Matematik A - emu.dk¦t.pdf · Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx‐A Side

Matematik AStudentereksamenForsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Forberedelsesmateriale

Torsdag den 12. august 2010kl. 09.00-14.00frs102-MATn/A-12082010

104126.indd 3 10/12/10 10.28

Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning

Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx‐A Side 1 af 14

Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, f.eks. af typen:

2 1 = ·

3 2OP t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠, hvor t R∈ ,

og hvor OP er stedvektor til punktet ( , )P x y= , som ligger på linjen og er afhængig af parameteren t .

Vi kan betragte punktet ( , )P x y= , som en partikel, der over tid gennemløber linjen. Dvs partiklens position på linjen til tiden t er bestemt ved stedfunktionen

2 1·( )

3 2·t

s tt

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠, hvor t R∈ .

Fx er partiklens position til tiden 2t = beskrevet ved stedvektoren

2 1·2 0(2)

3 2·2 7s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜+⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Dvs partiklen befinder sig på y -aksen i punktet (0,7)P = , når 2t = . Tilsvarende kan partiklens position bestemmes ved en stedvektor for enhver værdi af t , således at partiklen gennemløber hele linjen, når t gennemløber de reelle tal.

Nedenfor ses parameterkurven (dvs linjen) for stedfunktionen ( )s t , hvor partiklens position til forskellige tidspunkter er indtegnet sammen med de tilhørende stedvektorer. Tabellen til højre beskriver partiklens position til en række tidspunkter.

Figur 1

Ovenstående kan generaliseres til at omfatte meget andet end linjer, idet stedfunktionen for en partikel, der gennemløber en given parameterkurve over tid er defineret ved



( )( )

( )x t

s ty t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ , hvor t R∈ ,

og funktionerne ( )x t og ( )y t er reelle funktioner. Disse kaldes koordinatfunktioner for stedfunktionen. Parameterkurven for ( )s t består af de punkter, der har ( )s t som stedvektor, når t gennemløber de reelle tal eller et interval i de reelle tal.

Eksempel 1

Vi betragter parameterkurven for stedfunktionen 2

314

9( )

4t

s tt t

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠, hvor t R∈ .

Når man tegner parameterkurver i et matematikprogram, så skal man typisk angive skridtlængden for parameteren t samt det interval, parameteren skal gennemløbe. Parameterkurver er helt glatte kruver, ligesom grafer for reelle funktioner. Men hvis den skridtlængde, man vælger, er for lang, så vil kurven i nogle programmer vises, som var den sammensat at linjestykker. I disse tilfælde må man ændre skridtlængden, så kurven fremstår glat.

På figuren nedenfor har vi anvendt skridtlængde 0.1, og vi har tegnet kurven i parameterintervallet 5 5t− ≤ ≤ . På figur 2 ses de beregnede punkter, og på figur 3 fremstår parameterkurven sammenhængende.

Desuden ses på begge figurer stedvektorerne til 3 udvalgte punkter.

Figur 2 Figur 3

Vi bestemmer parameterkurvens skæringspunkter med akserne.

Stedfunktionen har koordinatfunktionerne 2( ) 9x t t= − og 31

4( ) 4y t t t= − .

Vi bestemmer skæringspunkter med x -aksen, idet vi sætter y -koordinatfunktionen lig med nul, dvs vi løser ligningen

314 4 0t t− = ,

og med CAS, dvs 314solve( 4 0, )t t t− = , får vi

4 0 4.t t t=− ∨ = ∨ =

Dvs parameterkurven skærer x -aksen, når 4t =− , 0t = og når 4t = .



Vi bestemmer x -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i x -koordinatfunktionen. Dvs vi får

Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med x -aksen

0t = (0) 9x = 0 (9,0)P =

4t =− ( 4) 7x − =− 4 ( 7,0)P− = −

4t = (4) 7x =− 4 ( 7,0)P = −

Heraf ses, at punktet ( 7,0)− er et dobbeltpunkt, hvilket også fremgår af figuren ovenfor.

Skæringspunkterne med y -aksen bestemmes ligesom ovenfor, nu er det jo blot x -koordinatfunktionen, der skal være nul. Dvs vi løser ligningen

29 0t− = ,

og med CAS, dvs 2solve(9 0, )t t− = , får vi

3 3t t=− ∨ = .

Dvs parameterkurven skærer y -aksen, når 3t =− og 3t = . Vi bestemmer y -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i y -koordinatfunktionen. Dvs vi får

Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med y -aksen

3t =− ( 3) 5.25y − = 3 (0,5.25)P− =

3t = ( 3) 5.25y − =− 3 (0, 5.25)P = −

Nedenfor er alle 5 skæringspunkter indtegnet.

Figur 4



Øvelse 1

Tegn parameterkurven og gennemfør ovenstående beregninger i dit CAS-program.

Øvelse 2

På figuren ses parameterkurven for stedfunktionen

2( )2

ts t

t t⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

, hvor t R∈ .

Parameterkurven er en parabel.

Figur 5

Beregn koordinatsættene til udvalgte punkter, hvor 1 3t− ≤ ≤ , og benyt dette til at argumentere for at parablens gennemløb går fra parablens venstre gren ned mod toppunktet videre op ad parablens højre gren som vist på figuren.

Øvelse 3

a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen

2 4

3

4( )

3t t

s tt t

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠, hvor t R∈ .

b) Bestem koordinatsættene for de punkter, hvori parameterkurven skærer koordinatsystemets akser.



Hastighedsvektor og tangent

Vi definerer en hastighedsfunktion ( )v t til stedfunktionen ( )

( )( )

x ts t

y t⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, hvor t R∈ , ved

( )( ) ( )

( )x t

v t s ty t

⎛ ⎞′ ⎟⎜′ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ′⎝ ⎠, hvor t R∈

og hvor ( )x t′ og ( )y t′ er koordinatfunktionernes afledede funktioner. Dvs når man differentierer en stedfunktion ved at differentiere hver koordinatfunktion for sig, så får man hastighedsfunktionen.

Hastighedsfunktionen ( )v t kaldes også for hastighedsvektoren i punktet med parameterværdien t, og man kan vise, at hvis den ikke er nulvektoren, er den retningsvektor for parameterkurvens tangent i punktet

med parameterværdi tiden t .

Eksempel 2:

En stedfunktion er givet ved 2 3

2

4( )

4t t

s tt t

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠, hvor t R∈ .

Koordinatfunktionerne er her 2 3( ) 4x t t t= − og 2( ) 4y t t t= − .

De afledede af koordinatfunktionerne er

2( ) 8 3x t t t′ = − og ( ) 4 2y t t′ = − .

Hastighedsfunktion er således givet ved 28 3

( )4 2t t

v tt

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠, hvor t R∈ .

Vi bestemmer hastighedsvektoren til parameterkurven i punktet, hvor parameterværdien er 1t = , dvs i punktet 1 ( (1), (1)) (3,3)P x y= = . Vi indsætter derfor 1t = i hastighedsfunktionen, og vi får

5(1)

(1)2(1)

xv

y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ′ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Hastighedsvektoren i punktet 1 (3,3)P = er således 5

(1)2

v⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

Vi vil nu bestemme det punkt, hvori hastighedsvektoren er vandret, dvs det punkt, hvori parameterkurven har vandret tangent.

Hastighedsvektorens koordinatfunktioner er 2( ) 8 3x t t t′ = − og ( ) 4 2y t t′ = − .

Hastighedsvektoren er netop vandret, når dens lodrette udstrækning er nul, dvs når

y′ - koordinatfunktionen er nul. Vi løser derfor ligningen

( ) 0y t′ = ,

og med CAS, dvs solve( ( ) 0, )y t t′ = , får vi

2t = .



Dvs hastighedsvektoren er vandret, når 2t = , dvs i punktet 2 ( (2), (2)) (8,4)P x y= = . Hastighedsvektorens koordinater er

4(2)(2)

0(2)x

vy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ′ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Vi vil nu bestemme de punkter, hvori hastighedsvektoren er lodret, dvs de punkter, hvori parameterkurven har lodret tangent.

Hastighedsvektoren er netop lodret, når dens vandrette udstrækning er nul, dvs når x -koordinatfunktionen er nul. Vi løser derfor ligningen

( ) 0x t′ =

og med CAS, dvs solve( ( ) 0, )x t t′ = , får vi

830t t= ∨ = .

Dvs hastighedsvektoren er lodret, når 0t = , og når 83t = , dvs i punkterne 0 ( (0), (0)) (0,0)P x y= = og

83

8 8 256 323 3 27 9( ( ), ( )) ( , ) (9.48,3.56)P x y= = = .

De to hastighedsvektorer har altså koordinaterne

0(0)(0)

4(0)x

vy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ′ ⎝ ⎠⎝ ⎠ og

838

3 4833

0( ) 0( )

( ) 1.33x

vy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟= = =⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎟ ⎜′⎜ − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠.

De tre hastighedsvektorer er alle tegnet ind på parameterkurven nedenfor.

Figur 6

Vi ser, at parameterkurven har et dobbeltpunkt i (0,0) . I dette punkt er der således både en lodret tangent og en skrå tangent. Vi bestemmer den skrå hastighedsvektor, idet vi bestemmer den anden parameterværdi i dobbeltpunktet ved at løse ligningen

0( )

0s t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

og med CAS, dvs 0

solve( ( ) , )0

s t t⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, får vi



0 4t t= ∨ = .

Dvs den anden parameterværdi er 4t = , og den skrå hastighedsvektor i dobbeltpunktet bliver da

16(4)(4)

4(4)x

vy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ′ −⎝ ⎠⎝ ⎠.

Nedenfor er også denne hastighedsvektor tegnet ind sammen med de vandrette og de lodrette hastighedsvektorer.

Figur 7

Eksempel 3

En stedfunktion er givet ved 2

3

3( )

4t

s tt t

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠, hvor t R∈ .

Parameterkurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er 2t =− og 2t = , dvs i punktet 2 3(2 3,2 4 2) (1,0)Q Q= − − ⋅ = .

Vi tegner parameterkurven

.

Figur 8



Vi vil bestemme vinklen mellem parameterkurvens to tangenter i dobbeltpunktet. Først bestemmer vi hastighedsvektorerne.

Hastighedsfunktion er givet ved

2

2( )

3 4t

v tt

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠, hvor t R∈ .

Hastighedsvektorerne til parameterkurven i dobbeltpunktet, hvor parameterværdierne er 2t =− og 2t = , har derfor koordinaterne

2

2 ( 2) 4( 2)

83 ( 2) 4v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− = =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⋅ − −⎝ ⎠

2

2 2 4(2) .

83 2 4v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⋅ −⎝ ⎠ Vi kan bestemme vinklen mellem disse to hastighedsvektorer ved den sædvanlige formel til beregning af vinkler mellem vektorer, dvs

( 2) (2)cos( )( 2) (2)

v vv v

θ− ⋅

=−

.

Vi skal altså bestemme hastighedsvektorernes længder. Vi beregner længden af vektorerne ved den sædvanlige længdeformel, dvs

2 2( 2) ( 4) 8 80v − = − + =

2 2(2) 4 8 80v = + = .

Vi indsætter nu i vinkelformlen, dvs

16 64 3cos( )580 80

θ− +

= =⋅

og dermed er vinklen mellem vektorerne 53,1θ= ° .

Begge hastighedsvektorer samt vinklen imellem dem er tegnet ind på parameterkurven nedenfor.

Figur 9



Bemærk, at hastighedsvektorens retning er afhængig af den måde, hvorpå punktet gennemløber kurven, når tgennemløber de reelle tal.

Vi bestemmer en ligning for hver af tangenterne, 1l og 2l , idet hastighedsvektorerne er retningsvektorer for tangenterne. Dvs tværvektorerne til disse er normalvektorer for tangenterne. Vi får da, at normalvektoren for

1l er 1

84ln

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠, og normalvektoren for 2l er

2

84ln

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠.

Vi ved at dobbeltpunktet (1,0)Q ligger på begge tangenter, så derfor bliver ligningerne for de to tangenter

1 : 8( 1) ( 4)( 0) 08 4 8 0

l x yx y

− − + − − =

− − + =

og

1 : 8( 1) 4( 0) 08 4 8 0

l x yx y

− − + − =

− + + =.

Nedenfor ses parameterkurven, hvor de to tangenter er indtegnet.

Figur 10

Øvelse 4

a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen

3

2

3( )

1t t

s tt

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠,

hvor t R∈ .

b) Bestem parameterværdien i de punkter på kurven, hvori der enten er vandret eller lodret tangent, og bestem koordinatsættet til disse punkter.

Kurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er 3t =− og 3t = .

c) Bestem de to hastighedsvektorer i dobbeltpunktet, og bestem vinklen imellem disse.

d) Bestem ligningerne for hver af de to tangenter i dobbeltpunktet.



Cirkler som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge cirkler som parameterkurver.

Eksempel 4

På figuren nedenfor ses stedfunktionen for parameterkurven

cos( )

( )sin( )

ts t

t⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, hvor 0 2t π≤ ≤ .

Figur 11

Parameterkurven er en enhedscirkel, dvs en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1.

Parameterkurven fremkommer ved, at vi for alle værdierne t i parameterintervallet 0 2t π≤ ≤ bestemmer stedvektoren

og afsætter det tilhørende punkt. Nedenfor ses de tre stedvektorer for parameterværdierne

4t π= ,

3t π= − og 5

6t π= .

Figur 12



Øvelse 5

Bestem tre andre punkter på enhedscirklen.

Stedfunktionen for cirkler med en anden radius og et andet centrum, får vi ved at ændre på koordinatfunktionerne i stedfunktionen. Øvelsen nedenfor behandler netop dette.

Øvelse 6

Parameterkurven for stedfunktionen

3cos( ) 2

( )3sin( ) 4

ts t

t−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, hvor 0 2t π≤ ≤ ,

er en cirkel.

a) Tegn parameterkurven, og bestem centrum og radius for denne cirkel.

Undersøg nu stedfunktionen

0

0

cos( )( )

sin( )xr t

s tr t y

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, hvor 0 2t π≤ ≤ ,

ved på skift at lade 0x , 0y og r variere.

b) Sæt 0 2x =− og 0 4y = . Lad r variere. Hvilken betydning har r for parameterkurvens udseende?

c) Sæt 0 2x =− og 3r = . Lad 0y variere.

Hvilken betydning har 0y for parameterkurvens beliggenhed?

d) Sæt 0 4y = og 3r = . Lad 0x variere.

Hvilken betydning har 0x for parameterkurvens beliggenhed?

Øvelse 7

a) Bestem stedfunktionen for en cirkel med radius på 5 og centrum i (3,7). b) Tegn cirklen.

Øvelse 8

Betragt stedfunktionen

3cos( ) 2( )

3sin( ) 4t

s tt

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, hvor 0 2t π≤ ≤ .

a) Bestem hastighedsvektoren for 3

t π= .

b) Tegn parameterkurven og den fundne hastighedsvektor.



Ellipser som parameterkurver

I det følgende skal vi undersøge ellipser som parameterkurver.

Eksempel 5

Figuren viser parameterkurven for stedfunktionen

5cos( ) 3( )

2sin( ) 4t

s tt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, hvor 0 2t π≤ ≤ .

Figur 13

Parameterkurven kaldes en ellipse med centrum i ( )3,4 , storakse 2 5 10a = ⋅ = og lilleakse 2 2 4b = ⋅ = .

Øvelse 9

Undersøg stedfunktionen

0

0

cos( )( )

sin( )xa t

s tb t y

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, hvor 0 2t π≤ ≤ ,

ved på skift at lade 0x , 0y , a og b variere.

a) Sæt 0 3x = , 0 4y = og 2b = . Lad a variere. Hvilken betydning har a for parameterkurvens udseende?

b) Sæt 0 3x = , 0 4y = og 5a = . Lad b variere. Hvilken betydning har b for parameterkurvens udseende?

c) Sæt 0 3x = , 5a = og 2b = . Lad 0y variere.

Hvilken betydning har 0y for parameterkurvens beliggenhed?

d) Sæt 0 4y = , 5a = og 2b = . Lad 0x variere.

Hvilken betydning har 0x for parameterkurvens beliggenhed?

Øvelse 10

a) Bestem en stedfunktion for en ellipse med centrum i ( 1,2)− , vandret storakse på 14 og lodret lilleakse 6. b) Tegn parameterkurven for ellipsen.



Brændpunkter Vi betragter ellipsen med centrum i (0,0) og storakse 2a samt lilleakse 2b (se figur), hvor a b> . Ellipsens

brændpunkter, 1F og 2F , er defineret som skæringspunkterne mellem ellipsens storakse og cirklen med

centrum (0, )P b= , og radius a .

Figur 14

Øvelse 11

Vis, at afstanden fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til brændpunkterne er 2 2

1 2OF OF a b= = − , hvor a b> .

Øvelse 12

Betragt en ellipse med centrum i 0 0( , )C x y= , vandret storakse 2a og lodret lilleakse 2b , hvor a b> . Vis, at denne ellipse har brændpunkterne

2 2

1 0 0( , )F x a b y= − − og 2 22 0 0( , )F x a b y= + − .

Hvis ( , )P x y= er et tilfældigt punkt på ellipsen kaldes linjestykkerne 1PF og 2PF brændstrålerne fra P .

Øvelse 13

a) Bestem 1F og 2F for ellipsen i eksempel 5.

b) Tegn ellipsen og afsæt et tilfældigt punkt ( , )P x y= på parameterkurven. c) Bestem længden af brændstrålerne fra P . d) Undersøg ved at variere ( , )P x y= , hvad der gælder for afstanden 1 2PF PF+ .



Øvelse 14

Vi ser igen på en ellipse med centrum i 0 0( , )C x y= , vandret storakse 2a og lodret lilleakse 2b , hvor a b> , som jo har stedfunktionen

0

0

cos( )( )

sin( )xa t

s tb t y

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, hvor 0 2t π≤ ≤ .

Lad ( , )P x y= være et punkt på ellipsen.

Vis, at 1 2 2PF PF a+ = , når 1F og 2F betegner ellipsens brændpunkter.

Øvelse 15

Vi ser igen på ellipsen fra eksempel 5. a) Tegn ellipsen, og afsæt et tilfældigt punkt ( , )P x y= på parameterkurven. b) Tegn brændstrålerne fra P , og tegn tangenten til parameterkurven i punktet P . c) Bestem vinklen mellem hver af brændstrålerne fra P og tangenten i P (se figur).

Når en lysstråle rammer en tangent til en kurve i et punkt P , så vil den vinkel lysstrålen rammer tangenten med være den samme som den vinkel lysstrålen forlader tangenten med. Dette udnyttes i en nyrestensknuser, hvor man knuser nyresten med ultralyd dvs uden operative indgreb. Ultralydskilden er placeret i en ellipses ene brændpunkt, mens patientens nyre placeres i det andet brændpunkt. Herefter sendes ultralyd ud mod ellipsen, hvor det reflekteres og sendes præcist over i det andet brændpunkt, hvor det rammer nyrestenen.

Matematik AStudentereksamenForsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Torsdag den 12. august 2010kl. 09.00-14.00frs102-MATn/A-12082010

104126.indd 1 10/12/10 10.18

Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 12 spørgsmål Delprøve 2 består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point

Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af helhedsindtrykket i besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 1 af 6

Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 En vektor a er givet ved

8

.6

a ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Bestem længden af a .

b) Bestem parameterfremstillingen for den linje l , der har a som retningsvektor og går gennem punktet (7,3)P = .

Opgave 2 To rette linjer l og m er givet ved

l : 2 8y x= + og m : 3 28y x= − + .

a) Bestem koordinatsættet til det punkt på linjen l , hvor 7x = .

b) Bestem skæringspunktet mellem l og m .

Opgave 3 En cirkel har centrum i (2,3)C og radius 5r = .

a) Bestem en ligning for cirklen.

Opgave 4 På internettet findes en on-line adressebog, www.plaxo.com, som har et stærkt stigende antal brugere. I en model antages det, at antallet af brugere af www.plaxo.com kan beskrives ved funktionen

( ) 477475 1,084tN t = ⋅ ,

hvor ( )N t angiver antallet af brugere til tiden t , og t angiver tiden målt i måneder efter 1. januar 2003.

a) Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om udviklingen i antallet af brugere af www.plaxo.com.


Opgave 5 Tre forskellige vækstmodeller f , g og h er givet ved

2

5( ) 3f x x= + , ( ) 3 0,8xg x = ⋅ og 0,5( ) 3h x x= ⋅ .

På figuren nedenfor er graferne for f , g og h skitseret.

a) Bestem hvilken af de tre grafer A, B og C, der hører til hver af de tre funktioner f , g og h.

Begrund dit svar.

Opgave 6 På figuren ses grafen for en funktion f . Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i intervallet [ 1;2]− en punktmængde M, der har et areal.

Det oplyses, at 4

1( ) 5f x dx

−=∫ , og at

4

2( ) 2,6f x dx =−∫ .

a) Bestem arealet af M .

1

1

AB

C

(1)

(2)

(1)

(2)

M

-1 2 4


Opgave 7 En funktion f har forskriften

3 2( ) 3 4f x x x= − + .

a) Bestem monotoniforholdene for f .

Opgave 8 a) Bestem integralet 54 35 xx e dx+⋅∫ .

Opgave 9 På figuren nedenfor ses en model af en rektangulær have på 200 m2. Haven skal indhegnes, således at der er hæk på de tre sider og stengærde på den sidste side.

Sidelængderne betegnes som vist på figuren.

Prisen for stengærdet er 900 kr. pr. m, og prisen for hækken er 300 kr. pr. m.

a) Bestem den samlede pris for indhegningen udtrykt ved x.

b) Bestem x, så den samlede pris for indhegningen er mindst mulig.

h

x

Stengærde

Besvarelsen afleveres kl. 11.00


Delprøve 2

Kl. 11.00 - 14.00

Opgave 10 I tabellen nedenfor ses udbyttetabet i vårsæd ved givne ukrudtsmængder.

Ukrudtsmængde (målt i hkg pr. ha.) 20 40 60 80 100

Udbyttetab (målt i hkg pr. ha.) 1,88 3,05 4,05 4,95 5,79

I det følgende antages det, at udbyttetabet som funktion af ukrudtsmængden kan beskrives ved en funktion af typen

( ) au x b x= ⋅ ,

hvor x angiver ukrudtsmængden (målt i hkg pr. ha.), og ( )u x angiver udbyttetabet (målt i hkg pr. ha.).

a) Bestem a og b .

b) Bestem ændringen i udbyttetabet, når ukrudtsmængden stiger med10% . Kilde: Publikation fra Miljøministeriet om ukrudt.

Opgave 11 En stedfunktion er givet ved

3

2

3 4( )

3t t

s tt

⎛ ⎞− + ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − +⎝ ⎠, hvor t R∈ .

a) Tegn parameterkurven, og bestem koordinatsættet til det punkt på kurven, hvori 3t = .

b) Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter på parameterkurven, hvor tangenten er lodret.

Opgave 12 En ellipse er bestemt ved stedfunktionen

7cos( ) 1( )

4sin( ) 3t

s tt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠, hvor t R∈ .

a) Angiv ellipsens storakse og lilleakse samt koordinatsættet for ellipsens centrum, og bestem ellipsens brændpunkter.


Opgave 13 På figuren nedenfor ses et skævt tetraeder indtegnet i et koordinatsystem, således at hjørnerne er markeret ved punkterne O , A , B og C . Disse har koordinaterne (0,0,0)O = ,

(10,18, 1)A= − , (13,0,0)B = og (13,8,11)C = .

a) Bestem ligningen for den plan, α , der indeholder trekant OBC .

Den plan β , der indeholder trekant ABC, har ligningen

206 33 24 2678 0x y z+ − − = .

b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne α og β .

Opgave 14 Når en varmluftballon svæver, så styres svævehøjden af temperaturen af luften i ballonen.

I en model antages det, at ballonens højde over jorden kan beskrives ved funktionen

( ) 1500 1000sin

200f x xπ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠, 0 350x≤ ≤ ,

hvor x angiver tiden i minutter, og ( )f x angiver højden over jorden målt i meter.

a) Tegn grafen for f , og bestem ballonens maksimale og minimale højde over jorden under flyvningen.

b) Bestem (200)f ′ , og giv en fortolkning af dette resultat.

BA

O

C

x

y

z


Opgave 15 Ved et sygdomsudbrud i Sydamerika vurderes det, at udviklingen af antal smittede som funktion af tiden t , målt i uger, kan beskrives ved differentialligningen

7( ) 2,96 10 ( ) (500000 ( ))S t S t S t−′ = ⋅ ⋅ ⋅ − ,

hvor ( )S t er antal smittede til tiden t . Det oplyses, at der fra starttidspunktet er 25000 smittede personer.

a) Bestem forskriften for S.

b) Tegn grafen for funktionen S i et passende koordinatsystem, og beskriv, hvad tallet 500000 betyder for udviklingen i antal smittede ifølge modellen.

Opgave 16 I den norske Tippeligaen i fodbold vandt Rosenborg mesterskabet både i 2009 og 2010. Undervejs i 2009 sæsonen vandt de 20 kampe ud af de 30 kampe, som sæsonen bestod af. I den netop overståede 2010 sæson lå Rosenborg nr. 1 pr. 9/8 2010 og havde vundet 15 ud af de spillede 22 kampe. En norsk avis udtalte dengang, at Rosenborg i 2010 resultatmæssigt var endnu bedre end i sæsonen 2009.

a) Opstil en hypotese, og undersøg på et signifikansniveau på 5 % om, der er belæg for udtalelsen fra den norske avis.

Opgave 17 Parameterkurven for stedfunktionen

2

( )2t

s tt

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠, hvor t R∈ , er en parabel, der er

symmetrisk omkring x -aksen som vist på figuren. Punktet (1,0)F = kaldes parablens brændpunkt, og FP kaldes brændstrålen, hvor P er et vilkårligt punkt på parablen. På figuren ses tangenten til grafen i punktet P samt linjen l , der går gennem P og er parallel med x -aksen. Vinklen mellem tangenten og linjen l kaldes v , og vinklen mellem tangenten og brændstrålen FP kaldes w.

a) Bestem v og w , når (4,4)P = , og vis, at v w= uanset, hvorpå parablen P ligger.

l

1

F1

P v

w

STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT 2 2010/2011

MATEMATIK A-NIVEAU-Net


6 timer med vejledning

Forberedelsesmateriale til den skriftelige prøve:

Prøvesæt 2 2010/2011

Forberedelsesmateriale til stx-A-Net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve.

3-5 delspørgsmål i delprøve 2 af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet.

Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne.

Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve.

Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning

Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-A-matematik side 1 af 17

KompleksetalNår vi skal løse andengradsligningen

2 0ax bx c+ + = ,

hvor a, b og c er reelle tal, så bruger vi løsningsformlen 2 4

2

b b acx

a

- -= .

Ligningens diskriminant opskriver vi som det selvstændige udtryk 2 4d b ac= - , fordi diskriminanten jo har afgørende betydning for antallet af løsning til andengradsligningen.

Der gælder som bekendt, at når 0d < , så har ligningen ingen løsninger.

Andengradsligningen 2 1 0x + = ,

har ingen løsninger, idet der ikke er noget reelt tal, der ganget med sig selv giver 1- . Havde der været en løsning, så skulle vi kunne give mening til udtrykket 1- , fordi når vi løser ligningen efter de sædvanlige regler, så får vi

2 1=-x

1.x = - Accepterer vi nu, at der findes et sådant tal, så skal der jo gælde, at 2( 1) 1- =- . I det følgende vil vi

antage at tallet i har den egenskab, at 2 1i =- . Ud fra ovenstående er det klart, at dette tal ikke er et reelt tal. Ligningen ovenfor har ingen reelle tal som løsninger, men ligningen har det, som vi vil kalde komplekse tal som løsninger. Vi vil i det følgende vise, at enhver andengradsligning altid har to løsninger, når vi arbejder inden for de komplekse tal.

Definition 1

De komplekse tal består af alle tal på formen z x y= + ⋅ i , hvor x og y er reelle tal.

Tallet x kaldes den reelle del af z og skrives også Re( )z , mens y kaldes imaginærdelen

af z og skrives Im( ).z

Øvelse 1

Eksempler på komplekse tal: 1 2 3= +z i , 2 4=z og 3 5=-z i .

a) Angiv den reelle del af de tre komplekse tal 1z , 2z og 3z .

b) Opskriv selv tre nye komplekse tal.

Regning med komplekse tal Addition (lægge til), subtraktion (trække fra), multiplikation (gange) og division (dividere) foregår på samme måde for de komplekse tal som for de reelle tal. Man skal blot huske på, at 2 1=-i . Man kan altid kunne reducere sit regneudtryk, så resultatet ender med at stå på formen x y+ ⋅ i .

To komplekse tal er givet ved 1 2 3= +z i og 2 4 5= -z i .

Vi illustrerer de tre første regneoperationer med disse to komplekse tal:

Addition (+ ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 4 5 2 3 4 5 2 4 3 5 6 2 .+ = + + - = + + - = + + - = -z z i i i i i i i



Subtraktion (- ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 4 5 2 3 4 5 2 4 3 5 2 8 .- = + - - = + - + = - + + =- +z z i i i i i i i

Multiplikation (⋅) ( ) ( ) 21 2 2 3 4 5 2 4 2 5 3 4 3 5 8 10 12 15⋅ = + ⋅ - = ⋅ - ⋅ + ⋅ - ⋅ = - + -z z i i i i i i i i i

Nu udnytter vi at 2 1=-i , og så får vi

1 2 8 2 15 ( 1) 8 2 15 23 2⋅ = + - ⋅ - = + + = +z z i i i

Division af komplekse tal er lidt mere kompliceret, og inden vi introducerer den regneoperation vil vi indføre en ny regneoperation, som er knyttet specielt til de komplekse tal, nemlig kompleks konjugering.

Definition 2

Ved den kompleks konjugerede til et komplekst tal z x y= + ⋅ i forstås det komplekse

tal .z x y= - ⋅ i

Vi illustrerer nu den sidste af de fire regneoperation med de samme to komplekse tal som ovenfor:

Division ( :) Vi vil udføre divisionen

1

2

2 3

4 5

+=

-z

z

ii

,

idet vi benytter den kompleks konjugerede til 2z , dvs. 2 4 5 4 5= - = +z i i , til i første omgang at forlænge brøken

1

2

2 3 2 3 4 5 2 3 4 5 (2 3 ) (4 5 )

4 5 4 5 4 5 4 5 (4 5 ) (4 5 )4 5

+ + - + + + ⋅ += = ⋅ = ⋅ =

- - - + - ⋅ +-z

z

i i i i i i ii i i i i ii

,

Vi ganger parenteserne ud, idet vi i nævneren udnytter en af kvadratsætningerne, dvs. vi får

21

22

8 10 12 15 7 22 7 22 7 220,17 0,54 .

16 25 16 25 41 41 41

z

z

+ + + - + - + -= = = = + =- +

- +i i i i i i i

i

Eksempel 1 Der gælder, at 2 2.⋅ = +z z x y

Vi kan eftervise dette ved multiplikation af de to komplekse tal z x y= + ⋅ i og

= - ⋅z x y i , idet vi igen udnytter en af kvadratsætningerne, dvs. vi får

( ) ( ) 2 2 2 2( ) .z z x y x y x y x y⋅ = - ⋅ ⋅ + ⋅ = - ⋅ = +i i i

Regning med komplekse tal kan nemt udføres på et CAS-værktøj (her TI-Interactive), idet tallet i findes som et indbygget symbol ligesom e og p :

( ) ( )4 3 5 7 41 13+ ⋅ ⋅ - ⋅ = - ⋅i i i og 4 5 11 58

.6 7 85 85

+ ⋅ -= + ⋅

- ⋅i ii



Øvelse 1

Bestem ved håndregning nedenstående 3 komplekse tal og kontrollér resultaterne vha. et CAS-værktøj:

a) ( ) ( )2 3 7 4+ - -i i b) ( ) ( )2 3 7 6+ ⋅ +i i c) ( )( )2 3

.7 6

+

+

ii

Den komplekse talplan Man kan afbilde det komplekse tal 1 1 1= +z x y i i

punktet 1 1( , )x y i en plan med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem.

Alle komplekse tal på formen 0x + i repræsenterer blot alle de reelle tal, fordi den imaginære del er nul. Disse tal afbildes på 1.aksen, og man kalder derfor denne akse for den reelle akse. Der gælder altså, at alle de reeelle tal er indeholdt i de komplekse tal. Specielt ser vi, at tallet 1 afbildes i punktet (1,0) svarende til at enheden på den reelle akse er 1.

Alle komplekse tal på formen 0 y+ i , hvor den reelle del er nul kaldes rent imaginære tal. Disse tal afbildes på 2.aksen, som derfor kaldes den imaginære akse.

Specielt ser vi her, at tallet i afbildes i punktet (0,1), og derfor kalder vi i den imaginære enhed.

I vektorregning kalder vi vektoren 1

2

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

aOA

a

fra begyndelsespunktet (0,0) til punktet 1 2( , )A a a for

stedvektoren til A , og addition af to komplekse tal svarer geometrisk set til addition af stedvektorerne til de punkter som repræsenterer de komplekse tal i den komplekse talplan.

Eksempel 2 To komplekse tal er givet ved 1 1 1= +z x y i og 2 2 2= +z x y i .

Ved addition får vi:

1 2 1 2 1 2( ) ( )z z x x y y+ = + + + i ,

og derfor afbildes det komplekse tal 1 2z z+ i punktet 1 2 1 2( , )+ +x x y y .

Dette punkt har netop sumvektoren for de to stedvektorer til hhv. 1z og 2z som

stedvektor: 1 2 1 2

1 2 1 2

æ ö æ ö æ ö+÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç +è ø è ø è ø

x x x x

y y y y.

Øvelse 2

To komplekse tal er givet ved 1 6 2= +z i og 2 7 2= −z i .

a) Tegn de to punkter, der repræsenterer 1z og 2z i den komplekse talplan.

b) Bestem længden af stedvektorerne til hvert af de to punkter, som repræsenterer de komplekse tal 1z og 2z .

c) Bestem for hvert af de komplekse tal 1z og 2z den vinkel som disse stedvektorer danner med x-aksen.

Imaginær akse

Reel akse

1 1 4z � � i

2 2z � � i

1 2 3 3z z� � � i



Øvelse 3

To komplekse tal er givet ved 1 1 1= +z x y i og 2 2 2= +z x y i .

a) Bestem 1 2-z z , og giv en geometrisk fortolkning af tallet.

Øvelse 4

Overvej, at den kompleks konjugerede til 1 1 1= +z x y i , dvs. 1 1 1= -z x y i , geometrisk

set blot svarer til at spejle 1z i den reelle akse.

Modulus og argument Ved multiplikation og division af komplekse tal er det bekvemt at skrive de komplekse tal på en anden form. I den forbindelse får vi brug for begreberne modulus af et komplekst tal og argument for et komplekst tal.

Definition 3

Et komplekst tal er givet ved = +z x yi .

Ved modulus af z, som betegnes z , forstår vi længden af stedvektoren til det punkt

( , )x y , der repræsenterer z i den komplekse talplan, dvs.

2 2 .z x y= +

Sætning 1

Et komplekst tal er givet ved = +z x yi .

Da gælder der, at 2.z z z⋅ =

Øvelse 5 a) Vis, at sætning 1 gælder for det komplekse tal 2 5=- +z i .

b) Bevis sætning 1.

Betragt et komplekst tal z x y= + i . Vi vil vise, at

( )cos ) sin( )( ,z z + ⋅= ⋅ q q i

hvor z er modulus for z , og q er vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og

stedvektoren til det punkt, der repræsenterer z i den komplekse talplan (se figur).

Im

Re

x y� i

�



Øvelse 6 Først ser vi på et taleksempel: Et komplekst tal er givet ved 1 3 2= +z i .

a) Tegn stedvektoren til 1z , og bestem vinklen 1q mellem stedvektoren til z og førsteaksen regnet i positiv omløbsretning.

b) Bestem modulus af 1z , og udregn 1 1 1cos )(= ⋅x z q og 1 1 1sin )(= ⋅y z q .

Dernæst ser vi på det generelle tilfælde: Betragt et komplekst tal z x y= + i . Lad være q vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, som repræsenterer z i den komplekse talplan.

c) Vis, at co )s(= ⋅x z q og si )n(= ⋅y z q .

d) Vis nu, at ( )cos ) sin( )( .z z + ⋅= ⋅ q q i

Definition 4

Ved de polære koordinater for det komplekse tal z forstås talparret ( ),r q , hvor =r z

og q er vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, som repræsenterer z i den komplekse talplan.

Tallet z kan skrives på formen

( )cos( ) s .in( )z r q q+⋅ ⋅= i

Dette skriver vi også som

e iz r θ ⋅= ⋅ ,

og vi siger i begge tilfælde, at z er angivet på polær form.

Vinklen q kaldes argumentet for z , og angives som: Arg( )z .

Den overraskende skrivemåde med brug af e iθ ⋅ anvendes af CAS-værktøjerne og bag dette ligger en sammenhæng mellem eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner, som netop viser sig i den komplekse talplan, men som vi ikke vil komme nærmere ind på her.

CAS-værktøjerne kan let regne frem og tilbage mellem polære og rektangulære koordinater (her TI-Interactive):

( ) ( ) /2.2 3( )143 4 toPolar e 5 og 5 e 2.5 4.330 .⋅ ⋅- + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅pi ii i

Bemærk, at vinklerne her er regnet i radianer.

Hvis ( ),r q repræsenterer et komplekst tal z på polær form, så vil ( )2 , Z, + ⋅ Îr p pq p repræsentere det

samme komplekse tal, fordi når vi lægger 2p p⋅ til q , så svarer det jo blot til at løbe et helt antal gange rundt

om (0,0). Den værdi blandt 2 Z,+ ⋅ Îp pq p , der ligger i intervallet ] ],p p- kaldes hovedargumentet for z.

Im

Re

3 4� � i

2,214� �

Im

Re

2,5 4,330� i

3�

��



Bemærk, at tallet 0 i den komplekse talplan svarer til skæringspunktet mellem den reelle akse og den imaginære akse. Vi vil fremover kalde dette punkt for O .

Øvelse 7

Tre komplekse tal er givet ved 1 2 3 42 3 , 2 3 , 7 og 3 4 .z z z z= + = - =- =- -i i i i

a) Tegn de punkter som repræsenterer 1 2 3, og z z z i den komplekse talplan.

b) Angiv 1 2 3, og z z z på polær form, og kontroller modulus og argument for hvert af de tre komplekse tal på figuren fra a).

Øvelse 8

Beregn modulus af og argumentet for hvert af de komplekse tal:

a) 1 2 2= +z i b) 2 2 2z = - i c) ( ) ( )3 2 2 2 2 .z = + ⋅ -i i

Sætning 2 For ethvert kompleks tal z gælder, der at

Arg( ) Arg( )=-z z og .z z=

Bevis: Skriver vi z på polær form ( ))cos( sin( )z r q q+= ⋅ ⋅ i , dvs. z r= og Arg( )z q= , fås

( ) ( )) sin( ) ) sin(cos c ) ,( os(z r r= ⋅ =+ -⋅⋅ ⋅q q q qi i

og da sin( ) sin( )- = -q q og cos( ) cos( )= -q q , så får vi

( )cos( ) sin( ) .z r= + - ⋅⋅ -q q i

Heraf ses, at z r= og Arg( )z q=- .

Multiplikation og division i polære koordinater Hvis to komplekse tal 1z og 2z er givet i polære koordinater, altså ved modulus og argument, kan multiplikation og division udtrykkes simpelt.

Sætning 3

For ethvert komplekst tal 0z ¹ gælder der, at

1 1

z z= og

1Arg Arg( ).z

z

æ ö÷ç =-÷ç ÷çè ø

Bevis: Vi skriver z på formen ( ))cos( sin( ) iz r q q+= ⋅⋅ , hvor =r z og Arg( )= zq .

Da er den komplekst konjugerede til z givet ved ( )) sin( )cos(z r iq q+ -= - ⋅⋅ ,

og derfor får vi ved at forlænge med z og anvende sætning 1:

( )

( )2 2

) sin( )) si

cos(1 1 1c no ( )s( .

rz z

z z

i

z z ri

r

q qq q

⋅ -= ⋅ = = =

⋅- -⋅

+ -+ ⋅

Nu er 1

z skrevet på polær form, og vi ser, at

1 1 1= =

z r z og at

1Arg

zq

æ ö÷ç =-÷ç ÷çè ø.



Sætning 4

For to komplekse tal 1z og 2z gælder der, at

1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ og 1 2 1 2Arg( ) Arg( ) Arg( ).z z z z⋅ = +

Bevis: Vi skriver 1z og 2z på formen

( )11 1 1cos( ) sin( )= ⋅ +z r q q i og ( )22 2 2cos( ) sin( )= ⋅ +z r q q i ,

hvor 1 1=r z og 1 1Arg( )= zq , og tilsvarende 2 2=r z og 2 2Arg( )= zq .

Ved multiplikation får vi således

( ) ( )

( )( )

1 1 2 2

21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

cos( cos(

cos( cos( cos( sin( sin( ( sin( (

cos(

) sin( ) ) sin( )

) ) ) ) )cos ) )sin )

cos( cos( sin( sin( ( sin( () ) ) ) )cos ) )sin )

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ =

⋅ =

+ ⋅ +

⋅ ⋅ + + +

⋅

⋅

⋅ + -

=

+

r r

r r

z z r r

z z

z z

rz z

q q q q

q q q q q q q q

q q q q q q q q

i i

i i i

i i

( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2cos( cos( sin( ( cos( sin) ) ) ( sin( (sin ) ) ) )cos )⋅ ⋅ - + +r q q q q q q q q i

ved brug af de to additionsformler for de trigonometriske funktioner:

1 2 1 2 1 2cos( cos( cos( sin) ) ( ) )() sinq q q q q q+ = -

1 2 1 2 1 2sin( cos( sin( sin) ) ( ) )() cosq q q q q q+ = +

følger det nu at

( )11 2 1 2 2 1 2cos( sin() )z z r r q q q q+ + +⋅ = ⋅ ⋅ i .

Nu er 1 2z z⋅ skrevet på polær form, og det fremgår at 1 2 1 2 1 2⋅ = ⋅ = ⋅z z r r z z og

1 2 1 2 1 2Arg( ) + =Arg( ) Arg( ).⋅ = +z z z zq q

Øvelse 9

Et komplekst tal er givet ved e cos( ) sin( )⋅= = +z q q qi i , dvs. z har modulus 1, 1.z =

Et andet komplekst tal er givet ved e (cos( ) sin( ) )⋅= ⋅ = ⋅ +w w wj j ji i .

a) Tegn en skitse, der viser de punkter i den komplekse talplan, som repræsenterer de tre komplekse tal z , w og ⋅z w .

b) Formuler på baggrund af skitsen en påstand om, hvilken sammenhæng der er mellem de to komplekse tal w og ⋅z w , når z har modulus 1.

Øvelse 10

To komplekse tal er givet ved 1 3 2z i= + ⋅ og 42 4

iz e

π ⋅= ⋅ .

a) Benyt resultatet af øvelsen ovenfor til at bestemme de to komplekse tal, der

fremkommer ved at dreje hhv. 1z og 2z vinklen 3

πomkring O .

Sætning 5

For to komplekse tal 1z og 2z gælder der, at

11

2 2

zz

z z= og ( ) ( )1

1 22

Arg Arg Arg .z

z zz

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø



Øvelse 11

Bevis sætning 5 ved at anvende sætning 4 på ligningen: 1

212 z

zzz ⋅= .

Øvelse 12

To komplekse tal er givet ved 1 22 4 og 1 7 .=- - = -z zi i

a) Bestem modulus og argument for 1z og 2z , og angiv 1z og 2z på polær form.

b) Angiv ved anvendelse af sætning 4 og sætning 5 1 2⋅z z og 1

2

z

z på polær form.

c) Tegn de fire komplekse tal 1z , 2z , 1 2⋅z z og 1

2

z

z ind i et koordinatsystem.

To komplekse tal er givet ved 1 1 1= +z x y i og 2 2 2= +z x y i .

d) Giv en geometriske beskrivelse af, hvordan de to komplekse tal 1 2⋅z z og 1

2

z

z

fremkommer af 1z og 2z .

Sætning 6

For et komplekst tal z gælder der, at

= nnz z og ( ) ( )Arg Arg= ⋅nz n z ,

hvor n er et helt tal.

Bevis: Beviset er et induktionsbevis, som bygger på at en bestemt egenskab går i arv fra et tal i rækken til det næste tal i rækken. Denne bevistype anvendes ofte, når man skal vise, at en bestemt formel gælder for alle naturlige tal 1, 2, 3, 4, ...

Vi sikrer os allerførst, at det første tal i rækken er ”bærer af egenskaben”, dvs. at vores formler giver mening for det første tal i rækken, som er 1=n . Når 1=n , så får vi

11 = =z z z og ( ) ( ) ( )1Arg Arg 1 Arg= = ⋅z z z ,

dvs. formlen gælder for 1=n . Fortsætter vi til det næste tal i rækken 2=n , så får vi

2⋅ = =z z z z z og ( ) ( ) ( ) ( )2Arg Arg Arg 2 Argz z z z= + = ⋅ ,

altså gælder sætningen også for 2=n . Dvs. det første (og det andet) tal i rækken er ”bærer af egenskaben”. Sådan kunne vi fortsætte, hvis talrækken var begrænset, men her skal vi jo vise, at formlerne gælder for alle hele tal. Derfor laver man det lille trick, at man antager, at et tilfældigt tal i rækken er ”bærer af egenskaben”, og derefter viser man så, at det efterfølgende tal bliver ”bærer af egenskaben”, og dermed har man jo vist at alle tallene i rækken er ”bærer af egenskaben”.

Vi antager derfor nu, at det m ´te tal i rækken er ”bærer af egenskaben”, dvs. at formlen gælder for =n m

= mmz z og ( ) ( )Arg Arg= ⋅mz m z .

Vi vil nu vise, at så bliver det næste tal i rækken 1= +n m også ”bærer af egenskaben”, dvs. så vil formlerne også gælde for 1= +n m

11 ++ = mmz z og ( ) ( )1Arg ( 1) Arg+ = + ⋅mz m z .



Ved brug af potensregnereglerne og sætning 4 samt antagelsen om, at sætningen gælder for =n m , får vi

11 ++ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =m mm m mz z z z z z z z

og

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

1Arg Arg

Arg Arg

Arg Arg

( 1) Arg .

+ = ⋅

= +

= ⋅ +

= + ⋅

m m

m

z z z

z z

m z z

m z

Vi har nu vist, at tallet 1= +n m er ”bærer af egenskaben”, netop hvis tallet før =n m er ”bærer af egenskaben” – altså hvis et tal i rækken er ”bærer”, så arver det næste tal i rækken egenskaben! Men vi ved jo, at 1=n er ”bærer”, altså er alle de efterfølgende tal i rækken også ”bærere”! Hermed er induktionsbeviset fuldført.

Vi kan altså ifølge sætning 6 skrive det komplekse tal nz på formen

( )cos( ) sin( )= ⋅ + ⋅nnz z n nq q i ,

hvor ( )Arg zq= .

Eksempel 3 Et komplekst tal er givet ved 61,1 ezp

= ⋅i.

Så kan tallene ,nz hvor 1,2..., 20=n , afbildes i den komplekse talplan som vist på figuren.

Ved omskrivning får vi nemlig

6 6(1,1 e ) 1,1 e

1,1 (cos( ) sin( ) ).6 6

⋅= ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅

nn n n

n n

z

z n n

p p

p p

i i

i

Da 1,1 1= >z , så vil 1,1= =nn nz z blive

større og større, når n gennemløber 1,2...,20=n , og tilsvarende vil

( ) ( )Arg Arg= ⋅nz n z blive større og større, når n gennemløber 1,2...,20=n .

Øvelse 13 Et komplekst tal er givet ved 42,3 e= ⋅zp i

.

a) Tegn punkterne der repræsenterer de komplekse tal , 1,2...,20nz n= i den

komplekse talplan.

Re

Im

2

2i



Ligningen =nz a Inden vi går i gang med andengradsligningen, vil vi først se på n’te-gradsligningen nz a= , og derefter på den simple andengradsligning 2z a= , hvor a er et komplekst tal.

Sætning 7

Ligningen nz a= , hvor a er et komplekst tal, har løsningerne

( )2 2cos( ) sin( ) , 0,1,2,..., 1,p pn

n n n nz a p nq qp p= + + + = -i

hvor ( )Arg .aq=

Bevis: Vi finder først modulus af z. Ifølge sætning 6 gælder

nnz z= ,

og da =nz a får vi

= =nnz z a ,

og dermed

nz a= .

Herefter finder vi argumentet for z . Ifølge sætning 6 gælder der, at

( ) ( ) ( )Arg Arg Argnz n z a= ⋅ = ,

dvs.

( )

( )ArgArg .=

az

n

Som tidligere nævnt repræsenterer ( ),r q og ( )2, + ⋅r pq p , hvor p er et helt tal, det

samme komplekse tal. Da argumentet for a er θ , så vil ( )2, + ⋅r pq p , hvor p er et

helt tal, også være argument for a

( )Arg 2 , Z+ ⋅ Î= pa pq p

og dermed

( )n ZArg 2 ,+⋅ ⋅ Î= pz pq p

og ved division med n får vi

( ) ,rg 2 Z.Ap

pn n

zq

p+ ⋅ Î=

Bemærk, at dette giver forskellige vinkler for 0,1,2,... 1p n= - .

Derfor kan løsningerne til ligningen nz a= skrives som

( )2 2cos( ) sin( ) , 0,1,2,..., 1p pnn n n nz a p nq qp p= ⋅ + + + = -i .

Af løsningsformlen til ligningen nz a= ser vi, at alle løsninger har samme modulus. Har man fundet løsningen for 0p = og afsat den i den komplekse plan, finder vi blot den næste løsning ved at dreje den

første løsning vinklen 2

n

pomkring O . De n løsninger vil altså ligge som hjørner i en regulær n-kant med

centrum i O .



Man bruger ofte symbolet n a for en vilkårlig af de n løsninger i ligningen nz a= . Når man løser en konkret

ligning, vælger man så n a til at være én bestemt løsning.

Eksempel 4

Vi vil løse ligningen 5 32z = .

Modulus af z er givet ved 5 32 2z = = .

Argumentet af z er 0, da 32 ligger på den positive del af den reelle akse. Argumenterne for de 5 løsninger er så

( ) 0,Ar 0,1,2,32 ,g

54.0 p

pz == =+ ⋅ p

Altså er argumenterne til løsningerne 2 4 6 8

0,5 5 5

, , og .5

p p p p

Løsningerne til ligningen 5 32z = bliver derfor 2 4 6 8

5 5 5 50 1 2 3 42, 2 e , 2 e , 2 e og 2 e .z z z z z= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

p p p pi i i i

De 5 løsninger er illustreret på figuren nedenfor.

Ligningen kan også let løses ved hjælp af et CAS-værktøj (her TI-Interactive):

5

1,25664 1,25664 2,51327 2,51327

csolve( 32, )

e 2 or e 2 or e 2 or e 2 or 2.

z z

z z z z z⋅ - ⋅ ⋅ - ⋅

=

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =i i i i

Bemærk at CAS-programmet angiver hovedargumentet for de komplekse tal, dvs. det argument der ligger i

intervallet ] ];π π- . Fx er hovedargumentet for 6

52 ezp⋅

= ⋅i lig med 4

5 2,51327p -- » .

Re

Im

1

i

0 2z �

2

51 2 ez � �

�i

4

52 2 ez � �

�i

6

53 2 ez � �

�i

8

54 2 ez � �

�i

5Løsninger til ligningen 32z �



Ligningen 2z a= Inden vi går i gang med den generelle andengradsligning, vil vi først se på den simple andengradsligning,

2 .z a=

Sætning 8

Andengradsligningen 2z a= har løsningerne

2 2(cos( ) sin( ) )z a q q= + ⋅ i

hvor a er modulus af a, og ( )Arg .=a q

Bevis: Af sætning 7 ses, at ligningen 2z a= har rødderne

( )0 2 2cos( ) sin( )z a q q= + ⋅ i og ( )1 2 2cos( ) sin( )= + + + ⋅z a q qp p i .

Da 2 2cos( ) cos( )q qp+ =- og 2 2sin( ) sin( )q qp+ =- ifølge enhedscirklen, gælder der, at

( ) ( )1 2 2 2 2cos( ) sin( ) cos( ) sin( )= - - ⋅ =- + ⋅z a aq q q qi i

dvs. 1 0z z=- .

Altså har ligningen 2z a= løsningerne

( )2 2cos( ) sin( ) .z a q q= + ⋅ i

Vi vil nu definere, hvad der skal forstås ved kvadratroden af et komplekst tal:

Definition 5 Kvadratroden af et komplekst tal a er givet ved

( )2 2cos( ) sin( ) ,= + ⋅a a q q i

hvor ( )Arg aq= .

Med denne definition kunne vi formulere sætning 8 således:

Andengradsligningen 2z a= har rødderne a .

Vi vil se på beregningen af kvadratrødder i nogle eksempler.

Eksempel 5

Vi vil løse ligningen 2 4.z =

Tallet 4=a er jo et reelt tal, som ligger på den positive del af den reelle talakse.

Derfor er argumentet for a : =Arg( ) 0=aq , og modulus af a : 2 24 0 4= + =a .

Heraf følger, at 2 0q = og 2=a , og dermed bliver løsningerne til ligningen 2 4=z

som ventet

2(cos(0) sin(0) ) 2z = + ⋅ =i .

Ved at erstatte tallet 4 i eksemplet ovenfor med et vilkårligt reelt tal a, hvor 0a ³ , kan vi se, at symbolet

a har samme betydning inde for de reelle tal og de komplekse tal, når altså blot 0a ³ .



Eksempel 6

Vi vil løse ligningen 2 1z =- .

Tallet 1a =- er et reelt tal, som ligger på den negative reelle akse. Modulus af a er:

1=a , og argumentet for a er: Arg( ) θ π= =a . Dermed er 1a = , og 2 2q p= .

Løsninger til ligningen 2 1z =- bliver således

2 21(cos( ) sin( ) )z p p= + ⋅ =i i .

Ved brug af definitionen ovenfor får vi: 2 21 1(cos( ) sin( ) )p p- = + ⋅ =i i . Vi ser altså,

at det stemmer overens med det valg, vi foretog ved indførelsen af de komplekse tal.

Øvelse 14 Vis ved at generalisere ud fra eksemplet ovenfor, at hvis 0a ³ , så er .a a- = ⋅ i

Eksempel 7

Vi vil løse ligningen 2 2 3z = - i .

Her er 13 3,60555a = = og ( )Arg 0,98279a =-=q , dvs. 0,491402=-

q.

Løsningerne bliver derfor

3,60555 (cos( 0,49140) sin( 0,49140) )z = ⋅ - + - ⋅ i eller

( )1,67415 0,89598 .z = - ⋅ i

Vi har nu set tre eksempler på beregning af kvadratrødder af komplekse tal. Man kan ifølge definition 5 uddrage kvadratroden af alle komplekse tal, mens man indenfor de reelle tal kun kan uddrage kvadratroden af et tal, som er større end eller lig med nul. Inden for de reelle tal gælder forskellige regneregler for rødder,

som fx a b a b⋅ = ⋅ . Disse regneregler gælder ikke altid inden for de komplekse tal.

Øvelse 15

Sæt 1a b= =- og vis, at brug af regnereglen a b a b⋅ = ⋅ kan føre til en

modstrid.



Andengradsligningen 2 2 0az bz c+ + =

Sætning 9

Andengradsligningen 2 0a z b z c+ + = , a ≠ 0, har løsningerne

2

b dz

a

- = ,

hvor 2 4d b ac= - .

Bevis: Da a ≠ 0, kan vi omskrive andengradsligningen som følger:

2 0+ + =a z b z c

2 24 4 4 0a z abz ac+ + = Ganger med 4a

2 2 2 24 4 4a z abz b b ac+ + = - Lægger 2b til og trækker 4ac fra på begge sider

2 2(2 ) 4az b b ac+ = - Anvender kvadratsætning på venstre side

Nu kalder vi det, der står på venstre side af lighedstegnet for y2 og det, der står på højre side for d, og får så ligningen

2 .y d=

Denne ligning har ifølge sætning 8 løsningen

2 2(cos( ) sin( ) ),= + ⋅y d q q i

hvor q er et argument for d.

Da netop 2 2(cos( ) sin( ) )d d q q= + ⋅ i , får vi y d= , og dermed for

2 :y az b= +

2az b d+ =

2

b dz

a

- =

Trækker b fra og dividerer med 2a på begge sider

Vi får altså, at løsningsformlen får det samme udseende som for reelle tal.

Eksempel 8 Vi vil løse ligningen

2 (1 5 ) 8 4 0+ - - - =z zi i .

Ligningen har diskriminanten

2(1 5 ) 4 1 ( 8 4 ) 8 6= - - ⋅ ⋅ - - = +d i i i .

Vi får så modulus af d til 2 28 6 10d = + = , og vi finder argumentet q for d ud fra

de to ligninger 8

cos( )10

q = og 6

sin( )10

q = .

Løsningen er 0,64350q= og dermed er

2 0,32175q = .



Nu kan vi beregne kvadratroden af d ved

10(cos(0,32175) sin(0,32175) ) 3d = + = +i i ,

og endelig kan vi beregne løsningerne til

1 3(1 5 ) (3 )

2 22 1

iz

ì +ï- - + ï= =íï- +⋅ ïî

iii

.

Ligningen kan også løses med et CAS-værktøj (her TI-Interactive):

2csolve( (1 5 ) 8 4 0, ) 1 3 or 2 2 .z z z z z+ - ⋅ ⋅ - - ⋅ = = + ⋅ =- + ⋅i i i i

Andengradsligninger med reelle koefficienter

Sætning 10

Hvis a, b og c er reelle tal, og d < 0, så er de to rødder i andengradsligningen 2 0a z b z c+ + = , hvor a ≠ 0,

hinandens konjugerede.

Bevis: Fra øvelse 14 ved vi, at iaa ⋅=− , hvor a er et reelt tal.

Her er d et reelt negativt tal, dvs. modulus af d er: d d=- , og dermed er

d d d= - ⋅ = ⋅i i .

Vi får nu

1 2 2

dbz

a a=- + ⋅ i

og 2 2 2

dbz

a a=- - ⋅ i .

Da 2

b

a

-og

2

d

abegge er reelle tal, er 2 1=z z og omvendt 1 2=z z .

Vi ser altså, at i det tilfælde, hvor en andengradsligning med reelle koefficienter ikke har nogen reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hinandens konjugerede.

Eksempel 9

Vi vil løse andengradsligningen 2 2 2 0z z- + = .

Ligningen har diskriminanten 2( 2) 4 1 2 4d = - - ⋅ ⋅ =- , dvs.

4 2= ⋅ = ⋅ =d d i i i , og løsningerne bliver således 1

2 21

2z

+= = +

i i og

2

2 21

2z

- ⋅= = -

i i .

Øvelse 16

Løs andengradsligningen 22 12 50 0z z- + = , og illustrér løsningerne i den komplekse talplan.



En simpel anvendelse De komplekse tal har mange anvendelser bla. indenfor fysik (vekselstrøm), fraktaler mm. Det vil føre for vidt at komme ind på disse her. I stedet vil vi illustrere en simpel anvendelse indenfor plangeometrien.

Eksempel 10

Betragt trekant ABC, hvor (1, 2), ( 3, 4) og (5, 6)A B C- . Vi vil rotere denne trekant

33° omkring O til en ny trekant 1 1 1A B C . Vi kan betragte trekanten i den komplekse

talplan, hvor hjørnepunkterne repræsenterer de komplekse tal 1 2A= + i , 3 4B=- + i og 5 6C = + i .

Da 33 3333 2 0,575959

360 180

= ⋅ = ⋅ =

p p radianer fremkommer den nye trekant ved at

multiplicere tallene A, B og C med 0,575959e 0,838671 + 0,544639z ⋅= = ⋅i i .

Vi gennemfører beregningerne i et CAS-program (her TI-Interactive!):

33

180

1

1

1

: 1 2 :: : 3 4 :: : 5 6 :: : e

: .250608 2.22198

: 4.69457 1.72077

: .925519 7.75522 .

A B C z

A A z

B B z

C C z

p⋅= + =- + = + == ⋅ - + ⋅

= ⋅ - + ⋅

= ⋅ + ⋅

ii i i

ii

i

Dvs. hjørnepunkterne i den nye trekant (se figur) repræsenter de tre komplekse tal

1 1 10.251 2.222 4.695 1.721 0.926 7.755 .=- + =- + = +A B Ci i i

Ved at betragte trekanten i den komplekse talplan kan vi ligeledes let finde er række størrelser og punkter i trekanten:

Midtpunktet af siden AB: 1 2 ( 3 4 )

1 32 2

+ + + - += =- +

A B i i i

Tyngdepunktet for trekant ABC: (1 2 ) ( 3 4 ) (5 6 ) 3 12

1 43 3 3

A B C+ + + + - + + + += = = +

i i i i i

A

B

C

C1

B1 A1

1

i33°

Im

ReO



Vinkel A: Arg Arg( ) Arg( ) 108,4 .B A

B A C AC A

æ ö- ÷ç = - - - = ÷ç ÷çè ø-

Øvelse 17

Rotér trekant ABC i ovenstående eksempel 55 omkring O , og illustrér resultatet i den komplekse talplan.

Øvelse 18

Betragt trekant ABC i den komplekse talplan, hvor hjørnepunkterne er repræsentanter for de komplekse tal 2 6=- +A i , 1 5= +B i og 1 8= -C i .

a) Bestem midtpunktet af hver af de tre sider i trekanten.

b) Bestem vinklerne i trekanten.

c) Bestem trekantens tyngdepunkt.

Trekant ABC roteres 105omkring O , hvorved der fremkommer en ny trekant

1 1 1A B C .

d) Bestem de komplekse tal, som hjørnepunkterne i trekant 1 1 1A B C er repræsentanter

for i den komplekse talplan, og illustrér trekant ABC og trekant 1 1 1A B C i den komplekse talplan.

Materialet er en let omskrevet version af en note, som er skrevet af Hanne Østergaard, Næstved Gymnasium, og venligt stillet til rådighed for kommissionen. Noten kan findes her: http://www.matnatverdensklasse.dk/uv-mat/cas/kompleks/index.htm.

A

B

C

1

i

108,4°

Im

ReO

C A�

B A�

108,4°

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2007



Kl. 09.00 – 14.00

STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT 2 2010/2011


Opgavesættet er delt i to dele.

Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 12 spørgsmål Delprøve 2 består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point

Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation

af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.

2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god

matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden.

3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og

dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder.

4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal

være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise

konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

STX-Matematik A Net Prøvesæt 2 2010/2011 side 1 af 8

Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00 Opgave 1 a) Bestem ligningen y ax b= + for den rette linje, der går igennem punkterne ( )5,17P

og ( )8,29Q .

Opgave 2 Et observationssæt har kvartilsættet ( )4, 11, 17 . Den mindste observation er 2 , og den

største observation er 24 . a) Tegn et boksplot for observationssættet, og forklar betydningen af tallet 17.

Opgave 3 Om en funktion f oplyses, at (2) 5f = og (2) 4f ¢ =- .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (2, (2))f .

Opgave 4 I en model kan antallet af mobilabonnementer i Afrika beskrives ved

( ) 4,087 1,498tN t = ⋅ ,

hvor ( )N t betegner antal mobilabonnementer (målt i mio.) til tidspunktet t (målt i år efter år 2002). a) Gør rede for, hvad konstanterne i forskriften fortæller om udviklingen i antallet af

mobilabonnementer i Afrika efter år 2002.

Kilde: www.itu.int Opgave 5 I en trekant ABC er 40A = og 60B = . Med Cv betegnes vinkelhalveringslinjen for

vinkel C, og med ch betegnes højden fra C. a) Tegn en skitse af trekant ABC , hvor Cv og ch er indtegnet, og bestem vinklen

mellem Cv og ch .

Stx matematik A-Net Prøvesæt 2 2010/2011 side 2 af 8

Opgave 6 Funktionen f har forskriften

( ) 5 3f x x= + . a) Bestem ( )f x¢ .

Opgave 7 En funktion f er givet ved

( ) 2 exf x x= + . a) Bestem forskriften for den stamfunktion til f , hvis graf går gennem punktet (0,12)P .

Opgave 8 På figuren ses graferne A og B for de to funktioner henholdsvis f og dennes afledede f ¢ .

a) Gør rede for, hvilken af graferne A og B, der er graf for f , og hvilken, der er

graf for f ¢ .

Opgave 9 I tabellen ses en række sammenhørende værdier af x og ( )f x for en eksponentiel

funktion f .

x 1- 0 1 2 3

( )f x 3

2 6 12 24

a) Benyt tabellens oplysninger til at bestemme fremskrivningsfaktoren for f samt (0)f .

(1)

(2)

A

B


Opgave 10

a) Vis, at ( ) ln( ) 2f x x x x= + er løsning til differentialligningen

dy y x

dx x

+= .

Opgave 11

I et hushjørne ligger en udbygning, hvis grundplan har form som en kvartcirkel med radius 2m (se figur). En 5m lang stige placeres, så den rører de to vægge i punkterne A og B samtidig med, at den rører udbygningen i punktet D. Afstanden fra A til D betegnes c .

a) Gør rede for, at 2 5

.2

c

c

-=

b) Bestem de mulige værdier af c .


2

A

B

C

Dc

5 c�


Delprøve 2

Kl. 09.00 - 14.00

Opgave 12

Foto: www.colourbox.dk

Når en bil bremses stiger temperaturen i bremserne. Tabellen viser sammenhørende værdier af bilens hastighed x (målt i km/t) og temperaturstigningen y (målt i C ) i bremserne for en bestemt bil, der bremses helt ned. I en model kan sammenhængen beskrives ved .ay b x= ⋅ a) Bestem konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme temperaturstigningen i bremserne, når bilen bremses

helt ned fra 150 km/t, og bestem hastigheden, når temperaturstigningen er 120 C .

x 25 50

y 23,9 95,0

Opgave 13 I et koordinatsystem i rummet er givet en plan α med ligningen 15 17 16 13 0x y z- + + = og en linje l med parameterfremstillingen

22 9

10 4

9 1

x

y t

z

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - + ⋅ -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

.

a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og α .


Opgave 14 En andengradsligning er givet ved

2 2 5 0z z+ + = ,

hvor z er et komplekst tal. a) Bestem diskriminanten for andengradsligningen, og bestem samtlige løsninger til

ligningen.

Opgave 15 a) Løs ligningen 6 729=z , hvor z er et komplekst tal, og beskriv den figur, der fremkommer, når de punkter, der repræsenterer løsningerne i den komplekse talplan, forbindes med linjestykker.

Opgave 16 I tabellen ses en opgørelse over antal scorede mål for de fire bedste danske spillere ved håndbold EM for kvinder i 2010 samt hver af disse spilleres procentvise andel af det samlede antal skudforsøg for disse fire spillere.

Spiller Scorede mål Skudforsøg

Maibritt Kviesgaard 22 18,0%

Camilla Dalby 25 29,2%

Trine Troelsen 20 31,5%

Ann Grete Nørgård 27 21,3%

I alt 94 100%

Vi vil undersøge følgende nulhypotese: Fordelingen af scorede mål følger fordelingen for skudforsøg for de fire spillere. a) Bestem teststørrelsen, og undersøg på et 5 % signifikans niveau, om der er forskel på

fordelingen af scorede mål og fordelingen af skudforsøg for de fire spillere.

Kilde: www.ehf-euro.com


Opgave 17 I et laboratorieforsøg har man over tid undersøgt udviklingen i udbredelsen af en bestemt

type alger. Forsøget viste, at algeudbredelsen som funktion af tiden er løsning til differentialligningen

0,025 (5 )dN

N Ndt

= ⋅ ⋅ - ,

hvor ( )N t er algeudbredelsen (målt i mm2) til tidspunktet t (målt i døgn).

Det oplyses, at algeudbredelsen til tidspunktet 0t = var 0,02 mm2. a) Bestem en forskrift for ( )N t .

b) Bestem det tidspunkt, hvor algeudbredelsen foregår hurtigst.

Opgave 18 Betragt trekant ABC i den komplekse talplan, hvor hjørnepunkterne er repræsentanter for

de komplekse tal 1 8= +A i , 12 5= +B i og 10= -C i .

a) Tegn en skitse af trekant ABC i den komplekse talplan.

Trekant ABC roteres 45 omkring O i den komplekse talplan, hvorved der fremkommer en ny trekant 1 1 1A B C .

b) Bestem de komplekse tal, som hjørnepunkterne i trekant 1 1 1A B C er repræsentanter for i den komplekse talplan.

VEND!


Opgave 19 En funktion f er bestemt ved

( ) sin( ) 0,5.f x x x= + + Grafen for f , koordinatakserne og linjen med ligningen 5x = afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

En vase har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360° om førsteaksen, og enheden i koordinatsystemet svarer til 1 dm. a) Bestem vasens volumen. Det oplyses, at den krumme overflade af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for ( ),f x a x b≤ ≤ drejes 360° omkring førsteaksen, kan beregnes ved

( )22 ( ) 1 ( )

b

aO f x f x dxπ ¢= ⋅ +⋅ò .

b) Bestem arealet af vasens krumme overflade.

Opgave 20 En bestemt type plastikskraldespande har form som en cylinder sammensat med en halvkugle som vist på figuren.

Cylinderrumfanget af en af disse skraldespande skal være 120 dm3. a) Indfør passende variable, og bestem radius i skraldespandens bundflade, så

skraldespandens samlede overfladeareal bliver mindst muligt.

(2)

(1)

f

radius

radius

Matematik AStudentereksamenDigital eksamensopgave med adgang til internettet


Onsdag den 27. april 2011frs111-MATn/A-27042011

110121_For_bag.indd 1 30/03/11 11.04

Forberedelsesmateriale til stx-A-Net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve.





Forberedelsesmateriale: Matricer Form: 6 timer med vejledning

Matricer Introduktion Dette forberedelsesmateriale omhandler emnet matricer samt anvendelser af matricer i modeller for populationer. Materialet er opbygget således, at ny teori introduceres gennem eksempler og øvelser, hvorefter teorien præciseres og generaliseres ved definitioner og sætninger.

Eksempel 1:

I en population med kaniner, vælger vi at sige, at en kanin er ung det første leveår og herefter er den gammel. Unge hunkaniners chance for at overleve det første leveår er 70%, mens en gammel hunkanins chance for at overleve til det næste år er 40%. Unge hunkaniner får i gennemsnit 2 unger om året og gamle hunkaniner får i gennemsnit 1,5 kaniner om året. Hvordan udvikler denne population af hunkaniner sig som årene går?

Vi indfører først nogle variable til beskrivelse af populationens udvikling:

Antallet af unge hunkaniner i år n betegnes nx , og antallet af gamle hunkaniner i år n betegnes ny .

Antallet af unge hunkaniner det næste år, dvs. år 1n + , betegnes 1nx + , og antallet af gamle

hunkaniner i år 1n + betegnes 1ny + .

Ud fra informationen om populationens udvikling kan sammenhænge mellem de fire variable angives ved ligningssystemet:

1

1

2 1.5

0.7 0.4n n n

n n n

x x y

y x y+

+

= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅

Øvelse 1:

Forklar med naturligt sprog, hvordan informationerne om populationens udvikling kommer til udtryk i ligningssystemet.

Øvelse 2:

Det antages, at der er 100 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner i år 0, dvs. når 0n = .

Udregn på baggrund heraf populationen de efterfølgende år og udfyld tabellen nedenfor.

n 0 1 2 3 4

nx

ny

Ved at indføre begrebet matricer kan vi ”automatisere” disse beregninger, således at arbejdet med at bestemme populationens udvikling fra et år til et andet bliver meget lettere. En matrice er i princippet et ”talskema”, man kan regne med ud fra bestemte regneregler.

Matricen, der beskriver kaninpopulationen ovenfor er 2 1.5

0.7 0.4

, mens startpopulationen kan beskrives

Forberedelse

Forsøg med d

som en vekt

vektoren. Fx

og populatio

Dvs. at der 3155 unge h

Med et CAS

Øvelse 3:

Vælg andrehver af diss

Regning For at få hel

Definition

En 2 2× m

hvor a , b

Matricen b

Multiplika

Multiplika

esmateriale so

digitale eksam

tor 100

0

. F

x kan popula

2 1.

0.7 0.

onens samm

2 1.

0.7 0.

efter 1 år er hunkaniner o

S-værktøj ka

startpopulate efter 3, 7 o

med matlt styr på ma

n 1:

matrice er et t

aM

b

=

b , c og d er r

består af to s

ation af en m

M v⋅ =

ation af et ree

k M⋅ =

ommertermin

mensopgaver

For at bestem

ationens sam

5 100

4 0

⋅ =

ensætning ef

45 100

4 0

⋅ =

200 unge huog 1052 gam

an vi nemt be

tioner, og beog 10 år.

ricer atricebegrebe

talskema, som

a c

b d

,

reelle tal.

søjler a

b

matrice M

=

a c x

b d y

⋅

elt tal k med

a ck

b d

⋅ =

n 2011

i stx-A-matem

mme populati

mmensætning

200

70

,

fter fire år ka

3155.05

1051.68

=

.

unkaniner og le hunkanine

estemme de t

stem ved hjæ

et, så definere

m kan skrive

og c

d s

a c

b d

med

ax cy

bx dy

+ = +

d en matrice

k a k c

k b k d

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

matik

ionens samm

g efter det før

an beregnes t

.

70 gamle huer i populatio

to produkter:

og

ælp af et CAS

er vi begrebe

es ved

samt to ræk

d en vektor v

.

a cM

b d

=

d

.

mensætning e

rste år beregn

til

unkaniner i ponen.

:

S-værktøj po

et fra forrige

kker a c

xv

y

=

er be

er bestemt

t år senere m

nes til

populationen,

opulationens

afsnit, som f

og b d

estemt ved

ved

6 timer m

multipliceres

, og efter 4 å

.

sammensætn

følger:

d .

ed vejledning

side 2 af 15

matricen og

år er der

ning for

g

5

Forberedelsesmateriale sommertermin 2011 6 timer med vejledning


Øvelse 4:

a) Forklar med egne ord multiplikationsprocedurerne ovenfor, dvs. M v⋅

og k M⋅ .

b) Bestem 9 2 7

3 5 11

⋅ −

ved håndregning og med et CAS-værktøj.

I eksemplet med kaninpopulationen multiplicerede vi den samme matrice med sig selv flere gange, nemlig da vi beregnede populationen det 4. år, hvor vi udregnede:

42 1.5 2 1.5 2 1.5 2 1.5 2 1.5

.0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4

= ⋅ ⋅ ⋅

Definition 2:

To matricer M og N er givet ved

1 1

1 1

a cM

b d

=

og 2 2

2 2

a cN

b d

=

.

Matriceproduktet M N⋅ er da defineret ved

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

a c a c a a c b a c c dM N

b d b d b a d b b c d d

+ + ⋅ = ⋅ = + +

.

Produktet M N⋅ bestemmes altså ved pladsvist at multiplicere rækkeelementerne i M med søjleelementerne i N og summere disse to produkter.

På http://www.youtube.com/watch?v=xaN8t83X9UY kan man se, hvordan matricemultiplikation udføres i praksis.

Øvelse 5:

a) Kontroller at dit CAS-værktøj beregner M N⋅ som beskrevet i definitionen.

To matricer A og B er givet ved 9 6

8 5A

=

og 4 2

3 11B

=

.

b) Bestem A B⋅ og B A⋅ både ved håndregning og med et CAS-værktøj.

c) Vælg selv andre 2 2× matricer, og bestem produkterne A B⋅ og B A⋅ med et CAS-værktøj.

Ovenstående beregninger viser, at matricemultiplikation ikke opfylder den kommutative lov, dvs.

M N N M⋅ = ⋅ , er ikke opfyldt.

d) En matrice R er givet ved 3 3

3 3

a cR

b d

=

. Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om

( ) ( )R M N R M N⋅ = ⋅ ⋅⋅ (den associative lov) er opfyldt.

e) Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om ( )R N M R N R M⋅ + = ⋅ + ⋅ (den distributive lov) er opfyldt.



Invers matrice Definition 3:

Matricen 1 0

0 1E

=

kaldes 2 2× enhedsmatricen.

Sætning 1:

Alle 2 2× matricer M opfylder ligningerne

M E M⋅ = og E M M⋅ = ,

hvor E er 2 2× enhedsmatricen.

Øvelse 6:

Benyt matricemultiplikation med a c

Mb d

=

til at bevise Sætning 1.

Eksempel 2:

Et ligningssystem kan bestå af to ligninger med to ubekendte:

3 4 7

9 8.

x y

x y

+ =− + =

Dette ligningssystem kan løses med et CAS-værktøj:

( )solve 3 4 7 and 9 8, , , 1 and 1.x y x y x y x y+ = − + = = =

Dvs. løsningen til ligningssystemet er 1x = og 1y = .

Ligningssystemet kan også løses med matricer, idet ligningssystemet omskrives ved hjælp af en

matrice og to vektorer, hvor koefficienterne til x og y beskrives ved matricen 3 4

1 9M

= −

, de

ubekendte beskrives ved vektoren x

vy

=

og højresiden beskrives ved vektoren

7

8u

=

.

Den samlede omskrivning af ligningssystemet bliver således M v u⋅ = .

Øvelse 7:

Udregn M v⋅ , og opstil ligningen M v u⋅ = . Sammenlign denne ligning med ligningssystemet

3 4 7

9 8

x y

x y

+ =− + =

.



Eksempel 3:

Matricen

13 4

1 9

− −

kaldes den inverse matrice til 3 4

1 9

−

, da der gælder, at

13 4 3 4 1 0

1 9 1 9 0 1

−

⋅ = − − og omvendt, at

13 4 3 4 1 0

1 9 1 9 0 1

−

⋅ = − − .

Ligningssystem ovenfor kan løses ved hjælp af den inverse matrice som følger:

1 1

3 4 7

1 9 8

3 4 3 4 3 4 7

1 9 1 9 1 9 8

1 0 1

0 1 1

1.

1

x

y

x

y

x

y

x

y

− −

⋅ = −

⋅ ⋅ = ⋅ − − −

⋅ =

=

Øvelse 8:

Der gælder, at

1 9 431 31

3131 31

3 4

1 9

− − = −

.

a) Kontroller, at

13 4 3 4 1 0

1 9 1 9 0 1

−

⋅ = − − og, at

13 4 3 4 1 0

1 9 1 9 0 1

−

⋅ = − − .

Definition 4:

En matrice M har en invers matrice, netop hvis der findes en matrice N , så M N E⋅ = og N M E⋅ = .

Matricen N betegnes i så fald 1M − .

Øvelse 9:

Bestem den inverse matrice til hver af matricerne 1

6 7

2 9M

=

og 2

2 11

3 5M

− =

, og gør rede for, at

1M M E−⋅ = og 1M M E− ⋅ = er opfyldt for begge matricer, som definitionen ovenfor foreskriver.

Hvis vi forsøger, at bestemme den inverse matrice til matricen 5 2

15 6N

=

med et CAS-værktøjet, så får vi

en fejlmelding, fordi denne matrice ikke har nogen invers matrice!



Betingelsen, der sikrer, at en matrice har en invers matrice bygger på begrebet determinant, som vi kender fra vektorer i to dimensioner.

Definition 5:

Determinanten det( )M for en matrice a c

Mb d

=

er bestemt ved

det( )M a d b c= ⋅ − ⋅ .

Man kan bestemme determinanten med et CAS-værktøj fx: = .

Øvelse 10:

Bestem determinanten for 6 7

2 9

og 2 11

3 5

−

.

Øvelse 11:

Opskriv to vektorer med tilfældigt valgte koordinater, og opstil en matrice, hvor søjlerne er givet ved de to vektorer. Stemmer determinanten for de to vektorer overens med determinanten for matricen?

Beregner vi determinanten for matricen 5 2

15 6N

=

, så får vi det( ) 0N = , hvilket netop er grunden til at

CAS-væktøjet gav en fejlmelding, da vi forsøgte at bestemme den inverse matrice til N ovenfor. Der gælder nemlig:

Sætning 2:

Matricen M er givet ved

a cM

b d

=

. Hvis det( ) 0M ≠ , så har M en invers matrice, der er givet ved

1

det( )

d cX

b aM

− = ⋅ −

.

Øvelse 12:

Bevis Sætning 2 ved at vise, at X netop opfylder, at X M E⋅ = og M X E⋅ = .

Hvorfor er betingelsen det( ) 0M ≠ nødvendig?



Øvelse 13:

Omskriv ligningssystemet 5 11 23

7 8 30

x y

x y

+ =− =

til matriceform.

Bestem determinanten til ligningssystemets matrice, og bestem en løsning til ligningssystemet ved brug af den inverse matrice.

Eksempel 4:

I Eksempel 1 med kaninpopulationen kan vi opstille ligningssystemet

1

1

2 1.5

0.7 0.4n n

n n

x x

y y+

+

⋅ =

.

Da 2 1,5

det 2 0.4 0.7 1.5 0.25 0,0.7 0.4

= ⋅ − ⋅ = − ≠

så har matricen en invers matrice.

Hvis populationssammensætningen er 300

90

i år 2n = , og vi vil bestemme

populationssammensætningen i 1n = , så er udgangspunktet 1

1

2 1.5 300

0.7 0.4 90

x

y

⋅ =

.

1

1

x

y

kan således bestemmes ved:

1 1

1

1

1

1

2 1.5 2 1.5 2 1.5 300

0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 90

60

120

x

y

x

y

− −

⋅ ⋅ = ⋅

=



Ligevægte I eksempler med populationer kan det være interessant at kigge på stabile populationer, dvs. populationer som befinder sig i en form for ligevægt.

Eksempel 5:

I en stor granplantage rammes træerne til tider af svampesygdom. Træerne kan groft inddeles i to grupper: Raske og syge. Man har konstateret, at et raskt træ med 6% sandsynlighed vil blive sygt året efter. Ligeledes vil et sygt træ med 72% sandsynlighed blive raskt året efter.

Vi antager endvidere, at ingen træer dør af sygdommen eller af andre årsager, og at der heller ikke plantes nye træer.

Det oplyses, at der er i alt 26000 træer i plantagen.

Ud fra disse oplysninger kan vi opstille en model for udviklingen af syge og raske træer i plantagen.

Lad nr hhv. ns betegne antallet af raske træer hhv. syge træer i år n.

De raske træer året efter, dvs. i år 1n + betegnes 1nr + . Disse udgør 94% af de raske træer året før, dvs.

0.94 nr⋅ , samt 72% af de syge træer året før, dvs. 0.72 ns⋅ . På samme måde kan vi opstille

sammenhænge mellem antallet af syge træer i år n og år 1n + , således at vi får udviklingen i antallet af raske og syge træer i plantagen beskrevet ved modellen

1

1

0.94 0.72.

0.06 0.28n n

n n

r r

s s+

+

⋅ =

Det antages at de 26000 træer i år 0, dvs. når 0n= , er fordelt således, at der er 13000 raske og 13000 syge træer. Herefter kan fordelingen af raske og syge træer i år 0 til 4 bestemmes som vist i tabellen:

n 0 1 2 3 4

n

n

r

s

13000

13000

21520

4420

23468

2532

23883

2117

23974

2026

Tabellen viser en tendens til at populationen af raske og syge træer stabiliserer sig. Spørgsmålet er hvilken fordeling, der er den stabile?

Øvelse 14:

Kontroller at populationerne i tabellen i Eksempel 5 er korrekte og bestem populationen for n lig med 6, 8 og 10 år, og giv et skøn over antallet af raske og syge træer i granplantagen, når populationen har stabiliseret sig.

Definition 6:

En vektor *v

siges at være en ligevægt for en matrice M , hvis * *M v v⋅ = .

Følgende konsekvens af Definition 6 er central:

( )2 * * * *M v M M v M v v⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = .

Denne overvejelse kan generaliseres til * *nM v v⋅ = (overvej!) og i følge Definition 6 betyder det, at når der

opnås stabilitet i udviklingen, forbliver populationen i ligevægt!



Øvelse 15:

Vi ønsker nu at bestemme ligevægten, dvs. den værdi af r og af s , hvor der ikke sker nogen ændring fra år

til år. Skrives ligevægten på vektorform * L

L

rv

s


, og angiver M matricen fra Eksempel 5, så skal vi altså

bestemme ligevægten *v

ved at løse ligningen: * *M v v⋅ = .

a) Vis, at 12 s

vs

*æ ö⋅ ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

er en løsning til * *M v v⋅ =

, når s betegner antallet af syge træer.

b) Opstil en ligning som s skal opfylde, når granplantagen består af 26000 træer, og angiv ligevægten.

Øvelse 16:

Findes der en ligevægtstilstand for kaninerne i Eksempel 1? Nogle specielle matricer, som kaldes overgangsmatricer, er særligt interessante, når vi arbejder med ligevægt for populationssammensætninger.

Definition 7:

En matrice a c

Mb d

=

er en overgangsmatrice, hvis følgende er opfyldt

1) a , b, c og d er positive reelle tal eller nul.

2) 1a b+ = og 1c d+ = .

Øvelse 17:

Er matricen M fra Eksempel 5 en overgangsmatrice? Er matricen M fra Eksempel 1 en overgangsmatrice?

Sætning 3:

Lad a c

Mb d

=

være en overgangsmatrice, hvor 0c¹ og 0b¹ .

Så er vektoren * cv k

b

= ⋅

, hvor 0k ¹ er et reelt tal, ligevægt for matricen M .

Øvelse 18:

Bevis Sætning 3 ved at udregne *M v⋅ og udnytte, at 1a b+ = og 1c d+ = . Øvelse 19:

Bestem ved hjælp af Sætning 3 k for ligevægten i Eksempel 5 (jf. Øvelse 15).



Egenværdier og egenvektorer

Eksempel 7:

Vi betragter igen 2 1.5

0.7 0.4M

=

fra Eksempel 1, hvor vi minder om, at denne matrice er en

matematisk model, der modellerer ændringen i kaninpopulationen fra et år til det næste år.

Vi antog, at der var 100 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner fra start. Vi betegner startpopulationen med 0v

, dvs.

0

100

0v

=

.

Øvelserne i forbindelse med Eksempel 1 viste, at der med tiden bliver cirka 3 gange så mange unge som gamle hunkaniner. Eksempelvis finder vi, at

10

100

2 1.5 100 770275.4

0.7 0.4 0 256758.5M v

⋅ = ⋅ =

.

Ligeledes kan vi ud fra tabellen i Øvelse 2 se, at populationen cirka vokser med en faktor 2.5 pr. år, idet vi får

2 3 4

2 1.5 100 505 2 1.5 100 1262.0 2 1.5 100 3155.1, og .

0.7 0.4 0 168 0.7 0.4 0 420.7 0.7 0.4 0 1051.7

⋅ = ⋅ = ⋅ =

Hvis vi tager udgangspunkt i, at forholdet mellem unge og gamle hunkaniner allerede i starten er 3,

og at antallet af gamle hunkaniner er 0x , svarende til 00

0

3 xv

x

⋅ =

, så kan vi på baggrund af

ovenstående opstille følgende udtryk for populationen i år 1, som vi betegner 1v

:

0 01 0

0 0

3 7.52 1.52.5

2.50.7 0.4

x xv M v v

x x

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅

.

Altså gælder der, at 0 02.5M v v⋅ = ⋅ .

Resultatet falder tilbage på sammenhængen mellem M og faktoren 2,5 , som vi eksperimenterede os frem til ved at bruge skemaet fra Øvelse 2.

Forsøger vi nu at fremskrive én gang mere til år 2, får vi

2

0 02 22 1 0 0 0

0 0

3 18.752 1.56.25 2.5

6.250.7 0.4

x xv M v M v v v

x x

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅

.

Dette er en helt speciel egenskab, som vi vender tilbage til lidt senere.

Øvelse 20:

Tjek udregninger ovenfor vha. et CAS-værktøj. Det centrale her er, at vi kunne have brugt faktoren 2,5 – som kaldes en egenværdi for M – til at fremskrive uden at bruge M i udregningerne. Sammenhængen vil vi arbejde videre med nu.



Eksempel 8:

Betragt matricen 3 1

2 4M

=

og vektoren 1

1v

= −

.

Vi multiplicerer M med v

og får

3 1 1 2 12

2 4 1 2 1M v

⋅ = = = − − −

,

dvs. ved multiplikationen bliver v

blot multipliceret med 2.

Det er netop den egenskab, vi også så i Eksempel 7, og det giver anledning til følgende definition:

Definition 8:

Vektoren v

kaldes en egenvektor for en matrice M , når

M v vλ⋅ = ⋅ , hvor λ er et tal, og 0v ≠

.

λ kaldes for egenværdien for den pågældende egenvektor.

Af Eksempel 7 følger beregningen

0 01 0 0

0 0

3 7.52 1.52.5

2.50.7 0.4

x xv M v v

x x

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅

,

dvs. tallet 2,5 er ifølge Definition 8 en egenværdi for 2 1.5

0.7 0.4M

=

med tilhørende egenvektor

00

0

3 xv

x

⋅ =

. Fortsættes får vi 2

2 1 0 0 0 0 02.5 2.5 2.5 2.5 2.5 .v M v M M v M v M v v v= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Øvelse 21:

Vis, at

1

2v

=

er en egenvektor for

3 1

2 4M

=

, og bestem den tilsvarende egenværdi.

Øvelse 22:

Bestem en vektor, som ikke er egenvektor for 3 1

.2 4

M

=

Selve definitionen af egenværdi og egenvektor giver ikke en metode til at bestemme egenvektorer og egenværdier. Det får vi brug for, og følgende sætning udtaler sig om dette:

Sætning 4:

λ er en egenværdi for en matrice M, netop hvis det( ) 0M Eλ− = .

Den tilhørende egenvektor v

kan bestemmes som løsningen til ligningen ( ) 0M E vλ− ⋅ ⋅ =

.



Eksempel 9:

Vi illustrerer anvendelsen af Sætning 4 på matricen fra tidligere, før vi beviser sætningen.

Lad 3 1

2 4M

=

. Vi bestemmer

3 1 1 0 3 1 0 3 1

2 4 0 1 2 4 0 2 4M E

λ λλ λ

λ λ−

− ⋅ = − ⋅ = − = − ,

og beregner determinanten for denne matrice

23 1det 7 10.

2 4

λλ λ

λæ öé ù- ÷çê ú÷= - +ç ÷çê ú÷ç -è øë û

Løses andengradsligningen 2 7 10 0λ λ− + = får vi 2λ = og 5λ = , hvilket stemmer med eksempel 8

og øvelse 21. Ydermere fortæller det os, at der ikke er flere egenværdier end disse to.

Hvis vi vil bestemme egenvektorerne svarende til 2λ = , så løser vi ( 2 ) 0M E v− ⋅ ⋅ =

, og med CAS-værktøj får vi

3 1 1 0 0 0

2 , .2 4 0 1 0 2 2 0

x x y

y x y

æ öé ù é ù é ù é ù é ù+ =÷çê ú ê ú ê ú ê ú ê ú÷- ⋅ ⋅ =ç ÷çê ú ê ú ê ú ê ú ê ú÷ç + =è øë û ë û ë û ë û ë û

Heraf følger, at der er uendeligt mange egenvektorer til matricen M , fordi der er uendeligt mange løsninger til ligningssystemet, blot med krav om, at x y= − .

Øvelse 23:

Bestem egenværdier og tilhørende egenvektorer til matricen 5.2 4.3

3.1 3.6M

− = −

.

Øvelse 24:

Vis, at matricen 4 2

3 1M

= −

ikke har nogen egenværdier.

Øvelse 25:

Vi vender nu tilbage til Sætning 4. I sætningen står ”… netop hvis…”, hvilket betyder, at sætningen består af to udsagn, nemlig:

1) Hvis λ er en egenværdi for en matrice M, så er det( ) 0M Eλ− = ,

og omvendt:

2) Hvis det( ) 0M Eλ− = , så er λ en egenværdi for matricen M.

Vi beviser først 1), dvs. vi antager, at λ er en egenværdi for M, og vi skal så vise, at det( ) 0M Eλ− = .

Af definitionen på egenværdi har vi, at der findes en egentlig vektor v

(dvs. 0v ¹

), så

M v vλ⋅ = ⋅

,

og heraf følger, at

0M v vλ⋅ - ⋅ =



0M v E vλ⋅ - ⋅ ⋅ =

( ) 0M E vλ- ⋅ ⋅ =

Men denne ligning har ikke alene v

men også nulvektoren som løsning, dvs. der er altså mindst to løsninger. Hvis determinanten for et ligningssystem er forskellig fra 0, så vil der jo være præcis én løsning, så derfor kan vi konkludere, at determinanten her må være nul, dvs. det( ) 0M Eλ− = .

Hermed har vi bevist 1).

Vi beviser nu 2), dvs. vi antager, at det( ) 0M Eλ− = , og vi skal så vise, at λ er en egenværdi for M.

Når vi skal vise, at λ en egenværdi for M, så skal vi vise, at der findes en egentlig vektor x

uy


, som er

egenvektor for M , dvs. u

skal opfylde, at M u uλ⋅ = ⋅

, eller som ovenfor, at

( ) 0M E uλ- ⋅ ⋅ =

.

Opstil det tilsvarende ligningssystem, idet a c

Mb d

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø:

( ) 0 (*)a x c yλ- ⋅ + ⋅ =

( ) 0. (**)b x d yλ⋅ + - ⋅ =

Vi ved jo at determinanten for ligningssystemet er 0, så derfor får vi

( ) ( ) ( ) 0. (***)a d c bλ λ- ⋅ - + ⋅ - =

Betragt nu ligningen i (*) og vis, at hvis vi vælger d

ub

λæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç -è ø

, så er ligningen opfyldt.

Vis, at d

ub

λæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç -è ø

også opfylder ligningen i (**).

Således er u

en egenvektor for M .

Determinantudtrykket i (***) kan omskrives til (overvej!)

( ) ( ) ( ) 0. (***)b c d aλ λ⋅ - + - ⋅ - =

Betragt nu ligningen i (**) og vis, at hvis vi vælger c

wa λæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç -è ø

, så er ligningen opfyldt.

Vis, at c

wa λæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç -è ø

også opfylder ligningen i (*).

Således er w

en egenvektor for M .

Men kan vi være sikre på, at u

og w

er egentlige vektorer eller kunne u

og w

være nulvektoren?

Hvis u

og w

var nulvektoren, så ville der gælde, at

0

0

d

b

λæ ö æ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø, dvs. 0 0d bλ- = - =

og, at



0

0

c

a λæ ö æ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø

, dvs. 0 0c a λ- = - = ,

hvilket betyder, at 0 0b c d aλ λ= = - = - = , og dermed, at a d= . Men så ville M jo være

0 1 0

0 0 1

aM a a E

a

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= = ⋅ = ⋅ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø,

og denne matrice har jo alle vektorer som egenvektorer (overvej!) og ikke kun de to u

og w

, som vi fandt ovenfor. Altså er u

og w

egentlige vektorer.

Vi har således vist, at der findes en egentlig vektor, der er egenvektor for M og dermed, at λ er egenværdi for M .

Hermed har vi bevist Sætning 4.

Hvis vi afslutningsvist igen vender os mod Eksempel 1 med kaninpopulationen, kan vi nu udlede den sammenhæng mellem ligevægten i en population og egenværdierne, som blev sandsynliggjort tidligere. Ofte vil man nemlig være interesseret i at kende udviklingen af nv

, når n bliver stor.

Sætning 5:

Når n bliver stor, vil 0n

nv M v= ⋅ nærme sig 1

nc vλ⋅ ⋅ , hvor c er en konstant, 1λ er den største af de to

egenværdier til M , (dvs. 1 2λ λ> ), med tilhørende egenvektor v

.

Sætningen kan også formuleres med matematisk notation:

0 1n n

nv M v c vλ= ⋅ → ⋅ ⋅ for n → ∞

Da 1n

nv c vλ≈ ⋅ ⋅ , når n er stor, gælder det også, at

11 1 1 1 1 1 1( ) .n n n

n nv c v c v c v vλ λ λ λ λ λ++ ≈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅

Fortolkningen er interessant:

For store værdier af n, kan man fremskrive en population blot ved at gange nv

med 1λ .

Eller sagt på en anden måde:

Populationen vokser med en faktor 1λ ved hver fremskrivning.

Fremskrivning af en population over flere perioder, kan altså generaliseres ved blot at gange nv

med den rette

potens af 1λ .

Sætningen vises ikke, men resultatet føres tilbage til Eksempel 1 med kaninpopulationen. Her var

populationsmatricen 2 1.5

0.7 0.4M

=

, og udregninger senere viste, at egenværdien for matricen var 1 2.5λ =

med tilhørende egenvektor 00

0

3 xv

x

⋅ =

. Den videre udregning viste, at 0 02 2

2 10 0

3 32.5

x xv

x xλ

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

,

hvilket er i overensstemmelse med Sætning 5.



Populationen kan altså fremskrives udelukkende vha. af egenvektoren og egenværdien – og så selvfølgelig startpopulationen!

Der gælder ligeledes en sætning for overgangsmatricerne, som gør, at vi kan bruge egenvektoren til at finde en populations ligevægt. Dette anskueliggøres ud fra Eksempel 5, hvor vi først finder en af egenvektorerne og den tilsvarende egenværdi til matricen i eksemplet.

Øvelse 26:

Eftervis ved at benytte Definition 8, at 12

1v

=

er en egenvektor til overgangsmatricen

0.94 0.72

0.06 0.28M

=

med tilhørende egenvektor 1λ = . Det betyder, at M v v⋅ = . Hvilken yderligere egenskab har v

dermed i

denne sammenhæng?

Øvelse 27:

I Øvelse 14 var 100

23999.997 24000

2000.003 2000M v

⋅ = ≈

.

Hvordan hænger dette sammen med egenvektoren 12

1v

=

?

Vi har nu sandsynliggjort, at der er en klar sammenhæng mellem en populations ligevægt og egenvektoren, som vi kan formulere i en sætning:

Sætning 6:

Hvis M er en overgangsmatrice, og *v

er en ligevægt for M , så er *v

en egenvektor med tilhørende egenværdi 1.

Det gælder desuden, at 1 er den største egenværdi for M , og at *nv k v→ ⋅

, hvor k er en konstant, når n → ∞ .

Sætningen siger netop, at en populations ligevægt er proportional med egenvektoren. Det betyder altså, at forholdet mellem egenvektorens koordinater kan genfindes i koordinatsættet for populationens ligevægt. Bemærk, at Sætning 3 siger, at dette forhold faktisk også kan genfindes mellem c og b i selve overgangsmatricen M ! I øvelserne før Sætning 6 fremgår det fx, at forholdet mellem koordinaterne i

populationens ligevægt 100 0

23999.997

2000.003v M v

≈ =

er 12, ligesom i egenvektoren

12

1v

=

. Det samme

forhold findes mellem 0,72 og 0,06 i M .

Materialet er inspireret af MATEMATIK OG DATABEHANDLING: NOTER OM MATEMATIK

KVL, 2006, Henrik Laurberg Pedersen & Thomas Vils Pedersen.

Matematik A

StudentereksamenForsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Onsdag den 18. maj 2011kl. 09.00-14.001frs111-MATn/A-18052011












STX-Matematik A Net maj 2011 side 1 af 6

Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00 Opgave 1 a) Reducér udtrykket 2( )( ) ( ) 2 .a b a b a b ab+ − + + − Opgave 2 a) Løs andengradsligningen 2 8 15 0.x x− + = Opgave 3

To vektorer a� og b�

er givet ved

87

a � �= � �−� ��

og

3.

4b � �

= � ��

�

a) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af a� og b

�.

b) Undersøg, om vinklen mellem a� og b

� er stump.

Opgave 4

På figuren ses graferne for tre andengradspolynomier , ogf g h , som har forskrifterne 2( ) 2 2f x x x= − + , 2( ) 2 2g x x x= − + − og 2( ) 4 2h x x x= + + . a) Argumentér for, hvilken af graferne , ogA B C , der er graf for , ogf g h .

Opgave 5

I en skov er der i 2008 en træmasse svarende til 3000 m3. Træmassen i skoven stiger med 4% om året. a) Indfør passende variable, og opstil en model for udviklingen i træmassen som funktion

af antal år efter 2008.

Stx matematik A Net maj 2011 side 2 af 6

Opgave 6

Figuren viser et rektangel ABCD, det er delt i to rektangler ABGE og EGCD. F er skæringspunktet mellem diagonalen AC og siden EG.

a) Bestem EF . b) Bestem AB .


4 2( ) 32 .f x x x= − På figuren ses en skitse af grafen for f. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen

for f i punktet (1, (1))P f . b) Bestem monotoniforholdene for f .

Opgave 8 På figuren ses en ret linje l gennem punkterne A og

B. Desuden er et rektangel indskrevet i trekant OAB som vist på figuren. a) Bestem arealet af rektanglet som funktion af x. b) Bestem den værdi af x, der gør arealet af

rektanglet størst mulig.


A

B C

DE

F

G

10

8

24

(2)

(1)

A(0,4)

B(2,0)O x

l

(2)

(1)

f

1

4


Delprøve 2

Kl. 09.00 - 14.00

Opgave 9 Mælk pasteuriseres ved varmebehandling. Tabellen nedenfor viser sammenhørende værdier af behandlingstiden (målt i sekunder), og den temperatur (målt i °C) mælken skal behandles med for at blive pasteuriseret.

Behandlingstid 15 59 146 362 571 900

Temperatur 72 69 67 65 64 63

I en model kan sammenhængen mellem behandlingstiden og temperaturen beskrives ved en funktion af typen ( ) ,af x b x= ⋅ hvor x er behandlingstiden (målt i sekunder), og ( )f x er temperaturen (målt i °C). a) Bestem a og b. b) Bestem temperaturen, når behandlingstiden er 1200 sekunder.

c) Bestem den procentvise ændring i temperaturen, når behandlingstiden stiger med 90%.

Opgave 10 På en skole har man opgjort det gennemsnitlige fravær for eleverne på to forskellige

studieretninger. Tabellen viser antallet af elever fordelt på studieretning og gennemsnitligt fravær.

Studieretning\Fravær 0-5% 5-10% over 10%

A 10 40 8

B 21 57 9 a) Opstil en nulhypotese, og undersøg, om der på et 5% signifikansniveau er forskel i

elevernes fravær på de to studieretninger. Opgave 11

En vektor v� og en matrice M er givet ved

12

v � �= � �

� �� og

0 2.

0,9 0,2M � �

= � ��

a) Bestem 5 .M v⋅ �


Opgave 12 På figuren ses et solsejl indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på akserne. I en

model antages det, at solsejlet er en del af en plan α , og at solsejlets hjørner er fastgjort i punkterne: (4, 0, 3.2)A , (0, 0, 3.5)B og (0, 5, 3.2).C

a) Bestem en ligning for den plan α , som solsejlet er en del af.

Solens stråler er på et bestemt tidspunkt på dagen parallelle med vektoren 11 .2

v� �� = � �−� �

�

b) Bestem vinklen mellem solens stråler og solsejlet.

Opgave 13 En lampe ses fra siden.

På figuren er lampen placeret i et koordinatsystem, hvor lampens øvre profil følger grafen for funktionen f , og den nedre profil følger førsteaksen. Funktionen f har forskriften

2( ) 2sin 233 2

f x x� �� , hvor 0 33x� � .

a) Bestem lampens maksimale højde a (se figur).

b) Bestem lampens tværsnitsareal.

A

B

C

x

y

z

(2)

(1)

f

a


Opgave 14

På et bestemt gymnasium sælges to slags sodavand A og B. På gymnasiet gennemføres jævnligt spørgerunder blandt de elever, der drikker sodavand, om de vælger A eller B. Det antages, at 10 % af eleverne skifter fra A til B, og 22 % skifter fra B til A fra spørgerunde til spørgerunde. Antallet af elever, der drikker henholdsvis sodavand A og sodavand B i spørgerunde n betegnes henholdsvis na og nb . a) Gør rede for, at udviklingen i fordelingen mellem antal elever, der drikker sodavand A

og sodavand B, kan beskrives ved

1

1

0,9 0,22.

0,1 0,78n n

n n

a ab b

+

+

� � � �� = ⋅� � � ��

� ��

b) Bestem en egenvektor for 0,9 0,220,1 0,78

� ��

, når egenværdien er 1. Hvad fortæller den

fundne egenvektor om forholdet mellem antal elever, der vælger sodavand A henholdsvis B?

Opgave 15 I en model kan udviklingen i massen af et bestemt radioaktivt stof i en lukket beholder

beskrives ved en funktion ( )M t , der er løsning til differentialligningen 0,00960,069 9,627 e ,tM M � � �� hvor ( )M t er massen (målt i mg) til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at (0) 0.M = a) Bestem en forskrift for ( )M t , og skitser grafen for 0 100.t≤ ≤ b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden er 0.


Tirsdag den 24. maj 2011kl. 09.00-14.002frs111-MATn/A-24052011

102293.indd 1 30/03/11 11.45













Delprøve1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 a) Løs ligningen

22 10 12 0x x− + = .

Opgave 2 Et andengradspolynomium er givet ved

2( ) 3 12 8f x x x= − + . b) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt.

Opgave 3 I en model kan en persons ”makspuls”, dvs personens maksimale antal pulsslag pr. minut,

beskrives ved funktionen ( ) 208 0,7M x x= − , hvor x betegner personens alder i år, og ( )M x betegner personens ”makspuls”. a) Bestem ”makspulsen” for en person på 20 år. b) Gør rede for, hvad konstanterne 208 og 0,7 fortæller om udviklingen i en persons

”makspuls” i relation til personens alder. Opgave 4 a) Bestem

3 2

0(3 2 )x x dx+ .

Opgave 5 To rette linjer l og m er givet ved

0 2

:1 4

xl t

y

= + ⋅ −

og : 2 0m x y+ − = .

a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og m.


Opgave 6 Hr. Hansen kan tværs over åen fra sin hoveddør A se et udsigtstårn P (se figur). For at bestemme, hvor langt der er fra hans hoveddør over til udsigtstårnet, foretager han en opmåling. Først går han 900 m vinkelret på sigtelinjen fra A til P til punktet B, og fra B går han 400 m vinkelret på AB til punktet C. Fra C går han langs sigtelinjen fra C til P, indtil han krydser sin vej fra A til B, og her markerer han punktet D. Herefter måler han afstanden fra D til A, som er 600 m. a) Hvor langt er der fra Hr. Hansens hoveddør i A til udsigtstårnet i P?

Opgave 7 På figuren ses grafen for en funktion f .

Det oplyses, at en af nedenstående tre grafer A, B eller C er graf for f ¢ .

a) Gør rede for, hvilken af de tre grafer, der er graf for f ¢ .

Å

A

B

C

D

P

f

(2)

(1)

A

(2)

(1)

B

(2)

(1)

C

(2)

(1)


Opgave 8 En funktion f er givet ved 2( ) ln( )f x x x= ⋅ , 0x > . a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1, (1))P f .

Opgave 9 I en model kan antallet af skarvkolonier i Danmark i perioden 1982-2008 beskrives ved en

funktion S af tiden t (målt i år efter 1982). Den hastighed, hvormed antallet af skarvkolonier vokser til tidspunktet t, er proportional med produktet af antallet af skarvkolonier til tidspunktet t og forskellen mellem 67 og antallet af skarvkolonier til tidspunktet t. Det oplyses, at proportionalitetskonstanten er 0,0029k = . a) Opskriv en differentialligning, som S må opfylde. Kilde: ”Forvaltningsplan for skarv i Danmark”, Skov- og Naturstyrelsen, Miljøministeriet, 2009.

Opgave 10 En metalplade har form som vist på figuren, hvor nogle af metalpladens mål er angivet

a) Bestem metalpladens omkreds udtrykt ved x og y .

b) Bestem x og y , når det oplyses, at metalpladens omkreds er 28 cm, og metalpladens areal er 38 cm2.


xy

3 cm

4 cm


Delprøve 2

Kl. 11.00 - 14.00

Opgave 11 Når en basketball rammer gulvet springer den op igen. På figuren er de første tre opspring

skitseret.

Tabellen viser sammenhørende værdier af det x ´te opspring og opspringshøjden y (målt i mm).

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 885 662 496 364 298 248 207 171 140 110

I en model kan sammenhængen mellem det x ´te opspring og opspringshøjden y (målt i mm) beskrives ved

xy b a= ⋅ . a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme, hvor mange procent opspringshøjden aftager med

pr. opspring, og bestem halveringskonstanten. Opgave 12 En varmluftsballon er tøjret med to stålwirer, som begge er monteret i det samme punkt Q

på ballonkurvens underside og dernæst fastgjort i jorden i to punkter 1P og 2P , hvis indbyrdes afstand er 100 meter. Det oplyses, at den ene stålwire i 1P danner en vinkel på 55° med linjen gennem 1P og 2P ,

mens den anden stålwire i 2P danner en vinkel på 50° med linjen gennem 1P og 2P . a) Tegn en skitse af situationen, og bestem længden af den stålwire, der går fra Q til 1P .

Opgave 13 En vektor v

og to matricer M og N er givet ved

3

5v

=

,

2 5

7 9M

=

og 1 4

7 3N

− = −

.

a) Bestem M v⋅ og M N⋅ .

Opspringshøjde

1. opspring 2. opspring 3. opspring


Opgave 14 I en model for en bestemt population af mus, der bliver op til 2 år gamle, betegnes mus i alderen 0-1 år som unge, og mus i alderen 1-2 år betegnes som gamle. De unge mus får i gennemsnit 4 unger pr. år, og halvdelen af de unge mus bliver gamle. De gamle mus får i gennemsnit 2 unger pr. år og dør efter deres andet leveår. Antallet af unge og gamle mus til tiden n betegnes henholdsvis nx og ny . a) Gør rede for, at udviklingen i fordelingen af antal unge og gamle mus kan beskrives

ved

1

1

4 2.

0,5 0n n

n n

x x

y y+

+

= ⋅

b) Bestem egenværdierne for 4 2

,0,5 0

og forklar, hvad den største af egenværdierne

fortæller om populationen af mus. Opgave 15 I 2001 fandt amerikanske og canadiske forskere, at sammenhængen mellem den oplevede

temperatur og den aktuelle temperatur ved forskellige vindhastigheder, det såkaldte ”windchill indeks”, kan beskrives ved

0,16 0,1613,3 0,62 13,95 0,486w t v t v= + ⋅ - ⋅ + ⋅ ⋅ , hvor w er ”windchill indekset” (målt i C ), t er den aktuelle målte temperatur (målt i C ), og v er vindhastigheden (målt i m/s). a) Bestem ”windchill indekset”, når den aktuelle temperatur er 5 C- , og vindhastigheden

er 20 m/s. b) Bestem den vindhastighed, der ved en temperatur på 3 C- giver et ”windchill indeks”

på 10 C- . Kilde: www.dmi.dk

Opgave 16 I sæsonen 2009/2010 var den procentvise resultatfordeling af kampene i en engelsk

fodboldliga som vist i tabel 1.

Tabel 1 Sæson Hjemmesejr Uafgjort Udesejr I alt

2009/2010 50,8% 25,3% 23,9% 100%

Pr. 14/11 2010 var resultatfordelingen for den igangværende sæson, 2010/2011, som vist i tabel 2.

Tabel 2 Sæson Hjemmesejr Uafgjort Udesejr I alt

2010/2011 55 45 28 128

a) Opstil en nulhypotese, og undersøg på et 5% signifikansniveau, om resultatfordelingen

pr. 14/11 for sæsonen 2010/2011 følger samme fordeling som resultatfordelingen for sæsonen 2009/2010.


Opgave 17

Billedet viser et tårn med et ottekantet spir. Figuren viser en model af spiret indtegnet i et koordinatsystem med enheden 1 cm. Nogle af spirets samlepunkter er angivet på figuren. a) Bestem en ligning for den plan α , der indeholder tagfladen ABCD. Det oplyses, at en ligning for den plan ,β der indeholder tagfladen ADT er givet ved 110 x+286 y+39 z = 17550. b) Bestem vinklen mellem tagfladerne ABCD og ADT.

Opgave 18 To funktioner f og g er givet ved

3 2( ) 0,01 0,03 0,28f x x x x= − + +

og 2( ) 0,05 0,35g x x x= − .

Graferne for f og g afgrænser i første og fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figur).

a) Bestem koordinatsættet for skæringspunkterne mellem graferne for f og g , og bestem arealet af M.

b) Bestem den største lodrette afstand d mellem de to grafer (se figur).

T

A

B C

D

y

x

z

ABCDT

(39,39,54)

(78,78,0)

(0,110,0)(0,54,54)(0,0,450)

Foto: Kommissionen

dM

f

g

(1)

(2)



torsdag 11. august 2011

Kl. 09.00 – 14.00

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2011

frs112-MATn/A-11082011












STX-Matematik A Net august 2011 side 1 af 6

Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1

a) Bestem en ligning for den linje, der går gennem punkterne (1,2)A og (3,8).B

Opgave 2

To vektorer a

og b

er bestemt ved

1

at

=

og

4

2b

= −

,

hvor t er et tal.

a) Bestem t , når det oplyses, at a

og b

er ortogonale.

Opgave 3

a) Bestem integralet ( )2 2

13 4 .x dx−

Opgave 4

Udviklingen i antal individer i en bestemt population kan beskrives ved ( ) 500 0,95 tN t = ⋅ , hvor ( )N t er antal individer til tidspunktet t (målt i døgn). a) Gør rede for, hvad tallene 500 og 0,95 fortæller om udviklingen i antal individer i

populationen. Opgave 5

En cirkel har centrum i punktet (2,3)C og radius 5. a) Opskriv en ligning for cirklen. b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen med

ligningen .y x=

Stx matematik A Net august 2011 side 2 af 6

Opgave 6

BMI (Body Mass Index) anvendes i vurdering af en persons risiko for at udvikle sygdomme som følge af overvægt. I tabellen til højre ses sammenhængen mellem BMI og risikovurderingen. På et gymnasium har man undersøgt 31 pigers BMI. Resultatet af undersøgelsen er illustreret ved nedenstående boksplot.

BMI Risiko for følgesygdomme

≤ 18,4 Forhøjet / moderat forhøjet

18,5 - 24,9 Middel 25 – 29,9 Let Forhøjet 30 – 34,9 Forhøjet 35 – 39,9 Svært forhøjet

≥ 40 Meget svært forhøjet

a) Bestem kvartilsættet for pigernes BMI, og vurdér på baggrund heraf pigernes risiko for

følgesygdomme. Opgave 7

En billedramme har form som vist på figuren.

a) Opskriv rammens omkreds udtrykt ved h. b) Bestem det areal, som rammen dækker, når omkredsen er 54.

Opgave 8

Figuren viser graferne for tre funktioner f, g og h. Hver af de tre funktioner er løsning til netop en af differentialligningerne:

: 0

: 2

: 0,1

dyA

dxdy

Bdxdy

C ydx

=

=

= ⋅

a) Gør rede for, hvilken af differentialligningerne A, B og C, der hører til hvilken af

funktionerne f, g og h.

20 25 30 3515

8

6

8

h


Opgave 9

En funktion f er bestemt ved ( ) ln , 0.f x x x x= − > a) Bestem monotoniforholdene for f . Den rette linje l er bestemt ved ligningen 2 1y x= + . Grafen for f har en tangent t, der er parallel med l. b) Bestem førstekoordinaten til røringspunktet mellem t og grafen for f .



Delprøve 2

Kl. 09.00 - 14.00

Opgave 10

Foto: http://www.colourbox.dk/

Tabellen viser udviklingen i antallet af ynglende skarver i Danmark i perioden 2005-2009.

År 2005 2006 2007 2008 2009

Antal 39906 38014 35261 33700 32851

a) Indfør passende variable, og opstil en eksponentiel model, som beskriver antallet af

ynglende skarver i Danmark som funktion af antal år efter 2005. b) Hvornår vil antallet af ynglende skarver i Danmark ifølge modellen være under 20000?

Opgave 11

Figuren viser trekant ABC , hvor sidelængderne er 6AB = , 7AC = og 4BC = .

a) Bestem B∠ . Vinkelhalveringslinjen fra B skærer siden AC i punktet D. b) Bestem arealet af trekant ABD.


Opgave 12

To vektorer i rummet er givet ved

2

3

6

a

=

og

3

5

4

b

− = −

.

a) Bestem arealet af det parallelogram, der er udspændt af a

og b

. Planen β har ligningen 3 6 2 8 0x y z+ − + = , og punktet P har koordinaterne (20, 10,18)P − . b) Bestem afstanden fra P til β .

Opgave 13

a) Løs ligningen

2 4 5.

5 3 6

x

y

⋅ =

Opgave 14

I en model inddeles en bestemt population i to kategorier A og B. Antallet af individer i henholdsvis kategori A og B i år n betegnes na og nb . Det oplyses, at udviklingen i fordelingen mellem antal individer i de to kategorier fra år til år kan beskrives ved

1

1

,n n

n n

a aM

b b+

+

= ⋅

hvor 0,8 0,4

.0,2 0,6

M

=

Det oplyses, at 0 0a = og 0 30b = . a) Bestem 4a og 4b .

b) Gør rede for, hvad tallene i matricen M fortæller om udviklingen i fordelingen mellem antal individer i de to kategorier fra år til år.


Opgave 15

En funktion f er bestemt ved ( ) (1 )( ), 1.f x x x a a= − − > a) Bestem førstekoordinaten til hvert af

skæringspunkterne mellem grafen for f og førsteaksen.

Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne i fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal. Ligeledes afgrænser grafen for f sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde N, der har et areal. b) Bestem arealet af M udtrykt ved a , og bestem tallet a, så arealerne af M og N bliver

lige store. Opgave 16

I en model for udviklingen af en bestemt type kræftknude i mus kan væksten f (målt i mio. celler/døgn) som funktion af antal celler x (målt i mio.) beskrives ved sammenhængen ( ) 0,046173 (9,36334 ln( )), 0.f x x x x= ⋅ ⋅ − > a) Bestem ved hjælp af modellen, hvor mange celler der er i kræftknuden, når væksten er

størst. b) Bestem ved hjælp af modellen det maksimale antal celler, der kan være i kræftknuden. Kilde: L. Simpson-Herren and H. H. Lloyd (1970), Kinetic parameters and growth curves for experimental tumor systems, Cancer Chemother. Rep. Part I, 54, 143-174.

Matematik AStudentereksamen

Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Tirsdag den 8. maj 2012stx121-MATn/A-08052012

112326.indd 1 20/03/12 07.35

Forberedelsesmaterialetilstx‐A‐NetMATEMATIKDer skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve.





Testoghypoteseristatistik

Indhold

Indledning .......................................................................................................................................................... 1

χ2-test ................................................................................................................................................................. 2

Numeriske data og hypotesetest ........................................................................................................................ 3

Middelværdi, varians og spredning ................................................................................................................... 4

Stokastiske variable og empiriske størrelser ..................................................................................................... 4

Normalfordelte observationer ............................................................................................................................ 5

Hypotesetest med et datasæt (en variabel) ........................................................................................................ 7

Anvendelse af t-test for et datasæt (en variabel) i Muffins .............................................................................. 10

Fordeling af t-teststørrelsen ............................................................................................................................. 11

Hypotesetest med to datasæt (to variable) ....................................................................................................... 13

Anvendelse af t-test for to datasæt (to variable) i Muffins ............................................................................... 16

Kilder ............................................................................................................................................................... 18

1

Indledning

I statistik opstilles hypoteser for variable i en stikprøve. Dette forberedelsesmateriale omhandler to tests, som

kan bruges, når du skal vurdere om en hypotese skal forkastes eller accepteres. Det ene test er 2 -testet, som

du allerede kender, og det andet test er t -testet. Materialet indeholder to dele. I første del genopfrisker vi

centrale dele ved 2 -testet, mens vi i anden del introducerer t -testet og anvender dette til at besvare

spørgsmål, som kan være interessante at stille, når vi betragter et datamateriale.

Datamaterialet som bruges i denne sammenhæng kaldes Muffins1. Det indeholder en stor mængde rådata, som stammer fra en spørgeskemaundersøgelse blandt 539 unge tyskere. Vi anvender et større udklip herfra, som findes i den vedlagte fil: MuffinsUdklip.xls.

Når man skal håndtere store datasæt, er det vigtigt at kunne sortere datamaterialet, således at de sammenhænge, man ønsker at undersøge, træder tydeligt frem, og data bliver tilgængeligt i den rigtige form. Fx kunne det i nogle tilfælde være interessant at sortere datamaterialet efter køn, således at pigernes svar er adskilt fra drengenes svar. En sådan sortering vil være aktuel, når man skal undersøge sammenhængen mellem køn og en anden kategorisk variabel. Man optæller så blot pigernes og drengenes svar i relation til den anden kategoriske variabel. Denne optælling kan foretages automatisk i et værktøjsprogram. Tilsvarende vil det være hensigtsmæssigt i behandling af datamaterialet at kunne opstille en krydstabel automatisk i et værktøjsprogram.

Datamaterialet samt din bearbejdning af dette skal medbringes til eksamen. Du skal under prøven kunne importere data fra et regneark af samme slags som MuffinsUdklip.xls og bearbejde disse i dit værktøjsprogram.

Opgaver indenfor 2 -test hører under kernestoffet og er derfor en naturlig del af den skriftlige prøves 2.

delprøve. Derudover vil den skriftlige prøves 2. delprøve indeholder opgaver, der handler om anvendelse af t-test.

1 Medien- und Freizeitgestaltung für interessanten Stochastikunterricht af Rolf Biehler, Klaus Kombrink, Stefan Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning

2

χ2‐test

I forbindelse med χ2-test har du arbejdet med datasæt og krydstabeller fx fra en spørgeskemaundersøgelse med to eller flere kategoriske variable. Vi genopfrisker i følgende eksempel sammensat af en række øvelser anvendelsen af χ2-uafhængighedstestet, hvor vi samtidigt får et indblik i data fra Muffins.

Åben MuffinsUdklip.xls, og åben fanebladet Udklip1 heri. I Udklip1 er der to kategoriske variable: Køn og Hvor ofte man går i kirke.

Øvelse 1: Sortering

Hvor mange piger og drenge er der i udklippet? Sorter data efter køn og tæl op automatisk i dit værktøjsprogram.

Øvelse 2: Krydstabel

Nedenfor ses en krydstabel for de to nævnte variable fra Øvelse 1 (her vist i Excel):

Opstil nu selv med udgangspunkt i Udklip1 krydstabellen ovenfor vha. dit værktøjsprogram.

Øvelse 3: Stikprøve & population

Gør rede for, hvilken af betegnelserne stikprøve og population der kan anvendes om datasættet i Udklip1.

Øvelse 4: Nulhypotese

Vi ønsker at undersøge, om der er sammenhæng mellem køn og hvor ofte man går i kirke (kaldes for overskuelighedens skyld nu kirkegang).

Opstil en nulhypotese, som kan anvendes til at undersøge, om der er sammenhæng mellem køn og kirkegang.

Øvelse 5: Forventede værdier

Bestem vha. dit værktøjsprogram de forventede værdier under forudsætning af at din nulhypotese er sand, og opstil dem i en krydstabel svarende til krydstabellen for de observerede værdier.

Øvelse 6: Kritisk værdi og p-værdi i χ2-testet

Beregn χ2-teststørrelsen, og benyt dit værktøjsprogram til at bestemme den kritiske værdi svarende til et 5% signifikansniveau.

Gør rede for, om nulhypotesen skal forkastes eller accepteres på baggrund af χ2-teststørrelsen og den kritiske værdi.

Gør rede for, at p-værdien sammenlignet med signifikansniveauet giver samme resultat.

Bemærk: Nogle værktøjsprogrammer kan udføre dette χ2-test automatisk ud fra de observerede værdier i krydstabellen.


3

Numeriskedataoghypotesetest

Et datasæt kan også indeholde numeriske data, og disse skal behandles på en anden måde end de kategoriske. Hver søjle i et numerisk datasæt (tabellen med alle observationer) repræsenterer i den sammenhæng målinger af en variabel og i datasættet Muffins kan dette for eksempel være respondenternes højde.

Kategoriske og numeriske variable

Når vi analyserer et datasæt bestående af kategoriske data, sammenligner vi antallet af observationer i hver kategori på tværs af de variable.

Når vi analyserer et datasæt bestående af numeriske data, tager vi udgangspunkt i de såkaldte empiriske størrelser: middelværdi og varians, og sammenligner hver af disse på tværs af de variable.

For at illustrere forskellene på numeriske og kategoriske data betragter vi to forskellige datasæt.

I afsnittet ovenfor om χ2-testet, så vi på kategoriske data, hvor vi optalte antal piger og drenge efter hvor ofte de går i kirke. I Tabel 1 nedenfor har vi målt højden af en række piger og drenge – og altså ikke optalt, antallet af drenge og piger med en bestemt højde.

Tabel 1: Køn og Højde fra Udklip2, som består af datasættene for de to variable fra Udklip1.

I både afsnittet ovenfor og i Tabel 1 er der imidlertid tale om stikprøver. Vi har udtaget et – forhåbentligt – repræsentativt udsnit af den population, som vi ønsker at vide noget om, og ud fra behandling af disse udtaler vi os om bestemte egenskaber ved hele populationen.

Øvelse 7: Diagrammer skaber overblik

Konstruer relevante diagrammer for data fra både eksemplet med kategoriske data og fra Tabel 1 med numeriske data, og diskuter, hvad diagrammerne viser om de variable, der indgår. Data svarende til Tabel 1 finder du i MuffinsUdklip.xls under fanebladet Udklip2. Du kan vælge boksplot, søjlediagrammer, prikplot, histogrammer eller andre relevante figurer evt. opdelt efter køn.


4

Middelværdi,variansogspredning

I Tabel 1 kan vi ikke sammenligne kønnene med de redskaber, vi har fra χ2-testet, da søjlerne indeholder numeriske data. Vi får brug for en anden metode, og her anvender vi som nævnt størrelserne middelværdi og varians. Eller rettere sagt: De bedste bud vi ud fra Tabel 1 kan give på middelværdi og varians for højdemålingerne i stikprøven. Disse bedste bud kaldes de empiriske størrelser for middelværdi og varians,

og de betegnes med de to matematiske symboler: x (empirisk middelværdi) og 2s (empirisk varians).

Empirisk middelværdi, varians og spredning

De empiriske størrelser x og s2 kan beregnes med formlerne:

1 2 3 4 ...1 n

ii

x x x x xx x

n n

og

2 21( )

1 ii

s x xn

,

hvor 1 2 3 4, , , ,..., nx x x x x betegner observationerne, dvs. de værdier som variablen antager.

Ud fra variansen kan vi også bestemme spredningen, som er kvadratroden af variansen:

2s s .

Vi har indført sumtegnet her for at forenkle opskrivningen, men de fleste værktøjsprogrammer kan

bestemme de empiriske størrelser direkte ud fra observationerne.

I Tabel 1 svarer 1 2 3 4, , , ,..., nx x x x x til de observerede højdemålinger, hvor indiceringen angiver målingens

nummer i datasættet. n angiver det samlede antal målinger, som er henholdsvis 213 for drengene, og 249 for pigerne.

Øvelse 8: Middelværdi, varians og spredning

Benyt dit værktøjsprogram til at bestemme de empiriske størrelser for hhv. drengenes og pigernes højde i Tabel 1. Data finder du som tidligere nævnt i Udklip2.

Stokastiskevariableogempiriskestørrelser

Forskellen på den empirisk middelværdi og den værdi, som vi i det følgende vil kalde den sande middelværdi, kan illustreres ved at betragte datasættet i Tabel 2 nedenfor, som viser højdemålingerne for 5 drenge fra Udklip2.

Tabel 2: Uddrag af højdemålinger for 5 drenge i Muffins.


5

Betragter vi for eksempel højdemålingen 1,9 meter, kan man gøre sig følgende overvejelse:

Hvor præcist blev denne højde målt?

Forestiller vi os, at fem personer – en af gangen – måler denne drengs højde, vil de fem personers målinger efter al sandsynlighed variere en smule. En vil måske måle højden til 1,895 m, en anden 1,900 m osv. Pointen her er, at denne variation ikke giver os mulighed for at udtale os om, hvad drengens sande højde er. Vi accepterer dog, at vi har et rimeligt godt bud på den sande højde. Når vi beregner middelværdi og spredning som ovenfor, så giver vi et empirisk bud på middelværdien for højden af henholdsvis piger og drenge i Udklip2 – som jo ikke nødvendigvis er fuldstændigt entydigt korrekt. Derfor skelner vi mellem begreberne empiriske og sande størrelser, hvor de empiriske er knyttet til de faktiske observationer, mens de sande er teoretiske værdier.

Stokastisk variabel

I statistikkens verden kaldes de empiriske størrelser repræsentationer for de enkelte højdemålinger. Man indfører begrebet stokastisk variabel, som repræsentant for observationerne.

Den stokastiske variabel betegnes X.

I relation til Tabel 1 og 2 taler man om den stokastiske variabel iX som repræsentant for

højdemålingen ix . Der forekommer som nævnt en (tilfældig) variation i det konkrete udfald

ix , men med den stokastiske variabel kan vi beskrive disse variationer.

De værdier, som vi ovenfor har kaldt de sande værdier, betegnes matematisk som følger:

Den sande middelværdi: . Den sande varians: 2 . Den sande spredning: 2 .

Normalfordelteobservationer

For at vi kan komme nærmere en behandling og vurdering af middelværdien for højdemålingerne bag udsnittet i Tabel 2, kræves det, at højdemålinger følger en kendt fordeling. Dette krav indebærer, at der er en bestemt systematik i observationerne og at den stokastiske variabel, der ligger bag målingerne, kan beskrives systematisk med en matematisk model – her normalfordelingen.

Når man undersøger om et datasæt er normalfordelt gør man det grafisk med et fraktildiagram.

I et fraktildiagram plotter man datasættets målinger på førsteaksen og de forventede værdier, under forudsætning af at datasættet er normalfordelt, på andenaksen. Hvis datasættet rent faktisk er normalfordelt, så vil alle målingerne derfor ligge præcist på en ret linje.

Disse forventede værdier beregnes ved at anvende den omvendte funktion til standardnormalfordelingens

tæthedsfunktion på i

n, hvor i betegner observationens nummer på den sorterede liste (her sorteret efter

stigende højde), og n betegner det samlede antal observationer i datasættet.

Øvelse 9: Standardnormalfordelingen

Hvad kendetegner standardnormalfordelingen? Søg fx oplysningerne på internettet.


6

Øvelse 10: Fraktildiagram

Sorter drengenes højde efter størrelse (stigende) i Udklip2 ved hjælp af dit værktøjsprogram. Opret to nye kolonner, som skal indeholde henholdsvis observationsnummer og den forventede værdi for hver af observationerne. De forventede værdier for højdemålingerne beregnes med værktøjsprogrammets indbyggede facilitet dertil2. Her er det vist i Excel, hvor 1i = og 213n= , og hvor 0 og 1 er henholdsvis middelværdi og spredning i standardnormalfordelingen.

Resultat:

Fortsættes beregningerne for 2i = , 3i = osv. dvs. for 2

213

i

n= ,

3

213

i

n= osv., så bliver de første 6 punkter

i fraktildiagrammet som følger:

1,65; 2.60 , 1,65; 2,35 , 1,65; 2,19 , 1,68; 2,08 , 1,68; 1,99 , 1,69; 1,91 .

Plot nu fraktildiagrammet med højdemålingerne på førsteaksen og de forventede værdier på andenaksen.

Plot også den bedste rette linje (regressionslinjen) gennem punkterne. Hvis punkterne ligger tilnærmelsesvist på en ret linje, så kan vi opfatte højdemålingerne som normalfordelte. Hvis punkterne derimod afviger systematisk fra en ret linje, så må man lede efter en anden model for fordelingen. Typisk gælder det, at jo flere målinger, des mindre variation omkring en ret linje vil man forvente, og punkterne i et fraktildiagram må gerne sno sig omkring linjen. For drengene ser det ud som på Figur 1 nedenfor.

Figur 1: Fraktildiagram for fordelingen af drengenes højdemålinger, som angivet i Tabel 1.

De fleste værktøjsprogrammer kan dog lave fraktildiagrammer direkte, uden at du behøver at udregne de forventede værdier.

Fraktildiagram

Plot af punkter (observeret værdi, forventet værdi) for et datasæt, hvor den forventede værdi er baseret på standardnormalfordelingen.

Hvis punkterne tilnærmelsesvist ligger på en ret linje, kan datasættet betragtes som værende normalfordelt.

2 I mange værktøjsprogrammer kaldes denne omvendte normalfordelingstæthedsfunktion for norminv(…) eller invnorm(…).


7

En mindre præcis måde at vurdere på om et datasæt er normalfordelt, er ved at gruppere data og konstruere et søjlediagram. Er datasættet normalfordelt, vil man forvente at observationerne fordeler sig symmetrisk omkring den empiriske middelværdi, og at der er flest observationer tæt på middelværdien, mens der er færrest længst væk fra middelværdien. Fordelingen af observationerne siges at være klokkeformet.

For alle højdemålingerne for drengene, som ligger bag udklippet i Tabel 2, ser den grupperede grafiske fremstilling (med intervalbredde 5 cm) ud som i Figur 2:

Figur 2. Søjlediagram for fordelingen af alle højdemålingerne for drengene angivet i Tabel 1.

Fraktildiagrammet og søjlediagrammet i Figur 1 og 2, giver god grund til tro, at drengenes højder er normalfordelte, og vi kan derfor gå ud fra, at fordelingen af højdemålingerne kan beskrives ved en

normalfordeling. Vi siger også, at den stokastiske variabel X , der ligger bag data er normalfordelt, og vi

skriver med matematisk notation: 2( , ) X N . Med denne notationen fortæller vi samtidigt, at fordelingen

er bestemt ud fra de to parametre, og 2 . Det er jo disse parametre, vi estimerer, og vi vil i næste afsnit

undersøge dem nærmere.

Øvelse 11: Fraktildiagram og søjlediagram

Sortér pigernes højdemålinger i Udklip2 efter størrelse, og undersøg vha. et fraktildiagram og et søjlediagram, om pigernes højder kan antages at være normalfordelte.

Der vil til den skriftlige prøve ikke blive stillet krav om fremstilling af fraktildiagrammer.

Hypotesetestmedetdatasæt(envariabel)

Hvis vi ønsker at undersøge, om de empiriske størrelser knyttet til et datasæt stemmer overens med andre undersøgelsers bestemmelse af samme (oplyst værdi), kan vi gøre dette med et t -test. Som i χ2-test opstilles og undersøges en nulhypotese, som typisk formuleres som følger: Middelværdi i datasæt og den oplyste værdi er ens. Antag, at danske drenge i alderen 16-18 år i gennemsnit er 1,82 m høje. Hvis vi fx ønsker at undersøge, om gennemsnitshøjden for de tyske drenge i Muffins er den samme som de danske drenges gennemsnitshøjde, opstiller vi nulhypotesen:

De tyske drenges gennemsnitshøjde er 1,82 m

Intuitivt kan man undersøge nulhypotesen ved at betragte forskellen mellem den empiriske middelværdi,

1,824x (som du fandt i Øvelse 8), og de danske drenges højde 0 1,82 m = . Men vi må også tage


8

datasættets spredning i betragtning. Hvis spredningen i datasættet er stor, så vil man acceptere en større

margin på forskellen mellem de to middelværdier x og 0 . Er spredningen derimod lille, så vil kun en

mindre margin blive accepteret.

Man kan vise at den empiriske middelværdi, x , er normalfordelt med spredning 2s

n, og det er den værdi,

vi skal dividere forskellen mellem middelværdierne med, således at spredningen tages i betragtning:

t-teststørrelse for et datasæt

Den generelle formel til beregning af t-teststørrelsen er:

0

2

xt

sn

Da x er normalfordelt, kan man vise at t-teststørrelsen er:

t-fordelt med 1f n frihedsgrader

og vi skriver:

1nt t

Nulhypotesen kan nu formuleres som:

H0: Middelværdien for de tyske drenges højde er 1,82 m, dvs. 0 1,82 .

t-teststørrelsen kan på baggrund af udregningerne fra Øvelse 8 og bemærkningen ovenfor beregnes til:

0,941t

Vi har nu brug for at vurdere om teststørrelsen 0,941 er kritisk i forhold til vores nulhypotese.

t-fordelingen har et meget nært slægtskab med normalfordelingen. Vi får brug at kunne vurdere teststørrelsen i forhold til en kritisk værdi, der kan fortælle, om vi skal forkaste nulhypotesen på et givet signifikansniveau. Som ved χ2-testet bruger vi den funktion, som teststørrelsen er knyttet til, her t-fordelingen med 1n frihedsgrader, til at bestemme den sandsynlighed, der svarer til teststørrelsen. Den sandsynlighed er ligesom i χ2-testet netop et udtryk for, hvor svært/let det er, at frembringe en teststørrelse, der er mindst lige så stor som den observerede – altså p-værdien! Grafisk set er p-værdien ligesom ved χ2-testet med stor tilnærmelse givet ved arealet af det område, som grafen for fordelingens tæthedsfunktion afgrænser sammen med førsteaksen i intervallet afgrænset af teststørrelsen. t-testet er i modsætning til χ2-testet dog to-sidet, dvs. området er to-delt – en del til højre for den positive værdi af teststørrelsen og en del til venstre for den negative værdi af teststørrelsen (se Figur 3 nedenfor).

Vi kan også vælge at sammenligne teststørrelsen direkte med den kritiske værdi, ligesom i forbindelse med χ2-testet. De kritiske værdier kan beregnes med et værktøjsprogram.

På Figur 3 nedenfor ses grafen for tæthedsfunktionen for t-fordeling med 213 1 212 f frihedsgrader. På

figuren til venstre ses også plot af teststørrelsen 0,941 og den kritiske værdi 1,97 svarende til et signifikansniveau på 5% (dvs. der afskæres 2,5% i hver side). På figuren til højre ser vi, at arealet af det skraverede (gule) område afgrænset af grafen og førsteaksen hhv. til venstre for den negative værdi og til højre for den positive værdi af teststørrelsen er 34,8%, hvilket netop svarer til p-værdien.


9

Figur 3: t-fordelingen, med 212 frihedsgrader. Til venstre ses teststørrelsen 0,941t og den kristiske

værdi 1,97. Til højre ses den grafiske beregning af p-værdien.

Det giver os, under forudsætning af at nulhypotesen er sand, anledning til, ikke at forkaste nulhypotesen på signifikansniveau 5% , da p-værdien er 0,348, dvs. sandsynligheden for at finde en teststørrelse, der er mindst lige så stor som den observerede er 34,8%.

Vi kan naturligvis også beregne p-værdien (her vist i Excel):

Resultat:

Vi kan også beregne den kritiske værdi for t-testet på et 5% signifikansniveau med 212 frihedsgrader (her vist i Excel):

Resultat:

dvs. en kritisk værdi på 1,971, altså er vores teststørrelse på 0,941 mindre end den kritiske værdi, og vi kan således konkludere, at vi ikke kan forkaste nulhypotesen om, at gennemsnittet af de tyske drenges højde er 1,82 m.

p-værdi og kritisk værdi

Hvis p-værdien er mindre end signifikansniveauet, forkastes nulhypotesen.

Hvis t-teststørrelsen er positiv og er større end den kritiske værdi ved det valgte signifikansniveau, så forkastes nulhypotesen.

Hvis t-teststørrelsen er negativ og er mindre end den negative kritiske værdi ved det valgte signifikansniveau, så forkastes nulhypotesen.


10

Anvendelseaft‐testforetdatasæt(envariabel)iMuffins

I et udklippet Udklip1 finder vi også andre variable, som vist i Tabel 3 nedenfor.

Tabel 3. Uddrag af observationer for flere variable fra Udklip1.

Vi vil nu undersøge, om gennemsnitshøjden for pigerne i stikprøven er 1,685 m, som oplyst på folkesundhed.dk.

Vores nulhypotese bliver da:

0H : Middelværdien for de tyske pigers højde er 1,685 m, dvs. højdepiger 1,685

Vi bruger datasættet Udklip2 og bestemmer først deskriptorerne for datasættet – her vist i Excel ved hjælp af Dataanalyse3:

Herfra får vi den empiriske middelværdi, empiriske varians samt antal (alle indrammet ovenfor). Vi har dermed de størrelser, vi skal bruge til at teste nulhypotesen, og vi får teststørrelsen:

2,381t .

Den kritiske værdi for t-fordelingen med signifikansniveau 5% og med 248 frihedsgrader kan bestemmes til:

3 Installation af Dataanalyse i Excel sker under Indstillinger > Tilføjelsesprogrammer. En vejledning hertil kan findes flere steder på internettet.


11

Resultat:

Dvs. vores teststørrelse er større end den kritiske værdi, og vi må derfor forkaste vores nulhypotese på et 5% signifikansniveau, under forudsætning af at nulhypotesen er sand, dvs. gennemsnitshøjden for pigerne i stikprøven er ikke 1,685 m. p-værdien kan beregnes til 0,017 dvs. der er kun 1,7% sandsynlighed for at få en lige så stor værdi, som den fra folkesundhed.dk, hvilket jo giver samme konklusion.

Bemærk: Nogle værktøjsprogrammer kan udføre dette t-test automatisk ud fra fx de observerede værdier i tabellen.

Øvelse 12: t-test gennemsnitshøjde for drenge

Undersøg med udgangspunkt i stikprøven Udklip1, om der er belæg for, at drengenes gennemsnitshøjde er 1,810 m. Du vælger selv signifikansniveau.

Øvelse 13: t-test gennemsnitsvægt

Undersøg med udgangspunkt i stikprøven Udklip1, om disse respondenter har en gennemsnitsvægt på 60 kg. Du vælger selv signifikansniveau.

Fordelingaft‐teststørrelsen

Vi vil i det følgende undersøge t-teststørrelsen vha. simulering. Vi opfatter nu vores stikprøve med højderne for de 462 piger og drenge som vores population. Fra populationen udtager vi stikprøver af forskellig størrelse rigtig mange gange for at se, hvordan de mange teststørrelser for hver af disse stikprøver fordeler sig.

Stikprøve på 7 personer

Vi vælger at tage 76 stikprøver på hver 7 tilfældige personer blandt de 462. På figuren nedenfor ses et prikplot og et søjlediagram over fordelingen af de 76 teststørrelser:

Figur 4. Prikdiagram og søjlediagram for 76 værdier af teststørrelsen.

Prikplottet viser de 76 værdier af teststørrelsen, og vi ser, at teststørrelserne er både positive og negative. Mange af teststørrelserne samler sig omkring 0 og færre længere væk fra 0, og vi ser også en vis grad af symmetri omkring 0. Histogrammet viser, at de 76 teststørrelser fordeler sig med tilnærmelse til grafen for tæthedsfunktionen for en t-fordeling med 6 frihedsgrader, og vi skriver teststørrelse 6t t .

Udvider vi fra 76 til 1000 stikprøver og tegner et prikplot med de 1000 teststørrelser, så får vi:


12

Figur 5. Prikdiagram og søjlediagram for 1000 værdier af teststørrelsen.

Konstruerer vi et histogram over fordelingen af de 1000 teststørrelser, finder vi, at histogrammet i endnu højere grad end med de 76 stikprøver følger grafen for tæthedsfunktionen for en t-fordeling med 6 frihedsgrader.

Øvelse 14: Frihedsgrader

Tegn grafen for tæthedsfunktionen for t-fordelingen (benyt den indbyggede tæthedsfunktion i dit værktøjsprogram) med 1, 2, 3, 100 og 1000 frihedsgrader (brug evt. et skyderelement). Hvad minder grafens form dig om? På hvilken måde ændrer grafen udseende, når antal frihedsgrader øges?

Øvelse 15: Kritiske værdier

Bestem og indtegn de kritiske værdier på signifikans niveau 5% sammen med graferne i Øvelse 15 – husk, at t-testet er to-sidet, dvs. p-værdien svarende til den positive kritiske værdi er 2,5%.

Stikprøve på 11 personer

Vi udvider nu stikprøvestørrelsen til 11 personer. På samme vis som før, så tager vi tilfældigt henholdsvis 76 og 1000 stikprøver med hver 11 personer fra de 462 personer. Prikplottene ser nu ud som vist på Figur 6 nedenfor.

Figur 6. Prikdiagram for 76 (venstre) og 1000 (højre) værdier af teststørrelsen.


13

På Figur 7 ses søjlediagrammer for fordelingen af teststørrelserne både i tilfældet med 76 stikprøver og 1000 stikprøver.

Figur 7. Søjlediagram for 76 (venstre) og 1000 (højre) værdier af teststørrelsen.

Igen ser vi, at søjlediagrammet følger grafen for tæthedsfunktionen for t-fordelingen med 10 frihedsgrader bedre des flere stikprøver, vi udtager.

Der gælder følgende sammenhæng mellem stikprøvens størrelse og antallet af frihedsgrader i den aktuelle t-fordeling:

Antal observationer og frihedsgrader

Antallet af frihedsgrader er én mindre end antallet af observationer ved et t-test.

Hypotesetestmedtodatasæt(tovariable)

Arbejdet med t-testet i forrige afsnit efterlader et billede af, at noget lignende kan gøres for to datasæt eksempelvis med data for drengene og pigerne i Tabel 1. Her har vi målinger for to variable, som hver kan

betragtes som udfald af stokastiske variable, hhv. 1iX og 2iX .

Øvelse 16: Boksplot til sammenligning

Bestem kvartilsæt samt middelværdi og konstruer et boksplot for hver af de to variable højde og vægt for hhv. alle piger og alle drenge i Udklip1. Sammenlign herefter med udgangspunkt i boksplot opdelt efter køn pigernes og drengenes vægt. Sammenlign på samme måde pigernes og drengenes højde.

Hvis vi vil sammenligne datasættene, er det oplagt at undersøge, om drengenes og pigernes højde er ens. I stedet for at sammenligne et datasæt med en tabelværdi, som vi gjorde før, vil vi her sammenligne middelværdierne for de to køns højdemålinger. Som ved testet på ét datasæt, tager vi udgangspunkt i de empiriske størrelser og undersøger nulhypotesen:

Pigernes gennemsnitshøjde er den samme som drengenes gennemsnitshøjde

Først må vi dog undersøge, om de to datasæt hver for sig er normalfordelte.

Vi ved allerede at drengenes højdemålinger er normalfordelte. I Figur 8 nedenfor ser vi fraktildiagrammet samt søjlediagrammet for fordelingen af pigernes højde (jf. Øvelse 11).


14

Figur 8: Fraktildiagram og søjlediagram for fordelingen af pigernes højdemålinger.

Fraktildiagrammet giver os god grund til at tro på, at pigernes højder er normalfordelte. Dvs. vi kan gå ud fra, at fordelingen af højdemålingerne for både piger og drenge kan beskrives ved en normalfordeling. Vi

siger også, at den stokastiske variabel i jX , der ligger bag de kønsopdelte data er normalfordelt, og vi

skriver med matematisk notation: 2( , )i j j jX N , hvor j’et betyder, at de to datasæt har forskellige

parametre. Vi skal så nu undersøge om disse parametre kan antages at være ens, dvs. om pigerne og drengene er gennemsnitligt lige høje.

For at kunne sammenligne middelværdierne for hhv. pigernes og drengenes højde, dvs. vurdere forskellen mellem de empiriske middelværdier, må vi også her tage hvert af datasættenes spredning i betragtning.

Derfor får vi brug for en størrelse, der beskriver den fælles varians, 2fs :

Fælles varians for de to datasæt

Den fælles varians for de to datasæt kan beregnes ved

2 2

2

d d p p

fd p

f s f ss

f f

hvor df betegner frihedsgrader, og ds betegner spredningen i relation til drengenes højde –

tilsvarende for pf og ps for pigernes højde.

Øvelse 17: Fælles varians

Benyt dit værktøjsprogram til at bestemme 2fs for de to datasæt i Tabel 1.

Vi vil ikke diskutere 2fs dybere, men blot konstatere at 2

fs indeholder bidrag fra begge datasæt, og at der er

et krav til variationen internt i begge disse, for at vi kan bruge 2fs :

Der må ikke være signifikant forskel på de to variationer.

Det vil sige, at pigernes højdemålinger skal variere ligeså meget (eller lidt) som drengenes højdemålinger, for at vi kan sammenligne de to middelværdier. Hvordan man vurderer om dette er tilfældet, er ikke helt ligetil, men fx kan et boksplot give os et godt billede af om variationerne følger samme mønster:


15

Figur 9. Boksplot for højdemålingerne for drengene og pigerne fra Tabel 1. Af Figur 9 fremgår det, at variationsbredden og kvartilbredden i hvert af de to boksplot er nogenlunde ens, og vi har derfor grund til at tro, at der ikke er signifikant forskel på variationen i de to variable4.

Bemærk, at det kun er variansen, vi forholder os til her – og ikke middelværdien.

På baggrund af overvejelserne ovenfor opstiller vi nulhypotesen og udregner teststørrelsen for sammenligningen af de to datasæts middelværdier:

0H : Middelværdien for pigernes højde og drengenes højde er ens, dvs. d p

Generelt gælder der om t-teststørrelsen i denne sammenhæng:

t-test for to datasæt med ens varians

Den generelle formel til beregning af t-teststørrelsen for to datasæt (her dog eksemplificeret ved datasæt for piger og drenge) er:

2 1 1

d p

fd p

x xt

sn n

hvor dx og px betegner de empiriske middelværdier for hhv. drenge og piger, fs betegner

den fælles varians for piger og drenge, mens dn og pn betegner antallet af observationer for

hhv. drengenes højde og pigernes højde.

Teststørrelsen er t-fordelt med 2d pf n n frihedsgrader, og vi skriver: 2d pn nt t

Ved indsættelse af de kendte værdier i formlen bliver t-teststørrelsen således her:

22,55t

Vi undersøger om denne teststørrelse er kritisk i forhold til nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Da begge datasæt er normalfordelte, finder man, at teststørrelsen er t-fordelt med

2 213 249 2 460d pf n n frihedsgrader.

Den kritiske værdi bestemmes (her beregnet i Excel):

4 Det er også muligt at teste om forskellen mellem de to varianser er signifikant, i dette tilfælde bruges et F-test.


16

Resultat:

Dvs. vores teststørrelse er større end den kritiske værdi, og vi må således forkaste nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Dvs. højderne er ikke ens for de to køn.

Vi kan tilsvarende udregne, at p-værdien bliver meget lille, nemlig 784,3 10 , og at konklusionen ud fra p-

værdien derfor som ventet er den samme. Bemærk: I det følgende og tilsvarende i de opgaver, der stilles til den skriftlige prøve, vil vi forudsætte, at variansen for de aktuelle variable er ens.

Anvendelseaft‐testfortodatasæt(tovariable)iMuffins

I Udklip3 i MuffinsUdklip.xls har vi følgende datasæt:

Tabel 4. Udklip3 med både kategoriske og numeriske variable.

Øvelse 18: Numeriske og kategoriske variable

Hvilke variable indgår i udklippet? Hvilke af disse variable er numeriske henholdsvis kategoriske?

Øvelse 19: Boksplot til sammenligning

Bestem kvartilsæt samt middelværdi, og konstruer boksplot for de tre variable Fritid, Fjernsynstid og Læsetid for hhv. alle piger og alle drenge. Kommenter fordelingen af data for de tre variable.

Med udgangspunkt i denne stikprøve kan vi undersøge forskellige hypoteser, hvor de fire variable indgår.

Vi vil undersøge om gennemsnittet af fritidstimer på en uge for piger er den samme som gennemsnittet af fritidstimer på en uge for drenge. Vi antager, at variansen for piger og drenges fritidstimer er ens. Vores nulhypotese bliver da:

0 fritidpiger fritiddrenge: H


17

Vi sorterer først data, således at vi først har pigernes data og derefter drengenes data. På den måde får vi opdelt vores stikprøve i to mindre stikprøver.

Vi tester nulhypotesen med et t-test og får (her vist i Excel):

Da p-værdien er meget lille, kan vi klart afvise nulhypotesen på et 5% signifikansniveau under forudsætning af, at der er ens varians. Dvs. gennemsnittet af fritidstimer på en uge er forskellig for piger og drenge.

Øvelse 20: Køn og fjernsyn

I Udklip3 finder du observationer fra Muffins for de to variable Køn og Fjernsynstid, hvor variablen Fjernsynstid indeholder respondenternes svar på, hvor mange timer de ser tv pr. uge.

Bestem kvartilsættene, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser fordelingen af fjernsynstid for begge køn.

Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes fjernsynstid kan antages at være ens. Overvej, hvordan dette kommer til udtryk i boksplottene.

Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges fjernsynstid er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

Øvelse 21: Køn og vægt

I Udklip1 finder du observationer fra Muffins for de to variable Køn og Vægt.

Bestem kvartilsættene, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser vægtfordelingen for begge køn.

Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes vægt kan antages at være ens. Overvej, hvordan dette kommer til udtryk i boksplottene.

Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges vægt er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikans-niveau.


18

Kilder

1. Muffins databasen: http://www.mathematik.uni-kassel.de/didaktik/muffins/

2. Statistik, Thomas Bendsen, VIA University College Bioanalytikeruddannelsen, 2009-2012: http://statnoter.biolyt.dk/

3. Statistik i løb, Preben Blæsild og Lars Bo Kristensen, LMFK, 2005, kan købes her: http://www.lmfk.dk/ under bogsalg.

4. Idrætsstatistik, Preben Blæsild og Jørgen Granfeldt, Institut for Matematiske Fag AU, 2001: http://www.uvmat.dk/stat/index.htm.

5. Danskernes højde ifølge Folkesundhed.dk: http://www.si-folkesundhed.dk/Ugens%20tal%20for%20folkesundhed/Ugens%20tal/Danskernes%20h%C3%B8jde.aspx


Fredag den 25. maj 2012kl. 09.00-14.001stx121-MATn/A-25052012

112325.indd 1 20/03/12 07.52

Side 1 af 7 sider










Opgavesættet er delt i to dele:

Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 12 spørgsmål. Delprøve 2 består af 13 spørgsmål. Alle spørgsmål tillægges hver 10 point. Til opgavesættet hører to elektroniske bilag (Excel).

112325.indd 2 20/03/12 07.52

Side 2 af 7 siderStx matematik A Net maj 2012 side 1 af 7

Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 Grafen for en lineær funktion f går gennem punkterne (2,4)P og (10,8)Q .

a) Bestem en forskrift for f .

Opgave 2 To vektorer er givet ved 86

aæ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç-è ø

og 3

btæ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

, hvor t er et tal.

a) Bestem t , så de to vektorer er ortogonale.

b) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder, når 2t = .

Opgave 3 En bold kastes op i luften i

retningen mod en 3 m høj mur (se figur). Boldens bane kan beskrives ved grafen for funktionen

2( ) 0,2 2,4 0,5f x x x=- + + , hvor x er målt i m.

a) Kommer bolden over muren?

Opgave 4 En linje l har retningsvektor 43

ræ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç-è ø

og går gennem punktet (12, 3)P - .

a) Bestem en ligning for l .

10 m

?

(1)

(2)

3 m

112325.indd 3 20/03/12 07.52


Opgave 5 I en model kan en virksomheds omkostninger ved produktion af x enheder af en bestemt

vare beskrives ved funktionen

2( ) 0,02 10 5000O x x x ,

hvor O betegner omkostningerne målt i kr.

a) Bestem (10)O¢ , og giv en fortolkning af dette tal.


32( ) 4f x xx

= - , 0x> .

a) Bestem en forskrift for den stamfunktion til f , hvis graf går gennem punktet (1,3)P .

Opgave 7 To funktioner f og g er givet ved

2( ) 3 1f x x= + og ( ) 6 1g x x= + .

Graferne for f og g afgrænser et område M , der har et areal (se figur).

a) Bestem arealet af M .

Opgave 8 Af et rektangulært stykke papir med

sidelængderne x og y (målt i cm) afklippes et hjørne med sidelængderne 3 cm og 4 cm.

a) Bestem areal og omkreds af det tiloversblevne stykke papir udtrykt ved x og y.

2

gf

y

x

M

3 cm

4 cm

x

y

112325.indd 4 20/03/12 07.52


Opgave 9 Et tredjegradspolynomium har forskriften

3( ) 27 100.f x x x= - +

På figuren ses en skitse af graferne for tre tredjegradspolynomier. a) Gør rede for hvilken af de tre grafer A, B og C, der

er graf for f .

Opgave 10 På figuren ses et rektangel ABCD , hvor punktet E ligger på AB , og punktet F ligger på

AD , således at BD og EF er parallelle. Det oplyses, at rektanglets areal er 32 samt at 8AB og 3AF .

a) Bestem AE .

b) Bestem arealet af firkant EBDF .


3

8

E

F

C

B

D

A

A

BC

(2)

112325.indd 5 20/03/12 07.52

Side 5 af 7 sider


Delprøve 2

Kl. 09.00 - 14.00

Opgave 11 Tabellen viser udviklingen i Kinas samlede vindmøllekapacitet (målt i MW) i perioden 2003-2010.

Årstal 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Vindmøllekapacitet 568 765 1272 2559 5871 12024 25828 44733 I en model kan Kinas samlede vindmøllekapacitet i perioden 2003-2010 beskrives ved

( ) tk t b a= ⋅ ,

hvor ( )k t betegner Kinas samlede vindmøllekapacitet (målt i MW) til tidspunktet t (målt i år efter 2003).

a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b .

b) Bestem fordoblingstiden.

Det oplyses, at USAs samlede vindmøllekapacitet i samme periode kan beskrives ved

6069,9 1, 06) 3 6( tu t = ⋅ ,

hvor ( )u t betegner USAs samlede vindmøllekapacitet (målt i MW) til tidspunktet t (målt i år efter 2003).

c) Bestem det år, hvor Kinas samlede vindmøllekapacitet oversteg USAs samlede vindmøllekapacitet.

Kilde: Global Wind Report, Annual market update 2010, Global Wind Energy Council, Belgium, April 2011. Opgave 12 En fisk af arten Pintado fodres med

en bestemt slags krebsdyr, hvorved det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv forøges. I en model kan udviklingen i det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv beskrives ved differentialligningen Pintado (Foto: Lerdsuwa)

5,1742 0,1584dM Mdt

= - ,

hvor ( )M t betegner det relative kulstof-13-indhold (målt i promille) til tiden t (målt i døgn efter påbegyndt fodring).

Det oplyses, at det relative kulstof-13-indhold var 20 promille, da fodringen blev påbegyndt.

a) Bestem en forskrift for M .

b) Skitsér grafen for M , og bestem den øvre grænse for det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv.

112325.indd 7 20/03/12 07.52


Opgave 13 Stikprøven i bilag 1 (Bilag_1_Opgave13.xls) består af observationer fra Muffins for de to

variable Køn og Biografbesøg, hvor variablen Biografbesøg indeholder respondenternes svar på, hvor ofte de går i biografen.

a) Opstil en krydstabel, der kombinerer de to variable Køn og Biografbesøg.

b) Undersøg, om nulhypotesen:

Hvor ofte man går i biografen er uafhængigt af køn

kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

Opgave 14 På figuren ses en model af en skrå teaterscene indlagt i et koordinatsystem med enheden

1 m på akserne, således at scenegulvet er udspændt af punkterne A, B, C og D.

a) Bestem en ligning for den plan , som scenegulvet er en del af.

I punktet (9, 6,10)P er der ophængt en projektør. Centrum af projektørens lysstråle kan i modellen beskrives ved en del af linjen l med parameterfremstillingen

9 86 1010 19

xy tz

, Rt Î .

b) Bestem koordinatsættet til det punkt F , hvori centrum af lysstrålen rammer scenegulvet.

A(10,0,0)

D(0,1,1)C(0,19,1)

B(10,20,0)

P(9,6,10)

x

z

y

F

112325.indd 8 20/03/12 07.52

Side 7 af 7 sider


Opgave 15

Et stykke pap skal foldes til en æske uden låg. Æskens bund har form som en ligesidet trekant med sidelængde x. Siderne i æsken har højden h og bredden x. Alle mål er i cm.

a) Bestem æskens volumen og overfladeareal udtrykt ved x og h.

Æskens rumfang skal være 75 cm3.

b) Bestem æskens overfladeareal udtryk ved x, og bestem den værdi af x, der giver æsken det mindste overfladeareal, når 0 20x< < .


variable Køn og Sengetid.

a) Bestem kvartilsættet for hvert køn, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser fordelingen af sengetid.

Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes sengetid kan antages at være ens.

b) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges sengetid er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

h

h

x

x x

60° 60°

60°

x

112325.indd 9 20/03/12 07.52


Torsdag den 31. maj 2012kl. 09.00-14.002stx121-MATn/A-31052012

112362.indd 1 20/03/12 07.54

Side 1 af 7 sider

Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar

præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.









Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 12 spørgsmål. Delprøve 2 består af 13 spørgsmål. Alle spørgsmål tillægges hver 10 point. Til opgavesættet hører to elektroniske bilag (Excel).

112362.indd 2 20/03/12 07.54


Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 To vektorer er givet ved

35

aæ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

og

106

bæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

.

a) Gør rede for, at de to vektorer er ortogonale.

Opgave 2

a) Undersøg, om 2 er en løsning til ligningen 3 26 4 8 0.x x x- + + =

Opgave 3 Udviklingen i antallet af besøgende på en bestemt blog kan i en bestemt registrerings-

periode beskrives ved funktionen

( ) 58 1,35 tN t = ⋅

hvor ( )N t betegner antallet af besøgende t måneder efter registreringsperiodens start.

a) Gør rede for, hvad tallene 58 og 1,35 fortæller om udvikling i antallet af besøgende på bloggen.

Opgave 4 En cirkel har ligningen

2 22 6 8 0.x x y y- + + + =

a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum. En linje er bestemt ved parameterfremstillingen

0 1

, .2 1

Rx

t ty

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + ⋅ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -è ø è øÎ

è ø

b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

112362.indd 3 20/03/12 07.54



3 2( ) 4 16 12f x x x x= - + .

a) Bestem 1

0( ) .f x dxò

Det oplyses, at

3

1

32( )3

f x dx- =ò .

b) Gør rede for betydningen af tallet 323

.


( ) 6ln 2 , 0f x x x x= - > .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1, (1))P f .

b) Bestem monotoniforholdene for f .

Opgave 7 Et andengradspolynomium f er givet ved

2( )f x ax bx c= + + . Grafen for f går gennem de to punkter A og B.

Grafen for f har i punktet A en tangent t , der har ligningen 2 1.y x=- +

a) Bestem en forskrift for f .

1 3

f

x

y

2

A(0,1)

B(2,5)

(1)

(2)

ft

112362.indd 4 20/03/12 07.54

Side 4 af 7 sider


Opgave 8 Et kaninbur er bygget op ad en mur, således at burets gavl har form som en retvinklet

trekant (se figur). I gavlen skal der udskæres en rektangulær åbning som vist på figuren. Rektanglets højde betegnes h , og rektanglets bredde betegnes b . Alle mål er i dm.

a) Bestem højden af buret, og vis, at rektanglets højde udtrykt ved rektanglets bredde er

346 .h b= -

b) Bestem rektanglets areal udtrykt ved b , og bestem b , så rektanglets areal bliver størst

muligt.


10

8

h

b

Burets højde

112362.indd 5 20/03/12 07.54


Delprøve 2

Kl. 09.00 – 14.00

Opgave 9 I trekant ABC er 5AB = , 7AC = og 33A = .

a) Bestem BC og C .

Opgave 10

Tabellen viser sammenhørende værdier af længde og vægt for fisk i en population af tunfisk.

Længde (cm) 58 80 85 86 90 100

Vægt (kg) 4,31 10,67 12,49 13,39 15,21 19,98 I en model kan sammenhængen mellem længde og vægt for tunfisk i populationen beskrives ved

( ) ,aM l b l= ⋅

hvor M betegner vægten (målt i kg), og l betegner længden (målt i cm).

a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b .

b) Benyt modellen til at bestemme længden af en tunfisk, der vejer 14 kg.

c) Benyt modellen til at bestemme den procentvise ændring i en tunfisks vægt, når dens længde øges med 30% .

Kilde: GILL DIMENSIONS FOR THREE SPECIES OF TUNNY, BY B. S. MUIR AND G. M. HUGHES Hydronautics Incorporated, Maryland, U.S.A. 1969.

112362.indd 7 20/03/12 07.54

Side 6 af 7 sider Stx matematik A Net maj 2012 side 5 af 6


2( ) (4 ) e .xf x x -= - ⋅ Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første og anden kvadrant et område M, der har et areal. a) Skitsér grafen for f , og bestem arealet af M.


variable Køn og Talkshows, hvor variablen Talkshows indeholder svar på, hvor interesseret respondenten er i talkshows.

a) Opstil en krydstabel, der kombinerer de to variable Køn og Talkshows i stikprøven.


Interessen for talkshows er uafhængigt af køn


Opgave 13 Over 90% af Kinas perleproduktion kommer

fra en bestemt perleøsters, Pinctada martensii. Udviklingen i vægten for en af disse perleøsters kan beskrives ved differentialligningen

0,00018 (53,63 )dV V Vdt

= ⋅ ⋅ - ,

hvor ( )V t betegner vægten (målt i g) til tiden t(målt i døgn).

Det oplyses, at vægten var 0,59 g, da man påbegyndte målingerne.

a) Bestem en forskrift for ( )V t .

b) Bestem det tidspunkt, hvor vægttilvæksten er størst.

Kilde: Growth of Cultured Pearl Oyster (Pinctada martensii) in Li'an Lagoon, Hainan Island, China, Gu Zhifeng m.fl., Journal of Shellfish Research, 28(3): 465-470. 2009.

Foto: Wikimedia Commons

112362.indd 8 20/03/12 07.54



2( ) (4 ) e .xf x x -= - ⋅ Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første og anden kvadrant et område M, der har et areal. a) Skitsér grafen for f , og bestem arealet af M.


variable Køn og Talkshows, hvor variablen Talkshows indeholder svar på, hvor interesseret respondenten er i talkshows.

a) Opstil en krydstabel, der kombinerer de to variable Køn og Talkshows i stikprøven.


Interessen for talkshows er uafhængigt af køn


Opgave 13 Over 90% af Kinas perleproduktion kommer

fra en bestemt perleøsters, Pinctada martensii. Udviklingen i vægten for en af disse perleøsters kan beskrives ved differentialligningen

0,00018 (53,63 )dV V Vdt

= ⋅ ⋅ - ,

hvor ( )V t betegner vægten (målt i g) til tiden t(målt i døgn).

Det oplyses, at vægten var 0,59 g, da man påbegyndte målingerne.

a) Bestem en forskrift for ( )V t .

b) Bestem det tidspunkt, hvor vægttilvæksten er størst.

Kilde: Growth of Cultured Pearl Oyster (Pinctada martensii) in Li'an Lagoon, Hainan Island, China, Gu Zhifeng m.fl., Journal of Shellfish Research, 28(3): 465-470. 2009.



Opgave 14

Af en klods med sidelængderne 3 m, 4 m og 5 m afskæres et hjørne. På figuren ses en model af klodsen indtegnet i et koordinatsystem med enheden meter på alle akser. a) Bestem arealet af snitfladen. b) Bestem afstanden fra snitfladen til det modstående hjørne.


variable Køn og BMI.

a) Bestem kvartilsættet for hvert køn, og tegn for hvert køn, et boksplot, der viser fordelingen af BMI.

Det oplyses, at variansen for pigers og drenges BMI kan antages at være ens.

b) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges BMI er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

112362.indd 9 20/03/12 07.54

Ikke offentliggjort



onsdag 15. august 2012

Kl. 09.00 – 14.00

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2012

frs122-MATn/A-15082012

Ikke offen

Ikke offentliggjort











Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 12 spørgsmål. Delprøve 2 består af 13 spørgsmål. Alle spørgsmål tillægges hver 10 point. Til opgavesættet hører et elektronisk bilag (Excel).


Ikke offentliggjort

Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1

Trekanterne ABC og DFE er retvinklede og ensvinklede.

Nogle af sidelængderne er opgivet på figuren.

a) Bestem BC og DF .

Opgave 2

I et koordinatsystem i planen er to vektorer a

og b

givet ved

3

at


og 2

8b


.

a) Bestem t, så a

og b

er parallelle.

Opgave 3

En andengradsligning er givet ved

2 36 0.x b x+ + =

a) Løs andengradsligningen, når 13b = .

b) Bestem de værdier af b, for hvilke andengradsligningen har netop én løsning.

Opgave 4

I et koordinatsystem i planen er givet to punkter (1,2)C og ( 2,6)P - .

a) Opskriv en ligning til cirklen, der går gennem P og har centrum i C.

b) Bestem en ligning for cirklens tangent i P.

A

B

C D

5 5

3

E

F

Stx matematik A Net august 2012 side 2 af 5 Ikke

Ikke offentliggjort

Opgave 5

En funktion f er løsning til differentialligningen

1

, 0,dy y

xdx x

-= >

og grafen for f går gennem punktet (2,7).P

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

Opgave 6

En funktion f er givet ved

( ) ln 3, 0.f x x x x x= ⋅ - + >

a) Bestem monotoniforholdene for f.

Opgave 7

En funktion f er bestemt ved

2( ) 6 3 , 0.f x x x x= + >

a) Bestem en forskrift for den stamfunktion til f , hvis graf går gennem punktet (1, 2).P

Opgave 8

For en steg i en ovn, kan stegens indre temperatur beskrives ved

0,011( ) 107 100 e xT x - ⋅= - ⋅ ,

hvor ( )T x er stegens indre temperatur (målt i °C) x minutter efter stegen er sat i ovnen.

a) Bestem (0)T ¢ , og giv en fortolkning af dette tal.

Opgave 9 En figur er sammensat af et kvadrat med sidelængden x samt en ligebenet trekant med højden h .

Det oplyses, at trekantens areal og kvadratets areal er lige store.

a) Bestem højden h i trekanten udtrykt ved x.

b) Bestem omkredsen af figuren, når arealet af kvadratet er 4.


x

x

h


Ikke offentliggjort

Delprøve 2

Kl. 09.00 - 14.00

Opgave 10 Tabellen viser sammenhørende værdier af vægt (målt i kg) og hvilestofskifte (målt i kcal/døgn) for forskellige pattedyr.

Vægt (kg) 0,3 2,4 6,4 13 29,3 51,8 59,6

Hvilestofskifte (kcal/døgn) 28 135 293 520 956 1394 1591

I en model kan hvilestofskiftet som funktion af vægten beskrives ved en funktion af typen

( ) af x b x= ⋅ ,

hvor ( )f x betegner hvilestofskiftet i kcal/døgn for et pattedyr, der vejer x kg.

a) Bestem a og b.

b) Benyt modellen til at bestemme hvilestofskiftet for et pattedyr, der vejer 20 kg.

c) Bestem ændringen i hvilestofskiftet ved en vægtforøgelse på 15%.

Opgave 11 I en model kan den globale 2CO -udledning beskrives ved

960,297 10( 1,03) 1tP t ,

hvor ( )P t betegner den årlige globale 2CO -udledning (målt i tons) til tidspunktet t (målt i år efter 1950).

a) Gør rede for, hvad konstanternes i modellen fortæller om udviklingen i den globale

2CO -udledning efter 1950.

I en anden model kan befolkningsudviklingen i verden beskrives ved

7 9( ) 6,72 10 2,594 10 ,N t t

hvor ( )N t betegner befolkningstallet i verden til tidspunktet t (målt i antal år efter 1950).

b) Opstil en model, der beskriver den gennemsnitlige 2CO -udledning pr. person (målt i

tons) som funktion af tiden t (målt i år efter 1950), og benyt modellen til at give et skøn over den gennemsnitlige 2CO -udledning pr. person pr. år i 2012.


Ikke offentliggjort

Opgave 12 Nedenstående tabel viser observationer fra Muffins for de to variable Køn og Cafebesøg, hvor variablen Cafebesøg indeholder respondenternes svar på, hvor ofte de går på café.

Cafebesøg

Køn

Mere end en gang pr. uge

En gang pr. uge

En til to gange om måneden

Sjældnere end en gang om måneden

Dreng 55 93 42 42

Pige 60 112 93 37

a) Undersøg, om nulhypotesen: Hvor ofte man går på cafe er uafhængigt af køn kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

Opgave 13 På figuren ses en model af en stålkonstruktion, som danner indgangen til et underjordisk udstillingsrum i en museumshave. Hele konstruktionen er indtegnet i et koordinatsystem, hvor enheden på akserne er 1 m.

(7,3,0)A

(1,1,6)B

( 5,13,0)C -

(1,8,0)D

(4,2,3)E

( 1,5,4)F -

(0,0,0)O

a) Bestem ligningen for den plan , der indeholder sidefladen ODE .

b) Bestem afstanden fra F til sidefladen ODE .

Stålkonstruktionen ABC er en del af planen , der har ligningen

5 6 7 53x y z+ + = .

c) Bestem den stumpe vinkel mellem sidefladen ODE og b .

A

B

C

D

F

E

O

x

y

z


Ikke offentliggjort


2( ) 1 0,1f x x ,

Det oplyses, at tangenten til grafen for f i

punktet (5, (5))P f har ligningen

1,5y x= - .

Grafen for f og tangenten i P afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M, der har et areal (se figur).

Formen for en bestemt lerskål fremkommer ved, at punktmængden M drejes 360 omkring førsteaksen.

a) Bestem førstekoordinaten for tangentens skæringspunkt med førsteaksen, og bestem skålens lerrumfang.

Opgave 15

I en model for en raket, der skydes lodret op, er rakettens fart som funktion af tiden en løsning til differentialligningen

1 300

9,81 , 015 15

14tdv

vdt t t

- ⋅ = --

£ £-

hvor ( )v t er rakettens fart (målt i m/s) til tidspunktet t sekunder efter affyring. Til tidspunktet 0t = er rakettens fart 0 m/s.

a) Bestem en forskrift for v, og bestem det tidspunkt, hvor rakettens fart når 1000 m/s. Foto: NASA


variable Køn og Arbejdstid.

a) Bestem kvartilsættet for hvert køn, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser fordelingen af arbejdstid.

Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes arbejdstid kan antages at være ens.

b) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge, om middelværdien for pigers og drenges arbejdstid er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

(2)

(1)

P

f

M

5



Mandag den 6. maj 2013stx131-MATn/A-06052013

121729.indd 1 04/03/13 08.52

Forberedelsesmaterialetilstx‐A‐NetMATEMATIKDer skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve.





Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning

Indhold

Indledning ...................................................................................................................................................... 1

Funktioner af en variabel ............................................................................................................................... 2

Funktioner af to variable ............................................................................................................................... 3

Partiel differentiation ..................................................................................................................................... 6

Gradient ......................................................................................................................................................... 7

Tangentplaner ................................................................................................................................................ 9

Ekstrema for funktioner af en variabel ........................................................................................................ 11

Ekstrema for funktioner af to variable ......................................................................................................... 13

Dobbeltafledede og blandede afledede ........................................................................................................ 15


1

IndledningEmnet for dette forberedelsesmateriale er funktioner af to variable. Med udgangspunkt i din viden om differentialregning for funktioner af én variabel skal du arbejde med differentialregning for funktioner af to variable. Bemærk, at der ikke stilles skriftlige eksamensopgaver omhandlende snit- og niveaukurver. Disse er dog nødvendige for at belyse emnet teoretisk.

På nettet findes mange ressourcer med animationer i relation til dette emne se fx Animated Demonstrations for Multivariable Calculus, af John F. Putz, Mathematics and Computer Science Department, Alma College, Michigan: http://archives.math.utk.edu/ICTCM/VOL10/C009/paper.html.

Forberedelsesmaterialet er inspireret af MATEMATIK OG DATABEHANDLING: NOTER OM MATEMATIK, KVL, 2006, Henrik Laurberg Pedersen og Thomas Vils Pedersen.


2

Funktionerafenvariabel

Når vi tegner grafen for en funktion f , så vælger vi at tegne et udsnit af grafen forstået på den måde, at vi vælger et grafvindue, så vi får et relevant indtryk af grafens forløb. Vi kan vælge at fokusere på sammenhængen mellem bestemte x-værdier og y-værdier på grafen for f .

Eksempel 1: Lodret og vandret snit

Andengradspolynomiet 2( )f x x= er et eksempel på en funktion af én variabel – her er x den uafhængige

variabel, og ( )y f x= er den afhængige variabel. Hvis vi vælger grafvinduet, hvor x-værdierne ligger i

intervallet [ ]5;5- og y-værdierne i intervallet [ ]1;30- , så får vi følgende grafiske billede:

Vi skriver, at vi har valgt grafvinduet [ 5;5] [ 1;30]- ´ - .

Vælger vi en bestemt x-værdi fx 0x x= , så får vi en bestemt funktionsværdi 0 0( )y f x= . Dette kan vi

illustrere grafisk ved at bestemme skæringspunktet mellem parablen og den lodrette linje 0x x= . Dette

kalder vi et lodret snit af parablen. Vælger vi omvendt en bestemt funktionsværdi 0y y= , kan vi grafisk

illustrere de tilhørende x-værdier ved at bestemme skæringspunkterne mellem parablen og en vandret linje

0y y= . Dette kalder vi et vandret snit af parablen.

Øvelse 1

En funktion f er givet ved 2

6( )

3

xf x

x=

+.

a) Tegn grafen for f i et relevant grafvindue.

b) Tegn i samme grafvindue det lodrette snit mellem grafen for f og linjen med ligningen 2x = .

c) Tegn i samme grafvindue det vandrette snit mellem grafen for f og linjen med ligningen 1y = .

0x x=

0y y=


3

Funktioneraftovariable

Vi vil nu udvide funktionsbegrebet til at omfatte funktioner af to variable, dvs. funktioner, hvor der er to uafhængige variable og en afhængig variabel. Grafen for en funktion af to variable er en tredimensional figur. Givet en funktion af to variable ( , )f x y får vi for hvert par af x-værdier og y-værdier en z-værdi

( , )z f x y= .

Eksempel 2: Grafen for en funktion af to variable

Funktionen 2 2( , )f x y x y= + er et eksempel på en funktion af to variable, hvor x og y er de uafhængige

variable, og ( , )z f x y= er den afhængige variabel.

Grafen for f kan tegnes i et (x, y, z)-koordinatsystem, og hvis vi vælger grafvinduet

[ 3,3] [ 3,3] [ 2,5],- ´ - ´ - så får vi:

Øvelse 2

Tegn den tilsvarende graf for 2 2( , )f x y x y= + i dit værktøjsprogram. Vælg selv et grafvindue, så du får et

relevant udsnit af grafen for f .

Definition 1: Funktion af to variable

Grafen for en funktion af to variable ( , )z f x y= består af punkterne ( , , ) ( , , ( , ))x y z x y f x y= , hvor x og ygennemløber de reelle tal, medmindre andet er angivet.

Lodret snit og punkt

Betragter vi nu funktioner af to variable, så kan vi vælge at holde en af de to uafhængige variable fast, dvs.

0x x= eller y = y0, eller holde begge de uafhængige variable fast, dvs. x = x0 og y = y0. De tre forskellige

situationer kan beskrives som følger:


4

0x x= og y variabel x variabel og 0y y= 0x x= og 0y y=

Hvis vi vælger 0 1x = , får vi en funktion af én variabel, nemlig variablen y: 2(1, ) 1f y y= + .

Grafen for denne funktion er en parabelformet rende, som vist på figuren. Funktionen kaldes en snitfunktion i y, og grafen kaldes en snitgraf for f .

Hvis vi vælger 0 1y = , får vi en funktion af én variabel, nemlig variablen x: 2( ,1) 1f x x= + .

Grafen for denne funktion er en parabelformet rende, som vist på figuren. Funktionen kaldes en snitfunktion i x, og grafen kaldes en snitgraf for f .

Hvis vi vælger 0 1x = og 0 1y = , får vi et punkt på grafen fordi z-koordinaten er givet, idet

0 0 0( , )z f x y= . Punktets koordinater bliver:

0 0 0( , , ) (1,1, (1,1)) (1,1,2)x y z f= = .

Definition 2: Snitfunktion og snitkurve

En snitfunktion for en funktion f af to variable er defineret ved

( ) ( , )g x f x y= , hvor y holdes fast eller

( ) ( , )g y f x y= , hvor x holdes fast.

Graferne for ( )g x og ( )g y kaldes for snitkurver for f i henholdsvis x og y.

Øvelse 3

Der er givet en funktion af to variable 2 2( , )f x y x y= + .

a) Bestem en forskrift for snitfunktionen for f i x, når 0 2y = .

b) Bestem en forskrift for snitfunktionen for f i y, når 0 2x = .

c) Bestem punktet på grafen for f, når 0 2x = og 0 2y = .

Eksempel 3: Niveaukurve

For funktionen

2 2( , )f x y x y= +

kan vi også vælge en fast værdi for den afhængige variabel fx. 4z = . Således er:

( , ) 4f x y = dvs. 2 2 4x y+ = .


5

Den kurve, der fremkommer ved dette vandrette snit parallelt med xy-planen kaldes en niveaukurve, og er i dette tilfælde en cirkel. På nedenstående figurer ses niveaukurven fra forskellige vinkler.

Definition 3: Niveaukurve

En niveaukurve for en funktion f af to variable er den skæringskurve, der fremkommer, når grafen for f skæres af en vandret plan (dvs. en plan parallel med xy-planen) med ligningen z k= , hvor k er en konstant.

Niveaukurven kan således beskrives ved ligningen: ( , )f x y k= .

Øvelse 4

Bestem ligningen for niveaukurven for funktionen 2 2( , )f x y x y= + , når 81k = .

For hvilke værdier af k findes der ingen niveaukurve for f ?

Øvelse 5

To funktioner f og g af to variable er givet ved

2 2

6( , )

3

xf x y

x y=

+ + og

2 2

6( , )

3

yg x y

x y=

+ +.

a) Tegn grafen for hver af funktionerne f og g.

b) Tegn grafen for snitfunktionen for f og g i x , når 0 2y = .

c) Tegn grafen for snitfunktionen for f og g i y, når 0 2x =- .

d) Tegn niveaukurven for f og g, når 1k = .

Øvelse 6

Tegn graferne for

2 2

6( , )

3

xf x y

x y=

+ +

og

2 2

6( , )

3

yg x y

x y=

+ + ,

og sammenlign de grafiske forløb under inddragelse af snitfunktioner samt niveaukurver for f og g.


6

Øvelse 7

Volumenet af en cylinder er givet ved 2πV r h= ⋅ ⋅ , hvor r er radius og h er højden i cylinderen.

a) Hvordan kan udtrykket for cylinderens volumen skrives som en funktion af to variable?

b) Tegn grafen for funktionen af to variable, og undersøg denne grafisk med henblik på snitkurver og niveaukurver.

Partieldifferentiation

Differentiation er et centralt begreb i forbindelse med funktioner af én variabel, da differentialkvotienten i et givet punkt bestemmer tangentens hældningskoefficient i punktet og dermed fortæller, hvorledes grafen for funktioner af én variabel forløber.

Øvelse 8

Repetér regneregler for differentiation af funktioner af en variabel.

Når vi skal differentiere funktioner af to variable, ser vi på én variabel ad gangen.

Vi betragter altså de to snitfunktioner, hvor vi opfatter henholdsvis x og y som en konstant, og differentierer snitfunktionerne jf. de regneregler, der gælder for funktioner af en variabel.

Dette kaldes partiel differentiation, og vi får to afledede funktioner, der kaldes de partielt afledede.

Definition 4: Partielt afledede

Den partielt afledede ( , )xf x y¢ af ( , )f x y mht. til x bestemmes ved at differentiere snitfunktionen

( ) ( , )g x f x y= , når y fastholdes. Der gælder altså ( , ) ( )xf x y g x¢ ¢= .

På samme måde bestemmes den partielt afledede ( , )yf x y¢ af ( , )f x y mht. y ved at differentiere

snitfunktionen ( ) ( , )g y f x y= , når x fastholdes. Der gælder altså ( , ) ( )yf x y g y¢ ¢= .

De partielt afledede af ( , )f x y mht. x og y betegnes også ( , )f x yx

¶¶

hhv. ( , )f x yy

¶¶

.

Eksempel 4: Partielt afledede

De partielt afledede af funktionen 2 2( , )f x y x y= + bestemmes ved at differentiere de to snitfunktioner 2 2( )g x x y= + , hvor først y holdes konstant og dernæst x holdes konstant:

2 2( , ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2xf x y g x x y x x¢ ¢ ¢ ¢= = + = + = .

Tilsvarende fås:

2 2( , ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2yf x y g y x y y y¢ ¢ ¢ ¢= = + = + = .

Øvelse 9

Bestem de partielt afledede af funktionen 2 2( , )f x y x y= + vha. dit værktøjsprogram.


7

Eksempel 5: Partielt afledede

Vi bestemmer de partielt afledede af funktionen2 2

6( , )

4

yf x y

x y=

+ +.

Først bestemmer vi den afledede mht. x, hvor vi anvender kædereglen for differentiation af sammensat

funktion: 2 2 2 2 2 2 2 2

6 6 12( , ) ( ) 2

4 ( 4) ( 4)x

y y xyf x y g x x

x y x y x y

¢æ ö - -÷ç¢ ¢ ÷= = = ⋅ =ç ÷ç ÷ç + + + + + +è ø

Derefter bestemmer vi den afledede mht. y, hvor vi anvender produktreglen og kædereglen:

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 1( , ) ( ) 6

4 4

1 6 12 66 2

( 4) 4 ( 4) 4

y

yf x y g y y

x y x y

yy y

x y x y x y x y

¢ ¢æ ö æ ö÷ ÷ç ç¢ ¢ ÷ ÷= = = ⋅ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ + + +è ø è ø

- -= ⋅ ⋅ + = +

+ + + + + + + +

De ovenstående partielt afledede kan også bestemmes vha. et værktøjsprogram.

Øvelse 10

Bestem vha. dit værktøjsprogram de partielt afledede for funktionen2 2

6( , )

3

xf x y

x y=

+ +.

Øvelse 11

Bestem vha. dit værktøjsprogram de partielt afledede af følgende funktioner:

a) 3 1( , ) ,f x y x y x y

x y= ⋅ + ¹-

+

b) 3( , ) ( ) 4f x y x y= + +

c) ( , ) ex yf x y +=

En funktion af to variable siges at være differentiabel, hvis de partielt afledede findes og er kontinuerte. Dette vil vi ikke gå i nærmere detalje med her, men blot oplyse, at de funktioner af to variable, der omtales i det følgende, alle er differentiable.

Gradient

For en funktion f af en variabel gælder, at den afledede funktion 0( )f x¢ angiver hældningskoefficienten for

tangenten til grafen for f i punktet 0 0 0 0( , ) ( , ( ))x y x f x= .

Tilsvarende gælder der for en funktion f af to variable, at den partielt afledede 0 0( , )xf x y¢ beskriver

hældningskoefficienten for tangenten i punktet 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ( , ))x y z x y f x y= på snitgrafen for

snitfunktionen g(x), og ( , )yf x y¢ angiver hældningskoefficienten for tangenten i punktet

0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ( , ))x y z x y f x y= på grafen for snitfunktionen g(y).

De to partielt afledede er henholdsvis første- og andenkoordinat for en vektor, der kaldes gradienten for f .


8

Definition 5: Gradient

For en funktion ( , )f x y med partielt afledede ( , )xf x y¢ og ( , )yf x y¢ defineres gradienten for f som

( , )

grad( )( , )( , )

x

y

f x yf x y

f x y

æ ö¢ ÷ç ÷ç= ÷ç ÷¢ ÷çè ø

Gradienten har den egenskab, at den peger i den retning, hvor funktionsværdien har den største positive ændring. Det betyder med andre ord, at hvis vi står i et punkt på grafen for f , så vil gradienten, tænkt som en vektor i xy-planen, angive den retning, hvor grafen er stejlest. Omvendt vil funktionsværdien have den største negative ændring i den modsatte retning af, hvor gradienten peger hen. På det websted, der er nævnt i indledningen, er der adgang til en animation (nr. 10), der viser forskellige tangenter til grafen for en funktion i et bestemt punkt (direkte link: http://archives.math.utk.edu/ICTCM/VOL10/C009/dd.gif). Man kan se, at tangenten i punktet er stejlest, når den peger i retning af gradienten, som er angivet ved en grøn streg nederst i xy-planen.

Eksempel 6: Grafens stejlhed i et bestemt punkt på grafen

Gradienten af funktionen 2 2( , )f x y x y= + er som nævnt ovenfor:

2grad( )( , )

2

xf x y

y

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø.

Gradienten i punktet (1, 3, (1,3))P f er derfor:

2 1 2grad( )(1,3)

2 3 6f

æ ö æ ö⋅ ÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç⋅è ø è ø

Det betyder, at i punktet (1,3, (1,3))P f er grafen for f stejlest i positiv henseende langs gradientens retning,

dvs. 2 hen ad x-aksen og 6 ud ad y-aksen. Grafen for funktionen f er stejlest i negativ henseende langs

vektoren 2

6

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç-è ø.

Eksempel 7: Grafens stejlhed langs koordinatakserne

Gradienten for funktionen 2 2

6( , )

2

yf x y

x y=

+ + er

2 2 2

2 2

2 2 2

12( , ) ( 2)

grad( )( , )( , ) 6( 2)

( 2)

x

y

xyf x y x y

f x yf x y x y

x y

æ ö- ÷ç ÷ç ÷æ ö ç¢ + + ÷ç÷ç ÷÷ ç ÷ç= =÷ ç ÷ç ÷¢ ÷ç÷ç - +è ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç + +è ø

Gradienten i punktet (0,0,0)O er derfor: 0

grad( )(0,0)3

fæ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

.

Det betyder, at i (0,0,0)O er grafen stejlest i positiv henseende, når man bevæger sig langs y-aksen.

Øvelse 12

Bestem vha. dit værktøjsprogram gradienterne i de to foregående eksempler.


9

Øvelse 13

To funktioner f og g er givet ved

2 2

( , )x y

f x yx y

+=

+ og 2 2( , ) 16 2g x y x y= - - .

a) Bestem gradienten for f i punktet (1,1, (1,1))f .

b) I hvilken retning er ændringen i funktionsværdien for f stejlest i henholdsvis positiv og negativ henseende?

c) Bestem gradienten for g i (1,2,g(1,2)).

d) I hvilken retning er ændringen i funktionsværdien for g stejlest i henholdsvis positiv og negativ henseende?

Tangentplaner

En graf for en funktion af to variable har uendelig mange tangenter i ethvert punkt. Gradienten er en retningsvektor for den stejleste af tangenterne i et punkt. Tangenterne til grafen for f i et punkt udspænder tilsammen en plan. Denne plan kaldes tangentplanen for f .

Nedenstående sætning angiver, hvordan vi kan bestemme en ligning for en tangentplan til grafen for f i et givet punkt, men først repeteres kort teorien om planer i rummet. Ligningen for en plan kan bestemmes ud

fra en normalvektor

a

n b

c

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

samt et fast punkt i planen 0 0 0 0( , , )P x y z . Normalvektoren n står som bekendt

vinkelret på planen, og dermed også vinkelret på alle vektorer i planen. For et vilkårligt punkt ( , , )Q x y z i

planen, må derfor gælde, at vektoren 0P Q

står vinkelret på n .

Da prikproduktet mellem to vektorer, der står vinkelret på hinanden, er 0, får vi

0

0 0

0

0

x xa

n P Q b y y

c z z

æ öæ ö - ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷⋅ = ⋅ - =çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷÷ ÷çç -è ø è ø

Og når vi udregner prikprodukt, får vi ligningen for tangentplanen

0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z⋅ - + ⋅ - + ⋅ - = .

Sætning 1: Tangentplan

Lad ( , )f x y være en funktion af to variable, og lad 0 0 0 0( , , )P x y z være et punkt på grafen for f , dvs.

0 0 0( , )z f x y= . De partielt afledede af f i punktet 0P betegnes 0 0( , )xp f x y¢= og 0 0( , )yq f x y¢= .

Tangentplanen for ( , )f x y i punktet 0 0 0 0( , , )P x y z er da givet ved:

0 0 0( ) ( )z z p x x q y y= + ⋅ - + ⋅ -


10

Bevis

Først bestemmes en normalvektor til tangentplanen.

p er hældningskoefficienten for tangenten til snitgrafen for snitfunktionen g(x), der ligger parallelt med xz-planen, da y jo holdes konstant. En retningsvektor for denne tangent er givet ved:

1

0

xr

p

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

Tilsvarende er q hældningskoefficienten for tangenten til snitgrafen for snitfunktionen g(y), der ligger parallelt med yz-planen. En retningsvektor for denne tangent er givet ved:

0

1

yr

q

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

Vi ved fra rumgeometrien, at en normalvektor for en plan er bestemt ved krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i planen. Normalvektoren

n for tangentplanen kan derfor bestemmes ved krydsproduktet

mellem de to retningsvektorer xr og

yr , som er:

1 0

0 1

1x y

p

n r r q

p q

æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ´ = ´ = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

Således er planen bestemt ved ligningen:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

( ) ( ) 1 ( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( )

p x x q y y z z

p x x q y y z z

z z p x x q y y

⋅ - + ⋅ - - ⋅ - =

⋅ - + ⋅ - - + =

= + ⋅ - + ⋅ -

Hvilket netop var det udtryk, vi søgte.

Eksempel 8: Tangentplaner

Vi vil bestemme tangentplanen for funktionen 2 2( , )f x y x y= + i

punktet ( )1, 1, (1, 1)f- - . Dvs. 0 1x = , 0 1y =- og 0 (1, 1) 2z f= - = .

Vi indsætter punktets x-og y-koordinater i de partielt afledede, som vi fandt i eksempel 4, og vi får

(1, 1) 2xp f ¢= - = og (1, 1) 2yq f ¢= - =-

Vi indsætter nu i tangentens ligning fra sætningen ovenfor og får:

0 0 0( ) ( )

2 2 ( 1) 2 ( 1)

2 2 2 2 2

2 2 2

z z p x x q y y

z x y

z x y

z x y

= + ⋅ - + ⋅ -

= + ⋅ - - ⋅ += + - - -= - -


11

Øvelse 14

En funktion f har forskriften

2 2

6( , )

2

yf x y

x y=

+ +.

a) Bestem en ligning for tangentplanen til f i punktet (0,1, (0,1))f .

b) Tegn grafen for f sammen med tangentplanen i dit værktøjsprogram.

Øvelse 15


2 2( , ) 9f x y x y= - - .

a) Bestem de partielt afledede for f .

b) Bestem en ligning for tangentplanen til f i punktet (2,2, (2,2))f .

c) Tegn grafen for f sammen med tangentplanen i dit værktøjsprogram.

Ekstremaforfunktionerafenvariabel

Grafer for funktioner af to variable er langt sværere at undersøge grafisk end grafer for funktioner af én variabel. Analogt til funktioner af én variabel vil vi inddrage differentialregning i vores undersøgelse af grafer for funktioner af to variable.

Øvelse 16

Betragt funktionen 2

6( )

3

xf x

x=

+.

Bestem ( )f x¢ , og bestem de lokale ekstremumssteder og de tilhørende ekstremumsværdier.

Arten (typen) af et lokalt ekstremumspunkt, dvs. om der er tale om et lokalt minimum eller et lokalt

maksimum, kan vi afgøre ud fra fortegnet for ( )f x¢ . Denne afgørelse kan også baseres på den

dobbeltafledede ( )f x¢¢ , så vi i en vis forstand undersøger, om ( )f x¢ er voksende eller aftagende.


12

Eksempel 9: Den anden afledede afgør arten af ekstremumspunkter

For funktionen 2

6( )

9

xf x

x=

+gælder det, at ( ) 0 3 3f x x x¢ = =- = (tjek selv!).

Bestemmer vi ( )f x¢¢ finder vi, at 1

( 3)9

f ¢¢ - = , dvs. ( )f x¢ er voksende er omkring det lokale

ekstremumspunkt, og dermed er det et lokalt minimum. Tilsvarende finder vi, at 1

(3)9

f ¢¢ =- , dvs. ( )f x¢ er

aftagende omkring det lokale ekstremumspunkt, og dermed er det et lokalt maksimum.

Øvelse 17

En funktion f er givet ved 4 3 21 54 4

4( )

3f x x x x x= - + - .

a) Bestem ( )f x¢ , ( )f x¢¢ og løs ( ) 0f x¢ = .

b) Bestem i de x-værdier, hvor ( ) 0f x¢ = , fortegnet for ( )f x¢¢ .

c) Benyt fortegnet for ( )f x¢¢ og grafen for f til at afgøre arten af de lokale ekstrema, dvs. om der er tale om lokalt minimum eller lokalt maksimum.

Øvelse 18

Vi ser på en funktion f , hvorom det i et punkt 0 0( , ( ))x f x gælder, at både 0( ) 0f x¢ = og 0( ) 0f x¢¢ = .

Hvordan kan grafen for f se ud omkring 0 0( , ( ))x f x ?

På baggrund af ovenstående generaliserer vi til følgende sætning:

Sætning 2: Arten af ekstremumspunkterne ud fra den dobbeltafledede

Lad 0 0 0( , ( ))P x f x være et punkt på grafen for en funktion f , hvor 0( ) 0f x¢ = . Da gælder der, at

1) Hvis 0( ) 0f x¢¢ > , så er 0x et lokalt minimumssted.

2) Hvis 0( ) 0f x¢¢ < , så er 0x et lokalt maksimumssted.

3) Hvis 0( ) 0f x¢¢ = , så kan der være en vandret vendetangent for 0x .

Øvelse 19

Et andengradspolynomium er givet ved 2( )f x ax bx c= + + .

a) Bestem ( )f x¢ og ( )f x¢¢ .

b) Løs ligningen ( ) 0f x¢ = , og bestem fortegnet for ( )f x¢¢ i den fundne x-værdi.

c) Hvad fortæller resultaterne i b) om forløbet af grafen for f ?


13

Øvelse 20

Nedenfor er angivet to traditionelle eksamensopgaver, der omhandler monotoni for funktioner af én variabel. Løs disse opgaver ved i hvert tilfælde at undersøge fortegnene for den dobbelt afledede ( )f x¢¢ .

Eksamen stx B august 2010:


( ) e 3 1xf x x= - +

Bestem ( )f x¢ , og gør rede for, at funktionen f har et minimum.

Eksamen stx A december 2010:

To funktioner f og g er bestemt ved

2( ) 4 8f x x x= - +

( ) 3 e xg x x -= ⋅ .

Bestem den værdi af x , hvor den lodrette afstand mellem grafen for f og grafen for g er mindst mulig.

Ekstremaforfunktioneraftovariable

Ekstremumsbegrebet for funktioner af én variabel kan udvides til funktioner af to variable således, at:

et lokalt maksimum er en funktionsværdi, der er større end alle andre funktionsværdier i nærheden af det lokale maksimum

et lokalt minimum er en funktionsværdi, der er mindre end alle andre funktionsværdier i nærheden af det lokale minimum

et globalt maksimum er en funktionsværdi, der er større end alle andre funktionsværdier (i definitionsmængden)

et globalt minimum er en funktionsværdi, der er mindre end alle andre funktionsværdier (i definitionsmængden)

et lokalt/globalt ekstremum er enten et lokalt/globalt maksimum eller minimum.

For funktioner af én variabel gælder, at hvis en funktion ( )f x har et lokalt ekstremum i 0x så er 0( ) 0f x¢ = .

Noget tilsvarende gælder for funktioner af to variable.

Sætning 3

Antag, at ( , )f x y har lokalt ekstremum i punktet 0 0 0 0( , , )P x y z .

Så gælder der, at 0 0( , ) 0xf x y¢ = og 0 0( , ) 0yf x y¢ = .

Bevis

Hvis ( , )f x y har et lokalt maksimum i 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ( , ))P x y z P x y f x y= , så vil snitfunktionen

( )0( ) ,g x f x y= have et lokalt maksimum i 0x x= , og derfor er 0( ) 0g x¢ = .

Da ( )0( ) ,g x f x y= , så er 0 0 0( ) ( , )xg x f x y¢ ¢= og dermed er 0 0( , ) 0xf x y¢ = .


14

På helt samme måde vises, at hvis ( , )f x y har et lokalt maksimum i 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ( , ))P x y z P x y f x y= , så er

0 0 0( ) ( , ) 0yg y f x y¢ ¢= = .

Beviset er det samme, hvis funktionen har et lokalt minimum. Således er sætningen bevist.

Bemærk: Den omvendte sætning gælder ikke nødvendigvis – hverken for funktioner af én variabel eller funktioner af to variable.

For funktioner af en variabel gælder der, at hvis 0( ) 0f x¢ = , så har funktionen f en vandret tangent i 0x .

Den vandrette tangent kan give anledning til et maksimum, minimum eller den kan være en vendetangent.

For funktioner af to variable gælder, at hvis 0 0( , ) 0xf x y¢ = og 0 0( , ) 0yf x y¢ = , så er tangentplanen i

0 0 0( , , )P x y z vandret, og vi får: 0 0 00 ( ) 0 ( )z z x x y y= + ⋅ - + ⋅ - , dvs. 0z z= .

Punkter med vandrette tangentplaner kaldes stationære punkter. Stationære punkter er ikke nødvendigvis maksimumpunkter eller minimumpunkter. De kan også være såkaldte saddelpunkter.

Definition 6: Stationære punkter

Et punkt 0 0 0 0( , , )P x y z , hvor 0 0 0( , )z f x y= kaldes et stationært punkt for en funktion ( , )f x y af to variable,

hvis 0 0( , ) 0xf x y¢ = og 0 0( , ) 0yf x y¢ = .

Definition 7: Saddelpunkt

Et saddelpunkt er et stationært punkt, der hverken er et lokalt maksimumpunkt eller et lokalt minimumpunkt.

Eksempel 10: Saddelpunkt

Funktionen

2 2( , )f x y x y= - ,

hvis graf ses på figuren til højre, viser tydeligt et saddelpunkt i (0,0,0).

Øvelse 21

Tegn grafen for 2 2( , )f x y x y= - i et værktøjsprogram.


15

Eksempel 11: Bestemmelse af arten af stationære punkter

Vi vil bestemme eventuelle stationære punkter for funktionen f med forskriften:

2 2

6( , )

4

yf x y

x y=

+ +

De partielt afledede bestemmes til (ved differentiation af sammensat funktion eller ved brug af et værktøjsprogram):

2 2 2

12( , )

( 4)x

xyf x y

x y

-¢ =+ +

og 2 2

2 2 2

6( 4)( , )

( 4)y

x yf x y

x y

- +¢ =+ +

Vi finder nu eventuelle stationære punkter ved at løse ( , ) 0xf x y¢ = og ( , ) 0yf x y¢ = . I et værktøjsprogram

bestemmes eventuelle stationære punkter ved at løse to ligninger med to ubekendte ved brug af en solve-kommando fx:

Vi får altså de to stationære punkter: 1 1(0, 2, (0, 2)) (0, 2, 1.5)S f S- - = - - og 2 2(0,2, (0,2)) (0,2,1.5)S f S= .

Af grafen fremgår det, at der er et lokalt minimum i 1S og lokalt maksimum i 2S .

Dobbeltaflededeogblandedeafledede

Det kan indimellem være svært at afgøre om de enkelte stationære punkter er maksimumspunkter, minimumspunkter eller saddelpunkter. De dobbeltafledede kan ligesom for funktioner af en variabel være med til at afgøre dette.

I afsnittet Ekstrema for funktioner af en variabel arbejdede vi med den dobbeltafledede af funktioner af én variabel. På samme vis kan vi bestemme dobbeltafledede af funktioner af to variable.


16

Eksempel 12: Dobbelt afledede funktioner


2 2

6( , )

4

yf x y

x y=

+ +.

I eksempel 5 bestemte vi de partielt afledede ( , )xf x y¢ og ( , )yf x y¢ for denne funktion til at være:

2 2 2

12( , )

( 4)x

xyf x y

x y

-¢ =+ +

og 2

2 2 2 2 2

12 6( , )

( 4) 4y

yf x y

x y x y

-¢ = ++ + + +

Vi differentierer disse to funktioner en gang til og får de dobbelt afledede, hvor vi differentierer mht. samme variabel to gange, eller først mht. den ene variabel og derefter mht. den anden variabel:

Vi differentierer ( , )¢xf x y mht. x Vi differentierer ( , )¢

xf x y mht. y

2 2

2 2 3

12(3 4)( , )

( 4)xx

x y yf x y

x y

- -¢¢ =+ +

2 2

2 2 3

12(3 4)( , )

( 4)xy

y x xf x y

x y

- -¢¢ =+ +

Vi differentierer ( , )¢yf x y mht. x Vi differentierer ( , )¢

yf x y mht. y

2 2

2 2 3

12(3 4)( , )

( 4)yx

y x xf x y

x y

- -¢¢ =+ +

2 2

2 2 3

12 ( 3 12)( , )

( 4)yy

y y xf x y

x y

- -¢¢ =+ +

Øvelse 22

Hvad fortæller eksemplet om de blandede afledede ( , )xyf x y¢¢ og ( , )yxf x y¢¢ ?

Definition 8: De dobbelt afledede og blandede afledede funktioner

Betragt en funktion f af to variable.

De dobbelt afledede er defineret ved: ( )( , ) ( , )xx x xf x y f x y ¢¢¢ ¢= og ( )( , ) ( , )yy y y

f x y f x y ¢¢¢ ¢=

De blandede afledede er defineret ved: ( )( , ) ( , )xy x yf x y f x y ¢¢¢ ¢= og ( )( , ) ( , )yx y x

f x y f x y ¢¢¢ ¢=

Øvelse 23

Bestem de dobbelt afledede og de blandede afledede fra eksempel 12 ved hjælp af dit værktøjsprogram.

Øvelse 24

En funktion f har forskriften

2 2

6( , )

3

xf x y

x y=

+ +.

Bestem de dobbelt afledede og de blandede afledede.


17

I de ovenstående eksempler er de blandede afledede er ens. Det fremgår af nedenstående sætning, at dette resultat gælder i de fleste tilfælde.

Sætning 4

Hvis de dobbelt afledede og de blandede afledede af f er kontinuerte, så er ( , ) ( , )xy yxf x y f x y¢¢ ¢¢= .

Denne funktion betegnes normalt xyf ¢¢ , og den kaldes den blandede afledede af f .

Følgende sætning (som vi ikke beviser) kan benyttes, når vi skal afgøre, om et stationært punkt er et lokalt maksimum, lokalt minimum eller et saddelpunkt.

Sætning 5

Lad 0 0 0 0( , , )P x y z være et stationært punkt for funktionen ( , )f x y , og lad

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )xx xy yyr f x y s f x y t f x y¢¢ ¢¢ ¢¢= = =

så gælder der, at

når 2 0rt s- > og 0r > , har f et lokalt minimum i 0 0 0 0( , , )P x y z

når 2 0rt s- > og 0r < , har f et lokalt maksimum i 0 0 0 0( , , )P x y z

når 2 0rt s- < , har f et saddelpunkt i 0 0 0 0( , , )P x y z

når 2 0rt s- = , kan vi ikke slutte noget.

Eksempel 13: Arten af stationære punkter

Vi fandt i eksempel 12, at funktionen

2 2

6( , )

4

yf x y

x y=

+ +

har et lokalt minimum i 1(0, 2, 1.5)S - - , og et lokalt maksimum i 2 (0,2,1.5)S .

Vi finder r, s og t for at undersøge, om dette stemmer overens med sætning 5.

2 2

2 2 2 2 2 3

12 12(3 4)( , ) ( , )

( 4) ( 4)x xx

xy x y yf x y f x y

x y x y

- - -¢ ¢¢= =+ + + +

2 2

2 2 2 2 2 3

12 12(3 4)( , ) ( , )

( 4) ( 4)x xy

xy y x xf x y f x y

x y x y

- - -¢ ¢¢= =+ + + +

2 2 2 2

2 2 2 2 2 3

6( 4) 12 ( 3 12)( , ) ( , )

( 4) ( 4)y yy

x y y y xf x y f x y

x y x y

- + - -¢ ¢¢= =+ + + +

De stationære punkters x- og y-koordinater indsættes:

( ) 30,2

8xxr f ¢¢= =- , ( )0,2 0xys f ¢¢= = , ( ) 30,2

8yyt f ¢¢= =-

Dvs.

2 23 3 90 0

8 8 64rt s

æ ö æ ö÷ ÷ç ç- = - ⋅ - - = >÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø, altså er

30

8r =- <

Heraf kan vi konkludere, at det stationære punkt 2 (0,2,1.5)S er et lokalt maksimum.


18

Funktionsværdierne for de dobbelt afledede og den blandede afledede i det andet stationære punkt bestemmes vha. et værktøjsprogram.

( ) 30, 2

8xxr f ¢¢= - = , ( )0, 2 0xys f ¢¢= - = , ( ) 30, 2

8yyt f ¢¢= - =

Dvs.

2 23 3 90 0

8 8 64rt s

æ ö æ ö÷ ÷ç ç- = ⋅ - = >÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø , altså er

30

8r

æ ö÷ç= >÷ç ÷çè ø

Heraf kan vi konkludere, at det stationære punkt 1(0, 2, 1.5)S - - er et lokalt minimum.

Øvelse 25

To funktioner f og g er givet ved

( )22 2( , ) 8f x y x y xy= + + og 3 2( , ) 5g x y x y xy= + + .

a) Bestem de stationære punkter for hver af de to funktioner f og g.

b) Bestem arten af de stationære punkter, og tegn graferne for hver af de to funktioner.

Øvelse 26

Funktionen f er givet ved 2 4

( , )1

xyf x y

x y=

+ +.

a) Tegn grafen for funktionen f .

b) Bestem de stationære punkter for funktionen f .

c) Bestem arten af de stationære punkter.


Fredag den 24. maj 2013kl. 09.00-14.001stx131-MATn/A-24052013

121731.indd 1 04/03/13 09.09

Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den

enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.

2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik,

herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden.

3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et

passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder.

4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig

sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret

i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.



Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 I en model for udviklingen i befolkningen på en lille ø oplyses, at antallet af indbyggere

aftager med 5% pr. år efter 2013. I 2013 er der 5460 indbyggere på øen. a) Opstil et udtryk til beregning af antal indbyggere N på øen som funktion af tiden

t (målt i år efter 2013). Opgave 2 Linjen l går gennem punkterne (1,3)A og (4,6)B .

a) Bestem en parameterfremstilling for l. Linjen m er givet ved ligningen 8.y x=- + b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og m.

Opgave 3 Til opgaven hører et bilag

Figuren viser en sumkurve over vægtfordelingen blandt 500 elever på en skole.

a) Bestem kvartilsættet for vægtfordelingen, og bestem hvor mange elever, der vejer over 80 kg. Benyt evt. vedlagte bilag.

Stx matematik A maj 2013 side 2

Opgave 4

På figuren ses grafen for hver af de tre funktioner:

12

12

12

( )

( ) 2

( )

f x x

g x x

h x x

-=

=

=-

a) Gør rede for, hvilken af graferne A, B og C der

hører til hvilken af de tre funktioner f , g og h.


3( ) 24 ln( ) , 0.f x x x x= ⋅ - > a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1, (1))P f . b) Undersøg, om funktionen har maksimum når 2.x =

Opgave 6 En 1,8 m høj mand står 5 m fra en

1 m høj mur. Fra muren er der 4 m til en 10 m høj flagstang, der er fastgjort med et hængsel ved jordoverfladen (se figur). Flagstangen vælter, så den kommer til at hvile på muren. a) Bliver manden ramt af

flagstangen?


( ) e .xf x x x= ⋅ - a) Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen

e .xdy yx

dx x= + ⋅


Opgave 8 To funktioner f og g er bestemt ved

2

2

( ) 3

( ) 3 24.

f x x

g x x

=

=- +

a) Bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen

for g. De to grafer afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal. b) Skitsér området M, og bestem arealet af M.

Opgave 9 Et andengradspolynomium P er givet ved

2( ) .P x a x b x c= ⋅ + ⋅ + Grafen for P er en parabel, der går gennem punkterne (0,1)A og (5,36)B . Tangenten til

parablen i punktet A har hældningskoefficienten 3- . a) Bestem tallene a, b og c.



Delprøve 2

Kl. 09.00 – 14.00

Opgave 10

Tabellen viser antallet af solgte smartphones på verdensplan i perioden 2008-2011.

Årstal 2008 2009 2010 2011

Antal (i mio.) 151,4 174,2 304,7 491,4

I en model kan udviklingen i antallet af smartphones solgt på verdensplan som funktion af tiden beskrives ved en funktion af typen ( ) ,tS t b a= ⋅ hvor ( )S t betegner antallet af solgte smartphones (i mio.) til tidspunktet t (målt i år efter 2008). a) Bestem a og b. b) Gør rede for, hvad de fundne værdier for konstanterne a og b fortæller om antallet af

solgte smartphones på verdensplan i perioden 2008-2011. Kilde: www.idc.com

Opgave 11

I trekant ABC er 3AB = , 44 .A = Endvidere oplyses, at arealet af trekant ABC er 4.

a) Tegn en skitse af situationen, og bestem BC .


Opgave 12

På figuren ses en model af et hus i et koordinatsystem med enheden meter på alle akser. a) Bestem en ligning for den plan a , der indeholder tagfladen BCDE. Det oplyses, at den plan b , der indeholder tagfladen ABEF, har ligningen 17,49 21,20 224,72 0.y z⋅ + ⋅ - = b) Bestem den spidse vinkel mellem tagfladerne BCDE og ABEF.

Opgave 13


I en model for vækst af hajer af arten lamna nasus er længden af en haj L (målt i cm) som funktion af hajens alder t (målt i år) en løsning til differentialligningen 43,6 0,190 .L L¢ = - ⋅ a) Bestem væksthastigheden for en 100 cm lang haj af denne art. Det oplyses, at en haj af denne art er 58 cm lang ved fødslen. b) Bestem en forskrift for ( )L t , og benyt denne til at bestemme alderen af en 150 cm

lang haj af denne art. Opgave 14

En funktion f af to variable er givet ved 2( , ) 4 .f x y x y x y a) Bestem gradienten for f i punktet ( )1,3, (1,3)P f , og forklar hvad gradienten fortæller

om grafens stejlhed i punktet P .


Opgave 15 En funktion f af to variable er givet ved

3 2 2 21( , ) 2( )

3f x y x x y x y .

a) Bestem de to stationære punkter for f, og tegn grafen for f. b) Bestem de dobbelte samt den blandede afledede af f og bestem arten af de stationære

punkter. Opgave 16 Et stort butikscenter har 8 indgange, som butikscenteret formoder benyttes lige meget af

dets besøgende. Butikscenteret har spurgt 1000 tilfældigt udvalgte besøgende, hvilken af de 8 indgange de er kommet ind ad. Deres svar fordelte sig som vist i tabellen.

Indgang A B C D E F G H

Antal besøgende 142 136 109 131 108 105 148 121

a) Opstil en nulhypotese, som butikscenteret kan anvende til at teste om deres

formodning holder stik, og beregn de forventede værdier. b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om butikscenteret må forkaste nulhypotesen.

Opgave 17

En beholder skal have form som en kegle. Beholderens cirkulære bund består af et materiale, der koster 2 kr. pr. cm2. Keglens krumme overflade består af et materiale, der koster 3 kr. pr. cm2. Volumen af keglen er 1000 cm3. Radius i keglens bund benævnes r, og keglens højde benævnes h (begge målt i cm). a) Bestem h udtrykt ved r. Gør rede for, at keglens pris

P (målt i kr.) som funktion af r kan beskrives ved

2

2 22

3000( ) 2 3 ,P r r r r

rp p

pæ ö÷ç⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +÷ç ÷çè ø⋅

=

og bestem r, så prisen ( )P r bliver mindst mulig, idet 1 10.r< <

BILAG Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID

Navn Ark nr Antal ark i alt Tilsynsførende

3


Onsdag den 29. maj 2013kl. 09.00-14.002stx131-MATn/A-29052013

121732.indd 1 04/03/13 09.22












Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 En parabel er graf for andengradspolynomiet p, der har forskriften

2( ) 2 8 5p x x x= - + .

a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen.

Opgave 2

I en retvinklet trekant ABC er 6BC = . Det oplyses, at

arealet af trekant ABC er 24.

a) Bestem AC og AB .


På figuren ses to boksplot over aldersfordelingen blandt Oscar-vindere i kategorien ”Bedste skuespiller” fordelt på køn i perioden 1970-2012.

a) Bestem kvartilsættet for de to køns aldersfordelinger, og benyt disse til at sammenligne aldersfordelingen for Oscar-vindere i kategorien ”Bedste skuespiller” fordelt på køn. Benyt evt. vedlagte bilag.


Opgave 4 To vektorer a

og b

er givet ved

8

1a


og 3

5b


.

a) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder.

b) Bestem koordinatsættet til projektionen af b

på a

.

Opgave 5

På figuren ses graferne for tre funktioner. Det oplyses, at en af graferne er graf for funktionen f, og en anden er graf for f ¢ .

a) Gør rede for, hvilken af graferne A, B og C der er graf for f , og hvilken der er graf for f ¢ .

Opgave 6 En funktion f har forskriften

3 2( ) 3f x x x=- + . a) Bestem monotoniforholdene for f . b) Gør rede for, at 0x = og 3x = er de eneste løsninger til ligningen ( ) 0.f x = Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. c) Skitsér punktmængden M, og bestem arealet af M.

Opgave 7 En funktion er givet ved

( ) 2 1 exf x x= + + .

a) Bestem den stamfunktion til f , hvis graf går gennem punktet (0,3)P .


Opgave 8 Det oplyses, at funktionen f er en løsning til differentialligningen

22 4dy y x

dx x

+= .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,4)P .

Opgave 9 To andengradspolynomier f og g er givet ved

2

2

( )

( ) 2 .

f x x

g x x b x c

=-

= + +

Graferne for de to funktioner har en fælles tangent i punktet ( )1, (1)P f .

a) Bestem tallene b og c.



Delprøve 2

Kl. 09.00 – 14.00

Opgave 10

Ud fra pollenforøgelsen i sedimentet på bunden af nogle søer kan man give et overslag over udbredelsen af fyrretræer på de britiske øer efter istiden. Man fandt følgende sammenhørende værdier af pollenforøgelsen og antal år efter de første fyrretræer kom til de britiske øer.

Antal år 20 100 150 200 250 300 350

Pollenforøgelsen (målt i pollenkorn pr. cm2 pr. år)

1600 1950 3020 4510 6230 10100 14350

I en model beskrives sammenhængen som ( ) ,th t b a= ⋅ hvor ( )h t er pollenforøgelsen (målt i pollenkorn pr. cm2 pr. år), og t er antal år efter de første fyrretræer kom til de britiske øer. a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b.

b) Benyt modellen til at bestemme fordoblingstiden samt til at bestemme, hvornår pollenforøgelsen i sedimentet var 50000 korn pr. cm2 pr. år.

Opgave 11

På figuren ses trekant ABC, hvor vinkelhalveringslinjen for vinkel B er indtegnet, og nogle af målene er angivet.

a) Bestem BD og AC .


Opgave 12 I en model kan udbredelsen af traktorer i staten Punjab i Indien beskrives ved funktionen

0,163256

481722( ) ,

1 16,4579 e tN t - ⋅=

+ ⋅

hvor ( )N t betegner antallet af traktorer til tidspunktet t (målt i år efter 1970).

a) Tegn grafen for N, og bestem, hvor mange traktorer der ifølge modellen vil være i Punjab i år 2013.

b) Bestem (20)N ¢ , og beskriv hvad tallet fortæller om udviklingen i antallet af traktorer i Punjab i 1990.

Kilde: Amritbir Singh & Ravi Kant Mishra, A Mathematical Modeling Approach To Study Growth Rate Of Grassroots Technological Innovations, Ijrras 3 (2), May 2010.

Opgave 13

Tabellen nedenfor viser oplagstallene for 2011 for fem danske dagblade.

Politiken Jyllandsposten Fyns Stiftstidende Information Berlingske 196.712 208.037 90.581 42.695 197.708

Blandt 200 af disse dagblades abonnenter har man i 2013 spurgt om, hvilket dagblad de abonnerer på. Deres svar fordeler sig således:

Politiken Jyllandsposten Fyns Stiftstidende Information Berlingske 45 63 24 20 48

Man ønsker at undersøge, om fordelingen af disse dagblade blandt abonnenterne har ændret sig siden 2011. a) Opstil en nulhypotese, og beregn på baggrund af denne det forventede antal svar

blandt de 200 adspurgte abonnenter. b) Test om hypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Kilde: www.do.dk


Opgave 14

På figuren ses et guitarstativ indlagt i et koordinatsystem, således at stativets tre fødder ligger i punkterne A, B og C. I punktet E er der monteret et gaffelophæng, som guitaren hænger i, således at guitarens krop støtter på de to ben AD og BD.

a) Bestem en ligning for den plan , der indeholder de to ben AD og BD.

b) Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der går gennem punkterne D og E, og bestem den stumpe vinkel mellem l og .

Opgave 15

En funktion f af to variable er givet ved 2 3( , ) 2 .f x y x y xy a) Bestem de partielt afledede og den blandede afledede af f. b) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet 1 1

2 2( ,1, ( ,1)).f

c) Bestem de stationære punkter for f, og tegn grafen for f.

Opgave 16 En beholder er fyldt med en gas under tryk. Fra en lille

ventil i toppen af beholderen strømmer gas ud. I en model er trykket i beholderen P (målt i atm) som funktion af tiden t (målt i minutter efter åbning af ventilen) en løsning til differentialligningen

( 1,0).dP

k Pdt

=- ⋅ -

Det oplyses, at trykket til tidspunktet 0t = er 5,0 atm, og at trykket til tidspunktet 25t = er 2,0 atm. a) Bestem en forskrift for ( )P t , og skitsér grafen for ( )P t .


BILAG Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID


3


Onsdag den 14. august 2013kl. 09.00-14.00stx132-MATn/A-14082013












Stx matematik A august 2013 side 1 af 6

Delprøve 1

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 To vektorer a og b

er givet ved

95


og 3

4b

æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

.

a) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af a og b

.

b) Undersøg, om a og b

er ortogonale.

Opgave 2 En parabel er bestemt ved ligningen

23 6 1y x x= + - . a) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt.

Opgave 3 På figuren ses to cirkler. Den lille cirkel har radius r, mens den

store cirkel har radius R. Det oplyses, at 13R = og at arealet af det skraverede område er 25π . a) Bestem radius i den lille cirkel.

Opgave 4

Figuren viser en retvinklet trekant ABC. a) Bestem AB , og bestem ch .

r

R

Størrelsesforholdene er ikke korrekte


Opgave 5 En funktion f er bestemt ved 2( ) ( 3) e .xf x x= - ⋅ a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (0, (0))P f . b) Bestem monotoniforholdene for f.

Opgave 6 En cirkel har centrum i (1, 2)C - og går gennem punktet (4,2)P .

a) Bestem en ligning for cirklen, og bestem en ligning for tangenten til cirklen i

punktet P. Linjen l er bestemt ved ligningen 4 3 27 0x y+ + = . b) Gør rede for, at l også er en tangent til cirklen.

Opgave 7

Figuren viser et tværsnit af en bjergtunnel indtegnet i et koordinatsystem. Den krumme del af tværsnittet har form som en del af en parabel. Tunnelen er 6 m bred og 3 m høj. a) Gør rede for, at parablen er graf for funktionen 21

3( ) 3.p x x=- + b) Bestem arealet af tværsnittet.

Opgave 8 a) Bestem integralet

21

30

31

x dxx +ò .



Delprøve 2

Kl. 09.00 – 14.00

Opgave 9

Foto: Wikimedia commons

For en population af kaktusfinker på en af Galapagosøerne har man målt sammenhørende værdier af den årlige mængde af nedbør og det gennemsnitlige antal udklækkede æg for et finkepar.

Nedbør (mm pr. år) 48 373 593 698 741 958 1135

Gennemsnitligt antal udklækkede æg pr. par 0,32 0,66 0,84 1,72 1,94 3,92 6,72

I en model antages det, at der er en eksponentiel sammenhæng mellem de målte størrelser. a) Indfør passende variable, og benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for

sammenhængen. b) Bestem fordoblingskonstanten, og forklar betydningen af dette tal.

Opgave 10 For Oscar-vindere i kategorien “Bedste skuespiller” har man opgjort aldersfordelingen for

perioden 1990-2011. Aldersfordelingen blandt de mandlige Oscar-vindere har middelværdi 43,6 år og kvartilsæt (38, 43, 48). Aldersfordelingen blandt de kvindelige Oscar-vindere er:

43, 29, 33, 35, 45, 49, 39, 34, 26, 25, 33, 35, 35, 35, 28, 30, 29, 61, 32, 33, 45, 29

a) Bestem middelværdi og kvartilsæt for aldersfordelingen blandt kvinderne, og benyt

disse til at sammenligne de to aldersfordelinger.


Opgave 11 En større internetbutik vil indføre et nyt produkt i deres sortiment. I den forbindelse vil butikken iværksætte en større reklamekampagne. Butikken formoder, at produktet appellerer lige meget til kvinder og mænd. Butikken har derfor på tilfældig vis udvalgt et antal kunder i butikken og spurgt dem, om de er interesserede i det pågældende produkt eller ej. Svarfordelingen blandt de 438 respondenter var som følger:

Køn\Interesse Ja Nej

Mand 96 112

Kvinde 128 102 a) Opstil en nulhypotese, som internetbutikken kan anvende til at teste om deres

formodning holder stik, og undersøg, om nulhypotesen må forkastes på et 5% signifikansniveau.

Opgave 12 I en model kan de årlige udsving i jordoverfladens temperatur i Ribeirão Preto i Brasilien

beskrives ved ( ) 7,10 0,66 sin(0,0172 2,23)f t t= + ⋅ ⋅ - , 0 365t£ £ hvor ( )f t betegner jordens overfladetemperatur til tidspunktet t (målt i antal dage efter 1. januar). a) Tegn grafen for f , og bestem de to tidspunkter på året, hvor jordens

overfladetemperatur er 7,5 C . Kilde: Analytical soil–temperature model, correction for temporal variation of daily amplitude, E. A. Elias et. al. Soil Sci. Soc. Am. J. 68, 2004.


Opgave 13 På figuren ses en model af en ottekantet rygepavillon indlagt i et koordinatsystem, og nogle af pavillonens hjørnekoordinater er angivet.

a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder sidefladen ABCD. Det oplyses, at den plan, der indeholder sidefladen BCEF, er bestemt ved ligningen 370 925 294 103075 0x y z+ - - = . b) Bestem vinklen mellem sidefladerne ABCD og BCEF.

Opgave 14 En funktion f af to variable er givet ved

2 2( , )7

x yf x yx y

.

a) Bestem gradienten for f i punktet (1, 1, (1, 1)),P f og forklar, hvad gradienten

fortæller om grafens stejlhed i punktet P. Opgave 15

En funktion f af to variable er givet ved

4 2( , )5

xf x yx y

.

a) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet (2,1, (2,1))f . b) Bestem de stationære punkter for f, og tegn grafen for f.

xy

z

A B

CD E

F

(117,0,15)

(83,83,15)

(125,125,200)

A

B

C

VEND!


Opgave 16 En tank indeholder 200 liter saltopløsning. En saltopløsning, der indeholder 1,1 gram salt pr. liter, pumpes ind i tanken med en hastighed på 3 liter pr. minut. Samtidigt pumpes den blandede saltopløsning ud med samme hastighed, således at væskemængden i tanken bevares. Under hele processen omrøres blandingen i tanken, således at saltkoncentrationen til et givet tidspunkt kan antages at være den samme overalt i tanken. Lad S betegne saltmængden i tanken (målt i gram), og lad t betegne tiden, der er gået fra pumpeprocessens start (målt i minutter). a) Gør rede for, at S som funktion af t opfylder differentialligningen

33 1,1200

dS Sdt

= ⋅ - ⋅ .

b) Bestem S som funktion af t , idet det oplyses, at der fra start var 20 gram salt i tanken.

Opgave 17

En funktion f er bestemt ved 3 2( ) 7.f x a x b x c x= ⋅ + ⋅ + ⋅ + Ved design af en rutsjebane skal en del af rutsjebanen have form som den del af grafen for f , der ligger mellem punkterne A og B. Rutsjebanen skal være vandret i punkterne A og B. Endvidere skal rutsjebanen røre jorden i punktet B. a) Bestem a, b og c.



Mandag den 5. maj 2014stx141-MATn/A-05052014

130524.indd 1 18/03/14 08.25

1

Forberedelsesmaterialetilstx‐A‐netMATEMATIK

Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve.

3-5 spørgsmål i delprøve 2 af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet.




2

Indhold

Indledning .......................................................................................................................................................... 3

Linjeelementer ................................................................................................................................................... 4

Koblede differentialligninger ............................................................................................................................ 6

Anvendelser af koblede differentialligninger ................................................................................................ 8

Lanchester’s model ........................................................................................................................................ 8

Andenordens differentialligninger ................................................................................................................... 10

Anvendelser af andenordens differentialligninger ....................................................................................... 15

Andenordens differentialligninger fortsat ....................................................................................................... 15

Anvendelser af andenordens differentialligninger fortsat ........................................................................... 17

Bilag ................................................................................................................................................................ 20

Koblede differentialligninger og faseplot i Maple....................................................................................... 20

Koblede differentialligninger og faseplot i Geogebra ................................................................................. 21

Koblede differentialligninger og faseplot i NSpire ..................................................................................... 22

3

Indledning

Dette forberedelsesmateriale tager udgangspunkt i førsteordens differentialligninger som y ay ,

y b ay¢ = - og ( )y y b ay¢ = - , som du forudsættes at være fortrolig med.

I forberedelsesmaterialet er der både øvelser og opgaver. Øvelserne er tænkt som hjælp til forståelse af teorien, herunder beviser for nogle af sætningerne. Opgaverne er tænkt som forberedelse til de opgaver, der kommer til den skriftlige eksamen.

I forberedelsesmaterialet anvendes 5 typer af farvede bokse. De grønne indeholder definitioner, de grå indeholder eksempler, de blå indeholder øvelser, de røde indeholder sætninger og de lilla indeholder opgaver.

Bemærk, at der til eksamen vil blive stillet krav om at tegne faseplot for koblede differentialligninger. I bilagene ligger der vejledninger til, hvordan man anvender værktøjsprogrammerne Geogebra, NSpire og Maple til at tegne disse.

4

Linjeelementer

Førsteordens differentialligningerne fra kernestoffet som y ay¢ = , y b ay¢ = - og ( )y y b ay¢ = - kan alle

løses eksakt. Der findes også differentialligninger, der ikke kan løses eksakt. Du vil i det følgende møde eksempler på begge typer. Når differentialligninger ikke kan løses eksakt, anvendes derfor andre løsningsmetoder. Disse metoder bygger på, at en differentialligning giver information om tangenthældninger til løsningskurver.

I differentialligningen

1

2

dyt y

dt=- ⋅ ⋅ ,

er højre side en funktion af t og y. Kalder vi denne funktion ( , )s t y , kan vi opskrive differentialligningen

således

( , )dy

s t ydt

=

Hvis en løsningsfunktions graf – herefter kaldet en løsningskurve – går igennem punktet 0 0( , )t y , så vil

løsningskurvens tangent i punktet have hældningskoefficienten 0 0( , )s t y=a .

De tre størrelser tilsammen: 0 0 0 0, og ( , )t y s t y kaldes et linjeelement. Hermed menes, at vi har et punkt og

et lille linjestykke gennem dette punkt med hældningskoefficienten 0 0( , )s t y=a . Linjeelementet betegnes

0 0( , ; )t y a .

Et plot af linjeelementer kaldes hældningsfeltet. På baggrund af disse linjeelementer kan man tabellægge en god tilnærmelse til den løsning, der begynder i et bestemt punkt. En sådan løsning kaldes en numerisk løsning.

Vi illustrerer med et konkret eksempel, hvorledes linjeelementer kan hjælpe til at få overblik over løsningskurver til differentialligninger.

Eksempel 1

Linjeelementer

Vi vil som et konkret eksempel se på differentialligningen

1

2

dyt y

dt=- ⋅ ⋅

Vi kan udregne en række linjeelementer hørende til denne differentialligning ved at vælge punkter 0 0( , )t y og indsætte disse i udtrykket på højresiden i differentialligningen. For

punktet (2,6) får vi fx

12 6 6

2=- ⋅ ⋅ =-a

dvs. (2,6; 6)- er et linjeelement for differentialligningen. Vi kan på den måde udregne en

5

række linjeelementer inden for fx grafvinduet [ 10;10] [ 10;20]- ´ - . Vi kan fx udregne

tangenthældninger for alle punkter med heltallige koordinatsæt i dette vindue. Det er jo temmelig mange beregninger, men dette kan nemt automatiseres i fx et regneark. Det næste skridt bliver at tegne små tangentstykker svarende til alle disse beregninger – og det er omstændeligt! Heldigvis har de fleste værktøjsprogrammer en indbygget facilitet til netop dette! Anvender vi denne får vi nedenstående plot, hvoraf vi tydeligt kan se konturerne af forskellige løsningskurver:

Vælger vi nu fx begyndelsesværdien (2,6) , får vi samtidig beskrevet lige netop den ene

løsningskurve, som går gennem dette punkt.

Her er løsningskurven gennem (2,6) tegnet sammen med hældningsfeltet. De fleste værktøjsprogrammer kan også hente løsningskurven, og tegne denne uden det tilhørende hældningsfelt.

I nogle programmer er begyndelsespunktet (svarende til begyndelsesværdien) dynamisk, så når man trækker i det, kan man se, hvordan løsningskurven ændrer sig, eller man kan indskrive flere begyndelsesværdier sammen med den enkelte differentialligning.

Vi har her ikke løst differentialligningen eksakt, men vi har tegnet hældningsfeltet sammen med grafen for en numerisk løsning gennem punktet (2,6).

(2,6)

6

Opgave 1 Givet differentialligningen

2 dy

t ydt

= ⋅

a) Bestem linjeelementet i punktet (3,2). b) Tegn hældningsfeltet i et passende grafvindue sammen med løsningskurven gennem

punktet (3,2).

Koblededifferentialligninger

For modeller med flere variable er der et indbyrdes afhængighedsforhold mellem de variable. Sådanne systemer beskrives ved en række sammenhørende differentialligninger. Man kan sammenligne et system af koblede differentialligninger med fx 2 ligninger med to ubekendte, hvor vi har brug for begge ligninger for at kunne bestemme de to ubekendte.

Vi vil se på et system af to koblede differentialligninger

2du

vdt

= og 2dv

udt

=- .

u og v er begge funktioner af t, men sammenkoblingen medfører, at vi ikke umiddelbart kan få tegnet løsningskurver for dem. I stedet vælger vi en anden strategi: Vi betragter u og v som variable og ligningerne som en beskrivelse af variabelsammenhængen mellem dem. Dvs. vi vælger at afsætte u som 1. koordinat og v som 2. koordinat (eller omvendt). Begyndelsesværdierne (0) 2u = og (0) 1v = giver os punktet (2,1) i

(u,v)-koordinatsystemet som begyndelsesværdi for en grafisk fremstilling af variabelsammenhængen mellem u og v.

Vi skifter hældningsfeltet ud med et retningsfelt, hvor hvert tangentstykke er erstattet af en vektor, der viser den retning, et punkt ( , )u v bevæger sig, når t gennemløber tallinjen.

7

I punktet (2,1) er 2 1du

dt= ⋅ og 2 2 4

du

dt=- ⋅ =- . I retningsfeltet vil den pil, der sidder i ( , ) (2,1)u v = pege i

samme retning som vektoren 2

4

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç-è ø, der derfor er retningsvektor for tangenten i punktet.

Den grafiske fremstilling af sammenhængen mellem de to variable u og v kaldes et faseplot.

Her har vi tegnet retningsfeltet for systemet af de koblede differentialligninger

2du

vdt

= og 2dv

udt

=-

sammen med faseplottet gennem ( , ) (2,1)u v = , der viser sammenhængen mellem u og v.

Bemærk, at højresiden i de to differentialligninger ikke indeholder tidsparameteren t, hvilket er en forudsætning for, at det giver mening at tegne retningsfeltet og faseplottet.

Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere, kan vi oversætte systemet af de to koblede differentialligninger til én førsteordens differentialligning ved at anvende reglen om differentiation af sammensat funktion på funktionen ( ( ))v u t :

dv dv du

dt du dt= ⋅ giver at 2 2

dvu v

du- = ⋅ og dermed

dv u

du v

-= .

Der kan være problemer med definitionsmængden, men det vil føre for vidt at medtage dette her.

Denne ligning kan vi så løse med begyndelsesbetingelsen ( , ) (2,1)u v = . Differentialligningen løses på

sædvanlig vis i et værktøjsprogram:

( )2 2

2 2

desolve and (2) 1, ,

5

5

uv

v v u v

v u

u v

¢ =- =

= -

+ =

8

Vi ser, at løsningen fremkommer på implicit form, dvs. at udtrykket indeholder de to variable, uden at v er isoleret. Nogle værktøjsprogrammer løser ligningen fuldt ud, sådan at v fremkommer som en funktion af u.

Faseplottet er altså en del af en cirkel med centrum i (0,0) og radius 5 .

Opgave 2 Et system af koblede differentialligningen er givet ved

3du

vdt

=- ⋅ og 3dv

udt

= ⋅

a) Bestem væksthastighederne i punktet ( )(0), (0) (1,1)u v = , dvs. bestem (0)u¢ og (0)v¢ .

b) Tegn retningsfeltet for systemet af koblede differentialligninger. c) Tegn et faseplot, der viser sammenhængen mellem u og v, med begyndelsesbetingelsen

( )(0), (0) (1,1)u v = .

Opgave 3 Forklar, hvordan retningsfeltet for systemet af koblede differentialligninger

duk v

dt=- ⋅ og

dvk u

dt= ⋅

ændrer sig for forskellige værdier af k. Brug evt. en skyder for k i dit værktøjsprogram.

Opgave 4 Et system af koblede differentialligninger er givet ved

duv

dt=- og 3

dvu

dt= ⋅ .

Tegn retningsfeltet sammen med et faseplot, når det oplyses, at (0) 65u = og (0) 90v = .

Anvendelserafkoblededifferentialligninger

Lanchester’smodel

I forbindelse med fx et kampvognsslag, hvor to styrker kæmper mod hinanden, kan antallet af hærenheder, u og v, som funktion af tiden t (målt i dage efter slagets start) modelleres ud fra Lanchester’s model. Et eksempel på en sådan model kan være et sæt koblede differentialligninger som

( ) ( )

( ) ( )

u t a v t

v t b u t

¢ =- ⋅¢ =- ⋅

hvor a og b er positive konstanter, der angiver effektiviteten af henholdsvis hærenhederne u og v.

Opgave 5 a) Antag hærstyrkerne ved slagets begyndelse er på (0) 200u = og (0) 100v = samt at

0,15a= og 0,03b= . Udregn væksthastighederne (0)u¢ og (0)v¢ , og giv et skøn over

hærstyrkernes størrelse til tidspunkterne 1t = og 2t = .

9

Eksempel 2 I en Lanchestermodel for et slag mellem to hære, kan udviklingen i antallet af hærenheder, u og v, som funktion af tiden t, beskrives ved følgende sæt af koblede differentialligninger

( ) 0,12 ( )

( ) 0,07 ( )

u t v t

v t u t

¢ =- ⋅¢ =- ⋅ ,

Begyndelsesbetingelserne er givet ved (0) 400u = og (0) 700v = .

Et retningsfelt i grafvinduet [ ] [ ]0,500 0,800´ kan sammen med faseplottet med de angivne

begyndelsesbetingelser se ud som:

Af faseplottet ses at punktet (400,700) repræsenterer slagets start, og herefter mister begge styrker hærenheder. Slaget ender med at u har 0 hærenheder, mens v har ca. 630 hærenheder. Det konkluderes altså, at hæren u taber, og alle kampvognene er ødelagt, og hæren v vinder med et tab på omkring 70 kampvogne.

Opgave 6 Givet Lanchesters model med parametrene a og b

( ) ( )

( ) ( )

u t a v t

v t b u t

¢ =- ⋅¢ =- ⋅

Vi antager først, at 0,15a= og 0,03b= .

a) Tegn et faseplot for løsningen med begyndelsesbetingelserne (0) 120u = og

(0) 300v = . Forklar betydningen af faseplottet.

b) Tegn et faseplot for løsningen med begyndelsesbetingelserne (0) 250u = og

(0) 600v = . Forklar betydningen af faseplottet.

c) Tegn et faseplot for løsningen, hvor de to hærstyrker er lige store til at begynde med. Forklar betydningen af faseplottet.

Antag nu, at 0,15a= og 0,10b= .

d) Tegn et faseplot for løsningen med forskellige begyndelsesbetingelser. Sammenlign med faseplottene, hvor 0,15a= og 0,03b= .

(400,700)

10

Andenordensdifferentialligninger

De systemer af koblede differentialligninger, vi har set på ovenfor, kan omskrives til andenordens differentialligninger, hvor kun u eller v indgår som ubekendt. Dermed kan en eksakt løsning bestemmes.

Opgave 7 Vi ser igen på de to koblede differentialligninger

( ) 0,15 ( )

( ) 0,03 ( )

u t v t

v t u t

¢ =- ⋅¢ =- ⋅

hvor u og v betegner antallet af hærenheder, som funktion af tiden t (målt i dage efter slagets start).

a) Differentier ( ) 0,15 ( )v t u t¢ =- ⋅ og vis, at den nye differentialligning kan skrives som

( ) 0,045 ( ).v t v t¢¢ = ⋅

b) Differentier ( ) 0,03 ( )u t v t¢ =- ⋅ og vis, at den nye differentialligning kan skrives som

( ) 0,045 ( ).u t u t¢¢ = ⋅

c) Bestem (0)u¢ og (0)v¢ , når begyndelsesbetingelserne er givet ved (0) 120u = og

(0) 300v = .

d) Bestem de partikulære løsninger, u(t) og v(t), med de givne begyndelsesbetingelser i dit værktøjsprogram.

e) Bestem antallet af hærenheder i de to hære efter 5 dage.

Vi har nu fået omskrevet de koblede differentialligninger ( ) ( )u t a v t¢ =- ⋅ og ( ) ( )v t b u t¢ =- ⋅ til to

andenordens differentialligninger ( ) ( )u t k u t¢¢ = ⋅ og ( ) ( )v t k v t¢¢ = ⋅ , hvor konstanten k a b= ⋅ er den samme

i begge differentialligninger.

Vi ser nu på et mere generelt system af koblede lineære differentialligninger:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u t a u t b v t c

v t d u t e v t f

¢ = ⋅ + ⋅ +¢ = ⋅ + ⋅ +

hvor a, b, c, d , e og f er konstanter, og u og v er funktioner af t, som i det følgende blot betegnes med u og v.

Differentialligningerne omskrives nu efter følgende opskrift:

- differentier første ligning

- indsæt anden ligning i det fundne udtryk

- isoler v i første ligning og indsæt også denne i samme udtryk

Proceduren gentages, men nu ved først at differentiere den anden ligning. Herved når man frem til følgende to andenordens differentialligninger:

1. ( ) ( )u a e u ae bd u bf ec¢¢ ¢- + + - = -

2. ( ) ( )v a e v ae bd v dc af¢¢ ¢- + + - = -

11

Øvelse 1 a) Omskriv følgende koblede system til andenordens differentialligninger: 0,5

0,75 2,5

u u v

v u v

¢ = +¢ =- +

b) Udnyt begyndelsesbetingelserne (0) 1u = og (0) 2v = til at udregne

begyndelsesbetingelserne for u¢ og v¢ .

c) Løs ligningerne med begyndelsesbetingelserne fra b) i dit værktøjsprogram.

Øvelsen er ikke et bevis for, at der er ækvivalens mellem koblede lineære differentialligninger og lineære andenordens differentialligninger. Men beviset følger den samme metode.

I det følgende skal vi se på tre typer af anden ordens differentialligninger samt deres løsninger. De er alle

lineære differentialligninger af anden orden, dvs. de kan skrives på formen 1 2( ) ( ) ( )y f t y f t y g t¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = ,

hvor 1f , 2f og g er givne funktioner af én variabel. Hvis ( ) 0g t = kaldes differentialligningen homogen.

Ellers siges ligningen at være inhomogen. Vi vil kun beskæftige os med lineære differentialligninger af anden orden, hvor funktionerne 1f og 2f er konstanter.

Vi vil i dette afsnit koncentrere os om følgende typer af andenordens differentialligninger:

( )y g t¢¢ = , hvor g er en kontinuert funktion i et interval I,

y a y¢¢ = ⋅ , hvor a er en konstant,

0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = , hvor p og q er konstanter.

y p y q y k¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = , hvor p, q og k er konstanter.

For førsteordens differentialligninger går der højst én løsningskurve gennem et givet punkt, dvs. man skal blot kende et punkt på løsningskurven for at bestemme den partikulære løsning til førsteordens differentialligninger. For andenordens differentialligninger er et punkt ikke nok til at bestemme den partikulære løsning. Her skal man kende et linjeelement 0 0( , ; )t y a , hvorigennem løsningskurven skal

passere. For nogle andenordens differentialligninger er det dog tilstrækkeligt at kende to punkter på løsningskurven. Nogle andenordens differentialligninger kan løses ved at integrere to gange. Man får herved to konstanter, og man skal derfor kende to punkter eller et linjeelement for at kunne finde den partikulære løsning.

Opgave 8 a) Løs differentialligningen 5y t¢¢ = ved at integrere to gange.

b) Bestem den løsning, der går gennem punkterne (0,3) og (2,30).

c) Tegn hældningsfeltet og løsningskurven gennem de to punkter.

12

Sætning 1 Den fuldstændige løsning til differentialligningen ( )y g t¢¢ = , hvor g er en kontinuert

funktion i et interval I, er givet ved

1 2( )y G t dt c t c= + ⋅ +ò ,

hvor G(t) er en stamfunktion til g(t), og hvor 1c og 2c er vilkårlige konstanter.

Øvelse 2 Bevis sætningen ved at integrere differentialligningen to gange på samme måde som i opgaven ovenfor.

Opgave 9

a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen 24e ty¢¢ = .

b) Bestem tre løsninger, hvis grafer går gennem punktet 2(1,e )P .

c) Bestem den løsning, der går gennem punkterne 2(1,e )P og (5,0)Q .

d) Bestem den løsning, der går gennem punktet 2(1,e )P , og som har en tangent med

hældningskoefficient 2 i punktet P.

Bemærk, at det for differentialligningen 24e ty¢¢ = er nødvendigt at kende enten to punkter

eller et linjeelement for at fastlægge en entydig løsning.

Sætning 2

Den fuldstændige løsning til differentialligningen y a y¢¢ = ⋅ afhænger af fortegnet for

konstanten a.

1) Hvis 0a = , så er den fuldstændige løsning givet ved 1 2y c t c= ⋅ + .

2) Hvis 0a> , så er den fuldstændige løsning givet ved 1 2e ea t a ty c c⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ .

3) Hvis 0a< , så er den fuldstændige løsning givet ved

( ) ( )1 2cos siny c a t c a t= ⋅ - ⋅ + ⋅ - ⋅ .

I alle tre tilfælde gælder udtrykket for alle t, og 1c og 2c er vilkårlige konstanter.

Bevis

Vi deler beviset op i tre tilfælde svarende til de tre muligheder for fortegnet for a.

1) Dette følger af sætning 1. Forklar hvorfor.

2) Først bevises, at 1 2e ea t a ty c c⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ rent faktisk er en løsning. Øvelse 3 Vis dette ved at gøre prøve.

Dernæst bevises, at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen end 1 2e ea t a ty c c⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ .

Antag derfor, at y er en vilkårlig løsning til differentialligningen.

13

0

y a y

y a y

¢¢ = ⋅¢¢- ⋅ =

Vi omskriver differentialligningen ved at gange med faktoren e a t⋅ og får:

e e 0a t a ty a y⋅ ⋅¢¢ ⋅ - ⋅ ⋅ =

Nu lægger vi leddet e a ty a ⋅¢ ⋅ ⋅ til på venstre side og trækker det fra igen:

e e e e 0a t a t a t a ty y a y a a y⋅ ⋅ ⋅ ⋅¢¢ ¢ ¢⋅ + ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ =

Ved at bruge produktregnereglen for differentiation baglæns kan dette kan omskrives til:

( ) ( )e e 0a t a ty y a⋅ ⋅¢ ¢¢ ⋅ - ⋅ ⋅ =

Øvelse 4 Kontrollér, at dette er rigtigt ved at differentiere ovenstående vha. produktregnereglen for differentiation.

Nu bruges differensreglen for differentiation til at samle de to differentialkvotienter:

( )e e 0a t a ty y a⋅ ⋅ ¢¢ ⋅ - ⋅ ⋅ =

Begge sider integreres, og vi får:

e ea t a ty y a c⋅ ⋅¢ ⋅ - ⋅ ⋅ = , hvor c er en konstant.

Vi ganger med e a t- ⋅ på begge sider af lighedstegnet:

e e e e e

e

a t a t a t a t a t

a t

y y a c

y y a c

⋅ - ⋅ ⋅ - ⋅ - ⋅

- ⋅

¢ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

¢- ⋅ = ⋅

Nu har vi altså oversat problemet til en lineær førsteordens differentialligning. Vi omskriver denne ligning

ved igen at gange med faktoren e a t- ⋅ .

e e e ea t a t a t a ty y a c- ⋅ - ⋅ - ⋅ - ⋅¢ ⋅ - ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Ved at bruge produktregnereglen for differentiation baglæns kan venstre omskrives til:

( ) 2e ea t a ty c- ⋅ - ⋅ ⋅¢⋅ = ⋅

Øvelse 5 Kontroller at dette er rigtigt ved at differentiere ovenstående vha. produktregnereglen for differentiation på venstre side og en potensregneregel på højre side.

Begge sider af ligningen ovenfor integreres, og vi får:

2122

e ea t a ta

y c c- ⋅ - ⋅ ⋅⋅

⋅ =- ⋅ ⋅ + , hvor 2c er en konstant.

14

Vi ganger nu med faktoren e a t⋅ på begge sider af lighedstegnet:

2122

e e e e ea t a t a t a t a ta

y c c- ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ =- ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ .

Vi omdøber konstanten 2

ca

- til 1c og anvender en potensregneregel:

1 2e ea t a ty c c- ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ .

Vi har hermed bevist at en vilkårlig løsning y til differentialligningen kan skrives på formen

1 2e ea t a ty c c- ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ .

2) Vi mangler nu det sidste at de tre tilfælde, og vi vil bevise, at ( ) ( )1 2cos siny c a t c a t= ⋅ - ⋅ + ⋅ - ⋅ rent

faktisk er en løsning til differentialligningen y a y¢¢ = ⋅ , med 0a< .

Øvelse 6 Vis dette ved at gøre prøve.

Til sidst skal det bevises, at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen end

( ) ( )1 2cos siny c a t c a t= ⋅ - ⋅ + ⋅ - ⋅ . Beviset udelades her, men findes i gængse lærebøger.

Nedenfor ses tre mulige løsningskurver til differentialligningen y a y¢¢ = ⋅ . En hvor 0a = , en hvor a er

negativ og en hvor a er positiv.

15

Anvendelserafandenordensdifferentialligninger

Med sætning 2 kan vi arbejde videre med differentialligningerne fra Lanchesters model.

Opgave 10 Bestem en partikulær løsning til hver af de to andenordens differentialligninger fra opgave 7 ( ) 0,045 ( )v t v t¢¢ = ⋅ og ( ) 0,045 ( ).u t u t¢¢ = ⋅ med begyndelsesbetingelserne (0) 120u = , (0) 300v = , (0) 45u ¢ =- og (0) 3,6v¢ =- .


6y y¢¢ = ⋅ .

a) Brug sætning 2 til at opskrive den fuldstændige løsning. b) Brug sætning 2 til at bestemme den partikulære løsning, hvis løsningskurve går gennem

linjeelementet (1,2;2). c) Kontroller din løsning til differentialligningen ved hjælp at dit værktøjsprogram.

Andenordensdifferentialligningerfortsat

Inden vi ser nærmere på den sidste af de tre andenordens differentialligninger, nemlig 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ =

indfører vi det tilhørende karakteristiske polynomium.

Definition 1 Ved det karakteristiske polynomium for differentialligningen 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = forstås

andengradspolynomiet 2( )g x x p x q= + ⋅ + , hvor vi har kaldt den variable x for at undgå

sammenblanding med variablen t i differentialligningen.

Det karakteristiske polynomiums diskriminant og eventuelle rødder spiller en væsentlig rolle for løsningen af den tilhørende differentialligning.

16

Sætning 3 Den fuldstændige løsning til differentialligningen 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = , hvor p og q er

konstanter, afhænger af diskriminanten 2 4d p q= - for det tilhørende karakteristiske

polynomium 2( )g x x p x q= + ⋅ + .

1) Hvis 0d > , så har det karakteristiske polynomium to rødder l og m , og den

fuldstændige løsning til differentialligningen er mængden af funktioner på formen

1 2t ty c e c e⋅ ⋅= ⋅ + ⋅l m ,

hvor 1c og 2c er vilkårlige konstanter.

2) Hvis 0d = , så har det karakteristiske polynomium én rod , og den fuldstændige løsning til differentialligningen er mængden af funktioner på formen:

1 2t ty c e c t e⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅l l ,


3) Hvis 0d < , så er den fuldstændige løsning til differentialligningen mængden af funktioner på formen:

( ) ( )1 12 21 1

1 22 2cos sinp t p ty c e d t c e d t- ⋅ - ⋅= ⋅ ⋅ - ⋅ + ⋅ ⋅ - ⋅ ,


Beviset udelades her, men kan læses i flere gængse lærebøger.

Nedenfor ses tre mulige løsningskurver til differentialligningen 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = . Én for hver af de tre

fortegn for det karakteristiske polynomiums diskriminant d.

17


4 5 0y y y¢¢ ¢- ⋅ + ⋅ =

a) Opskriv det karakteristiske polynomium, og bestem den tilhørende diskriminant. b) Gør rede for, hvilken type forskrift løsningen ( )f t kan beskrives ved.

c) Bestem den partikulære løsning, som opfylder, at ( )20f =p og ( )2

2f ¢ =p .


2y y y¢¢ ¢= + ⋅ .


c) Bestem den partikulære løsning, hvis graf går gennem linjeelementet ( )12

3,2; .


20 40 20 0y y y¢¢ ¢⋅ + ⋅ + ⋅ =


c) Bestem den partikulære løsning, som opfylder at (0) 5f = og (0) 0f ¢ = .

Anvendelserafandenordensdifferentialligningerfortsat

Eksempel 3 Fjeder uden friktion

Et lod er ophængt i en fjeder, og når vi trækker i loddet og slipper, så bevæger fjederen sig op og ned. Vi antager først, at der ikke er nogen friktion i bevægelsen, og at loddet derfor vil fortsætte med at bevæge sig op og ned.

Bevægelsesligningen for loddet kan beskrives ved

( ) ( )km

y t y t¢¢ =- ⋅ ,

hvor y(t) er loddets afstand fra ligevægtspunktet, t er tiden, m er loddets masse og k er en konstant – herefter kaldet fjederkonstanten.

18

Opgave 15

Et lod på 0,5 kg ophænges i en fjeder. Det trækkes 4 cm væk fra ligevægtspunktet, holdes i hvile et øjeblik, slippes til 0t = , og starter derefter sine svingninger. Fjederkonstanten er

3k = .

a) Opskriv begyndelsesbetingelserne og differentialligningen. b) Løs differentialligningen vha. af sætning 2, så du får et udtryk for y som funktion af t.

Tjek din løsning ved også at løse differentialligningen i dit værktøjsprogram. c) Tegn grafen for y.

Eksempel 4

Fjeder med friktion

En fjeder vil naturligvis ikke fortsætte i evighed med at svinge op og ned. Udsvingene vil aftage med tiden på grund af friktion. Tager man dette aspekt med i modellen for fjederens bevægelse, ændres bevægelsesligningen til:

( ) ( ) ( ) 0b km m

y t y t y t¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = ,

hvor y(t) er loddets afstand fra ligevægtspunktet, t er tiden, m er loddets masse, k er fjederkonstanten, og b er en konstant.

Opgave 16

For en bestemt fjeder er 10kgm = , 26,5k = og 6b = .

a) Opskriv differentialligningen med disse konstanter indsat, og opskriv det karakteristiske polynomium, der hører til denne differentialligning.

b) Bestem diskriminanten for det karakteristiske polynomium samt eventuelle rødder. c) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen.

d) Bestem den partikulære løsning, når (0) 3y = og (0) 7,1y¢ = .

e) Tegn grafen for y. f) Denne type af fjedersvingninger kaldes dæmpede svingninger. Hvorfor mon?

Opgave 17

For en bestemt fjeder er 1kgm = , 9k = og 6b = .

a) Bestem den partikulære løsning, når (0) 3y = og (0) 4y¢ = .

b) Tegn grafen for y. c) Denne type af fjedersvingninger kaldes kritisk dæmpede svingninger. Hvorfor mon?

Opgave 18

For en bestemt fjeder er 2kgm = , 8k = og 10b= .

a) Bestem den partikulære løsning når (0) 1y = og (0) 7y¢ =- .

b) Tegn grafen for y. c) Denne type af fjedersvingninger kaldes overdæmpede svingninger. Hvorfor mon?

19

Bevægelsesligningerne i ovenstående eksempler med fjedre kan også bruges til at beskrive andre typer af svingninger.

Eksempel 5

Lidokain i blodet

I behandling af uregelmæssig hjerterytme kan et system af koblede differentialligninger modellere brugen af medikamentet lidokain.

Antag, at ( )u t betegner massen af lidokain i blodet (målt i mg), og ( )v t betegner massen af

lidokain i kropsvævet (målt i mg). Det koblede system af differentialligninger kan for en bestemt kropsvægt da opstilles som:

( ) 0,09 ( ) 0,038 ( )

( ) 0,066 ( ) 0,038 ( )

u t u t v t

v t u t v t

I modellen er massen af lidokain i blodet til at begynde med 0, og massen af lidokain i kropsvævet svarer til massen af den dosis, der indsprøjtes.

Kilde: J. M. Cushing, Differential Equations: An Applied Approach

Øvelse 7 a) Omskriv det koblede system af differentialligninger i eksempel 5 til 2. ordens differentialligninger.

b) Bestem de partikulære løsninger til systemet af koblede differentialligninger i

eksempel 5, når begyndelsesbetingelserne er (0) 0u = og (0) 1v = .

b) Tegn et faseplot for disse løsninger.

Eksempel 6 Marketingsstrategi

En kosmetikkæde har en marketingsstrategi for prisen på en bestemt shampoo.

I et system af koblede differentialligninger betegner ( )u t prisen på shampoo, og ( )v t

betegner lagermængden af den bestemte shampoo. Et system af koblede differentialligninger for den bestemte shampoo kan formuleres som:

( ) ( ) 50

13( ) ( ) 6 ( ) 289

4

u t v t

v t u t v t

med begyndelsesbetingelserne (0) 10u og (0) 7.v

Øvelse 8 a) Omskriv det koblede system af differentialligninger i eksempel 6 til 2. ordens differentialligninger.

b) Bestem de partikulære løsninger til systemet af koblede differentialligninger fra

eksempel 6.

c) Hvad sker der med pris og lagermængde, når t bliver meget stor.

d) Tegn et faseplot for disse løsninger.

20

Bilag

KoblededifferentialligningerogfaseplotiMaple

Udgangspunktet er et system af koblede af differentialligninger

( ) 0,2 ( )

( ) 0,08 ( )

u t v t

v t u t

En partikulær løsning skal opfylde (0) 250u og (0) 120v = .

Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i Maple med pakken DEtools og kommandoen Deplot

21

KoblededifferentialligningerogfaseplotiGeogebra


( ) 0,2 ( )

( ) 0,08 ( )

u t v t

v t u t

En partikulær løsning skal opfylde (0) 250u og (0) 120v .

Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i Geogebra med dette worksheet http://www.geogebratube.org/student/m8930 eller Geogebrafilen GeogebraFaseplot.

22

KoblededifferentialligningerogfaseplotiNSpire


( ) 0,2 ( )

( ) 0,08 ( )

u t v t

v t u t

En partikulær løsning skal opfylde (0) 250u og (0) 120v .

Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i grafvinduet i NSpire.

Under ”Grafindtastning/Rediger” vælges først ”Differentialligninger”:

Herefter indtastes den første differentialligning sammen med begyndelsesbetingelsen for u. Bemærk at u kalds y1 og v kaldes y2.

Herefter indtastes den anden differentialligning samt begyndelsesbetingelser for v, og der klikkes på knappen med de tre prikker yderst til højre:

Vælg følgende indstillinger i det fremkomne vindue:

23

Til sidst ændres vinduets størrelse, så det passer til faseplottet:


Torsdag den 22. maj 2014kl. 09.00 -14.001stx141-MATn/A-22052014

130295.indd 1 27/03/14 08.06











Delprøven uden hjælpemidler består af 12 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af 13 spørgsmål.

De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen.

130295.indd 2 27/03/14 08.06

Stx matematik A-net maj 2014 side 1 af 7

Delprøven uden hjælpemidler

Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 a) Løs andengradsligningen

23 2 0.x x- - =

Opgave 2

To vektorer a og b

er givet ved

51


og 1

1b


.

a) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b

.

Opgave 3

a) Isolér x i ligningen 2 3 5.x+ =

Opgave 4 I en model for ændringen af massen af et radioaktivt stof kan sammenhængen mellem

massen M (målt i gram) og tiden t (målt i sekunder) beskrives ved ( ) 250 0,9956 tM t = ⋅ . a) Gør rede for, hvad konstanterne 250 og 0,9956 fortæller om ændringen af massen af

det radioaktive stof. Opgave 5 Linjen l går gennem punkterne ( 1,2)A - og (5,26)B .

a) Bestem en parameterfremstilling for l. Linjen m står vinkelret på l og går gennem A. b) Bestem en ligning for m.

130295.indd 3 27/03/14 08.06



Figuren viser en sumkurve over højdefordelingen blandt 800 elever på en skole.

a) Bestem kvartilsættet for højdefordelingen og bestem, hvor mange elever på skolen der

er mindre end 160 cm. Benyt evt. bilag 1. Opgave 7 En funktion f er bestemt ved

3 2( ) 12 24 12 .f x x x x= - + a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet

( )0, (0) .P f Grafen for f og førsteaksen afgrænser for 0 1x£ £ i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figuren). b) Bestem arealet af M.

150 cm 160 cm 170 cm 180 cm 190 cm 200 cm

10%

50%

100%

(2)

(1)

M

1

f

130295.indd 4 27/03/14 08.06


Opgave 8

På figuren ses et rektangel med sidelængderne 6 og 8. Diagonalernes skæringspunkt benævnes A. a) Bestem arealet af trekant ABC. b) Bestem omkredsen af trekant ABC.

Opgave 9

En funktion f er bestemt ved 2( ) .f x x b x c= + ⋅ + Det oplyses, at linjen med ligningen 5y x=- + er tangent til grafen for f i punktet ( )1, (1)P f .

a) Bestem b og c.


8

6

A

B

C

130295.indd 5 27/03/14 08.06


Delprøven med hjælpemidler

Kl. 09.00 – 14.00

Opgave 10

Tabellen viser sammenhørende værdier af faldhøjde og kraterdiameter for en kugle, der falder ned i en sandkasse.

Faldhøjde (cm) 20 30 50 83 100

Kraterdiameter (cm) 5,0 5,6 6,5 7,4 7,8

I en model kan sammenhængen beskrives ved ,ad b x= ⋅ hvor d er kraterdiameteren (målt i cm), og x er faldhøjden (målt i cm). a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme kraterdiameteren for et fald med en faldhøjde på

90 cm og til at bestemme faldhøjden, når kraterdiameteren er 8,5 cm. c) Benyt modellen til at bestemme, hvor mange procent kraterdiameteren øges med, når

faldhøjden øges med 50%. Opgave 11 I trekant ABC er 7BC = og 6AB = . Det oplyses, at arealet af trekant ABC er 10, samt at

B er spids. a) Bestem B samt omkredsen af trekant ABC.

d

x

130295.indd 6 27/03/14 08.06


Opgave 12

I Minnesota USA ligger gæstehuset Winton tegnet af arkitekten Frank O. Gehry. På figuren ses en model af en af de tre bygninger, der indgår i gæstehuset. Modellen er indlagt i et koordinatsystem, hvor enheden er cm på hver af akserne. Koordinaterne til nogle af husets hjørnepunkter er angivet på figuren. a) Bestem en ligning for den plan , som indeholder tagfladen ABCD. Det oplyses, at tagfladen BCGH ligger i en plan , der er bestemt ved ligningen 1800 51520 8993 2327630 0: .x y z + - - = b) Bestem den stumpe vinkel mellem de to tagflader ABCD og BCGH.

Opgave 13

Et system af koblede differentialligninger er givet ved

( ) ( )( ) 2 ( ).

u t v tv t u t¢¢

==-

a) Bestem væksthastighederne i punktet ( , ) (3,4)u v . b) Tegn et faseplot, hvor en partikulær løsning, der opfylder (0) 10u og (0) 10v , er

indtegnet.

A

B

C

DG

H

x

y

z

(281,617,250) (281,79,250)

(557,209,1050) (557,408,1050)

A B

C D

130295.indd 7 27/03/14 08.06


Opgave 14 To funktioner f og g er bestemt ved

( ) 2,5 0,05 1,4 ,

( ) 3 0 ,, 0 55

0

,

f x x x

g x x x

³+

= ⋅ - ³

= ⋅ +

I første kvadrant afgrænser graferne for f og g sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen 6,5x= en punktmængde M, der har et areal.

En keramikskål, der er 6,5 cm høj, kan i en model beskrives ved det omdrejningslegeme, der fremkommer ved at dreje M 360° om førsteaksen. I modellen har begge akser enheden cm. a) Benyt modellen til at bestemme, hvor meget skålen kan rumme, og til at bestemme

volumen af den ler, skålen er lavet af. Opgave 15

Når en person springer ud fra en vippe i en svømmehal sættes brættets yderste ende i lodrette svingninger. For at beskrive dette har man markeret et punkt P på vippen (se figuren). I en model kan punktets lodrette udsving beskrives ved en funktion ( )f t , der er løsning til differentialligningen 0,38 0,55 0,y yy¢¢+ ⋅ ¢+ ⋅ = hvor ( )f t er punktet P’s udsving fra ligevægts-stillingen (målt i cm) til tidspunktet t (målt i sekunder efter udspringet). a) Opskriv det karakteristiske polynomium for differentialligningen, og benyt dette til at

gøre rede for, hvilken type forskrift ( )f t kan beskrives ved. Det oplyses, at ved selve udspringet er punktet 15 cm under ligevægtsstillingen, og punktets hastighed er 0 cm/s. b) Bestem en forskrift for ( )f t , og tegn grafen for f for de første 10 sekunder efter

udspringet.

(1)

(2)

f

g

6,50,5

M

Foto: Colourbox.com

P

130295.indd 8 27/03/14 08.06



2( ) 1 .f x x= - På figuren ses en skitse af grafen for f. a) Gør rede for, at arealet af trekant OPQ udtrykt

ved x er givet ved 31

2( ) ( )T x x x= - , og gør rede for, at omkredsen af trekant OPQ

udtrykt ved x er givet ved 2 4 2( ) 1 1.d x x x x x=- + + + - + b) Bestem den værdi af x, der giver den maksimale værdi af arealet af trekant OPQ, og

undersøg, om denne værdi af x også giver den maksimale værdi af omkredsen af trekant OPQ.

1

f

� �, ( )P x f x

O Q

(2)

(1)x

130295.indd 9 27/03/14 08.06

Stx matematik A-net maj 2014

BILAG 1 Stx matematik A-net maj 2014 Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID


6

150 cm 160 cm 170 cm 180 cm 190 cm 200 cm

10%

50%

100%

130295.indd 13 27/03/14 08.06


Tirsdag den 27. maj 2014kl. 09.00 -14.002stx141-MATn/A-27052014

130330.indd 1 26/03/14 13.14











Delprøven uden hjælpemidler består af 12 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af 13 spørgsmål.

De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen.

130330.indd 2 26/03/14 13.14



Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b

bestemt ved

23


og 1

tb


,

hvor t er et tal.

a) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer a og b

udspænder, når 1t = .

b) Bestem tallet t, så a og b

er ortogonale.

Opgave 2 To størrelser x og y er ligefrem proportionale.

x 2 3 sy t 18 30

a) Bestem tallene s og t.

Opgave 3

I en retvinklet trekant ABC, hvor 90C = , er |AB| = 10 og

6BC = . a) Bestem AC , og bestem arealet af trekant ABC.

b) Bestem højden hc.


2( ) 4 10f x a x x= ⋅ - - .

Grafen for f er en parabel, som har toppunkt i ( )2, 6T - - . a) Bestem konstanten a.

C B

10

6

A

hc

130330.indd 3 26/03/14 13.14


Opgave 5 Hver af de tre grafer A, B og C på figuren er graf for en af de tre funktioner f , g og h. De tre funktioner er bestemt ved ( ) 2xf x = , 2( ) 3g x x-= ⋅ og ( )1

2( ) 2 .xh x = ⋅

a) Gør for hver af graferne A, B og C rede for, hvilken af de tre funktioner den er graf for. Opgave 6 En funktion f er bestemt ved

3( ) 2 7.f x x= +

a) Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet (2,8)P .

Opgave 7 En funktion f er løsning til differentialligningen

3 .dy x y xdx

= ⋅ +

Grafen for f går gennem punktet (2,5)P . a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

Opgave 8 En cirkel er givet ved ligningen

2 26 2 1 0.x x y y- + + + =

a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum.

b) Undersøg, om linjen med ligningen 3 4 3 0x y- + = er en tangent til cirklen.

A

C

B

(2)

(1)

130330.indd 4 26/03/14 13.14


Opgave 9

En differentiabel funktion f opfylder, at

(0) 2f = og (5) 0f = ,

og, at fortegn og nulpunkter for f ¢ er som angivet på tallinjen:

a) Tegn en skitse af en mulig graf for funktionen f.


x 2� 5

( )f x� � ��0 0

130330.indd 5 26/03/14 13.14



Kl. 09.00 – 14.00

Opgave 10 I trekant ABC er 10AC = , 8BC = og 43A = . Det oplyses, at vinkel B er stump.

a) Tegn en skitse af trekant ABC, og bestem B .

Opgave 11

I en model kan længden af en bestemt type grønne leguaner som funktion af deres alder beskrives ved

2,59

160( )1 799 e xf x - ⋅=+ ⋅

, 0 20x£ £ ,

hvor ( )f x er længden (målt i cm), og x er alderen (målt i år). a) Tegn grafen for f , og bestem alderen for en grøn leguan, der er 140 cm lang.

b) Bestem (2)f ¢ , og giv en fortolkning af dette tal. c) Benyt modellen til at bestemme længden af en grøn leguan, når dens væksthastighed er

størst. Opgave 12 Man ønsker at undersøge, om den personlige holdning til sammenlægning af to skoler i en

kommune afhænger af personens køn. Der er udtaget en stikprøve på 400 personer i kommunen. Stikprøvens fordeling på køn og holdning til sammenlægningen fremgår af tabellen.

For Imod Ved ikke Kvinder 40 93 13 Mænd 101 130 23

a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at teste, om holdning til sammenlægning af

de to skoler i kommunen afhænger af køn, og opskriv med udgangspunkt heri en tabel over de forventede værdier.

b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes.

Foto: www.colourbox.com

130330.indd 6 26/03/14 13.14


Opgave 13 Funktionen ( )y t opfylder differentialligningen

3 ( ) ( ) ( ) 0y t y t y t¢¢ ¢+ - = .

a) Bestem den partikulære løsning, der opfylder (0) 1y¢ = og (0) 1y = . Tegn grafen for den partikulære løsning.

Opgave 14

Figuren viser et øjebliksbillede af et sjippetov indtegnet i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. I en model kan sjippetovets udseende beskrives ved grafen for funktionen ( ) 0,95 sin(0,62 0 .8 ), 5f x x x⋅ £ £= ⋅ a) Bestem volumen af den luftmængde, der afsnøres, når sjippetorvet roteres 360°

omkring førsteaksen. Opgave 15

I en Lanchestermodel for et tankslag mellem to hære, kan udviklingen i antallet af kampduelige tanks i hver af de to hære beskrives ved to funktioner u og v, der er løsning til differentialligningssystemet

( ) 0,15 ( )( ) 0,01 ( ),

u t v tv t u t=¢

=--

¢

hvor ( )u t og ( )v t er antallet af kampduelige tanks i hver af de to hære til tidspunktet t (målt i dage efter tankslagets begyndelse). Det oplyses, at (0) 5128u = og (0) 2928v = .

a) Bestem de partikulære løsninger ( )u t og ( )v t med de givne begyndelsesbetingelser,

og bestem antallet af kampduelige tanks i hver af de to hære efter 5 dage. b) Tegn et retningsfelt med et faseplot, der opfylder ovenstående begyndelsesbetingelser,

og benyt dette til at forudsige, hvilken af de to hære der vinder.

VEND!

(2)

(1)

f

Fotos: www.colourbox.com

130330.indd 7 26/03/14 13.14


Opgave 16 Figuren viser en pyramide indtegnet i et koordinatsystem i rummet. Koordinatsættene til pyramidens hjørner er angivet på figuren.

a) Bestem en ligning for den plan , der indeholder fladen ABT. Pyramiden gennemskæres af planen , der er bestemt ved ligningen 1: 5 5 1 6.x y z - - + = b) Bestem den spidse vinkel mellem og . En kugle har centrum i T og har som tangentplan. c) Bestem koordinatsættet til kuglens røringspunkt med .

x

y

z

A

B

C

T(10,0,0)

(10,10,0)

(0,10,0)

(0,0,15)

(0,0,0)

A

B

C

T

O

O

130330.indd 8 26/03/14 13.14


Torsdag den 14. august 2014kl. 09.00 -14.00stx142-MATn/A-14082014












Stx matematik A-net august 2014 side 1 af 5


Kl. 09.00 – 11.00

Opgave 1 a) Reducér udtrykket 2 2( )( ) 2 .p q p q p q- + - + Opgave 2 I et koordinatsystem i planen er givet punkterne (1,2)A og (5,10)B .

a) Bestem en ligning for den rette linje, der går gennem punktet (2, 4)C - og er parallel

med vektoren AB

. b) Bestem arealet af trekant ABC .

Opgave 3 En parabel er givet ved ligningen

2 8 1y x x=- + - . a) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. b) Forklar, hvilken betydning tallet 8 i ligningen har for parablens form og beliggenhed.

Opgave 4 Afladningen af en kondensator kan beskrives ved modellen

( ) 130 0,8 tU t ,

hvor ( )U t er spændingsfaldet målt i volt, og t er tiden målt i sekunder efter opladningen. a) Forklar betydningen af konstanterne i modellen.


( ) e 3xf x x x-= ⋅ + . a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (0, (0))P f .


Opgave 6 På figuren ses en skitse af graferne for de tre funktioner ( ) 3 1,2xf x ( ) 2 ( )g x f x ( ) (2 )h x f x a) Gør for hver af graferne A, B og C rede for, hvilken

af funktionerne f, g og h den er graf for.

Opgave 7

To funktioner f og g er bestemt ved

3

3 2

( ) 2 7( ) 4 7.

f x x xg x x x x

= - +

= + - +

Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant et område M, der har et areal. a) Bestem førstekoordinaterne til hvert af

skæringspunkterne mellem graferne for f og g. b) Bestem arealet af M.

Opgave 8 Trekanterne ABC og EFG er ensvinklede, hvor A E og 90C G .

I trekant ABC er 4AC , og arealet er 12. Arealet af trekant EFG er 9 gange større end arealet af trekant ABC. a) Tegn en skitse af situationen, og bestem BC samt EG .

Opgave 9 a) Bestem integralet

3

4

4 2 .2

x dxx x

+

+ò


(2)

(1)

AB

C

(2)

(1)

g

f

M



Kl. 09.00 – 14.00

Opgave 10

I en undersøgelse af rejser mellem nogle forskellige destinationer har man opgjort sammenhængen mellem rejsetiden med tog og andelen af de rejsende, der vælger tog frem for fly. Sammenhængen fremgår af tabellen.

Togrejsetid (timer) 2 3 4 6 8 10 12

Togandel (%) 85 59 42 22 12 8 5

I en model kan sammenhængen beskrives ved ( ) ,xf x b a= ⋅ hvor ( )f x er andelen (målt i %) af de rejsende, der vælger tog fremfor fly, og x er togrejsetiden (målt i timer). a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b, og benyt modellen til at vurdere, hvor stor

en andel af de rejsende, der vil vælge tog frem for fly på en rejse med en togrejsetid på 14 timer.

Kilde: Politiken 19.1.14

Opgave 11 Om trekant ABC oplyses, at 20A = , 10AC = og 8BC = . Endvidere oplyses, at B

er stump. a) Bestem AB og C . Punktet D ligger på linjen gennem A og B. Endvidere oplyses, at arealet af trekant ADC er dobbelt så stort som arealet af trekant ABC. b) Bestem AD .


Opgave 12

I en model gælder følgende sammenhæng mellem svømmetid og alder for mandlige elitesvømmere på 400 meter fri

3 2( ) 0,01765 1,409 36,45 534,6p t t t t , 12 30t ,

hvor ( )p t er svømmetiden målt i sekunder, og t er alderen målt i år. a) Tegn grafen for p, og benyt modellen til at bestemme svømmetiden for en 28-årig

mandlig elitesvømmer på 400 meter fri. b) Benyt modellen til at bestemme den alder, hvor en mandlig elitesvømmer på 400 meter

fri er hurtigst. Kilde:”The math modeling of the stages of result development in high profile swimmers for the 50m, 100m, 200m, 400m and 1500m freestyle”, Okičić et al, Physical Education and Sport Vol 5, No 2, 2007, 121-137

Opgave 13

På figuren ses en model af et trekantet stykke pap, der kaster en skygge på et gulv i xy-planen. Koordinatsættene for trekantens og skyggens hjørner er angivet på figuren. Enheden på hver af de tre akser er cm. a) Opskriv en parameterfremstilling for den rette linje, der går gennem punkterne B og E,

og bestem BE . b) Bestem forholdet mellem arealet af trekanten og arealet af skyggen.

Grafik: www.colourbox.com

A

B

C

D

E

F

z

y

x

(0,0,300)

(200,0,800)

(400,0,300)

(185,514,0)

(668,1363,0)

(574,514,0)

A

B

C

D

E

F


Opgave 14

Et system af koblede differentialligninger er givet ved

( ) 0,1 ( ) 0,2 ( )( ) 0,5 ( ) 0,05 ( ).

u t v t u tv t u t v t

a) Tegn et retningsfelt for systemet sammen med den partikulære løsning, der opfylder, at

(0) 15u og (0) 0v . Opgave 15 En funktion f er bestemt ved

2

1( )1

xf xx-

=+

.

a) Bestem monotoniforholdene for f.

Opgave 16 I en produktion af en bestemt type stangstål vides, at 28% af stængerne knækker ved en

belastning på 1000 kg. Virksomheden har ændret produktionen af denne type stangstål, og har udtaget en tilfældig stikprøve på 120 stænger. Ved en styrketest af de 120 stænger viser det sig, at 22 knækker ved en belastning på 1000 kg. a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge, om andelen af stænger, der

knækker, er uændret, og bestem de forventede værdier. b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes.

Opgave 17

En væske med et stof injiceres i blodbanen på en bestemt person. Stoffet fordeler sig i blodbanen samt i vævet og udskilles med urinen. I en model kan udviklingen af stofmængden i blodbanen beskrives ved en funktion ( )u t , der er løsning til differentialligningen 0,21 0,0014 0uu u¢¢+ ⋅ ¢+ ⋅ = , hvor ( )u t er stofmængden (målt i mg) i blodbanen til tidspunktet t (målt i timer efter injektionen). a) Opskriv det karakteristiske polynomium for differentialligningen, og benyt dette til at

gøre rede for, hvilken type forskrift ( )u t kan beskrives ved. Det oplyses, at der injiceres 20 mg af stoffet samt at (0) 2,3u¢ =- . b) Bestem en forskrift for ( )u t , og benyt modellen til at bestemme, hvor lang tid der går,

før stofmængden i blodbanen er 10 mg.

Foto: www.colourbox.com

Documents

Matematik A - emu.dk¦t.pdf · Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx‐A Side