Anton NEGRILAMaria NEcRILA

Solu[iile testelor de autoevaluarepot fi consultate la adresa:

http://www.edituraparalela45. roldown load/solutii_teste_de_autoevaluare

_consolidare_clasa8_p1 _201 8. pdf

alUGIriluG0mctliG

clasa n UIIFA[anGa Ieditia a Vl-a

Imlc 2000-Gffi0lldele

Cuprins

RECAPTTULARE $r EVALUARE rnrlrAr,Al. Teste cu exercifii gi probleme recapitulative pentru pregdtireatestlrii inifiale .............52. Modele de teste pentru evaluarea initial[......... ...................14

ALGEBRA

Capitolul I. Numere realel. Mullimi de numere. Forme de scriere a unui numIr......... ......................1gTest de autoevaluare .......................252. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ...................273. Reprezentarea pe ax6. ordonarea numerelor reale. valoarea absolutI.Aproximarea numerelor rea1e............ ..................2gTest de autoevaluqre .......................354. Intervale de numere rea1e............ ....................3i

4.1. Intervale in lR.. Definilie, reprezentare pe ax6......... .........................374.2. Operalii cu intervale .............40

Test de autoevaluare .......................455. Recapitulare gi sistematizare prin teste............ ...................476. Operafii cu mrmere rea1e........... ......................4gTest de autoevaluare .......................597. Recapitulare gi sistematizarepinteste............ ...................618. Probleme de matematici aplicat6 in via{a cotidian6..... .......63

Capitolul II. Calcule cu numere reale reprezentate prin litereA. Opera{ii cu numere reale reprezentate prin litere... ......64L Adunarea gi sc[derea.. .................642. Inmullirea. Impdrfirea. Ridicarea la putere...... ....................663. Ordinea efectulrii operafiilor algebrice..... ......69Test de autoevaluare .......................714. Formule de calcul prescurtat .......73

4.1. Pdtratul sumei (diferenlei) a doi termeni ......................734.2. Produsul sumei cu diferen,ta. .....................754.3. Pdtratul sumei a trei termeni. ....................77

5. Descompunerea in factori.......... ......................7g5.1. Metoda factorului comun......... .................7gS.2.Utilizarea formulelor de calcul prescurtat ....................g15.3. Gruparea termenilor ..............g35.4. Metode combinate ................g55.5. Maxime gi minime. Inegaliti{i algebrice ......................g6

Test de autoevaluare .......................g96. Recapitulare gi sistematizare printeste ............ ...................91B. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere .......g31. Amplificarea. Simplificarea............. ...............93Test de autoevaluare .......................g72. Operalii cu rapoarte.. ...................99

2.1. Adunarea qi sciderea "'"""""992.2-inmullirea. imp64irea. Ridicarea laputere...... """""'l0l2.3. Ordinea efectu[rii operaliilor qi folosirea parantezelor ...................103

Test de autoevaluare """"""""""'1093. Recapitulare gi sistematizare prin teste """"' 1114. Probleme de matematic[ apliiat5 in viala cotidian6""' ""'ll2

GEOMETRIE

Capitolul I. Rela{ii intre puncte, drepte qi plane1'. Puncte, dreptl, plane.beterminaria dreptei.-................. """""""""""' 1132. Determinarea pianului """""""'1163. Piramida: descriere qi reprezentare. Tetraedrul. """""""" 1 184. Prisma: descriere gi reprizentare. Paralelipipedul dreptunghic. Cubul.......""""""" 120

Test de autoevaluare .................. """""""""""'1235. Poziliile relative a dou6 drepte in spa,tiu; relaliade paralelismin spa!iu...............--..125

6. Unghiuri cu laturile respectiv paralele; unghiul a dou6 drepte in spaliu;

dreptJperpendiculare """"""""""126Z. noriliite relative ale unei drepte fa!6 de un plan...'.... """" 128Test de autoevaluare """"""""""'1318. Dreapta perpendicularS pe un plan. Distanla de la un punct la un plan...'............'....133

Test de'auioeialuare """"""""""'1379. poziliile relative a doud plane. Plane paralele. Distanla dintre doud plane paralele .....139

10. inai.timeaprismei........ """"""'143I l. Secliuni paralele ctbazair{ corpurile studiate. Trunchiul de piramida...................1MTest de autoivaluare """"""""""'14'712. Probleme de matematicd aplicatl in viala cotidiand..... """""""""""'14913. Recapitulare qi sistematizate prin teste'..'. """""""""""' 150

Capitolul II. Proiec(ii ortogonale pe un planl-. Proieclii de puncte, de segmente de dreapta qi de drepte pe un plan.....'...................153

2. Unghiul dinte o dreaptS gi un plan. Lungimea proiecliei unui segment....'.'.'.......'..156Test de autoevaluare """"""""""'1593. Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanfei de la un punct la o dreapt6'

Calculul distanlei de la un punct la un plan. Calculul distanfei dintre doui drepteparalele.................... """"""""""" 161Test de autoevaluare """"""""""'1654. Recapitulare qi sistematizare prin teste -.-.--...... """"""""'1675. Ung[i diedru. Unghi plan corespunzEtor diedrului. Unghiul dintre dou6 plane.......' 1686. Plane perpendiculare.................. """""""""'171Test de iutoevaluare """"""""""'1757. Probleme de matematicd aplicati in viala cotidian6'.... ""'1778. Recapitulare qi sistematizate pinteste ............ """"""""' 178

Modele de teze semestriale .............180Probleme pentru pregtrtirea olimpiadei qi a concursurilor qcolare ........185Indica{ii qi rispunsuri .................. .......................189

Algebri

Gapitolul INumere reale

@ 1. Mullimi de numere. Forme de scriere a unui numir

oI

HHl{

oo14(,L)rciotroEq).Fo€

18

Obcervatii:

a) Mul,timea notati cu N* este N. : { t; 2;3; ... n: . ..} Ci N. c N.b) Avem, pentm orice x,y e N, c6:

i) x +y e N, r - y e N, gi consecin(ele: x * y : 0 inseamnd x : y : 0, iar x . y : Iinseamnix:I:1.

11) x - y e N numai dacix >y, iar x : y e N numai dacl existi z e N astfel incdty . z : x. Dacd acest lucru nu are loc, se folosegte teorema impirfirii cu restx:YZ I t,cul e N,0

Observalii:a)V*:Z\{O\;inplus,sedefinesc: Z-: {...;-n;...;1;1;-l} qiZ*: {1;2;...;n;...},

ct n e N*. Avem cdZ* cZ qi,inPlus, N c Z.Z:Z w {0\ wZ-

b) Avem, pentru x, !, Z, t e Z, cd:

i) x+yeZ,x-Y€Z,x'YaZ-ii) DacL x2 + f : O,atunci x : Y : 0.iii)x : y e Z, y* 0 dac[ 9i numai dacd existii ; e V.cu ir : y' r. in caz contrar,

x : yz * l, unde t e Z qiO < 14 < LYl.Mulfimea numerelor rafionale, notat6 cu Q, este:

rlA : ], I existi y, z eZ, z + O.asLfelincflt -r = i it' z)

Observalii:a) Avem cd Z c. Q, iar mullimea Q \ Z se numeqte mullimea numerelor ralionale

neintregi. De asemenea, Q- : Q \ {0}.

b) un num5r rafional este reprezentat de o fraciie de forma 1, ., x e z si 1' e z-.)'

Vom numi fracfie o pereche de numere intregi x, y, ctJ y * O, scrisd sub forma I. DouEv

fraclii I gi 1,cu x,!,z,teZ,y.t*O,senumescfracfiiechivalente dacdxt:y.Datlyt

o fraclie 1, se oblin frac{ii echivalente cu ea prin:v

') * x"ti) amplificare: ;:;,ctrx,Y,

t e V-,Y' t *0;

*{' x:tii) simptificare'. L =;r,crtx,y,t e Z,y't+0;tlxqitly.

O frac{ie L,*,y aZ,y+ 0, se numeqte frac{ie ireductibill dacd(x,y): l.v

Unnumlrra{ionalcare arecareprezentanto fracfie L,*,y e Z,y+0, Se scrie subv

formd zecimali imp6(ind numirdtorul x la numitoruly.

in func1ie de factorii in care se descompune numitorul b al fiacliei ireductibil" 1,vfrac\ia zecimald poate fi :

i) fracfie zecimall finit[, dac6 numitorul conline in descompunerea sa numai factoride 2 sau/qi numai factori de 5; t9

oI

l{HH

o(,vto\)lciU.FoEq){-o€

ii) frac{ie zecimali periodictr simpll, dacl descompunerea numitorului in produs defactori primi conline al{i factori decdt 2 gi 5;

iii) fracfie zecimali periodici mixtI, daci descompunerea numitorului in produs defactori primi conline factori de 2 sau/gi numai factori de 5, cdt qi un alt factor prim.

Reciproc: Dacd un numdr ralional este reprezentat printr-o fracfie zecimali, el poatefi transformat sub form[ de fracfie ordinartr folosind reguli de transformare pentrufiecare tip de fraclie zecimal5;.

i) fraclie zecimali finitr: ,,44br-4=r%4,

ii) fractie zecimall periodici simplii: "lbrbrbrL)=, n4,iii) fracfie zecimalii periodicl mixti: a,\br..bo(crcr,.ct)= a

c) Pentru orice x, y c Q, avem cE x * y e Q, x -y e Q, x . y eeQ,x+0,peZ.

Mulfimea numerelor irafionale, notatii cu IR. \ Q, este mul1imea numerelor care sescriu zecimal cu o infinitate de zecimale care nu se repettr periodic.

Mul{imea numerelor reale, notatd IR, este mullimea formatii din reuniunea mullimii

numerelor ralionale cu mullimea numerelor iralionale. in mod asemdnitor, IR.- : R \ {0}.Avem qirul de incluziuni N c Z c Q c R..

Exerci[ii rezolvate:

?){. Se dd num[ru] "-.15

a) Scrieli numirul sub formd zecimald.b) Stabilili care este a23-a zecimald a fractiei.c) Comparafi cifra miimilor cu cifra zecimilor.

Solulie:?)

a) 1=2,1(3).l5b) a23-azecimald este 3.c) I

-zJ1; *, :\,r n (R - a) : {*, t},{r,1,z;!;t:r\, o-"= {i[-re, Q\, n-R: zt 3)

lnQ:

r-Q:

tr{. stabilifi valoarea de adev6r a propoziliilor:

O O O octivit6ti de ?nv6fore O O O

a)NcZ; b)NcQ; c)NGiR\Q; d)NcN; e)NclR.\Z;

0ZgN; e)ZeZ\Q; h)Q*z: i)Q-R\Q; j)Q\zcQ'k)RelR\Q; l)lR.\QcR.; m)ZcQ; flAGZ\N-; o)NcN*.

2. a) Ardtali cd,:

O Jr; (ii) J5;sunt numere iralionale.

liii) s+r6; Ql 3Ji; (v) s * tt,.,6

b) Stabilili valoarea de adevir a urmdtoarelor propozilii:(i) Produsul oricS.ror dou[ numere iralionale este un numdr ira{ional.(ii) Suma oriciror doud numere iralionale este un numdr ira{ional'(iii) Suma dintre un numdr ralional qi un numdr ira,tional este un numdr iralional.(iv) Produsul dintre orice numdr iralional gi orice numdr ralional nenul este

iralional.(v) Pdtratul oricdrui numlr iralional este numbr ralional.(vi) Orice num[r ira]ional ridicat la puterea zero este numbr natural.

3. Amplificali fracliile: *t*, 1,1,* astfel inc6t sd aib[ acelaqi num6ritor.70'2s'3',5 13

4. Se considerd fracliile: +,+,3 Ci *, unde a * 0. Determinali cea mai micd valoarel0 12', 15 30natural[ a numarului a, pentru care fracfiile reprezintS simultan numere naturale.

5. Amplificali fracliile: 1,1,1,1,] astret inc6t sd aibd acelaqi numitor, care sd fiet5'3- 6-10' 5egal cu c.m.m.m.c. al numitorilor lor'

16912127303036. a) Care dintre fracfiil"' ;; fr; 15, ;t i, O,;,;

sunt echivalente cu frac[ia : ?

b) Amplificali cu 4 fracfiil", l' 1' :' * 8' s

2' 4' 6' 99' 13' ll'srs10202530

c) Simplificalicu 5 fracliile:

^; T; 175; 45; 110; 85

.

d) Determinali din qirul urmdtor de fraclii:1 61 2 55 4 3 8 14 85 35 19 4'3'5 -- --,-.pe cele:,'i' 6' ll33' 2l' g' 15' 2.7' 15' 56' 72' 60

(i) ireductibile; (ii) subunitare; (iii) supraunitare; (iv) echiunitare.

(,I

HHH

oov,(,()rci.9+-oEq)+o€

?t

7. Determinali valorile lui x, numdr natural, pentru care:

a) (i) 8 e N: (ii) J= . Z, (iii) --11- € N; (iv) a e N;" x-3b) mullimile A: {4x;6x + 2) $i B : {2x - l;2x + l;3x + 2) au un singur element

comun;c) mullimile A : {2x - 3; 3x - l } 9i B : {4x - 7 ; x + 31 sunt egale.

8. Scrielisubforma zecimald: !, lr 9, {, !, L, 4, 9, Y, ?1.-""-'-'5' 3'15' g' 8' 16' 15' 25' 6' 18'9. Scriefi sub formd fracfionari: 4,15; 2,(18); 03(5a); 0,35(4); 0,91(6); 1,8(6); 5,02(7);0,4(9); 0,41 (l 6); 0, I 1(36); 1,0025; 0,008.{O. A. Preciza\i valoarea de adev6r a propoziliilon

a)8eN; b)8eZ; c)8eQ; d)8eR; e)4eZ;

0 -6 e N; g) -1 . Q; h) -8,3 e lR; i)-j,9 e Z; j) 4,(5) e Q;3

k) J8 e IR; l) "/E..lR-Q; -1 ps-1-:19 = x; n) t{-3)+(+)f .2.B. Stabil{i valoarea de adevdr a propozifiilor:

, lri e Q; p) J01T. R-Q, q),[V 4' ez; r) 0,(3)+.6(a) e R\Q;r--.--------l---- "s) Jt3 + 23 +33 + 43 e N; q ,12' .fz a3ffi a v' u) {0} e R;

v) 0 e IR.; x) {0} c IR; y)2eQ\{-2,2}.{'1. Determinafi mulfimile:

A: {* e N | 13

{ 6. Determinali elementele mullimilor:

A:{xeN.l x+3136}: A={.reli"' 2.r'1145};

C: {xeNl x

24, Determinali valoarea de adevlr a propozifiilor:a)xelR.; b)xeQ; c)xeR.\Q;

undex=@.25. Determinali mullimile:

d)x eZ,

b) A : {..r|"[to -ffi . $s;i$ . G- 6fr .zl.'tl2x+t)lll-l-

"),4: ] *.ul,lts-eJo +'ltt-zJto +'l+t+tzJs .ul.

| --l 2x-t l

26. Determinali numerele naturale ab, gtiind ci indeplinesc condiliile:

-cu5qi lab+ba eQ.

ab este divizibil

27. a)Aritali cd q=.tg".2"*' -4'.32'e Qpentruoricaren e N*.b) Determinali n e N astfel incdt a:216.

28. Determinali cifrax,inbaza 10, astfel incdt:

,)F.a; b)F.a; "tp-.u, d) F.n,*.trE29. a) Determinali cdte numere naturale x * l, .r < 100 existi pentru care fractia

x-2= este ireductibilE.

3x2 +2x -5b) Determinafi numerele naturale x, x 1130, pentru care fracfia =]| - ""t"' 2x'+4x-7

reductibild.

c) Gbsi{i forma generald a numerelor x e N*, pentru care fracfia =

se poate' 3x+5simplifica.3O. Fienumirulralionalr € Q.Dac61lr eZ gi 13r e Z,demonstralicdr eZ.

oIl{HH(,ougGrci.9+oEq){-o€

24