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8/10/2019 Matematica e Musica Structures Boulez http://slidepdf.com/reader/full/matematica-e-musica-structures-boulez 1/42 “Quaderni di Ricerca in Didattica”, n16, 2006. G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy) D. Galante, Le matrice come espressione delle isometrie nel procedimento… 61 Le matrici come espressione delle isometrie nel procedimento compositivo di Pierre Boulez: La serialità integrale in Structures I  per due pianoforti. Proposte didattiche Daniela Galante 1  Sommario Il rapporto fra la matematica e la musica ha radici lontane e le trasformazioni geometriche hanno avuto un ruolo importante e per certi aspetti fondamentale nello sviluppo del linguaggio della musica occidentale. Col presente lavoro metto in evidenza, nell’ambito dell’interdisciplinarietà, alcuni aspetti  paralleli tra la matematica e la musica contemporanea. Oggetto d’indagine sono le trasformazioni geometriche, applicate ad una serie di dodici suoni, manifestate attraverso delle matrici e l’utilizzo che ne fa Pierre Boulez in Structures I  per due  pianoforti. L’obiettivo dell’autore, consiste nel creare un nuovo linguaggio della musica in grado di annullare l’  Io creatore attraverso la matematizzazione del processo compositivo.  Nella seconda parte vengono presentate alcune proposte didattiche dal momento che il contenuto del presente lavoro è già inserito nei piani di studio per l’insegnamento della matematica e della musica nei licei Musicali, nei licei Socio-Psico-Pedagogico e nei corsi di Laurea Universitari dei Conservatori di Musica. Abstract The relationship between mathematics and music has distant origins and the geometrical transformations have had an important role and for certain aspects fundamental in the development of the language of western music. Whit this work I would like to emphasize, through an interdisciplinary approach, some parallels aspects between mathematics and contemporary music. Object of the investigation are the geometrical transformations, applied to a set of twelve sounds, expressed through some matrix and the use which Pierre Boulez makes of them in Structures I for two pianos. The scope of the author, consists in the creation of a news music language able to undo the “I” creator through the mathematization of the composition process. In the end are proposed some possible didactical applications since the contents of this work is already insert in the study plan for the teaching of mathematics and of music in the Musical secondary school, in Socio – Psico – Pedagogico secondary school and in the University Degree courses of the Conservatoires of Music. Résume Le rapport entre la mathématiques et la musique a des racines lointains et les transformations géométriques ont eu un rôle important et pour certains aspects fondamental dans le développement du langage de la musique occidental. Avec ce travaille je met en évidence, dans le domaine de l’ interdisciplinarité, quelques aspects parallèles entre la mathématiques et la musique contemporaine. Objet d’enquête sont les transformations géométriques, appliqué à une série de douze sons, manifestées à travers des matrices et l’utilisation qu’en fait Pierre Boulez en Structures I pour deux  pianos. L’objectif de l’auteur, consiste dans le création d’un nouveau langage de la musique capable d’annuler le « Moi » créateur à travers la mathématisation du procès composant. Dans la dernière partie viens proposées quelques possibles applications didactiques étant que le contenu de ce travaille est déjà introduit dans les plain d’étude pour l’enseignement de la mathématique et de la musique dans les lycées musicaux, dans les lycées Socio – Psico – Pedaogico et dans les cours des Licences Universitaire des Conservatoires de Musique. 1  Componente del G.R.I.M., Dipartimento di Matematica ed Applicazioni, Università di Palermo.

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D. Galante, Le matrice come espressione delle isometrie nel procedimento… 61

Le matrici come espressione delle isometrie nel procedimento compositivo di PierreBoulez: La serialità integrale in Structures I  per due pianoforti. Proposte didattiche 

Daniela Galante1 

SommarioIl rapporto fra la matematica e la musica ha radici lontane e le trasformazioni geometriche

hanno avuto un ruolo importante e per certi aspetti fondamentale nello sviluppo del linguaggio dellamusica occidentale.

Col presente lavoro metto in evidenza, nell’ambito dell’interdisciplinarietà, alcuni aspetti

 paralleli tra la matematica e la musica contemporanea.

Oggetto d’indagine sono le trasformazioni geometriche, applicate ad una serie di dodici suoni,manifestate attraverso delle matrici e l’utilizzo che ne fa Pierre Boulez in Structures I   per due

 pianoforti. L’obiettivo dell’autore, consiste nel creare un nuovo linguaggio della musica in grado di

annullare l’ Io creatore attraverso la matematizzazione del processo compositivo. Nella seconda parte vengono presentate alcune proposte didattiche dal momento che il

contenuto del presente lavoro è già inserito nei piani di studio per l’insegnamento della matematica e

della musica nei licei Musicali, nei licei Socio-Psico-Pedagogico e nei corsi di Laurea Universitari deiConservatori di Musica.

AbstractThe relationship between mathematics and music has distant origins and the geometrical

transformations have had an important role and for certain aspects fundamental in the development of

the language of western music.

Whit this work I would like to emphasize, through an interdisciplinary approach, some parallelsaspects between mathematics and contemporary music.

Object of the investigation are the geometrical transformations, applied to a set of twelvesounds, expressed through some matrix and the use which Pierre Boulez makes of them in Structures Ifor two pianos. The scope of the author, consists in the creation of a news music language able to undo

the “I” creator through the mathematization of the composition process.

In the end are proposed some possible didactical applications since the contents of this work is

already insert in the study plan for the teaching of mathematics and of music in the Musical secondaryschool, in Socio – Psico – Pedagogico secondary school and in the University Degree courses of the

Conservatoires of Music.

RésumeLe rapport entre la mathématiques et la musique a des racines lointains et les transformations

géométriques ont eu un rôle important et pour certains aspects fondamental dans le développement du

langage de la musique occidental. Avec ce travaille je met en évidence, dans le domaine de l’interdisciplinarité, quelques aspects parallèles entre la mathématiques et la musique contemporaine.

Objet d’enquête sont les transformations géométriques, appliqué à une série de douze sons,manifestées à travers des matrices et l’utilisation qu’en fait Pierre Boulez en Structures I pour deux

 pianos. L’objectif de l’auteur, consiste dans le création d’un nouveau langage de la musique capable

d’annuler le « Moi » créateur à travers la mathématisation du procès composant.Dans la dernière partie viens proposées quelques possibles applications didactiques étant que le

contenu de ce travaille est déjà introduit dans les plain d’étude pour l’enseignement de la mathématique

et de la musique dans les lycées musicaux, dans les lycées Socio – Psico – Pedaogico et dans les cours

des Licences Universitaire des Conservatoires de Musique.

1 Componente del G.R.I.M., Dipartimento di Matematica ed Applicazioni, Università di Palermo.

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INTRODUZIONE

Il rapporto fra la matematica e la musica ha radici lontane e le trasformazioni geometriche

hanno avuto un ruolo importante e per certi aspetti fondamentale nello sviluppo del linguaggio dellamusica occidentale. Infatti, le trasformazioni geometriche sono state utilizzate nelle tecniche

compositive fin dal XII sec quando mosse i suoi primi passi la musica polifonica e l’affermazione delmodello tonale, unitamente allo sviluppo del contrappunto, favorì nei secoli XVII e XVIII un’ulteriore

affermazione e divulgazione del procedimento compositivo basato sui principi delle trasformazioni

geometriche2. 

L’arte contrappuntistica, e di conseguenza l’impiego di trasformazioni geometriche del tema

 principale, attraversò un periodo di declino dalla seconda metà del XVIII sec. alla fine del XIX sec. e a parte qualche sporadico caso

3, dobbiamo aspettare il XX sec. per trovare di nuovo degli esempi di

strutture geometriche applicate alla musica. L’uso delle trasformazioni geometriche viene ripreso in

maniera del tutto nuova dalla scuola dodecafonica di Vienna e dalle avanguardie che la seguirono.

Il presente lavoro, che si ricollega a un precedente articolo (Galante 1999), prende in esamel’impiego delle trasformazioni geometriche in Structures I  di Pierre Boulez (Montbrison, Loire 1925),

compositore e direttore d’orchestra francese, il quale compì anche studi di matematica; lo scopo è

quello di offrire un contributo alla decodificazione, comprensione e interpretazione di quella parte di

repertorio pianistico solistico contemporaneo di difficile fruizione, per chi esegue e per chi ascolta,dovuta proprio alla sua quasi esclusiva matematizzazione.

IL CONTESTO STORICO E LA MATEMATIZZAZIONE DEL PROCESSO COMPOSITIVO

Il sistema tonale, che aveva dominato per circa due secoli la tecnica compositiva occidentale,

era giunto nel tardo Ottocento a un'irrimediabile saturazione. Ci si era spinti sino ai confini dellatonalità (si pensi al Tristano e Isotta di Wagner) con l'uso eccessivo del cromatismo che mina fin dalle

fondamenta le funzioni e la gerarchia dei gradi armonici, contribuendo a spaccare il sistema tonale

tradizionale dato che al suo interno tutte le strade erano state esplorate.Urgeva cercare nuove possibilità musicali e gli anni a cavallo fra Ottocento e Novecento,

caratterizzati proprio da tale ansia di rinnovamento, vennero quindi percepiti dai contemporanei come

 periodo della "Musica Moderna".

Le vie d'uscita dalla tonalità erano ovviamente molteplici.Alcuni compositori non si allontanarono troppo dalla tonale terra d'origine: essi compirono solo

alcune sortite nel territorio circostante per acquisire materiali musicali ancora incontaminati. Ad

esempio, Musorgskij, Janàcek, Bartòk e in parte Stravinskij attinsero al folklore dei loro paesi, mentre

Debussy si rivolse al patrimonio musicale orientale e all'antica modalità ecclesiastica. Altri invece,come Schömberg e i suoi allievi Berg e Webern, si incamminarono decisamente verso strade nuove:

tagliando tutti i ponti con il passato tonale essi giunsero ad una completa atonalità, anche per mezzo del

sistema dodecafonico.In qualsiasi direzione si muovessero, dentro o fuori dalla tonalità i compositori tendevano

comunque a procedere in piccoli gruppi, dietro un leader   riconosciuto ed esprimendo spesso le loro

idee in un manifesto programmato. Così avremo i Cinque russi, i futuristi italiani, la Seconda scuola di

2 La Nuova Enciclopedia della Musica Garzanti,  La Musica Colta Occidentale, pp.836-867; Contrappunto,  pp.180,181.

L’affermazione va considerata come deduzione storica.3 Maurizio Clementi (1752-1832) Gradus ad Parnassum, numeri 33 e 73; troviamo applicato il Canone diretto a 4 voci e

quello per moto contrario.

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Vienna, la scuola di Darmstadt, e via seguendo con gruppi e gruppuscoli della musica contemporanea;

il confine della "Nuova Musica" può essere tracciato intorno all'anno 1910, quando Schömberg e la suascuola scrissero le prime composizioni concepite nell’ambito di un nuovo sistema, la dodecafonia,

 basata sulle 12 note della scala cromatica (che non sono in rapporto gerarchico tra loro, come avvenivanell’armonia classica); le loro composizioni erano caratterizzate dal principio della serie

4.  Tale

 principio si basa su una successione rigorosamente preordinata e invariabile di suoni, detta appuntoserie: l’unico rapporto che lega i suoni tra loro dipende dalla regola fondamentale per cui non si può

ripetere una nota finché non siano state impiegate le altre 11. Fermi restando i rapporti di intervallo

 propri della serie, la disposizione dei suoni può essere mutata mediante i procedimenti di inversione(riflessione rispetto all’asse x), retrogradazione (riflessione rispetto all’asse y), retrogradazione

dell’inversione (riflessione rispetto all’origine).La generazione uscita dagli orrori della seconda guerra mondiale volle rinnegare tutto il

linguaggio musicale che l’aveva preceduta e ripartire da zero. Poiché, naturalmente, ciò non è

letteralmente possibile, i giovani compositori del dopoguerra ricavarono la loro parte di eredità un po'

dalla corrente "tedesca", un po' da quella "francese"; in ogni caso, però, cancellarono qualsiasi cosa potesse avere sapore di retorica e di soggettivismo romantico. Ecco allora che l' Io  creatore venne

sostituito, per la prima volta in modo quasi esclusivo, dal calcolo numerico o addirittura dal caso e agli

strumenti suonati dall'uomo si affiancarono suoni e rumori registrati o creati elettronicamente.

L’operazione più radicale in questa direzione fu compiuta da Pierre Boulez. Nel 1952, in uncelebre articolo intitolato Schöenberg è morto, accusa la dodecafonia schönberghiana di essersi limitata

a serializzare le altezze ed invita, sviluppando alcune intuizioni di Webern, ad estendere ad altre

componenti del suono (durata, intensità, timbro) la tecnica compositiva della musica seriale. Laserialità integrale, spezzando tutti i nessi tradizionali, rispondeva anche a un’esigenza di carattere più

generale. Così come l’Europa intera cercava di scrollarsi di dosso i ricordi del recente incubo, anche i

musicisti sentivano il bisogno, come già detto, di ripartire da zero: era necessario tagliare tutti i ponti

con il passato, impiantare la musica su basi totalmente diverse da quelle del soggettivismo romantico,come se mai nulla fosse stato composto.

Boulez, nella prima delle tre parti di Structures I  per due pianoforti – come sarà spiegato fra

 poco – vuole raggiungere proprio il “grado zero” della composizione, annullando del tutto non solo lasoggettività emotiva dell’autore, ma anche, per ciò che è possibile il suo stesso agire compositivo: dati

alcuni elementi di partenza (e anche questi non di sua creazione, ma estratti dal  Mode di Messiaen5),

Boulez applica le trasformazioni geometriche attraverso una rigidissima griglia numerica espressa in

forma di matrice che gli impone pressoché tutte le scelte compositive. Il risultato è emotivamenteraggelante: poiché tutto è serializzato (altezze, intensità, dinamiche, tipi di attacco), e quindi nulla può

ripetersi finché la serie a cui appartiene non è interamente trascorsa; l’orecchio e la memoria non hanno

 più niente a cui aggrapparsi6, e l’ascoltatore galleggia in balia di eventi sonori imprevedibili. Ma

contemporaneamente si tratta del massimo ascetismo possibile: il compositore si annulla, rinuncia al

4 In questo contesto il termine serie va distinto dalla definizione di serie in matematica che indica un algoritmo che a una

successione di numeri o funzioni associa la successione delle somme dei primi n, e, se esiste, il limite di quest’ultima.5 Il compositore francese Olivier Messiaen (Avignone, 1908 – Parigi 1992) fu un importante anello di congiunzione fra le

avanguardie storiche e la <<nuova musica>> del secondo dopoguerra. Maestro di P. Boulez, a Damstadt, nel 1949-50scrisse  Mode de valeures et d’intensitès, uno dei Quatre études de rythme per pianoforte. Questa composizione utilizza,

secondo quanto specifica lo stesso autore, un Modo (dunque non una serie) composto da trentasei altezze, ciascuna associata

indissolubilmente a un certo valore ritmico (cioè a una durata), a un certo segno dinamico (cioè a una certa intensità) e a un

determinato tipo d’attacco (ossia a un colore timbrico). Il che spiega il titolo del lavoro.6 A differenza di quanto avviene col sistema tonale, nella musica seriale sono assenti le funzioni gerarchiche dei gradi e

degli accordi all’interno delle scale, i rapporti fra sistema maggiore e minore, il concetto di consonanza e dissonanza e la

 percezione del senso del movimento e del riposo.

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suo “ Io” creatore per consegnarsi alla spietata razionalità delle trasformazioni geometriche riassunte in

matrici dove il numero contiene il suono nella sua dimensione completa.Con questa composizione Boulez raggiunge ciò che egli stesso definisce, i <<limiti della terra

fertile>>7  : più in là non si può più andare. E già dalla seconda e dalla terza parte di Structures I , ilmusicista francese inizia a ricostruire una “discorsività” umana; ora sente di poterlo fare proprio perché

nella prima parte ha tagliato ogni ponte dietro di sé.Ovviamente non aveva alcun senso ripetere ancora questo temerario esperimento: gli altri

compositori, come del resto lo stesso Boulez, limitarono la loro serialità integrale essenzialmente al

trattamento delle altezze e delle durate, lasciandosi liberi di gestire a proprio arbitrio le altrecaratteristiche sonore.

STRUCTURES I PER DUE PIANOFORTI:IL MATERIALE PRE-COMPOSITIVO E LE MATRICI

La continuità con l’esperienza del  Mode di Messiaen è esplicitamente invocata da Boulez nel primo libro delle sue Structures per due pianoforti (1951-52)

8. Questa composizione, infatti, è costituita

da tre pezzi, il primo dei quali utilizza la serie di dodici note corrispondenti alla prima parte del modo

di altezze presente nel Mode di Messiaen.La tecnica compositiva del primo pezzo di Structures I  è tale da ridurre al minimo (anche se non

da abolire del tutto, come vedremo) i possibili interventi arbitrari del compositore, visto che questi, a

suo stesso dire, si poneva due obiettivi fondamentali: <<eliminare assolutamente dal […] vocabolarioogni traccia di eredità>>, quasi a ripartire da un “grado zero” di alfabetizzazione stilistica e <<unificare

gli aspetti della lingua rimasti, fino ad allora, in uno stato di contraddizione>>9, di modo che tutti questi

aspetti fossero organizzati secondo un medesimo principio.

Questi scopi sono perseguiti attraverso procedimenti complessi. Innanzitutto viene stabilita perciascuna delle componenti musicali (altezze, durate, intensità, tipi d’attacco) una gamma di elementi

 ben distinti: 12 altezze di una serie, 12 durate diverse, 12 intensità diverse, e 10 tipi d’attacco10

; ad ogni

altezza è associata indissolubilmente una precisa durata, un livello dinamico e un tipo d’attacco;

ciascun elemento viene quindi associato a un numero. Ciò dà origine a una nuova dimensionelinguistica della musica che stabilisce il campo di possibilità sonore entro cui il compositore può

operare le sue scelte. La novità consiste nel fatto che qui si tratta di un serie multi dimensionale o

integrale11

, proprio perché per ciascun elemento non è specificata soltanto l’altezza, ma anche la durata,

l’intensità e il timbro. In altre parole il numero racchiude in sé il suono inteso nella sua dimensionecompleta di altezza, durata, intensità e timbro (Tabella 1).

7  Ai limiti della terra fertile  è un articolo pubblicato su “Die Reihe” nel 1955, e poi inserito nel volume  Note

d’apprendistato,  riguardante il rapporto tra la nozione di tempo propria della musica strumentale e quella propria dellamusica elettroacustica. 8 Questa composizione è stata più volte rimaneggiata in seguito. Al primo libro se ne aggiungerà un secondo, composto da

due pezzi, circa un decennio dopo.9 Pierre Boulez, Pensare la musica oggi, Torino, Einaudi, 1979, p. 19110

 L’analisi che il compositore György Ligeti ha condotto su Structures I   è pubblicata nel periodico <<Die Reihe>>, 4 (ed.

inglese 1960, originale 1958), pp. 36-62.11 Qui il termine integrale è sinonimo di intero e totale perché si riferisce ai quattro parametri del suono (altezza, durata,

intensità e timbro o tipo d’attacco); esso va distinto dall’integrale matematico ∫ dx x f  )(  che è l’insieme formato da

tutte le primitive di  f(x).

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La tabella 1 mostra la corrispondenza istaurata tra i numeri da 1 a 12 e i parametri del suono adessi abbinati. Le altezze sono costituite, come abbiamo già detto, da una serie dodecafonica

corrispondente alla prima parte del modo di altezze utilizzato nel  Mode di Messiaen. I valori di durata

sono ottenuti moltiplicando il valore base di 1/32 per ciascuno dei numeri interi fino a 12. Le intensitàsono costituite da 12 indicazioni dinamiche comprese e ordinate tra pppp e ffff. I tipi d’attacco prescelti sono solo 10, infatti ai numeri 4 e 10 non ne corrisponde alcuno.

Tabella 1- Tabella che mostra l’attribuzione di un valore numerico a ciascuno degli elementi

costituenti le caratteristiche del suono (altezze, durate, intensità, tipi d’attacco) nel primo pezzo del

volume I di Structures per due pianoforti di Pierre Boulez.

Una volta stabiliti i “mattoni” da utilizzare nel suo edificio musicale, il compositore ha deciso di

limitare ulteriormente la propria libertà di scelta. Tali mattoni vengono dunque disposti nel tempo nonarbitrariamente, ma secondo un progetto preciso, costituito da due tabelle numeriche o matrici.

Vedremo ora come queste matrici sono ottenute (sempre a partire dalla serie di Messiaen) e poi

come Boulez la utilizza.

Per organizzare le altezze in Structures I  Boulez utilizza le seguenti trasformazioni geometricheapplicate alla serie Originale: riflessione rispetto all’asse x ossia Retrogrado, riflessione rispetto

all’asse y ossia Inverso, riflessione rispetto all’origine ossia Inverso del Retrogrado (O, R, I, IR)12

. La

serie originale inoltre viene traslata rispetto all’asse y (Figure 1a e 1c). Le traslazioni della serie sono

disposte secondo un ordine particolare, cioè in modo che la prima nota di ogni traslazione corrispondealla successione delle note della serie O1. Dunque la serie originale (O1) parte dal mib13

  ; la primatraslazione (O2) partirà dal re, la seconda (O3) dal la, la terza (O4) dal lab ecc. (Figura 1a).

 Nell’esempio della figura 1a, a ciascuna nota è stato sovrapposto il numero d’ordine che essa

aveva nella serie O1. Così al re corrisponde sempre il 2, al la il 3, al lab il 4, e così via. Dunque ad ogni

12  Per Retrogrado (R) si intende una serie costituita dalle stesse note, alla stessa altezza, di quella originale in una

successione di suoni a ritroso: essa inizia dall’ultima nota della serie originale per concludere con la prima. Per Inverso (I) si

intende una serie in cui vengono invertiti gli intervalli; ciò vuol dire che l’intervallo discendente diventa ascendente e

viceversa mantenendo inalterate le distanze. Per Inverso del Retrogrado (IR) si intende una serie in cui si invertono gli

intervalli della serie originale e si procede a ritroso.13 La particolare tecnica con cui sono costituite le matrici di Structures consiglia di denominare la serie originale O1 e non

O0 , a differenza di quanto fanno di solito i teorici della musica dodecafonica.

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traslazione della serie corrisponde una successione di numeri diversa: alla prima traslazione (O2, quellache parte da re) corrisponde la successione numerica 2, 8, 4, 5, 6, …; alla seconda traslazione (O3, che

 parte da la) corrisponde la successione, 3, 4, 1, 2, 8, ecc..

Se adesso prendiamo il piano ( x, y) e riportiamo sull'asse x lo scorrere del tempo (senza alcunaindicazione metronomica perché, come abbiamo già detto, ad ogni suono della serie è

indissolubilmente legata una durata) e sull'asse y l'altezza del suono in ordine crescente dal più grave al più acuto secondo l’ordine della scala cromatica, otteniamo una rappresentazione grafica mediante

quadretti che indicano l'altezza assoluta di ogni suono della serie.. Così facendo una qualsiasi serie può

essere rappresentata da una legge f in modo che y = f ( x).

Figura 1a - Prime trasposizioni della serie di altezze, originale (O) e invertita (I) di Structures I per

due pianoforti di Pierre Boulez, ordinate rispettivamente secondo la successione delle note della serie

O1 e I 1. A ciascuna altezza è costantemente associato il numero d’ordine che essa ha nella serie O 1:

mib = 1, re = 2 e così via.

Figura 1b –  Rappresentazione grafica della Serie O1  = Serie Originale; OR1 = Serie retrogrado

dell’Originale (riflessione rispetto all’asse x); I 1  = Serie Inversa dell’Originale (riflessione rispetto

all’asse y); IR1 = Serie Retrogrado dell’Inverso (riflessione rispetto all’origine).    A ciascuna altezza è

costantemente associato il numero d’ordine che essa ha nella serie O1: mib = 1, re = 2 e così via. 

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Di conseguenza, se poniamo come origine del nostro sistema di riferimento, cioè  y  = 0,l'altezza del suono corrispondente ad un sol, (suono di riferimento per la lettura delle note sul

 pentagramma in chiave di violino) possiamo visualizzare le trasformazioni geometriche delle serie

(Figura 1b). Nell’esempio della figura 1b sono rappresentate le trasformazioni geometriche della serie

Originale. In particolare, la serie OR 1 corrisponde alla serie retrogrado dell’Originale, la serie I1  siriferisce alla serie Inversa dell’Originale, e la serie IR 1 indica la serie Retrogrado dell’Inverso della

serie Originale. L’esempio successivo (Figura 1c) mostra le trasformazioni geometriche della prima traslazione

della serie Originale, ossia O2. In questo caso la serie OR 2  corrisponde alla serie Retrogrado della

traslazione O2, la serie I2 si riferisce alla serie Inversa della traslazione O2, e la serie IR 2 indica la serieRetrogrado dell’Inverso della serie O2. 

Figura 1c –  Rappresentazione grafica della Serie O2  = Serie Traslata dell’Originale, serie OR2 =

Serie retrogrado della traslazioneO2  (riflessione rispetto all’asse x);serie  I 2  = Serie Inversa

dell’Originale (riflessione rispetto all’asse y); serie IR2 = Serie Retrogrado dell’inverso  di O2 

(riflessione rispetto all’origine).  A ciascuna altezza è costantemente associato il numero d’ordine che

essa ha nella serie O1: mib = 1, re = 2 e così via. 

A questo punto Boulez mette in ordine l’intera gamma delle successioni numeriche

corrispondenti alle dodici traslazioni della serie Originale (O) e della serie Inversa (I) ottenendo le due

matrici riportate nella tavola 1.

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A BTavola 1 –  Matrici ottenute tramite la traslazione delle serie Originale (O) e Inversa (I) del primo

 pezzo di Structures I per due pianoforti di Pierre Boulez.

Come si vede, nella matrice a sinistra (A) la colonna di numeri (1, 2, 3, 4, ….12, corrispondentialla successione delle note di ciascuna serie), riproduce esattamente l’ordine dei numeri del primo

 pentagramma a sinistra (corrispondenti alle note della serie O1). Lo stesso principio vale per l’altra

matrice (B) che riproduce esattamente l’ordine dei numeri del primo pentagramma a destra

(corrispondenti alle note della serie I1) (Figura 1a).L’analisi matematica delle due matrici ci consente di affermare che effettuando le traslazioni di

una serie si ottiene una matrice simmetrica ossia tale che la matrice di partenza coincide con la sua

trasposta14

; in simboli A =tA.

La matrice B, ossia la matrice degli inversi, si ottiene matematicamente ripetendo le permutazioni della prima serie; di conseguenza se mettiamo a confronto la serie originale O1 e la serie

inversa I1 ci rendiamo conto che vi sono degli elementi che permutano (2 con 7; 4 con 10; 5 con 12; 6

con 9; 8 con 11) e degli elementi che restano invarianti (1 con 1 e 3 con 3). Possiamo schematizzarequanto detto col seguente schema:

1↔1 2↔7 3↔3 4 10↔   5↔12 6↔9 8↔11

Ecco dunque ottenute le matrici di partenza.Ma come se ne serve il compositore nella stesura del pezzo?

MATEMATIZZAZIONE E SERIALIZZAZIONE DI TUTTE LE COMPONENTI MUSICALIIN STRUCTURES I

Mentre nei secoli precedenti l’uso delle trasformazioni geometriche nel processo compositivo,sia vocale che strumentale, era determinato dalla libera scelta del compositore che in ogni momento

della composizione stabiliva quale trasformazione geometrica scegliere (sottolineando che essa era

riferita soltanto alle altezze dei suoni) e ad essa quali durate, intensità e timbri abbinare, nella serialitàintegrale di Boulez la logica del processo compositivo viene stabilita nella scelta del materiale pre-

compositivo e il compositore si può paragonare a colui che si mette da parte per assistere alla nascita,

sviluppo, e definizione dell’opera d’arte come se essa fosse immersa in un processo biologico.Boulez, nel perseguire l’obiettivo di annullare l’ Io creatore, affida il processo compositivo alla

spietata logica della combinazione numerica delle matrici (dove ogni numero rappresenta tutte le

14 Chiamiamo matrice trasposta di una (m,n)-matrice A = ija , (i =1,…m); j = 1,…,n) la (n,m)-matrice indicata con tA,

ottenuta da A scambiando righe e colonne tra di loro.

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caratteristiche del suono) e di conseguenza la successione delle serie procede secondo un progetto ben preciso basato sul confronto speculare delle due matrici, ognuna delle quali è abbinata a un pianoforte.

Le altezze.Il primo pianoforte esegue le traslazioni della serie O incluse nella prima matrice. Queste

traslazioni però, non vengono utilizzate nella normale successione dall’alto in basso, ma in modo che lasequenza delle note iniziali delle traslazioni dia come risultato la serie I1 (Figura 1a): mib, mi, la, sib, 

ecc. Dunque la prima traslazione prescelta per il primo pianoforte sarà quella iniziante da mib, indicata

con la lettera a nella tavola 1 (1= mib, 2 = re, 3 = la, ecc.; si verifichi la corrispondenza numero/notanella tabella 1 e la realizzazione musicale nella Figura 2); essa occupa la parte del primo pianoforte per

le prime sette misure del pezzo. La seconda traslazione, sempre del primo pianoforte, (Figura 3, misura8 e seguenti, pentagramma superiore, quindi solo mano destra) è quella iniziante da mi indicata con la

lettera b nella tavola 1 (7 = mi, 1 = mib, 10 = sib, ecc.); contemporaneamente la mano sinistra, sempre

del primo pianoforte, esegue la terza traslazione indicata con la lettera c nella tavola 2 (3 = la, 4 = sol#  

ossia lab, 1 = re# , ossia mib, e cosi via).Al secondo pianoforte, specularmente, sono affidate le serie di altezza incluse nella seconda

matrice. La loro successione è stabilita in base alla successione delle note che compare nella serie O 1 

(Figura 1): mib,  re,  la,  lab,  ecc. Anche qui nella tavola le prime serie a comparire sono indicate

nell’ordine con a, b, c, ecc. In particolare, la prima traslazione (Tavola 1, matrice a destra, Figura 3,misure 1-7) è quella iniziante con la lettera a (1 = mib, 7 = mi, 3 = la, ecc). La seconda traslazione,

sempre del secondo pianoforte, (Figura 3, misura 8 e seguenti, pentagramma superiore, quindi solo

mano destra) è quella iniziante da b  (Tavola 1, matrice a destra; 2 = re, 1 = mib, 4 = sol#  ossia lab,ecc.); contemporaneamente la mano sinistra, sempre del secondo pianoforte, esegue la terza traslazione

indicata con c nella Tavola 2 (3 = la, 10 = sib,  1 = mib, e cosi via).

Quindi a partire della seconda sezione i due pianoforti eseguono contemporaneamente due traslazioni

 perfettamente speculari.

Le durate.Anche per questo parametro il compositore annulla deliberatamente ogni possibilità di scelta

affidandosi ai valori imposti dalle matrici della Tavola 1 che vanno associati ai valori ritmici in base

alle corrispondenze già stabilite (Tabella 1). Stavolta le serie di valori numerici da attribuire alle durate

 per il primo pianoforte sono quelle che compaiono in basso nelle matrici lette da destra a sinistra (R e

IR). La successione delle serie è data in modo che la sequenza dei numeri iniziali di ciascuna serie didurate dia come risultato la serie numerica associata a R  in O1 ( Figura 1a: 12, 11, 10, 9, …,1).

La prima serie da utilizzare è dunque l’ultima in basso nella seconda matrice indicata con a

nella Tavola 1, procedendo a ritroso dall’ultimo numero al primo (abbinando tale successione numerica

ai valori di durata riportati nella Tabella 1 otteniamo: 12 = semiminima puntata; 11 = semiminima piùsemicroma puntata; 10 = semiminima più semicroma, ecc.; si segua la realizzazione musicale nella

Figura 2).

La seconda serie è la penultima in basso, sempre nella seconda matrice, (iniziante con 11),indicata con b e cosi via. Per il secondo pianoforte, ci si serve delle successioni numeriche della prima

Tavola, ordinate secondo la successione IR in I1 (5, 8, 4, 6, …, 1).

Mentre per le altezze si avvicendano dunque le traslazioni di una serie originale, per le durate si

avvicendano le permutazioni di una serie di valori fissi: i valori sono sempre gli stessi ma compaionoin un ordine sempre diverso (ossia per il primo pianoforte le riflessioni rispetto all’origine, per il

secondo pianoforte le riflessioni rispetto all’asse x). La durata complessiva di una tale permutazione

(corrispondente a una serie di altezze) coincide con quella di una sezione del pezzo.

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Dinamiche e tipi d’attaccoProcedimenti simili a quelli delle altezze e delle durate sono usati anche per le dinamiche e per i

tipi d’attacco. Stavolta, il compositore ha deciso di utilizzare la successione dei numeri delle matrici indiagonale (Tavola 2). Le successioni dei tipi di attacco sono evidenziate nella tavola 2 con il fondo

grigio chiaro, quelle delle dinamiche con il fondo grigio scuro.Ciascuna intensità e ciascun tipo d’attacco, però, non viene associato a una singola nota, ma a

un’intera serie di altezze e di durate. Ad esempio, la prima serie di intensità utilizzate per il primo

 pianoforte è quella della diagonale della prima matrice che parte in basso a sinistra (indicata nellaTavola 2 con a ed evidenziata in grigio scuro. 12, 7, 7, ecc.). Essendo il numero 12 corrispondente alsegno dinamico  ffff   (Tabella 1), questo viene mantenuto al primo pianoforte per l’intera sezione

(Figura 2, misure 1 – 7) occupata dall’esposizione della prima serie di dodici altezze e di dodici durate.

Specularmente e contemporaneamente la prima serie d’intensità utilizzate per il secondo pianoforte è

quella della diagonale della seconda matrice che parte in basso a destra (indicato nella Tavola 2 con b 

ed evidenziata in grigio scuro.. 5, 2, 2, ecc.). Essendo il numero 5 corrispondente al segno dinamicoquasi p, (Tabella 1) questo viene mantenuto al secondo pianoforte per l’intera sezione (Figura 2, misure

1-7) occupata dall’esposizione della prima serie di dodici altezze e di dodici durate.

Di conseguenza, essendo il numero 7 il secondo della serie in diagonale (indicata nella tavola 2

con a nella  prima matrice in basso a sinistra ed evidenziata in grigio scuro), la seconda serie di intensitàutilizzata per il primo pianoforte corrisponde al segno dinamico mf  (Tabella 1, figura 3, misure 8-15).

Specularmente e contemporaneamente, essendo il numero 2 il secondo della serie in diagonale (indicata

nella Tavola 2 con b nella seconda matrice in basso a destra ed evidenziata in grigio scuro), la secondaserie di intensità utilizzata per il secondo pianoforte corrisponde al segno dinamico  ppp  (Tabella 1,

Figura 3, misure 8-15).

Boulez continua ad abbinare ad ogni serie le intensità ricavate dalla successione numerica delle

diagonali, ma procede in modo discontinuo. Infatti, l’intensità della terza serie del primo pianoforte nonrisulta abbinata al numero 7 della diagonale, che corrisponde al segno dinamico mf   (tavola 2), bensì al

numero 11 che corrisponde al segno dinamico  fff . Quindi l’autore in questo momento dellacomposizione effettua un salto rispetto alla naturale successione della diagonale. Non sappiamo se

questo modo di procedere è da attribuire al caso o a una precisa volontà dell’autore.

Terminati gli elementi della diagonale, sempre per la scelta delle intensità, Boulez utilizza,

ancora una volta in modo discontinuo, i numeri posti sulle diagonali delle matrici ridotte, ossia lematrici ottenute togliendo 6 righe e 6 colonne alla matrice originale (indicate nella Tavola 2 con la

lettera c per il primo pianoforte e con d per il secondo pianoforte).

Tavola 2 – Matrici in cui sono evidenziate le successioni numeriche utilizzate per le intensità e i tipi

d’attacco nel primo pezzo di Structures I per due pianoforti di Pierre Boulez.

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 Per i tipi d’attacco viene utilizzata la successione numerica della seconda matrice che parte in

 basso a destra (indicata nella Tavola 2 con f ed evidenziata in grigio chiaro). In questo caso entrambi i

 primi due numeri sono costituiti dal 12, che corrisponde al legato (Tabella 1). Come per la dinamica, iltipo d’attacco viene mantenuto al primo pianoforte per l’intera prima sezione (Figura 2, misure 1 – 7),ed essendo nuovamente 12 il secondo numero della serie esso si protrae, sempre al primo pianoforte,

nella seconda sezione ma solo per la mano destra (Figura 3, misure 8 – 15). Infatti, la mano sinistra del

 primo pianoforte, sempre nella seconda serie, utilizza il terzo numero della diagonale, ossia 8 che

corrisponde al segno dinamico sfz. Specularmente e contemporaneamente per i tipi d’attacco delsecondo pianoforte viene utilizzata la successione numerica della prima matrice che parte in basso asinistra (indicata nella Tavola 2 con e ed evidenziata in grigio chiaro). Anche in questo caso entrambi i

 primi due numeri sono costituiti dal 5, che corrisponde al normale (Tabella 1). Come per la dinamica, il

tipo d’attacco viene mantenuto al secondo pianoforte per l’intera prima sezione (Figura 2, misure 1 –

7), ed essendo nuovamente 5 il secondo numero della serie esso si protrae, sempre al secondo

 pianoforte, nella seconda sezione ma solo per la mano destra (Figura 3, misure 8 – 15). Infatti la manosinistra del secondo pianoforte, sempre nella seconda serie, utilizza il terzo numero della diagonale,

ossia 11 che corrisponde al segno dinamico sfz. Boulez continua ad abbinare ad ogni serie i tipi

d’attacco ricavati dalla successione numerica delle diagonali, ma procede in modo discontinuo come

 per le intensità.Terminati gli elementi della diagonale, per la scelta dei tipi d’attacco Boulez utilizza, ancora

una volta in modo discontinuo, i numeri posti sulle diagonali delle matrici ridotte, anche queste

ottenute, come per le intensità, togliendo 6 righe e 6 colonne alla matrice originale (indicate nellaTavola 2 con la lettera h per il primo pianoforte e con g per il secondo pianoforte).

Ecco, finalmente, il risultato di tutte queste operazioni combinatorie, l’incipit  del primo pezzo di

Structures I (Figura 2 e 3).

IL PIANO FORMALE DI STRUCTURES I

Questa composizione si configura dunque come un tessuto composto da diversi fili, che

chiameremo “moduli”, ciascuno costituito da una traslazione della serie di altezze e da una

 permutazione della serie di durate; a ciascun modulo (e non a ciascuna nota) corrisponde una propria

intensità e un tipo di attacco. Proprio quest’ultima condizione rende riconoscibili all’ascolto i singoli

moduli, cioè le singole serie di altezze e durate. Poiché per tutte le serie di altezze vengono utilizzatesempre i medesimi valori di durata, anche se permutati, i singoli moduli hanno tutti le stesse

dimensioni: 1 + 2 + 3 + … + 12 = 78 trentaduesimi. Questo valore corrisponde alla durata di ciascuna

sezione. Più moduli (cioè più serie) possono essere sovrapposti, “intrecciati”. Avendo tutti la medesimadurata (78 trentaduesimi), i moduli sovrapposti inizieranno e termineranno simultaneamente

15.

 Nella Tavola 3 è riportato uno schema che sintetizza il piano formale del primo pezzo di

Structures I . Nella riga inferiore è riportato il numero di moduli – ossia di singole serie di altezze edurate – sovrapposte in ciascuna sezione. Si osserva che le sezioni, 14 in tutto, sono distinte l’una

dall’altra per avere differente densità. La densità massima si raggiunge nella quinta e nella

quattordicesima sezione, in cui sono sovrapposti sei moduli; la densità minima si raggiunge nellaquarta e nell’ottava sezione, in cui la trama sonora è ridotta a un’unica linea (e dunque in queste sezioni

uno dei due pianoforti tace).

15 Ciò vuol dire che suoneranno sempre simultaneamente le prime note delle serie che vengono sovrapposte in un dato

momento, ma non le ultime, che hanno ciascuna una durata diversa..

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Figura 2 – Pierre Boulez , Structures I , primo pezzo misure 1-7; al di sopra delle note è indicato il

numero corrispondente ai valori di durata secondo la Tabella 1; sono anche evidenziate le note delledue serie di altezze disposte nel medesimo registro e percorse a più breve distanza.

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Figura 3 – Pierre Boulez, Structures I, primo pezzo misure 8 - 15;

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Tavola 3 – Piano generale del primo pezzo di Structures I per due pianoforti di Pierre Boulez. (M =

Très Modéré; V= Modéré, presque vif; L= Lent). Le corone squadrate hanno durata maggiore.

La differenziazione reciproca tra le sezioni è ulteriormente evidenziata dal compositore cheintroduce tra l’una e l’altra alcune corone e modifica le indicazioni di andamento. Le indicazioni di

andamento usate sono Très Modéré (Molto moderato, abbreviato con M nella Tavola 3),  Modéré, 

 presque vif (Moderato, quasi vivo = V) e  Lent   (Lento = L). Come risulta nella tavola 3, in due casialcune sezioni successive sono raggruppate in “macrosezioni” al cui interno l’andamento si mantiene

invariato e sono evitate le corone. Si tratta delle sezioni seconda, terza e quarta e delle sezioni sesta e

settima.

Il pezzo nel suo complesso è poi diviso in due grandi parti, A e B: nella prima sono usate letraslazioni della serie secondo la successione Originale (O) per il pianoforte 1 e l’Inversione (I) per il

 pianoforte 2; nella seconda parte sono usate le traslazioni secondo il Retrogrado (R) per il pianoforte 1

e l’Inversione del Retrogrado (IR) per il pianoforte 2. Per la serie delle durate, si segue l’ordineopposto: nella prima parte sono usate R e IR, nella seconda O e I.

Si è già detto che le traslazioni delle serie di altezze O nella parte del primo pianoforte sono

ordinate in modo che la successione delle prime note di ciascuna serie dà come risultato l’Inversionedella serie principale (I). Ciò è vero solo per la prima parte del primo pezzo di Structures I. Per quanto

riguarda la seconda parte, la gestione della serie può essere desunta dalla parte superiore della Tavola 4.

Per le durate vale un discorso analogo. La gestione delle serie di durate è riassunta nella parteinferiore della Tavola 4.

Tavola 4 – Schema della disposizione globale delle serie di altezze e di durate nelle due parti del primo

 pezzo di Structures I per due pianoforti di Pierre Boulez.

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Abbiamo visto che dinamiche e tipi d’attacco rimangono invariati all’interno delle singolesezioni. La successione delle dinamiche al primo pianoforte nella prima parte di Structures I è quella

stabilita dalla sequenza diagonale di numeri che nella prima matrice della Tavola 2 abbiamo indicato

con a. Nella stessa prima parte il secondo pianoforte segue le dinamiche secondo la sequenza b stabilitadalla sequenza diagonale di numeri della seconda matrice (Tavola 2). Nella seconda parte del pezzo idue strumenti seguono rispettivamente le sequenze c e d.

Per i tipi d’attacco, nella prima parte i due pianoforti seguono rispettivamente le sequenze

numeriche f  ed e, nella seconda parte le sequenze h e g.

MARGINI DI SCELTA

Dicevamo all’inizio che, per quanto i vincoli tecnico-compositivi attivi in questo lavoro siano

tra i più ferrei cui mai si sia sottomesso un autore occidentale, all’arbitrio soggettivo sono concessi

comunque alcuni margini. Innanzitutto, non è stabilito a priori, e dunque è deciso volta per volta, il

registro in cui ogni singola nota deve comparire16

. L’osservazione delle scelte operate da Boulez inquesto campo rivela particolari interessanti. Quando due moduli vengono sovrapposti, c’è il rischio che

risuonino contemporaneamente o a breve distanza di tempo due note a intervallo di ottava (o di due

ottave, o tre, ecc.); ciò sarebbe in contraddizione con uno dei principi cardine del serialismo. Per evitareun tale inconveniente bisogna disporre le note delle due serie che rischiano di entrare in “collisione

d’ottava” alla medesima altezza: così invece di un intervallo d’ottava si percepisce la ripetizione di una

medesima nota. Il rischio del raddoppio di ottava cresce con il crescere del numero di moduli chevengono sovrapposti e dunque la scelta di mettere le note uguali di moduli diversi alla stessa altezza è

 più frequente dove maggiore è la densità. Il culmine si registra infatti nella sezione V, che è a sei

 parti:qui ciascuna nota compare in un registro definito e solo in quello. Tuttavia un fenomeno analogosi osserva anche in sezioni che non hanno una densità elevata: ad esempio, nella prima sezione ben

nove delle dodici note che compongono ciascuno dei due moduli sovrapposti condividono la medesima

altezza fra un modulo e l’altro: molte più di quante ne occorrerebbero per evitare i raddoppi in ottava

(Figura 4)A sinistra della Figura 4 sono riportate, sovrapponendole come se fossero simultanee, tutte le

note di cui si compone la serie O1, utilizzata al primo pianoforte, nel registro ad esse assegnato nella

 prima sezione del pezzo; a destra sono riportate invece le note della serie I1, utilizzata nella stessa

sezione per il secondo pianoforte (si confronti con la Figura 2). Si osserva appunto che tra le due serie

sono disposte nel medesimo registro 9 note su 12. Bisogna considerare che l’assenza di qualsiasi puntodi riferimento di tipo metrico, ritmico, melodico, armonico, rende la trasparenza del tessuto musicale

quasi assoluta e dunque il semplice ritorno di una nota basta ad attirare l’attenzione dell’ascoltatore.

Ciò è tanto più vero quanto più la percussione delle note ripetute è ravvicinata: è il caso, nella primasezione, dei due do#

4 che si susseguono immediatamente (misura 6) e dei due fa#

4  che sono separati

da una sola nota intermedia (misure 4-5; figura 2 ). Questo aspetto può contribuire a determinare un

certo “addensamento” del materiale musicale in certe zone (qui sarebbero le misure 4-6) che è daaddebitare al compositore, essendo indipendente dall’automatismo delle regole combinatorie

 prestabilite.

16 Riferito agli strumenti in genere e alle voci il registro indica la loro estensione melodica, esso può essere grave, medio o

acuto.

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Figura 4 – Collocazione nei diversi registri delle

note appartenenti alle serie O1  e I1  nella prima

sezione del primo pezzo di Structures I. Le

semibrevi evidenziano le note delle due serie dialtezze che sono poste nel medesimo registro.

La possibilità di gestire liberamente l’uso dei registri dà al compositore la possibilità di

sottolineare o no anche altri tipi di relazioni. Può accadere, infatti, che risultino sovrapposte due serie dialtezze che hanno una certa sequenza di note in comune. Ciò avviene, ad esempio, nella sezione III,

(misure 16-22) in cui sono sovrapposte O10  e O12  (Figura 5a; vedi anche la partitura in allegato): in

entrambe compare la successione di note mi, mib, re. Il fatto che queste successioni di tre note sianostate poste dal compositore nello stesso registro dà luogo a una sorta di imitazione tra le due parti

interessate (Figura 5b).

Figura 5 – a) traslazioni 10 e 12

della serie O. utilizzate nella sezione

 III del I pezzo di Structures I; la

graffa evidenzia la successione di tre

note comune alle due traslazioni; b)

Pierre Boulez, Structures I, primo

 pezzo, misure 17-19, la graffa

evidenzia un accenno di imitazione.

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OBIEZIONI, CRITICHE E CONCLUSIONE

 Non deve stupire, vista la fattura del lavoro di cui ci stiamo occupando, che esso si sia attirato

sin dal suo apparire alcune critiche. Queste si sono appuntate tanto sul versante tecnico-compositivoquanto su quello più propriamente estetico.

Il compositore György Ligeti (Dicsöszentmàrton, Transilvania, 1923, compositore ungheresenaturalizzato austriaco) osservò che Structures I  presenta alcune discrepanze rispetto alle regole

combinatorie stabilite dal compositore17

. La principale consiste nel fatto che la successione delle serie

di durata nella parte A al secondo pianoforte non è completa: delle 12 serie previste ne manca una,mentre un‘altra è ripetuta per due volte

18. Ovviamente non è possibile stabilire se questa, come anche

altre deroghe alla inflessibile “catena di montaggio” del lavoro rintracciate da Ligeti, sia frutto di unasvista o di una deliberata scelta di Boulez..

Ligeti avanzò altre riserve che riguardano la praticabilità di certe prescrizioni della scrittura

 pianistica (ad. esempio, sulla compatibilità fra indicazioni dinamiche come  pppp e tipi d’attacco come

lo sforzato - staccato). Egli mosse alla composizione anche un’obiezione di stampo diverso: quando sitrasla, come fa Boulez, una serie di altezze, il rapporto intervallare tra le note consecutive rimane

immutata (fatte salve le trasformazioni imposte al materiale melodico tramite la distribuzione delle note

tra i registri); non così quando, come nel caso di Structures I , si  permuta una serie di valori ritmici

stabiliti: il rapporto fra i valori consecutivi, infatti, cambia continuamente in ciascuna permutazione,Dunque la combinazione fra una certa traslazione  delle serie di altezze con una determinata

 permutazione delle serie non corrisponde a un criterio organico di corrispondenza tra le due dimensioni

sonore e può essere tacciata di incongruenza linguistica.Karlheinz Stockhausen (Mödrath, Colonia, 1928, compositore tedesco) in un celebre articolo

19 

aveva già rilevato alcune incoerenze del genere nel metodo che Boulez aveva adottato per articolare

altezze e durate in Structures I . Ad esempio, egli diceva, l’omogeneità della scala utilizzata per le

durate rispetto a quella utilizzata per le altezze risultava solo apparente: infatti, qui tra una durata equella immediatamente inferiore c’è sempre la medesima differenza, (Tabella 1), mentre come si sa,

tra le frequenze di due altezze consecutive – es. la-la#   o  mi-fa – interviene sempre il medesimarapporto20. Dunque l’unificazione del trattamento cui sono sottoposte le diverse componenti musicali in

Structures I  sarebbe solo illusoria.

Ma ancor più radicali sono le riserve espresse dal musicologo e linguista francese di origine

 belga Nicolas Ruwet (Saive 1923 )21

. Egli considera la musica e la lingua come sistemi integrati

costituiti dalla combinazione di diversi sotto-sistemi di organizzazione, ciascuno dotato di un propriofunzionamento. Nella lingua questi sistemi parziali sono quello fonologico, quello grammaticale, quello

semantico, ecc. ; nella musica sono quello attinente la ritmo, quello attinente alle intensità, alle altezze,

ecc. La generalizzazione del principio seriale a tutte le componenti <<significa che si concepiscono i

rapporti fra i diversi sistemi parziali semplicemente sotto la forma del parallelismo, vale adire sotto la forma più primitiva che ci sia>>, mentre << normalmente, in un sistema musicale,

17 Op. cit.

18 Le serie sono rispettivamente IR e IR 3 19 Lo scritto comparve nel 1957 sul terzo numero della rivista <<Die Reihe>>, che in quegli anni costituiva il principale

 forum di discussione sui problemi della “nuova musica”.20  Ad esempio, le frequenze del la la2  e del la# 2  sono rispettivamente di 220 e di 233,1 Hz (approssimate al primo

decimale); le frequenze del la3  e del la# 3  sono rispettivamente 440 e 466,2 Hz; evidentemente la differenza tra le

frequenze è assai diversa: il rapporto, invece tra le frequenze di due note a distanza di semitono è sempre uguale ed è pari a

12 2  21 Esse sono contenute nel saggio Contraddizioni del linguaggio seriale del 1959, la cui traduzione italiana è reperibile in

 Linguaggio, musica, poesia, Torino Einaudi, 1983, pp. 5-24. 

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come in un sistema linguistico (…), i differenti sotto-sistemi sono in rapporti molto più complessi,rapporti di implicazione mutua, di complementarietà, di compensazione, ecc.>>. Dunque l’introduzione

della serie come principio organizzativo generale fu voluta secondo Ruwet <<per mantenere una certa

uniformità nel linguaggio musicale, minacciato dal caos dopo la caduta del sistema di relazionitonali>>

22; ma ha sortito un risultato musicale “artificiosamente primitivo”.

La stesso Boulez spiegò poi il senso dell’operazione costituita dal primo pezzo di Structures I :si trattava di spingere alle estreme conseguenze i presupposti teorici del serialismo, quali che fossero i

risultati musicali ottenuti. In Structures I , afferma Boulez, <<il linguaggio era strettamente murato in

una rete di possibilità decisamente delimitata; (…) persisto a credere che questa esperienza non fufondamentale che nella misura in cui raggiunse direttamente le frontiere dell’assurdità logica (…) Mi

rendevo talmente conto di ciò che, immediatamente dopo aver scritto il pezzo, gli diedi come epigrafeil titolo di un quadro di Paul Klee: Monumento al limite della terra fertile>>

23.

Tutto ciò sottolinea le problematiche insite in una composizione come Structures I , ma non ne

sminuisce l’importanza storica. L’uso delle matrici non solo riduce al minimo il campo delle scelte

concesso al compositore, ma impedisce che nell’ascoltatore si determini qualsiasi sistema di aspettativerispetto a tutte le componenti musicali. Ossia: nella musica fino ad ora erano offerte al pubblico – dove

 più, dove meno – una serie di punti di riferimento per la fruizione dell’oggetto musicale: ritorni

tematici, diverse forme di regolarità metrica o ritmica, relazioni di tipo armonico – tonale, ecc. questi

elementi aiutavano l’interpretazione degli eventi sonori passati e spingevano a operare previsioni suquelli futuri. Persino la serie, nelle intenzioni di Schöenberg, doveva costituire principalmente un

 punto di riferimento di questo tipo, sostituendosi alle scale tradizionali. In Structures I   tutto ciò è

deliberatamente negato: le tecniche che presiedono alla composizione dell’opera sono espressamenteintese a stabilire una serie di eventi totalmente imprevedibili. Questi si succedono, è vero, secondo una

logica combinatoria prestabilita, ma essa è totalmente astratta: ignara, cioè, sia delle capacità percettive

umane che delle proprietà del materiale musicale che va a organizzare.

Quanto detto fino ad ora ci permette di affermare che Structures I  rappresenta una significativarisposta al profondo bisogno di innovazione del linguaggio musicale che nel secondo Novecento i

compositori dell'epoca consideravano inevitabile. Il rapporto fra l' Io  e il  Mondo,  dopo gli orrori delsecondo conflitto mondiale, si alimentava di incomunicabilità e l'artista percepiva un isolamento

sempre maggiore; da qui la scelta della rottura con il passato e con l'eredità della storia per dare vita a

un nuovo linguaggio dove la musica era capace di esprimersi da sola attingendo alla spietata razionalità

del numero che in se racchiude tutte le caratteristiche del suono.Boulez, per rinnovare profondamente il linguaggio della musica, avverte il bisogno di esplorare

nuovi sentieri e in ultima analisi, l’obiettivo di fare tabula rasa con le abitudini inveterate di ascolto e

con qualsiasi eredità delle tecniche di composizione tradizionale può dirsi pienamente raggiunto. Così

l’opera, che viene affidata alla meditazione dell’ascoltatore, destinatario ultimo per qualsiasi artista,

conquista un posto di indiscussa attualità alle soglie del terzo millennio.

22 Op.cit.., pp. 12-13.

23 Da PIERRE BOULEZ, Pensare la musica oggi, cit., pp. 192-193. Abbandonata l’idea di apporre questo titolo al primo

 pezzo di Structures I  Boulez denominerà  Ai limite della terra fertile  un articolo, come già detto, pubblicato su “Die

Reihe” nel 1955. 

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 PROPOSTE DIDATTICHE

Il contenuto del presente lavoro è già inserito nei piani di studio curriculari per l’insegnamentodella matematica e della musica nei licei Musicali, nei licei Socio-Psico-Pedagogico e nei corsi di

Laurea Universitari dei Conservatori di Musica.

Scuola Secondaria Superiore:Liceo delle Scienze Sociali ad indirizzo musicale: cattedre di Matematica e Storia della Musica incompresenza

Il corso di studio quinquennale è attivo da cinque anni presso L’Istituto Magistrale Statale

“Regina Margherita” di Palermo ed è abbinato al Conservatorio di Musica “Vincenzo Bellini” della

stessa città. Nel sistema scolastico italiano, fino ad oggi la formazione professionale del musicista si è

limitata alla pratica strumentale o vocale. Le profonde innovazioni economiche-culturali cui la nostra

società va incontro con ritmi ormai vertiginosi rende necessario da parte dei musicisti un supportoformativo tale da promuovere la crescita culturale unitamente alla preparazione professionale, in grado

di rispondere alla grande sfida del nostro tempo. Questa è la premessa che ha condotto lo scorso 30

 Novembre 2000 il Conservatorio di Musica "V. Bellini" e il Liceo Statale "R. Margerita" a firmare un protocollo d'intesa che impegna le due Istituzioni a garantire alla propria utenza un sistema integrato di

educazione e formazione professionale.

Pertanto il presente lavoro, che è rivolto a un gruppo classe di musicisti in formazione, si prefigge i seguenti obiettivi:

MATEMATICA

- Scoprire le proprietà delle figure geometriche che si conservano quando queste figure sono

soggette a quel particolare tipo di trasformazione che è l’isometria.- Scoprire, sempre per via grafica, i risultati che si possono ottenere combinando varie

isometrie.- Comprendere lo spirito della geometria moderna, secondo l’importanza datole da Klein

MUSICA

- Conoscere la musica colta occidentale del Novecento in prospettiva storica.- Ampliare le esperienze di ascolto musicale sollecitando in particolare la fruizione

analitica.

- Individuare le relazioni che intercorrono tra il contesto storico- culturale - musicale del

 Novecento e quello dei secoli precedenti.

MATEMATICA E MUSICAFinalità:

- Scoprie l’unità della cultura nella diversità dei saperi.

Obiettivi:- Individuare le relazioni che intercorrono fra le isometrie grafiche e quelle sonore.

- Comprendere il fondamentale ruolo che il numero assume nella definizione del materiale

 precompositivo, nella stesura del pezzo e nella prassi esecutiva.

- Confrontare il modello percettivo della musica seriale con quella tonale.

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Liceo Socio-Psico-Pedagogico della sperimentazione  Brocca:  cattedre di Matematica e Storiadella Musica in compresenza.

I piani di studio della scuola secondaria superiore, sperimentazione Brocca, prevedono

l'insegnamento della storia della musica soltanto nel triennio del liceo Socio-Psico-Pedagogico. Lacomponente storico-estetica della Musica si inserisce nell’indirizzo completando il processo educativo

sia della formazione pedagogico-didattica, sia della integrazione nel contesto sociale dellacomunicazione.

Pertanto il presente lavoro è rivolto a un gruppo classe di non musicisti che studia "musica"

nell'ambito di una più ampia formazione culturale di indirizzo umanistico; in esso risulta presente, pertutto il quinquennio, l’insegnamento della matematica nella previsione della polivalenza degli sbocchi ein relazione alla diversità dei settori professionali cui può fare riferimento il corso di studio.

Esso si prefigge i seguenti obiettivi:

MATEMATICA

- Acquisizione di conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione.

- Capacità di cogliere i caratteri distintivi dei vari linguaggi (Storico-naturali, formali,artificiali)

- Capacità di utilizzare metodi, strumenti e modelli matematici in situazioni diverse.

- Attitudine a riesaminare criticamente e a sistemare logicamente le conoscenze via via

acquisite.- Interesse sempre più penetrante a cogliere aspetti genetici e momenti storico filosofici del

 pensiero matematico.

MUSICA- Partecipazione diretta e attiva all'esperienza musicale nel momento dell'ascolto.

- Conoscere le fondamentali strutture organizzative e le architetture formali del

linguaggio musicale.

- Affinare le competenze relative alle fonti sonore strumentali.- Creare, attraverso l'esperienza estetica dell'ascolto e dell'analisi, l'interesse per il passato e per

il presente musicale.- Comprendere e verificare in maniera storicamente sistematica gli elementi costitutivi

dell'opera ascoltata.

- Collocare l’opera musicale nel più ampio contesto delle varie esperienze umane,

artistiche, culturali, scientifiche e sociali.MATEMATICA E MUSICA

Finalità:

- Scoprie l’unità della cultura nella diversità dei linguaggi.

Obiettivi:

- Scoprire, attraverso la grafica abbinata all’ascolto, la rappresentazione sonora delle isometriee la dimensione grafica del materiale sonoro.

- Comprendere il rapporto fra le griglie numeriche che riepilogano le isometrie e il

 processo compositivo.

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Università della MusicaIl Parlamento Europeo con la dichiarazione della Sorbona del 1998 ha manifestato la volontà ed

ha assunto l’impegno di uniformare il sistema didattico europeo sull’istruzione universitaria al fine di

favorire da un lato la cooperazione e dall’altro la mobilità, creando le condizioni affinché i percorsiformativi dei singoli paesi siano più facilmente comparabili e intercambiabili.

Parte integrante di questo progetto è la legge 21 dicembre 1999 n° 508 che ha avviato in Italiauna profonda riforma della formazione artistica e musicale. In base a tale legge i Conservatori di

Musica sono trasformati in Istituti Superiori di Studi Musicali (art. 2 comma 2) che “rilasciano specifici

diplomi accademici di 1° e 2° livello, nonché diplomi di perfezionamento e di specializzazione,dichiarati equipollenti ai titoli di studio universitari”. Con i decreti del 2002 sono già stati attivati, intutti i Conservatori italiani, i corsi triennali e biennali per il conseguimento dei diplomi accademici di I

e II livello in discipline musicali.

Il piano di studi per il diploma di II livello in Pianoforte, indirizzo interpretativo-compositivo,

curricolo solistico-cameristico annovera quanto segue:

Il corso è finalizzato alla:- Acquisizione delle competenze specifiche che caratterizzano il profilo professionale del curricolo,

 prefiggendosi il conseguimento di una solida formazione tecnico-esecutiva ed interpretativa inserita

in un più ampio contesto storico-culturale e artistico dalle origini ai nostri giorni.

Sono obiettivi formativi specifici:-  Conoscenza e approfondimento del repertorio pianistico solistico-cameristico

-  Approfondimento delle specifiche abilità tecniche esecutivo-interpretative

-  Acquisizione di metodologie filologiche e interpretative idonee alla decodificazione del testomusicale in relazione all’evoluzione del linguaggio

-  Acquisizione di tecniche, anche in campo multimediale, per l’utilizzazione di strumenti

informatici applicati alla produzione musicale e sonora.

Attività formativa:-  Storia ed analisi del repertorio pianistico

-  Analisi delle forme compositive- 

Semiografia della musica (classica, romantica-moderna e contemporanea)

-  Prassi esecutiva e repertorio del pianoforte contemporaneo

Il pianista contemporaneo non può ignorare la letteratura del Novecento e il presente lavoro si

 può considerare una ghiotta opportunità per conoscere il repertorio e le modalità esecutive più avanzateunitamente al pensiero di Boulez, uno degli indiscussi protagonisti della storia della musica del

secondo Novecento.

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[21] Verzina N. Tecnica dei gruppi, scrittura timbrica, alea Problemi micro e macro-morfologici in

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DISCOGRAFIA

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ALLEGATO“STRUCTURES I” PER DUE PIANOFORTI DI PIERRE BOULEZ:

PRIMA PARTE

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INDICE

Sommario………………………………………………………………………..p. 1

Introduzione…………………….…………..……………………………………p. 2

Il contesto storico e la matematizzazione del processo compositivo…………….p. 2

Sturctures I per due pianoforti: il materiale precompositivo e le matrici….…….p. 4

Matematizzazione e serializzazione di tutte le componenti musicali

in Sturctures I  …………………………………………..………………….……p. 8

Il piano formale di Sturctures I  ……………………….………………………...p. 11

Margini di scelta…………………………………………………………………p. 15

Obiezioni, Critiche e Conclusione……..………………………………………...p 17

Applicazioni didattiche ……………………………………………………….…p. 19

Bibliografia ……………………………………………………………………...p. 22

Discografia …………………………………………….………………………..p. 22

Allegato: partitura di Sturctures I ,  prima parte………………………………….p. 23