matek tutorial

Sokszínû matematika 8.

A KITÛZÖTT FELADATOKEREDMÉNYE

DR. SZEDERKÉNYI ANTALNÉny. gyakorlóiskolai vezetõtanár

Tartalom

1. ALGEBRA .................................................................................................................................................... 4

2. SZÖVEGES FELADATOK ............................................................................................................. 13

3. HALMAZOK, KOMBINATORIKA ........................................................................................ 18

4. GEOMETRIA I. ........................................................................................................................................ 23

5. TÉRGEOMETRIA .................................................................................................................................. 29

6. STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG ........................................................................................... 41

7. GEOMETRIA II. ...................................................................................................................................... 45

8. FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK ................................................................................................. 56

4

SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 – A K ITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE

1. Algebra

1. Algebrai kifejezések

1. a) (x + y) ¡ 5;b) x – y ¡ 5;c) (x + 7) – y;d) (x – 0,4x) ¡ (y + 0,4y) vagy 0,6x ¡ 1,4y;e) (x + y) + 0,1 (x + y) vagy 1,1 (x + y).Egytagúak: a, d, és e-nek a második változata.

2. a) n ¡ a + n ¡ b = n ¡ (a + b); b) n ¡ 1,1a + n ¡ b = n ¡ (1,1a + b);c) n ¡ (0,1a + 0,1b)= 0,1n (a + b) a többletfizetés; d) n ¡ a + (n – k) ¡ b.

3. a) b) c) 10xy; d) 63xy.

4. a) 5a; b) – 9b; c) 0; d) 2d.

5. a) x – 2; b) 1 – 9y; c) – 4v + 2c + 6; d) – 1 – 3z.

6. a) a – b + 2; b) – 8c + 4d – 6; c) – 5e – 8f + 12; d) – 12g – 14h – 14.

7. a) 6a; b) 4b; c) 0; d) – 6a – 4b.

8. a) 4x + 5y b) –y; c) – 4x – 11y; d) 8x + y.

9. a) 4a + 20; b) 10b – 15; c) 6 – 2c; d) 8 – 12d;e) – 4e – 6; f) – 15f + 10; g) – 18 + 6g; h) – 12 + 6h.

10. a) 8x – 1; b) 20 – 20y = 20 (1 – y);c) 8v – 1; d) 5.

11. a) 6x – 1; b) 1 – 19y; c) – 9v + 10; d) 9.

12. a) yx – 4y = y ¡ (x – 4); b) ax + 7ay = a (x + 7y);c) 5x2 – 7xy – y2; d) – 22b2 + 7ab.

13. a) – 1; b) 99,51; c) 10; d) – 2.

14. a) 6x2y; b) 4ab; c) 2x2; d) – 8a; e) f)

15. a) b) c) a; d) 1; e) f)

16. a) b) c) d)

e) f) g) h)

Rejtvény: A budapesti irányítószámok 1-essel kezdõdnek, ezért az irányítószám 1024. A ház-szám 64, az emeletszám pedig 4.

2– .

15–4 1

;4g +11 – 2

;15f1

;3

e +

9 5;

10d +7 6

;6

c +;

12b11

;15a

–4 –.

6x y2 3

– ;4

c +3 – 1;

4y

;12x

27– .

2x y

5;

2xy

6 104 ;

4x x

x+ =26 10

15 ;4

x xx

◊ =

2. Hogyan oldunk meg egyenleteket, egyenlõtlenségeket?

1. a) x = 5, 5 Î ; b) x = 2, x Î ;

c) x = – 3, – 3 Î ; d) x = 0, x Î ;

e) Ï , nincs megoldás; f) x = – 1, x Î ;

g) x = – 2, – 2 Î ; h) x Ï , nincs megoldás;

i) Ï , nincs megoldás; j) nincs megoldás (12 ¹ 20).

2. a) b) c) d) x = 0;

e) f) x = – 3; g) x = – 3; h) x = 4;

i) x = 5; j) x = 18.

3.

4. a) x < 3 x Î {0; 1; 2}; b) x £ 9 x Î {0; 1; 2; …; 9};c) x < 5 x Î {0; 1; 2; 3; 4}; d) x £ 0 x = 0;e) x > 4 x Î {5; 6; 7; …}; f) x > – 12 x Î {0; 1; 2; 3; …} x Î .

5. a) b)

c) d)

e) f)

6. a) sûrûség, tömeg, térfogat

b) nyomás, nyomóerõ, felület

.nyF p A= ◊;nyFA

p=;nyF

Ar =

.m Vr=;m

Vr

=;mV

r =

263(x + 2) – 5(x + 3) = 9(x – 1)

2,5– 2 7

–2 12 3x x x +=

0(x – 1) x – 1 = x2 + 2x + 5

– 2x + 7 = 5x – 3

23;

5x =

1;

2x =4

;5

x =56 8;

35 5x = =

10–

1110

– ,11

x =

25,

3x =

253

25,

3x =

5

6


c) munka, erõ, az erõ irányába esõ elmozdulás

W = F · s;

d) hõmennyiség, fajhõ, tömeg, hõmérsékletváltozás (Dt)

Q = c · m · Dt;

Rejtvény

x + 99x = 100x 1 + 99 = 100, ezért2x + 2 + 3x + 3 + … + 98x + 98 = 0

0 0 0x = – 1

3. Többtagú algebrai kifejezések szorzása

1. a) (1 + y)(2 + x) = 1(2 + x) + y(2 + x) = (1 + y) · 2 + (1 + y)x = = 1 · 2 + 1x + 2y + xy = 2 + x + 2y + xy;

b) (a + b)(a + 2b) = a(a + 2b) + b(a + 2b) = (a + b) · a + (a + b) 2b = = a2 + a · 2b + b · a + b · 2b = a2 + 3ab + 2b2;

c) (x + y)(2 + 5x) = x(2 + 5x) + y(2 + 5x) = (x + y) · 2 + (x + y) · 5x = = 2x + 2y + 5x2 + 5xy.

2. Tetszõleges téglalapokkal az elõzõhöz hasonlóan.

3. a) x2 + 3x + 2; b) x2 + 2x – 3; c) 2x2 + 3x + 1;d) 2x2 + 3x – 2; e) ax + 2a2 + bx + 2ab; f) 2a2 + a – 2ab – b;g) y2 – 1; h) a2 + 2ab + b2; i) 6a2 – 13ab + 6b2;j) 4k2 – 1; k) a3 + a – a2 – 1; l) x2y3 + x3y – y2 – x;

m) x2y2 – x3 + y3 – xy; n) 4a3 – 2a2b + 2ab2 – b3; o) 10x2a2 + 5xab – 2xab2 – b3.

4. a) 2x2 + 2xy + 5x + 2y + 2; b) a2 + 2ab + b2 + a + b;c) 2x2 + 4xy + xz + 2y2 + zy; d) 30x2 + 5xy + 4x – y – 2;e) x3 + x2y – 2x2 – x – y + 2; f) za + z2 – ya – y2.

5. ax + by.

6. (n – k)(x – y).

7. (x + y)(a + b).

8.

.Q

tc m

D =◊

;Q

mc t

=◊ D

;Q

cm t

=◊ D

.W

sF

=;W

Fs

=

7

9.A) (a + 1)(a – 1) = – 1; B) (a + 3)(a – 2) = a2 + – 6;C) (2a + 3)(3a + 2) = 6a2 + + 6; D) (2a + 1)(a – 3) = – 5a – 3;E) (1 + 3a)(2 – a) = – 3a2 + 5a + ; F) (a + 2)(a + 2) = 4 + + a2.

10. a) m = 4; b) m = 1; c) m = 2.

11. a) x = – 1; b) x = *c) x = 0; d) x =

Rejtvény: A 60/306 jelölés – egy lehetséges magyarázat szerint – jelenti az év 60. napját, hoz-závéve, hogy az évbõl még 306 nap van hátra. Tehát az év összesen 60 + 306 napbóláll, azaz szökõévrõl van szó. Ennek 60. napja február 29. Ennek megfelelõen a 306/60jelölés november 1-jét jelenti.

4. Összeg, különbség négyzete

1. a) a2 + 20a + 100; b) b2 + 16b + 64; c) x2 + 2xy + y2;

d) 1 + 4x + 4x2; e) 4y2 + 2y + f) a2 + 4ab + 4b2;

g) 9x2 + 12xy + 4y2; h) 100a2 + 200ab + 100b2.

2. a) (x + 1)2 = x2 + x + x + 1;b) (2a + y)(2a + y) = 4a2 + 2ay + y2a + y2 = 4a2 + 4ay + y2;c) (2a + 3)2 = (2a)2 + 2a · 3 + 3 · 2a + 3 · 3 = 4a2 + 12a + 9.

3. a) a2 – 2a + 1; b) x2 – 8x + 16; c) x2 – 2xy + y2; d) 1 – 2z + z2; e) 4x2 – 4x + 1; f) a2 – 4ab + 4b2; g) 16a2 – 24ab + 9b2; h) 25x2 – 50xy + 25y2.

4. a) x2 – 2 · x – 2(x – 2) = (x – 2)(x – 2) = x2 – 4x + 4;b) (3z – y)(3z – y) = 9z2 – 3zy – 3zy + y2 = 9z2 – 6yz + y2;c) (2b – a)2 = (2b)2 – a · 2b – a · 2b + a2 = 4b2 – 4ab + a2.

5. a) a2 + 2a + 1; b) y2 – 4y + 4; c) 4a2 – 4a + 1; d) x2 + 4xy + 4y2; e) x4 – 2x2 + 1; f) a4 + 2a2b2 + b4.

6. a) (x + 2)2 = + 4x +4; b) (x – 3)2 = x2 – + 9;c) (2x – 3y)2 = 4x2 – 12xy + ; d) (a2 + 2b)2 = a4 + + 4b2.

7. x2 + y2 = 125x – y = 5______________________

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

25 = 125 – 2xyM : xy = 50____________

8. x + y = 7x · y = 12__________________________

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

49 = x2 + 2 · 12 + y2

M : x2 + y2 = 25________________

24 ba29y6x2x

1;

4

1.

95

;8

4a2

22a13aa2a

8


9. a) x = b) x = 2; c) x = d) x =

10. a) m = 0; b) m = 1; c) m = 1.

11. 100-ig vizsgálva 1 és 0 maradék váltakozik. A továbbiakban is igaz, mert a páros szá-mok négyzete 4-gyel osztható. A páratlan számok 2k + 1 alakúak, (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1.

12. a = 1 cm.

13. A két szám 4 és 1.

14. 100 m2.

15. A szám 4,5.

Rejtvény: A 16 jegyû szám a1— a2

—— a3—–…— a16

——

10 | (2a1 + a2) + (2a3 + a4) + … +(2a15 + a16)A hitelkártya azonosítója:8543 09x6 1174 6y 3810 | (16 + 5 + 8 + 3) + (0 + 9 + 2x + 6) + (2 + 1 + 14 + 4) + (12 + y + 6 + 8)10 | 94 + 2x + y Û 10 | 4 + 2x + yAz x helyére mind a tíz számjegy írható és ehhez megfelelõ y értékek találhatók. Az (x ; y) párok száma 10.

5. Összeg és különbség szorzata

1. a) x2 – 81; b) 1 – c2; c) z2 – 16.

2. a) y2 – 1; b) z2 – 4; c) 4a2 – 1;

d) b2 – e) x2 – y2; f) 9 – x2.

3. Kimaradó kártyák

4. a) (300 – 1)(300 + 1) = 90 000 – 1 = 89 999;b) (300 + 5)(300 – 5) = 90 000 – 25 = 89 975;c) (2000 + 2)(2000 – 2) = 4 000 000 – 4 = 3 999 996;d) (500 + 7)(500 – 7) = 250 000 – 49 = 24 951.

5. a) (a – b)(a + b) = 48 · 128 = 6144; b) c)

6. a) x = 3; b) x = – 1; c) x = d) x = 2.

7. a) (n – 1) · n · (n + 1) = n · (n2 – 1);b) (n – 2)(n – 1) · n · (n + 1)(n + 2) = n(n2 – 4) · (n2 – 1).

*8. (1002 – 952) + (952 – 902) + (902 – 852) + … + (152 – 102) + (102 – 52) = 1002 – 52 = 9975 0 0 0 0 0

5– ;

4

200949.

41=1449

21;69

=

2 2b b+ +a a( – )( )b b+a a

1;

4

3.

27

– ;5

1– ;

2

9

Rejtvény:(– 9)3 + (– 8)3 + … + (– 1)3 + 0 + 13 + … + 83 + 93 + 103 = 103

0 0

0

6. Kiemelés, szorzattá alakítás

1. a) (x +1)y = xy + y

b) (1 + 2)z = 1z + 2z = 3z (1 + 3)z = 1z + 3z = 4z

(2 + 3)z = 2z + 3z = 5z (1 + 2 + 3)z = 1z + 2z + 3z = 6z

c) (a + b) · a = a2 + ba

b(a + c) = ba + bc

2. a) 2(x + 3); b) 4(2a + 3); c) 5(a + 2b);d) 6(2a2 + b); e) a2(b + c); f) b(5a + 6c);g) 5yz(2x + 3v); h) 9ab(4a + 5b); i) 3a(2b + 3c + 4d).

3. a) (a + b)(2 + x); b) (x – y)(a + b); c) (x + y)(a2 – b).

4. a) x + 4 = 2(x + 2); b) ax + = a(x + 5); c) xy + y2 = (x+y);d) 3x2 + = x2(3 + y).

5. 14a + 21b = 7(2a + 3b) igaz.

6. 15x + 20y = 5(3x + 4y) igen.

7. a) 2(x + y) + 3(x + y) = 5(x + y); b) 8a – 8b = 8(a – b);c) a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).

8. a) (x + 1)2; b) (x + 3)2; c) (2 + a)2; d) (a – 1)2;e) (x – 2)2; f) (3 – y)2; g) (n – 1)(n + 1); h) (x – 4)(x + 4).

2x yy5a2

10


9. a2 – 1 = p; (a – 1)(a + 1) = p.Ebbõl következik, hogy a – 1 = 1 és a + 1 = p, azaz a = 2, p = 3.Ez azt jelenti, hogy egyetlen ilyen négyzetszám van, a 4.

Rejtvény: A pozitív egészszámok sorozatából kihagytuk a prímszámokat.

7. Algebrai törtek

1. a) b) c) d)

2. a) A = B = C = 0; D = 0.

b) A = – 1; B = C = – 3; D =

c) A nincs értelmezve; B = C nincs értelmezve; D =

d) A = B nincs értelmezve; C = D nincs értelmezve.

3. a) x ¹ 0; b) x ¹ 3; c) b ¹ 0; d) a ¹

4. a különbség legnagyobb és legkisebb helyettesítési értéke között.

5. a) b) c) d)

6. a) = x ¹ – 2; b) = 3, x ¹ 14y;

c) = (a ¹ 0, x ¹ – 2); d) = x + 2, x ¹ 0;

*e) = (x ¹ 0, a ¹ – b); f) = (x ¹ 0, x ¹ 1);

7. a) = b) +

c) =

8. a) = a – b, a ¹ –b; b) =

c) = x ¹ – 1 d) =

9. A két szám szorzata 6.

2.x π2,

– 2xx+2( 2)

( – 2)( 2)x

x x+

+1

,1x +2

1( 1)

xx

++

;x y≠1,

x y+–

( – )( )x y

x y x y+( – )( )b b

b+

+a a

a

212.

4x yxyz

23xxz

2

2–

;+

a aa a

– 11+

aa

2

215

;36

xx y

512

xxy

5,

2( – 1)x5

2 ( – 1)x

x x1

,2)

x bxx bx++

a2(a

( 2)x xx+5

,a

5( 2)( 2)xx++a

3( – 14 )– 14

x yx y

1,

22( 2)4( 2)

xx++

21

.2xy4

1;

2a1

;2y2

2 2= ;

33x

xx

pq

2942

4– .

5

5;

139

;13

8.

134

;13

6.

112

;11

4– ;

51

;2

.1

xx +

– 1;

1xx +

1 1;

2x+1

;2x +

11

Rejtvény:FOUR + FIVE = NINE R = 0, O = 9, E = 2, I = 4, N = 3Az egyenlõség teljesül. U = 8, V = 5, F = 1

1980+1452

3432A kapott szám nem osztható 9-cel.

8. Egyenletek megoldása szorzattá alakítással

1. a) x1 = 0; x2 = – 5; b) y1 = 0; y2 = 7;c) x1 = – 3; x2 = 5; d) y1 = 6; y2 = – 1.

2. a) x(x + 7) = 0 b) x(2 + 8x) = 0x1 = 0; x2 = – 7. x1 = 0; x2 =

c) x(3x + 6) = 0 d) 5x(5x + 1) = 0x1 = 0; x2 = – 2. x1 = 0; x2 =

3. a) (x – 3)(x + 3) = 0 b) (2 – x)(2 + x) = 0x1 = 3; x2 = – 3. x1 = 2; x2 = – 2.

c) (x + 2)2 = 0 d) (x – 3) 2 = 0x = – 2. x = 3.

4. a) x1 = 3; x2 = – 2; x3 = b) y1 = 1; y2 = 0; y3 = – 2.

5. a) 2x2 + 4x = 0; b) 0 = x2 + 5xx1 = 0; x2 = – 2. x1 = 0; x2 = – 5.

c) x2 – 2x + 1 = 0 d) x2 – 1 = 0x = 1. x1 = 1; x2 = – 1.

6. a1 = 0; a2 = – 10.

7. Igen. A szám 0 vagy – 5.

8. (x + 2) · 2x = (x + 2)(x + 1). Az oldaluk mérõszáma csak pozitív szám lehet, ezért mind-két oldalon oszthatunk x + 2-vel. 2x = x + 1; x = 1A) 3; 2 B) 3; 2.

9. A sárga négyzet oldala 1,5 dm.

Rejtvény: b tyúk a nap alatt tojik b tojást.

9. Vegyes feladatok

1. a) 6a2 – 13a + 6; b) a2 – 2a + 1; c) 5x2 – 2xy – 3y2;d) x2 – x4; e) 2x3 – 2x2 – 2x; f) x3 – 1.

2. a) x2 – 10x + 25; b) 9 + 6y + y2; c) 4a2 – b2;d) y2 – 1; e) 10002 – 4 = 999 996; f) 10 0002 – 1 = 9 999 999.

1;

2

1– .

5

1– .

4

12


3. a) 2(x + 5y); b) x(x + 2); c) 3y(x – 2y);d) 5x(x + 3); e) (3 – x)(3 + x); f) (1 – x)(3 + x).

4. a) (x + 2)(y – 3) = 2y – x + – 6;b) x2(2x + 3) = 2 + ;c) ( – y)(2x – y2) = 6x2 – 3xy2 – xy + ;d) (x – )(– 2xy) = 6xy – .

5. A) h B) h C) h D) i E) h F) i G) i H) i

6. a) x = b) x = 0; c) x = – 13,5;

d) x = 5; e) x £ – 2; f) x < 2.

7. a) x1 = 0; x2 = . b) x1 = 0; x2 = – 2. c) x1 = 0; x2 = 2.

d) x1 = 2; x2 = – 1. e) x1 = 2; x2 = . f) x1 = ; x2 = .

8. a) x = y + 3; b) y = x + 3; c) y = 3x.

d) e) f) x = 4y + 2.

9. a) 4x + 1 = 15; b) 12a – 2 = 258.

10. y és z átlaga x.

11. (d · a) · =

Mindkét módszer ugyanazt eredményezi és a hasonlóság ismeretében bizonyítható,hogy helyes eredményt kapunk mindkét esetben.

12. A téglalap területe 66 egység.

13. a) 1; 2; . b) . c)

14. a) (a + 1)(2a – 1)y tõ b) nap alatt.

15. A) x · y – 4; B) a2 – 8; C) a · b – 16.

100 700

7

yx x

= =

.– 1nn

n=a2010

20102009

=a3 4 5

; ; 2 3 4

3 54 6

dÊ ˆ Ê ˆ◊ ◊ ◊Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯a58

– 2;4x

y =;3y

x =

1–

214

13

1–

2

3;

5

22x y3

3y23x

23x3xxy3

13

2. Szöveges feladatok

1. Egyenletek alkalmazása feladatmegoldásban

1. Ádámnak 600, Briginek 3100 Ft van a zsebében.

2. Ágostonnak 45, Gergõnek 15 kitûzõje volt.

3. A fõrabló 336 aranyat, a 2. számú 63, a 3. számú 14, a 4. számú 7 aranyat kapott.

4. A torta 750 g-os volt. Eszti 300 g, Dávid 250 g tortát evett.

5. A gondolt szám 32.

6. 84 káposztát ettek meg együtt. A legkisebb 42, a középsõ 26, a legnagyobb pedig 16káposztát evett.

7. Összesen 12 000 jegy volt és 10 500 db-ot adtak el.

8. Apa 38, Anya 36, Peti 13 éves.

9. Alsókukutyinnak 700, Nagykukutyinnak 2300, Kukutyinnak 1200 lakosa van.

10. A számok: 38; 40; 42; 44; 46.

Rejtvény: 1 plikk 5 plokkot ér.

2. Hány éves a kapitány

1. A lány 13 éves volt.

2. Az anya 19 év múlva lesz kétszer olyan idõs, mint a fia.

3. Ádám 9 éves, Barnus 5 éves.

4. Tanuló (14 éves).

5. Az apa 51 éves, fia 25 éves.

6. Balázs 12, Rex 6 éves. A legnagyobb valószínûséggel a B kép ábrázolhatja õket.

7. Az apa 40, a fia 5 éves.

8. 11 évvel ezelõtt.

9. Aki mondja a feladatot, az a gyerek 1 éves.

10. Apa 31 éves, a fiú 10 éves.

Rejtvény: 172 159 = 13 · 41 · 323, ezért a kapitány 41 éves.

3. Gondoltam egy számra…

1. 13; 26; 39; 31; 62; 93.

2. a) 26 és 62b) Kiegészítés: pl.: A felcseréléssel kapott szám a nagyobb. Ekkor a keresett szám 26.

14


3. A keresett szám 53.


5. Ha az összeg 133, nincs megfelelõ szám. Ha az összeg 129, akkor a szám 25.


7. A szám 31.

*8. A számkód 642.

*9. Az elsõ számjegy 1-gyel kisebb a másodiknál, így felcserélésükkor a kapott számnagyobb lesz. Nincs megoldása a feladatnak. Hibás feladat.

*10. A keresett szám 436.

Rejtvény: Nincs a feltételnek megfelelõ szám.Igazolás:

Mivel a felcserélés után kapott szám kétszerese az eredetinek, a két háromjegyûszámra teljesül, hogy:2 · (100a + 10b + c) = 100c + 10b + a.

Mivel a bal oldalon páros szám áll, a-nak párosnak kell lennie, vagyisa = 2 vagy a = 4 (a > 4 nem lehet, mert akkor az eredeti szám kétszerese négyjegyûlenne.)

Ha a = 2, akkor

Ez akkor teljesül, ha az eredeti szám utolsó jegyének kétszerese 2-vel végzõdik.Ezért c = 1 vagy c = 6,de ha c = 1, akkor , mert a bal oldalon álló szám legalább 400.

Ha c = 6, akkor pedig, mert a bal oldalon álló szám kisebb, mint 600.

Hasonlóan, ha a = 4, akkor, a c kétszerese 4-re végzõdõ szám, ezért

c = 2 vagy c = 7 lehet.

Ha c = 2, akkor, mert a bal oldalon álló szám legalább 800.

Ha c = 7, akkor, mert a bal oldalon álló szám legalább 800.

4. Fogócska matematikus szemmel

1. 4 óra 45 perc alatt a csiga 5,7 méteres utat tesz meg.

2. 0,015

3. a) A nagymama háza 3 km-re van.

m.

s

m 1 m 12 km km1,2 0,0012 .

h 3000 s 10 000 h hv

= = = =

2 4 7 7 4b b◊ π

2 4 2 2 4b b◊ π

2 4 4bc cb◊ =

2 2 6 6 2b b◊ π

2 2 1 1 2b b◊ π

2 2 2.bc cb◊ =

15

b) A farkas óra (= 18 perc) alatt ér oda.

c) 600 méter elõnyt kell adni Piroskának.

4. a) 1500 km; b)

5. a) v1 = 2 ; v2 = 1,5 b) 2 másodperc múlva ütköznek.

6. a) 9 óra 14 perc 10 mp-kor találkoznak.

b)

c) 10 óra 28 perc 20 mp-kor érnének Bajára, ha 0 másodperc alatt tudnának az autóbabepakolni.

7. a) b) Fonyód Badacsonytól 5 km-re van.

8. Lacika Andris sebességgel szalad.

9. a) b) c)

*10. 2 óra alatt körözi le elõször. 19 illetve 18 kört tesznek meg ezalatt.

Rejtvény: A kutya 15 km-es utat tesz meg. (Ugyanis Balázs menetideje 1,5 óra, ezalatt a ku-

tya 10 sebességgel szaladgál.)

5. Méregkeverés – egyenletekkel

2. g víz van az adott oldatban.

3. 3,75 kg 100%-os alkohol van a 25%-os alkoholban.

4. liter vizet kell hozzáöntenünk.

5. 12 kg cukor kell.

6. 7,5 kg vizet kell elpárologtatni.

7. 0,72 l 100%-os narancslevet kell hozzáönteni.

8. 17,6 l víz szükséges.

9. %-os oldatot kapunk.4

687

83

2287

9

1.

kmh

km165 (nem reális).

hkm

135 ;h

1371 km;

4

m1

s

1 m;

2 s

Siófokkm

16 .h

v =Kelénkm

4 ;h

v =

A80 km

6289 h

v =

ms

ms

autókm

100 .h

v =repülõkm

750 ;h

v =

310

16


10. 10 kg 60%-os oldat kell.

11. 20%-os volt.

Rejtvény: A nyers füge szárazanyagtartalma megegyezik az aszalt füge szárazanyagtartal-mával.x · 0,08 = 10 · 0,80100 kg fügébõl lesz 10 kg aszalt füge.

6. A fénymásolástól a fûnyírásig: együttes munkavégzés

1. Kovácsné egyedül 2 óra alatt írná meg a lapokat.

2. 1 perc 12 mp alatt végeznének együtt.

3. Együtt 9,6 perc alatt hordják be a fát.

4. nap múlva találkozik a két fúrópajzs.

5. A második szivattyú egyedül 1,5 óra alatt végezne.

6. Peti egyedül 6 óra 45 perc alatt lenne kész.

*7. Csak melegvízzel 40 perc alatt telne meg.

Rejtvény:Igen.

7. Szögek, oldalak, átlók: geometriai számítások

1. 30°; 150°.

2. 101°; 27°; 52°.

3. A háromszög legkisebb szöge 40°.

4. a) Ha a háromszög nagyobb szöge a szárszög, akkor 50°; 50°; 80° a szögek nagysága.

b) Ha a háromszög kisebb szöge a szárszög, akkor °; °; ° a szögeknagysága.

5. A négyszög négyzet, mivel minden szöge 90°. T = 64 cm2.

6. A négyzet oldala 6 cm, a téglalap oldalai 6 cm és 9 cm.

*7. e = 3f, f = 9 m. e = 27 m.

8. A négyzet oldala 120 cm, a téglalap oldalai 96 cm és 150 cm.

9. A szabályos sokszög 24 oldalú.

10. A sokszög 43 oldalú.


12. Az ötszög szögei: 92°; 100°; 108°; 116°; 124°.

3 121,5,

2f f =·2

121,5 m ,2

e f =·

428

7

575

7

575

7

1 1 1 > 1.

2 3 4+ +

26

3

17

Rejtvény: A feltétel szerint az A-nál lévõ szög 180° – 4g. Kössük össze AC felezõpontját (F) B-vel! Az ABF háromszög egyenlõ szárú, B-nél 2g és F-nél 2g nagyságú szög van. Így az FBC ¬ = g. Ebbõl következik, hogy a BCF háromszög is egyenlõszárú, azaz BF= 6 cm. Az ABF háromszög egyenlõ oldalú. Az A-nál lévõ szög 60° = 2g. g = 30°.A háromszög szögei: 30°; 60°; 90°.

8. Vegyes feladatok


2. Megtakarított pénze 1040 Ft > 1000.

3. A laboratóriumi egerek 66%-a szereti az edami sajtot.

4. Vali 130 Ft-ot fizetett.

5. Az anya 36 éves, Móni 14 éves, Norbi 12 éves.

6. Laci 7 éves.

7. Kati 11 éves, édesapja 37 éves. (A köztük lévõ korkülönbség állandó).



*10. 448 (100a + 10a + 2a + 100 · 2a + 10a + a = 1292).

11. Az elsõ 1 óra alatt, a második 2 óra alatt, a harmadik 1 óra alatt tette meg a maga 50 km-ét.

12. a) 5 óra 15 perckor találkoznak.b) 6 óra 30 perckor érkezik a hír a városba.

13. 50 dkg cukor szükséges.

14. -os lesz az oldat.

15. a) Semmit nem kell hozzáönteni.b) 0,25 l 40%-os oldat kell, hogy 30%-os oldatot kapjunk.c) 1 l 40%-os oldat kell, hogy 35%-os oldatunk legyen.d) A 25%-os oldathoz akármennyi 40%-ost öntünk, soha nem kapunk 40%-os oldatot.

16. 10%-osból 25 g és a 40%-osból is 25 g vagy 37,5 g 20%-os és 12,5 g 40%-os keverékead 25%-os összetételt.

17. Együtt 12 óra alatt végeznek.

18. Lili egyedül 12 óra alatt lenne kész.

19. A keresett szög nagysága 130°.

20. a = 50°, b = 10°, g = 120°.


22. A szobák alapterülete: 12,96 m2 és 25 m2.

211 %

3

18


3. Halmazok, kombinatorika

1. Halmazok

1. a) Legkevesebb kettõt kell elvenni, a 6. és 8. sorszámút.b) Legkevesebb kettõt, az 5.-et és 7.-et kell elvenni.c) Legkevesebb négyet, az 5., 7., 8. és 9. sorszámút kell elvenni.d) Legkevesebb 6-ot kell elvenni, 1., 2., 5., 6., 7., 9. sorszámúakat.e) Nem kell elvenni egyet sem.

2. 1 B, 2 D, 3 A, 4 C

c) Üresen maradt két rész.Prím, 3-nak többszöröse és háromnál nagyobb (nincs ilyen szám), valamint

3 többszöröse, 3-nál nem nagyobb és nem prím.

4.

5. Legkevesebb 6 gyerek dolgozata ötös.

6. c) Korem blum plem.

7. Daninak 3 helyes válasza lehet.

8. a) 16; b) 6; c) 3; d) 19; e) 99 – 19 = 80.

9. (28 + 29) – 55 = 2.

10. Legfeljebb 80-an csak az egyik sportot ûzik rendszeresen.

11. 6 cm2.

12. 3 olyan ember van, aki szereti a virágot, a kedvenc színe nem kék és nincs autója.

13. 20%.

14. 5 gyereknek van pontosan két jó feladata.

Rejtvény: 3 állata van. (3 – 2 = 1 madár, 3 – 2 = 1 kutya, 3 – 2 = 1 macska).

b) 1 nem prím, 3-nál nem nagyobb, 3-nak nem több-szöröse.

2 prím, 3-nál nem nagyobb, 3-nak nem többszöröse.3 prím, 3-nál nem nagyobb, 3-nak többszöröse.4 nem prím, 3-nál nagyobb, 3-nak nem többszöröse.5 prím, 3-nál nagyobb, 3-nak nem többszöröse.6 nem prím, 3-nál nagyobb, 3-nak többszöröse.

3. a)

19

2. Beszéljünk helyesen a matematika nyelvén!

1. Azonos jelentésûek az A), E), F), ill. a C), D).(A B) állítás jelentése semelyik másikkal nem egyezik meg.)

2. a) Októberben lesz olyan nap, amikor nem esik az esõ.b) A héten a postás minden nap 10 óra elõtt jött.c) Nincs olyan tyúk, amelyik naponta 1 tojást tojik.d) Nem minden nyáron van olyan nap, amikor legalább 40° van.

3. a) Minden négyzet rombusz. IgazNem minden négyzet rombusz. Hamis

b) Van olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása. IgazNincs olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása. Hamis

c) Minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal is. HamisNem minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal is. Igaz

d) Van olyan pont, amelyik egyenlõ távolságra van a négyszög minden csúcsától. IgazNincs olyan pont, amelyik egyenlõ távolságra van a négyszög minden csúcsától. Hamis

4. Nóri kedd délután sportol, franciát tanul, nem járt Shakespeare szülõházában. Nóri ottlehet a farsang szervezõi között.

5. a) Ha egy szám osztható 15-tel, akkor osztható 9-cel. HamisHa egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 15-tel. Hamis

b) Ha egy pont rajta van egy szög szögfelezõjén, akkor egyenlõ távolságra van a szög két szárától. IgazHa egy pont egyenlõ távolságra van egy szög két szárától, akkor rajta van a szög szögfelezõjén. Igaz

c) Ha egy szám pozitív, akkor nagyobb 1-nél. HamisHa egy szám nagyobb egynél, akkor pozitív. Igaz

d) Ha egy négyszög paralelogramma, akkor a négyszög trapéz. IgazHa egy négyszög trapéz, akkor a négyszög paralelogramma. Hamis

6. a) Kettõt, a pirosat és a zöldet kell elvenni.b) Nem kell elvenni egyet sem.c) Kettõt, a zöld és kék lyukas lapot.d) Kettõt, a kis kék háromszöget és a lyukas kék négyszöget.e) Egyet, a kék kört.f) Kettõt, a kék kört és a kék négyzetet.

7. Elegendõ az 50 + 100 feliratú dobozból egy érmét kihúzni és megnézni.Ha 50-est húzunk, akkor abban a dobozban 50 + 50 van. Ekkor az 50 + 50 feliratúban100 + 100, a 100 + 100 feliratúban 50 + 100 van.Ha az 50 + 100 feliratú dobozból 100-ast húzunk, akkor abban a dobozban 100 + 100van, az 50 + 50-es feliratúban 50 + 100 és a 100 + 100 feliratúban 50 + 50 van.

Rejtvény: A nõ gyalogos volt.

20


3. Hányféle útvonal lehet? Az összegzési módszer

1. a) 20; b) 15; c) 36.

2. a) 6; b) 10; c) 8; d) 16.

3. a) 16; b) 20; c) 70.

4. 6 útvonal.

5. a) 10; b) 20; c) 15.

Rejtvény: Káró király, káró dáma, kõr dáma.

4. Hányféleképpen választhatunk?

1. 6 · 3 · 2 = 36.

2. a) 63 = 216; b) 6 · 6 · 3 = 108; c) 6 · 6 · 5 = 180.

3. a) Reggelihez 5-féle, ebédhez 4-féle, vacsorához 3-féle formában választhatunkgyümölcsöt.

b) Egyfajta gyümölcsbõl 60-féle „gyümölcsmenü” állítható elõ, ezért legkevesebb 7-félegyümölcsöt kell ennünk. (Egy év 365 vagy 366 nap)

4. 24-féle háromjegyû szám, ebbõl 6 páros.

5. 10 háromszöget.

6. 3 megfelelõ paralelogramma létezik.

7. 100-féle módon választhatók ki a lift utasai.

8. a) 120-féle különbséget írhatunk fel, de ezek közül 12-nek az eredménye (kiszámítottkülönbség) kétszer szerepel, azaz 108 különbözõ kiszámított különbség van.

b) 543 – 12 = 531.

9. a) 21; b) 45; c) 105.

10. A Nekeresd SC 11 pontot szerzett.

11. 6 csapat játszott.

12. 5 döntetlen (3a + 2 · (45 – a) = 130; ahol a a nyertes meccsek száma.)

13. 6 csapat játszott (1 csapat nem szerzett pontot).

Rejtvény: Nem csak egymással játszottak.

5. Válasszuk szét az eseteket!

1. 20 + 15 + 6 + 1 = 42-féle gyümölcssaláta készíthetõ.

2. 0; 1; 2; 4; 6. (0 akkor, ha mindhárom kártyán 0 áll.)

3. 3 + 90 · 2 + 43 · 3 = 312.

4. 9 + 90 · 2 + 900 · 3 + 1010 · 4 = 6929.

21

5. a) 23 oldalt; b) 100 oldalt; c) 252 oldalt.

6. a) 12; b) 36.

7. 16.

8. a) 9; b) 90; c) 189; d) 1089.

9. Ha az elsõ három számjegyre vonatkozik a feltétel, akkor 64 ilyen szám van, ha az utolsóhárom számjegyre igaz a feltétel, akkor is 64 ilyen szám van. Összesen 128 ilyen számvan 1000 és 9999 között.

Rejtvény: 1001 számban szerepel 1-es 999 és 2009 között.

6. Hány lehetõség van?

1. 7-féle színezés lehetséges.

2. 2, 4 vagy 6 egynemû pár lehetséges.

3. 5 lány (11 fiú egymás mellett, az 5 lány és a maradék 4 fiú felváltva ülnek.)

4. 429 páros, 7-tel nem osztható szám van 1 és 1000 között. (1 £ n £ 1000)

5. 18-féle.

6. 60 megfelelõ sorrend lehetséges.

7. a) MÁRTI.b) A betûk sorában a 100. helyén M áll.

Rejtvény: 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6 · 7 · 24 · 3600.A két szám egyenlõ.

7. Vegyes feladatok

1.

2. a) T Ç P = P {paralelogrammák}, mert P Ì T, {1; 2; 3; 6; 8; 9}b) = {nem trapézok}, {4; 5}c) R È P = P {paralelogrammák}, mert R Ì P, {1; 2; 3; 6; 8; 9}d) D Ç T = {deltoidok, amelyek trapézok is}, {1; 2; 8}.

3. 15% szép is és okos is.

4. 15 gyerek játszott pontosan kétféle labdajátékot.

5. A nézõk 13%-a 60 évnél idõsebb.

T

22


6. 10 oldalú a sokszög. (AF és E) átlók bontják így, ha a szokásos betûjelzést alkalmazzuka tízszögre.

7. a) (1) Nem igaz, hogy …(2) A számnak vagy páros, vagy páratlan számjegye nincs.(3) A szám vagy csak páros, vagy csak páratlan számjegyekbõl áll.

b) (1) Nem dobtunk mindhárom kockával hatost.(2) Valamelyik kockával nem hatost dobtunk.

c) (1) A lerajzolt négyszögnek nem egyenlõ mindegyik szöge.(2) A lerajzolt négyszögnek van legalább két különbözõ szöge.

d) (1) Nincs három szám, melyek közül bármely kettõnek az összege páratlan.(2) Bármely három szám között van kettõ, amelynek az összege páros.

8. Öten írtak ötös dolgozatot.

9. Soma törte be az ablakot.

10. a) 13; b) 63; c) 48.

11. a) Ha a délnyugati csúcsot úgy értjük, hogy az elsõ É–D irányú utca és az elsõ K–Nyirányú utca keresztezõdése, hasonlóan értve az északkeleti csúcsot, 84-féle útvonallehetséges. (6-ot jobbra, 3-at felfelé).

b) Ha a csúcsokat az elõbbi keresztezõdéseken kívül értjük, akkor 330-féle útvonal le-hetséges. (7-et jobbra, 4-et felfelé).

12. a) 36; b) 18; c) 6; d) 12.

13. a) 60; b) 24; c) 12; d) 18.

14. c) nem lehet (42 kézfogás nem lehetséges).

15. 8. a osztályosok közül Gáspár 8 tanulót ismert.

16. a) 48; b) 27.

17. 5-tel több olyan kézfogás történt, amelyben két lány fogott kezet, mint olyan, amelybenkét fiú.

18. a) 901; b) 13 501.

23

4. Geometria I.

1. A terület

1. a) 20 cm2; b) 6 cm2; c) 12 cm2.

2. a) 20 cm2; b) 11 cm2; c) 18 cm2; d) 24 cm2.

3. cm.

4. TA = 16(p + 4) TB = 18(p + 4) TA < TB.

5. Összekötjük a kiválasztott csúcsot a szemközti oldal felezõpontjával.

6. 20 cm2.

7.

8. 4 cm és 7 cm.

9. A kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének hétszerese. (T = 7t)

10. 50 cm2.

11. TAHD = THCD = 252 TIJC = TGFH = 6,25 cm2 TIGHJ = 12,5 cm2

TIBE = 12,5 cm2 TAEGF = 12,5 cm2.

12. A kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének 18-szorosa.

Rejtvény:

2. Négyzetgyökvonás

1. a) b) c)

d) e) nincs értelmezve; f) nincs értelmezve.

2. a) 20; b) 25; c) 14; d) 30;e) 40; f) 500; g) 140; h) 6000.

3. a) b) 3; c) d) 3;

e) 0,6; f) 0,09; g) 0,04; h) 0,03.

4. a) b) c) d) 8.

153

;2

1;

49 5 45

;4 7 28◊ =

15;7

;5

– –16–25– 100 –10;=

144 12;=81 9;=36 6;=

27 m .

24

24

7

24


5. a) < < 7,1 <

b) < = ( )2 < 3,5.

c) 0,4 < = <

d)

e)

f)

6. a) H; b) H; c) I; d) H;e) H (pl.: ).

7. a) 10 cm; b) -szorosára.

8. Az oldalak megkétszerezésével a négyzet területe négyszeresére változik. Ha a terü-letet kétszerezzük -szörösre változnak az oldalak.

9. -szörös a sugár.

10. 1 < < 2, mert 1 < 3 < 41,7 < < 1,8, mert 2,89 < 3 < 3,241,73 < < 1,74, mert 2,9929 < 3 < 3,02761,732 < < 1,733, mert 2,999824 < 3 < 3,003289

» 1,732.

11. a) 2,256 racionális b) racionális c) irracionálisd) racionális e) irracionális f) 1,1010010001… irracionális.

Rejtvény: Elég sokszor megismételve az eljárást a 1,4142 … értéket kapja, ami értékéhez közelít.

2

– 75625

10. .

3,13

33333

2

2

3

2 8 16 4◊ = =

2 .1 10,1 0,09.

10100Ê ˆ= < <Á ˜Ë ¯

2 116 3 2 .

4- < - < - < -

( )225 25 5 5 .= = =

0,5.12

0,25

3233

( )27,2 .4926,9

25

3. Pitagorasz tétele

1. a) 17; b) 20; c) 8.

2. e » 11,314 m.

3. A másik oldal 84 cm. T = 1092 cm2. K = 194 cm.

4. a) x = 37; b) y = 3; c) z = 12; d) k = 12.

5. a) 21 + 45 + 48 + 2 · 31,9 + 2 · 51 = 279,8 » 280 (cm);b) 4 · 50 + 2 · 12 + 2 · 48,54 = 321,08 » 321,1 (cm).

6. 25,02 m hosszú a huzal.

7. 2,5 cm. (Ha középpontosan tükrözzük az átfogó felezõpontjára a derékszögû három-szöget, akkor téglalapot kapunk.)

8. 9-féle különbözõ hosszúságú szakasz jelölhetõ ki.1 cm, 2 cm, 3 cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm.

9. A kötél hossza » 100,065 m » 100 m 10 cm.

10. A park területe 2,4 ha.

11. A létra 2,96 m magasan ér a falhoz.

Rejtvény

Az a oldalú négyzet B csúcsából b-t vissza-mértünk (F), D csúcsán túl b-vel meghosz-szabbítottuk az a oldalt (E).ABFè @ FIGè @ EHGè @ ADEè, mert két olda-luk és a nagyobbikkal szemben fekvõ szögükegyenlõ. Az egybevágóságból következik,hogy FG = c.Tehát AFGE négyszög minden oldala c.A derékszögû háromszögben a + b = 90°.A G-nél lévõ a ¢ = a. (váltószögek az F-nél ésG-nél lévõ szögek)Az ábráról leolvasható, hogy az AFGE négy-szög minden szöge derékszög és mindenoldala c, tehát négyzet.Az ABF háromszöget A körül 90°-kal elfor-gatva ADE háromszöget kapjuk, az FIG há-romszöget G körül – 90°-kal elforgatva EHGháromszöget fedjük le. A HJG háromszöghelyben marad. Így a2 + b2 = c2.

181310852

26


4. A Pitagorasz-tétel alkalmazásai

1. e » 9 cm.

2. AB = 2 · = 2 · 4 · » 11,31 (cm).K = 29,31 cm T = 39,59 cm2.

3. a) CD = 3 cm; b) BD = » 5,83 (cm).

4. T = 50 cm2 K = 31,4 cm.

5. a) » 5,83; b) » 6,71; c) » 6,4; d) » 6,08.

6. a) d = 20; b) 0 (8; 9).

7. a) kívül; b) rajta; c) belül; d) rajta.

8. A létra hossza » 6,32 m.

9. Ha az adott oldalak befogók, akkor a harmadik oldal, az átfogó 17,69 cm. Ha a 13 cm-es oldal átfogó, akkor a harmadik oldal, ami így befogó 5 cm.

10. 8 cm-re van az adott húr a kör középpontjától.

11. 41 km-re van a kikötõtõl.

Rejtvény:A tévé vízszintes oldala 4x, a függõleges oldala 3x

4x = 65,6 cm

3x = 49,2 cm

5x = 82x = 16,4

Ha a = 65 cm, akkor nem fér be a tévé.Ha a > 65 cm és b = 65 cm, akkor vehetünk ilyen tévét.

5. Vegyes feladatok

1. a) Derékszögû háromszög, amelyen az a = 10 cm az átfogó.b) ma = 4,8 cm mb = 8 cm mc = 6 cm.c) T = 24 cm2.

2. 50 cm2.

3. a) T = 30 cm2.

b) c = 5 cm, T = 6 cm2, r = 1 cm.

4. a = 5 cm K = 20 cm.

5. A létra hossza m » 6,32 m.» 1,1 m-rel kerül lejjebb a létra teteje.

40

( )2

r b cT

◊ + += a

225 82x =

2 2(4 ) (3 ) 82x x+ =

34

232

27

6. m magasan tört el.

7. » 1,87 m magasan van.

8. A belógás » 2,78 m.

*9. r2 – (r – 2) 2 = 8,52

r » 19,06 cmr » 19 cm

A labda átmérõje » 38 cm.

10. e = 13 cmTt = a · b Td = f = cm = 9 cm » 9,23 cm

11. a) T = 1920 cm2;b) K » 191,72 cm.

12. a) T = 35,5 cm2 K » 25,27 cm;b) T = 40,5 cm2 K » 25,44 cm.

13. T = 13,4 cm2 K » 14,64 cm.

14. T = 3 · t

15. a) m; b) 1 m;

c) m » 1,22 m; d) m » 1,73 m.23

1,5

22

313

120132

e f◊

34

28


5. Térgeometria

1. Testek csoportosítása

1. henger; henger és kúp; kúp (csonka kúp) és henger; csonkagúla; henger, gömbés csonkakúp palástja

2. hasáb, henger, kúp; hasáb, henger, gúla, gömb; hasáb, henger, kúp, gúla; hasáb,gúla

3. a) I; b) I; c) H; d) H; e) I.

4. a) – C); b) – G); c) – D); d) – H).

5. a) b)

c)

Bármely átmérõje körülforgathatjuk.

6. Pl.:a) Az alaplappal párhuzamos síkkal.b) Az alaplapra merõleges, az alapéllel párhuzamos, de a magasság egyenesére nem

illeszkedõ síkkal.c) A magasság egyenesét tartalmazó bármely síkkal.d) Három oldalélt és az alaplapot metszhetjük a síkkal.e) Hatszög metszetet nem állíthatunk elõ, ugyanis a négy oldalélt az alaplappal nem

párhuzamos síkkal metszve az alapsíkot a testen kívül fogja metszeni.

7. a) 5 cm b) 5 cm c) » 5,1 cm

8. M = 5 cm;a = 13 cm;d = 24 cm

9.40 000

66667

km kmª

12 cm

5 cma

r = 4 cm

r = 4 cm

vagy

3,5 cm

4 cm

vagy

7 cm

4 cm

3 cm

4 cm

6 cm

vagy

4 cm

29

Rejtvény: Ragasszuk a golyónégyeseket külön-külön a hatosokra hosszában szimmet-rikusan. Az így keletkezett két egybevágó idomot egymásra merõlegesen helyezzük. Ígyragasztjuk össze.

2. Nézzük több oldalról

1. 1. Ceruzák összeragasztva. 2. Spirálfüzet. 3. Talpas pohár.

2. Egy fotó alapján nem egyértelmû, ezért többféle megoldás is elfogadható.1. 2.

3. 4.

3. A) 4 B) 6 C) 5 D) 1 E) 2 F) 3Az A) és a D) kivételével a figurák oldalnézete az adott képekkel megegyezik.A) D)

4. 3 kör ® gömb; 3 háromszög ® tetraéder; 3 négyzet ® kocka; 2 négyzet, 1 kör ®egyenlõ oldalú henger; 2 négyzet, 1 háromszög ® háromszög alapú hasáb; 1 kör,2 háromszög ® kúp

5. Pl.:

3 cm3 cm4 cm 4 cm

4 cm

2 cm

3 cm

2 cm 2 cm

4 cm

2 cm

3 cm

2 cm

3 cm 3 cm

4 cm

felülnézet oldalnézetfelülnézet oldalnézet

felülnézet oldalnézetfelülnézet oldalnézet

30


6. a) b) c)

*7. a) 5 lap (kocka esetén) b) 34 (3 ´ 4 ´ 4 élû téglatest)

Rejtvény: Pl.:

3. Csúcsok, élek, lapok

1. a) é = 6; l = 4; cs = 4b) é = 8; l = 5; cs = 5c) é = 12; l = 7; cs = 7d) é = 15

Nincs ilyen gúla, mert a gúlának ugyanannyi alapéle van, mint oldaléle. é = 2n

2. l = 24; é = 36; cs = 14

3. a) a = 6 cmb) Egy 6 cm-es darabot kell levágni, ez lesz a 6. él. Vagyis egy helyen kell elvágni.

4. é = 30; cs = 20; l = 12

5. a) I b) H c) H

6. l = 8; é = 18; cs = 12

7. a)

b)

c)

8. A téglatest két csúcsa között 7-féle távolság mérhetõ(él 3-féle, lapátló 3-féle, testátló 1-féle).

a) 1 2 5 3 10 13 14; ; ; ; ; ;

100 100 2 100 3 mm; mm; mm

5 5 2 5 3 dm; dm; dm

1 2 3 m; m; m

vagy vagy vagy

31

b)

c)

9. a) Kék: zöld: 3 + 10 = 13; piros: A zöld a legrövidebb.

b) Igen.

Rejtvény: é = 11; l = 7; cs = 6

Testek hálója

1. a) b)

c) d)

A négyzet átlója mentén Szabályos hatszög alapú hasáb.találkozó két lap merõ-leges egymásra.

2. Csak a B)-bõl.A) Két lap fedné egymást.C) Két-két lap fedné egymást, két alapélhez nem csatlakozna lap.

D) A külsõ háromszögek magassága a középponti háromszögek magassága

Így a külsõ háromszögek szabad csúcsai nem találkoznak.3 3 27= .

7,

4 8 8

8 8

84 4

4 4

4

4 4

4

4

4

4

4

4 4

4

4

44

4

4

444

4

4

44

4 44

4

4

4

4 2

4

4

4

6

6

6

66

66

6

6

44

4

44

4

4

7

7

74

44

4

64 81 145 12 145 13+ = < <

8

3

6

A B

F

GH

E

45 8 14+ > .73 6 14+ > ;

6 3 10 15 16 4 19 25 5; ; ; ; ; ;= =

5 12 13 20 5 17 425 4 34 544 569; ; ; ; ; ;= =

32


3. a) 4 ¡ 5 ¡ 7 = 140 b) 3 ¡ 5 ¡ 7 = 105c) 7 ¡ 9 ¡ 11 = 693 d) 4 ¡ 7 ¡ 6 ¡ 8 = 1344

4. Pl.:

5. a) b) c)

6. A 3. kockát.

7. a) b) c)

Legkevesebb 4 szín. 3 szín. 3 szín.

8. A négyzetlapokat összeillesztjük úgy, hogy a „leghosszabb” élek merõlegesek legyenekegymásra.

9. Ilyen falakkal nem oldható meg.

10. a) b) c)

Rejtvény: Két szabályos tetraéder, egy oktaéder.

5. Testek felszíne

1. a)

5 5

5 45

45 2300 cm2

45 45

40

5

100

100

100

55

55

45

452300 cm2

1800 cm24500 cm2

2025 cm2

2475 cm2

225 cm2

7

3 3

33

3 33 3

33

6

66

8 8 8 88 8 8 8

8

8 8 5

5

5 5 3

33

3

8

8

5

53

3

4

9 64 12 362p + ª ,3 102 17

7 7

7 7

74 4

9 9

9 9

9

9 99

9 9

9 999

33

b) 15 625 cm2 = 1,5625 m2

c) Feltéve, hogy a „test” minden lapját egy darabból vágjuk ki, és az egyes részeketcélszerûen helyezzük el, a szabáshoz 136 cm » 140 cm anyagot kell venni az ábra

szerint. Ha csak 10%-os ráhagyást számolunk, akkor de ekkor

az egyes részeket több darabból hoznánk össze.

2. a = 253 cm; b = 182 cm; c = 38 cm. A doboz felszíne 12,5152 dm2 » 13 dm2.

3. a) A csomag alapterülete 180 ¡ 30 cm2, magassága 12 cm.A =2 ¡ (180 ¡ 30 + 180 ¡ 12 + 30 ¡ 12) cm2 = 15 840 cm2 = 1,584 m2.

b) a = 180 cm; b = 84 cm; c = 30 cm; A = 46 080 cm2 = 4,608 m2.3,024 m2 papírt takarítanak meg.

4. a) 12a = 60 cm12a = 5 cmA = 6a2 = 150 cm2

b) 4(2x + 2x + x) = 60 cm4(2x + 2x + )x = 3 cma = 6 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; A = 144 cm2.

c) 4(3x + 2x + x) = 60 cm4(2x + 2x + )x = 2,5 cma = 7,5 cm; b = 5 cm; c = 2,5 cm; A = 137,5 cm2.

5. Az élek: a; 2a; 3a.a) 4a + 4a + 6a = 168 cm; a = 12 cm; 2a = 24 cm; 3a = 36 cm;A = 2 ¡ (36 ¡ 24 + 24 ¡ 12 + 12 ¡ 36) cm2 = 3168 cm2.

b) 4a + 4 ¡ 2a + 4 ¡ 3a = 168 cm; a = 7 cm; 2a = 14 cm; 3a = 21 cm;A = 1078 cm2.

6. a + 3 = 1,5b =

a = 6 cm; b = 6 cm; c = 18 cm.A téglatest felszíne: 504 cm2.A kocka felszíne: 486 cm2.A felszín 18 cm2-rel csökkent.

7. A = 2 ¡ r2p + 2rp ¡ M = 2rp(r + M) » 395,64 cm2.

8. A1 = 2 ¡ 8 ¡ p ¡ (8 +8) cm2 = 256p cm2;A2 = 2 ¡ 4 ¡ p ¡ (4 +16) cm2 = 160p cm2.A1 > A2.

Ha az átmérõt kétszerezzük (a magasság marad ugyanannyi) nagyobb felszínt kapunk,mint akkor, ha az átmérõ nem változik, de a magasságot kétszerezzük.

9. a) Akocka = 6 ¡ 82 cm2 = 384 cm2;Ahenger = 2 ¡ 4 ¡ p ¡ (4 + 8) cm2 » 301,6 cm2.Akocka > Ahenger.

A kockához kell több festék.

c2

.

17 182 5150

115, ª (cm),

34


b) Ahasáb = 2 ¡ + 9 ¡ 8 cm2 » 79,8 cm2;

Ahenger = 2 ¡ 2 ¡ p ¡ (2 + 8) cm2 » 125,7 cm2.Akocka < Ahenger.

A háromszög alapú hasábhoz kell kevesebb festék.

10. A’ = Akocka – 2Tkör + Kkör ¡ 6 » 266,24 cm2.

11. A’ = Akocka – 6 ¡ 102 + 6 ¡ (4 ¡ 10) ¡ 5 cm2 = 3000 cm2.

12. a) A’ = + Ttéglalap » 4,41 dm2.

b) A’ = 3a2 + + » 5,36 dm2.

13. a) A =2 ¡ + 4a ¡ M = 248 cm2.

b) f = f1 + f2.

A =2 ¡ + 2(a + b) ¡ M » 245,82 cm2.

14. » 273 cm2.

Rejtvény: 2009 = 72 ¡ 411 ¡ 1 ¡ 2009; 1 ¡ 7 ¡ 287; 7 ¡ 7 ¡ 41; 1 ¡ 41 ¡ 49.4-féle téglatest rakható ki 2009 egységkockából.

6. A gúla felszíne

1. 75 142,5 m2.

2.

3. 56,25%-kal nõ a felszín.

4. » 3,37 cm élû kocka felszínével egyezik meg.

5. része.

*6. a)

A téglatestnek 3 különbözõ lapja van. Egy ilyen lapnak a csúcsait bármely máscsúccsal összekötve egybevágó testeket kapunk. Összesen 3-féle gúlát kaphatunk.

8 cm 5 cm

4 cm

8 cm 5 cm

4 cm

8 cm 5 cm

4 cm

14

4 3 dm .2

e f◊2

e f f= = =4 2 8 281 2; ; ;

e f◊2

a a◊ ◊ 32

32

2a

Akocka

2

3 3 32

2

◊ ◊

35

b) (1) (2) (3)

c) (1) A » 106,5 cm2 (2) A » 97,2 cm2 (3) A » 113,96 cm2

Pitagorasz-tétellel meg kell vizsgálni, hogy a háromszögek derékszögû háromszögek.

7. A sátortetõ területe 130,93 m2, a nyeregtetõ területe 134,6 m2.A tetõfedéskor több hulladék keletkezik a sátortetõnél.

8. a) A tetraéder felszíne 37,84 cm2.b) A kapott két test felszínének összege a kocka felszínénél 16 ¡ cm2-rel nagyobb.

(+ két háromszög területe)6 ¡ 64 + 16 ¡ » 411,7 cm2.

Rejtvény: Kakukktojás a középsõ, mert a piros, zöld, kék sorrend (forgás) itt ellenkezõ.

7. Testek térfogata

1. Egyedi eredmények. Mérjék az edény átmérõjét és magasságát.

2. V = 216 cm3. Ekkora a térfogata egy 6 cm élû kockának.

3. Az akváriumba 144 l víznek kell beférni, teháta) Vakvárium > 144 dm3. Az elsõ nem jó.

A második akváriumban 38 cm magasan álljon a víz.A harmadikban 43,1 cm lenne a vízmagasság.A második a jobb.

b) m1 = 11,5375 kg; m2 = 28,13312 kg; m3 = 37,16 kg.

4. A) 156,1 cm3; B) 2962,1 cm3 » 3 dm3;C) 468 cm3; D) 424,35 cm3.

5. V = 108p dm3 > 300 l. Elegendõ 1 napra a hordó víz.

6. I. M1 = 5 cm; d1 = 15 cm; V1 = 281,25p;II. M2 = 15 cm; d2 = 5 cm; V2 = 93,75p.V1 > V2.

7. Vk = 3,52 ¡ 12 ¡ p; Vp = 152 ¡ p ¡ m.3,52 ¡ 12 ¡ p = 152 ¡ p ¡ m; m = 0,65 cm.6,5 mm vastagon fedi le a pizzát.

8. r2p ¡ M; R2p ¡ M; = 1,69.

A hozzávalókból 1,69-szoros kell.

Rr

2

2

3

3

44

85

105

105

41

41

8080

4

8

8

5105

10589

80

80

8948

55

105

105

41

41

8989

36


9.

Rejtvény: Feltöltjük a hengert a labda átlagsûrûségénél nagyobb sûrûségû folyadékkal. Ígya labda kikerül a hengerbõl.

8. A gúla térfogata

*1.

*2.

*3. Vg = 72 cm3.

*4. a) V = 30 cm3; A = 65,4 cm2.b) V = 320 cm3; A = 310,5 cm2.c) V = 64,8 cm3; A » 110 cm2.

*5. (Vt – Vg)r = Vt ¡ r. A levágott rész tömege 32,256 kg.

*6. a) cm.

b)

c) cm3.

d) cm2.

7. Szabályos tetraéder.

a a= = = =4 2 23

32 3 643

cm; cm cm2 3M A V; ; .

4 3

43

2

22

2

23

1 36 1360, . gcm

kgm3 3=

Testmagasság ( )M

Alaplap területe ( )Talap 15 cm2

4 cm 9 cm 12 dm

3 dm2

25 cm

150 cm2 27 cm2

450 cm320 cm3 2,5 md 3

20 cm

180 cm3

250 dm2 4,8 dm2

1 m3

2 dm

3200 cm3Térfogat ( )V

Oldalél (cm)

Alaplapél (cm) 7

8

10

3

2

69,4 7,9 8,15 5

3

13

12 7,05

5 10,6

100

58,75

171,22

130,67

216,6

100

27,66

7,7

–

–

–

78,64

32

226,4

200

3

243

113,12

Testmagasság (cm)

Térfogat (cm )3

Felszín (cm )2

8

59

34

4 2 5 2

37

8. a) RI =4,12 cm; RO = 6 cm = DO; AO = 5,2 cm = IO.b)

c) V = 23,04 cm3.

9. a) A » 56,4 cm2; V = 24 cm3. b) A = 96 cm2; V = 48 cm3.

10. Nyolcad része.

11. a) Oktaédert kapunk.b) A maradék test felszíne az eredetinek a fele.c) A maradék test térfogata fele az eredetinek.

12. a) Négyszeresére; b) kétszeresére; c) nyolcszorosára nõ.

Rejtvény: Egyenlõ oldalú henger (magasság = átmérõ)-bõl olyan test alakítása, mint acsavarhúzó feje.

9. Testek felszíne és térfogata

1. 125 kis kockát kapunk.

2. a) A térfogat az eredetinek 7-szerese. b) A felszín az eredetinek 5-szöröse.

3. A doboz hossza 20 cm, szélessége 10 cm, magassága 2 cm.A = 520 cm2; V = 400 cm3.

4. Thulladék = 104 cm2; Ttéglalap = 18 ¡ 16 cm2 = 288 cm2.

A veszteség ¡ 100% » 36%.

5. a) A = 180 cm2; V = 162 cm3. b) A = 352 cm2; V = 384 cm3.

6.

7.

a) b2p ¡ a = A; a2p ¡ b = B;

b) b = 3a;

8. A V= ◊ + ◊ ◊ ª =252

4 2 2 5 31 25 106 1252

, , ; . cm cm cm2 2 3

2 3 2 32 2 3

9 33

124

32

2

2 2

2 2

2

2◊ ◊ + ◊ ◊◊ ◊ + ◊

= ++

= =( ) .a a aa a a

a aa a

aa

p pp p

bb

b2

2 3ppa

a a= = .

AB= 3a a

tt

b b

66 6

363

2= = = Æ =NM

aa

a a .

104288

R

D

38


*9. a) Egy félegyenesre, melynek kezdõpontja (8; 200p).b) Egy parabolára, melynek értelmezési tartománya a nemnegatív számok halmaza.

Rejtvény: Ha elég „szoros” a doboz, akkor a ilyen elhelyezés esetén még nem zörögnek agolyók. Legfeljebb 6 golyó hiányozhat.

10. Vegyes feladatok

1. Csak a tetõrész nézeteit ábrázoljuk.Félnyeregtetõ: derékszögû Nyeregtetõ: derékszögû Üstökös tetõ:háromszög alapú hasáb. háromszög alapú hasáb.

Kontyos tetõ: egy három- Sátortetõ: téglalap alapú Manzárdtetõ: ötszögszög alapú hasáb + két gúla. alapú hasáb.téglalap alapú gúla.

2. Legfeljebb 5 él mentén sétálhat a feltételnek megfelelõen.

3. A maradék testnek 14 lapja, 24 éle és 12 csúcsa van.

4. Szabályos dobókockát vévea) élekre írt számok összege: 11 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 3 = 84.b) testátlók végpontjaiba írt számok összege:

(28 + 14) + (24 + 18) + (20 + 22) + (12 + 30) = 168.c) csúcsokba írt számok összege: 30 + 24 + 14 + 20 + 28 + 18 + 22 + 12 = 168.

5. a) Az alapsíkkal párhuzamos síkkal.b) Az alaplapra merõleges, két oldalélre illeszkedõ síkkal metsszük el.

6. a) Kétféle.

b) (1) 8a + 4 ¡ = 10a = 120 cm ® a = 12 cm; A = 576 cm2; V = 864 cm3.

(2) 8a + 4 ¡ 2a = 16a = 120 cm ® a = 7,5 cm; A = 562,5 cm2; V = 843,75 cm3.

a2

39

7. a) Ha a rövidebb oldal körül forgatunk, a lehetõ legnagyobb a felszíne. Ekkor a térfogat:V = 75p cm3.

b) Ha a hosszabb oldal körül forgatunk, akkor a lehetõ legkisebb a felszíne. Ekkor a tér-fogat: V = 45p cm3.

8. a) a = 1 cm; A = 6 cm2; V = 1 cm3.

b) a = cm; A = 27 cm2; V = cm3.

c) a = cm; A = 18 cm2; V = cm3.3 33

27 24

32

40


6. Statisztika, valószínûség

1. Adatok elemzése

1. a) A Vörös-tenger a legmelegebb, a Balti-tenger a leghidegebb.b) 4 tenger nem melegebb 25 °C-nál.c) Módusz 24, medián 24,5.

2. A szavazatok megoszlása (tankönyvi adatok javítva)1. 16%; 2. 30%; 3. 20%; 4. 17%; 5. 17%.a) 16% ® 57,6°; 30% ® 108°; 20% ® 72°; 17% ® 61,2°; 17% ® 61,2°.

b) 30%-a. c) 1,7375 ¡ 109 t » 1,7 milliárd tonna.d) 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,8; 2; 2,5; 2,6.

Medián: = 1,6.

3. A tankönyvi adat hibás, helyesen: Dóm tér 5235.

4. A) I; B) H; C) H; D) I.

*5. a) Az októberi számrejtvényt beküldõk száma novemberben 192-vel csökkent.b) a + b + x £ 515 – 312; x akkor maximális, ha a = b = 0.

Legfeljebb 203 olyan tanuló lehetett, aki csak szeptemberbenküldött be megoldást.

Magyarország hét csodája

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

szavazat

Ország-ház

Dóm tér(Szeged)

Mátyás-templom,Halászbástya

Érsekipincerendszer

(Eger)

Pannon-halmi

fõapatság

Esztergomibazilika

Lánchíd

1 4 1 82

, ,+

1.2.

3.

4.5.

Szept. (515)

a

b

c

d

e

x 312

Nov. (401)

Okt. (500)

41

c) Hasonló ábrával és meggondolással kapjuk, hogy legfeljebb 266 tanuló lehet.d) Pl.: A sudoku hibátlan megoldásainak száma hány %-a a sudokura beküldött összes

megoldás számának?

6. a) 20% b) nem c) 2006., 2007., 2008. és a 2009. évben.d) 1,9-szeresére nõtt. e) 159,12 km. f) 4,12-szorosára.

7. a) 2004-ben. b) 2007-ben. c) » 30%.d)

e) 81,6%.*f) Kisebb a termés, nagyobb az ár, ezért kevesebbet vásárolnak.g) • 2002– 2004, 2005– 2006, 2007– 2008 között mindkettõ nõtt.

• 2004– 2005 között mindkettõ csökkent.• 1996 április-tól1999 végéig a zöldségtermelés nõtt, a gyümölcstermeléscsökkent, • 2000– 2002 ugyancsak.• 1995 közepétõl 1996-ig és 1999– 2000 között a zöldségtermelés csökkent, a gyü-• mölcstermelés nõtt.

8. a) Az átlag 103,3..

b) Módusz 80, medián 90.c) A középértéket ebben a feladatban a medián jellemzi legjobban. (7-szer fizetett

80 Ft-ot, 4-szer 90 Ft-ot és 4-szer fizetett 100 Ft feletti összeget.)d)

9. a) A Fanyûvõ Bt. 15 000 Ft/m3 egységáron, a Favágó Társaság 16 000 Ft/m3-ért árulta.b) 6,25 m3 fáért 96 000 Ft-ot fizettek. Átlagár: 15 360 Ft/m3.

10. a) Módusz: 5; medián: 5; átlag: 4,57.b) Szeptember: 4,5; október: 5; november: 4,25; december: 4,5; január: 4,6

..

c) Nem. A félévi átlag 4,57. A havi átlagok átlaga » 4,58.

11. a) 20; b) 29; c) 39.

12. (2009 + 2009 + x) : 3 = 2010; x = 2012.

012345678

gyakoriság

80 90 120 130 260 adatok

Déli gy.20,5%

Déli gy.23,1%

Hazai gy.79,5%

Hazai gy.76,9%

42


13. a) 79; b) 85.

14. A hátralévõ 11 nap átlaghõmérséklete 16,25 °F volt.

15. 25 ponttal számolt kevesebbet a tanár. 25 fõs az osztály, tehát a helyes eredmény 43.

16. Átlag: x.(102 + 120 + 210 + 2x) : 4 = x; átlaguk x = 216.

17. Az öt szám átlaga 38.

18. a) Az A elmélet szerint 115 m magasságig » 330 m3/nap az épülési sebesség, ezutánrohamosan csökken, majd az utolsó 15 m-en kisebb lesz a csökkenés üteme.A B elmélet szerint egyenletesen csökken az épülési sebesség.A C elmélet szerint 10 m magasságig ugyanakkora az épülési sebesség, 40 m-iglassan csökken. 40 m és 105 m között a csökkenés gyorsabb ütemû, majd lassabbancsökken az épülési sebesség.

b) 115 m-nél.

19. a) 60 m-nél 2380 munkás.b) A szállításhoz szükséges munkások száma csökken, mert egyre kevesebb kõ kell.c) Körülbelül 45 m-ig.

2. Mennyi a valószínûsége?

1. a)

b) 0 fej: 0,24; 1 fej: 0,54; 2 fej: 0,22.c) 1. H.

2. Elmélet szerint I, kísérletnél közelítõleg I.3. Elmélet szerint I, kísérletnél közelítõleg I (0,24 » 0,2; 0,22 » 0,2).

2. a) Kék: 0,1; sárga: 0,26; piros: 0,24; zöld: 0,4.b) A zöld színû golyóból lehet a legtöbb, és a kékbõl lehet a legkevesebb.

3. a) Elmélet szerint

b) A relatív gyakoriságok átlaga jobban megközelíti az -et.

4. Az osztályba 26 tanuló jár.

a) b) c) d) 2226

0 85ª , .426

0 15ª , ;1226

0 46ª , ;1426

0 54ª , ;

12

12

.

0

10

20

30

40gyakoriság

0 fej 2 fej esemény1 fej

43

5. b)

6. a) b) c) d) e)

7. 50 féle párosítás lehetséges.

a) b) c) d)

8. a) b) c) 0.

9. a) b) c)

10.

11.

12. a) b)

13. a valószínûsége, hogy valamelyik nyer.

14.

15.

Rejtvény: Nincs igaza, mert páros szám+páratlan szám és páratlan szám+páros számugyanannyiszor fordul elõ (igen sok kísérlet esetén) mint a páros+páros és párat-lan+páratlan (2-2 esemény).

13

.

34

.

68

34

=

312

14

= .612

12

= ;

14

.

14

.

14

.16

;112

;

5 4 3 2 15

246255

◊ ◊ ◊ ◊ = ;5 45 5

45

◊◊

= ;

2250

0 44= , .3550

0 7= , ;1550

0 3= , ;1950

0 38= , ;

4290

715

= .690

115

= ;1090

19

= ;5090

59

= ;1890

15

= ;

A B C D: ; : ; : ; : .12

16

23

56

*

*

*

*

44


7. Geometria II.

1. Az eltolás

1. Az elsõ két egymással szembe nézõ madár-minta együtt a legegyszerûbb sablon. Ezta sablont vonalzó mellett mozgatta. (A 2-szerese, 3-szorosa és 6-szorosa is elfogadható.)

2.

3. a)

b) A(– 5; 3) A’(1; 4)B(– 2; – 2) B’(4; – 1)C(1; 3) C’(7; 4)D(– 2; 5) D’(4; 6)P(x; y) ® P’(x + 6; y + 1)

x

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4

y

B

B’

A

A’

C

C’

D

D’

–1

–2

–3

–1–2–3–4–5–6–7 5 6 7 8

P

P’

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 2 3 4

y

B = A’

B’

C’ ’’’= B

C’’’

A = C’’

A’’

B’’

C = A’’’

D

F

a)

d)

c)

b)

E

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–1–2–3–4–5–6–7 5 6 7 8

45

4.

5. a) I; b) H; c) I (az irányított szakasszal párhuzamos egyenest ugyanabba az egyenesbe viszi át);

d) I; e) I; f) I.

Rejtvény:

2. A vektorok

1. a) Egyenlõ irányúak:(1) AB

°; BC°

; AC°

; HI°

; ID°

; HD°

; GF°

; FE°

; GE°

. (1) AB°

; BC°

; AC°

; FD°

.(2) AH

°; HG°

; AG°

; BI°

; IF°

; BF°

; CD°

; DE°

; CE°

. (2) BA°

; CB°

; CA°

; DF°

.(3) BA

°; CA°

; CB°

; DI°

; IH°

; DH°

; EF°

; FG°

; EG°

. (3) AF°

; FE°

; AE°

; BD°

.(4) HA

°; GH°

; GA°

; IB°

; FI°

; FB°

; DC°

; ED°

; EC°

. (4) FA°

; EF°

; EA°

; DB°

.(5) CD

°; DE°

; CE°

; BF°

.(6) DC

°; ED°

; EC°

; FB°

.b) Egyenlõ hosszúak:

(1) ¥ AB°¥ = ¥ BC

°¥ = ¥ HI°¥ = ¥ ID

°¥ = ¥ GF°¥ = ¥ FE

°¥ = (1) ¥ AB°¥ = ¥ BC

°¥ = ¥ FD°¥ = ¥ CD

°¥ =(1)= ¥ AH

°¥ = ¥ HG°¥ = ¥ BI

°¥ = ¥ IF°¥ = ¥ CD

°¥ = ¥ DE°¥ (1)= ¥ DE

°¥ = ¥ EF°¥ = ¥ FA

°¥ = ¥ BD°¥ = ¥ FB

°¥(1) és az ellenkezõ irányúak. (1) és az ellenkezõ irányúak.(2) ¥ AC

°¥ = ¥ CE°¥ = ¥ EG

°¥ = ¥ GA°¥ = ¥ BF

°¥ = ¥ HD°¥ (2) ¥ AC

°¥ = ¥ CE°¥ = ¥ AE

°¥(2) és az ellenkezõ irányúak. (2) és az ellenkezõ irányúak.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

y

B

B’

C’

AA’’

A’’’

B’’’

C’’ C

a)

c)

b)

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–1–2–3–4–5–6–7–8–9 5 6 7 8 9

A = B = C’ ’’ ’’’

0; 3 1; 1

1; 1

2; 02; 1

46


c) Azonos vektorok:(1) AB

°= BC°

= HI°

= ID°

= GF°

= FE°

. (1) AB°

= BC°

= FD°

.(2) BA

°= CB°

= IH°

= DI°

= FG°

= EF°

. (2) BA°

= CB°

= DF°

.(3) AH

°= HG°

= BI°

= IF°

= CD°

= DE°

. (3) AF°

= FE°

= BD°

.(4) HA

°= GH°

= IB°

= FI°

= DC°

= ED°

. (4) FA°

= EF°

= DB°

.(5) AC

°= HD°

= GE°

. (5) CD°

= DE°

= BF°

.(6) CA

°= DH°

= EG°

. (6) DC°

= ED°

= FB°

.(7) AG

°= BF°

= CE°

.(8) GA

°= FB°

= EC°

.

2. a) c°

= d°

; ¥ a°¥ = 4; ¥ b

°¥ = ¥ c°¥ = ¥ d

°¥ = ¥ e°¥ = .

b) b°

= e°

; c°

= d°

; ¥ a°¥ = ¥ b

°¥ = ¥ c°¥ = ¥ d

°¥ = ¥ e°¥ = .

3.

4.

x

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4

y

–1

–2

–3

–4

–5

–1–2–3–4–5 5

v°

v°

–v°A

O

B

A’

O’(–3; 5)

x

1

2

3

4

1 2 3 4

y

a)

c)

d)

b)

–1

–2

–3

–4

–1–2–3–4–5 5

a°

a°

a°

a°

a°

3434;34;34;29;

2020;20;20;

47

5.

6.

a) A(– 5; – 3) A’(0; 0)B(0; – 3) B’(5; 0)C(0; 0) C’(5; 3)D(– 5; 0) D’(0; 3)

b) A képpontok x koordinátája 5-tel, y koordinátája 3-mal nagyobb.

7.

P(– 4; 0) Q(– 2; – 2) R(0; 0) S(– 2; 2)a) P’(0; 0) Q’(2; – 2) R’(4; 0) S’(2; 2)b) P’’(– 4; 4) Q’’(– 2; 2) R’’(0; 4) S’’(– 2; 6)

c)=d) P*(0; 4) Q*(2; 2) R*(4; 4) S*(2; 6)

8. a°

= AB°

; b°

= AD°

; BC°

= b°

; CD°

= –a°

; AC°

= a°

+ b°

; CB°

= –b°

.

x

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

y

–1

–2

–1–2–3–4–5 5

P

S = Q’’

Q Q’

R = P’ R’

S = Q*’

S*

R*R = P*’’

S’’

P’’

a°

b°

x

1

2

3

1 2 3 4

y

–1

–2

–3

–1–2–3–4–5 5

A

C

B

D A’

D’

B’

C’

x

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4

y

–1

–2

–3

–4

–5

–1–2–3–4–5 5 6 7 8 9

A

C

BA’

B’

C’

48


9. a) (– 2; 2) pontba érkezik.b) P(8; 9)-ba, pl. a

°, a°

, a°

, b°

, b°

, b°

, b°

, b°

, b°

, a°

, b°

, a°

, b°

, c°

.O(0; 0)-ba, pl. a

°, b°

, b°

, c°

, c°

, d°

.R(– 2; – 5)-ba, pl. c

°, c°

, d°

, c°

, c°

, c°

.

Rejtvény:

3. A párhuzamos eltolás alkalmazása, szerkesztések

1. a) b)

2. 144 cm2 (a szélen lévõ két félkör rátolható a kivágott körre).

3. AA’ adott, AA°’-ral eltoljuk C-t. A’-n keresztül az AB egyenesével, C’-n keresztül a CB

egyenesével párhuzamost húzunk. Ezek metszéspontja B’.

5. 1. B ponton át húzzunk a-val párhuzamost (e), ez a kört két pontban metszi, B’ és B’’pontokban. Ezeken keresztül AB-vel párhuzamost húzunk és az AB szakasz hosszáta képpontokból a megfelelõ irányban rámérjük ezekre az egyenesekre.

2. Lehetséges, hogy csak egy közös pontja lesz az a ª e egyenesnek és a k körnek.Ekkor egy megoldást kapunk.

3. Lehet, hogy nincs közös pont, ekkor nincs megoldás.

A

C

A’

C’

B’

v DB

vDB

ª

=2

v AB

v AB

ª

= 34

v AB

vAB

ª

=2

A AA’

A’

D DD’

D’

B BB’

B’

C CC’

C’

v° v

°A A’

D D’

B B’

C C’

v°

A D

B C

49

6. a) 2 megoldás. b) 1 megoldás. c) 0 megoldás.

7. a) -szorosa. b) c)

8.

9. A szerkesztésekhez vázlatot készítünk, elõször a színessel jelzett háromszögetszerkesztjük meg.a) b)

AD ª A’C AD ª A’C1. AB kijelölése. A vázlat azonos az a) vázlattal.2. A’BCè-et szerkesztünk.3. C-n keresztül AB-vel, A-n keresztül3. A’C-vel párhuzamost húzunk (D).

c) d)

Rejtvény: k1-en tetszõlegesen kiválasztott P pontból (k1, k2 egységsugarú körök, O2 a k1-reilleszkedik) az ábrán látható módon egységnyi oldallal rombuszt szerkesztünk.

1 = ¥ O1P ¥ = ¥ O1O2¥ = ¥ O1S ¥; ¥ PO1

¥ = ¥ PS ¥ = ¥ PQ ¥ = 1; ¥ QP ¥ = ¥ QO2¥ = ¥ QR ¥ = 1;

¥ RQ ¥ = ¥ RO2¥ = ¥ RS ¥ = 1; ¥ SR ¥ = ¥ SO1

¥ = ¥ SP ¥ = 1; ¥ O2R ¥ = ¥ O2Q ¥ = ¥ O2O1¥ = 1.

O1

P Q

RS

k1

O2

k2

1

1 1

1

1

A A’

D C

B

4 cm

4 cm

5 cm1 cm

2 cm2 cm2 cm

A

D C

B

2 cm

3,5 cm3,5 cm

4 cm

A A’

D C

B

3 cm

3 cm

5 cm2 cm

2 cm2 cm2 cm

A A’

D C = D’

B

2,5 cm

2,5 cm

2,5 cm 3,5 cm

3,5 cm

6 cm

46

23

= .

Kk= =8

643

aa

.53

.13

50


4. Egybevágósági transzformációk

1. a) b)

Az egyesített két háromszög az Egy konkáv ötszöget kapunk.ABDB’ konkáv deltoid lesz.

c) d)

AB’ = AB’; CB’ = CB’. B’BC egyenlõszárú háromszög.ABCB’ négyszög deltoid. B’C = BC.

2. a) Szabályos hatszöget, amelynek 6 szimmetriatengelye van. A kerülete 18 cm. A kelet-kezett szabályos hatszög szögei 120°-osak.

b) Egy nem konvex hatszöget. Egy szimmetriatengelye van. Kerülete 24 cm.Szögei: 60°; 120°; 60°; 120°; 240°; 120°.

3. a) 60°; 60°. Az eredeti háromszög szögei: 30°; 60°; 90°.

b) 5 cm; 10 cm.

c)

4. Az A csúcsot tükrözzük fg-ra. BA’ egyenes és fg metszéspontja a háromszög C csúcsa.

5 5 32

12 5 3◊ = cm cm2 2, .

10 32

5 3◊ = ;

A

A’

C = C’

B’

BA = A’

C = C’

B’

B

B = C’

C = B’

A

A’

D

A = A’ C’

C

B’

B

D

51

*5.

6. AD és CB metszéspontja O.

7. b egyenest O-ra középpontosan tükrözzük (a Ç b’ = P’). Az a és b’metszéspontja lesz begy pontjának tükörképe.

8. a) A’(3; – 2) B’(4; – 7) C’(– 2; – 1); b) A’’(– 3; 2) B’’(– 4; 7) C’’(2; 1);c) A’’’(– 3; – 2) B’’’(– 4; – 7) C’’’(2; – 1); d) A*(– 1; 4) B*(– 2; – 1) C*(4; 5).

9. Az e egyenest B-be párhuzamosan eltoljuk (e’). Az e’ és fmetszéspontja B’. BB’°

az eltolásvektora.

Rejtvény: Tükrözzük a biliárdasztalt a golyó helyével együtt O1-re, utána O2-re. A rajz szerintiszögek egyenlõk. P1; P2; P3; P4 az ütközés helyei. A négy ütjözési hely egyparalelogrammát határoz meg.

b

b

b

b

a a

a a

A’

A’’

AO1

O2

P2

P1

P3

P4

A

B

b

a

A’

B’

52


5. A középpontos hasonlóság

1. Az a), b), f) nagyítás, a c), d) kicsinyítés, e) középpontos tükrözés. a), b), c)-ben külsõhasonlósági pont, d), e), f)-ben belsõ hasonlósági pont.

2. a)

b) Kétszer annyi cérna kell.c) A kis háromszög területe negyede a nagyénak.

3. a)

b)

c) l1 = 3; l2 = l3 = l4 = az a)-ban.

l1 = – 3; l2 = l3 = l4 = a b)-ben.

4. a) l = » 1,1.; b) -szeresére; c) -szeresére.

d)

O

9 cm

13,5 cm

10081

109

109

1513 5

=,

- 13

- 12

;- 32

;

13

12

;32

;

1. 2. 3. 4.

A’

B’

A

O

B

3 cm

2 cmA’

B’

A

O

B

3 cm

9 cm

A’

B’

A

O

B

15 cm5 cm

A’

B’

A

O

B

10 cm5 cm

1. 2. 3. 4.

A’

B’

A

O

B

3 cm

2 cm

A’

B’

A

OB

3 cm

9 cm

A’

B’

A

O

B

15 cm

5 cm

A’

B’

A

O

B

10 cm 5 cm

53

5.

a) A’(2; 4) B’(10; 2) C’(– 4; – 8);b) A’’(– 2; – 4) B’’(– 10; – 2) C’’(4; 8);c) A’’’(1,5; 3) B’’’(7,5; 1,5) C’’’(– 3; – 6).

6. Rajzoljunk mindkét körbe egymással párhuzamos átmérõket! K1K2 és a két átmérõvégpontját (amely K-tól ugyanabba az irányba esik) összekötõ egyenes metszéspontja

külsõ hasonlósági pontot ad Az ellenkezõ irányba esõ végpontokat össze-

kötve belsõ hasonlósági pontot kapunk

7. AB = 75 cm; A’B’ = 75 cm ¡ 1,5 = 112,5 cm; 112,5 cm = 12,5 cm ¡ 9.54 begóniát ültethetnek.

Rejtvény: Csak a c) állítás igaz. Pl. l1 = – 2; l2 = l3 = – 1.

6. Vegyes feladatok

1. a)

b) Az eltolás a (2; 6) pontba viszi az origót.c) c°

= AA°’.

x

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4

y

–1–1–2–3–4–5 5

c°

v°

A(2; 1)

(2; 6)

A 4 7’( ; )

12

;

l = -ÊË

ˆ¯

32

.

l =ÊË

ˆ¯

32

.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

y

BB’

C’

C’’’

A

A’

C = A’’

B’’

C’’

a)c)

b)

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10 5 6 7 8 9 10

A’’’

B’’’

54


2. a) v°

(0; 3) b) v°

(2; – 2) c) v°

(4; 6)d) v°

(3; 5) e) v°

(5; – 3) f) v°

(0; – 1)

3. a) 500 m.b) Csak az utcán mehet, ezért legalább 700 m utat kell megtennie. Pl.: jjjffff.c) Pl.: jjffffj. Az egyirányú utcán a megadott irányban haladhat. Így is legalább 700 m az

út.

4. El kell tolni az A város helyét a folyóra merõlegesen, a folyó szélességével egyenlõnagyságú vektorral. Az A’B egyenes metszi ki B oldalán a partból a híd helyét.

5. a)

b) Ha a b oldalt csökkentjük (b £ 1).

6. OC°

-ral eltoljuk a másik határoló sugarat. A körív és emetszéspontján (B) keresztül CB°

-raleltoljuk az OC szakaszt.

7. Az egyik sugárra szerkesztünk egy négyzetet az ábrán látható módon (XYVZ), majd ezta négyzetet O-ból felnagyítjuk.

O X A Y

VZ

D C

B

O

e

A

C

B

4 cm

5 cm

A A’

D C = D’

B6 cm4 cm

2 cm

2 cm

3 cm3 cm

B

A

híd

A’

55

8. a) Az asztal síkját jelképezõ e félegyenesre merõleges, 42 mm hosszú szakasztszerkesztünk tetszõleges helyen, majd ennek végpontján keresztül e-vel párhuzamosthúzunk (e’). e’ metszi ki a 60°-os szög másik szárából a támaszkodási pontot. Idetoljuk el a 42 mm-es szakaszt.

b) 42 mm oldallal szabályos háromszöget szerkesztünk.

9. Az átfogó felezõpontja lesz a köré írható kör középpontja. Az erre vonatkozó l = – 1együtthatójú középpontosan hasonló képe és az eredeti háromszög együtt egytéglalapot alkot.

10. a) b)

Alkalmazhatjuk a középpontos hasonlóság tulajdonságait isc)

11. A) B) x h h1

222

11 2 13= = + fi = m.222 1

11= fi =h h m;

D

C

B

A E’

F’

A’

B’

C’

D’

F

E

O

O

D

C

B

A

A’

B’

C’

D’

E’

F’

F

E

O

D

C

B

A = A’

B’

C’

D’

E’

F’

F

E

56


8. Függvények, sorozatok

1. Függvények, lineáris függvények

1. a) függvény;b) nem függvény, mert az alaphalmaz egy eleméhez végtelen sok értéket rendel

a képhalmazból;c) függvény;d) nem függvény, mert az alaphalmaz elemeihez (kivéve a 0-t) két képhalmazbeli elemet

rendel.e) függvény (konstans);f ) függvény.

2. a) h; b) g, h; c) g, h; d) egyikre sem; e) egyikre sem.

3. 1. B) g; 2. D) h; 3. A) k; 4. C) f.

4. f: x ® 2x µ 4, a = 2, b = µ4; g: x ® µx + 3, a = µ1, b = 3;

h: x ® 3x + 6; a = 3, b = 6; k: x ® 4 µ 3x, a = µ3, b = 4.

5. a) a = 1 b) a = 0 c) a = 1 d) a = µ1f(x) = 0 f(x) ¹ 0 f(x) = 0 f(x) = 0x = µ1 f(0) = µ2 x = 3 x = 1f(0) = 1 y = µ2 f(0) = µ3 f(0) = 1y = 1 x ® µ2 y = µ3 y = 1f(x) = x + 1 f(x) = x µ 3 y = µx + 1A hozzárendelést különbözõ jelöléssel adhatjuk meg.

y

x

1

5

1–1–1

y

x

1

5

1–1–1

y

x

1

1–1–1

y

x

1

1–1–1

57

6. a)

b) y = 90° µ x b = 90° µ ac) Értelmezési tartomány: 0° < x < 90°

Értékkészlet: 0° < y < 90°d)

*7. a)

b)

c) meredekség

Az ábráról csak akkor látjuk a meredekséget, ha a tengelyeken az egység ugyan-akkora.

6 305

=

T (°C)

30

60

90

120

150

180

210

240

270

10 20 30 40 50

cirippercN T( ) ( )

T (°C) 4540353025

145

20

115

15

cirippercN T( ) ( ) 85 175 205 235 265

y

x50

10

50

10

x x90® ° µ

x Egyik hegyesszög ( )a

y Másik hegyesszög ( )b 22,5°

67,5°

80°

45° 60°20°

70° 45° 30°

10°

58


d) 5 °C ® 30

1 °C ® 6

26 °C ® 151

e) A hozzárendelési szabály: N = 6T µ 5Értelmezési tartomány 15 £ T £ 45Értékkészlet: 85 £ N £ 265„Tücsökhõmérõ” T = (N + 5) ¢ 6

*8. a)

b) x = 20, ez azt jelentené, hogy 20 eurós egységár esetén nem tudna egy mézes-kalácsot sem eladni naponta.

c) y = 40. Ha 0 eurót kérne egy mézeskalácsért, 40 db-ot adhatna oda.d) a = µ2. 1 eurós növelés esetén 2 darabbal csökken az eladható mennyiség.e) Értelmezési tartomány: 0 < x < 20

Értékkészlet: 0 < y < 40

*9. a)

b) 32 °F-on fagy meg a víz.212 °F-on forr a víz.

10

20

30

40

50

F (°F)

1 5 10 15 C (°C)

F( ) 1,8 32= +C C¡

ciripperc

ciripperc

ciripperc

59

c) 10 °F = µ12,2 °C

Rejtvény: A számítógép közelítõ értékekkel dolgozik. Ha egyenes lenne, akkor a [0; 2] in-

tervallumon a „meredekség” a [0; 25] intervallumon Ezek

az értékek nem egyeznek meg, tehát nincs igaza Balázsnak.

2. Függvények tulajdonságai

1. a) értékkészlete: 0-nál nem kisebb valós számok halmaza y ³ 0,tengelymetszetei: zérushelyei: x1 = µ1; x2 = 5, y tengelymetszete: y = 1,

menete: ha x £ µ1, akkor csökkenõ, ha µ1 < x £ 2, akkor növekvõ,ha 2 < x £ 5, akkor csökkenõ és ha 5 < x, akkor növekvõ.

szélsõértéke: minimuma van az x = µ1 helyen, értéke y = 0,maximuma van az x = 2 helyen, értéke y = 3, (helyi maximum)minimuma van az x = 5 helyen, értéke y = 0.

b) értékkészlete: a 4-nél nem nagyobb valós számok halmaza y £ 4,tengelymetszetei: zérushelyei: x1 = µ2 és x2 = 2, y tengelymetszete: y = 4,

menete: x = 0-ig növekvõ; 0-nál nagyobb x esetén csökkenõ,szélsõértéke: maximuma van az x = 0 helyen, értéke y = 4.

c) értékkészlete: µ4 £ y £ 4,tengelymetszetei: zérushelyei: x1 = µ4; x2 = 0, x3 = 4, y tengelymetszete y = 0,

menete: µ4-nél nem kisebb és 2-nél nem nagyobb x-ekre csök-kenõ,ha µ2 < x £ 2, akkor növekvõ,ha 2 < x £ 4, akkor csökkenõ,

szélsõértéke: minimuma van az x = µ2 helyen, értéke y = µ4,maximuma van az x = 2 helyen, értéke y = 4.A grafikon az origóra szimmetrikus,

d) értékkészlete: a 6-nál nem nagyobb számok, y £ 6,tengelymetszetei: zérushelye x = µ21 (az ábrán nem látható),

y tengelymetszete: y = 3,menete: µ¥-tõl µ3-ig növekvõ, µ3 < x £ 1 csökkenõ;

1 < x £ 4 növekvõ; 4 < x konstans,szélsõértéke: maximuma van az x = µ3 helyen, értéke y = 6,

minimuma van az x = 1 helyen, értéke y = 2. (helyi)

f( ) , .2525

1 075=f( ) , ;22

0 96=

60


2.

f: értékkészlet: µ2-nél nem kisebb és 13-nál nem nagyobb valós számok,tengelymetszetei: zérushelye: (számítással pontosítson),

y tengelymetszete: y = µ2,menete: ha 0 < x £ 5, akkor növekvõ,szélsõértéke: minimuma van x = 0 helyen, értéke y = µ2,

maximuma van x = 5 helyen, értéke y = 13.

g: értékkészlet: a valós számok halmaza,tengelymetszetei: zérushelye: ,

y tengelymetszete: y = µ2,menete: µ¥-tõl +¥-ig növekvõ,szélsõértéke: nincs.

x = 23

µ2

1

2

3

4

x

g x( )

y

1 2

x = 23

µ2

1

x

f x( )

y

1 5

13

61

h: értékkészlete: a valós számok halmaza,tengelymetszetei: zérushelye: x = 0,

y tengelymetszete: y = 0,menete: minden x valós számra növekvõ,szélsõértéke: nincs.

3. a) pl.:

b) pl.:

µ2

1

2

x

h x( )

y

1 42

62


c) pl.:

d) pl.:

*4.

x

y

1

1

g x( )

x

y

1

1

f x( )

63

*5. µ2x µ 1, ha x < 1

f: ® , f(x) = µ3, ha 1 £ x < 2

2x µ 7, ha x ³ 2

pl. Az x ³ 2 esetén a meredekség a képrõl leolvasható a = 2A b értékét számítással határozzuk meg. P(3; µ1)µy = ax + b b = µ7µ1 = 2 ¡ 3 + b

Rejtvény: Igen. f: ® , x ® 0

Jellemzõi

1. Értékkészlete

2. Tengelymetszeteizérushelye:

az tengelyt metszi:y

3. Menete

4. Szélsõértékeminimuma:maximuma:

µ

µ

1-nél nem kisebb valós számok( ) 1f x ³

x =µ

µ

33-nály =

nincsnincsx = y =0-nál 3µx = y =1-nél 1µ

Ha 1, akkor csökken,ha 1, akkor növekszik.

x

x

<

³

Ha 0, akkor csökken,ha 0 2, akkor növekszik,ha 2, akkor konstans.

x

x

x

<

>

£ £

µ

µ

3-nál nem kisebb valós számok( ) 3g x ³

f x( ) g x( )

x x1 2= = 212

y = 1-nél

3. Az abszolútérték-függvény

1.

2. a) f: ® , x ® |x| + 3 b) f: ® , x ® µ|x + 1|

c) f: ® , x ® |x| µ 2 d) f: ® , x ® |x µ 2|+ 1

1

x

y

1

f x( )

h x( )

k x( )g x( )

64


1

x

y

µ4 1

g x( )h x( )f x( )

k x( )

3.

Jellemzõi

1. Értékkészlete

2. Tengelymetszeteizérushelye:

az tengelyt metszi:y

3. Menete

4. Szélsõértékeminimuma:maximuma:

A nem negatív valós számok

nincs nincs nincsnincsx = y =µ2-nél 0 x = y =µ4-nél 0 x = y =1,5-nél 0x y= 1-nél = 0

csökken,ha 1,növekszik,ha 1

x

x

<

³

csökken,ha 2növekszik,ha 2

x

x

< µ

µ³

csökken,ha 4növekszik,ha 4

x

x

< µ

µ³

csökken,ha 1,5növekszik,ha 1,5

x

x

<

³

f x( ) g x( ) h x( ) k x( )

x

y

= 1= 1-nél

x

y

= 2= 2-nél

µ x

y

= 4= 4-nél

µ x

y

= 1,5= 1,5-nél

f x( ) 0³ g x( ) 0³ h x( ) 0³ k x( ) 0³

4. f: ® , x ® |x + 9| g: ® , x ® |x + 3|

h: ® , x ® |x µ 4| k: ® , x ® |x µ 6|

*5.

65

Rejtvény: Az f(x) = |x µ 2| + |x + 4| sehol nem veszi fel a µ6 értéket, mert |x µ 2| ³ 0 és|x + 4| ³ 0. Két nem negatív szám összege nem lehet negatív.

4. Másodfokú függvény

1. f(x), g(x), k(x), mert a változó második hatványon (négyzeten) szerepel.

2. a) b)

x |x| – 3®

µ5

µ1

y

x

µ3

µ4 51

66


2. c)

3. f(x) ® C, g(x) ® B, h(x) ® D, k(x) ® A

4. Nincs minimuma f(x) és h(x) függvényeknek, mert elõbb növekszik, azután csökken.Az ilyen folytonos függvényeknek maximuma vagy helyi maximuma van.Nincs maximuma g(x) és i(x) függvényeknek, ezek elõbb csökkennek, azután növeksze-nek. Ezeknek minimuma van.

5. f: [µ2; 2] ® , f(x)= x2 + 1.Másképpen:f: {a µ2-nél nem kisebb, 2-nél nem nagyobb valós számok} ® , x ® x2 + 1

Rejtvény:

200 m magas és 200 m-re van egymástól akét lába.

x

f x( )

0 20 40 80 99 100 101 120 160 180 200

0 72 128 192 199,98 200 199,98 192 128 72 0

67

5. Egyéb függvények (kiegészítõ anyag)

1. a) Jelölje x a szeletek számát, y a szeletek tömegét!

b) f: ® , f(x) =

2. a) fordított arányosság

b) A napozási idõ a faktorszámmal lineáris függvénykapcsolatban áll.

2000x

68


3. a)

*4. a)

Rejtvény:

6. Sorozatok, számtani sorozat

1. a) 8; 4; 2; 1; 4; 2; 1; 4.b) a10 = 1, mert 10 = 3 ¡ 3 + 1.c) 8 + 3 ¡ (4 + 2 + 1) = 29.d) 8 + 33 ¡ (4 + 2 + 1) = 239.

2. 1; 3; 2; 5; 9.

y

x

1

f x( )

1

y (cm )2

x (cm)

1

1

f x( )h x( )

g x( )

f x x

g x x

h x x

: ,

: ,

: ,

+

+

+

Æ

Æ

Æ ◊

2

2

69

3. a) 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; n ® (n µ 1)2

b) 21; 17; 13; 9; 5; 1; µ3; µ7; µ11; n ® 21 + (n µ 1) ¡ (µ4)

c)

d)

4. a1 = 25 a) a15 = 25 + 14 ¡ 4 = 81 A 15. sorban 81 ülõhely van.

d = 4 b) A nézõtéren 795 ülõhely van.

5. a1 = 5 a2 = 9a) d = 4b) 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29c) a20 = a1 + 19d; a20 = 81

6. d = 11a5 = 72 28; 39; 50; 61; 72

7. a4 = 7 a) d = 6a7 = 25 b) µ11; µ5; 1; 7; 13; 19; 25

c) a50 = µ11 + 49 ¡ 6 = 283

8. a1 = 2 a) 2; 5; 8; 11; 14d = 3 b) a40 = 119

c)

9. a1 = 1 a) 1275 b) 5050 c) 2850 d) 6216d = 1

10. a1 = 10 d = 1n = 90 S90 = 4905a90 = 99

11. a1 = 10 d = 2n = 45 S45 = 2430a45 = 98

12. a1 = 3 d = 10an = 993 S100= 49 800n = 100

*13. a) A 10. napon 29 cm-t, a 100. napon 299 cm-t nõtt.b) 10 nap elteltével 156 cm-es lesz. A 100 nap elteltével 15 050 cm-t nõtt.

14. A kilenc egymást követõ természetes szám: n; n + 1; n + 2; ...; n + 7; n + 8(n + 8) µ n = 8

Rejtvény: Egyetlen ilyen n természetes szám sem létezik, mert:Egy természetes szám akkor és csak akkor végzõdhet 4-re, ha 10-zel osztva 4-et admaradékul.

S402 119 40

22420= + ◊ =( )

S1515 25 81

2795= + =( )

4 4 34

5 12

6 14

7 1 1 34

; ; ; ; ; ( )n n+ - ◊174

2 5 314

; ; , ;

56

67

78

89

910 1

; ; ; ; ; n nn +

12

23

34

45

; ; ; ;

70


Ha az összeg 4-et ad maradékul, akkor az n (n + 1) maradéka 10-zel osztva 8 lenne, dea 8 nem szerepel a maradékok között.

7. Mértani sorozatok

1. b) a1 = 16; q = d) a1 = µ5; q = 1

2. A), b); B), c); C), a); D), d)

3. Igen. Pl. 3; 3; 3; ... q = 1, d = 0, a1 = 3

4. a) Ha másfélszer olyan magasra nõ, mint az elõzõ héten volt, akkor mértani sorozat.

d) részt elolvas, maradék x. Következõ héten ennek része marad.

és így tovább.

b) és c) számtani sorozatot ad.

5. a) a1 = , q = 2 d) a1 = µ2, q = µ1

6. a) 3; 6; 12; 24; 48 b) 5; µ5; 5; µ5; 5 c) 16; 8; 4; 2; 1d) 8; 12; 18; 27; 40,5

7.

4 nap után, azaz jan. 5-én lesz 5000 Ft-nál kevesebb pénze.

8. 1 év múlva 120 peták, 2 év múlva (100 ¡ 1,2) ¡ 1,2 = 144 peták,3 év múlva 100 ¡ 1,23 = 172,8 peták lesz 1 kg kenyér ára.

*9. a) elsõ: 1 000 000 ¡ 1,104<

második: 1 000 000 + 4 ¡ 150 0001 464 100 Ft 1 600 000 Ft

b) elsõ: 1 000 000 ¡ 1,18<

második: 1 000 000 + 8 ¡ 150 0002 143 588 Ft 2 200 000 Ft

A második bank ajánlata elõnyösebb mindkét esetben.

*10. 2010-ben 100 ¡ 1,061009 Ft = 3,416788149 ¡ 1027 Ft lenne.

Rejtvény: 219 = 524 288 220 = 1 048 576A 20. napon fedi be az egész tavat.

12

116

12

120

4 5ÊËÁ

ˆ¯̃ = Ê

ËÁˆ¯̃ <;1

25

1001

20

1ÊËÁ

ˆ¯̃ < =

-n

;10 12

5 1051

3◊ ÊËÁˆ¯̃ < ◊

-n

;

12

1920

1920

xÊËÁ

ˆ¯̃ ◊

1920

1920

120

14

71

8. Vegyes feladatok

1. 1. a) a = µ2 b) x = µ1 c) y = µ2 d) x ® µ2x µ 2

2. a) a = b) x = 3 c) y = µ1 d) x ® x µ 1

3. a) a = µ b) x = 5 c) y = 2 d) x ® µ x + 2

4. a) a = b) x = c) y = µ2 d) x ® x µ 2

2. növekvõ: f, h Közös a függvényekben, hogy azcsökkenõ: g, i y tengelyt az y = 3-nál metszik.állandó: e

3. 1. 2.

3. 4.

Értékkészlete: Értékkészlete: y ³ µ2 valós számok

h: ® , x ® µ i: ® , x ® x2 µ 212

12

x +

x

y

1

1

i x( )

1

x

y

1

h x( )

Értékkészlete: y ³ 0 valós számokg: ® , x ® |x µ 3|

Értékkészlete: f: ® , x ® 3x µ 2

1

x

y

1

g x( )

x

y

1

1

f x( )

32

43

32

25

25

13

13

72


4. a) f: ® , x ® 2xb) g: ® , x ® 2x + 3c) h: ® , x ® 2x µ 3

A grafikonok párhuzamosak, a meredekségmindhárom függvényben 2.

5. f: ® , x ® x µ 5

6. f: ® , x ® 3x

x

y

1

1

f x( )

y

x

3

–3

f x( )h x( )g x( )

1

73

7. a) f: ® , x ® 1,25x b) g: ® , x ® 0,8x

Mindkét grafikon az origón halad át és növekvõ.

8. 1. f: ® , (zöld) x ® x2 + 4 2. f: ® , (piros) x ® (x + 3)2

g: ® , (kék) x ® x2 g: ® , (kék) x ® x2

h: ® , (piros) x ® x2 µ 4 h: ® , (zöld) x ® (x µ 2)2

a) Közös, hogy az alapfüggvény x2. a) Az alapfüggvény az x2.y értéket változtatjuk. A változót (x) változtatjuk.

b) Szimmetrikusak az új tengelyre b) Ugyanolyan alakúak és az x tengely-és ugyanolyan alakúak. lyel párhuzamos irányban eltoltAz y tengellyel párhuzamos irány- képek.ban eltolt képek.

9. 1. x ® 2x 2. x ® x2 µ 3 3. x ® µ|x| µ 1 4. x ® 1Q P, Q, R, S S, T P, R

*10. Értelmezési tartománya:2-nél nem nagyobb valós számokTengelymetszetei:

zérushelye: x1 = 0, x2 = 5az y tengelyt metszi: y = 0-nál

Menete: növekszik, ha x £ 1állandó, ha 1 < x £ 3,csökken, ha x > 3

Szélsõértéke: maximuma van,ha 1 < x £ 3, értéke y = 2minimuma nincs.

x

y

1

f x( )

1

74


11. Négyszög Háromszög

a) n ® n ®

b) cm2 cm2

12. a) Számtani sorozat b) Mértani sorozatA) 3; 6; 9; 12; 15; 18 3; 6; 12; 24; 48; 96B) µ3; 6; 15; 24; 33; 42 µ3; 6; µ12; 24; µ48; 96C) 3; µ6; µ15; µ24; µ33; µ42 3; µ6; 12; µ24; 48; µ96D) µ3; µ6;µ9; µ12; µ15; µ18 µ3; µ6; µ12; µ24; µ48; µ96E) µ3; µ3; µ3; µ3; µ3; µ3 (d = 0) µ3; µ3; µ3; µ3; µ3; µ3 (q = 1)F) 3; 0; µ3; µ6; µ9; µ12 Nem lehet. A mértani sorozat

egyetlen tagja sem lehet 0.

G)

d = q = 2

H)

d = q =

13. 9 db: azonos számjegybõl álló 4-jegyû szám, 1111, 2222, ... 9999 (d = 0)18 db: 1234; 1357; 2345; 2468; ...; 6789 és ezek fordított sorrendben.3 db: 3210; 6420; 9630 0-ra végzõdõ van.30 db: ilyen szám létezik.

14. 9 db: azonos jegyekbõl álló és az 1248; 8421, azaz 11 ilyen szám van.

15. Csak 9 db, a jegyek azonosak (q = 1).

16. Segítség a tanár részére.

a)

Az n csak 36 osztója lehet.

n = 1 2a1 = 36

a1 = 18 d bármilyen egész szám lehet.A sorozatnak csak az elsõ tagja képezi az összeget.

n = 2 2a1 + d = 18Az a1 helyére bármilyen egész szám írható.pl.: a1 = 1, d = 16 1; 17; 33;...pl.: a1 = 9, d = 0 9; 9; 9;...pl.: a1 = 10, d = µ2 10; 8; 6;...

.

.

.n = 3 pl.: a1 = 2, d = 4 2; 6; 10; 14;...

2 0 12

181a + ◊( ) ◊=

d,

Sn n d n

n dSnn

n n=+( ) ◊

=+ + -[ ] ◊ + - =

a a a aa1 1 1

121

22 1

2( ); ( )

1516

120

45

34

4564

6751024

10 12516 384

151875262 144

; ; ; ; ;45

34

710

1320

35

1120

; ; ; ; ;

18

18

14

12

1 2 4; ; ; ; ;18

14

38

12

58

34

; ; ; ; ;

14

12

Tn

◊ ÊËÁˆ¯̃

14

Tn

◊ ÊËÁˆ¯̃

12

75

n = 4 pl.: 2a1 + 3d = 9pl.: a1 = 0, d = 3 0; 3; 6; 9;...

n = 6 pl.: 2a1 + 5d = 6pl.: a1 = µ2, d = 2 µ2; 0; 2; 4; 6; 8;...

n = 9 pl.: 2a1 + 8d = 4pl.: a1 = µ2, d = 1 µ2; µ1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;...

n = 18 2a1 + 17d = 2pl.: a1 = 18, d = µ2 18; 16; 14; 12; ...; ...; 0; ...; µ14; µ16;...

n = 36 2a1 + 35d = 1pl.: a1 = 18, d = µ1 18; 17; 16; 15; ...; 0; ...; µ16; µ17;...

b)

48 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Ha n = 1 a1 = 24, d bármilyen egész szám.n = 2 a1 = 1, d = 22

a2 = 2, d = 20 2; 22; 42;...

n = 3 a2 = 8, d bármilyen egész szám lehet.

pl.: µ4; 8; 20;...A továbbiakban az a) részben leírtak szerint számolva példákat adok a lehetségessorozatokra.n = 4 pl.: a1 = µ6, d = 8 µ6; 2; 10; 18...n = 6 pl.: a1 = 1, d = 2 µ1; 1; 3; 5; 7; 9;...n = 8 pl.: a1 = 10, d = µ2 10; 8; 6; 4; 2; 0; µ2; µ4;...n = 12 pl.: a1 = µ9, d = 2 µ9; µ7; µ5; µ3; µ1; 1;...n = 16 pl.: a1 = 9, d = µ1 9; 8; 7; 6; 5;...n = 24 pl.: a1 = 1, d = 0 vagy a1 = 24, d = µ2n = 48 pl.: a1 = µ24, d = 1

17. 20, 21, 22, 23, 24

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 31 prímszám.A gyerekek életkora: 1; 2; 4; 8; 16 év.

18. a) 3; 8; 13; 18; 23b) 2; 6; 12; 20; 30c) 2; 4; 8; 16; 32d) 6; 12; 24; 48; 96

aa a

21 3

2=

+

2 1 481a + - ◊ =( )n d n

n

2 1 481a + -[ ] ◊ =( )n d n

2 12

241a + -[ ] ◊ =( )n d n

a a1

224

+( ) ◊=n n

Documents

matek tutorial