Click here to load reader

MATEMATIKA I - · PDF fileZbirka nalog iz Matematike I, ... Uˇcbenik Matematika I je tretji v vrsti matematiˇcnih uˇcbenikov, ki so izˇsli pri zaloˇzbi FER. Tudi zanj velja,

  • View
    251

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of MATEMATIKA I - · PDF fileZbirka nalog iz Matematike I, ... Uˇcbenik Matematika I je tretji v...

  • Univerza v Ljubljani

    Fakulteta za elektrotehniko

    Fakulteta za racunalnistvo in informatiko

    MATEMATIKA I

    Gabrijel Tomsic

    Bojan Orel

    Neza Mramor Kosta

    Ljubljana, 2001

  • ii

  • Kazalo

    Predgovor v

    1 Mnozice in stevila 11.1 Osnovni pojmi o mnozicah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Mnozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Realna stevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Opisi mnozice realnih stevil . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Stevilske podmnozice realnih stevil . . . . . . . . . . . 131.2.3 Omejene podmnozice realnih stevil . . . . . . . . . . . 161.2.4 Potence in koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3 Kompleksna stevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2 Zaporedja in stevilske vrste 312.1 Zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2 Konvergentna zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.3 Monotona zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.4 Potence z realnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . 452.1.5 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.2 Stevilske vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.1 Konvergenca vrst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.2 Vrste s pozitivnimi cleni . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.3 Absolutna in pogojna konvergenca vrst . . . . . . . . . 59

    3 Funkcije 633.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Zvezne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    iii

  • iv KAZALO

    3.3 Pregled elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.1 Algebraicne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.2 Transcendentne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4 Odvod 1034.1 Definicija odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Pravila za odvajanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3 Odvodi elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.5 Visji odvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.6 Lastnosti odvedljivih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    4.6.1 Lokalni ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.6.2 Odvedljive funkcije na zaprtem intervalu . . . . . . . . 1274.6.3 Monotonost in ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    4.7 Taylorjeva formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.8 Konveksnost, konkavnost in prevoji . . . . . . . . . . . . . . . 143

    5 Integral 1515.1 Nedoloceni in doloceni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2 Lastnosti dolocenega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.3 Zvezameddolocenim in nedolocenim integralom . . . . . . . . . 1615.4 Pravila za integriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.5 Integrali elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.6 Nepravi (posploseni) integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    6 Krivulje v ravnini 1916.1 Risanje krivulj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    6.1.1 Eksplicitni opis krivulje. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.1.2 Parametricen opis krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.1.3 Krivulje v polarnem koordinatnem sistemu . . . . . . . 1986.1.4 Implicitno dane krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    6.2 Uporaba integralov v ravninski geometriji . . . . . . . . . . . 2056.2.1 Ploscine krivocrtnih likov . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.2.2 Locna dolzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.2.3 Prostornina geometrijskih teles . . . . . . . . . . . . . 2136.2.4 Povrsina rotacijskega telesa . . . . . . . . . . . . . . . 2186.2.5 Momenti funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

  • Predgovor

    Ta delo je nastalo na osnovi predavanj iz predmeta Matematika I, ki zevrsto let potekajo na smeri elektrotehnika na Fakulteti za elektrotrotehnikoin racunalnistvo Univerze v Ljubljani.

    Matematika I je osnovni matematicni predmet studija elektrotehnike inje v marsicem podoben taksnim predmetom na drugih tehnicnih, pa tudinaravoslovnih studijih. Namen taksnih predmetov je predstaviti osnovne po-jme matematicne analize, ki jih bodo studenti nujno potrebovali pri svojemnadaljnem studiju. Pojme kot so stevila, zaporedja, zvezne in odvedljivefunkcije ter integral studenti vecinoma ze poznajo iz srednjesolske matem-atike. Pri Matematiki I zelimo te pojme po eni strani postaviti na trd-nejse matematicne temelje, po drugi strani pa razsiriti in poglobiti njihovorazumevanje.

    Glavni namen te knjige je pomagati studentom pri pripravah na izpite izmatematicnih predmetov. Upamo, da jim bo knjiga sluzila tudi ko bodo, zepo opravljenem izpitu, morali svoje znanje uporabiti pri resevanju razlicnihproblemov.

    Eno osrednjih vprasanj, ki se zastavlja uciteljem osnovnih matematicnihpredmetov je, s koliksno matematicno natancnostjo bodo posamezne po-jme predstavili, koliko njihovih lastnosti bodo natancno dokazali in kolikole navedli, ali celo izpustili. Elektrotehnikom in nasploh tehnikom je matem-atika predvsem orodje, sami matematicni pojmi so jim manj zanimivi. Zatose v same temelje matematicne analize (na primer v natancno konstrukcijomnozice realnih stevil) tu nismo spustili, pa tudi nekatere dokaze, ki so zatehnike morda prevec zahtevni, smo izpustili. Bralec, ki bo pogresal kaksentak dokaz ali bolj temeljito definicijo, si lahko pomaga z bolj poglobljenimimatematicnimi ucbeniki, na primer [8] in [6] ali celo vrsto tujih knjig. Sevedapa povrsnost pri pouku matematike se zdalec ni sprejemljiva, in lahko hitropripelje do napacnih predstav in nato do napacne uporabe pojmov in metod.

    v

  • vi PREDGOVOR

    Upamo, da smo se preveliki povrsnosti v tej knjigi izognili. V drobnem tiskusmo omenili nekatere pojme in izpeljali nekaj dokazov, ki jih vecina studentovkasneje ne bo vec potrebovala, so pa dovolj preprosti, zanimivi in koristni,da bodo bolj temeljitim bralcem vsec.

    Matematike se ne moremo nauciti brez samostojnega resevanja nalog.Poleg resenih primerov, ki so vkljuceni v tem ucbeniku, bodo bralci za boljserazumevanje nujno potrebovali se kaksno zbirko nalog, na primer Jurcic B.,Zbirka nalog iz Matematike I, ali pa katerokoli drugo iz cele vrste odlicnihtujih in domacih zbirk, ki pokrivajo obravnavana poglavja.

    Ucbenik Matematika I je tretji v vrsti matematicnih ucbenikov, ki so izslipri zalozbi FER. Tudi zanj velja, da je nastal s skupnimi mocmi in prispevkivseh, ki sodelujemo pri pouku matematike na tej fakulteti in se vsem zanjihovo pomoc zahvaljujemo. Posebej smo dolzni zahvalo recenzentu doc.dr. Izidorju Hafnerju za njegove stevilne predloge in nasvete, ter asistentomaDarju Feldi in Gregorju Dolinarju, ki sta delo natancno in skrbno prebrala inpopravila veliko napak in nerodnosti. Za vse napake, ki so se ostale, pa smoodgovorni avtorji. Za likovno opremo knjige se zahvaljujemo Milojki ZalikHuzjan, za potrpezljivost pa uredniku Zalozbe FER mag. Petru Segi.

    Gabrijel TomsicBojan OrelNeza Mramor Kosta

    Ljubljana, december 1995

  • Poglavje 1

    Mnozice in stevila

    1.1 Osnovni pojmi o mnozicah

    1.1.1 Mnozice

    Mnozica je zbirka objektov, ki jih imenujemo elementi mnozice. Ce x pripadamnozici A pravimo, da je x element mnozice A, kar napisemo x A. Zaobjekt y, ki ne pripada mnozici A pravimo, da ni element mnozice A, karnapisemo y 6 A.

    Mnozico lahko opredelimo tako, da nastejemo vse njene elemente, naprimer:

    A = {1, 2,2, 5, },

    ali pa s pomocjo pravila, ki natanko doloca elemente, ki ji pripadajo, naprimer:

    B = {x; x je realno stevilo, x > 0}.

    Med mnozicami ima posebno mesto tista mnozica, ki nima nobenega el-ementa. Pravimo ji prazna mnozica in jo zapisemo s simbolom . Tako je

    {x; 0 x = 1} = .

    Mnozici A in B sta enaki natanko takrat, kadar imata iste elemente, karzapisemo A = B. Na primer, mnozica vseh realnih stevil je enaka mnozici

    A = {x; x je realno stevilo, 0 x = 0}.

    1

  • 2 POGLAVJE 1. MNOZICE IN STEVILA

    Kadar za dve mnozici A in B velja, da je vsak element mnozice A tudielement mnozice B pravimo, da je A podmnozica mnozice B, kar zapisemoA B. Za vsako mnozico A veljata relaciji A A in A.

    Kadar je A = B, veljata relaciji A B in B A. Ce je A Bin A 6= B pravimo, da je mnozica A prava podmnozica mnozice B in tozapisemo A B.

    Z mnozicami lahko tudi racunamo. Nastejmo osnovne operacije nadmnozicami, ki jih bomo uporabljali v nadaljevanju:

    Unija AB je mnozica, ki vsebuje vse elemente, ki so v mnozici A aliv mnozici B

    A B = {x; x A ali x B}.

    Presek AB je mnozica, ki vsebuje vse elemente, ki so v obeh mnozi-cah, v A in v B.

    A B = {x; x A in x B}.Ce je A B = , pravimo, da sta mnozici A in B disjunktni.

    Razlika A\B dveh mnozic je mnozica, ki vsebuje vse elemente mnoziceA, ki niso elementi mnozice B.

    A \B = {x; x A in x / B}.Razliki A \ B pravimo tudi komplement mnozice B glede na mnozicoA.

    O komplementu A govorimo takrat, kadar so vse mnozice, ki nas zani-majo, podmnozice neke vnaprej dolocene univerzalne mnozice U . Kom-plement A je v tem primeru razlika U \ A.

    Premi (kartezicni) produkt AB je mnozica, katere elementi so urejenipari (x, y), kjer je prvi element v paru iz mnozice A, drugi pa iz mnoziceB

    A B = {(x, y) : x A in y B}.

    Primer 1.1.1. Dokazimo de Morganova zakona1 :

    A (B C) = (A B) (A C)1Augustus de Morgan (18061871), angleski