Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

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PR-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMTICA


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2006-2009 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e dodetentor dos direitos autorais.

ProduoProjeto e

Desenvolvimento Pedaggico

Disciplinas Autores

Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima Bezerra

Literatura Fbio DvilaDanton Pedro dos Santos

Matemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa

Fsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette

Qumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa

Biologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio Fernandes

Histria Jefferson dos Santos da SilvaMarcelo PiccininiRafael F. de Menezes

Rogrio de Sousa Gonalves

Vanessa SilvaGeografa Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza

Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A.

Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo.

CDD 370.71


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1EM_

V_

MAT_

028

Tringulo a figura geomtrica determinada por trs seg-

mentos de reta consecutivos, isto , cujos extremosso coincidentes dois a dois.

A

B Cz

y

x

ngulos internos

, e

ngulos externos

x, y e z

Lados

AB = m; AC = n; BC = p

Soma dos ngulos internos + + =180

Soma dos ngulos externos

x + y + z = 360

Tringulo

O ngulo externo igual soma dos ngulosinternos que no lhe so adjacentes.

x= +

y= +

z= +

Condio de existncia

m n

p

Para existir um tringulo, necessrio quequalquer lado seja menor que a soma e maior que omdulo da diferena dos outros dois.

m n < p < m + n

m p < n < m + p

p n < m < p + n

Num tringulo, o maior lado ope-se ao maiorngulo.


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2 E

M

V

M A T

0 2 8

Classifcao dos tringulos

Quanto aos ngulos

Acutngulo

Todos os ngulos internos so agudos.

A

B C

RetnguloTem um ngulo interno igual a 90.

A B

C

AC, AB catetos

BC hipotenusa

Obtusngulo

Tem um ngulo interno obtuso e dois agudos.

A

B C

Quanto aos lados

Escalenos

Todos os lados e ngulos com medidas dife-rentes.

B

A

C

Issceles

Dois lados iguais e dois ngulos iguais (os n-gulos iguais no so formados pelos lados iguais).

B

A

C

AB = AC

B = C

Equiltero

Trs lados com medidas iguais e trs ngulosiguais a 60.

CB

A

AB = AC = BC

A = B = C

Cevianas principais do

tringulo

Ceviana

qualquer reta que parte de um vrtice do trin-gulo e encontra o lado oposto ou seu prolongamento.

As principais cevianas so:

Altura (h)a) segmento da perpendicular tra-ada de um vrtice sobre o lado oposto.

Mediana (m)b) segmento que une um vrticeao ponto mdio do lado oposto.

Bissetriz interna (c) a) segmento da bissetrizde um ngulo limitado pelo vrtice e peloponto de interseo com o lado oposto.

Bissetriz externa (d) a) segmento da bissetrizde um ngulo externo limitado pelo vrtice epelo ponto de interseo com o lado oposto.


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3EM_

V_

MAT_

028

B

A

C

a

ma

ha

aa/2a/2

H J M

AH = ha

AM = ma

AJ = a

AJ =a

A

B CM H J

ma h

a

a

Um tringulo possui 3 alturas, 3 medianas, 3bissetrizes internas e 3 bissetrizes externas.

Todo tringulo retngulo de ngulos agudos,valendo 30 e 60, tem a seguinte relao:

30

60/2

I3

2

OrtocentroAs trs alturas de um tringulo concorrem em um

nico ponto denominado ortocentro do tringulo.

H3

B C

A

hb

hc

H2

H1

H

ha

O ortocentro do tringulo retngulo coincidecom o vrtice do ngulo reto.

B

C

H A

hc b

ha

hb c

IncentroAs trs bissetrizes internas de um tringulo

concorrem, em um nico ponto, equidistantes dostrs lados do tringulo, denominado incentro.

A

RQ

B PC

J

O incentro o centro do crculo inscrito notringulo.


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4 E

M

V

M A T

0 2 8

BaricentroAs trs medianas de um tringulo concorrem em

um nico ponto denominado baricentro ou centro degravidade do tringulo.

A

B

P

M

N

C

G

M, N e P = Pontos mdios de BC, AC, AB res-pectivamente.

Propriedades

O baricentro fica situado sobre cada mediana,a 2/3 do vrtice e a 1/3 do seu p. (ponto mdio dolado oposto)

GM = x

AG = 2x

GN = y

BG = 2y

GP = z

CG = 2z

CircuncentroAs mediatrizes dos lados de um tringulo con-

correm em um nico ponto denominado circuncentrodo tringulo.

A

B C

m3

m2

m1

Ro

RR

O circuncentro o centro do crculo circunscritoao tringulo.

A

B CO

No caso:

= 90

O = ponto mdio da hipotenusa BC circun-centro

Congruncia de tringulosDois tringulos so congruentes quando su-

perpomos um ao outro e eles coincidem no valordos lados e dos ngulos. Logo, lados congruentes engulos congruentes.

A

BC

A

BC

A = a

B = b

C = c

AB = AB

AC = AC

BC = BC

Casos de congruncia

LAL (lado-ngulo-lado)

Dois tringulos so congruentes, quandopossuem dois lados e o ngulo formado entre elescongruentes.

A

BC

A

BC

AC AC

AB AB

A A

ALA (ngulo- lado-ngulo)

Dois tringulos so congruentes, quando possuemdois ngulos e o lado adjacente a eles congruentes.

A

BC

A

BC

C C

BC BCB B


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MAT_

028

LLL (lado-lado-lado)

Dois tringulos so congruentes quando pos-suem os trs lados congruentes.

A

BC

A

BC

AC AC

AB AB

BC BC

LAAo (lado-ngulo-ngulo oposto)

Dois tringulos so congruentes quando pos-suem um lado, um ngulo e o ngulo oposto ao ladodado congruentes.

A

BC

A

B C

A A

AB AB

C C

Semelhana de tringulosDois tringulos so semelhantes quando pos-

suem trs ngulos congruentes, por consequnciaos lados opostos aos ngulos sero proporcionais,como tambm as cevianas.

A

BC H

A

BCH

A= A, B = B, C = C

= = = =AB AC BC AH

KA 'B' A 'C' B'C' A 'H '

K a razo de semelhana.

Casos de semelhana detringulos

1. Caso:Dois tringulos so semelhantes quando

possuem dois pares de ngulos respectivamenteiguais.

2. Caso:

Dois tringulos so semelhantes quando pos-suem trs lados homlogos proporcionais.

a

bc K.bk.c

k.a

3. Caso:

Dois tringulos so semelhantes quando pos-suem dois pares de lados homlogos proporcionaise os ngulos entre eles iguais.

a

b

k.a

k.b

Tringulos retngulos

m n

a


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M

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M A T

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Como + = 90, podemos observar que nafigura temos trs tringulos semelhantes.

AC = b cateto

AB = c cateto

BC = a hipotenusa

AH = h altura

BH = m projeo de AB sobre BC

HC = n projeo de AC sobre BC

Principais frmulas:

b2= n . a

c2= m . a

h2= m . n

a . h = b . c

a2= b2+ c2

As frmulas so demonstradas por semelhanade tringulos:

(b 2= n . a):AHC

ABC

ba

= nb

(Usamos os

lados opostos de 90 e )

(c 2= m . a):ABH

ABC

ca

= mc

(Usamos os

lados opostos aos ngulos de 90 e )

(h 2= m . n):ABH

AHC

hn

= mn

(Usamos os

lados opostos aos ngulos e )

(a . h = b . c): AHC ABCba

= hc

(Usamos os

lados opostos aos ngulos de 90 e )

(a 2= b2+ c2) Destacando as duas primeirasfrmulas temos:

b2 = n . a

c2 = m . a

b2+c2=ma+na

b2+c2=a (m+n)b

2

+c

2

=a

2

Os tringulos retngulos cujos lados tm valoresinteiros so conhecidos como pitagricos.

Exemplo:`

Importante observarmos que, alm dos tringulos pitag-

ricos citados, existem aqueles que so proporcionais.

Assim voc pode afrmar que existem infnitos tringulos

pitagricos, dentre os proporcionais e os no-propor-

cionais.

Aplicaes importantesDiagonal do quadrado

d2 = 2+ 2

d2 = 2 2

d2= 2 2 d = 2

Altura do tringulo equiltero

h

A

B C

2 2

= + =

2 2

2 2 2 2h ; h ; h=

2 4

2

3

4

= + =

2 2

2 2 23h ; h

4 4 =

3h

2

Na gura,1. AB = BC = CD, calcule y em funo de x.

C

ABD

y


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Soluo:`

2x

y

2x

C

D AB

y: ngulo externo do DCA, logo:

y = + 2x

y = 3x

No tringulo retngulo ABC da gura, reto no vrtice2.A, determine o valor do ngulo formado pela altura e a

mediana que sai de A, dadoB

= 50.

50H M

B C

A

Soluo:`

A mediana relativa hipotenusa igual metade da

hipotenusa.

50H M

B C

A

4080

40

^A = 90o

B + C= 90o

50 + C= 90o

C = 40

Como: AM = MC

AMB = 80

+ 90 + 80 = 180

= 10

Na gura3. AB = ACe AE = AD. Calcule o valor do nguloCDE, se BAD vale 30.

A

B

E

CD

Soluo:`

ADC - ngulo externo do ABD, logo: BAD +DBA =ADC.

A

B

E

C

30

+ +

D

+ + = + 30

2= 30

= 15Dois navios partem de um mesmo ponto com veloci-4.dades iguais a V

A= 15Km/h s 14 horas e V

B= 60Km/h

s 20 horas, formando entre si dimenses cujo ngulo de 60. Qual a distncia que separa os navios s 22horas do mesmo dia?

60

A

B

Soluo:`

S = VA

. tA

=

15Km/h . (22h 14h) =

15km/h . 8h =

SA

= 120Km


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8 E

M

V

M A T

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S = VB. t

B=

60Km/h . (22h 20h) =

60Km . 2h =

SB= 120Km

Obtemos 2 lados iguais formando um ngulo de 60,

logo o tringulo equiltero d = 120Km.

60

120Km

d = 120Km

120Km

A hipotenusa do tringulo retngulo ABC, reto em 5.vale 30cm. Sendo M e N pontos mdios de BC e AC,calculeAP.

A

B

M

N C

P

Soluo:`

Como AM = BM = MC, tem-se:

2x

15

x 15

B

M

CAN

P

3x = 15 AP = 2x

x = 5 AP = 10cmNum tringulo retngulo de hipotenusa medindo 24cm,6.calcule a distncia entre o ortocentro e o baricentro.

Soluo:`

M

A

N

C12

x

l2x

12B

M e N so pontos mdios, logo I baricentro. Como AM

= BM = 12, temos 3x = 12 x = 4.

Como o tringulo retngulo, o ortocentro o vrtice A,

assim a distncia de A at I vale 8cm.

Calcule o comprimento da circunferncia inscrita num7. tringulo retngulo issceles, cuja distncia do vrticedo ngulo ao incentro mede 4cm.

Soluo:`

Ir

NA

M

B

C

I - Incentro

AI = 4

AMIN quadrado

AI - diagonal

==

==

==

24r2C

:pordadonciacircunferdaocomprimento,222

4r

2r42rAI

Pretende-se construir um posto policial num ponto p,8.situado mesma distncia de trs casas em uma reaplana de um condomnio. Em geometria, este ponto p conhecido com o nome de:

baricentro.a)

ortocentro.b)

circuncentro.c)

incentro.d)

ex-incentro.e)Soluo:`

A

B

CR

R

RP

A, B e C = Casas


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V_

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028

O ponto de encontro das mediatrizes o centro do cr-

culo circunscrito, chamado circuncentro. Assim, o posto

policial deve fcar neste ponto, pois a distncia dele at

as casas sero iguais ao raio.

Na gura, A, B e C medem 45. Se AF = 20cm, calcule9.

BC.

B E

C

F

D

A

Soluo:`

B E

F

D

Axy

y

AE = CE = x

BE = FE = Y

Logo, os tringulos AFE e BCE so cngruos pelo caso

lado-ngulo-lado, ento AF = BC = 20cm.

Calcule o segmento10. AB da gura, dado: CD = 9m,BD = 3m e D AB = ACD.

BD

A

C

Soluo:`

B

D

A

C

x

39

Os tringulos ABC e ABD so semelhantes, assim:

12

x

A

BD

A

x

3C B

No retngulo ABCD da gura, AMB tringulo equil-11.tero. Sabendo queAB = 18cm, calcule AE.

A B

E

D M

C

Soluo:`

A B

E

D M9

18

AB= AM= 18

Como os tringulos DME e ABE so semelhantes na

razo =9 1

18 2, temos ME = x e AE = 2x, logo

x + 2x = 18cm

x = 6cm.

AE = 2x = 2 . 6 = 12cm.

A cada usurio de energia eltrica cobrada uma taxa12.mensal de acordo com o seu consumo no perodo, desdeque esse consumo ultrapasse um determinado nvel.

Caso contrrio, o consumidor deve pagar uma taxamnima referente a custos de manuteno. Em certoms, o grco consumo (em kWh) x preo (em R$) foio apresentado a seguir.

50 100 150 200

250750

1 2501 7502 250

R$

kWh

Determine entre que valores de consumo, em kWh,a) cobrada a taxa mnima.

Determine o consumo correspondente taxa deb)R$1.950,00.

Soluo:`

Na parte inicial onde o grfco constante de 0 aa)

50kWh.


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M

V

M A T

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b)

kWh100 200

750

1 950

2 250

R$

x

1 500

12

00

x 100

100

=

x 100 1 200

100 1 500

x 100 = 80

x = 180kWh

A gura ABCD um quadrado de lado 2cm e ACE13.um tringulo equiltero. Calcule a distncia entre osvrtices B e E.

Soluo:`

=

=

= =

=

= =

=

Q Q

Q

Q T

T

T

d I 2

d 2 2

d 2 2

t 3h

22 2 . 3

h 62

2 2x 6.

2

= x 6 2

Calcule o segmento14. AB na gura, se a reta s tangenciaas circunferncias de raio 9cm e 4cm nos pontos A eB, respectivamente.

A

B

O1

O2

Soluo:`

O1e O

2so centros, logo O

1O

2= 9 + 4 = 13cm.

= 9 +4

Pelo tringulo retngulo formado: 132 = x2 + 52,

x = 12cm.

Calcule o raio do crculo, se o quadrado ABCD tem 1m15.de lado.

Soluo:`

r

1- r

1- r

r2= (1 r)2+ (1 r)2

r2= 1 2r + r2+ 1 2r + r2

r2 4r + 2 = 0

2 + 2

2 2r =

Como r < 1 a resposta ser r = (2 2).


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(UERJ) Millr Fernandes, em uma bela homenagem 16.Matemtica, escreveu um poema do qual extramos ofragmento abaixo:

s folhas tantas do livro matemtico

um quociente apaixonou-se um dia doidamente

por uma incgnita.

Olhou-a com seu olhar inumervel

e viu-a do pice base: uma gura mpar;

olhos romboides, boca trapezoide,

corpo octogonal, seios esferoides.

Fez da sua uma vida paralela dela,

At que se encontraram no innito.

Quem s tu? indagou ele em nsia radical.

Sou a soma do quadrado dos catetos.

Mas pode me chamar de Hipotenusa.(Millr Fernandes. Trinta anos de mim mesmo.)

A incgnita se enganou ao dizer quem era. Paraatender ao teorema de Pitgoras, deveria dar a seguinteresposta:

Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar dea)hipotenusa.

Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas podeb)me chamar de quadrado da hipotenusa.

Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas podec) me chamar de hipotenusa.

Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas poded)me chamar de quadrado da hipotenusa.

Soluo:` D

No tringulo ABC da gura, calcule1. y.

A

F

B EC

y

x

D

AB = AC

CD = CE

BC = 80

Na gura, AB = AC e AE = AD.2.

A

E

CD

B

30

Calcule o valor de .

Na gura, ABC equiltero e o tringulo CDB iss -3.celes.

A

C

x

y

B D

Calcule o valor de 2x + y.

B C D = x

A B D = y

Determine a medida do ngulo do vrtice A do tringulo4.issceles ABC, sabendo que os segmentosBC, CD, DE,

EF, FA so congruentes. (AB = AC)

A

F

E

D

C B

Na gura, determine a medida do ngulo5. em funode m.

A

B D

C

A = 3m

BC

^

D =B = 2m

D = m


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12 E

M

V

M A T

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Na gura abaixo, r a bissetriz do ngulo ABC.6.

B

CAr

y

Se = 40 e = 30 , ento:

y = 0a)

y = 5b)

y = 35c)

y = 15d)

os dados so insucientes para determinao de y.e)

Dado o tringulo ABC, abaixo indicado, construmos a7.poligonal L = BCB

1C

1B

2C

2B

3C

3...

ba

C3

C1

C2

B3

B2

B1

c

A

C

B6060 60 60

O comprimento de L :

2ca)a + b + cb)

2(a + b)c)

2(a + c)d)

a + 22

ce)

Na gura abaixo, AB = AC, O o ponto de encontro8.das bissetrizes do tringulo ABC, e o ngulo BC otriplo do ngulo .

A

O

CB

Ento, a medida de :

18a)

12b)

24c)

36d)

15e)

(UFJF) No tringulo ABC, BC = 80. Qual a medida do9.ngulo agudo entre as bissetrizes dos ngulos internosem B e C?

35a)

40b)50c)

65d)

100e)

(UFMG) Observe a gura:10.

D

A CB

x

x 36

y

Nessa gura, o valor de 3y x, em graus, :

8a)

10b)

12c)

16d)

18e)

(UFF) NA gura a seguir, tem-se que: AB = AC e11.AP = PC = CB.

B

P

CA

O ngulo mede:

20a)

25b)

36c)

40d)

42e)

(Fuvest) Num tringulo ABC, os ngulos B12. ^e C medem50 e 70, respectivamente. A bissetriz relativa ao vrticeA forma com a reta BC ngulos proporcionais a:

1 e 2a)

2 e 3b)


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13EM_

V_

MAT_

028

3 e 4c)

4 e 5d)

5 e 6e)

A soma das distncias do ponto P aos vrtices do trin-13.

gulo da gura pode ser igual a:

10

86

P

10a)

12b)

13c)9d)

11,9e)

Pedrinho observou que em seu condomnio, a sua casa,14.a casa do seu av e a casa do seu primo, poderiam seros vrtices de um tringulo. Sabendo que a distncia dacasa de Pedrinho para a do seu av e a do seu primoso, respectivamente 10m e 15m, ele pretende saberse com um barbante de 4m ser possvel o av e oprimo segurarem as extremidades, estando cada umem sua casa.

Classique em verdadeiro (V) ou falso (F).15.

Os pontos notveis de um tringulo equilte-a) ( )ro so coincidentes.

Os pontos notveis de um tringulo isscelesb) ( )so colineares.

Circuncentro de um tringulo o ponto equi-c) ( )distante dos trs vrtices do tringulo.

Incentro de um tringulo um ponto equidis-d) ( )tante dos trs lados do tringulo.

Ortocentro de um tringulo o ponto de en-e) ( ) contro das trs bissetrizes internas.

O baricentro de um tringulo retngulo coin-f) ( )cide com o ponto mdio da hipotenusa.

O baricentro de um tringulo um dos pontosg) ( )que divide cada mediana em trs segmentoscongruentes.

Na gura, M o ponto mdio de16. AB e MP paraleloaoAC.

C

A

P

MB

O

Sabendo que BC = 24cm, calcule OP.

Calcule a distncia entre o ortocentro e o baricentro de17.um tringulo retngulo de hipotenusa igual a 90cm.

Determine a distncia do circuncentro ao baricentro em18.um tringulo retngulo de hipotenusa 60cm.

Determine a distncia do ortocentro ao circuncentro em19.um tringulo retngulo de hipotenusa 30cm.

(UFSE) Na gura, so dados20. AC= 8cm e CD = 4cm.

A medida de BD , em cm:

9a)

10b)

12c)

15d)

16e)

(UFPA) Na gura,21. AB = 15, AD = 12 e CD = 4.


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14 E

M

V

M A T

0 2 8

Sendo EC paralela AB, qual o valor de EC

?

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

(UCMG) A medida, em metros, do segmento22. AD dagura de:

(F.C.CHAGAS) Na gura abaixo, so dados:23. ABC = EDC,ED = 2,5cm, AB = 6cm, BC = 9cm e AC = 12cm.

Se os tringulos da gura so semelhantes, o permetrodo tringulo EDC , em centmetros:

11,25a)

11,50b)

11,75c)

12,25d)

12,50e)

(Fuvest) Dados:24.

MBC= BAC

AB = 3

BC = 2

AC= 4

Ento MC:3,5a)

2b)

1,5c)

1d)

0,5e)

(Unesp) Na gura, B um ponto do segmento de reta25.AC e os ngulos DAB, DBE e BCE so retos.

SeAD = 6dm, AC= 11dm e EC = 3dm, as medidaspossveis deAB, em dm, so:

4,5 e 6,5a)

7,5 e 3,5b)

2 e 9c)

7 e 4d)

8 e 3e)


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15EM_

V_

MAT_

028

(Fuvest) Na gura, o tringulo ABC retngulo em A,26.ADEF um quadrado, AB = 1 e AC = 3.

Quanto mede o lado do quadrado?

0,70a)

0,75b)

0,80c)

0,85d)

0,90e)(UNI-RIO) Numa cidade do interior noite, surgiu um27.objeto voador no-identicado em forma de disco, queestacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um he-licptero do exrcito, situado a aproximadamente 30macima do objeto, iluminou-o com um holofote, conformemostra a gura.

Sendo assim, pode-se armar que o raio do disco-voadormede, em m, aproximadamente:

3,0a)

3,5b)

4,0c)

4,5d)5,0e)

(UFF) Um prdio com a forma de um paraleleppedo28.retngulo tem 48m de altura. No centro da coberturadesse prdio e perpendicularmente a essa cobertura,est instalado um para-raios. No ponto Q sobre a reta rque passa pelo centro da base do prdio e perpendi-cular a MN est um observador que avista somenteuma parte do para-raios (ver a gura).

A distncia do cho aos olhos do observador 1,8m ePQ = 61,6m. O comprimento da parte do para-raios queo observador no consegue avistar :

16ma)

12mb)

8mc)6md)

3me)

(UFRJ) Um automvel de 4,5m de comprimento re-29.presentado, em escala, por um modelo de 3cm de com-primento. Determine a altura do modelo que representa,na mesma escala, uma casa de 3,75m de altura.

Considere os trs quadrados da gura e calcule x.30.

(UFRJ) A cada usurio de energia eltrica cobrada31.uma taxa mensal de acordo com o seu consumo noperodo, desde que esse consumo ultrapasse um de-

terminado nvel.Caso contrrio, o consumidor deve pagar uma taxamnima referente a custos de manuteno. Em certoms, o grco consumo (em kWh) X preo (em R$) foio apresentado a seguir.


20/32

16 E

M

V

M A T

0 2 8

determine entre que valores de consumo em kWh a)cobrada a taxa mnima.

determine o consumo correspondente taxa deb)R$1.950,00.

Determine x nas guras abaixo:32.

a)

AC x=

Raio = 3cmb)

BD x=

Raio = 2cm

c)

Raios = 10cm

d)

Raio = x

AB

CD

AD

=

=

=

8

18

BC

(UFRJ) Os pontos mdios dos lados de um quadrado33.

de permetro 2p so vrtices de um quadrado de pe-rmetro:

p 24

a)

p 22

b)

p 2c)

2 2pd)

4 2pe)

(Fuvest) A seco transversal de um mao de cigarros34. um retngulo que acomoda exatamente os cigarroscomo na gura.

Se o raio dos cigarros r, as dimenses do retnguloso:

14r e 2r(1 +a) 3)

7r e 3rb)

14r e 6rc)

14r e 3rd)

( )2 3 3 2 3+ r e re)

(Unirio) As rodas de uma bicicleta, de modelo antigo,35.tm dimetro de 110cm e de 30cm e seus centros distam202cm. A distncia entre os pontos de contacto dasrodas com o cho igual a:

198cma)

184cmb)

172cmc)


21/32

17EM_

V_

MAT_

028

160cmd)

145cme)

(Cesgranrio) 15 toras de madeira de 1,5m de dimetro36.so empilhadas segundo a gura a seguir.

Calcule a altura da pilha.

(Unirio) Na gura abaixo, determine o permetro do37.tringulo ABC.

(UFF) A gura abaixo representa o quadrado MNPQ38.de lado = 4cm.

Sabendo que os retngulos NXYZ e JKLQ socongruentes, o valor da medida do segmento K :

3

2cma)

2 3cmb)

2

2cmc)

2 cmd)

2 2cme)

(Unirio) Os lados de um tringulo retngulo esto em39.progresso aritmtica. Sabendo-se que o permetromede 57cm, podemos afirmar que o maior catetomede:

17cma)

19cmb)

20cmc)

23cmd)

27cme)

(Cesgranrio) No retngulo ABCD de lados40. AB= 4 eBC= 3 ,o segmento DM perpendicular diagonalAC .

O segmento AM mede:

3/2a)

12/5b)

5/2c)

9/5d)

2e)

(UFF) Duas rguas de madeira,41. MN e PQ , com 8cmcada, esto ligadas em suas extremidades por dois os,formando o retngulo MNPQ (g. 1). Mantendo-se xa

a rgua MN e girando-se 180 a rgua PQ em tornodo seu ponto mdio, sem alterar os comprimentos dos

os, obtm-se dois tringulos congruentes, MNO eQPO (g. 2).

Calcule a distncia entre as duas rguas nessa novaposio.


22/32

18 E

M

V

M A T

0 2 8

(PUC) A hipotenusa de um tringulo retngulo mede42.17cm. A diferena entre os comprimentos dos dois ou-tros lados de 7cm. Qual o permetro do tringulo?

38cma)

( )17 20 2+ cmb)40cmc)

( )17 10 2+ cmd)

47cme)

(Unicado) Numa circunferncia de 16cm de dime-43.tro, uma corda AB projetada ortogonalmente sobre

o dimetro BC . Sabendo-se que a referida projeo

mede 4cm, a medida de AB , em cm, igual a:

6a)

8b)10c)

12d)

14e)

(Unicado) Um tringulo tem lados 20, 21 e 29. O raio44.da circunferncia a ele circunscrita vale:

8a)

8,5b)

10c)

12,5d)

14,5e)

(Unirio) Na gura abaixo, o tringulo ABD equiltero,45.e seu lado mede 3m; H o ortocentro, sendo que os

pontos F e G so os pontos mdios dos lados AD e BD ,respectivamente.

Quantos rolos de ta adesiva sero necessrios, nomnimo, para cobrir todos os segmentos da gura, secada rolo possui 1m de ta?

18a)20b)

22c)

24d)

26e)

(Cesgranrio) Na gura abaixo, as quatro circunferncias46.

internas tm raio R.

Calcule o raio da circunferncia maior.

Determine o permetro do tringulo ARS da gura abaixo,1.onde AB e AC medem 15cm e 18cm, respectivamente,sendo BQ e CQ as bissetrizes dos ngulos ABC e ACBe RS paralelo a BC.

A

Q

R S

CB

Um tringulo ABC issceles, com AB = AC. Nele est2.inscrito um tringulo DEF equiltero.

D

A

E

CFB

b

a

c

Designado ngulo B FD por a, o ngulo ADE por b, engulo F EC por c, temos:

a+c2

b =a)

ac2

b =b)

bc2

a =c)


23/32

19EM_

V_

MAT_

028

a+b2

c =d)

b+c2

a =e)

Na gura a seguir, determine x em funo de3. , e .

x

(EN) Dado o tringulo ABC, tal que4. B = 30 e C=80, marcam-se sobre a reta suporte do lado AB ospontos D e E, tais que AD = AE = AC e BE > BD.

Determine a soma das medidas dos ngulos A D C e BE C.

75a)

90b)

105c)

135d)

150e)

Na gura abaixo, so dados AC = BC e o quadrado5.BCDE.

C

D

E

BA

Nessas condies, calcular a medida do ngulo .

(PUC) Na gura a seguir, temos6. . SeBA D = 44, qual a medida do ngulo D JE?

(UFRJ) Na gura abaixo, o tringulo ABC equiltero7.de lado igual a K.

Seja PM, PN e PS paralelas aos lados dos tringulos,determine PM + PN + PS .

Considere todos os tringulos de permetro 15m. Ne-8.

nhum deles pode ter um lado igual a:8ma)

7mb)

5mc)

4md)

6me)

Os trs menores lados de um quadriltero convexo9.medem 1cm, 4cm e 8cm. Qual dos valores abaixo poderepresentar, em cm, o quarto lado?

12a)13b)

14c)

15d)

16e)

Na gura abaixo, ABC um tringulo equiltero.10.

O valor de x :

5a)

5,5b)

6,5c)

6d)

7e)


24/32

20 E

M

V

M A T

0 2 8

Na gura abaixo,11. AB = AC, CBD = 20, BCE= 50 eDCE= 30.

Calcule o ngulo BDE^

.ABC um tringulo issceles de base12. BC e altura AH.Prolonga-se o ladoAB a partir de B, de um comprimentoBD = BH, e pelos pontos D e H traa-se uma reta queintercepta o ladoACem P. Calcule o ngulo do trian -gulo ABC, sabendo que o ngulo AP^Dmede 120.

No tringulo ABC da gura, AB = AC.13.

Calcule , se BC = 20, BCD = 50 e CBE = 60.

(DEB= )

Na gura, tem-se14. MN // BC; NP //AB; MP//AC.

M

N

A B

CP

Prove que as alturas do tringulo ABC so mediatrizesdos lados do tringulo MNP.

Na gura, I o incentro do tringulo ABC. Provar que15. = .

A

B CJ H

Na gura, ABCD um retngulo e AMB um tringulo16.equiltero.

D M C

A B

P

Sabendo queAB = 18cm, calcule AP.

Na gura abaixo, os pontos A, B e C representam as17.posies de trs casas construdas numa rea planade um condomnio.

A B

C

Um posto policial estar localizado num ponto P,situado mesma distncia das trs casas.

Em Geometria, o ponto P conhecido com o nomede:

baricentro.a)

ortocentro.b)

circuncentro.c)

incentro.d)

ex-incentro.e)


25/32

21EM_

V_

MAT_

028

Se AB = AC e BC = 80, calcule18. .

B

A

C

400 300

(UFRS)Constroem-se sobre os catetos19. AB e AC, de umtringulo retngulo ABC, os quadrados ABDE e ACFG.Traam-se, pelos pontos D e F, as perpendicularesde DD e FF ao suporte BC. Se DD + FF = 25cm,Calcule BC.

(PUC) Na gura, sabendo-se que AE = 10m, BD = 40m,20. AB = 50m, EC = CD, ento, CB e AC podem valer:

25m e 25ma)

32m e 18mb)

38m e 12mc)

40m e 10md)

50m e 20me)

(FEI-SP) Na gura,21. AD // BC.

O valor de x :

15/2a)

9b)

10c)

40/3d)

16e)

O tringulo ABC da gura equiltero,22. AM e MB = 5e CD = 6.

O valor deAE :7611

a)

7711

b)

7811

c)

79

11

d)

8011

e)

Na gura, a reta r tangente ao crculo e paralela ao23.segmento DE.

Se DE = 6, AE = 5 e CE = 7, o valor da medida dosegmento BD :

3,5a)

4b)

4,5c)

5d)

5,5e)


26/32

22 E

M

V

M A T

0 2 8

(UFF) Considere o tringulo issceles PQR da gura24.abaixo, de lados congruentes PQ e PR, cuja altura relativaao lado QR h.

Sabendo-se que M1e M

2, so, respectivamente, pontos

mdios de PQ e PR, a altura do tringulo KM1M

2, relativa

ao lado M1M

2, :2h3

a)

h6

b)

2h 3

c)

3h 3d)

6

h 3e)

(UERJ) Num carto retangular, cujo comprimento igual25.ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos,AEe BF,que formam entre si um ngulo reto.

Considerando AF = 16cm e CB= 9cm, determine:

as dimenses do carto;a)

o comprimento do vincob) AC.

(Unicamp) Uma rampa de inclinao constante, como26.a que d acesso ao Palcio do Planalto em Braslia, tem4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa,tendo comeado a subi-la, nota que, aps caminhar12,3 metros sobre a rampa, est a 1,5 metro de alturaem relao ao solo.

Faa uma gura ilustrativa da situao descrita.a)

Calcule quantos metros a pessoa ainda deve cami-b)nhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

Na gura abaixo, ABCD um quadriltero onde27. AD =BC, DAB = 80 e CBA = 40. Um ponto P tal que otringulo DPC equiltero.

Calcule o permetro do tringulo APB, sabendo queAB = 6cm e CD = 3cm.

No paralelogramo da gura abaixo, temos28. EF = 32 e

GF = 24.

Calcule BE.

Na gura a seguir, M ponto mdio de29. AB, N pontomdio de BCe PQ paralelo a BC.

CalculeAB, sabendo que PM = 2m.

Na gura abaixo, as cordas30. AB e ACmedem 5cm e 6cmrespectivamente, e AH = 3cm.

Calcule o raio do crculo.


27/32

23EM_

V_

MAT_

028

(UERJ) A gura abaixo representa um quadrado ABCD31.e dois tringulos equilteros.

Se cada lado desses tringulos mede 2cm, calcule olado do quadrado ABCD.

Os centros de duas circunferncias esto separados de32.41m. Os raios das circunferncias medem 4m e 5m.

Calcule o comprimento de tangente comum interna.

Trs goiabas perfeitamente esfricas de centros C33.1,

C2, C

3e raios 2cm, 8cm e 2cm, respectivamente, esto

sobre uma mesa tangencionando-se, como sugere agura a seguir.

Um bichinho que est no centro da primeira goiaba querse dirigir para o centro da terceira goiaba pelo caminhomais curto. Quantos centmetros percorrer?

O tringulo ABC da gura equiltero, de lado medindo34.20cm. AH e HD so, respectivamente, as alturas dostringulos ABC e AHC.

A medida de HD, em cm, :

5 3a)

10 3b)

20 3c)

6 3d)

12 3e)

O tringulo retngulo no vrtice A. As medianas dos35.catetos so b e c, e a altura relativa hipotenusa medeh. Prove que a igualdade abaixo verdadeira.

1 1 12 2 2h b c

= +

(UFRJ) Um observador (O), do ponto mais alto de36.um farol, v a linha do horizonte (L) a uma distncia d.

Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respec-tivamente.

Como R muito maior que h, pode-se admitir quea)2R + h = 2R. Assim, prove, usando a aproximaoindicada, que d Rh= 2 .

O raio da Terra tem, aproximadamente, 6 300km.b)Usando a frmula do item a calcule a distnciad do horizonte, quando o observador est a umaaltura h = 35m.

(UFF) Na gura a seguir, o vrtice Q do retngulo PQRC37.foi obtido pela interseo do arco AM de centro em Ce raio CA, com hipotenusa CB do tringulo retngulo

ABC.

Sabendo que PQ mede 12cm e QR mede 9cm,

determine as medidas dos lados do tringulo ABC.


28/32

24 E

M

V

M A T

0 2 8

(PUC) Seja ABCD um retngulo e seja P um ponto no38.interior desse retngulo, tal que AP = 3cm, BP = 4cme CP = 5cm. Calcule DP.

(UFF) Uma folha de papel em forma de retngulo ABCD39.

dobrada no segmento EF , de modo que o vrtice Bcoincida com o vrtice D, como nas guras.

Sabendo-se que as dimenses do retngulo soAB = 8cm

e BC = 4cm, determine a medida do segmento EF .

(UFF) Na gura abaixo, o tringulo QRS equiltero e40. est inscrito no quadrado MNPQ, de lado L.

Pode-se armar que o lado do tringulo :

L2

2a)

L3

3b)

L6

2c)

L( )2 6+d)

L( )6 2e)

(Cesgranrio) Na gura a seguir, o ngulo41. XOY

de45.

Se A B A B1 1 2 2e so perpendiculares a OX

e se

A B A B2 1 3 2e so perpendiculares a OY , calcule a

razo A BA B

3 2

2 1

.

(Cesgranrio) Um quadrado ABCD de lado42. tem cada umde seus lados divididos em 9 partes iguais. Ligando-secom segmentos de reta os pontos de diviso, segun-do a direo da diagonal AC , obtm-se o hachuradomostrado na gura.

9

Calcule a soma dos comprimentos dos 17 segmentosassim obtidos.

O ponto mais baixo de uma roda gigante circular de43.raio 6m dista 1m do solo. A roda est girando com trscrianas que esto, duas a duas, mesma distncia. Aque distncia do solo esto duas delas, no momento emque a outra est no ponto mais alto.

Canos de 50cm de dimetro externo so empilhados,44.como mostra a gura, de modo que cada cano est emcontato com seus vizinhos imediatos.

h

Calcule a altura h indicada.

(UFF) Na gura abaixo, as circunferncias tm raios45.iguais a R e esto inscritas em um tringulo equilterode lado igual a 2cm.

R cm=+

1

1 3a)

R cm=+

31 3

b)


29/32

25EM_

V_

MAT_

028

R cm=+

3

1 2c)

R cm=+

3

2 3d)

R cm=+2

2 3e)

Um acampamento para meninas ca a 300m de uma46.estrada reta. Nessa estrada, um acampamento parameninos ca localizado a 500m do acampamento

das meninas. Deseja-se construir uma cantina naestrada, que que exatamente mesma distncia decada acampamento. Essa distncia ser de:

302,5ma)

305mb)

308,5mc)

312,5md)

315me)

Na gura a seguir,47. AD e BE so perpendiculares emedianas do tringulo ABC.

Calcule AB sabendo que BC cm= 7 e AC cm= 6 .


30/32

26 E

M

V

M A T

0 2 8

y = 751.

2. = 15

1953.

4. = 20

5. = 6m

B.6.A.7.

D.8.

C.9.

A.10.

C.11.

D.12.

C.13.

4 + 10 < 15, o que contradiz a desigualdade triangular,14.logo no ser possvel.

15.

Va)

Vb)

Vc)

Vd)

Fe)

Ff)Vg)

OP16. = 4cm

AI17. = 2x = 30cm

IM18. = 10cm

AM19. = 15cm

C20.

E21.

AD22. = 6mA23.


31/32

27EM_

V_

MAT_

028

D24.

C25.

B26.

A27.

D28.

x = 2,5cm29.

x = 430.

31.

A funo permanece constante e com o valor mni-a)mo entre 0 e 50Kwh.

x = 180Kwh.b)

32.

6 2x =a) cm

4(1 2 )x = +b) cm

10(2 3 )x = +c) cm

13AD BC= =d) cm x = 6cm

C33.

A34.

A35.

1,5(1 2 3)+36. m

100/737.

D38.

B39.

D40.

6cm41.

C42.

B43.

E44.

E45.

(1 2 )R +46.

2P1.ARS

= 33cm

E2.

x =3.

B4.5. = 45

DJE6. = 22

7.

A8.

A9.D10.

BDE11. = 60

= 2012.

13. = 30

Demonstrao.14.

Demonstrao.15.

AP16. = 2a = 12cm.

C17.

18. = 100

BC19. = BH + HC = DD + FF = 25cm.

D20.

E21.

E22.

B23.

x =24. h6

25.

ABa) = 12 eAE = 24.

x = 15b)

26.

a)

1,54

12,3

x = 20,5mb)

18cm de permetro.27.

x = 1628.

AB29. = 12

r = 5cm30.

2 2 2 cm31.

40m32.

16,8cm33.

A34.

Resposta pessoal.35.


32/32

28 E

M

V

M A T

0 2 8

36.

Resposta pessoal.a)

21kmb)

BC37. = 25cm;AC= 15cm e AB = 20cm.

3 2cm38.

239.

2

5cm

E40.

241.

2942.

4m43.

50 3 1+( )cm44.A45.

D46.

17cm47.

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