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Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y TECNOLOGIA
4
MAGISTER EN
METODOS
NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES
EN INGENIERIA
MATEMATICA
NUMERICA
OBJETIVOS
Aprender a usar Matlab para resolverproblemas que involucren interpolaciónpolinómica
Familiarizarse con los métodos numéricos deinterpolación con polinomios uni y multivariados
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Tema 4Interpolación Polinómica
Necesidad de aproximación de funciones.Interpolación, objetivo, detalles a tener en cuenta,tipos de interpolantes. Funciones base.Interpolación polinómica: base monomial, métodosde Newton y Lagrange. Error y selección de lafunción de interpolación polinómica. Interpolación deHermite, formulación de Lagrange y Newton, errorde truncación. Interpolación de funcionesbivariadas, tipos y error en la estimación.Interpolación multivariable. Funciones de Matlab.
TEMAS
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Tema 4Interpolación Polinómica
Se dispone de un conjunto de datos (x,y), que provienen
de experiencias y se quiere
encontrar una función que
“pase” por esos puntos.
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INTERPOLACIÓNProblema Básico
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Datos los datos:
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INTERPOLACIÓNProblema Básico
(xi,yi), i = 1, 2, ..., n
con x1,< x2, < ... < xn, determinar la función f, tal que:
f(xi) = yi , i = 1, 2, ..., n
f es llamada la Función de Interpolación o Función Interpolante o Interpolante a secas.
En forma adicional, dependiendo del tipo de interpolación, se pueden imponer otras restricciones como pendiente en determinados puntos, concavidad, etc.
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Tener una curva suave que pase a través de puntos discretos
Disponer una forma fácil para la evaluación de una función que pasa a través de puntos
Reemplazar una función “difícil” por otra “fácil” de evaluar y manipular
Leer “entre líneas” una tabla
Diferenciar o integrar datos tabulados
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INTERPOLACIÓNObjetivo
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Por definición, la Función de interpolación ajusta exactamente los datos.
INTERPOLACIÓN vs REGRESIÓN
La interpolación, entonces, es apropiada cuando se manejan datos con errores experimentales despreciables
En regresión, se busca la curva que “más se aproxime” a los datos
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La interpolación esta pensada para trabajar
entre los datos.
La predicción que se hace extrapolando debe
tomarse con sumo recaudo.
INTERPOLACIÓN vs
EXTRAPOLACIÓN
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La Función de interpolación NO ES ÚNICA. La elección de esta función debe tener en cuenta el grupo de datos.
¿Qué forma deberá tener la función?
¿Cómo debe comportarse la función entre datos?
¿Deberá respetar determinadas características como monotonía, concavidad o periodicidad?
Si la función junto con los datos debe ser graficada, ¿debe tener una forma agradable?
INTERPOLACIÓN Detalles a tener en
cuenta p1
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La elección de la Función de interpolación se hace para facilitar:
- La determinación de los parámetros
- La evaluación de la función
- La diferenciación e integración
INTERPOLACIÓN Elección y tipos de
interpolantes p1
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TIPOSPolinomios
Polinomios a tramos Funciones
trigonométricas
Exponenciales
Racionales
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La familia de Funciones de Interpolación se puede expresar por un conjunto de Funciones Base:
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INTERPOLACIÓN Funciones base
(x)φ ..., (x),φ (x),φ n21
y la Función de Interpolación se expresa como una combinación lineal de las Funciones Base:
n
1j
jj (x)φa f(x)
Se debe cumplir que:
n ..., 1,2, i y)(xφa )f(x i
n
1j
ijji
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¿Qué tipo de función se puede usar para la interpolación?
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INTERPOLACION POLINOMIAL
Teorema (teorema de aproximación de Weierstrass)
Suponga que f está definida y es continua en [a, b]. Para ε > 0 existe un polinomio P definido en [a, b], con la propiedad de que
|f(x) – P(x)| < εpara toda x en [a, b]
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Los polinomios son las funciones más simples y comunes para la interpolación.
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INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Existe un único polinomio de grado n-1 que pasa a través de n puntos (xi,yi).
Hay muchas formas de representar o computar el polinomio de interpolación, pero en teoría, todas las formas deben conducir al mismo resultado.
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INTERPOLACIÓN POLINOMIALBase monomial
En este caso:
1n
n
2
3211n xaxaxaa(x)Pf(x)
j-1
j x(x)φ
con lo que la función polinomial de interpolación resulta:
x(x)φ2 2
3 x(x)φ 3
4 x(x)φ
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INTERPOLACIÓN POLINOMIALBase monomial
Los coeficientes se pueden evaluar resolviendo el sistema lineal que resulta de remplazar los valores de x e y en la función polinómica y = f(x), donde las incógnitas son los valores de los coeficientes a:
y
.
.
y
y
a
.
.
a
a
x..x1
....
....
x..x1
x..x1
n
2
1
n
2
1
1n
nn
1n
22
1n
11
Matriz de
Vandermonde
y a [A]
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INTERPOLACIÓN POLINOMIALBase monomial
Para base monomial, resulta una matriz A que en general estará mal condicionada, especialmente para polinomios de alto grado (grado 5 en adelante).
Por eso, no es recomendable esta forma de abordar el problema.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
11 (x)φ
x(x)φ 2
2
3 x(x)φ
1n
n
2
3211n xaxaxaa(x)Pf(x)
La función f es suma de
monomios
con el punto medio
y la mitad del rango de los datos
De esta forma la nueva variable independiente z cae en el intervalo [-1,1]
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INTERPOLACIÓN POLINOMIALBase monomial
Para hacer menor el problema de mal condicionamiento se puede recurrir a un escalado de la variable independiente x:
d
cxz
2
xxc n1
2
xxd 1n
La base monomial queda entonces
De todos modos, siguen los problemas de un pobre condicio-namiento, sumado a una gran esfuerzo de cómputo o(n3)
d
cx(x)
1j
j
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INTERPOLACIÓN DE LANGRANGE
con: lo que significa que para
la base de Lagrange
También se usa un polinomio como función de interpolación, pero:
ii (x)yL)(x)f(xL(x)Pf(x)n
1j
j
n
1j
j1n
n
jk1k j
j
k
k
xx
xx(x)L
j i si 0
j i si 1 )(xL ij
Lo que significa que la matriz del sistema lineal para obtener los coeficientes de la función resulta ser la matriz identidad. DETERMINACION PRECISA.
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INTERPOLACIÓN DE LANGRANGE
El polinomio de la interpolación de Lagrange para los puntos dados resulta:
(x)Ly ... (x)Ly(x)Ly(x)P nn22111n
Orden 1: 2
12
11
21
21 y
xx
xxy
xx
xx(x)P
3
2313
21
3212
31
1
3121
322
y)x)(xx(x
)x)(xx(xy
)x)(xx(x
)x)(xx(x
y)x)(xx(x
)x)(xx(x(x)P
2
Orden 2:
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INTERPOLACIÓN DE LANGRANGE
Los coeficientes de la función de interpolación de Lagrange son muy fáciles de evaluar, pero la evaluación de la función para un dado argumento es más costosa.
Además, la forma de Lagrange resulta más difícil para emplearla en diferenciación e integración.
Funciones de Lagrange
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INTERPOLACIÓN DE LANGRANGE
Funciones de Lagrange
para 3 Puntos
L2(x)f(x2)
L3(x)f(x3)L1(x)f(x1)
x1 x2 x3
P2(x)
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INTERPOLACIÓN DE LANGRANGE
EJEMPLOUse un polinomio de Lagrange de primer y segundo orden para para evaluar el ln(2) en base a los datos
1x1 0ln(1))f(x1
4x2
6x3
1.386294ln(4))f(x 2
1.791760ln(6))f(x 3
Para interpolación lineal (orden 1):
0.46209811.38629414
120
41
42(2)P1
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INTERPOLACIÓN DE LANGRANGE
Para interpolación de orden 2: 0.5658444 1.791760
4)1)(6(6
4)1)(2(2
1.386296)1)(4(4
6)1)(2(20
6)4)(1(1
6)4)(2(2(x)P2
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INTERPOLACIÓN DE NEWTON
La función polinómica de interpolación de Newton tiene para n datos la forma:
)x)...(xx)(xx(xa
...
)x)(xx(xa
)x(xa
a(x)Pf(x)
1n21n
213
12
11n
La base monomial es
1j
1k
kj )x(x(x)
Se ve que los coeficientes a se pueden calcular fácilmente.
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INTERPOLACIÓN DE NEWTON
La interpolación de Newton tiene un mejor balance entre costo de computación del interpolante y costo de la evaluación de esta función.
Funciones Monomiales
1j
1k
kj )x(x(x)
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INTERPOLACIÓN DE NEWTON
Los coeficientes se pueden evaluar resolviendo el sistema lineal que resulta de remplazar los valores de x e y donde las incógnitas son los valores de los coeficientes a:
y
.
.
y
y
a
.
.
a
a
)x(x.)x)(xx(x)x(x1
....
.)x)(xx(xxx1
0...0xx1
0...001
n
2
1
n
2
1
kn2n1n1n
231313
12
La matriz del sistema es triangular inferior y se puede resolver por
sustitución hacia adelante
y a [A]
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INTERPOLACIÓN DE NEWTON
De lo anterior, se puede ver que resulta también fácil cambiar de orden del polinomio de interpolación
(x)a(x)P(x)P 1j1jj1j
La interpolación de Newton empieza con un polinomio que es una constante: 11 a(x)P
Y sucesivamente se pueden ir incorporando el resto de los datos pasando a grado 1, 2 , … hasta n-1
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INTERPOLACIÓN DE NEWTON
se definen las Diferencias Dividas en forma recursiva:
Para un conjunto de puntos: (x1,y1), (x2,y2), y (x3,y3)
0 1
2 11
2 1
3 2 2 1
3 2 2 1 2 11
3 1 3 1
d y
y yd
x x
y y y y
x x x x d ddd
x x x x
La función de interpolación puede escribirse entonces:
1n211-n
211
1101n
xxxxxxdddd
xxxxdd
xxddxP
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INTERPOLACIÓN DE NEWTON
Ejemplo
X Y
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
X Y d dd ddd dddd
0 1
101
12
12
12
xx
yy
1 2 5.002
12
13
12
xx
dd
212
24
23
23
xx
yy
1667.003
5.01
14
12
xx
dddd
2 4 113
24
24
23
xx
dd 04167.0
04
167.033.0
15
12
xx
dddddd
423
48
34
34
xx
yy 3333.0
14
12
25
23
xx
dddd
3 8 224
48
35
34
xx
dd
8
34
816
45
45
xx
yy
4 16
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INTERPOLACIÓN DE NEWTON - Ejemplo
X Y
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
)x)(xx)(xx)(xx(xa)x)(xx)(xx(xa
)x)(xx(xa)x(xaa(x)P
2121
213121
43433
4
3)2)(x1)(x0)(x0.042167(x 2))(x10)(x0.1667(x
1)0)(x0.5(x0)1.0(x1(x)P
2
4
X Y d dd ddd dddd
0 1
101
12
12
12
xx
yy
1 2 5.002
12
13
12
xx
dd
212
24
23
23
xx
yy
1667.003
5.01
14
12
xx
dddd
2 4 113
24
24
23
xx
dd 04167.0
04
167.033.0
15
12
xx
dddddd
423
48
34
34
xx
yy 3333.0
14
12
25
23
xx
dddd
3 8 224
48
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45
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ERROR EN INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
Si f es derivable, se puede demostrar que:
]x,[x ξ y
(ξfn!
)x)...(xx(x(x)Pf(x)
n1
(n)n1n
)1
La interpolación puede interpretarse como la operaciónque permite inferir cual es la función continua f (real) apartir de información discreta. La discrepancia es elError de Interpolación.
Esta expresión no es particularmente útil, salvo si seconoce f, que no será el caso general. Sin embargo sirvepara conocer los factores que influyen en la precisión dela aproximación polinómica.
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En la gráfica se representa el factor del
Error de Interpolaciónpara datos
equiespaciados
Queda claro el problema de realizar
extrapolación fuera del
intervalo en el que se
encuentran los datos.
0 1 2 3 4 5 6 7-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Rango de Interpolación
ERROR EN INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
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RIA “Mirando” dentro del intervalo de interpolación
(datos equiespaciados), se puede concluir que los Errores de interpolación son menores en el centro del intervalo [x1,xn].
0 1 2 3 4 5 6 7-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Rango de Interpolación
ERROR EN INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
Factor del Errorn!
)x)...(xx(x n1
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RIA La interpolación polinomial de alto grado es costosa para
la determinación de lo coeficientes de la función.
INTERPOLACIÓN POLINÓMICAGrado del polinomio
Los polinomio dealto grado necesa-riamente tienen“mucha oscilación”,lo que genera unafunción de interpo-lación que no refle-ja la relación delos datos.
En algunas bases, el polinomio queda pobremente deter-minado debido a que los coeficientes se calculan consistemas mal condicionados.
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Si los datos están equi-espaciados, puede surgir una fuerte oscilación polinómica cuando el número de datos (y por lo consiguiente el grado del polinomio) crece.
INTERPOLACIÓN POLINÓMICALocalización de los puntos
Un ejemploclásico es elde la funciónde Runge:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x1
1f(x)
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RIA
Como los datos equi-espaciados, no dan a menudo resultados satisfactorios en los extremos del intervalo de interpolación, se puede emplear otro espaciamiento (mayor densidad en los extremos).
INTERPOLACIÓN POLINÓMICALocalización de los puntos
Una posibilidad es usar los Puntos de Chebyshev:.
n ..., 2, 1, k
2n
1)π(2kcos
2
ab
2
bax
*
k
Corresponden a las raíces de los polinomios ortogonales de Chebyshev
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Usando datos equi-espaciados (5 y 10 puntos)
INTERPOLACIÓN POLINÓMICALocalización de
los puntos
Localización de los nodos según los Puntos de Chebyshev (5 y 10 puntos)
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RIA
Otro ejemplo de localizacion de los nodos. La función es f(x) = xn. Ahora se ve el efecto sobre el error.
INTERPOLACIÓN POLINÓMICALocalización de los puntos
n = 12 puntosn = 8 puntos
Equiespaciados Puntos de Chebyshev
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
INTERPOLACIÓN DE HERMITE
Dada la tabla(xi, yi, yi’) i=1,..,n,existe un único poli-nomio H(x) de grado alo más 2n-1 tal que:
En algunas aplicaciones se requieren métodos deinterpolación que verifiquen ciertos puntos y suscorrespondientes derivadas. En esta idea se apoyala Interpolación de Hermite
n , ... 2, 1, i
)(xf''ydx
)(xdH
)f(xy)(xH
i
i
ii1n
ii1n
Esta idea puede extenderse con derivadas deorden superior y genéricamente se las designacomo Interpolación Hermítica
MA
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UM
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Y
CO
MP
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CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
INTERPOLACIÓN DE HERMITEFórmula de Lagrange
Se puede construir estos polinomios usando laestructura de los polinomios de Lagrange,
)(x(x)f'H)(x)f(xH(x)Pf(x) ii
n
1i
i
n
1i
i1n
~
(x))Lx(x(x)H
(x)L(x)')Lx2(x1(x)H
2
iii
2
iiii
~
Los multiplicadores H de Hermite están basados en losmultiplicadores de Lagrange:
Así se puede construir un polinomio con determinaciónprecisa de sus coeficientes, aunque su elaboraciónresulta algo compleja.
MA
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Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
INTERPOLACIÓN DE HERMITEFórmula de Newton
Una forma alternativa de encontrar el interpolantede Hermite es a través de diferencias divididassiguiendo la idea del método de Newton.
Se puede construir una tabla. Lo que se llamó d enla Tabla del Método de Newton, aquí se nota con[x0 x1] (notación muy difundida).
MA
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INTERPOLACIÓN DE HERMITEFórmula de Newton
La Tabla de diferencias divididas queda:
Y el polinomio resulta:
MA
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NA
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RIA
Si f es derivable, se puede demostrar que:
]x,[x ξ y
ξf!2n
)x...(x)x(x(x)Hf(x)
n1
(2n)2
n
2
112n
Puede probarse que el Error de Truncación coninterpolación hermítica vale:
Esta expresión permite valorar los factores queinfluyen en la precisión de la aproximación hermítica.
INTERPOLACIÓN DE HERMITEError de Interpolación
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RIA
INTERPOLACIÓN DE FUNCIONES BIVARIADAS
La interpolación polinómica de funciones multivariadasse hacen mediante procedimientos que son extensio-nes de los métodos vistos. La situación más simple esel caso de funciones de dos variables.
La Función de Interpolación se expresa como unacombinación lineal de las Funciones Base:
(y)Ψ (x)Φa y)f(x, j
n
1i
m
1j
iij
Se debe cumplir en los nodos:
.... 2, 1, k )(yΨ )(xΦa )y,f(x kj
n
1i
m
1j
kiijkk
MA
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RIA
A igual que en el caso univariado, las funciones basemás usadas son las monomiales. En particular si seconsideran monomios hasta grado 1 (n = 1; m = 1),la interpolación se denomina bilineal.
Se considera que se disponede una grilla de puntos.
INTERPOLACIÓN BILINEAL
xyayaxaa y)f(x, 22211211
1 1,x y 1,nx y
,n mx y 1, mx y
,i jx y
El Punto a interpolar (x,y)queda dentro de la celdarectangular
MA
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NA
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RIA Para minimizar los errores
de redondeo, se recurre aun escalado de las variables:
i1i
i
i1i
i
yy
yyq
xx
xxp
INTERPOLACIÓN BILINEAL
Esta forma de escribir la función permite el cálculopreciso de los coeficientes, de acuerdo con la ideade la interpolación de Lagrange.
1j1,i1ji,j1,i
ji,
pqfp)qf(1q)fp(1
q)fp)(1(1 y)f(x,
f(x,y)
MA
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RIA
Los errores de redondeo son de orden Δ2x o Δ2y
Baja Resolución
INTERPOLACIÓN BILINEAL
Media Resolución
Alta Resolución
La interpolación bilineal conduce a funciones que soncontinuas con discontinuidades en la primeraderivada en las líneas de la grilla
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INTERPOLACIÓN DE FUNCIONES BIVARIADAS
Para mejorar la precisión se puede incrementar elorden de las funciones base. Una interpolacionbicuadrática implica un interpolante de la forma:
Como son 9 los coeficientesque hay que calcular, serequiere la información decuatro celdas adyacentes(nueve nodos).
(i,j) (i+1,j)(i-1,j)
(i,j-1) (i+1,j-1)(i-1,j-1)
(i,j+1) (i+1,j+1)(i-1,j+1)
(x,y)
22
3
2
2
2
1
2
3
2
21321
yxγxyγyxγyβ
xβxyβyαxαα y)f(x,
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Para emplear menos coeficientes (y menos nodos)como base del interpolante, se proponen diversasestructuras para interpolación cuadrática, como:
Hay distintas alternativaspara la selección de losnodos 6 que se requieren.
A modo de ejemplo, lapropuesta de Abramowitz yStegun (1972). se muestraen la figura.
Se logra errores detruncación de orden Δ3x o Δ3y
(i,j) (i+1,j)(i-1,j)
(i,j-1) (i+1,j-1)(i-1,j-1)
(i,j+1) (i+1,j+1)(i-1,j+1)
(x,y)
2
3
2
21321 yβxβxyβyαxαα y)f(x,
INTERPOLACIÓN BICUADRÁTICA
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Si se dispone de una grillauniformemente espaciada(Δx y Δy del mismovalor), se aplican lasfórmulas:
(i,j) (i+1,j)(i-1,j)
(i,j-1) (i+1,j-1)(i-1,j-1)
(i,j+1) (i+1,j+1)(i-1,j+1)
(x,y)
i1i
i
i1i
i
yy
yyq
xx
xxp
1j1,i1ji,j1,i
ji,
22
j1,i1ji,
pqf1)f2pq(q2
11)f2qp(p
2
1
)fqppq(11)fp(p2
11)fq(q
2
1 y)f(x,
INTERPOLACIÓN BICUADRÁTICA
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INTERPOLACIÓN DE FUNCIONES BIVARIADAS
INTERPOLACIÓN DE ALTO ORDENHay varias posibilidades de interpolantes de órdenesmayores. Los más aceptados son de orden 3. Losmétodos más usados son aquellos desarrollados paragráficos en computadoras.
USO DE OTRAS GRILLASHay una cantidad de métodosnuméricos para integrarecuaciones diferencialesparciales a partir de mallas noestructuradas de triángulos(Elementos Finitos, VolúmenesFinitos, Elementos Espectrales).
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INTERPOLACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIADAS
Las ideas anteriores pueden generalizarse para másdimensiones. Para funciones de tres variables
INTERPOLACIÓN TRILINEARMétodo de interpolación sobre una grilla regular de 3dimensiones. Evalúa la función en un punto intermedio (x,y, z) dentro de un prisma rectangular usando datos ´delos vértices (nodos).
i1i
i
i1i
i
i1i
i
zz
zzr
yy
yyq
xx
xxp
kj,i,kj,1,ik1,ji,
1kj,i,1kj,1,ik1,j1,i
kj,1,ikj,i,
pqrfp)qrf(1r)fp)q(1(1
q)rfp)(1(1q)rfp(1r)fpq(1
r)fq)(1p(1r)fq)(1p)(1(1 z)y,f(x,
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INTERPOLACION DE FUNCIONES MULTIVARIADAS
INTERPOLACIÓN TRICÚBICAMétodo para obtener valores en puntos del espacio de3D de una función definida sobre una malla regular. Laaproximación se hace con una función de la forma:
zyxa z)y,f(x,3
i
3
j
3
k
kji
ijk
0 0 0
Implicando 64 coeficientes. Se han ensayado funcionescon menor número de coeficientes.
INTERPOLACIÓN AL ADYACENTE MÁS PRÓXIMOEl algoritmo comúnmente es usado por la simpleza con laque se pone en práctica, sobre todo en el procesamientode imágenes.
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FUNCIONES DE MATLAB
interp1 – interp1q Realiza la interpolación de 1 variable
Sintaxisyi = interp1(x,y,xi)yi = interp1(x,y,xi,'method')
interp2Realiza la interpolación de 2 dimensiones
Sintaxiszi = interp2(x,y,z,xi,yi)zi = interp2(x,y,z,xi,yi,method)interp3
Realiza la interpolación de 3 dimensiones
Sintaxiszi = interp3(x,y,z,w,xi,yi,zi)zi = interp3(x,y,z, w,xi,yi,zi,method)
