10
$tefan SMARANDACHE Camelia DIACONU Liliana DIACONU MATEMATICA pentru clasa a Vl-a EXERCTTil PROBLEME TESTE SIGMA

Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

  • Upload
    others

  • View
    107

  • Download
    6

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

$tefan SMARANDACHE

Camelia DIACONU Liliana DIACONU

MATEMATICApentru clasa a Vl-a

EXERCTTilPROBLEME

TESTE

€ SIGMA

Page 2: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

I. NUMERE NATURATECdteva noliuni teoretice....... ................. g

Multrimeanumerelornaturale..............,''..'........!..Divizor. Multiplu ..............10Criteriile de divizjbrlitate cu2,5, 10, 3.......... ................ l lProprietS{i ale relaliei de divizibilitate in N........... .......13Numere prime. Numere compuse... ..............................I4Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de numere prim............. 15Divizori comrmi. c.m.m.d.c. al mai multornumere naturale. Numere prime intre ele ....... 16Multipli comuni. C.m.m.m.c. al mai multor numere naturale .............1gTeste de verificare ............19

il. opERATil CU NUMERE RAT|ONATE pOZtTtVECdteva noliuni teoretice....... ................21Frac{ii ........... .....................22Numbr raJional pozitiv.......... ..................24Aducerea fracliilor la acelagi numitor .........................25Adunarea numerelor ralionale pozitive. Proprietd{i.... ......................25Compararea gi ordonarea numerelor ralionale pozitive ....................26Scdderea numerelor ra{ionale pozittve ........................27Inmul{irea numerelor ra{ionale pozitive. Proprietdli ..........................28+-lmpd{irea numerelor ra{ionale pozitive......... ..............30Ordinea efectuirii operaliilor .................31Puterea unui numdr ralional pozitiv ............................32Numere ra{ionale scrise sub formd,2ecimale.................. ...................33Operafii cu numere rationale pozitive .........................34Ecuatii .........36Inecualii ............................37Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecua{iilor ..........38Teste de verificare ............39

1il. RAPOARTE gt PROPORTilCdteva noliuni teoretice....... ................41Raport. Raport procentual .....................42Proporlii ............................43Procente ...........................45Propor{ionalitate directd ........................4gProporlionalitate inversdElemente de organizare a datelor qi probabilitdJi .................... ..........55Teste de verificare ............5i

Page 3: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

rv. NuMEREirurnrcrCdteva noliuni teoretice ......................59Numdr intreg. Reprezentarea pe axa numerelor. Opusul unui numdr intreg ..........60Valoarea absolutd a unui numdr intreg (modulul).

Compararea qi ordonarea numerelor intregi........... ...........................60Reprezentarea unui punct cu coordonate intregiintr-un sistem de axe ortogonale................... ..............61

Adunarea numerelor intregi. ProprietSli .....................63Scdderea numerelor intregi ........... .........63

inmullirea numerelor intregi. Proprietdli .....................&impdrfirea numerelor intregi .......... ........66Divizibilitate inZ ................ ....................6'7

Puterea cu exponent num6r natural a unui numir ?ntreg .................69Ordineaefectudriioperaliilorqifolosireaparantezelor.. ...................70Rezolvarea unor ecua{ii in 2.............. ..........................71Rezolvarea unor inecua{ii in2.............. .......................73Teste de verificare ............74

I. DREAPTACdtevo noliuni teoretice ......................78Punct. Dreaptd. Plan. Pozitiile relative ale unui punct fali de o dreaptd.

Puncte coliniare ...............79Semidreaptd. Semiplan ........................... 80

Pozi{iile relative a doud drepte........... .........................81Segment. Lungimea unui segment. Mijlocul unui segment .............82Teste de verificare ............85

II. UNGHIURICdteva noliuni teoretice ......................88Defini1ie, notalii, elemente, interior, exterior, unghiul,unghi cu laturile in prelungire ...............90Mdsura unghiurilor. Unghiuri congruente ..................91Calcule cu mdsuri de unghiuri ...........;.......... ...............92Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi ..............93Unghiuri suplementare. Unghiuri complementare.................... ........95

Unghiuri opuse la vdrf ............... ............98Unghiuri in jurul unui punct ..................99Teste de verificare .......... 100

ilr. coNGRUENTA TRIUNGHIURItORCdteva noliuni teoretice .................... 103

Triunghiul: defini1ie, elemente....... ...... 105

Perimetrul triunghiului ......................... 105

Construc{ia triunghiurilor ........:........... 107

Page 4: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

Congruenja triunghiurilor oarecare........ ................... l0gCriterii de congruenld a triunghiurilor oarecare.... .......................... l0gElemente de ra(ionament geometric .......................... 110Metoda triunghiurilor congruente ...... 110Teste de verificare .......... 113

IV. PERPENDICUTARITATECdteva no[iuni teoretice ....... .............. 116Drepte perpendiculare; oblice; distanla de la un punct la o dreaptd .................. llgcuzl;.ile de construc{ie qi criteriile de congruenfi a triunghiurilor dreptunghice ........120Mediatoarea unui segment. Mediatoarele laturilor unui triunghi ........................121Bisectoarea unui unghi. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi ..........................123Teste de verificare ..........125

V. PARATETISMCdteva noliuni teoretice....... .............. l2gMetoda reducerii la absurd ................. 130Unghiuri formate de doud drepte cu o secantd. Drepte paralele ......................... 130Criterii de paralelism ....... 131Unghiuri formate de doud drepte paralele cu o secantd. Axioma paralelelor ......132Teste de verificare .......... 135

vr. pRopRtErAlr err TRtuNGH|uRtroRCdteva noliuni teoretice....... .............. 139Suma mdsurilor unghiurilor unui triunghi .................143Unghi exterior unui triunghi .................... ..................144inil1imea in triunghi .......145Aria triunghiului............... ....................146Mediana in triunghi .......147Simetria fa\d de o dreaptd .................... 149Proprietdlile triunghiului isoscel ......... l4gProprietdfile triunghiului echilateral .......................... 152Proprietd{ile triunghiului dreptunghic.. .....................154Teste de verificare ..........155

TESTE DE EVALUARETeste de evaluare (semestrul I) .................. ............... 160Modele de tezd, semestriald (semestrul D ................... ..................... 163Teste de evaluare (semestrul II) ................. ............... 165Modele de tezd semestriald (semestrul II)................. ...................... 169Teste finale .....................170Teste pentru pregdtirea olimpiadei ......175

nispulrsunlTeste iniliale ...................1g6Algebrd .....189Geometrie..... ...................2MTeste de evaluare ...........21g

Page 5: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

TESTE INITIATEt

Testul I

1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de doud pitrate perfecte.

2 . Afla\i cel mai mare numdr natur al n pentru care suma a n multipli rntaral|nenuli 9i diferili doi cAte doi, ai lui 136 este egal6 cu 1362.

3. Aflali cAtul gi restul imp[rlirii numbrului 5n + 8la n + 1, unde n este

num[r natural nenul.

4. Num[ru] 2 este ridicat la cub sau este inmulJit cu 6, iar rezultatului oblinuti se aplicd acelagi procedeu. Este posibil sb ob{inerq dupd un numdr de

pagi, num6rul1728? Dar num6ru1 5184?

Testul 2

1. Aflali cAte numere putem forma cu ci&ele 7,3, 5,7,9, dinbaza zece,

astfel inc6t fiecare numdr oblinut sd indeplineascd simultan conditriile:

a) sd conlind cifrele I 9i 3;

b) suma cifrelor sale sd fie cel pulin egal6 ctt 17;

c) sd nu aib[ cifre egale.

2, Aflalicel mai mic num6r natural n, ;titnd cd n + 2 este divizibil cu 3 1, iarn * 3 este divizibil cu 126.

3.Dacd numerele naturale a, b, c, d veriftcd rela[iaa(I + b) + b(l + a) : c(l + 4 + d(l + c),atunci afita[i cd a -r b + c + deste numdr natural par.

4. Scrieli numdrul 189' ca sum[ de trei pitrate perfecte, unde n este numdrnatural nenul.

Testul 3

l.Fie a, b, c, d, e numere nafurale nenule. $tiind ce c + 4d + 5e: 4l qi

41 a + 82b + 17 2c + I96d + 245 e : 2' 2009, ardtali cd q r 2b r 3c estepdtrat perfect.

2. F ie muJlimea A : {4, 7 5, 24, m), unde m e N. Ar[ta{i c[ exist[ n, p e A,astfel incAt num[ru] n I p - 3 nu este pdtrat perfect.

3. Ardtali cd nu existd r e lN, astfel ?ncdt n2014 - n20t3 :r 2015."

Page 6: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

Teste iniliale

4. Demonstrali cd numdrul//: 60t + 662 + 663 + ... * 6128 este divizibil cu2s9.

Testul 4

1. Aflali primele gi ultimele cinci cifre ale numdrului 82004 ' 5601s + 370.

2. Pe o tabll sunt scrise numerele 2,4,6,,8, ..., 2012. Se gterg doub numere

gi se inlocuiesc cu produsul lor. Se continud aceastd operafie pdnd cAnd

pe tabld rbmAn numai dou6 numere. Este posibil ca ultimele dou[ numere

r6mase s5 fie pbtrate perfecte?

3. Fie x,yn'smere naturale. Demonstreazdc6T divide x* 4y dacd gi

numai dacdT divide 2x + y.

4. a) Calctlafi 13 + 23 + 33 + 43.

b) Ar[tali ci existd numerele naturale nenule a, b, c, d astfel incdta3 + b3 + c3 * d::70200e.

Testul 5

1. Afla{i r e [.lpentru care suma cifrelor numdrului 2n+1 ' 5n - 3 este egalicu 53.

2. Se considerd numdrul rV= oUS+ott+oU, unde a gi b sunt cifre inbaza zece.

a) Determinali restul implr{irii luiNla 6.

b) Determinali valorile lui b pentru care restul impArtirii lui -A/ la ab este

egal cu7.

3. Ardtali c5:

a) numdrul 5'+ 3 este divizibil cu 4, oricare ar fi r e l\l;b) num6rul 2s"+3 *'75n+3 \lJeste pdtrat perfect, oricare ar fi n e Nl.

4. Ardtati c[, oricum am consideraT pdtrate perfecte, existd dou[ a cdror

diferenJb se divide cu 10.

Testul 6

1. Fiemullimea A: {2"*'' 5"+ 1 | n e tN}.

a) Ardtafi cd 2001 e A.b) Ardtati cd A nt con{ine niciun pdtrat perfect.

Page 7: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

Enunlari

2. Ardtati c[ numerele de forma 2n+3 . 3n+2 . 5n+t - 360 sunt divizibile cu30n * l, oricare ar fi n e [.]*.

3. Se considerb mullimilel : {av a, ar} $i B : {bt, b2, br}. Dac6 A : Bqi a, a, a, e ll.l, atunci ardta[icd (ar* br)(ar+ br)(ar+ br) este numdrpaL

4. Aflaliultimele trei cifre ale numbrului n : 7t + 72 + 73 + ... + 72008.

Tesful 7

l. Ardtali cd numbrului 10" + 2010 - 10, nu este pbtrat perfect, oricare ar fineJN.

2.Dac6,a,b,c,de l|.1 qia + b + c * destenumdrimpar, afunci ardta\icda+b b+c d+anumerele , . , nupotfisimultanegale.c+d d+a b+c

3 . Num6rul nafural r nu este pdtrat perfect gi produsul divizorilor sdi naturalieste P. Afla{i x qtiind c6, P: 56 ' x.

4. Fie S(n) suma numerelor naturale care sunt cel pulin egale cu 3, gi strictmai mici de 3n

* 1, n frind numdr nafural nenul. Ardta\i c6:a) E(n): S(n) + 3' este pdtrat perfect;b) E(0) + E( 1 ) + E(2) + ... + E(2012) este divizibil cu 364.

Testul 8

1. Determina{i numerele naturale, pare, nenule, n pentru care n3 * n * 5 se

divide cu2n - I.

2. Ardtati c[ suma a n numere naturale, impare, consecutive, mai mari sauegale cu n2 * n * I este egald cu n3.

3. Ardtati cdexistdx,y.e € N*, x+y*z*x,astfelincet 1*1*1:1.x y z 32'

4. Fie n e [N* astfel incdt n, 3n * l, 3n + I qi 6n - 1 nu sunt divizibile cu 5.Aratali c5:

a) 7n + 2 este divizlbil cu 5;b) n + 4 nu este pdtrat perfect.

Page 8: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

l. Numere nqturqle

ll. Operolii cu numere rolionole pozitive

lll. Ropoorte 9i proporlii

lV. Numere intregi

Page 9: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

I. NUMERE NATURATE

Cdtevo nofiuni teoretice. Divizibilitute

Vom spune cd num5rul natural ,,a" este divizibil cu numdrul natural ,,b,,, daedexistd un numlr natural ,,c" astfelincdt: a: b . c.Toate numerele naturale ,,la care" se ?r4parte exact ,,a" se numesc divizoriai numdrului a. Vom nota cu D mulJimea divizorilor lui a.Exemplu: Drr: {1.2.3. 4.6. l2l.Toate numerele naturale ,,eare" se impart exact la ,,a,, se numesc muttipliiai numirului a. Vom nota cu M,mullimea multiplilor lui'a.Multiplii unui num[r natural a se obfin dupd regula a ' k, cu k numdr natural.Exemplu: M.: 10" 6. 12. 18. 24. ...\.

Obserttalie: Dacd, n = ar4 .ezb' .or4 ...., atunci numbrul divizorilor numdrului nesteegal cu : (6, + 1). (br+ 1) . (63 + l) . ...

. CeI mai mare divizor coman (c. m. m. d. c.)- se descompun numerele in factori primi;- se inmul{esc factorii comuni la puterea cea mai micd.

obserttalii: -Dacd c. m. m. d. c. a doud numere naturale a qi b este 1, atuncivom spune cd a qi b sunt numere prime intre ele qi vom nola: (a; b) : I- Pentru a aduce o frac{ie la forma ei ireductibilr, se poate simplifica princ. m. m. d. c. dintre numdrdtor qi numitor.

. Cel mai mic multipla comun lc. m. m. m. c.l- se descompun numerele in factori primi;- se inmul{esc factorii comuni qi necomuni la puterea cea mai mare.

observalie: Pentru a aduce la acelaqi numitor doud sau mai multe frac{ii, sepoate calcula c. m. m. m. c. al tuturor numitorilor frac{iilor respective.

. Legdtura dintre c. m. m. d. c. Si c. m. m. m. c. u doud numere nstarule(a; b)'[a; bl: a' b

. Proprietdli ule divizihilitdfii-ala- dacd q

- dacd a- dacd a

b,atuncialb.cbgiblc,atuncialcb Si a I c, atunc,i a | (b X c).

observalie: folosind ultima proprietate, putem deduce divizibilitatea unui numrrcu: 6, 12, 15, 18, ...

Exemplu: Cum 6 : 2 . 3 qi (2; 3) : 1, vom putea spune cd un numdr este divizibilcu 6 dacd este divizibil qi cu 2 gi cu 3.

Page 10: Matematica cls 6 Exercitii, probleme, testecdn4.libris.ro/userdocspdf/718/Matematica cls 6 Exercitii, probleme... · TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de

Enunlari

Probleme propuseMulf meo numerelor nqlurqle

I . Reprezentati pe axa numerelor punctele A, B, C, D de coordonate 2,3,6 qi respectiv 9, folosind ca unitate de mdsurd 1 cm. Aflali lungimilesegmentelor OA, OC, AB, BC, BD, OC + CD, AD * AC, unde O este

originea axei.

Z.Pe axa numerelor cu originea O considerdm punctele A(4), B(Il),C(x). Afla\i x gtiind c[:a) C este situat intre O qi A;i .r este impar;b) C este situat intre A qi B qi x este par.

3. a) Ordonali crescitor numerele: 2lI2; 22ll; 2l2l; 1221.b) Ordonali descrescdtor numerele: 1532; l35I; 1325; 1253.

4. Efectuafi:a) 16 + 3'(12 -3'z); b)2s -2'(tB - s':);c)a'16+ 5'(17 -30:2)l: d) [9 + 45: (14 - 15 :3)].8;e) 11' {3 + 2' [18 - 15' (9 - t6 : 2)]);0 {6 + 36 : 14 + 2' (13 - 6'2)l) : 6 * 1.

5. $tiind c6:

a)x'y: 16 gi x'z:18, calculali x'Q,, + z);b) ,' (y - z) : 36, calclulati 2xy - 2xz;

c) x' y * x' z : 42 ;i y + z : 7, calcula\i x;d) 3xy - 3xz :48 ;i x :2, calculali y - ,;e) x + y:9 gi y + z: 10, calculali 3x + 5y + 22.

6. Calculali:a)32 +23 - 170; b) 52 + 2s -2.5;c) 3' - 2'32 + 22'3 - 23; d) 3u : 33 + 22 .2 (5t)o;

e) l2o'23 + (3s)21: (2s'22 + 3t2 : 32);

0 (5'' 252 - 26 : 42 + 494) : (58 : 5 * 22 + 73' 75);

g) (20'32)8 : (22.3;ts - 211 . 2e.

7. Ardtfii cd numdrul:x: 2t + 21 + 22 + 23 +...+ 2ee este pitrat perfect;y:3t + 32 + 33 +...+ 330 nu este pdtrat perfect.