Mata Rokovi

Graevinski fakultet 19.2.2014.Univerziteta u Beogradu

ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3

Prezime i ime: Broj bodova:

Broj indeksa:

Ovaj test sadri 10 pitaa, na koja je potrebno odgovoriti u predvienom pro-storu. Svako pitae se vrednuje odreenim brojem poena, koji je dat pored svakogpitaa. Neqitki i neuredni odgovori nee se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.

1. Definisati graniqnu vrednost (limes) funkcije dve promenive. (3 poena)

2. Data je funkcija f(x; y) = xy3. Nai po definiciji @f@y(1; 2). (4 poena)

3. Lokalni ekstremumi funkcije dve promenive (definicije i formulacijeosnovnih teorema). (6 poena)

4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog redaP1

n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x 2 R, b) samo u taqkix = 0, v) na intervalu (1; 1). (5 poena)

5. Formulisati teoremu o diferencirau stepenog reda. Da li se redP1

n=0 2nxn

moe diferencirati qlan po qlan na intervalu (1; 1)? (4 poena)

6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =

(0; x 01

x+2; 0 < x na

intervalu [; ]. Qemu je jednako S(0)+S()? Obrazloiti odgovor. (6 poena)

7. Definisati rexee diferencijalne jednaqine y0 = f(x; y). Da li je funkcijay = x2 opxte rexee diferencijalne jednaqine xy0 2y = 0? (3 poena)

8. Definisati pojam linearne nezavisnosti funkcija i determinantu Vronskog.Formulisati teoremu koja povezuje ova dva pojma. Dati primer dve linearnozavisne i dve linearno nezavisne funkcije. (5 poena)

9. Definisati povrxinski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Grinova formula{formulacija teoreme i dokaz. (7 poena)




Broj indeksa:


1. Hajneova definicija graniqne vrednosti (limesa) funkcije dve promenive.

Da li postoji lim(x,y)(0,0)

x2

x2 + y2? Obrazloiti odgovor. (5 poena)

2. Da li je egzistencija parcijalnih izvoda funkcije f(x, y) u taqkiM dovoanuslov za diferencijabilnost funkcije u toj taqki? Obrazloiti. (3 poena)

3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenive z = z(x, y).Izvoee formule za sluqaj n = 3. (5 poena)

4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =

n=1(1)n1

nxn

neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)

5. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red

n=0 4nx2n

moe integraliti qlan po qlan na intervalu (1/2, 1/2)? (4 poena)


{0, pi x 0ex

2, 0 < x pi na

intervalu [pi, pi]. Qemu je jednako S(0)+S(pi)? Obrazloiti odgovor. (6 poena)

7. Linearna diferencijalna jednaqina prvog reda. Izvoee formule za enoopxte rexee. (5 poena)

8. Neka je L[y] = y + p1(x)y + p2(x)y i neka su y1(x) i y2(x) linearno nezavisnarexea homogene linearne diferencijalne jednaqine L[y] = 0. Opisati postu-pak rexavaa diferencijalne jednaqine L[y] = arctg x. (3 poena)

9. Definisati povrxinski integral prve vrste, kao i pojmove i oznake koje sepojavuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Formula Gausa - Ostrogradskog (formulacija). Ilustrovati na primeruSxdydz + zdxdy, gde je S spona strana sfere x2 + y2 + z2 = 2z. (7 poena)




Broj indeksa:

Ovaj test sadri 10 pitaa, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vienom prostoru. Svako pitae se vrednuje odreenim brojem poena,koji je dat pored svakog pitaa. Neqitki i neuredni odgovori neese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.

1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenive. (3 poena)

2. Formulisati teoremu koja daje potreban i dovoan uslov za diferencija-bilnost funkcije vixe promenivih u datoj taqki. (3 poena)

3. Definisati sledee pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A B, B A? Obrazloiti odgovor. (6 poena)


n=0 pin+1xn

moe integraliti qlan po qlan na (1/2, 1/2)? Obrazloiti odgovor. (4 poena)

5. Dat je funkcionalni niz (fn), n N. Definisati pojmove fn f i fn f naD. (4 poena)

6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =

{tg x, 0 x pi

4

2, pi4< x pi na

intervalu [0, pi]. Qemu je jednako S(pi)+S(1)? Obrazloiti odgovor. (6 poena)

7. Definisati pojam rexea diferencijalne jednaqine y = f(x, y). Da li jefunkcija y = ln x opxte rexee diferencijalne jednaqine xy = 1? (4 poena)

8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)

9. Definisati trojni integral, kao i pojmove i oznake koje se pojavuju u tojdefiniciji. (7 poena)

10. Zapremina sfere x2+y2+z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (6 poena)




Broj indeksa:


1. Koristei se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-

menive ispitati postojae limesa lim(x;y)!(0;0)

y2

x2 + y2. (4 poena)

2. Data je funkcija u = xyz. Nai po definiciji uy(e2; 2; 3). (4 poena)

3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenivih. (3 poena)

4. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda

P1n=1

sinnxn3

koristei ovuteoremu. (5 poena)

5. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =P1

n=1(1)nn2+1

xn

neprekidna zdesna u taqki x = 1? (4 poena)


(tg x; 0 x

3

1; 3< x na

intervalu [0; ]. Qemu je jednako S(3) + S() + S(1)? Obrazloiti odgovor.

(6 poena)

7. Formulisati pojam linearne nezavisnosti funkcija y1(x), y2(x), y3(x) naintervalu (0; 1). Dati karakterizaciju linearne nezavisnosti ovih funkcijapreko Vronskijana. (4 poena)


9. Cilindriqne i sferne koordinate u trojnom integralu. Parametrizovatitelo T (deo konusa) odreeno nejednakostima

px2 + y2 z 1 uvodei a) ci-

lindriqne; b) sferne koordinate. (8 poena)

10. Povrxina sfere x2 + y2 + z2 = R2 primenom dvojnog integrala. (5 poena)




Broj indeksa:


1. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati parcijalni izvodu

z. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije u utaqki (0, 1, 2). Dati primer jedne funkcije koja zadovoava taj uslov. (4 poena)

3. Napisati Tejlorov polinom treeg stepena za funkciju f(x, y) = ex cos y uokolini taqke (0, 0). (4 poena)

4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda

n=0 an(x 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)

5. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada vae ti razvoji. (4 poena)

x

3 + x=

shx =


{2, pi x 11x, 1 < x pi na


7. Formulisati Koxijevu teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rexeadiferencijalne jednaqine prvog reda. (4 poena)


9. Definisati krivolinijski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Zapremina sfere x2+y2+z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (7 poena)

Graevinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu



Broj indeksa:



2. Data je funkcija f(x, y) = xy3. Nai po definiciji fy(1, 2). (4 poena)



n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [1, 1). (5 poena)

5. Formulisati teoremu o diferencirau stepenog reda. Da li se red

n=0 2nxn

moe diferencirati qlan po qlan na intervalu (1, 1)? Obrazloiti odgo-vor.(4 poena)


{0, pi x 01

x+2, 0 < x pi na


7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [pi, pi]. (5 poena)

8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)

9. Izvesti Freneove formule. (7 poena)

10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)

Graevinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu



Broj indeksa:



2. Data je funkcija f(x, y) = xy3. Nai po definiciji fy(1, 2). (4 poena)



n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [1, 1). (5 poena)

5. Formulisati teoremu o diferencirau stepenog reda. Da li se red

n=0 2nxn

moe diferencirati qlan po qlan na intervalu (1, 1)? Obrazloiti odgo-vor.(4 poena)


{0, pi x 01

x+2, 0 < x pi na


7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [pi, pi]. (5 poena)

8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)


10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati primer jedne metrike u pro-storu R3. (3 poena)

2. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije vixe promenivih. Dali postoji lim

(x,y)(0,0)xy

x2 + y2? Obrazloiti odgovor. (5 poena)

3. Formulisati teoremu o izvodu sloene funkcije dve promenive. Ako jez = f(xy2, x+ y) odrediti zxy. (6 poena)

4. Definisati pojam ravnomerno konvergentnog funkcionalnog reda

n=1 fn.Dati primer jednog takvog reda. (5 poena)


n=0 en+1xn

moe integraliti qlan po qlan na (1, 1)? Obrazloiti odgovor. (4 poena)


{3, pi x 0ex

2, 0 < x pi na


7. Definisati ortonormirani sistem funkcija i dati jedan primer. (5 poena)

8. Prirodna parametrizacija krive. (6 poena)

9. Odrediti krivinu krive xyz = 1, z = 2x y2 u taqki M(1, 1, 1). (6 poena)



ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)


Broj indeksa:


1. Definisati pojam taqke nagomilavaa skupa S R2. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije uu taqki (0, 1, 2). Dati primer funkcije koja zadovoava taj uslov. (4 poena)

3. Definisati pojam lokalnog maksimuma. Formulisati Fermaovu teoremu zafunkcije vixe promenivih. (6 poena)

4. Dat je funkcionalni niz (fn), n N. Definisati pojmove fn f i fn fna D. (5 poena)


n=0 an(x 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)


x3 + x

=

cos2 x =


{2, pi x 11x, 1 < x pi na


8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n N. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija jednaka nuli u svakoj taqki, 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)

10. Napisati formule za prirodni triedar u opxtoj parametrizaciji.(3 poena)


ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)


Broj indeksa:


1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenive. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z, t). Definisati parcijalni izvodu

z(0, 1, 2, 0).

(3 poena) (3 poena)

3. Definisati sledee pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A B, B A? Obrazloiti odgovor. (7 poena)

4. Dat je funkcionalni niz (fn), n N. Definisati pojmove fn f i fn fna D. (5 poena)


n=0 an(x+ 1)n. Dati

primer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(2, 0). (4 poena)


1

x2 3x+ 2 =

sin2 x =


{tg x, 0 x pi

4

2, pi4< x pi na


8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n N. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija konstantna u svakoj taqki; 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)

10. Napisati Freneove formule. (3 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam otvorenog i zatvorenog skupa u metriqkom prostoru.Dati primer jednog zatvorenog skupa u R2. (4 poena)

2. Data je funkcija u = xy2z3. Nai po definiciji uy(1, 2,1). (4 poena)

3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenive z = z(x, y).Izvoee formule za sluqaj n = 3. (6 poena)

4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =

n=1(1)n1

nxn

neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)


n=0 4nx2n

moe integraliti qlan po qlan na intervalu (1/2, 1/2)? Obrazloiti odgovor.(4 poena)

6. Razvoj funkcije u stepeni red. Izvesti razvoje za funkcije f(x) = arctg x ig(x) = 1

2+x. (4 poena)


{0, pi x 0ex

2, 0 < x pi na


8. Funkcija f(x) = sin 3x4razvijena je u sinusni Furijev red na [0, pi]. Izraqu-

nati koeficijent b2. (6 poena)

9. Nai prirodnu parametrizaciju krunice x2 + y2 = a2. (6 poena)

10. Krivina krive u ravni. (6 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati jedan primer. (5 poena)

2. Koristei se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-

menive ispitati postojae limesa lim(x;y)!(0;0)

y2

x2 + y2. (5 poena)

3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenivih. (4 poena)

4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =1Pn=1

(1)nnpnxn

neprekidna zdesna u taqki x = 1? (4 poena) (5 poena)

5. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda

P1n=1

cosnxn5

koristei ovuteoremu. (6 poena)


x

2x2 + 3x+ 1=

sin2 2x =


(tg x; 0 x

3

1; 3< x na

intervalu [0; ]. Qemu je jednako S(3) + S() + S(1)? Obrazloiti odgovor.

(6 poena)

8. Formulisati Dirihleovu teoremu za sinusni Furijev red na intervalu [0; 5].(4 poena)

9. Nai prirodnu parametrizaciju krunice x2 + y2 = a2. (6 poena)

10. Napisati Freneove formule. (3 poena)




Broj indeksa:


1. Bolcano-Vajerxtrasova teorema (iskaz). (4 poena)

2. Data je funkcija u = xyz. Nai po definiciji uy(e2; 2; 3). (4 poena)

3. Napisati Tejlorov polinom treeg stepena za funkciju f(x; y) = ex cos y uokolini taqke (0; 0). (6 poena)

4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda. Dati primer stepe-nog reda qiji je polupreqnik konvergencije jednak . (4 poena)

5. Formulisati teoremu o diferencirau stepenog reda. Da li se redP1

n=0x4n

4n

moe diferencirati qlan po qlan na intervalu (2; 2)? Obrazloiti odgovor.(4 poena)

6. Razviti funkcije f(x) = ch2x i g(x) = x3+x

u stepeni red. Kada vae dobijenirazvoji? (6 poena)


(1; x 1ex

2; 1 < x na

intervalu [; ]. Qemu je jednako S()S(1)? Obrazloiti odgovor. (6 poena)

8. Funkcija f(x) = ex razvijena je u sinusni Furijev red na [0; 1]. Izraqunatikoeficijent b2. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Napisati zatim formule za fleksijui torziju ako je kriva data u opxtoj parametrizaciji. (6 poena)

10. Krivina krive u ravni. (4 poena)

M3zavrsni2013februarM3zavrsnijul2014M3zavrsnioktobar2M3zavrsnioktobar3M3zavrsniseptembar2014M2Geo1M2Geo1prM2GeoJun2014M2Geozavrsnioktobar2014M2Geozavrsnioktobar22014M2Gzavrsnijul2014M2Gzavrsnioktobar32014M2zavrsniSeptembar2014

Documents

Mata Rokovi