Matematika I - fsb.unizg.hr · Matematika I Vektorski i mjesoviti produktˇ Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 12. listopada 2018. 1 / 28

Matematika IVektorski i mjesoviti produkt

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. listopada 2019. 1 / 28

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vektorski produktVektorski produktSvojstva vektorskog produktaVektorski produkt u koordinatama

2 Mjesoviti produktMjesoviti produktMjesoviti produkt u koordinatama


Sadrzaj

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Definiranje nekomutativne binarne operacije vektora iz R3

Geometrijska interpretacija vektorskog produktaMjesoviti produkt-geometrijska interpretacijaMjesoviti produkt-komplanarnost vektora


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vektorski produktVektorski produktSvojstva vektorskog produktaVektorski produkt u koordinatama

2 Mjesoviti produktMjesoviti produktMjesoviti produkt u koordinatama


Vektorski produkt Vektorski produkt

Vektorski produkt

−→a

−→b

−→a ×−→b

ϕ

(1) |−→a ×−→b |= P−→a ,−→b = ab sinϕ

(2)−→a ×−→b ⊥−→a ,−→b

GLEDANO SA STRANE OD−→a ×−→b ORIJENTACIJA OD −→aPREMA

−→b MORA BITI POZI-

TIVNA

−→a ×−→b =−→0 ⇔−→a ‖−→b ⇔−→a = k

−→b



Zadatak 1.

Za jedinicne vektore u smjeru koordinatnih osi−→i ,−→j ,−→k izracunati

vektorske produkte

−→i ×−→i , −→

j ×−→i , −→k ×−→i

−→i ×−→j , −→

j ×−→j , −→k ×−→j

−→i ×−→k ,

−→j ×−→k ,

−→k ×−→k



Rjesenje.−→i ×−→i =

−→j ×−→j =

−→k ×−→k =

−→0−→

i ×−→j =?

|−→i ×−→j |= |−→i ||−→j |sin90◦ = 1 ·1 ·1.Dakle rezultat vektorskog mnozenja

−→i ×−→j je jedinicni vektor okomit

na ravninu odredenu s vektorima−→i ,−→j i kojem je smijer odreden

pravilom desnog vijka. Prema tome

−→i ×−→j =

−→k .

Slicno−→j ×−→i =−−→k ,

−→i ×−→k =−−→j , −→k ×−→i =

−→j ,−→k ×−→j =−−→i , −→j ×−→k =

−→i .



Rjesenje.−→i ×−→i =

−→j ×−→j =

−→k ×−→k =

−→0−→

i ×−→j =?

|−→i ×−→j |= |−→i ||−→j |sin90◦ = 1 ·1 ·1.Dakle rezultat vektorskog mnozenja

−→i ×−→j je jedinicni vektor okomit

na ravninu odredenu s vektorima−→i ,−→j i kojem je smijer odreden

pravilom desnog vijka. Prema tome

−→i ×−→j =

−→k .

Slicno−→j ×−→i =−−→k ,

−→i ×−→k =−−→j , −→k ×−→i =

−→j ,−→k ×−→j =−−→i , −→j ×−→k =

−→i .


Vektorski produkt Svojstva vektorskog produkta

Svojstva vektorskog produkta

(1) (k−→a )×−→b = k(−→a ×−→b ) HOMOGENOST

(2) −→a ×−→b =−−→b ×−→a ANTIKOMUTATIVNOST

(3) −→a × (−→b +−→c ) =

−→a ×−→b +−→a ×−→c DISTRIBUTIVNOST


Vektorski produkt Svojstva vektorskog produkta

Primjer 1.

(3−→i +2

−→j )× (−−→i +

−→j +2

−→k ) =

=−3−→i ×−→i︸︷︷︸=−→0

−2−→j ×−→i +3

−→i ×−→j

+2−→j ×−→j︸︷︷︸=−→0

+6−→i ×−→k +4

−→j ×−→k

= 5−→i ×−→j +6

−→i ×−→k +4

−→j ×−→k

= 5−→k −6

−→j +4

−→i


Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama

Vektorski produkt u koordinatama

−→a = a1−→i +a2

−→j +a3

−→k

−→b = b1

−→i +b2

−→j +b3

−→k

}=⇒

−→a ×−→b = a1b1−→i ×−→i +a1b2

−→i ×−→j +a1b3

−→i ×−→k

+a2b1−→j ×−→i +a2b2

−→j ×−→j +a2b3

−→j ×−→k

+a3b1−→k ×−→i +a3b2

−→k ×−→j +a3b3

−→k ×−→k

= (a2b3−a3b2)−→i +(a3b1−a1b3)

−→j +(a1b2−a2b1)

−→k



Kako pamtiti prethodni rezultat:

−→a ×−→b

∣∣∣∣∣∣=−→i−→j−→k

a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣=−→i∣∣∣∣ a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣−−→j ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3

∣∣∣∣+−→k ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2

∣∣∣∣



Kako pamtiti prethodni rezultat:

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣==−→i∣∣∣∣ a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣︸︷︷︸=a2b3−a3b2

−−→j∣∣∣∣ a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣︸︷︷︸=a1b3−a3b1

+−→k∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣︸︷︷︸=a1b2−a2b1



Primjer 2.

(3−→i −2

−→j +−→k )× (2

−→i −3

−→j +2

−→k ) = (3,−2,1)× (2,−3,2)

=

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

3 −2 12 −3 2

∣∣∣∣∣∣=−→i [(−2) ·2− (−3) ·1]−−→j [3 ·2−2 ·1]+−→k [3 · (−3)−2 · (−2)]

=−−→i −4−→j −5

−→k

= (−1,−4,−5)



Zadatak 15.

Izracunati vektorski produkt −→a ×−→b ako je

(1) −→a = (1,2,3),−→b = (1,−2,0)

(2) −→a = (0,1,1),−→b = (4,−1,2)

(3) −→a = (2,−1,3),−→b = (−4,2,−6)

Rjesenje.

(1) 6−→i +3

−→j −4

−→k = (6,3,−4)

(2) 3−→i +4

−→j −4

−→k = (3,4,−4)

(3)−→0 = (0,0,0)



Zadatak 15.

Izracunati vektorski produkt −→a ×−→b ako je

(1) −→a = (1,2,3),−→b = (1,−2,0)

(2) −→a = (0,1,1),−→b = (4,−1,2)

(3) −→a = (2,−1,3),−→b = (−4,2,−6)

Rjesenje.

(1) 6−→i +3

−→j −4

−→k = (6,3,−4)

(2) 3−→i +4

−→j −4

−→k = (3,4,−4)

(3)−→0 = (0,0,0)



Zadatak 16.Izracunati povrsinu paralelograma komu su vektori−→a = (2,−1,3),

−→b = (2,1,1) dvije stranice. Kolika je povrsina trokuta

komu su −→a i−→b stranice?

Rjesenje.

P = |−→a ×−→b |.

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

2 −1 32 1 1

∣∣∣∣∣∣= (−4,4,4)⇒

P = |−→a ×−→b |=√

16+16+16 = 4√

3.P4 = 1

2P = 2√

3.



Zadatak 16.Izracunati povrsinu paralelograma komu su vektori−→a = (2,−1,3),

−→b = (2,1,1) dvije stranice. Kolika je povrsina trokuta

komu su −→a i−→b stranice?

Rjesenje.

P = |−→a ×−→b |.

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

2 −1 32 1 1

∣∣∣∣∣∣= (−4,4,4)⇒

P = |−→a ×−→b |=√

16+16+16 = 4√

3.P4 = 1

2P = 2√

3.



Zadatak 17.Izracunaj povrsinu trokuta komu su vrhoviA(1,−1,2), B(2,3,1), C(0,2,−1).

Rjesenje.

P4ABC =12|−→AB×−→AC|

−→AB×−→AC =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 4 −1−1 3 −3

∣∣∣∣∣∣= (−9,4,7)

P4ABC =12

√81+16+49 =

12

√146



Zadatak 17.Izracunaj povrsinu trokuta komu su vrhoviA(1,−1,2), B(2,3,1), C(0,2,−1).

Rjesenje.

P4ABC =12|−→AB×−→AC|

−→AB×−→AC =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 4 −1−1 3 −3

∣∣∣∣∣∣= (−9,4,7)

P4ABC =12

√81+16+49 =

12

√146



Zadatak 18.(a) Napisi neki vektor koji je okomit na ravninu trokuta4ABC, A(1,2,−1), B(2,1,0), C(0,2,1).(b) Napisi jedinicni vektor(vektor duljine 1) okomit na ravninu trokuta4ABC.

Rjesenje.(a)

−→n =−→AB×−→AC (

−→n ⊥4ABC)

−→n =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 −1 1−1 0 2

∣∣∣∣∣∣= (−2,−3,−1)

(b)

−→n0 =−→n|−→n |

=1√

4+9+1(−2,−3,−1) =

( −2√14

,−3√14

,−1√14

)



Zadatak 18.(a) Napisi neki vektor koji je okomit na ravninu trokuta4ABC, A(1,2,−1), B(2,1,0), C(0,2,1).(b) Napisi jedinicni vektor(vektor duljine 1) okomit na ravninu trokuta4ABC.

Rjesenje.(a)

−→n =−→AB×−→AC (

−→n ⊥4ABC)

−→n =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 −1 1−1 0 2

∣∣∣∣∣∣= (−2,−3,−1)

(b)

−→n0 =−→n|−→n |

=1√

4+9+1(−2,−3,−1) =

( −2√14

,−3√14

,−1√14

)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. listopada 2019. 17 / 28


Zadatak 19.Napisi implicitnu jednadzbu ravnine koja sadrzi tocke

A(1,2,1), B(−1,2,0), C(1,−2,3).

Rjesenje.Za vektor normale uzet cemo

−→AB×−→AC =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

−2 0 −10 −4 2

∣∣∣∣∣∣= (−4,4,8)

Uocimo da za normalu −→n mozemo uzeti (kolinearni) vektor−→n = (−1,1,2). Kod odredivanja jednadzbe ravine uzmimo jos tocku A :

n1(x−a1)+n2(y −a2)+n3(z−a3) = 0⇒

−1(x−1)+(y −2)+2(z−1) = 0⇒ −x +y +2z−3 = 0



Zadatak 19.Napisi implicitnu jednadzbu ravnine koja sadrzi tocke

A(1,2,1), B(−1,2,0), C(1,−2,3).

Rjesenje.Za vektor normale uzet cemo

−→AB×−→AC =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

−2 0 −10 −4 2

∣∣∣∣∣∣= (−4,4,8)

Uocimo da za normalu −→n mozemo uzeti (kolinearni) vektor−→n = (−1,1,2). Kod odredivanja jednadzbe ravine uzmimo jos tocku A :

n1(x−a1)+n2(y −a2)+n3(z−a3) = 0⇒

−1(x−1)+(y −2)+2(z−1) = 0⇒ −x +y +2z−3 = 0


Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt

Mjesoviti produkt

Neka vektori −→a ,−→b ,−→c cine desni sustav. Vrijedi:

(−→a ×−→b ) ·−→c = (

−→a ×−→b ) ·−→v = |−→a ×−→b ||−→v |= Bv

(−→a ×−→b ) ·−→c = V

VOLUMEN PARALELEPIPEDA ODREDENOG S −→a ,−→b ,−→c



Mjesoviti produkt

AKO VEKTORI −→a ,−→b ,−→c CINE LIJEVI SUSTAV DOBIVAMO

REZULTAT SUPROTNOG PREDZNAKA. DAKLE, BILO KOJIPOREDAK VEKTORA −→a ,

−→b ,−→c U MJESOVITOM PRODUKTU

UVIJEK DAJE V ILI −V .

(−→a ×−→b ) ·−→c = 0⇐⇒

−→a ,−→b ,−→c

LEZE U ISTOJRAVNINI

(KOMPLANARNI SU)

Primjer.

(−→i ×−→j ) ·−→k = 1, (

−→j ×−→i ) ·−→k =−1, (

−→k ×−→i ) ·−→j = 1



Mjesoviti produkt

AKO VEKTORI −→a ,−→b ,−→c CINE LIJEVI SUSTAV DOBIVAMO

REZULTAT SUPROTNOG PREDZNAKA. DAKLE, BILO KOJIPOREDAK VEKTORA −→a ,

−→b ,−→c U MJESOVITOM PRODUKTU

UVIJEK DAJE V ILI −V .

(−→a ×−→b ) ·−→c = 0⇐⇒

−→a ,−→b ,−→c

LEZE U ISTOJRAVNINI

(KOMPLANARNI SU)

Primjer.

(−→i ×−→j ) ·−→k = 1, (

−→j ×−→i ) ·−→k =−1, (

−→k ×−→i ) ·−→j = 1


Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama

Mjesoviti produkt u koordinatama

−→a · (−→b ×−→c ) = (a1,a2,a3) ·

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

Primjer.

(1,−1,2) · ((2,0,1)× (−2,2,0)) =

∣∣∣∣∣∣1 −1 22 0 1−2 2 0

∣∣∣∣∣∣= 1 · [0 ·0−2 ·1]− (−1) · [2 ·0− (−2) ·1]+2 · [2 ·2− (−2) ·0] = 8



Mjesoviti produkt u koordinatama

−→a · (−→b ×−→c ) = (a1,a2,a3) ·

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣Primjer.

(1,−1,2) · ((2,0,1)× (−2,2,0)) =

∣∣∣∣∣∣1 −1 22 0 1−2 2 0

∣∣∣∣∣∣= 1 · [0 ·0−2 ·1]− (−1) · [2 ·0− (−2) ·1]+2 · [2 ·2− (−2) ·0] = 8



Zadatak 20.

Za vektore −→a = (1,0,−1),−→b = (2,2,−1), −→c = (3,−1,2) izracunati

mjesoviti produkt (−→a ×−→b ) ·−→c

Rjesenje.

(−→a ×−→b ) ·−→c =

∣∣∣∣∣∣3 −1 21 0 −12 2 −1

∣∣∣∣∣∣= 11.



Zadatak 20.

Za vektore −→a = (1,0,−1),−→b = (2,2,−1), −→c = (3,−1,2) izracunati

mjesoviti produkt (−→a ×−→b ) ·−→c

Rjesenje.

(−→a ×−→b ) ·−→c =

∣∣∣∣∣∣3 −1 21 0 −12 2 −1

∣∣∣∣∣∣= 11.



Zadatak 21.(1) Izracunati volumen paralelepipeda kojemu su tri brida vektori−→a = (1,1,2),

−→b = (2,−1,2), −→c = (0,1,4).

(2) Koliki je volumen tetraedra s bridovima −→a ,−→b ,−→c .

(3) Izracunati visinu paralelepipeda spustenu na bazu sa stranicama−→a i−→b .

Rjesenje.(1)

−→a · (−→b ×−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 1 22 −1 20 1 4

∣∣∣∣∣∣=−10⇒

V = 10



Zadatak 21.(1) Izracunati volumen paralelepipeda kojemu su tri brida vektori−→a = (1,1,2),

−→b = (2,−1,2), −→c = (0,1,4).

(2) Koliki je volumen tetraedra s bridovima −→a ,−→b ,−→c .

(3) Izracunati visinu paralelepipeda spustenu na bazu sa stranicama−→a i−→b .

Rjesenje.(1)

−→a · (−→b ×−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 1 22 −1 20 1 4

∣∣∣∣∣∣=−10⇒

V = 10



Rjesenje.(2)

Vtetr =16

Vpp =53



Rjesenje.(3)

V = B ·hB

B = |−→a ×−→b |=√

29⇒

hB =10√29



Zadatak 22.Izracunati volumen tetraedra s vrhovima

A(2,−3,−1), B = (0,4,1), C = (−1,1,1), D(3,2,0).

Rjesenje.

−→AB · (−→AC×−→AD) =

∣∣∣∣∣∣−2 7 2−3 4 21 5 1

∣∣∣∣∣∣= 9⇒

Vtetr =96=

32



Zadatak 22.Izracunati volumen tetraedra s vrhovima

A(2,−3,−1), B = (0,4,1), C = (−1,1,1), D(3,2,0).

Rjesenje.

−→AB · (−→AC×−→AD) =

∣∣∣∣∣∣−2 7 2−3 4 21 5 1

∣∣∣∣∣∣= 9⇒

Vtetr =96=

32



Zadatak 23.

Leze li vektori −→a ,−→b ,−→c u istoj ravnini?

(1) −→a = (1,0,2)−→b = (2,−1,3)−→c = (2,1,4)

(2) −→a = (−1,1,3)−→b = (2,3,1)−→c = (5,0,−8)

Rjesenje.(1)

−→a · (−→b ×−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 0 22 −1 32 1 4

∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0⇒

Ne leze u istoj ravnini.



Zadatak 23.

Leze li vektori −→a ,−→b ,−→c u istoj ravnini?

(1) −→a = (1,0,2)−→b = (2,−1,3)−→c = (2,1,4)

(2) −→a = (−1,1,3)−→b = (2,3,1)−→c = (5,0,−8)

Rjesenje.(1)

−→a · (−→b ×−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 0 22 −1 32 1 4

∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0⇒

Ne leze u istoj ravnini.



Rjesenje.(2)

−→a · (−→b ×−→c ) =

∣∣∣∣∣∣−1 1 32 3 15 0 −8

∣∣∣∣∣∣= 0⇒

Leze u istoj ravnini.


Documents

Matematika I - fsb.unizg.hr · Matematika I Vektorski i mjesoviti produktˇ Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 12. listopada 2018. 1 / 28