Matemática e Raciocínio Lógico PRF – Professor Joselias – Lista 01

1) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições: a) O Rio de Janeiro é capital de São Paulo. b) O Brasil fica na Europa. c) Bom dia! d) O Joselias é bonito? e) Faça a coisa certa. f) Esta frase é falsa g) 5 +4 > 10

h) x + y > 10 2) Sejam as proposições P e Q, tal que: P = ”O governo é bom” Q = ”Não há inflação” Descrever as seguintes proposições abaixo: a) ¬P

b) P∨Q

c) P∧Q

d) P→Q

e) P↔Q

Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira —V—, ou falsa —F —, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir.

3) (CESPE)A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição. Errado

4) (CESPE) A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, não é considerada uma proposição composta. Errado

Observação: TABELA VERDADE

α β ¬α α ∧ β α ∨ β α → β α ↔ β V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V

5) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo

6) Determinar o valor verdade da proposição (P∧Q)→R, sabendo-se que VAL(P)=V, VAL(Q)=V e VAL(R)=F.

7) (CESPE) Julgue certo ou errado: Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→(¬T) é falsa.

TAUTOLOGIAS a) (p ∨ ¬p) b) (p → p) c) (p ↔ p) c) ¬(¬p) ↔ p d) (p→q) ↔ (¬p∨q) e) (p→q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva) f) ¬(p∧q) ↔ (¬p∨ ¬q) (Morgan) g) ¬(p∨q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan) h) ¬(¬p) ↔ p i) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q) j) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q)

p q ¬p ¬q p→q q→p p↔q V V V F F V F F

EQUIVALÊNCIAS a) (p∨q) é equivalente a (q∨p) b) (p∧q) é equivalente a (q∧p) c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) d) (p→q) é equivalente a (¬p∨q) e) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p) f) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q) g) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q) h) ¬(¬p) é equivalente a p i) ¬ (¬(¬p)) é equivalente a (¬p) j) ¬ (p→q) é equivalente a (p ∧ ¬q) l) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔ ¬q) Texto para as questões de 8 a 24 Na lógica sentencial, são chamadas proposições as afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). As proposições básicas são representadas simbolicamente por letras maiúsculas, A, B, C etc. A partir de proposições previamente construídas, tais como A e B, por exemplo, podem ser formadas proposições compostas, tais como , que é lida “A e B” e assume valoração V se e somente se A é V e B é V; , que é lida “A ou B” e assume valoração F se e somente se A é F e B é F;

¬A, que é lida “não A” e é F se A é V e é V se A é F. Para cada proposição composta, é possível construir uma tabela de valores V/F que a determina, atribuindo-se valorações V ou F a todas as suas proposições componentes. Duas proposições são ditas equivalentes se e somente se têm as mesmas valorações V ou F. Julgue os itens a seguir.

8) A proposição simbólica (P∨¬P) é uma tautologia.

9) A proposição simbólica (P→P)é uma tautologia.

10) A proposição simbólica ¬(¬P)↔P é uma tautologia.

11) A proposição simbólica (P→Q)↔(¬P∨Q) é uma tautologia.

12) A proposição simbólica (P ¬P) é uma contradição.

13) A proposição simbólica (P ¬P) é uma contradição.

14) A proposição simbólica ¬(P∨Q) é equivalente a (¬P∧¬Q).

15) A proposição simbólica ¬(P Q) é equivalente a (¬P ¬Q).

16) A proposição simbólica ¬(P Q) é equivalente a (P ¬Q). 17) A proposição “não P ou Q” é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) P e não Q. b) não P e Q. c) se não P, então Q. d) se P, então Q. e) não P e não Q.

18) (CESPE) Com respeito à tabela de valores V/F correspondente a cada uma das proposições simbólicas a seguir, assinale a opção que apresenta a proposição que tem todas as possíveis valorações iguais a V. A) ¬(A ¬B) B) B (A ¬B) C) ¬(A ¬B) D) A ¬(A B)

Considere a proposição composta (A B) ¬(A C), em que A, B e C têm os seguintes significados: A: Carla lê livros de ficção. B: Carla lê revistas de moda. C: Carla lê jornais. 19) (CESPE) Assinale a opção correspondente à tradução adequada e correta para a proposição composta apresentada acima, referente a uma personagem fictícia denominada Carla, considerando-se ainda as proposições A, B e C acima definidas. A) Carla lê livros de ficção e revistas de moda, mas não lê livros de ficção ou lê jornais. B) Carla lê somente livros de ficção e revistas de moda, e não lê jornais. C) Carla lê livros de ficção e revistas de moda, ou ela não lê livros de ficção e jornais. D) Carla lê livros de ficção e revistas ao mesmo tempo, e não lê livros de ficção nem jornais.

20) A negação da proposição “Todo A é B” é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) nenhum A é B. c) algum B é A. d) nenhum B é A. e) algum A não é B. 21) A negação da proposição “Nenhum A é B” é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) algum A não é B. c) algum B não é A. d) nenhum B é A. e) todo A é B. 22) A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é: a) Nenhuma mulher é bonita. b) Todos os homens são bonitos. c) Algumas mulheres são bonitas. d) Algumas mulheres não são bonitas. e) Todas as mulheres não são bonitas.

23)(CESPE) A negação da proposição (¬A ¬B) é equivalente a A) A B. B) ¬(A B). C) A B. D) ¬B A. Uma proposição simples é representada, freqüentemente, por letras maiúsculas do alfabeto. Se A e B são proposições simples, então a expressão A B representa uma proposição composta, lida como “A ou B”, e que tem valor lógico F quando A e B são ambos F e, nos demais casos, é V. A expressão ¬A representa uma proposição composta, lida como “não A”, e tem valor lógico V quando A é F, e tem valor lógico F quando A é V. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes. 24) (CESPE) Considere que a proposição composta “Alice não mora aqui ou o pecado mora ao lado” e a proposição simples “Alice mora aqui” sejam ambas verdadeiras. Nesse caso, a proposição simples “O pecado mora ao lado” é verdadeira. Certo

25) (CESPE) Uma proposição da forma (¬A) (B ¬C) tem, no máximo, 6 possíveis valores lógicos V ou F. Errado

26) Dividir o número 180 em três partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. a) 40, 60 e 80. b) 40,50 e 80. c) 60, 70 e 70. d) 80, 40 e 40. e) 80, 40 e 50.

27) Dividir o número 380 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 5 e 4 . a) 80, 125 e 175 b) 100, 80 e 200 c) 200, 80 e 100 d) 80, 130 e 170 e) 130, 150 e 170

28) 24 operários fazem um serviço em 20 dias. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo serviço? a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16

29) 24 operários fizeram 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído em uma hora por dia? a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18 30) Uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 10% cada um. O desconto equivalente que aplicado ao preço inicial dá o mesmo resultado que os descontos sucessivos é: a) 15%. b) 18%. c) 19%. d) 20%. e) 21%.

31) O preço de um produto aumentou de R$ 1.500,00 para R$1.575,00. Qual foi a taxa de variação percentual do preço? Resposta: 5%

32) O preço da passagem de ônibus no mês de setembro era R$ 3,60, e em outubro passou para R$ 4,00. Qual foi a variação percentual do aumento da passagem? Resposta: 11,11%

33) O preço do dólar no mês julho era de R$ 2,45, em agosto passou a ser R$ 1,96. Qual foi a variação percentual no mês? Resposta: -20%

Uma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 empregados, e a razão entre o número de homens e mulheres é, nessa ordem, igual a . A propósito dessa situação, julgue os itens a seguir.

34) (CESPE) O número de mulheres no quadro de pessoal dessa empresa é superior a 38. Errado

35) (CESPE) Ao se somar do número de mulheres a 75% do número de homens dessa empresa, obtém-se um número racional não inteiro. Errado

Cada um dos itens que se seguem contém uma situação, hipotética ou não, relativa a proporções, regras de três, porcentagens, médias e juros simples, seguida de uma assertiva a ser julgada. 36) (CESPE) Em um supermercado, o doce de pêssego é vendido em embalagens de diversos pesos e o preço é diretamente proporcional ao peso estampado na embalagem. Nessa situação, se uma lata de 200 g de doce de pêssego custa R$ 3,40, então uma lata de 470 g desse mesmo doce custa mais de R$ 8,00. Errado

37) (CESPE) O preço das passagens dos ônibus urbanos de uma cidade passou de R$ 1,90 para R$ 2,40, e os guardas municipais, que tinham salário de R$ 866,00, solicitaram ao prefeito um reajuste salarial na mesma proporção do aumento das passagens de ônibus. Nessa situação, se a solicitação for atendida, o salário dos guardas municipais terá um aumento superior a R$ 234,00. Errado

38) (CESPE) Considere que todos os auxiliares de serviço trabalhem com a mesma eficiência e

que 20 deles, trabalhando 3 horas por dia, durante 5 dias façam a limpeza completa das salas de aula da UEPA. Nessa situação hipotética, 24 desses servidores, trabalhando 2 horas e 30 minutos por dia, farão a mesma limpeza em A) menos de 5 dias. B) 5 dias. C) 6 dias. D) mais de 6 dias. Dados do Corpo de Bombeiros Militar do Estado do Espírito Santo (CBMES) indicam que, dos 1.674 incêndios atendidos pela corporação em 2007 na Grande Vitória, 304 ocorreram em residências. Após o sinistro, geralmente é realizada uma perícia no local incendiado, um procedimento investigatório que tem como objetivo apontar as causas e os agentes do incêndio. Em 2007 foram realizadas 219 perícias no estado do Espírito Santo, sendo que 140 ocorreram em edificações como residências, estabelecimentos comerciais e industriais. A perícia constatou que, desses 140 incêndios investigados, 48 foram causados pela ação humana, sendo 38 intencionais e 10 por

acidente. Os demais foram provocados por ações diversas, como fenômenos termelétricos e descargas atmosféricas.

Internet: <www.cb.es.gov.br> (com adaptações).

Tendo o texto acima como referência, julgue os seguintes itens. 39) (CESPE) Considerando que a proporção entre a quantidade de incêndios atendidos pelo CBMES na Grande Vitória em 2007 e a quantidade de incêndios que ocorreram em residências, nesse mesmo ano, seja a mesma em todos os anos, nessa situação, se, em 2006, dos incêndios que ocorreram na Grande Vitória e foram atendidos pelo CBMES, 456 ocorreram em residências, é correto afirmar que, em 2006, ocorreram menos de 2.500 incêndios na Grande Vitória. Errado

40) (CESPE) Infere-se do texto que em menos de 14% dos incêndios atendidos pelo CBMES em 2007 na Grande Vitória foram realizadas perícias para apontar as causas e os agentes do incêndio. Certo

41) (CESPE) Dos incêndios ocorridos no estado do Espírito Santo em 2007 em que foram

realizadas perícias para apontar as causas e os agentes do incêndio, mais de 35% não ocorreram em residências, estabelecimentos comerciais ou industriais. Certo

42) (CESPE) Se, em 2006, dos incêndios investigados provocados pela ação humana, os números dos que foram intencionais ou acidentais tiverem sido diretamente proporcionais aos de 2007, nessa situação, se dos incêndios investigados em 2006, 72 tiverem sido provocados pela ação humana, então mais de 16 desses incêndios terão sido acidentais e menos de 55, intencionais. Errado

Considere que, da renda líquida mensal de uma família, 20% são destinados ao pagamento da faculdade dos filhos e a metade do que sobra é destinada ao pagamento do aluguel do imóvel onde residem. Considerando também que a renda líquida anual dessa família é proveniente de 12 rendas líquidas mensais e iguais, julgue os itens que se seguem.

43) (CESPE) Anualmente, o equivalente a mais de 7 vezes a renda líquida mensal da família se destina ao pagamento do aluguel e da faculdade dos filhos. Certo

44) (CESPE) Caso a renda líquida mensal da família em questão fosse de R$ 4.600,00, o valor mensal do aluguel do citado imóvel seria inferior a R$ 1.800,00. Errado

45) (CESPE) O preço da gasolina aumentou duas vezes em determinado mês: o primeiro aumento foi de 15% e o segundo, de 20%. Nessa situação, é correto afirmar que, nesse mesmo mês, o preço da gasolina subiu A) 35%. B) 36%. C) 37%. D) 38%.

46) (CESPE) A respeito da equação x2 + mx + m = 0, em que m é um número real, todas as seguintes afirmações são verdadeiras. I) se m = 0, então a equação tem uma única solução; II) se m = 4, então a equação tem uma única solução; III se 0 < m < 4, então a equação não tem nenhuma solução real; IV) para cada valor de m tal que m < 0 ou m > 4, a equação tem duas soluções reais. Certo

47) Para presentear um amigo aniversariante, seus colegas decidiram comprar um presente no valor de R$ 600,00, que seria divido igualmente entre todos. Como cinco deles desistiram, as cotas de cada um ficou aumentada de R$ 10,00. O número final de amigos que se cotizaram na compra do presente foi: a) 10. b) 12. c) 15. d) 20. e) 25.

48) (CESPE) Considere que as cadeias de um município mantenham 160 albergados igualmente distribuídos em cada uma das celas e que, com a reforma de 20 dessas celas, para manter todos os albergados, tenha sido necessário redistribuir para cada uma das celas restantes 4 albergados. Nessa situação, é correto afirmar que a quantidade total de celas nas cadeias desse município é superior a 45 e que, em cada cela, inicialmente, havia menos de 3 albergados. Errado

49) Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de certo antibiótico, no sangue de cobaias, varia de

acordo com a função 2212 xxy −= , em que

x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, o tempo necessário para atingir o nível máximo de concentração desse antibiótico, no sangue dessas cobaias, é: a)3 b)5 c)6 d)12 e)15

Com relação a equações e funções de 1.º e 2.º graus e logaritmos, julgue os itens que se seguem.

50) (CESPE) No sistema de coordenadas cartesianas xOy, considere uma função de 1.º grau y = f(x)=ax+b, em que a <0 e b > 0. Considere também que a área da região triangular compreendida entre o gráfico da f e os eixos coordenados seja igual a 54 unidades de área e que a soma dos comprimentos dos dois lados menores desse triângulo seja igual a 24 unidades de comprimento. Nessa situação, existem duas funções de 1.º grau que cumprem as condições enunciadas e para essas duas funções a+b=15. Errado

51) (CESPE) Considere que, no último mês de janeiro, era possível alugar um bom apartamento em uma pousada, na praia, para até 10 pessoas, por R$ 250 a diária. As refeições nessa pousada, por dia, por pessoa, saíam por R$ 45. Nessa situação, se uma família passou 7 dias do último janeiro em um desses apartamentos, só fez refeições na pousada e, com essas despesas, gastou R$ 3.010, é correto

afirmar que essa família era composta por mais de 5 pessoas. Errado

52) (CESPE) No sistema de coordenadas cartesianas xOy, considere uma função de 2.º grau y = f (x) = Ax2 + Bx + C em que 2 a reta x = -2 é o eixo de simetria do gráfico de f e x = -6 é uma raiz da equação polinomial f(x)=0. Então, necessariamente, a equação polinomial f(x)=0 tem mais uma raiz e essa raiz é um número maior que 1. Certo

53) (CESPE) Cada grupo de empregados do setor de montagem de uma fábrica de veículos recebe gratificação, para ser dividida igualmente entre os membros do grupo, de R$ 150,00 por cada veículo montado, e um grupo de 5 desses empregados, trabalhando durante 6 horas, consegue montar 3 veículos. Além disso a quantidade de trabalho de cada empregado desse setor é a mesma para todos eles. Nessa situação, se um grupo de 15 desses empregados trabalhar durante 4 horas, ao final, cada empregado desse grupo receberá, de gratificação pelos veículos que conseguirem montar, mais de R$ 70,00. Errado

54) (CESPE) Considere que, em um retângulo de área igual a 84 cm2, diminuindo-se 2cm de dois lados paralelos e aumentando-se 5cm dos outros dois lados, obtém-se um novo retângulo, de área igual a 85 cm2. Nesse caso, sabendo que √3481 59, é correto afirmar que, no retângulo original, um dos lados mede menos de 6 cm e o outro mede mais de 13 cm. Errado

55) Calcular o 10º termo da P.A. : 0, 4, 8, 12, 16, ... . 56) Calcular o 9º termo da P.A. : 3, 1, -1, -3, -5, ... . 57) Calcular o número de termos da P.A. : 7, 10, 13, ... 106. 58) Calcular: S = 2 + 7 + 12 + 17 + ... + 102. 59) Calcular a soma dos 20 primeiros termos da seqüência: 5, 0, -5, -10, ...

60) (CESPE) Considere a seguinte situação. Um sargento perfilou, em forma de triângulo, os 840 soldados que estavam sob o seu comando, colocando um soldado na primeira linha, 2 soldados na segunda linha, 3, na terceira linha, e, assim, sucessivamente. No final desse procedimento, ficaram 20 soldados fora de formação.Nessa situação, é correto afirmar que, na formação realizada pelo sargento, havia mais de 42 linhas. Errado

61) (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Foram feitas transferências de presidiários para uma penitenciária, recém-inaugurada, de acordo com o seguinte cronograma: 1 detento chegou na primeira transferência, 2 detentos chegaram na segunda transferência; na terceira, chegaram 4 detentos, e assim sucessivamente, de modo que, a cada nova transferência, chegava uma quantidade de detentos que era sempre igual ao dobro da que chegou na transferência anterior. Nessa situação, se nenhum dos detentos que chegou deixou a penitenciária e se essa penitenciária tem capacidade máxima para 1.200 detentos, então essa capacidade foi atingida e superada na décima transferência. Errado

62) (CESPE) Considere que cada lado de um triângulo equilátero meça 40 cm. Considere, ainda, que, ligando-se os pontos médios dos lados desse triângulo, forma-se um novo triângulo equilátero; nesse novo triângulo, ligando-se os pontos médios de seus lados, forma-se um terceiro triângulo equilátero. Sabendo-se que, na continuidade desse processo, forma-se uma seqüência infinita de triângulos equiláteros, é correto afirmar que a soma dos perímetros dos triângulos dessa seqüência é inferior a 250 cm. Certo

63) (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Em uma penitenciária que albergava 1.000 detentos, foi traçado um plano de fuga. Para que os fugitivos não fossem pegos pelos policiais que faziam a ronda do lado de fora, as fugas aconteceram em intervalos de 15 minutos, da seguinte forma: à 0 hora de domingo, 1 detento fugiu; 15 minutos depois, 3 detentos fugiram, à 0 hora e 30 minutos, outros 5 detentos fugiram, e assim sucessivamente. Quando restavam 424 detentos ainda dentro da penitenciária se preparando para a fuga, o plano foi descoberto e nenhum destes conseguiu se evadir. Nessa situação, o último conjunto de

detentos que conseguiu se evadir era formado por mais de 50 elementos. Errado

Com relação a progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG), julgue os seguintes itens. 64) (CESPE) Considere que, em uma PA, a soma do primeiro termo com o último termo corresponda a 2% da soma de todos os termos dessa progressão. Nesse caso, a progressão tem mais de 120 termos. Errado

65) (CESPE) Considere que, em uma PA, o 5.º termo é igual a 12 e o último termo, o vigésimo, é igual a 32. Nessa situação, a soma dos termos dessa PA é superior a 380. Certo

66) (CESPE) Considere que S=1+4+16+64+256+...+4N. Nesse caso, se

1 , então

. Certo