CUPRINS

AlgebrlCapitolul I. Permutdri.. .."..................... S

1. Permutiri. Operafii cu permut[ri .............,.... 82. Inversiunile unei permutlri. Semnul unei permutEd..................,..... l7

Capitolul II. Matrice ....... 241. Nofiunea de matrice. Adunarea matricelor qi inmullirea

cu scalari a matricelor .............. U2. tnmulfirea matricelor. Proprietifi ............... 303. Puterea unei matrice pitratice..... .."............. 35

Capitolul III. Determinanli ................ 431. Determinanli de ordinul doi qi de ordinul trei................................... 432. Proprietifi ale derminanlilor de ordinul n................. ..... 483. Aplicafii ale determinan{ilor in geometrie ..................... 55

Capitalul IV. Sisteme de ecualii liniare....,.... ........ 61

2. Sisteme de ecua,tii liniare. Nofiuni generale.Sisteme de tip Cramer.......".......... .....,.....,".. 67

3. Rangul unei matrice ................;.. .........".......7I4. Studiul compatibilit{ii sistemelor de ecuafii liniare.

Teorema lui Kronecker-Capelli. Teorema lui Rouch6...................... 755, Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor de ecuafii liniare....,..... 80

Analizl matematiciCapitolull. $iruri......... ................... ...................:.. g6

1. $iruri de numere reale. $iruri monotone. Mullimi mlrginite.

2. $iruri convergente..giruri cu limit[ infiniti.Criterii qi proprieti{i................. ............;..... 95

3. Teorema de convergen{i a girurilor monotone ............ 1014. Num[ru] e. $iruri cu limita e. Alte limite remarcabile ................... 1055. Operafii cu qiruri care au trimit[. Cazuri de nedeterminare ............. 1106. Cdteva teoreme remarcabile in teoria girurilor...... ....... llV7. $iruri recurente gi aplicalii ale 1or in aigebr[... .......-...- IZL

Capitolul II. Limite de funclii.... .................... ....... l2g1. Vecinit[fi. Puncte de acumulare.

Limita unei funcfi intr-un punct. Limite laterale. proprietl{i ....... 1292. Operalii cu limite de funcfii. Limite remarcabile.

Capitolul III. Func[ii continue .....'..' 150

1. Funcfii confinue intr-un punct. Puncte de discontinuitate.'..'..'...".. 150

2. Operafii cu func,tii continue .-. I543. Propriet[fi ale funcliilor continue pe intervale ............. 156

CapitolullV. Derivate..... ................. 161

1. Derivata unei funcfii intr-un punct. Derivate lateraIe..........."......'. 161

2. Derivatele unor funcfii elementare. ,

Opera$i cu func{ii derivabile... .........'....'..-1653. Derivarea funcfiilor compuse" Derivarea funcliei inverse.........'... 168

4. lnterpretarea geometricS a derivatei.Puncte remarcabile pe graficul unei funcfii..........:........ ................. 172

5. Derivate de ordin superior ..,.. 176

Capitolul V. Proprietdli ale funcSiilor derivabile pe un interva|............... 180

1. Teorema lui Fermat... ............' 180

2. Teorema lui Rolle. $irul lui Ro11e.......... '.' 184

3. Teorema lui Lagrange gi consecinfele ei........... .....'..... 187

4. Regulile lui l'Hospital .......-.... 193

5. Rolul derivatei int6i in studiul func[iilor.... .................. +976. Rolul derivatei a doua in studiul funcfiilor.... .............. 20I7. Reprezentarea grafrcd a funcfiilor numerice.... ......."'.. 205

Teste sumative

Teste sumative (l-10).... .....'.............. 2ll

RispunsuriAlgebrd.........:............... ..........,.-.......- 228Analizdmatematicd ....:......."...:.. ........ 26ITeste sumative............... .................... 393

Capitolul I

PERMUTARI

1. Permutiri. Operafii cu permutiri

IMPORTANT!

Defrnifie

Numim permutare de graclul n, Fx € IN*, o funcfie bijectivd

- (t 2.3 n)o:{1,2,...,m}_+11,2,...,n} ginotard 6=[o1D

o(2) o(3) ... oOl).

Mullimea permutdrilor de gradul ,z se noteaze Sn.

Numirul permut[rilor de gradul n este l-lnl= n t

Compunerea (produsul) permutirilor

Fie o,te 5r. Produsul ot este o permutare de grad n definitd prin compune-

rea pennuterilor, adici (otXft) = o(t(ft)), V ke\n.

o Produsul permutirilor este asociativ: (ot)u = o(to), Vo,T,ue Jr.

(l 2 3 m\oPermutareulaenticae=[i;;.;.Jtutelententneutrulainmuliirea

(compunerea) permutlrilor: oe = ea = o, Voe -Tr.

o Orice permutare oe J!, are invers[ o--1 € Jn, astfel incdt 06-1 = o-ls = r.

o Produsul permuterilor nu este (?n general) comutativ.

Futerea unei'permutlri

V oe S, .se definesc inductiv puterile cu exponent intreg: o0 =r, cil =g,

s/r+l -oto.gi G-k =(o-l)t, vke IN*.

I Sunt valabile urmitoarele reguli de calcul cu puteri:

6k'-P -Gk .6P,Yk,pezl,Y6e s,,

okP = (ok )P,y k, p e 1l,Y o e Sn

1ot)-l -T-lo-1. vo,Te sn.

Parmutfrrl. Operatll cu permutfi rl I

Transpozifii

Fie 1,

ie{1,2,...,n}. Numim transpozilie de grad n

Ii' Pentruk=idefinitl astfel: r,;i{k)=

];, pentru k = 7 . Se mai noteazd

[/< pentru ke li, jlo Sunt adevdrate urmitoarele proprietIfi:

o permutare rri e sn

Iij = (i, i)'

(i,j) = Q, i);,' ..-llr,J),' = U,J)'.

(i,j)'= e.

o Nr.rm6rul transpozi,tiilor din Sn este C] .

o Orice perrnutare se poate scrie ca un produs de transpozi{ii.

Exercifii gi probleme pentru fixarea cuno$tintelor

1. a) Scrieli toate elementele mullimilor .91 , Jz , l:.b) Dali trei exemple de permutdri din .95.

c) Dererminali nell[" daca fZf <lS,l <721.

d) Cflte elemente are submultimea {oe 56 lo(21 = 5 $i o(6) = 4}.

2. Calculafi produsul o't in urrndtoarele cautir:

(t z 3\ (t 2 3\a)o=l l.t=l l:' (321)'[213)'(t 2. 3 4\ (t 2 3 4\b)o=l l-r=l l'"'"-[,.J z 4 rJ"-[a 3 2 r)'

. (t23 4s) (t234 s\ci6=l LT=l l:' [4rs23)'(s1423)'. (r z 3 4 s 6 7 8) (t z 3 4 5 6 7 8\d) 0=l l. r=l I' [4 3 2 t 7 6 8 s)'- (z 6 8 s 1 2 3 4).

10 Permutiri

3.Areaflce ulp+p:c inurmitoarelecazuri: 1

a) a=[r z iJ,B=[2 , ,)'i(t23 +) ^(t23 +)or"=[o ; ; zJ'B=[s 4 z ,)'

, (t234 56),(r234 s6).')o=[6 4 3 2 | s)' F=[o z t s 3 6)'

(r234 s6z\ -(r234s11.1,olo=[+ 3 t 2 7 s 6)'F=[, 4 s'7 z 3 G)

"ro=[1 z 3 4 5 6 i i],8=(r 2 3 4 5 6 7 8)

' t2t435876) ' '[zL43s76z)'4. Areta! ci a'p = F'tx in urm[toareie cazuri:

.r *=[l : :], u=[l i 1)'' \2 3 r)(t23 +\ (t23 +)ur"=[o ;; z)'P=lz t 4 ,)'

- (t234 s).(r234 s).';a=[s 4 I 3 zi'P=[+ t 2 s 3);

(tz34s6),(t23456).a) a=[s 4 2 t 6 ,)'P=[u , 4 s 3 ,)'

(r 2 3 4s 6 7 8q\ ^ (t 2 3 4s 6 7 8g)e)o'=[o , s s 3 8 6 t zJ'P=[t B 7 s z 4 t s o)'

5. Fie permut[rile

o=(' z 3 4').,=[' 2 3 4 s),i n=[1 ?'- : ]l.ca.urqi,"-[+ s 1 3 2)'- [z 3 s t 4)' (3 2 s t 4)

d) o2;

h) (n.c)2.(o.t)3.a) o.t; b) t'n; ' c) n.o;

g) o'r2"n3;e) d; f) na;

Permutiri. Operatii cu permutiri 11

6"Fiepermutarilet (t 2 3 4) (t 2 3 4\,=[ ; i i),,=l) : '-:).,=(1 i : ):

b) Calculali a2: F'y ti t'F.

c) Calculafi o'(fp) ; (aF)2 .(ya)2; to(0y)12 .(yB) .

7. Determinafl inversa o-1 in urmbtoarele cazari:

(r 23). (r23 +).a)o=l- _ l; b)o=l -*'"-[3 z r)' -'--[4 3 z ,)'

"ro=[1 2 3 4 s''1 (t 2 3 4 s 6').

"'-[r 3 r r o)' o'o=[r 6 r z 4 t)'

"lo=[1 ?34s67 8) A- (r234s ur)."'-[, 7 t 4 3 6 8 s)' *'o=[, 4 7 t 3 s 6)'

8. Fie permut[rile

(rz3 4s)^(t234 s) (t234 s)o=[o s r 3 z)'o=[, s 4, ,J ut'=[r z 3 t 4)'

a) Verificafi urmdtoarele relafii:.

l) (aB)y= o(Fy) ; ii) B-18 = BB-' ;

iiil a6 = Ft = f =, : iv) (*F)-r - F-r,-' ;

,) (opy)-l =.y-lB-lo-t . vi) a-2 = ua ;

vri) (F-1)3 =0' ; viii) u2u-3 =s,-2a.7 :

b)Este adev[ratA propozigia: ,,Dacd o,?e J5 qi o5 =t3, atunci o2 =tr.,, ?

Justificali rdspunsul.

9. Aflafi cel mai mtc pelN* pentru care'6P =e (peste numit ordinul lui o in-tr $i este notat p =ord(o)) incazurileurmdtoare:

- (t 23) (tz3 4\u) "=[.; ; ;); b) "=[; ; ; ;),

t, Permulirl.llll!

10. Fie permutarea

o5k*3,kelN*.

(t 211.Fie o=l(4 1

u) oa53 .7284 '

c) (ot)30;

(tz34s6)d)o=' ,51 3)'' \4 6:

\ (r234 s678): 'o=[, t 4 z 7 6 s 8

' (t234c1o=[s z 4 1

. (1234el 6=l' [4 s26

s').

3)'

56 7

1,37123513

a +\ (t 2 3 +)

,u)=lr4t3)'z 3 + s)-(r 2 3 4 s').

4 s r z]-[s 4 3 z t)'tz34 s6) (t234 s6'\4 s3 zt o)=ls 64312)'

(t z 3 4 s\ (to'[r t 4 a zJ"[r

(t234so\(")[, 5 6 t 4 r,l"[

"=(

3 4 s) (tI sl T=ls 3 2)' [s

o)s)'

4 S 0\l. calculati: ooo: o'o'; o736' o2ot2;

2 6 4)

) a a c\' " l. Calculad:4 r 2 3)

b) (o-')2012 .(r-tfatz '

d) (t-lo)3m.

12. Rezolvafi ecualiile:

(r z a\ (t 2u,[, t z)'o=[, 3

(t23+\(to'"[, t 4 r)=[o

(r23 +\(t z

""[, t 4 rjlo I

a\,)'

23+).132)'

13. Scriefi toate transpoziliile din J2, J4, J6 . Cdte transpozilii sunt in -ts ?

14. Rezolvali (prin incerclri) in -f1 ecualiile:

.,;=[l i:), " (t z :\b) x'=l L' [3 2 L)

Iggggri.seeratiisu perry lS

Exercilii gi probleme pentru aprofundarea cunogtinfeior

l.Fiepermurar*e6=rl :: i:l .r=(o^::: ]j r,- (2 s l 4 3) (3 L 2 s 4)',(t z 3 4 s\

7E=l I.(s 3 r 2 4)

a) Calculafi (ont)2. 7E-16-lx-1 : (tot)-l ; {2n-26-2 .

b) Calculafi o2ot2 , "2013

, n2014.

c) Rezolvali in J5 ecuafiile: .rcr = x; oyr = TE ; 6243 z - '11171222

2.Fiepermutartr. o=[] : '^ 1.l. (t z 3 4 '5\

(2 t 4 3) 5olix=[5 i , , o)t's5'Determi-

nali in funcfle de ne IN* permut6rile o' gi t".

3.Fiepermu,**u o=[] : u.

i :). s5. Demonstrali cd dacd ne z, astfel\2 | 4 s 3) i

incAt o' =e,atunci 6ln.

4"Fieperrnuta,l*o=[1 ',.: :: :] .p=(','^: : ] 1l r,(: 4 s t 2 6)-' (4 2 s 1 6 3)'(l 2 3 4 \ e\ n .-,-.1,:,-.Y=l . :l.Rezolva(iin56ecualiile:' [4 z 5 3 I 6)

a) a,xB = y; b) cr3* =Fa ; $ f xP7 =^f '

cl) ,y 'uoo -pz:8; e) *5n+3*B6rt+3 =y*o|, unde n,p,ke ,71.

5. Determin a\i nelN*. astfel incit numlrul transpozifiilor din J, sd fie:

a) 5; b) 36.

6. Fie numd rul a,o2., joaas =23615. Calculafi Z ,*Jfr.o9"cr%4,r",. oE&

7. Rezolvali ecuafiile:

ut *, =(1 ' ')' o r' =(t- i 1l '

o) ^ -[: 2 t)' v''' -[z 3 t)'

.rr2=[l 23 o.], atr2=(r23!:],"*-[r4rz)' [st423)'

14 Permutiri

(t23\(t23\""[,,,J=[,,r)*'

(t23a\(tz3+\s)'[z 3 4,J=[o r 3 ,)

(t 2 3 4 s\ (t 2 3h) I lx= xl'(4 s l 3 2) (s t 4

i) r-3 - *4 in sn.

(r,[o

x;

z3 +\ (t23 +)31 ,)*=*lo 3 r ,)'

),4532

s.Rezolvali""ruliu *[]'. : 1'].=f1 :' il(2 4 3 1) (4 I 3 2)

9. Numim ciclu de lungime k in S, , 1< k Sn,ke IN, o permutare oe J, notati(t1i2...i1) cu proprietatea: c(t)=i2, o(rz)= \,..., o(i1)=i1, iar o(.r)=,r,

y je{\,Lz,...,ir,l.Exemplu: (4ri)=(: : '. : ]) .rr" un ciclu de lungime 3'\324rs)din 55. Transpoziliile sunt cicli de lungime 2. Ordinul unui ciclu este egal

cu lungirnea sa. Doi cicli (\i2..-4) 9i (h iz...ip) sunt disjuncfi daci

{\,i2," ',4}n{Jr" jz,"',lpl=@. Doi cicli disjuncti comutE intre ei. orice trans-

pozi{ie se poate scrie ca proclus de cicli disjuncfi.

a) tu[tali cd (413) = (41)(13) in J-5.

b) Aritali c[ (1 : 5 7 2) =(l 3)(3 5X5 7)(7 2) in g .

c) Ar[tafl cd (235 6)4 - e in 56.

d)Ardtaficrdacd o=('. '. : : : 2 ', !l u,ur.i 6=(142s3),(678)(45123786)qi o = (r4)(42)(2s)(s 3X6 7X7 8) .

10. Descompuneli urmdtoarele permutdri in produs de transpozilii:

(tz 3) (t234 s6\a) o=l l; b) o=i _ -

1.

[z t 3)' -'v [+ z t 3 s 6)'

(tz3 4s\ (t234 s6\c) o=l i: d) o=l l:(s 412 3) [s 14 6 2 3)'

(t23456 7\ (t234 s678)e)o=l l: tJo=l I-/- (+ 3 5 z 6 t 7)' ^'"-[a 4 2 t 3 s 6 7)'

Permuteri. Operalii cu permutiri 15

11. Glsifl o permutare oe 516 - {e} care s5 comute cu permutarea

,=(t 2 3 4 s 6 7 8 9 lol[42s376e8r10)

12.Fie o,t€ .t? doud permutdri cu proprietatea: o2 '12 = 1o't)2. Demonstrafi cd

O.t = t'O .

13. Fie o,tre Sn doud permutdri cu.propriet[1ile: 65 = " qi o2t =T62..Demonstrafi

cd o.t = t.o .

14. Fie o€ J, n>3o peflnutare cu proprietatea: clx=xo, Vxe -fr. Demonstrali

cd o=e.

15. Fie n e lN*. Determinafi permutarea oe S, in fiecare din urm[toarele cazuri:

u) I = ', =...=4=; b) 1+o(l) =2+o(2)=;..=tx+o(n).o(1) o(2) o(n )

16. Determinali permutarea 6e Sn pentru care:

9Q*99*...*o(f) =r+1+. .*1, vk=G.f22k72k'

1.7. Determinali permutarea tr€ 5!s pentru care 1+o(1) , 2+o(2), ..., 10+o(10)

sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Exercifii gi probleme pentru performanfe

L.Determinalipermutarea oeJ4, ou.u o" =[l '- i i)(Dan Negulescu)

Z.Pentru /r€ tr-i[, n2 2, fteVo mullime de vectori din plan qi / :.fn -+ V o funclie

pentru care /(o.t) = l'(o') + i (t), Vo,te 5, .

a) Demonstrali cd 0e V.

b) Determinali funcfia/.

3. Fie ne]f,I', n)*3 gi o€ -tn o pe(mutare care comuti cu permutlrile

o=(t 2 3 n-t ') qi p =('^ ? '. n-r

]1. *u,u1i cd o este(2 13 n-tn) ' \234 n t)

perrnutarea identicd din Jr.

(Concursul inte{udefean,,Radu Miron", Vaslui, 2001)

16 Permuteri

4.Fiepermutir,e *,Ber*, o=[1 : i 1) ,,r=[l i i i)((tr=r,

Rezolvali sistemul: t;B =

' , unde x,! e S+.

(Romanga Ghi16, Ioan Ghi16, Gazeta Matematicd, r.n.10/2000)

5. a) Demonstrali c[ funclia f : Sn -+J, , ,f (o) = 02 nu este sudectivi.

b) Demonstrali cI funclia f : Sn -+ Sn,,f (o) = o,3 nu este injectivI.

6. a) Cdte permutiri oe S, au proprietatea: o(1) * o(n) = n,!

b) Cite permutiri o€ .t, au proprietatea:

,. ;:' *,o.?*,,.*r":-:*3:area

o€ r, cu proprietatea ci pentru

orice fte t2,3,...,n1 avemFl --: =k-l .

;i o(,)o(,+l) k

. (Dana Heuberger, supliment Gazeta Matematicd, w.3t2}l2)8. Fie n€lN, n >3 pentru care existI K={e,cr,g,y}cJ,? o rnullime de patru

permutlri (e este permutarea identic[) cu propriet[1ile cr2 = $2 = T2 = " qi pentruorice x,ye K avem xye K.

a) Demonstrafi c6 crB = y.

b) Rezolvali ecuada x2ot3 - e in K.

c) Calculali otp'yn .

9. Demonstrali c6:

a) oricare ar fi submul\imea H din Ja cu cel pufin 19 blemente, ea va con{inecel pu,tin o transpozifie;

b) oricare ar fi submullimea rl din .i4 cu cel pu{in 13 elemente, ea va confinecel pulin dou6 permutdri o qi t cu proprietatea or, * ro .