View
604
Download
174
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mathematic for Architecture students
Matematika Arsitektur
Oleh :
Subiono
Jurusan Matematika, FMIPA-ITS, Surabaya
subiono2008@matematika.its.ac.id
January 5, 2012
1 Dasar-dasar Kalkulus
1.1 Fungsi
Suatu fungsi f adalah suatu aturan dari pasangan terurut (x, y) sedemikian hinggauntuk setiap x ada hanya tepat satu y. Pasangan (x, y) biasanya juga ditulis(x, f(x)). Himpunan
D = {x | y = f(x)},dinamakan domain dari fungsi f , sedangkan himpunan
K {y | y = f(x)}dinamakan kodomain dari fungsi f . Himpunan
Im(f) = {y | y = f(x)}dinamakan image dari fungsi f . Secara diagram fungsi f dapat digambarkan se-bagai berikut
x y = f(x)
Im(f)
Kodomain
Domain
Arti untuk setiap x D dengan D adalah himpunan domain fungsi f adalah tidak
1
ada x di D yang tidak mempunyai pasangan dengan y Im(f). Sedangkan, secaraumum y K dengan K adalah kodomain f belum tentu mempunyai pasangandengan x D. Jadi Im(f) K. Bila setiap y K mempunyai pasangan denganx D yaitu Im(f) = K, maka f dinamakan fungsi pada. Bila fungsi f memenuhiy1 = f(x1), y2 = f(x2) dengan y1 6= y2 berakibat bahwa x1 6= x2, maka f dinamakanfungsi satu-satu. Fungsi f yang memenuhi satu-satu dan pada dinamakan fungsibijektif
Contoh-contoh
1. Fungsi f yang diberikan oleh hubungan y = f(x) = 3x+1 dan y = f(x) = x2 8,untuk setiap x R dengan R adalah himpunan bilangan real. Keduanyamempunyai domain dan kodomain R. Fungsi yang pertama adalah bijektif,sedangkan yang kedua tidak satu-satu sebab x1 = 1 6= 1 = x2 didapat f(x1) =f(x2) = 7. Image dari fungsi f dengan y = f(x) = x2 8 adalah
Im(f) = {y | 8 y
y = cos 2x
y = x3x2+4
3
3. Fungsi f diberikan oleh hubungan y = f(x) =1
xuntuk setiap x R dengan
x 6= 0, mempunyai domain D dan kodomain KD = {x R | x 6= 0} = K
Fungsi f adalah bijektif, gambar grafiknya adalah
4. Suatu jendela mempunyai bentuk bagian bawah berbentuk persegi sedan-gkan bagian atas berbentuk setengah linkaran. Ungkapkan luas jendela se-bagai fungsi dari lebar jendela. Tentukan luas jendela bila keliling bagian atasjendela 100 cm.
Jawab Misalkan lebar jendela x cm, maka sket gambar jendala adalah:
x
Luas jendela L(x) diberikan oleh
L(x) =1
2(pi(
1
2x)2) + x2 = (
1
8pi + 1)x2.
Keliling setengah lingkaran k = 100 cm, jadi
100 =1
2(pix) x = 200
picm
Jadi luas jendela L = (18pi + 1)x2 = (1
8pi + 1)40000
pi2= (40000
pi2+ 5000
pi) cm2 .
4
5. Suatu kontener berbentuk kotak dengan bagian atas terbuka dan volumenya10 m3. Panjang bagian dasar kontener dua kali lebarnya. Biaya untuk mem-buat dasar adalah 10 satuan permeter persegi sedangkan biaya untuk sisi-sisinya 6 satuan permeter persegi. Ungkapkan biaya pembuatan kontainersebagai fungsi lebar dari dasar kontener.
Jawab: Bila x meter adalah lebar kontener bagian dasar dan tingginya t meter,gambar kontener diberikan oleh:
2x
x
t
Didapat luas dasar adalah : (2x)x = 2x2. Jadi biaya pembuatan dasar kon-tener sebesar 10(2x2) = 20x2 satuan. Dua sisi kontener mempunyai luas:2xt sedangkan dua sisi lainnya 4xt. Jadi biaya pembuatan sisi-sisi konteneradalah: 6(2xt + 4xt) = 36xt satuan. Dengan demikian total biaya pembuatankontener adalah
b = 20x2 + 36xt satuan
Diketahui volume kontener 10 m3, jadi
10 = 2x(x)t t = 102x2
=5
x2.
Dengan demikian didapat fungsi biaya
b(x) = 20x2 + 36xt = 20x2 + 36x
(5
x2
)= 20x2 +
180
x, x > 0.
Bila f dan g adalah fungsi dari peubah x, maka untuk setiap x di kedua domainf dan g didefinisikan
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f g)(x) = f(x) g(x)3. (fg)(x) = f(x)g(x)
4.
(f
g
)(x) =
f(x)
g(x), g(x) 6= 0
5. (kf)(x) = kf(x).
Contoh. Diberikan fungsi f dan g oleh
f(x) =x dan g(x) =
1 x.
Dapatkan 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domain fungsi tsb.
Jawab Diskripsi dari 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domainfungsinya diberikan dalam tabel berikut
5
Fungsi Formula Domain
f f(x) =x [0,)
g g(x) =1 x (, 1]
5f 5f(x) = 5x [0,)f + g (f + g)(x) = f(x) + g(x) =
x+
1 x [0, 1]
f g (f g)(x) = f(x) g(x) = x1 x [0, 1]fg (fg)(x) = f(x)g(x) =
x1 x =x(1 x) [0, 1]
f/g (f/g)(x) = f(x)g(x)
=
x1x [0, 1)
g/f (g/f)(x) = g(x)f(x)
=
1xx
(0, 1]
Bila f dan g adalah fungsi, maka komposisi fungsi f g didefinisikan oleh
f g(x) = f(g(x)).
Domain dari f g terdiri dari x didalam domain g yang mana g(x) didalam domainf . Kususnya, bila Im(g) termuat dalam domain f , maka domain dari f g adalahsama dengan domain g.
Contoh. Diberikan f(x) =x dan g(x) = x+ 1 hitung komposisi f g, g f, f f dan
g g serta tentukan masing-masing domainnya.
Jawab. Komposisi dari f dan g serta domainnya diberikan oleh tabel berikut
Fungsi Formula Domain
f f(x) =x [0,)
g g(x) = x+ 1 R
f g f g(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = x+ 1 [1,)g f g f(x) = g(f(x)) = g(x) = x+ 1 [0,)f f f f(x) = f(f(x)) = f(x) =
x = x
14 [0,)
g g g g(x) = g(g(x)) = g(x+ 1) = (x+ 1) + 1 = x+ 2 R
Pergeseran, Simetri dan Periodik dari suatu Fungsi.Fungsi yang diberikan oleh hubungan y = f(x) dilakukan pergeseran sebagaiberikut
a f(x) 7 f(x) + a adalah pergeseran searah sumbu koordinat y. Bila a > 0 digeserkeatas, a < 0 digeser kebawah.
b f(x) 7 f(x + a) adalah pergeseran searah sumbu koordinat x. Bila a > 0 digeserke kiri dan a < 0 ke kanan.
Contoh
1. Fungsi y = x2 digeser keatas menjadi y = x2 + 2, grafik fungsi dan hasil perge-seran sebagai berikut.
6
0y
x
y = x2
0
y
x
y = x2 + 2
2b
(a) (b)
Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkeatas sebesar 2 satuan.
2. Fungsi y = x2 digeser kekiri menjadi y = (x+2)2 = x2+2x+4, grafik fungsi danhasil pergeseran sebagai berikut.
0
y
x
y = x2
0
y
x
y = (x+ 2)2
-2b
(b)(a)
Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkekiri sebesar 2 satuan.
Grafik suatu pasangan terurut (x, y) pada sumbu koordinat tegak x dan y yangmemenuhi
1. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-x.
2. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x, y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-y.
3. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap titik asal koordinat.
0 x
y
(x,y)
(x,-y)
b
b
(a)
0 x
y
(x,y)(-x,y) bb
(b) (c)
x
y
0
b
b
(x,y)
(-x,-y)
Gambar (a). grafik (bukan fungsi) simetri terhadap sumbu-x, (b) grafik fungsisimetri terhadap sumbu-y dan (c) grafik fungsi simetri terhadap titik asal koor-dinat.
7
Suatu fungsi f dengan y = f(x) dan x R dinamakan fungsi genap bila
f(x) = f(x), x R,
dinamakan fungsi gasal (ganjil) bila
f(x) = f(x), x R.
Contoh fungsi genap y = f(x) = |x|, x R, sebab f(x) = |x| = |x| = f(x). y = f(x) =cos(x), x R adalah fungsi genap sebab f(x) = cos(x) = cosx = f(x). Sedangkanfungsi y = f(x) = x, x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = x = f(x) dany = f(x) = sin(x), x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = sin(x) = sin x = f(x).
Fungsi f dengan y = f(x) adalah fungsi periodik bila ada beberapa bilanganpositip T0 sehingga
f(x) = f(x+ T0) untuk setiap x,
dalam hal ini T0 adalah periode dari fungsi f . Fungsi-fungsi periodik yang palingdikenal adalah fungsi trigonometri. Kususnya fungsi sinusoida diberikan oleh
y = f(x) = A cos(t+ ). (1)
Bilangan real A menyatakan amplitudo sedangkan adalah sudut phase. Periodefundamental dari suatu fungsi sinusoida didefisikan oleh
T0 =2pi
, (2)
bilangan real dinamakan frekuensi angular. Gambar berikut adalah gambar darifungsi periodik sinusoida.
A
AT0 =
2pi
f(x)
x
Suatu contoh penggunaan fungsi pada pembuatan ventilasi. Umumnya ventilasidibuat untuk
1. memenuhi kebutuhan udara, menghilangkan bau misalnya CO2 atau kon-taminasi yang lain,
2. mengeluarkan panas didalam ruangan.
Bila vr adalah laju volume aliran udara dan konduktansi ventilasi qv, maka hubun-gannya adalah
qv = 1200 vr. (3)
8
Bila banyaknya perubahan udara setiap jam diketahui sebesar N dan volume ru-angan adalah V , maka vr dapat ditentukan oleh
vr =N V
3600. (4)
Maka qv dapat ditentukan sebagai fungsi dari peubah V sebagai berikut
qv = 1200 vr = 1200N V
3600= 0, 33N V. (5)
1.2 Limit
Limit dari suatu nilai fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis sebagai
limxa
f(x).
Arti x mendekati a ada dua, yaitu mendekati dari kiri ditulis x a dan mendekatidari kanan ditulis x a+. Dengan demikian
limxa
f(x) dan limxa+
f(x)
masing-masing menyatakan limit dari f(x) untuk x mendekati a dari kiri dan darikanan. Perlu dicatat bahwa nilai x mendekati a secara umum tidak harus x = akarena belum tentu f(a) terdifinisi oleh karena itu nilai dari
limxa
f(x)
belum tentu ada. Bilalimxa
f(x) = limxa+
f(x) = L,
maka limxa
f(x) mempunyai nilai yaitu
limxa
f(x) = limxa
f(x) = limxa+
f(x) = L.
Contoh,
1. Hitung limx2
f(x) bila f(x) = x2x+2. Tabel berikut memberikan nilai-nilai