MatematikaMatematika Skripta za prvi kolokvijum Lekcije i rešeni zadaci sa detaljnim objašnjenjima skripteekof.com SKRIPTE EKOF 2019/20 I kolokvijum Skripta Baze II kolokvijum Skripta

Matematika

Skripta za prvi kolokvijum Lekcije i rešeni zadaci sa detaljnim objašnjenjima

skripteekof.com

SKRIPTE EKOF 2019/20

I kolokvijum

Skripta Baze

II kolokvijum

Skripta Baze

III kolokvijum

Skripta Baze

Skripte za ispit

MATERIJAL ZA MATEMATIKU 2019/20

Pismeni Usmeni

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi

37

Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi

(jednačine i nejednačine)

Pregled lekcije

U okviru ovel lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:

linearne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

kvadratne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

linearne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

kvadratne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo.

Uvod

Imamo divnu vest za vas. Sigurni smo da već znate da rešavate linearne jednačine, jer ste

ovo radili još kod učiteljice, kvadratne jednačine takođe, a i većina vas verovatno je dosta

dobro izvežbana u oblasti linearnih i kvadratnih nejednačina. Svakako ćemo ponoviti kako

se to radi i preći nekoliko primera, a i pre svega uputićemo vas na ono što velika većina

studenata zaboravi da uradi.

Zlatno pravilo

Čim vidite u zadatku jednačinu ili nejednačinu, odredite ograničenja za x u pogledu

domena (ona tri pravila koja smo naučili u prethodnoj lekciji). Ovo je ključno da

zapamtite, jer čak ukoliko šablonskim postupkom i dođete do pravih rešenja jednačine ili

nejednačine, može se desiti da ta rešenja ne pripadaju domenu. Tada rešenja zapravo nisu

rešenja, i ukoliko to ne naznačite, neće vam biti priznat zadatak na kolokvijumu i ispitu!

Mala pomoć

- Linearno znači da nigde ne možete da vidite x2, x3 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je

jedan.

- Kvadratno znači da nigde ne možete da vidite x3, x4 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je

dva, tj. x2.

- Jednačina znači da tražimo određenu nepoznatu x (postoji znak jednakosti =).

- Nejednačina znači da tražimo određenu oblast rešenja za x (postoji znak nejednakosti).

Znakovi nejednakosti mogu biti:

< manje

> veće

≤ manje ili jednako

≥ veće ili jednako

≠ različito


38

1. Linearne jednačine

Ovo je najjednostavniji oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.

Postupak za rešavanje je sledeći:

1) obavezno proveravamo koji je domen za x

2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti

Primer.

Reši jednačinu 3𝑥– 1 = −6𝑥 + 2.

3𝑥 − 1 = −6𝑥 + 2

9𝑥 = 3 (prebacujemo x na levu stranu)

𝒙 =𝟏

𝟑

U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja

za domen i time 𝑥 =1

3 jeste rešenje ove jednačine.

Primer.

Reši jednačinu 6𝑥+1

2𝑥+1= 0.

6𝑥+1

2𝑥+1= 0 (množimo sa 2𝑥 + 1)

6𝑥 + 1 = 0

6𝑥 = −1

𝒙 = −𝟏

𝟔

U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.

2𝑥 + 1 ≠ 0

2𝑥 ≠ −1

𝒙 ≠ −𝟏

𝟐

𝑥 = −1

6 spada u domen i pored ovog ograničenja, tako da 𝑥 = −

1

6 jeste rešenje ove

jednačine.

2. Kvadratne jednačine

Ovo je vrlo jednostavan oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x dva.



2) sredimo jednakost ako je potrebno i rešimo kvadratnu jednačinu putem formule


39

Primer.

Reši jednačinu 𝑥2 + 𝑥 − 12 = −6.

Kada prebacimo šesticu na levu stranu, naša jednačina svodi se na 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0.

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)

2 ∗ 1

𝑥1,2 =−1 ± √25

2

𝑥1,2 =−1 ± 5

2

𝒙𝟏 = −𝟑

𝒙𝟐 = 𝟐


za domen i time -3 i 2 zaista jesu rešenja ove kvadratne jednačine.

3. Linearne nejednačine

Ovo je najjednostavniji oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.



2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti

*) kod razlomaka, na desnoj strani ne ostavljamo ništa tj. ostavljamo nulu (vidi drugi

primer)

3) u slučaju razlomaka, analiziramo kada funkcija zadovoljava nejednakost, putem tabele

BITNA NAPOMENA

Kod nejednačina je ključno da pazite na MINUSE. Ukoliko množite ili delite čitavu

nejednakost sa negativnim brojem, znak nejednakosti se obrće.

Primer.

Reši nejednačinu 3𝑥– 1 > −6𝑥 + 2.

3𝑥 − 1 > −6𝑥 + 2

9𝑥 > 3 (prebacujemo x na levu stranu)

𝒙 >𝟏

𝟑


za domen i time skup rešenja ove nejednačine jeste 𝑥 >1

3.


40

Primer.

Reši nejednačinu 6𝑥+1

2𝑥+1> 1.

6𝑥+1

2𝑥+1> 1 (prebacujemo 1 na levu stranu)

6𝑥+1

2𝑥+1− 1 > 0 (sređujemo razlomak)

6𝑥+1

2𝑥+1−

2𝑥+1

2𝑥+1> 0

4𝑥

2𝑥+1> 0

-∞ −1

2 0 +∞

4𝑥 ─ ─ +

2𝑥 + 1 ─ + +

𝒇(𝒙) + ─ +

Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim

negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.

4𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 4𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i

4𝑥 će biti pozitivan.

2𝑥 + 1 je nula u 𝑥 = −1

2. Ako je 𝑥 manji od −

1

2, 2𝑥 + 1 će biti negativno. Ako je 𝑥

veći od −1

2, 2𝑥 + 1 će biti pozitivno.

𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 4𝑥

2𝑥+1. Minus i minus daju plus, minus i plus daju

minus, a plus i plus daju plus.

Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija veća

od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −1

2) ∪ (0, +∞).


2𝑥 + 1 ≠ 0

2𝑥 ≠ −1

𝒙 ≠ −𝟏

𝟐

Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje

je sledeće:

𝑥 ∈ (−∞, −1

2) ∪ (0, +∞).


41

BITNA NAPOMENA

- Kod < i >, svakako ne uračunavamo u rešenje granične vrednosti (npr. ovde −1

2)

- Kod ≤ i ≥ se može desiti da uračunamo u rešenje granične vrednosti, ukoliko i ona

pripadaju domenu

4. Kvadratne nejednačine

Ovo je relativno jednostavan oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x

dva. Postupak za rešavanje je sledeći:


2) sve prebacujemo na jednu (levu) stranu, dok na desnoj strani ostavljamo nulu

3) analiziramo kada je nejednakost zadovoljena, preko skice i/ili tabele

Primer.

Reši nejednačinu −𝑥2−3𝑥+4

𝑥≥ 0.

Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu iz brojioca, jer će nam to biti potrebno da bismo

analizirali znak funkcije:

−𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =+3 ± √(−3)2 − 4 ∗ (−1) ∗ 4

2 ∗ (−1)

𝑥1,2 =3 ± √9 + 16

−2

𝑥1,2 =3 ± √25

−2

𝑥1,2 =3 ± 5

−2

𝒙𝟏 = −𝟒

𝒙𝟐 = 𝟏

Pravimo tabelu da bismo analizirali znak funkcije. Popunjavamo informacije za svaki činilac.

-∞ -4 0 1 +∞

-x2-3x+4 ─ + + ─

x ─ ─ + +

f(x) + ─ + ─


42



𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i 𝑥

će biti pozitivan.

−𝑥2 − 3𝑥 + 4 je nula u 𝑥 = −4 i 𝑥 = 1. S obzirom da je 𝑎 < 0, funkcija „plače“ (vidi

skicu ispod tabele). Samo u oblasti između -4 i 1 vrednost funkcije je pozitivna.

f(x) predstavlja celu našu funkciju −𝑥2−3𝑥+4

𝑥. Minus i minus daju plus, plus i minus

daju minus, plus i plus daju plus, i minus i plus daju minus.

Nejednakost zahteva da naša funkcija veća ili jednaka nuli. Iz tabele vidimo da je funkcija

veća ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −4] ∪ [0,1]


𝑥 ≠ 0


je sledeće:

𝑥 ∈ (−∞, −4] ∪ (0, 1]

Rešeni kolokvijumski zadaci

1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:

1

𝑥 − 2≤ −2

Rešenje sa postupkom:

Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da

sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:

1

𝑥 − 2+ 2 ≤ 0

Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je (𝑥 − 2), prvi razlomak ostaje isti,

dok drugi množimo sa (𝑥 − 2):

1

𝑥 − 2+

2(𝑥 − 2)

𝑥 − 2≤ 0

1

𝑥 − 2+

2𝑥 − 4

𝑥 − 2≤ 0

-4 1 ─ ─

+ −𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒


43

2𝑥 − 3

𝑥 − 2≤ 0

Sada možemo da napravimo tabelu:

−∞ 3

2 2 +∞

2𝑥 − 3 ─ + +

𝑥 − 2 ─ ─ +

𝒇(𝒙) + ─ +



2𝑥 − 3 je nula u 𝑥 =3

2. Ako je 𝑥 manji od

3

2, 2𝑥 − 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od

3

2, 2𝑥 − 3 će biti pozitivno.

𝑥 − 2 je nula u 𝑥 = 2. Ako je 𝑥 manji od 2, 𝑥 − 2 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od

2, 𝑥 − 2 će biti pozitivno.

𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 2𝑥−3

𝑥−2. Minus i minus daju plus, minus i plus daju


Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je

funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ [3

2, 2].


𝑥 − 2 ≠ 0

𝑥 ≠ 2


je sledeće:

𝑥 ∈ [3

2, 2)


17 − 8𝑥 ≤ 2 − 𝑥2


Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:

𝑥2 − 8𝑥 + 15 ≤ 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =8 ± √(−8)2 − 4 ∙ 1 ∙ 15

2


44

𝑥1,2 =8 ± √64 + 60

2

𝑥1,2 =8 ± 2

2

𝒙𝟏 = 𝟓

𝒙𝟐 = 𝟑

Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj

funkciji 𝑎 > 0, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 3 i 5:

Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Sa skice grafika

vidimo da je funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ [3, 5].

U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.

𝑥 ∈ ℝ

Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno

rešenje je sledeće:

𝑥 ∈ [3, 5].


1

𝑥 + 2≥ −1


Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da

sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:

1

𝑥 + 2+ 1 ≥ 0

Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je (𝑥 + 2), prvi razlomak ostaje isti,

dok drugi množimo sa (𝑥 + 2):

1

𝑥 + 2+

1(𝑥 + 2)

𝑥 + 2≥ 0

1

𝑥 + 2+

𝑥 + 2

𝑥 + 2≥ 0

𝑥 + 3

𝑥 + 2≥ 0

3 5 ─

+

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 +


45

Sada možemo da napravimo tabelu:

−∞ −3 −2 +∞

𝑥 + 3 ─ + +

𝑥 + 2 ─ ─ +

𝒇(𝒙) + ─ +



𝑥 + 3 je nula u 𝑥 = −3. Ako je 𝑥 manji od −3, 𝑥 + 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći

od −3, 𝑥 + 3 će biti pozitivno.

𝑥 + 2 je nula u 𝑥 = −2. Ako je 𝑥 manji od −2, 𝑥 + 2 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći

od −2, 𝑥 + 2 će biti pozitivno.

𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 𝑥+3

𝑥+2. Minus i minus daju plus, minus i plus daju


Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je

funkcija veća ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −3] ∪ [−2, +∞).


𝑥 + 2 ≠ 0

𝑥 ≠ −2


je sledeće:

𝑥 ∈ (−∞, −3] ∪ (−2, +∞).


𝑥2 − 4𝑥 + 6 > 2𝑥 + 1



𝑥2 − 6𝑥 + 5 > 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5

2

𝑥1,2 =6 ± √36 − 20

2

𝑥1,2 =6 ± 4

2


46

𝒙𝟏 = 𝟓

𝒙𝟐 = 𝟏



Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je

funkcija veća od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞).


𝑥 ∈ ℝ



𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞)


𝑥2 − 4𝑥 + 2 < 2𝑥 − 3



𝑥2 − 6𝑥 + 5 < 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5

2

𝑥1,2 =6 ± √36 − 20

2

𝑥1,2 =6 ± 4

2

𝒙𝟏 = 𝟓

𝒙𝟐 = 𝟏

1 5 ─

+

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓

+


47



Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Sa skice grafika vidimo da je

funkcija manja od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (1, 5).


𝑥 ∈ ℝ



𝑥 ∈ (1, 5)

6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:

2𝑥 + 4

𝑥 − 3= 1


Prvo sređujemo izraz, tako što sve prebacujemo sa leve strane, kako bi na desnoj strani

ostala samo nula:

2𝑥 + 4

𝑥 − 3− 1 = 0

2𝑥 + 4

𝑥 − 3−

𝑥 − 3

𝑥 − 3= 0

2𝑥 + 4 − 𝑥 + 3

𝑥 − 3= 0

𝑥 + 7

𝑥 − 3= 0

Razlomak će da bude nula onda kada mu je brojilac nula. Tako da iz ovoga sledi:

𝑥 + 7 = 0

𝑥 = −7

Uslov za oblast definisanosti koji ne smemo da zaboravimo jeste da 𝑥 − 3 ≠ 0, odnosno

𝑥 ≠ 3. Naše rešenje zaista ispunjava ovaj uslov, tako da konačno rešenje zadatka je:

𝑥 = −7

Dodatni sadržaji na našem sajtu

Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika

1 5 ─

+

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓

+

http://www.skripteekof.com/matematika

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost

48

Lekcija 5: Apsolutna vrednost

Pregled lekcije

U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:

apsolutna vrednost broja - šta predstavlja i koja je njena suština;

skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću;

primena apsolutne vrednosti na jednačine i nejednačine.

Uvod

Apsolutna vrednost je jedan vrlo jednostavan koncept za razumeti, što ćemo videti kada

budemo definisali šta on predstavlja. Međutim, ono na šta bismo da vam skrenemo pažnju

jeste da nikako ne preskočite primenu apsolutne vednosti na jednačine i nejednačine

i skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću. Ovo se često previdi jer nema

tu mnogo gradiva i dosta liči na ono što smo već naučili u lekcijama 3 i 4, ali je zapravo

veoma bitno da uradite dosta primera i dobro izvežbate baratanje sa apsolutnim

vrednostima.

1. Apsolutna vrednost broja

Najjednostavnije rečeno, apsolutna vrednost broja je njegova numerička vrednost, ukoliko

ignorišemo predznak minus ili plus.

Primer.

- Apsolutna vrednost broja -3 je 3. Matematički zapisano: |−3| = 3.

- Apsolutna vrednost broja 5 je 5. Matematički zapisano: |5| = 5

Koja bi bila apsolutna vrednost broja x? Imamo dva slučaja, koja je ključno da zapamtite.

|𝑥| = {𝑥, 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑥 < 0

Šta znači ovaj matematički zapis?

- Apsolutna vrednost broja 𝑥 iznosi 𝑥, ukoliko je 𝑥 veće ili jednako od nule (npr. ukoliko je

𝑥 = 5, to znači da je 𝑥 veće ili jednako od nule, tako da je apsolutna vrednost 5).

- Apsolutna vrednost broja 𝑥 iznosi – 𝑥, ukoliko je 𝑥 manje od nule (npr. ukoliko je

𝑥 = −3, to znači da je 𝑥 manje od nule, tako da je apsolutna vrednost – (– 3) = 3).


49

BITNA NAPOMENA

Upravo zbog toga, jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo na isti

način kao i one bez apsolutnih vrednosti, uz jednu razliku – raščlanjavamo ih na 2 dela.

2. Skiciranje grafika

U lekciji 3 smo naučili da skiciramo grafike linearnih i kvadratnih funkcija. Koja bi razlika

bila kod skiciranja funkcije sa apsolutnom vrednošću?

Zapravo, grafik se skicira identično. Prvo zanemarite da postoji apsolutna zagrada i

normalno nacrtajte funkciju, a zatim učinite nešto vrlo bitno – izbacite sve negativne

vrednosti sa vašeg grafika, preslikavajući ih na pozitivne. Pokazaćemo ovo na primeru

kako bi bilo jasno na šta se misli.

Primer.

Skiciraj grafik funkcije 𝑦 = |𝑥|.

Prvo zanemarimo da postoje apsolutne zagrade. Skicirajmo grafik funkcije 𝑦 = 𝑥.

Šta treba da promenimo na grafiku kako bismo došli do grafika funkcije 𝑦 = |𝑥|? Levo od

nule, imamo negativne vrednosti funkcije, što kod apsolutne vrednosti nije moguće jer je

ona uvek veća ili jednaka od nule. Potrebno je samo da preslikamo ove negativne vrednosti

na pozitivne, kao da je x-osa ogledalo. To bi izgledalo ovako:

𝒚 = 𝒙

𝒚 = |𝒙|


50

3. Primena na jednačine i nejednačine

Jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo gotovo identično kao

jednačine i nejednačine bez apsolutnih vrednosti. Jedino što treba da uradimo zbog

apsolutnih vrednosti jeste da raščlanimo jednačinu ili nejednačinu na dva slučaja:

1) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću veći ili jednak 0, izraz ima predznak +

2) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću manji od 0, izraz ima predznak –

Konačno rešenje je unija rešenja koje nađemo u svakom od ovih slučajeva pojedinačno.

Primer.

Reši jednačinu |2𝑥 + 1| = 1.

Prvi slučaj: 2𝑥 + 1 ≥ 0, izraz ima predznak +

2𝑥 + 1 = 1

2𝑥 = 0

𝒙 = 𝟎

Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:

2𝑥 + 1 ≥ 0

2𝑥 ≥ −1

𝒙 ≥ −𝟏

𝟐

Naše rešenje jeste veće ili jednako od −1

2, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u

konačni skup rešenja.

Drugi slučaj: 2𝑥 + 1 < 0, izraz ima predznak –

−(2𝑥 + 1) = 1

−2𝑥 − 1 = 1

−2𝑥 = 2

𝒙 = −𝟏


2𝑥 + 1 < 0

2𝑥 < −1

𝒙 < −𝟏

𝟐

Naše rešenje jeste manje od -1

2, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u konačni skup

rešenja.

Dakle, konačno rešenje ove jednačine je 𝑥 ∈ {−1, 0}.

BITNA NAPOMENA

Isti postupak bismo radili i kod nejednačina, samo za skup rešenja. Kada razdvojimo

nejednačinu na pojedinačne slučajeve, skup rešenja za svaki slučaj pojedinačno dobijamo

kao presek uslova za taj slučaj i dobijenog rešenja. Konačno rešenje je unija rešenja

svih pojedinačnih slučajeva.

Primer možete pogledati na sledećem linku: rebrand.ly/apsolutno

https://youtu.be/TIoxTAYTOuo


51

Rešeni kolokvijumski zadaci


|𝑥 − 1| < 2 − 𝑥


Prvi slučaj: x − 1 ≥ 0, izraz ima predznak +

𝑥 − 1 < 2 − 𝑥

2𝑥 < 3

𝒙 <𝟑

𝟐


𝑥 − 1 ≥ 0

𝒙 ≥ 𝟏

Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše

možemo da vidimo preko brojevne prave:

Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i

>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i

≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:

𝒙 ∈ [𝟏,𝟑

𝟐)

Drugi slučaj: x − 1 < 0, izraz ima predznak −

−(𝑥 − 1) < 2 − 𝑥

−𝑥 + 1 < 2 − 𝑥

1 < 2

Dobili smo tačan iskaz, koji važi za svako x iz realnih brojeva. Znači naše rešenje je:

𝒙 ∈ ℝ


𝑥 − 1 < 0

𝒙 < 𝟏

1 3

2

−∞ +∞


52

Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Jasno je da je presek skupa svih

brojeva i 𝑥 < 1 prosto ceo uslov 𝑥 < 1. Dakle rešenje za drugi slučaj je:

𝒙 < 𝟏

Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.

Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:

Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:

𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ [1,3

2)

𝑥 ∈ (−∞,3

2)


|2𝑥 − 2| ≤ 4𝑥


Prvi slučaj: 2x − 2 ≥ 0, izraz ima predznak +

2𝑥 − 2 ≤ 4𝑥

−2𝑥 ≤ 2

𝒙 ≥ −𝟏


2𝑥 − 2 ≥ 0

2𝑥 ≥ 2

𝒙 ≥ 𝟏

Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše

možemo da vidimo preko brojevne prave:



≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:

𝒙 ∈ [𝟏, +∞)

1 3

2

−∞ +∞

−1 1 −∞ +∞


53

Drugi slučaj: 2x − 2 < 0, izraz ima predznak −

−(2𝑥 − 2) ≤ 4𝑥

−2𝑥 + 2 ≤ 4𝑥

−6𝑥 ≤ −2

3𝑥 ≥ 1

𝒙 ≥𝟏

𝟑


2𝑥 − 2 < 0

2𝑥 < 2

𝒙 < 𝟏

Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Šta presek obuhvata možemo lakše da

vidimo na brojevnoj pravoj:



≥. Dakle, rešenje za drugi slučaj jeste:

𝒙 ∈ [𝟏

𝟑, 𝟏)

Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.

Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:

Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:

𝑥 ∈ [1

3, 1) ∪ [1, +∞)

𝑥 ∈ [1

3, +∞)

1

3

1 −∞ +∞

1

3

1 −∞ +∞


54

3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:

𝑥 − 1 = |2𝑥|


Prvi slučaj: 2𝑥 ≥ 0, izraz ima predznak +

𝑥 − 1 = 2𝑥

−𝑥 = 1

𝒙 = −𝟏


2𝑥 ≥ 0

𝒙 ≥ 𝟎

Naše rešenje nije veće ili jednako od 0, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga

u konačni skup rešenja.

Drugi slučaj: 2𝑥 < 0, izraz ima predznak −

𝑥 − 1 = −2𝑥

3𝑥 = 1

𝒙 =𝟏

𝟑


2𝑥 < 0

𝒙 < 𝟎

Naše rešenje nije manje od 0, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga u konačni

skup rešenja.

Konačni skup rešenja je 𝑥 ∈ ∅. Alternativni zapis praznog skupa je 𝑥 ∈ { }.

Dodatni sadržaji na našem sajtu

Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika

http://www.skripteekof.com/matematika

Documents

MatematikaMatematika Skripta za prvi kolokvijum Lekcije i rešeni zadaci sa detaljnim objašnjenjima skripteekof.com SKRIPTE EKOF 2019/20 I kolokvijum Skripta Baze II kolokvijum Skripta