Matematika Arsitektur

Matematika Arsitektur

Oleh :

Subiono

Jurusan Matematika, FMIPA-ITS, Surabaya

subiono2008@matematika.its.ac.id

January 5, 2012

1 Dasar-dasar Kalkulus

1.1 Fungsi

Suatu fungsi f adalah suatu aturan dari pasangan terurut (x, y) sedemikian hinggauntuk setiap x ada hanya tepat satu y. Pasangan (x, y) biasanya juga ditulis(x, f(x)). Himpunan

D = {x | y = f(x)},dinamakan domain dari fungsi f , sedangkan himpunan

K {y | y = f(x)}dinamakan kodomain dari fungsi f . Himpunan

Im(f) = {y | y = f(x)}dinamakan image dari fungsi f . Secara diagram fungsi f dapat digambarkan se-bagai berikut

x y = f(x)

Im(f)

Kodomain

Domain

Arti untuk setiap x D dengan D adalah himpunan domain fungsi f adalah tidak

1

ada x di D yang tidak mempunyai pasangan dengan y Im(f). Sedangkan, secaraumum y K dengan K adalah kodomain f belum tentu mempunyai pasangandengan x D. Jadi Im(f) K. Bila setiap y K mempunyai pasangan denganx D yaitu Im(f) = K, maka f dinamakan fungsi pada. Bila fungsi f memenuhiy1 = f(x1), y2 = f(x2) dengan y1 6= y2 berakibat bahwa x1 6= x2, maka f dinamakanfungsi satu-satu. Fungsi f yang memenuhi satu-satu dan pada dinamakan fungsibijektif

Contoh-contoh

1. Fungsi f yang diberikan oleh hubungan y = f(x) = 3x+1 dan y = f(x) = x2 8,untuk setiap x R dengan R adalah himpunan bilangan real. Keduanyamempunyai domain dan kodomain R. Fungsi yang pertama adalah bijektif,sedangkan yang kedua tidak satu-satu sebab x1 = 1 6= 1 = x2 didapat f(x1) =f(x2) = 7. Image dari fungsi f dengan y = f(x) = x2 8 adalah

Im(f) = {y | 8 y

y = cos 2x

y = x3x2+4

3

3. Fungsi f diberikan oleh hubungan y = f(x) =1

xuntuk setiap x R dengan

x 6= 0, mempunyai domain D dan kodomain KD = {x R | x 6= 0} = K

Fungsi f adalah bijektif, gambar grafiknya adalah

4. Suatu jendela mempunyai bentuk bagian bawah berbentuk persegi sedan-gkan bagian atas berbentuk setengah linkaran. Ungkapkan luas jendela se-bagai fungsi dari lebar jendela. Tentukan luas jendela bila keliling bagian atasjendela 100 cm.

Jawab Misalkan lebar jendela x cm, maka sket gambar jendala adalah:

x

Luas jendela L(x) diberikan oleh

L(x) =1

2(pi(

1

2x)2) + x2 = (

1

8pi + 1)x2.

Keliling setengah lingkaran k = 100 cm, jadi

100 =1

2(pix) x = 200

picm

Jadi luas jendela L = (18pi + 1)x2 = (1

8pi + 1)40000

pi2= (40000

pi2+ 5000

pi) cm2 .

4

5. Suatu kontener berbentuk kotak dengan bagian atas terbuka dan volumenya10 m3. Panjang bagian dasar kontener dua kali lebarnya. Biaya untuk mem-buat dasar adalah 10 satuan permeter persegi sedangkan biaya untuk sisi-sisinya 6 satuan permeter persegi. Ungkapkan biaya pembuatan kontainersebagai fungsi lebar dari dasar kontener.

Jawab: Bila x meter adalah lebar kontener bagian dasar dan tingginya t meter,gambar kontener diberikan oleh:

2x

x

t

Didapat luas dasar adalah : (2x)x = 2x2. Jadi biaya pembuatan dasar kon-tener sebesar 10(2x2) = 20x2 satuan. Dua sisi kontener mempunyai luas:2xt sedangkan dua sisi lainnya 4xt. Jadi biaya pembuatan sisi-sisi konteneradalah: 6(2xt + 4xt) = 36xt satuan. Dengan demikian total biaya pembuatankontener adalah

b = 20x2 + 36xt satuan

Diketahui volume kontener 10 m3, jadi

10 = 2x(x)t t = 102x2

=5

x2.

Dengan demikian didapat fungsi biaya

b(x) = 20x2 + 36xt = 20x2 + 36x

(5

x2

)= 20x2 +

180

x, x > 0.

Bila f dan g adalah fungsi dari peubah x, maka untuk setiap x di kedua domainf dan g didefinisikan

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (f g)(x) = f(x) g(x)3. (fg)(x) = f(x)g(x)

4.

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x), g(x) 6= 0

5. (kf)(x) = kf(x).

Contoh. Diberikan fungsi f dan g oleh

f(x) =x dan g(x) =

1 x.

Dapatkan 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domain fungsi tsb.

Jawab Diskripsi dari 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domainfungsinya diberikan dalam tabel berikut

5

Fungsi Formula Domain

f f(x) =x [0,)

g g(x) =1 x (, 1]

5f 5f(x) = 5x [0,)f + g (f + g)(x) = f(x) + g(x) =

x+

1 x [0, 1]

f g (f g)(x) = f(x) g(x) = x1 x [0, 1]fg (fg)(x) = f(x)g(x) =

x1 x =x(1 x) [0, 1]

f/g (f/g)(x) = f(x)g(x)

=

x1x [0, 1)

g/f (g/f)(x) = g(x)f(x)

=

1xx

(0, 1]

Bila f dan g adalah fungsi, maka komposisi fungsi f g didefinisikan oleh

f g(x) = f(g(x)).

Domain dari f g terdiri dari x didalam domain g yang mana g(x) didalam domainf . Kususnya, bila Im(g) termuat dalam domain f , maka domain dari f g adalahsama dengan domain g.

Contoh. Diberikan f(x) =x dan g(x) = x+ 1 hitung komposisi f g, g f, f f dan

g g serta tentukan masing-masing domainnya.

Jawab. Komposisi dari f dan g serta domainnya diberikan oleh tabel berikut

Fungsi Formula Domain

f f(x) =x [0,)

g g(x) = x+ 1 R

f g f g(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = x+ 1 [1,)g f g f(x) = g(f(x)) = g(x) = x+ 1 [0,)f f f f(x) = f(f(x)) = f(x) =

x = x

14 [0,)

g g g g(x) = g(g(x)) = g(x+ 1) = (x+ 1) + 1 = x+ 2 R

Pergeseran, Simetri dan Periodik dari suatu Fungsi.Fungsi yang diberikan oleh hubungan y = f(x) dilakukan pergeseran sebagaiberikut

a f(x) 7 f(x) + a adalah pergeseran searah sumbu koordinat y. Bila a > 0 digeserkeatas, a < 0 digeser kebawah.

b f(x) 7 f(x + a) adalah pergeseran searah sumbu koordinat x. Bila a > 0 digeserke kiri dan a < 0 ke kanan.

Contoh

1. Fungsi y = x2 digeser keatas menjadi y = x2 + 2, grafik fungsi dan hasil perge-seran sebagai berikut.

6

0y

x

y = x2

0

y

x

y = x2 + 2

2b

(a) (b)

Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkeatas sebesar 2 satuan.

2. Fungsi y = x2 digeser kekiri menjadi y = (x+2)2 = x2+2x+4, grafik fungsi danhasil pergeseran sebagai berikut.

0

y

x

y = x2

0

y

x

y = (x+ 2)2

-2b

(b)(a)

Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkekiri sebesar 2 satuan.

Grafik suatu pasangan terurut (x, y) pada sumbu koordinat tegak x dan y yangmemenuhi

1. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-x.

2. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x, y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-y.

3. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap titik asal koordinat.

0 x

y

(x,y)

(x,-y)

b

b

(a)

0 x

y

(x,y)(-x,y) bb

(b) (c)

x

y

0

b

b

(x,y)

(-x,-y)

Gambar (a). grafik (bukan fungsi) simetri terhadap sumbu-x, (b) grafik fungsisimetri terhadap sumbu-y dan (c) grafik fungsi simetri terhadap titik asal koor-dinat.

7

Suatu fungsi f dengan y = f(x) dan x R dinamakan fungsi genap bila

f(x) = f(x), x R,

dinamakan fungsi gasal (ganjil) bila

f(x) = f(x), x R.

Contoh fungsi genap y = f(x) = |x|, x R, sebab f(x) = |x| = |x| = f(x). y = f(x) =cos(x), x R adalah fungsi genap sebab f(x) = cos(x) = cosx = f(x). Sedangkanfungsi y = f(x) = x, x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = x = f(x) dany = f(x) = sin(x), x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = sin(x) = sin x = f(x).

Fungsi f dengan y = f(x) adalah fungsi periodik bila ada beberapa bilanganpositip T0 sehingga

f(x) = f(x+ T0) untuk setiap x,

dalam hal ini T0 adalah periode dari fungsi f . Fungsi-fungsi periodik yang palingdikenal adalah fungsi trigonometri. Kususnya fungsi sinusoida diberikan oleh

y = f(x) = A cos(t+ ). (1)

Bilangan real A menyatakan amplitudo sedangkan adalah sudut phase. Periodefundamental dari suatu fungsi sinusoida didefisikan oleh

T0 =2pi

, (2)

bilangan real dinamakan frekuensi angular. Gambar berikut adalah gambar darifungsi periodik sinusoida.

A

AT0 =

2pi

f(x)

x

Suatu contoh penggunaan fungsi pada pembuatan ventilasi. Umumnya ventilasidibuat untuk

1. memenuhi kebutuhan udara, menghilangkan bau misalnya CO2 atau kon-taminasi yang lain,

2. mengeluarkan panas didalam ruangan.

Bila vr adalah laju volume aliran udara dan konduktansi ventilasi qv, maka hubun-gannya adalah

qv = 1200 vr. (3)

8

Bila banyaknya perubahan udara setiap jam diketahui sebesar N dan volume ru-angan adalah V , maka vr dapat ditentukan oleh

vr =N V

3600. (4)

Maka qv dapat ditentukan sebagai fungsi dari peubah V sebagai berikut

qv = 1200 vr = 1200N V

3600= 0, 33N V. (5)

1.2 Limit

Limit dari suatu nilai fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis sebagai

limxa

f(x).

Arti x mendekati a ada dua, yaitu mendekati dari kiri ditulis x a dan mendekatidari kanan ditulis x a+. Dengan demikian

limxa

f(x) dan limxa+

f(x)

masing-masing menyatakan limit dari f(x) untuk x mendekati a dari kiri dan darikanan. Perlu dicatat bahwa nilai x mendekati a secara umum tidak harus x = akarena belum tentu f(a) terdifinisi oleh karena itu nilai dari

limxa

f(x)

belum tentu ada. Bilalimxa

f(x) = limxa+

f(x) = L,

maka limxa

f(x) mempunyai nilai yaitu

limxa

f(x) = limxa

f(x) = limxa+

f(x) = L.

Contoh,

1. Hitung limx2

f(x) bila f(x) = x2x+2. Tabel berikut memberikan nilai-nilai