Matematici Financiare Iulian Stoleriustoleriu/MF(2019).pdf · de la spéculation, în care a utilizat metode din Analiza stochastica, mai precis miscarea¸˘ Browniana, în evaluarea

Matematici Financiare

Iulian Stoleriu

Copyright © 2019 Iulian Stoleriu

Cuprins

1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Dobânda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Dobânda simpla 172.2 Dobânda compusa 192.3 Dobânda compusa continuu 222.4 Procent nominal, procent efectiv 232.5 Anuitati 242.6 Probleme rezolvate 262.7 Probleme propuse 28

3 Derivate financiare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Terminologie 293.2 Arbitraj (free lunch) 313.3 Utilitatea derivatele financiare 323.4 Actorii de pe piata derivatelor financiare 333.5 Presupuneri de modelare 333.6 Contracte forward 343.7 Vânzari short 353.8 Pretul forward 353.9 Contracte futures 38

3.10 Probleme rezolvate 393.11 Probleme propuse 42

4 Optiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Definitii si caracteristici 434.2 Terminologie 464.3 Paritatea put-call 474.4 Strategii de investitii cu optiuni 494.4.1 Strategii simple cu optiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.2 Combinatiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Optiuni exotice 534.5.1 Optiunile ca asigurare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


5 Model discret de piata financiara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1 Model de piata cu o singura perioada 625.1.1 Interpretare probabilistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.2 Exemplu de piata financiara cu oportunitati de arbitraj . . . . . . . . . . . . . 675.1.3 Piata completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


6 Modele discrete pentru evaluarea optiunilor . . . . . . . . . . 73

6.1 Modelul binomial cu o perioada 746.1.1 Punerea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.1.2 Elementele caracteristice modelului cu o singura perioada . . . . . . . . . . 75

6.2 Modelul binomial cu doua perioade 806.3 Modelul binomial cu n perioade 816.4 Drift si Volatilitate 846.5 Delta hedging 866.6 Modelul binomial pentru call/put american 886.7 Modelul trinomial 896.8 Piata completa si incompleta 906.9 Un model discret general pentru o piata financiara 926.10 Avantaje si dezavantaje ale modelului discret 976.11 Probleme rezolvate 976.12 Probleme propuse 104

7 Modele continue pentru evaluarea optiunilor . . . . . . . . . 107

7.1 Elemente de analiza stochastica 1077.1.1 Miscarea aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.2 Procesul Wiener (sau miscarea Browniana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2 Lema lui Itô 1147.3 Ecuatii diferentiale stochastice 1187.3.1 O metoda de rezolvare a ecuatiilor diferentiale stochastice . . . . . . . . 119


8 Metoda Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.1 Integrarea folosind metoda Monte Carlo 1278.2 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea optiunilor europene 1308.3 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea optiunilor exotice 1328.4 Exercitii rezolvate 1338.5 Exercitii propuse 138

9 Modelul Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.1 Derivarea ecuatiei Black-Scholes 1439.2 Estimarea volatilitatii 1469.2.1 Volatilitate istorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2.2 Volatilitate implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2.3 Volatility smiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.3 Indici de senzitivitate 1499.4 Probleme rezolvate 1559.5 Probleme propuse 159

10 Teoria alegerii rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.1 Motivatie 16110.1.1 Paradoxul de la Sankt Petersburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.1.2 Teoria alegerii rationale în conditii incerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2 Functie de utilitate 16510.2.1 Axiomatica von Neumann & Morgenstern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10.3 Alte proprietati 16710.4 Atitudine fata de risc 16810.4.1 Aplicatie în asigurari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

10.5 Critici aduse teoriei utilitatii asteptate 17110.5.1 Paradoxul lui Alais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.5.2 Dilema prizonierului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.5.3 Paradoxul lui Newcomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6


11 Anexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

11.1 Scurta introducere în MATLAB 18311.2 Media conditionata 18811.3 Procese stochastice 189

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

1. Introducere

. [Invest like a bull, sit like a bear and watch like an eagle.

. (mantra for long term investing)]

Matematicile financiare (eng., Financial mathematics, Mathematical Finance) constituieo ramura a matematicilor aplicate care se preocupa de analiza activelor tranzactionatepe pietele financiare. Aceasta ramura este în strânsa legatura cu Economia financiara,dar este mai restrânsa si mult mai abstracta. Obiectul Matematicilor financiare constaîn utilizarea rationamentului matematic riguros sau a metodelor numerice în vedereastudierii modelelor economico-matematice ale operatiunilor financiare ce apar în Economiafinanciara. Matematicile financiare urmaresc sa impuna logica si rigoarea rationamentuluimatematic în introducerea, prezentarea si studiul modelelor economico-matematice aleoperatiunilor financiare, prin care se plaseaza anumite sume de bani în anumite conditii sise urmareste si analizeaza rentabilitatea unor astfel de plasamente. Matematicile financiaresunt înrudite cu Ingineria financiara (eng., Financial engineering or Computational finance),cu care de multe ori chiar se confunda. Totusi, Matematicile financiare se preocupa cuderivarea modelelor matematice aplicabile în Finante, pe când Ingineria financiara sepreocupa mai ales de aplicatii. Operatiunile financiare pe care Matematicile financiare si lepropune sa le studieze intereseaza atât institutiile financiare (banci, burse, case de pensii sieconomii, societati de asigurari, societati de actiuni), cât si pe particulari, care se preocupade investitii. Mai toata lumea urmareste sa-si plaseze banii cât mai convenabil sau sa facaanumite împrumuturi pentru investitii industriale, agricole, pentru a cumpara o masina, olocuinta etc. Cu ajutorul teoriei Matematicilor financiare putem estima pretul unui titlu devaloare sau putem determina pretul valorilor derivate (e.g., contracte futures, optiuni), sauputem gasi un portofoliu optimal în concordanta cu nevoile fiecarui investitor. Matematicafinanciara este matematica investitiilor si a riscului. Se preocupa de decizii ce trebuiesc

8 Capitolul 1. Introducere

luate azi, având în vedere câteva informatii incerte despre viitor.Exemple de întrebari la care aceasta disciplina îsi propune sa raspunda sunt:

• Cum definim riscul financiar? Fara a intra în detalii, prin risc financiar întele-gem orice eveniment sau actiune care poate avea un efect negativ în îndeplinireaobligatiilor si atingerea obiectivelor unei anumite organizatii.

• Exista metode de a acoperi riscul financiar? Sigur ca exista! În acest curs vomdiscuta unele metode de acoperire a riscului financiar rezultat în urma tranzactionariicontractelor cu optiuni. Aceste metode sunt numite metode de hedging.

• Cum am putea evalua valoarea unor actiuni sau chiar a unei intreprinderi? Încazul ca un investitor ar dori sa-si vânda afacerea, ar trebui mai întâi sa o evalueze.Matematicile financiare ofera instrumentele necesare pentru calcularea pretuluicorect, adica acel pret care ar fi multumi atât pe vânzator, cât si pe cumparator.

• Care este valoarea actuala a unei optiuni de a comercializa un titlu de valoare? Înaceste note vom discuta metode de evaluare a pretului unor contracte cu optiuni.

• Cum ar trebui gestionat portofoliul de optiuni în vederea reducerii riscului înafaceri? Ultimul capitol al acestui curs se preocupa de metode de optimizare aportofoliilor, adica determinarea valorilor optime pentru ponderile activele financiareexistente în portofoliul unui investitor pentru a obtine profitul maxim.

• etc.Punctul zero al Matematicilor financiare se considera a fi anul 1900, atunci când ma-

tematicianul francez Louis Bachelier si-a prezentat teza de doctorat intitulata Théoriede la spéculation, în care a utilizat metode din Analiza stochastica, mai precis miscareaBrowniana, în evaluarea pretului unor contracte financiare. Dezvoltarea Matematicilorfinanciare a capatat amploare în secolul XX, odata cu aparitia teoriei probabilitatilor, decare este strâns legata.

O persoana implicata în analiza financiara se mai numeste si analist cantitativ (eng., qu-antitative analist sau, pe scurt, quant). Preocuparile unui quant vor fi legate de modelareasi analiza unor fenomene economico-financiare, dar si de investitii sau schimburi financiare.Un consultant finaciar ce are cunostinte solide de matematica si programare se numeste, înlimbajul colocvial, rocket scientist. De la o astfel de persoana se asteapta inventarea de noiderivate financiare complicate sau construirea de modele matematice sofisticate. Dupa cumva dati seama, în mod curent, un rocket scientist nu construieste rachete pentru a se întretine.

Ce ai putea face cu banii?

Asadar ai multi bani si totusi esti nefericit; nu stii ce sa faci cu ei. Esti în cautare de unsfat? Sa vedem ce putem face pentru tine.

* Un om "strângator" si-ar lua un "ciorap încapator" si "depozita" averea acolo, ceeace nu sfatuiesc pe nimeni. Daca "depozitul" s-ar face pe o perioada mare, atunci aiavea numai de pierdut.

* Sau, ai putea sa-i depozitezi într-un cont de economii cu dobânda mare. Desi conturide economii aducatoare de dobânzi mari sunt din ce în ce mai greu de gasit, aceastaeste o investitie sigura. Neajunsul principal este ca nu ai acces la banii tai pentruo perioada destul de mare de timp si nu poti face altceva decât sa-i privesti cum seînmultesc. Nu prea mult totusi, daca ai lua în calcul si alte optiuni. Nu uita ca baniicare tocmai i-ai depus în contul bancar sunt folositi de alte persoane, sub forma de

9

împrumut din banca, si îi folosesc sa-si cumpere o casa, o masina, un teren, sau sa-iinvesteasca în studii etc., sau de administratia locala pentru a repara soselele. Ceface banca de fapt? Împrumuta de la tine si apoi da sub forma de împrumut altora.Ea constituie astfel o piata financiara (piata monetara, dupa cum vom vedea maitârziu), un loc de întâlnire între oferta de capital si cerere.

* Banii pot fi foarte profitabil folositi în investitii. Poti sa investesti banii în proprietatiale caror valori sunt crescatoare în timp, sau într-o institutie, oferindu-te sa leimprumuti bani (asta se poate face prin cumpararea de obligatiuni, engl. bonds), saucumparând o parte din companie (sub forma de actiuni, engl. shares).Obligatiunile (eng., bonds) sunt titluri de creanta reprezentative unor datorii. Suntinstrumente financiare purtatoare de dobânda, emise de guvern, de corporatii saude alte organisme, si vândute investitorilor în scopul acumularii de capital. Aces-tea se angajeaza sa faca plati periodice (sub forma de cupoane) catre detinatoriiobligatiunilor si sa le rascumpere la maturitate. Exista obligatiuni emise de stat,obligatiuni municipale, obligatiuni ale unor corpotatii sau euro-obligatiuni. Un astfelde document va oferi detinatorului dreptul de a primi o suma de bani predetermi-nata, la un moment viitor predeterminat (maturitate). Suma de bani obtinuta înviitor se numeste valoare nominala. Diferenta dintre valoarea nominala si sumaplatita initial de creditor se numeste dobânda. Partile implicate într-un contractde tip obligatiune sunt: debitorul, este partea ce promite plata valorii nominale sicreditorul, cel care urmeaza sa fie platit. În general, obligatiunile sunt consideratea fi contracte financiare lipsite de risc, în sensul ca printr-un astfel de contract segaranteaza o suma de bani la maturitate, suma care este cunoscuta a priori de catreambele parti contractante. Banii pot fi interpretati tot ca fiind bond, cu rata dobânziizero si maturitatea momentul zero (imediat). Cel care detine banii va fi creditorul iardebitorul este reprezentat de institutiile guvernamentale, care garanteaza acceptarealor ca mod de plata.Actiunile (eng., shares) sunt titluri financiare obisnuite (comune) ce reprezinta drep-turi de proprietate ale detinatorului asupra unei (unor) parti dintr-o companie, dreptobtinut în schimbul investirii de capital.Un instrument financiar este un document ce dovedeste proprietatea asupra unui activfinanciar; de pilda un certificat de depozit, o actiune, o obligatiune guvernamentalaetc. Activul financiar este o valoare emisa de stat sau de catre o unitate administrativ-teritoriala ce confera drepturi banesti detinatorului acestuia, precum si drepturi asupraveniturilor viitoare rezultate din valorificarea unor fonduri. Activele financiare includ:certificate de trezorerie, valori mobiliare, efecte de comert emise de catre o societatecomerciala, indici bursieri, rata dobânzii, instrumente sintetice care au la baza ratadobânzii, instrumente având la baza moneda nationala, contracte futures, contractecu optiuni.

* Daca te pricepi, poti investi într-o mica (sau mare) afacere (business). Afacerile suntde diverse forme si dimensiuni. Daca esti singur în afacere, atunci toate veniturile itirevin, dar esti expus la riscuri, sau iti va veni greu sa faci rost de îndeajuns capital.

Îti vine idea sa te unesti cu alte afaceri si de a forma un parteneriat. Însa acumnu esti singurul beneficiar de câstiguri si s-ar putea ca profiturile sa nu fie foarte mari.Pentru ca vrei si mai multi bani, tu si partenerii tai de afaceri cautati sa dezvoltati


afacerea. Ce se poate face? O varianta e sa folositi profitul drept capital. Sau putetiface un împrumut din banca. Acum ca sunteti mai multi, aveti mai multe sanse de afi credibili si puteti obtine un împrumut bunicel.

* Cum!?... Tot nu-ti ajung banii? Ei, atunci poti încerca un alt tip de împrumut, prinemiterea de obligatiuni. În felul asta poti acumula capital bun (în caz ca afacerea ecredibila), dar la maturitatea contractului (cel putin dupa 6 luni) va trebui sa platestiinvestitorilor partea de capital cu care au contribuit fiecare, plus o dobânda sau altepremii. Cine poate emite obligatiuni: societatile pe actiuni cu minimum doi anivechime si ale caror bilanturi au fost aprobate în mod regulat de actionari, sau diversegrupuri de societati de acest tip.

* O alta varianta este sa-ti vinzi o parte din afacere sub forma de actiuni (termenulenglezesc consacrat este go public). Compania ta va trebui sa angajeze un bancherde investitii (broker) care sa actioneze ca intermediar între companie si investitori.Totodata, el va trebui sa determine pretul actiunilor prin evaluarea companiei. Aici vatrebui sa apeleze la Matematicile financiare. Când titlurile de valoare ale unei com-panii sunt vândute pentru prima oara, aceasta se va face pe piata primara. Ulterior, eposibil ca detinatorii de actiuni sa doreasca sa "scape" de ele si le vor tranzactiona pepiata secundara (bursa sau piata inter-dealeri). Prin vânzarea de actiuni, o afacereprivata devine una publica, detinuta de un numar mare de persoane.

Cum atragi investitiile?

Toate investitiile au loc pe piata financiara. Piata financiara poate fi definita ca fiind loculde întâlnire al ofertei de capitaluri cu cererea de capitaluri, iar preturile de schimb suntstabilite într-un mod eficient (se spune ca aceste preturi verifica asa-numita ipoteza de piataeficienta). Este locul (fizic sau într-un mediu virtual) unde firme si persoane specializatese întâlnesc si cumpara sau vând produse specifice, e.g. diverse bunuri materiale (eng.,stocks), actiuni (eng., shares), obligatiuni (eng., bonds), optiuni (eng., options), contracteforward sau futures etc. Exista institutii specializate, numite intermediari financiari,care ajuta si simplifica foarte mult întâlnirea cererii si a ofertei de capitaluri sau fonduribanesti, atât în spatiu (evitând deplasarea fizica a celor interesati, adesea costisitoare)cât si în timp (reducând la minimul posibil perioada necesara cautarii contrapartideiinteresate). Prin intermediul acestor institutii, utilizatorul de fonduri, cât si detinatorul defonduri (investitorul), care cauta un plasament pentru ele, pot intra în contact într-un timpfoarte scurt si cu costuri minime. Costurile sunt, în general, reprezentate de comisionulintermediarului si, uneori, de cheltuielile legate de încheierea tranzactiilor (se poate face oanalogie cu piata de legume/fructe).

De ce se apeleaza la pietele financiare? Pentru ca pietele financiare creeaza un mediupropice pentru asigurarea sau majorarea capitalului necesar derularii unor activitati. Spreexemplu, prin intermediul pietei financiare, administratiile locale pot face rost de anumiteîmprumuturi pe diverse perioade, ceea ce le-ar facilita buna desfasurare a activitatilor.

Functiile pietei financiare

• facilitarea schimbului de active. Pietele financiare permit transferul de fonduri de laun agent financiar la altul, în vederea investitiilor sau pentru consum;

11

• determinarea (negocierea) pretului activelor. Prin intermediul pietei financiare suntstabilite preturile activelor financiare.

• strângerea de informatii si coordonare. Piata financiara actioneaza ca si colector deinformatii despre cotarea activelor financiare si despre transferul de fonduri. În acestfel, piata financiara reduce costul de cautare de informatii.

• reducerea costurilor de cautare a partenerilor de afaceri.

Componente ale pietei financiare

În functie de perioada de timp pentru care aceste capitaluri sunt mobilizate, pietelefinanciare sunt formate din doua componente:

• piete monetare (money market, cu maturitate pe termen scurt, sub 1 an);• piete de capital (capital market, cu maturitate pe termen lung, de regula de peste 1

an).Piata monetara este locul de întâlnire al ofertei de capitaluri disponibile pe termen

scurt si foarte scurt (sub un an) cu cererea pentru astfel de capitaluri. Aceasta piata foartedinamica asigura finantarea pe termen scurt a nevoilor temporare care apar la societatilecare deruleaza activitati în interes public si al administratiile centrale si locale. La piatamonetara fac apel bancile (pentru a-si acoperi deficitul bugetar), persoanele fizice (careapeleaza, în general, la banci pentru anumite împrumuturi). Principalii intermediari si,totodata, utilizatori si ofertanti de resurse care actioneaza pe aceasta piata sunt bancilecomerciale. Acestea concentreaza în buna masura capitalurile, în special sub formadepozitelor bancare si pe care le ofera spre utilizare celor care cauta astfel de resurse.Nivelul de dezvoltare al oricarei piete monetare depinde de nivelul de dezvoltare economicaal tarii din care aceasta face parte.

Piata de capital este acea componenta a pietei financiare care asigura întâlnirea oferteide capitaluri cu cererea pentru capitaluri pe termen mediu si lung (1−10 ani). Mobilizareacapitalurilor pe aceasta piata se face folosind titluri de valoare (engl. securities) (valorimobiliare) specifice: actiuni, obligatiuni, titluri de renta, obligatiuni de stat pe termenmediu si lung. Piata de capital asigura pentru investitori individuali si institutionali posi-bilitati variate de plasare a capitalurilor disponibile, în functie de interesele urmarite. Caurmare, ea asigura finantarile pe termen mediu si (sau) lung necesare agentilor economici,administratiilor centrale si locale pentru o buna derulare a activitatilor lor. În cadrul pie-telor de capital se pot face speculatii privind modificarea ulterioara a preturilor activelortranzactionate, în vederea obtinerii de profit.În functie de momentul în care tranzactiile pe aceste piete sunt efectuate, putem vorbidespre:

• piata primara;• piata secundara.

Piata primara este piata pe care se tanzactioneaza instrumentele financiare imediat dupaemiterea lor, încasarile rezultate din acest proces revenind direct emitentului. Este piatade pe care societatile comerciale îsi formeaza capitalul social sau îsi majoreaza capitalulsocial pe termen mediu sau lung. Tot de pe aceasta piata, administratiile centrale si celelocale obtin prin împrumuturi banii necesari pentru acoperirea nevoilor lor temporare.Intermediarii specializati care opereaza pe piata primara pot fi: societatile de valorimobiliare, bancile comerciale autorizate.


Piata secundara (sau piata bursiera, dupa unii specialisti, care le identifica). Este o piatautilizata pentru pentru tranzactionarea instrumentelor financiare "la mâna a doua". Laemiterea lor, instrumente de tipul actiunilor, obligatiunilor si al certificatelor de depozitsunt vândute pe piata primara. În mare parte, atractia pe care acestea o exercita asuprainvestitorilor rezida în lichiditatea asigurata de pietele secundare, pe care instrumentelefinanciare cumparate pot fi vândute apoi din nou. Odata ce valorile mobiliare au fostemise si se afla în posesia investitorilor, acestia s-ar putea sa nu doreasca sa le mai detinapentru toata durata lor de viata (care este uneori foarte lunga în cazul unor obligatiuni saunedefinita pentru actiunile obisnuite), din diverse motive. Ca urmare, dupa un timp mailung sau mai scurt de la achizitionare, investitorii s-ar putea sa doreasca sa transformeîn bani valorile mobiliare pe care le detin sau sa doreasca sa le schimbe cu alte valorimobiliare. Pentru ca acest lucru sa se poata realiza la cel mai bun pret, atât pentrudetinatorul valorii mobiliare, cât si pentru viitorul cumparator, a fost necesara organizareaunei piete specializate în acest tip de comert. Ca urmare, pietele organizate în scopulasigurarii revânzarii valorilor mobiliare ce au fost deja puse în circulatie prin intermediulpietei primare, s-au numit piete secundare. O piata secundara asigura concentrarea cererii siofertei de valori mobiliare deja emise. Cu timpul, pietele secundare s-au transformat într-unbarometru al interesului publicului investitor pentru valorile mobiliare (în special actiunile)emise de o companie, un grup de companii, un sector industrial sau pentru alte titluri devaloare. Spre deosebire de piata primara, care canalizeaza capitalurile spre emitentii devalori mobiliare, piata secundara intermediaza doar un schimb de bani, respectiv de valorimobiliare, între cei care doresc sa detina, respectiv sa vânda, valorile mobiliare.Tipuri de piete secundare:• burse de valori (engl. stock exchanges), sunt burse unde se negociaza titluri;• piete inter-dealeri (Over-The-Counter). Acestea sunt piete deschise (cunoscute si

sub numele de "piete la ghiseu"), pe care se tranzactioneaza titlurile de valoarenecotate la bursa oficiala. Pietele OTC permit companiilor mici - care nu-si potpermite cheltuielile impuse de listarea la o bursa majora - sa obtina un pret de piatapentru actiunile emise. De asemenea, constituie o modalitate prin care fondatoriiunei companii îsi pot compensa o parte din investitia efectuata. Tranzactiile OTC auloc, în general, prin reteaua de Internet sau prin telefon.

Tipuri de piete financiare, depinzând de ceea ce vrei sa cumperi sau vinde:• piata titlurilor de valoare (stock market pentru actiuni si bond market pentru obliga-

tiuni);• piata derivatelor financiare (derivatives market), unde sunt tranzactionate contracte

futures, optiuni, swaps;• piata de marfuri (commodity market) - metale pretioase, carbuni, produse alimentare

(suc, ulei etc);• piata cu venit garantat fix (fixed-income market), unde sunt tranzactionate obligatiuni.• piata asigurarilor (insurance market)• piata schimburilor valutare (foreign exchange market sau FOREX)

Piata titlurilor de valoare a aparut din mici întâlniri între persoane ce doreau sa vândasau sa cumpere stocurile lor. Un potential cumparator merge la broker si plaseaza o cererede cumparare pentru o valoare mobiliara. Brokerul va cauta pe piata de schimb pe cinevacare doreste sa vânda respectivul activ, iar tranzactia are loc daca cei doi se inteleg lapret. Dupa ce un investitor a cumparat activul, primeste un certificat de proprietate, pe

13

care-l poate revinde/pastra, sau chiar lasa brokerului pentru a-l tine în numele sau. Pietede stocuri: New York (NYSE), Chicago, Boston, London, Tokio. În Romania: Bucuresti(Bucharest Stock Exchange), Sibiu (Bursa Monetar financiara si de marfuri), Iasi (BursaMoldovei Iasi).

Piata derivatelor financiare (sau a titlurilor de valoare derivate, eng. financial derivatives).Aceasta piata este o componenta aparte a pietei financiare. Piata derivatelor financiareeste relativ nou sosita în scena si dezvoltarea ei s-a realizat mai ales pe parcursul ultimilor40 ani, desi tranzactii cu derivate (contracte la termen - futures sau forwards - încheiatemai ales asupra marfurilor) s-au înregistrat în mod constant începând cel putin cu sfârsitulsecolului al XVIII-lea. Aceasta piata confera posibilitatea unui investitor de a-si acopeririscul în afaceri (hedging) sau pentru speculatii financiare. Cumparatorul poate obtineprotectie asupra unei cresteri viitoare de preturi, iar vânzatorul se poate proteja în vedereaunei posibile scaderi ale preturilor.

Derivatele financiare pot fi definite ca fiind valori mobiliare (sau titluri de valoare)ale caror pret este dependent de pretul activului de baza (numit si activ suport − eng.,underlying asset). Exemple de active suport: o actiune (asset), o obligatiune (bond), unindice bursier (de regula pentru actiuni), o valuta, un contract futures, vremea. Mai trebuiesa precizam ca derivatele financiare, si aici ne referim exclusiv la contractele futures si lacontractele cu optiuni, permit încheierea de tranzactii la termen asupra activului suport. Cualte cuvinte, la achizitionarea sau vânzarea contractului futures sau a celui de tip optiunese stabileste atât pretul cu care activul suport va fi cumparat sau vândut, cantitatea de activsuport ce urmeaza a fi cumparata sau vânduta, cât si data la care tranzactia urmeaza sa seîncheie efectiv, adica data la care activul suport va fi livrat si banii vor fi platiti (cu altecuvinte tranzactia va fi lichidata). Derivatele financiare sunt oferite pe piete organizate detipul burselor sau a pietelor OTC, si ca urmare ele sunt standardizate din punctul de vedereal cantitatii tranzactionate si al scadentei.

Exemplu de instrument financiar derivat

Vreti sa cumparati o masina noua cât mai curând, caci ati auzit zvonuri cum ca pre-turile ar creste în curând. În salonul de prezentare al furnizorului, va decideti asupraspecificatiei exacte a autoturismului (culoare, motor, marime etc) si, ceea ce este maiimportant, stabiliti pretul. Nu aveti totusi banii necesari cumpararii masinii, dar va gânditica ati putea împrumuta de la banca, însa acest proces ia ceva timp. Furnizorul va spune ca,daca dati comanda astazi si constituiti un depozit, puteti prelua masina în trei luni. Dacaîn acest interval de trei luni, furnizorul acorda un discount de 10 procente pentru toatemasinile noi, sau daca pretul modelului creste, acestea nu mai conteaza pentru tine. Pretulpe care îl platiti la livrare a fost convenit si fixat între dvs. si furnizor. Tocmai ati intratîntr-un contract la termen (forward) si aveti obligatia de a cumpara automobilul în trei lunide zile, la pretul convenit.

Piata asigurarilor faciliteaza redistribuirea riscului financiar. Exemple de astfel de piete:asigurari de locuinte, asigurari auto, asigurari de credite, de sanatate, de viata sau de somajetc.

Piata schimburilor valutare este una descentralizata si disponibila în toata lumea, cese preocupa de comercializarea valutelor. Aceasta piata determina valorile relative alediverselor valute. Dintre participanti mentionam: bancile, companiile private, firme de


investitii, companiile de transfer de moneda (e.g., Western Union) si altii.

Daca preturile scad, ati pierdut o parte din bani, dar daca vor creste, atunci sunteti încâstig. Pentru a fi în profit, ar trebui sa nimeriti atât pretul corect, cât si momentulscadentei.

Piete bull si bear: sunt termeni ce descriu anumite tendinte de piata. O piata bull eo perioada în care preturile de stoc în general cresc, iar într-o piata bear preturile scad.Fiecare dintre aceste tendinte sunt alimentate de perceptia investitorilor asupra directieipietei sau a economiei. Daca investitorii se simt a fi într-o piata bull, atunci simt nevoiade a investi, pentru ca apoi sa vânda activele la preturi mari. "Taurii" cumpara azi actiuni,sperând sa le poata vinde ulterior la un pret mai mare. Cei care pierd în urma unor astfelde previziuni sunt numiti "tauri rasuflati". "Ursul" vinde diverse valori mobiliare, sperândsa le poata cumpara ulterior la un pret mai mic. Piata sub semnul "ursului" e o piata înscadere de preturi. Aceste tendinte ale pietei se pot însa schimba rapid.

Institutiile pietei financiare

Institutiile care participa la crearea si schimbul de active financiare sunt: brokerii (agentiide schimb), dealerii, bancherii de investitii, intermediarii financiari.

Brokerul (agent de schimb) este o persoana fizica sau o firma care tranzactioneazainstrumente financiare în numele altora. Brokerul este un agent care lucreaza pentruinvestitori si pentru institutiile financiare, serviciile fiindu-i rasplatite sub forma unuicomision stabilit în functie de valoarea tranzactiilor efectuate. Aceasta modalitate de platacreeaza conditii pentru aparitia asa-numitei practici de churn (practica de a tranzactionaexcesiv actiunile unui client <termenul se poate traduce prin "a bate untul">, astfel încâtbrokerul sa obtina un venit mai mare din comision). În multe tari aceasta practica esteilegala.

Dealerul, ca si brokerul, faciliteaza tranzactiile de active între vânzatori si cumparatori,însa acestia se pot implica ei însisi în tranzactie, adica pot sa-si faca un stoc de active pecare le pot tranzactiona. Spre deosebire de broker, acesta nu ia comisioane din vânzari.Acestia fac profit din cumpararea de active ieftine si vânzarea lor mai scump (e.g., cardealers). Dealerii sunt supusi la un risc mai mare decât brokerii, datorat fluctuatiilor de pret.

Factori care influenteaza piata financiara

• actiunile investitorilor (institutii, persoane fizice) pot afecta preturile activelor. Deexemplu, daca mai multe persoane vor sa cumpere acelasi produs, atunci pretulprodusului poate creste, exact ca atunci când ar licita;

• conditiile de afaceri (volumul de vânzari, perioada din an, cantitatea de profituri);• actiunile guvernamentale (dobânzi, taxe, politica);• indicii economici. Investitorii urmaresc îndeaproape indicii economici pentru a

prezice viitorul unor active. (e.g. GNP (gross national product), rata inflatiei, cât derepede se schimba preturile, deficitul bugetar (cât de mult cheltuie guvernul), ratasomajului etc);

• evenimentele interne si internationale (razboaie, dezastre naturale, schimbari pe planvalutar etc).

15

Piete financiare majore în lume

Statele Unite ale Americii: New York Stock Exchange (NYSE) (tranzactioneaza sto-curi, obligatiuni, futures, optiuni), AMEX (American Stock Exchange), CBOT (ChicagoBoard Of Trade) (futures), IMM (International Monetary Market) (futures în monedastraina), CBOE (Chicago Board Options Exchange) (optiuni), NASDAQ (National Associ-ations of Securities Dealers Automated Quotations) (OTC stocuri si obligatiuni).Marea Britanie: LSE (London Stock Exchange) Canada: Toronto Stock ExchangeFranta: Paris Boursealtele: Japonia, Germania, Australia, Singapore, Hong Kong etc.

Principalele preocupari ale matematicilor financiare (relativ la investitii banesti), pecare le vom studia în cele ce urmeaza, sunt:

• cotarea derivatelor financiare;• strategii de hedging pentru derivate financiare;• managementul riscului pentru portofolii;• optimizarea portofoliilor;

2. Dobânda

. [Compounding interest teaches you patience

. and gives you a good night sleep.]

Dobânda are radacinile în Evul Mediu, când termenul de dobânda a înlocuit pe cel decamata (o dobânda exorbitanta). Ea este justificata prin existenta unui risc privind rambur-sarea împrumuturilor sau cu privire la încheierea operatiunilor financiare.Dobânda (eng., interest; fr. intérêt) este astfel o remuneratie pentru un împrumut banesc,este plata de care beneficiaza creditorul (eng., lender) pentru o suma de bani împrumutatadebitorului (eng., borrower). Daca o persoana A împrumuta o suma de bani unei persoaneB, atunci A va fi privat de a folosi suma respectiva pe perioada împrumutului (în investitii,pentru consum propriu), ceea ce atrage în mod firesc o remuneratie pentru acest serviciu.Spre exemplu, daca ai împrumutat 100 RON si promiti sa returnezi 105 RON dupa un an,atunci diferenta de 5 RON este taxa pentru împrumut, numita dobânda. Din perspectivacreditorului, suma de 5 RON este câstigul obtinut din investirea sumei de 100 RON. Astfelspus, suma investita de creditor îsi schimba valoarea în timp, de aceea dobânda se mainumeste si valoarea în timp a banilor.Exista multe polemici în ceea ce priveste formarea, rolul si determinarea dobânzilor unitare(procentul întâlnit în calculul financiar), ceea ce denota faptul ca stabilirea dobânzilor nu eun lucru tocmai usor.Factorii care influenteaza dobânda sunt: factori politici, riscul, inflatia etc.

2.1 Dobânda simplaDobânda simpla (eng., simple interest) este dobânda care se calculeaza asupra aceleasisume, S0, pe toata perioada împrumutului. Vom mai spune ca suma S0 a fost plasata înregim de dobânda simpla. De regula, dobânda simpla este folosita pentru investitii petermen scurt, sub un an.

18 Capitolul 2. Dobânda

În practica, se stabileste mai întâi dobânda care urmeaza sa se plateasca pentru sumade 100 de lei (unitati monetare) plasata pe timp de 1 an, care poarta numele de procent.Dobânda calculata la unitatea monetara (i.e. pentru 1 leu) se numeste dobânda unitara sieste r = p

100 .Sa notam cu: S0 − suma depusa (sau împrumutata), care mai este numita si principal;

St − suma acumulata la momentul t > 0;t − timpul, exprimat în ani;r − rata dobânzii unitare (dobânda pentru 1 leu) - eng., risk-free rate;p− procentul (r×100%);

Dt − dobânda simpla acumulata la momentul t.Atunci, dobânda pentru 1 leu pe o perioada de t ani este rt = pt

100 . Daca în loc de 1 leuconsideram suma S0, atunci Dt este

Dt = S0rt = S0p

100t (formula dobânzii simple).

Suma finala acumulata la momentul t ≥ 0 în regim de dobânda simpla, cu rata unitaraanuala r este

St = S0(1+ rt). (2.1.1)

În termeni financiari, factorul cu care se înmulteste principalul, adica f (t) = 1+ rt, senumeste factor de fructificare (sau factor de acumulare) bazat pe un proces de dobândasimpla. Rasturnatul sau, ϕ(t) = 1

1+rt , se numeste factor de actualizare (eng., discountfactor).Exemplu 2.1 (1) Un cont bancar ofera dobânda simpla, cu rata dobânzii de 5% p.a.Plecând de la un principal de 200 RON, suma acumulata dupa 2 ani este

S2 = 200(1+0.05 ·2) RON= 220 RON.

Astfel, dobânda acumulata este de 20 RON.(2) Valoarea prezenta a unei valori nominale de 250 RON cu maturitatea T = 3 ani, încazul în care dobânda se calculeaza simplu, cu rata unitara anuala de 15%, este

S0 = 2501

1+0.15 ·3RON= 172.41 RON.

Astfel, avem un discount de 77.59 RON.

Presupunem ca principalul nu este investit pentru un an întreg, ci pentru fractiuni din an.Fie m un numar de diviziuni (parti) egale ale anului (m = 1 înseamna 1 an, m = 2 înseamnadoua semestre, m = 4 înseamna 4 trimestre etc).Atunci dobânda pentru suma S0 pentru un plasament de tm (din m) diviziuni ale anului vafi:

Dt = S0rtmm.

În particular, putem determina suma acumulata dupa fractiuni dintr-un an (semestre, luni,zile etc).

2.2 Dobânda compusa 19

Exemplu 2.2 Dobânda pentru un principal S0 = 1000, plasat simplu cu rata anuala unitarar = 0.04, pentru 120 de zile (în cazul în care anul are 366 de zile) este

D 120366

= 1000 ·0.04 · 120366≈ 13.11.

Consideram acum cazul în care dobânda pentru principalul S0 nu se face cu aceeasi ratape toata perioada (0, t) (floating interest rates). Presupunem ca t = t1 + t2 + . . .+ tn, iarîn perioada de lungime tk rata unitara anuala este rk, k = 1, 2, . . . , n (vezi diagrama dinFigura 2.1).

Figura 2.1: Diagrama pentru dobânda simpla generala.

Atunci dobânda Dt acumulata pe toata perioada (0, t) va fi suma tuturor dobânzilor obtinutepentru fiecare subperioada tk, i.e.,

Dt =n

∑k=1

Dtk = S0

n

∑k=1

rktk.

Astfel, suma finala acumulata va fi:

St = S0

(1+

n

∑k=1

rktk

). (2.1.2)

Definitia 2.1.1 Vom spune ca doua operatiuni sunt echivalente în regim de dobânda simplaîn raport cu dobânda daca genereaza aceeasi dobânda. (Vom mai spune, de asemenea, caoperatiunile sunt substituibile.)

2.2 Dobânda compusaSpunem ca plasarea sumei S0 s-a efectuat în regim de dobânda compusa (eng., compoundinterest) daca principalul pentru care este calculata dobânda se modifica periodic pedurata de timp, între doua modificari consecutive i se aplica o dobânda simpla, iar înperioada urmatoare modalitatea de calcul a dobânzii tine cont si de dobânzile anterioare(i.e. dobânda acumulata în fiecare perioada se aduna la principal).

Presupunem ca momentul final este t =n

∑k=1

tk, iar în perioada de lungime tk se aplica

dobânda unitara rk (k = 1, 2, . . . , n).La sfârsitul perioadei tk avem:

Stk = Stk−1 +Dtk ,

unde Dtk = Stk−1rktk, k = 1, 2, . . . , n si St0 = S0, Dt0 = 0.Aici Dtk este dobânda simpla corespunzatoare plasarii în regim de dobânda simpla a sumeiStk−1 pe intervalul de lungime tk.


Propozitia 2.2.1 În aceste conditii avem:

St = S0

n

∏k=1

(1+ rktk). (2.2.3)

Demonstratie. (se arata prin inductie matematica completa dupa k)

(k = 1) St1 = S0 +Dt1 = S0(1+ r1t1);(k = 2) St2 = St1 +Dt2 = St1 +St1r2t2 = St1(1+ r2t2) = S0(1+ r1t1)(1+ r2t2);

etc. . . . . . . . . .

Factorul f (t) =n

∏k=1

(1+ rktk) se numeste factor de fructificare (sau factor de acumulare)

în cazul unei dobânzi compuse. Dobânda compusa acumulata pe toata perioada (0, t) este

Dt = S0

[n

∏k=1

(1+ rktk)−1

].

Cazuri particulare(I) tk = 1 (un an) si rk = r, (∀) k, atunci suma acumulata dupa n ani va fi

St = S0(1+ r)n.

(II) t = n+ tmm (n ani si o fractiune dintr-un an, i.e., tk = 1, (∀) k = 1, 2, . . . , n si tk+1 =

tmm ),

atunci

St = S0

n

∏k=1

(1+ rk)(

1+ rk+1tmm

).

(III) Daca, în plus fata de (ii), rk = r, (∀) k, atunci

St = S0(1+ r)n(

1+ rtmm

).

În cazul în care St este dat de (iii), atunci, tinând cont ca în general r 1, putemaproxima (

1+ rtmm

)' (1+ r)

tmm ,

deciSt = S0(1+ r)n+ tm

m = S0(1+ r)t .

Asadar, suma finala rezultata în urma unui plasament al sumei S0 în regim de dobândacompusa anual, cu rata unitara anuala r este, pe o perioada de t ani, poate fi calculatafolosind urmatoarea formula (numita si formula practica de calcul în cazul dobânziicompuse):

2.2 Dobânda compusa 21

St = S0(1+ r)t . (2.2.4)

La fel ca mai sus, factorul f (t) = (1+ r)t se numeste factor de fructificare (sau factor deacumulare) în cazul unei dobânzi compuse. Rasturnatul sau, ϕ(t) = (1+ r)−t se numestefactor de actualizare (eng., factor de discount).Exemplu 2.3 (1) Un cont bancar ofera dobânda compusa anual, cu rata dobânzii de 8%.Plecând de la un principal de 200 RON, suma acumulata dupa 2 ani si 6 luni (i.e., t = 2.5)este

S2.5 = 200(1+0.08)2.5 RON= 242.43 RON.

Astfel, dobânda acumulata este de 42.43 RON.(2) Valoarea prezenta a unei valori nominale de 250 RON cu maturitatea T = 3 ani, încazul în care dobânda se calculeaza compus anual, cu rata unitara anuala de 15%, este

S0 = 2501

(1+0.15)3 RON= 164.38 RON.

Astfel, avem un discount de 85.62 RON.

Propozitia 2.2.2 Suma finala dupa n ani, rezultata în urma unui plasament al sumei S0 înregim de dobânda compusa de m ori pe an, cu rata unitara anuala r este

Sn = S0

(1+

rm

)mn.

Demonstratie. În perioada (0, t) avem m · n subperioade de lungime 1m , pentru care se

cumuleaza dobânda. Folosim formula (2.2.3) cu rk = r, tk = 1m , ∀k. Obtinem:

Sn = S0

mn

∏k=1

(1+ r · 1

m

)= S0

(1+

rm

)mn.

Observatia 2.1 Folosind acelasi procedeu ca la (iii), putem determina o valoare practica(desi aproximativa) pentru suma finala acumulata pâna la momentul t (nu neaparat întreg),rezultata în urma unui plasament al sumei S0 în regim de dobânda compusa de m ori pe an,cu rata unitara anuala r. Aceasta este

St = S0

(1+

rm

)mt. (2.2.5)

Daca în perioada (0, t) compunerea se face o singura data pe an, atunci m = 1 si regasimformula (2.2.4).


Exercitiu 2.2.1 Care este suma acumulata dupa 18 luni de pe urma plasarii principalului10000, în regim de dobânda compusa trimestrial, cu rata anuala unitara de 4%?

S3/2 = 10000(

1+0.04

4

)6

= 10615.

Observatia 2.2 (a) De regula, daca t nu e numar întreg, atunci utilizam formula St =S0(1+ r)t pentru calculul valorii finale în regim de dobânda compusa.(b) Folosind inegalitatea (Bernoulli) (1+ x)r ≤ 1+ rx, ∀0≤ r ≤ 1, x≥−1, deducem ca

(1+ r)tmm ≤ 1+ r

tmm, (0≤ tm ≤ m),

Astfel, s-ar putea spune ca solutia rationala (i.e., St = S0(1+ r)n(

1+ rtmm

)) convine celui

care încaseaza dobânda, în timp ce solutia practica convine celui care plateste dobânda.(c) Egalitatea între formula rationala si cea practica are loc daca t ∈ Z.(d) Diferenta dintre folosirea dobânzii simple si cele compuse pe perioade fractionare(t ∈ Z) este mica (i.e., (1+ r)t ' 1+ rt).

2.3 Dobânda compusa continuuSe spune ca Jacob Bernoulli a descoperit constanta e în timp ce studia o problema legatade dobânzi. El a realizat ca, daca investim un principal S0 = 1 pe o perioada de 1 an curata anuala unitara r = 1 (dobânda de 100%), atunci suma finala la t = 1 va fi S1 = 2. Dacase plateste dobânda compusa semestrial, cu aceeasi rata anuala unitara, vom avea la finalS1 = 1 ·

(1+ 1

2

)2= 2.25. Daca dobânda este platita trimestrial, atunci S1 = 1 ·

(1+ 1

4

)4=

2.4414. Si asa mai departe, daca dobânda se compune de n ori într-un an, vom avea:

S1 = 1 ·(

1+1n

)n

.

Când n→ ∞, aceasta suma acumulata la t = 1 va tinde la e = 2.7182818284 . . ..Într-un caz mai general, daca principalul este S0, atunci suma acumulata la momentul t înregim de dobânda compusa este

St = S0

n

∏k=1

(1+ rktk).

Presupunem ca rk = r, tk = tn , (∀) k, atunci

St = S0

(1+ r

tn

)n.

Daca dobânda se calculeaza foarte des în perioada de t ani (aproape în fiecare moment),atunci, trecând la limita în relatia anterioara când n→ ∞, obtinem

St = S0ert . (2.3.6)

2.4 Procent nominal, procent efectiv 23

2.4 Procent nominal, procent efectivPresupunem ca avem urmatoarele doua operatiuni bancare:(O1) Plasamentul sumei S0 pe 1 an cu dobânda unitara re. La sfârsitul perioadei vom aveasuma:

S1 = S0(1+ re).

(O2) Presupunem ca anul este fractionat în m parti egale si r(m) este o dobânda unitaracorespunzatoare fractionarii. Valoarea finala în regim de dobânda compusa va fi

S1 = S0

(1+

r(m)

m

)m.

Definitia 2.4.1 Spunem ca operatiunile (O1) si (O2) sunt echivalente daca ele genereazaaceeasi dobânda, adica,

S0(1+ re) = S0

(1+

r(m)

m

)m(m ∈ N∗).

De aici, rezulta ca

re =(

1+r(m)

m

)m−1,

saur(m) = m

[(1+ re)

1/m−1].

Numim re − rata anuala efectiva (100re este procentul anual efectiv sau real) si r(m) esterata anuala nominala m-convertibila (100r(m) este procentul anual nominal).Rata anuala efectiva (notat aici prin re sau RAE sau rRAE) (eng., Annual Equivalent Rate(AER)) este rata anuala care genereaza aceeasi dobânda la sfârsitul anului ca si o rata anualanominala. Aceata rata este utila atunci când se doreste compararea unor rate nominale.De remarcat faptul ca, în practica, se declara rata nominala anuala r(m) în loc de

r(m)

m ,aceasta din urma fiind rata dobânzii corespunzatoare perioadei de lungime 1/m dintr-un an.Vom folosi termenii de rata efectiva sau procent efectiv atunci când dobânda este platita osingura data pentru perioada de timp considerata, pe când ratele sau procentele nominalesunt folosite atunci când dobânda se calculeaza de mai multe ori pentru perioada de timpconsiderata.Se numeste dobânda unitara instantanee numarul

r∞ = limm→∞

r(m) (< re).

Exercitiu 2.4.1 Banca A ofera un credit cu o dobânda de 6% compusa semestrial, iarbanca B ofera un credit cu o dobânda de 5.8%, compusa zilnic. Care dintre cele douaoferte este mai profitabila?Retele anuale efective sunt:

rA =

(1+

0.062

)2

−1 = 0.0609 > 0.0597 = rB =

(1+

0.058365

)365

−1.

Asadar, creditul oferit de banca B este mai avantajos (aveti de platit o dobânda mai mica).


Plasament cu dobânda simpla sau cu dobânda compusa?

Principalul S0 este plasat cu dobânda fixa r pâna la momentul t. În functie de tipul decalcul al dobânzii, vom avea:

Dt =

S0rt , în regim de DSS0[(1+ r)t−1] , în regim de DC.

Din figura (2.2) observam ca:(a) pentru 0 < t < 1 an, atunci dobânda simpla este mai avantajoasa.(b) pentru t = 1 an, atunci DS

t = DCt . Astfel, pentru t = 1, nu conteaza modalitatea de

calcul a dobânzii.(c) pentru t > 1 an, atunci dobânda compusa este mai avantajoasa.

Figura 2.2: Dobânda simpla vs. dobânda compusa.

2.5 AnuitatiSe numeste anuitate o serie de plati egale care sunt efectuate la momente de tip echidistante(e.g., lunar, trimestrial, anual) de-a lungul unei perioade finite de timp. În functie de mo-mentul în care platile sunt efectuate, putem vorbi desprei anuitati anticipate (eng., ordinaryannuity, immediate annuity) (plata la finalul fiecarei perioade) sau de anuitati posticipate(eng., annuity due) (plata la începutul fiecarei perioade). Daca plata se efectueaza de-alungul unei perioade nelimitate de timp, se va numi perpetuitate.

Figura 2.3: Diagrama de plata pentru o anuitate ordinara.

Fie R valoarea nominala (fixa) a platii ce trebuie efectuata la intervale egale de timp, r ratadobânzii unitare corespunzatoare perioadei si n numarul de perioade. Daca platile fixe se

2.5 Anuitati 25

fac la finalul fiecarei perioade (vezi Figura 2.3), atunci suma finala de pe urma unei astfelde investitii (valoarea finala a unuei anuitati ordinare) este

FV on = R+R(1+ r)+ . . .+R(1+ r)n−1 = R

(1+ r)n−1r

.

Valoarea la momentul t = 0 a acestei investitii (valoarea initiala a unuei anuitati ordinare)este

PV on = FV o

n1

(1+ r)n .

Astfel, valoarea initiala si, respectiv, valoarea finala ale unei anuitati ordinare sunt

PV on =

Rr

[1− 1

(1+ r)n

], FV o

n = R(1+ r)n−1

r(2.5.7)

Figura 2.4: Diagrama de plata pentru o anuitate posticipata.

Daca platile fixe se fac la începutul fiecarei perioade (vezi Figura 2.4), atunci suma finalade pe urma unei astfel de investitii (valoarea finala a unuei anuitati posticipate) este

FV dn = R(1+ r)+R(1+ r)2 + . . .+R(1+ r)n = R(1+ r)

(1+ r)n−1r

.

Valoarea la momentul t = 0 a acestei investitii (valoarea initiala a unuei anuitati posticipate)este

PV dn = FV d

n1

(1+ r)n .

Astfel, valoarea initiala si valoarea finala ale unei anuitati posticipate sunt

PV dn =

Rr

[1− 1

(1+ r)n

](1+ r), FV d

n = R(1+ r)n−1

r(1+ r) (2.5.8)

Daca în formulele (2.5.7) si (2.5.8) facem pe n sa tinda la infinit (perpetuitate), atuncivom avea:

PV o∞ =

Rr, PV d

∞ =Rr(1+ r). (2.5.9)


2.6 Probleme rezolvateExercitiu 2.6.1 Ce suma se va acumula la maturitatea unui depozit bancar pe 10 ani, careofera dobânda de 10% p.a., daca în fiecare an depozitam suma de 100 RON

(a) la finalul fiecarui an;(b) la începutul fiecarui an;(c) la finalul fiecarei luni.R:

(a) FV o10 = 100

1.0510−10.05

≈ 1257.79.

(b) FV d10 = 100

1.0510−10.05

1.05≈ 1320.7.

(c) FV o120 = 100

(1+ 0.05

12

)120−10.0512

≈ 15528.23.

Exercitiu 2.6.2 Tocmai ai câstigat la o loterie suma de 100000 RON pe an, pentru urmatorii20 de ani. Vei deveni milionar? (r = 0.1). Dar daca suma s-ar plati pentru urmatorii 50 deani? Dar pentru totdeauna?R: Valoarea prezenta a câstigului pe 20 de ani este

PV o20 =

105

0.1

[1− 1

(1+0.1)20

]≈ 851356. (nu înca milionar)

Valoarea prezenta a câstigului pe 50 de ani este

PV o50 =

105

0.1

[1− 1

(1+0.1)50

]≈ 991481. (nu înca milionar)

Pentru perpetuitate, valoarea câstigului este

PV o∞ =

105

0.1= 1000000.

Exercitiu 2.6.3 Ce suma ar trebui sa depozitezi la finalul fiecarei trimestru pentru aacumula suma de 10000 RON dupa exact 2 ani si 3 luni? Rata anuala efectiva este de4.06%.R: Rata anuala efectiva este re = 0.0406, de unde gasim ca rata dobânzii corespunzatoareunei perioade de 3 luni (un trimestru) este

r = (1+ re)1/m−1 = (1.0406)1/4−1≈ 0.01.

În 2 ani si 3 luni avem 9 trimestre.

FV o9 = R

(1+ r)9−1r

= 10000 =⇒ R≈ 1067.4

2.6 Probleme rezolvate 27

Exercitiu 2.6.4 Cu ce procent nominal compus semestrial ar trebui plasata o suma de banipentru a acumula în doi ani suma finala corespunzatoare plasamentului aceleasi sume cuprocentul de 40% compus trimestrial?R: Din relatia S0

(1+ r

2

)4= S0

(1+ 0.4

4

)8, gasim ca 1+ r

2 = 1.12, de unde r = 0.42, decip = 42%.Exercitiu 2.6.5 Pe 1 Martie 2012, Ionel a depus suma de 5000 RON într-un cont bancar ceofera dobânda simpla de 10% p.a.. Ce suma s-a acumulat pâna pe 31 Decembrie 2012?Câti ani va trebui sa astepte pâna i se va dubla suma depusa? (Presupunem ca Ionel nu amai efectuat alte tranzactii bancare legate de acel cont).R: Suma acumulata pâna la 31 Decembrie 2012 (10 luni, dobânda simpla) este

S10/12 = 5000 ·(

1+0.1 · 1012

)= 5416.7.

Ca sa i se dubleze suma depusa, va trebui sa determinam t din relatia

10000 = 5000 · (1+0.1 · t) ,

de unde t = 10 ani.Exercitiu 2.6.6 În ultima zi a fiecarui an dintre 2007 si 2012 (inclusiv), Maria a depozitatîntr-un cont suma de 1000 RON. Stiind ca dobânda oferita de acest cont este de 8% pe an,compusa semestrial, si ca nu au mai fost efectuate alte tranzactii, sa se determine suma pecare a gasit-o Maria în cont pe 1 Ianuarie 2013.

Figura 2.5: Esalonarea platilor Mariei.

R: Metoda 1: În perioada mentionata, Maria a facut 6 depuneri, fiecare în valoarenominala de R = 1000RON. Rata anuala efectiva este

re =

(1+

0.082

)2

−1 = 0.08160.

Suma finala este

FV o6 = R

(1+ re)6−1

re= 7365.6 RON.

Metoda 2: Suma finala este

S = 1000+1000 ·(

1+0.08

2

)2

+1000 ·(

1+0.08

2

)4

+ . . .+1000 ·(

1+0.08

2

)10

= 1000 · 1.0412−11.042−1

= 7365.6.


2.7 Probleme propuseExercitiu 2.7.1 Plasati suma de 1000 RON într-un cont bancar ce ofera dobânda simpla curata de 5% p.a.(a) Care este suma acumulata dupa 2 ani?Presupunem ca ati lasat suma de 1000 RON în contul bancar doar un an. Suma acumulatadupa un an este extrasa din cont si investita într-un alt cont bancar ce ofera o rata a dobânziiunitare de 5% p.a. Extrageti suma acumulata în a doua banca dupa un an.(b) Care este suma obtinuta? Explicati diferenta.Exercitiu 2.7.2 O banca ofera un cont de depozit cu o rata nominala a dobânzii de 3.3%p.a., compusa trimestrial. Calculati rata anuala efectiva a dobânzii. În câti ani o sumadepozitata în acest cont se va dubla?Exercitiu 2.7.3 Banca A ofera împrumuturi cu o rata nominala a dobânzii de 5%, compusasemestrial, dar utilizeaza dobânda simpla pentru perioade fractionare în ani. Banca B oferaîmprumuturi cu o rata nominala a dobânzii de 5%, compusa anual. Dorim sa investimsuma de 2000 RON.(i) Calculati suma finala dupa 3 trei ani si doua luni pentru depozite în fiecare dintre celedoua banci.(ii) Calculati suma finala dupa 3 trei ani si doua luni si 10 zile pentru depozit în fiecaredintre cele doua banci.Exercitiu 2.7.4 Cu ce rata nominala compusa lunar vom obtine aceeasi suma finala dupa1 an echivalenta cu compunerea de 8% trimestrial?Exercitiu 2.7.5 Calculati suma finala dupa 11 ani pentru un principal de 500 RON plasat înregim de dobânda compusa cu rata de 6%, compusa semestrial pentru primii 5 ani, si înregim de dobânda compusa cu rata de 8%, compusa trimestrial pentru ultimii 6 ani.Exercitiu 2.7.6 Suma acumulata dupa 17 ani într-un cont bancar, plecând de la un principalde 1000RON, este de 5054.47RON. Determinati rata dobânzii unitare anuale în cazul în caredobânda oferita este compusa(i) anual;(ii) semestrial.Exercitiu 2.7.7 De câte zile este nevoie pentru ca principalul de $1450 sa se cumuleze la$1500 în regim de dobânda simpla cu rata de 4% p.a.?Exercitiu 2.7.8 O banca ofera un cont de economii cu dobânda de 3% compusa lunar. Unclient doreste sa depoziteze în acest cont o suma fixa, la începutul fiecarei luni, astfel încâtdupa 3 ani sa acumuleze suma de 5000RON. Determinati aceasta suma lunara.Exercitiu 2.7.9 Pe 1 Ianuarie 2009, Andrei a deschis un cont bancar în care a depus2000RON. Dupa exact un an, el a scos din cont 500RON, iar pe 1 Iulie 2012 a depus în contsuma de 1500RON. Stiind ca pentru acel cont banca ofera o dobânda de 7.5%, compusasemestrial, si ca nu au mai fost efectuate alte operatiuni bancare legate de acel cont, sa sedetermine câti bani a gasit Andrei în cont pe 1 Ianuarie 2014.Exercitiu 2.7.10 Pentru un anumit cont bancar, o banca ofera dobânda de 6.4%, compusasemestrial.(i) Ce suma ar trebui depusa azi în acel cont, astfel încât suma fructificata dupa doi ani safie de 1000RON? Determinati RAE pentru acest cont.(ii) Aceeasi întrebare în cazul în care dobânda se calculeaza continuu.

3. Derivate financiare

. [Derivatives are financial weapons of mass destruction]

. - Warren Buffett 1

3.1 Terminologie

Un instrument financiar reprezinta un document fizic sau electronic care are valoaremonetara intrinseca ori înregistreaza o tranzactie financiara. Exemple: numerar (cash), ocambie (cec), un certificat de depozit, o obligatiune, o optiune, o actiune, carte de debitsau de credit etc.

Activul financiar (asset) este orice activ detinut (care e în posesie sau urmeaza a fi înposesie, prin drept) ce are o valoare de schimb. Exemple: o valoare mobiliara emisa de statsau de catre o unitate administrativ-teritoriala, o actiune, o obligatiune, cash, un portofoliude valori mobiliare, terenuri, imobile.

Activele financiare pot fi riscante (eng., risky assets) (e.g., actiuni, valuta), ale carorpreturi la un anumit timp în viitor sunt necunoscute astazi, sau lipsite de risc (eng., risk-freeassets) (sau sigure) (e.g. aur, depozite în banca, obligatiuni), ale caror preturi (valori)viitoare sunt deterministe. Ansamblul activelor financiare care apartin unei persoanese numeste portofoliu. Un portofoliu diversificat contine o gama larga de instrumentefinanciare, ca actiuni, depozite bancare, aur si obligatiuni guvernamentale.

Un instrument financiar derivat este un instrument financiar (un contract financiar sauo întelegere între doua sau mai multe parti) a carui valoare viitoare (la scadenta) estedeterminata de pretul (sau de preturile) unui activ de referinta (sau activ suport) (eng.,underlying asset).

1Warren Edward Buffett 1930−, investitor, om de afaceri si filantrop american

30 Capitolul 3. Derivate financiare

Exemple de active suport: valori mobiliare, actiuni, rate de schimb, titluri de creante,comoditati, rate ale dobânzilor, indici bursieri, valute, vremea etc.

Derivatele financiare au schimbat fata finantelor prin crearea de noi cai de întelegere,masurare si gestionare a riscului. Specialistii cred ca piata derivatelor o submineaza pe ceaa activelor originale. Acestea pot fi tranzactionate atât la bursa (eng., stock exchange), câtsi pe o piata OTC. Pe pietele OTC se tranzactioneaza volumul cel mai mare de derivatefinanciare. Pe aceste piete, derivatele sunt mai diversificate decât cele tranzationate labursa, fapt datorat flexibilitatii mai mari a componentelor derivatelor financiare. Dacatranzationarea lor se face la bursa, atunci ele sunt standardizate (se pot tranzationa doaranumite active, doar în cantitatile, cu preturile si la momentele precizate de bursa) siparticipantii la o astfel de investitie sunt verificati pentru a înlatura riscul generat deposibilitatea neonorarii unui contract. În schimb, daca acestea sunt tranzactionate pe opiata OTC, riscul de neonorare a contractului de catre unul dintre investitori nu mai estezero. Deoarece aceste derivate financiare sunt foarte versatile, exista si riscuri asociate cuutilizarea lor. Exista numeroase cazuri când brokerii care au sarcina de a acoperi risculinvestitiilor unor clienti se pot transforma în speculatori. În cazul în care speculatiile lor nuau succes, se pot întâmpla dezastre financiare. Vorba domnului Warren Buffett, derivatelefinanciare se pot transforma în arme financiare de distrugere în masa.

Derivatele financiare cele mai simple si mai utilizate se mai numesc si plain vanilla(valinie simpla), iar pe lânga acestea se mai întâlnesc si derivate exotice. La bursele devalori sunt inventate în fiecare zi noi tipuri de derivate financiare, care de fapt sunt bazatepe patru tipuri principale de derivate. Scopul acestor noi inventii este, în special, de a ofericlientilor o flexibilitate mai mare în investitii si pentru o mai buna gestiune a riscului înconditii incerte.

Derivatele financiare nu sunt gaselnite noi, dupa cum reiese din urmatoarea istorioara.Primele descrieri ale acestor instrumente financiare au aparut la Aristotel, care a redatpovestea lui Thales, un filozof sarac din Milet. El povesteste cum Thales a inventat unmecanism financiar care are la baza un principiu de aplicatie universala. Oamenii îl mustraupe Thales ca era sarac din cauza ca era filozof, filosofia fiind vazuta ca o ocupatie farafolos si care nu aducea nici un venit. Însa Thales avea sa le dovedeasca contrariul, aratândca întelepciunea poate aduce bani. Povestea zice ca Thales era foarte dibaci în a prezicecum va fi cultura de masline de anul ce va urma. Încrezator în previziunile sale, a facutîntelegeri cu cei ce detineau prese pentru ulei de masline de a le inchiria pentru toamnaurmatoare în ideea de a le putea utiliza, în mod exclusiv. Pentru ca detinatorii preselor nustiau cu siguranta ce an va urma si îsi doreau sa câstige ceva în caz ca nu va urma un anbun, au acceptat repede afacerea propusa de Thales, chiar pentru un pret mic.Povestea lui Aristotel se încheie exact asa cum banuiti, cu happy-end. Anul ce a urmat afost unul exceptional de bun pentru cultura de masline, iar cum numai Thales avea presede închiriat, le-a oferit pentru preturi mari si si-a facut o avere din asta. Astfel, Thales aaratat lumii ca filosofii pot face si bani daca vor, dar ambitia lor este totusi de o cu totulalta natura. Thales din Milet si-a exercitat primul contract cu optiuni cunoscut. Daca nu arfi fost o cultura asa cum prezicea, nu avea decât sa nu onoreze contractele si sa minimizezepierderile la suma de bani platita pentru optiuni. Optiunile (sau contractele cu optiuni) suntdoar un tip de derivate financiare.

Un alt exemplu de instrument financiar derivat: Ionel cumpara, de obicei, preparate dincarne de la un magazin local. Ionel are un prieten patron de supermarket care sustine ca

3.2 Arbitraj (free lunch) 31

preturile la marketul lui sunt cele mai joase pentru preparatele respective. Ba chiar e dispussa-i plateasca diferenta de pret daca gaseste aceleasi produse la un pret mai mic altundeva.Aceasta întelegere între cei doi prieteni este un instrument financiar derivat, în sensul cavaloarea ei depinde de pretul preparatelor în discutie.Bine-bine, ati putea spune ca acesta nu-i decât un pariu pe pretul preparatelor din carne.Asa si este, instrumentele financiare derivate pot fi gîndite ca fiind niste "pariuri" pe pretulaltor active. De fapt, notiunea de instrument financiar derivat poate fi vazuta ca pe un numecochet al jocului de noroc.Aceasta întelegere confera pentru Ionel asigurarea ca plateste cel mai mic pret pe produselerespective si, astfel, economiseste ceva bani. Si pentru prietenul sau întelegerea e benefica;îsi vinde marfa si, totodata, Ionel poate aduce noi clienti la supermarket, ceea ce înseamnaca-si va spori veniturile. Alte persoane (investitori) s-ar putea folosi de aceasta informatiesi ar putea specula preturile pietei.

Principalele instrumente financiare derivate sunt: contracte forward, contracte futu-res, optiuni si swaps.

Un contract forward este un acord încheiat astazi, care prevede achizitionarea sauvânzarea unei cantitati specificate de marfuri sau de moneda în viitor, la o data viitoare(scadenta sau maturitate) si pentru un pret (pretul de livrare) bine precizate.

Un contract futures este similar cu un contract forward, cu deosebirea ca primul estestandardizat si, la semnarea unui astfel de contract, se plateste o suma de bani (marja).Aceasta marja se plateste la brokerul bursier si este o garantie ca ambii participanti latranzatie îsi vor onora contractul semnat.

Printr-un contract cu optiune (sau, simplu, optiune) se întelege un contract ce conferaunei persoane (detinatorului) dreptul, dar nu si obligatia, de a vinde (put) (sau cumpara −call) o cantitate determinata dintr-o marfa (sau un activ monetar, financiar sau un contractfutures) catre un alt investitor (cel care scrie optiunea), la un pret convenit, denumit pret deexercitiu, într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul platii unei prime. Celce detine o optiune poate sa-si exercite dreptul pâna la scadenta contractului, sa abandonezeoptiunea pâna la scadenta, sau sa-si compenseze contractul. Tipuri de optiuni: call (decumparare) si put (de vânzare).

Un swap (credit încrucisat) este o tranzactie prin intermediul careia doua parti schimbaîntre ele active financiare, de regula, dobânzi si valute.

3.2 Arbitraj (free lunch)Arbitrajul este modalitatea de a realiza un profit fara a fi expus la risc, adica a scoate profitdin diferentele de preturi de pe piata financiara (e.g. a cumpara valuta sau comoditati de peo piata si a o vinde în aproape acelasi timp la un pret diferit pe o alta piata).

O gluma din care reiese bine ideea esentiala a arbitrajului: Un profesor de Finante sicopilul sau se plimbau pe o strada aglomerata. La un moment dat, copilul sau vede pe joso bancnota de £ 100. ‘’Uite, tata, o bancnota de 100 pe strada!’’ Când copilul se apleacasa o ridice, tatal îi spune: ‘‘E inutil sa te apleci. Nu exista nicio bancnota acolo, caci dacaar fi existat, ar fi ridicat-o altcineva înaintea ta.’’

Arbitrajul sta la baza teoriei de evaluare a activelor financiare (prin presupunerea lipseiarbitrajului de pe piata) (Asset Pricing Theory). Pentru a putea modela evaluarea preturilor


activelor financiare ne vom limita la piata financiara în echilibru, adica o piata pe care nuexista oportunitati de arbitraj. Modelele financiare mai complicate presupun si existentaarbitrajului pe piata financiara. Totusi, este foarte dificil de evaluat active financiare încadrul unei piete care nu e în echilibru. Arbitrajeorii vor cauta sa obtina cantitati nelimitatede câstiguri lipsite de risc, ceea ce implica o piata dezordonata, imposibil de modelatmatematic. Absenta arbitrajului de pe piata este un atuu minimal si suficient în modelareapietei financiare, care este si indeajuns de realistic. Oportunitati de arbitraj exista pe piatafinanciara, dar ele sunt exploatate imediat de arbitrajori si, astfel, dispar foarte repede, ca sicând nu ar fi existat. De îndata ce un agent observa posibilitatea arbitrajului, o va exploatala maximum, pâna discrepanta între preturi dispare. Principiul inexistentei arbitrajuluispune ca o piata financiara nu ar trebui sa permita posibilitati de arbitraj. În capitoleleurmatoare vom vedea cum putem exprima lipsa arbitrajului în termeni matematici. O piatafinanciara în care nu exista oportunitati de arbitraj se numeste piata financiara viabila.

3.3 Utilitatea derivatele financiare• Gestionarea/acoperirea riscului (hedging) Derivatele sunt unelte pentru persoane

fizice sau companii pentru reducerea riscul. Spre exemplu, un fermier ce produceporumb semneaza un contract forward înca din primavara pentru a-si acoperi risculunei eventuale pierderi în toamna, când preturile ar putea scadea foarte mult. Oactiune de hedging este utila atunci când se doreste minimizarea riscului generatde incertitudinea dobânzilor, a ratelor de schimb sau de alte variabile de piata. Pede alta parte, riscul poate creste atunci când se recurge la o actiune de hedging iarcompetitorii directi nu o fac.

• Speculatie (speculation) Derivatele financiare pot servi ca modalitati de investitie.Un speculator financiar îsi asuma riscuri ridicate, peste medie, anticipând evolutiaviitoare a unor active financiare si asteptând randamente pe masura riscului asumat.El preia riscul de la hedger, cu scopul de a scoate un profit mai târziu când preturilepe piata se vor schimba favorabil. Speculatia nu este o operatiune de noroc, deoarecespeculatorul îsi estimeaza riscurile înainte de a actiona. Randamentele mari suntdirect proportionale cu riscul asumat.

• Arbitraj (arbitrage) Prin tranzactionarea acestor instrumente financiare poti obtineprofituri fara a risca nimic, prin specularea diferentelor de pret existente pe piatapentru acelasi activ financiar. Acesta sunt numite actiuni de arbitraj. Arbitrajoriiadopta pozitii care se echilibreaza reciproc în acelasi activ financiar, cu scopul de aprofita de mici variatii ale preturilor.

• Schimbarea naturii responsabilitatii. În locul detinerii efective a unui activ riscant,un investitor poate achizitiona doar dreptul de a detine activul, evitând eventualelepierderi foarte mari. Prin tranzactionarea derivatelor financiare, o persoana poatevinde active si, totodata, sa continue sa le detina fizic, se poate pastra dreptul de votîn cazul unor actiuni sau elimina riscul detinerii unor active ale caror preturi potscadea. De asemenea, exista posibilitatea de a scapa de plata unor taxe.

• Schimbarea naturii investitiei, fara a fi nevoie de a vinde un portofoliu si de acumpara un altul, fapt ce atrage costuri suplimentare. Spre exemplu, în cazuriderivatelor de tip swaps, putem schimba doua active financiare între ele, reducândastfel costurile de tranzactionare.

3.4 Actorii de pe piata derivatelor financiare 33

3.4 Actorii de pe piata derivatelor financiarePutem clasifica persoanele care tranzactioneaza derivate financiare în trei mari categorii:

• hedgerii, care sunt asiguratori de risc. Hedgingul (acoperirea riscului) este încercareade a acoperi (asigura împotriva) posibilele (-lor) riscuri rezultate din fluctuatiile depret pe piata financiara.

• speculatorii, care iau pozitia opusa hedgerilor. Ei preiau riscul pe care hedgerii îltransmit. Nu exista speculatie fara hedging si vice-versa. În procedeul de speculatie,fondurile disponibile sunt plasate strategic în scopul de a scoate profit.

• arbitrajorii, care intra în doua sau mai multe tranzactii echivalente în acelasi timp,în care preturile contractelor sunt diferite. Ei urmaresc a scoate profit din nimic,adica fara a se expune la risc. Vi-i puteti imagina ca fiind persoane cu cel putin douatelefoane în mana si cu panouri electronice în fata.

3.5 Presupuneri de modelareDaca dorim sa cream modele matematice pentru aceste derivate financiare, atunci e necesarsa facem urmatoarele presupuneri, care ne-ar usura lucrul:

• costurile de tranzactionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplitate,caci toate pietele reale implica astfel de costuri). A întelege pietele fara frictiuni eun pas inainte în a intelege pe cele cu frictiuni;

• nu sunt restrictii asupra cantitatilor tranzactionate si ca aceasta nu va schimba pretulactivelor tranzactionate;

• aceeasi rata a dobânzii, r, atât pentru împrumut cât si pentru credit. Rata r estenumita si rata lipsita de risc (eng., risk-free rate). Ea este rata teoretica a dobânziiobtinute de pe urma unei investitii lipsite de risc (e.g., un depozit bancar, o obliga-tiune). Reprezinta dobânda pe care un investitor ar astepta-o în urma unei investitiineriscante pe o perioada de timp specificata. În realitate, aceasta rata poate sa nuexiste, deoarece orice investitie, oricât de sigura ar fi ea, implica un anumit risc,chiar daca este foarte mic.

• investitorii prefera tot mai mult si nu se multumesc niciodata cu ce au;• lipsa arbitrajului pe piata financiara;

Problema fundamentala a matematicii instrumentelor derivate financiare este stabilireapretului lor. Primele modele de evaluare au aparut în 1973, în lucrarile scrise de Black,Scholes si Merton.

Valoarea în timp a banilor

În Finante, se presupune ca valoarea banilor nu ramâne aceeasi în timp, datorita faptuluica pentru orice suma de bani se poate obtine o dobânda, daca aceasta este plasata într-undepozit cu r > 0. Aceeasi cantitate de bani considerata la doua momente de timp este maivaloroasa momentul cel mai mic pe axa timpului. Asadar, suma de 100RON astazi nu areaceeasi valoare cu suma de 100RON detinuta peste un an. Într-adevar, daca cei 100RON îiplasam azi într-un cont bancar ce ofera dobânda de 5% pe an, atunci dupa exact un an vomavea 105RON. Pe de alta parte, suma de 100RON peste exact un an valoreaza 95.24RONastazi.


În cele ce urmeaza, vom utiliza dobânda unitara r, ca fiind rata lipsita de risc a profituluiunei companii, si va fi considerata constanta în timp. In calculele financiare, dobândase calculeaza ori in mod compus, ori în mod compus continuu. Asta înseamna ca sumaS0 la timpul t = 0, va valora S0(1+ r)t la momentul t (in cazul compus) si va valoraS0ert la momentul t (in cazul continuu). Invers, orice suma ST la timpul viitor t = Tvaloreaza ST (1+ r)−T (respectiv, ST e−rT ) in momentul de fata, adica la t = 0, si valoreazaST (1+ r)−r(T−t) (respectiv, ST e−r(T−t)) la momentul t ∈ [0, T ].

În termeni financiari, valoarea la momentul initierii actiunii este denumita valoareprezenta (present value, PV ), valoarea la un moment viitor prezentului este denumitavaloare viitoare (future value, FV ).

3.6 Contracte forwardEste cel mai simplu derivat financiar. Este o întelegere (obligatie) de a cumpara sau vindeun activ financiar la o data pre-stabilita în viitor (maturitate sau data livrarii sau scadenta),pentru un pret (pret de livrare) stabilit la semnarea contractului. A se face distinctie întreun contract forward si un contract spot, pentru care livrarea are loc astazi, la momentulîntelegerii. Într-un astfel de contract sunt implicate doua parti: cel care cumpara activul (sespune ca el detine o pozitie long) si cel care îl vinde (care detine o pozitie short). Acestecontracte sunt tranzactionate pe piata OTC (Over-The-Counter sau inter-dealeri).

Pozitia cumparatorul contractului futures se numeste long forward (LF). Cel care des-chide o pozitie LF va câstiga din tranzactie daca pretul viitor al activului cumparat vacreste fata de momentul intrarii în pozitie. Cumparatorul unui contract futures urmaresteori sa se protejeze împotriva unor cresteri viitoare ale pretului respectivului activ pe piataspot (la vedere), ori doreste sa speculeze o astfel de crestere la momentul sau momentelepe care le considera potrivite. Pozitia cumparatorului este considerata acoperita deoareceel urmeaza sa achizitioneze activul de baza.

Pozitia vânzatorului este considerata descoperita (deoarece cel care vinde activul suports-ar putea sa nu îl detina în momentul intrarii în contract, astfel la scadenta el va trebui fie sacumpere activul suport pe piata spot, pentru a-l vinde si a-si onora obligatiile contractuale,fie va trebui sa-l împrumute, si în acest caz va aparea, mai târziu obligatia rambursariiîmprumutului. În limbaj de specialitate, pozitia vânzatorului se numeste short forward(SF) si este o pozitie în oglinda fata de pozitia LF. Atunci când pozitia LF înregistreaza uncâstig, pozitia SF va înregistra o pierdere si invers; cu alte cuvinte, investitorul care intraîntr-o pozitie SF urmareste fie sa se protejeze împotriva unei eventuale scaderi a pretuluiactivului suport, fie doreste sa speculeze scaderea pretului la momentul potrivit.

Caracteristici ale contractelor forward:

• contractul forward este o întelegere privata, încheiata între doi parteneri care, deobicei, se cunosc;

• contractele forward (la termen) nu sunt tranzactionate la bursa (sunt contracte ne-standardizate);

• un contract forward implica un risc de credit pentru ambele parti, similar celui de pepiata la vedere (spot). Astfel, partile contractuale pot solicita o garantie;

• activul suport sau obiectul contractului poate fi orice marfa sau orice activ financiar

3.7 Vânzari short 35

pentru care cei doi parteneri îsi manifesta interesul;• tranzactiile se fac numai pe pietele OTC;• livrarea este specificata la momentul initierii contractului;• nu se face nici o plata la momentul scrierii contractului;• valutele sunt cele mai tranzactionate prin contracte forward.

3.7 Vânzari shortEste procedeul prin care se poate vinde un activ pe care nu-l detii. Etapele: ia cu împrumutactivul si vinde-l. La maturitate cumpara activul si înapoiaza-l de unde l-ai împrumutatplus, eventual, o dobânda pentru împrumut. În acest caz, functia profit (eng., pay-off) va fi:pozitiva, daca preturile scad si negativa, daca preturile cresc.În cazul vânzarilor short, investitorii spera ca preturile pe piata spot sa scada pentru a faceun profit. În general, vânzarile short sunt utilizate pentru a profita de o scadere asteptata depreturi anumite active. Sunt trei motive pentru a vinde short:

• speculatie (obtii un profit daca preturile scad). De exemplu, George Soros2, 1992,"the man who broke the Bank of England", a anticipat ca pound-ul britanic va scadeasi a pariat 10 miliarde de dolari pe asa ceva, scotând numai într-o zi un profit de cca2 miliarde dolari americani.

• finantare (este o modalitate de a împrumuta bani, folosita mai ales la obligatiuni);• hedging (pentru acoperirea riscului detinerii unor active).

În practica, atunci când vinzi short un activ financiar, brokerul tau îti va împrumuta activulrespectiv din contul firmei sau al altei firme de brokeraj. Apoi activul e vândut si baniiîti revin, dar mai târziu sau mai devreme va trebui sa închizi pozitia short prin înapoiereaîmprumutului facut. Se pot plati sau nu dividende pentru activul detinut. Un dividendreprezinta o parte din profitul revenit pentru o actiune emisa de o societate pe actiuni, careîi este oferit fiecarui actionar în raport cu actiunile pe care le poseda.

3.8 Pretul forwardDaca pretul de livrare al unui forward este mai mare decât pretul spot, atunci este depreferat de a fi într-o pozitie short (deoarece vei vinde mai scump decât pe piata spot),iar daca este mai mic decât pretul spot, atunci o pozitie long este preferata (deoarece veicumpara mai ieftin decât pe piata spot). Asadar, pentru care nici una dintre cele douapozitii sa nu fie avantajata, va trebui sa existe un pret unic de livrare. Un astfel de pret senumeste pret forward. Cu alte cuvinte, pretul forward este pretul (unic) de livrare pentrucare nu e nevoie de nici un schimb de bani la momentul initierii contractului (i.e. nu necosta nimic pentru a semna un astfel de contract). Vom deriva în continuare o formulapentru pretul forward, bazata pe principiul absentei arbitrajului.

Vom utiliza urmatoarele notatii:• K = pretul de livrare;• T = momentul livrarii sau scadenta;

2George Soros (György Schwartz, 1930−, economist, activist politic, filantrop si om de afaceri miliardaramerican originar din Ungaria


• St = pretul (spot) al activului la momentul t;(S0 e pretul la momentul t = 0, care e cunoscut, si ST este pretul la momentul t = T ,necunoscut);

• Πt = câstigul (profitul) net la momentul t (eng., pay-off).• F0 pretul forward la momentul t = 0 (acesta se modifica în timp).

Pentru un investitor ce detine o pozitie long forward (i.e., se afla în pozitia cumparatorului)cu pretul de livrare K si scadenta T , profitul este ΠT = ST −K, iar pentru unul ce detine opozitie short forward (i.e., suntem pe pozitia vânzatorului), ΠT = K−ST (vezi Figura 3.1).

Figura 3.1: Profitul pentru un long forward (a) si un short forward (b).

Întrebarile la care ne propunem sa raspundem sunt:

1. Cum va trebui sa-l alegem pe K astfel încât nu este nevoie de schimb de bani lamomentul t = 0, intre partile implicate in contract? Cu alte cuvinte, aceasta întrebarene cere sa determinam pretul forward.

2. Care este pretul corect al contractului forward la momentul initierii lui, daca pretulde livrare nu este pretul forward?

Pentru a raspunde la cerinta 1., vom pune problema pretului corect astfel:

Consideram contractul forward ca fiind un joc având urmatoarea regula. La timpul t = Tjucatorul J1 (care se afla pe pozitia long forward) primeste de la J2 (pozitia short forward)suma ST −K în cazul în care acesta este pozitiva, altfel plateste suma K−ST . În Teoriajocurilor, acesta se numeste joc de suma nula. Întrebarea 1. reformulata este:Care este pretul corect, V , pe care jucatorul J1 ar trebui sa-l plateasca pentru a participala acest joc?Observatia 3.1 Deoarece suma V trebuie platita la t = 0 dar platile mai sus amintite sefac la t = T , va trebui sa luam în calcul valoarea banilor în timp (dobânda).Sa presupunem ca rata unitara anuala a dobânzii este r, aceeasi pentru împrumut si credit,si ca dobânda se calculeaza compus continuu. Asadar, suma V platita la momentul t = 0va valora VerT la momentul t = T . Din punctul de vedere al teoriei jocurilor, acest joc esteun joc cinstit daca valoarea medie asteptata a sumei tranzactionate la t = T este 0.

3.8 Pretul forward 37

Însa, valoarea sumei tranzactionate la t = T esteST −K−VerT , deci avem

E[ST −K−VerT ] = 0,

adica V = e−rT (E[ST ]−K).În concluzie, pentru a participa la joc, J1 va trebui sa plateasca la t = 0 suma

V = e−rT (E[ST ]−K),

daca aceasta e pozitiva, altfel J2 va trebui sa-i plateasca

V = e−rT (K−E[ST ]).

Mai mult, valoarea lui K pentru care nu trebuie platita nici o prima la intrarea în joc esteK = E[ST ]. Deci, pare rezonabil de a alege un astfel de K ce sa reprezinte pretul forward.Însa, sunt doua obiectii majore pentru aceasta alegere:

• prima V depinde de E[ST ], adica de valoarea asteptata a preturilor viitoare, care suntaleatorii, deci necunoscute investitorilor.Putem doar prezice valoarea lui ST . Dupa cum vom vedea mai târziu, în capitoleleviitoare, se obisnuieste ca ST sa fie ales astfel încât sa urmeze o anumita repartitieprobabilistica, de regula repartitia lognormala.Reamintim, Y ∼ logN (µ, σ) daca lnY ∼N (µ, σ), adica densitatea de repartitiea lui Y este

fY (x) =

1

xσ√

2πe−

(lnx−µ)2

2σ2 , daca x > 0

0 , daca x≤ 0

Media si dispersia sunt date de E(Y ) = eµ+σ2/2, Var(Y ) = e2µ+σ2(eσ2−1).

• alegând K = E[ST ], pot aparea oportunitati de arbitraj.Ingredientul esential în evaluarea valorii contractului forward este presupunerea ca piatafinanciara este viabila (lipsita de arbitraj).

Propozitia 3.8.1 Suntem în cadrul unei piete financiare lipsite de arbitraj, în care preturilese modifica continuu. Presupunem ca rata dobânzii unitare anuale este r. Atunci, pretulforward (la t = T ) pentru un activ financiar aflat în proprietate, care la momentul initialvaloreaza S0, si care nu genereaza dividende este

K = S0erT . (3.8.1)

Demonstratie. Demonstram prin reducere la absurd. Vom arata ca, daca am nega concluzia,atunci se pot contrui pozitii de arbitraj.

Cazul I Presupunem ca avem K < S0erT . În acest caz, este mai profitabil sa avem cashsi sa depozitam banii într-un cont bancar cu rata dobânzii unitare r.La t = 0: Vindem short n active. Banii obtinuti din vânzarea lor, nS0, îi punem într-un


cont bancar cu rata r si ne angajam într-un contract forward prin care cumparam n activela t = T cu pretul K, pentru a acoperi pozitia de vânzare. Astfel, valoarea investitiei(neriscante) la momentul initial este 0.La t = T : Cumparam n active. Profitul net va fi nS0erT −nK > 0, ceea ce indica faptul capozitia creata la momentul t = 0 este o pozitie de arbitraj.

Cazul II Presupunem ca avem K > S0erT . În acest caz, este mai profitabil sa detinemactivul pâna la scadenta.La t = 0: Împrumutam suma de nS0, cumparam n active si intram într-un contract forwardde vânzare a lor la t = T , cu pretul K.La t = T : Vindem cele n active si platim împrumutul. Profitul net este nK−nS0erT > 0,ceea ce indica faptul ca pozitia creata la momentul t = 0 este o pozitie de arbitraj. Ramâneca K = S0erT .

Asadar, în ambele cazuri putem crea pozitii de arbitraj, ceea ce contrazice presupunereadin ipoteza. Deoarece activul se afla în proprietate, nu vom plati comisioane pentruîmprumutul sau.

Observatia 3.2 Sa notam ca pretul stabilit prin lipsa arbitrajului este tocmai valoareala momentul t = T a sumei S0, daca aceasta este investita într-un cont bancar pe toataperioada contractului. Daca dobânda se calculeaza în mod compus, atunci K = S0(1+ r)T .

Propozitia 3.8.2 Pretul forward pentru un activ aflat în proprietate si care produce divi-dende cu o rata q este

K = S0e(r−q)T .

Aici q reprezinta rata medie asteptata de plata a dividendelor.

Propozitia 3.8.3 Pretul forward pentru un activ împrumutat si care nu produce dividendeeste

K = (S0− I)erT .

Aici I este suma fructificata ce trebuie platita pentru activul împrumutat.

Observatia 3.3 Desi, în general, valoarea K este aleasa astfel încât contractul forwardnu costa nimic la momentul initierii, în cazul în care K nu e pretul forward F0, atuncicontractul va avea o anumita valoare initiala. Aceasta este:

(F0−K)e−rT , pentru cel care detine o pozitie long forward, si

(K−F0)e−rT , pentru cel care detine o pozitie short forward.

3.9 Contracte futuresUn contract futures este un acord contractual ferm între doua parti, negociat într-o piataorganizata, care obliga ambele parti sa cumpere sau sa vânda o cantitate de bunuri, obliga-tiuni, actiuni etc., la o data viitoare, pentru un pret stabilit la data semnarii contractului.Pretul contractului va varia în functie de localizarea pietei, dar este fixat atunci cândtranzactia este încheiata. Contractul futures este, de fapt, un contract forward standardizat.

Exemplu 3.1 1. Cumparare de 500 g de aur @ RON 180/g în Decembrie 2019;2. Vânzare de e50 000 @ 4.65 e/RON în August 2018;


Trasaturi comune ale contractelor futures:

• sunt standardizate (anumite maturitati, dimensiuni ale contractelor, tipuri de activesuport etc) si organizate de casele de compensare. Implicarea casei de compensareeste datorata faptului ca nu exista un contract între vânzator si cumparator, ci uncontract între fiecare dintre acestia si casa de compensare. Casa de compensareactioneaza astfel ca o contrapartida pentru ambele parti, care confera protectieacestora si faciliteaza tranzactia.

• pretul este stabilit prin mecanismul cerere/oferta pentru contractul futures pentru unanumit activ suport si este influentat si de scadenta anuntata pentru acesta;

• sunt tranzactionate doar la bursa;• la momentul semnarii contractului se cere fiecarei parti depunerea unei sume de bani

numita marja sau garantie. Aceasta marja este ajustata zilnic, pentru a minimizaposibilele pierderi.

• marcarea la piata: înregistrarea pretului unui activ în fiecare zi în vederea calculariiprofiturilor si a pierderilor.

• sunt utilizate în special de: hedgeri, speculatori si arbitrajori.

Din punctul de vedere al modelarii matematice, putem considera contractele forward sicele futures a fi identice.

3.10 Probleme rezolvate

Exercitiu 3.10.1 Pe piata aurului, pretul spot al unui gram de Au (1XAU) este de 160 RON.Pe aceasta piata se comercializeaza contracte forward cu scadenta de jumatate de an, ceofera posibilitatea vânzarii a 10 grame de aur cu 1700 RON (r = 0.05, dobânda simpla).(a) Determinati daca exista oportunitati de arbitraj pe piata. În caz afirmativ, construiti ostrategie de arbitraj.(b) Determinati pretul forward pentru un contract forward de vânzare a 10g Au cu 170RON, cu scadenta de 6 luni.(c) Care este pretul corect al unui contract forward considerat mai sus?R: (a) Da, exista. Se pare ca pretul de exercitiu din contractul forward nu este bine pus,parând a fi prea mare (170 RON/g > 160 RON/g) pentru o perioada de numai jumatate dean de maturitate. Asadar, un arbitrajor ar dori sa fie într-o pozitie de vânzare a aurului(pozitia short forward). Prezentam un exemplu de inginerie financiara care aduce un profitsigur, fara expunere la risc:La momentul t = 0 împrumutam 1600 RON cu dobânda anuala unitara de 5%. Cumparam10 grame de aur. Intram într-un contract forward de vânzare a 10 grame de aur dupa exact6 luni cu 1700 RON. Apoi, astepam 6 luni...La scadenta T = 1

2 (ani), onoram contractul forward si primim 1700 RON. Din acestia,returnam suma împrumutata, la care se adauga dobânda. În total, returnam

1600 ·(

1+0.05

2

)RON= 1640RON.


Astfel, vom ramâne cu un profit net de 60RON.(b) Pretul forward este

F0 = 1600 ·(

1+0.05

2

)RON= 1640RON.

(c) Pretul corect al derivatului financiar va fi

P0 = (1700−1640) ·(

1+0.05

2

)−1

≈ 58.54RON.

Observatie: Deoarece dobânda se calculeaza în mod simplu, în loc de factorul de fructifi-care erT am folosit (1+ rT ).Exercitiu 3.10.2 (exemplu de hedging folosind forward)Azi este 1 Martie 2018 si compania ImportRO, care are sediul în România, stie ca va platiunei firme americane suma de USD100 milioane, pe data de 1 Iunie 2018, pentru bunurilepe care ImportRO le-a cumparat de la aceasta. Firma ImportRO poate alege sa acopereriscul datorat ratei de schimb valutar USD/RON, si ar putea alege sa cumpere USD de laForeignExchanges, o institutia financiara specializata în schimburi valutare. Tabelul 3.1contine valorile de schimb valutar USD/RON cotate de catre aceasta institutie financiara(cotele actuale (spot) si cotele viitoare (forward)). Astfel, compania ImportRO poate intra

USD/RON Cumparare Vânzarespot −→ 1 Martie 2018 3.8130 3.8135

1 month forward −→ 1 Aprilie 2018 3.8241 3.82473 months forward −→ 1 Iunie 2018 3.8325 3.83326 months forward −→ 1 Septembrie 2018 3.8422 3.8430

Tabela 3.1: Rate de schimb valutar USD/RON

într-o pozitie long forward de cumparare a USD100 milioane cu scadenta de 1 Iunie 2018,la rata de USD/RON= 3.8332, pentru care va plati pretul de 383320000 RON. Ce se poateîntâmpla pe 1 Iunie 2018:

• Presupunem ca rata de schimb spot va fi sub cea cotata de ForeignExchanges, saspunem ca va fi USD/RON= 3.8295, atunci suma pe care ImportRO o are de platitvaloreaza 382950000 RON< 383320000 RON.Daca ImportRO nu si-a acoperit riscul (nu a intrat în pozitia long forward), atunciiese mai câstigata cu 370000 RON, ea cumparând USD de pe piata spot.Daca si-a acoperit riscul, atunci pierde aceasta suma, ea fiind obligata sa onorezecontractul forward si sa cumpere de la ForeignExchanges, chiar daca rata de schimba zilei este mai buna.

• Presupunem ca rata de schimb spot va fi peste cea cotata de ForeignExchanges, saspunem ca va fi USD/RON= 3.8437, atunci suma pe care ImportRO o are de platitvaloreaza 384370000 RON> 383320000 RON.Diferenta este de 1050000 RON, situatie în care compania ImportRO si-ar fi dorit safi intrat în pozitia long forward. Daca nu a facut-o, va fi nevoita sa cumpere USD depe piata spot la un pret mai mare.


Dupa cum se poate observa, exista situatii în care hedging cu forwards nu este variantaconvenabila, dupa cum sunt si situatii în care putem obtine profit de pe urma unui asemeneaderivat financiar. Totul depinde de flerul investitorilor si de capacitatea lor de a prezicefluctuatiile viitoare ale pietei financiare.Exercitiu 3.10.1 Într-o anumita tara, guvernul a decretat urmatoare banda de variatiepentru rata de schimb dintre valuta autohtona ($LOC) în raport cu EUR:

0.95 EUR≤ 1$LOC≤ 1.05 EUR.

Presupunem ca acest decret are aplicabilitate pentru cel putin un an. Tot în aceasta tara,guvernul emite titluri de valoare (obligatiuni) cu scadenta de 1 an, în valuta autohtona, sicare platesc dobânda de 30% p.a.. Daca dobânda pentru depozite în EUR este de 6% p.a.,investigati daca exista oportunitati de arbitraj. Dobânzile sunt calculate simplu.R: La o prima vedere, dobânda de 30% pentru obligatiuni este cam mare (cel putin,comparativ cu cea de 6% pentru depozite în EUR), de aceea putem construi o strategie caresa ne ofere o pozitie propice, din care sa profitam de aceasta dobânda mare. Aratam caexista posibilitati de arbitraj chiar în cazul în care avem ghinion si nu putem împrumutamoneda locala, ba chiar mai mult, prindem si schimburile valutare cele mai nefavorabile.Strategia este dupa cum urmeaza:La momentul initial (t = 0): împrumutam x EUR, îi schimbam în $LOC (presupunem caam prins rata cea mai nefavorabila de schimb) si ce obtinem investim în obligatiuni cudobânda de 30% p.a.La scadenta, t = T = 1, culegem roadele investitiei în obligatiuni, schimbam în valutalocala (iarasi prindem rata cea mai proasta de schimb), apoi returnam împrumutul în valutaîn care am împrumutat, plus dobânda.t = 0 : +x EUR= x

1.05 $LOC

− x1.05 $LOC

−−−−−−−−−−= 0

· · · · ·· · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··t = 1 : x

1.05(1+0.3) $LOC= 1.3x1.05 $LOC= 0.95 · 1.3x

1.05 EUR= 1.1762x EUR−(1+0.06) · x EUR =−1.06x EUR

−−−−−−−−−−= 0.1162x EUR> 0

Se observa ca la momentul t = 0 valoarea investitiei este 0, iar la scadenta aceasta devinestrict pozitiva, deci oportunitate de arbitraj. Daca x = 10000, atunci profitul net ar fi de1162 $LOC.Exercitiu 3.10.3 Consideram un activ financiar al carui pret initial este 30 RON. Ratadobânzii lipsite de risc este r = 0.06. Aflati pretul forward al acestui activ, pentru livrareîn 9 luni. Care este valoarea pe care ar trebui sa o plateasca un investitor aflat în pozitialong forward, la initierea contractului, cu acelasi pret de livrare si aceeasi scadenta?R: Codul MATLAB este urmatorul:

S0 = 30; K = 30; r = 0.06; Ti = 9/12;

disp('Pretul forward este:'), F0 = S0*exp(r*Ti)

disp('Valoarea platita la initierea contractului este:')

LF0 = (F0-K)*exp(-r*Ti)


3.11 Probleme propuseExercitiu 3.11.1 Un investitor a semnat un contract forward cu scadenta de 6 luni, princare va cumpara un pachet de actiuni ale unei companii cu suma totala de 200 RON. Pretulactual al pachetului de actiuni este de 194 RON. Stiind ca nu exista oportunitati de arbitrajsi ca pentru aceste actiuni nu se platesc dividende pentru perioada contractuala, sa sedetermine rata anuala unitara (efectiva) lipsita de risc.Exercitiu 3.11.2 Determinati pretul forward pentru un contract forward cu scadenta de 1an, bazat pe un portofoliu de active ce valoreaza 1.1 milioane RON si care are o rata anualade plata a dividendelor de 5% p.a., platibile în mod continuu. Rata anuala unitara lipsitade risc este de 5% p.a..Exercitiu 3.11.3 Un activ financiar costa $152 în New York si £100 în Londra. Stiind carata de schimb este £/$ = 1.55, construiti o strategie de arbitraj.Exercitiu 3.11.4 Pretul actual al unui gram de aur este de 160RON. Pretul forward delivrare a 100 de grame de aur peste exact un an este de 17000RON. Un arbitrajor poateîmprumuta bani la o dobânda de 10% p.a.. Ce ar face el?Exercitiu 3.11.5 În data de 1 Iulie 2018, o companie intra într-un forward prin care vacumpara petrol în valoare de 10 milioane de euro în data de 1 Ianuarie 2019. În data de1 Septembrie 2018, aceeasi companie intra într-un forward prin care va vinde petrol învaloare de 10 milioane de euro în data de 1 Ianuarie 2019. Descrieti diagrama de profit(pay-off) pentru o astfel de strategie.Exercitiu 3.11.6 O companie britanica va primi suma de 5 milioane de euro de la Co-munitatea Europeana peste exact un an. Ce tip de derivat financiar ar fi potrivit pentruhedging?Exercitiu 3.11.7 Cineva afirma faptul ca optiunile si futures sunt jocuri de suma nula. Cear înseamna asta? Este adevarat?Exercitiu 3.11.8 Un investitor român se afla în pozitia short forward cu livrarea a 10milioane de euro rata de schimb forward EUR/RON = 4.6535. Cât va câstiga sau pierdeinvestitorul daca rata de schimb spot la maturitatea contractului va fi EUR/RON = 4.66?Dar pentru o rata spot la maturitate de EUR/RON= 4.6515?Exercitiu 3.11.9 Valoarea actuala a unui gram de aur este de 165RON. Pretul forwardde livrare a 10 de grame de aur peste exact un an este 1880RON. Un arbitrajor poateîmprumuta bani la o dobânda de 10% p.a.. Ajutati-l sa construiasca o pozitie de arbitrajprin care sa obtina un profit de minim 100RON.

4. Optiuni

. [Investor1: Have you turned bullish this week and married your put?

. Investor2: Yes! It was not safe to leave it naked on the open market.]

4.1 Definitii si caracteristiciPrintr-un contract cu optiune (sau, simplu, optiune) se întelege un contract ce confera

unei persoane (detinatorului) dreptul, dar nu si obligatia, de a tranzactiona în viitor unanumit activ financiar, la un pret convenit, într-un termen definit sau la expirarea acestuia,în schimbul platii unei prime. Daca prin acest contract se vinde activul suport, atunciavem o optiune de tip put, iar daca se cumpara activul, avem o optiune de tip call. Pretulconvenit pentru tranzactionarea activului se numeste pret de exercitiu (eng., strike price), iartermenul limita de valabilitate a optiunii este denumit scadenta (sau maturitate). Activelesuport pot fi foarte variate. De exemplu, pot fi: actiuni, devize, indici bursieri, contractefutures, rate ale dobânzii.

Cel ce detine o optiune poate sa-si exercite dreptul la termenul convenit al contractului,poate sa abandoneze optiunea pîna la scadenta, sau sa-si compenseze contractul.

În functie de timpul când se face exercitarea, optiunile pot fi: europene (optiuneaeste exercitata doar la maturitate), americane (optiunea poate fi exercitata oricând întresemnarea contractului si maturitate), exotice (bermudiene, binare, asiatice, know-out) etc.Cele mai multe optiuni tranzactionate la bursa sunt cele de tip american, deoarece potconferi flexibilitate celor ce tranzationeaza.

Cel aflat în pozitia cumparatorului unui call nu este obligat sa cumpere, dar daca acestadoreste, atunci vânzatorul e obligat sa vânda, indiferent daca la momentul exercitariicontractului piata este sau nu favorabila lui. Asumarea acestui risc de catre vânzatoruloptiunii se face în schimbul încasarii la t = 0 a unei prime, care de altfel este pretul optiunii.Astfel, vânzatorul obtine câstiguri limitate, dar certe, la nivelul primei încasate, în schimbul

44 Capitolul 4. Optiuni

asumarii unor riscuri nelimitate. În acelasi timp, optiunea reprezinta pentru cumparator opolita de asigurare. Prima platita poate sa-i aduca câstiguri teoretic nelimitate, în cazul uneipiete favorabile la scadenta, sau sa-l apere într-o piata defavorabila. Tranzactiile cu optiunisunt operatiuni de vânzare/cumparare de riscuri. Cumparatorul optiunii are aversiune fatade risc (riscofob), iar vânzatorul este riscofil (prefera riscul).

Optiunile pot fi oferite în cadrul unor burse specializate sau pe pietele OTC. În primul caz,contractele sunt standardizate si ofera un grad scazut de flexibilitate în alegerea termenilor.În cel de al doilea caz, contractele se încheie, în general, prin negociere între cele douaparti contractante.

Între anii 1970−1980, optiunile erau inaccesibil de scumpe pentru majoritatea investito-rilor. Acum preturile sunt accesibile si, de multe ori, chiar sub-evaluate. Detinatorul uneioptiuni poate obtine un profit de multe ori mai mare decât ceea ce ar obtine daca ar detineactivul suport. Exista astfel posibilitati de a realiza profituri foarte mari cu investitii mici.

Elementele componente ale unei optiuni:

Elemente intrinseci ale unei optiuni:• prima C0− pentru call (call to purchase) si P0− pentru put (put to sell);• pretul de exercitiu (pretul de lovire) K;• durata de valabilitate T (maturitate sau scadenta);• pretul spot (de piata) al activului suport, St (S0 este pretul actual al activului);• rata dobânzii anuale, r, unica pentru vânzari si cumparari;• rata de plata a dividendelor, q, daca acestea se platesc.

Optiunea are si o variabila necunoscuta, volatilitatea pretului activului suport, dar carepoate fi estimata. Aceasta volatilitate masoara, de fapt, deviatia standard a valoriloractivului suport pe perioada de viata a optiunii si este un factor important în determinareavalorii primei optiunii. Volatilitatea pretului unor actiuni la compania X poate fi de douaori mare decât a companiei Y , determinând astfel o valoare dubla a primei optiunii decumparare a actiunilor primei firme.

În continuare, vom nota prin CEt =Ct si prin PE

t = Pt valorile pentru un call, respectiv,put european la momentul t. De asemenea, vom nota prin CA

t si PAt valorile corespunzatoare

pentru call si put americane, la momentul t. Daca nu este pericol de confuzie, vom preferanotatiile Ct si Pt pentru optiuni europene. Valorile pentru call si put (atât europene, cât siamericane) pot fi privite ca fiind niste functii de urmatoarele variabile:

Ct =C(K, St , T, q, r), Pt = P(K, St , T, q, r).

Factori determinanti ai pretului unei optiuni• pretul activului suport, St . Spre exemplu, valoarea optiunii de tip call va fi mai mare

cu cât diferenta între pretul activului suport si pretul de exercitiu este mai mare.• pretul de exercitiu, K. Acesta are o influenta inversa fata de pretul activului suport.• maturitatea, T . Cu cât T este mai mare, cu atât valoarea optiunii creste, deoarece

ofera o flexibilitate mai mare de a exercita optiunea în mod favorabil.• rata (lipsita de risc) a dobânzii, r.• dividendele. Valoarea optiunilor de tip call va scadea în cazul platii dividendelor în

perioada de viata a optiunii, pe când pretul unei optiuni put va creste.

4.1 Definitii si caracteristici 45

• volatilitatea pretului activului suport, σ . Aceasta este greu de determinat în practica.Este o masura a incertitudinilor legate de evolutia pretului activului suport. Un activcu o volatilitate ridicata prezinta fluctuatii accentuate ale pretului.

Pretul de exercitiu este stabilit în jurul pretului activului suport, St . Pentru un calleuropean cu pretul de exercitiu K, vom spune ca la momentul t optiunea call este:

1. sub-paritate (in-the-money), daca pretul de exercitiu este mai mic decât pretul spotal activului suport, i.e., K < St . În acest caz, se spune ca optiunea are o valoaretangibila. O optiune va fi exercitata doar daca este in-the-money. Valoarea intinsecaa optiunii (eng., intrinsic value) este maximum dintre 0 si valoarea pe care ar avea-ooptiunea daca ar fi exercitata imediat, i.e., maxSt −K, 0 în cazul unui call simaxK−St , 0 în cazul unui put.Spre exemplu, sa presupunem ca valoarea la momentul t = 0 a unui call european decumparare a unui activ ce nu genereaza dividende, cu pretul de exercitiu K = £ 27.50,la momentul viitor T , este C0 = £ 3.15. Astfel, detinând acest derivat financiar, potipierde maximum 3.15£, adica tocmai prima platita pentru call, si aceasta se întâmplaîn cazul în care optiunea expira neexercitata. Sa presupunem ca pretul la t = 0 alactivului suport este S0 = £ 30, adica optiunea este in-the-money la momentul initieriiei. Din cei £ 3.15 platiti pentru call, suma de £ 2.50 = £ (30− 27.50) reprezintavaloarea intrinseca (tangibila) a optiunii (i.e., diferenta între S0 si K), iar £ 0.65reprezinta valoarea timp a optiunii. Nivelul cu care pretul optiunii depaseste la unmoment dat valoarea intrinseca se numeste valoare timp. La scadenta valoarea timpa optiunii este nula. Astfel, valoarea optiunii este suma dintre valoarea intrinseca aoptiunii si valoare timp a ei. Valoarea timp a optiunii poate fi privita ca o asigurarepentru cazul în care valoarea activului suport scade sub valoarea pretului de exercitiu.

2. la paritate (at-the-money), daca valoarea spot a activului este egala cu pretul deexercitiu. În cazul activului anterior, o optiune call european la paritate ar semnificaun pret de exercitiu K = £ 30. În acest caz, valoarea intrinseca a optiunii este 0.Daca prima pentru un astfel de call ar fi, sa zicem, £ 1.35, aceasta va reprezenta, defapt, valoarea timp a optiunii. Se observa ca aceasta este mai mare decât în cazulprecedent, deoarece acest call poate fi privit ca asigurare pentru cazurile în carepretul activului ar scadea sub pretul de exercitiu K sau l-ar depasi pe K.

3. supra-paritate (out-of-the-money), daca valoarea spot a activului este mai mare pretulde exercitiu. Si în acest caz, valoarea intrinseca a optiunii este 0.

În mod similar se poate justifica pentru o optiune put. Daca pretul spot la momentul t estemai mic decât pretul de exercitiu (St < K), atunci optiunea put este in-the-money, dacasunt egale, atunci optiunea put este at-the-money, altfel optiunea put este out-of-the-money.Astfel, valoarea intrinseca a unei optiuni este egal cu:

• pretul spot al activului suport minus pretul de exercitiu (pentru optiune call);• pretul de exercitiu minus pretul spot al activului suport minus (pentru optiune put).

Valoarea intinseca a unui call (put) european la maturitate este data de

CT = (ST −K)+, respectiv, PT = (ST −K)− = (K−ST )+.

Tinând cont de prima platita la semnarea contractului, profitul net la scadenta pentru celcare detine contactul este diferenta dintre valoarea intrinseca a contractului si valoareaactualizata a primei platite. Astfel, pentru o optiune de cumparare (long call), profitul


cumparatorului va fiΠ

cT = (ST −K)+−C0erT .

Aici, C0erT este valoarea actualizata la maturitate a investitiei initiale C0 (se considera carata dobânzii unitare anuale lipsite de risc este r). Pentru o optiune de vânzare (long put),profitul detinatorului optiunii este

ΠpT = (K−ST )

+−P0erT .

Acestea sunt profiturile ce le poate obtine cumparatorul de optiuni call sau put. Din punctulde vedere al vânzatorului, profit pentru cumparator înseamna pierdere pentru vânzator.Asadar, profiturile la scadenta pentru vânzare de call (short call) si vânzare de put (shortput) sunt, respectiv,

−ΠcT =C0erT−(ST−K)+ si −Π

pT =P0erT−(K−ST )

+ (vezi Figurile 4.1 si 4.2).

Figura 4.1: Profitul pentru un long call (a) si un long put (b).

Figura 4.2: Profitul pentru un short call (a) si un short put (b).

4.2 Terminologie

• optiune europeana: un contract cu optiune care poate fi exercitata doar la scadenta;

4.3 Paritatea put-call 47

• optiune americana: un contract cu optiune care poate fi exercitata oricând pâna(inclusiv) la scadenta;

• a cumpara o optiune call (eng., to buy a call option): a avea dreptul de a cumparaun activ la un pret prestabilit, de la cel care a scris (vândut) optiunea;

• a vinde o optiune call (eng., to write (or sell) a call option): a avea obligatia de avinde un activ la un pret prestabilit. Un investitor aflat în aceasta pozitie primesteprima pentru call si va fi obligat sa livreze activul suport la scadenta în cantitateaconvenita si la pretul convenit, în cazul în care cumparatorul îsi exercita dreptul;

• a cumpara o optiune put (eng., to buy a put option): a avea dreptul de a vinde unactiv la un pret prestabilit;

• a vinde o optiune put (eng., to sell a put option): a avea obligatia de a cumpara unactiv la un pret prestabilit. Un investitor aflat în aceasta pozitie primeste prima pentruput si va fi obligat sa cumpere activul suport la scadenta în cantitatea convenita si lapretul convenit, în cazul în care vânzatorul îsi exercita dreptul;

• pret de exercitiu (de lovire): pretul stabilit la momentul scrierii optiunii (convenit deambele parti);

• scadenta (maturitatea): data când contractul expira;• premium (sau prima): taxa încasata de cel care scrie optiunea (emite contractul), de

la cumparator. Gânditi-va la aceasta prima ca fiind o asigurare pentru luarea unoreventuale decizii financiare gresite.

• valoare intrinseca (eng., intrinsic value) este valoarea maxima dintre zero si valoareaoptiunii daca ea ar fi exercitata îmediat.

• valoarea timp a unei optiuni este diferenta dintre premium si valoarea sa intrinseca.Contractele call si put au, fiecare, valoare timp. La scadenta, valoarea timp a uneioptiuni va fi zero. Valoare timp a optiunii poate fi privita ca o asigurare pentru cazulîn care valoarea activului suport scade sub valoarea pretului de exercitiu. Valoareaprimei pentru o optiune este suma dintre valoarea intrinseca a optiunii si valoareatimp a ei.

4.3 Paritatea put-callÎn continuare, vom determina limite pentru preturile optiunilor la orice timp între 0 si T .Presupunem ca avem optiuni put si call europene cu acelasi pret de exercitiu, acelasi activsuport (al carui pret la momentul t este St si pentru care nu se platesc dividende) si acelasiT . Mai mult, consideram existenta unei rate unitare unice, r, compusa continuu. Putemdemonstra urmatoarea propozitie:

Propozitia 4.3.1 (paritatea put-call) Într-o piata financiara în care nu exista oportunitatide arbitraj (piata viabila), are loc relatia:

St +PEt −CE

t = Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ]. (4.3.1)


Demonstratie. Consideram un portofoliu compus dintr-un activ S, un put P si o pozitieshort pentru un call (detinatorul portofoliului a scris call-ul). Fie Vt valoarea portofoliului.Avem:

Vt = St +PEt −CE

t , (∀) t ∈ [0, T ].

Dar la t = T avemVT = ST +(ST −K)−− (ST −K)+ = K.

Asadar, acest portofoliu garanteaza profitul K la t = T . Folosind principiul lipsei arbitraju-lui (care ne garanteaza ca doua active ce au un acelasi pret la un anumit moment, atunciele vor valora la fel în orice alt moment), gasim ca

Vt = Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].

Observatia 4.1 (1) Pentru t = 0, obtinem relatia:

S0 +P0−C0 = Ke−rT . (4.3.2)

(2) În cazul optiunilor de tip american ce au la baza acelasi activ suport pentru care nuse platesc dividende si aceeasi scadenta, o relatie similara cu cea anterioara (care uneoripoarta denumirea de paritatea put-call pentru optiuni americane) este:

S0−K ≤CA0 −PA

0 ≤ S0−Ke−rT . (4.3.3)

Propozitia 4.3.2 În aceleasi conditii ca în propozitia anterioara, putem arata ca:

max

St−Ke−r(T−t), 0≤ CE

t ≤ St , (∀) t ∈ [0, T ].

Demonstratie. Rezulta din propozitia anterioara. Se observa ca CEt ≥ 0, deoarece CE

t < 0genereaza oportunitati de arbitraj (obtinem un profit la timpul T , când CE

T =(ST−K)+≥ 0).În mod similar, trebuie sa avem Ct ≤ St , altfel ar însemna ca dreptul de a cumpara unactiv are o valoare mai mare decât detinerea efectiva a activului, ceea ce e fals. Detinereaactivului ofera beneficii suplimentare, e.g. dobânda. Din relatia (4.3.1) obtinem ca

St−Ke−r(T−t) =CEt −PE

t ≤CEt ,

ceea ce încheie demonstratia.

Observatia 4.2 O optiune americana costa mai mult decât una europeana, deoarece oferaîn plus flexibilitatea de a putea fi exercitata oricând înainte de termen. Asadar,

CAt ≥CE

t , (∀) t ∈ [0, T ].

4.4 Strategii de investitii cu optiuni 49

Propozitia 4.3.3 Într-o piata financiara lipsita de arbitraj, pentru un activ financiar pentrucare nu se platesc dividende, avem

CAt =CE

t , (∀) t ∈ [0, T ].

Demonstratie. Aratam ca CAt ≤CE

t , (∀) t ∈ [0, T ]. Stim ca:

CAt = maxSt−K,CE

t , (∀) t ∈ [0, T ].

Dar, daca nu se platesc dividende, atunci, folosind Propozitia 4.3.2, obtinem:

St−K ≤ St−Ke−r(T−t) ≤CEt ,

de unde rezulta inegalitatea

CAt ≤CE

t , (∀) t ∈ [0, T ].

Observatia 4.3 Sunt doua motive pentru care exercitarea unei optiuni americane de tipcall pentru care nu se platesc dividende mai devreme de maturitate nu este indicata:

1. investitorul care detine un call american în locul activului suport este asigurat împo-triva unei caderi a valorii activului. Daca exercita mai devreme, pierde asigurarea.

2. când detinatorul unui call exercita optiunea, atunci el cumpara activul platind pretulde exercitiu K. Cumparând mai devreme, el va pierde dobânda câstigata pentru Kpentru perioada ramasa pâna la maturitate.

Observatia 4.4 (1) Putem determina valori maxime si minime si pentru un put european.Astfel, într-o piata viabila avem:

maxKe−r(T−t)−St ; 0 ≤ PEt ≤ Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].

Demonstratia este similara cu cea pentru Propozitia 4.3.2.(2) În cazul optiunilor de tip american, putem arata doar ca:

CEt ≤CA

t ≤ S0 si PEt ≤ PA

t ≤ K, (∀) t ∈ [0, T ].

4.4 Strategii de investitii cu optiuniPiata optiunilor poate fi o piata ideala pentru cei ce doresc sa obtina câstiguri nelimitate,speculând preturile optiunilor, sau pentru investitorii care doresc sa se asigure împotrivariscului financiar. De asemenea, optiunile pot fi folosite si în actiuni de arbitraj. Acesteoperatiuni sunt posibile datorita versatilitatii optiunilor. Vom discuta aici strategii ce includdoar optiuni call si put europene. Putem vorbi despre strategii bull, în care investitoriianticipeaza o crestere viitoare a pretului activului suport, sau strategii bear, când acest preteste anticipat a fi în scadere. Strategiile de investitie cu optiuni sunt nenumarate; amintimaici doar cateva, mai uzuale:


• strategii simple. De exemplu, cumparare de optiuni call si put neacoperite, în functiede anticiparile investitorilor asupra evolutiei viitoare a cursului activului suport.

• combinatii. Aceste strategii sunt combinatii de optiuni asupra aceluiasi activ suport.De exemplu: salturile (eng., spreads), prima dubla (eng., straddle) sau gâtuirile(eng., strangles).

• cumpararea de portofolii formate din optiuni call si put si active suport, în vederealuarii unei pozitii cât mai bune pe piata la scadenta.

4.4.1 Strategii simple cu optiuni

• cumparare de optiuni call (naked long call). Alaturi de cumpararea de optiuniput, acestea sunt cele mai simple strategii speculative. Aceasta actiune poate fipropice în cazul în care se anticipeaza o crestere importanta a cursului activuluisuport pâna la maturitate. Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platitapentru achizitionarea optiunii call. În cazul în care apar pierderi, atunci spunem caele au efect de levier (sunt limitate). Profitul net la scadenta este

ΠcT = (ST −K)+−C0erT .

• cumparare de optiuni put (naked long put). Este o actiune speculativa, ce poatefi propice în cazul în care se anticipeaza o scadere importanta a cursului activuluisuport pe durata de viata a optiunii. Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierdeprima platita pentru achizitionarea optiunii call. Si în acest caz, eventualele pierderiau efect de levier. Profitul net la scadenta este

ΠpT = (K−ST )

+−P0erT .

• vânzare de optiuni call (naked short call). Este tot o actiune speculativa, propiceîn cazul în care se anticipeaza ca valoarea activului suport nu va creste pe durata deviata a optiunii. Daca anticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate,mult mai mari decât primele încasate. Daca pierderea survine, atunci vom spune caare efect de maciuca. Profitul net la scadenta este egal cu −Πc

T .• vânzare de optiuni put (naked short put). Actiunea poate fi propice în cazul în

care se anticipeaza ca valoarea activului suport nu va scadea pe durata de viata aoptiunii. Daca anticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi mari, mult maimari decât primele încasate. Si în acest caz, aceasta este o actiune speculativa, cuprofitul net −Π

pT si pierderea maxima în valoare de K−P0erT .

• vânzare de optiune call si detinere de activ suport (covered call). Prin strategiacall acoperit, investitorul îsi stabileste o pozitie short pentru un call si detine unnumar de active suport câte sunt vândute prin short call. Valoarea profitului în acestcaz este (vezi si figura 4.3):

−ΠcT +ST =

C0erT +K, ST ≥ K;C0erT +ST , ST < K.

4.4 Strategii de investitii cu optiuni 51

Figura 4.3: Profitul pentru un call acoperit Figura 4.4: Profitul pentru un put protectiv

• cumparare de put si detinere de activ suport (protective put). E o strategie deacoperire a riscului. Un investitor procedând astfel plateste premium pentru put si seprotejeaza împotriva scaderii pretului activului suport. Profitul total pentru aceastastrategie este (vezi figura 4.4):

PT −P0erT +ST =

K−P0erT , ST < K;ST −P0erT , ST ≥ K.

• cumparare de put si cumparare activ suport (married put). E o strategie dehedging (acoperire a riscului). Un investitor cumpara active suport la un momentviitor T si le protejeaza în eventualitatea deprecierii pretului lor prin cumparareaunui put asupra aceluiasi numar de active suport câte au fost cumparate si cu acelasipret de exercitiu, K. Un investitor care utilizeaza o strategie married put intuiesteo crestere viitoare a pretului activului suport (bull market), dar îsi face griji pentruvaloarea activului în viitorul apropiat. Totodata un astfel de investitor doreste sapastreze beneficiile pe care i le aduc detinerea activului suport pâna la scadenta, cumar fi dividende, drept de vot etc. Aceasta strategie este similara unui long call, deaceea se numeste si long call sintetic. Profitul total pentru aceasta strategie este:

ST −K +PT −P0erT =

−P0erT , ST < K;ST −P0erT −K, ST ≥ K.

4.4.2 CombinatiileSunt combinatii de mai multe serii de optiuni asupra aceluiasi activ-suport. Aceste stra-tegii se bazeaza pe anticipari foarte exacte ale evolutiei cursului activului suport. Dacaanticiparile sunt corecte, atunci câstigurile pot fi mult mai mari decât profiturile realizateprin strategii simple. Pentru simplitatea formulelor, vom considera ca r = 0.

• salturile (eng., spreads). Gestionarul de portofoliu cumpara si vinde în acelasitimp doua optiuni call (sau doua optiuni put) asupra aceluiasi activ suport, dar cupreturi de exercitiu si scadente diferite. Salturile pot fi crescatoare (în cazul încare se anticipeaza o crestere a lui St) sau descrescatoare (daca se anticipeaza oscadere a lui St). Sa presupunem ca avem un salt cu doua optiuni call, cu preturilede exercitiu Kc si Kv si primele Cc

0 si Cv0 (indicii c si v sunt pentru cumparare si,


respectiv, vânzare). Salturile crescatoare sunt strategii bull, denumite si bull spreads,iar cele descrescatoare sunt strategii bear (bear spreads). Exemplu de bull-spread:un 100call− 110call, ce semnifica: cumpararea unui call cu Kc = 100 la T sivânzarea simultana a unui call asupra aceluiasi activ, cu Kv = 110, la T .Profitul în cazul unui salt crescator (Kv > Kc) este (vezi Figura 4.5):

(ST −Kc)+−Cc0− (ST −Kv)++Cv

0 =

Cv

0−Cc0, ST ≤ Kc;

ST −Kc−Cc0 +Cv

0, ST ∈ (Kc, Kv);Kv−Kc +Cv

0−Cc0, ST ≥ Kv

• butterfly spreads. Sunt strategii de tip salt care folosesc o combinatie de bull si bearspreads. Un butterfly spread are trei preturi de exercitiu. Investitorul ce doresteutilizarea unei astfel de tehnici anticipeaza ca pretul activului suport va ramâneîntr-o anumita regiune, K1 < ST < K3. Prezentam în continuare un exemplu debutterfly spread cu optiuni call. Fie K1, K2, K3 preturile de exercitiu pentru 3 diferiteoptiuni de tip call, C1,C2,C3, asupra unui aceluiasi activ suport, cu aceeasi scadenta.Suntem în pozitia longC1,short 2C2, longC3. Diagrama profitului va fi (vezi figura4.6):

ΠT = C1−2C2 +C3− (C10−2C20 +C30)

= (ST −K1)+−C10−2(ST −K2)

++2C20 +(ST −K3)+−C30.

Figura 4.5: Profitul pentru un bull-spread. Figura 4.6: Profitul pentru un butterfly-spread.

• prima dubla (eng., straddle, fr., stellage). Este o strategie prin care se cumparasau se vinde simultan optiuni call-put pentru acelasi activ suport, acelasi pret deexercitiu si aceeasi scadenta. Foarte importanta în aceasta strategie este volatilitateapretului activului suport. Se spera într-o variatie puternica (la cumparare), sau ovariatie foarte mica (la vânzare) a pretului activului suport, fara a sti exact în cedirectie este variatia. De exemplu, un 100call & 100 put semnifica: cumparareaunui call cu K = 100 la T , cumpararea simultana a unui put cu K = 100.În general, pentru un K call & K put, diagrama profitului este (vezi figura 4.7):

(ST −K)+−C0 +(K−ST )+−P0 =

ST −K−C0−P0, ST ≥ K;K−ST −C0−P0, ST < K.

• gâtuirea (eng., strangle). Este o operatiune similara cu prima dubla, în care unadintre caracteristicile pentru call si put, de exemplu pretul de exercitiu K, estediferita.

4.5 Optiuni exotice 53

Figura 4.7: Profitul pentru o prima dubla.

4.5 Optiuni exoticeOptiunile exotice sunt acele optiuni ce nu sunt de tip european sau american. Acesteoptiuni sunt de foarte multe tipuri, multe dintre ele se inventeaza aproape zilnic, în functiede necesitatile investitorilor. Mai jos vom mentiona doar câteva dintre ele.

Optiuni asiatice

Aceste optiuni tin cont de istoria pretului activului suport pâna la scadenta, astfel caîn functia de plata (functia pay-off) pentru un call european se înlocuieste ST (valoareaactivului suport la scadenta) printr-o medie (sub forma unei integrale) a valorilor lui S înintervalul [0, T ]. De exemplu:

• valoarea la scadenta pentru un call asiatic de pret mediu (eng., fixed strike asian call)cu pretul de exercitiu K si scadenta T este

f (T,ST ) = max

1T

∫ T

0St dt−K; 0

. (4.5.4)

• valoarea la scadenta pentru un put asiatic de pret mediu (eng., fixed strike Asian put)pretul de exercitiu K si scadenta T este

g(T,ST ) = max

K− 1T

∫ T

0St dt; 0

. (4.5.5)

• valoarea la scadenta pentru un call asiatic de exercitiu (eng., floating strike Asiancall) scadenta T este

f (T,ST ) = max

ST −1T

∫ T

0St dt; 0

. (4.5.6)

• valoarea la scadenta pentru un put asiatic de exercitiu (eng., floating strike Asianput) scadenta T este

g(T,ST ) = max

1T

∫ T

0St dt−ST ; 0

. (4.5.7)

Observatia 4.5 Un exemplu de utilitate a unei optiuni asiatice pe piata financiara: Pre-supunem ca un investitor întreprinde afaceri în doua tari cu monede proprii diferite (e.g.,în US si în EU). Deoarece profitul afacerilor acestuia depinde de ratele de schimb valutardintre cele doua valute, acesta ar putea alege sa se protejeze împotriva riscului, alegând saconsidere o medie a acestor rate de schimb valutare în decursul perioadei [0, T ].


Optiuni bariera

În cazul acestor optiuni, functia pay-off se va activa/dezactiva daca pretul activului suportva trece sau nu de o anumita valoare (bariera). De exemplu:

• valoarea la scadenta pentru un down-and-out call este 0 daca valoarea activuluisuport scade la un moment dat sub o valoare data B < S0 si devine un call europeandaca nu se întâmpla aceasta.

• functia pay-off la scadenta pentru un down-and-in call este 0, în afara de cazul încare valoarea activului suport scade la un moment dat sub o valoare data B < S0, cazîn care devine un call european. În mod evident, avem relatia:

Cout +Cin =CE .

Optiuni lookback

Functia de plata pentru aceste optiuni depinde ori de valoarea minima, ori de cea maximape care o poate atinge activul suport în perioada [0, T ]. Notam:

Smin = mint∈[0,T ]

St si Smax = maxt∈[0,T ]

St .

Putem defini urmatoarele optiuni:• un call lookback cu pret fix cu scadenta T si pretul de exercitiu K, este o optiune cu

valoarea la scadenta data de:

f (T, ST ) = maxSmax−K; 0. (4.5.8)

• un put lookback cu pret fix cu scadenta T si pretul de exercitiu K, este o optiune cuvaloarea la scadenta data de:

g(T, ST ) = maxK−Smin; 0. (4.5.9)

• un call lookback cu pret variabil cu scadenta T este o optiune cu valoarea la scadentadata de:

h(T, ST ) = ST −Smin. (4.5.10)

• un put lookback cu pret variabil cu scadenta T este o optiune cu valoarea la scadentadata de:

k(T, ST ) = Smax−ST . (4.5.11)

4.5.1 Optiunile ca asigurareOptiunile pot fi folosite ca asigurare în situatii nesigure ale pietei. Este usor de întelesfaptul ca optiunile vin cu asigurare, deoarece optiunea este exercitata doar daca aceastaaduce un avantaj detinatorului. De exemplu, sa presupunem ca ati ezitat la un momentdat sa cumparati actiuni la o anumita firma, parându-se în acel moment ceva neprofitabilsau chiar prea riscant. Dar, în schimbul cumpararii acelor actiuni, ati putea achizitiona


o optiune de tip call, care sa va confere dreptul (nu si obligatia) de a le cumpara la unmoment viitor. În cazul în care firma devine foarte profitabila si actiunile cresc în valoare,atunci nu veti mai putea spune: ”Acum mi-as fi dorit sa fi cumparat acel pachet de actiunicând am avut ocazia”. Pe de alta parte, daca acele actiuni se devalorizeaza în timp, atuncinu mai puteti spune: ”Îmi doresc sa nu fi cumparat acel activ”. În mod similar, daca detii ooptiune de tip put, nu vei mai fi la un moment viitor în situatia de a spune: ”Mi-as fi doritsa fi pastrat acel activ” sau ”Ar fi trebuit sa vând acel activ la momentul potrivit”.

4.6 Probleme rezolvateExercitiu 4.6.1 Un put european cu pretul de exercitiu de 200RON si scadenta de 6 luni,asupra unui activ suport ce nu genereaza dividende, se tranzactioneaza acum cu 4RON.Valoarea actuala a activului suport este de 185RON si dobânda anuala lipsita de risc este de10% p.a. Investigati daca exista oportunitati de arbitraj. În caz afirmativ, construiti o astfelde strategie.R: Daca piata ar fi lipsita de arbitraj, atunci ar avea loc paritatea put-call: S0+P0−C0 =Ke−rT . Înlocuind numeric, gasim ca

189−C0 = 185+4−C0 > 200e−0.05 = 190.2459.

Cum C0 > 0, relatia de mai sus este imposibila. Asadar, exista oportunitati de arbitraj.Construim o strategie de arbitraj dupa cum urmeaza.

t = 0 Împrumut 189 = (4+185) RON: +189 RON

Cumpar activ suport: −184 RON

deschid o pozitie long put: −4 RON

−−−−−−−−−−= 0

· · · · ·· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · ··t = 0.5 Închid pozitia long put (i.e., vând activ suport): +200 RON

returnez împrumut + dobânda aferenta: −198.6902 RON

−−−−−−−−−−1.3098 > 0.

Exercitiu 4.6.2 În ultimele doua luni, actiunile companiei CompRO au fost tranzactionatecu preturi situate într-un interval de lungime mica (spunem astfel ca volatilitatea pretuluiactiunilor este mica). Totusi, Tim Broker are convingerea ca, în urmatoarele trei luni,lucrurile nu vor mai sta asa si pretul actiunilor va avea variatii mult mai mari, desi nu stieîn ce directie anume. Pretul actual al unui pachet de actiuni este de 148.5 RON iar o optiunede cumparare a pachetului de actiuni, dupa exact trei luni, cu pretul de exercitiu pentru de154 RON este 1.23 RON. Rata fara risc a dobânzii este r = 0.06.(a) Determinati pretul de vânzare a pachetului de actiuni, dupa exact trei luni, cu 150 RON.(b) Construiti o strategie de investitii cu optiuni care sa poata valorifica convingerea luiTim Broker relativa la pretul viitor al optiunilor companiei CompRO. Care ar trebui sa fievariatia minima a pretului actiunilor pentru ca investitia lui Tim sa aduca profit?R: (a) Stim ca S0 = 148.5, C0 = 1.23, K = 150, T = 1/4. Folosim paritatea put-call:

S0 +P0−C0 = Ke−rT , de unde


P0 = Ke−rT +C0−S0 = (150e−0.06/4 +1.23−148.5)RON≈ 0.50 RON.

(b) Cumparam un numar egal (n) de optiuni call si put pentru acelasi activ suport (pachetulde actiuni), acelasi pret de exercitiu (aici, 150 RON) si aceeasi scadenta (T = 1/4). Strategiase numeste straddle si vom obtine profit daca pretul pachetului de optiuni variaza sufucientde mult (vezi Figura 4.7). Pretul acestei investitii este n · (C0 +P0) RON= 1.73n RON, carereprezinta si pierderea maxima ce o putem avea în urma acestei investitii. Functia pay-offla scadenta pentru aceasta strategie este

Π1/4 =

S1/4−151.73, S1/4 ≥ 150;148.27−S1/4, S1/4 < 150.

Asadar, pentru a avea profit net, va trebui ca pretul pachetului de actiuni la scadenta (S1/4)sa fie ori mai mare de 151.73, ori mai mic de 148.27. Pretul asteptat al pachetului deactiuni (fara risc) este S1/4 = 148.5e0.06/4 RON≈ 150.74 RON.Exercitiu 4.6.3 Jim are doar doua active în portofoliul sau: a vândut cu 2.45 RON o optiunecall pentru actiunile TLC, cu pretul de exercitiu 125 RON si maturitatea de o luna, si avândut cu 3.25 RON o optiune put pentru actiunile TLC, cu pretul de exercitiu 105 RON simaturitatea de o luna (r = 0).(a) Reprezentati grafic functia pay-off pentru aceasta investitie dupa exact o luna.(b) Care ar fi profitul/pierderea daca actiunile TLC se vând cu 110 RON dupa exact o luna?Dar cu 135 RON?R: Notam prin K1 = 105, K2 = 125, C0 = 2.45, P0 = 3.25. Functia pay-off este

Π 112=C0− (S 1

12−K)++P0− (K−S 1

12)+

=

C0 +P0 +S 1

12−105, S 1

12≤ 105;

C0 +P0, 105 < S 112< 125.

C0 +P0 +125−S 112, S 1

12≥ 125.

de unde

Π 112=

S 1

12−99.30, S 1

12≤ 105;

5.70, 105 < S 112< 125.

130.70−S 112, S 1

12≥ 125.

O astfel de strategie se numeste short strangle (vânzare de call si de put, cu aceeasiscadenta, dar cu preturi de exercitiu diferite).(b) Daca S 1

12= 110 RON, atunci profitul este de 5.70 RON. Daca S 1

12= 135 RON, atunci

pierderea este de 4.30 RON.Exercitiu 4.6.4


Construiti un portofoliu al carui profit net la sca-denta (valoarea portofoliului la scadenta minuspretul platit pe portofoliu) sa fie cel reprezentatgrafic în figura alaturata (se va lua r = 0).

R: Consideram urmatorul portofoliu:− o pozitie long put asupra unui activ suport, cu scadenta T si pretul de exercitiu 58.Valoarea acestei optiuni este P0 = 4,− o pozitie long call asupra aceluiasi activ suport, cu scadenta T si pretul de exercitiu 64.Valoarea aceste optiuni este C0 = 2.Valoarea acestui portofoliu la scadenta este:

ΠT = max58−ST , 0−4+maxST −64, 0−2 =

52−ST , ST ≤ 58;−6, 58 < ST < 64.ST −70, ST ≥ 64.

Un astfel de portofoliu se numeste long strangle (cumparare de call si de put, cu aceeasiscadenta, dar cu preturi de exercitiu diferite).Exercitiu 4.6.5 Descrieti valoarea la t = T a urmatorului portofoliu:− o pozitie long forward asupra unui activ suport, cu maturitatea T ;− o pozitie long put asupra aceluiasi activ suport si aceeasi maturitate T , cu pretul deexercitiu egal cu pretul forward la momentul semnarii contractului forward.R: Fie St valoarea activului suport la momentul t. Valoarea la t = T a contractuluiforward de mai sus este ΠT = ST −F0 (aici F0 este pretul forward), iar a optiunii estePT = maxF0−ST ; 0. Atunci, valoarea portofoliului este

ΠT +PT = ST −F0 +maxF0−ST ; 0=

0, ST ≤ F0,

ST −F0, ST > F0= maxST −F0; 0.

Se observa ca valoarea acestui portofoliu este, de fapt, egala cu valoarea unui call europeanasupra aceluiasi activ suport si aceeasi maturitate T , cu pretul de exercitiu egal cu pretulforward.

Exercitiu 4.6.6 Consideram urmatorul portofoliu:− long 1 AlertComp 70 call− short 1 AlertComp 75 call− long 1 AlertComp 65 put− short 1 AlertComp 60 putAici, “long 1 AlertComp 70 call” semnifica o pozitie long call asupra unui pachet de actiuniale companiei AlertComp cu pretul de exercitiu 70. Toate optiunile din portofoliu auaceeasi scadenta. Stiind ca pretul platit initial pe acest portofoliu este 2, construiti graficulprofitului net la scadenta pentru acest portofoliu (se va lua r = 0).R: Notam C0l si C0s primele pentru long call, respectiv, short call, si cu P0l si P0s primele


pentru long put, respectiv, short put. Valoarea acestui portofoliu la scadenta este:

ΠT = [(ST −70)+−C0l]+ [C0s− (ST −75)+]+ [(65−ST )+−P0l]+ [P0s− (60−ST )

+].

De asemenea, stim ca C0s−C0l +P0s−P0l =−2. Atunci,

ΠT =

3, ST ≤ 60;63−ST , 60 < ST < 65.−2, 65≤ ST ≤ 70.ST −72, 70 < ST < 75.3, ST ≥ 75.

O astfel de strategie se numeste condor.Exercitiu 4.6.7 Pretul unui call american asupra unui activ suport ce nu genereaza divi-dende este $3.50. Pretul activului este $41, pretul de exercitiu este $40 si maturitate estede trei luni. Rata fara risc este de 6%. Determinati limite minime si maxime pentru un putamerican asupra aceluiasi activ suport, cu aceeasi scadenta si acelasi pret de exercitiu.R: Folosim (4.3.3). Gasim ca

CA0 +Ke−rT −S0 ≤ PA

0 ≤CA0 +K−S0,

de unde $1.90≤ PA0 ≤ $2.50.

Exercitiu 4.6.8 Creati valoarea unui contract forward folosind doua contracte cu optiuni.R: Consideram portofoliul creat dintr-un long call si un short put, ambele având

aceleasi caracteristici (acelasi activ suport ce nu genereaza dividende, aceeasi maturitatesi acelasi pret de exercitiu) si aceleasi valori de tranzationare (i.e., C0 = P0). Valoareaportofoliului la scadenta t = T va fi

ΠT = maxST −K, 0−C0erT +P0erT −maxK−ST , 0

=

ST −K, ST ≤ K,

ST −K, ST > K.= ST −K,

adica are aceeati valoare cu a unui contract forward cu pretul forward F0 = K.Exercitiu 4.6.9 Un pachet de actiuni costa astazi 100 lei. Dorim sa calculam valoarea unuiput european cu pretul de exercitiu K = 110, scadenta T = 2 ani. Rata dobânzii lipsita derisc este r = 0.04. Folosind paritatea put-call, sa se calculeze valoarea unui call europeanavând la baza aceleasi caracteristici ca si contractul put european anterior.R: Putem scrie solutia în MATLAB astfel:

S0=100; K=110; T=2; r=0.04;

ST = S0*exp(r*T);

disp('Valoarea pentru put european:')

PT = max(K-ST,0);

disp('Valoarea pentru call european:')

CT = ST+PT-K;

for t=1:2

profit(t)=max(K-S0*exp(r*t),0)-max(K-S0,0);

end

plot(t,profit,'*b'); legend(' = profitul')

4.7 Probleme propuse 59

4.7 Probleme propuse

Exercitiu 4.7.1 Un call european cu pretul de exercitiu K = £30 si scadenta de 6 luni,asupra unui activ suport ce nu genereaza dividende, valoreaza acum cu £0.50. Valoareaactuala a activului suport este de £32 si rata unitara anuala lipsita de risc este 6.4% p.a.Investigati daca exista oportunitati de arbitraj. În caz afirmativ, construiti o astfel destrategie.Exercitiu 4.7.2 Un investitor cumpara un put european pentru un pachet de actiuni cu2RON. Pretul pachetului de actiuni este acum 50RON si pretul de exercitiu este 49RON.(a) În ce situatie va avea cumparatorul profit?(b) Când va fi optiunea exercitata?(c) Desenati o diagrama care sa reprezinte profitul cumparatorului la maturitate.Exercitiu 4.7.3 Un investitor vinde un call european pentru un pachet de actiuni cu 2RON.Pretul pachetului de actiuni este acum 49RON si pretul de exercitiu este 50RON.(a) În ce situatie va avea cumparatorul profit?(b) Când va fi optiunea exercitata?(c) Desenati o diagrama care sa reprezinte profitul cumparatorului la maturitate.Exercitiu 4.7.4 Descrieti si reprezentati grafic profitul pentru urmatorul portofoliu deinvestitii asupra aceluiasi activ suport: un contract long forward (LF), o pozitie long într-unput european (PE), cu aceeasi maturitate ca si LF, cu pretul de exercitiu egal cu pretulforward stabilit pentru livrarea prin LF.Aratati ca, în acest caz, prima pentru contractul put european este aceeasi cu prima pentruun call European stabilit la momentul initierii portofoliului, asupra aceluiasi activ suport,cu acelasi pret de exercitare si maturitate ca PE.Exercitiu 4.7.5 Determinati o margine inferioara pentru o optiune call cu maturitatea de 4luni asupra unui activ suport ce nu genereaza dividende, stiind ca pretul actual al activuluisuport este 30RON, pretul de exercitiu este 27RON si rata unitara anuala lipsita de risc estede 5% pe an.Exercitiu 4.7.6 Determinati o margine inferioara pentru o optiune put europeana cu matu-ritatea de 3 luni asupra unui activ suport ce nu genereaza dividende, stiind ca pretul actualal activului suport este 27RON, pretul de exercitiu este 30RON si rata unitara anuala lipsitade risc este de 5% pe an.Exercitiu 4.7.7 Desenati diagrama pentru functia de plata (pay-off) pentru o prima dubla100call & 100 put cu C0 = 3, P0 = 4.Exercitiu 4.7.8 Determinati si reprezentati grafic functia de plata (pay-off) pentru un100call−110call bull spread, cu Cc

0 = 3, Cv0 = 2.

Exercitiu 4.7.9 Un call european cu pretul de exercitiu de 12RON si scadenta de 6 luni,asupra unui activ suport ce nu genereaza dividende, se tranzactioneaza acum cu 2RON.Valoarea actuala a activului suport este de 14RON si dobânda anuala lipsita de risc este de10% p.a. Investigati daca exista oportunitati de arbitraj. În caz afirmativ, construiti o astfelde strategieExercitiu 4.7.10 Consideram trei optiuni de tip put european, P1, P2 si P3, având acelasiactiv suport si aceeasi scadenta. Pentru aceste optiuni, preturile de exercitiu sunt K1 = 50,K2 = 60, K3 = 70, iar preturile de tranzactionare sunt P0

1 = 2, P02 = 3, P0

3 = 5. Construimun portofoliu format din cumpararea optiunilor P1 si P3 si vânzarea a doua optiuni P2.(a) Care este valoarea initiala a portofoliului? Determinati profitul acestui portofoliu lamaturitate.


(b) Reprezentati grafic profitul portofoliului.(c) Folosind paritatea put-call pentru optiuni europene, aratati ca valoarea la scadenta aacestui portofoliu este identica cu valoarea la scadenta a unui portofoliu similar, în careoptiunile put sunt înlocuite cu optiuni de tip call european.Exercitiu 4.7.11 Demonstrati inegalitatile din Observatia 4.4.Exercitiu 4.7.12 Care dintre urmatoarele cinci variante vor genera profit pentru vânzator:(a) un call european în care pretul activului suport e mai mare decât pretul de exercitiu

cu cel putin valoarea primei platite initial pentru call;(b) un put european în care pretul activului suport e mai mare decât pretul de exercitiu;(c) un contract futures în care pretul activului suport scade sub valoarea pretului de

exercitiu;(d) un call european în care pretul activului suport e mai mic decât pretul de exercitiu;(e) o actiune speculativa de tip butterfly spread cu optiuni call în care pretul activului

suport este apropiat de pretul de exercitiu pentru pozitia short;Exercitiu 4.7.13 Care este pierderea maxima pe care o poate avea la scadenta cel ce vindeun put european (pozitia short put)?Exercitiu 4.7.14 Un call european si un put europen asupra unui stoc ce nu genereaza di-vidende, amândoua cu pretul de exercitiu $25 si maturitatea de trei luni, se tranzactioneazafiecare cu $3.50. Daca r = 0.06 p.a. si valoarea actuala a stocului este $20, determinatidaca exista oportunitati de arbitraj.Exercitiu 4.7.15 Explicati de ce valoarea unui call american este cel putin la fel devaloroasa cât valoarea unui call european având aceleasi caracteristici.Exercitiu 4.7.16 Explicati diferentele dintre a scrie un call european si a cumpara un puteuropean, cu aceleasi caracteristici.Exercitiu 4.7.17 Determinati valoarea unui portofoliu format dintr-o pozitie long call siuna short put asupra aceluiasi activ suport, cu aceeasi maturitate si cu acelasi pret deexercitiu.Exercitiu 4.7.18 Un portofoliu este format dintr-o pozitie short put cu pretul de exercitiu205 si un long call cu pretul de exercitiu 200, asupra aceluiasi activ suport si cu aceeasimaturitate. Valorile actuale pentru put si call sunt 1.50 si, respectiv, 3.50. Desenatidiagrama profitului portofoliului la maturitate.

5. Model discret de piata financiara

. A really bad investment is to spend money you haven’t earned,

. to buy things you don’t want, to impress people you don’t like.

Problema fundamentala în modelarea instrumentelor financiare derivate este stabilireapretului lor. Primele modele de evaluare au aparut în 1973, dezvoltate de Black1, Scholes2

si Merton3. Ulterior, Cox, Ross si Rubinstein au introdus un model discret de piatafinanciara, bazat pe arbori binomiali.

În cele ce urmeaza, vom prezenta un model discret de piata financiara cu o singuraperioada, i.e., un model bazat pe un singur interval de timp, [0, T ], iar în acest intervaltranzactiile pot fi facute doar la momentele t = 0 si t = T . Acest model a fost propus deArrow4 si Debreu5. Aici, T > 0 se masoara în ani (e.g., T = 0.5 semnifica o jumatate dean). Pe baza acestui model simplu, vom determina ulterior valoarea corecta (eng., the fairprice sau the arbitrage-free price) a unui derivat financiar tranzactionabil pe aceasta piata.Fixam o rata a dobânzii de referinta, r ≥ 0, si o vom considera ca fiind rata lipsita derisc (eng., risk-free rate) a profitului unei companii. Vom nota cu St valoarea unui activfinanciar la momentul t ∈ [0, T ]. Deoarece suntem în cazul unei piete în care tranzactiile sepot realiza doar într-un numar finit de momente, vom considera ca dobânda se calculeazaîn mod compus. Aceasta înseamna ca, dupa acumularea dobânzii, o suma S0 la momentulinitial t = 0 va valora S0 (1+r)t la momentul t. Invers, orice suma St la momentul t > 0 are

1Fischer Sheffey Black (1938−1995) was an American economist2Myron Samuel Scholes (1941−) is a Canadian-American financial economist3Robert Cox Merton (1944−) is an American economist4Kenneth Joseph Arrow (1921−2017), economist american, cu ambii parinti din Iasi. Premiul Nobel

în Economie în 1972 si Dr.H.C. al Univ. "Al. I. Cuza" din Iasi (2013). Autorul teoremei imposibilitatiiexistentei unei structuri de vot ideale, ce satisface anumite cerinte specifice. Teorema stabileste faptul ca esteimposibil de a determina o ordine clara a preferintelor votantilor daca anumite principii de vot sunt impuse.

5Gérard Debreu (1921−2004), economist si matematician francez/american

62 Capitolul 5. Model discret de piata financiara

valoarea St (1+ r)−t la momentul t = 0. În cazul unui model discret cu o singura perioada,legaturile dintre valorile de interes pentru un activ financiar vor fi: S0 = ST (1+ r)−T siST = S0 (1+ r)T .

Presupuneri de modelare:• costurile de tranzactionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (o presupunere facuta

pentru simplitatea calculelor, desi toate pietele reale implica astfel de costuri). Aîntelege pietele fara frictiuni e un pas înainte în a întelege pe cele cu frictiuni;

• nu sunt restrictii asupra cantitatilor tranzactionate (e.g., putem tranzactiona√

2 sau−√

52 dintr-un activ) si ca aceasta nu va schimba pretul activelor tranzactionate;

• toti investitorii împrumuta sau dau cu împrumut cu aceeasi dobânda r;• investitorii sunt rationali (prefera tot mai mult);• lipsa arbitrajului (presupunere esentiala). Cum am mai mentionat, pe o piata financi-

ara pot exista oportunitati de arbiraj, doar ca atunci când ele apar, sunt exploatate lamaximum si dispar într-un timp foarte scump, de parca nici nu au fost.

5.1 Model de piata cu o singura perioada

În aceasta sectiune vom prezenta un model simplu de piata financiara, fara posibilitatide arbitraj, în care tranzactiile pot fi efectuate doar la doua momente, si anume: t = 0(prezent), timpul la care stim totul despre piata, si t = T (viitor), este punctul terminuspentru toate activitatile economice considerate. De asemenea, presupunem ca exista unnumar finit (posibil mare) de active tranzactionabile. Deciziile de investitii vor fi luate lamomentul t = 0, care vor conduce la rezultate incerte la t = T . Mai întâi, ne propunemsa gasim o caracterizare matematica a lipsei de arbitraj pentru aceasta piata. Acest modelmatematic a fost introdus de K. Arrow si G. Debreu.

Sa presupunem ca pe aceasta piata se pot tranzactiona exact N + 1 active, pe care lenotam cu a0, a1, a2, . . . , aN . De regula se considera ca activul a0 este un activ sigur(e.g., cont bancar sau obligatiune), iar activele a1, a2, . . . , aN sunt active riscante. Scopulprincipal al activului sigur este de a conferi o perceptie a valorii în timp a unitatii monetare.

La momentul initial, un investitor achizitioneaza un portofoliu format din cele N + 1active, pe timpul unei perioade de timp în care le tranzactioneaza (perioada de tranzactio-nare), ceea ce-i confera dreptul de a cere (sau datora) dividende generate de active. Astfel,rezulta un câstig (sau pierdere) de capital.

La maturitate, investitorul lichideaza pozitia si va avea un profit (sau pierdere) net(a) înurma acestor tranzactii. Acest profit (sau aceasta pierdere) este datorat(a) fluctuatiilor depret de pe piata pentru activele detinute.

Sa presupunem ca la sfârsitul perioadei de tranzactionare piata financiara considerata sepoate afla într-una dintre urmatoarele M stari de incertitudine posibile: ω1, ω2, . . . , ωM, iarinvestitorul nu stie cu exactitate în momentul investitiei (i.e., la t = 0) care dintre acestestari va aparea la scadenta T . Presupunem ca probabilitatea P(ω j) > 0, pentru oricej ∈ 1, 2, . . . , M, adica orice stare de incertitudine a pietei este posibila. Vom nota prinSi

t , unde t = 0 sau T si i ∈ 0, 1, . . . , N, valoarea activului ai la momentul t. Mentionamca Si

0 sunt cunoscute investitorului iar SiT = Si

T (ω) sunt necunoscute la momentul t = 0,ele fiind, în fapt, variabile aleatoare. Modelul va fi specificat în totalitate daca se cunosc:

5.1 Model de piata cu o singura perioada 63

• preturile initiale pentru active, adica vectorul S0 = (S00, S1

0, . . . , SN0 )

tr (aici, tr semni-fica transpusa unui vector sau a unei matice),

• valorile activelor la maturitate, specificate în matricea cash-flow (flux de lichiditati):

ST =

S0

T (ω1) S0T (ω2) . . . S0

T (ωM)S1

T (ω1) S1T (ω2) . . . S1

T (ωM). . . . . . . . . . . .

SNT (ω1) SN

T (ω2) . . . SNT (ωM)

.

Elementele matricei ST = ST (ω) reprezinta suma obtinuta/datorata pentru fiecare activ înfiecare din starile posibile la maturitate (linia i reprezinta toate valorile posibile asociate cudetinerea unei unitati din activul i).

Definim un portofoliu (eng., portfolio) de active tranzactionabile printr-un vector θ =(θ0, θ1, . . . , θN)

tr. Aici, θi reprezinta numarul de unitati detinute din activul i= 0, 1, . . . , N.Pentru simplitate, presupunem ca θi ∈ R. Daca:

1. θi > 0, atunci investitorul detine o cantitate θi din activ pâna la scadenta si are dreptulla posibile dividende Si(T, ω j)θi j=1,2, ...,M

2. θi < 0, atunci investitorul vinde short activul (i.e., îl ia cu împrumut si apoi îl vinde)si va avea posibilele datorii Si(T, ω j)θi j=1,2, ...,M pâna la scadenta.

Prin Str0 notam pretul initial al portofoliului θ . Acesta este:

Str0 θ =

N

∑i=0

Si0 θi,

iar profitul/pierderea (eng., pay-off) la maturitate (t = T ) va fi data de vectorul StrT θ .

Dinamica pietei:

La momentul initial, t = 0, investim suma Str0 θ =

N

∑i=0

Si0 θi.

La maturitate, t = T , obtinem un câstig/pierdere aleator/-oare: Dtrθ =

N

∑i=0

SiT (ω)θi, care

depinde de starea în care se va afla piata la acel moment, i.e., depinde de ω .

Notatie: Pentru un vector x ∈ Rd , vom spune ca x ≥ 0 daca x ∈ Rd+. Vom spune ca

x > 0 daca x ≥ 0 si x 6= 0. Mentionam ca x > 0 nu înseamna ca x este pozitiv în toatecoordonatele. Astfel, unele dintre coordonatele lui x pot fi 0, dar nu toate deodata.Definitia 5.1.1 Spunem ca portofoliul θ genereaza oportunitati de arbitraj daca

(a) Str0 θ = 0 si Str

T θ > 0 sau (b) Str0 θ < 0 si Str

T θ ≥ 0.

Observatia 5.1 Din (a) observam ca, desi la momentul initial investitia este zero, lamaturitate obtinem un profit sigur. Conditia (b) spune ca am putea împrumuta bani pentruconsum la t = 0 si sa nu avem nimic de returnat la scadenta, ba chiar este posibil sa obtinemsi un profit, adica am avut un free lunch la t = 0 pe cheltuiala pietei.


Teorema 5.1.1 Spunem ca piata este lipsita de arbitraj daca si numai daca exista un vectorψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψM)tr, cu ψ j > 0, (∀) j = 1, 2, . . . , M, astfel încât

S0 = ST ψ. (5.1.1)

Observatia 5.2 Un astfel de vector ψ se numeste vector de stare. Cu alte cuvinte, lipsaarbitrajului este echivalenta cu existenta unui vector de stare. Teorema anterioara spune caîntr-o piata lipsita de arbitraj trebuie sa existe o anumita relatie între preturile initiale S0 sifluxul de lichiditati ST . Putem rescrie (5.1.1) în forma

S00

S10

...SN

0

=

S0

T (ω1)S1

T (ω1)...SN

T (ω1)

ψ1 +

S0

T (ω2)S1

T (ω2)...SN

T (ω2)

ψ2 + · · ·+

S0

T (ωM)S1

T (ωM)...SN

T (ωM)

ψM

Vectorul multiplicat cu ψi este vectorul pret al activului suport în cazul în care acesta seafla în starea ωi la maturitate.

Demonstratie. ”⇐: ” Presupunem ca S0 = ST ψ , ceea ce implica

Str0 θ = (ST ψ)tr

θ = ψtrStr

T θ . (5.1.2)

Daca presupunem prin absurd ca θ este un portofoliu ce genereaza oportunitati de arbitraj,atunci

Str0 θ < 0 si Str

T θ ≥ 0 ⇒ ψtrStr

T θ ≥ 0,

sauStr

0 θ = 0 si StrT θ > 0 ⇒ ψ

trStrT θ > 0,

care conduc la o contradictie cu (5.1.2).”⇒: ” Pentru a demonstra aceasta implicatie, ne vom folosi de o lema. Sa consideram

conul convex

RM+1+ = x ∈ RM+1; xi ≥ 0, (∀) i = 1, 2, . . . , M+1 ⊂ RM+1.

(C este con convex daca x ∈ C ⇒ λx ∈ C , (∀) λ > 0.)

si fie subspatiul liniar L⊂ RM+1, definit prin L =

(−Str

0 θ

StrT θ

), θ ∈ RN+1

.

Lema 5.1.2 Într-o piata lipsita de arbitraj avem

L⋂

RM+1+ = 0. (5.1.3)

Demonstratie. Într-adevar, daca am presupune prin absurd ca a, b ∈ L⋂RM+1+ , atunci

cu siguranta a≥ 0 si b≥ 0.Daca am presupune ca a > 0 si b > 0, aceasta implica −Str

0 θ > 0 si StrT θ > 0, ceea ce

implica oportunitate de arbitraj.Daca presupunem a = 0 si b > 0, atunci Str

0 θ = 0 si StrT θ > 0, ceea ce înseamna arbitraj.

În sfârsit, daca a > 0 si b = 0, atunci Str0 θ < 0 si Str

T θ = 0, adica oportunitate de arbitraj.


Acum sa trecem la demonstrarea implicatiei directe. Din faptul ca RM+1+ nu e subspatiu

liniar al lui RM+1, L e un subspatiu liniar al lui RM+1 si (5.1.3), obtinem ca (folosind oteorema de separare de tip Hahn-Banach) exista un hiperplan H de forma

H = x ∈ RM+1;M

∑i=0

λixi = 0 ⊂ RM+1,

astfel încât L⊂H si H⋂RM+1+ = 0. Aici, λ = (λ0, λ ) ∈RM+1 si λ = (λ1, λ2, . . . , λM).

Dar H⋂RM+1+ = 0⇒ λi > 0, pentru toti i, ori λi < 0, pentru toti i.

(λ este directia normala la H)

Din L⊂ H⇒−λ0Str0 θ + λStr

T θ = 0, (∀) θ ⇒ Str0 =

λ

λ0Str

T .

Daca alegem ψ =1λ0

λtr, i = 1, 2, . . . , M, atunci avem S0 = ST ψ .

Observatia 5.3 Componentele ψ j ale vectorului de stare ψ , j = 1, 2, . . . , M, se numescpreturi de stare.

5.1.1 Interpretare probabilistica

Fie ψ∗ =M

∑k=1

ψk si consideram

ψ =

(ψ1

ψ∗,

ψ2

ψ∗, . . . ,

ψM

ψ∗

),

care este un vector ce are drept componente niste cantitati pozitive, numite probabilitatineutre la risc (eng., riskless probabilities) sau probabilitati ajustate la risc. Mai spunem ca

ψ defineste o masura martingala echivalenta (MME). Avem:M

∑k=1

ψk = 1 si ψk ≥ 0, (∀) k,

deci le putem considera ca fiind probabilitati ale unei repartitii discrete, si anume,

Q(ω) =M

∑j=1

ψ jχA j(ω), unde χA j =

1, daca ω = ω j0, daca ω 6= ω j.

,

unde ψ j = P(ω = ω j). În cuvinte, ψ j este probabilitatea ca starea pietei la scadenta safie ω j.

Tinând cont de aceasta repartitie, preturile la scadenta aleactivului financiar sunt:

ST (ω) ST (ω1) ST (ω2) . . . ST (ω j) . . . ST (ωM)p ψ1 ψ2 . . . ψ j . . . ψM

Vrem sa-l determinam pe ψ∗. Sa presupunem ca piata permite împrumuturi lipsite derisc, i.e., exista un portofoliu θ care are aceeasi valoare la scadenta, indiferent de starea de


incertitudine a pietei, adica

StrT θ =

11...1

∈MM×1.

Pentru simplitatea calculelor, am considerat ca valoarea portofoliului la maturitate este 1,indiferent de starea în care se afla piata.

Dorim sa calculam pretul initial al acestui portofoliu. Deoarece ψ este un vector de stare,atunci folosind teorema anterioara putem scrie:

Str0 θ = (ST ψ)tr

θ = ψtr(Str

T θ) = ψtr

11...1

=M

∑j=1

ψk = ψ∗,

de unde rezulta ca ψ∗ este chiar factorul de actualizare (adica ψ∗ = (1+ r)−T ) pentru unîmprumut fara risc. Asadar, avem

Str0 θ = ψ

∗.

Putem calcula valoarea asteptata a pretului activului SiT (ω) în raport cu repartitia de

probabilitate data de ψ . Folosind (5.1.1), avem:

EQ[SiT (ω)] =

M

∑j=1

SiT (ω j)

ψ j

ψ∗=

1ψ∗

M

∑j=1

SiT (ω j)ψ j =

1ψ∗

Si0.

Aici, prin EQ[X ] am notat valoarea asteptata (media) a variabilei aleatoare X în raport curepartitia Q. Asadar,

Si0 = ψ

∗EQ[SiT (ω)] = (1+ r)−TEQ[Si

T (ω)], i = 0, 1, 2, . . . , N. (5.1.4)

Astfel, putem demonstra urmatoarea teorema:Teorema 5.1.3 Presupunem ca într-o piata lipsita de arbitraj exista oportunitati de investitiineriscante (împrumuturi) cu o rata unitara anuala r. Atunci exista o masura de probabilitateastfel încât valoarea initiala a oricarui portofoliu este egala cu valoarea asteptata actualizataa fluxurilor de lichiditati viitoare corespunzatoare investitiei.

Demonstratie. Folosind relatia (5.1.4), gasim ca valoarea initiala a unui portofoliu θ este

Str0 θ = (S0

0, S10, . . . , SN

0 )θ

= (1+ r)−T (EQ[S0T (ω)], EQ[S1

T (ω)], . . . , EQ[SNT (ω)])θ

= (1+ r)−TN

∑i=0

EQ[SiT (ω)]θi

= (1+ r)−TEQ[StrT (ω)θ ],

unde ST (ω) = [S0T (ω), S1

T (ω), . . . , SNT (ω)].


Observatia 5.4 Daca dobânda se calculeaza în mod compus, atunci avem:

Str0 θ = e−rTEQ[ST (ω)θ ].

Pentru a întelege mai bine masurile neutre la risc, vom prezenta ce înseamna acestea încazul pariurilor.

5.1.2 Exemplu de piata financiara cu oportunitati de arbitrajO casa de pariuri va cota un eveniment cu ”m− n pentru ” (eng., odds on) ca el sa serealizeze daca din n+m repetitii ale evenimentului, vom astepta ca acel eveniment sa serealizeze de m ori si nu se va realiza în celelalte n cazuri. Astfel, "probabilitatea implicita"de realizare a evenimentului este m

m+n . Pe de alta parte, vom spune ca o casa de pariuriva cota un eveniment cu ”m − n împotriva ” (eng., odds against) ca evenimentul sa seîntâmple atunci când evenimentul nu are loc în m dintre cele m+n cazuri, si are loc încelelalte n cazuri. O casa de pariuri va folosi mai degraba ”m − n împotriva ”, decâtcealalta varianta. De exemplu, daca un parior va paria pentru ca un cal sa câstige o cursa,stiind ca el este cotat cu ”5−2 împotriva ”, atunci pentru fiecare C2 pariati primesti C5,plus cei C2 înapoi.Exercitiu 5.1.1 Ion este acum bookmaker. La un meci de fotbal între echipele Suedieisi României, sansele reale pentru o victorie a Suediei sunt de 60%, pentru o victorie aRomâniei sunt de 10%, iar sansa unui rezultat egal este de 30%. Daca Ion doreste un joccinstit pentru clientii casei de pariuri, care ar trebui sa fie cotele corecte pariurilor? (joccinstit = joc în care sansa ca un participant la joc sa obtina profit este 0.)R: Presupunem ca Ana doreste sa parieze C1 ca Suedia sa câstige, care este cotat la casade pariuri cu sansele ”x − 1 împotriva”. Profitul Anei va fi

WA x −1pA 0.6 0.4

Pariul e cinstit daca E(WA) = 0.6 · x+0.4 · (−1) = 0, de unde x = 23 . Asadar cota cinstita

pentru ca Suedia sa câstige este ”23 − 1 împotriva ”, echivalent cu ”2 − 3 împotriva ”.

În mod similar, gasim ca o cota cinstita pentru ca România sa câstige este ”9 − 1 împo-triva”, iar pentru egalitate cota corecta este ”7 − 3 împotriva”.

În general, daca un eveniment se realizeaza cu probabilitatea p, atunci cotarea corecta lacasa de pariuri (eng., odds against) este

′′x−1 împotriva”, cu x =1− p

p.

Însa, în realitate lucrurile stau cu totul diferit. Casa de pariuri doreste sa obtina profit dinpariuri, astfel nu si-ar putea justifica existenta. Mai mult, va dori sa aiba un profit ce sa nudepinda de rezultatul evenimentului. Sa presupunem ca suntem în cazul în care casa depariuri doreste sa câstige un procent, sa spunem 10%, din întreaga suma pariata de pariori.Pentru simplitatea calculelor, sa mai presupunem ca, daca seful de la pariuri presimte casansele Suediei de a câstiga sunt de 60%, atunci poate presupune ca 60% din suma pariatava fi pentru ca Suedia sa câstige evenimentul. Un rationament similar se poate aplica si


pentru celelalte doua cazuri, astfel ca putem presupune ca 10% din suma totala a fostpariata pe România sâ câstige, iar 30% din suma pariata pe un rezultat de egalitate.

Sa presupunem ca întreaga suma pariata este S, iar casa de pariuri doreste sa stabileascacotele x−1, y−1 si z−1 pentru ca Suedia, România, respectiv, niciuna dintre cele douasa câstige meciul, astfel încât sa obtina profit oricare ar fi rezultatul meciului.Daca Suedia va câstiga meciul, atunci casa de pariuri va ramâne cu suma S−0.6 ·S(x+1)=0.1 ·S, de unde x = 1

2 .Daca România va câstiga meciul, atunci casa de pariuri va ramâne cu suma S−0.1 ·S(y+1) = 0.1 ·S, de unde y = 8.Daca meciul se va termina la egalitate, atunci casa de pariuri va ramâne cu suma S−0.3 ·S(z+1) = 0.1 ·S, de unde z = 2.

Echipa Prob. lipsite de risc Cote corecte Prob. modificate Cote modificateSuedia 0.6 2−3 2/3 1−2

România 0.1 9−1 1/9 8−1Egalitate 0.3 7−3 1/3 2−1

Tabela 5.1: Cote corecte si cote modificate pentru pariuri.

În cazul în care casa de pariuri îsi propune sa câstige indiferent de rezultat (ceea ce estefiresc si se întâmpla de fiecare data în realitate), atunci suma probabilitatilor din penultimacoloana a Tabelului 5.1 este mai mare decât 1.

Interpretarea este urmatoarea: piata pariurilor nu este una viabila, adica exista posibilitatide arbitraj. Ca aceasta piata sa fie viabila, ar fi trebuit ca înaintea meciului sa apara afisatecotele corecte, adica cele din a treia coloana a Tabelului 5.1, implicit, probabilitatile neutrede risc din a doua coloana.

5.1.3 Piata completaSa presupunem ca pe o piata pot fi tranzactionate N +1 active si ca fiecare activ poate fi, lascadenta, în una din cele M stari posibile, (ω1, ω2, . . . , ωM).Definitia 5.1.2

1. Spunem ca un activ financiar este accesibil (sau ca poate fi protejat împotrivariscului sau reproductibil) (eng., hedgeable, replicated sau reachable) daca existaun portofoliu (θ0, θ1, . . . , θN)

tr de active astfel încât activul financiar si portofoliulgenereaza la t = T fluxuri de lichiditati identice.

2. Un astfel de portofoliu se numeste portofoliu de acoperire sau reproductibil (repli-cating portfolio sau hedgeable portfolio).

3. O piata financiara este o piata completa daca este lipsita de arbitraj si orice valoarea unui activ financiar este accesibila. Daca exista un activ a carui valoare nu esteaccesibila, atunci piata financiara este incompleta.Mai precis, o piata cu N + 1 active tranzactionabile si M stari posibile se nu-meste piata completa daca, pentru orice vector de lichiditati (cash-flow) X =(X1, X2, . . . , XM), exista un portofoliu θ = (θ0, θ1, . . . , θN) de active ce are valoareaX j în starea ω j, j = 1, 2, . . . , M.


Deoarece portofoliul de acoperire si activul au fluxuri de lichiditati identice (la t = T ),lipsa arbitrajului de pe piata implica faptul ca ele au si aceeasi valoare initiala. În cazcontrar, putem contrui o oportunitate de arbitraj ori prin vânzarea short a portofoliului sicumpararea activului (în cazul în care valoarea portofoliului este mai mare decât cea aactivului), ori prin vânzarea short a activului si cumpararea portofoliului (daca valoareaportofoliului este mai mica decât valoarea activului financiar). Asadar, putem enuntaurmatoarea propozitie:

Propozitia 5.1.4 Într-o piata lipsita de arbitraj, daca un activ financiar admite un portofoliureproductibil, atunci valoarea activului este aceeasi cu cea a portofoliului, în orice moment.

Prin definitie, o piata financiara viabila este si completa daca orice activ financiar poatefi replicat printr-un portofoliu de active deja existente pe piata.Completitudinea pietei este echivalenta cu existenta unui portofoliu θ = (θ0, θ1, . . . , θN)de active existente pe piata, astfel încât, pentru orice X = (X1, X2, . . . , XM),

StrT θ = X , (5.1.5)

unde ST = (SiT (ω j)), i = 0, 1, . . . , N, j = 1, 2, . . . , M, este matricea cash flow. Aceasta

relatie este echivalenta cu faptul ca sistemul

N

∑i=0

SiT (ω j)θi = X j, j = 1, 2, . . . , M (5.1.6)

are solutia θ ∈RN+1, pentru orice X ∈RM. Din Algebra liniara stim ca aceasta proprietateeste satisfacuta daca

rang ST = M. (5.1.7)

Proprietatea de completitudine a pietei financiare este una foarte tare, care simplifica multevaluarea pretului derivatelor financiare. Folosind relatia (5.1.7) pentru sistemul de ecuatii(5.1.1) (cu necunoscutele ψ j), regula lui Cramer ne da o solutie unica (ψ1, ψ2, . . . , ψM).Asadar, daca într-o piata financiara nu exista oportunitati de arbitraj, atunci exista un unicvector de stare, ceea ce implica un unic set de probabilitati neutre la risc. Invers, dacaexista un unic vector de stare, atunci piata este completa.Cu alte cuvinte, avem:

Propozitia 5.1.5 O piata viabila (lipsita de arbitraj) este completa daca si numai dacaexista o unica masura martingala echivalenta.

Altfel spus, o piata viabila (lipsita de arbitraj) este completa daca si numai daca exista ununic sistem de preturi.

Observatia 5.5 (a) Daca într-o piata financiara numarul de active tranzactionabile estemai mic decât numarul de stari de incertitudine (N + 1 < M), atunci piata nu poate ficompleta.(b) Din punct de vedere tehnic, daca un activ financiar ai din lista celor tranzactionabileeste asa încât Si

t(ω j)> 0 (i = 0, 1, . . . , N, j = 1, 2, . . . , M), atunci îl putem alege dreptactiv de referinta si putem determina toate celelalte preturi relativ la acest activ (i.e., înunitati din acest activ). Un astfel de activ de referinta se numeste numerar (fr., numéraire).


5.2 Probleme rezolvateExercitiu 5.2.1 Consideram un model de piata financiara cu o sigura perioada (T ), în carese pot tranzactiona doar: o obligatiune cu B0 = 1 si BT = 1.05, si un activ riscant, cuS0 = 10 si ST = (9, 12, 8).(a) Cercetati viabilitatea pietei. Este piata completa?(b) Determinati limite pentru valoarea lipsita de arbitraj la momentul 0 a unui activ ce areurmatorul flux de lichiditati la scadenta: XT = (15, 20, 10).

R: (a) Verificam daca exista un vector ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) astfel încât ψi > 0, i = 1, 2, 3,si formula (5.1.1) sa fie satisfacuta. Distributia initiala de pret si matricea cash-flow sunt

S0 =

[1

10

]si ST =

[1.05 1.05 1.05

9 10 8

]Rezolvând sistemul S0 = ST ψ , obtinem:

ψ1 =1021− 4

3α, ψ2 =

1021

+α

3, ψ3 = α, α ∈ R.

Pentru ca piata sa fie lipsita de arbitraj, va trebui sa avem φi > 0, i = 1, 2, 3, de unde:

0 < α <514

.

Asadar, existenta a macar unei solutii pentru acest sistem ne spune ca piata considerataeste fara arbitraj. Deoarece solutia nu este unica, piata nu este completa.(b) Pentru un α aflat între 0 si 5/14, putem normaliza vectorul ψ aflat anterior si obtinem:

ψ =

(12− 7

5α,

12+

720

α,2120

α

).

Astfel, distributia de preturi la scadenta pentru activul al carui pret este Xt va fi:

XT 15 20 10p 1

2 −75α

12 +

720α

2120α

Valoarea sa la momentul t = 0 va fi

X0 = (1+ r)−T[(

12− 7

5α

)·15+

(12+

720

α

)·20+

2120

α ·10]=

103(5−α).

Am folosit faptul ca (1+ r)−T = 2021 . Tinând cont de limitele lui α , gasim ca valoarea

initiala a lui X0 care nu genereaza oportunitati de arbitraj trebuie sa satisfaca

15.47≈ 32521

< X0 <35021≈ 16.67.

Exercitiu 5.2.2 Consideram un model de piata financiara cu o perioada si trei stari deincertitudine ω1, ω2, ω3, în care singurele active tranzactionabile sunt: un activ sigur(notat aici prin B) si doua active riscante (notate aici prin S1

t si S2t ). Stim ca B0 = 10, S1

0 =24, S2

0 = 40, iar la scadenta scadenta T diagrama de preturi este:


ω1 ω2 ω3BT 12 12 12S1

T 20 26 30S2

T 36 42 50

(a) Verificati daca piata considerata este lipsita de arbitraj. Este piata completa?(b) Determinati masura martingala echivalenta daca activul sigur este numéraire.(c) Determinati masura martingala echivalenta daca activul cu pretul S1

t este numéraire.(d) Consideram un activ derivat (notat aici prin Xt) având activul riscant drept activ suport.Stiind ca la scadenta valorile derivatului pot fi XT (ω1) = 8, XT (ω2) = 14, XT (ω3) = 22,determinati valoarea lipsita de arbitraj a lui D0.

R: (a) Verificam daca exista un vector de stare ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) astfel încât ψi >0, i = 1, 2, 3, si formula (5.1.1) sa fie satisfacuta. Distributia initiala de pret si matriceacash-flow sunt

S0 =

102440

si ST =

12 12 1220 26 3036 42 50

Rezolvând sistemul S0 = ST ψ , obtinem:

ψ1 =1

18> 0, ψ2 =

19> 0, ψ3 =

23> 0,

de unde gasim ca piata este lipsita de arbitraj. Deoarece solutia este unica, piata este sicompleta.(b) Pentru a determina MME, împartim vectorul ψ la suma componentelor (îl normalizam).Obtinem:

ψ =

(230

,4

30,

2430

).

(c) Deoarece activul cu pretul S1t este numéraire, vom raporta celelalte preturi (inclusiv

pentru bond) la pretul acestui activ. În acest sens, împartim pe coloane la valoareacorespunzatoare a activului de referinta. Cu noul activ de referinta, distributia initiala depret si matricea cash-flow devin:

S0 =

10/241

40/24

si ST =

12/20 12/26 12/301 1 1

36/20 42/26 50/30

Verificam acum daca exista un vector de stare ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) astfel încât ψi > 0, i =1, 2, 3 si S0 = ST ψ . Rezolvând sistemul, obtinem:

ψ1 =5

108> 0, ψ2 =

13108

> 0, ψ3 =90

108> 0,

de unde gasim ca piata este lipsita de arbitraj. Deoarece solutia este unica, piata este sicompleta.Deoarece suma ψ1 +ψ2 +ψ3 = 1, masura martingala echivalenta este

ψ =

(5

108,

13108

,90108

).


Se observa ca viabilitatea pietei nu depinde de numéraire.

(d) Pentru bond avem ca BT = (1+ r)T B0, de unde (1+ r)T =1210

. Valoarea asteptata lascadenta a derivatului financiar este

E(XT ) = ψ1 ·XT (ω1)+ ψ2 ·XT (ω2)+ ψ3 ·XT (ω3) =2

30·8+ 4

30·14+

2430·22 = 20,

de unde pretul actual este X0 = (1+ r)−T ·E(XT ) =1012 ·20 = 50

3 ≈ 16.67.

5.3 Probleme propuseExercitiu 5.3.1 Consideram un model de piata financiara cu o sigura perioada (T ), în carese pot tranzactiona doar: o obligatiune cu B0 = 1 si BT = 1 si un activ riscant, cu S0 = 10,ST = (9, 9.5, 10, 10.5).(a) Cercetati viabilitatea pietei. Este piata completa?(b) Determinati limite pentru valoarea lipsita de arbitraj la momentul 0 a unui activ ce areurmatorul flux de lichiditati la scadenta: XT = (2, 3, 2.5, 4).Exercitiu 5.3.2 Consideram un model de piata financiara cu o sigura perioada, cu scadentaT = 1. La scadenta exista patru stari posibile, iar piata este compusa dintr-un bond sidoua active riscante. Valorile la t = 0 ale acestor trei active sunt: 1.02, 3.41 si 2.50,respectiv. Presupunem ca rata dobânzii unitare anuale este 0.03. Posibilele valori la T = 1ale activelor riscante sunt (

3 4 2 52 1 4 2

).

(a) Cercetati viabilitatea si completitudinea pietei.(b) Posibilele valori la scadenta ale unui activ riscant sunt X = (7.50, 6.98, 9.95, 10,52).Verificati daca acest activ este accesibil. În caz ca este, gasiti un portofoliu echivalent cuacest activ.Exercitiu 5.3.3 Consideram un model de piata financiara cu o sigura perioada (T ), în carese pot tranzactiona doar o obligatiune (Bt) si doua tipuri de actiuni (S1

t si S2t ). Presupunem

ca preturile actuale ale activelor sunt:

S0 =

(1,

140011

,144011

)tr

.

La maturitate vom avea urmatoarea diagrama de posibile preturi:

D =

1.1 1.1 1.1140 80 200100 150 160

.

(a) Cercetati viabilitatea si completitudinea pietei;(b) Care este MME în cazul în care activul sigur este numéraire?(c) Care este MME în cazul în care prima actiune este numéraire?(d) Care este valoarea unei optiuni care permite sa se schimbe S1 cu S2 (i.e., valoarea lascadenta a optiunii este OT = (S2

T −S1T )

+)?

6. Modele discrete pentru evaluarea optiunilor

. Life strategy: Live a poor man’s life,

. but with lots of money.

În continuare, abordam problema evaluarii derivatelor financiare tranzactionate pe opiata financiara ideala, modelata ca în paragraful precedent. Reamintim aici presupunerilesimplificatoare considerate în modelarea unei piete financiare ideale:

• costurile de tranzactionare, de depozitare, comisioanele sau taxele aferente investitii-lor sunt neglijate;

• nu sunt restrictii asupra cantitatilor tranzactionate si ca aceasta conditie nu vaschimba pretul activelor tranzactionate;

• investitorii convin asupra aceleasi rate a dobânzii unitare anuale, atât pentru împru-mut, cât si pentru credit;

• investitorii prefera tot mai mult, indiferent de averea pe care o au;• lipsa arbitrajului (nu exista free lunch);

Sa presupunem ca r este rata fixa a dobânzii unitare atât pentru împrumut cât si pentru credit,iar dobânda este calculata compus. Bineînteles, în cazul în care dobânda se calculeaza înalt mod, formulele ce le vom obtine se pot adapta în mod corespunzator.

Problema principala la care dorim sa raspundem în acest capitol este urmatoarea. Dorimsa evaluam pretul unui contract financiar derivat în conditiile în care valoarea activuluisuport se poate modifica de un numar finit de ori în intervalul de timp pâna la scadenta, iarvalorile posibile ale activului suport la t = T sunt în numar finit. Astfel, modelul matematicpe care îl vom obtine va fi un model discret în timp si discret în spatiul starilor.

Pentru început, vom considera cazul cel mai simplu, în care modificarea de pret ce opoate avea activul suport se face doar la scadenta (adica avem o singura perioada), modelpe care îl vom extinde ulterior la unul în care se considera mai multe perioade.

74 Capitolul 6. Modele discrete pentru evaluarea optiunilor

6.1 Modelul binomial cu o perioada6.1.1 Punerea problemei

În aceasta sectiune, vom considera cel mai simplu caz particular netrivial ce se poateobtine din modelul Arrow-Debreu. Folosindu-ne de acest model de piata, vom determinapretul corect (lipsit de arbitraj) al unui derivat financiar. Chiar daca modelul prezentat maijos este cel mai simplu model discret de piata financiara, el contine totusi toate trasaturile sielementele modelelor viitoare mai complicate si este un excelent punct de start. În pofidasimplitatii sale, este totusi un model îndeajuns de riguros.

Sa consideram un activ financiar al carui pret este St la momentul t si un contract (derivatfinanciar) de tip european (i.e., tranzactia precizata prin contract are loc doar la t = T ) acarui valoare depinde de pretul activului, care astfel devine activ suport pentru derivat.În Exemplul 6.1, activul suport este o masina, iar derivatul financiar este un contract cuoptiune de tip call european, adica dreptul de a cumpara masina la un moment viitor, cu unpret prestabilit. Cunoastem pretul actual, S0, al activului suport (al masinii în exemplul dat)si faptul ca la t = T activul poate avea doar doua preturi posibile, ST = Su, sau ST = Sd(cu Sd < Su). Cu alte cuvinte, la scadenta t = T piata poate avea doar doua stari deincertitudine, ω1 si ω2.

La un moment dat t, valoarea contractului derivat este, sa zicem, ft = f (St). Dorim saevaluam valoarea derivatului financiar (contractului) la momentul initial (t = 0), adicaf0 = f (S0). Dar, înainte de a prezenta modelul, sa propunem urmatoarea problema simpla,care va fi rezolvata ulterior prin aplicarea modelului binomial.Exemplu 6.1 O anumita masina costa astazi S0 = C10000 iar, dupa exact un an, seestimeaza ca valoarea masinii va fi ori Su = C12000 ori Sd = C9000. Suntem interesatide evaluarea unei optiuni de tip call european ce depinde de costul masinii, cu pretul delivrare K = C11000, la T = 1 an (consideram ca rata unitara anuala este r = 0.05). Cualte cuvinte, cât ar trebui sa platiti pentru dreptul de a cumpara masina dupa exact un an,cu pretul K = C11000?

Figura 6.1: Arbore binomial cu o perioada pentru un call european.

Deoarece la maturitate sunt doar doua variante posibile de pret pentru masina, Su siSd , vom avea doua variante de pret pentru optiunea de tip call european la scadenta, sianume: Cu

not= (Su−K)+ sau Cd

not= (Sd−K)+ (vezi diagrama din Figura 6.1). Vom amâna

rezolvarea acestui exercitiu pentru mai târziu (vezi Observatia 6.4), ca fiind o exemplificarepentru modelul pe care îl vom contrui.

6.1 Modelul binomial cu o perioada 75

Observatia 6.1 Cu alte cuvinte, vrem sa evaluam dreptul de a cumpara activul la mo-mentul t = T pentru pretul K. Ne intereseaza pretul corect (eng., fair price), i.e., acel pretpentru care nici cumparatorul si nici vânzatorul nu câstiga sau pierde în urma tranzactiei.

Mai întâi, consideram problema evaluarii valorii derivatului financiar din punct de vedereintuitiv. Deoarece la t = T activul financiar poate lua valoarea Su cu probabilitatea psau valoarea Sd cu probabilitatea 1− p, derivatul financiar la scadenta poate lua valoareafu = f (Su) cu probabilitatea p sau valoarea fd = f (Sd) cu probabilitatea 1− p. Daca amdetermina pretul derivatului financiar folosind principiul valorii asteptate (i.e., valoareaactuala este valoarea asteptata la t = T , deînmultita cu factorul de actualizare), atunci amavea o relatie de genul:

f0 = (1+ r)−T (p fu +(1− p) fd) . (6.1.1)

Deoarece alegerea lui p este subiectiva, un astfel de pret nu este unic, deci poate generaoportunitati de arbitraj. Mai mult, prin alegerea lui p alegem repartitia ST a pretuluiactivului la scadeta. Totusi, în general, valoarea lui ST nu este cunoscuta la momentulîncheierii contractului; ea poate sa fie doar anticipata. (Dupa cum vom vedea mai târziu,ST va fi o variabila aleatoare ale carei valori sunt determinate de starea pietei la maturitate.)Asadar, pretul obtinut pe baza valorii asteptate a pretului derivatului la scadenta, în caremasura probabilistica nu este una care sa garanteze lipsa arbitrajului, nu este satisfacatoare.

Pentru a rezolva aceasta problema, vom utiliza modelul de piata financiara introdusanterior (Arrow-Debreu), în care consideram o piata lipsita de arbitraj, cu o perioada, încare se pot tranzactiona doar doua active financiare (i.e., N = 1): un activ riscant (a caruivaloare la momentul t o vom nota prin Bt) si unul lipsit de risc (a carui valoare la momentult o vom nota prin St). Mentionam ca, în notatiile de la modelul Arrow-Debreu, avem:S0

t = Bt si S1t = St . Cunoastem preturile initiale ale ambelor active financiare (i.e., B0 si

S0) si, de asemenea, rata unitara anuala r. Activul riscant va avea doua variante de pret lascadenta, iar pretul activului lipsit de risc la scadenta va fi pretul initial înmultit cu factorulde fructificare. Vom presupune ca valoarea activului riscant la t = 0 este S0 si ca pretullui la t = T > 0 poate creste cu un factor u la valoarea Su, sau poate scadea cu un factor dla valoarea Sd . Acesta este un model discret (binomial) cu o perioada si este prezentat îndetaliu mai jos.

6.1.2 Elementele caracteristice modelului cu o singura perioada* o piata financiara în care se pot tranzactiona doar doua active: a0− un activ financiarsigur (e.g., o obligatiune sau un depozit bancar cu o dobânda precizata, fixa) si a1− esteun activ riscant (e.g., actiune). Ca o observatie, activul lipsit de risc (sigur) ne ajuta lastabilirea valorii în timp a banilor;* un singur interval de timp (perioada), între t = 0 (actual) si t = T (scadenta).* doua stari posibile ale pietei la maturitate, Ω = ω1, ω2. Starea ω1 este starea peteiîn care preturile scad, iar starea ω2 este starea în care preturile cresc;* rata r este considerata a fi fixa în toata aceasta perioada. În unele materiale din literatura,se noteaza cu R factorul de fructificare, deci 1

R este factorul de actualizare. Astfel, dacadobânda se calculeaza în mod compus, atunci R = (1+ r)T , iar în cazul continuu esteR = erT . Valoarea la t = T a B0 unitati din activul a0, detinute la t = 0, va fi RB0.* vectorul pret initial pentru un portofoliu format dintr-un singur activ sigur si un singur


activ riscant:

S0 =

(B0S0

).

Aici, B0 > 0, S0 > 0.* matricea cash-flow (preturile posibile ale activelor) la t = T :

ST =

(BT (ω1) BT (ω2)ST (ω1) ST (ω2)

),

unde ST (ω1) = dS0not= Sd , ST (ω2) = uS0

not= Su si BT (ω1) = BT (ω2) = B0(1+r)T (d < u).

* pentru un portofoliu de active θ , de forma

θ =

(θ1θ2

)(θ1 unitati din activul sigur si θ2 unitati din activul riscant), valoarea initiala a acestuia esteV0(θ) = θ1B0 +θ2S0. În general, notam cu Vt(θ) valoarea portofoliului θ la momentul t.* urmarim sa evaluam valoarea un contract derivat, al carui pret depinde de valoareaactivului suport. Vom nota prin ft = f (St) valoarea la momentul t a unui derivat financiaral carui activ suport are pretul St . Deoarece la scadenta pretul activului suport are douapreturi posibile, atunci si derivatul financiar va avea doua valori, fu = f (Su) si fd = f (Sd)(vezi Figura 6.2).

Figura 6.2: Arbore binomial cu o perioada.

Cazuri particulare de derivate financiare1. un forward cu pretul de livrare K si maturitatea T . Atunci f (Sd) = Sd −K si

f (Su) = Su−K. În acest caz, dorim sa-l aflam pe F0.2. o optiune call europeana cu pretul de exercitiu K si maturitatea T . Atunci f (Sd) =

Cd = (Sd−K)+ si f (Su) =Cu = (Su−K)+. Dorim sa-l aflam pe C0.

Urmatoarea propozitie este o caracterizare a lipsei arbitrajului:

Propozitia 6.1.1 Într-o piata lipsita de arbitraj vom avea:

d < (1+ r)T < u. (6.1.2)


Demonstratie. Demonstram prin reducere la absurd. Presupunem ca d < u < (1+ r)T .Consideram portofoliul Φ = ( S0

B0,−1) (i.e., o pozitie long asupra a S0

B0unitati din activul

sigur si o pozitie short asupra unei unitati din activul suport). Valoarea lui initiala esteV0(Φ) = S0

B0B0 + (−1)S0 = 0. Daca pretul activului la t = T este Su, atunci valoarea

portofoliului Φ în acel moment este

V1(Φ) =S0

B0B0 (1+ r)T −uS0

= ((1+ r)T −u)S0

> 0,

ceea ce genereaza arbitraj (avem investitie zero la t = 0 si profit la t = T ).Similar, daca pretul activului la t = T este Sd , atunci valoarea portofoliului Φ în acelmoment este V1(Φ) = ((1+ r)T −d)S0 > 0, adica oportunitate de arbitraj. Asadar, ramâneca (1+ r)T < u.Analog se arata ca d < (1+ r)T .

Observatia 6.2 Concluzia propozitiei anterioare se traduce astfel: într-o piata financiaralipsita de arbitraj, o investitie riscanta poate fi mai profitabila decât una lipsita de risc, încazul unei piete favorabile, dar poate fi si mai putin profitabila, atunci când piata devinedefavorabila investitiei riscante.

Acesta este cadrul (modelul de piata financiara) în care consideram instrumentul financiarderivat, de tip european. Valoarea la maturitate a derivatului va depinde (este o functie)de pretul activului a1. Asadar, daca St este pretul lui a1 la momentul t, atunci valoareaderivatului la momentul t va fi ft = f (St). Cum derivatul financiar considerat este de tipeuropean, avem chiar fT = f (ST ). În exemplul nostru, acest derivat financiar este o optiunede tip call european, pentru care, de regula, notam valoarea sa prin Ct = f (St). Mai stim caCT = maxST −K, 0. Dorim sa evaluam pretul derivatului la t = 0 în conditiile în carepiata este lipsita de arbitraj. Cunoastem doar posibilele (doua) valori pe care le poate aveaderivatul la t = T , si anume: f (Su) sau f (Sd).

Metoda evaluarii prin lipsa arbitrajului consta în construirea unui portofoliu format dinactivele tranzactionabile pe piata, în cazul nostru activele a0 si a1, astfel încât valoareaportofoliului sa fie egala cu cea a derivatului financiar la scadenta (t = T ). Un astfel deportofoliu l-am numit portofoliu de acoperire, sau reproductibil (replicating portfolio) sinotat prin θ ∗ = (θ ∗1 , θ ∗2 ). Deoarece piata este lipsita de arbitraj si valorile portofoliului siderivatului la maturitate sunt egale, rezulta ca ele trebuie sa fie egale la orice moment înperioada considerata, inclusiv la t = 0. Asadar, valoarea cautata pentru derivatul financiareste valoarea initiala a portofoliului astfel construit. Daca B0 si S0 sunt preturile initialeale activelor a0 si, respectiv, a1, atunci vom avea:

f0 =V0(θ∗) = B0θ

∗1 +S0θ

∗2 . (6.1.3)

În cele ce urmeaza, vom construi un portofoliu de acoperire pentru derivatul dinanciar,format pe baza celor doua active financiare existente pe piata. Fie portofoliul θ formatdin θ1 unitati din activul sigur si θ2 unitati din activul riscant. Valoarea initiala a acestuiportofoliu este V0(θ) = θ1B0 +θ2S0.


Pentru a-l afla pe V0(θ) va trebui sa gasim structura portofoliului θ . La maturitate,valoarea derivatului financiar va fluctua în functie de starea în care se va afla piata financiarala acel moment. Putem avea

Vd(θ) = θ1B0(1+ r)T +θ2Sd,

sauVu(θ) = θ1B0(1+ r)T +θ2Su.

Dorim ca valoarea portofoliului sa fie aceeasi cu cea a derivatului în orice moment t, adica,Vd(θ) = f (Sd)

Vu(θ) = f (Su).

Acesta este un sistem cu doua ecuatii si doua necunoscute, care are solutie unica (deoarecedeterminantul sistemului este ∆ = B0(1+ r)T (Su−Sd) 6= 0). Solutia unica a acestui sistemeste:

θ∗1 =

Su f (Sd)−Sd f (Su)

B0(1+ r)T (Su−Sd), θ

∗2 =

f (Su)− f (Sd)

Su−Sd. (6.1.4)

Asadar, θ ∗ = (θ ∗1 , θ ∗2 ) este portofoliul de acoperire pe care-l cautam. Folosindu-ne deaceste valori putem afla valoarea la t = 0 a acestui portofoliu, adica V0(θ

∗). Acesta este

V0(θ∗) = θ

∗1 B0 +θ

∗2 S0

=Su f (Sd)−Sd f (Su)

B0(1+ r)T (Su−Sd)B0 +

f (Su)− f (Sd)

Su−SdS0

= (1+ r)−T [ψ f (Su)+(1−ψ) f (Sd)] ,

unde

ψ =(1+ r)T −d

u−d∈ (0, 1). (6.1.5)

Aici, (ψ, 1−ψ) este chiar repartitia obtinuta pe baza probabilitatile neutre la risc (MME).Putem sa demonstram urmatoarea teorema:Teorema 6.1.2 Într-o piata lipsita de arbitraj, pretul unic al unui derivat financiar asupraunui activ suport, care nu genereaza dividende, si care are pretul St , este

f0 = (1+ r)−T [ψ fu +(1−ψ) fd] . (6.1.6)

unde ψ este dat de (6.1.5).Observatia 6.3 De remarcat faptul ca probabilitatea p nu apare în formula anterioara.Dupa cum am discutat anterior, acest fapt nu este surprinzator, deoarece p este o probabili-tate subiectiva, care poate genera oportunitati de arbitraj. Astfel, pentru a calcula f0 nesunt necesare valorile posibile ale lui fT = f (ST ) (care pot fi simulate ca fiind valorile uneivariabile aleatoare ce urmeaza repartitia lognormala) si probabilitatea lipsita de risc ψ .


Demonstratie. Demonstram prin reducere la absurd. Sa notam prin V0 valoarea din mem-brul drept (i.e., pretul portofoliului construit mai sus).Daca presupunem ca f0 < V0, atunci putem vinde short portofoliul (θ ∗1 , θ ∗2 ) si cumparaderivate financiare (în valoare de f0). Totodata, intram în doua contracte forward: primulcontract ne permite sa vindem derivatele în vederea returnarii împrumutului, iar prin aldoilea contract cumparam cantitatea de portofoliu ce trebuie returnata. Investitia la t = 0genereaza un profit în valoare de V0− f0. La scadenta, t = T vom obtine pe derivate exactcât trebuie sa platim pe portofoliu, adica profitul de la t = 0 a fost obtinut construind ostrategie de arbitraj. Asadar, ramâne cu un profit V0− f0 > 0, ceea ce este o oportunitatede arbitraj. Deci trebuie sa avem f0 ≤V0.Similar, se poate arata ca f0 ≥V0, ceea ce demonstreaza rezultatul.

Observatia 6.4 Revenind la problema propusa mai sus, în care

S0 = C10000, Su = C12000, Sd = C9000, r = 0.05, K = C11000.

Deducem cad = 0.9, u = 1.2, Cu = 1000, Cd = 0.

Folosind formula

f0 = (1+ r)−T [ψ(Su−K)++(1−ψ)(Sd−K)+

],

gasim ca pretul unei optiuni de tip call european cu pretul de livrare K, la maturitatea T = 1este C0 = C479.65. Structura portofoliului reproductibil este (vezi formulele 6.1.4):

(θ ∗1 , θ∗2 ) =

(−856.11,

13

).

Masura martingala echivalenta este data de:

(ψ, 1−ψ) = (0.5042, 0.4958).

Observatia 6.5

(a) Daca notam cu R factorul de fructificare (care depinde de modul cum se calculeazadobânda), atunci relatia (6.1.6) se poate rescrie astfel:

f0 =1R[ψ f (Su)+(1−ψ) f (Sd)] , (6.1.7)

unde ψ este dat de

ψ =R−du−d

∈ (0, 1). (6.1.8)

(b) Comparând formulele (6.1.1) si (6.1.6), observam ca pretul corect se obtine atuncicând p ia o valoare precisa, si anume p = ψ , unde ψ e dat de (6.1.5). De remarcatfaptul ca în formula (6.1.6), ψ si 1−ψ sunt probabilitatile ca pretul initial S0 alactivului sa creasca la Su, respectiv, sa scada la Sd . Probabilitatea ψ se numeste


probabilitate (pondere) lipsita de risc. Daca fT este valoarea derivatului financiareuropean la t = T , atunci (6.1.6) devine

f0 = (1+ r)−T [ψ f (Su)+(1−ψ) f (Sd)]

= (1+ r)−TEQ[ fT ], (6.1.9)unde Q este masura martingala echivalenta (MME),

Q(ω) = ψχω=ω1+(1−ψ)χω=ω2.

Relatia (6.1.9) spune ca valoarea prezenta a unui derivat financiar este egala cuvaloarea actualizata a valorii asteptate a derivatului financiar la scadenta, în raportcu masura martingala echivalenta. Acest principiu este denumit de economistiipoteza valorii asteptate rationale.

(c) Daca derivatul financiar este un contract forward, atunci f (ST ) = ST −K si, conformcu (6.1.6), pretul contractului este

f0 = (1+ r)−T [ψ(Su−K)+(1−ψ)(Sd−K)]

= (1+ r)−T [(1+ r)T S0−K]

= S0−K (1+ r)−T ,adica tocmai valoarea gasita într-un curs anterior. Totodata, putem determina cuusurinta si pretul forward pentru un astfel de contract. Reamintim ca pretul forwardeste pretul de livrare pentru care valoarea initiala a contractului este 0. Asadar, pretulforward, F0, se obtine când f0 = 0, si este dat de relatia

F0 = S0(1+ r)T ,

obtinuta în relatia (3.8.1).(d) Daca derivatul financiar este un call european, atunci f (ST ) =CT = (ST −K)+ si

C0 = (1+ r)−T [ψ(Su−K)++(1−ψ)(Sd−K)+

].

Sa notam ca, în cazul particular Sd < K < Su, relatia anterioara devine:

C0 =(1+ r)−T −d

u−d(Su−K).

(e) Daca derivatul financiar este un put european, atunci f (ST ) = PT = (K−ST )+ si

P0 = (1+ r)−T [ψ(K−Su)

++(1−ψ)(K−Sd)+].

Sa notam ca, în cazul particular Sd < K < Su, relatia aterioara devine:

P0 =u(1+ r)−T −1

u−d(K−Sd).

6.2 Modelul binomial cu doua perioadeSa presupunem ca suntem în cazul unei piete financiare în care pretul unui activ financiarse modifica de exact doua ori în perioada [0, T ], o data la t = T

2 si a doua oara la t = T .Daca la t = 0 pretul activului este S0, atunci pretul acestuia pâna la t = T se poate modificadupa schema din Figura 6.3.

6.3 Modelul binomial cu n perioade 81

Figura 6.3: Variatiile pretului unui activ suport în modelul binomial cu 2 perioade.

Sa presupunem ca dorim sa tranzactionam un activ financiar derivat la t = T , a caruivaloare depinde de pretul activului considerat mai înainte. Fie ft = f (St) valoarea acestuiderivat financiar la momentul t. Folosim urmatoarele notatii:

fuu = f (Suu); fud = f (Sud); fdd = f (Sdd).

ψ =(1+ r)

T2 −d

u−d.

Aplicând rezultatul din modelul cu o perioada, putem scrie:

fu = (1+ r)−T2 [ψ fuu +(1−ψ) fud];

fd = (1+ r)−T2 [ψ fud +(1−ψ) fdd],

de unde:

f0 = (1+ r)−T2 [ψ fu +(1−ψ) fd]

= (1+ r)−T [ψ2 fuu +2ψ(1−ψ) fud +(1−ψ)2 fdd]

= (1+ r)−T2

∑j=0

C jnψ

j(1−ψ)n− j f (u jdn− jS0). (6.2.10)

6.3 Modelul binomial cu n perioadePutem generaliza modelul binomial cu 2 perioade prezentat anterior la unul cu n perioade.Consideram un activ financiar ce urmeaza a fi tranzactionat la momentul t = T (scadenta).Presupunem ca pretul acestuia, St , fluctueaza în intervalul de timp [0, T ] de un numar finitde ori si ca acest interval este împartit în perioade egale, astfel încât la sfârsitul fiecareiperioade sunt doar doua variante posibile pentru pretul activului: în care St poate lua oanumita valoare Su cu probabilitatea p, sau poate lua valoarea Sd , cu probabilitatea 1− p.În Figura 6.4 am reprezentat grafic cazul în care preturile activului se modifica de-a lungula trei perioade. Putem generaliza foarte usor modelul la unul cu n perioade. O astfel defigura se numeste arbore binomial.


Figura 6.4: Variatiile pretului unui activ suport în modelul binomial cu 3 perioade.

Din Figura 6.4, se poate observa cu usurinta ca suma probabilitatilor la fiecare nivel esteegala cu 1. Daca dorim sa aflam, spre exemplu, care este probabilitatea ca pretul activuluisa fie Sudd la finele celei de a treia perioade, procedam dupa cum urmeaza. Sunt treidrumuri care leaga S0 de Sudd , si anume: S0 Su Sud Sudd , S0 Sd Sud Suddsi S0 Sd Sdd Sudd . Probabilitatea cautata este astfel suma a trei probabilitati,pqq+qpq+qqp = 3pq2.

Consideram un contract financiar derivat (în engleza este folosit termenul contingentclaim) a carui valoare, f , depinde de pretul activului suport (i.e., f = f (S)). Scopul nostrueste sa evaluam acest contract financiar la momentul initierii lui, adica la t = 0. Metoda deevaluare este asa numita inductie matematica inversa sau retrograda (backward induction)si are la baza metoda de evaluare folosita în cazul unui arbore binomial cu o singuraperioada. Deoarece cunoastem valorile derivatului financiar la maturitate, putem determinapretul contractului la toate momentele imediat anterioare. În Figura 6.4, aceste preturi suntscrise cu caractere îngrosate. Spre exemplu, fudd = f (Sudd) = f (ud2S0).

În cazul unui activ al carui pret se modifica dupa un arbore binomial cu n perioade, pretulrational al unui contract de tip call european cu acest activ suport este o simpla extensie arelatiei (6.2.10), si este dat de:

f0 = (1+ r)−Tn

∑k=0

Cknψ

k(1−ψ)n−k f (ukdn−kS0), (6.3.11)

unde ψ este masura lipsita de risc,

ψ =(1+ r)

Tn −d

u−d∈ (0, 1). (6.3.12)

6.3 Modelul binomial cu n perioade 83

Cazuri particulare:(I) Daca f (s)= s (adica, derivatul financiar este chiar activul suport), atunci f (ukdn−kS0)=

ukdn−kS0 si formula (6.3.11) devine

f0 = (1+ r)−Tn

∑k=0

Cknψ

k(1−ψ)n−kukdn−kS0

= (1+ r)−T S0

n

∑k=0

Ckn(ψu)k(d−ψd)n−k.

Dar ψu+(1−ψ)d = ψ(u−d)+d = (1+ r)Tn −d +d = (1+ r)

Tn , de unde

ψu

(1+ r)Tn+(1−ψ)

d

(1+ r)Tn= 1.

Folosind acest fapt, gasim ca pretul derivatului la momentul 0 este

f0 = S0

[ψ

u

(1+ r)Tn+(1−ψ)

d

(1+ r)Tn

]n

= S0,

dupa cum era de asteptat.(II) În cazul unui contract forward, avem ca f (s) = s−K. Atunci formula (6.3.11)

devine (despartim în doi termeni)

f0 = (1+ r)−T S0

n

∑i=0

Cinψ

i(1−ψ)n−iuidn−i− (1+ r)−T Kn

∑i=0

Cinψ

i(1−ψ)n−i

= (1+ r)−T S0 (1+ r)T −K(1+ r)−T ·1= S0−K(1+ r)−T ,

adica tocmai ceea ce am gasit cand am calculat pretul contractului forward. Putemgasi foarte usor si pretul forward (pretul de livrare pentru care contractul are valoarenula). Asadar, facând f0 = 0 în relatia anterioara, gasim ca pretul forward esteF0 = S0(1+ r)T

(III) În cazul unei optiuni de tip call european avem f (s) = (s−K)+, de unde:

C0 = (1+ r)−Tn

∑i=0

Cinψ

i(1−ψ)n−i(uidn−iS0−K)+.

Fie a = mini ∈ N; uidn−iS0 ≥ K. Atunci

C0 = (1+ r)−Tn

∑k=a

Cinψ

i(1−ψ)n−i(uidn−iS0−K)

= S0 (1+ r)−Tn

∑i=a

Cin(ψu)i(d−ψd)n−i−K(1+ r)−T

n

∑i=a

Cinψ

i(1−ψ)n−i.

Notam prin B(a, n, ψ) =n

∑i=a

Cinψ

i(1−ψ)n−i (functia de repartitie binomiala com-

plementara) si prin B(a, n, ψ∗) = B(a, n, ψu(1+ r)−Tn ). Gasim astfel ca

C0 = S0 B(a, n, ψ∗)−K(1+ r)−T B(a, n, ψ). (6.3.13)


Daca momentul initial este un anumit t > 0, atunci pretul unui call european lamomentul t este

Ct = St B(a, n, ψu(1+ r)−(T−t)/n)−K(1+ r)−(T−t)B(a, n, ψ). (6.3.14)

Aceste formule au fost propuse de Cox1, Ross2 si Rubinstein3 în [4].(IV) Pentru evaluarea unui contract de tip put european cu acelasi pret de exercitiu si

cu aceeasi maturitate ca si contractul call european precedent, ne putem folosi deformula (6.3.14) si de paritatea put-call. Într-adevar, din paritatea put-call,

S0 +P0−C0 = K(1+ r)−T ,

aflam cu usurinta pe P0,

P0 = S0[B(a, n, ψ∗)−1]−K(1+ r)−T [B(a, n, ψ)−1].

(V) În calculele precedente am considerat faptul ca pretul unui activ financiar urmeazaun arbore binomial (denumirea de binomial vine din faptul ca în formula (6.3.11)apare binomul lui Newton). Desigur, se mai pot considera si alte modele discrete, încare pretul activului suport evolueaza dupa un arbore binar (vezi Figura 6.5) sau unarbore trinomial (caz discutat pe scurt mai jos). Daca modelul trinomial are aplicatiipractice (el este, de fapt, discretizarea ecuatiei cu derivate partiale Black-Scholes),un model binar (în care, de exemplu, Sud 6= Sdu) nu are aplicatii practice importanteîn evaluarea derivatelor financiare.

Figura 6.5: Arbore binar.

6.4 Drift si VolatilitateÎn realitate, rata unitara anuala r nu este o constanta, ci este, de fapt, o variabila aleatoare.Într-un anumit interval de timp pot exista fluctuatii în jurul acestei valori. Valoarea mediea acestor fluctuatii, µ , se numeste drift.

1John Carrington Cox (1943−) este un profesor American în Finante la MIT2Stephen Alan Ross (1944−2017) a fost un profesor American în Economie Financiara la MIT3Mark Edward Rubinstein, este un analist financiar si profesor în Finante la University of California,

Berkeley

6.4 Drift si Volatilitate 85

Volatilitatea (sin. sensibilitate) este un termen (masura statistica) utilizat(a) pentru adesemna amploarea si frecventa fluctuatiilor înregistrate de pretul unui activ financiarsau de un indice al pietei de valori mobiliare (desemneaza variatiile cursului bursier). Întermeni statistici, masoara gradul de împrastiere a unui set de date de la valoarea medie.Cu cât datele sunt mai împrastiate, cu atât deviatia (implicit volatilitatea) este mai mare. Înpractica, volatilitatea nu poate fi observata direct si trebuie sa fie estimata. Volatilitateae reprezentata de deviatia standard, σ , care este radacina patrata a dispersiei. Asadar, unactiv financiar volatil va avea o deviatie standard mare.

O legatura între drift, volatilitate si rata unitara r, este urmatoarea:

λ =r−µ

σ,

numita riscul ratei dobânzii pietei. Notam faptul ca λ reprezinta scorul statistic.

Cum alegem factorii u si d?

Una dintre dificultatile modelului binomial este alegerea lui d si u. Ei bine, în practicaalegem aceste valori astfel încât sa fie în concordanta cu driftul si volatilitatea pretuluiactivului financiar. Pentru a vedea exact cum se aleg, sa presupunem ca pretul unui activla t = 0 este S0, iar dobânda anuala unitara r este variabila, calculata în mod simplu, cumedia lui r fiind E(r) = µ . Atunci, valoarea medie a acestui activ dupa o perioada τ = δTva fi E(Sτ) = S0(1+µτ) (i.e., pretul activului suport creste, în medie, în concordanta curata µ). Volatilitatea pretului activului, σ , este definita asa încât S2

0σ2τ este varianta rateide dobânda în perioada τ . Sa presupunem ca, prin procedee empirice, am determinatprobabilitatea p ca pretul activului sa devina uS0 la momentul t = τ , iar cu probabilitatea1− p acest pret va fi dS0. Va trebui sa egalam valoarea empirica asteptata a pretului cuS0(1+µτ). Avem:

puS0 +(1− p)d S0 = S0(1+µτ).

Totodata, egalam si valorile pentru dispersie,

pu2S20 +(1− p)d2S2

0− (puS0 +(1− p)dS0)2 = S2

0σ2τ.

Eliminând p din ultimele doua relatii, obtinem:

(u−1−µτ)(1+µτ−d) = σ2τ.

Cautam o solutie (folosind perturbatii asimptotice ordinare pentru τ 1) de forma:

u(τ) = u0 +u1√

τ +O(τ), d(τ) = d0 +d1√

τ +O(τ)

Vom avea:(u0 +u1

√τ−1−µτ)(1+µτ−d0 +d1

√τ) = σ

2τ.

Egalam acum termenii de acelasi ordin. Vom avea:

O(1) : u0−u0d0−1−d0 = 0, de unde alegem u0 = 1 si d0 = 1.O(√

τ) : u1(1−d0)+(1−u0)d0 = 0, de unde 0 = 0.O(τ) : u1d1 =−σ

2, si alegem u1 =−d1 = σ .


Astfel, ignorând puterile de ordin superior ale lui τ , gasim ca o solutie a sistemului este (sepoate verifica usor!):

u = 1+σ√

τ, d = 1−σ√

τ.

În teoria Cox-Ross-Rubinstein, u si d sunt alese în urmatorul mod:

u = eσ√

τ , d = e−σ√

τ ,

care, în cazul în care τ 1, sunt similare cu cele anterioare.(Sa notam înca o data ca σ este volatilitatea anuala, iar τ este timpul scurs între douaschimbari de preturi.)Exemplu 6.2 Pretul curent este S0 = 10, σ = 0.2, T = 2, n = 731, τ = T

n . Atunci,

u = eσ√

τ = 1.3269, d = e−σ√

τ = 0.7536.

O posibila traiectorie a pretului St într-o piata în care tranzactiile se fac zilnic, tot timpulanului (adica cu n = 731 de perioade), este reprezentata grafic în Figura 6.6.

Figura 6.6: Evolutia pretului unui activ financiar.

6.5 Delta hedging

În analiza financiara, indicele ∆ este indice de senzitivitate a pretului derivatului financiarîn raport cu modificarea pretului activului suport, presupunând ca toate celelalte variabilecare pot influenta valoarea derivatului ramân neschimbate. Cu alte cuvinte, delta hedgingeste o strategie care vizeaza acoperirea riscului asociat modificarilor de pret ale activuluisuport, prin compensarea pozitiilor long si short. Pentru o singura perioada, indicele ∆ sedefineste prin

6.5 Delta hedging 87

∆ =fu− fd

Su−Sd=

∆ f∆S

,

Figura 6.7: ∆elta hedging pentru o perioada

reprezentând cantitatea de active suport (vândute sau cumparate) care ar contrabalansariscul detinerii unei pozitii (long sau short) asupra optiunii. Aceasta actiune este menitade a mentine un portofoliu fara risc. Constructia unei astfel de pozitii se numeste deltahedging (eng., delta neutral).

Putem argumenta acest fapt dupa cum urmeaza. La momentul t = 0 construim unportofoliu format din cumpararea a ∆ active suport si prin vânzarea unui call asupra acestuiactiv suport (i.e., o pozitie short on the call). Matematic, reprezentam acest portofoliu prinθ = (∆,−1). Valoarea portofoliului θ la t = 0 este V0(θ) = S0∆−C0. La maturitate, avemdoua stari posibile ale pietei. Valorile portofoliului în cele doua stari sunt: Vu(θ)= Su∆− fusi Vd(θ) = Sd∆− fd . Dorim sa alegem ∆ astfel încât valoarea portofoliului este aceeasi înambele stari. Astfel, vom avea

Su∆− fu = Sd∆− fd,

de unde gasim

∆ =fu− fd

Su−Sd=

∆ f∆S

. (6.5.15)

Astfel, alegând ∆ ca în relatia (6.5.15), se elimina incertitudinea asupra valorii portofoliuluila scadenta T .

Exemplu 6.3 Pretul actual al un activ finan-ciar este S0 = $20, iar la finele fiecarui an,pretul acestuia poate creste sau descreste cu10%. Determinati pretul corect al unui drept decumparare a activului cu pretul K = $21, dupaexact 2 ani. Se va lua r = 0.05. Pentru arbo-rele binomial rezultat, construiti câte o pozitie∆−hedging în nodurie A, B si C ale retelei.

Figura 6.8: Exemplu de arbore binomialcu doua perioade

R: Aici, u = 1.1, d = 0.9, δ t = 1. Probabilitatea lipsita de risc este

ψ =(1+ r)1−d

u−d= 0.75.

La scadenta T = 2, pretul pentru call este


C2 0 3.2Q 0.4375 0.5625

Astfel, C0 = (1+ r)−2EQ[C2] = 1.05−2 (0.4375 ·0+0.5625 ·3.2) = 1.6327.

O pozitie short asupra optiunii call poate fi (delta) acoperita la t = 0 (în nodul A) prin

detinerea a ∆A =2.2857−0

22−18= 0.5714 actiuni pentru activul de baza. Astfel, variatia cu o

unitate a pretului activului suport determina o variatie egala cu 0.5714 a optiuni call, i.e.,detinerea unui call european este echivalenta cu detinerea a unui procent de 57.14% dinactivul suport.În mod similar, putem construi strategii ∆− hedging la t = 1 în nodurile B si C. Vom avea

∆B =3.2−0

24.2−19.8= 0.72727, ∆C =

0−019.8−16.2

= 0.

Observatia 6.6 Dupa cum se observa si din exemplul anterior, unul dintre neajunsurilegenerate de ∆−hedging este faptul ca, pentru a mentine pozitii neutrale, este necesaraurmarirea continua a preturilor activului suport în fiecare nod al retelei si ajustarea porto-foliului în consecinta. Pentru un numar mare de perioade (n), va fi necesara construireaa n(n+1)

2 portofolii de acoperire, care pot fi foarte multe. Astfel, pentru a pastra o pozitieneutra a portofoliului în fiecare nod al retelei, investitorul va trebui sa cumpere sau savânda multe active suport sau derivate asupra acestora, fapt care poate deveni costisitor sienervant.

6.6 Modelul binomial pentru call/put american

Dorim sa calculam pretul unui contract american ce are la baza un activ suport a caruivaloare se modifica dupa un arbore binomial cu n perioade. Vom nota cu St si ft valorileactivului suport, respectiv derivatului, la momentul t. Aici, t ∈ [0, T ]. Presupunem cavaloarea initiala a activului suport este S0 si ca ea se modifica la fiecare perioada cu factoriid si u, d < u. Discretizam intervalul în n intervale egale si vom considera o latice (i, j), încare i = 0, 1 . . . , n, j = 0, 1 . . . , n. La fiecare nod al retelei, definim:

f Ai, j − valoarea optiunii de tip american în nodul (i, j);

Si, j = S0u jdi− j.

La scadenta, avem:

f An, j = maxS0u jdn− j−K, 0, j = 0, 1, . . . , n, pentru un call american;

f An, j = maxK−S0u jdn− j, 0, j = 0, 1, . . . , n, pentru un put american.

6.7 Modelul trinomial 89

Figura 6.9: Latice binomiala.

Cu probabilitatea ψ , valoarea Si, j la momentul iTn va urca la valoarea Si+1, j+1, la

momentul (i+1)Tn .

Cu probabilitatea 1−ψ , valoarea Si, j de la momentul iTn va coborî la valoarea Si+1, j−1

la momentul (i+1)Tn (vezi Figura 6.9). Daca optiunea nu este exercitata în nodul (i, j),

atunci ea este egala cu , atunci avem:

f Ai, j = f E

i, j =(1+r)−Tn

(ψ f A

i+1, j+1 +(1−ψ) f Ai+1, j

), i= n−1, n−2, . . . , 0, j = 0, 1, . . . , i.

Daca optiunea este exercitata, atunci valoarea optiunii de tip american va fi egala cumaximumul dintre valoarea obtinuta în cazul în care am exercita optiunea în acel nod alretelei si valoarea corespunzatoare pentru o optiune europeana în acel nod (în acest caz,optiunea ramâne neexercitata în acel nod al retelei). Astfel, vom avea:

− pentru un call american, valoarea este:f Ai, j = max

S0u jdi− j−K, f E

i, j, i = n−1, n−2 . . . , 0, j = 0, 1 . . . , i;

− pentru un put american, valoarea este:f Ai, j = max

K−S0u jdi− j, f E

i, j, i = n−1, n−2 . . . , 0, j = 0, 1 . . . , i.

Valoarea cautata pentru derivatul financiar de tip american va fi f0,0.Dupa cum vom vedea mai târziu, când n→ ∞, atunci obtinem valoarea reala, lipsita dearbitraj, a unui call sau put american într-o piata în care tranzactiile se fac în mod continuuîn intervalul de timp pâna la scadenta.

6.7 Modelul trinomialSa consideram un activ financiar ce urmeaza a fi tranzactionat la momentul t = T (scadenta).Presupunem ca pretul acestuia, St , se poate modifica în intervalul de timp [0, T ] de un numarfinit de ori si ca acest interval este împartit în perioade egale, astfel încât la sfârsitul fiecareiperioade sunt trei variante posibile pentru pretul activului: în care St creste cu probabilitateapu, scade cu probabilitatea pd , sau ramâne acelasi cu probabilitatea p0 = 1− pu− pd . Cu


alte cuvinte, în fiecare nod tk al diviziunii, Stk este o variabila aleatoare ce poate lua unadin trei posibile valori. În Figura 6.10 am reprezentat grafic un model trinomial cu treiperioade.

Figura 6.10: Arbore trinomial.

Putem construi un arbore trinomial astfel: intervalul pâna la scadenta, [0, T ], îl divizamechidistant, cu δ t = T

n . Daca plecam cu valoarea S0 a activului financiar, atunci dupafiecare perioada, aceasta valoare poate ajunge la Su = uS0 cu probabilitatea pu, poatedeveni Sd = dS0 cu probabilitatea pd , sau poate ramâne tot S0, cu p0 = 1− pu− pd . Oalegere a factorilor u si d poate fi:

u = eσ√

3δ t , d =1u.

Probabilitatile lipsite de risc sunt:

pu =−√

δ t12σ2

(r− σ2

2

)+

16, p0 =

23, pd =

√δ t

12σ2

(r− σ2

2

)+

16.

Daca vom considera un derivat financiar a carui valoare depinde de valoarea activuluisuport, ft = f (St), atunci putem determina pretul acestui derivat la t = 0 într-o piatatrinomiala cu o perioada, lipsita de arbitraj, astfel:

f0 = e−rδ t [pu f (Su)+ p0 f (S0)+ pd f (Sd)].

6.8 Piata completa si incompletaPentru a evalua un activ financiar este important de a verifica daca piata este completa.Reamintim, o piata financiara este completa daca orice activ financiar este replicabil, adicadaca exista un portofoliu de active existente pe acea piata care are aceeasi valoare cu activulla scadenta. O piata financiara în care nu se întâmpla asa ceva se numeste piata incompleta.

În cazul unei piete cu o singura perioada, am determinat completitudinea pietei îndoua moduri: prin existenta unei unice masuri neutre la risc (i.e., rang(ST ) = M), sau

6.8 Piata completa si incompleta 91

daca numarul de stari de incertitudine la scadenta este acelasi cu numarul de vectoriindependenti din matricea cash flow (i.e., M = N +1).

În cazul unui model cu mai multe perioade, o piata financiara este completa daca ea estecompleta pentru fiecare singura perioada în parte. Pe de alta parte, completitudinea pieteipe fiecare perioada este echivalenta cu existenta unei masuri unice neutre la risc pentrufiecare ramura, ceea ce implica existenta unei masuri unice neutre la risc pentru modelulcu mai multe perioade. În cazul unei piete incomplete bazate pe un model cu mai multeperioade, exista macar un activ financiar pentru care avem cel putin doua astfel de masuri.Totusi, într-o piata incompleta pot exista active derivate care sunt replicabile, cu condi-tia ca valoarea acestui activ la scadenta, EQ[ fT ], sa nu depinda de Q. Putem afirma astfel ca:

Într-o piata incompleta, un activ derivat este accesibil sau replicabil (eng., hedgeable)daca EQ[ fT ] = constant, pentru orice masura martingala echivalenta Q. În acest caz,

f0 = (1+ r)−TEQ[ fT ].

Exemplu 6.4 Consideram o piata financiara cu doua perioade în care pot fi tranzactionatedoar doua active financiare, un bond Bt si un stock St . Presupunem ca: S0 = 5, T = 2, r = 0si St evolueaza dupa modelul:

ω S0 S1 S2ω1 5 8 9ω2 5 8 7ω3 5 8 6ω4 5 4 6ω5 5 4 3

La momentul t = 0, un investitor observa S0 = 5; informatia sa despre piata în acest mo-ment este F0 = /0, Ω. În cuvinte, investitorul nu are nicio idee despre evolutia viitoare apreturilor, orice stare este posibila.La momentul t = 1, observa ca S1 = 8 sau S1 = 4 . Daca S1 = 8, atunci informatia pe care oare investitorul despre piata este ca se afla în una dintre starile ω1, ω2 sau ω3. Daca S1 = 4,atunci informatia pe care o are investitorul despre piata este ca se afla în una dintre starileω4 sau ω5. Astfel, la momentul t = 1, algebra corespunzatoare care contine informatiiledespre piata financiara este F1 = /0, ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ΩLa momentul t = 2, investitor observa S2 si informatia sa despre piata în acest moment de-vine completa, F2 = P(Ω), care are 25 = 32 de submultimi. Astfel, curgerea informatieidespre piata este: F0 ⊂F1 ⊂F2.Pentru a determina masura neutra la risc,

Q(ω) = (Q(ω1), Q(ω2), Q(ω3), Q(ω4), Q(ω5))not= (q1, q2, q3, q4, q5),


rezolvam sistemul St = (1+ r)−(s−t)EQ[Ss], ∀s > t ≥ 0, i.e.,

t = 0, s = 2 : 5(1+ r)2 = 9q1 +7q2 +6q3 +6q4 +3q5;t = 0, s = 1 : 5(1+ r) = 8(q1 +q2 +q3)+4(q4 +q5);t = 1, s = 2 : 8(1+ r)(q1 +q2 +q3) = 9q1 +7q2 +6q3; (6.8.16)t = 1, s = 2 : 4(1+ r)(q4 +q5) = 6q4 +3q5; (6.8.17)

q1 +q2 +q3 +q4 +q5 = 1.

În relatiile (6.8.16) si (6.8.17) am înmultit cu probabilitatile ca piata sa se afle la momentul

t = 1 în starile respective. Obtinem solutia nedeterminata Q(ω)=

(q4,

2−3q4

,2q−1

4,

14,

12

),

unde 1/2 < q < 2/3. Un derivat financiar

D(ω) = (D(ω1), D(ω2), D(ω3), D(ω4), D(ω5))not= (D1, D2, D3, D4, D5)

este replicabil în aceasta piata daca si numai daca EQ[DT ] este independenta de q. Obtinemca

q4

D1 +2−3q

4D2 +

2q−14

D3 +14

D4 +12

D5 = const.,

sau (D1−3D2 +2D3)q+2D2−D3 +D4 +2D5 = const., de unde D1−3D2 +2D3 = 0.

6.9 Un model discret general pentru o piata financiaraÎn acest capitol, vom generaliza modelul binomial prezentat în paragrafele precedente.Vom introduce un model discret general pentru o piata financiara, ce poate fi extins ulteriorla un model continuu.Fie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate, cu Ω = ω1, ω2, . . . , ωM, F ⊂ P(Ω) siP : (Ω, F )→ [0, 1] o probabilitate cu P(ω j)> 0, pentru orice ω j ∈Ω.Sa presupunem ca pe o anumita piata financiara exista un numar finit (N +1) de activetranzactionabile, notate prin a0, a1, . . . , aN . Vom presupune ca a0 este un activ sigur (e.g.,cont bancar sau obligatiune) si restul de active pot fi riscante (în sensul ca valorile lorviitoare nu pot fi cunoscute cu siguranta). Activul sigur ne va ajuta în stabilirea valoriimonetare în timp. De asemenea, presupunem ca avem un numar finit de momente în carecele N +1 active pot fi tranzactionate, si anume: 0, 1, . . . , T , cu T < ∞.

Fie I o multime ordonata de indecsi. O familie Ftt∈I de sub-σ−algebre ale lui Fse numeste filtrare daca Fs ⊂Ft pentru orice s≤ t.Observatia 6.7 (1) În cazul modelului discret de piata financiara, vom considera filtra-

rea FtTt=0, cu F0 ⊂F1 ⊂ ·· · ⊂FT , unde F0 = /0, Ω (la momentul t = 0 nu

avem informatii detaliate despre piata financiara) si FT = P(Ω) (la scadenta aveminformatia completa).

(2) Filtrarile sunt utilizate pentru a modela curgerea informatiei în timp.(3) Sirul de incluziuni se interpreteaza prin faptul ca informatia creste cantitativ la

fiecare moment.(4) Media conditionata a unei v.a. X în raport cu Ft , i.e., E[X |Ft ], reprezinta valoarea

asteptata a lui X pe baza informatiilor disponibile la momenul t. (vezi Anexa 11.2).

6.9 Un model discret general pentru o piata financiara 93

Vom nota prin Sit valoarea activului ai la momentul t, unde i ∈ 0, 1, . . . , N si t ∈

0, 1, . . . , T. Vom nota prin St = (S0t , S1

t , . . . , SNt ) vectorul pret pentru cele N +1 active

la momentul t. Din faptul ca piata considerata este finita în spatiul starilor (card(Ω) =T +1 < ∞) , multimea valorilor pe care le poate lua St este finita, pentru orice moment t.

Deoarece am considerat ca a0 este activ sigur, vectorul pret pentru acesta, S0 = S0t T

t=0va fi determinist (i.e., S0

t nu sunt variabile aleatoare). Este convenabil sa presupunemca S0

t > 0 pentru orice t si, astfel, putem considera acest activ drept numéraire (activ dereferinta). Reamintim, un numéraire este un vector XtT

t=0 ce are toate componentele strictpozitive. Daca rata dobânzii de referinta este r ≥ 0, atunci vom avea ca S0

t = S00 (1+ r)t

pentru orice t ∈ 0, 1, 2, . . . , T.Pe de alta parte, preturile Si

t = Sit(ω), (i = 1, 2, . . . , N) ale activelor riscante sunt vari-

abile aleatoare. Astfel, pentru fiecare i = 1, N fixat, vectorul Si = SitT

t=0 este o familieparametrizata de variabile aleatoare. În termenii analizei stochastice, o familie parametri-zata de variabile aleatoare se numeste proces stochastic. Asadar, pretul fiecarui activ aipoate fi modelat printr-un proces stochastic.

Pentru a putea modela curgerea informatiei pe o piata financiara, se presupune ca Sit este

Ft−masurabil, pentru fiecare t = 0, T .Reamintim, o functie X : (Ω,F )−→ R se numeste Ft−masurabila daca

pentru orice B ∈B(R), X−1(B) ∈F . (6.9.18)

În termeni financiari, faptul ca pretul Sit al activului ai este Ft−masurabil înseamna ca,

pentru fiecare t, pretul Sit este cunoscut la momentul t. Se mai spune ca procesul stochastic

Sit este un proces adaptat filtrarii Ft sau ca este un proces non-anticipativ (în sensul ca

nu putem anticipa preturile la un moment viitor lui t doar pe baza informatiei existente lamomentul t). Daca avem un activ financiar de referinta, atunci, pentru orice t = 0, 1, . . . , T ,se poate defini procesul normalizat S∗t dat prin

S∗t = (S∗0t , S∗1t , . . . , S∗Nt ) =1S0

t(S0

t , S1t , . . . , SN

t ).

Astfel, gasim ca S∗0t = 1 pentru orice t = 0, 1, . . . , T .Vom numi strategie de tranzactionare (sau portofoliu dinamic) o colectie de vectori

aleatori N +1 dimensionali:

ϕ = ϕtTt=1 =

(ϕ

0t (ω), ϕ

1t (ω), . . . , ϕ

Nt (ω)

)Tt=1 ,

astfel încât ϕ it sunt variabile aleatoare Ft−1−masurabile, pentru orice t = 1, 2, . . . , T si

pentru orice indice i = 0, N.O strategie de tranzactionare ϕ = ϕtT

t=1 pentru care ϕ it sunt variabile aleatoare Ft−1−

masurabile, pentru orice t = 1, 2, . . . , T , se numeste strategie previzibila (eng., predictableor previsible).

Pentru fiecare i, ϕ it reprezinta cantitatea din activul ai detinuta de investitor la momentul

t, care este determinata de informatiile continute în Ft−1. Aceasta semnifica faptul caportofoliul investitorului la momentul t este determinat de preturile activelor la momentult−1, adica de St−1. Acest portofoliu va fi detinut pâna la anuntarea preturilor la momentult, i.e., St .


Putem avea valori atât pozitive, cât si negative pentru ϕ it . Daca ϕ i

t > 0 pentru un anumitt si indice i, atunci investitorul detine activul ai în intervalul de timp [t−1, t), în cantitateaϕ i

t . Daca ϕ it < 0 pentru un anumit t si indice i, atunci investitorul a vândut short (prin lipsa)

activul ai în intervalul de timp [t−1, t), în cantitatea ϕ it . De exemplu, ϕ i

t =−1 înseamnaca la momentul t− 1 investitorul a împrumutat o suma de bani în valoare de Si

t−1 (i.e.,tocmai valoarea activului ai la momentul t−1), cumpara activul ai si îl vinde la momentult pentru pretul Si

t , apoi urmând sa returneze împrumutul facut la momentul t−1.Prin valoarea unui portofoliu dinamic ϕtT

t=1, notata Vt(ϕ)Tt=1, întelegem

Vt(ϕ) =

ϕ1 ·S0 , t = 0;

ϕt ·St :=N

∑i=0

ϕit S

it , , t = 1, 2, . . . , T,

unde ”·” reprezinta produsul scalar în RN+1. Valoarea Vϕ(0) = ϕ1 ·S0 se numeste investitiainitiala.Valoarea ϕt ·St−1 reprezinta valoarea portofoliului dinamic în intervalul [t−1, t), iar ϕt ·Steste valoarea portofoliului dinamic dupa ce preturile pentru active au fost anuntate lamomentul t. Astfel, putem defini procesul câstig (eng., gains process), notat Gt(ϕ)T

t=1,prin:

Gt(ϕ) =t

∑τ=1

ϕτ ·∆Sτ , t = 1, 2, . . . , T (6.9.19)

unde ∆Sτ = Sτ −Sτ−1.Un portofoliu dinamic ϕtT

t=1 se numeste portofoliu autofinantant (sau strategie autofi-nantanta) (eng., self-financing strategy) daca

ϕt ·St = ϕt+1 ·St , t = 1, 2, . . . , T −1. (6.9.20)

Relatia (6.9.20) spune ca valoarea portofoliului dinamic la un moment t nu se modificadaca activele din portofoliu sunt actualizate (redistribuite) la acel moment; valoarea porto-foliului s-ar schimba doar daca preturile la momentul t se modifica. Pentru un portofoliuautofinantant, observam ca:

Gt(ϕ) =t

∑τ=1

ϕτ ·∆Sτ =Vϕ(t)−Vϕ(0), t = 1, 2, . . . , T (6.9.21)

Un portofoliu dinamic autofinantant ϕ se numeste admisibil daca Vt(ϕ)≥ 0 pentru oricet = 0, 1, 2, . . . , T .

Pe aceasta piata financiara, vom spune ca X este un intrument financiar derivat detip european (sau derivat financiar european) cu maturitatea T daca X este o variabilaaleatoare FT−masurabila. Termenul în limba engleza pentru instrument financiar derivateste contingent claim. Un exemplu tipic de derivat financiar este un call european cu unactiv suport ce valoreaza St la momentul t, cu maturitatea t = T si cu pretul de exercitiu K.Valoarea acestui call european la scadenta va fi CT = maxST −K; 0.

Un instrument financiar derivat X se numeste replicabil (hedgeable sau attainable)daca exista un portofoliu dinamic autofinantat ϕ astfel încât valoarea lui X este fT =

6.9 Un model discret general pentru o piata financiara 95

Vϕ(T ). Portofoliul dinamic se va numi portofoliu de acoperire (strategie de acoperire) sauportofoliu replicabil (strategie replicabila).

Un portofoliu dinamic ϕ se numeste oportunitate de arbitraj daca una dintre urmatoareleconditii este îndeplinita:

P(Vϕ(0) = 0) = 1, P(Vϕ(T )≥ 0) = 1 si P(Vϕ(T )> 0)> 0. (6.9.22)

sau

P(Vϕ(0)< 0) = 1 si P(Vϕ(T )≥ 0)> 0. (6.9.23)

O piata financiara se numeste viabila daca nu exista astfel de oportunitati de arbitraj. Opiata viabila se numeste piata completa daca orice derivat financiar este replicabil.

Pentru a putea determina pretul lipsit de arbitraj pentru orice derivat financiar, va trebuisa consideram urmatoarele ipoteze simplificatoare:

(1) Nu exista oportunitati de arbitraj pe piata;(2) Piata este fara frictiuni, i.e., activele sunt perfect divizibile, nu exista restrictii în

vânzari short, nu exista consturi de tranzactionare sau de depozitare, nu exista taxe;(3) Toti investitorii au aceleasi informatii despre piata si cad de acord în ce priveste

starile posibile ale pietei la orice moment t > 0;(4) La momentul t = 0 preturile sunt cunoscut si unice pentru fiecare activ în parte si

fiecare investitor poate investi în orice activ doreste, în ce cantitati doreste;(5) Investitorii cad de acord în ce priveste evolutia procesului stochastic St ;(6) Investitorii prefera din ce în ce mai mult (lipsa de satietate);(7) Rata dobânzii unitare anuale este aceeasi atât pentru credit, cât si pentru debit;

Definitia 6.9.1 Doua masuri de probabilitate P si P∗ definite pe (Ω, F , P) sunt echivalente(scriem P∼ P∗) daca

P(A) = 0⇔ P∗(A) = 0, pentru orice A ∈F .

Definitia 6.9.2 Un proces stochastic discret XtTt=0 (care este o colectie de variabile

aleatoare) cu valori reale, cu E[|Xt |] < ∞, se numeste martingal în raport cu masura deprobabilitate Q daca

EQ[Xt |Xs,Xs−1, . . . ,X0] = Xs, pentru orice s, t ∈ 0, 1, . . . , T, s≤ t.

În particular, daca Xt ar fi valoarea prezenta, atunci valoarea asteptata a valorii imediaturmatoare, Xt+1, tinând cont de istoria de pâna atunci (i.e., X0,X1, . . . ,Xt) este tocmaivaloarea prezenta Xt , adica ultima valoare din sir:

EQ[Xt+1|Xt ,Xt−1, . . . ,X0] = Xt , pentru orice t ∈ 0, 1, . . . , T −1.

Definitia 6.9.3 O masura de probabilitate Q definita pe un câmp de probabilitate (Ω, F , P)se numeste masura martingala echivalenta (MME) daca este echivalenta cu P si, în plus,S∗ este un martingal relativ la masura Q (si filtrarea FtT

t=0), i.e., avem:

EQ[S∗t |Fs] = S∗s pentru orice s, t ∈ 0, 1, . . . , T, s≤ t. (6.9.24)

Teorema 6.9.1 (teorema fundamentala) Piata financiara (construita ca un model discret)este viabila daca si numai daca exista o masura martingala echivalenta Q.


Observatia 6.8 • Teorema fundamentala spune ca o piata este viabila daca si numaidaca exista o masura de probabilitate Q în raport cu care procesul S∗t T

t=0 (preturilenormalizate) este martingal, i.e., pentru orice i = 1, 2, . . . , N, avem:

EQ

[Si

t

S0t|Fs

]=

Sis

S0s, pentru orice s, t ∈ 0, 1 . . . , T, s≤ t.

• De mentionat ca aceasta teorema nu va mai ramâne valida si pentru cazul modeluluicontinuu.

• Luând s = t−1 în relatia (6.9.24), o putem rescrie în forma:

EQ[∆S∗t |Ft−1] = 0, pentru orice t = 1, 2 . . . , T,

adica, la fiecare moment, valoarea asteptata conditionata a variatiei preturilor active-lor de pe piata este zero.

Teorema 6.9.2 O piata financiara viabila este completa daca si numai daca exista o unicamasura martingala echivalenta.

Se pune urmatoarea problema:Avem un derivat financiar X a carui valoare (sau functie pay-off, notata aici prin ft lamomentul t) la scadenta (i.e., la t = T ) este variabila aleatoare fT . Cum putem determinavaloarea acestui derivat la un moment anterior scadentei, t < T ?Daca derivatul financiar este replicabil, atunci exista un portofoliu dinamic unic a caruivaloare la fiecare moment sa reproduca valoarea derivatului financiar în acel moment.Teorema 6.9.3 Consideram modelul discret de piata financiara de mai sus. Daca piatafinanciara este completa, atunci pentru orice derivat financiar replicabil (cu functia depay-off ft la momentul t) exista un unic portofoliu replicant ϕ format din activele existentepe aceasta piata, i.e., ft =Vt(ϕ) pentru orice t = 0, 1, . . . , T .Teorema 6.9.4 Consideram modelul discret de piata financiara de mai sus si presupunemca piata financiara este viabila. Atunci, pretul lipsit de arbitraj la momentul t pentru underivat financiar ce valoreaza fT la maturitate este

ft = S0t EQ

[fT

S0T| Ft

], t = 0,1, . . . , T. (6.9.25)

În particular, daca r ≥ 0 este rata fixa a dobânzii de referinta si S0t = S0

0 (1+ r)t , pentrut = 0,1, . . . , T , atunci formula (6.9.25) devine

ft = (1+ r)−(T−t)EQ [ fT |Ft ] , t = 0,1, . . . , T.

Pentru t = 0, obtinem:

f0 = (1+ r)−T EQ [ fT |F0] = (1+ r)−T EQ[ fT ].

Daca derivatul financiar este un call de tip european cu scadenta T , atunci valoarea acestuiala momentul t = 0 este:

C0 = (1+ r)−T EQ [CT ] .

Am folosit faptul ca EQ [CT |F0] = EQ [CT ].

6.10 Avantaje si dezavantaje ale modelului discret 97

6.10 Avantaje si dezavantaje ale modelului discret• Avantaje:

– desi este un model simplu, nu este simplist. Modelul discret confera premizeleaplicarii modelului continuu;

– modelul binomial este foarte usor de implementat numeric si ofera o aproximarebuna pentru cazul continuu;

– derivatele de tip american sunt usor de evaluat folosind modelul binomial;• Dezavantaje:

– modelul binomial cu putine perioade poate arata fi nerealistic, dar pentru unnumar suficient de mare de perioade (e.g., n≥ 30), obtinem un model rezonabil;

– la fiecare perioada preturile pot lua doar un numar finit de valori posibile ("up"si "down" în cazul binomial); pe când în realitate St poate lua orice valoarepozitiva, inclusiv S = 0;

– volatilitatea σ este presupusa constanta în tot intervalul [0, T ], însa realitateapoate fi alta;

– tranzactiile se fac într-un numar discret de momente iar perioadele sunt echi-distante. În realitate, tranzactiile au loc în mod continuu, în fiecare moment;

– din punct de vedere calculatoriu, modelul binomial este încet.

6.11 Probleme rezolvateExercitiu 6.11.1 Sa consideram o piata financiara cu o perioada, [0, T ], în care avemdoar doua active tranzactionabile: un activ sigur (e.g., un cont bancar) a carui valoare lamomentul t o notam cu Bt , si un activ riscant (e.g., o actiune) a carui valoare la t o notamcu St . Presupunem ca la t = 0 valorile sunt B0 = 1, S0 = 150 si la scadenta, t = T , avem:BT = 1 si ST poate lua doua valori, 90 sau 180. Se cere:(a) Cercetati viabilitatea si completitudinea pietei.(b) Consideram un activ financiar derivat, un call de tip european, care are drept activsuport activul riscant, scadenta T si pretul de exercitiu K = 150. Se cere sa se calculezeprima C0 pentru acest call european si valoarea portofoliului de acoperire (sau replicabil).

R: (a) Asadar, vectorul pret initial este:

S0 =

(1

150

),

iar matricea cash flow este

ST =

(1 190 180

).

Din teorema fundamentala, piata este lipsita de arbitraj daca

∃ψ ∈ R+×R+ astfel încât S0 = ST ψ.

Rezolvând acest sistem pentru ψ , gasim:

ψ1 =13> 0, ψ2 =

23> 0,

asadar piata este viabila. Deoarece ψ1 +ψ2 = 1, urmeaza ca acestea sunt si probabilitatilelipsite de risc.


Deoarece rang D = 2 = M, rezulta ca piata este si completa.(b) Cautam un portofoliu (θ1, θ2) pentru care(

CuCd

)=

(1 1801 90

)·(

θ1θ2

),

undeCu = max180−150; 0= 30, Cu = max90−150; 0= 0.

Gasim portofoliul de acoperire:

Θ = (θ1, θ2) =

(−30,

13

).

Asadar,C0 = θ1 ·1+θ2 ·150 = 20.

Aceeasi valoare o puteam gasi direct, folosind formula (6.1.6),

C0 = (1+ r)−TEQ[C(T, ω)] = 1 · [ψCu +(1−ψ)Cd] = 20.

Exercitiu 6.11.2 Consideram un model de piata financiara cu o sigura perioada (T ), încare se pot tranzactiona doar: o obligatiune cu B0 = 1 si BT = 1.1 si un activ riscant, cuS0 = 100, ST = (99, 154, 88).(a) Cercetati viabilitatea si completitudinea pietei.(b) Ce conditie ar trebui sa verifice un derivat financiar accesibil care are activul St dreptactiv suport?(c) Determinati care ar trebui sa fie pretul de exercitiu pentru un call european asupra luiSt care este replicabil.(d) Determinati valoarea unui call european asupra lui St cu pretul de exercitiu K = 77.R: (a) Verificam daca exista un vector ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) astfel încât ψi > 0, i = 1, 2, 3,si formula 5.1.1 sa fie satisfacuta, i.e.:

1 = 1.1(ψ1 +ψ2 +ψ3)

100 = 99ψ1 +154ψ2 +88ψ3.

Gasim ca

ψ1 =811− 6

5α, ψ2 =

211

+15

α, ψ3 = α.

Piata va fi viabila doar pentru 0 < α <2033

.

Piata nu este completa, deoarece ψ nu este unic. Pentru 0 < α <2033

, familia de masurimartingale echivalente (obtinuta prin normalizarea vectorului ψ) este

Qα(ω) =

(45− 33

25α,

15+

1150

α,1110

α

).


(b) Consideram un derivat financiar care are valoarea Xt la momentul t. Acest derivat esteaccesibil (hedgeable) daca poate fi evaluat în mod unic, adica valoarea sa nu depinde de α .Valoarea asteptata la scadenta a derivatului va fi

EQ[XT ] =

(45− 33

25α

)X1

T +

(15+

1150

α

)X2

T +

(1110

α

)X3

T

=15(4X1

T +X2T )+

1150

(X2T +5X3

T −6X1T )α.

Conditia pe care va trebui sa o îndeplineasca derivatul ca sa poate fi evaluat în mod uniceste ca EQ[XT ] sa nu depinda de q, de unde

X2T +5X3

T = 6X1T .

În acest caz, valoarea sa la t = 0 este

X0 =1011

(15(4X1

T +X2T )

)=

211(4X1

T +X2T).

(c) Fie K pretul de exercitiu pentru un call european având St ca activ suport. Valorileacestui call la t = T trebuie sa satisfaca conditia

max154−K, 0+5max88−K, 0= 6max99−K, 0.

Aceasta ecuatie are solutii pentru 0≤ K ≤ 88 sau K ≥ 154.(d) Valoarea 77 este în multimea admisibila de la (c). La scadenta, avem C1

T = 22, C2T =

77,C3T = 11. Obtinem ca

C0 =211(4C1

T +C2T)= 30.

Exercitiu 6.11.3 Construiti o functie MATLAB care sa simuleze evolutia pretului unuiactiv financiar dupa un arbore binomial.R: Functia este urmatoarea:

function evolS(S0, sigma, T, n)

u = exp(sigma*sqrt(T/n)); d = 1/u; % factorii de modificare

k = (rand(n, 1) < 0.5);

S = S0*cumprod(u.^k.*d.^(1-k));

plot(1:n,S)

Rulând functia prin evolS(10,0.2,2,731), obtinem Figura 6.6.Exercitiu 6.11.4 Construiti o functie MATLAB care sa calculeze pretul unui call europeanfolosind formula Cox-Ross-Rubinstein (6.3.13).R: Functia este urmatoarea:


function CRR(S0,K,r,T,n,sigma)

dt = T/n; u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

S = zeros(n+1,1); C = zeros(n+1,1);

for k=0:n

S(k+1) = S0*u^k*d^(n-k)

CT(k+1) = nchoosek(n,k)*psi^k*(1-psi)^(n-k)*max(S(k+1)-K,0);

end

C0 = exp(-r*T)*sum(CT);

disp('Valoarea pentru call european este: '); disp(C0);

Exercitiu 6.11.5 Construiti o functie MATLAB ce calculeaza valorile pentru call european(pentru flag =1) sau put european (pentru flag =0) folosind modelul binomial. Rezulta-tele sunt apoi comparate cu cele obtinute prin rularea functiei MATLAB binprice.R:

function EU(S0,K,r,T,dt,sigma,flag)

%%% simuleaza valorile pentru call si put european %%%

n = T/dt; %%% numarul de perioade

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc

S = zeros(n+1,n+1); C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1);

%%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%%

for i = 1:n+1

S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului

C(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call european

P(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put european

end

%%% simuleaza valorile intermediare pentru S, C si P %%%

for i = n:-1:1

for j = 1:i

C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*C(j,i+1)+(1-psi)*C(j+1,i+1));

P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*P(j,i+1)+(1-psi)*P(j+1,i+1));

end

end

if flag == 1

disp('Valoarea pentru call european este C0 = '); disp(C(1,1));

else

disp('Valoarea pentru put european este P0 = '); disp(P(1,1));

end

O rulare a functiei, e.g. EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1), ne furnizeaza rezultatul:Valoarea pentru call european este C0 =

8.4006

Valorile pentru C (call european) la fiecare nod sunt cele din matricea:


Pentru EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), obtinem rezultatul:

Valoarea pentru put european este P0 =

3.4085

Se poate verifica cu usurinta ca relatia (4.3.2) (paritatea put-call) este verificata, adica:

100+3.4085−8.4006 = 105 · e−0.052.

Rulam acum functia binprice din MATLAB astfel:

[S,O] = binprice(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1)

Aici am folosit datele de mai sus. Obtinem:

unde: S este matricea de valori a activului suport si C este matricea de valori pentru uncall european asupra acestui activ suport, cu pretul de livrare K = 105 scadenta T = 2 si 4perioade. Se observa ca C0 = 8.4006, gasit mai sus.Exercitiu 6.11.6 Construiti o functie MATLAB ce calculeaza valorile pentru call american(pentru flag =1) sau put american (pentru flag =0) folosind modelul binomial.R:


function AM(S0,K,r,T,dt,sigma,flag)

%%% simuleaza valorile pentru call si put american %%%

%%% flag = 1 pentru call, flag = 0 pentru put

n = T/dt; %%% numarul de perioade

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc

S = zeros(n+1,n+1);

C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1);

%%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%%

for i = 1:n+1

S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului

C(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call european

P(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put european

CA(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call american

PA(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put american

end

%%% simuleaza valorile intermediare pentru S, CA si PA %%%

for i = n:-1:1

for j = 1:i

S(j,i) = u^(i-j)*d^(j-1)*S0;

C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*C(j,i+1)+(1-psi)*C(j+1,i+1));

CA(j,i) = max(C(j,i), max(u^(i-j)*d^(j-1)*S0-K, 0));

C(j,i) = CA(j,i);

P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*P(j,i+1)+(1-psi)*P(j+1,i+1));

PA(j,i) = max(P(j,i), max(K-u^(i-j)*d^(j-1)*S0, 0));

P(j,i) = PA(j,i);

end

CA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*CA(1,2)+(1-psi)*CA(2,2));

PA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*PA(1,2)+(1-psi)*PA(2,2));

end

if flag == 1

disp('Valoarea pentru call american este C0 = '); disp(CA(1,1));

else

disp('Valoarea pentru put american este P0 = '); disp(PA(1,1));

end

O rulare a functiei, e.g., AM(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), ne furnizeaza rezultatul:Valoarea pentru put american este P0 = 5.2007

Dupa cum era de asteptat, se observa ca aceasta valoare este mai mare decât cea pentru unput european, gasita în Exercitiul (6.11.5). Folosind comanda disp(PA) putem afisa toatevalorile pentru put american de pe arborele binomial. Acestea sunt:

PA =

5.2007 2.0043 0.5460 0 0

0 11.8269 5.0000 1.6522 0

0 0 18.1877 11.8269 5.0000

0 0 0 24.1142 18.1877

0 0 0 0 29.6362


Exercitiu 6.11.7 Consideram o piata financiara pe care se pot tranzactiona un bond Bt siactivul financiar din Exemplul 6.4. Presupunem ca B0 = 1 si r = 0.1. Pentru un portofoliudinamic ϕtT

t=1 = (bt , st)Tt=1, determinati

• valoarea portofoliului pentru t = 0, 1, 2;• valorile procesului câstig pentru t = 1, 2.

R: Vom avea: Bt = 1.1t , t = 0, 1, 2.t = 0: V0(ϕ) = B0 b1 +S0 s1 = b1 +5s1 (valoarea initiala a portofoliului).t = 1:

V1(ϕ) = B1b1 +S1s1 =

1.1b1 +8s1, daca ω ∈ ω1, ω2, ω31.1b1 +4s1, daca ω ∈ ω4, ω5.

G1(ϕ) = (B1−B0)b1 +(S1−S0)s1 =

0.1b1 +3s1, daca ω ∈ ω1, ω2, ω30.1b1− s1, daca ω ∈ ω4, ω5.

t = 2:

V2(ϕ) = B2b2 +S2s2 =

1.21b2 +9s2, daca ω = ω1

1.21b2 +7s2, daca ω = ω2

1.21b2 +6s2, daca ω ∈ ω3, ω41.21b2 +3s2, daca ω = ω5.

G2(ϕ) = (B1−B0)b1 +(S1−S0)s1 +(B2−B1)b2 +(S2−S1)s2

=

0.1b1 +3s11 +0.11b2 + s2, daca ω = ω1

0.1b1 +3s1 +0.11b2− s2, daca ω = ω2

0.1b1 +3s1 +0.11b2−2s2, daca ω = ω3

0.1b1− s1 +0.11b2 +2s2, daca ω = ω4

0.1b1− s1 +0.11b2− s2, daca ω = ω5.

Exercitiu 6.11.8 Cotatia de azi pentru un euro este EUR1 = RON4.66. Presupunem caaceasta se modifica zilnic, dupa un model binomial. La finele fiecarei perioade, valoareaunui EUR poate creste cu 2.5% sau poate scadea cu 3%. Rata dobânzii anuale unitare ester = 0.05 (dobânda compusa).(a) Aflati valoarea unui call american de cumparare a EUR10000, cu scadenta de zecezile, la cotatia de azi.(b) Care sunt sansele ca aceasta optiune sa expire neexercitata?R: (a) Aici, u = 1.025, d = 0.97, S0 = 46600, K = S0, T = 10

365 , δT = 1365 . Folosim func-

tia MATLAB AM definita anterior astfel:

AM(4.66*1e4,4.66*1e4,0.05,10/365,1/365,0,1)

Gasim ca valoarea pentru call american este C0 = 1682.90.(b) Probabilitatea lipsita de risc este ψ = (1+r)δT−d

u−d = 0.5479. Otiunea call va expiraneexercitata daca uid14−iS0 < K. Putem verifica acest fapt în MATLAB astfel:

i=[10:-1:0]'; CT = max(u.^i.*d.^(n-i)*S0-K, 0).


Cautam rangurile i pentru care CT = 0. Acestea sunt k ∈ 0, 1, . . . , 6. Probabilitateacautata este

P =6

∑i=0

Ci10ψ

i(1−ψ)10−i = 0.73842,

for i=0:6; P(i+1)=nchoosek(10,i)*psi.^i.*(1-psi).^(10-i); end; sum(P)

adica 16.33% sanse aceasta optiune sa expire neexercitata.

6.12 Probleme propuseExercitiu 6.12.1 Într-un model de piata financiara cu o perioada singurele active tranzac-tionabile sunt: un activ sigur (notat prin B) si un activ riscant (notat prin S). Stim caB0 = 10, S0 = 50, iar la t = T , BT = 11 si ST poate fi lua dintre valorile 48 sau 56.(a) Determinati daca piata considerata este lipsita de arbitraj. Este piata completa?(b) Exista o unica masura martingala echivalenta? În caz afirmativ, sa se calculeze aceasta.(c) Un investitor cumpara dreptul, dar nu si obligatia, de a achizitiona activul riscant cupretul K = 52 la t = T . Care este pretul lipsit de risc si portofoliul de acoperire al unuiastfel de contract încheiat astazi?Exercitiu 6.12.2 Consideram un model de piata financiara cu o perioada, în care singureleactive tranzactionabile sunt: un activ sigur (notat aici prin B) si un activ riscant (notat aiciprin S). Stim ca B0 = 1, S0 = 100, iar la scadenta T avem: BT = 1.1 si ST poate fi luadintre valorile 99, 154 sau 88.(a) Verificati daca piata considerata este lipsita de arbitraj. Este piata completa?(b) Aflati masura martingala echivalenta în cazul în care activul sigur este numéraire.(c) Consideram un call european cu activul riscant drept activ suport, cu pretul de exercitiuK = 77 si maturitatea t = T . Determinati valoarea la t = 0 a acestui call si construiti unportofoliu replicant format din activele (B, S).(d) Consideram un nou activ derivat, Dt , cu activul riscant drept activ suport, care lascadenta t = T poate avea valorile posibile 99, 154 sau 66. Care sunt limitele pentruvaloarea derivatului la momentul initierii contractului (i.e., ?≤D0 ≤?), astfel încât aceastavaloare sa nu genereze oportunitati de arbitraj?Exercitiu 6.12.3 Consideram un model de piata financiara cu o perioada, cu scadenta de 1an. Pe aceasta piata pot fi tranzactionate doar doua active financiare: un activ sigur (depozitbancar) si unul riscant. Pretul actual al activului riscant este de 20, iar la scadenta acestapoate fi 24 sau 18. Dobânda este calculata în mod simplu, cu un procent de 10% pe an.(a) Verificati lipsa oportunitatilor de arbitraj si completitudinea acestei piete;(b) Exista o unica masura martingala echivalenta? În caz afirmativ, sa se calculeze aceasta.Consideram un call european cu maturitatea de un an si pretul de exercitiu K = 21.(c) Care este pretul lipsit de arbitraj si portofoliul de acoperire al unui astfel de contractîncheiat astazi.Exercitiu 6.12.4 Consideram un model de piata financiara cu o perioada (T = 1), în carepot fi tranzactionate: un activ sigur, ce ofera o rentabilitate de 10% pe an si un activ riscant(notat prin S). Stim ca S0 = 30, iar ST poate lua doar una dintre valorile 32 sau 35.(a) Verificati lipsa arbitrajului si completitudinea pietei.(b) Determinati pretul de tranzactionare al unui call european la paritate, cu scadenta T .Stabiliti daca acest pret genereaza oportunitati de arbitraj. În caz afirmativ, determinati


pretul corect.(c) Construiti un portofoliul de acoperire pentru contractul de mai sus?(d) Determinati pretul forward la T pentru activul S.Exercitiu 6.12.5 Pretul actual al unui activ ce nu genereaza dividende este S0 = 100.Presupunem ca pretul St al activului evolueaza dupa un model binomial cu perioada de4 luni si ca, la finalul fiecarei perioade, este de asteptat ca pretul activului sa creasca cuun procent de 10% sau sa scada cu 5%. Rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.03 p.a.(dobânda simpla).(a) Determinati repartitia preturilor activului la momentul T = 1 si calculati valoareaasteptata a lui S1.(b) Care este probabilitatea ca, dupa 2 ani, valoarea activului sa creasca cu cel putin 50%?(c) Determinati valoarea unui put european ce confera dreptul de a vinde la paritateactivul S la T = 1.(d) Care este valoarea unui put american la paritate asupra activului S cu scadenta T = 1?Exercitiu 6.12.6 Pretul unui activ financiar evolueaza dupa un model binomial cu u =1.1, d = 0.9, T = 2, K = 100 si r = 0.1. Consideram un call european având activul suportconsiderat mai sus. Calculati pretul optiunii la t = 0 ca o functie de S0 si desenati-i graficul.Exercitiu 6.12.7 Pretul actual al unui activ financiar ce nu genereaza dividende esteS0 = 10. Presupunem ca pretul activului evolueaza dupa un model binomial cu perioada de3 luni si u = 1.1, d = 0.9. Rata dobânzii anuale unitare (lipsita de risc) r = 0.06 (dobândasimpla).(a) Determinati repartitia preturilor activului la T = 0.5. Care este probabilitatea ca pretulactivului dupa exact jumatate de an sa fie S0?(b) Care este valoarea unui put european cu pretul de exercitiu K = 10 si T = 0.5?(c) Care este valoarea unui put american cu pretul de exercitiu K = 10 si T = 0.5?Exercitiu 6.12.8 Pretul actual al unui activ financiar (un pachet de actiuni) ce nu genereazadividende este S0 = 100. Presupunem ca pretul St al activului evolueaza dupa un modelbinomial cu perioada de 6 luni si ca, la finalul fiecarui semestru, este de asteptat ca pretulactivului sa creasca cu un procent de 10% sau sa scada cu 10%. Rata dobânzii lipsite derisc este r = 0.04 p.a. (dobânda simpla).(a) Determinati pretul activului pentru fiecare nod al retelei binomiale.(b) Determinati repartitia preturilor activului la momentul T = 1. Calculati probabilitateaP(S1 ≥ 100).(c) Care este probabilitatea ca pretul pachetului la T = 1 sa se afle între 95 si 105?(d) Determinati valoarea actuala unui contract derivat ce confera dreptul de a vinde laparitate pachetul de actiuni la T = 1.Exercitiu 6.12.9 Pretul actual al unui activ financiar ce nu genereaza dividende esteS0 = 100. Presupunem ca pretul activului se modifica dupa un model binomial cu perioadade 1 an, cu u = 1.1, d = 0.8 si rata dobânzii anuale unitare r = 0.05 (compusa continuu).(a) Care este repartitia preturilor activului la T = 3? Calculati probabilitatea P(S3 > 100).(b) Aflati valoarea unui put european cu pretul de exercitiu K = 100 si maturitatea T = 3.(c) Aflati valoarea unui put american cu pretul de exercitiu K = 100 si maturitatea T = 3.Exercitiu 6.12.10 Într-o piata viabila, pretul unui activ financiar ce nu genereaza dividendeeste acum de 50RON. Presupunem ca pretul activului se modifica dupa un model binomialcu perioada de o luna, iar dupa fiecare luna este de asteptat ca pretul sa creasca cu 20%sau sa scada cu 10%. Rata dobânzii anuale unitare este r = 0.12 p.a. (compusa continuu).


Pe aceasta piata se tranzactioneaza drepturi de vânzare a activului la termen, cu pretul deexercitiu de 52RON si maturitatea de 3 luni.(a) Pentru ce valoare minima pot fi tranzactionate aceste drepturi de vânzare?(b) Care este valoarea unui astfel de drept de vânzare? Aflati probabilitatea ca el sa fieexercitat?(c) Determinati valoarea unui put american cu pretul de exercitiu de 52RON si maturitateade 3 luni. Precizati în ce moment(e) pâna la scadenta exercitarea optiunii este avantajoasapentru detinator.Exercitiu 6.12.11 Pretul actual al unui activ ce nu genereaza dividende este S0 = 100.Presupunem ca pretul St al activului evolueaza dupa un model binomial cu perioada de4 luni si ca, la finalul fiecarei perioade, este de asteptat ca pretul activului sa creasca cuun procent de 10% sau sa scada cu 5%. Rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.03 p.a.(dobânda simpla).(a) Determinati repartitia preturilor activului la momentul T = 1 si calculati valoareaasteptata a lui S1.(b) Scrieti procesele valoare si câstig la fiecare moment t pâna la scadenta;(c) Pentru un call european la paritate, determinati valoarea portofoliilor replicante înfiecare nod al retelei.(d) Care este valoarea derivatului de la (c) în fiecare nod al retelei?Exercitiu 6.12.12 Cotatia de azi pentru un euro este 1e= 4.5 RON. Presupunem ca valoareamonedei unice europene fata de leu se modifica dupa un model binomial cu perioada de ozi, cu σ = 0.1. Rata dobânzii anuale unitare este r = 0.05 (compusa continuu).(a) Determinati repartitia preturilor activului dupa exact o saptamâna.(b) Evaluti dreptul de cumparare a 1000e, dupa exact 3 zile, la cotatia de azi.(c) Evaluti dreptul de vânzare a 1000e, dupa exact 3 zile, la cotatia de azi.(d) Generati în MATLAB o posibila evolutie a cursului e/RON pentru urmatorul an.(e) Pentru derivatele financiare de la (b) si (c), determinati valoarea portofoliilor replicanteîn fiecare nod al retelei.(f) Pentru derivatul financiar de la (c), scrieti procesele valoare si câstig la fiecare momentt pâna la scadenta;(g) Evaluati valoarea unui put american pentru vânzarea a 1000e la cotatia de azi, cuscadenta de 4 saptamâni.Exercitiu 6.12.13 Câti arbori binomiali de o singura perioada se afla într-un arbore bino-mial cu n perioade?

7. Modele continue pentru evaluarea optiunilor

7.1 Elemente de analiza stochastica

. A financial mathematician must watch a lot of drunkards walk,

. if he wants to build a reliable model for stock prices.

7.1.1 Miscarea aleatoare

Miscarea aleatoare (random walk sau drunkard’s walk) este un formalism matematic alunei traiectorii ce reprezinta pasi succesivi. A fost introdus de Karl Pearson1 în 1905. Areaplicatii în diverse stiinte, dintre care mentionam: traiectoria unei molecule suspendateîntr-un lichid (în Biologie) sau pretul unui activ financiar (în Finante) etc. O posibilaevolutie a pretului unui activ financiar într-un model binomial este o astfel de miscarealeatoare. O reprezentare grafica a acestei miscari (cazul unu dimensional) este cea dinFigura 6.6. În Exercitiul 6.11.3 am reprezentat grafic o miscare aleatoare 2 dimensionala.

Un alt exemplu:Consideram un joc prin care cineva poate câstiga 1 RON, daca la aruncarea unei monedeideale apare fata cu stema, si pierde 1 RON daca apare cealalta fata. Fie X variabila alea-toare care ia valoarea 1 daca a aparut fata cu stema si X =−1 altfel. Se arunca moneda den ori (experimente independente) si fie Sn suma cumulata din n aruncari. Atunci, procesulaleator Snn≥0 este o miscare aleatoare (vezi Figura 7.1).

1Karl Pearson (1857−1936), statistician, avocat si eugenist britanic

108 Capitolul 7. Modele continue pentru evaluarea optiunilor

Figura 7.1: Miscarea aleatoare pentru (a) n = 100 si (b) n = 105.

7.1.2 Procesul Wiener (sau miscarea Browniana)

În anul 1828, botanistul scotian Robert Brown2 a studiat miscarea particulelor de polensuspendate într-un lichid, observând o miscare iregulara si haotica. Aceasta miscare aramas în literatura cu numele de miscare Browniana. Ea a fost studiata matematic pen-tru prima oara de matematicianul Louis Bachelier, în teza sa de doctorat Theorie de laspéculation, sustinuta în 1900. Bachelier a utilizat miscarea Browniana pentru a modelafluctuatiile de pret pentru active financiare riscante. În 1905, Albert Einstein a explicataceasta miscare ca fiind rezultatul interactiunii particulelor de polen cu moleculele de fluidîntâlnite în cale, derivând astfel ecuatii de evolutie pentru aceasta miscare. Fundatiilematematice riguroase pentru miscarea Browniana au fost stabilite de Norbert Wiener3, unmatematician american care s-a preocupat de studiul proceselor stochastice si a zgomotuluiaplicat pe diverse sisteme. De aici si numele alternativ de proces Wiener pentru miscareaBrowniana.

Fie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate. Vom numi proces stochastic o familie para-metrizata de variabile aleatoare definite pe câmpul de probabilitate. Un proces stochasticdiscret este o familie X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω), . . . de variabilele aleatoare. Procesulstochastic se numeste continuu daca familia este indexata dupa o multime de indici J ⊂ R(scriem Xt(ω), t ∈ J ⊂ R+) si Xt este continuu P a.s. în raport cu t. Daca ω este fixat,atunci aplicatia t −→ Xt(ω) se va numi traiectoria procesului.Definitia 7.1.1 Procesul stochastic W : R+×Ω→ R se numeste proces Wiener (1− di-mensional) daca urmatoarele patru conditii sunt îndeplinite (vom nota prin Wt =W (t, ω)):

(1) W0 = 0, a.s., adica aproape toate traiectoriile pleaca din 0 la momentul zero (este oconventie);

(2) Aplicatia t −→Wt(·) este continua P a.s. (continuitatea traiectoriilor);(3) (∀) 0≤ s≤ t,Wt−Ws ∼N (0,

√t− s), (media 0 si dispersia t− s);

2Robert Brown (1773 −1858), botanist scotian3Norbert Wiener (1894 − 1964), matematician american, recunoscut ca fiind întemeietorul ciberneticii

7.1 Elemente de analiza stochastica 109

(4) (∀) 0 = t0 < t1 < · · ·< tn, variabilele aleatoare

Wt1−Wt0 , Wt2−Wt1, . . . , Wtn−Wtn−1

sunt independente stochastic (i.e., cresterile sunt independente).

Figura 7.2: O reprezentare a cinci procese Wiener.

Observatia 7.1 (1) Procesul Wiener este un proces Gaussian, i.e., pentru orice 0≤ t1 ≤t2 ≤ ·· · ≤ tk, vectorul aleator V = (Wt1,Wt2 , . . . ,Wtk) este un vector aleator ce are repartitianormala k−dimensionala.(2) Pentru o divizare echidistanta (de lungime ∆t) a intervalului (0, T ), putem scrie ca

Wtk+1−Wtk = εt√

∆t, unde εt ∼N (0, 1) sunt v.a. independente stochastic.

Propozitia 7.1.1 (1) Fie Wt = W (t, ω) un proces Wiener si notam cu ∆W = Wt −Ws.Atunci, din definitie (conditia (3)),

E(∆W ) = 0, Var(∆W ) = t− s, (∀) 0≤ s≤ t.

(2) Daca 0 = t0 < t1 < · · ·< tn = T este o divizare a intervalului [0, T ], atunci:

E(WT ) = 0; Var(WT ) = T.

Demonstratie. Putem scrie ca:

WT −W0 =n

∑k=1

[Wtk−Wtk−1] =n

∑k=1

εk√

∆t.

Dar E(WT ) =E(WT −W0)+E(W0) = 0 si, utilizând independenta stochastica, putem scrie:

Var(WT ) =Var(WT −W0) =n

∑k=1

Var(Wtk−Wtk−1) =n

∑k=1

(tk− tk−1) = T.


Definitia 7.1.2 (1) σ -algebra Ws = σ(Wr); 0 ≤ r ≤ s se numeste istoria procesuluiWiener pâna la momentul s sau filtrarea naturala atasata procesului Wiener.(2) σ -algebra W +

s = σ(Wt −Ws); t ≥ s se numeste viitorul procesului Wiener dupamomentul s.

Propozitia 7.1.2 Proprietati ale procesului Wiener (fara demonstratie):(1) Pentru aproape toti ω ∈Ω, traiectoriile procesului Wiener (adica t→Wt(ω)) nu suntnicaieri diferentiabile.(2) Procesul Wiener are variatie infinita în orice interval (i.e., lungimea traiectoriei dintreoricare doua puncte Ws si Wt (s 6= t) ale unui proces Wiener este infinita).(3) Procesul Wiener este un proces Markov, i.e., pentru orice B ∈B(R) and all 0≤ s≤ t,avem ca

P(Wt ∈ B|Ws) = P(Wt ∈ B|Ws) a.s.

În cuvinte, probabilitatea ca un eveniment legat de procesul Wiener sa aiba loc la momentult, tinând cont de istoricul procesului pâna la momentul s (unde s ≤ t), depinde doar devaloarea procesului la momentul s, Ws, si nu tine cont de ce s-a întâmplat înainte demomentul s.(4) Procesul Wiener este un fractal.(5) Daca Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic −Wt este tot un procesWiener.(6) Daca Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic

√α W t

αeste tot un proces

Wiener.

Definitia 7.1.3 O familie (filtrare) Ftt de σ−algebre se numeste non-anticipativa înraport cu Wt daca:

(i) Fs ⊂Ft , (∀) 0≤ s≤ t (o familie crescatoare de σ− algebre);(ii) Wt ⊂Ft , (∀) t ≥ 0 (procesul Wiener este adaptat filtrarii);

(iii) Ft este independenta de viitorul procesului Wiener dupa acest moment, adica deσ−algebra W +

t , (∀) t ≥ 0.Definitia 7.1.4 (1) Un proces stochastic Xtt≥0 se numeste adaptat filtrarii Ft (saunon-anticipativ în raport cu Ft) daca Xt este Ft−masurabil, pentru orice t ≥ 0. În termenifinanciari, Xt este Ft−masurabil daca putem evalua valoarea lui Xt pe baza informatiilorexistente în σ−algebra Ft si nu anticipeaza viitorul dupa momentul t.(2) Un proces stochastic se numeste progresiv masurabil daca pentru orice timp t, aplicatia[0, t]×Ω→ R definita prin (s,ω) 7→ Xs(ω) este masurabila în raport cu σ−algebra gene-rata de [0, t]×A (cu A ∈Ft), i.e., X(t, ω) este o functie masurabila în ambele variabile.Se observa cu usurinta ca, daca Xt progresiv masurabil, atunci Xt este Ft−adaptat.(3) Vom nota prin M2(0, T ) spatiul proceselor stochastice Xt : Ω× [0, T ]−→ R progresivmasurabile, astfel încât ∫ T

0X2

t dt < ∞ a.s..

(4) Pentru p ∈ N∗, vom nota prin Lp(0, T ) spatiul proceselor stochastice Xt : Ω×[0, T ]−→ R progresiv masurabile, astfel încât

E(∫ T

0|Xt |p dt

)< ∞.


Definitia 7.1.5 Un proces stochastic Xtt≥0 de forma:

Xt = x0 +µt +σ Wt , t ≥ 0, (7.1.1)

cu Wt este proces Wiener, se numeste proces Wiener generalizat. Punctul de plecare estex0, are media x0 +µt si dispersia σ2. Valoarea medie a modificarii în timp a unui processtochastic se numeste drift. Driftul unui proces Wiener standard este 0, iar pentru un procesWiener generalizat este x0 +µt.Se observa ca Xt este o functie de timp si de procesul Wiener, adica Xt = X(t,Wt). În uneledintre calculele ce vor urma, dependenta lui Xt si Wt de ω se va subîntelege si nu va fiscrisa explicit decât uneori, când este necesar.

Spunem ca ”x0+µt” este partea determinista a procesului stochastic Xtt≥0, iar ”σ Wt”este partea aleatoare. Termenul σ dW poate fi interpretat ca fiind un zgomot adaugat pesistem.

Consideram un activ financiar a carui valoare la momentul t este St . Daca valoareaactivului se modifica în timp doar datorita ratei dobânzii (µ), atunci putem scrie

dSt

dt= µ St , t ≥ 0, (7.1.2)

de unde gasim ca

St = S0eµ t , t ≥ 0, (7.1.3)

Însa, cazul determinist este doar un caz ideal. În practica, apar diverse fluctuatii aleatoareale pretului activului. Dorim sa luam în considerare aceste fluctuatii si presupunem ca σ

este o masura a variatiei valorilor în jurul mediei. Adaugam în ecuatia (7.1.2) un factor deperturbare ξt , numit zgomot alb (eng., white noise) care sa tina cont de pretul activului sivom scrie:

dSt

dt= µ St +σ St ξt , t ≥ 0. (7.1.4)

Acest factor de perturbare se considera a fi ξt =dWt

dt(scriere formala). Înlocuind în (7.1.4),

obtinem:

dSt

St= µ dt +σ dWt , t ≥ 0, (7.1.5)

sau, altfel scris,

dSt = µ St dt +σ St dWt , t ≥ 0. (7.1.6)

Un proces stochastic ce verifica o relatie de forma (7.1.5) sau (7.1.6) se numeste miscareBrowniana geometrica.În general, un proces stochastic Xtt≥0 ce verifica relatia:

dXt = f (t, Xt)dt +g(t, Xt)dWt , t ≥ 0, (7.1.7)

se numeste proces Itô4. Driftul acestui proces este f (t, Xt) iar volatilitatea este g(t, Xt).Relatia (7.1.7) mai poarta numele de ecuatie diferentiala stochastica.

4Kiyosi Itô (1915 - 2008), matematician japonez


Deoarece aproape toate traiectoriile procesului Wiener sunt nicaieri diferentiabile, termenuldWt este doar o scriere formala, o notatie. Cu alte cuvinte, termenul dWt nu are nicioînsemnatate de unul singur. Mai mult, termenul de ecuatie diferentiala stochastica este onotiune formala, careia în vom da un sens în cele ce urmeaza. În acest sens, vom introducenotiunea de integrala Itô a unui proces stochastic adaptat Xt în raport cu procesul Wiener,notata prin ∫ T

0Xt dWt .

Urmatoarea discutie se doreste a fi o motivatie pentru modul în care integrala Itô pentru unproces adaptat oarecare este definita.Observatia 7.2 Sa consideram un set de N active financiare tranzactionabile, care aupreturile Si

t la momentul t ∈ [0, T ] (i = 1, 2, . . . , N). Presupunem ca momentele la careaceste active pot fi tranzactionate sunt 0 = t0 < t1 < · · ·< tn = T . Aceste preturi sunt, defapt, niste procese stochastice de tip (7.1.7) . Intuitiv, ar trebui ca aceste preturi sa depindadoar de istoria pâna la momentul t si sa nu anticipeze viitorul dupa momentul t. Asadar,vom cere ca procesul stochastic ce defineste portofoliul dinamic sa fie non-anticipativ.

Un investitor investeste în aceste active, construindu-si un portofoliu dinamic ϕtTt=1.

Valoarea initiala a acestui portofoliu dinamic este Vϕ(0) = ϕt1 · S0. (Aici, ”·” este pro-dusul scalar a doi vectori.) Daca presupunem ca acest portofoliu dinamic este autofi-nantant (ϕtk+1 · Stk = ϕtk · Stk , ∀k, adica valoarea acestuia se modifica doar datorita fluc-tuatiilor de pret ale activelor, si nu pentru ca au fost investite sau retrase sume de banidin portofoliu dupa momentul t = 0), atunci variatia valorii portofoliului la un momenttk, k = 1, 2, . . . , n−1 este

∆Vϕ(tk) = ϕtk ·∆Stk :=N

∑i=1

ϕitk ∆Si

tk ,

=N

∑i=1

ϕitk (S

itk+1−Si

tk).

(∆Stk = Stk+1−Stk , ∆Sitk = Si

tk+1−Si

tk , i = 1, 2, . . . , N.)Dupa cum am vazut anterior, pentru un portofoliu auto-finantant avem ca

Vϕ(T ) =Vϕ(0)+n−1

∑k=0

ϕtk ·∆Stk ,

cu conventia ca ϕt0 ·S0 = ϕt1 ·S0 este valoarea initiala a portofoliului.Din punct de vedere formal, daca norma diviziunii tinde la 0 (i.e., |δT |= max

0≤k≤n−1|tk+1−

tk| → 0, când n→ ∞), vom obtine variatia portofoliului într-o piata în care tranzactiile sepot face în mod continuu. Astfel, într-o piata lipsita de arbitraj, ne asteptam ca valoareaunui portofoliu dinamic autofinantant ϕtT

t=1 la momentul T sa fie de forma

Vϕ(T ) =Vϕ(0)+∫ T

0ϕt dSt ,

unde integrala este interpretata în sensul urmator:∫ T

0ϕt dSt = lim

n→∞

n−1

∑k=0

ϕtk (Stk+1−Stk).


Folosind argumentele de mai sus, suntem îndreptatiti sa ne propunem a defini aceastaintegrala într-un cadru mai general.Definitia 7.1.6 Fie 0= t0 < t1 < · · ·< tn = T este o divizare a intervalului [0, T ] si Xtt≥0

un proces stochastic din L2(0, T ). Atunci, variabila aleatoare∫ T

0Xt dWt , definita prin

∫ T

0Xt dWt := lim

n→∞

n−1

∑k=0

Xtk(Wtk+1−Wtk). (7.1.8)

se numeste integrala în sens Itô pe intervalul (0, T ) a procesului stochastic Xt în raport cuprocesul Wiener.Observatia 7.3 (1) Este important faptul ca în suma din definitie sa apara valorile Xtk ,deoarece aceste variabile aleatoare sunt non-anticipative, pentru fiecare interval [tk, tk+1).Astfel, pentru orice τ ∈ (tk, tk+1), variabila aleatoare Xτ este o valoare anticipata, care ardepinde de valorile viitoare ale preturilor (i.e., de Stk+1), deci fara interes în dinamica pietei.

(2) Integrala stochastica este o variabila aleatoare, pe când integrala obisnuita Riemann-Stieltjes, daca exista, este un numar real. Reamintim ca integrala Riemann-Stieltjes sedefineste prin

∫ T

0F(t)dG(t) := lim

n→∞

n−1

∑k=0

F(ξk)(G(tk+1)−G(tk)). (7.1.9)

pentru orice puncte intermediare ξk ∈ (tk, tk+1). Aici G(t) este o functie cu variatiamarginita si F o functie continua.

(3) Daca s-ar încerca definirea integralei stochastice ca în relatia (7.1.9), pentru oricepuncte intermediare ξk, am gasi în membrul drept o limita ce nu exista. Asadar, ξk trebuiesa fie fixate a priori. În definitia integralei de tip Itô se alege ξk = tk, (∀) k. Pentru oricealta alegere, obtinem o alta integrala stochastica, daca aceasta este definita, si aceastava fi diferita de cea de tip Itô. Spre exemplu, putem defini integrala stochastica de tipStratonovich prin

∫ T

0Xt dWt := lim

n→∞

n−1

∑k=0

Xtk +Xtk+1

2(Wtk+1−Wtk). (7.1.10)

Aceasta integrala este utila în aplicatiile din Fizica, dar nu în Finante.Observatia 7.4 Folosind definitia anterioara, forma corecta a ecuatiei (7.1.7) este:

Xt = X0 +∫ t

0f (s, Xs)ds+

∫ t

0g(s, Xs)dWs, t ≥ 0 a.s., (7.1.11)

unde prima integrala este integrala în sens Riemann, iar cea de-a doua este integrala însens Itô.

Propozitia 7.1.3 (proprietati ale integralei Itô)(I1) Pentru orice constante reale a si b si Xt , Yt ∈ L2(0, T ), avem:∫ T

0(aXt +bYt)dWt = a

∫ T

0Xt dWt +b

∫ T

0Yt dWt .


(I2) E(∫ T

0Xt dWt

)= 0.

(I3) E

((∫ T

0Xt dWt

)2)

= E(∫ T

0X2

t dt).

Din aceasta proprietate observam necesitatea ca procesul care se integreaza, Xt , sa

fie din L2(0, T ). Se observa ca dispersia variabilei aleatoare∫ T

0Xt dWt este

Var(∫ T

0Xt dWt

)= E

(∫ T

0X2

t dt).

(I4) Pentru oricare procese stochastice Xt si Yt de patrat integrabile avem:

E(∫ T

0Xt dWt ·

∫ T

0Yt dWt

)= E

(∫ T

0XtYt dt

).

Definitia 7.1.7 Pentru X ∈ L2(0, T ), variabila aleatoare

I(t) =∫ t

0Xs dWs

se numeste integrala Itô nedefinita. Avem ca I(0) = 0.Se poate demonstra ca procesul stochastic I(t) este un martingal în raport cu istoria

procesului Wiener, i.e.,E[I(t)|Ws] = I(s), 0≤ s≤ t.

7.2 Lema lui ItôLema lui Itô este, de fapt, o regula de diferentiere stochastica. Consideram procesul Itô Xtdefinit prin relatia

dXt = f (t, Xt)dt +g(t, Xt)dWt , t ≥ 0, (7.2.12)

si presupunem ca f (t, Xt) ∈ L1(0, T ), g(t, Xt) ∈ L2(0, T ) (i.e., sunt progresiv masurabilesi

E(∫ T

0f (t, Xt)dt

)< ∞, E

(∫ T

0g2(t, Xt)dt

)< ∞.

Consideram functia H(t, x), de clasa C1 în variabila t si de clasa C2 în x. Intentionamsa gasim ecuatia diferentiala stochastica (formala) pe care o satisface procesul stochasticcompus H(t, Xt). Daca factorul dWt ar fi determinist, atunci, datorita regulii lantului,putem scrie:

dH(t, Xt) =∂H∂ t

dt +∂H∂x

dXt =

(∂H∂ t

+ f∂H∂x

)dt +g

∂H∂x

dWt .

În cazul stochastic avem:

7.2 Lema lui Itô 115

Lema 7.2.1 (formula lui Itô) Daca functia H este de clasa C2 în variabila spatiala x si declasa C1 în variabila temporala t, atunci procesul H(t, Xt) satisface ecuatia diferentialastochastica:

dH(t, Xt) =

(∂H∂ t

+ f∂H∂x

+12

g2 ∂ 2H∂x2

)dt +g

∂H∂x

dWt . (7.2.13)

Observatia 7.5 Deoarece procesul Wiener este nicaieri diferentiabil, ecuatia (7.2.13) estedoar o scriere formala. Daca procesul stochastic Xt este scris sub forma (7.1.11), atunciforma integrala (corecta) a lemei lui Itô este:

H(t,Xt) = H(0,X0)+

t∫0

[∂H(s, Xs)

∂ s+ f (s, Xs)

∂H(s, Xs)

∂x+

12

g2(s, Xs)∂ 2H(s, Xs)

∂x2

]ds

+

t∫0

g(s, Xs)∂H(s, Xs)

∂xdWs, a.s. (t ≥ 0) (7.2.14)

Asadar, în cazul regulii lantului în varianta stochastica mai apare un termen în plus, si

anumeg2

2∂ 2H∂x2 dt.

Exercitiu 7.2.1 Aratam ca

∫ t

sWτ dWτ =

W 2t −W 2

s2

− t− s2

.

În particular, ∫ T

0Wt dWt =

W 2T

2− T

2.

R: Aplicam lema lui Itô pentru Xt =Wt , f ≡ 0, g≡ 1, H(t, x) = x2. Avem:

∂H∂ t

= 0,∂H∂x

= 2x,∂ 2H∂x2 = 2,

de unde d(W 2t ) = 2Wt dWt +dt. Folosind forma integrala (vezi Exercitiul 7.4.1 pentru a

integra ultima relatie), scriem astfel:

W 2t = W 2

s +2∫ t

sWτ dWτ +

∫ t

sdτ

= W 2s +2

∫ t

sWτ dWτ + t− s,

de unde relatia ceruta.

Propozitia 7.2.2 (alte reguli de calcul stochastic)

• d(tWt) =Wt dt + t dWt , t ≥ 0.

• d(W mt ) = mW m−1

t dWt +m(m−1)

2 W m−2t dt, m≥ 2, t ≥ 0.


• Daca X1, X2 sunt procese Itô,dX1 = f1(t, X1)dt +g1(t, X1)dWt , t ≥ 0,dX2 = f2(t, X2)dt +g2(t, X2)dWt , t ≥ 0,

cu fi ∈ L1(0, T ) si gi ∈ L2(0, T ) (i = 1, 2), atunci

d(X1 X2) = X2 dX1 +X1 dX2 +g1g2 dt.

Exercitiu 7.2.2 Consideram un contract forward cu scadenta T , care are la baza un activsuport ce valoreaza St la momentul t si nu genereaza dividende. Daca r este rata dobânziiunitare, atunci pretul forward la momentul t este:

F(t, St) = St er(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].

Sa presupunem ca valoarea activului suport satisface ecuatia diferentiala stochastica (7.1.4).Pentru a calcula dF , folosim lema lui Itô pentru F(t, s) = ser(T−t). Mai întâi, calculam:

∂F∂ t

=−r ser(T−t),∂F∂ s

= er(T−t),∂ 2F∂ s2 = 0.

Obtinem ecuatia diferentiala stochastica:

dF =[er(T−t)

µ St− r St er(T−t)]

dt + er(T−t)σ St dWt ,

sau, rescrisa,

dFt = (µ− r)Ft dt +σ Ft dWt . (7.2.15)

Observam ca pretul forward (dat de relatia (7.2.15) este o miscare Browniana geometricacu driftul µ− r si volatilitatea σ .Exercitiu 7.2.3 Consideram acum ca G(t, St) = ln(St). Atunci:

∂G∂ t

= 0,∂G∂ s

=1St,

∂ 2F∂ s2 =− 1

S2t,

de unde, aplicând lema lui Itô, obtinem:

d ln(St) =

(µ− σ2

2

)dt +σ dWt , t ≥ 0. (7.2.16)

Acesta este un proces Wiener generalizat cu driftul µ− σ2

2si volatilitatea σ .

Totusi, aceasta este doar o scriere formala. Pentru scrierea corecta a procesului stochastic,vom aplica formula (7.2.14). Altfel, se poate integra ecuatia diferentiala stochastica (7.2.16)(vezi Exercitiul 7.4.1 pentru o metoda de integrare).Vom obtine:

ln(St) = ln(S0)+

(µ− σ2

2

)t +σ Wt , t ≥ 0, (7.2.17)

de unde

St = S0e(µ−σ22 ) t+σ Wt , t ≥ 0, a.s.. (7.2.18)

7.2 Lema lui Itô 117

Observatia 7.6 (a) Daca volatilitatea σ = 0 (activ sigur), atunci formula anterioaradevine (7.1.3), care este suma S0 actualizata la momentul t.(b) Daca luam t = T în relatia (7.2.17) si tinem cont ca Wt ∼N

(0,√

t), deducem ca

lnST ∼N

(lnS0 +

(µ− σ2

2

)T, σ√

T). (7.2.19)

Altfel spus, ultima relatie indica faptul ca preturile la scadenta ale unui activ financiarurmeaza o repartitie lognormala, i.e.,

ST ∼ logN

(lnS0 +

(µ− σ2

2

)T, σ√

T). (7.2.20)

Mai putem rescrie (7.2.19) astfel:

ln(

ST

S0

)∼N

((µ− σ2

2

)T, σ√

T). (7.2.21)

Valoarea asteptata si dispersia procesului ST sunt (vezi repartitia lognormala):

E(ST ) = S0eµT , Var(ST ) = S20e2µT

(eσ2T −1

). (7.2.22)

Relatia (7.2.22)1 se traduce prin faptul ca valoarea asteptata a preturilor activului suport lat = T este tocmai suma ce o vom obtine daca am depune suma S0 într-un cont bancar curata dobânzii unitare anuale µ .Observatia 7.7 Deoarece este practic imposibil sa anticipam valoarea exacta a activuluila momentul T (i.e., ST ) la momentul initierii unui contract, putem cauta în schimb uninterval de încredere pentru valoarea activului la scadenta. Fie α un nivel de semnificatie(de regula, se alege α = 0.05 (standard) sau 0.02 sau 0.01).

Pentru o variabila aleatoare generica X cu media µ si deviatia standard σ , un interval deîncredere pentru µ = E(X) la nivelul de semnificatie α este un interval (a, b) astfel încât:

P(a < µ < b) = 1−α.

Daca X ar fi normal N (µ, σ), atunci un interval de încredere centrat pentru µ = E(X)este intervalul aleator [

X− z1−α

2

σ√n, X + z1−α

2

σ√n

],

astfel încât:

P(

X− z1−α

2

σ√n< µ < X + z1−α

2

σ√n

)= 1−α, (7.2.23)

echivalent cu

P(

µ− z1−α

2

σ√n< X < µ + z1−α

2

σ√n

)= 1−α, (7.2.24)

unde X este media de selectie asociata variabilei aleatoare X si z1−α

2este cuantila de ordin

1− α

2pentru repartitia normala standard.


Sa fixam α = 0.05, de unde z1−α

2= 1.96.

Tinând cont de relatia (7.2.21), daca în relatia (7.2.24) consideram n = 1 si în loc de X

folosim ln(

ST

S0

)(care are media (µ− σ2

2 )T si abaterea standard σ√

T ), atunci gasim ca:

P((µ− σ2

2)T −1.96σ

√T < ln

(ST

S0

)< (µ− σ2

2)T +1.96σ

√T)= 0.95, (7.2.25)

de unde

P(

S0e(

µ−σ22

)T−1.96σ

√T< ST < S0e

(µ−σ2

2

)T+1.96σ

√T)= 0.95. (7.2.26)

Asadar, am gasit ca un interval de încredere pentru valoarea activului la scadenta este(S0e

(µ−σ2

2

)T−1.96σ

√T, S0e

(µ−σ2

2

)T+1.96σ

√T). (7.2.27)

Deoarece nu este nimic special în legatura cu alegerea lui t = T , se poate construi astfelcâte un interval de încredere pentru fiecare St , cu t > 0. Forma acestui interval este cea demai înainte, în care T este înlocuit cu t. Daca presupunem ca T este mic, atunci putemneglija termenii ce în contin pe T si scrie:

e(

µ−σ22

)T−1.96σ

√T ≈ e−1.96σ

√T ≈ 1−1.96σ

√T

e(

µ−σ22

)T+1.96σ

√T ≈ e−1.96σ

√T ≈ 1+1.96σ

√T .

Intervalul de încredere devine:(S0(1−1.96σ

√T ), S0(1+1.96σ

√T )). (7.2.28)

Acest interval de încredere este în concordanta cu perceptia investitorilor conform careia,pentru perioade mici de timp, riscul unei investitii creste proportional cu radacina patrata atimpului. De regula, riscul poate fi considerat a fi dispersia posibilelor valori viitoare.

7.3 Ecuatii diferentiale stochasticeVom prezenta aici o scurta introducere în teoria ecuatiilor diferentiale stochastice. Pentrusimplitate, vom lucra într-o singura dimensiune.Definitia 7.3.1 Fie Wt un proces Wiener si X0 o variabila aleatoare independenta de Wt .Pentru orice t ≥ 0 fixat, consideram urmatoarea σ−algebra:

Ft = σ(X0,Ws),0≤ s≤ t,

si o vom numi σ−algebra generata de X0 si istoria procesului Wiener pâna la momentul t.Urmatoarea ecuatie (scrisa formal)

dXt = f (t, Xt)dt +g(t, Xt)dWt , 0≤ t ≤ T, (7.3.29)

cu f si g functii reale ( f : R× [0, T ]→ R, g : R× [0, T ]→ R) o vom numi ecuatiediferentiala stochastica. Scrierea corecta a acestei ecuatii este:

Xt = X0 +∫ T

0f (t, Xt)dt +

∫ T

0g(t, Xt)dWt , 0≤ t ≤ T, a.s. (7.3.30)


Definitia 7.3.2 Vom spune ca procesul stochastic real Xt este o solutie a problemei sto-chastice:

dX = f (t, X)dt +g(t, X)dW, 0 < t ≤ T,X(0) = X0,

daca:• Xt este progresiv masurabil în raport cu Ft ;• f (t, Xt) ∈ L1(0, T ), g(t, Xt) ∈ L2(0, T );

• Xt = X0 +∫ T

0f (t, Xt)dt +

∫ T

0g(t, Xt)dWt , 0≤ t ≤ T, a.s.

Teorema 7.3.1 (teorema de existenta si unicitate)Sa presupunem ca functiile f : R× [0, T ]→ R, g : R× [0, T ]→ R sunt continue si existaun L > 0 astfel încât:

| f (t, x)− f (t, y)| ≤L |x−y|, |g(t, x)−g(t, y)| ≤L |x−y|, pentru orice 0≤ t ≤T si x, y∈R,

si

| f (t, x)| ≤ L(1+ |x|), |g(t, x)| ≤ L(1+ |x|), pentru orice 0≤ t ≤ T si x ∈ R.

Fie X0 o variabila aleatoare reala cu E(|X0|2)< ∞, pe care o consideram independenta deσ−algebra W +(0) = σWt , 0 < t ≤ T.În aceste conditii, problema stochastica (7.3.29) admite o solutie unica Xt ∈ L2(0, T ).

7.3.1 O metoda de rezolvare a ecuatiilor diferentiale stochasticeCautam o functie h : [0, ∞)×R−→ R astfel încât solutia ecuatiei (7.3.29) este de formaXt = h(t,Wt), cu Wt proces Wiener. Folosind lema lui Itô (pentru Xt = Wt , H(t, Xt) =h(t,Wt)), scriem:

Xt := h(t,Wt) = h(0, 0)+∫ t

0

(∂h∂ s

+12

∂ 2h∂x2

)ds+

∫ t

0

∂h∂x

dWs, t ∈ [0, T ]. (7.3.31)

Din (7.3.31) si (7.3.30), gasim ca X este o solutie a ecuatiei (7.3.29) daca:12

∂ 2h(s,x)∂x2 +

∂h(s,x)∂ s

= f (s, x);∂h(s,x)

∂x= g(s, x);

h(0,0) = X0.

Dupa rezolvarea acestui sistem (unde este posibila), gasim functia h, dupa care scriemprocesul stochastic solutie Xt = h(t,Wt) (vezi exemplele rezolvate de mai jos).

7.4 Probleme rezolvateExercitiu 7.4.1 Sa se rezolve problema stochastica:

dX = µdt +σ dW, 0 < t ≤ T,X(0) = x0 ∈ R


unde µ si σ sunt constante reale.R: Aici f ≡ µ, g≡ σ . Folosim metoda de mai sus si gasim sistemul de ecuatii:

12

∂ 2h(s,x)∂x2 +

∂h(s,x)∂ s

= µ;∂h(s,x)

∂x= σ ;

h(0,0) = x0.

Solutia acestui sistem este:

X(t,Wt) = x0 +µt +σWt , t ∈ [0, T ]. (7.4.32)

Observatia 7.8 O formulare echivalenta a problemei de mai sus este: Sa se rezolveecuatia integrala stochastica:

Xt = X0 +∫ t

0µ ds+

∫ t

0σ dWs, t ∈ [0, T ],

care, evident, are solutia (7.4.32).Exercitiu 7.4.2 Sa se rezolve problema stochastica:

dX = σ XdW, 0 < t ≤ T,X(0) = x0 ∈ R

unde σ este o constanta reala.R: Aici f ≡ 0, g≡ σX . Folosim metoda de mai sus si gasim sistemul de ecuatii:

12

∂ 2h(s,x)∂x2 +

∂h(s,x)∂ s

= 0;∂h(s,x)

∂x= σ h(s,x);

h(0,0) = x0.

Din ecuatia a doua gasim ca

h(s,x) = k(s)eσ x, s ∈ [0, T ].

Înlocuind în prima ecuatie, obtinem:

k′(s) =−σ2

2k(s),

de undek(s) =C e−

σ22 s, s ∈ [0, T ].

Asadar, dupa considerarea conditiei initiale, gasim ca solutia problemei propuse este

Xt = h(t,Wt) = x0e−σ22 t+σ Wt , t ∈ [0, T ].


Exercitiu 7.4.3 Sa se rezolve problema stochastica:dSt = µStdt +σ StdWt , 0 < t ≤ T,

S(0) = S0,

unde µ si σ sunt constante reale.R: Metoda 1. Aici f (t, x) = µx, g(t, x) = σx. Folosim metoda de mai sus si gasimsistemul de ecuatii:

12

∂ 2h(s,x)∂x2 +

∂h(s,x)∂ s

= µ h(s,x);∂h(s,x)

∂x= σ h(s,x);

h(0,0) = x0.


h(s,x) = k(s)eσ x, s ∈ [0, T ].


k′(s) =(

µ− σ2

2

)k(s),

de unde

k(s) =C e(

µ−σ22

)s, s ∈ [0, T ].

Asadar, dupa considerarea conditiei initiale, gasim ca solutia problemei propuse este ceadin formula (7.2.18), i.e.,

St = h(t,Wt) = S0e(

µ−σ22

)t+σ Wt , t ∈ [0, T ].

Metoda 2. Aplicam lema lui Itô pentru H(t, St) = ln(St). Obtinem:

d(ln(St)) =

(µ− σ2

2

)dt +σ dWt , t ∈ [0, T ]. (7.4.33)

Observam ca ecuatia diferentiala stochastica (7.4.33) este de forma celei din Exercitiul7.4.1. Scriem direct solutia acesteia:

ln(St) = ln(S0)+

(µ− σ2

2

)t +σ Wt , t ∈ [0, T ],

de unde gasim ca solutia St este cea gasita mai sus.Exercitiu 7.4.4 Determinati diferentiala stochastica pentru procesul Xt = (t +Wt)

2 si,astfel, gasiti ecuatia diferentiala stochastica pe care o satisface Xt .R: Folosim lema lui Itô pentru h(t,x) = (t + x)2. Avem:

∂h∂ t

= 2(t + x);∂h∂x

= 2(t + x);∂ 2h∂x2 = 2.


Obtinem ca

dXt = dh(t,Wt) = (2(t +Wt)+1)dt +2(t +Wt)dWt , t ≥ 0.

Se observa ca Xt verifica ecuatia diferentiala stochastica

dXt = (1+2√

Xt)dt +2√

Xt dWt , t ≥ 0.

Exercitiu 7.4.5 Determinati solutia problemei diferentiale stochasticedXt = (1+2

√Xt)dt +2

√Xt dWt , t ≥ 0,

X0 = 0.

R: Aici f (t, x) = 1+2√

x, g(t, x) = 2√

x. Folosim metoda de mai sus si gasim sistemulde ecuatii:

12

∂ 2h(t,x)∂x2 +

∂h(t,x)∂ t

= 1+2√

h, t ≥ 0∂h(t,x)

∂x= 2√

h;

h(0,0) = 0.


h(t,x) = (k(t)+ x)2, t ≥ 0.

Avem ca:∂h∂ t

= 2(k(t)+ x)k′(t);∂h∂x

= 2(k(t)+ x);∂ 2h∂x2 = 2.


1+2(k(t)+ x)k′(t) = 1+2(k(t)+ x),

de undek′(t) = 1, adica k(t) = t +C, t ≥ 0, C ∈ R.

Astfel, h(t,x) = (t + x+C)2. Dupa considerarea conditiei initiale, gasim ca solutia proble-mei propuse este

Xt = h(t,Wt) = (t +Wt)2, t ∈ [0, T ].

Exercitiu 7.4.6 Generati cinci traiectorii ale unui proces Wiener, ca în Figura 7.2.

function wiener(T,n)

clf; dt = T/n;

dW = randn(5,n)*sqrt(dt);

for i = 1:5;

W = [0 cumsum(dW(i,:))];

plot(W); hold on;

end


Exercitiu 7.4.7 Urmatorul cod MATLAB genereaza o miscare aleatoare 2D (folosindrepartitia Bernoulli = discreta):

function walk2d(n)

x = cumsum(2*(rand(n,1)<0.5)-1);

y = cumsum(2*(rand(n,1)<0.5)-1);

plot(x,y,'-')

Exercitiu 7.4.8 Urmatorul cod MATLAB genereaza un proces Wiener 2D (folosind repar-titia normala = continua):

function MB2d(n)

x = [0; cumsum((randn(n,1))];

y = [0; cumsum((randn(n,1))];

plot(x,y,'-')

Exercitiu 7.4.9 Un cetatean turmentat pleaca de la bar spre casa. Sa presupunem capunctul de plecare este punctul O de pe axa orizontala si se misca doar pe aceasta axaastfel: în fiecare unitate de timp, acesta ori face un pas în fata, cu probabilitatea 0.5, ori faceun pas în spate, cu probabilitatea 0.5, independent de pasii anteriori. Folosind Teoremalimita centrala, estimati probabilitatea ca, dupa 100 de pasi, acesta nu a ajuns la mai multde doi pasi de punctul de plecare.R: Fie Xi variabila aleatoare ce reprezinta pasul pe care cetateanul îl face la momentuli (i ∈ N). Sa atribuim X =−1, daca face un pas la stânga, si X = 1, daca face un pas ladreapta. Asadar, X este o variabila aleatoare discreta ce poate lua doar doua valori, −1 si 1,ambele cu probabilitatea 0.5. Se calculeaza cu usurinta, E(X) = 0 si Var(X) = 1. Suntem

interesati sa aflam ce se întâmpla dupa 100 de pasi. Consideram mai întâi Sn =n

∑i=1

Xi.

Atunci,

E(Sn) =n

∑i=1

E(Xi) = 0 si Var(Sn) =n

∑i=1

Var(Xi) = n,

deoarece Xii=1,n sunt independente. Pentru n≥ 30, Teorema limita centrala spune ca

Sn−E(Sn)

σ(Sn)=

Sn√n∼N (0, 1),


echivalent cu Sn ∼N (0,√

n). Pentru n = 100, S100 ∼N (0, 10). Probabilitatea cerutaeste:

P(|S100| ≤ 2)=P(−2≤ S100≤ 2)=P(−1

5≤ S100

10≤ 1

5

)=Θ(0.2)−Θ(−0.2)≈ 0.1585.

În MATLAB, putem simula miscarea cetateanului (vezi Figura 7.3) astfel:

N = input('N = '); % numar de pasi

X = 2*(rand(N,1)<0.5)-1; % simuleaza pasii la fiecare moment

S = cumsum(X); % simuleaza unde a ajuns dupa fiecare pas

plot(1:N, S, '-') % reprezinta miscarea

Z = length(find(S == 0)) % numarul de reintoarceri la bar

Figura 7.3: Miscare cetateanului dupa 100 de pasi.

Exercitiu 7.4.10 Consideram procesele Wiener independente Wt si Wt . Daca α ∈ (0, 1)fixat, aratati ca procesul stochastic αWt +

√1−α2Wt este un proces Wiener. Simulati o

posibila traiectorie a procesului.R: Fie Bt = αWt +

√1−α2Wt , ∀t ≥ 0. Verificam conditiile din definitia procesului

Wiener.(1) B0 = αW0 +

√1−α2W0 = α ·0+

√1−α2 ·0 = 0.

(2) Deoarece t 7→Wt si t 7→ Wt sunt continue a.s., tot asa va fi si t 7→ Bt .(3) Pentru orice 0≤ s < t, avem ca

Bt−Bs = α(Wt−Ws)+√

1−α2(Wt−Ws)∼N (0,√

t− s),

deoarece o combinatie liniara de variabile aleatoare normale este tot normala si

E(Bt−Bs) = αE(Wt−Ws)+√

1−α2E(Wt−Ws) = 0,

Var(Bt−Bs)=α2Var(Wt−Ws)+(1−α

2)Var(Wt−Ws)=α2(t−s)+(1−α

2)(t−s)= t−s.

(4) (∀) 0 = t0 < t1 < · · ·< tn, variabilele aleatoare

Bt1−Bt0 , Bt2−Bt1, . . . , Btn−Btn−1

sunt independente, deoarece cresterile corespunzatoare în Wt si Wt sunt independente.


Exercitiu 7.4.11 (time inversion) Aratati ca daca Wtt≥0 este un proces Wiener, atunciprocesul Wtt≥0, definit prin Wt = tW1/t , cu W0 = 0 a.s., este tot un proces Wiener.Simulati o posibila traiectorie a acestui proces.R: Se pot verifica cu usurinta conditiile (2), (@) si (4) ca Wt sa fie un proces Wiener.Pentru a verifica a treia conditie, observam ca

E(Wt−Ws) = E(tW1/t− sW1/s) = tE(W1/t)− sE(W1/s) = 0,

Var(Wt−Ws) = t2Var(W1/t)− s2Var(W1/s) = t2/t− s2/s = t− s, ∀0 < s < t.

De asemenea, o combinatie liniara de variabile aleatoare normale este tot o variabilaaleatoare normala, de unde Wt−Ws ∼N (0,

√t− s).

n = 2e6; T = 1; dt = T/n; r = randn(1,n); t = 0:dt:T;

% The forward time process

dWd = r*sqrt(dt); Wd = [0 cumsum(dWd)];

% The time-inverted process

dWr = dt*r*1/sqrt(dt); Wr = [0 cumsum(dWr)];

subplot(1,2,1); plot(t,Wd,'b-'); hold on;

subplot(1,2,2); plot(t,Wr,'r-'); hold off

Figura 7.4: Procesul Wiener si procesul Wiener time-inversed

7.5 Probleme propuseExercitiu 7.5.1 Aratati ca daca Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic −Wteste tot un proces Wiener.Exercitiu 7.5.2 Aratati ca daca Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic√

αW tα

este tot un proces Wiener. Pentru α = 2, simulati o posibila traiectorie a acestuiproces.Exercitiu 7.5.3 Consideram variabila aleatoare ε ∼N (0, 1) si definim procesul stochasticWt = ε

√t pentru t ≥ 0. Verificati daca Wt este un proces Wiener. Simulati o posibila

traiectorie a acestui proces.


Exercitiu 7.5.4 Aratati ca daca (Wt)t≥0 este un proces Wiener, atunci

cov(Wt ,Ws) = min(s, t).

[Indicatie: Pentru s < t, scrieti Wt =Ws +(Wt−Ws) si folosim proprietatile din definitiaprocesului Wiener]Exercitiu 7.5.5 (time reversal) Procesul stochastic Xt = W1−W1−t pentru 0 ≤ t ≤ 1urmeaza aceeasi repartitie ca si procesul Wiener Wt pentru 0≤ t ≤ 1.Exercitiu 7.5.6 Calculati

∫ T0 (W 2

s −Ws)dWs.Exercitiu 7.5.7 Determinati diferentiala stochastica pentru procesul Xt =C eµt+σWt . Re-zolvati ecuatia diferentiala stochastica

dXt = µXt dt +σXt dWt , t ≥ 0.

Exercitiu 7.5.8 Rezolvati problema diferentiala stochastica

dXt = dt +2√

Xt dWt , t > 0, X(0) = 1.

Exercitiu 7.5.9 Pentru µ, σ , x0 ∈ R, rezolvati problema diferentiala stochastica

dXt = µXtdt +σdWt , t > 0, X(0) = x0.

Exercitiu 7.5.10 Rezolvati problema diferentiala stochastica

dXt =−12

Xtdt +√

1−X2t dWt , t > 0, X(0) = 0.

. R: Xt = sin(Wt)Exercitiu 7.5.11 Pentru x0 ∈ R, determinati solutia problemei diferentiale stochastice

Xt = x+∫ t

02Xsds+Wt , t ≥ 0.

Exercitiu 7.5.12 Aratati ca procesul stochastic Xt =W 3t este o solutie a urmatoarei ecuatii

stochasticedXt = 3X1/3

t dt +3X2/3t dWt , t ≥ 0.

Exercitiu 7.5.13 Folositi lema lui Itô pentru a gasi diferentiala stochastica a urmatoarelorprocese stochastice:

Xt = 2+ t + eWt , t ≥ 0;Yt = et+Wt , t ≥ 0;Zt = S2

t , unde dSt = µStdt +σStdWt , t ≥ 0;Vt = (t−Wt)

2, t ≥ 0;

8. Metoda Monte Carlo

. A good computer simulation may save you

. from making a bad decision about your finances.

Metoda Monte Carlo este o metoda de simulare statistica, ce produce solutii aproximativepentru o mare varietate de probleme matematice prin efectuarea de experimente statistic peun computer. Se poate aplica atât problemelor cu deterministe, cât si celor probabilistice sieste folositoare în obtinerea de solutii numerice pentru probleme care sunt prea dificile îna fi rezolvate analitic. Este o metoda folosita de secole, dar a capatat statutul de metodanumerica din anii 1940. În 1946, S. Ulam1 a devenit primul matematician care a datun nume acestui procedeu, iar numele vine de la cazinoul Monte Carlo din principatulMonaco, unde se practica foarte mult jocurile de noroc, în special datorita jocului de ruleta(ruleta este un generator simplu de numere aleatoare). De asemenea, Nicholas Metropolis2

a adus contributii importante metodei.Are la baza generarea de numere aleatoare convenabile si observarea faptului ca o partedintre acestea verifica o proprietate sau anumite proprietati. În general, orice metoda careare la baza generarea de numere aleatoare în vederea determinarii rezultatului unui calculeste numita o metoda Monte Carlo. Orice eveniment fizic care poate fi vazut ca un processtochastic este un candidat în a fi modelat prin metoda MC.

8.1 Integrarea folosind metoda Monte CarloDorim sa folosim metode Monte Carlo pentru evaluarea integralei

I =∫ b

af (x)dx. (8.1.1)

1Stanislaw Marcin Ulam (1909−1984), matematician de origine poloneza, nascut în Lvov, Ucraina2Nicholas Constantine Metropolis (1915−1999), fizician grec

128 Capitolul 8. Metoda Monte Carlo

În general, pentru a evalua numeric o integrala, metoda Monte Carlo nu este prima alegere,însa este foarte utila în cazul în care integrala este dificil (sau imposibil) de evaluat. Aceastametoda devine mai eficienta decât alte metode de aproximare atunci când dimensiuneaspatiului pe care este definita integrala este mare.Daca dorim aplicarea metodei MC, atunci avem de ales una din urmatoarele variante:

Varianta 1 (poate fi aplicata doar pentru f ≥ 0. Daca f ia si valori negative, dar estemarginita inferior, atunci putem utiliza o translatie, astfel încât sa avem de integrat o functienenegativa). Încadram graficul functiei f într-un dreptunghi

D = [a, b]× [0, d],

unde d > sup[a,b]

f . Evaluam integrala folosindu-ne de calculul probabilitatii evenimentului A,

ca un punct ales la întâmplare în interiorul dreptunghiului D sa se afle sub graficul functieif (x). Facem urmatoarea experienta aleatoare: alegem în mod uniform (comanda rand neofera aceasta posibilitate în MATLAB) un punct din interiorul dreptunghiului si testam dacaacest punct se afla sub graficul lui f (x). Repetam experienta de un numar N (mare) de orisi contabilizam numarul de aparitii f (N) ale punctului sub grafic. Pentru un numar marede experiente, probabilitatea ca un punct generat aleator în interiorul dreptunghiului sa seafle sub graficul functiei va fi aproximata de frecventa relativa a realizarii evenimentului,adica

P' f (N)

N.

Pe de alta parte, probabilitatea teoretica este

P =I

aria dreptunghi,

de unde aproximarea

I ' aria dreptunghi · f (N)

N. (8.1.2)

Totusi, aceasta metoda nu e foarte eficienta, deoarece N trebuie sa fie foarte mare pentru aavea o precizie buna.Exemplu 8.1 Utilizând metoda Monte Carlo, sa se evalueze integrala

I =5∫−2

e−x2dx.

R: Generam 106 puncte aleatoare în interiorul patratului [−2, 5]× [0, 1] si verificamcare dintre acestea se afla sub graficul functiei f (x) = e−x2

, x ∈ [0, 1]. Urmatoarea functieMATLAB calculeaza integrala dorita:

function I = integrala(N) % functia integrala.m

x = 7*rand(N,1)-2; y = rand(N,1); % N numere aleatoare in [-2,5]x[0,1]

f = find(y < exp(-x.^2)); % puncte aflate sub graficul lui exp(-x^2)

I = 7*length(f)/N;

8.1 Integrarea folosind metoda Monte Carlo 129

O rulare a functiei, integrala(1e6), ne furnizeaza rezultatul I = 1.7675.Putem, de asemenea, folosi o functie MATLAB potrivita pentru calcularea integralei:

I = quadl(@(x)exp(-x.^2),-2,5) % I = 1.7683

Varianta 2 Putem rescrie integrala în forma

I = (b−a)∫ b

af (x)h(x)dx, (8.1.3)

unde

h(x) =

1b−a

, daca x ∈ [a, b],

0 , altfel.

Functia h(x) definita mai sus este densitatea de repartitie a unei v.a. X ∼U [a, b], iar relatia(8.1.1) se rescrie

I = (b−a)E( f (X)). (8.1.4)

Folosind legea slaba a numerelor mari, putem aproxima I prin:

I ' b−aN

N

∑k=1

f (Xk), (8.1.5)

unde Xk sunt numere aleatoare ce urmeaza repartitia U [a, b].

Putem generaliza aceasta metoda pentru calculul integralelor de tipul∫V

f (x)dx, unde V ⊂ Rn.

Exemplu 8.2 Sa se evalueze integrala din Exemplul (8.1) folosind formula (8.1.5).R: Codul MATLAB este urmatorul:

x = 7*rand(1e6,1)-2; % genereaza 10^6 numere aleatoare U(-2,5)

g = exp(-x.^2); % g(x) = exp(-x^2)

I = 7*mean(g) % 7*media lui g(x)

sau, restrâns, putem apela urmatoarea comanda:

estimate = 7*mean(exp(-((7*rand(10^6,1)-2).^2))) % I ≈ 1.7671

√


Exemplu 8.3 Evaluând integrala

I =1∫

0

ex dx

printr-o metoda Monte Carlo sa se estimeze valoarea numarului transcendent e. (e = I+1).R:

estimate = mean(exp(rand(10^6,1))) + 1 % e ≈ 2.7183

8.2 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea optiunilor europenePrezentam mai jos un algoritm de simulare a pretului unei optiuni de tip european folosindo metoda Monte Carlo. O metoda Monte-Carlo este o metoda numerica ce are la bazagenerarea de numere aleatoare. Pentru a acoperi atât optiunile de tip call cât si pe cele detip put, folosim o notatie comuna. Vom nota prin St valoarea activului suport la momentult si cu f (S) valoarea derivatului financiar a carui valoare depinde de valoarea St . Fie Tscadenta acestui contract derivat si K pretul de exercitiu (de lovire). Asadar, vom aveaf (ST ) = maxK−ST ; 0 pentru un put european si f (ST ) = maxST −K; 0 pentru uncall european.Dupa cum am stabilit în sectiunile anterioare, posibilele preturi ale activului suport lat = T urmeaza o repartitie lognormala. Astfel, daca S0 este pretul initial al activului suport,atunci valoarea activului suport la scadenta (t = T ) este:

ST = S0 e(µ−σ22 )T+σ

√T Z, (8.2.6)

unde Z este o variabila aleatoare normala, Z ∼N (0, 1), µ este driftul si σ este volatilitateapretului activului. Deoarece ST este o variabila aleatoare, tot o variabila aleatoare va fi sivaloarea derivatului financiar la scadenta, adica f (ST ).Valoarea derivatului financiar (adica f0 = f (S0)) este calculata dupa formula

f0 = e−r T E∗[ f (ST )],

unde notatia E∗ semnifica faptul ca valoarea asteptata pentru variabila aleatoare f (ST ) secalculeaza în raport cu masura lipsita de risc. Valoarea E∗[ f (ST )] se obtine când în formulaE[ f (ST )] înlocuim driftul µ cu r, rata dobânzii unitare neutre la risc.În general, daca St este o valoarea data, atunci valoarea derivatului financiar la momentul t(t ∈ [0, T ]) este data de

ft = e−r (T−t)E∗[ f (ST )]

= e−r (T−t)E[ f (ST )], cu µ = r in relatia (8.2.6).

Pentru a aproxima valoarea f0 printr-o metoda Monte Carlo, procedam dupa urmatorulalgoritm:

Pas 1 Generam un set de n valori (de exemplu, n = 106) ce urmeaza repartitia N (0, 1).Sa notam aceste valori prin Z1, Z2, . . . , Zn;

8.2 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea optiunilor europene 131

Pas 2 Calculam valorile corespunzatoare pentru activului suport la t = T (folosim for-mula (8.2.6), cu µ = r). Avem:

SiT = S0 e(r−

σ22 )T+σ

√T Zi, i = 1, 2, . . . , n.

Astfel, pentru fiecare indice i ∈ 1, 2, . . . , n, v.a. SiT va urma repartitia lognormala

(i.e., lnSiT ∼N

(lnS0 +(r− σ2

2 )T, σ√

T)

).

Pas 3 Aproximez valoarea derivatului financiar la scadenta (pe care o notam cu fT ) prinmedia sirului de valori f (S1

T ), f (S2T ), . . . , f (Sn

T ). Avem:

fT = E∗[ f (ST )] =1n

n

∑i=1

f (SiT ).

Pas 4 Aproximarea pentru valoarea cautata f0 va fi valoarea actualizata a lui fT , adica

f0 = e−r T fT .

Codul urmator calculeaza valoarea unui call european folosind o metoda Monte-Carlo.Optiunea call considerata este asupra unui activ suport ce valoreaza S0 = 10 la t = 0, pretulde exercitiu este K = 11, scadenta este T = 2, µ = r = 0.05, σ = 0.3. Am efectuat ogenerare de 106 numere aleatoare repartizate normal standard.

function MC(S0,K,r,T,sigma,n)

Z = randn(n,1);

ST = S0*exp((r-sigma^2/2)*T + sigma*sqrt(T)*Z);

CT = max(ST-K,0);

C0 = exp(-r*T)*mean(CT);


1

Astfel, rulând functia prin MC(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obtinem:

Valoarea pentru call european este:

1.6990

Valoarea pentru acelasi call european obtinuta cu modelul binomial, i.e., rulam functia[S,C]=binprice(10,11,0.05,2,0.005,0.3,1))

este:

C(1,1) =

1.6999

Observatia 8.1 În algoritmul anterior am generat un numar suficient de mare de numerealeatoare repartizate N (0, 1), simulând astfel valorile la maturitate ale derivatului financiar.Putem însa genera direct numere aleatoare log-normal repartizate. Astfel, putem înlocuipasii 1 si 2 din algoritm printr-un singur pas, si anume:

ST ∼ logN

(lnS0 +(r− σ2

2)T, σ

√T).

În codul MATLAB de mai sus vom schimba liniile 1 si 2 printr-o singura linie, obtinândcodul alternativ:


function MC2(S0,K,r,T,sigma,n)

ST = random('lognormal',log(S0)+(r-sigma^2/2)*T,sigma*sqrt(T),n,1);

CT = max(ST-K,0);

C0 = exp(-r*T)*mean(CT);


1

Astfel, rulând functia prin MC2(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obtinem:

Valoarea pentru call european este:

1.6989

8.3 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea optiunilor exoticeMetoda Monte-Carlo pentru optiuni europene, discutata anterior, se poate extinde usorsi pentru optiuni exotice. Pentru a putea simula dependenta de istoria pretului activuluisuport în intervalul [0, T ], va fi nevoie de o discretizare a acestuia. Vom considera divizareaconstruita în Exercitiul 8.4.1. Cu ajutorul valorilor Stk , putem calcula aproximatii pentrumin, max (pentru optiunile lookback) sau integrale (folosite în cazul optiunilor asiatice).Exercitiu 8.3.1 Construiti o functie în MATLAB care sa aproximeze valoarea optiuniiasiatice (4.5.6) printr-o metoda Monte-Carlo.Solutie: Functia pay-off la scadenta pentru un call asiatic de exercitiu cu scadenta T este

f (T,ST ) = max

ST −1T

∫ T

0St dt; 0

.

Atunci, folosind evaluarea prin lipsa arbitrajului, valoarea derivatului asiatic la momentult = 0 va fi

f0 = e−rT EQ[ f (T, ST )].

Se observa ca f (T, ST ) (notata în codul MATLAB prin AT) nu depinde doar de valorileactivului suport la scadenta, ci si de valorile intermediare ale acestuia (ce apar în interiorulintegralei). În consecinta, va trebui sa simulam si posibile valori intermediare. Pentruaceasta, vom folosi rezultatul din Exercitiul (8.4.1).

Vom simula un numar suficient de mare de traiectorii posibile pentru St (i.e., un numarm suficient de mare), astfel încât sa putem face o medie la t = T . Matricea S din codul demai jos este de tip n×m. Fiecare coloana a matricei reprezinta valorile de pe o posibilatraiectorie a pretului. Sa fixam o asemenea coloana, si sa îi spunem coloana ∗. Pentruaceasta posibila traiectorie, valoarea derivatului asiatic la scadenta, AT, va fi maximumdintre zero si diferenta dintre valoarea la scadenta a activului, i.e., S(n, ∗), si media tuturorvalorilor intermediare (aceasta este realizata de comanda mean, care va face o medie pecoloana ∗).Pentru toate traiectoriile vom scrie S(n, :), adica elementele de pe ultima linie a matricei S.Comanda mean(S), va face o medie pe fiecare coloana a matricei S.Codul MATLAB este urmatorul:

8.4 Exercitii rezolvate 133

function AScall(S0,r,sigma,T,n,m)

% S0 = pretul initial; r = rata de referinta;

% sigma = volatilitatea; T = scadenta;

% n = numarul de noduri in traiectorie;

% m = numarul de traiectorii;

% AT = valoare call asiatic la T

% A0 = valoare call asiatic la 0

dt = T/n;

u = random('logn',(r-sigma^2/2)*dt,sigma*sqrt(dt),n,m);

S = S0*cumprod(u);

AT = max(S(n,:) - mean(S), 0);

A0 = exp(-r*T)*mean(AT)

1

8.4 Exercitii rezolvate

Exercitiu 8.4.1 Construiti o functie în MATLAB care sa genereze posibile traiectorii alepretului unui activ financiar printr-o metoda Monte-Carlo. Se va considera faptul capreturile urmeaza o repartitie lognormala.R: Consideram o divizare echidistanta a intervalului [0, T ], 0 = t1 < t2 < · · ·< tn = T ,într-un numar N suficient de mare de diviziuni, cu norma diviziunii δ t = T

N . Asadar,tk = k δ t, k = 0, N. Notam prin

Sk = Stk si uk =Sk

Sk−1, k = 1, n.

Din relatia (7.2.21), observam ca uk satisfac

uk ∼ logN

((µ− σ2

2)δ t, σ

√δ t), k = 1, n,

Pentru fiecare p ∈ 1, 2, . . . , N, traiectoria care pleaca din S0 si ajunge la nodul p va fi

Tp = S0

p

∏k=0

uk.

Codul de mai jos reprezinta 5 astfel de posibile traiectorii.


function Paths(S0,r,sigma,T,n,m)

% S0=pretul initial; r=rata de referinta;

% sigma= volatilitatea;T=scadenta;

% n=numarul de noduri in traiectorie;

% m=numarul de traiectorii

dt = T/n;

u = random('logn',(r-sigma^2/2)*dt, ...

... sigma*sqrt(dt), n, m);

% sau

% u = exp((r-sigma^2/2)*dt + ...

% ... + sigma*sqrt(dt)*randn(n,m));

S = S0*cumprod(u);

plot(S)

1

Exercitiu 8.4.1 (aproximarea lui π folosind jocul de darts)În ce consta jocul? Sa presupunem ca suntem la nivelul începator. Avem de aruncat osageata ascutita, ce poate penetra cu usurinta lemnul, spre o tabla patrata din lemn, îninteriorul caruia se afla desenat un cerc circumscris patratului. Daca sageata se înfinge îninteriorul discului atunci ati câstigat un punct, daca nu - nu câstigati nimic. Repetam joculde un numar N de ori si contabilizam la sfârsit numarul de puncte acumulate, sa zicem caacest numar este νN .Sa presupunem ca sunteti un jucator slab de darts (asta implica faptul ca orice punct de petabla are aceeasi sansa de a fi tintit), dar nu asa de slab încât sa nu nimeriti tabla. Cu altecuvinte, presupunem ca de fiecare data când aruncati sageata, ea se înfinge în tabla.Se cere sa se aproximeze valoarea lui π pe baza jocului de mai sus si sa se scrie un programîn MATLAB care sa simuleze experimentul.R: Sa notam cu A evenimentul ca sageata sa se înfinga chiar în interiorul discului. Încazul în care numarul de aruncari N e foarte mare, atunci probabilitatea evenimentului A,P(A), este bine aproximata de limita sirului frecventelor relative, adica lim

n→∞

νN

N.

Pe de alta parte, P(A) = aria discaria perete =

π

4 . Asadar, putem aproxima π prin

π ' 4νN

N(pentru N 1). (8.4.7)

Functia MATLAB care aproximeaza pe π este prezentata mai jos. Metoda care a stat labaza aproximarii lui π este o metoda Monte Carlo.

function Pi = darts(N) % numar de aruncari

theta = linspace(0,2*pi,N); % genereaza vectorul theta

x = rand(N,1); y = rand(N,1); % (x,y) - intepaturi

X = 1/2+1/2*cos(theta); Y = 1/2+1/2*sin(theta); % cerc in polar

plot(x,y,'b+',X,Y,'r-'); % grafic cerc si puncte

S = sum((x-.5).^2 + (y-.5).^2 <= 1/4); % numarul de succese

Prob = S/N; % frecventa relativa

approxpi = 4*Prob; % aproximarea lui pi

axis([0 1 0 1]); % deseneaza axele

title([int2str(N),' aruncari, \pi \approx ', num2str(approxpi)]);


O simpla rulare a functiei, darts(2000), genereaza Figura 8.1. √

Figura 8.1: Simularea jocului de darts.

Exercitiu 8.4.2 Într-o clasa sunt 30 de elevi. Calculati probabilitatea ca macar doi dintreei sa serbeze ziua de nastere în aceaasi zi a anului. Folositi o metoda Monte Carlo pentru aaproxima aceasta probabilitate.R: [1] Metoda teoretica: Notam cu A evenimentul ca macar doi elevi din clasa sa ser-beze ziua de nastere în aceeasi zi a anului. Atunci, A este evenimentul de a nu exista elevidin clasa care sa serbeze ziua de nastere în aceeasi zi a anului. Avem ca: P(A) = 1−P(A).Calculam mai întâi probabilitatea evenimentului contrar, A. Spatiul selectiilor, Ω, este

Ω = E = (e1, e2, . . . , e30), ek ∈ 1, 365, |Ω|= 36530

A = E ∈Ω, ei 6= e j, |A|= A30365

Obtinem ca:

P(A) = 1−P(A) = 1−A30

36536530 = 0.7063.

In MATLAB, scriem:

p = 1 - factorial(30)*nchoosek(365,30)/(365)^(30)

[2] Metoda Monte Carlo: Generam un numar suficient de mare (N = 106) de vectoriformati din 30 de valori (fiecare vector reprezinta o variabila uniform discreta U (365), cucomanda unidrnd(365,30,1e6)) din multimea zilelor anului, 1, 2, . . . , 365. Obtinemo matrice M cu 30 de linii si 106 coloane. Fiecare coloana reprezinta o posibila clasa de 30de elevi. Dorim sa observam în câte astfel de clase exista macar doi elevi care serbeaza


ziua de nastere în aceeasi zi a anului. Pentru aceasta, va trebui sa verificam pe câte coloaneavem dubluri de valori. Daca notam cu νN numarul de dubluri, atunci putem aproximaprobabilitatea cautata prin P(A) ∼= νN

N .Totusi, este mai usor sa numaram câte coloane nu contin dubluri, ceea ce va conduce la

calcularea probabilitatii evenimentului contrar. Pentru aceasta, procedam astfel: ordonamcrescator valorile pe coloane (comanda sort), apoi facem diferentele componentelorconsecutive ale elementelor de pe fiecare coloana a matricei M. Daca ar exista macar odublura pe o coloanau , atunci ar aparea macar un 0 în vectorul diferentelor. Comanda allverifica daca exista macar o componenta zero pe fiecare coloana, atribuind valoarea 1 încaz ca nu exista si 0 în cazul în care exista. Adunam aceste valori, obtinând astfel numarulcazurilor în care nu exista dubluri ale zilelor de nastere, i.e., numarul de clase în care nuam gasit doi copii ce serbeaza aceeasi zi de nastere. Pe scurt, scriem povestea de mai susastfel:

p = 1 - sum(all(diff(sort(unidrnd(365,30,1e6)))))/1e6

obtinând aproximarea p = 0.7065.Exercitiu 8.4.3 Utilizati metoda Monte Carlo pentru a gasi aproximari pentru urmatoareleintegrale:

(a)∫ 1

0

√x+ 3√

xdx, (b)∫ 3

−2

41+ x2 dx, (c)

∫π

0sin(√

x)dx.

R: Folosind metoda MC:

x = rand(1e6,1); f = sqrt(x+x.^(1/3)); I_a = mean(f) % I_a = 1.0930

y = 5*rand(1e6,1)-2; f = 4./(1+y.^2); I_b = 5*mean(f) % I_b = 9.4217

z = pi*rand(1e6,1); f = sin(sqrt(z)); I_c = pi*mean(f) % I_c = 2.6693

ori, folosind functia quadl din MATLAB:

I_a = quadl(@(x)sqrt(x+x.^(1/3)),0,1) % I_a = 1.0931

I_b = quadl(@(y)4./(1+y.^2),-2,3) % I_b = 9.4248

I_c = quadl(@(z)sin(sqrt(z)),0,pi) % I_c = 2.6695

(d)∫ 1

0

∫ 1

−1

√4− x2− y2 dydx.

Folosind metoda MC:


x = rand(1e6,1); y = 2*rand(1e6,1)-1; f = sqrt(4-x.^2-y.^2);

I_c = 2*mean(f) % I_c = 3.6439

ori, folosind functia dblquad din MATLAB:

I_c = dblquad(@(x,y)sqrt(4-x.^2-y.^2),0,1,-1,1) % I_c = 3.6439

Exercitiu 8.4.4 Folosind o metoda Monte Carlo, aproximati integrala tripla (valoareaexacta este 8π

9 )∫∫∫V

z2√

x2 + y2 + z2 dxdydz, unde V = (x, y, z)∈R3; 0≤ z≤√

4− x2− y2, 0≤ x≤ y

R: Se observa ca 0 ≤ x, y, z ≤ 2. Generam aleator N valori (x, y, z) în [0, 2]× [0, 2]×[0, 2]. Verificam apoi daca valorile generate se afla în domeniul V . Aproximam integralaprin∫∫∫

V

f (x, y, z)dxdydz =∫∫∫[0,2]3

f (x, y, z) ·1V dxdydz≈ vol([0, 2]3)mean( f (x,y,z)|V ).

N = 5e6; x = 2*rand(N,1); y = 2*rand(N,1); z = 2*rand(N,1);

V = (x.^2+y.^2<=4 & 0<=y & z<=sqrt(4-x.^2-y.^2)); % domeniul V

I = 2^3*mean(z.^2.*sqrt(x.^2+y.^2+z.^2).*V)) % I = 2.7963

8*pi/9 % verificare

ans = 2.7925

Exercitiu 8.4.5 Un bat de lungime 30cm este rupt la întâmplare în trei parti, prin alegereala întâmplare (în mod uniform) a doua puncte de ruptura. Folosind o metoda Monte Carlo,aproximati probabilitatea ca, folosind cele trei bucati obtinute, sa putem forma un triunghi.(probabilitatea exacta este P = 0.25).R: Punctele de ruptura alese aleator sunt x1 si x2. Laturile unui posibil triunghi sunta, b, c. Conditia de a forma un triunghi cu ele este ca suma oricaror doua sa fie mai maredecât cealalta.

N=5e6; x=sort(30*rand(2,N)); % alegem aleator x1 si x2 si le ordonam

a = x(1,:); b = x(2,:)-x(1,:); c = 30-(a+b); % laturile triunghiului

f = (a+b > c & a+c > b & b+c > a); % conditia de triunghi

fN = sum(f); P = fN/N % probabilitatea


Figura 8.2: Batul de lungime 30cm este rupt în trei parti

8.5 Exercitii propuseExercitiu 8.5.1 (paradoxul de la St. Petersburg)Sa presupunem ca într-un cazino se desfasoara urmatorul joc cu un singur jucator, pecare-l numim J. O moneda ideala este aruncata iar, daca apare fata cu stema (S), atunci Jprimeste £2 din partea casei, iar jocul continua. Daca la a doua aruncare apare tot stema,atunci J primeste £4 si jocul continua mai departe, pana când la o aruncare apare cealaltafata, caz în care jocul se opreste. La fiecare noua aparitie a fetei S, suma pe care J o avease dubleaza. Daca notam cu X variabila aleatoare ce reprezinta suma câstigata de J, atuncitabloul sau de distributie este:

X =

(2 22 23 . . . 2n . . .12

122

123 . . . 1

2n . . .

)Sa se simuleze în MATLAB acest joc, precizând la final suma câstigata de J.(a) Care este suma medie câstigata de J la acest joc, daca exista?(b) Aceeasi cerinta ca la (a), în cazul în care suma câstigata la un joc este

√X .

Exercitiu 8.5.2 Folosind generarea de numere aleatoare în MATLAB, calculati aria regiuniidin plan pentru care −1≤ x≤ 1 si 0≤ y≤ x3.Exercitiu 8.5.3 Folosind o metoda Monte Carlo, aproximati probabilitatea ca suma punc-telor obtinute la aruncarea de patru ori a unui zar ideal sa fie 13. (probabilitatea exacta esteP = 35

324 ).Exercitiu 8.5.4 La un anumit concurs, fiecare dintre cei trei arbitri acorda puncte în modindependent, între 0 si 10. Folosind o metoda Monte Carlo, aproximati probabilitatea casuma punctelor obtinute sa fie cel putin 21.Exercitiu 8.5.5 Timpul mediu de functionare al unui bec este o variabila aleatoare normalaN (2000h, 50h). Alegem la intamplare un bec de acest tip. Care este probabilitatea cael sa functioneze mai mult de 2500h? Folositi o metoda Monte Carlo de aproximare aprobabilitatii.Exercitiu 8.5.6 Utilizati metoda Monte Carlo pentru a gasi aproximari pentru urmatoareleintegrale:

(a)∫ 5

2ln(ln(x))dx, (b)

∫ 3

−52maxx,1−x dx, (c)

∫ 2π

0sin(x2)dx.

Exercitiu 8.5.7 Folosind o metoda Monte Carlo,(a) aflati volumul tetraedrului marginit de planele x = 0, y = 0, z = 0 si x+ y+ z = 4.(b) aproximati integrala tripla (valoarea exacta este 32

3 ).∫π

0

∫π

0

∫π

0cos(x+ y+ z) dxdydz.

8.5 Exercitii propuse 139

Exercitiu 8.5.8 Folosind o metoda Monte Carlo, evaluati valoarea actuala a unei optiunicall asiatic de pret mediu, a carei valori la scadenta este data de formula (??). Simulati oposibila traiectorie a optiunii.Exercitiu 8.5.9 Folosind o metoda Monte Carlo, evaluati valoarea actuala a unei optiunicall lookback de pret variabil, a carei valori la scadenta este data de formula (4.5.10).Simulati o posibila traiectorie a optiunii.Exercitiu 8.5.10 Folosind o metoda Monte Carlo, evaluati valoarea actuala a unei optiuniput lookback de pret fix, a carei valori la scadenta este data de formula (4.5.9). Simulati oposibila traiectorie a optiunii.

9. Modelul Black-Scholes

. Buy on fear, sell on greed.

. Hedge the risk and you’ll succeed.

Consideram un activ financiar care valoreaza S0 la t = 0 si un call european asupra acestuiactiv, cu pretul de exercitiu K si scadenta T . Reamintim formula Cox-Ross-Rubinsteinpentru un call european, bazata pe modelul binomial. Daca valoarea activului suport semodifica de un numar finit de ori în intervalul [0, T ], atunci valoarea derivatului financiar,este data de relatia:

C0 = S0B(a, n, ψ∗)−K (1+ r)−T B(a, n, ψ), (9.0.1)

unde r este rata dobânzii unitare anuale neutre la risc, u si d sunt factorii de modificare apretului activului suport la fiecare pas,

ψ =(1+ r)

Tn −d

u−d, ψ

∗ = ψ u(1+ r)−Tn

si

B(a, n, ψ) =n

∑k=a

Ckn ψ

k (1−ψ)n−k.

În acest capitol urmarim sa determinam pretul acestui call european în conditiile în caretranzactiile se pot face în orice moment, nu doar la anumite momente precizate. Vompreciza mai întâi notatiile folosite.

Notatii

• S = St este pretul activului suport la momentul t;

142 Capitolul 9. Modelul Black-Scholes

• K este pretul de exercitiu (strike price);• r este rata dobânzii unitare anuale;• σ este volatilitatea pietei (masura a variatiei pretului activului suport);• T > 0 este scadenta (momentul terminus al tuturor operatiunilor financiare consi-

derate);• C =Ct este valoarea la momentul t a unui call european (t ∈ [0, T ]).• f = ft este valoarea la momentul t a unui derivat financiar general, considerat a fi

de tip european (t ∈ [0, T ]). Sa notam ca fT este cunoscut, în sensul ca acesta poatefi determinat pe baza preturilor activului suport la scadenta (se va presupune ca STurmeaza o repartitie lognormala).

• W =Wt este miscarea Browniana.

Caracteristici ale modelului Black-Scholes:

• Este un model continuu de piata financiara, atât în timp, cât si în spatiul starilor (i.e.,St = S(t) este continuu în t si poate lua valori într-un interval);

• A fost propus de Fisher Black (matematician) si Myron Scholes (economist) într-unarticol din 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" ([2]). Modelula fost apoi dezvoltat si îmbunatatit de Robert C. Merton (economist) în 1974;

• Desi articolul a fost privit cu mult scepticism în momentul trimiterii spre publicare(el fiind respins de câteva ori, pâna sa fi fost publicat în 1973), formula Black-Scholesa devenit una dintre cele mai faimoase formule din sfera Matematicilor financiare;

• Scholes si Merton în 1997 au obtinut premiul Nobel în Economie pentru modelulBlack-Scholes-Merton (Black murise în 1995);

• Printr-o întâmplare fericita, modelul Black-Scholes apare în acelasi timp cu aparitiaCBOE (Chicago Board of Options Exchange), prima bursa de optiuni;

• Formula era asa de populara în acea vreme, încât atunci când bursa americana deactive a cazut (în 1987), multa lume a dat vina pe formula Black-Scholes. Totusi,Scholes argumenteaza ca vina e a investitorilor, care nu erau indeajuns de pregatitica sa o poata întelege;

• Punctul de plecare al articolului a fost teza de doctorat a lui James Boness (Chicago).

Ipoteze de lucru:

În articolul lor, Black si Scholes au considerat urmatoarele conditii ideale pentru piatafinanciara:

(i) toate optiunile evaluate sunt de tip call european (i.e., pot fi exercitate doar lamaturitate);

(ii) repartitia posibilelor preturi la t = T ale activului suport este una lognormala, deforma (7.2.20). (Asadar, putem presupune ca procesul stochastic ce reprezintapretul St al activului suport este o miscare Browniana geometrica, cu driftul µ sivolatilitatea σ , i.e.,

dSt = µSt dt +σSt dWt , t ∈ [0, T ], (9.0.2)

unde Wt este miscarea Browniana.)

9.1 Derivarea ecuatiei Black-Scholes 143

(iii) nu exista dividende pe toata durata de viata a optiunii (desi modelul se poate extindela unul pentru care se platesc dividende);

(iv) piata financiara este considerata a fi lipsita de risc si perfecta (i.e. nu sunt costuri detranzactionare, se poate cumpara orice cantitate de activ suport (spunem astfel caactivele sunt perfect divizibile), nu sunt restrictii si penalitati pentru vânzarea short);

(v) rata dobânzii fara risc, r, este fixata si este aceeasi pentru împrumut, cât si pentrucredit.

(vi) lipsa arbitrajului.

9.1 Derivarea ecuatiei Black-ScholesDeoarece se considera ca St verifica relatia (9.0.2) iar ft = f (St), aplicam lema lui Itô siobtinem:

d f =(

∂ ft∂ t

+µ St∂ ft∂S

+12

σ2 S2

t∂ 2 ft∂S2

)dt +σ St

∂ ft∂S

dWt . (9.1.3)

Pentru intervalul de timp [t, t + dt), fixat arbitrar, consideram urmatoarea strategie detranzactionare: o pozitie long asupra derivatului financiar si o pozitie short asupra activuluisuport, prin care vindem o cantitate ∂ ft

∂S din activ la finele intervalului considerat. Simbolic,

vom scrie strategia de investitie (portofoliul investit) astfel:(

1,−∂ ft∂S

). Daca notam cu

Π(t) valoarea la momentul t a acestui portofoliu (functia pay-off), atunci:

Π(t) = ft−∂ ft∂S

St .

Variatia profitului între doi timpi este

∆Π(t) = ∆ ft−∂ ft∂S

∆St .

În particular, pentru perioada [t, t +dt) cu dt foarte mic, profitul instantaneu este

dΠ(t) = d ft−∂ ft∂S

dSt .

Prin înlocuirea în ultima relatie a termenilor d f si dS dati de relatiile (9.1.3) si, respectiv,(9.0.2), obtinem ca variatia valorii portofoliului în intervalul [t, t +dt) este:

dΠ(t) =(

∂ ft∂ t

+12

σ2 S2

t∂ 2 ft∂S2

)dt.

Prin ipoteza, stim ca rata dobânzii unitare anuale, r, este lipsita de risc si este aceeasi pentruîmprumut si credit, aceasta însemnând ca în perioada [t, t +dt) nu exista oportunitati dearbitraj pe piata. Rata de variatie a valorii portofoliului Π(t) într-o piata viabila este

dΠ(t)dt

= r Π(t) ⇐⇒ dΠ(t) = r(

ft−∂ ft∂S

St

)dt.


Astfel, din ultimele doua relatii obtinem:

r(

ft−∂ ft∂S

St

)dt =

(∂ ft∂ t

+12

σ2 S2

t∂ 2 ft∂S2

)dt,

de unde gasim ecuatia cu derivate partiale

∂ ft∂ t

+12

σ2 S2

t∂ 2 ft∂S2 + r St

∂ ft∂S

= r ft , t ∈ [0, T ]. (9.1.4)

Ecuatia (9.1.4) este o ecuatie determinista, de tip parabolic. În cazul unui call european(i.e., ft =Ct), ecuatia devine:

∂Ct

∂ t+

12

σ2S2

t∂ 2Ct

∂S2 + rSt∂Ct

∂S= rCt , t ∈ [0, T ]. (9.1.5)

Aceasta este o ecuatie parabolica retrograda (cu conditie finala), cunoscuta în literatura subnumele de ecuatia Black-Scholes (pentru call european). Pentru a determina complet toateconstantele ce apar la integrarea unei astfel de ecuatii, avem nevoie de conditie initiala(sau finala) si de conditii la limita. Deoarece valoarea unui call european la scadenta estedeterminata de valoarea activului, vom avea urmatoarea conditie finala:

C(T, ST ) = (ST −K)+, la t = T. (9.1.6)

Conditiile la limita sunt:

C(t, 0) = 0, pentru S = 0; (9.1.7)C(t, S)

S→ 1, pentru S→ ∞. (9.1.8)

Utilizând urmatoarele transformari de variabile si de functie (C(t, S) u(τ, x)):

τ = T − t, x = ln(

SK

)+

(r− σ2

2

)τ, u(τ, x) = er τC(t, S), (9.1.9)

problema (9.1.5)−(9.1.8) devine problema mixta pentru ecuatia caldurii pe axa reala:

(HP)

∂u∂τ− σ2

2∂ 2u∂x2 = 0, (τ, x) ∈ [0, T ]×R,

u(0, x) = K maxex−1, 0, x ∈ R,u(τ, x)→ 0, as x→−∞,

u(τ, x)∼ O(ex), as x→ ∞.

Aceasta problema se rezolva folosind teoria clasica a ecuatiilor cu derivate partiale si gasimsolutia:

u(τ, x) =1

σ√

2πτ

∫∞

−∞

u0(y)e− (x−y)2

2σ2τ dy.

Dupa rearanjare, putem scrie solutia în forma:

u(τ, x) = K ex+τσ22 Φ(d1)−K Φ(d2),

9.1 Derivarea ecuatiei Black-Scholes 145

unde

Φ(d) =1√2π

∫ d

−∞

e−s22 ds, d1 =

x+ τ σ2

σ√

τ, d2 =

xσ√

t.

Revenind la functia si variabilele initiale, obtinem celebra formula Black-Scholes pentruun call european, la momentul t:

Ct = St Φ(d1)−K e−r(T−t)Φ(d2), (9.1.10)

unde

d1 =

ln(

St

K

)+

(r+

σ2

2

)(T − t)

σ√

T − tsi d2 = d1−σ

√T − t.

În figura 9.1, am reprezentat grafic Ct ca functie de St , pentru diverse valori ale lui t,0 < t1 < t2 < t3 < t4 < T .

Figura 9.1: Ct ca functie de St , pentru diverse valori ale lui t pâna la scadenta.

Daca, în particular, momentul initial este t = 0, atunci

C0 = S0Φ(d1)−Ke−rTΦ(d2), (9.1.11)

cu

d1 =

ln(

S0

K

)+

(r+

σ2

2

)T

σ√

Tsi d2 = d1−σ

√T . (9.1.12)

Observatia 9.1 Sa consideram acum un put european cu acelasi pret de exercitiu si cuaceeasi maturitate. Din paritatea put-call (4.3.1) gasim ca, pentru orice t ∈ [0, T ],

Pt = Ct−St +Ke−r(T−t)

= St [Φ(d1)−1]+Ke−r(T−t)[1−Φ(d2)]

= −St Φ(−d1)+Ke−r(T−t)Φ(−d2).


(deoarece Φ(−x) = 1−Φ(x).) Pentru t = 0, gasim ca:

P0 =−S0 Φ(−d1)+Ke−rTΦ(−d2), (9.1.13)

cu d1 si d2 din relatiile (9.1.12).

Observatia 9.2 (a) În cazul în care preturile de piata pentru call si put sunt altele decâtcele de mai sus, atunci vor exista posibilitati de arbitraj. Daca ele apar, atunci acestea vorfi exploatate la maximum de catre investitori, pâna la stabilirea echilibrului preturilor pepiata financiara.

(b) Unul dintre neajunsurile formulei Black-Scholes este ca nu poate fi aplicata pentruun call american general. Reamintim, un call american este dreptul dar nu si obligatia de acumpara activul suport, la un pret prestabilit, în orice moment pâna la scadenta.

Însa, în cazul în care activul suport nu genereaza dividende, atunci nu este optimal de aexercita optiunea call americana înainte de scadenta, din doua motive importante: pierdereaasigurarii si pierderea dobânzii pentru K pe perioada ramasa pâna la scadenta. Asadar,pretul unui astfel de call american este acelasi cu cel al unui call european, deci puteamafla pretul optiunii call americana cu formula Black-Scholes.

(c) Formula Black-Scholes este varianta continua a formulei Cox-Ross-Rubinstein(9.0.1). De fapt, se poate demonstra ca putem obtine formula Black-Scholes prin trecereala limita, n→ ∞, in formula (9.0.1), demonstrand astfel convergenta modelului binomialla modelul Black-Scholes. Aceasta demonstratie are la baza Teorema limita centrala. Ojustificare numerica a acestui fapt este prezentata în Exercitiul 9.4.2.

(d) Formula pentru Ct se poate adapta si pentru active suport pentru care se platescdividende. Daca presupunem ca dividendele se platesc în mod continuu cu rata q si caplata dividendelor în perioada de timp [t, t +dt) este qSt dt, atunci procesul stochastic Stsatisface ecuatia diferentiala stochastica

d St = (µ−q)St dt +σSt dWt , t ≥ 0. (9.1.14)

În acest caz, se arata ca pretul lipsit de arbitraj pentru un call european devine:

Ct = Ste−q(T−t)Φ(d1d)−Ke−r(T−t)

Φ(d2d), t ∈ [0, T ], (9.1.15)

iar pentru un put european este:

Pt =−Ste−q(T−t)Φ(−d1d)+Ke−r(T−t)

Φ(−d2d), t ∈ [0, T ], (9.1.16)

unde

d1d =

ln(

St

K

)+

(r−q+

σ2

2

)(T − t)

σ√

T − tsi d2d = d1d−σ

√T − t.

Se observa ca formula (9.1.15) este, în fapt, formula (9.1.10) pentru un activ suport cupretul Ste−q(T−t) la momentul t ∈ [0, T ].

9.2 Estimarea volatilitatiiDupa cum vom vedea din studiul indicelui de senzitivitate ν , volatilitatea σ este cel maicritic parametru de care depinde valoarea derivatului financiar, în sensul ca preturile pentru

9.2 Estimarea volatilitatii 147

activele derivate sunt foarte sensibile la modificari ale lui σ . Volatilitatea pretului unuiactiv financiar nu poate fi observata în mod direct, ci va trebui estimata.

O posibila valoare pentru volatilitate este cea estimata folosind metode statistice. Seobserva variatiile de pret ale activului suport într-o perioada de timp imediat anterioara, iarvaloarea estimata pe baza acestor observatii se va numi volatilitate istorica.

O alta metoda de estimare a volatilitatii este urmatoarea: estimam valoarea lui σ care,introdusa în formula Black-Scholes (9.1.10) sa ne dea o valoarea teoretica pentru C egalacu valoarea lui C de pe piata curenta (piata spot). O astfel de estimare a volatilitatii senumeste volatilitate implicita (implied volatility).

Totusi, analistii financiari cu experienta nu se vor baza doar pe una dintre valorile de maisus, ci le vor monitoriza pe ambele, astfel înainte sa traga o concluzie despre posibilelevariatii ale activului în perioada urmatoare.

9.2.1 Volatilitate istoricaÎn general, aceasta ia valori între 15% si 60% (i.e., σ ∈ [0.15, 0.6]). Pretul activului deinteres este monitorizat la intervale fixe de timp (e.g., zilnic, saptamânal, lunar etc). Sapresupunem ca, la momentele de timp 0, 1, . . . , n am cules observatiile S0, S1, . . . , Snasupra pretului activului suport (acestea fiind observate la finalul fiecarei perioade con-siderate). Sa notam cu τ lungimea intervalului de timp (în ani) dintre doua observatii.Consideram valorile:

ui = ln(

Si

Si−1

), i = 1, n.

Din relatia (7.2.21), observam ca ui satisfac

ui ∼N

((µ− σ2

2

)τ, σ√

τ

), i = 1, n,

adica ui sunt variabile aleatoare cu dispersia Var(ui) = σ2τ, i = 1, n. Putem estimavaloarea exacta a lui σ prin dispersia de selectie, i.e., prin

σ =1√τ

√1

n−1

n

∑i=1

(ui−u)2,

unde u =1n

n

∑i=1

ui este media de selectie. Eroarea de aproximarea a volatilitatii prin σ este

E =σ√2n

.

9.2.2 Volatilitate implicitaPentru a determina o estimare pentru volatilitatea σ prin metoda implicita, se foloseste ometoda iterativa. Prezentam urmatorul exemplu: Presupunem ca avem un activ suport cuS0 = 21 si un call european asupra acestui activ suport, cu scadenta T = 0.25, pretul de exer-citiu K = 20 si ca optiunea considerata valoreaza pe piata curenta C0 = 1.875. Se stie ratadobânzii de referinta, r = 0.1. Asadar, volatilitatea este o functie σ = σ(S0, K, r, T,C0).


Pentru a gasi o aproximare pentru σ , încercam mai întâi valoarea σ = 0.2. Pentru aceastavaloare a lui σ , valoarea unui call european obtinuta prin formula Black-Scholes (9.1.10)este

CBS0 = 1.76 <C0 = 1.875.

Deoarece C este o functie crescatoare în raport cu σ , încercam acum σ = 0.3. Pentruaceasta valoare, obtinem

CBS0 = 2.10 >C0 = 1.875.

Asadar, valoarea exacta pentru σ se afla în intervalul (0.2, 0.3). Încercam σ = 0.25,s.a.m.d., pâna estimam pe σ cu o eroare cât mai mica (metoda înjumatatirii intervalului).În cele din urma, vom obtine valoarea σ = 0.235 (i.e., o volatilitate de 23.5%).

Folosind arborii binomiali, se poate estima volatilitatea implicita si pentru optiuniamericane.

9.2.3 Volatility smilesAnalistii financiari îsi pun urmatoarele întrebarii (teme de cercetare):

• Cât de apropiate sunt preturile optiunilor pe piata reala de cele determinate deformula Black-Scholes?

• Sunt, în realitate, preturile activelor financiare lognormal repartizate?Asadar, o alta întrebare apare în mod firesc:

Folosesc investitorii formula Black-Scholes pentru a evalua preturile optiunilor?Se pare ca formula Black-Scholes este folosita de investitori, însa nu chiar în forma

sugerata de Black si Scholes prin modelul introdus de ei. Investitorii permit ca σ sa depindade pretul de exercitiu K. Graficul volatilitatii ca o functie de K se numeste volatility smile(vezi Figura 9.2). În general, pretul de exercitiu este stabilit în jurul lui S0. Vom spune caavem:

• sub-paritate (in-the-money), daca K < S0.• la paritate (at-the-money), daca K = S0.• supra-paritate (out-of-the-money), daca K > S0.

Din figura, se observa ca optiunile la paritate au o volatilitate mai mica decât celelalte.Modelarea acestor volatility smiles este un domeniu activ al Finantelor cantitative. Unastfel de analist financiar (quantitative analyst sau quant) va calcula volatilitatea implicitapentru optiunile obisnuite (vanilla) si o va folosi în evaluarea optiunilor exotice.

Pentru un σ fixat, din formula Black-Scholes gasim valorile pentru call si put europenela t = 0, fie ele CBS si PBS. Va trebui ca paritatea put-call sa fie satisfacuta, i.e.,

PBS +S0 =CBS +Ke−rT . (9.2.17)

Daca nu exista oportunitati pe piata financiara, atunci valorile pentru call si put la careacestea sunt tranzactionate (le notam aici prin Cp si Pp) vor trebui sa satisfaca si ele paritateaput-call, i.e.,

Pp +S0 =Cp +Ke−rT . (9.2.18)

Din relatiile (9.2.17) si (9.2.18) deducem ca:

CBS−CBS = Pp−Pp.

9.3 Indici de senzitivitate 149

Figura 9.2: Volatility smile.

9.3 Indici de senzitivitateDupa cum am vazut, valoarea unui derivat financiar este o functie f = f (S, t, σ , r). Pentruo variatie mica a fiecarei variabile, putem dezvolta în serie Taylor si scrie:

∆ f =∂ f∂S

∆S+∂ f∂ t

∆t +∂ f∂σ

∆σ +∂ f∂ r

∆r+∂ 2 f∂S2 (∆S)2 +

∂ 2 f∂σ2 (∆σ)2 + . . .

Coeficientii fiecarei variatii ale variabilelor se definesc ca fiind indici de senzitivitate aiderivatului financiar în raport cu variabila respectiva.

Indicele ∆ (Delta)

Indicele ∆t = ∆(t, S) este derivata valorii derivatului financiar, f , în raport cu S:

∆t =∂ f∂S∈ (0, 1).

În particular, pentru un call european, definim:

∆ct =

∂Ct

∂S.

Folosind formula Black-Scholes,

Ct = St Φ(d1)−K e−r(T−t)Φ(d2),

gasim ca

∂Ct

∂S= Φ(d1)+St Φ

′(d1)∂d1

∂S−K e−r (T−t)

Φ′(d2)

∂d2

∂S

= Φ(d1)+[St Φ

′(d1)−K e−r (T−t)Φ′(d2)

]∂d1

∂S.


Dar,

Φ′(d2) =

1√2π

e−d222 = Φ

′(d1)St

Ker (T−t),

de unde gasim ca indicele ∆ la momentul t este:

∆ct = Φ(d1), (9.3.19)

unde Φ(·) este functia lui Laplace. Indicele ∆c este o functie de pretul activului suport.Graficul indicelui ∆c ca functie de S este reprezentat în Figura 9.6.Pentru un put european, indicele ∆ este:

∆pt =

∂Pt

∂S=−Φ(−d1). (9.3.20)

Mai mult, ∆ct −∆

pt = 1.

În cazul în care activul suport genereaza dividende, cu rata q, atunci valorile (9.3.19) si(9.3.20) devin:

∆ct = e−qT

Φ(d1) si ∆pt =−e−qT

Φ(−d1). (9.3.21)

Observatia 9.3 [1] Putem determina chiar si o ecuatie cu derivate partiale pe care osatisface ∆, dupa cum urmeaza. Diferentiem ecuatia Black-Scholes (9.1.5) în raport cu S siobtinem:

∂

∂S

(∂Ct

∂ t

)+

σ2

2∂

∂S

(S2

t∂ 2Ct

∂S2

)+ r

∂

∂S

(St

∂Ct

∂S

)= r

∂

∂S(Ct) , t ∈ [0, T ],

de unde, tinând cont ca ∆c =

∂Ct

∂S,

∂∆c

∂ t+

12

σ2S2

t∂ 2∆c

∂S2 +(r+σ2)St

∂∆c

∂S= 0, t ∈ [0, T ], (9.3.22)

Conditia finala pentru aceasta ecuatie parabolica în ∆c este

∆c(T, ST ) =

1, daca ST > K;0, daca ST ≤ K,

adica

∆c(T, ST ) = 1ST>K. (9.3.23)

[2] Indicele ∆ poate fi aproximat folosind o metoda Monte-Carlo folosind urmatoareaformula:

∆c(t, St) = EQ

[e−r(T−t)1ST>K

].

Observatia 9.4 Exemple de utilizare a indicelui ∆:• Daca ∆c = 0.5, spunem ca avem un call la paritate; pentru ∆c < 0.5 avem un call la

sub-paritate si pentru ∆c > 0.5 avem un call la supra-paritate;


• Sa presupunem ca ∆c = 0.6. Atunci, variatia cu o unitate a pretului activului suportdetermina o variatie egala cu 0.6 a optiuni call, i.e., detinerea unui call europeaneste echivalenta cu detinerea a unui procent de 60% din activul suport. Daca acestactiv suport ar fi un pachet de actiuni (care contine 100 de actiuni), atunci ∆c = 0.6ar însemna ca detinerea unui call european este echivalenta cu detinerea a 60 deactiuni).

• Acoperire cu Delta (Delta hedging). Fie S0 = 10,C0 = 1, ∆c = 0.5. Un investitor cea vândut 12 optiuni call se poate ∆−proteja (acoperirea riscului) prin cumpararea a0.5×1200 = 600 actiuni.

• Functia MATLAB pentru indicele ∆ este blsdelta si poate fi apelata astfel:

[Cdelta, Pdelta] = blsdelta(SO, K, r, T, sigma, q),

unde: Cdelta si Pdelta sunt valorile indicelui ∆ pentru call si, respectiv, put, q esterata de plata a dividendelor si celelalte variabile au notatiile obisnuite.

Indicele Γ (Gama)

Acest indice masoara senzitivitatea indicelui ∆ în raport cu S, i.e.,

Γt =∂∆

∂S=

∂ 2 ft∂S2 .

Pentru un call european, avem:

Γct =

∂ 2Ct

∂S2 .

Utilizând formula Black-Scholes, gasim ca indicele Γc0 la momentul t = 0, pentru un call

european, este:

Γc0 =

∂Φ(d1)

∂S

= Φ′(d1)

∂d1

∂S

=Φ′(d1)

S0 σ√

T. (9.3.24)

Se arata ca, pentru un put european, valoarea indicelui Γp0 =

∂ 2Pt

∂S2 la momentul t = 0 estetot (9.3.24). Graficul indicelui Γ ca functie de S este reprezentat în Figura 9.7.Functia MATLAB pentru indicele Γ este blsgamma si poate fi apelata astfel:

G = blsgamma(SO, K, r, T, sigma, q),

unde q este rata de plata a dividendelor si celelalte variabile au notatiile obisnuite.


Indicele Θ (Teta)

Masoara senzitivitatea derivatului financiar în raport cu t. Se defineste astfel:

Θt =∂ ft∂ t

.

Pentru un call european (dat de formula (9.1.10)), acesta este:

Θct =

∂Ct

∂ t=−S0 φ ′(d1)σ

2√

T− r K e−r T

Φ(d2), (9.3.25)

unde φ(x) = Φ′(x) =

1√2π

e−x22 , x ∈ R. În general, Θ≤ 0 pentru un call european.

Pentru un put european, acesta este:

Θpt =

∂Pt

∂ t=−S0 φ(d1)σ

2√

T+ r K e−r T

Φ(−d2). (9.3.26)

Functia MATLAB pentru indicele Θ este blstheta si poate fi apelata astfel:

[Ctheta, Ptheta] = blstheta(SO, K, r, T, sigma, q),

unde: Ctheta si Ptheta sunt valorile indicelui Θ pentru call si, respectiv, put, q esterata de plata a dividendelor si celelalte variabile au notatiile obisnuite.Din ecuatia Black-Scholes (9.1.4), obtinem urmatoarea relatie între indicii ∆, Γ si Θ:

Θc + r S∆

c +12

σ2 S2

Γc = rC. (9.3.27)

Indicele ν (Vega)

Acest indice masoara senzitivitatea derivatului în raport cu volatilitatea σ . Pentru uncall european, definim indicele ν la momentul t prin:

νct =

∂Ct

∂σ

= Stφ(d1)√

T − t = Ke−r(T−t)φ(d2)

√T − t,

unde φ(x) = Φ′(x) =

1√2π

e−x22 , x ∈ R.


Figura 9.3: Indicele νc pentru doua valori ale lui σ .

Acest indice este cel mai important dintre toti indicii de senzitivitate de ordinul întâi. ÎnFigura (9.3) am reprezentat indicele ν pentru doua valori ale volatilitatii.Functia MATLAB pentru indicele ν este blsvega si poate fi apelata astfel:

V = blsvega(SO, K, r, T, sigma).

Indicele ρ (Rho)

Acest indice masoara senzitivitatea indicelui C în raport cu rata dobânzii de referintar, i.e.,

ρt =∂ ft∂ r

.

Pentru un call european, definim indicele ρ la momentul t:

ρct =

∂Ct

∂ r= K (T − t)e−r(T−t)

Φ(d2). (9.3.28)

Pentru un put european,

ρpt =

∂Pt

∂ r=−K (T − t)e−r(T−t)

Φ(−d2). (9.3.29)


Figura 9.4: Indicele ρ în functie de pretul activului suport.

Acest indice este cel mai putin folosit dintre toti indicii de senzitivitate de ordinul întâi.Functia MATLAB pentru indicele ρ este blsrho si poate fi apelata astfel:

[Crho, Prho] = blsrho(SO, K, r, T, sigma, q),

Observatia 9.5 Dupa cum am vazut într-un capitol anterior, se pot defini indici desenzitivitate si pentru derivate evaluate prin modelul binomial. Pentru ∆, definim:

∆ =fu− fd

Su−Sd.

Pentru indicele Γ:

Γ =∂ fu−∂ fd

12(Suu−Sdd)

,

unde∂ fu =

fuu− fud

Suu−Sud, ∂ fd =

fud− fdd

Sud−Sdd.

Indicele Θ poate fi definit astfel:

Θ =fu− fd

δ t.


9.4 Probleme rezolvate

Exercitiu 9.4.1 Construiti o functie în MATLAB care sa calculeze valoarea unui call/puteuropean folosind formula (9.1.10). Sa se compare rezultatul cu cel obtinut prin rulareafunctiei MATLAB blsprice.

R: În MATLAB, functia lui Laplace (functia de repartitie pentru N (0, 1) este datade comanda 'normcdf. Codul pentru functia ceruta este urmatorul:

function [C, P] = BS(S0,K,r,T,sigma)

% S0 = pretul initial; r = rata de referinta;

% K = pret de exercitiu;

% sigma = volatilitatea; T = scadenta;

% C = valoarea unui call european

d1 = (log(S0/K) + (r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2 = d1 - sigma*sqrt(T);

C = S0*normcdf(d1) - K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

P = C - S0 + K*exp(-r*T);

O rulare a codului, [C,P] = BS(10,11,0.1,2,0.3), ne furnizeaza rezultatele:

C = P =

2.1410 1.1471

Folosim acum functia blsprice predefinita,

[C,P] = blsprice(10,11,0.1,2,0.3)

si obtinem:

C = P =

2.1410 1.1471

Exercitiu 9.4.2 Dorim sa reprezentam în acelasi grafic valorile unui contract de tip puteuropean în functie de numarul de perioade. Se va verifica pe grafic daca aceste valori con-verg la valoarea aceluiasi contract put european, dar calculata prin formula Black-Scholes.

R: Rulând functia MATLAB urmatoare pentru S0 = 100, K = 115, r = 0.05, T = 1, σ =0.3, n = 150, obtinem Figura 9.5.


%% convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes

%% pentru n -> \infty

function binoBS(S0,K,r,T,sigma,N)

%% S0=pretul actual al activului; T=scadenta; K=pret de exercitiu

%% sigma=volatilitatea; N=Numarul maxim de perioade

d1 = (log(S0/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2 = d1 - sigma*sqrt(T);

putEU_BS = - S0*normcdf(-d1) + K*exp(-r*T)*normcdf(-d2)

for n = 2:N

dt= T/n; P = zeros(n+1,n+1);

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

for j = 1:n+1

S(n+1,j) = u^(j-1)*d^(n+1-j)*S0;

P(n+1,j) = max(K - S(n+1,j),0);

end % for j

for i = n:-1:1

for j = 1:i

P(i,j) = exp(-r*dt)*(psi*P(i+1,j+1)+(1-psi)*P(i+1,j));

end % for j

end % for i

putEU(n-1) = P(1,1);

end % for n

ActivMaturitate = S(3:N+1,:);

disp('put EU = '), disp(P(1,1))

clf

plot(2:N,putEU,'b-'); hold on;

plot(2:N,putEU_BS*ones(N-1),'r--');

legend('binomial','Black-Scholes','Location','SouthEast')

title('convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes')

Figura 9.5: Convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes. Aici, S0 = 100, K = 115,r = 0.03, T = 1, σ = 0.3, n = 150.


Observatia 9.6 Codurile de mai jos rezolva problema convergentei grafice a modeluluibinomial la cel Black-Scholes folosind o abordare vectoriala în codul care calculeazavalorile pentru call/put european. Asadar, pentru variabila flag=1 calculeaza valoareaunui call european, pentru flag=0 calculeaza valoarea unui put european.

function convergenta2(S0,K,r,T,sig,N,flag)

%%% call/put cu formula B-S

d1=(log(S0/K)+(r + sig^2/2)*T)/(sig*sqrt(T));

d2=d1-sigma*sqrt(T);

cBS=S0*normcdf(d1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

pBS=-S0*normcdf(-d1)+K*exp(-r*T)*normcdf(-d2);

%%% flag=1 => call; flag=0 => put

BS = flag*cBS + (1-flag)*pBS;

%%% call/put cu metoda binomiala

for n = 2:N

dt= T/n; u = exp(sig*sqrt(dt)); d = 1/u;


EU(n-1) = binEU(S0,K,r,T,n,sig,flag);

end

clf

%%% reprezinta grafic

plot(2:N,EU,'b-'); hold on;

plot(2:N,BS*ones(N-1),'r--');

legend('bino','B-S','Location','NorthEast')

title('binomial ===> Black-Scholes')

function y=binEU(S0,K,r,T,n,sig,flag)

%%% metoda binomiala vectoriala

dt = T/n; %%% pasul

u = exp(sig*sqrt(dt)); d=1/u;


%%% activ si derivat la scadenta

S = S0*u.^(0:n)'.*d.^(n:-1:0)';

C = max(S-K, 0); P = max(K-S, 0);

%%% flag=1 ==> call; flag=0 ==> put

V = flag*C + (1-flag)*P;

%%% valori intermediare (call/put)

for i = n:-1:1

V = psi*V(2:i + 1)+(1-psi)*V(1:i);

end

%%% output

y = exp(-r*T)*V;

Exercitiu 9.4.3 Folosind MATLAB, reprezentati grafic indicii de senzitivitate ∆, Γ si Θ

pentru un call european.R: Pentru ∆ folosim formula (9.3.19). Codul MATLAB si graficul sunt urmatroarele:

S0=20; K=21; r=0.05; T=2; s=0.2;

% S0=pret initial, K=pret de exercitiu;

% r=rata dobanzii; T=scadenta;

% s=volatilitatea

S = linspace(0.1,40,1e3);

d1 = (log(S/K)+(r+s^2/2)*T)/(s*sqrt(T));

Delta = normcdf(d1);

plot(S,Delta,'b-','LineWidth',3);

Figura 9.6: Indicele ∆

Pentru Γ folosim formula (9.3.24). Codul MATLAB si graficul sunt urmatoarele:


S0=20; K=21; r=0.05; T=2; s=0.2;

% S0=pret initial, K=pret de exercitiu;


% s=volatilitatea

S = linspace(0.1,40,1e3);

d1 = (log(S/K)+(r+s^2/2)*T)/(s*sqrt(T));

G=normpdf(d1)/(S0*s*sqrt(T));

plot(S,G,'-','LineWidth',3);

Figura 9.7: Indicele Γ

Pentru Θ folosim formula (9.3.25). Codul MATLAB si graficul sunt urmatoarele:.

function theta(S,K,r,T,sig)

% S=pret activ suport, K=pret de exercitiu;


% sig=volatilitatea

S=linspace(0.1,40,1e3);

d1=(log(S/K)+(r+sig^2/2)*T)/(sig*sqrt(T));

d2=d1 - s*sqrt(T);

TetaC=-S.*normpdf(d1)*sig/(2*sqrt(T))-...

... r*K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

plot(S,TetaC,'-b','LineWidth',3)

Figura 9.8: Indicele Θ

Exercitiu 9.4.4 Pretul unui activ financiar este modelat matematic printr-o miscare brow-niana geometrica cu µ = 0.42 si σ = 0.25. Calculati probabilitatea P(S1 ≥ 2S0.5), proba-bilitatea ca pretul la un an sa fie cel putin dublul pretului la jumatate de an.

R: Din ipoteza, µ = 0.42, σ = 0.25 si St satisface ecuatia

dSt = 0.42St dt +0.25St dWt , t > 0.

Dupa cum am vazut anterior, solutia ecuatiei este

St = S0e(µ−σ22 )t+σWt = S0e0.4t+0.25Wt .

Atunci, probabilitatea ceruta devine

P(S1 ≥ 2S0.5) = P(

S0e0.4+0.25W1 ≥ 2S0e0.2+0.25W0.5)

= P(

e0.25(W1−W0.5) ≥ eln2−0.2)

= P(W1−W0.5 ≥ 4ln2−0.8) .

Dar W1−W0.5 ∼N (0,√

0.5), de unde

P(W1−W0.5 ≥ 4ln2−0.8) = 1−P(W1−W0.5 < 4ln2−0.8)

= 1−Θ

(4ln2−0.8√

0.5

)≈ 0.0026.

Putem calcula probabilitatea în MATLAB folosind comanda

1 - normcdf((4*log(2)-0.8)/sqrt(0.5))


9.5 Probleme propuseExercitiu 9.5.1 Determinati ecuatia cu derivate partiale pe care o satisface indicele ∆

pt

(indicele ∆ pentru un put european) folosind o metoda similara cu cea care a condus laformula (9.3.22).Exercitiu 9.5.2 Determinati o legatura între indicii ∆p, Θp si Γp, similara cu relatia(9.3.27).Exercitiu 9.5.3 Aproximati valoarea indicelui ∆c

t la t = 0 pentru un call european folosindo metoda Monte Carlo, plecând de la formula

∆c0 = EQ

[e−r(T−t)1ST>K

].

Exercitiu 9.5.4 Notam prin P(t) pretul unui activ financiar la momentul t ≥ 0. Un model

standard presupune ca variatia relativa a acestui pret,dPP

, evolueaza dupa formula:

dPP

= 0.2(2dW +dt), t ≥ 0,

unde W este un proces Wiener. Pretul initial al activului este P0 = 10.(a) Determinati pretul acestui activ la fiecare moment t ≥ 0.(b) Scrieti un cod MATLAB pentru a simula un posibil curs al pretului P în decurs de 2 ani(i.e., în intervalul de timp [0, 2]).(c) Care este probabilitatea ca pretul activului la momentul T = 2 sa fie mai mare ca 10?(d) Folosind o metoda Monte Carlo, estimati valoarea unui put european cu activul de maisus drept activ suport, cu scadenta T = 2 si pretul de exercitiu K = 10 (se va lua r = 0.2).Exercitiu 9.5.5 Pretul St al unui pachet de actiuni evolueaza dupa o miscare Brownianageometrica cu µ = 0.36 si σ = 0.2. Pretul initial al pachetului de actiuni este S0 = 100.(a) Determinati repartitia pretului la momentul T = 1.(b) Care este probabilitatea ca pretul pachetului la momentul T = 1 sa se afle între 98 si103?(c) Determinati valoarea actuala a unui contract derivat ce confera dreptul de a vinde laparitate pachetul de actiuni peste exact 1 an (rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.05)Exercitiu 9.5.6 Pretul actual al unui activ ce nu genereaza dividende este S0 = 100. Pre-supunem ca pretul St al activului evolueaza dupa o miscare Browniana geometrica cuµ = 0.3 si σ = 0.2. Rata dobânzii anuale lipsite de risc r = 0.03 p.a. (compusa continuu).(a) Determinati repartitia preturilor activului la momentul T = 1 si calculati valoareaasteptata a lui S1.(b) Care este probabilitatea ca, dupa 2 ani, valoarea activului sa creasca cu cel putin 50%?(c) Determinati valoarea unui put european ce confera dreptul de a vinde la paritateactivul S la T = 1.(d) Care este valoarea unui call american la paritate asupra activului S cu scadenta T = 1?Exercitiu 9.5.7 Notam prin St pretul unui activ financiar la t ≥ 0. Se presupune ca variatiaacestui pret satisface formula:

dSt = 0.1St dt +0.2St dBt , t > 0,

unde Bt este miscarea Browniana. Pretul initial al activului este S0 = 10.(a) Care este probabilitatea ca pretul activului la momentul T = 2 sa fie mai mare de 9.5?


(b) Determinati valoarea actuala a unui put european ce are la baza activul St de maisus, cu scadenta de 2 ani, si pretul de exercitiu K = 10 (rata dobânzii lipsite de risc ester = 0.2).(c) Determinati indicele de senzitivitate care masoara rata de variatie a valorii contractuluide la (b) în raport cu pretul activului suport.Exercitiu 9.5.8 Volatilitatea unui activ financiar, al carui pret la momentul t este St , este

23%. Aflati deviatia standard pentru procesul stochastic ln

(S1/2

S1/4

).

Exercitiu 9.5.9 (a) Un activ financiar are pretul

St = S0eµt−σ22 t+σWt , t > 0, .

Aratati ca St satisface ecuatia diferentiala stochastica (9.0.2).(b) Calculati probabilitatea ca pretul acestui activ sa se mareasca cu 20% dupa un an.Exercitiu 9.5.10 Notam prin St pretul unui activ financiar la t ≥ 0. Variatia acestui pretsatisface formula:

dSt = 0.2St dWt , t > 0,

unde (Wt)t≥0 este miscarea Browniana. Pretul actual al activului este S0 = $10 si r = 0.02.(a) Determinati valoarea asteptata si deviatia standard a pretului activului dupa exact 6luni.(b) Aflati valoarea actuala a unui put european cu scadenta de 6 luni si pretul de exercitiu$11.(c) Care sunt sansele ca, dupa exact 6 luni, pretul activului sa fi crescut cu cel putin 10%?

10. Teoria alegerii rationale

. He who is not satisfied with a little, is satisfied with nothing.

10.1 MotivatieConceptul de utilitate a fost introdus de D. Bernoulli1 în 1738, într-o lucrare aparuta la St.Petersburg. G. Cramer2 spunea: ”În teoria lor, matematicienii evalueaza banii proportionalcu cantitatea acestora dar, în practica, oamenii cu bun simt evalueaza banii în raport cuutilitatea câstigului pe care acestia îl aduc”.D. Bernoulli a avut ideea de a introduce o functie de preferintele utilizatorului de capital(sau a jucatorului de noroc) astfel încât, dintre doua repartitii ale venitului (sau câstigului)pe care le-ar putea realiza, acesta sa o aleaga pe cea care conduce la cea mai mare utilitatemedie (sau la cel mai mare câstig util).Utilitatea este o masura a gradului de satisfactie. Poate fi: cardinala (daca poate fi masurataprintr-un anumit indicator economic), sau ordinala (daca nu poate fi masurata printr-unindicator). De multe ori însa apar si situatii mixte.Von Neumann si Morgenstern (1944) au fost primii care au considerat utilitatea ca pe ocuantificare a preferintelor, formulând primul sistem de axiome. Se pune problema definiriiunui set de axiome acceptate din punctul de vedere al intuitiei, din care sa rezulte forma pecare ar trebui sa o aiba masura utilitatii.

10.1.1 Paradoxul de la Sankt PetersburgEste un paradox ce apare în urma determinarii pretului pe care un individ ar fi dispus sa-lplateasca pentru a participa la o anumita loterie. Problema a fost pusa în discutie pentru

1Daniel Bernoulli (1700 −1782) a fost un matematician elvetian2Gabriel Cramer (1704 −1752) a fost un matematician elvetian

162 Capitolul 10. Teoria alegerii rationale

prima data de Nicolas Bernoulli in 1913, iar numele a fost atribuit de varul sau, DanielBernoulli in 1738.Sa presupunem ca într-un cazino se desfasoara urmatorul joc: o moneda ideala se arunca,iar daca apare fata cu stema (S), atunci jucatorul primeste £2, iar jocul continua. Daca la adoua aruncare apare tot stema, atunci jucatorul primeste £4 si jocul continua mai departe,pâna când la o aruncare apare cealalta fata, caz în care jocul se opreste. La fiecare nouaaparitie a fetei S, suma pe care jucatorul o avea se dubleaza. Se pune întrebarea urmatoare:

Care este prima pe care jucatorul ar trebui sa o plateasca pentru a putea participa laacest joc?

O sugestie ar fi ca aceasta suma sa fie tocmai valoarea medie a câstigului pe care unjucator l-ar putea avea daca ar jucat acest joc. Daca notam cu X variabila aleatoare cereprezinta suma câstigata de jucator, atunci:

X 2 22 23 . . . 2n . . .

p12

122

123 . . .

12n . . .

Insa,

E(X) =∞

∑k=1

2k 12k = ∞,

si acesta nu poate fi considerat a fi un posibil pret. De-a lungul timpului, mai multi oamenide stiinta au cautat sa rezolve aceasta problema.

Prezentam mai jos câteva dintre posibilele solutii aduse de-a lungul timpului.(1) Poisson3 si Condorcet4 au propus o limitare a averii totale a cazinoului. Suma de caredispune un cazino este finita (sa spunem, A = 2n), de aceea ei au propus ca media de maisus sa fie urmatoarea:

EA(X) =∞

∑k=1

min(A, 2k)12k .

Daca notam cu m = supn ∈ N; A≥ 2n, atunci putem scrie:

EA(X) =m

∑k=1

min(A, 2k)12k +

∞

∑k=m+1

min(A, 2k)12k

=m

∑k=1

2k 12k +

∞

∑k=m+1

A12k

≤ m+2≤ [log2 A]+2 < ∞.

De exemplu, daca n = 25, atunci A = £33554432 si costul biletului ar fi £27. Pentrun = 30, am gasi un pret de intrare în joc de £32, ceea ce pare rezonabil.(2) Buffon5 introduce un prag de probabilitate, Π, astfel încât orice situatie de câstig a careiprobabilitate e mai mica decât Π sa fie considerata a fi imposibila, deci de probabilitate

3Siméon Denis Poisson (1781 − 1840) a fost matematician si fizician francez4Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marchiz de Condorcet (1743 − 1794 ) a fost un filosof, pedagog,

matematician, politolog, economist si om politic francez5Georges-Louis Leclerc, baron de Buffon (1707 − 1788) a fost un naturalist, matematician, biolog si

scriitor francez

10.1 Motivatie 163

egala cu 0. Alegerea pragului ar crea o alta problema, si anume, jucatorul va fi la mânacazinoului, ceea ce face ca ideea sa nu fie perfecta.Buffon a facut urmatorul experiment. A lasat un copil sa joace jocul de M = 211 = 2048ori (i.e., a considerat o selectie Xkk de volum M asupra variabilei aleatoare X) si apoi acalculat media empirica de selectie

X =1M

M

∑k=1

Xk,

unde Xk este profitul din jocul k. A obtinut ca X = 4.91. Totusi, Feller a aratat ca

1n

X −→ 1, cand n→ ∞,

deci nu valoarea propusa de Buffon nu este întotdeauna finita, deci nu convine.(3) Daniel Bernoulli si Gabriel Cramer au introdus ideea de utilitate a câstigului. Utilitateaeste o functie care cuantifica preferintele unui agent economic astfel încât, dintre douarepartitii posibile, sa o aleaga pe cea care conduce la cea mai mare utilitate medie acâstigului. Ei au introdus o functie de utilitate care atribuie fiecarei valori numerice W (cereprezinta averea pe care o are agentul) utilitatea averii respective, U(W ). Aceasta functiedetermina gradul de satisfactie a agentului fata de averea sa.Astfel, daca in cazul paradoxului de la St. Petersburg am tine cont de utilitatea câstiguluisi aceasta este o functie descrescatoare de câstig, am putea obtine o valoare finita pentrusuma de intrare.În acest caz, valoarea asteptata a utilitatii câstigului în cazul problemei propusa de D.Bernoulli va fi

E(U(X)) =∞

∑k=1

U(2k)12k ,

unde U este o functie aleasa asa încât aceasta suma sa fie finita. Astfel, E(U(X)) poate fi oposibila valoare pentru prima de participare la joc.Exemplu 10.1 Daca un jucator are preferintele reprezentate de functia de utilitate U(w) =log2(w), atunci valoarea primei de participare la joc va fi

E(U(X)) =∞

∑k=1

log2(2k)

12k =

∞

∑k=1

k2k = 2.

10.1.2 Teoria alegerii rationale în conditii incerteEvaluarea rezultatelor diverselor actiuni financiare pe care le întreprinde un agent economicridica doua probleme importante:

1. cum se pot masura rezultatele actiunilor întreprinse?2. cum pot fi apreciate sau evaluate masuratorile efectuate?

O simpla masurare a rezultatelor actiunilor unui consumator de capital financiar nu esuficienta pentru aprecierea acestor rezultate. Astfel, e necesar sa asociem rezultatelor nistenumere, în mod independent de marimea lor, prin care sa se poata face si o alta apreciere aacestora decât cea dimensionala.Fie Ω = x, y, z, . . . o multime de entitati (numite si stari, obiective sau premii), ale carorvalori trebuie masurate. Aceste entitati pot fi interpretate ca posibile alegeri ale unui agent


economic.Consideram o relatie binara pe Ω, notata prin <.

• Relatia < se numeste relatie completa daca

(∀)x, y ∈Ω, ori x< y ori y< x.

• Relatia < se numeste relatie tranzitiva daca

(∀)x, y, z ∈Ω, x< y si y< z implica x< z.

Vom numi o relatie de preferinta (sau relatie rationala) o relatie completa si tranzitiva. Încele ce urmeaza, relatia x< y se va citi ”x este preferat lui y”;Daca x< y si y< x, atunci scriem x∼ y. Vom denumi relatia ”∼” relatia de indiferenta(unui agent îi este indiferent daca alege x sau y).Daca x< y si y 6<x, atunci scriem x y (i.e. ”x este strict preferat lui y”).Spunem ca o relatie de preferinta < poate fi reprezentata printr-o functie u daca:

x< y ⇐⇒ u(x)≥ u(y), ∀x, y ∈Ω.

Fiecare actiune posibila a unui agent economic poate avea mai multe rezultate. Vompresupune ca agentul economic are la îndemâna estimari pentru probabilitatea de aparitiea fiecarui rezultat. Numim loterie (sau proiect riscant, sau experiment, sau alternativa)entitatea

L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn),

cu xi ∈Ω, i = 1, n si P = (p1, p2, . . . , pn) o repartitie discreta. Interpretam pe L ca fiindalegerea lui x1 cu probabilitatea p1, sau alegerea lui x2 cu probabilitatea p2, s.a.m.d., saualegerea lui xn cu probabilitatea pn. Notam cu L (Ω) multimea tuturor loteriilor pe Ω.În cazul n = 2, L = (p, x; 1− p, y), p ∈ (0, 1), x, y ∈ Ω (e.g., în cazul aruncarii uneimonede ideale avem loteria

L = (0.5, S; 0.5, B).

Loteriile pot fi simple sau compuse. Loteriile compuse pot avea ca elemente alte loterii.O loterie compusa este o medie de loterii simple. De exemplu, consideram loteriile

L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn) si L′ = (p′1, x1 ; p′2, x2 ; . . . ; p′n, xn).

Atunci, loteria compusa L′′ = (α, L; 1−α, L′), cu α ∈ (0, 1), poate fi scrisa ca o loteriesimpla:

L′′ = (α p1 +(1−α)p′1, x1; α p2 +(1−α)p′2, x2; . . . ; α pn +(1−α)p′n, xn)

= αL+(1−α)L′.

Este necesara o teorie care sa tina cont de preferintele unui agent economic pentru obiecti-vele sale si sa poata decide ce loterie (proiect riscant) sa aleaga. Astfel, a aparut Teoriavalorii asteptate a utilitatii (en., Expected Utility Theory).

10.2 Functie de utilitate 165

10.2 Functie de utilitateO functie U : L (Ω)→ R se numeste functie de utilitate în sens von Neumann & Morgen-stern asociata relatiei < (prescurtat, vom spune functie de utilitate în sensul vNM) dacasatisface conditiile:

L1 < L2 ⇐⇒ U(L1)≥U(L2), ∀L1, L2 ∈L (Ω). (10.2.1)U(pL1 +(1− p)L2) = pU(L1)+(1− p)U(L2), ∀L1, L2 ∈L (Ω), ∀p ∈ (0, 1).(10.2.2)

Propozitie: O functie de utilitate U : L (Ω)−→R este functie de utilitate în sensul vNMdaca si numai daca pentru orice loterie L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn), putem scrie:

U(L) =n

∑i=1

piui.

Valorile ui = u(xi) =U(Li) se numesc utilitati marginale sau utilitati Bernoulli, unde Lisunt definite prin:

Li = (0, x1; 0, x2; . . . , 0, xi−1; 1︸︷︷︸i

, xi; 0, xi+1; . . . ;0, xn).

Pentru L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn) si L′ = (q1, x1 ; q2, x2 ; . . . ; qn, xn) din L (Ω), dinconditia de reprezentare obtinem ca

L< L′ ⇐⇒ U(L) =n

∑i=1

piu(xi) ≥ U(L′) =n

∑i=1

qiu(xi) ⇐⇒ E(U(L))≥ E(U(L′)).

Din ultima relatie se observa ca un investitor rational în sensul vNM va actiona ca si cândar maximiza valoarea asteptata a unei functii de utilitate. De fapt, acesta va alege proiectulpe care îl prefera mai mult, însa din relatia (10.2.1), aceasta actiune este echivalenta cu amaximiza o anumita functie de utilitate.Exemplu 10.2 Unui investitor rational în sens vNM i se propune proiectul riscant

L = (23,4400;

13,−5100).

Stiind ca preferintele acestuia sunt reprezentate de functia de utilitate U(w) =√

w, sa sedetermine daca investitorul accepta proiectul. (Presupunem ca averea actuala a investitoru-lui este de W0 = 10000).Decizia se ia prin aplicarea principiului maximizarii valorii asteptate a utilitatii. Investitorulva accepta proiectul riscant daca valoarea asteptata a averii dupa acceptarea acestuia estemai mare decât utilitatea asteptata a averii initiale. Matematic, scriem astfel:

E[U(w0 +L)] =310

3> E[U(W0)] = 100.

Functiile de utilitate considerate de D. Bernoulli si Cramer în cazul paradoxului de la St.Petersburg sunt: u(x) = ln(x) si u(x) =

√x.


10.2.1 Axiomatica von Neumann & MorgensternAxioma 1: Relatia < este rationala (completa si tranzitiva);Axioma 2: (axioma de continuitate) Daca L1 < L2 < L3, atunci

exista p∈ (0, 1) astfel încât L2∼ pL1+(1− p)L3.Axioma 3: (axioma de independenta) Pentru oricare L1, L2 ∈L (Ω),

L1 < L2 ⇐⇒ pL1 +(1− p)L3 < pL2 +(1− p)L3, ∀p ∈ (0, 1), ∀L3 ∈L (Ω).

Consecinte:

C1: Fie L1, L2, L3 ∈L (Ω), date. Daca L1 ∼ L2, atunci axioma de independenta implica(luam L3 = L2):

pL1 +(1− p)L2 ∼ pL2 +(1− p)L2, (∀) p ∈ [0, 1]∼ L2 ∼ L1. (curbele de indiferenta sunt segmente)

C2: Daca L1 ∼ L2, atunci

pL1 +(1− p)L3 ∼ pL2 +(1− p)L3, ∀p ∈ (0, 1), ∀L3 ∈L (Ω),

de unde deducem ca toate curbele de indiferenta sunt paralele.

Teorema fundamentala

Teorema: Daca o relatie de preferinta < satisface axiomele 1 - 3 de mai sus, atunciexista o functie de utilitate vNM asociata acesteia.- Etape în demonstratie:

• Consideram L ca fiind cea mai buna loterie posibila din L (Ω) (da cel mai bunrezultat)si L ca fiind cea mai proasta loterie posibila (cu cel mai prost rezultat).Evident, L< L.Pentru orice L ∈L (Ω), avem ca L< L< L. Din axiomele 2 si 3,

exista un unic αL ∈ [0, 1], astfel încât L∼ αLL+(1−αL)L.

• Fie U : L (Ω)−→ R astfel încât U(L) = αL.• Se arata ca U este o functie de utilitate vNM

(i.e., este o reprezentare pentru < si este afina). √

Teorema (de unicitate pâna la o functie afina): Sa presupunem ca U : L (Ω)→ R esteo functie de utilitate vNM pentru relatia <. Atunci V : L (Ω)→ R este tot o functie deutilitate vNM pentru relatia < daca si numai daca exista a, b ∈ R (b > 0) astfel încât

V (L) = a+bU(L), (∀)L ∈L (Ω).

- Implicatia ”⇐=” este imediata.”=⇒” : Consideram L si L ca mai sus si presupunem ca L< L. Pentru orice L ∈L (Ω),avem ca L< L< L. Din axioma de continuitate,

(∃)αL ∈ [0, 1], astfel încât L∼ αLL+(1−αL)L,

10.3 Alte proprietati 167

de undeU(L) = αLU(L)+(1−αL)U(L).

Gasim ca

αL =U(L)−U(L)U(L)−U(L)

.

Daca V este o functie de utilitate vNM, atunci:

V (L) =V (αLL+(1−αL)L) = αLV (L)+(1−αL)V (L).

Definim:

b =V (L)−V (L)U(L)−U(L)

si a =V (L)−bU(L), √

10.3 Alte proprietati• (continuitate arhimedeana) Daca L1 < L2 < L3, atunci (∃) p, q∈ (0, 1) astfel încât:

pL1 +(1− p)L3 < L2 < qL1 +(1−q)L3. (10.3.3)

(i.e. nu exista o combinatie infinit mai buna sau infinit mai proasta)

• (compunerea loteriilor) Pentru orice L1, L2, L3 ∈L (Ω) si p, q ∈ [0, 1], avem

pL1+(1− p)(qL2+(1−q)L3) ∼ pL1+(1− p)qL2+(1− p)(1−q)L3. (10.3.4)

Loterii monetare

• Daca multimea tuturor alegerilor posibile, Ω, este multime finita, atunci functia deutilitate vNM este

U(L) =n

∑i=1

u(xi) pi (≡ EL[u(x)]).


• În cazul continuu, multimea valorilor unei loterii poate fi un interval. Consideram caΩ⊂ R. Atunci, loteriile sunt descrise de densitati de repartitie. Daca F : R→ [0, 1]este functia de repartitie ce descrie loteria, atunci functia de utilitate vNM se definesteprin

U(F) =∫

∞

−∞

u(x)dF(x) (≡ EF [u(x)]).

• Valoarea reala cu se numeste echivalentul sigur al unei loterii L daca:

u(cu) =U(L) =n

∑i=1

u(xi) pi (în cazul discret),

sauu(cu) = EF [u(x)] =

∫∞

−∞

u(x)dF(x) (în cazul continuu).

10.4 Atitudine fata de riscRiscul este o nesiguranta relativa la posibilele stari/investitii viitoare (e.g., bolnav sausanatos, sarac sau bogat, razboi sau pace, soare sau ploaie etc).

Q: Ce ati alege între un câstig sigur de 100RON si o loterie de pe urma careia puteticâstiga 200RON cu probabilitatea p = 0.5 sau nimic?

1. Daca ati alege o suma chiar mai mica decât câstigul mediu oferit de loterie, atunciaveti aversiune fata de risc (riscofobie).

2. Daca va este indiferent între a alege câstigul mediu oferit de loterie sau loteria, atuncisunteti neutru fata de risc.

3. Daca ati alege loteria în detrimentul valorii medii oferite de loterie sau chiar maimare decât câstigul sigur (e.g., alegeti loteria în detrimentul sunei de 120RON), atunciaveti afinitate fata de risc (riscofilie).

În practica, un investitor rational vNM va investi într-un proiectul riscant doar daca valoareaasteptata a utilitatii averii sale dupa acceptarea proiectului este mai mare decât utilitateaaverii de dinainte de proiect. Daca notam cu W0 (wealth) averea initiala si cu Wf averea sadupa acceptarea proiectului riscant, atunci putem scrie astfel:

U(W0)< E(U(Wf )). (10.4.5)

Sa presupunem ca un investitor A are preferintele reprezentate de functia de utilitate UA.Se pun urmatoarele întrebari:

• Cum determinam daca A agreaza riscul sau nu?• Cum determinam daca A are o toleranta mai mare pentru risc decât un alt investitor

B, care are UB?

În teoria jocurilor, o loterie L = (p, x; 1− p, y) se numeste loterie cinstita (sau joc cinstit)daca E(L) = 0. Din punctul de vedere al atitudinii fata de risc, un investitor poate firiscofob, riscofil sau indiferent (neutru).

10.4 Atitudine fata de risc 169

• Un investitor este riscofob (eng., risk-averse) daca prefera valoarea asteptata a loterieiîn detrimentul loteriei, adica EL< L. În cazul discret, scriem:

pU(x)+(1− p)U(y)≤U(px+(1− p)y), (∀) p ∈ (0, 1), (∀)x, y ∈Ω;

• Un investitor este riscofil (eng., risk-taker) daca prefera loteria în detrimentul valoriiasteptate a loteriei, adica L< EL. În cazul discret, scriem:

pU(x)+(1− p)U(y)≥U(px+(1− p)y), (∀) p ∈ (0, 1), (∀)x, y ∈Ω;

• Un investitor este indiferent (neutru) (în ce priveste riscul) (eng., risk-neutral) dacaEL∼ L. În cazul discret, scriem:

pU(x)+(1− p)U(y) =U(px+(1− p)y), (∀) p ∈ (0, 1), (∀)x, y ∈Ω;

În cazul continuu (un numar infinit de alegeri), un investitor este riscofob daca

pentru orice functie de repartitie F,∫

∞

−∞

u(x)dF(x)≤ u(∫

∞

−∞

xdF(x)).

În general, un investitor poate fi clasificat dupacum urmeaza:

−risco f ob (aversiune fata de risc),u este concava, i.e., E(u(W ))≤ u(E(W ))

−risco f il (placere pentru risc),u este convexa, i.e., E(u(W ))≥ u(E(W ))

−indi f erent (neutru fata de risc),u este afina, i.e., E(u(W )) = u(E(W )).

Un investitor A având preferintele reprezentate de functia de utilitate u este mai riscofobdecât B cu functia de utilitate v daca avem urmatoarea relatie între echivalentele certe:

cu(F)≤ cv(F), pentru orice functie de repartitie F.

Spre exemplu, un individ ce are preferintele reprezentate de functia de utilitate u(x) =√

xprefera câstigul sigur de 36 RON în detrimentul unei loterii (0.5,100; 0.5,0). Aceastadecizie poate fi determinata si de faptul ca echivalentul cert al proiectului riscant este maimic decât utilitatea câstigului sigur, i.e.,

cu = 0.5×√

100+0.5×0 = 5 < 6 = u(36).

Pentru o functie de utilitate U ∈C2, strict concava si strict crescatoare, se pot defini indiciide aversiune fata de risc (indicii Arrow-Pratt), si anume, IAR = indice absolut de risc siIRR = indice relativ de risc, definiti prin:

IAR(U, w) =−U ′′(w)U ′(w)

> 0 si IRR(U, w) =−wU ′′(w)U ′(w)

> 0.


Se numeste premiu de risc suma ce ar plati-o un investitor care doreste sa evite o situatieriscanta (EL− cu). În cazul asigurarilor de locuinta, premiul de risc este chiar valoareaunui contract de asigurare.

Exemple de functii de utilitate:

• u(x) = ln(x), u(x) =√

x (ca în problema paradoxului de la St. Petersburg)

• CRRA (constant relative risk aversion) u(x) =x1−r

1− r, r > 0.

• CARA (constant absolute risk aversion) u(x) = β − e−Ax, A > 0.

• HARA (hyperbolic absolute risk aversion) u(x) =r

1− r

(a+

br

x)

.

• Unui investitor cu indicele IAR constant îi pasa de pierderile absolute.• Un investitor cu indicele IRR constant va plati o parte fixa din averea sa pentru a

evita riscul pierderii unei proportii din avere.

10.4.1 Aplicatie în asigurariConsideram o polita de asigurare în caz de accident pentru care fiecare leu asigurat costaq lei. Un individ riscofob (strict), cu averea initiala w0, doreste sa se asigure. Firma deasigurari stabileste ca acesta va suferi un accident cu p, iar accidentul costa D.Problema care se pune este: Pentru ce valoare se va asigura individul?

R: Fie a suma pentru care doreste sa se asigure. Atunci, profitul asiguratorului vafi:

Π = (p, (q−1)a; 1− p, qa).

Polita de asigurare este cinstita daca E(Π) = 0 =⇒ q = p.Averea individului ce doreste sa se asigure va fi:

cu accident (p) fara accident (1− p)fara asigurare W0−D W0cu asigurare W0−D+a−qa W0−qa

Problema de maximizare pentru asigurat este:

max0≤a≤D

pu(W0−D+(1−q)a)+(1− p)u(W0−qa).

Cazul I: polita de asigurare corecta

• Pentru q = p, avem de rezolvat problema de optim:

max0≤a≤D

pu(W0−D+(1− p)a)+(1− p)u(W0− pa).

• Conditiile pentru o solutie a∗ de maxim în intervalul (0, D) sunt:u′(W0−D+(1−q)a∗)−u′(W0− pa∗) = 0. fara solutie!(1− p)u′′(W0−D+(1− p)a∗)+ pu′′(W0− pa∗)< 0.

10.5 Critici aduse teoriei utilitatii asteptate 171

• Pentru fiecare dintre capetele intervalului, prima conditie de extrem este:u′(W0−D)−u′(W0)≤ 0, pentru a∗ = 0. fara solutie!u′(W0− pD)−u′(W0− pD)≥ 0, pentru a∗ = D.

• Gasim ca a∗ = D (asiguratul cumpara asigurare completa).

Cazul II: polita de asigurare partinitoare

• Polita incorecta: q > p.• Prima conditie pentru o solutie a∗ de maxim în [0, D] este, în fiecare caz,

p(1−q)u′(W0−D+(1−q)a∗)− (1− p)qu′(W0−qa∗) = 0, pentru 0 < a∗ < Dp(1−q)u′(W0−D)− (1− p)qu′(W0)≤ 0, pentru a∗ = 0 !!!

p(1−q)u′(W0−qD)− (1− p)qu′(W0−qD)≥ 0, pentru a∗ = D. !!!

• Din prima relatie gasim ca

u′(W0−D+(1−q)a∗)u′(W0−qa∗)

=(1− p)q(1−q) p

> 1,

de unde u′(W0−D+(1−q)a∗) > u′(W0−qa∗), adica

W0−D+(1−q)a∗ < W0−qa∗, de unde a∗ < D,

adica asiguratul va cumpara doar o asigurare partiala.Concluzie: Daca polita de asigurare ar fi cinstita (i.e., q = p), atunci asiguratul va cere

asigurare completa pentru întreaga suma ce o poarte pierde. Pentru o polita partinitoare, cuq > p, atunci asiguratul se va asigura doar partial, pentru o suma sub valoarea pierderii ceo poate avea.

10.5 Critici aduse teoriei utilitatii asteptateUna dintre criticile principale ale teoriei este faptul ca principiul utilitatii asteptate poateconduce la concluzii contradictorii, dupa cum reiese din paradoxul lui Alais.

10.5.1 Paradoxul lui AlaisUn anumit joc are ca rezultat final una dintre urmatoare valori: 4000, 3000, 0.Consideram urmatoarele doua scenarii:le

• A LA = (0.8,4000; 0,3000; 0.2,0) si L′A = (0,4000; 1,3000; 0,0);• B LB = (0.2,4000; 0,3000; 0.8,0) si L′B = (0,4000; 0.25,3000; 0.75,0)

Ce varianta alegeti din fiecare scenariu?

R: Presupunem ca u(0) = 0. Majoritatea persoanelor vor alege L′A în loc de LA siLB în loc de L′B.Din L′A LA si LB L′B, rezulta ca

u(3000)> 0.8u(4000) si 0.8u(4000)> u(3000),

care este o contradictie.


Observatia 10.1 În cazul general, avem de ales câte o varianta dintre urmatoarele doua:

F LA = pL+(1− p)A si L′A = pcx +(1− p)Asau

F LB = pL+(1− p)B si L′B = pcx +(1− p)B

unde L, A, B sunt loterii iar cx este alegerea cu siguranta a valorii x. Loteria L este astfelîncât are rezultate posibile atât mai mici, cât si mai mari ca x. Din axioma de independenta,gasim ca

L′A LA ⇐⇒ cx L ⇐⇒ L′B LB.

Însa, în cazul în care loteria A domina loteria B (i.e., loteria A da rezultate mai bune decâtrepartitia B), cele mai multe persoane ar fi tentate sa aleaga L′A si LB. Aceasta înseamna capreferintele celor mai multi ar fi:

L′A LA si LB L′B.

10.5.2 Dilema prizonierului

• Doi membri ai unei bande criminale (Red si Blue)(vezi foto) sunt arestati si închisi.

• Fiecare detinut este tinut în celule izolate, fara mij-loace de comunicare cu celalalt.

• Procurorii nu dispun de dovezi suficiente pentru acondamna perechea pentru crima, dar au destuledovezi pentru a condamna ambii pe o faradelegemai mica.

• În acelasi timp, procurorii ofera fiecarui prizonier o întelegere. Fiecare prizonier areposibilitatea de a trada celalalt, marturisind ca partenerul sau a comis crima sau sa taca.

• Oferta este:1. Daca Red si Blue se tradeaza reciproc, atunci fiecare va primi o pedeapsa de 10

ani închisoare.2. Daca Red tradeaza pe Blue iar Blue tace, atunci Red va fi eliberat si Blue va

ramâne 20 de ani în închisoare (si vice versa).3. Daca Red si Blue tac amândoi, atunci amândoi vor sta doar un an în închisoare

pentru o infractiune mai mica (e.g., pentru detinere ilegala de arma).

Ce decizie ar trebui sa ia fiecare detinut pentru a minimiza sederea în închisoare?R:

Blue tace Blue tradeaza

Red tace (1, 1) (20, 0)

Red tradeaza (0, 20) (10, 10)

10.5 Critici aduse teoriei utilitatii asteptate 173

• Presupunem (pentru simplitatea calculelor) ca U(w) = w pentru fiecare prizonier sica sunt 50%−50% sanse pentru a lua fiecare decizie.

1. Daca Red tace, atunci timpul asteptat de stat în înhisoare pentru Red este de1 ·0.5+20 ·0.5 = 10.5 ani.

2. Daca Red tradeaza, atunci timpul asteptat de stat în înhisoare pentru Red estede 0 ·0.5+10 ·0.5 = 5 ani.

• Astfel, daca fiecare prizonier ar fi rational vNM, atunci Red ar trebui sa tradeze. Înmod similar, Blue ar trebui sa tradeze.

• Totusi, daca ambii detinuti tradeaza, atunci fiecare dintre ei va ramâne câte 10 ani înînchisoare. Acest rezultat vine în contradictie cu principiul dominantei, care spuneca, dintre doua situatii riscante, situatia care domina ar trebui aleasa.

• Prin definitie, daca S1 si S2 sunt doua situatii posibile, atunci situatia S1 dominasituatia S2 daca rezultatele oferite de S1 sunt întotdeauna cel putin la fel de buneca si rezultatele oferite de S2 si exista macar un caz în care S1 da un rezultat strictmai bun decât S2. În cazul prizonierilor, se vede ca situatia în care ambii tac estedominanta.

10.5.3 Paradoxul lui Newcomb• Pe o masa se afla doua serviete: o servieta transparenta, ce contine e1000 (care sunt

vizibili), si o servieta opaca, ce poate contine un milion de euro sau nimic.• O entitate superioara omului (prezicator) va ofera urmatoarea alegere: servieta opaca

sau ambele serviete.

• Continutul servietei opace este stabilit de prezicator, înainte de alegere, dupa cumurmeaza:

* Daca prezice ca veti alege ambele serviete, atunci nu va pune nicio suma debani în servieta opaca;

* Daca prezice ca veti alege doar servieta opaca, atunci va pune suma de 1000000în ea.

• Totusi, prezicerile facute de entitatea superioara nu sunt 100% sigure, ci se adeverescdoarîn 99% din cazuri.

• Atunci când faceti alegerea, nu stiti ce va contine servieta opaca.

Ce veti alege?

• Spre exemplu, daca sunteti riscofil, cu preferintele reprezentate de functia de utilitateU(w) =

√w, atunci:


• daca alegeti servieta opaca, atunci valoarea utilitatii asteptate este

0.99 ·√e1000000+0.01 ·

√e0 = e990

• daca alegeti ambele serviete, atunci valoarea utilitatii asteptate este

0.99 ·√e1000+0.01 ·

√e1001000 = e41.21

• Astfel, daca sunteti rational din punctul de vedere al teoriei vNM, atunci veti alegedoar cutia neagra

• Pe de alta parte, principiul dominantei spune ca r rebui sa alegeti ambele serviete,aparând astfel un paradox (!)

Alte critici si comentarii:

• Alegerea probabilitatilor este subiectiva. În general, nu putem sti a priori care esteprobabilitatea cu care un investitor va face una sau mai multe dintre alegerile din Ω.În domeniul asigurarilor, aceste probabilitati sunt determinate (empiric sau nu) defirmele de asigurari, si pot varia de la o firma la alta.

• Este dificil de gasit o masura cantitativa a gradul de satisfactie al unui investitorpentru un anumit obiectiv. Totusi, exista companiile specializate care pot evaluapreferintele clientilor, astfel încât sa îi atraga.

• Este teoretic imposibil de determinat utilitatea ordinala (e.g., ce factori a determinato persoana sa cumpere un anumit produs). Totusi, exista proceduri practice pentruaceasta.

• Teoria utilitatii asteptate (EU) genereaza diverse paradoxuri (observatii empirice in-consistente cu teoria), cum ar fi paradoxul lui Alais, dilema prizonierului, paradoxullui Newcombe etc.

• Teorii non-EU au fost introduse si utilizate ca alternative (e.g., Teoria EU generali-zata, Teoria regretului)

10.6 Probleme rezolvateExercitiu 10.6.1 Preferintele unui investitor sunt reprezentate de functia de utilitateU(w) = logw. Acesta are o oferta de a investi suma de e100 într-un proiect riscantprin care poate câstiga e1000 cu probabilitatea 0.5, sau nu câstiga nimic (cu probabilitatea0.5). Va accepta investitorul oferta daca:

1. averea sa initiala este W0 = e200?2. averea sa initiala este W0 = e1000000?

R: 1. Investitorul accepta oferta daca valoarea asteptata a averii sale devine mai maredupa acceptare, adica Wa W0 ⇐⇒ E(U(Wa))> E(U(W0)), unde

Wa = (0.5, e1100; 0.5, e100).

Cum

E(U(Wa)) = 0.5log(1100)+0.5log(100) = 5.8041 > 4.6052 = log(100) = E(U(W0)),


va accepta oferta.2. Similar, investitorul accepta oferta daca valoarea asteptata a averii sale devine mai maredupa acceptare, adica Wa W0 ⇐⇒ E(U(Wa))> E(U(W0)), unde

Wa = (0.5, 1000900; 0.5, 999900).

Cum

E(U(Wa)) = 0.5log(1000900)+0.5log(999900)≈ 13.815≈ log(106) = E(U(W0)),

va fi indiferent fata de oferta.Exercitiu 10.6.2 (asigurare de masina simplificata)Un investitor, ale carui preferinte sunt reprezentate de functia de utilitate u(x) =

√x, are

averea initiala W0 = 10000 si o masina în valoare de 2100. O firma de asigurari determinaca, cu probabilitatea p = 0.1, masina i se poate fura. Astfel, masina devine o loterie, pecare o putem scrie astfel:

L = (0.9, 2100; 0.1, 0).

Din punct de vedere matematic, averea investitorului în conditiile date (d.p.d.v. al firmei)este

W =W0 +L = (0.9, 12100; 0.1, 10000).

Astfel, valoarea asteptata a averii va fi E(W ) = 11.890, si valoarea asteptata a utilitatiiaverii este E[u(W )] = 109.Sa presupunem ca investitorul doreste sa cumpere asigurare pentru masina. În schimbulunei prime, firma de asigurare îi rascumpara masina (adica, îi plateste valoarea masinii)daca aceasta este furata. Tinând cont de preferintele investitorului, se pune problemaurmatoare:

Cât de mult este dispus individul sa plateasca pentru polita de asigurare?

Sa notam valoarea politei de asigurare cu pa. Atunci, dupa asigurare, averea investitoruluiva deveni

Wasig = 10000− pa.

Un investitor rational va actiona astfel încât valoarea asteptata a utilitatii averii dupaasigurare este cel putin la fel de buna ca valoarea asteptata a utilitatii averii fara asigurare,adica

E[u(Wasig)] =√

10000− pa ≥ 109 = E[u(W )], de unde pa ≤ 219.

O alta întrebare ce se poate pune aici este:

Va profita firma de asigurari de pe urma unui contract cu pa = 219?

Profitul asteptat al firmei este E(Π) = 0.9×219+0.1× (219−2100) = 9 > 0. Asadar,firma va obtine un profit de pe urma asigurarii.Exercitiu 10.6.3 (O problema de optimizare a portofoliului)Un investitor rational neutru la risc, cu averea initiala w0, are oportunitatea de a o investiîn doua active financiare: unul sigur (bond cu rata de profit r) si unul riscant (share, cu


rata profitului z repartizata cu functia de repartitie F(x), si cu câstigul mediu asteptat alinvestitiei în shares mai mare decât pentru bond. (Matematic, scriem astfel: z ∼ F(x),EF(z)> r). Determinati portofoliul optim al investitiei.R: Presupunem ca investitia sa este astfel: investeste suma a în shares si restul, w0−a înbond, unde 0≤ a≤ w0. Valoarea initiala investitiei va fi astfel

V0 = az+(w0−a)r.

Conform principiului maximizarii utilitatii asteptate, investitorul va maximiza valoareaasteptata a utilitatii profitului. Problema de maximizare este: determinati a (si, implicit,portofoliul) pentru care obtinem valoarea maxima a utilitatii asteptate a profitului, i.e.,

maxa

EF [u(az+(w0−a)r)] = maxa

∫∞

−∞

u(az+(w0−a)r)dF(x).

Prima conditie de optim este determinarea punctelor critice a∗ ∈ (0, w0), adica:∫∞

−∞

(z− r)u′(a∗ z+(w0−a∗)r)dF(x) = 0.

Pentru un investitor neutru la risc, funtia sa de utilitate este afina, i.e., u(x) = α x+β , iarconditia de optim interior devine

α

∫∞

−∞

(z− r)dF(x) = 0,

adica fara solutie pentru a. Ramâne ca valoarea optima pentru a sa se atinga pe frontiera,adica a∗ = 0 (investeste doar în bond) sau a∗ = w0 (investeste doar în shares). Cum, dinipoteza, valoarea asteptata a investitiei în shares este mai mare decât investitia în bond(EF(z)> r), portofoliul sau va consta doar din shares.Exercitiu 10.6.4 (risk sharing)Consideram doi investitori rationali, I1 si I2, ale caror preferinte sunt reprezentate deaceeasi functie de utilitate, u(w) =

√w (riscofobi). Daca amândoi investesc separat în

active riscante (loterii) de forma

L = (0.5,100; 0.5,0),

independent unul de celalalt, atunci valoarea utilitatii profitului asteptat de fiecare în parteva fi E[U(L)] = 0.5 ·

√100+ 0.5 ·

√0 = 5. Însa, daca acestia creeaza un fond mutual,

punând în comun activele, atunci proiectul comun va valora

L = (0.25,200; 0.5,100; 0.25,0),

de unde cota parte pentru fiecare dintre cei doi investitori va fi

Lm = (0.25,100; 0.5,50; 0.25,0).

Astfel, valoarea asteptata a utilitatii profitului fiecaruia dintre ei va fi

E[U(Lm)] = 0.25 ·√

100+0.5 ·√

50+0.25 ·√

0≈ 6.0355.

Cum aceasta este mai mare decât 5, fiecare dintre investitori va iesi mai bine daca punactivele la comun. Prin punerea în comun a riscului, utilitatea asteptata a profitului creste.


Exercitiu 10.6.5 Averea actuala a Anei este de 4. Presupunem ca, în plus, ea detine unbilet de loterie prin care, cu probabilitati egale, poate câstiga câstiga 12 sau nimic. Anaeste o persoana rationala în sensul teoriei von Neumann & Morgenstern, iar preferintelesale sunt reprezentate de functia de utilitate este U(w) =

√w.

(a) Sa se determine care este pretul minim pentru care ar accepta sa vânda biletul deloterie.(b) Sa presupunem ca Ana nu detine niciun bilet de loterie. Care ar fi pretul maxim pecare l-ar plati pentru a-l obtine pe cel de mai sus?(c) Care este echivalentul sigur al biletului de loterie?

R: Avem:

W0 = 4, L = (0.5,0; 0.5,12), W0 +L = (0.5,4; 0.5,16).

(a) Ana accepta sa vânda biletul de loterie daca valoarea asteptata a utilitatii averii saledupa vânzare este cel putin mai mare decât valoarea asteptata a utilitatii averii sale înaintede vânzare. Altfel spus, prefera vânzarea biletului decât sa-l pastreze. Sa notam cu vvaloarea de vânzare a biletului. Atunci,

W0+v<W0+L ⇐⇒ E(U(W0+v))≥E(U(W0+L)) ⇐⇒√

4+ v≥ 0.5 ·√

4+0.5 ·√

16,

de unde v≥ 5. Adica, Ana va vinde biletul de loterie pentru cel putin 5.(b) În acest caz principiul utilitatii asteptate implica

W0 +L− v<W0 ⇐⇒ E(U(W0 +L− v))≥ E(U(W0)),

ceea ce este echivalent cu

0.5 ·√

4− v+0.5 ·√

16− v≥√

4.

Valoarea maxima pentru v care verifica inegalitatea de mai sus este v = 3.75, care estepretul maxim pe care l-ar da pentru a achizitiona biletul de loterie.(c) Echivalentul sigur al loteriei L este cL care satisface

√cL =U(cL) = E(U(L)) = 0.5 ·

√0+0.5 ·

√12,

de unde cL = 3.Exercitiu 10.6.6 Un apartament valoreaza 50000EUR. O companie de asigurari evalueazaca riscul de incendiu pentu acest imobil este de 1%. Daca apartamentul ar avea de suferitîn urma unui incendiu, valoarea sa va scadea la 10000EUR. Compania de asigurari areprima de asigurare de 2% din suma asigurata. Asiguratul este o persoana rationala vNM sipreferintele sale sunt reprezentate de functia de utilitate U(w) = lnw.(a) Descrieti valoarea apartamentului printr-o loterie.(b) Decideti daca prima de asigurare este cinstita din punct de vedere actuarial (i.e., nicifirma de asigurari si nici asiguratul nu va scoate profit de pe urma asigurarii).(c) Care este suma maxima pentru care se va asigura detinatorul apartamentului?(d) Daca prima de asigurare ar fi cinstita, care ar fi suma maxima pentu care s-ar asigura?


R: (a) Notam cu x valoarea asigurata. Desigur, 0 ≤ x ≤ 40000. Aici, 40000 estecea mai mare suma pe care o poate pierde. Loteria este

L = (0.99, 50000−0.02x; 0.01, 10000+ x−0.02x).

(b) Din punctul de vedere al firmei de asigurari, profitul acesteia de pe urma acesteiasigurari este

Π = (0.99, 0.02x; 0.01, 0.02x− x).

Valoarea asteptata este EΠ = 0.99 ·0.02x+0.01 · (0.02x− x) = 0.01x. Daca x > 0, atuncifirma va avea profitul net 0.01x, deci prima de asigurare nu este cinstita din punct de vedereactuarial. Pentru o prima cinstita, π , valoarea asteptata este

EΠ = 0.99 ·πx+0.01 · (πx− x) = 0, de unde π = 0.01.

(c) Valoarea asteptata a utilitatii loteriei este

E(U(L)) = 0.99 · ln(50000−0.02x)+0.01 · ln(10000+ x−0.02x)

Un asigurat rational vNM cauta sa maximizeze E(U(L)). Conditiile de extrem sunt

dE(U(L))dx

=0.99 · (−0.02)50000−0.02x

+0.01 ·0.98

20000+0.98x= 0;

d2E(U(L))dx2 = − 0.000396

(50000−0.02x)2 −0.0096

(20000+0.98x)2 ≤ 0.

Obtinem astfel ca valoarea maxima asigurata este

x≈ 14897.96EUR.

(d) Daca π = 0.01, refacând calculele de la (c), se obtine ca x = 40000EUR. Astfel, încazul unei prime cinstite actuarial, asiguratul ia asigurare pentru întreaga suma pe care opoarte pierde.Exercitiu 10.6.7 Un investitor rational vNM, cu preferintele reprezentate de functia deutilitate U(W ) = log2(W ) are o avere totala de 20000RON. Acestui investitor i se propunesa investeasca o zecime din avere într-un proiect riscant. În caz de succes, suma i se vadubla, altfel, va pierde suma investita. Care trebuie sa fie probabilitatea minima de succesa proiectului pentru ca investitorul sa participe?

R: Loteria (proiectul) care i se propune este L = (p, 4000; 1− p,−2000), unde peste probabilitatea de succes a proiectului riscant. Averea sa initiala este W0 = 20000.Investitorul va accepta proiectul daca W0 +L<W0, adica

E(U(W0 +L)) = p log2(24000)+(1− p) log2(18000)≥ log2(20000) = E(U(W0)).

Efectuând calculele, gasim ca

p≥ log2(10/9)log2(4/3)

≈ 0.3662.


Exercitiu 10.6.8 Aratati ca orice functie de utilitate CARA (constant absolute risk aver-sion) ce îndeplineste conditiile U(0) = 0, U ′(0) = 1, este de forma U(w) = 1

α(1− e−αw),

unde α > 0.

R: O functie de utilitate CARA are indicele de risc IAR(U, w) = −U ′′(w)U ′(w) = α . Inte-

grând aceasta ecuatie diferentiala o data (în raport cu w), obtinem

ln(U ′(w)) =−αw+C,

de unde U ′(w) =C1e−αw. Integrând din nou, gasim ca U(w) =−C1α

e−αw+C2. Impunândconditiile initiale, obtinem concluzia.Exercitiu 10.6.9 Un investitor cu functia de utilitate asociata U(w) =

√w detine o avere

de $10000. El a investit într-un proiect riscant ce îi poate aduce o pierdere de $3600,iar sansele de a pierde sunt de 20%. Investitorul vrea sa-si asigure investitia, cumparândasigurare totala pentru potentiala pierdere. Polita de asigurare îl va costa p procente pentrufiecare dolar asigurat. Aflati valoarea maxima a lui p pentru care s-ar asigura investitorul.

R: Loteria (proiectul) care i se propune este L = (0.2,−3600; 0.8, 0). Tinând contde averea initiala W0 = 10000, valoarea averii sale fara asigurare este

W0 +L = (0.2, 6400; 0.8, 10000),

iar cu asigurare este Wa = 10000−3600p. Investitorul va accepta asigurarea daca Wa <W0 +L, adica

E(U(Wa)) =√

10000−3600 p≥ 0.2 ·√

6400+0.8 ·√

10000 = E(U(W0)).

Efectuând calculele, gasim cap≤ 21.78%.

10.7 Probleme propuseExercitiu 10.7.1 Demonstrati proprietatea de continuitate arhimediana a functiei de utili-tate (relatia (10.3.3)).Exercitiu 10.7.2 Demonstrati proprietatea de compunere a loteriilor (relatia (10.3.4)).Exercitiu 10.7.3 Consideram doua loterii L1, L2, cu L1 L2, si α, β ∈ [0, 1]. Aratati ca

αL1 +(1−α)L2 < βL1 +(1−β )L2⇐⇒ α ≥ β .

Exercitiu 10.7.4 Gasiti forma generala a unei de functii de utilitate CRRA ce are coefi-cientul relativ de aversiune la risc egal cu 0.5.Exercitiu 10.7.5 Care ar fi prima cinstita de a participa la jocul din Paradoxul de laSt. Petersburg pentru un jucator ce are preferintele reprezentate de functia de utilitateU(w) = log(w)? Dar pentu U(w) =

√w?

Exercitiu 10.7.6 Un investitor cu functia de utilitate U(w) = 1− e−w are de ales dintredoua investitii riscante. Profitul primei investitii este o variabila aleatoare repartizataexponential exp(1), iar profitul celei de-a doua investitie este repartizat uniform continuuU ([0, 2]). Ce investitie ar trebui sa aleaga?


Exercitiu 10.7.7 Presupunem ca functia de utilitate a Mariei este U(s) =√

10s, unde sreprezinta salariul ei anual (exprimat în mii de RON). Presupunem ca salariul curent alMariei este 42000 RON, (i.e., s = 42), salariu care ramâne acelasi si anul viitor, daca Mariaîsi pastreaza locul de munca. O firma concurenta îi propune Mariei un serviciu nou unde, înfunctie de performante, poate câstiga 49000 RON pe an cu probabilitatea 0.6 sau 36000 RON

pe an, cu probabilitatea 0.4.(a) Daca Maria este o persoana rationala în sensul teoriei von Neumann & Morgenstern,va accepta oferta?(b) Care este atitudinea Mariei fata de risc? Calculati echivalentul cert al ofertei de salariuprimita de la firma concurenta?(c) Sa presupunem ca Maria accepta oferta firmei concurente, însa va dori sa cumpereasigurare pentru a se proteja împotriva unei posibile scaderi a salariului asociat cu noulserviciu sub cel actual. În cazul în care salariul anual al acesteia la noua firma va scadeasub salariul actual, o firma de asigurari se angajeaza sa îi plateasca diferenta de salariu pânala salariul curent, în schimbul unei prime anuale. Cât de mult este dispusa sa plateascapentru asigurare?Exercitiu 10.7.8 Averea actuala a Anei este de 10000RON. Ion îi propune un pariu în urmacaruia Ana poate câstiga 4400RON cu probabilitatea 2/3, sau poate pierde 5100RON cuprobabilitatea 1/3.(a) Stiind ca Ana este o persoana rationala în sens von Neumann & Morgenstern si cafunctia ei de utilitate este U(W ) =

√W, sa se determine daca ea accepta pariul.

(b) Cum este atitudinea Anei fata de risc?Exercitiu 10.7.9 Ion este fermier si cultiva cartofi pentru a le comercializa. El estimeazaca va câstiga 10000 RON din vânzarea cartofilor, daca vremea va fi propice culturii. În cazulunei secete, cultura îsi va pierde 36% din valoare, iar în caz de inundatie va câstiga doar900 RON pentru toata cultura. S-a estimat ca exista 20% sanse pentru seceta si 10% sansede inundatie în acel an. Ion este o persoana rationala în sens von Neumann-Morgenstern,preferintele lui fiind reprezentate de functia de utilitate U(x) =

√x.

(a) Care este valoarea asteptata a profitului obtinut de pe urma culturii de cartofi?(b) Care este valoarea asteptata a utilitatii profitului obtinut de pe urma culturii de cartofi?(c) Lui Ion i se ofera o polita de asigurare care îi va plati 90% din valoarea pagubelor încaz de seceta sau inundatie. Stiind ca Ion nu detine alte active financiare, care este pretulmaxim (prima) pe care l-ar plati pentru polita de asigurare? (scrieti doar inecuatia pentruprima, fara a o rezolva)Exercitiu 10.7.10 Un tip detine un bilet de loterie care, cu probabilitati egale, îi poateaduce un câstig de 12000RON sau poate fi necâstigator. Preferintele sale sunt reprezentatede functia de utilitate U(w) = lnw. În absenta biletului de loterie, averea sa este W0. Unprieten se ofera sa îi cumpere biletul, oferindu-i în schimb suma de 5000RON. Dacadetinatorul biletului este rational în sensul teoriei von Neumann si Morgenstern (vNM),care este valoarea maxima pentru W0 pentru care ar respinge oferta prietenului?(b) Care este echivalentul cert al biletului de loterie?(c) Sa ne îndreptam acum atentia asupra prietenului. Acesta este si el rational vNM siare aceeasi functie de utilitate, U(w) = lnw. Cât de mica ar trebui sa fie averea sa initialapentru a accepta sa cumpere biletul de loterie pentru 5000RON?Exercitiu 10.7.11 La o anumita tombola, taxa de participare este de 5$. Premiul carepoate fi obtinut este de 100$, cu probabilitatea de 0.3. Un individ rational vNM are functia


de utilitate U(w) = log10(W ) si averea initiala de 25$. Aflati:(a) echivalentul sigur al loteriei;(b) care este prima de risc;(c) daca va participa la loterie.Exercitiu 10.7.12 Trimiteti un colet în valoare de 350EUR prin posta. Probabilitatea capachetul sa nu ajunga la destinatie este de 5%. O firma de asigurari asigura coletul pentru oprima de 22EUR. Daca sunteti neutru în ce priveste riscul, ar trebui sa acceptati asigurarea?Exercitiu 10.7.13 Sa consideram ca o persoana ale carei preferinte sunt reprezentate defunctia de utilitate U(w) = lnw. Exista 50% sanse ca aceasta persoana sa piarda suma de1000 RON. Daca ar dori sa cumpere asigurare, care ar fi prima (polita) maxima pe care ar fidispusa sa o plateasca? Averea sa initiala este de 10000RON.

11. Anexa

11.1 Scurta introducere în MATLAB

MATLAB este un pachet comercial de programe de înalta performanta produs de TheMathWorks, Inc., dedicat calculului numeric si reprezentarilor grafice în domeniul stiintelorsi ingineriei. Elementul de baza cu care opereaza MATLAB-ul este matricea (MATLAB

este acronim de la MATrix LABoratory). MATLAB este un software standard în mediileuniversitare, precum si în domeniul cercetarii si rezolvarii practice aproblemelor legatede procesarea semnalelor, identificarea sistemelor, calculul statistic, prelucrarea datelorexperimentale, matematici financiare, matematici aplicate în diverse domenii etc. Ceamai importanta caracteristica a MATLAB-ului este usurinta cu care poate fi extins. Laprogramele deja existente în MATLAB, utilizatorul poate adauga propriile sale coduri,dezvoltând aplicatii specifice domeniului în care lucreaza. MATLAB-ul include aplicatiispecifice, numite Toolbox-uri. Acestea sunt colectii extinse de functii MATLAB (fisiere M)care dezvolta mediul de programare de la o versiune la alta, pentru a rezolva probleme dindomenii variate. Structural, MATLAB-ul este realizat sub forma unui nucleu de baza, cuinterpretor propriu, în jurul caruia sunt construite toolbox-urile.

Prezentam mai jos o scurta introducere în MATLAB a principalelor functii si comenzifolosite în aceasta lucrare. Pentru o tratare mai detaliata, puteti consulta un manual deutilizare sau [9].Folosind comanda demo din MATLAB, puteti urmari o demonstratie a principalelor facilitatidin MATLAB, cât si a pachetelor de functii (toolbox) de care ati putea fi interesati. Dintreacestea, amintim Statistics Toolbox, care este o colectie de functii folosite pentru analiza,modelarea si simularea datelor. Contine: analiza graficelor (GUI), diverse repartitiiprobabilistice (beta, binomiala, Poisson, χ2), generarea numerelor aleatoare, analizaregresionala, descrieri statistice.

• Comenzile MATLAB pot fi scrise în fisiere cu extensia .m, ce urmeaza apoi a fi com-pilate. Un fisier-m consta dintr-o succesiune de instructiuni, cu posibilitatea apelarii

184 Capitolul 11. Anexa

altor fisiere-M precum si a apelarii recursive. De asemenea, MATLAB poate fi folositca pe un mediu computational interactiv, caz în care fiecare linie este prelucrataimediat. Odata introduse expresiile, acestea pot fi vizualizate sau evaluate imediat.De exemplu, introducând la linia de comanda

>> a = sqrt((sqrt(5)+1)/2)

MATLAB defineste o variabila de memorie a, careia îi atribuie valoareaa =

1.2720

• Variabilele sunt definite cu ajutorul operatorului de atribuire, =, si pot fi utilizatefara a declara de ce tip sunt. Valoarea unei variabile poate fi: o constanta, un sir decaractere, poate reiesi din calculul unei expresii sau al unei functii.

• Pentru a gasi informatii imediate despre vreo functie predefinita, comanda help vavine în ajutor. De exemplu,

>> help length

afiseaza urmatoarele:

LENGTH Length of vector.

LENGTH(X) returns the length of vector X. It is equivalent

to MAX(SIZE(X)) for non-empty arrays and 0 for empty ones.

See also numel.

• Comanda help poate fi utilizata doar daca se cunoaste exact numele functiei. Altfel,folosirea comenzii lookfor este recomandata. De exemplu, comanda

>> lookfor length

produce:

NAMELENGTHMAX Maximum length of MATLAB function or variable name.

VARARGIN Variable length input argument list.

VARARGOUT Variable length output argument list.

LENGTH Length of vector.

• MATLAB este un mediu computational orientat pe lucru cu vectori si matrice. Olinie de cod de forma

>> v = [1,3,5,7,9] % sau v = [1 3 5 7 9]

defineste un vector linie ce are componentele 1, 3, 5, 7, 9. Aceasta poate fi realizatasi folosind comanda v = 1:2:9 adica afiseaza numerele de la 1 la 9, cu pasul 2.Pentru un vector coloana, folosim punct-virgula între elemente, adica

11.1 Scurta introducere în MATLAB 185

>> v = [1;3;5;7;9] % vector coloana

O alta varianta de a defini un vector este

>> v = linspace(x1,x2,n)

adica v este un vector linie cu n componente, la intervale egale între x1 si x2.• Definirea matricelor se poate face prin introducerea explicita a elementelor sale sau

prin instructiuni si functii. La definirea explicita, trebuie tinut cont de urmatoarele:elementele matricei sunt cuprinse între paranteze drepte ([ ]), elementele unei liniitrebuie separate prin spatii libere sau virgule, liniile se separa prin semnul punct-virgula. De exemplu, comanda

>> A = [1 2 3; 4, 5, 6]

defineste matriceaA =

1 2 3

4 5 6

• Apelul elementelor unei matrice se poate face prin comenzile A(i,j) sau A(:,j)

(elementele de coloana j) sau A(i,:) (elementele de linia i);• Functia MATLAB ones(m,n) defineste o matrice m×n, având toate componentele

egale cu 1. Functia zeros(m,n) defineste o matrice zero m× n. Functia eye(n)

defineste matricea unitate de ordin n.• Dupa cum vom vedea mai jos, MATLAB permite definirea unor functii foarte com-

plicate prin scrierea unui cod. Daca functia ce o avem de definit este una simpla,atunci avem varianta utilizarii comenzii inline. Spre exemplu, definim functiaf (x, y) = e5x sin3y:

>> f = inline('exp(5*x).*sin(3*y)')

f =

Inline function:

f(x,y) = exp(5*x).*sin(3*y)

Putem apoi calcula f (7, π) prin

>> f(7,pi)

0.5827

• Un program MATLAB poate fi scris sub forma fisierelor script sau a fisierelor detip functie. Ambele tipuri de fisiere sunt scrise în format ASCII. Aceste tipuri defisiere permit crearea unor noi functii, care le pot completa pe cele deja existente.Un fisier script este un fisier extern care contine o secventa de comenzi MATLAB.Prin apelarea numelui fisierului, se executa secventa MATLAB continuta în acesta.Dupa executia completa a unui fisier script, variabilele cu care acesta a operat ramânîn zona de memorie a aplicatiei. Fisierele script sunt folosite pentru rezolvarea unorprobleme care cer comenzi succesive atât de lungi, încât ar putea deveni greoaie


pentru lucrul în mod interactiv, adica în modul linie de comanda.Pentru a introduce date în MATLAB, putem copia datele direct într-un fisier MATLAB, prindefinirea unui vector sau a unei matrice de date. De exemplu, urmatoarele date au fostintroduse prin "copy-paste" în matricea data:

>> data = [ % atribuirea valorilor matricei data21.3 24.1 19.9 21.0 % prima linie a datelor copiate

18.4 20.5 17.5 23.2

22.1 16.6 23.5 19.7 % ultima linie a datelor copiate

]; % inchidem paranteza ce defineste matricea de date

Datele din MATLAB pot fi salvate astfel:>> cd('c:\fisierul_de_lucru'); % alegem fisierul unde salvam datele

>> save Timpi_de_reactie data; % salveaza in fisierul Timpi_de_reactie.mat

Datele pot fi reîncarcate folosind comandaload Timpi_de_reactie % incarca datele din fisier

Timpi_de_reactie % afiseaza datele incarcate

Fisierele functie

MATLAB creaza cadrul propice extinderii functiilor sale, prin posibilitatea crearii denoi fisiere. Astfel, daca prima linie a fisierului .m contine cuvântul function, atuncifisierul respectiv este declarat ca fiind fisier functie. Variabilele definite si manipulate îninteriorul fisierului functie sunt localizate la nivelul acesteia. Prin urmare, la terminareaexecutiei unei functii, în memoria calculatorului nu ramân decât variabilele de iesire aleacesteia. Forma generala a primei linii a unui fisier este:

function[param_iesire] = nume_functie(param_intrare)

unde:• function este este cuvântul care declara fisierul ca fisier functie;• nume_functie este numele functiei, care este totuna cu numele sub care se salveaza

fisierul;• param_iesire sunt parametrii de iesire;• param_intrare sunt parametrii de intrare.

Comenzile si functiile care sunt utilizate de noua functie sunt înregistrate într-un fisier cuextensia .m.Exemplu 11.1 Fisierul medie.m calculeaza media aritmetica a sumei patratelor compo-nentelor unui vector X (alternativ, aceast lucru poate fi realizat prin comanda mean(X.^2)):

function m2 = medie(X)

n = length(X); m2 = sum(X.^2)/n;

MATLAB-ul include aplicatii specifice, numite Toolbox-uri. Acestea sunt colectii extinsede functii MATLAB (fisiere-m) care dezvolta mediul de programare de la o versiune la alta,pentru a rezolva probleme din domenii variate. Statistics Toolbox reprezinta o colectie defunctii folosite pentru analiza, modelarea si simularea datelor si contine: generarea de nu-

11.1 Scurta introducere în MATLAB 187

mere aleatoare; distributii, analiza grafica interactiva (GUI), analiza regresionala, descrieristatistice, teste statistice. Tabelul urmator contine câteva comenzi utile în MATLAB.% % permite adaugarea de comentarii in codhelp rand % help specific pentru functia randlookfor normal % cauta intrarile în MATLAB pentru normalX=[2 4 6 5 2 7 10] % vector linie cu 7 elementeX=[3; 1; 6.5 ;0 ;77] % vector coloana cu 5 elementeX = -10:2:10 % vector cu numerele intregi de la −10 la 10, din 2 în 2length(X) % lungimea vectorului Xt=0:0.01:3*pi % defineste o diviziune a [0, 3π] cu diviziunea 0.01X.^2 % ridica toate componentele vectorului X la puterea a douaX.*Y % produsul a doi vectoricumsum(X) % suma cumulata a elementelor vectorului Xcumprod(X) % produsul cumulativ al elementelor vectorului Xmin(X) % realizeaza minimum dintre componentele lui Xmax(X) % realizeaza maximum dintre componentele lu Xsort(X) % ordoneaza componentele lui X în ordine crescatoaresort(X, 'descend') % ordoneaza componentele lui X în ordine descrescatoareerf(X) % functia eroareexp(x) % calculeaza exponentiala ex

log(x) % calculeaza logaritmul natural ln(x)sqrt(x) % calculeaza radicalul ordinului doi dintr-un numarnum2str(x) % furnizeaza valoarea numerica a lui xfactorial(n) % n!A = ones(m,n) % A e matrice m×n, cu toate elementele 1B = zeros(m,n) % matrice m×n zeroI = eye(n) % matrice unitate, n×nA = [3/2 1 3 7; 6 5 8 8; 3 6 9 12] % matrice 3×3size(A) % dimensiunea matricei Adet(A) % determinantul matricei Ainv(A) % inversa matricei AA' % transpusa matricei AA(:,7) % coloana a 7-a a matricei AA(1:20,1) % scoate primele 20 de linii ale lui Anchoosek(n,k) % combinari de n luate câte k1e5 % numarul 105

exp(1) % numarul ebar(X) sau barh(X) % reprezentarea prin barehist(X) % reprezentarea prin histogramehist3(x,y,z) % reprezentarea prin histograme 3-Dplot(X(1:5),'*m') % deseneaza primele 5 componente ale lui X , cu * magenta

plot(t,X,'-') % deseneaza graficul lui X versus t, cu linie continuaplot3(X,Y,Z) % deseneaza un grafic în 3-Dstairs(X) % deseneaza o functie scarasubplot(m,n,z) % împarte graficul în m×n zone & deseneaza în zona zsemilogx si semilogy % logaritmeaza valorile de pe abscia, resp., ordonatahold on % retine graficul pentru a realiza o noua figuraclf % sterge figuraclear all % sterge toate variabilele definitetitle('Graficul functiei') % adauga titlu figuriifind % gaseste indicii elementelor nenule ale unui vectorlegend % ataseaza o legenda la un grafic

Tabela 11.1: Functii MATLAB utile


11.2 Media conditionataFie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate si A, B ∈ F , doua evenimente, cu P(B) > 0.Atunci, putem defini

P(A|B) = P(A⋂

B)P(B)

, (11.2.1)

ca fiind probabilitatea evenimentului A conditionata de evenimentul B.Fie X : (Ω, F , P)−→ R o variabila aleatoare integrabila (i.e., E(|X |)< ∞). Definim

E[X |B] = 1P(B)

∫B

X dP, (11.2.2)

si o numim media lui X conditionata de evenimentul B. Aceasta reprezinta, în fapt, valoareaasteptata a variabilei aleatoare X , conditionata de realizarea evenimentului B.Daca Y : (Ω, F , P)−→R este o alta variabila aleatoare, atunci definim variabila aleatoareE[X |Y ] ce satisface urmatoarele doua conditii:

− E[X |Y ] este σ(Y )−masurabila; (11.2.3)

−∫

AX dP =

∫AE[X |Y ]dP, pentru orice A ∈ σ(Y ). (11.2.4)

si o numim media lui X conditionata de realizarea v.a. Y . Aceasta reprezinta, în fapt,valoarea asteptata a variabilei aleatoare X , conditionata de realizarile v.a. Y .Fie K ⊂F o sub-σ−algebra. Pentru o v.a. integrabila definim valoarea medie con-ditionata a lui X în raport cu K o v.a. integrabila, notata E[X |K ], care îndeplinesteconditiile:

− E(X |K ) este K −masurabila; (11.2.5)

−∫

AX dP =

∫AE[X |K ]dP, pentru orice A ∈K . (11.2.6)

În plus, variabilele aleatoare E[X |Y ] si E[X |K ] definite mai sus sunt unice a.s..

Proprietati ale mediei conditionate:

Fie X , Y : (Ω, F , P)−→ R variabile aleatoare integrabile si α, β ∈ R. Atunci:• E[αX +βY |K ] = αE[X |K ]+βE[Y |K ] (liniaritatea);• Daca X ≤ Y a.s., atunci E[X |K ]≤ E[Y |K ] a.s.;• E(E[X |K ]) = E(X)a.s.;• Daca X este K −masurabila, atunci E[X |K ] = X a.s.;• Daca X este K −masurabila, atunci E[XY |K ] = XE[Y |K ],a.s.;• Daca X e independenta de K , atunci E[X |K ] = E(X)a.s.;• Pentru orice sub-σ−algebre K1 ⊆K2 ⊆F avem

E[X |K1] = E[E[X |K2]|K1] = E[E[X |K1]|K2] a.s.

• Pentru orice functie convexa g : R→ R, are loc inegalitatea:

g(E[X |K ])≤ E[g(X)|K ]. (Jensen)

• E[X |Y ] = E[X |σ(Y )].

11.3 Procese stochastice 189

11.3 Procese stochasticeFie Ω o multime abstracta, nevida.Definitia 11.3.1 Numim σ−algebra sau σ−câmp (sau corp borelian) o colectie F desubmultimi ale lui Ω astfel încât:(a) ∅ ∈F ;(b) daca A ∈F , atunci Ac ∈F ; (Ac = Ω\A) (închidere la complementariere)

(c) daca (An)n∈N ∈F , atunci∞⋃

n=1

An ∈F ; (închidere la reuniune numarabila)

Observatia 11.1 (1) F = Ω,∅ este o σ− algebra (triviala);(2) Ω− finita, atunci F = P(Ω) este o σ− algebra;(3) Ω = R, atunci B(R) = D; D ⊂ R, D− deschis este o σ−algebra, numita σ−algebra Borel;(4) Ω = a, b, c, d, F = ∅, a, b, c, d, Ω este o σ− algebra;

Daca Ω e o multime nevida si F este o σ−algebra pe Ω, atunci perechea (Ω, F ) senumeste spatiu masurabil.Definitia 11.3.2 Fie F o colectie de submultimi ale lui Ω. Numim σ−algebra generatade F cea mai mica σ−algebra ce contine F . O notam prin σ(F ) si este, de fapt,

σ(F ) =⋂

A⊃F

A . (11.3.7)

Daca E e un spatiu topologic, vom numi σ -algebra Borel, notata B(E), σ -algebra generatade familia multimilor deschise din E, i.e., cea mai mica σ -algebra ce contine deschisii luiE.Daca E = Rd , atunci B(Rd) (sau Bd) este σ -algebra generata de cuburile deschise dinRd . O multime A ∈Bd se numeste multime boreliana.Definitia 11.3.3 O functie P : (Ω, F )→ R, care asociaza oricarui eveniment A ∈ Fnumarul real P(A), cu proprietatile:

(a) P(A)≥ 0, ∀A ∈F ;(b) P(Ω) = 1;(c) daca (An)n∈N ∈F sunt disjuncte doua câte doua

(Ai⋂

A j =∅, ∀i 6= j) si P(⋃

n∈NAn) ∈F ,

atunciP(⋃

n∈NAn) = ∑

n∈NP(An). (σ − aditivitate)

se numeste probabilitate. Daca Ω este finita sau cel mult numarabila, atunci se ia (în modobisnuit) F =P(Ω). Când Ω este nenumarabila, atunci P nu poate fi definita pentru oricesubmultime a lui P(Ω), de aceea probabilitatea se defineste doar pentru o σ−algebra dinP(Ω). Exista multimi nemasurabile pentru care nu se poate atribui o probabilitate, iar Fcontine mai toate evenimentele practice legate de experimentul aleator.Aceasta este definitia axiomatica data de A. N. Kolmogorov. Tripletul (Ω, F , P) se vanumi câmp borelian de probabilitate.


Observatia 11.2 În cazul în care conditia (b) din definitia probabilitatii lipseste, atuncispunem ca P defineste o masura pe spatiul masurabil (Ω, F), iar tripletul (Ω, F , P) se vanumi spatiu cu masura. O probabilitate este astfel un caz particular al notiunii de masura,în cazul în care masura întregului spatiu este P(Ω) = 1.Spunem ca o proprietate are loc a.s. (aproape sigur) daca are loc întotdeauna, cu exceptiaunei multimi A pentru care P(A) = 0. O astfel de multime se va numi multime P-nula.O familie (Ft)t≥0 crescatoare de sub-σ−algebre ale lui F se numeste filtrare pe F .Definim o baza stochastica ca fiind un qvadruplu (Ω, F , P, (Ft)t≥0), unde (Ω, F , P)este un câmp de probabilitate complet în raport cu P (i.e., F contine multimile P−nule),iar (Ft)t≥0 este o filtrare pe F .Fie (E,E ) un spatiu masurabil.O functie X : (Ω,F ,P)→ (E,E ) se numeste variabila aleatoare (v.a.) daca

pentru orice B ∈ E , X−1(B) ∈F (11.3.8)

(mai spunem ca X este o functie F−masurabila).Vom numi proces stochastic o familie parametrizata de variabile aleatoare definite peacest câmp de probabilitate. Un proces stochastic discret este o familie Xn(ω), n≥ 1de variabilele aleatoare. Procesul stochastic se numeste continuu daca Xt(ω), t ∈ R+.Daca ω este fixat, atunci aplicatia t −→ Xt(ω) se va numi traiectoria procesului. In Figura11.1 sunt desenate traiectoriile pentru 5 valori ale lui ω . Exemple de procese stochastice:

Figura 11.1: Procese Wiener. Figura 11.2: Proces Poisson.

procese Markov, martingale, procese Wiener, procese Poisson, procese Lévy etc.Vom numi proces Markov (sau lant Markov) un proces stochastic in care, pentru prezicereaviitorului, doar valoarea prezenta este relevanta, nu si istoria procesului pana in prezent.Matematic, scriem aceasta proprietate utilizand probabilitati conditionate:

P(Xn+1 ∈ An+1 |Xn ∈ An, Xn−1 ∈ An−1, . . . , X0 ∈ A0) = P(Xn+1 ∈ An+1 |Xn ∈ An),

pentru orice A0, A1, . . . , An, An+1 ∈F . Sau, in cazul continuu:

P(Xt+h = y |Xs = xs, (∀) s≤ t) = P(Xt+h = y |Xt = xt), (∀) h > 0.

11.3 Procese stochastice 191

In general, se poate presupune ca preturile unui activ financiar urmeaza un proces Markov.Se presupune astfel ca pretul prezent al activului contine toate informatiile despre istoriatrecuta. In realitate, sunt investitori care cauta trasaturi distincte ale preturilor unor anumiteactive financiare (patterns). De indata ce aceste tendinte vor reapare pe piata, ei vor fitentati sa investeasca.Definitia 11.3.4 (1) Un proces stochastic discret Xnn∈N cu valori reale, cu E[|Xn|]< ∞,se numeste martingal în raport cu masura de probabilitate Q daca

EQ[Xn+p|X0,X1, . . . ,Xn] = Xn, pentru orice n, p ∈ N.

(2) Un proces continuu Xtt≥0, cu E[|Xt |]< ∞, se numeste martingal în raport cu masurade probabilitate Q daca

EQ[Xt |Fs] = Xs, pentru orice 0≤ s≤ t.

Motivatia considerarii martingalelor poate fi urmatoarea:Fie Xkk∈N variabile aleatoare independente, cu E(Xk) = 0 pentru orice k ∈ N, si fie

Sn =n

∑k=1

Xk. Suma Sn poate fi interpretata ca fiind câstigul obtinut pâna la momentul n

într-un joc de noroc. Dorim sa determinam valoarea asteptata a lui Sn+p stiind istoriaS1, S2, . . . , Sn. Valoarea asteptata este:

E[Sn+p |S1,S2, . . . ,Sn] = E[X1 +X2 + · · ·+Xn+p |S1,S2, . . . ,Sn]

= E[X1 +X2 + · · ·+Xn |S1,S2, . . . ,Sn]+

+E[Xn+1 +Xn+2 + · · ·+Xn+p |S1,S2, . . . ,Sn]; (din linearitate)= X1 +X2 + · · ·+Xn +E[Xn+1 +Xn+2 + · · ·+Xn+p |S1,S2, . . . ,Sn]︸︷︷︸

=0= Sn

Asadar, valoarea asteptata pentru Sn+p, tinând cont de istoria pâna la n este ultima valoarecunoscuta, adica Sn. Cu alte cuvinte, câstigul viitor asteptat, în conditiile în care se cunosctoate câstigurile pâna în prezent este chiar valoarea actuala a câstigului.Urmatorul rezultat este important în Matematicile Financiare, deoarece ne arata cum seschimba procesele stochastice la o schimbare de masura.Teorema 11.3.1 (Teorema lui Girsanov)Consideram urmatoarele: un câmp de probabilitate (Ω, F , P), o miscare Browniana Wt ,filtrarea naturala Ft generata de Wt si procesul stochastic θt adaptat la Ft . Definimurmatoarea masura de probabilitate:

P∗(F) =∫

FLT dP, (∀)t ∈F ,

unde

Lt = exp−1

2

∫ t

0θ

2t dt−

∫ t

0θtdWt

, t ∈ [0, T ].

Atunci, procesul dW ∗t = θt dt +dWt este o miscare Browniana în raport cu masura P∗.


Observatia 11.3 (1) Stim ca Wt ∼ NP(0, T ). Daca θt = θ = const., atunci W ∗t ∼NP(θT, T ).(2) Pentru un activ financiar ce valoreaza St la momentul t, schimbarea de la o piata realala una fara risc este:

dSt

St= µdt +σdWt

= rdt +σ

[µ− r

σdt +dWt

]= rdt +σdW ∗t .

Bibliografie

[1] Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applica-tions. Springer, Berlin, ISBN 3-540-04758-1 (2003).

[2] Fischer Black and Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities,The Journal of Political Economy 81, No. 3, pp. 637-654 (1973).

[3] T. Bjork, Arbitrage Theory in Continuous Time (2nd ed.), Oxford University Press,Oxford (2004).

[4] John C. Cox, Stephen A. Ross, and Mark Rubinstein, Option Pricing: A SimplifiedApproach, Journal of Financial Economics 7: 229-263 (1979)

[5] Lawrence C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, note decurs online.

[6] Desmond Higham, An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics,Stochastics and Computation, Cambridge University Press (2004).

[7] John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 9th Edition, Pearson (2014).

[8] H. Markowitz, Porfolio selection, The Journal of Finance, vol. 7, No. 1 (1952).

[9] http://www.mathworks.com

[10] S. Neftci, An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives (2nd ed.),Academic Press, San Diego, CA (2000).

[11] S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance (vols. I & II), Springer-Verlag, New York(2003).

[12] Iulian Stoleriu, Statistica prin MATLAB, Editura MatrixRom, Bucuresti (2010).

http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf

http://www.mathworks.com

http://www.matrixrom.ro/romanian/editura/domenii/cuprins.php?cuprins=STD0

194 BIBLIOGRAFIE

[13] P. Wilmot, S. Howison and J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives,A Student Introduction, Cambridge University Press (1995).

Glosar

actiune, 7accesibil, 89activ accesibil, 66activ financiar, 7, 27activ reproductibil, 66activ suport, 27anuitati, 22anuitate, 22arbitraj, 29, 31, 61arbore binomial, 79arbore binomoal, 86arbore trinomial, 88asset, 27Asset Pricing Theory, 29at-the-money, 43

bond, 7broker, 8

câmp de probabilitate, 185call, 29cash flow, 61, 74condor, 56contingent claim, 92credit încrucisat, 29creditor, 7, 15

debitor, 7, 15Delta hedging, 84

derivat financiar, 11, 27–31, 92dividend, 33dobânda, 7dobânda, 15dobânda compusa, 17, 22dobânda continua, 20dobânda instantanee, 21dobânda simpla, 15, 22drift, 82

echivalentul sigur, 166ecuatie diferentiala stochastica, 109, 116evaluare prin lipsa arbitrajului, 75

factor de actualizare, 16factor de acumulare, 16, 18, 19factor de fructificare, 16, 18, 19filtrare, 90forwards, 29, 32frecventa relativa, 126free lunch, 29, 61functie de utilitate, 163functie pay-off, 94future value, 32futures, 29, 36

hedging, 6, 30, 31

in-the-money, 43

196 GLOSAR

indici de risc, 167indiferenta fata de risc, 167instrument financiar, 7, 27integrala în sens Itô, 111integrala stochastica, 111ipoteza valorii asteptate rationale, 78

joc cinstit, 34, 65joc de suma nula, 34

lema lui Itô, 112long forward, 32long strangle, 55loterie, 162

masura martingala echivalenta, 93masura martingala echivalenta, 63, 78marcare la piata, 37marja, 29martingal, 93Matematici financiare, 5maturitate, 29media conditionata, 90metoda Monte Carlo, 125miscare Browniana geometrica, 109model discret în timp si discret în spatiul

starilor, 71multime boreliana, 185

naked option, 48numéraire, 67, 91

obligatiune, 7optiune, 29optiune americana, 41optiune call, 41optiune europeana, 41optiune exotica, 41optiune put, 41optiuni asiatice, 51optiuni bariera, 52optiuni exotice, 51optiuni lookback, 52oportunitate de arbitraj, 93out-of-the-money, 43Over-The-Counter market, 10

pay-off, 34

perpetuitati, 22perpetuitate, 22piata completa, 66, 88, 93piata incompleta, 66piata viabila, 30, 93piata financiara, 5, 8, 9, 13piata primara, 9piata secundara, 9portofoliu, 27, 61portofoliu autofinantant, 92portofoliu de acoperire, 75, 93portofoliu dinamic, 91portofoliu replicant, 66pret de exercitiu, 41pret de livrare, 29, 33pret forward, 33pret spot, 34pret de exercitiu, 29preturi de stare, 63premiu de risc, 168present value, 32prima, 42prima pentru optiune, 29principal, 16probabilitati neutre la risc, 63probabilitate, 185procent, 16procent anual efectiv, 21procent nominal, 21procent real, 21procentul anual nominal, 21proces non-anticipativ, 91proces stochastic, 91, 106proces Wiener, 106proces Wiener generalizat, 109procesul câstig, 92put, 29

quant, 6

RAE, 21rata anuala nominala, 21rata anuala efectiva, 21relatie de preferinta, 162relatie rationala, 162replicabil, 89risc, 166

GLOSAR 197

riscofil, 167riscofob, 167risk, 6risk-free assets, 27risky assets, 27rocket scientist, 6

scadenta, 29, 41scadenta, 33share, 7short forward, 32short strangle, 54speculatie, 30, 31stock, 8strategie previzibila, 91strategii bear, 47strategii bull, 47swap, 29

time value of money, 31

underlying asset, 27utilitati marginale, 163

valoare prezenta, 32valoare timp, 43valoare viitoare, 32valoarea în timp a banilor, 15verctor de stare, 62volatilitate, 42, 83

white noise, 109

zgomot alb, 109

Documents

Matematici Financiare Iulian Stoleriustoleriu/MF(2019).pdf · de la spéculation, în care a utilizat metode din Analiza stochastica, mai precis miscarea¸˘ Browniana, în evaluarea