MATA KULIAH

KALKULUS III (4 sks)

DOSEN : Ir.RENILAILI, MT

MINGGU PERTAMA

MATRIKS

PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah sekumpulan bilangan riil atau kompleks yang disususn menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut m x n atau matriks berordo m x n.

MACAM-MACAM MATRIKS

00

00A

000

000B

320

541

123

C

1234

2317

6051

5413

D

1.Matriks Nol adalah suatu matriks yang semua elemen-elemennya adalah nol. Contoh :

2 Matriks Bujur Sangkar adalah matriks m x n atau banyak baris = banyaknya kolom Contoh :

500

010

001

E

4000

0300

0020

0005

F

3. Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.

Contoh :

100

010

001

B

10

01C

4. Matriks satuan/Matriks Indentitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utmanya = 1 Contoh :

a

a

a

G

00

00

00

2000

0200

0020

0002

H

5. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonalnya sama. Contoh :

NOTASI 2 INDEKS

INDEKS PERTAMA MENYATAKAN BARIS DAN INDEKS KEDUA MENYATAKAN KOLOM

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

OPERASI DASAR MATRIKS

• PENJUMLAHAN MATRIKS

• PENGURANGAN MATRIKS

• PERKALIAN MATRIKS

• TRANSFOSE MATRIKS

• DETERMINAN MATRIKS

• INVERS MATRIKS

PENJUMLAHAN MATRIKS

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

312221

131211

bbb

bbb

bbb

333332323131

232322222121

131311121111

bababa

bababa

bababa

PENGURANGAN MATRIKS

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333332323131

232322222121

131311121111

bababa

bababa

bababa

333231

312221

131211

bbb

bbb

bbb

PERKALIAN MATRIKS

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

kakaka

kakaka

kakakaK x =

TRANSFOSE MATRIKSJika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan maksudnya baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris, maka matriks baru yang terbentuk disebut transpose dari matriks semula.

CONTOH TRANSFOSE MATRIKS

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

maka AT =

332313

322212

312111

aaa

aaa

aaa

DETERMINAN MATRIKS

Ada 3 metode yang bisa dipakai untuk menghitung determinan 3 x 3 yaitu:

Metode Sarruss

Metode kofaktor (atas)

Metode kofaktor (bawah)

Untuk determinan 2 x 2 cukup berlaku

ad-bc

Determinan 2x2

Contoh:

Det A = 2.5 – 4.7=10-28 = - 18

54

72A

DETERMINAN 3X3

METODE SARRUSS

METODE KOFAKTOR (ATAS)

KOFAKTOR (SAMPING)

METODE SARRUSS

240

7248105968445

7.5.38.6.19.4.28.4.37.6.29.5.1

87987

54654

21321

det

987

654

321

A

A

METODE KOFAKTOR

33

221

33

221

33

221

333

222

111

ba

bac

ca

cab

cb

cba

cba

cba

cba

CONTOH

21

12012153

24562513

12365148263123

6.29.457.22.427.92.63

92

645

22

742

29

763

292

764

523

C

LATIHAN SOAL-SOAL

1. Buatlah contoh dari macam-macam matrik.

2. Buatlah masing-masing

contoh matriks 2x2 dan 3x3

3. Dari matriks yang anda buat untuk matriks yang 2x2 hitunglah masing-masing penjumlahan, pengurangandan perkaliannya.

4. Untuk matriks yang 3x3 hitunglah determinan dengan 3 cara yang sudah dipelajari sebelumnya.

Usahakan kerjakan soal-soal tepat dalam waktu 1 jam.

INVERS MATRIKS

UNTUK MATRIKS YANG 2X2

ac

bd

cxbdxaA

dc

baA

11

INVERS MATRIKS 3X3

13

10

03

20

01

21

14

10

24

20

21

21

14

13

24

03

21

01

333231

232221

131211

214

013

210

aaa

aaa

aaa

A

MATRIKS KOFAKTOR

341

686

202

AC

ADJOINT MATRIKS

AAdjAT

462

480

162

AAdj

INVERS MATRIKS

)(det

11 AajdA

A

362

480

162

8

1

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

PengertianPersamaan Differensial adalah hubungan antara variabel bebas x, variabel tak bebas y, dan satu atau lebih koefisien differensial y terhadap x.

Persamaan differensial menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran-besaran yang berubah dan karena itu persamaan differensial sering muncul dalam persoalan-persoalan ilmu pengetahuan dan teknik. Orde suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut.

Contoh persamaan differensial untuk orde I ,II dan III

0

0sin

0.

23

3

22

2

2

xedx

dyy

dx

yd

xydx

ydxy

ydx

dyx

Pembentukan Persamaan Differensial

Dalam prakteknya, persamaan differensial dapat dibentuk dari pengkajian persoalan fisis yang dinyatakannya. Secara matematis persamaan differensial muncul bila ada konstanta sembarang dieleminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan.

Contoh 1 :

xBxAdx

yd

xBxAdx

dy

takonsadalahBdanAxBxAy

cossin

sincos

tan,cossin

2

2

setelah dua kali differensial ternyata persamaan diatas tepat sama dengan persamaan semula hanya tandanya yang berlawanan.Jadi

02

2

2

2

ydx

ydy

dx

yd persamaan orde 2.

CONTOH 2.

BxAxy 2

ivdx

ydA

iiiAdx

yd

iiBAxdx

dy

ixBxAy

2

2

2

2

2

2

1

2

2

vdx

yd

dx

dyB

Bdx

ydx

dx

dy

Bdx

ydx

dx

dy

BAxdx

dy

2

2

2

2

2

2

2

12

2

Diketahui : fungsi

Ditanya : Bentuklah persamaan differensial dari fungsi diatas

Penyelesaian :

Substitusi persamaan ii dan iv

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Untuk memecahkan differensial, kita harus mencari fungsi yang memenuhi

persamaan itu artinya yang membuat persamaan itu benar.

Hal ini berarti kita harus mengolah persamaan tersebut sedemikian rupa

sehingga semua koefisien differensialnya hilang dan tinggallah hubungan

antara y dan x. Ada 2 cara yang dapat dilakukan yaitu:

1. Dengan Integral langsung

cxxy

dxx

xy

xx

dx

dy

xdx

dyx

ln43

5

45

45

45

3

2

2

3

2. Dengan pemisahan variabel

Jika persamaan yang diberikan berbentuk

, maka variabel y yang muncul diruas kanan mencegah kita memecahkannya dengan integrasi langsung. Karena itu kita harus mencari cara pemecahan yang lain misalkan kita tinjau persamaan dalam bentuk :

dan dalam bentuk yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, f (y).

yxfdx

dy,

yfxfdx

dy

yfxf

dx

dy

xfdx

dy

yxdx

dy 11

xdx

dy

y

1

1

1

cxxy

dxxdyy

dxxdxdx

dy

y

2

2

11ln

11

1

11

1

pada contoh tersebut kita ubh dulu menjadi :

kemudian integrasikan kedua ruasnya terhadap x :

Contoh 1

Contoh 2

cxxy

dxx

dx

y

dy

dxx

x

y

dy

dxxydyx

dxxyydyx

xyydx

dyx

lnln

1

1.

.

LATIHAN SOAL-SOAL

xdx

dy

y

x

yxydx

dy

ydx

dyx

xydx

dy

x

y

dx

dy

cos1

sin.5

.4

3cos.3

12.2

.1

2

INTEGRAL VEKTOR

Pengertian Integral Vektor Medan Vektor dapat diartikan hampir sama dengan

medan-medan yang lain, yang muncul secara alamiah seperti medan listrik, medan magnit, medan gaya dan medan gravitasi. Kita hanya memandang kasus dimana medan-medan ini tidak tergantung pada waktu yang kita sebut dengan “MEDAN VEKTOR MANTAP”.

Berlawanan dengan suatu medan vektor suatu fungsi F yang mengaitkan suatu bilangan dengan uap titik didalam ruang disebut medan skalar fungsi yang memberikan suhu pada tiap titik akan merupakan sebuah contoh fisis yang bagus dari suatu medan skalar.

Gambar integral vektor

Divergensi Dan Curl Dari Medan Vektor

Misalkan F = Mi + Nj + Pk adalah medan vektor

kz

jy

ix

operator

ky

M

x

Nj

x

P

z

Mi

Z

N

y

pFCurl

z

p

y

N

x

MFDiv

fDiv

z

P

y

N

x

M

PkNjMikz

jy

ix

F

fgradienf

.

y

M

x

Ni

z

M

x

Pj

z

N

y

Pi

PNMzyx

kji

Fx

Bilamana

beroperasi pada suatu f, ia akan menghasilkan gradien yaitu :

CONTOH 1.

kzxjyzxizxyzyxF 23223 2,,

kzxyxyzjxyxiyzx

kzxyxyzjxyxiyzx

zxyzxzxyzyx

kji

FFCurl

zzxzyFFDiv

22322

22322

23223

223

3434

34340

2

22

Tentukan div F dan curl F dari fungsi :

Penyelesaian :

CONTOH 2.

kzxjyzxizxyzyxF 23223 2,,

kzxyxyzjxyxiyzx

kzxyxyzjxyxiyzx

zxyzxzxyzyx

kji

FFCurl

zzxzyFFDiv

22322

22322

23223

223

3434

34340

2

22

Tentukan div F dan curl F dari fungsi :

MINGGU KEEMPAT

KUISIONER

MINGGU KELIMA

INTEGRAL GARIS

dsyxfc ,

dttytxtytxfdsyxfb

ac

2121,,

Integral Garis , disebut juga dengan integral curva yang dapat ditulis sebagai

integral ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

CONTOH

c

ydsx 2

20

t

Hitunglah Integral Curva dari fungsi sebagai berikut :

dengan C ditentukan oleh persamaan parameter x = 3 cos t dan y = 3 sin t,

Penyelesaian

X = 3 cost tdx = -3 sin t dt

27

103

81

0cos2

cos3

81

cos3

81

sincos81

cossin9sincos27

cos9sin9sin3cos9

cos3sin3sin3cos3

33

20

3

2

0

2

2

0

22

2

0

222

2

0

2222

t

tt

dttttt

dttttt

dtttttydsxc

Latihan soal-soal

c

ydsx 2

23

t

1.Tentukanlah Div F dan curl F dari fungsi berikut : F(x, y, z) = (x3y2z)i + (2x y2 z3)j + (3x2 + z3)k

2.Tentukanlah div F dan curl F dari fungsi berikut : F(x, y, z) = (2x4 y z3)i + (x3 y4 z)j + (x3 + 2x4)k

3.Hitunglah integral curva dari fungsi sebagai berikut :

dengan C ditentukan oleh persamaan parameter x = 5 sin t dan y = 5 cos t,

MID TEST

PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIIL

CONTOH

CONTOH

LATIHAN SOAL-SOAL

MINGGU KESEBELAS

DERET MACLAURINE

CONTOH DERET MACLAURINE

LATIHAN SOAL

1. f(x) = ex turunkan sampai fIV(x)

2. f(x) = Cos 2x turunkan sampai fIV(x)

MINGGU KEDUABELAS

PENERAPAN INTEGRAL LIPAT

CONTOH SOAL

MINGGU KETIGABELAS

VOLUME BENDA PUTAR

CONTOH SOAL

MINGGU KEEMPATBELAS

PUSAT GRAVITASI SUATU BENDA PUTAR

MINGGU KELIMABELAS

LATIHAN SOAL

MINGGU KEENAMBELAS UJIAN AKHIR SEMESTER

DAFTAR PUSTAKA