Matemática Elementar

MATEMÁTICA ELEMENTAR PROFESSOR TENANI www.compassocursos.com.br

FRAÇÕES

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES.

Em uma fração o número de cima é chamado numerador e o

de baixo chamado denominador.

ab

Numerador

Denominador

Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador.

5

9,

9

10,

2

3.

Frações Impróprias: O numerador é maior ou igual ao

denominador.

13

10 ou

5

5.

Fração aparente. O numerador é múltiplo do denominador.

5 10 61, 5, 2

5 2 3

NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO

Qualquer número natural pode ser escrito como um produto

de outros dois ou mais números menores ou iguais a ele

chamado de fatores do número.

Número Fatores 18=2.9 2 e 9 18=1.18 1 e 18 18=3.6 3 e 6 18=2.3.3 2 , 2 e 3

Fatorar um número é escrevê-lo como um produto de

fatores. Adiante, será necessário fatorar um número em

fatores primos.

Número primo é um número natural maior que 1 cujos únicos fatores são ele mesmo e o 1.

Os primeiros números primos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.

Então quando nós fatoramos

18 = 2.3.3 nós estamos fatorando 18 em fatores primos.

EXERCÍCIO PROPOSTO

01) Escreva cada um dos números abaixo com um produto

de fatores primos:

a) 36

36 2

18 2 9 3

3 3

1

Assim 2 236 2.2.3.3 2 .3

b) 54

c) 96

d) 345

FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS

Uma fração é irredutível quando o único fator comum entre o

numerador e o denominador é o 1.

Para escrever uma fração em sua forma irredutível

escrevemos o numerador e o denominador com o produto de

números primos e dividimos ambos por todos os fatores

primos comuns.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

02) Reduza cada uma das seguintes frações a uma fração

irredutível.

a) 42

18

b) 45

60

EXERCÍCIO PROPOSTO

03) Reduza cada uma das seguintes frações a uma fração

irredutível.

a) 4 2

8

. 2

2. 2 . 2

1¨

2

b) 3

9

c) 10

12

d) 8

14

e) 16

18

f) 14

21

g) 50

75

h) 64

32

i) 96

48

j) 100

85

k) 120

84

l) 25

45

PRODUTO DE FRAÇÕES

Para multiplicar duas frações:

Escrever o numerador e o denominador como um

produto ( sem multiplicar).

Reduzir a fração resultante a uma fração irredutível.

Multiplicar

1

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04) Multiplique as frações a seguir obtendo uma fração

irredutível.

a) 2 5

3 7

b) 5 3

6 4

c) 5 6

6 5

Quando o produto entre dois números é 1, dizemos que eles

são números inversos.

5

6 e

6

5 são inversos.

2

7 e

7

2 são inversos.

Usamos o inverso de uma fração para dividir frações.

Para encontrar o quociente entre 2 frações

Para dividir duas frações multiplique a primeira pelo inverso

da segunda e reduza o produto resultante em uma fração

irredutível.

Obs.: A fração imprópria 49

48 pode ser escrita como o

número misto 1

148

, o qual é a soma de um número inteiro

com uma fração própria. Ele é obtido dividindo-se o

numerador pelo denominador.

49 48 49 11

1 1 48 48


05) Divida as frações a seguir obtendo uma fração

irredutível.

a) 7 6

8 7

b) 15 3

17 5

c)

4

53

7

d) 1 2

3 54 3

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

06) A área de um retângulo é dada pelo produto da largura

pela altura. Calcule a área de um retângulo de 5

2 cm de

largura por 11

6 cm de altura.

07) Multiplique ou divida as frações a seguir obtendo uma

fração irredutível.

a) 5 3 5.3 5

6 5 6.5

. 3

2. 3. 5

1¨

2

b) 2 5

3 6

c) 7 7

8 12

d) 7 3

5 2

e) 7 3

9 4

f) 3

64

g) 3 4

7 5

h) 12 8

25 15

i) 6

37

j) 3

48

k) 7

42

l) 1

17 23

m) 5

12 16

n) 17

3

4

o)

1

2

4

08) Qual é o volume de um paralelepípedo com 46

3cm de

comprimento, 17

4cm de largura e de altura?

09) Um pedaço de madeira de 123

2cm foi dividido em 14

partes. Qual é o comprimento de cada parte?

2


ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.

Para somar ou subtrair duas frações, elas devem possuir o

mesmo denominador.

Para adicionar ou subtrair duas frações com mesmo

denominador:

Adicionar ou subtrair os numeradores.

Colocar a soma ou diferença sobre o denominador

comum.

Reduzir a fração resultante a uma fração irredutível.


10) Execute as operações a seguir.

a) 3 1

8 8

b) 7 5

16 16

Quando as frações têm denominadores diferentes, nós

devemos reescrever todas as frações com um novo

denominador comum. Muitos números podem satisfazer a

essa condição, mas nós queremos o menor desses números,

chamado de mínimo múltiplo comum (mmc).

24 é o mínimo múltiplo comum entre os denominadores

das frações 7

8 e

5

6, desde que ele o menor número que

pode ser dividido por 8 e 6 exatamente.

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre dois

ou mais números decompomos todos os números ao mesmo

tempo, num dispositivo como mostrado a seguir. O produto

dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o

mmc desses números. (Processo chamado de decomposição

simultânea):

24 18 2

12 9 2

6 9 2

3 9 3

1 3 3

1 1

Logo, 3 2(18,24) 2.2.2.3.3 2 .3 8.9 72MMC

Esse procedimento pode ser generalizado para mais

números.

12 18 24 2

6 9 12 2

3 9 6 2

3 9 3 3

1 3 1 3

1 1 1

Logo, (12,18,24)MMC = 3 22 .3 8.9 72

Para escrever a fração 5

6 como uma fração equivalente com

novo denominador 24, nós encontramos o número que

multiplicado por é igual a 24. Desde que

6.4 24

Nós usamos o 4 como fator. Agora multiplicamos a fração 5

6

pela fração 4

4. Então:

5 5 4 5.4 20

6 6 4 6.4 24 .

Para encontrar frações equivalentes

Dividimos o novo denominador pelo denominador

original.

Multiplique o numerador e denominador da fração pelo

número obtido no passo anterior.


11) Encontre o mmc entre os números indicados

a) 6, 9 e 12

b) 3, 8 e 10

c) 9, 15 e 21

d) 6, 14 e 18

e) 5, 10 e 12

f) 16, 24 e 36

g) 12, 16 e 24

h) 5, 7 e 11

i) 10, 20 e 30

j) 68, 9 e 12

k) 10, 14 e 18

l) 10, 15 e 20

12) Escreva frações equivalentes tendo o novo denominador

indicado:

a) 3 ?

5 30

3 3 6 18

30 5 65 5 6 30

b) 7 ?

9 72

c) 5 ?

7 77

d) 1 ?

4 20

3


MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por

exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6.

Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo

divisor . Para calcular o mdc de dois ou mais números é

utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

Assim:

I) Decompomos os números em fatores primos;

II) O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Calcular o mdc entre 36 e 90.

36 2

18 2

9 3

3 3

1

90 2

45 3

15 3

5 5

1

36 2.2.3.3

90 2.3.3.5

Logo 36,90 2.3.3 18mdc .

13) Uma piscina com 18 m de comprimento, 8,7 m de largura

e 1,2 m de profundidade foi azulejada de modo que seu

fundo foi revestido com o menor número possível de

azulejos quadrados. Supondo ser desprezível o

espaçamento dos rejuntes entre os azulejos, qual é o

menor número de azulejos quadrados utilizados para o

revestimento?

Para adicionar ou subtrair frações com denominadores

diferentes

Encontramos o mmc entre os denominadores.

Escrevemos cada fração com uma fração equivalente

com o mmc como novo denominador.

Executamos a adição ou subtração.

Reduzimos a fração resultante.



a) 7 5

8 6

b) 7 1

8 3


15) Some ou subtraia as seguintes frações.

a) 1 1

3 3

b) 2 3

5 10

c) 1 1

3 4

d) 5 1

6 6

e) 4 2

5 10

f) 5 3

6 8

g) 5

36

h) 3

45

i) 2 3

3 4

j) 3 7

5 15

k) 5 1

6 3

l) 5 1

6 3

m) 3 1

8 12

n) 7 3

24 16

o) 7 19

54 45

p) 1 1 1

2 5 10

q) 7 5 3

15 6 4

r) 9 5 2

16 18 15

s) 2 2 5

7 3 7

t) 1 3

7 22 4

16) O perímetro de um retângulo é encontrado adicionando-

se os comprimentos de seus 4 lados. Encontre o

perímetro de um retângulo de dimensões 5

4cm e

5

6cm .

17) Luísa deve algum dinheiro para Renan. Se ela pagar 1

4

do que deve em junho, 1

3 da dívida original em julho e

3

8 da dívida original em Agosto, quanto de sua dívida

ainda restará? 4


18) Certo dia, Júlia compra 5

6m de certo tecido,

3

4m de

outro e 2

3m de um terceiro. Quantos metros de tecido

Júlia comprou?

VOCÊ SABE?

Reduzir uma fração?

Multiplicar e dividir frações?

Encontrar o mínimo múltiplo comum de 2 ou mais

números?

Somar e subtrair frações

RESOLVENDO PROBLEMAS

Leia atentamente o seguinte problema:

Você entra em um ônibus vazio juntamente com sete outros

passageiros e na primeira parada de sua rota quatro pessoas

descem e duas sobem para o ônibus. Na segunda parada, seis

pessoas descem e 4 sobem no mesmo. Na terceira parada,

oito pessoas descem do ônibus e três sobem. Na quarta

parada, 30 pessoas entram e oitos saem do ônibus.

Pergunta:

Qual a idade do motorista?

Você começou a contar os passageiros no ônibus? Aqui está a

primeira lição:

Não comece a resolver um problema antes de ter lido seu enunciado inteiro.

5


DECIMAIS.

INTRODUÇÃO

Um número decimal é uma fração cujo denominador é 10,

100, 1000, etc.

Em um número como 235, os algarismos 2, 3 e 5 tem os

valores posicionais a seguir:

235 (2.100) (3.10) (5.1)

Em um número como 0,235 os algarismos 2,3 e 5 tem os

valores posicionais a seguir:

1 1 1

0,235 (2 ) (3 ) (5 )10 100 1000

Nós chamamos esse número de Fração decimal ou

simplesmente decimal.

Observe que:

2 3 5 200 30 5 235

0,23510 100 1000 1000 1000 1000 1000

Lido como 235 milésimos.

Da mesma forma:

27

0,27100

(27 centésimos)

3

0,310

(3 décimos)

EXERCÍCIO PROPOSTO

01) Escreva os seguintes números decimais como frações

irredutíveis.

a) 8 2

0,810

.2.2

2

4

5.5

b) 0,57

c) 0,1234

d) 0,42

e) 0,4

f) 0,83

g) 0,15

h) 0,36

i) 0,125

j) 0,248

k) 0,875

l) 0,625

Obs.: Um número decimal escrito com fração será redutível

somente se o numerador for divisível por 2 ou por 5.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

PARA ADICIONAR OU SUBTRAIR NÚMEROS DECIMAIS:

Colocamos os números um sobre o outro de tal forma

que as vírgulas fiquem alinhadas verticalmente

Procedemos como se estivéssemos adicionando ou

subtraindo números inteiros.



a) 5,67 32,046 251,7367 0,92

b) 39,62 18,7

EXERCÍCIO PROPOSTO

03) Efetue:

a) 3,97 7,39 3,17 8,45

b) 6,8 0,354 2,78 7,083 2,002

c) 4,76 0,573 3,57 40,09 13

d) 8,0007 360,01 25,72 6,362 0,0005

e) 7,0001 8 7,067 803,1 5,25

f) 10,03 3,113 0,3342 0,0763 0,005

g) 19,2 4,38

h) 83,42 14,9

i) 27,376 14,0007

j) 367,0076 210,02

k) 836 0,367

l) 4,5632 274,063

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

PARA MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMAIS:

Multiplique os números como se fossem inteiros.

Conte o número de casas decimais nos 2 fatores.

Esse número é o número total de casas do produto.

Começando à direita do resultado, conte para a esquerda

o número de casas decimais obtidas anteriormente. Se

necessário complete com zeros e então insira a vírgula.

6




a) 2,36 0,403

b) 18,14 106,4

EXERCÍCIO PROPOSTO

05) Efetue:

a) 206,1 9,36

b) 7,006 1,36

c) 42,6 73

d) 56,37 0,0076

e) 703,6 1,7

f) 30,0303 0,030303

g) 2,456 0,00012

DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Dividendo Divisor

Quociente

PARA DIVIDIR NÚMEROS DECIMAIS:

Identifique o divisor, o dividendo e o quociente como

indicado acima.

Mude o divisor para um número inteiro movendo a

vírgula para a direita quantas casas forem necessárias.

Mova a vírgula no dividendo para a direita o mesmo

número de casas do passo anterior. Se necessário use

zeros para completar.

Divida como números inteiros.

Esse processo é o conhecido “igualar as casas”.



a) 360,5 1,03

b) 4950,3 5,69

c) 1

3

No item (c) podemos observar que, independente da

quantidade de zeros que colocamos, continuará a aparecer o

algarismo 3 no quociente. Assim:

10,3333... 0,3

3

EXERCÍCIO PROPOSTO

07) Efetue:

a) 4950,3 5,69

b) 0,84 0,7

c) 0,525 0,5

d) 10,4 0,26

e) 21,681 8,03

f) 6,1251 60,05

g) 166,279 64,7

h) 31,50 0,0126

i) 2,9868 0,057

08) Converta as seguintes frações em números decimais.

a) 3

8

b) 3

20

c) 5

8

d) 13

20

e) 17

50

f) 2

9

g) 5

9

7


09) 1 litro de gasolina custa $2,599R . Qual é o custo de

14,36 litros?

10) Um estudante comprou um livro por $21,68R . Se ele

pagou com $25,00R qual é o seu troco?

11) Encontre a área de um retângulo de dimensões 15,75 cm

por 21,3 cm.

VOCÊ SABE?

Escrever decimais finitas como frações?

Adicionar e subtrair números decimais?

Multiplicar e dividir números decimais?

Escrever frações como números decimais?

8


PORCENTAGENS.

A palavra “por cento” significa um a cada cem. Utilizamos o

símbolo “%” para representar porcentagens. Assim 4%

significa “quatro partes em cada cem”.

Nós podemos escrever porcentagens como:

Um número decimal ou

Como uma fração com denominador igual a 100.

Exemplos:

2727% 0,27

100

139139% 1,39

100

PARA ESCREVER UMA PORCENTAGEM COMO NÚMERO

DECIMAL:

Mova a vírgula decimal duas casas para a esquerda e

acrescente o símbolo “%”.

PARA ESCREVER UMA PORCENTAGEM COMO UMA

FRAÇÃO:

Elimine o símbolo “%” e escreva o número sobre o

denominador 100.

PARA ESCREVER UM NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM:

Mova a vírgula decimal duas casas para a direita e

coloque o símbolo “%”.

PARA ESCREVER UMA FRAÇÃO COMO UMA

PORCENTAGEM:

Encontre o número decimal equivalente a essa fração e

mude o número decimal para porcentagem.

EXERCÍCIO PROPOSTO

01) Escreva os números seguintes como números decimais,

frações e porcentagens:

a) 0,9

b) 1,25

c) 7

8

d) 5%

e) 1%

f) 325%

g) 1,75

h) 3

4

Quando calculamos 40% de 300, nós encontramos a

percentagem. Em linguagem matemática, a palavra “de”

usualmente significa a operação de multiplicação. Assim 40%

de 300 significa 40% 300 .

Entretanto, nós não podemos multiplicar 40% por 300. Nó

devemos primeiro converter 40% para um número decimal (

ou para fração) antes de efetuar a operação.

40% 300 0,40 300 120


02) Encontre as porcentagens abaixo:

a) 8% de 35

b) 224% de 50

c) 7

%2

de 270

d) 226% de 20

e) 5% de 40

f) 240% de 60

g) 110% de 500

03) Lúcio economiza 5% de seu salário todo mês. Quanto ele

terá economizado em 1 ano?

04) Em promoção relâmpago uma loja oferece um desconto

de 35% sobre o preço de uma mercadoria cujo preço

original era R$ 460,00. Qual o novo valor da mercadoria?

05) Os automóveis atuais chamados “Flex” podem utilizar

álcool ou gasolina como combustível. A utilização do

álcool como combustível vale a pena se o preço do álcool

for menos ou igual a 60% do preço da gasolina. Se o

preço atual da gasolina é R$ 2,50 qual deve ser o preço

do álcool para que compense a sua utilização?

06) Uma loja ofereceu um desconto de 9% sobre o preço de

uma mercadoria. Qual é o preço original da mercadoria

se o preço pago foi de R$ 70,00.

07) O salário de um trabalhador que era de R$ 3000,00

sofreu um reajuste de 6,2%. Quanto passou a ser seu

novo salário?

08) Ao aumentar o preço de uma mercadoria de R$ 2850,00

para R$ 3277,50 qual foi o aumento percentual?

09) Comprei um terreno por R$ 5400, 00, depois de dois anos, resolvi vendê-lo com 30% de lucro. Qual deveria ser o novo preço do terreno?

10) Uma salina produz 18% de sal, em um determinado

volume de água que é levada a evaporar. Para produzir 125 m3 de sal, quanta água precisa ser represada.

11) Uma determinada empresa oferece 25% de desconto no pagamento á vista. Comprei um eletrodoméstico por R$ 375,00 a vista. Qual é o preço do eletrodoméstico sem desconto?

12) Uma loja aumenta 20% o preço de um par de sapatos que custa R$ 40,00. Ao entrar em liquidação, essa loja passa a oferecer o mesmo pra de sapatos com um desconto de 20% para pagamento à vista. Quanto você irá pagar pelo par de sapatos se comprá-lo à vista?

9


13) Um automóvel adquirido por R$ 20.000,00, foi vendido

com 20% de lucro sobre o preço de venda. Qual foi o lucro em reais?

14) Das peças produzidas num torno, sabe-se que 60% são perfeitas, 30% possuem pequenos defeitos e as restantes não são aproveitadas. O custo de produção de cada peça, em qualquer caso, é de R$10,00. O preço de venda de cada peça perfeita é de R$15,00 e de cada peça com pequeno defeito é de R$ 12,00. Qual o valor do lucro esperado pelo fabricante ao programar a produção de 400 peças?

15) Um tanque de combustível contém 240 litros de gasolina com 3% de álcool. Quantos litros de álcool puro devem ser adicionados à mistura para que ela tenha 4% de álcool?

16) Do preço de venda de um produto, um comerciante paga 20% de imposto. Do restante, 70% correspondem ao custo do produto. Se o custo do produto é de R$ 336,00, qual é o preço de venda desse produto?

17) Vendeu-se uma bicicleta por R$ 270,00 devido a 10% de desvalorização sobre seu preço de compra. Portanto, o valor de compra, imediatamente anterior a essa venda, foi, em reais?

18) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista, com 30% de desconto sobre o preço da tabela, ou no cartão de crédito, com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que, à vista, sai por R$ 700,00, no cartão, saíra por

19) O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 10% e de 20%. De quantos por cento foi o aumento total dessa mercadoria?

VOCÊ SABE?

Escrever uma porcentagem com número decimal?

Escrever um número decimal como porcentagem?

Escrever uma fração como porcentagem?

Escrever uma porcentagem como fração?

Encontrar a porcentagem?

10


NÚMEROS REAIS.

O conjunto é o conjunto dos números naturais

{0,1,2,3,4,...}

Geometricamente, o conjunto pode ser representado por

meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um

ponto de origem (correspondente ao número zero), uma

medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita)

Subconjunto importante:

* {1,2,3,4,...} {0}

O conjunto é o conjunto dos números inteiros

{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}

Todos os elementos de pertencem também ao , isto é,

.

A representação geométrica do conjunto pode é feita a

partir da representação de na reta numerada; basta

acrescentar os pontos correspondentes aos números

negativos.

Subconjuntos importantes:

* {..., 3, 2, 1,,1,2,3,...} {0}

{0,1,2,3,...}

* *{1,2,3,...}

{..., 3, 2, 1,0}

* {..., 3, 2, 1}

MÓDULO.

Módulo, ou valor absoluto, de x é a distância da origem ao

ponto que representa x .

| 2 | | 2 | 2

| 4 | | 4 | 4

NÚMEROS RACIONAIS.

O conjunto dos números inteiros é suficiente para

representar muitas situações físicas, mas em muitas

situações precisaremos de um novo conjunto de números

chamado de conjuntos dos números racionais ( representado

por ).

Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como um quociente de dois inteiros de forma que o divisor seja diferente de zero.

Exemplos:

2

3,

1

2 ,

6

1,

21

5,

23

7 ,

0

8,

5

1

A representação decimal de um número racional é ou uma

decimal finita ou uma decimal infinita periódica.

Exemplos:

1

0,52

1

0,3333.... 0,33

10,1666... 0,16

6

51,25

4

4

0,121212... 0,1233

10,037037037... 0,037

27

Obs. A barra colocada sobre um algarismo ou grupo de

algarismo indica que o algarismo ou o grupo repete

indefinidamente.

NÚMEROS IRRACIONAIS.

Nesse momento, poderíamos pensar que nós temos números

suficientes para resolver todas possíveis situações.

Infelizmente esse não é o caso. Consideremos o seguinte

problema:

Qual é exatamente o lado de um quadrado cuja área é 25m ?

Para responder a essa questão nós precisamos de um

número que ao ser multiplicado por ele mesmo, tenha 5

como resultado.

Será 2,236 o número procurado?

2,236 2,236 4,999696

Esse número é próximo de 5 mas não é 5.

Pode-se mostrar que não existe um número racional cujo

produto por ele mesmo seja igual a 5.

A resposta para esse problema e para muitos outros não

pode ser encontrada no conjunto dos números racionais. A

reposta para essa questão é 5 ( raiz quadrada de 5).

Outros exemplos:

3 , , 2 , 0,1011011101111...

Números que não podem ser escritos como quociente de

dois números inteiros pertencem ao conjunto chamado de

irracionais.

11


NÚMEROS REAIS.

Números podem ser racionais (aqueles que podem ser

escritos como quociente de dois inteiros) e irracionais (

aqueles que não podem). Assim, um número pode ser

racional ou irracional, mas não ambos.

O conjunto que contém todos os números racionais e todos

os números irracionais é chamado conjunto dos números

reais (representado por ). Quando nós encontrarmos um

problema em que um conjunto específico de números não foi

indicado nós assumiremos que esse conjunto é .

RETA REAL

Para representar os números reais, nós usamos a reta de

números reais.

O número que é associado com cada ponto da linha é

chamado a coordenada do ponto.

Números como 3 e representam números irracionais.

Para representar esses números, nós precisamos de uma

aproximação.

3 1,732

3,142

Movendo-se da esquerda para a direita na reta real, nós

estamos nos movendo no sentido positivo e os números

estarão crescendo. Se nos movermos para esquerda, nós

estaremos nos movendo no sentido negativo e os números

estarão decrescendo.

ORDEM NA RETA REAL.

Se nós escolhermos quaisquer dois números da reta real e

representarmos eles por a e b , onde a e b representam

números não especificados, nós observamos que existe uma

relação de ordem entre a e b .

a b ( a está à esquerda de b )

ou

b a ( b está à direita de a )

Exemplos:

0 4 ou 4 0

0 3 ou 3 0

3 6 ou 6 3

2 4 ou 4 2

Obs. Não importa qual símbolo de desigualdade nós usemos

a seta sempre aponta para o menor.

Existem 2 outros símbolos para desigualdades ( chamados de

desigualdades fracas) . Eles são menor ou igual ( ) e maior

ou igual ( ).

Assim 3x significa que x é no mínimo 3 . Isto é, que x

representa um número que é igual a 3 ou maior que 3 .

VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO

O valor absoluto (ou módulo) de um número real é a

distância deste número até a origem.

O símbolo para o valor absoluto é | |

Assim

| 7 | 7 2 2

5 5 | 3 | 3

| 6 | 6 | 0 | 0

ADIÇÃO DE NÚMEROS REAIS

PARA ADICIONAR DOIS NÚMEROS REAIS

Para somar a e b , isto é a b , nós localizamos a sobre

a reta real e o movimentamos de acordo com o valor de

b .

Se b é positivo, nós movemos a para a direita b

unidades.

Se b é negativo, nós movemos a para a esquerda b

unidades.

Se b é zero, nós não movimentamos a .

Nós utilizaremos o sinal ( ) na frente de um número para

enfatizar o fato de o número ser positivo. Nos futuros

exemplos isso será omitido.

Exemplos

( 4) ( 5) 9 ( 3) ( 8) 11

( 6) (0) 6 ( 5) ( 2) 3

( 3) ( 8) 5 ( 2) ( 7) 9

( 20) ( 30) 50 ( 9) ( 9) 0

Quando nós somamos dois números com sinais diferentes a

resposta é a diferença entre os valores absolutos prefixados

com o sinal do número com maior valor absoluto.

PROPRIEDADES

0 0 0a a ( 0 é o elemento neutro da adição)

a b b a (Propriedade comutativa da adição)

( ) ( ) 0a a a a (A soma de um número com seu

oposto ou simétrico é zero)

( ) ( )a b c a b c ( Propriedade associativa)

12


SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS REAIS.

Para subtrair o número real b do número real a , isto é

a b , nós

Mudamos a operação de subtração para adição.

Mudamos o sinal do número que segue o símbolo de

subtração.

Efetuamos a operação seguindo as regras de adição.

Assim a b significa a somado com o oposto de b .

( )a b a b

Exemplos

(4) (5) 4 ( 5) 1

(6) (0) 6 ( 0) 6

3 ( 8) 3 ( 8) 11

20 ( 30) 20 ( 30) 10

3 ( 8) 3 ( 8) 5

9 (5) 9 ( 5) 4 5 (9) 5 ( 9) 4 Percebemos pelos dois últimos exemplos que a operação de

subtração não é comutativa, isto é:

9 (5) 5 (9)

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VÁRIOS NÚMEROS REAIS.

Quando vários números estão sendo adicionados e

subtraídos em uma mesma linha, resolvemos o problema da

esquerda para a direita.

9 3 4 3 6 1 4

6

9 3 4 3 6 1 4

10

6 4 3 6 1 4

13

10 3 6 1 4

7

13 6 1 4

6

7 1 4

6 4

10 Muitas vezes, parte do problema terá um grupo de números

dentro um símbolo de agrupamento como parênteses ( ),

colchetes [ ] ou chaves { }. Independente da quantidade de

números dentro de um desses símbolos de agrupamento, nós

trataremos eles como sendo um único número. Então em:

9 (3 2) (6 2) (5 4)

Nós realizaremos as operações dentro dos parênteses

primeiro para obter:

9 5 4 1

O qual resulta em

= 4 4 1

= 8 1

=7

EXERCÍCIO PROPOSTO

01) Efetue as operações:

a) 8 3 2 5 1

b) [6 1] [2 5] 7 [9 6]

c) (14 7) 2

d) 14 (7 2)

e) 1 1

2 4

f) 2 1

3 4

g) 18,7 ( 9,3)

h) 107,4 ( 12,6)

i) 215,8 96,2

j) ( 30) (14) (8)

k) ( 12) ( 10) (8)

l) ( 25) (4) (32) (28)

m) (24) ( 12) (12) ( 13)

n) ( 2) (3) ( 4) ( 5) ( 6)

o) ( 15) (13) ( 7) (32)

p) 14 4 (7 2)

q) (25 2) (12 3)

r) ( 6) 4 8 (8 7)

s) 32 5 7 4 (11 8)

t) 10 10 (10 10) 10

u) 12 3 16 10 (12 5)

v) (18 14) (12 17) 16

w) 8 4 7 (5 2) 3

Observe pelos exemplos (c) e (d) que a operação de

subtração não é associativa. Isto é, a ordem faz diferença na

subtração.

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS REAIS

Nós já conhecemos o fato de que o produto de dois números

positivos é positivo. Nós podemos observar isso considerando

a multiplicação como repetidas adições.

4.3 3 3 3 3 12

Nós também sabemos que

3.4 4 4 4 12

Assim podemos observar também a propriedade conhecida

como propriedade comutativa da multiplicação.

Para quaisquer números reais a e b ,

. .a b b a

13


Em nosso exemplo, nós usamos o símbolo "." para indicar

multiplicação. O símbolo " " será evitado em álgebra para

evitar confusão com a letra “x”.

5 7. é lido com 5 vezes 7.

(4)(6) é lido com 4 vezes 6.

3a é lido como 3 vezes a .

6(8) é lido como 6 vezes 8.

1

32

não significa 1

32

.

Multiplicação de dois números com sinais diferentes.

Como uma ilustração de uma multiplicação de um número

positivo por um número negativo, observe o seguinte padrão.

3.3 9

De

cresce

de

3 em 3

2.3 6

1.3 3

0.3 0

( 1).3

( 2).3

( 3).3

Assim, faz sentido que o produto de um número negativo por

um número positivo tenha como resultado um número

negativo.

Propriedade de zero

Multiplicando qualquer número por zero sempre resultará

zero como resposta

.0 0. 0a a

Elemento neutro da multiplicação

Multiplicando qualquer número por 1 sempre resultará no

próprio número.

.1 1.a a a

Multiplicação de dois números negativos.

3.( 3) 9

Cre

sce de 3

em

3

2.( 3) 6

1.( 3) 3

0.( 3) 0

( 1).( 3)

( 2).( 3)

( 3).( 3)

Assim, faz sentido que o produto entre dois números

negativos tenha com resultado um número positivo.

Exemplos:

( 2).3 6

( 2).( 4) 8

4.( 4) 16

( 5)( 5) 25

Nós podemos determinar o sinal de nossa resposta ao

multiplicarmos 3 ou mais números reais.

Se em uma multiplicação existir uma quantidade ímpar de fatores negativo, o resultado será negativo.

Se em uma multiplicação existir uma quantidade par de fatores negativo, o resultado será positivo.

Exemplos:

( 1).(2)(3)(4) 24 (Número ímpar de fatores negativos)

( 1)(2)( 3)(4) 24 (Número par de fatores negativos)

Propriedade associativa da multiplicação.

Mudando a ordem de multiplicação dos números em uma

multiplicação não mudará o resultado.

( . ) ( . )a b c a b c

02) Efetue as operações indicadas.

a) ( 3)( 5)

b) 0.( 6)

c) 4.( 7)

d) ( 8).3

e) 4.( 3).5

f) ( 2)(2)( 2)

g) 4.( 9)

h) ( 3)( 2)( 8)

i) ( 5)(2)(4)(3)

j) 7.( 1)( 3)( 5)

k) 2.( 3)( 1)(2)( 2)(3)

l) ( 1,8)(2,4)

m) ( 5,7)( 6,12)

n) ( 8,9).( 8,9)

o) ( 27)(0,08)

p) 1 3

3 5

q) 3 3

4 4

r) 3 8

4 9

s) 5 2

8 5

t) ( 3)(3)( 4)(4)

u) ( 1)( 1)( 1)( 1)

v) ( 2)(0)(3)( 4)

w) ( 3)( 2)(4)(0)

x) ( 5)(0)( 4)

y) ( 2)(0)(3)( 4) 14


03) Nos itens abaixo, são dados dois números, encontre dois

inteiros tais que seu produto é o primeiro número e sua

soma é o segundo.

a) 4, 4 Resposta: 2 e 2 pois ( 2)( 2) 4 e 2 ( 2) 4

b) 27, 6 Resposta: 9 e 3 pois ( 9)(3) 27 e 9 (3) 6

c) 16,0

d) 30,1

e) 25,10

f) 20, 9

g) 11,10

h) 0, 7

i) 72, 21

j) 12, 1

k) 48,16

l) 35,12

m) 8,7

n) 9,0

o) 12,1

p) 15,2

q) 18,3

r) 30, 1

DIVISÃO DE NÚMEROS REAIS

Lembramos que quando nós dividimos um número

(dividendo) por outro número (divisor), nós calculamos um

valor (quociente). Assim nós definimos a divisão a seguir

Se 0b , dizemos que a

qb se .a b q , onde a é o

dividendo, b é o divisor e q é o quociente.

Podemos checar nossa resposta multiplicando o divisor pelo

quociente e o resultado deve ser igual ao dividendo.

O quociente 20

5

é um número q tal que 20 ( 5).q , Esse

número é o 4, o que mostra que a divisão de dois números

negativos resulta sempre em um número positivo.

Para dividir um número positivo por um número negativo, ou

um negativo por um positivo, considere os seguintes

exemplos:

( 14) (2) 7 desde que (2)( 7) 14 .

(24) 6 4 desde que ( 6)( 4) 24 .

Assim, temos que o quociente de um número positivo e um

número negativo é sempre negativo.

EXERCÍCIO PROPOSTO

04) Efetue as divisões

a) 14

7

b) 36

6

c) 24

3

d) 15

5

e) 18

9

f) 15

3

O sinal de nossa resposta pode ser obtido pelo mesmo

método utilizado na multiplicação

Exemplos:

( 1)(12)1

(2)(3)

(Quantidade ímpar de fatores negativos)

( 1)(12)2

(2)( 3)

(Quantidade par de fatores negativos)

( 1)(12)2

(2)( 3)


( 1)(12)2

( 2)( 3)

(Quantidade ímpar de fatores negativos)

( 1)( 12)2

( 2)( 3)


Quando nós multiplicamos ou dividimos, se nós tivermos uma quantidade para de números negativos, nossa resposta será positiva, caso contrário, será negativa.

Obs. O procedimento para a escolha do sinal envolvendo

divisão ou multiplicação de três ou mais números aplica-se

somente quando as operações envolvidas são apenas

multiplicação e divisão.

( 8) ( 4) 126

2 2

Divisão envolvendo o zero.

O número zero é o único número que não pode ser usado

como divisor, para perceber esse fato, lembre-se que a

qb

se .a b q . Se nós aplicarmos essa definição usando o zero

como divisor nós temos as seguintes situações:

3

0q . Então .0q deve ser igual a 3 e nós não podemos

encontrar resposta para esse problema. Nós dizemos que

esta divisão não está definida. 15


0

0q . Então .0q deve ser igual a 0 e nós temos que

qualquer valor de q serve como resposta para esse problema.

Nós dizemos que esta divisão não é indeterminada.

É importante lembrar que o quociente de zero dividido por

qualquer número diferente de zero é sempre zero.

00

4

pois ( 4).0 0

EXERCÍCIO PROPOSTO

05) Efetue as divisões, se possível.

a) 0

5

b) 2

0

c) 7

0

d) 0

7

e) 0

0

f) ( 6)(0)

( 3)(0)

g) 6 6

6 6

VOCÊ SABE?

Realizar divisões com números reais?

Lembrar os resultados das divisões envolvendo o zero?

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS.

Se a , b e c são números reais, então:

a b b a . .a b b a ( ) ( )a b c a b c

( . ). ( . )a b c a b c

.1 1.a a 0 0a a ( ) 0a a

.0 0.a a

EXPOENTES

Considere os produtos indicados

4.4.4 64

e

3.3.3.3 81

Uma forma mais conveniente e escrever 4.4.4 é 34 , lido

como “4 a terceira potência” ou “4 ao cubo”. Nós chamamos

o número 4 de base e o número 3 de expoente.

Da mesma forma 3.3.3.3 pode ser escrito como 43 , lido

como “3 a quarta potência”.

Nós chamamos esses produtos de forma exponencial.

Obs. Entende-se que o expoente é 1 quando um número não

tem expoente. Isto é, 15 5 .

Exemplos 3( 3) ( 3)( 3)( 3) 27

33 (3.3.3) 27

4( 3) ( 3)( 3)( 3)( 3) 81

43 (3.3.3.3) 81

ORDEM DAS OPERAÇÕES

Quando nós realizamos vários tipos de operações aritméticas,

nós devemos respeitar uma ordem na qual as operações

deverão ser realizadas. Considere a seguinte expressão

numérica.

3 4.5 3

Dependendo da ordem a qual utilizamos para realizar a

operação, o resultado pode ser diferente. Para ilustrar

3 4.5 3 7.2 14

Ou

3 4.5 3 3 20 3 20 *

Ou ainda

3 4.5 3 3 4.2 3 8 11

Ordem das operações

Grupos: Realize qualquer operação agrupada com um dos símbolos ( ) , [ ] ou { } e em cima ou abaixo de uma barra de fração.

Expoentes: Realize as operações indicadas por expoentes. Multiplique e divida: Realize as multiplicações e divisões

da esquerda para a direita. Adição e subtração: Realize as adições e subtrações da

esquerda para a direita. Dentro um símbolo de agrupamento, a ordem das

operações deverá ser aplicada. Se existem vários símbolos de agrupamento, inicie

eliminando o mais interno.

Exemplos 26 5(7 3) 2

26 5.(4) 2

6 5(4) 4

6 20 4

26 4

22

EXERCÍCIO PROPOSTO

06) Efetue as operações

a) 7 8.3 2

b) (7 1) 3.4

c) 1 3 5

2 4 8

d) 22 .3 3.4

16


e) 3 1 2

.4 2 3

f) (7,28 1,6) 2,4 (6,1)(3,8)

g) 2 7 5

3 8 6

h) 2(5,4) 4.(3,1)(2,8)

i) 3(2 4) 4 6

4 2 5

j) 5[7 3(10 4)]

k) 18 6.3 10 (4 5)

07) Alex comprou 6 caixas de bombom por R$ 1,25 por caixa

e 7 chocolates por R$ 0,70 cada. Qual foi o gasto total?

08) Um homem trabalha 40 horas por semana a R$ 4,00 a

hora. Se ele trabalha 11 horas a mais na semana a um

valor de R$ 6,00 qual será o valor semanal a ser

recebido?

09) Efetue as operações

a) 0(5 2) 3

b) 24.3

69

c) (24 6) 3

d) (37 4) 11

e) 3(6 2)(7 1)

f) 212 3.16 4 2

g) 9 3(12 3) 4.3

h) 15 2(8 1) 6.4

i) 5[10 2(4 3) 1]

j) 18 [14 5(6 4) 7]

k) (8 2)[16 4(5 7)]

l) (9 6)[21 5(4 6)]

m) 6 3 14 2.3

7 4 5

10) Verifique se as afirmações abaixo estão corretas, em

caso negativo identifique o erro e corrija.

a) 3 5

b) | 3 | 3

c) ( 3) 4 1

d) ( 9) ( 4) 13

e) 4 (5 2) 3

f) 23 9

VOCÊ SABE?

Realizar múltiplas operações na ordem correta?

Usar expoentes?

17


EXPRESSÕES ALGÉBRICAS.

TERMINOLOGIA

Uma variável é um símbolo que representa um valor não

especificado. Uma variável pode tomar qualquer um dos

diferentes valores que ela pode representar.

2y x

Nesta relação, y e x são variáveis e 2 é constante.

Qualquer expressão envolvendo variáveis, constantes,

símbolos de agrupamentos e sinais de operações é chamada

de expressão algébrica.

5xy , 2

xy, 2 2k w ,

2

2

1

1

x

x

, 5( 2 )a b

Em uma expressão algébrica, termos são separados por um

sinal de mais ou um sinal de menos.

25 2 1x x ( 3 termos).

2 2x y (2 termos).

5 2 44x y z (1 termo).

2

2 b ca

d

(2 termos).

Nesta última expressão temos 2 termos desde que a barra de

fração forma um agrupamento. Observe que o segundo

termo tem dois termos no numerador.

Na expressão 5xy o 5 é chamado de coeficiente numérico

ou simplesmente coeficiente do termo.

Se não aparecer nenhum coeficiente numérico em um termo,

o coeficiente é 1.

6 3x y z

6 é o coeficiente de x ,

3 é o coeficiente de y e

1 é o coeficiente de z .

Um tipo especial de expressão algébrica é um polinômio. Um

polinômio possui as seguintes características.

Seus coeficientes são números reais. Todas as variáveis admitem apenas expoentes naturais. As operações realizadas sobre as variáveis são somente

adição, subtração e multiplicação.

Um polinômio que possui apenas um termo é chamado de

monômio; um polinômio que possui 2 termos é chamado de

binômio; e um polinômio que contém 3 termos é chamado

de trinômio.

Exemplos

,4 ,3x x e 25x y são monômios

3 1x , x y e 2 281 9W T são binômios.

35 2 1x y e 2 9 10z z são trinômios

3 26 2 4 1x x x é um polinômio de 4 termos.

4

2x não é um polinômio

Nós devemos simplificar qualquer polinômio, antes de

identifica-lo.

Exemplo

3 4x é um binômio pois 3 4 7x x


01) Determine os coeficientes numéricos das seguintes

expressões algébricas

a) 2 2 4a a

b) 25 4x x z

c) 2 24a b ab ab

d) 3x y z

e) 4 2 23x x x

02) Determine se cada uma das seguintes expressões

algébricas é um polinômio. Se for um polinômio, que

nome o descreve? Se não for um polinômio escreva o

porquê.

a) 25 2x y z

b) 2 25x y

z

c) 2ax bx c

d) mx b

e) 25 2x x

f) 1

yx

g) 5

a bc

h) a b

dc

i) 5 34 7 3 2x x x

j) 6 29 2 4x x

Outro caminho para diferenciar polinômios é o grau do

polinômio. O grau de um polinômio em uma variável é o

maior expoente da variável em qualquer termo.

Exemplos

35x é um polinômio de grau 3.

4 32 3 5x x x é um polinômio de grau 2.

2 57 4 3y y é um polinômio de grau 5.

NOTAÇÃO ALGÉBRICA

Muitos problemas são colocados de forma verbal. Então será

necessário traduzi-los para uma expressão algébrica. Não

existe um padrão para fazer isso, mas as seguintes

informações podem ajudar. 18


Leia o problema cuidadosamente. Observe qual informação é fornecida e qual nós devemos encontrar.

Escolha alguma letra pra representar uma dos valores desconhecidos. Expresse os outros valores desconhecidos em termos desse.

Use as condições dadas no problema e os valores desconhecidos para escrever o problema.

Ao traduzir frases verbais para expressões algébricas, nós

devemos observar para frases que envolvem as operações

básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Exemplos

Vamos representar por x o número desconhecido.

Adição

6x

6 unidades maior que um número.

A soma de um número com 6. 6 mais um número. Um número acrescido de 6. 6 adicionado a um número.

Subtração

6x

6 unidades menor que um número.

Um número diminuído de 6. A diferença de um número e 6. Um número menos 6. 6 subtraído de um número

Multiplicação

3x

Um número multiplicado por 3. 3 vezes um número. O triplo de um número. O produto de um número por 6.

Divisão

2

x

Um número dividido por 2. O quociente de um número e 2. A metade de um número.

EXERCÍCIO PROPOSTO

03) Escreva uma expressão algébrica para cada uma das

seguintes frases.

a) A soma de a e b .

b) 3 vezes a , subtraído de b.

c) 7 a menos que x .

d) 5 a mais que x .

e) A soma de x com y dividido por z

f) x vezes a soma de y e z

g) a diminuído de 5.

h) a diminuído de .b

i) Metade de x , acrescido de 2 vezes x .

j) Um número acrescido de 12.

k) Um número dividido por 5.

l) 3 vezes um número acrescido de 1.

m) 2 vezes a soma de um número com 4.

VALOR DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Propriedade da substituição.

Se duas coisas são iguais, então elas podem ser trocadas uma

pela outra a qualquer momento.

Se a b , então a pode ser torçado por b ou b pode ser

trocado por a em uma expressão sem alterar o valor da

expressão.

Exemplo

Avalie a expressão algébrica 2 2 7x x quando 4x .

2

4 2 4 7 17

Avalie a expressão algébrica 5 2( )a b c d quando

2a , 3b , 2c e 3d .

5(2) (3) 2(( 2) ( 3)) 3

EXERCÍCIO PROPOSTO

04) Avalie as seguintes expressões algébricas para 2a ,

3b , 2c e 3d .

a) 2a b c

b) 3 2 ( )a b c d

c) (3 2 )( )a b a c

d) ac db

e) 7 (6 )a d b c

f) (5 3 )(4 2 )c a d b

g) 2 2 2 2a b c d

h) 2 2( ) ( )ab ac

i) 2( ) ( )c d a b

j) 2 3c d

k) 2 33 2d c

l) 3(3 5 )d c

m) 2 23 2ac a c

FÓRMULAS

Uma fórmula expressa uma relação entre quantidades no

mundo físico, por exemplo, .s v t , que nos fornece o

espaço percorrido s em uma velocidade v durante um

determinado tempo t .

O volume V de um paralelepípedo é calculado pelo

produto do seu comprimento a vezes a sua largura b

vezes sua altura c . A fórmula tem a forma

. .V a b c

Encontre o volume de um paralelepípedo cujas dimensões

são respectivamente 12m , 4m e 5m .

3. . 12.4.5 240V a b c m

19


A relação entre temperaturas em Fahrenheit F e graus

Celsius C é dada pela fórmula

5

329

C F

Encontre a temperatura em graus Celsius se a temperatura

em Fahrenheit é 86

5 5

32 86 32 309 9

C F

O perímetro de um retângulo de comprimento x e largura

y é dado pela fórmula

2 2P x y

Encontre o perímetro de um retângulo com 8 metros de

comprimento e 4 de largura.

2 2 2.8 2.4 24P x y m

EXERCÍCIO PROPOSTO

05) Avalie cada fórmula abaixo.

a) A área de um trapézio é dada por ( ).

2

b B hA

,

calcule a área de um trapézio em que 2b cm ,

5B cm , 6h cm .

b) A força resultante, em Newtons N , aplicada sobre

um objeto é dada pela fórmula .F m a . Calcule a

força aplicada sobre um objeto de massa 3m kg

com uma aceleração 25 /a m s .

c) Corrente elétrica I dada em ampères é a quantidade

de carga Q dada em Coulomb C que flui por

unidade de tempo t dado em segundos s em um

sistema elétrico, sendo dada pela fórmula Q

It

.Numa secção reta de um condutor de eletricidade,

passam 12C a cada minuto. Calcule, nesse condutor, a

intensidade da corrente elétrica, em ampères.

Resolução de Problemas

Para resolver problemas nós devemos interpretar frases e

escrever expressões em termos de símbolos algébricos.

EXERCÍCIO PROPOSTO

06) Escreva uma expressão algébrica para cada uma das

seguintes frases.

a) Helena tecla 90 palavras por minuto. Quantas palavras

P ela pode teclar em n minutos?

Resolução:

90.n ou 90n

b) João tem n Reais em sua conta bancária e saca R$

34,00 para realizar uma compra. Qual seu saldo S ?

c) Uma mulher paga r Reais por 300g de mussarela. Qual

o preço P de cada grama?

d) Uma caixa de bombons com y bombons custa R$4,00.

Qual é o custo P de cada bombom?

e) Pedro tem x notas de R$ 10,00, y notas de R$ 5,00 e

z notas de R$ 1,00. Qual é a quantia Q de dinheiro

que Pedro possui?

f) Suse tem p anos. Qual será sua idade I daqui a x

anos?

g) Rose possui R$ 258,00 na sua conta bancária. Ela faz 2

saques de x Reais e n saques de R$ 10,00. Qual será

seu saldo final?

h) Se x representa um número inteiro, escreva uma

expressão para o seu sucessor ( )s .

i) Paula resolve x exercícios de matemática por minuto e

Lucimar resolve 7 exercícios a menos que Paula por

minuto. Escreva uma expressão que associa o número

de exercícios y que Lucimar realiza em 35 minutos.

VOCÊ PODE

Identificar termos em uma expressão algébrica. Identificar um polinômio. Escrever uma expressão algébrica.

SUBTRAÇÃO E ADIÇÃO ALGÉBRICA.

Expressões algébricas (incluindo polinômios) representam

números reais quando as variáveis são trocadas por números

reais. Assim, as propriedades que se aplicam as operações

com números reais também podem ser aplicadas a

expressões algébricas.

Propriedade distributiva

Para quaisquer reais a , b e c temos:

( )a b c ab ac e ( )a b c ab ac

Exemplos

3 4 5 3.4 3.5 12 15 27

2 3 2.3 2. 6a a a

EXERCÍCIO PROPOSTO

07) Aplique a propriedade distributiva

a) 1. 2 3a b

b) 1 2 3a b

c) 2 3a b

d) 2 3a b

20


Termos semelhantes

Dois termos são iguais quando possuem as mesmas variáveis

com os respectivos expoentes iguais.

Exemplos

2 43a b e 2 4a b são termos semelhantes .

2 34a b e 2 34a b são termos semelhantes .

22x y e 5xy não são termos semelhantes.

Adição e subtração

Usando a propriedade distributiva e a definição de termos

iguais, estamos prontos para soma ou subtrair expressões

algébricas.

Exemplos

3 4 7a a a

5 7 12x x x

4 3 7ab ab ab

3 2y y y y

2 6 5 3 7 3x y x y x y

2 2 26 4 3 2 4x x x x x x

2 2 2 2 2 2 2 2 25 2 3 5 8 3x y xy x y xy x y xy

EXERCÍCIO PROPOSTO

08) Realize as operações possíveis

a) 2 2 2 25 4 3a b ab a b ab

b) 3 2 5a b a b

c) 2 23 2 5 4 3 6x x x x

d) 2 23 4 2 5 7x x x x

e) 2 2 2 22 3 4a ab b a ab b

f) 2 2(8 2 3) 6 6 1R R R R

g) 2 2(5 2 1) (3 4 3)x x x x

h) 2x y x z

i) 2 3 2a b a b

j) 3 2 5R S R R S

k) 5 2 5 3a a b a

l) 2 3 5 3x x x

m) 3 2 ( )a a a b

n) 2 3 2a a b a b

o) 6 5 4 7x a y x y

p) 3 6 4 3 4 3x x x y y x

VOCÊ SABE?

Identificar termos semelhantes?

Adicionar ou subtrair expressões algébricas?

Remover símbolos de agrupamento?

21


EQUAÇÕES.

EQUAÇÕES

Uma equação é uma sentença matemática aberta expressa

por uma igualdade. Uma sentença matemática é uma

proposição que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.

2 1 3 é uma sentença matemática verdadeira.

3 2 6 é uma sentença matemática falsa.

Sentença matemática aberta é aquela que não pode

classificada como verdadeira ou falsa.

2 8x é uma sentença aberta

A veracidade ou falsidade da sentença é “aberta” porque não

conhecemos o valor que a variável representa.

Conjunto solução

Um valor para a variável que faz com que a sentença seja

verdadeira é uma raiz ou uma solução da equação. Dizemos

que a raiz satisfaz a equação. O conjunto solução ou

conjunto verdade de uma equação é o conjunto formado por

todos os valores da variável que satisfazem a equação.

Para checar se um dado valor é solução de uma equação

basta trocar a variável pelo valor a ser checado.

Exemplo

Verifique se 2x é solução da equação 2 4x

2 2 4

4 4

A sentença é verdadeira. Portanto, 2 é solução da

equação. A única solução para essa equação é 2, então o

conjunto solução é {6} .

Se uma equação é verdadeira para qualquer valor da variável,

ela é chamada de identidade.

2 3 2 6x x é uma identidade

EQUAÇÕES LINEARES

Uma equação linear é uma equação com uma incógnita cujo

expoente é 1.

2 8x é uma equação linear.

2 3 4 2 4x x x x é uma equação linear.

Duas equações são equivalentes se possuem o mesmo

conjunto solução.

As equações abaixo são todas equivalentes.

2 4x

6x

4 2 3 4x x

2 3 2 4x x x x

Propriedade da adição e subtração da igualdade

Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade em

cada membro de uma equação o resultado será uma equação

equivalente.

a b a c b c

a b a c b c

Exemplos

2 4x

2 22 4x

6x

Propriedade de simetria da igualdade

Esta propriedade permite trocar de lugar os membros do lado

esquerdo e do lado direto da equação.

a b b a

Exemplo

3 3x x

EXERCÍCIO PROPOSTO

01) Resolva as equações abaixo usando as propriedades da

adição e subtração na igualdade e da simetria

a) 5 7x

b) 4 12x

c) 8 11x

d) 2 7x

e) 5 4 4 3x x

f) 6 4 7 2x x

g) 2 5 3 4x x

h) 3(3 1) 4 2(4 3)x x

i) 12 6 3 4x x x

j) 5(3 2) 7(2 3)x x

k) (9 7) (8 2) 4b b

l) 2 3 ( 2) 8a a

m) 2 1 3( 4) 5b b

Propriedade da multiplicação e da divisão em uma

igualdade

Se multiplicarmos ou dividirmos cada membro de uma

equação por um número diferente de zero o resultado será

uma equação equivalente.

a b a c b c

a ba b

c c

Exemplo

3 21

3 21 73 3

xx x

1. 10

10 1. 10 101 1

xx x x

22


6 10 5

6 106 6 3

xx x

1

6 4. . 4.6 244 4

xx x

Para equações como 2

123

x , lembre-se que para dividir por

uma fração nós multiplicamos pelo inverso.

2 3 2 3

. 12 . .12 183 2 3 2

x x x

3 4 3 4

9 9 124 3 4 3

x x x

EXERCÍCIO PROPOSTO

02) Resolva as equações abaixo usando as propriedades da

multiplicação e divisão de uma igualdade e da simetria.

a) 2 8x

b) 3

124

x

c) 2

105

x

d) 1

95

x

e) 7

143

x

f) 8 2x

g) 30 6x

h) 4x

i) 5 0x

j) 0 7x

k) 3 0x

l) 13

x

m) 72

x

n) 3,1 21,7x


Leia o problema cuidadosamente.

Anote quais informações são fornecidas e quais são devem

ser encontradas.

Escolha uma letra para representar um dos valores

procurados e expresse os outros em função dessa.

Escreva uma equação algébrica.

Resolva a equação.

Cheque seus resultados.

Exemplos

Um número acrescido de 16 resulta em 24. Encontre esse

número.

Seja n o número procurado. A palavra chave é “acrescido

de” que significa adicionado, e “resulta”, o qual significa

igual. A equação é então:

16 24n

8n

João gastou R$ 15,00 a menos que Maria no mês passado.

Se João gastou R$ 342,00, quanto gastou Maria.

Seja d a quantidade gasta por Maria no mês passado.

15 342d

357d

03) Resolva os seguintes problemas.

a) Um número acrescido de 11 resulta em 37. Encontre o

número.

b) Se subtrairmos 16 unidades de um número, o

resultado será 52. Encontre esse número.

c) Quando um número é multiplicado por 6 , o resultado

é 54. Encontre esse número.

d) Quando um número é dividido por 9, o resultado é -7.

Encontre esse número.

e) Quando um número é multiplicado por -6, o resultado

é 48. Encontre o número.

f) Alice ganha R$ 4,50 por hora. Se ela recebeu R$

108,00, quantas horas ela trabalhou?

g) Nádia trabalhou 30 horas e recebeu R$ 135,00. Quanto

ela recebe por hora?

h) 4 amigos dividiram igualmente as despesas em um

restaurante. Se cada um pagou R$ 32,50, qual foi o

total da conta?

i) Se 3

4 de um número é igual a 48, encontre o número.

RESOLVENDO EQUAÇÕES LINEARES.

Lembrando que:

Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade em

cada membro de uma equação o resultado será uma

equação equivalente.

Se multiplicarmos ou dividirmos cada membro de uma

equação por um número diferente de zero, o resultado

será uma equação equivalente.

Usando essas propriedades, existem 4 passos básicos para

resolver uma equação linear. Vamos aplicar essas

propriedades em um exemplo.

Exemplo

Resolver a equação 6( 1) 4 10x x .

Passo 01: Simplifique cada membro da equação realizando

todas as adições, subtrações, multiplicações e divisões

indicadas e removendo todos os símbolos de

agrupamentos.

6( 1) 4 10x x

6 6 4 10x x

Passo 02: Use as propriedades da adição e subtração em

uma igualdade para formar uma equação equivalente

onde todos os termos envolvendo a incógnita estejam em

um membro da equação.

6 6 4 10x x

6 4 6 4 4 10x x x x

2 6 10x 23


Passo 02: Use as propriedades da adição e subtração em

uma igualdade para formar uma equação equivalente

onde todos os termos não envolvendo a incógnita estejam

no outro membro da equação.

2 6 10x

2 6 6 10 6x

2 4x

Passo 02: Use as propriedades da multiplicação e da

divisão em uma igualdade para formar uma equação

equivalente onde o coeficiente da a incógnita seja 1.

2 4x

2 4

2 2

x

2x


04) Resolva as equações abaixo.

a) 6 5 7 10 2 3y y y

b) 8 5 7 10 2 3y y y

c) 4(5 2) 7 5(3 1)x x

d) 5 2( 1) 4 3x x x

e) 1 1

24 2

x

f) 5 2 3

26 3 4

x x

g) 5 2 1 4 3x x x

h) 3

5 115

x

i) 5 2

106

x x

j) 2 (3 ) 0x x

k) 6 2(2 1)x

05) A relação entre temperaturas em Fahrenheit F e graus

Celsius C é dada pela fórmula 9

325

F C . Encontre

C quando

a) 18F

b) 27F

c) 2F

Equações literais

Equações que contém duas ou mais variáveis são chamadas

de equações literais. Nós geralmente resolvemos a equação

para uma das variáveis em termos das restantes. O

procedimento para resolução de equações literais é o mesmo

usado para resolver equações lineares.

Fórmulas

Uma fórmula é uma equação matemática que determina uma

relação entre duas ou mais condições físicas. Considere a

fórmula .s v t , que nos fornece o espaço percorrido s

em uma velocidade média v durante um determinado

tempo t .

Se nós conhecermos a distância s entre 2 cidades e o

tempo t gasto para realizar uma viagem entre elas, nós

podemos resolver a equação para encontrar a velocidade

média v .

.s v t s

vt

A equação está resolvida para v em função de s e t .


06) Resolva as equações abaixo para a variável especificada

a) Os juros simples J , resultantes da aplicação de um

capital C a uma taxa i , durante um período n

de tempo, podem ser calculados pela fórmula

J Cin . Resolva para i .

b) 5

329

C F para F .

c) 2 2P x y para x .

d) 2 2P x y para y .

e) A área de um círculo é 2A r em que A

representa a área di círculo e r representa o raio.

Resolva para r .

f) A área de um trapézio é dada por ( ).

2

b B hA

,

resolva para h .

g) 3 4 5x y x y para x .

h) ax by c para y .

i) À distância s que um corpo lançado para baixo com

velocidade inicial v irá percorrer em t segundos

por causa da gravidade g é dada por 21

2s vt gt .

Resolva para g.


Muitos problemas são colocados verbalmente. Será

necessário escrevê-lo na forma algébrica.

Exemplo

Escreva os seguintes problemas na forma algébrica: Um

número é 4 unidades a mais que um segundo número. Se a

soma de ambos é 38, encontre os dois números.

Resolução:

Seja x o menor número. Assim,

4 38SOMA É

MENORMAIORNÚMERONÚMERO

x x

Logo:

24


( 4) 38x x

2 4 38x

2 34x

34

2x

17x

Assim, o menor número será 17 e o maior será 17 4 21 .

EXERCÍCIO PROPOSTO

07) Escreva os seguintes problemas na forma algébrica.

a) Um número é 18 unidades maior que um segundo

número. Se a somas de ambos é 62, encontre esses

números.

b) Um número é 9 unidades menor que outro. Se a Omã

de ambos é 47, encontre ambos.

c) A diferença entre 2 números é 17. Encontre ambos os

números sabendo a soma deles é 87.

d) Se ao triplo de um número é somado 11 o resultado

será 47. Que número é esse?

e) Um número é o triplo de um segundo número e a

soma dos dois é 24. Encontre esses números.

f) Se o primeiro de dois números consecutivos é

multiplicado por 3, esse produto será 4 vezes maior

eu a soma dos 2 inteiros. Encontre esses números.

25


INEQUAÇÕES.

Já vimos o significado de cada um dos símbolos:

“é menor que”

”é menor ou igual a”

“é maior que”

“é maior ou igual a”

Estes símbolos definem a ordem de uma desigualdade.

Exemplos:

Se queremos escrever simbolicamente que 4 é menor que

7, escrevemos 4 7 .

Se nós queremos escrever simbolicamente que a variável

x representa um número que é no mínimo igual a 5, nós

escrevemos 5x .

Se nós queremos denotar que a variável T representa

qualquer número menor que 3 , mas não 3, nós

escrevemos 3T .

INEQUAÇÕES LINEARES.

Quando trocarmos o sinal de igualdade em uma equação

linear por um dos sinais de desigualdade acima, nós obtemos

uma inequação linear.

4 8x

A grande diferença entre uma equação linear e uma

inequação linear é a solução. Uma equação linear possui no

máximo uma solução, enquanto que o conjunto solução de

uma inequação linear pode consistir de um número ilimitado

de soluções.

Considere 4 8x .

Nós podemos observar, por substituição, que, por exemplo,

2, 9

2, 4 ou 5 são soluções desta inequação. De fato, nós

podemos perceber que qualquer número maior ou igual a 2 é

solução desta inequação. Assim, os valores de x que

satisfazem essa inequação devem ser tais que 2x .

Outro caminho para indicar as soluções da inequação é

graficamente

Expressando desigualdades graficamente.

Exemplos:

5x . Aqui, x representa um número real que é menor

que 5. Nós indicamos isso graficamente usando uma

circunferência que nós chamamos “bolinha aberta”.

3x .

3 4x . Esta expressão é chamada de desigualdade

simultânea. Ela é lida “ 3 é menor ou igual que x e x é

menor que 4”.

Quando nós representamos desigualdades, uma

desigualdade estrita ( ou ) é representada por uma

“bolinha vazia” enquanto uma desigualdade fraca ( ou ) é

representada por uma “bolinha fechada”.

01) Represente geometricamente as seguintes

desigualdades.

a) 3 2x

b) 2x

c) 2x

d) 0x

e) 0x

f) 2 0x

g) 1 2x

h) 3 4x

RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES LINEARES.

Propriedade da adição e subtração em uma desigualdade.

Podemos adicionar ou subtrair a mesma quantidade em cada

membro de uma inequação sem mudar o sentido da

desigualdade.

a b a c b c

a b a c b c

a b a c b c

a b a c b c

Propriedade da multiplicação e da divisão em uma

desigualdade.

Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma

inequação por um número positivo sem mudar o sentido da

desigualdade.

Se 0

. .

c

a b a c b c

a ba b

c c

Se 0

. .

c

a b a c b c

a ba b

c c

Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma

inequação por um número negativo mudando o sentido da

desigualdade.

Se 0

. .

c

a b a c b c

a ba b

c c

Se 0

. .

c

a b a c b c

a ba b

c c

As propriedades acima valem também para os símbolos

e .

26


Para justificar essas propriedades observe desigualdade

8 12 .

Se nós adicionarmos ou subtrairmos 4 em cada membro, a

desigualdade continua verdadeira.

8 12

8 4 12 4

12 16

ou

8 12

8 4 12 4

4 8

Se nós multiplicarmos ou dividirmos por 4 cada membro, a

desigualdade permanece verdadeira.

8 12

8.4 12.4

32 48

ou

8 12

8 12

4 4

2 3

Mas se nós multiplicarmos ou dividirmos por 4 , nós

devemos trocar o sentido da desigualdade para obter uma

desigualdade verdadeira.

8 12

8. 4 12. 4

32 48

ou

8 12

8 12

4 4

2 3

Assim, para resolver inequações devemos:

Simplificar cada membro, onde necessário, realizando as

operações indicadas.

Adicionar, ou subtrair, para obtermos uma inequações em

que todos os termos contendo a incógnita estejam do

mesmo lado do sinal de desigualdade.

Adicionar, ou subtrair, para obtermos uma inequações em

que todos os termos que não contém a incógnita estejam

do outro lado do sinal de desigualdade.

Multiplicar, ou dividir, para obter o coeficiente 1 para a

incógnita. Lembrando que ao multiplicar ou dividir por um

número negativo o sentido da desigualdade deve mudar.

Exemplo:

Encontre a solução das seguintes inequações.

2 5 1 4 2x x x

7 1 4 2x x

4 47 1 4 2x x xx

3 1 2x

13 11 2x

3 3x

3 3

3 3

x

1x

O coeficiente negativo na incógnita pode ser evitado se nós

formarmos inequações equivalentes onde a incógnita

aparece somente do lado da desigualdade que possui a

incógnita com maior coeficiente.

2 4x

2

2 4

2

x

1x

5 2 1 7 4 3x x x

10 5 3 3x x

0 5 3 331 3x xx x

7 5 3x

57 55 3x

7 2x

7 2

7 7

x

2

7x

3 2 1 5x

Ao resolver inequações simultâneas, a solução deve ser tal

que a incógnita apareça apenas no termo do meio da

desigualdade. Podemos usar todas as propriedades

aplicando-as ao três termos. Se nós multiplicarmos ou

dividirmos por um número negativo, nós devemos mudar o

sentido de todos os símbolos de desigualdade.

3 21 1511x

4 2 4x

2

4

2 2

2 4x

2 2x

6 3 3 9x

3 3 36 3 3 9x

3 3 12x

3

3

3 3

3 12x

1 4x

Nós podemos escrever a solução na forma

4 1x

Esta forma é mais usual.

27



02) Resolva as seguintes inequações e represente

graficamente a solução.

a) 4 5 4 6 1x x x

b) 4 10x

c) 3 15x

d) 3

94

x

e) 4 12x

f) 6 18x

g) 4 3 2 7x x x

h) 3 2 6x x x

i) 4

123

x

j) 4 12x

k) 12 9x

l) 2 3 1 7x

m) 4 5 3 25 11x x

n) 9 4 11x x

o) 3 2 5 4 3x x

p) 3 2 2 5 7x x

q) 2 4 16 3 5 2x x

03) Resolva as seguintes inequações simultâneas e

represente graficamente a solução.

a) 3 3 4 6x

b) 0 7 1 7x

c) 2 3x

d) 4 2 3x

e) 1 3 4 6x

f) 4 3 2 0x

g) 1 4x


Estamos prontos para combinar habilidades de escrever

expressões e resolver inequações para resolver problemas.

04) Escreva uma desigualdade para cada uma das seguintes

sentenças.

a) A média escolar M de um estudante deve ser no

mínimo 7,0 para aprovação. Escreva essa sentença.

b) Quatro vezes um número menos 5 não é maior que

três vezes esse mesmo número acrescido de 6.

Encontre todos os números que satisfazem essa

condição.

c) Se 4 é subtraído do triplo de um número, o resultado é

maior que 2 mais o dobro do número. Encontre todos

os números que satisfazem essa condição.

d) Quando 7 é subtraído do dobro de um número, o

resultado é maior ou igual a 9. Encontre todos os

números que satisfazem esta condição.

e) O dobro de um número mais 7 é maior que o triplo

desse número menos 5. Encontre todos os números

que satisfazem essa condição.

f) O perímetro de um retângulo é menor que 100 cm. Se

a largura é 30 cm, encontre todos os possíveis valores

para a altura. ( Lembre-se que a largura de um

retângulo deve ser um número positivo) .

VOCÊ SABE?

Representar desigualdades graficamente?

Resolver inequações lineares e inequações lineares

simultâneas?

Resolver inequações expressas verbalmente?

28


POLINÔMIOS E EXPOENTES.

EXPOENTES.

Anteriormente nós vimos uma introdução à ideia de

potências ao trabalharmos com números reais. Vamos aplicar

essas ideias para expoentes em polinômios.

A expressão 4x é chamada de forma exponencial do produto

x x x x

Nós chamamos x de base e 4 de expoente.

4

4

x x x xx

fatores

forma exponencial forma expandida

expoente

base

O expoente indica quantas vezes a base é usada como fator

no produto indicado.

Observe que um expoente atua somente sobre o símbolo

imediatamente a sua esquerda. Isto é, em 4ab o expoente 4

aplica-se somente ao b , enquanto que, em 4

ab o expoente

aplica-se a ambos, a e b .

Exemplos:

42.2.2.2 2

3

a b a b a b a b

4

3 3 3 3 3

43.3.3.3. 3

4 . . .b b b b b

32 2.2.2

4

. . .x y x y x y x y x y

2

2 2 2

22 2.2

Multiplicação com bases iguais

Exemplo:

2 3

2 3 5. . . . .x x

x x x x x x x x

Ao multiplicarmos potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes.

.m n m na a a

EXEMPLO

Encontre o produto. 3 5 8.x x x 2 4 2 4 63 .3 3 3

Obs. Um erro comum é multiplicar as bases 3.3 9 e somar

os expoentes, encontrando a resposta errada 69 . 2 3 4 2 3 4 9. .y y y y y

2 3 2 1 3 6. .a a a a a

3 4 3 4 7

a b a b a b a b

3 2 5

2 2 2

Potência de um agrupamento

Podemos obter algumas propriedades de potência usando a

definição de expoentes e a propriedades associativas e

distributivas da multiplicação.

Exemplos:

3 3 3. . . . . . . . .xy x y x y x y x x x y y y x y

3 fatores de xy 3 fatores de x 3 fatores de y

Quando um produto é elevado a mesma base, cada um dos fatores desse produto é elevado a esta base.

. .m m na b a a

Exemplos:

Encontre o produto.

4 4 4.ab a b

3 3 3 3 3 32 2 . . 8ab a b a b

3 3 33.4 3 .4 27.64 1.728

Obs. Temos que 3 3 3

a b a b , pois a e b são termos e não

fatores com a propriedade pede.

3

. .a b a b a b a b

Potência de uma potência

Exemplos:

4

34 4 4 4 4 4 4 3.4 12. . . .x x x x x x x x x

3 fatores de x adicionar os expoentes

Uma potência de uma potência é calculada multiplicando-se os expoentes.

Exemplos:

Simplifique

2

3 3.2 6y y y

5

2 2.5 104 4 4

4

5 5.4 20x x x

3

4 4.3 12a a a

29


PRODUTO DE MONÔMIOS

Para multiplicar os monômios 35 .2x x nós aplicamos a Lei

associativa junto com as propriedades de potências.

3 3 45 .2 5.2 . 15x x x x x

Para encontrar o produto 2 .4a b nós aplicamos a mesma

regra para obter:

2 .4 2.4 . 8a b a b ab

Obs. É bom costume escrever os fatores literais de um termo

em ordem alfabética. Esse procedimento torna mais fácil a

identificação de termos semelhantes. Por exemplo, 2 32x zy e

3 24zy x são termos semelhantes, mas reconhecer esse fato é

mais fácil se eles forem escritos como 2 32x yz e 2 34x y z .

Exemplos:

Realize a operação indicada

24 .3 4.3 . . 12x xy x x y x y

3 3 3 3 78 .4 .3 8.4.3 . . . 96a a a a a a a

2 2 32 . 3 2.3 . . . 6a ab a a b a b

2 3 3 4 2 3 3 4 5 4 45 4 5.4 . 20x y z x yz x x y y z x y z

Resolução de problemas

Exemplos

Escreva uma expressão algébrica para cada uma das

sentenças:

O volume de um cubo de lado é encontrado

multiplicando-se o lado por ele mesmo 3 vezes. 3V

Escreva uma expressão para 5 menos o quadrado de um

número. 25 x

VOCÊ SABE?

Escrever um produto em sua forma exponencial?

Usar a propriedade da multiplicação com bases iguais?

Calcular a potência de um produto?

Calcular a potência de uma potência?


01) Escreva as expressões a seguir na forma exponencial

a) . . .y y y y

b) aaaa

c) 2 2 2 2

d) 2.2.2.2

e) xxxxxx

f) 2 2 2a a a

g) xy xy xy xy

h) a b a b

i) x y x y x y

j) 2 2 2a b a b a b

02) Escreva a produto indicado na forma expandida

a) 5c

b) 4x

c) 4

4y

d) 3

2

e) 42

f) 2

x y

g) 35

h) 3

2x y

03) Simplifique usando propriedades de expoentes.

a) 4 5.x x

b) 3

4a

c) 2 7.x x

d) 2.R R

e) 4.a a

f) 2 44.4 .4

g) 5 3. .x x x

h) 4 7

a b a b

i) 5

ab

j) 3

2abc

k) 4

2a

l) 2 32 3xy x y

m) 2 3 44 5x y xy

n) 3 26 5x x

o) 2 42 3a b ab

p) 2 5 25 2x y x y

04) A área A , de um quadrado é encontrada usando-se o

lado como fator 2 vezes. Escreva uma expressão para a

área do quadrado.

05) A distância s , que um objeto em queda livre percorre em

t segundos é encontrada pelo produto da metade do

valor da gravidade g , pelo quadrado do tempo. Escreva

uma expressão para s .

06) A área de um círculo é encontrada pelo produto da

constante pelo quadrado do raio. Escreva uma

expressão para a área A .

07) O volume de uma esfera é encontrado pelo produto do

número 4

3 pelo cubo do raio. Escreva uma expressão

para o volume V de uma esfera.

08) João tem n anos. Sua irmã diz que ela tem 6 anos a mais

que o cubo da idade de João. Escreva uma expressão

para a idade de usa irmã.

30


PRODUTO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Para multiplicar um monômio por um polinômio, nós usamos

a propriedade distributiva.

Exemplo

2 2 23x y x xy y

2 22 2 23 3 3. . .x y x y x yx xy y

4 4 2 2 43 3 3x y x y x y

25 55 2 3 .2 .3 10 15y yy y y y y

3 2 2x x xy y

2 2 5 43 33 23 .. .x xx xy y xx x y x y

Para multiplicar dois polinômios nós usamos a propriedade

distributiva várias vezes.

Exemplo

2 .x y x y

. .2 2xx y yy x

2 2. 2 . . 2 . 3 2x x y yx y x y x xy y

Assim, cada termo do primeiro fator é multiplicado por cada

termo do segundo fator.

23 4 . .4 3 3.4 12a a a a a a a a .

PRODUTOS NOTÁVEIS

Três tipos especiais de produtos de polinômios podem ser

obtidos sem a realização de todos os cálculos.

Trinômio quadrado perfeito

Considere o produto

2 2 26 6 6 6 6 36 12 36x x x x x x x x

Os três termos do produto podem ser obtidos da seguinte

maneira:

O primeiro termo é o quadrado do primeiro termo do

binômio. 2x

O segundo termo do produto é igual a 2 vezes o produto

dos dois termos do binômio . 2. .6 12x x

O terceiro termo do produto é o quadrado do segundo

termo do binômio. 26 36 .

De uma forma geral temos:

2 2 22a b a ab b e

2 2 22a b a ab b

Exemplo

2 22 27 2. . 7 7 14 49x x x x x .

Um erro comum é 2 2 2a b a b . O quadrado de um

binômio é sempre um trinômio.

Exemplos

2 2 2 22 3 2 2. 2 .3 3 4 12 9x x x x x

2 2 2 2 25 4 5 2. 5 . 4 4 25 40 16a b a a b b a ab b

O terceiro tipo especial de produto é obtido quando

multiplicamos a soma e a diferença dos mesmos termos.

Considere o seguinte exemplo:

2 23 3 3 3 9 9x x x x x x

Características especiais são evidentes nesse produto.

De uma forma geral temos:

2 2a b a b a b

Exemplos

2 2 27 7 7 49x x x x

22 2 22 2 2 4a b a b a b a b

2 2 2 23 2 3 2 3 2 9 4x y x y x y x y

Apesar de existirem tipos especiais de produtos de

polinômios, nós devemos lembra que:

Para multiplicar dois polinômios, nós multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio e depois combinamos termos semelhantes.


09) Realizes as multiplicações indicadas e simplifique.

a) 2 22ab a bc c

b) 6 4 7x y z

c) 2 23 5 7a b c

d) 4 2 2 4ab a a b b

e) 2 2 25 3 4ab a ab b

f) 2 5 5x x y y

g) 23 2 2a a b b

h) 9 4y y

i) 1 1b b

j) 2

3R

k) 2 2R R

l) 3 3a a

m) 3 2 4x x

n) 7 2 2 7x x

o) 3 2 3x y x y

p) 22 2 3 2a a a

q) 2 23x y x xy y

r) 6 2 1a a a

s) 2

6a b

t) 2 3 2 3a b a b

31


u) 4 4x y x y

v) 2 24 2a b a ab b

w) 2 22 2 3x y x xy y

x) 2 22x y x xy y

y) 3

a b

z) 3

a b

10) A área de uma coroa circular (região entre dois círculos) é

dada por A R r R r . Realize a multiplicação

indicada.

11) Ao retirarmos quadrados de lados de medida x cm dos 4

cantos de um quadrado de lado e dobrarmos os lados

para cima, obtemos uma caixa cujo volume é dado por

2 . 2V x x . Realize a multiplicação indicada.

VOCÊ SABE?

Multiplicar um monômio por um polinômio?

Multiplicar 2 polinômios?

Calcular o quadrado de um binômio e o produto da soma pela diferença dos mesmos termos?

Potência de uma fração

Considere a expressão 3

a

b

, temos:

3 3

3

3

3

. .

. .

a a a a a a a a

b b b b b b b b

fatores

fatores

Então quando uma fração é elevada a uma potência, o

numerador e o denominador são ambos elevados a essa

potência. n n

n

a a

b b

, 0b

Exemplos

3 3

3

3 3 27

4 4 64

5 5

5

a a

b b

33 3

3 3

22 8aa a

b b b

.

Divisão de expressões na mesma base.

Considere a expressão 6

2

x

x. Nós podemos usar a definição de

expoentes para escrever a fração como: 6

2

. . . . . . . . .

.

x x x x x x x x x x x x

x x x

. x

x . x

4. . .x x x x x

Assim, para dividir potências com a mesma base, subtraia o

expoente da potência do denominador do expoente da

potência do numerador.

mm n

n

aa

a

, 0a

Exemplos

7

7 5 2

5

xx x

x

11

11 4 7

4

aa a

a

4

4 1 355 5

5

5 2 5 2 7

7 4 3

4 4 4

.a a a aa a

a a a

3 3

2 2

x x

y y ( Não podemos simplificar neste caso)

5 9 15

5 3 9 5 15 12 2 4 3 4 3

3 5 12

22 . . 2 . . 4

2

x yx y x y x y

x y

Expoentes negativos

Vamos considerar problemas em que o expoente no

numerador é menos que o expoente no denominador.

Considere o exemplo: 2

6

.

. . . . .

x x x x

x x x x x x x

. x

. . . .x x x x x . x4

1 1

. . .x x x x x

Nós subtraímos novamente os expoentes, deixando o

expoente 6 2 4 no denominador.

Entretanto, poderíamos ter usado a propriedade da divisão

de potências de mesma base para obter: 2

2 6 4

6

xx x

x

Como a resposta deve ser a mesma devemos concluir que

4

4

1x

x

, o que nos leva a definição de potências com

expoentes negativos.

1n

na

a

, 0a

32


Uma potência com expoente negativo em qualquer base ( diferente de zero) pode ser escrito como 1 sobre a mesma potência com o expoente positivo.

Exemplos

3

3

1x

x

9

9

1a

a

Da definição de expoentes negativos, se um fator é movido

ou do numerador para o denominador ou do denominador

para o numerador, o sinal do expoente deve mudar. O sinal

da base não será afetado por essa mudança.

Exemplos

3

3

1x

x

4

4

1b

b

3

3

13

3

Expoente zero

Considere a situação 3

3

. . 11

. . 1

x x x x

x x x x , por outro lado

33 3 0

3

xx x

x

. O que nos leva a seguinte definição:

0 1a , 0a

Qualquer potência de um número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.

Exemplos ( Considere que nenhuma base resulta em zero)

0 1b

05 1

0

1a b

0

3 1x

VOCÊ SABE?

Elevar uma fração a uma potência?

Realizar divisões com expressões com a mesma base?

Realizar operações envolvendo potências com expoentes negativos?


12) Escreva cada uma das expressões com expoentes

negativos. Assuma que nenhuma variável é igual a zero.

a) 0x

b) 0

2y

c) 05a

d) 0

3B

e) 2S

f) 5R

g) 3

2x

h) 2

3P

i) 24z

j) 49C

k) 4

5

x

l) 3

1

2 y

m) 2

1

3x

n) 4 22x y

o) 2 4x y

p) 0 2 5p r t

q) 3 2 4x y z

13) Realize as operações indicadas e deixe a resposta

somente com expoentes positivos.

a) 6

a

b

b)

4

x

y

c) 3

2

3

d) 4

1

2

e)

4

2x

y

f) 3

2ab

c

g) 3

3a

b

h) 12

6

x

x

i) 4

2

y

y

j) 6

9

c

c

k) 3

6

6

l) 4 3

2

x x

x

m) 4

2

y y

y

n) 7 5

4 2

a b

a bh

33


o) 3 3 7

5

2

2

x y

xy

p) 3 4 5

4 4 5

3

3

a b

a b

q) 2 3

3 7 3

5

5

a b

a b

r) 4 7x x

s) 4

2

t) 5 0 2x x x

u) 0

3a

14) Simplifique, deixando a resposta somente com expoentes

positivos.

a) 3

22a

b) 3

22x y

c) 4

4 3x y z

d) 2

5 2 45a b c

e) 2

22a

f) 2

1 24 x

g) 3

43xy

h) 2

2 5 3x y z

i) 2 0 2 53 2x x y x y

j) 2 3 2 52 3x y x y x y

k)

3

2

2x

y

l)

22 0

3

3a c

b

m)

12

4

xy

z

n)

23

5

2a

b

o)

21 2

5

4 a

b

p)

32

1

ab

c

q)

32 3

2

2 x

y

34


NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Um importante uso de potências com expoentes inteiros é

nas ciências, engenharias e outros campos técnicos que

trabalham com números muitos grandes ou muito pequenos.

Exemplos:

A massa de um átomo de hidrogênio é

0,00000000000000000000000167g

A massa de um elétron é

0,00000000000000000000000000000091g

A meia vida do chumbo-204 é

14,000,000,000,000,000,000 anos.

Para trabalhar com tais números, mesmo em calculadoras, é

muito útil escrevê-los em notação cientifica. Um número x

esta em notação cientifica se estiver escrito na forma do

produto

10nx a onde 1 10a e n .

Para obter a forma cientifica de um número decimal x ,

usamos os seguintes passos:

Mova a vírgula decimal para a posição imediatamente após o primeiro algarismo diferente de 0 em x .

Conte o número de casas que a vírgula decimal foi movida. Este número é o expoente n .

Se o decimal ponto: o Foi movido para a esquerda, então n é

positivo, o Foi movido para a direita, então n é negativo, o Não se moveu, então 0n .

Exemplos:

Escreva os seguintes números em notação científica:

a) 2

2250 2, 50 10 casas

b) 7 745000000 4,5000000 10 4,5 10

7 casas

c) 05 5 10

d) 4 40,000152 00001,52 10 1,52 10 4 casas

e) 2

2 20,0234 0 02 ,34 10 2,34 10 casas

Algumas vezes é necessário converter um número em

notação cientifica para a forma padrão. Para fazer isso,

vale as seguintes regras.

Se n for: o Positivo, a vírgula decimal é movida n casas para a

direita, o Negativo, a vírgula decimal é movida n casas para a

esquerda,

o Zero, a vírgula não é movida.

Exemplos:

Escreva os seguintes números em notação padrão:

a) 41,45 10 14.500

b) 35,23 10 0,00523

c) 24,07 10 0,0407

Cálculos com notação científica.

Notação científica pode ser usada para simplificar o cálculo

quando os números envolvidos são ou muito grandes, ou

muito pequenos.

Exemplos:

Realize os cálculos indicados:

a) 8 2349.000.00 0,0816 3,49 10 8,16 10

8 2 63,49 8,16 10 10 28,4784 10 28.478.400

b)

8 3

3 2

1,02 10 1,05 10102.000.000 0,00105

1.190 0,012 1,19 10 1,2 10

8 3

4 4

3 2

1,02 1,05 10 10 1,02 1,0510 0,75 10 7.500

1,19 1,21,19 1,2 10 10


01) Escreva cada um dos números a seguir em notação

científica.

a) 4.380

b) 255

c) 12.345

d) 14.800

e) 1.570,7

f) 6.000.736

g) 0,12079

h) 0,000000000000094

i) 456

j) 0,00087

k) 0,000000029

02) Escreva os seguintes números em notação padrão

a) 49,98 10

b) 32,07 10

c) 55,061 10

d) 41,073 10

e) 25,0 10

f) 47,89 10

g) 52,3 10

03) Um micrômetro 1 m é igual a 0,000001 de um metro.

Escreva esse número em notação cientifica.

35


04) A velocidade da luz é de aproximadamente

30.000.000.000 centímetros por segundo cms . Escreva

esse número em notação cientifica.

05) Realize as operações indicadas usando notação científica.

Deixe sua resposta em notação científica.

a) 456.000.000 0,000.587

b) 0,0000183 0,00003

c) 128.000.000 0,000000032

d) 0,00625 5.000.000

VOCÊ SABE?

Expressar um número em notação científica? Converter um número em notação científica para notação

padrão? Realizar cálculos usando notação científica?

36


FATORAÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS

Para encontrar o conjunto solução de certas equações que

não são lineares, nós precisamos estudar uma técnica

chamada “fatoração de polinômios”. Esta técnica também

será útil quando estudarmos frações algébricas.

FATORES COMUNS

Nosso primeiro tipo de fatoração consiste em encontrar

fatores comuns em cada termo de um polinômio. Para isto,

devemos relembrar a propriedade distributiva.

. .a b c a b a c

a b c é chamada de forma fatorada de . .a b a c .

Vamos usar a propriedade distributiva para escrever 3 6x

em sua forma fatorada.

3 33 6 . .2 . 23x x x

Assim 3. 2x é a forma fatorada de 3 6x .

Esse tipo de fatoração, como o próprio nome indica envolve

encontrar números ou símbolos que são fatores comuns em

todos os termos originais.

Quando um polinômio é fatorado, nós “extraímos” o maior

fator comum do polinômio.

O maior fator comum é formado

pelo maior inteiro que é um fator comum de todos os

coeficientes e,

pela variável ou variáveis comuns junto com a menor

potência que aparece em todos os termos.

Exemplos:

Fatore os seguintes polinômios.

33 6 . .3 2 23x x x

2 2 210 15 . 25 2 . 53 35x y x y x y

12 42 .26 6.7 6 2 7a b a b a b

18 12 .36 6 . 362 2x xxy xz y xz y zx

Nesses exemplos, nós encontramos o maior fator comum

através de uma simples observação. Em alguns casos, isto

pode não ser possível. Assim o seguinte procedimento

ajudará.

Exemplos:

Fatore o seguinte polinômios.

3 2 312 30x y x y

Fatore cada coeficiente em fatores primos.

3 2 3

2 32 3 2.3.5. .

12 30

2 .3. . x y

x y x y

x y

Observe todos os números e variáveis que são comuns a

todos os termos.

22.3. .x y

Este é o fator comum. Encontre cada termo entre parêntese

do polinômio dividindo cada termo do polinômio pelo fator

comum.

3

2

122

6

x yx

x y e

2 32

2

305

6

x yy

x y

Obtendo:

2 26 2 5x y x y

Agora, nós podemos escrever o polinômio em sua forma

fatorada.

3 2 3 2 22 2 212 30 .2 .56 6 56 2x y x y x yx y x y x yy x

No exemplo 3 2 3 2 212 30 6 2 5x y x y x y x y poderíamos

também ter fatorado a expressão 3 2 312 30x y x y como

2 23 4 10xy x xy ou 3 2 2512

2y x x y

.

Assim um polinômio com coeficientes inteiros será

considerado completamente fatorado quando satisfizer os

seguintes critérios.

O polinômio esta escrito com um produto de polinômios

com coeficientes inteiros.

Nenhum dos termos do polinômio pode ser novamente

fatorado.

Normalmente, quando nós “extraímos” um fator de um

polinômio, nós “extraímos” de tal maneira que seu

coeficiente seja positivo. Observe que nós também podemos

fazer o oposto, ou seja, “extrair” um fator de tal forma que

seu coeficiente seja negativo. No exemplo anterior

poderíamos ter feito:

3 2 3 2 212 30 6 2 5x y x y x y x y


06) Escreva na forma fatorada.

a) 37 14a a

b) 5 3 29 6 18x x x

c) 2 3 4 4 272 84 48a b a b a b

d) 3 2 2 4 23 15 3x y x y xy

e) 3 12a

f) 2 28 10y x 37


g) 25 10 20r rs s

h) 8 12 16x y z

i) 18 27 3ab a ac

j) 2 215 27 12a b ab

k) 2 3 4V V V V

l) 3 22 18 2L L L

m) 3 22x x x

07) Forneça o fator omitido

a) 3 6a b

b) 2 3 2 2 2 2a b a b a b

c) 6 8 12 2x z w

d) 3 2 34 36 16 24 4a ab ab b

e) 22x xy xy x

Já vimos que, quando uma expressão está envolvida por um

símbolo de agrupamento, nós a tratamos como um único

número.

Exemplos:

Fatore os seguintes polinômios

2 2x a b y a b

2 2 2x a b y a b a b x y

2x a b a b

2 2 1x a b a b x a b

23 2 9 2x a b x a b

23 2 9 2 3 2 3x a b x a b x a b x



a) 5 5x y x y

b) x a b y a b

c) 15 2 10 2x a b y a b

d) 8 6 6a b b

e) 21 2 35 2R L N S L N

AGRUPAMENTOS

Consideremos o polinômio ax ay bx by . Observe que a

é um fator comum dos dois primeiros termos e b é um fator

comum dos dois últimos. Assim, podemos usar a

propriedade distributiva para fatorar os dois primeiros

termos e os dois últimos.

ax ay bx by ax ay bx by a x y b x y

Agora x y é comum aos dois termos, então nós usamos a

propriedade distributiva novamente. Assim:

ax ay bx by a b x y

Para fatorar um polinômio usando agrupamento nós:

Reordenamos o polinômio de tal forma que os dois

primeiros termos tenham um fator comum e os dois

últimos tenham um fator comum.

Determinamos o maior fator comum de cada para e o

fatoramos.

Se o passo anterior produzir um fator binomial comum em

cada termo, nós o “extraímos”.

Exemplos:

Fatore o seguinte polinômios.

2 2ax ay bx by

2 2a a b ybx y x

2 2a bx y x y

2x y a b

3 6 2 4ac ad bc bd

3 6 2 4ac ad bc bd

3 . 2 2 2a c d b c d

2 3 2c d a b



a) 2 2ax ay bx by

b) 6 3 2ax by ay bx

c) rt ru st su

d) 5 3 15ax by bx ay

e) 2 22 6 3ax bx a b

f) 220 5 12 3x xz xy yz

g) 2 2ac ad bc bd

h) 2 3 8 12ac bc ay by

i) 2 4 2ax ad bx bd

j) 3 22 15 10 3a a a


a) A área da superfície de um cilindro é calculada pela

fórmula 22 2A rh r .

b) A superfície total de um cone circular reto é dada por 2A rg r .

c) A equação da distância S percorrida por certo

foguete disparado verticalmente é dada por 2560 16S t t .

VOCÊ SABE?

Determinar o maior fator comum? Fator um polinômio usando agrupamento?

38


FATORAÇÃO DE 2x bx c

Determinando se um trinômio é fatorável.

Lembre-se que para multiplicar 2 binômios nós usamos a

propriedade distributiva da multiplicação em relação à

adição.

2

Multiplicando

2 6 8 36x x x x

Agora, nós vamos fazer o processo inverso, ou seja, vamos

fatorar o trinômio.

2

Fatorando

8 36 2 6x x x x

Os seguintes exemplos nos ajudarão a entender o

procedimento:

Exemplos:

Em geral,

2 .x m x n x m n x m n

O trinômio 2x bx c poderá ser fatorado usando inteiros

somente se existir 2 inteiros m e n tais que

m n b e .m n c

2x bx c x m x n

Para obter o sinal ou para m e n

Se 0c , então m e n tem o mesmo sinal de b .

Se 0c , então m e n tem sinais opostos. Neste caso

aquele com o maior valor absoluto terá o mesmo sinal de

b .

Exemplos:

Fatore os seguintes trinômios:

2 11 28a a

Devemos ter 11m n e . 18m n ,

Desde que 11 0b e 18 0c , m e n são ambos

positivos.

Fatorações do 18 Soma dos fatores

1.18 1 18 19

2.9 2 9 11

3.6 3 6 9

Assim, temos 2m e 9n . A fatoração é:

2 11 18 2 9a a a a

2 2 15b b


Desde que 2 0b e 15 0c , m e n tem sinais

opostos e aquele com maior valor absoluto será negativo.


1. 15 1 15 14

3. 5 3 5 2


2 2 15 3 5b b b b

2 5 24x x


Desde que 5 0b e 24 0c , m e n tem sinais

opostos e aquele com maior valor absoluto será positivo.


1 .24 1 24 23

2 .12 2 12 10

3 .8 3 8 5

4 .6 4 6 2


2 5 24 3 8x x x x

39


2 5 12x x


Desde que 5 0b e 12 0c , m e n são positivos.

Fatorações do 12 Soma dos fatores 1.12 1 12 13

2.6 2 6 8

3.4 3 4 7

Nenhuma fatoração de 12 tem soma igual a 5, ou seja, não

existe um par de números inteiros nestas condições e o

trinômio não será fatorado usando inteiros. Nós chamaremos

este polinômio de primo.

4 3 2 2 24 12 4 21x x x x x x

Para efetuar a fatoração, nós verificamos que

2 4 21 3 7x x x x . Assim:

4 3 2 24 21 3 7x x x x x x

22 2 9 20 9. 20x y xy xy xy

Assim 9m n e . 20m n

2 2 9 20 4 5x y xy xy xy

2 25 6x ax a

5m n a e 2. 6m n a

Assim:

2 25 6 2 3x ax a x a x a


a) 2 8 20z z

b) 2 9 18a a

c) 2 13 12x x

d) 2 14 24x x

e) 2 9 36y y

f) 2 2 24a a

g) 22 26 24a a

h) 2 5 7x x

i) 2 13 40b b

j) 25 15 50a a

k) 2 2 30x y xy

l) 2 23 3 36x y xy

m) 2 22a ab b

n) 2 26a ab b

o) 2 22 15x xy y

p) 25 5 30y y

q) 2 27 10a ab b

r) 2 23 2x xy y

VOCÊ SABE?

Determinar 2 inteiros cujo produto é um número e cuja a soma é outro?

Reconhece quando um trinômio 2x bx c poderá ser fatorado usando inteiros?

Fatora trinômios da forma 2x bx x

FATORAÇÃO DE 2ax bx c

A forma 2ax bx c é a forma padrão do trinômio.

Considere o produto

2 3 3x x

Utilizando a propriedade distributiva nós encontramos

2 22 3 3 2 6 3 9 2 9 9x x x x x x x

Se nós observamos o processo de multiplicação, nós veremos

que 6 e 3 aparecem como coeficientes dos termos

intermediários e que são combinados para a resposta final.

2 26 3 92 3 3 2 9 2 9x x x x x x x

Assim para reverter o processo nós podemos fazer 2 22 992 39 6x x x x x

Usando agrupamento e fatoração temos que:

22 6 3 9 2 3 3 3x x x x x x

Como 3x passa a ser um fator comum podemos

reescrever:

2 3 3 3 2 3 3x x x x x

O trinômio 2ax bx c poderá ser fatorado utilizando-se

coeficientes inteiros se nós pudermos encontrar dois inteiros

m e n cuja soma é igual a b e cujo produto é igual a .a c de

tal forma que:

No trinômio 22 9 9x x temos 9b e . 2.9 18a c .

Assim, nós procuramos:

9

. 18

m n

m n

Os valores para m e n são 3 e 6.

Para fatorar 2ax bx c

Determine se o trinômio 2ax bx c é fatorável

encontrando m e n tais que . .m n a c e m n b .

Troque o termo intermediário bx por mx nx .

Fatore os dois primeiros termos e os dois últimos.

Utilize fator comum para fatorar novamente.

O processo para determinar os sinais de m e n é similar ao

utilizado anteriormente.

Se . 0a c , então m e n tem o mesmo sinal de b .

Se . 0a c , então m e n tem sinais diferentes e o que

possui o maior valor absoluto possui sinal igual ao de b

40




a) 26 13 6x x

b) 23 5 2x x

c) 24 11 6x x

d) 212 4 5x x

e) 26 9 4x x

f) 224 39 18x x



a) 26 23 15x x

b) 212 12 9x x

c) 22 6x x

d) 22 3 1x x

e) 22 7 6R R

f) 25 7 6x x

g) 29 6 1x x

h) 25 4 6x x

i) 26 13 6x x

j) 24 20 21x x

k) 24 2 5x x

l) 22 14 12x x

m) 25 9 2R R

n) 26 17 12x x

o) 23 2 4x x

p) 29 27 8x x

q) 28 18 9x x

14) Quando uma pedra é atirada verticalmente, a altura h

dessa pedra em um instante t é dada pela fórmula 216 32 16h t t . Fatore o lado direito dessa

expressão.

VOCÊ SABE?

Determinar 2 inteiros cuja soma e produto são conhecidos?

Reconhecer quando o trinômio 2ax bx c pode ser fatorado e quando não?

Fatorar trinômios da forma 2ax bx c ?

Sempre relembrar de fatorar qualquer fator comum antes da aplicação de outras regras?

FATORAÇÃO DE DIFERENÇA DE QUADRADOS

Anteriormente vimos que 2 2a b a b a b . Neste

momento queremos inverter o processo, isto é, devemos

reverter a fórmula. Assim:

41


2 2a b a b a b

Para utilizar esta técnica, devemos estar aptos a reconhecer

quadrados perfeitos.

2

9 3.3 3

2225 5 5 5a a a a

2

4 2 2 29 3 3 3a a a a

Para fatorar diferenças de quadrados

Verifique se temos uma diferença de dois quadrados

perfeitos.

Reescreva o problema.

Fatore.



a) 2 9x

b) 2 24a b

c) 2 24 25x y

d) 2 2 44x x y

e) 2 22 18a b

f) 23 48a

g) 4 16a

EXERCÍCIO PROPOSTO


a) 2 64t

b) 2 2 24a b c

c) 2 2r s

d) 249 R

e) 24 9y

f) 2 216x z

g) 2 236b c

h) 2 28 32x y

i) 2 25 125r s

j) 250 2x

k) 2 2 225r s t

l) 416 1t

m) 2 449 64x y

n) 2 2 2 298 50x y p c

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Nós já vimos que

2 2 22a b a ab b e

2 2 22a b a ab b .

Os membros do lado direito são os quadrados do binômio do

membro do lado esquerdo. Neste momento, nós desejamos

reverter esse procedimento. Trinômios quadrados perfeitos

podem ser fatorados pela técnica descrita no início desta

aula. Porém, se nós observamos que o primeiro e o último

termo são quadrados perfeitos nós devemos tentar fatorar o

trinômio como um quadrado perfeito.

Condição necessária para um trinômio quadrado perfeito

O primeiro termo deve ter coeficiente positivo e ser um

quadrado perfeito.

O último termo deve ter coeficiente positivo e ser um

quadrado perfeito.

O termo do meio deve ser 2 vezes o produto das bases do

primeiro e do último termo. 2ab ou 2ab



a) 29 12 4x x

b) 24 20 25x x

c) 29 6 1x x

42


d) 216 24 9x x

e) 29 30 25y y

EXERCÍCIO PROPOSTO


a) 2 14 49c c

b) 2 8 16b b

c) 2 6 9a a

d) 2 12 36x x

e) 2 29 12 4c cd d

f) 2 29 30 25a ab b

g) 2 216 64x xy y

VOCÊ SABE?

Identificar e reescrever quadrados perfeitos? Fatorar a diferença de dois quadrados? Relembrar que a soma de dois quadrados não pode ser

fatorada? Fatorar quaisquer fatores comuns antes de aplicar as

outras regras?

OUTROS TIPOS DE FATORAÇÃO

A DIFERENÇA DE DOIS CUBOS.

Considere o produto 2 2a b a ab b . Se nós fizermos os

produtos indicados, nós obteremos:

2 2 3 3a b a ab b a b


19) Escreva na forma fatorada

a) 3 27x

b) 3 38x y

c) 3 32 54a b

d) 15 364a b

A SOMA DE DOIS CUBOS.

Considere o produto 2 2a b a ab b . Se nós fizermos os

produtos indicados, nós obteremos:

2 2 3 3a b a ab b a b



a) 3 8a

b) 3 125x

c) 3 218a b

d) 3 3 3x y z

43


EXERCÍCIO PROPOSTO


a) 3 3r s

b) 3 38x y

c) 3 3h k

d) 3 8a

e) 3 38x y

f) 3 364x y

g) 3 327 8x y

h) 3 38 37a b

i) 364 1s

j) 5 2 327x x y

k) 3 316 2a b

l) 12 27x

m) 18 9 327x y z

n) 15 6 98a b c

REVISÃO

Fator Comum e agrupamentos

Procure sempre fatorar os fatores comuns antes de

prosseguir.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


a) 3 25 25a a

b) 2 2 4ca cb da bd

Dois Termos

Cheque se é diferença de quadrados, diferença ou soma de

cubos.



a) 2 216a b

b) 3 38a b

c) 3 364m n

Três termos

Verifique a possibilidade de obter trinômio quadrado

perfeito. Se não for o caso, use métodos gerais de fatoração

de trinômios.



a) 2 6 9a a

b) 2 5 14a a

c) 26 7 20a a

Quatro termos

Verifique a possibilidade fatoração usando agrupamento.



a) 3 2 6ac a bc b

b) 3 22 3 6a a a

Cheque se qualquer um dos fatores obtidos pode ser

novamente fatorado.



a) 4 211 28c c

b) 2 24 36a b

44


EXERCÍCIO PROPOSTO


a) 2 49n

b) 27 36 5b b

c) 2 2 2 8x y xy

d) 225 3 5 3a b c a b c

e) 2 24 16a b

f) 25 18 60x x

g) 6 4 3 2am bm an bn

h) 23 13 4a a

i) 2 26 24 48x xy y

j) 2 24 20 25x xy y

k) 53 48a a

l) 23 8 91b b

m) 3 6 2 4ax bx ay by

n) 2 29 30 25a ab b

o) 26 17 3x x

p) 3 327y z

q) 3 3 64a b

r) 3 38b c

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS POR

FATORAÇÃO.

Anteriormente, estudamos equações lineares, que também

são conhecidas como equações do primeiro grau. Lembre-se

que o grau de uma equação em uma variável é o maior

expoente daquela variável em qualquer termo. Agora, nós

encontraremos soluções para equações do 2º grau, também

chamadas de equações quadráticas.

2 0ax bx c 0a

SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA

Oberve a equação 2 6 0x x . Já sabemos obter a sua

forma fatorada:

2 6 0 3 2 0x x x x

Esta equação afirma que o produto dos fatores 3x e

2x é zero.

PROPRIEDADE DO PRODUTO IGUAL A ZERO

, . 0 0 0p q p q p q e ou

Se o produto de dois fatores é igual a zero, então no

mínimo um dos fatores é zero.

Generalizando:

Se 0 0 0x p x q x p x q ou .

Assim

3 2 0x x

3 0 2 0x x ou

3 2x x ou

{ 2, 3}V


28) Encontre o conjunto solução das seguintes equações:

a) 5 4 0x x

b) 3 3 1 0x x

c) 3 7x x

PARA RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU POR FATORAÇÃO

Escreva a equação em sua forma padrão 2 0ax bx c

com 0a .

Fatore completamente o membro esquerdo.

Iguale cada fator a zero e resolva as equações obtidas

Cheque suas soluções



a) 2 5 6x x

b) 2 2x x

45


c) 2 16x

d) 24 20 25x x

e) 23 3 6x x

EXERCÍCIO PROPOSTO


a) 2 3 1 0x x

b) 6 0x x

c) 3 7 0a a

d) 3 9 2 3 0x x

e) 5 3 10 4 1 0x x x

f) 22 5a a

g) 24 9y

h) 2 4 0x x

i) 22 18 0y

j) 2 7 12 0x x

k) 2 3 4 0x x

l) 2 14 49 0a a

m) 2 32 4y y

n) 2 27 6x x

31) O produto de dois números pares consecutivos é 168.

Encontre esses números.

32) A área de um retângulo é dada pela fórmula .A b h em

que b é a medida da largura e h é a altura do retângulo.

A largura de certo retângulo é 2 cm maior que o triplo de

sua altura. Se a área desse retângulo é 233A cm .

Encontre sua largura e sua altura.

33) Um móvel com velocidade inicial v sofre uma aceleração

a durante um tempo t . O espaço percorrido por s esse

móvel é dado pela equação 21

2s vt at .Encontre t

quando 8s , 0v , 2a

VOCÊ SABE?

Encontrar o conjunto solução de uma equação em sua forma fatorada cujo produto é igual a zero?

Encontrar o conjunto solução de uma equação do 2º grau por fatoração?

46


EXPRESSÕES RACIONAIS.

EXPRESSÕES RACIONAIS

Aprendemos que um número racional é um número que

pode ser escrito como quociente entre dois inteiros com

denominador diferente de zero.

5 , 2

7,

4

9 .

Vamos ampliar esta definição para o quociente de 2

polinômios.

Uma expressão racional é uma expressão com a forma: P

Q

Onde P e Q são polinômios e 0Q

Assim, uma expressão racional é uma expressão que pode ser

escrita como o quociente de 2 polinômios com o

denominador diferente de zero.

Exemplos:

2

1

x

x

2

2

2

6

x

x x

2

5

x x

Assim como nos números racionais o polinômio de cima é o

numerador e o de baixo é o denominador.

Para avaliar expressões racionais basta substituir a variável

pelo valor fornecido e realizar as operações indicadas.


01) Avalie as seguintes expressões racionais para o valor

fornecido.

a) 2

5

2 1

x

x x

para

1

2x

b) 5 2

4 3

x

x

para 2x

c) 2

2

3 10

x

x x

para 5x

Uma expressão racional não tem significado para aqueles

valores da variável que fazem com que o denominador seja

zero. Esses valores são restrições para a variável. Todos os

outros valores da variável para os quais a expressão está

definida formam o domínio da expressão racional.


02) Encontre o domínio das seguintes expressões racionais.

a) 3

4

x

x

b) 2

2

3

6

x

x x

c) 2

2

3

4

x

x

d) 2

3x

x x

EXERCÍCIO PROPOSTO

03) Encontre o domínio das seguintes expressões racionais.

a) 2

3

6

x

x x

b) 4

3x

c) 23

3

x

x

d) 9

4 3

a

a

e) 2

8

3 2 8

x

x x

f) 2

4

4h

VOCÊ SABE?

Avaliar uma expressão racional para um dado valor? Determinar as restrições sobre a variável? Determinar o domínio de uma expressão racional?

47


PRINCÍPIO FUNDAMENTAL.

Um dos procedimentos mais importantes usados a

trabalharmos com expressões racionais é a simplificação.

Para fazer isso, utilizamos o seguinte princípio.

Se P é um polinômio e Q e R são polinômios diferentes

de zero, então:

PR P

QR Q e

P PR

Q QR

Para mudar a aparência de uma expressão racional sem mudar seu valor, nós podemos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo polinômio diferente de zero.

Esta propriedade nos permite reduzir uma expressão racional

para termos irredutíveis. A expressão racional é irredutível se

o maior fator comum entre o numerador e o denominador é

igual a 1 ou -1.

PARA REDUZIR UMA EXPRESSÃO RACIONAL

Escrever numerador e denominador na forma fatorada. Dividir o numerador e o denominador por todos os fatores

comuns.


04) Simplifique as expressões racionais.

a) 45

60

b) 2

3

14

10

x

x

c) 5 15

4 12

a

a

d) 2

7

49

y

y

e) 2

2

36

30

a

a a

NÃO FAÇA ISTO:

8 1 8

8 3

1

8

1

33

O princípio fundamental permite dividir numerador e

denominador por fatores comuns. O 8 acima não é fator

comum. O 8 é termo.

Observe que se b a , em geral temos:

1a b

b a

a b



a) 5

5

x

x

b) 2

4

16

x

x

c) 2

2

1

2 3

x

x x

EXERCÍCIO PROPOSTO


a) 75

145

b) 3

3

15

20

b

b

c) 2 2x y

x y

d) 2

6 6

8 8

y

y

e) 3

2

8

x

x

f) 2

2

9

6 9

x

x x

g) 2

2

10 25

25

a a

a

h) 2

2

16

3 11 4

y

y y

i) 2 2

2 2

p q

q p

j) 2

3

12

x

x x

48


VOCÊ SABE?

Reduzir uma expressão racional para termos irredutíveis usando o princípio fundamental?

Reconhece fatores a b e b a ?

QUOCIENTE DE 2 POLINÔMIOS

Já vimos o processo de divisão entre dois monômios. Vamos

relembra-lo.

7

7 4 3

4

xx x

x

5

5 3 2

3

42 2

2

aa a

a

Divisão de Polinômio por monômio.

Considere então a divisão de um polinômio por um

monômio: 3 23 9 15

3

x x x

x

Para efetuar essa divisão basta lembrar-se de um princípio

usado na adição de frações com mesmo denominador:

0a b a b

cc c c

Assim, para dividir um polinômio por um monômio, nós

dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. 3 2 3 2

23 9 15 3 9 153 5

3 3 3 3

x x x x x xx x

x x x x


07) Encontre o quociente

a) 4 28 4 12

4

x a a

a

b) 7 5

2

5 15 10

5

x x x

x

NÃO FAÇA ISTO:

3 2 3 2

2

x x x x

x

2x

331

11

xx

O procedimento correto é: 3 2 3 2

2 2 21

x x x xx

x x x

Pois somente fatores devem ser divididos por fatores. E 3x e 2x são termos do numerador.

EXERCÍCIO PROPOSTO

08) Encontre o quociente

a) 3

2

9

3

x

x

b)

23 a b

a b

c) 5 3 2

2

16 20 4

4

x x x

x

d) 6 9

3

x

e) 2bx bx

bx

f) 1 1

1

a b c b

b

g) a x y b x y

y x

Divisão de Polinômio por Polinômio.

Considere o seguinte quociente no qual o divisor não é um

monômio. 2 2

2

x x

x

Envolvendo a divisão de um trinômio por um binômio. Para

realizar a divisão nós usaremos o mesmo processo utilizado

para divisão de números. Começamos escrevendo-os em

ordem decrescente de potências com zeros utilizados no

termos de coeficientes iguais a zero.

Exemplos:

Dividendo Escrita 3 4 22 3 4 1x x x x 3 9x x 4 1x

4 3 23 4 2 1x x x x 3 20 9x x x 4 3 20 0 0 1x x x x

Assim, temos 2 2 2x x x

Divida 2x por x e coloque o resultado ( nesse caso, x ) no

lugar destinado ao quociente. 2 2 2x x x

x

Multiplique x por 2x e coloque o resultado (nesse caso) 2 2x x sobre o dividendo.

2

2

2 2

2

x x x

x x x

49


Subtraia esse resultado do dividendo

2

2

2 2

2

2

x x x

x x x

x

Repita todo o procedimento anterior para o resto obtido

(nesse caso) 2x .

Ou seja, divida x por x , obtendo 1 e coloque o resultado no

lugar destinado ao quociente 2

2

2 2

2 1

2

x x x

x x x

x

Multiplique 1 por 2x obtendo 2x e coloque abaixo de

2x , realizando a subtração. 2

2

2 2

2 1

2

2

0

x x x

x x x

x

x


09) Encontre o quociente solicitado e cheque sua resposta.

a) 2 3 4

4

x x

x

b) 2 5 6

2

x x

x

EXERCÍCIO PROPOSTO

10) Encontre o quociente solicitado.

a) 26 7 3

2 3

x x

x

b) 2 7 10

2

a a

a

c) 2 5 10

3

x x

x

d) 2 6 10

3

x x

x

e) 3 22 3 13 12

5

x x x

x

f) 4 3 26 2 7 19

2 3

x x x x

x

g) 4 3 2

2

3 6 3 8

3 5

x x x x

x x

h) 4 3 22 4 2 4x x x x x

11) Qual polinômio que, ao ser dividido por 3 2x , resulta

um quociente 22 3 5x x .

VOCÊ SABE?

Dividir um monômio por outro monômio? Dividir um polinômio por um monômio? Dividir um polinômio por um polinômio? Checar a resposta?

50


RAZÕES E PROPORÇÕES.

RAZÕES

Vimos que uma fração a

b representa o quociente indicado

pela divisão de a por b . Uma razão compara dois números

ou quantidades seguindo esse mesmo caminho.

A razão entre dois números a e b (nessa ordem) pode ser

escrita como:

a para b , a

b ou :a b

Lê-se: “a razão de a para b ”.

Se as quantidades puderem ser escritas na mesma unidade

de medida, a razão será escrita sem qualquer unidade de

medida.

45min 45 345 min :60 min

60 min 60 4

3535 7 : 8

centavoscentavos: 4 Reais =

400 centavos

50350 : 7 50 /

kmkm h km h

h

EXERCÍCIO PROPOSTO

12) Em uma sala de aula existem 32 meninos e 32 meninas.

Encontre a razão entre o número de meninos e de

meninas.

13) Um salão possui 24 metros de comprimento por 18

metros de largura. Qual a razão entre o comprimento e a

largura?

14) Um salão possui 24 metros de comprimento por 18

metros de largura. Qual a razão entre a largura e o

comprimento?

PROPORÇÕES

Uma proporção é uma relação de igualdade entre duas

razões. Assim, dadas as razões a

b e

c

d escrevemos:

Lê-se: “ a está para b como c está para d ”

Os números , ,a b c de são os termos da proporção.

Propriedade

Se . .a c

a d b cb d


15) Encontre o termo desconhecido nas proporções dadas.

a) 16

8 64

x

b) 49 35

5y

c) 72 30

6z

EXERCÍCIO PROPOSTO

16) Encontre o termo desconhecido nas proporções dadas.

a) 9 36

5x

b) 42

7 30

h

c) :12 15:100R

d) 5

9 20

p

Proporções são utilizadas na resolução de vários problemas.


17) Duas engrenagens estão na razão 4 : 5 . Se a menor tem

32 dentes, quantos dentes têm a maior?

18) Em um mapa 1 cm representa 6 km. Quantos cm são

necessários para representas 28 km.

19) Cecília economiza R$ 20,00 por semana de sua mesada

quando esta é igual a R$ 220,00. Se a mesada de Cecícia

subir para R$ 250,00, quanto ela devera economizar por

semana para manter a proporção de economia?

a c

b d ou : :a b c d

51



20) Em um mapa. 1 cm representa 9 km. Quantos cm são

necessários para representas 42 km?

21) Uma pessoa ganha R$ 180,00 por semana. Quantas

semanas ela precisa trabalhar para ganhar R$ 1260,00?

22) Um carro percorre 126 km com 12 litros de gasolina.

Quantos litros serão necessários para uma viagem de 924

km?

23) 24 gramas de água contêm 4 gramas de hidrogênio. 276

gramas de água contêm quantos gramas de hidrogênio?

24) Uma máquina pode produzir 21 peças em 30 minutos.

Quanto tempo será necessário para produzir 224 peças?

25) Uma imagem de computador tem 10 cm de comprimento

por 8 cm de largura. Se nós aumentarmos a sua largura

para 20 cm, qual deverá ser proporcionalmente seu novo

comprimento?

VOCÊ SABE?

Escrever razões? Escrever proporções Encontrar termos desconhecidos em proporções? Resolver problemas que envolvem proporções?

52


OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES RACIONAIS

MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS

A multiplicação de expressões racionais é realizada da mesma

forma que a multiplicação de frações, ou seja, nós

multiplicamos os numeradores e multiplicamos os

denominadores e simplificamos os fatores comuns.

Multiplicação de expressões racionais

Dadas as expressões racionais P

Q e

R

S , então:

.

, 0.

P R P RQ S

Q S Q S


01) Realize a multiplicação indicada e simplifique sua

resposta.

a) 5 3

4 2

x

y

b) 1 2

5 3

x

x x

c) 2

9 4

8 3

x

x

d)

231

3 2

xx

x x

e) 2 2

2 2

8 16 4

3 10 5 4

x x x

x x x x

DIVISÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS

A divisão de expressões racionais também é realizada

seguindo o mesmo da multiplicação de frações, ou seja, nós

multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador e

simplificamos o resultado.

Divisão de expressões racionais


Q e

R

S , então:

, , 0P R P S PS

Q R SQ S Q R QR


02) Realize a divisão indicada e simplifique sua resposta.

a) 3

5 15

xy xyz

b) 2 9 3

5 20

x x

c) 4 2 2 1

1 6 6

x x

x x

d) 2

2

4 2

2 1 2 7 3

x x

x x x

EXERCÍCIO PROPOSTO

03) Efetue a operação divisão indicada e simplifique sua

resposta.

a) 24 7

35 8

b) 4 5

5 2

x

c) 2

2 2

24 14

7 9

abc x yz

xyz a

d)

2

12

3 2

x y

x

e) 3 6 5 10

4 8 2

x x

x x

f)

5 12

8 10

x y

y x

g) 8 16 2 6

3 3 6

x x

x x

53


h) 6 21

5 15

x x

y y

i) 3

2 2

20 4

9 3

xy xy

a ab

j) 4 99

7 21

xx

k) 4 2 1 2

15 27

x x

l) 2 6

35

xx

x

m) 9 3

6 22 8

xx

x

n) 29 4 4

3

x x y

x y x

o) 2

2

16 4

1 1

x x

x x

p) 2 2

2 2

5 6 5 4

9 20 3 2

x x x x

x x x x

q) 2 2

2 2

2 3 12

3 4 6

x x x x

x x x x

r) 2 2

2 2

2 15 7 49

9 8 2 1

x x x

x x x x

s) 2

2 43 2 8

2

xx x

x

t) 3 227 3 18

10 15

x x x

u) 2 2 2

2 2 2

6 7 2 2 12 5 3

6 5 1 4 1 12 17 6

x x x x x x

x x x x x

v) 2 3

2

5 14 5 40

4 12

A A A

A A A

VOCÊ SABE?

Multiplicar expressões racionais? Dividir expressões racionais?

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS I

Lembremos que para somarmos ou subtrairmos frações com

denominadores iguais, nós somamos os numeradores e

mantemos o denominador. O procedimento para soma e

subtração de expressões racionais com mesmo denominador

é o mesmo.

Adição e subtração de expressões racionais com mesmos

denominadores.


Q e

R

Q , então:

P R P R

Q Q Q

e 0

P R P RQ

Q Q Q


04) Realize a operação indicada e simplifique sua resposta.

a) 5 2

3 3x x

b) 5 7

3 5 3 5

x x

x x

c) 2 2

2 3 4 2

5 6 5 6

x x

x x x x

d) 2 2

2 1 4

5 6 5 6

x x

x x x x

e) 5 2 2 3

3 3

x x

x x


05) Realize a operação indicada e simplifique sua resposta.

a) 5 2

x x

b) 5 3

2 2

x x

x x

c) 1 2

3 3

x x

x x

d) 2 2

3 2 4 1x x

x x

e) 5 6

7 7

f) 4 7

x x

g) 2 5 7

5 2 2 5

x x

x x

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (mmc)

Ao somarmos (ou subtrairmos) duas frações com

denominadores distintos, nós devemos encontrar frações

equivalentes às dadas com denominadores comuns. Existem

muitos números que satisfazem tal condição e que podem

ser utilizados nessa operação, entretanto, o denominador

mais conveniente a ser utilizado é o mmc entre os

denominadores fornecidos.

Exemplo:

5 2 5.6 2.4 30 8 38 19

6 9 6.6 9.4 36 36 36 18

ou

5 2 5.3 2.2 15 4 19

6 9 6.3 9.2 18 18 18

54


O mesmo critério será utilizado para somarmos ou

subtrairmos expressões racionais com denominadores

distintos. Para isso, devemos saber calcular o mmc de um

conjunto de denominadores.

Para encontrar o mmc entre um conjunto de expressões

algébricas.

Fatore completamente cada uma das expressões. Utilize notação exponencial onde for possível. Escreva cada fator diferente que aparece em cada uma

das fatorações obtidas anteriormente. Coloque em cada fator obtido no passo anterior o maior

expoente visto nesse fator. Escreva o produto desses fatores.


06) Encontre o mmc das expressões abaixo.

a) 12 e 18

b) 216x e 34x

c) 3 250x y e 420xy

d) 2 12x x e 2 2 8x x

e) 2 2 1x x , 2 11 12x x e 1 x

EXERCÍCIO PROPOSTO

07) Encontre o mmc das expressões abaixo.

a) 6x e 9x

b) 26x e 14x

c) 210x , 312x e 9x

d) 4 2x e 2 1x

e) 4x e 3 12x

f) 318x e 9 36y

g) 2

1z e 2 1z

h) 9 18x e 2 7 10x x

i) 2 9x , 2 6x x e 2 4 4x x

j) 5 x , 2 25x e 2 10 25x x

VOCÊ SABE?

Adicionar ou subtrair expressões racionais com denominadores iguais?

Encontrar o mmc de um conjunto de expressões algébricas?

EXPRESSÕES RACIONAIS EQUIVALENTES

Vamos utilizar a ideia de frações equivalentes nas expressões

racionais.


08) Encontre a fração equivalente indicada.

a) 3 ?

15 90

b) 2

1 ?

4 2 8

x

x x x

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS II

Agora que sabemos encontrar o mmc de um conjunto de

expressões algébricas

Para adicionar ou subtrair expressões racionais com

denominadores diferentes.

Encontre o mmc dos denominadores. Escreva cada expressão racional como uma expressão

racional equivalente com o mmc como denominador. Realize a operação indicada. Simplifique, se possível, o resultado obtido


09) Realize a operação indicada e simplifique a resposta.

a) 5 3

8 12

x x

b) 2

3 2

4 18x x

55


c) 2

3 2 4

16 3 12

x x

x x

d) 5 1

2 1 2

x x

x x

e) 2 2

5 4 3

2 1 4 5

x x

x x x x


10) Realize a operação indicada e simplifique a resposta

a) 2

15 20

3 9x x

b) 4 5

3 2x x

c) 3 7

1 3x x

d) 8 11

4 5x x

e) 15 14

5 10 2 4x x

f) 2

12 7

9 3 9x x

g) 3

33

x

x

h) 2

2

1 1

x x

x x

i) 2 2

3 5

6 9x x x

j) 2 2

6 5

4 12 36x x x

k) 2 2

4

20 8 16

x x

x x x x

l) 2 2

1 3 2

12 9 20

x x

x x x x

m) 2

2 5 2

9 20 5

x x

x x x

n) 13 2 5

12 9 4x x x

o) 5 1 3 2 1

6 9 12

x x x

p) 2 2 2

5 4

4 1 2

x

x x x x

q)

4 3

5 7

x y

x y

r)

2 2

2

x y

y

x y

y

s) 2 2

x y x y

x y x y

x y

11) Em Física, a resistência total de um circuito paralelo pode

ser fornecida por:

31 2

1 2 3

1

T

II I

R E E E

Combine a expressão do membro direito.

12) A área de um triângulo é 221m . Se o triângulo tem base

b , qual é a altura do triângulo? 2

bhA

13) Em Física, a indutância em paralelo pode ser calculada

pela fórmula:

1 2

1

1 1TL

L M L M

Simplifique o lado direito.

VOCÊ SABE?

Adicionar ou subtrair expressões racionais com denominadores distintos

EQUAÇÕES RACIONAIS

Uma equação algébrica que possui no mínimo uma expressão

racional é uma equação racional.

Para resolvermos uma equação racional devemos eliminar os

denominadores usando a propriedade da multiplicação em

uma igualdade. O múltiplo é o mmc de todos os

denominadores na expressão racional da equação.

56


Para resolver uma equação racional.

Encontre o mmc de todos denominadores. Elimine os denominares multiplicando cada termo em

ambos os membros pelo mmc obtido no passo anterior. Resolva a equação. Teste suas soluções.


14) Resolva as equações.

a) 3

4 8

x x

b) 4 7

4 5 10

x x

c) 5 4 5

3 9 12x x

d) 2

3 4 2

2 2x x x x

Obs. Este item mostra o cuidado que devemos ter com as

soluções encontradas já que existem restrições aos valores de

x.

e) 2 5

3 03 2

x x

15) Resolva a equação racional 3

3 2

y xz para a variável .x

16) Resolva a equação racional 1 1 1

x y z para a variável .z


17) Encontre o conjunto solução de cada uma das equações

abaixo. (Considere os denominadores diferentes de

zero).

a) 6 7 9

4 8 16x x

b) 2

4 3

x

c) 7

6 9

x

d) 1

38 4

x

e) 2

16 5

x x

f) 2 1 2 3

17 14

x x

g) 4 7 2

3 5x x

h) 3 6 1

55 2x x x

i) 5 1 7

3 2 6x x

j) 5 2 5

8 6

x x

x x

k) 4 5

4 4x x

l) 3 1

2 3 7x

m) 2

1 6

4 2

x

x x

n) 2

6 4 1

2 4 2 4x x x

o) 2 2

8 1

6 8 16x x x

p) 2

5 7 9

2 1 3 2 6 2x x x x

57


18) Resolva a equação racional 5 3

3x y para a variável x .


3x y para a variável x .


1 1 1 1

R R R R para a

variável R .


4 3x

yx y para a

variável y .


2 5 5

x y para a

variável y .

23) A relação entre a pressão P , o volume V e temperatura

absoluta T de um gás é dada por:

1 1 2 2

1 2

PV PV

T T

Resolva para 2 .T

24) A fórmula para resistores em paralelo é dada por

1 2

1 2

R RR

R R

Resolva para 1R .

25) 2 torneiras são utilizadas para encher uma caixa de água .

A primeira pode sozinha, encher a caixa em 12 horas e a

segunda pode sozinha, encher a caixa em 9 horas.

Quanto tempo as duas juntas levarão para encher a

caixa? ( Dica: Qual a fração do volume da caixa que cada

uma das torneiras preenche em 1 hora?)

26) Um motorista precisando percorrer a distância de 120

km, realiza uma parte do trajeto a uma velocidade

constante de 50 km/h e outra parte a uma velocidade

constante de 60 km/h. Se ele percorreu os 120 km em 9

4

de horas, quantos quilômetros ele percorreu a 50 km/h?

27) O denominador de uma fração é 3 unidades maior que o

numerador. Se somarmos 4 ao numerador e ao

denominador, a fração resultante é 3

4. Encontre a fração

original.

28) Em física, quando dois resistores são conectados em

paralelo, a resistência total do circuito em ohms é dada

por:

1 2

1 1 1

R R R

Onde 1R e 2R são as resistência dos 2 resistores em

ohms. Encontre a resistência total R de um circuito

tendo 2 resistores conectados em paralelo se suas

resistências são 4 ohms e 6 ohms respectivamente.

VOCÊ SABE?

Resolver equações racionais? Resolver equações racionais para uma variável em termos

de outras variáveis? Resolver problemas envolvendo expressões racionais?

58


EQUAÇÕES LINEARES EM DUAS VARIÁVEIS.

Vimos anteriormente métodos para resolver equações

lineares ( equações do 1º grau) em uma variável. Todas estas

equações podem ser escritas na forma:

0 , ; 0ax b a b a

Agora, nós ampliaremos nosso trabalho para equações

lineares em 2 variáveis. As equações

4 3 8x y e 5 2 0y x

são exemplos de tais equações.

Uma equação linear em 2 variáveis x e y é qualquer

equação que pode ser escrita na forma:

0 , , ; , 0ax by c a b c a b

Em uma equação com 2 incógnitas, x e y , qualquer par de

valores x e y que satisfaça a equação é um solução desta

equação.


01) Dada a equação 3 2 6x y , verifique se os valore que

se seguem são representam soluções da equação.

a) 2x e 0y

b) 1x e 3

2y

c) 3x e 1y

PAR ORDENADO

Os valores para x e y usados no exercício acima podem ser

escrito como um par de números. Nós os separamos por

vírgula ou ponto e vírgula e os colocamos dentro de

parênteses. O valor de x é sempre dado primeiro. Isto é, o

par de números é escrito com ,x y . Um par de números

escrito em ordem especial é um par ordenado.

2,0 , 3

1,2

e 3,1

Para encontrar soluções de uma equação com 2 incógnitas.

Escolha um valor para uma das incógnitas. Resolva a equação resultante para a outra incógnita.

EXERCICIO RESOLVIDO

02) Usando o valor fornecido para uma das incógnitas,

encontre o valor da incógnita restante. Escreva a solução

na forma de par ordenado.

a) 2 1y x com 3x .

b) 2 1y x com 2x .

c) 2 1y x com 5y .

d) 3 2x y com 2x .

e) 6y com 3x .

f) 3 0x com 1y

g) 3 0x com 4y

PLANO DE COORDENADAS CARTESIANAS

Em uma secção anterior, nós associamos o conjunto dos

números reais com uma reta chamada reta numérica. Esta

reta numérica foi utilizada para “desenhar” soluções de

equações e inequações com uma incógnita. Nós utilizaremos

agora o plano cartesiano para “desenhar” soluções de

equações lineares com 2 incógnitas.

Tomaremos 2 retas numéricas perpendiculares, uma

horizontal e a outra vertical. Estas 2 retas são os eixos. Ao

eixo horizontal (eixo-x ou eixo das abscissas) nós

associaremos os valores de x e ao eixo vertical ( eixo-y ou

eixo das ordenadas) nós associaremos os valores de y.

59


O ponto de intersecção das 2 retas é a origem do plano

cartesiano e corresponde ao par 0,0 . Os 2 eixos dividem o

plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes. Pontos

que pertencem a qualquer um dos eixos não pertencem a

nenhum dos quadrantes.

Cada par ordenado ,x y corresponde a exatamente um

ponto do plano. Para encontrar a localização de tal ponto nós

consideramos o par ordenado como 2 instruções para nos

dirigirmos, a partir da origem, a localização procurada.

Pontos são sempre nomeados utilizando-se letras maiúsculas.

A notação ,A x y indica que o nome do ponto é A .

EXERCICIO RESOLVIDO

03) Represente os pares ordenados abaixo no plano

cartesiano.

a) 2,4A

b) 1, 3B

c) 4,3C

d) 4,0D

e) 2, 3E

f) 0,4F

g) 3,0G

h) 3

2,2

H

Observe que:

No quadrante I temos 0x e 0y

No quadrante II temos 0x e 0y

No quadrante III temos 0x e 0y

No quadrante IV temos 0x e 0y

DESENHANDO AS SOLUÇÕES

Vamos agora mostrar graficamente alguns pares ordenados

que são soluções da equação em duas variáveis 2 1y x .

Para isso, vamos atribuir alguns valores para x .

Se 1x então 3y

Se 2x então 3y

Se 0x então 1y

Se 1x então 1y

Os pares ordenados 1, 3 , 2,3 , 0, 1 e 1,1 são

algumas soluções da equação 2 1y x .

VOCÊ SABE?

Determinar se um par ordenado é ou não solução de certa equação?

Encontrar o valor de uma incógnita, se fornecido o valor da outra?

Desenhar pares ordenados no plano cartesiano? Desenhar pares ordenados que são soluções de dadas

equações no plano cartesiano?

60


EXERCICIOS PROPOSTOS

04) Determine se os pares ordenados dados são ou não

soluções da equação fornecida.

a) 3 2; 1, 1 , 2,0x y

b) 3 1; 1,2 , 1, 4 , 2,3y x

c) 2 4; 1,3 , 0,4 , 2,8y x

d) 1

3 4 2; 1,2 , 2,1 , ,12

y x

e) 3 2 ; 2,3 , 3,2 , 0,0x y

f) 4; 4,1 , 4,2 , 4, 4x

g) 5 0; 3, 5 , 5,3 , 5,8x

h) 3

3; 2,3 , 5,2 , ,34

y

i) 2

2 0; 2, 2 , , 2 , 5,23

y

05) Encontre o valor de y correspondente a cada valor de x

fornecido em cada equação. Expresse sua resposta como

um par ordenado.

a) 2 1; 1, 2, 3x y x x x

b) 3 2; 1, 2, 0y x x x x

c) 3 2 ; 3, 4, 0y x x x x

d) 3 4; 3, 2, 0x y x x x

e) 5 ; 2, 3, 0x y x x x

f) 5; 1, 6, 0y x x x

g) 3

1 0; 7, , 05

y x x x

06) O custo total C em reais para produzir x unidades de

certo produto é dada pela equação 2 20C x .

Encontre o custo para produzir:

a) 75 unidades.

b) 300 unidades.

c) 1000 unidades.

07) No exercício anterior, encontre quantas unidades são

produzidas quando o custo total é:

a) R$ 430,00

b) R$ 700,00

c) R$ 1400,00

08) Desenhe os pares ordenados fornecidos a seguir em um

plano de coordenadas cartesianas.

a) 2,4

b) 2, 3

c) 4,0

d) 4,1

e) 0,4

f) 0,0

g) 0,2

h) 1

,32

i) 4,0

09) Determine as coordenadas ,x y dos pontos dados no

plano cartesiano a seguir.

10) Desenhe cinco pontos cuja abscissa é igual a 2. Ligue os

pontos. Qual a figura resultante?

11) Desenhe cinco pontos cuja ordenada é igual a 4. Ligue os

pontos. Qual a figura resultante?

12) Desenhe cinco pares ordenados cuja abscissa e

ordenadas são iguais. Ligue os pontos.

13) Desenhe cinco pares ordenados cuja ordenada é oposta

da abscissa. Ligue os pontos.

GRÁFICO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR.

Vimos na seção anterior que existem infinitos pares

ordenados que satisfazem uma equação linear com 2

incógnitas e desenhamos algumas dessas soluções. Ligando

esses pontos, percebemos que todos eles pertencem a

mesma reta. Qualquer ponto cujas coordenadas satisfazem a

equação pertence a reta e as coordenadas de qualquer ponto

dessa reta serão soluções da equação.

EXERCICIO RESOLVIDO

14) Esboce o gráfico da equação 2 3x y

61


RETA

Em geral, o gráfico de qualquer equação linear com 2

incógnitas é uma reta. Nós usaremos o fato geométrico de

que por quaisquer 2 pontos do plano nós podemos desenhar

uma e somente uma reta. Assim, desde que nós sabemos que

o gráfico de uma equação linear com 2 incógnitas é uma reta,

nós podemos esboçar o gráfico usando somente 2 pontos.

EXERCICIO RESOLVIDO

15) Esboce o gráfico da equação 2 4y x

A INTERSECÇÃO COM OS EIXOS

Observe que o gráfico de 2 4y x intercepta o eixo y em

0,4 e o eixo x em 2,0 . Os pontos 0,4 e 2,0 são

os pontos de intersecção do gráfico com os eixos e desde que

nós necessitamos de apenas 2 pontos para esboçar o gráfico,

em muitos casos, nós usamos esses pontos de interseção

com os eixos.

Observe que o gráfico intercepta o eixo das abscissas quando

0y e intercepta o eixo das ordenadas quando 0x .

Para encontrar os pontos de intersecção.

Faça 0x e encontre o valor de y correspondente. Esse

é o ponto 0, y .

Faça 0y e encontre o valor de x correspondente. Esse

é o ponto ,0x .

EXERCICIO RESOLVIDO

16) Esboce o gráfico das equações a seguir usando os pontos

de intersecção do gráfico com os eixos.

a) 2 3y x

b) 3 2 9y x .

Qualquer equação linear que pode ser escrita na forma

y kx ou x ky

em que k é um número real passará pela origem.

EXERCICIO RESOLVIDO

17) Esboce o gráfico da equação 2y x

62


18) Esboce o gráfico da equação 2y

19) Esboce o gráfico da equação 1x

VOCÊ SABE?

Esboçar p Gráfico de equação linear? Encontrar a intersecção do gráfico de uma equação linear

com os eixos? Esboçar o gráfico de equações como x k ou y k

onde k é uma constante?

EXERCICIOS PROPOSTOS

20) Encontre a intersecção do gráfico com os eixos.

a) 5 3 15x y

b) 2 4y x

c) 3 1y x

d) 2 3 6x y

e) 2 5 11 0x y

f) 5y x

g) 3 2 0x y

h) 4 0y x

i) 0,3 0,4 0,7x y

j) 2 1

3 3y x

21) Esboce o gráfico das equações lineares dadas usando as

intersecções com os eixos.

a) 2 3 12y x

b) 3 6y x

c) 2y x

d) 2 8y x

e) y x

f) 3y x

g) 0x y

h) 2 0y x

i) 4 3 0x y

j) 2 5 10y x

k) 5 6 30x y

22) Resolva as equações para y em termos de x , ou seja,

escreva as equações na forma y mx n .

a) 3 2 4y x

b) 2 7 0y x

c) 3 4 9y x

d) 7 3 10x y

e) 5 7 0x y

f) 5 8 14 0y x

23) Esboce os gráficos das equações 2y x n no mesmo

plano cartesiano para:

a) 5n

b) 0n

c) 3n

24) Esboce os gráficos das equações 1y mx no mesmo

plano cartesiano para:

a) 1m

b) 1

2m

c) 2m

25) Escreva uma expressão matemática para cada uma das

afirmações abaixo:

a) O valor de y é 3 unidades menor que o dobro de x .

b) O dobro de x menos o triplo de y é igual a 6.

c) O valor de x é 4 vezes maior que o de y .

d) Cinco vezes x menos o produto de 2 por y resulta

em 20.

63


A INCLINAÇÃO DE UMA RETA.

Consideremos duas rampas denotados 1R e

2R mostradas

abaixo:

Dizemos que

1R é mais inclinada que 2R , pois caminhando

do ponto A ao ponto B em cada rampa, o deslocamento

horizontal em cada rampa será igual a 100 m mas o

deslocamento vertical será de 15m na rampa 1R e 10m na

rampa 2R . Se nós medirmos o “grau de inclinação” pela

razão:

descolamento vertical

deslocamento horizontal

A rampa 1R terá “grau de inclinação”

15 3

100 20

m

m

E a rampa 2R terá “grau de inclinação”

10 1

100 10

m

m

Como 3

20 é maior que

1

10 temos que

1R é mais inclinada

que 2R .

Vamos aplicar este conceito à qualquer reta. Então o

coeficiente angular m de uma reta não vertical é:

descolamento verticalm =

deslocamento horizontal

Na figura

descolamento vertical 4 2m =

deslocamento horizontal 6 3

Definição:

O coeficiente angular m de uma reta não vertical que passa

pelos pontos 1 1,P x y e 2 2,Q x y é dado por:

2 1

2 1

y y ym

x x x

EXERCICIO RESOLVIDO

26) Encontre o coeficiente angular da reta que passa pelos

pontos:

a) 2,3P e 5,9Q .

b) 3,2P e 5, 4Q .

c) 3,4P e 2,4Q .

d) 4,1P e 4, 3Q .

O coeficiente angular de uma reta horizontal com

equação y k é 0m .

O coeficiente angular de uma reta vertical com equação x k é indefinido.

27)

m

m

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Matemática Elementar