Matematiki modeli fizikih sistema
Matematiki modeli fizikih sistema
Matematiki modeli fizikih sistema
Matematiki modeli fizikih sistema
Matematiki modeli fizikih sistema

Matematiki modeli fizikih sistema

  • View
    103

  • Download
    3

Embed Size (px)

Text of Matematiki modeli fizikih sistema

Matematiki modeli fizikih sistemaFiziki sistem je skup fizikih komponenti, meusobno povezanih, zbog odreenog cilja. Kako nijedan fiziki sistem ne moe biti prikazan u svoj njegovoj sloenosti, neophodno je za potrebe analize i sinteze izvriti odreena uproavanja. Takav idealizovan fiziki sistem naziva se fiziki model. Kada je dobijen fiziki model nekog fizikog sistema, sledei korak je dobijanje matematikog modela, koji predstavlja matematiku interpretaciju fizikog modela, pomou odgovarajuih fizikih zakonitosti. Na primer, elektrina mrea moe biti modelovana sistemima jednaina Kirhofovih zakona. Kada se matematiki model nekog fizikog sistema rei za odreene poetne uslove, dobijeno reenje je dinamiki odziv fizikog sistema. Matematiki modeli veine fizikih sistema se najee daju u formi diferencijalnih jednaina. Matematiki model je linearan ako su koeficijenti diferencijalne jednaine funkcije nekog nezavisnog argumenta ili su konstanti. Ako su koeficijenti diferencijalne jednaine funkcije vremena, tada se za matematiki model kae da je linearan i vremenski promenljiv. Kada su koeficijenti diferencijalne jednaine konstantni, onda je model linearan i vremenski nepromenljiv. Za reavanje matematikih modela linearnih sistema razvijene su razne matematike metode, uz primenu raunara. Veina fizikih sistema u praksi su nelinearni. Meutim, u praksi, veina nelinearnosti je takva da je mogue postaviti linearni model, koji sa zadovoljavajuom tanou aproksimira ponaanje sistema, u radnom opsegu od interesa. Postoje i fiziki sistemi koji se ne mogu na zadovoljavajui nain aproksimirati linearnim modelom. To su nelinearni sistemi, koji za analize i projektovanje zahtevaju druge metode. 1 Diferencijalne jednaine fizikih sistema Posmatran u celini, upravljaki sistem u sutini predstavlja aktivnu mreu, sainjenu od elektrinih, mehanikih, hidraulinih, pneumatskih i drugih komponenata. Da bi se pristupilo analizi i sintezi, bilo kog tipa upravljakog sistema, potrebno je poznavati matematike modele pojedinih njegovih komponenti, kao i fizike zakone kao to su Njutnov, Kirhofov i dr. a) Mehaniki linearni sistemi Za translatorno kretanje vai drugi Njutnov zakon:f i t ma m d2x dt 2

(1)

gde je: fi(t) sila inercije (N), t vreme (sek.), m masa (kg),

a ubrzanje (m/sek2), x pomeraj (m).

Sila, koja izaziva translatorno kretanje slobodnog kraja opruge, generie silu reakcije, koja deluje suprotno sili deformacije, u okviru elastine granice idealne linearne opruge (slika 1). Za ovaj sisteme vai Hukov zakon: Fe(t) = K x(t) gde je: Fe(t) sila elastinosti opruge (N), K krutost opruge (N/m), x(t) pomeraj slobodnog kraja opruge (m). (2)

Slika 1 Sila, koju izaziva viskozno trenje u translatornom kretanju (slika 2) je:

f t t B t B

dx dt

(3)

gde je: ft(t) sila viskoznog trenja (N), B koeficijent viskoznog trenja (Nsec./m), (t) relativna brzina dodirnih povrina (m/sec}.

Slika 2 Za rotaciono kretanje (sl. 3) je moment ubrzanja:

Slika 3

Mu J

d d 2 J 2 dt dt

(4)

gde je: Mu moment ubrzanja (Nm), J moment inercije (kgm2), d 2 B ugaono ubrzanje (rad /sek2). 2 dt Pri pokretanju zamajca na osovini usled uvijanja osovine, javlja se i torzioni moment na osovini: Me = k (t) (5) gde je: Me(t) torzioni moment elastinosti (Nm), ugaoni pomeraj osovine (rad), k koeficijent torzione elastinosti (Nm /rad). Ako je zamajac rotora u viskoznoj sredini, tada tada se pojavljuje i moment viskoznog trenja:

M t t Bt B

d dt

(6)

gde je: B koeficijent viskoznog trenja (Nm/rad/sec), d ugaona brzina (rad/sek), dt Mt(t) moment viskoznog trenja (N/m). Diferencijalna jednaina sistema za pokretanje zamajca na osovini u viskoznoj sredini je

J

d 2 d B kt Mt 2 dt dt

(7)

gde je: M (t) pokretaki moment koji izaziva rotaciju. Ova jednaina izraava zakon ravnotee momenata. To je diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantinim koeficijentima. Kako je = d/dt to ova jednaina se esto izraava u obliku :

J

d B k dt Mt dt

t

(8)

b) Elektrini linearni sistem Osnovni parametri elektrinog linearnog sistema su otpornost, induktivnost i kapacitivnost. Analiza ovih sistema se izvodi na bazi Kirhofovih zakona. Dinamiko ponaanje rednog RLC kola (sl. 4), opisuje se diferencijalnom jednainom:di 1 L Ri idt u t dt C0t

(9)

Slika 4 Ako se uvede smena i L

dq , prethodna jednaina ima oblik dtR dq 1 q u t . dt C

d 2q dt2

(10)

Poredei zadnje jednaine, sa jednainama iz linearnih mehanikih sistema, vidimo da su te jednaine istog oblika, ali sa razliitim fizikim veliinama, parametrima i dimenzijama. Takvi sistemi ije su diferencijalne jednaine istog oblika, zovu se analogni sistemi. Na osnovu slinosti ovih jednaina mogue je formirati tabelu analogija (tabela 1.), izmeu fizikih veliina, elektrinih i mehanikih sistema.

Tabela 1.Elektrini sistem Napon u Induktivnost L Otpornost R Reciproni kapacitet 1/C Koliina elektriciteta q Struja i Mehaniki translatorni sistem Sila F Masa m Koeficijent trenja B Krutost oprege K Pomeraj x Brzina Mehaniki rotacioni sistem Moment M Moment inercije J Koeficijent trenja B Koeficijent torzije k Ugaoni pomeraj Ugaona brzina

Koncept analognih sistema se moe proiriti i na druge fizike sisteme, kao to su termiki, hidraulini, pneumatski i drugi. Najlake je neelektrine sisteme modelovati u analogne elektrine. Na primer, sloeni mehaniki sistemi se mogu prouavati istim metodama kao i elektrine mree ako se uvede pojam mehanike impedanse i mehanike konture. Primenom Laplasove transformacije na jednainu (9), za poetne uslove jednake nuli, dobija se algebarska jednaina:

LsIs RIs

1 Is u s Cs

(11)

na osnovu koje se izraunava uproena kompleksna impedansa elektrine konture redne veze RLC elemenata

Zs

u s 1 Ls R . Is Cs

(12)

Na isti nain se mogu definisati i mehanike impedanse translatornog i rotacionog sistema:

Fs k ms B x s s Ms k Zr s Js B s s Zt s

(13)

Prema tome, uvodei pojam mehanike konture sa odgovarajuom mehanikom impedansom, mogue je, za bilo kakav sloen linearni mehaniki sistem, formirati odgovarajuu pasivnu elektrinu mreu. Tako se mehaniki sistemi analiziraju istim postupkom kao i elektrine mree.