Matematic a. Bacalaureat Nat˘ional. Pro lul Pedagogic · Primul subiect Subiectul I discut a chestiuni legate de-manipularea algebraic a a unei expresii ce cont˘ine r ad acini p

Matematica. Bacalaureat National.Profilul Pedagogic

Valentin Bura

[email protected]

mailto:[email protected]

Cuprins

I Modeluri Propuse 2

1 Model 2019 3

2 Model 2018 30

3 Model 2017 55

4 Model 2016 80

1

Partea I

Modeluri Propuse

2

Capitolul 1

Model 2019

3

Primul subiect

Subiectul I discuta chestiuni legate de

- manipularea algebraica a unei expresii ce contine radacini patrate,ınmultiri si adunari,

- calculul (evaluarea) unei functii lineare,

- rezolvarea unei ecuatii ın multimea R a numerelor reale, prin aplicareaunei tehnici simple de rezolvare,

- calculul cu proportii, un rationament simplu ce implica derivarea uneiecuatii si rezolvarea acesteia,

- calculul in reper cartezian, ın care se rationeaza cu coordonate,

- rezolvarea triunghiului dreptunghic, ce presupune stapanirea unor for-mule simple.

4

Sinopsis

Aritmetica simpla. Calcul simbolic cu ınmultiri si adunari. Intelegereanotiunii de radacina patrata. Notiunea de patrat perfect, notiunea de numarprim. De exemplu

√20 =

√4× 5 = 2

√5, deci am ales sa exprimam 20 ca

20 = 4× 5, mai degraba decat 20 = 10× 2, care nu ar fi fost convenabil. Deasemenea, recunoastem ca 5 este numar prim, prin urmare nu are alti factori,prin urmare nu poate fi epxrimat ca alta ınmultire, asa ca expresia

√20 =√

4× 5 = 2√

5 a fost adusa la forma finala si nu mai poate fi simplificata.

Evaluarea unei functii. Pentru aceasta este necesara o ıntelegere de bazaa notiunii de functie. In prima instanta avem de aflat un numar simbolic ape care ıl aflam prin evaluarea functiei f(x) ın punctele x = 3 si x = 1, iarın a doua instanta, evaluam functia f(x) pentru x = a.

Rezolvarea unei ecuatii in multimea numerelor reale R. In prima fazaavem o ecuatie cu radicali, prin urmare este necesara eliminarea radicalilor,iar ın a doua faza obtinem o ecuatie de gradul doi ce se rezolva dupa metodastandard. Deci, avem o ecuatie de forma

√X = Y unde X, Y sunt doua

expresii simbolice mai complexe. Este necesara eliminarea radicalului dinpartea stanga a ecuatiei, prin ridicarea la patrat a ambelor parti ale ecuatiei,adica [

√X]2 = Y 2 ceea ce devine X = Y 2, o ecuatie de gradul doi pe care o

putem rezolva usor dupa formule.

Calcul simbolic cu proportii. O anumita magnitudine este redusa cu50% de doua ori, si rezulta o reducere totala pana la 25% din valoaea initiala.Rezulta ecuatia 1

4T = 100 pentru care trebuie sa calculam valoarea T .

Geometrie simpla. Desenarea unei figuri ın reper cartezian. Recunoastereacoordonatelor ın doua dimensiuni si deducerea unor relatii algebraice simpleın aceste coordonate.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Prin aceasta se ıntlege determi-narea magnitudinii unor laturi (segmente) necunoscute, avand ın vedere case cunosc magnitudinile altor laturi, sau unghiuri.

5

Manipulare algebraica. Factori. Numere prime. Radacinipatrate.

Aratati ca:

2√

3−√

20 +√

45−√

5 +√

4−√

12 = 2

Ce se cere

Se prezinta o expresie cu radicali, si se cere sa aratam ca aceasta expresieeste egala cu 2.

Strategie

Se exprima cantitatile de sub radicali ca produs de patrate perfecte.

Se scot factorii patrate perfecte de sub radicali.

Se simplifica expresia, si obtinem ceea ce trebuia demonstrat.

Rezolvare

2√

3−√

20+√

45−√

5+√

4−√

12 = 2√

3−√

4× 5+√

9× 5−√

5+2−√

4× 3 =

2√

3− 2√

5 + 3√

5−√

5 + 2− 2√

3 = 2√

3− 2√

3− 2√

5 + 3√

5−√

5 + 2 = 2

Concluzie

Am demonstrat ca expresia din partea dreapta a egalului este egala cu con-stanta 2.

Am folosit exprimarea ın factori patrate perfecte, extrageri de radacini patrate,si calcul algebraic.

6

Evaluarea unei functii lineare.

Se considera functia f(x) : R→ R definita astfel:

f(x) = x + 7

Calculati f(a) pentru a = f(3)− f(1).

Ce se cere

Se prezinta o functie lineara f(x) cu domeniu si codomeniu pe numerele reale,definita ca f(x) = x + 7.

Se cere evaluarea functiei f(x) ın punctul x = a, pentru a = f(3)− f(1).

Prin urmare, se cere de fapt evaluarea expresiei f(f(3)− f(1)).

Strategie

Evaluam f(3). Evaluam f(1).

Obtinem un rezultat numeric pentru a.

Evaluam f(a).

Rezolvare

f(3) = 3 + 7 = 10, si f(1) = 1 + 7 = 8.

In acelasi timp f(3)− f(1) = 10− 8 = 2.

Prin urmare, f(a) = 2, pentru a = f(3)− f(1) = (3 + 7)− (1 + 7) = 10− 8 = 2.

Concluzie

Am evaluat o functie f(x) = x + 7 ın punctele x1 = 3 si x2 = 1, am obtinutf(x1) = 10 si f(x2) = 8, apoi am evaluat din nou functia f(x) ın punctula = f(x1)− f(x2).

7

Radacini patrate. Ecuatii de gradul doi.

Sa se rezolve ın multimea numerelor reale R urmatoarea ecuatie:

√2x2 + 4x + 1 = x + 1

Ce se cere

Se cere rezolvarea unei ecuatii cu radicali.

Strategie

Metoda standard este ridicarea la patrat ın ambele parti ale egalitatii.

Rezolvare

Avem √2x2 + 4x + 1 = x + 1

Ridicam la patrat ın ambele parti.

2x2 + 4x + 1 = (x + 1)2

Evaluam (x + 1)2 dupa formula.

2x2 + 4x + 1 = x2 + 2x + 1

Trecem fiecare termen din partea dreapta ın partea stanga, cu semn schimbat.

2x2 + 4x + 1− x2 − 2x− 1 = 0

Simplificam.

x2 + 2x = 0

Factor comun x.

x(x + 2) = 0

Deducem radacinile x1 = 0 si x2 = −2. A doua radacina este obtinuta din ecuatia

x + 2 = 0.

Concluzie

Am rezolvat o ecuatie cu radicali, transformand ıntr-o ecuatie de gradul doi.Am rezolvat ecuatia de gradul doi prin metoda factorizarii.

8

Calcul cu fractii si proportii.

Dupa doua ieftiniri succesive cu cate 50%, un obiect costa 100 de lei.Sa se calculeze pretul initial al obiectului respectiv.

Ce se cere

Este necesar sa aflam o valoare initiala, stiind valoarea finala, dupa douaieftiniri consecutive cu cate 50%.

Strategie

Fixam simbolic valoarea initiala, scriem simbolic valoarea intermediara dupaprima ieftinire, si scriem simbolic valoarea finala dupa a doua ieftinire.

Obtinem o ecuatie ce poate fi rezolvata dupa metode standard.

Rezolvare

Fie valoarea initiala T .

Dupa prima ieftinire, obtinem T ′ = (1/2)T .

Dupa a doua ieftinire, obtinem T ′′ = (1/2)T ′.

Stim ca valoarea finala este de 100 de lei, ceea ce ınseamna T ′′ = 100.

Prin manipulare am obtinut T ′′ = (1/2)T ′ = (1/2)(1/2T ) = (1/4)T .

Prin urmare, (1/4)T = 100 si obtinem T = 400.

Concluzie

Pentru calcul cu reduceri proportionale este necesara exprimarea abstractaa unei cantitati. In acest exercitiu am folosit de asemenea un calcul ın douaetape.

Am exprimat totalul T , am calculat valoarea intermediara T ′ dupa primaieftinire, din care am extras valoarea finala T ′′ dupa a doua ieftinire.

Am obtinut o ecuatie lineara ı n necunoscuta T , pe care am rezolvat-o dupametode standard.

9

Calcul geometric ın repere carteziene.

In reperul cartezian xOy, avem punctele M(−2,−2), N(−2, 0), P (0,−4).Sa se deduca lungimea medianei din punctul M ın triunghiul 4MNP .

Ce se cere

Trebuie sa aflam lungimea unui segment.

Dupa cum specifica ıntrebarea, lucram ın coordonate carteziene xOy.

Acest fapt implica doua lucruri distincte.

A. Lucram ıntr-un spatiu bidimensional, adica ıntr-un plan, un spatiu cudoua dimensiuni, care poate fi o suprafata dreapta, sau pentru scopurilenoastre poate fi foaia pe care scriem.

B. Elemente primitive cu care vom lucra sunt, exact ca ın Geometria Eu-clidiana, puncte, numai ca aceste puncte au o locatie exacta, specificatanumeric.

Strategie

Este necesara schitarea figurii respective.

Deducem coordantele punctului de intersectie a medianei din M pe laturaNP , din definitia medianei.

Aplicam formula pentru distanta dintre doua puncte fixe.

10

Rezolvare

Stim ca mediana sectioneaza latura NP ın doua segmente egale. Prin urmarecoordonatele punctului de intersectie sunt Q(−2/2,−4/2).Obtinem punctul Q de intersectie a medianei cu latura MN , de coordonate Q(−1,−2).Cele doua puncte ale medianei sunt M(−2,−2) si Q(−1,−2).In general, cunoastem celebra formula Eulcidiana pentru distanta dintredoua puncte fixe, care este

d =√

((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Din formula pentru distanta Euclidiana, obtinem lungimea segmentului MQ, careeste

MQ =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 =√

(−2 + 1)2 + (−2 + 2)2 =√

(−1)2 = 1

Concluzie

S-a cerut lungimea unui segment de mediana, pentru care a fost necesar saaflam punctul de inetrsectie cu latura pe care o ınjumatateste. Am dedusaceste coordonate din definitia medianei. Cunoscand coordonatele celordoua extremitati ale segmentului, am aplicat formula distantei dintredoua puncte.

11

Rezolvarea triunghiului dreptunghic.

Se considera triunghiul dreptunghic 4ABC, cu unghiul dreptunghic A si culungimea segmentului BC = 10, si cu unghiul ]C = 30◦.Sa se deduca lungimea segmentului AB.

Ce se cere

Trebuie sa aflam lungimea unui segment ıntr-un triunghi dreptunghic.

Triunghiul ABC este dreptunghic ın A, prin urmare latura BC se numesteipotenuza, deoarece este opusa unghiului dreptunghic A.

Laturile AC,AB se numesc catete, si ın general vor fi mai mici in lungimedecat ipotenuza BC.

Strategie

Este necesara schitarea figurii respective.

Trebuie cunoscute urmatoarele relatii.

Teorema lui Pitagora Celebra teorema a lui Pitagora, care relationeazalungimea ipotenuzei cu lungimile catetelor.

BC2 = AC2 + BC2

In cuvinte: ın orice triunghi dreptunghic, patratul ipotenuzei este egal cusuma patratelor catetelor.

Suma unghiurilor ın orice triunghi In orice triunghi 4ABC avem

]A + ]B + ]C = 180◦

In cuvinte, ın orice triunghi, suma celor trei unghiuri este egala cu unghiulde o suta optzeci de grade.

Relatii simple ıntre unghiuri si laturi in triunghiul dreptunghicFormal, avem 4ABC cu ]A = 90◦ si ]B = 30◦, implica AC = (1/2)BC.

In cuvinte, ın triunghiul dreptughic, latura opusa unui unghi de treizeci degrade este jumatate din ipotenuza.

12

Figura 1.1: Functii Trigonometrice

Rezolvare

Prima metoda Prima metoda este un rationament formal.Masura ipotenuzei BC este BC = 10.Masura unghiului ]B este 180◦ − 90◦ − 30◦ = 60◦.Masura unghiului ]C este 30◦.

Intr-un triunghi dreptunghic, latura opusa unghiului de saizeci de gradeeste jumatate din ipotenuza.

Prin urmare avem relatia

AC = (1/2)BC = (1/2)× 10 = 5

Din formula lui Pitagora, avem

AB2 + AC2 = BC2 prin urmare avem AB2 = 102 − 52 = 100− 25 = 75

prin urmare avemAB =

√75 =

√25× 3 = 5

√3

A doua metoda Pentru a doua metoda este necesara memorarea tabelului dinfigura Fig. 1.Masura unghiului B este 180◦ − 90◦ − 30◦ = 60◦.Din formula pentru cosinus, stim ca

cos(B) =AB

BCprin urmare AB = BC × cos(B) = 10×

√3

2= 5√

3

Concluzie

Am dedus lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic, cunoscand un-ghiul dreptunghic, magnitudinea unui alt unghi, si masura ipotenuzei.Am dedus aceasta magnitudine folosind formule specifice triunghiului drept-unghic.

13

Al doilea subiect

Subiectul II discuta chestiuni legate de algebra legilor de compozitie, saucare folosesc legea de compozitie specificata pentru ıntrebari mai complexe.

Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa

x ◦ y = 2xy − 2x− 2y + 3

Intrebarile propuse se refera la:

- evaluarea compozitiei pentru numere date,

- aducerea unei expresii multiplicative ın forma aditiva, cu alte cuvinteeliminarea multiplicatiilor si aducerea expresiei la o forma de suma,

- intelegerea conceptului de element neutru dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,

- intelegerea conceptului de lege de simetrie dupa formula, si calcul al-gebraic cu ınmultiri si adunari,

- rezolvarea unei ecuatii ın multimea numerelor reale R,

- rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.

14

Sinopsis

Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete. Prin ur-mare, atunci cand x = 2 si y = 2 va trebui sa rezolvam ın mod concret2 ◦ 2.

Calcul cu expresii simbolice. Se prezinta o alta ecuatie ın forma mul-tiplicativa, adica avand o forma ce foloseste ınmultiri a unor sume, si secere eliminarea acestor ınmultiri si aducerea ecuatiei la o forma aditiva, maisimpla, care este de fapt o suma de inmultiri.

Element neutru pentru compozitie. Se cere o demonstratie simpla,pentru care este nevoie de ıntelegerea notiunii de element neutru. Informal,un element neutru este un element care nu schimba ın niciun fel expresiadata atunci cand este folosit ın compozitie. Formal, x ◦ e = e ◦ x = x, a seciti x compus cu e este egal cu e compus cu x, este egal cu x. Elementulneutru este e, deoarece e nu modifica valoarea lui x atunci cand este compuscu x din ambele parti.

Lege de simetrie aplicata compozitiei. Se cere de asemenea o demonstratiesimpla, pentru care este nevoie de ıntelegerea notiunii de simetrie. Elementsimetric ınseamna de fapt ca 2◦ b = b◦2, si ın acest caz elementul b va fi nu-mit simetricul lui 2. Obtinem o ecuatie lineara din care deducem elementulb.

Ecuatie si manipulare algebraica. Folosind legea de compozitie, ajungemla rezolvarea unei ecuatii ın multimea numerelor reale R. Este necesar sacompunem doua elemente mai complexe, si anume x + 1 si x − 1, se obtineo ecuatie de gradul doi, care se poate rezolva dupa metoda standard.

Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N. Estenecesar sa compunem n si n + 1, obtinem o inecuatie pe care o rezolvamurmand rationamente standard.

15

Evaluarea compozitiei

Sa se calculeze 2 ◦ 2.

Ce se cere

Este necesara evaluarea compozitiei date pentru x = 2 si y = 2.

Strategie

Inlocuim x = 2 si y = 2 ın formula

2xy − 2x− 2y + 3

Rezolvare

2 ◦ 2 = 2× 2× 2− 2× 2− 2× 2 + 3 = 8− 4− 4 + 3 = 3

Concluzie

Am evaluat formula pentru legea de compozitie x◦y ın pentru x = 2 si y = 2.

16

Calcul algebraic simplu.

Sa se demonstreze ca

x ◦ y = 2(x− 1)(y − 1)− 1

Ce se cere

Este necesar sa aratam ca

2(x− 1)(y − 1)− 1 = 2xy − 2x− 2y + 3

Strategie

Trebuie sa efectuam ınmultirile din expresia 2(x − 1)(y − 1) − 1, care apoieste simplificata pentru a obtine rezultatul dorit.

Rezolvare

2(x− 1)(y − 1)− 1 = 2[x(y − 1)− (y − 1)]− 1 = 2(xy − x− y + 1)− 1

= 2xy − 2x− 2y + 4− 1 = 2xy − 2x− 2y + 3

Concluzie

Am aratat ca formula data pentru legea de compozitie x◦y poate fi exprimatasi ın forma

2(x− 1)(y − 1)− 1

17

Element neutru.

Sa se demonstreze ca e = 32

este element neutru pentru aceasta compozitie.

Ce se cere

Se cere demonstratia ca elementul neutru este e = 3/2.

In general compozitia cu un element neutru nu are niciun efect asupra ele-mentului cu care compunem.

Strategie

Trebuie cunoscuta formula definitorie pentru elementul neutru, care este

∀x ∈ R[x ◦ e = e ◦ x = x]

Spunem ca:

Pentru orice lege de compozitie, compunerea oricarui element cuun element neutru ın ambele parti, lasa elementul neschimbat.

Rezolvare

Verificam compozitia ın dreapta x ◦ (3/2) = 2 × x × (3/2) − 2x − 2(3/2) + 3 =3x− 2x + 3− 3 = x

Verificam compozitia ın stanga (3/2) ◦ x = 2 × (3/2) × x − 2(3/2) − 2x + 3 =3x− 3− 2x + 3 = x

Avem x ◦ (3/2) = (3/2) ◦ x = x

Concluzie

Am demonstrat ca elementul neutru pentru aceasta compozitie este e = 3/2.

18

Element simetric.

Sa se verifice daca elementul b = 54

este simetric pentru elementul 2, relativla aceasta compozitie.

Ce se cere

Se solicita o verificare, ceea ce ınseamna ın mod practic, un raspuns finalafirmativ, sau negativ.Raspunsul final trebuie sustinut cu o demonstratie.Acest lucru ınseamna ca trebuie sa aflam daca 2 ◦ 5

4= 5

4◦ 2 = 3

2

Strategie

Vorbim de fapt despre relatia

x ◦ b = b ◦ x = e

Spunem ca:

Pentru orice lege de compozitie si orice element, compunerea ele-mentului cu simetricul sau ın ambele parti are ca rezultat elementulneutru.

Rezolvare

Verificam compozitia ın dreapta

2 ◦ (5/4) = 2× 2× (5/4)− 2× 2− 2× (5/4) + 3 =

5− 4− (5/2) + 3 = 4− (5/2) =8− 5

2= 3/2 = e

Verificam compozitia ın stanga

(5/4) ◦ 2 = 2(5/4)× 2− 2× (5/4)− 2× 2 + 3 =

5− (5/2)− 4 + 3 = 4− (5/2) =8− 5

2= 3/2 = e

Concluzie

Am demonstrat ca elementul simetric relativ la aceasta compozitie pentruelementul 2, este elementul 5/4. Practic, aceasta ınseamna ca

2 ◦ (5/4) = (5/4) ◦ 2 = 3/2 = e

19

Manipulare algebraica. Ecuatii de gradul doi.

Sa se determine numerele x ∈ R pentru care avem (x + 1) ◦ (x− 1) = 1.

Ce se cere

Se cere sa

Strategie

Evaluam algebraic expresia din partea stanga a egalitatii

(x + 1) ◦ (x− 1) = 1

Obtinem o ecuatie de gradul doi sub forma de factori, din care deducem celedoua radacini.

Rezolvare

Avem(x + 1) ◦ (x− 1) = 2(x + 1)(x− 1)− 2(x + 1)− 2(x− 1) + 3

dezvoltam aceasta expresie

2(x+1)(x−1)−2(x+1)−2(x−1)+3 = 2(x2−1)−2x−2−2x+2+3 = 2x2−2−2x−2−2x+5

si obtinem2x2 − 2− 2x− 2− 2x + 5 = 2x2 − 4x + 1

Se cere (x + 1) ◦ (x− 1) = 1 ceea ce ınseamna 2x2 − 4x + 1 = 1, deci

2x2 − 4x = 0

si avem 2x(x−2) = 0. Din aceasta factorizare deducem x1 = 0, obtinut din ecuatia

2x = 0, sau x2 = 2, obtinut din ecuatia x− 2 = 0.

Concluzie

In acest exercitiu manipularea algebraica a formulei pentru legea de compozitierezulta ıntr-o ecuatie de gradul doi, care se rezolva dupa metoda factorilor.

20

Manipulare algebraica. Inecuatii. Manipulare cantita-tiva.

Sa se determine numerele n ∈ N pentru care n ◦ (n + 1) ≤ 5.

Ce se cere

Este necesara aducerea expresiei din partea stanga la forma de inecuatie.

Strategie

Se evalueaza compozitia pentru valoarea simbolica n, numar natural nenul.

Observam ca folosirea formulei demonstrata anterior ca echivalenta este maiconvenabila.

Se rezolva inecuatia obtinuta.

Rezolvare

Evaluam n ◦ (n + 1) folosind formula demonstrata anterior

x ◦ y = 2(x− 1)(y − 1)− 1

Deci avemn ◦ (n + 1) = 2(n− 1)(n + 1− 1)− 1

si avem ın final2n(n− 1)− 1

Consideram inecuatia 2n(n − 1) − 1 ≤ 5 care se transforma ın 2n(n − 1) ≤ 4 ceea ce

ınseamna n(n− 1) ≤ 2. Rezulta ca avem n = 1 sau n = 2, deoarece n nu poate fi negativ

sau zero.

Concluzie

Am aflat cele doua valori ale lui n pentru care n compus cu n + 1 rezultaıntr-o expresie ıntotdeauna mai mica decat o anumita valoare data.

21

Al treilea subiect

Subiectul III discuta chestiuni legate de algebra matricelor si de algebralineara.

Se considera matricele

A =

[1 4−3 −2

], B =

[5 −1−2 1

], I2 =

[1 00 1

].

Intrebarile se refera la

- calculul concret al unui determinant,

- calculul cu matrice, ce presupune ınmultiri, adunari, si scaderi,

- rezolvarea unui sistem de ecuatii lineare, dedus dintr-un calcul cu ma-trice,

- determinarea matricei inverse pentru o matrice data,

- rezolvarea unei ecuatii cu matrice,

- o demonstratie ce arata ca o expresie ce contine o variabila este ıntotdeaunapozitiva.

22

Sinopsis

Calculul unui Determinant. Se cere calcularea determinantului unei ma-trice cu dimensiuni 2× 2, care se poate calcula dupa formula standard.

Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca o ınmultire de matrice este egalacu o expresie ce presupune ınmultiri scalare si scaderi.

Rezolvarea unui Sistem Linear de Ecuatii. Dupa ınmultiri scalare,obtinem o egalitate ıntre doua matrice, prima continand variabile, iar a douafiind specificata numeric. Se obtine astfel un sistem de ecuatii lineare ce potfi rezolvate dupa metode standard.

Determinarea Matricei Inverse. Se cere determinarea matricei inversepentru o matrice data.

Ecuatie cu Matrice. Se prezinta o ecuatie cu matrice si se cere demonstratiaca matricea necunoscuta este inversabila.

Demonstratie. Se prezinta o expresie ın forma de ecuatie ce presupunecalcularea unei ınmultiri scalare, adunarea a douaa matrice, si evaluarea unuideterminant.

23

Calcul cu determinanti.

Sa se arate ca det(A) = 0.

Ce se cere

Calcularea determinantului unei matrice ın M2(R). Notatia M2(R) ne spuneca avem o matrice patrata, cu doua linii si doua coloane, avand componentenumere reale.

Strategie

In general pentru M ∈M2(R) cu M =

[A BC D

], avem formula

det(M) =

∣∣∣∣A BC D

∣∣∣∣ = AD −BC

Rezolvare ∣∣∣∣1 43 2

∣∣∣∣ = 1× (−2)− (−3)× 4 = −2 + 12 = 10

Concluzie

O aplicare a formulei pentru determinant.

24

Calcul cu matrice.

Sa se arate caB ·B = 6B − 3I2

Ce se cere

Se cere demonstratia unei identitati cu matrice.

Strategie

Calculam partea din stanga egalului si partea din dreapta egalului. Verificamca aceste doua expresii sunt identice.

Rezolvare

Evaluam partea stanga

B·B =

[5 −1−2 1

] [5 −1−2 1

]=

[5× 5 + (−1)× (−2) 5× (−1) + (−1)× 1(−2)× 5 + 1× (−2) (−2)× (−1) + 1× 1

]=

[27 −6−12 3

]Evaluam partea dreapta

6B − 3I2 = 6

[5 −1−2 1

]− 3

[1 00 1

]=

[30 −6−12 6

]−[3 00 3

]=

[27 −6−12 3

]Din moment ce aceste doua expresii sunt egale, am ajuns la rezultatul dorit.

Concluzie

Am demonstrat o egalitate algebrica folosind scaderi si ınmultiri scalare.

25

Calcul algebraic cu matrice.

Sa se determine numerele reale x, y ∈ R pentru care

xA + yB =

[7 7−8 −3

].

Ce se cere

Rezolvarea unei ecuatii cu matrice, ın doua necunoscute scalare x, y ∈ R.

Strategie

Simplificam algebraic partea din stanga egalului. Obtinem un sistem deecuatii ce poate fi rezolvat prin substitutie.

Rezolvare

xA+yB = x

[1 4−3 −2

]+y

[5 −1−2 1

]=

[x 4x−3x −2x

]+

[5y −y−3y −2y

]=

[x + 5y 4x− y−3x− 3y −2x− 2y

]Deci avem [

x + 5y 4x− y−3x− 3y −2x− 2y

]=

[7 7−8 −3

]ceea ce indica sitemul de ecuatii

x + 5y = 7

4x− y = 7

− 3x− 3y = −8

− 2x− 2y = −3.

Rezolvam prin substitutie x = 7 − 5y si avem 4(7 − 5y) − y = 7, adica 28 − 21y = 7,

ceea ce ınseamna 21y = 21 deci y = 1. Inlocuim ın expresia obtinuta pentru x, x =

7− 5y = 7− 5 = 2, deci x = 2.

Concluzie

Am rezolvat ecuatia cu matrice calculand partea din stanga egalului. Amobtinut un sistem de ecuatii pe care l-am rezolvat prin substitutie.

26

Inversa unei Matrice.

Sa se determine inversa matricei B.

Ce se cere

Strategie

O matrice este inversabila atunci cand determinantul nu este zero. In generalpentru o matrice inversabila M , si inversul acestei matrice M−1, avem relatia

M ·M−1 = M−1 ·M = I

Rezolvare

Avem B ·B−1 = I2, scriem simbolic B−1 =

[A BC D

]si avem

[5 −1−2 1

]·[A BC D

]=

[1 00 1

]obtinem identitatile

5A− C = 1

5B −D = 0

− 2A + C = 0

− 2B + D = 1.

Din nou prin substitutie obtinem C = 5A − 1 si D = 5B, ınlocuim ın celelalte iden-

titati −2A + 5A− 1 = 0 si −2B + 5B = 1.

Obtinem rezultatele A = 1/3, B = 1/3, C = 2/3, D = 5/3.

Prin urmare B−1 =

[1/3 1/32/3 5/3

]

Concluzie

Am calculat inversa unei matrice. Am exprimat simbolic aceasta inversa siam dedus-o din ecuatiile obtinute prin ınmultire cu matricea initiala.

27

Calcul algebraic cu matrice si determinanti.

Aratati ca matricea X ∈M(R) pentru care avem

A + X = B

este inversabila.

Ce se cere

Sa se arate ca o matrice, care trebuie dedusa din expresia data prin metodealgebraice, este inversabila.

Strategie

Evaluam partea din stanga egalului. Din egalitatea obtinuta deducem ma-tricea X, pe care o aratam inversabila prin calcularea determinantului.

Rezolvare

Scriem simbolic X =

[A BC D

]si avem

A + X =

[1 4−3 −2

]+

[A BC D

]=

[1 + A 4 + B−3 + C −2 + D

]

B =

[5 −1−2 1

]=

[1 + A 4 + B−3 + C −2 + D

]

Obtinem relatiileA = 4, B = −5, C = 1, D = 3

prin urmare

X =

[4 −51 3

]

si deoarece det(X) = 12 + 5 = 17 6= 0, matricea X este inversabila.

Concluzie

Am dedus matricea necunoscuta X din expresia A+X = B. Am demonstratinversabilitatea matricei X, aratand ca det(X) 6= 0.

28

Inecuatii. Rationament cantitativ.

Demonstrati ca det(A + aI2) > 0, pentru orice a ∈ R.

Ce se cere

Se cere sa se arate ca o expresie cu o necunoscuta evalueaza pozitiv, pentruorice valoare a necunoscutei respective.

Strategie

Evaluam A + aI2, calculam determinantul si utilizam un argument anali-tic pentru a arata ca acest determinant este pozitiv pentru orice valoare anecunoscutei a.

Rezolvare

Evaluam M = A + aI2.

M =

[1 4−3 −2

]+ a

[1 00 1

]=

[1 4−3 −2

]+

[a 00 a

]=

[1 + a 4−3 −2 + a

]det(M) = (1 + a)(−2 + a) + 12 = −2 + a− 2a + a2 + 12 = a2 − a + 10

Din moment ce 10 = 1/4 + 39/4 si a2 − a + 1/4 = (a− 1/2)2, observam ca

a2 − a + 10 = a2 − a + 1/4 + 39/4 = (a− 1/2)2 + 39/4

Avem (a− 1/2)2 > 0 si 39/4 > 0, prin urmare

(a− 1/2)2 + 39/4 = det(M) > 0

Concluzie

Am evaluat expresia A + aI2 si prin manipulare algebraica am aratat cadeterminantul acestei matrice este pozitiv pentru orice valoare a necunoscuteia.

29

Capitolul 2

Model 2018

30

Primul subiect




- rezolvarea unei ecuatii exponentiale ın multimea R a numerelor reale,prin aplicarea unei tehnici simple de rezolvare,



- rezolvarea triunghiului dreptunghic, ce presupune de aceasta data osimpla aplicare a proportiilor.

31

Sinopsis

Aritmetica simpla. Calcul simbolic cu ınmultiri si adunari. Intelegereanotiunii de radacina patrata. Notiunea de patrat perfect, notiunea de numarprim. De exemplu

√20 =

√4× 5 = 2

√5, deci am ales sa exprimam 20 ca

20 = 4× 5, mai degraba decat 20 = 10× 2, care nu ar fi fost convenabil. Deasemenea, recunoastem ca 5 este numar prim, prin urmare nu are alti factori,prin urmare nu poate fi epxrimat ca alta ınmultire, asa ca expresia

√20 =√

4× 5 = 2√

5 a fost adusa la forma finala si nu mai poate fi simplificata.

Evaluarea unei functii. Pentru aceasta este necesara o ıntelegere de bazaa notiunii de functie. In prima instanta avem f(0) = 0 ceea ce trebuierecunoscut ca a− 2 = 0. Deducerea parametrului a devine usoara.

Rezolvarea unei ecuatii in multimea numerelor reale R. In primafaza avem o ecuatie cu radacina cubica, prin urmare este necesara eliminarearadicalilor, iar ın a doua faza obtinem o ecuatie simpla ce se rezolva dupametoda standard. Este necesara verificarea radacinilor la final.

Calcul simbolic cu proportii. O anumita magnitudine este redusa cu50% de doua ori, si rezulta o reducere totala pana la 25% din valoaea initiala.Rezulta ecuatia 1

4T = 100 pentru care trebuie sa calculam valoarea T .

Geometrie simpla. Desenarea unei figuri ın reper cartezian. Recunoastereacoordonatelor ın doua dimensiuni si deducerea unor relatii algebraice simpleın aceste coordonate.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Prin aceasta se ıntlege determi-narea magnitudinii unor laturi (segmente) necunoscute, avand ın vedere case cunosc magnitudinile altor laturi, sau unghiuri.

32

Manipulare algebraica. Factori. Numere prime. Radacinipatrate.

Aratati ca:

2(3−√

5) +√

20 = 6

Ce se cere

Se prezinta o expresie cu radicali, si se cere sa aratam ca aceasta expresieeste egala cu 6.

Strategie

Se exprima cantitatile de sub radicali ca produs de patrate perfecte.

Se scot factorii patrate perfecte de sub radicali.

Se simplifica expresia, si obtinem ceea ce trebuia demonstrat.

Rezolvare

2(3−√

5) +√

20 = 6− 2√

5 +√

4× 5 = 6− 2√

5 + 2√

5 = 6

Concluzie

Am demonstrat ca expresia din partea dreapta a egalului este egala cu con-stanta 6.

33

Evaluarea unei functii.

Se considera functia f(x) : R→ R definita astfel:

f(x) = 2x2 + a− 2

Determinati numarul real a pentru care f(0) = 0.

Ce se cere

Se prezinta o functie cu parametru si se cere valoarea numerica a parame-trului, cunoscandu-se evaluarea functiei ıntr-un punct dat.

Strategie

Evaluam functia pentru valoarea x = 0, obtinem valoarea parametrului a.

Rezolvare

f(0) = 0 deci avem a− 2 = 0 deci a = 2

Concluzie

Am gasit valoarea parametrului a considerand evaluarea functiei ın punctulx = 0.

34

Radacini patrate. Ecuatii de gradul doi.


3√

7− x = 1

Ce se cere

Se cere rezolvarea unei ecuatii cu radacina cubica.

Strategie

Metoda standard este eliminarea radicalului prin ridicare la cub, de ambeleparti ale egalului.

Rezolvare

3√

7− x = 1

7− x = 1

x = 6

Din moment ce 3√

7− 6 = 1, x = 1 este valoarea cautata.

Concluzie

Am rezolvat o ecuatie cu radacina cubica, prin ridicare la cub. Am verificatsolutia obtinuta.

35


Dupa doua ieftiniri succesive cu cate 50%, un tricou costa 10 de lei.Sa se calculeze pretul initial al tricoului.

Ce se cere

Este necesar sa aflam o valoare initiala, stiind valoarea finala, dupa douaieftiniri consecutive cu cate 50%.

Strategie

Fixam simbolic valoarea initiala, scriem simbolic valoarea intermediara dupaprima ieftinire, si scriem simbolic valoarea finala dupa a doua ieftinire.

Obtinem o ecuatie ce poate fi rezolvata dupa metode standard.

Rezolvare

Fie valoarea initiala T .

Dupa prima ieftinire, avem T ′ = 1/2T .

Dupa a doua ieftinire, avem T ′′ = 1/2T ′.

Deci avem T ′′ = 1/2T ′ = 1/4T = 10, deci T = 40.

Concluzie

Pentru calcul cu reduceri proportionale este necesara exprimarea abstractaa unei cantitati. In acest exercitiu am folosit de asemenea un calcul ın douaetape.

Am exprimat totalul T , am calculat valoarea intermediara T ′ dupa primaieftinire, din care am extras valoarea finala T ′′ dupa a doua ieftinire.

Am obtinut o ecuatie lineara ın necunoscuta T , pe care am rezolvat-o dupametode standard.

36


In reperul cartezian xOy, avem punctele M(2, 3), N(0, 3).Sa se calculeze lungimea segmentului MN .

Ce se cere

Este necesar sa aflam lungimea unui segment, cunoscand coordonatele extre-mitatilor sale.

Strategie

Se recomanda schitarea figurii respective. Folosim formula pentru distantaEuclidiana dintre doua puncte.

Rezolvare

D =√

(y1 − y2)2 + (x1 − x2)2 =√

4 = 2

Concluzie

S-a cerut lungimea unui segment, am aflat aceasta lungime folosind formulapentru distanta dintre doua puncte ın plan.

37


Se considera triunghiul dreptunghic 4ABC, cu unghiul dreptunghic A si culungimea segmentului BC = 15, si cu sinC = 3/5.Sa se deduca lungimea segmentului AB.

Ce se cere

Este necesar sa aflam lungimea unui segment ıntr-un triunghi dreptunghic.Cunoastem lungimea ipotenuzei si valoarea sinusului unui unghi.

Strategie

Folosim sinusul unghiului si definitia sinusului, “cateta opusa, supra ipote-nuza”.

Rezolvare

sin(C) = AB/BC

AB/BC = 3/5

AB = (3/5)BC = 3× 3 = 9

Concluzie

Am dedus lungimea unei catete folosind valoarea pentru sinusul unui unghi,si lungimea ipotenuzei.

38

Al doilea subiect



x ◦ y = x + y − 3



- intelegerea conceptului de asociativitate dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,


- manipularea algebraica a compozitiei pentru demonstrarea unor for-mule simple,

- rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R,


39

Sinopsis

Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete. Prin ur-mare, atunci cand x = 3 si y = −4 va trebui sa rezolvam ın mod concretx ◦ y.

Calcul cu expresii simbolice. Se cere demonstrarea asociativitatii acesteicompozitii, pentru care este necesara stapanirea acestui concept.

Element neutru pentru compozitie. Se cere o verificatie simpla, pentrucare este nevoie de ıntelegerea notiunii de element neutru.

Calcul abstract cu compozitia data. Se cere de asemenea o demonstratiesimpla, pentru care este nevoie de manipularea algebraica a compozitiei.

Ecuatie si manipulare algebraica. Folosind legea de compozitie, ajungemla rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R.

Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.

40

Evaluarea compozitiei.

Aratati ca 3 ◦ −4 = −4.

Ce se cere

Este necesara evaluarea compozitiei date pentru x = 3 si y = −4.

Strategie

Inlocuim x = 3 si y = −4 ın formula

x + y − 3

Rezolvare

x ◦ y = x + y − 3 = 3− 4− 3 = −4

Concluzie

Am evaluat formula pentru legea de compozitie x◦y pentru x = 3 si y = −4.

41

Calcul algebraic. Asociativitate.

Aratati ca legea de compozitie ◦ este asociativa.

Ce se cere

Este necesara demonstratia asociativitatii, dupa metoda standard.

Strategie

Trebuie sa aratam asociativitatea, ceea ce ınseamna sa aratam ca

∀x, y, z[x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z

]

Rezolvare

(x ◦ y) ◦ z = (x + y − 3) ◦ z = x + y − 3 + z − 3 = x + y + z − 6

x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y + z − 3) = x + y + z − 3− 3 = x + y + z − 6

Concluzie

Am aratat ca legea de compozitie este asociativa prin evaluarea compozitieia trei elemente, ın cele doua moduri posibile.

42

Element neutru.

Verificati daca e = 3 este elementul neutru al acestei legi de compozitie.

Ce se cere

Se cere verificarea faptului ca elementul neutru este e = 3.

In general compozitia cu un element neutru nu are niciun efect asupra ele-mentului cu care compunem.

Strategie

Trebuie cunoscuta formula definitorie pentru elementul neutru, care este

∀x ∈ R[x ◦ e = e ◦ x = x]

Rezolvare

x ◦ 3 = x + 3− 3 = x

3 ◦ x = 3 + x− 3 = x

�

Concluzie

Am verificat ca e = 3 este ıntr-adevar element neutru al acestei compozitii.

43

Calcul algebraic.

Aratati ca (a + 1010) ◦ (1010− a) = 1010 ◦ 1010

Ce se cere

Se solicita demonstratia unei proprietati ale acestei compozitii.

Strategie

Evaluam pornind din stanga egalului, si derivam partea din dreapta.

Rezolvare

Efectuam compozitia

(a + 1010) ◦ (1010− a) = (a + 1010) + (1010− a)− 3

= 1010 + 1010− 3 = (1010) ◦ (1010)

Concluzie

Am demonstrat o relatie specifica acestei compozitii, cu un numar ales arbi-trar.

Putem constata ca, ın general

(a + b) ◦ (b− a) = b ◦ b

44

Manipulare algebraica. Ecuatii exponentiale.

Determinati numarul real x pentru care 9x = 3x ◦ 9.

Ce se cere

Se cere determinarea unui numar real pentru care compozitia data evalueazaın felul prezentat.

Strategie

Dupa evaluarea compozitiei, obtinem o ecuatie cu exponenti, pe care o re-zolvam prin substitutie.

Rezolvare

Avem

9x = 3x ◦ 9

9x = 3x + 6

32x = 3x + 6

t2 − t− 6 = 0 pentru t = 3x

∆ = b2 − 4ac = 1 + 24 = 25 = 52

t1,2 =1± 5

2

t1 = −2, t2 = 3

3x nu poate fi − 2, deci 3x = 3 deci x = 1.

Concluzie

In acest exercitiu manipularea algebraica a formulei pentru legea de compozitierezulta ıntr-o ecuatie exponentiala. Am rezolvat aceasta ecuatie prin substitutie.

45

Manipulare algebraica. Inecuatii.

Determinati numerele naturale n pentru care n ◦ (n + 1) ≤ 2.

Ce se cere

Este necesara aducerea expresiei din partea stanga la forma de inecuatie.

Strategie

Se evalueaza compozitia pentru valoarea simbolica n, numar natural.

Se rezolva inecuatia obtinuta.

Rezolvare

n ◦ (n + 1) = n + n + 1− 3 = 2n− 2

dar 2n− 2 ≤ 2 ınseamna n ≤ 2

Dar n ∈ N deci n = 0, n = 1, sau n = 2

Concluzie

Am aflat cele trei valori ale lui n care verifica relatia prezentata.

46

Al treilea subiect



M =

[1 32 4

], I2 =

[1 00 1

], A(a) = aI2 + M.



- calculul cu matrice, ce presupune adunari, si rationament cu parame-tru,

- demonstrarea unei relatii ıntre matrice,


- determinarea unui parametru, dintr-o relatie cu matrice,

- determinarea unui parametru ce face ca determinantul unei matrice saevalueze sub o anumita valoare.

47

Sinopsis


Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca o ınmultire de matrice este egalacu o expresie ce presupune ınmultiri scalare si scaderi.

Aflarea unei proprietati a unei matrice. Dupa ınmultiri scalare siadunari, si dupa ınlocuirea unui parametru cu valoare concreta, deducemsuma elementelor matricei date.

Relatie cu Matrice. Se prezinta o relatie cu matrice ce se cere demonstrata.

Determinarea Matricei Inverse. Se prezinta o alta matrice si se ceredemonstrarea ca este matrice inversa pentru matricea data initial.

Determinarea unui parametru. Se prezinta o expresie ın forma de ega-litate ce contine matrice. Se cere determinarea concreta a unui parametru.

48


Sa se arate ca det(M) = −2.

Ce se cere

Calcularea determinantului unei matrice ın M2(R).

Strategie


[A BC D

], avem formula

det(M) =

∣∣∣∣A BC D

∣∣∣∣ = AD −BC

Rezolvare

det(M) =

∣∣∣∣1 32 4

∣∣∣∣ = 4− 6 = −2

Concluzie


49

Calcul cu matrice.

Calculati suma elementelor matricei A(2017).

Ce se cere

Se cere ın primul rand aflarea matricei A(2017), apoi adunarea elementelorsale.

Strategie

Calculam matricea prin adunare si ınmultire scalara. Efectuam adunarile.

Rezolvare

Evaluam A(a).

A(a) =

[a 00 a

]+

[1 32 4

]=

[a + 1 3

2 a + 4

]

Deci avem

A(2017) =

[2018 3

2 2021

]

Adunam si obtinem2018 + 3 + 2 + 2021 = 4044

Concluzie

Am dedus matricea A(a) din definitie si am adunat elementele acestei ma-trice.

50


Aratati caM ·M = 5M + 2I2

Ce se cere

Este necesar sa demonstram o relatie ce leaga matricele M, I2.

Strategie

Evaluam partea din stanga, apoi partea dreapta egalului.

Rezolvare

M ·M =

[1 32 4

] [1 32 4

]=

[7 1510 22

]

5M + 2I2 = 5

[1 32 4

]+ 2

[1 00 1

]

5M + 2I2 =

[5 1510 20

]+

[2 00 2

]=

[7 1510 22

]

Concluzie

Am demonstrat ca patratul matricei M este o anumita relatie de M si iden-titatea I2.

51

Inversa unei Matrice.

Aratati ca inversa matricei A(1) este matricea[5/4 −3/4−1/2 1/2

]

Ce se cere

Este necesar sa demonstram ca matricea data este inversa matricei A(1).

Strategie

Este suficient sa ınmultim matricea A(1) cu matricea data.

Rezolvare

A(1) ·[

5/4 −3/4−1/2 1/2

]=

[2 32 5

] [5/4 −3/4−1/2 1/2

]=

[5/2− 3/2 −3/2 + 3/25/2− 5/2 −3/2 + 5/2

]=

[1 00 1

]

Concluzie

Am aratat ca o matrice data este inversa matricei A(1).

52


Determinati numerele reale a pentru care

A(a) · A(a) = A(a2) + M ·M

Ce se cere

Este necesara aflarea parametrului a, din egalitatea prezentata.

Strategie

Manipulam algebraic partea din stanga si partea din dreapta egalului. Obtinemegalitatea a doua matrice, din care extragem valoarea pentru a.

Rezolvare

A(a) = aI2 + M deci A(a) ·A(a) = (aI2 + M)(aI2 + M)

A(a) ·A(a) = a2I2 + M ·M + 2aM = a2I2 + M ·M + 2aM

dar avem a2I2 + M ·M + 2aM = A(a2) + M ·M

deci a2I2 + 2aM = A(a2)

[a2 + 1 3

2 a2 + 4

]=

[a2 + 2a 6a

4a a2 + 8a

]a = 1/2 verifica aceasta relatie

Concluzie

Am dedus valoarea parametrului a din egalitatea a doua matrice.

53

Inecuatii.

Determinati numarul natural m pentru care det(A(m)) < 4.

Ce se cere

Se cere sa aflam valoarea parametrica pentru care determinantul matricei Aevalueaza numeric sub patru.

Strategie

Evaluam

Rezolvare

det(A(m)) = (m + 1)(m + 4)− 6

(m + 1)(m + 4)− 6 < 4

m2 + 5m− 6 < 0

∆ = b2 − 4ac = 25 + 24 = 49 = 72

m1,2 =−5± 7

2

m1 = −6,m2 = 1

Dar m ∈ N, si valoarea naturala dintre cele doua radacini este una pentru care ecuatiaeste negativa, deci m = 0.

Concluzie

Am aflat valoarea parametrului m pentru care determinantul matricei A(m)evalueaza sub patru.

54

Capitolul 3

Model 2017

55

Primul subiect








56

Sinopsis

Aritmetica simpla. Calcul concret cu fractii. Se cere sa se arate ca oexpresie este identica cu o fractie data.

Evaluarea unei functii. Se cere sa se arate ca o expresie evalueaza lapatru, indiferent de valoarea unui parametru dat.

Rezolvarea unei ecuatii in multimea numerelor reale R. Este necesararezolvarea unei ecuatii exponentiale.

Calcul simbolic cu proportii. O anumita magnitudine este crescuta dedoua ori. Se cere pretul final, dupa cele doua scumpiri.

Geometrie simpla. Desenarea unei figuri ın reper cartezian. Recunoastereacoordonatelor ın doua dimensiuni si deducerea coordonatelor unui punct sim-teric cu altul.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Este necesara aflarea ariei, cu-noscandu-se coordonatele extremitatilor.

57

Calcul cu fractii.

Aratati ca: ((1

3

)2+ 3)÷ 28

9= 1

Ce se cere

Este necesar sa aratam ca expresia este egala cu 1.

Strategie

Ridicam la patrat si aducem la numitor comun.

Rezolvare

((1

3

)2+ 3)

=((1

9

)+ 3)

=((1

9

)+ (

27

9))

=28

9

In acelasi timp, avem ratia lui 28/9 la sine ınsusi ca fiind egala cu 1.

Concluzie

Am adus o expresie ın forma unei fractii.

58

Evaluarea unei functii cu parametru.

Aratati ca f(1)− f(−1) = 4, pentru orice numar real m, unde f : R→ R cuf(x) = 2x + m.

Ce se cere

Aratam ca expresia data este constanta.

Strategie

Este suficienta evaluarea functiei ın valorile date, urmata de o adunare.

Rezolvare

f(1)− f(−1) = 2 + m + 2−m = 2 + 2 = 4

Concluzie

Am aratat ca expresia evalueaza constant.

59

Ecuatii exponentiale. Ecuatii de gradul doi.


2x2+3 = 24x

Ce se cere

Rezolvam o ecuatie cu exponent.

Strategie

Luam logaritm ın ambele parti pentru a obtine o ecuatie de gradul doi.

Rezolvare

2x2+3 = 24x

x2 + 3 = 4x

x2 − 4x + 3 = 0

∆ = b2 − 4ac = 16− 12 = 4 = 22

x1,2 =4± 2

2

x1 = 1, x2 = 3

Concluzie

Am identificat ambele radacini pentru ecuatia data.

60


Pretul unui obiect este de 1200 lei. Calculati pretul obiectului dupa douascumpiri succesive cu cate 5%.

Ce se cere

Calcul simplu cu proportii.

Strategie

Evaluam scumpirile ın doua etape.

Rezolvare

T = 1200

T ′ = T × 0, 05 + T

T ′′ = T ′ × 0, 05 + T ′

T ′′ = (T × 0, 05 + T )× 0, 05 + T × 0, 05 + T

T ′′ = T × 0, 0025 + T × 0, 05 + T × 0, 05 + T

T ′′ = 3 + 60 + 60 + 1200 = 1323

Concluzie

Am rezolvat o problema simpla cu proportii.

61


In reperul cartezian xOy, avem punctele A(2, 6), B(2, 3).Determinati distanta de la punctul O la punctul C, care este simetricul luiA fata de punctul B.

Ce se cere

Se cere aflarea coordonatelor unui punct simetric cu alt punct relatic cu altreilea punct, si aflarea distantei de la origine la punctul aflat.

Strategie

Este necesara schitarea figurii ın plan cartezian. Folosim formulele pentrusimetrie si distanta Euclidiana.

Rezolvare

XC −XB = XB −XA deci XC = 4− 2 = 2

YC − YB = YB − YA deci YC = 6− 6 = 0

obtinem C(2,0)

avem distanta de la origine D =√

22 = 2

Concluzie

Am aflat coordonatele punctului simetric lui A fata de punctul B, si distantade la origine la acest punct.

62


Sa se afle aria triunghiului 4ABC, stiind ca ]B = 45◦ si AB = AC = 4.

Ce se cere

Este necesar sa aflam aria unui triunghi, care de obicei va fi egala cu produsullungimii unei laturi si al ınaltimii perpendiculare pe latura respectiva.

Strategie

Demonstram ca triunghiul 4ABC este dreptunghic ın A, si astfel aria va fiegala cu jumatate din produsul catetelor AB si AC.

Rezolvare

AB = AC ınseamna ]B = ]C = 45◦

prin urmare ]A = 90◦

deci A(4ABC) =1

2×AB ×AC = 16/2 = 8

Concluzie

Am aflat aria, folosind faptul ca triunghiul este dreptunghic, un fapt pe carel-am demonstrat aici.

63

Al doilea subiect



x ◦ y = x + y − 2017



- intelegerea conceptului de asociativitate dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,

- demonstratia unei relatii ce foloseste compozitia,

- rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R,


- demonstrarea faptului ca o compozitie evalueaza ın N.

64

Sinopsis

Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete.

Calcul algebraic. Se cere demonstrarea asociativitatii acestei compozitii,pentru care este necesara stapanirea acestui concept.

Calcul algebraic. Se cere demonstrarea unei relatii ce foloseste compozitiadata.

Ecuatie si manipulare algebraica. Folosind legea de compozitie, ajungemla rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R.

Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.

Calcul algebraic. Se cere sa se arate ca o compozitie data evalueaza ıntr-unnumar natural. Acest lucru nu este evident, din motivul prezentei radicalilor.

65


Aratati ca 2000 ◦ 17 = 0.

Ce se cere

Este necesara evaluarea compozitiei pentru valori date.

Strategie

O simpla ınlocuire a valorilor date ın formula compozitiei.

Rezolvare

2000 ◦ 17 = 2000 + 17− 2017 = 0

Concluzie

Am evaluat compozitia pentru valorile x = 2000 si y = 17.

66

Calcul algebraic. Asociativitate.

Aratati ca legea de compozitie ◦ este asociativa.

Ce se cere

Este necesara demonstratia asociativitatii, dupa metoda standard.

Strategie

Trebuie sa aratam asociativitatea, ceea ce ınseamna sa aratam ca

∀x, y, z[x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z

]

Rezolvare

(x ◦ y) ◦ z = (x + y − 2017) ◦ z = x + y − 2017 + z − 2017 = x + y + z − 4034

x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y + z − 2017) = x + y + z − 2017− 2017 = x + y + z − 4034

Concluzie

Am aratat ca legea de compozitie este asociativa prin evaluarea compozitieia trei elemente, ın cele doua moduri posibile.

67

Calcul algebraic.

Demonstrati ca a ◦ (a + 2017) = (a + 1009) ◦ (a + 1008), pentru orice numarreal a.

Ce se cere

Se cere demonstratia egalitatii dintre doua expresii ce folosesc compozitiadata.

Strategie

Evaluam partea din stanga identitatii, apoi partea din dreapta. Rezultateleobtinute vor fi identice.

Rezolvare

a ◦ (a + 2017) = a + a + 2017− 2017 = 2a

(a + 1009) ◦ (a + 1008) = a + 1009 + a + 1008− 2017 = 2a + 2017− 2017 = 2a

Concluzie

Am demonstrat egalitatea a doua expresii cu parametru care folosesc compozitiadata.

68

Calcul algebraic. Ecuatii exponentiale.

Determinati numarul real x pentru care 4x ◦ 2x = −2011.

Ce se cere

Se prezinta o compozitie cu exponenti necunoscuti. Se solicita aflarea varia-bilei necunoscute.

Strategie

Evaluam compozitia. Obtinem o ecuatie exponentiala pe care o rezolvamprin substitutie, ca ecuatie de gradul doi.

Rezolvare

Efectuam compozitia

4x ◦ 2x = 4x + 2x − 2017 = 22x + 2x − 2017

ceea ce este t2 − t− 2017 pentru t = 2x

deci t2 + t− 2017 = −2011 adica t2 + t− 6 = 0

∆ = b2 − 4ac = 1 + 24 = 25 = 52

si avem t1,2 =−1± 5

2

t1 = 2, t2 = −3.

dar t > 0 din moment ce t = 2x deci 2 = 2x deci x = 1.

Concluzie

Am rezolvat de fapt o ecuatie exponentiala. Am tratat aceasta ecuatie caecuatie de gradul doi, folosind tehnica substitutiei.

69


Determinati cel mai mare numar natural n pentru care n ◦ n ≤ n.

Ce se cere

Se cere determinarea unui numar pentru care compozitia prezinta proprieta-tea data.

Strategie

Dupa evaluarea compozitiei, rezolvam inecuatia obtinuta.

Rezolvare

n ◦ n = n + n− 2017 = 2n− 2017

2n− 2017 ≤ n deci n− 2017 ≤ 0 deci n ≤ 2017

n = 2017

Concluzie

In acest exercitiu am rezolvat de fapt o inecuatie, identificand cea mai marevaloare numerica naturala pentru care relatia prezentata este verificata.

70

Manipulare algebraica.

Aratati ca numarul 23−√5◦ 2

3+√5

este ıntreg.

Ce se cere

Este necesar sa aratam ca o compozitie ce contine radicali evalueaza ınmultimea numerelor ıntregi.

Strategie

Se evalueaza compozitia, si se elimina radicalii, prin scadere.

Rezolvare

2

3−√

5◦ 2

3 +√

5=

2

3−√

5+

2

3 +√

5− 2017

2

3−√

5+

2

3 +√

5− 2017 =

2(3 +√

5)

(3−√

5)(3 +√

5)+

2(3−√

5)

(3−√

5)(3 +√

5)− 2017

2(3 +√

5)

(3−√

5)(3 +√

5)+

2(3−√

5)

(3−√

5)(3 +√

5)− 2017 =

6 + 2√

5 + 6− 2√

5

9− 5− 2017

6 + 2√

5 + 6− 2√

5

9− 5− 2017 =

12

4− 2017 = 2− 2017 = −2014

Concluzie

Am aratat ca expresia data evalueaza ıntr-un numar ıntreg.

71

Al treilea subiect



A =

[1 22 2

], I2 =

[1 00 1

].



- demonstrarea faptului ca o matrice este inversa alteia,

- demonstrarea unei relatii ıntre matrice,

- determinarea unui numar real ce verifica o relatie,

- determinarea unui parametru, cunoscand o relatie,

- determinarea unor parametri, cunoscand o relatie.

72

Sinopsis


Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca o matrice specificata este inversamatricei date.

Demonstrarea unei identitati. Se cere o demonstratie a unei identitaticu matrice.

Relatie cu Matrice. Se cere aflarea unui numar real care verifica o relatie.

Determinarea unui parametru. Se prezinta o expresie ın forma de ega-litate ce contine matrice. Se cere determinarea concreta a unui parametru.

Determinarea unor parametri. Se prezinta o expresie ce contine matricesi se cere determinarea unor necunoscute.

73

Calculul determinantului.

Sa se calculeze det(A).

Ce se cere

Calcularea determinantului unei matrice din M2(R).

Strategie


[A BC D

], avem formula

det(M) =

∣∣∣∣A BC D

∣∣∣∣ = AD −BC

Rezolvare

det(A) =

∣∣∣∣1 22 2

∣∣∣∣ = 2− 2× 2 = 2− 4 = −2

Concluzie


74

Matricea inversa.

Demonstrati ca inversa matricei A este matricea[−1 11 −1/2

]

Ce se cere

Se cere sa se demonstreze ca matricea data este inversa matricei A.

Strategie

Este suficient sa multiplicam cele doua matrice, pentru a obtine matriceaidentitate I2.

Rezolvare [1 22 2

]·[−1 11 −1/2

]=

[−1 + 2 1− 1−2 + 2 2− 1

]=

[1 00 1

]= I2

Concluzie

Am demonstrat ca matricea data este inversa matricei A, prin simpla ınmultirea celor doua matrice.

75


Aratati caA · A− 3A = 2I2

Ce se cere

Este necesar sa demonstram o relatie ce leaga matricele A, I2.

Strategie

Evaluam partea din stanga, si o exprimam ın functie de matricea identitate.

Rezolvare

A ·A− 3A =

[1 22 2

]·[1 22 2

]− 3

[1 22 2

]

A ·A− 3A =

[5 66 8

]−[3 66 6

]

A ·A− 3A =

[2 00 2

]= 2

[1 00 1

]= 2I2

Concluzie

Am demonstrat ca o expresie ce contine o multiplicatie si o scadere poate fiexprimata ın functie de matricea identitate.

76

Calcul cu Determinanti. Ecuatii de gradul doi.

Determinati numerele reale x pentru care det(A− xI2) = 2.

Ce se cere

Este necesar sa aflam valorile necunoscutei care verifica expresia data.

Strategie

Evaluam determinantul. Obtinem o ecuatie de gradul doi, pe care o rezolvamdupa metoda standard.

Rezolvare

A− xI2 =

[1 22 2

]− x

[1 00 1

]=

[1− x 2

2 2− x

]

det(A− xI2) =

∣∣∣∣1− x 22 2− x

∣∣∣∣ = (1− x)(2− x)− 4

deci (1− x)(2− x)− 4 = 2 deci (1− x)(2− x)− 6 = 0

avem 2− x− 2x + x2 − 6 = 0 deci x2 − 3x− 4 = 0

∆ = b2 − 4ac = 9 + 16 = 25 = 52

x1,2 =3± 5

2

x1 = −1, x2 = 4.

Concluzie

Am identificat valorile necunoscutei pentru care expresia data se verifica.

77


Determinati numarul real a pentru care

A · A · A = aA + 6I2

Ce se cere

Este necesara aflarea parametrului a, din egalitatea prezentata.

Strategie

Manipulam algebraic relatia data, prin expresiile derivate anterior.

Rezolvare

A ·A ·A = A · (A ·A) = A · (2I2 + 3A) = 2A + 3A ·A

A ·A ·A = 2A + 3(2I2 + 3A) = 11A + 6I2

prin urmare a = 11.

Concluzie

Am dedus valoarea parametrului a din egalitatea a doua matrice.

78

Inecuatii.

Determinati numerele reale p si q pentru care A ·X = X · A, unde

X =

[2 1p q

]

Ce se cere

Se cere sa se determine parametrii p, q care verifica relatia data.

Strategie

Efectuam ınmultirile de matrice, si comparam elementele matricelor obtinute.

Rezolvare

A ·X =

[1 22 2

]·[2 1p q

]=

[2 + 2p 1 + 2q4 + 2p 2 + 2q

]

X ·A =

[2 1p q

]·[1 22 2

]=

[4 6

p + 2q 2p + 2q

]

deci avem p = 1, q = 5/2 si matricea X =

[2 11 5/2

]

Concluzie

Am aflat valoarea parametrilor matricei X care verifica comutativitatea luiX cu A.

79

Capitolul 4

Model 2016

80

Primul subiect








81

Sinopsis

Aritmetica simpla. Calcul cu fractii.

Inecuatii. Rezolvarea unei inecuatii simple.

Rezolvarea unei ecuatii exponentiale. Avem de a face cu eliminareaexponentului prin aplicarea logaritmului. Obtinem o ecuatie de gradul doi.

Calcul cu proportii. Aplicarea regulii de trei simpla.

Geometrie simpla. Aflarea ariei unui triunghi prin formula lui Heron.

Trigonometrie simpla. Demonstrarea unei relatii cu valori numerice con-crete.

82

Calcul cu fractii.

Aratati ca:

1

10+

1

100+

1

1000= 0, 111

Ce se cere

Un calcul simplu cu fractii.

Strategie

O simpla exprimare a fractiilor date ın forma de zecimale.

Rezolvare

0, 1 + 0, 01 + 0, 001 = 0, 111

Concluzie

Am calculat suma a trei fractii.

83

Rezolvarea unei inecuatii simple.

Determinati valorile reale ale lui x pentru care f(x) ≥ g(x) unde f : R→ Rcu f(x) = 2x− 1, si g : R→ R cu g(x) = x + 1.

Ce se cere

Problema prezentata ca o inegalitate de functii, rezulta de fapt ıntr-o inecuatiesimpla.

Strategie

Manipulam algebraic inecuatia si obtinem un interval pentru variabila.

Rezolvare

2x− 1 ≥ x + 1

2x− x ≥ 1 + 1

x ≥ 2

x ∈ [2,∞)

Concluzie

Am determinat intervalul pentru variabila care satisface inecuatia derivata.

84

Ecuatii exponentiale. Ecuatii de gradul doi.


2x2

= 24x−3

Ce se cere

Rezolvarea unei ecuatii exponentiale.

Strategie

Luam logaritm ın ambele parti, obtinem o ecuatie de gradul doi.

Rezolvare

2x2

= 24x−3

luam logaritm ın ambele parti si avem x2 = 4x− 3

x2 − 4x + 3 = 0

∆ = b2 − 4ac = 16− 12 = 4 = 22

x1,2 =4± 2

2

x1 = 1, x2 = 3.

Concluzie

Am gasit solutiile pentru aceasta ecuatie exponentiala.

85


O firma foloseste 5000 lei pentru publicitate, suma care reprezinta 5% dinprofitul anual al firmei. Calculati profitul anual al firmei.

Ce se cere

Se cere totalul unei sume, cunoscandu-se o fractie din aceasta suma si pro-centajul corespunzator cu fractia respectiva.

Strategie

Metoda de “trei simpla”. Daca o valoare corespunde cu o fractie dintr-untotal, atunci totalul respectiv este valoarea ımpartita la fractie.

Rezolvare

T ′ = 5000 = 0, 05T

T = 5000÷ 0, 05

T = 100.000

Concluzie

Am aplicat celebra metoda de trei simpla, prin care se afla necunoscute dinrelatii ce presupun fractii sau procentaje.

86


In reperul cartezian xOy, avem punctele A(4, 0), B(8, 3), C(0, 3).Calculati aria triunghiului 4ABC.

Ce se cere

Este necesar sa aflam aria unui triunghi cunoscand coordonatele extremitatilor.

Strategie

Deducem lungimile celor trei laturi. Aplicam formula lui Heron, prin careavem

S =AB + BC + AC

2si A(4ABC) =

√S(S − AB)(S − AC)(S −BC)

Rezolvare

AB =√

(8− 4)2 + (3− 0)2 =√

16 + 9 =√

25 = 5

AC =√

(4− 0)2 + (0− 3)2 =√

16 + 9 =√

25 = 5

BC =√

(8− 0)2 + (3− 3)2 =√

64 = 8

S =AB + BC + AC

2= 18/2 = 9

A =√S(S −AB)(S −AC)(S −BC) =

√9(9− 5)(9− 5)(9− 8) = 3× 4 = 12

Concluzie

Am aplicat formula lui Heron pentru aflarea ariei unui triunghi, cand secunosc lungimile laturilor.

87

Trigonometrie.

Aratati ca2 sin2(30◦) + 2 cos2(60◦) = 1

Ce se cere

Se cere demonstrarea unei identitati trigonometrice cu unghiuri specificate.

Strategie

Evaluam sinusul si cosinusul pentru valorile specificate. Identitatea se trans-forma ıntr-o relatie algebraica ce se evalueaza numeric.

Rezolvare

avem sin 30◦ = 1/2 si cos 60◦ = 1/2

deci avem 2× (1/2)2 + 2× (1/2)2 = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1

Concluzie

Am demonstrat ca expresia cu functii trigonometrice data evalueaza conformcerintelor.

88

Al doilea subiect



x ◦ y = xy + +3x + 3y + 6



- demonstrarea unei relatii pentru aceasta compozitie,

- demonstrarea faptului ca orice compozitie cu elementul minus trei re-zulta ın absorbtie,


- rationament cu absorbtia demonstrata mai sus,

- rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor reale R.

89

Sinopsis

Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete. Prin ur-mare, atunci cand x = 0 si y = −3 va trebui sa rezolvam ın mod concretx ◦ y.

Calcul algebraic. Se cere demonstrarea faptului ca o formula este echiva-lenta cu formula pentru aceasta compozitie.

Demonstrarea unei absorbtii. Se cere sa se arate ca orice compozitie cuelementul −3 rezulta ın elementul −3.

Element neutru pentru compozitie. Se cere o verificare simpla, pentrucare este nevoie de ıntelegerea notiunii de element neutru.

Evaluarea unei compozitii cu foarte multi termeni. Folosind absorbtiademonstrata mai sus, evaluam o compozitie cu peste doua mii de termeni.

Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor reale R.

90


Aratati ca 0 ◦ −3 = −3.

Ce se cere

Evaluarea compozitiei cu numere concrete.

Strategie

O simpla ınlocuire ın formula pentru compozitie.

Rezolvare

0 ◦ −3 = −9 + 6 = −3

Concluzie

Am evaluat compozitia pentru numere date.

91

Calcul algebraic.

Aratati ca x ◦ y = (x + 3)(y + 3)− 3, pentru orice numere reale x, y.

Ce se cere

Este necesara demonstratia unei relatii care exprima compozitia data.

Strategie

Trebuie sa aratam ca relatia data caracterizeaza compozitia. Este suficientsa rearanjam relatia data ın forma explicita.

Rezolvare

(x + 3)(y + 3)− 3 = xy + 3x + 3y + 9− 3 = xy + 3x + 3y + 6

Concluzie

Am aratat ca legea de compozitie este exprimata si prin relatia data.

92

Calcul algebraic.

Aratati ca −3 ◦ x = −3, oricare ar fi numarul real x.

Ce se cere

Se cere verificarea unei forme de absorbtie legata de compozitia cu minustrei.

Strategie

Evaluam simbolic compozitia cu minus trei. Obtinem minus trei.

Rezolvare

−3 ◦ x = −3x + 3x− 9 + 6 = −3

Concluzie

Am verificat ca, sub aceasta compozitie, elementul minus trei absoarbe oriceelement cu care este compus.

93

Element Neutru.

Verificati daca e = −2 este elementul neutru al compozitiei.

Ce se cere

Se solicita o verificare a unui potential element neutru.

Strategie

Compunem cu minus doi ın ambele parti.

Rezolvare

x ◦ −2 = −2x + 3x− 6 + 6 = x

−2 ◦ x = −2x− 6 + 3x + 6 = x

Concluzie

Am verificat ca minus doi este element neutru.

94

Manipulare algebraica.

Calculati compozitia

(−2106) ◦ (−2015) ◦ · · · ◦ (−3)

Ce se cere

Se cere determinarea unei compozitii cu numere concrete.

Strategie

Folosim direct fenomenul de absorbtie observat la compozitia cu minus trei.

Rezolvare

Datorita absorbtiei prin compunerea cu minus trei, avem:

(−2106) ◦ (−2015) ◦ · · · ◦ (−3) = ((−2106) ◦ (−2015) ◦ · · · ◦ (−4)) ◦ (−3) = −3

Concluzie

In acest exercitiu am dedus evaluarea unei compozitii.

95


Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia

x ◦ x ◦ x = 5

Ce se cere

Se cere rezolvarea unei ecuatii ce foloseste aceasta compozitie.

Strategie

Derivam o ecuatie cubica din evaluarea compozitiei date.

Rezolvare

x ◦ x ◦ x = (x ◦ x) ◦ x = (x2 + 6x + 6) ◦ x = x(x2 + 6x + 6) + (x2 + 6x + 6) + 3x + 6

x ◦ x ◦ x = x3 + 6x2 + 6x + x2 + 6x + 6 + 3x + 6 = x3 + 7x2 + 15x + 12

x ◦ x ◦ x = (x + 3)3 − 3

Avem (x + 3)3 − 3 = 5

(x + 3)3 = 8 deci x = −1.

Concluzie

Am identificat valorile necunoscutei care verifica ecuatia data.

96

Al treilea subiect



A =

[5 22 1

], I2 =

[1 00 1

].



- calculul concret cu matrice,

- calcularea unei variabile dintr-o relatie cu determinanti,

- demonstratia ca determinantul unei matrice este non-negativ,


- determinarea unei familii de matrice care satisface o relatie data.

97

Sinopsis


Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca minusul matricei identitate esteegala cu o expresie ce presupune ınmultiri scalare si scaderi.

Calcul cu determinanti. Se cere determinarea unei variabile care, ınmultitacu matricea data rezulta ıntr-un determinant care evalueaza la patru.

Calcul cu determinanti. Se cere o demonstratie ca determinantul uneimatrice exprimate ın functie de matricele acestui exercitiu este pozitiv sauzero.

Determinarea Matricei Inverse. Se prezinta o alta matrice si se cerecalcularea inversei.

Rationament algebraic complex. Se prezinta o matrice exprimata sim-bolic, se cunoaste faptul ca determinantul evalueaza la opt. Se cere determi-narea matricei respective.

98

Calculul determinantului.

Aratati ca det(A) = 1.

Ce se cere

Calcularea determinantului unei matrice

Strategie


[A BC D

], avem formula

det(M) =

∣∣∣∣A BC D

∣∣∣∣ = AD −BC

Rezolvare

det(A) =

∣∣∣∣5 22 1

∣∣∣∣ = 5− 4 = 1

Concluzie


99

Calcul algebraic cu Matrice.

Aratati caA2 − 6A = −I2

Ce se cere

Se cere demonstratia unei egalitati ıntre doua matrice.

Strategie

Calculam diferenta din stanga egalului, prin calcul algebraic o transformamın matricea ceruta.

Rezolvare

A2 = A ·A =

[5 22 1

]·[5 22 1

]

A2 =

[29 1212 5

]

A2 − 6A =

[29 1212 5

]−[30 1212 6

]

A2 − 6A =

[−1 00 −1

]= −I2

Concluzie

Am demonstrat relatia prezentata, care leaga matricele A, I2.

100


Determinati numerele reale x pentru care det(xA) = 4.

Ce se cere

Este necesar sa determinam valorile necunoscutei care verifica faptul ca de-terminantul specificat evalueaza la valoarea patru.

Strategie

Calculam determinantul. Obtinem o ecuatie simpla de gradul doi, pe care orezolvam.

Rezolvare

xA = x

[5 22 1

]=

[5x 2x2x x

]

det(xA) = 5x2 − 4x2 = x2

deci x2 = 4 deci avem x = ±2

Concluzie

Am aflat valorile necunoscutei care verifica relatia data.

101

Calcul cu Determinanti.

Aratati ca det(A2− 6A+ aI2) ≥ 0, pentru orice numar real a, si A2 = A ·A.

Ce se cere

Este necesar sa demonstram ca un determinant cu parametru evalueaza ınN∗.

Strategie

Calculam determinantul specificat, si ıl scriem ca patrat perfect.

Rezolvare

A2 =

[29 1212 5

]

6A = 6

[5 22 1

]=

[30 1212 6

]

aI2 =

[a 00 a

]

A2 − 6A + aI2 =

[a− 1 0

0 a− 1

]

det(A2 − 6A + aI2) = (a− 1)(6− a)

avem (a− 1)2 ≥ 0

Concluzie

Am aratat ca expresia ceruta este ıntotdeauna mai mare sau egala cu zero,indiferent de valoarea parametrului.

102

Matrice inversa.

Determinati inversa matricei B, unde B = A + I2.

Ce se cere

Este necesara aflarea matricei inverse pentru matricea B. Inmultirea cu omatrice inversa rezulta ın matricea identitate.

Strategie

Calculam algebraic prin ınmultire. Deducem relatii simultane pe care lerezolvam.

Rezolvare

B = A + I2 =

[5 22 1

]+

[1 00 1

]=

[6 22 2

]

Fie B−1 =

[a bc d

]

Deci avem B−1 ·B = I2 deci

[a bc d

]·[6 22 2

]=

[1 00 1

]

ceea ce rezulta ın relatiile simultane

6a + 2b = 1

2a + 2b = 0

6c + 2d = 0

2c + 2d = 1

Deci a = −b si atunci a = 1/4, b = −1/4. In acelasi timp avem c = (−1/3)d , si atuncic = 1/4, d = 3/4.

Deci B−1 =

[1/4 −1/4−1/4 3/4

]

Concluzie

Am dedus matricea inversa matricei B.

103

Ecuatii. Rationament algebraic complex.

Determinati matricele de forma

X =

[a bb a

]ın M2(Z) stiind ca det(X) = 8.

Ce se cere

Se cere sa aflam concret matricele care verifica relatia data.

Strategie

Calculam determinantul si obtinem ecuatii simultane pe care le rezolvam.

Rezolvare ∣∣∣∣a bb a

∣∣∣∣ = a2 − b2 = (a− b)(a + b)

(a− b)(a + b) = 8

Factorizarile lui 8 ın Z sunt 2× 4, 1× 8, −2×−4, −1×−8.

Obtinem simultan a − b = 2, a + b = 4, deci a = 3, b = 1. Sau, prin comutativitatea = 1, b = 3.

Sau obtinem simultan a − b = 1, a + b = 8, deci a = 7/2, b = 9/2, care nu convine. Ingeneral solutiile derivate din aceasta factorizare nu vor conveni, datorita fractiilor.

Mai obtinem simultan a−b = −2, a+b = −4, deci a = 3, b = −1, si a−b = −4, a+b = −2,deci a = −3, b = 1.

Acest rationament rezulta ın identificarea a patru matrice posibile.

Concluzie

Am dedus forma celor patru matrice care verifica relatia data.

104

Documents

Matematic a. Bacalaureat Nat˘ional. Pro lul Pedagogic · Primul subiect Subiectul I discut a chestiuni legate de-manipularea algebraic a a unei expresii ce cont˘ine r ad acini p