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Matemáticas 1º Bachillerato CCSS

Tema 1.- Números reales

1.- Números racionales

Los números racionales son todos los que se pueden expresar en forma de fracción, o lo que

es lo mismo, son los números enteros, los números decimales finitos y los números

decimales periódicos.

2.- Números irracionales

Los números irracionales son los que no son racionales, es decir, todos los que NO se

pueden expresar en forma de fracción, o lo que es lo mismo, son los números decimales NO

periódicos.

3.- Intervalos y semirrectas

Nombre Símbolo Expresión

matemática Representación

Intervalo abierto (𝑎, 𝑏) ó ]𝑎, 𝑏[ {𝑥 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

Intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] {𝑥 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

Intervalo semiabierto (𝑎, 𝑏] ó ]𝑎, 𝑏] {𝑥 / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

[𝑎, 𝑏) ó [𝑎, 𝑏[ {𝑥 / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

Semirrecta

(−∞, 𝑎) ó ]−∞, 𝑎[ {𝑥 / 𝑥 < 𝑎}

(−∞, 𝑎] ó ]−∞, 𝑎] {𝑥 / 𝑥 ≤ 𝑎}

(𝑎, +∞) ó ]𝑎, +∞[ {𝑥 / 𝑥 > 𝑎}

[𝑎, +∞) ó [𝑎, +∞[ {𝑥 / 𝑥 ≥ 𝑎}

4.- Valor absoluto

|𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0

1. |𝑥 − 2| = 3 es lo mismo que 𝑥 − 2 = −3 ó 𝑥 − 2 = 3 (2 soluciones)

2. |𝑥 − 2| ≤ 3 es lo mismo que −3 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 3 (1 intervalo)

3. |𝑥 − 2| ≥ 3 es lo mismo que 𝑥 − 2 ≤ −3 ó 𝑥 − 2 ≥ 3 (unión de 2 intervalos)

5.- Potencias

1. 𝑎0 = 1

2. 𝑎1 = 𝑎

3. 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

4. 𝑎𝑛 · 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

5. 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 =𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

6. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛·𝑚

7. 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 = (𝑎 · 𝑏)𝑛

8. 𝑎𝑛: 𝑏𝑛 =𝑎𝑛

𝑏𝑛 = (𝑎

𝑏)

𝑛

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6.- Radicales

6.1.- Propiedades

1. √𝑎𝑛𝑛= 𝑎

2. √𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚

𝑛

3. √𝑎𝑚·𝑝𝑛·𝑝= √𝑎𝑚𝑛

4. ( √𝑎𝑚𝑛)

𝑝= √𝑎𝑚·𝑝𝑛

5. √ √𝑎𝑝𝑛

= √𝑎𝑛·𝑝

6. √𝑎𝑛

· √𝑏𝑛

= √𝑎 · 𝑏𝑛

7. √𝑎

𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛

6.2.- Extraer números en los radicales

√2563

= √283= √23 · 23 · 223

= √233· √233

· √223= 2 · 2 · √223

= 4√223= 4√4

3

6.3.- Suma y resta de radicales

Solo se pueden sumar y restar radicales EXACTAMENTE IGUALES. Se extrae del radical:

7√23

− 4√12503

+ 2 √2146= 7√2

3− 20√2

3+ 8 √226

= 7√23

− 20√23

+ 8√23

= −5 √23

6.4.- Producto y división de radicales

Solo se pueden multiplicar y dividir radicales con el MISMO ÍNDICE:

√10

√53 =

√1036

√526 = √103

52

6

= √23 · 53

52

6

= √23 · 56

= √406

6.5.- Racionalización

4

3 √627 =4

3 √627 ·√657

√657 =4 √657

3 √677 =4 √657

3·6=

4 √657

18=

2 √657

9

2 √4

8

5(√7−3√6)=

2 √48

5(√7−3√6)·

√7+3√6

√7+3√6=

2 √48

·(√7+3√6)

5((√7)2

−(3√6)2

)=

2 √48

·(√7+3√6)

5(7−9·6)=

2 √48

·(√7+3√6)

−235

7.- Logaritmos

log𝑎 𝑃 = 𝑏 significa que 𝑎𝑏 = 𝑃

7.1.- Propiedades

1. log𝑎 1 = 0

2. log𝑎 𝑎 = 1

3. log𝑎(𝑃 · 𝑄) = log𝑎 𝑃 + log𝑎 𝑄

4. log𝑎 (𝑃

𝑄) = log𝑎 𝑃 − log𝑎 𝑄

5. log𝑎 𝑃𝑛 = 𝑛 log𝑎 𝑃

6. Cambio de base: log𝑎 𝑃 =log𝑏 𝑃

log𝑏 𝑎

¡¡OJO con las propiedades 3 y 4!!:

log𝑎(𝑃 + 𝑄) ≠ (log𝑎 𝑃)(log𝑎 𝑄)

log𝑎(𝑃 − 𝑄) ≠log𝑎 𝑃

log𝑎 𝑄

3

Tema 2.- Matemática financiera

1.- Incrementos y disminuciones porcentuales

Si 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 es la cantidad final, 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 es la cantidad inicial y 𝑝% es el porcentaje que se

aumenta o disminuye:

𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 ±𝑝

100)

El + es para el aumento, y el – es para la disminución.

2.- Interés simple y compuesto. T.A.E.

2.1.- Interés simple

Si el rédito anual simple es del 𝑝%:

Rédito Interés Cantidad final

𝒑% anual 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ·𝑝

100 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +

𝑝

100· 𝑡)

𝒑

𝟏𝟐% mensual 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ·

𝑝

12 · 100 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +

𝑝

12 · 100· 𝑡)

𝒑

𝟑𝟔𝟓% diario 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ·

𝑝

365 · 100 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +

𝑝

365 · 100· 𝑡)

En la 1ª fórmula 𝑡 son años, en la 2ª son meses, y en la 3ª son días.

2.2.- Interés compuesto

Si el rédito anual compuesto es del 𝑝%:

Rédito Cantidad final

𝒑% anual 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +𝑝

100)

𝑡

𝒑

𝟏𝟐% mensual 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +

𝑝

12 · 100)

𝑡

𝒑

𝟑𝟔𝟓% diario 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +

𝑝

365 · 100)

𝑡

En la 1ª fórmula 𝑡 son años, en la 2ª son meses, y en la 3ª son días.

2.3.- T.A.E.

Si el rédito anual es del 𝑝%:

Tipo de interés T.A.E.

Mensual (1 +𝑝

12 · 100)

12

= 1 +𝑇

100

Trimestral (1 +𝑝

4 · 100)

4

= 1 +𝑇

100

En los dos casos el rédito anual del 𝑝% es igual al 𝑇% T.A.E.

4

3.- Anualidades de capitalización. Fondos

Si cada año se ingresa una anualidad 𝐴 con un rédito anual del 𝑝%, al cabo de 𝑡 años el

capital final es:

𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐴 · (1 +𝑝

100) ·

(1 +𝑝

100)

𝑡

− 1

𝑝100

4.- Anualidades de amortización. Préstamos

Si cada año se abona una anualidad 𝐴 para pagar una deuda 𝐷 en 𝑡 años al 𝑝% anual:

𝐷 · (1 +𝑝

100)

𝑡

= 𝐴 ·(1 +

𝑝100

)𝑡

− 1

𝑝100

5.- Números índices

5.1.- Índices simples

Si la variable 𝑋 toma los valores 𝑥0, 𝑥1, …, 𝑥𝑡, el índice de 𝑋 en el periodo 𝑡, tomando como

base el periodo 0 es:

𝐼𝑡/0 =𝑥𝑡

𝑥0 ó 𝐼𝑡/0 =

𝑥𝑡

𝑥0· 100

Las propiedades de los índices simples son:

1. 𝐼𝑡/0 =1

𝐼0/𝑡

2. 𝐼𝑡/0 · 𝐼𝑡′/𝑡 · 𝐼0/𝑡′ = 1. Por tanto: 𝐼𝑡′/𝑡 =𝐼𝑡′/0

𝐼𝑡/0 (cambio de base)

5.2.- Índices compuestos

Si en vez de una variable tenemos 𝑛 variables, 𝑋1, 𝑋2, …, 𝑋𝑛, se llama índice compuesto a la

media aritmética de los índices simples de cada variable:

𝐼𝑡/0(𝑋) =∑𝐼𝑡/0(𝑋𝑖)

𝑛

Aunque normalmente las variables tienen distintos grados de importancia, y por ello se usa

una media ponderada:

𝐼𝑡/0(𝑋) =∑𝐼𝑡/0(𝑋𝑖)𝑤𝑖

𝑛

siendo 𝑤1, 𝑤2, …, 𝑤𝑛, los pesos de cada variable.

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Tema 3.- Álgebra

1.- Ecuaciones de segundo grado

Se hallan sus raíces con la fórmula: 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎.

𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0: 2 soluciones

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0: 1 solución doble

𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0: no hay solución

1.1.- Ecuaciones bicuadradas

3𝑥4 − 15𝑥2 + 12 = 0 → {𝑥2 = 𝑦

3𝑦2 − 15𝑦 + 12 = 0 → {

𝑥2 = 𝑦

𝑦 =15±√152−4·3·12

2·3

→ {𝑥 = ±√𝑦

𝑦1 = 4𝑦2 = 1

→

→ {𝑥 = ±√4 = ±2

𝑥 = ±√1 = ±1

2.- Factorización de polinomios

Para factorizar el polinomio 𝑃(𝑥):

1. Se saca factor común de 𝑥 (elevado a la mayor potencia posible).

2. Se utiliza Ruffini con los divisores del término independiente. Cuando el resto dé 0,

tendremos que 𝑃(𝑥)

𝑥−𝑎= 𝑄(𝑥), es decir, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥).

3. Se repite el proceso con 𝑄(𝑥) hasta llegar a un polinomio de 2º grado.

4. Se utiliza la fórmula de 2º grado con el último polinomio.

5. Si se llega a un polinomio irreducible, se deja.

3.- Fracciones algebraicas

3.1.- Simplificación

Se divide numerador y denominador por el m.c.d. de los dos polinomios.

3.2.- Fracciones equivalentes

Una fracción se obtiene al multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador de

la otra fracción por un mismo polinomio.

Para comprobar si dos fracciones algebraicas son equivalentes, se usa el producto en cruz.

3.3.- Reducción a denominador común

Se halla el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común. Los nuevos

numeradores serán el resultado de dividir el m.c.m. por los denominadores originales y

multiplicar por los numeradores originales.

6

3.4.- Suma y resta

Se reducen las fracciones a denominador común y se suman o restan los nuevos

numeradores.

3.5.- Producto y división

El producto se hace multiplicando los numeradores entre sí y multiplicando los

denominadores entre sí. La división se hace multiplicando en cruz.

NOTA: se puede observar que los procedimientos de fracciones algebraicas son exactamente

los mismos que los de fracciones numéricas.

4.- Ecuaciones con la x dentro de un radical

Se despeja un radical y se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Si después hay

más radicales, se repite el proceso.

NOTA: en ocasiones aparecen soluciones ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las

soluciones.

5.- Ecuaciones con la x en el denominador

Se operan las fracciones tanto de un lado de la ecuación como del otro hasta que quede una

única fracción en cada miembro de la ecuación. Después se multiplica en cruz para obtener

una ecuación polinómica normal.

NOTA: en ocasiones aparecen soluciones ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las

soluciones.

6.- Sistemas de ecuaciones

Por lo general se resuelven mediante tres métodos:

Sustitución: se despeja una incógnita de una ecuación y se sustituye en la otra

ecuación.

Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los

resultados.

Reducción: se multiplica una ecuación por un número (o las dos ecuaciones por

números distintos) y se suman para eliminar una incógnita de una de las ecuaciones.

Si hay ecuaciones de los tipos vistos en las secciones 4, 5, 6 y 7 y no se puede utilizar

ninguno de los tres métodos anteriores, primero se transforman estas ecuaciones en

polinómicas.

7.- Método de Gauss

Un sistema escalonado de tres incógnitas es aquel en el que en una ecuación aparece

únicamente una incógnita, en otra aparece esa incógnita y otra más, y en la otra ecuación

aparecen las 3 incógnitas.

7

El método de Gauss consiste en aplicar el método de reducción varias veces hasta conseguir

un sistema escalonado, que se resuelve fácilmente.

8.- Inecuaciones con una incógnita

8.1.- Inecuaciones de primer grado

Se resuelve la inecuación teniendo en cuenta que al multiplicar o dividir por números

negativos la desigualdad cambia de sentido. La solución es un intervalo.

8.2.- Inecuaciones de segundo grado

1. Se transforma la inecuación en ecuación (se cambia la desigualdad por un =) y se

resuelve.

2. Se dibuja la recta real y se representan las soluciones, de modo que éstas dividen la

recta real en varios intervalos.

3. Se sustituye la 𝑥 de la inecuación por un número de uno de los intervalos, y si la

inecuación se cumple, ese intervalo forma parte de la solución.

4. Se repite el punto 3 con los demás intervalos.

5. La solución de la inecuación es la unión de los intervalos correctos.

8.3.- Sistemas de inecuaciones

Se resuelven las inecuaciones por separado. La solución es la intersección de todos los

intervalos.

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Tema 4.- Funciones elementales

Una función asocia a cada número real de un conjunto, otro número real (solo uno).

Función polinómica: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 (recta), 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 7𝑥 − 5, (parábola) …

Función de proporcionalidad inversa: 𝑓(𝑥) =2𝑥+3

𝑥−8 (hipérbola)

Función radical: 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2, 𝑓(𝑥) = 7 − √𝑥 − 43

, …

Función exponencial: 𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑓(𝑥) = 4−𝑥+5, …

Función logarítmica: 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, 𝑓(𝑥) = log(𝑥 + 1), …

Función trigonométrica: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑓(𝑥) = tan 7𝑥, …

1.- Dominio y recorrido de funciones

El dominio de una función son todos los números del eje X en los que existe la función. En

general, el dominio són todos los números reales exceptuando aquellos que hacen que un

denominador sea 0, o que lo que hay dentro de una raíz de índice par sea negativo, o que lo

que hay dentro de un logaritmo sea negativo.

El recorrido de una función son todos los valores que toma la función en el eje Y.

2.- Funciones definidas a trozos

Son funciones que en intervalos distintos tienen expresiones distintas.

𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 4𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

Si 𝑥 = 11 (11 ≥ 4), entonces el valor de la función es 𝑓(11) = 11 − 3 = 8

Si 𝑥 = −3 (−3 ≤ 0), entonces el valor de la función es 𝑓(−3) = (−3)2 + 2(−3) + 1 = 4

Si 𝑥 = 2 (0 < 2 < 4), entonces el valor de la función es 𝑓(2) = 1

3.- Valor absoluto de una función

La función |𝑓(𝑥)| se calcula hallando primero 𝑓(𝑥) y luego calculando el valor absoluto del

resultado. Gráficamente, se representa la función 𝑓(𝑥) y todo lo que quede por debajo del eje

X se cambia por su simétrico (respecto del eje X).

4.- Composición de funciones

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥, entonces {(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑒𝑥) = (𝑒𝑥)2 − 2𝑒𝑥 + 3

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2 − 2𝑥 + 3) = 𝑒𝑥2−2𝑥+3.

5.- Función inversa

Para que una función tenga inversa debe ser inyectiva.

𝑓(𝑥) =2𝑥+3

𝑥−8 → 𝑦 =

2𝑥+3

𝑥−8 → 𝑥𝑦 − 8𝑦 = 2𝑥 + 3 → 𝑥 =

8𝑦+3

𝑦−2 → 𝑓−1(𝑥) =

8𝑥+3

𝑥−2

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Tema 5.- Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de números ordenados (no tiene porqué ser de menor a mayor

ni de mayor a menor) que tiene un primer elemento pero no tiene último (son infinitos

números). Cada elemento de una sucesión se llama término.

El término general de una sucesión es una expresión matemática que representa a TODOS

los números de la sucesión.

1.- Progresión aritmética

Sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, llamada

diferencia de la progresión, d.

Término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Suma de los 𝑛 primeros términos: 𝑆𝑛 =(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛

2

2.- Progresión geométrica

Sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija,

llamada razón de la progresión, r.

Término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1 · 𝑟𝑛−1

Suma de los 𝑛 primeros términos: 𝑆𝑛 =𝑎𝑛·𝑟−𝑎1

𝑟−1=

𝑎1−𝑎𝑛·𝑟

1−𝑟

Suma de TODOS los términos cuando −1 < 𝑟 < 1: 𝑆∞ =𝑎1

1−𝑟

3.- Sucesiones recurrentes

Son sucesiones en las que cada término se obtiene haciendo cálculos con varios términos

anteriores. Es muy difícil obtener su término general.

Un ejemplo es la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

4.- Límite de una sucesión

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 se va acercando a un número 𝐿: lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va creciendo sin parar: lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = +∞

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va decreciendo sin parar: lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = −∞

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va oscilando: no existe límite

5.- El número e

El número 𝑒 es el límite de la sucesión 𝑎𝑛 = (1 +1

𝑛)

𝑛

y de la sucesión 𝑏𝑛 = (1 +1

−𝑛)

−𝑛

. Es

decir:

lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

𝑛

= lim𝑛→∞

(1 +1

−𝑛)

−𝑛

= 𝑒

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Tema 6.- Límites de funciones. Continuidad

1.- Límite de una función en un punto

Si cuando 𝑥 va aumentando su valor desde un número inferior a 𝑎 hasta llegar a 𝑎, la función

va acercándose a un número, este número se representa por lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥).

Si cuando 𝑥 va disminuyendo su valor desde un número superior a 𝑎 hasta llegar a 𝑎, la

función va acercándose a un número, este número se representa por lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥).

Si la función va acercándose al mismo número tanto si 𝑥 va aumentando como disminuyendo

hasta llegar a 𝑎, entonces la función tiene límite:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥)

2.- Continuidad

La función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎 si tal punto pertenece al dominio de 𝑓(𝑥) y lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Discontinuidad de salto infinito: alguno de los límites laterales es infinito.

Discontinuidad de salto finito: los dos límites laterales son finitos, pero distintos.

Discontinuidad evitable: los dos límites laterales son finitos y coinciden (por tanto,

existe el límite de la función: lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)), pero 𝑓(𝑎) no existe o no coincide con el límite.

3.- Cálculo de límites

Si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎, entonces lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥), siendo 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) dos polinomios:

o Si 𝑄(𝑎) ≠ 0, entonces lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝑃(𝑎)

𝑄(𝑎).

o Si 𝑄(𝑎) = 0 y 𝑃(𝑎) ≠ 0, entonces se calculan los límites laterales para saber

si el límite es +∞, −∞ o no existe (límites laterales distintos).

o Si 𝑄(𝑎) = 0 y 𝑃(𝑎) = 0, entonces hay que simplificar la fracción antes de

calcular el límite.

4.- Límites en el infinito

Si según como 𝑥 va aumentando, la función va aumentando sin parar, se dice que

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞. Y si va disminuyendo sin parar, lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = −∞. Del mismo modo,

puede ocurrir que sea lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = +∞ ó lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −∞.

Si según como 𝑥 va aumentando, la función va acercándose a un valor sin sobrepasarlo,

entonces lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝑘 y tenemos una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑘. Lo mismo puede

decirse si ocurre cuando 𝑥 va disminuyendo.

También puede ocurrir que los límites cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞ no existan.

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5.- Cálculo de límites en el infinito

El límite de un polinomio cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞ es +∞ o −∞, dependiendo del

signo del coeficiente del término de mayor grado y del exponente de la 𝑥.

lim𝑥→+∞

𝑎𝑥𝑚+⋯

𝑏𝑥𝑛+⋯ o lim

𝑥→−∞

𝑎𝑥𝑚+⋯

𝑏𝑥𝑛+⋯:

o Si 𝑚 > 𝑛, entonces el límite es +∞ o −∞, dependiendo de los signos de 𝑎 y

𝑏 y de los exponentes 𝑚 y 𝑛.

o Si 𝑚 < 𝑛, entonces el límite es 0.

o Si 𝑚 = 𝑛, entonces el límite es 𝑎

𝑏, pero hay que considerar los signos

dependiendo de los exponentes 𝑚 y 𝑛.

6.- Asíntotas

6.1.- Asíntotas verticales

Si lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ±∞, entonces existe una asíntota vertical en 𝑥 = 𝑎. En general, si 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥),

las raíces de 𝑄(𝑥) forman asíntotas verticales.

6.2.- Asíntotas horizontales

Si lim𝑥→+∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 𝑘, entonces existe una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑘. Lo mismo si lim

𝑥→−∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 𝑘.

6.3.- Asíntotas oblicuas

Si el grado del polinomio 𝑃(𝑥) es exactamente una unidad más que el grado del polinomio

𝑄(𝑥), entonces 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 𝑚𝑥 + 𝑛 +

𝑅(𝑥)

𝑄(𝑥) y tenemos una asíntota oblicua en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.

7.- Indeterminaciones

0

0: Se debe simplificar la fracción antes de calcular el límite.

∞ − ∞: Si son dos fracciones, se restan antes de calcular el límite; y si son radicales,

se multiplica y se divide por el conjugado de los radicales.

1∞: Si se está calculando el límite de 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), el límite será el número 𝑒 elevado al

límite de 𝑔(𝑥)(𝑓(𝑥) − 1).

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Tema 7.- Derivadas

1.- Derivada de una función

La derivada de una función 𝑓(𝑥) en un punto 𝑥0 es, por definición: 𝑓′(𝑥0) = limℎ→0

𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)

ℎ, y

gráficamente es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

La función derivada da directamente la derivada en cada punto: 𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ.

2.- Tabla de derivadas

Función Derivada Función Derivada

(𝒇(𝒙))𝒏 𝑛 · (𝑓(𝑥))

𝑛−1· 𝑓′(𝑥)

𝒆𝒇(𝒙) 𝑒𝑓(𝑥) · 𝑓′(𝑥) 𝐥𝐧(𝒇(𝒙)) 1

𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥)

𝒂𝒇(𝒙) ln 𝑎 · 𝑎𝑓(𝑥) · 𝑓′(𝑥) 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒇(𝒙)) 1

ln 𝑎·

1

𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥)

𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙)) cos(𝑓(𝑥)) · 𝑓′(𝑥) 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙))

1

√1 − (𝑓(𝑥))2

· 𝑓′(𝑥)

𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) − sin(𝑓(𝑥)) · 𝑓′(𝑥) 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) −

1

√1 − (𝑓(𝑥))2

· 𝑓′(𝑥)

𝐭𝐚𝐧(𝒇(𝒙))

[1 + tan2(𝑓(𝑥))] · 𝑓′(𝑥)

1

cos2(𝑓(𝑥))· 𝑓′(𝑥)

𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒇(𝒙)) 1

1 + (𝑓(𝑥))2 · 𝑓′(𝑥)

Operación Cálculo

Suma de funciones (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))′

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Producto por un número (𝑎 · 𝑓(𝑥))′

= 𝑎 · 𝑓′(𝑥)

Producto de funciones (𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥))′

= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

División de funciones (𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥))

′

=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))2

Regla de la cadena ((𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥))′

= (𝑓(𝑔(𝑥)))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥)) · 𝑔′(𝑥)

4.- Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos

Si 𝑓′(𝑥0) > 0, entonces 𝑓(𝑥) es creciente en 𝑥0.

Si 𝑓′(𝑥0) < 0, entonces 𝑓(𝑥) es decreciente en 𝑥0.

Si 𝑓′(𝑥0) = 0 o no existe, entonces 𝑓(𝑥) podría tener un máximo relativo o un mínimo

relativo en 𝑥0.

5.- Representación de funciones

1. Hallar el dominio y el recorrido.

2. Hallar los puntos de corte y el signo de la función.

3. Hallar las asíntotas.

4. Hallar los máximos y mínimos relativos, y el crecimiento y decrecimiento con la

derivada.

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Tema 8.- Distribuciones unidimensionales

1.- Tabla de distribución de frecuencias

𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒉𝒊 𝑭𝒊 𝑯𝒊

𝒙𝟏 𝑓1 ℎ1 =𝑓1

𝑛 𝐹1 = 𝑓1 𝐻1 = ℎ1

𝒙𝟐 𝑓2 ℎ2 =𝑓2

𝑛 𝐹2 = 𝑓1 + 𝑓2 𝐻2 = ℎ1 + ℎ2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝒙𝒏 𝑓𝑛 ℎ𝑛 =𝑓𝑛

𝑛 𝐹𝑛 = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝐻𝑛 = ℎ1 + ℎ2 + ⋯ + ℎ𝑛

𝑓𝑖 son las frecuencias absolutas, ℎ𝑖 son las frecuencias relativas, 𝐹𝑖 son las frecuencias

absolutas acumuladas, y 𝐻𝑖 son las frecuencias relativas acumuladas.

Cuando haya muchos valores de 𝑥𝑖 se agrupan en intervalos y se utiliza su punto medio como

𝑥𝑖 en la tabla anterior.

2.- Medidas de centralización

Media aritmética: �̅� =∑𝑥𝑖

𝑛 Media ponderada: �̅� =

∑𝑥𝑖𝑓𝑖

𝑛

La media aritmética únicamente se utiliza si todas las frecuencias absolutas son 1.

Si se ordenan todos los valores de menor a mayor: el primer valor cuya frecuencia absoluta

acumulada (𝐹𝑖) está por encima de 𝑛

4 se llama primer cuartil, 𝑄1; el primer valor cuya

frecuencia absoluta acumulada está por encima de 2 ·𝑛

4=

𝑛

2 se llama segundo cuartil, 𝑄2,

aunque también se llama mediana, 𝑀𝑒; y el primer valor cuya frecuencia absoluta

acumulada está por encima de 3 ·𝑛

4 se llama tercer cuartil, 𝑄3.

La moda es el valor que tiene la mayor frecuencia absoluta (𝑓𝑖).

3.- Medidas de dispersión

Rango o recorrido: 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

Desviación media: 𝐷𝑀 =∑|𝑥𝑖−�̅�|𝑓𝑖

𝑛

Varianza: 𝑠2 =∑(𝑥𝑖−�̅�)2

𝑛

Desviación típica: 𝑠 = √𝑠2

4.- Coeficiente de variación

𝑉𝑝 =𝑠

�̅�· 100

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Tema 9.- Distribuciones bidimensionales

El conjunto de parejas de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), …, (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), se llama distribución

bidimensional. Si se representan esos valores en un sistema de coordenadas, se obtiene el

diagrama de dispersión (también llamado nube de puntos).

1.- Tabla con sus fórmulas

𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊 − �̅� 𝒚𝒊 − �̅� (𝒙𝒊 − �̅�)𝟐 (𝒚𝒊 − �̅�)𝟐 (𝒙𝒊 − �̅�)(𝒚𝒊 − �̅�)

𝒙𝟏 𝑦1 𝑥1 − �̅� 𝑦1 − �̅� (𝑥1 − �̅�)2 (𝑦1 − �̅�)2 (𝑥1 − �̅�)(𝑦1 − �̅�)

𝒙𝟐 𝑦2 𝑥2 − �̅� 𝑦2 − �̅� (𝑥2 − �̅�)2 (𝑦2 − �̅�)2 (𝑥2 − �̅�)(𝑦2 − �̅�)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒙𝒏 𝑦𝑛 𝑥𝑛 − �̅� 𝑦𝑛 − �̅� (𝑥𝑛 − �̅�)2 (𝑦𝑛 − �̅�)2 (𝑥𝑛 − �̅�)(𝑦𝑛 − �̅�)

∑𝒙𝒊 ∑𝑦𝑖 ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∑(𝑦𝑖 − �̅�)2 ∑(𝑥𝑖 − �̅�)(𝑦𝑖 − �̅�)

Medida Fórmula

Media de 𝒙 �̅� =∑𝑥𝑖

𝑛

Media de 𝒚 �̅� =∑𝑦𝑖

𝑛

Centro de gravedad de la distribución (�̅�, �̅�)

Varianza de 𝒙 𝑠𝑥2 =

∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑛

Desviación típica de 𝒙 𝑠𝑥 = √𝑠𝑥2

Varianza de 𝒚 𝑠𝑦2 =

∑(𝑦𝑖 − �̅�)2

𝑛

Desviación típica de 𝒚 𝑠𝑦 = √𝑠𝑦2

Covarianza de 𝒙 e 𝒚 𝑠𝑥𝑦 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)(𝑦𝑖 − �̅�)

𝑛

Coeficiente de correlación entre 𝒙 e 𝒚 𝑟 =𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥 · 𝑠𝑦

El coeficiente de correlación está entre -1 y 1, y mide la relación que hay entre las variables.

Si se acerca a 1, las variables están directamente relacionadas; si se acerca a -1, las variables

están inversamente relacionadas; y si se acerca a 0, las variables no están relacionadas.

2.- Rectas de regresión

Coeficiente de regresión de 𝑌 sobre 𝑋: 𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥2

Recta de regresión de 𝑌 sobre 𝑋: 𝑦 = �̅� +𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥2 (𝑥 − �̅�)

Coeficiente de regresión de 𝑋 sobre 𝑌: 𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑦2

Recta de regresión de 𝑋 sobre 𝑌: 𝑥 = �̅� +𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑦2 (𝑦 − �̅�)

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Tema 10.- Cálculo de probabilidades

1.- Definiciones

En un experimento aleatorio (como lanzar un dado), pueden obtenerse diferentes resultados.

El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (1, 2, 3, 4, 5 y 6). Cada

posible resultado es un suceso elemental, y los conjuntos de sucesos elementales (sacar

número par, sacar más de 4, sacar número primo, …) se llaman simplemente sucesos.

Suceso imposible: suceso que NUNCA ocurre (sacar más de 6, sacar múltiplos de 7, …)

Suceso seguro: suceso que ocurre SIEMPRE, es decir, es el espacio muestral.

Unión de sucesos: ocurre un suceso O el otro.

Intersección de sucesos: ocurre un suceso Y el otro.

Diferencia de sucesos: ocurre un suceso Y NO ocurre el otro.

Complementario de un suceso: NO ocurre el suceso.

Sucesos incompatibles: sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

La probabilidad siempre va de 0 a 1. La probabilidad del suceso imposible es 0, y la del

espacio muestral (suceso seguro) es 1.

𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Fórmula de Laplace: 𝑃(𝐴) =𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

2.- Probabilidad condicionada

𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

La probabilidad condicionada de 𝐴 sobre 𝐵 es la probabilidad de que ocurra 𝐴, si

consideramos que 𝐵 es el “nuevo” espacio muestral.

Los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵). En ese caso: {𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴)

𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵).

3.- Probabilidad total

Si se divide el espacio muestral en 𝑛 sucesos incompatibles, 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, entonces:

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴1) · 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐵/𝐴2) · 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐵/𝐴𝑛) · 𝑃(𝐴𝑛)

4.- Fórmula de Bayes

Si se divide el espacio muestral en 𝑛 sucesos incompatibles, 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, entonces:

𝑃(𝐴𝑖/𝐵) =𝑃(𝐵/𝐴𝑖) · 𝑃(𝐴𝑖)

𝑃(𝐵/𝐴1) · 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐵/𝐴2) · 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐵/𝐴𝑛) · 𝑃(𝐴𝑛)

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Tema 11.- Distribuciones de probabilidad

Variable discreta: se pueden encontrar dos posibles valores consecutivos de la variable.

Variable continua: entre dos posibles valores de la variable hay infinitos posibles valores.

1.- Distribuciones de probabilidad de variable discreta

A cada valor se le asocia su probabilidad (se puede representar con un diagrama de barras).

Media: 𝜇 = ∑𝑥𝑖𝑝𝑖 Varianza: 𝜎2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑝𝑖 Desviación típica: 𝜎 = √𝜎2

1.1.- Distribución binomial

Un experimento dicotómico consiste en realizar un experimento y ver si ocurre un suceso o

no (éxito o fracaso). La probabilidad del éxito se expresa por 𝑝, y la del fracaso 𝑞 = 1 − 𝑝.

La distribución binomial consiste en realizar 𝑛 experimentos dicotómicos y contar los

éxitos. Se expresa 𝐵(𝑛, 𝑝). La fórmula de la probabilidad en una distribución binomial es:

𝑃[𝑥 = 𝑘] = (𝑛𝑘

) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘; media: 𝜇 = 𝑛𝑝; desviación típica: 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞

2.- Distribuciones de probabilidad de variable continua

La función de probabilidad o función de densidad es una función que tiene la siguiente

propiedad: la probabilidad de que la variable tome un valor entre 𝑎 y 𝑏 es igual al área que

hay entre la función y el eje X entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Por ello, esta función NUNCA es

negativa, y el área total que hay entre la función de densidad y el eje X es 1.

La función de distribución es una función de probabilidad acumulada. A cada valor, 𝑎, le

asocia la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a 𝑎. Es decir, a cada

valor, 𝑎, le asocia el área que hay entre la función de densidad y el eje X desde su comienzo

hasta 𝑥 = 𝑎.

2.1.- Distribución normal

Su función de densidad es una campana de Gauss, más ancha o estrecha y más alta o baja

dependiendo de su media y su desviación típica. Se expresa 𝑁(𝜇, 𝜎).

Cuando la media es 0 y la desviación típica es 1, tenemos la distribución normal típica. Para

calcular probabilidades en 𝑁(0,1), se usa una tabla donde a partir de 𝑘, da 𝜙(𝑘) = 𝑃[𝑧 ≤ 𝑘],

siendo 𝑘 ≥ 0. Si se quiere calcular todo tipo de probabilidades, hay que tener en cuenta que:

𝑃[𝑧 ≤ 𝑘] = 𝜙(𝑘)

𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘)

𝑃[𝑧 ≤ −𝑘] = 𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘)

𝑃[𝑧 ≥ −𝑘] = 𝑃[𝑧 ≤ 𝑘] = 𝜙(𝑘)

Para calcular probabilidades en una distribución normal cualquiera, hay que tipificar la

variable:

𝑃[𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏] = 𝑃 [𝑎 − 𝜇

𝜎≤ 𝑧 ≤

𝑏 − 𝜇

𝜎]