Matematika SMK Bisnis Bab 1 - 11 - psbtik.smkn1cms.netpsbtik.smkn1cms.net/bse/kejuruan/adap_norma... · Matematika Bisinis dan Perkantoran oleh Bandung Arry Sanjoyo, ... beberapa

SMK

Fmipa

ITS

SMK

Bisnis Dan Perkantoran

MATEMATIKA

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN

2007

Penulis: Bandung Arry Sanjoyo

Sri Suprapti Nur Asyiah

Dian Winda S. Editor: Erna Apriliani

Bandung Arry Sanjoyo, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S.

MATEMATIKA BISINIS DAN PERKANTORAN SMK

Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Departemen Pendidikan Nasional

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

MATEMATIAK BISNIS DAN PERKANTORAN Untuk SMK Penulis : Bandung Arry Sanjoyo, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S. Ukuran Buku : …… x …… cm Diterbitkan oleh Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 Diperbanyak oleh….

…… BAS Bandung Arry Sanjoyo, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S. …. Matematika Bisinis dan Perkantoran oleh Bandung Arry Sanjoyo, Sri

Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S..--- Jakarta:Pusat Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. vi. 636 hlm. ISBN ……-……-……-…… 1. Matematika Bisnis dan Perkantoran

KATA SAMBUTAN

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah melaksanakan penulisan pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui website bagi siswa SMK. Buku teks pelajaran ini telah melalui proses penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan sebagai buku teks pelajaran untuk SMK yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 12 tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada seluruh penulis yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik SMK di seluruh Indonesia. Buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional tersebut, dapat diunduh (download), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Dengan ditayangkannya soft copy ini akan lebih memudahkan bagi masyarakat untuk mengaksesnya sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Selanjutnya, kepada para peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan semoga dapat memanfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Direktur Pembinaan SMK

i

KATA PENGANTAR

Matematika merupakan suatu alat untuk berkomunikasi di bidang ilmu

pengetahuan dan teknologi. Dengan matematika kita dapat

mengungkapkan gejala – gejala alam, sosial, dan teknik dengan suatu

ungkapan rumusan matematika yang tidak memuat makna ganda.

Bahkan dengan berbantuan matematika kita dapat menyelesaikan

permasalahan sosial, ekonomi, manajemen, dan teknik dengan

penyelesaian yang akurat dan optimal. Fakta menunjukkan bahwa

beberapa pemenang nobel untuk bidang ekonomi atau teknik berasal

dari matematikawan.

Oleh karena itu, mempelajari dan menguasai matematika dari usia

sekolah dasar maupun lanjut merupakan suatu kebutuhan. Buku ini

disusun dengan memperhatikan konsep berfikir matematis dan selalu

mengaitkannya dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada

permasalahan ekonomi, bisnis, dan manajemen. Pada setiap konsep

kecil yang dituangkan dalam suatu sub bab selalu dikaitkan dengan

permasalahan sehari – hari. Juga pada setiap bab diawali dengan

kalimat motivasi, pembuka dan perangsang bagi pembaca untuk

mengerti dari awal, kira-kira akan dipakai seperti apa dan dimana.

Belajar matematika tidak cukup hanya dengan mengerti konsep saja.

Harus disertai dengan banyak latihan olah pikir serupa dengan contoh –

contoh yang diberikan. Untuk itu, pada setiap akhir sub bab diberikan

banyak soal – soal sebagai latihan dalam menguasai konsep dan

miningkatkan ketrampilan olah pikir dan penyelesaian permasalahan.

ii K a t a P e n g a n t a r

Susunan materi di buku ini berpedoman pada silabus dan GBPP yang

telah disusun oleh Depdiknas untuk matematika tingkat SMK bidang

Bisnis dan Perkantoran. Sehingga rujukan yang dipakai banyak

menggunakan buku matematika untuk SMK dan SMA/MA. Namun

demikian juga memperhatikan beberapa buku matematika untuk

perguruan tinggi maupun buku aplikasi matematika. Dengan harapan

bahwa konsep dan aplikasi matematika tidak terabaikan, juga tingkatan

penyampaian materi sangat memperhatikan usia sekolah SMK.

Banyak kata motivasi dan kalimat definitif diambil dari buku rujukan

yang dipakai. Untuk suatu topik gagasan, sering diambil dari gabungan

beberapa buku yang kemudian diungkapkan kedalam suatu kalimat

yang sekiranya akan mudah dimengerti oleh siswa SMK.

Buku Matematika SMK Bisnis dan Perkantoran ini terdiri dari 11 bab.

Bab awal memuat materi dasar dalam matematika, yang akan dipakai

untuk materi lain yang ada pada bab sesudahnya. Setiap bab berisi

tentang topik kajian matematika yang disajikan lewat orientasi /

ilustrasi, teori, beberapa contoh soal mulai dari yang mudah ke soal

yang sulit. Sebelum mengerjakan latihan soal-soal pada setiap subbab,

didahului dengan rangkuman, dengan tujuan siswa dapat mengingat

hal-hal penting dari subbab yang telah dipelajari.

Bab 1, tentang topik kajian bilangan real. Bilangan real merupakan hal

dasar dari mempelajari semua topik kajian matematika. Oleh karena itu,

bab ini wajib dipelajari terlebih dahulu sebelum mengkaji bab – bab

lain. Bab 1 memuat tentang himpunan bilangan-bilangan. Mulai dari

bilangan asli sampai dengan bilangan real. Operasi pada bilangan real

iii K a t a P e n g a n t a r

dan sifat-sifatnya dibahas mendetail pada bab ini. Seperti operasi

jumlah, kurang, kali, bagi, pangkat, dan logaritma.

Bab 2, tentang persamaan dan pertidaksamaan. Setelah mengenal objek

bilangan real, dikenalkan tentang ekspresi matematika dalam bentuk

persamaan dan pertidaksamaan. Persamaan dan pertidaksamaan ini

merupakan ekspresi matematika yang dapat dipakai untuk merumuskan

berbagai macam persoalan yang sering kita hadapi. Persamaan dan

pertidaksamaan yang dikaji dibatasi pada persamaan dan

pertidaksamaan linear dan kuadrat. Namun juga membahas sistem

persamaan linear dengan dua dan tiga peubah. Sistem persamaan linear-

kuadrat juga dikenalkan pada bab ini. Pemakaian keduanya pada

permasalahan sehari-hari juga disajikan cukup banyak.

Bab 3, tentang matriks. Matriks merupakan suatu objek di matematika

yang didefinisikan dan dikenakan berbagai macam operasi pada

matriks. Macam matriks dan sifat-sifat operasi pada matriks dibahas

secara mendalam, yang pada akhir dapat dipakai untuk menyelesaikan

berbagai macam permasalahan kita. Sepertinya permasalahan sistem

persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan konsep

matriks ini.

Bab 4, tentang program linear. Program linear merupakan suatu metoda

untuk mendapatkan nilai optimal dari suatu permasalahan optimasi atas

suatu kendala sistem pertidaksamaan linear. Pada pembahasan program

linear, dibatasi pada permasalahan yang hanya melibatkan dua peubah,

diawali dengan contoh-contoh penerapan pada permasalahan sehari-

hari. Dilanjutkan dengan pemodelan kalimat verbal ke dalam model

iv K a t a P e n g a n t a r

matematika program linear. Teknik meyelesaiakan program linear

disajikan dalam dua cara, termasuk penggunaan garis selidik.

Bab 5, tentang logika matematika. Pada bab ini membahas tentang nilai

kebenaran suatu kalimat. Berbagai macam operasi penghubung kalimat

seperti ingkaran/ negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi,

modus ponens, tollens, dan silogisme.

Bab 6, tentang fungsi. Diawali pembahan tentang pengertian fungsi,

pengenalan berbagai macam fungsi seperti fungsi linear dan fungsi

kuadrat dan penerapannya pada permasalahan sehari-hari.

Bab 7, tentang barisan dan deret. Diawali tentang pembahasan

pengertian barisan dan deret, pengenalan pola bilangan, macam-macam

deret seperti deret aritmatika dan geometri. Pemakaian deret pada

kasus nyta juda sedikit dikenalkan.

Bab 8, tentang geometri bidang. Suatu konsep matematika yang

mempunyai banyak pemakaian adalah geometri. Bab geometri bidang

diawali dengan pengenalan sudut, keliling, luas, transformasi geometri,

dan penerapannya.

Bab 9, tentang peluang. Konsep di matematika yang setiap haris kita

selalu berhubungan adalah konsep peluang. Peluang yang dibahas pada

buku ini dimulai dari membahas secara detail tentang ruang sampel.

Dalam konsep penghitungan (counting), ruang sampel merupakan dasar

dari semua penghitungan dan penghitungan peluang dari setiap

kejadian. Dibahas pula tentang peluang kejadian bersyarat.

v K a t a P e n g a n t a r

Bab 10, tentang statistika. Membahas segala hal yang berkaitan dengan

data. Penyajian data dalam berbagai macam bentuk, seperti tabel,

diagram, dan grafik dibahas pada bab ini. Dilanjutkan dengan

pembahasan tentang ukuran statistika dan penyebaran data.

Bab 11, tentang matematika keuangan. Hitung keuangan adalah suatu

kegiatan yang setiap hari dijalani manusia. Dasar dari aktivitas hitung

keuangan adalah matematika keuangan. Dalam bab ini, dibahas tentang

berbagai macam hitung keuangan seperti bunga tunggal, bunga

majemuk, diskonto, nilai tunai, valuta, rente, anuitas, dan saldo

menurun.

Dengan bekal matematika untuk SMK Bisnis dan perkantoran ini,

diharapkan lulusan SMK mempunyai bekal yang cukup dalam berfikir

secara logis dan sistematis dengan selalu berpijak pada kaidah-kaidah

keilmuan matematika dalam menghadapi problema-problema pada

dunia kerja.

Penulis sangat menyadari bahwa buku ini masih jauh dari

kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran untuk perbaikan sangat

diharapkan oleh penulis. Suatu penghargaan yang setinggi – tingginya

disampaikan kepada semua pihak yang telah mendukung dan

meberikan fasilitas dalam penyusunan buku ini. Terutama kepada

beliau-beliau yang dengan ikhlas mengarahkan, mengoreksi,

memberikan masukan terhadap isi buku ini. Sekali lagi kami

menyampaikan perhargaan yang sangat tinggi dan terima kasih yang

sedalam-dalamnya.

Penulis.

vi K a t a P e n g a n t a r

vii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR I

DAFTAR ISI VII

1. SISTEM BILANGAN REAL 1

1.1 BILANGAN REAL DAN OPERASI PADA REAL 2

1.1.1 BILANGAN REAL 2

1.1.2 OPERASI PADA BILANGAN REAL 16

1.2 PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN 25

1.2.1 PERBANDINGAN 25

1.2.2 SKALA 29

1.2.3 PERSEN 30

1.3 OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULAT 34

1.3.1 PANGKAT BILANGAN POSITIF 34

1.3.2 PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOL 37

1.3.3 PENERAPAN OPERASI BILANGAN BERPANGKAT 43

1.4 BILANGAN DALAM BENTUK AKAR (IRASIONAL) 53

1.4.1 OPERASI ALJABAR PADA BILANGAN BERBENTUK AKAR 55

1.4.2 MERASIONALKAN PENYEBUT 58

1.5 BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL 62

1.6 LOGARITMA 70

1.6.1 PENGERTIAN LOGARITMA 70

viii D a f t a r I s i

1.6.2 MENGHITUNG LOGARITMA 73

1.6.3 SIFAT – SIFAT LOGARITMA 82

1.6.4 CONTOH PEMAKAIAN LOGARITMA 85

2. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 93

2.1 PERSAMAAN LINEAR 94

2.1.1 PERSAMAAN LINEAR SATU PEUBAH 95

2.1.2 PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH 101

2.2 PERSAMAAN KUADRAT 107

2.2.1 MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT 110

2.2.2 MENCARI HUBUNGAN AKAR‐AKAR PERSAMAAN KUADRAT 127

2.2.3 HUBUNGAN ANTARA AKAR‐AKAR PERSAMAAN KUADRAT

LAINNYA 134

2.2.4 MENERAPKAN PERSAMAAN KUADRAT 142

2.3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR 154

2.3.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH 156

2.3.2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA PEUBAH 165

2.4 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT DUA PEUBAH 171

2.5 PERTIDAKSAMAAN 175

2.5.1 PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH 178

2.5.2 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT 182

2.5.3 PERTIDAKSAMAAN PECAH RASIONAL 185

2.5.4 MENERAPKAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT 189

3. MATRIKS 177

D a f t a r I s i i x

3.1 MATRIKS DAN OPERASINYA 177

3.2 INVERS MATRIKS 189

3.3 DETERMINAN 196

3.4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MATRIKS

207

3.4.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN INVERS

MATRKS 210

3.4.2 METODA CRAMER 212

4. PROGRAM LINEAR 219

4.1 SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR 220

4.1.1 PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH PENYELESAIANNYA

220

4.1.2 SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH

PENYELESAIANNYA 229

4.2 MODEL MATEMATIKA DARI PROGRAM LINEAR 240

4.3 NILAI OPTIMUM DARI DAERAH PENYELESAIAN SISTEM

PERTIDAKSAMAAN LINEAR. 253

4.4 PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN

GARIS SELIDIK 270

5. LOGIKA 279

5.1 PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA 281

5.1.1 PROPOSISI 281

5.1.2 KALIMAT TERBUKA 283

x D a f t a r I s i

5.2 PENGHUBUNG ATAU KONEKTIF (CONNECTIVE) 285

5.2.1 NEGASI 286

5.2.2 KONJUNGSI 287

5.2.3 DISJUNGSI 288

5.2.4 IMPLIKASI (PROPOSISI BERSYARAT) 290

5.2.5 BIIMPLIKASI 293

5.2.6 TABEL KEBENARAN (TRUTH TABLE) 297

5.3 KUANTOR UNIVERSAL DAN KUANTOR EKSISTENSIAL 301

5.3.1 NEGASI DARI PERNYATAAN BERKUANTOR 303

5.3.2 HUBUNGAN INVERS, KONVERS DAN KONTRAPOSISI 304

5.3.3 DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN 306

5.4 SILOGISME, MODUS PONENS DAN MODUS TOLLENS 310

5.4.1 SILOGISME 311

5.4.2 MODUS PONENS 313

5.4.3 MODUS TOLLENS 315

6. FUNGSI 321

6.1 FUNGSI DAN RELASI 322

6.1.1 JENIS‐JENIS FUNGSI 327

6.2 FUNGSI LINIER 332

6.2.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI LINIER 333

6.2.2 PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI SEBUAH TITIK

DENGAN GRADIEN DIKETAHUI 336

6.2.3 PENENTUAN PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI DUA

TITIK 337

D a f t a r I s i x i

6.2.4 KEDUDUKAN DUA BUAH GARIS LURUS 338

6.2.5 INVERS FUNGSI LINIER 338

6.3 FUNGSI KUADRAT 343

6.3.1 BENTUK UMUM PARABOLA 346

6.3.2 MENENTUKAN PUNCAK, PERSAMAAN SUMBU SIMETRI DAN

KOORDINAT FOKUS SUATU PARABOLA 348

6.4 APLIKASI UNTUK EKONOMI 359

7. BARISAN DAN DERET 365

7.1 POLA BILANGAN, BARISAN, DAN DERET 366

7.1.1 POLA BILANGAN 366

7.1.2 BARISAN 368

7.1.3 NOTASI SIGMA 374

7.1.4 DERET 380

7.2 BARISAN DAN DERET ARITMATIKA 388

7.3 BARISAN DAN DERET GEOMETRI 399

8. GEOMETRI BIDANG 413

8.1 SUDUT 414

8.2 KELILING BANGUN DATAR 424

8.2.1 PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG 425

8.2.2 JAJARAN GENJANG, LAYANG – LAYANG DAN TRAPESIUM 427

8.2.3 SEGITIGA 427

8.2.4 LINGKARAN 435

8.3 LUAS BANGUN DATAR 437

xii D a f t a r I s i

8.3.1 PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG 437

8.3.2 SEGITIGA 438

8.3.3 JAJARAN GENJANG 439

8.3.4 LAYANG ‐ LAYANG 440

8.3.5 TRAPESIUM 442

8.3.6 LINGKARAN 443

8.4 TRANSFORMASI GEOMETRI 446

8.4.1 TRANSLASI 447

8.4.2 ROTASI 451

8.4.3 REFLEKSI (PENCERMINAN) 455

8.4.4 DILATASI 459

8.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI 464

8.5.1 KOMPOSISI TRANSLASI 464

8.5.2 KOMPOSISI ROTASI 465

8.5.3 KOMPOSISI REFLEKSI (PENCERMINAN) 466

8.5.4 KOMPOSISI LEBIH DARI DUA TRANSFORMASI 468

8.6 PENERAPAN GEOMETRI BIDANG 471

9. PELUANG 475

9.1 PENGERTIAN DASAR 476

9.2 KAIDAH PENCACAHAN 479

9.2.1 KAIDAH PERKALIAN 480

9.2.2 KAIDAH PENJUMLAHAN 483

9.3 PERMUTASI DAN KOMBINASI 485

9.3.1 NOTASI FAKTORIAL 485

D a f t a r I s i

x i

i i

9.3.2 PERMUTASI 486

9.3.3 KOMBINASI 498

9.4 PELUANG SUATU KEJADIAN 509

9.4.1 PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN 515

9.4.2 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN 516

9.4.3 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN SALING LEPAS 518

9.4.4 PELUANG BERSYARAT DAN KEJADIAN SALING BEBAS 520

9.4.5 FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN 528

10. STATISTIKA 535

10.1 PENGERTIAN DASAR 535

10.1.1 PENGERTIAN STATISTIKA 536

10.1.2 PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL 536

10.1.3 MACAM – MACAM DATA 537

10.2 PENYAJIAN DATA 540

10.2.1 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL 540

10.2.2 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM 546

10.2.3 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK 551

10.3 UKURAN STATISTIKA BAGI DATA 555

10.3.1 UKURAN PEMUSATAN 555

10.3.2 UKURAN PENYEBARAN 563

11. MATEMATIKA KEUANGAN 581

11.1 BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK 581

11.2 DISKONTO 591

xiv D a f t a r I s i

11.3 BUNGA MAJEMUK 593

11.4 NILAI TUNAI, NILAI AKHIR, DAN VALUTA 597

11.5 RENTE (RENTETAN MODAL) 602

11.6 ANUITAS 613

11.7 METODE SALDO MENURUN 624

1

1. Sistem Bilangan Real

Bab

1 SI S T E M BI L A N G A N RE A L ilangan real mempunyai banyak pemakaian, misal setengah

keuntungan usaha Anton tahun 2007 digunakan untuk

menambah modal usaha. Jika keuntungan usaha Anton pada

tahun 2007 adalah Rp 100.000.000, maka modal usaha

Anton pada tahun 2007 bertambah sebesar

. Penambahan modal usaha

Anton tersebut, juga dapat dinyatakan dalam bentuk persen (%), yaitu

50% dari keuntungan pada tahun 2007. Besarnya kerugian suatu usaha

juga dapat dinyatakan dengan menggunakan bilangan real negatif. Pada

bab ini akan dipelajari tentang bilangan real dan operasi yang dapat

dilakukan pada bilangan real.

Operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real tersebut meliputi:

operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada bilangan

berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk akar),

operasi pada logaritma. Selain itu, juga dibahas konversi bilangan-

B

2 B a b 1 : S i s t e m B i l a n g a n R e a l

bilangan bulat dan bilangan pecahan ke atau dari bentuk persen,

pecahan desimal, pecahan campuran. Pada bab ini juga dibahas

masalah perbandingan, skala, dan persen.

1.1 BILANGAN REAL DAN OPERASI PADA REAL 1.1.1 BILANGAN REAL Sistem bilangan merupakan dasar matematika. Oleh karena itu,

sangatlah penting untuk mengenal berbagai jenis bilangan dan

perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam sub-bab ini akan

dikenalkan mengenai dasar dan istilah yang berkaitan dengan bilangan

asli, cacah, bulat, rasional, irasional, dan real.

Bilangan Asli

Dalam keseharian, biasanya orang membilang mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6,

dan seterusnya. Bilangan – bilangan ini dinamakan bilangan asli.

Himpunan bilangan asli (natural) biasa dilambangkan dengan N,

adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan asli, seperti

dituliskan berikut ini.

N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

Bilangan Cacah

Jika bilangan 0 dimasukkan dalam himpunan bilangan asli, maka

himpunan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah, dan

dilambangkan dengan H, yaitu:

H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

B a b 3 : S i s t e m B i l a n g a n R e a l 3

Setiap bilangan asli juga merupakan bilangan cacah, akan tetapi bukan

sebaliknya.

CONTOH 1.1.1 • Bilangan 7 adalah bilangan asli dan 7 juga merupakan bilangan

cacah.

• Bilangan 4 adalah bilangan asli dan 4 juga merupakan bilangan cacah.

• Bilangan 0 merupakan bilangan cacah akan tetapi 0 bukan merupakan bilangan asli.

Bilangan Bulat

Bilangan asli 7 dapat juga dituliskan dengan memberikan tanda +

didepannya menjadi +7. Jadi bilangan 7 dan +7 adalah sama. Namun

demikian, tanda + tidak biasa dituliskan. Dalam perhitungan banyaknya

suatu objek, sering dijumpai adanya kekurangan objek. Misal jumlah

apel dalam suatu kardus seharusnya 100 buah apel, ternyata setelah

dilakukan penghitungan banyaknya apel ada 97 buah. Jadi ada

kekurangan buah apel sebanyak 3 buah. Untuk menyatakan kekurangan

3 buah apel ini dapat dituliskan dengan symbol -3 buah apel.

Selanjutnya didefiniskan suatu bilangan negatif –n dengan n adalah

bilangan asli. Himpunan bilangan yang dinotasikan dengan lambang Z

dan mempunyai anggota seperti berikut ini dinamakan himpunan

bilangan bulat (integer).

Z = {... ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }


Setiap bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat, akan tetapi

bukan sebaliknya. Himpunan bilangan asli merupakan himpunan

bagian dari himpunan bilangan cacah, begitu juga himpunan bilangan

cacah merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat.

CONTOH 1.1.2 • Bilangan 7 adalah bilangan cacah dan 7 juga merupakan

bilangan bulat.

• Bilangan 0 adalah bilangan cacah dan 0 juga merupakan bilangan bulat.

• Bilangan -7 merupakan bilangan bulat akan tetapi -7 bukan merupakan bilangan cacah.

Jadi bilangan bulat terdiri dari:

Bilangan bulat positif, yaitu: 1, 2, 3, ...

Bilangan bulat 0 (nol), dan

Bilangan bulat negatif, yaitu: -1, -2, -3, ...

Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional, dinotasikan dengan lambang Q.

Bilangan rasional berbentuk pembagian bilangan bulat dengan p

disebut pembilang (numerator) dan q≠0 disebut penyebut

(denominator). Karena itu, himpunan bilangan rasional dapat

dituliskan sebagai berikut.


CONTOH 1.1.3 Berikut ini merupakan contoh-contoh bilangan rasional:

• adalah bilangan rasional yang berbentuk dengan a < b.

Bentuk bilangan rasional seperti ini disebut pecahan murni.

• adalah bilangan rasional yang berbentuk

dengan a > b. Bentuk bilangan rasional seperti ini disebut pecahan

tak murni.

Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan

rasional karena setiap bilangan bulat p dapat ditulis sebagai pembagian

. Bilangan rasional mempunyai tak berhingga banyak bentuk

representasi bilangan. Seperti bilangan rasional 1 dapat dituliskan

dengan , atau , atau , atau yang lainnya. bilangan rasional dapat

dituliskan dengan , atau , atau , atau yang lainnya.

Sifat bilangan rasional:


Nilai dari suatu bilangan rasional tidak berubah, jika pembilang p dan

penyebut q keduanya dikalikan atau dibagai dengan bilangan bulat

selain 0.

Bentuk Desimal

Bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk desimal

. Untuk i = 1, 2, 3, …, n+m, di

merupakan angka / digit desimal 0, 1, 2, …, atau 9. Nilai dari bilangan

bentuk desimal adalah

d1(10n)+d2(10n-1)+…+dn(100)+dn+1(10-1)+dn+2(10-2)+…dn+m(10m)

dengan :

• , , , dan seterusnya. • , , , dan seterusnya • Sedangkan didefinisikan dengan .

Sebagai gambaran bilangan 235,47 mempunyai nilai


CONTOH 1.1.4 Berikut ini merupakan contoh-contoh bentuk desimal dari

bilangan rasional:

• , nilai 0,5 didapat dari membagi bilangan 1 dengan

bilangan 2.


bilangan 4.


bilangan 2.

• , tanda … menyatakan angka perulangan 3 diulang

terus sampai dengan tak berhingga banyak. Bentuk 0,33333… ini

sering disingkat dengan .

• , tanda … menyatakan angka perulangan 25 diulang

terus sampai dengan tak berhingga banyak. Bentuk 0,252525… ini

sering disingkat dengan .

Dengan memperhatikan contoh di atas, dapat dikatakan bahwa:

1. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk

desimal terbatas, seperti bilangan 0,5 ; 0,25 ; 0,125 dan lainnya.

2. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk

desimal tak terbatas, seperti:

a. Bilangan 0,3333… angka 3 dibelakang tanda koma berulang

tak terbatas.


b. Bilangan 0,125125125125… angka 125 dibelakang tanda koma

berulang tak terbatas.

CONTOH 1.1.5 Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk

pembagian dua bilangan bulat .

a. 2,3 b. 23,45

Penyelesaian:

a. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 2,3

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10. Kita ambil pengali

10 karena angka dibelakang tanda koma terbatas satu angka. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini. 10 x = 23, atau

x =

b. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 23,45

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 100. Kita ambil pengali

100 karena angka dibelakang tanda koma terbatas dua angka. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini. 100 x = 2345, atau

x =


CONTOH 1.1.6 Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk

pembagian dua bilangan bulat .

a. 1,33333… b. 0,123123123…

Penyelesaian:

a. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 1,33333…

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10, kita ambil pengali

10 karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya satu angka yang berulang, yaitu 3. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini. 10 x = 13,33333…

10 x = 12 + 1,33333…

10 x = 12 + x

9 x = 12

x =

b. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 0,123123123…

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 1000, kita ambil pengali

1000 karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya tiga angka yang berulang, yaitu 123. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini. 1000 x = 123,123123123…

1000 x = 123 + 0,123123123…


1000 x = 123 + x

999 x = 123

x =

Langkah-langkah berikut merubah bilangan rasional berbentuk desimal

menjadi bilangan rasional berbentuk .

1. Lakukan pemisalan bilangan rasional yang dicari adalah

x= .

2. Jika m berhingga / terbatas, maka kalikan kedua ruas

persamaan pada langkah 1 dengan bilangan .

Jika m tak berhingga / tak terbatas, maka kalikan kedua ruas

persamaan pada langkah 1 dengan bilangan , dengan r

adalah banyaknya digit yang berulang pada deretan digit

dn+1dn+2…dn+m.

3. Lakukan operasi aljabar untuk membawa x kedalam bentuk

dengan p dan q≠0 bilangan bulat.

Bilangan desimal yang mempunyai angka dibelakang tanda koma tak

terbatas dan tak berulang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

pembagian bilangan bulat . Seperti bilangan desimal

x=3,010010001000010000010000001… tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk pembagian bilangan bulat. Oleh karena itu bilangan x tersebut

bukan bilangan rasional, atau x merupakan bilangan irasional.

Bilangan Irasional

B a b 3 : S i s t e m B i l a n g a n R e a l 1 1

Bilangan irasional atau bilangan bukan rasional yaitu bilangan-

bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian bilangan

bulat.

CONTOH 1.1.7 Bilangan adalah bilangan irasional. Ini dapat dibuktikan secara

analitis, namun tidak ditunjukkan disini. Akan tetapi, akan

ditampilkan dalam bentuk desimal yang diambil dengan menggunakan

perangkat lunak Maple. Amatilah bahwa angka-angka dibelakang

tanda koma pada bilangan tidak ada yang berulang.

• , nilai desimal

yang dipotong sampai dengan 30 angka dibelakang tanda koma.

•

,

nilai desimal yang dipotong sampai dengan 80 angka

dibelakang tanda koma. Simbul adalah simbul “hampir sama

dengan”.

CONTOH 1.1.8 Amatilah bahwa angka-angka dibelakang tanda koma pada bilangan

yang diambil dengan menggunakan perangkat lunak Maple, tidak ada

sederetan angka yang berulang.


• , nilai desimal

yang dipotong sampai dengan 20 angka dibelakang tanda koma.

•

, nilai

desimal yang dipotong sampai dengan 80 angka dibelakang tanda

koma.

Bilangan Real

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional membentuk suatu

himpunan bilangan yang disebut himpunan bilangan real dan

dinotasikan dengan R.

Bilangan real dapat dikaitkan dengan titik pada sebuah garis. Garis ini

mempunyai arah ke kanan dan ke kiri. Dipilih sebuah titik acuan 0 pada

garis tersebut, yang disebut titik awal. Titik acuan awal ini yang

berkaitan dengan bilangan real 0. Dari titik acuan 0, garis arah ke kanan

sebagai arah positif dan titik pada garis arah positif ini menyatakan

sebuah bilangan real positif. Dari titik acuan 0 ke arah kiri sebagai arah

negatif dan titik pada garis arah negatif ini menyatakan sebuah

bilangan real negatif. Lihat Gambar 1.1.1 dibawah ini.

2

Gambar 1.1.1. Garis Bilangan Real 1

1 Pada tahun 1637 Ren´e Descartes1 menerbitkan suatu karya filsafat yang berjudul Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason. Dalam lampiran tersebut Ren´e Descartes menghubungkan aljabar dengan geometri, yang merupakan kreasi baru dan disebut geometri analitik; suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan


Dengan sebarang satuan pengukuran, setiap bilangan real positif x

Dengan sembarang satuan pengukuran, setiap bilangan real positif x

dinyatakan dengan suatu titik yang berjarak x satuan ke arah kanan dari

titik awal, dan setiap bilangan real negatif –x dinyatakan dengan titik

yang berjarak x satuan ke arah kiri dari titik awal.

CONTOH 1.1.9 Perhatikan Gambar 1.1.2, pada garis bilangan real diberi tanda tempat

titik-titik dengan koordinat . Tempat dari dan π

merupakan hampiran yang diperoleh dari hampiran desimalnya yaitu

dan .

Gambar 1.1.2 Posisi beberapa bilangan real pada garis bilangan

Berdasarkan cara di atas, bilangan-bilangan real dan titik-titik pada

garis koordinat adalah berhubungan. Setiap bilangan real akan

dikawankan dengan satu titik tunggal dan setiap titik akan dikawankan

dengan satu bilangan real. Oleh karena itu, bilangan real dan titik-titik

pada garis koordinat berkorespondensi satu-satu.

kurva geometrik dan sebaliknya, kurva geometrik dengan rumus aljabar. Dalam geometri analitik, bilangan real dinyatakan dengan titik pada sebuah garis.


Bilangan real dapat diurut berdasarkan nilai desimalnya. Bilangan real

lebih besar dari bilangan real . Karena > 1,4.

Bilangan real lebih kecil dari bilangan real . Karena <

.

Bilangan Kompleks

Kuadrat suatu bilangan real selalu tak negatif. Oleh karena itu

persamaan tidak mempunyai penyelesaian dalam bentuk

bilangan real. Pada abad XVIII para matematikawan memperbaiki

permasalahan tersebut dengan memperkenalkan bilangan baru, yang

dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai . Definisi ini

selanjutnya mengarah pada perkembangan bilangan kompleks, yaitu

bilangan-bilangan yang berbentuk

a + bi

dengan a dan b bilangan real. Bilangan – bilangan kompleks ini, jika

dihimpun membentuk sebuah himpunan bilangan kompleks yang biasa

dinotasikan dengan C dan dinyatakan sebagai:


CONTOH 1.1.10 Beberapa contoh bilangan kompleks, sebagai berikut.

a. 1‐2i = dengan a = 1 dan b = ‐2. b. 2+i = dengan a = 2 dan b = 1. c. ‐5+10i = dengan a = ‐5 dan b = 10. d. ‐5 =‐5 + 0i dengan a = ‐5 dan b = 0. e. 10i = 0 + 10 I dengan a = 0 dan b = 10.

Perhatikan bahwa setiap bilangan real a juga merupakan bilangan

kompleks karena dapat ditulis sebagai a = a + 0i. Jadi, himpunan

bilangan real adalah himpunan bagian dari bilangan kompleks.

Bilangan kompleks yang bukan bilangan real disebut bilangan

imajiner. Jadi bilangan imajiner berbentuk bi, dengan

Susunan bilangan-bilangan dapat diringkas dalam gambar berikut ini

Gambar 1.1.3 Diagram Himpunan Bilangan


Pada buku ini, bilangan kompleks hanya ditampilkan sebagai

perkenalan, dan tidak akan dibahas lebih mendalam.

1.1.2 OPERASI PADA BILANGAN REAL Sebelum ini, kita telah dikenalkan dengan jenis bilangan, yaitu bilangan

asli, cacah, bulat, rasional, irasional, real, dan kompleks. Untuk

selanjutnya, bilangan yang akan dibahas adalah bilangan real. Pada sub

bab ini akan diperkenalkan operator dan sifat-sifat operasi dasar pada

bilangan real. Beberapa operator yang dapat dikenakan pada bilangan

real adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian.

1. Operasi Penjumlahan (+) Jika a, b merupakan bilangan real atau a,b∈ R maka hasil penjumlahan antara a dan b adalah bilangan real c dan ditulis c = a + b.

Cara mendapatkan hasil penjumlahan secara geometris

• Letakkan bilangan pertama a pada garis bilangan.

• Untuk b > 0, langkahkan ke kanan sejauh (sebanyak) bilangan

kedua b.

Untuk b < 0, langkahkan ke kiri sejauh bilangan -b.

Untuk b=0, a+b=a.

Langkah – langkah di atas, untuk b positif dapat digambarkan

sebagai berikut.


Gambar 1.1.4 Representasi geometris dari c = a + b

Sifat operasi penjumlahan

Untuk bilangan real a, b, dan c, berlaku sifat-sifat operasi

penjumlahan sebagai berikut.

i. Sifat tertutup

Penjumlahan dua buah bilangan real menghasilkan bilangan

real juga.

ii. Sifat komutatif

a + b = b + a

iii. Sifat asosiatif

(a + b) + c = a + (b + c)

iv. Adanya elemen identitas/netral

a + 0 = 0 + a = a

Bilangan 0 dinamakan elemen identitas untuk penjumlahan.

v. Adanya elemen invers

a + (-a) = 0 , bilangan -a dikatakan invers penjumlahan dari a. CONTOH 1.1.11 Tentukan hasil 5 + 3 dan 3 + 5 + 2 dengan menggambarkan secara

geometris.

Penyelesaian:


Berdasarkan gambar di atas:

• Hasil dari 5 + 3 adalah 8. • Hasil dari 3 + 5 + 2 = (3+5)+2 = 8 + 2 = 10

Lakukan sendiri untuk menjumlahkan 3 + 5 dan 5 + (3 + 2). Perhatikan

bahwa sifat-sifat tertutup, komutatif dan assosiatif terlihat pada contoh

ini.

CONTOH 1.1.12 Tentukan hasil a + a dan a + a + a dengan menggambarkan secara

geometris. Dengan a > 0.

Penyelesaian:


• Hasil dari a + a adalah 2a.

• Hasil dari a + a + a = (a + a)+a = 2a + a = 3a


2. Operasi Pengurangan (-)

Jika a,b∈ R maka hasil pengurangan / selisih antara a dan b adalah

bilangan real c dan ditulis c = a – b = a + (-b).

Cara mendapatkan hasil pengurangan secara geometris

• Letakkan bilangan pertama a pada garis bilangan.

• Untuk b > 0, langkahkan ke kiri sejauh (sebanyak) bilangan

kedua b.

Untuk b < 0, langkahkan ke kanan sejauh bilangan -b.

Untuk b=0, a-b=a.

Langkah – langkah di atas (untuk nilai b > 0) dapat digambarkan

sebagai berikut.

Gambar 1.1.5 Representasi geometris dari c = a – b = a + (-b)

Sifat operasi pengurangan


pengurangan sebagai berikut.

i. Sifat tertutup

Pengurangan dua buah bilangan real menghasilkan bilangan

real juga.

ii. Sifat tidak komutatif

Jika a ≠ b, maka a - b ≠ b - a


iii. Sifat tidak asosiatif

Jika c≠ 0, maka (a - b) - c ≠ a - (b - c) CONTOH 1.1.13 Tentukan hasil 5 - 3 dan 5 - 3 - 2 dengan menggambarkan secara

geometris.

Penyelesaian:


• Hasil dari 5 - 3 adalah 2.

• Hasil dari 5 - 3 - 2 = (5-3)-2 = 2 + 2 = 0

Lakukan sendiri untuk menghitung 3 - 5 dan 5 - (3 - 2).

3. Operasi Perkalian (× atau ·)

Jika a,b∈ R maka hasil perkalian antara a dan b adalah bilangan

real c dan ditulis c = a × b = a·b = ab .

Cara mendapatkan hasil perkalian a dan b.

i. Jika a merupakan bilangan bulat maka

Banyaknya suku b ada a suku


ii. Jika dan keduanya rasional, maka

Sifat operasi perkalian

Untuk bilangan real a, b, dan c, berlaku sifat-sifat operasi perkalian

sebagai berikut.

i. Sifat tertutup

Perkalian dua buah bilangan real menghasilkan bilangan real

juga.

ii. Sifat komutatif

a b = b a

iii. Sifat asosiatif

(a b)c = a (b c)

iv. Adanya elemen identitas/netral

a × 1 = 1 × a = a

bilangan 1 dinamakan elemen identitas untuk perkalian.

v. Adanya elemen invers

= , bilangan dikatakan invers perkalian dari

a. CONTOH 1.1.14 Tentukan hasil 5 × 3,1 dengan menggunakan definisi di atas.

Penyelesaian:

5 × 3,1 = 3,1 + 3,1 + 3,1 + 3,1 + 3,1 = 15,5


CONTOH 1.1.15 Tentukan hasil 1,5 × 2,3 dengan menggunakan definisi di atas.

Penyelesaian:

1,5 dan 2,3 merupakan bilangan rasional. Karena itu, dapat kita

gunakan rumusan pada perkalian untuk dua bilangan rasional.

1,5 × 2,3 =

4. Operasi Pembagian (/ atau )

Jika a,b∈ R dan b≠0 maka hasil pembagian antara a dan b adalah

bilangan real c dan ditulis c = a/ b =

Cara mendapatkan hasil pembagian a dan b.

Jika keduanya rasional maka

/p r p sa bq s q r

× = = ×

dengan

Sifat operasi pembagian



pembagian sebagai berikut.

i. Sifat tertutup

Pembagian dua buah bilangan real dengan penyebut tidak nol

menghasilkan bilangan real.

ii. Sifat tidak komutatif

Jika a≠0,b≠0, dan a≠b maka a/b ≠ b/a

iii. Sifat tidak asosiatif

Jika a, b, c tidak nol, a≠b, dan c≠1 maka (a/b)/c ≠ a/(b/c) CONTOH 1.1.16 Tentukan hasil dengan menggunakan definisi di atas.

Penyelesaian:

1,5 dan 2,3 merupakan bilangan rasional. Karena itu dapat kita gunakan

rumusan pada perkalian untuk dua bilangan rasional.

1,5 × 2,3 =

• RANGKUMAN

• Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan irasional. • Bilangan bulat merupakan bagian dari bilangan rasional.


• Bilangan rasional dapat dinyatakan bentuk , dengan p, dan q≠0 adalah bilangan bulat. Bentuk pecahan desimal dari bilangan rasional adalah berulang.

• Operasi yang bekerja pada bilangan real adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111---111 1. Hitung dan sketsakan pada garis bilangan :

a. 3 + 6 b. 0 - 7 c. -5 + 9

2. Hitung dan sketsakan pada garis bilangan :

a. 3 × 4 b. -2 × 3 c. 4 × 3.25

3. Dengan menggunakan definisi operator penjumlahan pada bilangan

real, tentukan nilai ekpresi berikut ini.:

a. b. c.

4. Dengan menggunakan definisi operator pengurangan pada bilangan


a. b. c.



a. b. c.



a. b. c.


7. Nyatakan bilangan rasional berikut ini dalam bentuk pecahan

desimal.

a. b. c.

8. Nyatakan bilangan rasional bentuk pecahan desimal berikut ini

dalam bentuk pembagian bilangan bulat.

a. b. c. -15,263

1.2 PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN Kita sering melihat kondisi suatu wilayah atau daerah melalui peta

daerah tersebut. Satu Negara dapat kita gambarkan keadaan

geografinya dalam sebuah peta kecil dalam selembar kertas. Ukuran

panjang jalan 1 cm dalam sebuah peta, mewakili beberapa km pada

panjang jalan aslinya. Pada peta tersebut, biasanya dituliskan

perbandingan ukuran panjang dipeta dan panjang aslinya. Perbandingan

ini dituliskan dalam skala peta.

Pada sub bab ini, kita akan belajar tentang perbandingan, skala, dan

persen yang sangat terkait dengan kehidupan sehari-hari.

1.2.1 PERBANDINGAN Jika kita mengamati dua buah objek, maka kita bisa membandingkan

ukuran kedua objek tersebut, misalnya membandingkan tingginya,

panjangnya, beratnya dan sebagainya. Untuk membandingkan dua


ukuran dapat dinyatakan dengan hasil bagi dari kedua ukuran tersebut.

Dengan demikian perbandingan dapat dinyatakan dalam bentuk

pecahan sederhana.

Agar lebih mudah dipahami, perhatikan beberapa ilustrasi berikut:

1. Dede mempunyai 10 buah buku, sedangkan Zaza mempunyai 5

buah. Perbandingan banyaknya buku Dede dan banyaknya buku

Zaza adalah 10 : 5 atau 2 : 1.

2. Berat badan Kiki 45 kg dan berat badan Boy 72 kg. Perbandingan

berat badan Kiki dan Boy adalah 45 : 72 atau 5 : 8.

3. Jarak rumah Chacha ke Sekolah 400 m sedangkan jarak ke Kantor

Pos 2 km. Perbandingan jarak ke Sekolah dan jarak ke Kantor Pos

dari rumah Chacha adalah 400 : 2000 atau 1 : 5.

Jika perbandingan dua besaran / ukuran sejenis A dan B adalah

A : B = x : y atau

maka pernyataan perbandingan tersebut dapat diartikan sebagai berikut:

•

• B

•

•

Perbandingan Senilai


Untuk memahami maksud perbandingan senilai, perhatikan ilustrasi

dibawah ini:

1. Jika membeli sebuah buku, seseorang harus membayar x rupiah,

maka untuk membeli n buah buku, orang tersebut harus membayar

sebanyak n x rupiah.

2. Untuk menempuh jarak 50 km diperlukan bahan bakar sebanyak 1

liter premium, jika jarak yang harus ditempuh adalah 300 km, maka bahan premium yang diperlukan adalah 6 liter. Dari gambaran diatas, makin banyak buku yang akan dibeli, makin

banyak pula uang yang harus dikeluarkan. Begitu juga, makin jauh

yang harus ditempuh makin banyak premium yang dibutuhkan.

Perbandingan Berbalik Nilai

Untuk memahami maksud perbandingan berbalik nilai, perhatikan

ilustrasi dibawah ini:

1. Suatu pabrik memproduksi sepatu dengan target sebanyak 100

pasang. Jika dikerjakan oleh seorang saja, maka waktu yang

dibutuhkan 100 hari. Jika dikerjakan oleh dua orang, maka waktu

yang diperlukan sebanyak 50 hari. Jika dikerjakan oleh empat

orang, maka waktu yang diperlukan sebanyak 25 hari. Jika

dikerjakan oleh lima orang, maka waktu yang diperlukan sebanyak

20 hari.

2. Untuk menempuh jarak 45 km diperlukan waktu selama 45 menit

dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jika kecepatan rata-rata 80

km/jam, maka waktu yang dibutuhkan sebanyak 33,75 menit.


Begitu juga, jika kecepatan rata-rata 70 km/jam, maka waktu yang

diperlukan adalah 38,57 menit.

Dari contoh di atas, bahwa makin banyak pegawai yang ikut

mengerjakan makin sedikit hari yang dibutuhkan. Begitu juga, dengan

menambah kecepatan rata-rata yang diperlukan, waktu yang dibutuhkan

makin sedikit.

CONTOH 1.2.1 Lapangan sepak bola mempunyai ukuran panjang 110 m dan lebar 60

m lebar. Carilah perbandingan antaran panjang dan lebar dari lapangan

sepak bola.

Penyelesaian:

Panjang : Lebar = 110 m : 60 m

= 110 : 60

= 11 : 6

CONTOH 1.2.2 Seseorang mengatakan bahwa harga bahan bakar minyak premium

pada awal tahun 2007 ini mencapai tiga kali lipat dari harga premium 5

tahun yang lalu. Jika pada awal tahun 2007 harga premium adalah Rp

5000, maka berapakah harga premium pada awal 2002?.

Penyelesaian:

Misal harga premium awal tahun 2007 adalah x dan harga premium

awal tahun 2002 adalah y.


Perbandingan antara x dan y adalah 5 : 1. Atau

yang berarti

Jadi harga premium di awal 2002 adalah Rp 1.000.

1.2.2 SKALA Dalam pelajaran Geografi sering diminta untuk menentukan letak suatu

pulau, sungai, kota, dan gunung pada suatu wilayah tertentu. Untuk

melukiskan keseluruhan area dalam tempat tertentu pasti tidak

memungkinkan. Karena itu perlu penskalaan atau perbandingan yang

dapat mewakili tempat-tempat tersebut. Gambaran yang dibuat

sebanding dengan aslinya tetapi dengan ukuran yang lebih kecil

dinamakan penskalaan. Misalnya gedung, skala antara gedung

sebenarnya dengan miniaturnya adalah 1:100. Jika pada miniatur

berjarak 1 cm, maka jarak pada gedung aslinya adalah 1cm × 100 =

100cm = 1m.

Skala biasanya digunakan untuk perbandingan ukuran pada peta

(miniature, blue print) dibandingkan dengan ukuran sebenarnya. Atau


CONTOH 1.2.3 Suatu peta pulau Jawa mempunyai skala 1 : 2.000.000. Pada peta

tersebut jarak antara Jakarta Pusat ke Bandung terukur 10 cm, tentukan

jarak sebenarnya?

Penyelesaian:

Diketahui skala = 1 : 2.000.000

Jarak sebenarnya = .

1.2.3 PERSEN Istilah persen sering kita jumpai dalam keseharian. Potongan harga

barang – barang yang dijual oleh suatu toko, biasanya dinyatakan

dalam persen (%). Kenaikan harga juga dapat dinyatakan dalam persen.

Apa itu maksud dari persen? Akan dibahas dalam subbab ini.

Perbandingan suatu bilangan dengan bilangan 100 disebut dengan

persen (%). Dengan kata lain pecahan dengan penyebut 100, ditulis

dengan %. Perbandingan antara 15 dengan 100 atau ditulis dalam

bentuk pecahan adalah .

Setiap bilangan real dalam bentuk desimal dapat dinyatakan dalam

persen, yaitu dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan 100 dan

diikuti dengan tanda %. Sebagai contoh, bilangan 0,025 dapat ditulis

dalam bentuk persen 0,025=0,025 × 100% = 2,5%.


Sebaliknya, setiap bilangan persen dapat dinyatakan dalam bentuk real

desimal, yaitu dengan cara membagi bilangan persen dengan 100.

Sebagai contoh, bilangan 800% dapat ditulis dalam bentuk desimal

menjadi .

CONTOH 1.2.4 Nyatakan pecahan berikut ini menjadi bentuk persen. a. b. c. Penyelesaian: a. × atau b. atau × c. × CONTOH 1.2.5 Nyatakan bilangan persen berikut ini menjadi bentuk desimal atau

pecahan. a. 50% b. 75,5% c. Penyelesaian: a. b.


c. CONTOH 1.2.6 Misal harga premium saat ini adalah Rp 5.000 per liter. Pemerintah

mengumumkan kenaikan harga premium sebesar 30% yang

diberlakukan bulan depan. Berapakah harga premium bulan depan? b. 50% b. 75,5% c. Penyelesaian: d. e. • RANGKUMAN

• Perbandingan antara dua objek dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian bilangan. • Skala biasanya digunakan untuk perbandingan ukuran pada peta (miniature, blue print) dengan ukuran sebenarnya. • Perbandingan suatu bilangan dengan bilangan 100 disebut dengan persen (%).

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111---222


1. Wawan mempunyai buku sebanyak 9 buah, sedangkan Wati

mempunyai 6 buah. Berapakah perbandingan banyaknya buku

Wawan dan banyaknya buku Wati?

2. Berat badan Eko 65 kg dan berat badan Seno 73 kg. Berapakah

perbandingan berat badan Eko dan Seno ?

3. Jarak rumah Dede ke Sekolah adalah 400 m dan jarak rumah Dede

ke Warnet adalah 2 km. Berapakah perbandingan jarak ke Sekolah

dan jarak ke Warnet dari rumah Dede ?

4. Kiki membeli 2 buah apel dan Dede membeli 8 buah apel. Jika

harga seluruhnya Rp 12.000, maka berapakah banyaknya uang

yang harus dikeluarkan oleh Kiki dan Dede?

5. Seorang pemborong dapat menyelesaikan pembangunan jembatan

selama 64 hari dengan pekerja 48 orang. Berapa pekerjakah yang

diperlukan bila pembangunan jembatan ingin dipercepat selesai

menjadi 12 hari?

6. Jarak kota A ke kota B adalah 100 km. Jika Zaza naik sepeda motor

Z dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam, maka berapa waktu yang

diperlukan oleh Zaza sampai tujuan? Jika Zaza naik sepeda motor Y

dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam, maka berapa waktu yang

diperlukan oleh Zaza sampai tujuan?

7. Tika membeli apel 10 kg seharga Rp 50.000. Setelah dijual, Tika

mendapatkan laba 25%. Tentukan harga juah apel per kg?

8. Sebuah lahan berbentuk persegi panjang dengan keliling 100 m.

Jika lebar lahan tersebut 8 m kurang dari panjangnya, maka

tentukan luas lahan tersebut?.

9. Sebuah perusahaan mempunyai dua lokasi pabrik. Pabrik A seluas

1.500 m2, sedangkan pabrik B seluas 2.000 m2. Untuk keperluan

diversifikasi usaha, perusahaan tersebut menambah pabrik C seluas


jumlahan dari luas pabrik A dan B. Tentukan luas tanah yang

dimiliki oleh perusahaan tersbut.

10. Pada gambar blue print dari sebuah gedung, tinggi gedung tersebut

adalah 2 cm dan tinggi pintunya adalah 1cm. Jika tinggi pintu yang

sebenarnya adalah 2 m, maka tentukan tinggi gedung yang

sebenarnya?

1.3 OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULAT Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian bilangan berpangkat dan

sifat-sifatnya. Bilangan berpangkat yaitu suatu bilangan yang

dipangkatkan dengan bilangan lain. Pangkat dari suatu bilangan dapat

berupa bilangan bulat atau pecahan. Diuraikan pula, semua sifat-sifat

operasi aljabar dari bilangan berpangkat dan penerapannya.

1.3.1 PANGKAT BILANGAN POSITIF Biasanya penulisan bilangan yang cukup besar akan menjadi sederhana

apabila ditulis dalam bentuk perpangkatan, misalnya 2.000.000 dapat

ditulis sebagai 2 × 106.

DEFINISI 1.3.1 : Untuk bilangan bulat positif n dan sebarang bilangan real a, bilangan an

(dibaca: a pangkat n) mempunyai arti:

a × a × a … × a (sebanyak n faktor yang sama)

Bilangan a disebut basis dan bilangan n disebut pangkat atau eksponen.


CONTOH 1.3.1 : Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat.

1. 23 = 2 × 2 × 2 = 8

Bilangan 2 dipangkatkan 3, artinya adalah bilangan 2 dikalikan

dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali.

2. (-3)2 = (-3) × (-3) = 9

Bilangan -3 dipangkatkan 2, artinya adalah bilangan -3 dikalikan

dengan dirinya sendiri sebanyak 2 kali.

3. -32 = - (3 × 3) = - 9

4.

■ Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif

i. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang,

maka .

ii. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang

dengan a≠0, maka .

iii. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang,

maka

iv. Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan real sebarang,

maka berlaku:

a.

b. = , untuk b≠0.


CONTOH 1.3.2 : Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat.

a. 24+3 = 24 × 23 = 16 × 8 = 128

b. (-3)5+2 = (-3)5 × (-3)2 = (-243) × 9 = -2087

c. ( )3+2 = ( )3 × ( )2 = ( ) × =

d. 24-3 = = = 2

e. (-3)5-2 = (-3)5 : (-3)2 = (-243) : 9 = -27

f. (24)3 = 24×3 = 212 = 2048

g. (-3×4)5 = (-3)5 × 45 = (-243) × 1024 = -248.832

h. ( )4 = =

CONTOH 1.3.3 : Hitunglah ekspresi berikut ini dan tuliskan hasilnya tanpa

menggunakan tanda kurung.

a. (a2-b2) × (a2+b2)

b. (a2+b2) × (a2+b2)

c. (a2-3b3) × (a2-b3)

d. (a2-b3)2

Penyelesaian:

a. (a2-b2) × (a2+b2) = a2(a2+b2) – b2(a2+b2) (Sifat distributif)

= a4+a2b2 – {b2a2+b4} (Sifat distributif)

= a4+a2b2 – a2b2–b4} (Sifat komutatif)


= a4-b4

b. (a2+b2) × (a2+b2) = a2(a2+b2) + b2(a2+b2) (Sifat distributif)

= a4+a2b2 + {b2a2+b4} (Sifat distributif)

= a4+a2b2 + a2b2+b4 (Sifat komutatif)

= a4 + 2a2b2 + b4

c. (a2-3b3)×(a2-b3) = a2(a2-3b3) - 3b3(a2-b3) (Sifat distributif)

= a4-3a2b3 - {3b3a2-3b6} (Sifat distributif)

= a4-3a2b2 - 3a2b3+3b6 (Sifat komutatif)

= a4 - 6a2b3 + 3b6

d. (a2-b3)2 = (a2-b3) × (a2-b3)

= a2(a2-b3) - b3(a2-b3) (Sifat distributif)

= a4-a2b3 - {b3a2-b6} (Sifat distributif)

= a4-a2b3 - a2b3+b4 (Sifat komutatif)

= a4 - 2a2b3 + b6

1.3.2 PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOL Pada subbab sebelumnya, telah dibahas mengenai perpangkatan dengan

bilangan bulat positif, yang artinya perkalian atas basis bilangan

(sebagai faktor) sebanyak pangkat yang diketahui. Bagaimana suatu

bilangan berpangkat bilangan negatif atau berpangkat nol, seperti 10-2

atau 70 ?. Gagasan-gagasan yang muncul dari sifat-sifat perpangkatan

dengan pangkat bilangan bulat positif dapat digunakan untuk

mengungkapkan arti pangkat bilangan negatif ataupun pangkat nol.

■ Bilangan Berpangkat Nol

Untuk memahami arti bilangan a0, perhatikan sifat perpangkatan


a0 × am = a0+m = am

Jika am ≠ 0 maka haruslah a0 = 1, agar kesamaan a0 × am = am dipenuhi.

Selanjutnya dengan tambahan syarat untuk bilangan a, yaitu agar am ≠

0 cukup dipilih a ≠ 0. Perhatikan definisi berikut ini.

DEFINISI 1.3.2 : Untuk bilangan real a≠0, a0 (dibaca: a pangkat 0) didefinisikan

sebagai:

a0 = 1

CONTOH 1.3.4 : a. 20 = 1 b. (‐3)0 = 1 c. ( +7)0 = 1 d. (a + b)0 = 1, apabila a + b ≠ 0 ■ Bilangan Berpangkat Negatif

Bagaimana kita mendefinisikan bilangan pangkat negatif ?. Mari kita

lihat kembali sifat perpangkatan

Jika a ≠ 0 dan m = 0 maka didapat


Oleh karena itu dibuat definisi bilangan berpangkat negatif berikut ini.

DEFINISI 1.3.3 : Untuk bilangan bulat n dan bilangan real a≠0, a-n didefinisikan

sebagai:

a-n =

CONTOH 1.3.5 : a. b. c. = Sekarang kita telah mengenal bilangan berpangkat bilangan bulat, baik

itu berpangkat bulat positif, bulat negatif, maupun berpangkat 0.

Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif

i. Jika m dan n bilangan bulat dan a bilangan real sebarang dengan

a≠0, maka .

ii. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang

dengan a≠0, maka .

iii. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang

dengan a≠0, maka


iv. Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan real sebarang

dengan a≠0 dan dengan b≠0, maka berlaku:

a.

b. =

CONTOH 1.3.6 : Sederhanakanlah:

a. b. Penyelesaian:

a.

b.


CONTOH 1.3.7 : Tuliskan bentuk

ke dalam bentuk pangkat bilangan bulat positif.

Penyelesaian:

■ Notasi Ilmiah dari Bilangan


Notasi ilmiah dari bilangan digunakan untuk menuliskan bilangan yang

sangat besar ataupun bilangan yang sangat kecil. Sebagai contoh,

bilangan 375.000.000.000 ditulis sebagai , bilangan -

0,00000016 ditulis sebagai .

Bentuk baku notasi ilmiah suatu bilangan adalah penulisan dalam

bentuk

dengan -10 < a < 10 dan n bilangan bulat

Perlu diperhatikan pengertian perpindahan letak tanda koma (desimal),

yaitu: i. Pergeseran (melompat) n angka/digit ke kiri berarti memunculkan perkalian dengan ii. Pergeseran (melompat) n angka ke kanan berarti memunculkan perkalian dengan CONTOH 1.3.8 : Tuliskanlah bilangan – bilangan berikut ini dalam notasi ilmiah.

a. Jarak bumi ke matahari sekitar 150.000.000 km. b. ‐0,00002345 Penyelesaian:


a. Jarak bumi ke matahari kira‐kira km. Didapat dengan cara menggeser tanda koma ke kiri sampai setelah angka pertama. Dalam hal ini diperlukan 8 kali lompatan. b. Bilangan ‐0,00002345 apabila ditulis dalam notasi ilmiah diperlukan menggeser tanda koma hingga setelah angka tak nol pertama. Jadi diperlukan pergeseran ke kanan sebanyak 5 lompatan, sehingga diperoleh .

1.3.3 PENERAPAN OPERASI BILANGAN BERPANGKAT Sebelum ini, kita telah mengenal bilangan berpangkat, operasi bilangan

berpangkat, dan sifat-sifatnya. Pada subbab ini, kita akan memakai

operasi bilangan berpangkat ini pada beberapa permasalahan

matematika, permasalahan yang terkait dengan bisnis, dan kehidupan

sehari-hari. Beberapa penerapan disajikan dalam bentuk contoh.

Pertama kita awali dengan contoh yang sederhana, memuat pangkat 2

atau kuadrat.

CONTOH 1.3.9 Seorang pemborong pelayanan kebersihan gedung akan melakukan

pekerjaan pembersihan gedung yang bentuknya hampir menyerupai

setengah bola. Biaya pembersihan Rp. 50.000 per m2. Jika diameter

gedung adalah 200 m, maka berapa perkiraan biaya pembersihan

permukaan gedung tersebut ?

Penyelesaian:


Luas permukaan gedung didekati dengan setengah luas kulit bola.

Karena itu, luas permukaan gedung mendekati

dengan L adalah luas permukaan gedung, r adalah jari-jari gedung =

setengah dari diameter, dan π didekati dengan 3,14.

Biaya pembersihan per m2 adalah Rp 50.000, sehingga perkiraan biaya

pembersihan keseluruhan gedung adalah

Untuk contoh penerapan yang lainnya, coba kita perhatikan segitiga

Pascal berikut ini. Segitiga Pascal

Salah satu pemakaian bilangan berpangkat adalah untuk

menghitung / menguraikan bentuk . Hasil dari


penguraian bentuk mempunyai suatu keteraturan

koefisien dari setiap suku yang dinamakan Segitiga Pascal.

Sekarang kita coba uraikan bentuk untuk k = 0, 1, 2, 3,

4, 5 seperti berikut ini.

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

Perhatikan pada uraian di atas, bahwa:

• Pada setiap suku dari , ada bentuk dengan i = 0, 1,

2, ..., k.

Sebagai ilustrasi, perhatikan untuk k=5 berikut ini.


o Pada suku ke-1, (i=0), mempunyai bentuk






• Konstanta (koefisien) dari tiap-tiap suku pada sampai

dengan mempunyai suatu bentuk keteraturan yang

dinamakan segitiga Pascal seperti berikut ini.

Gambar 1.3.1 Segitiga Pascal Enam Baris

Kalau diperhatikan nilai-nilai pada suatu baris ke-k pada segitiga Pascal

merupakan ‘jumlahan silang’ dari baris ke k-1 (baris sebelumnya).

Sehingga koefisien segitiga Pascal tersebut dapat kita lanjutkan lagi

untuk k=6 dan k=7 seperti Gambar 1.3.2.


Gambar 1.3.2 Segitiga Pascal Delapan Baris

ONTOH 1.3.10 Dengan menggunakan segitiga Pascal, uraikan bentuk – bentuk

perpangkatan dibawah ini.

a. b.

Penyelesaian:

a. Nilai-nilai pada baris k=6 merupakan koefisien-koefisien dari

, diperoleh

b. Nilai-nilai pada baris k=7 merupakan koefisien-koefisien dari

, diperoleh


CONTOH 1.3.11 Persamaan untuk menghitung investasi dengan modal

dengan laju bunga i=10% per tahun selama n

tahun adalah

Mo adalah modal awal, sedangkan Mn adalah jumlah uang setelah n

tahun. Berapakah total nilai uang setelah 2 tahun ?.


Jadi besarnya investasi setelah dua tahun adalah Rp 1.210.000.

CONTOH 1.3.12 Pada tanggal 1 Januari 2004, bapaknya si A meminjam uang bank

sebesar untuk pengembangan usaha. Pinjaman tersebut ditagihkan

kepada si A pada tanggal 31 Desember 2007 sebesar $ . Jika

bunga pinjaman sebesar 4% per tahun ditambahkan pada tiap akhir

tahun sebagai pinjaman, maka berapa besar yang dipinjam oleh

bapaknya si A?

Penyelesaian:

Karena bunga ditambahkan sebagai pinjaman di setiap akhir tahun,

bank menerapkan bunga berbunga. Oleh karena itu, kita pakai rumus

Mo adalah pinjaman awal, sedangkan Mn adalah jumlah pinjaman

setelah n tahun. Pinjaman dilakukan selama 4 tahun, dari 1 Januari

2004 sampai dengan 31 Desember 2007. Sedangkan i adalah besarnya

bunga tiap tahun.


Kita hitung terlebih dahulu sebagai berikut.

.

.

.

Hasil ini dimasukkan ke

Jadi besarnya pinjaman oleh bapaknya si A adalah $ 5000.

• RANGKUMAN


• Bilangan real dapat di pangkatkan dengan bilangan bulat.

• Untuk bilangan real a≠0, a0 = 1.

• Untuk n bulat positif dan a real, bilangan an = a×a×a×…×a.

• Sifat operasi pangkat bulat pada bilangan real: 1. 2. 3. 4. 5. =

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111---333 1. Jika a dan b merupakan bilangan real, maka nyatakan ekspresi

berikut ini dalam bentuk notasi pangkat (eksponen).

a. 5 × 5 × 5 × 5 b. (-3) × (-3) × (-3) × (-3)

c. -2 × 4 × 2 × (-16) d. 2a × 2a × 2a

e. ab × ab × ab f. (-b) × (-b) × (-b)

2. Jika a dan b merupakan bilangan real, maka nyatakan ekspresi

berikut ini menjadi bentuk bilangan yang lebih sederhana.

a. b. (-16)2

c. (-2ab2)4 d. (2a)5


e. f.

3. Jika x dan y adalah bilangan real, maka sederhanakanlah ekspresi

berikut ini menjadi bentuk yang tidak memuat tanda kurung.

a. (25-16)3 b. (-2+16)(2+8)2

c. (-2x-y)2 d. (2x+y)3

e. f.

4. Jika a, b, x dan y adalah bilangan real, maka sederhanakanlah

ekspresi rasional berikut ini.

a. b. ×

c. d. +

e. - f.

5. Tentukan hasil perkalian berikut ini dan tuliskan dalam bentuk

pangkat bilangan positif.

a. 55. 53 b. 3-5. 93

c. 5-5. 5-3 d. (2x)3(3y-2)

e. f. g. h. 4x2y-3)(2x-2y3)-2

6. Tuliskanlah bilangan – bilangan berikut ini dalam notasi ilmiah.

a. 10.000.000 b. 3-5. 903

c. 0,00000314 d. -0,012

e. Diameter atom Helium

adalah 0,000000022 cm

f. Pada tahun 2010, penduduk

Indonesia berjumlah 300 juta.


1.4 BILANGAN DALAM BENTUK AKAR (IRASIONAL) Pada bagian ini dibahas mengenai bentuk akar, misalnya .

Bentuk akar ditulis menggunakan tanda radikal dengan simbol .

Sedangkan kata akar merupakan terjemahan dari kata root dalam

bahasa Inggris.

DEFINISI 1.4.1 : Akar kuadrat suatu bilangan real a non negatif adalah bilangan non

negatif b yang kalau dipangkatkan dua, menjadi bilangan semula a.

Secara notasi matematika:

jika b2 = a; dan b bilangan positif

Tulisan dibaca “akar kuadrat dari a” atau “akar dari a”.

Jadi mencari akar suatu bilangan merupakan kebalikan dari

pemangkatan.

CONTOH 1.4.1 : a. , karena 32 = 9 b. , karena 52 = 25

CONTOH 1.4.2 : Tentukan hasil akar kuadrat berikut ini.


a. b.

Penyelesaian: a. Pertama, difaktorkan 1296. Karena akhir bilangan tersebut adalah 2, maka 2 merupakan faktor.

(648 difaktorkan) = (324 difaktorkan) = (162 difaktorkan) = (81 difaktorkan) = = = Jadi karena 362 = 1296 b. Faktorkan bilangan 194481 menjadi 194481 = .

Jadi karena 4412 = 194481

Kalau kita lihat definisi akar di atas, berlaku bahwa: i. ii. CONTOH 1.4.3 : a.

b.


CONTOH 1.4.4 : Untuk x bilangan real, tentukan hasil dari .

Penyelesaian:

= x + 1, jika (x+1) ≥ 0 atau x ≥ -1

= -(x+1), jika (x+1) < 0 atau x < -1

1.4.1 OPERASI ALJABAR PADA BILANGAN BERBENTUK AKAR

Bilangan dalam bentuk akar juga dapat dikenakan operasi aljabar

seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Karena

pada dasarnya bilangan dalam bentuk akar adalah suatu bilangan real

yang dapat dioperasikan.

■ Perkalian dan Pembagian Bilangan Bentuk Akar

Jika a dan b merupakan bilangan real positif, maka berlaku: i. = ii.


CONTOH 1.4.5 : a.

b.

c.

d.

jika a > 0.

■ Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar

Jika a, b merupakan bilangan real dan c merupakan bilangan real

positif, maka berlaku:

i. = ii. = Jika kita lihat sifat di atas, maka penjumlahan dan pengurangan

bilangan dalam bentuk akar hanya dapat dilakukan pada dua bilangan

yang sejenis (pada ekspresi i & ii di atas dikatakan bilangan

sejenis). Lihat kembali sifat distributif pada bilangan real, sebenarnya

operasi jumlah dan kurang di atas sama dengan yang telah lalu.

CONTOH 1.4.6 : Tentukan hasil dari pengoperasian bilangan bentuk akar di bawah ini. a. b.


c. Penyelesaian:

Jika bilangan dalam tanda akar belum sejenis, maka kita rubah sebisa

mungkin untuk dapat sejenis. a. = = b. = = 2 = ‐3 c. = = = = = CONTOH 1.4.7 : Sederhanakanlah bentuk

Penyelesaian:

Sifat distributif pada bilangan real dapat dipakai, karena bilangan dalam

bentuk akar juga merupakan bilangan real.

= 15 . 3 – 4 = 45 – 8 = 37


1.4.2 MERASIONALKAN PENYEBUT Pada pembagian yang memuat bentuk akar, hasilnya dapat berupa

pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk akar pada penyebut itu

dapat diubah sehingga penyebutnya tidak lagi memuat bentuk akar.

Proses demikian dinamakan merasionalkan penyebut. Proses

merasionalkan penyebut dapat dikerjakan dengan memanfaatkan

bentuk perkalian: i. ii. CONTOH 1.4.8 : Rasionalkan penyebut pada bilangan:

a. b. c. Penyelesaian: a. Pada kasus ini, kalikan penyebutnya dengan bilangan yang sama dengan penyebut tersebut, yaitu . Agar tidak merubah nilai bilangan, pembilang juga dikalikan . = × = = = b. Pada kasus ini, kalikan penyebutnya dengan bilangan yang sama dengan penyebut tersebut, yaitu . Agar tidak merubah nilai bilangan, pembilang juga dikalikan .


× = = c. Pada kasus ini, gunakan bentuk . Oleh karena itu, kalikan penyebutnya dengan bilangan dan kalikan pembilang dengan . = × = = = CONTOH 1.4.9 : Rasionalkan penyebut pada bilangan .

Penyelesaian:

Pada kasus ini, penyebut memuat dua bilangan yang berbentuk akar.

Bentuk akar ini akan kita hilangkan satu per satu.

Penyebut = , sehingga kita buat seperti

berikut ini.


× =

=

= ; penyebut hanya memuat

satu bentuk akar

= ×

=

=

=


SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111---444 1. Dengan memfaktorkan bilangan dalam tanda akar, carilah nilai

akarnya.

a. b.

c. d.

e. f.

2. Dengan memfaktorkan bilangan dalam tanda akar, carilah nilai

akarnya.

a. b.

c. d.

e. f.

3. Carilah nilai akar dari .

4. Jika x merupakan bilangan real positif, maka tentukan nilai akar

berikut ini.

a. b.

c. d.

5. Carilah tiga contoh bilangan, apabila bilangan tersebut

dikuadratkan berakhir dengan angka 1 atau 9 ?.

6. Carilah contoh bilangan, apabila bilangan tersebut dikuadratkan

berakhir dengan angka 2, 3, 7, atau 8 ?.

7. Jelaskan bahwa bilangan bulat yang berakhir dengan angka nol

sebanyak ganjil bukan merupakan bilangan kuadrat.

8. Tentukan hasil dari operasi aljabar pada bilangan bentuk akar di

bawah ini.


a. b.

c. d.

e. f.

g. h. ×

9. Rasionalkan bilangan bentuk akar dibawah ini.

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

1.5 BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL Sebelum ini telah dikenalkan perpangkatan bilangan real dengan

bilangan bulat. Pertanyaan selanjutnya adalah “apakah diperbolehkan

bilangan real berpangkat dengan rasional ?”. Pada subbab ini akan

dibahas bilangan real dipangkatkan dengan bilangan rasional.

DEFINISI 1.5.1 : Akar pangkat tiga dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila

dipangkatkan 3 menjadi bilangan a, ditulis dengan


, jika

Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini.

CONTOH 1.5.1 : a. karena 23 = 8.

b. karena 53 = 125.

c. karena (-3)3 = -27.

d. karena 103 = 1000.

e. karena (-10)3 = -1000. DEFINISI 1.5.2 : Akar pangkat n dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila

dipangkatkan n menjadi bilangan a, ditulis dengan

, jika

Jika n genap, maka nilai a harus non negatif.

Dalam keadaan khusus:

• Jika n genap maka • Jika n ganjil maka , untuk sembarang nilai a.

Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini.


CONTOH 1.5.2 : a. karena 24 = 16.

b. karena 54 = 625.

c. karena (-3)5 = -243.

d. karena 105 = 100000.

e. karena (-10)5 = -100000. CONTOH 1.5.3 : Tentukan hasilnya (jika ada).

a. b. c.

Penyelesaian: a. Bilangan dalam tanda akar, 32 difaktorkan. 32 = 2 × 16 = 2 × 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25. . b. Bilangan dalam tanda akar, 81 difaktorkan. 81 = 3 × 27 = 3 × 3 × 9 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34. . c. Bilangan dalam tanda akar, ‐1024 difaktorkan. ‐1024 = ‐2 × 512 = … = = = .


Selanjutnya, kita akan menelaah arti dari . Berdasarkan rumusan sebelumnya bahwa , sehingga Dikaitkan dengan rumusan bahwa yang mempunyai arti , maka dapat diperoleh DEFINISI 1.5.3 : Untuk n bilangan asli, arti dari adalah atau

akan mempunyai nilai apabila:

• Untuk n genap, nilai a harus positif. • Untuk n ganjil.

Pangkat bilangan rasional secara umum didefinisikan berikut ini.

DEFINISI 1.5.4 : Untuk bilangan bulat non negatif m dan bilangan asli n, arti dari

adalah


atau

Untuk memperjelas maksud dari definisi ini, kita lihat contoh berikut

ini.

CONTOH 1.5.4 : Tentukan hasil dari operasi perpangkatan berikut ini.

a. b. c.

Penyelesaian:

a. b. c. Sifat – sifat perpangkatan bilangan rasional sama dengan sifat

perpangkatan bilangan bulat.

■ Menyelesaikan Persamaan Pangkat Sederhana

Persamaan pangkat mempunyai bentuk seperti 3x = 9 atau x2 = 9. Untuk

mendapatkan jawab persamaan pertama, ubahlah 9 menjadi bilangan

berpangkat dengan basis (bilangan yang dipangkatkan) 3, yaitu

3x = 32


Dengan demikian, jawab dari persamaan tersebut adalah x = 2. Untuk

persamaan ke-dua, ubahlah 9 menjadi bilangan berpangkat 2, yaitu

x2 = 32

Sehingga didapat jawab untuk persamaan itu. Dalam hal ini, karena

pangkatnya genap maka terdapat dua jawab yang mungkin yaitu x = 3

atau .

Langkah-langkah serupa gambaran di atas, selanjutnya dapat digunakan

untuk menyelesaikan persamaan pangkat yang lain.

CONTOH 1.5.5 : Dapatkan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

a.

b.

Penyelesaian:

a. Ruas kanan dari persamaan ini dijadikan bentuk 2 pangkat sesuatu. kita dapatkan bahwa atau


b. Ruas kiri dan kanan dari persamaan ini dijadikan bentuk 2 pangkat sesuatu.

kita dapatkan bahwa atau

• RANGKUMAN

• Akar pangkat, , jika . • Akar pangkat n, , jika •

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111---555 1. Tentukan nilai akar berikut ini.

a. b.

c. d.

e. f.

2. Tentukan nilai perpangkatan berikut ini.

a. b.

c. d.


e. f.


a. b.

c. d.

e. f.


a. b.

c. d.

e. f.


a. b.

c. d.

e.

6. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan rasional.

a. b.

c. d.

7. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan rasional yang sederhana.

a. b.

c. d.

8. Dapatkan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

a. b.


c. d.

e. f.

9. Dapatkan semua nilai dari persamaan berikut ini.

a. b.

c. d.

e. f. 1.6 LOGARITMA Pada modul ini dibahas mengenai kebalikan dari pemangkatan yang

disebut logaritma. Dengan logaritma, perhitungan dengan bilangan

yang sangat besar dapat disederhanakan. Perkalian dapat dihitung

dengan penjumlahan dan pembagian dapat dihitung menggunakan

pengurangan. Diuraikan pula, semua sifat-sifat operasi aljabar dari

logaritma tersebut.

1.6.1 PENGERTIAN LOGARITMA Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai arti bilangan

berangkat, misalnya ap = b, dan permasalahannya adalah mencari

bilangan b jika a dan p diketahui. Sekarang akan dibahas mengenai

permasalahan menentukan bilangan p jika a dan b diketahui.

Permasalahan demikian yang merupakan permasalahan logaritma.

Perhatikan definisi berikut ini.


DEFINISI 1.6.1 : Untuk b bilangan positif dan b ≠ 1, arti dari blog a = x adalah bx = a

Berkaitan dengan pengertian logaritma pada definisi di atas, ada

beberapa hal yang perlu diperhatikan.

(a) Bilangan b disebut basis atau bilangan pokok logaritma, dan x

disebut hasil logaritma.

(b) Bilangan b dipilih positif. Jika b negatif dan dipangkatkan dengan

bilangan rasional, maka tidak selalu menghasilkan bilangan real.

(c) Karena b positif dan x real, nilai bx > 0. Karena a = bx, berarti a

juga harus positif.

(d) Nilai b harus tidak sama dengan 1, sebab untuk sebarang x maka

nilai 1x = 1.

(e) Gantilah x pada ekspresi bx = a dengan blog a = x akan diperoleh b.

Penulisan sering ditulis dalam bentuk logb a.

(f) Karena b0 = 1 untuk b > 0, maka blog 1 = 0.

CONTOH 1.6.1 a. , karena 102 = 100

b. , karena 24 = 16

c. , karena 161/4 = 2


d. , karena 10-1 = 0,1

e. , karena 2-3 = 1/8

CONTOH 1.6.2: Tentukan nilai logaritma berikut ini.

a. b. c.

Penyelesaian: a. Untuk mencari nilai , sama halnya kita mencari

jawaban atas pertanyaan “10 dipangkatkan berapakah agar sama

dengan 10.000?”. Jawabannya adalah 4, atau 104 = 10.000. Oleh karena itu, = 4. b. Untuk mencari nilai , sama halnya kita mencari jawaban

atas pertanyaan “3 dipangkatkan berapakah agar sama dengan

243?”. Jawabannya adalah 5, atau 35 = 243. Oleh karena itu, = 5.

Kita juga dapat mencari nilai log dari suatu bilangan dengan cara

memfaktorkan bilangan tersebut menjadi perkalian basis dari

logaritmanya. Karena 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35, maka

.

c. Karena 0,25 = ¼ = 4‐1 = 2‐2, maka

Tidak semua logaritma dapat dicari hasilnya dengan mudah seperti

contoh di atas. Misalnya tidak dapat dicari menggunakan cara

seperti di atas. Nilai tersebut dapat dicari menggunakan tabel atau


kalkulator. Selain itu, perhatikan bahwa karena b > 0, berapapun nilai

x akan menghasilkan bx yang selalu positif. Dengan demikian

logaritma terdefinisi hanya untuk bilangan positif.

1.6.2 MENGHITUNG LOGARITMA Logaritma adalah kebalikan dari proses pemangkatan, untuk itu diawali

bagian ini dengan mengulang singkat sifat-sifat perpangkatan. Misalkan

akan digambarkan grafik pangkat dengan menghitung nilai-nilai

pangkat sebanyak mungkin. Untuk menggambarkan sketsa grafik y =

2x, dapat dihitung beberapa nilai y untuk nilai-nilai x seperti dalam tabel

berikut ini:

Tentu saja dapat dihitung lebih banyak nilai y untuk mendapatkan

sketsa grafik yang lebih tepat (halus). Dari tabel di atas dapat diamati

beberapa sifat berikut:

(a) Untuk x makin besar, nilai 2x juga makin besar dan 2x > x.

(b) Untuk x makin kecil (negatif), nilai 2x makin kecil menuju nol.

(c) Untuk sebarang x, nilai 2x > 0.

(d) Untuk x = 0, nilai 2x = 1.

(e) Jika x1 < x2, nilai .

Berdasarkan nilai-nilai pada tabel dan sifat di atas, dapat

disketsakan seperti Gambar 1.6.1. Gambar tersebut merupakan pola

dari grafik y = ax dengan a > 1.


Gambar 1.6.1 Grafik Gambar 1.6.2 Grafik

Dengan cara yang sama, sketsa grafik y = dapat digambarkan

seperti Gambar 1.6.2. Sketsa grafik y = merupakan pola dari grafik

y = ax dengan 0 < a < 1.

Untuk memberikan gambaran mengenai grafik y = ax untuk a yang lain,

perhatikan sifat berikut ini. Misal a > b, berlaku. (a) untuk x > 0, maka ax > bx. (b) untuk x < 0, maka ax < bx.


Gambar 1.6.3 Grafik dan

Berdasarkan informasi ini dapat digambarkan sketsa grafik y = ax.

Misalnya perbedaan grafik y = 2x dan y = 3x dapat dilihat pada Gambar

1.6.3. Perhatikan bahwa untuk x > 0 maka 2x < 3x dan untuk x < 0 maka

2x > 3x. Sedangkan Gambar 1.6. menunjukkan perbedaan antara grafik y

= ( dan y = .


Gambar 1.6.4 Grafik dan

Grafik logaritma dapat dicari dari gafik pangkat. Misalnya, untuk

mendapatkan gafik y = dapat diperoleh dari pencerminan grafik

y = 2x terhadap garis y = x (lihat Gambar 1.6.). Secara terpisah

ditunjukkan grafik y = pada Gambar 1.6..


Gambar 1.6.5 Grafik Logaritma

Gambar 1.6.6 Sketsa Grafik Logaritma


Dari grafik-grafik tersebut dapat dicari nilai logaritma dengan ketepatan

terbatas. Sebagai contoh, dari grafik pada Gambar 1.6.6, jika ditarik

garis y = 3 yang memotong grafik kira-kira di titik dengan x = 1,6. Hal

ini berarti

≈ 1,6 (≈ dibaca ‘hampir sama dengan’)

Secara umum, untuk mendapatkan nilai dapat diikuti gambaran

yang diberikan pada Gambar 1.6.6.

Sifat yang lain dari logaritma diberikan berikut ini.

• Untuk sebarang bilangan b > 1, dan 0 < p < q, berlaku

<

• Untuk 0 < b < 1 dan 0 < p < q, berlaku

>

Uraian berikut ini memberikan gambaran menghitung

berdasarkan sifat di atas.

Diketahui bahwa

2 < 3 < 22 (1.6.3)

karena = 1 dan = 2, maka 1 < < 2.


Jadi = 1,…

Untuk mendapatkan angka ke-dua dari diperlukan nilai

perpangkatan dari 2 oleh 0,1 ; 0,2 ; dan seterusnya.

Tabel 1.6.1

Selanjutnya, dengan membagi 2 pertidaksamaan(1.6.3) diperoleh

1 < 1,5 < 2

dan berdasarkan tabel perpangkatan dari 2 di atas diketahui bahwa 1,5

terletak di antara

20,5 = 1,41 < 1,5 < 1,51 = 20,6 (1.6.4)

Untuk mendapatkan kembali angka 3, kalikan pertidaksamaan (1.6.4)

dengan 2 dan diperoleh

21,5 < 3 < 21,6

dan ini berarti bahwa

1,5 < < 1,6


Untuk mendapatkan ketepatan yang lebih tinggi, harus dihitung 20,01,

20,02, dan seterusnya.

Karena 2x > 1 untuk setiap x > 0, maka pertidaksamaan (1.6.4) dapat

dibagi dengan 1,41 dan diperoleh

1 < 1,064 < 1,134351773

Seperti sebelumnya, dihitung nilai-nilai seperti dalam Tabel 1.6.2.

Tabel 1.6.2

Perhatikan bahwa 1,064 terletak di

20,08 = 1,0570 < 1,064 < 1,0644 = 20,09

dan untuk mendapatkan kembali angka 3, dikalikan ketaksamaan

tersebut dengan 1,41 = 20,05 dan kemudian dengan 2 = 21 (angka yang

digunakan untuk membagi) sehingga diperoleh

21+0,5+0,08 < 3 < 21+0,5+0,09

Hal ini berarti bahwa

1,58 < < 1,59

Dengan demikian


= 1,58…

Tahapan ini dapat dilanjutkan untuk mendapatkan nilai hampiran

dengan ketepatan sesuai yang diinginkan. Karena diketahui bahwa

< 1,59, berati 1,585 lebih baik dibandingkan dengan

1,58.

CONTOH 1.6.3 Dengan menggunakan tabel pangkat yang telah dibuat di atas, hitunglah

.

Penyelesaian:

• Karena 22 = 4 < 5 < 23, berarti = 2,… • Ketaksamaan tersebut dibagi dengan 22 = 4, dan diperoleh

1 < 1,25 < 2

Selanjutnya menggunakan Tabel 1.6.1, diketahui bahwa 1,25

terletak

20,3 = 1,23 < 1,25 < 1,32 = 20,4

Dengan mengalikan ketaksamaan terakhir dengan 22 diperoleh

22+0,3 < 5 < 22+0,4

Ini berarti = 2,3… .


• Untuk memperoleh ketepatan yang lebih baik, ketaksamaan 1,23 < 1,25 dibagi dengan 1,23 dan diperoleh 1 < 1,0163 dan selanjutnya berdasarkan Tabel 1.6.2, diketahui bahwa 1,0163 terletak 20,02 = 1,0140 < 1,0163 < 1,0210 = 20,03

Dengan mengalikan dengan 22+0,3 diperoleh

22+0,3+0,02 < 5 < 22+0,3+0,03

dan ini berarti = 2,32…. Untuk ketepatan tiga angka di

belakang koma, berarti 2,325.

1.6.3 SIFAT – SIFAT LOGARITMA Sebagaimana telah diuraikan pada subbab sebelumnya, bahwa

logaritma dapat diturunkan dari perpangkatan. Dengan pemahaman

tersebut, sifat-sifat perpangkatan dapat digunakan untuk mendapatkan

sifat-sifat logaritma seperti berikut ini.

i. Jika b > 0, b≠1, p > 0 dan q > 0, maka ii. Jika b > 0, b≠1, p > 0 dan q > 0, maka


iii. Jika b > 0, b≠1, p > 0 dan q > 0, maka iv. Jika b > 0, b≠1, p real, dan q rasional, maka CONTOH 1.6.4 Misal diketahui dan , tentukan

.

Penyelesaian:

= 0,3010 + 0,4771

= 0,7781

CONTOH 1.6.5 Misal diketahui dan , tentukan

dan .


Penyelesaian:

• = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761 • = 0,3010 ‐ 0,4771 = ‐ 0,1761

CONTOH 1.6.6 Misal diketahui dan , dapatkan

dan .

Penyelesaian:

• •

CONTOH 1.6.7 Misal diketahui , dapatkan .


Penyelesaian:

1.6.4 CONTOH PEMAKAIAN LOGARITMA Pada subbab ini, akan disajikan contoh-contoh pemakaian logaritma,

diantaranya: untuk mengalikan bilangan, mebagi bilangan, menghitung

pangkat suatu bilangan.

CONTOH 1.6.8 Dengan menggunakan logaritma, hitunglah pendekatan

Penyelesaian:

Misal


CONTOH 1.6.9 Dapatkan nilai x yang memenuhi

Penyelesaian:

Sebelah kiri dan kanan tanda sama dengan dikenakan operasi

= 1,58505

(berdasarkan contoh 1.6.6, = 1,58505) CONTOH 1.6.10 Dana Rp 100.000.000 dideposito dengan bunga 10 % per tahun.

Perhitungan 9 tahun kemudian menggunakan rumusan.


Tentukan besarnya dana pada akhir tahun ke 9.

Penyelesaian:

0,041393 = 8,372534

(disini dihitung berbantuan kakulator, karena

sebelumnya tidak ada contoh penghitungan untuk

; atau dapat berbantuan tabel logaritma)

CONTOH 1.6.11 Persamaan untuk menghitung nilai tunai (present value/PV) dari anuitas

biasa adalah


Dengan :

R adalah pembayaran periodik dari anuitas.

i adalah laju bunga per periode bunga.

n adalah jumlah interval pembayaran

Jika diinginkan mencapai nilai tertentu di masa mendatang (Future value/ FV), maka tentukan rumusan berapa lama untuk mencapainya.

Penyelesaian:

Persamaan pada contoh ini, PV digantikan dengan FV menjadi

Kita akan mencari nilai n, berapa lama untuk mendapatkan nilai yang

akan datang yang diinginkan.

Kenakan operasi log pada kedua sisi persamaan, diperoleh


• RANGKUMAN

• Untuk b bilangan positif dan b ≠ 1, arti dari blog a = x adalah bx

= a.

• Jika b > 0, b≠1, p > 0 dan q > 0, maka berlaku : 6. 7. 8. 9.


SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111---666 1. Tentukan nilai dari logaritma berikut ini.

a. b.

c. d.

e. f.

2. Tentukan nilai dari logaritma berikut ini.

a. b.

c. d.

e. f. 3. Dengan mengikuti cara pada Contoh 1.6.4, hitunglah logaritma di bawah ini sampai ketepatan dua angka di belakang koma. a. b.

c. d.

e. f. 4. Jika dipunyai tabel seperti berikut ini Maka hitunglah logaritma di bawah ini sampai ketepatan satu angka di belakang koma. a. b.

c. d.

e. f.


5. Jika dan , maka hitunglah a. b.

c. d.

e. f. 6. Jika , maka hitunglah a. b.

c. d.

e. f. 7. Jika dan , maka hitunglah a. b.

c. d.

e. f. 8. Jika , maka hitunglah a. b.

c. d.

9. Dengan menyamakan basis logaritma, hitunglah

a. b.

10. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini.

a. b.

93

Bab

2 PE R S A M A A N DA N PE R T I D A K S A M A A N 2. Persamaan Dan Pertidaksamaan

Persamaan atau pertidaksamaan merupakan suatu bentuk model

matematik yang dibangun dari dunia nyata sebagai bentuk hubungan

perwujudan dari alam pikir terhadap suatu masalah. Setiap model

persamaan atau pertidaksamaan harus memuat unsur-unsur yang

merupakan abstraksi dari kenyataan masalah tersebut.

Model yang berbentuk persamaan atau pertidaksamaan merupakan

struktur dari suatu masalah yang mengandung peubah-peubah atau

parameter yang dianalisis atau diselesaikan dengan menggunakan

operasi matematika.

Pada kenyataannya persamaan atau pertidaksamaan yang muncul dari

fenomena nyata dapat berbentuk linier atau tak linier. Akan tetapi, pada

94 B a b 2 : P e r s a m a a n d a n P e r t i d a k s a m a a n

buku ajar ini akan dibahas bentuk linier dan kuadrat. Berikut ini

beberapa ilustrasi permasalahan yang ada di kehidupan sehari-hari.

a. Satu rombongan bus wisata mengunjungi obyek wisata, biaya yang

harus dikeluarkan untuk memasuki obyek wisata tersebut sebesar

Rp 150.000 per bus. Jika dalam satu bus ada 30 orang, maka berapa

biaya masuk objek wisata per orang ?.

b. Perusahaan roti memproduksi 500 bungkus roti setiap hari. Roti

terdiri dari tiga jenis, yaitu: roti keju, roti cokelat, dan roti daging.

Setiap roti keju diproduksi paling sedikit 50 bungkus, roti cokelat

paling sedikit 100 bungkus, dan roti daging paling sedikit 70

bungkus. Permasalahan ini dapat dimodelkan dalam bentuk

pertidaksamaan. Jika keuntungan dari tiap-tiap jenis roti diketahui,

maka berapakah banyaknya tiap-tiap jenis harus diproduksi agar

memberikan keuntungan yang sebesar-besarnya. 2.1 PERSAMAAN LINEAR

Persamaan dikatakan linear jika pangkat dari peubah adalah 1, seperti:

1. 2x + 5 = 8 2. 5y = 20 3. 7x + 6y = 10

Selain banyaknya peubah pada persamaan linear juga dapat ditinjau

dari banyaknya persamaan linear yang muncul secara serentak disebut

sistem persamaan linear, misalnya:

1. 2x + 3y = -2 2. x + 2y + z = -1 3. 2x - y + 2z – u = 0 x + 2x = 3 -x + y + 2z = 2 x + 2y – u = 0 x + z = 1 y - z + u = 0 z - u = 0

B a b 2 : P e r s a m a a n d a n P e r t i d a k s a m a a n 9 5

Dari bentuk–bentuk persamaan linear tersebut, dapat dilakukan hal-hal

sebagai berikut :

1. Mendapatkan penyelesaian persamaan, yaitu mendapatkan nilai-

nilai peubah yang memenuhi persamaan tersebut.

2. Menggambar grafik dari persamaan, khususnya untuk sistem

persamaan dengan 2 peubah .

2.1.1 PERSAMAAN LINEAR SATU PEUBAH Persamaan linear satu peubah secara umum dapat dinyatakan sebagai

berikut :

ax + b =c (2.1.1)

dengan a≠0, b, dan c ∈ R.

Penyelesaian dari persamaan (2.1.1) adalah nilai x yang memenuhi

persamaan tersebut, misalnya.

a. 2x + 3 = 7, untuk x = 2 didapat 2(2) +3 = 7. Berarti x = 2

merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut.

b. 2x + 3 = 5 , jika diberikan x = 1, maka diperoleh 2(1) + 3 = 5.

yang berarti x = 1 merupakan penyelesaian dari persamaan

tersebut.

■ Mencari Penyelesaian Persamaan Linier Satu Peubah

Perhatikan persamaan ax + b = c. Kedua ruas dikurangi dengan b,

diperoleh


ax + b – b = c – b

ax + 0 = c – b atau ax = c – b.

Kemudian kedua ruas dikalikan dengan diperoleh

, atau

(2.1.2)

Himpunan penyelesaiannya adalah :

Dari uraian tersebut diatas, terdapat langkah- langkah dalam mencari

penyelesaian persamaan linier 1 peubah sebagai berikut.

Langkah 1 : Kedua ruas dikurangi dengan b.

Langkah 2 : Kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari koefisien

peubah x yang pada persamaan tersebut adalah a.

CONTOH 2.1.1 Selesaikan persamaan 3x – 7 = 9 ?.

Penyelesaian:

3x – 7 = 9


3x + (–7) = 9 kedua ruas dikurangi –7

3x +(– 7) – (–7) = 9 – (–7)

diperoleh

3x = 16,

Kemudian kedua ruas dikalikan dengan kebalikan 3 yaitu diperoleh

atau

Himpunan penyelesaiannya adalah }.

CONTOH 2.1.2 Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 7 = 5 + 2x ?

Penyelesaian:

7 = 5 + 2x kedua ruas dikurangi 5

-5 + 7 = -5 + 5 + 2x diperoleh

2 = 2x,

kedua ruas dikalikan dengan kebalikan 2 yaitu diperoleh


atau .

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }.

CONTOH 2.1.3 Dapatkan nilai peubah t yang memenuhi ?.

Penyelesaian :

kedua ruas ditambah 7

diperoleh

,

kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari yaitu

atau

Himpunan penyelesaiannya adalah


CONTOH 2.1.4 Selesaikan persamaan 3y – 8 = 9 + 5y ?

Penyelesaian:

3y – 8 = 9 + 5y

kelompokkan y pada ruas kiri dan yang tidak mengandung y pada ruas

kanan. Kurangi kedua ruas dengan –5y dan menambah kedua ruas

dengan 8:

-5y + 3y – 8 + 8 = 9 + 5y – 5y + 8 , diperoleh

-2y = 9 + 8 atau

-2y = 17

kemudian kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari –2 yaitu

, diperoleh

y

Himpunan penyelesaiannya adalah


CONTOH 2.1.5 Dapatkan nilai u yang memenuhi persamaan ?.

Penyelesaian:

,

kelompokkan u pada ruas kiri dan yang tidak mengandung u pada ruas

kanan yaitu dengan mengurangi kedua ruas dengan -3u dan menambah

kedua ruas dengan .

diperoleh

kemudian kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari yaitu

.

atau

,

B a b 2 : P e r s a m a a n d a n P e r t i d a k s a m a a n 1 0 1

Himpunan penyelesaiannya adalah .

2.1.2 PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH Persamaan linear dua peubah secara umum dapat dinyatakan sebagai

berikut :

(2.1.3) dengan a≠0, b≠0, c ∈ R.

Pandang persamaan linear dua peubah

(2.1.4)

Mari kita amati seperti berikut ini.

1. Misal diambil suatu nilai x = 0 diperoleh y = 2. Ini berarti

bahwa pasangan nilai x = 0 dan y = 2 memenuhi persamaan

(2.1.4) atau dengan kata lain pasangan (0,2) merupakan

penyelesaian dari persamaan (2.1.4).

2. Misal diambil lagi, suatu nilai x = 1 diperoleh y = 4/3. Ini

berarti bahwa pasangan nilai x = 1 dan y = 4/3 memenuhi

persamaan (2.1.4). Jadi pasangan (0,2) merupakan penyelesaian

dari persamaan (2.1.4).


Dari pengamatan di atas, nilai x bisa diambil berapa saja, akan didapat

nilai untuk y. Oleh karena itu, persamaan (2.1.4) mempunyai banyak

penyelesaian. Penyelesaian dari persamaan (2.1.4) berupa pasangan

(x,y) yang memenuhi persamaannya.

Secara umum, persamaan (2.1.3) mempunyai tak berhingga banyak

penyelesaian yang berbentuk (x,y).

Jadi, himpunan penyelesaian dari (2.1.3) adalah

CONTOH 2.1.6

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x + 4y = 2 ?

Penyelesaian:

Oleh karena x, y R maka nilai x dan y yang memenuhi

persamaan tersebut ada tak berhingga banyak.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { (x , y) | 3x + 4y = 2 , x, y R}

CONTOH 2.1.7 Dapatkan nilai u yang memenuhi persamaan 4u – 2v = - 5 jika

diberikan v = 2

Penyelesaian:


4u – 2v = - 5 ,

untuk v = 2 diperoleh 4u – 2(2) = -5.

4u – 4 = -5 kedua ruas ditambah 4.

4u – 4 + 4 = -5 + 4 diperoleh

4u = -1 kedua ruas dibagi 4 .

u = -1/4.

Himpunan penyelesaiannya adalah : { -1/4 }

CONTOH 2.1.8 Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x + 3y = 4x – 8 jika

y = -3.

Penyelesaian:

2x + 3y = 4x – 8 , untuk y = -3 diperoleh

2x + 3(-3) = 4x -8

2x – 9 = 4x – 8

pengelommpokkan pada kedua ruas.

2x – 4x = -8 + 9 atau

-2x = 1 , kedua ruas dibagi – 2

Diperoleh x = -1/2

CONTOH 2.1.9 Selesaikan persamaan berbentuk 5t – 3s + 10 = 3s – 4t – 5 jika s = -1 ?


Penyelesaian: 5t – 3s + 10 = 3s – 4t – 5, untuk s = -1 diperoleh

5t – 3 (-1) + 10 = 3(-1 ) – 4t – 5 atau

5t + 3 + 10 = -3 – 4t – 5 atau

5t + 13 = -8 – 4t , pengelompokkan pada kedua ruas.

5t + 4t = -8 – 13 , atau

9t = -21 , kedua ruas dibagi 9

t = -21/9

Himpunan penyelesaiannya adalah : {-21/9}

CONTOH 2.1.10 Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan linier 2x + y = 6 jika

x, y bilangan bulat positif ?

Penyelesaian:

Dari persamaan 2x + y = 6, dapat

diperoleh nilai – nilai x dan y :

Untuk x = 0 maka y = 6 Untuk x = 1 maka y = 4 Untuk x = 2 maka y = 2 Untuk x = 3 maka y = 0 • RANGKUMAN

• Persamaan linear satu peubah dengan a ≠ 0, b, dan

c ∈ R mempunyai:


• penyelesaian • himpunan penyelesaian

• Persamaan linear dua peubah dinyatakan sebagai

dengan a≠0, b≠0, c ∈ R. Dan mempunyai

himpunan penyelesaian

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 222---111 a. Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

c. d.

e. f. 7x – 6 = 8 + 8x

g. h. 7 ( 4 – 5/p) = 8 i. 7(4+5/p) = 8 j. bb 44

742

3+

=−

b. Selesaikan persamaan berikut ini. • 3 – 2/x = 4 +3/x • 6k – 4 = 4 – 6k • 7 + 8h = ‐7‐8h •

• • 3y+2/3 =9y-2/3


c. Dapatkan himpunan semua penyelesaian dari persamaan berikut ini. a. 4x + 5 = 5y -4 b. 5y +3x = 7

c. 7x - 7 = 7-7x d. 5(3x - 2) = 10 15y

e. f.

d. Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut untuk s =

1.

a. 2s + 4 = 4 – 5t. b. 8 - ts2

= 4s + ts

54

c. 6s + 8 = 624

−t

d. 5546

75

+=−st

e. st 442

463

+=

− f. 4 ( 2t + 3s ) = 8 t + 8

g. 541

22

34

−=−tst h. 6

443

25 +=

− st

st

e. Selesaikan persamaan berbentuk. a. 2x + 4y – 6 = 5 untuk x=2.

b. 4t + 5s = tts 4

32

+ untuk t = -2

c. 7u - v3

= 4v + 833

−vu

untuk v=-2

d. 644

25 +

=− qp

qp untuk q = 2

1

e. 4(2n + 3m ) = 8 m+ 8 untuk n=x

f . 872

=−xh

xh

untuk h = y


f. Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini dengan grafik. a . 4x – 3y + 4 = 5 untuk semua bilangan x, y riil

b. u - v3

= 3v - 823

+vu

untuk v = 1 dan u bilangan bulat

c. 4m – 3 n = 6532

−+ nm untuk m bilangan ganjil dan n bilangan

bulat positif.

d. 4t - 5s = sts 4

32

+ untuk t riil negatip dan s bilangan sebarang.

e . xyyx

yx72332 −+

=+ untuk x = 1 dan y bilangan cacah

f. 8722

=−zz

y untuk x bilangan ganjil dan z bilangan genap.

2.2 PERSAMAAN KUADRAT Persamaan kuadrat seringkali dijumpai dari permasalahan yang muncul

dari suatu fenomena nyata. Sebagai ilustrasi: si Pegy mempunyai usaha

penjualan paket kue. Dalam penjualan, Pegy mempunyai banyak

pekerja keliling. Salah satu pekerjanya bernama si A. Dalam setiap

harinya, si A diberikan honorarium sebesar Rp (10+2x), dengan x

adalah banyaknya paket yang dijual oleh si A. Jika si A berhasil

menjual x paket, maka si Pegy juga memperoleh pendapatan akibat dari

penjualan oleh si A, dan besarnya adalah .


Pegy menginginkan pendapatan setiap hari yang berasal dari si A

adalah Rp 10. Berapa paket kue yang harus di jual si A agar target

pendapatan si Pegy terpenuhi. Pada permasalahan ini, dapat

dirumuskan dalam bentuk persamaan kuadrat.

Bentuk umum persamaan kuadrat.

(2.2.1) dengan a≠0, b, c ∈ R.

Untuk lebih jelasnya, kita lihat beberapa contoh persamaan kuadrat

berikut ini.

CONTOH 2.2.1 1. 0122 =+− xx , persamaan kuadrat dengan a=1, b=-2, c=1.

2. 3y2+4y+5=1, persamaan kuadrat dengan a=3, b=4, c= 5–1= 4.

3. 2 1122 =++ tt , persamaan kuadrat dengan a=2, b=2, c= 1-1 = 0.

4. 4n2-16=0, persamaan kuadrat dengan a=4, b=0, c= -16.

5. u2 + 2u1/2- 5 = 0 , bukan persamaan kuadrat karena terdapat

pangkat ½ dari peubah u.

Bentuk persamaan kuadrat bergantung pada koefisian dari peubah x

yaitu a , b , c sehingga terdapat beberapa bentuk persamaan kuadrat :

1. Jika nilai a, b, c merupakan bilangan real maka persamaan kuadrat

yang terbentuk disebut Persamaan Kuadrat Real.


2. Jika nilai a, b, c merupakan bilangan rasional maka persamaan

kuadrat yang terbentuk disebut Persamaan Kuadrat Rasional.

3. Jika c = 0 maka persamaan kuadrat yang terbentuk disebut

Persamaan Kuadrat Tak Lengkap.

4. Jika b = 0 maka persamaan kuadrat yang terbentuk disebut

Persamaan Kuadrat Sejati.

CONTOH 2.2.2 Nyatakan persamaan berikut menjadi bentuk umum.

a. (x – 2)(x + 5) = 0 b. (2x – 4)2 – 6 = 2x.

c. 3x2 – 6x + 3 = x(x + 3 ) d. =7

Penyelesaian:

Bentuk umum persamaan kuadrat yang diminta adalah

.

a. (x – 2)(x + 5) = 0, dijabarkan menjadi x2 + 5x – 2x – 10 = 0 atau

x2 + 3x – 10 = 0.

b. (2x – 4)2 – 6 = 2x, dijabarkan menjadi (2x)2 –2(2x)(4) + (4)2 -6 = 2x

4x2 – 16x + 16 -6 = 2x atau 4x2 – 16x – 2x + 10 = 0 atau

4x2 – 18x +10 = 0.


c. 3x2 – 6x + 3 = x(x + 3) , dijabarkan menjadi 3x2 – 6x + 3 = x2 + 3x

3x2 – x2 – 6x –3x+3= 0 atau

2x2 – 9x+3 = 0.

d. =7

disamakan penyebutnya menjadi

atau

, dijabarkan menjadi

3x+9+2x -4 = 7(x2 + 3x – 2x -6 ) atau

7x2 +2x – 47=0

2.2.1 MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT Seperti halnya yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa persamaan

kuadrat bergantung pada nilai-nilai a, b, c. Oleh karena itu penyelesaian

dari persamaan kuadrat tersebut juga bergantung pada nilai a, b, c dan

hasil penyelesaian tersebut berupa nilai peubah x yang disebut sebagai

akar-akar persamaan kuadrat.


Terdapat 3 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat :

1. Dengan cara memfaktorkan

Cara ini dilakukan berdasarkan pada definisi yang berlaku pada

bentuk kesamaan kuadrat bahwa x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).

Perhatikan bentuk persamaan kuadrat :

ax2 + bx + c = 0, dengan a≠0

kedua ruas dibagi a atau jadikan koefisien x2 menjadi 1 seperti

persamaan (2.2.2).

(2.2.2)

Jika dan maka persamaan (2.2.2) dapat

difaktorkan menjadi . Sehingga diperoleh:

atau .

Jadi akar–akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1= -p dan x2=-q.

Himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah { -p,-q }.

Cara lain dalam memfaktorkan persamaan kuadrat untuk

dapat dilakukan sebagai berikut.


Perhatikan bentuk persamaan kuadrat ,

persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk :

atau

(2.2.3)

Jika dan , maka persamaan (2.2.3) dapat

difaktorkan menjadi . Sehingga diperoleh

atau .

Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah

dan

.

CONTOH 2.2.3 Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x2 – 6x – 20 = 0 ?.

Penyelesaian:


2x2 – 6x – 20 = 0 , kedua ruas dibagi 2 diperoleh

x2 – 3x – 10 = 0 dapat dirubah menjadi

x2 + (2 – 5)x + (-5)(2) = 0 , terlihat bahwa p = 2 dan q = -5

maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditulis

(x + 2)(x – 5) = 0

dengan x +2 = 0 dan x – 5 = 0 diperoleh akar – akar x1 = - 2 dan x2 = 5.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : {-2, 5}.

CONTOH 2.2.4 Selesaikan persamaan kuadrat berbentuk 3x2 + 4x - 10 = 2x2 + 3x + 2

Penyelesaian:

3x2 + 4x - 10 = 2x2 + 3x + 2

Jadikan persamaan berbentuk umum dengan membuat ruas kanan sama dengan 0

3x2-2x2 + 4x – 3x – 10 - 2 = 0

diperoleh persamaan berbentuk x2 + x – 12 = 0

atau dapat ditulis

x2 + (4 – 3)x + 4(-3) = 0 dan terlihat bahwa p = 4 dan q = -3

x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) = 0

sehingga diperoleh x + 4 =0 dan x – 3 = 0.

Akar-akar persamaan adalah x1 = 3 dan x2 = -4 sehingga himpunan

penyelesaian adalah {-4,3}.


CONTOH 2.2.5 Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat

.

Penyelesaian:

Dari persamaan koefisien dari dijadikan 1.

Untuk itu, kedua ruas dari persamaan dikalikan dengan 3. Didapat hasil

x2 + 5x + 6 = 0

atau dapat ditulis x2 + (2 + 3)x + 2(3) = 0

dan terlihat bahwa p = 2 dan q = 3

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3 ) = 0.

Sehingga diperoleh x+2= 0 dan x+ 3 = 0. Jadi akar-akar persamaannya

adalah x1= -2 dan x2= -3.

Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah : {-2,-3}

CONTOH 2.2.6 Selesaikan persamaan berbentuk .


Penyelesaian:

Pada persamaan , ruas kiri penyebutnya disamakan.

Sehingga diperoleh:

atau

Selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan x(x-1), didapat:

2 = x(x -1) atau x2 – x – 2 = 0.

Lakukan pemfaktoran sehingga didapat hasil:

x2 + (1 – 2)x + (–2)(1) = 0 atau (x + 1)(x – 2) = 0

Dari sini diperoleh x + 1 = 0 atau x – 2 = 0

Sehingga akar–akar persamaan tersebut adalah x1 = -1 atau x2 = 2.

Jadi himpunan penyelesaian adalah {-1, 2}.

2. Dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan

melengkapkan kuadrat sempurna.


Perhatikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Jadikan koefisien x2

menjadi 1 dengan membagi kedua ruas dengan a, diperoleh:

Atau

(2.2.4)

(2.2.5)

Persamaan (2.2.4) dan (2.2.5) merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jika pada persamaan (2.2.4) nilai , maka persamaan di atas

menjadi

.

Atau

(2.2.6)


CONTOH 2.2.7 Dapatkan himpunan penyelesaian dari x2 + 4x + 4 = 0 ?.

Penyelesaian:

x2 + 4x + 4 = 0 dapat ditulis

x2 + 2(2)x + 22 = (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2 )= 0.

Akar – akar persamaan tersebut adalah x1 = -2 dan x2 = -2.

Himpunan penyelesaiannya adalah : {-2}.

CONTOH 2.2.8 Nyatakan persamaan kuadrat 3x2 + 6x + 9 = 0 dalam bentuk kuadrat

sempurna ?.

Penyelesaian:

3x2 + 6x + 9 = 0, kedua ruas dibagi 3 diperoleh

x2 + 2x + 3 = 0, melengkapkan dalam bentuk kuadrat sempurna.

x2 + 2x + 12 + 2 = 0 atau x2 + 2x + 12 = - 2 .

Jadi 3x2 + 6x + 9 = x2 + 2x + 12 + 2 = 0 .

x2 + 2x + 12 = -2 atau (x + 1)2 = - 2.

Didapat akar .


CONTOH 2.2.9 Nyatakan persamaan kuadrat 4x2 + 6x + 9 = 0 dalam bentuk kuadrat

sempurna ?.

Penyelesaian:

4x2 + 6x + 9 = 0, kedua ruas dibagi 4 diperoleh

.

Melengkapkan dalam bentuk kuadrat sempurna dengan cara

menyatakan persamaan kedalam bentuk

Diperoleh hasil berikut ini.

, atau

, atau

, atau

Ini merupakan bentuk kuadrat sempurna.


3. Dengan Cara Menggunakan Rumus abc

Akan ditunjukkan berikut ini bahwa persamaan kuadrat

dengan a ≠ 0, mempunyai akar-akar

dan

Pada ax2 + bx + c = 0, kedua ruas dibagi dengan a diperoleh

, lanjutkan dengan melengkapkan dalam bentuk

persamaan kuadrat sempurna.

, atau

, atau

, atau


, dari persamaan ini diperoleh dua persamaan

berikut ini.

• Pertama: Dari sini diperoleh

• Kedua: Dari sini diperoleh

Kedua akar x1 dan x2 di atas, biasa dituliskan dalam bentuk:

(2.2.7)

Persamaan (2.2.7) dinamakan rumus abc.

CONTOH 2.2.10 Dengan menggunakan rumus abc, dapatkan akar-akar persamaan

kuadrat 2x2 – 2x + 6 = 0 ?.

Penyelesaian:

Pada persamaan 2x2 – 2x + 6 = 0, mempunyai a = 2, b = - 2, dan c = 6.


Oleh karena itu, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

Oleh karena terdapat tanda negatif pada akar, persamaan kuadrat

tersebut tidak mempunyai akar real.

CONTOH 2.2.11 Selesaikan persamaan kuadrat 3x2 + 2x – 4 = 0 ?.

Penyelesaian:

x2 + 5x + 4 = 0 yang mempunyai a = 1, b = 5 dan c = 4

Oleh karena itu, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:


Dari sini diperoleh akar-akar dan .

CONTOH 2.2.12 Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan ?.

Penyelesaian:

, kalikan kedua ruas dengan x diperoleh

-x2 + 4x = -4 -2x2, ruas sebelah kanan dibuat sama dengan 0


-x2 + 2x2 + 4x +4 = 0 atau dapat ditulis

x2 + 4x + 4 = 0, merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 4 dan

c = 4.

Dengan menggunakan rumus abc, diperoleh:

Dari sini diperoleh akar-akar . Jadi himpunan

penyelesaiannya adalah }.


CONTOH 2.2.13 Selesaikan persamaan berbentuk ?.

Penyelesaian:

, kedua ruas dikalikan dengan x + 2, diperoleh:

, atau

, ruas kanan difaktorkan, diperoleh:

, kedua ruas dibagi

, atau

, atau

Ini merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 3 dan c = -4.

Dengan menggunaakan rumus abc, diperoleh:


Dari sini diperoleh akar-akar dan .

CONTOH 2.2.14 Selesaikan persamaan (x2 – x)(x + 2 ) = -4(x + 2) + (x2 +5x + 6) ?

Penyelesaian:

(x2 – x)(x + 2) = -4(x + 2) + (x2 +5x + 6 ) ,

dengan memfaktorkan persamaan kuadrat pada ruas kanan, diperoleh

(x2 – x)(x + 2) = -4(x + 2) + (x2 +(2+3)x + 2(3), diperoleh


(x2–x)(x+2) = -4(x+2)+(x + 2)(x + 3) kedua ruas dengan (x + 2) didapat

(x2 – x) = -4 + (x + 3), kedua ruas ditambah 4, -x dan -3 diperoleh

x2 – 2x +1 = 0

Ini merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1, b = -2 dan c = 1.

Dengan menggunaakan rumus abc, diperoleh:

Dari sini diperoleh akar-akar .

Dari beberapa contoh penyelesaian persamaan kuadrat yang

menggunakan rumus abc, terlihat bahwa nilai akar ada mempunyai

dua akar real berbeda, ada yang dua akarnya kembar (sama nilainya),

ada juga yang akarnya berupa bilangan imaginer. Ketiga kondisi ini


tergantung dari nilai . Nilai ini dinamakan diskriminan dan

sering disimbulkan dengan . Ada tiga nilai diskriminan

yaitu:

• Jika , maka persamaan kuadrat mempunyai akar sama

atau akar kembar x1 = x2.

• Jika , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real

berbeda, x1 ≠ x2.

• Jika , maka persamaan kuadrat mempunyai akar

imaginer.

2.2.2 MENCARI HUBUNGAN AKAR‐AKAR PERSAMAAN KUADRAT Pada subbab ini akan dibahas beberapa pernyataan yang berkaitan

dengan akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2.

Akar dari persamaan kuadrat, menurut rumus abc dinyatakan sebagai:

Beberapa pernyataan yang berkaitan dengan akar-akar ini adalah:


1. Jika ditambahkan dengan , maka dapat diperoleh:

(2.2.8) 2. Jika dikalikan dengan , maka dapat diperoleh:

(2.2.9)

Dengan persamaan (2.2.8) dan (2.2.9), persamaan kuadrat

dapat dinyatakan dalam bentuk:

Atau

(2.2.10)


CONTOH 2.2.15 Carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah dan

.

Penyelesaian:

dan a. b. Kita masukkan ke dalam persamaan (2.2.10), didapatkan persamaan

kuadrat: x2 – (x1 + x2 )x + x1x2 = 0 atau x2 – 2x – 1 = 0.

CONTOH 2.2.16 Jika adalah salah satu akar persamaan kuadrat

dan akar lainnya adalah maka dapatkan nilai dari p ?.

Penyelesaian:

atau .


Salah satu bentuk persamaan kuadrat adalah

Dari sini terlihat bahwa .

CONTOH 2.2.17 Perhatikan persamaan kuadrat . Jika salah satu

akarnya merupakan 4 kali akar yang lain, maka dapatkan nilai p dan

akar-akar tersebut ?

Penyelesaian:

Perhatikan kembali bentuk persamaan kuadrat:

Kalau kita padankan dengan persamaan kuadrat ,

didapat:

• Karena diketahui bahwa , maka:

• atau


Dari ini, nilai .

Jadi akar-akarnya adalah dan .

Selanjutnya nilai p dicari dari atau

atau nilai

CONTOH 2.2.18 Salah satu akar dari persamaan kuadrat -4x2 + px – 16 = 0 adalah -2

kali terhadap akar yang lain, dapatkan nilai p dan bentuk persamaan

kuadratnya.

Penyelesaian:

x1 + x2 = ab−

= 4−− p

dan x1x2 = 416

−−

=ac

,

diketahui x1 = -2x2 maka

(-2x2)x2 = -4

diperoleh (x2)2 – 2 = 0 atau x2 = 2± dan x1 = -2x2 = 22±


x1 + x2 = ab−

= 4−− p

= −22 2

diperoleh p1 = −28 24 dan p2= 2428 +− .

Untuk p1 = −28 24 ,

maka persamaan kuadratnya adalah

-4x2 + ( −28 24 ) x – 16 = 0

dengan akar-akar x1= 22 , x2 = - 2

Untuk p2 = 2428 +− ,

maka persamaan kuadratnya adalah

-4x2 + ( +− 28 24 )x – 16 = 0

dengan akar-akar x1= 22− , x2 = 2

CONTOH 2.2.19 Dapatkan akar-akar dan nilai p jika persamaan kuadrat berbentuk x2–

2px+12=0 dan selisih dari akar-akarnya adalah 4.

Penyelesaian:

x1 + x2 = ab−

= pp=

1 dan x1x2 = 121

12==

ac


diketahui bahwa x1 – x2 = 4 atau x1 = 4 + x2 maka (4 + x2)x2 = 12

atau x2 + 4x – 12 = 0,

dengan cara faktorisasi dapat diperoleh

(x + 6)(x – 2) = 0

yang mempunyai akar-akar x2 = -6 dan x2 = 2.

Oleh karena x1 = 4 + x2 maka untuk x2 = -6 diperoleh x1 = -2 dan untuk

x2 = 2 diperoleh x1 = 6.

x1 + x2 = ab−

= pp=

1 jika untuk nilai x2 = -6 dan x1 = -2

maka diperoleh p = -8 dan persamaan kuadrat yang terbentuk adalah

x2 +16x + 12 = 0 .

Jika untuk x2 = 2, x1 = 6 maka diperoleh p = 8 dan persamaan kuadrat

yang terbentuk adalah x2 +16x + 12 = 0.

CONTOH 2.2.20 Hasil kali akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah dan salah satu

akar dari akar yang lain, dapatkan persamaan kuadrat tersebut.

Penyelesaian:


Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1 dan x2, telah

diketahui bahwa x1x2 = 21

dan x1 = 32

x2 maka diperoleh ( 32

x2)x2 = 21

atau dapat ditulis x2 - 043

= dengan akar-akar x12 = 321

±

Untuk akar x2 = 321

diperoleh x1 = 331

demikian pula untuk akar x2 = 321

− diperoleh x1 = - 331

Jadi jumlah kedua akar-akarnya persamaan kuadrat mempunyai 2

kemungkinan yaitu x1+x2 = 331

+ 321

atau x1+x2 = - 331 3

21

−

Dengan demikian persamaan kuadratnya adalah

x2 - ( 331

+ 321

) + 21

= 0 atau

x2 + ( 331

+ 321

) + 21

= 0

2.2.3 HUBUNGAN ANTARA AKAR‐AKAR PERSAMAAN KUADRAT LAINNYA Misalkan persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 dengan

akar x1 dan x2. Hubungan diantara akar-akar x1 dan x2 seperti

dan dapat dipakai untuk mempermudah

pencarian bentuk-bentuk hubungan antar akar-akar yang lainnya

seperti:


1. (x1 - x2)2

2. x12 + x2

2

3. x12x2+ x2

2x1+ x1x2

4.

CONTOH 2.2.21 Jika akar-akar persamaan kuadrat 4x2 + 2x – 1 = 0 adalah x1 dan x2,

maka dapatkan nilai – nilai dari hubungan akar-akar dibawah ini :

a. b. c. d. e. f.

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat dapat diperoleh hubungan akar-akar

x1 + x2 = ab−

= 21

42 −

=−

dan x1 x2 = 41−

=ac

a. Bentuk dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dan

perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat, telah diketahui

sebelumnya bahwa bentuk sempurna kesamaan kuadrat:


dengan demikian:

b. Seperti sebelumnya, dapat dicari x12 x2 + x2

2 x1 = x1 x2 ( x1 + x2 )

Sehingga diperoleh x12 x2 + x2

2 x1 =

c. x13 + x2

3 = ( x1 + x2 )( x12 – x1 x2 + x2

2 )

= ( x1 + x2 )( x12 + x2

2– x1 x2 ),

dari contoh diatas telah diperoleh x12 + x2

2

sehingga diperoleh x13 + x2

3 =

d.

Telah dicari sebelumnya bahwa .

Dengan demikian


e.

f.

■ Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-akarnya Mempunyai

Hubungan Dengan Akar-akar Persamaan Kuadrat Lainnya.

Untuk menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai

hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui

mempunyai 2 cara yaitu:

1. Dengan menggunakan rumus penjumlahan dan perkalian akar-

akar.

2. Dengan menggunakan penggantian.

• Menggunakan Rumus Penjumlahan dan Perkalian Akar-akar

Jika diketahui persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, maka

didapat penjumlahan akar x1 + x2 = ab−

dan perkalian akar

x1x2 = ac

Untuk menentukan persamaan kuadrat baru perlu untuk dicari akar-akar

dari persamaan kuadrat tersebut dan hubungannya dengan akar – akar

persamaan kuadrat yang diketahui.


CONTOH 2.2.22 Dapatkan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah x1 + 3 dan x2 +

3 dimana x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 + 4x + 4 = 0.

Penyelesaian:

Persamaan kuadrat x2 + 4x + 4 = 0 mempunyai jumlahan akar-akar x1 +

x2 = -4 dan perkalian akar-akar x1x2 = 4 .

Jika dimisalkan persamaan kuadrat baru berbentuk au2 + bu + c = 0

dengan akar-akar u1 = x1 + 2 atau u1 - 3 = x1 dan u2 - 3 = x2 maka

dapat dicari akar-akar tersebut dari:

• x1 + x2 = -4 atau u1 – 2 + u2 – 3 = -4

sehingga u1 – 3 + u2 – 3 = -4 atau u1 + u2 = 2

• x1x2 = 4 atau

(u1 – 3)(u2 – 3) = 4 atau diperoleh persamaan u1u2 – 3 (u1+ u2) = -5

atau u1u2 = -5 + 3(2) = 1.

Dengan demikian persamaan kuadrat yang baru adalah

u2 – (u1 + u2)u + u1u2 = 0 atau u2 – 2u + 1 = 0


CONTOH 2.2.23 Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

1

3x dan

2

3x jika x1 dan

x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2 x + 1 = 0 ?

Penyelesaian:

Penjumlahan akar-akar x1 + x2 = -2 dan

Perkalian akar-akar x1 x2 = 1.

Misalkan persamaan kuadrat baru berbentuk a y2 + b y + c = 0 dengan

akar-akar y1 = 1

3x atau x1 =

1

3y dan x2 =

2

3y maka dapat dicari:

• x1 + x2 = -2 atau 1

3y +

2

3y = - 2 atau

2)(3

21

21 −=+yy

yy atau 3(y1 + y2) = -2y1y2.

• x1 x2 = 1 atau 1

3y 2

3y = 1 atau y1 y2 = 9 sehingga dapat diperoleh

3(y1 + y2) = - 2 y1 y2

atau y1 + y2 = - 6 .


y2 – (y1 + y2) y + y1 y2 = 0 atau y2 + 6y + 9 = 0

• Menggunakan penggantian

Untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang baru dengan cara

penggantian dapat dilakukan jika akar-akar persamaan kuadrat yang

baru simetri dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui.


CONTOH 2.2.24 Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat dari x2 – 4 x + 4

= 0 maka dapatkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah :

a. 1

1dx

dan 2

1dx

dengan d adalah konstanta yang tidak nol.

b. x12 + x2

2 dan x12 x2 + x2

2 x1

Penyelesaian:

Dari persamaan yang diketahui x2 – 4 x + 4 = 0 dapat diperoleh

x1 + x2 = 4 dan x1 x2 = 4

1. Misalkan akar-akar persamaan baru adalah dan

dimana penjumlahan dan perkalian dari akar-akar tersebut

berbentuk simetri walaupun nilai dari x1 dan x2 dirubah. Oleh

karena itu, dapat dilakukan penggantian dari akar-akar tersebut

yaitu y =dx1 atau x =

dy1 pada persamaan kuadrat x2– 4x +4 = 0

yaitu

( dy1

)2 – 4 dy1

+ 4 = 0 atau 044)(

12 =+−

dydy , kedua ruas

dikalikan d2y2 diperoleh 1 – dy + 4d2y2 = 0 atau 4d2y2 – dy + 1 = 0


1.3 Misalkan akar-akar persamaan baru adalah y1 = x12 + x2

2 atau

y1 = ( x1 + x2 )2 – 2 x1 x2 = 16 – 32 = -16 dan y2 = x12 x2 + x2

2 x1

atau y2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) = 16.


y2 – ( y1 + y2 ) + y1 y2 = 0 atau y2 – 256 = 0

CONTOH 2.2.25 Dapatkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

21

1xx dan

21

11xx

+

dimana x1 dan x2 merupakan akar persamaan kuadrat x2 + 6x + 9 = 0.

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat yang diketahui diperoleh x1 + x2 = ab−

= - 6

dan x1 x2 = ac

= 9.

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah v1 = 21

1xx = 9

v2 = 21

11xx

+ = 21

21

xxxx +

= 32

96 −

=−

maka persamaan kuadrat yang

baru adalah v2 – (v1 + v2) + v1v2 = 0 atau v2 – 6325

−v = 0


2.2.4 MENERAPKAN PERSAMAAN KUADRAT Sebelum ini, kita telah belajar banyak tentang persamaan kuadrat dan

berbagai cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Banyak permasalahan

yang berhubungan dengan persamaan kuadrat. Pada subbab ini, kita

akan menggunakan persamaan kuadrat untuk menyelesaikan beberapa

permasalahan.

CONTOH 2.2.26 Sekelompok orang melakukan usaha bersama membentuk suatu badan

usaha. Pada tahun pertama usaha tersebut mendapatkan keuntungan

sebesar Rp 10.000.000. Keuntungan tersebut dibagai rata pada setiap

anggotanya. Jika ada 2 orang anggota tidak mau menerima keuntungan

usaha tahun pertama, maka setiap anggota kelompok akan menerima

Rp 250.000 lebih banyak dari penerimaan yang

dibagai pada semua anggotanya. Tentukan

banyaknya anggota kelompok tersebut.

Penyelesaian:

Misal x merupakan banyaknya anggota

kelompok.

• Jika keuntungan dibagi pada semua

anggota kelompok, maka setiap

anggotanya menerima A rupiah.

Besarnya nilai A adalah


• Jika keuntungan tersebut dibagi (x-2) orang, maka setiap

anggotanya menerima B rupiah. Besarnya nilai B adalah

• Jika ada 2 orang tidak mau menerima keuntungan, maka selisih

yang diterima setiap anggota adalah Rp 250.000. Dari sini

diperoleh


Dari persamaan ini, diperoleh dan . Akan tetapi, nilai x

harus lebih besar nol. Karena itu, diperoleh hasil banyaknya anggota

ada sebanyak 10 orang.

CONTOH 2.2.27 Panitia wisata menyewa sebuah bus seharga Rp 2.000.000. Biaya sewa

bus ditanggung secara merata oleh peserta

wisata. Jika pada saat mau berangkat ada 8

orang yang mengundurkan diri, maka setiap

peserta harus menambah biaya sebesar Rp

12.500. Tentukan banyaknya peserta wisata tersebut.

Penyelesaian:

Misal x merupakan banyaknya peserta wisata.

• Jika biaya sewa bus dibagi pada semua peserta, maka setiap

peserta membayar A rupiah. Besarnya nilai A adalah

• Jika biaya sewa tersebut dibagi (x-8) orang, maka setiap peserta

membayar B rupiah. Besarnya nilai B adalah


• Jika ada 8 peserta mengundurkan diri, maka setiap peserta

menambah Rp 12.500. Dari sini diperoleh

Dari persamaan ini, diperoleh dan . Akan tetapi, nilai x

harus lebih besar nol. Karena itu, diperoleh hasil banyaknya anggota

ada sebanyak 10 orang.


CONTOH 2.2.28 Si Pegy mempunyai usaha penjualan paket kue. Dalam penjualan, Pegy

mempunyai banyak pekerja keliling. Salah satu pekerjanya bernama si

A. Dalam setiap harinya, si A diberikan honorarium sebesar Rp

(10+2x), dengan x adalah banyaknya paket yang dijual oleh si A. Jika si

A berhasil menjual x paket, maka si Pegy juga memperoleh pendapatan

akibat dari penjualan oleh si A, dan besarnya adalah

. Pegy menginginkan pendapatan setiap

hari yang berasal dari si A adalah Rp 10. Berapa paket kue yang harus

di jual si A agar target pendapatan si Pegy terpenuhi.

Penyelesaian:

Pada permasalahan ini, dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan

kuadrat atau

Diperoleh x=-10 dan x=5. Karena x adalah banyaknya paket barang

yang dijual, x tidak boleh negatif.

Jadi diperoleh hasil x=5, si A harus menjual sebanyak 5 paket agar si

Pegy memperoleh pendapatan Rp 10 dari penjualan si A.


CONTOH 2.2.29 Pada luar lapangan sepak bola yang berukuran 100 m × 50 m, akan

dibuat jalur lari dengan lebar jalur tetap. Jalur tersebut mengelilingi

lapangan sepak bola. Jika luas jalur tersebut adalah 2.500 m2, maka

tentukan lebar jalur tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan lebar jalur yang harus dibuat adalah x m, lihat Gambar 2.2.1.

Gambar 2.2.1 Jalur lari dengan lebar tetap.

Luas jalur dalam m2 adalah

L = 2(100x) + 2(50x) + 4x2

Karena luas jalur adalah 2.500 m2, maka :

2.500 = 4x2 + 300x

x2 + 75x - 2.500 = 0

(x+100) (x -25)=0

Karena nilai x > 0, maka diperoleh x = 25 m.

Jadi lebar jalur di sisi lapangan sepak bola tersebut adalah 25 m.


• RANGKUMAN

• Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

dengan a≠0, b, c ∈ R.

• Jika dapat difaktorkan ke bentuk , maka penyelesaiannya adalah dan . • Mempunyai bentuk kuadrat sempurna • Mempunyai akar‐akar dan

• Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka

• •

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 222---222 • Dapatkan akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan.

a . x2 + x – 12 = 0 b . x2 – 2x – 8 = 0.

c . x2 – 4x – 5 = 0 d . x2 + 5x = -6


e . x2 + 2x = 3 f . x2 – 14x – 32 = 0

• Carilah akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan bentuk sempurna. a . ( x – 1)2 = 100 b. x2 – 12x – 45 = 0

c. (y – 2)(y – 2) = 9 d. 3t2 + t – 2 = 0

e. (2x + 3)2 = 25 f. u2 + 8u – 9 = 0.

• Carilah akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc. a. 2x2 -4x – 2 = 0 b. x2 – 5x + 3 = 0

c. 6x2 – 7x + 2 = 0. d. 2x2 – 6x + 11 = 0.

e. 3x2 – 6x = 9 f. x2 + 4x – 8 = 0

• Setiap sabtu, Amir pelari peserta PON berlatih lari 18 km, tujuannya adalah mengurangi waktu tempuh sebesar setengah jam, dengan bantuan murid SMU kelas 1 dianjurkan agar ia berlari 1,2 km perjam lebih cepat. Tentukan kecepatan ia berlari ? • Peluru ditembakkan vertikal ke udara dengan kecepatan awal v0 dan pada saat

tertentu akan mencapai ketinggian sebesar v0t – 10t2 . jika

ketinggian maksimum 30 maka tentukan waktu sampai peluru

mencapai tanah ?


• Suatu kotak berbentuk balok yang mempunyai volume = luas alas x tinggi, jika alas dan tutup kotak berbentuk bujur sangkar , sisi balok berbentu empat persegi panjang maka dapatkan luas sisi balok untuk volume = 100 , alas dan tutup diabaikan, tinggi =2? • Jumlah pangkat dua dari tiga bilangan ganjil yang berurutan adalah 515 . tentukan bilangan –bilangan tersebut ? • Suatu tangga dengan panjang 10 bersandar pada tembok , jarak ujung tangga dengan lantai adalah 6, tentukan jarak geseran kaki tangga agar ujung atas tangga bergeser sama panjang dengan geseran bawah ? • Dapatkan persamaan kuadrat yang akar‐akarnya.

a. 4 dan -4 b. u dan 2 – u

c. 2 dan 7 d. 1/t dan t

• Jika a dan b akar‐akar persamaan kuadrat maka bentuk faktor dari persamaan kuadrat dapat ditulis (x + a)(x + b) = 0 , dapatkan persamaan kuadrat tersebut jika: 1.3.2.1.1 a = ‐3 dan b = 4. 1.3.2.1.2 a = ( 2 + )( 2 ‐ ) 1.3.2.1.3 a =( dan b = ( 1.3.2.1.4 a = , b =


• Susunlah suatu persamaan kuadrat yang akar‐akarnya adalah a

121

± • Dapatkan persamaan kuadrat yang hubungan diantara akar‐akarnya adalah

a. jumlah akar-akarnya = 3 , hasil kali akar-akarnya = 4.

b. jumlah akar-akarnya = -4 , hasil kali akar-akarnya = 3

1

c. jumlah akar-akarnya = 2 , hasil kali akar-akarnya = 2

d. jumlah akar-akarnya = 1 , hasil kali akar-akarnya = -1.

• Diketahui salah satu akar persamaan kuadrat x2 – 2qx + 4q = 0

tiga kali akar yang lain , dapatkan nilai p dan akar-akarnya

• Akar-akar persamaan (2p – 1)x2 – 15/2x – 3 = 0 saling

berkebalikan , dapatkan nilai p dan akar-akarnya.

• Persamaan kuadrat berbentuk 2x2 + (p + 3) x – 4p = 0 yang

selisih akar-akarnya sama dengan 7 , dapatkan nilai p dan akar-

akarnya

• Salah satu akar persamaan –2x2 + px – p + 2 = 0 sama dengan

0, dapatkan nilai p.

• Salah satu akar persamaan kuadrat 3x2 – (p – 3)x + p + 2 = 0

berlawanan 2 kali, dapatkan nilai p ?

• x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x = ,

dapatkan p dan akar- akarnya jika 2x1 + x2 = 2 ?


• Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x – 4 = 0 adalah x1 dan x2 ,

dapatkan bentuk simetri dengan tanpa mencari akar

persamaannya .

a. b.

c. d.

• Akar persamaan kuadrat x2 – (p + 1)x – 2p+4 = 0, hitunglah

bentuk berikut yang merupakan bentuk simetri dari x1 dan x2

a. x12 + x2

2 b. x14 + x2

4

c. x13 + x1

2 x2 + x1 x22 + x2

3 d.

• Akar‐akar persamaan 9x2 – 15x + p = 0 adalah x1 dan x2, hitunglah p jika a. x1

2 + x12 x2 + x1 x2

2 + x22 = 2 b . x1

2 + x22 = x1 + x2

• Hitunglah p jika x12 + x2

2 = 10 untuk persamaan kuadrat

berbentuk x2 – px – 4 = 0 ?

• Bilangan x1 dan x2 adalah akar persamaan x2 – 2bx + b2 = 0 ,

dapatkan b jika x12 + x2

2= 2 ?

• Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali

lebih kecil dari akar persamaan kuadrat x2 + 6x + 9 = 0 ?


• Akar persamaan kuadrat x2 - 3x + a - 1= 0 adalah x1 dan x2,

tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

a. 2

1

xx

dan 1

2

xx

b. x12 dan x2

2

c. 21

1 −x dan 21

2 −x d. 21

1x dan 2

2

1x

• Susunlah suatu persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

kebalikan dari akar-akar persamaan x2 – 6ax -6a = 0 ?

• Persamaan yang akar-akarnya 2 lebih kecil dari persamaan

kuadrat x2 – 6ax -6a = 0 adalah 2x2 – 6x + 6 = 0 , tentukan a

dan akar-akarnya ?

• Persamaan kuadrat 6x2 – x - 12 = 0 mempunyai akar-akar x1

dan x2, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x12

+ x22 dan x1

2 - x22.

• Sekelompok orang menerima borongan pekerjaan penggalian

selokan dengan imbalan sebesar Rp 2 juta yang dibagi rata

pada setiap anggotanya. Jika 2 orang onggotanya

mengundurkan diri, maka setiap anggota kelompok akan

menerima Rp 50.000 lebih banyak dari penerimaan semula,

sebelum ada yang mengundurkan diri. Tentukan banyaknya

anggota kelompok tersebut.

• Seseorang berjalan menyusuri sepetak pekarangan berbentuk

persegi panjang yang luasnya 216 m2 tanpa berhenti. Andaikan

langkah orang tersebut selalu tetap sebesar 60 cm, maka


tentukan ukuran pekarangan tersebut jika orang tersebut selesai

mengelilingi pekarangannya dalam 100 langkah.

• Jika jumlah dari kebalikan dua bilangan genap yang berurutan

adalah , maka tentukan jumlah dari dua bilangan genap

tersebut.

2.3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linier atau juga disebut sebagai sistem persamaan

linier serentak merupakan kumpulan atau himpunan dari persamaan

linier. Dalam buku ini dibahas system persamaan linear:

1. Sistem persamaan linier 2 peubah dengan 2 persamaan.



Sistem persamaan linier banyak sekali dijumpai dalam banyak aplikasi

misalnya:

• Seorang pengusaha busana seragam untuk pria dan wanita dengan

bentuk yang berbeda dan terbagi dalam 2 ukuran sedang dan

besar. Ukuran sedang memerlukan 1,2 meter untuk seragam pria

dan 2 meter untuk seragam wanita. Ukuran besar memerlukan 1,5

meter per seragam pria dan 2,5 meter perseragam wanita. Jika

bahan yang tersedia untuk pria sebanyak 100 meter dan


wanita 200 meter, maka banyaknya seragam yang dapat dibuat

untuk ukuran sedang dan besar adalah.

Misalkan peubah x menyatakan seragam dengan ukuran sedang.

Peubah y menyatakan seragam dengan ukuran besar. Banyaknya

seragam pria yang dapat dibuat adalah , dan

banyaknya seragam wanita yang dapat dibuat adalah

. Dan ini membentuk dua persamaan linier

berikut ini.

1,2x + 1,5y = 100 dan 2x + 2,5y = 200

• Suatu obyek wisata yang mempunyai 3 lokasi dengan bentuk yang

berbeda pada suatu tempat yang sama, setiap lokasi pendapatan

yang diperoleh rata-rata adalah

1. Lokasi A sebesar Rp 10.000.000,- dengan harga karcis Rp

2.500,- per dewasa, Rp 1.500,- peranak dan Rp 1000,-

permobil.

2. Lokasi B sebesar Rp 12.000.000,- dengan harga karcis

Rp3.500,-per dewasa, Rp 2.500,- peranak dan Rp 1.000,-

permobil.

3. Lokasi C sebesar Rp 14.000.000,- dengan harga karcis Rp

3.000,- perdewasa, Rp 2.000,- peranak dan Rp 1000,- permobil.

Banyaknya pengunjung dari ketiga lokasi wisata tersebut dapat

diformulasikan sebagai berikut.


Misal x menyatakan banyaknya pengunjung dewasa, y menyatakan

banyaknya pengunjung anak-anak dan z menyatakan banyaknya

pengunjung mobil. Permasalahan ini membentuk suatu sistem

persamaan linier:

2500 x + 1500 y + 1000 z = 10.000.000

3500 x + 2500 y + 1000 z = 12.000.000

3000 x + 2000 y + 1000 z = 14.000.000

• Pada ilustrasi nomor 2, jika hanya terdapat 2 lokasi pada obyek

wisata tersebut, maka banyaknya pengunjung kedua lokasi wisata

tersebut adalah : 2500x + 1500 y + 1000 z = 10.000.000

3000 x + 2500 y + 1000 z = 12.000.000 2.3.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH Sistem persamaan linear dua peubah secara umum dapat ditulis :

a1x + b1y = c1 dengan a1 , b1 , c1 ∈ R

a2x + b2y = c2 dengan a2 , b2 , c2 ∈ R

a1 , b1 , a2 , b2 tidak boleh bersama – sama bernilai nol.

Mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear merupakan

pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut

sehingga memberikan pernyataan yang benar.


Ada beberapa cara dalam mencari penyelesaian sistem persamaan

linear yaitu :

1 . Metode Grafik.

2. Metode Eliminasi

3. Metode Substitusi.

4. Metode gabungan eliminasi dan substitusi.

5. Metode Matrik, dibahas pada Bab 3.

i. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Metode Grafik.

Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode grafik maka

persamaan a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 dapat dipandang sebagai

garis lurus maka perpotongan dari kedua garis tersebut merupakan

penyelesaian dari sistem persamaan linier .

Misalkan garis u1 : a1x + b1y = c1 dan garis u2 : a2x + b2y = c2 maka

akan terdapat beberapa kemungkinan diantara kedua garis tersebut

yaitu: 1. Terdapat satu titik potong jika . Pada kondosi ini, sistem persamaan linier mempunyai satu penyelesaian/ jawab. 2. Garis u1 berimpit dengan garis u2 jika . Pada kondisi ini, terdapat banyak titik yang memberikan jawaban yang benar dan dikatakan bahwa sistem persamaan linier mempunyai banyak penyelesaian.


3. Garis u1 sejajar dengan u2 namun tidak berhimpit, jika . Pada kondisi ini, tidak terdapat perpotongan atau singgunggan antara kedua garis tersebut, sehingga sistem persamaan linier tidak mempunyai penyelesaian. CONTOH 2.3.1 Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier

berbentuk

x + 2y = 3 dan 2x + y = 3.

Penyelesaian:

Dari persamaan x + 2y = 3, didapat:

untuk x = 0 , y = dan

untuk y =0 , x = 3

Jadi grafik melalui titik (0, ) dan (3, 0).

Dari persamaan 2x + y = 3, didapat:

untuk x=0, y = 3 dan

untuk y=0, x =


Jadi grafik melalui titik (0,3) dan ( ,0).

Dari grafik terlihat bahwa perpotongan garis terjadi disekitar (1, 1).

Sehingga penyelesaian dari sistem persamaan linear ini adalah x=1, dan

y=1.

ii. Menyelesaikan Dengan Metode Substitusi.

Misalkan sistem persamaan linier berbentuk a1x + b1y = c1 , a2x + b2y =

c2. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan substitusi

dimaksud adalah melakukan substitusi terhadap salah satu peubah x

atau y dari 1 persamaan ke persamaan yang lain.

a1x + b1y = c1, b1y = c1- a1x atau y = xba

bc

1

1

1

1 − disubstitusi pada

persamaan a2x + b2y = c2 diperoleh a2x + b2( xba

bc

1

1

1

1 − ) = c2 atau

( a2 - 1

122

21

12 )bcbcx

bbab

−=

Jadi x =

1

122

1

122

bcba

bcb

c

−

−.

CONTOH 2.3.2 Dapatkan penyelesaian dari sistem persamaan linier

3x – 2y = 5


2x + 4y = -2

Penyelesaian:

Ambil salah satu persamaan 3x – 2y = 5 atau x = , disubstitusikan

ke persamaan lainnya 2x + 4y = -2 atau 2 ( ) + 4 y = -2 , kedua ruas

dikalikan 3 didapat

10 + 4y + 12y = - 6 atau y = = -1.

Nilai y=-1 dimasukkan ke persamaan 3x – 2y = 5, didapat:

3x – 2(-1) = 5 atau x = 1

Sehingga penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah x=1, dan

y=-1.

CONTOH 2.3.3 Selesaikan sistem persamaan linier berbentuk

2x = 6y + 4

3x + 4y = 3

Penyelesaian:

Ambil persamaan 2x = 6y + 4 atau x = 3y + 2 disubstitusikan pada

persamaan 3x + 4y = 3, didapat

3(3y + 2) + 4y = 3 atau 13y = -3


Diperoleh y = dan nilai y ini dimasukkan ke salah satu persamaan,

didapat x = + 2 = .

Jadi penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah dan

.

iii. Menyelesaikan Dengan Metode Eliminasi.

Misalkan sistem persamaan linier berbentuk

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi

dimaksudkan adalah menghilangkan salah satu peubah dari sistem

persamaan dengan menyamakan koefisien dari peubah tersebut.

a1x + b1y = c1 | x a2 diperoleh a2a1x + a2b1y = c1a2

a2x + b2y = c2 | x a1 diperoleh a2a1x + a1b2y = c2 a1

(a2b1 – a1b2)y = c1a2 - c2a1

Jadi y = 2112

1221

babaacac

−−

dan x = 1

12112

12211

a

bbabaacacc

−−

−


CONTOH 2.3.4 Selesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi berbentuk

2u + 8v = -2

-u + 3v = 4

Penyelesaian:

2u + 8v = -2 dikalikan 1 diperoleh 2u + 8v = -2

-u + 3v = 4 dikalikan 2 diperoleh -2u + 6v = 8

14v = 6

atau v = 3/7

2u + 8v = -2 dikalikan 3 diperoleh 6u + 24 v = - 6

-u + 3v = 4 dikalikan 8 diperoleh -8u + 24 v = 32 -

14u = - 38

atau u = .

CONTOH 2.3.5 Dapatkan himpunan penyelesaian dengan eliminasi jika terdapat

persamaan berbentuk 3s – 4t = 6 dan 2s + 5t = - 3.

Penyelesaian:

3s – 4t = 6 dikalikan 2 diperoleh 6s – 8t = 12

2s + 5t = -3 dikalikan 3 diperoleh 6 s + 15 t = - 9 -

-23t = 21


atau t = .

3s – 4t = 6 dikalikan 5 diperoleh 15s – 20t = 30

2s + 5t = - 3 dikalikan 4 diperoleh 8s + 20t = -12 +

23s = 18

atau s =

Himpunan penyelesaiannya adalah { , }.

iv. Menyelesaikan Dengan Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi.

Misalkan sistem persamaan linier berbentuk

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Penyelesaikan sistem persamaan linier dengan gabungan eliminasi dan

subtitusi dimaksudkan adalah melakukan eliminasi terhadap salah satu

peubah yang kemudian melakukan subtitusi pada salah satu persamaan

atau sebaliknya.



3x – 4y = 5 dan -2x + 2y = 4

Penyelesaian:

3x – 4y = 5 dikalikan 2 diperoleh 6x – 8y = 10

-2x + 2y = 4 dikalikan 3 diperoleh -6x + 6y = 12 +

-2y = 22 atau y = -11 , dilakukan subtitusi pada persamaan -2x + 2y = 4 maka

didapat

-2x + 2(-11) = 4 atau x = - 13.

Penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah {-13, -11}.

CONTOH 2.3.7 Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 4u – 8v = 7 dan 3u

+ 2v = 2

Penyelesaian:

4u – 8v = 7 dikalikan 3 diperoleh 12u – 24v = 21

3u + 2v = 2 dikalikan 4 diperoleh 12u + 8v = 8 -

-32v = 13

atau v = , dilakukan subtitusi pada persamaan 3u + 2v = 2 maka :

3u + 2( ) = 2 atau u =

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { , }.


2.3.2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA PEUBAH Sistem persamaan linear tiga peubah dapat dinyatakan dalam bentuk

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

+ + =+ + =+ + =

(2.3.1) dengan a1, b1 ,c1 , d1 , a2, b2 , c2 , d2 , a3 , b3 , c3, d3 merupakan

bilangan real.

Menyelesaikan sistem persamaan linier 3 peubah dapat dilakukan

seperti halnya pada sistem persamaan linier 2 peubah .


x – 2y + z = 2

2x + y + 2z = 1

-x + y + z = 2

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut dilakukan

dengan menggunakan metode eliminasi .

x – 2y + z = 2 dikalikan 2 diperoleh 2x – 4y + 2z = 4


2x + y + 2z = 1 dikalikan 1 diperoleh 2x + y + 2z = 1 -

- 5y = 3

atau y = -3/5

x – 2y + z = 2 dikalikan 1 diperoleh x – 2y + z = 2

-x + y + z = 2 dikalikan 1 diperoleh -x + y + z = 2 +

- y + 2z = 4

dilakukan subtitusi nilai y pada persamaan tersebut diperoleh

-(-3/5) + 2z = 4 atau z = , subtitusikan pada persamaan -x+ y + z = 2

didapat

-x + ( + = 2 atau x = .


2x – 2y + z = 3

x + y + 2z = -1

-x + y + z = 2

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut dilakukan

dengan menggunakan metode eliminasi .

x + y + 2z = -1


-x + y + z = 2 +

2y + 3z = 1

2x – 2y + z = 3 | x 1 diperoleh 2x – 2y + z = 3

x + y + 2z = -1 | x 2 diperoleh 2x + 2y + 4z = -2 -

- 3 z = 5

atau , dilakukan subtitusi pada persamaan 2y + 3z = 1

diperoleh 2y + 3 ( ) = 1 atau y = 3, kemudian disubtitusikan pada

persamaan x + y + 2z = -1 diperoleh x + 3 + 2 ( ) = - 1 atau x =

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah

.

• RANGKUMAN

• Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua peubah merupakan pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut. • Ada beberapa cara dalam mencari penyelesaian sistem

persamaan linear dua peubah, yaitu :


1 . Metode Grafik.

2. Metode Eliminasi


4. Metode gabungan eliminasi dan substitusi.


1. Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut

dengan menggunakan metode grafik.

a. x – 2y = 3

2x+y = 1

b. 2x + 3y = -2

-x + 2y = 3

c. 3x – 4y -4 = 0

x + 2y = 1

d. x – y = 0

3x + y – 4 = 0

e. 5x – 2y -4 = 0

x + 2y – 1 = 0 f.

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier

berikut dengan menggunakan metode eliminasi.

a. 2x – 2y = -2

x + 2y = 5

b. x + 2y = 3

-x + 2y = 3

c. 4x – 2y -4 = 0

x + y = 3

d. 3x +5y = 7

3x + 2y – 4 = 0

e. 2x + 3y = 4

x + y = 4 f.

x + 2y – 1 = 0


3. Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier

berikut dengan menggunakan metode subtitusi .

• 3x + 2y = 7

2x - y = 1

• 1/2x + 1/3y = 1

-x + 2y = 3

•

x + 2y = 1

• x – 4y = 6

2x + 3y – 2 = 0

• x + y -3 = 0

•


berikut dengan menggunakan gabungan eliminasi dan subtitusi

1. x – 2y = 3

2x+y = 1

2. 2x + 3y = -2

-x + 2y = 3

3. 3x – 4y -4 = 0

x + 2y = 1

4. x – y = 0

3x + y – 4 = 0

5. 5x – 2y -4 = 0

x + 2y – 1 = 0 6.

5. Dua titik (2, 3) dan (-1, 1) yang dilalui oleh garis lurus ax + by = 6 ,

tentukan nilai a dan b ?

6. Sebuah industri pakaian jadi memproduksi 2 jenis pakian yaitu pria

dan wanita, jika pada saat tertentu mendapatkan hasil penjualan

sebesar Rp 250.000 dari 120 pakaian wanita dan 100 pakaian pria ,

demikaian pula dari 90 pakian pria dan 80 pakaian wanita


mendapatkan sebesar Rp 200.000, dapatkan harga jual setiap

pakaian pria dan wanita ?

7. Jumlah penduduk dari suatu kota A dan B adalah 4.000.000. akan

tetapi jumlah penduduk kota A sama dengan 1.500.000 lebihnya

dari 3 kali penduduk kota B dapatkan jumlah penduduk kedua kota

tersebut ?


berikut.

a. 2x – 3y + z = 2 b. x + 4y – z = 15 c . x – 3y = -5

x + 2y – z = 4 2x - 2y +3z = 12 2x + z = 10

x - y + z = 1 x + 2y – z = 10 y + 5z = 5

9. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

a. 10311=−+

zyx b. 213=−

yx c. 1312=+−

yxz

5312=+−

Zyx 312=+

zy 1321−=−+

zxy

8132=−+

zyx 132=−

zx 212=−

zx

10. Diketahui persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c , tentukan nilai a, b, c

jika fungsi tersebut melalui titik berikut ini.

a. (1,1), (2, 4) dan (-2, 4) b. (-2, 0), (2, 0) dan (0, 1).

c. (0,-1), (-4, 0) dan (4, 0). d. (0, 1), (2, 0) dan (2, 1)


2.4 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT DUA PEUBAH Sistem persamaan linier dan kuadrat untuk dua peubah dapat

dinyatakan dalam bentuk

12

2 2 2

y a x b

y a x b x c

= +

= + + (2.4.1)

dimana a1≠0, b1, a2≠0, b2, c2 merupakan bilangan real.

Untuk menyelesaiakan sistem persamaan tersebut dapat dilakukan

dengan cara

1. Metode subtitusi.

2. Metode grafik.

CONTOH 2.4.1 Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

.

Penyelesaian:


Untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut dilakukan dengan

subsitusi persamaan pada diperoleh

atau .

atau diperoleh x1 = 0 dan x2 = -1

Nilai-nilai x disubtitusikan pada , yaitu untuk x1 = 0

diperoleh y1 = 1 dan untuk x2 = -1 diperoleh y2 = 0.

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah

{(0, 1), (-1, 0)}.

CONTOH 2.4.2 Selesaikan sistem persamaan berbentuk y = x + 2 dan y = x2

Penyelesian:

y = x + 2

y = x2

Subtitusikan persamaan pada persamaan , akan

diperoleh

x + 2 = x2 atau

x2 – x – 2 = 0 , dilakukan faktorisasi diperoleh

(x – 2)(x + 1) = 0 dan diperoleh hasil x1 = 2 dan x2 = -1

Nilai-nilai x disubtitusikan pada persamaan y = x + 2, didapat:


1. Untuk x1 = 2 diperoleh y1 = 4

2. Untuk x2 = -1 diperoleh y2 = 1

Sehingga himpunan penyelesaian adalah {(2, 4) , (-1, 1 )}.

Secara geometrik himpunan

penyelesaian tersebut merupakan titik

potong dari kedua persamaan, seperti

yang diperlihatkan pada gambar

disamping ini.

• RANGKUMAN

• Sistem persamaan linear dan kuadrat untuk dua peubah dapat

dinyatakan dalam bentuk

12

2 2 2

y a x b

y a x b x c

= +

= + +

dimana a1≠0, b1, a2≠0, b2, c2 merupakan bilangan real • Ada beberapa cara penyelesaian yang dapat dipakai untuk

menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dua

peubah, yaitu :

1 . Metode Grafik.



SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 222---444 • Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

a. y =2x b. y = x c. y = x + 2

y = x2 + 2x - 1 y = x2 + 2x - 2 y = x2 + 2x - 2

• Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

a. y = x + 1 b. y = x -2 c. y = 3x + 2

y = x2 + 2x - 1 y = x2 + 2x - 2 y = x2 + 2x - 2

• Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut

ini.

a. y + x – 1=0 b. y – 2x -9 = 0 c. y - 2x + 5 = 0

y = x2 - 3x + 2 y –x2 + 5x -5=0 y = x2 - 3x + 3


ini.

a. y - x = 10 b. y – 2x = 5 c. y + x = 5

y = x2 - 3x + 2 y –x2 + 5x -5=0 y = x2 - 3x + 3


ini.

a. y = x – 1 b. y – 2x -9 = 0 c. y = - 2x + 5

y = x2 - 3x + 2 y –x2 + 5x -5=0 y = x2 - 3x + 3

• Tentukan konstanta k agar agar sistem persamaan linear-kuadrat

berikut


o Mempunyai dua penyelesaian.

o Mempunyai satu penyelesaian dan kemudian tentukan

penyelesaiannya.

o Tidak mempunyai penyelesaian.

2.5 PERTIDAKSAMAAN Suatu persamaan dinyatakan dengan tanda “=“. Untuk hubungan dari

peubah – peubah yang menyatakan pertidaksamaan digunakan tanda <

(lebih kecil), ≤ (lebih keci sama dengan), > (lebih besar), atau ≥ (lebih

besar sama dengan. Ekspresi y < x + 1 merupakan suatu

pertidaksamaan. Pada persamaan yang memuat hubungan diantara 2

peubah x dan y, jika (x, y) merupakan pasangan dari titik yang

memenuhi y = x + 1, maka (x, y) merupakan titik pada bidang

koordinat yang terletak pada persamaan y = x + 1. Pada

pertidaksamaan, jika pasangan (x, y) memenuhi pertidaksamaan

, maka pasangan (x, y) berada dibawah grafik y = x + 1.

Daerah penyelesaian pada ketidaksamaan dengan satu peubah dapat

dinyatakan pada garis bilangan.

CONTOH 2.5.1 Beberapa contoh pertidaksamaan.


1. , pertidaksamaan linier dengan satu peubah.

2. , pertidaksamaan kuadratik.

3. , pertidaksamaan pecah rasional.

4. , pertidaksamaan linier dengan dua peubah.

■ Sifat-Sifat pertidaksamaan

Jika a, b, c, dan d merupakan bilangan real, maka berlaku:

a. Jika dan maka .

b. Jika dan maka .

c. Jika dan maka .

d. Jika maka , untuk sembarang c.

e. Jika dan maka .

f. Jika maka .

Untuk pertidaksamaan dengan tanda selain <, mempunyai sifat yang

identik dengan pertidaksamaan dengan tanda <.


Penyelesaian pertidaksamaan sering terkait dengan selang atau

interval. Karena itu, kita bahas terlebih dahulu tentang selang /

interval.

Interval

Himpunan tertentu yang menarik dan sering muncul dalam

matematika adalah himpunan bilangan real yang dinamakan

selang / interval. Secara geometrik interval merupakan sepotong

garis pada garis bilangan real.

DEFINISI 2.5.1 : Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka interval tertutup dari a

ke b ditulis dengan [a, b] dan didefinisikan dengan:

Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka interval terbuka dari a

ke b ditulis dengan (a, b) dan didefinisikan dengan:

Kurung siku menunjukkan bahwa titik ujung termasuk dalam interval,

sedangkan kurung biasa menunjukkan bahwa titik ujung tidak

termasuk dalam interval. Suatu interval dapat diperluas sampai tak

hingga arah positif , arah negatif , atau keduanya.


Simbol bukan merupakan suatu bilangan, hanya

merupakan perluasan ke arah tak berhingga negatif atau tak berhingga

positif. Interval yang diperluas sampai tak terhingga dinamakan

interval tak hingga. Interval yang titik-titik ujungya berhingga

disebut interval berhingga. Interval berhingga yang memuat satu titik

ujung, tetapi tidak memuat titik ujung yang lain disebut interval

setengah terbuka atau interval setengah tertutup.

2.5.1 PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH Pertidaksamaan linier dengan satu peubah berbentuk

(2.5.1)

Dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan real, dan a dan c tidak

keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan tanda pertidaksamaan

lainnya.

Untuk mendapatkan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, setiap

peubah dipindahkan pada ruas kanan dan setiap bilangan dipindahkan

keruas kiri, atau sebaliknya. Kemudian dinyatakan dalam garis


bilangan, sehingga setiap nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

merupakan daerah penyelesaian.

Jika dipunyai pertidaksamaan dengan a, b, c, dan d

bilangan positif dan a-c≠0, maka penyelesaian dari pertidaksamaan

tersebut dapat dilakukan sebagai berikut:

• Pindahkan cx ke ruas kiri, dan b dipindahkan ke ruas kanan,

didapat atau .

• Untuk memperjelas gambaran penyelesaian, nyatakan

dalam garis bilangan. Langkah ini hanya untuk memperjelas

gambaran penyelesaian.

GAMBAR 2.5.1 Daerah penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear

CONTOH 2.5.2 Dapatkan daerah penyelesaian yang memenuhi 4x – 2 < 2x + 1.

Penyelesaian:

Untuk mendapatkan penyelesaian pindahkan 2x pada ruas kiri dan -2

pada ruas kanan. Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nomor 3,

kedua ruas dikurangi 2x dan dilanjutkan dengan dikurangi -2, didapat:


4x – 2 < 2x + 1, atau

4x – 2x < 1 + 2

2x < 3

x < 23

Nyatakan dalam garis bilangan.

.

CONTOH 2.5.3 Dapatkan daerah penyelesaian yang memenuhi ketidaksamaan

?

Penyelesaian:

, Kedua ruas dikurangi 2x dan dikurangi 2, didapat:


Dalam garis bilangan:

CONTOH 2.5.4 Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2 – 4x > 6 + 3x .

Penyelesaian:

, dipindahkan 3x keruas kiri dan 2 keruas kanan

, atau

, kedua ruas dikalikan dengan .

.


2.5.2 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Pertidaksamaan kuadrat berbentuk

ax2+bx + c < 0 (2.5.2)

dengan a≠0, b, dan c adalah bilangan real. Tanda < dapat digantikan

dengan tanda pertidaksamaan lainnya.

Untuk mendapatkan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, dilakukan

dengan cara:

Rubahlah pertidaksamaan menjadi bentuk (2.5.2), dan lakukan

pemfaktoran bentuk kuadrat .

Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan ,

yaitu dan . Gambarkan dan pada garis

bilangan, diperoleh titik yang membagi garis bilangan menjadi

selang-selang yang merupakan daerah uji untuk setiap nilai x

yang memenuhi pertidaksamaan. Jika kita anggap p < q, maka

selang-selang pada garis bilangan dapat digambarkan seperti

pada Gambar 2.5.2.

GAMBAR 2.5.2 Daerah penyelesaian dari suatu pertidaksamaan kuadrat Interval yang terbentuk adalah:

-


-

-

-

-

-

-

-

Ambil titik uji x pada setiap selang/interval.

Berikan tanda + di setiap interval pada garis bilangan apabila

.

Berikan tanda ─ di setiap interval pada garis bilangan apabila

.

Penyelesaian dari pertidaksamaannya adalah interval yang

memuat nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

CONTOH 2.5.5 Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x + 6 < 0.

Penyelesaian:

Faktorisasi bentuk kuadrat pada pertidaksamaan.


Untuk , diperoleh titik .



Terdapat beberapa selang/interval yang menyatakan daerah

penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan,

yaitu: (-∞,-3), (-3, -2) , dan (-2,∞).

Ambil titik uji pada masing-masing interval, misal x = -4, x = -2,5

dan x = 0. Lakukanlah penghitungan tanda + dan -, akan didapat

hasil seperti gambar di bawah ini.

Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih kecil nol, daerah

penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda ─, yaitu (-3, -2).

Atau, himpunan penyelesaiannya adalah }

CONTOH 2.5.6 Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan .

Penyelesaian:

Faktorisasi bentuk kuadrat pada pertidaksamaan.





Terdapat beberapa selang yang menyatakan daerah penyelesaian

yang memenuhi pertidaksamaan,

yaitu: , ( , dan .

Ambil titik uji pada masing-masing interval, misal x = -1, x = 0,



Karena yang diminta soal adalah nilai – nilai yang lebih besar atau

sama dengan nol, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda

─, yaitu atau .

Atau, himpunan penyelesaiannya adalah

2.5.3 PERTIDAKSAMAAN PECAH RASIONAL Bentuk pecah rasional yang akan dibahas disini adalah yang

mempunyai pembilang linear dan penyebut berbentuk linear ataupun

kuadratik.

Pertidaksamaan pecah rasional berbentuk

(2.5.3)


Atau

(2.5.4)

dengan a≠0, b, c≠0, dan d adalah bilangan real. Tanda < dapat

digantikan dengan tanda pertidaksamaan lainnya.

Untuk mendapatkan penyelesaian pertidaksamaan pecah rasional,

dilakukan dengan cara:

Rubahlah pertidaksamaan menjadi bentuk (2.5.3) atau (2.5.4),

Apabila ada bentuk kuadrat, lakukan pemfaktoran pada bentuk

kuadrat .

Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan pembilang nol dan

penyebut nol. Gambarkan titik-titik pembuat nol ini pada garis

bilangan, diperoleh titik yang membagi garis bilangan menjadi

selang-selang yang merupakan daerah uji untuk setiap nilai x

yang memenuhi pertidaksamaan.

Ambil titik uji x pada setiap interval.

Berikan tanda + di setiap interval pada garis bilangan apabila

ruas kiri bernilai positif.

Berikan tanda ─ di setiap interval pada garis bilangan apabila

ruas kiri bernilai negatif.

Penyelesaian dari pertidaksamaannya adalah interval yang

memuat nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.


CONTOH 2.5.7 Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ?.

Penyelesaian:


penyebut nol. Dari pembilang: 2x – 4 = 0 diperoleh x = 2 dan

Dari Penyebut: x + 1 = 0 diperoleh x = -1.

Terdapat beberapa interval yang pada garis bilangan, yaitu

, , dan . Ambil titik uji pada masing-masing

interval antara lain , , .

Karena yang diminta adalah yang lebih besar nol, maka terlihat pada

gambar di atas bahwa daerah penyelesaian adalah daerah yang bertanda

+ yaitu dan .

CONTOH 2.5.8 Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ?.


Penyelesaian:

Pertidaksamaan dibawa kedalam bentuk (2.5.3) atau (2.5.4) sebgai

berikut.


penyebut nol. Dari pembilang: –x – 6 = 0 diperoleh x = –6 dan

Dari Penyebut: x + 1 = 0 diperoleh x = –1.

Terdapat beberapa selang , yaitu , , dan

.

Ambil titik uji pada masing-masing selang, misal , ,

dan didapat hasil tanda seperti pada gambar di bawah ini.


Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih besar nol, daerah

penyelesaiannya adalah yang bertanda +, yaitu .

2.5.4 MENERAPKAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Berikut ini akan diberikan beberapa contoh pemakaian pertidaksamaan

kuadrat untuk menyelesaikan persoalan dalam kehidupan sehari-hari.

Penerapan ini akan disajikan dalam bentuk contoh-contoh. CONTOH 2.5.9 Pada luar lapangan sepak bola yang berukuran 100 m × 50 m, akan

dibuat jalur lari dengan lebar jalur tetap. Jalur tersebut mengelilingi

lapangan sepak bola. Jika luas jalur tersebut tidak boleh kurang dari

2.500 m2, maka tentukan minimal lebar jalur tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan lebar jalur yang harus dibuat adalah x m, lihat Gambar 2.5.3.


GAMBAR 2.5.3 Jalur lari mengelilingi lapangan sepak bola Luas jalur dalam m2 adalah

L = 2(100x) + 2(50x) + 4x2 = 300x + 4x2

Karena luas jalur adalah 2.500 m2, maka :

2.500 ≤ 4x2 + 300x

x2 + 75x - 2.500 ≥ 0

(x+100) (x -25) ≥ 0

Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan

,



Terdapat beberapa selang yang menyatakan daerah penyelesaian

yang memenuhi pertidaksamaan, yaitu: (-∞,-100), (-100, 25), dan

(25, ∞).

Ambil titik uji pada masing-masing interval, misal x = -200, x = 0



Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih besar sama

dengan nol, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda ++

yaitu (-∞, -100] atau [25, ∞). Atau, himpunan penyelesaiannya adalah

}.


Karena nilai x > 0, maka diperoleh x ≥ 25 m.

Jadi lebar jalur di sisi lapangan sepak bola tersebut minimal 25 m.

CONTOH 2.5.10 Sebuah perusahaan melakukan penjualan x unit barang per minggu.

Harga p (dalam ribuan) rupiah per unit dinyatakan dalam p=188-2x.

Biaya produksi x unit barang adalah c = 200+4x rupiah (dalam ribuan).

Berapa unit barang yang harus diproduksi dan laku terjual untuk dapat

memperoleh laba paling sedikit 4 juta rupiah per minggu ?.

Penyelesaian:

Banyaknya unit adalah x dan harga per unit adalah (188-2x), diperoleh:

Pendapatan =

Biaya x unit = 200 + 4x

Keuntungan = Pendapatan – Biaya

Dinyatakan bahwa laba paling sedikit 4 juta rupiah per minggu, atau

4000 dalam ribuan. Oleh karena itu, diperoleh


Mirip dengan langkah sebelumnya, carilah titik-titik pembuat nol dan

lakukan uji di beberapa titik. Akan didapat interval-interval pada garis

real sebagai berikut.

Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih kecil sama

dengan nol, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda –

yaitu .

Jadi banyaknya barang yang diproduksi per minggu paling sedikit 42

dan paling banyak 50.

• RANGKUMAN

• Pertidaksamaan linier dengan satu peubah berbentuk

Dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan real, dan a dan c

tidak keduanya nol.

Tanda < dapat digantikan dengan tanda pertidaksamaan lainnya.

• Pertidaksamaan kuadrat berbentuk


ax2+bx + c < 0

dengan a≠0, b, dan c adalah bilangan real. Tanda < dapat


• Pertidaksamaan pecah rasional berbentuk

atau

dengan a≠0, b, c≠0, dan d adalah bilangan real. Tanda < dapat


.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 666---222 • Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.

a. x – 3 > 0 b. -4x > 4 c. 8 – 4x < 12

d. 4x + 2 ≤12 e. 32>

x f. 32

22

<−x

g. 3x + 5 < 5x – 7 h. 2 – 4x ≥ 6x -2 i. 6x + 6 < 12 – 24x

• Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.

a. 3 ≤ 2x – 7 < 5 b . 2x + 1 < 3x + 5 < 2x + 6

c. 65

421

3+<+

xx d. x-1 < 2x + 1 ≤ 3 + x



a. 02342

>++

xx

b. 423

426

−<

+ xx

x c. 123

5++

−− x

x > 0

d. 22

22

−−

>−−

xx

xx

e. 02

21

4≥

++

− xx f. 6

532>

+x

x


a. 065232

2

2

<+−+−

xxxx

b. 0254

2

2

>−−+−

xxxx

c. 012

62

2

≤++

−−xx

xx

d. x

xxx

x −>

+ 22

32

e. 2

121

2

2 −>

−− x

xx

f. 0)4)(3()1)(2(

<−−−−

xxxx

• Sebuah perusahaan melakukan penjualan x unit barang per minggu.

Harga p (dalam ribuan) rupiah per unit dinyatakan dalam p=250-x.

Biaya produksi x unit barang adalah c = 200+x rupiah (dalam

ribuan). Berapa unit barang yang harus diproduksi dan laku terjual

untuk dapat memperoleh laba paling sedikit Rp 100.000 per

minggu ?.

• Sebuah penerbit menjual 5.000 buku, masing-masing dengan harga

Rp 2.500. Jika harga dinaikkan Rp 500, maka penjualan berkurang

300 buku. Berapa harga maksimum yang harus dikenakan agar

penerimaan paling sedikit Rp 15.000.000.

1

177

Bab

3 MA T R I K S 3. Matriks

Matriks banyak dipakai untuk pengembangan berbagai macam cabang

matematika, seperti penyelesaian persamaan linier, tranformasi linier,

teori graf, dan sebagainya. Dalam penerapannya di bidang grafika

komputer matriks dipakai untuk merepresentasi struktur data dari suatu

graf, menyatakan sebuah gambar (citra), menggerakkan gambar dalam

suatu ruang, dan sebagainya. Namun Pada buku ini hanya mengenalkan

matriks, operasi pada matriks, dan penggunaannya pada penyelesaian

sistem persamaan linear.

3.1 MATRIKS DAN OPERASINYA Pada bagian ini akan dibahas tentang definisi matriks, operasi yang

berlaku dan beberapa sifat matriks, dalam hal ini elemen dari matriks

dibatasi pada bilangan real saja. Perhatikan definisi dibawah ini.

178 B a b 3 : M a t r i k s

DEFINISI 3.1.1: Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi

panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan itu dinamakan

anggota/elemen matriks tersebut.

CONTOH 3.1.1 Beberapa contoh matriks:

Ukuran matriks ditunjukan dengan banyaknya baris dan banyaknya

kolom, seperti pada Contoh 3.1.1 secara berurutan, ukuran matriks

pertama adalah 3 x 2, karena matriks terdiri dari tiga baris dan dua

kolom. Begitu juga matriks selanjutnya mempunyai ukuran 3 x 3,

matriks yang ketiga juga dinamakan dengan matriks baris atau vektor

baris karena hanya terdiri dari sebuah baris saja. Matriks yang terakhir

adalah matriks kolom atau vektor kolom, karena hanya terdiri dari

sebuah kolom saja. Keduanya, vektor kolom dan vektor baris biasa

dilambangkan dengan sebuah huruf kecil tebal atau huruf kecil diberi

garis atasnya.

Secara umum notasi untuk sebauh matriks menggunakan huruf besar,

sedangkan anggota dari matriks biasanya menggunakan huruf kecil.

B a b 3 : M a t r i k s 179

CONTOH 3.1.2 Matriks A mempunyai ukuran m × n, maka matriks tersebut dapat

ditulis sebagai

atau dapat ditulis

Jika diinginkan untuk menyebut sebuah anggota matriks A pada baris

ke-i dan kolom ke-j, maka penyebutan itu menggunakan notasi (A)ij =

aij. Selanjutanya kita akan melihat operasi apa saja yang dapat

dikenakan pada matriks.

■ Beberapa istilah matriks

Untuk matrik ,

i. Jika banyaknya baris m = 1, maka matriks A dinamakan matriks

baris.

Beberapa contoh matriks baris adalah ii. Jika banyaknya baris n = 1, maka matriks A dinamakan matriks

kolom.

Beberapa contoh matriks baris adalah

180 B a b 3 : M a t r i k s

iii. Jika banyaknya baris m = banyaknya kolom n, maka matriks A

dinamakan matriks bujursangkar (square matriks).

Beberapa contoh matriks bujursangkar adalah

iv. Jika semua elemen A adalah 0, maka matriks A dinamakan

matriks Nol (0). Beberapa contoh matriks nol adalah

v. Jika matriks A adalah bujursangkar dan

maka matriks A dinamakan matriks diagonal.

Beberapa contoh matriks diagonal adalah

vi. Jika matriks A adalah bujursangkar dan

maka matriks A dinamakan matriks identitas (satuan), biasa

disimbolkan dengan In.

Beberapa contoh matriks identitas adalah

vii. Jika matriks A adalah bujursangkar dan

B a b 3 : M a t r i k s 181

maka matriks A dinamakan matriks segitiga bawah. Beberapa contoh matriks segitiga bawah adalah

viii. Jika matriks A adalah bujursangkar dan

maka matriks A dinamakan matriks segitiga atas. Beberapa contoh matriks segitiga bawah adalah

ix. Jika matriks A adalah bujursangkar dan maka matriks A

dinamakan matriks simetri.

Beberapa contoh matriks simetri bawah adalah

DEFINISI 3.1.2: Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai

ukuran yang sama dan anggota yang berpadanan juga sama.

Jika ada dua matriks A = (aij) dan B = (bij) dikatakan sama, maka

berlaku aij = bij

Perhatikan contoh dibawah ini.

182 B a b 3 : M a t r i k s

CONTOH 3.1.3 Pandang beberapa matriks di bawah ini.

Jika matriks A = B, maka nilai x pada A harus sama dengan 2. Matriks

B tidak sama dengan matriks C karena kedua matriks tersebut tidak

mempunyai ukuran yang sama.

DEFINISI 3.1.3: Jika dua matriks A dan B mempunyai ukuran yang sama, maka kedua

matriks tersebut dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Untuk

menambahkan atau mengurangkan kedua matriks tersebut anggota

yang berpadanan dijumlahkan atau dikurangkan.

Matriks yang tidak mempunyai ukuran yang sama tidak dapat

dijumlahkan atau dikurangkan

Dua matriks A = (aij) dan B = (bij) dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama, maka: 1. Penjumlahan matriks A dan B A + B = C

Dengan matriks C berukuran sama dengan matriks A dan B,

elemen cij = aij + bij. 2. Pengurangan matriks A dan B A - B = C Dengan matriks C berukuran sama dengan matriks A dan B, elemen cij = aij ‐ bij .

B a b 3 : M a t r i k s 183


Dapatkan A + B dan A-B.

Penyelesaian:

A+B =

Cobalah lakukan penjumlahan A dengan C, apa bisa dilakukan?.

DEFINISI 3.1.4: Jika sembarang matriks A dikalikan dengan scalar c, maka cA adalah

sebuah matriks yang ukuranya sama dengan ukuran A dan elemennya

adalah caij.


184 B a b 3 : M a t r i k s

Dapatkan 2A dan

Penyelesaian:

DEFINISI 3.1.5: Dua matriks A dan B dapat dikalikan, jika matriks A mempunyai ukuran

m × p, dan matriks B harus mempunyai ukuran p × n maka hasil-kali A

dan B adalah sebuah matriks C yang mempunyai ukuran m x n dan

anggota cij berasal dari jumlahan perkalian antara baris ke-i dari matriks

A dengan kolom ke-j dari matriks B, atau

dengan i=1, 2, …, n dan j=1, 2, …, m

B a b 3 : M a t r i k s 185

CONTOH 3.1.6 Dapatkan perkalian matriks A dan B jika

Penyelesaian:

C= A x B, matriks C berukuran 2x2 karena ukuran A adalah 2x2 dan

ukuran B adalah 2x2.

Selanjutnya cobalah untuk mengalikan A dengan C.

CONTOH 3.1.7 Dapatkan perkalian matriks A dan B jika

Penyelesaian:

C= A x B, matriks C berukuran 2x4 karena ukuran A adalah 2x3 dan

ukuran B adalah 2x4.

186 B a b 3 : M a t r i k s

Selanjutnya kalau kita mencoba mengalikan A dengan C, tidak dapat

dilakukan karena ukurannya tidak memungkinkan untuk dikalikan.

DEFINISI 3.1.6: Matriks transpose dari matriks A ditulis AT atau A’ yang elemennya

merupakan elemen A dengan mengubah baris i menjadi kolom i atau

mengubah kolom ke i menjadi baris ke i.

CONTOH 3.1.8 Dapatkan transpos dari matriks A dan B jika

Penyelesaian:

• Tranpose matriks A . • Tranpose matriks B.

B a b 3 : M a t r i k s 187

DEFINISI 3.1.7: Jika A merupakan persegi, maka trace A dinyatakan dengan tr(A),

didefinisikan sebagai jumlah elemen pada diagonal utama matriks A.

CONTOH 3.1.9 Dapatkan trace dari matriks dan .

Penyelesaian:

tr(A) = 1 + 4 = 5

tr(B) = 1+4 + 0 = 5

• RANGKUMAN

• Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi

panjang.

• Berbagai macam matriks diantaranya: matriks baris, matriks

kolom, matriks bujur sangkar, matriks nol, matriks identitas,

matriks diagonal, matriks segitiga bawah, matriks segitiga atas,

dan matriks simetri.

• Pada matriks berlaku operasi kesamaan, penjumlahan,

pengurangan, dan perkalian asal memenuhi syarat operasi yang

188 B a b 3 : M a t r i k s

telah didefinisikan.

• Untuk matriks bujur sangkar A, trace A = tr(A) merupakan

jumlahan elemen pada diagonal utama matriks A.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 333---111 1. Jika diberikan matriks

, maka

dapatkan: a. A-B b. 2A+3B c. (A+B)Td. AT+BT e. (A-B)T f. A-AT

2. Jika diberikan matriks

, maka: a. Apakah A+AT simetri? b. Apakah B+BT dapat dilakukan? c. Apakah C+CT dapat dilakukan? d. Apakah (B+B)T simetri?3. Tentukan jenis matriks berikut ini. a. b.

c. d. 4. Tentukan nilai a, b, c, d pada persamaan matriks berikut ini.

B a b 3 : M a t r i k s 189

a. b. 5. Tentukan nilai a, b, c, d pada persamaan matriks berikut ini.


, maka

periksalah mana diantara hasil perkalian matriks berikut ini yang

dapat dioperasikan dan dapatkan hasil perkaliannya. a. AB, BA b. ATB, BTA c. A2, B2, C2 d. A(BC), (AB)C e. (ABC)T f. CT BT AT

3.2 INVERS MATRIKS Pada bagian ini akan dibahas tentang invers dari suatu matriks dan cara

mencari inversnya. Sifat-sifat dasar dari suatu matriks yang mempunyai

invers. Sebelumnya perhatikan definisi invers dibawah ini.

DEFINISI 3.2.1: Misal A merupakan matriks bujur sangkar dan jika ada matriks bujur

sangkar B yang berukuran sama dengan ukuran A, sedemikian hingga

berlaku AB = BA = I, maka A disebut matriks yang dapat dibalik atau

matriks yang punya invers dan matriks B disebut invers dari matriks

A dan ditulis A-1. Sebaliknya matriks A adalah invers dari matriks B,

ditulis B-1.

190 B a b 3 : M a t r i k s

CONTOH 3.2.1 Misal dan . Dapat kita lihat bahwa:

• • Oleh karena AB=BA=I maka:

• matriks A adalah invers dari matriks B, atau B-1=A • matriks B adalah invers dari matriks A, atau A-1=B.

Jika suatu matriks mempunyai invers, maka invers dari matriks ini

adalah tunggal (hanya ada satu). Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap

matriks bujur sangkar mempunyai invers.

TEOREMA 4.2.1:

Jika matriks A dan B adalah matriks yang mempunyai invers dan

berukuran sama, maka:

1. AB juga mempunyai invers.

2. (AB)-1 = B-1A-1

Bukti:

Dengan mengalikan kedua sisi pada statemen nomor 2 dengan AB,

maka (AB)(B-1A-1) = ABB-1A-1 = AIA-1 = I.

Oleh karena (AB)(B-1A-1) = I, matriks AB mempunyai invers, yaitu

B-1A-1. Secara simultan telah ditunjukan bukti untuk (1) dan (2).

B a b 3 : M a t r i k s 191

CONTOH 3.2.2 Misal dan . Periksalah bahwa:

• • • • • Untuk menambahkan wawasan kedalaman tentang pembahasan

matriks, berikut ini akan ditampilkan beberapa definisi dan teorema

yang tidak dibuktikan.

DEFINISI 3.2.2: Jika A merupakan matriks bujur sangkar, maka dapat didefinisikan

dengan n > 0.

Jika matriks A mempunyai invers, maka dapat didefinisikan

192 B a b 3 : M a t r i k s

TEOREMA 4.2.2:

Jika matriks A merupakan matriks bujur sangkar dan m, n adalah

bilangan bulat, maka dan .

TEOREMA 4.2.3:

Jika matriks A mempunyai invers, maka

1. mempunyai invers dan .

2. mempunyai invers dan , untuk n bilangan bulat

positif.

3. Untuk k scalar yang tak nol, kA mempunyai invers dan

.

CONTOH 3.2.3 Misal . Periksalah bahwa:

•

•

B a b 3 : M a t r i k s 193

•

TEOREMA 4.2.3:

Jika matriks A mempunyai invers, maka AT juga mempunyai invers

dan ( .

CONTOH 3.2.4 Misal dan dari contoh sebelumnya bahwa

Dapatkan invers dari AT.

Penyelesaian:

Berdasarkan teorema 4.2.3,

(

• RANGKUMAN

• Untuk matriks A dan B yang mempunyai invers, maka:

Invers A disimbulkan dengan , dan Invers B

194 B a b 3 : M a t r i k s

disimbulkan dengan . AB juga mempunyai invers. (AB)‐1 = B-1A-1

• Untuk matriks bujur sangkar A, berlaku:

dengan m, n adalah bilangan bulat.

• Untuk matriks A yang mempunyai invers, matriks AT juga

mempunyai invers dan (

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 333---222 1. Periksalah apakah matriks B merupakan invers dari matrik A. a. b.

c. d. 2. Periksalah apakah matriks B merupakan invers dari matrik A. a.

b.

B a b 3 : M a t r i k s 195

3. Carilah nilai x, agar matriks B merupakan invers dari matrik A. a. b.


maka: a. b. c. d. 5. Jika diberikan matriks

maka: a. b. c. d. 6. Agar matriks B merupakan invers dari matrik A, dengan

dan

a. Tentukan x b. c. d.

196 B a b 3 : M a t r i k s

3.3 DETERMINAN Dalam subab ini, akan ditekankan bahasan pada pengertian determinan

sebagai fungsi yang mengaitkan setiap matriks bujur sangkar A dengan

suatu bilangan real yang disebut determinan dari A dan dinotasikan

dengan det(A) atau |A|.

Determinan untuk suatu matriks Anxn ditulis

det(A) = |A| =

merupakan suatu nilai real tertentu yang terdefinisi. Pendefinisian nilai

dari suatu determinan akan dibahas setelah ini. Pengertian baris, kolom,

dan unsur pada matriks berlaku juga untuk determinan, tetapi perlu

diperhatikan bahwa determinan hanya didefinisikan untuk ukuran n x n

(berorder n). Elemen a11, a22, …, ann disebut elemen diagonal utama

dari determinan.

Determinan untuk matriks A1x1=(a11) adalah |a11| = a11.

Pada suatu determinan dari matriks An×n, apabila suatu baris ke-r dan

kolom ke-s dihapus (dihilangkan) dari matriks A. Akan diperoleh

determinan berorder n – 1 yang dinotasikan dengan Mrs dan disebut

minor dari elemen ars. Kofaktor dari unsur ars dinotasikan dengan

Krs, diperoleh dengan mengalikan minor Mrs dengan (-1)r+s, yaitu

Krs = (-1)r+sMrs (3.3.1)

B a b 3 : M a t r i k s 197

DEFINISI 3.3.1: Jika matriks Anxn adalah matriks bujur sangkar dan Kij merupakan

kofaktor dari elemen aij, maka:

1. Matriks dinamakan

matriks Kofaktor.

2. Matriks KT dinamakan adjoint dari A, ditulis adj(A)=KT.

CONTOH 3.3.1 Misal , tuliskan determinan dari A, Minor dan kofaktor

dari setiap elemen A. Juga dapatkan matriks Kofaktor dan adj(A).

Penyelesaian:

• Determinan dari A = det(A)= • Minor dari setiap elemen A:

o M11=|2|=2 baris 1 dan kolom 1 pada dihapus. Ingat bahwa |2| determinan tingkat 1, bukan nilai mutlak.

o M12=|‐1|=‐1 baris 1 dan kolom 2 pada dihapus. o M21=|‐5|=‐5 baris 2 dan kolom 1 pada dihapus.

198 B a b 3 : M a t r i k s

o M22=|3|=3 baris 2 dan kolom 2 pada dihapus. • Kofaktor dari setiap elemen A:

o K11=(‐1)1+1M11=2 o K12=(‐1)1+2M12=‐(‐1)=1 o K21=(‐1)2+1M21=‐(‐5)=5 o K22=(‐1)2+2M22=3

• Matriks Kofaktor dari A. .

• Matriks adj dari A. ,

DEFINISI 3.3.2: (NILAI DETERMINAN) Nilai determinan dari matriks Anxn adalah jumlahan dari hasil kali

elemen – elemen dalam satu baris (kolom) dengan kofaktornya, atau

, untuk suatu kolom j (3.3.2)

Atau

, untuk suatu baris i (3.3.3)

Rumusan pada definisi di atas ini dinamakan expansi Laplace.

B a b 3 : M a t r i k s 199

Dari definisi di atas terlihat dengan jelas bahwa determinan matriks

merupakan suatu skalar (nilai real) yang diperoleh dari elemen-elemen

matriks dengan operasi tertentu.

■ Determinan Tingkat Dua

Berdasarkan ekspansi Laplace pada persamaan (3.3.3) dengan memilih

i=1, determinan dari matriks adalah:

Dari sini dapat dikatakan bahwa determinan dari matriks 2x2 adalah

perkalian elemen diagonal utama dikurangi denga perkalian elemen

diagonal kedua.

Jika matriks , maka det(A) = ad -bc

Untuk lebih jelasnya marilah kita tinjau contoh berikut.

CONTOH 3.3.2 Misal , dapatkan determinan dari A.

Penyelesaian:

det(A) = ad-bc = 3(2) – (-5)(-1) = 6-5 = 1.

200 B a b 3 : M a t r i k s

CONTOH 3.3.3 Misal , jika |A|=2, maka dapatkan nilai x.

Penyelesaian:

det(A) = ad-bc

2 = 3(2) – (x-5)(-1)

2 = 6 +x-5

atau x = 1.

■ Determinan Tingkat Tiga

Berdasarkan ekspansi Laplace pada persamaan (3.3.3) dengan memilih

i=1, determinan dari matriks

adalah:

+

B a b 3 : M a t r i k s 201

Untuk memudahkan pencarian nilai determinan tingkat 3 secara

manual, dari hasil rumusan di atas dapat ditata menjadi:

+ - + - + -

Det(A)=|A|=

Ini yang dinamakan dengan aturan Sarrus. Untuk lebih jelasnya marilah

kita tinjau contoh berikut.

CONTOH 3.3.4 Contoh 3.3.5 Misal , dapatkan determinan dari A.

Penyelesaian:

det(A) =

202 B a b 3 : M a t r i k s

= 3(2)2 – (-5)1(3) + 0(-1)0 – 0(2)3 + 3(1)0 – (-5)(-1)2

= 12 +15 + 0 – 0 + 0 – 10 = 17

Misal , jika |A|=10, maka dapatkan nilai x.

Penyelesaian:

det(A) =

10 = 3(2)2 – (-x)1(3) + 0(-1)0 – 0(2)3 + 3(1)0 – (-x)(-1)2

10 = 12 +3x + 0 – 0 + 0 – 2x

atau x =-2.

■ Sifat-sifat Dasar Determinan

Berikut ini diberikan beberapa sifat dasar determinan dalam bentuk

teorema tanpa bukti. Dengan sifat-sifat ini penghitungan nilai

determinan dapat lebih sederhana. i. Nilai suatu determinan tidak berubah jika baris‐barisnya ditulis sebagai kolom‐kolom dan sebaliknya. ii. Nilai suatu determinan menjadi kelipatan k nilai determinan semula jika elemen ‐ elemen sebarang baris atau kolom pada determinan tersebut dikalikan k. iii. Jika unsur‐unsur dari satu baris atau kolom suatu determinan semuanya nol, maka nilai determinan tersebut adalah nol.

B a b 3 : M a t r i k s 203

iv. Jika semua unsur dari satu baris (atau kolom) suatu determinan dapat ditulis sebagai jumlahan dua bilangan, maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlahan dua determinan. v. Jika sebarang dua baris (atau kolom) dari determinan ditukar letaknya, maka nilainya menjadi ‐1 kali determinan semula. vi. Jika unsur‐unsur yang bersesuaian dari dua baris (atau kolom) dari suatu determinan sebanding, maka nilai determinan tersebut adalah nol. vii. Jika unsur-unsur suatu baris (atau kolom) determinan diganti

dengan menambahkan pada unsur-unsur tersebut k kali unsur-

unsur yang bersesuaian pada baris (atau kolom) yang lain, maka

nilai determinan tersebut tetap tidak berubah.

viii. Invers dari matriks non-singular A yang berukuran n x ndapat

dinyatakan

Sifat-sifat di atas, merupakan sifat penting dan sering digunakan

dalam penghitungan nilai suatu determinan dan invers matriks.

Mencari Invers Matriks

Kita akan mencari invers matriks yang berukuran 2×2 dengan

menggunakan determinan dan adjoint.

Jika matriks dan det(A) tidak nol, maka:

i. Matriks kofaktor dari A adalah

204 B a b 3 : M a t r i k s

ii. Matriks adjoint dari A adalah

iii. Matriks invers dari A adalah .

CONTOH 3.3.6 Misal , dapatkan invers dari A.

Penyelesaian:

• Telah diperoleh dari contoh sebelumnya bahwa . • • adalah =

• RANGKUMAN

• Pada suatu determinan, apabila suatu baris ke-r dan kolom ke-s

dihapus dari determinan, akan diperoleh determinan berorder

n – 1 yang dinotasikan dengan Mrs dan disebut minor dari

elemen ars=Mrs.

Krs adalah Kofaktor dari unsur ars, dengan Krs = (-1)r+sMrs

• Determinan untuk matriks A1x1=(a11) adalah |a11| = a11.

• Matriks KT dinamakan adjoint dari A, ditulis adj(A)=KT.

B a b 3 : M a t r i k s 205

• Jika matriks , maka det(A) = ad -bc

•

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 333---333 1. Dapatkan Minor dari setiap elemen dari matriks berikut ini. a. b.

c. d. 2. Dapatkan Kofaktor dari setiap elemen dari matriks berikut ini. a. b.

c. d. 3. Dapatkan Matriks Kofaktor, adjoint, dan invers dari matriks berikut

ini. a. b.

206 B a b 3 : M a t r i k s

c. d. 4. Dapatkan Matriks Kofaktor, adjoint, daninvers dari matriks berikut

ini. a. b. 5. Dapatkan nilai determinan, matriks kofaktor, adjoint, dan invers dari

matriks berikut ini. a. b. c. d.

6. Periksalah apakah matriks B merupakan invers dari matrik A. c. d. e. f.

7. Carilah nilai x pada persamaan berikut ini. a. b. c. d.

8. Carilah nilai x pada persamaan berikut ini.

B a b 3 : M a t r i k s 207

a. b.

9. Buktikan bahwa:

10. Tunjukkan bahwa:

11. Buktikan bahwa:

3.4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MATRIKS Pada bab 2, telah mengenalkan tentang sistem persamaan linier, yang

diselesaikan dengan metoda grafis dan substitusi. Sekarang kita coba

selesaikan dengan menggunakan matriks.

Ingat kembali tentang sistem persamaan linier dengan n buah variabel

dan n buah persamaan, seperti berikut ini.

208 B a b 3 : M a t r i k s

(3.4.1)

…

Persamaan (3.4.1) dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks

seperti berikut ini.

(3.4.2)

dengan

B a b 3 : M a t r i k s 209

CONTOH 3.4.1 Tuliskan sistem persamaan linier berikut ini dalam bentuk perkalian

matriks.

Penyelesaian:

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:

CONTOH 3.4.2 Tuliskan sistem persamaan linier berikut ini dalam bentuk perkalian

matriks.

Penyelesaian:


210 B a b 3 : M a t r i k s

Coba lakukan pengalian matriks terhadap persamaan di atas ini,

apakah kembali ke bentuk seperti persamaan semula?.

Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linier

dengan menggunakan matriks dan determinan.

3.4.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN INVERS MATRKS Perhatikan kembali persamaan (3.4.2), jika kedua ruas kita kalikan dari

kiri dengan invers A, didapat

I

(3.4.3)

Jadi persamaan (3.4.3) merupakan penyelesaian sistem persamaan

linier persamaan (3.4.1).

CONTOH 3.4.3 Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan

invers matriks.

B a b 3 : M a t r i k s 211

Penyelesaian:


• , • Invers dari A:

• Penyelesaian untuk X adalah dan CONTOH 3.4.4

Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan

invers matriks.

212 B a b 3 : M a t r i k s

Penyelesaian:


• , • Invers dari A:

• Penyelesaian untuk X adalah

, dan 3.4.2 METODA CRAMER Untuk menyelesaikan persamaan (3.4.1), dapat menggunakan

determinan dari matriksnya. Metoda ini dinamakan metoda Cramer,

B a b 3 : M a t r i k s 213

namun bukti dari metoda ini tidak dibahas di sini. Pembaca bisa

mencari pada literatur lain.

Ingat kembali sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matriks

berikut ini.

Jika det(A)≠ 0, maka penyelesaian dari sistem persamaan linier tersebut

adalah:

Dengan D=det(A), dan Dk adalah determinan yang diperoleh dari

mengganti kolom ke-k pada determinan D dengan matriks kolom B.

Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh-contoh berikut ini.

CONTOH 3.4.5 Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan

metoda Cramer.

Penyelesaian:


214 B a b 3 : M a t r i k s

• , • Determinan Dk: Penyelesaian untuk X adalah dan CONTOH 3.4.6

Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini ddengan menggunakan

metoda Cramer.

Penyelesaian:


B a b 3 : M a t r i k s 215

• , • Determinan Dk:

• Penyelesaian untuk X adalah , dan • RANGKUMAN

• Sistem persamaan linear dapat dituliskan dalam bentuk

perkalian matriks

• Penyelesaian sistem persamaan linier persamaan

mempunyai penyelesaian .

• Jika det(A)≠ 0, maka dengan metode Cramer sistem persamaan

linier mempunyai penyelesaian

216 B a b 3 : M a t r i k s

Dengan D=det(A), dan Dk adalah determinan yang diperoleh

dari mengganti kolom ke-k pada D dengan matriks kolom B. SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 333---444 1. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan

invers matriks. a.

b. c. d.

2. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan

metode Cramer. a.

b. c. d.


invers matriks. a.

b.

B a b 3 : M a t r i k s 217

c. 1 d.


metode Cramer. a.

b. c. 1

d. 5. Bandingkan antara penyelesaian sistem persamaan linier dengan

menggunakan invers matriks dan menggunakan metode Cramer.

Gunakan soal nomor 3 dan 4, mana yang lebih cepat?

218 B a b 3 : M a t r i k s

219

Utu

4 PR O G R A M LI N E A R 4. Program Linear

rogram linear (linear programming) adalah metode

penyelesaian suatu persoalan dimana terdapat dua aktifitas

atau lebih yang saling berhubungan dengan keterbatasan

sumber. Dengan kata lain program linear adalah suatu cara untuk

menyelesaikan persoalan melalui model matematika yang disusun

berdasarkan persoalan dalam bentuk sistem persamaan atau

pertidaksamaan linear.

Permasalahan yang terkait dengan program linear biasanya berkaitan

dengan menentukan nilai optimum. Nilai optimum dapat berupa nilai

maksimum atau nilai minimum. Pencarian nilai optimum berdasarkan

peubah yang ada (misal peubah x dan y). Struktur perumusan program

linear adalah menentukan nilai optimum dari fungsi objektif (tujuan)

dengan kendala berbentuk sistem pertidaksamaan linear.

P

220 B a b 4 : P r o g r a m L i n i e r

Program linear berkembang cukup pesat, terutama pemanfaatannya

dalam bidang manajemen produksi, pemasaran, distribusi, transportasi,

bidang lainnya yang terkait dengan optimasi.

Setelah siswa belajar program linear, siswa mempunyai pemahaman

dan ketrampilan dalam penerapan sistem pertidaksamaan linear dengan

dua peubah. Juga mempunyai ketrampilan dalam membuat model

matematika program linear dan menyelesaikannya.

Sebagai ilustrasi, seorang pedagang memiliki modal belanja barang

yang terbatas, ingin mendapatkan barang-barang dagangan yang akan

memberikan keuntungan sebanyak-banyaknya. Agar mendapatkan

keuntungan yang maksimal, pedagang tersebut harus memilih barang

apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah rupiah akan dipakai untuk

membayar tiap jenis barang dagangan yang dipilih. Problem demikian

ini dapat diformulasikan dan diselesaikan dengan menggunakan

program linear.

4.1 SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR Sebelum program linear dipelajari secara mendalam, pada subbab ini

akan dipelajari terlebih dahulu mengenai sistem pertidaksamaan linear

dan menentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

linear tersebut.

4.1.1 PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH PENYELESAIANNYA Pada ilustrasi sebelumnya, misalkan pedagang tersebut hanya

membawa uang untuk belanja barang dagangan sebesar 6 juta rupiah.

B a b 4 : P r o g r a m L i n i e r 221

Barang yang akan dibeli adalah buah apel dan buah mangga.

Berdasarkan data penjualan tahun sebelumnya, pedagang menghendaki

untuk membeli banyaknya apel dua kali lipat banyaknya mangga. Misal

peubah x menyatakan uang (dalam jutaan rupiah) yang akan dipakai

membeli apel. Peubah y menyatakan uang (dalam jutaan rupiah) yang

akan dipakai membeli mangga.

Besarnya uang untuk belanja apel ditambah besarnya uang untuk

belanja barang tidak boleh melebihi uang yang dibawa. Secara

matematis, pernyataan tersebut dapat dituliskan menjadi

. Contoh pernyataan matematika tersebut dinamakan dengan

pertidaksamaan linear. Karena pertidaksamaan tersebut terdiri dari dua

peubah ( x dan y ) maka pertidaksamaan tersebut dinamakan dengan

pertidaksamaan linear dengan dua peubah. Bentuk umum dari

pertidaksamaan linear dengan dua peubah didefinisikan berikut ini.

DEFINISI 4.1.1 : Pertidaksamaan linear dengan dua peubah merupakan

pertidaksamaan yang memuat dua peubah dan mempunyai bentuk

(4.1.1)

dengan a, b, dan c adalah konstanta real. Nilai a dan b tidak boleh

keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan >, ≤, atau ≥.


Beberapa contoh bentuk pertidaksamaan linear.

a. b. c.

d. e. f.

Pandang pertidaksamaan

(4.1.2)

Mari kita melakukan pengamatan sebagai berikut.

• Jika x=1 dan y=3 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2), maka diperoleh pernyataan atau

Pernyataan tersebut bernilai benar, yaitu bahwa “5 ≤ 6” adalah benar. • Jika x=7 dan y=1 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2), maka diperoleh pernyataan

atau Pernyataan tersebut bernilai salah. • Jika x=3 dan y=0 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2), maka diperoleh pernyataan


atau Pernyataan tersebut bernilai benar. • Jika x=3 dan y=2 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2), maka diperoleh pernyataan

atau Pernyataan tersebut bernilai salah. Dari pengamatan tersebut tampak bahwa ada beberapa pasang nilai x

dan y yang menjadikan pertidaksamaan bernilai benar. Ada beberapa

pasang nilai x dan y yang menjadikan pertidaksamaan bernilai salah.

Pasangan nilai x dan y yang menjadikan pertidaksamaan (4.1.2) bernilai

benar dinamakan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Jika

pasangan yang demikian dihimpun, akan membentuk suatu himpunan

penyelesaian dari pertidaksamaan yang dimaksud.

Himpunan penyelesaian dari adalah

Himpunan penyelesaian tersebut berupa suatu daerah pada bidang

koordinat kartesian.

Menggambarkan daerah penyelesaian dari


Daerah penyelesaian pertidaksamaan pada bidang

koordinat kartesian dapat dicari dengan langkah-langkah:

i. Pertidaksamaan dirubah menjadi sebuah persamaan

garis .

ii. Gambarkan garis lurus pada bidang kartesian.

• Jika a=0 maka persamaan menjadi atau

.

Gambar dari persamaan berupa garis mendatar sejajar

sumbu x dan berjarak nilai mutlak dari .

Dengan adanya garis ini, daerah bidang kartesian terbagi

menjadi tiga bagian daerah, yaitu:

Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi ,

daerah pada garis.


daerah di atas garis.


daerah di bawah garis.

Seperti tampak pada Gambar 4.1.1, daerah bidang kartesian

terbagai menjadi: daerah pada garis, daerah di atas garis, dan

daerah di bawah garis.


Gambar 4.1.1

• Jika b=0 maka persamaan menjadi atau

.

Gambar dari persamaan berupa garis tegak sejajar sumbu

y dan berjarak nilai mutlak dari .




daerah pada garis.


daerah di sebelah kanan garis.


daerah di sebelah kiri garis.

Seperti tampak pada Gambar 4.1.2, daerah bidang kartesian

terbagai menjadi: daerah pada garis, daerah di sebelah kanan

garis, dan daerah di sebelah kiri garis.


Gambar 4.1.2 • Jika a dan b keduanya tidak nol maka gambar dari persamaan berupa garis miring.

Untuk menggambar , dapat dilakukan dengan

cara:

- Mencari titik potong dengan sumbu x:

Titik potong garis dengan sumbu x terjadi bila nilai y=0.

Diperoleh atau . Jadi titik potong garis dengan

sumbu x adalah

- Mencari titik potong dengan sumbu y:

Titik potong garis dengan sumbu y terjadi bila nilai x=0.

Diperoleh atau . Jadi titik potong garis dengan

sumbu y adalah

- Buat garis lurus yang melalui titik dan




Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi

, daerah pada garis.


.


.

Seperti tampak pada Gambar 4.1.3, yaitu daerah pada garis, di

atas garis, dan daerah di bawah garis.

Gambar 4.1.3 Daerah penyelesaian pertidaksamaan

iii. Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang dipisahkan

garis dan substitusikan ke pertidaksamaan, apakah memenuhi

pertidaksamaan tersebut atau tidak.

iv. Menentukan daerah penyelesaian.

Jika pada langkah (iii) hasilnya memenuhi maka daerah yang

memuat titik uji tersebut adalah daerah penyelesaian.

Jika pada langkah (iii) hasilnya tidak memenuhi maka daerah

yang memuat titik uji tersebut bukan daerah penyelesaian.


CONTOH 4.1.1 Gambarkan daerah penyelesaian dari .

Penyelesaian:

Kita ikuti langkah-langkah seperti di atas.

i. Pertidaksamaan dirubah menjadi . ii. Gambarkan garis lurus pada bidang kartesian, seperti berikut ini. - Titik potong dengan sumbu x terjadi apabila y=0. Diperoleh nilai . - Titik potong dengan sumbu y terjadi apabila x=0. Diperoleh nilai Tarik garis lurus yang melalui titik dan .

iii. Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang dipisahkan garis, Misal kita ambil titik (0,0). Substitusikan ke pertidaksamaan, diperoleh


iv. Menentukan daerah penyelesaian. Hasil langkah (iii) merupakan pernyataan yang benar / memenuhi pertidaksamaan. Oleh karena itu, daerah di bawah garis biru yang memuat (0,0) merupakan daerah penyelesaiannya. Daerah penyelesaian seperti tampak pada gambar berikut ini adalah daerah yang diarsir.

Pada subbab selanjutnya membahas tentang sistem pertidaksamaan

linear dan penyelesaianya.

4.1.2 SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH PENYELESAIANNYA Kumpulan dari pertidaksamaan linear yang terdiri dari dua atau lebih

pertidaksamaan linear akan membentuk suatu sistem pertidaksamaan

linear. Pada buku ini dibatasi pada pertidaksamaan linear dengan dua

peubah.


DEFINISI 4.1.2 : Sistem pertidaksamaan linear dengan dua peubah merupakan dua

atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua peubah dan mempunyai

bentuk

(4.1.3)

dengan ai, bi, dan ci adalah konstanta real, i=1, 2, ..., m. Nilai ai dan bi

tidak boleh keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan >, ≤, atau

≥.

Sistem pertidaksamaan linear dapat digambarkan dalam bidang

Kartesian. Daerah pada bidang Kartesian yang memenuhi sistem

pertidaksamaan linear merupakan himpunan penyelesaian dari sistem


Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 4.1.3 adalah

Himpunan penyelesaian tersebut berupa suatu daerah pada bidang

koordinat kartesian. Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari


pertidaksamaan berbentuk 4.1.3 digunakan langkah-langkah sebagai

berikut. i. Ubahlah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan . ii. Setiap persamaan garis digambar pada bidang Kartesian. Cara penggambaran garis seperti sebelumnya. Garis – garis ini membentuk daerah – daerah yang dibatasi oleh garis – garis pada bidang kartesian. Daerah – daerah ini merupakan calon himpunan penyelesaian. iii. Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang dipisahkan garis dan substitusikan ke setiap pertidaksamaan 4.2.1, apakah memenuhi semua pertidaksamaan tersebut atau tidak. iv. Menentukan daerah penyelesaian. Jika pada langkah (iii) hasilnya memenuhi maka daerah yang memuat titik uji tersebut adalah daerah penyelesaian. Jika pada langkah (iii) hasilnya tidak memenuhi maka daerah yang memuat titik uji tersebut bukan daerah penyelesaian. Arsirlah daerah penyelesaian dan daerah yang tidak terarsir bukan merupakan daerah penyelesaian.


Untuk mempermudah pengertian dan pemahaman, perhatian contoh-

contoh berikut.

CONTOH 4.1.2 Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

,

,

.

Penyelesaian:

Pada contoh ini, sengaja dipilih pertidaksamaan dan .

Mengingat banyak kasus nyata yang mempunyai penyelesaian bukan

bilangan nengatif. Misalnya hasil produksi suatu pabrik/perusahaan,

jumlah tenaga kerja yang dipakai dan lain sebagainya.

i. Ubahlah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan

. Sehingga diperoleh:

,

,

.


ii. Masing-masing persamaan , , dan

digambar pada bidang Kartesian. Diperoleh gambar berikut ini.

iii. Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang dipisahkan

garis dan substitusikan ke setiap pertidaksamaan 4.2.1.

Misal kita ambil titik (1,1), diperoleh hasil substitusi sebagai

berikut.

2(1)+1 ≤ 6, memenuhi (bernilai benar)

1 ≥ 0, memenuhi (bernilai benar)

1 ≥ 0, memenuhi (bernilai benar)

iv. Menentukan daerah penyelesaian.

Pengambilan titik pada (iii) memenuhi semua pertidaksamaan yang

ada. Oleh karena itu, daerah (terkecil) yang memuat titik tersebut

merupakan daerah penyelesaian. Seperti digambarkan pada daerah

arsiran pada gambar di bawah ini.


Contoh 4.1.3

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

,

,

,

.

Penyelesaian: i. Ubahlah setiap pertidaksamaan yang ada menjadi: ,

,


, . ii. Masing‐masing persamaan , , , dan digambar pada bidang Kartesian. Diperoleh gambar berikut ini.

iii. Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang dipisahkan garis dan substitusikan ke setiap pertidaksamaan 4.2.1. Misal kita ambil titik (1,2), diperoleh hasil substitusi sebagai berikut. 1‐2 ≤ 1, memenuhi (bernilai benar) 2(1)+1 ≤ 6, memenuhi. 1 ≥ 0, memenuhi. 1 ≥ 1, memenuhi. iv. Menentukan daerah penyelesaian.


Pengambilan titik pada (iii) memenuhi semua pertidaksamaan yang ada. Oleh karena itu, daerah (terkecil) yang memuat titik tersebut merupakan daerah penyelesaian. Seperti digambarkan pada daerah arsiran pada gambar di bawah ini.

• RANGKUMAN

• Pertidaksamaan linear dengan dua peubah merupakan

pertidaksamaan yang memuat dua peubah yang berbentuk

dengan a, b, dan c adalah konstanta real. Nilai a

dan b tidak boleh keduanya nol. Tanda < dapat digantikan

dengan >, ≤, atau ≥.

• Himpunan penyelesaian dari adalah

.

• Sistem pertidaksamaan linear dengan dua peubah

merupakan dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua

peubah.


• Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear

adalah himpunan dari pasangan koordinat (x,y) yang memenuhi

semua pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 444---111 1. Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dibawah ini :

a. x ≤ 9 d. 4x ≤ 8

b. y ≥ 3 e. 1+≥ xy

c. 2 ≤ y ≤ 8 f. 1 ≤ x ≤ 8

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dibawah ini :

a. 3x + 2y ≥ 6

b. 4x – 5y ≥ 10

c. 2x + 3y ≤ 12

d. 6x + 7,5y ≥ 15

e. 7x – 3y ≤ 21

3. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

dibawah ini :

a. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 10, 2x + 2y ≤ 14

b. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 10, 2x + 2y ≥ 14

c. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3, 3x + 2y ≤ 6


d. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 9, 2x + y ≥ 7

e. x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≤ 9, x + y ≥ 5

4. Misalkan daerah yang tidak diarsir adalah daerah penyelesaian dari

suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan

tersebut yang digambarkan dalam gambar berikut ini :

a.

b.


c.


dibawah ini :

d. x + y ≥ 1, x + y ≤ 3, 3x - 2y ≤ 6 , 3x - 2y ≥ -3

e. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 9, x ≤ 6


dibawah ini :

a. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 4, x - 4y ≥ 4, dan 3x + 4y ≤ 12

b. x ≥ 0, y ≥ 1, x - 4y ≥ 4, y + 4x ≤ 4 dan 3x + 4y ≤ 12

c. x ≥ 1, y ≥ 0, x + 2y ≥ 5, x + y ≤ 4, dan 3x + 4y ≤ 12


4.2 MODEL MATEMATIKA DARI PROGRAM LINEAR Banyak permasalahan dalam bidang ekonomi, bisnis, atau pertanian

dapat diselesaikan dengan menggunakan program linear. Namun

sebelum diselesaikan dengan program linear, permasalahan tersebut

harus diformulasikan dalam bentuk model matematika terlebih dahulu,

baik dalam bentuk persamaan ataupun pertidaksamaan linear.

Model matematika adalah pernyataan suatu persoalan dalam bentuk

bahasa matematika dengan menggunakan persamaan atau

pertidaksamaan matematika. Model matematika yang dibahas disini

adalah model matematika program linear. Permasalahan program linear

biasanya berupa mencari nilai optimal (maksimal atau minimal) dari

suatu fungsi objektif (tujuan) dengan kendala sistem pertidaksamaan

linear.

Pembentukan Model Matematika dari Program Linear

Seperti diterangkan diatas, agar suatu permasalahan dapat diselesaikan

dengan program linear, haruslah terlebih dahulu permasalahan tersebut

diubah dalam bentuk model matematika. Dari permasalahan berupa

kalimat verbal, akan diubah kedalam bentuk persamaan atau

pertidaksamaan metematika.


Bentuk umum dari model matematika program linear dengan dua

peubah adalah:

Optimalkan

dengan a, b adalah konstanta, dan dengan kendala suatu sistem

pertidaksamaan linear sebagai berikut.

dengan ai, bi, dan ci adalah konstanta real, i=1, 2, ..., m. Nilai ai dan bi tidak boleh keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan >, ≤, atau ≥.

Untuk membentuk model matematika program linear perhatikan hal

berikut ini:

1. Tentukan peubah x dan y yang berkaitan dengan permasalahan.

2. Dari peubah yang ada, susunlah keterkaitan dari peubah

menjadi sebuah fungsi onbjektif dan sistem pertidaksamaan.

Agar lebih memahami pembentukan model matematika, perhatikan

baik-baik contoh-contoh permasalahan nyata berikut ini :

CONTOH 4.2.1


Pada suatu pabrik, untuk memproduksi botol plastik 500 cc diperlukan

proses di mesin A selama 3 jam dan mesin B selama 2 jam. Untuk

memproduksi botol kaca 500 cc diperlukan proses di mesin A selama 1

jam dan mesin B selama 4 jam. Dalam setiap harinya mesin A bekerja

paling lama 18 jam dan mesin B paling lama 20 jam. Jika perusahaan

tersebut setiap harinya memproduksi x botol plastik dan y botol kaca.

Tentukan model matematika dalam x dan y yang menggambarkan

permasalahan produksi tersebut.

Penyelesaian:

Dalam setiap hari, mesin A beroduksi selama 3x jam untuk botol

plastik. Dan berproduksi selema y jam untuk botol gelas. Karena ada

batasan bahwa mesin A bekerja tidak lebih dari 18 jam dalam setiap

hari, maka diperoleh pertidaksamnaan 3x + y ≤ 18.

Dalam setiap hari, mesin B beroduksi selama 2x jam untuk botol

plastik. Dan berproduksi selema 4y jam untuk botol gelas. Karena ada

batasan bahwa mesin A bekerja tidak lebih dari 20 jam dalam setiap

hari, maka diperoleh pertidaksamnaan 2x + 4y ≤ 20 atau x + 2y ≤ 10.

Dinyatakan bahwa setiap hari memproduksi x buah botol plasik dan y

buah botol gelas. Sehingga diperoleh pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Jadi kondisi produksi perusahaan ini dapat dimodelkan dalam bentuk

sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.

3x + y ≤ 18,

x + 2y ≤ 10,

x ≥ 0,

y ≥ 0. CONTOH 4.2.2


Suatu industri rumahan memproduksi dua jenis pakaian yang bahannya

adalah kain katun dan kain sutera. Model pakaian I memerlukan 1 m

kain katun dan 3 m kain sutera. Model pakaian II memerlukan 2 m kain

katun dan 2 m kain sutera. Kain yang dipunyai adalah 80 m kain katun

dan 120 m kain sutera. Bahan – bahan lain sudah tersedia cukup. Jika

harga jual pakaian I adalah Rp 90.000 dan pakaian jenis II adalah Rp

75.000, maka tentukan banyaknya pakai jenis I dan jenis II yang harus

diproduksi agar pendapatannya maksimum.

Penyelesaian:

• Menentukan peubah – peubah yang berkaitan: Misal: x menyatakan banyaknya pakaian jenis I yang dibuat.

y menyatakan banyaknya pakaian jenis II yang dibuat.

• Keterkaitan antar peubah. Ada 80 meter kain katun, Dipakai untuk satu pakain jenis I sebanyak 1 m. Sehingga untuk x buah pakaian jenis I membutuhkan kain katun sebanyak x m. Dipakai untuk satu pakain jenis II sebanyak 2 m. Sehingga untuk y buah pakaian jenis II membutuhkan kain katun sebanyak 2y m. Diperoleh hubungan x + 2y ≤ 80. Ada 120 meter kain sutera, Dipakai untuk satu pakain jenis I sebanyak 3 m. Sehingga untuk x buah pakaian jenis I membutuhkan kain sutera sebanyak 3x m.


Dipakai untuk satu pakain jenis II sebanyak 2 m. Sehingga untuk y buah pakaian jenis II membutuhkan kain katun sebanyak 2y m. Diperoleh hubungan 3x + 2y ≤ 120. Satu pakaian jenis I mempunyai harga jual Rp 90.000. Jika diproduksi x buah dengan x ≥ 0, maka pendapatan dari pakaian jenis I adalah Rp 90.000 x. Sedangkan satu pakaian jenis II mempunyai harga jual Rp 75.000. Jika diproduksi y buah dengan y ≥ 0, maka pendapatan dari pakaian jenis II adalah Rp 75.000 y. Sehingga total pendapatan yang diinginkan adalah Maks 90.000 x + 75.000 y

Jadi tersusun model matematika sebagai berikut. Maks 90.000 x + 75.000 y

Dengan kendala:

x + 2y ≤ 80, 3x + 2y ≤ 120, x ≥ 0, y ≥ 0. CONTOH 4.2.3

PT. Sabun Bersih bermaksud membuat 2 jenis sabun unuk mencuci

pakaian dan peralatan dapur yaitu sabun batangan dan sabun colek.

Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia yaitu A dan B dengan jumlah

persediaan A = 200 kg dan B = 260 kg.

Untuk membuat 1 kg sabun batangan diperlukan 2 kg bahan A dan 6 kg

bahan B. Untuk membuat 1 kg sabun colek dibutuhkan 5 kg bahan A

dan 3 kg bahan B. Jika keuntungan yang akan diperoleh untuk setiap


membuat 1 kg sabun batangan adalah Rp 200 dan untuk setiap

membuat 1 kg sabun colek adalah Rp 300. Berapa kg jumlah sabun

batangan dan sabun colek yang sebaiknya dibuat agar keuntungan yang

akan diperoleh adalah maksimal.

Penyelesaian:

Langkah – langkah sesuai dengan sebelumnya, dan :

Misalkan jumlah sabun batangan yang akan dibuat adalah x dan jumlah

sabun colek yang akan dibuat adalah y. Keuntungan yang akan

diperoleh adalah berupa fungsi 200 x + 300 y yang selanjutnya

disebut fungsi obyektif z.

Untuk membuat sejumlah x sabun batangan dibutuhkan sejumlah 2x

bahan A dan 6x bahan B. Untuk membuat sejumlah y sabun colek

dibutuhkan 5y bahan A dan 3y bahan B.

Karena jumlah persediaan bahan A dan B yang terbatas yaitu 200 kg

bahan A dan 260 kg bahan B, maka jumlah bahan A dan B merupakan

jumlahan dari bahan yang dipakai untuk x dan y, secara tabel

dinyatakan sebagai berikut.

Tabel 1

Bahan Sabun Batangan Sabun Colek Persediaan Bahan A 2 kg 5 kg 200 kg B 6 kg 3 kg 260 kg

Adapun model matematika dari permasalahan di atas adalah sebagai

berikut.

Karena x dan y menyatakan banyaknya sabun batangan dan sabun

colek, maka harus berlaku x, y ∈ R dan x ≥ 0, y ≥ 0.


2x + 5y ≤ 200

6x + 3y ≤ 260

Sedangkan keuntungan yang diinginkan adalah maksimal, diperoleh

Maks z= 200 x + 300 y

Model matematika untuk permasalahan di atas, secara lengkap

dituliskan sebagai berikut.

Maks z= 200 x + 300 y

Dengan kendala sistem persamaan linear:

2x + 5y ≤ 200

6x + 3y ≤ 260

x ≥ 0,

y ≥ 0.

CONTOH 4.2.4

Seorang petani ikan memberikan dua jenis produk makanan suplemen

untuk kolam ikannya. Produk makanan suplemen kemasan satu botol

mengandung 5 gram zat A dan 2 gram zat B. Sedangkan produk

makanan suplemen kemasan satu kontong plastik mengandung 3 gram

zat dan 4 gram zat B. Pada setiap musim tebar ikan, petani tersebut

membutuhkan paling sedikit 30 gram zat A dan 24 gram zat B untuk

kesuksesan ikannya. Jika harga makanan suplemen satu kemasan botol

adalah Rp 50.000 dan untuk kemasan kantong plastik adalah Rp

40.000, maka tentukan banyaknya makanan suplemen kemasan botol

dan kemasan kantong plastik yang harus dibeli agar biaya pemeliharaan

ikannya minimal.

Penyelesaian:


• Menentukan peubah – peubah yang berkaitan:

Misal: x menyatakan banyaknya makanan suplemen kemasan botol

yang dibeli.

y menyatakan banyaknya makanan suplemen kemasan

kantong plastik yang dibeli.

• Keterkaitan antar peubah.

Ada paling sedikit 30 gram kebutuhan zat A,

Dari produk satu kemasan botol sebanyak 5 gram. Sehingga

pembelian x buah produk kemasan botol diperoleh zat A

sebanyak 5x gram.

Dari produk satu kemasan kantong palstik sebanyak 3 gram.

Sehingga pembelian y buah produk kemasan kantong plastik

diperoleh zat A sebanyak 3y gram.

Diperoleh hubungan 5x + 3y ≥ 30.

Ada paling sedikit 24 gram kebutuhan zat B,

Dari produk satu kemasan botol sebanyak 2 gram. Sehingga

pembelian x buah produk kemasan botol diperoleh zat B

sebanyak 2x gram.

Dari produk satu kemasan kantong palstik sebanyak 4 gram.

Sehingga pembelian y buah produk kemasan kantong plastik

diperoleh zat B sebanyak 4y gram.

Diperoleh hubungan 2x + 4y ≥ 30.

Satu produk makanan suplemen kemasan botol mempunyai

harga Rp 50.000. Jika dibeli x buah dengan x ≥ 0, maka

pengeluaran dari membeli produk kemasan botol adalah Rp

50.000 x. Sedangkan satu produk makanan suplemen kemasan


kantong plastik mempunyai harga Rp 75.000. Jika dibeli y

buah dengan y ≥ 0, maka pengeluaran dari membeli produk

kemasan kantong plastik adalah Rp 40.000 y. Sehingga

minimal total pengeluaran adalah

Min 50.000 x + 40.000 y

Jadi tersusun model matematika sebagai berikut.

Min 50.000 x + 40.000 y

Dengan kendala:

5x + 3y ≥ 30, 2x + 4y ≥ 24, x ≥ 0, y ≥ 0.

Setelah kita membentuk model matematika dari suatu permasalahan,

kebutuhan selanjutnya adalah menyelesaikan model matematika

tersebut. Penyelesaian model matematika merepresentasikan

penyelesaian dari permasalahan yang dimodelkan. Oleh karena itu,

selanjutnya kita akan membahas bagaimana menentukan nilai maksimal

atau minimal. Dengan kata lain bagaimana menentukan nilai optimum.

• RANGKUMAN

• Bentuk umum dari model matematika program linear dengan

dua peubah adalah:

Optimalkan



pertidaksamaan linear dengan dua peubah.

• Membentuk model matematika program linear dengan cara:

1. Tentukan peubah x dan y yang berkaitan dengan

permasalahan.

2. Dari peubah yang ada, susunlah keterkaitan dari peubah

menjadi sebuah fungsi onbjektif dan sistem pertidaksamaan.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 444---222 Soal nomor 1 sampai dengan 10, tentukan model matematikanya.

1. Dua orang sekretaris dan bendahara perusahaan pergi ke

pertokoan. Sekretaris membeli 3 pulpen dan 2 pensil seharga Rp

40.000. Si bendahara membeli 1 pulpen dan 5 pensil dengan

membayar Rp 30.000.

2. Untuk membuat kue A diperlukan 1 kg mentega dan 2 kg terigu.

Sedangkan untuk membuat kue B diperlukan 2 kg mentega dan 5

kg terigu. Mentega yang tersedia 4 kg dan terigu 8 kg.

3. Pada suatu pabrik, untuk memproduksi tepung terigu kemasan 1

kg diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B selama

1 jam. Untuk memproduksi tepung maisena kemasan 1 kg


diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 3

jam. Dalam setiap harinya mesin A bekerja paling lama 20 jam

dan mesin B paling lama 20 jam. Jika perusahaan tersebut setiap

harinya memproduksi x tepung terigu kemasan 1 kg dan y tepung

maisena kemasan 1 kg, maka tentukan banyaknya produksi

masing-masing produkagar diperoleh pendapatan maksimal. 4. Pedagang sepatu mempunyai toko yang hanya memuat 500

pasang. Sepatu yang dijual adalah sepatu untuk pria dan wanita.

Sepatu pris tidak bisa lebih dari 300 pasang. Harga pembelian

sepatu pria adalah Rp 100.000, sedangkan sepatu wanita Rp

50.000. Modal yang dimiliki adalah Rp 8.000.000. Jika ia menjual

sepatu pria seharga Rp 125.000 dan sepatu wanita Rp 100.000,

maka berapakah keuntungan maksimal yang dia peroleh apabila

semua sepatu terjual.

5. Sebuah Pesawat mempunyai 48 tempat duduk. Penumpang kelas A

dengan bagasi tidak lebih dari 20 kg membayar Rp 600.000,

sedang kelas B dengan bagasi tidak lebih dari 50 kg membayar Rp

750.000. Jika kapasitas bagasi adalah 1.500 kg, tentukan

banyaknya penumpang masing-masing kelas agar diperoleh

pendapatan yang sebesar-besarnya.

6. Suatu pabrik membuat dua jenis produk A dan B. Buatlah sistem

pertidaksamaannya jika setiap produk dikerjakan oleh mesin Press

dan mesin Tumbuk. Produk A membutuhkan 2 jam/butir

dikerjakan oleh mesin Press dan 2 jam/butir oleh mesin Tumbuk.


Produk B membutuhkan 3 jam/butir dikerjakan oleh mesin Press

dan 1 jam/butir dikerjakan oleh mesin Tumbuk. Sedangkan mesin

Pres bekerja 18 jam/hari dan mesin tumbuk hanya 10 jam/hari.

7. Seorang penjahit mempunyai 80 m2 kain katun dan 120 m2 kain

wol. Untuk membuat satu jas pria memerlukan 1 m2 katun dan 3

m2 wol, sedangkan jas wanita memerlukan masing-masing 2 m2.

Jika harga jual masing-masing jas adalah Rp 300.000 , tentukan

model program linear untuk memaksimalkan uang hasil penjualan

yang diperoleh ?

8. Seorang pedagang sepatu menjual dua jenis sepatu A dan B.

Sepatu A dibeli dengan harga Rp 250.000 dan mendapatkan

keuntungan sebesar Rp 50.000 . Sepatu B dibeli dengan harga

Rp 300.000 dan mendapatkan keuntungan sebesar Rp 100 ribu.

Jika pedagang ini mempunyai uang Rp 10 juta dan jumlah sepatu

yang dapat dibawa 30 pasang, tentukan model program linear dari

permasalahan ini agar pedagang memperoleh keuntungan sebesar

mungkin.

9. Suatu perusahaan production house sedang membuat rencana

kegiatan untuk tahun 2009. Ada dua jenis film untuk tayangan TV

yang akan dibuat yakni telenovela dan komedi. Biaya pembuatan

satu episode telenovela adalah sebesar Rp 750.000.000

sedangkan biaya pembuatan satu episode komedi adalah sebesar

Rp 400.000.000 .

Satu episode telenovela dapat dijual dengan harga Rp

1.000.000.000 sedangkan satu episode komedi dapat dijual dengan


harga Rp 800.000.000 Waktu pembuatan satu episode telenovela

membutuhkan waktu 12 minggu sedangkan waktu pembuatan satu

episode film komedi membutuhkan waktu 9 minggu. Waktu

ekivalen jam kerja perusahaan dalam tahun 2009 adalah 600

minggu, bila dana yang tersedia adalah sebesar Rp 25.000.000.000,

tentukan model program linear dari permasalahan ini agar

keuntungan yang akan diperoleh maksimal.

10. Suatu usaha rumah tangga yang memproduksi alat mainan hoopla

hop menyajikan 2 model dimana data produksi diberikan dalam

bentuk tabel berikut :

Bahan Model Kapasitas A B maksimal

Rotan Tali Rotan Amplas Pelitur Jam kerja

1,5 1,2 10 0

0,5

1,6 1,5 12 2

0,4

300 m 1800 m 500 lembar 200 kaleng 300 jam

Model B harus dibuat paling tidak 50 mainan, model A paling tidak

20 mainan.

Keuntungan untuk model A adalah Rp 2000 dan model B Rp

1500 , tentukan model program linear dari permasalahan ini untuk

memaksimalkan keuntungan.


4.3 NILAI OPTIMUM DARI DAERAH PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR. Pada subbab ini, kita akan belajar tentang menentukan nilai optimum

dari suatu fungsi objektif

Optimalkan



Dari pembahasan sebelumnya, penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

linear berupa suatu daerah konveks pada bidang kartesian. Daerah

konveks adalah suatu daerah / himpunan titik – titik dimana setiap garis

yang menghubungkan dua titik yang ada, selalu berada pada daerah

tersebut.

Nilai optimum suatu fungsi objektif pada daerah himpunan

penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear adalah suatu titik pada

daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif tersebut

bernilai optimum. Nilai optimum dapat berupa nilai maksimum atau

nilai minimum. Titik optimum bisa lebih dari satu.

Untuk mendapatkan titik optimum, akan terlebih dahulu dilakukan

dengan ilustrasi berikut ini.

Pandang suatu daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan


, , dan , seperti yang diperlihatkan pada

Gambar 4.3.1. Daerah penyelesaiannya adalah yang diarsir, katakan

daerah D.

Gambar 4.3.6

Pada ilustrasi ini kita akan mencari nilai optimum dari fungsi objektif

pada daerah D. Pencarian nilai optimum diperoleh dengan

cara mensubstitusikan semua titik yang ada di D ke fungsi z. Namun

ini tidak mungkin, karena banyaknya titik di daerah D adalah tak

berhingga banyak.

Karena daerah D adalah berbentuk konveks, salah satu titik pojok

dari D merupakan nilai optimum z pada D. Ingat bahwa nilai optimum

bisa lebih dari satu. Oleh karena itu, bisa jadi ada titik lain di D yang

juga merupakan nilai optimum.

Tabel 4.3.1. Nilai z pada titik-titik dalam daerah penyelesaian

Titik Nilai z = 3x + 2y (0,0) z = 3.0 + 2.0 = 0


(1,1) z = 3.1 + 2.1 = 5 (2,1) z = 3.2 + 2.1 = 8 (3,0) z = 3.3 + 2.0 = 9 (1,2) z = 3.1 + 2.2 = 7 (2,2) z = 3.2 + 2.2 = 10 (1,3) z = 3.1 + 2.3 = 9 (1,4) Z = 3.1 + 2.4 = 11 (0,6) Z = 3.0 + 2.6 = 12

Nilai dari beberapa titik di D disajikan dalam Tabel 4.3.1.

Dari tabel tersebut terlihat bahwa:

Nilai maksimum sebesar 12 terjadi pada titik (0, 6). Nilai minimumnya sebesar 0 terjadi pada titik (0, 0). Titik ( 0,0 ), (3, 0) dan (0, 6) merupakan titik‐titik pojok dari daerah penyelesaian.

Berdasarkan hal tersebut, titik optimum dari daerah himpunan

penyelesaian sistem pertidaksamaan linear merupakan titik pojok

daerah penyelesaian.

Dari ilustrasi di atas, untuk mencari nilai optimum fungsi objektif z

pada suatu daerah penyelesaian D dapat dilakukan sebagai berikut.

i. Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian dari kendala yang berupa sistem pertidaksamaan linear. ii. Tentukan semua titik pojok dari daerah D. iii. Substitusikan semua nilai di titik pojok ke fungsi objektif z, bandingkan dan pilih mana yang nilainya optimum.


Jika diperlukan penyelesaian dalam bentuk bulat, maka ambillah titik di daerah D dengan nilai x dan y bulat yang terdekat dengan titik pojok nilai optimumnya. CONTOH 4.3.1

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan , , dan ,

. Tentukan pula nilai maksimum dan minimum dari

pada sistem pertidaksamaan tersebut.

Penyelesaian:

i. Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian dari

kendala suatu sistem pertidaksamaan linear.

Cara menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear

sama seperti sebelumnya. Gambar dari garis x + 2y = 6 dan garis y

+ 2x = 4 seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.2.


Gambar 4.3.2

ii. Tentukan semua titik pojok dari daerah D.

Tampak pada Gambar 4.3.2, bahwa titik pojok dari daerah

penyelesaian D adalah titik O, A, B dan C.

Posisi titik-titik tersebut dicari dengan cara :

Titik O( 0,0 ) karena merupakan perpotongan antara garis x = 0

(sumbu y) dan garis y = 0 (sumbu x).

Titik A adalah perpotongan antara garis dan garis

Sehingga didapat: 0 + 2x = 4 atau 2x = 4 atau x = 2.

Posisi titik A adalah (2, 0).

Titik B adalah perpotongan antara garis garis .


Posisi titik B dicari dengan cara :

Dari , jika maka dan

diperoleh .

Jadi posisi titik B adalah (4/6, 8/3).

Titik C adalah perpotongan antara garis x = 0 dan garis

.

Berarti posisi titik C adalah (0, 3).

iii. Substitusikan semua nilai di titik pojok ke fungsi objektif z,

bandingkan dan pilih mana yang nilainya optimum.

Masukkan posisi titik pojok pada fungsi

yang memberikan :

Titik O(0, 0), memberikan nialai z = 0

Titik A(2, 0), memberikan nialai z = 6

Titik B(4/6, 8/3), memberikan niali Titik C(0, 3), memberikan nilai z = 15

Jadi nilai maksimum fungsi ,


dan nilai minimum fungsi .

CONTOH 4.3.2

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

, , dan .

Tentukan pula nilai maksimum dan minimum dari

dengan kendala sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Penyelesaian :

i. Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian dari kendala suatu sistem pertidaksamaan linear. Cara menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear

sama seperti sebelumnya. Gambar dari garis dan

seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.3.


Gambar 4.3.3

ii. Tentukan semua titik pojok dari daerah D. Tampak pada Gambar 4.3.3, bahwa titik pojok dari daerah



Titik O( 0,0 ) karena merupakan perpotongan antara garis x = 0 (sumbu y) dan garis y = 0 (sumbu x). Titik A adalah perpotongan antara garis dan garis Sehingga didapat: 0 + x = 4 atau x = 4. Posisi titik A adalah (4, 0). Titik B adalah perpotongan antara garis garis .



Dari , jika maka

Jadi posisi titik B adalah (2, 2).






yang memberikan :

Titik A(4, 0), memberikan nialai z = 12

Titik B(6, 0), memberikan niali Titik C(2, 2), memberikan nilai z = 16

Jadi nilai maksimum fungsi ,

dan nilai minimum fungsi .


CONTOH 4.3.3

Selesaikan program linear berikut ini.

Maksimum dari z = 3x + 5y

Dengan kendala:

x + 2y ≤ 6.

y + 2x ≤ 4,

x ≥ 0,

y ≥ 0.

x, y ∈ R.

Penyelesaian:

i. Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian dari

kendala suatu sistem pertidaksamaan linear.



, seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.4.


Gambar 4.3.4




Titik O( 0,0 ) karena merupakan perpotongan antara garis x = 0

(sumbu y) dan garis y = 0 (sumbu x).

Titik A adalah perpotongan antara garis dan garis

Sehingga didapat: 0 + 2x = 4 atau x = 2.

Posisi titik A adalah (2, 0).

Titik B adalah perpotongan antara garis garis

.



3

Dari , jika maka

Jadi posisi titik B adalah (4/3, 8/3).






yang memberikan :

Titik O(0,0), memberikan nilai z = 0

Titik A(2, 0), memberikan nilai z = 6

Titik B(2/3, 8/3), memberikan nilai Titik C(0, 3), memberikan nilai z = 15

Jadi nilai maksimum fungsi .


CONTOH 4.3.4

Seorang petani ikan memberikan dua jenis produk makanan suplemen

untuk kolam ikannya. Produk makanan suplemen kemasan satu botol

mengandung 5 gram zat A dan 2 gram zat B. Sedangkan produk

makanan suplemen kemasan satu kontong plastik mengandung 3 gram

zat dan 4 gram zat B. Pada setiap musim tebar ikan, petani tersebut

membutuhkan paling sedikit 30 gram zat A dan 24 gram zat B untuk

kesuksesan ikannya. Jika harga makanan suplemen satu kemasan botol

adalah Rp 50.000 dan untuk kemasan kantong plastik adalah Rp

40.000, maka tentukan banyaknya makanan suplemen kemasan botol

dan kemasan kantong plastik yang harus dibeli agar biaya pemeliharaan

ikannya minimal.

Penyelesaian:

Pada contoh permasalahan ini telah dirumuskan dalam bentuk model

matematika sebagai berikut. Minimumkan 50.000 x + 40.000 y

Dengan kendala:

5x + 3y ≥ 30, 2x + 4y ≥ 24, x ≥ 0, y ≥ 0.

i. Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian dari kendala suatu sistem pertidaksamaan linear.




, seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.5.

Gambar 4.3.5


penyelesaian D adalah titik A, B dan C.


Titik A adalah perpotongan antara garis dan garis Sehingga didapat: 0 + y = 10 atau y = 10.


Posisi titik A adalah (0, 10). Titik B adalah perpotongan antara garis y = 0 dan garis 2 . Sehingga didapat: 2x + 0 = 24 atau x = 12. Berarti posisi titik B adalah (6, 0). Titik C adalah perpotongan antara garis

garis .


14y

Dari , jika maka

Jadi posisi titik C adalah (24/7, 30/7).




yang memberikan :

Titik A(0, 10), memberikan nilai z = 400.000

Titik B(12, 0), memberikan nilai Titik C(24/7, 30/7), memberikan nilai z = 2.400.000/7


Jadi nilai minimum fungsi

terjadi di titik C(24/7,30/7).

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 444---333 Soal 1-8, carilah nilai optimum dari masalah program linear berikut ini.

a. Maksimumkan 24 x + 8y

dengan syarat 2x + 5y ≤ 40 ; 4x + 5y ≤ 20 ; 10x + 5y ≤ 60 dan

x ≥ 0, y ≥ 0

b. Maksimumkan x + 2y

dengan syarat x + 6y ≤ 36 ; 3x + 2y ≤ 24 dan x ≥ 0, y ≥ 0

c. Minimumkan 3x + 4y

dengan syarat 2x + 3y ≥ 36 ; 2x + 2y ≥ 28 ; 3x + 2y ≥ 24 dan

x ≥ 0, y ≥ 0

d. Minimumkan 2x + y

dengan syarat 3x + y ≥ 15 ; x + 5y ≥ 20 dan 8x + 2y ≥ 32


e. Maksimumkan 4x + 5y

dengan syarat 2x + 6y ≤ 36 ; 5x + 3y ≤ 30 ; 8x + 2y ≤ 40

dan x ≥ 0, y ≥ 0

f. PT Batako membuat dua jenis produk A25 dan F28. Kedua

produk memberikan sumbangan keuntungan per unit masing-

masing Rp 600 dan Rp 850 yang masing-masing dikerjakan

pada mesin 1 dan mesin 2. Model A25 membutuhkan waktu

penyelesaian 9 jam di mesin 1, sedangkan F28 3 jam pada

mesin 2 model A25 selama 4 jam, sedangkan F28 selama 6

jam. Bagian maintenance dalam seminggu hanya mampu

menyediakan waktu operasi 27 jam untuk mesin 1 dan 23 jam

untuk mesin 2. Berapa unit setiap produk yang harus

diproduksi per minggu agar keuntungan maksimal?

Nyatakan permasalahan tersebut dalam model program linear dan

carilah nilai optimumnya.

g. Seorang yang ingin cepat sehat bermaksud untuk minum

sedikitnya 36 satuan vitamin A setiap hari, 28 satuan vitamin C

dan 32 satuan vitamin D. Multivitamin jenis pertama berharga

3 satuan uang menyediakan 2 satuan vitamin A setiap hari, 2

satuan vitamin C dan 8 satuan vitamin D. Multivitamin jenis

kedua berharga 4 satuan menyediakan 3 satuan vitamin A

setiap hari, 2 satuan vitamin C dan 2 satuan vitamin D. Carilah

jumlah vitamin yang harus diminum agar kebutuhkan akan

vitamin dipenuhi.


h. Pada suatu pabrik, untuk memproduksi tepung terigu kemasan 1

kg diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B

selama 1 jam. Untuk memproduksi tepung maisena kemasan 1

kg diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B

selama 3 jam. Dalam setiap harinya mesin A bekerja paling

lama 20 jam dan mesin B paling lama 20 jam. Jika perusahaan

tersebut setiap harinya memproduksi x tepung terigu kemasan 1

kg dan y tepung maisena kemasan 1 kg, maka tentukan

banyaknya produksi masing-masing produkagar diperoleh

pendapatan maksimal. 4.4 PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN GARIS SELIDIK

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari, cara mencari nilai optimum

dengan menggunakan titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian.

Pada bagian ini akan dipelajari metode lain untuk menentukan nilai

optimum dari suatu masalah program linear. Metoda ini dikenal dengan

istilah garis selidik.

Garis selidik adalah garis-garis yang sejajar dengan garis yang

merupakan grafik fungsi objektif yang berfungsi untuk menyelidiki

apakah nilai fungsi objektif dari titik pojok tersebut maksimum atau

minimum.

Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam penggunaan garis selidik

antara lain.


1 Gambarlah garis yang memotong sumbu x di

(b, 0) dan memotong sumbu y di (0, a) sebagai acuan.

2 Tarik garis sejajar mulai dari nilai ab minimum

hingga nilai ab maksimal.

a. Jika garis yang merupakan garis yang sejajar

dan berada paling bawah atau paling kiri

pada daerah penyelesaian, maka k adalah nilai minimum.

b. Jika garis yang merupakan garis yang sejajar

dan berada paling atas atau paling kanan

pada daerah penyelesaian, maka k adalah nilai maksimum.

Agar lebih mudah dipahami, terutama dalam pembuatan garis selidik

untuk menentukan nilai optimal permasalahan program linear dengan

baik, perhatikan contoh berikut :

CONTOH 4.4.1

Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y pada sistem pertidaksamaan x +

2y ≤ 8, 2x + y ≤ 9 dengan x ≥ 0, y ≥ 0 dan x, y ∈ R

Penyelesaian:

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan


x + 2y ≤ 8,

2x + y ≤ 9,

x ≥ 0,

y ≥ 0.

digambarkan pada Gambar 4.4.1 berupa daerah berarsir pada gambar di

bawah.

Gambar 4.4.1

Digambar garis selidik 3x + 2y = k, untuk k = 6 : diperoleh garis

3x + 2y = 6.

Garis yang sejajar dengan garis 3x + 2y = 6 dan letaknya paling jauh

dari titik pangkal adalah garis yang melalui titik B(7/3,10/3 ).


Jadi titik B(7/3,10/3) adalah titik pada daerah himpunan penyelesaian

yang menyebabkan nilai 3x + 2y maksimum. Nilai maksimumnya

adalah 3(7/3) + 2(10/3) = .

CONTOH 4.4.2

Pada Contoh 4.4.1 diatas kita akan menentukan nilai optimum

(maksimum dan minimum) dari fungsi 2x + y dengan menggunakan

garis selidik. Titik A, B, C dan D yang terletak dalam gambar

merupakan titik-titik sudut yang terletak pada daerah himpunan

penyelesaian dari suatu sistem peridaksamaan linear.

Penyelesaian:

Garis 2x + y = k digambar untuk k = 2 diperoleh garis 2x + y = 2.

a. Garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 2 dan terletak paling jauh

dari titik pangkal adalah garis yang melalui titik C(0,6), jadi titik

C(0,6) adalah titik pada daerah himpunan penyelesaian yang

menyebabkan fungsi 2x + y maksimum. Nilai maksimumnya adalah

6.

b. Garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 2 dan terletak paling dekat

dengan titik pangkal adalah garis yang melalui titik D(0,1) yang

menyebabkan nilai 2x+ y minimum dengan nilai = 1.


SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 444---444 Dengan bantuan garis selidik, carilah nilai optimum dari masalah

program linear berikut ini :

1. Maksimumkan 24 x + 8y

dengan syarat 2x + 5y ≤ 40 ; 4x + 5y ≤ 20 ; 10x + 5y ≤ 60 dan

x ≥ 0, y ≥ 0

2. Maksimumkan x + 2y

dengan syarat x + 6y ≤ 36 ; 3x + 2y ≤ 24 dan x ≥ 0, y ≥ 0

3. Minimumkan 3x + 4y

dengan syarat 2x + 3y ≥ 36 ; 2x + 2y ≥ 28 ; 3x + 2y ≥ 24 dan

x ≥ 0, y ≥ 0

4. Minimumkan 2x + y

dengan syarat 3x + y ≥ 15 ; x + 5y ≥ 20 dan 8x + 2y ≥ 32


5. Maksimumkan 4x + 5y

dengan syarat 2x + 6y ≤ 36 ; 5x + 3y ≤ 30 ; 8x + 2y ≤ 40

dan x ≥ 0, y ≥ 0

6. Seorang penjahit mempunyai 80 m2 kain katun dan 120 m2 kain

wol. Untuk membuat satu jas pria memerlukan 1 m2 katun dan

3 m2 wol, sedangkan jas wanita memerlukan masing-masing 2

m2. Jika harga jual masing2 jas adalah Rp 300.000 , tentukan

jumlah jas pria dan wanita yang harus dibuat agar uang hasil

penjualan yang diperoleh maksimal.

7. Seorang pedagang sepatu menjual dua jenis sepatu A dan B. Sepatu

A dibeli dengan harga Rp 250.000 dan mendapatkan keuntungan

sebesar Rp 50.000 . Sepatu B dibeli dengan harga Rp 300.000

dan mendapatkan keuntungan sebesar Rp 100 ribu. Jika pedagang

ini mempunyai uang Rp 10 juta dan jumlah sepatu yang dapat

dibawa 30 pasang, tentukan jumlah tiap jenis sepatu yang harus

dijual agar pedagang memperoleh keuntungan sebesar mungkin.

8. Suatu perusahaan production house sedang membuat rencana

kegiatan untuk tahun 2009. Ada dua jenis film untuk tayangan TV

yang akan dibuat yakni telenovela dan komedi. Biaya pembuatan

satu episode telenovela adalah sebesar Rp 750.000.000 sedangkan

biaya pembuatan satu episode komedi adalah sebesar Rp

400.000.000 .


Satu episode telenovela dapat dijual dengan harga Rp

1.000.000.000 sedangkan satu episode komedi dapat dijual dengan

harga Rp 800.000.000.

Waktu pembuatan satu episode telenovela membutuhkan waktu 12

minggu sedangkan waktu pembuatan satu episode film komedi

membutuhkan waktu 9 minggu. Waktu ekivalen jam kerja

perusahaan dalam tahun 2009 adalah 600 minggu, bila dana yang

tersedia adalah sebesar Rp 25.000.000.000 , tentukan jumlah tiap

jenis film yang harus dibuat agar keuntungan yang akan diperoleh

maksimal .

9. Suatu usaha rumah tangga yang memproduksi alat mainan hoopla

hop menyajikan 2 model dimana data produksi diberikan dalam

bentuk tabel berikut :

Model B harus dibuat paling tidak 50 mainan, model A paling

tidak 20 mainan. Keuntungan untuk model A adalah Rp 2000

dan model B Rp 1500 , tentukan jumlah tiap model hoopla hop

yang akan dibuat agar keuntungan yang akan diperoleh maksimal.

Bahan Model Kapasitas A B maksimal

Rotan Tali Rotan Amplas Pelitur Jam kerja

1,5

1,2

10

0

0,5

1,6

1,5

12

2

0,4

300 m 1800 m 500 lembar 200 kaleng 300 jam


10. PT Batako membuat dua jenis produk A25 dan F28. Kedua produk

memberikan sumbangan keuntungan per unit masing-masing Rp

600 dan Rp 850 yang masing-masing dikerjakan pada mesin 1

dan mesin 2. Model A25 membutuhkan waktu penyelesaian 9 jam

di mesin 1, sedangkan F28 3 jam pada mesin 2 model A25 selama

4 jam, sedangkan F28 selama 6 jam. Bagian maintenance dalam

seminggu hanya mampu menyediakan waktu operasi 27 jam

untuk mesin 1 dan 23 jam untuk mesin 2. Berapa unit setiap

produk yang harus diproduksi per minggu agar keuntungan

maksimal?

Nyatakan permasalahan tersebut dalam model program linear dan

carilah nilai optimumnya.

11. Seorang yang ingin cepat sehat bermaksud untuk minum

sedikitnya 36 satuan vitamin A setiap hari, 28 satuan vitamin C

dan 32 satuan vitamin D. Multivitamin jenis pertama berharga 3

satuan uang menyediakan 2 satuan vitamin A setiap hari, 2 satuan

vitamin C dan 8 satuan vitamin D. Multivitamin jenis kedua

berharga 4 satuan menyediakan 3 satuan vitamin A setiap hari, 2

satuan vitamin C dan 2 satuan vitamin D. Carilah jumlah vitamin

yang harus diminum agar kebutuhkan akan vitamin dipenuhi.


279

5. Logika

Utu

5 LO G I K A MA T E M A T I K A

Kalian semua tentunya tidak asing lagi dengan benda yang disebut

kalkulator dan komputer karena sehari-hari kalian jumpai di sekolah,

kantor bahkan di mall dan sebagainya. Tahukah anda bahwa yang

menemukan mesin hitung (calculator) adalah Blaise Pascal pada tahun

Blaise Pascal

1623-1662

Dalam setiap kegiatan kita dituntut untuk mempunyai

pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan kritis agar

tidak salah dalam penalaran yang menyebabkan

kesalahan dalam mengambil kebijakan. Logika

matematika dapat memberikan bimbingan agar dapat

memiliki pola pikir seperti itu, sehingga dalam setiap

aspek kehidupan manusia, logika sangat dibutuhkan

agar lebih efektif dalam mengenal kehidupan dan

menghindari kesalahan penalaran berfikir.

280 B a b 5 : L o g i k a

1642, yang akhirnya berkembang menjadi komputer digital, pertama

kali dirakit sekitar tahun 1944 hingga tahun 1973. Alat-alat ini bekerja

berdasarkan instruksi bilangan biner. Instruksi ini pada dasarnya

merupakan serangkaian kombinasi logis bilangan “0” atau “1” , yang

dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondisi “True” atau

“False”. Sehingga dalam pengoperasian komputer hanya dikenal dua

kondisi yang analog dengan logika yaitu ada atau tidaknya aliran listrik.

Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi

(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar pernyataan

dan logika penghubung atau predikat (predicate logic) yang

menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan pertama

dengan pernyataan kedua.

Oleh karena itu logika matematika

adalah ilmu yang menelaah manipulasi

antar pernyataan matematik

(mathematical Statement). Namun

sebelum melangkah lebih jauh, kita

perlu memahami terlebih dahulu

pengertian pernyataan dan pengertian

penghubung.

Kode Biner dalam Program Komputer George Boole (1815-1864)

Ahli matematika Inggris pertama kali yang menggantikan nilai kebenaran :

“ Benar “ dengan “1” dan nilai kebenaran “Salah” dengan “0”.

Sistem bilangan yang hanya terdiri atas dua macam bilangan tersebut dinamakan

Sistem Biner. Temuan ini sangat berguna untuk menyusun program komputer.

Dalam program komputer, proses pengubahan data ke dalam sistem bilangan biner

disebut Konversi Biner. Dan notasi yang dihasilkan dari ini dinamakan Kode Biner Sumber :Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia 2002

B a b 5 : L o g i k a 281

5.1 PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Sebelumnya telah dikatakan bahawa logika matematika adalah ilmu

yang menelaah manipulasi antar pernyataan matematik. Oleh karena itu

akan kita definisikan suatu pernyataan dan apa yang dimaksud dengan

Kalimat terbuka.

5.1.1 PROPOSISI Pada subbab ini diawali dengan menampilkan beberapa contoh kalimat

yang merupakan proposisi (pernyataan) dan yang bukan proposisi.

Contoh 5.1.1

Perhatikan contoh-contoh kalimat dibawah ini :

1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.

2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.

3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.

4. Banyaknya titik sudut dalam suatu kubus adalah 8 buah.

5. Jambi merupakan ibu kota propinsi Jawa Timur.

6. Himpunan penyelesaian x2 = 9 adalah {-3,9}.

7. Taufik pandai main bulu tangkis atau tennes.

8. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.

9. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.

10.Berolahragalah secara teratur!

Kalimat deklaratif 1-6 merupakan kalimat yang bernilai benar saja

atau bernilai salah saja, tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat yang

demikian ini merupkan kalimat yang mempunyai nilai kebenaran,

disebut pernyataan. Kalimat 7-8 dua pernyataan yang dihubungkan

282 B a b 5 : L o g i k a

dengan suatu kata penghubung. Sedangkan kalimat deklaratif 9-10

tidak mempunyai nilai kebenaran. Oleh karena itu Penjelasan kalimat-

kalimat deklaratif diatas yang merupakan pernyataan atau bukan

pernyataan adalah sebagai berikut:

- Kalimat deklaratif 1 – 6 dalam contoh 5.1.1 tidak memuat

penghubung disebut pernyataan primitive (proposisi primitive),

dan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil:p, q, r, s dan

sebagainya. Untuk pernyataan 1 – 3 merupakan pernyataan yang

bernilai benar, sedangkan pernyataan 4 – 6 merupakan suatu

pernyataan yang bernilai salah.

- Kalimat deklaratif ketujuh dan kedelapan memuat penghubung

” atau ” , ”dan ” , “jika...maka... ” disebut proposisi majemuk

(pernyataan majemuk).

- Kalimat kesembilan dan kesepuluh bukan pernyataan karena tidak

mempunyai nilai kebenaran.

Berikut ini diberikan definisi suatu pernyataan :

Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditentukan melalui dasar

empiris yaitu berdasarkan fakta yang sesungguhnya atau dijumpai

dalam kehidup alam ini dan dasar non empiris yaitu berdasarkan

pembuktian atau perhitungan matematika.

DEFINISI 5.1.1 Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah

kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran,

yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak

sekaligus keduanya.

B a b 5 : L o g i k a 283

5.1.2 KALIMAT TERBUKA Suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dibuktikan disebut

kalimat terbuka. Ciri dari kalimat terbuka adalah adanya variabel

( peubah)

Berikut ini diberikan beberapa contoh kalimat terbuka :

Contoh 5.1.2

1. x + 9 > 0.

2. Jarak kota B dengan kota Jakarta kurang dari 1000 km.

3. Jumlah titik sudut jajaran genjang adalah n.

- Pada kalimat pertama memuat variabel x . Jika x diubah dengan

-11 menjadi suatu pernyataan yang salah, dan apabila x diganti

dengan -5 menjadi suatu pernyataan yang benar. x = -11 dan

x = -5 disebut penyelesaian kalimat terbuka tersebut.

- Pada kalimat kedua, variabelnya adalah B. Jika B diubah dengan

Ambon menjadi suatu pernyataan yang salah, dan apabila B diganti

dengan Bekasi menjadi suatu pernyataan yang benar.

- Pada kalimat ketiga, variabelnya adalah n. Jika n diganti dengan 4

menjadi suatu pernyataan yang benar, dan apabila n diganti dengan

7 menjadi suatu pernyataan yang salah.

284 B a b 5 : L o g i k a

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 555---111 1) Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang

merupakan pernyataan dan mana yang bukan pernyataan. Jika

pernyataan tentukan nilai kebenarannya.

a) Segi tiga adalah suatu bangun yang jumlah sisinya ada tiga

buah.

b) Semua bilangan prima habis dibagi 2.

c) Jumlah sudut segi tiga adalah 360 o .

d) Untuk setiap bilangan real x berlaku x2 ≥ 0

e) π termasuk bilangan rasional.

f) Pertandingan bola basketnya dimulai jam 16.00 WIB.

g) Preti adalah gadis yang cantik.

h) Pergilah ke rumah Santi !

i) 2 merupakan bilangan real.

j) Ada siswa SMK yang mengikuti OSN bidang matematika

tingkat nasional.

2) Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang

merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan kalimat

terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai kebenarannya.

a) X + 5 > 0.

b) X2 + 5 ≥ 0.

c) Satu windu sama dengan n tahun.

d) t hari waktu yang dibutuhkan bumi 1 kali berputar mengelilingi

matahari.

e) Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan bulat.

B a b 5 : L o g i k a 285

f) 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan cacah.

g) 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real.

h) Itu adalah benda cair.

i) Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap

j) Sin2 x + sin2 y = 1

3) Untuk soal no: 2 diatas yang merupakan kalimat terbuka,

tentukanlah himpunan penyesaiannya agar menjadi suatu

Pernyataan.

4) Diberikan kalimat terbuka berikut : 012 =−x , x bilangan real.

Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu pernyataan.

5) Carilah himpunan penyelesaian setiap kalimat terbuka berikut jika x

dan y variabel pada bilangan asli: a) b) c)

d) e) Bayangan

),( yx terhadap sumbu X berada di ( 5,2)

5.2 PENGHUBUNG ATAU KONEKTIF (CONNECTIVE)

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika

(penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction),

Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi, atau

Ekuivalensi (Equivalence).

286 B a b 5 : L o g i k a

5.2.1 NEGASI Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari suatu

pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar” di awal

kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau ” bukan” pada

pernyataan tersebut.

Contoh 5.2.1

No Pernyataan : p Negasi (ingkaran) : p

1 3 adalah faktor dari 24 (B) Tidak benar 3 adalah faktor dari 24 (S)

2 Jumlah sudut dalam suatu segi tiga

selalu 180 o (B)

Tidak benar Jumlah sudut dalam suatu

segi tiga selalu 180 o (S)

3 Tiga puluh sembilan adalah

bilangan prima (S)

Tiga puluh sembilan bukan bilangan

prima (B)

4 Semua binatang adalah mahluk

hidup (B)

Tidak semua binatang adalah mahluk

hidup (S)

DEFINISI 5.2.1 : Misalkan p adalah pernyataan.

Negasi dari p:

Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan

dengan p dan dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang

bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p

Berikut ini tabel kebenaran pernyataan negasi:

P p B S S B

B a b 5 : L o g i k a 287

5.2.2 KONJUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan tunggal.

Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih pernyataan tunggal

yang digabung dan disebut dengan pernyataan majemuk. Konjungsi

merupakan kata penyambung antar beberapa pernyataan yang biasanya

berupa kata “dan”. Berkaitan dengan pernyataan majemuk tersebut,

perhatikan contoh sederhana ini:

Pernyataan pertama : Jakarta adalah ibukota Indonesia

Pernyataan kedua : Jakarta terbagi menjadi 6 wilayah

Kedua pernyataan ini dapat digabung menjadi kalimat majemuk

sebagai berikut :

Jakarta adalah ibukota Indonesia dan terbagi menjadi 6 wilayah

Kalimat ini merupakan kalimat majemuk dengan menggunakan kata

penghubung “ dan” Kalimat ini hanya benar jika kedua pernyataan

sama-sama benar. Jika salah satu saja pernyataan itu yang salah (atau

keduanya) maka pernyataan majemuk menjadi salah.

Sebagai contoh :

Pernyataan pertama : Jakarta adalah ibukota Malaysia (S)

Pernyataan kedua : Jakarta terbagi menjadi 6 wilayah (B)

Jakarta adalah ibukota Malaysia dan terbagi menjadi 6 wilayah (S)

5 Cos2x + sin2x = 2 (S) Tidak benar Cos2x + sin2x = 2 (B)

6 seminggu ada 7 hari (B) Tidak benar seminggu ada 7 hari (S)

288 B a b 5 : L o g i k a

kata penghubung “dan” pada perkataan majemuk dilambangkan dengan

“ ∧ ” yang disebut Konjungsi. Konjungsi didefinisikan sebagai berikut :

Contoh 5.2.2

5.2.3 DISJUNGSI Disjungsi merupakan kata penyambung berupa kata “atau” dalam

menghubungkan dua pernyataan menjadi kata majemuk, perhatikan

contoh sederhana ini:

p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai

kehidupan (B)

q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)

No P q p ∧ q 1 Pulau Natuna berada di

kepulauan Riau (B) Natuna termasuk wilayah Indonesia (B)

B

2 Jumlah sudut dalam suatu segi tiga selalu 180 o (B)

Besar sudut segitiga sama sisi adalah 90o (S) S

3 Tiga puluh sembilan adalah bilangan irrasional (S)

Tiga puluh sembilan adalah bilangan prima (B)

S

4 Cos2x + sin2x = 2 (S) Cos2x ≥ 1- sin2x (S) S

DEFINISI 5.2.2 : Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

” p ∧ q ” adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah

Tabel kebenaran konjungsi: p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

B a b 5 : L o g i k a 289

Kedua pernyataan ini dapat digabung menjadi kalimat majemuk

sebagai berikut :

Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai

kehidupan atau satu dekade sama dengan 10 tahun.

Kalimat ini merupakan kalimat majemuk dengan menggunakan kata

penghubung “ atau” Kalimat ini bernilai salah jika kedua pernyataan

sama-sama salah. Jika salah satu saja pernyataan itu yang benar (atau

keduanya) maka pernyataan majemuk menjadi benar.

Sebagai contoh :

Pernyataan pertama : Jakarta adalah ibukota Malaysia (S)

Pernyataan kedua : Jakarta terbagi menjadi 6 wilayah (B)

Dengan menggunakan kalimat penghubung :

“Jakarta adalah ibukota Malaysia atau Jakarta terbagi menjadi 6

wilayah (B)”

kata penghubung “atau” pada perkataan majemuk dilambangkan

dengan “ ∨ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi didefinisikan sebagai

berikut :

DEFINISI 5.2.3

Disjungsi :

Pernyataan majemuk p dan q disebut

Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

” p V q ”

adalah sebuah pernyataan bernilai benar

jika pernyataan p dan q salah satu atau

keduanya bernila bebar, dan bernilai salah

Berikut ini tabel

kebenaran

konjungsi :

p q p ∨ q

B B B

B S B

S B B

290 B a b 5 : L o g i k a

Contoh 5.2.3 Tentukan nilai kebenaran pernyataan dalam tabel berikut ini dengan

penghubung ”atau”.

5.2.4 IMPLIKASI (PROPOSISI BERSYARAT) Untuk memahami Implikasi, perhatikan uraian berikut ini. Misalkan

Boby berjanji pada Togar “Jika saya dapat medali olimpiade sains-

matematika nasional tahun ini maka aku akan membelikan kamu sepatu

bola”. Janji Boby ini hanya berlaku jika Boby mendapatkan medali

olimpiade sains-matematika. Akibatnya jika Boby tidak mendapatkan

medali dalam lomba olimpiade sains-matematika yang diikutinya tahun

ini, tidak ada keharusan bagi Boby untuk membelikan sepatu bola buat

Togar.

Misalkan Boby tidak mendapat medali maka Togar tidak kecewa

karena Boby tidak memenuhi janjinya. Akan tetapi jika Boby dapat

meraih medali dalam olimpiade matematika nasional yang diikutinya

tetap membelikan sepatu bola buat Togar, tentu Togar akan senang.

Jika Boby dapat medali namun tidak membelikan sepatu bola maka

Togar akan kecewa dan menganggap tidak menepati janji. Kalimat

No p q p ∨ q

1 Pulau Natuna berada di kepulauan Riau (B)

Natuna termasuk wilayah Indonesia (B) B


Besar sudut segitiga sama sisi adalah 90o (S) B

3 Tiga puluh sembilan adalah bilangan (S)

Tiga puluh sembilan adalah bilangan prima (B) B

4 Cos2x + sin2x = 2 (S) Cos2x ≥ 1- sin2x (S) S

B a b 5 : L o g i k a 291

yang diucapkan Boby pada Togar dalam bahasa logika matematika

dapat ditulis sebagai berikut :

Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional.

Maka q : membelikan sepatu bola

Sehingga dapat dinyatakan sebagai “ Jika p maka q ” atau

dilambangkan dengan “ qp → ” suatu pernyataan majemuk yang

disebut dengan Implikasi.

Implikasi dari pernyataan p ke pernyataan q dinyatakan dengan ,

” qp → ”, ialah sebuah pernyataan yang bernilai salah jika dan hanya

jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Pernyataan p disebut

hipotesa (premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan (konklusi).

Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut :

Contoh 5.2.4

DEFINISI 5.2.4

Implikasi:


implikasi (pernyataan bersyarat) adalah

sebuah pernyataan majemuk yang

dilambangkan : ” p → q ” bernilai

salah hanya jika hipotesa p bernilai benar

dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus

lainnya bernilai benar.

Berikut ini tabel

kebenaran konjungsi

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

292 B a b 5 : L o g i k a

Tentukan nilai kebenaran pernyataan dalam tabel berikut ini dengan

penghubung ”maka”.

Hubungan antara implikasi dengan himpunan.

Perhatikan diagram berikut ini :

No p q p → q

1 Pulau Natuna berada di kepulauan Riau (B)

Natuna termasuk wilayah Indonesia (B) B


Jumlah 2 buah sudut dalam segitiga adalah 120o (S) S

3 Tiga puluh sembilan adalah bilangan Prima (S)

Tiga puluh sembilan adalah habis dibagi tiga (B) B

4 Cos2x + sin2x ≥ 1 (S) Cos2x ≥ 1 (S) B

S = { 0,1,2,3,4,5}

p(x) : x – 1 = 0

q(x) : 0232 =+− xx

ungkapan ini dapat ditulis :

P={x/x–1=0}, p benar jika x∈P

Q={ x/ 0232 =+− xx }, q

benar jika x∈Q

Tampak bahwa kalimat

)()( xqxp → kalimat implikasi

yang benar.

B a b 5 : L o g i k a 293

Secara umum dapat disimpulkan bahwa :

Kalimat implikasi yang menyebabkan tiap penggantian nilai x benar

untuk p(x) yang akan menyebabkan benar pula untuk q(x) dikatakan

implikasi yang logis.

5.2.5 BIIMPLIKASI Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan hubungan

“Jika dan hanya jika “ Sehingga menjadi suatu kalimat yang dapat

dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya jika q ” atau dilambangkan

dengan :

“ qp ⇔ ”

suatu pernyataan majemuk disebut dengan Biimplikasi.

Pernyataan majemuk Biimplikasi menyiratkan suatu gabungan dari:

qp → dan pq →

Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi qp ⇔ dikatakan bernilai

benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama seperti yang

diungkapkan pada definisi berikut ini :

Jika P dan Q masing-masing himpunan penyelesaian dari kalimat

terbuka )(dan )( xqxp pada himpunan semesta S, maka

)()( xqxp → benar jika P ⊂ Q.

294 B a b 5 : L o g i k a

Merujuk pada implikasi, bahwa Jika P dan Q masing-masing himpunan

penyelesaian dari kalimat terbuka )(dan )( xqxp pada himpunan

semesta S, maka:

)()( xqxp → benar jika P ⊂ Q

dan

)()( xpxq → benar jika Q ⊂ P

mengakibatkan pernyataan kalimat majemuk biimplikasi:

)( )( xqxp ⇔

bernilai benar jika P = Q.

Kalimat biimplikasi yang menyebabkan tiap penggantian nilai x benar

untuk p(x) yang akan menyebabkan benar pula untuk q(x) begitu pula

untuk penggantian nilai x benar untuk q(x) yang akan menyebabkan

benar pula untuk p(x) dikatakan biimplikasi yang logis. Dengan kata

lain p(x) dan q(x) merupakan dua kalimat yang ekuivalen apabila

DEFINISI 5.2.5 : Biimplikasi


biimplikasi (pernyataan bersyarat dwi arah)

adalah sebuah pernyataan majemuk yang

dilambangkan : ” qp ⇔ ”.

Bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai

kebenaran yang sama.

Berikut ini tabel

kebenaran

biimplikasi:

p q p ⇔ q B B B B S S S B S

B a b 5 : L o g i k a 295

kedua kalimat terbuka itu mempunyai himpunan penyelesaian yang

sama.

Contoh 5.2.5

Tentukan nilai kebenaran Biimplikasi pernyataan dalam tabel berikut

ini:

Contoh 5.2.6 Misalkan p, q dan r adalah pernyataan, dimana:

p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai

kehidupan (B).

q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)

r : 1 + 1 = 3. (S)

Maka beberapa kombinasi dari pernyataan ini adalah:

1. Bumi bukan satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai

kehidupan.

No p ⇔ q Nilai kebenaran

1 Segitiga ABC sama sisi ⇔ besar setiap sudut segitiga adalah 60 o B

2 012 =−x ⇔ x= 1 S 3 n habis dibagi 7 ⇔ n adalah bilangan Prima S 4 ABCD bangun persegi ⇔ ABCD segi empat

yang sisinya sama B

5 grafik )(xf bukan garis lurus ⇔ )(xf adalah fungsi yang tidak linier

B

6 )(xf adalah fungsi linier ⇔ grafik )(xf bukan garis lurus

S

296 B a b 5 : L o g i k a

Secara simbolik ditulis sebagai p dan bernilai salah(S).

2. Satu dekade sama dengan 10 tahun dan 1 + 1 = 3.

Ditulis sebagai q ∧ r yang bernilai salah(S).

3. Satu dekade sama dengan 10 tahun atau 1 + 1 = 3.

Ditulis sebagai q ∨ r yang bernilai benar(B).

4. Jika satu dekade sama dengan 10 tahun maka 1 + 1 = 3.

Ditulis sebagai q → r yang bernilai salah(S).

5. Satu dekade sama dengan 10 tahun jika dan hanya jika 1 + 1 = 3.

Ditulis sebagai q ⇔ r yang bernilai salah(S).

Contoh 5.2.7 Nyatakan pernyataan berikut dengan simbol dan tentukan apakah benar

atau salah. ”Blaise Pascal menemukan sejumlah mesin hitung dan

tidak benar bahwa komputer digital elektronik pertama dirakit

pada abad ke dua puluh atau π dihitung hingga 1.000.000 angka

desimal pada tahun 1954”.

Jawaban:

Pertama, setiap pernyataan primitif kita beri simbol, misalkan:

p : Blaise Pascal menemukan sejumlah mesin hitung. (B)

q : Komputer digital elektronik pertama dirakit abad ke dua puluh(B)

r : π dihitung hingga 1.000.000 angka desimal pada tahun 1954. (S)

Maka pernyataan yang ditanyakan bisa ditulis secara simbolik sebagai

( p ∧ q ) ∨ r

Untuk selanjutnya, karena Blaise Pascal menemukan mesin hitung

(calculator) pada tahun 1642, komputer digital pertama kali dirakit

B a b 5 : L o g i k a 297

sekitar tahun 1944 dan hingga tahun 1973 tidak pernah π dihitung

sampai 1.000.000 angka desimal, maka pernyataan p dan q bernilai

benar dan pernyataan r bernilai salah. Jika disubstitusikan ke dalam

bentuk simbolik diatas, maka diperoleh

(p ∧ q ) ∨ r ⇔ (B ∧ B ) ∨ S

⇔ (B ∧ S ) ∨ S

⇔ S ∨ S

⇔ S

Jadi :

pernyataan tersebut diatas bernilai salah.

5.2.6 TABEL KEBENARAN (TRUTH TABLE) Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar atau

salah kita perlu tabel kebenaran dari kalimat penghubung yang ada

dalam pernyataan tersebut. Untuk sembarang pernyataan p dan q,

rangkuman tabel kebenaran dari semua penghubung dapat dilihat pada

Tabel 5.2.1.

Tabel 5.2.1. Tabel kebenaran penghubung

p q p qp ∧ qp ∨ p → q p ⇔ q B B S B B B B

B S S S B S S S B B S B B S S S B S S B B

Logika matematika dapat memberikan bimbingan agar dapat

memiliki pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan kritis.

298 B a b 5 : L o g i k a

Logika pernyataan tidak bisa menggambarkan sebagian besar

pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi,

perhatikan pernyataan berikut

” p : n adalah bilangan ganjil ”

Pernyataan p bukan sebuah pernyataan karena nilai kebenaran p

bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p benar jika n=3

dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam matematika

dan ilmu komputer menggunakan peubah (variabel), maka kita harus

mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan yang

memuat variabel seperti itu.

Contoh 5.2.8 Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan daerah

asal :

1. nn 22 + adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan

bilangan bulat.

DEFINISI 5.2.6

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung

variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah

fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah

pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of

discourse) dari P.

B a b 5 : L o g i k a 299

2. 062 =−− xx , dengan daerah asal himpunan bilangan real.

3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada tahun

1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.

Sebuah penghubung (predikat) seringkali menyatakan sebuah

hubungan relasional antara: konstanta, variable dan fungsi.

Simbol-simbol yang digunakan dalam logika penghubung:

Simbol konstanta : a, b, c, d.

Simbol variabel : x, y, z, w.

Simbol fungsi : f, g, h.

Simbol penghubung : P, Q, R, S.

Contoh 5.2.9

Beberapa contoh penghubung:

1. 2x+3 ≥ 5, dengan x bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai

untuk setiap x (bulat positip), P(x) : f(x) ≥ 5

2. x + y ≤ x- y, dengan x dan y bilangan real dapat ditulis sebagai

untuk setiap x,y (real), Q(x; y) : f(x; y) ≤ g(x; y)

3. jika x > 0 maka 4x + 1 ≥ 1, dengan x bilangan bulat dapat ditulis

sebagai beberapa x (bulat), jika R(x) : x > 0, maka S(x) : h(x) ≥ 1

Contoh pertama, penghubung P(x) menyatakan hubungan relasional

antara fungsi f(x) dan konstanta 5. Pada contoh kedua penghubung

Q(x; y) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x; y) dengan

fungsi g(x; y). Contoh ketiga memuat penghubung bersyarat

300 B a b 5 : L o g i k a

” jika ... maka ... ” dengan premis/hipotesa penghubung R(x) dan

konklusi/kesimpulan penghubung S(x).


1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut:

a) Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.

b) Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah

c) Untuk semua sudut x, berlaku 1sincos 22 =+ xx

d) Pulau Matak termasuk wilayah propinsi Kepulauan Riau.

e) 49 adalah bilangan kuadrat.

2. Lengkapi tabel kebenaran berikut ini:

3. Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut:

p : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong

q : Parabola selalu memotong sumbu x.

r : nilai sinus suatu sudut maksimal 1.

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataannya-pernyataan berikut:

p q p qp ∧ qp ∨ p → q p ⇔ q

B B

B S

S B

S S

d) qqp ⇒→ )(

e) (p ∧ q ) r∨

f) (p ∧ q ) )( qr →→

a) (p ∧ q )

b) (p ∨ r) → p

c) (p ⇒ q ) ∧ q ⇒ r

B a b 5 : L o g i k a 301

4. Diketahui kalimat terbuka 10156)( 2 <+−= xxxp . Peubah x

berada dalam semesta pembicaraan S = { 0,1,2,3,4,5,6}.

Pernyataan p terbentuk dari p(x) dengan cara mengganti x∈S.

a) Carilah nilai-nilai x∈S sehingga p bernilai benar.

b) Carilah nilai-nilai x∈S sehingga p bernilai benar.

c) Jika P adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dan

P’ adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p (x) dalam

semesta pembicaraan S, gambarlah P,P’,S dalam sebuah

diagram Venn.

5. Periksalah kebenaran implikasi berikut. Jika salah berikan contoh

kesalahannya.

a) Jika x=2 maka 0252 2 =+− xx

b) Jika ab>0 maka a>0 dan b>0

5.3 KUANTOR UNIVERSAL DAN KUANTOR EKSISTENSIAL Sebelum lebih jauh ke dalam kontek pembicaran Invers, konvers dan

kontra posisi simaklah definisi kuantor universal dan kuantor

eksistensial dibawah ini :

302 B a b 5 : L o g i k a

Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau “setiap” disebut

pernyataan kuantor universal (umum) , sedangkan pernyataan yang

menggunakan kata “Beberapa” atau “ada” kuantor eksistensial

(khusus).

Pernyataan untuk setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x ∈ D,

maka P(x) bernilai benar. Pernyataan untuk beberapa x, P(x) bernilai

benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x ∈ D sehingga P(x)

bernilai benar.

Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk simbolik dan

memuat penghubung, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap

variabelnya dan memberikan interpretasi (makna) terhadap fungsi dan

penghubung yang ada didalamnya.

DEFINISI 5.3.1 :

Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D.

1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan

kuantor universal dan secara simbolik ditulis sebagai berikut

"∀x; P(x) "

Simbol ” ∀” disebut kuantor universal (universal quantifier).

2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai

pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis

sebagai berikut " ∃x; P(x) "

Simbol ” ∃” disebut kuantor eksistensial (existensial quantifier).

B a b 5 : L o g i k a 303

Contoh 5.3.1 Tulislah pernyataan berikut secara simbolik: ”Untuk setiap bilangan

bulat positif yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3”

Jawaban:

Misalkan: Penghubung ”x habis dibagi dengan y” secara simbolik

ditulis sebagai P(x,y). Maka penghubung ”x habis dibagi 6 juga habis

dibagi 3” secara simbolik dapat ditulis sbb:

Jika P(x,6) maka P(x,3)

Jadi pernyataan yang ditanyakan secara simbolik dapat ditulis sbb:

∀x, Jika P(x,6), maka P(x,3)

dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif.

5.3.1 NEGASI DARI PERNYATAAN BERKUANTOR Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah ingkaran

dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p . Selanjutnya

dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa :

Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor

eksistesial.

Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Yang dirumuskan sebagai berikut :

Negasi kuantor universal : )(,)](,[ xPxxPx ∃≡∀

Negasi kuantor eksistensial : )(,)](,[ xPxxPx ∀≡∃

304 B a b 5 : L o g i k a

Contoh 5.3.2

Tentukan negasi dari formula yang memuat kuantor berikut:

1. 01, 2 =−∈∃ xRx

2. 01, 2 ≥+∈∀ xRx

Jawaban:

1. 01, 2 =−∈∃ xRx suatu pernyataan yang benar.

Sedangkan negasi dari pernyataan tersebut adalah:

01,01, 22 ≠−∈∀≡=−∈∃ xRxxRx Biimplikasi dengan nilai

salah

2. 01, 2 ≤+∈∀ xRx suatu pernyataan yang salah

Sedangkan negasi dari pernyataan tersebut adalah:

1,01, 22 +∈∃≡≤+∈∀ xRxxRx > 0 Biimplikasi dengan nilai

benar.

5.3.2 HUBUNGAN INVERS, KONVERS DAN KONTRAPOSISI Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers, invers dan

kontraposisi perhatikan pernyataan implikasi berikut ini :

i. “Jika Fahim seorang mahasiswa maka Fahim lulus SMA”.

Dari pernyataan implikasi ini dapat dibuat beberapa pernyataan yang

baru :

ii.Jika Fahim lulus SMA maka Fahim seorang mahasiswa

iii.Jika Fahim bukan mahasiswa maka Fahim tidak lulus SMA

B a b 5 : L o g i k a 305

iv.Jika Fahim tidak lulus SMA maka Fahim bukan seorang

mahasiswa

Pernyataan-pernyataan i, ii, iii dan iv dapat ditulis dalam Pernyataan-

pernyataan komponen dalam lambang sebagai berikut :

i. p → q

ii. q → p

iii. p → q

iv. q → p

Pernyataan : q → p disebut Konvers dari implikasi p → q

Pernyataan : p → q disebut invers dari implikasi p → q

Pernyataan : q → p disebut Kontraposisi dari implikasi p → q

Untuk semua nilai kebenaran dari hubungan nilai-nilai kebenaran

implikasi, konvers, invers dan kontraposisi dapat diperlihatkan pada

table 5.3.1 sebagai berikut :

Tabel 5.3.1 : Tabel nilai kebenaran

Berdasarkan tabel tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut

11)) Implikasi ekuivalen dengan kontra posisi.

22)) Konvers ekuivalen dengan invers.

Komponen Implikasi Konvers invers kontraposisi

p q p q p → q q → p p →

q

q → p

B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B

306 B a b 5 : L o g i k a

5.3.3 DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN Untuk memahami pengertian dua buah pernyataan majemuk yang

ekuivalen, perhatikan contoh kalimat berikut ini :

p: Boby tidak malas

q : boby rajin belajar

Dibuat dua buah pernyataan majemuk sebagai berikut:

a : Boby tidak malas maka Boby rajin belajar : p → q

dengan nilai kebenaran B

b : Boby malas atau Boby rajin belajar : p ∨ q

dengan nilai kebenaran B.

Dari pernyataan-pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasi :

a ⇔ b

atau : p → q ⇔ p ∨ q

dengan nilai kebenaran B.

Contoh 5.3.3

Dengan menggunakan tabel kebenaran penghubung maka perlihatkan

bahwa pernyataan: ” p → q”

ekuivalen dengan pernyataan ”p ∨ q”.

Jawaban:

p q p → q p ∨ q p → q ⇔ p ∨ q B B B B B B S S S B S B B B B S S B B B

B a b 5 : L o g i k a 307

Dari tabel dapat dilihat bahwa : p → q ⇔ p ∨ q . Perhatikan kolom ke 5 dari tabel pada contoh 6.3.1 , selalu bernilai

benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari tiap pernyataan

komponennya. Perkataan majemuk yang bersifat seperti itu dikatakan

benar logis yang disebut Tautologi.

Tautologi yang berbentuk: a ⇔ b

dinamaka Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang a ≡ b (dibaca

a equivlen b) atau ( a setara dengan b)

Sedangkan untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari tiap

pernyataan komponennya selalu bernilai salah, perkataan majemuk

yang bersifat seperti itu dikatakan Kontradiksi. Berikut ini

didefinisikan suatu Tautologi dan kontradiksi.

DEFINISI 5.3.3

Kontradiksi:

Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan

tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran

bagi setiap variabelnya.

DEFINISI 5.3.2

Tautologi:

Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika

pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai

kebenaran bagi setiap variabelnya.

308 B a b 5 : L o g i k a

Contoh 5.3.4

Tunjukkan bahwa Pernyataan p ∨ p adalah tautologi dan pernyataan

p p∧ adalah kontradiksi

Jawab :

Untuk menunjukkan bahwa Pernyataan p ∨ p adalah tautology atau

bukan dan pernyataan p p∧ adalah kontradiksi atau bukan harus

terlebuh dahulu dicari nilai kebenaran untuk semua kemungkinan nilai

kebenaran komponennya. Perhatikan table berikut ini :

Jadi Pernyataan p ∨ p adalah tautologi dan pernyataan p p∧ adalah

kontradiksi.

Contoh 5.3.5

Tunjukkan bahwa implikasi qqp ⇒→ )( bernilai tautology.

Jawab

p p p ∨ p p ∧ p

B S B S

S B B S

Jelas bahwa pernyataan majemuk: p ∨ p selalu benar sedangkan: p p∧ selalu salah

B a b 5 : L o g i k a 309

Untuk menunjukkan bahwa Pernyataan qqp ⇒→ )( adalah

tautology atau bukan terlebuh dahulu dicari nilai kebenaran untuk

semua kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Perhatikan tabel

berikut ini :

LLLaaatttiiihhhaaannn 555...333

1) Tentukan invers, konvers dan kontraposisi dari setiap implikasi

berikut ini:

a. Jika Taufik Juara All England maka Taufik punya medali.

b. Jika Abi pegawai negri maka Abi terima gaji.

c. Jika 0n cos =π maka n bilangan ganjil.

2) Tentukan pernyataan implikasi yang memiliki :

a) invers p → q

b) Kontraposisi qp →

3) Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini :

a) Setiap bilangan rasional adalah bilangan real.

b) Terdapat bilangan real x sehingga 042 <− xx

p q p → q qp →

q qqp ⇒→ )(

B B B S S B B S S B B B S B B S S B S S B S B B

Pada kolam 6,

nilai selalu benar

untuk implikasi :

qqp ⇒→ )(

310 B a b 5 : L o g i k a

c) Beberapa fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x.

d) Tidak semua murid di kelas ini yang lolos SPMB.

e) Semua segitiga sama sisi mempunyai besar sudut 60o.

4) Jika N = himpunan bilangan asli, C = himpunan bilangan cacah

dan R=himpunan bilangan real. Tentukan negasi dari bilangan

berkuantor berikut ini :

a) 0nberlaku , x >∈∈∀ NnRx

b) NxxxRx ∈<−<∈∃ dan 1044 sehingga , 2

5) Tunjukkan bahwa implikasi berikut ini adalah Tautologi:

a) pqp →→ )(

b) qpp ∨→

5.4 SILOGISME, MODUS PONENS DAN MODUS TOLLENS

Silogisme Modus Ponens dan Modus

Tollens adalah metode atau cara yang

digunakan dalam menarik kesimpulan.

Proses penarikan kesimpulan terbagi

atas beberapa hipotesa yang diketahui

nilai kebenarannya yang kemudian

dengan menggunakan prinsip-prinsip

logika diturunkan suatu kesimpulan

(konklusi). Penarikan kesimpulan ini

disebut dengan argumentasi.

Berpokir yang logis memberikan

keamanan dalam bertindak

B a b 5 : L o g i k a 311

Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan

adalah sebagai berikut :

i) Argumen dikatakan berlaku atau syah:

Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi dengan

kesimpulan

ii) Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b sedangkan

kesimpulannya adalah c, Argumen yang berlaku atau syah:

a ∧ b ⇒c

iii) Argumen dikatakan berlaku atau syah:

Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya juga benar.

iv) Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa-hipotesanya

barus demi baris kemudian dibuat garis mendatar dan kesimpulan

diletakkan baris paling bawah sebagai berikut :

a Hipotesa 1

b Hipotesa 2

c∴ Kesimpulan

Tanda c∴ dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena itu”.

5.4.1 SILOGISME Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari

pernyataan implikasi , dilakukan dengan cara menyusun bari-baris :

p ⇒q hipotesa 1

q ⇒ r hipotesa 2

∴ p ⇒ r kesimpulan

312 B a b 5 : L o g i k a

dalam bentuk implikasi, silogisme tersebut dapat ditulis menjadi :

(p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ r)

dimana syah atau tidaknya kesimpulan, dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Contoh 5.4.1

Tentukan kesimpulan dari argumen berikut :

Jika cuaca mendung maka hari akan hujan ............. hipotesa 1.

Jika hari akan hujan maka udara terasa sejuk .............hipotesa 2.

Jawab :

Jika maka ...hipotesa 1

p q Jika maka hipotesa 2

q r


Jadi kesimpulannya:

Contoh 5.4.2

Jika x bilangan real, maka x2 ≥ 0.............hipotesa 1.

p q r qp ⇒

rq ⇒

rp ⇒

qp ⇒ ∧

rq ⇒ ( qp → ∧ rq → )

)( rp →⇒ B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B S S B S B B B B B B B S B S B S B S B S S B B B B B B S S S B B B B B

Cuaca mendung Hari akan hujan

Hari akan hujan udara terasa sejuk

Jika cuaca mendung maka udara terasa sejuk

B a b 5 : L o g i k a 313

Jika x2 ≥ 0, maka x2+1 ≥ 0.......................hipotesa 2.

Jawab :


p q Jika maka hipotesa 2

q r


Jadi kesimpulannya adalah :

5.4.2 MODUS PONENS

Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari

pernyataan implikasi , dilakukan dengan cara menyusun bari-baris :

p ⇒q hipotesa 1

p hipotesa 2

∴ q kesimpulan

dalam bentuk implikasi, Modus ponens tersebut dapat ditulis menjadi :

(p ⇒ q ) ∧ p ⇒ q

yaitu konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi kesimpulan.

Modus ponens dikatakan syah atau tidaknya kesimpulan apabila

implikasi (p ⇒ q ) ∧ p ⇒ q

merupakan sebuah Tautologi. Perhatikan tabel berikut ini:

Tabel Tautologi :

p q p → q p ∧→ q p (p → q p∧ ) q→

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

x bilangan real x2 ≥ 0

x2 ≥ 0 x2+1 ≥ 0

Jika x bilangan real maka x2+1 ≥ 0

314 B a b 5 : L o g i k a

Contoh 5.4.3


Jika turun hujan maka udara terasa sejuk.............hipotesa 1.

Dan turun hujan .............hipotesa 2.

Jawab :


p q dan ....hipotesa 2

p

∴ q kesimpulan


Contoh 5.4.4

Jika x bilangan real, maka x2+1 ≥ 0 .......hipotesa 1.

Dan x bilangan real .......hipotesa 2.

turun hujan udara terasa sejuk

turun hujan

udara terasa sejuk

B a b 5 : L o g i k a 315

Jawab :


p q

dan hipotesa 2

p

∴ q kesimpulan


5.4.3 MODUS TOLLENS Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari

pernyataan implikasi, dilakukan dengan cara menyusun bari-baris :

p ⇒q hipotesa 1

q hipotesa 2

∴ p kesimpulan

dalam bentuk implikasi, Modus ponens tersebut dapat ditulis sebagai:

(p ⇒ q ) ∧ q ⇒ p

yaitu konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi kesimpulan

Modus Tollens dikatakan syah atau tidaknya kesimpulan apabila implikasi.

(p ⇒ q ) ∧ q ⇒ p

merupakan sebuah Tautologi. Perhatikan tabel berikut ini:

p q q p → q p ∧→ q q p (p ∧→ q q ) p→

B B S B S S B

B S B S S S B

S B S B S B B

S S B B B B B

x bilangan real

x bilangan real

x2+1 ≥ 0

x2+1 ≥ 0

316 B a b 5 : L o g i k a

Cara lain menunjukkan syah atau tidaknya sebuah Modus Tollens

adalah dengan mengambil kontra posisi dari argumen sebagai berikut:

p ⇒ q

Kontra posisi : q p⇒

Contoh 5.4.5


Jika turun hujan maka udara terasa sejuk.............hipotesa 1.

Dan tidak sejuk .............hipotesa 2.

Jawab :


p q

dan ....hipotesa 2

q

Kontra posisinya adalah:

Jika maka


turun hujan udara terasa sejuk

udara tidak sejuk

udara tidak sejuk Tidak turun hujan

Tidak turun hujan

B a b 5 : L o g i k a 317

Contoh 5.4.6

Jika x bilangan real, maka x2+1 ≥ 0 .......hipotesa 1.

Dan x2+1 < 0 .......hipotesa 2. Jawab :


p q

dan hipotesa 2

q

Kontra posisinya adalah:

Jika maka


• RANGKUMAN

• Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat

deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran.

• Suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dibuktikan

disebut kalimat terbuka.

• Penghubung kalimat : negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi,

dan biimplikasi.

• Sebuah pernyataan dikatakan bernilai tautologi (valid), jika

pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian

x bilangan real

x2+1 < 0

x2+1 ≥ 0

x2+1< 0 x bukan bilangan real

x bukan bilangan real

318 B a b 5 : L o g i k a

nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.

Sebuah pernyataan dikatakan bernilai kontradiksi, jika

pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian

nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.

LLLaaatttiiihhhaaannn 555...444

Untuk Soal no 1-3 tentukan kesimpulan tiap argumen berikut!

1) Jika kena air hujan maka aku sakit .......hipotesa1.

Aku sakit .......hipotesa2.

2) Jika f(-x) = f(x) maka f(x) fungsi genap .......hipotesa1.

f(x) fungsi genap maka f(x) simetri terhadap sumbu x .......hipotesa2.

3) Jika 02 <++= cbxaxy maka y disebut definit negatip

hipotesa1

y bukan definit negatip .......hipotesa2

Untuk Soal no 4-6 periksalah keabsyahan tiap argumen berikut!

4) p ⇒ q hipotesa 1

rq ⇒ hipotesa 2

∴ pr → kesimpulan

5) p ∨ q hipotesa 1

q p→ hipotesa 2

∴ q kesimpulan

B a b 5 : L o g i k a 319

6) p ⇒ q hipotesa 1

rq ∨ hipotesa 2

p hipotesa 3

∴ r kesimpulan

321

6. Fungsi

Bab

6 FU N G S I

ernahkah anda memperhatikan gerakan bola yang dilempar ke

atas oleh seseorng. Secara tidak langsung ternyata anda telah

pemperhatikan gerakan bola tersebut membentuk sebuah

fungsi yang disebut dengan Fungsi Parabola (Gambar 6.1.1). Gambar

a memperlihatkan sebuah lintasan Parabola jika pengamat berada pada

sebuah kereta yang bergerak searah gerakan pelempar bola, sedang

gambar b juga memperlihatkan sebuah lintasan Parabola jika dilihat

pengamat yang diam di tanah.

Pada bab ini akan dibahas materi yang berkaitan dengan fenomena

yang diilustrasikan diatas yaitu berkaitan dengan relasi dan fungsi,

kemudian dilanjutkan dengan permasalahan yang terkait dengan fungsi

yaitu persamaan fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi eksponensial dan

fungsi logaritma.

P

322 B a b 6 : F u n g s i

Gambar 6.1.1 Sumber : ”Fisika”Tipler

6.1 FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang sering dijumpai dalam matematika adalah relasi

dan fungsi. Kedua topik ini muncul karena adanya hubungan atau

ketergantungan antara satu besaran dengan besaran lainnya. Seringkali,

hubungan ini didapatkan dari permasalahan yang kita hadapi sehari-

hari. Sebagai contoh, adanya hubungan antara pegawai pada suatu

perusahaan dengan bagian/departemen tertentu pada perusahaan

tersebut, hubungan antara luas lingkaran dengan panjang jari-jarinya,

hubungan antara nama-nama siswa dalam suatu kelas dengan kesukaan

(hobby)nya, hubungan antara nama-nama kabupaten di suatu propinsi

dengan jumlah penduduknya, hubungan antara biaya produksi dengan

jumlah produk yang dihasilkan oleh sebuah pabrik, dan lain-lain.

Dari beberapa contoh diatas, dapat dimengerti bahwa suatu relasi

terjadi antara satu kelompok tertentu dengan kelompok lainnya,

misalnya antara kelompok siswa dengan kelompok hoby. Dalam

B a b 6 : F u n g s i 323

matematika, istilah kelompok ini dikenal dengan istilah himpunan.

Setiap himpunan mempunyai anggota (himpunan yang tidak

mempunyai anggota disebut himpunan kosong). Dalam penulisannya,

suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital (huruf

besar), misal A, B, C,.... sedangkan anggota himpunan dinyatakan

dengan huruf kecil, misal a, b, c, .... Relasi dari himpunan A ke

himpunan B didefinisikan sebagai aturan yang

memadankan/memetakan anggota-anggota himpunan A dengan

anggota-anggota himpunan B. Untuk memperjelas konsep ini,

perhatikan contoh 6.1.1 yang menyatakan relasi antara himpunan siswa

dengan himpunan kesukaan:

Contoh 6.1.1

A = himpunan siswa dalam suatu kelas

= {Agus, Bima, Cakra, Durna}

B = himpunan kesukaan

= {membaca novel, sepak bola, menonton TV, bermain musik}

Relasi antara kedua himpunan misalkan ditentukan berikut:

Agus suka membaca novel dan bermain musik

Bima menyukai sepakbola

Durna suka bermain musik

Cakra suka sepakbola dan menonton TV

Relasi ini dapat digambarkan dalam bentuk diagram berikut:

324 B a b 6 : F u n g s i

atau dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut sebagai

berikut:

{(Agus, membaca novel), (Agus, bermain musik), (Bima, sepakbola),

(Durna, bermain musik), (Cakra, sepakbola), (Cakra, menonton TV)}

Fungsi merupakan salah satu bentuk khusus dari relasi. Misalkan A dan

B adalah dua himpunan, dimana anggota himpunan B tergantung pada

anggota himpunan A. misalkan pula x adalah anggota A dan y adalah

anggota B. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang memadankan setiap

anggota dalam himpunan A dengan tepat pada satu anggota dalam

himpunan B. Kita dapat mendefinisikan secara formal dalam definisi

6.1.1 berikut :

Definisi 6.1.1:

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan

tiap objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal, dengan

sebuah nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang

diperoleh disebut daerah nilai fungsi tersebut.

B a b 6 : F u n g s i 325

Dengan kata lain, pemetaan dari x terhadap y disebut fungsi jika:

- untuk setiap x dalam A dapat dicari nilai y dalam B yang

merupakan nilai/ pasangannya. Elemen x di A dihubungkan

oleh f dengan elemen y di B, ditulis xfy atau y=f(x).

- untuk satu x kita mempunyai satu dan hanya satu nilai y.

Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan himpunan B disebut

daerah kawan atau kodomain. Himpunan bagian dari B, misalkan R,

yang berisi nilai-nilai yang merupakan hasil dari penerapan fungsi atas

anggota dari daerah asal disebut daerah hasil atau range. Untuk

memperjelas konsep diatas, perhatikan dua contoh berikut ini.

Contoh 6.1.2

Diberikan 3 contoh relasi pada Gambar 6.1.2 (a), (b), dan (c), tentukan

mana yang fungsi dan yang bukan fungsi.

Gambar 6.1.2

Jawab:

Pada Gambar 6.1.2(a) elemen c di daerah asal tidak dipetakan pada

daerah hasil, sedangkan Gambar 6.1.2(b) elemen c mempunyai kawan

lebih dari satu di daerah hasil maka 2(a) dan 2(b) hanyalah sebuah

relasi dan bukan menyatakan fungsi dari A ke B. Pemetaan pada

Gambar 6.1.2(c) merupakan fungsi karena kedua syarat fungsi

(a) (b) (c)

326 B a b 6 : F u n g s i

dipenuhi. Pada Gambar 6.1.2(c), domain fungsi adalah himpunan A dan

kodomainnya adalah B. Karena nilai fungsi hanya 2 dan 3 saja maka

range fungsi adalah R = {2, 3}.

Contoh 6.1.3

Berdasarkan pengalaman penyelam, tekanan cairan p bergantung pada

kedalaman d. Berdasarkan data selama penyelaman yang dilakukan,

hubungan antara p dan d tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut:

kedalaman (d) Tekanan cairan (p) 10 meter 2,1 atm. 20 meter 3,2 atm. 30 meter 4,3 atm. 40 meter 5,4 atm. 50 meter 6,5 atm. 60 meter 7,6 atm. 70 meter 8,7 atm. 80 meter 9,8 atm. 90 meter 10,9 atm.

Tentukan apakah hubungan tersebut menyatakan fungsi ?.

Jawab:

Pada contoh diatas, pemetaan dari A ke B dapat digambarkan sebagai

berikut : kawan dari 10 adalah 2,1, kawan dari 20 adalah 3,2 dan kawan

dari 30 adalah 4,3 dan seterusnya. Hukum fisika juga mengatakan

bahwa tekanan cairan p bergantung pada kedalaman d. Jadi tidak

mungkin terjadi pada kedalaman yang sama mempunyai tekanan yang

berbeda. Jadi f merupakan fungsi yang dapat dituliskan sebagai berikut:

f(10) = 2,1, f(20) = 3,2, dan f(30) = 4,3 dan seterusnya. Karena

kedalaman yang diperoleh dari data: 0 ≤≤ d 90, maka daerah asal

(domain) fungsi tersebut yaitu A adalah bilangan positip yang dapat

ditulis A={d / 0 ≤≤ d 90), daerah kawan (kodomain) fungsi yaitu

B a b 6 : F u n g s i 327

B tekanan adalah lebih atau sama dengan 1 (satu) atau dapat ditulis

B={p / 2,1 ≤≤ p 10,9}.

6.1.1 JENIS‐JENIS FUNGSI Ditinjau dari cara mengkawankannya, fungsi dapat

dibedakan menjadi 3 jenis yaitu fungsi injektif, surjektif, dan

bijektif. Jenis fungsi tersebut ada kaitannya dengan sifat pemetaan

dari daerah asal ke daerah hasil . Ketiga jenis fungsi tersebut

adalah :

i) Fungsi Injektif

ii) Fungsi Surjektif

iii) Fungsi Bijektif

Definisi 6.1.2 :

Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke B maka:

i) Fungsi f disebut injektif jika untuk setiap elemen y di daerah

nilai, y paling banyak mempunyai satu kawan dari x di A.

Dengan kata lain, fungsi injektif adalah fungsi satu-satu.

ii) Fungsi f disebut surjektif jika untuk setiap elemen y di B habis

dipetakan oleh anggota himpunan di A.

iii) Fungsi f disebut bijektif jika fungsi itu injektif dan surjektif

328 B a b 6 : F u n g s i

Contoh 6.1.4

Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada Gambar 8.1.4

Tunjukkan bahwa fungsi tersebut injektif.

Gambar 6.1.4

Jawab:

Pertama dicari dulu daerah hasil (range) fungsi tersebut yaitu {1,3,4,5}

dan kodomain B = {1, 2, 3, 4, 5}. Sekarang kita selesaikan persamaan

f(x) = y jika y anggota {1, 3, 4, 5} di daerah hasil. y=1 merupakan

pemetaan hanya satu anggota dari daerah asal yaitu x=a. Jika y = 3

merupakan pemetaan hanya satu anggota dari daerah asal yaitu x=b.

Demikian juga, jika y = 4, 5 maka merupakan pemetaan hanya satu

anggota dari daerah asal yaitu masing-masing c dan d. Dengan

demikian, f adalah injektif (fungsi satu-satu).

Contoh 6.1.5

Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada Gambar 6.1.5.

Tunjukkan bahwa fungsi itu surjektif.

B a b 6 : F u n g s i 329

Gambar 6.1.5

Jawab:

Dari gambar tampak bahwa A = (a, b, c, d, e } dan B = {1, 2, 3, 4}.

Kemudian kita uji persamaan f(x)=y dengan y semua kemungkinan

elemen di B.

Jika y=1 maka persamaan tersebut merupakan pemetaan f(a)= 1,f(b)=1.

Kemudian untuk y=2 merupakan pemetaan dari f(c)=2.

Demikian pula untuk y=3 merupakan pemetaan dari f(d)=3 dan untuk

y=4 diperoleh dari pemetaan f(e)=4.

Karena untuk semua y, persamaan selalu mempunyai jawaban, maka

fungsi yang diketahui bersifat surjektif.

Contoh 6.1.6

Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada Gambar 6.1.6.

Perlihatkan bahwa f adalah bijektif

330 B a b 6 : F u n g s i

Gambar 6.1.6

Jawab:

Kita harus menguji bahwa persamaan y=f(x) dengan y anggota B harus

mempunyai jawab dan banyaknya jawab hanya satu. Dari gambar

tersebut dapat dibuat tabel sebagai berikut:

Karena untuk setiap y anggota B persamaan y=f(x) selalu merupakan

teman pemetaan di x dan paling banyak satu, maka f adalah fungsi yang

bersifat bijektif.

B a b 6 : F u n g s i 331

LLLaaattt iii hhhaaannn 666...111

1. Diketahui fungsi 2)( −= xxf dengan daerah asal

},50|{ RxxxD ∈≤≤=

a. Tentukan nilai fungsi untuk x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, dan

x = 5

b. Gambarkan sketsa grafik untuk fungsi f

c. Tentukan apakah fungsi tersebut surjektif, injektif atau bijektif

d. Tentukan daerah hasil (kodomain) dari fungsi f

2. Diketahui fungsi 9)( 2 −= xxf dengan daerah asal

} 52|{ RxdanxxD ∈≤≤=

a. Tentukan nilai fungsi untuk x = 2, x =3, x = 4 dan x = 5

b. Gambarkan sketsa grafik untuk fungsi f

c. Tentukan apakah fungsi tersebut surjektif, injektif atau bijektif

d. Tentukan daerah hasil (kodomain) dari fungsi f.

3. Tentukan apakah fungsi Rxxxf ∈= ,)( 2 fungsi surjektif, injektif

atau bijektif. Bagaimana Anda menentukan domain fungsi supaya

fungsi tersebut bersifat bijektif?

4. Tentukan daerah asal alami fungsi-fungsi berikut : a. 23)( −= xxf b. 2)( 2 −= xxf d. 1)( 2 −= xxf d.

21)(−

=x

xf

5. Misalkan xy =2 .

a. Jika x = 5 , Carilah nilai y. b. Apakah xy =2 merupakan fungsi.

332 B a b 6 : F u n g s i

6.2 FUNGSI LINIER Suatu fungsi y=f(x) disebut fungsi linier jika aturan untuk

mengawankan antara x dan y yang berbentuk bmxy +=

dengan m dan b adalah bilangan

real. Daerah definisi dan daerah

hasil terbesar dari fungsi ini

adalah himpunan bilangan real.

Jika fungsi ini dinyatakan dalam

bentuk grafik, maka grafik dari

fungsi ini akan berbentuk garis

lurus, dengan m menyatakan

nilai kemiringan garis terhadap

sumbu X dan b adalah

perpotongan garis dengan

sumbu Y.

Ciri khas fungsi linier adalah dia tumbuh pada laju tetap. Sebagai

contoh, Gambar 6.2.1 menunjukkan grafik fungsi linier 12 −= xy

dan tabel nilai fungsi untuk beberapa nilai x. Perhatikan bahwa jika

nilai x bertambah 1, maka nilai y bertambah 2. Sehingga nilai y

bertambah 2 kali lebih cepat dari x. Jadi, kemiringan grafik 12 −= xy

yaitu 2, dapat ditafsirkan sebagai laju perubahan y terhadap x.

Nilai x Nilai 12 −= xy

B a b 6 : F u n g s i 333

Gambar 6.2.1

6.2.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI LINIER Fungsi linier mempunyai keistimewaan yaitu jika diketahui nilai dari

dua anggota, maka aturan keseluruhannya dapat diketahui. Sifat ini

serupa dengan garis. Melalui dua titik kita dapat menentukan satu garis.

Dengan demikian, untuk menggambar grafik fungsi linier dapat

dilakukan dengan cara berikut:

i. tentukan dua buah nilai x sembarang, kemudian tentukan nilai y

untuk masing-masing nilai x berdasarkan aturan fungsi

tersebut, sehingga kita dapatkan dua buah titik yang memenuhi

fungsi tersebut

j. plot dua titik tersebut pada bidang koordinat, kemudian

hubungkan kedua titik tersebut sehingga akan terbentuk garis

lurus. Garis lurus inilah grafik fungsi linier bmxy +=

-1 -3 0 -1 1 1 2 3 3 5

334 B a b 6 : F u n g s i

Untuk memperjelas hal ini, perhatikan contoh berikut.

Contoh 6.2.1

Diketahui fungsi linier 23 += xy . Gambarlah grafik fungsi tersebut.

Jawab:

Pertama, pilihlah dua titik x, misalkan x=0 dan x=3. Kemudian hitung

nilai y untuk masing-masing nilai x. Untuk x = 0 maka y = 3.0 + 2 = 2,

sehingga didapatkan titik yang memenuhi fungsi tersebut yaitu (0, 2)

dan untuk x = 2 maka y = 3.2 + 2 = 8 sehingga didapatkan titik (2,8).

Grafik fungsi 23 += xy berupa garis lurus, sehingga cukup

menghubungkan keduatitik (0,2) dan (2,8), sehingga kita dapatkan

grafiknya gambar 6.2.2

Gambar 6.2.2: Grafik fungsi 23 += xy

B a b 6 : F u n g s i 335

Karena bentuk umum dari fungsi linier bmxy += merupakan

persamaan garis lurus, maka kita bisa menentukan persamaan grafik

fungsi linier (garis lurus) dengan beberapa cara, antara lain:

- menentukan persamaan garis lurus jika diberikan dua titik

yang dilalui garis tersebut

- menentukan persamaan garis lurus jika diketahui gradien dan

satu titik yang dilalui garis tersebut

- menentukan persamaan garis lurus jika diketahui grafiknya

Seperti dijelaskan diatas, pada persamaan garis lurus bmxy += , nilai

m merupakan kemiringan garis terhadap sumbu X atau lebih dikenal

dengan istilah gradien garis lurus tersebut. Sebagai contoh, persamaan

garis 23 += xy mempunyai gradien 3 dan persamaan 3−−= xy

mempunyai gradien -1. Jadi, untuk menentukan persamaan garis lurus,

kita harus bisa menentukan dan mendapatkan gradien garis tersebut

(Gambar 6.2.3). Misalkan garis ini melalui dua titik A ),( 11 yx dan B

),( 22 yx . Dari gambar tersebut dapat diperoleh kemiringan garis

tersebut. Untuk mendapatkan gradien garis lurus, perhatikan gambar

garis lurus berikut:

Gambar 6.2.3

336 B a b 6 : F u n g s i

Dari gambar garis lurus diatas, dapat dibuat suatu segitiga siku-siku

ACB. Dapat ditunjukkan bahwa gradien garis lurus adalah:

dengan .

Contoh 6.2.2

Tentukam Gradien garis yang melalui titik-titik A(0, 2) dan B(2, 8)

Jawab:

Gradien garis yang melalui titik-titik A(0, 2) dan B(2, 8) adalah

6.2.2 PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI SEBUAH TITIK DENGAN GRADIEN DIKETAHUI Melalui sebuah titik sebarang dapat dibuat tak berhingga garis, tetapi

melalui satu titik dan satu kemiringan hanya dapat dibuat satu garis.

Bagaimana cara mendapatkan Garis L : bmxy += yang melalui

sebuah titik A ),( 11 yx dengan gradien m. Misalkan B ( )yx, adalah

sebarang titik pada garis L maka pastilah persamaan garis itu adalah :

bmxy +=

B a b 6 : F u n g s i 337

Oleh karena persamaan garis lurus tersebut melalui sebuah titik

A ),( 11 yx maka ),( 11 yx memenuhi persamaan garis L : bmxy +=

sehingga bmxy += 11 Dari kedua persamaan yang kita peroleh, disubtitusikan :

11 mxymxy −=−

atau

(6.2.1)

6.2.3 PENENTUAN PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI DUA TITIK Seperti dijelaskan diatas, komponen penting dalam persamaan garis

bmxy += adalah gradien garis (m) dan komponen perpotongan

dengan sumbu Y yaitu y(0)=b. Untuk mendapatkan persamaan garis

lurus yang melalui dua titik A dan B, kita bisa menentukan nilai m

terlebih dahulu dengan rumus pencarian gradien yang melalui satu titik

dengan cara sebagai berikut: Misalkan persamaan garis bmxy += .

Melalui titik ),( 11 yx maka persamaan bmxy += berlaku untuk

pasangan ),( 11 yx sehingga bmxy += 11 diperoleh 11 mxyb −= .

Oleh karena itu persamaan garis yang melalui titik ( )11 , yx dan

mempunyai gradien m adalah :

bmxy +=

)( 11 mxymxy −+=

)11 mxmxyy −=−

338 B a b 6 : F u n g s i

)( 11 xxmyy −=−

Dengan cara yang sama kita bisa juga mendapatkan persamaan garis

lurus yang melalui titik B ),( 22 yx adalah:

)( 22 xxmyy −=−

yang akan menghasilkan persamaan dari sebuah garis yang sama.

Dengan mensubtitusikan kedua persamaan yang didapat, kita peroleh

persamaan garis melalui dua buah titik :

(8.2.2)

6.2.4 KEDUDUKAN DUA BUAH GARIS LURUS Misalkan ada dua buah garis lurus L1 : bxmy += 11

dan L2 : bxmy += 22

Kedudukan L1 terhadap L2 tergantung pada tangen arah kedua garis

tersebut, yaitu m1 dan m2 yang dapat diuraikan pada sifat kedudukan

dua buah garis lurus sebagai berikut :

i. Jika m1 = m2 maka kedua garis L1 dan L2 saling sejajar.

ii. Jika m1· m2 = -1 maka kedua garis L1 dan L2 saling tegak lurus.

iii. Jika dan maka kedua garis

berpotongan.

6.2.5 INVERS FUNGSI LINIER

B a b 6 : F u n g s i 339

Jika hasil pemetaan fungsi y = f(x) dipetakan lagi oleh pemetaan g

hasilnya kembali ke titik semula yaitu x, g(f(x))=x maka g dikatakan

invers dari f. Salah satu ide menentukan invers y = f(x) adalah

mengubah x sebagai fungsi dari y, yaitu x = g(y). Kadang-kadang

proses seperti itu merupakan proses yang mudah atau ada kalanya

cukup rumit. Namun untuk fungsi linier, proses mengubah y = f(x)

menjadi x = g(y) cukuplah sederhana. Sebagai contoh fungsi linier

y = 5x + 1 ( y = f(x) )

Mengubah x sebagai fungsi dari y:

( x = g(y) )

Perhatikan x = g(y), jika x diganti dengan y dan y diganti dengan x

diperoleh fungsi y = g(x), proses yang demikian ini merupakan proses

menentukan fungsi invers. Jadi y = g(x) invers dari y = f(x) dan y = f(x)

invers dari y = g(x). Secara formal fungsi invers diberikan sebagai

berikut :

Contoh 6.2.3

Dapatkan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik A(0, 2)

dan B(2, 8).

Jawab:

Definisi 6.3 :

Jika y=f(x) dan y=g(x) adalah fungsi dan jika f(g( x)) = x atau

g(f( x)) = x maka f invers dari g atau g invers dari f .

340 B a b 6 : F u n g s i

Menentukan persamaan garis lurus melewati titik A(0, 2) dan B(2, 8)

adalah sebagai berikut :

21

2

21

2

xxxx

yyyy

−−

=−−

020

282

−−

=−− xy

23 += xy

Contoh 6.2.4 Tentukan apakah garis-garis berikut sejajar, berpotongan, jika

berpotongan tentukan titik potongnya.

p : ; r : ; s :

Jawab : p : 262 += xy mempunyai gradien m = 3

r : 131

+−= xy mempunyai gradien m = -31

s : 12 −−= xy mempunyai gradien m = -2

Jadi garis p berpotongan secara tegak lurus dengan garis r , dan garis

p berpotongan dengan garis s, garis r berpotongan dengan garis s.

Titik potong garis p dan r adalah (0,1)

Titik potong garis p dan s adalah

Titik potong garis r dan s:

B a b 6 : F u n g s i 341

Contoh 6.2.5

Tentukan invers dari fungsi f(x) 121

+−= x dan jika diketahui

Jika f -1(x) = 5 tentukan nilai x.

Jawab:

y 121

+−= x maka x )1(2 y−= Jadi f -1(x) = 2 – 2 x .

dan x = f( f -1(x)) = f( 5 ) 23

−=


1. Tentukan aturan fungsi linear yang mempunyai nilai 2 di x = -3 dan

mempunyai nilai -2 di x = -1.

2. Diketahui persamaan garis 23 −= xy

(a). Tentukan gradien dan titik potong fungsi pada sumbu y

(b) Ujilah apakah titik (-2,-8) terletak pada garis tersebut.

(c) Jika koordinat pertama titik pada (a) ditambah satu,

bagaimana nilai dari koordinat kedua.

3. Gambarkan sketsa grafik untuk fungsi-fungsi linier berikut:

(a). 53 +−= xy (b). 423

−−= xy

342 B a b 6 : F u n g s i

(c). 52

+= xy (d). 532 −= xy

4. Dapatkan kemiringan sisi-sisi segi tiga dengan titik sudut- titik

sudut (-1,2), (6.5) dan (2,7).

5. Diketahui persamaan garis dan titik (a, b) pada garis tersebut. Jika

koordinat pertamakita tambah satu, maka koordinat kedua akan

bertambah 4. Tentukan pertambahan/pengurangan koordinat kedua

jika koordinat pertama ditambah 2.

6. Berdasarkan pengalaman penyelam, tekanan cairan p bergantung

pada kedalaman d yang memenuhi rumus p = kd + 1 dengan k

konstan.

(a) Hitunglah tekanan pada permukaan cairan.

(b) Jika tekanan pada kedalaman 100 meter adalalh 11 atm,

hitunglah tekanan pada kedalaman 50 meter.

7. Pengelola sebuah pasar kaget pada akhir minggu mengetahui dari

pengalaman bahwa jika ia menarik x dolar untuk sewa tempat di

pasar itu, maka banyaknya lokasi y yang dapat disewakan

diberikan dalam bentuk persamaan xy 4200 −=

(a).Sketsalah grafik fungsi linier (Perhatikan bahwa sewa tiap

lokasi dan banyaknya lokasi yang disewakan tidak dapat

bernilai negatip)

(b).Apa yang dinyatakan oleh kemiringan perpotongan sumbu-y

dan perpotongan sumbu-x dari grafik?

8. Kaitan antara skala suhu Fahrenheit (F) dan Celsius (C) diberikan

oleh fungsi linier 3259

+= CF .

(a). Sketsalah grafik fungsi F

(b). Berapa kemiringan grafik dan apa yang dinyatakannya?

B a b 6 : F u n g s i 343

9. Suatu titik mula-mula berada pada posisi ((7.5), bergerak sepanjang

garis dengan kemiringan m = -2 ke posisi baru (x , y)

a). Dapatkan nilai y jika x = 9.

b). Dapatkan nilai x jika y = 12.

10. Klasifikasikan garis-garis yang diberikan : sejajar, tegak lurus atau

tidak keduanya.

a) dan

b) dan

c) dan

d) dan

6.3 FUNGSI KUADRAT Fungsi dari Garis lengkung yang

menarik untuk dipelajari adalah

fungsi yang mempunyai bentuk

persamaan kuadrat. Di alam ini yang

secara tidak langsung lengkungan

yang mempunyai bentuk persamaan

kuadrat telah anda kenal adalah

bentuk-bentuk pada jembatan

gantung, daun jendela yang lengkung,

jarak yang ditempuh oleh lemparan

Gambar 6.3.1

Lintasan Bola berupa Parabola

344 B a b 6 : F u n g s i

bola secara vertical terhadap waktu

(Gambar 6.3.1) dan masih banyak

lagi contoh contoh fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat ini disebut parabola.

Parabola diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau

himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah garis l

dan sebuah titik (Gambar 6.3.2). Titik tetap tersebut dikatakan focus

dan garis tersebut dikatakan Garis arah. Jika fokus F disebelah atas

titik asal, misalkan di ),0( p , garis arah kita ambil di sebelah bawah

titik asal dengan persamaan py −= , dan jika suatu titik ),( yx

terletak pada lengkungan parabola jika dan hanya jika

2222 ))(()0()()0( pyxpyx −−+−=−+−

atau ekivalen dengan

(6.3.1)

Gambar (6.3.2)

B a b 6 : F u n g s i 345

Persamaan (6.3.1) disebut bentuk baku sebuah persamaan parabola

yang terbuka ke atas. Jika p > 0 maka p merupakan jarak dari fokus ke

puncaknya.

Fungsi kuadrat mempunyai 2 jenis baku yang berbentuk Parabola,

tergantung dari terbukanya parabola mengarah kemana. Misalkan

persamaan parabola diberikan oleh pyx 42 = , jika p > 0 maka

parabola terbuka keatas dan jika p < 0 maka terbuka kebawah. Kedua

jenis parabola itu dapat dilihat pada Gambar 6.3.3.

Gambar 6.3.3

Contoh 6.3.1 :

Tentukan fokus dan garis arah parabola serta sketsa parabolanya untuk

persamaan yx 162 −= .

Penyalesaian :

Oleh karena persamaan parabola diketahui yx 162 −= maka parabola

terbuka ke bawah dan puncaknya berada di titik asal. Fokus diperoleh

dari nilai p untuk persamaan pyx 42 = . Dari yx 162 −= diperoleh

yx )4(42 −= , maka p = -4.

Sehingga fokus berada di ( 0,-4), dan garis arahnya adalah y = 4.

346 B a b 6 : F u n g s i

6.3.1 BENTUK UMUM PARABOLA Bentuk umum persamaan fungsi kuadrat (parabola) yang mempunyai

puncak di (q,r) adalah :

)(4)( 2 rypqx −=− (6.3.2)

Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen :

(6.3.3)

dengan a= -p4

1 , b=

pr

2 , c =

ppqr

442 −

.

Persamaan (6.3.3) merupakan persamaan kuadrat dalam x yang

grafiknya berupa parabola. dengan a, b dan c bilangan real diketahui

dan 0≠a . Daerah asal terbesar dari fungsi kuadrat ini adalah seluruh

bilangan real. Jika tidak dibatasi nilainya, fungsi ini mempunyai daerah

asal seluruh bilangan real. Grafik parabola memiliki satu diantara dua

bentuk yang ditunjukkan gambar (6.3.4) tergantung koefisien variabel

B a b 6 : F u n g s i 347

yang berpangkat dua. Parabola dengan Persamaan (6.3.3) terbuka

keatas jika a > 0, terbuka ke bawah jika a < 0. Dengan demikian untuk

persamaan cbyayx ++= 2 merupakan parabola yang terbuka ke

kanan jika a > 0, terbuka ke kiri jika a < 0. (Persamaan

cbyayx ++= 2 bukan termasuk fungsi, tetapi suatu relasi yang

gambarnya berupa parabola). Nilai fungsi pada suatu titik x = t dapat

dihitung dengan mengganti x dengan t. Sebagai contoh,

adalah fungsi kuadrat dengan a = 2, b = 1 dan c

= -3. Nilai f(x) untuk x = 2 adalah .

Sekarang kita tinjau kembali fungsi kuadrat yang mempunyai bentuk

paling sederhana yaitu fungsi yang mempunyai aturan .

Grafik fungsi ini terletak di atas sumbu X sebab untuk semua nilai x,

fungsi bernilai positif. Karena nilai fungsi untuk x = t sama

dengan x = -t, maka grafik fungsi ini simetri terhadap sumbu Y .

Selanjutnya sumbu Y disebut sumbu simetri. Titik (0,0) merupakan titik

paling rendah/minimum dan disebut titik balik atau puncak parabola.

Sebutan yang biasa dari grafik parabola ini adalah membuka ke atas

dengan titik balik minimum (0,0). Grafik dari fungsi kuadrat dengan

aturan f(x)=ax2 serupa dengan grafik f(x) = x2, dapat diperoleh dari x2

dengan mengalikan setiap koordinat dengan a. Grafik f(x) = ax2 dengan

a>0 akan membuka ke atas. Sedangkan grafik f(x) = ax2 dengan a < 0

akan membuka ke bawah. (perhatikan Gambar 6.3.4)

348 B a b 6 : F u n g s i

Gambar 6.3.4. Grafik beberapa fungsi y = ax2

6.3.2 MENENTUKAN PUNCAK, PERSAMAAN SUMBU SIMETRI DAN KOORDINAT FOKUS SUATU PARABOLA

Grafik parabola memiliki satu diantara

dua bentuk yang ditunjukkan dalam

Gambar 6.3.5, tergantung apakah a

positip atau a negatip. Dalam kedua

kasus parabola tersebut simetri terhadap garis vertikal yang sejajar

sumbu Y. Garis simetri ini memotong parabola pada suatu titik yang

disebut puncak parabola. Puncak tersebut merupakan titik terendah

(minimum) pada kurva jika a > 0 dan titik tertinggi (maksimum) jika

a < 0. Koordinat-x dari puncak, atau disebut juga titik ekstrim. Parabola

mempunyai Persamaan Sumbu Simetri diberikan oleh rumus:

abx

2−= (6.3.4)

B a b 6 : F u n g s i 349

Puncak Parabola pastilah berada pada sumbu simetri, sehingga

koordinat puncak parabola : ) 4

4 ,2

(),(2

aacb

abyx −

−−= (6.3.5)

Fokus parabola : (6.3.6)

Dengan bantuan rumus ini, grafik yang cukup akurat dari suatu

persamaan kuadratik dalam x dapat diperoleh dengan menggambarkan

puncak dan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinatnya atau dua

titik pada tiap sisinya. Seringkali perpotongan parabola

cbxaxxf ++= 2)( dengan sumbu-sumbu koordinat penting untuk

diketahui. Perpotongannya dengan sumbu-Y, y = c, didapat langsung

dengan memberikan x = 0. Untuk mendapatkan perpotongan-x, jika

ada, haruslah diberikan y = 0 dan kemudian menyelesaikan persamaan

kuadrat yang dihasilkan dari 02 =++ cbxax .

350 B a b 6 : F u n g s i

Gambar 6.3.5

Contoh 6.3.2

Gambarkan grafik parabola dan tandai puncak dan perpotongannya

dengan sumbu-sumbu koordinat.

a) 432 −−= xxy

b) xxy +−= 2

Penyelesaian :

a) Grafik fungsi 432 −−= xxy mempunyai : Sumbu Simetri :

23

1.2)3(

2=

−−−=−=

abx

Puncak di )425,

23()

1.4)4.(1.4)3( ,

23 (),(

2

−=−−−

−=yx

Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat:

Dengan sumbu Y : 40 −=⇒= yx

Dengan sumbu X : 4300 2 −−=⇒= xxy

Atau )1)(4(0 +−= xx

Jadi titik potong dengan sumbu X di )0.1(dan )0,4( − , dengan sumbu Y

di )4,0( −

B a b 6 : F u n g s i 351

b ) Grafik fungsi xxy +−= 2 mempunyai :

Sumbu Simetri : 21

)1(21

2=

−−=−=

abx

Puncak di )41,

21()

)1.(40).1.(4)1( ,

21 (),(

2

=−

−−−=yx

Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat:

Dengan sumbu Y : 00 =⇒= yx

Dengan sumbu X : xxy +−=⇒= 200

atau 1 ,0 == xx

Jadi titik potong dengan sumbu di )0.1(dan )0,0(

352 B a b 6 : F u n g s i

Contoh 6.3.3

Diketahui kurva parabola pada gambar berikut :

Penyelesaian :

Parabola terbuka kebawah, tentulah koefisien dari x2 bernilai negatip.

Dari sumbu simetri : x = 1, maka baa

b=−⇒−= 2

21

cxaaxcbxaxy +−+=++= )2(22

Grafik melalui (1,3) maka accaa +=⇒+−+= 3)1)(2()1(3

Tentukanlah persamaan parabola

gambar disamping.

B a b 6 : F u n g s i 353

Jadi persamaannya menjadi : )3()2(2 axaaxy ++−+=

Grafik melalui (-1,0) , maka )3(20 aaa +++=

atau 43−

=a , selanjutnya diperoleh 23

=b , 49

=c .

Jadi persamaan parabola dari grafik yang diberikan tersebut adalah:

49

23

43 2 ++

−= xxy atau 9634 2 ++−= xxy

Contoh 6.3.4

Tentukan persamaan parabola dan focus jika puncak paraboal di titik

asal, yang melalui (-2,4) dan terbuka ke bawah. Gambarkanlah parabola

tersebut.

Penyelesaian :

Bentuk persamaan parabola yang terbuka ke bawah dengan puncak di

titik asal adalah : pyx 42 −= . Oleh karena parabola melalui (2,-4)

maka )4(4)2( 2 −−= p , Atau p = 4. Jadi persamaan yang dicari adalah

yx 162 −= . Grafiknyasebagai berikut :

354 B a b 6 : F u n g s i

Contoh 6.3.5

Grafik dari gerakan Bola yang dilempar lurus ke atas dari permukaan

bumi pada waktu t = 0 detik jika diberikan kecepatan awal 24,5 m/det

jika gesekan udara diabaikan dapat ditunjukkan bahwa jarak s (dalam

meter) dari bola itu ke tanah setelah t detik diberikan oleh persamaan

parabola : t5,24 9,4 2 +−= ts (6.3.7)

a) Gambarkan grafik s terhadap t .

b) Berapakah tinggi maksimum bola tersebut.

Penyelesaian : a) Persamaan (6.3.7) mempunyai bentuk (6.3.3) dengan : a= -4,9 < 0 jadi parabola terbuka ke bawah , b = 24,5 dan c = 0.

Sumbu simetri : a

bt2

−= = 5,2 (-4,9). 2

5,24=− det.

B a b 6 : F u n g s i 355

Dan akibatnya koordinat-s dari puncak parabola adalah :

))9,4(4

)0)(9,4(45,24 2,5; ( ) 4

4 ,2

(),(22

−−−

−=−

−−=a

acba

bst

atau 30,625) ; 5,2(),( =st

Koordinat titik potong dengan sumbu t jiak s = 0 :

t5,24 9,40 2 +−= t atau )5 ( 9,40 tt −= diperoleh: t = 0

atau t = 5.

Dari informasi puncak dan perpotongan dengan sumbu koordinat

diperoleh grafik parabola Gambar 6.3.6.

b) Oleh karena puncak di 30,625) ; 5,2(),( =st , maka tinggi

maksimum lemparan bola adalah 30,6 ≅s

(Gambar 6.3.6)

356 B a b 6 : F u n g s i

Sebuah sifat geometri sederhana dari parabola dijadikan dasar

penggunaan dalam ilmu teknik. Menurut prinsip ilmu fisika, cahaya

yang datang ke permukaan yang mengkilap, maka sudut datang sama

dengan sudut pantul. Sifat parabola dan prinsip fisika ini dipakai untuk

membuat lampu sorot dimana sumber cahaya lampu diletakkan pada

fokus. Sebaliknya sifat ini digunakan pula dalam teleskop tertentu

dimana cahaya masuk yang semua sejajar dan datang dari bintang di

fokuskan pada suatu titik yaitu fokus parabola.

Contoh 6.3.6

Buatlah sketsa grafik dari fungsi

(a). 222 −−= xxy (b). 542 −+−= xxy

Penyelesaian :

a). Persamaan 222 −−= xxy merupakan persamaan kuadrat

dengan a = 1, b = -2, dan c = -2, sehingga sumbu simetri atau

koordinat-x dari puncaknya adalah: 12

=−=a

bx

Menggunakan nilai ini dan dua nilai pada tiap sisi (lihat tabel),

diperoleh hasil grafik fungsi pada Gambar 6.3.7.

B a b 6 : F u n g s i 357

Gambar 6.3.7

b) Persamaan 542 −+−= xxy merupakan persamaan

kuadrat dengan a = -1, b = 2, dan c = -2, sehingga dengan

koordinat-x dari puncaknya adalah

22

=−=a

bx

Menggunakan nilai ini dan dua nilai pada tiap sisi (lihat tabel),

diperoleh hasil grafik fungsi pada Gambar 6.3.8.

Gambar 6.3.8 Grafik fungsi 542 −+−= xxy

358 B a b 6 : F u n g s i


Gambarkan grafik parabola dan tandai koordinat puncak (ekstrim) dan

perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat. Tentukan jenis titik

puncak, apakah titik minimum atau maksimum untuk soal nomor 1

sampai dengan 12. 1. 22 += xy 2. 32 −= xy 3. 322 −+= xxy 4. 432 −−= xxy 5. 542 ++−= xxy 6. xxy +−= 2 7. 2)2( −= xy 8. 2)3( xy += 9. 022 =+− yxx 10. 0882 =++ yxx 11. 123 2 +−= xxy 12. 22 ++= xxy 13. Tentukan nilai a jika harus memenuhi syarat yang diharuskan:

(a). 3)2(2)( 2 −+−= xaxxg , grafik mempunyai sumbu simetri

di 1−=x .

(b). 153)( 2 −+−−= axxxh , grafik mempunyai titik balik di

)1,(6

1− .

14. Bola yang dilempar lurus ke atas dari permukaan bumi pada waktu

t = 0 detik jika diberikan kecepatan awal 32 m/det jika gesekan

udara diabaikan diberikan oleh persamaan parabola : 2 t16 32 −= ts .

a) Gambarkan grafik s terhadap t .

b) Berapakah tinggi maksimum bola tersebut.

B a b 6 : F u n g s i 359

6.4 APLIKASI UNTUK EKONOMI

Tiga fungsi yang penting dalam ekonomi adalah :

C(x) =Total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu

R(x) =Total hasil penjualan x unit produk selama periode waktu

tertentu.

P(x) = Total keuntungan penjualan x unit produk selama periode waktu

tertentu.

Fungsi-fungsi itu secara berturut-turut disebut fungsi biaya, fungsi

pendapatan dan fungsi keuntungan. Jika semua produk terjual,

hubungan fungsi-fungsi itu adalah :

P(x) = R(x) - C(x)

[Keuntungan] = [Pendapatan] – [ biaya]

Total biaya C(x) untuk produksi x unit dapat dinyatakan sebagai

penjumlahan :

C(x) = a + M(x) (6.4.1)

Dengan a konstanta, disebut overhead dan M(x) adalah fungsi biaya

pembuatan. Overhead, merupakan biaya tetap tetapi tidak tergantung

pada x, pelaku ekonomi harus membayar tetap jika tidak ada produksi,

misalnya biaya sewa dan asuransi. Disisi lain biaya pembuatan M(x)

tergantung pada jumlah item pembuatan, contoh biaya material dan

buruh. Ini menunjukkan bahwa dalam ilmu ekonomi penyederhanaan

asumsi yang tepat M(x) dapat dinyatakan dalam bentuk

M(x) = bx + cx2

Dengan b dan c konstanta. Subtitisi pada (6.4.1) menghasilkan :

C(x) = a + bx + cx2 (6.4.2)

360 B a b 6 : F u n g s i

Jika perusahaan perakitan dapat menjual semua item-item produksi

denga p rupiah per biji, maka total pendapatan R(x) menjadi

R(x) = px

Dan total keuntungan :

P(x) = [total pendapatan] – [total biaya]

P(x) = R(x) - R(x)

P(x) = px - C(x)

Jadi, jika fungsi biaya diberikan pada (6.4.2), maka

P(x) = px - (a + bx + cx2) (6.4.3)

Tergantung pada faktor-faktor seperti jumlah pekerja, jumlah mesin

yang tersedia, kondisi ekonomi dan persaingan, batas atas l pada jumlah

item-item yang sanggup diproduksi dan dijual. Jadi selama periode

waktu tetap peubah x pada (6.4.3) akan memenuhi :

lx ≤≤0

Persamaan (6.4.3) merupakan suatu persamaan kuadrat dalam x, yang

mana nilai optimum dapat ditentukan , yaitu nilai fungsi pada sumbu

simetri. Dengan menentukan nilai-nilai x pada [0,l] yang

memaksimumkan (6.4.3) perusahaan dapat menentukan berapa banyak

unit produksi harus dibuat dan dijual agar menghasilkan keuntungan

terbesar. Masala ini diilustrasikan dalam contoh berikut:

Contoh 6.4.1

Pinicilin berbentuk cair dibuat oleh suatu perusahaan farmasi dan dijual

borongan dengan harga Rp 2 000 per unit. Jika total biaya produksi

untuk x unit adalah:

C(x) = 5 000 000 + 800 x + 0,003 x2

B a b 6 : F u n g s i 361

Dan jika kapasitas produksi terbesar dari perusahaan 300 000 unit

dalam waktu tertentu. Berapa banyak unit-unit pinicilin harus dibuat

dan dijual agar memperoleh keuntungan maksimum ?

Penyelesaian:

Karena total penghailan untuk penjualan x unit adalah R(x) = 2 000 x ,

keuntungan P(x) pada x unit menjadi :

P(x) = R(x) + C(x) = 2 000 x – (5 000 000 + 800 x + 0,003 x2)

P(x) = - 0,003 x2 + 1 200 x– 5 000 000

Dan karena kapasitas produksi terbesar adalah 300 000 unit, berarti x

harus terdapat pada selang [0 , 300 000]. Sumbu simetri dari fungsi

keuntungan :

000.200)003,0(2

1200=

−−=x

Oleh karena titik 000.200=x berada dalam selang [0 , 300 000] maka

keuntungan maksimum harus terjadi pada titik balik/puncak kurva

parabola yaitu di 000.200=x dengan koordinat puncak parabola ::

))003,0(4

)000.000.5)(003,0(4)200.1( ; 000 200 (

) 4

4 ,2

())(,(

2

2

−−−−

−=

−−−=

aacb

abxPx

)10.115;000.200(

)10.1210.138;000.200(

)10.12

)10.610.144( ; 000 200 (

7

3

4

3

44

=

=

−−

−=

−

−

Jadi keuntungan maksimum P(x) = Rp 1,15.10 9 terjadi pada

x=200.000 unit diproduksi dan dijual dalam waktu tertentu.

362 B a b 6 : F u n g s i

• RANGKUMAN

• Fungsi f disebut injektif jika untuk setiap elemen y di daerah

nilai, y paling banyak mempunyai satu kawan dari x di A.

Fungsi f disebut surjektif jika untuk setiap elemen y di B habis

dipetakan oleh anggota himpunan di A.

Fungsi f disebut bijektif jika fungsi itu injektif dan surjektif

• Persamaan garis lurus berbentuk:

,

,

dengan m adalah kemiringan garis.

• Jika y=f(x) dan y=g(x) adalah fungsi dan f(g( x)) = x atau

g(f( x)) = x maka f invers dari g atau g invers dari f .

• Fungsi kuadrat (parabola) mempunyai bentuk


1. Perusahaan Kimia menjual asam sulfur secara borongan dengan

harga 100 / unit. Jika total biaya produksi harian dalam ribuan

rupiah untuk x unit adalah

B a b 6 : F u n g s i 363

C(x) = 100.000 + 50 x + 0,0025 x2

Dan jika kapasitas produksi terbesar dari perusahaan 7 000 unit

dalam waktu tertentu.

a) Berapa banyak unit-unit asam sulfur harus dibuat dan

dijual agar memperoleh keuntungan maksimum ?.

b) Apakah akan menguntungkan perusahaan apabila

kapasitas produksi perusahaan ditambah?

2. Perusahaan menentukan bahwa x unit produksi dapat dijual harian

pada harga p rupiah per unit, dimana :

x = 1000 – p

Biaya produksi harian untuk x unit adalah : C(x) = 3.000 + 20 x

(a) Tentukan fungsi penghasilan R(x).

(b) Tentukan ungsi keuntungan P(x)

(c) Asumsikan bahwa kapasitas produksi paling banyak 500

unit/hari, tentukan berapa banyak unit yang harus diproduksi

dan dijual setiap hari agar keuntungan maksimum.

(d) Tentukan keuntungan maksimum.

(e) Berapa garga per unit harus ditentikan untuk memperoleh

keuntungan maksimum.

3. Pada proses pembuatan kimia tertentu tiap hari berat y dari

kerusakan keluaran kimia yang larut bergantung pada total berat x

dari semua keluaran yang didekati dengan rumus :

y(x) = 0,01 x + 0,00003 x2

dengan x dan y dalam kg. Jika keuntungan Rp 1 juta per kg dari

kimia yang tidak rusak dan rugi Rp 200.000 per kg dari produksi

364 B a b 6 : F u n g s i

kimia yang rusak, berapa kg seharusnya produk kimia diproduksi

tiap hari agar keuntungan maksimum.

c. Suatu perusahaan menyatakan bahwa keuntungan yang diperoleh

bergantung pada jumlah pemakaian uang untuk pemasangan iklan,

Berdasarkan survey jika perusahaan menggunakan x rupiah untuk

iklan maka keuntungan yang diperoleh adalah

Tentukan jumlah uang yang harus dipakai untuk pemasangan iklan

agar mendapatkan keuntungan sebesar-besarnya.

d. Sebidang lahan ingin dipagari dengan syarat kelilingnya adalah 100

meter. Dengan demikian luas persegi panjang dengan keliling

tersebut dapat dinyatakan dalam L ( 2m ) adalah :

L = )50( xx −

a) Tentukan Domain dari fungsi luasan tersebut.

b) Tentukan luas terbesar yang dapat dibuat oleh kawat tersebut.

365

Bab

7 BA R I S A N D A N DE R E T 7. Barisan dan Deret

Bab ini berisi kajian mengenai “barisan dan deret”. Materi dalam bab

ini mempunyai aplikasi yang luas dalam rekayasa dan sains serta

merupakan dasar untuk beberapa cabang matematika.

Misalkan kita mempunyai permasalahan untuk menentukan jumlah

bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1000. Dalam kasus ini, akan sangat

menyulitkan apabila kita menghitung jumlahnya dengan menuliskan

semua bilangan bulat dari 1 sampai 1000 tersebut, baru selanjutnya kita

jumlahkan satu persatu bilangan-bilangan tersebut. Sehingga perlu

dicari cara lain untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.

Contoh lain, misal dalam bidang rekayasa. Sebuah bola dijatuhkan dari

ketinggian 10 meter. Setiap kali membentur bumi, bola akan memantul

ke atas setinggi ¾ dari ketinggian sebelumnya. Permasalahannya adalah

kita disuruh untuk menentukan total jarak lintasan bola selama bola

memantul sebanyak 100 kali. Untuk menyelesaikan permasalahan ini

366 B a b 7 : B a s i s a n d a n D e r e t

maka perlu dilihat pola lintasan bola yang terjadi. Hal ini merupakan

salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan barisan

dan deret.

Disamping itu, barisan dan deret juga sangat berguna dalam berbagai

bidang-bidang yang lain, termasuk bidang bisnis dan administrasi.

Misalkan seperti pada kasus berikut. Koperasi “Sumber Rejeki “

memberikan pinjaman kepada Doni sebesar Rp. 10.000.000,00 dengan

aturan bahwa Doni harus membayar hutangnya setiap bulan sebesar Rp.

1.000.000,00 ditambah bunga %1 per bulan dari sisa pinjamannya.

Permasalahannya adalah berapa jumlah bunga yang dibayarkan Doni ke

koperasi “Sumber Rejeki “ sampai hutangnya lunas.

Kasus tersebut merupakan salah satu contoh permasalahan tentang

perhitungan bunga majemuk, yang penyelesaiannya dapat

menggunakan penerapan barisan dan deret.

7.1 POLA BILANGAN, BARISAN, DAN DERET Dalam subbab ini akan dibahas pengertian dan definisi-definisi tentang

pola bilangan, barisan, dan deret. Disamping itu diberikan contoh-

contoh ilustrasi dan contoh soal serta penyelesainnya, untuk

memudahkan pemahaman konsep pola bilangan, barisan, dan deret.

7.1.1 POLA BILANGAN Pola bilangan memberikan gambaran tentang bilangan-bilangan dalam

susunan terurut yang membentuk suatu barisan. Untuk mendapatkan

pola bilangan dapat dilakukan dengan melihat susunan terurut dari

bilangan-bilangan tersebut. Berikut ini akan diberikan beberapa macam

pola bilangan.

B a b 7 : B a s i s a n d a n D e r e t 367

POLA BILANGAN GANJIL DAN POLA BILANGAN

GENAP

Jika kita perhatikan penomoran rumah, sering kita lihat bahwa nomor

rumah di sebelah kiri jalan bernomor 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,… , sedangkan

di sebelah kanan jalan bernomor 2, 4, 6, 8, 10, 12,… . Sehingga ketika

kita mencari rumah bernomor 20, maka kita tinggal mencari rumah

yang berada di sebelah kanan jalan. Penomoran rumah di sebelah kiri

jalan, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,… , menggunakan pola bilangan ganjil.

Penomoran rumah di sebelah kanan jalan, yaitu 2, 4, 6, 8, 10, 12,… ,

menggunakan pola bilangan genap.

POLA BILANGAN PERSEGI

Sekarang kita perhatikan gambar berikut ini :

⊕ ⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

Dengan melihat susunan terurut dari gambar diatas, pasti kita bisa

membuat gambar berikutnya. Hal ini dikarenakan kita mengetahui pola

dari gambar-gambar pada urutan sebelumnya. Kalau kita perhatikan,

banyaknya lingkaran pada gambar diatas, secara terurut, adalah

1, 22, 32, 42,….

Pola bilangan diatas disebut pola bilangan persegi.


POLA BILANGAN SEGITIGA PASCAL

Perhatikan susunan bilangan yang berbentuk segitiga berikut ini :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Setelah memperhatikan susunan bilangan diatas, kita bisa menentukan

bilangan pada baris ke 7 yaitu 1 6 15 20 15 6 1. Hal ini

dikarenakan kita telah mengetahui pola bilangan pada baris tersebut,

yang diperoleh berdasarkan pada pola yang terjadi dari susunan

bilangan pada baris-baris sebelumnya. Pola bilangan diatas disebut pola

bilangan segitiga Pascal.

Dari uraian beberapa contoh pola bilangan diatas, dalam kehidupan

sehari–hari saudara pasti sering menemui suatu kejadian yang ada

kaitannya dengan pola bilangan. Sekarang silahkan saudara cari contoh

pola bilangan yang lain.

7.1.2 BARISAN Dalam bahasa sehari-hari, istilah ’barisan’ digunakan untuk

menjelaskan suatu obyek berurut atau kejadian yang diberikan dalam

urutan tertentu. Secara informal, istilah barisan dalam matematika


digunakan untuk menggambarkan suatu keterurutan pola yang tak

berhingga dari bilangan. Perhatikan urutan bilangan-bilangan berikut :

a. 1, 2, 3 , 4, 5, 6

b. 1, -1, 1, -1, 1

c. 2, 4, 6, 8, 10

Dari urutan bilangan–bilangan di atas, kita dapat melihat pola bilangan

dari barisan tersebut, sehingga dapat meneruskan untuk menentukan

bilangan-bilangan selanjutnya. Sehingga untuk contoh di atas, dapat

dituliskan beberapa urutan bilangan yang merupakan kelanjutan dari

urutan bilangan yang sudah ada. Jadi, misal kita disuruh untuk

menentukan 5 bilangan lagi yang merupakan kelanjutan dari urutan

bilangan yang sudah ada, maka diperoleh :

a. 7, 8, 9, 10,11.

b. -1, 1, -1, 1,-1.

c. 12, 14, 16, 18.

Dari gambaran di atas, maka dapat didefinisikan barisan sebagai berikut

DEFINISI 7.1.1: Barisan bilangan adalah Untaian atau urutan suatu bilangan-bilangan

yang mempunyai pola atau urutan tertentu.


CONTOH 7.1.1 a. 1, 3, 5, 7, 9, … ( biasa disebut barisan bilangan ganjil ).

b. 2, 4, 6, 8, 10, … ( biasa disebut barisan bilangan genap ).

c. 1, 4, 9, 16, 25, … ( biasa disebut barisan bilangan kuadrat ).

d. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, … ( barisan bilangan dimana bilangan pada

urutan berikutnya ditambah 4).

Bilangan-bilangan dalam suatu barisan disebut suku dari barisan dan

dinotasikan dengan U . Suku-suku ini bisa digambarkan menurut

posisi-posisi dimana bilangan tersebut berada, yaitu :

o Bilangan pada posisi pertama disebut suku pertama dan dinotasikan dengan 1U , o Bilangan pada posisi kedua disebut suku kedua dan dinotasikan dengan 2U , o Barisan pada posisi ketiga disebut suku ketiga dan dinotasikan dengan 3U , dan seterusnya.

Jadi

nU melambangkan suku ke n, yaitu bilangan pada posisi ke n

dari suatu barisan bilangan.

Karena suatu barisan kontinu secara tak berhingga, maka tidak ada suku

terakhir.

Cara yang paling umum untuk menentukan suatu barisan adalah dengan

memberikan suatu rumus yang menghubungkan antara suku-suku

dengan nomor suku-sukunya. Sebagai contoh, dalam barisan bilangan

berikut :


2, 4, 6, 8,10…

setiap suku adalah dua kali nomor suku tersebut, sehingga suku ke n

dalam barisan adalah nU n 2= . Hal ini didefinisikan dengan menulis

barisan sebagai berikut :

2, 4, 6, 8, 10, …, 2n, …

atau lebih singkat barisan tersebut dinotasikan {2n }, yang berarti

bahwa barisan dapat dihasilkan dengan cara mensubstitusikan secara

berturut-turut nilai bilangan bulat n = 1, 2, 3, 4, … kedalam rumus 2n .

CONTOH 7.1.2 Tentukan 4 suku pertama dari barisan–barisan berikut ini

a. { }13 +n

b { }32 2 +n

c.

n1

Penyelesaian : a. Barisan dinyatakan dalam bentuk { }13 +n , yang berarti bahwa suku ke n dalam barisan tersebut adalah { }13 += nU n . Sehingga suku‐suku dari barisan dapat diperoleh dengan cara mensubstitusikan secara berturut‐turut nilai‐nilai bilangan bulat n = 1, 2, 3, 4 ke dalam rumus { }13 += nU n , yaitu : 411.31 =+=U 712.32 =+=U


1013.33 =+=U 1314.34 =+=U

Jadi 4 suku pertama dari barisan { }32 2 +n adalah 4, 7, 10, 13.

b. Barisan dinyatakan dalam bentuk { }32 2 +n yang berarti bahwa suku ke n dalam barisan tersebut adalah { }32 2 += nU n . Sehingga suku‐suku dari barisan dapat diperoleh dengan cara mensubstitusikan secara berturut‐turut nilai‐nilai bilangan bulat n = 1, 2, 3, 4 ke dalam rumus { }32 2 += nU n , yaitu :

531.2 21 =+=U 1132.2 22 =+=U

2133.2 23 =+=U

3534.2 24 =+=U Jadi 4 suku pertama dari barisan { }32 2 +n adalah 5, 11, 21, 35. c. Barisan dinyatakan dalam bentuk

n1 yang berarti bahwa

suku ke n dalam barisan tersebut adalah

=

nU n

1 . Sehingga suku‐suku dari barisan dapat diperoleh dengan cara


mensubstitusikan secara berturut‐turut nilai‐nilai bilangan bulat n = 1, 2, 3, 4 ke dalam rumus

=

nU n

1 , yaitu : 1U = 1

2U = 21

3U = 31

4U = 41

Jadi 4 suku pertama dari barisan

n1 adalah 1,

21 ,

31 ,

41 .

CONTOH 7.1.3 Tentukan rumus suku ke n dari barisan berikut

a. 1, 3, 5, 7, 9, 11,…

b. 2, -2, 2,-2,2,-2,…

c. 1, 0, 1, 0,1 ,0,…

Penyelesaian :

a. Setiap bilangan pada barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11,…, dinyatakan dalam

pola yang sama, yaitu :

1 = 2.1 - 1,

3 = 2.2 - 1,

5 = 2.3 - 1,

7 = 2.4 - 1,


9 = 2.5 - 1,

11 = 2.6 – 1,

Sehingga dapat diperoleh rumus untuk suku ke n dari barisan

tersebut, yaitu : 12 −= nUn

b. Ingat bahwa 1− dipangkatkan bilangan genap, yaitu ( ) n21− ,

adalah berarti 1, dan 1− dipangkatkan bilangan ganjil, yaitu

( ) 121 −− n , adalah berarti 1− .

Sehingga dari barisan 2, -2, 2, -2, 2, -2,… , secara berturut-turut,

bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk 2 (-1)1+1,

2 (-1)2+1, 2 (-1)3+1, 2 (-1)4+1, 2 (-1)5+1, 2 (-1)6+1,… . Sehingga

diperoleh rumus untuk suku ke n adalah ( ) 112 +−= nnU .

c. Dari barisan 1, 0, 1, 0,1 ,0,… , terlihat bahwa

1531 ==== LUUU dan 0642 ==== LUUU . Sehingga

diperoleh rumus untuk suku ke n, yaitu

=ganjilnjikagenapnjika

U n ,1,0

7.1.3 NOTASI SIGMA Untuk menggambarkan cara kerja notasi sigma, perhatikan jumlahan

berikut : 33333 54321 ++++ .


Jumlahan di atas, setiap sukunya berbentuk 3n , dengan memasukkan

nilai bilangan bulat n secara berurut dari 1=n sampai dengan 5=n .

Dalam notasi sigma, jumlahan tersebut dinyatakan dengan ∑=

5

1

3

n

n .

Jadi : ∑=

=++++5

1

333333 54321n

n

Dari penjelasan tersebut di atas, maka notasi sigma dapat didefinisikan

sebagai berikut :

Definisi 7.1.2:

Misalkan f fungsi pada bilangan bulat , serta a dan b bilangan bulat

dengan ba ≤ , maka notasi ∑=

b

an

nf )( menyatakan jumlah dari suku -

suku yang dapat dihasilkan apabila disubstitusikan bilangan bulan n ke

dalam )(nf secara berurut, diawali dari an = dan diakhiri sampai

dengan bn = .

Jadi :

∑=

++++++=b

an

bfafafafnf )()2()1()()( L

CONTOH 7.1.4 Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan beruntun :


a. ∑=

7

2

2n

n

b. ∑=

8

1

2

k

k

c. ( )∑=

−6

3

13m

m

Penyelesaian

a. Dari soal diketahui nnf 2)( = , maka ∑=

7

2

2n

n menyatakan jumlah dari suku ‐suku yang dapat dihasilkan apabila disubstitusikan bilangan bulat n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 ke dalam n2 secara berurut. Sehingga diperoleh :

7.26.25.24.23.22.227

2

+++++=∑=n

n

b. Dari soal diketahui bahwa 2)( kkf = , maka ∑=

8

1

2

k

k menyatakan

jumlah dari suku-suku yang dihasilkan dengan mensubstitusikan

bilangan bulat k = 1 sampai dengan k = 8, secara berurut ke dalam 2k . Sehingga diperoleh :

222222228

1

2 87654321 +++++++=∑=k

k


c. Dari soal diketahui bahwa 13)( −= mmf , maka ( )∑=

−6

3

13m

m

menyatakan jumlah dari suku-suku yang dihasilkan dengan

mensubstitusikan bilangan bulat m = 3 sampai dengan m = 6, secara

berurut ke dalam 13 −m . Sehingga diperoleh :

( ) )16.3()15.3()14.3()13.3(136

3

−+−+−+−=−∑=m

m

Sekarang bagaimana kalau dari penjumlahan beruntun dinyatakan

dalam notasi sigma ?. Hal ini ditunjukkan dalam contoh berikut ini.

CONTOH 7.1.5 Nyatakan penjumlahan berikut dalam notasi sigma

a. 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28

b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + 39

c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

d. 4 + 9 + 16 + 25 +… + 1002

e. 654321 aaaaaa +++++

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal di atas. perhatikan pola dari bilangan-

bilangan yang dijumlahkan.


a. Setiap bilangan‐bilangan yang dijumlahkan dinyatakan dalam pola yang sama, yaitu: bilangan 4 dapat dinyatakan sebagai 4 . 1, bilangan 8 dapat dinyatakan sebagai 4 . 2, bilangan 12 dapat dinyatakan sebagai 4 . 3, bilangan 16 dapat dinyatakan sebagai 4 . 4, bilangan 20 dapat dinyatakan sebagai 4 . 5, bilangan 24 dapat dinyatakan sebagai 4 . 6. Dari pola diatas, terlihat bahwa setiap bilangan-bilangan tersebut

merupakan hasil perkalian dari bilangan 4 dengan bilangan bulat, n,

yang berurutan mulai dari n = 1 sampai dengan n = 6.

Jadi :

6.45.44.43.42.41.42420161284 +++++=+++++

.46

1∑

=

=n

n

Dengan cara yang sama dapat dilakukan untuk soal b, c, d, dan e.

Sehingga diperoleh sebagai berikut : b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + 39 = (2.1‐1) + (2.2‐1) + (2.3‐1) + (2.4‐1) + (2.5‐1) + (2.6‐1) + … + (2.20‐1) = ( ) .1220

1∑

=

−n

n c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

= 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26


= .26

1∑

=n

n

d. 4 + 9 + 16 + 25 +… + 1002 = 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 1002 = .100

1

2∑=n

n e. .

6

1654321 ∑

=

=+++++n

naaaaaaa

SIFAT – SIFAT NOTASI SIGMA

Dari pengertian notasi sigma di atas, ∑=

k

nna

1 dan ∑

=

k

nnb

1 menyatakan :

k

k

nn aaaaa ++++=∑

=

L3211

, dan k

k

nn bbbbb ++++=∑

=

L3211

Notasi sigma tersebut mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

1. Jika c suatu konstanta, maka ckcccccksebanyak

k

n=++++=∑

=44 344 21 L

1

2. n

k

nn

k

n

acac ∑∑==

=11

3. ( )∑ ∑ ∑= = =

+=+k

n

k

n

k

nnnnn baba

1 1 1


4. ( )∑ ∑ ∑= = =

−=−k

n

k

n

k

nnnnn baba

1 1 1

7.1.4 DERET Pada subbab sebelumnya telah dibahas barisan. Sekarang akan dibahas

tentang deret, yaitu jumlahan berurut dari suku-suku suatu barisan.

Definisi 7.1.3:

Misalkan 1U , 2U , 3U , 4U , 5U , 6U , L merupakan barisan bilangan,

maka deret adalah jumlahan berurut dari suku-suku barisan.

Deret berhingga adalah jumlahan berurut berhingga dari suku–suku

barisan dan dapat dinyatakan sebagai berikut :

k

k

nn UUUUU ++++=∑

=

L3211

Misal jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan biasa dinotasikan

nS , maka :

nn UUUUUUUS +++++++= L654321

Atau dapat juga dituliskan dalam bentuk notasi sigma, yaitu :

∑=

=n

knn US

1

.


CONTOH 7.1.6 Diberikan barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

a. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut.

b. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut..

Penyelesaian :

a. jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut dinotasikan 5S , yaitu :

543215 UUUUUS ++++=

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10

= 30.

b. jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut dinotasikan 8S , yaitu :

876543218 UUUUUUUUS +++++++=

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16

= 72.

CONTOH 7.1.7 Diberikan barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Nyatakan deret berikut dalam notasi sigma


a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 32

b. 4 + 6 + 8 + 10 + 12

c 2 + 4 + 6 + 8

Penyelesaian :

Sebelum menentukan notasi sigmanya, terlebih dahulu kita

menentukan rumus suku ke n. Terlihat bahwa rumus suku ke n dari

barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, … adalah nU n 2= . a. Diketahui suku pertamanya adalah 2, yang diperoleh pada saat n = 1, dan suku terakhirnya adalah 32, yang diperoleh pada saat n = 16. Maka 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 32 menyatakan jumlahan dari 16 suku pertama dari barisan { }n2 . Jadi diperoleh : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 32 = ∑

=

16

12

nn . b. Diketahui suku pertamanya adalah 4, yang diperoleh pada saat n = 2, dan suku terakhirnya adalah 12, yang diperoleh pada saat n = 6. Maka 4 + 6 + 8 + 10 + 12 merupakan jumlahan dari 6 suku pertama dari barisan { }n2 , dimulai dari n = 2 sampai dengan n = 6. Sehingga :

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = ∑=

6

12

nn .

c. Diketahui suku pertamanya adalah 2, yang diperoleh pada saat n = 1, dan suku terakhirnya adalah 8, yang diperoleh pada saat


n = 4. Maka 2 + 4 + 6 + 8 merupakan jumlahan dari 4 suku pertama dari barisan { }n2 . Sehingga : 2 + 4 + 6 + 8 = ∑=

4

12

nn .

• RANGKUMAN

• Notasi sigma

∑=

++++++=b

an

bfafafafnf )()2()1()()( L

• Barisan bilangan adalah untaian suatu bilangan yang

mempunyai suatu pola atau urutan tertentu.

• Deret berhingga adalah jumlahan berurut tak hingga dari suku –

suku barisan, seperti

k

k

nn UUUUU ++++=∑

=

L3211

.

• Untuk matriks bujur sangkar A, trace A = tr(A) merupakan

jumlahan elemen pada diagonal utama matriks A.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 777---111 1. Tuliskan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan beruntun

a. ( )∑=

−5

1

35k

k f. ( )∑=

−4

1

3 3n

nn


b. ( )∑−=

+5

2

53n

n g. ( )∑=

+−12

5

2 13n

nn

c. ∑=

8

1

2

n

n h. ∑=

11

4j

2+j

d. ∑=

10

3n 201

−n i. ∑

=

−9

2

23i

i

e ∑−=

7

1k 523

−kk

j. ( )∑=

−7

1

21t

t

2. Hitunglah

a. ∑=

8

1n

n f. ∑=

−6

1

2 2i

i

b. ( )∑=

−9

4

43n

n g. ( )∑−=

−4

1

23n

n

c. ( )∑=

+5

2

12k

k h. ( )∑=

+6

1

2 2t

tt

d. ∑=

20

1i4 i. ( )∑

=

−4

1t

tt

e. ∑=

40

11t

π j. ( )∑=

−100

1

1n

n


3. Nyatakan penjumlahan berikut dalam notasi sigma

a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

b. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 20

c. 2 - 4 + 6 - 8 + 10 - 12 + … + 22

d. -2 + 4 - 6 + 8 - 10 + 12 + … - 42

e. a + 3a + 5a + 7a + 9a + 11a

f. 51 +

101 +

151 +

201 +

251 + … +

501

g. 81 + 82 +83 +84 +85 + … +8k

h. 50432 ... kkkkk +−+−+−

i. 55

44

33

2210 ybybybybybb +++++

j. 54233245 axxaxaxaxa ++++

4. Diberikan :

∑=

n

k

k1

= 1 + 2 + 3 + …+ n = 2

)1( +nn

∑=

n

k

k1

2 = 1 + 22 + 32 + …+ n2 = 6

)12()1( ++ nnn


∑=

n

k

k1

3 = 1 + 23 + 33 + …+ n3 = 2

2)1(

+nn

,

hitunglah :

a. ∑=

50

1k

k f. ∑=

30

4

2

k

k

b. ∑=

50

5k

k g. ( )∑=

+20

1

21k

k

c. ( )∑=

+100

1

28k

k h. ( )∑=

−15

1

2 2k

kk

d. ( )∑=

−80

3

12k

k i. ( )∑=

−20

1

3 3k

k

e. ∑=

30

1

2

k

k j. ( )∑=

+−10

3

23 32k

kkk

5. Tentukan 8 suku pertama dari barisan–barisan berikut ini :

a. { 4n }

b. { 3n + 1 }

c. { n2 + n )

d { 22

+−

nn }


e. { 2n - n1 }

f. { 7 2 n + 1 – 3n }

g. { ( 3n – 5 )2 }

6. Tentukan rumus suku ke n dari barisan-barisan berikut ini ;

a. 51, 52, 53, 54, …

b. 24, 28, 212, 216, …

c. -2, 1, -2, 1, -2, 1, …

d. 6, 10, 16, 20, 26, 30, …

e. 5, 15, 25, 35, 45,55, …

f. 10, 100, 1000, 10.000, …

g. 31 ,

52 ,

73 ,

94 ,

115 , …

7. Dari soal 6, tentukan jumlah 7suku pertama pada barisan tersebut.

9. Diberikan barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 82, …

Nyatakan soal berikut dalam notasi sigma

a. Jumlah 5 suku pertama

b. Jumlah 9 suku pertama

c. 2 + 5 + 10 + 17

d. 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + 37 + 50


e. 2 + 5 + 10 + 17 + …

7.2 BARISAN DAN DERET ARITMATIKA Perhatikan barisan–barisan berikut ini :

a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …

b. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …

c. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, …

d. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …

Kalau kita perhatikan barisan–barisan diatas memiliki beda (selisih)

antara dua suku berurutan yang tetap, yaitu :

a. barisan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … memiliki beda (selisih) antara dua

suku berurutan tetap, yaitu 1.

b. barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … memiliki beda (selisih) antara dua

suku berurutan tetap, yaitu 2.

c. barisan 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, … memiliki beda (selisih) antara

dua suku berurutan tetap, yaitu 3.

d. barisan 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, … memiliki beda (selisih) antara

dua suku berurutan tetap, yaitu 10.

Contoh–contoh barisan di atas biasa disebut barisan aritmatika.

Definisi 7.2.1:


Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang memiliki beda (selisih)

antara dua suku berurutan tetap.

Berdasarkan definisi tersebut, maka bentuk umum dari barisan

aritmatika dapat dituliskan sebagai :

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), (a+4b), …………, (a+(n-1)b)

dengan :

1Ua = adalah suku pertama

1−−= nn UUb adalah beda ( selisih ) antara dua suku berurutan

Kalau kita perhatikan dari bentuk umum barisan aritmatika di atas

maka :

Suku ke 1 = aU =1

Suku ke 2 = baU +=2

Suku ke 3 = baU 23 +=



Dan seterusnya, sehingga untuk suku ke n dari barisan aritmatika dapat

dirumuskan sebagai :

( )bnaU n 1−+=

CONTOH 7.2.1 Tentukan rumus suku ke n pada barisan aritmatika berikut ini :


a. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,…

b. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …

c. 100, 99, 98, 97, 96, 95, 94,…

Penyelesaian :

a. Diketahui suku pertama adalah 21 == Ua , dan beda antara dua

suku berurutan adalah tetap, yaitu b = 3, maka suku ke n dari

barisan tersebut adalah :

( )bnaU n 1−+=

( )312 −+= n

13 −= n

Jadi suku ke n pada barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,…

dapat dirumuskan sebagai 13 −= nU n .

b. Diketahui suku pertamanya adalah 101 == Ua , dan beda antara

dua suku berurutan adalah tetap, yaitu b = 10, maka suku ke n dari


( )bnaU n 1−+=

( )10110 −+= n

n10= .

Jadi rumus suku ke n dari barisan 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …

adalah nU n 10= .


c. Diketahui suku pertamanya adalah 1001 == Ua , dan beda antara

dua suku berurutan adalah tetap, yaitu b = -1, maka suku ke n dari


( )bnaU n 1−+=

( )( )11100 −−+= n

101+−= n .

rumus suku ke n dari barisan 100, 99, 98, 97, 96, 95, 94, … adalah

101+−= nU n .

CONTOH 7.2.2 Tentukan suku ke 5, suku ke 15 dan suku ke 50 dari barisan aritmatika

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …

Penyelesaian :

Untuk mengerjakan soal di atas, terlebih dahulu kita harus mencari

rumus suku ke n dari barisan tersebut. Dari barisan tersebut diketahui

suku pertamanya adalah 51 == Ua , dan beda antara dua suku

berurutan adalah tetap, yaitu b = 10 - 5 = 5. Sehingga dapat diperoleh

rumus untuk suku ke n, yaitu :

( )bnaU n 1−+=

( )515 −+= n

n5=

Dari rumus suku ke n tersebut, dapat ditentukan :


Suku ke 5 adalah U5 = 5·5 = 25

Suku ke 15 adalah U15 = 5·15 = 75

Suku ke 50 adalah U50 = 5·50 = 250

Selanjutnya akan diberikan pengertian tentang deret dari suatu barisan

aritmatika.

Definisi 7.2.2:

Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika. Jika

nS adalah jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatika ,

maka aUS == 11

( )baaUUS ++=+= 212

( ) ( )babaaUUUS 23213 ++++=++=

...

( ) ( ) ( ) ( )( )bnabababaaUUUUUS nn

1324321

−+++++++++=+++++=

L

L

Dari definisi di atas, maka jumlah n suku pertama dari suku-suku

barisan aritmatika dapat disederhanakan menjadi :


( )( )( )( )

( )

( )

( )

( )( )bnan

bnnna

nbbnna

nbbnnna

nbbnnanbbnnna

bnnaSn

1221

121

21

21

121

3211321013210

2

−+=

−+=

−+=

−

−+=

−+++++=−+−++++++=

−++++++=

L

L

L

Sedangkan ( )( ) ( )bnabnaaUU n 1211 −+=−++=+ , sehingga

nS juga dapat dinyatakan dalam bentuk ( )nn UUnS += 121 .

Jadi, jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatika dapat

ditentukan dengan rumus :

( )( )bnanSn 1221

−+=

atau

( ) .21

1 nn UUnS +=

CONTOH 7.2.3 Hitunglah jumlah 20 suku pertama deret aritmatika :

L+++++ 1411852


Penyelelesaian :

Perhatikan bahwa dari deret tersebut diketahui 21 == Ua dan 5=b .

Dari rumus jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatka,

( )( )bnanSn 1221

−+= , maka diperoleh :

( )( )

.9909910

5120222021

20

=⋅=

−+⋅=S

Jadi jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah 990 .

CONTOH 7.2.4 Diberikan barisan aritmatika L,23,19,15,11,7,3

Tentukan .11109876 UUUUUU +++++

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa dari deret tersebut diketahui 31 == Ua dan 4=b ,

dan berdasarkan rumus ( )( )bnanSn 1221

−+= , maka diperoleh :

111098765432111 UUUUUUUUUUUS ++++++++++=

543215 UUUUUS ++++=


Jadi

( )( ) ( )( )

.198

225214611

21

4153252141113211

21

51111109876

=

⋅⋅−⋅⋅=

−+⋅⋅−−+⋅⋅=

−=+++++ SSUUUUUU

• RANGKUMAN

• Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang memiliki beda

(selisih) antara dua suku berurutan tetap.

Bentuk umum dari barisan aritmatika :

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), (a+4b), …………, (a+(n-1)b)

dengan a adalah suku pertama, dan b adalah beda antara dua

suku berurutan.

• Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan

aritmatika.



1. Tentukan rumus suku ke n dari barisan aritmatika berikut ini ,

kemudian tentukan suku ke 10 :

a. L,15,12,9,6,3

b. L,15,13,11,9,7

c L,97,98,99,100

d. L,1,2,3,4,5 −−−−−

e. L,451,1,

43,

21,

41

f. L,5,0,4,0,3,0,2,0,1,0

2. Tentukan 7 suku pertama dari barisan aritmatika berikut ini :

a. 2=a , 2=b

b. 4=a , 2−=b

c. 1,0=a , 5,0=b

d. 5,0=a , 1=b

e. 3=a , 33 −=b

f. ka 6= , 8=b

g. 23 −= ta , tb 6=

3. Tentukan nilai n jika diketahui :

a. 4=a , 2=b , 100=nU

b. 500=a , 1−=b , 196=nU

c. 5=a , 5=b , 225=nU

d. 21

=a , 1=b , 251

=nU

e. 6=a , 3=b , 99=nU


4. Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret aritmatika berikut ini :

a. L++++ 191494

b. L++++ 191371

c. L++++ 949698100 d. L++++ 4,03,02,01,0

e. L++++ 143

21

41

5. Jika barisan aritmatika mempunyai suku ke 10 adalah 40, dan suku

ke 20 adalah 80. Tentukan tiga suku pertamanya dan rumus ke n .

6. Jika suatu barisan aritmatika suku ke 5 adalah 30 dan suku ke 25 adalah 70. Tentukan suku ke 35 dari barisan tersebut.

7. Tentukan jumlah semua bilangan bulat :

a. ganjil antara 300 dan 700

b. genap antara 300 dan 700

c. antara 200 dan 500 yang habis dibagi 4

d. antara 200 dan 500 yang tidak habis dibagi 4

e. antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 4 dan 10

f. antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 4 atau 10

8. Tentukan suku ke n dari deret aritmatika berikut jika diketahui

a. 522 ++= nnSn

b. nnSn 144 2 +=


9. Diketahui jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah

1022 2 −+= nnSn . Tentukan 4 suku pertama dari barisan

aritmatika tersebut.

10. Dari suatu barisan aritmatika diketahui, suku kedelapan adalah 20

dan suku kesepuluh adalah 12. Carilah jumlah dua puluh suku yang

pertama.

11. Deret aritmatika mempunyai 21 suku dengan suku tengah 13. Jika

jumlah suku-suku setelah suku tengah sama dengan 12 kali jumlah

suku-suku sebelumnya, maka tentukan deretnya.

12. Seorang petani memetik mangga setiap hari dan selalu

mencatatnya. Ternyata banyaknya mangga yang dipetik memenuhi

barisan aritmatika, yaitu banyak mangga yang dipetik pada hari ke

n memenuhi rumus 10010 += nU n . Tentukan banyak mangga

yang dipetik selama 20 hari pertama.

13. Budi rajin menabung di bank BNI setiap bulan. Tahun pertama, ia

menabung Rp. 200.000,00 per bulan. Tahun kedua, ia menabung

Rp. 250.000,00 per bulan. Tahun ketiga, ia menabung Rp.

300.000,00 per bulan dan seterusnya, sehingga setiap tahun

bertambah Rp. 50.000,00. Jika dari hasil tabungan tersebut, budi

ingin membeli mobil seharga 51 juta rupiah, pada tahun ke berapa

budi dapat membeli mobil tersebut ? ( bunga bank tidak ikut

diperhitungkan )

14. Irfan seorang pedagang yang sukses. Keuntungannya berdagang

selalu bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila


keuntungan bulan ke 4 adalah Rp. 3.200.000,00 dan keuntungan

bulan ke 8 adalah Rp. 4.800.000,00, maka tentukan jumlah seluruh

keuntungan Irfan pada bulan ke 10.

7.3 BARISAN DAN DERET GEOMETRI Perhatikan barisan–barisan berikut ini :

a. L,128,64,32,16,8,4,2

b. L,128,64,32,16,8,4,2 −−−

c. L,243,81,27,9,3,1

d. L,2431,

811,

271,

91,

31,1

Kalau kita perhatikan pola barisan–barisan di atas, untuk mendapatkan

suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan ( rasio )

yang tetap dengan suku sebelumnya yaitu :

a. Pada barisan L,128,64,32,16,8,4,2 untuk mendapatkan suku berikutnya dikalikan dengan bilangan (rasio) 2 . Jadi .2 1−= nn UU

b. Pada barisan L,128,64,32,16,8,4,2 −−− untuk mendapatkan suku berikutnya dikalikan dengan bilangan (rasio) 2− . Jadi .2 1−−= nn UU

c. Pada barisan L,243,81,27,9,3,1 untuk mendapatkan suku

berikutnya dikalikan dengan bilangan ( rasio ) 3 .

Jadi 13 −= nn UU .


c. Pada barisan L,2431,

811,

271,

91,

31,1 untuk mendapatkan

suku berikutnya dikalikan dengan bilangan (rasio) 31 .

Jadi 131

−= nn UU . Contoh – contoh barisan di atas biasa disebut barisan geometri.

Definisi barisan geometri diberikan berikut ini.

Definisi 7.3.1:

Barisan geometri adalah barisan yang rasio (perbandingan) antara dua

suku berurutan adalah tetap. Secara umum barisan geometri

mempunyai bentuk: 1432 .....,,.........,,,, −nararararara

dimana

1Ua = adalah suku pertama,

r adalah rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan,

yaitu 1−

=n

n

UU

r .


Kalau kita perhatikan dari definisi barisan geometri di atas, maka :

Suku ke aU == 11

Suku ke arU == 22

Suku ke 233 arU ==

Suku ke 344 arU ==

Suku ke 455 arU ==

dan seterusnya, sehingga rumus suku ke n dari barisan geometri dapat

dirumuskan sebagai :

1−= nn arU

CONTOH 7.3.1 Tentukan rumus suku ke n dari barisan–barisan berikut :

a. L,161,

81,

41,

21,1,2 −−

b. L,4,4,4,4,4,4 65432

c. L,1,1,1,1,1,1 −−−

Penyelesaian :

a. Perhatikan bahwa barisan tersebut mempunyai suku pertama

21 == Ua dan rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan

adalah tetap, yaitu 21−

=r , maka barisan tersebut adalah barisan


geometri. Berdasarkan rumus untuk suku ke n dari barisan

geometri, maka diperoleh :

1

1

212

−

−

−

=

=n

nn arU

Jadi rumus suku ke n pada barisan L,161,

81,

41,

21,1,2 −−

adalah 1

212

−

−

=n

nU .

b. Perhatikan bahwa barisan tersebut mempunyai suku pertama

41 == Ua dan rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan

adalah tetap, yaitu 44

42

==r , maka barisan tersebut adalah

barisan geometri. Berdasarkan rumus untuk suku ke n dari barisan


n

n

nn arU

444 1

1

=

⋅=

=−

−

Jadi rumus untuk suku ke n pada barisan L,4,4,4,4,4,4 65432

adalah nnU 4= .

c. Perhatikan bahwa barisan tersebut mempunyai suku pertama

11 −== Ua dan rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan


adalah tetap, yaitu 11

1−=

−=r , maka barisan tersebut adalah

barisan geometri. Berdasarkan rumus untuk suku ke n dari barisan


( )( )n

n

nn arU

1

11 1

1

−=

−⋅−=

=−

−

Jadi rumus suku ke n pada barisan L,1,1,1,1,1,1 −−− adalah

( )nnU 1−= .

CONTOH 7.3.2 Diketahui suatu deret geometri dengan

161

3 =U dan 46 =U .

Tentukan rasio r dan suku pertama a dari deret tersebut.

Penyelesaian :

Berdasarkan rumus suku ke n dari barisan geometri, 1−= nn arU ,

maka dari yang telah diketahui dalam soal :

161

3 =U berarti 1612 =ar , dan

46 =U berarti 45 =ar .


Sehingga diperoleh :

.6416

143

6

2

53

=

=

=

=

UUararr

Jadi rasio dari deret geometri tersebut adalah 4=r .

Dengan mensubstitusikan nilai r = 4 ke dalam persamaan

1642

3 =⋅= raU , maka diperoleh 2561

=a .

Berikut ini akan diberikan contoh penggunaan barisan geometri

CONTOH 7.3.3 Penduduk suatu daerah adalah 20.000 orang. Daerah tersebut setiap

tahun penduduknya bertambah 2%. Tentukan jumlah penduduk pada

awal tahun ke 7.

Penyelesaian :

Jumlah penduduk pada awal tahun pertama adalah 000.201 =U .

Jumlah penduduk pada awal tahun kedua adalah


000.2002,102,1

%2

1

112

×==

⋅+=U

UUU

Jumlah penduduk pada awal tahun ketiga adalah

( ) 000.2002,1

000.2002,102,102,1

%2

2

2

222

×=

××==

⋅+=U

UUU

dan seterusnya.

Dengan demikian jumlah penduduk pada awal tahun ke n adalah

( ) ,000.2002,1 1 ×= −nnU

sedangkan jumlah penduduk pada awal tahun ke 7 adalah

( )

.25,523.22000.2002,1 6

7

=×=U

Jadi jumlah penduduk pada awal tahun ke 7 sekitar 22.523 orang.

Definisi 7.3.2:

Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri.

Jika nS adalah jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan geometri,

maka

aUS == 11


araUUS +=+= 212

23213 araraUUUS ++=++=

3243214 arararaUUUUS +++=+++=

1324321

−+++++=+++++= nnn ararararaUUUUUS LL

Berdasarkan definisi di atas, akan dicari bentuk umum dari jumlah n

suku pertama dari suku-suku barisan geometri sebagai berikut :

nnn arararararrS +++++= −132 L ………(1)

132 −+++++= nn ararararaS L …………...(2)

Persamaan (1) – (2) diperoleh

( ) ( )( )( )1

1

11

−−

=

−=−

−=−

rraS

rarS

aarSrS

n

n

nn

nnn

Dengan cara yang sama jika persamaan (2) – (1), diperoleh

( )( )r

raSn

n −−

=11

Jadi, jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan geometri dapat

dinyatakan dalam rumus :


( )( )1

1−

−=

rraS

n

n atau ( )( )r

raSn

n −−

=11

dengan 1≠r .

CONTOH 7.3.4 Diberikan barisan geometri L,128,64,32,16,8,4,2 −−−

Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret tersebut.

Penyelesaian :

Dari barisan geometri tersebut, dapat ditentukan suku pertamanya

adalah a = 2, dan rasionya adalah r = -2. Berdasarkan rumus jumlah n

suku pertama dari suku-suku barisan geometri, maka diperoleh :

( )( )( )( )

6833

1023212

122

11

10

−=−⋅

=

−−−−

=

−−

=

n

n

n

S

rraS

CONTOH 7.3.5 Dalam suatu deret geometri, diketahui 52 += n

nS . Tentukan rumus

suku ke n dari barisan geometri tersebut.


Penyelesaian :

( )

( )1

1

1

11

2122

225252

−

−

−

−

−

=

−=

−=

+−+=

−=

n

n

nn

nnnnn SSU

Jadi rumus suku ke n dari barisan geometri tersebut adalah 12 −= nnU .

• RANGKUMAN

• Barisan geometri adalah barisan yang ratio (perbandingan)

antara dua suku berurutan adalah tetap. Secara umum

berbentuk: 1432 .....,,.........,,,, −nararararara

• Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri.

Jika nS adalah jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan

geometri, maka jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan

geometri dapat dinyatakan dalam rumus

Sn = 1

)1(−−

rra n

atau Sn = rra n

−−

1)1(


SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 777---333 1. Tuliskan 4 suku pertama dari barisan geometri berikut ini :

a. 2=a , 3=r

b. 2−=a , 2=r

c. 8=a , 5,0=r

d. 128=a , 41

=r

e. 5=a , 5−=r

f. 1000=a , 1,0=r

2. Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri dibawah ini.

Kemudian tentukan suku ke 8 dan suku ke 12

a. L,16,8,4,2

b. L,24,12,6,3 −−

c. L,1,1,1,1 −−

d. L,210,10,25,5

e. L,10,20,40,80

f. L,641,

161,

41,1

3. a. Tunjukkan bahwa suku tengah dari barisan geometri dengan

banyaknya suku ( )12 −k adalah kU .

b. Dari soal a, tunjukkan juga suku tengah kU dapat dinyatakan

dalam


121 . −= kk UUU

dengan .0. 121 ≥−kUU

4. Tentukan suku tengah dari barisan geometri berikut ini :

( Petunjuk : gunakan rumus pada soal no. 3 )

a. 161,,4,8,16 L

b. 612,,16,8,4 L

c. 2,,306,612,1024 L

d. 516,5,2,10,5 L

e. 729,,9,3,1 −− L

5. Tentukan U10 dari barisan geometri berikut ini jika diketahui :

a. 3=r dan 1624 =U

b. 2=r dan 1605 =U

c. 5=a dan 5003 =U

d. 8=a dan 644 =U

e. 3063 =U dan 10245 =U

6. Diberikan suatu barisan geometri dengan 441 =+ UU dan

1252 =+UU . Tentukan :

a. rasionya dan suku pertamanya

b. suku ke 6

c rumus suku ke n


7. Sisipkan 3 bilangan diantara 3 dan 243 sehingga membentuk

barisan geometri. Kemudian tentukan rasio, suku pertama dan suku

ke 8.

8. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret geometri berikut ini :

a. L++++ 241263

b. L++++81

41

211

c. L+−+− 2222 d. L++++ 812793 9. Tentukan rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometri pada

soal no 7.

10. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan dengan

( ) 523 1 −= +nnS .

Tentukan :

a. suku pertama dan rasionya

b. rumus suku ke –n barisan itu

c. 9876 UUUU +++

11. Hitunglah :

a. L++++ 10204080

b. L+++ 001,001,01,0

c. L++++ 1040160640


d. L++++81

41

211

12. Suatu jenis sepeda motor mengalami penurunan harga jual sebesar

4% pada setiap akhir 1 tahun. Jika harga sepeda motor baru adalah

Rp. 16.000.000,00, maka tentukan harga jual sepeda motor tersebut

pada akhir tahun ke empat ?

13. Suatu rumah mengalami kenaikan harga jual sebesar 10% pada

setiap akhir 1 tahun. Jika harga rumah Rp. 150.000.000,00 maka

tentukan harga jual rumah tersebut pada akhir tahun ke lima ?

14. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 40 meter dan memantul

dengan ketinggian 53 dari jarak ketinggian sebelumnya.Tentukan

total jarak jatuh bola hingga bola berhenti bergerak.

413

Bab

8 GE O M E T R I BI D A N G 8. Geometri Bidang

ada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang

dimensi dua atau yang disebut dengan bidang datar, seperti

persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang,

trapesium dan lingkaran. Disamping itu juga dibahas tentang

keliling serta luasan dari bidang tersebut, yang penerapannya erat

kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen), terutama

yang menyangkut luasan dari bidang. Selain itu, untuk mendukung

pembahasan, juga dikenalkan dua besaran sudut yaitu derajat dan

radian serta hubungan antara kedua satuan ukuran ini. Bidang

matematika yang mencakup bahasan tentan kaitan titik, garis, bangun,

dan sejenisnya dinamakan geometri. Ada berbagai macam geometri,

namun yang dibahas disini adalah geometri Euclid dan lebih khusus

lagi adalah geometri bidang.

P

414 B a b 8 : G e o m e t r i B i d a n g

8.1 SUDUT Sebelum kita membicarakan tentang sudut, terlebih dahulu kita

perhatikan tentang titik (point) dan garis (lines). Titik dan garis

merupakan sesuatu yang tidak didefinisikan dalam geometri Euclid.

Dengan adanya titik dan garis, dibuat juga beberapa aksioma dan

definisi yang membentuk suatu sistem aksioma. Garis disini

dimaksudkan adalah garis lurus. Beberapa aksioma yang kita pakai

sebagai landasan pembahasan bab ini adalah:

- Hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik. - Dua garis lurus hanya berpotongan di satu titik. - Melalui suatu titik diluar suatu garis lurus, hanya ada satu garis

lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Pembahasan berikutnya selalu berpijak pada kaidah di atas. Misalkan

kita menggambar dua garis lurus OX dan OP yang berpotongan di titik

O, seperti terlihat pada Gambar 8.1.1. Garis lurus OX dan OP

membentuk sudut di titik O, yang dinamakan sudut O dan

dilambangkan dengan atau dapat juga ditulis , sedangkan

garis OX dan garis OP dinamakan sisi sudut dari sudut XOP.

B a b 8 : G e o m e t r i B i d a n g 415

Gambar 8.1.1 Garis OX dan garis OP membentuk

Sering kali, suatu sudut dibentuk dari memutar garis dari posisi awal

OX menuju posisi akhir OP, dengan titik O sebagai pusat perputaran.

Garis OX disebut sisi awal sudut dan garis OP disebut sisi akhir sudut.

Untuk mengukur digunakan aturan berlawanan dengan arah

jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip jika arah putar ke

kiri dan bernilai negatif jika arah putar ke kanan. Seperti sudut pada

Gambar 8.1.2 (a) dan (c) adalah sudut positif, sedang sudut pada

Gambar 8.1.2 (b) adalah sudut negatif.

Gambar 8.1.2 Sudut positif dan sudut negatif

Ada dua ukuran sudut yaitu derajat dan radian. Lihat Gambar 8.1.2 (a),

jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat

putaran O sebanyak satu kali putaran (sisi akhir OP berimpit kembali

dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah

. Ukuran satu derajat (o) adalah suatu ukuran sudut pusat

lingkaran yang diperoleh dari membagi keliling busur lingkaran dengan

360. Sebagai ilustrasi lihat Gambar 8.1.3.


Gambar 8.1.3 Ukuran sudut dalam derajat

Beberapa ukuran beberapa sudut istimewa disajikan berikut ini.

1. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan

pusat putaran O sebanyak setengah putaran (sisi akhir OP

membentuk garis lurus dengan sisi awal OX), maka sudut XOP

yang terbentuk besarnya adalah . Seperti yang terlihat pada

Gambar 8.1.4 (a).


pusat putaran O sebanyak seperempat putaran (sisi akhir OP

membentuk garis tegak lurus dengan sisi awal OX), maka sudut

XOP yang terbentuk besarnya adalah . Seperti yang terlihat

pada Gambar 8.1.4 (b).


pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka sudut XOP

yang terbentuk besarnya adalah . Seperti yang terlihat pada

Gambar 8.1.4 (c).


Gambar 8.1.4 Ukuran sudut dalam derajat

4. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kanan

dengan pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka

sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah . Seperti yang

terlihat pada Gambar 8.1.4 (f).

Ukuran sudut yang kurang dari , dinamakan sudut lancip. Ukuran

sudut sama dengan 900 dinamakan sudut siku-siku. Dua garis yang

berpotongan dan membentuk sudut 900 dikatakan saling tegak lurus.

Ukuran sudut lebih dari 900 dinamakan sudut tumpul.

Ada ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat, yaitu menit dan detik,

dengan 1 drajat (0) = 60 menit (‘) dan 1 menit (‘) = 60 detik (“).


Radian dan Hubungannya dengan Derajat

Dua macam satuan yang biasa digunakan untuk menentukan ukuran

sudut yaitu radian dan derajad. Apabila kita menggunakan ukuran

derajat, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis / sisi berukuran

3600. Dalam ukuran radian, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis

besarnya adalah 2π radian. Misal kita buat sebuah lingkaran dengan

pusat O dan jari-jari r seperti terlihat pada Gambar 8.1.5.

Gambar 8.1.5 Ukuran sudut radian

Misal XP sebuah busur pada lingkaran yang panjangnya sama dengan

jari-jari lingkaran r. Besar sudut pusat XOP yang menghadap busur XP

adalah satu radian. Keliling lingkaran sama dengan π2 r (nilai

14,3≈π ) dan besar sudut satu putaran adalah π2 radian. Besar sudut

pusat lingkaran dengan satu putaran adalah 3600.

Jadi diperoleh

03602 =radianπ atau 01801 =radianπ


Persamaan tersebut adalah persamaan dasar antara radian dan derajat.

Oleh karena itu :

"45'17571801 00

≈=π

radian

radianradian 01745,0180

10 ==π

CONTOH 8.1.1 Berapa besar sudut dalam radian jika diketahui besar sudut dalam

derajat adalah 450 ?

Jawab.

Karena radianradian 01745,0180

10 ==π ,

Maka radianradianradian 78525,04180

45450 ≈==ππ

CONTOH 8.1.2 Berapa besar sudut dalam derajat jika diketahui dalam besar sudut

dalam radian adalah 1,25 radian ?

Penyelesaian:

Karena "45'17571801 00

≈=π

radian ,


Maka "11'377118025,125,1 00

≈×=π

radian

CONTOH 8.1.3 Nyatakan besar sudut π

32 dalam derajat !

Penyelesaian:

Karena 01801 =radianπ ,

maka 00 12018032

32

=×=π

CONTOH 8.1.4 Nyatakan besar sudut 0540 dalam bentuk radianπ

Penyelesaian:

Karena 01801 =radianπ ,

maka radianradian ππ 3180540540 0

00 =×=

Sudut – sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis

1. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar 8.1.6. Jika

dua garis berpotongan, maka jumlahan sudut – sudut yang

bersebelahan adalah 180o, atau .


Gambar 8.1.6 Jumlahan sudut yang bersebelahan

2. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar 8.1.7. Jika

dua garis berpotongan, maka sudut – sudut yang bertolak belakang

adalah sama, atau

dan

Gambar 8.1.7 Sudut yang bertolak belakang

3. Perhatikan gambar perpotongan satu garis dengan dua garis yang

sejajar pada Gambar 8.1.8.

Jika sebuah garis memotong sepasang garis yang paralel

sebagaimana pada Gambar 8.1.8, maka:

- merupakan sudut – sudut dalam (interior)

- merupakan sudut – sudut luar (exterior)

- Sudut-sudut yang berseberangan adalah sama, atau

, dan .

- Sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama, atau


, , , dan .

Gambar 8.1.8 Sudut – sudut dalam, luar, bersesuaian, dan

berseberangan.

CONTOH 8.1.5 Tentukan besar sudut dan pada gambar berikut ini.

Penyelesaian:

- Karena sudut bertolak belakang dengan sudut 30o, maka . - Karena sudut beseberangan dengan sudut 30o, maka , atau


- Karena sudut bertolak belakang dengan sudut , maka . • RANGKUMAN

• Untuk mengukur besarnya sudut digunakan aturan berlawanan

dengan arah jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip

jika arah putar sudut ke kiri dan bernilai negatif jika arah putar

sudut ke kanan. Besar sudut dinyatakan dalam derajat (o) atau

radian.

• Hubungan antara radian dan derajat adalah

"45'17571801 00

≈=π

radian

• Jika dua garis berpotongan, maka:

- jumlahan sudut – sudut yang bersebelahan adalah 180o, atau

- sudut – sudut yang bertolak belakang adalah sama.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 888---111 1. Konversikan besaran sudut dalam derajat ke dalam radian

a. 320 45’ c. 480 15’ 30”

b. 1280 21’ 35” d. 4500 45’ 45”

2. Konversikan besaran sudut dalam radian ke dalam derajat a. 6,28 radian c. 9 radian


b. 0,314 radian d. 11 radian 3. Ubahlah ke dalam satuan π radian a. 7200 c. 3150

b. 4500 d. 4050 4. Ubahlah ke dalam satuan derajat a. π

65 c. π

411

b. π43 d. π

37 5. Ubahlah ke dalam satuan π radian

a. - 900 b. -60o

c. - 300 d. -1800

6. Tentukan besar sudut A, B, dan C pada gambar berikut ini, jika besarnya sudut D adalah

a. 400 b. 60o

c. π /6 radian d. π /10 radian

8.2 KELILING BANGUN DATAR Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang

sisi-sisinya. Juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah


jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari melalui sisinya dan

sampai kembali ke tempat semula.

8.2.1 PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi

empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dan mempunyai ukuran

panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari

persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti

terlihat pada Gambar 8.2.1.

Gambar 8.2.1 Bangun persegi panjang dan persegi

Keliling dari persegi adalah jarak yang ditempuh jika mengitari sisi-

sisinya dan kembali pada titik awal.

Untuk persegi panjang, kelilingnya (K) adalah dua kali panjang (p)

ditambah dua kali lebar (l) dan dinyatakan dengan :

Untuk persegi, karena panjang sisi-sisiya sama (s) maka keliling

persegi dinyatakan dengan :


Jumlahan semua sudut dalam persegi panjang atau persegiemat adalah

360o.

CONTOH 8.2.1 Hitung keliling persegi panjang dengan panjang 20 satuan dan lebar 15

satuan !

Penyelesaian:

Keliling persegi panjang tersebut adalah:

CONTOH 8.2.2 Hitung keliling persegi dengan panjang sisi-sisinya 20 satuan !

Penyelesaian:

Keliling persegi tersebut adalah:


8.2.2 JAJARAN GENJANG, LAYANG – LAYANG DAN TRAPESIUM Bentuk-bentuk segi empat yang lain adalah: Jajaran genjang, Layang-

layang dan Trapesium. Jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi

yang saling sejajar, layang-layang dua pasang sisinya sama panjang

sedangkan trapesium hanya memiliki sepasang sisi yang sejajar. Bentuk

bangun datar ini diperlihatkan pada Gambar 8.2.2.

Gambar 8.2.3 Bangun datar Jajaran Genjang, Layang-Layang dan

Trapesium

Keliling dari bangun segi empat ini dengan menghitung jarak yang

ditempuh, jika mengitari bangun segi empat ini dan kembali ke titik

asal. Dengan demikian keliling untuk masing masing bangun segi

empat ini adalah :

Jajaran genjang : ( )lpK += 2

Layang-layang : ( )lpK += 2

Trapesium : nmlkK +++=

8.2.3 SEGITIGA


Segitiga (triangle) dibentuk dari tiga titik (yang tidak segaris) yang

dihubungkan dengan tiga segmen garis yang melalui tiga titik tersebut.

Gambar 8.2.3 merupakan gambar bentuk umum segitiga. Titik – titik

dalam segitiga tersebut adalah A, B, dan C. Karena itu, segitiganya

dinamakan segitiga ABC atau ditulis dengan . Segmen garis yang

menghubungkan titik-titik tersebut dinamakan sisi dari segitiga.

Pada titik A ada atau singkatnya , besarnya adalah α. Sisi

segitiga yang berada didepan adalah segmen garis BC dengan

panjang a. Pada titik B ada atau singkatnya , besarnya

adalah β. Sisi segitiga yang berada didepan adalah segmen garis AC

dengan panjang b. Pada titik C ada atau singkatnya , besarnya

adalah γ. Sisi segitiga yang berada didepan adalah segmen garis

AB dengan panjang c.


Gambar 8.2.3 Segitiga ABC

Jika pada Gambar 8.2.3 segmen garis AB dianggap sebagai alas

segitiga ABC, maka tinggi dari segitiga ABC adalah t.

Keliling segitiga (K) adalah jumlahan dari ketiga sisinya dan tulis

sebagai berikut.

Sifat sudut dalam segitiga

Dalam segitiga ABC pada Gambar 8.2.3, jumlahan sudut – sudut dalam

segitiga adalah 180o atau ditulis

Hal ini dapat diperlihatkan berikut ini. Pandang segitiga ABC seperti

tampak dibawah ini. Garis BE sejajar dengan garis AC.

- Karena bersesuaian, besarnya sama dengan .

- Karena berseberangan, besarnya sama dengan .

Diperoleh


Jenis segitiga

Ada tiga jenis segitiga, yaitu:

Segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dengan salah satu

sudutnya siku-siku (90o atau π/2), seperti tampak pada gambar

dibawah ini.

Jika dipunyai segitiga siku-siku seperti tampak pada gambar di

atas, maka: i. ii. berlaku hukum pythagoras,

iii. didefinisikan beberapa fungsi trigonometri:

-

-

-

Dari definisi tentang fungsi trigonometri di atas, berikut ini dibuat

tabel nilai , , dan untuk sudut-sudut α yang

istimewa. Definisi fungsi trigonometri ini, akan dipakai pada akhir

bab.


0o 30o 45o 60o 90o -30o -45o -60o -90o

0

1

1

0

0

0 1

Segitiga sama kaki (isosceles triangle) adalah suatu segitiga

dengan dua sisinya sama panjang, seperti tampak pada gambar

dibawah ini.

Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di

atas, maka: i. a = b, ii. , iii. garis ketinggian segitiga CD memotong segmen garis alas AB di tengah‐tengah, atau panjang AD = panjang DB, iv. keliling segitiga v. tinggi t dapat ditentukan sebagai berikut.


Segitiga sama sisi ketiga sisinya sama panjang

Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di

atas, maka: i. a = b = c ii. iii. garis ketinggian segitiga CD memotong segmen garis alas AB di tengah‐tengah, atau panjang AD = panjang DB. iv. keliling segitiga vi. tinggi t dapat ditentukan sebagai berikut. CONTOH 8.2.3

Misal dipunyai segitiga seperti tampak pada gambar berikut ini.


Tentukan besarnya sudut α !

Penyelesaian:

Jumlahan sudut – sudut dalam segitiga adalah 180o, atau

CONTOH 8.2.4 Suatu segitiga ABC dengan panjang sisi masing – masing adalah a =

45 cm, b = 37 cm, dan c = 57 cm.

Tentukan keliling segitiga tersebut !

Penyelesaian:

Keliling segitiga adalah


CONTOH 8.2.5 Suatu penggaris berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi

yang diketahui seperti tampak pada gambar berikut ini.

Tentukan keliling dari penggaris tersebut !

Penyelesaian:

Sisi miring (hypotenuse) belum diketahui, dapat dicari dengan

menggunakan rumus pythagoras.

Jadi keliling dari penggaris tersebut adalah


8.2.4 LINGKARAN Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering kita jumpai dalam

kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan

yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang

berbentuk lingkaran. Bentuk lingkaran diperoleh dengan menentukan

tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap

terhadap sebuah titik (Gambar 8.2.4). Titik tetap (xo,yo) tersebut

dikatakan pusat lingkaran dan jarak r tersebut dikatakan jari-jari

lingkaran.

Gambar 8.2.4 Lingkaran

Keliling sebuah lingkaran sama dengan dua kali π dikalikan dengan

jari-jarinya, atau ditulis :

rK π2=


• RANGKUMAN

• Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi‐sisinya, dapat juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari sampai kembali ke tempat semula. • Keliling untuk persegi panjang : ( )lplpK +=+= 222 • Keliling Persegi : sssK 422 =+= • Keliling Jajaran genjang : ( )lpK += 2 • Keliling Segitiga : cbaK ++= • Keliling Layang‐layang : ( )lpK += 2 • Keliling Trapesium : nmlkK +++= • Keliling Lingkaran : rK π2=

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 888---222 1. Tentukan keliling dari bangun datar dibawah ini:

a. Persegi Panjang dengan panjang = 6 cm, lebar = 3 cm

b. Persegi dengan sisi = 4 cm

c. Jajajaran genjang panjang = 12 cm, lebar = 8 cm

d. Lingkaran dengan jari-jari = 5 cm

2. Sebuah jendela berbentuk persegi panjang dengan panjang =

2,4 m dan lebar 1,8 m. Diatas jendela diberi lengkungan setengah

lingkaran.

a. Tentukan keliling jendela

b. Jika harga bahan Rp 42.500,-/m dan ongkos pembuatan

jendela Rp 55.000,-. Tentukan harga jendela tersebut.


3. Sebuah pagar berbentuk seperti gambar dibawah ini, bagian

atas pagar diberi hiasan segi tiga sama sisi.

Jika harga bahan Rp 35.000,-/m, ongkos pembuatan Rp 225.000,-

tentukan harga pagar.

4. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 15 m

dan lebar 10 m, keliling taman diberi pagar seperti pada soal 3.

Berapa beaya yang dibutukhan untuk memberi pagar taman

tersebut.

8.3 LUAS BANGUN DATAR 8.3.1 PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi

empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuran

panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari

persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti

terlihat pada Gambar 8.1.2. Luas dari persegi panjang adalah

banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan persegi

0,5 m

5 m

3 m


panjang. Kalau panjang dari persegi panjang adalah p satuan dan lebar

dari persegi panjang adalah l satuan, maka luas persegi panjang

tersebut adalah:

lpL ×=

Sedangkan luas dari persegi adalah sisi (s) dikalikan dengan sisi (s) dan

dinyatakan dengan: 2sssL =×=

CONTOH 8.3.1 Tentukan luas dari persegi panjang dengan panjang 8 cm & lebar 4 cm

Penyelesaian: 23248 cmcmcmlpL =×=×=

CONTOH 8.3.2 Tentukan luas dari persegi dengan panjang sisi 4 m

Jawab 21644 mmmssL =×=×=

8.3.2 SEGITIGA Perhatikan Gambar 8.3.1. Terlihat pada gambar bahwa Luas segi tiga

ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCF ditambah ½ luas

persegi panjang DBFC maka luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas


persegi panjang ADCE dan DBFC. Sehingga luas segitiga dapat

dirumuskan sebagai berikut :

Gambar 8.3.1 Segi tiga siku-siku

)()(21 CDABL ⋅⋅=

Jika panjang alas (AB) segi tiga ABC adalah a dan Panjang dari garis

tinggi CD adalah t, maka luas segitiga ABC dapat ditulis:

taL ⋅⋅=21

CONTOH 8.3.3 Tentukan luas segitiga yang panjang alasnya 8 cm dan tinggi 4 cm

Jawab

2164821

21 cmcmcmtaL =⋅⋅=⋅⋅=

8.3.3 JAJARAN GENJANG


Untuk mendapatkan luas jajaran genjang perhatikan Gambar 8.3.2.

Buat garis tinggi dari sepasang sisi yang sejajar. Potong bentuk segitiga

BFD (sebelah kanan), kemudian geser ke sebelah kiri sampai

menempel diatas segitiga AEC, akan membentuk bangun menjadi

persegi panjang. Misalkan panjang alas jajaran genjang diketahui a dan

tingginya t.

Gambar 8.3.2 Jajaran genjang dan persegi panjang yang dibentuk dari

potongan segitiga dari jajaran genjang.

Jadi luas jajajaran genjang dinyatakan dengan:

taL ⋅=

CONTOH 8.3.4 Tentukan luas jajaran genjang yang panjang alas 8 cm dan tinggi 4 cm.

Penyelesaian: 23248 cmcmcmtaL =⋅=⋅=

8.3.4 LAYANG ‐ LAYANG


Luas layang-layang dicari dengan membuat garis diagonal-diagonalnya,

kemudian memotong salah satu diagonalnya. Dari potongan ini terdapat

dua segitiga yang panjang alas sama dengan diagonal dan tinggi dari

kedua segitiga sama dengan panjang diagonal yang lain seperti terlihat

pada Gambar 8.3.3.

Gambar 8.3.3 Layang-layang dipotong menjadi dua segitiga

Luas segitiga BCD (potongan atas) adalah

Luas segitiga ABC (potongan bawah) adalah

Luas layang-layang:

Jadi luas layang-layang:


CONTOH 8.3.5 Tentukan luas layang-layang yang panjang diagonalnya 10 cm dan

tinggi 6 cm.

Penyelesaian:

cm2.

8.3.5 TRAPESIUM Perhatikan Gambar 8.3.4. Penghitungan luas trapesium dengan

membuat dua garis tinggi dari alas trapesium, bidang dipotong

mengikuti garis tinggi, dengan demikian ada dua bidang datar

berbentuk segitiga dan satu berbentuk persegi panjang.

Gambar 8.3.4 Trapesium dan Tiga Potongan


Luas trapesium adalah jumlahan dari L1 + L2 + L1, dengan

L1 = tc ⋅⋅21

L2 = tb ⋅

L3 = td ⋅⋅21

trapL = tc ⋅⋅21 + ( )tb ⋅ + td ⋅⋅

21

=

++⋅ dbct

21

21

=

−−++⋅ dcdbct

21

21 , panjang dbca ++=

= ( )

+−⋅ dcat

21 , panjang badc −=+

trapL = ( )bat +⋅⋅21

CONTOH 8.3.6 Tentukan luas trapesium dengan tinggi 4 cm, alas 6 cm dan 5 cm.

Jawab

trapL = ( )bat +⋅⋅21

= ( ) 22256421 cm=+⋅⋅

8.3.6 LINGKARAN


Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering anda jumpai dalam

kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan

yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang

berbentuk lingkaran. Bentuk Lingkaran diperoleh dengan menentukan

tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap

terhadap sebuah titik (Gambar 8.2.4). Titik tetap (xo,yo) tersebut

dikatakan Pusat lingkaran dan jarak r tersebut dikatakan jari-jari

lingkaran.

Gambar 8.3.5 Lingkaran

Luas sebuah lingkaran sama dengan π dikalikan dengan kuadrat jari-

jarinya, atau ditulis :

2rL π=

CONTOH 8.3.7 Tentukan luas lingkaran dengan jari-jari 4 cm.

Jawab

( ) 222 164 cmrL πππ =⋅==


• RANGKUMAN

• Luas dari bidang datar adalah banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan bidang datar tersebut. • Luas untuk persegi panjang : lpL ×= • Luas Persegi : 2sssL =×= • Luas Jajaran genjang : taL ⋅= • Luas Layang‐layang : 212

1 ddL ××= • Luas Trapesium : trapL = ( )bat +⋅⋅

21

• Luas Lingkaran : 2rL π=

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 888---222 1. Tentukan luas dari bangun datar dibawah ini:

a. Persegi dengan sisi 3 cm

b. Persegi panjang dengan panjang 5 cm, lebar 2 cm

c. Segi tiga dengan alas 8 cm dan tinggi 7 cm

d. Lingkaran dengan jari-jari 6 cm

2. Tentukan luas tanah pada gambar dibawah ini


3. Paving dengan ukuran 4 x 8 cm digunakan untuk menutup halaman

sekolah yang berukuran 8 x 10 m

a. Berapa banyak paving yang dibutuhkan

b. Jika harga paving Rp 2.500,-/buah berapa harga paving

seluruhnya.

c. Ongkos pemasangan paving Rp 25.000,-/m2 Berapa beaya

yang dibutuhkan

d. Agar lebih bagus digunakan paving merah sebanyak 12 m2

dengan harga Rp 2750,-/buah, berapa harga paving seluruhnya

4. Sebuah teras dari cor berbentuk persegi panjang dan diatasnya

diberi setengah lingkaran seperti gambar dibawah, dengan

ketebalan 5 cm tiap meter persegi membutuhkan semen 6 kg, harga

semen yang berisi 50 kg Rp 48.000,-

a. Berapa luas teras

b. Berapa kg semen yang dibutuhkan

c. Berapa biaya untuk membeli semen

8.4 TRANSFORMASI GEOMETRI


Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar dari

tempat asal ketempat yang lain. Terdapat empat bentuk transformasi

geometri yaitu:

Translasi (pergeseran)

Rotasi (putaran)

Refleksi (pencerminan)

Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan)

8.4.1 TRANSLASI Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindah-

kan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu.

Panjang jarak dan arah pada translasi dinyatakan oleh vektor AB atau

pasangan berurutan

ba

.

Suatu translasi dari 2R (ruang dimensi dua) ke 2R didefinisikan oleh

pemetaan:

22: RRT →

Titik ( )yxP , ditranslasikan oleh

=

ba

T

artinya titik ( )yxP , dipetakan ke titik ( )','' yxP sehingga berlaku

hubungan:

byyaxx

+=+=

''

Hubungan ini mengandung pengertian:


1. Jika 0>a maka arah pergeseran kekanan dan jika 0<a arah

pergeseran kekiri.

2. Jika 0>b maka arah pergeseran keatas dan jika 0<b arah

pergeseran kebawah.

Secara geometri diperlihatkan pada Gambar 8.5.1.

Gambar 8.5.1 Translasi Titik ( )yxP , ke ( )','' yxP

CONTOH 8.4.1 Tentukan bayangan titik ( )5,2 −P dan ( )1,3−Q oleh translasi

32

T

Jawab

Untuk titik P: ( )5,2 −P → ( ) ( )2,4'35,22' −=+−+ PP


y

x

2xy =

122 ++= xxy

( ) 4'2'' 2 ++= xxy

Untuk titik Q: ( )1,3−Q → ( ) ( )4,1'31,23' −=++− PQ

CONTOH 8.4.2 Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola 2xy = oleh translasi

−31

T , Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi.

Penyelesaian:

Persamaan translasi adalah:

1'1' +=→−= xxxx

3'3' −=→+= yyyy

Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat:

2xy =

↔ ( )21'3' +=− xy

↔ ( ) 31'2'' 2 +++= xxy

↔ ( ) 4'2'' 2 ++= xxy

Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar 8.5.2


Gambar 8.5.2 Grafik Parabola dan hasil Translasi

Pertama kita gambarkan grafik 2xy = , grafik ini digeser ke-kiri sejauh

satu satuan (gambar garis putus-putus), kemudian dilanjutkan digeser

ke-atas sejauh tiga satuan (gambar garis tebal).

CONTOH 8.4.3 Bayangan titik ( )baba +− ,2 oleh translasi

ba

adalah titik ( )1,8

Tentukan bayangan titik ( )1,2 +ab oleh translasi yang sama.

Jawab.

Bentuk translasi sebagai berikut:

=

+

+−

182

ba

baba

82 =+− aba → 822 =− ba …….. …….. (1)

1=++ bba → 12 =+ ba …………….. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat 3=a dan 1−=b ,

Oleh krena itu titik ( )1,2 +ab = ( )4,2− .

Bayangan titik ( )4,2− oleh translasi

− 13 adalah:

=

−

+

−=

31

13

42

yx


Jadi, bayangan titik ( )4,2− oleh tranlasi

ba

=

− 13 adalah ( )3,1

8.4.2 ROTASI Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek

dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat,

besar sudut dan arah sudut rotasi. Arah putaran sudut positif ber-

lawanan dengan jarum jam, sebaliknya untuk arah sudut yang negatif

putaran searah dengan jarum jam. Gambar 8.5.3 memperlihatkan

bangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik ( )0,0O , sudut putar

sebesar θ searah jarum jam.

Gambar 8.5.3 Segitiga dirotasi pusat O sebesar θ searah jarum jam

Misalkan titik ( )yxP , diputar dengan titik pusat ( )0,0O dengan sudut

putar sebesar θ berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titik

hasil rotasi yaitu titik ( )','' yxP perhatikan Gambar 8.5.4.

y

O θ


Gambar 8.5.4 Rotasi titik

( )yxP , ke ( )','' yxP

OP = OP’ = r, α=∠XOP , θ=∠ 'POP

αcosrx = , αsinry =

( )( )

θθθαθα

θαθαθα

sincossinsincoscos

sinsincoscoscos'

yxrr

rrx

−=−=−=

+=

( )( )

θθθθ

θαθαθαθα

θα

cossinsincos

sincoscossinsincoscossin

sin'

yxxy

rrrry

+=+=

+=+=

+=

Jadi,

θθ sincos' yxx −=

θθ cossin' yxy +=

αθ

O x

y

'y

x'x

r( )yxP ,

( )','' yxP


Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai

berikut:

−=

yx

yx

θθθθ

cossinsincos

''

Bentuk matriks

−θθθθ

cossinsincos

disebut matriks rotasi [ ]θ,OR .

CONTOH 8.4.4 Diberikan titik-titik ( )4,2A , ( )5,3−B dan ( )3,0 −C diputar dengan

sudut seperempat putaran berlawanan arah jarum jam, pusat sumbu

sumbu putar O. Tentukan bayangannya !.

Jawab.

Persamaan rotasi dengan 090=∠θ dengan pusat sumbu O adalah:

−−−

=

−

−

−=

−

−

−=

032354

354032

0110

354032

90cos90sin90sin90cos

''

00

00

yx

Jadi,

( )2,4' −A , ( )3,5' −−B dan ( )0,3'C


Sekarang kita bahas jika titik pusat putar bukan ( )0,0O , misal

( )baP , . Penyelesaian masalah ini sama dengan mentranslasikan

( )0,0O ke titik ( )baP , , sehingga didapat persamaan:

( ) ( ) θθ sincos' byaxax −−−=−

( ) ( ) θθ cossin' byaxby −+−=−

atau dalam bentuk matriks:

−−

−=

−−

byax

byax

θθθθ

cossinsincos

''

CONTOH 8.4.5 Tentukan bayangan dari persamaan parabola 2xy = diputar dengan

sudut putar sebesar 090 berlawanan arah jarum jam, titik pusat ( )0,2

Jawab.

Pusat rotasi ( )0,2 , besar sudut putar 090 berlawanan arah jarum jam,

persamaan rotasi:

( ) ( ) 00 90sin090cos22' −−−=− yxx

( ) ( ) 00 90cos090sin20' −+−=− yxy

↔ ( ) ( )1022' yxx −−+=

( ) ( )0120' yxy +−+=

↔ yx −= 2'

2' −= xy

↔ '2 xy −=

2'+= yx


l

A

'C ∧

'B

'A

C

B ∨∨

⟨⟨ ⟨⟨

∧

Substitusikan ke persamaan parabola 2xy = didapat persamaan

bayangan:

( ) ( )22''2 +=− yx

atau

( ) 2'4'' 2 −−−= yyx

Jadi bayangan dari persamaan parabola 2xy = yang diputar dengan

sudut putar sebesar 090 berlawanan arah jarum jam, titik pusat ( )0,2

adalah 242 −−−= yyx .

8.4.3 REFLEKSI (PENCERMINAN) Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang

memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Misal

suatu segitiga dicerminkan terhadap garis l, seperti pada Gambar 8.5.5.

Gambar 8.5.5 Segitiga ABC dicerminkan terhadap l

Pencerminan titik terhadap sumbu cermin, jarak titik asal ke sumbu

cermin sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin.


y

x

( )yxP −,'

( )yxP , ( )yxP ," −

Pada koordinat Kartesius, titik ( )yxP , dicerminkan terhadap sumbu x

dan sumbu y hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar 8.5.6.

Gambar 8.5.6 Pencerminan ( )yxP , terhadap sumbu koordinat

Titik ( )yxP , dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan ( )yxP −,' ,

bentuk persamaan hasil pencerminan ini adalah:

yxxxx 01'' +=↔=

yxyyy 10'' −=↔−=

Dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:

−

=

yx

yx

1001

''

Matriks

−1001

disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x.

Dengan cara yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matriks

pencerminan pada sumbu-sumbu cermin yang lain, untuk memudahkan

mempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks pencerminan ditulis

dalam tabel 8.5.1

Tabel 8.5.1

Matriks Transformasi Pencerminan


Transformasi Bentuk Matriks Pemetaan

Pencerminan terhadap sumbu x

−1001

( ) ( )yxyx −→ ,,

Pencerminan terhadap sumbu y

−1001

( ) ( )yxyx ,, −→

Pencerminan terhadap Pusat sumbu ( )0,0O

−

−10

01 ( ) ( )yxyx −−→ ,,

Pencerminan terhadap garis xy =

0110

( ) ( )xyyx ,, →

Pencerminan terhadap garis xy −=

−

−0110

( ) ( )xyyx −−→ ,,

Selanjutnya, pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbu

cerminnya. Hasil pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalah

sebagai berikut:

Sumbu cermin garis hx =

( )yxP , hasil pencerminan (bayangan) adalah: ( )yxhP ,2' −

Sumbu cermin garis ky =

( )yxP , hasil pencerminan (bayangan) adalah: ( )ykxP −2,'

Sumbu cermin garis mxy = , bentuk matriks pencerminan:

−−

+== 12

211

12

2

2 mmmm

mM mxy

CONTOH 8.4.6 Diberikan titik-titik ( )4,2A , ( )5,3−B dan ( )3,0 −C .


Tentukan bayangannya jika jika dicerminkan terhadap garis xy =

Jawab.

Matriks pencerminan terhadap garis xy = adalah:

0110

Persamaan matriks untuk titik-titik ( )4,2A , ( )5,3−B dan ( )3,0 −C

''

yx

=

0110

−354032

=

− 032

354

Jadi hasil pencerminan didapat: ( )2,4'A , ( )3,5 −B dan ( )0,3−C

CONTOH 8.4.7 Tentukan bayangan titik ( )7,3− jika dicerminkan terhadap garis

032 =+− yx

Jawab.

Ubah persamaan garis 032 =+− yx menjadi 32 += xy .

Garis 32 += xy diperoleh dari garis xy 2= ditranslasi oleh

30

T

Bayangan ( )7,3− dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai

berikut:

1. Translasikan titik ( )7,3− dengan

30

T diperoleh: ( )4,3−

2. Tentukan matriks pencerminan garis xy 2=


'x

y

'y

"y

x "x

( )","" yxP y

x

( )','' yxP

O

( )yxP ,

−−

+== 122.2

2.22112

12

2

22xyM =

−3443

51

3. Cerminkan titik ( )4,3− terhadap garis xy 2= dengan

menggunakan matriks pada 2. diperoleh:

yx

=

−3443

51

−43

=

05

→ ( ) ( )0,5, =yx

4. Translasikan titik ( )0,5 dengan

30

T diperoleh ( )3,5

Jadi hasil refleksi ( )7,3− terhadap garis 032 =+− yx adalah: ( )3,5

8.4.4 DILATASI Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau

memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk

melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau

skala. Jika skala > 1 maka bentuk obyek diperbesar, sebaliknya jika

skal < 1 maka obyek diperkecil.

Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik ( )yxP , dilakukan dilatasi dengan

pusat ( )0,0O dengan skala a.


Gambar 8.5.7 Dilatasi titik ( )yxP ,

1<a menghasikan ( )','' yxP , 1>a menghasikan ( )","" yxP

Persamaan dilatasi dengan pusat ( )0,0O dan k skala dinyatakan dalam

bentuk:

xkx =' yky =' Persamaan matriksnya adalah:

''

yx

=

k

k0

0

yx

Matriks

k

k0

0 disebut matriks dilatasi [ ]kOD ,

Untuk dilatasi dengan pusat ( )baP , dengan skala k dan ditulis

[ ]kPD , bentuk persamaannya adalah:

( )axkax −+='

( )bykby −+='

Persamaan dalam bentuk matriks adalah:

''

yx

=

ba

+

k

k0

0

−−

byax


CONTOH 8.4.8 Tentukan bayangan titik ( )8,6 oleh dilatasi:

a. [ ]2,OD

b.

21,OD

Jawab

a. Titik ( )8,6 dilatasi [ ]2,OD , gunakan persaman matriks

dilatasi didapat:

''

yx

=

2002

86

=

1612

Jadi, hasil dilatasi ( )16,12

b. Titik ( )8,6 dilatasi

21,OD , gunakan persaman matriks

dilatasi didapat:

''

yx

=

210

021

86

=

43

Jadi, hasil dilatasi ( )4,3 CONTOH 8.4.9 Tentukan bayangan dari persegi ABCD dengan titik sudut ( )2,2A ,

( )2,2−B , ( )2,2 −−C dan ( )2,2 −D jika dilakukan dilatasi dengan

pusat titik C dengan skala 2

Jawab.


Bentuk dilatasi adalah: [ ]2,CD

Persamaan matriks dilatasi untuk titik-titik: ( )2,2A , ( )2,2−B ,

( )2,2 −−C dan ( )2,2 −D adalah:

''

yx

=

−−

22

+

2002

+−+−++

++−+−+22222222

22222222

=

−−

22

+

2002

00444004

=

−−

−−2266

6226

Titik-titik hasil dilatasi: ( )6,6'A , ( )6,2' −B , ( )2,2' −−C dan

( )2,6' −D .

• RANGKUMAN

• Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar

dari tempat asal ketempat yang lain

• Terdapat empat bentuk transformasi geometri yaitu : Translasi

(pergeseran), Rotasi (putaran), Refleksi (pencerminan) dan

Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan).

• Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk

memindah-kan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan

arah tertentu.

• Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk

memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan

rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi.


• Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri

yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan

cermin.

• Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang

memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk

obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat

dilatasi dan faktor pengali atau skala.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 888---555 1. Diberikan koordinat titik segi tiga (0,0), (2,0) dan (2,3).

Tentukan koordinat titik segi tiga jika dikenakan transformasi:

a. Translasi:

=

41

T

b. Translasi:

−=

23

T

c. Rotasi titik pusat O dengan 060=θ

d. Rotasi titik pusat O dengan 0240=θ

e. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan

sumbu y

f. Refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x , y = -x dan

x = 2

g. Dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala: 3 dan

1/2

2. Titik A(2,-4) dengan translasi

=

nm

T menjadi A’(-1,2).

Tentukan m dan n


3. Diberikan persamaan parabola 12 += xy , tentukan

persamaan yang sesuai dan sket grafik jika ditransformasikan

dengan:

a. Translasi:

−

=1

1T

b. Rotasi titik pusat O dengan 090=θ

c. Rotasi titik pusat P(0,1) dengan 0180=θ

d. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y

4. Tentukan matriks refleksi terhadap garis x = h dan y = k

8.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI

Kita dapat melakukan beberapa transformasi, misal pertama suatu

obyek ditranslasi dengan 1T kemudian dilanjutkan translasi yang kedua

dengan 2T yang dinyatakan dengan ( )12 TT o ( )yx, , bentuk ini

dinamakan komposisi dua translasi. Bentuk komposisi transformasi

yang lain dengan menggabungkan bentuk-bentuk transformasi yang

telah dipelajari pada subbab 8.5.

8.5.1 KOMPOSISI TRANSLASI Misal diberikan translasi

=

ba

T1 dan

=

dc

T2 , komposisi dua

translasi 1T dan 2T dinyatakan:

( )12 TT o =

ba

+

dc

=

++

dbca


( )21 TT o =

dc

+

ba

=

++

bdac

Karena jumlah bilangan bersifat komutatif, maka:

( )12 TT o = ( )21 TT o

Catatan

( )12 TT o artinya obyek ditranslasi oleh 1T dilanjutkan dengan

2T

( )21 TT o artinya obyek ditranslasi oleh 2T dilanjutkan dengan

1T

Walaupun memberi hasil yang sama tetapi penekanan pada urutan

pengerjaan translasi.

8.5.2 KOMPOSISI ROTASI Misalkan titik ( )yxP , dilakukan rotasi oleh [ ]11 ,θOR kemudian

dilanjutkan dengan [ ]21 ,θOR , komposisi rotasi dari 1R dilanjutkan

dengan 2R dinyatakan:

( )12 RR o ( )yx, =

−

11

11

cossinsincos

θθθθ

−

22

22

cossinsincos

θθθθ

yx

=

+−+−−−

21212121

21212121

coscossinsinsincoscossincossinsincossinsincoscos

θθθθθθθθθθθθθθθθ

yx

= ( ) ( )( ) ( )

+++−+

2121

2121

cossinsincos

θθθθθθθθ

yx


O

"P

'P

P

2θ

1θ

Jadi, merotasikan suatu obyek menggunakan komposisi rotasi berarti

merotasikan obyek tersebut dengan jumlah sudut masing-masing rotasi.

Secara geometri diperlihatkan pada gambar 8.6.1

Gambar 8.6.1 Komposisi Rotasi

Titik P dirotasikan pusat O besar sudut 1θ didapat 'P dilanjutkan

rotasi pusat O besar sudut 2θ didapat "P atau dapat dilakukan dengan

pusat O dengan besar sudut rotasi 1θ + 2θ .

8.5.3 KOMPOSISI REFLEKSI (PENCERMINAN) Misalkan titik ( )yxP , dilakukan refleksi terhadap garis kx =

kemudian dilanjutkan dengan hx = , komposisi refleksi dari 1M

dilanjutkan dengan 2M dinyatakan:

( )12 MM o ( )yx, = 2M [ ]( )( )yxM ,1

= 2M ( )yxk ,2 −

= ( )( )yxkh ,22 −−

= ( )( )yxkh ,2 +−


( )yxP ,

y

x

( )( )yxkhP ,2" +− ( )yxkP ,2' −

hx = kx =

y

( )yxP ,

x

( )yxP −− ,"

( )yxP ,'

Secara geometri hasil dari komposisi ( )12 MM o ( )yx, terhadap garis

kx = dilanjutkan dengan hx = diperlihatkan pada gambar 8.6.2.

Gambar 8.6.2 Komposisi Refleksi terhadap dua garis sejajar

Bagaimana jika titik ( )yxP , direfleksikan terhadap sumbu koordinat,

untuk itu perhatikan gambar 8.6.3 dibawah ini. Titik ( )yxP ,

direfleksikan terhadap sumbu y menghasilkan ( )yxP ,' dilanjutkan

terhadap sumbu x menghasilkan ( )yxP ," . Bagaimana jika ( )yxP ,

direfleksikan terhadap sumbu x dilanjutkan sumbu y, dicoba sendiri

sebagai latihan.


Gambar 8.6.3 Refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan sumbu x

8.5.4 KOMPOSISI LEBIH DARI DUA TRANSFORMASI Setelah kita mengerti komposisi dua transformasi, untuk mempelajari

komposisi lebih dari dua transformasi sangatlah mudah. Hal penting

untuk diingat adalah operasi transformasi mana yang lebih dahulu

dikerjakan dan bentuk serta operasi dari matrik transformasi. Untuk

lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH 8.5.1 Titik ( )3,2P ditranslasikan terhadap

−=

11

T , dilanjutkan rotasi

dengan titik pusat O dengan 090=θ , selanjutnya direfleksikan

terhadap sumbu x.

Jawab

Urutan dan hasil transformasi adalah:

[ ] ( )3,211

090,

−TRM Oxsumbu oo =

= [ ][ ] ( )3,221

090,

−TRM

Oxsumbu oo

= [ ][ ]

+

−32

21

090,Oxsumbu RM o


= [ ] [ ]

51

090,Oxsumbu RM o

= [ ]

−51

0110

oxsumbuM

= [ ]

−15

oxsumbuM

=

−

− 1

510

01

=

−−

15

Jadi titik ( )3,2P hasil dari tiga transformasi berurutan: ( )1,5 −−

• RANGKUMAN

• Komposisi Transformasi geometri adalah menggabungkan dua atau lebih bentuk‐bentuk transformasi. • Komposisi translasi dinotasikan ( )12 TT o , artinya obyek ditranslasi oleh 1T dilanjutkan dengan 2T dan berlaku

( )12 TT o = ( )21 TT o . • Misalkan titik ( )yxP , dilakukan rotasi oleh [ ]11 ,θOR kemudian dilanjutkan dengan [ ]21 ,θOR , maka disebut dengan komposisi rotasi dari 1R dilanjutkan dengan 2R , ditulis ( )12 RR o


• Misalkan titik ( )yxP , dilakukan refleksi terhadap garis kx = kemudian dilanjutkan dengan hx = , komposisi refleksi dari 1M dilanjutkan dengan 2M dinyatakan

( )12 MM o SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 888---666 1. Carilah nilai p dan q dalam masing-masing persamaan berikut

ini

a.

−=

+

61

43

qp

b.

=

−

414

3 qp

c.

=

+

−

qp

qp

321

2

2. Carilah peta dari titik dan transformasi yang ditentukan

dibawah ini

a. Titik (2, - 4) oleh pencerminan berturutan terhadap garis

3=x kemudian terhadap garis 7=x

b. Titik (-3, 2) oleh pencerminan berturutan terhadap garis

1−=y kemudian terhadap garis 5=y

c. Jika (5, 1) → (1, 1) oleh pencerminan berturutan terhadap

4=x , kemudian hx = , carilah h

3. Misalkan refleksi terhadap sumbu x adalah X dan refleksi

terhdapa garis xy = adalah M


a. Berilah transformasi tunggal yang ekuivalen dengan XM o ,

dan tulislah peta dari ( )baP ,

b. Tulislah matriks A dan yang berkaitan dengan X dan M, dan

periksa apakah BA merupakan matriks yang berkaitan dengan

XM o

c. Periksa apakah BAAB =

4. Carilah matriks yang berkaitan dengan pencerminan terhadap

sumbu y dilanjutkan dengan setengah putaran terhadap pusat.

Periksa hasilnya secara geometri.

5. Perlihatkan bahwa matriks

−3443

memberikan

transformasi yang sama dengan dilatasi [ ]5,O dilanjutkan dengan

rotasi sebesar suatu sudut lancip θ terhadap pusat, dimana

43tan =θ . Apakah transformasi-transformasi dalam komposisi

tersebut bersifat komutatif ?.

8.6 PENERAPAN GEOMETRI BIDANG Penerapan dalam kehidupan sehari-hari perlu diperhatikan kondisi yang

ada di Lapangan, penghitungan yang eksak harus dibulatkan keatas.

Contoh pada pemasangan keramik untuk lantai rumah kurang 3 buah,

kita tidak bisa membeli keramik hanya 3 buah tetapi harus satu dos,

demikian juga dalam perhitungan yang lain.


CONTOH 8.6.1 Perhatikan denah rumah dibawah ini ukuran dalam m, lantai rumah

akan dipasang keramik yang berukuran 30 x 30 cm. Satu dos berisi 10

buah keramik, harga satu dos keramik Rp 42.000,-. Ongkos

pemasangan Rp 25.000,- per m2 . Tentukan Beaya yang dibutuhkan !.

Jawab

Luas lantai adalah: ( ) ( ) 222 92421010 mmm =×−×

1 dos keramik luasnya adalah: ( ) 22 9000103030 cmcm =××

Kebutuhan keramik: 222,1029,0

922

2

=mm

dos, dibulatkan 103 dos.

Beaya yang dibutuhkan:

1. Pembelian keramik: 103 x Rp 42.000,- = R.

4.326.000,-

2. Ongkos Pemasangan: 92 x Rp 25.000,- = Rp

2.300.000,-

Total beaya yang dibutuhkan = Rp 6.626.000,-


3 m

0,5 m

5 m

CONTOH 8.6.2 Sebuah taman yang berukuran 15 m x 10 m diberi pagar yang

berbentuk seperti gambar dibawah ini. Bahan pagar dibuat dari besi

dengan harga Rp 27.000,-/m. Tentukan harga bahan yang dibutuhkan.

Panjang besi

Vertikal (warna biru) = 3 m x 10 = 30 m

Horisontal (warna merah muda) = 5 m x 2 = 10 m

Segitiga = 3 x 0,5 m x 9 = 13,5 m

Lingkaran = 9 x 2 x 3,14 x 0,5 m = 28, 26 m

Jumlah = 81,76 m

Ukuran pagar taman = 15 m x 10 m

Bahan yang dibutuhkan untuk panjang taman: 3 x 81,76 m = 245,28 m

Bahan yang dibutuhkan untuk lebar taman : 2 x 81,76 m = 163,52 m

Total bahan yang dibutuhkan = 408,8 m

Harga bahan Rp 27.000,-

Harga bahan seluruhnya adalah:

Rp 27.000,- × 408,8 m = Rp 11.037.600,-

• RANGKUMAN


Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat

diselesaikan dengan menerapkan geometri bidang.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 888---777 1. Tepi-tepi jalan pada gambar dibawah ini dibangun trotoar

terbuat dari paving berukuran 10 cm × 4 cm, harga paving Rp

60.000,-/m2, ongkos pemasangan Rp 24.000,-/m2. Tentukan total

beaya yang dibutuhkan

2. Anggaran yang tersedia untuk pembangunan jaringan pipa

air sebesar Rp 50.000.000,-, pipa yang digunakan berukuran 1 dim

dengan panjang 6 m, harga satu lonjor pipa Rp 42.000,-, harga

sambungan pipa Rp 5.000,-/buah. Ongkos pemasangan pipa setiap

10 lonjor Rp 45.000,-. Berapa m panjang pipa air yang terpasang.

3. Dinding sebuah hotel dengan luas 15.600 m2 dilakukan

pengecatan, 1 galon cat berisi 5 kg cukup digunakan untuk

mengecat 15 m2 . Berapa galon cat yang dibutuhkan.

4. Lantai sebuah lobi hotel berukuran 10 m x 8 m akan

dipasang keramik berukuran 40 cm x 40 cm, 1 dos keramik berisi 6

keramik, berapa dos keramik yang dibutuhkan.

475

Bab

9 PE L U A N G 9. Peluang

itung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang

bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar.

Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan

dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung,

perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori

peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi

hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang

kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak

contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.

H

476 B a b 9 : P e l u a n g

Dalam bab ini siswa akan belajar tentang kaidah pencacahan,

permutasi, kombinasi, peluang kejadian, dan pemakaiannya

dalam menyelesaikan permasalahan.

9.1 PENGERTIAN DASAR Ruang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu

percobaan, biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah suatu

himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dapat terdiri dari satu

titik sampel yang disebut kejadian sederhana, sedangkan kejadian

yang terdiri dari lebih dari titik sampel disebut kejadian majemuk.

Jadi kejadian majemuk merupakan gabungan dari beberapa kejadian

sederhana. Ruang nol adalah himpunan bagian ruang sampel yang

tidak memuat anggota. Elemen / anggota dari ruang sampel dinamakan

titik sampel.

Gambar 9.1.1 merupakan diagram ruang sampel

yang terdiri dari titik sampel a, b, c, d, e, f, dan g. Kejadian

, kejadian , kejadian , dan

merupakan kejadian bagian dari ruang sampel S.

B a b 9 : P e l u a n g 477

Gambar 9.1.1 Ruang Sampel

Irisan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan , adalah

kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A dan juga ada di

B. Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling terpisah (saling

asing) apabila dua kejadian tersebut tidak memiliki unsur persekutuan,

atau . Untuk ruang sampel pada Gambar 9.1.1,

, , , , ,

dan . Kejadian A dan D dikatakan saling terpisah.

Gabungan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan , adalah

kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A atau B. Untuk

ruang sampel pada Gambar 9.1.1, ,

, , ,

, dan .

478 B a b 9 : P e l u a n g

Komplemen suatu kejadian A, dinotasikan dengan , adalah

himpunan semua titik sampel di S yang bukan anggota A. Untuk ruang

sampel pada Gambar 9.1.1, dan .

CONTOH 9.1.1 Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasil

percobaannya adalah:

• jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya adalah

Elemen 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 merupakan titik sampel.

• jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya adalah

Elemen genap atau gasal merupakan titik sampel.

CONTOH 9.1.2 Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasil percobaannya adalah

• Jika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah S = {♠, ♣, ♥, ♦}

• Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah

B a b 9 : P e l u a n g 479

CONTOH 9.1.3 Percobaan pelemparan 2 buah mata dadu, ruang sampel-nya adalah

S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 1 maka A = { }, kejadian mustahil.

Jika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 7 maka B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}.

Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 11 maka C = {(5,6), (6,5)}.

Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka

D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.

Irisan kejadian A dan B adalah .

Irisan kejadian B dan C adalah .

Irisan kejadian C dan D adalah .

Gabungan kejadian A dan B adalah

.

Gabungan kejadian B dan C adalah

. Gabungan kejadian C dan D adalah

9.2 KAIDAH PENCACAHAN

480 B a b 9 : P e l u a n g

Untuk menentukan jumlah titik sampel yang ada dalam ruang sampel

diperlukan prinsip dasar menghitung, diantaranya kaidah penjumlahan,

kaidah perkalian, permutasi dan kombinasi. Dalam menghitung

banyaknya elemen ruang sampel dikenal dua prinsip penghitungan

dasar (basic counting principles), yaitu: Kaidah Perkalian (Rule of

Product) dan Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum).

9.2.1 KAIDAH PERKALIAN Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan

percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam

perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan

sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh

seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut.

Gambar 9.2.1 Diagram pohon untuk dua kali lemparan mata uang

B a b 9 : P e l u a n g 481

Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil angka (A) atau

gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat

hasil sebanyak 22 = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG,

GA, AG, AA}.

CONTOH 9.2.1 Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r

sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 jalan yaitu jalur a atau b maka

dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x 2 jalur yang berbeda,

yaitu:

Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan

percobaan seperti contoh di atas.

Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan

bahwa:

Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan

yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan

tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin.

Secara umum, dikatakan bahwa:

Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni

hasil yang mung-kin, 1 ≤ i ≤ r, maka jika semua percobaan itu dilakukan

bersamaan memiliki n1, n2, n3, ..., nr hasil yang mungkin.

482 B a b 9 : P e l u a n g

CONTOH 9.2.2 Sebuah komite yang terdiri atas 2 orang masing-masing mewakili siswa

kelas 1 dan kelas 2 akan dipilih. Jika calon dari kelas 1 ada 6 orang dan

calon dari kelas 2 ada 4 orang, maka ada 6 × 4 = 24 komite berbeda

yang dapat dipilih.

CONTOH 9.2.3 Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel

dalam ruang sampelnya ?

Penyelesaian :

Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan

muncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara juga

Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 × 6 =

36 cara.

CONTOH 9.2.4 Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil

yang mungkin adalah:

• untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin, • untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar dan angka, maka ada 2 hasil yang mungkin.

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari

ruang sampel ada 6 × 2 = 12 hasil yang mungkin.

B a b 9 : P e l u a n g 483

CONTOH 9.2.5 Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang

dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari a. 2 angka / digit. b. 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama. Penyelesaian : a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan.

Gambar 9.2.2 Menyusun dua angka pada deretan dua kotak Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4

kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh

muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud

adalah 4 × 4 = 16. b. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal a, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 × 3 = 12. 9.2.2 KAIDAH PENJUMLAHAN

484 B a b 9 : P e l u a n g

Dalam melakukan dua percobaan, kaidah penjumlahan mengatakan

bahwa:

jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan

yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka ada m+n hasil yang

mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.

Secara umum, dikatakan bahwa:

Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni

hasil yang mungkin, maka ada n1+n2+n3+…+nr hasil yang mungkin

jika tepat satu percobaan dilakukan.

CONTOH 9.2.6 Sebuah bola diambil dari sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan

dari sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing

bernomor. Hasil yang mungkin adalah: untuk mangkuk ada 4 hasil dan

untuk kaleng ada 6 hasil. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, hasil

yang mungkin ada 4 + 6 = 10.

CONTOH 9.2.7 Sebuah program komputer memiliki input yang valid berupa sederetan

huruf saja atau angka saja yang disebut string. String ini hanya terdiri

dari 4 huruf atau angka, atau panjang string adalah 4. Berapa banyak

input untuk program tersebut yang mungkin?

Penyelesaian:

B a b 9 : P e l u a n g 485

• Jika huruf atau angka dalam sebuah string boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×26×26×26 = (26)4 = 456.976. String angka ada sebanyak: 10×10×10×10 = (10)4 = 10.000. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string input adalah 456.976 + 10.000 = 466.976 • Jika huruf atau angka dalam sebuah string tidak boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×25×24×23 = 358.800. String angka ada sebanyak: 10×9×8×7 = 5.840. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string adalah 358.800 + 5.840 = 364.640. 9.3 PERMUTASI DAN KOMBINASI Dalam pembahasan permutasi dan kombinasi, kita awali dengan suatu ekspresi yang sering dipakai dalam matematika, yaitu faktorial. 9.3.1 NOTASI FAKTORIAL Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu

1×2×3×4 · … × (n-2) × (n-1) ×n

sering digunakan dalam matematika. Dan selanjutnya buat definisi sebagai berikut.

486 B a b 9 : P e l u a n g

DEFINISI 9.3.1 Untuk sembarang bilangan bulat , n faktorial yang ditulis n!, didefinisikan sebagai: dan didefinisikan 0!=1. Dari definisi n!, didapat persamaan berikut ini. CONTOH 9.3.1

4! = 4×3×2×1 = 24.

6! = 6.5! = 6×5×4×3×2×1 = 720.

Notasi faktorial ini akan sering digunakan dalam pembahasan tentang

permutasi dan kombinasi yang akan dibahas berikut ini.

9.3.2 PERMUTASI Permutasi Tanpa Pengulangan

Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk

oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada

pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.

B a b 9 : P e l u a n g 487

CONTOH 9.3.2 Untuk mengatur 3 huruf A, B dan C secara berurutan, didapat hasil

yang mungkin adalah : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA.

Masing-masing urutan ini dinamakan permutasi dari 3 obyek berbeda

yaitu: A, B dan C. Jadi banyaknya permutasi dari 3 obyek berbeda ada

6.

Misal, diberikan n obyek berbeda. Banyaknya permutasi n obyek

tersebut dapat dihitung sebagai berikut:

- untuk mengisi posisi urutan pertama ada n cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan kedua ada n-1 cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan ketiga ada n-2 cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-r ada n-(r-1) cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-n ada n-(n-1)=1 cara berbeda.

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya permutasi

adalah

n×(n-1) ×(n-2) ×(n-3) × … × 3×2×1 = n!

488 B a b 9 : P e l u a n g

DEFINISI 9.3.2 Suatu pengaturan susunan/urutan r objek tanpa pengulangan yang

dibentuk dari n objek berbeda, dengan , dinamakan permutasi r

objek dari n objek.

Banyaknya permutasi ini disimbulkan dengan .

Jika r=n maka banyaknya permutasi n objek yang berbeda adalah

Lihat penjelasan sebelum definisi dan definisi dari

permutasi.

CONTOH 9.3.3 Jika di suatu kantor ada 3 orang yang akan menduduki jabatan Kepala,

Sekretaris, dan Bendahara, maka ada berapa cara dapat dibuat susunan

jabtan tersebut.

Penyelesaian :

Ada 3 orang yang akan disusun urutan masing-masing sebagai Kepala,

Sekretaris, dan Bendahara. Jadi ada 3 objek diambil 3 untuk dibuat

suatu urutan jabatan. Oleh karena itu, susunan yang dapat dibuat ada

sebanyak .

B a b 9 : P e l u a n g 489

TEOREMA 9.3.1 Banyaknya permutasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda

adalah

Bukti:

Setiap permutasi r obyek memuat r posisi berurutan. Untuk mengisi

posisi pertama sampai posisi ke-r secara berurutan dapat dilakukan

dengan : n, n-1, n-2, n-3, …, n-(r-1) cara. Sehingga untuk mengisi r

posisi urutan sekaligus adalah:

(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(n-(r-1)) =

CONTOH 9.3.4 Dua kupon diambil dari 5 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan

kedua. Hitung banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya.

490 B a b 9 : P e l u a n g

Penyelesaian :

Misal 1,2,3,4,5 menyatakan nomor kupon. Akan diambil dua nomor

berbeda yang tidak boleh kembar untuk disusun / dimasukkan ke dalam

sederetan kotak XY. Nomor yang ada pada kotak X adalah nomor yang

mendapatkan hadiah pertama, sedangkan yang ada dalam kotak Y

adalah nomor yang mendapatkan hadiah ke dua. Karena itu,

permasalahan ini sama dengan permutasi 2 objek dari 5 buah objek

yang berbeda. Sehingga banyak titik sampel adalah

CONTOH 9.3.5 Seorang sekretaris ingin menyusun 6 buah buku laporan semesteran dan

3 buah buku laporan tahunan dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku

laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut

menyusun buku?.

Penyelesaian :

Disini dipunyai dua kelompok buku laporan, yaitu buku laporan

semesteran dan buku laporan tahunan.

Pengaturan dua jenis buku laporan ini ada sebanyak

cara.

Oleh karena setiap jenis buku laporan harus berdekatan, pengaturan

pada setiap jenis buku laporan dilakukan sebagai berikut:

B a b 9 : P e l u a n g 491

• Jenis buku laporan semesteran: ada 6 buah buku laporan semesteran yang berbeda dan akan ditata berderetan. Permasalahan ini sama dengan mengambil 6 buah objek dari 6 objek yang berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku laporan semesteran ada sebanyak . • Jenis buku laporan tahunan: ada 3 buah buku laporan tahunan yang berbeda dan akan ditata berderetan. Permasalahan ini sama dengan mengambil 3 buah objek dari 3 objek yang berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku laporan tahunan ada sebanyak .

Karena ini merupakan tiga buah kejadian yang terjadi secara

bersamaan, berlaku kaidah perkalian. Oleh karena itu, banyaknya

pengaturan buku laporan tersebut ada sebanyak 2 720 6 = 8.640 cara.

CONTOH 9.3.6 Profesor Amir memiliki koleksi buku yang terdiri atas: 5 buku

Matematika, 4 buku Statistika, 3 buku Fisika dan 2 buku Kimia, diatur

berjajar dalam sebuah rak buku sehingga buku yang memiliki subyek

sama berkumpul. Tentukan ada berapa pola pengaturan yang mungkin?.

Penyelesaian:

Silahkan dicoba untuk melakukan penghitungan sendiri. Cara

menghitung mirip dengan pada contoh sebelum ini.

Permutasi Dengan Pengulangan

492 B a b 9 : P e l u a n g

Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n

buah objek yang tidak harus berbeda. Beda dengan sebelumnya yang n

buah objeknya berbeda. Sebelum menghitung banyaknya permutasi

dengan pengulangan ini, terlebih dahulu kita lihat contoh berikut ini.

CONTOH 9.3.7 Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang

terdapat dalam sebuah kata “PEPPER”!

Penyelesaian:

Jika 3 huruf P dan 2 huruf E dapat dibedakan, maka ada sebanyak

cara berbeda yang mungkin.

Akan tetapi, jika 3 huruf P tidak dapat dibedakan, maka 3! susunan

yang dibentuk dari 3 huruf P diwakili/dihitung satu saja. Sehingga

banyaknya susunan yang ada harus dibagi 3!, akibat 3 huruf P yang

kembar.

Secara sama, jika 2 huruf E tidak dapat dibedakan, maka 2! susunan

yang dibentuk dari 2 huruf E diwakili/dihitung satu saja. Sehingga

banyaknya susunan yang ada harus dibagi lagi dengan 2!, akibat 2

huruf E yang kembar.

Jadi banyaknya cara menyusun menyusun huruf-huruf tersebut ada

sebanyak

B a b 9 : P e l u a n g 493

Secara umum, kasus seperti contoh di atas membawa kita kepada

teorema berikut ini. Pada buku ini, teorema tersebut tidak disertai

dengan bukti.

TEOREMA 9.3.2 Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiri dari n1 objek sama, n2

objek sama, …, nr objek sama, dengan n1+ n2+ n3 + … + nr ≤ n, adalah

CONTOH 9.3.8 Sebanyak 9 bola yang terdiri dari 4 bola berwarna merah, 3 bola

berwarna kuning, dan 2 bola berwarna biru. Semua bola dimasukkan

kedalam sebuah tabung kaca dan membentuk deretan bola memanjang

dalam tabung kaca. Tentukan ada berapa pola warna deretan bola yang

mungkin!.

Penyelesaian:

Sebagai ilustrasi, salah satu bentuk susunan bola tersebut adalah

494 B a b 9 : P e l u a n g

Karena 4 bola merah, 3 bola kuning, dan 2 bola biru tak dapat

dibedakan, maka ada sebanyak

pola warna susunan bola.

CONTOH 9.3.9 Berapa banyak susunan yang berbeda bila ingin membuat serangkaian

lampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 lampu kuning, dan

2 lampu biru.

Penyelesaian :

Permasalahan ini identik dengan menyusun sederetan 9 buah objek,

dengan 3 buah objek sama, 4 buah objek lainnya lagi sama, dan 2 buah

objek lainnya lagi sama. Oleh karena itu, banyaknya susunan lampu

hias pada pohon tersebut ada sebanyak

CONTOH 9.3.10 Berapa banyak cara 7 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan 2

kamar doubel?.

Penyelesaian :

B a b 9 : P e l u a n g 495

Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan:

- T menyatakan kamar tripel (memuat 3 orang). - D1 menyatakan kamar doubel yang pertama (memuat 2 orang). - D2 menyatakan kamar doubel yang kedua (memuat 2 orang). - Ketujuh orang tersebut diberi nama A, B, C, D, E, F, dan G.

Suatu kondisi:

i. Orang A, B, dan C berada dikamar T. ii. Orang D dan E berada di kamar D1. iii. Orang F dan G berada di kamar D2. Dapat diidentikkan dengan:

i. Membagi 3 buah objek T ke orang A, B, dan C. ii. Membagi dua buah objek D1 ke orang D dan E. iii. Membagi dua buah objek D2 ke orang F dan G. Oleh karena itu, permasalahan tersebut identik juga dengan menyusun 7

buah objek yang terdiri dari 3 objek sama, 2 objek lainnya sama, dan 2

objek lainnya lagi sama.

Sehingga banyaknya susunan 7 orang tersebut menginap ada

Permutasi Siklik

496 B a b 9 : P e l u a n g

Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang

melingkar. Sebagai gambaran adalah susunan duduk dari beberapa

orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi

melingkar.

Sebagai ilustrasi, misal ada tiga orang A, B, dan C akan didudukan

dalam meja bundar seperti Gambar 9.3.1.

(a)

(b)

(c)

Gambar 9.3.1 Permutasi siklik tiga objek

Susunan pengaturan duduk pada Gambar 9.3.1(a) dianggap sama

dengan susunan pada Gambar 9.3.1 (b) dan Gambar 9.3.1 (c). Karena

pada ketiga gambar tersebut, orang yang berada sebelah kiri A adalah

C, dan disebelah kanan A adalah B. Atau orang yang berada pada

sebelah kiri dan kanan ‘kita’ adalah sama pada susunan gambar

tersebut. Sehingga tiga buah susunan semacam ini dianggap satu.

Jika ilustrasi di atas dikembangkan untuk n buah objek yang disusun

dalam deretan melingkar, maka akan ada n susunan yang sama dan

harus dihitung sekali, dengan kata lain harus dibagi dengan n. Hal ini

akan membawa kita pada teorema berikut ini. Bukti teorema tidak

disertakan dalam buku ini.

B a b 9 : P e l u a n g 497

TEOREMA 9.3.3 Banyaknya permutasi siklik dari n objek yang disusun dalam bentuk

deretan melingkar adalah

CONTOH 9.3.11 Tentukan banyaknya menempatkan 5 orang duduk melingkar pada

meja bundar dengan 5 kursi.

Penyelesaian:

Ini adalah permasalahan permutasi siklis dengan 5 objek, sehingga

banyaknya cara menempatkan 5 orang duduk melingkar adalah

CONTOH 9.3.12 Jika kita mempunyai 7 permata dan ingin ditempatkan pada gelang,

maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat dibuat.

Penyelesaian:

Banyak cara menempatkan permata adalah

498 B a b 9 : P e l u a n g

CONTOH 9.3.13 Pada suatu pertemuan keluarga, ada 5 pasang suami-istri yang akan

duduk pada meja makan yang melingkar dengan 10 kursi. Berapa

susunan duduk pada pertemuan makan tersebut jika setiap pasang

suami istri selalu berdampingan.

Penyelesaian:

Anggaplah sepasang suami istri adalah sebuah objek, karena selalu

berdampingan. Oleh karena itu, banyaknya susunan duduk untuk 5

objek melingkar adalah Akan tetapi, dari setiap pasang

suami istri cara duduknya dapat ditukar, dan ini masih menjamin

suami-istri duduk berdampingan.

Sehingga banyaknya cara duduk pada pertemuan makan keluarga

tersebut adalah 24×2×2×2×2×2 = 768.

9.3.3 KOMBINASI Didalam permutasi urutan dari suatu susunan diperhatikan, misal

susunan ABC dan BCA dianggap berbeda. Didalam kombinasi dua

susunan tersebut dipandang sama. Sebagai gambaran, tim bola voli

terdiri dari Anton, Budi, Cecep, Dede, Erik, dan Fery. Karena ini

merupakan tim bola voli maka urutannya dibalik dianggap sama, atau

dengan kata lain urutan tidak diperhatikan.

Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan

adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r ≤

n).

B a b 9 : P e l u a n g 499

DEFINISI 9.3.3 Suatu pengaturan susunan r objek yang dibentuk dari n objek berbeda

tanpa memperhatikan urutan, dengan , dinamakan kombinasi r

objek dari n objek.

Banyaknya kombinasi ini disimbulkan dengan atau .

CONTOH 9.3.14 Tentukan kombinasi 3 huruf yang diambil dari 4 huruf A, B, C, dan D.

Penyelesaian:

Kombinasi tersebut adalah: ABC, ABD, ACD, dan BCD. Banyaknya

kombinasi ada 4.

Pada contoh di atas, susunan ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA

dianggap sama atau dihitung satu. Sehingga kalau dalam permutasi

dihitung 3!, namun didalam kombinasi susunannya dianggap sama dan

dihitung satu. Oleh karena itu, banyaknya kombinasi sama dengan

banyaknya permutasi dibagi dengan r! = 3!.

Hal tersebut di atas, akan membawa kepada teorema berikut ini.

TEOREMA 9.3.4 Untuk sembarang bilangan bulat positip n dan bilangan tak negatip r,

dengan r ≤n, banyaknya kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek

berbeda adalah

500 B a b 9 : P e l u a n g

Bukti:

Jika urutan dalam r elemen diperhatikan, maka ada nPr hasil berbeda.

Karena kombinasi tidak memperhatikan urutan, maka seluruh

permutasi r elemen tertentu dalam himpunan n elemen yaitu sebanyak

r! pola diwakili salah satu saja. Jadi banyaknya kombinasi adalah

CONTOH 9.3.15 Sebuah tim bola voli inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat anggota.

Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?.

Penyelesaian:

Karena dalam tim tidak dikenal urutan, masalah ini identik dengan

masalah menghitung kombinasi 6 obyek yang diambil dari 10 obyek

berbeda. Jadi ada sebanyak

konfigurasi tim inti.

B a b 9 : P e l u a n g 501

CONTOH 9.3.16 Club Catur “ Harapan “ akan mengirimkan 2 orang pemain catur dari

10 pemain caturnya dalam suatu turnamen catur nasional. Berapa

banyak kemungkinan susunan 2 orang pemain catur yang dikirim

tersebut.

Penyelesaian :

Masalah pemilihan 2 pemain catur termasuk dalam masalah kombinasi, karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya. Sehingga untuk soal ini adalah kombinasi 2 dari 10 orang, atau

CONTOH 9.3.17 Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain.

Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain

hanya bermain pada satu tim?.

Penyelesaian:

- Untuk memilih tim pertama ada sebanyak .

- Untuk memilih tim kedua ada .

502 B a b 9 : P e l u a n g

- Untuk memilih tim ketiga ada .

- Untuk memilih tim keempat ada .

Jadi dengan kaidah perkalian banyaknya konfigurasi adalah

2.520 .

CONTOH 9.3.18 Diketahui klub Tenis yang terdiri 15 putra dan 10 putri

5. tentukan banyak kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri

dari 5 orang.

6. tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari

3 putra dan 2 putri.

Penyelesaian :

a. Masalah pemilihan delegasi termasuk dalam masalah kombinasi.

Karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya, sehingga untuk

soal ini identik dengan kombinasi 5 dari 25 orang, yaitu

b. Dalam hal ada dua pemilihan putra dan putri, untuk pemilihan putra

adalah masalah kombinasi 3 unsur dari 15, yaitu

B a b 9 : P e l u a n g 503

Sedangkan untuk pemilihan putri adalah kombinasi 2 unsur dari 10 unsur, yaitu

Banyaknya kombinasi total adalah merupakan hasil kali antara keduanya, yaitu

(455)(45) = 20.475

• RANGKUMAN

• Kaidah perkalian

Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni hasil yang mung-kin, 1 ≤ i ≤ r, maka jika semua percobaan itu dilakukan bersamaan memiliki n1, n2, n3, ..., nr hasil yang mungkin.

• Kaidah Penjumlahan

Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i

504 B a b 9 : P e l u a n g

memiliki ni hasil yang mungkin, maka ada n1+n2+n3+…+nr hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.

• Untuk sembarang bilangan bulat , n faktorial yang ditulis

n!, didefinisikan sebagai:

Didefinisikan 0!=1

• Pengaturan susunan r objek tanpa pengulangan yang dibentuk

dari n objek berbeda, dengan , dinamakan permutasi r

objek dari n objek. Banyaknya permutasi ini disimbulkan

dengan

• Banyaknya permutasi siklik dari n objek yang disusun dalam bentuk deretan melingkar adalah

• Pengaturan susunan r objek yang dibentuk dari n objek berbeda

tanpa memperhatikan urutan, dengan , dinamakan kombinasi r objek dari n objek.

Banyaknya kombinasi ini disimbulkan dengan atau


B a b 9 : P e l u a n g 505

Kerjakanlah soal-soal latihan dibawah ini.

2. Hitunglah ekspresi: a. 7! c. b. 5×4! d. 3. Hitunglah ekspresi: a. c. b. d. 4. Diketahui angka 1, 3, 5, 7, 9. Tentukan:

c. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari

angka tersebut.

d. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari

angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama.

5. Diketahui angka 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8. Tentukan:

e. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari

angka tersebut.

f. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari

angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama.

g. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari

angka tersebut tetapi bernilai ganjil.

h. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari

angka tersebut yang habis dibagi 5.

6. Diketahui ada 5 baju berbeda, 4 celana panjang berbeda dan 3 dasi

berbeda. Tentukan banyak kombinasi dalam memakai baju, celana

dan dasi.

506 B a b 9 : P e l u a n g

4. Didalam suatu ruangan terdapat 10 kursi.6 pemuda dan 4 pemudi

akan duduk didalam ruangan tersebut.Tentukan banyaknya posisi

duduk, jika

a. duduknya sembarang.

b. pemuda dan pemudi duduknya selang-seling.

7. Diketahui ada 4 buku yang berbeda dalam bahasa Jepang, 5 buku

berbeda dalam bahasa Inggris dan 3 buku berbeda dalam bahasa

Indonesia.

a. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku

dari bahasa yang semuanya berbeda jika urutan bahasa

menjadi tidak penting.

b. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku

dari bahasa yang sama jika urutan bahasa menjadi tidak

penting.

c. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku

yang terdiri dari dua bahasa jika urutan bahasa menjadi tidak

penting.

8. Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus OSIS yang terdiri

dari ketua, sekretaris dan bendahara dapat dibentuk, jika ada 50

calon pengurus OSIS.

9. Diketahui 12 bendera yang terdiri dari bendera Indonesia, bendera

Amerika dan bendara Jepang. Bendera yang berasal dari Negara

yang sama tidak dapat dibedakan. Jika diambil 12 bendera tentukan

banyak urutan yang dapat muncul dari pengambilan bendera jika :

a. bendera Indonesia ada 5, bendera Amerika ada 4 dan bendera

Jepang ada 3.

B a b 9 : P e l u a n g 507

b. bendera Indonesia ada 3, bendera Amerika ada 3 dan bendera

Jepang ada 6.

10. Di Republik BBM, DPR terdiri dari 2 Partai yaitu Partai Bulan dan

Partai Matahari. Salah satu anggota komite terdiri 7 orang Partai

Bulan dan 5 orang Partai Matahari. Akan dibuat satu delegasi yang

diambil dari komite. Tentukan banyak cara menyusun

a. delegasi yang terdiri dari 4 orang.

b. delegasi terdiri dari 4 orang dengan satu orang dari partai

Bulan.

c. delegasi terdiri dari 5 orang, dengan ketua dari partai

Bulan dan anggota seimbang antara kedua partai.

11. Berapa jumlah 3 tempat pariwisata yang dapat dipilih dari 9 tempat

yang ditawarkan.

12. Tentukan banyaknya pembagi (factor) dari bilangan 10.000

13. Sebuah bola diambil sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan

sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing

bernomor, maka berapa banyak hasil yang mungkin?

14. Sebuah program komputer memiliki valid input berupa string huruf

saja atau string angka saja dengan panjang 4. Berapa banyak valid

input program tersebut yang mungkin?.

15. Sebanyak 6 orang akan membeli tiket tanda masuk sebuah

pertunjukkan secara bersa-maan. Jika hanya tersedia sebuah loket

pembelian tiket, maka berapa konfigurasi antrian yang mungkin

dapat terjadi.

508 B a b 9 : P e l u a n g

16. Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf

yang terdapat dalam sebuah kata “MEMILIKI”!

17. Ada berapa cara untuk memilih seorang pemenang pertama,

seorang pemenang kedua dan seorang pemenang ketiga dari sebuah

kontes yang diikuti oleh 100 kontestan?

18. Sebuah kata kunci (keyword) terdiri atas 6 huruf kecil. Tentukan

ada berapa kata kunci berbeda yang mungkin?.

19. Sebuah tim bola volley inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat

anggota. Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?.

20. Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain.

Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain

hanya bermain pada satu tim?

21. Sebanyak 50 orang turis manca negara ingin mengunjungi sebuah

pulau dengan menggunakan jalur udara. Jika hanya tersedia sebuah

pesawat dengan kapasitas 10 penumpang yang menuju pulau

tersebut, ada berapa formasi penerbangan para turis tersebut?.

22. Ada berapa banyak plat nomor kendaraan berbeda dapat dibuat,

jika setiap pelat memuat sebuah barisan 2 huruf diikuti dengan 4

angka dan diikuti dengan 2 huruf?.

23. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip

berbeda yang mungkin untuk persamaan: ?.

B a b 9 : P e l u a n g 509

24. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip

berbeda yang mungkin untuk persamaan: ?.

9.4 PELUANG SUATU KEJADIAN Untuk percobaan pelemparan mata dadu, didapat ruang sampel

Seperti yang telah dipaparkan pada awal Bab 9.

Kita dapat beranggapan bahwa setiap mata dadu mempunyai peluang

kemunculan yang sama. Sehingga peluang setiap mata dadu adalah .

Jika peluang mata dadu 1 dinotasikan dengan P(1), maka .

Secara sama,

.

Dalam sebuah percobaan, semua kejadian sederhana dalam ruang

sampel dianggap mempunyai peluang (kemungkinan) sama untuk

muncul (equally likely). Ruang sampel yang demikian dinamakan

ruang sampel berpeluang sama.

Jika merupakan ruang sampel berpeluang sama

dengan N titik sampel, maka peluang dari kejadian sederhana

510 B a b 9 : P e l u a n g

dinotasikan dengan dan didefinisikan

sebagai

Selanjutnya untuk kejadian dengan k ≤ N, peluang

suatu kejadian A adalah jumlah semua peluang titik sampel dalam A,

atau dituliskan sebagai

(9.4.1)

atau

. (9.4.2)

Dengan |A| adalah banyaknya titik sampel / elemen di A, dan |S| adalah

banyaknya titik sampel di S. Nilai dari P(A) berkisar mulai dari 0

hingga 1, atau .

Jika P(A) = 0 maka kejadian A tidak mungkin terjadi. Sedangkan jika

P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi.

CONTOH 9.4.1 Misalkan kita melakukan percobaan pelemparan satu mata dadu.

d. Jika A adalah kejadian muncul sisi bertanda 2, maka tentukan

peluang dari kejadian A.

B a b 9 : P e l u a n g 511

e. Jika B adalah kejadian muncul sisi bertanda genap, maka tentukan

peluang dari kejadian B.

Penyelesaian:

Dalam percobaan pelemparan mata dadu, ruang sampelnya adalah

1. Muncul satu sisi (bertanda apa saja) dalam percobaan pelemparan

dadu merupakan kejadian sederhana. Diasumsikan bahwa dadu

mempunyai enam sisi yang serupa, setiap kejadian sederhana A

mempunyai peluang sama, yaitu , atau

2. Kejadian atau B mempunyai tiga anggota, sehingga

peluangnya adalah

512 B a b 9 : P e l u a n g

CONTOH 9.4.2 Misal dalam suatu tas Farhan berisi 6 pensil dan 3 pulpen. Kemudian

Farhan mengambil satu objek (bisa pensil atau pulpen) secara acak

(tanpa memilih).

a. Tentukan peluang mengambil pensil

b. Tentukan peluang mengambil pulpen

Penyelesaian :

Ruang sampel dari pengambilan satu objek adalah

S = {P, P, P, P, P, P, L, L, L}, anggota S adalah 9.

Dengan P menyatakan objek pensil yang terambil dan L menyatakan

objek pulpen yang terambil.

Misal A merupakan kejadian mengambil pensil, banyaknya

anggota A adalah 6, jadi peluang kejadian A adalah

Misal B merupakan kejadian mengambil pulpen, banyaknya

anggota B adalah 3, jadi peluang kejadian B adalah

B a b 9 : P e l u a n g 513

CONTOH 9.4.3 Irfan mempunyai 6 bola putih dan 3 bola merah. Kemudian Irfan

mengambil dua bola secara acak (tanpa memilih).

3. Tentukan peluang mengambil semuanya bola putih.

4. Tentukan peluang mengambil semuanya bola merah.

5. Tentukan peluang mengambil satu bola merah dan satu bola putih.

Penyelesaian :

Dua bola yang terambil tidak diperhatikan urutannya. Oleh karena itu,

permasalahan ini termasuk permasalahan kombinasi.

Ruang sampel S adalah himpulan cara Irfan mengambil 2 bola dari 9

bola. Banyaknya anggota S (banyaknya titik sampel di S) adalah

a. Misal A merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola putih.

Banyaknya anggota A adalah

Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola putih adalah

514 B a b 9 : P e l u a n g

b. Misal B merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola merah.

Banyaknya anggota B adalah

Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola merah adalah

c. Kejadian mengambil satu bola putih dan satu bola merah dianggap

sama dengan kejadian mengambil satu bola merah dan satu bola

putih. Misal C merupakan kejadian Irfan mengambil satu bola putih

dan satu bola merah. Banyaknya anggota C adalah banyaknya

kejadian Irfan mengambil satu bola putih dikalikan banyaknya Irfan

mengambil satu bola putih. Ingat kembali kaidah perkalian pada

subbab 9.2.1. Jadi banyaknya anggota C adalah

Jadi peluang dari Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola

merah adalah

B a b 9 : P e l u a n g 515

9.4.1 PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A bagian dari S, dan adalah

komplemen dari A. Lihat Gambar 9.4.1.

Gambar 9.4.1 Ruang Sampel S dan Kejadian A.

Jika A dan dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya,

maka

(9.4.3)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut. CONTOH 9.4.4 Tentukan peluang mengambil satu kartu dari kartu brigde standard

memperoleh bukan As.

Penyelesaian :

Misal A merupakan kejadian mengambil satu kartu dan memperoleh

kartus As. Peluang memperoleh satu kartu As adalah , karena

banyaknya titik sampel di A ada 4 dan banyaknya kartu ada 52.

516 B a b 9 : P e l u a n g

Dengan demikian peluang mengambil satu kartu dan memperoleh

bukan As adalah

9.4.2 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B bagian dari

S. Lihat Gambar 9.4.2.

Gambar 9.4.2 Kejadian A dan B bagian dari Ruang Sampel S.

Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang kejadian

adalah

(9.4.4)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.

CONTOH 9.4.5 Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A

adalah kejadian jumlah mata dadu yang muncul adalah 8. Kejadian B

adalah kejadian mata dadu kedua yang muncul adalah 5. Tentukan

B a b 9 : P e l u a n g 517

peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau

mata dadu kedua yang muncul adalah 5.

Penyelesaian :

Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample

adalah |S| = 36. Misal pasangan angka mata dadu pertama dan angka

mata dadu kedua dinyatakan sebagai (x, y). Ruang sampel S adalah

• Untuk kejadian A:

- A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} - Peluang kejadian A adalah

• Untuk kejadian B:

- B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} - Peluang kejadian B adalah

• Interseksi kejadian A dan B:

- - Peluang interseksi kejadian A dan B adalah

518 B a b 9 : P e l u a n g

Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8

atau mata dadu kedua yang muncul 5 adalah

9.4.3 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN SALING LEPAS Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B saling lepas

merupakan bagian dari S. Lihat Gambar 9.4.3.

Gambar 9.4.3 Kejadian A dan B Saling Lepas.

Kejadian A dan B adalah dua kejadian bagian dari S yang saling lepas.

Atau,

Jika kita subsitusikan ke persamaan (9.4.4) maka didapat

peluang kejadian seperti persamaan (9.4.5).

B a b 9 : P e l u a n g 519

(9.4.5)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut. CONTOH 9.4.6 Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A

adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang

muncul adalah 3. Kejadian B adalah kejadian jumlah angka mata dadu

pertama dan kedua yang muncul adalah 8. Tentukan peluang kejadian

jumlah angka mata dadu pertma dan kedua yang muncul adalah sama

dengan 3 atau 8.

Penyelesaian :

Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample

adalah |S| = 36.

• Untuk kejadian A: - A = {(1, 2), (2, 1)} - Peluang kejadian A adalah

• Untuk kejadian B:

- B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) } - Peluang kejadian B adalah

• Interseksi kejadian A dan B:

520 B a b 9 : P e l u a n g

- , kejadian A dan B saling lepas. Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 3

atau 8 adalah

9.4.4 PELUANG BERSYARAT DAN KEJADIAN SALING BEBAS

Sebelumnya kita membahas peluang bersyarat ini, terlebih dahulu kita

lihat suatu kasus permasalahan peluang. Peluang dari kejadian orang

mengidap penyakit paru-paru adalah kecil. Akan tetapi, jika kita

berikan syarat bahwa orang yang perokok berat, maka peluang kejadian

orang tersebut mengidap penyakit paru-paru menjadi lebih besar.

Peluang dengan ada suatu syarat seperti yang digambarkan di atas

dinamakan peluang bersyarat.

Sebelum menuju pada suatu rumusan peluang bersyarat, kita lihat

contoh berikut ini.

CONTOH 9.4.7 Perhatikan percobaan pelemparan dadu. Ruang sampel dari percobaan

pelemparan dadu adalah

B a b 9 : P e l u a n g 521

Mari kita lihat beberapa kejadian yang terkait dengan pelemparan dau

ini.

• Misal A merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah ganjil, diperoleh: - - Peluang A adalah

• Misal B merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah lebih besar dari 2, diperoleh: - - Peluang B adalah

• Selanjutnya, kita ingin menghitung peluang munculnya angka mata dadu ganjil dengan syarat angka yang muncul adalah lebih besar dari 2. - Angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari 2, pasti merupakan titik sampel yang ada di B. Jika kejadian B ini kita anggap sebagai ruang sampel (bukan lagi S), maka ruang sampel yang demikian ini dinamakan ruang sampel

tereduksi. - Suatu kejadian munculnya angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari 2 adalah dan peluangnya . - Muncul dua dari empat titik sampel di ruang sampel tereduksi B. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa adalah

peluang bersyarat munculnya angka mata dadu ganjil

jika diketahui angka mata dadu yang muncul lebih besar

dari 2. Atau dikatakan sebagai peluang kejadian A dengan

522 B a b 9 : P e l u a n g

syarat kejadian B, dan diberi notasi . Lihat Gambar 9.4.4.

Gambar 9.4.4 Ruang Sampel Tereduksi Hasil pengamatan di atas, akan membawa kita pada definisi peluang

bersyarat berikut ini.

DEFINISI 9.4.1 Misal kejadian A dan B bagian dari ruang sampel S. Peluang kejadian A dengan syarat B dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai dengan .

Dari definisi di atas juga dapat diturunkan bentuk rumusan sebagai

berikut.

B a b 9 : P e l u a n g 523

Atau

. (9.4.6)

Persamaan (9.4.6) ini dinamakan aturan hasil kali.

Jika merupakan komplemen dari A, maka peluang kejadian

dengan syarat B adalah

(9.4.7)

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika dua kejadian tersebut tidak

saling mempengaruhi. Jadi kejadian A dan kejadian B dikatakan saling

bebas jika diberikan syarat kejadian B, maka tidak mempengaruhi

kejadian A atau sebaliknya. Dengan kata lain P(A|B) = P(A) atau

P(B|A) = P(B) . Jika dimasukkan ke dalam persamaan (9.4.6), maka

diperoleh

(9.4.8)

524 B a b 9 : P e l u a n g

Jika berlaku , maka kejadian A dan kejadian

B merupakan dua kejadian saling bebas.

CONTOH 9.4.8 Sebuah kaleng berisi 2 bola merah dan 2 bola biru. Dilakukan

pengambilan 2 bola secara berurutan, tanpa pengembalian. Tentukan

peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan yang kedua, jika

diketahui bola pertama yang terambil adalah biru.

Penyelesaian:

Misal A kejadian terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua.

Kejadian B adalah kejadian terpilihnya bola biru pada pengambilan

pertama.

Gambar 9.4.5 Pengambilan Dua Bola Berurutan

Untuk mempermudah, kita beri nama bola merah dengan m1 dan m2.

Bola biru kita beri nama b1 dan b2.

• Kejadian terpilihnya bola pertama biru, kejadian B. - Anggaplah B sebagai ruang sampel tereduksi.

B a b 9 : P e l u a n g 525

- -

• Kejadian terpilihnya bola kedua merah dalam ruang sampel tereduksi B adalah kejadian . - -

Peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua, jika

pengambilan bola pertama terpilih putih adalah

CONTOH 9.4.9 Manajemen suatu kompleks pertokoan telepon genggam mencatat

bahwa 60% pembeli adalah wanita dan sisanya adalah pembeli pria.

Sebanyak 80% pembeli wanita membayar dengan cara angsuran.

Pembeli pria yang membayar dengan cara angsuran hanya 20%.

Jika seorang pembeli dipilih secara acak, maka tentukan peluang

terpilihnya: a. Seorang wanita yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran. b. Seorang pria yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran. Penyelesaian:

Ruang sampel S adalah pembelian telepon genggam di pertokoan.

526 B a b 9 : P e l u a n g

Misal: - Kejadian W adalah kejadian wanita membeli telepon

genggam, P(W) = 0,6.

- Kejadian L adalah kejadian pria membeli telepon genggam,

P(L) = 0,4.

- Kejadian A adalah kejadian seorang membeli telepon

genggam dengan cara angsuran.

P(A|W) = 0,8 dan P(A|L) = 0,2.

Berdasarkan aturan hasil kali, diperoleh:

a. Peluang terpilihnya seorang wanita membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah b. Peluang terpilihnya seorang pria membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah Untuk memahami dua kejadian saling bebas, perhatikan contoh berikut

ini.

CONTOH 9.4.10 Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama.

Berapa peluang munculnya sisi angka pada uang logam dan peluang

munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil ?.

B a b 9 : P e l u a n g 527

Penyelesaian :

Ruang sampel dari percobaan ini adalah

Dengan titik sampel (x, y) adalah

- pelemparan uang logam muncul x, nilai dapat a (angka) atau g (gambar)

- pelemparan dadu muncul angka y, nilai y dapat 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.

Peluang masing – masing kejadian adalah

• Kejadian A adalah kejadian munculnya sisi angka pada uang logam - - .

• Kejadian B adalah kejadian munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil. - - .

• Kejadian merupakan kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan angka ganjil pada mata dadu.

528 B a b 9 : P e l u a n g

- -

Terlihat bahwa berlaku

Oleh karena itu, dikatakan bahwa kejadian A dan B saling bebas.

9.4.5 FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN Perhatikan kasus berikut ini : Sebuah dadu dilempar sebanyak 12 kali

Tentukan berapa kali kemungkinan muncul mata dadu 2 ?.

Untuk menjawab permasalahan diatas, kita dapat melakukan kegiatan

dengan cara sebuah dadu kita lempar 12 kali, kemudian kita catat

banyaknya mata dadu 2 yang muncul. Kita ulang lagi dengan melempar

dadu sebanyak 12 kali dan kita catat banyaknya mata dadu 2 yang

muncul. Kegiatan tersebut kita lakukan beberapa kali. Dari hasil

catatan akan terlihat banyaknya muncul mata dadu 2, misal 2 kali.

Peluang munculnya mata dadu 2 pada pelemparan sebuah dadu adalah

. Jika dadu dilempar sebanyak 12 kali, maka diharapkan mendapatkan

mata dadu 2 sebanyak kali = 2 kali. Harapan munculnya mata

dadu 2 sebanyak 2 kali tersebut dinamakan frekuensi harapan.

B a b 9 : P e l u a n g 529

Frekuensi harapan munculnya kejadian A dengan n kali percobaan

adalah

CONTOH 9.4.11 Sebuah uang logam dilempar sebanyak 40 kali. Tentukan frekuensi

harapan munculnya sisi gambar pada uang logam tersebut.

Penyelesaian :

Misal A merupakan kejadian munculnya sisi gambar, .

Peluang kejadian A adalah .

Jadi frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam adalah

kali.

• RANGKUMAN

• Peluang suatu kejadian

Untuk kejadian dengan k ≤ N, peluang

suatu kejadian A adalah jumlah semua peluang titik sampel dalam A. Ditulis sebagai

atau

530 B a b 9 : P e l u a n g

• Peluang komplemen kejadian

Jika A dan dua kejadian yang satu merupakan komplemen

lainnya, maka .

• Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang

kejadian adalah

• Kejadian A dan B bagian dari ruang sampel S. Peluang kejadian A dengan syarat B adalah

dengan

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 999---444 Kerjakan soal-soal latihan dibawah ini.

1. Sebuah dadu dilemparkan. Tentukan peluang

a. Muncul mata dadu 4.

b Muncul mata dadu genap.

c. Muncul mata dadu ganjil.

d. Muncul mata dadu genap atau ganjil.

1. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar bersama-

sama.Tentukan peluang

B a b 9 : P e l u a n g 531

a. Muncul mata uang angka dan angka dadu 3.

b. Muncul mata uang gambar dan angka dadu genap.

c. Muncul angka dadu ganjil.

d. Muncul mata uang angka dan angka dadu lebih dari 2.

2. Dari satu kantong terdiri dari 6 bola merah, 4 bola hitam dan 3 bola

hijau diambil satu bola. Tentukan peluang bola yang terambil

berwarna

3. Merah atau hitam.

4. Merah atau hitam atau hijau.

5. Bukan hitam.

6. Bukan hitam atau bukan merah.

3. Jika sebuah huruf diambil dari kata “ MATEMATIKA “.Tentukan

peluang yang terambil

a. Huruf M

b. Huruf vocal

c. Huruf konsonan

d Bukan huruf vocal

4. Satu kelompok terdiri dari 12 putera dan 4 puteri. Jika tiga orang

diambil dari kelompok tersebut, berapa peluang bahwa ketiganya

adalah putera.

5. Farhan mempunyai bola 8 bola merah dan 10 bola biru. Kemudian

Farhan mengambil dua bola secara acak. Tentukan peluang bola

yang terambil

a. Semuanya merah

b. Semuanya biru

c. Satu bola merah dan satu bola biru

532 B a b 9 : P e l u a n g

6. Budi mempunyai bola 8 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola putih

.Kemudian Budi mengambil tiga bola secara acak. Tentukan

peluang yang terambil

a. Tiga bola tersebut berwarna sama

b. Dua bola merah dan 1 bola putih

c. Satu bola merah dan 2 bola biru

d. Paling sedikit 1 bola putih

e. Tiga bola tersebut berlainan warna

7. Dua buah dadu dilempar bersama – sama.Tentukan peluang

munculnya

a. Jumlah mata dadu 5 atau 10

b. Jumlah mata dadu 10 atau mata dadu pertama adalah 6

a. Mata dadu pertama ganjil atau mata dadu kedua genap

8. Pada permainan bridge, 4 pemain masing-masing memegang 13

kartu dari 52 kartu yang ada. Tentukan peluang seorang pemain

tertentu kartunya terdiri dari 7 diamond, 2 club, 3 heart dan 1

spade.

9. Tiga buah dadu dilempar bersama – sama. Tentukan peluang

munculnya

a. Jumlah mata dadu 12

b. Jumlah mata dadu 10 atau 15

10. Tentukan peluang bahwa sebuah bilangan puluhan adalah kelipatan

3

11. Peluang tim sepak bola SMK “ Nusantara “ untuk memenangkan

suatu pertandingan sepak bola adalah 0,6. Jika tim tersebut akan

bermain dalam 50 kali pertandingan, Berapa kali tim sepakbola

tersebut akan menang ?

B a b 9 : P e l u a n g 533

12. Peluang tim basket SMK “ Tunas Harapan “ untuk memenangkan

suatu pertandingan basket adalah 0,8. Jika tim tersebut akan

bermain dalam 30 kali pertandingan, Berapa kali tim basket

tersebut akan kalah ?

13. Dua buah dadu dilempar bersama - sama sebanyak 288 kali.

Tentukan frekuensi harapan

a. Munculnya jumlah mata dadu 10.

b. Munculnya jumlah mata dadu 5 atau 12.

c. Munculnya mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua genap.

d. Munculnya jumlah mata dadu selain 8.

535

Bab

10 ST A T I S T I K A 10. Statistika

Dalam kehidupan sering dijumpai informasi yang berupa kumpulan

data dalam bentuk angka atau sajian data dalam bentuk grafik.

Informasi ini disebut statistik. Pada bab ini dibahas tentang pengertian

statistik, statistika, bentuk penyajian data serta bagaimana cara

menghitung ukuran pusat.

10.1 PENGERTIAN DASAR Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi tidak dapat dipisahkan dari

statistik. Seorang manajer yang berpacu dengan waktu akan enggan

membaca laporan hasil survei atau evaluasi yang panjang. Laporan

yang disajikan secara sederhana dan lengkap sangat diperlukan oleh

seorang manajer. Bentuk laporan yang dimaksud adalah statistik.

Contoh lain, dengan keterbatasan waktu berbagai informasi dalam

536 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

bentuk tulisan pada majalah dan koran masyarakat enggan membaca,

untuk itu perlu informasi yang lengkap dan mudah dimengerti.

Informasi ini disajikan dalam bentuk grafik atau tabel yang merupakan

bagian dari statistik. Dari dua contoh diatas betapa pentingnya statistik

bagi kehidupan sehari-hari.

10.1.1 PENGERTIAN STATISTIKA Istilah statistik berasal dari bahasa Yunani status yang artinya state atau

negara. Pada awalnya istilah statistik diartikan sebagai kumpulan

informasi tentang negara dan banyaknya penduduk. Saat ini yang

diamaksud statistik ialah data yang berbentuk daftar, tabel, grafik atau

bentuk penyajian lain. Statistika adalah pengetahuan yang terkait

dengan metode pengumpulam informasi, pengolahan, analisis,

penarikan kesimpulan dan pembuatan keputusan. Jadi statistik

merupakan hasil dari statistika. Kegiatan statistika yang terkait dengan

penggunaan data untuk peramalan atau penarik kesimpulan dikenal

dengan statistika induktif, sedangkan yang terkait dengan

pengumpulan, penyajian dan perhitungan disebut dengan statistika

deskriptif.

10.1.2 PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL Populasi adalah keseluruhan obyek yang menjadi perhatian atau obyek

dari semua pengukuran yang mungkin dibuat untuk suatu permasalahan

tertentu. Sedangkan sampel adalah himpunan bagian dari populasi atau

sebagian obyek dari pengukuran yang terpilih dari suatu populasi.

Selanjutnya pengambilan data populasi jarang dilakukan karena beaya

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 537

yang terlalu tinggi. Dengan demikian pengambilan data hanya sebagian

saja yaitu berupa sampel data.

CONTOH 10.1.1 Untuk mempelajari golongan darah siswa SMK “Harapan Bunda”,

didata golongan darah siswa sebanyak 100 orang dari total semua siswa

sebanyak 2000 siswa. 2000 siswa adalah populasi, sedangkan 100 siswa

yang terpilih adalah sampel.

10.1.3 MACAM – MACAM DATA Setiap informasi yang tercatat, apakah dari hasil mencacah, mengukur

atau mengklasifikasi disebut sebagai pengamatan atau data. Jadi data

adalah keterangan / informasi yang dijaring dalam bentuk angka (data

kuantitatif) atau lambang (data kualitatif) dari pengamatan yang

dilakukan seseorang. Data kuantitatif dapat diperoleh dengan mengukur

(data kontinu) atau dengan mencacah (data diskrit).

CONTOH 10.1.2 Jumlah buku milik mahasiswa, jumlah SMK yang ada di Propinsi

tertentu merupakan data diskrit.

Dilihat dari sumbernya dapat diklasifikasikan menjadi

1. Data intern, yaitu catatan intern perusahaan yang dibutuhkan

oleh perusahaan itu sendiri

2. Data ekstern, yaitu data yang diperoleh dari luar perusahaan.

538 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

CONTOH 10.1.3 Contoh data intern adalah catatan akademik di sekolah tertentu yang

diperlukan oleh sekolah tersebut. Jika untuk keperluan tertentu sekolah

membutuhkan data dari luar sekolah maka data tersebut termasuk data

ekstern.

Dilihat dari penerbitnya data dapat diklasifikasikan

1. Data primer, yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri

oleh organisasi yang menerbitkan

2. Data sekunder, yaitu data yang diterbitkan oleh organisasi

yang bukan pengolahnya.

Data dapat dikumpulkan dengan beberapa cara, diantaranya dengan :

a. Wawancara, adalah tanya jawab secara langsung dengan

sumber data atau orang-orang yang dianggap mampu

memberikan data yang diperlukan.

b. Kuisioner, adalah tehnik pengumpulan data dengan

memberikan serangkaian pertanyaan yang dikirim per pos atau

langsung pada responden untuk diisi.

c. Pengamatan (Observasi), adalah teknik pengambilan data

dengan mengamati baik secara langsung maupun tidak

langsung terhadap objek.

d. Test & skala obyektif adalah serangkaian test maupun skala

yang obyektif, meliputi test kecerdasan dan bakat, test prestasi

atau test kepribadian.

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 539

Berdasarkan skala data, data dapat diklasifikasikan menjadi :

4. Nominal, membedakan benda / peristiwa satu dengan yang lain

berdasarkan jenis / predikat, misal : Laki-laki – perempuan,

desa – kota.

5. Ordinal, membedakan benda / peristiwa satu dengan yang lain

berdasarkan jumlah relatif beberapa karakteristik tertentu yang

dimiliki masing-masing benda / peristiwa, misal : pemenang

lomba 1, 2, 3.

6. Interval, apabila benda atau peristiwa yang kita selidiki dapat

dibedakan antara yang satu dengan yang lain kemudian

diurutkan. Perbedaan peristiwa yang satu dengan yang lain

tidak mempunyai arti, tidak harus ada nol mutlak, misal: derajat

C = derajat F.

7. Rasio, rasio antara masing-masing pengukuran mempunyai arti,

ada nilai nol mutlak, misal : Tinggi.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111000---111 1. Jelaskan dengan singkat pengertian dari statistik dan statistika 2. Jelaskan pengertian statistik deskriptif dan statistik induktif 3. Jelaskan pengertian populasi dan sample sertai contoh 4. Apa yang dimaksud dengan data primer dan data sekunder, berikan contoh 5. Berikan contoh data dari hasil: a. Wawancara b. Kuisioner c. Observasi

540 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

10.2 PENYAJIAN DATA Pada umumnya untuk memudahkan dalam interpretasi data, data

berukuran besar disajikan dalam bentuk tabel, diagram, dan grafik.

10.2.1 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL Penyajian data dalam bentuk tabel dapat berupa tabel statistik atau tabel

distribusi frekuensi.

TABEL STATISTIK

Tabel statistik disajikan dalam baris dan kolom. Bentuk umum tabel

statistik adalah sebagai tersebut dalam Gambar 10.2.1

Judul Tabel

Judul kolom Judul kolom Judul kolom Judul kolom

Judul baris

Keterangan

Sumber data

Gambar 10.2.1 Bentuk Umum Tabel Statistik

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 541

Judul tabel ditulis dibagian paling atas dan dimulai dari sisi paling kiri

dengan huruf kapital, Judul tabel memuat apa, macam, klasifikasi,

dimana, kapan dan satuan data yang digunakan secara singkat. Judul

kolom dan judul baris ditulis dengan singkat. Sel adalah tempat nilai-

nilai data. Keterangan diisi jika ada yang mau dijelaskan dari tabel yang

belum tercantum dalam tabel dan sumber data menjelaskan asal data.

CONTOH 10.2.1 Table 10.2.1 . Jumlah pengunjung masing-masing anjungan tempat

wisata “Mekar Sari” tahun 2004-2007 berdasarkan

jenis pengunjung.

Tahun Anjungan Alfa Anjungan Beta Anjungan Gama

Dewasa Anak- anak

Dewasa Anak- anak

Dewasa Anak- anak

2004 46250 37550 85050 25250 35250 75750

2005 47750 38900 84550 15550 25275 78900

2006 48890 45500 75550 19850 30850 78760

2007 48900 45450 89550 12500 25950 85575

Jumlah 191790 167400 334700 73150 117325 318985

Sumber : data diambil dari loket yang terjual pada masing-masing

anjungan

542 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

Tabel distribusi frekuensi terdiri tabel distribusi frekuensi data tunggal

dan tabel distribusi frekuensi data kelompok. Tabel distribusi data

tunggal adalah suatu tabel distribusi frekuensi yang disusun sedemikian

rupa sehingga dapat diketahui frekuensi setiap satuan data (datum).

CONTOH 10.2.2 Percobaan melempar sebuah kubus berangka (alat untuk permainan ular

tangga) sebanyak 30 kali menghasilkan permukaan yang muncul

sebagai berikut :

2 6 3 3 5 6 4 2 4 3

5 3 2 1 4 1 6 5 3 4

4 6 4 3 2 5 1 1 3 2

Data tersebut dapat disusun dalam distribusi frekuensi tunggal seperti

terlihat dalam Tabel 10.2.2

Tabel 10.2.2 Permukaan yang muncul

Angka (Xi) Tally (turus) Frekwensi (fi)

1 4

2 5

3 7

4 6

5 4

6 4

Jumlah 30=∑ if

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 543

Tabel distribusi frekuensi data kelompok adalah suatu bentuk

penyusunan yang teratur mengenai suatu rangkaian data dengan

menggolongkan besar dan kecilnya angka-angka yang bervariasi

kedalam kelas-kelas tertentu.

Yang harus diperhatikan dalam membuat tabel distribusi data kelompok

adalah bahwa tidak ada satu angkapun dari data yang tidak dapat

dimasukkan kedalam kelas tertentu dan tidak terdapat keragu-raguan

dalam memasukkan angka-angka kedalam kelas-kelas yang sesuai.

Sehingga yang harus dilakukan adalah sebagai berikut :

f. Penentuan range berdasarkan pembulatan kebawah untuk angka

terendah dan pembulatan keatas untuk angka tertinggi

g. Hindari penggunaan batas kelas secara berulang

h. Batas kelas hendaknya dinyatakan dalam bilangan bulat, bila tidak

mungkin penggunaan jumlah desimal harus sesuai dengan

kebutuhan saja.

Untuk membuat distribusi frekwensi data berkelompok dapat dilakukan

dengan langkah sebagai berikut :

7. Menentukan jumlah kelas, jika menggunakan pendekatan HA

Sturges maka

K = 1 + 3,322 log n

dimana K adalah jumlah kelas dan n adalah jumlah data.

8. Menentukan lebar interval / panjang interval (p)

p = range / K

dimana Range = nilai datum tertinggi – nilai datum terendah

544 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

9. Membuat tabel distribusi frekwensi, biasanya secara lengkap terdiri

dari 9 kolom, dimana

kolom 1: Nomor kelas,

kolom 2: interval kelas/limit kelas,

Pada interval kelas terdapat batas bawah kelas dan batas

atas kelas. Batas bawah kelas adalah nilai ujung bawah

suatu kelas sedangkan batas atas kelas adalah nilai ujung

atas suatu kelas.

kolom 3: tepi kelas

tepi bawah = batas bawah – 0,5

tepi atas = batas atas + 0, 5

kolom 4: titik tengah kelas (mi),

titik tengah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap

mewakili kelas tersebut dan rumusnya

mi = 21

( batas atas + batas bawah )

kolom 5: tabulasi / tally,

kolom 6: frekuensi (fi),

kolom 7: frekuensi kumulatif

frekuensi kumulatif kelas ke –i ( fkomi ) adalah jumlah

frekuensi dari kelas pertama sampai kelas ke -i

kolom 8: distribusi relatif

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 545

distributif relatif kelas ke – i (dreli) adalah proporsi data

yang berada pada kelas ke –i sehingga

dreli = ∑

=−

i

i

ff

datumsemuabanyaknyaikekelasfrekuensi

kolom 9: distribusi relatif komulatif

distribusi relatif komulatif kelas ke-i (drkomi) adalah

jumlah distributive relative dari kelas pertama sampai

kelas ke -i

10. Memasukkan angka-angka kedalam kelas-kelas yang sesuai,

kemudian menghitung frekuensinya. Proses memasukkan angka-

angka dilakukan dengan tally sheet, buat perlimaan.

CONTOH 10.2.3 Skor hasil tes IQ dari 50 siswa SMK “Tunas Baru” tercatat sebagai

berikut :

80 111 122 94 119 125 88 100 117 87

104 86 112 88 96 118 127 129 85 89

123 110 92 127 103 89 128 103 115 95

127 104 117 89 110 116 103 84 127 97

113 93 88 123 121 92 119 89 125 118

Jumlah kelasnya adalah K = 1 + 3,322 log 50 = 6,643978354 ≈ 7

Range = jangkauan = 129 – 80 = 49

Lebar interval kelas = 49 / 6,643978354 = 7,375099283 ≈ 8

546 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Dari hasil perhitungan ini selanjutnya dibuat, Tabel lengkapnya dapat

dilihat pada Tabel 10.2.3. berikut ini :

Tabel 10.2.3 . Hasil test IQ siswa SMK “ Tunas Baru”

No Interval Tepi Kls mi Tally fi fkomi dreli drko

mi

1 80-87 79,5-87,5 83,5 5 5 0,10 0,10

2 88-95 87,5-95,5 91,5

12 17 0,24 0,34

3 96-103 95,5-103,5 99,5 6 23 0,12 0,46

4 104-111 103,5-111,5 107,5 5 28 0,10 0,56

5 112-119 111,5-119,5 115,5

10 38 0,20 0,76

6 120-127 119,5-127,5 123,5

10 48 0,20 0,96

7 128-135 127,5-135,5 131,5 2 50 0,04 1,00

Sumber : SMK “Tunas Baru” tahun 2007

10.2.2 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM Penyajian data dalam bentuk diagram dilakukan dengan beberapa cara,

diantaranya, diagram garis, diagram kotak / diagram batang, diagram

lingkaran, piktogram.

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 547

DIAGRAM GARIS

Diagram Garis adalah suatu diagram berupa garis yang biasa dipakai

untuk menyajikan data yang diperoleh dari waktu ke waktu secara

teratur dalam jangka waktu tertentu.

CONTOH 10.2.4 Dari hasil survey siswa SMK yang membawa sepeda motor didapatkan

hasil seperti pada Tabel 10.2.4

Tabel 10.2.4. Jumlah Siswa SMK yang Membawa Sepeda Motor

Cara menggambar diagram garis dari tabel 10.2.4 seperti menggambar

koordinat kartesius dengan sumbu datar menyatakan tahun dan sumbu

tegak menyatakan jumlah. Selanjutnya gambar posisi titik yang ada

pada tabel dan hubungkan titik tersebut dengan garis lurus.

Tahun Jumlah Siswa

2002 40

2003 25

2004 35

2005 40

2006 110

2007 125

548 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Diagram garis dari Tabel 10.2.4 ditunjukkan Gambar 10.2.2.

tahun

jum

lah

200720062005200420032002

120

100

80

60

40

20

Jumlah Siswa SMK yang Membawa Sepada Motor Tahun 2002-2007

Gambar 10.2.2 Contoh Diagram Garis

DIAGRAM BATANG

Diagram Batang adalah suatu diagram yang terdiri dari batang-batang,

dimana tinggi batang merupakan frekwensi atau nilai dari data.

CONTOH 10.2.5 Untuk menggambar diagram batang tabel 10.2.4 buat sumbu datar yang

menyatakan tahun dan sumbu tegak menyatakan jumlah. Buat persegi

panjang dengan tinggi dari persegi panjang menyatakan banyaknya

siswa yang membawa sepeda motor.

Diagram batang dari Tabel 10.2.4 ditunjukkan Gambar 10.2.3

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 549

tahun

Coun

t

200720062005200420032002

140

120

100

80

60

40

20

0

Jumlah Siswa SMK yang Membawa Sepeda MotorTahun 2002-2007

Gambar 10.2.3. Contoh Diagram Batang

DIAGRAM LINGKARAN

Diagram Lingkaran adalah suatu diagram berupa lingkaran, dimana

daerah lingkaran menggambarkan data seluruhnya, sedangkan bagian

dari data digambarkan dengan juring atau sektor.

CONTOH 10.2.6 Membuat diagram lingkaran dari tabel 10.2.4 dengan cara membagi

luas lingkaran dalam juring – juring lingkaran sesuai dengan jumlah

data tiap tahunnya. Untuk data tahun 2002 dengan jumlah 40, maka

luas juring ditentukan oleh sudut sebesar : (40/375) x 3600.

Diagram batang dari tabel 10.2.4 ditunjukkan gambar 10.2.4

550 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Category

20062007

2002200320042005

Jumlah Siswa yang Membawa Sepeda Motor Tahun 2002-2007

Gambar 10.2.4. Contoh Diagram Lingkaran

PIKTOGRAM

Piktogram adalah suatu diagram yang disajikan dalam bentuk lambang-

lambang sesuai dengan objek yang diteliti.

CONTOH 10.2.7 Dari catatan Dinas Pendidikan Kodya “Selayang”, jumlah siswa

diempat SMK dapat dilihat pada Tabel 10.2.5. dan penyajian

piktogramnya dapat dilihat pada Gambar 10.2.5.

Tabel 10.2.5. Jumlah Siswa SMK di Kodya “Selayang”

SMK Mawar Melati Tulip Anggrek

Jumlah Siswa 500 850 600 1250

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 551

Sekolah Jumlah Siswa

SMK Mawar 500

SMK Melati 850

SMK Tulip 600

SMK Anggrek

1250

Keterangan :

sama dengan 50 sama dengan 100

Gambar 10.2.5. Contoh Piktogram

10.2.3 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK Penyajian data dalam bentuk grafik dapat dilakukan dengan membuat

Histogram atau dengan membuat Poligon.

HISTOGRAM

Histogram adalah sebuah bentuk diagram batang tetapi lebar batangnya

merupakan lebar interval kelas sedangkan yang membatasi masing-

masing batang adalah tepi kelas, sehingga masing-masing batang

berimpit satu sama yang lainnya. Lihat contoh 10.2.8 dan gambar

10.2.6

552 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

POLIGON

Jika ujung masing-masing batang dari histogram, pada posisi titik

tengah dihubungkan dengan sebuah garis, garis tersebut disebut sebagai

polygon frekuensi. Jika polygon frekuensi didekati dengan sebuah

kurva mulus, maka kurva tadi disebut sebagai kurva frekuensi yang

diratakan, tetapi jika penghalusan dilakukan pada polygon komulatif,

maka kurvanya disebut sebagai ogive. Lihat gambar 10.2.7

CONTOH 10.2.8 Dari tabel 10.2.3 Hasil test IQ siswa SMK ” Tunas Baru “ maka

histogramnya dapat dilihat dalam Gambar 10.2.6. dan polygon

frekuensinya dapat dilihat pada Gambar 10.2.7.

Gambar 10.2.6. Contoh Histogram

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 553

Gambar 10.2.7. Contoh Poligon Frekuensi

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111000---222 1. Nilai ujian pelajaran matematika dari 80 siswa SMK “ Tunas

Harapan “ adalah sebagai berikut :

51 75 81 62 65 70 68 40 70 60

65 72 75 81 90 65 68 76 60 35

75 81 71 58 70 60 97 74 42 80

79 53 83 61 78 75 69 80 95 37

80 72 90 71 48 85 80 65 91 73

76 82 78 63 75 72 74 76 76 43

65 76 80 78 85 64 65 50 60 72

85 78 68 74 67 85 65 80 77 58

554 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Buatlah tabel distribusi frekuensi data kelompok dari nilai

matematika diatas.

2. Dari Hasil survey siswa SMK “ Tunas Harapan “ yang membawa

handphone adalah sebagai berikut :

Tabel siswa SMK “ Tunas Harapan “ yang membawa handphone

Tahun Jumlah siswa

2000 50

2001 65

2002 70

2003 75

2004 40

2005 80

2006 90

2007 105

Sajikan data diatas dalam diagram garis, diagram batang dan

diagram lingkaran.

3. Dari soal no. 1, buatlah histogram dan polygon frekuensi dari nilai

ujian pelajaran matematika SMK “ Tunas Harapan “.

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 555

10.3 UKURAN STATISTIKA BAGI DATA Dalam mengumpulkan data, jika objek yang diteliti terlalu banyak atau

terlalu luas cakupannya sehingga menjadi cukup besar, maka peneliti

seringkali tidak meneliti seluruh objek, melainkan akan menggunakan

sebagian saja dari seluruh objek yang diteliti. Keseluruhan yang

menjadi perhatian kita / yang kita pelajari disebut sebagai Populasi

sedangkan himpunan bagian dari populasi hasil dari pengukuran yang

terpilih dari suatu populasi disebut sebagai Sample.

Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri sample-suatu

Populasi misalkan ( µ , σ 2 dll), sedangkan Parameter sample adalah

sembarang nilai yang menjelaskan ciri sample misalkan ( x , s2 dll).

Untuk menyelidiki segugus data kuantitatif akan sangat membantu bila

didefinisikan ukuran-ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data

yang penting. Ukuran yang menunjukkan pusat segugus data disebut

sebagai Ukuran Pemusatan. Ukuran yang menyatakan seberapa jauh

pengamatan (data) menyebar dari rata-ratanya disebut sebagai Ukuran

Keragaman / Penyebaran. Untuk mengetahui sebaran / distribusi

segugus data setangkup atau tidak dipakai Ukuran kemiringan.

10.3.1 UKURAN PEMUSATAN Ukuran yang menunjukkan pusat segugus data disebut sebagai Ukuran

Pemusatan. Ukuran pemusatan yang biasa dipakai mean, median dan

modus. Selanjutnya akan ditentukan ukuran pemusatan untuk tiga

bentuk data yaitu data tunggal, frekuensi data tunggal dan frekuensi

data kelompok.

556 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

MEAN / RATA-RATA HITUNG

Mean atau rata- rata hitung dari suatu data adalah jumlah seluruh datum

dibagi dengan banyak datum.

Untuk data tunggal

nxxx

x n+++=

...21

Dimana x adalah mean atau rata- rata hitung dari suatu data

xi adalah nilai datum ke i

n adalah banyaknya datum

Untuk frekuensi data tunggal

∑=

=+++

=k

iii

kk xfnn

xfxfxfx

1

2211 1...

Dimana x adalah mean atau rata- rata hitung dari suatu data

fi adalah frekuensi dari xi

xi adalah nilai datum pada kelas ke i

k adalah banyaknya kelas

n = f1 + f2 + … +fk adalah banyaknya semua datum

Untuk frekuensi data kelompok

∑=

=+++

=k

iii

kk mfnn

mfmfmfx

1

2211 1...

Dimana : x adalah mean atau rata- rata hitung dari suatu data

fi adalah frekuensi dari xi

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 557

mi adalah nilai tengah data pada kelas ke i

k adalah banyaknya kelas


MEDIAN

Median dari suatu data yang telah diurutkan datanya dari nilai datum

yang terkecil ke nilai datum yang terbesar adalah datum yang membagi

suatu data terurut menjadi dua bagian yang sama.

Untuk data tunggal

Jika banyaknya datum n ganjil maka mediannya adalah nilai datum ke

.

Jadi Median =

Sedangkan jika banyaknya datum n genap maka mediannya adalah rata

– rata dari dua nilai datum yang ditengah yaitu

Untuk Data Kelompok

558 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

dimana Lmed = tepi bawah kelas yang memuat median


( )medf∑ = jumlah frekuensi sebelum median

fmed = frekuensi kelas yang memuat median

P = panjang interval

MODUS

Modus dari suatu data adalah nilai datum yang paling sering muncul.

Untuk Data tunggal

Modus dari suatu data adalah nilai datum yang paling sering muncul

atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.

Untuk Data kelompok

dimana Mo = modus dari suatu data

LMo = tepi bawah kelas modus

1∆ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

2∆ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya


B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 559

CONTOH 10.3.1 Tentukan mean, median dan modus dari data tunggal berikut ini :

100,110,105,120,80,90, 105,125,120,135, 120

Penyelesaian :

Data diatas termasuk data tunggal a. Mean dari data tersebut adalah 11

1201351201251059080120105110100 ++++++++++=x = 111,18

b. Untuk menentukan median, kita urutkan terlebih dahulu datumnya

dari yang terkecil yaitu

80,90, 100,105,105,110,120,120,120,, 125,135

Karena banyaknya datum ada 11 maka median adalah nilai datum ke

2111+ = 6. Jadi median = 110 b. Dari data diatas terlihat bahwa datum yang sering muncul adalah 120 maka modusnya = 120

CONTOH 10.3.2 Tentukan mean, median dan modus dari frekuensi data tunggal nilai

matematika SMK Nusantara berikut ini :

Nilai ( Xi) Banyaknya siswa ( fi ) fi Xi 3 2 6

4 3 12

560 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Penyelesaian :

a. Mean x = 325,640253

==∑n

xf ii

b. Karena banyaknya data 40 maka median

Median = )(21

122

++ nn xx

= )(21

2120 xx +

=21 ( 6 + 6 )

= 6

c. Dari data diatas terlihat bahwa frekuensi terbesar adalah 10 dengan

nilai matematika (nilai datum) 5. Jadi modusnya adalah 5

CONTOH 10.3.3 Tentukan mean, median modus dari frekuensi data kelompok hasil test

IQ siswa SMK” Tunas Baru berikut ini :

5 10 50

6 6 36

7 7 49

8 8 64 9 4 36

Jumlah 40 253

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 561


No Interval Tepi Kls mi fi fkomi

1 80-87 79,5-87,5 83,5 5 5

2 88-95 87,5-95,5 91,5 12 17

3 96-103 95,5-103,5 99,5 6 23

4 104-111 103,5-111,5 107,5 5 28

5 112-119 111,5-119,5 115,5 10 38

6 120-127 119,5-127,5 123,5 10 48

7 128-135 127,5-135,5 131,5 2 50


Penyelesaian :

a. Mean

∑=

=+++

=k

iii

kk mfnn

mfmfmfx

1

2211 1...

562 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

06,10650

53032101056125

5,131.25,123.105,115.105,107.55,99.65,91.125,83.5

=

=

++++++++++++

=

b. Karena banyaknya data ada 50 maka Median terletak diantara data

ke-25 dan ke-26, sehingga berada dalam kelas nomer 4 dimana

Lmed = tepi bawah kelas yang memuat median =103,5

n = jumlah semua data n = ∑ if =50

( )medf∑ = jumlah frekuensi sebelum median =23

fmed = frekuensi kelas yang memuat median = 5

P = panjang interval =11,5-103,5 = 8

Jadi

Median = 103,5 + 85

2350.21

−

= 106,7

c. Dari tabel terlihat bahwa frekuensi terbesar adalah 12 pada kelas ke 2

maka kelas modus = kelas ke-2 sehingga

LMo = tepi bawah kelas modus = 87,5

1∆ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 563

= 12 -5 = 7

2∆ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

= 12 -6 = 6

P = panjang interval = 95,5-87,5 = 8

Jadi

10.3.2 UKURAN PENYEBARAN Ukuran yang menyatakan seberapa jauh pengamatan (data) menyebar

dari rata-ratanya disebut sebagai Ukuran Keragaman / Penyebaran.

JANGKAUAN / RENTANG

Untuk data tunggal

Jangkauan dari suatu data adalah selisih antara nilai datum terbesar

dengan nilai datum terkecil sehingga

564 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Jangkauan = nilai datum terbesar – nilai datum terkecil

Untuk data kelompok

Jangkauan = tepi atas kelas tertinggi – tepi bawah kelas terkecil

JANGKAUAN SEMI ANTAR KUARTIL

Menentukan Kuartil

Kuartil adalah suatu nilai yang membagi sekumpulan data menjadi

empat bagian sama banyak.

Untuk data tunggal

Untuk data tunggal, data diurutkan terlebih dahulu dari nilai datum

yang terkecil ke nilai datum yang terbesar

Kuartil I ( 1Q ) = nilai datum yang memisahkan data 41

bagian

berada dibawahnya

Kuartil II ( 2Q ) =: nilai datum yang memisahkan data 21 bagian

berada dibawahnya

Kuartil III( 3Q ) =: nilai datum yang memisahkan data 43 bagian

berada dibawahnya

Dari pengertian diatas,terlihat bahwa kuartil II tidak lain adalah median

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 565

Untuk data kelompok

Nilai kuartil I ( 1Q ), nilai kuartil II ( 2Q ) = median dan nilai kuartil

III ( 3Q ) untuk data kelompok dapat ditentukan dengan rumus sebagai

berikut :

( )p

f

fnk

LQk

k

kQ

Q

Qk

−+=

∑4 , dengan k =1, 2, 3

Dimana kQ = kuartil k0

kQL = tepi bawah kelas yang memuat kQ

n = jumlah semua data yaitu n = ∑ if

( )kQ

f∑ = jumlah frekuensi sebelum kelas kQ

kQf = frekuensi kelas yang memuat kQ


Menentukan Jangkauan Semi antar Kuartil

Jangkauan Antar Kuartil = Kuartil 3 – Kuartil 1

Jangkauan Semi Antar Kuartil = ½ (Kuartil 3 – Kuartil 1)

566 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

SIMPANGAN RATA – RATA

Simpangan rata-rata dari suatu data menyatakan ukuran berapa jauh

penyebaran nilai–nilai data terhadap nilai rata-rata

Untuk data tunggal

Simpangan rata-rata dari nilai-nilai data tunggal x1, x2, x3,… xn adalah

∑=

−=n

ii xx

nSR

1

1

Dimana x = nilai rata-rata dari suatu data

Untuk data kelompok

∑=

−=k

iii xmf

nSR

1

1

dimana n = banyaknya datum

k = banyaknya kelas

fi = frekuensi kelas ke-i

mi = nilai tengah kelas ke i

x = nilai rata-rata dari suatu data

VARIANSI DAN SIMPANGAN BAKU

Untuk data tunggal

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 567

Ragam atau variansi dari nilai-nilai data tunggal x1, x2, x3,… xn adalah

Sedangkan simpangan bakunya adalah

iansiS var=


Untuk data kelompok

Sedangkan simpangan bakunya adalah

iansiS var=

dimana n = banyaknya datum

k = banyaknya kelas

fi = frekuensi kelas ke-i

mi = nilai tengah kelas ke i

x = nilai rata-rata dari suatu data

ANGKA BAKU

568 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Angka Baku dari nilai datum x dari suatu data adalah

Sxxz −

=


S = simpangan baku dari suatu data

KOEFISIEN VARIASI SAMPEL

Koefisien variasi sample adalah penyimpangan data relatif yang

umumnya disajikan dalam persen. Koefisien variasi sample ( CV ) dari

suatu data adalah

%100×=xSCV


S = simpangan baku dari suatu data

CONTOH 10.3.4 Dari contoh sebelumnya, Tentukan kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3,

jangkauan antar kuartil dan jangkaun semi antar kuartil, dari data IQ 50

siswa SMK “Tunas Baru”.

Penyelesaian :

Data terurut adalah

80 84 85 86 87 88 88 88 89 89

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 569

89 89 92 92 93 94 95 96 97 100

103 103 103 104 104 110 110 111 112 113

115 116 117 117 118 118 119 119 121 122

123 123 125 125 127 127 127 127 128 129

Untuk menentukan kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3 maka kita tentukan

terlebih dahulu kuartil 2 yaitu nilai datum yang membagi data menjadi

2 bagian yang sama. Karena data ada 50 maka kuartil 2 = median

adalah rata-rata dari dua nilai datum yang ditengah yaitu

Kuartil 2 = [ ]262521 xx +

= 21 ( 104 + 110 )

= 107

Karena 21

data ada 25 datum maka kuartil 1 merupakan nilai tengah

dari 21 bagian bawah data atau nilai tengah dari semua datum yang

berada sebelum kuartil 2 yaitu

Kuarti 1 = 13x = 92

Sedangkan kuartil 3 merupakan nilai tengah dari semua datum yang

berada setelah kuartil 2 yaitu

Kuarti 3 = 381325 xx =+ = 119

Jangkauan antar kuartil = kuartil 3 – kuartil 1= 119 – 92 = 27

570 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

Jangkauan semi antar kuartil = 21 ( kuartil 3 – kuartil 1) = 13,5

CONTOH 10.3.5 Dari tabel frekuensi data kelompok IQ 50 siswa SMK “Tunas Baru”

Tentukan Kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3, simpangan rata-rata dan

simpangan baku dari data tersebut ]

Penyelesaian :


No Interval Tepi Kls mi fi fkomi

1 80-87 79,5-87,5 83,5 5 5

2 88-95 87,5-95,5 91,5 12 17

3 96-103 95,5-103,5 99,5 6 23

4 104-111 103,5-111,5 107,5 5 28

5 112-119 111,5-119,5 115,5 10 38

6 120-127 119,5-127,5 123,5 10 48

7 128-135 127,5-135,5 131,5 2 50


a. Menentukan kuartil 1

Dari contoh soal 10.3.4, kuartil 1 adalah nilai dantum ke-13

sehingga kelas yang memuat kuartil 1( Q1 ) adalah kelas ke-2 yaitu

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 571

1QL = tepi bawah kelas yang memuat 1Q = 87,5

n = jumlah semua data yaitu n = ∑ if = 50

( )1Q

f∑ = jumlah frekuensi sebelum kelas 1Q = 5

1Qf = frekuensi kelas yang memuat 1Q = 12

P = panjang interval = 95,5 – 87,5 = 8

Jadi

Kuartil 1 = ( )

pf

fnLQ

Q

Q

Q

−+=

∑1

1

1

41

1

= 87,5 +

−

12

550.41

8

= 87,5 + 5

= 92,5

b. Menentukan kuartil 2

Dari contoh soal 10.3.4, kuartil 2 adalah rata-rata nilai dantum ke-

25 dan nilai dantum ke-26 sehingga kelas yang memuat kuartil 2

( Q2 ) adalah kelas ke-4 yaitu



( )2Q



572 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

P = panjang interval = 8

Jadi

Kuartil 2 = ( )

pf

fnLQ

Q

Q

Q

−+=

∑2

2

2

42

2

= 103,5 +

−

5

2350.42

8

= 103,5 + 3.2

= 106,7

c. Menentukan kuartil 3

Dari contoh soal 10.3.4, kuartil 3 adalah nilai dantum ke-38

sehingga kelas yang memuat kuartil 1( Q3 ) adalah kelas ke-5 yaitu



( )3Q



P = panjang interval = 8

Jadi

Kuartil 3 = ( )

pf

fnLQ

Q

Q

Q

−+=

∑3

3

3

43

3

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 573

= 111,5 +

−

10

2850.43

8

= 111,5 + 7,6

= 119,1

d. Dari contoh 10.3.3, diperoleh mean x = 106,06 sehingga mi fi xmi − xmf ii −

83,5 5 22,56 112,8

91,5 12 14,56 174,72

99,5 6 6,56 39,36

107,5 5 1.44 7.2

115,5 10 9,44 94,4

123,5 10 17,44 174,4

131,5 2 25,44 50,88

jumlah 653,76

Jadi simpangan rata- ratanya adalah

∑=

−=k

iii xmf

nSR

1

1

= 501 . 653,76

= 13,0752

e. Dari contoh 10.3.3, diperoleh mean x = 106,06 sehingga

574 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

mi fi xmi − ( )2xmi − ( )2

xmf ii −

83,5 5 -22,56 508,9536 2544,768

91,5 12 -14,56 211,9936 2543,9232

99,5 6 -6,56 63,0336 258,2016

107,5 5 1.44 2,0736 10,368

115,5 10 9,44 89,1136 891,136

123,5 10 17,44 304,1536 3041,536

131,5 2 25,44 647,1936 1294,3872

Jumlah 10584,32

Jadi variansi data tersebut adalah

( )∑=

−=k

iii xmf

nS

1

22 1

= 32,10584501

= 211,6864

sehingga simpangan bakunya adalah

54944672,146864,211var === iansiS

CONTOH 10.3.6 Pada ulangan umum matematika dari 150 siswa SMK, rata-rata nilai

adalah 78 dengan simpangan baku 8. Dari hasil evaluasi keaktifan

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 575

siswa dapat dilihat bahwa waktu belajar mereka rata-rata 15 jam per

minggu dengan simpangan baku 3 jam per minggu. Mana yang lebih

homogin, nilai matematika atau waktu belajar mereka.

Jawab

Koefisien Variasi (CV) nilai matematika = %100×xS

= (8/78) x 100%

= 10,25641026 %

Koefisien Variasi (CV) waktu belajar = (3/15) x 100% = 20 %

Karena CV nilai matematika lebih kecil daripada CV waktu belajar

maka nilai matematika lebih homogin dibandingkan waktu belajar

mereka.

CONTOH 10.3.7 Pada ulangan umum matematika dari 150 siswa SMK, rata-rata nilai

adalah 78 dengan simpangan baku 8. Tetapi nilai ulangan umum Fisika

mempunyai rata-rata 73 dengan simpangan baku 7,6. Farhan mendapat

nilai 75 pada ulangan matematika dan 71 pada ulangan fisika. Pada

ulangan apakah Farhan mendapat nilai lebih baik.

Penyelesaian :

Angka baku / Nilai standart matematika Farhan adalah

576 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

S

xxz −=

( ) 375,08

7875−=

−=

Nilai standart fisika Farhan adalah

26315789,06,7

)7371(−=

−=z

Karena nilai standart nilai fisika lebih besar daripada nilai matematika

maka nilai fisika Farhan lebih baik dari pada nilai matematikanya.

• RANGKUMAN

• Statistika adalah pengetahuan yang terkait dengan metode pengumpulam informasi, pengolahan, analisis, penarikan kesimpulan dan pembuatan keputusan.

• Populasi adalah keseluruhan obyek yang menjadi perhatian atau obyek dari semua pengukuran yang mungkin dibuat untuk suatu permasalahan tertentu.

Sampel adalah himpunan bagian dari populasi atau sebagian obyek dari pengukuran yang terpilih dari suatu populasi.

• Data adalah keterangan yang dijaring dalam bentuk angka (data kuantitatif) atau lambang (data kualitatif) dari hasil pengamatan.

• Data berukuran besar disajikan dalam bentuk tabel, diagram, dan grafik.

• Ukuran yang menunjukkan pusat segugus data disebut ukuran pemusatan. Ukuran yang menyatakan seberapa jauh pengamatan (data) menyebar dari rata-ratanya disebut sebagai ukuran penyebaran. Untuk mengetahui sebaran / distribusi segugus data setangkup atau tidak dipakai ukuran kemiringan.

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 577

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111000---333 Kerjakan soal-soal berikut

1. Tentukan mean, median, modus, kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3,

jangkauan semi kuartil, simpangan rata-rata dan simpangan baku

dari data berikut ini :

a. 35,38,40,30,55,40,40,56,40,44,54, 56,39

b. 101,104,105,80,103,120,135,105,134,135,120,120,101,120

2. SMK “Budi Mulia” mempunyai 19 karyawan. Data umur masing-

masing karyawan adalah sebagai berikut : 27, 28, 40, 31, 35, 55,

32, 43, 30, 27, 31, 33, 45, 50, 24, 54, 30, 35, dan 55.

Tentukan kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3, jangkauan semi kuartil,

simpangan rata-rata dan simpangan baku

3. Tentukan mean, median, modus, kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3,

jangkauan semi kuartil, simpangan rata-rata dan simpangan baku

dari data nilai bahasa Inggris SMK” Nusantara” berikut ini :

Nilai ( Xi) Banyaknya siswa ( fi )

3 5

4 6

5 10

6 8

578 B a b 1 0 : S t a t i s t i k a

11. Diberikan hasil tryout 10 siswa peserta olimpade

Siswa Matematika B. Inggris B. Indonesia

1 92 90 90

2 89 91 92

3 90 87 89

4 92 83 87

5 87 93 85

6 90 84 83

7 87 90 82

8 92 85 80

9 90 90 88

10 85 92 86

i. Tentukan rata-rata, median dan modus dari hasil tryout.

j. Tentukan simpangan baku hasil tryout.

k. Mana dari ketiga nilai yang menunjukkan kemampuan siswanya

lebih homogin.

12. Dari tabel distribusi frekuensi data kelompok nilai matematika pada

soal latihan sub-bab 10.2 no 1, tentukan mean, median, modus

7 12

8 7

9 4

Jumlah 52

B a b 1 0 : S t a t i s t i k a 579

kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3, jangkauan semi kuartil, simpangan

rata-rata dan simpangan baku dari data tersebut

581

Bab

11 MA T E M A T I K A KE U A N G A N 11. Matematika Keuangan

Dalam urusan bisnis dan keuangan tidak akan lepas dari perhitungan

matematika. Seorang pengusaha dalam kehidupannya sering harus

berurusan dengan bank ataupun pemilik modal untuk menjalankan

bisnisnya. Pada saat pinjam di Bank atau ke pemilik Modal perlu

menghitung berapa keuntungan atau kerugian yang mungkin

dihadapinya. Untuk itu diperlukan matematika keuangan bagi

pengusaha dalam menjalankan bisnisnya.

11.1 BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK Dalam keseharian, sering ditemui bahwa seseorang membeli mobil

secara angsuran dengan bunga 10% pertahun atau seseorang meminjam

uang di bank dengan bunga 2 % per bulan. Jadi kata bunga bukanlah

kata asing di telinga masyarakat Indonesia.

582 B a b 1 1 : M a t e m a t i k a K e u a n g a n

Pengertian Bunga

Secara umum “bunga” dapat diartikan sebagai jasa yang berbentuk

uang yang diberikan oleh seorang peminjam kepada orang yang

meminjamkan modal atas persetujuan bersama.

Jika seseorang meminjam uang ke bank sebesar M rupiah dengan

perjanjian bahwa setelah satu bulan dari waktu peminjaman, harus

mengembalikan pinjaman tersebut sebesar )( BM + rupiah, maka

orang tersebut telah memberikan jasa terhadap bank sebesar B rupiah

selama satu bulan. Jasa sebesar B rupiah disebut dengan bunga,

sedangkan M rupiah merupakan besarnya pinjaman yang disebut

dengan modal.

Jila pinjaman tersebut dihitung prosentase bunga terhadap besarnya

modal, diperoleh :

% 100 MB

×

disebut suku bunga. Besar suku bunga berlaku pada lama waktu

perjanjian antara peminjam dengan yang diberi pinjaman. Secara

umum, pengertian suku bunga dapat dituliskan sebagai berikut :

Jika besar modal pinjaman adalah M0 dan besar bunga adalah B, maka

besar suku bunga persatuan waktu dituliskan dengan b, didefinisikan

sebagai

% 100 MB

0

×=b

B a b 1 1 : M a t e m a t i k a K e u a n g a n 583

Jika besar bunga hanya dihitung dari modal dan pembayaran dilakukan

sesuai dengan waktu perjanjian, maka bunga yang berkaitan disebut

bunga tunggal.

Hubungan antara besar modal, besar suku bunga, dan besar

pengembalian dinyatakan dengan :

00 M

100p

+= MM

atau

+=

10010

pMM

dengan: M menyatakan besarnya pengembalian

0M menyatakan besar pinjaman (modal) dan

p menyatakan besar suku bunga dalam %.

CONTOH 11.1.1 Diketahui suatu modal sebesar Rp 3.000.000 dengan suku bunga 15%

pertahun. Tentukan besarnya bunga tunggal tersebut.

a. untuk jangka waktu 8 bulan

b. untuk jangka waktu 20 bulan

Penyelesaian:

Karena besarnya suku bunga pertahun adalah 15%, maka besarnya

bunga tunggal pertahun adalah :


Sehingga diperoleh:

a. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 8 bulan adalah

(8/12) x Rp 450.000 = Rp 300.000,-

b. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 20 bulan adalah

(20/12) x Rp 450.000 = Rp 750.000,-

CONTOH 11.1.2 Pak Didik meminjam modal di bank sebesar Rp 1.600.000,- yang harus

dilunasi dalam jangka waktu satu tahun dengan besar pengembalian 5/4

dari besarnya pinjaman. Tentukan besarnya bunga pertiga bulan.

Penyelesaian:

Besar pinjaman 1.600.000RpM0 =

Besarnya pengembalian 2.000.000Rp0Rp1.600.00(5/4)M =×=

Besarnya bunga dalam satu tahun adalah

400.000Rp1.600.000Rp2.000.000RpMMB 0

=−=−=

Besarnya suku bunga pertahun adalah 25% 100% x 000.600.1

000.400==b

Jadi besarnya suku bunga pe rtigabulan adalah 6,25% 25% x 123

=

CONTOH 11.1.3 Jika suatu modal sebesar Rp 15.000.000,- dibungakan dengan bunga

tunggal dengan suku bunga sebesar 1,2% perbulan. Dalam waktu

berapa bulan, agar modal tersebut menjadi dua kali dari modal semula?


Penyelesaian:

Besar bunga untuk satu bulan adalah

180.000 Rp. 15.000.000 Rp x 1001,2B1 ==

Besar bunga selama n bulan adalah

Rp180.000nBn ×=

Besar modal setelah n bulan adalah

nn B00Rp15.000.0M +=

[ ]Rp180.000n00Rp15.000.0 ×+=

Setelah n bulan, modal menjadi dua kali modal semula.

Jadi 00Rp30.000.000Rp15.000.02M n =×=

Akibatnya

[ ]Rp180.000n00Rp15.000.000Rp30.000.0 ×+=

atau

[ ]Rp180.000n00Rp15.000.0 ×=

Sehingga

88,33 180.000 Rp.

15.000.000 Rp.n ==

Jadi waktu yang diperlukan agar modal menjadi dua kali modal semula

adalah 88,33 bulan.

Didalam bunga tunggal ini dikenal dua jenis bunga tunggal, yaitu:

1. bunga tunggal eksak

2. bunga tunggal biasa.


Bunga tunggal eksak adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan

jumlah hari dalam satu tahun secara tepat (satu tahun ada 365 hari),

sedangkan untuk tahun kabisat, yaitu suatu tahun yang habis dibagi

empat, satu tahun ada 366 hari.

Bunga tunggal biasa adalah bunga tunggal yang dihitung untuk setiap

bulannya terdapat 30 hari (satu tahun ada 360 hari).

CONTOH 11.1.4 Suatu modal sebesar Rp 72.000.000,- dengan suku bunga 10%

pertahun, jika akan dipinjamkan selama 50 hari. Tentukan besarnya

bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa, jika peminjaman

dilakukan:

a. Pada tahun 2004

b. Pada tahun 2007.

Penyelesaian:

a. Peminjaman dilakukan pada tahun 2004

Besarnya bunga tunggal biasa adalah :

100.000 Rp. 72.000.000 Rp. x 10010 x

36050

=

Besarnya bunga tunggal eksak adalah :

98.360,65 Rp. 72.000.000 Rp. x 10010 x

36650

=


(Karena 2004 habis dibagi empat, maka banyaknya hari dalam tahun

2004 adalah 366)

b. Peminjaman dilakukan pada tahun 2007

Besarnya bunga tunggal biasa adalah :

100.000,- Rp. ,-72.000.000 Rp. x 10010 x

36050

=

Besarnya bunga tunggal eksak adalah :

,9998.630.136 Rp. 72.000.000 Rp. x 10010 x

36550

=

Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa besar bunga tunggal biasa tidak

tergantung pada tahun waktu peminjaman dilakukan (setiap tahun ada

360 hari). Sedang besar bunga tunggal eksak samgat tergantung pada

tahun, dimana waktu peminjaman dilakukan (tahun kabisat atau bukan

kabisat).

Untuk menentukan banyaknya hari dalam peminjaman, dikenal dua

metode perhitungan, yaitu waktu rata-rata dan waktu eksak yang

didefinisikan sebagai berikut :

Waktu rata-rata adalah waktu yang dihitung berdasarkan banyaknya

hari dalam satu bulan terdapat 30 hari. Sedangkan Waktu eksak adalah

waktu yang dihitung berdasarkan banyaknya hari dalam satu bulan

yang dijalani secara tepat.

Menentukan waktu rata-rata

Cara menentukan waktu rata-rata adalah:


i. Menghitung banyaknya hari pada saat bulan peminjaman, yaitu

30 dikurangi tanggal peminjaman

j. Menghitung banyaknya hari pada bulan-bulan berikutnya

dengan menggunakan ketentuan bahwa satu bulan ada 30 hari.

k. Menghitung banyaknya hari pada bulan terakhir dari batas

tanggal peminjaman.

l. Banyaknya hari peminjaman adalah jumlahan dari ketiga

langkah di atas.

CONTOH 11.1.5 Hitung waktu rata-rata dari tanggal 7 Maret 2004 sampai 22 Pebruari

2007.

Penyelesaian:

Banyaknya hari pada saat peminjaman adalah 30-7=23

Banyaknya hari pada bulan berikutnya pada tahun yang sama saat

peminjaman adalah 9x30=270

Banyaknya hari pada tahun berikutnya setelah tahun peminjaman

adalah 2x360=720

Banyaknya hari pada tahun akhir peminjaman adalah 30+22=52

Jadi waktu rata-rata = 23+270+720+52 = 1065

Jadi waktu rata-rata dari tanggal 7 Maret 2004 sampai tanggal 22

Pebruari 2007 adalah 1065 hari.


CONTOH 11.1.6 Hitung waktu rata-rata dari tanggal 17 Agustus 2007 sampai 2

Desember 2007.

Penyelesaian:

Waktu rata-rata = (30 - 17) + 3(30) + 2

= 13 + 90 + 2 = 123

Jadi waktu rata-rata dari tanggal 17 Agustus 2007 sampai tanggal 2

Desember 2007 adalah 123 hari.

Menentukan waktu eksak

Ada dua cara menentukan waktu eksak, yaitu:

e. Dengan menggunakan tabel.

f. Dengan menghitung banyaknya hari yang dijalani.

Dalam buku ini hanya dibahas cara kedua, yaitu menghitung hari pada

bulan yang dijalani secara tepat.

CONTOH 11.1.7 Hitung waktu eksak dari tanggal 5 Januari 2007 sampai 25 April 2007.

Penyelesaian:

Waktu eksak = (31 - 5) + (28 + 31) + 25

= 26 + 59 +25 = 110


Jadi waktu eksak dari tanggal 5 Januari 2007 sampai tanggal 25 April

2007 adalah 110 hari.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111111---111 1. Budi Utomo mempunyai uang sebesar Rp. 10.000.000,- selanjutnya

uang ditabung pada Bank dengan bunga tetap 12%/tahun. Tentukan

jumlah uang Budi Utomo setelah di tabung selama 10 bulan.

2. Pak Wira menyarankan Budi Utomo untuk usaha membuka Toko

Mracang, usaha tersebut membutuhkan modal Rp. 10.000.000,-.

Dari usaha tersebut didapat keuntungan setiap bulan sebesar Rp.

450.000,-. Bagaimana keputusan dari Budi Utomo ? Berapa

keuntungan usahanya selama 10 bulan ? Berapa jumlah uangnya

selama 10 bulan ?

3. Usaha Toko Mracang membutuhkan 1 orang tenaga kerja, gaji

Pegawai tiap bulan sebesar Rp. 350.000,- Apakah masih

menguntungkan usaha tersebut dibandingkan apabila uangnya

ditabung pada Bank ?.

4. Selain harus menggaji Pegawai, modal untuk membeli

perlengkapan Toko sebesar Rp. 3.000.000,- terjadi penyusutan

setiap bulan sebesar 1% dimulai pada bulan ke-2. Apakah usaha

Toko Mracang masih menguntungkan ?

5. Tabungan pada Bank berdasarkan peraturan pemerintah dikenakan

pajak 15% dari bunga, Bandingkan dengan soal no. 4 6. Pemerintah mengeluarkan pinjaman lunak untuk Usaha Kecil dan menengah, Besar pinjaman Rp 20.000.000 dengan bunga


8% per tahun. Dana pinjaman harus dikembalikan setelah digunakan selama 3 tahun. Tentukan berapa besar bunga dengan menggunakan perhitungan a. Bunga tunggal biasa b. Bunga tunggal eksak 11.2 DISKONTO Selain bunga tunggal yang telah dibahas, ada juga pinjaman dengan

besar bunga tunggal yang dibayarkan pada awal peminjaman modal.

Masalah seperti ini disebut dengan diskonto. Besar suku bunganya

disebut dengan besar diskonto.

CONTOH 11.2.1 Ibu Alif meminjam uang di bank sebesar Rp 10.000.000,- dengan besar

diskonto 10% dalam jangka satu tahun. Tentukan besar uang pinjaman

saat diterima Ibu Alif.

Penyelesaian:

Besar diskonto 10% pertahun.

Jadi besar bunga dalam satu tahun adalah

00,-Rp.1.000.0 ,-10.000.000 Rp. x 10010

=

Besar uang yang diterima Ibu Alif adalah

−=−−− ,000.000.9,000.000.1,000.000.10 RpRpRp


CONTOH 11.2.2 Pak Imron menerima pinjaman dari Bank dengan besar diskonto 12,5%

pertahun. Jika uang pinjaman pada saat diterima Pak Imron sebesar Rp

14.000.000,-. Tentukan besar pinjaman Pak Imron sebelum dipotong

dengan besarnya bunga yang telah ditentukan.

Penyelesaian:

Misal M = besarnya pinjaman Pak Imron

B = besarnya bunga diskonto selama satu tahun

maka

M 81 M x

10012,5B ==

Besar pinjaman Pak Imron = besar uang yang diterima + besarnya

bunga

(1/8)M00Rp14.000.0M +=

Akibatnya : 00Rp14.000.0(1/8)MM =−

00Rp14.000.0(7/8)M =

Jadi besar pinjaman Pak Imron sebelum dipotong besarnya bunga

adalah 16.000.000 Rp. 000Rp.14.000.78 M =×=

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111111---222 1. Tentukan diskonto tunggal untuk: a. Rp 3.500.000 selama 60 hari dengan diskonto tunggal 4% perbulan


b. Rp 5.000.000 selama 90 hari dengan diskonto tunggal 3,5% perbulan c. Rp 2.500.000 dari tanggal 5 Maret sampai 10 April diskonto tunggal 6% perbulan 2. Pak Budi Utomo meminjam uang di Koperasi ”Jaya Makmur” sebesar Rp 10.000.000 dengan bunga diskonto sebesar 8%/tahun. Tentukan besar pinjaman Budi Utomo dalam waktu selama 10 bulan. 3. Bandingkan soal No. 1 dengan dengan menggunakan aturan bunga tunggal, lebih menguntungkan mana (bunga tunggal atau diskonto)? 4. Pak Wira meminjam uang sebesar Rp 10.000.000 dan harus dikembalikan selama 2 tahun. Pada saat menerima pinjaman Pak wira hanya menerima Rp 9.200.000. Berapa besar suku bunga diskonto yang harus dibayar Pak Wira dalam per tahun? 5. Koperasi “Rukun Sentosa” menggunakan aturan pinjaman diskonto. Pak Joko sebagai anggota koperasi ingin meminjam uang selama 1 tahun. Suku bunga koperasi sebesar 1,5% per bulan. Jika Pak Joko menerima uang sebesar Rp 8.000.000, maka berapa besar pinjaman Pak Joko? 11.3 BUNGA MAJEMUK Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai bunga tunggal,

dengan cara bunga yang dibayarkan pada akhir periode peminjaman,

dan cara diskonto, yaitu pembayaran bunga dilakukan pada awal

periode peminjaman.


Pada bagian ini akan dibahas cara pembayaran bunga yang dilakukan

pada setiap akhir periode tertentu, dan besar bunga ditambahkan

(digabung) dengan modal awal, bunga pada periode berikutnya dihitung

dari besar modal yang sudah digabung dengan bunga. Pada periode-

periode berikutnya bunga dihitung analog. Pembayaran bunga semacam

ini dinamakan sebagai bunga majemuk.

Cara penggabungan bunga dapat dilakukan secara bulanan, kuartalan,

triwulanan, semesteran, atau tahunan. Beberapa istilah yang terkait

dengan masalah bunga majemuk antara lain adalah frekuensi

penggabungan, periode bunga, dan banyaknya periode bunga.

Pengertian dari masing-masing istilah tersebut adalah sebagai berikut:

a. Frekuensi penggabungan adalah banyaknya penggabungan bunga

dengan modal dalam waktu satu tahun.

b. Periode bunga adalah lamanya waktu antara dua penggabungan

bunga terhadap modal yang berurutan.

Hubungan antara modal awal dengan modal setelah n periode yang

dibungakan secara majemuk dinyatakan dalam rumus berikut.

Jika suatu modal sebesar M dibungakan dengan bunga majemuk

dengan suku bunga %pb = b untuk setiap periode bunga, maka besar

modal setelah n periode adalah Mn dengan rumus :

nn bMM )1( +=


CONTOH 11.3.1 Suatu modal sebesar M dipinjamkan dengan bunga majemuk, suku

bunga ditetapkan sebesar 12% pertahun. Jika penggabungan bunganya

dilakukan triwulan. Tentukan selama 5 tahun

a. Periode bunga

b. Frekuensi penggabungan

c. Besar suku bunga untuk setiap periode

d. Banyaknya periode bunga

Penyelesaian:

a. Karena 1 triwulan = 3 bulan, maka periode bunga adalah 3 bulan.

b. Frekuensi penggabungan = 12/3 = 4

c. Besar suku bunga untuk setiap periode adalah b = (12%/4) = 3 %

d. Banyaknya periode bunga = 5 x 4 = 20.

CONTOH 11.3.2 Suatu modal sebesar M dibungakan selama 2 tahun dengan bunga

majemuk 12% pertahun, dan penggabungan bunga dilakukan

perkuartal.

Tentukan:

a. Periode bunga

b. Frekuensi penggabungan

c. Besar suku bunga untuk setiap periode

d. Banyaknya periode bunga

Penyelesaian:

a. Karena 1 kuartal = 4 bulan, maka periode bunga adalah 4 bulan.


b. Frekuensi penggabungan = 12/4 = 3

c. Besar suku bunga untuk setiap periode adalah b = (12% )/ 3 = 4%

d. Banyaknya periode bunga = 2 x 3 = 6.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111111---333 1. Budi Utomo mempunyai uang sebesar Rp. 10.000.000,- selanjutnya

uang ditabung pada Bank dengan bunga tetap 8%/tahun. Tentukan

jumlah uang Budi Utomo setelah di tabung selama 10 bulan.

2. Berdasarkan PP bunga tabungan dikenakan pajak 15%, selain itu

dibebani administrasi Bank Rp. 6.000,-/bulan. Buat berapa uang

Budi Utomo bila ditabung selama 10 bulan.

3. Untuk biaya hidup kuliah diluar kota setiap bulan membutuhkan

dana Rp. 750.000,- dan lama studi adalah 5 tahun. Jika saat ini

bunga tabungan Bank sebesar 9%/th, maka berapa uang yang harus

ditabung sehingga tiap bulan tidak perlu memikirkan biaya hidup ?.

4. Pak Wira menyarankan Budi Utomo untuk usaha membuka Toko

Mracang. Usaha tersebut membutuhkan modal Rp. 10.000.000,-.

Dari usaha tersebut didapat keuntungan setiap bulan Rp. 450.000,-.

Bagaimana keputusan dari Budi Utomo ? Berapa keuntungan

usahanya selama 10 bulan ? Berapa jumlah uangnya selama 10

bulan ?

5. Usaha Toko Mracang membutuhkan 1 orang tenaga kerja, gaji

Pegawai tiap bulan sebesar Rp. 350.000,- Apakah masih

menguntungkan usaha tersebut dibandingkan apabila uangnya

ditabung pada Bank ?.


6. Selain harus menggaji Pegawai, modal untuk membeli

perlengkapan Toko sebesar Rp. 3.000.000,- terjadi penyusutan

setiap bulan sebesar 1% dimulai pada bulan ke-2. Apakah usaha

Toko Mracang masih menguntungkan ?

7. Berapa jumlah keuntungan yang harus dicapai sehingga investasi

untuk membuka usaha lebih menguntungkan, jika usaha dibebani

gaji dan ada nilai penyusutan ?.

8. Jika laba tiap bulan naik 10% dari laba sebelumnya (No.2),

bandingkan dengan no.5

9. Untuk menambah modal Bank memberi pinjaman lunak sebesar

Rp. 20.000.000 dengan bunga 17%/th dengan jangka waktu 5 tahun

dengan besar angsuran tetap Berapa angsuran tiap bulan ?.

10. Ada penawaran yang menarik berupa pinjaman dari 4 Bank sebagai

berikut:

Nama Bank Besar Pinjaman Jangka waktu Besar Angsuran

Bank A Rp 30,000,000 5 tahun Rp 837,500

Bank B Rp 20,000,000 5 tahun Rp 550,000

Bank C Rp 24,000,000 4 tahun Rp 770,000

Bank D Rp 22,000,000 4 tahun Rp 687,500

Pinjaman dari Bank mana yang akan dipilih ? 11.4 NILAI TUNAI, NILAI AKHIR, DAN VALUTA Dalam dunia perbankan, selain kata tabungan juga dikenal kata

deposito, yaitu cara penyimpanan uang di bank dengan ketentuan

bahwa penyimpan uang dapat diambil simpanannya pada waktu yang

telah ditentukan, jika diambil pada saat belum jatuh tempo maka

dikenai pinalti (denda) sesuai ketentuan yang telah disepakati.


Beberapa istilah yang terkait dengan deposito, antara lain adalah: nilai

akhir, nilai tunai, dan hari valuta. Pada istilah-istilah tersebut

dimaksudkan sebagai berikut.

Pada deposito, besarnya uang yang disimpan pertama kali disebut nilai

tunai, sedang besarnya uang pada saat pengembalian disebut nilai

akhir, dan saat pengambilan disebut valuta.

CONTOH 11.4.1 Sejumlah uang sebesar M didepositokan selama 2 tahun dengan suku

bunga majemuk 10% pertahun. Jika pada hari valuta, uang tersebut

menjadi Rp12.000.000. Tentukan besar uang yang telah didepositokan.

Penyelesaian:

Dalam masalah ini, akan dicari nilai tunai, dengan rumus : n

n bMM )1( +=

atau

( )nMb 1

M n

+=

dengan:

n = 2

000Rp.12.000.M 2 =

b = 10% = 0,1


( )379.917.355, Rp.

1,21,-12.000.000 Rp.

0,1 1M

22 ==

+=M

Jadi besar uang yang didepositokan adalah M = Rp 9.917.355,37.

CONTOH 11.4.2 Modal sebesar Rp 6.000.000 dibungakan berdasarkan bunga majemuk

dengan bunga 5% pertahun. Tentukan besar modal setelah dibungakan

selama 3 tahun.

Penyelesaian:

Dengan rumus :

nn bMM )1( +=

dimana : M = Rp 6.000.000

b = 5% = 0,05

n = 3

diperoleh 33 0.05)(10Rp6.000.00M +×=

0Rp6.945.75

(1.157625)0Rp6.000.00=

×=

Jadi besar modal selama 3 tahun adalah Rp6.945.750,-

CONTOH 11.4.3 Modal sebesar Rp 10.000.000 dipinjamkan dengan bunga majemuk.

Penggabungan bunga dilakukan persemester dan besar bunga adalah

12% pertahun. Tentukan lama modal tersebut dipinjamkan setelah

modal menjadi Rp 15.041.000


Penyelesaian:

Karena 1 semester = 6 bulan, maka periode bunga adalah 6 bulan. Jadi

frekuensi penggabungan = 12/6 = 2

Suku bunga setiap periode adalah 12% : 2 = 6%.

Berdasarkan rumus ( )nM

b 1M n

+= , diperoleh :

5041.1

000.000.10000.041.15)06.01(

/MM0.06)(1 nn

==+

=+Rpn

Dengan rumus logaritma, diperoleh n = 7.

Jadi lama modal tersebut dipinjamkan adalah 7 semester atau 3,5 tahun.

Pada pembahasan di atas, periode bunga adalah bulat. Selanjutnya jika

periode bunga berupa pecahan, maka untuk cara mencari nilai akhir

adalah sebagai berikut:

1. Tentukan nilai akhir dengan bunga majemuk untuk periode bunga

bulat.

2. Tambahkan nilai akhir bunga tunggal untuk periode bunga pecahan.

CONTOH 11.4.4 Modal sebesar Rp 9.000.000 dibungakan berdasarkan bunga majemuk

dengan bunga 4% pertahun. Tentukan besar modal setelah dibungakan

selama 5 tahun 6 bulan.

Penyelesaian:

Dalam hal ini : M = Rp 9.000.000


b = 4% = 0,04

n = 5,5 (karena 6 bulan sama dengan 0,5 tahun)

diperoleh :

( )

873,64Rp.11.168. 02)(1,02)(1,2166529 9.000.000 Rp

04,021 1 1,04)9.000.000( Rp.

1,04)9.000.000( (0,04)Rp. 21 (1,04)9.000.000 Rp. M

5

555,5

==

+=

+×=

Jadi besar modal setelah 5 tahun 6 bulan adalah adalah

,6411.158.873 Rp. M5,5 =

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111111---444 1. Tentukan nilai tunai dari:

a. Rp 1.500.000 dalam tempo 10 tahun dan uang berkembang

5%/tahun

b. Rp 2.000.000 dalam tempo 8,5 tahun dan uang berkembang

5%/tahun digabung setengah tahunan

c. Rp 5.000.000 dalam tempo 6 tahun dan uang berkembang

4,85%/tahun ditambahkan kwartalan

d. Rp 4.000.000 dalam tempo 5 tahun 5 bulan dan uang

berkembang 6%/tahun digabung setengah tahunan


2. Pada kelahiran anaknya seorang ayah menginginkan

menginvestasikan uang akumulasi bunga 3,5% digabungkan

setengah tahunan menjadi Rp 6.000.000. Jika anaknya berusia 21

tahun, maka berapakah yang harus diinvestasikan ?

3. Seorang debitur ingin membebaskan hutang dengan membayar:

a. Rp 8.000.000 sekarang atau

b. Rp 10.000.000 lima tahun dari sekarang

Jika uang berkembang 5% digabungkan setengah tahunan, maka

berapa yang debitur terima?

4. Hutang Rp 5.000.000 harus dibayar dalam 2 tahun dari hari ini dan

yang lain Rp 7.500.000 harus diabayar dalam 6 tahun dari hari ini

akan dilunasi dengan pembayaran tunggal 4 tahun dari hari ini.

Tentukan besarnya pembayaran tunggal jika uang bertambah 4%

majemuk kwartalan.

5. Tentukan waktu persamaan untuk membayar dua hutang Rp

250.000 untuk setiap pembayaran, satu dibayar dalam 6 bulan dan

yang lain dalam satu tahun jika uang bertambah 6% digabungkan

bulanan.

11.5 RENTE (RENTETAN MODAL) Rente dikelompokkan kedalam rente terbatas dan rente kekal.

Selanjutnya, akan kita bahas masing – masing rente secara lebih

mendalam.

1. Rente Terbatas adalah rente dengan banyaknya angsuran atau

penambahan uang oleh pihak bank untuk tabungan maupun produk

bank yang lain menggunakan sistem bunga majemuk yaitu setiap


akhir periode bunganya langsung menjadi modal yang dibungakan

lagi atau dikenal dengan bunga berbunga.

Didalam sistem bunga majemuk dikenal istilah rente yaitu rentetan

modal yang dibayarkan setiap periode yang tetap. Pembayaran

yang menggunakan rente antara lain:

1. Pembayaran barang secara kredit

2. Pembayaran asuransi

3. Tabungan berjangka atau deposito

Contoh banyaknya angsuran rente adalah: 12 kali angsuran, 24 kali

angsuran, atau k kali angsuran dengan k adalah bilangan asli dan

berhingga.

2. Rente Kekal (abadi) adalah rente dengan banyaknya angsuran

tidak terbatas, misal k kali angsuran dengan k tak hingga.

Berdasarkan waktu pembayarannya rente dibedakan menjadi 2,

yaitu :

Rente Pranumerando adalah suatu rente dengan waktu

pembayarannya dilakukan setiap awal periode, misal tanggal 1

setiap bulan, tanggal 1 Januari setiap tahun.

Rente Postnumerando adalah suatu rente dengan waktu

pembayarannya dilakukan setiap akhir periode, misal tanggal 30

setiap bulan, tanggal 30 Desember setiap tahun.

Rente Pranumerando

1. Penghitungan Nilai Akhir


Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun,

dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai akhir dari

angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai

akhir dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 31 Desember

tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut.

Tahun Pertama 1 Januari M(1 + i)1

Tahun Kedua 1 Januari M(1 + i)2

Tahun Ketiga 1 Januari M(1 + i)3

M Tahun ke (n-1) 1 Januari M(1 + i)n-1

Tahun ke n 1 Januari M(1 + i)n +

31 Desember ∑=

−

+n k

0k

ki) M(1

Jadi Nilai Akhir dari Rente Pranumerando adalah

( )

( )knk

1 k a

knk

1 k a

i 1M N

i 1M N

∑

∑=

=

=

=

+=

+=

Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat

Na = M (1 + i) + M (1 + i) +…+ M (1 + i)n

yang merupakan deret Geometri, dengan

a = M (1 + i) dan r = (1 + i)


1 - i) (11 i) (1 i) (1 M N

n

+++

+=

i1 i) (1 i) (1 M N

n +++=

CONTOH 11.5.1 Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak

Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 4 % pertahun, maka tentukan nilai

akhir rente pada tahun ke 3.

Penyelesaian:

M = Rp.1.000.000,-

n = 3, dan i = 4 %

∑

=

=

+=nk

1k

ka i)M(1N

∑=

+×=3

1k

k0.04)(10Rp1.000.00

1.124864)1.0816(1.040Rp1.000.00 ++×=

(3.246464)0Rp1.000.00 ×=

4Rp3.246.46=

2. Penghitungan Nilai Tunai


dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai dari

angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut.



tunai dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 1 Januari

tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut :

Tahun Pertama 1 Januari M

Tahun Kedua 1 Januari M/ (1 + i)

Tahun Ketiga 1 Januari M/ (1 + i)2

M

Tahun ke (n-1) 1 Januari M/ (1 + i)n-2

Tahun ke n 1 Januari M/ (1 + i)n-1 +

∑=

= ++

1-n k

1 k ki)(1

1M M

Jadi Nilai Tunai dari Rente Pranumerando adalah

( )

( ))

i11M(1

i11MM N

1-nk

1k

1-nk

1kt

∑

∑=

=

=

=

++=

++=

k

k

Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat suatu deret geometri

dengan a = M, dan r = 1 / (1+i), maka :

( )

+−+=

−

ii n)1(1i1M Nt

CONTOH 11.5.2 Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp

1.000.000. Jika besar bunga 4 % pertahun, maka tentukan nilai tunai

rente pada tahun ke 3.


Penyelesaian:

M = Rp.1.000.000

n = 3

i = 4 %

( )

+−+=

−

0,04)04,01(10,04100,-Rp.1.000.0 N

3

t

=

××−0,04

80,88899635 -1)04,1(,000.000.1.Rp

= Rp.1.040.000 (2,775091033)

= Rp.2.886.094,67

Rente Postnumerando

1. Penghitungan Nilai Akhir

Tahun Pertama 31 Desember M(1+i)n-1


dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai akhir aN dari

angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :

Angsuran dibayar pada akhir periode yaitu tanggal 31 Desember dan

nilai akhir dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 31

Desember tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut :

Tahun Kedua 31 Desember M(1+i)n-2

Tahun Ketiga 31 Desember M(1+i)n-3

M

Tahun ke (n-1) 31 Desember M(1+i)

Tahun ke n 31 Desember M +


∑=

++1-n

1

ki)M(1Mk

Jadi Nilai Akhir dari Rente Pranumerando adalah

( )

++= ∑

−

=

1

1a i1 1M N

n

k

k

Atau jika dihitung menggunakan deret geometri, didapat

( )[ ]1 i1i

M N na ++=

CONTOH 11.5.3 Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,- ke

bank. Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke-3, tentukan nilai akhir

rente.

Penyelesaian:

M = Rp.4.000.000,-

n = 3

i = 5%

( )

++= ∑ 3

a 0,051100,-Rp.4.000.0 N

= Rp.4.000.000,- ( 2,157625)

= Rp.8.630.500,-

2. Penghitungan Nilai Tunai



dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai tN dari

angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :


tunai dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 1 Januari tahun

ke-n seperti pada penjelasan berikut:

Tahun Pertama 1 Januari ( )i1M+

Tahun Kedua 1 Januari ( )2i1M+

Tahun Ketiga 1 Januari ( )3i1M+

M

Tahun ke (n-1) 1 Januari ( ) 1-ni1M

+

Tahun ke n 1 Januari ( )ni1

M+

( )∑=

= +

nk

kk

1 i1M

Jadi Nilai Tunai dari Rente Postnumerando adalah

( )∑=

= +=

nk

kk

1t i1

1M N

Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat :

( )[ ]ni1i

M N t +=


CONTOH 11.5.4 Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp 4.000.000,- ke bank.

Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke 3, tentukan harga tunai rente ?

Penyelesaian:

M = Rp.4 000.000,-

n = 3

i = 5%

( )∑= +

=n

kk

1t i1

1M N

+

++

++

= 323 )05,01(1

)05,01(1

05,01100,-Rp.4.000.0 N

= Rp 4.000.000,- ( 0,952380952++0,907029478+0,863837598)

= Rp 4.000.000,-(2,723248029) = Rp 10.982.991,11

Rente Kekal

Rente kekal atau rente abadi adalah rente dengan banyaknya angsuran

tidak terbatas (n = ~). Maka dari hanya nilai tunainya saja yang dapat

dihitung, sedangkan nilai akhirnya tidak dapat dihitung jumlahnya.

1. Rente Kekal Pranumerando

Rente kekal pranumerando jika dijabarkan nilai tunai untuk tiap

priode merupakan deret geometri tak hingga dengan a = M, dan r =

i11+ , maka nilai tunai rente pranumerando kekal adalah :


( ) M i

M i 1 i

M N t +=+=

CONTOH 11.5.5 Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak

Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 5 % pertahun, maka tentukan harga

tunai rente kekal pada tahun ke 3.

Penyelesaian:

M = Rp 1.000.000

n = 3

i = 5 %

( )

( )0,0510,05

-1.000.000, Rp

i 1 i

M N3

+=

+=

= Rp 21.000.000,-

2. Rente Kekal Postnumerando

Sama dengan rente kekal pranumerando, rente kekal

postnumerando nilai tunainya jika dijabarkan akan berbentuk deret

geometri tak hingga dengan :

a = ( )i1M+ dan r = ( )i1

1+ , sehingga

iM N t =


CONTOH 11.5.6 Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 1.000.000,- ke

bank. Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke 4, tentukan harga tunai

rente kekal.

Penyelesaian:

M = Rp 1.000.000

n = 4

i = 5%

000,-Rp.20.000. 0,05

00,-Rp.1.000.0 N4 ==

Jadi harga tunai rente kekal adalah Rp. 20.000.000,-.

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111111---555 1. Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp.1.000.000,‐. Jika besar bunga 5 % pertahun, maka tentukan nilai akhir rente pada tahun ke 3. 2. Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp 1.000.000. Jika besar bunga 5 % pertahun, maka tentukan nilai tunai rente pada tahun ke 3. 3. Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,‐ ke bank. Bunga bank 4,5% pertahun. Pada tahun ke‐3, tentukan nilai akhir rente.


4. Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,‐ ke bank. Bunga bank 4,5% pertahun. Pada tahun ke 3, tentukan harga tunai rente ? 5. Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp.1.000.000,‐. Jika besar bunga 4,5 % pertahun, maka tentukan harga tunai rente kekal pada tahun ke 3. 11.6 ANUITAS Anuitas adalah suatu pembayaran atau penerimaan uang secara

periodik dalam jumlah tetap dan dalam jangka waktu yang tetap pula.

Jumlah pembayaran anuitas terdiri dari dua bagian, yaitu:

- Angsuran pelunasan pinjaman

- Pembayaran bunga.

Menentukan Besarnya Anuitas Untuk menentukan besarnya anuitas dapat digunakan rumus :

( )∑= +

= n

kk

1 i 11

1M A

atau

( )( ) 1 i1

i1iM A n −++

=n

dengan

A = besarnya anuitas

M = besarnya pinjaman

i = suku bunga


n = banyaknya anuitas

CONTOH 11.6.1 Suatu pinjaman sebesar Rp 10.000.000,- akan dilunasi dengan 3

angsuran dengan suku bunga 12% pertahun. Tentukan besar anuitasnya.

Penyelesaian:

M = Rp 10.000.000,-

i = 12% = 0,12

n = 3

a. Diselesaikan dengan Rumus

( )∑= +

= n

kk

1 i 11

1M A , diperoleh besarnya

anuitas 8.4.163.48,9 Rp 72.40183126

1,-10.000.000 Rp. A ==

b. Diselesaikan dengan Rumus ( )

( ) 1 i1i1iM A n −+

+=

n

Besarnya anuitas adalah

( )( )

98,48.163.4.0,4049281,4049281.200.000 Rp

1 1,12

1,12,-10.000.000 Rp. 0,12 A 3

3

Rp=×=

−××=

Menyusun Rencana Angsuran

Untuk mengetahui bahwa perhitungan anuitas sudah benar, sebaiknya

disusun rencana angsuran. Pada anuitas terakhir, besar angsuran utang

harus nol.


CONTOH 11.6.2 Ibu Rini meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000,-. Pinjaman

harus dilunasi dengan anuitas selama setahun dengan pembayaran tiap

tiga bulan. Suku bunga 3% per tiga bulan. Buatlah rencana

angsurannya, dan buatkan tabel rencana angsuran itu.

Penyelesaian:

M = Rp 10.000.000,-

i = 3%

n = 4 (sebab angsuran dilakukan setiap 3 bulan. Jadi n = 12 : 3 = 4)

Besar anuitas tiap 3 bulan adalah

52.690.270,Rp

03,71708984110.000.000Rp

0,03)(11

1MA 4

1kk

=

×=

+

=

∑=

Membuat rencana angsuran:

Karena anuitas terdiri dari besar angsuran dan bunga, maka angsuran ke

n, yaitu An, adalah An = A - Bn

dengan Bn adalah bunga pada angsuran ke n.

Oleh karena itu diperoleh:

- Bunga pada akhir tiga bulan pertama

B1 = 3% x Rp 10.000.000 = 300.000 Rp. ,-10.000.000 Rp. 100

3=×

Angsuran pertama adalah

A1 = A - B1 = Rp 2.690.270,5 - Rp 300.000,- = Rp 2.390.270,5

Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan kedua adalah

M1 = Rp 10.000.000,- - Rp 2.390.270,5 = Rp 7.609.729,5.


- Bunga pada akhir tiga bulan kedua

88,291.228.5,729.609.7.100

32 RpRpB =×=

Angsuran kedua adalah A2 = A - B2

= Rp 2.690.270,5 - Rp 228.291,88

= Rp 2.461.978,62

Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan ketiga adalah

M2 = Rp 7.609.729,5 - Rp 2.461.978,62= Rp 5.147.750,88.

- Bunga pada akhir tiga bulan ketiga adalah

52,432.154.88,750.147.5.100

33 RpRpB =×=

Angsuran ketiga adalah

A3 = A - B3 = Rp 2.690.270,5 - Rp 154.432,52 = Rp 2.535.837,98

Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan keempat adalah

M3 = Rp 5.147.750,88. - Rp 2.535.837,98 = Rp 2.611.912,9

- Bunga pada akhir tiga bulan keempat adalah

87,573.783.9,912.611.2.100

34 RpRpB =×=

A4 = A - B4 = Rp 269.027,05 - Rp 783.573,87 = Rp 2.611.913,13

Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan kelima adalah

Angsuran keempat adalah

M4 = Rp 2.611.912,9- Rp 2.611.913,13= Rp -0,02 = Rp 0


Tabel rencana angsurannya adalah sebagai berikut:

Tabel Rencana Angsuran

Angsuran

Utang ( Rp. )

Anuitas

ke n Suku bunga

3%

Angsuran

Utang

Sisa Utang

1 10.000.000,- 300.000,- 2.390.270,5 7.609.729,5

2 7.609.729,5 228.291,88 2.461.978,62 5.147.750,88

3 5.147.750,88 154.432,52 2.535.837,98 2.611.912,9

4 2.611.912,9 783.573,87 2.611.913,13 0,- Anuitas dengan Pembulatan

Biasanya besar anuitas yang dibayarkan (diterima) berupa pecahan.

Untuk mempermudahkan atau menyederhanakan pembayaran, biasanya

besar anuitas dibulatkan ke atas atau ke bawah.

Jika besar anuitas dibulatkan ke bawah, maka besarnya pembayaran

terakhir adalah besarnya anuitas ditambah kekurangannya, dan jika

besar anuitas dibulat kan ke atas, maka besarnya pembayaran terakhir

adalah besarnya anuitas dikurangi kelebihan pembayaran.

CONTOH 11.6.3 Pak Abu meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000,-. Pinjaman

harus dilunasi dengan anuitas selama setahun dengan pembayaran tiap

triwulan.Suku bunga 3% per triwulan.


Tentukan:

a. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke atas

b. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas

c. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas

d. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas

e. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas

f. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke bawah

g. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah

h. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah

i. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah

j. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah

Penyelesaian:

M = Rp 10.000.000

i = 3%

n = 4 (sebab angsuran dilakukan setiap triwulan. Jadi n = 12 : 3 = 4)

Besar anuitas tiap triwulan adalah

( )∑= +

= n

1k i 11

1M A

k

70,45Rp.2.690.23,71709840

1000,Rp.10.000.

811/1,1255081/1,0927271/1,06091/1,031000,Rp.10.000.

=×−=

+++×−=

Dengan pembulatan ribuan ke atas, diperoleh

a. Besar anuitas adalah Rp 2.700.000,-

b. Besar pembulatan adalah Rp 2.700.000,00 - Rp 2.690.270,45

= Rp 9.729,55


c. Untuk membuat tabel rencana angsuran, terlebih dahulu dihitung

rencana angsurannya sebagai berikut.

Dengan mengingat An = A – Bn, dan Bn adalah bunga pada

angsuran ke n, diperoleh:

- Bunga pada akhir triwulan pertama, B1 = 3% x Rp 10.000.000,-

= Rp 300.000,-


A1 = A - B1

= Rp 2.700.000 - Rp 300.000

= Rp 2.400.000,-

Pinjaman (sisa utang) pada awal triwulan kedua adalah

M1 = Rp 10.000.000,00 - Rp 2.400.000,-= Rp 7.600.000,-


,-Rp.228.000,-7..600.000 Rp100

3B2 =×=

Angsuran kedua adalah

A2 = A - B2 = Rp 2.700.000 ,-- Rp.228.000= Rp 2.472.000,-

Pinjaman (sisa utang) pada awal triwulan ketiga adalah

M2 = Rp 7.600.000,- - Rp 2.472.000,-= Rp 5.128.000,-.

- Bunga pada akhir triwulan ketiga adalah

B3 = 3% x Rp 5.128.000,-. = 153.840,- Rp. -5.128.000, Rp. 100

3=

Angsuran ketiga adalah

A3 = A - B3 = Rp 2.700.000,- - Rp 153.840,- = Rp 2.546.160,-

Pinjaman (sisa utang) pada awal triwulan keempat adalah

M3 = Rp 5.128.000,-. - Rp 2.546.160,- = Rp 2.581.840,-


- Bunga pada akhir triwulan keempat adalah

B4 = 3% x Rp 2.581.840,-. = 77.455,2 Rp. -2.581.840, Rp. 100

3=×

Angsuran keempat adalah

A4 = A - B4 = Rp 270.000,- - Rp 77.455,2 = Rp 2.622.544,8

Pinjaman (sisa utang) pada akhir triwulan keempat adalah

M4 = Rp 2.581.840,- - Rp 2.622.544,8 = Rp -40.704,8

Dengan adanya pembulatan ribuan ke atas, ada kelebihan angsuran

sebesar Rp. 40.704,8.

Jadi tabel rencana angsurannya adalah sebagai berikut:

Angsuran

Utang ( Rp. )

Anuitas

ke n Suku bunga 3%

Angsuran

Utang

Sisa Utang

1 10.000.000,- 300.000,- 2.400.000,- 7.600.000,-

2 7.600.000,- 228.000,- 2.472.000,- 5.128.000,-

3 5.128.000,- 153.840,- 2.546.160,- 2.581.840,-

4 2.581.840,- 7.745,52 2.622.544,8 -40.704,8

d. Angsuran terakhir adalah

A4 - Rp 40.704,8 = Rp 2.622.544,8 - Rp 4.070,48 = Rp 2.622.544,8

e. Pembayaran terakhir adalah

Angsuran terakhir + Bunga terakhir = Rp 2.622.544,8+ Rp 77.455,2

= Rp 2700.000,-


Dengan pembulatan ribuan ke bawah diperoleh:

a. Besar anuitas adalah Rp 2.690.000,-

b. Besar pembulatan adalah Rp 45,270.690.2 - Rp 2.690.000,-

= Rp 270,45

c. Untuk membuat tabel rencana angsuran, terlebih dahulu dihitung

rencana angsurannya sebagai berikut :

Dengan mengingat An = A – Bn dimana Bn adalah bunga pada

angsuran ke n, diperoleh:

- Bunga pada akhir tiga bulan pertama

B1 = 3% x Rp 10.000.000 = 300.000 Rp. 10.000.000 Rp. 100

3=


A1 = A - B1

= Rp 2.690.000 - Rp 300.000

= Rp 2.390.000

Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan kedua adalah

M1 = Rp 10.000.000 - Rp 2.390.000 = Rp 7.610.000,-


B2 = 3% x Rp7.610.000,- = 228.300,- Rp. -7,610.000, Rp. 100

3=×

Angsuran kedua adalah A2 = A - B2 = Rp 2.690.000,- - Rp 228.300,-

= Rp 2.461.700,-


Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan ketiga adalah

M2 = Rp 7.610.000,- - Rp 2.461.700,- = Rp 5.148.300,-.

- Bunga pada akhir tiga bulan ketiga adalah

B3 = 3% x Rp 5.148.300 = 154.444,90 Rp. 5.148.300 Rp. 100

3=×

Angsuran ketiga adalah A3 = A - B3 = Rp 2.690.000,- - Rp 15.444,90

= Rp 2.535.551,-

Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan keempat adalah

M3 = Rp 5.148.300 - Rp 2.535.551 = Rp 2.612.749,-

- Bunga pada akhir tiga bulan keempat adalah

B4 = 3% Rp 2.612.749,- = 78.382,47 Rp. -2.612.749, Rp. 100

3=×

Angsuran keempat adalah A4 = A - B4

= Rp 2.690.000 - Rp 78.382,47

= Rp 2.611.617,53

Pinjaman (sisa utang) pada akhir tiga bulan keempat adalah

M4 = Rp 2.612.749,-- Rp 2.611.617,53 = Rp 1.131,47.

Jadi table rencana angsurannya adalah sebagai berikut :

Angsuran

Utang ( Rp. )

Anuitas

ke n Suku bunga 3%

Angsuran

Utang

Sisa Utang

1 10.000.000,- 300.000,- 2.390.000,- 7.610.000,-

2 7.610.000,- 2288.300,- 2.461.700,- 5.148.300,-

3 5.148.300,- 154.449,- 2.535.551,- 2.612.749,-

4 2.612.479 78.382,47 2.611.617,53 1.131,47


i. Dengan adanya pembulatan ribuan ke bawah, ada kekurangan

angsuran sebesar Rp1.131,47. Jadi angsuran terakhir adalah

A4 + Rp 1.131,47 = Rp 2.611.617,53 + Rp 1.131.47

= Rp 2.612.749,-

j. Pembayaran terakhir adalah angsuran terakhir + bunga terakhir = Rp

2.612.749 + Rp 78.382,47,- = Rp 2.691.131,47

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111111---666 1. Suatu pinjaman sebesar Rp 10.000.000 akan dilunasi dengan 5 angsuran dengan suku bunga 12% pertahun. Tentukan besar anuitasnya. 2. Ibu Rini meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000. Pinjaman harus dilunasi dengan anuitas selama setahun dengan pembayaran tiap empat bulan. Suku bunga 4% per tiga bulan. Buatlah rencana angsurannya, dan buatkan tabel rencana angsuran itu. 3. Pak Abu meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000,‐. Pinjaman harus dilunasi dengan anuitas selama setahun dengan pembayaran tiap triwulan.Suku bunga 3% per triwulan. Tentukan: a. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke atas b. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas


c. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas d. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas e. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas f. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke bawah g. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah h. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah i. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah j. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah 11.7 METODE SALDO MENURUN Dengan metode garis lurus, besarnya penyusutan setiap tahun dianggap

sama, tetapi dalam metode saldo menurun, besar penyusutan mula-mula

besar dan semakin lama besar penyusutan penurun sebanding lurus

dengan menurunnya nilai buku ativa (harta) tetap.

Perhitungan penyusutan dengan metode saldo turun ada dua cara, yaitu:

metode angka persen tetap atau metode tarif tetap atas nilai buku, dan

metode menurun berganda.

Perhitungan dengan metode angka persen tetap mempunyai

rumus


nAS - 1 T =

Dimana :

T = persen penyusutan dari nilai buku

S = nilai residu (sisa) aktiva tetap

A = nilai perolehan aktiva tetap

n = perkiraan umur ekonomi aktiva tetap

CONTOH 11.7.1 Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp 10.000.000,-.

Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000,- dengan umur manfaat 3 tahun.

Dengan metode saldo menurun angka persen tetap,

a. Persentase penyusutan setiap periode

b. Buatkan tabel yang berisikan harga perolehan, penyusutan,

akumulasi penyusutan, dan harga buku.

Penyelesaian:

S = Rp 1.000.000,-

A = Rp 10.000.000,-

n = 3


a. Persentase penyusutan setiap periode adalah nAS - 1 T = =

3100000001000000 - 1 = 1 – 0,4641592396

= 0,53584076 = 53,6%

b. Penyusutan periode 1 = 53,6% x Rp 10.000.000,- = Rp 5.360.000,-

Penyusutan periode 2 = 53,6% x Rp 4.460.000,- = Rp2.487.040,-

Penyusutan periode 3 = 53,6% x Rp 2.152.960,- = Rp 1.153.986,56

Tabelnya adalah sebagai berikut :

Pada penyusutan metode saldo menurun berganda, besar persentase

penyusutan pertahun ditetapkan sebesar dua kali dari penyusutan garis

lurus.

Periode/tahun

Harga Perolehan

( Rp.)

Penyusutan (Rp.)

Akumulasi

Penyusutan

Nilai Buku

1 10.000.000 5.360.000,- 5.360.000, 4.640.000

2 10.000.000 2.487.040,- 7.847.040 2.152.960

3 10.000.000 1.153.986,56 9.001.026, 998.974,-


CONTOH 11.7.2 Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp 10.000.000

Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000,- dengan umur manfaat 4 tahun.

Dengan metode saldo menurun berganda,

a. Persentase penyusutan setiap periode

b. Hitunglah penyusutan selama 4 tahun

Penyelesaian:

8. Persentase penyusutan setiap periode (setiap tahun) adalah

% 50 (2) 4

100%=

9. Besar penyusutan tahu ke 1 = 50% x Rp 10.000.000

= Rp 5.000.000

Nilai Buku awal tahun ke 2 = Rp10.000.000 - Rp 5.000.000

= Rp 5.000.000

Besar penyusutan tahu ke 2 = 50% x Rp 5.000.000

= Rp 2.500.000

Nilai Buku awal tahun ke 3 = Rp 5.000.000 - Rp 2.500.000

= Rp 2.500.000,-

Besar penyusutan tahu ke 3 = 50% x Rp 2.500.000

= Rp 1.250.000


• RANGKUMAN

• Bunga adalah uang jasa tambahan yang diakibatkan kita meminjam uang. Besarnya pinjaman disebut dengan modal.

• Jika besar modal pinjaman adalah M0 dan besar bunga adalah

B, maka besar suku bunga persatuan waktu dituliskan dengan

b, didefinisikan sebagai

% 100 MB

0

×=b

• Jika besar bunga hanya dihitung dari modal dan pembayaran dilakukan sesuai dengan waktu perjanjian, maka bunga yang berkaitan disebut bunga tunggal.

• Jika besar bunga ditambahkan ke modal pinjaman dan akan ikut dihitung sebagai modal untuk dibungakan lagi, maka bunga yang berkaitan disebut bunga majemuk.

• Pada deposito, besarnya uang yang disimpan pertama kali disebut nilai tunai, sedang besarnya uang pada saat pengembalian disebut nilai akhir, dan saat pengambilan disebut valuta.

• Anuitas adalah suatu pembayaran atau penerimaan uang secara periodik dalam jumlah tetap dan dalam jangka waktu yang tetap pula.


SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN 111111---777 1. Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp 12.000.000. Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000,‐ dengan umur manfaat 3 tahun. Dengan metode saldo menurun angka persen tetap, tentukan a. Persentase penyusutan setiap periode b. Buatkan tabel yang berisikan harga perolehan, penyusutan, akumulasi penyusutan, dan harga buku. 2. Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp 10.000.000. Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000 dengan umur manfaat 4 tahun. Dengan metode saldo menurun berganda, tentukan: a. Persentase penyusutan setiap periode b. Hitunglah penyusutan selama 4 tahun

SSSOOOAAALLL LLLAAATTTIIIHHHAAANNN UUULLLAAANNNGGGAAANNN BBBAAABBB 111111 1. Jika terdapat suatu modal sebesar Rp.25.000.000,- dengan suku

bunga 15% pertahun tentukan besar bunga tunggal untuk jangka

waktu

a. 9 bulan

b. 20 bulan

2. Ibu Ani meminjam modal sebesar Rp.10.000.000,- jika ibu Ani

harus mengembalikan dalam jangka waktu 2 tahun dengan


pengembalian sebesar 8/5 dari modal pinjaman. Tentukan besar

bunga pertahun

3. jika terdapat modal sebesar Rp.15.000.000,- dibungakan dengan

bunga tunggal suku bunga 12% perbulan dalam waktu berapa agar

modal menjadi 5/3 dari modal semula.

4. Jika modal sebesar Rp.16.000.000,-dipinjamkan selama 3 bulan

dengan suku bunga 12,5% pertahun. Tentukan besar bunga tunggal

eksak dan biasa, jika dilakukan pada tahun

a. 2007 b. 2008

5. Tentukan waktu rata-rata dan waktu eksak dari tanggal 22 Pebruari

2000 sampai 17 Mei 2007

6. Ali meminjam modal sebesar Rp.100.000.000,-dengan cara

diskonto, suku bunga yang disepakati 15% pertahun. Tentukan

besar modal pinjaman yang diterima Ali setelah dpotong bunga.

7. Bakri menerima pinjaman setelah dipotong bunga Rp.12.000.000,-

dengan cara diskonto, suku bunga 16% pertahun. Tentukan besar

pinjaman Bakri.

8. Jika suatu modal sebesar M dibungakan selama 5 tahun dengan

bunga majemuk sebesar 12% pertahun, dan penggabungan bunga

dilakukan perkuartal. Tentukan

a. Frekuensi penggabungan

b. Banyaknya periode bunga

9. Jika modal sebesar Rp.25.000.000,- dibungakan dengan bunga

majemuk, suku bunga1,2% perbulan. Berapa besar modal setelah

a. 10 bulan

b. 3 tahun


10. Jika modal sebesar 30.000.000,- dibungakan berdasarkan bunga

majemuk dengan bunga 8% pertahun. Tentukan besar modal

selama 5 tahun 9 bulan.

11. Jika pada awal tahun disetor sejumlah uang ke Bank sebanyak

Rp.1.000.000,- besar bunga 6% pertahun, maka tentukan nilai akhir

rente pada akhir tahun ke-8

12. Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp.100.000.000,-

ke bank bunga yang ditawarkan 10% pertahun. Pada tahun ke-6,

tentukanharga tunai rente

13. Pak karta meminjam uang di Bank sebesarRp.100.000.000,- dan

harus dilunasi dengan anuitas selama 3 tahun dengan pembayaran

tiap semester, suku bunga yang ditawarkan adalah 5% persemester.

Tentukan

a. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke atas

b. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas

c. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke

atas

d. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas

e. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas

f. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke bawah.

g. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke

bawah.

h. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke

bawah.

i. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah.

j. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke

bawah.

633

D A F T A R P U S T A K A

10. Benny Hendarman, Endang Riva’I, Matematika untuk SMK kelas X, HUP, 2007.

11. Benny Hendarman, Endang Riva’I, Matematika untuk SMK kelas XI, HUP, 2007.

12. B.K Noormandiri, Endar Sucipto, Matmatika SMU, Penerbit Erlangga, 2004.

13. Edi Suranto, Matematika Bisnis Manajemen, Penerbit Yudistira, 2003.

14. Endang Jaiman, Herwati, Tri Dewilistia, Matematika SMU, Yudhistira, 2004.

15. Jurusan Matematika ITS, Buku Ajar Kalkulus, 2006.

16. Jurusan Matematika FMIPA-ITS Surabaya, Buku Ajar Kalkulus 2, 2007

17. Koko Martono, R. Eryanto, Firmansyah Noor, Matematika dan Kecakapan Hidup untuk SMA kelas X, Ganeca, 2007.

18. Koko Martono, R. Eryanto, Firmansyah Noor, Matematika dan Kecakapan Hidup untuk SMA kelas XI Program IPA, Ganeca, 2007.

19. Koko Martono, R. Eryanto, Firmansyah Noor, Matematika dan Kecakapan Hidup untuk SMA kelas XII Program IPA, Ganeca, 2007.

20. L. Sembiring, R.A. Rivai Wirasasmita, Yogia, Yance Lagu M., Matematika Keuangan, Penerbit M2S Bandung, 2005

21. Maman Abdurahman, Matematika 1 untuk SMK kelas X Bidang Keahlian Bisnis dan Manajemen Program Keahlian Akuntansi, Penerbit Armico Bandung, 2007.

22. Marwanto, dkk, Matematika Interaktif, Yudistira, 2004.

634 D a f t a r P u s t a k a

23. Sembiring, Rama Widya, Olimpiade Matematika SMU, 2004.

24. Srikurnianingsing, Kuntarti, Sulistiono, Matematika SMA dan MA, Penerbit, Erlangga 2003.

25. Stewart, J., Kalkulus, Alih bahasa: I Nyoman Susila, Hendra Gunawan, Penerbit Erlangga, 2003.

26. Wila Adiyanto Sukoco, Loedbi, Matematika Bilingual, 2004. 27. Wono Setyo Budhi, Matematika SMU, PT. Arman Delta Selaras,

2002.

28. Yohanes, Kastolan, Sulasin, Matematika SMU, Yudistira, 2004.

635

I N D E K S

636 I n d e k s

I n d e k s 6 3 7

Documents

Matematika SMK Bisnis Bab 1 - 11 - psbtik.smkn1cms.netpsbtik.smkn1cms.net/bse/kejuruan/adap_norma... · Matematika Bisinis dan Perkantoran oleh Bandung Arry Sanjoyo, ... beberapa