Matematici Speciale

1

MATEMATICI SPECIALE Prof. univ. dr. Gheorghe BARBU

2

1. Obiectivul disciplinei

Prezentarea, cunoaşterea şi însuşirea elementelor de bază şi a tehnicilor calcul privind funcţii complexe, transformări integrale, funcţii speciale, probabilităţi şi grafuri.

2. Desfăşurarea disciplinei Curs : 3 ore / săptămână. Seminar: / săptămână.

3. Programa analitică a cursului

I. Funcţii complexe------------------------------------------------------------------15 ore 1. Numere complexe------------------------------------------------------3 ore

Corpul numerelor complexe Planul complex Proprietăţile algebrice ale numerelor complexe Completarea planului complex Structura metrică şi topologică a planului complex Funcţii complexe de variabilă reală

2. Funcţii complexe de variabilă complexă-------------------------9 ore

Limite Continuitate Derivabilitate----------------------------------------2 ore Funcţii elementare----------------------------------1 oră Integrarea funcţiilor complexe -------------------3 ore Serii de funcţii complexe--------------------------3 ore

3. Teoria reziduurilor şi aplicaţii-------------------------------------3 ore

II. Transformări integrale---------------------------------------------------------------6 ore

Transformarea Fourier-------------------------------------- 2 ore Transformarea Laplace------------------------------------- 2 ore Aplicaţii--------------------------------------------------------2 ore

III. Funcţii speciale----------------------------------------------------------------------3 ore

Funcţiile lui Euler: Gama şi Beta-------------------------------2 ore Funcţii Bessel------------------------------------------------------1 oră

3

IV. Elemente de teoria pobabilităţilor------------------------------------------9 ore

Câmpuri de evenimente---------------------------------3 ore Variabile aleatoare. Caracteristici numerice----------3 ore Repartiţii clasice de probabilitate----------------------3 ore

V. Elemente de teoria grafurilor---------------------------------------------------6 ore

Grafuri neorientate--------------------------------------1 oră Grafuri orientate-----------------------------------------1 oră Algoritmi pentru determinarea fluxurilor optime---2ore Drumul critic-------------------------------------------- 1 oră Aplicaţii---------------------------------------------------1 oră

VI. Elemente de teoria aşteptării ---------------------------------------------------------------3 ore

Model general cu sosiri poissoniene şi timp de servire exponenţială--2 ore Tipuri de modele de aşteptare-----------------------------------------------1 oră

4. Bibliografie [1] Gheorghe Barbu, Matematici speciale. Note de curs., Tipografia Universităţii din Piteşti, 1992. [2] Gheorghe Barbu, Anca Barbu, Camelia Gheldiu, Probleme de matematici speciale, Tipografia Universităţii din Piteşti, 1993. [3] Gheorghe Barbu, Maria Jaică, Modele ale cercetării operationale, Editura Universităţii din Piteşti, 1999. [4] Gheorghe Sabac, Matematici speciale, vol.I-II, Editura Didactică şi Pedagogică, 1984 [5] Valter Rudner, Cornelia Nicolescu, Probleme de matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, 1982. [6] Marin Nicolae Popescu, Matematici speciale, Editura Universităţii din Piteşti, 2002. [7] Gheorghe Mihoc, N. Micu, Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura Didactică if Pedagogică, Bucureşti, 1980. 5. Evaluare Prezenţă la curs-----------------------------------------------------------------------------10 % Prezenţă activă la seminar-----------------------------------------------------------------10% Verificare periodică------------------------------------------------------------------------30% Temă de casă--------------------------------------------------------------------------------20% Examen final--------------------------------------------------------------------------------30%

4

Cursul nr. 1 Matematici speciale CAPITOLUL I FUNCŢII COMPLEXE 1. Numere complexe 1.1. Construcţia numerelor complexe Mulţimea numerelor complexe a apărut din necesitatea extinderii noţiunii de număr, având ca punct de pornire mulţimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaţie de gradul n să aibă n soluţii în noua mulţime. Fie R corpul numerelor reale. Pe mulţimea R2 = R×R = {(x,y) / x, yR}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) (x1, y1) • (x2, y2) = (x1x2 – y1y2, x1y2 + y1x2) Definiţie. Mulţimea R 2 înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus formează corp, numit corpul numerelor complexe, ale cărui elemente se numesc numere complexe: C = (R2, +, •) Observaţie. (R2, +, •) este corp comutativ, axiomele verificâdu-se imediat, ţinând cont de proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire a numerelor reale. Adunarea are proprietăţile:

asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C

există elementul neutru faţă de adunare, 0=(0,0) şi avem:

z+0=0+z , z C

pentru orice z=(x,y) C există opus lui

–z not (–x, –y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0

comutativitatea z1+z2=z2+z1 , z1, z2 C

Înmulţirea are proprietăţile:

asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C

există elementul neutru faţă de înmulţire, 1=(1,0) şi avem:

z.1=1.z=0 , z C

5

pentru orice z=(x,y)C–{(0,0)} există inversul lui notatz1 sau z-1 astfel ca

z.z-1=z-1.z=1 care se mai poate scrie (x,y)•(x’,y’) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:

0''1''

xyyxyyxx

cu soluţia 22'yx

xx

şi 22'yx

yy

pentru (x,y) (0,0);

comutativitatea z1.z2=z2.z1 , z1, z2 C

Demonstraţiile : temă pentu seminar. Forma algebrică a unui număr complex este z = x + i y, unde x este partea reală şi se notează x = Re z, y este partea imaginară şi se notează y = Im z, iar i este unitatea imaginară, i 2 = - 1. Simbolul z identificând orice număr complex se numeşte variabilă complexă. Mulţimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:

C = { x + i y | x, y R, i 2 = -1

Definiţie. Dacă z=x+iy este un număr complex, atunci:

conjugatul său, notat cu z se defineşte ca fiind iyxz ;

modulul său, notat cu |z| este numărul real nenegativ 22 yx .

Propoziţie. Oricare ar fi z1, z2, z C sunt verificate următoarele proprietăţi:

1. 2121 zzzz , 2121 zzzz , zz

2. Re z = 2

zz , Im z = izz

2

3. 2zzz , 21

z

zz , z 0 , nn zz , nN

4. z = z z R

5. zz , zz , zz , R

6. 2121 zzzz , 2

1

2

1zz

zz

, 2z 0 , 2121 zzzz

2121 zzzz , 2121 zzzz

7. zzz Re , zzz Im

zzzz ImReRe , zzzz ImReIm

6

Demonstraţiile proprietăţilor algebrice 1 – 7: temă pentru seminar. 1.2. Planul complex Numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Fie (d) o axă pe care am fixat o origine şi o unitate de măsură. Dacă asociem fiecărei punct al dreptei (d) abscisa sa, se obţine o funcţie bijectivă de la punctele acestei drepte în mulţimea numerelor reale. Un număr complex z = x + i y este determinat de două numere reale x şi y. Dacă raportăm mulţimea punctelor dintr-un plan (P) la un sistem de axe de coordonate ortogonale xOy cu originea în O, aplicaţia definită pe C cu valori în (P), care duce elementul arbitrar (x, y) C în punctul M(x, y) este o bijecţie.

Punctul M se numeşte imaginea numărului complex z = (x, y) în planul (P), iar z se numeşte afixul lui M. Definiţia. Planul ale cărui puncte se identifică cu numerele complexe prin funcţia bijectivă definită mai sus se numeşte planul complex. 1.3. Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe Fie z = x + i y un număr complex şi M(x,y) imaginea sa geometrică. Notăm cu

zOMr , iar cu unghiul format de axa reală pozitivă cu vectorul OM. Atunci

x

y

O

M(x,y)

( P )

7

Forma trigonometrică a numărărului complex z se scrie astfel:

z = r(cos ө + i sin ө)

unde r = |z| = 22 yx este modulul numărului complex, iar ө este unghiul făcut de

direcţia pozitivă a axei Ox cu vectorul OM , numit argumentul lui z. Ca argument al lui z poate fi considerat unghiul ө ' = ө + 2 π sau ө " = ө - 2π precum şi orice unghi de forma : ө + 2 k π, cu kZ. De aici rezultă că argumentul unui număr complex dat nu este unic, având o infinitate de valori ce diferă între ele printr-un multiplu de 2 π. Mulţimea argumentelor lui z se notează cu Arg z şi are forma: Arg z = { ө | ө = arg z +2kπ , kZ } Determinarea lui arg z se face ţinând seama de cadranul în care se află numărul complex. Exemple. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = i2

323 . Să se determine r, arg

z, Arg z şi să se scrie forma trigonometrică pentru fiecare.

Definiţie. Unghiul (0, 2 ) (sau ),( ), măsurat între direcţia pozitivă a axei Ox şi

direcţia vectorului OM , care se determină în mod unic ca soluţie a sistemului format din

ecuaţiile zx

cos şi zy

sin (z 0), se numeşte argumentul principal al lui z şi se

notează zarg .

Observaţii: 1. arg((0,0)) este nedeteminat

2. toate unghiurile θ ce determină direcţia vectorului OM se notează prin Arg z = arg

z+2kπ, kZ şi se numeşte argumentul lui z. În baza celor prezentate anterior rezultă forma trigonometrică a unui număr complex zC–{(0,0)}:

z = r (cos θ + i· sin θ), unde

Im z y M(x, y) |z| ө O x Re z

x=|z| cos ө y=|z| sin ө

8

22 yxzr

şi

θ =

)'semiaxa(0si0,2/3)semiaxa(0si0,2/

)semiaxa(0si0,0

)IVcadranul(0si0,arctg2

)'semiaxasauIIIsau IIcadranul(0,arctg

)Icadranul(0,,arctg

OyyxOyyx

Oxyx

yxxy

Oxxxy

yxxy

Propoziţie. Pentru orice numere complexe z1=r1(cosθ1 + i·sinθ1), z2=r2(cosθ2 + i·sin θ2) şi z = r(cos θ + i·sin θ) au loc relaţiile: 1. z1· z2 = r1r2·[cos(θ1+θ2)+ i·sin(θ1+θ2)]

2. 2

1

2

1rr

zz

·[cos(θ1–θ2)+ i·sin(θ1–θ2)]

3. z n = r n (cos nθ + i·sin nθ) , Nn Pentru r = 1 se obţine formula lui Moivre: (cos θ + i·sin θ)n = cos nθ + i·sin nθ

4. 1,0,2sin2cos

nkn

kin

krz nn

Exemple. 1. Să se calculeze (1 + i )100

2. Să se găsească valorile lui z pentru care z5 = - 32 şi să se figureze în planul complex aceste valori.

3. Pentru orice n N* să se rezolve ecuaţia 111

n

zz .

4. Să se găsească modulul, argumentul şi să se scrie sub formă trigonometrică, numerele

iiz

11

1 , 62 )31( iz .

5. Să se transcrie în coordonate complex conjugate ),( zz exuaţiile:

2 x + y = 5 , x2 + y2 = 10 1.4. Completarea planului complex cu punctul infinit În afară de reprezentarea numerelor complexe ca puncte ale planului complex, în multe situaţii este utilă reprezentarea lor geometrică, ca puncte ale unei sfere. Se consideră în

O

y’

y

x’ x I II

III IV

9

spaţiul de coordonate (u, v, w), un plan de coordonate (x, y), unde u=x, v=y (planul complex). Se consideră o sferă tangentă la planul complex în punctul corespunzător numărului complex 0 (originea).

Fie N punctul de pe sferă diametral opus lui O(polul nord). Fie M 1 un punct de pe sferă

distinct de N. Vom asocia punctului M 1 punctul M din plan în care dreapta NM 1

intersectează planul. Reciproc, unui punct M din plan îi vom asocia punctul M 1de pe sferă

în care dreapta MN intersectează sfera. Corespondenţa astfel realizată (între punctele

planului complex şi punctele sferei) se numeşte proiecţie stereografică. Când punctul M 1

se mişcă pe sferă şi se apropie de N, punctul din planul complex se depărtează, iar atunci

când M 1 coincide cu N, dreapta MN devine paralelă cu planul complex, ceea ce înseamnă

că punctul N nu are corespondent în planul complex. Dacă punctului N îi asociem punctul infinit şi reciproc, atunci se realizează o bijecţie între punctele de pe sferă şi planul complex.

Notăm }{ CC mulţimea numerelor complexe astfel completată, obţinând planul

complex compactificat sau planul lui Gauss. Prin definiţie, punctul de compactificare îl vom numi punctul infinit al planului lui Gauss. Introducerea lui s-a făcut prin proiecţie stereografică. Relaţii algebrice ale numerelor complexe cu z+=+z= , z C z.= .z= , z C–{0} 0

z , z C ,

0z , z C–{0}

10

1.5. Structura metrică şi topologică a planului complex Propoziţie. Aplicaţia d: C×CR, definită prin

d(z1, z2) = |z1–z2| , z1, z2 C este o metrică (distanţă) pe C. Demonstraţie: 1. d(z1, z2) = 0 |z1–z2| = 0 z1 – z2 = 0 z1 = z2 , z1, z2 C 2. d(z1, z2) = |z1 – z2| = |z2 – z1| = d(z2, z1) , z1, z2 C 3. d(z1, z3) = |z1 – z3| = |(z1 – z2) + (z2 – z3)| |z1 – z2| + |z2 – z3| = d(z1, z2) + d(z2, z3) , z1,

z2 C Definiţie. Mulţimea C pe care s-a definit metrica d se numeşte spaţiu metric, notat (C, d) Observaţie. Distanţa d coincide cu distanţa euclidiană pe R2. Fie z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 , atunci

d(z1,z2)=|z1-z2|=|(x1+iy1)–(x2+iy2)|=|(x1–x2)+i(y1–y2)| = 221

221 )()( yyxx

care reprezintă distanţa euclidiană dintre două puncte din plan, de coordonate (x1,y1) şi (x2,y2).

Definiţie. Fie z 0 C, z 0 . Mulţimea Δ(z0; r)={zC ; |z–z0|<r} se numeşte disc deschis

cu centrul în z0 şi de raza r (r>0) sau vecinătate deschisă a lui z 0 .

w

N

M’

M

v=y

u=x

11

Definiţie. Mulţimea Γ(z 0 ,r)={ z |zC , |z-z 0 |=r } se numeşte frontiera discului Δ(z0; r).

Adăugând discului frontiera sa se obţine discul închis. Definiţie. Mulţimea Δ(z0; r) ={zC ; |z–z0| r} se numeşte vecinătate închisă a punctului z0 sau disc închis.

Pe mulţimea C, relativ la metrica d, se poate introduce o topologie τ d .

Pentru a da o topologie pe o mulţime trebuie să vedem care este familia mulţimilor deschise. Definiţie. O clasă τ de submulţimi ale unei mulţimi X se numeşte topologie pe X, dacă verifică următoarele trei axiome:

1) Ф,Xτ

2) Dacă D1 , D 2 τ atunci şi D1 D2τ

3) Dacă D i τ pentru orice i aparţinând unei mulţimi arbitrare de indici I,

atunci Ii

Di

τ.

Definiţie. Cuplul (X,τ) se numeşte spaţiu topologic.

Definiţie. O mulţime V, VC se numeşte vecinătate a unui punct z 0 C dacă există discul

Δ(z 0 ,r), astfel încât Δ(z 0 ,r)V.

Definiţie. Mulţimea Δ(z0; r1, r2) = {zC; r1 < |z – z0| < r2} se numeşte coroana circulară centrată în z0 de raze r1 şi r2, unde r1, r2 > 0. Definiţie. Punctul z0C se numeşte punct interior mulţimii EC, dacă z0E şi există o

vecinătate VE a lui z 0 conţinută în întregime în E.

Mulţimea tuturor punctelor interioare lui E se noteaza cu E .

Definiţie. Mulţimea EC se numeşte mulţime deschisă dacă orice punct al său este punct interior. Observaţie. Orice reuniune finită de mulţimi deschise şi orice intersecţie finită de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. Mulţimea C este deschisă. Definiţie. Complementara mulţimii E este mulţimea C\E a tuturor punctelor care nu sunt în E. Se notează cu CE.

Observaţie. Un punct z 0 este exterior mulţimii E dacă există o vecinătate a sa conţinută în

întregime în CE. Definiţie. Mulţimea E este închisă dacă complementara sa este deschisă. Definiţie. Punctul z0C se numeşte punct aderent mulţimii EC dacă în orice vecinatate V a lui z0 există cel puţin un punct al mulţimii E. Mulţimea tuturor punctelor aderente multimii E se numeşte închiderea lui E şi se notează cu E . Definiţie. Mulţimea E se numeşte închisă dacă E = E .

12

Obsrevaţie. Mulţimile C şi Φ sunt închise şi deschise. Definiţie. Punctul z0C se numeşte punct de acumulare pentru mulţimea EC dacă în

orice vecinătate V a lui z0 există cel puţin un punct din E diferit de z 0 , zE–{z0} ((V–

{z0})E ). Mulţimea tuturor punctelor de acumulare ale lui E se numeşte derivata lui E şi se noteaza cu E (evident 'EEE ) Definiţie. Punctul z0C este punct frontieră al mulţimii EC dacă în orice vecinătate a lui z0 există puncte z z0 ce aparţin lui E şi puncte z z0 ce nu aparţin lui E. Mulţimea tuturor punctelor frontieră ale lui E se numeşte frontiera mulţimii E şi se

notează cu E (evident EEE C ).

Definiţie. Punctul z 0 se numeşte punct izolat al mulţimii E dacă există o vecinătate a lui

z 0 astfel încât Δ(z 0 ,r)\{z 0 }E=Φ.

Definiţie. Mulţimea E, EC este marginită dacă există discul Δ(0;r) astfel încat EΔ(0;r). Altfel se numeşte nemarginită. Definiţie. O mulţime închisă şi mărginită se numeşte mulţime compactă.

Definiţie. O mulţime deschisă EC se numeşte conexă dacă oricare ar fi z 1 ,z 2 E, ele pot

fi unite printr-o curbă continuă conţinută în E. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă se numeşte domeniu. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă a cărei frontieră este formată dintr-o singură curbă, se numeşte domeniu simplu conex. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă a cărei frontieră este formată din două sau mai multe curbe, se numeşte domeniu multiplu conex. Un domeniu multiplu conex se poate trensforma în domeniu simplu conex dacă se efectuează un anumit număr de tăieturi. Definiţie. Se numeşte tăietură o operaţie prin care se îndepărtează din domeniul respectiv acele puncte situate pe o curbă conţinută în domeniu şi care reuneşte două puncte de pe frontiere diferite, una interioară şi alta exterioară.

A B

z1 .

. z2

C

D = A U B nu este conexă C este conexă

13

Exemple. Fie A= { z C | |z| < 1 } , B = { z C | | z | > 1 } 1. Care este frontiera lui A ? 2. Ce fel de mulţimi sunt A şi B ? 3. Daţi exemplu de mulţime închisă. 4. Care din mulţimile de mai sus sunt conexe ? 5. Daţi exemplu de mulţime care nu este conexă.

2. Funcţii complexe de variabilă reală

Definiţie.. Fie ER. Se numeşte funcţie complexă de variabilă reală, aplicaţia mulţimii E de numere reale în corpul C al numerelor complexe:

f : ER C Notând cu t argumentul funcţiei, valoarea funcţiei în punctul t va fi un număr complex şi se va scrie:

f(t)=z(t)=x(t)+i y(t), tE Deci o funcţie complexă de variabilă reală este determinată de o pereche ordonată

x=x(t), y=y(t), tE de funcţii reale de variabilă reală.

Definiţia. Spunem că numărul complex l este limita funcţiei f în punctul de acumulare t 0

al lui E, dacă ε>0 δ(ε)>0, astfel încât pentru |t-t 0 |<δ, t E \ t 0 , avem |f(t)-l|<ε.

Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia complexă de variabilă reală f(t) să

aibă limită în punctul t 0 E este ca în acel punct să aibă limită funcţiile reale x(t) şi y(t),

tE.

Definiţie. Spunem că funcţia complexă de variabilă reală f este continuă în punctul t 0 E,

dacă ε>0 δ(ε)>0, astfel încât pentru |t-t 0 |<δ, t E , avem |f(t)-f(t 0 )|<ε.

Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia complexă de variabilă reală f(t) să fie

continuă în punctul t 0 E este ca funcţiile reale x(t) şi y(t) să fie continue în punctul t 0 E.

Definiţie. Spunem că funcţia f(t) este derivabilă în punctul t 0 E, dacă există

0

limtt

0

0 )()(tt

tftf

şi este finită.

Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia complexă de variabilă reală f să fie derivabilă într-un punct este ca funcţiile reale x(t) şi y(t) să fie derivabile în acel punct.

f )()()(' 000 tyitxt

14

Definiţie. Diferenţiala funcţiei f în punctul t 0 E este numărul complex df(t 0 )= f (t 0 )dt

sau df(t)= x (t)dt+i 'y (t)dt.

Definiţie. Fie f : [a,b]RC o funcţie reală de variabilă complexă, continuă f(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] 2.1. Integrala funcţiei complexe de variabilă reală se defineşte astfel:

b

a

b

a

b

a

dttyidttxdttf )()()(

Observaţie. Multe dintre proprietăţile integralelor funcţiilor reale se păstrează şi în cazul integralelor funcţiilor complexe de variabilă reală, astfel:

1. Dacă f,g:[a,b] C sunt integrabile pe [a,b], atunci şi αf+βg este integrabilă pe [a,b], oricare ar fi α,β C.

b

a

b

a

b

a

dttgdttfdttgtf )()()]()([

2. Dacă f:[a,b] C este integrabilă pe [a,b], atunci oricare ar fi c[a,b], f este

integrabilă pe [a,c]şi pe [c,b] :

b

a

c

a

b

c

dttfdttfdttf )()()(

3. Dacă f:[a,b] C este integrabilă pe [a,b], atunci

b

a

a

b

dttfdttf )()(

4. Dacă f:[a,b] C este continuă pe [a,b], atunci f şi |f| sunt integrabile pe [a,b] şi

avem:

b

a

b

a

dttfdttf |)(||)(|

5. Dacă funcţia F(t) este o primitivă a funcţiei f:[a,b] C,

15

CdttFdttf )()( atunci b

a

aFbFdttf )()()( , ceea ce înseamnă ca se poate aplica

formula lui Newton-Leibniz.

Definiţie. Fie x(t) şi y(t) două funcţii definite pe [a,b] cu valori în R. Mulţimea punctelor Г din planul complex definită astfel: Г={z | z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] } luate în ordinea în care se obţin când parametrul t parcurge intervalul [a,b] crescând de la a la b, se numeşte curbă continuă, iar z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] reprezintă ecuaţia curbei. Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă netedă dacă admite o reprezentare de forma:

z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] unde x,y ],[1 baC

ceea ce înseamnă că z(t) este continuă şi 0)(' tz .

Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă netedă pe porţiuni dacă este formată dintr-un număr finit de curbe netede. Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă închisă dacă oricare ar fi o reprezentare a sa de forma: z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] x(a)=x(b), y(a)=y(b) Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă simplă, dacă oricare ar fi o reprezentare a sa

z(t)=x(t)+iy(t), t[a,b] are propriettea )()(),()( 2121 tytytxtx dacă 021 tt oricare ar fi

].,[, 21 batt

Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare

16

Cursul nr. 2 Matematici speciale 3. Funcţii complexe de variabilă complexă Fie D un domeniu simplu conex, DC. Definiţie. Spunem că am definit o funcţie complexă de variabilă complexă pe D cu valori în C, f : DCC dacă am dat o lege de corespondenţă care asociază fiecărui element din D, unul sau mai multe elemente din C. Dacă se notează cu z=x +iyD variabila funcţiei, atunci valoarea funcţiei în punctul z va fi numărul complex : w=f(z)=u(x,y) +iv(x,y), zDC unde funcţiile reale u(x,y)=Re f(z) , v(x,y)=Im f(z) reprezintă partea reală, respectiv imaginară a funcţiei complexe f.

Dacă notăm cu C z planul complex în care z=x+iy şi cu C w planul complex în care

w=u+iv, funcţia complexă w=f(z) asociază punctului M(z) din planul C z punctul N(w) din

planul C w .

Se poate spune că funcţia complexă defineşte o corespondenţă între planele C z şi C w prin

transformarea punctuală u(x,y)=Re z, v(x,y)=Im z.

Im w Im z

M(z)

N(w)

w=f(z)

Re z Re w

17

3.1. Limite şi continuitate Topologia planului complex fiind de fapt topologia spaţiului euclidian bidimensional R 2 , noţiunile de limită şi continuitate se extind cu uşurinţă şi în complex. Definiţii. Fie z0 punct de acumulare al mulţimii EC. Funcţia f : EC are limita l în punctul z0 (se scrie lzf

zz

)(lim

0) dacă este îndeplinită una din următoarele afirmaţii

echivalente:

1. pentru orice 0 există ),( 0z astfel încat Ez)( cu proprietatea 0<|z–z0|< avem

|f(z)–l|< . 2. pentru orice V vecinătate a lui l există U vecinătate a lui z0 astfel încât

UEz )( avem f(z)V.

3. pentru orice şir (zn)nE cu 0lim zznn

, şirul (f(zn))n este convergent şi lzf nn

)(lim .

Există variante obişnuite ale definiţiilor care corespund cazului l = ∞ sau z0 = ∞. De asemenea, se menţin rezultatele privind limita unei sume, a unui produs, etc., ca la funcţii reale. Propoziţie. Fie z0 = x0 + iy0 un punct de acumulare al mulţimii EC şi funcţia f:EC, f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Atunci 21)(lim

0illlzf

zz

dacă şi numai dacă ),(lim

),(),(1

00yxul

yxyx

şi ),(lim),(),(

200

yxvlyxyx

.

Definiţie. Fie z0E un punct de acumulare al mulţimii EC. Funcţia f : EC se numeşte continuă in z0 dacă )()(lim)( 0

0zfzf

zz

.

Definiţie. Se spune că funcţia f :EC este continuă în punctul z 0 E dacă oricare ar fi

ε>0, există un δ(ε)>0 astfel încât pentru orice z E cu proprietatea că |z-z 0 |< δ(ε) să avem

|f(z)-f(z0)|<ε.

Propoziţie. Dacă f(z)=u(x,y)+i v(x,y), atunci continuitatea funcţiei f în z 0 este echivalentă

cu continuitatea funcţiilor u=Re f(z), v=Im f(z) în punctul (x 0 ,y 0 ).

Definiţie. Funcţia f :EC este mărginită pe E dacă există 0<M< astfel încât |f(z)|M,

zE.

18

3.2. Derivabilitate Definiţie. Fie DC domeniu şi z0D. Functia f : DC este derivabilă (monogenă) în z0

dacă )()()(

lim)( 0not

0

0

0zf

zzzfzf

zz

(sau )()()(

lim)( 0not

000

zfh

zfhzfh

) şi este finită.

Observaţie. h este un număr complex arbitrar, z 0 +hD, iar limita respectivă nu depinde

de modul în care h0. Definiţia 47. O funcţie f : DC derivabilă în orice punct din D se numeşte olomorfă (analitică) pe D. Observaţie. O funcţie derivabilă într-un punct se numeşte monogenă în acel punct. Observaţie. O funcţie este olomorfă într-un punct dacă există o vecinătate a punctului respectiv astfel încât funcţia să fie monogenă în fiecare punct din acea vecinătate. Teoremă. Fie f,g : DCC două funcţii complexe de variabilă complexă. Dacă f şi g

sunt monogene într-un punct z0D, atunci şi funcţiile f, f g, fg, f/g (g(z 0 ) 0) sunt

monogene în acest punct şi între derivatele lor există relaţiile : 1. ),(])([ 00

zfzf zz C

2. )()(])()([ 000zgzfzgzf zz

3. )()()()(])()([ 00000zgzfzgzfzgzf zz

4. 0)(,)]([

)()()()(]

)()([ 02

0

00000

zgzg

zgzfzgzfzgzf

zz

Demonstraţiile nu diferă de cazul funcţiilor reale de variabilă reală. Teoremă. Fie D 1 , D 2 C două domenii şi f : D 1 D 2 , g :D

2C. Dacă f este monogenă

într-un punct z 10 D şi g este monogenă în punctul 2000 ),( Dwzfw , atunci funcţia

compusă h=g0h este monogenă în z 0 şi avem :

)())(()()(])([ 00000

zfzfgzfwgzh zz

Demonstraţiile : temă de seminar.

Teorema lui Cauchy-Riemann. Fie f : D C C, f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Daca f este

monogenă în z0D, atunci există xu ,

yu ,

xv ,

yv într-o vecinatate a punctului z0 = x0 + iy0

şi satisfac condiţiile:

19

),(),(

),(),(

0000

0000

yxxvyx

yu

yxyvyx

xu

(condiţiile de monogenitate Cauchy-Riemann)

Reciproc, dacă funcţiile u(x,y) şi v(x,y) admit derivate partiale de ordinul I în raport cu x şi y într-o vecinătate a punctului z0, continue în z0 şi satisfac condiţiile Cauchy-Riemann, atunci f este monogenă în z0 şi avem:

),(),(),(),()( 000000000 yxyuiyx

yvyx

xviyx

xuzf

Demonstraţie:

“”(necesitatea) Cum funcţia f este monogena, atunci )()()(

lim)( 00

0

0zf

zzzfzf

zz

.

)()(),(),(),(),(

lim)()(

lim)(00

0000

0

00

00 yyixxyxivyxuyxivyxu

zzzfzfzf

zzzz

=

=)()(

),(),(lim

)()(),(),(

lim00

00

00

00

00 yyixxyxvyxv

iyyixxyxuyxu

zzzz

Presupunând că 0zz pe o paralelă la axa reală ( y = y0, 0xx ) rezultă că

0

000

0

0000

),(),(lim

),(),(lim)(

00

00 xx

yxivyxvi

xxyxuyxu

zf

yyxx

yyxx

),(),()( 00000 yxxviyx

xuzf

(1.1)

Analog, presupunând că 0zz pe o paralelă la axa imaginară Oy ( x = x0, 0yy )

rezultă că

)(

),(),(lim

)(),(),(

lim)(0

000

0

0000

00

00 yyi

yxvyxvi

yyiyxuyxu

zfxx

yyxx

yy

),(),(),(),(1)( 000000000 yxyvyx

yuiyx

yvyx

yu

izf

(1.2)

Din relaţiile (1.1) şi (1.2) rezultă că

),(),(),(),()( 000000000 yxyuiyx

yvyx

xviyx

xuzf

de unde se obţine

20

),(),(

),(),(

0000

0000

yxxvyx

yu

yxyvyx

xu

“”(suficienţa) Cum u şi v admit derivate partiale de ordinul I continue în (x0, y0), din formula creşterilor finite rezultă că

),()(),()(),(

)(),(

)(),(),(

),()(),()(),(

)(),(

)(),(),(

201000

000

000

201000

000

000

yxyyyxxxy

yxvyy

xyxv

xxyxvyxv

yxyyyxxxy

yxuyy

xyxu

xxyxuyxuunde

funcţiile 2121 ,,, tind la zero când 0zz (adica 0xx şi 0yy ).

)()()],(),([),(),()()(

00

0000

0

0yyixx

yxvyxviyxuyxuzz

zfzf

= )()(

),()(),()(),()(),()(

00

2010000000

yyixx

yxyyyxxxyxyuyyyx

xuxx

+

+)()(

),()(),()(),()(),()(

00

2010000000

yyixx

yxyyiyxxxiyxyvyyiyx

xvxxi

=

)()(

),()(),()(),()(),()(

00

000000000000..

yyixx

yxyuyyiyx

xvxxiyx

yvyyiyx

xuxx

RC

+

+ )()(

),(),()(),(),()(

00

220110yyixx

yxiyxyyyxiyxxx

=

=)()(

),()(),()(),()(),()(

00

000000000000

yyixx

yxxvyyiyx

xvxxiyx

xuyyiyx

xuxx

+

+ )()(

),(),()(),(),()(

00

220110yyixx

yxiyxyyyxiyxxx

=

= ),( 00 yxxu + i ),( 00 yx

xv + ),(),( 11

0

0 yxiyxzzxx

+ ),(),( 22

0

0 yxiyxzzyy

.

21

Cum 000 )Re( zzzzxx , 000 )Im( zzzzyy şi ),(lim 10

yxzz

=

= ),(lim 20

yxzz

= ),(lim 1

0yx

zz

= ),(lim 2

0yx

zz

= 0 rezultă că

),(),()()(

lim 00000

0

0yx

xviyx

xu

zzzfzf

zz

ceea ce demonstrează că funcţia f este monogenă în punctul z0 şi că

),(),(),(),()( 0000...

00000 yxyuiyx

yvyx

xviyx

xuzf

RCcond

.

Propoziţie. Orice funcţie monogenă într-un punct este continuă în acel punct. Reciproca nu este adevărată.

Exemplu. Funcţia f(z)= z este continuă în orice punct z 0 dar nu este monogenă.

Consecinţă. Dacă o funcţie olomorfă într-un domeniu D are derivate nulă, atunci ea este constantă în domeniul D. Observaţie. Ca o consecinţă a teoremei Cauchy-Riemann se poate determina o funcţie olomorfă pe un domeniu, când i se cunoaşte doar partea reală sau doar partea imaginară. Observaţie. Funcţiile monogene f(x,y) = u(x, y) + i·v(x, y) pot fi scrise sub forma w = f(z) observând că w = f(z) = u(z,0) + i·v(z,0), adică în expresia funcţiei în parametri x şi y luăm y = 0 şi înlocuim x cu z. Exemple. 1. Să se determine constantele a, b, c, d astfel încât funcţia

f(x,y) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2) să fie olomorfă pe C. Scrieţi expresia funcţiei folosind variabila z.

2. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că

u(x,y) = ye x cos şi f(0) = 1.

3. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că

v(x,y) = 2 ye x sin şi f(0) = 0.

3.3. Funcţii complexe elementare

Funcţiile complexe elementare sunt extensii la mulţimea C a funcţiilor definite pe R. Funcţia putere: f: CC, f(z)= zn (nN) f(z) = zn = [r(cos+i· sin )]n = r n (cos nθ + i·sin nθ) = rncos nθ + i·rnsin nθ Funcţia polinomială: f: CC, f(z)= anzn + an-1zn-1 + … + a1z1 + a0 (nN, a0, a1,…, anC, an 0) este olomorfă pe C, iar derivata sa are aceeaşi formă ca în cazul funcţiilor reale.

22

Funcţia raţională: f:{zC / Q(z) 0}C, f(z)=)()(

zQzP este olomorfă pe tot domeniul

{zC / Q(z) 0}, iar derivata sa are aceeaşi formă ca în cazul funcţiilor reale.

Funcţia radical de ordin n: f: CC, f(z) = n z (nN, n2)

f(z) = 1,0,2

sin2

cos)sin(cos

nkn

kin

krirz nnn .

Funcţia radical nu este olomorfă pe tot planul C.

Funcţia exponentială: f: CC, f(z) = ze

f(z) = ze = iyxe = iyx ee = )sin(cos yiye x = yeiye xx sincos .

Funcţia exponentială este olomorfă pe C, iar zz ee

; în plus, este periodică de perioada

principală i2 , pentru că )2( izf = ize 2 = iz ee 2 = )2sin2(cos ie z = ze = f(z).

Funcţia logaritmică: f: C–{0}C, f(z) = ln z

f(z) = ln z = )ln( )2( kier = ln r + ln )2( kie = ln r + )2( ki , unde kZ.

Funcţia putere generalizată: f: CC, f(z)= z (C)

f(z) = z0

z ze ln =

)2(ln kierebia

)]2([ln)( kirbiae =

= )2(ln kbrae · ]ln)2([ rbkaie =

= )2(ln kbrae · rbkairbka ln)2(sinln)2(cos

Funcţii circulare (sinus şi cosinus):

2cos

2sin

iziz

iziz

eez

ieez

, C z)( (formulele lui Euler)

Funcţii hiperbolice:

2

2zz

zz

eezch

eezsh, C z)(

23

Proprietăţi: 1. cos iz = ch z

sin iz = i · sh z ch iz = cos z sh iz = i · sin z

2. Funcţiile circulare şi hiperbolice sunt olomorfe pe C şi au derivatele: (cos z)’ = – sin z (sin z)’ = cos z (ch z)’ = sh z (sh z)’ = ch z

3. Funcţiile circulare au perioada principală 2 , iar cele hiperbolice i2 . 4. Pentru oricare ar fi z1, z2, zC se pot demonstra relaţiile:

cos(z1 + z2) = cos z1·cos z2 – sin z1·sin z2 sin(z1 + z2) = sin z1·cos z2 + sin z2·cos z1 sin2z + cos2z = 1 sin 2z = 2·sinz·cos z cos 2z = cos2z – sin2z ch(z1 + z2) = ch z1·ch z2 + sh z1·sh z2 sh(z1 + z2) = sh z1·ch z2 + sh z2·ch z1 ch2 z – sh2 z = 1 sh 2z = 2 · sh z · ch z ch 2z = ch2 z + sh2 z

Demonstraţiile: temă pentru seminar. Exemple. Să se aducă sub forma A+iB expresiile :

ei , sh 2i , ch (2+3i) , cos(1–i) , ln(1+i) , ie Temă de casă nr.2

1. Să se determine constantele a şi b astfel încât funcţia f(x,y) = x2 + ay2 + i(bxy)

să fie olomorfă pe C. 2. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că

u(x,y) = x3 – 3y2x – 2y şi f(0) = 0. 3. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că

v(x,y) = x2 – y2 + xy şi f(0) = 0. 4. Calculaţi

(1+i)25, 31 ie , ln(-2+2i), ln(4i-3), i

i

31ln , 2i , ii 1)31( , ii , sin(1+i),

tg(1-2i), ch(4i-3)

24

Cursul nr. 3 Matematici speciale 3.4 Integrarea funcţiilor complexe de variabilă complexă Fie f : DCC şi o curbă de lungime finită ГD, netedă sau netedă pe porţiuni, iar f continuă pe Г, ale cărei ecuaţii parametrice sunt date de x=x(t), y=y(t), t[a,b].

Luăm pe Г o diviziune prin punctele .,.......,, 10 bzzza n

Pe fiecare arc ce uneşte z 1k cu z k (1kn) alegem un punct k .

Formăm sumele :

S ))((),,( 11

kk

n

kknn zzfdf

Notăm : max{|

nd |}1 kk zz

Dacă

0

))((lim),,(lim 11

nd

k

n

kkknn zzfdfS

există, indiferent de alegerea punctelor k pe arcele de curbă ce unesc punctele kk zz ,1 ,

spunem că f esteintegrabilă de-a lungul curbei Г între a şi b şi se notează limita cu

dzzf )(

sau b

a

dzzf .)(

Notăm cu f(z)=u(x,y)+i v(x,y)

kkkkkkkkk

kkkkkkkk

iyxzyyixxzz

iyxyxivyxuf

),(

),,(),()(

111

0

))((lim),,(lim 11

nd

k

n

kkknn zzfdfS

=

))())(,(),(( 111

kkkkkkk

n

kk yyixxyxivyxu =

25

dxyxvdyyxuidyyxvdxyxu

xxyxvyyyxuiyyyxvxxyxu kkkkkkkkkkkkkkk

n

kk

),(),(),(),(

))])(,())(,(())(,())(,([ 11111

Exemplu. Să se calculeze

dzz de la z=0 la z=4+2i de-a lungul curbei Г dată de z=t 2 +i t.

3.4.1. Proprietăţi ale integralei complexe

1. Dacă f(z) şi g(z) sunt integrabile pe Г , atunci

dzzgdzzfdzzgzf )()())()((

se numeşte liniaritatea integralei complexe în raport cu funcţia, , C.

2.

dzzfdzzf )()(

schimbarea orientării pe drumul de integrare sau pe curba de integrare conduce la schimbarea semnului valorii integralei. 3.

21 1 2

)()()( dzzfdzzfdzzf

aditivitatea integralei complexe la drum. Г 1 , Г 2 fiind două arce succesive.

4. Fie z=g(ξ) continuă de ξ=u+i v. Presupunem că, curbei Г în planul z, îi corespunde curba Г ' în planul ξ şi că derivata g ' (ξ) este continuă pe Г ' . Atunci

dggfdzzf )())(()(

5. izz

dz 20

rzz |:| 0

6. Lungimea drumului de integrare Г : z=z(t), t[a,b] este dată de formula :

b

a

dttzL |)(|)(

7. Fie DC şi un arc de curbă D , netedă sau netedă pe porţiuni şi f :DC continuă pe Г. Fie L(Г) lungimea arcului de curbă Г şi M=sup|f(z)|. În aceste condiţii avem : zГ

26

)(|)(| MLdzzf

3.4.2. Teorema fundamentală a lui Cauchy

Dacă : a) D este un domeniu simplu conex, DC,

b) f :DC , f C ' (D)

atunci

,0)( dzzf oricare ar fi curba Г simplă, închisă, netedă sau netedă pe porţiuni,

situată în întregime în D. Demonstraţie : Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy

vdxudyivdyudxdzzf )(

Integralelor din membrul doi le aplicăm formula lui Green-Riemann :

dxdyyP

xQQdyPdx

D

)(

Unde Г este frontiera domeniului compact D ' , iar P,Q sunt continue, cu derivate

parţiale xQ

yP

, continue pe D .

Aplicarea formulei lui Green-Riemann este posibilă deoarece

yvi

yu

ixvi

xuzf

(1)( )

Deoarece f C ' (D) rezultă că u,v C ' (D) if se obţine:

dxdyyu

xvvdyudx

D

)(

, DDD

dxdyyv

xuvdxudy

D

)(

27

Aplicând condiţiile lui Cauchy-Riemann integralelor duble din membrul doi, ele vor fie egale cu zero şi teorema este demonstrată. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă a cărei frontieră este formată din mai multe curbe se numeşte multiplu conexă. Definiţie. O mulţime deschisă şi multiplu conexă se numeşte domeniu multiplu conex. Observaţie. În cazul în care domeniul este multiplu conex se utilizează generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy.

3.4.3. Generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy. Dacă :

a) D este un domeniu multiplu conex delimitat de curba Г 0 în exterior şi curbele

Г k (k=1,n) în interior, netede sau netede pe porţiuni, care sunt frontiere ale

unor domenii mărginite D k D ;

b) f :DC , f este olomorfă pe D, atunci:

0 1 2

)(......)()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzf

Demonstraţie : Fie nCCC .,,.........21, arce de curbă ce realizează n tăieturi în domeniul D,

unind respectiv un punct de pe n ..,,........., 21 cu un punct de pe 0 , astfel încât

oricare două din arcele nCCC .,,.........21, nu se intersectează.

După efectuarea tăieturilor cu ajutorul arcelor nCCC .,,.........21, , domeniul D se transformă

într-un domeniu simplu conex, funcţia f fiind olomorfă pe D se poate aplica teorema lui Cauchy. Frontiera Г a domeniului D simplu conex este dată de :

0 1 1 1

)()(.....)()()(........)()()(

................ 1110

n n nC C C C

nnn

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf

CCCC

Ţinând seama că

k kC C

dzzfdzzf )()( iar

0)( dzzf

Se obţine :

0 1

0)(.............)(n

dzzfdzzfdzzf

28

Rezultă:

0 1

)(..................)()(n

dzzfdzzfdzzf

Observaţie. Sensul pozitiv de parcurgere al unei curbe închise este sensul în care deplasându-ne de-a lungul curbei, domeniul delimitat de aceasta rămâne în partea stângă. Consecinţa teoremei lui Cauchy. Dacă :

a) D este un domeniu simplu conex : b) L

1,L 2 D sunt două arce de curbă simple, netede sau netede pe porţiuni

care au aceleaşi extremităţi z 0 şi z şi sunt orientate de la z 0 la z ;

c) f :DC, f este olomorfă pe D,

atunci

1 2

)()(L L

dzzfdzzf

3.4.4. Formula integrală a lui Cauchy. Teorema. Dacă:

a) D este un domeniu simplu conex; b) f : DCC, f olomorfă pe D, atunci oricare ar fi curba Г situată în întregime în

D, netedă sau netedă pe porţiuni si oricare ar fi ,z fiind domeniul mărginit de

Г, are loc formula :

dtzt

tfi

zf

)(

21)(

cunoscută sub numele de formula integrală a lui Cauchy. Demonstraţie : Domeniul Δ fiind o mulţime deschisă, rezultă că oricare ar fi z

există un disc ),(1 rz cu centrul în z şi rază r, suficient de mică astfel încât, împreună

cu frontiera γ , să fie inclus în Δ.

Fie ),(\ 1 rz . Frontiera Γ şi γ sunt orientate pozitiv, adică în sens trigonometric.

Considerăm funcţia :

:,)()( gzt

tftg C olomorfă în (delimitat de Γ şi γ) dublu

conex şi conform teoremei generalizate a lui Cauchy avem :

29

0)()(

dzzgdzzg sau

dtzt

tfdtzt

tf )()(

Ţinând seama de continuitatea funcţiei f în punctul z, avem :

ztdtzfdt

ztzftfdt

ztzfzftfI )()()()()()(

Dar )(2)()(,2 zifzt

zftfIizt

dt

Trebuie demonstrat că integrala I0 când r0.

Funcţia f fiind continuă în punctual z, rezultă că dacă oricare ar fi ε>0, există un δ(ε)>0 astfel încât pentru orice Dt cu proprietatea că |t-z|< δ(ε) să avem |f(t)-f(z)|<ε.

Dacă r< )( pentru orice t , avem:

rzt

zftfzt

zftf

|||)()(||)()(|

)(,22||||||

|)()(||)()(|

rr

dtr

dtzt

zftfdtzt

zftf 0

Rezultă că 00)()(lim

ztzftf

r , deci dtzttf

iI

izfzifI

)(21

21)()(2

Observaţie. Formula integrală a lui Cauchy este consecinţă directă a teoremei integrale a lui Cauchy, obţinând o relaţie foarte importantă între valorile funcţiei pe frontiera domeniului şi valorile funcţiei în interiorul domeniului. Cu alte cuvinte, dacă funcţia f este olomorfă pe un domeniu şi i se cunosc valorile pe o curbă, formula integrală a lui Cauchy ne permite să calculăm valorile funcţiei f în orice punct din interiorul acelei curbe. Această proprietate este specifică funcţiilor de variabilă complexă. Exemplu. Să se calculeze :

cbzaz

dzI 2

30

Unde Г este o curbă simplă, închisă, netedă sau netedă pe porţiuni care nu conţine

punctele 21 , zz soluţii ale ecuaţiei az 2 +bz+c=0.

Exemplu. Să se calculeze integrala :

I= dzizz

z

iz 2|| )3(

cos

3.4.5. Integrala de tip Cauchy Definiţie. Fie f : EC o funcţie complexă continuă pe mulţimea deschisă EC şi un arc de curbă neted sau neted pe porţiuni, ГE. Funcţia :

F(z)= dtzt

tf

)( , z C

se numeşte integrala de tip Cauchy. Teoremă. Funcţia F(z) (integrala de tip Cauchy) este monogenă în orice punct zC\Г, iar derivata sa se obţine derivând sub semnul de integrare în raport cu z:

)(zF dtzttf

2)(

)( , z C

Demonstraţie : Fie D=C\Γ , Dz un punct arbitrar, ,(z ) un disc cu centrul în z şi

raza ρ suficient de mică astfel încât acest disc împreună cu frontiera sa γ să fie inclus în D.

Fie z+h ).,( z Calculăm diferenţa:

dtzthzt

tfhdttfzthzt

dtzt

tfdthzt

tfzFhzF

))((

)()()11()()()()(

Folosim identitatea:

)()()(

1))((

122 ztzth

ztzthzt

dthztzt

tfhdtzttf

hzFhzF

)()()(

)()()()(

22

31

Trebuie demonstrat că a doua integrală din membrul doi tinde către zero când h tinde către zero. Ţinând seama de faptul că f(t) este continuă pe mulţimea E, rezultă f(t) continuă pe arcul de curbă Г conţinut în E. Un arc de curbă este format dintr+o mulţime de puncte închisă. O funcţie continuă pe o mulţime închisă este mărginită. Fie M=sup|f(t)| t

Deoarece t şi ),,( hzhz avem || zt .

Dar |||||||| hhzthzt

)(|)|(

||

||)(|)(||||

))()(||||

)()()(|

2

222

Lh

Mh

dthztzt

tfhdthztzt

tfhdthztzt

tfh

0)()()()()(lim0

)()()(lim 22

h

dtzttfzF

hzFhzFdt

hztzttfh

Teoremă. Dacă :

a) D este un domeniu simplu conex : b) f : DCC este olomorfă pe D; c) Г este o curbă simplă închisă, netedă sau netedă pe porţiuni, situată în întregime în D, împreună cu domeniul mărginit a cărui frontieră este; atunci (oricare ar fi curba Г) funcţia f este indefinite derivabilă (admite derivate de orice ordin) pe D if avem:

zdt

zttf

inzf n

n ,)()(

2!)( 1

)(

Demonstraţie : Conform formulei integrale a lui Cauchy:

zdtzt

tfi

zf ,)(

)(21)(

Aplicăm teorema precedentă funcţiei )(21 tf

i se obţine :

32

zdtzttf

izf ,

)()(

21)( 2

Derivând sub semnul integralei, avem :

zdtzttf

izf ,

)()(

2!2)( 3

Prin inducţie, repetând acest raţionament, se obţine:

zdt

zttf

inzf n

n ,)()(

2!)( 1

)(

n fiind un număr natural, arbitrar, rezultă că funcţia f este indefinit derivabilă. Exemplu. Să se calculeze integrala:

I= dzzz

z

z 3|1|

3 )5()2(

Temă de casă nr. 3

1. Să se calculeze 2|:|,)3( 2

zdzzz

2. Să se calculeze integralele :

dzzz

z

zdzdz

ize

zzz

z

1|1|

22||

23|| )3()1(

)4

sin(,

1,

2

, dzizz

z

iz 2 )3(

sin , dzz

z

z 1

2 9

33

Cursul nr. 4 Matematici speciale 3.5 Reprezentarea funcţiilor complexe prin serii

Definiţie. Se numeşte serie de numere complexe suma

......211

n

nn zzzz ,

unde znC, n≥1.

Definiţie. Se spune că o serie numerică este convergentă şi are suma S dacă şirul sumelor

parţiale converge către S ( SSnn

lim)( , unde Sn = z1 + z2 + … + zn => Sz

nn

1

convergentă). Altfel se numeşte divergentă. Observaţie. Condiţia necesară ca o serie să fie convergentă este ca 0lim

n

nz

( 0lim nn

z => serie divergentă)

Propoziţie. Seria

1nnz , cu zn = xn + iyn este convergentă şi are suma S = X + iY dacă şi

numai dacă seriile reale

1nnx şi

1nny sunt convergente şi au suma X, respectiv Y.

Definiţia 53. Fie (fn)n≥1 un şir de funcţii complexe, fn : DC→C. Se numeşte serie de

funcţii complexe suma

1nnf .

O clasă importantă de serii de funcţii o constituie seriile de puteri numite şi serii întregi. Definiţie. Se numeşte serie de puteri o serie de forma

...)(...)()()( 00

2020100

nn

n

nn zzczzczzcczzc ,

unde z0, z, cnC pentru n≥0. 3.5.1 Seria Taylor Definiţe. Fie f :DC→C o funcţie olomorfă pe D şi z0D un punct arbitrar. Seria

34

...)(...)()()( 00

2020100

nn

n

nn zzczzczzcczzc

unde

!

)( 0)(

nzfc

nn

se numeşte seria Taylor a funcţiei f în jurul lui z0. Pentru z0=0 seria se numeşte serie Mac-Laurin. Teorema. Fie f :DC→C o funcţie olomorfă pe D şi z0D.

Fie ),( 0 rz un disc deschis cu centrul în z0 raza r>0, a cărui frontieră o notăm cu .

Dacă discul D , , atunci seria Taylor a funcţiei f în jurul punctului z0 este

convergentă pe şi oricare ar fi z din interiorul acestui disc are loc egalitatea :

nn

k

nn

czzzfnzz

zfzz

zfzf )(........)(!

)(......)(

!1)()(

000

)(00

00

unde

)(!

10

)( zfn

c nn , z

Demonstraţie.

În mod firesc se pune întrebarea dacă seria

00

0)(

)(!

)(

n

nn

zzn

zf este convergentă şi spre

cine converge.

Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri

00 )(

n

nn zzc , există un număr real

],0[ R numit rază de convergenţă astfel încât seria converge în discul Rz şi diverge

în exteriorul său.

n n

nc

R

lim

1 sau 1

lim

n

nn c

cR .

Exemplu: Să se determine raza de convergenţă ale seriei

0

3

)!3()!(

n

nzn

n

Definiţie. Orice funcţie olomorfă pe C se numeşte funcţie întreagă.

35

Observaţii:

Funcţiile polinomiale, exponenţiale, hiperbolice şi circulare sunt întregi.

Seria Taylor a unei funcţii întregi în jurul oricărui punct din D are raza de

convergenţă R = ∞. Exemplu. Funcţia f:C→C, f(z) = ez este olomorfă pe C şi deci admite dezvoltare în serie

Taylor în jurul oricărui punct din C. Cum 0)(,)()( nezf zn rezultă că

ze = 0ze + 0!1

0 zezz +…+ 0!0 z

ne

nzz +…

Pentru z0=0 se obţine

ze = 1 + !1z +

!2

2z +…+!n

zn+…, z)( C.

Observatie. Analog se obţin dezvoltările în serie Mac-Laurin a altor funcţii întregi

sin z = z – !3

3z + !5

5z + … + )!12(

)1(12

nz n

n +…, z)( C

cos z = 1 – !2

2z + !4

4z + … + )!2(

)1(2

nz n

n +…, z)( C

sh z = z + !3

3z + !5

5z + … + )!12(

12

nz n

+…, z)( C

ch z = 1 + !2

2z + !4

4z + … + )!2(

2

nz n

+…, z)( C

Exemplu. Fie f:C→C, f(z) = z3 – 2z2 + 3z – 1. Să se dezvolte funcţia f în serie Taylor în jurul lui z0 = –2. Seriile geometrice:

z1

1 = 1 + z + z2 + … + zn + … , pentru 1z

z1

1 = 1 – z + z2 – … + (-1)nzn + … , pentru 1z .

Exemplu. Dezvoltaţi funcţia f:C→C, f(z) = 221

1

z în serie Mac Laurin.

3.5.2 Serii Laurent Fie f: }{ 0 RzzrzD →C olomorfă pe D si z0D.

Definiţie. Se numeşte serie Laurent a funcţiei f centrată în z0 o serie de forma

36

n

nnn

nnn zzczzcc

zzc

zz

czzc

taylorianapartea0010

principalapartea

0

1

00 ...)(...)(

)(...

)(...)(

unde

dt

zztf

ic nn

)()(

21

0.

Unei serii Laurent i se asociază două serii de funcţii :

nn

nczz

1

0 )( care se numeşte partea principală

şi

nn

nczz

0

0 )( care se numeşte partea tayloriană.

Definiţie. Seria Laurent este convergentă într-un punct z0 din C dacă partea principala şi partea tayloriană sunt convergente în punctul z0. Suma unei serii Laurent, convergentă într-un punct z este egală cu suma părţii principale, la care se adaugă suma părţii tayloriene.

Suma unei serii Laurent este convergentă pe o coroană circulară ),,( 210 rrz şi suma sa este

olomorfă pe această coroană circulară. Teoremă. Fie f :DC→C o funcţie olomorfă pe D şi z0D un punct arbitrar. Fie Δ(z0; r Fie }{),,( 201210 rzzrCzrrz o coroană circulară cu centrul în şi z0 raze

0, 21 rr ale cărei frontiere le notăm cu 21 , . Dacă discul închis 21 este inclus

în D, atunci funcţia f admite o dezvoltare în serie Laurent, convergentă pe acestă coroană şi oricare ar fi z în interiorul ei are loc egalitatea :

n

nn zzczf )()( 0 ,

unde

!

)( 0)(

nzfc

nn sau dt

zttf

ic nn

10 )()(

21

fiind un cerc cu centrul în z0 şi de rază ].,[ 21 rrr

37

Exemplu. Dezvoltaţi funcţia f(z) = 3)2( ze z

în serie Laurent în jurul lui z0 = 2.

Exemplu. Să se dezvolte în serie de puteri ale lui z în jurul lui z0 = 0 funcţia f:C–{2, 3}→C,

f(z) = )3)(2(

1 zz

.

în coroana circulară 2< z <3

3.6. Singularităţile unei funcţii complexe

Fie f : E→C, E o mulţime deschisă din C, EC.

Definiţie. Punctul 0z C se numeşte punct ordinar pentru f dacă există o vecinătate

),( 0 rz {zC,│z-z0│<r} a lui z0 în care f este olomorfă.

De aici se desprinde concluzia că dacă f este olomorfă pe un domeniu DE, toate punctele domeniului sunt puncte ordinare ale funcţiei.

Definiţie. Punctul 0z C se numeşte punct singular izolat al lui f dacă există un număr

real r>0 astfel încât f este olomorfă în coroana circulară {zC, 0 <│z-z0│< r}, dar nu este definită sau nu este monogenă în z0. În ceea ce priveşte natura punctelor singulare izolate ale funcţiei f, există trei posibilităţi:

1) Punctul singular izolat 0z C se numeşte punct singular aparent (înlăturabil,

eliminabil) al lui f dacă },0{)()(lim)(0

finitlzfzz

.

De exemplu, pentru funcţia f(z)=z

zsin punctul z =0 este singular aparent, pentru că

în acest punct funcţia nu este definită, pe C-{0} funcţia este olomorfă, iar },0{1)(lim

0

zfzz

.

2) Punctul singular izolat 0z C se numeşte punct singular esenţial al funcţiei f dacă

nu există )(lim0

zfzz

.

De exemplu, pentru funcţia f(z)=2/1 ze punctul z=0 este punct singular esenţial

pentru că funcţia nu este definită în punctul z=0, este olomorfă pe C-{0} şi cum

38

)(lim0

zfxz

z

=2/1

0lim xx

e

= ee 0/1 , iar )(lim0

zfiyz

z

=2)/(1

0lim iyy

e

= 00/1 ee

rezultă că nu există )(lim0

zfzz

.

3) Punctul singular izolat 0z C se numeşte pol de ordinul k al funcţiei f dacă

)(lim0

zfzz

şi },0{)()(lim 00

zfzz kzz

.

De exemplu, pentru funcţia f(z)=)1(

1zz

punctele z=0 şi z=1 sunt poli de ordinul I

(poli simpli) pentru că funcţia nu este definită în aceste puncte, este olomorfă pe C-

{0, 1} şi 01)(lim

0zf

z,

01)(lim

1zf

z,

},0{11

1lim)()0(lim0

10

z

zfzzz

, iar },0{11lim)()1(lim1

11

z

zfzzz

.

Definiţie. O funcţie f se numeşte meromorfă într-un domeniu, dacă în acel domeniu nu are alte singularităţi decât poli.

De exemplu, funcţia f(z) =23

12 zz

este meromorfă (z=1 şi z=2 sunt poli simpli şi nu are

alte singularităţi). Observaţie. în cazul în care funcţia complexă este definită în planul complex Rz ,

punctul de la ∞ constituie un punct singular izolat al funcţiei date. În ceea ce priveşte natura punctului ∞ ca punct singular izolat pentru o funcţie f, studiul său se reduce la

studiul punctului z=0 pentru funcţia

zf 1 .

Exemplu: Fie funcţia f(z) =134

72

5

zzz . Să se studieze natura punctului ∞.

Tema de casă nr. 4

1. Să se determine raza de convergenţă a seriilor 0n

nz , respectiv 0 !

1

n

nzn

.

2. Să se dezvolte în serie Taylor în jurul originii (serie Mac-Laurin) f(z) = ln (1+z). 3. Să se dezvolte în serie Laurent în jurul originii funcţiile

39

21

2

)(z

ezfz

, z

zzf cos1)(2

, z

zzf sh)(3 .

4.Dezvoltaţi în serie Laurent funcţia f(z) =)2)(1(

1zz

pe domeniile a) 1<│z│<2,

b) │z│<1 şi c) │z│>2.

5. Dezvoltaţi în serie Laurent funcţia f(z) =)3)(1(

1 zz

pe domeniile a) 1<│z│<3,

b) │z│<1 şi c) │z│>3.

6. Dezvoltaţi în serie Laurent functia f(z) =)4)(1( 22 zz

z pe domeniul 1<│z│<2.

7. Determinaţi singularităţile următoarelor funcţii

a) f(z) = ze /1 ( z = 0 este punct singular esenţial)

b)f(z) = )1(

1zz

e z

(z = 0 este punct singular apparent, z = 1 este pol simplu)

c)f(z) = )1(

zz

iz (z = 0 şi z = i sunt poli simpli)

d)f(z) = 1

14 z

(z = ±1 şi z=±i sunt poli simpli)

e)f(z) = ze (z = ∞ este punct singular esenţial)

f)f(z) = 1

2

zz (z = ∞ este pol simplu)

40

Cursul nr. 5 Matematici speciale 3.7. Teoria reziduurilor şi aplicaţii

3.7.1. Calculul reziduului umei funcţii Fie f : D→C, E o mulţime deschisă din C, DC. Dacă z0 este un punct singular izolat al funcţiei f, atunci există o coroană circulară cu centrul în z0, 0<│z-z0│< r în care funcţia f este olomorfă, ceea ce înseamnă că poate fi dezvoltată în serie Laurent :

n

nn zzczf )()( 0

Definiţie. Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul z0 şi se notează rez(f, z0) numărul definit de relaţia :

rez(f, z0)=

dzzfi

)(21

unde Γ este uncerc cu centrul în 0z situat în coroana circulară de rază r 0, , parcurs

în sens pozitiv.

Teoremă. Fie f : D→C o funcţie olomorfă pe D, cu excepţia punctului singular izolat 0z ,

atunci calculul reziduului funcţiei f în punctul 0z se poate face astfel :

1) rez(f,z 0 )=c 1

unde c-1 este coeficientul lui 0

1zz

din dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f pe 0<│z-

z0│< r.

2) rez(f, z0) = )1(0 )()(lim

)!1(1

0

kkzz

zfzzk

dacă z = z0 este un pol al funcţiei f şi k este ordinul său de multiplicitate ( f (0) = f şi 0!=1).

3) rez(f, z0) = )()(

0

0

zhzg

, dacă 0z este un pol al funcţiei f şi f se poate scrie ca un cât de

două funcţii f=g/h, 0)( 0 zg .

Exemple: 1) Calculaţi Rez(f, 0) pentru f(z) = ze /1 .

41

2) Calculaţi reziduurile funcţiei f(z) = )1)(1( 2 zz

z .

3) Calculaţi reziduurile funcţiei f(z) = 22

2

)1( zz în punctele sale singulare.

În situaţia punctului ∞, f este olomorfă pe exteriorul unui disc de rază oricât de mare.

Notăm cu R frontiera discului de rază R oricât de mare, cu centrul în origine, ∆(0,R).

Orientarea acestei frontiere se face de aşa manieră încât parcurgând-o, exterioruldiscului rămâne în stânga, adică invers decât orientarea normală, motiv pentru care se notează cu

Γ R .

Definiţie. Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul ∞ şi se notează cu rez (f, ∞)

coeficientul lui 1z din dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în vecinătatea punctului

de la infinit, luat cu semn schimbat (– c–1). O altă definiţie :

rez(f,∞)= R

dzzfi

)(21

sau rez(f,∞)= - R

dzzfi

)(21

Transformarea z1

duce exteriorul discului de rază R în interiorul discului de rază R1 ,

ambele centrate în 0.

De asemenea, z1

duce punctul z=0 în punctul ∞ şi punctul ∞ în z=0.

Calculul reziduului în punctul de la ∞ al lui f(z) se reduce la calculul reziduului în

punctul 0 al funcţiei ).1(1)( 2 fg

Exemplu. Calculaţi Rez (f, ∞) pentru f (z) = zez

z 31

3

.

Teorema reziduurilor. Fie f : D→C şi Γ o curbă simplă închisă, netedă sau netedă pe porţiuni, inclusă în întregime în D. Dacă f este olomorfă pe D, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate a1, a2, …, an situate în domeniul D , ∆ fiind delimitat de frontiera Γ care nu trece prin nici-unul din aceste puncte, atunci

n

kkafzidzzf

1),(Re2)(

42

Demonstraţie: Punctele a1, a2, …, an fiind singulare izolate din domeniul D , rezultă

că putem construe cercurile k având centrele în a k if razele kr sufficient de mici astfel

încât ,jk i,j=1,2,…,n ceea ce înseamnă că nu au puncte commune.

Notăm cu k discurile determinate de k . Funcţia f este olomorfă pe n

kk

1

\

şi putem

aplica teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe :

1 2

)(.......)()()( n

dzzfdzzfdzzfdzzf

Conform definiţiei reziduului se obţine :

),(2),(.......),(),([2)(1

21

n

kkn afreziafrezafrezafrezidzzf

Observaţii. 1. Teorema reziduurilor poate fi considerată ca o consecinţă a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe. 2. Teorema reziduurilor prezintă mare importanţă deoarece reduce calculul unor integrale la calculul unor reziduuri, care de cele mai multe ori nu prezintă dificultăţi. 3. În cazul când numărul punctelor singulare izolate ale funcţiei f este foarte mare, aplicarea teoremei reziduurilor poate conduce la calcule laborioase. În această situaţie se poate calcula reziduul funcţiei f în punctul ∞. Consecinţă. Dacă f are în tot planul complex numai un număr finit de puncte singulare izolate, atunci suma tuturor reziduurilor acestei funcţii este nulă

0),(Re),(Re1

n

kkafzfz .

Demonstraţie : Fie Δ un disc cu centrul în origine şi de rază suficient de mare astfel încât să conţină toate punctele singulare izolate ale funcţiei f.

Considerăm un cerc Г cu centrul în origine şi cu raza R> R 0 . Conform teoremei

reziduurilor, avem :

),(2)(1

n

kkafrezidzzf

dar

0),(),(),()(21

1

n

kkafrezfrezfrezdzzf

i

43

Exemplu. Calculaţi integrala: 31

22 )5)(1(z zzzdz .

3.7.2. Aplicaţii ale teoriei reziduurilor la calculul unor integrale

1) Calculul integralelor de forma :

2

0

)sin,(cos dRI , unde R este o funcţir

raţională, ),(),(),(

yxQyxPyxR , P,Q fiind două polinoame, iar Q(x,y) 0 pe

}1|),{( 22 yxyx , ceea ce înseamnă că Q nu se anulează în nici-un punct de pe cercul

unitate. Reprezentarea cercului unitate este dată de :

sincos

yx

]2,0[

ceea ce înseamnă că ].2,0[,sincos ieiz

Când parcurge intervalul z],2,0[ descrie cercul cu centrul în origine şi cu raza 1,

│z│=1, o singură dată în sens direct, ceea ce înseamnă că vom calcula integrala pe, reprezentând cercul unitate.

Se face schimbarea de variabilă iez . Rezultă că zi

ln1 => dz

izd 1

.

cos θ = 2

ii ee =z

zzz2

12

/1 2

sin θ = iee ii

2

=iz

zi

zz2

12

/1 2

.

Integrala devine:

I =

1

22 12

1,2

1

z

dziziz

zz

zR

Această integrală, în ipoteza că polii funcţiei f(z) nu sunt pe cercul │z│=1(ei se află fie în discul unitate, fie în exteriorul său), conform teoremei reziduurilor, avem :

I= ||),,(21)(1

1k

kk

z

zzfrezii

dzzfi

<1

44

Exemplu. Calculaţi integrala

d2

0cos2sin1

2)Calculul integralelor de forma: dxxQxP

)()( =

0Im),(Re2

kzkzfzi

unde P(x) şi Q(x) sunt două polinoame care îndeplinesc condiţiile: Q(x) 0, x R, P(x) şi Q(x) sunt prime între ele, iar între gradele celor două polinoame există relaţia grad P(x)+2grad Q(x).


32 )1(xdx .

3) Calculul integralelor de forma: dxxfe xi

)( =

0Im

)),((Re2z

kxi zxfezi ,

Ţinând seama de faptul că xixe xi sincos , avem:

dxxfxidxxfxdxxfe xi )(.sin)(.cos)(

unde

I1 =

dxxfedxxfx xi )(Re)(cos

şi

I2 =

dxxfedxxfx xi )(Im)(sin .

Lema lui Jordan. Dacă f este o funcţie olomorfă în C, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate situate în semiplanul superior şi sunt îndeplinite condiţiile : |)(|sup

0Im,||

)( zfzrz

rM

0)(lim

rMr

atunci R , λ>0 , 0)(lim

dzezf zi

r

unde Г este un semicerc de rază r din semiplanul superior, centrat în origine.

45

Teoremă. Dacă f satisface condiţiile lemei lui Jordan, atunci R , λ>0, există

dxxfe xi )(

există şi avem :

]),([Re2)(1

k

n

k

zixi zzfezidxxfe

unde kz sunt puncte singulare izolate ale funcţiei f situate în semiplanul superior.

Demonstraţie. Prin ipoteză, f satisface condiţiile lemei lui Jordan, ceea ce înseamnă că există R>0, suficient de mare astfel încât domeniul delimitat de conturul C conţine toate punctele singulare izolate ale funcţiei f : C=Γ [-R,R] În baza teoremei reziduurilor :

]),([Re2)(1

n

ik

zi

C

zi zzfezidzzfe

]),([Re2)()()(

1k

n

k

ziziR

R

xi

C

zi zzfezidzzfedxxfedzzfe

Conform lemei lui Jordan, avem : 0)(lim

dzzfe zi

r

)),((Re2)()(1

lim k

n

k

zixiR

R

xi

rzzfezidxxfedxxfe

Observaţie. Cu ajutorul acestei teoreme se poate calcula integrala Laplace :

I = dxaxx

22

cos


dx

xxx

22 )1(sin .

Teorema semireziduului. Dacă f este o funcţie olomorfă în C, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate a1, a2, …, an situate în semiplanul superior şi a unor poli simpli x1, x2, …, xm de pe axa reală, dacă sunt îndeplinite condiţiile lemei lui Jordan, atunci are loc formula:

46

m

kk

n

kk xfziafzidzzf

11

),(Re),(Re2)(

Demonstraţie : Considerăm un semicerc de rază R>0 situat în semiplanul superior, astfel încât toate punctele singulare ale funcţiei f, cu Im z>0 , să se afle în semicercul de rază R cu centrul în origine. Fie Γ conturul acestui semicerc. Aplicând teorema reziduurilor, avem :

),(Re2)(........)()(.......)()(

0Im|| 1

1

1

zRz

x

R

R

x

n

kk

m m

afzidzzfdzzfdxxfdxxfdzzf

unde m ,,.........21 , sunt semicercurile de rază δ (care nu se intersectează) cu centrele în

punctele x1, x2, …, xm.

Presupunând că

0Im,||

0)(zRz

dzzf când R→∞, obţinem :

k

dzzfafzidxxfm

k

n

kk

)(),(Re2)(

1 01lim

Notăm cu r k =Rez(f,x k ), ceea ce înseamnă că

)]()[(lim zfkr xzkxz

k

Pentru δ suficient de mic, avem : |)()(| kk rzfxz dacă 0Im,|| , zzxz kk

Vom arăta că

00)(lim

kk xz

dzrdzzfk

Calculăm diferenţa :

||],,0[,:

|||)()(|

|)()(

||)(|0

ki

kk

k

kk

k

kk

kk

xzexz

dzxz

rzfxzdzxz

rzfxzxz

dzrdzzfkk k

Obţinem : Exemplu. Cu ajutorul teoremei semireziduului se potate calcula integrala (improprie) Poisson :

I = dxx

x

0

sin

47

Tema de casă nr.5 1. Calculaţi reziduurile următoarelor funcţii în punctele lor singulare:

a) f(z)= 2

/1

)1( ze z

b) f(z)= zez 11

3 2. Calculaţi următoarele integrale:

a) I= 2

2 )1)(1(z

dzzz

z , b) I=

2/12

sin1

z

dzz

z , c) I=

)4)(9( 22 xxdx

d) I=

2

0cos35

d , e) I=

dx

xxxx

102sin

2 f) I=

dx

xxxx204

2cos2

48

Cursul nr. 6 Matematici speciale

Transformarea Fourier

Serii Fourier

Definiţie. O funcţie f:R→R se numeşte periodică dacă *)( R T astfel încât

R x)( , ).()( xfTxf

Exemple. Funcţia constantă are ca perioadă orice număr. Funcţiile sinx şi cos x

au perioadele 2π, 4π, 6π, …

Observaţie. Având în vedere că orice multiplu întreg de T (kT, k Z ) este de

asemenea perioadă pentru f, cea mai mică perioadă pozitivă T>0 se numeşte

perioada principală a funcţiei f.

Propoziţie. Dacă )(xf este periodică de perioadă T, atunci )( xf este periodică

de perioadă T/α.

Demonstraţie.

)()()]([ xfTxfTxf

Exemplu. Funcţiile sin x şi cos x sunt periodice, de perioadă 2π, funcţiile sin nx

şi cos nx au perioada 2π/n, iar perioada comună a funcţiilor {sin nωx, cos

nωx} Nn este 2π/ω.

Propoziţie. Fie f:R→R periodică de perioadă T, integrabilă pe R, atunci

R)( avem:

TTdxxfdxxf

0)()(

Definiţie. Se numeşte serie trigonometrică, o serie de forma:

49

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

kkk

unde kk baa ,,0 sunt numere reale.

Propoziţie. Dacă f:R→R este o funcţie integrabilă pe R, periodică de perioadă

2π, care poate fi reprezentată printr-o serie trigonometrică

)sincos(2

)(1

0 kxbkxaa

xfk

kk

atunci coeficienţii kk baa ,,0 se calculează cu formulele :

2

00 ,)(1 dxxfa

2

0

,cos)(1 nxdxxfan

2

0

sin)(1 nxdxxfbn

Definiţie. Seria trigonometrică a funcţiei )(xf ai cărei coeficienţi se calculează

cu ajutorul formulelor de mai sus se numeşte serie Fourier.

Observaţie. Ţinând seama de faptul că integrala unei funcţii periodice de

perioadă 2π este aceeaşi pe orice interval de lungime 2π, coeficienţii kk baa ,,0

pot fi calculaţi şi astfel :

,)(1

0 dxxfa

,cos)(1 nxdxxfan

Integrala Fourier

Fie f : R → R o funcţie care nu este periodică. Funcţia f nu poate fi

reprezentată printr-o serie Fourier pe axa reală.

Teoremă. Dacă funcţia f : R → R îndeplineşte următoarele condiţii :

a) f ese monotonă pe poţiuni ;

b) f este mărginită ;

50

c) f este continuă, având cel mult un număr finit de puncte de

discontinuitate de prima speţă ;

d) în oricare punct ξ de discontinuitate, valoarea funcţiei se calculează

astfel :

2

)0()0()(

fff

e) f este absolut integrabilă pe R,

atunci funcţia )(xf poate fi reprezentată astfel :

dtdetfxf xti )()(21)(

care se numeşte foma complexă a integralei Fourier a funcţiei )(xf .

Dacă notăm:

dtetfF ti

)(

21)(

atunci

deFxf xi

)(21)(

Definiţie. Funcţia )(F se numeşte transformata Fourier (directă) a funcţiei

)(xf , iar )(xf se numeşte inversa transformatei Fourier.

Dacă funcţia )(xf este pară, se obţine :

0

cos)(2)( tdttfFc

xdFxf c cos)(2)(0

Definiţie. Funcţia )(cF se numeşte transformata Fourier prin cosinus a funcţiei

)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin cosinus.

51

Dacă funcţia )(xf este impară, se obţine :

0

sin)(2)( tdttfFs

xdFxf s sin)(2)(0

Definiţie. Funcţia )(sF se numeşte transformata Fourier prin sinus a funcţiei

)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin sinus.

Exemple.

1. Să se calculeze transformata Fourier a funcţiei

ax

axxf

,0

,1)(

Transformata Fourier a funcţiei )(xf este

adtedtetfF

a

a

titi sin221)(

21)(

, 0

2. Să se calculeze transformata Fourier a funcţiei

xx

xf ,4

1)( 2 R

Transformata Fourier a funcţiei )(xf este

222 22

)2,(Re221)(

eifzidtt

eFti

3. Să se calculeze transformatele Fourier prin cosinus şi sinus ale funcţiei

.,)( Rxexf x

00

cos2cos)(2)( tdtetdttfF xc

00

sin2sin)(2)( tdtetdttfF xs

52

200 1

122)sin(cos2)()(

idteedttteiFF tittsc

2112)(

cF , 212)(

sF

4. Să se determine funcţia )(F ştiind că

0

sin)( xexdF , unde 0x

Ecuaţia poate fi scrisă sub forma :

xexdxF

0

2sin)(2

Aplicând inversa transformatei Fourier prin sinus, se obţine:

tdteF t

sin2)(0

Proprietăţi ale transformatei Fourier Propoziţia 1. Transformarea Fourier directă este liniară. RccxfFcxfFcxfcxfcF 2122112211 ,)],([)]([)]()([

Demonstraţie.

)]()([ 2211 xfcxfcF

dtetfcdtetfcdtetfctfc tititi

)(

2)(

2))()((

21

22

11

2211

)]([)]([ 2211 xfFcxfFc

Propoziţia 2. Transformarea Fourier directă are proprietatea de translaţie.

)]([)]([ xfFehxfF hi h R

Demonstraţie.

dtehtfhxfF ti

)(

21)]([

Se face substituţia htv şi se obţine :

53

)]([)(21)(

21)]([ )( xfFedvevfedvevfhxfF hivihihvi

Propoziţia 3. Pentru orice Ra , are loc relaţia :

)(||

1)]([a

Fa

axfF

Demonstraţie.

Pentru a>0 facem substiuţia atv şi se obţine:

)(1)(2

1)(21)(

21)]([

aF

advevf

aadvevfdteatfaxfF a

viavi

ti

Pentru a<0, avem :

)(1)(2

1)(21)(

21)]([

aF

advevf

aadvevfdteatfaxfF a

viavi

ti

Propoziţia 4. Pentru orice număr real oarecare h, are loc relaţia :

)()]([ hFxfeF ixh

Demonstraţie.

)()(21)(

21)]([ )( hFdtetfdtetfexfeF hittiithixh

Propoziţia 5. Pentru k întreg şi pozitiv are loc relaţia:

dtetftidFd tik

k

k

k

)(

2)(

Demonstraţie.

dtetfF ti

)(

21)(

dtettfidtetfdd

ddF titi

)(

2))(

21()(

54

Presupunem, prin inducţie, că este adevărată pentru k-1

dtetftid

Fd tikk

k

k

)(

2)( 1

1

1

1

şi demonstrăm pentru k

dtetftidtetftidd

dFd

dd

dFd tik

ktik

k

k

k

k

k

)(

2))(

2())(()( 1

1

1

1

Definiţie. Se numeşte produs de convoluţie al funcţiilor )(xf şi )(xg , integrala :

dyygyxfxh )()()(

Propoziţia 6. Tranfomarea Fourier a produsului de convouţie a funcţiilor )(xf

şi )(xg este dată de

)()(2])()([ GFdyygyxfF

unde )]([)( xfFF şi )]([)( xgFG

Demonstraţie.

)()(2)(21)()(

21(2

))()((21))()((

21)(

21)]([

)(

)(

FGdtevtfdvevg

dtdveevgvtfdtedvvgvtfdtethxhF

vtivi

vivtititi

55

Tema de casă nr. 6

1. Să se calculeze transformatele Fourier ale funcţiilor :

Rxaexg xa ,0,)( ||

Raaax

xexha

,0,)( 22

2. Să se calculeze transformatele prin sinus şi cosinus ale funcţiei

3. Să se determine funcţia )(tf din ecuaţia :

0

)(cos)( tdttf

unde

1-x , 0<x<1 )(x 0 , x 1

0 dacă -∞<x<0 f(x)= 1 dacă 0<x<d 0 dacă d<x<∞

xcos ax 0 )(xf 0 ax

56


Transformata Laplace

În fizică şi în diferite domenii tehnice se foloseşte adeseori o corespondenţă

între două mulţimi de funcţii: o primă mulţime numită clasa originalelor şi o a

doua mulţime formată cu imaginile lor obţinute printr-o anumită transformare.

Această corespondenţă prezintă interes dacă este biunivocă şi dacă unor

operaţii din prima mulţime le corespund în a doua mulţime operaţii mai simple.

Definiţie. Fie f: R→R/C. Dacă are sens integrala improprie cu

parametrul p C, 0)Re( p

dtetfpF pt

0

)()(

atunci F se numeşte transformata Laplace a funcţiei f şi se notează cu

)()]([ ptfL .

Exemplu. Să se calculeze, folosind definiţia, transformata Laplace a funcţiei

axf )( R/C.

0 0 0)]([

pa

peadteadteapaL

ptptpt

Definiţie. Funcţia f : R→C se numeşte funcţie original dacă satisface

condiţiile:

a) f(t) = 0 pentru t<0 (adică mărimea fizică este studiată pentru t≥0, în rest este

nulă sau fără interes);

57

b) f(t) este continuă pe porţiuni (adică pentru t≥0 este continuă cu excepţia

unui mulţimi cel mult numărabil de puncte în care are discontinuităţi de

speţa întâi);

c) | f(t) ate | M , pentru M>0, t> 0t , unde a, M, 0t R (adică f are o creştere

exponenţială, a numindu-se indicele de creştere al funcţiei original).

Observaţie. Condiţia de creştere exponenţială ( ip ) se scrie sub forma :

a

MdteMdteeMdtetfdtetf tatatptpt

0

)(

000|||)(||)(|

ultima integrală fiind convergentă pentru ap )Re( .

În baza criteriului comparaţiei pentru integrale improprii, va rezulta

convergenţa absolută şi uniformă a integralei care defineşte pe )()]([ ptfL .

Exemplu. Cea mai simplă funcţie original este funcţia unitate Heaviside

0,10,2/1

0,0)(

tt

ttf .

Alte exemple de funcţii original: funcţia constantă, funcţia putere, funcţia

exponenţială, funcţiile circulare şi hiperbolice.

Exemplu. Funcţia 2

)( xexf nu are creştere exponentială pentru că att ee 2 este

nemărginită pentru ,t a ; deci nu poate fi considerată funcţie original.

Exemplu. Funcţia btetf )( , cu bR/C are creştere exponenţială, deoarece

se poate alege RtMeeetfRtMba attbat ,1|)(|,1),Re( )Re(0

bp

dtedteepeL tbpptbtbt

1)]([0

)(

0

ceea ce ănseamnă că imaginea funcţiei bte este bp

1 .

Propoziţie. Cu funcţiile original se pot face următoarele operaţii:

58

suma a două funcţii original este tot o funcţie original;

produsul dintre o funcţie original şi o constantă complexă este de

asemenea o funcţie original;

produsul a două funcţii original este tot o funcţie original.

Definiţie.Transformata Laplace a unei funcţii original (care există) se numeşte

funcţie imagine.

În acest mod s-a definit o corespondenţă între două mulţimi: una numită clasa

originalelor şi o a doua formată cu imaginile lor obţinute printr-o anumită

transformare.

Teoremă.Transformata Laplace a unei funcţii original f există şi este o funcţie

olomorfă în semiplanul Re p > a, unde a este indicele de creştere al funcţiei

original f; derivata sa se obţine din definiţie derivând sub semnul de integrare.

Proprietăţile transformatei Laplace

Propoziţia 1 (liniaritatea). Dacă f1 (t), f2 (t) , t R sunt două funcţii original,

atunci )( c1, c2 C are loc relaţia :

))](([))](([))](()([ 22112211 ptfLcptfLcptfctfcL

Demonstraţie. dttfctfceptfctfcL pt )]()([))](()([ 221102211

))](([))](([)()( 22110 220 11 ptfLcptfLcdttfecdttfec ptpt

Propoziţie 2 (teorema asemănării). Dacă f(t), t R este o funcţie original,

atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaţia :

aptfL

apatfL )]([1))]({[

59

Demonstraţie:

duufeaa

duufedtatfepatfLu

ap

auptau

pt )(1)()())](([000 =

aptfL

a)]([1

Propoziţia 3 (teorema întârzierii). Dacă f(t), t R este o funcţie original,

atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaţia :

))](([))](([ ptfLepatfL pa

Demonstraţie:

a

uufaupuatpt dueufdteatfpatfL0,0)()(

0)()())](([

= ))](([)()(00

ptfLedueufedueeuf papupapapu

.

Propoziţia 4 (teorema deplasării) Dacă f(t), t R este o funcţie original, atunci

oricare aC ar fi are loc relaţia :

))](([))](([ aptfLptfeL at

Demonstraţie: ))](([)()())](([0

)(0

aptfLdttfedtetfeptfeL tapptatat

Propoziţia 5 (teorema derivării originalului) Dacă f(t), t R este o funcţie

original şi f ' (t) există şi este funcţie original, atunci are loc relaţia :

)0()]([))](('[ ftfLpptfL

Demonstraţie: 000

)()(|)()('))](('[ dttfeptfedttfeptfL ptptpt

= )0())](([)()0()(lim0

0

fptfLpdttfepfetfe ptppt

t, deoarece:

taattptpt eMeeMetfetf )(|||)(||)(| ,

iar pentru > a se obţine 0|)(|lim

ptetft

0)(lim

ptetft

În general, dacă f (t) admite derivate de ordin n şi toate sunt funcţii

original, atunci:

)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL

Demonstraţia se face folosind metoda inducţiei.

60

Propoziţia 6 (teorema derivării imaginii). Dacă f(t), t R este o funcţie

original, atunci

')))](([())](([ ptfLptftL ,

În general,

)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL , pentru orice n≥1

Demonstratie: 0 0

'' )())(()))](([( dtetftdttfeptfL ptpt

= ))](([)(0

ptftLdtetft pt

0

220

2'' )1()()))](([( dtetdtetptfL ptpt

Pentru derivata de ordinul n se obţine:

)()))](([( nptfL ))](([)1()()1(0

ptfLdtetft nnptnn

Propoziţia 7 (teorema integrarii originalului) Dacă f(t), t R este o funcţie

original, atunci

))](([1)()(0

ptfLp

pduufLt

şi

))](([1])(.......[ 10

10

20

10

23

ptfLp

duufdududuL n

uuu

n

t

n

n

Demonstratie: Notăm t

duuftf0

1 )()( şi se obsrevă că 0)0(),()( 11 ftftf

Si aplicând propoziţia 5 se obţine :

)0())](([))](([ 11 fptfLpptfL sau ))](([1)]([)]([ 1 ptfLpp

tfLtfL

Presupunând proprietatea adevărată pentru n-1 şi notând

))](([)1( 22 ptftL

61

10

10

20

1 )(.........)(23

duufduduufuuu

nn

n

obţinem:

)(1

)())](([1

0

pFp

duufepufLnnn

pun

n

şi

))](([1))](([])([

0

ptfLpp

pufLduufL n

nn

t

n

Propoziţia 8 (teorema integrării imaginii). Dacă f(t), t R este o funcţie

original, atunci

pdqqtfLp

ttfL ))](([)()(

Demonstraţie: Fie

)()()()()( limlim pzdqqFdqqFpGz

z

pp z

De aici rezultă că )()( pFpG . Fie g(t) originalul funcţiei G(p). Ţinând seama

că ))](([)( pttgLpG şi ))](([)( ptfLpF , iar )()( pFpG avem )()( tfttg şi deci

ttftg )()( , de unde rezultă că )]()([)( p

ttfLpG .

Definiţie. Se numeşte produs de convoluţie a două funcţii original f(t) şi g(t),

t R , cărora li se aplică transformarea Laplace, esxpresia :

t

duugutftgf0

)()())((

Observaţe. Produsul de convoluţie este comutativ : ))(())(( tfgtgf .

Propoziţia 9(teorema produsului de convoluţie). Dacă f(t) şi g(t), t R sunt

două funcţii original, atunci ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL

62

Demonstraţie. Notăm:

0

)()( dtetfpF pt şi dtetgpG pt

0

)()(

dtpGetfpGpF pt

0

)()()()(

Conform propoziţiei 3, avem:

detgptgLpGe ppt

0

)())](([)(

Prin înlocuire în relaţia de mai sus, se obţine:

detgdttfpGpF p

0 0

)()()()(

Se poate schimba ordinal de integrare şi avem:

0 0

)()()()( dttgtfdepGpF p

g(t) fiind funcţie original, avem 0)( tg pentru t şi se obţine:

))(()()()()(0 0

gfdttgtfdttgtf

ceea ce înseamnă că

degfduugufdedttgtfdedttgtfde pppp

000 0 00 0

))(()()()()()()(

Deci

degfpGpF p

0

))(()()(

Rezumând:

1) (liniaritate)

L[c1f1(t) + c2 f2(t)](p) = c1L[f1(t)](p) + c2 L[f2(t)](p)

63

2) (teorema asemănării)

L[f(at)](p) =

aptfL

a)]([1

3) (teorema întârzierii)

))](([))](([ ptfLepatfL pa

4) (teorema deplasării)

))](([))](([ aptfLptfeL at

5) (teorema derivării originalului)

)0()]([))](('[ ftfLpptfL

)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL

6) (teorema derivării imaginii) ')))](([())](([ ptfLptftL

)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL

7) (teorema integrarii originalului)

)]([1)()(0

pfLp

pduufL

8) (teorema integrării imaginii)

pdqqtfLp

ttfL ))](([)()(

9) (teorema produsului de convoluţie) ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL

Transformatele Laplace ale unor funcţii elementare:

papaL )]([

64

1!)]([

nn

pnptL

appeL at

1)]([

22)]([sinap

aptaL

; 22)]([cosap

pptaL

22)](sh[ap

apatL

; 22)](ch[ap

pptaL

21)]([

appetL at

;

1!)]([

n

atn

apnpetL

222 )(2]sin[

apaptatL

; 222

22

)()](cos[

apappattL

22)()](sin[

appteL at ; 22)(

)](cos[

apappteL at

Demonstraţiile : temă pentru seminar.

Calculul inversei transformatei Laplace

În unele situaţii este utilă determinarea din formula

dttfepF pt )()(0

a funcţiei f(t). Pentru aceasta vor fi prezentate trei metode.

1. Utilizarea proprietăţii de liniaritate

Fie

)()()( 211 pFcpFcpF

unde )(1 pF şi )(2 pF sunt imaginile (transformatele) unor funcţii )(1 tf respectiv

)(2 tf , cunoscute.

Funcţia original f(t) se obţine astfel:

65

)()()( 2211 tfctfctf

Deoarece

)()()()]([)]([)]()([)]([ 2211)(22)(11)(2211)( pFpFcpFctfLctfLctfctfcLtfL pppp

Observaţie. Determinarea funcţiei original f (t) când se cunoaşte imaginea sa

F(p) se poate face prin dezvoltare expresiei funcţiei în fracţii simple şi

recunoaşterea transformatelor uzuale.

Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii 4

)( 2

pppF .

2. Formula lui Mellin-Fourier

În condiţii destul de generale, relaţia :

F(p)= dttfe pt )(0

ca ecuaţie integrală în funcţia necunoscută f(t) admite o soluţie unică.

Definiţie. Se spune că funcţia f(t) definită pe un interval [a,b] este derivabilă pe

porţiuni dacă există o diviziune

bttttta nii ........................ 110

astfel încât f(t) este derivabilă în fiecare interval ),( 1 ii tt şi există limitele

laterale ).0(),0( ii tftf

Teoremă. Dacă funcţia f: R→C îndeplineşte următorele condiţii :

a) f(t)=0, t 0

b) f(t) este derivabilă pe porţiuni

c) există s 0 real, 00 s astfel încât tsetf 0|)(| este mărginită pentru t0

66

atunci, în punctele în care f(t) este continuă, valorile ei sunt date de formula

lui Mellin-Fourier :

f(t) = pepFi

ptia

iad)(

21

, pentru p = a + iσ şi a >s0 (1)

unde F(p) este transformarea Laplace a funcţiei f(t).

Observaţie. Integrala din formula (1) se poate calcula cu ajutorul reziduurilor :

f(t)= ]),([Re kk

pt ppFez

unde kp sunt singularităţi ale lui F(p) din semiplanul Re p<a.

Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii 4

)( 2

pppF .

3. Formula lui Heaviside

Teoremă. Dacă )()()(

pQpPpF este o funcţie raţională, unde grad P < grad Q, iar Q

are rădăcinile simple diferite de zero p1, p2, …, pn, atunci originalul funcţiei

F(p) se poate determina direct cu formula :

n

k

tp

k

k kepQpPtf

1' )(

)()( (2)

Exemplu. Determinaţi funcţia original f(t) a imaginii )9()1(

)7()( 22

2

pppppF .

Consecinţă. Dacă una din rădăcinile simple este nulă, adică Q(p) = p·C(p),

atunci

Q’(p) = C(p) + pC’(p) => Q’(0) = C(0) şi Q’(pk) = pk·C’(pk) şi deci

n

k

tp

kk

k kepCp

pPCPtf

2' )(

)()0()0()( (2’)

(formula lui Heaviside)

67

Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii )1(

12)( 2

ppppF .

Teoremă. Dacă )()()(

pQpPpF este funcţie raţională, unde grad P ≤ grad Q–2, iar

Q are rădăcinile p1, p2, …, pn, cu ordinele de multiplicitate k1, k2, …, kn, atunci

originalul funcţiei F(p) se poate determina direct cu formula:

n

kk

pt pepFtf1

,)(zRe)( (3)

Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii 32 )2(1)(

pp

pF .

Aplicaţii ale transformării Laplace

1. Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţii/sisteme de ecuaţii diferenţiale

cu coeficienţi constanţi

Fie ecuaţia:

)(.......)1(1

)( tfyayay nnn

cu condiţiile iniţiale:

1)1(

1'

,0 )0(,,.........)0()0( n

n yyyyyy

Se cere determinarea funcţiei necunoscute y=y(x), x>0, de clasă C n [0,∞], care

să fie soluţie a ecuaţiei diferenţiale şi să satisfacă condiţiile iniţiale. Problema

astfel formulată reprezintă o problemă Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de

mai sus.

În ipoteza că că f(t) este definită pe [0,∞] şi are imagine, aplicând

transformarea Laplace se obţine :

))](([)](.......[ )1(1

)( ptfLpyayayL nnn

68

sau

))](([)]([.......)]([)]([ )1(1

)( ptfLpyLapyLapyL nnn

Aplicând propoziţia 5 se obţine:

)0(.......)0()0()]([)]([ 121)( nnnnn yypyppyLppyL

…………………………………………………..

)0(.........)0()0()]([][ )1(21)( kkkkk yypyppyLpyL

………………………………………………….. )0()]([][ ypypLyL

Notând

ypyL )]([ şi )()]([ pFtfL

se obţine:

)()(......).........().......( 11212

11

01

1 pFyapyapapyapapy nnnnn

nnn

Cu notaţiile:

11

21

10

21

.........)........()(

..........)(

nnnn

nnn

yapapypQapappP

relaţia de mai sus devine: )()()( pFpQpPy

de unde

)]()([)(

1 pQpFpP

y

Soluţia ecuaţiei este

)]([)( 1 pyLty

Exemple. Să se rezolve ecuaţia :

teyy 34 cu condişiile iniţiale 0)0(,0)0( yy

69

2. Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Voltera

Definiţie. O ecuaţie în necunoscuta y(t) de forma :

t

tfduuyutkty0

)()()()(

unde k(t-u) şi f(t) sunt funcţii date se numeşte ecuaţie integrală de tip Voltera.

Norând :

L(y(t))=Y(p), L(k(t))=K(p), L(f(t))=F(p)

şi aplicând ecuaţiei Propoziţia 9, se obţine : Y(p)+K(p)Y(p)=F(p)

de unde rezultă că

)(1

)()(pK

pFpY

, ceea ce înseamnă că ))(()( 1 pYLty

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia integrală de tip Voltera :

t

ut tduuyety0

cos)()(

3. Studiul circuitului R.L.C.

Considerăm un circuit electric care are legate în serie un rezistor ( având ca

parametru rezistenţa R), o bobină ( cu inductanţa L )

şi un condensator ( cu capacitatea C).

70

Notăm cu )(tq sarcina variabilă pozitivă de pe placa condensatorului şi cu )(tE

tensiunea cu care se alimentează circuitul. Datorită alimentării în circuit apare

un curent de intensitate variabilă )(ti şi conform legilor lui Kirchoff, circuitului

R.L.C. îi corespunde ecuaţia:

CtqtRi

dttdiLtE )()()()(

Ţinând seama de faptul că dt

tdqti )()( ecuaţia de mai sus devine:

0,)(1)()()( tdiC

tRidt

tdiLtE

care este o ecuaţie integrală în necunoscuta )(ti . Această ecuaţie poate fi

transformată într-o ecuaţie diferenţială de ordinul doi în raport cu sarcina )(tq ,

astfel:

)()()()(2

2

tECtq

dttdqR

dttqdL

cu condiţiile iniţiale: 000 )0(|,)0( iidtdqqq t

Presupunând că 2

2

,),(),(dt

qddtdqtqtE sunt funcţii original, ecuaţia de mai sus se poate

rezolva aplicând transformarea Laplace:

)()(2

2

)]([])()()([ pp tELCtq

dttdqR

dttqdLL

L C )(tq )(tq )(ti R )(tE

71

Notăm: qtqL p )()]([ , EtEL p )()]([ şi se obţine:

RqLipLqECRpLpq 0002 )/1(

sau

)/1

()( 20001

CRpLpRqLipLqE

Ltq

Tema de casă nr. 7

1. Calculaţi următoarele transformate Laplace:

)](2[ pL , )]([ 3 ptL , )]([ 2 peL t , )](2[sin ptL , )](3[cos ptL

)](3sh[ ptL , )](2ch[ ptL , )]([ 3 petL t , )]([ 45 petL t

]3sin[ ttL ; )](2cos[ pttL , )](2sin[ 3 pteL t ; )](3cos[ 2 pteL t

4. Determinaţi funcţiile original ale următoarelor imagini:

)1)(1(

1)(,)4)(1(

)( 2

2

2

ppp

pppFpp

ppF

3. Rezolvaţi ecuaţia diferenţială x''(t) – 5x'(t) + 6x(t) = te , cunoscând

condiţiile iniţiale x(0) = –1, x'(0) = 1.

4. Rezolvaţi ecuaţia diferenţială x''(t) – 4x'(t) + 4x(t) = sin t, cunoscând

condiţiile iniţiale x(0) = 1, x'(0) = 2.

72


Funcţiile lui Euler

Funcţia gamma

Definiţie. Se numeşte funcţie gamma sau funcţia lui Euler de speţa a doua,

integrala:

dtetz tz

0

1)( , iyxz , 0Re xz

Teoremă. Funcţia )(z este olomorfă pe domeniul Re z > 0 şi verifică relaţia

funcţională:

)()1( zzz

Demonstraţie. Se ştie că

))lnsin()ln(cos(1lnln)1(1 tyityteet xtiytxz

unde

dttyetyxv

dttyetyxu

tx

tx

)lnsin(),(

)lncos(),(

0

1

0

1

Funcţiile u şi v admit derivate parţiale de ordinul întâi pe domeniul Re z > 0 şi

acestea se obţin derivând sub semnul de integrare:

dttytetyv

xu tx )lncos()ln(

0

1

dttytetyu

xv tx )lnsin()ln(

0

1

73

Condiţiile lui Cauchy-Riemann fiind îndeplinite, rezultă că funcţia Γ=u+iv este

olomorfă pentru Re z > 0 .

Folosind metoda integrării prin părţi pentru expresia funcţiei Г(z+1) se obţine:

)()1(0

10

0

zzdtetzetdtetz tztztz

Observaţie. Relaţia )()1( zzz descrie o proprietate fundamentală a funcţiei

gamma, esenţială pentru calculul valorilor acestei funcţii.

1|)1(00

tt edte

!)!1.()()1(....................................

!2!1.2)2(2)3(

!11.1)1(1)2(

nnnnnn

Pentru 21

z , efectuând substituţia 2t se obţine integrala Poisson:

det

dte t

00

2

2)21(

Notăm

dxdyedyedxeI yxyx

0 0

)(

00

2 2222

Se trece la coordonate polare: sin,cos ryrx şi se obţine

)21(

24|

2|

00

2

00 0

2 222

2

dxeerdrdeI xr

r

74

Pe baza acestui rezultat putem calcula alte valori ale funcţiei gamma:

nnnnnnnn 22!

)!2()21(

21)......

23)(

21()

21()

21()

21(

Relaţia )()1( zzz se poate scrie sub forma )1(1)( zz

z şi se poate utiliza la

calculul valorilor funcţiei gamma pentru valori negative ale argumentului:

)

21)....(

23)(

21(

)21(

....)

23)(

21(

)25(

21

)23(

)21(

nnnn

n

n

nn

)!2(!2)1()

21(

2

nnn

nn

O altă proprietate importantă este dată de

z

zz

sin)1()(

Care se numeşte formula complementelor.

Funcţia beta

Definiţie. Se numeşte funcţie beta sau funcţia lui Euler de prima speţa,

integrala:

dtttqpB qp 11

0

1 )1(),( , Re p > 0, Re q > 0

Funcţia B(p,q) este simetrică în argumentele p şi q: B(p,q)=B(q,p)

ceea ce este evident dacă se face schimbarea de variabilă t=1-v

),()1()1(),( 11

0

110

1

1 pqBdvvvdvvvqpB pqqp

Funcţia beta se poate exprima cu ajutorul funcţiei gamma, astfel: )(/)()(),( qpqpqpB

75

Pentru a demonstra această formulă, considerăm produsul:

dyyedxxeqp qypx 1

0

1

0

)()(

Efectuând schimbările de variabilă 2tx şi 2vy în cele două integrale, se

obţine:

dvyedtteqp qvpt 12

0

12

0

22

4)()(

sau

dxdyyxeqp qpyx 1212

0 0

)( 22

4)()(

Trecând în coordonate polare, avem:

sincos

ryrx

,

20,0 r , rdrddxdy

Şi formula precedentă se poate scrie astfel:

ddrreqp qpqpr 122

0

121)(2

0

sincos4)()(2

Efectuând în prima integrală substituţia tr 2 , se obţine:

)(21

21 1

0

1)(2

0

2

qpdttedrre qptqpr

Efectuând în a doua integrală substituţia 2cosx , avem

),(21)1(

21sincos 1

1

0

1122

0

12 qpBdxxxd qpqp

se obţine ),()()()( qpBqpqp

şi formula este demonstrată.

Exemple. Calculaţi integralele :

76

dxxx 1

0

2 , dxxx

02 )1(

Funcţia zeta a lui Riemann

Funcţia zeta a lui Riemann se poate defini astfel:

prin sumă

1

1)(n

sns , Re s > 1

prin integrală dxex

ss x

s

0

1

1)(1)( , Re s > 1

prin produs infinit

Funcţii Bessel

Definiţie. Se numesc funcţii Bessel sau funcţii cilindrice soluţiile ecuaţiei:

0)( 222 yxyxyx

unde ν este un parametru real sau complex.

Soluţiile ecuaţiei se pot exprima cu ajutorul funcţiilor elementare dacă

nn ,21 Z.

Pentru rezolvarea ecuaţiei se caută soluţii de forma: i

ii

r xaxxy

0

)( unde

exponentul r şi coeficienţii ia se determină din condiţia ca soluţia să verifice

ecuaţia.

Dacă derivăm de două ori expresia soluţiei se obţine:

……………………………………………………………………

Alegând )1(2

10

a

77

se obţine 012 ka , )1()1(2

)1(22

kk

a k

k

k

Rezultatul înlocuirii coeficienţilor în expresia soluţiei se numeşte funcţie

Bessel de prima speţă, de ordinul ν şi se notează cu )(xJ . Pentru r= ν

k

k

k xkk

xJ 2

0)

2(

)1()1()1()(

Pentru r=- ν

k

k

k xkk

xJ 2

0)

2(

)1()1()1()(

Se poate demonstra (utilizând criteriul lui D’Alembert) că cele două serii care

definesc funcţiile lui Bessel de prima speţă sunt convergente.

Teorema1. Dacă Z atunci funcţiile Bessel de prima speţă )(),( xJxJ sunt

liniar independente şi pot fi obţinute prin particularizarea constantelor 21 ,cc din

expresia :

)()()( 21 xJcxJcxy

Observaţie. Pentru 0x , 0)( xJ şi )(xJ , ceea ce înseamnă că nu se pot

exprima liniar una în funcţie de cealaltă.

Teorema 2. Între funcţiile Bessel de prima speţă există relaţia :

nxJxJ nn

n ),()1()( Z

Teorema 3. Funcţiile Bessel de prima speţă verifică următoarele relaţii de

recurenţă

)()]([ 1 zJzzJzdzd

, )()]([ 1 zJzzJz

dzd

Definiţie. Funcţia

,21,

sin)(cos)(

)( nzJzJzy Z

78

se numeşte funcţie Bessel de speţa a doua.

Funcţia )(zy ca funcţie liniară de soluţii ale ecuaţiei Bessel este şi ea o soluţie a

acestei ecuaţii. Limita funcţiei )(zy pentru m , m Z este de asemenea

soluţie a ecuaţiei.

sin)(cos)(

)()( limlimzJzJ

zyzymm

m

Se poate demonstra că )(zy este independentă de )(zJ şi Z, soluţia

generală a ecuaţiei Bessel este

)()()( 21 zyczJczy

Teorema 4. Funcţiile Bessel de prima speţă satisfac următoarele relaţii de

recurenţă :

1. )()()( 1 zzJzJzJz

2. )()()( 1 zzJzJzJz

3. )()()(2 11 zJzJzJz

4. )()()(2 11 zJzJzJ

Expresiile funcţiilor Bessel pentru unel valori particulare ale indicilor

k

k

k xkk

xJ 2

0)

2(

)1()1()1()(

Pentru ν=0 şi ν=1 se obţine:

......)6.4.2()4.2(2

1)( 2

6

2

4

2

2

0 zzzzJ

......)!4!.3.2!3!.2.2!2.2

1(2

)( 6

6

4

4

2

2

1 zzzzzJ

79

Cunoscând expresiile funcţiilor )(),( 10 xJxJ , cu ajutorul relaţiei de recurenţă

)()()(2 11 zJzJzJz

Se pot calcula expresiile funcţiilor de indici întregi mai mari ca 1 şi mai mici

ca 0.

Pentru 21

se obţine:

212

021 )

2(

)23()1(

)1()(

k

k

k z

kkzJ

unde

12)12...(5.3.1)

21(

21)....

231)(

211()

211()

23(

k

kkkkk

122)!12()

23(!)

23()1(

k

kkkkk

Rezultă

0

12

21 )!12(

)1(2)(k

kk

xkz

zJ

Analog pentru 21

212

021 )

2(

)21()1(

)1()(

k

k

k z

kkzJ

unde

k

kkkk 222...5.3.1)

21(

21)....

23)(

21()

21(

k

kkkkk 22)!2()

21(!)

21()1(

După efectuarea înlocuirilor se obţine:

0

2

21 !2

)1(2)(k

k

kk

kz

zzJ

80

Se observă că zJ (21 ) şi )(

21 zJ

reprezintă seriile funcţiilor sinx şi cosx , ceea ce

înseamnă că putem scrie:

zz

zJ sin2)(21

, zz

zJ cos2)(21

Folosind formula de recurenţă

)()()(2 11 zJzJzJz

pentru valori ale lui 21

şi 21

se pot calcula )(23 zJ şi )(

23 zJ

.

Tema de casă nr. 8

Calculaţi integralele:

1.

03 )1( xx

dx cu substituţia t

tx

1

şi se obţine 3

sin

2.

026

2

)1( xdxx cu substituţia

ttx

1

6 şi se obţine 12

3. xdxx2

0

24 cossin

cu substituţia tx 2sin se obţine 5123

4.

1

03 2 )1()1( xxxdx cu substituţia

ttx

21

se obţine 3 23

2

5. dxxx 2

0

3 38 cu substituţia tx 33 se obţine 39

16

6. Calculaţi )(23 zJ şi )(

23 zJ

.

Documents

Matematici Speciale