1.

2. Contenido

Orgenes de la cultura hind.

Sistema de numeracin decimal.

Operaciones bsicas.

Literatura matemtica y sus autores

3. Orgenes de la civilizacin hind

Mohenjo-daro y Harappa (3.000 A.c.) en el valle del Indo.

Contemporneas de Egipto y Mesopotamia.

Destruidas hacia el 1.300 A.c.Por los arios.

Escribieron los vedas (Rig veda, Sama veda, Ayur veda y Atarva veda) periodo vedico.

Implementaron el sistema de castas.

4. Sistema de numeracin decimal

Mohenjo-daro (palotes)

poca Asoka (kharoshti)

Brahmi

Gwalior

5. Sistema de numeracin decimal

Periodo gupta

Nagari

6. Cdigo de escritura numrico Sunya (vaco)/ akasha (eter)/ ambara (atmosfera)/ viyat (cielo) 0 Buda 9 Serpiente/elefante/Krishna 8 Semana/ Krtika (osa mayor) / Rishis/ Rama 7 Pashurama 6 Sentidos/ mano/ vamana 5 Vedas/ mesa/ Narasimba 4 Fuego /rbol /cualidades /Varaha 3 Alas/ gemelos/ yami/yama/brazos/ kurma 2 Luna / sol (surya) / matsya 1 Palabra que sustituye al nmero Nmero 7. Ejemplo

El numero 4320.000 se lee como:

4 3 2 0 0 0 0 veda rama yama Sunya akasha ambara Viyat 8. Ventajas del sistema de numeracin decimal

Tiene una base decimal.

Una notacin posicional.

Smbolospara los numerales bsicos.

9. Conjuntos numricos

Naturales.1234= 4321

Enteros.

4321

Fracciones

Decimales

10.

Adems trabajaron las series numricas, la mas conocida es la que aparece en la historia de Lahur Sessa, el legendario inventor del ajedrez. La serie es:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,

Donde cada termino representa la cantidad de granos de arrozque el rey Iadava le habia prometido a Sessa por cada cuadro del tablero de ajedrez. Dicha promesa nunca pudo sercumplida por que la cantidad de granos era de:

18 446. 744 073. 709 551. 615

Cantidad que no se podra obtener sembrando solo arroz en toda la india durante 100 aos.

11. Sunya (el vaco)

La base fundamental de la cultura hind es la religin.

Dentro de ella el concepto de vaco es muy importante.

Hacia el siglo VIaparece Siddharta Gautama (Buda)

Enseoque las personas sufren por el deseo.

Para liberarse deban abandonar toda condicin particular.

Asse deba llegar a un estado devacuidad para unificarse con el todo (NIRVANA)

El budismo fue muy influyente en la India, de all que no es raro que despus fuera inventado un smbolo numrico para el vaco.

12.

Saban que noventa y cinco sumado con cinco da como resultado 46?

13. Operaciones bsicas

Suma: es igual que como la usamos actualmente.

Ej.: Tatra tiene (buda, mano) dinares y su amigo Bhata le paga (sentidos) Cunto tiene Tatra?

46

955 14.

Resta: charya tiene (buda, brazos, luna) dinares y paga (Krishna, sol) Cunto le queda?

471 92181+ 15.

Con enteros: Mumba le debe (buda, vamana) dinaresa su amigo akrya, si le paga (mano) Cunto queda debiendo ?

45

955 16.

Aryabhata fue el primer matemtico en sumar y restar fracciones usando mnimo comn mltiplo, tal como se hace hoy en da:

Sumar3/5 con 2/4

32 Yu

54

Mcm (5,4) = 20y amplificando fracciones se obtiene:

1210 Yupha22

202020

17. Multiplicacin

De nmeros compuestos pordos dgitos.

Gomutrika (trayectoriade la orina de la vaca)

Gelosia (llamada as por los europeos, debido a su parecido con las rejillasde madera de las iglesias entre los siglos XIV y XV en Italia)

18. De nmeros compuestos por dos dgitos.

Primero se hace2x7 y se escribe debajo.

Luego 4x3.

Despus se multiplica enx y los resultados se colocan debajo.

Se suman los resultados y solo hay que llevar cuando se hace la suma.

19. Gomutrika (Brahmagupta)

Multiplicar 235 por 264.

2235

6235

4235

_________

470

1410

940

__________

62040

20. Gelosia

Los matemticos hindes a partir del siglo V,efectuaron la multiplicacin por el procedimiento conocido con el nombre de cuadrculas.

Ej.multiplicarMultiplicar 6 358 por 547

Es llamada errneamente multiplicacin musulmn.

21. 6538 5 6 538 por 547 4 7 22. 6538 7 4 5 23. 6538 7 4 5 4 2 24. 65387 4 5 4 2 53 12 65 42 02 21 23 03 51 52 04 25. 6538 7 4 5 4 2 53 12 65 42 02 21 23 03 51 52 04 6 7 5 3 6 8 2 26. 6538 7 4 5 4 2 53 12 6 7 5 3 6 8 2 65 42 02 21 23 03 52 51 04 El resultado se lee de izquierda a derecha as:6538 x 547 = 3 5 7 6 2 8 6 27.

Por ejemplo:

multiplicar 537 por 24

Para lo cual construimos la cuadrcula siguiente:

28. 5 3 7 2 4 29. 5 3 7 2 4 30. 5 3 7 2 4 1 0 2 4 1 6 0 8 2 2 1 0 31. 5 3 7 2 4 1 0 2 4 1 6 0 8 2 2 1 0 1 2 8 8 8 32. 5 3 7 2 4 1 0 2 4 1 6 0 8 2 2 1 0 1 2 8 8 8 Luego 537 x 24 = 12 888 33.

Con fracciones: el manuscrito Bhaskshali muestra operaciones con fracciones como las siguientes:

34. Divisin (galera)

Mtodo paradividir similar al que usamos hoy en da.

Llega a occidente gracias al contacto de los europeos con los rabes (cruzadas)

35.

Dividir44.977 entre 382 (por el mtodo moderno y por galera.

44977382

382117

677

382

2957

2674

283

36.

38244977

37.

67

382449771

382

38.

29

675

3824497711

3822

38

39.

28

293

675

38244977117

38224

387

26

40.

Con fracciones: en el manuscrito Bhaskshali se muestra de la siguiente forma:

Donde el smbolo es bha o parte

41. Radicacin

El manuscrito Bhaskshali muestra una formula para hallar las races cuadradas de nmeros que no son cuadrados perfectos.

Donde x es el numero a radicar, y n el cuadrado anterior mas cercano

P ej. Encontrar la raz de 10,5

X= 10,5n = 3 por que 3x3 = 9

42. Matemticos y literatura matemtica.

La escritura vedica es principalmente religiosa y ceremonial.

Los vedantas estn compuestos en seis partes, las dos ultimas son de astronoma y rituales.

Dentro de los rituales se encuentran los sulbasutras.

43. Sulbasutras (reglas de la cuerda)

Son textos que indicabanlas reglas y procedimientos en la construccin de altares.

La perfeccin de los altares les dara el favor de los dioses.

No contienen demostraciones, solo reglas.

Baudhayana (800 AC)

Manava(750 (200 AC)

Apastamba (600 AC)

Katyayana (200 AC)

44. Teorema de Pitgoras

Katyayana: la soga que se tiendesobre la diagonalde un rectngulo, produce un rea que es la que dan los ladosvertical y horizontal.

45.

Apastamba: indica la construccin de altares trapezoidales, con el uso de ternas pitagricas

46.

Baudhayana: aparentemente emplea la rotacin de figuras (Euclides) para el teorema de Pitgoras.

47.

Adems en los sulbasutras aparece una forma para el teorema de Pitgoras por comparacin de lados.

48. Cuadratura del circulo y raz de dos

En los sulbasutras aparece el mtodo conocido como 13/15 para la cuadratura del circulo.

Katyayana hace una aproximacin de raz de dos: aadea la unidadde longitudsu tercera partey a esta tercera parte su propia cuarta parte menos la trigsimo cuarta parte de ese cuarto.

49. Siddhantas (sistemas astronmicos)

Fueron escritos en el periodo Gupta

( 290 d.c)

Paulisha.

Surya (sol)

Vasisishta.

Paitamaha.

Romanka.

Expresan el valor de: 3177/1250 que coincide con el valor sexagesimal 3; 8,30 que haba dado claudio Ptolomeo.

Por primera vez en la historia, el Surya Siddhanta emplea la semicuerda para la funcin trigonomtrica seno (jiva)

(otkram jiva)

(kojiva)

50.

De la distancia meridiana del zenit del solencuentrejiva (seno base) y kojiva (coseno o seno perpendicular), si entoncesel radio se multiplicara por la medida del gnomon en dgitosy divididopor el kojiva, los resultados son la sombra del gnomony la hipotenusa al medio da.

G=medida del gnomon.

R= radio del gnomon.

S=sombra del gnomon.

H= hipotenusa del gnomon

51. Manuscrito Bhaskshali

Anterior al siglo v D.c.

Encontrado cerca a la villa del mismo nombre en 1881.

Contiene:

Operaciones bsicas.

Solucin de ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones.

Regla de tres.

52.

Planteaecuaciones donde la incgnita se escribe de manera similar al smbolo para sunya.

53.

Muestra soluciones a problemas, que hoy en da resolvemos con sistemas de tres ecuaciones:

Ej. Una personaposee siete caballos Asava, otro nueve caballos Haya y otro diez camellos. Cada uno da dos animales, uno a cada persona. Quedando los tres con el mismo valor monetario. Encuentreel valor de cada animaly el valor total de todos los animales

54.

Para solucionar el problema, primero decimos

Que:

valor del caballo Asava.

valor del caballoHaya.

valor del camello.

55.

Se plantea la igualdad:

Donde k es el el valor total de los animales.

Despus seestos se repartencomo lo plantea el enunciado:

(1)

Luego se quitan los animales que acabamos de repartiry sustraemos a cada parte de la igualdadun animal.

(2)

56.

La igualdad queda de la siguiente forma

(3)

El valor dees 168 yaque es valor de multiplicar los tres coeficientes resultantes 6x4x7=168

Lo que se hace es igualar cada parte de la igualdad con 168.

57.

Esto se hace de la siguiente forma

58.

Los valores se sustituyen en (3)

Como es una igualdad:

59.

Tambin usaban la regla de tres para solucionar problemas del tipo: si un hombregana 50 dinares en ocho das Cunto ganara en doce?

8 = pramana50 = phala12 = iccha

La regla es: phala x pramana / iccha

(50 x 12) / 8 = 75 dinares

60. Aryabhatiya (Aryabhata- siglo VI DC)

Escribi 33 versos sobre:

Calculo de races.

Geometra.

Aritmtica.

Trigonometra esfrica.

Tablas de senos: sen30=

Notacin del sistema de numeracin decimal.

61.

En el Aryabhatiya: hay una regla para el calculo de pi.:

chaturadhikam atamaaguam dvaistath sahasrm Ayutadvayavikambhasysanno vrttapariaha.

Esto quiere decir: suma 4 a 100, multiplica por 8 y smale 62000. el resultadote da aproximadamente la circunferencia de un circulo cuyo dimetro es de 20000

62.

Tambin contiene reglas para calcular la suma de trminos de una progresin:

63.

Usa un lenguaje muy florido para solucionar la cuarta proporcional a tres nmeros dados:

En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y dividepor la medida:el resultado ser el fruto del deseo:

Donde a es la medida, b el fruto, c el deseo y x el fruto del deseo

64. Brahmasphutasiddanta(el sistemadel universo por Brahmagupta)

Texto de astronoma y matemticas.

Reglas para el trabajo con enteros y cero.

Generalizacin de la formula de Heron de Alejandra.

Finalizo el proceso que diera origen al sistema de numeracin decimal.

Planteo ternas pitagricas.

65.

Reglas para el trabajo con enteros y cero:

adicinproductocero

66.

Generalizacin de la ecuacin de Heron para el cuadriltero cclico:

67.

Ternas pitagricas: trabajo las ternas bajo la forma:

Junto con las formulas para las diagonales:

68. El Lilavati y vijaganita(De Bhaskaracharya)

Reglas para la divisin por cero.

Calculo para el rea del circulo (cuadratura)

Dio soluciones a la ecuacin de Pell

69.

Regla para la divisin por cero: dividiendo 3, divisor 0, cociente la fraccin3/0. esta fraccinde la que el denominador es cifrase llama cantidad infinita. En esta cantidadque consiste en lo que tienecifra como divisorno hay alteracin posible, por mucho que se aadao se extraiga, lo mismo que no hay cambio en Brahma infinito e inmutable.

Tambin afirmo quea/0 x 0 = a

70.

Calculo el rea del circulo, dividiendo este en sectores iguales, y rectificando las semicircunferencias.

El rea del circulo ser igual al productode la semicircunferencia por la altura del circulo.

71.

Da soluciones particulares a la ecuacin diofantica (conocida como ecuacin de Pell)

"Dime, OH matemtico, cul es el cuadrado que multiplicado por 8 se convierte - junto con la unidad - en un cuadrado?"

Que tiene la solucin X =1 y =3 o tambin (x,y)= (1,3)

72. Jyasthadeva y Mahajivanayama prakara

Escritos por Madhava de Sangamagramma conocido como Golavid (maestro de las esferas)

Trabajoseries infinitas que luego fuerondescubiertas siglos mas tarde en Europa.

Sus trabajos llegan a nosotrospor mediode sus aprendices Nilakantha Somayaji y Jyesthadeva.

73.

Trabajo el calculo y la prueba de la serie de potencias para la tangente inversa:

El primer termino es el producto de la condicin y dado el radio del arco dividido por el coseno del arco. El xitose obtiene por el cuadrado de la condiciny dividopor el cuadrado del coseno. Todos los trminos se dividenpor el numero impar 1,3,5, el arcose obtienesumando y restando respectivamentelos trminos de rango impar, inclusive los de rango. Se establece que la condicindel arco o la de su complemento que es el menor debe ser tomado aqu como condicin dada. De otro modo los trminos obtenidos por encima de esta iteracin no tienden a desaparecer la magnitud.

74.

Esto es :

Esta serie se conoce como serie de Gregory (fue descubierta por James Gregory 300 aos despus) hoy se denomina como serie de Madhava-Gregory

75.

En el Mahajivanayama prakara dicta la serie que conocemos hoy como serie de Leibniz-Madhava.

Adems dio tres formas deRn que mejoran la aproximacin:

76.

Adems redacto una serie en verso para el valor de pi.:

Dioses(33), ojos(2), elefantes(8), serpientes (8), fuego (3), cualidades (3), vedas(4), naksatras (27), elefantes (8) y brazos ( 2); el sabio diceque esta es la medidade la circunferenciacuando el dimetro del circulo es de900.000.000.000.

77. Conclusiones.

Los aportes mas importantes de la matemtica hind fueron:

El sistema decimal de numeracin que simplifico el trabajo en las matemticas alrededor del mundo.

Los algoritmos que hoy en da utilizamos para realizar las operaciones bsicas.

La notacin para las funciones trigonometrcas seno y coseno.

78. Bibliografa:

Boyer Carl B. historia de la matemtica, alianza editorial, Madrid Espaa 2003.

http:// paraisomat.ii.uned.es / paraiso / historia.php?id = in_mate

www.uhu.es/candido.pineiro/historia/india.pdf

www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo18.html - 32k -

www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-1-1-india.pdf

http://ciencia.astroseti.org/matematicas

79.