Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematica- serii
Citation preview
CAPITOLUL 3SERII
3.1. Serii de numere reale pozitive
Fie şirul , cu , atunci se poate construi un nou şir cu termeni pozitivi, care are termenul general
(1),
care se numeşte şirul sumelor parţiale asociat şirului .
Definiţia 1:Fiind dat şirul , se numeşte serie de numere reale cu
termeni pozitivi suma formală (2).
Se pune întrebarea dacă seria (2) are o valoare finită sau nu. Răspunsul la această întrebare poate fi dat folosind şirul sumelor parţiale .
Definiţia 2:Seria (2) este convergentă şirul sumelor parţiale este convergent,
adică seria este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale are limită, este unică şi finită.
(3)
Definiţia 3:Seria este divergentă dacă ea nu este convergentă, adică şirul este divergent sau nu are limită.
Observaţii:1. Dacă , atunci seria , adică este divergentă.2. Dacă şirul nu are limită, dar este mărginit, atunci spunem că
seria este oscilantă şi seria este tot divergentă.3. Prin natura unei serii precizăm (înţelegem) dacă seria este
convergentă sau divergentă.
77
Exemple:Să se precizeze natura următoarelor serii:
1.
2.
3.
Rezolvare:
1. Seria are termenul general , iar şirul sumelor
parţiale are termenul .
Studiem convergenţa şirului . Dar:
atunci:
găsim că:
şi
Atunci seria
78
care este convergentă.2. Seria are termenul general , cu , iar şirul
sumelor parţiale are termenul general .
Dar
Cum , atunci
Deci
Atunci seria cu este convergentă.
3. Seria cu este divergentă pentru că dacă , atunci
iar dacă , atunci
Proprietăţile şirurilor cu termeni pozitivi:1. Natura unei serii nu se schimbă dacă se adaugă un număr finit de
termeni, sau dacă se suprimă un număr finit de termeni.2. Natura unei serii nu se modifică dacă se schimbă ordinea unui
număr finit de termeni.3. Seriile şi au aceeaşi natură .
4. Dacă seriile şi sunt convergente, atunci şi seriile
sunt convergente.
5. Dacă seria este convergentă, atunci şirul sumelor parţiale este mărginit şi crescător.
6. Dacă seria cu este convergentă, atunci .
7. Dacă nu tinde la 0, atunci seria este divergentă cu .
8. Dacă cu , atunci seria poate să nu fie convergentă.
79
Demonstraţiile acestor proprietăţi sunt evidente. Vezi bibliografia [1],
[2], [4]. Pentru proprietatea 8. vom vedea mai departe că seria
are termenul general cu şi totuşi seria este
divergentă, adică seria să aibă termenul general care să tindă către zero şi totuşi seria să nu fie convergentă. Proprietatea 6. afirmă că orice serie convergentă are şirul convergent către zero.
Observaţii:1. Având în vedere legătura între serie şi şirul sumelor parţiale, atunci
toată teoria de la şiruri poate fi transpusă în cazul seriilor de numere reale [1], [2], [4].
2. Cum seria cu , atunci şirul sumelor parţiale
cu este un şir crescător. Dacă şirul este
mărginit, atunci şirul este convergent şi implicit seria este convergentă (vezi teorema lui Cesaro – orice şir monoton şi mărginit este convergent).
3. Problema esenţială care se pune la serii este stabilirea convergenţei, motiv pentru care acest curs va urmări în special acest lucru.
În continuare vor fi prezentate mai multe criterii de stabilire a convergenţei unei serii cu termeni pozitivi.
Criteriul comparaţieiFie şirurile , cu şi seriile asociate
şi .
a) Dacă seria este convergentă, atunci seria este convergentă.
b) Dacă seria este divergentă, atunci seria este divergentă.
Demonstraţie:
80
a) Cum seria este convergentă, atunci şirul sumelor parţiale
este convergent, unde . Dar . Atunci
(5)
Cum şirurile şi sunt crescătoare şi, în plus, este mărginit şi , atunci şirul este convergent, adică seria este convergentă.
b) Cum seria este divergentă, atunci şirul este divergent,
adică (5). Cum , atunci (6)
adică şirul este divergent, deci seria este divergentă.
Exemple (foarte importante!!):Să se determine natura seriilor următoare:
1.
2.
3.
Aceste serii au o importanţă deosebită, motiv pentru care va trebui să stabilim natura lor.
1. Seria
Cum
81
Deci
(8)
Înlocuind pe (8) în (7) avem:
Deci seria
este divergentă.
2. Seria are:
Aplicând criteriul pentru care ştim că seria este divergentă,
atunci şi seria este divergentă.
3. Seria va avea un tratament speical pentru stabilirea
convergenţei, la fel ca seria , adică:
Dar
de ori.
82
Atunci
Înlocuind în (9) avem:
Deci
unde
Cum seria este seria geometrică cu
, pentru este convergentă, atunci din (10’) rezultă că
seria şi este convergentă.
Concluzii (de reţinut!!)1. Seria este divergentă şi se numeşte seria armonică standard.
2. Seria cu se numeşte seria armonică generalizată, care este:
cu este divergentă, iar
cu este convergentă.
3. Seria se numeşte seria geometrică şi este - convergentă pentru
- divergentă pentru 4. Aceste serii sunt foarte utilizate în stabilirea convergenţei altor serii.
83
Exemplu:
Să se stabilească natura seriei .
Soluţie:
Considerăm şirul: .
Cum pentru şi seria este seria
geometrică cu , care este convergentă, atunci conform criteriului
rezultă că seria este convergentă.
Criteriul comparaţiei la limităDacă avem seriile şi cu şi dacă
, atunci ambele serii au aceeaşi natură, adică ambele sunt
convergente sau ambele sunt divergente.
Demonstraţie:Să presupunem că seria este convergentă şi , atunci
astfel încât pentru sau
. (11)
Rezultă că pentru . (11’)Cum seria este convergentă, atunci şi seria este
convergentă. Deci seria este convergentă, atunci din relaţia (11) rezultă că: (11”) pentru un suficient de mic astfel ca să fie pozitiv. Atunci
, adică seria este convergentă. Analog, dacă seria
este divergentă, atunci din relaţia (11’) rezultă că ,
84
adică este divergentă pentru că seriile şi au aceeaşi natură conform proprietăţilor generale ale seriilor.Dacă seria este divergentă, atunci din relaţia (11”) rezultă că
, adică seria este divergentă.Exemple:
Să se stabilească natura următoarelor serii:
1.
2.
3.
Soluţie:
Pentru seria cu considerăm seria cu
. Aplicând criteriul găsim că:
.
Deci , atunci cele două serii au aceeaşi natură. Cum seria este
divergentă, atunci şi seria este divergentă.
Pentru seria cu considerăm seria cu
, atunci:
.
Deci seria este divergentă pentru că seria este divergentă.
85
Pentru seria cu considerăm seria cu
, atunci
.
Deci seriile au aceeaşi natură. Cum seria este seria armonică
generalizată cu , care este convergentă, atunci seria este
convergentă.
Al doilea criteriu al comparaţieiFie seriile şi cu pentru şi dacă există
pentru care (12), atunci:
a) Dacă seria este convergentă, atunci şi seria este convergentă.
b) Dacă seria este divergentă, atunci şi seria este divergentă.
Demonstraţie:Cum pentru avem prin ipoteză că , atunci rezultă că:
(12)
Înmulţind relaţiile (12) se obţine:
86
(13)
pentru .Relaţia (13) se poate scrie sub forma:
(13’).
Notând avem că pentru (14).
Dacă seria este divergentă, atunci seria este divergentă şi dacă
seria este convergentă, atunci şi seria este convergentă (folosind ). Criteriul rădăcinii (Cauchy)
Fie seria cu şi fie .
a) Dacă , atunci este convergentă.
b) Dacă , atunci este divergentă.
c) Dacă , atunci nu se poate preciza natura seriei .
Demonstraţie:Cum astfel încât sau
(15).a) Pentru , atunci în relaţie (15) alegem un atât de mic astfel ca
şi atunci avem . Atunci (16).Cum seria este seria geometrică cu raţia , atunci ea este convergentă.Deci seria este convergentă, atunci seria este convergentă (vezi proprietăţle sumelor).b) Dacă , atunci din relaţia (15) alegem un atât de mic astfel ca
şi avem . Atunci
(17).
87
Cum seria este seria geometrică cu raţia , atunci ea este divergentă
şi implicit seria este divergentă, adică este divergentă.c) Pentru cazul când nu putem preciza natura seriei. Pentru argumentarea aceste afirmaţii vom considera două exemple.
Seria este seria armonică standard care este divergentă şi dacă calculăm
.
Pentru seria avem şi, în plus, este o
serie convergentă pentru că .
Cum seria este seria armonică generalizată cu , atunci ea este
convergentă.
În ambele cazuri şi seria este divergentă, iar seria este
convergentă. Deci nu se poate preciza natura seriei când .
Exemple:Să se stabilească natura următoarelor serii:
1.
2.
Rezolvare:
Pentru seria calculăm .
Conform criteriului seria este convergentă.
Pentru seria calculăm
Conform criteriului seria este divergentă.
Criteriul raportului (D’Alembert)
88
Fie seria cu şi fie .
a) Dacă , atunci seria este convergentă.
b) Dacă , atunci seria este divergentă.
c) Dacă , atunci nu se poate preciza natura seriei .
Demonstraţie:
Dacă astfel încât .
Atunci
sau
(18).
a) Dacă , atunci alegem pe suficient de mic în (18) pentru ca
şi pentru sau aplicând recursiv această ultimă relaţie
se obţine:
(19)
Însumând relaţiile (19) se obţine (20).
Cum seria este seria geometrică cu raţia , atunci ea este
convergentă, şi rezultă din (20) că seria este convergentă, adică seria
este convergentă.b) Dacă , atunci alegem pe suficient de mic în (18) pentru ca
şi .
Aplicând recursiv această relaţie se obţine:
89
(21)
Însumând relaţiile (21) se obţine: (22).
Cum seria este seria geometrică cu raţia , atunci ea este divergentă.Din relaţia (22) rezultă că seria este divergentă. Deci seria este divergentă.c) Pentru argumentarea afirmaţiei de la punctul c) vom considera aceleaşi exemple date la criteriul .
Seria are şi şi totuşi seria este divergentă.
Analog, seria este convergentă şi are , iar
.
Deci, în cazul când , nu se poate preciza natura seriei date.
Exemple:Să se stabilească natura seriilor următoare:
1.
2.
3.
4.
Rezolvare:
Pentru seria avem , iar .
Deci seria este convergentă.
90
Pentru seria avem , iar
.
Deci seria este convergentă.
Pentru seria avem cu , iar
.
Deci seria este convergentă .
Pentru seria avem , iar
.
Deci seria este divergentă.
Observaţie:Când se aplică criteriul lui Cauchy sau criteriul lui D’Alembert şi se
obţine , atunci nu se poate preciza natura seriei. În acest caz se poate aplica criteriul lui Raabe-Duhamel.
Criteriul Raabe – DuhamelFie seria cu , pentru care se calculează limita
. Dacă , atunci avem că:
a) Pentru seria este convergentă.
b) Pentru seria este divergentă.
Demonstraţie: Vezi [1].
Exemplu:
91
Să se determine natura seriei
Soluţie:
Seria are termenul general , iar
Deci , atunci avem:a) Pentru seria este divergentă.b) Pentru seria este convergentă.
c) Pentru seria are termenul general
şi seria devine seria armonică standard , care este divergentă.
Criteriul integralFie cu o funcţie continuă, pozitivă, descrescătoare
care îndeplineşte condiţia: (23).Corespunzător acestei funcţii considerăm seria cu termenul general
.Notând cu:
(24)
primitiva funcţiei , avem:a) Dacă există şi este finită limita , atunci seria este
convergentă.b) Dacă , atunci seria este divergentă.
Demonstraţie:a) Pentru , considerăm intervalul , atunci
cum este descrescătoare avem şi
sau
92
(25).
Însumând relaţia (25) pe intervalul avem
(26)
sau
(27).
Trecând la limită se obţine: (28).
Cum este finită, atunci seria este convergentă.b) Pentru , considerăm intervalul , atunci
cum este descrescătoare avem şi
sau
(29).
Însumând (29) pe intervalul obţinem:
(30)
sau:
(30’).
Trecând la limită se obţine: (31).
Cum , atunci din (31) rezultă că seria este divergentă.
Exemple:Să se determine natura seriilor următoare:
1.
2.
93
Soluţie:
Pentru seria avem .
Găsim că funcţia este , care este descrescătoare, continuă şi
.
Atunci primitiva F este .
Facem schimbare de variabilă , atunci:pentru ,pentru .
Iar .
Deci .
Calculăm:
.
Deci este finit, atunci seria este convergentă.
Pentru seria avem iar funcţia
este , care este descrescătoare, continuă cu
.
Atunci primitiva F este .
Facem schimbarea de variabilă , iar
.
Calculând rezultă că seria este divergentă.
Tema 3.1.
94
Folosind criteriile prezentate să se determine natura seriilor următoare care au termenul general .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
3.2. Serii cu termeni oarecare
95
Fie şirul cu , atunci se poate construi un şir , unde .
Şirul se numeşte şirul sumelor parţiale asociat şirului .
Definiţia 1:Se numeşte serie de numere reale ataşată şirului suma formală
(1).
Se pune întrebarea dacă seria are valoare finită sau nu.
Definiţia 2:Seria este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale
este convergent, adică . (2)
Definiţia 3:Seria este divergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale nu este convergent.
Observaţii:1. Toate proprietăţile corespunzătoare seriilor cu termeni reali sunt la fel
cu proprietăţile de la serii cu termeni reali şi pozitivi prezentate în paragraful anterior.
2. Criteriile de stabilire a naturii seriilor cu termeni reali şi pozitivi nu mai rămân valabile decât într-o mică măsură. Pentru seriile cu termeni reali oarecare avem un criteriu de stabilire a convergenţei.
Criteriul lui AbelFie seria care are şirul sumelor parţiale mărginit. Dacă
şirul este descrescător către zero , atunci seria este convergentă.
Demonstraţie:
96
Cum seria are şirul sumelor parţiale mărginit, atunci
astfel încât . (3)
Din ipoteză şirul este un şir de numere reale pozitive, descrescător cu limita zero astfel încât .Deci (4).
Notăm .
Calculăm:
Deci (5).Folosind criteriul general al lui Cauchy pentru şiruri care spune că şirul
este convergent astfel încât , pentru
şi , atunci alegem şi folosind (4) şi (5) avem că şirul
este convergent astfel încât
, , adică şirul este
convergent.
Observaţii:1. În practică se întâlnesc mai rar serii cu termeni oarecare.2. Un caz particular de serii oarecare sunt seriile alternante.
3.2.1. Serii alternante
Definiţia 4:Fie şirul de numere reale pozitive. Se numeşte serie
alternantă o serie de forma .
Observaţie:
97
Pentru seriile alternante, în afară de criteriul lui Abel care este valabil pentru orice serie de numere reale, mai există încă un criteriu de stabilire a convergenţei.
Criteriul lui LeibnitzFie şirul de numere reale pozitive, descrescător cu limita zero,
atunci seria alternantă este convergentă.
Demonstraţie:Folosind criteriul lui Abel pentru serii cu termeni oarecare în care
vom lua pe post de şir cu care este un şir mărginit dar nu este convergent, iar pe post de şir luăm care este un şir descrescător, convergent către zero şi pozitiv, atunci seria este convergentă.
Exemple:Să se studieze convergenţa următoarelor serii:
1.
2.
3.
Soluţie:
Pentru seria avem care este un şir descrescător
cu .
Atunci seria este convergentă.
Pentru seria avem . Cum şi
funcţia tangentă este crescătoare, atunci , adică
. Deci şirul este descrescător şi
. Atunci seria este convergentă.
98
Pentru seria avem .
Şirul este descrescător pentru că şi
.
Deci seria este convergentă.
3.2.2. Serii absolut convergente
Definiţia 5:Fie şirul de numere reale oarecare. Seria se numeşte
absolut convergentă dacă seria este convergentă.
Teorema 1:Dacă seria este absolut convergentă, atunci seria este
convergentă.
Demonstraţie:Pentru seria considerăm şirul sumelor parţiale şi pentru
seria considerăm şirul sumelor parţiale , unde (6).
Trebuie să arătăm că dacă şirul este convergent, atunci şirul este convergent. Pentru a demonstra acest lucru folosim criteriul general de convergenţă a lui Cauchy pentru şiruri, care spune că şirul este convergent astfel încât .Să arătăm că şirul este convergent dacă şirul este convergent.Ştim că este convergent astfel încât
, adică (7).
Dar
99
(8), adică şirul este convergent.
Definiţia 6: Seria este semiconvergentă dacă seria este divergentă, iar
este convergentă, adică seria modulelor este divergentă iar seria dată este convergentă.
Exemplu:
Seria , care este seria armonică alternantă, are seria modulelor
, care este seria armonică standard şi este divergentă, pe când seria dată
iniţial este convergentă pentru că dacă aplicăm criteriul lui Leibnitz avem că şirul este şir descrescător către zero. Deci seria armonică alternantă este semiconvergentă.
Observaţii:1. Pentru seriile absolut convergente se pot aplica criteriile de stabilire a
convergenţei de la serii cu termeni pozitivi.2. Pentru stabilirea convergenţei unei serii cu termeni oarecare se
studiază convergenţa seriei modulelor. Dacă seria modulelor este convergentă, atunci seria dată este convergentă. Dacă seria modulelor nu este convergentă se încearcă stabilirea convergenţei cu ajutorul seriilor alternante.
Definiţia 7:Fie seriile şi . Se numeşte produs de convoluţie al seriilor
şi seria , unde
(9).
În legătură cu seria se pune întrebarea în ce condiţii este convergentă? Răspunsul la această întrebare este dat de următoarele două teoreme.
Teorema 2:
100
Dacă seria este convergentă iar seria este absolut
convergentă, atunci seria produs este convergentă.
Teorema 3:Dacă seria este absolut convergentă şi seria este absolut
convergentă, atunci seria produs este absolut convergentă.
Demonstraţiile acestor teoreme se găsesc în [1].
Exemple:Să se stabilească natura următoarelor serii:
1.
2.
3.
Soluţie:
Seria este o serie alternantă cu care este
un şir descrescător către zero, deci este convergentă. Seria modulelor este
care este şi ea convergentă pentru că
şi atunci .
Cum seria este seria armonică generalizată cu , atunci este
convergentă.
Seria este o serie cu termeni oarecare, care are seria
modulelor .
101
Cum şi seria este convergentă pentru că este seria
geometrică cu , atunci seria este absolut convergentă, deci
convergentă.
Seria este convergentă pentru că este un
şir descrescător la zero şi conform criteriului lui Leibnitz seria este
convergentă. Seria are seria modulelor şi cum
atunci .
Dar seria este seria armonică standard care este divergentă, atunci
seria modulelor este divergentă.
În concluzie, seria este semiconvergentă.
Observaţii (Teorema Riemann):1. Dacă seria este semiconvergentă, atunci fixat, termenii
acestei serii (sumă) se pot permuta în aşa fel încât seria transformată să aibă ca sumă pe . (Vezi [1] vol. 2)
2. Noţiunea de sumă a unei serii infinite diferă esenţial de noţiunea de sumă a unui număr finit de termeni (cu care lucrăm în aritmetică şi în algebră) prin faptul că ea cuprinde o trecere la limită.
3. Unele proprietăţi ale sumelor obişnuite se întâlnesc şi la serii dacă sunt îndeplinite anumite condiţii. În alte cazuri aceste proprietăţ (cu care suntem obişnuiţi) ale sumelor sunt uimitor de alterate, aşa încât trebuie să se procedeze cu precauţie. Cazul prezentat la punctul 1, când pentru o serie semiconvergentă nu mai este adevărată proprietatea de asociativitate este un exemplu foarte cunoscut. Pentru mai multe informaţii în legătură cu aceste probleme vezi [1] vol. 2.
102
3.3. Serii de funcţii
3.3.1. Şiruri de funcţii
În cele ce urmează vor fi prezentate unele noţiuni şi proprietăţi legate de şirurile de funcţii.
Definiţia 1:
103
Fie şirul de funcţii cu şi . Un punct se numeşte punct de convergenţă şirul de numere reale este convergent. Notăm şi se numeşte domeniu de convergenţă.
Definiţia 2:Fie şirul de funcţii cu , şi fie (unde este
domeniul de convergenţă corespunzător şirului de funcţii), atunci ataşăm un număr real dat de relaţia care se numeşte funcţia limită a şirului
în punctul .În acest fel se stabileşte o corespondenţă de la la care va fi notată cu şi care este definită de relaţia .Funcţia se numeşte funcţia limită.
Exemplu:Fie şirul , unde cu şi . Domeniul
de convergenţă pentru că avem
. Deci funcţia limită este .
Definiţia 3:Fie şirul de funcţii cu . Spuncem că şirul
este simplu convergent pe X către funcţia astfel încât pentru .
Observaţie:Rangul depinde atât de cât şi de .
Definiţia 4:Fie şirul de funcţii cu . Spunem că şirul
converge uniform pe X către astfel încât pentru şi .
Observaţii:1. Rangul care apare în definiţia uniform convergenţei depinde doar
de , nu şi de .
104
2. Comparând definiţiile 3 şi 4 rezultă că orice şir de funcţii care este uniform convergent este convergent (simplu). Vezi [1] pentru demonstraţia acestei teoreme.
3. Reciproca observaţiei 2 nu este adevărată întotdeauna.4. Ne interesează să vedem ce condiţii trebuie să îndeplinească şirul de
funcţii pentru ca funcţia limită să fie continuă sau/şi derivabilă.
Teorema 1:Fie şirul de funcţii cu pentru şi fie
funcţia limită cu . Dacă există un şir de numere reale pozitive convergent la zero , astfel încât pentru să avem
pentru , atunci şirul de funcţii este uniform convergent pe X către funcţia .Demonstraţia acestei teoreme în [1], [2] sau [4].
Teorema 2:Fie şirul de funcţii cu pentru şi fie
funcţia limită cu . Dacă şirul converge uniform pe X către şi dacă toate funcţiile şirului sunt funcţii continue în , atunci funcţia este continuă în .Demonstraţia acestei teoreme în [1], [2] sau [4].
Consecinţă:În ipotezele teoremei 2, dacă în plus funcţiile sunt continue pe X,
atunci funcţia limită este continuă pe X.
Teorema 3:Fie şirul de funcţii cu pentru şi fie
funcţia limită cu . Dacă şirul converge uniform pe X către şi în plus sunt funcţii derivabile pe X şi dacă şirul de funcţii converge uniform către funcţia cu , atunci funcţia este derivabilă şi în plus avem că .Demonstraţia acestei teoreme în [1], [2] sau [4].
105
3.3.2. Serii de funcţii
Definiţia 5:Fie şirul de funcţii cu . Se numeşte serie de funcţii
suma formală (2).
Observaţii:1. Pentru se obţine suma numerică .2. Studiul proprietăţilor seriilor de funcţii va fi strâns legat de domeniul
X.
Definiţia 6:Dacă seria cu este convergentă, atunci spunem că seria
este punctual convergentă în .
Notăm şi se numeşte domeniu de convergenţă.
Definiţia 7:Fie şirul de funcţii cu . Spunem că seria este
simplu convergentă pe X către funcţia dacă şirul sumelor parţiale (3)
este simplu convergent către funcţia pentru .Sau avem definiţia echivalentă:
Definiţia 7’:Seria este simplu convergentă pe X către funcţia şi
pentru astfel încât pentru şi (4).
Definiţia 8:Seria este uniform convergentă către funcţia pe X dacă şirul
sumelor parţiale este uniform convergent către funcţia pe X.Sau cu definiţia echivalentă:
Definiţia 8’:
106
Seria este uniform convergentă către funcţia pe mulţimea X
astfel încât pentru şi (5).
Observaţii:1. Rangul care apare în definiţia 8’ este acelaşi pentru , pe
când care apare în definiţia 7’ depinde de .2. Ne interesează să găsim condiţii suficiente pentru uniform
convergenţă.
Teorema 4:Fie seria cu şi seria cu o serie
convergentă. Dacă pentru şi pentru avem (6), atunci seria este uniform convergentă pe X.Demonstraţia acesteio teoreme se poate studia din [1], [4].Ne interesează proprietăţle funcţiei f în condiţiile în care seria este uniform convergentă.
Teorema 5:Fie şirul cu , . Dacă:
1. seria este uniform convergentă pe X către f2. funcţiile sunt continue pe X pentru
atunci funcţia f este continuă pe X.
Teorema 6:Fie şirul cu , . Dacă:
1. seria este uniform convergentă pe X către f
2. seria este uniform convergentă pe X către gatunci funcţia limită f este derivabilă şi avem:
sau (7).
Teorema 7:
107
Fie şirul cu continuă pe X pentru . Dacă seria este uniform convergentă pe X către funcţia f , atunci f este
integrabilă pe X şi avem (8).
Demonstraţiile teoremelor 5, 6, 7 sunt în [1], [3], [4].
Observaţii:1. Teoremele 5, 6 şi 7 stabilesc condiţiile în care funcţia f este continuă,
derivabilă şi, respectiv, integrabilă.2. Toate aceste proprietăţi sunt folosite la seriile de puteri.3. Pentru seriile de funcţii ne interesează să determinăm domeniul de
convergenţă şi domeniul de uniform convergenţă. Aceste domenii au o importanţă deosebită în special la seriile de puteri.
Exemplu:Să se determine domeniul de uniform convergenţă pentru seria cu
termenul general .
Soluţie:Cum funcţiile sunt definite pe şi pentru
, atunci pentru .
Considerând şirul cu , am seria ataşată acestui şir , care
este seria armonică generalizată cu , care este convergentă, atunci seria este uniform convergentă pe .
3.3.3. Serii de puteri
Definiţia 9:Se numeşte serie de puteri o serie de forma sau .
Observaţii:
108
1. Seriile de puteri sunt cazuri particulare de serii de funcţii, unde funcţiile sau pentru sunt funcţii putere continue şi derivabile.
2. Pentru seriile de puteri esenţială este determinarea domeniului de convergenţă , cu .
3. Se observă că pentru , atunci (respectiv pentru , atunci ).
4. Pentru unitatea expunerii vom lucra cu seria , deoarece pentru
seria dacă notăm , atunci .
Lema 1:Pentru seria dacă există pentru care seria este
convergentă, atunci seria este absolut convergentă pentru cu proprietatea că .
Demonstraţie:Prin ipoteză se ştie că seria numerică este convergentă, deci
termenul ei general este mărginit astfel încât pentru avem (9).Fie astfel încât
(10),
atunci seria are seria modulelor cu termenul general
.
Deci seria este majorată de seria (care este seria geometrică cu raţia ) convergentă.Concluzia este că seria este absolut convergentă pentru cu proprietatea că , adică seria este convergentă.
Observaţii:
109
1. Din lema 1 rezultă că dacă există astfel încât este convergentă, atunci .
2. Cum pentru seria este convergentă, atunci şi în aceste condiţii există un număr real numit margine superioară
(11).
3. Dacă , atunci seria este pretutindeni divergentă.4. Dacă , atunci avem următoarea teoremă.
Teorema 8 (teorema lui Abel):Pentru seria există un număr real astfel încât:
1. Seria este absolut convergentă pentru .
2. Seria este divergentă pentru cu sau .
3. Pentru nu se poate preciza natura seriei.Demonstraţia acestei teoreme se face pe baza lemei 1. Vezi [1], [2], [4].
Observaţii:1. Determinarea constantei numită rază de convergenţă se face
folosind criteriile de convergenţă pentru seriile cu termeni pozitivi, deoarece pe intervalul seria este absolut convergentă.
2. Dacă aplicăm criteriul lui D’Alembert pentru seria avem că
(12).
Notăm
(13).
Dacă , rezultă că seria modulelor este convergentă, adică (14). Deci raza de convergenţă este şi .
3. Dacă aplicăm criteriul rădăcinii (Cauchy) pentru seria avem
că (15). Notăm
110
(16).
Dacă , rezultă că seria modulelor este convergentă, adică (17). Deci raza de convergenţă este , iar domeniu de convergenţă este
.4. Cum domeniul de convergenţă este se va face studiul
convergenţei seriei pentru şi pentru separat.5. Seriile de puteri au aplicaţii foarte mari. Seriile de puteri sunt cazuri
particulare ale seriilor de funcţii, în care funcţiile pentru . Aceste funcţii sunt funcţii elementare, deci sunt countinue,
derivabile şi integrabile pe R. În plus, seriile de puteri sunt uniform continue pe , deci sunt cazuri particulare ale seriilor uniform continue pentru care se transpun foarte uşor proprietăţile lor generale.
Teorema 9:Fie seria care este convergentă pe , atunci pentru
seria este uniform continuă pe .Demonstraţia este evidentă.
Teorema 10:Suma seriei notată cu f , pe intervalul de convergenţă este o
funcţie continuă pe acest interval.Pentru demonstraţie se aplică teorema 5 de la serii de funcţii.
Teorema 11:Seria este convergentă pe , atunci seria are
acelaşi interval de convergenţă.
Demonstraţie:Să presupunem că seria dată are raza de convergenţă dată de criteriul
raportului (13) cu cu .
Pentru seria avem .
Deci , adică cele două serii au aceeaşi rază de convergenţă.
111
Teorema 12:Seria este convergentă către pentru , atunci
seria este convergentă către pentru .
Teorema 13:Seria este convergentă către pentru , atunci
seria este convergentă pe acelaşi interval şi, în plus, avem
că:
(18)
pentru .Demonstraţiile teoremelor 9, 10, 11, 12, 13 vezi [1], [2] şi [4].
Observaţii:1. Aceste ultime cinci teoreme afirmă că pentru seria , care are
domeniu de convergenţă şi pentru care suma seriei este f cu , funcţia f este continuă, derivabilă şi integrabilă pe
acelaşi domeniu .2. Pentru seriile de puteri se pot introduce operaţiile de adunare,
înmulţire şi împărţire a două serii.
Definiţia 10:Fie seriile şi care au razele de convergenţă şi .
Suma (diferenţa) acestor serii de puteri este tot o serie de puteri care are forma , iar raza de convergenţă este
(19).Definiţia 11:
Fie seriile şi care au razele de convergenţă şi .
Produsul celor două serii este o serie de puteri , unde
(20),
care are raza de convergenţă dată de (19).
112
Definiţia 12:Fie seriile şi care au razele de convergenţă şi .
Câtul celor două serii este seria definită de relaţia
(21)
cu condiţia că seria .
Observaţii:1. Coeficienţii seriei cât sunt daţi de relaţia (20) şi avem prin
identificare:
(22) care reprezină un sistem liniar cu o infinitate de necunoscute şi o infinitate de ecuaţii. Rezolvarea lui se face uşor, începând de la prima ecuaţie.2. Inversarea unei serii se face folosind tot definiţia 12. Fiind dată seria
pentru , atunci seria ,
adică (23), care conduce la sistemul:
(24) Prin rezolvarea sistemului (24) rezultă coeficienţii seriei .
3. Dacă seria are , atunci ea nu poate fi inversată.4. Toate aceste proprietăţi împreună cu operaţiile introduse în acest
subparagraf vor fi foarte utilizate la determinarea funcţiei f care este suma seriei .
Exemplu:Să se determine determine razele de convergenţă ale seriilor
, şi să se calculeze seriile sumă şi produs.
113
Rezolvare:
Pentru seria termenul general este , atunci
folosind criteriul D’Alembert avem
,
iar raza de convergenţă este .
Pentru seria termenul general este , atunci folosind
criteriul lui Cauchy calculăm
,
iar raza de convergenţă este
.
Seria sumă va fi .
Seria produs este , unde
Deci seria produs este:
3.3.4. Serii Taylor
114
Pentru orice serie de puteri există un domeniu de convergenţă şi o funcţie numită suma seriei astfel încât pentru
. Deci oricărei serii de puteri i se asociază o funcţie f definită pe domeniul de convergenţă a seriei.Invers: oricărei funcţii cu îi asociem o serie de puteri folosind seriile Taylor.
Formula lui Taylor:Fie cu unde . Dacă , atunci
există astfel încât
(25), unde este restul Lagrange şi are expresia
(26)
şi .Demonstraţia acestei formule se găseşte la capitolul 4.Cum pentru , atunci facând pe obţinem seria Taylor ataşată funcţiei f în punctul care este
(27).
În cazul în care , seria Taylor se mai numeşte şi serie Mac Laurin.
(28).
3.3.5. Serii Taylor standard (Mac Laurin)
Pentru principalele funcţii elementare se va obţine dezvoltarea în jurul punctului în serii de puteri, apoi se va determina domeniul de convergenţă.
1. Fie cu . Cum , atunci pentru , iar seria ataşată funcţiei este
115
(29),
unde pentru .
Calculăm cu ajutorul relaţiei (13) , iar raza de
convergenţă este . Deci domeniul de convergenţă este R pentru seria (29).2. Pentru funcţia cu , avem cu
pentru . Atunci seria Taylor ataşată funcţiei este
(30).
Procedând asemănător găsim raza de convergenţă , adică seria (30) este convergentă pe R.3. Pentru funcţia vom scădea relaţiile (29) şi (30) şi
rezultă (31), care are raza de
convergenţă .4. Pentru funcţia vom aduna relaţiile (29) şi (30) şi
rezultă (32), care are raza de
convergenţă .
5. Pentru funcţia cu avem cu
pentru .
Pentru , atunci .
Pentru , atunci avem
. Deci
funcţia are dezvoltarea
(33), care are raza de convergenţă .
6. Pentru funcţia xxf cos cu avem cu
pentru .
116
Pentru , , atunci . Pentru , , atunci
.
Deci funcţia are dezvoltarea
(34),
care are raza de convergenţă .7. Pentru funcţia cu şi avem
, iar .
Deci seria ataşată funcţiei este
(35), care are
termenul general , iar
.
Raza de convergenţă este , iar .8. Pentru funcţia cu avem ,
, şi
, iar .
Seria ataşată funcţiei este
(36).
Raza de convergenţă este aceeaşi cu cea de la 7, adică , iar .
9. Pentru funcţia cu , putem considera că este un caz particular al funcţiei binomiale pentru şi să folosim dezvoltarea (35), adică
, adică
sau
(37). Deci seria geometrică are suma
117
(37’),
pentru , adică .
10.Pentru funcţia cu , putem considera că este un
caz particular al funcţiei binomiale pentru , pentru care folosim dezvoltarea (35), adică
.
Numărătorul poate fi scris mai uşor astfel:
Atunci sau
(38),
pentru .
Observaţie:Formulele (37) şi (38) au o aplicabilitate foarte mare în dezvoltările
unor funcţii, în special pentru funcţiile trigonometrice inverse.
11.Pentru funcţia cu , dacă calculăm derivatele
de ordin superior vom vedea că sunt imposibil de calculat. Atunci, vom identifica funcţia ca o serie cu coeficienţi necunoscuţi:
(39).
Derivând relaţia (39) se obţine:
(39’). Dar funcţia are dezvoltarea:
(40).
Identificând seriile (39) şi (40) se obţine
(41).
118
Sau
Înlocuind în (39) rezultă (42).
Determinarea constantei se face înlocuind pe în relaţia 42, adică .
Deci (43),
pentru .
Observaţii:1. Aceste serii standard sunt utilizate în calculul sumelor de serii.2. Ele sunt utilizate în dezvoltări de serii ale unor funcţii în jurul unui
punct . Aceste lucruri sunt puse în evidenţă prin exemplele prezentate în cele ce urmează.
Exemple:1. Să se determine suma seriei .
2. Să se dezvolte în serie de puteri funcţia cu
după puterile lui (în jurul lui )
Soluţie:Pentru seria avem termenul general
. Atunci , iar raza de
convergenţă este . Deci, domeniul de convergenţă este .
Pentru seria devine , care este divergentă, iar pentru
avem seria , care este tot divergentă.
119
Pe domeniul de convergenţă suma seriei este funcţia f (care trebuie determinată), adică (a).Aplicăm teorema 13 de două ori, atunci
, cu (b).
Efectuând calculele obţinem (c).Integrând încă o dată relaţia (c) obţinem
, cu (d).
Efectuând calculele obţinem (e).
Dar seria .
Deci, înlocuind în (e) găsim că (f),
unde:
adică (g).Derivând relaţia (f) de două ori găsim suma seriei iniţiale:
.
Sau .
Pentru funcţia trebuie să facem dezvoltarea în serie de
puteri după formula lui Taylor în jurul punctului , sau să facem dezvoltarea după puterile lui . Funcţia f se poate scrie ca un produs de două funcţii pentru care vom face dezvoltarea separat.
, unde:
(h).
(i).
120
Deci, pentru funcţia înlocuind pe (h) şi (i) avem:
care
reprezintă dezvoltarea funcţiei f pe .Pentru seria (h) avem , pentru seria (i) avem , iar .
Tema 3.3.5
Aplicaţia 1:Să se determine criteriul de convergenţă pentru seriile următoare.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Aplicaţia 2:Să se dezvolte în serie Taylor funcţia f în jurul punctului , apoi să
se determine pentru următoarele funcţii:
121
1. cu şi apoi
2. cu şi apoi
3. cu
4. cu şi apoi
5. cu
6. cu
Aplicaţia 3:Să se determine domeniul de convergenţă şi suma seriei pentru seriile
următoare.1.
2.
122
