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Matemáticas DiscretasTC1003

Lógica Proposicional:Proposiciones, Conectivos, Tablas de Verdad y Equivalencias

Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

IntroduccionSentenciaDeclarativaProposicionVariableProposicionalPrimitivaValor de VerdadOperadoresJerarquıa deOperadoresUso deOperadoresFBFTabla de VerdadTabla NegacionTabla DisjuncionTabla ConjuncionEjemplo TablaEquivalenciaEquivalenciasSuposicionesEjemplosSimplificacionSumario

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Introducción

En esta lectura veremos los elementos básicos delo que se llama Lógica Proposicional o CálculoProposicional. Iniciaremos con lo que entendemospor proposición y conectivo lógico. A partir de esoveremos lo que se conoce como tabla de verdad.Con eso se verá lo que se entiende comoequivalencia lógica que es base para reducción decircuitos lógicos y que es usado para entender loscasos de los ifs en los programas de computadora.

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Sentencia Declarativa

Una sentencia declarativa es una oración queafirma algo.EjemplosSon sentencias declarativas:■ El curso de Matemáticas Discretas está fácil.■ El caballo blanco es verde.■ Si la luna está llena y no llueve, entonces saldré

a caminar.■ El Último Teorema de Fermat es cierto.■ Esta frase es falsa.■ x + 3 es impar.

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EjemplosNo son sentencias declarativas:■ ¿Está lloviendo?■ ¡Hola!, ¿cómo estás?■ Tierno sáuz, casi ámbar, casi luz. . .■ ¿Qué es en el fondo actuar, sino mentir? ¿Y qué

es actuar bien, sino mentir convenciendo?

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Proposición

Una proposición es una sentencia declarativa quedebe ser verdadera o falsa pero no ambas.EjemplosSon proposiciones:■ El curso de Matemáticas Discretas está fácil.■ Si la luna está llena y no llueve, entonces saldré

a caminar.■ El Último Teorema de Fermat es cierto.

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EjemplosNo son proposiciones:■ Esta frase es falsa

◆ Si la frase es cierta, lo que en ella se dicedebe ser cierto, así debe ser falsa.

◆ Si la frase es falsa, lo contrario a lo que en ellase afirma es cierto, por consiguiente es cierta.

■ x + 3 es un número impar◆ Si x = 2 la afirmación es cierta.◆ Si x = 3 la afirmación es falsa.

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Variable Proposicional

En nuestro manejo de proposiciones utilizaremossímbolos para representarlas. Estos símbolos sellamarán variables proposicionales. Asípondremos

p : El curso de Matemáticas Discretas estáfácil.

Indicará que la variable proposicional p representala proposición “El curso de Matemáticas Discretasestá fácil.”

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Proposiciones Primitiva y Compuestas

Una proposición primitiva es una proposición queno se puede descomponer en hechos mássimples.Ejemplos■ El curso de matemáticas discretas está fácil.■ El caballo blanco es verde.

Una proposición compuesta es una proposiciónque no es primitiva.Ejemplos■ Si la luna está llena y no llueve, salgo a caminar.■ Yo contraté el cable básico, como tú.

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Valor de Verdad

El valor de verdad de una proposición es unaasignación a uno de los dos posibles valoresverdadero o falso. Esta asignación dependerá delo que en la misma proposición se afirme: si escierto diremos que tiene valor de verdad verdaderoy si es falso diremos que tiene valor de verdadfalso.

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Operadores Lógicos

Los operadores lógicos sirven para construirproposiciones complejas.■ Negación: ¬p (Léase “no p”)■ Disjunción: p ∨ q (Léase “p o q”)■ Conjunción: p ∧ q (Léase “p y q”)

Estos operadores pueden usarse una o variasveces en forma combinada o no para construirproposiciones más complejas, por ejemplo

p ∨ (q ∧ (r ∨ (¬p)))

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Jerarquía de Operadores

Para reducir el número de paréntesis se convieneen una jerarquía de operadores para indicar elorden de precedencia de uno sobre otro.

Mayor Jeraquía ¬ ∧ ∨ Menor Jerarquía

Ante una disputa de operandos gana el que tieneuna mayor jerarquía. Así

La expresión Se interpreta como

p ∨ q ∧ r p ∨ (q ∧ r)

¬p ∧ q (¬p) ∧ q

p ∧ ¬s ∨ ¬q ∧ r (p ∧ (¬s)) ∨ ((¬q) ∧ r)

Los paréntesis deben ser utilizados para forzar elorden de las operaciones.

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Uso de operadores

Supongamos quep: Está calurosoq: Está soleador: Está lluviosos: Está húmedoEntonces la representación de las siguientesafirmaciones queda:■ Está lluvioso y soleado : r ∧ q■ Está soleado o está lluvioso : q ∨ r■ Está soleado y no está caluroso : q ∧ ¬p■ Ni está soleado ni está caluroso : ¬q ∧ ¬p■ Está soleado pero está lluvioso : q ∧ r■ Está lluvioso pero no está caluroso : r ∧ ¬p

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Fórmula Bien Formada

Una fórmula bien formada (FBF ó por sus síglasen íngles WFF) o también llamada formaproposicional es una expresión donde aparecenvariables proposicionales, las constantesT(verdadero) o F (falso), operadores lógicos yparéntesis: bien balancedos los paréntesis, losoperadores lógicos indicados y con el número deargumentos correctos.Son FBFs:

p , p ∨ q , p ∨ (q ∧ ((¬r) ∧ s))

No FBSs:

p q , r ∨ (q ∧ ¬) , (s ∧ r) ∨ (q¬p)

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Tabla de Verdad

Una tabla de verdad de una proposición es unadescripción organizada de los valores de verdadde la proposición para todos los valores posiblesde la variables proposicionales que aparecen enella.

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Tabla de Verdad de la Negación

p ¬p

F T

T F

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Tabla de Verdad de la Disjunción

p q p ∨ q

F F F

F T T

T F T

T T T

Sólo es F cuando sus argumentos son ambosfalsos.

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Tabla de Verdad de la Conjunción

p q p ∧ q

F F F

F T F

T F F

T T T

Sólo es T cuando sus argumentos son ambosverdaderos.

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Ejemplo de Tabla de Verdad

Calcule la tabla de verdad de (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q):

p q p ∨ q ¬q p ∨ ¬q (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

F F F

F T F

T F T

T T T

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Equivalencia Lógica

Dos formas proposicionales α y β se dicenlógicamente equivalentes si y sólo si tienenvalores de verdad idénticos para cualquiersustitución de valores de verdad de sus variablesproposicionales. Esto se simbolizará

α ≡ β

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De la misma definición de equivalencia entre FBFsse deduce el procedimiento de verificación:■ Construir las tablas de verdad de ambas

expresiones: como dos columnas en una mismatabla.

■ Comparar las tablas renglón por renglón.■ Si renglón a reglón tienen el mismo valor de

verdad, son equivalentes.■ Si hay al menos un renglón donde difieran, no

son equivalentes.

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Equivalencia Utilizadas

Comprueba la validez de la ley conmutativa:

p ∧ q ≡ q ∧ p

p q p ∧ q q ∧ p

F F F F

F T F F

T F F F

T T T T

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Comprueba la validez de la ley conmutativa:

p ∨ q ≡ q ∨ p

p q p ∨ q q ∨ p

F F F F

F T T T

T F T T

T T T T

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Comprueba la validez de la ley asociativa:

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

p q r p ∧ q (p ∧ q) ∧ r q ∧ r p ∧ (q ∧ r)

F F F F F F F

F F T F F F F

F T F F F F F

F T T F F T F

T F F F F F F

T F T F F F F

T T F T F F F

T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley asociativa:

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

p q r p ∨ q (p ∨ q) ∨ r q ∨ r p ∨ (q ∨ r)

F F F F F F F

F F T F T T T

F T F T T T T

F T T T T T T

T F F T T F T

T F T T T T T

T T F T T T T

T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley distributiva:

α =p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)= β

p q r q ∨ r α p ∧ q p ∧ r β

F F F F F F F F

F F T T F F F F

F T F T F F F F

F T T T F F F F

T F F F F F F F

T F T T T F T T

T T F T T T F T

T T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley distributiva:

α =p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)= β

p q r q ∧ r α p ∨ q p ∨ r β

F F F F F F F F

F F T F F F T F

F T F F F T F F

F T T T T T T T

T F F F T T T T

T F T F T T T T

T T F F T T T T

T T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley de De Morgan:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

p q p ∧ q ¬ (p ∧ q) ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q

F F F T T T T

F T F T T F T

T F F T F T T

T T T F F F F

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Comprueba la validez de la ley de De Morgan:

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

p q p ∨ q ¬ (p ∨ q) ¬p ¬q ¬p ∧ ¬q

F F F T T T T

F T T F T F F

T F T F F T F

T T T F F F F

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Comprueba la validez de la ley de Absorción:

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p q p ∧ q p ∨ (p ∧ q)

F F F F

F T F F

T F F T

T T T T

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Comprueba la validez de la ley de Absorción:

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q)

F F F F

F T T F

T F T T

T T T T

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Comprueba la validez de la ley de la doble negación:

¬(¬p) ≡ p

p ¬p ¬ (¬p)

F T F

T F T

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Comprueba la validez de la ley de la negación o ley de inversa:

p ∧ ¬p ≡ F

p ¬p p ∧ ¬p

F T F

T F F

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Comprueba la validez de la ley de la negación o ley de inversa:

p ∨ ¬p ≡ T

p ¬p p ∨ ¬p

F T T

T F T

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Comprueba la validez de la ley de idempotencia:

p ∧ p ≡ p

p p ∧ p

F F

T T

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Comprueba la validez de la ley de idempotencia:

p ∨ p ≡ p

p p ∨ p

F F

T T

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Comprueba la validez de la ley de identidad:

p ∧ T ≡ p

p T p ∧ T

F T F

T T T

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Comprueba la validez de la ley de identidad:

p ∨ F ≡ p

p F p ∨ F

F F F

T F T

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Suposiciones

Tomaremos como válidas dos reglas importantesque cumple la equivalencia de expresioneslógicas:

Propiedad transitiva de la equivalencia

Si α ≡ β y β ≡ γ, entonces α ≡ γ.

Propiedad de sustitución

Si α ≡ β y F(α) es una expresión lógicadonde aparece α, entonces F(α) ≡ F(β).Aquí F(β) es la expresión que se obtuvo desustuituir β donde aparecía α en F(α).

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Ejemplos de Simplificación

Veamos ahora algunos ejemplos de simplicacióncuya justificación se basa en las leyes lógicasrecien vistas.

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En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique enorden las leyes que justifican cada paso.

1) Ley de identidad 2) Ley de De Morgan

3) Ley de la doble negación 4) Ley distributiva

5) Ley asociativa 6) Ley de dominación

7) Ley conmutativa 8) Ley de inversas

9) Ley de idempotencia 10) Ley de absorción

(r ∧ ¬p) ∨ (r ∧ p) ≡ r ∧ (¬p ∨ p) por 10

≡ r ∧ (p ∨ ¬p) por 7)

≡ r ∧ T por 8

≡ r por 1

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En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique enorden las leyes que justifican cada paso.

1) Ley de identidad 2) Ley de De Morgan

3) Ley de la doble negación 4) Ley distributiva

5) Ley asociativa 6) Ley de dominación

7) Ley conmutativa 8) Ley de inversas

9) Ley de idempotencia 10) Ley de absorción

(t ∧ (¬ (¬t ∨ q))) ∨ (t ∧ q) ≡ (t ∧ (¬(¬t) ∧ ¬q)) ∨ (t ∧ q) por 2

≡ (t ∧ (t ∧ ¬q)) ∨ (t ∧ q) por 3

≡ ((t ∧ t) ∧ ¬q) ∨ (t ∧ q) por 5

≡ (t ∧ ¬q) ∨ (t ∧ q) por 9

≡ t ∧ (¬q ∨ q) por 4

≡ t ∧ T por 8

≡ t por 1

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Una FBF se dice ser una tautología si se evalua enverdadero para todos los valores de verdadposibles para sus variables proposicionales; porotro lado se llama contradicción si es falsasiempre, y se llama contingencia cuando su tablade verdad tiene tanto verdaderos como falsos. Entérminos de equivalencias: α es una tautología si ysólo si α ≡ T; α es una contradicción si y sólo siα ≡ F; y α es una contingencia si y sólo si α no esequivalente ni a T ni a F.

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Temas Vistos

■ Concepto de proposición■ Variable Proposicional y Fórmulas Bien

Formadas■ Conectivos Lógicos: Disjunción, Conjunción y

Negación)■ Tabla de Verdad■ Equivalencia Lógica■ Simplificación argumentada de una FBF■ Tautología, Contradicción, y Contingencia