MAT A D-S047

1

12

MATEMATIKAviša razina

MAT A

MATA.47.HR.R.K1.24

MAT A D-S047

2

99

Matematika

Praz

na st

rani

ca

MAT A D-S047

3

(Marko Marulić) Petar Preradović

OPĆE UPUTE

Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih.Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.Nalijepite identifikacijske naljepnice na sve ispitne materijale koje ste dobili u sigurnosnoj vrećici.Ispit traje 180 minuta.Ispred svake skupine zadataka uputa je za rješavanje. Pozorno je pročitajte.Pri računanju možete upotrebljavati list za koncept koji se neće bodovati.Upotrebljavajte isključivo kemijsku olovku kojom se piše plavom ili crnom bojom.Možete upotrebljavati priloženu knjižicu formula.Pišite čitko. Nečitki odgovori bodovat će se s nula (0) bodova.Ako pogriješite u pisanju, pogreške stavite u zagrade, precrtajte ih i stavite skraćeni potpis. Zabranjeno je potpisati se punim imenom i prezimenom.Kada riješite zadatke, provjerite odgovore.

Želimo Vam mnogo uspjeha!

Ova ispitna knjižica ima 24 stranice, od toga 2 prazne.

99

Ako ste pogriješili u pisanju odgovora, ispravite ovako:

a) zadatak zatvorenoga tipa

b) zadatak otvorenoga tipa

Ispravno NeispravnoIspravak pogrešnoga unosa

Precrtan netočan odgovor u zagradama Točan odgovor Skraćeni potpis

Skraćeni potpisPrepisan točan odgovor

MAT A D-S047

4

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

I. Zadatci višestrukoga izbora U sljedećim zadatcima od više ponuđenih odgovora samo je jedan točan.Pri računanju možete pisati i po stranicama ispitne knjižice.Točne odgovore morate označiti znakom X na listu za odgovore. U zadatcima od 1. do 15. točan odgovor donosi jedan bod.

1. Koja je od navedenih tvrdnja istinita?

A. Razlika dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodan broj.B. Količnik dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.C. Zbroj dvaju racionalnih brojeva uvijek je racionalan broj.D. Umnožak dvaju iracionalnih brojeva uvijek je iracionalan broj.

2. Čemu je jednako p iz izraza r p m+( ) = 2 ?

A. p m r= −2

B. p mr= −2

C. prm= −2

D. pm

r= −2

3. Koja od navedenih nejednadžba ima isti skup rješenja kao i nejednadžba 2 2 4 3 1 5x x x−( ) + −( ) > ?

A. − > −4 5xB. − D. 4 5x < −

MAT A D-S047

5

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

4. Proizvođač jogurta smanjio je pakiranje s 0.8 L na 0.6 L i cijenu s 8.92 kune na 7.20 kuna. Kako se pritom promijenila cijena 1 L jogurta?

A. Cijena se povećala za 85 lipa.B. Cijena se povećala za 1.72 kune.C. Cijena se smanjila za 85 lipa.D. Cijena se smanjila za 1.72 kune.

5. Prosječna masa svih peciva ispečenih u nekoj pekari tijekom jednoga dana iznosila je 70.1 g. Trećina količine tih peciva imala je prosječnu masu 69.3 g. Kolika je bila prosječna masa preostalih dviju trećina količine peciva ispečenih toga dana?

A. 69.7 gB. 69.9 gC. 70.5 gD. 70.9 g

6. Peti član geometrijskoga niza iznosi 1296, a kvocijent niza jednak je 65

. Koliko iznosi treći član toga niza?

A. 432B. 518C. 750D. 900

7. Ako je 27 8m = , koliko je 9m ?

A. 2B. 3C. 4D. 6

MAT A D-S047

6

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

8. Duljine dviju stranica trokuta iznose 7.2 cm i 6.5 cm, a mjera kuta između njih jest 31°. Kolika je duljina treće stranice toga trokuta?

A. 3.1 cmB. 3.72 cmC. 9.15 cmD. 9.7 cm

9. Koji je od ponuđenih trokuta sukladan trokutu PQR prikazanom na skici?

A. B.

C. D.

MAT A D-S047

7

Matematika

0101

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

10. Kolika je udaljenost između pravaca zadanih jednadžbama y x= +34

6 i

y x= −34

9?

A. 10 B. 12C. 15D. 20

11. Na slici je prikazan graf funkcije f.

Na kojemu su od navedenih intervala sve vrijednosti te funkcije pozitivne?

A. − −4 3,

B. −1 1,

C. 2 3,

D. 3 5,

MAT A D-S047

8

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

12. Čemu je nakon pojednostavljivanja jednak izraz 3 42

sin cosπ π+( ) + +

x x za svaki x?

A. − 4sin xB. −2sin xC. 2sin xD. 4sin x

13. Kojemu je od navedenih binomnih koeficijenata jednak binomni koeficijent 24

13k +

za sve k za koje je definiran?

A. 24

11−

k

B. 24

13−

k

C. 24

6k +

D. 24

10k +

MAT A D-S047

9

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

14.

15. Na podu je do zida postavljena cijev, a između cijevi i zida greda. Presjek cijevi je kružnica polumjera R, a presjek grede je kvadrat kao što je prikazano na skici. Kolika je duljina stranice toga kvadrata?

A. R2

2 1−( )B. R

22 2−( )

C. R3

2 1−( ) D. R

32 2−( )

ZADATAK IZUZET

MAT A D-S047

10

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

II. Zadatci kratkoga odgovora

U sljedećim zadatcima odgovorite kratkim odgovorom.Pri računanju upotrebljavajte list za koncept koji se neće bodovati.Odgovore upišite samo na predviđeno mjesto u ispitnoj knjižici.Ne popunjavajte prostor za bodovanje.

16. Riješite zadatke.

16.1. Zapišite broj 34

u obliku postotka. Odgovor: ________________________ %

16.2. Televizijski operater naplaćuje postavljanje opreme 95 kuna jednokratno i paket 45 kuna mjesečno. Koliko će korisnik platiti operateru za postavljanje opreme i korištenje toga paketa tijekom 2 godine? Odgovor: __________________________ kn

17. Riješite zadatke.

17.1. U izrazu 13

2

4x x−+

+ provedite naznačene operacije do kraja.

Odgovor: __________________________

17.2. Koliko iznosi x u rješenju sustava jednadžba x y xyxy

− + =− =

4 3 3

1 0?

Odgovor: __________________________

MAT A D-S047

11

Matematika

02

0

1

bod

0

1

bod

0

1

bod

0

1

bod

18. Riješite zadatke.

18.1. Koliki je umnožak rješenja jednadžbe 10 1 212x x−( ) = ? Odgovor: __________________________

18.2. Odredite sva realna rješenja jednadžbe x x+( ) + +( ) =5 5 204 2 . Odgovor: __________________________

19. Riješite zadatke.

19.1. Pojednostavnite 2 0 2 3⋅ − ⋅ −( )−a a a . Odgovor: __________________________

19.2. Koliki je realni dio kompleksnoga broja 8 4 4 3i ik k− + , k ∈N ? Odgovor: __________________________

12

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

bod

0

1

bod

20. Riješite zadatke.

20.1. Površine dvaju sličnih trokuta su u omjeru 64 : 49. Ako je duljina visine većega trokuta 35.2 cm, kolika je duljina odgovarajuće visine manjega trokuta? Odgovor: __________________________ cm

20.2. Nacrtajte neki trapez kojemu su vrhovi u točkama zadane mreže, a dužina AD krak je toga trapeza.

21.

21.1.

21.2.

ZADATAK IZUZET

13

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

bod

0

1

bod

0

1

bod

22. Riješite zadatke.

22.1. Napišite primjer neke padajuće linearne funkcije f čiji graf prolazi ishodištem koordinatnoga sustava.

Odgovor: f x( ) = __________________________

22.2.

23. Riješite zadatke.

23.1. Napišite izraz 2log log loga b c+ − s pomoću jednoga logaritma. Odgovor: __________________________

23.2. Odredite sva rješenja jednadžbe tg −( ) =x 33

. Odgovor: __________________________

ZADATAK IZUZET

14

MAT A D-S047

Matematika

0

1

bod

02

0

1

bod

0

1

bod

0

1

bod

24. Zadana je funkcija f x x( ) = −4 5 .

24.1. Odredite sliku (skup svih vrijednosti) funkcije f. Odgovor: __________________________

24.2.

25. Riješite zadatke.

25.1. Odredite koordinate točke A ako je točka P −( )2 7, polovište dužine AB i ako je B 5 3,( ) . Odgovor: __________________________

25.2. Odredite jednadžbu kružnice polumjera 13 koja je koncentrična kružnici

zadanoj jednadžbom x x y2 24 0− + = . Odgovor: __________________________

25.3. Odredite jednadžbu tangente na parabolu y x2 3= u njezinoj točki x,6( ). Odgovor: __________________________

ZADATAK IZUZET

15

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

26. Riješite zadatke.

26.1. Ispit se sastoji od 10 zadataka od kojih se neki boduju s 5 bodova, a neki s 9 bodova. U ispitu je moguće ostvariti maksimalno 62 boda. Koliko je u ispitu zadataka koji se boduju s 9 bodova? Odgovor: __________________________

26.2. Koji je najmanji prirodni broj koji pri dijeljenju sa svakim neparnim jednoznamenkastim brojem osim s 1 daje ostatak 1? Odgovor: __________________________

26.3. Inflacija se može definirati kao pad vrijednosti novca. Jedna je od posljedica inflacije rast cijena za određeni postotak svake godine. Cijena će nekoga proizvoda nakon t godina iznositi N t N p t( ) = +( )0 1 gdje je N0 početna cijena toga proizvoda, a p godišnja stopa inflacije. Nakon koliko će godina cijena nekoga proizvoda porasti sa 100 kn na 128 kn ako tijekom cijeloga razdoblja godišnja stopa inflacije iznosi 4.2 %? Odgovor: __________________________

16

MAT A D-S047

Matematika

0

1

2

bod

02

0

1

bod

0

1

bod

27. Riješite zadatke.

27.1.

27.2. Zapišite funkciju f x x x( ) = + + −2 6 1 bez apsolutne vrijednosti za sve x > 1 .

Odgovor: f x( ) = __________________________

27.3. Odredite sve realne brojeve a za koje graf funkcije f x ax x( ) = + −2 3 2 siječe os apscisa u dvjema točkama. Odgovor: __________________________

28. Zadan je trokut ABC sa stranicama duljina BC = 4 cm i AC = 5 cm te kutom ∠BAC mjere 43°. Kolika je mjera kuta ∠ABC ? Odgovor: _______________________________________________________

ZADATAK IZUZET

17

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

2

bod

III. Zadatci produženoga odgovora

U 29. i 30. zadatku napišite kemijskom olovkom postupak rješavanja i odgovor na predviđeno mjesto u ispitnoj knjižici. Prikažite sav svoj rad (skice, postupak, račun). Ako dio zadatka riješite napamet, objasnite i napišite kako ste to učinili. Ne popunjavajte prostor za bodovanje.

29. Riješite zadatke.

29.1. Odredite kvadratnu funkciju čiji graf prolazi točkom A 5 1,( ) i ima tjeme u točki T 2 4,−( ) . Odgovor: ____________________________________________________

18

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

2

bod

29.2. Zadani su vektori a i j→ → →

= −5 12 i b i j→ → →

= +4 9 . Odredite mjeru kuta između

vektora a b→ →

+ i a→

. Odgovor: ________________________________

19

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

2

bod

29.3. Na skici je prikazan presjek koncertne dvorane. Strop dvorane u presjeku je u obliku poluelipse čija su žarišta F1 i F2 na visini 1.5 m od poda. U žarištima međusobno udaljenima 16 m postavljeni su zvučnici. Izračunajte visinu dvorane na mjestima gdje su postavljeni zvučnici ako je najveća visina dvorane 7.5 m.

Odgovor: ________________________________ m

20

MAT A D-S047

Matematika

0202

0

1

2

3

bod

29.4. Duljina jednoga osnovnog brida kvadra ABCDEFGH iznosi 2.7 cm. Prostorna dijagonala toga kvadra duljine 10 cm s ravninom osnovke zatvara kut mjere 63°. Izračunajte obujam piramide ABCG.

Odgovor: ________________________________ cm3

21

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

2

3

bod

29.5. Zadan je niz realnih brojeva a a a1 2 3, , ,... Za zbroj prvih n članova toga niza

vrijedi S n nn = +2 32 . Članovi a a a

1 3 5, , ,... na neparnim mjestima zadanoga

niza čine novi niz. Izračunajte zbroj prvih 100 članova tako dobivenoga novog niza. Odgovor: ________________________________

22

MAT A D-S047

Matematika

02

30. Riješite sustav nejednadžba log

.0 54

1

30

1 1

x

x x

+

≥

+ + ≤

.

23

MAT A D-S047

Matematika

02

0

1

2

3

4 bod

Odgovor: ________________________________

MAT A D-S047

24

99

Matematika

Praz

na st

rani

ca

Driavna matura iz Matematike - jesenski rok 2020. - MAT A

KliuE za odgovore

1. C 2.D 3.D 4.4

5.C 6,D 7.C 8.B

9.4 10. B 11. A 12. C

13. A 14, zadalak je izuzel 15. B16.1.75

16.2.117 5

17.1.3x -2

(r -:) (x + a)

17.2.-2,2

18.1-1

18.2.-7, -3

19.1.2+a

19.2.B

20.1.30.8

20.2.Primjerice

21.1.zadatak ie izuzet

.:.1:.'

l'1"

22.1.

npr. /(x) = -2xBilo koja funkcija

oblika "f (*)=ax, a

Nacionalni centarza van jslco vrednovanjeobrazovanja

ISPIT DRZAVNE MATURE

MATEMATIKA - vi5a razina

M

A

T

A

List za odgovore Sifra moderatora: D-S047

1. A B CX D2. A B C DX3. A B C DX4. AX B C D5. A B CX D6. A B C DX7. A B Cx D8. A BX C D9. AX B C D

10. A BX C D11. AX B C D12. A B Cx D13. AX B C D14.

,15. A BX C D

Ostale zadatke rije5iteu ispitnoj knjiZici.

Popunjava ocjenjivad.

25.1. O

25.2. O

25.3.0

26.1. O

26.2.0

26.3. 0

27.1.

27.2. 0

27.3. O

28. 029.1. 0

29.2. O

29.3.0

29.4.0

295.0

30. 0

NO

NO

NO

NO

NO

NO

16.1 . 0

16.2.0

17 .1. 0

17.2. 0

18.1 . 0

18.2. O

19.1.0

19.2. O

20.1. 0

20.2.0

21.1.

21.2.

22.1. 0

22.2.

23j. O

23.2. O

24.1. 0

242

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

1

1

1

1

1

I

1

1

2

2

2

2

2

2

NO

NO

NO

NO

NO

NO

3NO3NO

34NO

NO

NO

NO

NO

Sifra ocjenjiva6a:

MATA.47.HR.R.L1,O1

ililililtllllllillr4051 I

NE FOTOKOPIRATIOBRAZAC SE EITA OPTIEKI

NE PISATI PREKOPOLJA ZA ODGOVORE Oznadavati ovako: I MATA

MAT T A

1

12

MATEMATIKAviša razina

KNJIŽICA FORMULA

MAT A

MATA.47.HR.R.T2.08

MAT T A

2

99

MatematikaKnjižica formula

F O R M U L E

• Kvadratna jednadžba:

• Vièteove formule:

• Tjeme parabole:

•

a a a a a a a aa

a a am n m n m n m n m mnm

nm⋅ = = ≠ = ≠ =+ − −, : ( ), ( ),0 1 0•

• ( ) ,a b a ab b± = ± +2 2 22 ( )a b a a b ab b± = ± + ±3 3 2 2 33 3

• a b a b a b2 2− = − +( )( ), a b a b a ab b3 3 2 2± = ± +( )( )

• ( ) ... ...a b ana b

nka b

nn

an n n n k k+ = +

+ +

+ +−

− −

1 1

1 bb bn n− +1

ax bx c a x b b aca

2

1 2

2

0 04

2+ + = ≠ ⇒ = − ± −, ,

x x bax x c

a1 2 1 2+ = − ⋅ =,

T ba

ac ba

− −

2

4

4

2

,

• b a x ax b= ⇔ = log , log logb x xb x b b= =

• log ( ) log log , log log log , log log , logb b b b b b b y b axy x yxy

x y x y x= + = − = xx xa

b

b

=log

log

zz

rr

i z r n i nn n12

1

21 2 1 2= − + − = +( ( ) sin( )), (cos sin ),cos φ φ φ φ φ φ

2 2z r kn

i kn

k nn n= +

+ +

= −cos sin , , ,...,0 1 1φ π φ π

zz

rr

i z r n i nn n12

1

21 2 1 2= − + − = +( ( ) sin( )), (cos sin ),cos φ φ φ φ φ φ

2 2z r kn

i kn

k nn n= +

+ +

= −cos sin , , ,...,0 1 1φ π φ π

a a a a a a a aa

a a am n m n m n m n m mnm

nm⋅ = = ≠ = ≠ =+ − −, : ( ), ( ),0 1 0a a a a a a a a

aa a am n m n m n m n m m

nmnm⋅ = = ≠ = ≠ =+ − −, : ( ), ( ),0 1 0

• Standardni zapis kompleksnog broja: i2 1= −z a bi a b= + ∈, , R , , z a bi= − , z a b= +2 2

• Trigonometrijski zapis kompleksnog broja: z r i= +( ) ∈[cos sin , ,ϕ ϕ ϕ π0 2 ,z z rr i1 2 1 2 1 2 1 2⋅ = +( ) + +( )( )cos sinϕ ϕ ϕ ϕ

,nk

nk n k

=−( )!

! !

MAT T A

3

99

MatematikaKnjižica formula

• Površina trokuta:

B = površina osnovke (baze), P = površina pobočja, h = duljina visine

r = polumjer osnovke s = duljina izvodnice

r = polumjer kugle

• Površina trapeza:

• Duljina kružnoga luka:

• Opseg kruga:

• Površina kružnoga isječka:

• Obujam (volumen) prizme i valjka:

• U pravokutnome trokutu:

sinus kuta = duljina nasuprotne katete , kosinus kuta = duljina priležeće katete , duljina hipotenuze duljina hipotenuze

tangens kuta = duljina nasuprotne katete duljina priležeće katete

• Obujam (volumen) kugle:

• Oplošje prizme i valjka:

• Oplošje piramide:

• Oplošje stošca:

• Oplošje kugle:

• Obujam (volumen) piramide i stošca:

• Površina kruga:

• Površina paralelograma:

• Jednakostraničan trokut:

P a v P s s a s b s c s a b ca= ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = + +2 2, ( ) ( ) ( ),

P ab P abcr

P r s= = =sino

uγ

2 4, ,

P a v a r v r vu= = = =2 3

4

3

2

2

3

1

3, , ,o

P a v= ⋅ P a c v= + ⋅2

P r= 2π O r= 2 π

P r=2

360πα

l r= πα180

V B h= ⋅ O B P= +2

V B h= ⋅13

O B P= +

O r r s= +2π π

V r= 43

3π O r= 4 2π,

MAT T A

4

99

MatematikaKnjižica formula

• Poučak o sinusima: • Poučak o kosinusima:a b csin sin sinα β γ

= = c a b ab2 2 2 2= + − cos γ

• sin cos , tgsin

cos

2 2 1x x x xx

+ = =

sin sin cos , cos cos sin2 2 2 2 2x x x x x x= = −•

sin( ) sin cos sin cosx y x y y x± = ±•

cos( ) cos cos sin sinx y x y x y± =

tg( )tg tg

tg tgx y x y

x y± = ±

⋅1

sin sin sin cos , sin sin cos sinx y x y x y x y x y x y+ = + − − = + −22 2

22 2

•

cos cos cos cos , cos cos sin sinx y x y x y x y x y x y+ = + − − = − + −22 2

22 2

• sin sin cos( ) cos( )x y x y x y= − − +[ ]12

cos cos cos( ) cos( )x y x y x y= − + +[ ]12

sin cos sin( ) sin( )x y x y x y= − + +[ ]12

sin ,π6

1

2=• sin ,π

4

2

2= sin

π3

3

2=

MAT T A

5

99

MatematikaKnjižica formula

• Udaljenost točaka

• Polovište dužine

• Vektor

• Skalarni umnožak vektora:

• Jednadžba pravca:

• Kut α između dvaju pravaca:

• Udaljenost točke T (x1, y1) i pravca p...

T T d T T x x y y1 2 1 2 2 12

2 1

2, : ( , ) ( ) ( )= − + −

TT x x y yP1 2 1 2 1 22 2

: ,+ +

TT TT a x x i y y j a i a j1 2 1 2 2 1 2 1 1 2: ( ) ( )= = − + − = +

a b a b a b a b a b� �� � � �� � � �� �

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = +cos ,α 1 1 2 2

y y k x x k y yx x

− = − = −−1 1

2 1

2 1

( ),

tgα = −+k kk k

2 1

1 21

Ax By C d T pAx By C

A B+ + = =

+ +

+0

1 1

2 2: ( , )

TT TT a x x i y y j a i a j1 2 1 2 2 1 2 1 1 2: ( ) ( )= = − + − = +

MAT T A

6

99

MatematikaKnjižica formula

Krivulja drugoga reda Jednadžba Tangenta u točki krivulje (x1,y1)

Kružnica središte S p( , )q ( ) ( )x p y q r− + − =

2 2 2 ( )( ) ( )( )x p x p y q y q r1 12− − + − − =

Elipsafokusi F e

e a b1 2

2 2 2

0, ( , )±

= −

xa

yb

2

2

2

21+ =

x xa

y yb

1

2

1

21+ =

Hiperbola

fokusi F e

e a b1 2

2 2 2

0, ( , )±

= +

asimptote y bax= ±

xa

yb

2

2

2

21− =

x xa

y yb

1

2

1

21− =

Parabola

fokus Fp20,

direktrisa x p= −2

y px2 2= y y p x x1 1= +( )

• Uvjet dodira pravca y kx l= + i kružnice: r k kp q l2 2 21( ) ( )+ = − +

MAT T A

7

99

MatematikaKnjižica formula

• Aritmetički niz:

• Geometrijski niz:

• Geometrijski red:

• Derivacija umnoška:

• Derivacija kompozicije:

• Tangenta na graf funkcije

• Derivacije:

• Derivacija kvocijenta:

a a n d S n a an n n= + − ⋅ = +1 112

( ) , ( )

a a q S a qqn

nn

n

= ⋅ = −−

−1

1

1

1

1,

S aq

q=−1

11, <

( )f g f g f g⋅ ⋅ + ⋅′ = ′ ′ fg

f g f gg

= ⋅ − ⋅′ ′ ′

2

( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x ′ ′ ′= ⋅

f y y y f x x xu ( , ) : ( ) ( )T x1 1 1 1 1− = ⋅ −′

c′ = 0 (x ) ,n nn x n′ = ⋅ ≠−1 0 (sin ) cosx x′ = (cos ) sinx x′ = − (tg )cos

xx

′ = 12

MAT T A

8

Matematika

99

Praz

na st

rani

ca