Embed Size (px)
Citation preview
FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU
MATEMATICI APLICATE IN FINANTE
Suport pentru TC
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Cuprins
1. Serii numerice .....................................................................................................................Teste de autoevaluare ........................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..............................................................
2. Serii de puteri Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor..................................
Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...............................................................Lucrarea de verificare nr. 1 ..................................................................................................
3. Funcţii de mai multe variabile realeIlustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor……………………………Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Lucrarea de verificare nr.2 ...................................................................................................
4.Calcul integralIlustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .......................................................Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Lucrarea de verificare nr. 3
5. Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .......................................................
Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Lucrarea de verificare nr. 4 ...................................................................................................
6. Variabile aleatoare Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .......................................................
Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Lucrarea de verificare nr.5 ...................................................................................................
7. Statistica matematicăIlustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ......................................................Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Lucrarea de verificare nr.6 ...................................................................................................
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
.Prefaţă
Lucrarea “Matematici aplicate in finante" dezvoltă numeroase problemeteoretice şi practice, care fac obiectul cursurilor de matematică sau de statisticăeconomică ale studenţilor din învăţământul economic, şi în particular ale studenţilorînscrişi la programul de studiu ID organizat de Facultatea de Finanţe, Asigurări, Băncişi Burse de Valori şi face parte din planul de învăţământ aferent anului I, semestrul 1.
Fiind subordonate programei analitice a disciplinei “Matematici aplicate îneconomie” de la Academia de Studii Economice Bucureşti, Facultatea de Finanţe,Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, anul I, ID, noţiunile şi conceptele prezentate înlucrare apar, în mod firesc, într-o succesiune logică şi sunt supuse unor restricţiitemporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltări teoretice limitate.
Obiectivele principale ale acestui curs, concretizate în competenţele pe carestudentul le va dobândi după parcurgerea şi asimilarea lui, sunt următoarele:
- va avea cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar şi de tehnici specificematematicii aplicate;
- va fi în măsură să construiască, să prelucreze şi să valorifice o teorieeconomică relevantă, credibilă şi inteligibilă, numai în condiţiile în care stăpâneştedeopotrivă cunoştinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinice cunoştinţe de matematiciaplicate în economie
- va dispune de numeroase soluţii pentru eficientizarea managementului la nivelmicro şi macroeconomic în vederea practicării în condiţii de performanţă a muncii deeconomist;
- va putea aborda, înţelege şi dezvolta diverse probleme ale disciplinelor despecialitate, precum şi alte concepte legate de modelarea matematică a unor procesesau fenomene economice dintre cele mai diverse.
Cursul “Matematica” este structurat pe şapte unităţi de învăţare (capitole),fiecare dintre acestea cuprinzând câte o lucrare de verificare, pe care studentul o vaputea transmite tutorelui său.
Pentru ca procesul de instruire al studentului să se desfaşoare într-un modriguros, dar şi atractiv, studentul va putea utiliza un set de resurse suplimentareprezentate sub forma bibliografiei de la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare în formatelectronic, ce sa va regăsi accesând platforma de e-learning.
Evaluarea cunoştinţelor se va realiza sub două forme:- evaluare continuă, pe baza temelor de control care se vor derula pe platforma
online;- evaluare finală, realizată prin examenul susţinut în perioada de sesiune.
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
La examen studentii trebuie sa obtina minim nota 5, apoi nota finala va fi:30 % NTC + 70% NE ;NTC = nota obtinuta la temele de control
NE = nota obtinuta la examenNutrim speranţa ca studenţii din anul I, de la programul de studiu ID,
Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, să găsească în aceastălucrare un sprijin real şi important pentru studiu şi cercetare, pentru viitoarea lorprofesie, ce le va solicita şi cunoştinţe de matematica
Autorii
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
1. Serii numerice
Teste de autoevaluare
I. Să se determine natura şi dacă este cazul să se calculeze suma seriilor:
1. .0,1
1
1>
++++å¥
=a
aan nn2. å
¥
= +-
1 2313ln
n nn 3. å
¥
=++ +
+
1 11 8383
n nn
nn
II. Să se determine natura seriilor:
4. å¥
= -××××-××××
1 )14(...1073)23(...741
n nn . 5.
2
1 2313 n
n nn
å¥
=÷øö
çèæ
+-
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare1. .0,
11
1>
++++å¥
=a
aan nn
Rezolvare:Considerăm şirul sumelor parţiale:
=-
++-+=
++++== ååå
===
n
k
n
k
n
kkn
kkkk
aS111 1
11
1 aaaa
Þ++++--+++-+++-= 1...3221 aaaaaa nn¥=Þ+-+==Þ
¥®n
nn SnS lim11 aa , deci şirul 1)( ³nnS este divergent.
Conform definiţiei, rezultă că seria este divergentă.
2. å¥
= +-
1 2313ln
n nn .
Rezolvare:
[ ]åå==
=+--=+-
=n
k
n
kn kk
kkS
11)23ln()13ln(
2313ln
Þ+-=+--++-+-= )23ln(2ln)23ln()13ln(...8ln5ln5ln2ln nnn-¥=Þ
¥®n
nSlim , prin urmare seria este divergentă.
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
3. å¥
=++ +
+
111 83
83
nnn
nn.
Rezolvare:
081
1838
1838
limlim1
1¹=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ+÷
øö
çèæ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ+÷
øö
çèæ
=+
+¥®¥® n
n
nn
nn
na
; conform criteriului suficient de divergenţă, rezultă
că seria este divergentă.
4. å¥
= -××××-××××
1 )14(...1073)23(...741
n nn .
Rezolvare:Vom folosi corolarul criteriului raportului. Fie
)14....(1073)23.....(741
-××-××
=n
nan . Avem:
143
)34()13(lim
)14(...1073)23(...741
)34)(14(...1073)13)(23(...741
limlim 1 <=++
=
-××××-××××
+-××××+-××××
=¥®¥®
+¥® n
n
nn
nnnn
aa
nnn
nn
,
prin urmare seria este convergentă.
5.2
1 2313 n
n nn
å¥
=÷øö
çèæ
+- .
Rezolvare:
Aplicăm corolarul criteriului rădăcinii. Fie2
2313 n
n nna ÷
øö
çèæ
+-
= . Avem:
1123
31lim2313limlim 23
3lim<==÷
øö
çèæ
+-=÷
øö
çèæ
+-
=×
+-
¥®¥®¥®
¥®
ee
nnna
nn
n
n
n
nn n
nn ,
prin urmare seria este convergentă.
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
2. Serii de puteri
Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor1. Să se studieze convergenţa seriei de puteri: ( ) Rxx
nn
nn
n Î××
-å¥
=,
511
1.
Rezolvare:· Calculăm raza de convergenţă. Fie ( )
nn
nn
a511×
-= . Avem că:
( )
( ) 51
)1(5lim
511
5)1(11
limlim1
1
1 =+
=
×-
×+-
==¥®
++
¥®
+
¥® nn
n
na
an
nn
nn
nn
nn
w, deci 51
==w
R .
· Conform teoremei lui Abel, rezultă că: 1) seria este absolut convergentă pe intervalul ( )5,5- ;
2) seria este divergentă pe mulţimea ( ) ( )¥È-¥- ,55, ;3) pentru orice ( )5,0Îr , seria este uniform convergentă pe [ ]rr,- .
· Studiem natura seriei pentru 5±=R :
Pentru 5=R , seria de puteri devine: ( ) nnn
n
n5
511
1×
×-å
¥
=
, adică ( )nn
n 111
å¥
=- ;
şiruln
un1
= este descrescător şi are limita zero; rezultă, conform criteriului
lui Leibniz, că seria ( )nn
n 111
å¥
=- este convergentă.
Pentru 5-=R , seria de puteri devine: ( ) nnn
n
n)5(
511
1-×
×-å
¥
=, adică
å¥
=1
1
n n, care este divergentă (seria armonică).
În concluzie, seria de puteri este convergentă pe mulţimea ( ]5,5- .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
2. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:
( ) Rxxnn
n
nn
Î-×÷øö
çèæ
-+
å¥
=,3
5612
1.
Rezolvare:· Notăm 3-= xy .
Determinăm mai întâi mulţimea de convergenţă a seriei å¥
=×÷
øö
çèæ
-+
1 5612
n
nn
ynn .
· Calculăm raza de convergenţă. Fien
n nna ÷
øö
çèæ
-+
=5612 . Avem:
31
5612limlim =÷øö
çèæ
-+
==¥®¥®
nn
nn n
n nnaw , deci 31
==w
R .
· Conform teoremei lui Abel, avem:)1 seria este absolut convergentă pe intervalul ( )3,3- ;)2 seria este divergentă pe mulţimea ( ) ( )¥È-¥- ,33, ;)3 pentru orice ( )3,0Îr , seria este uniform convergentă pe [ ]rr,- .
· Studiem natura seriei pentru 3±=y :
Pentru 3=y , seria de puteri devine: å¥
=×÷
øö
çèæ
-+
13
5612
n
nn
nn , sau å
¥
=÷øö
çèæ
-+
1 5636
n
n
nn .
Fien
n nnu ÷
øö
çèæ
-+=
5636 ; avem: 0
5681limlim 3
456
8lim¹==÷
øö
çèæ
-+= -¥®
¥®¥®ee
nu n
n
n
n
nn
n, deci,
conform criteriului suficient de divergenţă, seria este divergentă.
Pentru 3-=y , seria devine: å¥
=-×÷
øö
çèæ
-+
1)3(
5612
n
nn
nn , sau ( )å
¥
=÷øö
çèæ
-+
-1 56
361n
nn
nn .
Fie ( )n
nn n
nv ÷øö
çèæ
-+
-=56361 ; deoarece nu există n
nv
¥®lim , rezultă că şirul ( ) 1³nnv este
divergent, deci seria este divergentă.În concluzie, seria de puteri este convergentă pentru ( ) Û-Î 3,3y
6033333 <<Û<-<-Û<<-Û xxy . Rezultă că
mulţimea de convergenţă a seriei ( )å¥
=-×÷
øö
çèæ
-+
13
5612
n
nn
xnn este ( )6,0 .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Teste de autoevaluare
1.Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri ( )å¥
=+×
-+
12)4(3
n
nnn
xn
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
Rezolvare:· Notăm 2+= xy . Vom determina mai întâi mulţimea de
convergenţă a seriei. å¥
=
-+
1
)4(3
n
nnn
yn
· Calculăm raza de convergenţă. Fie 1,)4(3³
-+= n
na
nnn .
=-+
-+×
+=
-+
+-+
==++
¥®
++
¥®
+
¥® nn
nn
nnn
nn
nn
nn n
n
n
n
aa
)4(3)4(3
)1(lim
)4(3
1)4(3
limlim11
11
1w
( )( ) 4
141)4(
1)4(
)1(lim
43
1431
=Þ=÷øö
çèæ +--
÷øö
çèæ +--
×+
=
++
¥®R
nn
nn
nn
n
Conform teoremei lui Abel, rezultă că:1) seria este absolut convergentă pentru ÷
øö
çèæ-Î
41,
41y ;
2) seria este divergentă pentru ÷øö
çèæ ¥È÷
øö
çèæ -¥-Î ,
41
41,y ;
3) pentru orice ÷øö
çèæÎ
41,0r , seria este uniform convergentă pe intervalul [ ]rr,- .
· Studiem natura seriei pentru41
±=y :
Pentru41
=y , seria de puteri devine: å¥
=÷øö
çèæ-+
1 41)4(3
n
nnn
n, adică
( )å¥
= úúû
ù
êêë
é×-+÷
øö
çèæ×
1
11431
n
nn
nn. Avem că seria å
¥
=÷øö
çèæ×
1 431
n
n
neste convergentă
(folosind criteriul raportului) şi seria ( )å¥
=×-
1
11n
nn
este convergentă (folosind criteriul lui
Leibniz), prin urmare seria este convergentă. Pentru
41-=y , seria de puteri devine: å
¥
=÷øö
çèæ -
-+
1 41)4(3
n
nnn
n, adică ( )å
¥
= úúû
ù
êêë
é+÷
øö
çèæ×-
1
14311
n
nn
nn.
Notăm ( ) *,4311 Nn
nb
nn
n Î÷øö
çèæ×-=
*,1 Nnn
cn Î= şi ( ) *,14311 Nn
nnd
nn
n Î+÷øö
çèæ×-= .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Avem că seria å¥
=1nnb este convergentă (folosind criteriul lui Leibniz). Dacă presupunem
că seria å¥
=1nnd este convergentă, deoarece ( ) *, Nnbdc nnn Î"-= , rezultă că şi seria
å¥
=1nnc este convergentă, contradicţie. Prin urmare seria å
¥
=1nnd este divergentă.
În concluzie, seria å¥
=×
-+
1
)4(3
n
nnn
yn
este convergentă pentru
47
49
412
41
41
41
41,
41
-£<-Û£+<-Û£<-Ûúûù
çèæ-Î xxyy .
Am obţinut că mulţimea de convergenţă a seriei este úûù
çèæ --
47,
49 .
Lucrarea de verificare nr. 1
1. Să se determine natura si sa se calculeze suma
seriei å¥
= -2 2 11
n n
2. Să se determine natura serieiå¥
= +1 51
nnn
3. Sa se calculeze multimea de convergenta a seriei ( )( )
Rxxnn
nn
n Î××-
-å¥
=
+ ,312
111
1
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
3. Funcţii de mai multe variabile reale
Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:162),(,: 322 +-+=® xyyxyxfRRf .
Rezolvare:
Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:ïî
ïíì
=
=
0),(
0),('
'
yxf
yxf
y
x .
Avem că:xyyxf
yxyxf
y
x
63),(
64),(2'
'
-=
-=, prin urmare rezultă sistemul:
ïî
ïíì
=-
=Û
ïî
ïíì
=-
=-Û
ïî
ïíì
=-
=-
0302
032
063
064
22
3
22yy
x
xy
yx
xy
yx y.
Din a doua ecuaţie obţinem: 3,0 21 == yy , de unde, prin înlocuire în prima relaţie,
rezultă29
21 ,0 == xx , soluţiile sistemului sunt:
îíì
==
00
1
1yx ;
ïî
ïíì
=
=
32
29
2
y
x .
Am obţinut punctele staţionare: ( ) ( )3,,0,0 29
21 PP .
Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.
Scriem matricea hessiană:
( )( ) ( )
( ) ( ) ÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
yxyx
yxyxyxH
ff
ff
yyx
xyx
,,
,,,
''''
''''
2
2
.
Avem: ( ) ( )[ ] [ ] 464,, '''''2 =-== xxxx yxyxfyxf ;
( ) ( )[ ] [ ] ( )yxfyxyxfyxf yxyyxxy ,664,, ''''''' =-=-== ;
( ) ( )[ ] [ ] yxyyxfyxf yyyy 663,, '2''''2 =-== , deci
÷÷ø
öççè
æ-
-=
yyxH
6664
),( . Avem:
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
0360664
,040664
)0,0( 21 <-=-
-=D>=DÞ÷÷
ø
öççè
æ-
-=H ,
prin urmare ( )0,01P este punct şa.
( ) 03618664
,0418664
3, 2129 >=
--
=D>=DÞ÷÷ø
öççè
æ-
-=H ,
prin urmare ( )3,29
2P este punct de minim local.
2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:7514526),(,: 322 +--+=® yxyyxyxfRRf .
Rezolvare:
Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:ïî
ïíì
=
=
0),(
0),('
'
yxf
yxf
y
x .
Avem că:
5166),(
4512),(22'
'
-+=
-=
yxyxf
xyyxf
y
x , prin urmare obţinem sistemul:
ïî
ïíì
=+
=Û
ïî
ïíì
=-+
=-
21722
415
22 05166
04512
yx
xy
yx
xy .
Notămïî
ïíì
±=
=Þ
ïî
ïíì
=-
=Þ==+
42, 4
15
2172
415
S
P
PS
PPxySyx
Pentru 25
223
14152
415 ,04,4 ==Þ=+-Þ== ttttPS ,
deciïî
ïíì
=
=
25
1
23
1
y
x sau
ïî
ïíì
=
=
23
2
25
2
y
x.
Pentru 25
223
14152
415 ,04,4 -=-=Þ=++Þ=-= ttttPS ,
deciïî
ïíì
-=
-=
25
3
23
3
y
x sau
ïî
ïíì
-=
-=
23
4
25
4
y
x.
Am obţinut punctele staţionare: ( ) ( ) ( ) ( )23
25
425
23
323
25
225
23
1 ,,,,,,, ---- PPPP .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.
Metoda I. Scriem matricea hessiană:
( )( ) ( )
( ) ( ) ÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
yxyx
yxyxyxH
ff
ff
yyx
xyx
,,
,,,
''''
''''
2
2
.
Avem: ( ) ( )[ ] yyxfyxf xxx 12,, ''''2 == ; ( ) ( )[ ] ( )yxfxyxfyxf yxyxxy ,12,, '''''' === ;
( ) ( )[ ] yyxfyxf yyy 12,, ''''2 == , deci ÷÷
ø
öççè
æ=
yxxy
yxH12121212
),( .
( ) 057630181830
,03030181830
, 2125
23 >==D>=DÞ÷÷
ø
öççè
æ=H , prin urmare ( )
25
23
1 ,P este
punct de minim local.
( ) 057618303018
,01818303018
, 2123
25 <-==D>=DÞ÷÷
ø
öççè
æ=H , prin urmare ( )2
325
2 ,P este
punct şa.
( ) 057630181830
,03030181830
, 2125
23 >=
----
=D<-=DÞ÷÷ø
öççè
æ----
=--H ,
prin urmare ( )25
23
3 , --P este punct de maxim local.
( ) 057618303018
,01818303018
, 2123
25 <-=
----
=D<-=DÞ÷÷ø
öççè
æ----
=--H ,
prin urmare ( )25
23
1 ,P este punct şa.
Teste de autoevaluare
Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:( ) 5ln14ln83),(,,0: 222 +--++=®¥ yxxyyxyxfRf .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că:
yy
xx
xyyxf
yxyxf
14'
8'
32),(
32),(
-+=
-+= . Rezolvăm sistemul:
( )( )ïî
ïíì
=+
=+Û
ïî
ïíì
=-+
=-+Û
ïî
ïíì
=
=
21432
1832032
032
0),(
0),(2
2
14
8
'
'
xyy
xyxxy
yx
yxf
yxf
y
x
y
x .
Am obţinut un sistem omogen. Înmulţim prima ecuaţie cu 7, pe cea de-a doua cu ( )4-şi adunăm relaţiile obţinute; rezultă:
08914 22 =-+ yxyx . Împărţim această ecuaţie prin ( )022 ¹yy şi notăm tyx = . Obţinem:
21
278
12 ,08914 =-=Þ=-+ tttt . Rădăcina negativă nu convine,
deoarece 0>x şi 0>y , prin urmare avem xyt yx 22
1 =Þ== .
Înlocuind xy 2= în ( )1 , rezultă 1±=x . Cum 0>x , rezultă că singura valoare care seacceptă este 1=x , de unde obţinem 2=y .Am obţinut un singur punct staţionar: ( )2,1P .
Etapa 2. Stabilim dacă punctul staţionar este punct de extrem local.
Avem: ( ) ( )[ ] 228'''' 2,, xxxx yxfyxf +== ; ( ) ( )[ ] ( )yxfyxfyxf yxyxxy ,3,, '''''' === ;
( ) ( )[ ] 2214'''' 2,,yyyy yxfyxf +== , deci matricea hessiană este:
( )( ) ( )( ) ( ) ÷
÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
+
+=
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
2
2
2
2
14
8
''''
''''
23
32
,,
,,,
y
x
yyx
xyx
yxfyxf
yxfyxfyxH .
Avem că ( ) 0463
310,010
3
3102,1
21121
211 >==D>=DÞ÷÷ø
öççè
æ=H , prin urmare ( )2,1P este
punct de minim local.
Lucrarea de verificare nr. 2
1. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiei.,,;),(,: 2 RkykxyxfRRf Î=® baba
2. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei( )4),(,: 222 -+=® yxxyyxfRRf
3. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei234),,( 234 +-+++= yxzzyxzyxf
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
4. Calcul integral
lustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
Sa se calculeze integralele
1. ò+¥
-=0
25 dxexI x .
Rezolvare:Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx 2
1212 =Þ=Þ= .
x 0 ¥t 0 ¥
Obţinem: ( )8
152
!5621
21
21
2 660
56
0
5==G==÷
øö
çèæ= òò
¥-
¥- dtetdtetI tt .
2. ò¥
-=0
2
dxeI x (integrala Euler-Poisson).
Rezolvare:Folosim schimbarea de variabilă: dttdxtxtx 2
121
212 -=Þ=Þ= .
x 0 ¥t 0 ¥
221
21
021
021 2
121 p
=÷øö
çèæG=== òò
¥--
¥-- dtetdtteI tt .
3. ( )ò -=1
0
38 1 dxxxI .
Rezolvare: Facem schimbarea de variabilă dttdxtxtx 3
231
313 -=Þ=Þ= .
x 0 1t 0 1
( ) ( ) ( )121
)5()2()3(
312,311
1
031
1
0
231
31 3
238
=GGG
×==-=-= ò ò- bdtttdttttI
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Teste de autoevaluareSă se calculeze următoarele integrale:
1. ò+¥
-
--+=1
11 dxexI x .
2.( )
ò-
=1
0 3 2 1 xx
dxI .
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
1. Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx =Þ-=Þ=+ 11 .Intervalul de integrare se modifică după cum rezultă din tabelul de mai jos:x 1- ¥t 0 ¥
Obţinem: dtetI tò¥
-=0
21
. Prin identificare cu formula de definiţie a integralei gamma,
rezultă23
211 =Þ=- aa , prin urmare ( ) ( ) p2
121
21
23 =G=G=I
2.( )
( )òò -- -=-
=1
0
1
0 3 231
32
11
dxxxxx
dxI . Prin identificare cu formula de definiţie a
integralei beta, obţinem:
31
321 =Þ-=- aa ;
32
311 =Þ-=- bb , prin urmare, având în vedere definiţia şi
proprietatea 3 pentru integrala beta, rezultă: ( )3
2sin
,3
32
31 ppb
p===I .
Lucrarea de verificare nr. 3
Să se calculeze integralele
1. ò -1
0
2 dxxx
2. ò¥
-
0
36 dxex x
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
5.Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente
Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculezeprobabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:
)a prima extragere este cu revenire;)b prima extragere este fără revenire.
Rezolvare:Notăm 1A - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă albă;
2A - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă albă;
1N - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă neagră;
2N - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă neagră.
Fie X evenimentul ca în cele două extrageri să obţinem bile de culori diferite. Deoareceevenimentele 21 NA Ç şi 21 AN Ç sunt incompatibile, rezultă că
( ) ( )( ) ( ) ( )21212121)( ANPNAPANNAPXP Ç+Ç=ÇÈÇ=
)a Dacă extragerile sunt cu revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi 2Asunt independente, prin urmare:
48,02515
2510
2515
2510)()()()()( 1221 =×+×=×+×= NPAPNPAPXP .
)b Dacă extragerile sunt fără revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi
2A sunt dependente, deci )/()()/()()( 121121 NAPNPANPAPXP ×+×= .)/( 12 ANP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă neagră la a doua extragere, ştiind
că la prima extragere s-a obţinut o bilă albă, deci
2415)/( 12 ==
urnainramasebiledenrnegrebiledenrANP .
)/( 12 NAP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă albă la a doua extragere, ştiind căla prima extragere s-a obţinut o bilă neagră, deci
2415albe.)/( 12 ==
urnainramasebiledenrbiledenrNAP .
Obţinem că 5,02410
2515
2415
2510)( =×+×=XP .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
2. Un magazin primeşte într-o zi 10 produse de acelaşi tip, dintre care 5 provin de lafurnizorul 1F , 3 provin de la furnizorul 2F şi restul de la furnizorul 3F . Care esteprobabilitatea ca din 4 produse vândute:
)a două să provină de la 2F şi câte unul de la ceilalţi furnizori?)b toate să provină de la acelaşi furnizor?)c unul singur să provină de la 3F ?
Rezolvare:)a Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de trei culori, din
care se fac extrageri fără revenire.
10 produse
Aplicând schema urnei cu bila nerevenită, obţinem:
142857,0)1,2,1:4( 71
410
12
23
15 ==
××=
C
CCCP .
)b Fie B evenimentul ca toate produsele să provină de la acelaşi furnizor; acesta serealizează numai atunci când toate produsele provin de la 1F , prin urmare
0238,0)0,0,4:4()( 421
410
02
03
45 ==
××==
C
CCCPBP .
)c Fie C evenimentul ca )c un singur produs să provină de la 3F .Se observă că, aplicând schema urnei cu bile de 3 culori, numărul situaţiilor în care serealizează evenimentul C este destul de mare.Problema poate fi modelată mai uşor cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori:bilele albe reprezintă produsele ce provin de la 1F sau 2F , iar bilele negre sunt produsele
care provin de la 3F . Obţinem: 53333,0)1,3:4()( 158
410
12
38 ==×
==C
CCPCP .
2 F3
se extrag fără revenire
5 F1
3 F2
1 F1
2 F2
1 F3
4
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Teste de autoevaluare1. Doi studenţi susţin simultan un examen. Probabilitatea ca primul student săpromoveze este 0,8, iar probabilitatea ca al doilea să promoveze este 0,7. Să se calculezeprobabilitatea ca:
)a ambii studenţi să promoveze examenul;)b exact un student să promoveze;)c cel puţin un student să promoveze;)d numai primul student să promoveze.
2. Dintre cele 30 de subiecte recomandate pentru examen de către profesorul de curs,un student a pregătit 20 de subiecte, pe care le poate prezenta perfect . La examen fiecaresubiect este scris pe câte un bilet, iar studentul trebuie să extragă cinci bilete la întâmplareşi să prezinte cele cinci subiecte aflate pe bilete. Ştiind că pentru fiecare subiect la carerăspunde corect va primi două puncte şi că nu se acordă nici un punct pentru rezolvăriparţiale, să se determine probabilitatea ca:
)a studentul să primească nota 10;)b studentul să primească nota 6;)c studentul să nu promoveze examenul.
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
1. Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori, dincare se fac extrageri fără revenire.
)a Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, 5 să fie rezolvate perfect.
30 subiecte
027198,0)0,5:5(530
010
520 =
×=
C
CCP .
)b Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, exact 3 să fie rezolvate perfect:
35998,0)2,3:5(530
210
320 =
×=
C
CCP .
)c Fie C evenimentul ca studentul să nu promoveze examenul, adică să rezolveperfect 0, 1 sau 2 subiecte:
( ) ( ) 27283,05,:5530
310
220
530
410
120
530
510
0202
0=
×+
×+
×=-= å
= C
CC
C
CC
C
CCkkPCP
k.
10 nu pot fi rezolvate perfect
20 pot fi rezolvate perfect
5
5 pot fi rezolvate perfect
0 nu pot fi rezolvate perfect
se extrag fără revenire
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
2. Notăm cu A evenimentul ca primul student să promoveze examenul şi cu Bevenimentul ca al doilea student să promoveze.
)a Cum cele două evenimente sunt independente, rezultă că probabilitatea ca ambiistudenţi să promoveze examenul este: 56,07,08,0)()()( =×=×=Ç BPAPBAP .
)b Probabilitatea ca exact un student să promoveze examenul este:( ) =×+×=Ç+Ç=ÇÈÇ )()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBAPBABAP
38,07,02,03,08,0 =×+×= .
)c Probabilitatea ca cel puţin un student să promoveze se scrie:=×-+=Ç-+=È )()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPBAP
94,07,08,07,08,0 =×-+ .
)d Probabilitatea ca numai primul student să promoveze se poate calcula astfel:( ) ( ) ( ) 24,03,08,0 =×=×=Ç BPAPBAP , având în vedere independenţa celor două
evenimente, sau( ) ( ) 24,056,08,0)()(\ =-=Ç-==Ç BAPAPBAPBAP
Lucrarea de verificare nr. 4
1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculezeprobabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:
)a prima extragere este cu revenire;)b prima extragere este fără revenire.
2. Trei bănci acordă credite pentru finanţarea studiilor cu probabilităţile 0,8; 0,75,respectiv 0,82, independent una de alta. Un student se adresează tuturor băncilor. Cu ceprobabilitate el va primi:
)a trei răspunsuri favorabile;)b exact două răspunsuri favorabile;)c exact două răspunsuri nefavorabile;)d nici un răspuns favorabil;)e cel mult două răspunsuri favorabile .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
6.Variabile aleatoare
Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Fie variabila aleatoare discretă ÷÷ø
öççè
æ --ppppp
X2
210
41
22
: , RpÎ .
Să se determine:)a repartiţia variabilei aleatoare X;)b funcţia de repartiţie a variabilei X;)c media, dispersia şi abaterea medie pătratică variabilei aleatoare X;)d )( 3XM , )32( -XM , )23(2 -XD ;)e probabilităţile: )75,0( -£XP , )25,1( >XP , )5,025,1( ££- XP ,
.Rezolvare:
)a Impunem condiţiile ca 0³p şi1011242 =Þ=++++ pppppp .
Rezultă că repartiţia variabilei aleatoare X este:÷÷ø
öççè
æ --
101
102
101
104
102
21012:X .
)b
ïïïïïï
î
ïïïïïï
í
ì
+¥Î
Î=+++
Î=++
-Î==+
-Î=
--¥Î
=<=
],2(,1
]2,1(,109
102
101
104
102
]1,0(,107
101
104
102
]0,1(,53
106
104
102
]1,2(,51
102
]2,(,0
)()(
x
x
x
x
x
x
xXPxF x
)c 4,0210)1()2()( 104
101
102
101
104
102 -=-=×+×+×+×-+×-=XM .
8,1210)1()2()( 1018
1012
1022
1012
1042
10222 ==×+×+×+×-+×-=XM .
64,1)4,0(8,1)()()( 2222 =--=-= XMXMXD .
28,1)()( 2 @= XDXs .
)d 1210)1()2()( 1013
1023
1013
1043
10233 -=×+×+×+×-+×-=XM .
Folosind proprietăţile mediei şi ale dispersiei, obţinem:8,33)4,0(23)(2)32( -=--×=-=- XMXM . 76,1464,19)(9)23( 22 =×==- XDXD .
)e 53
104
102)2()1()75,0( =+=-=+-==-£ XPXPXP .
101)2()25,1( ===> XPXP .
21
105)0()1()5,025,1( ===+-==££- XPXPXP .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
2. Fieîíì
ÏÎ-
=®]1,0[,0]1,0[),1(
)(,:xxxa
xfRRf , RaÎ .
Să se determine:)a parametrul RaÎ astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile
aleatoare continue X;)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;
)c probabilităţile: ( )41<XP , ( )2
1>XP şi ( )23
41 ££ XP ;
)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;
Rezolvare:)a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare
continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:
1) 0,0)( ³ÞÎ"³ aRxxf ;
2) 1)( =ò¥
¥-dxxf .
Avem: =+-+=++= òòòòòòò¥
¥-
¥
¥-
¥
¥- 1
1
0
0
1
1
0
00)1(0)()()()( dxdxxadxdxxfdxxfdxxfdxxf
( ) 21
022 axxa =-= ; din condiţia 1)( =ò
¥
¥-dxxf rezultă 212 =Þ= aa , deci
îíì
ÏÎ-
=]1,0[,0]1,0[),1(2
)(xxx
xf .
)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este ò¥-
=®x
dttfxFRRF )()(,: .
§ 00)(]0,( ò¥-
==Þ-¥Îx
dtxFx ;
§ ( ) 20
2
0
022)1(20)(]1,0( xxttdttdtxFx
xx-=-=-+=ÞÎ òò
¥-;
§ 10)1(20)(),1(1
1
0
0=+-+=ޥΠòòò
¥-
xdtdttdtxFx .
Am obţinut că:
ïïî
ïïí
ì
¥ÎÎ-
-¥Î
=®),1(,1]1,0(,2
]0,(,0
)(],1,0[: 2
xxxx
x
xFRF
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
)c ( ) 41
41
21
41
41
=-=÷øö
çèæ=< FXP .
( ) ( ) ( ) 21
21
21
21
21 111 =-=-=£-=> FXPXP .
( ) ( ) ( ) 43
41
41
23
23
41 1 =-=-=££ FFXP .
)d31
32
20)1(20)()(
1
0
32
1
1
0
0=÷
÷ø
öççè
æ-=×+-×+×== òòòò
¥
¥-
¥
¥-
xxdxxdxxxdxxdxxxfXM .
( )61
2320)1(20)(
1
0
43
1
21
0
20
222 =÷÷ø
öççè
æ-=×+-×+×== òòòò
¥
¥-
¥
¥-
xxdxxdxxxdxxdxxfxXM .
181222 )()()( =-= XMXMXD .
3. Fie funcţia RRf ®: , Rkxxekxf
x
Îïî
ïíì
<³=
-,
0,00,x)(
22. Să se determine:
)a parametrul Rk Î astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabilealeatoare continue X;
)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;)c probabilităţile: )4( <XP , )6( >XP , )86( ££ XP , )2/4( >£ XXP ;
)d media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr Î pentru variabila aleatoare X
Rezolvare:)a Condiţiile ca f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X
sunt: 1) 00)( ³Þ³ kxf ;
2) 1)( =ò¥
¥-dxxf .
Avem că òòò¥
-
¥-
¥
¥-+==
0
20
,x0)( 2 dxekdxdxxfIx ; folosind schimbarea de
variabilă dtdxtxtx 2;22
==Þ= , obţinem că kkdtetkI t 16)3(8240
2 =G×== ò¥
- ; din condiţia
1611 =Þ= kI .Rezultă că
ïî
ïíì
<³=®
-
0,00,x)(,:
22161
xxexfRRf
x
.
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este ò¥-
=®x
dttfxFRRF )()(,: .
§ 00)(]0,( ò¥-
==Þ-¥Îx
dtxFx ;
§ ( ) =+-=-=+=ޥΠòòòò ----
¥-dtetetdtetdtetdtxFx
xxt
xxttt
00
2
0
'2
0
20
222 )2(81
812
161
1610)(),0(
( ) =---=+--=-+-= -------- òòxxxx
txxttxtx
eexexdteetexdtetex0
2
00
2'
0
222222222
2821
282
41
8
2
8841
2x
exx -++-= . Rezultă:
ïî
ïí
ì
>++
-
£=®
- 0,8
841
0,0)(,:
2
2xexx
xxFRRF x
)c 251)4()4( --==< eFXP ;3
217)6(1)6(1)6(1)6( -=-=<-=£-=> eFXPXPXP ;
43 132
17)6()8()86( -- -=-=££ eeFFXP ;
( )e
eF
FFXPXP
XPXXPXXP
e
ee 2)2(1
)2()4()2(1)42(
)2()2()4()2/4(
25
525
2 -=
-=
--
=<-£<
=>
>Ç£=>£ .
)d Momentul iniţial de ordinul r este:
òòò¥
-
¥-
¥
¥-×+×===
0
20
2
1610)()( dxexxdxxdxxfxXMm
xrrrrr ;
cu schimbarea de variabilă dtdxtxtx 2;22
==Þ= rezultă
)3(22)2(161 1
0
2 +G×== -¥
-+ò rdtetm rtrr .
Am obţinut că *1 ,)!2(2 Nrrm rr Î"+×= - .
§ Media variabilei aleatoare X este momentul iniţial de ordinul 1, prinurmare 6!3)( 1 === mXM .
§ Avem că 48!42)( 22 =×== mXM , deci dispersia variabilei este:
12)()()( 212
222 =-=-= mmXMXMXD .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
4. Fie X , Y două variabile aleatoare discrete având repartiţia comună dată în tabelulincomplet de mai jos:
-1 0 1 ip-1 1
0,2 0,1
0,6
jq 0,3 0,3
)a Să se scrie repartiţiile variabilelor X , Y şi repartiţia comună a variabilelor X , Y .)b Să se scrie repartiţiile variabilelor 1/ =YX şi 1/ =XY , Y ..
Rezolvare:)a Impunând condiţiile
1,13
1
2
1== åå
== jj
ii qp , 2,1,
3
1="=å
=ipp i
jij , 3,1,
2
11="=å
=jqp jij , obţinem:
4,01 221 =Þ=+ ppp ; 4,01 2321 =Þ=++ qqqq ; 1,03,0 212111 =Þ=+ ppp ;3,04,0 212212 =Þ=+ ppp ; 1,06,0 13131211 =Þ=++ pppp ;2,03,0 232313 =Þ=+ ppp .
Rezultă repartiţiile variabilelor X , Y : ÷÷ø
öççè
æ-4,0
16,01
:X ; ÷÷ø
öççè
æ-3,0
14,0
03,01
:Y
şi repartiţia comună a variabilelor X , Y : -1 0 1 ip
-1 1
0,2 0,3 0,10,1 0,1 0,2
0,60,4
jq 0,3 0,4 0,3 1
)b ÷÷ø
öççè
æ-=
21
11:1
aaYX
( ) ( ) ( )( )31
3,01,0
)1(11111 ==
==Ç-=
==-==YP
YXPYXPa ;
( ) ( ) ( )( )32
3,02,0
)1(11112 ==
==Ç=
====YP
YXPYXPa ;
obţinem:÷÷
ø
ö
çç
è
æ-=
32
31
11:1YX ; ÷÷
ø
öççè
æ --=
321
101:1
bbbXY ;
Analog÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ--=
611
210
311
:1XY
÷÷ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ6,04,0
103,0
14,03,0
01:Y ;
X
X
Y
Y
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Teste de autoevaluare
1. Să se determine variabila aleatoare÷÷ø
öççè
æ ++p
ap
apa
X2
23
1: , ştiind că 7)6( 2 =XM ,
RpZa ÎÎ , .
2. Fie funcţia RRf ®: ,ïî
ïí
ì
ÏÎ-Î
=]2,0[,0]2,1(,2
]1,0[,)(
xxxxax
xf . Să se determine:
)a parametrul RaÎ astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabilealeatoare continue X;
)b probabilităţile ( )23>XP şi ( )2
341 / £³ XXP ;
)c funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;
3. Fie două variabile aleatoare X , Y unde
÷÷ø
öççè
æ -3,0
17,01
:X , ÷÷ø
öççè
æ6,0
14,0
0:Y . Fie ( )0,1 =-== YXPk .
)a Să se scrie tabelul comun al repartiţiei variabilelor aleatoare X , Y .)b Să se determine parametrul Rk Î astfel încât variabilele aleatoare X , Y să fie
necorelate.)c Pentru k determinat la punctul precedent, să se stabilească dacă variabilele
aleatoare X , Y sunt independente.
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
1. Din condiţia ca X să reprezinte o variabilă aleatoare discretă, obţinem:
0³p şi÷÷
ø
ö
çç
è
æ ++Þ=Þ=++
62
63
616
121
:123aaa
Xpppp .
( ) ( ) ( ) Û=×++×++××Û=Û= 7)2()1(67676 622
632
61222 aaaXMXM
Þ=++Û=++++++Û 041467882363 2222 aaaaaaa
Zaa Ï-=-=Þ31,2 21 , deci 2-=a .
Prin urmare, repartiţia variabilei aleatoare X este:
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ --
310
211
612
:X .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
2. )a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoarecontinue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:
1) 0,0)( ³ÞÎ"³ aRxxf ;
2) 1)( =ò¥
¥-dxxf .
=+++= òòòòò¥
¥-
¥
¥- 2
2
1
1
0
0)()()()()( dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
21
2
2
1
21
0
2
2
2
1
1
0
0
22
20)2(0 +=÷
÷ø
öççè
æ-+=+-++= òòòò
¥
¥-
axxxadxdxxdxaxdx .
ïî
ïí
ì
ÏÎ-Î
=Þ=Þ=ò¥
¥- ]2,0[,0]2,1(,2]1,0[,
)(11)(xxxxx
xfadxxf .
)b81
2
20)2()(
23
23
23
=+-==÷øö
çèæ > òòò
¥¥dxdxxdxxfXP .
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )2
323
41
23
23
41
23
41 /
£
££=
£
£Ç³=£³
XP
XP
XP
XXPXXP .
( ) 3227
1
1
23
41
23
41
23
41
)2()( =-+==££ òòò dxxxdxdxxfXP ; ( ) ( ) 87
23
23 1 =>-=£ XPXP , deci
( ) 2827
23
41 / =£³ XXP .
)c Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este ò¥-
=®x
dttfxFRRF )()(,: .
§ 00)(]0,( ò¥-
==Þ-¥Îx
dtxFx ;
§202
0
022
0)(]1,0( xxtx
tdtdtxFx ==+=ÞÎ òò¥-
;
§ ( ) ( ) =-+=-++=ÞÎ òòò¥-
xttx
tdtttdtdtxFx12
1
021
1
0
022
220)(]2,1(
224
23
221 22
2 -+-=--+= xxxx ;
( ) 1020)(),2(2
2
1
1
0
0=+-++=ޥΠòòòò
¥-
xdtdtttdtdtxFx . Am obţinut că:
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
ïïïï
î
ïïïï
í
ì
¥Î
Î-+-
Î
-¥Î
=®
),2(,1
]2,1(,2
24
]1,0(,2
]0,(,0
)(],1,0[:2
2
x
xxx
xx
x
xFRF
)d =×+-+×+×== òòòòò¥
¥-
¥
¥- 2
2
1
1
0
00)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxxfXM
1311
384
31
33
2
1
32
1
0
3=+--+=÷
÷ø
öççè
æ-+=
xxx .
=×+-+×+×== òòòòò¥
¥-
¥
¥- 2
2
1
21
0
20
22 0)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxfxXM
61222
2
1
431
0
4)()()(
67
41
324
316
41
432
4=-=Þ=+--+=÷
÷ø
öççè
æ-+= XMXMXDxxx
3. )a0 1 ip
-1 1
k k-7,0k-4,0 1,0-k
0,70,3
jq 0,4 0,6 1
Din condiţiile: 1) 2,1,,0 ="³ jipij şi
2) 12
1
2
1=å å
= =i jijp obţinem:
4,01,0
01,004,007,0
0
)1 ££Þ
ïïî
ïïí
ì
³-³-³-
³
Û k
kkk
k
;
11,04,07,0)2 =-+-+-+Û kkkk , relaţie care se verifică, Rk Î" .În concluzie, repartiţia comună a variabilelor X , Y este cea din tabelul de mai sus, cucondiţia [ ]4,0;1,0Îk .
)b Variabilele aleatoare X , Y sunt necorelate dacă avem:
0)()()(0),cov( =×-Û= YMXMXYMYX .
4,03,017,0)1()(2
1-=×+×-== å
=iii pxXM ; 6,06,014,00)(
2
1=×+×== å
=jjjqyYM ;
8,02)1,0(11)4,0(01)7,0(1)1(0)1()(2
1
2
1-=-××+-××+-××-+××-== å å
= =kkkkkpyxXYM
i jijji
[ ]4,0;1,028,0024,08,020)()()( Î=Þ=+-Þ=×- kkYMXMXYM .
X Y
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
)c Pentru valoarea determinată a parametrului k obţinem tabelul repartiţiei comune demai jos:
0 1 ip -1
1 0,28 0,420,12 0,18
0,70,3
jq 0,4 0,6 1
Avem că: ( ) ( ) ( )0128,00,1 =×-====-= YPXPYXP ;
( ) ( ) ( )1142,01,1 =×-====-= YPXPYXP ; ( ) ( ) ( )0112,00,1 =×===== YPXPYXP ;
( ) ( ) ( )1118,01,1 =×===== YPXPYXP ;de aici rezultă, că v.a sunt independente.
Lucrarea de verificare nr.5
1. Distribuţia variabilei aleatoare X este÷÷
ø
ö
çç
è
æ-
1612
23
41
167
2101-2:
pppX .
Să se determine: )a parametrul RpÎ ; )b Media si dispersia lui X,
2. Fie funcţia RRf ®: , Rkxxekxf
x
Îïî
ïíì
<³=
-
,0,00,x)(
3
. Să se determine:
)a parametrul Rk Î astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabilealeatoare continue X; )b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;
)c media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr Î pentru v.a. X
3. Se consideră variabilele aleatoare X , Y , având repartiţiile: ÷÷ø
öççè
æ6,0
24,0
1:X ,
÷÷ø
öççè
æ3,0
65,0
42,0
2:Y , astfel încât ( ) 1,02,1 === YXP şi ( ) 3,04,2 === YXP . Să se
determine coeficientul de corelatie al variabilele aleatoare X , Y
X Y
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
7. Statistica matematică; Teoria selectiei
Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Pentru a studia o anumită caracteristică X a unei populaţii statistice oarecare, s-arealizat un sondaj de volum 16=n din populaţia respectivă şi s-au obţinut rezultatele:
ix -2 -1 0 2
in 3 4 2 7
)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.)b Să se calculeze media de selecţie, dispersia de selecţie şi dispersia de selecţie
corectată.
Rezolvare:
)a Repartiţia variabilei aleatoare de selecţie este: ÷÷ø
öççè
æ --
167
162
164
163
* 2012:X .
)b Media de selecţie este statistica: å=
=4
1
1
iiin XnX , iar valoarea acesteia
corespunzătoare selecţiei efectuate este å=
=4
1
1
iiin xnx .
Dispersia de selecţie este statistica ( )å=
-==4
1
2122
iiin XXnSm , iar valoarea acesteia
corespunzătoare selecţiei efectuate este
( )å=
-=4
1
212
iiin xxnS .
Dispersia de selecţie corectată este statistica ( )å=
- -=4
1
21
12
iiin XXns , iar valoarea
acesteia corespunzătoare selecţiei efectuate este
( )å=
--=
4
1
21
12
iiin
xxns .
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
Pentru determinarea valorilor cerute organizăm valorile de selecţie în următorul tabel:
ix in iinx xxi - ( ) 2xxi - ( ) 2xxn ii -
-2-1 0 2
3 4 2 7
-6 -4 0 14
-2,25 -1,25 -0,25 1,75
5,0625 1,5625 0,0625 3,0625
15,1875 6,25 0,12521,4375
- 16 4 - - 43
Obţinem: 25,04161 =×=x ; 6875,24316
12 =×=S ; 87,2431512 =×=s .
Lucrarea de verificare nr. 6
Pentru a stabili conţinutul în magneziu al apei minerale provenite de la un anumit izvor s-a determinat cantitatea de magneziu, exprimată în grame, conţiunută într-un litru de apăminerală. Efectuîndu-se un număr de 15 măsurători, s-au obţinut următoarele rezultate,prezentate în ordinea apariţiei acestora: 7,2; 8,3; 6,7; 6,7; 7,2; 8,1; 8,3; 6,9; 7,2; 7,2;8,1; 6,7; 6,7; 8,1; 6,7.
)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.)b Pe baza rezultatelor înregistrate, să se determine cantitatea medie de magneziu,
exprimată în grame, conţinută într-un litru de apă minerală şi modul în care variază.
Click h
ere to
buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.comClic
k here
to buy
ABBYY PDF Transformer+
www.ABBYY.com
