA a celkového počtu návštevníkov. Rela-tívnu početnosť môžete dať žiakom vypočítať pre všetky štáty resp. po vynásobení relatívnej početnosti číslom 100 dostanú počet per-cent. Úlohu 4 možno uložiť ako dobrovoľnú domácu úlohu.

65


Úloha 1V novinách sa pri sumarizovaní výsledkov letných olympijských hier objavilo: „Všetkých 302 me-dailových kompletov z Hier XXX. olympiády v Londýne už má svo-jich majiteľov. V tabuľke 1 mô-žete vidieť záverečnú medailovú bilanciu krajín. Najúspešnejšou krajinou letných olympijských hier sa stalo USA ...“

Na základe údajov uvedených v ta-buľke, súhlasíte s autorom člán-ku, že možno bez pochýb tvrdiť, že najúspešnejšou krajinou bolo USA? Svoju odpoveď zdôvodnite.

Úloha 2Výpravu USA tvorilo celkovo 530 športovcov z toho prekva-pivo 261 mužov a 269 žien. Aké medaily získali ženy a aké získali muži znázorňuje tabuľka 2. Vy-tvorte z týchto údajov aspoň dva grafy (zvážte vhodný typ grafu).

Úloha 3Vytvorte vašu vlastnú štatistiku letných olympijských hier, ktorá bude obsahovať znázornenie roz-delenia počtu účastníkov z jed-notlivých krajín, znázornenie zastúpenia mužov a žien, štatis-

8.4.6 Letné olympijské hry

Olympijské hry boli celogrécke súťaže pravidelne usporadúvané v starovekom Grécku raz za štyri alebo päť rokov v auguste alebo septembri ako pocta Diovi v Olympii i na Peloponéze. Mali veľký význam, pretože upevňovali národnú jednotu Grékov, ktorí boli rozdelení na množstvo kmeňov. Hry sa konali v spojení s najdô-ležitejším sviatkom Olympie, čiže oslavami boha Dia. Prvá známa olympiáda sa konala v roku 776 pred n.l. a je zároveň prvou dato-vanou udalosťou gréckych dejín a počiatkom gréckeho kalendára. Prvé olympijské hry modernej doby boli otvorené v roku 1896 symbolicky v Grécku v Aténach a zúčastnilo sa ich 13 krajín. O štyri roky neskôr prijal športovcov Paríž. Hry sa nekonali len vo vojnových rokoch1916, 1940 a 1944. Zimné olympijské hry sa konajú od roku 1924 a letné od 1896.

Tabuľka 1# Krajina Zlatá Strieborná Bronzová Celkovo

1 USA 46 29 29 104

2 Čína 38 27 22 87

3 Veľká Británia 29 17 19 65

4 Rusko 24 25 33 82

5 Južná Kórea 13 8 7 28

6 Nemecko 11 19 14 44

7 Francúzsko 11 11 12 34

8 Taliansko 8 9 11 28

9 Maďarsko 8 4 5 17

10 Austrália 7 16 12 35

. ...

59 SLOVENSKO 0 1 3 4Zdroj: http://sport.aktuality.sk/olympiada-londyn-2012/medailova-bilancia/

Tabuľka 2Medaily podľa pohlavia

Pohlavie Spolu

Muž 17 15 13,5 45,5

Žena 29 14 15,5 58,5

Spolu 46 29 29 104

Riešenie

Úloha 1. Odpoveď: S tvrdením autora článku nesúhlasím. Pretože vo vy-jadrení autora nie je presne de\ nované, čo sa pod pojmom úspeš-nosť myslí.

Úloha 2. Jedno z možných riešení je napríklad

• graf znázorňujúci podiel zlatých strieborných a bronzových medailí z celkového počtu žien a z celkového počtu mužov

66


tiku jednej konkrétnej disciplíny (napr. basketbal – koľko mužstiev sa zapojilo, koľko zápasov sa odo-hralo, koľko košov strelilo víťazné mužstvo v priemere, a pod.).

• graf znázorňujúci rozloženie medailí získaných mužmi, ženami a celkovo

Úloha 3. Riešenie je individuálne.

Metodické pokynyÚloha 1 je zameraná na rozvíjanie štatistickej gramotnosti, konkrétne na rozvoj kritického rozmýšľania o ponúkaných tvrdeniach, ktoré sa na prvý pohľad javia pravdivo. Učiteľ by mal pozornosť žiakov upria-miť na fakt, že vo vyjadrení autora nie je povedané, čo sa pod pojmom úspešnosť myslí. (V tabuľke nie je uvedený počet účastníkov olympiá-dy tej ktorej krajiny) a tak nemôžeme s istotou tvrdiť, že najúspešnej-šou krajinou je USA (treba ďalší údaj k správnemu rozhodnutiu). Pri riešení úlohy 2 musia žiaci využiť poznatky z predchádzajúcich roč-níkov. Upriamuje sa na znázornenie údajov vo forme grafov. Učiteľ vedie žiakov k tomu, aby vytvorené grafy boli zmysluplné. Pol medai-ly v zadaní spôsobuje zmiešaná dvojica (muž a žena), ktorá vyhrala zlatú medailu. Úlohu 3 je vhodné zadať ako projekt skupinke žiakov (dvojice, trojice). Štatistika by samozrejme mala obsahovať aspoň 2 tabuľky a dva grafy.

67


Úloha 1Dosť nepríjemná situácia by mohla nastať, ak by bol rozhodca futbalového zápasu zábudlivec. Totiž, pred každým zápasom roz-hodca hodom mincou rozhoduje, ktoré z mužstiev dostane ako prvé loptu. Ako by mohol teoretic-ky nahradiť zábudlivý rozhodca hod mincou tak, aby rozhodnutie o pridelení lopty bolo rovnako spravodlivé?

Úloha 2Aj Janka je zábudlivec. Zabudla vziať hraciu kocku ku hre „Člove-če nehnevaj sa“. Navrhnite vhodný náhodný pokus, ktorým by mohol byť hod kockou simulovaný a po-píšte ho.

Úloha 3Rozhodca má 3 biele guľky a jed-nu červenú. Môže tento súbor gu-liek pri losovaní nahradiť mincu?

Úloha 4Mohla by Janka nahradiť hraciu kocku pomocou 4 guliek, z kto-rých každá má inú farbu?

8.4.7 Zabúdanie

Koľkokrát sa vám stalo, že ste niekomu chceli nadiktovať svoje vlastné telefónne číslo a nedokázali ste si naň spomenúť? Alebo kam ste položili telefón, ktorý ste ešte pred chvíľou držali v ruke? Prípadne ste si zabudli vziať tú najdôležitejšiu vec? Sú však aj opačné prípady, keď si bez akejkoľvek námahy spomeniete na de-8 níciu Pytagorovej vety ☺. Zabúda však čoraz viac ľudí. Preto je dôležité si svoju pamäť trénovať. Na internete možno nájsť viacero spôsobov na jej trénovanie. Avšak jednou z možností ako vyriešiť problém zabudnutia nejakej veci je jej nahradenie inou, rovnako „dobrou“. (Zdroj: (upravené) http://www.sme.sk/c/3786212/treningpamate.html)

RiešenieÚloha 1. Hod mincou je náhodný pokus, ktorého výsledkami sú líce a rub, pričom každý z týchto javov nastáva s pravdepodobnos-ťou ½. Aby rozhodnutie bolo rovnako spravodlivé musia byť vý-sledkom iného, „náhradného“, náhodného pokusu práve dva ná-hodné javy (alebo dve skupiny javov), pričom každý z nich musí nastávať tiež s pravdepodobnosťou ½.

Napríklad:Žrebovanie kartičiek – Máme dve kartičky (rozličnej farby prí-padne je na nich rozličné písmeno alebo iný identi8 kačný znak), náhodný pokus spočíva v žrebovaní (ťahaní) jednej z kartičiek. Výsledkom tohto pokusu sú práve dva náhodné javy – 1. kartička, 2. kartička, z ktorých každý nastáva s pravdepodobnosťou ½.

Ťahanie paličiek – Máme dve paličky (jednu kratšiu, druhú dlh-šiu alebo iným spôsobom rozlíšené). Podobne ako pri kartičkách výsledkom náhodného pokusu ťahania paličiek sú dva náhodné javy, z ktorých každý nastáva s pravdepodobnosťou ½.

Hod kockou – Náhodný pokus hod kockou má šesť možných vý-sledkov. Avšak, ak tieto výsledky rozdelíme na dve skupiny (napr. párny a nepárny počet bodiek) budú výsledkom náhodného po-kusu dva náhodné javy – párne číslo, nepárne číslo. Párne číslo na kocke padne s pravdepodobnosťou 3/6 = 1/2.

Úloha 2. Podobnou úvahou ako v úlohe 1 možno prísť aj k rieše-niu úlohy 2. Hod kockou je náhodný pokus, ktorého výsledkami je 6 náhodných javov. Každý z týchto náhodných javov nastáva s rovnakou pravdepodobnosťou.

Simulovať hod kockou možno napríklad:Ťahanie kartičiek – 6 rôznych kartičiek alebo iných predmetov.Žrebovanie guľôčok – 6 rôznych guľôčok.Pozor, hod troma mincami nie je vhodný model pre simuláciu hodu kockou.

68


Úloha 3. Guľky dá do vrecka, zamieša a náhodne vyberie dve. Ak sú vybrané guľky rovnakej farby, tak padlo líce. Ak nie sú guľ-ky rovnakej farby, tak padol rub. Tieto náhodné javy sú rovnako pravdepodobné. Dve guľky rovnakej farby možno vybrať 3 spô-sobmi, dve guľky rôznej farby možno vybrať tiež 3 spôsobmi pod-ľa obrázka.

Úloha 4. Guľky, napr. červenú žltú, modrú a zelenú, dá do vrecka, zamieša a náhodne vyberie dve. Červená a žltá predstavujú 1, čer-vená a modrá 2, červená a zelená 3, žltá a modrá 4. žltá a zelená 5, modrá a zelená 6.

Metodické pokynyÚloha 1 ako aj úloha 2 sú zamerané na tvorbu vhodných modelov. Teda úlohou žiakov je uvedomiť si, že nejaký náhodný pokus môže byť nahradený iným „rovnako dobrým“ náhodným pokusom, ktorého výsledky nastávajú s rovnakou pravdepodobnosťou ako v pôvodnom pokuse. V komunikácii so žiakmi je dôležité používať pojem „model“ a pojem „simulácia náhodného pokusu“. Pod simuláciou náhodného pokusu rozumieme vytvorenie vhodného modelu (nahradenie iným „rovnako dobrým“ náhodným pokusom). V úlohe 3 a úlohe 4 majú žiaci uvažovať nad ponúkaným modelom. Ich úlohou je zistiť, či po-mocou guliek dokážu vytvoriť dva prípadne šesť rovnako pravdepo-dobných náhodných javov.

69


www.demotivacia.sk/murphyho-zakon-3906.html

Úloha 1Predpokladaj, že tašku do niek-torej ruky berieš čisto náhodne a rovnako náhodne si dávaš aj kľúče do vrecka. Urobte so spo-lužiakmi viacero experimentov. Uvažujte nad vhodným počtom experimentov. Zapisujte si vý-sledky jednotlivých experimen-tov. Čo môžete na základe svo-jich údajov povedať o platnosti tohto „Murphyho zákona“? (zdroj http://nzmaths.co.nz/statis-tical-literacy-units-work).

Úloha 2Ako by sa dal tento „Murphyho zákon“ vyskúšať, ak by sme ne-mali kľúče ani tašku? Navrhni model, ktorým by sa dala situácia z predchádzajúcej úlohy simulo-vať (bez použitia kľúčov a tašky).

Úloha 3Zistite, či „Murphyho zákon“ o kľú-čoch a nosení tašky môže pla-tiť teoreticky. Na sebe máte no-havice s jedným vreckom vľavo a druhým vpravo.

8.4.8 Platia „Murphyho“ zákony?

Počuli ste už niekedy o tzv. „Murphyho zákonoch“? Murphyho záko-ny označujú širokú škálu „schválností“, ktoré vám môžu znepríjemniť život. Pomenovanie dostali po americkom inžinierovi Edmundovi A. Murphymu. Ich základnou formou je „čo sa môže pokaziť, to sa pokazí“. Medzi tzv. „Murphyho zákony“ patria napríklad situácie: „Celý deň máš nabitý mobil a ale potom keď si potrebuješ súrne zavolať isto bude baterka vybitá.“, „Až keď vykonáš potrebu na wc, zistíš, že tam chýba toaletný papier.“, „Chlieb natretý maslom pri páde na zem vždy padne natretou stranou dole.“, „Ak máš v jednej ruke ťažké tašky, kľúče od domu sú vždy v tom vrecku, do ktorého dočiahneš iba rukou, v ktorej máš tašky.“Skúsime overiť posledný spomínaný „Murphyho zákon“.

RiešenieÚloha 1. Riešenie je individuálne. Pri experimente môže nastať jedna zo situácií:

Taška vľavo Kľúče vľavoTaška vľavo Kľúče vpravoTaška vpravo Kľúče vľavoTaška vpravo Kľúče vpravo

Pri dostatočnom počte pokusov bude približne polovica z nich ukazovať, že „Murphyho zákon“ platí a druhá polovica, že neplatí. To znamená, že relatívna početnosť nastania „Murphyho zákona o kľúčoch“ bude približne ½ (tzv. štatistická pravdepodobnosť).

Príklad odpovedeOdpoveď: Na základe získaných výsledkov tvrdím, že zákon na-stáva približne v polovici prípadov a teda neplatí že vždy. Urobili sme 32 (počet) experimentov.

Úloha 2. Vhodným modelom je akýkoľvek iný náhodný pokus, ktorého výsledkami sú práve dva náhodné javy, nastávajúce každý s rovnakou pravdepodobnosťou.Vhodnými modelmi sú napríklad:Hádzanie mincou – Vloženie kľúčov do vrecka bude simulované hodením mincou, kde líce bude reprezentovať ľavé vrecko a rub pravé vrecko (prípadne naopak). Zavesenie tašky na plece (danie tašky do ruky) bude simulované ďalším hodením mincou, kde líce bude ľavá ruka a rub bude pravá ruka (prípadne naopak).

Ťahanie kartičiek – Vytvoríme si dve kartičky, na jednej bude L a na druhej P. Otočíme tak aby nebolo vidno písmená. Vlože-nie kľúčov do vrecka bude simulované ťahaním jednej z kartičiek (L – ľavé vrecko, P – pravé vrecko). Kartičku vrátime na stôl. Rov-nako ťaháme kartičku aj pre simulovanie nosenia tašky. Obdobou môže byť vytvorenie 4 kartičiek, dve špeciálne pre kľúče a dve špe-ciálne pre tašku.

70


Úloha 4Zmenilo by sa niečo ohľadom pravdivosti spomínaného „Mur-phyho zákona“ ak by si mal naprí-klad na ľavej strane jedno vrecko a na pravej strane dve vrecká?

Ťahanie guľôčok z vrecka – Máme vo vrecku dve guľôčky – mod-rá reprezentuje ľavé vrecko (ľavú ruku), červená reprezentuje pra-vé vrecko (pravú ruku).Hodenie kockou – Máme klasickú hraciu kocku. Simuláciu budú tvoriť hody kockou. Určíme si tri zo štyroch možných počtov bo-diek, ktoré budú prezentovať ľavé vrecko, ostatné tri budú pravé vrecko. Podobne pri druhom hode tri pre ľavú ruku.V prípade hodu mincou (resp. kockou) je možné hádzať aj dvoma naraz. Pričom ak padnú rovnaké strany reprezentuje to nastanie zákona (v prípade kocky pozor nato, že za jednu stranu sa považu-jú tri rôzne počty bodiek). Uvedené modely možno aj kombinovať (hod mincou – kľúče, hod kockou – taška).

Úloha 3. Overiť platnosť Murphyho zákona teoreticky znamená vypočítať klasickú pravdepodobnosť jeho pravdivosti (nastanie danej situácie). Pri riešení úlohy možno použiť vypísanie mož-ností alebo pravidlo súčinu.Priaznivé možnosti sú pre nás možnosti kedy nastane platnosť Murphyho zákona. Teda keď je taška vľavo a aj kľúče vľavo alebo taška vpravo a aj kľúče vpravo (spolu 2 možnosti).

• Pravidlo súčinu: platí 2 . 2 = 4 možnosti• Vypísaním možností:

Celkovo môžu nastať tieto situácie:Taška vľavo Kľúče vľavo Taška vľavo Kľúče vpravoTaška vpravo Kľúče vľavoTaška vpravo Kľúče vpravo

Teda pravdepodobnosť nastania „Murphyho zákona“ je 2 / 4 = 1 / 2.

Odpoveď: Murphyho zákon neplatí. Nastáva s pravdepodobnosťou 1/2.

Úloha 4. Vľavo jedno vrecko, vpravo dve vrecká. Priaznivé mož-nosti (keď nastane platnosť „Murphyho zákona“) sú:

Taška vľavo Kľúče vľavo Taška vpravo Kľúče vpravo 1Taška vpravo Kľúče vpravo 2

Celkovo môže nastať 2 . 3 = 6 možností.Teda pravdepodobnosť nastania „Murphyho zákona“ v tomto prí-pade je 3 / 6 = 1 / 2.Odpoveď: Murphyho zákon ani v tomto prípade neplatí.

Metodické pokynyÚloha 1 je zameraná na získavanie vlastných údajov. Pri experimente postupujte takto: vybranému žiakovi vloží iný žiak do vrecka predmet (kľúče) a tretí žiak, ktorý nevidel do ktorého vrecka išli kľúče mu dá nejaký predmet do ruky (taška). Pri vykonávaní experimentu je po-trebné žiakov upozorniť, že je jedno, či si do vrecka budú dávať kriedu alebo niečo iné predstavujúce kľúče (rovnako to platí pre vec predsta-vujúcu tašku) stále ide o rovnaký postup a teda rovnaký experiment (pokus). Keďže v tejto úlohe zisťujú žiaci tzv. štatistickú pravdepodob-

71


nosť (odhad pravdepodobnosti prostredníctvom relatívnej početnosti) je veľmi dôležité urobiť dostatočný počet pokusov (min. 30). Rovnako je vhodné po vykonaní 20tich, 25tich, 30tich pokusov vypočítať, či zá-kon platí alebo nie, pričom žiakov upozorňovať nato, že niekedy je relatívna početnosť vyššia ako ½ pre možnosť platí zákon, niekedy pre možnosť neplatí zákon. Teda štatistická pravdepodobnosť platnosti zákona bude približne ½. To znamená, že sa dá povedať, že neplatí spomínaný „Murphyho zákon“ (pravdepodobnosť, že nastane nie je väčšia ako pravdepodobnosť, že nenastane), avšak pravdepodobnosť že nastane je ½. Nie je dôležité, čo žiaci napíšu do odpovede, ale je veľmi dôležité aby pochopili, že zo vzrastajúcim počtom pokusov sa relatívna početnosť približuje čoraz viac k ½ a teda Murphyho zákon nastane v priemere v polovici prípadov. V úlohe 2 majú žiaci prísť na vhodný model, ktorým by sa dal spomínaný „Murphyho zákon“ simulovať. To znamená, že žiaci si musia uvedomiť, že náhodný po-kus dávania kľúčov do vrecka môže byť nahradený hociktorým iným náhodným pokusom, ktorý má dva výsledky a oba nastávajú s prav-depodobnosťou ½. Preto navrhujeme najskôr zo žiakmi riešiť úlohu „Zabúdanie“, ktorá je zameraná práve na tvorbu vhodných modelov a až po nej úlohu „Platia Murphyho zákony?“. Kým v prvých dvoch úlohách overujú žiaci platnosť „Murphyho zákona“ experimentálne, v tretej úlohe majú vypočítať teoretickú pravdepodobnosť nastania spomínaného zákona. Na skutočnosť, že riešením je výpočet klasickej pravdepodobnosti by mali žiaci prísť sami. Učiteľ ich len vhodne na-vádza. Úloha 4 je rovnako ako úloha 3 zameraná na výpočet klasickej pravdepodobnosti.Pri tejto úlohe je však nutné sa zamyslieť nad dôležitosťou predpo-kladu vysloveného hneď na začiatku úlohy 1. Pri splnení tohto pred-pokladu je navrhovaná simulácia vhodným modelom opisovaného „Murphyho zákona“. Avšak, je tento predpoklad splnený aj v reál-nych situáciách? Pravdepodobne nie. Nemôžeme totiž s istotou po-vedať, že si v reálnych situáciách dávame kľúče do vrecka naozaj ná-hodne. Je možné si všimnúť, že v správaní ľudí môže byť istý systém, napríklad, že pravák si ich dáva vždy do pravého vrecka. Uvedený model, ktorý predpokladá rovnakú možnosť nastania oboch situácií kľúče do ľavého vrecka a kľúče do pravého vrecka preto nie je vhod-ný na modelovanie reálneho procesu (aj keď pri predstave platnosti spomínaného predpokladu je matematicky správny). Tento postup je typickým príkladom nesprávneho klasického prístupu k riešeniu reálnych pravdepodobnostných problémov. Platnosť opisovaného „Murphyho zákona“ by bolo najlepšie overiť prostredníctvom po-zorovania správania sa ľudí a následnom odhade pravdepodobnosti jeho nastania na základe relatívnej početnosti získanej z tohto po-zorovania.

72


8.4.9 Vekové pyramídy

Veková pyramída je graf, ktorý znázorňuje vekovú štruktúru oby-vateľstva. Na obrázku 1 je veková pyramída pre Slovensko za rok 1948, na obrázku 2 za rok 1980, na obrázku 3 za rok 2009 a na ob-rázku 3 sú vekové pyramídy za roky 1980 a 2009.

Obrázok 1 Obrázok 2

Obrázok 3 Obrázok 4 RiešenieÚloha 1. Pravdepodobnosť narodenia chlapca určíme ako pomer počtu narodených chlapcov a počtu všetkých narodených detí. Hľadané pravdepodobnosti sú uvedené v poslednom riadku ta-buľky (p(chlapec)).

1948 1980 2009

chlapci 41 574 47 684 31 411

dievčatá 39 630 45 312 29 570

deti 81 204 92 996 60 981

p(chlapec) 0,512 0,513 0,515

Ako môžeme vidieť, tak vo všetkých troch rokoch sú hodnoty pravdepodobnosti veľmi podobné a líšia sa až na treťom desatin-nom mieste. Ďalej sa pýtame, či je pravdepodobnosť narodenia chlapca rovnaká, ako pravdepodobnosť narodenia dievčaťa. Na-koľko žiaci by hodnoty 0,512; 0,513; 0,515 mohli považovať za veľ-mi blízke 0,5 (v takomto prípade by sa pravdepodobnosť narode-nia chlapca rovnala pravdepodobnosti narodenia dievčaťa), mohli

Úloha 1Pokúste sa na základe hodnôt z ta-buľky odhadnúť, aká bola prav-depodobnosť narodenia chlapca v rokoch 1948, 1980, 2009. Je prav-depodobnosť narodenia chlapca rovnaká ako pravdepodobnosť narodenia dievčaťa?

Tabuľka 1Počty živonarodených detí

1948 1980 2009

chlapci 41 574 47 684 31 411

dievčatá 39 630 45 312 29 570

Úloha 2V tabuľke 2 je uvedený celko-vý počet obyvateľov Slovenska vzhľadom na pohlavie v rokoch 1948, 1980 a 2009. Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že ná-hodne vybraný obyvateľ Sloven-ska je žena (pre každý z uvede-ných rokov) a porovnajte túto hodnotu s výsledkom predchá-dzajúcej úlohy.

Tabuľka 2 1948 1980 2009

muži 1 674 760 2 455 591 2 636 938

ženy 1 771 249 2 540 738 2 787 987

Úloha 3Z porovnania vekových pyramíd na obrázku 3 (rok 1980 a 2009) určte:a) V akej vekovej kategórii došlo

k najväčšiemu nárastu počtu žien v porovnaní s nárastom počtu mužov.

b) V akej vekovej kategórii došlo k najväčšiemu poklesu počtu mužov a žien?

c) V médiách často zaznieva, že populácia Slovenska starne.

73


by dospieť k nesprávnemu záveru, teda, že chlapci sa rodia rovna-ko často ako dievčatá. Štatistickými metódami je možné ukázať, že chlapci sa naozaj rodia častejšie. Ako argument môžete použiť to, že od roku 1945 do roku 2009 (za toto obdobie máme o6 ciálne údaje) sa ani raz nestalo, že by bol počet narodených dievčat väčší ako počet narodených chlapcov (pozri obrázok 5).

Obrázok 5

Úloha 2. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný obyvateľ Sloven-ska je žena, sa rovná pomeru počtu žien a počtu všetkých obyva-teľov. Hľadané pravdepodobnosti sú v poslednom riadku tabuľky (p(žena)).

1948 1980 2009

muži 1 674 760 2 455 591 2 636 938

ženy 1 771 249 2 540 738 2 787 987

obyvatelia 3 446 009 4 996 329 5 424 925

p(žena) 0,514 0,509 0,514

Z výsledkov vyplýva, že náhodne vybraný obyvateľ Slovenska vo všetkých troch rokoch, je s väčšou pravdepodobnosťou žena (v roku 1948: p = 0,514; v roku 1980: p = 0,509; v roku 2009: p = 0,514). Porovnaním tohto výsledku a výsledku prvej úlohy dochádzame k záveru, že napriek tomu, že sa rodí viac chlapcov ako dievčat, tak v celej populácii je viac žien ako mužov, čo je spôsobené tým, že ženy sa v priemere dožívajú vyššieho veku ako muži. Na obrázku 6 sú počty mužov a žien v populácii v období rokov 1945 – 2009. V každom roku bol počet žien vyšší ako počet mužov.

Obrázok 6

Pokúste sa na základe obrázka 3 podporiť toto tvrdenie.

Úloha 4Pozorne si prezrite vekové py-ramídy na obrázku 1 a 2 a náj-dite „príliš úzke“ časti pyramídy vzhľadom na jej celkový tvar. Po-kúste sa týmto oblastiam priradiť letopočet a zistite, čo mohlo tieto zmeny spôsobiť. Hľadajte histo-rické súvislosti.

74


Úloha 3a) Najväčší rozdiel medzi nárastom počtu žien a nárastom počtu

mužov v porovnaní rokov 1980 a 2009 bol vo veku nad 66 rokov (poproduktívny vek).

b) K najväčšiemu poklesu v počte mužov a žien došlo vo veko-vej kategórii do 15 rokov (predproduktívny vek). Pri pohľade na vekové pyramídy v rokoch 1980 a 2009 sa dá namietať, že tá z roku 1980 pyramídu pripomína, ale gra: cké zobrazenie veko-vej štruktúry z roku 2009 pripomína skôr strom, čo je práve dô-sledok poklesu počtu obyvateľstva v predproduktívnom veku.

c) Stačí použiť výsledky úloh 3a a 3b, z ktorých uvedené tvrdenie ľahko vyplynie i bez počítania.

Úloha 4. Pri pohľade na obrázok 1 vidíme, že v roku 1948 bol veľmi nízky počet obyvateľov vo veku od 30 do 33 rokov, čo znamená, že v období 1915 – 1918 sa narodilo veľmi málo detí. Z histórie vieme, že to bolo obdobie I. svetovej vojny (28.7.1914 – 11.11.1918).Vo vekovej pyramíde na obrázku 2 (rok 1980) vidieť veľký „skok“ v počte obyvateľov na úrovni 35 až 36 rokov, čo sa spája s rokmi 1944 – 1945, teda s koncom II. svetovej vojny (1.9.1939 – 8.5.1945).Druhý veľký „skok“ smerom k zníženiu počtu obyvateľov určitej ve-kovej skupiny je na úrovni 12 rokov, čo sa spája s rokom 1968 a prí-chodom vojsk varšavskej zmluvy do Československa (21.8.1968).

Metodické pokynyÚlohy sú zamerané najmä na čítanie z grafov na ktoré žiaci „nie sú zvyknutí“, preto bude potrebné žiakom vysvetliť, ako „čítať“ vekovú pyramídu.Samozrejme nebolo možné formulovať všetky otázky a úlohy, kto-rým by sa žiaci mali a mohli venovať. Bolo by teda vhodné ponechať žiakom určitú voľnosť, aby formulovali otázky, prípadne postrehy aj oni sami. V prípade úlohy 4 by bolo vhodné poukázať na to, ako sa dajú z údajov vo vekovej pyramíde „vystopovať“ niektoré historicky vý-znamné udalosti.V excelovskom súbore s názvom vekové_pyramídy_1945-2009.xls sú všetky údaje a v prípade záujmu je možné vytvoriť si vekové py-ramídy z rokov 1945-2009.

75


8.4.10 Projektová úloha – Mobil

Úloha: Počas jedného týždňa (7 dní) si každý žiak bude denne za-znamenávať nasledovné údaje zo svojho mobilného telefónu: dĺž-ka trvania každého prijatého („prichádzajúceho“) hovoru, dĺžka trvania každého „odchádzajúceho“ hovoru, počet zaslaných sms správ, počet prijatých sms správ, počet telefónnych čísel v zozna-me, počet osôb, ktoré im volali a počet osôb, ktorým volali. 1. Každý žiak samostatne spracuje svoje vlastné údaje (zistí prie-

mernú dĺžku trvania hovorov („prichádzajúcich“ i „odchádzajú-cich“) a to počas pracovných dní, cez víkend (sobota a nedeľa) a celkovo (za 7 dní), zistí priemerný počet zaslaných a prijatých sms správ počas pracovných dní, cez víkend a celkovo a priemery porovná, kde to bude vhodné, dáta uvedie v gra6 ckej podobe).

2. Žiaci sa rozdelia na dve skupiny (chlapci a dievčatá). Každý člen skupiny poskytne svoje údaje ostatným v skupine. Každá skupi-na vyhodnotí svoje údaje (priemerná dĺžka trvania hovorov,...). Je dôležité, aby obe skupiny pracovali na tých istých úlohách. Na záver si obe skupiny porovnajú svoje výsledky.

3. Žiaci sa rozdelia na skupiny podľa mobilného operátora (zrejme tri: O2, T-Mobile, Orange) a budú postupovať podobne ako v 2.

Metodické pokyny:Projektovú úlohu je možné realizovať viacerými spôsobmi:• Každý žiak odovzdá jednu správu (napríklad formou výkresu ale-

bo prezentácie), v ktorej budú spracované jeho vlastné údaje, údaje za triedu vzhľadom na pohlavie a údaje za triedu vzhľadom na mobil-ného operátora. Správa by nemala obsahovať iba „grafy, čísla a výpoč-ty“, ale i slovné porovnanie a pokusy o vysvetlenie zisteného.

• Každý žiak odovzdá správu iba na základe svojich údajov a vý-sledky jednotlivých skupín budú prednesené jedným členom sku-piny pred celou triedou.

• Každý žiak by mal k dispozícii všetky údaje a všetky porovnania by urobil sám (to je zrejme pre žiakov 8. ročníka pomerne nároč-ný spôsob).

Na čo netreba zabudnúť:

• Pred samotným začatím zbierania údajov je vhodné pár dní ne-chať žiakov zbierať údaje „nanečisto“, aby si zvykli na pravidelné zaznamenávanie si údajov.

• V prípade práce v skupinách je samozrejme nebezpečenstvo toho, že celú prácu urobí zopár šikovných žiakov a ostatní budú pasívni.

• Vyučujúci by mal mať k dispozícii dáta, s ktorými budú žiaci pracovať (v prípade, že by nechceli uvádzať údaje pod svojim menom, tak si môžu zvoliť „krycie meno“), aby dokázal overiť správnosť výsledkov.

• Vyššie uvedené projektové úlohy je samozrejme možné rozšíriť a v prípade záujmu sledovať, vyhodnocovať a porovnávať aj iné parametre.

Hlavný cieľ:

Zvládnutie zberu údajov, spraco-vania získaných údajov a vyvo-denia správnych záverov.

V excelovskom súbore s názvom Mobil.xls je návrh hárku, do kto-rého by si žiaci mali zhromažďo-vať údaje a jeden vyplnený hárok pre názornú predstavu.

76


8.4.11 Vek mačky

Traduje sa, že prepočítať vek mačky na naše ľudské roky je jednodu-ché. Stačí vraj vynásobiť roky jej pobytu na zemi číslom 7. Skutočnosť je však iná. Rytmus dospievania mačky je iný ako u človeka. V tabuľ-ke je uvedený prepočet približného veku mačky na vek ľudský.Mačky žijúce vonku sa priemerne dožívajú 7 až 8 rokov. U mačiek chovaných doma je priemerná dĺžka života 15 až 20 rokov.

Prepočtová tabuľka mačacích rokov na roky ľudské

Mačka Človek Mačka Človek Mačka Človek Mačka Človek

1 mesiac6 mesia-cov

8 mesia-cov

16 rokov 7 rokov 45 rokov 14 rokov 72 rokov

2 mesiace10 mesia-cov

1 rok 18 rokov 8 rokov 50 rokov 15 rokov 74 rokov

3 mesiace 2 roky 2 roky 25 rokov 9 rokov 55 rokov 16 rokov 76 rokov

4 mesiace 5 rokov 3 roky 30 rokov 10 rokov 60 rokov 17 rokov 78 rokov

5 mesia-cov

8 rokov 4 roky 35 rokov 11 rokov 62 rokov 18 rokov 80 rokov

6 mesia-cov

14 rokov 5 rokov 40 rokov 12 rokov 65 rokov 19 rokov 82 rokov

7 mesia-cov

15 rokov 6 rokov 43 rokov 13 rokov 68 rokov 20 rokov 84 rokov

Riešenie.Úloha 1. Výpočet: Keď vieme, že pre roky 14 – 20 platí ten istý lineárny vzťah, tak

76 = a + b . 16 78 = a + b . 17

Z prvej rovnice vyjadríme a = 76 – b . 16, dosadíme do druhej rovnice 78 = 76 – b . 16 + b . 17, 78 = 76 – b, odtiaľ b = 78 – 76 = 2. Potom a = 76 – 2 . 16 = 44.

Odpoveď: Vek mačky na vek ľudský možno pre vek mačky od 14 – 20 rokov života prepočítať pomocou funkcie y = 44 + 2x.

Úloha 2. Údaje zapíšeme do Excelu vyjadrené v rokoch. V prvom stĺpci je vek mačky, v druhom stĺpci je prepočet na vek človeka a v treťom stĺpci vek mačky vynásobený číslom 7.

vek mačky vek človeka vek mačky . 70,08 0,5 0,560,17 0,833333 1,190,25 2 1,750,333333 5 2,3333310,416667 8 2,9166690,5 14 3,50,583333 15 4,0833310,666667 16 4,6666691 18 72 25 143 30 21

http://sk.wikipedia.org/wiki/Ma%C4%8Dka_do-m%C3%A1ca

Úloha 1Od 14 do 20 rokov veku mačky je prepočet lineárny. Nájdi lineárnu funkciu y = a + bx, pomocou kto-rej možno prepočítať vek mačky (x) na vek ľudský (y) pre vek mač-ky od 14 do 20 rokov.

Úloha 2Pokús sa (v Exceli) graH cky zná-zorniť približný prepočet veku mačky na vek človeka a v tom is-tom obrázku ukázať, že nestačí vek mačky jednoducho vynásobiť siedmimi. Pre aký vek mačky pri-bližne (ale čo možno najlepšie) platí, že pri prepočte na ľudské roky stačí vek mačky vynásobiť siedmimi?

Úloha 3Pokús sa nájsť takú lineárnu funk-ciu y = a + bx, (jej grafom je priam-ka), ktorá najlepšie prepočíta vek mačky na vek človeka. Táto priam-ka sa nazýva regresná priam-ka a vypočíta sa tak, aby súčet štvorcov rozdielov medzi hodno-tou z tabuľky a hodnotou odhad-nutou pomocou tejto lineárnej funkcie bol minimálny. Skús na-kresliť a určiť regresnú priamku v Exceli.

77


vek mačky vek človeka vek mačky . 74 35 285 40 356 43 427 45 498 50 569 55 6310 60 7011 62 7712 65 8413 68 9114 72 9815 74 10516 76 11217 78 11918 80 12619 82 13320 84 140

Označíme všetky tri stĺpce, dáme vložiť graf X – Y (závislosť), napíšeme názov grafu a pomenujeme os x. Dostaneme graf, z ktorého je vidieť, že prepočet získaný vynásobením veku mačky siedmimi nie je dobrý.Odpoveď: Platí to pre približne 6 – ročnú mačku.

Úloha 3Označíme prvé dva stĺpce tabuľky, dáme vložiť graf X – Y (závis-losť) – bodový, napíšeme názov grafu a pomenujeme osi x a y. Dostaneme bodový graf. Ľavým tlačidlom myši klepneme na nie-ktorý z bodov a potom na body klepneme pravým tlačidlom myši. Vyberieme Pridať trendovú čiaru, označíme lineárny trend a v Možnosti zaškrtneme Zobraziť v grafe rovnicu regresie. Odpoveď: Regresná priamka má rovnicu y = 4,0989 x + 11,795.

Metodické pokynyÚloha 1 patrí do oblasti funkcií. Pri výpočte parametrov priamky je potrebné vyriešiť systém dvoch rovníc o dvoch neznámych, ale veľmi jednoduchý a ôsmaci by to mohli zvládnuť.Úloha 2 si vyžaduje prácu s počítačom, i keď približne možno graf nakresliť aj ručne. Odpoveď na otázku možno násť aj bez grafu.Úlohu 3 odporúčame riešiť len v prípade, že žiaci majú k dispozí-cii Excel a vysvetlíte žiakom podstatu hľadania regresnej priamky. Mali by ste aspoň na dvoch troch príkladoch vysvetliť, čo znamená štvorec rozdielu medzi hodnotou z tabuľky a hodnotou odhadnutou pomocou tejto lineárnej funkcie. Napríklad:Pre vek mačky 10 rokov je hodnota z tabuľky rovná 60 a odhadnutá hodnota

y = 4,0989 . 10 + 11,795 = 52,784.Štvorec rozdielu medzi hodnotou z tabuľky a hodnotou odhadnutou pomocou tejto lineárnej funkcie je

(60 – 52,784)2 = 52,07066.

78


8.4.12 Hra Losovanie čísla

Môžeš si zvoliť jeden z dvoch losovacích nástrojov, kocku K ale-bo vrecúško V znázornené na obrázku. Ostávajúci losovací nástroj bude mať tvoj súper. Každý z vás dvoch vylosuje číslo svojím ná-strojom. Víťazí ten, kto vylosuje väčšie číslo.

Kocka K Vrecúško V

RiešenieÚloha 1

Padnuté čísla na kocke

Vyl

osov

ané

čísl

a z

vrec

úška

2 2 4 4 4 4

1 H1 H1 H1 H1 H1 H1

1 H1 H1 H1 H1 H1 H1

6 H2 H2 H2 H2 H2 H2

6 H2 H2 H2 H2 H2 H2

P(H1) =

12 10,5= =

24 2Pravdepodobnosť, že vyhrá prvý hráč, ak si zvolí ako losovací nástroj kocku K je 0,5.

Úloha 2Padnuté čísla na kocke

Vyl

osov

ané

čísl

a z

vrec

úška

2 2 2 2 3 6 8 8

4 H2 H2 H2 H2 H2 H1 H1 H1

4 H2 H2 H2 H2 H2 H1 H1 H1

4 H2 H2 H2 H2 H2 H1 H1 H1

5 H2 H2 H2 H2 H2 H1 H1 H1

Ak si hráč zvolí štvorsten, pravdepodobnosť jeho výhry je P = 20 / 32 = 5 / 8. Ak si hráč zvolí ruletku, pravdepodobnosť jeho výhry je P = 12 / 32 = 3 / 8. Prvý hráč si má zvoliť štvorsten.

Metodické pokynyPravdepodobnosť výhry prvého hráča, ktorý si zvolí ako losovací nástroj kocku, môžeme zistiť aj prostredníctvom uskutočnenia do-statočného množstva hier a zapisovania si výsledkov hier. Pravde-podobnosť odhadneme prostredníctvom relatívnej početnosti.Hod kockou K a losovanie z vrecúška V sú nezávislé náhodné pokusy a preto aj výsledok, ktorý nastane pri hode kockou je nezávislý od vý-

Úloha 1Zisti, aká je pravdepodobnosť, že vyhrá prvý hráč, ak si zvolí ako losovací nástroj kocku K. Pomôž si vypísaním všetkých možných výsledkov hry (H1 – vyhrá prvý hráč, H2 – vyhrá druhý hráč) do nasledujúcej tabuľky:

Padnuté čísla na kocke

Vyl

osov

ané

čísl

a z

vrec

úška

2 2 4 4 4 4

1

1

6

6

Úloha 2Okrem kocky a vrecúška môže-me mať aj iné losovacie nástroje, napríklad štvorsten alebo rulet-ku, ktoré sú znázornené na ob-rázku. Ktorý z týchto dvoch lo-sovacích nástrojov si má zvoliť prvý hráč, aby vyhral?prvý č, by yhyh

Štvorsten Š

Ruletka R

79


sledku, ktorý nastane pri losovaní z vrecúška. Pravdepodobnosť, že prvý hráč hodí na kocke 2 a súper vylosuje guľku s číslom 1 sa preto de� nuje ako súčin pravdepodobnosti padnutia 2 na kocke K a pravdepodobnos-ti výberu guľky s číslom 1 z vrecúška V. Tento zložený náhodný pokus teda popíšeme konečným pravdepodobnostným priestorom (Ω, p), kde Ω = {21,26,41,46} a

p(21)=2

.2

=1

p(21)=2

.2

=1

p(41)=4

.2

=1

p(46)=4

.2

=1

, , ,6 4 6 6 4 6 6 4 3 6 4 3

Označme udalosti

A1: Na kocke K padne väčšie číslo ako bude vylosované z Vrecúška V,B1: Z vrecúška V bude vylosované väčšie číslo ako padne na kocke K.Potom

p(A1)= p(21)+p(41)=

1+

1=

1p(41)= p(26)+p(46)=

1+

1=

1,

6 3 2 6 3 2

Zistili sme, že nezáleží na tom, ktorý losovací nástroj si zvolí prvý hráč.

80


8.4.13 Priemerná známka z písomky

ZŠ má dve deviate triedy, ktoré sú zaujímavé tým, že v každej je 12 chlapcov a 10 dievčat. Na grafe sú znázornené aritmetické prie-mery známok chlapcov a dievčat z poslednej písomky.

RiešenieÚloha 1. Priemerná známka chlapcov je

(2,25 . 12 + 2,5 . 12) / 24 = 57 / 24 = 2,375Priemerná známka dievčat je (2,7 . 10 + 2,1 . 10) / 20 = 48 / 20 = 2,4Odpoveď: Chlapci dosiahli v priemere lepšie výsledky ako dievčatá.

Úloha 2. Priemer deviatakov je ((2,25 . 12 + 2,7 . 10 )+ (2,5 . 12 + 2,1 . 10)) = 105 / 44 = 2,386364Odpoveď: Priemerná známka za celý deviaty ročník je 2,39.

Metodické pokynyCieľom úlohy je precvičiť výpočet váženého aritmetického priemeru. Žiaci si môžu všimnúť, že ak máme dané priemery dvoch rovnako početných skupín, tak aritmetický priemer pre súbor vytvorený z tých-to skupín možno vypočítať ako súčet tých dvoch priemerov predelený dvomi. V prípade, že skupiny nie sú rovnako početné, musíme každý priemer vynásobiť príslušným počtom jednotiek v skupine (čím do-staneme súčet za skupinu), tieto súčty spočítame (dostaneme súčet za celý súbor) a vydelíme počtom jednotiek v celom súbore.

Úloha 1Dosiahli chlapci deviataci z po-slednej písomky v priemere lep-šie hodnotenie ako dievčatá de-viatačky?

Úloha 2Vypočítaj priemernú známku z písomky za celý deviaty ročník.

81


8.4.14 Nezamestnanosť

Obrázok 1 – Miera evidovanej nezamestnanosti v okresoch SR k 31.1.2013Zdroj: http://www.upsvar.sk/statistiky/nezamestnanost-mesacne-statistiky/2013.html?page_id=268686)

Tabuľka 1 – Miera evidovanej nezamestnanosti v krajoch SR k 31.1.2013

Územie Ekonomicky aktívne obyvateľstvo

Miera evidovanej neza-mestnanosti (v %)

Nitriansky kraj 351 065 14,65

Trnavský kraj 290 804 9,95

Žilinský kraj 330 632 13,26

Trenčiansky kraj 299 043 11,46

Banskobystrický kraj 331 614 20,56

Prešovský kraj 389 611 20,92

Košický kraj 367 211 19,30

Bratislavský kraj 338 789 5,99

Tabuľka 3 – Miera evidovanej nezamestnanosti v okresoch Žilin-ského krajaÚzemie Ekonomicky

aktívne obyvateľstvo(EAO)

Disponibilný počet uchádzačov o zamestnanie(DPOZ)

Miera evidovanej nezamestnanosti (v%) (MEN)

Žilinský kraj 330 632 43 828 13,26

Bytča 14 686 2 515 17,13

Námestovo 27 407 4 278 15,61

Dolný Kubín 19 307 2 987 15,47

Liptovský Mikuláš 35 526 5 422 15,26

Kysucké Nové Mesto 16 689 2 461 14,75

Turčianske Teplice 7 930 1 168 14,73

Ružomberok 26 989 3 863 14,31

Čadca 44 180 6 118 13,85

Tvrdošín 17 318 2 348 13,56

Martin 44 813 4 914 10,97

Žilina 75 788 7 754 10,23

Často pretriasanou témou v médi-ách je miera evidovanej nezamest-nanosti a jej vývoj. Porovnávajú sa medziročné údaje, ale aj mesačné a to v rámci rôznych územných jednotiek. Na obrázku 1 je mapa Slovenska s vyznačenými hrani-cami krajov a okresov, farebne sú odlíšené na základe vhodne zvole-ných intervalov miery evidovanej nezamestnanosti.

Úloha 1

Na základe dostupných údajov za jednotlivé kraje Slovenska v ta-buľke 1 vypočítajte mieru evido-vanej nezamestnanosti za celé Slovensko.(Miera evidovanej nezamestna-nosti je podiel počtu disponibilného počtu uchádzačov o zamestnanie (teda tých, ktorí sú bezprostred-ne po ponuke voľného pracovného miesta schopní nastúpiť do pracov-ného pomeru) k ekonomicky aktív-nemu obyvateľstvu a je vyjadrená v percentách.)

Úloha 2

V Žilinskom kraji je 11 okresov a miera evidovanej nezamest-nanosti je v ňom 13,26 % (úda-je sú uvedené v tabuľke 3). Platí pravidlo, že ak zanedbáme okres s najvyššou mierou evidovanej nezamestnanosti (okres Bytča), znížime mieru evidovanej neza-mestnanosti v kraji výraznejšie, než keby sme zanedbali ľubovoľ-ný iný okres?

82


Tabuľka 5 – Miera evidovanej nezamestnanosti v okresoch Ko-šického krajaÚzemie Ekonomicky




Košický kraj 367 211 70 886 19,30

Rožňava 30 643 9 091 29,67

Trebišov 51 911 12 748 24,56

Gelnica 14 070 3 378 24,01

Sobrance 10 584 2 531 23,91

Košice – okolie 57 572 12 573 21,84

Michalovce 51 214 9 891 19,31

Spišská Nová Ves 45 254 8 290 18,32

Košice I 29 898 3 591 12,01

Košice II 36 139 4 189 11,59

Košice III 15 141 1 746 11,53

Košice IV 24 785 2 858 11,53

Tabuľka 7 – Miera evidovanej nezamestnanosti v okresoch Nit-rianskeho krajaÚzemie Ekonomicky




Nitriansky kraj 351 065 51 448 14,65

Komárno 53 739 10 580 19,69

Levice 56 513 9 187 16,26

Nové Zámky 72 085 11 376 15,78

Topoľčany 38 146 5 037 13,20

Zlaté Moravce 20 824 2 659 12,77

Šaľa 26 934 3 371 12,52

Nitra 82 825 9 238 11,15

Tabuľka 8 – Miera evidovanej nezamestnanosti v okresoch Tr-navského krajaÚzemie Ekonomicky




Trnavský kraj 290 804 28 928 9,95

Dunajská Streda 63 177 8 170 12,93

Senica 32 107 4 070 12,68

Hlohovec 23 523 2 398 10,19

Piešťany 31 637 3 050 9,64

Skalica 24 739 2 368 9,57

Trnava 65 947 5 400 8,19

Galanta 49 673 3 472 6,99

Úloha 3

Všimnite si, že miera evidova-nej nezamestnanosti v Košic-kom kraji (19,30 %) je takmer rovnaká ako v okrese Michalov-ce (19,31 %). Skúste odhadnúť, ako ovplyvní zanedbanie okresu Michalovce v rámci Košického kraja výslednú krajskú mieru evi-dovanej nezamestnanosti (úda-je za okresy Košického kraja sú uvedené v tabuľke 5). Výpočtom overte váš predpoklad.

Úloha 4

V rámci dobrých susedských vzťa-hov a snahy o zníženie krajskej miery evidovanej nezamestna-nosti sa predstavitelia Nitrianske-ho a Trnavského samosprávneho kraja rozhodli, že si úradne „vy-menia“ jeden okres. Má táto ini-ciatíva šancu na úspech a bola by teoreticky realizovateľná? Údaje za kraje sú uvedené v tabuľke 7 a tabuľke 8.

83


RiešenieÚloha 1. Úlohu riešime využitím váženého aritmetického priemeru:

(351 065 . 14,65 + 290 804 . 9,95 + 330 632 . 13,26 ++ 299 043 . 11,46 + 331 614 . 20,56 + 389 611 . 20,92 ++ 367 211 . 19,30 + 338 789 . 5,99) / 2 698 768 = 14,80.

Výslednú mieru evidovanej nezamestnanosti je možné určiť aj použi-tím údajov z tabuľky 2 bez použitia váženého aritmetického priemeru.

Tabuľka 2 – Miera evidovanej nezamestnanosti v krajoch SR k 31.1.2013Územie Ekonomicky




Nitriansky kraj 351 065 51 448 14,65

Trnavský kraj 290 804 28 928 9,95

Žilinský kraj 330 632 43 828 13,26

Trenčiansky kraj 299 043 34 285 11,46

Banskobystrický kraj 331 614 68 178 20,56

Prešovský kraj 389 611 81 510 20,92

Košický kraj 367 211 70 886 19,30

Bratislavský kraj 338 789 20 304 5,99

Slovenská republika 2 698 768 399 367 14,80

Úloha 2. Na vyriešenie úlohy stačí rozšíriť tabuľku 3 o tri stĺpce (dostaneme tabuľku 4) tak, aby sme získali mieru evidovanej ne-zamestnanosti v Žilinskom kraji bez vybraného okresu.

Tabuľka 4Územie EAO DPUOZ MEN

(v%)EAO v Žilinskom kraji bez okresu...

DPOZ v Žilinskom kraji bez okresu

MEN v Žilinskom kraji bez okresu

(v%)

Bytča 14 686 2 515 17,13 315 946 41 313 13,08

Námestovo 27 407 4 278 15,61 303 225 39 550 13,04

Dolný Kubín 19 307 2 987 15,47 311 324 40 841 13,12

Liptovský Mikuláš 35 526 5 422 15,26 295 106 38 406 13,01

Kysucké Nové Mesto 16 689 2 461 14,75 313 943 41 367 13,18

Turčianske Teplice 7 930 1 168 14,73 322 702 42 660 13,22

Ružomberok 26 989 3 863 14,31 303 643 39 965 13,16

Čadca 44 180 6 118 13,85 286 452 37 710 13,16

Tvrdošín 17 318 2 348 13,56 313 313 41 480 13,24

Martin 44 813 4 914 10,97 285 818 38 914 13,61

Žilina 75 788 7 754 10,23 254 844 36 074 14,16

Takto vypočítanú mieru nezamestnanosti potom ľahko porovnáme s pôvodnou mierou nezamestnanosti v Žilinskom kraji (13,26 %) a zistíme, že ak zanedbáme okres Bytča, kde bola najvyššia miera nezamestnanosti, získame výsledok 13,08 %. Ak by sme však za-nedbali v Žilinskom kraji okres Námestovo, resp. okres Liptovský Mikuláš, získali by sme nižšiu mieru nezamestnanosti (tabuľka 4).

84


Pravidlo zanedbania okresu s najvyššou mierou evidovanej neza-mestnanosti teda nemožno považovať za správne, dôležitú úlohu hrá aj počet ekonomicky aktívnych obyvateľov okresu (váha). Naj-výhodnejšie (z hľadiska zníženia miery evidovanej nezamestnanos-ti) by bolo zanedbať okres Liptovský Mikuláš.

Úloha 3Po „zanedbaní“ okresu Michalovce dostávame údaje v tabuľke 6, z čo-ho je zjavné, že výsledná krajská miera nezamestnanosti sa nezmenila.

Tabuľka 6 Územie Ekonomicky




Košický kraj (s Michalovcami)

315 997 60 995 19,30

Košický kraj (bez Michaloviec)

367 211 70 886 19,30

Vo všeobecnosti platí, že ak zo súboru hodnôt vylúčime tie hod-noty, ktoré sa rovnajú aritmetickému priemeru všetkých hodnôt, tak sa aritmetický priemer novovzniknutého súboru hodnôt ne-zmení (nezmení sa ani vážený aritmetický priemer).

Úloha 4Je dobré si uvedomiť vhodnosť výberu krajov – sú to susedné kra-je, každý z nich má práve sedem okresov. Napriek tomu sa kraje výrazne líšia v miere evidovanej nezamestnanosti (v NR kraji je to 14,65 % a v TT kraji iba 9,95 %). Mohlo by sa zdať, že pre Trnavský kraj by akákoľvek výmena bola nevýhodná, keďže krajská miera nezamestnanosti je tam nižšia ako ktorákoľvek okresná miera evidovanej nezamestnanosti v rámci Nitrianskeho kraja. Naopak pre Nitriansky kraj sa to zdá byť v kaž-dom prípade výhodné. Lenže na takú dohodu by zrejme nepristú-pili obaja predstavitelia samosprávnych krajov. Potvrdenie alebo vyvrátenie týchto úvah prinesie až reálny výpočet. Vytvoríme dve sady tabuliek (pre každý kraj jednu), v ktorých sa nám premietne výmena ľubovoľných dvoch okresov v rámci vybraných krajov.

85


Tabuľka 9A – Ekonomicky aktívne obyvateľstvo v Nitrianskom kraji „po výmene“

Nitrianskykraj

EAODunajská

StredaGalanta Hlohovec Piešťany Senica Skalica Trnava

EAO 351 065 63 177 49 673 23 523 31 637 32 107 24 739 65 947

Komárno 53 739 360 503 346 999 320 849 328 964 329 434 322 066 363 273

Levice 56 513 357 728 344 225 318 074 326 189 326 659 319 291 360 499

Nitra 82 825 331 417 317 914 291 763 299 878 300 348 292 980 334 188

Nové Zámky 72 085 342 157 328 653 302 503 310 617 311 087 303 719 344 927

Šaľa 26 934 387 308 373 804 347 654 355 769 356 239 348 871 390 078

Topoľčany 38 146 376 096 362 593 336 442 344 557 345 027 337 659 378 867

Zlaté Moravce 20 824 393 418 379 914 353 764 361 879 362 349 354 981 396 189

Tabuľka 9B – Disponibilný počet uchádzačov o zamestnanie v Nitrianskom kraji „po výmene“

Nitriansky kraj

DPOZDunajská


DPOZ 51 448 8 170 3 472 2 398 3 050 4 070 2 368 5 400

Komárno 10 580 49 038 44 340 43 266 43 918 44 938 43 236 46 268

Levice 9 187 50 431 45 733 44 659 45 311 46 331 44 629 47 661

Nitra 9 238 50 380 45 682 44 608 45 260 46 280 44 578 47 610

Nové Zámky 11 376 48 242 43 544 42 470 43 122 44 142 42 440 45 472

Šaľa 3 371 56 247 51 549 50 475 51 127 52 147 50 445 53 477

Topoľčany 5 037 54 581 49 883 48 809 49 461 50 481 48 779 51 811

Zlaté Moravce 2 659 56 959 52 261 51 187 51 839 52 859 51 157 54 189

Tabuľka 9C – Miera evidovanej nezamestnanosti v Nitrianskom kraji „po výmene“

Nitriansky kraj

DPOZDunajská


DPOZ 51 448 8 170 3 472 2 398 3 050 4 070 2 368 5 400

Komárno 10 580 13,60 % 12,78 % 13,48 % 13,35 % 13,64 % 13,42 % 12,74 %

Levice 9 187 14,10 % 13,29 % 14,04 % 13,89 % 14,18 % 13,98 % 13,22 %

Nitra 9 238 15,20 % 14,37 % 15,29 % 15,09 % 15,41 % 15,22 % 14,25 %

Nové Zámky 11 376 14,10 % 13,25 % 14,04 % 13,88 % 14,19 % 13,97 % 13,18 %

Šaľa 3 371 14,52 % 13,79 % 14,52 % 14,37 % 14,64 % 14,46 % 13,71 %

Topoľčany 5 037 14,51 % 13,76 % 14,51 % 14,35 % 14,63 % 14,45 % 13,68 %

Zlaté Moravce 2 659 14,48 % 13,76 % 14,47 % 14,32 % 14,59 % 14,41 % 13,68 %

V tabuľkách 9 máme údaje za Nitriansky kraj. Červenou je vy-značený údaj za celý Nitriansky kraj. Žlté bunky obsahujú údaje za príslušný okres. Ostatné bunky sú vypočítané pre Nitriansky kraj po výmene okresov. Výsledné miery evidovanej nezamestna-nosti pre Nitriansky kraj sú v tabuľke 9C, zelenou farbou je vyzna-čená nižšia miera evidovanej nezamestnanosti za Nitriansky kraj, ako bola pôvodná – pred výmenou (14,65 %).

86


Tabuľka 10A – Ekonomicky aktívne obyvateľstvo v Trnavskom kraji „po výmene“

Trnavský krajEAO Komárno Levice Nitra

Nové Zámky

Šaľa TopoľčanyZlaté

Moravce

EAO 290 804 53 739 56 513 82 825 72 085 26 934 38 146 20 824

Dunajská Streda 63 177 281 366 284 141 310 452 299 712 254 561 265 773 248 451

Galanta 49 673 294 870 297 644 323 956 313 216 268 065 279 276 261 955

Hlohovec 23 523 321 020 323 795 350 106 339 366 294 215 305 427 288 105

Piešťany 31 637 312 906 315 680 341 991 331 252 286 101 297 312 279 990

Senica 32 107 312 436 315 210 341 521 330 782 285 631 296 842 279 520

Skalica 24 739 319 804 322 578 348 889 338 150 292 999 304 210 286 888

Trnava 65 947 278 596 281 370 307 681 296 942 251 791 263 002 245 680

Tabuľka 10B – Disponibilný počet uchádzačov o zamestnanie v Trnavskom kraji „po výmene“

Trnavský krajDPOZ Komárno Levice Nitra

Nové Zámky

Šaľa TopoľčanyZlaté

Moravce

DPOZ 351 065 63 177 49 673 23 523 31 637 32 107 24 739 65 947

Dunajská Streda 53 739 360 503 346 999 320 849 328 964 329 434 322 066 363 273

Galanta 56 513 357 728 344 225 318 074 326 189 326 659 319 291 360 499

Hlohovec 82 825 331 417 317 914 291 763 299 878 300 348 292 980 334 188

Piešťany 72 085 342 157 328 653 302 503 310 617 311 087 303 719 344 927

Senica 26 934 387 308 373 804 347 654 355 769 356 239 348 871 390 078

Skalica 38 146 376 096 362 593 336 442 344 557 345 027 337 659 378 867

Trnava 20 824 393 418 379 914 353 764 361 879 362 349 354 981 396 189

Tabuľka 10C – Miera evidovanej nezamestnanosti v Trnavskom kraji „po výmene“

Trnavský krajDPOZ Komárno Levice Nitra

N o v é Zámky

Šaľa TopoľčanyZlaté Mo-ravce

DPOZ 28 928 10 580 9 187 9 238 11 376 3 371 5 037 2 659

Dunajská Streda 8 170 11,14 % 10,54 % 9,66 % 10,72 % 9,48 % 9,71 % 9,43 %

Galanta 3 472 12,22 % 11,64 % 10,71 % 11,76 % 10,75 % 10,92 % 10,73 %

Hlohovec 2 398 11,56 % 11,03 % 10,22 % 11,17 % 10,16 % 10,34 % 10,13 %

Piešťany 3 050 11,65 % 11,11 % 10,27 % 11,25 % 10,22 % 10,40 % 10,19 %

Senica 4 070 11,34 % 10,80 % 9,98 % 10,95 % 9,88 % 10,07 % 9,84 %

Skalica 2 368 11,61 % 11,08 % 10,26 % 11,22 % 10,22 % 10,39 % 10,18 %

Trnava 5 400 12,24 % 11,63 % 10,65 % 11,75 % 10,68 % 10,86 % 10,66 %

V tabuľkách 10 máme údaje za Trnavský kraj. Červenou je vy-značený údaj za celý Trnavský kraj. Žlté bunky obsahujú údaje za príslušný okres. Ostatné bunky sú vypočítané pre Trnavský kraj po výmene okresov. Výsledné miery evidovanej nezamestnanosti pre Trnavský kraj sú v tabuľke 10C, zelenou farbou je vyznačená nižšia miera evidovanej nezamestnanosti za Trnavský kraj, ako bola pôvodná – pred výmenou (9,95 %).

87


Riešením situácie by bola výmena výhodná pre oba kraje súčas-ne, teda aby miera evidovanej nezamestnanosti po výmene vy-braných okresov klesla pre oba kraje. Nakoľko Trnavský kraj má nižšiu mieru evidovanej nezamestnanosti (9,95 %), tak jeho pred-stavitelia majú právo rozhodnúť, ktoré z výmen sú ochotní zrea-lizovať. Sú to výmeny vyznačené zelenou farbou v tabuľke 10C.

V tabuľke 11 je miera evidovanej nezamestnanosti v Trnavskom a Nit-rianskom kraji pre šesticu Trnavskému kraju vyhovujúcich výmen.

Tabuľka 11 – Miera evidovanej nezamestnanosti v Nitrianskom a Trnavskom kraji po výmene okresov.

Výmena MEN (v %)

Nitriansky kraj Trnavský kraj

Nitra – Dunajská Streda 15,20 9,66

Šaľa – Dunajská Streda 14,52 9,48

Topoľčany – Dunajská Streda 14,51 9,71

Zlaté Moravce – Dunajská Streda 14,48 9,43

Šaľa – Senica 14,64 9,88

Zlaté Moravce – Senica 14,59 9,84

Vidíme, že najnižšia hodnota miery evidovanej nezamestnanosti pre Trnavský aj Nitriansky kraj je v prípade výmeny okresov Zlaté Moravce – Dunajská Streda. Touto výmenou dosiahnu oba samo-správne kraje zníženie miery evidovanej nezamestnanosti. Úloha má riešenie, iniciatíva predstaviteľov samosprávnych krajov má šancu na úspech a bola by teoreticky realizovateľná.

Metodické pokynyÚloha 1 je zameraná na využitie váženého priemeru. Už samotný „vzorec“ na výpočet miery evidovanej nezamestnanosti napovedá, že táto je závislá od počtu ekonomicky aktívnych obyvateľov, tento počet teda nemožno zanedbať a riešiť úlohu využitím jednoduchého aritme-tického priemeru, čiže sčítať mieru evidovanej nezamestnanosti krajov a vydeliť ich číslom 8 (počet krajov). Takto získaný priemer by mal hod-notu 14,51 %. Rozdiel medzi touto a správnou hodnotou by sa žiakom mohol javiť ako malý, ale treba si uvedomiť, že v tomto prípade by to prestavovalo o 7 826 menej nezamestnaných občanov v porovnaní so skutočnosťou. ((14,51 % – 14,80 %) . 2 698 768 = – 7 826).V úlohe 2 je potrebné si uvedomiť, že aj keď okresy Námestovo a Lip-tovský Mikuláš majú nižšiu mieru evidovanej nezamestnanosti ako okres Bytča, počet ekonomicky aktívneho obyvateľstva je výrazne vyšší, ako v okrese Bytča. To sa práve zohľadní pri výpočte miery evidovanej nezamestnanosti (vážený priemer).V úlohe 3 by bolo zaujímavé skúsiť odhadnúť, zanedbanie ktorého okresu by najvýraznejšie znížilo (zvýšilo) výslednú krajskú mieru evidovanej nezamestnanosti a prečo to tak je.Úloha 4 je pomerne náročná z hľadiska množstva výpočtov, napriek tomu, že sú jednoduché, preto by bolo vhodné riešiť ju napríklad v Ex-

88


celi. Veľmi dôležité je pristupovať k tejto úlohe ako k reálnemu problé-mu a pracovať s predpokladom, že predstavitelia Trnavského kraja by mali v rokovaniach výhodu, pretože MEN u nich je iba 9,95% v porov-naní s MEN v Nitrianskom kraji (14,65%). Teda, že oni ponúkajú, kto-ré výmeny by boli ochotní zrealizovať (šestica výmen v tabuľke 11) a až po tomto návrhu vstupujú do rozhodovania predstavitelia Nitrianskeho kraja. Snahou oboch strán je znížiť svoju MEN na čo najnižšiu hodno-tu. Je šťastnou náhodou, že minimum MEN je pre oba kraje v prípade tej istej výmeny okresov, pretože údaje sú reálne a nie upravené.

89


Logika, dôvodnenie, dôkazy

Autori problémov: Zuzana Nagyová Lehocká, PhD., 8.5.1, 8.5.2, 8.5.3, 8.5.4, Antal Csáky 8.5.6, Mgr. Lukáš Lednický 8.5.5, 8.5.7.

90


8.5.1 Letecké katastrofy

V nasledujúcej mape a tabuľke sú uvedené najvážnejšie letecké ka-tastrofy za roky 2009 – 2011.Por. číslo

Dátum Typ lietadla Zahynulo (počet osôb)

Miesto

1 1. jún 2009 Airbus A330-200 228 Atlantický oceán

2 22. máj 2010 Boeing 737-800 158 Mangalore, India

3 15. júl 2009 Tupolev Tu-154 153 Qazvin, Irán

4 12. máj 2010 Airbus A330 103 Tripoli, Líbya

5 25. január 2010 Boeing 737-800 90 Beirut, Libanon

6 9. január 2011 Boeing 727 77 Urmia, Irán

7 8. január 2011 Boeing 727 74 Bangoka, Kongo

8 12. február 2009Bombardier Dash 8 Q400

49 New York, USA

9 7. september 2011 Yak-42 44 Jaroslavl, Rusko

10 4. apríl 2011 Bombardier CRJ-100 33 N’Djili, KongoZdroj údajov: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_accidents_and_incidents_involving_commercial_aircra>

Riešenie1. Toto tvrdenie môžeme spochybniť, lebo nemáme k dispozícii

údaje zo všetkých rokov.2. Tvrdenie je pravdivé, lebo do úvahy berieme len uvedené údaje.3. Tvrdenie je pravdivé, ale treba zdôrazniť, že len vtedy ak sú

za spomínané roky uvedené všetky letecké katastrofy.4. Tvrdenie je pravdivé. Ale pravda je aj to, že letecké spoločnosti použí-

vajú vo väčšej miere lietadlá od E rmy Boeing ako od iných výrobcov.5. Toto tvrdenie môžeme spochybniť, lebo nevieme, ako sa menil

počet lietadiel Airbus v porovnaní s inými typmi lietadiel.6. Toto tvrdenie môžeme spochybniť, lebo nemáme údaje o každej

leteckej katastrofe, len o vážnejších, je možné, že zosumarizova-né čísla by ukazovali celkom iný výsledok.

7. Toto tvrdenie môžeme spochybniť, lebo nemáme údaje z po-sledného roka.

ÚlohaZ nasledujúcich tvrdení vyberte také, ktoré sú pravdivé?

1. Najviac vážnych leteckých ka-tastrof sa stalo v roku 2011.

2. Na základe hore uvedených údajov najmenej pasažierov zahynulo v roku 2011.

3. V rokoch 2009 a 2010 bol rov-naký počet vážnych leteckých katastrof.

4. Pri leteckých katastrofách za po-sledné roky najviac E gurujú lie-tadlá od E rmy Boeing.

5. Za posledné roky sú čoraz čas-tejšie letecké katastrofy lieta-diel typu Airbus.

6. Od rovníka na juh je cesto-vanie lietadlom oveľa nebez-pečnejšie, ako v severnej časti pologule.

7. Cestovanie lietadlom je čoraz bezpečnejšie, pretože v roku 2009 zomrelo pri leteckých ka-tastrofách približne 2 krát toľ-ko pasažierov ako v roku 2011.

91


8.5.2 Záhrada

Ujo Tomáš chce pestovať jablká a hrušky v záhrade, ktorá má tvar obdĺžnika s rozmermi 70 m . 21 m. Rozhodol sa, že v rohu záhrady si dá oplotiť miesto pre stromy v tvare pravouhlého trojuholníka. Prezradil nám, že 2 strany pravouhlého trojuholníka sú rovnaké, 21 m dlhé. Stromy sú navzájom od seba zasadené v trojmetrovej vzdialenosti. Vzdialenosť od plotu by mala byť minimálne tiež 3 m.

RiešenieÚloha 1. Plocha celej záhrady 70 m . 21 m = 1 470 m2 .................. 100 % 1 470 : 100 = 14,7 ............................... 1 %Vieme, že ide o pravouhlý trojuholník, a preto prepona musí byť dlhšia ako 21 m, nakoľko je najdlhšou stranou.Plocha pre stromy 21 m . 21 m : 2 = 220,5 m2 ..... 220,5 : 14,7 = 15 %Oplotená plocha z celkovej plochy zaberá 15 %.Potrebujeme ešte zistiť dĺžku prepony trojuholníka, aby sme vedeli vypočítať dĺžku plotu. Vypočítame ju pomocou Pytagorovej vety:

212 + 212 = x2

441 + 441 = x2

x = √882x = 29,7

Dĺžka prepony je 29,7 m.21 + 21 + 29,7 = 71,7

Dĺžka plotu bude 71,7 m.

Úloha 2Na vyriešenie tejto úlohy použijeme pomocnú mriežku, v ktorej jeden dielik znamená 3 m.

Po zakreslení jednotlivých stromov do mriežky, jednoduchým spo-čítaním zistíme, že ich je 10. stromy .......................................10 jablone .................................. x + 2 hrušky ......................................... x 10 = x + 2 + x x = 4 jablone ........................... x + 2 = 6 hrušky ................................... x = 4

Úloha 1Koľko percent z celkovej plochy záhrady zaberá oplotené miesto pre stromy? Aký dlhý plot je po-trebný na oplotenie záhrady?

Úloha 2Koľko stromov vieme najviac roz-miestniť na oplotenú plochu? Koľ-ko bude jabloní a koľko hrušiek, keď vieme, že jabloní je o dva viac ako hrušiek. (Nakreslite trojuhol-ník pomocou mriežky.)

Úloha 3Plot z pletiva o rozmere 2 500 cm predávajú za cenu 67,98 €. Koľko bude stáť pletivo na oplotenie (Tyče už má ujo Tomáš nakúpené).

92


Odpoveď: Ujo Tomáš môže zasadiť 10 stromov, z ktorých budú 4 hrušky a 6 jabloní.

Úloha 3 pletivo 2 500 cm (1 balenie) 67,98 € celková dĺžka plotu 71,7m = 7 170cm 7 170 : 2500 = 2,87Odpoveď: Budú potrebné 3 balenia, ktorých cena je 3 . 67,98 € = 203,94 €.

Metodické poznámkyÚlohu je možné rozšíriť výpočtami ohľadne tyčí, napr.: cena ich ná-kupu, potrebný počet kusov, ich rozmiestnenie v plote, atď. Úloha je vhodná pre žiakov 8. ročníka, ktorý už ovládajú Pytagorovu vetu. Musia vedieť vlastnosti pravouhlého trojuholníka, napr. že prepona je najdlhšia strana, z čoho by mali pochopiť, že ak v úlohe sú zadané dve rovnako dlhé strany, potom nemôžu byť preponou. Pri riešení druhej čiastkovej úlohy pomocou mriežky, typickou chy-bou môže byť prípad znázornený na mriežke nižšie (t. j. pridajú ešte jeden rad stromov pri prepone, kde už nie je dodržaná trojmetrová vzdialenosť):

93


8.5.3 Záhradník

Záhradník dostane za úlohu aby zasadil dvanásť stromov do šies-tich riadkov tak, aby v každom riadku boli presne štyri stromy. Podľa vás existuje riešenie? Ak áno, potom ho nakreslite!

Riešenie

8.5.4 Slimák

Slimák začal liezť ráno o 8:00 na vyhliadkovú vežu vedľa Tomá-šovho stanu. Počas každej hodiny liezol smerom nahor 45 minút a v tomto čase zvládol 80 cm. Potom 15 minút odpočíval a pritom sa skĺzol smerom nadol o 20 cm. Popoludní o štvrtej hodine deti našli slimáka už na vrchole veže. Aká vysoká je veža?

Riešenie8 hodín ubehlo medzi rannou 8 hodinou a poobedňajšou 16 ho-dinou. Do popoludňajšej tretej hodiny v každej hodine vyliezol 80 cm hore, a 20 cm sa kĺzal dole, to znamená že slimák za každú ho-dinu zdolá 60 cm výšku smerom nahor. Ak sa slimák počas v po-slednej hodiny dostane na vrchol, vylezie smerom nahor 80 cm, pretože sa už nekĺže smerom nadol. Maximálna výška veže je60 cm . 7 + 80 cm = 500 cm = 5 m.

94


8.5.5 Sviatky

Každý rok sa tešíme na Vianoce alebo narodeniny. Tieto dva sviat-ky slávime vždy v rovnaký deň v roku (rovnaký dátum), ale mení sa deň v týždni, na ktorý pripadnú. Skúsime nájsť pravidlo, ako zistiť, na ktorý deň v týždni pripadnú.

RiešenieÚloha 1. Medzi Vianocami v roku 2012 a v roku 2013 ubehne presne 365 dní. Po uplynutí siedmich dní sa budeme nachádzať na rovnakom dni v týždni. Ak budeme postupne odpočítavať 7 od 365 až kým nedostaneme číslo menšie ako 7 (tento postup je vlastne zistenie zvyšku po delení 7), zistíme o koľko dní sa posunú nasledujúce Vianoce. Zvyšok čísla 365 po delení 7 je 1. Vianoce v roku 2013 budú teda o jeden deň v týždni neskôr teda v utorok. Odpoveď: Vianoce v roku 2013 pripadnú na utorok.

Úloha 2. Pretože rok 2012 je priestupný ubehlo od Vianoc v roku 2011 do Vianoc v roku 2012 366 dní. Znova vypočítajme zvyšok čísla 366 po delení 7, čo je 2. Vianoce v roku 2012 sa posunuli o 2 dni v týždni od Vianoc v roku 2011. Z toho dôvodu museli byť v roku 2011 Vianoce 2 dni pred pondelkom, čiže v sobotu. Odpoveď: Vianoce v roku 2011 pripadli na sobotu.

Úloha 3. Ak 2. októbra 2012 oslavujem 21. Narodeniny, tak som sa narodil 2. októbra 1991. Z tých 21 rokov bolo 6 prestupných (1992, 1996, 2000, 2004, 2008, 2012). Z predchádzajúcich úloh už vieme, že pri normálnom roku nastáva posun o 1 deň a pri pre-stupnom roku nastáva posun o 2 dni. Počas tých 21 rokov nastal teda posun o 15 . 1 + 2 . 6 = 27 dní. Zvyšok čísla 27 po delení 7 je 6. Posúvame sa od utorka o 6 dní v týždni späť, teda na stredu. Odpoveď: Narodil som sa v stredu.

Úloha 4. Počítajme podľa krokov opísaného postupu1. 2013 : 19 = 105 zv. 18, a = 182. 2013 : 4 = 503 zv. 1, b = 13. 2013 : 7 = 287 zv. 4, c = 44. 19a + 24 = 19 . 18 + 24 = 366, 366 : 30 = 12 zv. 6, d = 65. 6d + 4c + 2b + 5 = 6 . 6 + 4 . 4 + 2 . 1 + 5 = 59, 59 : 7 = 8 zv. 3, e = 36. d + e = 6 +3 = 9Keďže číslo 9 je menšie ako 10, veľkonočná nedeľa bude v marci, a to dňa 9 + 22 = 31.Odpoveď: Veľkonočná nedeľa v roku 2013 bude 31. marca.

Úloha 5. Číslo d + e môže mať hodnoty len od 0 po 35. Číslo d je zvyškom po delení 30, preto má hodnoty od 0 po 29. Číslo e je zvyškom po delení 7, preto môže mať hodnoty od 0 po 6. Potom ich súčet môže byť najmenej 0 + 0 = 0 a najviac 29 + 6 = 35.

Úloha 1Vianoce (24. 12.) v roku 2012 pri-padnú na pondelok. Na aký deň v týždni pripadnú v roku 2013?

Úloha 2V ktorom dni v týždni sme slávili Vianoce v roku 2011?

Úloha 3Ak v utorok 2. októbra 2012 osla-vujem svoje 21. narodeniny, v kto-rom dni v týždni som sa narodil?Veľkonočné sviatky sa na rozdiel od Vianoc a narodenín slávia vždy v iný deň v roku. Môžeme to určiť pomocou nasledujúceho postupu:1. Rok vydelíme 19 a zvyšok

označíme a.2. Rok vydelíme 4 a zvyšok ozna-

číme b.3. Rok vydelíme 7 a zvyšok ozna-

číme c.4. Vypočítame 19a + 24, vydelí-

me 30 a zvyšok označíme d.5. Vypočítame 6d + 4c + 2b + 5,

vyde líme 7 a zvyšok označíme e.6. Vyp očítame d + e.a. Ak je d + e menšie ako 10, tak

je veľkonočná nedeľa v mar-ci, číslo dňa vypočítame ako d + e + 22.

b. Ak je d + e menšie ako 35, tak je veľkonočná nedeľa v apríli, číslo dňa vypočítame ako d + e – 9.

c. Ak sa d + e rovná 35, tak je veľ-konočná nedeľa v apríli a číslo dňa sa rovná d + e – 16.

Úloha 4Pomocou opísaného postupu vy-počítajte, kedy bude veľkonočná nedeľa v roku 2013.

Úloha 5Vysvetlite, prečo v opísanom postupe neuvažujeme pre číslo d + e aj hodnoty väčšie ako 35.

95


Metodické pokynyÚlohy v tomto zadaní sa viažu k učivu o delení so zvyškom. Vy-riešením prvých dvoch úloh by si žiaci mali vytvoriť pravidlá ako sa menia dni v týždni pri posune o celý rok dopredu a dozadu. Sa-mozrejme je nutné brať do úvahy aj priestupný rok. V tretej úlohe musia tieto pravidlá využiť pri výpočte. Niektoré dátumy v úlohách sú volené tak, aby si žiaci mohli pomocou kalendára svoje výsledky overiť. Je možné zadať aj iné dátumy, ak chceme zamedziť tomu, aby si žiaci výsledky našli v kalendári.Postup použitý na výpočet dátumu veľkonočnej nedele je platný len pre roky 1900 až 2099.

96


8.5.6 Obyvatelia z Klenian

Riešenie– do ktorej vekovej kategórie zapadne väčšina?

j

áno

gó

nie– koľko detí sa narodilo v roku 2012?

áno nie– v ktorej vekovej kategórii sa nachádza viac žien než mužov?

ej

áno

egeg

nie– koľko percent z obyvateľstva sa presťahovalo z dediny?

pe

áno

yv

nie– koľko rokov má najstarší obyvateľ?

áno nie– koľkí dovŕšia 18 rokov v tomto roku?

áno nie– koľkí majú minimálne 19 rokov?

jú

áno nie– v ktorej vekovej kategórii sa narodilo najviac detí?nie (pretože nevieme koľkí zomreli doteraz)

Metodické pokyny

Uvedený príklad slúži na rozvíjanie logického myslenia. Ďalej mô-žeme použiť aj na precvičenie interpretácie informácií z diagramu.

Jedna malá dedina zo Slovenska názvom Kleňany nám zverejnila údaje z roku 2012 ohľadom veku a pohlavia v nasledujúcom dia-grame.Tvojou úlohou je rozhodnúť sa, či

je možné odpovedať na nasledu-júce otázky pomocou uvedeného diagramu. Môžeme zistiť, že...– do ktorej vekovej kategórie za-

padne väčšina?

áno nie– koľko detí sa narodilo v roku

2012?

áno nie– v ktorej vekovej kategórii sa

nachádza viac žien než mužov?

áno nie– koľko percent z obyvateľstva

sa presťahovalo z dediny?

áno nie– koľko rokov má najstarší oby-

vateľ?

áno nie– koľkí dovŕšia 18 rokov v tom-

to roku?

áno nie– koľkí majú minimálne 19 rokov?

jú

áno nie– v ktorej vekovej kategórii sa

narodilo najviac detí?

áno nie

97


8.5.7 Šípky

Šípky dnes už nie sú len hrou pre deti. Stal sa z nich šport, v ktorom sa môžete stať majstrom sveta. Šípky sa hádžu do terča, ktorý je na ob-rázku Nachádzajú sa na ňom výseky pre čísla od 1 po 20. Každý tento výsek obsahuje dve zelené alebo červené polia. Pole na okraji výseku má dvojnásobnú hodnotu a pole uprostred výseku má trojnásobnú hodnotu. Zelený prstenec uprostred terča má hodnotu 25 bodov a červený kruh v jeho strede 50 bodov (dvojnásobok 25). Na majstrovstvách sveta hráči striedajú v hádzaní s tromi šípkami. Vy-hráva ten, ktorý ako prvý dosiahne súčet 501 bodov. Podmienkou je však, aby posledná šípka, ktorú hráč hodí musí zasiahnuť pole pre dvoj-násobnú hodnotu bodov. Napríklad, ak hráčovi zostáva 20 bodov na do-siahnutie súčtu 501, tak musí zasiahnuť pole pre dvojnásobok 10 bodov.

RiešenieÚloha 1. Poslednou šípkou je potrebné zasiahnuť pole pre dvoj-násobný počet bodov. Preto mu musí zostávať párny počet bodov, a to dvojnásobky čísel na terči, teda 2, 4, .... 20 a 50.Odpoveď: Hráčovi môže zostávať 2, 4, 6, ...., 20 alebo 50 bodov.

Úloha 2. Číslo 153 je nepárne, preto je potrebné jednou šípkou získať nepárny počet bodov. Ak prvou šípkou zasiahne hráč troj-násobok 19, tak mu bude zostávať 96 bodov. Tento súčet je možné dosiahnuť zasiahnutím trojnásobku 20 a dvojnásobku 18. Odpoveď: Hráč môže tromi šípkami ukončiť hru.

Úloha 3. Jednou šípkou môže hráč dosiahnuť najviac 60 bodov. Číslo 501 je „veľké“, preto je potrebné, aby 60 bodov hráč hodil viackrát. Poslednou šíp-kou musí hodiť dvojnásobok nejakého čísla. Ak by hodil zvyšnými šípkami 60 bodov, tak by dosiahol súčet 480 a zostávalo by hodiť poslednou šíp-kou 21 bodov. To však nie je možné, lebo 21 nie je párne. Preto môže hráč hodiť len sedemkrát 60, čím dosiahne súčet 420 a zostáva dvoma šípkami hodiť 81 bodov. ďalšou šípkou je potrebné hodiť trojnásobok nepárneho čísla. Ak hodí trojnásobok 19, tak dosiahne súčet 477 a zostáva poslednou šípkou hodiť 24 bodov. To sa dá, ako dvojnásobok 12. Ďalší spôsob je hodiť trojnásobok 17, čím dosiahne súčet 471 a poslednou šípkou je potrebné dosiahnuť 30 bodov. To je tiež možné ako dvojnásobok 15. Odpoveď: Súčet 501 môže hráč dosiahnuť nasledujúcimi spôsob-mi: sedemkrát trojnásobok 20, trojnásobok 19 a dvojnásobok 12; sedemkrát trojnásobok 20, trojnásobok 17 a dvojnásobok 15.

Metodické pokynyPripravené úlohy sú zamerané na hľadanie rozkladov čísel na súč-ty s obmedzujúcimi podmienkami. Pri riešení je potrebné využívať poznatky o párnosti resp. nepárnosti čísel a o ich súčtoch. Pri týchto úlohách nie je explicitný postup riešenia, jedná sa skôr o experimento-vanie a hľadanie optimálnej cesty k riešeniu. Z toho dôvodu sú v rieše-niach uvedené len niektoré riešenia. V úlohe 3 existuje viacero riešení.

Úloha 1Hráč má len jednu šípku. Koľko bodov mu chýba na dosiahnutie súčtu 501, ak viete, že touto šíp-kou môže hru ukončiť?

Úloha 2Môže hráč tromi šípkami ukon-čiť hru, ak mu zostáva hodiť 153 bodov?

Úloha 3Súčet 501 sa dá dosiahnuť ho-dom 9 šípok. Nájdite 2 spôsoby ako by hráč mohol dosiahnuť tento súčet.

Obsah

Úvod .................................................................................................... 5

Čísla, premenná, počtové výkony s číslami .................................. 7

8.1.1 Účet, ktorý odmeňuje ............................................................... 88.1.2 Problém s peniazmi ................................................................ 108.1.3 Piati kamaráti ........................................................................... 128.1.4 Vedomostná súťaž ................................................................... 148.1.5 Sporenie a kúpa ....................................................................... 168.1.6 Predaj so zľavou – akcia.......................................................... 188.1.7 Počítanie s teplotami ............................................................... 198.1.8 „Múdra“ škola ......................................................................... 21

Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy ............................................. 23

8.2.1 Hladina vody ........................................................................... 248.2.2 Vek stromov ............................................................................. 258.2.3 Rastliny a hodnota pH pôdy .................................................. 268.2.4 Vianočné nákupy ..................................................................... 278.2.5 Priemerná teplota ovzdušia ................................................... 288.2.6 Školský večierok ...................................................................... 308.2.7 Darček pre Ňufáka .................................................................. 328.2.8 Tachometer .............................................................................. 348.2.9 Stopa po kolesách .................................................................... 358.2.10 Rýdzosť drahých kovov ........................................................ 37

Geometria a meranie ...................................................................... 39

8.3.1 Váza .......................................................................................... 408.3.2 Vlajka triedy ............................................................................. 418.3.3 Orámovanie obrazu ................................................................ 428.3.4 Presýpacie hodiny ................................................................... 448.3.5 Kanalizácia ............................................................................... 468.3.6 Kúpeľňa ..................................................................................... 478.3.7 Balet .......................................................................................... 488.3.8 Silikón ....................................................................................... 498.3.9 Dráha kolesa ............................................................................ 51

Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika ........................... 53

8.4.1 Letný festival ............................................................................ 548.4.2 Galtonova doska ...................................................................... 568.4.3 Počet automobilov v domácnosti .......................................... 588.4.4 Údaje o narodení ..................................................................... 598.4.5 Počet návštevníkov.................................................................. 638.4.6 Letné olympijské hry .............................................................. 658.4.7 Zabúdanie ................................................................................ 678.4.8 Platia „Murphyho“ zákony? ................................................... 698.4.9 Vekové pyramídy ..................................................................... 728.4.10 Projektová úloha – Mobil ..................................................... 758.4.11 Vek mačky .............................................................................. 768.4.12 Hra Losovanie čísla ............................................................... 788.4.13 Priemerná známka z písomky ............................................ 808.4.14 Nezamestnanosť .................................................................... 81

Logika, dôvodnenie, dôkazy ........................................................ 89

8.5.1 Letecké katastrofy .................................................................... 908.5.2 Záhrada .................................................................................... 918.5.3 Záhradník ................................................................................. 938.5.4 Slimák ....................................................................................... 938.5.5 Sviatky ....................................................................................... 948.5.6 Obyvatelia z Klenian ............................................................... 968.5.7 Šípky .......................................................................................... 97

Obsah ................................................................................................. 98

Matematika. Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 8. ročníka základných škôl. Zbierka problémových situácií bežného života Editori: prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc., RNDr. Attila Komzsík, PhD., Ing. Rastislav Žitný, PhD.

Vydavateľ: Fakulta stredoeurópskych štúdií UKF v NitreEdícia Europica varietas č. 23Neprešlo jazykovou korektúrou

Technický redaktor: Ing. Rastislav Žitný, PhD.Návrh obálky: Ing. Rastislav Žitný, PhD.Rok vydania: 2014Vydanie: PrvéRozsah: 100 stránNáklad: 60 ksVydané: CD-ROMCopyright: FSŠ UKF v Nitre

ISBN 978-80-558-0616-7EAN 9788055806167

Documents

MATEMATIKA Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií ... · MATEMATIKA Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 8. ročníka základných škôl Zbierka