MATEMATIKA

nacionalni ispit za učenike I. razreda gimnazije

ISPITNI KATALOG ZA NASTAVNIKE

ožujak 2007.

Urednik publikacije: Damir Rister

Članovi Stručne radne skupine za pripremu ispita iz MATEMATIKE:

doc. dr. sc. Željka Milin Šipuš, Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Matematički odjel, voditeljica prof. dr. sc. Zvonimir Šikić, Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu Jelena Gusić, prof., XV. gimnazija, Zagreb Jagoda Krajina, prof., Tehnička škola Ruđera Boškovića, Zagreb Dragica Martinović, prof., Ženska opća gimnazija Družbe sestara milosrdnica, Zagreb Josipa Pavlić, prof., Gimnazija Lucijana Vranjanina, Zagreb

2

Sadržaj Svrha ispitnoga kataloga.......................................................................................................................... 4 Svrha nacionalnih ispita ........................................................................................................................... 4 Struktura ispita ......................................................................................................................................... 5 Pribor ....................................................................................................................................................... 5 Opći ciljevi ispita ...................................................................................................................................... 5 Specifični ciljevi ispita............................................................................................................................... 6 Izražavanje rezultata nacionalnih ispita.................................................................................................... 6 Korištenje rezultata nacionalnih ispita ...................................................................................................... 7 Način bodovanja i primjer ispita ............................................................................................................... 7

3

Svrha ispitnoga kataloga Nacionalnim ispitom iz MATEMATIKE provjerava se sposobnost korištenja znanja i vještina iz matematike koje su učenici stjecali i razvijali tijekom dosadašnjega obrazovanja.

Ovaj tekst sadrži odrednice nacionalnoga ispita iz MATEMATIKE koji će se održati 31. svibnja 2007. u 8.00 sati za odabrane učenike prvih razreda gimnazija koji su određeni metodom slučajnoga odabira.

Svrha je ispitnoga kataloga pomoći nastavnicima da se upoznaju s detaljima ovoga ispita.

Svrha nacionalnih ispita Nacionalni ispiti koji se uvode u hrvatske srednje škole imaju tri važna cilja:

1. Stjecanje uvida u stanje hrvatskoga školstva – praćenje učinkovitosti obrazovnoga sustava.

Uvođenjem nacionalnih ispita započelo je prikupljanje valjanih, pouzdanih i objektivnih podataka o postignućima učenika u našim školama. Rezultati ispita omogućit će uvide u postojeće stanje, ukazati na moguće probleme i istaknuti izazove pred kojima se nalazi obrazovanje u Hrvatskoj. Ispitima se želi dobiti odgovor na pitanje koliko škole ostvaruju svoju obrazovnu funkciju.

2. Poticanje kvalitetnijeg učenja za sve učenike.

Provođenje nacionalnih ispita omogućuje školama da se na temelju podataka o uspješnosti svojih učenika uspoređuju s drugima, analiziraju vlastiti rad te provode samovrjednovanje koje ima za cilj unapređivanje rada s učenicima.

3. Pripremanje učenika, nastavnika, škola i samog sustava vanjskog vrjednovanja za državnu maturu.

Uvođenjem nacionalnih ispita već od prvoga razreda započinju pripreme za provedbu državne mature u gimnazijama u školskoj godini 2008./2009. Učenici, nastavnici i svi uključeni u provođenje ispita stječu vrijedna iskustva s vanjskim ispitima i pristupom kakav će se koristiti na državnoj maturi.

Ispiti su temeljeni na važećim nastavnim programima pojedinih predmeta. Provjeravaju znanja i kompetencije učenika koje se zasnivaju na ključnim dijelovima programa. Ispituju se sadržaji koji bitno određuju predmet učenja i koji se smatraju važnima za daljnje učenje i razumijevanje područja.

U interesu je učenika savjesno pristupiti ispitu, ponašati se prema propisanim pravilima i nastojati ostvariti što bolji rezultat. Osim stjecanja vrijednog iskustva s ispitima, učenici će dobiti i povratne informacije o vlastitome rezultatu te će moći svoj uspjeh usporediti s učenicima u svojoj školi i s drugim učenicima u cijeloj Hrvatskoj, koji će polagati isti ispit u isto vrijeme i u jednakim uvjetima.

Očekuje se da će uvođenje nacionalnih ispita i cijeloga sustava vanjskoga provjeravanja znanja snažno potaknuti kvalitetnije učenje i poučavanje u našim školama.

4

Struktura ispita Ispit traje 90 minuta i sastoji se od dvaju dijelova. Oba su dijela pismena. Upotreba džepnoga računala dopuštena je na II. dijelu.

Ispit sadrži tri vrste zadataka: zadatke višestrukoga izbora, zadatke kratkih odgovora i zadatke kratkih odgovora s potpitanjima.

Zadatci višestrukoga izbora nude četiri moguća odgovora. Učenik označava odgovor koji smatra točnim.

Zadatci kratkih odgovora za rješavanje zahtijevaju nekoliko povezanih koraka koje učenik treba prikazati.

Zadatci kratkih odgovora s potpitanjima također zahtijevaju da učenik prikaže postupak rješavanja, a sastoje se od više pitanja vezanih uz istu problemsku situaciju. Situacija može biti apstraktna ili iz svakodnevnoga života. Potpitanja ne moraju biti međusobno zavisna.

Detaljna struktura ispita za učenike I. razreda gimnazije prikazana je u tablici.

Trajanje Tip zadataka Broj zadataka

I. dio 30 minuta zadatci višestrukoga izbora 12–18 zadatci kratkih odgovora 4–8 II. dio 60 minuta zadatci kratkih odgovora s potpitanjima 2–3

Pribor Na nacionalnome ispitu iz MATEMATIKE učenici smiju koristiti pribor za pisanje i brisanje. Učenici smiju koristiti i geometrijski pribor, ali on nije obvezan.

Upotreba džepnoga računala na I. dijelu ispita nije dopuštena, a na II. dijelu jest. Za potrebe nacionalnoga ispita iz MATEMATIKE za I. razred potrebno je džepno računalo s osnovnim računskim operacijama i drugim korijenom.

Opći ciljevi ispita Nacionalni ispit iz MATEMATIKE ispituje u kojoj su mjeri učenici savladali obrazovne ishode nastave matematike u gimnazijama kroz nastavne sadržaje I. razreda. Također se pretpostavlja usvojenost sadržaja gradiva osnovne škole. Za svrhu nacionalnoga ispita nastavni su sadržaji podijeljeni u četiri područja. Brojevi u zagradama izražavaju postotne udjele sadržaja u ukupnom broju bodova:

• brojevi (25% ukupnog broja bodova), • algebra (35%), • grafički prikaz (20%), • geometrija (20%).

Pri tome ispit provjerava koliko učenici znaju:

• koristiti matematički jezik pri čitanju, interpretiranju i rješavanju zadataka • čitati i tumačiti podatke zadane u analitičkom, tabličnom i grafičkom obliku ili riječima, te u navedenim oblicima

jasno i logično prikazivati dobivene rezultate • matematički modelirati problemsku situaciju, naći rješenje te provjeriti ispravnost dobivenog rezultata • prepoznati i koristiti vezu između različitih područja matematike • koristiti različite matematičke tehnike pri rješavanju zadataka • koristiti džepno računalo.

5

Specifični ciljevi ispita Slijedi pregled specifičnih obrazovnih ishoda koji će se ispitom provjeravati u svakom od navedenih područja.

Područje i udio u ukupnom

broju bodova Obrazovni ishodi

Brojevi (25%)

• razlikovati skupove prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva • računati ( , , , :+ − ⋅ ), korjenovati, potencirati s cjelobrojnim koeficijentima,

određivati apsolutne vrijednosti, zaokruživati) • koristiti znanstveni zapis realnog broja • koristiti postotke i omjere • zapisivati skupove realnih brojeva intervalima i prikazivati ih na brojevnom pravcu • određivati i tablično prikazati funkcijske vrijednosti • koristiti džepno računalo za izvođenje osnovnih računskih operacija • računati s jedinicama za duljinu, površinu, vrijeme, masu i novac • modelirati situaciju primjenom brojeva

Algebra (35%)

• provoditi operacije s potencijama s cjelobrojnim eksponentima • znati i koristiti formule za kvadrat i kub zbroja i razlike, za razliku kvadrata te za

zbroj i razliku kubova • računati s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima • iz zadane algebarske formule izraziti jednu veličinu pomoću drugih • zapisati linearnu funkciju formulom • rješavati linearne jednadžbe i nejednadžbe, te jednadžbe i nejednadžbe koje se

na njih svode • rješavati jednostavne jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

( ax b+ c)

• rješavati sustave dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama • modelirati situaciju koristeći algebarske metode

Grafički prikaz (20%)

• koristiti koordinatni sustav na pravcu i u ravnini • crtati i koristiti graf linearne funkcije • crtati i koristiti graf jednostavnije funkcije zapisane pomoću apsolutne vrijednosti • tumačiti i rješavati sustave dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama • računati udaljenost točaka odnosno duljinu dužine zadane u koordinatnom

sustavu • modelirati situaciju koristeći grafički prikaz

Geometrija (20%)

• poznavati elementarnu geometriju trokuta, uključujući Pitagorin poučak i njegov obrat

• prepoznati i koristiti sukladnost i sličnost trokuta • poznavati elemente kružnice i kruga (kružni luk, isječak, obodni i središnji kut) • razlikovati mnogokute i znati njihova svojstva • izračunati mjere ravninskih likova (duljina, opseg, površina) • modelirati situaciju koja uključuje primjenu geometrije

Tolerancija odstupanja od navedenih udjela je ±10% ukupnog broja bodova.

Izražavanje rezultata nacionalnih ispita Uspjeh učenika na nacionalnim ispitima ne će se ocjenjivati školskim ocjenama (1, 2, 3, 4, 5), već će se rezultat izražavati:

• kao postotak postignutih bodova, od 0 do 100%;

• u odnosu na rezultate drugih učenika - kao centil odnosno kao postotak učenika koji su pristupili ispitu od čijih rezultata rezultat je pojedinoga učenika veći ili jednak. Npr. ukoliko učenik postigne rezultat koji je jednak ili bolji od rezultata 60% ostalih učenika, onda njegov rezultat potpada u 60. centil.

6

Nastavnik može nagraditi učenike koji su ostvarili visok rezultat na nacionalnome ispitu, ali ne smije koristiti rezultate nacionalnoga ispita za snižavanje ocjene ili davanje negativne ocjene ako učenik ostvari nizak rezultat na nacionalnom ispitu.

Korištenje rezultata nacionalnih ispita Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja će dostaviti izvješća o rezultatima nacionalnih ispita Ministarstvu znanosti, obrazovanja i športa i svim srednjim školama.

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa će dobiti izvješće o rezultatima na razini cijeloga srednjoškolskoga obrazovnoga sustava, po vrsti i lokaciji škole te po školama.

Škole će dobiti individualne rezultate svojih učenika i izvješća o rezultatima škole u usporedbi s prosječnim rezultatima drugih škola.

Škole su dužne koristiti rezultate nacionalnih ispita za samoanalizu i samovrjednovanje u skladu s člankom 3. Zakona o izmjenama i dopunama Zakona o srednjem školstvu (NN 81/05).

Nastavnici su dužni raspraviti rezultate nacionalnih ispita s učenicima te ih koristiti za formativno vrjednovanje rada, tj. kao informaciju koja bez negativnih posljedica za učenike služi unapređivanju procesa učenja i poučavanja.

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja će na svojim mrežnim stranicama objaviti javno izvješće o provedbi i rezultatima nacionalnih ispita koje prikazuje rezultate na državnoj razini, tj. na razini cijeloga srednjoškolskoga obrazovnoga sustava i po segmentima (vrsti škole, lokaciji škole itd.).

Podaci o pojedinim učenicima ili školama (rang-liste škola) ne će se javno objavljivati.

Način bodovanja i primjer ispita U I. dijelu (zadatci višestrukog izbora) boduju se samo točni odgovori. Nema djelomičnog (polovičnog) bodovanja. Svaki ispravno riješen zadatak donosi jedan bod, a neispravni odgovori ne donose negativne bodove. Učenici bilježe svoje odgovore na posebnome listu koji se potom obrađuje strojno.

U II. dijelu (zadatci kratkih odgovora i zadatci kratkih odgovora s potpitanjima) boduje se učenikovo postavljanje zadatka, prikazani postupak i točni odgovori. Učeničke uratke obrađuju uvježbani ocjenjivači po standardiziranoj shemi za ocjenjivanje.

Na primjer, shema za ocjenjivanje 2. zadatka II. dijela ispita u prilogu glasi:

Točno izračunata prva nepoznanica, ili iz krivo izračunate prve nepoznanice točno izračunata druga (bilo kojom metodom).

Postupak 1 bod

Točan odgovor (slijedi pogrešku). 7,x = 3y = − Postupak 1 bod

Odgovor bez postupka 1 bod

[ukupno 2 boda]

Uspješnost učenika na ispitu određuje se tako da ostvareni bodovi prvoga dijela u ukupnom rezultatu sudjeluju s jednom trećinom, a ostvareni bodovi drugoga dijela s dvjema trećinama. (Ti su omjeri u skladu s predviđenim vremenom pisanja testa.) Ukupan se rezultat prikazuje kao postotak zaokružen na dvije decimale.

Primjerice: učenik koji na prvom dijelu ispita za gimnazije postigne 10 od ukupno 14 bodova, a na drugom 20 od ukupno 31

boda postiže ukupan rezultat 1 10 2 20 66.82%3 14 3 31

⋅ + ⋅ = .

Slijedi primjer nacionalnog ispita iz MATEMATIKE za I. razred gimnazije te odgovarajuća rješenja zadataka.

7

Nacionalni ispit iz MATEMATIKE za I. razred gimnazije šk. god. 2006./2007. – I. dio

(ogledni primjerak) Svoje odgovore upišite u poseban list za odgovore. Vrijeme rješavanja: 30 minuta.

I. Skup svih brojeva koji su manji od 4, a veći ili jednaki 2 zapisujemo:

A. 2, 4 B. [2, 4 C. ]2, 4 D. [ ]2, 4

2. Skraćivanjem izraza 2

2

10 2525

x xx− +

− dobivamo:

A. 1− B. 10x

C. 55

xx+−

D. 55

xx−+

3. Na kutiji mlijeka piše: Mala čaša mlijeka sadrži 120 mg kalcija što čini 15% dnevne potrebe za kalcijem. Kolika je dnevna potreba za kalcijem?

A. 8 mg B. 18 mg C. 800 mg D. 1800 mg

4. Broj 0.00234 jednak je:

A. 61034.2 −⋅ B. 51034.2 −⋅ C. 41034.2 −⋅ D. 31034.2 −⋅

5. Tablicom x 2 −2

f ( )x −2 4

prikazane su vrijednosti funkcije:

A. ( ) 2 8f x x= +

B. ( ) 2 2f x x= − +

C. ( ) 1.5 1f x x= − +

D. 2 2( )3 3

f x x= − −

6. Koja slika predočava graf funkcije ( ) | 2 | 1f x x= + ?

A.

B.

1

1

y

x

C.

1

1

y

x

D.

1

1

y

x

11

y

x

7. Koji od pravaca prolazi ishodištem koordinatnoga sustava? A. 1

23=

−+

yx

B. 1x y+ =

C. 2 3x y+ = 0

D. 1 12 2

y x= − +

8. Sljedeća dva grafa prikazuju ovisnost cijene jabuka, odnosno krušaka o masi. Kolika je razlika u cijeni 1 kg krušaka i 1 kg jabuka?

A. 1 kn B. 2.50 kn C. 3 kn D. 3.50 kn

kruške(kg)

cijena (kune)

10

1 1

0 1

cijena (kune)

jabuke (kg)

10

9. Zbroj rješenja jednadžbe 1 3 3

x− = 5 je:

A. 18 B. −18 C. 24 D. −24

10. U polovištu jedne stranice kvadrata nalazi se središte kružnice (vidi sliku). Ako je duljina stranice kvadrata 8 cm, tada površina osjenčanog lika iznosi:

A. (64 8 )π− cm2

B. (64 16 )π− cm2

C. π56 cm2

D. π48 cm2

1I. Ako je t

qbsarp −+= , tada je s jednako:

A. ar q ptsb

− −=

B. ar bt qsb

+ −=

C. pt q arsb

+ −=

D. pt ar qsb

− −=

12. Koliko cijelih brojeva zadovoljava uvjet 52 42

x +≤ < ?

A. 3

B. 4 C. 5

D. 6

13. Ako je , koliko je ? 112 =+ yx 744 22 +++ yxyx

A. 49 B. 64 C. 96 D. 128

14. Ako je na slici | | 1AB 5= cm i | | 9CB = cm, tada je | jednako: |DB

DA B

C

A. 9

15 cm

B. 527 cm

C. 6 cm D. 9 cm

12

Nacionalni ispit iz MATEMATIKE za I. razred gimnazije 2006./2007. – II. dio (ogledni primjerak)

Za rješavanje koristite predviđeni prostor uz svaki zadatak. Prikažite čitav postupak rješavanja. Vrijeme rješavanja: 60 minuta.

1

I. Odredite opseg kvadrata ABCD, ako je: A(−2,−1), B(1,−2), C(2,1), D(−1,2). Odgovor: ___________________

2 boda

2. Riješite sustav 2 53 4 33.

x yx y+ = −⎧

⎨ − =⎩ Odgovor: x = ______ , y = ______

3 boda

3. Pojednostavnite 23 3

2

x xy y

−−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Odgovor: ___________________

3 boda

4. Izračunajte 2

2 2 :2 2 4

x x xx x x− +⎛ ⎞−⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠

.

Odgovor: ___________________

3 boda

5. Navedite mjere nekog središnjeg šiljastoga kuta i njemu pripadnog obodnoga kuta.

Odgovor: središnji kut = _______°, obodni kut =_______°

1 bod

6.

Dijete visine 120 cm stoji ispred reflektora na udaljenosti od 2 m. Kolika je visina njegove sjene na zidu koji je od reflektora udaljen 7.5 m?

Odgovor: ___________________ metara

4 boda

14

7.

C

p

y

x

1

10

a) U koordinatnom sustavu nacrtan je pravac p. Odredite mu jednadžbu. Odgovor: ___________________

2 boda

b) U istom koordinatnom sustavu nacrtajte pravac 2 4y x .= +

2 boda

c) Pravac p i pravac sijeku se u točki A. Na grafu označite točku A i napišite

njezine koordinate.

2 4y x= +

Odgovor: A ( ____ , ____ )

1 bod

d) Odredite koordinate točke B u kojoj pravac 2 4y x= + siječe os apscisa.

Odgovor: B ( ____ , ____ )

1 bod

e) Izračunajte površinu trokuta ABC. 1 bod Odgovor: ___________________

8.

PLANINARSKI IZLET

Planinarsko društvo priprema zajednički izlet na Papuk. Polazak je predviđen za 9:00 sati. Voditelj izleta predlaže vremenski plan pješačenja prikazan na slici.

a) Kolika je duljina puta koji bi trebali prijeći u prvom satu pješačenja? ________ km

1 bod

b) Koliko vremena je predviđeno za odmor? ________ h

1 bod

c) Koliki će ukupni put prijeći? ________ km 1 bod

16

9. TJELESNI INDEKS

Liječnici rabe tjelesni indeks (TI) kako bi odredili pretilost. Tjelesni indeks se dobiva tako da se masa (u kg) podijeli s kvadratom visine (u m).

a) Koliki je tjelesni indeks osobe kojoj je masa 65 kg i koja je visoka 169 cm? Rezultat zaokružite na najbliži cijeli broj.

Odgovor: ___________________

2 boda

b) Osoba visoka 177 cm ima tjelesni indeks 21 (kad zaokružimo na najbliži cijeli broj). Odredite u kojem je intervalu njezina masa!

Odgovor: ___________________

3 boda

Nacionalni ispit iz MATEMATIKE za I. razred gimnazije 2006./2007. – (ogledni primjerak)

RJEŠENJA ZADATAKA

I. dio

1. B 2. D 3. C 4. D 5. C 6. B 7. C

8. B 9. A 10. A 11. C 12. B 13. D 14. B

II. dio

1. 104=O

2. 7, 3x y= = −

3. 9x

4. –8

5. Primjerice: središnji kut =35°, obodni kut = 17.5°

(Očekivani odgovor su mjere bilo koja dva kuta takva da je središnji dvostruko veći od obodnog!)

6. 4.5 m

7. a) 4y x= − +

b) c)

y=2x+4

C

p

y

x

1

10

A(0,4)

y=2x+4

C

p

y

x

1

10

d) e) ( 2,0)B − 12P =

8. a) 5 km b) 2.5 h c) 24 km

9. a) 23TI ≈

b) Prihvaćaju se sve varijante uključivanja granica. 64.22 67.35...m≤ ≤K