Propiedades : Formulas & PracticasPropiedades de las potencias Potencias de exponente 0a0 = 1 50 = 1Potencias de exponente 1a1 = a 51 = 5Potencias de exponente entero negativo Potencias de exponente racional Potencias de exponente racional y negativo Multiplicacin de potencias con la misma baseam a n = am+n 25 22 = 25+2 = 27Divisin de potencias con la misma baseam : a n = am n 25 : 22 = 25 - 2 = 23 Potencia de un potencia(am)n=am n (25)3 = 215Multiplicacin de potencias con el mismo exponentean b n = (a b) n 23 43 = 83Divisin de potencias con el mismo exponentean : b n = (a : b) n 63 : 33 = 23Productos notablesBinomio al cuadradoBinomio de suma al cuadradoUn binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer trmino, ms el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado segundo.(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2(x + 3)2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9Binomio de resta al cuadradoUn binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer trmino, menos el doble producto del primero por el segundo, ms el cuadrado segundo.(a b)2 = a2 2 a b + b2(2x 3)2 = (2x)2 2 2x 3 + 3 2 = 4x2 12 x + 9Suma por diferenciaUna suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.(a + b) (a b) = a2 b2(2x + 5) (2x - 5) = (2 x)2 52 = 4x2 25 Binomio al cuboBinomio de suma al cuboUn binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, ms el triple del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo.(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3(x + 3)3 = x 3 + 3 x2 3 + 3 x 32 + 33 == x 3 + 9x2 + 27x + 27 Binomio de resta al cuboUn binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.(a b)3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 - 33 == 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadradoUn trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, ms el cuadrado del seguno, ms el cuadrado del tercero, ms el doble del primero por el segundo, ms el doble del primero por el tercero, ms el doble del segundo por el tercero.(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b + + 2 a c + 2 b c(x2 x + 1)2 = = (x2)2 + (x)2 + 12 +2 x2 (x) + 2 x2 1 + 2 (x) 1 == x4 + x2 + 1 2x3 + 2x2 2x == x4 2x3 + 3x2 2x + 1Suma de cubosa3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)Diferencia de cubosa3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2)8x3 27 = (2x 3) (4x2 + 6x + 9)Producto de dos binomios que tienen un trmino comn(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab(x + 2) (x + 3) == x2 + (2 + 3)x + 2 3 == x2 + 5x + 6Cocientes notables;;

____________ . ________________________________

Lmites de funcionesLmite de una funcin en un puntoLmite finito

Lmite infinito

Lmite menos infinito

Lmites laterales

Lmites en el infinitoLmite cuando x tiende a infinito

Lmite cuando x tiende a menos infinito

Operaciones con lmites

g puede ser una raz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Operaciones con infinito y cero

No distinguimos entre + y - para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:La regla de los signos y que a-n = 1/a n Comparacin de infinitos 1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.Cualquier funcin exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logartmicas.Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.Clculo de lmitesLmite en un puntoSi f(x) es una funcin usual (polinmicas, racionales, radicales, exponenciales, logartmicas, etc.) y est definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Lmite en una funcin definida a trozosEn primer lugar tenemos que estudiar los lmites laterales en los puntos de unin de los diferentes trozos.Si coinciden, este es el valor del lmite.Si no coinciden, el lmite no existeLmite cuando x tiende a infinitoPara calcular el lmite de una funcin cuando x se sustituyen las x por .Funciones polinmicas en el infinitoEl lmite cuando x de una funcin polinmica es + o - segn que el trmino de mayor grado sea positivo o negativo.Inversa de un polinomio en el infinito.Lmite cuando x tiende a menos infinito

Lmite de la funcin exponencialSi a > 0

Si 0 < a < 1

Lmite de la funcin logartmicaSi a > 0

Si 0 < a < 1

IndeterminacionesInfinito partido infinito1. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente o aplicamos la siguiente regla prctica:1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el lmite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.2 Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es , dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.3 Si el denominador tiene mayor grado el lmite es 0. 2. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.3. Por comparacin de infinitos.Infinito menos infinito1. Por comparacin de infinitos.2. Con funciones racionales ponemos a comn denominador. Cero partido cero1. Funcin racional sin radicales:Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fraccin.2. Funcin racional con radicales:En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresin irracional.Realizamos las operaciones y simplificamos la fraccin.Cero por infinito Se transforma a a

Uno elevado a infinitoSe resuelve transformando la expresin en una potencia del nmero e.

Formulario de integralesSean las costantes a, k, y C. Y la funcin u de derivada u'.

Si u = x (u' = 1), tenemos:

Ecuaciones de la rectaEcuacin vectorial de la recta

Ecuaciones paramtricas de la recta

Ecuacin continua de la recta

Pendiente

Ecuacin punto-pendiente de la recta

Ecuacin general de la recta

Ecuacin explcita de la recta

Ecuacin cannica o segmentaria

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

Rectas paralelas al eje OX

Rectas paralelas al eje OY

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Posiciones relativas de dos rectasSecantes

Paralelas

Coincidentes

ngulo que forman dos rectas

Distancia de un punto a una recta

Ecuacin de la mediatriz

Ecuaciones de las bisectrices

EjerciciosEscribir la ecuacin punto pendiente de:1 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).

2 Una recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

3Una recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinacin de 45.

Escribir la ecuacin general de la recta que:1 Pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

2 Pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones:1 2x + 3y - 4 =02 x - 2y + 1= 03 3x - 2y -9 = 04 4x + 6 y - 8 = 05 2x - 4y - 6 = 06 2x + 3y + 9 = 0Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coeficientes son proporcionales:

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el trmino independiente.

Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

Hallar la distancia entre r 3 x - 4 y + 4 = 0 y s 9 x - 12 y - 4 = 0.

Halla el punto simtrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r 2 x + y - 12 = 0.

Una recta es paralela a la que tiene por ecuacin r 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. Cul es su ecuacin?

MEDIA ARITMETICA

MEDIANA

MODA

MEDIA GEOMETRICA

MEDIA ARMONICA

LA DESVIACION ESTANDARPARA DATOS NO AGRUPADOS

PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZAPARA DATOS NO AGRUPADOS

PARA DATOS AGRUPADOS

COEFICIENTE DE VARIACION

Frmulas de lgebra

Monomiosaxn + bxn = (a + b)bxn axn bxn = (a b)bxn axn bxm = (a b)bxn +m axn : bxm = (a : b)bxn m (axn)m = amxn m

Productos notablesBinomios al cuadrado(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2(a b)2 = a2 2 a b + b2Binomios al cubo(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3(a b)3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3Binomio de Newton

Diferencia de cuadradosa2 b2 = (a + b) (a b) Suma de cubosa3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)Diferencia de cubosa3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2)Diferencia cuartaa4 b4 = (a + b) (a b) (a2 + b2)Trinomio al cuadrado(a + b + c)2 = a2 + b2 + 2 a b + + 2 a c + 2 b c Cocientes notables

FactorizacinFactor comna b + a c + a d = a (b + c + d) Doble extraccin de factor comnx2 ax bx + ab = x (x a) b (x a) = (x a) (x b)Trinomio de segundo grado a x2 + bx +c = a (x -x1 ) (x -x2 )

EcuacionesEcuacin de segundo gradoax2 + bx +c = 0

Ecuacin bicuadradaax4 + bx2 + c = 0

MatricesSuma y resta de matrices

Producto de una matriz por un nmero real

Producto de matricesMm x n x Mn x p = M m x p

Matriz inversa

Determinantes|a 11|=a 11 = a 11 a 22 - a 12 a 21 Regla de SarrusLos trminos con signo + estn formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice opuesto. Los trminos con signo - estn formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice opuesto. =a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.Sistema Cramer

Teorema de Rouchr = r' Sistema Compatible. r = r'= n Sistema Compatible Determinado. r = r' n Sistema Compatible Determinado. r r' Sistema Incompatible. Sistemas homogneosAdmiten la solucin trivial: x1 = x2 =... = xn = 0. Tiene soluciones distintas de la trivial si:r < n

Definicin de logaritmoDe la definicin de logaritmo podemos deducir:No existe el logaritmo de un nmero con base negativa.

No existe el logaritmo de un nmero negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3.El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4.El logaritmo de una raz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el ndice de la raz.

5.Cambio de base:

Clculo de la pendiente

Pendiente dado el ngulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Pendiente dada la ecuacin de la recta.

EjemplosLa pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la divisin por 0 no est definida.

Propiedades de los lmites Lmite de una constante

Lmite de una suma

Lmite de un producto

Lmite de un cociente

Lmite de una potencia

Lmite de una funcin

g puede ser una raz, un log, sen ,cos, tg, etc. Lmite de una raz

Lmite de un logaritmo

Wilfredo Aspilcueta Poves Matemtica Superior Pgina 6