Matematika Arsitektur

Matematika Arsitektur

Oleh :

Subiono

Jurusan Matematika, FMIPA-ITS, Surabaya

[email protected]

January 5, 2012

1 Dasar-dasar Kalkulus

1.1 Fungsi

Suatu fungsi f adalah suatu aturan dari pasangan terurut (x, y) sedemikian hinggauntuk setiap x ada hanya tepat satu y. Pasangan (x, y) biasanya juga ditulis(x, f(x)). Himpunan

D = {x | y = f(x)},dinamakan domain dari fungsi f , sedangkan himpunan

K {y | y = f(x)}dinamakan kodomain dari fungsi f . Himpunan

Im(f) = {y | y = f(x)}dinamakan image dari fungsi f . Secara diagram fungsi f dapat digambarkan se-bagai berikut

x y = f(x)

Im(f)

Kodomain

Domain

Arti untuk setiap x D dengan D adalah himpunan domain fungsi f adalah tidak

1

ada x di D yang tidak mempunyai pasangan dengan y Im(f). Sedangkan, secaraumum y K dengan K adalah kodomain f belum tentu mempunyai pasangandengan x D. Jadi Im(f) K. Bila setiap y K mempunyai pasangan denganx D yaitu Im(f) = K, maka f dinamakan fungsi pada. Bila fungsi f memenuhiy1 = f(x1), y2 = f(x2) dengan y1 6= y2 berakibat bahwa x1 6= x2, maka f dinamakanfungsi satu-satu. Fungsi f yang memenuhi satu-satu dan pada dinamakan fungsibijektif

Contoh-contoh

1. Fungsi f yang diberikan oleh hubungan y = f(x) = 3x+1 dan y = f(x) = x2 8,untuk setiap x R dengan R adalah himpunan bilangan real. Keduanyamempunyai domain dan kodomain R. Fungsi yang pertama adalah bijektif,sedangkan yang kedua tidak satu-satu sebab x1 = 1 6= 1 = x2 didapat f(x1) =f(x2) = 7. Image dari fungsi f dengan y = f(x) = x2 8 adalah

Im(f) = {y | 8 y

y = cos 2x

y = x3x2+4

3

3. Fungsi f diberikan oleh hubungan y = f(x) =1

xuntuk setiap x R dengan

x 6= 0, mempunyai domain D dan kodomain KD = {x R | x 6= 0} = K

Fungsi f adalah bijektif, gambar grafiknya adalah

4. Suatu jendela mempunyai bentuk bagian bawah berbentuk persegi sedan-gkan bagian atas berbentuk setengah linkaran. Ungkapkan luas jendela se-bagai fungsi dari lebar jendela. Tentukan luas jendela bila keliling bagian atasjendela 100 cm.

Jawab Misalkan lebar jendela x cm, maka sket gambar jendala adalah:

x

Luas jendela L(x) diberikan oleh

L(x) =1

2(pi(

1

2x)2) + x2 = (

1

8pi + 1)x2.

Keliling setengah lingkaran k = 100 cm, jadi

100 =1

2(pix) x = 200

picm

Jadi luas jendela L = (18pi + 1)x2 = (1

8pi + 1)40000

pi2= (40000

pi2+ 5000

pi) cm2 .

4

5. Suatu kontener berbentuk kotak dengan bagian atas terbuka dan volumenya10 m3. Panjang bagian dasar kontener dua kali lebarnya. Biaya untuk mem-buat dasar adalah 10 satuan permeter persegi sedangkan biaya untuk sisi-sisinya 6 satuan permeter persegi. Ungkapkan biaya pembuatan kontainersebagai fungsi lebar dari dasar kontener.

Jawab: Bila x meter adalah lebar kontener bagian dasar dan tingginya t meter,gambar kontener diberikan oleh:

2x

x

t

Didapat luas dasar adalah : (2x)x = 2x2. Jadi biaya pembuatan dasar kon-tener sebesar 10(2x2) = 20x2 satuan. Dua sisi kontener mempunyai luas:2xt sedangkan dua sisi lainnya 4xt. Jadi biaya pembuatan sisi-sisi konteneradalah: 6(2xt + 4xt) = 36xt satuan. Dengan demikian total biaya pembuatankontener adalah

b = 20x2 + 36xt satuan

Diketahui volume kontener 10 m3, jadi

10 = 2x(x)t t = 102x2

=5

x2.

Dengan demikian didapat fungsi biaya

b(x) = 20x2 + 36xt = 20x2 + 36x

(5

x2

)= 20x2 +

180

x, x > 0.

Bila f dan g adalah fungsi dari peubah x, maka untuk setiap x di kedua domainf dan g didefinisikan

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (f g)(x) = f(x) g(x)3. (fg)(x) = f(x)g(x)

4.

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x), g(x) 6= 0

5. (kf)(x) = kf(x).

Contoh. Diberikan fungsi f dan g oleh

f(x) =x dan g(x) =

1 x.

Dapatkan 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domain fungsi tsb.

Jawab Diskripsi dari 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domainfungsinya diberikan dalam tabel berikut

5

Fungsi Formula Domain

f f(x) =x [0,)

g g(x) =1 x (, 1]

5f 5f(x) = 5x [0,)f + g (f + g)(x) = f(x) + g(x) =

x+

1 x [0, 1]

f g (f g)(x) = f(x) g(x) = x1 x [0, 1]fg (fg)(x) = f(x)g(x) =

x1 x =x(1 x) [0, 1]

f/g (f/g)(x) = f(x)g(x)

=

x1x [0, 1)

g/f (g/f)(x) = g(x)f(x)

=

1xx

(0, 1]

Bila f dan g adalah fungsi, maka komposisi fungsi f g didefinisikan oleh

f g(x) = f(g(x)).

Domain dari f g terdiri dari x didalam domain g yang mana g(x) didalam domainf . Kususnya, bila Im(g) termuat dalam domain f , maka domain dari f g adalahsama dengan domain g.

Contoh. Diberikan f(x) =x dan g(x) = x+ 1 hitung komposisi f g, g f, f f dan

g g serta tentukan masing-masing domainnya.

Jawab. Komposisi dari f dan g serta domainnya diberikan oleh tabel berikut

Fungsi Formula Domain

f f(x) =x [0,)

g g(x) = x+ 1 R

f g f g(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = x+ 1 [1,)g f g f(x) = g(f(x)) = g(x) = x+ 1 [0,)f f f f(x) = f(f(x)) = f(x) =

x = x

14 [0,)

g g g g(x) = g(g(x)) = g(x+ 1) = (x+ 1) + 1 = x+ 2 R

Pergeseran, Simetri dan Periodik dari suatu Fungsi.Fungsi yang diberikan oleh hubungan y = f(x) dilakukan pergeseran sebagaiberikut

a f(x) 7 f(x) + a adalah pergeseran searah sumbu koordinat y. Bila a > 0 digeserkeatas, a < 0 digeser kebawah.

b f(x) 7 f(x + a) adalah pergeseran searah sumbu koordinat x. Bila a > 0 digeserke kiri dan a < 0 ke kanan.

Contoh

1. Fungsi y = x2 digeser keatas menjadi y = x2 + 2, grafik fungsi dan hasil perge-seran sebagai berikut.

6

0y

x

y = x2

0

y

x

y = x2 + 2

2b

(a) (b)

Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkeatas sebesar 2 satuan.

2. Fungsi y = x2 digeser kekiri menjadi y = (x+2)2 = x2+2x+4, grafik fungsi danhasil pergeseran sebagai berikut.

0

y

x

y = x2

0

y

x

y = (x+ 2)2

-2b

(b)(a)

Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkekiri sebesar 2 satuan.

Grafik suatu pasangan terurut (x, y) pada sumbu koordinat tegak x dan y yangmemenuhi

1. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-x.

2. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x, y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-y.

3. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap titik asal koordinat.

0 x

y

(x,y)

(x,-y)

b

b

(a)

0 x

y

(x,y)(-x,y) bb

(b) (c)

x

y

0

b

b

(x,y)

(-x,-y)

Gambar (a). grafik (bukan fungsi) simetri terhadap sumbu-x, (b) grafik fungsisimetri terhadap sumbu-y dan (c) grafik fungsi simetri terhadap titik asal koor-dinat.

7

Suatu fungsi f dengan y = f(x) dan x R dinamakan fungsi genap bila

f(x) = f(x), x R,

dinamakan fungsi gasal (ganjil) bila

f(x) = f(x), x R.

Contoh fungsi genap y = f(x) = |x|, x R, sebab f(x) = |x| = |x| = f(x). y = f(x) =cos(x), x R adalah fungsi genap sebab f(x) = cos(x) = cosx = f(x). Sedangkanfungsi y = f(x) = x, x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = x = f(x) dany = f(x) = sin(x), x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = sin(x) = sin x = f(x).

Fungsi f dengan y = f(x) adalah fungsi periodik bila ada beberapa bilanganpositip T0 sehingga

f(x) = f(x+ T0) untuk setiap x,

dalam hal ini T0 adalah periode dari fungsi f . Fungsi-fungsi periodik yang palingdikenal adalah fungsi trigonometri. Kususnya fungsi sinusoida diberikan oleh

y = f(x) = A cos(t+ ). (1)

Bilangan real A menyatakan amplitudo sedangkan adalah sudut phase. Periodefundamental dari suatu fungsi sinusoida didefisikan oleh

T0 =2pi

, (2)

bilangan real dinamakan frekuensi angular. Gambar berikut adalah gambar darifungsi periodik sinusoida.

A

AT0 =

2pi

f(x)

x

Suatu contoh penggunaan fungsi pada pembuatan ventilasi. Umumnya ventilasidibuat untuk

1. memenuhi kebutuhan udara, menghilangkan bau misalnya CO2 atau kon-taminasi yang lain,

2. mengeluarkan panas didalam ruangan.

Bila vr adalah laju volume aliran udara dan konduktansi ventilasi qv, maka hubun-gannya adalah

qv = 1200 vr. (3)

8

Bila banyaknya perubahan udara setiap jam diketahui sebesar N dan volume ru-angan adalah V , maka vr dapat ditentukan oleh

vr =N V

3600. (4)

Maka qv dapat ditentukan sebagai fungsi dari peubah V sebagai berikut

qv = 1200 vr = 1200N V

3600= 0, 33N V. (5)

1.2 Limit

Limit dari suatu nilai fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis sebagai

limxa

f(x).

Arti x mendekati a ada dua, yaitu mendekati dari kiri ditulis x a dan mendekatidari kanan ditulis x a+. Dengan demikian

limxa

f(x) dan limxa+

f(x)

masing-masing menyatakan limit dari f(x) untuk x mendekati a dari kiri dan darikanan. Perlu dicatat bahwa nilai x mendekati a secara umum tidak harus x = akarena belum tentu f(a) terdifinisi oleh karena itu nilai dari

limxa

f(x)

belum tentu ada. Bilalimxa

f(x) = limxa+

f(x) = L,

maka limxa

f(x) mempunyai nilai yaitu

limxa

f(x) = limxa

f(x) = limxa+

f(x) = L.

Contoh,

1. Hitung limx2

f(x) bila f(x) = x2x+2. Tabel berikut memberikan nilai-nilai darif(x) bila x mendekati 2 baik dari kiri ataupun dari kanan.

x 2 f(x) x 2+ f(x)1.0 2.000000 3.0 8.000000

1.5 2.750000 2.5 5.750000

1.8 3.440000 2.2 4.640000

1.9 3.710000 2.1 4.310000

1.95 3.850000 2.05 4.152500

1.99 3.970100 2.01 4.030100

1.995 3.985025 2.005 4.015025

1.999 3.997001 2.001 4.0030010

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3

y = x2 x+ 2

x

y

9

Dari tabel diatas terlihat untuk nilai x mendekati 2 baik dari kanan atau kirinilai f(x) mendekati 4. Dengan demikian lim

x2(x2 x + 2) = 4. Catatan bahwa

nilai f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 4 = limx2

f(x) dan dari gambar grafik f

adalah fungsi kontinu. Secara umum bila f kontinu pada domain f , maka

limxa

f(x) = f(a).

2. Hitung limx1

f(x) bila f(x) = x1x21 . Tabel berikut memberikan nilai-nilai dari f(x)

bila x mendekati 1 baik dari kiri ataupun dari kanan.

x 1 f(x) x 1+ f(x)0.5 0.666667 1.5 0.400000

0.9 0.526316 1.1 0.476190

0.99 0.502513 1.01 0.497512

0.999 0.500250 1.001 0.499750

0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

0 1

0.5

x

y

y = x1x21

Dari tabel diatas terlihat untuk nilai x mendekati 1 baik dari kanan atau kirinilai f(x) mendekati 0.5. Dengan demikian lim

x1x1x21 = 0.5. Catatan bahwa

nilai f(x) untuk x = 1 tidak terdifinisi dan dari gambar grafik f adalah fungsidiskontinu di x = 1, tetapi nilai lim

x1f(x) ada. Perhatikan bahwa untuk x 6= 1

didapat

f(x) =x 1x2 1 =

x 1(x 1)(x+ 1) =

1

x+ 1= g(x)

danlimx1

f(x) = 0.5 = g(1).

Secara umum bila limxa

f(x) = limxa

p(x)q(x)

ada dan f tak terdifinisi di x = a tetapi

f(x) dapat disederhanakan menjadi g(x) dengan menghapus titik diskontinudi x = a sehingga g(a) ada nilainya, maka

limxa

f(x) = g(a).

3. Perkirakan nilai darilimx0

cos(pi

x).

Grafik fungsi dan hasil penghitungan nilai fungsi sebagai berikut:

x 0 f(x) x 0+ f(x)-1 -1 1 -1

-0.1 1 0.1 1

-0.01 1 0.01 1

-0.001 1 0.001 1

-0.0001 1 0.0001 1

10

Bila dilihat dari tabel hasil penghitungan fungsi memberikan nilai limx0

cos(pix)

sama dengan 1. Tetapi fakta dari grafik fungsi f(x) = cos(pix) disekitar x =

0 berisolasi diantara nilai -1 dan +1. Jadi limx0

cos(pix) tidak ada. Disamping

itu nilai limx0

cos(pix) dan lim

x0+cos(pi

x) sulit diperkirakan secara tepat. Hal ini

ditunjukkan sebagai berikut. Misalnya untuk

a = 11000000000000000001

dan b = 11000000000000000002

didapat cos(pia) = 1 dan cos(pi

b) = 1. Disamping itu a 6= b dan masing-masing

a dan b mendekati nol. Contoh ini memberikan gambaran bahwa perkiraanhasil penghitungan limit dari suatu fungsi disekitar nilai tertentu x = a belumcukup memberikan hasil dari limit tsb. bila tidak disertai perilaku nilai fungsidisekitar x = a.

4. Hitung

limx0

sin x

xdan lim

x0

x

sin x.

Grafik fungsi sinxx

dan hasil penghitungan nilai fungsi disekitar x = 0 sebagaiberikut:

x sinxx

0.1 0.9983341664682820.01 0.9999833334166660.001 0.9999998333333420.0001 0.9999999983333330.0001 0.999999999983333

Dari informasi grafik dan tabel penghitungan diatas diperoleh

limx0

sinxx

= 1.

Sedangkan grafik fungsi xsinx

dan hasil penghitungan nilai fungsi disekitarx = 0 sebagai berikut:

x xsinx

0.1 1.0016686131634780.01 1.0000166668611130.001 1.0000001666666860.0001 1.0000000016666670.0001 1.000000000016667

Dari informasi grafik dan tabel penghitungan diatas diperoleh

limx0

xsinx = 1.

11

Catatan, walaupun kedua fungsi sinxx

dan xsinx

tidak terdifinisi di x = 0, nilailimit kedua fungsi ini untuk x mendekati 0 ada nilainya, yaitu keduanyanyasama dengan 1.

5. Hitung limx0

cos x1x

.

Jawab. cosx = 1 2 sin2(x2) dan misalkan = x

2didapat

limx0

cosx 1x

= limx0

2 sin2(x2)

x= lim

0

sin

sin = (1)(0) = 0.

6. Hitung

a limx2

3x55x+2

b limx4

(3x+16x)

c limx4

x216x4

Jawab

a Karena 3x55x+2

kontinu di x = 2, maka

limx2

3x 55x+ 2

=3(2) 55(2) + 2

=1

12.

blimx4

(3x+16x) = 3(4) +

16(4) = 12 + 8 = 20.

c x216x4 tidak terdifinisi di x = 4, tetpai untuk x 6= 4 didapat

x2 16x 4 =

(x 4)(x+ 4)x 4 = x+ 4 = g(x).

Jadi

limx4

x2 16x 4 = g(4) = 4 + 4 = 8.

7. Bentuk limit tertentu:

a Bentuk 00: Hitung

limx0

x2 + 9 3

x2.

Jawab

limx0

x2 + 9 3

x2= lim

x0

x2 + 9 3

x2

x2 + 9 + 3x2 + 9 + 3

= limx0

(x2 + 9) 9x2(x2 + 9 + 3)

= limx0

x2

x2(x2 + 9 + 3)

= limx0

1x2 + 9 + 3

=1

02 + 9 + 3

=1

3 + 3=

1

6.

12

b Limit di takhingga : limx

f(x) atau limx

f(x).

Hitung

limx

(x2 + x x

).

Jawab.

limx

(x2 + x x

)= lim

x

(x2 + x x

) (x2 + x+ x)(x2 + x+ x

)= lim

x

x2 + x x2x2 + x+ x

= limx

x

x(

1 + 1x+ 1

)= lim

x

11 + 1

x+ 1

=1

1 + 1 + 1

=1

1 + 0 + 1=

1

2.

Jawaban Quiz I, Matematika Arsitektur, 29 September 2011

1. Bila f(x) =1 x1 + x

, hitung komposisi (f f)(x) dan tentukan domainnya.

Jawab

(f f)(x) = f(f(x)) = f(1 x1 + x

) =1 1x

1+x

1 + 1x1+x

= x.

Domain dari komposisi (f f)(x) adalah sama dengan domain f yaituD = {x R | x 6= 1}.

2. Selidiki kesimetrian grafik y = 2x3 x, apakah simetri terhadap sumbu-yataukah terhadap titik asal?

JawabCek kesimetrian terhadap sumbu-y: yaitu x diganti dengan x, didapat

y = 2(x)3 (x) = 2x3 + x 6= 2x3 x.Jadi grafik tidak simetri terhadap sumbu-y. Selanjutnya cek kesimetrian ter-hadap titik asal, yaitu (x, y) diganti dengan (x,y), didapat

y = 2(x)3 (x) = 2x3 + x y = 2x3 x.Jadi grafik simetri terhadap titik asal.

13

3. Suatu tangga panjang 13 satuan diletakkan di tembok dengan ketinggian12 satuan dari lantai dan jarak antara bagian bawah tangga dengan tembokadalah 5 satuan.

Tembok

12

5

13

b

d

t

Bila jarak suatu titik di tangga dengan tembok adalah d dan ketinggiannyadari lantai t, maka tuliskan d sebagai fungsi dari peubah t. Selanjutnya dap-atkan domain dari fungsi dan image dari fungsi.

Jawab

12

5=

12 td

d = 5 512t.

Domain dari fungsi d adalah 0 t 12 dan image dari fungsi d adalah 0 d 5.

4. Hitung

limx0

1x+4

14

x.

Jawab

limx0

1x+4

14

x= lim

x0

4 (x+ 4)4x(x+ 4)

= limx0

x4x(x+ 4)

= limx0

14(x+ 4)

=1

4(0 + 4)= 1

16.

1.3 Differensial

Kecuraman atau kemiringan dari grafik suatu fungsi erat kaitannya dengan apayang dinamakan differensial suatu fungsi disuatu titik tertentu. Gambar grafikberikut menjelaskan kemiringan dari grafik di titik-titik terentu.

x0

b

b

b

b

b

b

b

12

3

4

5

67

y=f(x)

14

Di titik 1 dan 7 kemiringan fungsi f adalah sama, di titik 2 dan 6 kemiringanfungsi f adalah sama begitu juga di titik 3 dan 5 kemiringan fungsi f adalah sama.Sedangkan dititik 4 fungsi f tidak miring. Walaupun kemiringan di titik 2 dan 6adalah sama tetapi secara geometri di titik 2 fungsi miring kekanan sedangkan dititik 6 fungsi miring kekiri. Hal ini berkaitan dengan fungsi naik dan turun.

x

y

0xx +x

y +y

y = f(x)

b

b

g

A

B

x

y

Kemiringan suatu fungsi dengan y = f(x) disebarang titik A(x, y) erat kaitannyadengan gradien garis singgung pada y = f(x) dititik A(x, y). Hal ini dibahas sebagaiberikut. Misalkan garis g melalui titik A(x, y) dan B(x + x, y + y) sebagaimanaditunjukkan pada gambar diatas. Gradien dari garis g adalah

tan =(y +y) y(x+x) x =

y

x.

Tetapi y = f(x) dan y + y = f(x + x), maka y = (y +y) y = f(x + x) f(x).Didapat

y

x=f(x+x) f(x)

x.

Bila diinginkan garis g menyinggung grafik dari fungsi f dititik A(x, y), maka harus-lah titik B(x + x, y + y) mendekati titik A(x, y) atau dengan kata lain haruslahx mendekati nol yaitu x 0. Jadi dengan pengertian limit, kemiringan grafikfungsi f disebarang titik (x, y) diberikan oleh

limx0

y

x= lim

x0

f(x+x) f(x)x

. (6)

Secara umum limit pada Persamaan (7) belum tentu ada, bila ada maka limx0

yx

dinotasikan olehdy

dxatau

df(x)

dx. Dalam hal ini

df(x)

dxdibaca defferensial dari fungsi f

terhadap peubah x atau turunan dari f terhadap peubah x. Dengan menggunakan

notasidy

dxatau

df(x)

dxdidapat

dy

dx=df(x)

dx= lim

x0

f(x+x) f(x)x

.

Contoh, hitung turunan dari y = f(x) = x24. Selanjutnya dapatkan garis singgungdititik (1,3).

15

Jawab. f(x+x) = (x+x)24 = x2+2xx+(x)24. Jadi y = f(x+x)f(x) =2xx + (x)2. Dengan demikian

dy

dx= lim

x0

f(x+x) f(x)x

= limx0

2xx+ (x)2

x= lim

x0

x(2x+x)

x

= limx0

2x+x

1= 2x+ 0 = 2x.

Persamaan garis singgung y = mx+ a melalui titik (1,3). Didapat 3 = m+ a ataua = 3 m, jadi y = mx + (3 m) atau y = m(x 1) 3. Gradien garis singgungdidapat melalui

dy

dx

x=1

= 2(1) = 2.

Jadi persamaan garis singgung adalah y = 2(x 1) 3 = 2x 5.

b (1,-3)

Gambar diatas adalah grafik dari y = x2 4 dan garis singgung y = 2x 5.

Kecuraman atau kemiringan dari grafik suatu fungsi erat kaitannya dengan apayang dinamakan differensial suatu fungsi disuatu titik tertentu. Gambar grafikberikut menjelaskan kemiringan dari grafik di titik-titik terentu.

x0

b

b

b

b

b

b

b

12

3

4

5

67

y=f(x)

Di titik 1 dan 7 kemiringan fungsi f adalah sama, di titik 2 dan 6 kemiringanfungsi f adalah sama begitu juga di titik 3 dan 5 kemiringan fungsi f adalah sama.Sedangkan dititik 4 fungsi f tidak miring. Walaupun kemiringan di titik 2 dan 6adalah sama tetapi secara geometri di titik 2 fungsi miring kekanan sedangkan di

16

titik 6 fungsi miring kekiri. Hal ini berkaitan dengan fungsi naik dan turun.

x

y

0xx +x

y +y

y = f(x)

b

b

g

A

B

x

y

Kemiringan suatu fungsi dengan y = f(x) disebarang titik A(x, y) erat kaitannyadengan gradien garis singgung pada y = f(x) dititik A(x, y). Hal ini dibahas sebagaiberikut. Misalkan garis g melalui titik A(x, y) dan B(x + x, y + y) sebagaimanaditunjukkan pada gambar diatas. Gradien dari garis g adalah

tan =(y +y) y(x+x) x =

y

x.

Tetapi y = f(x) dan y + y = f(x + x), maka y = (y +y) y = f(x + x) f(x).Didapat

y

x=f(x+x) f(x)

x.

Bila diinginkan garis g menyinggung grafik dari fungsi f dititik A(x, y), maka harus-lah titik B(x + x, y + y) mendekati titik A(x, y) atau dengan kata lain haruslahx mendekati nol yaitu x 0. Jadi dengan pengertian limit, kemiringan grafikfungsi f disebarang titik (x, y) diberikan oleh

limx0

y

x= lim

x0

f(x+x) f(x)x

. (7)

Secara umum limit pada Persamaan (7) belum tentu ada, bila ada maka limx0

yx

dinotasikan olehdy

dxatau

d

dxf(x). Dalam hal ini

d

dxf(x) dibaca defferensial dari

fungsi f terhadap peubah x atau turunan dari f terhadap peubah x. Juga, bilad

dxf(x) ada, maka sering juga disebut f terdifferensial (dapat diturunkan) di x.

Dengan menggunakan notasidy

dxatau

d

dxf(x) didapat

dy

dx=

d

dxf(x) = lim

x0

f(x+x) f(x)x

.

Contoh, hitung turunan dari y = f(x) = x24. Selanjutnya dapatkan garis singgungdititik (1,3).

Jawab. f(x+x) = (x+x)24 = x2+2xx+(x)24. Jadi y = f(x+x)f(x) =

17

2xx + (x)2. Dengan demikian

dy

dx= lim

x0

f(x+x) f(x)x

= limx0

2xx+ (x)2

x= lim

x0

x(2x+x)

x

= limx0

2x+x

1= 2x+ 0 = 2x.

Persamaan garis singgung y = mx+ a melalui titik (1,3). Didapat 3 = m+ a ataua = 3 m, jadi y = mx + (3 m) atau y = m(x 1) 3. Gradien garis singgungdidapat melalui

dy

dx

x=1

= 2(1) = 2.

Jadi persamaan garis singgung adalah y = 2(x 1) 3 = 2x 5.

b (1,-3)

Gambar diatas adalah grafik dari y = x2 4 dan garis singgung y = 2x 5.

1. Telah diketahuid

dxf(x) = lim

x

f(x+x) f(x)x

.

a Bila y = f(x) = c dengan c adalah konstan, maka

d

dxf(x) = lim

x0

c cx

= limx0

0 = 0.

b Bila y = f(x) = x, maka

d

dxf(x) = lim

x0

[x+x] xx

= limx0

x

x= lim

x01 = 1.

c Bila y = f(x) = cx dengan c adalah konstan, maka

d

dxf(x) = lim

x0

c [x+x] cxx

= limx0

c x

x= lim

x0c = c.

18

d Bila y = f(x) = xn dengan n adalah suatu bilangan bulat positip, maka

d

dxf(x) = lim

x0

(x+x)n xnx

= limx0

[xn + nxn1x+ n(n1)

1.2xn2(x)2 + + (x)n

] xn

x

= limx0

[nxn1 +

n(n 1)1.2

xn2x+ + (x)n1]= nxn1.

Catatan, hasil ini tidak hanya berlaku untuk n bilangan bulat positip,tetapi juga untuk n bilangan rasional.

2. Misalkan u(x) dan v(x) terdifferensial di x.

a Bila f(x) = (u+ v)(x) = u(x) + v(x), maka

d

dx(u+ v)(x) =

d

dxf(x) = lim

x0

f(x+x) f(x)x

= limx0

[u(x+x) + v(x+x)] [u(x) + v(x)]x

= limx0

[u(x+x) u(x)] + [v(x+x) v(x)]x

= limx0

[u(x+x) u(x)]x

+ limx0

[v(x+x) v(x)]x

=d

dxu(x) +

d

dxv(x).

b Bila f(x) = (uv)(x) = u(x)v(x), maka

d

dx(uv)(x) =

d

dxf(x)

= limx0

f(x+x) f(x)x

= limx0

[u(x+x)v(x+x)] [u(x)v(x)]x

= limx0

[u(x+x)v(x+x) v(x)u(x+x)] + [v(x)u(x+x) u(x)v(x)]x

= limx0

[u(x+x)

v(x+x) v(x)x

+ v(x)u(x+x) u(x)

x

]

= limx0

[u(x+x)

v(x+x) v(x)x

]+ lim

x0

[v(x)

u(x+x) u(x)x

]= u(x)

d

dxv(x) + v(x)

d

dxu(x).

19

c Bila f(x) =(uv

)(x) =

u(x)

v(x)dengan v(x) 6= 0, maka

d

dx

(uv

)(x) =

d

dxf(x)

= limx0

f(x+x) f(x)x

= limx0

u(x+x)v(x+x)

u(x)v(x)

x

= limx0

u(x+x)v(x) u(x)v(x+x)x [v(x+x)v(x)]

= limx0

[u(x+x)v(x) u(x)v(x)] [u(x)v(x+x) u(x)v(x)]x [v(x+x)v(x)]

= limx0

[v(x)u(x+x)u(x)

x

][u(x)v(x+x)v(x)

x

]v(x+x)v(x)

=v(x) d

dxu(x) u(x) d

dxv(x)

[v(x)]2.

3. Aturan rantai. Misalkan f terdifferensial di u = g(x) dan g terdifferensial di x.Didefinisikan fungsi E dengan peubah k oleh

E(k) =

{f(u+k)f(u)

k d

duf(u), bila k 6= 0

0, bila k = 0

Perhatikan bahwa

limk0

E(k) = limk0

f(u+ k) f(u)k

ddu

f(u) =d

duf(u) d

duf(u) = 0.

Dengan demikian untuk k = 0 ataupun k 6= 0 didapat

f(u+ k) f(u) =[d

duf(u) + E(k)

]k.

Selanjutnya u = g(x), misalkan g(x + x) g(x) = k. Jadi u + k = g(x + x).Didapat

f(g(x+x)) f(g(x)) =[

d

d(g(x)f(g(x)) + E(k)

][g(x+x) g(x)] .

Perhatikan bahwa bila x 0, maka k 0. Telah diketahui bahwa limk0

E(k) =

0. Didapat

d

dxf(g(x)) = lim

x0

f(g(x+x)) f(g(x))x

= limx0

[d

dg(x)f(g(x)) + E(k)

]g(x+x) g(x)

x

=

[d

dg(x)f(g(x)) + lim

k0E(k)

]limx0

g(x+x) g(x)x

=d

dg(x)f(g(x))

d

dxg(x).

20

Jadi untuk u = g(x), maka

d

dxf(u) =

d

duf(u)

d

dxg(x).

4. Diberikan y = (x 3)2. Hitung dydx

dengan cara biasa dan dengan cara aturan

ranati.

Jawab y = f(x) = (x 3)2 = x2 6x+ 9, didapatdy

dx= 2x 6.

Selanjutnya misalkan u = x 3, maka y = f(u) = u2. Dengan menngunakanaturan rantai didapat

dy

dx=

d

dxf(u) =

d

duf(u)

d

dxu(x) = 2u (1) = 2(x 3) = 2x 6.

5. Hitung dydxbila

a. y = (2x 5)7.b. y =

1 3x2.

c. y =x

x2 1.

Jawab

a. Misalkan u = 2x 5, maka y = f(u) = u7. Didapatdy

dx=

d

duf(u)

d

dxu(x) = 7u6(2) = 14(2x 5)6.

b. Misalkan u = 1 3x2, maka y = f(u) = u 12 . Didapatdy

dx=

d

duf(u)

d

dxu(x) =

1

2u

12 (6x) = 3x

1 3x2 .

c. Misalkan u = x dan v = x2 1, didapatdy

dx=v dudx u dv

dx

v2=x2 1 x(2x)

(x2 1)2 =(x2 + 1)(x2 1)2 .

6. Differensial dari y = f(x) = sin x.

d

dxsin x = lim

x0

sin(x+x) sin xx

= limx0

sin x cosx+ cosx sinx sin xx

= limx0

sin x [cosx 1] + cosx sinxx

= sin x limx0

cosx 1x

+ cosx limx0

sinx

x= sin x [0] + cosx [1] = cosx.

21

7. Differensial dari y = f(x) = cosx. Dengan menggunakan persamaan sin(pi2x) =

cos x dan aturan rantai differensial didapat

d

dxcos x =

d

dxsin(pi2 x

)= 1 cos

(pi2 x

)= sin x.

8. Contoh, hitungdy

dxbila (a.) y = sin(pix) + cos(2x), (b.) y = x3 sin

x dan (c.)

y = cos x1sinx

Jawab.

a.d

dx(sin(pix) + cos(2x)) = pi cos(pix) 2 sin(2x).

b.d

dx(x3 sin

x) = 3x2 sin

x+ x3 1

2x

12 cos

x = 3x2 sin

x+ 1

2x52 cos

x.

c. Dengan aturan pembagian fungsi untuk differensial didapat

d

dx

(cosx

1 sin x)

=(1 sin x)( sin x) (cos)(0 cos x)

(1 sin x)2

= sin x+ sin2 x+ cos2 x

(1 sin x)2

=1 sin x

(1 sin x)2 =1

1 sin x.

Berikut ini diberikan ringkasan turunan (defferensial) dari fungsi-fungsi dan atu-ran dasar.

1.d

dxk = 0, k adalah konstan.

2.d

dxxn = nxn1.

3.d

dxax = ax ln(a), a > 0, a 6= 1.

4.d

dxex = ex.

5.d

dxln(x) = 1

x, x > 0.

6.d

dx(u(x) v(x)) = d

dxu(x) d

dxv(x).

7.d

dx(u(x)v(x)) = u(x)

d

dxv(x) + v(x)

d

dxu(x).

8.d

dx

(u(x)

v(x)

)=v(x) d

dxu(x) u(x) d

dxv(x)

(v(x))2.

9.d

dxkf(x) = k

d

dxf(x), k konstan.

10.d

dxf(g(x)) =

d

dxg(x)

d

dg(x)f(g(x)).

22

11.d

dxsin(x) = cos(x).

12.d

dxcos(x) = sin(x).

13.d

dxtanx = sec2(x).

14.d

dxcot(x) = csc2(x).

15.d

dxsec(x) = sec(x) tan(x).

16.d

dxcsc(x) = csc(x) cot(x).

17.d

dxsin1(x) =

11 x2 , |x| < 1.

18.d

dxcos1(x) =

11 x2 , |x| < 1.

19.d

dxtan1(x) =

1

1 + x2.

20.d

dxcot1(x) =

11 + x2

.

21.d

dxsec1(x) =

1

xx2 1 , x 6= 1.

22.d

dxcsc1(x) =

1xx2 1 , x 6= 1

Differensial suatu fungsi f dengan peubah x selain mempunyai arti gradien garissinggung dititik x juga bisa di tafsirkan sebagai laju perubahan dari nilai f(x) bilax berubah sangat kecil. Ini berarti bila f(x) menyatakan nilai dari posisi suatu

gerakan, makad

dxf(x) menyatakan kecepatan dari gerakan tsb. pada titik x. Dif-

ferensial dari f terhadap x yaitud

dxf(x) pada umumnya fungsi yang bisa didef-

erensialkan lagi, maka bila didefferensialkan lagi ditulisd2

dx2f(x). Secara umum

dn

dxnf(x) menyatakan defferensial ke-n dari f pada x. Adakalanya

d

dxf(x) ditulis

sebagai f (x) dand2

dx2f(x) ditulis f (x). Jadi f (n)(x) menyatakan differensial ke-n

dari f pada titik x. Pada masalah teknik seringd

dxf(x) ditulis sebagai Df(x) jadi

d2

dx2f(x) = D2f(x).

Contoh.

23

1. Panjang suatu batang logam pada temperatur tC dalam satuanmeter diberikanoleh

P (t) = 1 + 0, 00003t+ 0, 0000004t2.

Maka laju perubahan panjang bila temperatur t = 250C oleh

d

dtP (t) = 0, 00003 + 0, 0000008t.

Pada t = 250C, didapat

d

dtP (t) = 0, 00003 + 0, 0000008(250) = 0, 00020003 m/C = 0, 20003 mm/C.

2. Tekanan p dari atmosfir pada ketinggian t diatas permukaan dasar diberikanoleh persamaan

p(t) = p0e t

k ,

dengan p0 tekanan pada permukaan dasar dan k suatu konstan. Maka untukp0 = 10

5 pascal, k = 6, 2 104 dan pada ketinggian 1550 meter, laju perubahantekanan terhadap ketinggian adalah

d

dtp(t) = p0

ke

tk

= 105

6, 2 104e 15506,2 104

= 106, 2

e0,025 = 1, 573 Pascal/m.

3. Posisi suatu truk pada saat waktu t detik dari suatu sudut pandang terhadapmobil patroli berjarak x, sedangkan jarak mobil patroli dengan jalan Raya 100m dan garis dari Truk dengan mobil patroli membentuk sudut sebagaimanadiberikan oleh gambar berikut.

x(t)

100 m

Truk

Mobil Pat

roli

Jalan Raya

Bila polisi mencatat pada saat x = 500 m laju perubahan sudut adalahd

dt(t) = 0, 004 rad/det, maka kecepatan truk diperoleh sebagai berikut. Dari

gambar diperoleh persamaan

(t) = tan1x(t)

100.

Dengan demikiand

dt(t) =

1

100

1

1 + x2(t)1002

1

100

dx

dt.

24

Jadi pada saat x = 500 m kecepatan truk adalah

dx

dt

x=500

= 0, 004 (260000) = 1040 m/det.

1.4 Maksimum dan Minimum suatu Fungsi

Bila f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], dan ada bilangan p dan q di [a, b] yangmemenuhi

f(p) f(x) f(q) untuk semua x [a, b] .Maka f mempunyai nilai minimum m = f(p) di titik x = p dan nilai maksimumM = f(q) dititik x = q.

Contoh. Berapa luas persegi panjang maksimum yang terbentuk bila keseluruhansisi-sisinya panjangnya 200 m2?

x

y

Jawab. Panjang keseluruhan sisi persegi panjang adalah P = 2x+ 2y = 200 m danluasnya L = xy m2. Didapat y = 100 x dengan demikian luas sebagai fungsi daripeubah x adalah

L(x) = x(100 x) = 100x x2.Karena x dan y taknegatif, maka L terdifinisi di x [0, 100] dan jelas L kontinu diinterval tutup [0, 100]. Jadi L di jamin mempunyai nilai maksimum. SelanjutnyaL(x) dapat ditulis sebagai

A(x) = 2500 (x 50)2.Nilai A(x) maksimum bila (x 50)2 adalah yang paling kecil (minimum) untuk x [0, 100], yaitu (x 50)2 = 0 atau x = 50. Dengan demikian nilai maksimum L adalah

L(50) = 2500 m2.

Misalkan c di domain D dari fungsi f , maka f(c) dinamkan nilai maksimum absolutdari f bila f(c) f(x) untuk semua x D dan dinamakan nilai minimum absolutdari f bila f(c) f(x) untuk semua x D. Suatu maksimum atau minimum absolutsering juga dimakan maksimum atau minimum global. Nilai maksimum atau minimumdari f dinamakan nilai ekstrim dari f .

Gambar berikut menunjukkan grafik dari suatu fungsi f yang mempunyai nilaimaksimum absolut di x = b dan mempunyai nilai minimum absolut di x = a.

25

0 x

y

a b

f(a)

f(b)

f

Catatan bahwa titik (b, f(b)) adalah titik tertinggi pada grafik f dan (a, f(a)) adalahtitik terendah pada grafik f . Dalam gambar diatas bila hanya dipertimbangkan xdisekitar a, maka nilai f(a) dinamakan minimum lokal.

Nilai f(c) dinamakan suatu minimum lokal bila f(c) f(x) untuk x dekat dengan cdan dinamakan suatu maksimum lokal bila f(c) f(x) untuk x dekat dengan c.

Contoh.

1. f(x) = sin x, maka 1 f(x) 1 untuk semua x R. Bila x = 12pi + 2pin, maka

f(x) = 1 dengan n = 0, 1, 2, 3, . Dengan demikian f(x) = 1 adalah maksimumglobal. Bila x = 3

2pi + 2pin, maka f(x) = 1 dengan n = 0, 1, 2, 3, dengan

demikian f(x) = 1 adalah minimum global.2. f(x) = x2, maka f(x) 0 sebab x2 0 untuk semua x R, dengan demikian

minimum lokal dan juga minimum global adalah f(0) = 0.

3. f(x) = x3 tidak mempunyai maksimum absolut ataupun minimum absolut.

4. Gambar berikut adalah grafik dari fungsi f yang diberikan oleh persamaany = f(x) = 3x4 16x3 + 18x2.

-1 12

3 4

(-1,37)

(1,5)

(3,-27

b

b

b

x

y

y = 3x4 16x3 + 18x2

0

b

Tampak bahwa (1) = 5 adalah maksimum lokal, sedangkan f(1) = 37 adalahmaksimum absolut (bukan lokal sebab terjadi pada akhir titik) pada domain[1, 4]. f(0) = 0 adalah minimum lokal dan f(3) = 27 adalah minimum lokalsekaligus minimum absolut. Perhatikan bahwa f kontinu pada interval tutup[1, 4]. Juga dititik x = 1 dan x = 3 gradien garis singgung pada f adalah nolatau f (1) = f (3) = 0. Dalam hal yang demikian titik x = 1 dan x = 3 dinamkantitik ekstrim. Sehingga secara umum didapat sifat berikut.

26

Teorema Fermat.Bila f mempunyai suatu lokal maksimum atau lokal minimum di x = cdan f (c) ada, maka f (c) = 0.

Hati-hati dengan Teorema Fermat sebagai contoh f(x) = x3, maka f (x) =3x2. Jadi f (0) = 0, tidak bisa diambil kesimpulan x = 0 adalah titik ekstrim.Sebab f tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum di x = 0. Tetapisebagaimana telah diketahui f(x) = 3x416x3+18x2 mempunyai nilai minimumlokal di x = 3 dan mempunyai nilai maksimum lokal di x = 1, maka f (x) =12x3 48x2 + 36x dan f (1) = 12 48 + 36 = 0 juga f (3) = 0.

Secara umum, Teorema Fermal tidak berlaku sebaliknya, yaitu bila f (c) = 0 tidakperluh f mempunyai suatu maksimum atau minimum di x = c. Juga walaupunf (c) tidak ada, bisa jadi nilai f(c) adalah suatu maksimum atau minimum dari f .Pembahasan ini bisa dilihat dari gambar grafik berikut.

0 x

y

y = x3

x0

y

y = |x|

(a) (b)Gambar grafik (a), y = f(x) = x3 dan f (0) = 0 tetapi f(0) bukan nilai maksimumataupun minimum dari f . Gambar grafik (b), y = f(x) = |x|, maka f (x) = 1 bilax 0 dan f (x) = 1 bila x < 0. Dengan demikian f (0) tidak ada, tetapi f(0) = 0adalah nilai maksimum dari f .

Berikut ini diberikan cara menentukan nilai maksimum atau minimum dari su-atu fungsi f bila ada.

Test Turunan Pertama. Langkah berikut bisa digunakan untuk memperolehnilai-nilai maksimum/minimum relatif dari suatu fungsi f dengan turunan per-tamanya yang kontinu.

1. Selesaikan nilai-nilai kritis dari f (x) = 0.

2. Letakan nilai-nilai kritis pada sb.-x dengan cara demikian menentukan suatubilangan pada interval.

3. Tentukan tanda dari f (x) pada masing-masing interval.

4. misalkan x disekitar nilai kritis x = x0, maka

f mempunyai suatu nilai maksimum f(x0) bila f (x) berubah tandadari + ke (lihat Gambar 1 (a))

f mempunyai suatu nilai minimum f(x0) bila f (x) berubah tandadari ke + (lihat Gambar 1 (b))

27

f tidak mempunyai suatu nilai maksimum/minimum di x = x0bila f (x) tidak ada perubahan tanda (lihat Gambar 1 (c) dan (d)).

Contoh

1. Diberikan y = 13x3 + 1

2x2 6x + 8, dapatkan (a). titik kritis, (b). interval yang

mana y naik dan y turun, (c). nilai maksimum dan minimum dari y.

Jawab.(a). y(x) = x2 + x 6 = (x+ 3)(x 2). Untuk y(x) = 0 didapat x = 3 dan x = 2.Dengan demikian titik kritis adalah (3, 43

2) dan (2, 2

3).

(b). Dari gambar garis bilangan berikut

3b

b

2

3 < x < 2x < 3 x > 2y = + y = y = +y naik y naiky turun

didapat y naik untuk x < 2 atau x < 2 dan y turun untuk 3 < x < 2.(c). Karena ada prubahan tanda dari y(x) disekitar x = 3 dari + ke , makay(3) = 43

2adalah nilai maksimum, dan terjadi perubahan tanda dari y(x) di

sekitar x = 2 dari ke +, maka y(2) = 23adalah nilai minimum.

2. Tunjukkan bahwa y = x3 8 tidak mempunyai nilai maksimum atau mini-mum.

Jawab.Dari y(x) = 3x2 = 0 nilai kritis x = 0 Untuk x < 0 dan x > 0 y(x) > 0 (tidakterjadi perubahan tanda). Jadi nilai maksimum/mimimum dari y tidak ada.

3. Selidiki nilai maksimum dan minimum dari y = f(x) = 1x2 , selanjutnya ten-

tukan interval yang mana y naik dan y turun.

Jawab.Dari f (x) = 1

(x2)2 dan karena f takterdifinisi di x = 2, maka f(2) tidak ada.

Dengan demikian f (x) < 0 untuk x 6= 2 (tentunya f (x) 6= 0), jadi tidak adanilai kritis. Karena f (x) < 0 untuk x > 2 dan x < 2, maka f(x) turun padax > 2 dan x < 2.

4. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari y = f(x) = 2 + x2

3 dan intervalyang mana f(x) naik dan f(x) turun.

Jawab.

f (x) =1

3x13

. Nilai kritis adalah x = 0 sebab f (x) menjadi takhinnga bila x

mendekati 0. Bila x < 0, maka f (x) < 0 (bertanda negatif), jadi f(x) turun.Bila x > 0, maka f (x) > 0 (bertanda positip), jadi f(x) naik. Dengan demikiandi x = 0, f(0) = 2 adalah nilai minimum.

Berikut ini digunakan turunan ke-2 dari suatu fungsi untuk masalah nilai mak-simum atau minimum lokal.

28

Turunan kedua untuk nilai maksimum/minimum lokal.Misalkan f ada dan kontinu di dekat x = c.(a). Bila f (c) = 0 dan f (c) > 0, maka f mempunyai suatu minimum lokal di x = c.(b). Bila f (c) = 0 dan f (c) < 0, maka f mempunyai suatu maksimum lokal di x = c.

Contoh.

1. Diberikan y = f(x) = x4 4x3, makaf (x) = 4x3 12x2 = 4x2(x 3)f (x) = 12x2 24x = 12x(x 2).

Titik ekstrim dari f didapat dari

f (x) = 4x3 12x2 = 4x2(x 3) = 0 x = 0 dan x = 3.Jadi untuk x = 0

f (0) = 0

dari sini tidak dapat disimpulkan f(0) maksimumum atau minimum dan un-tuk x = 3 didapat

f (3) = 12(3)(3 2) = 36 > 0.Jadi f(3) = 34 4(33) = 27(3 4) = 27 adalah nilai maksimum lokal dari f .

2. Diberikan

y = f(x) = x3 3x2 + 1, 12 x 4.

Maka

f (x) = 3x2 6x = 3x(x 2)f (x) = 6x 6.

Titik ekstrim dari f didapat dari

f (x) = 3x(x 2) = 0 x = 0 dan x = 2.Untuk x = 0 didapat f (0) = 0 tidak dapat disimpulkan terjadi nilai maksi-mum/minimum lokal di x = 0. Sedangkan untuk x = 2 didapat f (2) = 126 =6 > 0. Jadi f(2) = 812+1 = 3 adalah nilai minimum lokal dari f . Perhatikanbahwa f kontinu pada interval tutup [1

2, 4] dan f(1

2) = 1

8, f(4) = 17. Den-

gan demikian f(2) = 3 juga merupakan nilai minimum absolut dari f danf(4) = 17 adalah nilai maksimum absolut dari f .

1.5 Integral dan Aplikasi

Bila F (x) adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan F (x) = f(x) pada suatuinterval di sumbu-x, maka F (x) dinamakan suatu anti derivative atau integraltaktentu dari f(x). Integral taktentu dari suatu fungsi yang diberikan tidak tung-gal, misalnya x2, x2+5 dan x23 semuanya adalah integral taktentu dari f(x) = 2x,sebab d

dxx2 = d

dx(x2 + 5) = d

dx(x2 3) = 2x = f(x). Dengan demikian semua integral

taktentu dari f(x) adalah F (x) = x2 + c dengan c adalah sebarang konstan dan di-namakan konstanta integral.

29

Simbolf(x) dx digunakan untuk menyatakan integral taktentu dari f(x). Jadi

2x dx = x2 + c. Dalam ungkapanf(x) dx, f(x) dinamakan integrand.

-

Formula Integral Dasar. Beberapa formula berikut langsung dari formula dasardefferensial, misalnya

d

dx

(1

2xa2 x2 + 1

2a2 sin1

x

a+ c

)=a2 x2.

Juga dari ddxln x = 1

xuntuk x > 0 didapat

dx

x= ln x+ c, x > 0

dan untuk x < 0, didapat dx

x= ln(x) + c.

Hasil ini cukup ditulis dx

x= ln |x|+ c, x 6= 0.

Ringkasan formula integral dasar sebagai berikut.

1.

ddxf(x)dx = f(x) + c

2.(f(x) g(x))dx = f(x)dx+ g(x)dx

3.kf(x)dx = a

f(x)dx, k sebarang konstan

4.xndx = x

n+1

n+1+ c, n 6= 1

5.

dxx= ln |x|+ c, x 6= 0

6.exdx = ex + c

7.axdx = a

x

lna+ c, a 6= 1

8.sin x dx = cosx+ c

9.cos x dx = sin x+ c

10.tan x dx = ln | sec x|+ c

11.cot x dx = ln | sin x|+ c

12.sec x dx = ln | sec x+ tan x|+ c

13.csc x dx = ln | csc x cotx| + c

14.sec2 x dx = tanx+ c

15.csc2 x dx = cot x+ c

16.sec x tan x dx = sec x+ c

17.csc x cot x dx = csc x+ c

30

18.

dxa2x2 = sin

1 xa+ c

19.

dxa2+x2

= 1atan1 x

a+ c

20.

dx

xx2a2 =

1asec1 x

a+ c

21.

dxx2a2 =

12alnxax+a

+ c22.

dx

a2x2 =12alna+xax

+ c23.

dxx2+a2

= ln(x+x2 + a2) + c

24.

dxx2a2 = ln

x+x2 a2+ c25.

a2 x2 dx = 1

2xa2 x2 + 1

2a2 sin1 x

a+ c

26.

x2 + a2 dx = 12xx2 + a2 + 1

2a2 ln(x+

x2 + a2) + c

27.

x2 a2 dx = 12xx2 a2 1

2a2 ln |x+x2 a2|+ c

Contoh.

1.x4 dx = x

5

5+ c,

dxx3dx = x

2

2 + c = 12x2 + c dan

dx3x2

=

1

x23

dx = 3x13 + c

2. Untuk menghitung (3x+ 1)3 dx

dimisalkan u = 3x+ 1, maka dudx

= 3, didapat dx = 13du. Jadi

(3x+ 1)3 dx =

(u)3

1

3du =

1

3

u4

4+ c =

(3x+ 1)4

12+ c.

3. Integral berikutsin 3x dx =

sin 3x

(1

3d3x

)=

1

3

sin 3x d3x = 1

3cos 3x+ c.

4. e2x dx =

e2x

(1

2d2x

)=

1

2

e2x d2x =

1

2e2x + c.

5. Diberikanx cos 4x2 dx. Misalkan u = 4x2, du = 8xdx, xdx = 1

8du. Jadi

x cos 4x2 dx =1

8

cosu du =

1

8sin u =

1

8sin 4x2 + c.

6. Diberikan

3x4+x2

dx. Misalkan u = 4+x2, maka du = 2x dx dan 3x dx = 32du. Jadi

3x

4 + x2dx =

3

2

1

udu =

3

2ln |u|+ c = 3

2ln |4 + x2|+ c.

31

7. Dapatkan y(x) yang memenuhi ddxy(x) = 1

1x2 , y(0) = 5.

Jawab.y(x) yang memenuhi adalah

y(x) =

1

1 x2 dx = sin1 x+ c,

5 = y(0) = sin1(0) + c = 0 + c, jadi c = 5. Dengan demikian y(x) = sin1 x+ 5.

Integral Parsial.Bila u dan v fungsi terdifferensial terhadap x, maka

d(uv) = u dv + v du

atauu dv = d(uv) v du

dan u dv = uv

v du.

Contoh.

1. Hitungx3ex

2

dx.

Misalkan u = x2 dan dv = ex2

x dx, maka du = 2x dx dan v = 12ex

2

. Jadix3ex

2

dx =1

2x2ex

2

xex2

dx =1

2x2ex

2 12ex

2

+ c.

2. Hitungln(x2 + 2) dx.

Misalkan u = ln(x2 + 2) dan dx = dv, maka du = 2x dxx2+2

dan v = x. Jadiln(x2 + 2) dx = x ln(x2 + 2)

2x2 dx

x2 + 2

= x ln(x2 + 2) (

2 4x2 + 2

)dx

= x ln(x2 + 2) 2x+ 22 tan1

x2+ c.

3. Hitungxex dx.

Misalkan u = x dan dv = ex dx, maka du = dx, v = ex. Jadixex dx = xex

ex dx = xex ex + c.

Integral Tertentu.Untuk membahas integral tertentu digunakan Teorema Nilai Tengah sebagai berikut.

Bila f (x) ada untuk a x b, maka ada beberapa c (a, b) yang memenuhi

f(b) f(a) = f (c)(b a).

32

Misalkan nilai fungsi f(x) positip dan didefinisikan pada interval [a, b]. Di-inginkan luasan L diantara kurva f(x) untuk a x b dengan sumbu-x.

cib

a = x0 xi1 xi xn = b

Luas = f(ci)(xi xi1)

0

Dari gambar tampak bahwa luas L bisa didekati oleh

ni1

f(ci)(xi xi1). (8)

Jumlahan pada (8) dinamakan Jumlahan Reimann. Untuk fungsi f kontinu jum-lahan Reimann akan mendekati luas L bila (xi xi1) 0 atau n . Hasil limitini dinamakan integral tertentu dari f pada interval [a, b] yang dinotasikan oleh

ba

f(x) dx.

Selanjutnya, misalkan F (x) sebarang integral taktentu dari f(x), yaitu F (x) = f(x).Gunakan Teorema Nilai Tengah pada F (x) untuk setiap subinterval [xi1, xi] danuntuk setiap i pilih ci [xi1, xi] sedemikian hingga

F (xi) F (xi1) = F (ci)(xi xi1) = f(ci)(xi xi1). (9)Dari Persamaaan (9) didapat

ni=1

(F (xi) F (xi1) = F (xn) F (x0) = F (b) F (a). (10)

Dari Persamaan (9) dan (10) didapat

F (b) F (a) =ni=1

f(ci)(xi xi1), (11)

yang mana F (x) adalah sebarang integral tak tentu dari f(x) dan ci dipilih sesuaiyang diinginkan. Dengan didapat

F (b) F (a) = limn

(ni=1

f(ci)(xi xi=1))

=

ba

f(x) dx.

Notasi F (b) F (a) biasanya ditulisF (x)|ba .

33

Jadib

a

f(x) dx = F (x)|ba , dengan F (x) = f(x).

Sifat :ba

f(x) dx = ab

f(x) dx,0a

f(x) dx = 0 danca

f(x) dx =ba

f(x) dx+cb

f(x) dx

Contoh.

1.20

(x2 2x+ 7) dx = 13x3 x2 + 7x2

0= (1

323 22 + 7(2)) (0) = 38

3.

2. Hitung luas daerah L yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 + 4x 2 dan g(x) =x2 2.

(0,2)

(2,2)

g(x) = x2 2

f(x) = x2 + 4x 2

b

b

g(x) f(x)

dx

Dari gambar diatas diperoleh, luas elemen kecil adalah dL = (g(x) f(x)) dx.Jadi luas daerah L adalah

L =

20

(g(x) f(x)) dx

=

20

(4x 2x2) dx

= 2x2 23x320

= 8 163

=8

3.

Catatan bahwa: batas-batas integral x = 0 dan x = 2 diperoleh dari g(x)f(x) =0.

3. Volume dan luasan permukaan benda putar dari f(x) diputar terhadap sumbuputar-x, diberikan sebagai berikut.

dx

x

y

x

f(x)

b

a bb

b

dx

b

f(x)Volume elemen

34

Dari gambar diperoleh volume elemen benda putar adalah pif 2(x) dx. Dengandemikian keseluruhan volume benda putar adalah

V =

ba

pif 2(x) dx.

Sedangkan luas elemen permukaan diberikan oleh 2pif(x)1 + f (x)2dx. Jadi

luas seluruh permukaan benda putar adalah

S =

ba

2pif(x)1 + f (x)2 dx.

Bila diberikan f(x) = sin x diputar pada sumbu-x, maka volume benda putardari x = 0 sampai x = pi adalah

V =

pi0

pi sin2 x dx.

Tetapi

sin2 x =1 cos 2x

2.

Jadi

V =

pi0

pi sin2 x dx

=pi

2

pi0

(1 cos 2x) dx

=pi

2

[x 1

2sin 2x

]pi0

=pi

2(pi 1

2sin 2pi 0) = pi

2

2.

Bila f(x) =12x diputar pada sumbu-x dari x = 0 sampai x = 3, maka luas

permukaan benda putar adalah

S =

30

2pi12x

1 + f (x)2 dx

= 2pi

30

12x

1 +

3

xdx

= 2pi

30

12x+ 36 dx

= 2pi

[(12x+ 36)

32

18

]30

= 24(22 1)pi.

35

4. Gambar berikut adalah benda dengan densitas konstan dan luas A sedan-gkan titik pusat (x, y).

a b x

y

0

b

(x, y)

f

Pusat benda diberikan oleh

x =

ba

xf(x) dx

Adan y =

ba

12[f(x)]2 dx

A.

Dengan demikian benda seperempat lingkaran berikut

r

r

x

y

0

b

(x, y)

y = x

r2 x2

Dari gambar terlihat bahwa x = y, luas A = 14pir2 dan

y =

r0

12[f(x)]2 dx

14pir2

=

r0

12[r2 x2] dx

14pir2

=12[r2x 1

3x3]r0

14pir2

=13r3

14pir2

=4r

3pi.

Jadi

(x, y) =

(4r

3pi,4r

3pi

).

2 Matriks dan Aljabar Matriks

Susunan bilangan sering dijumpai juga dalam bentuk sebagai berikut, misalnyasusunan bilangan dengan tiga baris dan tujuh kolom yang menyatakan berapajam waktu yang digunakan seorang mahasiswa setiap hari untuk mempersiapkantiga mata kuliah yang ditempuhnya sebagaimana diberikan oleh Tabel 1 berikut.

Table 1: Waktu Persiapan Mahasiswa

Ming. Sen. Sel. Rab. Kam. Jum. Sab.Aljabar 1 3 2 1 4 4 2

Aljabar Linear 2 0 1 3 5 0 2Geometry 4 3 1 1 0 2 0

36

Bila judul matakuliah dan hari dalam Tabel 1 dihapus, maka didapat susunanbilangan real dalam bentuk pesegi panjang dengan tiga baris dan tujuh kolom:

1 3 2 1 4 4 22 0 1 3 5 0 24 3 1 1 0 2 0

, (12)

ungkapan penulisan dalam (12) dinamakan suatu matriks.

Secara lebih umum, matriks adalah suatu susunan dari bilangan real ataukompleks yang berbentuk persegi panjang, setiap bilangan ini dinamakan elemenmatriks yang disusun secara baris dan kolom. Beberapa contoh matriks adalah:

1 2 3 20 1 pi 56 1

28 11

8 0 2 71 3 5 7

,

1 1 10 2 4

3 5 8

,

53654

,

[3 6 4 9 0

]dan [3] .

Ukuran suatu matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom. Bilabanyak baris adalah m dan banyaknya kolom n, maka ukuran matriks ditulissebagai m n. Jadi ukuran matriks pada contoh diatas berturut-turut adalah5 4, 3 3, 5 1, 1 5 dan 1 1. Suatu matriks A ukuran m n biasanya dino-tasikan dengan A = [ai,j], i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n atau secara singkat [ai,j ]mn(bila ukuran matriks penting untuk diketahui). Bila ukuran matriks tidak pentinguntuk diketahui cukup ditulis [ai,j ]. Selanjutnya ai,j menyatakan elemen baris ke-ikolom ke-j dari suatu matriks A dengan ai,j R atau ai,j C yang mana R meny-atakan himpunan bilangan real dan C menyatakan himpunan bilangan kompleks.Untuk matriks berukuran 1 1 yaitu [a] cukup ditulis a.

Suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom dinamakan matriks kolom(vektor kolom) sedangkan bila hanya mempunyai satu baris dinamakan matriksbaris (vektor baris). Suatu matriks A dengan n baris dan n kolom dinamakanmatriks persegi ukuran n

A =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n...

.... . .

...an,1 an,2 . . . an,n

,

elemen-elemen a1,1, a2,2, . . . , an,n dinamakan elemen-elemen di diagonal utamama-triks A. Berikut ini diberikan pengertian dua matriks adalah sama. Diberikan ma-triks A = [ai,j] dan B = [bi,j ], matriks A dan B dikatakan sama bila kedua ukuranmatriks A dan B sama dan ai,j = bi,j untuk semua i dan j. Contoh, matriks-matriksberikut

A =

[1 23 4

], B =

[x 23 4

]dan C =

[1 2 33 4 5

]bila x = 1, maka A = B. Walaupun ukuran A dan B sama, bila x 6= 1, maka A 6= B.Sedangkan A 6= C dan B 6= C sebab ukuran matriks A tidak sama dengan ukuranmatriks C begitu juga ukuran B tidak sama dengan ukuran C.

37

Aritmatika dan Operasi Matriks

Misalkan, sebuah kota dibagi menjadi dua wilayah Utara dan Selatan. Banyaknyasiswa SMP dan SMA kelas I, II dan III diberikan oleh tabel berikut:

Table 2: Daftar Siswa Wilayah Utara dan Selatan

Wilayah Utara Wilayah Selatan

Kelas I Kelas II Kelas III Kelas I Kelas II Kelas III

SMP 2234 2105 2001 SMP 2105 1866 1509

SMA 1973 1873 1762 SMA 1877 1689 1574

Maka daftar total siswa SMP dan SMA keseluruhan kota diberikan oleh tabelberikut

Table 3: Daftar total siswa SMP dan SMA seluruhwilayah

Kelas I Kelas II Kelas III

SMP 2234+2105=4339 2105+1866=3971 2001+1509= 3510

SMA 1973+1877=3850 1873+1689= 3562 1762+1574= 3336

Bila daftar keadaan siswa wilayah Utara dan Selatan di tuliskan sebagai matrik,didapat matriks:

U =

[2234 2105 20011973 1873 1762

]dan S =

[2105 1866 15091877 1689 1574

]dan matriks U + S didefinisikan sebagai

U + Sdef=

[2234 + 2105 2105 + 1866 2001 + 15091973 + 1877 1873 + 1689 1762 + 1574

]=

[4399 3971 35103850 3562 3336

]Terlihat bahwa Tabel 3 bentuk matriksnya diberikan oleh matriks U + S. Hasilpembahasan ini menjelaskan penambahan dua matriks. Hal yang serupa bisadilakukan untuk pengurangan dua matriks.

Berikut ini diberikan definisi secara umum untuk penambahan dan pengu-rangan dua matriks. Penambahan dan pengurangan dua matriks A dan B bisadilakukan bila kedua matriks mempunyai ukuran yang sama dan elemen-elemendari A+B dan A B masing-masing diberikan oleh

[A+B]i,j = ai,j + bi,j dan [A B]i,j = ai,j bi,j .Bila ukuran A dan B tidak sama, maka penambahan dan pengurangan dari A danB tidak didefinisikan. Berikut ini diberikan contoh penambahan dan penguranganmatriks. Diberikan matriks-matriks:

A =

[1 2 00 7 3

], B =

[ 2 3 113 6 4

]dan C =

[1 23 4

].

38

Maka

A +B =

[ 1 1 113 1 1

], A B =

[3 5 113 13 7

]sedangkan A + C dan B + C tidak terdefinisi, begitu juga A C dan B C tidakterdefinisi.

Bila A sebarang matriks dengan elemen-elemen di R atau di C dan k sebarangskalar di R atau di C, maka hasil kali kA adalah matriks yang semua elemen-elemennya diperoleh melalui mengalikan k dengan semua elemen-elemen dari A.Matriks kA dinamakan perkalian skalar dari A. Dengan notasi matriks, bilaA = [ai,j], maka

[kA]i,j = kai,j .

Contoh 2.1

Diberikan matriks-matriks

A =

[0 1 32 4 6

], B =

[8 0 64 14 2

]dan C =

[10 2 51 4 3

]

maka

(1)A =[

0 1 32 4 6

],1

2B =

[4 0 32 7 1

]dan 3C =

[30 6 153 12 9

].

Untuk lebih praktis, penulisan (1)A cukup ditulis A. Bila A1, A2, . . . , An matriks-matriks dengan ukuran yang sama dan k1, k2, . . . , kn adalah skalar, maka bentuk

k1A1 + k2A2 + . . .+ knAn

dinamakan suatu kombinasi linear dari A1, A2, . . . , An dengan koefisien-koefisienk1, k2, . . . , kn. Misalnya pada Contoh 2.1, maka

A + 12B + 3C =

[0 1 32 4 6

]+

[4 0 32 7 1

]+

[30 6 153 12 9

]

=

[34 7 93 15 2

]

adalah kombinasi linear dari A,B dan C dengan koefisien 1, 12dan 3. Selanjutnya

diberikan notasi Rmn menyatakan himpunan semua matriks ukuran mn denganelemen-elemen di R dan Rn1 adalah himpunan semua vektor kolom ukuran nbiasanya cukup ditulis Rn.

Sebegitu jauh telah dibahas perkalian suatu skalar dengan matriks, tetapiperkalian dua matriks belum dibahas. Sebagaimana telah diketahui penamba-han dan penguranganmatriks adalah menambah atau mengurangi elemen-elemenyang bersesuaian. Perkalian matriks agak berbeda dengan penambahan matriks.Untuk mendefinisikan perkalian dua matriks A dan B, sebagai motifasi diberikandua sistem persamaan linear

a1,1x1 + a1,2x2 + a1,3x3 = y1a2,1x1 + a2,2x2 ++a2,3x3 = y2

(13)

39

danb1,1z1 + b1,2z2 = x1b2,1z1 + b2,2z2 = x2b3,1z1 + b3,2z2 = x3

(14)

Bila diinginkan y1 dan y2 bergantung pada peubah z1 dan z2, maka didapat sistempersamaan

(a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1)z1 + (a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2)z2 = y1(a2,1b2,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1)z1 + (a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2)z2 = y2

(15)

Selanjutnya bila

c1,1 = a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1 c1,2 = a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2c2,1 = a2,1b2,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1 c2,2 = a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2

atau secara singkat

ci,j =3

k=1

ai,kbk,j, i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3 (16)

dan masing-masing matriks A,B,C diberikan oleh

A =

[a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3

], B =

b1,1 b1,2b2,1 b2,2b3,1 b3,2

, C = [ c1,1 c1,2

c2,1 c2,2

],

dan didefinisikan perkalian matriks ABdef= C, dengan elemen-elemen matriks C

diberikan oleh Persamaan (16), maka Persamaan (15) dapat ditulis sebagai perkalianmatriks

CZ = Y,dengan Z =

[z1z2

]dan Y =

[y1y2

].

Perhatikan bahwa Persamaan (16) mengisyaratkan banyaknya kolom dari A harussama dengan banyaknya baris B dalam hal ini keduanya sama dengan 3 dan uku-ran matriks hasil kali adalah 2(banyaknya baris A) 2(banyaknya kolom B). Jadisyarat dua matriks bisa dikalikan banyaknya kolom matriks yang pertama samadengan banyaknya baris matriks yang kedua dan elemen-elemen matriks hasilkali diberikan seperti dalam Persamaan (16). Oleh karena itu bila matriks Am,p danmatriks Bp,n, maka perkalian kedua matriks ini diberikan oleh

Am,pBp,n = Cm,n, dengan ci,j =

pk=1

ai,kbk,j, i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n.

Contoh 2.2


A =

[1 2 35 3 4

], B =

2 13 7

5 6

40

Elemen baris ke-1 kolom ke-2 matriks perkalian AB diberikan sebagai berikut

AB =

[1 2 35 3 4

] 2 13 75 6

= [ 33

]

(1 1) + (2 7) + (3 6) = 33

Dengan melakukan hal yang serupa didapat

AB =

[1 2 35 3 4

] 2 13 75 6

= [ 23 33

39 50

]

dan perkalian matriks BA diberikan oleh

BA =

2 13 7

5 6

[ 1 2 3

5 3 4

]=

7 7 1038 27 37

35 28 39

terlihat bahwa AB 6= BA.

Diberikan dua matriks Am,p dan Bp,n dan C = Am,pBp,n, maka matriks baris ke-idari C diberikan oleh Ci, = Ai,B dan matriks kolom ke-j dari C diberikan olehC,j = AB,j.

Contoh 2.3


A =

1 2 0 72 3 2 105 11 1 8

, B =

2 1 10 2 25 0 81 12 9

.

Bila C = AB, maka baris ke-2 dari matriks C diberikan oleh

C2, = A2,B =[2 3 2 10

]

2 1 10 2 25 0 81 12 9

= [ 24 128 66 ]

dan kolom ke-3 dari C diberikan oleh

C,3 = AB,3 =

1 2 0 72 3 2 105 11 1 8

1289

=

666647

Perkalian matriks dan kombinasi linear sangat penting bila dihubungkan den-gan sistem persamaan. Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk perkalian ma-triks sebagai berikut

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n...

.... . .

...am,1 am,2 . . . am,n

x1x2...xn

=

b1b2...bm

. (17)

41

Bila

A =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n...

.... . .

...am,1 am,2 . . . am,n

, x =

x1x2...xn

dan b =

b1b2...bm

,

maka Persamaan (17) dapat ditulis sebagai Ax = b. Selanjutnya bila

A,j =

a1,ja2,j...

am,j

, j = 1, 2, . . . , n,

dan sistem persamaaan linear (17) mempunyai penyelesaian, maka matriks b da-pat ditulis sebagai kombinasi linear berikut

x1A,1 + x2A,2 + . . .+ xnA,n = b. (18)

Matriks-matriks Khusus

Disini dikenalkan matriks nol, diagonal, identitas(satuan), matriks segi-tiga danmatriks simetri. Suatu matriks yang semua elemenya sama dengan nol dina-makan matriks nol. Berikut ini contoh contohnya

[0 0

],

[0 00 0

],

000

, [0 0 0 0

0 0 0 0

].

Suatu matriks persegi D berukuran n n dinamakan matriks diagonal bila

D =

d1 0 0 00 d2 0 00 0 d3 0...

......

. . ....

0 0 0 dn

Terlihat bahwa semua elemen dari D yang berada diatas dan dibawah elemen di-agonal utama sama dengan nol yaitu di,j = 0, untuk i 6= j. Contoh

[1 00 2

],

1 0 00 0 0

0 0 3

.

Suatu matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama sama dengansatu dinamakan matriks satuan(identitas). Contoh

[1 00 1

],

1 0 00 1 00 0 1

.

Dengan demikian matriks identitas I mempunyai elemen ik,l = 1, k = l dan ik,l =0, k 6= l.

42

Suatu matriks persegi A dinamakan matriks segi tiga atas bila

A =

a1,1 a1,2 a1,n0 a2,2 a2,n...

.... . .

...0 0 an,n

,

terlihat bahwa elemen ai,j = 0, untuk i > j. Contoh

[2 60 1

],

3 1 00 2 50 0 4

,1 2 4 30 2 1 00 0 3 00 0 0 4

.

Suatu matriks persegi A dinamakan matriks segi tiga bawah bila

A =

a1,1 0 0a2,1 a2,2 0...

.... . .

...an,1 an,2 an,n

,

terlihat bahwa elemen ai,j = 0, untuk i < j. Contoh

[2 03 1

],

3 0 01 2 06 0 4

,1 0 0 01 2 0 02 2 3 00 7 8 4

.

Suatu matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dari matriks yang laindengan elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya. Matriks transposedari suatu matriks A ditulis AT , jadi bila A = [ai,j ], maka A

T = [aj,i]. Contoh

A =

[1 2 3 40 2 3 5

], AT =

1 02 23 34 5

.

Suatu matriks persegi A dinamakan matriks simetri bila A = AT . Contoh

A =

0 1 71 2 37 3 1

, AT =

0 1 71 2 37 3 1

.

Suatu matriks persegi A dinamakan simetri miring (skew symmetry) bila A =AT . Contoh

A =

[0 11 0

], AT =

[0 11 0

]=

[0 11 0

]= A.

Diberikan suatu matriks persegi

A =

a1,1 a1,2 a1,3 a1,na2,1 a2,2 a2,3 a2,n...

.... . . ...

an,1 an,2 an,3 an,n

,

43

trace dari matriks A ditulis trace(A) didefinisikan oleh

trace(A)def=

ni=1

ai,i.

Contoh, misalkan matriks

A =

1 1 23 2 0

2 5 3

, trace(A) = 1 + 2 + 3 = 6.

Matriks Invers dan Matriks Elementer

Pada bagian ini diberikan pengertian matriks invers dan beberapa sifat-sifatnya.Cara memperoleh matriks invers dibahas pada bagian berikutnya.

Disini juga dikenalkan ide dari matriks elementer. Matriks ini dapat digunakanuntuk memperoleh matriks invers.

Bila untuk suatu matriks persegi A bisa didapat matriks persegi yang lain Bsedemikian hingga memenuhi

AB = BA = I,

maka B dinamakan invers dari A, dalam hal ini matriks A dinamakan matriksnonsingulir. Sebaliknya bila tidak ada matriks B tsb., maka matriks A dina-makan matriks singulir.

Perluh diperhatikan bahwa pembahasan disini berkaitan dengan matriks invershanya untuk matriks persegi. Dalam pengertian matriks invers, maka matriks Bjuga nonsingulir dan mempunyai invers A.

Berikut ini diberikan sifat ketunggalan dari matriks invers, yaitu, misalkan Anonsingulir dan B begitu juga C masing-masing adalah invers dari A, maka B = C.

Matriks invers dari suatu matriks A dinotasikan oleh A1.

Contoh 2.4 Diberikan matriks

A =

[1 23 4

],

maka

A1 =

[2 132

12

].

Hal ini bisa dicek sebagai berikut

AA1 =

[1 23 4

] [2 132

12

]=

[1 00 1

]= I22

dan

A1A =

[2 132

12

] [1 23 4

]=

[1 00 1

]= I22

44


B =

0 0 20 1 20 3 1

,

maka matriks B adalah singulir. Hal ini bisa ditunjukkan sebagai berikut: AndaikanB non singulir, maka ada matriks

C =

c1,1 c1,2 c1,3c2,1 c2,2 c2,3c3,1 c3,2 c3,3

yang memenuhi CB = I33. Kolom ke-1 dari matriks CB diberikan oleh

[CB],1 = CB,1 =

c1,1 c1,2 c1,3c2,1 c2,2 c2,3c3,1 c3,2 c3,3

000

=

000

6=

100

.

Hasil ini cukup menunjukkan bahwa CB 6= I33. Jadi matriks B singulir.

Bila A nonsingulir, maka untuk n bilangan bulat positip An didefisikan sebagai

An = (A1)n = A1A1 A1 sebanyak n

Berikut ini diberikan sifat-sifat yang berkaitan dengan matriks invers.

Misalkan matriks A dan B masing-masing adalah matriks nosingulir, maka

1. AB adalah nonsingulir dan (AB)1 = B1A1.

2. A1 adalah nonsingulir dan (A1)1 = A.

3. Untuk n = 1, 2, , An adalah nonsingulir dan (An)1 = An = (A1)n.4. Bila 6= 0, maka A nonsingulir dan (A)1 = 1

A1.

5. AT adalah nonsingulir dan (AT )1 = (A1)T .

Berikut ini dibahas pengertian matriks elementer. Matriks ini erat kaitannyadengan Operasi Baris Elementer (OBE) dan salah satu kegunaannya adalah untukmenentukan invers suatu matriks persegi.

Definisi 2.1 Suatu matriks persegi dinamakan matriks Elementer bila matriks inidiperoleh dari matriks identitas dengan melakukan suatu operasi baris elementer

pada matriks identitas tsb.

Berikut ini beberapa contoh matriks elementer[1 00 1

]3B1

[3 00 1

],

1 0 00 1 00 0 1

B2B3

1 0 00 0 10 1 0

,

45

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

B44B3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 4 1

.

Operasi Baris Elementer dari suatu matriks juga khususnya matriks identits adatiga macam, yaitu pertukaran antar baris, suatu baris kalikan dengan skalartaknol dan tambahkan suatu baris dengan hasil dari suatu baris yang lain kalidengan skalar tak nol.

Misalkan A matriks berukuran m n dan e menyatakan suatu baris elementerpada A. Matriks hasil dari OBE e pada A ditulis e(A) dan hasil matriks OBE epada matriks identitas Imm ditulis e(Imm. Jelas bahwa e(Imm adalah matrikselementer. Sifat berikut menjelaskan hubungan e(A) dengan e(Imm.

Teorema 2.1 Bila E = e(Imm), maka e(A) = EA.

Bukti: Misalkan untuk i = 1, 2, m, Ai,, adalah baris ke-i dari matriks A dan Ii,adalah baris ke-i dari matriks identitas Imm, maka Ii,A = Ai,.

1. Misalkan e adalah OBE dari pertukaran antara baris ke-i dengan baris ke-j,didapat

E = e(Imm) =

I1,I2,...Ij,...Ii,...

Im,

dan e(A) =

A1,A2,...

Aj,...

Ai,...

Am,

.

Jadi

EA =

I1, AI2, A...

Ij, A...

Ii, A...

Im, A

=

A1,A2,...

Aj,...

Ai,...

Am,

= e(A).

2. Misalkan e adalah OBE dari baris ke-i dikalikan dengan skalar taknol , di-dapat

E = e(Imm) =

I1,I2,...

Ii,...

Im,

dan e(A) =

A1,A2,...

Ai,...

Am,

.

46

Jadi

EA =

I1, AI2, A...

(Ii,)A...

Im, A

=

A1,A2,...

(Ii, A)...

Am,

=

I1, AI2, A...

(Ii,)A...

Im, A

=

A1,A2,...

Ai,...

Am,

= e(A)

3. Misalkan e adalah OBE dari baris ke-j menjadi kali baris ke-i ditambahbaris ke-j dengan 6= 0, didapat

E = e(Imm) =

I1,I2,...Ii,...

Ii, + Ij,...

Im,

dan e(A) =

A1,A2,...

Ai,...

Ai, + Aj,...

Am,

.

Jadi

EA =

I1, AI2, A...

Ii, A...

(Ii, + Ij,) A...

Im, A

=

A1,A2,...

Ai,...

(Ii, A) + Ij, A...

Am,

=

A1,A2,...

Ai,...

Ai, + Aj,...

Am,

= e(A).

Hasil penting Teorema 2.1 adalah suatu operasi baris elementer dapat digantioleh matriks elementer yang sesuai yaitu

e(A) = EA

pada persamaan ini, e menyatakan suatu operasi baris elementer yang dikenakanpada matriks A sedangkan E adalah matriks elementer yang sesuai dan mem-berikan hasil matriks E dikalikan dengan A yaitu EA sama dengan e(A). Hasil-hasil yang telah didapat ini berlaku juga untuk serangkaian operasi baris ele-menter, misalnya e(1), e(2), , e(k) yang dikenakan pada matriks A yaitu

e(k)e(k1) e(1)(A),

bila matriks elementer yang sesuai dengan rangakaian operasi baris elementer tsb.adalah

E1, E2, , EK ,

47

makae(k)e(k1) e(1)(A) = (EkEk1 E1)A.

Menyelesaikan suatu sistem persamaan linear pada dasarnya mengubah sistempersamaan ini kebentuk sistem persamaan linear lainnya yang ekivalen denganmelakukan serangkaian operasi baris elementer. Berikut ini dibahasa suatu Con-toh yaitu

x2 x3 = 32x1 + 4x2 x3 = 12x1 + 5x2 4x3 = 2

,

tetapi sekarang diselesaikan menggunakan serangkain matriks elementer. Matriksdiperbesar dari sistem persamaan linear adalah

Ab =

0 1 12 4 12 5 4

31

2

.

Matriks -matriks elementer yang sesuai sebagaimana telah dilakukan OBE padaContoh ?? adalah

E1 =

0 1 01 0 00 0 1

, E2 =

1 0 00 1 01 0 1

, E3 =

1 0 00 1 00 1 1

.

Didapat

E3E2E1Ab =

1 0 00 1 00 1 1

1 0 00 1 01 0 1

0 1 01 0 00 0 1

0 1 1 32 4 1 12 5 4 2

=

2 4 1 10 1 1 3

0 0 2 6

Dari hasil ini, lakukan substitusi mundur, didapat

x3 =62 = 3,

x2 = 3 + x3 = 3 + 3 = 6,x1 = 12(1 4x2 + x3) = 12(1 24 + 3) = 10.

.

Berikut ini diberikan sifat dari matriks elementer yang berkaitan dengan inversmatriks.

Teorema 2.2 Suatu matriks elementer adalah nonsingulir.

Bukti:Ada tiga macam operasi baris elementer, pertama OBE yang berkenaan denganpertukaran antara baris ke-i dengan baris ke-j pada suatu matriks A. Misalkanoperasi ini dinotasisikan dengan e dan bila dilakukan sekali lagi e pada e(A) meng-hasilakn matriks A lagi. Bila I adalah matriks identitas ukuran n n, didapat

48

matriks elementer

E1 = e(I) =

I1,I2,...Ij,...Ii,...In,

dan

e(E1) =

I1,I2,...Ii,...Ij,...In,

= I,

tetapi e(E1) = e(I)E1 = E1E1. Jadi E1E1 = I, dengan demikian E11 = E1 atau E1

adalah non singulir. Selanjutnya, misalkan e(1) adalah OBE pada suatu matriks,yaitu mengalikan 6= 0 dengan baris ke-i dan e(2) adalah OBE pada suatu matriks,yaitu mengalikan 1

dengan baris ke-i. Bila I adalah matriks identitas ukuran nn,

didapat matriks elementer

E1 = e(1)(I) =

I1,I2,...

Ii,...In,

dan

e(2)(E1) =

I1,I2,...

1(Ii,)...In,

=

I1,I2,...Ii,...In,

= I,

tetapi jugae(2)(E1) = e

(2)(I)E1.

Bila e(2)(I) = E2, maka E2E1 = I, dengan demikian E11 = E2 atau E1 adalah non

singulir. Terakhir, misalkan e(1) adalah OBE pada suatu matriks, yaitu mengalikan 6= 0 dengan baris ke-i ditambahkan pada baris ke-j dan e(2) adalah OBE padasuatu matriks, mengalikan dengan baris ke-i ditambahkan pada baris ke-j

49

Bila I adalah matriks identitas ukuran n n, didapat matriks elementer

E1 = e(1)(I) =

I1,I2,...Ii,...

Ii, + Ij,...In,

dan

e(2)(E1) =

I1,I2,...Ii,...

Ii, + Ii, + Ij,...In,

=

I1,I2,...Ii,...Ij,...In,

= I,

tetapi jugae(2)(E1) = e

(2)(I)E1.

Bila e(2)(I) = E2, maka E2E1 = I, dengan demikian E11 = E2 atau E1 adalah non

singulir.

Contoh 2.6 Perluh diperhatikan bahwa OBE dari pertukaran diantara baris i den-gan baris j tidak selalu bahwa i dan j tidak sama. Secara umum boleh sama bolehtidak. Diberikan matriks elementer

E1 =

0 0 10 1 01 0 0

, E2 =

1 0 00 2 00 0 1

, dan E3 =

1 0 50 1 00 0 1

,

maka

E11 =

0 0 10 1 01 0 0

, E12 =

1 0 00 2 00 0 1

, dan E13 =

1 0 50 1 00 0 1

.

Telah dibahas bahwa, bila serangkaian OBE dikenakan pada suatu Sistem Per-samaan Linear (SPL) didapat suatu sistem persamaan linear yang ekivalen denganSPL sebelumnya dan dari SPL yang terakhir ini didapat penyelesaian (bila ada) dariSPL yang dibahas. Juga, telah diketahui bahwa rangkaian OBE yang dikenakanpada SPL dapat diganti oleh serangkaian matriks elementer yang sesuai selan-jutnya dikalikan dengan matriks diperbesar dari SPL tsb. Hasil akhirnya adalahsuatu matriks yang tepat sama seperti hasil akhir dari bila serangkaian OBE dike-nakan pada SPL yang ada. Oleh karena itu, tidak berlebihann bila didefinisikanhal berikut.

50

Definisi 2.2 Bila A adalah suatu matriks berukuran m n dan pada A dikenakanserangkaian matriks elementer E1, E2, , Ek, maka dikatakan A ekivalen-barisdengan matriks

E1E2 EkA.Dalam hal ini bila A baris-ekivelen dengan B ditulis

A baris B.

Teorema 2.2 menjelaskan bahwa, suatu matriks elementer E adalah nonsingulir,artinya ada E1 sehingga E1E = I = EE1, Disini matriks E1 juga merupakanmatriks elementer dengan tipe yang sama seperti tipe dari matriks elementer E.Berikut ini ditunjukkan bahwa ekivalen-baris adalah suatu relasi ekivalen.

Teorema 2.3 Ekivalen-baris adalah suatu relasi ekivalen.

Bukti:Misalkan Mmn(C) adalah himpunan dari semua matriks berukuran m n denganelemen-elemen di C dan baris relasi padaMmn(C). Ditunjukkan bahwa baris relasiekivalen. Misalkan A,B dan C di Mmn(C), didapat

1. jelas bahwa matriks identitas I = Inm juga merupakan matriks elementer.Didapat

A = IA dan A = I1A.

Terlihat bahwa A baris A.2. Bila A baris B, maka B = E1E2 EkA untuk beberapa matriks elementer Ei

dengan i = 1, 2, , k. Sebagaimana telah diketahui E11 juga matriks ele-menter dan

(E1E2 Ek)1 = E1k E1k1 E11 .Jadi

A = E1k E1k1 E11 B.

Terlihat bahwa B baris A,3. Misalkan A baris B dan B baris C maka B = E1E2 EpA untuk beberapa ma-

triks elementer Ei dengan i = 1, 2, , p dan C = Ec1Ec2 EcqB untuk beberapamatriks elementer Eci dengan i = 1, 2, , q. Didapat

A = E1p E1p1 E11 B

= E1p E1p1 E11 E1cq E1c2 E1c1 C

B

.

Terlihat bahwa A baris C.


A =

[4 3 21 5 8

]dan B =

[4 3 214 1 22

].

Perhatikan matriks elementer berikut

E1 =

[1 00 2

], E11 =

[1 00 1

2

]

51

dan

E2 =

[1 03 1

], E12 =

[1 03 1

].

Didapat

E2E1A =

[1 03 1

] [1 00 2

] [4 3 21 5 8

]

=

[1 03 1

] [4 3 22 10 16

]

=

[4 3 214 1 22

]= B

dan

E11 E12 B =

[1 00 1

2

] [1 03 1

] [4 3 214 1 22

]

=

[1 00 1

2

] [4 3 22 10 16

]

=

[4 3 21 5 8

]= A.

Terlihat bahwa A bar B dan B bar A.

Ringkasan Determinan Matriks Persegi dan beberapa Sifat

1. Determinan matriks A berukuran n n secara rekursive didefinisikan oleh:

|A| =

a1,1 bila n = 1,n

k=1

(1)k+1a1,k|A(1, k)| bila n 2

dengan submatriks A(1, j) adalah matriks berukuran (n1)(n1) adalah ma-triks yang diperoleh dari matriks A dengan menghapus baris ke-i dan kolomke-j.

ContohUntuk n = 1, A = 7, maka |A| = | 7| = 7 dan bila A = 5, maka |A| = |5| = 5.Untuk n = 2, bila

A =

[ 1 33 8

], maka |A| = 1(|8|) 3(| 3|) = 1(8) 3(3) = 1.

Untuk n = 3, bila

A =

1 2 13 1 2

0 3 4

,

maka

|A| = 1 1 23 4

2 3 20 4

+ 1 3 10 3

= 1(4 6) 2(12 0) + 1(9 0) = 17.52

2. Determinan matriks A berukuran n n juga bisa didefinisikan menggunakanpengertian permutasi dari n elemen sebagai berikut.

|A| def=Sn

sgn()a1,(1)a2,(2) . . . an,(n)

dengan

sgn()def=

{+1, permutasi genap1, permutasi gasal.

ContohDiberikan matriks

A =

a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

maka |A| = a1,1a2,2a3,3 a1,1a2,3a3,2 + a1,2a2,3a3,1 a1,2a2,1a3,3+ a1,3a2,1a3,2 a1,3a2,2a3,1.Contoh sebelumnya untuk n = 3, maka |A| = 1(1)(4)1(2)(3)+2(2)(0)2(3)(4)+1(3)(3) 1(1)(0) = 4 6 + 0 24 + 9 0 = 13 30 = 17.

3. Determinan matriks segi tiga : |A| =ni=1

ai,i.

4. Determinan matriks Identitas |Inn| = 1.5. Determinan matriks Identitas kali skalar : |I| = .6. Determinan matriks elementer pertukaran antara baris ke-i dengan baris ke-j

:|Ei,j| = 1.

7. Determinan matriks elementer baris ke-j ditambah kali baris ke-i :

|E(i, j)()| = 1.

8. Determinan perkalian dua matriks: |AB| = |A| |B|.9. Determinan matriks pertukaran baris: |Ei,jA| = |Ei,j| |A| = |A|.

10. Determinan matriks baris ke-j ditambah kali baris ke-i :

|E(i, j)()A| = |E(i, j)()| |A| = |A|.

11. Determinan matriks dengan elemen-elemen salah satu baris sama dengan nol: |A| = 0.

12. Determinan transpose matriks : |AT | = |A|.13. Determinan matriks kolom elementer = matriks baris elementer.

14. Determinan matriks invers : |A1| = 1|A|.

53

Contoh :Hitung determinan matriks

A =

0 8 3 41 2 2 52 8 4 30 4 2 3

, maka E(2, 3)(2)A =

0 8 3 41 2 2 50 4 8 70 4 2 3

.

Lakukan lagi operasi baris elementer sebagai berikut:

E(4, 3)(1)E(4, 1)(2)E(2, 3)(2)A =

0 0 7 21 2 2 50 0 10 100 4 2 3

.

Jadi determinan matriks A

|A| = +1

0 7 20 10 104 2 3

= 4 7 210 10

= 4(70 + 20) = 200

Minor dan Kofaktor

Misalkan matriks A = [ai,j] berukuran n n. Minor (i, j) Mi,j dari matriks Aadalah determinan dari submatriks A dengan menghapus baris ke-i dan kolomke-j. Sedangkan kofaktor Ai,j didefinisikan sebagai

Ai,jdef= (1)i+jMi,j .

Contoh: Misalkan

A =

a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

maka

M2,3 =

a1,1 a1,2a3,1 a3,2 = a1,1a3,2 a1,2a3,1

danA2,3 = (1)2+3M2,3 = a1,1a3,2 + a1,2a3,1

Misalkan A = [ai,j] adalah matriks n n, maka

(i) |A| =n

k=1

ai,kAi,k, ekspansi baris ke-i.

(ii) |A| =n

k=1

ak,jAk,j, ekspansi kolom ke-j.

Contoh: Diberikan matriks

A =

1 2 04 2 1

6 2 2

54

maka determinan dari A bisa diperoleh melalui ekspasi baris ke-1, yaitu

1(1)2 2 12 2

+ 2(1)3 4 16 2

+ 0(1)4 4 26 2

= 6 28 + 0 = 22

juga bisa diperoleh melalui ekspansi kolom ke-2, yaitu

2(1)3 4 16 2

+ 2(1)4 1 06 2

+ 2(1)5 1 04 1

= 28 + +4 + 2 = 22.

Matriks Adjoint

Misalkan matrisk A = [ai,j ] berukuran n n, maka matriks adjoint dari A ditulisadj(A) dan didefinisikan sebagai matriks transpose dari kofaktor-kofaktor A, yaitu

adj(A) =

A1,1 A2,1 . . . An,1A1,2 A2,2 . . . An,2...

.... . .

...A1,n A2,n . . . An,n

Contoh: Misalkan matriks

A =

1 2 16 1 3

2 3 4

maka

adj(A) =

5 11 718 2 316 7 13

dan

A adj(A) =

1 2 16 1 3

2 3 4

5 11 718 2 316 7 13

=

47 0 00 47 0

0 0 47

= |A|I3.

Bila A adalah matriks ukuran n n, maka A adj(A) = |A|In

Bukti Elemen ke-i, j dari matriks A adj(A) diberikan oleh

ai,1Aj,1 + ai,2Aj,2 + . . .+ ai,nAj,n =

{ |A| bila i = j0 bila i 6= j

Oleh karena itu A adj(A) = |A|In.

Bila A matriks berukuran n n yang nonsingulir, maka A1 = 1|A| adj(A).

Bukti Dari A adj(A) = |A| In didapat A(

1

|A| adj(A))= In. Oleh karena itu

A1 =1

|A| adj(A).

55

ContohMisalkan

A =

[a bc d

]maka

A1 =1

|A| adj(A)

=1

ad bc[

d bc a

]

ContohMisalkan

A =

2 1 23 2 2

1 2 3

maka

adj(A) =

2 1 27 4 2

4 3 1

A1 =1

|A| adj(A)

=1

5

2 1 27 4 2

4 3 1

.

Aturan Cramer

Misalkan A matriks berukuran n n dengan A1 ada, maka penyelesaian tunggaldari sistem persamaan

Ax = b

adalah

x =

x1x2...xn

dengan

xi =|Ai||A|

dan Ai adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengganti kolom ke-i denganb.

Bukti:Karena

x = A1b =1

|A| adj(A) b,

56

didapat

xi =b1A1,i + b2A2,i + . . .+ bnAn,i

|A| =|Ai||A| .

Contoh selesaikan

x1 + 2x2 + x3 = 52x1 + 2x2 + x3 = 6x1 + 2x2 + 3x3 = 9

JawabDalam hal ini

A =

1 2 12 2 1

1 2 3

dan b =

56

9

dan

|A| =1 2 12 2 11 2 3

= 4, |A1| =5 2 16 2 19 2 3

= 4,

|A2| =1 5 12 6 11 9 3

= 4, |A3| =1 2 52 2 61 2 9

= 8.Sehingga didapat

x1 =44 = 1, x2 =

44 = 1 dan x3 =

84 = 2.

Persamaan Homogin

Persamaan homogin diberikan oleh bentuk

Ax = 0

Persamaan homogin ini selalu mempunyai solusi trivial x = 0. Bila persamaanhomogin mempunyai solusi x 6= 0, maka solusi ini tidak tunggal. Kusus untukmatriks A berukuran n n, maka bila persamaan homogin hanya mempunyaisolusi trivial, maka |A| 6= 0, sebab bila A1 ada, maka dari itu

x = A10 = 0.

Sebaliknya bila |A| = 0, maka persamaan homogin mempunyai solusi non trivial.

Contoh Dari geometri analitik diketahui bahwa persamaan garis lurus pada bidangdatar diberikan oleh persamaan

ax+ by + c = 0.

Bila garis ini melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2), didapat sistem persamaan homo-gin

ax+ by + c = 0ax1 + by1 + c = 0ax2 + by2 + c = 0

57

atau ditulis dalam bentuk matriks x y 1x1 y1 1x2 y2 1

abc

=

00

0

Persamaan homogin ini mempunyai jawab nontrivial bilax y 1x1 y1 1x2 y2 1

= 0atau

x1y2 + (y1 y2)x (x1 x2)y x2y1 = 0Jadi persamaan garis melalui (1, 2) dan (2,3) adalah

1(3) + (2 + 3)x (1 2)y 2(2) = 0atau

5x+ y 7 = 0.

Geometri Vektor di Bidang dan Ruang

Dalam Geometri vektor, vektor dibidang didefinisikan sebagai pasangan dari bilan-gan [

xy

]yang ditulis dalam bentuk kolom dengan koordinat pertama x dan koordinat kedua

y. Gambar dari suatu vektor X =

[xy

]dalam bidang adalah garis berarah dimulai

dari titik asal diakhiri oleh titik dengan koordinat x dan y. Misalnya vektor

A =

[31

],B =

[12

],C =

[43

]dan D =

[24

]diberikan oleh Gambar berikut:

D =

[24

]

B =

[12

] C =[43

]

A =

[31

]

|

Penambahan atau pengurangan dua vektor X =

[xy

]dan U =

[uv

]diberikan oleh

XU =[x uy v

](19)

58

Jadi

A+B =

[31

]+

[12

]=

[3 + 11 + 2

]=

[43

]= C.

Perkalian suatu vektor X dengan suatu bilangan r diberikan oleh

rX = r

[xy

]=

[rxry

](20)

Jadi

D =

[24

]= 2

[12

]= 2B

dengan demikian B = 12D. Terlihat disini perkalian suatu bilangan r dengan suatu

vektor X menghasilkan suatu vektor rX yang lebih panjang bila r > 1 dan akanlebih pendek bila 0 < r < 1. Perkalian yang demikian dinamakan perkalian skalardan r dinamakan suatu skalar. Bila r = 1, maka 1X = X dan bila r = 0, maka

0X =

[00

]= 0, yaitu merupakan vektor nol. Bila vektor X taknol, maka perkalian

skalar menghasilkan vektor sepanjang garis yang melalui titik asal dan titik darikoordinat X dengan arah sama dengan arah X untuk r > 0 dan berlawanan arah

dengan arah X bila r < 0. Kususnya bila r = 1, maka 1X = 1[xy

]=

[xy]

yang mempunyai panjang sama dengan panjang X tetapi berlawanan arah. Hal ini

dinotasikan oleh X =[xy], sehingga didapat

X+ (X) =[xy

]+

[xy]=

[x xy y

]=

[00

]= 0. (21)

Dua vektor kusus yang penting adalah E1 =

[10

]dan E2 =

[01

]yang dinamakan

vektor basis di bidang. Perkalian skalar rE1 = r

[10

]=

[r0

]memberikan sumbu ko-

ordinat pertama sedangkan perkalian skalar sE2 = r

[01

]=

[0s

]memberikan sumbu

koordinat kedua. Sehingga diperoleh

X =

[xy

]= x

[10

]+ y

[01

]= xE1 + yE2,

yaitu setiap vektor X secara tunggal diungkapkan sebagai jumlah dari satu vektordari koordinat pertama dan satu vektor dari koordinat kedua. Jadi

A =

[31

]=

[30

]+

[01

]= 3

[10

]+ 1

[01

]= 3E1 + E2,

dengan cara yang sama didapat

D =

[24

]= 2E1 + 4E2

1. Denganmenggunakan determinan dapatkan persamaan parabola yang melaluitiga titik (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3). Selanjutnya cek hasilnya bila ketiga titiktsb. adalah (0, 0), (1, 1) dan (2, 3).

59

JawabPersamaan Parabola secara umum diberikan oleh ax2+bx+c+dy = 0. Parabolaini melalui tiga titik (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3), didapat Sistem Persamaan Lin-ear Homogin:

ax2 + bx+ c+ dy = 0

ax21 + bx1 + c+ dy1 = 0

ax22 + bx2 + c+ dy2 = 0

ax23 + bx3 + c+ dy3 = 0

atau dalam bentuk perkalian matriksx2 x 1 yx21 x1 1 y1x22 x2 1 y2x23 x3 1 y3

abcd

=

0000

Persamaan Homogin tsb. mempunyai Penyelesaian non trivial bilax2 x 1 yx21 x1 1 y1x22 x2 1 y2x23 x3 1 y3

= 0atau

x1 1 y1x2 1 y2x3 1 y3

x2 x21 1 y1x22 1 y2x23 1 y3

x+x21 x1 y1x22 x2 y2x23 x3 y3

x21 x1 1x22 x2 1x23 x3 1

y = 0Jadi

a =

x1 1 y1x2 1 y2x3 1 y3

= x1 (y3 y2) x2y3 + y2x3 + y1 (x2 x3) ,

b = x21 1 y1x22 1 y2x23 1 y3

= [x21 (y3 y2) x22y3 + y2x23 + y1

(x22 x23

)],

c =

x21 x1 y1x22 x2 y2x23 x3 y3

= x1(x22y3 y2x23

)+ x21 (x2 y3 y2x3) + y1

(x22x3 x2x23

)dan

d = x21 x1 1x22 x2 1x23 x3 1

= [x2x23 x1 (x22 x23)+ x22x3 + x21 (x2 x3)] .

Cek untuk (x1, y1) = (0, 0), (x2, y2) = (1, 1) dan (x3, y3) = (2, 3), didapat

a = x1 (y3 y2) x2y3 + y2x3 + y1 (x2 x3) = 5,b = [x21 (y3 y2) x22y3 + y2x23 + y1 (x22 x23)] = 1,c = x1

(x22y3 y2x23

)+ x21 (x2 y3 y2x3) + y1

(x22x3 x2x23

)= 0,

d = [x2x23 x1 (x22 x23)+ x22x3 + x21 (x2 x3)] = 6.60

Jadi Persamaan parabola yang melalui tiga titik tsb. adalah

5x2 x+ 6y = 0 atau y = 56x2 +

1

6x.

2. Diberikan dua vektor

A =

[a1a2

]dan B =

[b1b2

]Buktikan bahwa Luas Jajaran Genjang yang dibentuk oleh dua vektor A danB sama dengan det

[a1 b1a2 b2

] .JawabGambar dari bidang Jajaran Genjang yang dibentuk oleh dua vektor A dan Bdengan

A =

[a1a2

]dan B =

[b1b2

]diberikan oleh gambar berikut

t

A

B

garis : a2x+ a1y = 0

Luas bidang tsb. adalah

L = ||t|| ||A|| = ||t||a21 + a

22.

Nilai dari ||t|| adalah jarak dari titik (b1, b2) ke garis a2x+a1y = 0 yang melintasivektor A diberikan oleh

||t|| = | a2b1 + a1b2|a21 + a

22

=|a1b2 a2b1|

a21 + a22

Jadi

L =|a1b2 a2b1|

a21 + a22

a21 + a

22 = |a1b2 a2b1|.

Tetapi det[a1 b1a2 b2

] = |a1b2 a2b1| = L.Terlihat bahwa

L =

det[a1 b1a2 b2

] .3. Diberikan tiga vektor

X =

[xy

], X =

[x

y

]dan V =

[21

].

61

Bila X merupakan proyeksi dari X terhadap garis yang melalui vektor V,maka dapatkan matriks A supaya X = AX.

Jawab

X

X V

O

garis: g

Proyeksi dari X =

[xy

]pada garis g yang melintasi V =

[21

]adalah X =

[x

y

]diberikan oleh

[x

y

]=

X VV VV =

2x+ y

5

[21

]=

4

5x+

2

5y

2

5x+

1

5y

=

4

5

1

5

2

5

1

5

[xy

],

dengan demikian matriks A adalah

A =

4

5

1

5

2

5

1

5

.

4. Diberikan tiga vektor

X =

[xy

], X =

[x

y

]dan V =

[12

].

Bila X merupakan pencerminan dari X terhadap garis yang melalui vektorV, maka dapatkan matriks A supaya X = AX. Selanjutnya cek hasilnya bila

X =

[010

].

Jawab

X

X

V

O

garis:g

62

Misalkan P dan X masing-masing adalah Proyeksi dan Pencerminan dari Xterhadap garis g yang melalui V, maka P = 1

2(X+X) atau X = 2PX. Ja

Documents

Matematika Arsitektur