MATURSKI RADNIKOLA FILPOVIĆ

Matematičko klatno

OSCILATORNO KRETANJEMATEMATIČKO KLATNO – OSNOVNI POJMOVI

Uvod

Oscilatorno kretanje

Jedno od fundamentalnih vrsta kretanja u fizici

Sila koja deluje na telo proporcionalna je otklonu od ravnotežnog položaja (restituciona sila)

Karakteristična funkcija položaja tela od vremena je sinusna funkcija

U realnosti, uvek postoji gubitak energije koji se manifestuje kao prigušenje oscilatornog kretanja

Matematičko klatno – osnovni pojmovi

Sistem sačinjen od tanke neistegljive niti zanemarljive mase, okačene o oslonac, i tela zanemarljivih dimenzija okačenog o tu nit

Oscilovanje pod dejstvom tangencijalne komponente težine tela

ANALITIČKO REŠENJENUMERIČKO REŠENJE (OJLEROV I OJLER – KROMEROV

METOD)LINEARNO I NELINEARNO REŠENJE

Prosto harmonijsko kretanje

Analitičko rešenje jednačine kretanja

Na osnovu II Njutnovog zakona dinamike rotacije

Aproksimativna jednačina je linearna i važi za male uglove

Analitičko rešenje jednačine kretanja

Rešenje diferencijalne jednačine kretanja ima oblik

Početni ugao otklona i početna faza oscilovanja zavise od početnih uslova

Kretanje ne zavisi od mase kuglice, i periodično će se ponavljati zauvek, jer nema trenja u posmatranom modelu

Numeričko rešenje jednačine kretanja

Za numeričko rešavanje diferencijalnih jednačina obično se koristi Ojler – Kromerov metod

Zavisnost ugla otklona od vremena se lako može isprogramirati, pri čemu se dobija određeni grafik

Funkcija ugla otklona od vremena za linearno matematičko klatno – Ojler – Kromerov metod

Ovakvo rešenje dobilo bi se i analitičkim rešavanjem jednačine kretanja

Međutim, osnovni cilj uvođenja numeričkog metoda za rešavanje diferencijalnih jednačina je rešavanje nelinearnih jednačina

0 5 10 15 20

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vreme t [s]

ugao

[r

ad]

l=1m t=0.04s

Numeričko rešenje jednačine kretanja

Ponovo Ojler – Kromerov metod, ovoga puta za nelinearno klatno

Nema aproksimacije za male uglove

Razlika između rezultata dobijenih za linearno i nelinearno klatno

Rešenje nelinearne jednačine kretanja (isprekidana linija) ne poklapa se sa linearnim

Rezultat ovog odudaranja je povećanje perioda oscilovanja sa povećanjem ugla otklona od ravnotežnog položaja

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0l=1m t=0.04s

vreme t [s]

ugao

[r

ad]

LinearnoLinearno NelinearnoNelinearno

Upoređivanje rešenja

0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3

0=/4

0=/2

0=3/4

vreme t [s]

ugao

[r

ad]

l=1m t=0.04s

0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3

ugao

[r

ad]

vreme t [s]

l=1m t=0.04s 0=/4

0=/2

0=3/4

Grafik zavisnosti perioda oscilovanja klatna od početnog ugla otklona

Utvrđeno je da se period oscilovanja klatna može zapisati u obliku beskonačnog reda

U slučajevima kada su uglovi manji od 10˚, izraz za period se svodi na

0.1 0.2 0.3 0.4 0.51.95

2.00

2.05

2.10

2.15

2.20

2.25

2.30

2.35

2.40l=1m t=0.04s

T0=2s

perio

d T

[s]

ugao 0[rad]

ANALITIČKO REŠENJENUMERIČKO REŠENJE (OJLER – KROMEROV METOD)

LINEARNO I NELINEARNO REŠENJE

Prigušeno oscilovanje

Analitičko rešenje jednačine kretanja

Pojava sile trenja, koju klatno savladava, i na taj način gubi deo svoje energije (prigušenje)

Jednačina kretanja je

Aproksimativna jednačina je

Analitičko rešenje jednačine kretanja

Više različitih slučajeva (rešenja), u zavisnosti od karakteristika prigušenja

Karakteristična jednačina

Natkritično rešenje (aperiodično) – sopstvene učestanosti realne i različite

Analitičko rešenje jednačine kretanja

Kritično rešenje (aperiodično) – sopstvene učestanosti realne i jednake

Podkritično rešenje (kvaziperiodično) – sopstvene učestanosti su konjugovano-kompleksne

Periodično rešenje – sopstvene učestanosti imaginarne (prosto harmonijsko oscilovanje)

Nelinearan sistemNelinearan sistem Linearan sistemLinearan sistem

Numeričko rešenje (Ojler – Kromerov metod)

Funkcija ugla otklona od vremena za nelinearno matematičko klatno koje se kreće u sredini sa prigušenjem

Za q=10, sistem je natkritično prigušen

Za q=5, sistem je blizu kritičnog prigušenja

Za q=1, sistem se kreće kvaziperiodično i reč je o podkritičnom rešenju diferencijalne jednačine

0 2 4 6 8 10-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8l=1m t=0.04s

ugao

ra

d]

vreme t[s]

q=1 q=3 q=5 q=10

Razlika između rezultata dobijenih za linearno i nelinearno klatno u sredini sa prigušenjem

Kao i u sredini bez prigušenja, rešenje nelinearne jednačine kretanja (isprekidana linija) ne poklapa se sa linearnim

Razlog je isti, promena perioda oscilovanja sa promenom ugla otklona

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

l=1m t=0.04s

vreme t[s]

ugao

ra

d]

Grafik zavisnosti perioda oscilovanja klatna od početnog ugla otklona

Suštinski, period se menja na isti način kao i u slučaju kad nema prigušenja

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2.004

2.008

2.012

2.016

2.020

2.024

ugao 0[rad]

pe

rio

d T

[s]

l=1m t=0.04s

T0=2.004s

Upoređivanje rešenja

Činjenica da period klatna nije konstantan u zavisnosti od amplitudnog ugla dokazuje nepouzdanost aproksimativnog rešenja

Mogućnosti približnog rešenja jednačine kretanja klatna su na neki način ograničene

Matematičko klatno je u realnosti nelinearan sistem, i upravo je ta činjenica presudna u određivanju njegovog ponašanja

PRINUDNO OSCILOVANJE KOD LINEARNOG KLATNAPRINUDNO OSCILOVANJE KOD NELINEARNOG KLATNA

Prinudno oscilovanje

Analitičko rešenje jednačine kretanja

Gubitak energije oscilatora, izazvan oscilovanjem u sredini koja prigušuje kretanje, se može nadoknaditi primenom spoljašnje sile koja bi vršila pozitivan rad na sistemu (prinudna sila)

Prinudna sila može biti različite prirode (mehanička, električna, magnetna)

Jednačina kretanja za linearno klatno

Analitičko rešenje jednačine kretanja

Nakon dovoljno dugo vremena, energija, koju prilikom jedne pune oscilacije u sistem ubaci prinudna sila, postane jednaka energiji koja se izgubi usled prigušenja, te je rešenje jednačine kretanja

Amplituda oscilovanja je data izrazom

Funkcija ugla otklona od vremena za linearno klatno koje se kreće u sredini sa prigušenjem i pod dejstvom prinudne sile

Prigušeno kretanje se posle određenog vremena „stabilizuje“ prinudnom silom, i kretanje se odvija po funkciji koja je analitičko rešenje jednačine kretanja

Ovakav vid kretanja je karakterističan za linearno klatno, bez obzira na to kakva je amplituda ili frekvencija prinudne sile

0 5 10 15 20-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

l=1m t=0.04s

vreme t[s]

ugao

ra

d]

q=1 D=2 f=0.2

Numeričko rešenje jednačine kretanja

Kretanje nelinearnog klatna je i dalje periodično, ali se ne može opisati sinusnom ili kosinusnom funkcijom

Najsloženiji oblik diferencijalne jednačine koji opisuje kretanje klatna dat je kao

Ojler – Kromerov metod

Numeričko rešenje jednačine kretanja

0 10 20 30 40 50 60

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

q=1 D=2

l=1m t=0.04s

vreme t[s]

ugao

ra

d]

f=0 f=1 f=7.5

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

q=1 D=2

l=1m t=0.04s

vreme t[s]

ugao

ra

d]

f=7.5 f=10

Funkcija ugla otklona od vremena za nelinearno matematičko klatno koje prinudno osciluje

Za slabe prinudne sile, periodično kretanje klatna će se zauvek ponavljati

Pri jačoj prinudnoj sili, kretanje postaje haotično, i predstavljeno je veoma komplikovanom funkcijom vremena

Pri takvim uslovima, jedno ponašanje sistema se nikad ne ponavlja, tj. klatno gubi karakteristiku da se kreće isključivo periodično

0 10 20 30 40 50 60-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

q=0.5 D=2/3

l=9.81m t=0.04s

vreme t[s]

ugao

ra

d]

f=0 f=0.5 f=1.2

Funkcija ugla otklona nelinearnog matematičkog klatna od vremena

Na grafiku je prikazano jedno isto kretanje, pri čijem je modelovanju korišćeno “resetovanje” ugla (puna linija), i ono gde to nije slučaj (isprekidana linija)

0 10 20 30 40 50 60-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

q=0.5 D=2/3 f=1.2

l=9.81m t=0.04s

vreme t[s]

ugao

ra

d]

RAZLIKE IZMEĐU LINEARNIH I NELINEARNIH SISTEMA

OSNOVNI POJMOVI U TEORIJI HAOSA

Zaključak

Linearni i nelinearni sistemi

Modelovanje kretanja klatna bilo bi prilično neinteresantno kada bi se posmatralo u svom najjednostavnijem obliku

Podela na linearne i nelinearne sistemeRazlike

Period oscilovanja Haotično kretanje pod dejstvom prinudne sile

Osnovni pojmovi teorije haosa

U matematici, teorija haosa opisuje ponašanje određenih dinamičkih sistema, tj. onih čije stanje sistema evoluira u toku vremena

Ponašanje haotičnih sistema izgleda slučajno, čak i ako su sistemi deterministički, što znači da im je dinamika potpuno određena početnim uslovima, bez slučajnih faktora (deterministički haos, haos)

Posledica nelinearnosti sistemaPonašanje vremena i klime, rast populacije u

ekologiji, mehanički i magnetno-mehanički procesi itd.

HVALA NA PAŽNJI!!!