Matematiki modeli ula sluha

  • View
    230

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of Matematiki modeli ula sluha

  • UNIVERZITET U NOVOM SADU

    PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET

    DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

    Nemanja urasinovi

    Matematiki modeli

    ula sluha

    -master rad-

    Mentor: dr Marko Nedeljkov

    Novi Sad, 2015.

  • 1

    elim se na ovom mestu neizmerno zahvaliti mom mentoru, dr Marku Nedeljkovu,

    profesoricama dr Natai Kreji i dr Danijeli Rajter-iri na svim savetima,

    sugestijama prilikom izrade master rada, kao i na pruenom znanju tokom studija;

    svim asistentima i profesorima sa kojima sam saraivao na studijama kao i

    profesoricama u osnovnoj i srednjoj koli, prof. Ruici Bulat i prof. Sandri

    Popovi. Dalje, elim se zahvaliti svim kolegama sa grupe koji su doprineli lakem

    i zanimljivijem polaganju ispita na studijama.

    Takoe, eleo bih se zahvaliti Nikoli, Aleksandri i Vasiliju, oni znaju zato. No, svu

    zahvalnost ovog sveta dugujem mojoj porodici, pre svega majci Veri, ocu Miletu,

    sestri Jeleni, bratu Duku i njihovim porodicama za svu ljubav, podrku i

    razumevanje koju su mi nesebino davali. Rad je posveen svima njima.

    Novi Sad, 2015. Nemanja urasinovi

  • 2

    Sadraj 1. Anatomija ljudskog uha i auditivni sistem .......................................................................................... 5

    1.1. Spoljanje uho ............................................................................................................................... 6

    1.2. Srednje uho ................................................................................................................................... 6

    1.3. Unutranje uho .............................................................................................................................. 7

    2. Matematike osnove ............................................................................................................................ 9

    2.1. Parcijalne diferencijalne jednaine ............................................................................................... 9

    2.2. Klasifikacija PDJ. Poetni i granini uslovi. ............................................................................... 10

    2.3. Furijeova transformacija ............................................................................................................. 13

    2.4. Navier-Stokes-ove jednaine. Jednaina kontinuiteta ................................................................. 15

    2.5. Eliptine parcijalne diferencijalne jednaine. Laplasova jednaina i principi. ........................... 21

    2.5.1. Jak princip maksimuma. ..................................................................................................... 23

    2.5.2. Slab princip maksimuma ..................................................................................................... 24

    2.5.3. Fundamentalno reenje Laplasove jednaine u ............................................................. 25

    2.6. Numeriki alati za reavanje. Metoda konanih razlika. ............................................................ 30

    3. Matematiki modeli ........................................................................................................................... 33

    3.1. Uvodne pretpostavke ....................................................................................................................... 33

    3.2. Pritisak u kohlei model ................................................................................................................ 34

    3.3. Pojednostavljeni model pritiska ...................................................................................................... 41

    3.4. Navier Stokes-ova jednaina fluida i BM. .................................................................................... 43

    3.5. Bazilarna membrana pasivni model ............................................................................................. 50

    3.6. Aktivni model ................................................................................................................................. 53

    3.7. Model rezonacije tektorijalne membrane ......................................................................................... 54

    3.8. Integralne jednaine i beskonana kohlea ....................................................................................... 55

    4. Numeriko reenje i implementacija ................................................................................................. 60

    4.1. Numerika implementacija modela ............................................................................................ 62

    Dodatak i popis slika sa izvorima ............................................................................................................... 66

    Zakljuak ..................................................................................................................................................... 71

    Literatura .................................................................................................................................................... 72

    Biografija ..................................................................................................................................................... 74

  • 3

    Predgovor

    Ne samo mono oruje u borbi za opstanak, matematika je simbol nae

    intelektualne snage i jemstvo da e se ljudski duh vazda boriti za uzviene ciljeve

    (Danilo Blanua, 1903-1987)

    Teko je zamisliti svet koji nas okruuje bez zvuka u njemu. Evolucijom

    senzornog sistema kod sisara, razvilo se i ulo sluha. Njegova namena je viestruka

    od otkrivanja potencijalne opasnosti pa do uivanja u omiljenoj muzici.

    Cilj ovog master rada jeste, pevashodno, da kroz matematiko modeliranje

    pokuamo razumeti ceo proces putanje zvuka (zvuk je, strogo govorei-mehaniki

    talas) iz okoline koja nas okruuje sve do mozga koji primljene signale obrauje

    kada mi postajemo svesni da smo uli neto.

    Rad je podeljen u vie logikih celina; u prvom delu se upoznajemo sa

    osnovnim karakteristikama zvuka i dajemo anatomsku grau uha kao osnov za

    bolje razumevanje modela, zatim u drugom delu navodimo neke poznate

    matematike osnove, modele i osnovne principe koji e nam koristiti dalje u radu.

    U treem delu koristimo ve poznate modele iz fizike i mehanike odnosno

    dinamike i pravimo analogon kako bismo opisali svaku deonicu uha i procesa koji

    se u tom delu izvrava. Na samom kraju implementiramo numeriko reenje u

    programskom paketu Matlab i pravimo analogon sa modelom, uporeujui i

    analizirajui rezultate. Kombinuje se znanje iz anatomije, elektro-fizioloije i

    najzad, matematikog modeliranja.

    Akcenat emo staviti na modele vezane za srednje i unutranje uho, bazilarnu

    membranu i organ pua (kohlea). Navode se modeli koji su se razvijali kroz

    istoriju kako bi opisali auditivni sistem na osnovu saznanja iz fizike i na osnovu

    nekih empirijskih odnosno eksperimentalnih zakljuaka. Jo u petom veku pre

    Hrista, stari Grci su doivljavali zvuk kao talase koji se prostiru kroz vazduh.

    Zapavo, oni su doli do zakljuka da je (ljudski) sluh rezultat dopiranja tih talasa

    do uha, ali nisu mogli nita vie da saznaju.

    U 16. veku, dolazi do blagog napretka, kada se razvila anatomija i kada su skriveni

    delovi ljudskog uha videli svetlost dana.

  • 4

    Godine 1863., nemaki lekar i fiziar Herman fon Helmholc1 objavljuje rad

    Doktrina senzacije tona gde predlae model sluha koji se bazira na pretpostavci

    da se organ pu (kohlea) moe modelirati kao rezonator zvuka, odnosno da

    pojedini delovi pua vibriraju na odreenoj frekvenciji zvunih talasa. Svakako da

    najvei doprinos pripada gospodinu Georgu fon Bekeiju2 koji je posvetio panju

    modeliranju kohlee poev od 1928., na osnovu eksperimentalnih rezultata, a iji

    modeli su mu doneli i Nobelovu nagradu 1961. godine. Takoe, on je posmatrao i

    modelirao zvune talase koji dopiru do bazilarne membrane.

    Poev od 1950-e godine, kada su Peterson i Bogert na osnovu Bekeijevih

    rezultata izveli talasni model kohlee, interesovanje za ovu oblast poinje da raste,

    da bi tokom narednih decenija bili predlagani mnogobrojni modeli3 a samim tim

    uinjeni znaajni pomaci u razumevanju ula sluha. Zahvaljujui dananjoj

    modernoj aparaturi, preciznim merenjima i raunarima moemo doi do preciznijih

    i boljih rezultata. U ovom master radu emo navesti neke od modela, posmatrati

    njihove karakteristike, prednosti, numerike aproksimacije i uporediemo ih.

    Autor se nada da e rad u budunosti posluiti kao osnov za dalje usavravanje

    modela ove prirode a moda jednom i pomoi poboljanju modela za otklanjanje

    oteenja sluha. Ili makar, jo vie podstaknuti tu ideju.

    1 Hermann von Helmholtz (1821-1894), nemaki fiziar i lekar. Jedan od njegovih sudenata-doktoranata bio je i Mihailo Pupin.

    2 Georg von Bksy (1899-1972), maarski biofiziar.

    3 Navodimo neke od autora koji su nastavili prouavanje modela a iji rezultati e b