14
Master Analiză Matematică Justificarea programului: Acest master are la bază trei direcţii în Analiza Matematică, care au impus şcoala românească de matematică pe plan mondial în ultimii 80 de ani, şi anume: teoria funcţiilor de una sau mai multe variabile complexe, teoria măsurii şi integralei şi analiza funcţională, având ca promotori mari matematicieni ca Simion Stoilow, Miron Nicolescu, Alexandru Ghika, Gheorghe Marinescu, Constantin Ionescu Tulcea. Elevi ai acestora, prezenţi încă în Facultatea de Matematică şi Informatică a Universităţii din Bucureşti, dar şi în mari centre matematice ale lumii, cum ar fi Statele Unite, Franţa, Germania, Canada, Italia, Elveţia etc. au dat şi continuă să dea dovezi de netăgăduit asupra forţei de creaţie a poporului român. Dezvoltarea acestor tradiţii, menţinerea şcolii româneşti pe poziţii marcante în cercetarea mondială impun cu tărie prezenţa studiilor masterale în aceste domenii, ţinând cont că este de datoria generaţiei actuale să folosească la cote înalte prezenţa în corpul didactic a unor personalităţi de renume, spre folosul tinerei generaţii. Atragem respectuos atenţia că ridicarea noilor talente la nivelul actual al cercetării în lume este o operă uriaşă, dusă cu multă migală, răbdare şi generozitate din partea profesorilor şi cercetătorilor şi care nu se poate desfăşura normal fără sprijinul material corespunzător. Impunerea cerinţei ca fiecare masterat să se desfăşoare cu un număr mare de studenţi este contraproductivă, întrucât posibilităţile care se deschid după absolvirea acestora depind de natura masteratului urmat şi, în consecinţă, cursanţii vor îmbrăţişa în număr mare acele masterate care oferă largi posibilităţi după absolvire, în timp ce către celelalte, care nu au aceste valenţe, se vor îndrepta un număr mai mic de studenţi, a căror valoare este incontestabilă. Nu cred că avem dreptul să stopăm traiectoria ştiinţifică a acestora şi nici continuarea unor tradiţii care dau strălucire şcolii matematice româneşti, oricare ar fi justificarea unei asemenea poziţii. Avem nevoie, acum şi în viitor, de recunoaşterea noastră atât pentru performanţele economice, cât şi pentru performanţele spirituale. Aceasta este justificarea existenţei structurilor stabile răspunzătoare de învăţământ, ştiinţă şi cultură.

Master Analiză Matematică - Facultatea de Matematica si …fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2008/curs_master/master3ani/master... · 2015-05-25 · Modulul de Analiza Matematica 2008-2009 I

Embed Size (px)

Citation preview

Master Analiză Matematică

Justificarea programului: Acest master are la bază trei direcţii în Analiza Matematică, care au impus şcoala românească de matematică pe plan mondial în ultimii 80 de ani, şi anume: teoria funcţiilor de una sau mai multe variabile complexe, teoria măsurii şi integralei şi analiza funcţională, având ca promotori mari matematicieni ca Simion Stoilow, Miron Nicolescu, Alexandru Ghika, Gheorghe Marinescu, Constantin Ionescu Tulcea. Elevi ai acestora, prezenţi încă în Facultatea de Matematică şi Informatică a Universităţii din Bucureşti, dar şi în mari centre matematice ale lumii, cum ar fi Statele Unite, Franţa, Germania, Canada, Italia, Elveţia etc. au dat şi continuă să dea dovezi de netăgăduit asupra forţei de creaţie a poporului român.

Dezvoltarea acestor tradiţii, menţinerea şcolii româneşti pe poziţii marcante în cercetarea mondială impun cu tărie prezenţa studiilor masterale în aceste domenii, ţinând cont că este de datoria generaţiei actuale să folosească la cote înalte prezenţa în corpul didactic a unor personalităţi de renume, spre folosul tinerei generaţii.

Atragem respectuos atenţia că ridicarea noilor talente la nivelul actual al cercetării în lume este o operă uriaşă, dusă cu multă migală, răbdare şi generozitate din partea profesorilor şi cercetătorilor şi care nu se poate desfăşura normal fără sprijinul material corespunzător.

Impunerea cerinţei ca fiecare masterat să se desfăşoare cu un număr mare de studenţi este contraproductivă, întrucât posibilităţile care se deschid după absolvirea acestora depind de natura masteratului urmat şi, în consecinţă, cursanţii vor îmbrăţişa în număr mare acele masterate care oferă largi posibilităţi după absolvire, în timp ce către celelalte, care nu au aceste valenţe, se vor îndrepta un număr mai mic de studenţi, a căror valoare este incontestabilă.

Nu cred că avem dreptul să stopăm traiectoria ştiinţifică a acestora şi nici continuarea unor tradiţii care dau strălucire şcolii matematice româneşti, oricare ar fi justificarea unei asemenea poziţii. Avem nevoie, acum şi în viitor, de recunoaşterea noastră atât pentru performanţele economice, cât şi pentru performanţele spirituale. Aceasta este justificarea existenţei structurilor stabile răspunzătoare de învăţământ, ştiinţă şi cultură.

Universitatea din BucureştiFacultatea de Matematică şi Informatică

Plan de învăţământSpecializarea ANALIZĂ MATEMATICĂ – MASTER

Anul I (2008-2009)

Nr.crt TITLU Sem. I Crd. Sem. II Crd.

1 Capitole speciale de teoria măsurii şi integralei

2C+1S E 7,5 - - -

2 Teoria frontierei Choquet 2C+1S E 7,5 - - -3 Teorie spectrală necomutativă 2C+1S E 7,5 - - -4 Măsura Haar şi grupuri amenabile 2C+1S E 7,5 - - -5 Teoria cvasiconformităţii şi

cvasiregularităţii- - - 2C+1S E 7,5

6 Metode numerice în optimizare - - - 2C+1S E 7,57 Spaţii liniare topologice - - - 2C+1S E 7,58 Metode de interpolare operatorială - - - 2C+1S E 7,5

TOTAL 8C+4S 4E 30 8C+4S 4E 30

Plan de învăţământSpecializarea ANALIZĂ MATEMATICĂ – MASTER

Anul II (2009-2010)

Nr.crt TITLU Sem. I Crd.

1 Tehnici de teoria potenţialului pe spaţii infinit dimensionale 2C+1S E 7,52 Teorie spectrală pe spaţii Hilbert şi algebre de operatori 2C+1S E 7,53 Transformata Fourier şi teoreme de inversiune 2C+1S E 7,54 Reprezentări de grupuri 2C+1S E 7,5

TOTAL 8C+4S 4E 30

Decan ---------------

Programa pentru concursul de admitere la MASTER Modulul de Analiza Matematica 2008-2009

I. Analiza functionala

1. Prelungirea aplicatiilor liniare si continue 2. Proprietatea lui Baire pentru spatii metrice complete 3. Teorema Banach-Steinhaus 4. Teorema lui Banach privind aplicatiile deschise; consecinte 5. Teorema graficului inchis 6. Teorema lui Riesz privind reprezentarea functionalelor liniare si continue pe un

spatiu Hilbert 7. Operatori compacti

II. Analiza complexa 1. Functii olomorfe 2. Formula Cauchy 3. Conditii echivalente de olomorfie 4. Teoremele Liouville, maximului modulului, Weierstrass 5. Puncte singulare, teorema reziduurilor

III. Teoria masurii

1. Spatii masurabile si functii masurabile 2. Masuri pozitive; integrarea in raport cu o masura pozitiva 3. Teoremele de convergenta monotona si trecere la limita sub integrala (teorema lui

Lebesgue) 4. Teorema lui Fubini privind integrarea pe spatiul produs

Bibliografie R. Cristescu, Analiza functionala, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983 I. Chitescu, N.-A. Secelean, Elemente de teoria masurii si integralei, Editura Fundatiei “Romania de Maine”, Bucuresti, 1999 M. Nicolescu, Analiza Matematica, vol. I, II, III, Editura Tehnica, Bucuresti, 1957, 1958, 1960 I. Rizzoli, Introducere in teoria functiilor de o variabila complexa, Editura Universitatii din Bucuresti, 1999 M. Sabac, Analiza Reala, Capitole de Teoria Masurii si Integralei, Bucuresti, 1993 Nota: Candidatii vor sustine doua probe: una scrisa si una orala. Pentru proba orala candidatii admisi la proba scrisa vor prezenta o lista de 15 subiecte in domeniul Analiza Matematica (subiecte preferate).

Sef catedra, Conf. Dr. Radu Miculescu

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Descompuneri spectrale”

Titular curs: prof. univ. dr. Ion Colojoară

Planificare: an I master, sem. II: 2c + 1s

Programa analitică:

1. Operatori spectrali, proprietăţi:− proprietatea prelungirii unice,− structura spaţiilor maximal spectrale,− comutarea măsurii spectrale,− unicitatea măsurii spectrale.

2. Teorema de perturbaţii a lui Schwartz.3. Teorema lui Dunford de structură a operatorilor spectrali.4. Relaţii între un operator spectral şi partea sa scalară )respectiv cvasinilpotentă=.5. Operatori spectrali echivalenţi.6. Structura algebrelor A(S) şi A(T,S) unde T=S+Q este un operator spectral.7. Teorema lui Carleman de calcul a măsurii spectrale)a unui operator autoadjunct) ca

valori la frontieră a funcţiei rezolvente.8. Teorema lui Lomonosov de existenţă a subspaţiilor invariante )pentru operatori care

comută cu operatori compacţi)9. Operatori scalar generalizaţi, proprietăţi:

− proprietatea prelungirii unice,− structura spaţiilor maximal spectrale,

10. Algebra Banach generată de o distribuţie spectrală.11. „Unicitatea” distribuţiei spectrale a unui operator scalar generalizat.12. Caracterizarea operatorilor spectrali generalizaţi.13. Caracterizarea operatorilor nucleari.14. Structura spaţiilor nucleare: Orice spaţiu nuclear complet este limită proiectivă de spaţii

Hilbert.15. Nuclearitatea spaţiului funcţiilor indefinit derivabile, cu suport compact definite pe

intervalul (-1,1).16. Teorema Ghelfand-Kostiucenko de descompunere a operatorilor normali după funcţii

proprii generalizate.

Bibliografie1. Colojoară Ion – Elemente de teorie spectrală – Editura Academiei, 1968.2. Florian Horia Vasilescu - Analytic Functional Calculus and Spectral Decompositions -

Kluwer Academic Publishers, 1983

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Metode de interpolare operatorială”

Planificare: an I master, sem. II: 2c + 1s

Programa analitică:

1) Spaţii de interpolare.2) Interpolare complexă.3) Interpolare reală.4) Spaţii invariante la rearanjări.5) Teorema lui Calderon de interpolare.6) Indici Boyd şi teorema lui Boyd.7) Teorema Riesz-Thorin.8) Teorema lui Marcinkievicz.9) Aplicaţii ale teoriei interpolării în analiză.

Bibliografie

J. Bergh and J. Lofstrom, "Interpolation spaces, An introduction", Springer Verlag, Berlin, 1976.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Metode numerice în optimizare”

Planificare: an I master, sem. II: 2c + 1s

Programa analitică:

1. Minimizarea în spaţii Banach reflexive, G-diferenţiabilitate, convexitate.2. Metode de tip gradient, metode lui Newton, metode de relaxare.3. Minimizarea cu restricţii: metoda Galerkin, metoda Frank-Wolfe4. Metode de optimizare prin liniarizare în spaţii Hilbert5. Metode de penalitate.6. Metode de dualitate.7. Pseudoinversa în spaţii Hilbert.

Bibliografie

J. Cea – Optimisation, Paris 1990J.P. Aubin – Analyse fonctionelle appliquée, P.U.F. Paris 2000.

.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Reprezentări de grupuri”

Planificare: an II master, sem. I: 2c + 1s

Programa analitică:

1. Teorema lui Stone: Orice reprezentare unitară continuă a grupului (R,+) este

transformata Fourier a unei măsuri spectrale.

2. Existenţa şi unicitatea măsurii Haar.

3. Descompunerea unei reprezentări în sumă directă de reprezentări ciclice.

4. Lema lui Schur: condiţii echivalente de ireductibilitate.

5. Reprezentările continue ale grupurilor compacte sunt unitare.

6. Reprezentările unitare ireductibile ale grupurilor compacte sunt finit dimensionale.

7. Exemplu de reprezentare ireductibilă a grupului SU(2).

8. Orice reprezentare unitară a unui grup compact este sumă directă de reprezentări

ireductibile.

9. Teorema Gelfand-Raikov: pe grupuri compacte există suficient de multe reprezentări

ireductibile.

10. Teorema lui Yamabe: orice grup compact este limita proiectivă de grupuri Lie.

11. Reprezentări induse

12. Teorema lui Mackey de imprimitivitate: condiţii suficiente ca o reprezentare să fie

echivalentă cu o reprezentare indusă

13. Reprezentarea relaţiilor de comutare ca aplicaţie a teoremei de imprimitivitate

Bibliografie:

Florian Horia Vasilescu - Analytic Functional Calculus and Spectral Decompositions - Kluwer Academic Publishers, 1983

prof. dr. Ion Colojoară

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Spaţii local convexe”

Planificare: an II master, sem. I: 2c + 1s

Programa analitică:

1) Spaţii liniare topologice: definiţie, baze de vecinătăţi ale originii.2) Spaţii local convexe: seminorme, familii suficiente de seminorme, convergenţă, mărginire,

compacitate..3) Dualitate în spaţii local convexe.4) Clase speciale de spaţii local convexe..5) Operatori liniari în spaţii local convexe.

Bibliografie1) Romulus Cristescu: Spaţii liniare ordonate, Editura Academiei Române.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Tehnici de teoria potenţialului pe spaţii infinit dimensionale”

Titular curs: prof. dr. Nicu Boboc

Planificare: an II master, sem. I: 2c + 1s

Programa analitică:

1. Măsuri gaussiene, polinoame Hermite.2. Operatorul Ornstein-Uhlenbeck pe RN.3. Forma Dirichlet asociată operatorului Ornstein-Uhlenbeck.4. Cvasi-regularitate, capacitatea indusă.5. Semigrupul Ornstein-Uhlenbeck, formula Mehler.6. Semigrupul neliniar de evoluţie asociat ecuaţiei ∆u=Ψ(u).7. Funcţii pozitiv şi negativ definite pe semigrupuri, teorema lui Schromberg.8. Reprezentarea integrală a funcţiilor pozitive.9. Funcţionala Laplace (exponenţială) pe spaţiul măsurilor pozitive.10. Semigrupul (liniar) de nuclee indus pe spaţiul măsurilor.11. Aplicaţii: construcţia supermişcării browniene (cazul Ψ(u)=u2).

Bibliografie1. N. Bouleau, F. Hirsch: Dirichlet Forms and Analysis on Wiener Spaces (Capitolele 1 şi 2),

Gruyter 1991.2. E. B. Dynkin: Diffusions, Superdiffusions and PDE, A.M.S. 2002 (Capitolele 1 şi 5)3. Ch. Berg, P.T. Christiansen, P. Reyel: Harmonic Analysis on Semigroups, Springer 1984.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Teoria cvasiconformităţii şi cvasiregularităţii”

Titular curs: prof. dr. Mihai Cristea

Planificare: an I master, sem. II: 2c + 1s

Programa analitică:

1) Integrala liniară. Modulul unei familii de drumuri. Modulul cilindrului şi inelului sferic. Inele. Funcţii importante care intervin în inele.

2) Difeomorfisme cvasiconforme. Extensia la frontieră şi distorsia aplicaţiilor cvasiconforme. Familii normale. Proprietatea de echicontinuitate a unei familii de aplicaţii K-cvasiconforme. Şiruri de funcţii K-cvasiconforme. Teorema lui Fuglede. Teorema Rademacher-Stepanov.

3) Echivalenţa celor trei definiţii ale cvasiconformităţii (geometrică, metrică şi analitică). Condiţia (N). Teorema reflecţiei pentru aplicaţii cvasiconforme. Limite uniforme de aplicaţii K-cvasiconforme. Coeficienţi de cvasiconformitate.

4) Funcţii cvasiregulate. Caracterizarea condiţiei ACLn. Teorema de schimbare de variabilă pentru aplicaţii cvasiregulate. Caracterizarea aplicaţiilor continue, deschise şi discrete în Rn. Inegalitatea modulară K0. Caracterizarea cvasiregularităţii via dilatarea liniară şi dilatarea liniară inversă.

Bibliografie :

1) J. Vaisala, Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lectures Notes in Math, 229, Springer-Verlag, 1971.

2) S. Rickman, Quasiregular Mappings, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1993.3) M. Cristea, Teoria Topologică a Funcţiilor Analitice, Editura Universităţii Bucureşti, 1999.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Teoria frontierei Choquet”

Titular curs: prof. dr. Gheorghe Bucur

Planificare: an I master, sem. I: 2c + 1s

Programa analitică:

1) Ordine şi elemente minimale în mulţimea măsurilor pozitive în raport cu un con de funcţii inferior semicontinue pe un spaţiu compact.

2) Teoremele lui Choquet-Mejer, Mokobodzsky privind caracterizarea unicităţii măsurilor minimale.

3) Frontiera Choquet, principiile de minim ale lui Brauer.4) Conuri simpliciale: caracterizări echivalente, teorema de simplex (geometric) a lui G. Choquet.5) Exemple de conuri simpliciale: conul funcţiilor complet monotone, conul funcţiilor de tip

pozitiv, măsuri invariante şi măsuri ergodice.6) Elemente de teoria capacităţii.

Bibliografie :

1) N. Boboc şi Gh. Bucur: Conuri convexe de funcţii continue. Editura Academiei Române.2) Erick Alfsen: Extrem boundary theory.3) G. Choquet: Teoraia capacităţii, Analele Mat. Fourier.4) P.A. Meyer: Potential and Probability: Blasdale.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Teorie spectrală necomutativă”

Titular curs: prof. univ. dr. Mihai Şabac

Planificare: an I master, sem. I: 2c + 1s

Programa analitică:

0. Teoria elementară a algebrelor Lie nilpotente şi rezolubile.1. Teorie spectrală pentru un cuplu de doi operatori.

− Cazul comutativ finit dimensional, complexul Koszul.− Cazul infinit dimensional şi complexul Koszul.− Spectrul Taylor− Teorema de proiecţie− Calculul spectrului comun Taylor în cazuri particulare

2. Spectrul comun Taylor în cazul necomutativ− Cazul comutativ finit dimensional, complexul Koszul.− Spectrul unei reprezentări a unei algebre Lie.− Conul unui morfism de complexe şi compacitatea spectrului unei algebre Lie

nilpotente.− Teorema de proiecţie a spectrului pentru algebre Lie nilpotente.− Comportarea la compunere a spectrului a spectrului unei reperezentări şi teorema de

transformare a spectrului în cazul polinomial necomutativ.

Bibliografie

Mihai Şabac - Teorie spectrala elementara, in colectia Societatii de Stiinte Matematice din Romania (serie noua), 2001.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Teorie spectrală pe spaţii Hilbert şi algebre de operatori”

Titular curs: prof. univ. dr. Şerban Strătilă

Planificare: an II master, sem. I: 2c + 1s

Programa analitică:

1) Reprezentarea Ghelfand.2) Calcul funcţional continuu şi borelian pentru elemente normale.3) Elemente pozitive în C*-algebre. Teorema Ghelfand-Naimark.4) Teorema bicomutantului a lui J. von Neumann.5) Teorema de densitate a lui Kaplansky.6) Geometria proiectorilor în algebre von Neumann. Clasificarea Murray-von Neumann.7) Teoria spaţială a algebrelor von Neumann. Elemenete de cupalre între M şi M’

(comutantul).8) Indexul Jones pentru subfactori.

Bibliografie

Şerban Strătilă, Laszlo Zsido - Lectures on Von Neumann Algebra, Editura Academiei, 1979.

UIVERSITATEA DIN BUCUREŞTIFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂCATEDRA DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

PROGRAMĂ MASTER

Titlu curs: „Transformata Fourier şi teoreme de inversiune”

Titular curs: prof. univ. dr. Mihai Şabac

Planificare: an II master, sem. I: 2c + 1s

Programa analitică:

1. Transformata Fourier în R şi Z; caracatere şi dualitate.2. Grupuri local compacte şi reprezentări: algebra grupală, măsura Haar, funcţionale

pozitive şi reprezentări, Teorema Ghelfand-Raikov3. Dualitatea grupurilor local compacte abeliene: caractere, funcţii pozitive, transformata

Fourier, grupul dual, funcţii pozitive şi legătura cu măsurile mărginite pe grupul dual, teorema Raikov-Weyl-Bochner, teorema Plaucherell.

4. Dualitatea grupurilor compacte: algebra coeficienţilor, teorema Peter-Weyl, algebra Krein, teoremele Tonaka-Krein şi compactificarea Bohr.

5. Structura de algebră Hopf pe algebra coeficienţilor, grupul asociat structurii de algebră Hopf pe algebra coeficienţilor. Dualitateaîn termeni de algebră Hopf. Cazul grupului SU(z)

Bibliografie

Ronald N. Bracewell - The Fourier Transform & Its Applications - McGraw-Hill Science/Engineering/Math; 3 edition (June 8, 1999)