Match II (armand)

1

شماره صفحه : آرمند قاياستاد: آ

ریاضی عمومی دوریاضی عمومی دو )) براي دانشجویان علوم پایهبراي دانشجویان علوم پایه((

مولف:مولف:

آالش آرمندآالش آرمند

دانشگاه آزاد اسالمی واحد گرگاندانشگاه آزاد اسالمی واحد گرگان

13871387تابستان تابستان

2

شماره صفحه : آرمند قاياستاد: آ

فهرستفهرست

اولفصل

1 .......................................................................... و سري هاي نامتناهیدنباله

مدوفصل

7 .............................................. ها و سري هاي توانی همگرایی سريقضایاي

سومفصل

33 ......................................................................... مکلورن و تیلور توابعبسط

چهارمفصل

44 ...................... معادالت آنها در مختصات دکارتی و قطبیمخروطی و مقاطع

پنجمفصل

TNB ............................. 55و دستگاه ، توابع برداريهندسه تحلیلی ،بردارها

ششمل صف

65 ...... ، دستگاه چند متغیرهکروي اي و استوانه مختصات هاي درجه دوم،رویه

»شناسنامه کتاب «

ریاضی عمومی دو : نام کتاب

آالش آرمند : مولف

دانشگاه آزاد اسالمی واحد گرگان : ناشر

محمد قاسمی : ی جلدویرایش و طراح

1387 تابستان : سال نشر

نسخه 1000 : تیتراژ

: قیمت

: شابک

1

رياضي عمومي دو

1:شماره صفحه آرمندقايآ:استاد

فصل اولو سري هاي نامتناهي دنباله ها

: دنباله ها

ي.تعريف ي آن حداكثر مجموعه ي∪�{0} دنباله يك تابع است كه دامنه و برد آن زير مجموعه

:. اعداد حقيقي است {0}na →�∪ �

( )na f n=

( }0 دنباله را با نماد! }n na ∞. نشان مي دهيم=

: مثال

11 1 1{ } {1, , ,...}

2 3nn∞

= =

0{( 1) } {1, 1,1, 1,...}nn∞

=− = − −

01 2 3{ } {0, , , ,...}

1 2 3 4nnn

∞= =

+( يا! . استقرايي كه به جمله هاي قبلي وابسته است دنباله هاي بازگشتي

1 1a 0و= 1a 1و= 6n na a+ = +

{1, 6 1, 6 7 ,...}+ +

( . فيبوناچي دنباله اي طبيعي مانند تعداد جفت هاي يك خرگوش كه بعد از دو ماه بچه دار مي شوند!

2 1 0 1, 1, 1n n na a a a a+ += + = =

{1,1, 2,3,5,8,...}

ي.تعريف } دنباله }naرا به lهمگرا گوييم اگر lim nxa l

→∞=

: مثال

11{3 } 3nn

∞=+ →1

1{ } 0nn∞

= →

( 0, 0 : )nN n N a lε ε∀ > ∃ > ⇒ − <�

ي)؟ ,1ثابت كنيد دنباله 0,{ }npcc pn

∞=∈ . به صفر همگرا است�<

٢ صمحمد قاسمي:تهيه 2:فحهشماره

و سري هاي نامتناهي دنباله ها

))چون هر دو مثبت هستند( 0, 0 : pp

c cN n N nn

ε εε

∀ > ∃ > ⇒ < ⇒ <�lim 0pn

cn→∞

=

1lim 0 { } 0p pnp pn

c c c cn Nn nε ε

∞=→∞

⇒ > ⇒ ≥ ⇒ = ⇒ →

ي.تعريف } دنباله }naواگرا است اگر همگرا نباشد ) )حد آن بي نهايت يا وجود نداشته باشد. .

: دنباله هاي زير واگرا هستند

1{ }nn∞

)}1و= 1) }n n∞

sin}1و−= }nn∞

=

2

2 1 2

12 : lim lim lim(1 ) 12

12 1: lim lim lim 0(2 1)

n kn n n

n kn n n

n k a ak

n k a ak

→∞ →∞ →∞

+→∞ →∞ →∞

= = = − = = + = = =

+2

11 ,

1 ,n

n Enan O

n

− ∈= ∈

. تعريف

}دنباله)1 }naرا از پايين كراندار گوييم اگر na l≥:l n∃ ∈ ∀�

)در نهايت كراندار | : )nk n k a l∃ ∈ ∀ ≥ ≥�

}دنباله)2 }naرا از باال كراندار گوييم اگر na u≥:u n∃ ∈ ∀�

)در نهايت از باال كراندار | : )nk n k a u∃ ∈ ∀ ≥ ≥�

}دنباله)3 }naرا كراندار گوييم اگر :| : nM n a M∃ ∈ ∀ ≤�

}دنباله)4 }na1: را صعودي گوييم اگر: n nn a a +∀ ≤

}دنباله)5 }na1: ولي گوييم اگر را نز: n nn a a +∀ ≥

}دنباله)6 }naرا يكنوا گويند اگر صعودي يا نزولي باشد .

}دنباله)7 }na1: را متناوب گويند اگر: 0n nn a a +∀ × <

2

0

1( )2 n

∞

=

−

1 1 1 1{1,2,5, , , , ,...}2 4 8 16

− −

} اگر دنباله هاي.قضيه }naو{ }nbهمگرا باشند .

lim( ) lim limn n n nn n na b a b

→∞ →∞ →∞± = ±

lim( ) lim limn n n nn n na b a b

→∞ →∞ →∞× = ×

( : 0) lim 0)n nnn b b

→∞∀ ≠ ≡ ≠

limlim( )

limnnn

nn nn

aab b

→∞

→∞→∞

=

: lim limn n n nn nn a b a b

→∞ →∞∀ ≤ ⇒ ≤

3



.يا ساندويچ( قضيه فشار (

}دنباله هاي }naو{ }nbو{ }ncموجودند بطوري كه : n n nn b a c∀ ≤ در اينصورت اگر دنباله≥

}هاي }nbو{ }ncبه lهمگرا باشند داريم :lim nna l

→∞=

lim اگر.قضيه ( )nf x l

→∞)و= )na f n=آنگاه lim nn

a l→∞

=.

.رفتار دنباله هاي زير را تعيين كنيد)؟2

21

3 1 :5 3 n

n nn n

∞

=

− + +

22 2

22

1 1(33 1 3lim lim 15 3 5(5 )n n

nn n n nn n n

n→∞ →∞

− +− + = =+ +

1

cos :n

nn

∞

=

1lim 01 cos 11 cos 11lim 0

n

n

n nnn n n

n

→∞

→∞

− =− − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ =

،coslim 0n

nn→∞

=

{ }2

12 :

nn n n

∞

=+ −

2 22

2 2

2 2lim( 2 ) lim2 2n n

n n n n n nn n nn n n n n n→∞ →∞

+ + + −+ − × =+ + + +

22

2 2 2 2lim 122 22 (1 ) 2 1 1

n

n n nn n n n n

n n

→∞= = = =

+ + + + + +

1

1

1( ) :n

nTann

∞−

=

1

1 1

1(lim )1 1lim (lim )(lim ) 1n

n n n

TannnTan n Tan

n nn

−

→∞− −

→∞ →∞ →∞= =

2 2

4 42 22

2 22 22 2

2

1

11 1(1 ) 11 1 1(1 ) 1 0( ( 1))

H

n nn nn nn

n n n nn n n

−−

+ += = = = = =− − + ++

٤ صمحمد قاسمي:تهيه 4:فحهشماره


} اگر.قضيه }naو صعودي باشد آنگاه همگرا است . دنباله اي از باال كراندار

ي.قضيه } اگر دنباله }naو نزولي باشد آنگ . اه همگرا است از پايين كراندار

را)؟ و مقداري كه به آن همگرا است ي زير مفروض است نشان دهيد دنباله فوق همگرا است دنباله

.پيدا كنيد

1 0 16 , 1, 7 :n na a a a+ = + = = 1 اثبات صعودي بودن 00,k a a= >

1, n nk n a a+= >

1 2 16 6n n n na a a a+ + ++ > + ⇒ >2 11, n nk n a a+ += + > اثبات از باال كراندار بودن

00, 1 3k a= = <

, 3nk n a= <

1 16 6 3 3 3n n na a a+ += + + = ⇒≺ ≺1,?k n= +

2داريم1lim lim 6 6 6n nn n

a a l l l l+→∞ →∞= + ⇒ = + ⇒ = +lim nn

a l→∞

=

2 36 0 ( 3)( 2) 0

2l

l l l ll

= ⇒− − = ⇒ − + = = − ⇒ ×

1 lim 0 :n

nx x

→∞< ⇒ =

lim lim( ) lim( ) 0n Ln x nLn xn

n n nx e e e −∞

→∞ →∞ →∞= = = limو= limn

n nLn x nLn x

→∞ →∞= = −∞

1 n nnx x x x x x x< ⇒ − < < ⇒− < <

lim 01: lim 0

lim 0

n

n nn n

n

xx x

x→∞

→∞

→∞

=< ⇒ =− =

| 0 :!

nxxn

∀ ∈ →

�

limابتدا نشان مي دهيم كه 0!

n

n

xn→∞

: زيرا=

1... ... ( ... )( )! 1 2 1 1 2 1

nn Nx x x x x x x x x x

n N N n N N− −= × × × × × × < × × ×

− −

1lim lim( ... )( ) 0! 1 2 1

nn N

n n

x x x x xn N N

− −

→∞ →∞< × × × =

−

5



lim 0! 0

! ! ! !lim 0

!

n

n nn nn

n

n

xx xx xnn n n nx

n

→∞

→∞

= − ≤ ≤ → → =

− =

. همگرايي يا واگرايي دنباله هاي زير را بررسي كنيد)؟2

12n n

n∞

=

2 2

2

2 2lim lim lim lim 02 2 ( 2)2 ( 2) 2

H H

n x x xn x x x

n x x xLn Ln→∞ →∞ →∞ →∞

= = = =

{ } 43

1:1, 2, 3, 4,...n

nn

∞

=

1 0

11( ) ( ) lim lim 0 lim 1

1

Hx x

x x x

Lnx xy x Lny Ln x Ln x Lny y ex x→∞ →∞ →∞

= → = = ⇒ = = = ⇒ = =

1

1(1 ) :n

nn

∞

=

+

1 1 1 1lim(1 ) 1 (1 ) (1 ) lim lim (1 )n x

n x xLny Ln xLn Lny xLn

n x x x∞

→∞ →∞ →∞+ = ⇒ = + = + ⇒ = +

1lim 1 limx x

Lny y e e→∞ →∞

= → = و=

21

1(1 ) 11 1lim lim lim 11 1 11

H

x x x

xLn

x xLnyxx x

→∞ →∞ →∞

−

+ += = = =

+−

1

1( ) :1n

n

nn

∞

+

− +

1 1lim lim ( )1 1x x

n nLny nLn Lny n Lnn n→∞ →∞

− −= ⇒ =+ +

2

2

( 1) ( 1)( 1) 01 1( ) 0( 1)( 1)1 1lim lim 01 1 1 ( 1)( 1)x x

n nnn nLn n nn n

n nnn n

→∞ →∞

+ − −+− − − ++ += = = =

− +−

0lim 1x

y e→∞

= =

٦ صمحمد قاسمي:تهيه 6:فحهشماره


0

:n

nn

eπ

∞

=

( ) ( ) lim lim ( ) lim 01n

x x x

eLne e eLny Ln Lny nLn Lny nLnn

ππ π π→∞ →∞ →∞

= ⇒ = ⇒ = = =

lim( ) 0,( 1)n

x

e eπ π→∞

= <

1

( ) :2 n

nnCos π ∞

=

lim ( )2x

nnCos π→∞

{ }2

14 :

nn n n

∞

=− −

2 2 22

2 2 2

4 4 4 4lim( 4 ) lim4 44 4 (1 ) (1 )n n

n n n n n n n nn n nn n n n n n n n n nn n

→∞ →∞

+ − − +− − × = = =

+ − + − + − + −

4 4 224(1 1 )

n nnn n

= = ++ −

1 01 2 , 1:{1, 3, 1 2 3 ,...}n na a a+ = + = + 2 2

1lim lim 1 2 1 2 1 2 2 1 0n nn na a l l l l l l+→∞ →∞

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ − − =

2

1

( !) :(2 )! n

nn

∞

=

(1 2 ... )(1 2 ... ) (1 2 ... )lim lim(1 2 ... ) ( 1) ... ( ) ( 1) ... ( )n n

n n nn n n n n n n→∞ →∞

× × × × × × × × ×= =× × × × + × × + + × × +

1 2 1 1 1 1... ( )( )...( ) ( ) 01 2 2 2 2 2 2

nnn n n

= × × × ≤ = →+ +

7


7: صفحهشماره آرمندقايآ:استاد

فصل دومهاقضاياي همگرايي ، سري توانيسري

: سري هاي متناهي. تعريف

ي }دنباله }na1اين صورت مفروض است در 21

...nna a a

∞

== + )سري( را يك سري نامتناهي∑+

كه.گوييم1

n

n kk

S a=

= .ام از اين سري گويندn را مجموع جزئي∑

. همگرايي زير را ثابت كنيد)؟

1

1 :( 1)n n n

∞

= +∑

1 1

1 1 1( )( 1) 1

n n

nk k

Sk k k k= =

= = −+ +∑ ∑

1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ... ( ) ( )2 2 3 1 1nS n n n n

= − + − + + − + −− +

1

1lim 1 1( 1)nn n

Sn n

∞

→∞ =⇒ = ⇒ =

+∑111nS n

= −+

1( ) :

1n

nLnn

∞

= +∑

1 1( ) ( ( 1)

1

n n

nk k

kS Ln Lnk Ln kk= =

= = − ++∑ ∑

( 1 2) ( 2 3) ... ( ( ) ( 1)) 1 ( 1) ( 1)nS Ln Ln Ln Ln Ln n Ln n Ln Ln n Ln n= − + − + + − + = − + = − +lim lim( ( 1))nn nS Ln n

→∞ →∞= − + = −∞

:سري هندسي

سري نا متناهي0

( , ), n

na r ar

∞

=

∈ : را يك سري هندسي گويند بطوريكه�∑

11

0...

nk n

nk

S ar a ar ar−

−

=

= = + + +∑1

2 1

0...

nk n n

nk

rS r ar ar ar ar ar−

−

=

= = + + + +∑(1 )(1 ) (1 )1

nn n

n n n na rS rS a ar S r a r S

r−

− = − ⇒ − = − ⇒ =−

٨ 8:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه

، سري تواني قضاياي همگرايي سري ها

, 1:(1 )lim lim 11 1:

n

nn n

a r aو rS rr r �

→∞ →∞

<− = → −− >/3. مثال 3 3/ 333...=

0

3 3 1 1 1 3 3 30 103/ 3 3 ... 3(1 ...) 3 1 910 10 10 100 10 9 3110 10

n

n

∞

=

= + + + = + + + = = = = = −

∑

:سري هارمونيك

سري نامتناهي0

1n n

∞

=س∑ :ري واگرا است زيرا را

1

1 1 11 ...2

n

nk

Sk n=

= = + + +∑2

121

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ... ( ... )2 3 4 5 6 7 8 2 2

n

n n nk

Sk −

=

= = + + + + + + + + + + + =∑11 1 2 1...

2 2 2 2

n

n n n

−

> + + = =1 1 1 1 18 8 8 8 2

> + + + =1 1 14 4 2

> + =

2 21 lim lim(1 ) lim

2 2n n Nn n n N

n nS S S→∞ →∞ →∞ →∞

> + ⇒ > + = ∞ ⇒ = ∞ ⇒ = ∞

. يا واگرا برداريم باز هم سري همگرا يا واگرا استاگر تعداد از يك سري همگرا

):شرط الزم همگرايي.(قضيه

فرض كنيم سري نامتناهي1

nna

∞

=lim همگرا باشد در اين صورت∑ 0nn

a→∞

=

:اثبات داريم1

n

n kk

S a=

= و از اينكه سري∑1

nna

∞

=): همگراست در اين صورت بنا به تعريف∑ )L R∈

lim nnS L

→∞=

1 1: lim lim lim limn n n n n n nn n n nn N S S a S S S a− −→∞ →∞ →∞ →∞

∀ ∈ = + ⇒ = = +

lim lim 0n nn nL L a a

→∞ →∞= + ⇒ =

p q q p⇒ ≡ ⇒∼ ∼

lim اگر:نتيجه 0nna

→∞سري نامتناهي آنگاه≠

1n

na

∞

=. واگرا است∑

:سري هاي زير واگرا هستند زيرا:مثال

lim 11n

nn→∞

=+

واگرا:1 1n

nn

∞

= +∑2

2

2 ( 2)2 ( 2) 2lim2 2

n n nH H

n

Ln Lnn n→∞

= = = 2 واگرا:∞1

2n

n n

∞

=∑

9



1lim 1n

n nn

∞

→∞ = واگرا:∑=

1

n

nn

∞

=∑

: اعمال جبري روي سري ها

.موجودند∑na∑،nb در سري نامتناهي

1 1: n n

n nc R c a ca

∞ ∞

= =∈ =∑ ∑)1

واگرا±گراهم= واگرا1 1 1( )n n n n

n n na b a b

∞ ∞ ∞

= = =± = ±∑ ∑ ∑)2

ت مثبت :سري هاي با جمال

سري نامتناهي1

nna

∞

= اگر) سري مثبت گوييم( را يك سري با جمالت مثبت مي گوييم∑

:) در نهايت( : 0nk N n k a∃ ∈ ∀ > ≥, 0nn a∀ ≥

: آزمون مقايسه

: مفروض هستند بطوريكه∑naو∑nbسري هاي مثبت

. همگرا است∑na همگرا باشد آنگاه سري∑nbاگر سري) الف

. واگرا است∑nb واگرا باشد آنگاه سري∑naاگر سري)ب

: آزمون حد

lim: مفروضند بطوريكه∑nbو∑naسري هاي مثبت n

nn

a lb→∞

=∑

(0 )l≤ ≤ ∞lim (0 )n

nn

a l lb→∞

= ≤ < ∞∑: در اينصورت

0اگر) الف l≤ < . همگرا است∑na همگرا باشد آنگاه∑nbو سري∞

0اگر)ب l< ≤ . واگرا است∑na واگرا باشد آنگاه∑nbو سري∞

1: مثال 1n n

واگرا≥

1 واگراn∑⇒1آزمون مقايسه واگرا 1: :n

nn∀ ≥

1

1n n

∞

=∑

22

2

1

lim lim 11( 1)

n n

n nnn

n n→∞ →∞

+= = < ∞

+

همگرا1

( 1)n

n n∀

+∑21

1n n

∞

=∑

١٠ 10:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


2همگرا

1n∑⇒آزمون حد

واگرا2

2

1limn

nn n→∞

+ = ∞−

2

22

1 :n

nn n

∞

=

+−

∑2

2 2 22

22

1( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1(1 ) 1

nn n n n n nn nn n n nn n n

++ + +− = = = =− − −

221 1

11

n n

n

+= = + = ∞−

:آزمون انتگرال

)فرض كنيم )f xي ] يك تابع مثبت پيوسته بر بازه و نزولي بطوريكه∞,1( ) باشد )na f n=n N∀ ∈

در اين صورت1

nna

∞

=و فقط اگر∑ همگرا است اگر

1

( )f x dx∞

. همگرا باشد∫

:اثبات1

2 3 1111

1 12 1

1 11

... ( )

( )

lim ( )

n

n

nn

n kk

nn

a a a f x dx

S a a f x dx

S a f x dx

+

+

++

+=

∞

+→∞

+ + + >

− = > − >

∫

∑ ∫

∫

1

1 21

1

1 11

1 1

... ( )

( )

lim lim ( ) ( )

n

n

nn

n kk

n

nn n

a a a f x dx

S a f x dx

S f x dx f x dx

+

+

=

+ ∞

→∞ →∞

+ + + >

= > > =

∫

∑ ∫

∫ ∫

.ي كنيد رفتار سري هاي زير را بررس: مثال

آزمون انتگرال2

1 :lnn n n

∞

=∑

1ln ,ln

2 2 ln 22 ln 2ln

1 1 1lim limln ln

v u dv dxxu u

x ux vx u v u

dx dx dvx x x x v

= =∞

→∞ →∞= → = = → =

= =∫ ∫ ∫

واگراln

lim(ln ) lim(ln(ln ) ln(ln 2)ln 2u u

uv u

→∞ →∞= = − = ∞

31

1 :n n

∞

=∑

همگرا2

33 2

1 1

1 1 1 1lim lim( ) lim( )12 2 2 2

u uxdx x dux u

∞ −−= = = − + =

−∫ ∫

11



سري:تعريف1

1p

np

n

∞+

=∈ :سري گوييم كه داريم-pرا يك�∑

1p اگر)الف .سري همگرا است باشد<

1p اگر)ب . باشد سري واگرا است≥

1p بديهي است در حالتي كه اوالً:زيرا 0p را= سري واگرا است حال كافي است نشان-pباشد≥

0سري براي-pدهيم 1p< و براي> 1p واگرا براي اين منظور از آزمون انتگرال استفاده. همگرا است<

. مي كنيم

]تنزولي،پيوسته،مثب ]1,+∞0>p1( ) pf xx

=

1 1

1 1

0 11 1lim lim( ) lim

11 1 11 1

1

x p pp

p

p وا ��اux udx x dx

x p p pp ه"!��ا

p

∞ − + −−

∞ < <= = = − = − + − − − >

−

∫ ∫

.رفتار سري هاي زير را بررسي كنيد)؟

آزمون حد1

1sin :n n

∞

=∑

واگرا1

00

1sin sinlim lim 11

xn

nn xx

xnx

n

=

→∞→∞ → →

= =

آزمون حد0

2 1 :3 1

n

nn

∞

=

++∑

2 13 (2 1)3 1lim lim

2 2 (3 1)3

n

n nn

n n n

n

+++⇒ =+

1 12 (1 ) 122 2lim lim( ) lim 0 1 01 133 (1 ) 13 3

nn nn

nn n

+ += × = × =

+ +

همگرا

113 2 1 2 3 2lim( ) lim lim( ) lim( ) lim 1 112 3 1 3 2 13

n nn n nnn n n

n

→∞ →∞ →∞

++= × = × × = ≤+ +

١٢ 12:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


1

12 sin :3

nn

n

∞

=∑

همگرا

1 12 sin 23 3lim lim 1 0

2 23 3

n nn n

n n

n n

×⇒ = = >

0 0limsin limx x

x x→ →

≈0×∞

11

1 1 :n

n nn n n n

∞

==∑

آزمون حد

1

lim lim 11n

n

nn nn n

n

= =

1 11

1lim ln ln lim ln 01

Hn n n nn n y y n n

n= = ⇒ = = = =

0lim 1n n e= =

1همگرا( 1)n n +2

ln nn

≤21

ln :n

nn

∞

=∑2

1

lnn

nn

∞

=≤∑

سري فوق همگرا است2

32

ln 1lnlim lim lim 01 1

2

Hn

nn nn

nn

∞= = → =∞

آزمون حد

1

1 :( 1)( 2)n n n n

∞

= + +∑

1pسريpيكدر اگر(سري همگراست >(

32

1( 1)( 2)

lim 11n n n

n

+ +=

2 آزمون انتگرال1

arctan :1n

nn

∞

= +∑2

1arctan ,1 arctan 1

41 arctan(1)4

arctan

arctan1lim lim2

4

x v dv dxx u

x v

x u v u

uvdv vπ

ππ

= =+

= → = = = → =

== ∫2 21 1

arctan arctanlim1 1

ux x dxx x

∞=

+ +∫ ∫

همگرا است2 2 2

1 2 21 3(tan )2 32 8 32 32

u π π π π−= − = − =

13



32

1 :(ln )n n n

∞

=∑

3 3 31 2 2

1 1lim lim(ln ) (ln )

u u dvdx dxx x x x v

∞= =∫ ∫ ∫

همگرا2

1ln , 2 2l

2 2 2 2lnln2 ln 2

ln 1 1 1 1lim lim lim( ) 0ln 22 2 2(ln ) 2(ln ) 2(ln ) 2(ln )

v x dvx

nx u ux

nv vu u u u

= = − −

→∞= → = →

= = − + = + =− −= ∫

3

1 :(ln )(ln(ln ))n n n n

∞

=∑

1

ln(ln ),ln ln(ln )

ln(ln3), 33 3

n(ln )1 1lim lim lim(ln )ln(ln 3)(ln )(ln(ln )) (ln )(ln(ln ))

xu x dux u

x x u xx x

udvdx dx vx x x x x x v

= =∞ ∞

→∞ = == =

= ==∫ ∫ ∫

lim(ln(ln(ln )) ln(ln(ln(3)))u= − = ∞

آزمون انتگرال2

1 :lnn n n

∞

=∑

{

1ln ,ln ln

1ln 2 ln 2ln1 2 22 ln 2

1 1lim lim limln ln

v x dvu x u u

x u v ux v

dv dvdx dxx x x x v v

= =∞

= → == → =

= = = ==∫ ∫ ∫ ∫

12 ln

lim lim(2 ln 2 ln 2)1 ln 22

u

uv u→∞

= = − = ∞

2

1

( !) :2 !n

nn

∞

=∑

2

2

(( 1)!)( 1) !( 1) !(2 )! ( 1)( 1) 1(2 2)! lim lim lim 1

( !) (2 2)(2 1)(2 )! ! ! 2( 1)(2 1) 4 42 !

nn n n n n n n nn

n n n n n n n n nn

++ + + ++ ⇒ = = = <+ + + +

2

2

ln( ) :n

nn

∞

=∑

22 2 2

22 2 2

2

ln( 1)( )(ln( 1)) (ln( 1))( 1).lim lim lim( ) limln ( 1) (ln ) 1 (ln )( )

nn n n nnN n n n n n

n

++ ++ = = × =

+ +

22 2

2

1lim( ) (ln lim( )) 1 lim(ln1) 1 0 02 1

H n nn n n

+= × = × = × =+ +

١٤ 14:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه

، سري تواني قضاياي همگرايي سري ها2

32 222

2

32

(ln )(ln ) (ln ).lim lim lim1

nn n nnMn n

n

∞= = =∞

1 42( ) ln 4ln 8lim lim lim 01 12 2

H Hn nn nn n

n n

∞→ = = → = =

∞

2

1

:nn

ne

∞

=∑

2

2 2( 1)1

2 2 1 2

( 1)( 1) 1lim lim lim lim 1

nnn

nn

n

na n e ne

na n e n e ee

++

+

++= = = = <

21

sin1 :n

nn

∞

=∑

2 2

2

2

sin1 1sin1lim lim 2sin 11 1

nn nn

nn n

= = =

ln(ln )

10

2 :ln

n

n n n

∞

=∑

ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln(ln )

1 ln(ln10)10 ln(ln10)10 10 101

ln ln

ln(ln )2 2 1lim lim lim 2 lim 2 lim 2ln(ln10)ln ln ln 2

u ux x v x x u v u uv v v

x vxdvx x nx

udv dv

x x x x

∞ = = → =

= → =

= =

= = = =∫ ∫ ∫ ∫

ln(ln ) ln(ln10) ln(ln10)1 1lim (2 2 ) ( 2 )ln 2 ln 2

u − = ∞ − = ∞

: سري متناوب

}دنباله مثبت } 1n na ∞

=1 مفروض است سري

1( 1)n n

na

∞−

=

. را يك سري متناوب گويند∑−

:آزمون سري متناوب

1سري متناوب

1( 1)n n

na

∞−

=

: همگرا است هر گاه∑−

}دنباله مثبت) الف }naنزولي باشد .

lim)ب 0nna

→∞=

15



:براي مثال

1

1

1 11 1( 1)

1lim 0

n

n

n

n nn

n

∞−

=

→∞

> +− =

و∑2 2

12

12

1 11 ( 1)( 1)

1lim 0

n

n

n

n nn

n

∞−

=

→∞

> +− =

∑

سري هاي زير را بررسي كنيد؟رفتار)؟

) رشد صورت بيشتر از مخرج( نزولي2

1

1

( 1) :nn

n

ne

∞−

=

−∑2 2 2lim 0H H

n n nn

n n ne e e→∞

= = = =∞

1

1

1( 1) ln( ) :n

n

nn

∞+

=

+−∑

2 نزولي 1 2 1ln( ) ln( ) ( 2) ( 1) 0 11 1

n n n n n n nn n n n

+ + + +< ⇒ < ⇒ + < + ⇒ < ⇒+ +

1 1lim ln( ) 0 ln lim( ) ln1 0n n

n nn n→∞ →∞

+ += ⇒ = =

1 رشد مخرج بيشتر از صورت نزولي

2

ln( 1) :n

n

nn

∞+

=−∑

1ln 2 2 2 1 1lim lim lim 01 1

2

H H Hn n nnnn n

n

×= = = = = =∞

:تعريف

نامتناهي سري1

nna

∞

= را بطور مطلق همگرا گوييم اگر سري∑

1n

na

∞

=. همگرا باشد∑

اگر سري !)1

nna

∞

=سري( همگرا باشد،اما نه بطور مطلق∑

1n

na

∞

=را) همگرا نباشد∑ در اين صورت سري

.ط گوييم همگراي مشرو

: مثال

واگرا1 1 1

1 1 1( 1) ( 1)n n

n n nn n n

∞ ∞ ∞

= = =

− → − =∑ ∑ ∑

2بطور مطلق همگرا 21 1

1 1n nn n

∞ ∞

= =

=∑ ∑

١٦ 16:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


( اگر سري بطور مطلق همگرا باشد در اين صورت خود سري نيز همگرا است.قضيه همگرا.1

nna

∞

=∑

همگرا1

nna

∞

=∑(

} فرض كنيد تابع:تعريف } { }: 0 0g →�∪ )و∪� ) kg k n=دوسويي باشد در اين صورت سري

0nk

ka

∞

= يك تجديد آرايش سري∑

0n

na

∞

=. مي باشد∑

0 1 100 1010 0

... ...n nkn ka a a a a a

∞ ∞

= == + + + + + =∑ ∑

1مي دانيم سري)؟

1

1( 1)nn n

∞−

= همگرا است تجديد آرايشي از سري فوق بدست آوريدS به عددي مثل∑−

كه به عدد2Sهمگرا باشد .

1

1

1 1 1 1 1 1 1( 1) 1 0 0 0 ...2 3 4 5 6 7

n

nS

n

∞−

== − = + − + + − + + − + +∑

1 1 1 1 1 10 0 0 0 ...2 2 4 6 8 10 12S = + − + + − + + − + +

1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 2 4 3 8 5 10 12 7SS − = − − + − + − − + +

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1) 1 ...2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

nS

n

∞−

== − = − + − + − + − + − +∑

تمام عناصر2Sدر Sاست اما بطور نا منظم

2S S= ⇐

اگر سري.قضيه1

nna

∞

= بطور مطلق همگرا باشد در اين صورت هر تجديد آرايش از سري فوق به همان∑

.عدد همگرا است

بطور مشروط همگرا باشد براي هر عدد حقيقي مي توان تجديد آرايشي ساخت كه به∑na سري ولي اگر

.آن همگرا باشد

:آزمون نسبت

براي سري نامتناهي0

nna

∞

=1lim اگر∑ n

nn

a la

+

→∞آن(= lكه در = :در اين صورت)اند باشد نيز مي تو∞

0اگر) الف 1l≤ . بطور مطلق همگرا است∑na در اين صورت سري>

→nاگر)ب ∞1l l يا< = . واگرا است∑na در اين صورت سري∞

17



1lاگر)ج .اين آزمون بي نتيجه است=

:آزمون ريشه

براي سري نامتناهي0

nna

∞

=lim اگر∑ n

na l=كه در آن Lمي تواند

:در اين صورت. عدد يا بي نهايت باشد

0گرا)الف 1l≤ . بطور مطلق همگرا است∑na در اين صورت سري>

1lاگر)ب l يا< = . واگرا است∑na در اين صورت سري∞

1lاگر)ج .اين آزمون بي نتيجه است=

( . آزمون ريشه قوي تر از آزمون نسبت مي باشد!

. رفتار سري هاي زير را بررسي كنيد: مثال

0

1 :!n n

∞

=∑

همگراست

1!( 1)!lim lim 0 11 ( 1) !

!

nnn n

n

+ = = <+

آزمون نسبت

11( )!ny

n1 مبهم= 0lim

! 0n

n n→∞ آزمون ريشه=

1

2

1 1 1 1 1 1ln ln( ) ln ln lim ln lim ln (ln1 ln !)! !

ny y y nn n n n n n

= ⇒ = ⇒ = = −

0e∞ =

1ln ! ! 1 2 ...lim ln lim ln( 1)1

ln !

n n nn nn n n

n

× × ×= = ⇒ = = − = ∞

1

!( 1) :nn

n

nn

∞

=

−∑

همگرا است

1 ( 1)!( 1)!( 1)( 1)( 1)lim lim lim( ) 1! ( 1) !( 1) 1( 1)

nn

nnn nn

n

nn n n nn n

n n n n nn

+

∞

→∞ →∞

+−++ + = = =

+ + +−

11 1 1lim lim 11 1( ) (1 )n nen e

n n

−= = = = <+ +

١٨ 18:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


! 1 ! 1?) lim ! lim lim (*)n

n nnn n

n nnn e n e→∞ →∞

= = ⇔ =

1! 1 1.2... 1 1 2(*) : ( ) ln ln( ) ln( . ... ). ...

nn

n n ny yn n n n n n n n n

= ⇒ = =

1 1

01

11 1lim ln lim ln( ) ln ln (0 1) (0 0) 1 lim0

n

i

iy ndx x x x y en n e

−

=

= = = − = − − − = − ⇒ = =∑ ∫

( 1)( 2)...2 4?) lim lim (*)...

nn n

n n nn n e→∞ →∞

+ + =

1( 1)...2 1 1 2(*) ( ) ln ln(1 )(1 )...(1 )...

nn n ny yn n n n n n+= ⇒ = + + +

{]

1 ,1 2 2

10 10 11 1 2

1lim ln lim ln(1 ) ln(1 ) ln ( ln )n r x dr dx

x ri x r

iy x dx rdr r r rn n

= + =

= → == = → =

⇒ = + = + ⇒ = −∑ ∫ ∫

ln 4ln 4 1 4(2 ln 2 2) ( 1) 2 ln 2 1 ln 4 1 lim ey e

e e−= − − − = − = − ⇒ = = =

lim (2 1)(2 2)...(2 ) :n n n n+ + + 27 (2 1)(2 2)...3 27lim lim4 4

nn

n n n ne n e

+ += = =

: نكته2

3

4 4lim (2 )! lim ! ( 1)...(2 )nn n n n nn n n ne e e

= × + = × = 2 3

2 3

4 27 27lim (3 )! lim 2 ! (2 1)...(3 )4

nn n n n nn n n ne e e

= × + = × =

. رفتار سري هاي زير را بررسي كنيد)؟2

1

:(2 1)!n

nn

∞

= −∑2

2 21

2 2 2

( 1)( 1) (2 1)! ( 1) (2 1)!(2 1)!lim lim lim lim

(2 1)! (2 1)2 (2 1)!(2 1)!

n

n

na n n n nn

na n n n n n nn

+

++ − + −+= = = =

+ + −−

2

2 2

2 1lim 0(4 2 )n nn n n

+ += =+

19



1( 1) :2 !

nn n

n−−∑

1

1

2

( 1)( 1) 2 ! ( 1) ( 1) ( 1) 1(2 2)!lim lim lim lim(2 2)! (2 2)(2 1) 2(2 1)

(2 1)!

n

n n

n n

nn n n n n nn

n n n n n n n nn

+

++

+ + + ++ = = = × =+ − + +

−

0 0 1e= × = <

2

1

10 :

n

nn nπ

∞

=∑

12

1 11 2 2 2

12 2 2

1010 10 10 10( 1)lim lim lim lim

( 1)10 10 ( 1) 10 ( 1)

n

n nn nn

n n nn n

n

n n nnnn n

n

π πππ

π π ππ

+

++

+

+ = = = =++ +

10 10 3.16lim 13.14

nnπ π π

= = = >+

1

!(2 !) :3 !n

n nn

∞

=∑

( 1)!(2 2)!( 1)!(2 2)!3 ! ( 1)(2 2)(2 1)(3 3)!lim lim lim!(2 !) (3 3)! !(2 !) (3 3)(3 2)(3 1)

3 !

n nn n n n n nn

n n n n n n n nn

+ ++ + + + ++ = = =

+ + + +

3

3

4 4lim 127 27nn

= = <

1

1.3.5...(2 1) :3.6...(3 )n

nn

∞

=

−∑1.3.5...(2 1)

1.3.5...(2 1)3.6...(3 ) 2 1 23.6...(3 3)lim lim lim1.3.5...(2 1) 3.6...(3 3)1.3.5...(2 1) 3 3 33.6...(3 )

nn n nn

n n n nn

++ ++ = = =

− + − +

11

( 1) :n

nn

nn

∞

+=

+∑

بي نتيجه( 1) ( 1)lim lim 1

n

nn n

n nn n n n+ += =

٢٠ 20:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


چون1n

واگرا است پس واگرا1

1

( 1)( 1) ( 1)lim lim lim1

n

n nn

n n

nn n n nn en n n

n

+

+

++ += = =

1

1 :1

n

n

nn

∞

=

− +

∑

1 1 1lim lim 11 1 1

n

nn nn n

− − − = = = + + +

n n nn n1-n (-1)(n-1) 1-n n+1-2lim =lim =lim(-1) = lim(-1)n( ) =

1+n 1+n 1+n n+1

2

n

2

2lim( 1) lim(1 )-2 1=lim(-1)n(1+ )

2n+1 lim( 1) lim(1 ) ( )1

n n

n n

en

en

−− − + = += − − + = − +

( ارد يعني صفر نيست پس واگرا است حد منحصر به فرد نيست پس حد ند .lim(1 )n aa en

+ =(

1

! 19( ) :7

nn

n

nn

∞

=∑

11

1

( 1)! 19 19 19 19( ) ( 1) 19( 1) 7 7 7 7lim lim lim lim 0 / 99 1! 19 1 1( 1) 7( ) ( ) (1 )7

n nn

nn n n

n

nn nn

n nn en n n

++

+

+++ = = = = <++ +

�

0( )nn

na x c

∞

=2 صعودي است اگر يك تابع صعودي در مخرج باشد∑−

2

( 1) :(ln )

n

n n

∞

=

−∑

به آزمون سري هاي متناوب همگرا است 2 بنا

1lim 0(ln )n

=

و نزولي است 2 مثبت

1(ln )na n

=

21



:يسري هاي توان

}و دنباله نامتناهيx متغير.تعريف }naوض است در اينصورت سري مفر0

nn

na x

∞

= را يك سري تواني∑

).يك سري تواني حول نقطه صفر گوييم( گوييم

و همينطور سري0

( )nnna x c

∞

=. گوييمc را يك سري تواني حول نقطه∑−

شعاع همگرايي1

1

0 1

lim 1 limn

n n nn n n nn n

a x aa x x Ra x a

+∞+

→∞= +

→ < ⇒ < =∑

] [[ [] ][ ]

,

,

,

,

R R

R R

R R

R R

−

−

− −

0

0

( )

nn

n

nn

n

x R a R

x R a R

∞

=

∞

=

= → = − → −

∑

∑

1lim شعاع همگرايي 1 limnn

nn

a x x Ra

→ < ⇒ < آزمون ريشه=

( ي همگرايي بازه اي است كه به ازاي آن دنباله همگرا است! .بازه

سري هاي تواني زير را بدست آوريد؟ بازه هاي همگرايي:مثال

زمون نسبتآ1

:1

n

n

xn

∞

= +∑1

1 22lim 1 lim 1 lim2 1

1

n

n

xn nn x x

x n nn

+

+ ++ < ⇒ < ⇒ <+ +

+

بنابه آزمون سري هاي متناوب همگراست1

( 1)11

n

nx

n

∞

=

−= − ⇒+∑

بنابه آزمون حد واگراست1

1(1) 11 : 111

n

n

nxn

n

∞

=

+= ⇒ =+∑

lnآزمون ريشه

1:n n

nn x

∞

=∑

( ) ( )1

ln

ln ln 1lim 1 lim 1 lim 1n

nn

n n nn n x x n x Rn

< ⇒ < ⇒ < = =

٢٢ 22:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


( )ln2

12ln 2lnln lnln ln limln lim 2 lim 01 1

nn

H Hnnn nn ny n y n yn n n

×= ⇒ = ⇒ = = = = =

0lim 1y e= =

lnواگراست

11 ( 1)n n

nx n

∞

== − ⇒ −∑

ln واگراست

11 n

nx n

∞

== ⇒ ∑

ln 2ln ln (ln ) (ln ) lim ( )ny n y n n n y e+∞= ⇒ = = =⇒ = ∞ = ∞

آزمون ريشه2

1

1(1 ) :n n

nx

n

∞

=+∑

21 1 1 1lim (1 ) 1 lim (1 ) 1 lim 1(1 )

n n nnn n

x x x x Rn n e

n→∞

+ < ⇒ + < ⇒ < ⇒ < =+

واگرا

2

2

1 1 1

11 (1 )(1 )1 1 1(1 ) ( ) 1

nnn

nn n

n n nn n n

ennxe n e e e e

∞ ∞ ∞

= = =

++ = ⇒ + = = = =∑ ∑ ∑

موجود نيست

2

2

1 1 1

11 (1 )(1 )1 1 1(1 ) ( ) ( 1) ( 1)

nnn

n n n nn n

n n n

nnxe n e e e

∞ ∞ ∞

= = =

++ = − ⇒ + − = − = − = ∅∑ ∑ ∑

آزمون نسبت3

3

1

( !) :(3 )!

n

n

n xn

∞

=∑

33 3

3 33 3

3 3 33

(( 1)!)(( 1)!) (3 )! (3 3)!( !)(3 3)!lim 1 lim 1 lim

( !) (3 3)!( !) (( 1)!) (3 )!(3 )!

n

n

n xn n n nn x x

n n n n nxn

+++ ++ < ⇒ < ⇒ <+ +

3 2

3 3 2 2

(3 3)!( !) (3 3)(3 2)(3 1) 3(3 2)(3 1) 27lim lim lim lim 27(( 1)!) (3 )! ( 1) ( 1)

Hn n n n n n n nn n n n n

+ + + + + += = = =+ + +

3 327 27 3x x x⇒ < ⇒ < ⇒ <

.بازه همگرايي سري هاي زير را بدست آوريد)؟

21

3 2( ) :n n

n

nx

n n

∞

=

+∑

23



2

1

( 4) :!

n

n

xn

∞

=

−∑

2

1

:2

n

nn

x∞

=∑

1

1 1(1 ... ) :2

n

nx

n

∞

=+ + +∑

4

1

2 4 ... (2 ) :1 2 ... (2 1)

n

n

n xn

∞

=

× × ×× × × −∑

1

110 ( ) :5

n n

n

x∞

=

−∑

1

:n

n nn

xa b

∞

= +∑

2

( 1) :ln

n

n

xn n

∞

=

+∑

2

1

! :3

n

nn

n x∞

=∑

1

1 1(1 2 ... ) :nn

xn

∞

=+ + +∑

1

(4 ) :ln

n

n

xn

∞

=∑

2

1

1 4 ... (3 1) :1 5 9 ... (4 1)

n

n

n xn

∞

=

× × × +× × × × +∑

1

:1

n

n

xn

∞

= +∑

سري تواني.تعريف0

nn

na x

∞

=و تابعI با بازه همگرايي∑ بصورت زير تعريفI در بازهf مفروض است

: شده است

٢٤ 24:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


0: ( ) n

nn

x I f x a x∞

=∀ ∈ = ∑

و همينطور سري توانيfدر اينصورت تابع مجموع سري تواني فوق گويند0

nn

na x

∞

=f را بسط تابع∑

گ ي صفر .ويندحول نقطه

سري تواني.تعريف0

( )nnna x c

∞

=ي همگرايي∑− و تابعI با بازه يf مفروض است بصورتI در بازه

: زير تعريف شده است

0: ( ) ( )nn

nx I f x a x c

∞

=∀ ∈ = −∑

و همينطور سري توانيfدر اينصورت تابع مجموع سري تواني فوق گويند0

( )nnna x c

∞

= را بسط تابع∑−

fي . گويندcحول نقطه

( فرض كنيد شعاع همگرايي سري تواني!0

( )nnna x c

∞

=: شد، يعني عدد با∑−

1lim:آزمون ريشه 1 limnnn

nn

a x x Ra

< ⇒ < =

:آزمون نسبت1

1

1

lim 1 limn

n nn

n n

a x ax Ra x a

++

+

< ⇒ < =

و انتگرال گيري جمله به جمله از سري تواني فوق شعاع همگرايي تغيير نمي كند زيرا :با مشتق گيري

1:سري مشتق 1

0 1

n nn n

n nna x na x

∞ ∞− −

= ==∑ ∑

1:مون نسبت آز1

1 1

( 1)lim 1 lim lim1

nn n nn

n n n

n a x n a ax Rna x n a a

+−

+ +

+ < ⇒ < × = =+

:سري انتگرال1

0 1

nn

n

a xn

+∞

= +∑

: آزمون نسبت

21

11 1

( 2) 22lim 1 lim lim( 1) 1

1

nn

n nn

n n n

a xn a n an x R

a x a n n an

++

++ +

+ ++ < ⇒ < = × =+ +

+

( و انتگرال گيري از سري تواني! با مشتق گيري0

nn

na x

∞

=ي همگرايي ممكن است تغيير كند ولي∑ بازه

.شعاع همگرايي حتماً ثابت است

25



ي همگرايي اين سري را بازه همگرايي سري هاي مشتق ريال.مثال سري تواني زير مفروض است، بازه

و انتگرال محاسبه كنيد .مشتق دوم

2آزمون ريشه1

:n

n

xn

∞

=∑

[ ]2

122

21

11lim 1 lim 1,1

11 ( 1)

nnnn

n

n

xnx x n

n xn

∞

=

∞

=

= ⇒< < ⇒ − = − ⇒ −

∑

∑1 1

21 1

: , 1n n

n n

nx x Rn n

− −∞ ∞

= =

= =∑ سري مشتق∑

[ )

1( 1)11,1

11

n

xn

xn

− −= − ⇒ ⇒ −= ⇒

∑

∑2 2

0 2

( 1) ( 1): , 1n n

n n

n x n x Rn n

− −∞ ∞

= =

− −= =∑ سري مشتق دوم ∑

( )

22

2

( 1)( 1) 11 lim( ) lim( 1)1,1

( 1)(1) 11 lim 1

nn

n

n nxn nn nx

n n

−−

−

− − −= − ⇒ ⇒ × − ⇒ −− − = ⇒ ⇒ =

∑

∑1

20

: , 1( 1)

n

n

x Rn n

+∞

=

= سري انتگرال∑+

[ ]

1

2

2

( 1)1( 1)

1,111

( 1)

n

xn n

xn n

+ −= − ⇒ + ⇒ −= ⇒+

∑

∑

م ي همگرايي آن را بدست آوريد آيا مي توانيد راموجسري تواني زير مفروض است بازه ع سري تواني

.بدست آوريد

0

: lim 1 lim ! lim! !

n nnn

n

x x nx n Rn n e

∞

=

< ⇒ < = = ∞ =∑مي توان بدون محاسبه بازه همگرايي را نوشت∞چون ): عدد نيست , )I = −∞ +∞

1 1

0 0 1

( , ) : ( ) ( )! ! ( 1)!

n n n

n n n

x nx xx f x f xn n n

− −∞ ∞ ∞

= = =

′∀ ∈ −∞ +∞ = ⇒ = =−∑ ∑ ∑

0

1 01: ( ) ( )

!

k

k

n k xk n f x f xn k k=

= ⇒ = ′= − ⇒ = = → ∞ ⇒ = ∞∑

٢٦ 26:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


( ) ( ) ( )( , ) : ( ) ( ) ( ) 0 1 1( ) ( )f x f xx f x f x f x dx dxf x f x′ ′

′∀ ∈ −∞ +∞ = = ⇒ = ⇒ =∫ ∫( )

ln ( )

( )ln ln ( )

u f uf x x c

du f u du

du x c u x c f x x c e eu

=+

′== + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =→ ∫

0( ) ( ) (0) 1 1 ( )x c x c xe e e ke

x c u x xf x e ke f u ke f ke k k f u e+ = × =

+= = ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = ⇒ =

( )0

, :!

n

n

xx exn

∞

=

∀ ∈ −∞ +∞ = ∑

فرض كنيد سري تواني. قضيه0

nn

na x

∞

= موجود است در اين صورت تابع مجموع آنRبا شعاع همگرايي∑

0: ( ) n

nn

x I f x a x∞

=∀ ∈ = ∑

) هر به ازاء ),x R R∈ و مشتق آن بصورت زير محاسبه مي شود − :مشتق پذير است

( ) 1

1, : ( ) n

nn

x R R f x na x∞

−

=

′∀ ∈ − = ∑)به ازاء هر ),x R R∈ و انتگرال آن بصورت زير محاسبه مي شود − :انتگرال پذير است

( )1

01

, : ( )1

nx n

n

a xx R R f t dtn

+∞

=

∀ ∈ − =+∑∫

:آزمون رابر

1limاگر (1 )n

n

an La

+− آنگاه سري=0

nna

∞

=∑

1L مطلق همگراست اگر بطور) الف >

1Lواگراست يا به طور مشروط همگراست اگر)ب <

1Lاگر)پ .نوع سري با اين آزمون مشخص نمي شود=

.غلب اين آزمون وقتي بكار مي رود كه نوع سري آزمون نسبت قابل تشخصي نيستا

33

و تيلور توابع بسط مكلورن


فصل سومو تيلور توابع بسط مكلورن

بسط برخي توابع خاص

( )2

0

11) 1 ... 1,11

n

nx x x x

x

∞

== = + + + ∀ ∈ −

− ∑

( )( )1 1

20 1

12) 1,11

n n

n nnx nx x

x

∞ ∞− −

= =

= = ∀ ∈ −−

∑ ∑

( )( )2 2

30 2

13) ( 1) ( 1) 1,11

n n

n nn n x n n x x

x

∞ ∞− −

= =

= − = − ∀ ∈ −−

∑ ∑

( )2

0

14) ( ) 1 ... ( 1) 1,11

n n n

nx x x x x

x

∞

== − = − + − = − ∀ ∈ −

+ ∑

( )1

0 0 00 0 0

1 ( 1)5) ( ) ( 1) ln(1 ) 1,11 1

x x x n nn n n

n n n

xdt t dt t dt x xt n

+∞ ∞ ∞

= = =

−= − = − ⇒ + = ∀ ∈ −+ +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )222

0 0

16) ( 1) ( 1) 1,11

n nn n

n nx x x

x

∞ ∞

= == − = − = ∀ ∈ −

+ ∑ ∑

( ) ( )2 1

2 12

0 00 0

17) ( 1) tan ( 1) 1,11 2 1

x x nnn n

n n

xdt x dt x xt n

+∞ ∞−

= =

= − ⇒ = − ∀ ∈ −+ +∑ ∑∫ ∫

.براي توابع زير يك بسط بدست آوريد.مثال

( )2

1 :1 x+

( ) ( )( )

1 1 12

0 1 1

1 1( 1) 1,1 ( 1) ( 1)1 1

n n n n n n

n n nx x nx nx

x x

∞ ∞ ∞− + −

= = =

= − ∀ ∈ − ⇒ = − − = −+ +

∑ ∑ ∑

22 2(1 ) 12 2

xx xx xx

= =− − −

:2xx−

( ) ( )1

0 0

2 1 1,1 1,11 1

2 1

Xn n

n n

x XXX x X xx X X X

x X

∞ ∞× +

= =

=⇒ = ∀ ∈ − → = ∀ ∈ −

− −= − −

∑ ∑

( ) ( )1 1

1

0 0

1 2,22 2 2

n nn

n n

x x x xx

+ +∞ ∞+

= =

= = ∀ ∈ − − ∑ ∑

( )2

3 :1xx−

٣٤ 34:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه

اضي عمومي دوري

( )( )

( )12

0 1

1 11,1 1,11 1

n n

n nx x nx x

x x

∞ ∞−

= =

= ∀ ∈ − ⇒ = ∀ ∈ −− −

∑ ∑

( )( )

( )( )

2 22 2

3 32 2

2 1( 1) 1,1 ( 1) 1,121 1

xn n

n n

xn n x x n n x xx x

∞ ∞×−

= =

= − ∀ ∈ − → = − ∀ ∈ −− −

∑ ∑

. براي هر يك از توابع زير يك بسط بدست آوريد)؟

( )22:

1

x

x−

2

1 :3 2x x− +

1ln( ) :1xx

+−

2ln(1 ) :x x− +

sinh :2

x xe ex −=

:1 2xx+

سري تواني. تعريف1

( 1)...( 1)1!

n

n

r r r n xn

∞

=

− − �∋x را يك سري دو جمله اي گوييم كه در آن∑++

و بازه( مي خواهيم براي سري دو جمله اي يك تابع مجموع پيدا كنيم شعاع همگرايي اين سري يك بوده

)همگرايي )1,1−(

35



1

( 1)...( 1)( ) 1!

n

n

r r r nf x xn

∞

=

− − += +∑1 1

1 1

( 1)...( 1) ( 1)...( 1)( )! ( 1)!

n n

n n

r r r n r r r nf x nx xn n

∞ ∞− −

= =

− − + − − +′ = × = ×−∑ ∑

1

1 1

( 1)...( 1) ( 1)...( 1)( )! ( 1)!

n n

n n

r r r n r r r nxf x x nx xn n

∞ ∞−

= =

− − + − − +′ = × = ×−∑ ∑

1

( 1)...( 1) ( 1)...( 1)( )( ) ( ) ( )( 1)! ( )!

n

n

r r r n r r r n r nxf x f x r xn n

∞

=

− − + − − + −′ ′+ = + +−∑

1 1

( 1)...( 1) ( 1)...( 1)( ) ( ) (1 )( 1)! !

n n

n n

r r r n r n r r r nxf x f x r x r r xn n n

∞ ∞

= =

− − + − − − +′ ′⇒ + = + + = +−∑ ∑

1

( 1)...( 1)( ) ( ) (1 )!

n

n

r r r nxf x f x r xn

∞

=

− − +′ ′⇒ + = +∑

0 00 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ln ( ) ln 1( ) 1 ( ) 1

x xx xf x r f t rxf x f x rf x dt dt f t r t

f x x f t t′ ′

′ ′⇒ + = = ⇒ = ⇒ = ++ +∫ ∫

ln ( ) ln 1ln ( ) ln 1 ( ) 1 (1 )rr rf u x rf u x e e f u u u+= + ⇒ = ⇒ = + = +

( )0

( 1)...( 1)( ) (1 ) 1 1,1!

r n

n

r r r nf x x x xn

∞

=

− − += + = + ∀ ∈ −∑

: مقدار ميانگين.هقضي

: مشتق پذير باشد، در اينصورتa شامل نقطهI در بازهfفرض كنيد تابع

( ): ( ) ( ) ( )( ) ,x I f x f a f t x a t a x′∈ = + − ∃ ∈

:تعميم يافته مقدار ميانگين. قضيه

: دو بار مشتق پذير باشد، در اين صورت داريمa شامل نقطهI روي بازهfفرض كنيد تابع

( )2( ): ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,

2x ax I f x f a f a x a f t t a x−′ ′′∈ = + − + ∃ ∈

: تيلور. قضيه

يfفرض كنيد تابع a،2n شامل نقطهI در بازه : بار مشتق پذير باشد در اينصورت−

( )1

1( ) ( ): ( ) ( ) ( )( ) ... ( ) ( ) ,! ( 1)!

n nn nx a x ax I f x f a f a x a f a f t t a x

n n

++− −′∈ = + − + + + ∃ ∈

+

( )0

11

( )( ) ( )!

: ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ,( 1)!

knk

nk

n n nn

n

x aP x f ak

x I f x P x R xx aR x f t t a xn

=

++

−=∈ = +

− = ∃ ∈ +

∑

٣٦ 36:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


2n يك تقريب از درجه0cos47 با استفاده از قضيه تيلور براي.مثال و كران باالي= بدست آوريد

.خطاي اين تقريب محاسبه كنيد

0

0

1180 180

474 90

454

2

R R

x

a

n

ππ

π π

π

= ⇒ =

= = + = =

=

(3)

(4)

( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos

f x xf x xf x xf x xf x x

=′ = −′′ = −

==

2

2 2( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2!x af x P x f a f a x a f a R−′ ′′= + − + +�

20

( )90cos47 cos( ) cos ( sin )( ) ( cos )( )4 90 4 4 90 4 2!

ππ π π π π π= + + − + −�

3 33(3)

2 2

( ) ( )( ) 90 90( ) ( ) ( ) sin( )3! 4 90 3! 3!x aR x f t R t

π ππ π−= ⇒ + = ≤

و مكلورن تابع :بسط تيلور

بي نهايت بار مشتق پذير باشد در اينصورت سري نامتناهيa شامل نقطهIدر بازهf كنيد تابع فرض

0

( )( )!

nn

n

x af an

∞

=

0a گوييم؛ اگرa در نقطهfرا بسط تيلور تابع∑− f باشد آن را بسط مكلورن تابع=

.گويند

0

( ): ( ) ( )!

nn

n

x aa I f x f an

∞

=

−∈ =∑

و تنها اگر به خود تابع همگراست اگa در نقطهfبسط تيلور تابع. قضيه limر ( ) 0nnR x

→∞=

)بسط مكلورن تابع.مثال ) sinf x x=به) چند جمله اول آن را بنويسيد( را بدست آوريد آيا اين بسط

. خود تابع همگرا است

( )

0 0

3 5 7 3 5 7

2 11

0

( ) ( 0)( ) ( ) (0)! !

0 0 ( 1) 0 0 ...3! 5! 7! 3! 5! 7!

sin ( 1)2 1 !

n nn n

n n

nn

n

x a xf x f a fn nx x x x x xx x

xxn

∞ ∞

= =

−∞−

=

− −= ⇒ =

= + + + − + + + − = − + − +

= −−

∑ ∑

∑

(2)

(3)

(4)

( ) sin( ) cos

( ) sin( ) cos( ) sin

f x xf x xf x xf x xf x x

= ′ = = − = − =

37



طبق قضيه فشار1 1

1lim ( ) lim (sin ) lim 0( 1)! ( 1)!

n nn

n x tn n n

x xR x xn n

+ ++

=→∞ →∞ →∞= ≤ =

+ +

( )2 1

0

sin ( 1)2 1 !

nn

n

xx xn

+∞

=

= − ∀ ∈+∑ �

)بسط مكلورن تابع: مثال ) xf x e=اين بسط با خود تابع همگرا است ، .را بدست آوريد2( )

1 ...! 2!( )

x nx

x

f x e x xe xnf x e

= ⇒ = + + +′ =

∑( )0 !

nnx

x

xen=

∑

( )1 1

1lim ( ) lim( ) lim 0 0( 1)! ( 1)! !

n n nnx n t x xn x t x t

x x xR x e e e en n n

+ ++

= == = = ⇒ = =

+ + ∑2

0

(0) 1! 2!

nn

n

x xf xn

∞

=

= + +∑

( .بسط يك تابع در صورت وجود يكتا مي باشد!

و ثابت كنيد كه به خود اين توابع همگرا هستند)؟ .بسط هاي مكلورن توابع زير را بدست آوريد( ) sinh :f x x x= ∀ ∈�

( ) cos :f x x x= ∀ ∈�

( ) cosh :f x x x= ∀ ∈�

2( ) cos :f x x x= ∀ ∈�

2 3

1( ) :(1 )

f x xx

= ∀ ∈−

�

1( ) sinh :f x x x−= ∀ ∈�

٣٨ 38:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


٤٤ 44:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه

و قطبي و معادالت آنها در مختصات دكارتي مقاطع مخروطي

مچهارفصلو قطبي و معادالت آنها در مختصات دكارتي مقاطع مخروطي

: مقاطع مخروطي

خط) كانون( مجموعه نقاطي از صفحه كه از يك نقطه ثابت. سهمي يك) خط هادي(و يك به

. فاصله باشند

PF PQ=

2 2 2( ) ( )x y c y c⇒ + − = + 2 2 2( ) ( )x y c y c⇒ + − = +

2 2 2 2 22 2x y cy c y cy c⇒ + − + = + +2

2 44xx cy yc

⇒ = ⇒ =

بر: سهميمحور تقارن و خطي كه از كانون عبور كرده

.خط هادي عمود باشد محور تقارن سهمي است

( نقطه اي كه محور تقارن سهمي را قطع مي كند: راس سهمي )يكتا مي باشد.

( y,اگر در معادله فوق جاي! xرا عوض كنيم يعني2

4yxc

2يا(= 4y cx=(سهمي افقي مي شود .

P(x,y) F(0,c)

y=-c Q(x,-c)

c>0

F(0,c)

y=-c

c<0

F(0,c)

x = -c c>0

F(0,c)

x = -c

c<0

45



: سهمي استاندارد

موازي باشد به اين ترتيبyياxسهمي را استاندارد گوييم اگر محور تقارن آن با يكي از محورهاي

. يكي از دو صورت زير مي باشدمعادله آن به

( )2 2( ) ( )( ) 0, 0 ( )

4 4x a y by b c c x ac c

− −− = > < − =

:خاصيت انعكاسي

)2سهمي به معادله 0) 4c y cx> ي = 0و نقطه 0 0( , )P x yروي آن مفروض است در اينصورت معادله

t0 خط مماس بر سهمي در نقطه 0 0( , )P x yاست به صورت زير :

22 4dy dy cy cdx dx y

= ⇒ =

0 0

2T

P

dy cmdx y

= =

0 00

2: ( )cT y y x xy

⇒ − = −

) ها را در نقطهx محورTدر اين صورت بديهي است كه خط مماس ,0)Q x−قطع مي كند كه اين

: زيرا. متساوي الساقين است)0EPQ(مثلث2 2 2 2

0 0 0 0 0 0( ) 2 4FQ x c x c FP x c y x c x c x c= − − = + ⇒ = − + = + − +2 20 0 02x x c c FP x c x c= + + ⇒ = + = +

0كه به اين ترتيب 0FPQ T PT′∠ = .و اين را خاصيت انعكاسي مي گويند∠

2سهمي به معادله. مثال 2 8 9 0x x y− + + ؟= را رسم كنيد

2 22 1 8 8 0 ( 1) 8( 1)x x y x y⇒ − + + + = ⇒ − = − +2 2( 1)( 1)

( 1, 1)4( 2)cxy

o= −−

⇒ + = ⇒ = + −−

0 0 0( , )P x y

( ,0)F c( ,0)Q x−

:L x c= −

T

T ′α

α

(1, 1)O −

(1, 3)F −

٤٦ 46:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


cD

( ,0)B a( ),0A a−

C

( )1 ,0F c− ( )2 ,0F ca

b

: بيضي

مقداري ثابت) كانون هاي بيضي( مجموعه نقاطي از صفحه كه مجموع فواصل آن تا دو نقطه ثابت

. باشد

1 2 2PF PF a+ =

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + − + =

( )22 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 ( )x c y a x c y a x c y+ + = + − + − − +2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 ( ) 4 2 ( 2 )cx a a x c y c x a a cx a x c cx y⇒ − = − − + ⇒ + − = + − +

2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 1b a c x yb x a y a b

a ba c= −⇒ + = ⇒ + =>

:ويژگي هاي بيضي

و• داراي دو محور تقارن بوده بطوريكه يكي از آنها خطي است كه دو كانون را به هم وصل مي كند

1محور تقارن بعدي عمود منصف پاره خط 2FFاست .

و بيضي را قطع مي كند• را رئوس بيضي محل تقاطع خطي كه دو كانون را به هم وصل مي كند

)گويند ),A B

.محل تقاطع دو محور تقارن بيضي را مركز بيضي گويند•

بيضي داراي دو قطر است كه از برخورد محورهاي تقارن با خود بيضي ايجاد مي شود كه به ترتيب•

و قطر كوچك مي گويند .اندازه آن را قطر بزرگ

( اگردر معادله!2 2

2 2 1x ya b

+ y, جاي= xرا عوض كنيم يعني 2 2

2 2 1y xa b

+ در اينصورت بيضي را=

( عمودي مي ناميم و اگر مخرجxاگر مخرج. ) بيشتر باشد عمودي استy بزرگتر باشد بيضي افقي

ي محورهاي مختصات باشند كه در آن موازبيضي را استاندارد گوييم اگر محورهاي تقارن. تعريف

ي آن به يكي از دو صورت زير مي باشد .اينصورت معادله

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 21 , , 1x y y x

Oa b a b

αα β β αβ

− − − −+ = + =

47



ي. مثال 2نمودار بيضي به معادله 24 4 8 7 0x y x y+ + − + . را رسم كنيد=

)بيضي افقي ) ( )2 2

2 22 2

( 2) ( 1)4 4 4 2 1 1 111 ( )2

x yx x y y + −+ + + − + = ⇒ + =

1 1 31 , , 12 4 2

a b c= = = − =

1 2

( 2 1,1)3 3( , ) ( 2,1) ( 2 ,1) ( 2 ,1)( 2 1,1)2 2

AF F

Bα β

= − −= − = − − = − + ⇒ = − +

2 2

1( 2,1 )1 1 1 22 ( 1) ( ) 1 112 2 2 ( 2,1 )2

Cx y y y

D

= − −= − ⇒ − = ⇒ − = ± ⇒ = ± → = − +

:خاصيت انعكاسي بيضي

1 1 1 2 2 2FPQ F PQ ⇒� ��?

1 1 1 2 2 2FPQ F PQ⇒ ∠ =∠

: هذلولي

مجموعه نقاطي از صفحه كه تفاضل فواصل آن از

. مقداريست ثابت)كانون هاي هذلولي( دو نقطه ثابت

1 2 2PF PF a− = ±

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + = − + ± ⇒2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 4 4 ( )x c y x c y a a x c y+ + = − + + ± − + ⇒

4 4cx − 2 4a = 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2( ) 2 ( 2 )a x c y c x a a cx a x c cx y− + ⇒ + − = + − +xاگر x→ . تغييري حاصل نميشودy– بهy تبديل شود يا−

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )b c a

c a x a y a c a b x a y ab= −

⇒ − − = − − =⇒

0 0 0( , )P x y

1F 2F

1Q

2Q

αα

( , )P x y

2 ( ,0)F c1( ,0)F c−

٤٨ 48:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


: ژگيهاي هذلوليوي

محورهاي تقارن•

•

( اگر در معادله!2 2

2 2 1x ya b

− ) جاي= , )P x yمعادله را عوض كنيم ،2 2

2 2 1y xa b

− هذلولي عمودي=

. مي شود

:هذلولي استاندارد

: هذلولي را استاندارد گوييم اگر محورهاي تقارن موازي محورهاي مختصات باشند، يعني

) عمودي )2 2

2 2

( ) ( ) 1 ,y xa bβ α α β− −

− )افقي،= )2 2

2 2

( ) ( ) 1 ,x ya bα β α β− −

− =

ي. مثال 2 نمودار هذلولي به معادله 24 2 16 14 0x y x y− − + − . را رسم كنيد=

2 2( 2 1) 4( 4 4) 1x x y y− + − − + = − ⇒

( ) ( )2 2 2 2

2 2

( 1) ( 2) ( 2) ( 1)1 11 11 1

2 2

x y y x− − − −− = − ⇒ − =

1 25 5(1,2 ) , (1,2 )4 4

F F− +

1 1(1,2 ) , (1,2 )2 2

A B− +

( و! ce.بيضي داريم براي هذلوليa

خروج از مركز=

1e سهمي 1e بيضي،= 0 هذلولي،< 1e< <

بخطوط و هذلولي هادي براي :يضي2 2

2 2

( ,0)1

( ,0)A ax yB aa b−

+ = ⇒

1 : aL xe

= 1خط هادي نظير كانون− ( ,0)F c= −

2 : aL xe

2 خط هادي نظير كانون= ( ,0)F c=

ad ce

= د− ر بيضي فاصله خط هادي تا كانون نظير

2F

1F

1L2L

BA O1F 2Fa

c

ac

49



2 2

2 2

( ,0)1

( ,0)A ax yB aa b−

− = ⇒

1 : aL xe

= 1 خط هادي نظير كانون− ( ,0)F c= −

2 : aL xe

2 خط هادي نظير كانون= ( ,0)F c=

ad ce

= فاصله خط هادي تا كانون نظير در بيضي−

: هادي–خاصيت كانون

وPاگر و همينطورe نقطه اي روي يكي از مقاطع مخروطي فاصلهPF خروج از مركز آن باشد

وPنقطه . تا خط هادي نظير كانون باشند در اينصورت داريمP فاصله نقطهPQ تا يكي از كانونها

PF e PQ=

: اگر شكل بيضي باشد داريم. در مورد سهمي بديهي است2 2 2 2

2 2 2 21 1x y y xa b b a

+ = ⇒ = −

( )2

2 2 22

by a xa

⇒ = −

2 21

22 2 2 2

1 2

( )

2 ( )

PF x c y

bPF x cx c a xa

= ± +

= ± + + −

2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 2 2 2(1 ) 2 ( ) 2 2b a b cPF x cx a x cx a x eax aa a a

−= − ± + = ± + = ± +

( )22 2 21 2PF e x eax a ex a ex a ex a= ± + = ± = + = +

12 12 12 12( , ) ,a a aQ y PQ x x PF e PQe e e

= ± = + = + ⇒ =

. اگر شكل هذلولي باشد

( )2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 21 1x y y x by x aa b b a a

− = ⇒ = − ⇒ = −

2 2 21 2, ( ,0) , ( ,0)c b a F c F c= + = − =

B2F1F

2L1L

A

c

ac

a

1L 2L

BA O1F 2F

1Q ( , )P x y

٥٠ 50:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


2 22

22 2 2 2

2

( )

2 ( )

PF x c y

bx cx c x aa

= ± +

= ± + + −

( )2 2

2 2 22( ) 2a b x cx c ba+= ± + −

( )2

22 21 2 2cPF x eax a ex a

a⇒ = ± + = ±

( ) ( )1 12 12( , ) ,a ax xa ae ePF ex a Q y PQ xa ae ex xe e

= ± ⇒ ⇒ = ± = ± ⇒ − ± − ±

∓ ∓

12 12PF e PQ=

: هادي–عكس خاصيت كانون

Pمساوي برابر فاصله نقطه) كانون(F تا نقطه ثابتP داده شده فاصله نقطه متغيرeعدد مثبت

: است در اينصورتFغير شامل نقطه) هادي( خط ثابت

1e روي سهمي است اگرPنقطه. الف =

0 روي بيضي است اگرPنقطه.ب 1e< <

1e روي هذلولي است اگرPنقطه.ج >

. بديهي است چون اساساً معادله سهمي همينطور بدست آمده است- حالت الف:اثبات

ب بيضي-حالت0 1

PF e PQP

e

= ⇒ ∈< <

2 2

2 2 2 2( )

( )PF x d y

x d y e xPQ x

= − + ⇒ − + = =

2 2 2 2(1 ) 2 0e x dx y d⇒ − − + + =2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2(1 ) (1 ) ( )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )dx y d y de x d e x de e e e e

− − + = − ⇒ − − + = − + − − − − −

22 20 1 2

2 22 2 2

2 22 2

( )1( ) ( ) 1

1 1 1 ( ) ( )1 1

edxd y ed yex ed ede e ee e

< < −−⇒ − + = + =

− − −− −

⇒

B2F1F

2L1L

A

( , )P x y2Q

1Q

( ,0)F d

( , )P x yQ

51



x

( , )P x y

x′

x′y′

y′

y

y

xθα

ج -حالت2

2 22 2 2( ) ( )

1 1 1d y edxe e e

− + =− − −

22 21 2

2 22 2 2

2 22 2

( )11: ( ) ( ) 1

1 1 1 ( ) ( )1 1

edxd y ed yee x ed ede e e

e e

> +−> + − = − =

− − −− −

⇒

: دوران

cos( ):

sin( )

x opop r

y opoxp

θ α

θ α

∆ = + == +

��

��

cos( ):

sin( )x ry rox p θ α

θ α

∆ ′ = + ′ = +

′cos( ) cos cos sin sinsin( ) sin cos cos sin

x r r ry r r r

θ α α θ θ αθ α α θ α θ

= + = − = + = +

ماتريس دورانcos sin cos sinsin cos sin cos

x x y x xy x y y y

θ θ θ θθ θ θ θ

′ ′ ′= − − ⇒ ⇒ = ′ ′ ′= +

:منحني هاي درجه دوم

2 2 0Ax Bxy cy Dx Ey F+ + + + + =0Bاگر باشد معادله فوق مي تواند يك مقطع مخروطي غير استاندارد باشد كه براي رسم آن به≠

.روش زير عمل مي كنيم2 2( cos sin ) ( cos sin )( sin cos ) ( sin cos )( cos sin ) ( sin cos ) 0

A x y B x y x y C x yD x y E x y F

θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − + + +′ ′ ′ ′+ − + + + =

2 2 0A x B x y C y D x E y F′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + =

2 2cos sin cos sinA A B Cθ θ θ θ′ = + + 2 2(cos sin ) 2( )sin cosB B C Aθ θ θ′ = − + −

2 2sin sin cos cosC A B Cθ θ θ θ′ = − +

cos sinD D Eθ θ′ = +

sin cosE D Eθ θ′ = − +F F′ =

٥٢ 52:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


0 cos 2 ( )sin 2 cot 2 2 arctanA C A CB B A CB B

θ θ θ− − ′ = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

ي روبرو را رسم كنيد.لمثا 2. مقطع مخروطي معادله 22 8 8 0x xy y x y− + − − =

1: غير استاندارد است , 2 , 1 , 8 , 8 , 0A B C D E F= = − = = − = − =

1 12 arctan 0 22 2 4

π πθ θ θ− = = ⇒ = ⇒ = −

' 2 2 2 ' ' 2 2 22 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( ) 0 , 0 , ( ) 2( ) ( ) 22 2 2 2 2 2

A B C= − + = = = + + =

' ' '2 2 2 28 8 8 2 , 8 8 0 , 02 2 2 2

D E F= − − = − = − = =

22 2

2

42 8 2 0 4 2

4y cx

y x y xx cy

=′ ′ ′ ′− = ⇒ = ⇒ =

( ) ( )2 0 , , 0,0c α β= > =

( )22 1

22,022 1

2

xF F

y

= × = −′ = ⇒

= × = −1 1, 1 1( 1) 2 2

1Lm y x y x x− ′= = − + = − + ⇒ = − − ≡ = −

داراي معادله زير درdو فاصله كانون تا خط هادي نظيرeمقطع مخروطي با خروج از مركز. قضيه

ك و محور قطبي بر هادي مختصات قطبي است كه قطب در خLانون و جهتي ازاعمود .داشته باشدLرج

1 cosedre θ

=−

PF:مقطع مخروطي e PQ P= ∈

( )cos cosr e d r ed erθ θ= + = +

(1 cos )1 cosedr e ed re

θθ

− = ⇒ =−

.مثال9

541 cos5

rθ

=−

2995

4 415

ed ad cc ce a

= ⇒ = − == = <

F

Q ( , )P r θQ

d O F=

r

θ

θ

L

cosr θ

53



2 29 25 9 945 4 16 16 4

a ca c c cc c

= ⇒ − = ⇒ × − ⇒ =

425 16 3

5c

ba

= ⇒ ⇒ = − ==

2 2( 4) 125 9x y− + =

مي باشد2cفاصله دو كانون از هم

8 يعني 2 4= .مي باشد2bو قطر كوچك2a فاصله دو راس يا قطر بزرگ×00

Fكه با توجه همان مركز قطبي است

4cبه مي شود= .مركز تعيين

( راديان خالف عقربه هاي ساعت دوران دهيم در اين صورت2c اگر مقطع مخروطي را به اندازه!

.معادله آن به صورت زير مي باشد1 cosedre θ

=−

( )2 1 sin1 cos 2

ed edree

παπ θθ

= ⇒ = =−− −

( )1 cos 1 cosed edr

e eα π

θ π θ= ⇒ = =

− − +

( )2 1 sin1 cos 2

ed edree

παπ θθ

= − ⇒ = =+− +

و آن را رسم كنيد. مثال . معادله دكارتي مقطع زير را بدست آورده10 :

1 sinr

θ=

+به اندازه 2دوران

π−داريم :

( )10 10

2 1 cos1 cos ( )2r rπα

π θθ= − ⇒ = ⇒ =

−− − −

1 : 10 10e ed d= = ⇒ =

به راxچون كانون روي محور مي باشد هاست، پس سهمي افقي پس رو .ست

2 24 5( 5) 20( 5)y x y x= × + ⇒ = +

2 2: 4( 5)( 5) 20( 5)x y x y= − − ⇒ = − )به سمت پايين است(دوران يافته−

L

( )9,0B( )1,0A = −1(0,0)O F=

2 (8,0)F(4,0)

(-5,0)

L: x = -10

x

y

O=F

d=10

٥٤ 54:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


55


55:شماره صفحهآالش آرمند:استاد

پنجمفصل، دستگاه بردار TNBها، هندسي تحليلي، توابع برداري

.تعريف

op p xi yj zk= = + +��

2:اندازه بردار 2 2P x y z= + +

PUP جهت يك بردار: بردار جهتP

=��

1 كه اندازه آن برابرPPUP

P P= = . مي باشد=

1 2 3A a i a j a k= + 1و+ 2 3B b i b j b k= + +

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )A B a b i a b j a b k± = ± + ± + ±

1 2 3:c cA ca i ca j ca k∈ = + +�

2) ( ) ( )A B C A B C+ + = + +1)A B B A+ = +

: داخلي( ضرب نقطه اي (

. cosA B A B θ=0 اگرBوAنبيكوچكترين زاويهθكه در آن θ π< 1 تغيير كند> cos 1θ− < .تغيير مي كند>

. . . 0i j i k j k= = =,. 1 . .i i j j k k= = =,21) .A A A=

2A B πθ= = ∅→ =2) . .Ab B A=

3) .( ) . .A B C A B AC+ = +2 2 2 2

1 2 3.A A A a a a= = + +

1 1 2 2 3 3.A B a b a b a b= + +1 1 2 2 3 3. ( . ) ( . ) ( . )A B a b i i a b j j a b k k= + + ⇒

A

B

θ

i y

z

x

j

k

P(x,y.z)

٥٦ 56:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه

، دستگاه TNBبردار ها، هندسي تحليلي، توابع برداري

: تصوير بردار

A،B روي بردارBتصوير بردارAOH proj=

0 < < 2πθ:هم جهت باشند A ,B

Aproj

< <2π θ π : A خالف جهت هم باشند , B

Aproj

02BAprojπθ = ⇒ =

cos2coscos

2

BA

Bproj OH B

B

πθ θθ

θπ θ

< == = ⇒ = −<

cosBAcomp B θ=ي عددي A رويB مولفه

( ) . .cos.

B BA A

A A B A A Bproj B proj AA A A A A

θ = ⇒ = =

.

.AB

B Aproj BB B

=

2 بردار.مثال 3B i j k= + بصورت مجموعي از دو بردار عمود برهم كه يكي از آنها موازي بردار−

3A i j= . باشد−

. 5 3 1( ) (4 )

. 10 2 2BA

A BC proj A i j i jA A

= = = − = −

3 1 1 3(2 3 ) ( ) 32 2 2 2

D B C i j k i j i j k= − = + − − − = + −

. 0D C DC⊥ → =

و بر صفحه.مثال . باشد بردارهاي مطلوبست بردار واحدي كه بر عمود بوده

?,

D ADD B C

⊥∈

D,شرط اينكه B C∈باشد، يعني يك تركيب خطي از ,B Cباشد:

( 2 ) ( 2 ) (1 ) (2 ) (1 2 ). 0

D B tC D i j k ti tj tk D t i t j t kD A D A= + = + − + + − ⇒ = + + + − +

⇒ ⊥ =

� � ��

2(1 ) (2 ) (1 2 ) 0 1 1t t t t t D j k+ − + − + = ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = +��

O

A

B

Hθ

B

A

H

θ

AB

BAprojC =

D

57



:ضرب برداري يا خارجي دو بردار

( )sinA B A B nθ× =

B, زاويه بين دو بردارθكه در آن Aو )بردار يكهn بوده 1)n كه جهت آن از قانون دست،=

.راست تبعيت مي كند

�Aبرون سو B n× د� سوو B⊗رون A n× �

( ) , ( ) , ( )i j k j i j k i k j k i j k i× = = − × × = = − × × = = − ×� � � � ��

0 ( )i i j j k k A B B A× = × = × = × = − ×� ��

( 2 اگر! 2 2 1 1 1,B a i b j c k A a i b j c k= + + = + +� ��

: دو بردار باشند، در اينصورت داريم

( ) ( )1 1 1 2 2 2A B a i b j c k a i b j c k× = + + × + +� ��

1 2 (k

a b i j= ×� �

1 2) (j

a c i k−

+ ×�

��1 2) (

k

b a j i−

+ ×�

� �1 2) (

i

b c j k×� ��

1 2) (j

c a k i+ ×�

� �1 2) (

i

c b k j−

+ ×��

)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )b c c b i a c c a j a b b a k= − + − + −��

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

b c a c a bi j k

b c a c a b= + +

��

1 1 1

2 2 2

i j kA B a b c

a b c⇒ × =

��

( B, بردارهاي! Aي كه توسط اين دو بردار مفروض هستند در اينصورت مساحت متوازي االضالع

B,تشكيل مي شود Aمي باشد، زيرا :

: sin sinh h BBOBH θ θ= ⇒ =�

sinS A h A B A Bθ′ = = = م× توازي الضالعمساحت

( )( ) ( ) ,

A B B A A B C A B A C

A B C A B C A B A A B B

× = − × × + = × + ×

× × ≠ × × × ⊥ × ⊥

O

A

B

Hθ

θA

B

O

٥٨ 58:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


2بردارهاي. مثال 2 ,B i j k A i j k= − − = + +� ��

: مفروضند ،مطلوبست

A) الف B×ب(( )A BA BPorj +

,)ج× ?2

C A BC

C×

= =

�

-الف1 1 1 1 1 1

1 1 12 1 2 1 2 2

2 2 1

i j kA B i j k× = = − +

− − − −− −

��

( 1 2) ( 1 2) ( 2 2) 3 4i j k i j k= − + − − − + − − = + −� ��

3–ب , 3 4A B i j AB i j k+ = − = + −�� .

.BA

A BPorj AA A

=

0

( )( )

( ).( )A BA BPorj

A B A B+× =

+ ×( ) 0.( ) 0

( ).( )A B A B

A B A B

× = × = × ×

3–ج 4 3 42( ) 21 9 16 26

CA C A

A B A BA B i j k i j ku u C CA B

=

× ×× + − + −= = = = ⇒ =× + + ⇒

� ��

: معادله صفحه در فضا

0 0 0 0A A x x i y y j z z k= − + − + −��

0 0A P A A P n A A∈ ⇔ ∈ ⇔ ⊥��

0 0 0 0.( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0n A A a x x b y y c z z⇒ = ⇒ − + − + − =

0 0 0

d

ax by cz ax by cz ax by cz d⇒ + + = + + ⇒ + + =��

: معادله خط در فضا

0مفروضات 0 0 0( , , )

:

A x y z L

v L v ai bj ck

= ∈

= + +��

�

0 0 :A L A A v A A tv t∈ ⇔ ⇔ = ∈��

زماني دو بردار موازي هستند كه يكي ضريب ديگري

. باشد

P

( , , )A x y z

n ai bj ck= + +��

0 0 0 0( , , )A x y z

( , , )A x y z

0 0 0 0( , , )A x y z

Lv

59



خط معادله پارا : متري0 0

0 0

0 0

:x x ta x x ta

L y y tb y y tbz z tc z z tc

− = = + − = ⇒ = + − = = +

0 0 0 0( ) ( ) ( )A A x x i y y j z z k

tv tai tbj tck

= − + − + −

= + +

��

0:معادله كانوني 0 0x x y y z za b c− − −= =

,0)معادله صفحه گذرنده از نقاط. مثال 1,1), (2,0, 2), (1,1, 1)C B A− . را بدست آوريد−

د به يك نقطه بردار نرمال نياز :اريم براي نوشتن معادله صفحه

شرط اينكه از سه نقطه يك صفحه عبور كند اينست كه

.در يك امتداد نباشد

شرط اينكه از سه نقطه بينهايت صفحه عبور كند اينست

.كه در يك امتداد باشد

3 , 3 2AB i j k AC i j k= − + = − − +��

1 1 3 ( 2 9) (2 3) ( 3 1)1 3 2

i j kn AB AC i j k= × = − = − + − + + − −

− −

��

7 5 4 : 7( 1) 5( 1) 4( 1) 0 7 5 4 6n i j k A P x y z x y z⇒ = − − ⇒ ∈ − − − − + = ⇒ − − =��

ي صفحه. مثال B,ي گذرنده از نقاط معادله Aعمود بر صفحه را بدست آوريد.

(1, 2,3) (3, 2,1) : 4 2 7A B P x y z= = − + =PQاست پسQعمود بر صفحهPاز اينكه صفحه n�

, ضرايب.است ,z y xمختصات نرمال است .

Q P

P

AB Qn AB n Q

n Q

∈ ⇒ = × ⊥∈

��

��

مي شود بردار داخل. وقتي يك بردار با صفحه موازي باشد

صفحه انتقال داد همسنگ همان بردار

2 0 2 2 12 24 1 2

Q

i j kn i j k= − = − − −

−

��

AB AC n× =

B

P

C

A

PnQn

Q

P

BA Qn

٦٠ 60:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


2 22( 1) 12( 2) 2( 3)

4 2P

AB i kA Q Q x y z

n i j k

= − → ∈ ⇒ = − − − − − −= − +

��

ي.مثال ,2) فاصله نقطه 3, 4)A : را از صفحه− 2 2 13P x y z+ + . را بدست آوريد=

اگر، صدق كندP بايد درAباشد مختصاتPعضوAاگر

: است فاصله صفر استP رويAصدق كرد

(1,1, 4) , 2 2 , 4PB n i j k AB i j k= + + = − + +� ��

فاصله صفر نيست

قرار دارد پسP يك نقطه اختياري است كه در صفحهBنقطه

برداري است موازي باAHبردار. صدق كندPمختصاتش بايد در

Pn،AHتصوير ABاست .

. 1 8 2 9 331 4 4P

PABn

P

AB nd Porj

n− + +

= = = = =+ +

��

از صفحهA فاصله نقطه

.. . ..

A AB B

A BA B A B B ABPorj A PorjB B B B B B

= = → = =

2 2( 3) 2(4) 13 93

31 4 4d

+ − + − −⇒ = = =

+ +

0 نقطه فاصلهثابت كنيد،)؟ 0 0 0( , , )A x y zو : از صفحه 0P Ax By Cz D+ + − از رابطه زير=

0.بدست مي آيد 0 0

2 2 2

Ax By Cz Dd

A B C

+ + −=

+ +

.. PBA

P

AB nA BPorj

B n= =

��

0 0 0

2 2 2

( ) ( ) ( )A x x B y y C z z

A B C

− + − + −=

+ +

0 0 0

2 2 2

( )Ax By Cz Ax By Cz

A B C

+ + − + +=

+ +

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz Dd

A B C

+ + −=

+ +

P

Pn

Pn

HB

A

P

( , , )Pn A B C

H( , , )B x y z

0 0 0 0( , , )A x y z

:P Ax By Cz D+ + =

61



,1) فاصله.مثال 2,3)Aرا از خط را بدست آوريد .

Aاگر قرار باشد L∈بايد جاي tمقدار دهيم همان نقاط

Aو از اينكه است پس مختصات آن درL رويH شود

L0. صدق مي كند 0 0 0: (1 ,3 2 , 2 2 )t H t t t∃ ∈ − + − −�

0 0 0 02 2 : (1 ,3 2 , 2 2 )v i j k t H t t t= − + + − ∃ ∈ − + − −��

�

0 0(1 2 ) ( 5 2 )AH ti t j t k= − + + + − −��

0 0 0 0 04. 0 2(1 2 ) 1( 5 2 ) 0 9 12

3AH v AH v t t t t t −

⊥ ⇔ = ⇒ + + − − − = ⇒ = − ⇒ =��

04 4 5 7 16 25 49, 10

3 3 3 3 9t AH i j k d AH− + += = − − ⇒ = = =

��

خط. مثال فاصله1

: 23 2

x tL y t

z t

= − = − = +

:را از صفحه 3P x y z+ + .آوريد بدست=

(1,1,1) ( 1, 1, 2)P L Pn v n AH= = − − =��

(0,1, 2)A P∈

0 0 0: (1 ,2 ,3 2 )H t t t L− − + ∈

0 0 0(1 ,1 ,1 2 )AH t t t= − − −��

(1,1,1) 3AH AH= ⇒ =��

0 0 0 0 0 0 0 0(1 )( 1) ( 1)(1 ) 2(1 ) 1 1 2 4 6 0 0AH v t t t t t t t t⊥ ⇒ − − + − − + + = − + − + + + = = ⇒ =��

2وطخط)؟ 1,L Lمفروضند ثابت كنيد كه اگر 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0a a x xb b y yc c z z

−− ≠−

2 خطوط 1,L Lمتنافرند .

2 2 1 1

2 2 2 1 1 1

2 2 1 1

,x x a t x x a t

L y y b t L y y b tz z c t z z c t

= + = + = = + = = + = + = +

. پارامتري فصل مشترك دو صفحه زير را بدست آوريدمعادالت.مثال2

,1

x yx t

x y z+ =

= + + =

V

L

HA ?

P

Pn

A

HL Ln

٦٢ 62:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


0 02

: 2 21 1 (2 ) 1

1 1

x ty t

L y t A L v i jz x y t t

z t

= += − ⇒ = − ⇒ ∈ = − = − − = − − − = − = − + −

�

و فاصله بين اين دو خط راست را بدست معادالت.مثال و خط متنافر را بدلخواه تعيين كنيد پارامتري

.آوريد1 2 3x y z= = � 1 2 1 2 3

2 1 1 2 1 1x y z− −= = ⇔ ≠ ≠

− −

: سه گانه عددي ضرب

,كنيد فرض ,A B Cسه بردار باشند در اينصورت( ).A B C×را ضرب سه گانه عددي گويند .

( ). cos ,A B C A B C A B Cθ θ× = × =< × >��

1 1 1 3 3 3 1 1 1

2 2 2 1 1 1 2 2 2

2 2 2 3 3 33 3 3

.( ) ( ).

A a i b j c k a b c a b cB a i b j c k C A B a b c a b c A B C

a b c a b cC a i b j c k

= + += + + ⇒ × = = = ×= + +

��

: متوازي االضالع تصوير

در فضاPQRSاالضالع متوازي

مفروض است اگر اين متوازي االضالع

آPروي صفحه ن كه بردار نرمال يكه

nباشد ( 1 , )n n P= ⊥.

ي اندازهخواهيم مي در اينصورت

مساحت تصوير متوازي االضالع روي

Pرا بر حسب اندازه مساحت متوازي

بدست آوريم براي اينPQRSاالضالع

:منظور

( )

( )

A PQn P PQRS A B

B PS

A P Qn P Q R S P Q R S A B

B P S

= ⊥ ⇒ → = ×=

′ ′ ′= ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⊥ ⇒ → = ×′ ′ ′=

�

�

��

��

��

��

x

y

zQ

S

P

R

Q ′

S′

P′

R′

AB

AB

A′B′

A′B′

xyn

63



1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) ( )A B SS A R R PP B S S t n A t n B t n B t A n A B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′× = + + + + = + + = × + × + ×��

( ) ( )1 2SS RR n SS RR t n PP S S n PP S S t n′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ ⇒ + = + ⇒ + =��

1( ). (A B n t n B′× = × 2) (t A n′+ × ). ( ). ( ). cos 0n A B n A B n A B n A B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ × = × = × = ×

( ).A B n= P مساحت متوازي االضالع تصوير × Q R S′ ′ ′ ′

,1).مثال 20, ), (1,0, 1), (2, 1, 4)C B A− )سه راس متوازي االضالع باشد، مساحت تصوير− )ABCD

,را روي ,yz xz xyبدست آوريد.

AD AC CD AD AC AB= + ⇒ = +��

( ) ( )( 2) ( 1) ( 4)

3 4 3 5 2 4 9

AD x i y j z k

AC CD i j k i j k i j k

= − + + + −

+ = − + − + − + − = − + −

��

��

2 2 01 4 3

4 9 5

x xAD AC CD y y

z z

− = − → == + ⇒ + = → = − = − → = −

��

1 1 5( ) ( ). | 1 3 4 | 3 1 2

0 0 1n k

AB CD kS=

− −= × = − = − + =⇒ �

��

1 1 5( ) ( ). | 1 3 4 | 4 5 1

0 0 1n j

AC CD jS=

− −= × = − = − =⇒ �

��

1 1 5( ) ( ). | 1 3 4 | 4 15 11

0 0 1n i

AC CD iS=

− −= × = − = − + =⇒ �

��

٦٦ 65:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


مششفصلو كروي، توابع چند متغير رويه هاي درجه دوم، مختصات استوانه اي

:توابع برداري3:

( ) ( ) ( ) ( )

F

f t x t i y t j z t k

→

= + +

� ��

) معادله سرعت )( ) ( ) ( ) ( ) ( )df tv t f t x t i y t j z t kdt

′ ′ ′ ′= = = + +��

معادله شتاب2

2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )d f ta t f t x t i y t j z t kdt

′′ ′′ ′′ ′′= = = + +��

( ) بديهي است كه نمودار تابع برداري! )f tو اين خم مي تواند معادله حركت در فضا يك خم است

)يك ذره در فضا باشد در اين صورت مي توان )f tآ بان را معادله حركت ) ذره فرض كرد، كه )R t

). نمايش مي دهند ) ( ) ( ) ( ) ( )f t R t x t i y t j z t k= = + +��

)اگر از )R tمشتق بگيريم در واقع از ( )f tمشتق گرفتيم كه مشتق اول ( )f tو مشتق بردار سرعت

.دوم شتاب را نمايش مي دهد

اندازه شتاب)!2

2

( )( ) ( )d R ta t a tdt

= )اندازه سرعتو⇒ )( ) ( )dR tv t v tdt

= ⇒

( 2 توابع برداري! 1,F Fمفروض هستند در اين صورت :

1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t x t i y t j z t k F t x t i y t j z t k= + + = + +� ��

1حاصل اسكالر 2 1 2 1 2( ( ) ( )) ( ). ( ) ( ). ( )d d dF t F t F t F t F t F tdt dt dt

+ = +

1حاصل بردار 2 1 2 1 2( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )d d dF t F t F t F t F t F tdt dt dt

× = × + ×

)تر صفحه بصوردفرض كنيد معادله حركت ذره. مثال ) ( sin ) ( cos )R t t t i i t j tk= − + − +��

.لحظاتي را بدست آوريد كه بردار سرعت بر شتاب عمود باشد

( ) (1 cos ) (sin ) ( ) (sin ) (cos )v t t i t j k a t t i t j= − + + = +��

( ). ( ) 0 (1 cos )(sin ) (sin )(cos ) 0 sin 0a t v t t t t t t t k kπ= ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ∈�

12

67

و كروي، توابع چند متغير رويه هاي درجه دوم، مختصات استوانه اي


و مي نيمم اندازهدفرض كنيد معادله حركت ذره. مثال ر صفحه بصورت زير مي باشد مقادير ماكزيمم

ل ).حظاتي بدست مي آيدسري هاي بردار شتاب در چه ) cos 2sinR t ti tj= +� �

بيضي عمودي2 2

2 2

cos1

1 2sin2

x tx y

y t

= ⇒ + = =

( ) sin 2cos , ( ) cos 2sinv t ti j a t ti tj= − + = − −� � � �

2 2 2

2

6sin cos( ) cos 4sin 1 3sin ( ) ( ) 0 6sin cos 01 3sint ta t t t t f x a t t t

t′= + = + = ⇒ = = ⇒ =

+23(sin ) 0 2 ( )

2kt t k t kππ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∈�

2

2

2

3sin 22cos 2 1 3sin sin 23 2 1 3sin( )2 1 3sin

tt t tta t

t

× + − ×+′ = ×

+

,6,... مقدار دهيمkاگر به 4, )و براي زوج ها2,0 ) 3a t ′′′ و پس مي نيمم اگز به= مثبت مي شود

: براي فردها منفي است ماكزيمم5,3,1,...مقدار فرد دهيم

: min : max2 2k kk E t k O tπ π

∈ ⇒ = ∈ ⇒ =

: طول قوس خم در فضا

)خم ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k= + +��

حركتB تاA مفروض است فرض كنيد اگر روي خم از نقطه

aكنيم t b≤ : را بدست آوريمB تاA تغيير كند مي خواهيم طول قوس از≥2 2 2

1 ( ) ( ) ( )k k k k kP P x y z+ ∆ + ∆ + ∆�

�1 1

2 2 21 ( ) ( ) ( )

0 0:

n n

k k k k kk k

V L P P x y z− −

+= =

= = ∆ + ∆ + ∆∑ ∑

)1 زماني به مساوي تبديل مي شود كه به سمت بينهايت ميل مي كند )k kP P+ =

( )A R a=x

z

y

( )B R b=

1P2P

1nP −

( , , )k k k kP x y z

1 1 1 1( , , )k k k kP x y z+ + + +

٦٨ 65:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


( )x t

( )y t2 ( )R t

ρ

ρ

ρ

12 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )0

: lim ( ) ( ) ( ) ( )b bn

k k k k k kn k t a t a

dx dy dzV L x y z L v t dtdt dt dt

−

→∞ = = =

= ∆ + ∆ + ∆ = + + ⇒ =∑ ∫ ∫

). تعريف ) ( )b

t a

s t v t dt=

= : در اينصورت تعريف مي كنيم∫

0 0 0( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0s t t t s t t t s t t t= ≡ = < ≡ < > ≡ >

)به )s tفاصله جهت دار روي خم گوييم .( ) 0 ( )ds v t v tdt

= − =

)تعريف بردار مماس واحد )T:

( ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k= + +��

2 11 2

2 1

( ) ( )( ) ( ) R R t R tR t R R tt t t

∆ = −+ ∆ = ⇒ ∆ = −

�� 1

1( ) lim ( )t t

R Rv t R tt t =

∆ ∆ ′⇒ = =∆ ∆

( )( )

dRdR v tdtT dsdt v tdt= = =

:خميدگي خم در صفحه

( ) ( ) ( )R t x t i y t j= +� �

)وقتي روي يك خم مشتق پذير واقع در صفحه حركت مي كنيم بردار مماس واحد )T، هر وقت خم

)آهنگ چرخش. خم مي شود مي چرخد )Tي تغيير زاويه را با اندازه گيرρ)كه i باTزاويه اي�

مي

df واقع بر خمPدر هر نقطه. اندازه مي گيريم) سازدds

آ κ با نمادS نقطه گوييمن را خميدگي خم در

.نمايش مي دهيم) كاپا(ddtρκ =

ρ

ρ

ρ

( )y t

( )x t

1( )R t

12

69



( ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k= + +��

1tan tandy

dy ydt y xdydx xdt

ρ ρ − ′′ ′= = = = ⇒ =

′

12(tan )

1uuu

− ′=

+

22

12 2 2

1 ( )1 ( )

( )

y x x yyd xd dt x

dsds dt x y

ρρ

′′ ′ ′′ ′−×′+ ′= =

′′ ′+

222

2( ) ( )

d y x x yds x y x

x

ρ ′′ ′ ′′ ′−=′ ′+ ′

′

12

12

2 2

2 2

( )( )

d x y y xds x y

x y

ρκ′ ′′ ′ ′′−

⇒ = =′ ′+

′ ′+

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

i j kv t x t i y t j

v a x t y t xy yx ka t x t i y t j x t y t

′ ′ = + ′ ′⇒ × = = −′′ ′′= + ′′ ′′

� ��

2 2 3, ( )v a

v a x y y x v x y vv

κ×

′ ′′ ′ ′′ ′ ′× = − = − → =

خم زير را در نقطه. مثال2

t π=بدست آوريد.( ) cos sinR t a ti a tj= +� �

( ) sin cos , ( ) cos sinv t a ti a tj a t a ti a tj= − + = − −� �

2 2 2( ) cos sin , sin cos 0 (sin cos )cos sin 0

i j ka t a ti a tj v a a t a t a t t k

a t a t= − − × = − = +

− −

��

2

0 3

1v a av a a

κ×

= = =

( 1 در هر نقطه مقدار ثابتaخميدگي دايره اي با شعاع!a

. است

. ثابت كنيد خميدگي يك خط در هر نقطه صفر است)؟

, ( ) ( )y mx b x t y mt b R t ti mt b j= + = → = + ⇒ = + +� �

3 2 2

( ) 0 0( ) 0 (1 )3

v t i mj v aa t v m

κ= + ×

⇒ = = == +

( )R t P=

TTρ

٧٠ 65:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


x

z

y

( ني! 3ز خميدگي در هر نقطه از رابطه براي خم هاي واقع در فضا

v av×

. بدست مي آيد

3:مثال

v av×

خميدگي خم

( ) cos sinR i ti tj tk= + +��

. را بدست آوريد( ) sin cos ( ) cos sinv t ti tj k a t ti tj= − + + = − −

sin cos 1cos sin 0

i j kiv a t t

t t× = −

− −

��

( sin ) (cos ) (sin 2 cos 4)i t j t k t= − − + +

sin cosv a ti tj k× = − +2 2

2 2

sin cos 1 2

sin cos 1 2

v a t t

v t t

× = + + =

= + + =

3 3

2 12( 2)

v av

κ×

= = =

:دايره بوسان

vدر نقطه اي چون a×واقع بر يك خم در صفحه كه در اين نقطه v a×دايره اي در صفح خم است

:بطوريكه

v در نقطه-الف a×بر خم مماس باشد .

v خميدگي خم در نقطه-ب a×با خميدگي دايره برابر

.باشد

. مركز اين دايره در جهت تقعر خم باشد-ج

2 2: ( )y x R t ti t j= = +� �

1ρκ

) خميدگي دايره( شعاع خميدگي=

د:مركز خميدگي .ايره بوسان مي باشدمركز

:بردار قائم واحد در صفحه

Nبرداري كه به Tعمود است جهت آن جهت تقعر تابع

.و اندازه آن يك است

1Pk

=

N T

12

71



( ) ( ) ( )R t x t i y t j= +� �

2 2cos sin sin cos cos sin 1dT dTT i j i j T Td d

ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρ

= + ⇒ = − + ⇒ = + = ⊥� � � �

dT dT d dT dT d dT ddS d dS dS d dS dS dS

ρ ρ ρ κρ ρ

= ⇒ = ⇒ = =

آNبردار)! و جهت .است)خم(در سمت تقعر تابع« بوده

:بردار قائم واحد. تعريف

dT dtdT dT dt dt dsds dt dsNdT dtds ds

= = =dT dtdt ds

dTdtN

dTdt

⇒ =

) اگر)! )R tيك خم در فضا باشد در اينصورت در هر نقطه روي خم مي توان بردارN)قائم واحد (

:تعريف نمود بطوريكه

dT dTdt dtN N

dTdt

κ= ⇒ =

B بردار.تعريف T N= ي آن يك است زيرا× و بديهي است كه اندازه :را بردار قائم دوم مي ناميم

sin 12

B T N π= =

dB. تعريفdS

τ .گوييم را تاب خم=

تغييرBروي خمي كه روي صفحه باشد

و تاب آن صفر است .مي كند

( ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k= + +��

20

x y zx y zx y z

v aτ

′ ′ ′′′ ′′ ′′′′′ ′′′ ′′′

≤ = ±×

x

z

yT

B

N

( )R t

بوسان

راستگردقائم

٧٢ 65:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


) نقطه اي واقع بر خمPفرض كنيد.تعريف )R tاشد در اينصورتب :

و بردار نرمال آنP صفحه اي كه شامل-الف .باشد را صفحه بوسان گوييمB بوده

و بردار نرمال آنPصفحه اي كه شامل–ب .سان گوييمباشد را صفحه بوN بوده

و بردار نرمال آنPصفحه اي كه شامل–ج .باشد را صفحه بوسان گوييمT بوده

)مفروض است خم زير. مثال ) cos sin 2t t tR t e ti e tj e k= + +��

, بردارهاي ,B N Tرا بدست

و قائم را در آوريد مقادير خميدگي تاب ، راستگرد و همچنين صفحات بوسان را در لحظه را بدست آوريد

2t π=بدست آوريد .

, ( ) (cos sin ) (sin cos ) 2t t tvT v t e t t i e t t j e kv

= = − + + +��

2 4( ) [(1 2sin cos ) (1 2sin cos ) 2] 4 2t tv t e t t t t e et⇒ = − + + + = = 1 [(cos sin ) (sin cos ) 22

T t t i t t j k⇒ = − + + +��

( )

1 ( sin cos ) (cos sin)2

1 21 2sin cos (1 2sin cos2 2

dT t t i t jdT dtdtNdT dTdc t t t tdt

= − − + == ⇒ = + + − =

1 ( sin cos ) (cos sin )2

N t t i t t j ⇒ = − − + − � �

1 1 cos sin sin cos 23 2 sin cos cos sin 0

i j k

B T N B t t t tt t t t

= × ⇒ = × − +− − −

��

1 2(sin cos ) 2(sin cos ) (1 1)2 2

t t i t t j k = − − + + + ��

[ ] [ ]3 ( ) (cos sin ) (sin cos (sin cos )(cos sin ) 2t t tv aa t e t t t t i e t t t t j e k

vκ

×= = − − + + + − +

��

0 0 02 , 2 2 , 2 ,

t t tv i j a j k v

= = == + + = + =

��

01 1 2 ( 2) 20 2 2

t

i j k

v a i j=

× = = − +−

��

� �

( )( ) 2 sin 2 cos 2 , ,t ta t e t e t etk x= − + + ∀ ∈ −

12

73



:تجزيه بردار شتاب

0

( ) ,t

t

dRdR dR dS dR vdtv v T St v u du T dtdt dS dt dS vdR= = = = = = =∫ �

dT dTdT ds dT dtdS dSN kndTdt dt ds dsds

κ= × ⇒ = = ⇒ =

2 2

2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )dv d d dS d dS dT d S dTa v T T T Tdt dt dt dt dt dt dt dt dt

= = = = + = + 2

22( ) ( )d S dSa T N

dt dtκ⇒ = +

:رويه هاي درجه دوم

:بيضي وار.12 2 2

2 2 2( , , ) : 1x y za b ca b c

∈ + + =�

2 2

2 20 1 :x yza b

⇒ = ⇒ + = 2 2

2 20 1 :y zxb c

⇒ = ⇒ + = 2 2

2 20 1 :x yya c

⇒ = ⇒ + = 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

:

k x yz kc a b

k c x yc a b

⇒ = ⇒ = − −

−→ = − −

2 2 2 2

2 2 2

:: (0,0, )

:

c

k ck c t

x y c kk ca b c

> = ∅ − = − < = + =

∩∩

∩

x

z

y

N

T

B

x

z

y

(0,0, )c−

(0,0, )c

(0, ,0)b

( ,0,0)a−(0, ,0)b−

( ,0,0)a

٧٤ 65:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


: سهمي وار بيضوي.22 2

2 2( , 0, , , , , , 0) : 1x y za b a b c a b ca b c

> ∈ ≠ + + =�

2 2

2 20 0 :x yza b

⇒ = ⇒ + =

220 :cx z yb

⇒ = ⇒ =

220 cy z xa

⇒ = ⇒ = −

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 :

x y kz ka b c

k c x yc a b

⇒ = ⇒ + =

−→ = − −

.اين رويه را سهمي وار مي گويندc اگر:نكته

: مخروط بيضوي.32 2 2

2 2 2( , , ) : x y za b ca b c

∈ + + =�

2 2

2 20 0 :x yza b

⇒ = ⇒ + = 2 2

2 20 :y z cx z yb c b

⇒ = ⇒ = ⇒ = ± 2 2

2 20 :y x cy z yc a a

⇒ = ⇒ = ⇒ = ± 2 2 2

2 2 2

k x yz kc a b

⇒ = ⇒ = +

: هذلولي وار يكپارچه.42 2 2

2 2 2( , , ) : 1x y za b ca b c

∈ + − =�

2 2

2 20 1 :x yza b

⇒ = ⇒ + = 2 2

2 20 1 :y zxb c

⇒ = ⇒ − =

2 2

2 20 1 :z xyc a

⇒ = ⇒ − =

x

z

y0e <

0e >

0z k= >

0z k= − >

z k=

z k= −x

z

y

x

z

y

0z k= >

0z k=− <

12

75



2 2 2

2 2 21x y kz ka b c

⇒ = ⇒ + = +

: هذلولي وار دو پارچه.52 2 2

2 2 2( , , 0) : 1x y za b ca b c

> − − + =

2 2

2 20 1 :z yxc b

⇒ = ⇒ − =

2 2

2 20 1 :z xyc a

⇒ = ⇒ − =

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

1

0 0

1 0

x y k k ck ca b c cx yz k k c k c x ya bx y rk ca b c

−> + = − =

⇒ = ⇒ = = − − = ⇒ = =

−= − = − >

: سهمي وار هذلولي.62 2 2

2 2 2( , , 0) : 1x y za b ca b c

> − − + =

220 :cx z yb

⇒ = ⇒ = −

220 :cy z xa−

⇒ = ⇒ = −

z k=

x

z

y

(0,0, )c−

(0,0, )c

z k= −

x

z

yنقطه زيني

٧٦ 65:شماره صفحهمحمد قاسمي:تهيه


، و كروي در فضاي سه بعدي مختصات دكارتي : استوانه اي

: مختصات دكارتي

:مختصات استوانه اي

, 0

, ,0 2,

r op r

op iz z zθ θ π

= >

< > ≤ ≤= ∈

��

��

�

: cos cos

: sin sin

xoxp x rryoyp y rr

θ

θ θ

′ =

′ = =

�

�

:ات دستگاه تبديل مختص2 2

arctan( ) sin

r x yy rx

z z

θ

= + =

=

cossin

x ry rz z

θθ

= = =

x

z

y

( , , )P x y z

( , )P x y′

( , , )P ρ ϕ θ

y

x

z

P′θ r

ρϕ

12

77



B 1L

2L

A

CD

1v

2v

d

Documents

Match II (armand)