Click here to load reader

MATEMATIČKE METODE U KEMIJI 2

  • View
    236

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of MATEMATIČKE METODE U KEMIJI 2

  • MATEMATIKE METODE U KEMIJI 2

    1. Priblini i toni brojevi (pogreke, zaokruivanje, )

    2. Nelinearne jednadbe (numerike metode njihova rjeavanja)

    3. Metode interpolacije funkcija

    4. Numeriko diferenciranje

    5. Numeriko integriranje

    6. Optimizacijske metode

    7. Teorija vjerojatnosti

    8. Osnove statistike

    9. Sluajne varijable

    10.Statistiki testovi

    11.Regresijske metode

  • NELINEARNE JEDNADBE

    UVOD

    IZOLACIJA RJEENJA

    METODA RASPOLAVLJANJA

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA (METODA TANGENTI)

    METODA SEKANTE, METODA REGULA FALSI

    METODA ITERACIJE (METODA UZASTOPNIH PRIBLIENJA)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    UVOD

    analitiko i numeriko rjeenje

    - linearna jednadba je jednadba u kojoj je svaki lan ili konstantan ili je

    jednak produktu konstante s prvom potencijom varijable

    - takva jednadba ekvivalenta je izjednaavanju polinoma prvog

    stupnja s nulom

    - naziva se linearnom jer predstavlja pravac u Cartesiusovom

    koordinatnom sustavu

    - uobiajeni oblik linearne jednadbe je: y = ax +b

  • NELINEARNE JEDNADBE

    UVOD

    - nelinearne jednadbe imaju lanove koji nisu linearni

    - veina fizikalnih sustava se ne ponaa linearno

    -primjeri nelinearnih jednadbi:

    - npr. toplinski kapacitet je ovisan o temperaturi i razliit za razliite temperaturne intervale, obino se opisuje funkcijama tipa: Cv = a + bT + cT

    2 + dT-2

    - rjeavaju se iterativnim postupkom (lat. iterare - ponoviti)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    - ukoliko je nelinearna jednadba prilino komplicirana, obino nije

    mogue pronai tona rjeenja

    - u odreenim sluajevima jednadba moe sadravati koeficijente koji su priblini brojevi

    ime sam cilj pronalaenja tonih rjeenja postaje besmislen

    NEKE OD NUMERIKIH METODA RJEAVANJA NELINEARNIH JEDNADBI:

    IZOLACIJA RJEENJA

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

    METODA REGULA FALSI

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA 1. MODIFIKACIJA

    MEDIFICIRANA NEWTON-RAPHSONOVA METODA METODA SEKANTI

    METODA ITERACIJE (METODA UZASTOPNIH PRIBLIENJA)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    IZOLACIJA RJEENJA

    -promatramo funkciju u intervalu [a,b] te svaka vrijednost za koju funkcija f ( x ) poprima

    vrijednost nule naziva se nul-tokom funkcije

    - openito se moe dogoditi da funkcija ima vie nul-toaka ili da nema niti jednu nul-toku

    - ako je funkcija neprekidna u intervalu [a,b] i ako na rubovima intervala poprima

    vrijednosti suprotnog predznaka (f (a) f ( b) < 0), onda u tom intervalu postoji barem

    jedna nul-toka!

    - ako je prva derivacija funkcije (f ( x ) ) stalnog predznaka u tom intervalu, onda je to i

    jedina nul-toka u tom intervalu.

    - za procjenu intervala esto se koriste: crtanje grafa funkcije, rjeavanje pojednostavljenog

    modela,

    KAKO ZNAMO DA JE NUL-TOKA UNUTAR INTERVALA [a,b]?

  • - aproksimiranje izoliranih realnih rjeenja sastoji se od:

    (1) odreivanja najmanjeg mogueg segmenta [a,b ] koji sadri samo jedno rjeenje

    (2) poboljavanja vrijednosti aproksimativnog rjeenja do odreene tonosti

    NELINEARNE JEDNADBE

    IZOLACIJA RJEENJA

    Primjer. Nai nul toke funkcije f(x) = x3 6x+ 2.

    - na ovaj nain smo separirali 3 intervala:

    - s obzirom da imamo polinom treeg stupnja, u svakom od intervala nalazi se po jedna nul-toka te ostalih nul-toki niti nema

    - iteracijskim postupkom poveavamo aproksimativno rjeenje do zadovoljavajue tonosti

  • NELINEARNE JEDNADBE

    IZOLACIJA RJEENJA

  • NELINEARNE JEDNADBE

    IZOLACIJA RJEENJA

  • NELINEARNE JEDNADBE

    IZOLACIJA RJEENJA

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

    -zatvorena metoda -potrebno je odrediti segment [ a , b ] u kojem se nalazi rjeenje jednadbe

    i sve aproksimacije rjeenja e biti unutar tog segmenta

    - ako vrijedi f (a ) f (b ) < 0 tada u segmentu postoji barem jedno rjeenje jednadbe f (x) = 0

    1) pretpostavimo da je funkcija f(x) neprekidna u intervalu [ a , b ] te da se u tom intervalu mijenja predznak funkcije : f ( a ) f ( b) < 0 )

    2) prepolovimo interval i ako polovite nije nul-toka, usredotoimo se na onu polovicu intervala na ijim rubovima funkcija mijenja predznak

    3) ponavljamo postupak na onu polovicu intervala na koju smo se usredotoili

    ITERACIJA 1-3- u trenutku kada je zadovoljen iteracijski kriterij koji smo si postavili (npr. bn- an < z),

    prekidamo iteraciju

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

    - s obzirom da se svakom iteracijom interval prepolovi, broj iteracija n potreban da se

    poetni interval [a0,b0] smanji na odreeni interval [an,bn] iznosi:

    -konvergencija je spora, odnosno potreban je veliki broj iteracija da se postigne eljena

    tonost (npr. potrebno je 3 iteracije za poveanje tonosti za jedno decimalno mjesto)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

    PRIMJER 1: Koritenjem algoritma bisekcije izraunaj nul-toku funkcije f(x) = x3 6x + 2 naintervalu [0, 1,5].

    f(an) = f(0)= 2 > 0;

    f(bn)=f(1,5)= -3,625 < 0

    RIJEENJE: Xn+1=(an+bn)/2

    - greku u svakom koraku raunamo po formuli:

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA RASPOLAVLJANJA (BISEKCIJE)

    PRIMJER 2: Metodom bisekcije pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

  • NELINEARNE JEDNADBE

    REGULA FALSI LINEARNA INTERPOLACIJA

    - odredimo interval [a,b] unutar kojeg je barem jedna nul toka funkcije f(x), odnosno

    vrijedi f(a)f(b)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    REGULA FALSI LINEARNA INTERPOLACIJA

    - pomou jednadbe pravca kroz dvije toke i uvjeta g(x)=0, lako se izrauna nova granica intervala - izvod

    - iteracijska formula:

    - kao i kod metode bisekcije, konvergencija je zagarantirana zatvorena metoda

    - neto bre konvergira od metode bisekcije, ali ne daje nam direktnu procjenu greke

  • NELINEARNE JEDNADBE

    PRIMJER 3: Metodom regula falsi pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

    REGULA FALSI LINEARNA INTERPOLACIJA

  • NELINEARNE JEDNADBE

    REGULA FALSI LINEARNA INTERPOLACIJA

    PRIMJER 3: Metodom regula falsi pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

  • NELINEARNE JEDNADBE

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA

    - pretpostavimo da smo na neki nain odredili interval [a,b] (npr. u raunalnoj kemiji

    je to recimo kristalna struktura uzeta kao poetna struktura!) u kome se nalazi nul-

    toka funkcije f(x).

    - nadalje, pretpostavimo da su prva i druga derivacija funkcije definirane u tom

    intervalu i imaju isti predznak za a x b, pa tako i za toku x0 vrijedi

    - izaberemo poetnu toku x0 te razvijemo funkciju u Taylorov red oko toke x0 te

    zadrimo samo linearni lan:

    - dobivenu funkciju izjednaimo s nulom- tako dobivena funkcija (izjednaavanjem s nulom) predstavlja tangentu na graf funkcije f(x) u toki x0

    - Slika na slijedeem slideu!

  • NELINEARNE JEDNADBE

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA

    - kao prvu aproksimaciju rjeenja nul-toke uzmemo sjecite tangente s x-osi, odnosno

    traimo nul-toku pravca koji predstavlja tangentu

    - tu toku nazivamo x1 i traimo ju po formuli:

    IZVOD !

  • NELINEARNE JEDNADBE

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA

    - dobivena toka x1 koristi se kao poetna u slijedeem koraku iteracije:

    -openito, koristimo formulu:

  • NELINEARNE JEDNADBE

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA

  • PRIMJER 4: Newton-Raphsonovom metodom pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2

    2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

    - s obzirom da je rjeenje jednadbe 2, uzet emo kao prvu aproksimaciju x0=3

  • NELINEARNE JEDNADBE

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA 1. MODIFIKACIJA

    -kod nekih funkcija je raunanje vrijednosti prve derivacije funkcije u nekoj toki vrlo

    zahtjevno

    - u sluaju takvih funkcija koristi se 1. modifikacija N.-R. metode, koja se bazira na

    aproksimaciji:

    - tako iteracijska formula postaje:

    - na ovaj nain nije potrebno raunati vrijednost prve derivacije funkcije u svakom

    iteracijskom koraku, ve samo u prvom iteracijskom koraku

    - ovaj algoritam sporije konvergira od klasine N-R metode, ali je raunski manje

    zahtjevan

  • NELINEARNE JEDNADBE

    NEWTON-RAPHSONOVA METODA 1. MODIFIKACIJA

    iteracijski kriterij:

  • PRIMJER 5: prvom modifikacijom Newton-Raphsonove metode pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

    - s obzirom da je rjeenje jednadbe 2, uzet emo kao prvu aproksimaciju x0=3

    - sada emo u svakom koraku koristiti formulu:

  • NELINEARNE JEDNADBE

    MEDIFICIRANA NEWTON-RAPHSONOVA METODA METODA SEKANTI

    - s obzirom da kod N.R. metode raunamo i vrijednost funkcije i vrijednost prve

    derivacije u svakom iteracijskom koraku, moe biti oteavajua okolnost u nekim

    sluajevima

    - u tim sluajevi koriste se razliite modifikacije N.R. metode, jedna od njih je i

    metoda sekanti

    - pretpostavimo da smo na neki nain odredili interval [a,b] u kome se moe, ali i ne

    mora nalaziti nul-toka funkcije f(x).

    - potrebne su dvije poetne aproksimacije

    - povuemo sekantu kroz te dvije toke (x0, f(x0) i x1, f(x1))

    - sjecite sekante s osi x daje nam slijedeu aproksimaciju x2

    - uvjet je da

  • NELINEARNE JEDNADBE

    MEDIFICIRANA NEWTON-RAPHSONOVA METODA METODA SEKANTI

    - openita formula:

    - linearno konvergira te se moe smatrati i varijantom metode bisekcije

    IZVOD

  • PRIMJER 6: Metodom sekanti pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

    - kao poetne aproksimacije uzet emo x0=4 i x1=3

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA ITERACIJE (METODA UZASTOPNIH PRIBLIENJA)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA ITERACIJE (METODA UZASTOPNIH PRIBLIENJA)

  • PRIMJER 7: Metodom iteracije (metodom uzastopnih rjeenja) pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 x 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

    - najprije treba f(x) preurediti u oblik x=g(x), tu postoji nekoliko mogunosti:

    - nee uvijek nuno konvergirati!

  • PRIMJER 7: Metodom iteracije (metodom uzastopnih rjeenja) pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 x 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

    - uzmimo oblik:

    - za poetnu aproksimaciju uzmemo x0=3

    - divergira!

  • PRIMJER 7: Metodom iteracije (metodom uzastopnih rjeenja) pronai pozitivnu nul-toku funkcije f(x) = x2 x 2. Zaustavi iteraciju kada apsolutna vrijednost razlike dva uzastopna rjeenja bude manja od 10-4.

    - uzmimo oblik:

    - za poetnu aproksimaciju uzmemo x0=3

    - konvergira!

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA ITERACIJE (METODA UZASTOPNIH PRIBLIENJA)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA ITERACIJE (METODA UZASTOPNIH PRIBLIENJA)

  • NELINEARNE JEDNADBE

    METODA ITERACIJE (METODA UZASTOPNIH PRIBLIENJA)