enciclopedia pentru tineri

Matematicasi informatica

I

d

I Primele numere B

in perioada grecilorsi a romanilot 10

in Evul Mediu,

ffi *r iiiinta araoa Preoomina 12

I Scrierea matematice

Simboluri universale

Figuri

ffii toirteoogate 42

I Deplasarea figurilor 44

Atenlie la migcdri! 46

ffiffiffi "'''"" "" ''"uo'"'"" 'n"'''n"' 48

I Triunghiul drePtunghic 50

52

I Rigla si comPasul

DrePtele Paralele

Sinus gi cosinus

3B

40

16

18

I Numerele Pdnd la infinit 20I Perspectiva 54

56

Uimitoarea istoriea numerelor

Ciuddleniile numerelor

22

24

in cdutareasecretului lumii

I Regulile algebrei 26 I Cercul

Cerc, disc, slerd, bild

5B

60

FE&l ,r,'",u, u, ,.uor",n" or,,,,u ,tI Rezolvarea Problemelor 30

Aceeagi problemd,mai multe solulii 32

Tolicopiiidin tume 34

I Vectorii 62

IF ',,r" uo

ffiffi@@',$4

I

I

70

72

".1" 74

I Coordonatele 68

:dJr{*1,

I Calculatoarele

, t-*## &:

IJA;#t*

90

84

86

8B

I Gradul I 9i gradul al ll-lea

Trei aspecte ale gradului I

I Statistica

Atenlie la medii!

Automatizarea calculului

Tineri qi virtuozi!

lnlormatica:un instrument indispensabil

76

7BI CAliva mari matematicieni 92

I lndicePerspicacitate

%h,*

5

% vrffik*' :ir}#P" \

t*,iifrs

Din cele mai vechi timpuri, omul a inventat sisteme ce i.au

permis si efectueze calcule complexe pentru a misura

timpul, a alcitui calendare si pentru a desfigura diverse

activititi: comerlr cresterea vitelor, impirfirea bunurilor.

imele numereLrum au inv5lat primii oamenis[ numere? Arheologii au gisitvestigii ale numdratului datAnd cu40 000 de ani i.Hr. in acele vremurinu se cuno$teau cifrele, iar socotitulera rudimentar.Oamenii preistorici numirau cuajutorul unor oase, al unor belesau pietricele.

s% @ffi

sau al p[(ilor corpului. S-au descoperit

,,oase numerice" preistorice, vechi de

30 000 de ani, dar primele documentematematice cunoscute dateazd at3 000 de ani i.Hr. gi provin dinMesopotamia, regiunea din OrientulMijlociu in care a fost inventatd gi

scrierea. Este vorba despre tdblipde argild pe care apar semne corespunzdtoare

cifrelor. Scribii mesopotamieninotau operaliile folosindnumeratia prin pozilionare.Potrivit acestui principiu,pe care il folosim qi astdzi,#il

Numiratu! firi cifreCdnd unul dintre strdmogii noqtripreistorici vroia sI iqi numere vitele,fEcea pentru fiecare cdte o crestlturdsau folosea cAte o pietricicd. Pentru a

verifica ulterior daci nu a pierdut weunanimal, era suficient si reia opera{iuneaqi sd compare apoi cele doud rentltate.Primii oameni numirau folosindu-gidegetele, c6rora le corespundea cdteun num[r, dar qi alte pd(i ale corpului(degetele de la picioare, nasul, ochii,urechile, umerii...).

inceputurile scrieriiPentru a putea refine sau deosebinumerele, mai ales in caztl cantitS(ilormari, oamenii au creat treptat simboluri,printr-un proces indelungat, cate adurat mii de ani. Cifrele de astizi nepermit sd efectudm rapid calcule maidificile decdt cu ajutorul pietricelelor

cifrele au o valoare diferitd in funcliede locul pe care il ocupl unele fa{ide altele. Astfel, cifrele unitililor, alezecilor, ale sutelor, ale miilor etc. se

recunosc dupd pozilie. in timp ce noifolosim sistemul inbaza 10 (adicdprin inmultirea cu 10 se trece dela ordinul unitdlilor la cel al zecTlor,al sutelor etc.), mesopotamieniifoloseau o combinalie intre sistemulsexagesimal qi cel zecimal: doui selnne

I;r*r,**;i"*" {*ml;r

Valoarea simbolului numeric se modificd in funclie depozilia sa: cuneiforma din stinga are valoarea de

60 x 60, cea din mijloc de 60, iar cea din dreapta, de 1.

diferite reprezentat unitatea gi

num[rul 10. Peste 60 era folositi ocombinalie intre cele doui semne,dupd principiul pozi(iondrii.

Calculii sunlmici bucili de

argili, de diferiteforme, care

corespundeaunumerelor

mesopotamiene,

ffi(2 x 10) + 1

12

T3 600

irijl,Bi:=i{'::l:.* :':'llf,I:iW:r,;:. *i=iE€::,:'**1:!lF:rl";

Place egipteane de fildeg pe care pot fi recunoscute cifrele 100 (spirala) si 100 000 (pasdrea).

in aceastd picture funerard, patru muncitori:gipteni mdsoard cantitatea de grAu si varsd boabele

dintr-o grdmadd in alta; in dreapta, mai-marelescribilor socotegte pe degete 9i le dd rezultatulcelor trei scribi care stau in picioare, in stanga.

Hieroglifele egiptene-.rroape in aceeasi perioadA, egiptenii

- - realizat propria lor scriere matematicd:roglificd. Calculele lor s-au pdstrat

'r::-o mdsure mai micd decAt cele a1e- :sopotamienilor, pentru c6, in locul.:litelor de argil6, care s-au conservat- :.e. scribii egipteni notau totul pe-':irusuri foarte fragile. Egiptenii

.rseau numeroase tehnici de calcul,--rtre care qi inmullirea cu doi.

Pentru a calcula 2I x 14, foloseau tablainmullirii cu 2 qi descompuneau operafia:21x14:(2lx B)+(21 x4)+ (21x2):168 + 84 + 42:294. Sistemul lor denumeralie nu era usor de utilizat. Pentru a

deosebi unitilile, zecile, miile etc., egipteniifoloseau semne diferite pe care le repetaude c6te ori era nevoie. Pentru citirea unuinumir, se aduna valoarea fiecdrui simbolfiilizai Un numdr ca 3 541 se scria cutrei semne reprezentdnd cAte o mie, cincisefilne de o sut6, patru semne de zeceqi unul pentru unitdli, adica 13 semne,in timp ce numeratia prin pozitionare nepermite si folosim doar 4. t

Principalele sapte cifre hieroglifice j$,.:1

,^..*-.,i

1 000

Primele calculefrac!ionarePentru a scrie fractiile,

egiptenii foloseau mai

multe simboluri.

.:4,[[il

Gura, care semnificanumdritorul (1), era notatesus, iar dedesubt, semnelecorespunzatoare numitorului.Nu cunogteau fracliile cunumdritor diferit de 1,

astfel incAt, pentru exprimarea

unei fraclii ca $, aceasta

era descompuse in | + ft.in comerl, pentru a mdsura

cantitdlile de cereale

sau de lichide, egipteniifoloseau alte frac!ii,care, dispuse intr-unanumit fel, reprezentau

ochiul zeului-goim Horus.

1

3

<a?InIlnI

1

6

<96)

1

100

<e?[[[fl[l-5

@m

1

10

is{n

__3

1

g1t4ti** ....,,.t

10

4t

100

J!*

' El*

10 000

: .,'

d@@t +rr:t.

1 00 000

itaI1 ri; **j

i,

,. 1

ffi ooo

Pe aceastaplacd funerard

a printesei egipteneNefertiabet se

observi in coloanadin dreapta cifrele

(vezi imagineade mai sus)

reprezentdndcantitatea proviziilor

ei de hrandpentru lumea

cealaltd (basorelief,cca. 2590 i.Hr.).

#> *\e rfl64U

9

ri\ Gil \e

Biblioteca din AlexandriaDupi cucerirea Egiptuluide citre Alexandru cel Mare,

Alexandria a devenitcentrul intelectual al lumiielene. Pdnd la cucerireasa de cdtre musulmani (640),

aici gi-au desfdguratactivitatea numerogiinvdla!i (Arhimede, Euclid,Ptolemeu), gcoalade matematicd a acestuiorag fiind renumitd. Dinpdcate, multe tratate,aflate printre cele 500 000 devolume ale imensei bibliotecidin orag, au fost distrusein anul 47 i.Hr. Bibliotecaa ars cind lulius Cesar, carecucerise oragul, a incendiatflota egipteanS 9i arsenaluloragului pentru a-gi proteiapropria flotd (vezi imagineade mai jos).

Dupi aceastd bdtilie cumplitd,Cleopatra, pe care Cesar oinstalase pe tronul Egiptului,a refdcut biblioteca, aducindmanuscrise din Pergam(Asia Mici), alt mare centruintelectual al epocii. Dar a fostdin nou distrusd parlial in 640,

in timpul cuceririi arabe.

Elementele, de Euclid (detaliu de manuscris), este primul tratat important de matematicd, in special de geometrie.

A';l';* 'o':;T' Ah'#"'J -Il

;i::

ln perioada grecilor gi a romanilor

Matematicienii greci au avut o mare

contribulie in ceea ce privesteralionamentul. Ei au introdusdemonstralia, o succesiune de afirmalii,in care trecerea de la o afirma{ie laalta nu poate fi pusi la indoiald.Printr-o demonstralie riguroasi,pentru orice problemi se poate deduce

solu{ia exact[.

Pdrinlii geometrieiGrecii erau pasionali de astronomie, iarcercetdrile in acest domeniu au stat labazadescoperirilor lor geometrice. Thales qi

Pitagora (sec. al Vl-lea i.Hr.) au fostpdrinlii geometriei predate gi astlzi ingcoli; Euclid a prezentat principalelecunoqtinle de geometrie din epocd inlucrarea sa Elementele (sec. al IV-lea i.Hr.);Hiparc din Alexandria a creat trigonometriain secolul al Il-lea i.Hr.; Ptolemeu a

conceput o extraordinard sirrtezd astronomicdin sec. al Il-lea d.Hr.

Un sistem numeric nepracticEi au fost mai pulin inventivi in aritmeticS,poate din catza fapttiui ci sistemul lor de

numeralie era foarte incomod. Formaunumerele atAt prin adunare, c6t gi prininmullire. De exemplu, pentru a notanumIrul 50, scriau semnul care reprezenta10 in interiorul semnului 5, iar pentru

Primul sistem grecesc de numeralie.

lt) il[34

a scrie 12 000, imbinau semnelereprezentAnd 10 000 gi 2 000. Ulterior,

Dupd sec. al Vl-lea i.Hr., grecii foloseau primele zecelitere ale alfabetului pentru a scrie cifrele.

au adoptat un sistem suplimentar, care lutilizaliterele alfabetului.Cifrele de la 1 la9,reprezentate prinliterele alfabetului gi simboluri, caapostroful sau M, puteau exprima cantitSlimari (mii sau zeci de mii).

Algebra greaceDoi greci s-au remarcat in mod specialin domeniul algebrei gi al al aritmeticii.

r5

H100

I r"r

50 000

lI12r)6

F50

x1 000

r))7

A10

rXAAA80rrM

5 000 10 000

rf500

,ii'MMM80 000

to

Romanii utilizau sapte simboluri pentru cifre: l (1), V (5), X (10), 1(50), C (100), D (S00) si M (1 000).

"1 Galculul

. cu abacul

.\rhimede, care a fost gi un mare::eometru, a trdit la Siracuza in

=c. al III-lea i.Hr. gi a studiat maii-es numerele foarte mari. El a:alculat cAte fire de nisip ar umple: sferd cAt Universul, la dimensiunile-rnoscute in epoc5, qi a ajuns la un:'-rmdr care incepea cu 1 gi era urmat:: 80 de milioane de miliarde de cifre,: i.ntitate inimaginabild pe atunci!Jiofant din Alexandria a fost un savant' - arte misterios, istoricii neg[sind::,-i o urmd a existenlei sale. Se pare;i a trdit in sec. al IV-lea d.Hr. si a*rs mai multe c54i de algebr[, primele:-:r istoria matematicii. El propunea::rbleme de geometrie, la care incerca,L dea solulii aritmetice, sub form6 de:': -:iltii. Manuscrisul sdu, uitat timp de*fI€ Secole, a fost redescoperit de arabi.

Bornanii calculau anevoios-. rindul 1or, romanii dispuneau:,: -rn sistem de calcul la fel de

complicat caacela al grecilor, fiindcdnecesita adundri gi scdderi. De exemplu,pentru a scrie 2 372 foloseau nu mai

6789VI VII VIII Ix

10x

50 60 100 500LLXCD

't2345TITTIIIVV20 30 40xx xxx xL

1 000 , 5000 t0'000 ':loo:otxt

Mvxa t'000 0oo'El '.

Cifrele romane sunt folosite 9i astizi, mai alespentru notarea secolelor.

pulin de 10 simboluri! De fapt, ei utilizauaceste simboluri pentru scrierea cifrelor(date, preluri etc.) gi nu pentru calcule.CAnd socoteau, romanii se foloseaude abace, tlblile cu vergele pe care se

deplasau bile reprezentAnd unitdlilesau zecile etc. Dar chiar qi cu ajutorulacestui strdmoq al calculatorului,o simplS inmullire necesita mai multemanevre, ceea ce nu era prea practic.

Tabloul lui Rafael $coala din Atena (1510-1511)aduce un omagiu marilor matematicieni Euclid

(sec. al lll-lea i.Hr.), in dreapta, aplecat, gi Pitagora(sec. al Vl-lea i.Hr.), in stdnga, cdruia ii

este prezentati o plangeta.

H."re= Sistemulrl-;ir1:!=ii' dg

numera!iegrec 9i cel

roman'j'?'erau

complicatepentru

efectuareaiE".-::!:. " rapidiaUnOroperalii in scris. Pentrucalcule, romanii foloseauun abac, o tablile pe careexistau vergele paralelepentru unitili, zeci, sute etc.Pe fiecare vergea se plasa

un numir de bilecorespunzitor numirului caretrebuia reprezentat. inOccident, abacul va fiutilizat mult timp, chiar dupiintroducerea sistemuluiindo-arab de numeraliezecimali pozi!ionald (celutilizatde noi).