matematica aplicada

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3 APRESENTAO Curso: MecatrnicaMdulo: BsicoCarga Horria: 50h Docente: Turno: Turma:Discente: 4 No existe saber mais ou saber menos, existem saberes diferentes. (Paulo Freire). CARO ALUNO EstaamaisnovaversodomdulodeMatemticaAplicada-volumenico.Procuramosdesenvolv-lo visando ajudar voc a relembrar Matemtica de forma fcil e dinmica. Oscontedosespecficosqueintegramomduloforamcuidadosamenteselecionadosdeacordocomas necessidadesdocursodeMecatrnicaedomercadodetrabalho.Nessesentido,estematerialtrabalhao contedo de uma forma simples, interessante e til para quem busca uma qualificao profissional.Este mdulo para o participante us-lo. Portanto leia-o atentamente, resolva todos os exerccios, pois eles ajudaro a fixar bem o assunto. O Facilitador ir auxili-lo e voc deve aproveitar a presena do mesmo para tirar todas as suas dvidas. Sucesso a todos, pois sucesso a unio entre competncia e sorte! Bom estudo! SUMRIO Material Instrucional especialmente elaborado pelo Prof. Alessandro Leboeiro para uso exclusivo do CETEB-CA. 5

1. Conjunto dos Nmeros Racionais5 1.1 Termos de uma Frao5 1.2 Transformao de Frao Decimal em Nmero decimal5 1.3 Transformao de Nmero Decimal em Frao Decimal6 1.4 Nmero Misto6 1.5 Fraes Equivalentes7 1.6 Simplificao de Fraes7 1.7 Mnimo Mltiplo Comum (mmc)8 1.8 Redues de Fraes ao Mesmo Denominador Comum8 1.9 Operaes com Nmeros Racionais 9 2. Equaes17 2.1 Do 1 Grau17 2.2 Do 2 Grau19 2.3 Exponencial21 2.4 Logartmica 22 3. Funes25 3.1 Linear25 3.2 Quadrtica26 3.3 Exponencial31 3.4 Logartmica 33 4. Geometria34 5. Matrizes38 6. Determinantes45 7. Noes de Trigonometria49 7.1Tringulo Retngulo49 7.2 Relaes Mtricas50 7.3 Relaes Trigonomtricas52 Lista de Exerccios54 Bibliografia57 1. CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS 6 Chama-seconjuntodosnmerosracionais-smboloQ-oconjuntoformadoportodososnmerosque podem ser colocados na forma fracionria qpondeZ pe* Z q . Ento: Q = { qp/Z p ,* Z q }Note que: Q Assimoresultadodadivisodep porq ,nocasoemquep no mltiplodeq ,d origemaosnmeros racionais decimais. 1.1 TERMOS DE UMA FRAO Em toda frao qp o nmerop chamado de numerador e o nmeroq chamado denominador. Juntos constituem os termos de uma frao. O NUMERADOR indica quantas partes foram tomadas do inteiro. O DENOMINADOR indica em quantas partes foi dividido o inteiro. Assim na figura ao lado, que foi dividida em oito partes iguais, temos: A parte Colorida representada por: 85 e a parte branca por: 83 O todo (a figura inteira) representado por:188= Nota: O denominador nunca pode ser igual a zero. Em todo nmero decimal, a vrgula separa a parte inteira da parte decimal. Vejamos: 15,6310 , 03 Parte inteira Parte decimal Parte inteira Parte decimal Na parte decimal, cada nmero ocupa uma CASA DECIMAL. 1.2. TRANSFORMAO DE FRAO DECIMAL EM NMERO DECIMAL Exemplo:Afrao 1032iguala3,2.Avrgulaimaginriaencontra-sedireitadoltimoalgarismodo numerador,isto,(32,)deslocando-aumacasaparaaesquerda(poisodenominadorapresenta1zero) encontramos o decimal procurado. Outros exemplos: a)35 , 4100435= b) 75 , 010075 =c)2 , 0102=d)005 , 010005= Quando,aodeslocaravrgula,onumeradornoapresentaralgarismossuficientes,acrescentamoszeros esquerda do nmero. (veja exemplos b, c e d). 1.3. TRANSFORMAO DE NMERO DECIMAL EM FRAO DECIMAL No caso de frao decimal, para transform-la em nmero decimal, basta deslocar a vrgula (imaginria) para a esquerda, tantas casas quanto for o nmero de zeros do denominador. 7 Para transformar um nmero decimal em frao decimal, devemos observar que: Exemplos: a) 0, 8 = 108b) 6, 34 = 100634c) 0,002 = 10002d) 1,3456 = 1000013456 1. Transformar em decimal a) 103 = b) 1000328= c) 10005114 = d) 32 = 2. Transformar em frao, os decimais abaixo: a) 7, 4 =b) 0, 467 =c) 0, 01 =d) 0, 023= 1.4 NMERO MISTO Toda frao imprpria, pode ser transformada em nmero misto. Nmero misto aquele composto de parte inteira e parte fracionria. Exemplos: 431(l-se: um inteiro e trs quartos)215(l-se: cinco inteiros e um meio) Para transformar um nmero misto em frao imprpria procedemos assim: -Multiplicamos o denominador pela parte inteira e o resultado somamos com o numerador, conservando-se o denominador da frao. Exemplos:a) 4743 1 4431 =+ = isto : 474344= +b) 21121 5 2215 =+ =isto : 211212222222222= + + + + + Para transformar frao imprpria em nmeros mistos, devemos: -Extrair os inteiros da frao imprpria, o que pode ser feito dividindo-se o numerador pelo denominador. O nmero misto ter mesmo denominador, a parte inteira o quociente da diviso e o numerador o resto. Isto : em D d temos assim a frao:drqExemplos: a) 21327= 7 2 b) 325317=17 3 1 32 5 Afraoprocuradatercomonumerador,odecimaldadosemavrgulaesemo(s)zero(s) esquerda, enquantoqueo denominadorteronmero1,seguidodetantos zerosquanto onmero que casas decimais do decimal dado. E X E R C C I O S r q 8 3. Transformar os nmeros mistos em frao imprpria. a) 321= b) 522 = c) 714= 4. Transformar em nmero misto: a) 523 =b) 410 = c) 23 = 1.5. FRAES EQUIVALENTES So fraes que representam a mesma parte do inteiro. Um mesmo nmero racional pode ser representado por vrios outros.

21=

Como obter fraes equivalentes. Para obter fraes equivalentes a certa frao, basta multiplicar os seus termos (numerador e denominador), por um mesmo nmero natural diferente de zero. Este procedimento chamado de PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS FRAES. Exemplos: 21= 42;21= 63;21= 84;21= 105;.. Logo, 21 = 42 = 63 = 84 = 105 = 126 = ... = 16080 = ... 1.6. SIMPLIFICAO DE FRAES Semprequeostermosdeumafraoadmitirdivisorescomuns,pode-sesimplific-latornando-airredutvel (quando seus termos no admite mais simplificao). Para tanto, basta dividir o numerador e o denominador da frao por um mesmo nmero natural, exceto por 0 e 1. vejamos: 12182436= ; 692436= ; 232436=Isto : 236912182436= = = Observao: Se numa frao o numerador e o denominador terminam em zero(s), podemos eliminar o mesmo nmero de zeros em ambos os termos. Exemplos: a) 21636030= = b) 513063000600 == c) 23200300= 84= 42= Note que: 21=42=84 E X E R C C I O S 9 (1 passo) Escrevemos os nmeros dados, separando-os por vrgula e colocamosumtraoaoladodoltimonmero.Noladodireitodo trao, colocamos o menor dos fatores primos que se pode dividir pelo menos um deles. (2passo)Abaixodosnmerosqueforemdivisveispelofator primo,colocamosoquociente(resultadodadiviso).Osnmeros que no so divisveis pelo fator primo devem ser repetidos. 1.7 MNIMO MLTIPLO COMUM (mmc) Nmeros primos Sodenominadosnmerosprimos,aquelesqueapresentamdoisdivisoresapenas.elemesmoea unidade(1).Quandoumnmeroapresentamaisdedoisdivisoreselechamadodenmerocomposto. Segue o conjunto dos nmeros primos, abaixo: Regra prtica para determinar o mmc entre dois ou mais nmeros.1) Vejamos como calcular o mmc de 14, 45 e 6.

Logo, Veja o mmc (12, 30) 12, 302 6, 152 3, 153 1,5 5 1,1 5.Simplifique as fraes, at obter a frao irredutvel: a) 600500 = b) 1510 = c) 40002004 =d) 10050= 6. Calcule: 1.8.REDUO DE FRAES AO MESMO DENOMINADOR COMUM Reduzir fraes ao mesmo denominador comum encontrar fraes equivalentes com denominadores iguais. Esteprocedimentopodeserfeitopelomtododommc(mnimomltiplocomum)dosdenominadoresdas fraes dadas. mmc (14, 45, 6) = 2 3 5 7 = 2 9 5 7 = 630 mmc (12, 30) = 2 3 5 = 4 3 5 = 60 c) mmc (10,12,15) = Logo, 14, 45, 62 2) 14, 45, 627, 45, 33)14, 45, 6 2 7, 45, 33 7, 15, 13 7,5,15 7,1,17 1,1,1a) mmc (12,16) = (3o passo)Repetimosospassos1e2atchegaraoquociente1, abaixo de todos os nmeros. O mmc o produtos dos fatores primos, colocados direita do trao P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...} b) mmc (150,50) = E X E R C C I O S 10 Exemplo:Reduzir ao mesmo denominador, as fraes 6543e 4 , 6 2 2 , 3 2 1 , 3 3 1 , 1 2 x 2 x 3 = 12 1.9 OPERAES COM NMEROS RACIONAIS 1.9.1. ADIO E SUBTRAO DE NMEROS RACIONAIS FRACIONRIOS Toda expresso numrica que contm somente as operaes de adio e subtrao representa uma adio algbrica. Quandoumaadioalgbricacontmparntesesantecedidosdosinal+podemoseliminaresses parnteses, bem como o sinal que os antecede, escrevendo apenas o nmero que est no interior dos parnteses com seu prprio sinal. Exemplos:a) (+5) + (7) + (+8) + (3) = 5 7 + 8 3b) 53325332 = ||

\| + ||

\|+ Quandoumaadioalgbricacontmparntesesantecedidosdosinalpodemoseliminaresses parnteses,bemcomoosinalqueosantecede,escrevendocadanmeroqueestnointeriordos parnteses com sinal trocado Exemplos: a) (+2) (+ 4) = 2 4b) 61436143+ = ||

\| ||

\| OBSERVAES IMPORTANTES: 1a) A operao envolve apenas dois nmeros: a)Se os nmeros tm sinais iguais, conservamos o sinal e somamos os mdulos. b)Se os nmeros tm sinais diferentes, subtramos seus mdulos e damos ao resultado o sinal do nmero de maior mdulo. 2a) A operao envolve mais de dois nmeros Nestecasodevemos,somartodasasparcelaspositivas,emseguidasomartodasasparcelasnegativas. Assim, recamos em um dos casos anteriores: Paraadicionarmose/ousubtrairmosfraes,necessrioqueelaspossuamdenominadoresiguais. Noscasosemqueasfraestmdenominadoresdiferentes,devemosreduzi-lasaomesmo denominadorcomum.Estandoestascomdenominadoresiguais,asoma,serumafraodemesmo denominador comum, cujo numerador a soma dos numeradores das fraes anteriores. 1) calculamos o mmc dos denominadores das fraes dadas: mmc ( 4, 6 ) = 12 2) Dividimos o mmc (12), pelo denominador de cada frao e multiplicamos cada resultado pelo seu respectivo numerador. 12 : 4 = 33 x 3 = 9 12 : 6 = 22 x 5 = 10 Logo: 12943=e 121065= . Note que as fraes tm mesmo denominador 11 Exemplos: 1.9.2. ADIO ALGBRICA DE NMEROS RACIONAIS DECIMAIS Exemplos: Calcular: a) 3,25 + 4,16b) 5,61 8,42 c) 2,7 + 6 + 10,254 3, 25 8, 42 2, 700 + 4, 16 - 5, 61 +6, 000 7, 412, 81 10, 254 18,954 7. Calcule

8.Calcule a soma: a) 1,9 + 2,53 = 1.9.3. MULTIPLICAO DE NMEROS RACIONAIS FRACIONRIOS Exemplos: d) 85987727411213432 = = = e)1055025522552= = = de d) 10391059 201045 14 2029572 == = mmc(2,5) = 10 e) 109410491014 355727521213 = =+= + = + mmc (2,5) = 10 f) 457931457931= + + Propriedade do cancelamento a)(8) . (5) = 40 b) 35 . (3) = 105 c) 1525132 = ||

\|+ ||

\|Paraadicionarmosousubtrairmosnmerosdecimais,devemoscolocarvrguladebaixodevrgulae efetuaraoperaonormalmente,comosefossemnmerosinteiros,antes,porm,sermelhorse todos decimais tiverem igual nmero de casas decimais (acrescenta-se zero(s) direita). e)= 8321 f)= + 161435 c)= + +431165212 d) = + ||

\| + ||

\|+ 24523 a) (3) (8) (+10) = b)= + +167163165 E X E R C C I O S Na matemtica de significa vezes( ) b) 2,05 + 32,025 28,75 =c) 7+ 5,63 1,625= a)(+4) + (+ 2) = 4 + 2 = 6 b)( 4) + ( 2) = 4 2 = 6 c)(10) ( 3) = 10 + 3 = 7 12 1.9.4. MULTIPLICAO DE NMEROS RACIONAIS DECIMAIS Para multiplicar nmeros decimais, devemos: Exemplos: Calcular o produto: a) 3,26 x 2,4 b) ( -0,27 ) x 0,003 3, 2 62 casas decimais0, 2 7 2 casas decimais 2,41 casa decimal 0,0 0 3 3 casas decimais 1 3 0 40,000 81 2+3 = 5 casas decimais 6 5 2 7, 8 2 4 2+1 = 3 casas decimais OBSERVAO: Na multiplicao no necessrio colocar vrgula embaixo de vrgula. 2.Lembre-sequeamultiplicaodispedapropriedadecomutativaquenosgaranteque:aordemdos fatores, no altera o produto , isto :ba ab = . MULTIPLICAO E DIVISO DE DECIMAIS POR POTNCIA DE 10 Exemplos: a) 6,587 x 10 = 65,87 b) 2,725 x 1000 = 2725 c) 0,0287 x 100 = 002,87 = 2,87 Exemplos: a) 379,4 : 10 = 37,94 b) 42,5 : 1000 = 0,0425 c) (379,4 ) : 100 = 3,794 9. Calcule os produtos:

OSinaldoresultadopodetambm,serobtido aplicandoaregradesinal,aolado,paraoproduto de dois nmeros, ou sucessivamente para o produto de mais de dois nmeros. (+) . (+)=(+) () . () =(+) (+) . () =() () . (+) =() - Multiplicar os nmeros como se fossem inteiros. O produto ter um nmero de casas decimais igual soma do nmero de casas dos decimais dados. Paramultiplicarumnmerodecimalpor10,100,1000,etc.,bastadeslocaravrgulaparaadireita, tantas casas conforme o nmero de zeros da potncia de dez, isto : 1, 2, 3, etc. respectivamente. a) ( 8 )( 2 ) = b)= ||

\|+ ||

\|4752 c)( ) = ||

\| 0 1234735 d)= 431161116 e)=21143de f)= km de de 102152 g)= 27147952 E X E R C C I O S Para dividir um nmero decimal por 10, 100, 1000, etc.; basta deslocarmos a vrgula para a esquerda, tantas casas quanto o nmero de zero(s) da potncia de dez, isto ,1, 2, 3, etc. respectivamente.. E X E R C C I O S 13 r Q d D + = 10. Calcule o produto: 1.9.5 DIVISO DE NMEROS RACIONAIS FRACIONRIOS A diviso indicada por:

Para dividirmos dois nmeros inteiros, devemos: Dividir o 1 pelo 2 nmero e aplicar a mesma regra de sinais da multiplicao: Exemplos: Para dividirmos dois nmeros racionais fracionrios devemos: Conservar o primeiro e multiplicar pelo inverso do segundo e aplicar a regra de sinais anterior, isto e: Exemplos: a) 10923533253= ||

\| ||

\| = ||

\| ||

\|b)( )2035143543 = ||

\| ||

\|+ = ||

\|+ Observaes importantes: 1- numa diviso o divisor deve ser diferente de zero: ( + 5) : 0;(2) : 0: ;0 : 0Essas expresses no tm significado. Elas no representam nmeros. 1.9.6 DIVISO DE NMEROS RACIONAIS DECIMAIS Para dividir dois nmeros decimais devemos: 1) Igualar o nmero de casas decimais2) Eliminar a vrgula(obtendo, assim, nmeros inteiros) 3) Efetuar a diviso e aplicar a regra de sinais. Exemplos: Calcular o quociente: a) (0,81) : (+0,27) 1) Note que os decimais j tm o mesmo nmerode casas decimais 2) Eliminando a vrgula e os zeros esquerda temos: (0,81):(+0,27) = 81:273) Calculando: 81 : 27 = 3 Logo, (0,81 ) : ( +0,27 ) = 3 b) (12,27 ) : (3) 1) Igualando o nmero de casas decimais ( 12, 27 ) : (3,00 ) c) 8,296 x 100 = d) 0,06 x 10 = e) 4,723 x 10 = f) 0,07 : 10= g) 2000 : 1000= h) 347,2 : 100= a) ( +0,7 ) (1,2 ) = b)4 x 2,5 = D o dividendod o divisor Q o quociente (resultado)r o resto (quando houver) ,onde c) (18) : ( 2 ) = 9 d) ( 25) : ( + 5) = 5 cdbadcba = a)(+32) : (+ 8 ) = 4 b) (+ 15) : (3) = 5 14 2) Eliminado a vrgula (1227 ) : (300 ) 3) Efetuando a diviso 1 2 2 73 0 0 2700 4, 09 0 Logo, (12,27 ) : (3) =4, 09 Adivisodenmeros decimaistambmpodeserfeita,transformando-osemfrao,sendo que oresultado obtido pode ser novamente convertido em decimal, caso seja conveniente. Vejamos os mesmos exemplos anteriores: a)(-0,81) : (+0,27) =3278127100100811002710081 = = ||

\|+ ||

\| = ||

\|+ ||

\| 11.Calcule o quociente: 1.9.7 POTENCIAO DE NMEROS RACIONAIS Neste item, estudaremos a operao de POTENCIAO de nmeros reais.Potenciaoaoperaoquetemporfinalidadeobteroprodutodefatoresiguaisesimplificaraescrita. Vejamos:

278323232323= ||

\|+ ||

\|+ ||

\|+ = ||

\|+

OBSERVAO IMPORTANTE: De um modo geral, para calcular potncia de uma frao, elevamos ambos os termos ao expoente da potncia dada, isto . nnnbaba= ||

\| Exemplo: a) 2783232333= =||

\|+ b) 2515151222= = ||

\|+ LEITURA b)(-12,27) : (-3) =09 , 43001227311001227= = ||

\| ||

\| c)= 8 :1615 d) 16,23 : 0,4 = a)(+ 15 ) : ( + 3 ) = b)=532 :213 e) 1,25 : 0,25 = E X E R C C I O S b a a a a b an= = ...n vezes POTNCIA a= BASE o fator que se repete. n=EXPOENTEindicaquantasvezesabase se repetir. b= POTNCIA o resultado da operao BASE EXPOENTE 15 A leitura de potncias, faz-se de acordo com o seu expoente. - Quando o expoente 2, l-se: quadrado -Quando o expoente 3, l-se: cubo -Quando o expoente 4, 5,..., l-se: quarta potncia, quinta potncia,,... 1.9.7.1 REGRAS PARA CALCULAR POTNCIAS 1)Toda potncia de expoente par tem resultado positivo, qualquer que seja a base. Exemplos: a) ( + 2)2=4 b) ( 2) 2 =4 c)( 2,5 )2 = 6,25f)( )1681232344 4== ||

\|

3) Toda potncia de expoente 1 igual prpria base. Exemplos: a) ( +3 )1= 3 b) ( 1,25 )1 = 1,25 c) 43431= ||

\|+ d) 32321 = ||

\| 4) Toda potncia de expoente zero igual a 1,qualquer que seja a base. Exemplos : a) ( 2 )0 = 1 b) ( 7,25)0= 1c)1430= ||

\|+ d)1320= ||

\|5) Toda potncia de base zero igual a zero, qualquer que seja o expoente positivo. Exemplos:01= 0

b)035= 0

c)

03 = 0 Observao: 6) Toda potncia de base 1 igual a 1, qualquer que seja o expoente Exemplos: a)(+1)25= 1 b)(+1)4 = 1 7) Potncias de base 10 e expoente positivo:- basta escrever o nmero 1, seguido de tantos zeros conforme as unidades do seu expoente. Exemplos: a) (10 ) 5 =100 000 b) ( +10 )4 =10 000 c) (10 ) 6 =1 000 000 12.Calcule as potncias: Quando a base zero e o expoente zero, a operao no representa um nmero. isto , no tem significado matemtico( 0=? ) 2) Nas potncias de expoente impar, o resultado tem o mesmo sinal da base. Exemplos: a) ( +2 ) 3 = 8b) (2 ) 5 =32 c)(1,2)3 = 1,728 d) ( )827232333 3 == ||

\| g)(1)627 = h)( 0,7 )2 = i)(0,15 )0 = j) (0,1 )4 =k)(+10)4 = a) 24 = b)06 = c)(6 ) 2 = d) (7 ) 3 =e) (+1)30 = f)(-10)3 = E X E R C C I O S 16 1.9.8 RADICIAO Neste item, estudaremos a operao de RADICIAO de nmeros reais. A operao pela qual calculamos a raiz quadrada, a raiz cbica, a raiz quarta, etc., de um nmero racional chamada RADICIAO, que indicamos por: OBS.: No existe raiz de ndice menor que dois, isto , o ndice s pode ser um inteiro positivo maior ou igual a dois (2 n). A radiciao a operao inversa da potenciao. Observe: Potenciao Radiciao 72= 49.................... 7 492= 23 = 8 .....................2 83= 34 = 8l.....................3 814= Exemplos: Em geral, temos que Exemplos: a)27l-se: 7 elevado ao quadrado ou 7 ao quadrado ou ainda quadrado de 7. b)32l-se: 2 elevado ao cubo ou 2 ao cubo ou ainda cubo de 2. c)65l-se: 5 elevado sexta potncia ou 5 sexta ou sexta potncia de 5. n chamado de NDICE. a o RADICANDO. b a RAIZ. e o smbolo o RADICAL. b an=Nota:Quandoondicedo radical2,nonecessrio escreve-lo. LEITURA O smbolo na lido de acordo com o ndice (n) vejamos: ndice 2l-se : raiz quadrada ndice 3l-se : raiz cbica ndice 4, 5, 6l-se : raiz Quarta, raiz Quinta,raiz sexta,etc. L-se: raiz cbica de 8. L-se: raiz quadrada de 49. L-se: raiz quarta de 3. a)49 492=b) 38 c) 481 Extrair a raiz de um nmero a encontrar a base b para a potncia, cujo expoente o ndicenda raiz e o resultado igual ao radicando(a), isto a b b an n= = 17 (*) Note que: Em R, s possvel calcularrazes de ndice par se, e somente se o nmero dado(radicando) no negativo(positivo ou nulo). Exemplos: a), 7 49=pois49 72=b), 2 83=pois8 23=a), 3 814=pois81 34=d) ,794981= pois 4981792= ||

\| Observe que: 13. Calcule a raiz, se possvel:

1.9.9. Expresses Numricas Exerccios 01. O valor da expresso: (-2 + 3) . (-3 -1)2 - [ ( -4-3 )2 : (-6 -1) ] : a) 12 b) 23 c) 32 d) 14 e)8 02. O valor da expresso: { ( - 1 ) 3 + 2x [ 2 5+ 6 : ( - 3 ) ] } : ( 2 ) 2: a) 14,75 b) - 120 c) - 236 d) 120 e)236 e), 49 R (*) . f), 2 83 = pois( ) 8 23 = g) ,213215 = pois 321215 = ||

\| h); 2 , 0 04 , 0 = pois( ) 04 , 0 2 , 02= e)= 364125 f)=41681 E X E R C C I O S c)= 381 d)= 8116 a)=4936 b)= 32764 Paracalculararaizdenmerosfracionrios,extramosaraizdonumeradoretambmaraizdo denominador, isto :nnnbaba= 18 2.EQUAES 2.1 EQUAES DO 1 GRAU Equao do 1 grau toda sentena matemtica aberta expressa por uma igualdade, onde o maior expoente da varivel. Varivel(ouincgnita)aletraqueaparecenaexpresso.Geralmenteusamosasletrasxeycomo variveis. Exemplos de equaes do 1 grau: a)3x + 5 = 23 b)1 x = 1 + x O nmero que acompanha a varivel denominado coeficiente, portanto em:2.x = 2x, temos: 2 o coeficiente e x varivel Quando a varivel apresenta-se sem coeficiente dizemos que este igual a 1, veja: 1.x = 1x =x 1.x = -1x = -x Numa equao a expresso esquerda do sinal (=) chamada 1 membro e a expresso direitado sinal ( = ) o 2 membro. Assim na equao temos: 3x + 5 = 23 1 membro2 membro TERMOSSEMELHANTESsoaquelesqueapresentamamesmavarivel,ounoapresentamvariveis. Vejamos: a)2x e 5x so semelhantes, pois apresentam a mesma varivelx; b)9y e 7y so semelhantes, pois apresentam a mesma varivel y; c)5 e 2 so semelhantes, pois ambos no apresentam varivel;d)2x e 2y no so semelhantes, pois apresentam variveis diferentes; Podemos reduzir termos semelhantes de uma expresso a um nico termo. Considerando, por exemplo, a expresso 3x + 2x, temos: -a propriedade distributiva da multiplicao permite escrever: 3x + 2x = (3 + 2 )x -somando os coeficientesentre parnteses, temos: ( 3+2 )x = 5x -portanto; 3x + 2x = 5xNa prtica, para reduzir termos semelhantes a um nico termo, adicionamos algebricamente os coeficientes. Exemplos: a)5y + 2y = 7y b)5 + 2 = 7 2.1.1 Resoluo de equaes do 1 Grau c)3x - 4x = -7x d)8a + 5a = -3a e)5b 5b = 0 c)x 1 = 4d)2x + 25 = 13 e)x 6 = 5x+ 8 19 Agora que estamos em condio de resolver equaes do 1 grau com uma incgnita, ser apresentando um mtodoprticoparaaresoluodasmesmas,baseadonoprincpiodasoperaesinversasedas propriedades estudadas anteriormente. Regra prtica: Seja, por exemplo, resolver a equao 3x + 5 = 23 1)Isolarno1membroostermosacompanhadosdevariveleno2membroostermossemvarivel( termos independentes) OBSERVAO IMPORTANTE: Os termos que passarem de um membro para outro, devem trocar de sinal. 3x = 23 5 2)Reduzirostermossemelhantes(somarostermoscomvarivel,separadamentedoquenotm varivel). 3)Dividirambososmembrospelocoeficientedavarivel,encontrando,assimovalordavarivel(esse enunciado equivalente a dizer que o nmero que est multiplicando em um membro, passa dividindo para o outro). 01.Resolva as equaes abaixo: a)3x + 1 =25 b)2x +11 = x c)3 = 3x + 1 d)x + x 4 = 17 2x + 1 e)4(x + 3) = 20 02. Resolvendo a equao: 4x - 4 = x + 2, obtm-se x igual a: (A) 13 (B)3 (C)2 (D) 6 2.2. EQUAO DO SEGUNDO GRAU 3x = 18 x = 18 / 3 x = 6 3x = 18 3x/3 = 18/3x = 6 E X E R C C I O S 20 Uma equao do segundo grau na incgnita x da forma: a x2 + b x + c = 0 Ondeosnmerosreaisa,becsooscoeficientesdaequao,sendoqueadeveserdiferentedezero. Essaequaotambmchamadadeequaoquadrtica,poisotermodemaiorgrauestelevadoao quadrado. Equao Completa do segundo grau: Uma equao do segundo grau completa, se todos os coeficientes a, b e c so diferentes de zero. Exemplos: 2 x2 + 7x + 5 = 0 3 x2 + x + 2 = 0 Equaoincompletadosegundograu:Umaequaodosegundograuincompletaseb=0ouc=0ou b=c=0. Na equao incompleta o coeficiente a diferente de zero. Exemplos: 4 x2 + 6x = 0 3 x2 + 9 = 0 2 x2 = 0 Resoluo de equaes incompletas do 2o. grau Equaes do tipo ax2=0 Basta dividir toda a equao por a para obter: x2 = 0 significando que a equao possui duas razes iguais a zero. 4x2=0 040 = = x tem duas razes nulas Equaes do tipo ax2+c=0 Novamentedividimostodaaequaoporaepassamosotermoconstanteparaosegundomembropara obter: x2 = -c/a Se -c/a for negativo, no existe soluo no conjunto dos nmeros reais. Se-c/aforpositivo,aequaoterduasrazescomomesmovalorabsoluto(mdulo)masdesinais contrrios. Ex.2x2 - 8 = 0 2 428 = = = xem duas razes: x'=R[2], x"= -R[2] Equaes do tipo ax2+bx=0 Neste caso, fatoramos a equao para obter: 21 x (ax + b) = 0 e a equao ter duas razes: x' = 0 oux" = -b/a 4x2-12x=0 0 ) 12 4 ( = x x34120===xx tem duas razes reais: x'=3, x"=0 01.Resolver as equaes incompletas do segundo grau. a) x2 + 6x = 0 b) 2 x2 = 0c)3 x2 + 7 = 0 d) 4 x2 -25 = 0e)100 x2 = 0 f) 9 x2 - 81 = 0 Resoluodeequaescompletasdo2o.grau:Comovimos,umaequaodotipo:ax2+bx+c=0,uma equao completa do segundo grau e para resolv-la basta usar a frmula quadrtica (atribuda a Bhaskara), que pode ser escrita na forma: onde D=b2-4ac o discriminante da equao. Para esse discriminante D h trs possveis situaes: 1.Se D < 0, no h soluo real, pois no existe raiz quadrada real de nmero negativo. 2.Se D = 0, h duas solues iguais: x' = x" = -b / 2a 3.Se D >0, h duas solues reais e diferentes: x' = (-b + R[D])/2a x" = (-b - R[D])/2a 01. Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equao do segundo grau, analisando os tipos de razes da equao. EquaoabcDeltaTipos de razes x2 - 6 x + 8 = 01-684reais e diferentes x2 - 10x + 25 = 0 x2 + 2 x + 7 = 0 x2 + 2 x + 1 = 0 x2 + 2 x = 0 O uso da frmula de Bhaskara E X E R C C I O S E X E R C C I O S 22 Voc pode realizar o Clculo das Razes da Equao do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e cemumformulrio,mesmonocasoemqueDnegativo,oqueforaaexistnciaderazescomplexas conjugadas. Para estudar estas razes. Mostraremos agora como usar a frmula de Bhaskara para resolver a equao: x2 - 5 x + 6 = 0 1.Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 2.Escrever o discriminante: D = b2-4ac 3.Calcular o discriminante: D=(-5)2-416=25-24=1 4.Escrever a frmula de Bhaskara: 5.Substituir os coeficientes a, b e c na frmula de Bhaskara: x' = (1/2) (5 + R[1]) = (5+1) / 2 = 3 x" = (1/2) (5 - R[1]) = (5-1) / 2 = 2 03. Calcular o discriminante de cada equao e analisar as razes em cada caso:

a) x2 + 9 x + 8 = 0 b)9 x2 - 24 x + 16 = 0 c) x2 - 2 x + 4 = 0 2.3 EQUAES EXPONENCIAIS Chamamos de equaes exponenciais toda equao na qual a incgnita aparece em expoente. Exemplos de equaes exponenciais: 1)3 x= 81 (a soluo x=4) 2)2 x-5 = 16 (a soluo x=9) 3)16x-4 2 x-1 10 = 2 2x - 1 (a soluo x=1) 4)3 2 x 1 3 x 3 x 1 + 1 = 0 (as solues so x=0 e x=1) Para resolver equaes exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1) reduo dos dois membros da equao a potncias de mesma base; 2) aplicao da propriedade: EXERCCIOS RESOLVIDOS: ) 0 e 1 ( > = = a a n m a an mE X E R C C I O S 23 1)3x= 81 Resoluo: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 E da, x=4. 2)9x = 1 Resoluo: 9x = 1 9x = 90 ; logo x=0. 3) 23x-1 = 322x Resoluo: 23x-1 = 322x23x-1 = (25)2x23x-1 = 210x ; da 3x-1=10, de onde x=-1/7. 4) Resolva a equao 32x6.3x27=0. Resoluo: vamos resolver esta equao atravs de uma transformao: 32x6.3x27=0 (3x)2-6.3x27=0 Fazendo 3x=y, obtemos: y2-6y27=0; aplicando Bhaskara encontramos y=-3 e y=9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equao auxiliar 3x=y: y=-3 3x = -3 no existe x, pois potncia de base positiva positiva. y=9 3x = 9 3x = 32 x=2 Portanto a soluo x=2 2.4LOGARITMO INTRODUO OconceitodelogaritmofoiintroduzidopelomatemticoescocsJohnNapier(1550-1617)eaperfeioado peloinglsHenryBriggs(1561-1630).Adescobertadoslogaritmosdeveu-sesobretudogrande necessidade de simplificar os clculos excessivamente trabalhosos para a poca, principalmente na rea da astronomia,entreoutras.Atravsdoslogaritmos,pode-setransformarasoperaesdemultiplicaoem soma, de diviso em subtrao, entre outras transformaes possveis, facilitando sobremaneira os clculos. Naverdade,aidiadelogaritmomuitosimples,epode-sedizerqueonomelogaritmoumanova denominao para expoente, conforme veremos a seguir. Assim,porexemplo,comosabemosque42=16,onde4abase,2oexpoentee16apotncia,na linguagemdoslogaritmos,diremosque2ologaritmode16nabase4.Simples,no? Nestas condies, escrevemos simbolicamente: log416 = 2. Outros exemplos: 152 =225 ,logo:log 15 225= 2 63 =216 , logo:log 6 216 = 3 54 = 625, logo: log 5 625 = 4 70 = 1, logo: log 7 1 = 0 DEFINIO Dadososnmerosreaisb(positivoediferentede1),N(positivo)ex,quesatisfaamarelaobx =N, dizemosquexologaritmodeN na baseb.Istoexpressosimbolicamentedaseguinteforma:logbN=x. Nestecaso,dizemosque b a basedosistemadelogaritmos,N ologaritmando ouantilogaritmo exo logaritmo. Exemplos: 24 a) log28 = 3 porque 23 = 8. b) log41 = 0 porque 40 = 1. c) log39 = 2 porque 32 = 9.d) log55 = 1 porque 51 = 5. Notas: 1 - quando a base do sistema de logaritmos igual a 10 , usamos a expresso logaritmo decimal e na representaosimblicaescrevemossomentelogNaoinvsdelog10N.Assimquequandoescrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.Existe tambm um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier matemtico escocsdosculoXVI,inventordoslogaritmos),cujabaseonmeroirracionale=2,7183...eindicamos estelogaritmopelosmbololn.Assim,logeM=lnM.Estesistemadelogaritmos,tambmconhecidocomo sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicao no estudo de diversos fenmenos da natureza. Exemplos: a) log100 = 2 porque 102 = 100.b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...f) ln 7 = loge72 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente so nmeros decimais onde a parte inteira denominada caracterstica e a parte decimal denominada mantissa .Assimporexemplo,sendolog20=1,3010,1acaractersticae0,3010amantissa.As mantissas dos logaritmos decimais so tabeladas. Consultandoatbuadelogaritmo(qualquerlivrodeMatemticatraz),podemosescreverporexemploque log45 = 1,6532. As tbuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemtico ingls do sculo XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definio de logaritmo que101,6532 = 45. 3-Dadefiniodelogaritmo,infere-se(conclui-se)quesomenteosnmerosreaispositivospossuem logaritmo. Assim, no tm sentido as expresses log3(-9) , log20 , etc. 4 - fcil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definio: PROPRIEDADES 1) O logaritmo da unidade em qualquer base nulo, ou seja: log b1 = 0 porque b0 = 1. 2) O logaritmo da base sempre igual a 1, ou seja: log b b = 1 , porque b1 = b. 3) log b b k = k , porque b k = b k . 4) Se log b M = log b N ento podemos concluir que M = N. Esta propriedade muito utilizada na soluo de exerccios envolvendo equaes onde aparecem logaritmos (equaes logartmicas). 5) b log b M = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b igual a M. PROPRIEDADES OPERATRIAS DOS LOGARITMOS 25 LOGARITMO DE UM PRODUTO O logaritmo de um produto igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja: logb(M.N) = logbM + logbN Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base no foi especificada, sabemos que ela igual a 10. LOGARITMO DE UM QUOCIENTE O logaritmo de uma frao ordinria igual a diferena entre os logaritmos do numerador da frao e do denominador, ou seja: logb(M/N) = logbM - logbN Exemplo: log0, 02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 ento 10-1,6990 = 0,02. Da mesma forma podemos exemplificar:log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990. Observao: a no indicao da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10). Nota: Chamamos de cologaritmo de um nmero positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, tambm na base b. Ou seja: cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN. (menos log de N na base b). Exemplo: colog10 = -log10 = -1. LOGARITMO DE UMA POTENCIA Temos a seguinte frmula, facilmente demonstrvel: logbMk = k.logbM. Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12. MUDANA DE BASE s vezes, para a soluo de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ouseja,conhecemosologaritmodeNnabasebedesejamosobterologaritmodeNnumabasea.Esta mudanadebase,muitoimportantenasoluodeexerccios,poderserfeitadeacordocomafrmulaa seguir, cuja demonstrao no apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos. Exemplos: a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2) b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3) c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos ento que 251,5 = 125. Notas: 26 1 - na resoluo de problemas, sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os clculos. 2- Duas conseqncias importantes da frmula de mudana de base so as seguintes: a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que no precisa ser indicada).b) logba . logab = 1Exemplos:a) log37 . log73 = 1b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850 3. FUNES 3.1 FUNO LINEAR Definio: Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Nafunof(x)=ax+b,onmeroachamadodecoeficientedexeonmerobchamadotermo constante. Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 Grfico O grfico de uma funo polinomial do 1 grau,y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o grfico da funo y = 3x - 1: Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o auxlio de uma rgua: a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1). b)Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,e outro ponto . Marcamos os pontos (0, -1) eno plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. xy 0 -1 0 J vimos que o grfico da funo afim y = ax + b uma reta. 27 Ocoeficientedex,a,chamadocoeficienteangulardaretae,comoveremosadiante,aestligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox. Otermoconstante,b,chamadocoeficientelineardareta.Parax=0,temosy=a0+b=b. Assim,o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 3.2 FUNO QUADRTICA Definio Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a0. Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas: 1.f(x) = 3x2 - 4x+ 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 12.f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -13.f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 54.f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 05.f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 Grfico O grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax2 + bx + c, com a0, uma curva chamada parbola. Exemplo:Vamosconstruirogrficodafunoy=x2+x:Primeiroatribumosaxalgunsvalores,depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. xy -36 -22 -10 00 12 26 Observao: Ao construir o grfico de uma funo quadrtica y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima;se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo; 28 Zero e Equao do 2 Grau Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c , a0, os nmeros reais x tais que f(x) = 0. Entoasrazesdafunof(x)=ax2+bx+csoassoluesdaequaodo2grauax2+bx+c=0,as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara: Temos:

Observao Aquantidadederazesreaisdeumafunoquadrticadependedovalorobtidoparaoradicando ,chamado discriminante, a saber: quando positivo, h duas razes reais e distintas;quando zero, h s uma raiz real;quando negativo, no h raiz real. Coordenadas do vrtice da parbola Quandoa>0,aparbolatemconcavidadevoltadaparacimaeumpontodemnimoV;quandoa 0, a > 0 2 quando a < 0, a < 0 Construo da Parbola possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observao seguinte: 1.O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola;2.Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x;3.O vrtice Vindica o ponto de mnimo (se a > 0), ou mximo (se a< 0);4.A reta que passa por V e paralela ao eixo dosy o eixo de simetria da parbola;5.Para x = 0 , temos y = a 02 + b 0 + c = c; ento(0, c) o ponto em que a parbola corta o eixo dos y. Sinal Consideramos uma funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y negativoeosvaloresdexparaosquaisypositivos.Conformeosinaldodiscriminante=b2-4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1 - > 0 Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1x2). 30 A parbola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo o indicado nos grficos abaixo: quando a > 0 y > 0(x < x1 ou x > x2)y < 0x1 < x < x2 quando a < 0 y > 0x1 < x < x2 y < 0(x < x1 ou x > x2) 2 - = 0 quando a > 0 31 quando a < 0 2 - < 0 quando a > 0 32 3.3 FUNO EXPONENCIAL Chamamos de funes exponenciais aquelas nas quais temos a varivel aparecendo em expoente. Afuno f:IRIR+definidaporf(x)=ax,comaIR+ea1, chamadafunoexponencialdebase a. O domnio dessa funo o conjunto IR (reais) e o contradomnio IR+ (reais positivos, maiores que zero). GRFICO CARTESIANO DA FUNO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 01; quando 0 3 Vimos que a regra de Sarrus vlida para o clculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matrizdeordemsuperiora3,devemosempregar o TeoremadeLaplacepara chegaradeterminantesde ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus. 7. NOES DE TRIGONOMETRIA 7.1. TRINGULO RETNGULO Tringulo retngulo assim denominado, todo aquele que possui um ngulo reto (= 90). Elementos do tringulo retngulo O tringulo retngulo (figura abaixo) possui os seguintes elementos: Hipotenusa (a): lado do oposto ao ngulo reto. o lado maior de um tringulo retngulo. Lado que no forma o ngulo reto). Catetos (b e c): so os lados do tringulo que formam o ngulo reto. ngulos (, B e C): so formados pelo encontro de dois lados. No tringulo retngulo abaixo, esto representados esses elementos B Hipotenusa ( a ) Cateto ( c ) ACateto (b) C Nota: Em todo tringulo (seja ele retngulo ou no) a soma dos ngulos internos sempre igual a 180, isto : A = 90 B + C = 90 TEOREMA DE PITGORAS Dentreasvriasrelaestrigonomtricasnotringuloretngulo,destacamosoteoremadePitgorascuja importncia grande na rea mecnica. Seu enunciado o seguinte: O quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. 2 Considerando o tringulo retngulo acima, temos: Exemplos: A+ B+ C =180 a 2=b 2+c 2 51 Calcular x e y, nos tringulos retngulos abaixo: x 2 = 9 2 + 12 2 15 2 = 9 2+y 2 x 2 = 81 + 144225 = 81 +y 2 x = 225 225 - 81 =y 2 x=15y = 144y =12 a = Hipotenusa b= Cateto c = Catetoh = Altura m = projeo do cateto AB = c sobre a hipotenusa n = projeo do cateto AC = bsobre a hipotenusa 7.2. Relaes Mtricas no Tringulo b 2= a.n c 2= a.m b.c = a.h a 2 = b 2+ c 2

h 2=m . n A cb B C m n a h E X E R C C I O S 52 01. Calcule o valor de X nas figuras: a) 912 X b) X

618 c) 1525 X d) 30 X 40 50 e) X h Y 4 12 a f) 6080 nm 100 7.3. RELAES TRIGONOMETRICAS NO TRIANGULO RETNGULO 53 So 06 (seis) as relaes trigonomtncasno tringulo retngulo: Seno (sen), Co-seno (cos), Tangente (tg),Co-tangente (cotg), Secante (sec), Co-secante (cossec) Estudaremosastrsprimeirasporseremdemaiorimportnciaparaosnossosestudos,antes,porm, precisamos definir alguns elementos. Em todo tringulo retngulo temos: Cateto Oposto: lado do tringulo que no faz parte do ngulo considerado. o que est do lado oposto ao ngulo a que se refere. CatetoAdjacente(Vizinho):Ladodotringuloque,juntocomahipotenusa,formamongulo considerado. Hipotenusa: j vimos que o lado oposto ao ngulo reto. Emumtringulochamamosoladoopostoaonguloretodehipotenusaeosladosadjacentesde catetos

a b c x304560 Sen Cos Tg 1 ngulo a = Hipotenusa b = Cateto Oposto c = Cateto Adjacente sen =b/a cossec =a/b cos = c/asec = a/c tg =b/ccotg =c/b Conseqncias: sen =1 / cossec tg =sen /cos cos =1/sec cotg = cos /sen tg =1/cotg 54 01. No tringulo retngulo da figura, calcule as funes sen, cos, tg,, sec, cossec e cotgdos ngulos agudosB e C A 15 2 B C 25 02. Determine o termo desconhecido nos tringulos retngulos abaixo: a) 24 X 30 b) X 30 3 4 d) X12 30 LISTAS DE EXERCCIOS: E X E R C C I O S 55 LISTA DE EXERCCIOS 01 EXPRESSES NUMRICAS 01. Calculando-se o valor da expresso 1 , 0 8 , 02 , 0 : 4 , 0 2 , 0 5 , 0 , obtm-se: a) 17,315 b) 1,7315 c) - 23,75a)2,375 b)e) 23,75 02. O valor da expresso: { (- 2) 3 + 4 x [ 3 2 + 8 : (- 2) ] } : ( - 1 ) 5 a)- 12 b)-9 c)13 d)11 e)10 03. O valor da expresso: { ( - 1 ) 3 + 2x [ 2 5+ 6 : ( - 3 ) ] } : ( 2 ) 2: a) 14,75 b) - 120 c) - 236 d) 120 e) 236 04.O valor da expresso: { ( - 1 ) 3-( 3 2 x 7-60 ) +[41+ ( 7 2 + 8 2) ] : 14 } : (-7)} : a) 7 b)- 7c) 1 d)- 1e)0 LISTA DE EXERCCIO2 01. (UFD) - Um aluno ganha 5 pontos por exerccios que acerta e perde 3 por exerccios que erra. Ao fim de 50 exerccios tinha 130 pontos. Quantos exerccios ele acertou? a) 35 b) 34c) 33 d) n.d.a 02. . A diferenaentre dois nmeros reais 3. multiplicandoo maior numero pr 5 e o menor pr 2 , a soma desses produtos igual a 43. Quais so estes dois nmeros ? 03. Verifique se o par ordenado ( 1,3 ) e (3, 1).qual deles a soluo do sistema. 56 = += 11 2 35 2Y XY X 04.Identifique o 1 membro e o 2 membro nas equaes abaixo : EQUAES1 MEMBRO2 MEMBRO a) 8x 2 = 5x b) 5 ( x +2) 3 ( x + 6) = 40 c)21 23X X = + d)1216143 =++ X X X 05. Resolva as seguintes equaes: a) 8x 2 = 5xb) 5 ( x +2) 3 ( x + 6) = 40 06. (UCSAL) Seja a funo de IR em IR definida por (X) = 54x+ 45. O valor de (2541) - (2540) : a) 1b) 54c) 90d) 99e) 108 LISTA DE EXERCCIO 03 1) Determine a medida do volume de uma esfera que tem por medida do dimetro 2 dm. Exprimir em dm3 (A)4,187 dm3 (B)100,48 dm3 (C) 33,4 dm3 (D)524 dm3 2)Determinar a medida do volume de um cone cujo raio da base 10 cm e cuja altura de 3 cm. Exprimir em mm3 (A)3140000 mm3 (B) 31400 mm3 (C)94200mm3 (D)314000000mm3 3)Determine a rea do crculo cujo dimetro tem por medida 4m. (A)1256 m2 (B)12,56 m2 (C) 125,6 m2 4)Sabendo-se que a rea do quadrado de 80 cm2, determine o lado desse quadrado. 57 (A)54 (B)25 (C)45 (D)52 5)Calcular a rea do paralelogramo, onde a medida da altura 30 cm e a medida da base 4/10 da altura. (A) 12 cm2 (B) 36 cm2 (C) 360 cm2 (D)180 cm2 6) Calcule a rea e o volume do cubo, sabendo-se que sua aresta mede 5 cm. 7) Calcular o volume do slido abaixo: Sabendo-se que a altura h igual a 5m e o raio da base igual 2m a)62,8 m3 b)12,8 cm3 c)24 cm3 d)24 cm3 e) 94,2 cm3 8) Calcular o volume do slido abaixo: a)17 m b)40 m c)40 m3 d)135 m3 e)135 m2 5 m3 m 9 m 5 h 58 BIBLIOGRAFIA Marcondes gentil e Sergio. Matemtica novo ensino mdio ed. ATICA. So Paulo, Atual, 2003. BIACHINI, Edivaldo. Matemtica: 1o grau. 3. ed. So Paulo, Moderna, 1991. IMENES, Luiz Mrcio Pereira. Matemtica: idias e desafios, Saraiva 1999. Barreto filho, Benigno;. Matemtica Aula por Aula 1a edio. So Paulo, FTD 2003. GIOVANNI, Jos Ruy. Matemticapensar e descobrir: : 8a sries.So Paulo, FTD, 2000. VIVEIROS, Tnia Cristina Neto. Mini manual de Matemtica. Ensino Mdio. Ed. Rideel. SMOLE, Ktia Cristina Stocco. Matemtica 2: 2o grau. So Paulo, Saraiva, 1998. GENTIL, Nelson. Matemtica para o 2o grau 1 e 2. 6 ed.So Paulo, tica, 1997. IEZZI, Gelson. Matemtica Elementar. 3.ed. So Paulo,Atual, 1998.