Matematika Arsitektur

  • Published on
    19-Oct-2015

  • View
    280

  • Download
    20

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Mathematic for Architecture students

Transcript

  • Matematika Arsitektur

    Oleh :

    Subiono

    Jurusan Matematika, FMIPA-ITS, Surabaya

    subiono2008@matematika.its.ac.id

    January 5, 2012

    1 Dasar-dasar Kalkulus

    1.1 Fungsi

    Suatu fungsi f adalah suatu aturan dari pasangan terurut (x, y) sedemikian hinggauntuk setiap x ada hanya tepat satu y. Pasangan (x, y) biasanya juga ditulis(x, f(x)). Himpunan

    D = {x | y = f(x)},dinamakan domain dari fungsi f , sedangkan himpunan

    K {y | y = f(x)}dinamakan kodomain dari fungsi f . Himpunan

    Im(f) = {y | y = f(x)}dinamakan image dari fungsi f . Secara diagram fungsi f dapat digambarkan se-bagai berikut

    x y = f(x)

    Im(f)

    Kodomain

    Domain

    Arti untuk setiap x D dengan D adalah himpunan domain fungsi f adalah tidak

    1

  • ada x di D yang tidak mempunyai pasangan dengan y Im(f). Sedangkan, secaraumum y K dengan K adalah kodomain f belum tentu mempunyai pasangandengan x D. Jadi Im(f) K. Bila setiap y K mempunyai pasangan denganx D yaitu Im(f) = K, maka f dinamakan fungsi pada. Bila fungsi f memenuhiy1 = f(x1), y2 = f(x2) dengan y1 6= y2 berakibat bahwa x1 6= x2, maka f dinamakanfungsi satu-satu. Fungsi f yang memenuhi satu-satu dan pada dinamakan fungsibijektif

    Contoh-contoh

    1. Fungsi f yang diberikan oleh hubungan y = f(x) = 3x+1 dan y = f(x) = x2 8,untuk setiap x R dengan R adalah himpunan bilangan real. Keduanyamempunyai domain dan kodomain R. Fungsi yang pertama adalah bijektif,sedangkan yang kedua tidak satu-satu sebab x1 = 1 6= 1 = x2 didapat f(x1) =f(x2) = 7. Image dari fungsi f dengan y = f(x) = x2 8 adalah

    Im(f) = {y | 8 y

  • y = cos 2x

    y = x3x2+4

    3

  • 3. Fungsi f diberikan oleh hubungan y = f(x) =1

    xuntuk setiap x R dengan

    x 6= 0, mempunyai domain D dan kodomain KD = {x R | x 6= 0} = K

    Fungsi f adalah bijektif, gambar grafiknya adalah

    4. Suatu jendela mempunyai bentuk bagian bawah berbentuk persegi sedan-gkan bagian atas berbentuk setengah linkaran. Ungkapkan luas jendela se-bagai fungsi dari lebar jendela. Tentukan luas jendela bila keliling bagian atasjendela 100 cm.

    Jawab Misalkan lebar jendela x cm, maka sket gambar jendala adalah:

    x

    Luas jendela L(x) diberikan oleh

    L(x) =1

    2(pi(

    1

    2x)2) + x2 = (

    1

    8pi + 1)x2.

    Keliling setengah lingkaran k = 100 cm, jadi

    100 =1

    2(pix) x = 200

    picm

    Jadi luas jendela L = (18pi + 1)x2 = (1

    8pi + 1)40000

    pi2= (40000

    pi2+ 5000

    pi) cm2 .

    4

  • 5. Suatu kontener berbentuk kotak dengan bagian atas terbuka dan volumenya10 m3. Panjang bagian dasar kontener dua kali lebarnya. Biaya untuk mem-buat dasar adalah 10 satuan permeter persegi sedangkan biaya untuk sisi-sisinya 6 satuan permeter persegi. Ungkapkan biaya pembuatan kontainersebagai fungsi lebar dari dasar kontener.

    Jawab: Bila x meter adalah lebar kontener bagian dasar dan tingginya t meter,gambar kontener diberikan oleh:

    2x

    x

    t

    Didapat luas dasar adalah : (2x)x = 2x2. Jadi biaya pembuatan dasar kon-tener sebesar 10(2x2) = 20x2 satuan. Dua sisi kontener mempunyai luas:2xt sedangkan dua sisi lainnya 4xt. Jadi biaya pembuatan sisi-sisi konteneradalah: 6(2xt + 4xt) = 36xt satuan. Dengan demikian total biaya pembuatankontener adalah

    b = 20x2 + 36xt satuan

    Diketahui volume kontener 10 m3, jadi

    10 = 2x(x)t t = 102x2

    =5

    x2.

    Dengan demikian didapat fungsi biaya

    b(x) = 20x2 + 36xt = 20x2 + 36x

    (5

    x2

    )= 20x2 +

    180

    x, x > 0.

    Bila f dan g adalah fungsi dari peubah x, maka untuk setiap x di kedua domainf dan g didefinisikan

    1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

    2. (f g)(x) = f(x) g(x)3. (fg)(x) = f(x)g(x)

    4.

    (f

    g

    )(x) =

    f(x)

    g(x), g(x) 6= 0

    5. (kf)(x) = kf(x).

    Contoh. Diberikan fungsi f dan g oleh

    f(x) =x dan g(x) =

    1 x.

    Dapatkan 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domain fungsi tsb.

    Jawab Diskripsi dari 5f, f + g, f g, fg, f/g dan g/f serta masing-masing domainfungsinya diberikan dalam tabel berikut

    5

  • Fungsi Formula Domain

    f f(x) =x [0,)

    g g(x) =1 x (, 1]

    5f 5f(x) = 5x [0,)f + g (f + g)(x) = f(x) + g(x) =

    x+

    1 x [0, 1]

    f g (f g)(x) = f(x) g(x) = x1 x [0, 1]fg (fg)(x) = f(x)g(x) =

    x1 x =x(1 x) [0, 1]

    f/g (f/g)(x) = f(x)g(x)

    =

    x1x [0, 1)

    g/f (g/f)(x) = g(x)f(x)

    =

    1xx

    (0, 1]

    Bila f dan g adalah fungsi, maka komposisi fungsi f g didefinisikan oleh

    f g(x) = f(g(x)).

    Domain dari f g terdiri dari x didalam domain g yang mana g(x) didalam domainf . Kususnya, bila Im(g) termuat dalam domain f , maka domain dari f g adalahsama dengan domain g.

    Contoh. Diberikan f(x) =x dan g(x) = x+ 1 hitung komposisi f g, g f, f f dan

    g g serta tentukan masing-masing domainnya.

    Jawab. Komposisi dari f dan g serta domainnya diberikan oleh tabel berikut

    Fungsi Formula Domain

    f f(x) =x [0,)

    g g(x) = x+ 1 R

    f g f g(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = x+ 1 [1,)g f g f(x) = g(f(x)) = g(x) = x+ 1 [0,)f f f f(x) = f(f(x)) = f(x) =

    x = x

    14 [0,)

    g g g g(x) = g(g(x)) = g(x+ 1) = (x+ 1) + 1 = x+ 2 R

    Pergeseran, Simetri dan Periodik dari suatu Fungsi.Fungsi yang diberikan oleh hubungan y = f(x) dilakukan pergeseran sebagaiberikut

    a f(x) 7 f(x) + a adalah pergeseran searah sumbu koordinat y. Bila a > 0 digeserkeatas, a < 0 digeser kebawah.

    b f(x) 7 f(x + a) adalah pergeseran searah sumbu koordinat x. Bila a > 0 digeserke kiri dan a < 0 ke kanan.

    Contoh

    1. Fungsi y = x2 digeser keatas menjadi y = x2 + 2, grafik fungsi dan hasil perge-seran sebagai berikut.

    6

  • 0y

    x

    y = x2

    0

    y

    x

    y = x2 + 2

    2b

    (a) (b)

    Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkeatas sebesar 2 satuan.

    2. Fungsi y = x2 digeser kekiri menjadi y = (x+2)2 = x2+2x+4, grafik fungsi danhasil pergeseran sebagai berikut.

    0

    y

    x

    y = x2

    0

    y

    x

    y = (x+ 2)2

    -2b

    (b)(a)

    Gambar grafik (b) adalah hasil pergeseran dari gambar grafik (a), digeserkekiri sebesar 2 satuan.

    Grafik suatu pasangan terurut (x, y) pada sumbu koordinat tegak x dan y yangmemenuhi

    1. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-x.

    2. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x, y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap sumbu-y.

    3. Bila (x, y) terletak pada grafik, maka (x,y) juga terletak pada grafik. Grafikyang demikian dinamakan simetri terhadap titik asal koordinat.

    0 x

    y

    (x,y)

    (x,-y)

    b

    b

    (a)

    0 x

    y

    (x,y)(-x,y) bb

    (b) (c)

    x

    y

    0

    b

    b

    (x,y)

    (-x,-y)

    Gambar (a). grafik (bukan fungsi) simetri terhadap sumbu-x, (b) grafik fungsisimetri terhadap sumbu-y dan (c) grafik fungsi simetri terhadap titik asal koor-dinat.

    7

  • Suatu fungsi f dengan y = f(x) dan x R dinamakan fungsi genap bila

    f(x) = f(x), x R,

    dinamakan fungsi gasal (ganjil) bila

    f(x) = f(x), x R.

    Contoh fungsi genap y = f(x) = |x|, x R, sebab f(x) = |x| = |x| = f(x). y = f(x) =cos(x), x R adalah fungsi genap sebab f(x) = cos(x) = cosx = f(x). Sedangkanfungsi y = f(x) = x, x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = x = f(x) dany = f(x) = sin(x), x R adalah fungsi gasal sebab f(x) = sin(x) = sin x = f(x).

    Fungsi f dengan y = f(x) adalah fungsi periodik bila ada beberapa bilanganpositip T0 sehingga

    f(x) = f(x+ T0) untuk setiap x,

    dalam hal ini T0 adalah periode dari fungsi f . Fungsi-fungsi periodik yang palingdikenal adalah fungsi trigonometri. Kususnya fungsi sinusoida diberikan oleh

    y = f(x) = A cos(t+ ). (1)

    Bilangan real A menyatakan amplitudo sedangkan adalah sudut phase. Periodefundamental dari suatu fungsi sinusoida didefisikan oleh

    T0 =2pi

    , (2)

    bilangan real dinamakan frekuensi angular. Gambar berikut adalah gambar darifungsi periodik sinusoida.

    A

    AT0 =

    2pi

    f(x)

    x

    Suatu contoh penggunaan fungsi pada pembuatan ventilasi. Umumnya ventilasidibuat untuk

    1. memenuhi kebutuhan udara, menghilangkan bau misalnya CO2 atau kon-taminasi yang lain,

    2. mengeluarkan panas didalam ruangan.

    Bila vr adalah laju volume aliran udara dan konduktansi ventilasi qv, maka hubun-gannya adalah

    qv = 1200 vr. (3)

    8

  • Bila banyaknya perubahan udara setiap jam diketahui sebesar N dan volume ru-angan adalah V , maka vr dapat ditentukan oleh

    vr =N V

    3600. (4)

    Maka qv dapat ditentukan sebagai fungsi dari peubah V sebagai berikut

    qv = 1200 vr = 1200N V

    3600= 0, 33N V. (5)

    1.2 Limit

    Limit dari suatu nilai fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis sebagai

    limxa

    f(x).

    Arti x mendekati a ada dua, yaitu mendekati dari kiri ditulis x a dan mendekatidari kanan ditulis x a+. Dengan demikian

    limxa

    f(x) dan limxa+

    f(x)

    masing-masing menyatakan limit dari f(x) untuk x mendekati a dari kiri dan darikanan. Perlu dicatat bahwa nilai x mendekati a secara umum tidak harus x = akarena belum tentu f(a) terdifinisi oleh karena itu nilai dari

    limxa

    f(x)

    belum tentu ada. Bilalimxa

    f(x) = limxa+

    f(x) = L,

    maka limxa

    f(x) mempunyai nilai yaitu

    limxa

    f(x) = limxa

    f(x) = limxa+

    f(x) = L.

    Contoh,

    1. Hitung limx2

    f(x) bila f(x) = x2x+2. Tabel berikut memberikan nilai-nilai