Upload
dejan-c
View
117
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mate Vijuga
Citation preview
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7. NEODREDJENI INTEGRALI 7.1 Opcenito o integralu i pravilima integriranja
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Integriranje je inverzna racunska operacija od deriviranja.Integrirati funkciju znaci odrediti primitvnu funkciju funkcije .
jer je C je konstanta integracije.x
f x F x f x
f x dx F x C D F x C f x= + + = ∫
Pravila in
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1'
:
1. 0
2. 1
3.
4. ; za sve racionalne brojeve; 1.1
5.
6.
7.
18. za s1
nn
n n
dx C
dx x C
a dx ax C
xx dx C nn
a f x dx a f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x f x dx f x Cn
+
+
=
= +
= +
= + ≠ −+=
+ = +
− = −
= + +
∫∫∫
∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
tegriranja
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'
' '
ve racionalne brojeve; 1
9. metoda supstitucije
10. ; metoda
parcijalne integracije11. Metoda parcijalni razlomaka
n
f g x g x dx f u du
u dv uv v du f x g x dx f x g x f x g x dx
≠ −
=
= − ⇔ = −
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
( )( )( )
( ) ( )
1 8 87 7
13 3
:
1. 0 0 0
2. 1 1 1
3. 7 7 7 7
4.1 8 8
5. 5 5
x
x
x
nn
x
dx C dx C D C
dx x C dx x C D x C
a dx ax C dx x C D x C
x x xx dx C x dx C D C xn
a f x dx a f x dx xdx x dx
+
= ⇒ = ⇔ =
= + ⇒ = + ⇔ + =
= + ⇒ = + ⇔ + =
= + ⇒ = + ⇔ + = +
= ⇒ = =
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Primjeri primjene pravila integriranja
1 1 433155
1 413
x C x+
+ = ++
∫ C
Neodredjeni integrali 1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
4 13 3
3 32 2 2
4 23 3
4 23
'
15 54
6.
7 7 7 73 3
7.
3 53 5 3 54 2
3 5 3 54 2
18.
x
x
x
n
D x C x
f x g x dx f x dx g x dx
x xx dx x dx dx x C D x C x
f x g x dx f x dx g x dx
x xx x dx x dx xdx C
x xD C x x
f x f x dxn
+ =
+ = +
+ = + = + + ⇔ + + = +
− = −
− = − = − +
− + = −
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
7
( )
( )( ) ( ) ( )
1
5 63 2 3
6 53 3 2
'
2
2 2
za sve racionalne brojeve; 11
1 1 17 73 6 3
1 1 17 76 3 3
9. metoda supstitucije
sin sin122
n
x
f x C n
x x dx x C
D x x x
f g x g x dx f u du
u xx x dx x x
du x xdx du
++ ≠ +
+ = + + + = +
=
== ⇒
= ⇒ =
∫
∫ ∫
∫
−
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
' '
1 1 1 1sin cos cos cos sin2 2 2 2
10.
1ln 1ln ln
1ln ln ln ln 1 ln
x
u dv
x
dx
u du u C x C D x C x x
u dv uv v du f x g x dx f x g x f x g x dx
u x du dxx dx x x x dxx
xdv dx v xxx x x dx x x x C D x x x C x x
x x
= − + = − + ⇔ − + =
= − ⇔ = −
= → == ⇒ ⋅ − ⋅ = → =
⋅ − ⋅ = − + ⇔ − + = + − =
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
2
11. Metoda parcijalnih razlomaka - opsirnije objasnjeno u nastavku
Neodredjeni integrali 2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
1
2 2
:
ln1
sin cos cos sin
tan ln sec ln cos cot ln sin
sec tan csc cot
sec tan sec csc co
nn u duu du C u C
n uu du u C u du u C
u du u C u C u du u C
u du u C u du u C
u u du u C u
+
= + = ++
= − + = +
= + = − + = +
= + = − +
= +
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Integrali poznatijih funkcija ili izraza
( ) ( )1 1
2 2
t csc
; 0, 1ln
sinh cosh cosh sinh
tanh ln cosh coth ln sinh
sech tan sinh csch coth cosh
sech tan csch coth
uu u u
u du u C
aa du C a a e du e Ca
u du u C u du u C
u du u C u du u C
u du u C u du u C
u du u C u du u C
− −
= − +
= + > ≠ = +
= + = +
= + = +
= + = −
= + = − +
∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
+
2 22 22 2
sech tanh sech csch coth csch
1ln ln2
u u du u C u u du u C
du du u au u a C Ca u au au a
= − + = − +
−= + ± + = +
+−±
∫ ∫
∫ ∫
( )
1 1
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 1
2 2
1 1 1 12 22 2
1 1 1ln cos sec
cos b sinbsin cos b
2 21 1sin cos tan cot
sin b
auau
aau
du u du a uC Ca a u au a u a a u u u a
e a u b uu a ua u du a u C e u du Ca a b
du u u du u uC C C Ca a a a a au aa u
ee u du
− −
−
− − − −
= + = + = +± + ± −
−− = − + + = +
+
= + = − + = + = − ++±
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫( )
Ca
2 2
22 2 2 2 2 2
sin b cos bcsc ln csc cot ln tan
2
sec ln sec tan ln tan2 4
ln2 2
u a u b u uC u du u u C Ca b
uu du u u C C
u au a du u a u u a C
π
−+ = − + = +
+
= + + = + +
± = ± ± + ± +
∫
∫
∫
Neodredjeni integrali 3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7.2 Neodredjeni integral razlomljene racionalne funkcije Integral razlomljene racionalne funkcije je naj rajrasireniji integral i pojavljuje se u vise razlicitih oblika, zavisno o stupnju potencije u brojniku i nazivniku izraza. Integrala ima opci oblik:
I ≡( )( ) ( ) ( )gdje su i polinomi -og stupnja.
Posto potencija polinoma u brojniku i nazivniku moze poprimati razlicite vrijednosti, pojavljuju se razlicite kombinacije razlomljene racionalne funkcije,
P xdx P x Q x n
Q x∫
koje su razmotrene u nastavku, svaka posebno.
( )( )
3 2
2 2 2
21
3 4 3 4 41. 3 4 3 41 1 1
3 4 4 tan Podijelili smo razlomak. Postupak djeljenj2
x x xI dx x dx xdx dx dxx x x
xI x −
≡
− + ≡ = − + = − + + + +
≡ − + ⇒
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
n
n
P xIntegral je oblika : I dx potencija brojnika je veca od potencije nazivnika
Q x
( ) ( )3 2 22
3 2 3 2 3 2
a prikazan je u
srednjoskolskoj matematici u dijelu "Polinomi":43 4 3 1 3 4 i ostatak 4 odnosno
1
2 7 4 2 1 2 7 4 2 1 2 4 52. 23 32 3 2 2 3 22 2
12
x x x x xx
x x x x x x x xI dx dx xx x x
I
− + ÷ + = −+
+ + + + + + ≡ = = + − +
+ + +
≡
∫ ∫ ∫ dx
( )
( )
3 2 32
3 23 2
2 4 1 1 5 1 2 32 2 233 2 2 2 2 3 22
3 2 4 5Djeljenje daje rezultat: 2 7 4 2 232 3 22
x x xdx dx x dx dx x x x Cx
x xx x x x xx
+ − + = + − + + +
+ + + ÷ + = + − + +
∫ ∫ ∫ ∫ 5ln +
( )
( ) ( )1 1
2 2 2 22
1 1 53. tan tan10 30 5 55 5
dx dx du u xI Ca ax x u ax
− −
≡
+≡ = ≡ = =
+ + ++ +
∫
∫ ∫ ∫
2
1Integral je oblika I dx nazivnik je kvadratna funkcijaQ x
+
Neodredjeni integrali 4
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( ) ( ) ( )2
22 22 2
5
1 12 22
Nadopunimo izraz na potpuni kvadrat i primijenimo poznati integral kao rjesenje:
10 30 2 5 25 25 30 5 5 5 5
31 1 1 34. tan tan3 33 2 5 141 14
3 9
x
x x x x x x
xdx dx uI
a ax xx
+
− −
+ + = + ⋅ + − + = + + = + +
≡ = ≡ =− + − +
∫ ∫
2
1
222 2 2
2
13
13
14
1 3 1tan14 14
1 2 5 1 1 1 1 15 1 1 143 2 5 23 3 3 3 3 9 9 3 3 93
x
xI C
xx x x x x x
−
−
− =
− ≡ +
− + = − + = − ⋅ + − + = − +
2
1 12 2 2
2 22 2 2
12
2
1 1 1 2 15. tan tan2 3 32 2 5 1 3
2 2
5 1 1 1 10 1 32 2 5 2 2 2 22 2 4 4 4 2 2
6.7 12
x
dx dx u xI Ca ax x
x
x x x x x x x
dx dxIx x
x
− −
+
+ ≡ = ≡ = + + + + +
+ + = + + = + ⋅ + − + = + +
≡ =− +
−
∫ ∫
2 2
7 11 1 2 2ln ln ln
1 7 12 37 1 22 2 22 2
xu a x Ca u a xx
− −− −≡ = =
+ − ⋅ − +−
∫ ∫4+
2
2 22 2 2
72
7 49 49 48 7 49 1 7 17 12 2 22 4 4 4 2 4 4 2 2
x
x x x x x x x
−
− + = − + − + = − + − = − −
Neodredjeni integrali 5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
2
1 12 22
1
222 2
12
121 2 27. tan tan
1 3 31 32 4
2 2 1tan3 3
1 1 1 4 1 3 1 22 4 4 4 2 4
x
xdx dx uI
a ax xx
xI C
x x x x x
− −
−
+
+ ≡ = ≡ =
+ + + + +
≡ +
+ + = + ⋅ + − + = + +
∫ ∫ =
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2 22
2 22 2 2 2
2
48. sin sin620 8 6 4
20 8 8 20 2 4 16 16 20 4 36 6 4
19.31 3
dx dx du u xI Cax x a ux
x x x x x x x x
dx dxIx x
− −
≡
−≡ = ≡ = = +
− − −− −
− − = − − − = − − ⋅ + − − = − − − = − −
≡ =− −
∫
∫ ∫ ∫
2
1Integral je oblika I dx nazivnik je kvadratna funkcija pod korjenomQ x
1 1
2 2 22
1
11 6sin sin3 1313 1
66 6
1 6 1sin 3 13
xdu uaa u
x
xI C
− −
−
+≡ = =
− − + +
≡= +
∫ ∫ ∫
( )
22 2 2
2 2
1 1
2 2 2 22
1 1 1 1 12 1 131 3 3 3 2 33 3 6 36 36 36 6 36
13 136 6
610. sin sin828 12 8 6
xx x x x x x
x
dx dx du u xI Cax x a ux
− −
− − = − + − = − + ⋅ + − − = − + −
= − +
+≡ = ≡ = = +
− − −− +∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )22 2 228 12 12 28 2 6 36 36 28 6 64x x x x x x x − − = − + − = − + ⋅ + − − = − + − =
Neodredjeni integrali 6
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )228 6x= − +
2 2
2 2 2
2 2
2 22 2 2
2
111. ln21 3 2 3 1
4 4
1 3 3 1ln4 4 42
1 3 3 9 9 8 3 11 3 2 2 2 2 22 2 4 16 16 16 4 4
112.54 5 2
5
dx dxI u ux x
x
I x x C
x x x x x x x
dx dxIx x
x
≡ = ≡ + − =− + − −
≡ − + − − +
− + = − + = − ⋅ + − + = − −
≡ =+ +
∫ ∫ a
2 2
2 2
2 2
2 22 2 2
1
2 2 2 22
2
ln25
1 2 2 2ln5 5 55
4 2 4 4 2 24 5 5 5 2 55 5 25 25 5 5
1 1 413. sin4 4 525 16 5
4
2525 16 16
u u a
I x x C
xx x x x x x
dx dx du xI Cx a u
x
x
−
≡ + − = −
≡ + + + − +
+ = + = − ⋅ + − = − −
≡ = ≡ = +− − −
− =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
22 2
2 2
2 22
22
22 2 2
51616 4
114. ln24 4 5 1 1
2
1 1 1ln 12 2 2
1 1 1 5 14 4 5 4 2 4 12 4 4 4 2
x x
dx dxI u u ax x
x
I x x C
x x x x x
− = −
≡ = ≡ + − =− + − −
≡ − + − − +
− + = − + − + = − −
∫ ∫
Neodredjeni integrali 7
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
22
22 2
2
1 315. 1 2 4
1 1 1 4 1 3Izraz pod korjenom smo preuredili: 1 22 4 4 4 2 4
1 3 1 oznacimo: 2 4
I x x dx x
x x x x x
I x x
≡
≡ + + = + +
+ + = + + − + = + +
≡ + + ⇒ +
∫
∫ ∫
∫
2Integral je oblika I ax +bx + c dx kvadratna funkcija pod korjenom
1
2
2 2 22 2 2 2
2 2 2 2
1
2
1 2 2 2 2
22
2
2
2
2
2 2
2
int
3 3; ; pa mozemo pisati:2 4 2
rijesimo svaki integral posebno:
I
u dx du a a
u a uI u a du u a du du duu a u a
dua I au
I
u au a
I
u uI du u dua
a
u u a
= = = ⇒ =
+≡ + ⇒ + =
= = ⇒+
= ++ +
+ ⇒ ≡ + ⇒+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
12 22 22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 22
egral rijesimo metodom parcijalne integracije:
1
1
2
22
u duv vI
I I a
t u t a k u tdtu du v k dk k u adu dt tdt dk u a t a
uu du t t a t a dt u u a u a
I u
a
I u
u
u u a
−= + =⇒ ⇔ ⇓ = = = = + =
=
= + +
+ ⇒ =
= + − + = + − ++
+ −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫2
2
22 2 2 2
22
o sada2
Sada mozemo napisati cijeli izraz:
1 ln odnosno: 2 2
1 1 1 3 3 1 1ln2 2 2 2 8 2 2
aa
aI u u a u u a
I x x x x
+ +
= + + + +
= + + + + + + +
22
2 2
32
1 1 3 11 ln 12 2 8 2
C
I x x x x x x C
+ +
= + + + + + + + + +
2I
2 2
2 22 22
rijesim I :
ln tipski integral .
I
duI u u au a
= = + ++
→∫
2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 216. a x a xI a x dx a x dx dx
a x a x− −
= − = − =− −
∫ ∫ ∫ =
Neodredjeni integrali 8
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
1 2 1
22 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
sin
; ;
11 222
dx x dx xI a dx I a Caa x a x a x
u xx x xdx x dx dv vdu dxa x a x a x a x
a x kx dv vxdx dk xdx dk
I I I
ka x
−= − ⇒ = − = = +− − −
= = = ⇒ = = = − − − − = = ⇒ ⇒ = − = − = − − − = ⇒ = −−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1
x
k k a x
−
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 2
22 1 2 2
2
2
1
1 2
sin sin
2 sin sin2 2
I
xuv vdu x a x dx x a x I x a x Ia x
x xI a a x a x I I a x a x Ia a
x a x xI a x a x I a x Ca a
I I − −
− −
= − = − − − − = − − + = − − +
−
= − = − − − + ⇒ = + − −
= + − ⇒ = + − +
∫ ∫
1 2
2
2
I I
I
I
( )( )
3 2 1 11 1 1 1 11 3 11 517. 3 3 ln5 52 5 2 2 2 2 2 2 4 22 2
3 2Izraz smo preuredili2 5
x dxI dx dx dx x xx x x
xx
≡
−
= = + ⋅ = + ⋅ = + − − − − −−
∫
∫ ∫ ∫ ∫
P xIntegral je oblika I dx potencija polinoma brojnika i nazivnika je istog stupnja
Q x
C+
( )3 2 1 3 2 5 11 1: 3 2 35 52 5 2 2 22 2
x x x xx x x
− − = ⋅ ⇒ − ÷ − = + ⋅ − − −
( )( )
Metoda se svodi na preuredjenje nazivnika tako, da se prikaze u obliku produkta faktora i potom rijesi kao
≡ ∫P x
Integral je oblika I dx potencija polinoma nazivnika je veca od potencije Q x
polinoma brojnika
suma parcijalnih razlomaka:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2218.
2 32 3 2 35 6
x x A B Cdx dx dxx xx x x xx x
= = + + +
+ ++ + + + + + ∫ ∫ ∫
D
Neodredjeni integrali 9
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
2 2 2 22
2 2 2 2
1 22 2 2 2
2 2
Izraz smo preuredili: 5 6 2 3 2 3
Pisemo: 3 2 3 2 2 3Za vrijednosti korjena izraza, 2 2 3 3
Za 0 0 3 2 3 2 2 3
0 2 0 3 0 2 0 3
x x x x x x
x A x B x x C x D x xx A x C
x A x B x x C x D x x
B
+ + ⇒ + + = + +
≡ + + + + + + + + +
= − ⇒ = − = − ⇒ = −
= ⇒ ≡ + + + + + + + + + =
= − + + + + + ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
3 0 2 0 2 0 30 2 9 18 12 12 18 12 30 3 2 5
Za 4
4 2 4 3 4 2 4 3 3 4 2 4 2 4 3
4 2 1 2 1 3 4 4 1 2 4 10 2 4 10Rijesimo jednadzbe: 3 2 5 3 5 2 5 2 10 52 4 10 2
DB D B D B D
x
B D
B D B D B DB D D D D
B D B
− + + + +
= − ⋅ + − + ⇒ + = ⇒ + == −
− = − − + + − + − + + − − + + − + − +
− = − ⋅ + − + − + − ⇒ − − = ⇒ + = −
+ = ⋅ + = ⇒ = − ⇒ = −
+ = − ⇒ +
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2 1
5 2 10 5
2 32 3
2 5 3 52 32 3
2 5 3 52 32 3
Uvedimo zamjenu za: 2 ; 3 ;22 5 3 51
D B B
A B C DI dxx xx x
dxx xx x
dx dx dx dxx xx xx u dx du x v dx dv
du dvI u du v dv uu v
− − −
= − ⇒ = ⇒ = ⇑
= + + + =
+ ++ + − − −
= + + + = + ++ +
= − + − −+ ++ +
+ = = + = =−
= − + − − =−
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
135ln 5ln1
2 35ln 2 5ln 32 3
u v v C
I x x Cx x
−+ − − +−
= + + + − + ++ +
∫
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2
2 2
2
5 3 1 5 319.3 3 13 6 9
1 1Izraz smo preuredili: 3 6 9 2 3 3 13 3
1 5 3 1 :3 3 1 3 3 1
5 3 sredimo3 1 3 1
5 3 3 1 1 3
3 3
x xI dx dxx x xx x x
x x x x x x
x A B CI dx dxx x x x x x
x A B Cx x x x x x
x A x x Bx x Cx x
Ax Ax Ax
− −= =
− +− −
− − ⇒ − − = − +
−= = + + − + − +
−⇒ = + +
− + − +
− = − + + + + − =
= + − −
∫ ∫
∫ ∫
2 2 3A Bx Bx Cx Cx+ + + −
Neodredjeni integrali 10
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
2
33 2
0 5 3 2 3 3
0 0 1 05 5 2 3 2 1 3 5 3 7
3 3 1 1 2
1 1 23 3 1 3 3 1
1 3ln ln 3 2ln 1 ln ln3 1
l
x x x A B C x A B C A
x A B C B C B Cx A B C B C B C
A A B C
A B C dx dx dxI dxx x x x x x
xI x x x C x Cx
I
⋅ + − = + + + − + − −
= ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ = −⇒ = − + − ⇒ − ⋅ + − = ⇒ − =
− = − ⇒ = = = −
= + + = + − − + − +
−= + − − + + = + +
−
=
∫ ∫ ∫ ∫
( )( )
( )( ) ( ) ( )
3 2
3n
1
Koeficijente parcijalnih razlomaka moglo se rijesiti i na drugaciji nacin:Uvrstimo vrijednosti korjena razlomka 0, 3, 1 u poznati nam izraz:Za 0 5 0 3 0 3 0 1 0 0 1 0 0 3 3 3
x xC
x
x x xx A B C A
−+
−
= = = −
= ⇒ ⋅ − = − + + ⋅ + + ⋅ − ⇒ − = −
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1
Za 3 5 3 3 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 12 12 1
Za 1 5 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3
A
x A B C B B
x A B C
⇒ =
= ⇒ ⋅ − = − + + ⋅ + + ⋅ − ⇒ = ⇒ =
= − ⇒ ⋅ − − = − − − + + ⋅ − − + + ⋅ − − − ⇒ = −2C
Neodredjeni integrali 11
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22 2
2
2 2 2 2
2 3 3 2 3 2
3 2
20.1 11
Izrazimo parcijalne razlomke: 1 i dalje, sredimo:1 1
1 1 1 1 1
11Rijesimo sistem jednadzbi:
dx dxIx x xx x
A B C Dx x xx
A x Bx x Cx x Dx x
Ax A Bx Bx Cx Cx Dx Dxx B C D x A C D x B A
= =+ −−
≡ + + ++ −
≡ − + − + − + +
≡ − + − + − + +
≡ + + + − + + − −
∫ ∫
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0
2 22 2
2
0 1 110 0 0 02
11 0 12
1 102 1 2 11 11
1 1 1 1 1ln 1 ln 12 1 2 1 2 2
1 1 1ln 1 ln 1 ln2
B
B A A
B C D C D C D C
A C D C D C D D
dx dx dx dx dxIx xx x x xx x
dx dxI x dx x x Cx x x
xI x x Cx x
=
−
= = − ⇒ = −
+ + = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = −
− + ⇒ − − + = ⇒ − + = ⇒ =
−= = = + − +
+ −+ −−
= − − + = − + + − ++ −
−= + − − + + = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )3
3 2
1 3ln ln1 1
1 1ln1
xC xx x
xI Cx x
−+ = + +
+ −
−= + +
+
C
( )
( )
2
222
21.2 3
Izraz u nazivniku ima konjugirano kompleksne korjene i postupak rjesavanja je drugaciji.
Parcijalni razlomak mora imati oblik :
1 i dalje, sredimo:1 22 32 3
dxIx x x
Ax Bx i
A Bx C A x xx x xx x x
=+ +
++
+≡ + ≡ +
+ ++ +
∫
( ) ( )
( ) ( )2 2 2
3
1 2 3 2 31Rijesimo sistem jednadzbi: 1 33
1 1 1 20 0 2 2 03 3 3 3
Bx C x
Ax Ax A Bx Cx x A B x A C A
A A
A B B B A C C C
+ + +
≡ + + + + = + + + +
= ⇒ =
+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ + = + = ⇒ = −
Neodredjeni integrali 12
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
2 2 2
1 12
1 2
1 21 1 1 23 33 32 3 2 3 2 3
1 2 1 1ln ln rijesimo sada :3 3 32 3
22 3
I
xdx xI dx
x xx x x x x x x
dx xI dx x I I x Ix x x
x xI dxx x x
− + − + = = + = − + + + + + +
+ = − = − ⇒ = − + +
+= =
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ( )
1
dx
I
( )
( ) ( )
2 3
3
1 2 32 2
2
2 22
2 2 2 2
2 3
2 22 3 2 3
2 22 3 122 2
2 32 3 2 2 12
1 2 2 12 22 3 2 3 2 3
1 1ln2
I I
I
dxdx I I Ix x x
xx x kxI dx x dx dk dx
x xx x xx
x dx dk dxI dx C Ckx x x x x x
I k I
+ ⇒ = ++ + + +
+ + + = −
= ⇒ + = ⇒ + ++ + + = −
−
= − + = − ++ + + + + +
== − =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
23
21 3 3 3
222 2
3 22
13 2 2
2 1
ln 2 32
1 1 1 1ln ln 2 ln ln 2 33 3 3 2
2 3 2 1 1 3 1 22 3 1 ; ; 2; 2
1 tan
1 1 1 1ln ln 2 3 tan3 2 2 2
x x I
I x I x I I x x x I
x x x x xdxIx x x u dx du a adu uI
a au axI x x x
−
−
+ + −
= − = − + = − + + + + + = + + − + = + + = ⇒ =
+ + + = = = =
= =+
+ = − + + +
∫
∫
1
2
1 1 1ln tan3 2 22 3
C
x xI Cx x
−
+
+= + +
+ +
Neodredjeni integrali 13
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
22222
2 2
12 22 2
2
1 22
3 1 3 13 122. 11 2;
3 9 32 9 6 63 1 1
1
x u x uxI dx uux x x dx udu
u uI du du Iu u
uI duu
≡
− = ⇒ − = −
= ⇒ ⇒ ++ = ⇒ = =
= = =+ +
=+
∫
∫
∫ ∫
P xIntegral je oblika I x, dx kombinacija funkcije polinoma u prvoj potenciji pod
Q xkorjenom
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 22
2
2
2
2
1 11 1 1 11
1Za 1 1 0 0 4 0 4 14
1Za 1 1 4 0 0 0 4 14
1 1 1Za 0 0 04 4 2
1 9 1Za 2 2 3 9 9 4 3 9 34 4 2
Koeficijenti imaju
u u A B C Du uu u u uu
u A B C D C C
u A B C D A A
u A B C D B D B D
u A B C D B D B D
⇒ = + + ++ −+ − + −+
= ⇒ = + + + ⇒ = ⇒ =
= − ⇒ − = + + + ⇒ = ⇒ =
= = + + − ⇒ + + − = ⇒ − = −
= = + + + = = + + + ⇒ + =
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
1 12 2
1
3
1 1 1 1 vrijednosti: 4 4 4 4
1 1 1 1 14 1 11 1
1 64 1 11 1
6 1 1 3 3 1 1 3 16 ln 1 ln 1 ln4 1 1 2 3 1 1
23. 2 2
A B C D
I duu uu u
du du du duI I Iu uu u
x xI I u u Cu u xx
I x x
= = − = =
= − + +
+ −+ −
= − + + ⇔ = + −+ −
− − − = = − − + − + − = − + + − − +
= −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
( ) ( )
333 2
3 2
3 3 6 3 7 4
7 43 3
2 2 2 2 32 3
6 126 2 6 127 4
6 2 3 27
x u x udx u u u dux u dx u du
I u u du u du u du u u
I x x C
− = ⇒ − = ⇒ ⇒ + = + ⇒ =
= + = + = +
= − + − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Neodredjeni integrali 14
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )'
32 2 2
2 3
2 31 1 1 124. 2 3 2 3 2 2 3 2 2 32 2 2 3 6x
xI x dx x dx x dx x
+
≠
+= + = + = + = = +
∫
∫ ∫ ∫
n n+1'
Rjesavanje integrala primjenom ' brze formule ' (tocka 8. pravila integriranja)1f x f x dx = f x + C za sve racionalne brojeve; n -1
n +1
3
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
2 2 33 3 2 3
2 2 3 23 2 33 33 3
23
sin ' 322 3
2 2
125. 2 2 3 23
5 3 1 5 5 126. 5 2 3 23 3 3 22 2
5 26
sin 127. sin cos sin cos sin3 3
128. 3 1 2 3 1 2 44
x
C
I x dx x x dx x C
x xI dx dx x x dx xx x
I x C
xI x x dx x x dx C x C
I x x dx x x
− −
−
+
= − = − = − +
= = = − = ⋅ −−− −
= − − +
= = = + = +
= − = − − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
12 2
3 32 22
1 32 32 3 3 344 434
2 12 22 22
3 4 1 24
3 1 11 2 1 234 22
1 1 1 429. 3 1 1 133 3 914
1 1 1 130. 4 3 34 4 1 4 33
dx x x dx
I x x C
xI dx x x dx x x Cx
xI dx x x dx x Cxx
−
− −
= − − −
= − − = − − +
= = + = ⋅ + = + ++
= = + = ⋅ + = − +− ++
∫
∫ ∫
∫ ∫
Neodredjeni integrali 15
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7.3 Neodredjeni integral trigonometrijskih funkcija
Integrali ovog tipa rjesavaju se supstitucijom, uvodjenjem nove promjenjive i to:
∫Integral je oblika I = sinx,cosx dx
22 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
1 1
2 tan 2 22sin 2sin cos 2 tan cos sin2 2 2 2 1 11 tan
2
sin 1 tan2 2cos cos sin cos cos cos 1 tan
2 2 2 2 2 2cos 1 tan2 2
1cos1
tan tan 2 tan2 2
xx x x x u ux x
x u u
x xx x x x x xx
x x
uxu
x xu u x u d− −
= = = = ⇒ =+ ++
− = − = − ⋅ = − = +
−
=+
= ⇒ = ⇒ = ⇒ ( )
( ) ( )
( )
'12 2
2 2
2 22 2 2
2 2
12 2 2
1 1
2 22 tan1 1
2 221 131.
5 3cos 5 5 3 31 5 1 3 15 31 1
22 1 tan
2 22 8 121 2 21 1tan tan 22 2
du dux u dxu u
dudx u uI d
x u uu u uu u
u kdu dk kI du dk a au kdu dk duu
I k u
−
−
− −
= = ⇒ =+ +
+ += = = =− + − + − + − −
− + +=
= = ⇒ ⇒ = + −= ⇒ =−
= ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫1 1
u du
1 1
2 2
22 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 21
2 2 2
1 1tan 2 tan tan 2 tan2 2 2 2
1 1cos 2 2 1 21 132.
1 cos 21 1 1 1 1 111 1
1 1 11 2 tan1 1 1
Izraz po
x xC C
u ux du du u duu uI dx dux u u u u u u
u uu uI du du du u u Cu u u
− −
−
= + = +
− −−+ += = = =
+ − + + + − + ++
+ +− − = = − = − − = − + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )2 22
1 1
2d znakom integrala smo podijelili: 1 1 11
tan 2 tan tan tan 2 tan tan2 2 2 2
u uu
x x x xI C C− −
− ÷ + = −+
= − + + = − + +
Neodredjeni integrali 16
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
22 2
2
2
Integrali ovog tipa rjesavaju se supstitucijom uvodjenjem nove promjenjive:
2 tan 2 22sinh 2sinh cosh 2 tanh cosh sinh2 2 2 2 1 11 tanh
2
cosh cosh s2
xx x x x u ux x
x u u
xx
= = = = ⇒ =− −−
= +
∫Integral je oblika I = sinhx,coshx dx
( )
2
2 2 2 2 2
2
22
22
'1 1 12 2
2
2
sinh2inh cosh cosh cos 1 tan
2 2 2 2 2cosh2
1 tanh 12cosh cosh11 tanh
22 2tanh tanh 2 tanh 2 tanh
2 2 1 1
2133.
cosh 11
xx x x x x
x
xux x
x u
x x du duu u x u dx u dxu u
dudx uIx u
u
− − −
= + ⋅ = + =
+ += ⇒ =
−−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ =− −
−= =+−
∫( )
( )( ) ( )2
12 2 2
2
1
2 1 12 2 tan1 1 1
2 tan tanh2
Zadaci se mogu rijesiti supstitucijom koristenjem definicije hiperbolne funkcije:
1sinh ;234.
sinh
x xx x
xx
udu du u
u u u
xI C
e e e u edx uIx due dx du dx d
e
−
−
−−
−= = =
− + +
= +
−= ⇒ = =
= ⇒= ⇒ = ⇒
∫ ∫ ∫
22
2 21
1 1 12 2 2 ln ln2 11 11
x x
x
x
duduu
e edu u uxuu
du du u eI C Cuu euu
u
−
⇒ =
− −=
− −= = = + = +
+− + −
∫ ∫
∫ ∫
∫
Neodredjeni integrali 17
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Iz poznatih odnosa trigonometrijskih funkcija imamo:35. sin 5 cos9 1sin cos sin sin
21 1sin 5 9 sin 5 9 sin14 sin 42 2
I x xdx
I x x x x dx x x dx
I
α β α β α β
= ⇒
⋅ = + + −
= + + − = + − =
=
∫
∫
∫ ∫
Integral je oblika I = sinmx ×cosnx dx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1sin14 sin 4 Supstitucija: 14 ;4 ;cos cos2 21 1 1 1 1 1cos cos cos14 cos 42 14 2 4 28 8
1 1cos14 cos 428 8
136. sin 5 1 sin 3 sin sin cos cos2
1 cos 5 1 3 cos 5 12
xdx x dx x u x v x x
I u v x x
I x x
I x xdx
I x x x
α β α β α β
+ − = = − =
= ⋅ − + ⋅ = − +
= − +
= − ⋅ ⇒ ⋅ = − − + ⇒
= − − − −
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 13 cos 2 1 cos 8 12 2
Rijesimo supstitucijom: 2 1 ; 8 12 8
1 1 1 1 1 1 1 1cos cos sin sin sin 2 1 sin 8 12 2 2 2 2 8 4 161 1sin 2 1 sin 8 14 16
x x dx x dx
du dux u dx x v dx
I u dx v dx u v x x
I x x C
+ = − − −
− = → = − = → =
= − = ⋅ − = − − −
= − − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ C+
( )
2* 2
*
Rijesimo metodom parcijalne integracije 37. sin
sin sin sin cos sin cos
sin cos cos cos
u dv
udv uv vduI xdx
x x xdx du xdx v xdx x
I x x x xdx
= − = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇔ = = −
= − − − = −
∫
∫ ∫∫ ∫
∫
n n n nIntegral je oblika I = sin x;cos x;tan x;cot x dx
( )*
2
2 2*
sin cos cos
sin cos 1 sin sin cos 1 sinI
x x xdx
I x x x dx x x dx xd x
+
= − + − = − + −
∫∫ ∫ ∫
( )* * * *1sin cos 2 sin cos sin cos2
I x x x I I x x x I x x= − + − ⇒ = − + ⇒ = − + x
Neodredjeni integrali 18
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
*
1 2
1 2
1
3
1 sin cos Mozemo pisati slijedecu formulu za rjesenje za bilo koji :2 2
1 1sin sin cos sin
1 1cos cos sin cos
Supstitucija: tan tan38. tan
n n n
n n n
xI x x C
nI xdx x x xdxn n
nI xdx x x xdxn n
x u x uI xdx
d
− −
− −
−
= − +
−= = − +
−= = +
= → == ⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫
n
( ) ( )
( )
2
32
2
2 2
2 2 2
12 2 2
2 2
2 2
11 1
11
2 2 21 1 1
1 1 tan 1ln ln 1 ln tan 12 2 2 2 2 21 1tan ln tan 12 2
u k
u duux du
uu u u u u dkI u du udu du du
ku u u
u u xI k u x C
I x x C
+ =
⇒ =
+= +
= − = − = − = − + + +
= − = − + = − + +
= − + +
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
7.4 Razni zadaci
( )
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
3 2
3 2 2 2
39. 1 1 122 2 22
1 1 1 1 12 2 2 2
x
xx k
x x x x x x
u x dv xe dxI x e dx k x
du x v xe dx ke dk e edk xdx
I x e dx x e xe dx x e e e x C
= =
= = == = = = = = =
= = − = − = − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
k x
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 12 2 2 2440.
4 1 2 2
12 1 2 2 2 24
12 1 2 2 2 24
A Bdx x x x xxIx A x B x
x A B BI
x A B A
= = + − + − +−= = − = + + −
= − → = − + + − − → = − = = = → = + + − → =
∫ =
( ) ( ) ( )2
1 11 14 4 ln 2 ln 2
2 2 4 2 2 44dx dx dxI dx
x x x xx
− = = + = − = − − + − + − +−
∫ ∫ ∫ ∫ x x
Neodredjeni integrali 19
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
21 ln4 2
xI C
x−
= ++
( )
( )( )
2 2
22
2
1 1 241. 212 11
12 2 ln Uvrstimo u osnovni integral:
1 1 11
1 1 1 1ln ln
1 1 1 1 1
x u x udx udu duIudx udu u ux x
udu duI Cu u uu
x xdxI Cx x x x
− = → = − −= ⇒ ⇒ = −
−= − −−
+= − = − = − + ⇔
− + −−
+ − − −= = − = +
− − − + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2 2 2
2 2 2 4 4 2
5 3 5 3
42. sin cos sin cos sin 1 cos cos sin
cos1
sin
cos cos5 3 5 3
I x xdx x x xdx x x xdx
u xI u u du u u du u du u du
du xdx
u u x xI C
= = = −
= ⇒ = − − = − − = = −
= − = − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⇒
− ∫
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 2 23 2
1 11 2 36 643.
61 2 3 3 2
1za 0 : 0 1 2 3 0 3 0 2 66
3za 2 : 2 1 0 5 2 5 2 0 10 10
2za 3 : 3 1 5 0 3 0 3 5 15 15
x x A B Cx x x xx x x x x xI dx
x x xx A x x Bx x Cx x
x A B C A A
x A B C B B
x A B C C C
+ + = = ++ − ++ − + −= ⇒ = + − + = − + + + + −
= + = − + + − = − → = −
= = + = + + = → =
= − − + = − + − + − − = → = −
∫
( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 1 32 3 6 10 2 15 36
1 3 2ln ln 2 ln 36 10 15
x A B CI dx dxx x x x x xx x x
I x x x C
⇒
+= = + = − + − − + − ++ −
= − + − − + +
∫ ∫ ∫1 2 1 dx
( )( )
( )
2
2
2
ln 244. ln 2 2
2
u x dv dxI x dx xdu dx v x
x
= + =
= + ⇒ = = +
∫
Neodredjeni integrali 20
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
2 22
22 2 2
2 2
2: 2 12
2 22 2
1 12 2 22
2ln 2 ln 2 ln 2 22 2
2ln 2 2 1 ln 2 2 4 ln 2 22 2
1 14 tan tan2 2 22
x xx
x xx dx x x x dx x x dxx x
dxI x x dx x x dx x x xx x
dx dx du u xa ax u ax
I
+ = −+
− −
+ = + − = + − =+ +
= + − − = + − + + − + +
+ = ⇒ = ⇒ + + +
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
2 +
2 14ln 2 2 tan2 2
xx x x C− + − + +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 245.22 2 2 2 2 2
1 1 2 22 2 ln 2 ln2 44 2 2
1 2 2ln2 2 2
x u x udx uduIdx udux x u u
du du u a xIa u au u a x
xI Cx
+ = = −= ⇒ ⇒
=− + − − − +
− + − = = = = +− − + +
+ −= +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
34 7 4 6 2 4
32 4 4 2 4 6 5 6 8 10
6 7 9 11 6 7 9 11
sin46. sin cos sin cos cos 1 sin sin cos
cos
1 1 3 3 3 3
1 3 3 1 1 3 1 1sin sin sin sin6 7 9 11 6 7 3 11
u xI x xdx x x xdx x x xdx
du x
I u u du u u u u du u u u u du
I u u u u x x x x C
= = = = − ⇒ =
= − = − + − = − + −
= − + − = − + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
3 2 2 2
3 22
2
3 5 3 53 5 1 11 1 1 147.
13 5 1 1 1 1
za 1: 3 5 0 2 0 2 2 41za 1: 3 5 4 0 2 0 4 2
usporedimo koef. uz na obje strane: 0
x x A B Cx x xx x x x x xI dx
x x xx A x B x x C x
x A B C C C
x A B C A A
x
+ + = = + + + + −− − + + − −= ⇒ − − + + = − + + − + +
= + = + + = → =
= = − − + = + − + = → =
=
∫ =
1 2
A B B A
⇒ + → = − = −
Neodredjeni integrali 21
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
3 2 2
2 12
3 5 1 1 42 1 2 11 1
1 1 1ln 1 ln 1 4 4 1 4 12 2 11
1 1 4ln 1 ln 12 2 1
xI dx dxx xx x x x
dxI x x x dx xx
I x x Cx
− −
+ = = − + = + −− − + − = + − − + = − = − −−
= + − − − +−
∫ ∫
∫ ∫
2
2 32
3 3 3 3 32 2
3 3
ln .48. ln 1
31 1ln ln ln ln
3 3 3 3 3 3 3
ln3 9
uv v du
u x dv x dxI x xdx xdu dx v x dx
xx x x x xI x xdx x dx x x dx x
x
x xI x C
= = = ⇒
= = =
= = − = − = −
= − +
∫∫
∫ ∫ ∫1
=
( ) ( )
( ) ( )
2 25 2 2
22 2 4 3 5
3 5
cos49. sin sin sin 1 cos sin
sin
2 11 1 23 5
2 1cos cos cos3 5
u xI xdx x xdx x xdx
du xdx
I u du u u du u u u
I x x x C
= = = = − ⇒ = −
= − − = − − + = − − +
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
2
222 2 2 2
2 2
2 2
2 22
50.2
22 21 2
1 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 221 2 1 2
dxIx x x
ux x u x u ux x x u x x xu
u u u u udx du du
u u
u u ux x u x uu u
= ⇒+ +
−+ + = − = − − ⇒ = ⇒ = + + + +
+ − − + + = = + +
− + + + + = − = − = + +
∫
2
Neodredjeni integrali 22
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )2
2
2 2
2
u u
dxIx x x
+ +
= =+ +
( )21 2u+2 2
1 2
du
uu
−+
2 2u u+ +⋅
1 2u+
22 2
2
2
Tipski integral:2 1 ln2
2
1 2 1 2 1 2 22 ln ln ln2 2 2 2 2 2 2 2
dudk k a
ua k ak a
u u x x xIu u x x x
= ⇒ − =− +−
− − + + + −= = =
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 22
3 2
3 2 3 2 3 2 2 22 2 2
3 2
3 2
2
1 151. 31 2 23 ;2
12
1 32 2
32
3 212 2 ;2
x
x x x xx x
x
x
x x x xx x
x
x
x e dx
u x dv ex e dx x e dx x e e xdx
du xdx v e dx
u x dv eI x e dx x e dx x e e x d
du x dx v e dx e
I x e
I x
e
e x
= =
= = = ⇒ ⇒ = −
= = =
= −
=
⇒ ⇒ =
−
= = =
∫
∫
∫∫
∫ ∫∫
∫
1 12 2
x
− ∫
2 2 2 3 2 22 2
3 2 2 2
1 22
1 1 1 3 322 2 2 4 2
1 3 32 4 2
rstimo
x x xx x
x x
e xdxe e xdx x e x e
I x e x e
− = − +
= − +
∫
3 2 2 2 3 2 2 2
3 2 2
2
2
2
2 2
u trazeni integral:
1 3 3 1 3 32 4 2 2 4 2
1 3 3 32 4 4
1 14
8
2x x x x
x x x x
xI I x e x e x e x e
I x e
x e e
x e xe e C
= = − + − +
−
= − + +
2
2
2
2 2 2 2 22 2
2 2
1 1 1 11 2 2 2 2 2
1 12 4
Uv
x
x
x
x x x x xx x
x x
xe dx
I xe dx
u x dv exe dx x e e dx x e e dx
du dx v e dx e
I x e e
= ⇒
= −
= −
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫∫
2x xxe dx = −∫
= =⇒ ⇒ = −
= = =
23 2
2
3 3
52. cos 1 sin cos cos sin cos3 3 3 3 3
3sin sin cos Koristimo steceno znanje:3 3 3
1 3sin 3 sin 3sin sin3 3 3 3
133
3
x x x x xI dx dx dx
x x xI dx
x x x xI C
= = − = − = −
= − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
3x dx
Neodredjeni integrali 23
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3
2
2 3 2 32 3 3 253.
2 2 1 0 23 3 0 1 3
2 3 2 ln 2 3ln 32 3 2 3
3ln
2
x A Bx x x x xdx
x x x A x B xI
x A B Ax A B B
xI dx dx xx x x x
xI C
x
= + + + + += = + + = + + += = − → − = + → = − = = − → − = + − → =
−= = + = − + + + + + +
+= +
+
∫
∫ ∫ x +
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
32
222 2 2
2
2 2 3 3
2 22
22
2 2
2
2
32
54.5 4
55 4 5 1 1 5 11
2 1 5 2 2 2 2 10 121 11
5 65 4 11 1
5
1
5 4
xI dxx x
ux x x x x u x x u xu
u u u u u u u u udx du du duu uu
u ux x x u u uu u
u
uxI dxx x
= ⇒− −
−− − = + − = − ⇒ + = − ⇒ =
+ + − − + − + ⇒ = = =
+ ++
− − − = − = − = + +
−
+= =
− −
∫
2
( )2
12
1
u
u+
2
61
du
uu
+
( )2
3 3
512
216
u udu
u
−=
∫ ∫ ∫
( )( ) ( )
( )
22
222
2 2
12 5 1 1 51 5216 18 18
5 1 5 4 5 11 5 4 118 1 185 4 1 5 4
I du du u du uuu
x x xx xIx x x x x x
− = − = − = + =
− − − +− − = + = − − − − − −
∫ ∫ ∫
x−
( )( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2
2 2
5 4 5 1 21 1 5 4 5 118 181 5 4 1 5 4
5 511 4 14 10 1 12 2
18 18 181 5 4 1 5 4 5 4
x x x x x x x xIx x x x x x
x x xx xIx x x x x x x x
− − + − + − − + − + = = − − − − − −
− − − − − + = = = − − − − − − − −
2
0 5
Neodredjeni integrali 24
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
2 2
5 21 52
18 5 4 9 5 4
xxI C
x x x x
− −
= = − − − −
2+
2
2
1 cos 2sin2
55. 1 cos 21 sin 2 2 1 cos 2sin 24 2
2 csc2 41 sin 2sin
4
2 ln csc cot2 4 4
xxdx dxI xx
xx
dx dxI dx xxx
I x x C
πππ
ππ
π π
− =
= ⇒ = − −− − − − =
= = = = − − −
= − − − − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ dx
( )
1 115 36 3 26 32
1 3 21 532
33 2 2
1 1 113 23 6 62
6;56. 616
1 1: 1 1 6 6 11 1 1
6 ln 1 2 3 6 6ln 13 2
dx u uu x x u x u x uI duu udx u dux x
uu u u u du u u dxu u u
u uI u u C x x x x C
= = → = == ⇒ ⇒ = ++ = + + = − + − ⇒ = − + − + + +
= − + − + + = − + − − +
∫ ∫
∫ ∫
u du
∫
( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
22
2
2
22 2 1 2 157.
2 12 2 1 1 2
0 2 2 1 0 1 0 2 12 6 0 3 2 3 0 0 1
1 3 3 0 1 0 1 3 1
2 1 1 12 1 2 1
x A B Cx x x x x x xI dx
x x x x A x x Bx x Cx x
x A B C Ax A B C Bx A B C C
xI dx dxx x x x x x
+= + + + + − + −= ⇒ + − + = + − + − + +
= → = − + − + → = − = = − → = − + − − + → = ⇒ = → = + + → =
+= = + + = + − + −
∫
∫ ln ln 2 ln 1x x x+ + + − +∫ C
Neodredjeni integrali 25
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
Neodredjeni integrali 26
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
9 99 4 4 24 4
9 4 3 358. sin cos2 2
9 4 9 9sin 3 1 sin 3 cos 3cos
9 4 3cos 3 cos 1 sincos 3 33 2 sin sinsin2
13 sinsin
x x x
xI dx x dx dx
x
xI dx d d dx
I
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕϕ
ϕ
− = − = −
− = ⇒ = → = − = − = − = =
− −= = ⋅ = = =
= −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
2
ϕ
( ) 1
2
2
2 2 22
2
3 csc sin 3 ln csc cot cos
1 3cscsin 2
9 4Zamijenimo :cos 9 43cot
2sin 23
3 9 4 9 4 3 9 43ln 3 3ln 9 42 2 3 2
d d
x
xx
x x
x x xI Cx x x
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
= − = − + +
= = −⇒
− = = =
− − − −= − + + = + − +
∫ ∫ C
x C
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8.1 Opcenito o odredjenom integralu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nulii oznacava se sa :
lim ...
gdje je donja granica b go
b
n nna
f x dx f x f x f x f x b a f
a
ξ ξ ξ ξ ξ→∞
= + + + + = −
→ →
∫
( )
( )
( ) ( ) [ ]
rnja granica integracijeVrijednost integrala jednaka je povrsini lika omedjenog granicama integracije i funkcije
Povrsina omedjena krivuljama i te granicama intervala a,b dobije se
bba
a
f x
S f x dx
f x g x
= ∫
( ) ( ) ( ) ( )
po izrazu:
Odredjeni integral se racuna na slijedeci nacin:1. Naj prije se izracuna neodredjeni integral funkcije ispod znaka integracije2. U rezultatu se zamijeni nez
b b bba
a a a
S f x g x dx f x dx g x dx= − = − ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
avisna promijenjiva sa gornjom i potom sa donjom granicom integracije.
3. Oduzme se vrijednost rezultata donje granice od rezultata gornje granice.
ko se
bbb
a aa
x
S f x dx F x F b F a
A
= = = −∫Pravila integriranja :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
granice zamijene, integral poprima suprotnu vrijednost
Integral zbroja i razlike:
Umnozak konstante i integranda:
Integral se moze pod
b a
a bb b b
a a ab b
a a
f x dx f x dx
f x f x dx f x dx f x dx
k f x dx k f x dx
= −
± = ±
⋅ = ⋅
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) [ ]ijeliti na vise integrala: ,b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a b= + ∈∫ ∫ ∫
( ) ( )
Funkcija je zadana u eksplicitnom obliku:b b
a a
y f x S f x dx ydx= ⇒ = =∫ ∫
Racunanje povrsina :
Odredjeni integrali 1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2
1
2
1
'
1Funkcija je zadana u polarnim koordinatama:2
Funkcija je zadana u parametarskom obliku:
Racunanje statickog momenta likova, kada su poznate koordinate tezista T
t
t
y r S r d
x x tS y t x t dt
y y t
ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ= ⇒ = ⋅
=⇒ = ⋅
=
∫
∫
( )
( )
( )2 2
1 1
2
2 3
x,y
i povrsina lika S:
1Za i 2
1 1 1Za i sin cos2 3 3
Racunanje momentra inercije ravnih likova:Moment tromosti materija
x yS S
b b
x ya a
x y
M ydS M xdS
y f x dS ydx M y dx M xydx
y r dS r d M r d M r dϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= =
= = ⇒ = =
= = ⇒ = =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2 2
2 2
lne tocke jednaks je umnosku mase i kvadrata udaljenosti te tockeod osi vrtnje:
Aksijalni moment tromosti:
Polarni moment tromosti:
x y x yS S
p pV
I m y I m x I y dS I x dS
I m r I r dS
= ⋅ = ⋅ ⇒ = =
= ⋅ ⇒ =
∫ ∫
∫
3 ϕ
Guldinova pravila za povrsinu i volumen rotacionog tijela:Povrsina rotacione plohe jednaka je umnosku duzine lika koji rotira i duzine puta tezista luka : 2Volumen rotacionog tijela jednak
T
S ss S s yπ= ⋅
je umnosku povrsine lika koji rotira i duzine puta tezista lika:
2S
V ydSπ= ⋅ ∫
8.2 Razni zadaci
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
1
-1
2 22
2
1. Izracunaj Rijesimo naj prije neodredjeni integral 2 3 2 3
2 3 1 1 13 2 6 6 62 4 4
1 Izvrsimo zamjenu dobijemo: 2 2 325 1
4 2
dx dxx x x x
dx dx dx dxx x x x x x x x x
dx dxx ux x
x
⇒ =+ − + −
= = =+ − − − + − − − − + −
⇒ − =+ − − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Odredjeni integrali 2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( ) ( ) ( )
2 22
1
1
-1
1
1 1rjesenje je tipicni integral: 125 sin24 sin
52
Uvrstimo granice integracije i rijesimo:
1 1 1 11 2 1 1 2 1 12 3 ssin sin2 5 5sin
52
du du Cua u xu a
dxx x x
−
⇒ = = − −−
= = − =− − − + − −
∫ ∫
∫
+
( )( )( ) ( )
11 1
-1
11 3in sin5 5
sin 0.2 sin 0.62 3dx
x x− −
− −
= ++ −∫
( ) ( )
2
22
-122
3 32 3 2 3
1-1
2. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i osi od -1 do 2
Postavimo integral: Naj prije rijesimo neodredjeni integral
1 1 1 2 1 33 3 3
y x x x x
S x dx
x dx x C S x dx x−
= = =
= ⇒
= + ⇒ = = = − − =
∫
∫ ∫
( )
( ) ( )
2
12
0
13. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i pravcem 2 u intervalu od 1 2
i osi 0 os y
1Postavimo integral: 22
1Rijesimo neodredjeni integral: 22
bba
a
y x y x x
x
S f x g x dx x x dx
x
= = +
=
= − = + −
+
∫ ∫
=
2 31 124 3
x dx x x x C − = + − + ∫
Odredjeni integrali 3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )11
2 3
00
1 1 1 1 1 2 2 2 0 02 4 3 4 3x x dx x x x + − = + − = + − − + − =
∫23012
( )( )
12
2 40
1 21 2
2 4 4
41 2
2 42
1 2
4 4
4. Izracunaj sin 1
sinRijesimo neodredjeni integral: sinsin 1 1
2 2 1sin Uvrstimo u integral :211
sin = 1 1
u
x dxx x
x x xdx dx x ux x x
x xdx xdu d x dx dx duxxx
x x x udxx x
−−
−
−
⋅ −⋅
= ⇒⋅ − −
−= = = ⇒ =
−−
⋅ ⋅
− −
∫
∫ ∫
∫
=
41 x−
( ) ( )
2
11 21 22 2 22 22 1 2 1 1
2 4 000
21
1 1 Uvedimo granice integr.:2 2 4
1 1 1 1sin sin sin 04 4 4 2sin 1
1 1sin4 2
du udu u Cx
x dx u xx x
I
− − −
−
= = +
= = = − ⋅ −
=
∫ ∫
∫ 2
( ) ( ) ( )
3
3
3
5. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i pravcem 2 u intervalu koje cine tockepresjeka tih dviju krivulja.
Postavimo integral: 2
Odredimo presjecista: 2
b bba
a a
y x y x
S f x g x dx x x dx
y xy x
= =
= − = −
==
∫ ∫
( )
31 2,3
23 4
2 0; 2
Postoje dvije povrsine sa granicom integracije od 0 do 2
2 1 Rijesimo neodredjeni integral: 2 2 4
x x x x
x x
xx x dx x C
⇒ = ⇒ = = ±
= = ±
− = − + ∫
Odredjeni integrali 4
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( ) ( )
23
0
22 2 44
0
Uvedimo granice integracije za dvije povrsine S=2 2
2 1 12 2 2 2 0 0 22 4 4
x x d
xS x
⋅ −
= − = − − + =
∫ x
( ) ( ) [ ]
[ ]
4
1
6. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljama cos i sin u intervalu od 1
do 4
Postavimo integral: cos sin
Rijesimo neodredjeni integral: cos sin sin cos
bba
a
y x y x x
x
S f x g x dx x x dx
x x dx x x C
S
π
π= =
=
= − = −
− = + +
∫ ∫
∫
[ ]
=
441
1
cos sin sin cos sin cos sin1 cos14 4
2 2 0 1 2 12 2
x x dx x x
S
π
π π π= − = + = + − −
= + − − = −
∫
( ) ( ) [ ]
[ ]
4
1
6. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljama cos i sin u intervalu od 1 do 4
Postavimo integral: cos sin
Rijesimo neodredjeni integral: cos sin sin cos
bba
a
y x y x x x
S f x g x dx x x dx
x x dx x x C
π
π= = =
= − = −
− = + +
∫ ∫
∫
[ ]
=
441
1
cos sin sin cos sin cos sin1 cos14 4
2 2 0 1 2 12 2
S x x dx x x
S
π
π π π= − = + = + − − =
= + − − = −
∫
Odredjeni integrali 5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
22 2 2
2
41 1 2 2
2 2 0
4 42 2 2
0 0
7. Izracunaj povrsinu omedjenu parabolama 6 i 2
6Presjecista su: 6 2 4 0
2
0 0 6 2
4 8
6 2 8 2 8
b
a
y x x y x x
y x xx x x x x x
y x x
x yS f x g x dx x x x x
x y
S x x x x dx x x dx
= − = −
= −⇒ − = − ⇒ − =
= −
= = ⇒ = − = − − − = =
= − − − = − =
∫ ∫
∫ ∫
dx
42 3
0
6422 3 3x x
− =
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2
1
'
'
2 2 2 2 22 2
0 0 0 0 0
sin8. Izracunaj povrsinu cikloide zadane u parametarskom obliku 0 2
1 cos
sin 1 cos Uvrstimo u integral:
1 cos 1 cos 1 cos 2 cos cos
t
t
x t tt
y t
S y t x t dt
dx t t t tdt
S t t dt t dt dt tdt tdtπ π π π
π= −
≤ ≤= −
= ⋅
= − = −
= − − = − = − +
∫
∫ ∫ ∫ ∫2 2
2
00 0
1 sin 2 cos sin 0 cos 2 tipican integral2 4
tdt t tdt t tdt C
π
π ππ= = = = + →
∫
∫ ∫ ∫
Odredjeni integrali 6
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
( )
2'
'
'
'
Izracunaj duzinu luka lancanice u intervalu od 0 do 2
Duzina lancanice se dobije iz: 1
1 1 12 2 2
1
x xa a
b
a
x x x x x xa a a a a a
ay f x e e x x
L f x dx
a af x e e e e e ea a
L f
−
− − −
= = + = =
= +
= + = + = +
= +
∫
( )
a
22
0 0
2 2 2 2
0 0
22 2
0 0 0
112
1 11 2 1 24 4
1 1 11 24 4 2
x xa aa a
x x x x x xa aa a a a a a
x x x x x xa a aa a a a a a
x dx L e e dx
L e e e e dx e e dx
L e e dx e e dx e e dx
−
− − −
− − −
= = + +
= + − + = + − +
= + − + = + = +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )1
0 0
1 12 2 2
a ax x x xa a a a aL e e ae ae e e
− − −
= + = − = −
( )
( ) ( )
2
1
21 2
22 2 32 32 3
0 0 0
10. Izracunaj povrsinu prvog zavoja Arhimedove spirale zadane sa 2
1Povrsina iznosi : S ; Granice integracije su 0; 22
1 4 2 16S 2 2 2 02 2 3 3 3
y
y d
d d
ϕ
ϕ
ππ π
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ π
ϕϕ ϕ ϕ ϕ π π
=
= =
= = = = − =
∫
∫ ∫
=
( )
2
2
11. Parabola 8 rotira oko osi . Izracunaj volumen nastalog tijela, od vrha do ravnine polozene kroz tocku 2 okomito na os .
Volumen nastalog tijela, prema Disk Formuli jednak je: b
a
y x xx x
V f xπ
==
= ∫ dx
Odredjeni integrali 7
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )22 2 2 2
2
0 0 0
= 8 82
b
a
xV f x dx y dx xdxπ π π π= = = ∫ ∫ ∫ 16π=
( )
2
2
12. Parabola 4 rotira oko osi . Izracunaj volumen nastalog tijela omedjenog krivuljom,ishodistem i ravninom paralelnom sa osi , 16.
Volumen, prema Disk Formuli jednak je:
U ov
b
a
y x yx y
V f x dxπ
==
= ∫
[ ] ( )
2 2
162 16 22
0 0
om slucaju integriramo po osi od 0 do 16: 44
= 16 0 324 4 2 8
b
a
yy y x x
y yV x dy dy π ππ π π
= ⇒ =
= = = − =∫ ∫
( ) ( )
2
2
13. Promatrajmo istu parabolu 4 koja rotira oko osi . Izracunajmo volumen tijela kome je gornja granica ravnina 16 a donja, nasa parabola g 4 .Volumen se moze naci primjenom "washer" (p
y x xf x y x y x
=
→ = → =
odloska) formule. Ime je dobila po oblikunastalog tijela, koje lici na podlosku koja se koristi uz maticu i vijak.
( ) ( ){ }2 2Volumen, prema Washer Formuli jednak je:
U ovom slucaju integriramo po osi od 0 do 2: Granicu 2 dobili smo iz presjecnetocke dviju krivulja.
b
a
V f x g x dx
x x
π= −
=
∫
Odredjeni integrali 8
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ){ } [ ]{ } { }2 2
22 2 2 2 2
0 02 55
0
16 4 16 16
16 2 2048256 16 2 2565 5 5
b
a
V f x g x dx x dx x dx
xV x
π π π
π π
= − = − = −
⋅= − = ⋅ − =
∫ ∫ ∫ 4
( )
( ) ( )
214. Izracunaj volumen tijela nastalog rotacijom oko osi y, povrsine omedjene sa 4 1i pravcima 0 i 16.
Rjesenje je dano formulom "Shells": 2
Vidimo, granica integracije je
b
a
y xx y
V x f x g x dxπ
= −
= =
= − ∫( )
( ) ( ){ } [ ] ( ){ }( ) ( )
( )
32
13 3
2 3 2
1 13
2 4 3 2
1
od 0 do 3. Tocka T 3,16 , je presjeciste zadanih krivulja.
2 2 16 4 1
2 16 4 8 4 2 16 4 8 4
8 82 8 2 2 72 81 72 18 8 1 23 3
1
b
a
V x f x g x dx x x dx
V x x x dx x x x x dx
V x x x x
V
π π
π π
π π
= − = − − =
= − + − = − + − =
= − + − = − + − − − + − =
=
∫ ∫
∫ ∫
123
Odredjeni integrali 9
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
2 2
2 2 2
15. Izracunaj volumen rotacionog tijela nastalog rotacijom oko osi y, povrsine u prvom kvadrantu, omedjene sa kruznicom 9 i pravcima 1 i 2.
Rjesenje dobijemo disk formulom: 9b
a
x y y y
V x dy x yπ
+ = = =
= ⇒ = −∫
( )
22
132 2 2 322 2 2
1 1 1 1
3
9 93
3 1 289 3 93 3 3
x dy
yV x dy x dy y dy y
V
π
π π π π
π π
=
= = = − = − =
= ⋅ − − − =
∫
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
2 2
322
03
22
0
16. Izracunaj koordinate tezista paraboloida nastalog rotaciom parabole oko osi u intervalu od 0 do 3.
Rjesenje je dano sa izrazom: b
VT
a
VT
y x xx x
xdVx V x dx dV x
V
xdV x x dx x xx
Vx dx
π π
π
π
== =
= ⇒ = ⇒ =
= = =
∫∫
∫ ∫
∫
( )
( )
3 3622
303 5 022
00
5 5 56 36 6 2
5
xdxx
xx dx
= = = ⋅ =∫
∫
2
17. Izracunaj koordinate tezista gornjeg zadatka samo sada oko osi . Obzirom da se rotacija
vrsi oko druge osi, interval integracije se od 0 do 9, tj. .
y
y y y x x y= = = ⇒ =
Odredjeni integrali 10
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
2 2
9 9 92 32
90 09 9 2 022
00 0
Rjesenje je dano sa izrazom:
2 23 9 63 3
2
bV
Ta
VT
ydVy V y dy dV
V
yydV yx dy y y dxx y
V yx dy y dx
π π
π
π
= ⇒ = ⇒ =
= = = = = = ⋅ =
∫∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
x
( )
2
2
2
22 32
2 2
18. Izracunaj povrsinu i moment inercije lika nastalog rotacijom parabole 4 oko osi,od vrha do osi .
Granice integracije su od 2 do 2
84 4 4 2 43 3
b
a
y x yx
S ydx ydx x x
xS x dx x
−
− −
= −
= ⇒ → = − =
= − = − = ⋅ − − ⋅
∫ ∫
∫ ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
2 22 2 2
2 222
3 52 4 3 5 3 5
22
2 3223 3
Moment inercije obzirom na os : 4
4 1 4 1 4 14 2 2 2 23 5 3 5 3 5
12815
y
y
y
y I x f x dx x x dx
I x x dx x x
I
− −
−−
− − − =
= = − =
= − = − = − − − − −
=
∫ ∫
∫
Odredjeni integrali 11
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
Odredjeni integrali 12
0
19. Izracunaj povrsinu i moment inercije lika nastalog rotacijom funkcije sin oko osi. Uzmi u obzir samo pozitivni dio sinusoide za 0
sin Granice integracije su od 0
sin
b
a
y x yx
S ydx xdx x
S xd
π
π
π
=≤ ≤
= ⇒ → ≤ ≤
=
∫ ∫
( )
00
2 2
0 0
22
21
cos cos cos 0 2
Moment inercije obzirom na os : sin
Integral rijesimo parcijalnom integracjom:
2sin
sin sin cos
sin
y
yu dv
x x
y I x f x dx x xdx
u x du xdxI x xdx
dv xdx v xdx x
I x x
ππ
π π
π= − = − + =
= =
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = −
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
{ }( )
2
2 2
2
2
2 21 2 0
0
2
0
cos cos 2 cos 2 cos
2 coscos cos sin
sin sin sin cos
sin 2 cos 2 sin cos
2sin 2cos cos
I
y
y
dx x x x xdx x x x xdx
u x du dxI x xdx
dv xdx v xdx x
I x x xdx x x x
I x xdx I I x x x x x
I x x x x
ππ
ππ
= − − − = − +
= ⇒ = = = = ⇒ = =
= − = −
= = + = − + − =
= − − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫
∫2 4−
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 9. NEPRAVI INTEGRALI 9.1 Opcenito o nepravim integralima
( )
( )
b
a
Integral oblika se naziva nepravilan ako:
a) jedna ili obje granice integracije nisu konacne vec beskonacne: ,b) pod integralna funkcija je prekinuta u jednoj ili vise tocaka intervala
f x dx
a bf x
= −∞ = ∞
∫
(singularne tocke)Integral pod a) naziva se nepravi integral prve vrste a oni pod b), nepravi integrali druge vrste. Integrali koji ispunjavaju oba uvjeta su nepravi integrali trece vrste.Speci
a x b≤ ≤
( )-sx
0
jalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Jedan od poznatijih nepravih integrala je Laplace-ova transformacija e
Integral s
F x dx∞
∫
( ) ( ) ( ) ( )
e racuna tako, da se beskonacna granica zamineni konacnom i potom nadje limes
rjesenja: lim limb b b
b aa a a
f x dx f x dx f x dx f x dx∞
→∞ →−∞−∞
= =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Ispitivanje nepravih integrala prve vrste, na konvergenciju vrsi se na vise nacina:
:
Konvergrencija: Ako je 0 za sve ; i konvergira, onda i za 0
za sve , tada
a
g x x a g x dx f x g x
x a f x d
∞
≥ ≥ ≤ ≤
≥
∫
1. Usporedjenjem
( ) ( ) ( ) ( )
( )
isto tako konvergira.
Divergencija: Ako je 0 za sve ; i divergira, onda i ako je za
sve , tada isto tako divergira.
a
a
a
x
g x x a g x dx f x g x
x a f x dx
∞
∞
∞
≥ ≥ ≥
≥
∫
∫
∫
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
x: Ako je 0 i 0 i lim 0 ili , tada su
i konvergentni ili divergentni.a a
f xf x g x A
g x
f x dx g x dx
→∞
∞ ∞
≥ ≥ = ≠ ∞
∫ ∫
2. Testom kvocijenta
( ) ( )Ako je 0 i konvergira, tada i konvergira.a a
A g x dx f x dx∞ ∞
= ∫ ∫
Nepravi integrali 1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )Ako je i divergira, tada i divergira.a a
A g x dx f x dx∞ ∞
= ∞ ∫ ∫
9.2 Razni zadaci
2
2 211 1
11. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom i 1. Nacrtaj krivulju i povrsinu
1 1 1 1lim lim lim 1 1; Integral konvergira prema 1bb
b b b
y xx
dx dxx bx x
∞
→∞ →∞ →∞
= >
= = − = − =∫ ∫
1
11 1
12. Ispitaj integral:
1 1lim lim ln lim ln 0 ; Integral divergirab
b
b b b
dxx
dx dx x xx x
∞
∞
→∞ →∞ →∞= = = − = +∞
∫
∫ ∫
0
0
00
13. Ispitaj konvergenciju integrala metodom usporedjivanja1
1 1Postavimo : 1; 1
Integral convergira ka 1, pa tako konvergira i zadani integral.
x
x x xx x
dxe
e e dx e e ee e
∞
∞∞− − − −∞ −
+
≤ = ⇒ = = − =+
∫
∫
20
1 12 2 2 2
0 0 0
1
14. Ispitaj konvergenciju integrala 4
1 1 1 1 1tan lim lim tan2 24 4
1 1lim tan 02 2 2 2 4
kk
k k
k
dxx
a xdx dxa xx x a x
k π π
∞
∞− −
→∞ →∞
−
→∞
+
⇒ = ⇒ = + + +
= = = =
∫
∫ ∫ ∫ =
Nepravi integrali 2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
Integral konvergira ka 4π
( )
2
2 2 2 203 3
15. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom pravcem 3 i osi 1
1 1 1 1 1ln lim lim ln2 11 1
111 1 1 1 1 1 ln 2lim ln ln lim ln ln ln1 ln 2 ; 12 1 2 2 2 2 21
I
k
k k
k k
y xx
x a xdx dxaa x a xx x a x
k kk
k
∞ ∞
→∞ →∞
→∞ →∞
= =−
− −= ⇒ = ⇒ = =
+ +− − −
−−= − = − = + =
+ +
∫ ∫ ∫1
x
ln 2ntegral konvergira ka 2
( )( )
2
-
0
- -
0
-2
6. Ispitaj konvergentnost integrala: sin
sin sin sin
sin cos
cos cos
coscos cos
x
xx x
x
x x
xx x
I
e xdx
u e dv xdxe xdx I e xdx
du e dx v xdx x
e x x e dx
u e dv xdxI e x e xdx I
du e
∞
−∞
−
− −
−
−
= = ⇒ = = = = − = = −
= − − − − =
= == − + ⇒ =
= −
∫
∫ ∫ ∫∫
∫
( )( )
cos sin
sin sin
x
x x
dx v xdx x
e x x e dx
−
− −
= = =
= − − −
∫
∫
( )2
2 sin sin cos sin sin
1cos sin 2 cos sin cos sin2
x x x x x
I I
I
x x x x x x
I e x e xdx I e x e x e xdx
e x e x I I e x e x I e x e
− − − − −
− − − − − −
= − ⇒ = − − − =
= − − − ⇒ = − − ⇒ = − −
∫ ∫
x
( )sin cos Sada mozemo nastaviti nas racun:2
xeI x x−
= − +
Nepravi integrali 3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )-
0 0
1 1 sin lim sin cos lim sin cos2 21 Integral konvergira ka 2
kx kx
k k
e ee xdx x x k k∞ − −
→∞ →∞= − + = − + + =∫ 2 2
3
20
31 1
2 2 2 20
20
7. Ispitaj konvergenciju integrala, cija podintegralna funkcija ima prekid u granicama
integracije 9 -
Za 3, funkcija je neodredjena.
sin sin39 - 9 - -
9 -
dxx
x
dx dx dx x xax x a x
dxx
− −
=
⇒ = = ⇒
∫
∫ ∫
( )3
1 1 1
23 3 30 0
1 1
3
lim lim sin lim sin sin 03 39 -
lim sin 0 sin 13 2
kk
k k k
k
dx x kx
k π
− − −
→ → →
− −
→
= = = − =
= − = =
∫ ∫
( )
2
1
20
8. Izracunaj povrsinu omedjenu krivuljom , osi i tockama 0 i 1.1-
Povrsina je jednaka integralu Za 1, funkcija je neodredjena. 1-
Za integraciju, koristimo brzu formulu:
xy x x xx
x dx xx
f x
= =
=
∫
∫ ( )
=
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1'
12 2
2
1 1 1 12 22 2
2 21 1 10 0 0 0
12 2
1
1 za sve racionalne brojeve; 1 1
1 1 221-
1lim lim 1 2 lim 121- 1-
lim 1 1 1
n n
kk
k k k
k
f x dx f x C nn
x dx x x dxx
x xdx dx x x dx xx x
k
+
−
−
→ → →
→
= + ≠ − +
= − − −
= = − − − = − −
= − − − =
∫ ∫
∫ ∫ ∫ =
Nepravi integrali 4
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
--
- 2- -
9. Ispitaj konvergentnost integrala
Integral cemo rijesiti integracijom od - do 0 i u drugom dijelu od 0 do .
Naj prije izvrsimo male preinake na integralu: 1
x x
x
x x x
dxe e
dx e dxe e e
+∞
∞
+∞ +∞
∞ ∞
+
∞ +
=+ +
∫
∫ ∫
∞
( ) ( )
( ) ( ) ( )
12 2 2 2
1 12 2 1
0 1
1 1 1
1 tan1 1
lim lim lim tan lim tan1 1
lim tan tan 1 lim tan4 2 4 4
Drugi dio integraci
kk
xx
x x
k ex ekxk k k k
k k
k k
u ee dx du du ua ae u u adu e dx
e dx du u ee u
e e π π π π
−
− −
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− − −
→+∞ →+∞
= = = = = ⇒ + + +=
= = = =+ +
= − = − = − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 11 12 2 2
1 1
0
- 2 2-
je:
lim lim lim tan lim tan1 1 1
lim tan lim tan 04 4 4 4
Sada mozemo zbrojiti rezultate:
1
kk
x xk
x xk k k k ek e
k k
k k
x x
x x x x
e dx e dx du u ee e u
e e
dx e dx e dxe e e e
π π π π
− −
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞−∞
− −
→−∞ →−∞
+∞
∞ −∞
= = = =+ + +
= − == − = − =
= ++ + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
=
0 4 4 21π π π+∞
+ = + =∫
2
0
2
0 0 02 2
10. Ispitaj konvergentnost integrala sec . Funkcija ima prekid za vrijednost 2
sec lim sec sec ln sec tan lim seck k
k k
xdx x
xdx xdx xdx x x xdx
π
π
π π
π
→ →
=
= ⇒ = + ⇒ =
∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )0
2 2 2
lim ln sec tan lim ln sec tan ln 1 0 lim ln sec tank
k k kx x x x x x
π π π→ → →
= + = + − + = + =
Nepravi integrali 5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
Nepravi integrali 6
( ) ( )2
02 2
lim ln sec lim ln tan sec Integral divergirak k
x x xdx
π
π π→ →
+∞ +∞
= + ⇒ = +∞∫