of 197/197
Matematici Financiare Iulian Stoleriu

Matematici Financiare Iulian Stoleriustoleriu/MF(2019).pdf · de la spéculation, în care a utilizat metode din Analiza stochastica, mai precis miscarea¸˘ Browniana, în evaluarea

  • View
    15

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Matematici Financiare Iulian Stoleriustoleriu/MF(2019).pdf · de la spéculation, în care a...

  • Matematici Financiare

    Iulian Stoleriu

  • Copyright © 2019 Iulian Stoleriu

  • Cuprins

    1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 Dobânda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 Dobânda simplă 172.2 Dobânda compusă 192.3 Dobânda compusă continuu 222.4 Procent nominal, procent efectiv 232.5 Anuităţi 242.6 Probleme rezolvate 262.7 Probleme propuse 28

    3 Derivate financiare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Terminologie 293.2 Arbitraj (free lunch) 313.3 Utilitatea derivatele financiare 323.4 Actorii de pe piaţa derivatelor financiare 333.5 Presupuneri de modelare 333.6 Contracte forward 343.7 Vânzări short 353.8 Preţul forward 353.9 Contracte futures 38

  • 3.10 Probleme rezolvate 393.11 Probleme propuse 42

    4 Opţiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Definiţii şi caracteristici 434.2 Terminologie 464.3 Paritatea put-call 474.4 Strategii de investiţii cu opţiuni 494.4.1 Strategii simple cu opţiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.2 Combinaţiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.5 Opţiuni exotice 534.5.1 Opţiunile ca asigurare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4.6 Probleme rezolvate 554.7 Probleme propuse 59

    5 Model discret de piaţă financiară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1 Model de piaţă cu o singură perioadă 625.1.1 Interpretare probabilistică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.2 Exemplu de piaţă financiară cu oportunităţi de arbitraj . . . . . . . . . . . . . 675.1.3 Piaţă completă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.2 Probleme rezolvate 705.3 Probleme propuse 72

    6 Modele discrete pentru evaluarea opţiunilor . . . . . . . . . . 736.1 Modelul binomial cu o perioadă 746.1.1 Punerea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.1.2 Elementele caracteristice modelului cu o singură perioadă . . . . . . . . . . 75

    6.2 Modelul binomial cu două perioade 806.3 Modelul binomial cu n perioade 816.4 Drift şi Volatilitate 846.5 Delta hedging 866.6 Modelul binomial pentru call/put american 886.7 Modelul trinomial 896.8 Piaţă completă şi incompletă 906.9 Un model discret general pentru o piaţă financiară 926.10 Avantaje şi dezavantaje ale modelului discret 976.11 Probleme rezolvate 976.12 Probleme propuse 104

  • 7 Modele continue pentru evaluarea opţiunilor . . . . . . . . . 1077.1 Elemente de analiză stochastică 1077.1.1 Mişcarea aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.2 Procesul Wiener (sau mişcarea Browniană) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    7.2 Lema lui Itô 1147.3 Ecuaţii diferenţiale stochastice 1187.3.1 O metodă de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale stochastice . . . . . . . . 119

    7.4 Probleme rezolvate 1197.5 Probleme propuse 125

    8 Metoda Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.1 Integrarea folosind metoda Monte Carlo 1278.2 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea opţiunilor europene 1308.3 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea opţiunilor exotice 1328.4 Exerciţii rezolvate 1338.5 Exerciţii propuse 138

    9 Modelul Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.1 Derivarea ecuaţiei Black-Scholes 1439.2 Estimarea volatilităţii 1469.2.1 Volatilitate istorică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2.2 Volatilitate implicită . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2.3 Volatility smiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    9.3 Indici de senzitivitate 1499.4 Probleme rezolvate 1559.5 Probleme propuse 159

    10 Teoria alegerii raţionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.1 Motivaţie 16110.1.1 Paradoxul de la Sankt Petersburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.1.2 Teoria alegerii raţionale în condiţii incerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    10.2 Funcţie de utilitate 16510.2.1 Axiomatica von Neumann & Morgenstern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    10.3 Alte proprietăţi 16710.4 Atitudine faţă de risc 16810.4.1 Aplicaţie în asigurări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    10.5 Critici aduse teoriei utilităţii aşteptate 17110.5.1 Paradoxul lui Alais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.5.2 Dilema prizonierului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.5.3 Paradoxul lui Newcomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

  • 6

    10.6 Probleme rezolvate 17410.7 Probleme propuse 179

    11 Anexă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311.1 Scurtă introducere în MATLAB 18311.2 Media condiţionată 18811.3 Procese stochastice 189

    Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

  • 1. Introducere

    . [Invest like a bull, sit like a bear and watch like an eagle.

    . (mantra for long term investing)]

    Matematicile financiare (eng., Financial mathematics, Mathematical Finance) constituieo ramură a matematicilor aplicate care se preocupă de analiza activelor tranzacţionatepe pieţele financiare. Această ramură este în strânsă legatură cu Economia financiară,dar este mai restrânsă şi mult mai abstractă. Obiectul Matematicilor financiare constăîn utilizarea raţionamentului matematic riguros sau a metodelor numerice în vedereastudierii modelelor economico-matematice ale operaţiunilor financiare ce apar în Economiafinanciară. Matematicile financiare urmăresc să impună logica şi rigoarea raţionamentuluimatematic în introducerea, prezentarea şi studiul modelelor economico-matematice aleoperaţiunilor financiare, prin care se plasează anumite sume de bani în anumite condiţii şise urmăreşte şi analizează rentabilitatea unor astfel de plasamente. Matematicile financiaresunt înrudite cu Ingineria financiară (eng., Financial engineering or Computational finance),cu care de multe ori chiar se confundă. Totuşi, Matematicile financiare se preocupă cuderivarea modelelor matematice aplicabile în Finanţe, pe când Ingineria financiară sepreocupă mai ales de aplicaţii. Operaţiunile financiare pe care Matematicile financiare şi lepropune să le studieze intereseaza atât instituţiile financiare (bănci, burse, case de pensii şieconomii, societăţi de asigurări, societăţi de acţiuni), cât şi pe particulari, care se preocupăde investiţii. Mai toată lumea urmăreşte să-şi plaseze banii cât mai convenabil sau să facăanumite împrumuturi pentru investiţii industriale, agricole, pentru a cumpăra o maşină, olocuinţă etc. Cu ajutorul teoriei Matematicilor financiare putem estima preţul unui titlu devaloare sau putem determina preţul valorilor derivate (e.g., contracte futures, opţiuni), sauputem găsi un portofoliu optimal în concordanţă cu nevoile fiecărui investitor. Matematicafinanciară este matematica investiţiilor şi a riscului. Se preocupă de decizii ce trebuiesc

  • 8 Capitolul 1. Introducere

    luate azi, având în vedere câteva informaţii incerte despre viitor.Exemple de întrebări la care această disciplină îşi propune să răspundă sunt:

    • Cum definim riscul financiar? Fără a intra în detalii, prin risc financiar înţele-gem orice eveniment sau acţiune care poate avea un efect negativ în îndeplinireaobligaţiilor şi atingerea obiectivelor unei anumite organizaţii.

    • Există metode de a acoperi riscul financiar? Sigur că există! În acest curs vomdiscuta unele metode de acoperire a riscului financiar rezultat în urma tranzacţionăriicontractelor cu opţiuni. Aceste metode sunt numite metode de hedging.

    • Cum am putea evalua valoarea unor acţiuni sau chiar a unei intreprinderi? Încazul că un investitor ar dori să-şi vândă afacerea, ar trebui mai întâi să o evalueze.Matematicile financiare oferă instrumentele necesare pentru calcularea preţuluicorect, adică acel preţ care ar fi mulţumi atât pe vânzător, cât şi pe cumpărător.

    • Care este valoarea actuală a unei opţiuni de a comercializa un titlu de valoare? Înaceste note vom discuta metode de evaluare a preţului unor contracte cu opţiuni.

    • Cum ar trebui gestionat portofoliul de opţiuni în vederea reducerii riscului înafaceri? Ultimul capitol al acestui curs se preocupă de metode de optimizare aportofoliilor, adică determinarea valorilor optime pentru ponderile activele financiareexistente în portofoliul unui investitor pentru a obţine profitul maxim.

    • etc.Punctul zero al Matematicilor financiare se consideră a fi anul 1900, atunci când ma-

    tematicianul francez Louis Bachelier şi-a prezentat teza de doctorat intitulată Théoriede la spéculation, în care a utilizat metode din Analiza stochastică, mai precis mişcareaBrowniană, în evaluarea preţului unor contracte financiare. Dezvoltarea Matematicilorfinanciare a căpătat amploare în secolul XX, odată cu apariţia teoriei probabilităţilor, decare este strâns legată.

    O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (eng., qu-antitative analist sau, pe scurt, quant). Preocupările unui quant vor fi legate de modelareaşi analiza unor fenomene economico-financiare, dar şi de investiţii sau schimburi financiare.Un consultant finaciar ce are cunoştinţe solide de matematică şi programare se numeşte, înlimbajul colocvial, rocket scientist. De la o astfel de persoană se aşteaptă inventarea de noiderivate financiare complicate sau construirea de modele matematice sofisticate. După cumvă daţi seama, în mod curent, un rocket scientist nu construieşte rachete pentru a se întreţine.

    Ce ai putea face cu banii?

    Aşadar ai mulţi bani şi totuşi eşti nefericit; nu ştii ce să faci cu ei. Eşti în căutare de unsfat? Să vedem ce putem face pentru tine.

    * Un om "strângător" şi-ar lua un "ciorap încăpător" şi "depozita" averea acolo, ceeace nu sfătuiesc pe nimeni. Dacă "depozitul" s-ar face pe o perioadă mare, atunci aiavea numai de pierdut.

    * Sau, ai putea să-i depozitezi într-un cont de economii cu dobânda mare. Deşi conturide economii aducătoare de dobânzi mari sunt din ce în ce mai greu de găsit, aceastaeste o investiţie sigură. Neajunsul principal este că nu ai acces la banii tăi pentruo perioadă destul de mare de timp şi nu poţi face altceva decât să-i priveşti cum seînmulţesc. Nu prea mult totuşi, dacă ai lua în calcul şi alte opţiuni. Nu uita că baniicare tocmai i-ai depus în contul bancar sunt folosiţi de alte persoane, sub forma de

  • 9

    împrumut din bancă, şi îi folosesc să-şi cumpere o casă, o maşină, un teren, sau să-iinvestească în studii etc., sau de administraţia locală pentru a repara şoselele. Ceface banca de fapt? Împrumută de la tine şi apoi dă sub formă de împrumut altora.Ea constituie astfel o piaţă financiară (piaţă monetară, după cum vom vedea maitârziu), un loc de întâlnire între oferta de capital şi cerere.

    * Banii pot fi foarte profitabil folosiţi în investiţii. Poţi să investeşti banii în proprietăţiale căror valori sunt crescătoare în timp, sau într-o instituţie, oferindu-te să leimprumuţi bani (asta se poate face prin cumpărarea de obligaţiuni, engl. bonds), saucumpărând o parte din companie (sub formă de acţiuni, engl. shares).Obligaţiunile (eng., bonds) sunt titluri de creanţă reprezentative unor datorii. Suntinstrumente financiare purtătoare de dobândă, emise de guvern, de corporaţii saude alte organisme, şi vândute investitorilor în scopul acumulării de capital. Aces-tea se angajează să facă plăţi periodice (sub formă de cupoane) către deţinătoriiobligaţiunilor şi să le răscumpere la maturitate. Există obligaţiuni emise de stat,obligaţiuni municipale, obligaţiuni ale unor corpotaţii sau euro-obligaţiuni. Un astfelde document va oferi deţinătorului dreptul de a primi o sumă de bani predetermi-nată, la un moment viitor predeterminat (maturitate). Suma de bani obţinută înviitor se numeşte valoare nominală. Diferenţa dintre valoarea nominală şi sumaplătită iniţial de creditor se numeşte dobândă. Părţile implicate într-un contractde tip obligaţiune sunt: debitorul, este partea ce promite plata valorii nominale şicreditorul, cel care urmează să fie plătit. În general, obligaţiunile sunt consideratea fi contracte financiare lipsite de risc, în sensul că printr-un astfel de contract segarantează o sumă de bani la maturitate, sumă care este cunoscută a priori de cătreambele părţi contractante. Banii pot fi interpretaţi tot ca fiind bond, cu rata dobânziizero şi maturitatea momentul zero (imediat). Cel care deţine banii va fi creditorul iardebitorul este reprezentat de instituţiile guvernamentale, care garantează acceptarealor ca mod de plată.Acţiunile (eng., shares) sunt titluri financiare obişnuite (comune) ce reprezintă drep-turi de proprietate ale deţinătorului asupra unei (unor) părţi dintr-o companie, dreptobţinut în schimbul investirii de capital.Un instrument financiar este un document ce dovedeşte proprietatea asupra unui activfinanciar; de pildă un certificat de depozit, o acţiune, o obligaţiune guvernamentalăetc. Activul financiar este o valoare emisă de stat sau de către o unitate administrativ-teritorială ce conferă drepturi băneşti deţinătorului acestuia, precum şi drepturi asupraveniturilor viitoare rezultate din valorificarea unor fonduri. Activele financiare includ:certificate de trezorerie, valori mobiliare, efecte de comerţ emise de către o societatecomercială, indici bursieri, rata dobânzii, instrumente sintetice care au la bază ratadobânzii, instrumente având la bază moneda naţională, contracte futures, contractecu opţiuni.

    * Dacă te pricepi, poţi investi într-o mică (sau mare) afacere (business). Afacerile suntde diverse forme şi dimensiuni. Dacă eşti singur în afacere, atunci toate veniturile iţirevin, dar eşti expus la riscuri, sau iţi va veni greu să faci rost de îndeajuns capital.

    Îţi vine idea să te uneşti cu alte afaceri şi de a forma un parteneriat. Însă acumnu eşti singurul beneficiar de câştiguri şi s-ar putea ca profiturile să nu fie foarte mari.Pentru că vrei şi mai mulţi bani, tu şi partenerii tăi de afaceri căutaţi să dezvoltaţi

  • 10 Capitolul 1. Introducere

    afacerea. Ce se poate face? O variantă e să folosiţi profitul drept capital. Sau puteţiface un împrumut din bancă. Acum că sunteţi mai mulţi, aveţi mai multe şanse de afi credibili şi puteţi obţine un împrumut bunicel.

    * Cum!?... Tot nu-ţi ajung banii? Ei, atunci poţi încerca un alt tip de împrumut, prinemiterea de obligaţiuni. În felul ăsta poţi acumula capital bun (în caz că afacerea ecredibilă), dar la maturitatea contractului (cel puţin după 6 luni) va trebui să plăteştiinvestitorilor partea de capital cu care au contribuit fiecare, plus o dobândă sau altepremii. Cine poate emite obligaţiuni: societăţile pe acţiuni cu minimum doi anivechime şi ale căror bilanţuri au fost aprobate în mod regulat de acţionari, sau diversegrupuri de societăţi de acest tip.

    * O altă variantă este să-ţi vinzi o parte din afacere sub formă de acţiuni (termenulenglezesc consacrat este go public). Compania ta va trebui să angajeze un bancherde investiţii (broker) care să acţioneze ca intermediar între companie şi investitori.Totodată, el va trebui să determine preţul acţiunilor prin evaluarea companiei. Aici vatrebui sa apeleze la Matematicile financiare. Când titlurile de valoare ale unei com-panii sunt vândute pentru prima oară, aceasta se va face pe piaţa primară. Ulterior, eposibil ca deţinătorii de acţiuni să dorească să "scape" de ele şi le vor tranzacţiona pepiaţa secundară (bursă sau piaţa inter-dealeri). Prin vânzarea de acţiuni, o afacereprivată devine una publică, deţinută de un număr mare de persoane.

    Cum atragi investiţiile?

    Toate investiţiile au loc pe piaţa financiară. Piaţa financiară poate fi definită ca fiind loculde întâlnire al ofertei de capitaluri cu cererea de capitaluri, iar preţurile de schimb suntstabilite într-un mod eficient (se spune că aceste preţuri verifică aşa-numita ipoteză de piaţăeficientă). Este locul (fizic sau într-un mediu virtual) unde firme şi persoane specializatese întâlnesc şi cumpără sau vând produse specifice, e.g. diverse bunuri materiale (eng.,stocks), acţiuni (eng., shares), obligaţiuni (eng., bonds), opţiuni (eng., options), contracteforward sau futures etc. Există instituţii specializate, numite intermediari financiari,care ajută şi simplifică foarte mult întâlnirea cererii şi a ofertei de capitaluri sau fonduribăneşti, atât în spaţiu (evitând deplasarea fizică a celor interesaţi, adesea costisitoare)cât şi în timp (reducând la minimul posibil perioada necesară căutării contrapartideiinteresate). Prin intermediul acestor instituţii, utilizatorul de fonduri, cât şi deţinătorul defonduri (investitorul), care caută un plasament pentru ele, pot intra în contact într-un timpfoarte scurt şi cu costuri minime. Costurile sunt, în general, reprezentate de comisionulintermediarului şi, uneori, de cheltuielile legate de încheierea tranzacţiilor (se poate face oanalogie cu piaţa de legume/fructe).

    De ce se apelează la pieţele financiare? Pentru că pieţele financiare creează un mediupropice pentru asigurarea sau majorarea capitalului necesar derulării unor activităţi. Spreexemplu, prin intermediul pieţei financiare, administraţiile locale pot face rost de anumiteîmprumuturi pe diverse perioade, ceea ce le-ar facilita buna desfăşurare a activităţilor.

    Funcţiile pieţei financiare

    • facilitarea schimbului de active. Pieţele financiare permit transferul de fonduri de laun agent financiar la altul, în vederea investiţiilor sau pentru consum;

  • 11

    • determinarea (negocierea) preţului activelor. Prin intermediul pieţei financiare suntstabilite preţurile activelor financiare.

    • strângerea de informaţii şi coordonare. Piaţa financiară acţionează ca şi colector deinformaţii despre cotarea activelor financiare şi despre transferul de fonduri. În acestfel, piaţa financiară reduce costul de căutare de informaţii.

    • reducerea costurilor de căutare a partenerilor de afaceri.

    Componente ale pieţei financiare

    În funcţie de perioada de timp pentru care aceste capitaluri sunt mobilizate, pieţelefinanciare sunt formate din două componente:

    • pieţe monetare (money market, cu maturitate pe termen scurt, sub 1 an);• pieţe de capital (capital market, cu maturitate pe termen lung, de regulă de peste 1

    an).Piaţa monetară este locul de întâlnire al ofertei de capitaluri disponibile pe termen

    scurt şi foarte scurt (sub un an) cu cererea pentru astfel de capitaluri. Această piaţă foartedinamică asigură finanţarea pe termen scurt a nevoilor temporare care apar la societăţilecare derulează activităţi în interes public şi al administraţiile centrale şi locale. La piaţamonetară fac apel băncile (pentru a-şi acoperi deficitul bugetar), persoanele fizice (careapelează, în general, la bănci pentru anumite împrumuturi). Principalii intermediari şi,totodată, utilizatori şi ofertanţi de resurse care acţionează pe această piaţă sunt băncilecomerciale. Acestea concentrează în bună măsură capitalurile, în special sub formadepozitelor bancare şi pe care le oferă spre utilizare celor care caută astfel de resurse.Nivelul de dezvoltare al oricărei pieţe monetare depinde de nivelul de dezvoltare economicăal ţării din care aceasta face parte.

    Piaţa de capital este acea componentă a pieţei financiare care asigură întâlnirea oferteide capitaluri cu cererea pentru capitaluri pe termen mediu şi lung (1−10 ani). Mobilizareacapitalurilor pe această piaţă se face folosind titluri de valoare (engl. securities) (valorimobiliare) specifice: acţiuni, obligaţiuni, titluri de rentă, obligaţiuni de stat pe termenmediu şi lung. Piaţa de capital asigură pentru investitori individuali şi instituţionali posi-bilităţi variate de plasare a capitalurilor disponibile, în funcţie de interesele urmărite. Caurmare, ea asigură finanţările pe termen mediu şi (sau) lung necesare agenţilor economici,administraţiilor centrale şi locale pentru o bună derulare a activităţilor lor. În cadrul pie-ţelor de capital se pot face speculaţii privind modificarea ulterioară a preţurilor activelortranzacţionate, în vederea obţinerii de profit.În funcţie de momentul în care tranzacţiile pe aceste pieţe sunt efectuate, putem vorbidespre:

    • piaţa primară;• piaţa secundară.

    Piaţa primară este piaţa pe care se tanzacţionează instrumentele financiare imediat dupăemiterea lor, încasările rezultate din acest proces revenind direct emitentului. Este piaţade pe care societăţile comerciale îşi formează capitalul social sau îşi majorează capitalulsocial pe termen mediu sau lung. Tot de pe această piaţă, administraţiile centrale şi celelocale obţin prin împrumuturi banii necesari pentru acoperirea nevoilor lor temporare.Intermediarii specializaţi care operează pe piaţa primară pot fi: societăţile de valorimobiliare, băncile comerciale autorizate.

  • 12 Capitolul 1. Introducere

    Piaţa secundară (sau piaţa bursieră, după unii specialişti, care le identifică). Este o piaţăutilizată pentru pentru tranzacţionarea instrumentelor financiare "la mâna a doua". Laemiterea lor, instrumente de tipul acţiunilor, obligaţiunilor şi al certificatelor de depozitsunt vândute pe piaţa primară. În mare parte, atracţia pe care acestea o exercită asuprainvestitorilor rezidă în lichiditatea asigurată de pieţele secundare, pe care instrumentelefinanciare cumpărate pot fi vândute apoi din nou. Odată ce valorile mobiliare au fostemise şi se află în posesia investitorilor, aceştia s-ar putea să nu dorească să le mai deţinăpentru toată durata lor de viaţă (care este uneori foarte lungă în cazul unor obligaţiuni saunedefinită pentru acţiunile obişnuite), din diverse motive. Ca urmare, după un timp mailung sau mai scurt de la achiziţionare, investitorii s-ar putea să dorească să transformeîn bani valorile mobiliare pe care le deţin sau să dorească să le schimbe cu alte valorimobiliare. Pentru ca acest lucru să se poată realiza la cel mai bun preţ, atât pentrudeţinătorul valorii mobiliare, cât şi pentru viitorul cumpărător, a fost necesară organizareaunei pieţe specializate în acest tip de comerţ. Ca urmare, pieţele organizate în scopulasigurării revânzării valorilor mobiliare ce au fost deja puse în circulaţie prin intermediulpieţei primare, s-au numit pieţe secundare. O piaţă secundară asigură concentrarea cererii şiofertei de valori mobiliare deja emise. Cu timpul, pieţele secundare s-au transformat într-unbarometru al interesului publicului investitor pentru valorile mobiliare (în special acţiunile)emise de o companie, un grup de companii, un sector industrial sau pentru alte titluri devaloare. Spre deosebire de piaţa primară, care canalizează capitalurile spre emitenţii devalori mobiliare, piaţa secundară intermediază doar un schimb de bani, respectiv de valorimobiliare, între cei care doresc să deţină, respectiv să vândă, valorile mobiliare.Tipuri de pieţe secundare:• burse de valori (engl. stock exchanges), sunt burse unde se negociază titluri;• pieţe inter-dealeri (Over-The-Counter). Acestea sunt pieţe deschise (cunoscute şi

    sub numele de "pieţe la ghişeu"), pe care se tranzacţionează titlurile de valoarenecotate la bursa oficială. Pieţele OTC permit companiilor mici - care nu-şi potpermite cheltuielile impuse de listarea la o bursă majoră - să obţină un preţ de piaţăpentru acţiunile emise. De asemenea, constituie o modalitate prin care fondatoriiunei companii îşi pot compensa o parte din investiţia efectuată. Tranzacţiile OTC auloc, în general, prin reţeaua de Internet sau prin telefon.

    Tipuri de pieţe financiare, depinzând de ceea ce vrei să cumperi sau vinde:• piaţa titlurilor de valoare (stock market pentru acţiuni şi bond market pentru obliga-

    ţiuni);• piaţa derivatelor financiare (derivatives market), unde sunt tranzacţionate contracte

    futures, opţiuni, swaps;• piaţa de mărfuri (commodity market) - metale preţioase, cărbuni, produse alimentare

    (suc, ulei etc);• piaţa cu venit garantat fix (fixed-income market), unde sunt tranzacţionate obligaţiuni.• piaţa asigurărilor (insurance market)• piaţa schimburilor valutare (foreign exchange market sau FOREX)

    Piaţa titlurilor de valoare a apărut din mici întâlniri între persoane ce doreau să vândăsau să cumpere stocurile lor. Un potenţial cumpărător merge la broker şi plasează o cererede cumpărare pentru o valoare mobiliară. Brokerul va căuta pe piaţa de schimb pe cinevacare doreşte să vândă respectivul activ, iar tranzacţia are loc dacă cei doi se inţeleg lapreţ. După ce un investitor a cumpărat activul, primeşte un certificat de proprietate, pe

  • 13

    care-l poate revinde/păstra, sau chiar lăsa brokerului pentru a-l ţine în numele său. Pieţede stocuri: New York (NYSE), Chicago, Boston, London, Tokio. În Romania: Bucureşti(Bucharest Stock Exchange), Sibiu (Bursa Monetar financiară şi de mărfuri), Iaşi (BursaMoldovei Iaşi).

    Piaţa derivatelor financiare (sau a titlurilor de valoare derivate, eng. financial derivatives).Această piaţă este o componentă aparte a pieţei financiare. Piaţa derivatelor financiareeste relativ nou sosită în scenă şi dezvoltarea ei s-a realizat mai ales pe parcursul ultimilor40 ani, deşi tranzacţii cu derivate (contracte la termen - futures sau forwards - încheiatemai ales asupra mărfurilor) s-au înregistrat în mod constant începând cel puţin cu sfârşitulsecolului al XVIII-lea. Această piaţă conferă posibilitatea unui investitor de a-şi acopeririscul în afaceri (hedging) sau pentru speculaţii financiare. Cumpărătorul poate obţineprotecţie asupra unei creşteri viitoare de preţuri, iar vânzătorul se poate proteja în vedereaunei posibile scăderi ale preţurilor.

    Derivatele financiare pot fi definite ca fiind valori mobiliare (sau titluri de valoare)ale căror preţ este dependent de preţul activului de bază (numit şi activ suport − eng.,underlying asset). Exemple de active suport: o acţiune (asset), o obligaţiune (bond), unindice bursier (de regulă pentru acţiuni), o valută, un contract futures, vremea. Mai trebuiesă precizăm că derivatele financiare, şi aici ne referim exclusiv la contractele futures şi lacontractele cu opţiuni, permit încheierea de tranzacţii la termen asupra activului suport. Cualte cuvinte, la achiziţionarea sau vânzarea contractului futures sau a celui de tip opţiunese stabileşte atât preţul cu care activul suport va fi cumpărat sau vândut, cantitatea de activsuport ce urmează a fi cumpărată sau vândută, cât şi dată la care tranzacţia urmează să seîncheie efectiv, adică dată la care activul suport va fi livrat şi banii vor fi plătiţi (cu altecuvinte tranzacţia va fi lichidată). Derivatele financiare sunt oferite pe pieţe organizate detipul burselor sau a pieţelor OTC, şi ca urmare ele sunt standardizate din punctul de vedereal cantităţii tranzacţionate şi al scadenţei.

    Exemplu de instrument financiar derivat

    Vreţi să cumpăraţi o maşină nouă cât mai curând, căci aţi auzit zvonuri cum că pre-ţurile ar creşte în curând. În salonul de prezentare al furnizorului, vă decideţi asupraspecificaţiei exacte a autoturismului (culoare, motor, mărime etc) şi, ceea ce este maiimportant, stabiliţi preţul. Nu aveţi totuşi banii necesari cumpărării maşinii, dar vă gândiţică aţi putea împrumuta de la bancă, însă acest proces ia ceva timp. Furnizorul vă spune că,dacă daţi comanda astăzi şi constituiţi un depozit, puteţi prelua maşina în trei luni. Dacăîn acest interval de trei luni, furnizorul acordă un discount de 10 procente pentru toatemaşinile noi, sau dacă preţul modelului creşte, acestea nu mai contează pentru tine. Preţulpe care îl plătiţi la livrare a fost convenit şi fixat între dvs. şi furnizor. Tocmai aţi intratîntr-un contract la termen (forward) şi aveţi obligaţia de a cumpăra automobilul în trei lunide zile, la preţul convenit.

    Piaţa asigurărilor facilitează redistribuirea riscului financiar. Exemple de astfel de pieţe:asigurări de locuinţe, asigurări auto, asigurări de credite, de sănatate, de viaţă sau de şomajetc.

    Piaţa schimburilor valutare este una descentralizată şi disponibilă în toată lumea, cese preocupă de comercializarea valutelor. Această piaţă determină valorile relative alediverselor valute. Dintre participanţi menţionăm: băncile, companiile private, firme de

  • 14 Capitolul 1. Introducere

    investiţii, companiile de transfer de monedă (e.g., Western Union) şi alţii.

    Dacă preţurile scad, aţi pierdut o parte din bani, dar dacă vor creşte, atunci sunteţi încâştig. Pentru a fi în profit, ar trebui să nimeriţi atât preţul corect, cât şi momentulscadenţei.

    Pieţe bull şi bear: sunt termeni ce descriu anumite tendinţe de piaţă. O piaţă bull eo perioadă în care preţurile de stoc în general cresc, iar într-o piaţă bear preţurile scad.Fiecare dintre aceste tendinţe sunt alimentate de percepţia investitorilor asupra direcţieipieţei sau a economiei. Dacă investitorii se simt a fi într-o piaţă bull, atunci simt nevoiade a investi, pentru ca apoi să vândă activele la preţuri mari. "Taurii" cumpără azi acţiuni,sperând să le poată vinde ulterior la un preţ mai mare. Cei care pierd în urma unor astfelde previziuni sunt numiţi "tauri răsuflaţi". "Ursul" vinde diverse valori mobiliare, sperândsă le poată cumpăra ulterior la un preţ mai mic. Piaţa sub semnul "ursului" e o piaţă înscădere de preţuri. Aceste tendinţe ale pieţei se pot însă schimba rapid.

    Instituţiile pieţei financiare

    Instituţiile care participă la crearea şi schimbul de active financiare sunt: brokerii (agenţiide schimb), dealerii, bancherii de investiţii, intermediarii financiari.

    Brokerul (agent de schimb) este o persoană fizică sau o firmă care tranzacţioneazăinstrumente financiare în numele altora. Brokerul este un agent care lucrează pentruinvestitori şi pentru instituţiile financiare, serviciile fiindu-i răsplătite sub forma unuicomision stabilit în funcţie de valoarea tranzacţiilor efectuate. Această modalitate de platăcreează condiţii pentru apariţia aşa-numitei practici de churn (practica de a tranzacţionaexcesiv acţiunile unui client , astfel încâtbrokerul să obţină un venit mai mare din comision). În multe ţări această practică esteilegală.

    Dealerul, ca şi brokerul, facilitează tranzacţiile de active între vânzatori şi cumpărători,însă aceştia se pot implica ei înşişi în tranzacţie, adică pot să-şi facă un stoc de active pecare le pot tranzacţiona. Spre deosebire de broker, acesta nu ia comisioane din vânzări.Aceştia fac profit din cumpărarea de active ieftine şi vânzarea lor mai scump (e.g., cardealers). Dealerii sunt supuşi la un risc mai mare decât brokerii, datorat fluctuaţiilor de preţ.

    Factori care influenţează piaţa financiară

    • acţiunile investitorilor (instituţii, persoane fizice) pot afecta preţurile activelor. Deexemplu, dacă mai multe persoane vor să cumpere acelaşi produs, atunci preţulprodusului poate creşte, exact ca atunci când ar licita;

    • condiţiile de afaceri (volumul de vânzări, perioada din an, cantitatea de profituri);• acţiunile guvernamentale (dobânzi, taxe, politica);• indicii economici. Investitorii urmăresc îndeaproape indicii economici pentru a

    prezice viitorul unor active. (e.g. GNP (gross national product), rata inflaţiei, cât derepede se schimbă preţurile, deficitul bugetar (cât de mult cheltuie guvernul), rataşomajului etc);

    • evenimentele interne şi internaţionale (războaie, dezastre naturale, schimbări pe planvalutar etc).

  • 15

    Pieţe financiare majore în lume

    Statele Unite ale Americii: New York Stock Exchange (NYSE) (tranzacţionează sto-curi, obligaţiuni, futures, opţiuni), AMEX (American Stock Exchange), CBOT (ChicagoBoard Of Trade) (futures), IMM (International Monetary Market) (futures în monedăstrăină), CBOE (Chicago Board Options Exchange) (opţiuni), NASDAQ (National Associ-ations of Securities Dealers Automated Quotations) (OTC stocuri şi obligaţiuni).Marea Britanie: LSE (London Stock Exchange) Canada: Toronto Stock ExchangeFranţa: Paris Boursealtele: Japonia, Germania, Australia, Singapore, Hong Kong etc.

    Principalele preocupări ale matematicilor financiare (relativ la investiţii băneşti), pecare le vom studia în cele ce urmează, sunt:

    • cotarea derivatelor financiare;• strategii de hedging pentru derivate financiare;• managementul riscului pentru portofolii;• optimizarea portofoliilor;

  • 2. Dobânda

    . [Compounding interest teaches you patience

    . and gives you a good night sleep.]

    Dobânda are rădăcinile în Evul Mediu, când termenul de dobândă a înlocuit pe cel decamătă (o dobândă exorbitantă). Ea este justificată prin existenţa unui risc privind rambur-sarea împrumuturilor sau cu privire la încheierea operaţiunilor financiare.Dobânda (eng., interest; fr. intérêt) este astfel o remuneraţie pentru un împrumut bănesc,este plata de care beneficiază creditorul (eng., lender) pentru o sumă de bani împrumutatădebitorului (eng., borrower). Dacă o persoană A împrumută o sumă de bani unei persoaneB, atunci A va fi privat de a folosi suma respectivă pe perioada împrumutului (în investiţii,pentru consum propriu), ceea ce atrage în mod firesc o remuneraţie pentru acest serviciu.Spre exemplu, dacă ai împrumutat 100 RON şi promiţi să returnezi 105 RON după un an,atunci diferenţa de 5 RON este taxa pentru împrumut, numită dobândă. Din perspectivacreditorului, suma de 5 RON este câştigul obţinut din investirea sumei de 100 RON. Astfelspus, suma investită de creditor îşi schimbă valoarea în timp, de aceea dobânda se mainumeşte şi valoarea în timp a banilor.Există multe polemici în ceea ce priveşte formarea, rolul şi determinarea dobânzilor unitare(procentul întâlnit în calculul financiar), ceea ce denotă faptul că stabilirea dobânzilor nu eun lucru tocmai uşor.Factorii care influenţează dobânda sunt: factori politici, riscul, inflaţia etc.

    2.1 Dobânda simplăDobânda simplă (eng., simple interest) este dobânda care se calculează asupra aceleaşisume, S0, pe toată perioada împrumutului. Vom mai spune că suma S0 a fost plasată înregim de dobândă simplă. De regulă, dobânda simplă este folosită pentru investiţii petermen scurt, sub un an.

  • 18 Capitolul 2. Dobânda

    În practică, se stabileşte mai întâi dobânda care urmează să se plătească pentru sumade 100 de lei (unităţi monetare) plasată pe timp de 1 an, care poartă numele de procent.Dobânda calculată la unitatea monetară (i.e. pentru 1 leu) se numeşte dobândă unitară şieste r = p100 .Să notăm cu: S0 − suma depusă (sau împrumutată), care mai este numită şi principal;

    St − suma acumulată la momentul t > 0;t − timpul, exprimat în ani;r − rata dobânzii unitare (dobânda pentru 1 leu) - eng., risk-free rate;p− procentul (r×100%);

    Dt − dobânda simplă acumulată la momentul t.Atunci, dobânda pentru 1 leu pe o perioada de t ani este rt = pt100 . Dacă în loc de 1 leuconsiderăm suma S0, atunci Dt este

    Dt = S0rt = S0p

    100t (formula dobânzii simple).

    Suma finală acumulată la momentul t ≥ 0 în regim de dobândă simplă, cu rata unitarăanuală r este

    St = S0(1+ rt). (2.1.1)

    În termeni financiari, factorul cu care se înmulţeşte principalul, adică f (t) = 1+ rt, senumeşte factor de fructificare (sau factor de acumulare) bazat pe un proces de dobândăsimplă. Răsturnatul său, ϕ(t) = 11+rt , se numeşte factor de actualizare (eng., discountfactor).Exemplu 2.1 (1) Un cont bancar oferă dobândă simplă, cu rata dobânzii de 5% p.a.Plecând de la un principal de 200 RON, suma acumulată după 2 ani este

    S2 = 200(1+0.05 ·2) RON= 220 RON.

    Astfel, dobânda acumulată este de 20 RON.(2) Valoarea prezentă a unei valori nominale de 250 RON cu maturitatea T = 3 ani, încazul în care dobânda se calculează simplu, cu rata unitară anuală de 15%, este

    S0 = 2501

    1+0.15 ·3RON= 172.41 RON.

    Astfel, avem un discount de 77.59 RON.

    Presupunem că principalul nu este investit pentru un an întreg, ci pentru fracţiuni din an.Fie m un număr de diviziuni (părţi) egale ale anului (m = 1 înseamnă 1 an, m = 2 înseamnădouă semestre, m = 4 înseamnă 4 trimestre etc).Atunci dobânda pentru suma S0 pentru un plasament de tm (din m) diviziuni ale anului vafi:

    Dt = S0rtmm.

    În particular, putem determina suma acumulată după fracţiuni dintr-un an (semestre, luni,zile etc).

  • 2.2 Dobânda compusă 19

    Exemplu 2.2 Dobânda pentru un principal S0 = 1000, plasat simplu cu rata anuală unitarăr = 0.04, pentru 120 de zile (în cazul în care anul are 366 de zile) este

    D 120366

    = 1000 ·0.04 · 120366≈ 13.11.

    Considerăm acum cazul în care dobânda pentru principalul S0 nu se face cu aceeaşi ratăpe toată perioada (0, t) (floating interest rates). Presupunem că t = t1 + t2 + . . .+ tn, iarîn perioada de lungime tk rata unitară anuală este rk, k = 1, 2, . . . , n (vezi diagrama dinFigura 2.1).

    Figura 2.1: Diagrama pentru dobânda simplă generală.

    Atunci dobânda Dt acumulată pe toată perioada (0, t) va fi suma tuturor dobânzilor obţinutepentru fiecare subperioadă tk, i.e.,

    Dt =n

    ∑k=1

    Dtk = S0n

    ∑k=1

    rktk.

    Astfel, suma finală acumulată va fi:

    St = S0

    (1+

    n

    ∑k=1

    rktk

    ). (2.1.2)

    Definiţia 2.1.1 Vom spune că două operaţiuni sunt echivalente în regim de dobândă simplăîn raport cu dobânda dacă generează aceeaşi dobândă. (Vom mai spune, de asemenea, căoperaţiunile sunt substituibile.)

    2.2 Dobânda compusăSpunem că plasarea sumei S0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă (eng., compoundinterest) dacă principalul pentru care este calculată dobânda se modifică periodic pedurata de timp, între două modificări consecutive i se aplică o dobândă simplă, iar înperioada următoare modalitatea de calcul a dobânzii tine cont şi de dobânzile anterioare(i.e. dobânda acumulată în fiecare perioadă se adună la principal).

    Presupunem că momentul final este t =n

    ∑k=1

    tk, iar în perioada de lungime tk se aplică

    dobânda unitară rk (k = 1, 2, . . . , n).La sfârşitul perioadei tk avem:

    Stk = Stk−1 +Dtk ,

    unde Dtk = Stk−1rktk, k = 1, 2, . . . , n şi St0 = S0, Dt0 = 0.Aici Dtk este dobânda simplă corespunzătoare plasării în regim de dobândă simplă a sumeiStk−1 pe intervalul de lungime tk.

  • 20 Capitolul 2. Dobânda

    Propoziţia 2.2.1 În aceste condiţii avem:

    St = S0n

    ∏k=1

    (1+ rktk). (2.2.3)

    Demonstraţie. (se arată prin inducţie matematică completă după k)

    (k = 1) St1 = S0 +Dt1 = S0(1+ r1t1);(k = 2) St2 = St1 +Dt2 = St1 +St1r2t2 = St1(1+ r2t2) = S0(1+ r1t1)(1+ r2t2);

    etc. . . . . . . . . .

    Factorul f (t) =n

    ∏k=1

    (1+ rktk) se numeşte factor de fructificare (sau factor de acumulare)

    în cazul unei dobânzi compuse. Dobânda compusă acumulată pe toată perioada (0, t) este

    Dt = S0

    [n

    ∏k=1

    (1+ rktk)−1

    ].

    Cazuri particulare(I) tk = 1 (un an) şi rk = r, (∀) k, atunci suma acumulată după n ani va fi

    St = S0(1+ r)n.

    (II) t = n+ tmm (n ani şi o fracţiune dintr-un an, i.e., tk = 1, (∀) k = 1, 2, . . . , n şi tk+1 =tmm ),

    atunci

    St = S0n

    ∏k=1

    (1+ rk)(

    1+ rk+1tmm

    ).

    (III) Dacă, în plus faţă de (ii), rk = r, (∀) k, atunci

    St = S0(1+ r)n(

    1+ rtmm

    ).

    În cazul în care St este dat de (iii), atunci, ţinând cont că în general r� 1, putemaproxima (

    1+ rtmm

    )' (1+ r)

    tmm ,

    deciSt = S0(1+ r)n+

    tmm = S0(1+ r)t .

    Aşadar, suma finală rezultată în urma unui plasament al sumei S0 în regim de dobândăcompusă anual, cu rata unitară anuală r este, pe o perioadă de t ani, poate fi calculatăfolosind următoarea formulă (numită şi formula practică de calcul în cazul dobânziicompuse):

  • 2.2 Dobânda compusă 21

    St = S0(1+ r)t . (2.2.4)

    La fel ca mai sus, factorul f (t) = (1+ r)t se numeşte factor de fructificare (sau factor deacumulare) în cazul unei dobânzi compuse. Răsturnatul său, ϕ(t) = (1+ r)−t se numeştefactor de actualizare (eng., factor de discount).Exemplu 2.3 (1) Un cont bancar oferă dobândă compusă anual, cu rata dobânzii de 8%.Plecând de la un principal de 200 RON, suma acumulată după 2 ani şi 6 luni (i.e., t = 2.5)este

    S2.5 = 200(1+0.08)2.5 RON= 242.43 RON.

    Astfel, dobânda acumulată este de 42.43 RON.(2) Valoarea prezentă a unei valori nominale de 250 RON cu maturitatea T = 3 ani, încazul în care dobânda se calculează compus anual, cu rata unitară anuală de 15%, este

    S0 = 2501

    (1+0.15)3RON= 164.38 RON.

    Astfel, avem un discount de 85.62 RON.

    Propoziţia 2.2.2 Suma finală după n ani, rezultată în urma unui plasament al sumei S0 înregim de dobândă compusă de m ori pe an, cu rata unitară anuală r este

    Sn = S0(

    1+rm

    )mn.

    Demonstraţie. În perioada (0, t) avem m · n subperioade de lungime 1m , pentru care secumulează dobânda. Folosim formula (2.2.3) cu rk = r, tk = 1m , ∀k. Obţinem:

    Sn = S0mn

    ∏k=1

    (1+ r · 1

    m

    )= S0

    (1+

    rm

    )mn.

    �Observaţia 2.1 Folosind acelaşi procedeu ca la (iii), putem determina o valoare practică(deşi aproximativă) pentru suma finală acumulată până la momentul t (nu neapărat întreg),rezultată în urma unui plasament al sumei S0 în regim de dobândă compusă de m ori pe an,cu rata unitară anuală r. Aceasta este

    St = S0(

    1+rm

    )mt. (2.2.5)

    Dacă în perioada (0, t) compunerea se face o singură dată pe an, atunci m = 1 şi regăsimformula (2.2.4).

  • 22 Capitolul 2. Dobânda

    Exerciţiu 2.2.1 Care este suma acumulată după 18 luni de pe urma plasării principalului10000, în regim de dobândă compusă trimestrial, cu rata anuală unitară de 4%?

    S3/2 = 10000(

    1+0.04

    4

    )6= 10615.

    Observaţia 2.2 (a) De regulă, dacă t nu e număr întreg, atunci utilizăm formula St =S0(1+ r)t pentru calculul valorii finale în regim de dobândă compusă.(b) Folosind inegalitatea (Bernoulli) (1+ x)r ≤ 1+ rx, ∀0≤ r ≤ 1, x≥−1, deducem că

    (1+ r)tmm ≤ 1+ rtm

    m, (0≤ tm ≤ m),

    Astfel, s-ar putea spune că soluţia raţionala (i.e., St = S0(1+ r)n(

    1+ rtmm

    )) convine celui

    care încasează dobânda, în timp ce soluţia practică convine celui care plăteşte dobânda.(c) Egalitatea între formula raţionala şi cea practică are loc dacă t ∈ Z.(d) Diferenţa dintre folosirea dobânzii simple şi cele compuse pe perioade fracţionare(t ∈ Z) este mică (i.e., (1+ r)t ' 1+ rt).

    2.3 Dobânda compusă continuuSe spune că Jacob Bernoulli a descoperit constanta e în timp ce studia o problemă legatăde dobânzi. El a realizat că, dacă investim un principal S0 = 1 pe o perioadă de 1 an curata anuală unitară r = 1 (dobândă de 100%), atunci suma finală la t = 1 va fi S1 = 2. Dacăse plăteşte dobândă compusă semestrial, cu aceeaşi rată anuală unitară, vom avea la finalS1 = 1 ·

    (1+ 12

    )2= 2.25. Dacă dobânda este plătită trimestrial, atunci S1 = 1 ·

    (1+ 14

    )4=

    2.4414. Şi aşa mai departe, dacă dobânda se compune de n ori într-un an, vom avea:

    S1 = 1 ·(

    1+1n

    )n.

    Când n→ ∞, această sumă acumulată la t = 1 va tinde la e = 2.7182818284 . . ..Într-un caz mai general, dacă principalul este S0, atunci suma acumulată la momentul t înregim de dobândă compusă este

    St = S0n

    ∏k=1

    (1+ rktk).

    Presupunem că rk = r, tk = tn , (∀) k, atunci

    St = S0(

    1+ rtn

    )n.

    Dacă dobânda se calculează foarte des în perioada de t ani (aproape în fiecare moment),atunci, trecând la limită în relaţia anterioară când n→ ∞, obţinem

    St = S0ert . (2.3.6)

  • 2.4 Procent nominal, procent efectiv 23

    2.4 Procent nominal, procent efectivPresupunem că avem următoarele două operaţiuni bancare:(O1) Plasamentul sumei S0 pe 1 an cu dobânda unitară re. La sfârşitul perioadei vom aveasuma:

    S1 = S0(1+ re).

    (O2) Presupunem că anul este fracţionat în m părţi egale şi r(m) este o dobândă unitarăcorespunzătoare fracţionării. Valoarea finală în regim de dobândă compusă va fi

    S1 = S0(

    1+r(m)m

    )m.

    Definiţia 2.4.1 Spunem că operaţiunile (O1) şi (O2) sunt echivalente dacă ele genereazăaceeaşi dobândă, adică,

    S0(1+ re) = S0(

    1+r(m)m

    )m(m ∈ N∗).

    De aici, rezultă că

    re =(

    1+r(m)m

    )m−1,

    saur(m) = m

    [(1+ re)1/m−1

    ].

    Numim re − rata anuală efectivă (100re este procentul anual efectiv sau real) şi r(m) esterata anuală nominală m-convertibilă (100r(m) este procentul anual nominal).Rata anuală efectivă (notat aici prin re sau RAE sau rRAE) (eng., Annual Equivalent Rate(AER)) este rata anuală care generează aceeaşi dobândă la sfârşitul anului ca şi o rată anualănominală. Aceată rată este utilă atunci când se doreşte compararea unor rate nominale.De remarcat faptul că, în practică, se declară rata nominală anuală r(m) în loc de

    r(m)m ,

    aceasta din urmă fiind rata dobânzii corespunzătoare perioadei de lungime 1/m dintr-un an.Vom folosi termenii de rată efectivă sau procent efectiv atunci când dobânda este plătită osingură dată pentru perioada de timp considerată, pe când ratele sau procentele nominalesunt folosite atunci când dobânda se calculează de mai multe ori pentru perioada de timpconsiderată.Se numeşte dobândă unitară instantanee numărul

    r∞ = limm→∞

    r(m) (< re).

    Exerciţiu 2.4.1 Banca A oferă un credit cu o dobândă de 6% compusă semestrial, iarbanca B oferă un credit cu o dobândă de 5.8%, compusă zilnic. Care dintre cele douăoferte este mai profitabilă?Retele anuale efective sunt:

    rA =(

    1+0.06

    2

    )2−1 = 0.0609 > 0.0597 = rB =

    (1+

    0.058365

    )365−1.

    Aşadar, creditul oferit de banca B este mai avantajos (aveţi de plătit o dobândă mai mică).

  • 24 Capitolul 2. Dobânda

    Plasament cu dobândă simplă sau cu dobândă compusă?

    Principalul S0 este plasat cu dobânda fixă r până la momentul t. În funcţie de tipul decalcul al dobânzii, vom avea:

    Dt =

    {S0rt , în regim de DSS0[(1+ r)t−1] , în regim de DC.

    Din figura (2.2) observăm că:(a) pentru 0 < t < 1 an, atunci dobânda simplă este mai avantajoasă.(b) pentru t = 1 an, atunci DSt = D

    Ct . Astfel, pentru t = 1, nu contează modalitatea de

    calcul a dobânzii.(c) pentru t > 1 an, atunci dobânda compusă este mai avantajoasă.

    Figura 2.2: Dobânda simplă vs. dobânda compusă.

    2.5 AnuităţiSe numeşte anuitate o serie de plăţi egale care sunt efectuate la momente de tip echidistante(e.g., lunar, trimestrial, anual) de-a lungul unei perioade finite de timp. În funcţie de mo-mentul în care plăţile sunt efectuate, putem vorbi desprei anuităţi anticipate (eng., ordinaryannuity, immediate annuity) (plata la finalul fiecărei perioade) sau de anuităţi posticipate(eng., annuity due) (plata la începutul fiecărei perioade). Dacă plata se efectuează de-alungul unei perioade nelimitate de timp, se va numi perpetuitate.

    Figura 2.3: Diagrama de plată pentru o anuitate ordinară.

    Fie R valoarea nominală (fixă) a plăţii ce trebuie efectuată la intervale egale de timp, r ratadobânzii unitare corespunzătoare perioadei şi n numărul de perioade. Dacă plăţile fixe se

  • 2.5 Anuităţi 25

    fac la finalul fiecărei perioade (vezi Figura 2.3), atunci suma finală de pe urma unei astfelde investiţii (valoarea finală a unuei anuităţi ordinare) este

    FV on = R+R(1+ r)+ . . .+R(1+ r)n−1 = R

    (1+ r)n−1r

    .

    Valoarea la momentul t = 0 a acestei investiţii (valoarea iniţială a unuei anuităţi ordinare)este

    PV on = FVon

    1(1+ r)n

    .

    Astfel, valoarea iniţială şi, respectiv, valoarea finală ale unei anuităţi ordinare sunt

    PV on =Rr

    [1− 1

    (1+ r)n

    ], FV on = R

    (1+ r)n−1r

    (2.5.7)

    Figura 2.4: Diagrama de plată pentru o anuitate posticipată.

    Dacă plăţile fixe se fac la începutul fiecărei perioade (vezi Figura 2.4), atunci suma finalăde pe urma unei astfel de investiţii (valoarea finală a unuei anuităţi posticipate) este

    FV dn = R(1+ r)+R(1+ r)2 + . . .+R(1+ r)n = R(1+ r)

    (1+ r)n−1r

    .

    Valoarea la momentul t = 0 a acestei investiţii (valoarea iniţială a unuei anuităţi posticipate)este

    PV dn = FVdn

    1(1+ r)n

    .

    Astfel, valoarea iniţială şi valoarea finală ale unei anuităţi posticipate sunt

    PV dn =Rr

    [1− 1

    (1+ r)n

    ](1+ r), FV dn = R

    (1+ r)n−1r

    (1+ r) (2.5.8)

    Dacă în formulele (2.5.7) şi (2.5.8) facem pe n să tindă la infinit (perpetuitate), atuncivom avea:

    PV o∞ =Rr, PV d∞ =

    Rr(1+ r). (2.5.9)

  • 26 Capitolul 2. Dobânda

    2.6 Probleme rezolvateExerciţiu 2.6.1 Ce sumă se va acumula la maturitatea unui depozit bancar pe 10 ani, careoferă dobândă de 10% p.a., dacă în fiecare an depozităm suma de 100 RON(a) la finalul fiecărui an;(b) la începutul fiecărui an;(c) la finalul fiecărei luni.R:

    (a) FV o10 = 1001.0510−1

    0.05≈ 1257.79.

    (b) FV d10 = 1001.0510−1

    0.051.05≈ 1320.7.

    (c) FV o120 = 100

    (1+ 0.0512

    )120−10.0512

    ≈ 15528.23.

    Exerciţiu 2.6.2 Tocmai ai câştigat la o loterie suma de 100000 RON pe an, pentru următorii20 de ani. Vei deveni milionar? (r = 0.1). Dar dacă suma s-ar plăti pentru următorii 50 deani? Dar pentru totdeauna?R: Valoarea prezentă a câştigului pe 20 de ani este

    PV o20 =105

    0.1

    [1− 1

    (1+0.1)20

    ]≈ 851356. (nu încă milionar)

    Valoarea prezentă a câştigului pe 50 de ani este

    PV o50 =105

    0.1

    [1− 1

    (1+0.1)50

    ]≈ 991481. (nu încă milionar)

    Pentru perpetuitate, valoarea câştigului este

    PV o∞ =105

    0.1= 1000000.

    Exerciţiu 2.6.3 Ce sumă ar trebui să depozitezi la finalul fiecărei trimestru pentru aacumula suma de 10000 RON după exact 2 ani şi 3 luni? Rata anuală efectivă este de4.06%.R: Rata anuală efectivă este re = 0.0406, de unde găsim că rata dobânzii corespunzătoareunei perioade de 3 luni (un trimestru) este

    r = (1+ re)1/m−1 = (1.0406)1/4−1≈ 0.01.

    În 2 ani şi 3 luni avem 9 trimestre.

    FV o9 = R(1+ r)9−1

    r= 10000 =⇒ R≈ 1067.4

  • 2.6 Probleme rezolvate 27

    Exerciţiu 2.6.4 Cu ce procent nominal compus semestrial ar trebui plasată o sumă de banipentru a acumula în doi ani suma finală corespunzătoare plasamentului aceleaşi sume cuprocentul de 40% compus trimestrial?R: Din relaţia S0

    (1+ r2

    )4= S0

    (1+ 0.44

    )8, găsim că 1+ r2 = 1.1

    2, de unde r = 0.42, decip = 42%.Exerciţiu 2.6.5 Pe 1 Martie 2012, Ionel a depus suma de 5000 RON într-un cont bancar ceoferă dobândă simplă de 10% p.a.. Ce sumă s-a acumulat până pe 31 Decembrie 2012?Câţi ani va trebui să aştepte până i se va dubla suma depusă? (Presupunem ca Ionel nu amai efectuat alte tranzacţii bancare legate de acel cont).R: Suma acumulată până la 31 Decembrie 2012 (10 luni, dobândă simplă) este

    S10/12 = 5000 ·(

    1+0.1 · 1012

    )= 5416.7.

    Ca să i se dubleze suma depusă, va trebui să determinăm t din relaţia

    10000 = 5000 · (1+0.1 · t) ,

    de unde t = 10 ani.Exerciţiu 2.6.6 În ultima zi a fiecărui an dintre 2007 şi 2012 (inclusiv), Maria a depozitatîntr-un cont suma de 1000 RON. Ştiind că dobânda oferită de acest cont este de 8% pe an,compusă semestrial, şi că nu au mai fost efectuate alte tranzacţii, să se determine suma pecare a găsit-o Maria în cont pe 1 Ianuarie 2013.

    Figura 2.5: Eşalonarea plăţilor Mariei.

    R: Metoda 1: În perioada menţionată, Maria a făcut 6 depuneri, fiecare în valoarenominală de R = 1000RON. Rata anuală efectivă este

    re =(

    1+0.08

    2

    )2−1 = 0.08160.

    Suma finală este

    FV o6 = R(1+ re)6−1

    re= 7365.6 RON.

    Metoda 2: Suma finală este

    S = 1000+1000 ·(

    1+0.08

    2

    )2+1000 ·

    (1+

    0.082

    )4+ . . .+1000 ·

    (1+

    0.082

    )10= 1000 · 1.04

    12−11.042−1

    = 7365.6.

  • 28 Capitolul 2. Dobânda

    2.7 Probleme propuseExerciţiu 2.7.1 Plasaţi suma de 1000 RON într-un cont bancar ce oferă dobândă simplă curata de 5% p.a.(a) Care este suma acumulată după 2 ani?Presupunem că aţi lăsat suma de 1000 RON în contul bancar doar un an. Suma acumulatădupă un an este extrasă din cont şi investită într-un alt cont bancar ce oferă o rată a dobânziiunitare de 5% p.a. Extrageţi suma acumulată în a doua bancă după un an.(b) Care este suma obţinută? Explicaţi diferenţa.Exerciţiu 2.7.2 O bancă oferă un cont de depozit cu o rată nominală a dobânzii de 3.3%p.a., compusă trimestrial. Calculaţi rata anuală efectivă a dobânzii. În câţi ani o sumădepozitată în acest cont se va dubla?Exerciţiu 2.7.3 Banca A oferă împrumuturi cu o rată nominală a dobânzii de 5%, compusăsemestrial, dar utilizează dobândă simplă pentru perioade fracţionare în ani. Banca B oferăîmprumuturi cu o rată nominală a dobânzii de 5%, compusă anual. Dorim să investimsuma de 2000 RON.(i) Calculaţi suma finală după 3 trei ani şi două luni pentru depozite în fiecare dintre celedouă bănci.(ii) Calculaţi suma finală după 3 trei ani şi două luni şi 10 zile pentru depozit în fiecaredintre cele două bănci.Exerciţiu 2.7.4 Cu ce rată nominală compusă lunar vom obţine aceeaşi sumă finală după1 an echivalentă cu compunerea de 8% trimestrial?Exerciţiu 2.7.5 Calculaţi suma finală după 11 ani pentru un principal de 500 RON plasat înregim de dobândă compusă cu rata de 6%, compusă semestrial pentru primii 5 ani, şi înregim de dobândă compusă cu rata de 8%, compusă trimestrial pentru ultimii 6 ani.Exerciţiu 2.7.6 Suma acumulată după 17 ani într-un cont bancar, plecând de la un principalde 1000RON, este de 5054.47RON. Determinaţi rata dobânzii unitare anuale în cazul în caredobânda oferită este compusă(i) anual;(ii) semestrial.Exerciţiu 2.7.7 De câte zile este nevoie pentru ca principalul de $1450 să se cumuleze la$1500 în regim de dobândă simplă cu rata de 4% p.a.?Exerciţiu 2.7.8 O bancă oferă un cont de economii cu dobânda de 3% compusă lunar. Unclient doreşte să depoziteze în acest cont o sumă fixă, la începutul fiecărei luni, astfel încâtdupă 3 ani să acumuleze suma de 5000RON. Determinaţi această sumă lunară.Exerciţiu 2.7.9 Pe 1 Ianuarie 2009, Andrei a deschis un cont bancar în care a depus2000RON. După exact un an, el a scos din cont 500RON, iar pe 1 Iulie 2012 a depus în contsuma de 1500RON. Ştiind că pentru acel cont banca oferă o dobândă de 7.5%, compusăsemestrial, şi că nu au mai fost efectuate alte operaţiuni bancare legate de acel cont, să sedetermine câţi bani a găsit Andrei în cont pe 1 Ianuarie 2014.Exerciţiu 2.7.10 Pentru un anumit cont bancar, o bancă oferă dobândă de 6.4%, compusăsemestrial.(i) Ce sumă ar trebui depusă azi în acel cont, astfel încât suma fructificată după doi ani săfie de 1000RON? Determinaţi RAE pentru acest cont.(ii) Aceeaşi întrebare în cazul în care dobânda se calculează continuu.

  • 3. Derivate financiare

    . [Derivatives are financial weapons of mass destruction]

    . - Warren Buffett 1

    3.1 Terminologie

    Un instrument financiar reprezintă un document fizic sau electronic care are valoaremonetară intrinsecă ori înregistrează o tranzacţie financiară. Exemple: numerar (cash), ocambie (cec), un certificat de depozit, o obligaţiune, o opţiune, o acţiune, carte de debitsau de credit etc.

    Activul financiar (asset) este orice activ deţinut (care e în posesie sau urmează a fi înposesie, prin drept) ce are o valoare de schimb. Exemple: o valoare mobiliară emisă de statsau de către o unitate administrativ-teritorială, o acţiune, o obligaţiune, cash, un portofoliude valori mobiliare, terenuri, imobile.

    Activele financiare pot fi riscante (eng., risky assets) (e.g., acţiuni, valută), ale cărorpreţuri la un anumit timp în viitor sunt necunoscute astăzi, sau lipsite de risc (eng., risk-freeassets) (sau sigure) (e.g. aur, depozite în bancă, obligaţiuni), ale căror preţuri (valori)viitoare sunt deterministe. Ansamblul activelor financiare care aparţin unei persoanese numeşte portofoliu. Un portofoliu diversificat conţine o gamă largă de instrumentefinanciare, ca acţiuni, depozite bancare, aur şi obligaţiuni guvernamentale.

    Un instrument financiar derivat este un instrument financiar (un contract financiar sauo înţelegere între două sau mai multe părţi) a cărui valoare viitoare (la scadenţă) estedeterminată de preţul (sau de preţurile) unui activ de referinţă (sau activ suport) (eng.,underlying asset).

    1Warren Edward Buffett 1930−, investitor, om de afaceri şi filantrop american

  • 30 Capitolul 3. Derivate financiare

    Exemple de active suport: valori mobiliare, acţiuni, rate de schimb, titluri de creanţe,comodităţi, rate ale dobânzilor, indici bursieri, valute, vremea etc.

    Derivatele financiare au schimbat faţa finanţelor prin crearea de noi căi de înţelegere,măsurare şi gestionare a riscului. Specialiştii cred că piaţa derivatelor o subminează pe ceaa activelor originale. Acestea pot fi tranzacţionate atât la bursă (eng., stock exchange), câtşi pe o piaţă OTC. Pe pieţele OTC se tranzacţionează volumul cel mai mare de derivatefinanciare. Pe aceste pieţe, derivatele sunt mai diversificate decât cele tranzaţionate labursă, fapt datorat flexibilităţii mai mari a componentelor derivatelor financiare. Dacătranzaţionarea lor se face la bursă, atunci ele sunt standardizate (se pot tranzaţiona doaranumite active, doar în cantităţile, cu preţurile şi la momentele precizate de bursă) şiparticipanţii la o astfel de investiţie sunt verificaţi pentru a înlătura riscul generat deposibilitatea neonorării unui contract. În schimb, dacă acestea sunt tranzacţionate pe opiaţă OTC, riscul de neonorare a contractului de către unul dintre investitori nu mai estezero. Deoarece aceste derivate financiare sunt foarte versatile, există şi riscuri asociate cuutilizarea lor. Există numeroase cazuri când brokerii care au sarcina de a acoperi risculinvestiţiilor unor clienţi se pot transforma în speculatori. În cazul în care speculaţiile lor nuau succes, se pot întâmpla dezastre financiare. Vorba domnului Warren Buffett, derivatelefinanciare se pot transforma în arme financiare de distrugere în masă.

    Derivatele financiare cele mai simple şi mai utilizate se mai numesc şi plain vanilla(valinie simplă), iar pe lângă acestea se mai întâlnesc şi derivate exotice. La bursele devalori sunt inventate în fiecare zi noi tipuri de derivate financiare, care de fapt sunt bazatepe patru tipuri principale de derivate. Scopul acestor noi invenţii este, în special, de a ofericlienţilor o flexibilitate mai mare în investiţii şi pentru o mai bună gestiune a riscului încondiţii incerte.

    Derivatele financiare nu sunt găselniţe noi, după cum reiese din următoarea istorioară.Primele descrieri ale acestor instrumente financiare au apărut la Aristotel, care a redatpovestea lui Thales, un filozof sărac din Milet. El povesteşte cum Thales a inventat unmecanism financiar care are la bază un principiu de aplicaţie universală. Oamenii îl mustraupe Thales că era sărac din cauza că era filozof, filosofia fiind văzută că o ocupaţie fărăfolos şi care nu aducea nici un venit. Însă Thales avea să le dovedească contrariul, arătândcă înţelepciunea poate aduce bani. Povestea zice că Thales era foarte dibaci în a prezicecum va fi cultura de măsline de anul ce va urma. Încrezător în previziunile sale, a făcutînţelegeri cu cei ce deţineau prese pentru ulei de măsline de a le inchiria pentru toamnaurmătoare în ideea de a le putea utiliza, în mod exclusiv. Pentru că deţinătorii preselor nuştiau cu siguranţă ce an va urma şi îşi doreau să câştige ceva în caz că nu va urma un anbun, au acceptat repede afacerea propusă de Thales, chiar pentru un preţ mic.Povestea lui Aristotel se încheie exact aşa cum bănuiţi, cu happy-end. Anul ce a urmat afost unul excepţional de bun pentru cultura de măsline, iar cum numai Thales avea presede închiriat, le-a oferit pentru preţuri mari şi şi-a facut o avere din asta. Astfel, Thales aaratat lumii că filosofii pot face şi bani dacă vor, dar ambiţia lor este totuşi de o cu totulaltă natură. Thales din Milet şi-a exercitat primul contract cu opţiuni cunoscut. Dacă nu arfi fost o cultură aşa cum prezicea, nu avea decât să nu onoreze contractele şi să minimizezepierderile la suma de bani plătită pentru opţiuni. Opţiunile (sau contractele cu opţiuni) suntdoar un tip de derivate financiare.

    Un alt exemplu de instrument financiar derivat: Ionel cumpără, de obicei, preparate dincarne de la un magazin local. Ionel are un prieten patron de supermarket care susţine ca

  • 3.2 Arbitraj (free lunch) 31

    preţurile la marketul lui sunt cele mai joase pentru preparatele respective. Ba chiar e dispussă-i plătească diferenţa de preţ dacă găseste aceleaşi produse la un preţ mai mic altundeva.Această înţelegere între cei doi prieteni este un instrument financiar derivat, în sensul căvaloarea ei depinde de preţul preparatelor în discuţie.Bine-bine, aţi putea spune că acesta nu-i decât un pariu pe preţul preparatelor din carne.Aşa şi este, instrumentele financiare derivate pot fi gîndite ca fiind nişte "pariuri" pe preţulaltor active. De fapt, noţiunea de instrument financiar derivat poate fi văzută ca pe un numecochet al jocului de noroc.Această înţelegere conferă pentru Ionel asigurarea că plăteşte cel mai mic preţ pe produselerespective şi, astfel, economiseşte ceva bani. Şi pentru prietenul său înţelegerea e benefică;îşi vinde marfa şi, totodată, Ionel poate aduce noi clienţi la supermarket, ceea ce înseamnăca-şi va spori veniturile. Alte persoane (investitori) s-ar putea folosi de această informaţieşi ar putea specula preţurile pieţei.

    Principalele instrumente financiare derivate sunt: contracte forward, contracte futu-res, opţiuni şi swaps.

    Un contract forward este un acord încheiat astăzi, care prevede achiziţionarea sauvânzarea unei cantităţi specificate de mărfuri sau de monedă în viitor, la o dată viitoare(scadenţă sau maturitate) şi pentru un preţ (preţul de livrare) bine precizate.

    Un contract futures este similar cu un contract forward, cu deosebirea că primul estestandardizat şi, la semnarea unui astfel de contract, se plăteşte o sumă de bani (marjă).Această marjă se plăteşte la brokerul bursier şi este o garanţie că ambii participanţi latranzaţie îşi vor onora contractul semnat.

    Printr-un contract cu opţiune (sau, simplu, opţiune) se înţelege un contract ce conferăunei persoane (deţinătorului) dreptul, dar nu şi obligaţia, de a vinde (put) (sau cumpăra −call) o cantitate determinată dintr-o marfă (sau un activ monetar, financiar sau un contractfutures) către un alt investitor (cel care scrie opţiunea), la un preţ convenit, denumit preţ deexerciţiu, într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul plăţii unei prime. Celce deţine o opţiune poate să-şi exercite dreptul până la scadenţă contractului, să abandonezeopţiunea până la scadenţă, sau să-şi compenseze contractul. Tipuri de opţiuni: call (decumpărare) şi put (de vânzare).

    Un swap (credit încrucişat) este o tranzacţie prin intermediul căreia două părţi schimbăîntre ele active financiare, de regulă, dobânzi şi valute.

    3.2 Arbitraj (free lunch)Arbitrajul este modalitatea de a realiza un profit fără a fi expus la risc, adică a scoate profitdin diferenţele de preţuri de pe piaţa financiară (e.g. a cumpăra valuta sau comodităţi de peo piaţa şi a o vinde în aproape acelaşi timp la un preţ diferit pe o altă piaţa).

    O glumă din care reiese bine ideea esenţială a arbitrajului: Un profesor de Finanţe şicopilul său se plimbau pe o stradă aglomerată. La un moment dat, copilul sau vede pe joso bancnotă de £ 100. ‘’Uite, tată, o bancnotă de 100 pe stradă!’’ Când copilul se apleacăsă o ridice, tatăl îi spune: ‘‘E inutil sa te apleci. Nu există nicio bancnotă acolo, căci dacăar fi existat, ar fi ridicat-o altcineva înaintea ta.’’

    Arbitrajul stă la baza teoriei de evaluare a activelor financiare (prin presupunerea lipseiarbitrajului de pe piaţă) (Asset Pricing Theory). Pentru a putea modela evaluarea preţurilor

  • 32 Capitolul 3. Derivate financiare

    activelor financiare ne vom limita la piaţa financiară în echilibru, adică o piaţă pe care nuexistă oportunităţi de arbitraj. Modelele financiare mai complicate presupun şi existenţaarbitrajului pe piaţa financiară. Totuşi, este foarte dificil de evaluat active financiare încadrul unei pieţe care nu e în echilibru. Arbitrajeorii vor căuta să obţină cantităţi nelimitatede câstiguri lipsite de risc, ceea ce implică o piaţa dezordonată, imposibil de modelatmatematic. Absenţa arbitrajului de pe piaţa este un atuu minimal şi suficient în modelareapieţei financiare, care este şi indeajuns de realistic. Oportunităţi de arbitraj există pe piaţafinanciară, dar ele sunt exploatate imediat de arbitrajori şi, astfel, dispar foarte repede, ca şicând nu ar fi existat. De îndata ce un agent observă posibilitatea arbitrajului, o va exploatala maximum, până discrepanţa între preţuri dispare. Principiul inexistenţei arbitrajuluispune că o piaţa financiară nu ar trebui să permită posibilităţi de arbitraj. În capitoleleurmătoare vom vedea cum putem exprima lipsa arbitrajului în termeni matematici. O piaţăfinanciară în care nu există oportunităţi de arbitraj se numeşte piaţă financiară viabilă.

    3.3 Utilitatea derivatele financiare• Gestionarea/acoperirea riscului (hedging) Derivatele sunt unelte pentru persoane

    fizice sau companii pentru reducerea riscul. Spre exemplu, un fermier ce produceporumb semnează un contract forward încă din primăvară pentru a-şi acoperi risculunei eventuale pierderi în toamnă, când preţurile ar putea scădea foarte mult. Oacţiune de hedging este utilă atunci când se doreşte minimizarea riscului generatde incertitudinea dobânzilor, a ratelor de schimb sau de alte variabile de piaţă. Pede altă parte, riscul poate creşte atunci când se recurge la o acţiune de hedging iarcompetitorii direcţi nu o fac.

    • Speculaţie (speculation) Derivatele financiare pot servi ca modalităti de investiţie.Un speculator financiar îşi asuma riscuri ridicate, peste medie, anticipând evoluţiaviitoare a unor active financiare şi aşteptând randamente pe măsura riscului asumat.El preia riscul de la hedger, cu scopul de a scoate un profit mai târziu când preţurilepe piaţa se vor schimba favorabil. Speculaţia nu este o operaţiune de noroc, deoarecespeculatorul îşi estimează riscurile înainte de a acţiona. Randamentele mari suntdirect proporţionale cu riscul asumat.

    • Arbitraj (arbitrage) Prin tranzacţionarea acestor instrumente financiare poţi obţineprofituri fără a risca nimic, prin specularea diferenţelor de preţ existente pe piaţăpentru acelaşi activ financiar. Acesta sunt numite acţiuni de arbitraj. Arbitrajoriiadoptă poziţii care se echilibrează reciproc în acelaşi activ financiar, cu scopul de aprofita de mici variaţii ale preţurilor.

    • Schimbarea naturii responsabilităţii. În locul deţinerii efective a unui activ riscant,un investitor poate achiziţiona doar dreptul de a deţine activul, evitând eventualelepierderi foarte mari. Prin tranzacţionarea derivatelor financiare, o persoană poatevinde active şi, totodată, să continue să le deţină fizic, se poate păstra dreptul de votîn cazul unor acţiuni sau elimina riscul deţinerii unor active ale căror preţuri potscădea. De asemenea, există posibilitatea de a scăpa de plata unor taxe.

    • Schimbarea naturii investiţiei, fără a fi nevoie de a vinde un portofoliu şi de acumpăra un altul, fapt ce atrage costuri suplimentare. Spre exemplu, în cazuriderivatelor de tip swaps, putem schimba două active financiare între ele, reducândastfel costurile de tranzacţionare.

  • 3.4 Actorii de pe piaţa derivatelor financiare 33

    3.4 Actorii de pe piaţa derivatelor financiarePutem clasifica persoanele care tranzacţioneaza derivate financiare în trei mari categorii:

    • hedgerii, care sunt asiguratori de risc. Hedgingul (acoperirea riscului) este încercareade a acoperi (asigura împotriva) posibilele (-lor) riscuri rezultate din fluctuaţiile depreţ pe piaţa financiară.

    • speculatorii, care iau poziţia opusă hedgerilor. Ei preiau riscul pe care hedgerii îltransmit. Nu există speculaţie fără hedging şi vice-versa. În procedeul de speculaţie,fondurile disponibile sunt plasate strategic în scopul de a scoate profit.

    • arbitrajorii, care intra în două sau mai multe tranzacţii echivalente în acelaşi timp,în care preţurile contractelor sunt diferite. Ei urmăresc a scoate profit din nimic,adică fără a se expune la risc. Vi-i puteţi imagina ca fiind persoane cu cel puţin douătelefoane în mana şi cu panouri electronice în faţă.

    3.5 Presupuneri de modelareDacă dorim să creăm modele matematice pentru aceste derivate financiare, atunci e necesarsă facem următoarele presupuneri, care ne-ar uşura lucrul:

    • costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplitate,căci toate pieţele reale implică astfel de costuri). A înţelege pieţele fără fricţiuni eun pas inainte în a inţelege pe cele cu fricţiuni;

    • nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate şi că aceasta nu va schimba preţulactivelor tranzacţionate;

    • aceeaşi rata a dobânzii, r, atât pentru împrumut cât şi pentru credit. Rata r estenumită şi rata lipsită de risc (eng., risk-free rate). Ea este rata teoretică a dobânziiobţinute de pe urma unei investiţii lipsite de risc (e.g., un depozit bancar, o obliga-ţiune). Reprezintă dobânda pe care un investitor ar aştepta-o în urma unei investiţiineriscante pe o perioadă de timp specificată. În realitate, această rată poate să nuexiste, deoarece orice investiţie, oricât de sigură ar fi ea, implică un anumit risc,chiar dacă este foarte mic.

    • investitorii preferă tot mai mult şi nu se mulţumesc niciodată cu ce au;• lipsa arbitrajului pe piaţa financiară;

    Problema fundamentală a matematicii instrumentelor derivate financiare este stabilireapreţului lor. Primele modele de evaluare au apărut în 1973, în lucrările scrise de Black,Scholes şi Merton.

    Valoarea în timp a banilor

    În Finanţe, se presupune că valoarea banilor nu rămâne aceeaşi în timp, datorită faptuluică pentru orice sumă de bani se poate obţine o dobânda, dacă aceasta este plasată într-undepozit cu r > 0. Aceeaşi cantitate de bani considerată la două momente de timp este maivaloroasă momentul cel mai mic pe axa timpului. Aşadar, suma de 100RON astăzi nu areaceeaşi valoare cu suma de 100RON deţinută peste un an. Într-adevăr, dacă cei 100RON îiplasăm azi într-un cont bancar ce oferă dobândă de 5% pe an, atunci după exact un an vomavea 105RON. Pe de altă parte, suma de 100RON peste exact un an valorează 95.24RONastăzi.

  • 34 Capitolul 3. Derivate financiare

    În cele ce urmează, vom utiliza dobânda unitară r, ca fiind rata lipsită de risc a profituluiunei companii, şi va fi considerată constantă în timp. In calculele financiare, dobândase calculează ori in mod compus, ori în mod compus continuu. Asta înseamnă că sumaS0 la timpul t = 0, va valora S0(1+ r)t la momentul t (in cazul compus) şi va valoraS0ert la momentul t (in cazul continuu). Invers, orice sumă ST la timpul viitor t = Tvalorează ST (1+ r)−T (respectiv, ST e−rT ) in momentul de fata, adica la t = 0, şi valoreazăST (1+ r)−r(T−t) (respectiv, ST e−r(T−t)) la momentul t ∈ [0, T ].

    În termeni financiari, valoarea la momentul iniţierii acţiunii este denumită valoareprezentă (present value, PV ), valoarea la un moment viitor prezentului este denumităvaloare viitoare (future value, FV ).

    3.6 Contracte forwardEste cel mai simplu derivat financiar. Este o înţelegere (obligaţie) de a cumpăra sau vindeun activ financiar la o dată pre-stabilită în viitor (maturitate sau dată livrării sau scadenţa),pentru un preţ (preţ de livrare) stabilit la semnarea contractului. A se face distincţie întreun contract forward şi un contract spot, pentru care livrarea are loc astăzi, la momentulînţelegerii. Într-un astfel de contract sunt implicate două părţi: cel care cumpăra activul (sespune că el deţine o poziţie long) şi cel care îl vinde (care deţine o poziţie short). Acestecontracte sunt tranzacţionate pe piaţa OTC (Over-The-Counter sau inter-dealeri).

    Poziţia cumpărătorul contractului futures se numeşte long forward (LF). Cel care des-chide o poziţie LF va câştigă din tranzacţie dacă preţul viitor al activului cumpărat vacreşte faţă de momentul intrării în poziţie. Cumpărătorul unui contract futures urmăreşteori să se protejeze împotriva unor creşteri viitoare ale preţului respectivului activ pe piaţaspot (la vedere), ori doreşte să speculeze o astfel de creştere la momentul sau momentelepe care le considerǎ potrivite. Poziţia cumpăratorului este considerată acoperită deoareceel urmează să achiziţioneze activul de bază.

    Poziţia vânzătorului este considerată descoperită (deoarece cel care vinde activul suports-ar putea să nu îl deţină în momentul intrării în contract, astfel la scadenţa el va trebui fie săcumpere activul suport pe piaţa spot, pentru a-l vinde şi a-şi onora obligaţiile contractuale,fie va trebui să-l împrumute, şi în acest caz va apărea, mai târziu obligaţia rambursăriiîmprumutului. În limbaj de specialitate, poziţia vânzătorului se numeşte short forward(SF) şi este o poziţie în oglindă faţă de poziţia LF. Atunci când poziţia LF înregistrează uncâştig, poziţia SF va înregistra o pierdere şi invers; cu alte cuvinte, investitorul care intrăîntr-o poziţie SF urmăreşte fie să se protejeze împotriva unei eventuale scăderi a preţuluiactivului suport, fie doreşte să speculeze scăderea preţului la momentul potrivit.

    Caracteristici ale contractelor forward:

    • contractul forward este o înţelegere privată, încheiată între doi parteneri care, deobicei, se cunosc;

    • contractele forward (la termen) nu sunt tranzacţionate la bursă (sunt contracte ne-standardizate);

    • un contract forward implică un risc de credit pentru ambele părţi, similar celui de pepiaţa la vedere (spot). Astfel, părţile contractuale pot solicita o garanţie;

    • activul suport sau obiectul contractului poate fi orice marfă sau orice activ financiar

  • 3.7 Vânzări short 35

    pentru care cei doi parteneri îşi manifestă interesul;• tranzacţiile se fac numai pe pieţele OTC;• livrarea este specificată la momentul iniţierii contractului;• nu se face nici o plată la momentul scrierii contractului;• valutele sunt cele mai tranzacţionate prin contracte forward.

    3.7 Vânzări shortEste procedeul prin care se poate vinde un activ pe care nu-l deţii. Etapele: ia cu împrumutactivul şi vinde-l. La maturitate cumpăra activul şi înapoiază-l de unde l-ai împrumutatplus, eventual, o dobândă pentru împrumut. În acest caz, funcţia profit (eng., pay-off) va fi:pozitivă, dacă preţurile scad şi negativă, dacă preţurile cresc.În cazul vânzărilor short, investitorii speră că preţurile pe piaţa spot să scadă pentru a faceun profit. În general, vânzările short sunt utilizate pentru a profită de o scădere aşteptată depreţuri anumite active. Sunt trei motive pentru a vinde short:

    • speculaţie (obţii un profit dacă preţurile scad). De exemplu, George Soros2, 1992,"the man who broke the Bank of England", a anticipat că pound-ul britanic va scădeaşi a pariat 10 miliarde de dolari pe aşa ceva, scoţând numai într-o zi un profit de cca2 miliarde dolari americani.

    • finanţare (este o modalitate de a împrumuta bani, folosită mai ales la obligaţiuni);• hedging (pentru acoperirea riscului deţinerii unor active).

    În practică, atunci când vinzi short un activ financiar, brokerul tău îţi va împrumută activulrespectiv din contul firmei sau al altei firme de brokeraj. Apoi activul e vândut şi baniiîţi revin, dar mai târziu sau mai devreme va trebui să închizi poziţia short prin înapoiereaîmprumutului făcut. Se pot plăti sau nu dividende pentru activul deţinut. Un dividendreprezintă o parte din profitul revenit pentru o acţiune emisă de o societate pe acţiuni, careîi este oferit fiecărui acţionar în raport cu acţiunile pe care le posedă.

    3.8 Preţul forwardDacă preţul de livrare al unui forward este mai mare decât preţul spot, atunci este depreferat de a fi într-o poziţie short (deoarece vei vinde mai scump decât pe piaţa spot),iar dacă este mai mic decât preţul spot, atunci o poziţie long este preferată (deoarece veicumpăra mai ieftin decât pe piaţa spot). Aşadar, pentru care nici una dintre cele douăpoziţii să nu fie avantajată, va trebui să existe un preţ unic de livrare. Un astfel de preţ senumeşte preţ forward. Cu alte cuvinte, preţul forward este preţul (unic) de livrare pentrucare nu e nevoie de nici un schimb de bani la momentul iniţierii contractului (i.e. nu necostă nimic pentru a semna un astfel de contract). Vom deriva în continuare o formulapentru preţul forward, bazată pe principiul absenţei arbitrajului.

    Vom utiliza următoarele notaţii:• K = preţul de livrare;• T = momentul livrării sau scadenţa;

    2George Soros (György Schwartz, 1930−, economist, activist politic, filantrop şi om de afaceri miliardaramerican originar din Ungaria

  • 36 Capitolul 3. Derivate financiare

    • St = preţul (spot) al activului la momentul t;(S0 e preţul la momentul t = 0, care e cunoscut, şi ST este preţul la momentul t = T ,necunoscut);

    • Πt = câştigul (profitul) net la momentul t (eng., pay-off).• F0 preţul forward la momentul t = 0 (acesta se modifică în timp).

    Pentru un investitor ce deţine o poziţie long forward (i.e., se află în poziţia cumpărătorului)cu preţul de livrare K şi scadenţa T , profitul este ΠT = ST −K, iar pentru unul ce deţine opoziţie short forward (i.e., suntem pe poziţia vânzătorului), ΠT = K−ST (vezi Figura 3.1).

    Figura 3.1: Profitul pentru un long forward (a) şi un short forward (b).

    Întrebările la care ne propunem să răspundem sunt:

    1. Cum va trebui să-l alegem pe K astfel încât nu este nevoie de schimb de bani lamomentul t = 0, intre părţile implicate in contract? Cu alte cuvinte, această întrebarene cere să determinăm preţul forward.

    2. Care este preţul corect al contractului forward la momentul iniţierii lui, dacă preţulde livrare nu este preţul forward?

    Pentru a răspunde la cerinţa 1., vom pune problema preţului corect astfel:

    Considerăm contractul forward ca fiind un joc având următoarea regulă. La timpul t = Tjucătorul J1 (care se află pe poziţia long forward) primeşte de la J2 (poziţia short forward)suma ST −K în cazul în care acesta este pozitivă, altfel plăteşte suma K−ST . În Teoriajocurilor, acesta se numeşte joc de sumă nulă. Întrebarea 1. reformulată este:Care este preţul corect, V , pe care jucătorul J1 ar trebui să-l plătească pentru a participala acest joc?Observaţia 3.1 Deoarece suma V trebuie plătită la t = 0 dar plăţile mai sus amintite sefac la t = T , va trebui să luăm în calcul valoarea banilor în timp (dobândă).Să presupunem că rata unitară anuală a dobânzii este r, aceeaşi pentru împrumut şi credit,şi că dobândă se calculează compus continuu. Aşadar, suma V plătită la momentul t = 0va valora VerT la momentul t = T . Din punctul de vedere al teoriei jocurilor, acest joc esteun joc cinstit dacă valoarea medie asteptată a sumei tranzacţionate la t = T este 0.

  • 3.8 Preţul forward 37

    Însă, valoarea sumei tranzacţionate la t = T esteST −K−VerT , deci avem

    E[ST −K−VerT ] = 0,

    adică V = e−rT (E[ST ]−K).În concluzie, pentru a participa la joc, J1 va trebui să plătească la t = 0 suma

    V = e−rT (E[ST ]−K),

    dacă această e pozitivă, altfel J2 va trebui să-i plătească

    V = e−rT (K−E[ST ]).

    Mai mult, valoarea lui K pentru care nu trebuie plătită nici o primă la intrarea în joc esteK = E[ST ]. Deci, pare rezonabil de a alege un astfel de K ce să reprezinte preţul forward.Însă, sunt două obiecţii majore pentru această alegere:

    • prima V depinde de E[ST ], adică de valoarea aşteptată a preţurilor viitoare, care suntaleatorii, deci necunoscute investitorilor.Putem doar prezice valoarea lui ST . După cum vom vedea mai târziu, în capitoleleviitoare, se obişnuieşte ca ST să fie ales astfel încât să urmeze o anumită repartiţieprobabilistică, de regulă repartiţia lognormală.Reamintim, Y ∼ logN (µ, σ) dacă lnY ∼N (µ, σ), adică densitatea de repartiţiea lui Y este

    fY (x) =

    1

    xσ√

    2πe−

    (lnx−µ)2

    2σ2 , dacă x > 0

    0 , dacă x≤ 0

    Media şi dispersia sunt date de E(Y ) = eµ+σ2/2, Var(Y ) = e2µ+σ2(eσ2−1).• alegând K = E[ST ], pot apărea oportunităţi de arbitraj.

    Ingredientul esenţial în evaluarea valorii contractului forward este presupunerea că piaţafinanciară este viabilă (lipsită de arbitraj).

    Propoziţia 3.8.1 Suntem în cadrul unei pieţe financiare lipsite de arbitraj, în care preţurilese modifică continuu. Presupunem că rata dobânzii unitare anuale este r. Atunci, preţulforward (la t = T ) pentru un activ financiar aflat în proprietate, care la momentul iniţialvalorează S0, şi care nu generează dividende este