Mata kuliah Kalkulus

LIMIT IN ACTIONArif Akbarul Huda, S.Si, M.Eng

Warming up...

Predict the ball

Acckck!!? dimana posisi bola pada menit ke 4:00 ?

The path is magically "not there"...

Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda

Keyword :

Lakukan ujicoba dari dua sisi yang berlainan

Goal

Math “hole”...

x2−1x−1

12−11−1

=1−11−1

=00

. Anggap x =1, maka :

indeterminate

Diberikan sebuah persamaan

Subtitusi angka 1 ke dalam x :

Alternatif Pendekatanx (X2-1)/(x-1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

…. ...

x (X2-1)/(x-1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

…. ...

interesting situation :● Apabila nilai X=1, kita tidak menemukan jawabannya (indeterminate)● Tapi kita tahu bahwa hasilnya mendekati 2● Ingin dijawab 2, tapi… aargh ndak juga!

Penulisan LIMIT

x2−1x−1

Mendekati 2Hasil dari

limx→1

x2−1x−1

=2

Atau secara atematis, di tulis

Jika nilai X semakin mendekati 1, maka hasil f(x) mendekati 2

discontinue

Pada titik tertentu , limit tidak dapat didefinisikan

One Sided Limit

Kita tidak dapat menentukan nilai limit pada titik a disebabkan karena 2 hal :

● 3,8 dari kiri● 1,3 dari kanan

Namun kita boleh menggunakan tanda "−" atau "+" untuk mendefinisikan nilai limit

● Sisi kiri limit (−) adalah 3,8● Sisi kanan limit (+) adalah 1,3

Apakah Limit hanya digunakan untuk fungsi yang rumit?

limx→10

x2=5

We know perfectly well that 10/2 = 5, but limits can still be used (if we want!)

Infinity

infinity

1∞

Berapa nilai persamaan ini?

Catatan :● Alasan yang paling sederhana adalah, infinity

bukan bilangan melainkan “sesuatu”.● 1/∞ seperti halnya pembagian 1/tinggi atau

1/pandai● Mungkin ada yang menjawab 1/∞=0. Jika 1

dibagi-bagi hingga jumlahnya sangat banyak, apa yang terjadi dengan angka 1?

Undefined!

Pendekatan lain...

x 1/x

1 1.00000

2 0.50000

4 0.25000

10 0.10000

100 0.01000

1.000 0.00100

10.000 0.00010

Semakin besar nilai x, maka nilai1/x semakin mendekati 0,Secara matematis ditulis :

limx→∞

1x=0

Kita bukan bicara mengenai 1/x jika nilai x=∞ , namun lebih tepatnya, semakin besar nilai x maka hasilnya semakin mendekati 0

Limit to infinity (cont)

y=2 xProblem : Berapa nilai

x 2x

1 1

2 4

4 8

10 20

100 200

1.000 2.000

10.000 20.000

limx→∞

2 x=∞

Sifat-sifat limit

Contoh soal dan penyelesaian

Contoh soal dan penyelesaian

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan

1. Subtitusi langsung

limx→−2

(2 x2−3 x+1)=2⋅4−3⋅(−2)+1=15

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan

2. Pemfaktoran

Ingat:(a2 – b2) = (a – b)(a + b)(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)

limx→2

x3−8x−2

=limx→2

(x−2)(x2+2 x+4)x−2

limx→2x2+2 x+4=4+4+4=2

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan

3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)

limx→2

3−√x+7x−2

=limx→2

3−√x+7x−2

⋅3+√x+73+√x+7

limx→2

9−x−7(x−2)⋅(3+√x+7)

lim1→2

−1(3+√x+7)

=−16

Latihan soal

Sifat-sifat derivative

Latihan soal

Derivative Rules

Power Rule

Derivative Rules

Multiplication by constant

Derivative RulesSum Rule

Derivative RulesDifference Rule

Derivative RulesSum, Difference, Constant Multiplication And Power Rules

Derivative RulesProduct Rule

Derivative RulesReciprocal Rule

Derivative RulesChain Rule

Derivative Rules