MAT 475 Tópicos em Matemática AplicadaDepartamento de Matematica
Universidade Federal de Vicosa
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Aula 24: Dualidade
Uma desvantagem de usar relaxacoes para obter limitantes e
que
somente uma solucao otima do problema relaxado garante um
limitante dual para o valor otimo do problema original.
A dualidade elimina esta dificuldade pois como sera
demonstrado,
toda solucao factvel do problema dual e um limitante para o
problema primal.
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Aula 24: Dualidade
A todo problema de programacao linear esta associado um outro
problema tambem de programacao linear. Esse par de PPL’s sao
chamados de problemas primal e dual.
Se um PPL e de minimizacao, o outro e de maximizacao;
O vetor de custos c de um problema e o vetor de recursos b do
outro
e vice-versa;
As restricoes de um problema estao relacionadas com as variaveis
do
outro.
A dualidade estuda a relacao entre problemas.
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Aula 24: Dualidade
x variaveis primais
y variaveis duais
AT y ≤ c restricoes duais
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Aula 24: Dualidade
Em um problema de minimizacao, uma solucao factvel para o
problema primal e um limitante superior para o problema dual e
uma
solucao factvel para o problema dual e um limitante inferior para
o
problema primal;
(Teorema da Dualidade Fraca)
Se um PPL tem solucao otima, o outro tambem tem e ambos tem
mesmo valor otimo (Teorema da Dualidade Forte);
Se um PPL e ilimitado, o outro e infactvel;
Se um PPL e infactvel, o outro e ou ilimitado ou infactvel;
O dual do dual e o primal.
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Aula 24: Dualidade
Dualidade . Exemplo 1
2x1 − 4x2 = 5
y1, y2 ∈ R
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Aula 24: Dualidade
Dualidade . Exemplo 2
s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3
→ y1
→ y2
Problema dual
2y1 − 4y2 ≤ 12
−1y1 + 0y2 ≤ 0
0y1 + 1y2 ≤ 0
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Dualidade . Exemplo 2
s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3
→ y1
→ y2
Problema dual
2y1 − 4y2 ≤ 12
−1y1 + 0y2 ≤ 0
0y1 + 1y2 ≤ 0
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Dualidade . Exemplo 2
s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3→ y1
2x1 − 4x2 + 0x3 + x4 = 5→ y2
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Problema dual
2y1 − 4y2 ≤ 12
−1y1 + 0y2 ≤ 0
0y1 + 1y2 ≤ 0
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Dualidade . Exemplo 3
2x1 − x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10
→ y1
y1 ≥ 0, y2 ∈ R
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Dualidade . Exemplo 3
2x1 − x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10
→ y1
y1 ≥ 0, y2 ∈ R
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Dualidade . Exemplo 3
2x1 − x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10→ y1
2x1 − x2 + 3x3 = 8→ y2
x1, x2, x3 ≥ 0
y1 ≥ 0, y2 ∈ R
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Aula 24: Dualidade
Problema dual (D)
Exerccios:
Mostre que os PPLs sao problemas primal e dual.
Escreva o dual do problema (D) para verificar que o dual do dual e
o
primal.
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Primal(dual) Dual(primal)
Minimizacao Maximizacao
Restricao Variavel
≤ ≥ ≥ ≤
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Teorema (Dualidade Fraca)
Se x e uma solucao factvel para o problema primal e y uma
solucao
factvel para o problema dual, entao bT y ≤ cTx.
Demonstracao.
Como x e factvel, Ax = b e x ≥ 0. Como y e factvel, AT y ≤ c.
Portanto, bT y = (Ax)T y = xTAT y ≤ xT c = cTx.
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Dualidade . Propriedades
Corolario (1)
(i) Se o problema primal e ilimitado, entao o dual e
infactvel;
(ii) Se o problema dual e ilimitado, entao o primal e
infactvel.
Demonstracao.
(i) Suponha que o problema dual tenha uma solucao factvel y.
Pelo
Teorema da Dualidade Fraca, bT y ≤ cTx para todo x factvel.
Por
outro lado, como o primal e ilimitado, existe x factvel tal
que
cT x < bT y, o que gera uma contradicao.
(ii) (similar)
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Aula 24: Dualidade
Dualidade
O Corolario 1 pressupoe que um dos problema e factvel (ainda
que
ilimitado).
Mas se um problema e infactvel, o que podemos afirmar sobre o
outro? – Pode ser ilimitado ou infactvel!
Exemplo de ambos os problemas primal e dual infactveis:
min x1 + 2x2
min x1 + x2
y1 − 2y2 ≤ 1
y1, y2 ≥ 0
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Dualidade . Propriedades
Corolario (2)
Sejam x e y solucoes factveis dos problemas primal e dual,
respectivamente, tais que bT y = cT x. Entao, x e y sao solucoes
otimas
dos problemas primal e dual, respectivamente.
Demonstracao.
Pelo Teorema da Dualidade Fraca, temos bT y ≤ cTx para todo x
primal
factvel e para todo y dual factvel. Por hipotese, cT x = bT y.
Desta
forma, cT x = bT y ≤ cTx, para todo x factvel primal e
bT y ≤ cT x = bT y, para todo y factvel dual. Portanto, x e solucao
otima
do problema primal e y e solucao otima do problema dual.
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Dualidade . Propriedades
Sejam P = {x ∈ Rn + : Ax = b} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c}.
Corolario (3)
O problema primal tem solucao otima se e somente se o dual
tiver
solucao otima.
Demonstracao.
Suponha que o primal tem solucao otima. Portanto, P 6= ∅. Do
corolario
1, segue que D 6= ∅. Como P 6= ∅ e D 6= ∅, do corolario 2, tem-se
que o
dual nao e ilimitado. Portanto, tem solucao otima (a unica
possibilidade
que resta dado que nao e infactvel ou ilimitado). De forma
analoga,
mostra-se que se o problema dual tem solucao otima, entao o
problema
primal tem solucao otima.
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Primal
existe otimo nao existe otimo
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Aula 24: Dualidade
Dualidade
Sejam P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c}
as
regioes factveis dos problemas primal e dual,
respectivamente.
Teorema (Teorema da Dualidade Forte)
As solucoes x ∈ P e y ∈ D sao otimas, primal e dual
respectivamente,
se, e somente se, cT x = bT y.
. A demonstracao pode ser encontrada em:
Marcos Arenales et al. Pesquisa Operacional: para cursos de
engenharia.
Elsevier, 2007
Nelson Maculan e Marcia HC Fampa. Otimizacao Linear. UFRJ.
2004.
url: https://linux.ime.usp.br/~felipecp/50861875-livropdf-
url: http://w3.ualg.pt/~mpires/PMtexto.pdf
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Sejam P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c}
as
regioes factveis dos problemas primal e dual.
AT y ≤ c ⇔
...
aTny + µn = cn, µn ≥ 0
⇔
de folga do problema dual.
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Aula 24: Dualidade
Dualidade
Para todo x primal factvel e para todo y dual factvel (µ ≥ 0),
temos
que yi(a ix− bi) ≥ 0, i = 1, . . . ,m, em que ai e a linha i da
matriz A, e
(cj − yTaj)xj ≥ 0, j = 1, . . . , n, em que aj e a coluna j da
matriz A.
Alem disto,
cTx− bT y
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cTx = yT b = yTAx⇔ (cT − yTA)x = 0⇔ n∑
j=1
µ1x1 = 0, µ2x2 = 0, . . . , µnxn = 0 (Folgas complementares)
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Teorema (Teorema das Folgas Complementares)
Sejam x e y solucoes factveis dos problemas primal e dual,
respectivamente. As solucoes x e y sao otimas, primal e dual, se,
e
somente se:
(ii) (cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n
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(cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n, entao
m∑ i=1
yi(a ix− bi) +
n∑ j=1
(cj − yTaj)xj = 0
Portanto, cTx− bT y = 0. Como x e factvel primal e y factvel dual,
pelo
corolario 2, o vetor x e otimo primal e o vetor y e otimo
dual.
(⇒) Se x e otimo primal e y e otimo dual, pelo Teorema de
Dualidade
Forte, temos que cTx− bT y = 0. Como x e factvel primal e y
factvel
dual, temos que:
yi(a ix− bi) = 0, i = 1, . . . ,m e (cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . .
, n
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Dualidade . Exemplo
Seja o problema primal cuja solucao otima e x∗1 = 35, x∗2 = 200 e
z∗ = 235.
z = min x1 + x2 + x3
s.a. 2x1 + x2 = 270
Pelo Teorema das Folgas Complementares, tem-se que as variaveis
de
folga do problema dual sao µ1 = µ2 = 0, o que gera o problema
dual:
zD = max 270y1 + 400y2
3y2 ≤ 1
Portanto, a solucao otima do problema dual e y1 = 1/2, y2 = 1/4
e
zD = 270(1/2) + 400(1/4) = 235, como era de se esperar.
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Dualidade
A teoria de dualidade tem suas razes nos trabalhos de
Lagrange;
A otimizacao de uma funcao restrita a um domnio e tratada como
a
otimizacao de uma funcao irrestrita penalizada.
Na Relaxac~ao Lagrangiana relaxa-se um conjunto de restricoes
para a funcao objetivo, multiplicando-as por fatores de
penalizacao
(multiplicadores de Lagrange) que tornam pouco atraentes as
solucoes que violam as restricoes relaxadas.
P z = min cx
u ∈ Rm [multiplicadores de Lagrange]
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Suponha que o seguinte problema P tenha solucao otima x∗
z = min cTx
s.a. Ax = b
Dado um vetor u ∈ Rm, seja o problema Lagrangiano L(u):
z(u) = min x≥0 {cTx+ uT (b−Ax)}
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Dualidade
Quest~ao: Sera que existe um vetor (multiplicador de lagrange) u∗ ∈
Rm
tal que o Problema Lagrangiano L(u∗) tenha valor otimo igual ao
valor
otimo de P? isto e, tal que
z = z(u∗) = min x≥0 {cTx+ (u∗)
T (b−Ax)}
. O melhor limitante dual que se pode obter com um problema
lagrangiano e o valor otimo do problema nomeado Problema Dual
(Lagrangiano). Neste caso:
{min x≥0 {cTx+ uT (b−Ax)}}
. A questao entao e determinar se existe u∗ ∈ Rm tal que zD =
z.
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Dualidade
Quest~ao: Sera que existe um vetor (multiplicador de lagrange) u∗ ∈
Rm
tal que o Problema Lagrangiano L(u∗) tenha valor otimo igual ao
valor
otimo de P? isto e, tal que
z = z(u∗) = min x≥0 {cTx+ (u∗)
T (b−Ax)}
. O melhor limitante dual que se pode obter com um problema
lagrangiano e o valor otimo do problema nomeado Problema Dual
(Lagrangiano). Neste caso:
{min x≥0 {cTx+ uT (b−Ax)}}
. A questao entao e determinar se existe u∗ ∈ Rm tal que zD =
z.
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= min x≥0 {cTx+ uT (b−Ax) : Ax = b}
≥ min x≥0 {cTx+ uT (b−Ax)} = z(u)
Portanto, para qualquer u ∈ Rm, z(u) ≤ z.
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= min x≥0 {uT b+ (cT − uTA)x}
= uT b+min x≥0 {(cT − uTA)x}
= uT b+min x≥0
n∑
(cj − uTaj)xj
(*) A decomposicao na soma de n subproblemas foi possvel pois
as
variaveis xj , j = 1, . . . , n sao independentes entre si.
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Dualidade
Como para cada j = 1, . . . , n, a unica restricao do
problema
z(u)j = min xj≥0 {(cj − uTaj)xj} e xj > 0, temos que:
Se cj − uTaj < 0, z(u)j → −∞ (xj →∞)
Se cj − uTaj ≥ 0, z(u)j = 0 (xj = 0)
Portanto, para cada j = 1, . . . , n:
min xj≥0 {(cj − uTaj)xj} =
−∞, se (cj − uTaj)xj < 0 (xj →∞)
0, caso contrario (xj = 0)
Como estamos buscando o limitante maximo, devemos evitar que
z(u)j → −∞. Para isto, devemos impor que:
cj − uTaj ≥ 0, para j = 1, . . . , n
.
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Aula 24: Dualidade
Dualidade
Logo, para todo u ∈ Rm tal que cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n,
temos que:
z(u) = uT b+
= uT b+
= uT b
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Aula 24: Dualidade
Dualidade
Para todo u ∈ Rm tal que cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n, temos
que:
cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n⇔ aTj u ≥ cj , j = 1, . . . , n⇔ ATu
≤ c.
Portanto,
{uT b : ATu ≤ c} (Problema Dual)
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Seja o Problema de Programacao Inteira P:
.
Definicao (Dualidade Fraca)
Um problema dual fraco do problema de programacao inteira (P)
e
qualquer problema de minimizacao (DP) zD = min{ub : u ∈ PD},
em
que PD = {u ∈ Rm + : uA ≥ c}.
Proposicao
Se DP e factvel entao z ≤ zD. Se DP e ilimitado, entao P e
infactvel.
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PI: Dualidade
Um problema dual (fraco) e facil de construir. Por exemplo,
um
problema dual (fraco) de um problema de programacao inteira P e
o
problema dual da relaxacao linear de P.
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Proposicao
Se um problema DP e um problema dual para uma relaxacao de um
problema de programacao inteira P, entao DP e tambem um
problema
dual para P.
Demonstracao.
Seja zDR = min{zDR(u) : u ∈ XDR} um problema dual para o
problema
RP, uma relaxacao do problema de programacao inteira P. Entao
zR(x) ≤ zDR(u), ∀x ∈ XR e ∀u ∈ XDR.
Pela definicao de relaxacao, cx ≤ zR(x), ∀x ∈ X ⊂ XR.
Portanto,
cx ≤ zDR(u), ∀x ∈ XR e ∀u ∈ XDR.
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Definicao (Dualidade Forte)
Um problema dual forte de um problema de programacao inteira P
e
qualquer problema dual fraco que tambem satisfaca:
Se X 6= ∅ e z e limitado, entao (x∗, u∗) ∈ X ×XD e tal que
zD(u∗) = cx∗.
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Desigualdades Validas
Um problema de Programacao Inteira P e facil de resolver se a
regiao das solucoes factveis da relaxacao linear tiver todos os
pontos
extremos inteiros. Nesse caso, ao resolver a relaxacao linear de P
obtem-se a solucao otima de P.
Quanto mais a regiao das solucoes factveis da relaxacao linear
se
aproximar da envoltoria convexa da regiao das solucoes factveis
de
P, melhor e a qualidade do limitante dual obtido com a
relaxacao
linear do modelo e, usualmente, mais facil de se provar a
otimalidade
em algoritmos do tipo branch–and–bound
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Metodos de planos de corte visam obter uma aproximacao da
envoltoria convexa da regiao factvel de um problema de
programacao inteira.
otima corrente do problema relaxado.
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Metodos de planos de corte visam obter uma aproximacao da
envoltoria convexa da regiao factvel de um problema de
programacao inteira.
otima corrente do problema relaxado.
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Definicao (Desigualdade Valida)
Uma desigualdade πx ≤ πo, denotada por (π, πo) e uma
desigualdade
valida para X ⊂ Rn se πx ≤ π0 para todo x ∈ X.
πx = πo
X
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Desigualdades validas
Uma desigualdade e valida para um PPI se ela e satisfeita para
todas
solucoes factveis (inteiras) do modelo.
Portanto, em particular, se X = {x : Ax ≤ b, x ∈ Zn +} e
conv(X) = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0}, aix ≤ bi e aix ≤ bi sao
desigualdades
validas para X e para conv(X).
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(P) max 3x1 + 14x2 + 18x3
s.a 3x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 10
x1, x2, x3 ∈ {0, 1}
solucao inteira: x∗1 = 1, x∗2 = 0, x∗3 = 1, z∗ = 21
solucao do problema relaxado: x1 = 0, x2 = 0.8, x3 = 1, z∗ =
29.2
Ao inserir a restricao x2 + x3 ≤ 1 no modelo, a solucao
x = (0, 0.8, 1) torna-se infactvel.
A solucao do problema relaxado com a restricao adicional e:
x∗1 = 1, x∗2 = 0, x∗3 = 1, z∗ = 21, que e a solucao otima de
P.
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Desigualdades validas . Exemplo 2
Seja X = {(x, y) : x ≤ 10y, 0 ≤ x ≤ 5, y ∈ {0, 1}} a regiao factvel
de
um problema inteiro misto.
Entao, uma desigualdade valida para o problema e: x ≤ 5y.
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x = 10y
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Desigualdades validas . Exemplo 2
Seja X = {(x, y) : x ≤ 10y, 0 ≤ x ≤ 5, y ∈ {0, 1}} a regiao factvel
de
um problema inteiro misto.
Entao, uma desigualdade valida para o problema e: x ≤ 5y.
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x = 10y x = 5y
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min m∑ i=1
m∑ i=1
xij ≥ 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
yj ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , n.
Como para todas as solucoes factveis temos que xij ≤ bjyj e xij ≤
ai, uma desigualdade valida para o problema e: xij ≤ min{ai,
bj}
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Aula 24: Dualidade
Seja X = {x ∈ Z4 + : 13x1 + 20x2 + 11x3 + 6x4 ≥ 72}.
Dividindo a restricao por 11, obtemos: 13
11 x1 +
Portanto: 2x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥ 72 11 .
Como x1, x2, x3, x4 ∈ Z+, podemos substituir 72 11 por d 7211e na
restricao.
Desta forma, obtemos a seguinte desigualdade valida:
2x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥ 7
