44
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7. NEODREDJENI INTEGRALI 7.1 Opcenito o integralu i pravilima integriranja ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Integriranje je inverzna racunska operacija od deriviranja. Integrirati funkciju znaci odrediti primitvnu funkciju funkcije . jer je C je konstanta integracije. x f x F x f x f x dx F x C D F x C f x = + + = Pravila in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ' : 1. 0 2. 1 3. 4. ; za sve racionalne brojeve; 1. 1 5. 6. 7. 1 8. za s 1 n n n n dx C dx x C a dx ax C x x dx C n n af x dx a f x dx f x gx dx f x dx g x dx f x gx dx f x dx g x dx f x f x dx f x C n + + = = + = + = + ≠− + = + = + = = + + tegriranja ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ve racionalne brojeve; 1 9. metoda supstitucije 10. ; metoda parcijalne integracije 11. Metoda parcijalni razlomaka n f gx g x dx f u du u dv uv v du f xg x dx f xgx f x g x dx ≠− = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 8 8 7 7 1 3 3 : 1. 0 0 0 2. 1 1 1 3. 7 7 7 7 4. 1 8 8 5. 5 5 x x x n n x dx C dx C D C dx x C dx x C D x C a dx ax C dx x C D x C x x x x dx C x dx C D C x n af x dx a f x dx xdx x dx + = = = = + = + + = = + = + + = = + = + + = + = = = Primjeri primjene pravila integriranja 1 1 4 3 3 15 5 1 4 1 3 x C x + + = + + C Neodredjeni integrali 1

Mate Vijuga

  • Upload
    dejan-c

  • View
    117

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Mate Vijuga

Citation preview

Page 1: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7. NEODREDJENI INTEGRALI 7.1 Opcenito o integralu i pravilima integriranja

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Integriranje je inverzna racunska operacija od deriviranja.Integrirati funkciju znaci odrediti primitvnu funkciju funkcije .

jer je C je konstanta integracije.x

f x F x f x

f x dx F x C D F x C f x= + + = ∫

Pravila in

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1'

:

1. 0

2. 1

3.

4. ; za sve racionalne brojeve; 1.1

5.

6.

7.

18. za s1

nn

n n

dx C

dx x C

a dx ax C

xx dx C nn

a f x dx a f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x f x dx f x Cn

+

+

=

= +

= +

= + ≠ −+=

+ = +

− = −

= + +

∫∫∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

tegriranja

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'

' '

ve racionalne brojeve; 1

9. metoda supstitucije

10. ; metoda

parcijalne integracije11. Metoda parcijalni razlomaka

n

f g x g x dx f u du

u dv uv v du f x g x dx f x g x f x g x dx

≠ −

=

= − ⇔ = −

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

( )( )( )

( ) ( )

1 8 87 7

13 3

:

1. 0 0 0

2. 1 1 1

3. 7 7 7 7

4.1 8 8

5. 5 5

x

x

x

nn

x

dx C dx C D C

dx x C dx x C D x C

a dx ax C dx x C D x C

x x xx dx C x dx C D C xn

a f x dx a f x dx xdx x dx

+

= ⇒ = ⇔ =

= + ⇒ = + ⇔ + =

= + ⇒ = + ⇔ + =

= + ⇒ = + ⇔ + = +

= ⇒ = =

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Primjeri primjene pravila integriranja

1 1 433155

1 413

x C x+

+ = ++

∫ C

Neodredjeni integrali 1

Page 2: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

4 13 3

3 32 2 2

4 23 3

4 23

'

15 54

6.

7 7 7 73 3

7.

3 53 5 3 54 2

3 5 3 54 2

18.

x

x

x

n

D x C x

f x g x dx f x dx g x dx

x xx dx x dx dx x C D x C x

f x g x dx f x dx g x dx

x xx x dx x dx xdx C

x xD C x x

f x f x dxn

+ =

+ = +

+ = + = + + ⇔ + + = +

− = −

− = − = − +

− + = −

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

7

( )

( )( ) ( ) ( )

1

5 63 2 3

6 53 3 2

'

2

2 2

za sve racionalne brojeve; 11

1 1 17 73 6 3

1 1 17 76 3 3

9. metoda supstitucije

sin sin122

n

x

f x C n

x x dx x C

D x x x

f g x g x dx f u du

u xx x dx x x

du x xdx du

++ ≠ +

+ = + + + = +

=

== ⇒

= ⇒ =

∫ ∫

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

' '

1 1 1 1sin cos cos cos sin2 2 2 2

10.

1ln 1ln ln

1ln ln ln ln 1 ln

x

u dv

x

dx

u du u C x C D x C x x

u dv uv v du f x g x dx f x g x f x g x dx

u x du dxx dx x x x dxx

xdv dx v xxx x x dx x x x C D x x x C x x

x x

= − + = − + ⇔ − + =

= − ⇔ = −

= → == ⇒ ⋅ − ⋅ = → =

⋅ − ⋅ = − + ⇔ − + = + − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

11. Metoda parcijalnih razlomaka - opsirnije objasnjeno u nastavku

Neodredjeni integrali 2

Page 3: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

1

2 2

:

ln1

sin cos cos sin

tan ln sec ln cos cot ln sin

sec tan csc cot

sec tan sec csc co

nn u duu du C u C

n uu du u C u du u C

u du u C u C u du u C

u du u C u du u C

u u du u C u

+

= + = ++

= − + = +

= + = − + = +

= + = − +

= +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

Integrali poznatijih funkcija ili izraza

( ) ( )1 1

2 2

t csc

; 0, 1ln

sinh cosh cosh sinh

tanh ln cosh coth ln sinh

sech tan sinh csch coth cosh

sech tan csch coth

uu u u

u du u C

aa du C a a e du e Ca

u du u C u du u C

u du u C u du u C

u du u C u du u C

u du u C u du u C

− −

= − +

= + > ≠ = +

= + = +

= + = +

= + = −

= + = − +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

+

2 22 22 2

sech tanh sech csch coth csch

1ln ln2

u u du u C u u du u C

du du u au u a C Ca u au au a

= − + = − +

−= + ± + = +

+−±

∫ ∫

∫ ∫

( )

1 1

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 1

2 2

1 1 1 12 22 2

1 1 1ln cos sec

cos b sinbsin cos b

2 21 1sin cos tan cot

sin b

auau

aau

du u du a uC Ca a u au a u a a u u u a

e a u b uu a ua u du a u C e u du Ca a b

du u u du u uC C C Ca a a a a au aa u

ee u du

− −

− − − −

= + = + = +± + ± −

−− = − + + = +

+

= + = − + = + = − ++±

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫( )

Ca

2 2

22 2 2 2 2 2

sin b cos bcsc ln csc cot ln tan

2

sec ln sec tan ln tan2 4

ln2 2

u a u b u uC u du u u C Ca b

uu du u u C C

u au a du u a u u a C

π

−+ = − + = +

+

= + + = + +

± = ± ± + ± +

Neodredjeni integrali 3

Page 4: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7.2 Neodredjeni integral razlomljene racionalne funkcije Integral razlomljene racionalne funkcije je naj rajrasireniji integral i pojavljuje se u vise razlicitih oblika, zavisno o stupnju potencije u brojniku i nazivniku izraza. Integrala ima opci oblik:

I ≡( )( ) ( ) ( )gdje su i polinomi -og stupnja.

Posto potencija polinoma u brojniku i nazivniku moze poprimati razlicite vrijednosti, pojavljuju se razlicite kombinacije razlomljene racionalne funkcije,

P xdx P x Q x n

Q x∫

koje su razmotrene u nastavku, svaka posebno.

( )( )

3 2

2 2 2

21

3 4 3 4 41. 3 4 3 41 1 1

3 4 4 tan Podijelili smo razlomak. Postupak djeljenj2

x x xI dx x dx xdx dx dxx x x

xI x −

− + ≡ = − + = − + + + +

≡ − + ⇒

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

n

n

P xIntegral je oblika : I dx potencija brojnika je veca od potencije nazivnika

Q x

( ) ( )3 2 22

3 2 3 2 3 2

a prikazan je u

srednjoskolskoj matematici u dijelu "Polinomi":43 4 3 1 3 4 i ostatak 4 odnosno

1

2 7 4 2 1 2 7 4 2 1 2 4 52. 23 32 3 2 2 3 22 2

12

x x x x xx

x x x x x x x xI dx dx xx x x

I

− + ÷ + = −+

+ + + + + + ≡ = = + − +

+ + +

∫ ∫ ∫ dx

( )

( )

3 2 32

3 23 2

2 4 1 1 5 1 2 32 2 233 2 2 2 2 3 22

3 2 4 5Djeljenje daje rezultat: 2 7 4 2 232 3 22

x x xdx dx x dx dx x x x Cx

x xx x x x xx

+ − + = + − + + +

+ + + ÷ + = + − + +

∫ ∫ ∫ ∫ 5ln +

( )

( ) ( )1 1

2 2 2 22

1 1 53. tan tan10 30 5 55 5

dx dx du u xI Ca ax x u ax

− −

+≡ = ≡ = =

+ + ++ +

∫ ∫ ∫

2

1Integral je oblika I dx nazivnik je kvadratna funkcijaQ x

+

Neodredjeni integrali 4

Page 5: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )

( ) ( ) ( )2

22 22 2

5

1 12 22

Nadopunimo izraz na potpuni kvadrat i primijenimo poznati integral kao rjesenje:

10 30 2 5 25 25 30 5 5 5 5

31 1 1 34. tan tan3 33 2 5 141 14

3 9

x

x x x x x x

xdx dx uI

a ax xx

+

− −

+ + = + ⋅ + − + = + + = + +

≡ = ≡ =− + − +

∫ ∫

2

1

222 2 2

2

13

13

14

1 3 1tan14 14

1 2 5 1 1 1 1 15 1 1 143 2 5 23 3 3 3 3 9 9 3 3 93

x

xI C

xx x x x x x

− =

− ≡ +

− + = − + = − ⋅ + − + = − +

2

1 12 2 2

2 22 2 2

12

2

1 1 1 2 15. tan tan2 3 32 2 5 1 3

2 2

5 1 1 1 10 1 32 2 5 2 2 2 22 2 4 4 4 2 2

6.7 12

x

dx dx u xI Ca ax x

x

x x x x x x x

dx dxIx x

x

− −

+

+ ≡ = ≡ = + + + + +

+ + = + + = + ⋅ + − + = + +

≡ =− +

∫ ∫

2 2

7 11 1 2 2ln ln ln

1 7 12 37 1 22 2 22 2

xu a x Ca u a xx

− −− −≡ = =

+ − ⋅ − +−

∫ ∫4+

2

2 22 2 2

72

7 49 49 48 7 49 1 7 17 12 2 22 4 4 4 2 4 4 2 2

x

x x x x x x x

− + = − + − + = − + − = − −

Neodredjeni integrali 5

Page 6: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

2

1 12 22

1

222 2

12

121 2 27. tan tan

1 3 31 32 4

2 2 1tan3 3

1 1 1 4 1 3 1 22 4 4 4 2 4

x

xdx dx uI

a ax xx

xI C

x x x x x

− −

+

+ ≡ = ≡ =

+ + + + +

≡ +

+ + = + ⋅ + − + = + +

∫ ∫ =

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2 2 22

2 22 2 2 2

2

48. sin sin620 8 6 4

20 8 8 20 2 4 16 16 20 4 36 6 4

19.31 3

dx dx du u xI Cax x a ux

x x x x x x x x

dx dxIx x

− −

−≡ = ≡ = = +

− − −− −

− − = − − − = − − ⋅ + − − = − − − = − −

≡ =− −

∫ ∫ ∫

2

1Integral je oblika I dx nazivnik je kvadratna funkcija pod korjenomQ x

1 1

2 2 22

1

11 6sin sin3 1313 1

66 6

1 6 1sin 3 13

xdu uaa u

x

xI C

− −

+≡ = =

− − + +

≡= +

∫ ∫ ∫

( )

22 2 2

2 2

1 1

2 2 2 22

1 1 1 1 12 1 131 3 3 3 2 33 3 6 36 36 36 6 36

13 136 6

610. sin sin828 12 8 6

xx x x x x x

x

dx dx du u xI Cax x a ux

− −

− − = − + − = − + ⋅ + − − = − + −

= − +

+≡ = ≡ = = +

− − −− +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )22 2 228 12 12 28 2 6 36 36 28 6 64x x x x x x x − − = − + − = − + ⋅ + − − = − + − =

Neodredjeni integrali 6

Page 7: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )228 6x= − +

2 2

2 2 2

2 2

2 22 2 2

2

111. ln21 3 2 3 1

4 4

1 3 3 1ln4 4 42

1 3 3 9 9 8 3 11 3 2 2 2 2 22 2 4 16 16 16 4 4

112.54 5 2

5

dx dxI u ux x

x

I x x C

x x x x x x x

dx dxIx x

x

≡ = ≡ + − =− + − −

≡ − + − − +

− + = − + = − ⋅ + − + = − −

≡ =+ +

∫ ∫ a

2 2

2 2

2 2

2 22 2 2

1

2 2 2 22

2

ln25

1 2 2 2ln5 5 55

4 2 4 4 2 24 5 5 5 2 55 5 25 25 5 5

1 1 413. sin4 4 525 16 5

4

2525 16 16

u u a

I x x C

xx x x x x x

dx dx du xI Cx a u

x

x

≡ + − = −

≡ + + + − +

+ = + = − ⋅ + − = − −

≡ = ≡ = +− − −

− =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

22 2

2 2

2 22

22

22 2 2

51616 4

114. ln24 4 5 1 1

2

1 1 1ln 12 2 2

1 1 1 5 14 4 5 4 2 4 12 4 4 4 2

x x

dx dxI u u ax x

x

I x x C

x x x x x

− = −

≡ = ≡ + − =− + − −

≡ − + − − +

− + = − + − + = − −

∫ ∫

Neodredjeni integrali 7

Page 8: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

22

22 2

2

1 315. 1 2 4

1 1 1 4 1 3Izraz pod korjenom smo preuredili: 1 22 4 4 4 2 4

1 3 1 oznacimo: 2 4

I x x dx x

x x x x x

I x x

≡ + + = + +

+ + = + + − + = + +

≡ + + ⇒ +

∫ ∫

2Integral je oblika I ax +bx + c dx kvadratna funkcija pod korjenom

1

2

2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

1

2

1 2 2 2 2

22

2

2

2

2

2 2

2

int

3 3; ; pa mozemo pisati:2 4 2

rijesimo svaki integral posebno:

I

u dx du a a

u a uI u a du u a du du duu a u a

dua I au

I

u au a

I

u uI du u dua

a

u u a

= = = ⇒ =

+≡ + ⇒ + =

= = ⇒+

= ++ +

+ ⇒ ≡ + ⇒+

+

+

+

∫ ∫

12 22 22

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 22

egral rijesimo metodom parcijalne integracije:

1

1

2

22

u duv vI

I I a

t u t a k u tdtu du v k dk k u adu dt tdt dk u a t a

uu du t t a t a dt u u a u a

I u

a

I u

u

u u a

−= + =⇒ ⇔ ⇓ = = = = + =

=

= + +

+ ⇒ =

= + − + = + − ++

+ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫2

2

22 2 2 2

22

o sada2

Sada mozemo napisati cijeli izraz:

1 ln odnosno: 2 2

1 1 1 3 3 1 1ln2 2 2 2 8 2 2

aa

aI u u a u u a

I x x x x

+ +

= + + + +

= + + + + + + +

22

2 2

32

1 1 3 11 ln 12 2 8 2

C

I x x x x x x C

+ +

= + + + + + + + + +

2I

2 2

2 22 22

rijesim I :

ln tipski integral .

I

duI u u au a

= = + ++

→∫

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 216. a x a xI a x dx a x dx dx

a x a x− −

= − = − =− −

∫ ∫ ∫ =

Neodredjeni integrali 8

Page 9: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

1 2 1

22 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

sin

; ;

11 222

dx x dx xI a dx I a Caa x a x a x

u xx x xdx x dx dv vdu dxa x a x a x a x

a x kx dv vxdx dk xdx dk

I I I

ka x

−= − ⇒ = − = = +− − −

= = = ⇒ = = = − − − − = = ⇒ ⇒ = − = − = − − − = ⇒ = −−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

1

x

k k a x

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 1 2 2 2 1 2 2

22 1 2 2

2

2

1

1 2

sin sin

2 sin sin2 2

I

xuv vdu x a x dx x a x I x a x Ia x

x xI a a x a x I I a x a x Ia a

x a x xI a x a x I a x Ca a

I I − −

− −

= − = − − − − = − − + = − − +

= − = − − − + ⇒ = + − −

= + − ⇒ = + − +

∫ ∫

1 2

2

2

I I

I

I

( )( )

3 2 1 11 1 1 1 11 3 11 517. 3 3 ln5 52 5 2 2 2 2 2 2 4 22 2

3 2Izraz smo preuredili2 5

x dxI dx dx dx x xx x x

xx

= = + ⋅ = + ⋅ = + − − − − −−

∫ ∫ ∫ ∫

P xIntegral je oblika I dx potencija polinoma brojnika i nazivnika je istog stupnja

Q x

C+

( )3 2 1 3 2 5 11 1: 3 2 35 52 5 2 2 22 2

x x x xx x x

− − = ⋅ ⇒ − ÷ − = + ⋅ − − −

( )( )

Metoda se svodi na preuredjenje nazivnika tako, da se prikaze u obliku produkta faktora i potom rijesi kao

≡ ∫P x

Integral je oblika I dx potencija polinoma nazivnika je veca od potencije Q x

polinoma brojnika

suma parcijalnih razlomaka:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2218.

2 32 3 2 35 6

x x A B Cdx dx dxx xx x x xx x

= = + + +

+ ++ + + + + + ∫ ∫ ∫

D

Neodredjeni integrali 9

Page 10: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

2 2 2 22

2 2 2 2

1 22 2 2 2

2 2

Izraz smo preuredili: 5 6 2 3 2 3

Pisemo: 3 2 3 2 2 3Za vrijednosti korjena izraza, 2 2 3 3

Za 0 0 3 2 3 2 2 3

0 2 0 3 0 2 0 3

x x x x x x

x A x B x x C x D x xx A x C

x A x B x x C x D x x

B

+ + ⇒ + + = + +

≡ + + + + + + + + +

= − ⇒ = − = − ⇒ = −

= ⇒ ≡ + + + + + + + + + =

= − + + + + + ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

3 0 2 0 2 0 30 2 9 18 12 12 18 12 30 3 2 5

Za 4

4 2 4 3 4 2 4 3 3 4 2 4 2 4 3

4 2 1 2 1 3 4 4 1 2 4 10 2 4 10Rijesimo jednadzbe: 3 2 5 3 5 2 5 2 10 52 4 10 2

DB D B D B D

x

B D

B D B D B DB D D D D

B D B

− + + + +

= − ⋅ + − + ⇒ + = ⇒ + == −

− = − − + + − + − + + − − + + − + − +

− = − ⋅ + − + − + − ⇒ − − = ⇒ + = −

+ = ⋅ + = ⇒ = − ⇒ = −

+ = − ⇒ +

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2 1

5 2 10 5

2 32 3

2 5 3 52 32 3

2 5 3 52 32 3

Uvedimo zamjenu za: 2 ; 3 ;22 5 3 51

D B B

A B C DI dxx xx x

dxx xx x

dx dx dx dxx xx xx u dx du x v dx dv

du dvI u du v dv uu v

− − −

= − ⇒ = ⇒ = ⇑

= + + + =

+ ++ + − − −

= + + + = + ++ +

= − + − −+ ++ +

+ = = + = =−

= − + − − =−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

135ln 5ln1

2 35ln 2 5ln 32 3

u v v C

I x x Cx x

−+ − − +−

= + + + − + ++ +

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2

2 2

2

5 3 1 5 319.3 3 13 6 9

1 1Izraz smo preuredili: 3 6 9 2 3 3 13 3

1 5 3 1 :3 3 1 3 3 1

5 3 sredimo3 1 3 1

5 3 3 1 1 3

3 3

x xI dx dxx x xx x x

x x x x x x

x A B CI dx dxx x x x x x

x A B Cx x x x x x

x A x x Bx x Cx x

Ax Ax Ax

− −= =

− +− −

− − ⇒ − − = − +

−= = + + − + − +

−⇒ = + +

− + − +

− = − + + + + − =

= + − −

∫ ∫

∫ ∫

2 2 3A Bx Bx Cx Cx+ + + −

Neodredjeni integrali 10

Page 11: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2

33 2

0 5 3 2 3 3

0 0 1 05 5 2 3 2 1 3 5 3 7

3 3 1 1 2

1 1 23 3 1 3 3 1

1 3ln ln 3 2ln 1 ln ln3 1

l

x x x A B C x A B C A

x A B C B C B Cx A B C B C B C

A A B C

A B C dx dx dxI dxx x x x x x

xI x x x C x Cx

I

⋅ + − = + + + − + − −

= ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ = −⇒ = − + − ⇒ − ⋅ + − = ⇒ − =

− = − ⇒ = = = −

= + + = + − − + − +

−= + − − + + = + +

=

∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

( )( ) ( ) ( )

3 2

3n

1

Koeficijente parcijalnih razlomaka moglo se rijesiti i na drugaciji nacin:Uvrstimo vrijednosti korjena razlomka 0, 3, 1 u poznati nam izraz:Za 0 5 0 3 0 3 0 1 0 0 1 0 0 3 3 3

x xC

x

x x xx A B C A

−+

= = = −

= ⇒ ⋅ − = − + + ⋅ + + ⋅ − ⇒ − = −

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1

Za 3 5 3 3 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 12 12 1

Za 1 5 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3

A

x A B C B B

x A B C

⇒ =

= ⇒ ⋅ − = − + + ⋅ + + ⋅ − ⇒ = ⇒ =

= − ⇒ ⋅ − − = − − − + + ⋅ − − + + ⋅ − − − ⇒ = −2C

Neodredjeni integrali 11

Page 12: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2

2

2 2 2 2

2 3 3 2 3 2

3 2

20.1 11

Izrazimo parcijalne razlomke: 1 i dalje, sredimo:1 1

1 1 1 1 1

11Rijesimo sistem jednadzbi:

dx dxIx x xx x

A B C Dx x xx

A x Bx x Cx x Dx x

Ax A Bx Bx Cx Cx Dx Dxx B C D x A C D x B A

= =+ −−

≡ + + ++ −

≡ − + − + − + +

≡ − + − + − + +

≡ + + + − + + − −

∫ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0

2 22 2

2

0 1 110 0 0 02

11 0 12

1 102 1 2 11 11

1 1 1 1 1ln 1 ln 12 1 2 1 2 2

1 1 1ln 1 ln 1 ln2

B

B A A

B C D C D C D C

A C D C D C D D

dx dx dx dx dxIx xx x x xx x

dx dxI x dx x x Cx x x

xI x x Cx x

=

= = − ⇒ = −

+ + = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = −

− + ⇒ − − + = ⇒ − + = ⇒ =

−= = = + − +

+ −+ −−

= − − + = − + + − ++ −

−= + − − + + = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )3

3 2

1 3ln ln1 1

1 1ln1

xC xx x

xI Cx x

−+ = + +

+ −

−= + +

+

C

( )

( )

2

222

21.2 3

Izraz u nazivniku ima konjugirano kompleksne korjene i postupak rjesavanja je drugaciji.

Parcijalni razlomak mora imati oblik :

1 i dalje, sredimo:1 22 32 3

dxIx x x

Ax Bx i

A Bx C A x xx x xx x x

=+ +

++

+≡ + ≡ +

+ ++ +

( ) ( )

( ) ( )2 2 2

3

1 2 3 2 31Rijesimo sistem jednadzbi: 1 33

1 1 1 20 0 2 2 03 3 3 3

Bx C x

Ax Ax A Bx Cx x A B x A C A

A A

A B B B A C C C

+ + +

≡ + + + + = + + + +

= ⇒ =

+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ + = + = ⇒ = −

Neodredjeni integrali 12

Page 13: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( ) ( )

( )

( )

1

2 2 2

1 12

1 2

1 21 1 1 23 33 32 3 2 3 2 3

1 2 1 1ln ln rijesimo sada :3 3 32 3

22 3

I

xdx xI dx

x xx x x x x x x

dx xI dx x I I x Ix x x

x xI dxx x x

− + − + = = + = − + + + + + +

+ = − = − ⇒ = − + +

+= =

+ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ( )

1

dx

I

( )

( ) ( )

2 3

3

1 2 32 2

2

2 22

2 2 2 2

2 3

2 22 3 2 3

2 22 3 122 2

2 32 3 2 2 12

1 2 2 12 22 3 2 3 2 3

1 1ln2

I I

I

dxdx I I Ix x x

xx x kxI dx x dx dk dx

x xx x xx

x dx dk dxI dx C Ckx x x x x x

I k I

+ ⇒ = ++ + + +

+ + + = −

= ⇒ + = ⇒ + ++ + + = −

= − + = − ++ + + + + +

== − =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

23

21 3 3 3

222 2

3 22

13 2 2

2 1

ln 2 32

1 1 1 1ln ln 2 ln ln 2 33 3 3 2

2 3 2 1 1 3 1 22 3 1 ; ; 2; 2

1 tan

1 1 1 1ln ln 2 3 tan3 2 2 2

x x I

I x I x I I x x x I

x x x x xdxIx x x u dx du a adu uI

a au axI x x x

+ + −

= − = − + = − + + + + + = + + − + = + + = ⇒ =

+ + + = = = =

= =+

+ = − + + +

1

2

1 1 1ln tan3 2 22 3

C

x xI Cx x

+

+= + +

+ +

Neodredjeni integrali 13

Page 14: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

22222

2 2

12 22 2

2

1 22

3 1 3 13 122. 11 2;

3 9 32 9 6 63 1 1

1

x u x uxI dx uux x x dx udu

u uI du du Iu u

uI duu

− = ⇒ − = −

= ⇒ ⇒ ++ = ⇒ = =

= = =+ +

=+

∫ ∫

P xIntegral je oblika I x, dx kombinacija funkcije polinoma u prvoj potenciji pod

Q xkorjenom

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2 2 2 2 22

2

2

2

2

1 11 1 1 11

1Za 1 1 0 0 4 0 4 14

1Za 1 1 4 0 0 0 4 14

1 1 1Za 0 0 04 4 2

1 9 1Za 2 2 3 9 9 4 3 9 34 4 2

Koeficijenti imaju

u u A B C Du uu u u uu

u A B C D C C

u A B C D A A

u A B C D B D B D

u A B C D B D B D

⇒ = + + ++ −+ − + −+

= ⇒ = + + + ⇒ = ⇒ =

= − ⇒ − = + + + ⇒ = ⇒ =

= = + + − ⇒ + + − = ⇒ − = −

= = + + + = = + + + ⇒ + =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2

1 12 2

1

3

1 1 1 1 vrijednosti: 4 4 4 4

1 1 1 1 14 1 11 1

1 64 1 11 1

6 1 1 3 3 1 1 3 16 ln 1 ln 1 ln4 1 1 2 3 1 1

23. 2 2

A B C D

I duu uu u

du du du duI I Iu uu u

x xI I u u Cu u xx

I x x

= = − = =

= − + +

+ −+ −

= − + + ⇔ = + −+ −

− − − = = − − + − + − = − + + − − +

= −

∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )

( ) ( )

333 2

3 2

3 3 6 3 7 4

7 43 3

2 2 2 2 32 3

6 126 2 6 127 4

6 2 3 27

x u x udx u u u dux u dx u du

I u u du u du u du u u

I x x C

− = ⇒ − = ⇒ ⇒ + = + ⇒ =

= + = + = +

= − + − +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Neodredjeni integrali 14

Page 15: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )'

32 2 2

2 3

2 31 1 1 124. 2 3 2 3 2 2 3 2 2 32 2 2 3 6x

xI x dx x dx x dx x

+

+= + = + = + = = +

∫ ∫ ∫

n n+1'

Rjesavanje integrala primjenom ' brze formule ' (tocka 8. pravila integriranja)1f x f x dx = f x + C za sve racionalne brojeve; n -1

n +1

3

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

2 2 33 3 2 3

2 2 3 23 2 33 33 3

23

sin ' 322 3

2 2

125. 2 2 3 23

5 3 1 5 5 126. 5 2 3 23 3 3 22 2

5 26

sin 127. sin cos sin cos sin3 3

128. 3 1 2 3 1 2 44

x

C

I x dx x x dx x C

x xI dx dx x x dx xx x

I x C

xI x x dx x x dx C x C

I x x dx x x

− −

+

= − = − = − +

= = = − = ⋅ −−− −

= − − +

= = = + = +

= − = − − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

12 2

3 32 22

1 32 32 3 3 344 434

2 12 22 22

3 4 1 24

3 1 11 2 1 234 22

1 1 1 429. 3 1 1 133 3 914

1 1 1 130. 4 3 34 4 1 4 33

dx x x dx

I x x C

xI dx x x dx x x Cx

xI dx x x dx x Cxx

− −

= − − −

= − − = − − +

= = + = ⋅ + = + ++

= = + = ⋅ + = − +− ++

∫ ∫

∫ ∫

Neodredjeni integrali 15

Page 16: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7.3 Neodredjeni integral trigonometrijskih funkcija

Integrali ovog tipa rjesavaju se supstitucijom, uvodjenjem nove promjenjive i to:

∫Integral je oblika I = sinx,cosx dx

22 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

1 1

2 tan 2 22sin 2sin cos 2 tan cos sin2 2 2 2 1 11 tan

2

sin 1 tan2 2cos cos sin cos cos cos 1 tan

2 2 2 2 2 2cos 1 tan2 2

1cos1

tan tan 2 tan2 2

xx x x x u ux x

x u u

x xx x x x x xx

x x

uxu

x xu u x u d− −

= = = = ⇒ =+ ++

− = − = − ⋅ = − = +

=+

= ⇒ = ⇒ = ⇒ ( )

( ) ( )

( )

'12 2

2 2

2 22 2 2

2 2

12 2 2

1 1

2 22 tan1 1

2 221 131.

5 3cos 5 5 3 31 5 1 3 15 31 1

22 1 tan

2 22 8 121 2 21 1tan tan 22 2

du dux u dxu u

dudx u uI d

x u uu u uu u

u kdu dk kI du dk a au kdu dk duu

I k u

− −

= = ⇒ =+ +

+ += = = =− + − + − + − −

− + +=

= = ⇒ ⇒ = + −= ⇒ =−

= ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫1 1

u du

1 1

2 2

22 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 21

2 2 2

1 1tan 2 tan tan 2 tan2 2 2 2

1 1cos 2 2 1 21 132.

1 cos 21 1 1 1 1 111 1

1 1 11 2 tan1 1 1

Izraz po

x xC C

u ux du du u duu uI dx dux u u u u u u

u uu uI du du du u u Cu u u

− −

= + = +

− −−+ += = = =

+ − + + + − + ++

+ +− − = = − = − − = − + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ( )2 22

1 1

2d znakom integrala smo podijelili: 1 1 11

tan 2 tan tan tan 2 tan tan2 2 2 2

u uu

x x x xI C C− −

− ÷ + = −+

= − + + = − + +

Neodredjeni integrali 16

Page 17: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

22 2

2

2

Integrali ovog tipa rjesavaju se supstitucijom uvodjenjem nove promjenjive:

2 tan 2 22sinh 2sinh cosh 2 tanh cosh sinh2 2 2 2 1 11 tanh

2

cosh cosh s2

xx x x x u ux x

x u u

xx

= = = = ⇒ =− −−

= +

∫Integral je oblika I = sinhx,coshx dx

( )

2

2 2 2 2 2

2

22

22

'1 1 12 2

2

2

sinh2inh cosh cosh cos 1 tan

2 2 2 2 2cosh2

1 tanh 12cosh cosh11 tanh

22 2tanh tanh 2 tanh 2 tanh

2 2 1 1

2133.

cosh 11

xx x x x x

x

xux x

x u

x x du duu u x u dx u dxu u

dudx uIx u

u

− − −

= + ⋅ = + =

+ += ⇒ =

−−

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ =− −

−= =+−

∫( )

( )( ) ( )2

12 2 2

2

1

2 1 12 2 tan1 1 1

2 tan tanh2

Zadaci se mogu rijesiti supstitucijom koristenjem definicije hiperbolne funkcije:

1sinh ;234.

sinh

x xx x

xx

udu du u

u u u

xI C

e e e u edx uIx due dx du dx d

e

−−

−= = =

− + +

= +

−= ⇒ = =

= ⇒= ⇒ = ⇒

∫ ∫ ∫

22

2 21

1 1 12 2 2 ln ln2 11 11

x x

x

x

duduu

e edu u uxuu

du du u eI C Cuu euu

u

⇒ =

− −=

− −= = = + = +

+− + −

∫ ∫

∫ ∫

Neodredjeni integrali 17

Page 18: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Iz poznatih odnosa trigonometrijskih funkcija imamo:35. sin 5 cos9 1sin cos sin sin

21 1sin 5 9 sin 5 9 sin14 sin 42 2

I x xdx

I x x x x dx x x dx

I

α β α β α β

= ⇒

⋅ = + + −

= + + − = + − =

=

∫ ∫

Integral je oblika I = sinmx ×cosnx dx

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1sin14 sin 4 Supstitucija: 14 ;4 ;cos cos2 21 1 1 1 1 1cos cos cos14 cos 42 14 2 4 28 8

1 1cos14 cos 428 8

136. sin 5 1 sin 3 sin sin cos cos2

1 cos 5 1 3 cos 5 12

xdx x dx x u x v x x

I u v x x

I x x

I x xdx

I x x x

α β α β α β

+ − = = − =

= ⋅ − + ⋅ = − +

= − +

= − ⋅ ⇒ ⋅ = − − + ⇒

= − − − −

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 13 cos 2 1 cos 8 12 2

Rijesimo supstitucijom: 2 1 ; 8 12 8

1 1 1 1 1 1 1 1cos cos sin sin sin 2 1 sin 8 12 2 2 2 2 8 4 161 1sin 2 1 sin 8 14 16

x x dx x dx

du dux u dx x v dx

I u dx v dx u v x x

I x x C

+ = − − −

− = → = − = → =

= − = ⋅ − = − − −

= − − − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ C+

( )

2* 2

*

Rijesimo metodom parcijalne integracije 37. sin

sin sin sin cos sin cos

sin cos cos cos

u dv

udv uv vduI xdx

x x xdx du xdx v xdx x

I x x x xdx

= − = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇔ = = −

= − − − = −

∫ ∫∫ ∫

n n n nIntegral je oblika I = sin x;cos x;tan x;cot x dx

( )*

2

2 2*

sin cos cos

sin cos 1 sin sin cos 1 sinI

x x xdx

I x x x dx x x dx xd x

+

= − + − = − + −

∫∫ ∫ ∫

( )* * * *1sin cos 2 sin cos sin cos2

I x x x I I x x x I x x= − + − ⇒ = − + ⇒ = − + x

Neodredjeni integrali 18

Page 19: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

*

1 2

1 2

1

3

1 sin cos Mozemo pisati slijedecu formulu za rjesenje za bilo koji :2 2

1 1sin sin cos sin

1 1cos cos sin cos

Supstitucija: tan tan38. tan

n n n

n n n

xI x x C

nI xdx x x xdxn n

nI xdx x x xdxn n

x u x uI xdx

d

− −

− −

= − +

−= = − +

−= = +

= → == ⇒

∫ ∫

∫ ∫

n

( ) ( )

( )

2

32

2

2 2

2 2 2

12 2 2

2 2

2 2

11 1

11

2 2 21 1 1

1 1 tan 1ln ln 1 ln tan 12 2 2 2 2 21 1tan ln tan 12 2

u k

u duux du

uu u u u u dkI u du udu du du

ku u u

u u xI k u x C

I x x C

+ =

⇒ =

+= +

= − = − = − = − + + +

= − = − + = − + +

= − + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

7.4 Razni zadaci

( )

2

2

2

2 2 2 2 2 2

2

3 2

3 2 2 2

39. 1 1 122 2 22

1 1 1 1 12 2 2 2

x

xx k

x x x x x x

u x dv xe dxI x e dx k x

du x v xe dx ke dk e edk xdx

I x e dx x e xe dx x e e e x C

= =

= = == = = = = = =

= = − = − = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

k x

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1 12 2 2 2440.

4 1 2 2

12 1 2 2 2 24

12 1 2 2 2 24

A Bdx x x x xxIx A x B x

x A B BI

x A B A

= = + − + − +−= = − = + + −

= − → = − + + − − → = − = = = → = + + − → =

∫ =

( ) ( ) ( )2

1 11 14 4 ln 2 ln 2

2 2 4 2 2 44dx dx dxI dx

x x x xx

− = = + = − = − − + − + − +−

∫ ∫ ∫ ∫ x x

Neodredjeni integrali 19

Page 20: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

21 ln4 2

xI C

x−

= ++

( )

( )( )

2 2

22

2

1 1 241. 212 11

12 2 ln Uvrstimo u osnovni integral:

1 1 11

1 1 1 1ln ln

1 1 1 1 1

x u x udx udu duIudx udu u ux x

udu duI Cu u uu

x xdxI Cx x x x

− = → = − −= ⇒ ⇒ = −

−= − −−

+= − = − = − + ⇔

− + −−

+ − − −= = − = +

− − − + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

( ) ( ) ( )

3 2 2 2 2 2

2 2 2 4 4 2

5 3 5 3

42. sin cos sin cos sin 1 cos cos sin

cos1

sin

cos cos5 3 5 3

I x xdx x x xdx x x xdx

u xI u u du u u du u du u du

du xdx

u u x xI C

= = = −

= ⇒ = − − = − − = = −

= − = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

− ∫

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 2 23 2

1 11 2 36 643.

61 2 3 3 2

1za 0 : 0 1 2 3 0 3 0 2 66

3za 2 : 2 1 0 5 2 5 2 0 10 10

2za 3 : 3 1 5 0 3 0 3 5 15 15

x x A B Cx x x xx x x x x xI dx

x x xx A x x Bx x Cx x

x A B C A A

x A B C B B

x A B C C C

+ + = = ++ − ++ − + −= ⇒ = + − + = − + + + + −

= + = − + + − = − → = −

= = + = + + = → =

= − − + = − + − + − − = → = −

( ) ( ) ( ) ( )3 2

1 1 1 32 3 6 10 2 15 36

1 3 2ln ln 2 ln 36 10 15

x A B CI dx dxx x x x x xx x x

I x x x C

+= = + = − + − − + − ++ −

= − + − − + +

∫ ∫ ∫1 2 1 dx

( )( )

( )

2

2

2

ln 244. ln 2 2

2

u x dv dxI x dx xdu dx v x

x

= + =

= + ⇒ = = +

Neodredjeni integrali 20

Page 21: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

2 22

22 2 2

2 2

2: 2 12

2 22 2

1 12 2 22

2ln 2 ln 2 ln 2 22 2

2ln 2 2 1 ln 2 2 4 ln 2 22 2

1 14 tan tan2 2 22

x xx

x xx dx x x x dx x x dxx x

dxI x x dx x x dx x x xx x

dx dx du u xa ax u ax

I

+ = −+

− −

+ = + − = + − =+ +

= + − − = + − + + − + +

+ = ⇒ = ⇒ + + +

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

2 +

2 14ln 2 2 tan2 2

xx x x C− + − + +

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 245.22 2 2 2 2 2

1 1 2 22 2 ln 2 ln2 44 2 2

1 2 2ln2 2 2

x u x udx uduIdx udux x u u

du du u a xIa u au u a x

xI Cx

+ = = −= ⇒ ⇒

=− + − − − +

− + − = = = = +− − + +

+ −= +

+ +

∫ ∫

∫ ∫

( )

( ) ( ) ( )

34 7 4 6 2 4

32 4 4 2 4 6 5 6 8 10

6 7 9 11 6 7 9 11

sin46. sin cos sin cos cos 1 sin sin cos

cos

1 1 3 3 3 3

1 3 3 1 1 3 1 1sin sin sin sin6 7 9 11 6 7 3 11

u xI x xdx x x xdx x x xdx

du x

I u u du u u u u du u u u u du

I u u u u x x x x C

= = = = − ⇒ =

= − = − + − = − + −

= − + − = − + − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 2 2 2

3 22

2

3 5 3 53 5 1 11 1 1 147.

13 5 1 1 1 1

za 1: 3 5 0 2 0 2 2 41za 1: 3 5 4 0 2 0 4 2

usporedimo koef. uz na obje strane: 0

x x A B Cx x xx x x x x xI dx

x x xx A x B x x C x

x A B C C C

x A B C A A

x

+ + = = + + + + −− − + + − −= ⇒ − − + + = − + + − + +

= + = + + = → =

= = − − + = + − + = → =

=

∫ =

1 2

A B B A

⇒ + → = − = −

Neodredjeni integrali 21

Page 22: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 2

2 12

3 5 1 1 42 1 2 11 1

1 1 1ln 1 ln 1 4 4 1 4 12 2 11

1 1 4ln 1 ln 12 2 1

xI dx dxx xx x x x

dxI x x x dx xx

I x x Cx

− −

+ = = − + = + −− − + − = + − − + = − = − −−

= + − − − +−

∫ ∫

∫ ∫

2

2 32

3 3 3 3 32 2

3 3

ln .48. ln 1

31 1ln ln ln ln

3 3 3 3 3 3 3

ln3 9

uv v du

u x dv x dxI x xdx xdu dx v x dx

xx x x x xI x xdx x dx x x dx x

x

x xI x C

= = = ⇒

= = =

= = − = − = −

= − +

∫∫

∫ ∫ ∫1

=

( ) ( )

( ) ( )

2 25 2 2

22 2 4 3 5

3 5

cos49. sin sin sin 1 cos sin

sin

2 11 1 23 5

2 1cos cos cos3 5

u xI xdx x xdx x xdx

du xdx

I u du u u du u u u

I x x x C

= = = = − ⇒ = −

= − − = − − + = − − +

= − − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

2

222 2 2 2

2 2

2 2

2 22

50.2

22 21 2

1 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 221 2 1 2

dxIx x x

ux x u x u ux x x u x x xu

u u u u udx du du

u u

u u ux x u x uu u

= ⇒+ +

−+ + = − = − − ⇒ = ⇒ = + + + +

+ − − + + = = + +

− + + + + = − = − = + +

2

Neodredjeni integrali 22

Page 23: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )2

2

2 2

2

u u

dxIx x x

+ +

= =+ +

( )21 2u+2 2

1 2

du

uu

−+

2 2u u+ +⋅

1 2u+

22 2

2

2

Tipski integral:2 1 ln2

2

1 2 1 2 1 2 22 ln ln ln2 2 2 2 2 2 2 2

dudk k a

ua k ak a

u u x x xIu u x x x

= ⇒ − =− +−

− − + + + −= = =

+ + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 22

3 2

3 2 3 2 3 2 2 22 2 2

3 2

3 2

2

1 151. 31 2 23 ;2

12

1 32 2

32

3 212 2 ;2

x

x x x xx x

x

x

x x x xx x

x

x

x e dx

u x dv ex e dx x e dx x e e xdx

du xdx v e dx

u x dv eI x e dx x e dx x e e x d

du x dx v e dx e

I x e

I x

e

e x

= =

= = = ⇒ ⇒ = −

= = =

= −

=

⇒ ⇒ =

= = =

∫∫

∫ ∫∫

1 12 2

x

− ∫

2 2 2 3 2 22 2

3 2 2 2

1 22

1 1 1 3 322 2 2 4 2

1 3 32 4 2

rstimo

x x xx x

x x

e xdxe e xdx x e x e

I x e x e

− = − +

= − +

3 2 2 2 3 2 2 2

3 2 2

2

2

2

2 2

u trazeni integral:

1 3 3 1 3 32 4 2 2 4 2

1 3 3 32 4 4

1 14

8

2x x x x

x x x x

xI I x e x e x e x e

I x e

x e e

x e xe e C

= = − + − +

= − + +

2

2

2

2 2 2 2 22 2

2 2

1 1 1 11 2 2 2 2 2

1 12 4

Uv

x

x

x

x x x x xx x

x x

xe dx

I xe dx

u x dv exe dx x e e dx x e e dx

du dx v e dx e

I x e e

= ⇒

= −

= −

∫ ∫ ∫∫

2x xxe dx = −∫

= =⇒ ⇒ = −

= = =

23 2

2

3 3

52. cos 1 sin cos cos sin cos3 3 3 3 3

3sin sin cos Koristimo steceno znanje:3 3 3

1 3sin 3 sin 3sin sin3 3 3 3

133

3

x x x x xI dx dx dx

x x xI dx

x x x xI C

= = − = − = −

= − = − +

∫ ∫ ∫ ∫

3x dx

Neodredjeni integrali 23

Page 24: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

3

2

2 3 2 32 3 3 253.

2 2 1 0 23 3 0 1 3

2 3 2 ln 2 3ln 32 3 2 3

3ln

2

x A Bx x x x xdx

x x x A x B xI

x A B Ax A B B

xI dx dx xx x x x

xI C

x

= + + + + += = + + = + + += = − → − = + → = − = = − → − = + − → =

−= = + = − + + + + + +

+= +

+

∫ ∫ x +

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

32

222 2 2

2

2 2 3 3

2 22

22

2 2

2

2

32

54.5 4

55 4 5 1 1 5 11

2 1 5 2 2 2 2 10 121 11

5 65 4 11 1

5

1

5 4

xI dxx x

ux x x x x u x x u xu

u u u u u u u u udx du du duu uu

u ux x x u u uu u

u

uxI dxx x

= ⇒− −

−− − = + − = − ⇒ + = − ⇒ =

+ + − − + − + ⇒ = = =

+ ++

− − − = − = − = + +

+= =

− −

2

( )2

12

1

u

u+

2

61

du

uu

+

( )2

3 3

512

216

u udu

u

−=

∫ ∫ ∫

( )( ) ( )

( )

22

222

2 2

12 5 1 1 51 5216 18 18

5 1 5 4 5 11 5 4 118 1 185 4 1 5 4

I du du u du uuu

x x xx xIx x x x x x

− = − = − = + =

− − − +− − = + = − − − − − −

∫ ∫ ∫

x−

( )( ) ( )

( )

( )

( )

2 2 2 2

2 2

2

2 2

5 4 5 1 21 1 5 4 5 118 181 5 4 1 5 4

5 511 4 14 10 1 12 2

18 18 181 5 4 1 5 4 5 4

x x x x x x x xIx x x x x x

x x xx xIx x x x x x x x

− − + − + − − + − + = = − − − − − −

− − − − − + = = = − − − − − − − −

2

0 5

Neodredjeni integrali 24

Page 25: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

2 2

5 21 52

18 5 4 9 5 4

xxI C

x x x x

− −

= = − − − −

2+

2

2

1 cos 2sin2

55. 1 cos 21 sin 2 2 1 cos 2sin 24 2

2 csc2 41 sin 2sin

4

2 ln csc cot2 4 4

xxdx dxI xx

xx

dx dxI dx xxx

I x x C

πππ

ππ

π π

− =

= ⇒ = − −− − − − =

= = = = − − −

= − − − − +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ dx

( )

1 115 36 3 26 32

1 3 21 532

33 2 2

1 1 113 23 6 62

6;56. 616

1 1: 1 1 6 6 11 1 1

6 ln 1 2 3 6 6ln 13 2

dx u uu x x u x u x uI duu udx u dux x

uu u u u du u u dxu u u

u uI u u C x x x x C

= = → = == ⇒ ⇒ = ++ = + + = − + − ⇒ = − + − + + +

= − + − + + = − + − − +

∫ ∫

∫ ∫

u du

( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

22

2

2

22 2 1 2 157.

2 12 2 1 1 2

0 2 2 1 0 1 0 2 12 6 0 3 2 3 0 0 1

1 3 3 0 1 0 1 3 1

2 1 1 12 1 2 1

x A B Cx x x x x x xI dx

x x x x A x x Bx x Cx x

x A B C Ax A B C Bx A B C C

xI dx dxx x x x x x

+= + + + + − + −= ⇒ + − + = + − + − + +

= → = − + − + → = − = = − → = − + − − + → = ⇒ = → = + + → =

+= = + + = + − + −

∫ ln ln 2 ln 1x x x+ + + − +∫ C

Neodredjeni integrali 25

Page 26: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

Neodredjeni integrali 26

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

9 99 4 4 24 4

9 4 3 358. sin cos2 2

9 4 9 9sin 3 1 sin 3 cos 3cos

9 4 3cos 3 cos 1 sincos 3 33 2 sin sinsin2

13 sinsin

x x x

xI dx x dx dx

x

xI dx d d dx

I

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ

− = − = −

− = ⇒ = → = − = − = − = =

− −= = ⋅ = = =

= −

∫ ∫ ∫ ∫

( )

2

ϕ

( ) 1

2

2

2 2 22

2

3 csc sin 3 ln csc cot cos

1 3cscsin 2

9 4Zamijenimo :cos 9 43cot

2sin 23

3 9 4 9 4 3 9 43ln 3 3ln 9 42 2 3 2

d d

x

xx

x x

x x xI Cx x x

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

= − = − + +

= = −⇒

− = = =

− − − −= − + + = + − +

∫ ∫ C

x C

Page 27: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8.1 Opcenito o odredjenom integralu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nulii oznacava se sa :

lim ...

gdje je donja granica b go

b

n nna

f x dx f x f x f x f x b a f

a

ξ ξ ξ ξ ξ→∞

= + + + + = −

→ →

( )

( )

( ) ( ) [ ]

rnja granica integracijeVrijednost integrala jednaka je povrsini lika omedjenog granicama integracije i funkcije

Povrsina omedjena krivuljama i te granicama intervala a,b dobije se

bba

a

f x

S f x dx

f x g x

= ∫

( ) ( ) ( ) ( )

po izrazu:

Odredjeni integral se racuna na slijedeci nacin:1. Naj prije se izracuna neodredjeni integral funkcije ispod znaka integracije2. U rezultatu se zamijeni nez

b b bba

a a a

S f x g x dx f x dx g x dx= − = − ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

avisna promijenjiva sa gornjom i potom sa donjom granicom integracije.

3. Oduzme se vrijednost rezultata donje granice od rezultata gornje granice.

ko se

bbb

a aa

x

S f x dx F x F b F a

A

= = = −∫Pravila integriranja :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

granice zamijene, integral poprima suprotnu vrijednost

Integral zbroja i razlike:

Umnozak konstante i integranda:

Integral se moze pod

b a

a bb b b

a a ab b

a a

f x dx f x dx

f x f x dx f x dx f x dx

k f x dx k f x dx

= −

± = ±

⋅ = ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( ) [ ]ijeliti na vise integrala: ,b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b= + ∈∫ ∫ ∫

( ) ( )

Funkcija je zadana u eksplicitnom obliku:b b

a a

y f x S f x dx ydx= ⇒ = =∫ ∫

Racunanje povrsina :

Odredjeni integrali 1

Page 28: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

1

2

1

'

1Funkcija je zadana u polarnim koordinatama:2

Funkcija je zadana u parametarskom obliku:

Racunanje statickog momenta likova, kada su poznate koordinate tezista T

t

t

y r S r d

x x tS y t x t dt

y y t

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ= ⇒ = ⋅

=⇒ = ⋅

=

( )

( )

( )2 2

1 1

2

2 3

x,y

i povrsina lika S:

1Za i 2

1 1 1Za i sin cos2 3 3

Racunanje momentra inercije ravnih likova:Moment tromosti materija

x yS S

b b

x ya a

x y

M ydS M xdS

y f x dS ydx M y dx M xydx

y r dS r d M r d M r dϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= =

= = ⇒ = =

= = ⇒ = =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 2 2 2

2 2

lne tocke jednaks je umnosku mase i kvadrata udaljenosti te tockeod osi vrtnje:

Aksijalni moment tromosti:

Polarni moment tromosti:

x y x yS S

p pV

I m y I m x I y dS I x dS

I m r I r dS

= ⋅ = ⋅ ⇒ = =

= ⋅ ⇒ =

∫ ∫

3 ϕ

Guldinova pravila za povrsinu i volumen rotacionog tijela:Povrsina rotacione plohe jednaka je umnosku duzine lika koji rotira i duzine puta tezista luka : 2Volumen rotacionog tijela jednak

T

S ss S s yπ= ⋅

je umnosku povrsine lika koji rotira i duzine puta tezista lika:

2S

V ydSπ= ⋅ ∫

8.2 Razni zadaci

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

1

-1

2 22

2

1. Izracunaj Rijesimo naj prije neodredjeni integral 2 3 2 3

2 3 1 1 13 2 6 6 62 4 4

1 Izvrsimo zamjenu dobijemo: 2 2 325 1

4 2

dx dxx x x x

dx dx dx dxx x x x x x x x x

dx dxx ux x

x

⇒ =+ − + −

= = =+ − − − + − − − − + −

⇒ − =+ − − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Odredjeni integrali 2

Page 29: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )( ) ( ) ( )

2 22

1

1

-1

1

1 1rjesenje je tipicni integral: 125 sin24 sin

52

Uvrstimo granice integracije i rijesimo:

1 1 1 11 2 1 1 2 1 12 3 ssin sin2 5 5sin

52

du du Cua u xu a

dxx x x

⇒ = = − −−

= = − =− − − + − −

∫ ∫

+

( )( )( ) ( )

11 1

-1

11 3in sin5 5

sin 0.2 sin 0.62 3dx

x x− −

− −

= ++ −∫

( ) ( )

2

22

-122

3 32 3 2 3

1-1

2. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i osi od -1 do 2

Postavimo integral: Naj prije rijesimo neodredjeni integral

1 1 1 2 1 33 3 3

y x x x x

S x dx

x dx x C S x dx x−

= = =

= ⇒

= + ⇒ = = = − − =

∫ ∫

( )

( ) ( )

2

12

0

13. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i pravcem 2 u intervalu od 1 2

i osi 0 os y

1Postavimo integral: 22

1Rijesimo neodredjeni integral: 22

bba

a

y x y x x

x

S f x g x dx x x dx

x

= = +

=

= − = + −

+

∫ ∫

=

2 31 124 3

x dx x x x C − = + − + ∫

Odredjeni integrali 3

Page 30: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )11

2 3

00

1 1 1 1 1 2 2 2 0 02 4 3 4 3x x dx x x x + − = + − = + − − + − =

∫23012

( )( )

12

2 40

1 21 2

2 4 4

41 2

2 42

1 2

4 4

4. Izracunaj sin 1

sinRijesimo neodredjeni integral: sinsin 1 1

2 2 1sin Uvrstimo u integral :211

sin = 1 1

u

x dxx x

x x xdx dx x ux x x

x xdx xdu d x dx dx duxxx

x x x udxx x

−−

⋅ −⋅

= ⇒⋅ − −

−= = = ⇒ =

−−

⋅ ⋅

− −

∫ ∫

=

41 x−

( ) ( )

2

11 21 22 2 22 22 1 2 1 1

2 4 000

21

1 1 Uvedimo granice integr.:2 2 4

1 1 1 1sin sin sin 04 4 4 2sin 1

1 1sin4 2

du udu u Cx

x dx u xx x

I

− − −

= = +

= = = − ⋅ −

=

∫ ∫

∫ 2

( ) ( ) ( )

3

3

3

5. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i pravcem 2 u intervalu koje cine tockepresjeka tih dviju krivulja.

Postavimo integral: 2

Odredimo presjecista: 2

b bba

a a

y x y x

S f x g x dx x x dx

y xy x

= =

= − = −

==

∫ ∫

( )

31 2,3

23 4

2 0; 2

Postoje dvije povrsine sa granicom integracije od 0 do 2

2 1 Rijesimo neodredjeni integral: 2 2 4

x x x x

x x

xx x dx x C

⇒ = ⇒ = = ±

= = ±

− = − + ∫

Odredjeni integrali 4

Page 31: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )

( ) ( )

23

0

22 2 44

0

Uvedimo granice integracije za dvije povrsine S=2 2

2 1 12 2 2 2 0 0 22 4 4

x x d

xS x

⋅ −

= − = − − + =

∫ x

( ) ( ) [ ]

[ ]

4

1

6. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljama cos i sin u intervalu od 1

do 4

Postavimo integral: cos sin

Rijesimo neodredjeni integral: cos sin sin cos

bba

a

y x y x x

x

S f x g x dx x x dx

x x dx x x C

S

π

π= =

=

= − = −

− = + +

∫ ∫

[ ]

=

441

1

cos sin sin cos sin cos sin1 cos14 4

2 2 0 1 2 12 2

x x dx x x

S

π

π π π= − = + = + − −

= + − − = −

( ) ( ) [ ]

[ ]

4

1

6. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljama cos i sin u intervalu od 1 do 4

Postavimo integral: cos sin

Rijesimo neodredjeni integral: cos sin sin cos

bba

a

y x y x x x

S f x g x dx x x dx

x x dx x x C

π

π= = =

= − = −

− = + +

∫ ∫

[ ]

=

441

1

cos sin sin cos sin cos sin1 cos14 4

2 2 0 1 2 12 2

S x x dx x x

S

π

π π π= − = + = + − − =

= + − − = −

Odredjeni integrali 5

Page 32: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

22 2 2

2

41 1 2 2

2 2 0

4 42 2 2

0 0

7. Izracunaj povrsinu omedjenu parabolama 6 i 2

6Presjecista su: 6 2 4 0

2

0 0 6 2

4 8

6 2 8 2 8

b

a

y x x y x x

y x xx x x x x x

y x x

x yS f x g x dx x x x x

x y

S x x x x dx x x dx

= − = −

= −⇒ − = − ⇒ − =

= −

= = ⇒ = − = − − − = =

= − − − = − =

∫ ∫

∫ ∫

dx

42 3

0

6422 3 3x x

− =

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2

1

'

'

2 2 2 2 22 2

0 0 0 0 0

sin8. Izracunaj povrsinu cikloide zadane u parametarskom obliku 0 2

1 cos

sin 1 cos Uvrstimo u integral:

1 cos 1 cos 1 cos 2 cos cos

t

t

x t tt

y t

S y t x t dt

dx t t t tdt

S t t dt t dt dt tdt tdtπ π π π

π= −

≤ ≤= −

= ⋅

= − = −

= − − = − = − +

∫ ∫ ∫ ∫2 2

2

00 0

1 sin 2 cos sin 0 cos 2 tipican integral2 4

tdt t tdt t tdt C

π

π ππ= = = = + →

∫ ∫ ∫

Odredjeni integrali 6

Page 33: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )

( )

( )

2'

'

'

'

Izracunaj duzinu luka lancanice u intervalu od 0 do 2

Duzina lancanice se dobije iz: 1

1 1 12 2 2

1

x xa a

b

a

x x x x x xa a a a a a

ay f x e e x x

L f x dx

a af x e e e e e ea a

L f

− − −

= = + = =

= +

= + = + = +

= +

( )

a

22

0 0

2 2 2 2

0 0

22 2

0 0 0

112

1 11 2 1 24 4

1 1 11 24 4 2

x xa aa a

x x x x x xa aa a a a a a

x x x x x xa a aa a a a a a

x dx L e e dx

L e e e e dx e e dx

L e e dx e e dx e e dx

− − −

− − −

= = + +

= + − + = + − +

= + − + = + = +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )1

0 0

1 12 2 2

a ax x x xa a a a aL e e ae ae e e

− − −

= + = − = −

( )

( ) ( )

2

1

21 2

22 2 32 32 3

0 0 0

10. Izracunaj povrsinu prvog zavoja Arhimedove spirale zadane sa 2

1Povrsina iznosi : S ; Granice integracije su 0; 22

1 4 2 16S 2 2 2 02 2 3 3 3

y

y d

d d

ϕ

ϕ

ππ π

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ π

ϕϕ ϕ ϕ ϕ π π

=

= =

= = = = − =

∫ ∫

=

( )

2

2

11. Parabola 8 rotira oko osi . Izracunaj volumen nastalog tijela, od vrha do ravnine polozene kroz tocku 2 okomito na os .

Volumen nastalog tijela, prema Disk Formuli jednak je: b

a

y x xx x

V f xπ

==

= ∫ dx

Odredjeni integrali 7

Page 34: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )22 2 2 2

2

0 0 0

= 8 82

b

a

xV f x dx y dx xdxπ π π π= = = ∫ ∫ ∫ 16π=

( )

2

2

12. Parabola 4 rotira oko osi . Izracunaj volumen nastalog tijela omedjenog krivuljom,ishodistem i ravninom paralelnom sa osi , 16.

Volumen, prema Disk Formuli jednak je:

U ov

b

a

y x yx y

V f x dxπ

==

= ∫

[ ] ( )

2 2

162 16 22

0 0

om slucaju integriramo po osi od 0 do 16: 44

= 16 0 324 4 2 8

b

a

yy y x x

y yV x dy dy π ππ π π

= ⇒ =

= = = − =∫ ∫

( ) ( )

2

2

13. Promatrajmo istu parabolu 4 koja rotira oko osi . Izracunajmo volumen tijela kome je gornja granica ravnina 16 a donja, nasa parabola g 4 .Volumen se moze naci primjenom "washer" (p

y x xf x y x y x

=

→ = → =

odloska) formule. Ime je dobila po oblikunastalog tijela, koje lici na podlosku koja se koristi uz maticu i vijak.

( ) ( ){ }2 2Volumen, prema Washer Formuli jednak je:

U ovom slucaju integriramo po osi od 0 do 2: Granicu 2 dobili smo iz presjecnetocke dviju krivulja.

b

a

V f x g x dx

x x

π= −

=

Odredjeni integrali 8

Page 35: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( ){ } [ ]{ } { }2 2

22 2 2 2 2

0 02 55

0

16 4 16 16

16 2 2048256 16 2 2565 5 5

b

a

V f x g x dx x dx x dx

xV x

π π π

π π

= − = − = −

⋅= − = ⋅ − =

∫ ∫ ∫ 4

( )

( ) ( )

214. Izracunaj volumen tijela nastalog rotacijom oko osi y, povrsine omedjene sa 4 1i pravcima 0 i 16.

Rjesenje je dano formulom "Shells": 2

Vidimo, granica integracije je

b

a

y xx y

V x f x g x dxπ

= −

= =

= − ∫( )

( ) ( ){ } [ ] ( ){ }( ) ( )

( )

32

13 3

2 3 2

1 13

2 4 3 2

1

od 0 do 3. Tocka T 3,16 , je presjeciste zadanih krivulja.

2 2 16 4 1

2 16 4 8 4 2 16 4 8 4

8 82 8 2 2 72 81 72 18 8 1 23 3

1

b

a

V x f x g x dx x x dx

V x x x dx x x x x dx

V x x x x

V

π π

π π

π π

= − = − − =

= − + − = − + − =

= − + − = − + − − − + − =

=

∫ ∫

∫ ∫

123

Odredjeni integrali 9

Page 36: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

2 2

2 2 2

15. Izracunaj volumen rotacionog tijela nastalog rotacijom oko osi y, povrsine u prvom kvadrantu, omedjene sa kruznicom 9 i pravcima 1 i 2.

Rjesenje dobijemo disk formulom: 9b

a

x y y y

V x dy x yπ

+ = = =

= ⇒ = −∫

( )

22

132 2 2 322 2 2

1 1 1 1

3

9 93

3 1 289 3 93 3 3

x dy

yV x dy x dy y dy y

V

π

π π π π

π π

=

= = = − = − =

= ⋅ − − − =

∫ ∫ ∫

( )

( )

2

2 2

322

03

22

0

16. Izracunaj koordinate tezista paraboloida nastalog rotaciom parabole oko osi u intervalu od 0 do 3.

Rjesenje je dano sa izrazom: b

VT

a

VT

y x xx x

xdVx V x dx dV x

V

xdV x x dx x xx

Vx dx

π π

π

π

== =

= ⇒ = ⇒ =

= = =

∫∫

∫ ∫

( )

( )

3 3622

303 5 022

00

5 5 56 36 6 2

5

xdxx

xx dx

= = = ⋅ =∫

2

17. Izracunaj koordinate tezista gornjeg zadatka samo sada oko osi . Obzirom da se rotacija

vrsi oko druge osi, interval integracije se od 0 do 9, tj. .

y

y y y x x y= = = ⇒ =

Odredjeni integrali 10

Page 37: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( )

( )

2 2

9 9 92 32

90 09 9 2 022

00 0

Rjesenje je dano sa izrazom:

2 23 9 63 3

2

bV

Ta

VT

ydVy V y dy dV

V

yydV yx dy y y dxx y

V yx dy y dx

π π

π

π

= ⇒ = ⇒ =

= = = = = = ⋅ =

∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

x

( )

2

2

2

22 32

2 2

18. Izracunaj povrsinu i moment inercije lika nastalog rotacijom parabole 4 oko osi,od vrha do osi .

Granice integracije su od 2 do 2

84 4 4 2 43 3

b

a

y x yx

S ydx ydx x x

xS x dx x

− −

= −

= ⇒ → = − =

= − = − = ⋅ − − ⋅

∫ ∫

∫ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

2 22 2 2

2 222

3 52 4 3 5 3 5

22

2 3223 3

Moment inercije obzirom na os : 4

4 1 4 1 4 14 2 2 2 23 5 3 5 3 5

12815

y

y

y

y I x f x dx x x dx

I x x dx x x

I

− −

−−

− − − =

= = − =

= − = − = − − − − −

=

∫ ∫

Odredjeni integrali 11

Page 38: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

Odredjeni integrali 12

0

19. Izracunaj povrsinu i moment inercije lika nastalog rotacijom funkcije sin oko osi. Uzmi u obzir samo pozitivni dio sinusoide za 0

sin Granice integracije su od 0

sin

b

a

y x yx

S ydx xdx x

S xd

π

π

π

=≤ ≤

= ⇒ → ≤ ≤

=

∫ ∫

( )

00

2 2

0 0

22

21

cos cos cos 0 2

Moment inercije obzirom na os : sin

Integral rijesimo parcijalnom integracjom:

2sin

sin sin cos

sin

y

yu dv

x x

y I x f x dx x xdx

u x du xdxI x xdx

dv xdx v xdx x

I x x

ππ

π π

π= − = − + =

= =

= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = −

=

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

{ }( )

2

2 2

2

2

2 21 2 0

0

2

0

cos cos 2 cos 2 cos

2 coscos cos sin

sin sin sin cos

sin 2 cos 2 sin cos

2sin 2cos cos

I

y

y

dx x x x xdx x x x xdx

u x du dxI x xdx

dv xdx v xdx x

I x x xdx x x x

I x xdx I I x x x x x

I x x x x

ππ

ππ

= − − − = − +

= ⇒ = = = = ⇒ = =

= − = −

= = + = − + − =

= − − =

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫

∫2 4−

Page 39: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 9. NEPRAVI INTEGRALI 9.1 Opcenito o nepravim integralima

( )

( )

b

a

Integral oblika se naziva nepravilan ako:

a) jedna ili obje granice integracije nisu konacne vec beskonacne: ,b) pod integralna funkcija je prekinuta u jednoj ili vise tocaka intervala

f x dx

a bf x

= −∞ = ∞

(singularne tocke)Integral pod a) naziva se nepravi integral prve vrste a oni pod b), nepravi integrali druge vrste. Integrali koji ispunjavaju oba uvjeta su nepravi integrali trece vrste.Speci

a x b≤ ≤

( )-sx

0

jalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Jedan od poznatijih nepravih integrala je Laplace-ova transformacija e

Integral s

F x dx∞

( ) ( ) ( ) ( )

e racuna tako, da se beskonacna granica zamineni konacnom i potom nadje limes

rjesenja: lim limb b b

b aa a a

f x dx f x dx f x dx f x dx∞

→∞ →−∞−∞

= =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Ispitivanje nepravih integrala prve vrste, na konvergenciju vrsi se na vise nacina:

:

Konvergrencija: Ako je 0 za sve ; i konvergira, onda i za 0

za sve , tada

a

g x x a g x dx f x g x

x a f x d

≥ ≥ ≤ ≤

1. Usporedjenjem

( ) ( ) ( ) ( )

( )

isto tako konvergira.

Divergencija: Ako je 0 za sve ; i divergira, onda i ako je za

sve , tada isto tako divergira.

a

a

a

x

g x x a g x dx f x g x

x a f x dx

≥ ≥ ≥

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

x: Ako je 0 i 0 i lim 0 ili , tada su

i konvergentni ili divergentni.a a

f xf x g x A

g x

f x dx g x dx

→∞

∞ ∞

≥ ≥ = ≠ ∞

∫ ∫

2. Testom kvocijenta

( ) ( )Ako je 0 i konvergira, tada i konvergira.a a

A g x dx f x dx∞ ∞

= ∫ ∫

Nepravi integrali 1

Page 40: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( )Ako je i divergira, tada i divergira.a a

A g x dx f x dx∞ ∞

= ∞ ∫ ∫

9.2 Razni zadaci

2

2 211 1

11. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i 1. Nacrtaj krivulju i povrsinu

1 1 1 1lim lim lim 1 1; Integral konvergira prema 1bb

b b b

y xx

dx dxx bx x

→∞ →∞ →∞

= >

= = − = − =∫ ∫

1

11 1

12. Ispitaj integral:

1 1lim lim ln lim ln 0 ; Integral divergirab

b

b b b

dxx

dx dx x xx x

→∞ →∞ →∞= = = − = +∞

∫ ∫

0

0

00

13. Ispitaj konvergenciju integrala metodom usporedjivanja1

1 1Postavimo : 1; 1

Integral convergira ka 1, pa tako konvergira i zadani integral.

x

x x xx x

dxe

e e dx e e ee e

∞∞− − − −∞ −

+

≤ = ⇒ = = − =+

20

1 12 2 2 2

0 0 0

1

14. Ispitaj konvergenciju integrala 4

1 1 1 1 1tan lim lim tan2 24 4

1 1lim tan 02 2 2 2 4

kk

k k

k

dxx

a xdx dxa xx x a x

k π π

∞− −

→∞ →∞

→∞

+

⇒ = ⇒ = + + +

= = = =

∫ ∫ ∫ =

Nepravi integrali 2

Page 41: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

Integral konvergira ka 4π

( )

2

2 2 2 203 3

15. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom pravcem 3 i osi 1

1 1 1 1 1ln lim lim ln2 11 1

111 1 1 1 1 1 ln 2lim ln ln lim ln ln ln1 ln 2 ; 12 1 2 2 2 2 21

I

k

k k

k k

y xx

x a xdx dxaa x a xx x a x

k kk

k

∞ ∞

→∞ →∞

→∞ →∞

= =−

− −= ⇒ = ⇒ = =

+ +− − −

−−= − = − = + =

+ +

∫ ∫ ∫1

x

ln 2ntegral konvergira ka 2

( )( )

2

-

0

- -

0

-2

6. Ispitaj konvergentnost integrala: sin

sin sin sin

sin cos

cos cos

coscos cos

x

xx x

x

x x

xx x

I

e xdx

u e dv xdxe xdx I e xdx

du e dx v xdx x

e x x e dx

u e dv xdxI e x e xdx I

du e

−∞

− −

= = ⇒ = = = = − = = −

= − − − − =

= == − + ⇒ =

= −

∫ ∫ ∫∫

( )( )

cos sin

sin sin

x

x x

dx v xdx x

e x x e dx

− −

= = =

= − − −

( )2

2 sin sin cos sin sin

1cos sin 2 cos sin cos sin2

x x x x x

I I

I

x x x x x x

I e x e xdx I e x e x e xdx

e x e x I I e x e x I e x e

− − − − −

− − − − − −

= − ⇒ = − − − =

= − − − ⇒ = − − ⇒ = − −

∫ ∫

x

( )sin cos Sada mozemo nastaviti nas racun:2

xeI x x−

= − +

Nepravi integrali 3

Page 42: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

( ) ( )-

0 0

1 1 sin lim sin cos lim sin cos2 21 Integral konvergira ka 2

kx kx

k k

e ee xdx x x k k∞ − −

→∞ →∞= − + = − + + =∫ 2 2

3

20

31 1

2 2 2 20

20

7. Ispitaj konvergenciju integrala, cija podintegralna funkcija ima prekid u granicama

integracije 9 -

Za 3, funkcija je neodredjena.

sin sin39 - 9 - -

9 -

dxx

x

dx dx dx x xax x a x

dxx

− −

=

⇒ = = ⇒

∫ ∫

( )3

1 1 1

23 3 30 0

1 1

3

lim lim sin lim sin sin 03 39 -

lim sin 0 sin 13 2

kk

k k k

k

dx x kx

k π

− − −

→ → →

− −

= = = − =

= − = =

∫ ∫

( )

2

1

20

8. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom , osi i tockama 0 i 1.1-

Povrsina je jednaka integralu Za 1, funkcija je neodredjena. 1-

Za integraciju, koristimo brzu formulu:

xy x x xx

x dx xx

f x

= =

=

∫ ( )

=

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1'

12 2

2

1 1 1 12 22 2

2 21 1 10 0 0 0

12 2

1

1 za sve racionalne brojeve; 1 1

1 1 221-

1lim lim 1 2 lim 121- 1-

lim 1 1 1

n n

kk

k k k

k

f x dx f x C nn

x dx x x dxx

x xdx dx x x dx xx x

k

+

→ → →

= + ≠ − +

= − − −

= = − − − = − −

= − − − =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ =

Nepravi integrali 4

Page 43: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

--

- 2- -

9. Ispitaj konvergentnost integrala

Integral cemo rijesiti integracijom od - do 0 i u drugom dijelu od 0 do .

Naj prije izvrsimo male preinake na integralu: 1

x x

x

x x x

dxe e

dx e dxe e e

+∞

+∞ +∞

∞ ∞

+

∞ +

=+ +

∫ ∫

( ) ( )

( ) ( ) ( )

12 2 2 2

1 12 2 1

0 1

1 1 1

1 tan1 1

lim lim lim tan lim tan1 1

lim tan tan 1 lim tan4 2 4 4

Drugi dio integraci

kk

xx

x x

k ex ekxk k k k

k k

k k

u ee dx du du ua ae u u adu e dx

e dx du u ee u

e e π π π π

− −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − −

→+∞ →+∞

= = = = = ⇒ + + +=

= = = =+ +

= − = − = − =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 11 12 2 2

1 1

0

- 2 2-

je:

lim lim lim tan lim tan1 1 1

lim tan lim tan 04 4 4 4

Sada mozemo zbrojiti rezultate:

1

kk

x xk

x xk k k k ek e

k k

k k

x x

x x x x

e dx e dx du u ee e u

e e

dx e dx e dxe e e e

π π π π

− −

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞−∞

− −

→−∞ →−∞

+∞

∞ −∞

= = = =+ + +

= − == − = − =

= ++ + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

0 4 4 21π π π+∞

+ = + =∫

2

0

2

0 0 02 2

10. Ispitaj konvergentnost integrala sec . Funkcija ima prekid za vrijednost 2

sec lim sec sec ln sec tan lim seck k

k k

xdx x

xdx xdx xdx x x xdx

π

π

π π

π

→ →

=

= ⇒ = + ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2

lim ln sec tan lim ln sec tan ln 1 0 lim ln sec tank

k k kx x x x x x

π π π→ → →

= + = + − + = + =

Nepravi integrali 5

Page 44: Mate Vijuga

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

Nepravi integrali 6

( ) ( )2

02 2

lim ln sec lim ln tan sec Integral divergirak k

x x xdx

π

π π→ →

+∞ +∞

= + ⇒ = +∞∫