Ensino SuperiorMatemtica BsicaUnidade 14 - CircunfernciaAmintas Paiva Afonso

Amintas Paiva Afonsoamintas@matematiques.com.brCIRCUNFERNCIATEORIAPROPRIEDADES PROBLEMAS RESOLVIDOS

CIRCUNFERNCIA- um lugar geomtrico de um conjunto de infinitos pontos que equidistam de um ponto situado no centro.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERNCIA

PROPRIEDADES BSICAS NA CIRCUNFERNCIA01- Raio traado ao ponto de tangncia perpendicular reta tangente.

02- Raio ou dimetro perpendicular a uma corda bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).

03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes entre as paralelas.

04- A cordas congruentes em uma mesma circunferncia lhes correspondem arcos congruentes.

POSIES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERNCIAS

01- CIRCUNFERNCIAS CONCNTRICAS - Tm o mesmo centro. d = Zero; d: distancia

02- CIRCUNFERNCIAS EXTERIORES - No tem ponto em comum.d > R + r

d = R + r 03- CIRCUNFERNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Tm Um ponto comum que a de tangncia.

d = R - r04- CIRCUNFERNCIAS TANGENTES INTERIORES - Tm um ponto en comum que a de tangncia.d: Distncia entre os centros

05- CIRCUNFERNCIAS SECANTES - Tm dois pontos comuns que so as interseces.( R r ) < d < ( R + r )

06- CIRCUNFERNCIAS ORTOGONAIS - Os raios so perpendiculares no ponto de interseco.d2 = R2 + r2

06- CIRCUNFERNCIAS INTERIORES - No tm pontos comuns.d < R - rd: Distncia entre os centros

1 - Desde um ponto exterior a uma circunferncia se pode traar dois raios tangentes que determinam dois seguimentos congruentes. PROPRIEDADES DAS TANGENTESAP = PB

2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - So congruentesAB = CD

3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - So congruentes.AB = CD

TEOREMA DE PONCELET - Em todo tringulo retngulo, a soma das comprimentos dos catetos igual ao comprimento da hipotenusa mais o dobro do raio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

TEOREMA DE PITOT - Em todo quadriltero circunscrito a uma circunferncia, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos so iguais. a + c = b + d

1 - MEDIDA DO NGULO CENTRAL - igual medida do arco que se ope.

2 - MEDIDA DO NGULO INTERIOR - igual semisoma das medidas dos arcos opostos

3 - MEDIDA DO NGULO INSCRITO - a metade da medida do arco oposto.

4 - MEDIDA DO NGULO SEMI-INSRITO - igual medida do arco oposto.

6 - NGULOS EXTERIORES - So trs casos:a - Medida do ngulo formado por duas retas tangentes - igual semidiferena das medidas dos arcos opostos.

b - ngulo formado por duas retas secantes - igual semidiferena da medida dos arcos opostos.

c - Medida do ngulo formado por uma reta tangente e outra secante - igual semidiferena das medidas dos arcos opostos.

1402XX + (X+70) + 50 = 180X = 30Pelo ngulo semi-inscrito PQS Problema N 01RESOLUOSubstituindo:No tringulo PQS:Resolvendo a equao:PSQ = x

X = 40No tringulo retngulo RHS140 propriedade, que:140 + X = 180Pelo ngulo inscritoProblema N 02RESOLUOm S = 70Resolvendo:PSQ = x

130X = 4050Problema N 03RESOLUOResolvendo:APD = x

X = 1854xProblema N 04RESOLUOAPN = xSe traaa o raio OM:Dado: OM(raio) = PMLogo tringulo PMO isscelesngulo central igual ao arcoMedida do ngulo exteriorResolvendo:

Medida do ngulo inscrito:X = 55110Problema N 05RESOLUOPRQ = xPela propriedade do ngulo exterior formado por duas tangentes:Resolvendo:

Calcule a medida do ngulo X.Problema N 06

RESOLUOPela propriedade do ngulo exterior formado por duas tangentes:Medida dol ngulo inscrito:140140 + x = 180Resolvendo: X = 40

Calcular a medida do ngulo xProblema N 07

RESOLUOMedida do ngulo inscrito:Na circunferncia:260Pela propriedade do ngulo exterior formado por duas tangentes:X = 80

Calcule o permetro do tringulo ABC.Problema N 08

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) Logo o permetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 RESOLUOa + b = 14 Substituindo (1) em (2) (2p) = 14 + 10

ABORDAGEM80Problema N 09

2a + 80 = 360 a = 140Medida do ngulo exterior:X = 30Na circunferncia:RESOLUO

ABORDAGEMProblema N 10

Teorema de Poncelet: PQR a + b = PR+2(3) a +b + c + d = 2PR + 10PR = 6 cmDado: a + b + c + d = 22 cmPSR c + d = PR+2(2)RESOLUO