Massivbau - Daniel Ulbrich d ≤ d ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑∑+ + >1 ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑∑+ + + >1 d ≤ ()⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ + +∑ >1

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Massivbau

1. Grundsätzliches.................................................................................................... 7 1.1 Einwirkungen ............................................................................................................................... 7

1.1.1. Lasteinwirkungen ................................................................................................................... 7 1.1.2. Verformungseinwirkungen ..................................................................................................... 7

1.2 Nachweiskonzept......................................................................................................................... 7 1.2.1. Definition der Grenzzustände................................................................................................. 7 1.2.2. Sicherheitskonzept EC2 Teilsicherheitsbeiwerte .............................................................. 8 1.2.3. Nachweisformat für ULS ........................................................................................................ 8 1.2.4. Nachweisformat SLS.............................................................................................................. 8

2. Stahlbetonbau....................................................................................................... 9 2.1 Baustoffe ...................................................................................................................................... 9

2.1.1. Beton ...................................................................................................................................... 9 2.1.1.1 Bestandteile ...................................................................................................................... 9 2.1.1.2 Festigkeitsklassen ............................................................................................................ 9 2.1.1.3 Eigenschaften des jungen Betons.................................................................................... 9 2.1.1.4 Eigenschaften des erhärteten Betons .............................................................................. 9

2.1.1.4.1 Druckfestigkeit ........................................................................................................... 9 2.1.1.4.2 Zugfestigkeit............................................................................................................. 10 2.1.1.4.3 Elastizitätsmodul ...................................................................................................... 10 2.1.1.4.4 Kriechen und Schwinden ......................................................................................... 10 2.1.1.4.5 σ-ε-Linie unter einachsiger Druckbeanspruchung ................................................... 10 2.1.1.4.6 Beton unter Zugbeanspruchung .............................................................................. 11

2.1.2. Betonstahl ............................................................................................................................ 11 2.1.2.1.1 σ-ε-Linie und Duktilität ............................................................................................. 11

2.1.3. Verbundgesetze ................................................................................................................... 11 2.1.4. Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen ...................................................................... 12

2.2 Schnittgrößenermittlung........................................................................................................... 12 2.2.1. Tragwerksidealisierung ........................................................................................................ 12

2.2.1.1 Ermittlung der Stützweiten.............................................................................................. 12 2.2.1.2 Mitwirkende Plattenbreite ............................................................................................... 12

2.2.2. Verfahren zur Schnittgrößenermittlung ................................................................................ 12 2.2.3. Schnittgrößenumlagerung.................................................................................................... 12 2.2.4. Schnittgrößenermittlung nach EC2 ...................................................................................... 12

2.2.4.1 Stabtragwerke................................................................................................................. 12 2.2.4.2 Flächentragwerke ........................................................................................................... 13

2.3 Verhalten von Stahlbetonelementen........................................................................................ 13 2.3.1. Stäbe .................................................................................................................................... 13

2.3.1.1 Zugbeanspruchung......................................................................................................... 13 2.3.1.2 Zentrischer Druck ........................................................................................................... 14

2.3.2. Balken .................................................................................................................................. 15 2.3.2.1 Biegung mit/ ohne Normalkraft ....................................................................................... 15

2.3.2.1.1 Zustand I .................................................................................................................. 15 2.3.2.1.2 Zustand II ................................................................................................................. 15

2.3.2.2 Biegung mit Querkraft..................................................................................................... 16 2.3.2.2.1 Zustand I .................................................................................................................. 16 2.3.2.2.2 Zustand II ................................................................................................................. 17

2.3.2.3 Torsion............................................................................................................................ 17 2.3.2.3.1 St. Venantsche Torsion/ Wölbkrafttorsion ............................................................... 18 2.3.2.3.2 Spannungen aus Torsion......................................................................................... 18

2.4 Ermittlung des QS-Widerstandes............................................................................................. 18 2.4.1. σ-ε-Linien des Betons nach EC2.......................................................................................... 18

2.4.1.1 Parabel-Rechteck-Diagramm ......................................................................................... 18 2.4.1.2 Bilineare σ-ε-Linie ........................................................................................................... 19 2.4.1.3 Spannungsblock ............................................................................................................. 19

2.4.2. Betonstahl ............................................................................................................................ 20 2.4.3. Annahmen ............................................................................................................................ 20 2.4.4. Zulässige Dehnungsverteilungen......................................................................................... 20


2.5 Grenzzustand der Tragfähigkeit............................................................................................... 21 2.5.1. Biegung mit Normalkraft....................................................................................................... 21

2.5.1.1 Inneres GG für QS mit rechteckiger Druckzone............................................................. 21 2.5.1.2 Druckbewehrung ............................................................................................................ 22 2.5.1.3 Bemessungshilfen .......................................................................................................... 23

2.5.1.3.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm ....................................................................... 23 2.5.1.3.2 kd-Verfahren ............................................................................................................. 23 2.5.1.3.3 ϖ-Verfahren.............................................................................................................. 24 2.5.1.3.4 µ-ν-Interaktionsdiagramm........................................................................................ 24

2.5.1.4 Rechnerischer QS-Widerstand für Biegung ................................................................... 25 2.5.1.4.1 mit ϖ-Verfahren........................................................................................................ 25 2.5.1.4.2 Iterativ ...................................................................................................................... 25

2.5.1.5 Gegliederte Druckzone................................................................................................... 25 2.5.1.5.1 Schlanke Plattenbalken ........................................................................................... 25 2.5.1.5.2 Gedrungener Plattenbalken..................................................................................... 25

2.5.1.6 Ober-/ Untergrenzen der Bewehrungsmenge ................................................................ 25 2.5.1.6.1 Mindestbewehrung................................................................................................... 25 2.5.1.6.2 Obergrenze .............................................................................................................. 26

2.5.2. Querkraft .............................................................................................................................. 26 2.5.3. Bewehrungsarten ................................................................................................................. 26 2.5.4. Bauteile ohne Querbewehrung ............................................................................................ 26

2.5.4.1 Kraftübertragung............................................................................................................. 26 2.5.4.2 Grundwert der Schubspannung nach EC2..................................................................... 26 2.5.4.3 Bauteile mit Querbewehrung.......................................................................................... 26

2.5.4.3.1 Klassische Fachwerkanalogie ................................................................................. 27 2.5.4.3.2 Erweiterte Fachwerkanalogie................................................................................... 27

2.5.4.4 Querkraftbemessung nach EC2 ..................................................................................... 28 2.5.4.4.1 Bemessungswert der Querkraft ............................................................................... 28 2.5.4.4.2 Bauteile ohne Q’Bewehrung .................................................................................... 28 2.5.4.4.3 Bauteile mit Q’Bewehrung ....................................................................................... 28 2.5.4.4.4 Mindestbewehrung................................................................................................... 29

2.5.4.5 Sonderfälle...................................................................................................................... 29 2.5.4.5.1 Bauteile mit veränderlicher Höhe............................................................................. 29 2.5.4.5.2 Schub im Flansch von T-Trägern ............................................................................ 29

2.5.4.6 Durchstanzen.................................................................................................................. 29 2.5.4.6.1 Nachweis nach EC2:................................................................................................ 30

2.5.5. Torsion ................................................................................................................................. 30 2.5.5.1 Fachwerkmodell.............................................................................................................. 30 2.5.5.2 Bemessung nach EC2.................................................................................................... 31 2.5.5.3 Bemessung nach EC2 für komb. Beanspruchung ......................................................... 31

2.5.6. ULS mit Tragwerksverformungen ........................................................................................ 32 2.5.6.1 Momenten-Verkrümmungs-Beziehung........................................................................... 32 2.5.6.2 Tragverhalten einer Kragstütze ...................................................................................... 33 2.5.6.3 ULS durch Tragwerksverformungen nach EC2.............................................................. 34

2.5.6.3.1 Einteilung von Tragwerken/ -steilen......................................................................... 34 2.5.6.4 Bemessung von Einzeldruckgliedern nach EC2 ............................................................ 35

2.5.6.4.1 Arten von Einzeldruckgliedern ................................................................................. 35 2.5.6.4.2 Ermittlung von l0 ....................................................................................................... 35 2.5.6.4.3 Anwendungskriterium für Th. II.Ordnung................................................................. 35 2.5.6.4.4 Modellstützenverfahren............................................................................................ 35

2.5.6.5 Bemessungshilfen für einachsige Biegung mit Druckkraft ............................................. 36 2.5.6.5.1 µ-Nomogramme....................................................................................................... 36 2.5.6.5.2 e/h-Diagramme ........................................................................................................ 36

2.5.6.6 Sonderfall: Zweiachsig knickgefährdetes Druckglied..................................................... 36 2.5.6.7 Konstruktive Durchbildung/ Mindestbewehrung ............................................................. 37

2.6 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit SLS ...................................................................... 37 2.6.1. Begrenzung der Stahl- und Betonspannung........................................................................ 37

2.6.1.1 Begrenzung der Stahlspannung..................................................................................... 37 2.6.1.2 Begrenzung der Betonspannung.................................................................................... 37

2.6.2. Begrenzung der Durchbiegung ............................................................................................ 37 2.6.2.1 Genaue Nachweise der TW-Verformung ....................................................................... 37


2.6.2.1.1 Alternative 1 ............................................................................................................. 38 2.6.2.1.2 Alternative 2 ............................................................................................................. 39

2.6.2.2 Vereinfachter Nachweis nach EC2................................................................................. 39 2.6.3. Beschränkung der Rissbreiten ............................................................................................. 39

2.6.3.1 Ursachen/ Rissarten ....................................................................................................... 39 2.6.3.2 Ermittlung der Rissbreiten .............................................................................................. 40

2.6.3.2.1 Rissbreite bei Einzelriss........................................................................................... 40 2.6.3.2.2 Abgeschlossenes Rissbild ....................................................................................... 40

2.6.3.3 Formeln zur Ermittlung der Rissbreite............................................................................ 41 2.6.3.3.1 Einzelriss.................................................................................................................. 41 2.6.3.3.2 Abgeschlossene Rissbildung................................................................................... 41

2.6.3.4 Beschränkung der Rissbreite nach EC2 ........................................................................ 41 2.6.4. Verformungseinwirkung im Gebrauchszustand ................................................................... 41

2.6.4.1 Schnittgrößen bei vorwiegend Verformungeinwirkungen............................................... 42 2.6.4.2 Bodenplatten unter Verformungeinwirkung .................................................................... 42 2.6.4.3 Zwangkraft bei Wänden auf Fundamenten .................................................................... 43

2.7 Diskontinuitätsbereiche ............................................................................................................ 43 2.7.1. Stabwerkmodelle.................................................................................................................. 43 2.7.2. Öffnungen in Trägern ........................................................................................................... 44 2.7.3. Lasteinleitungsbereiche ....................................................................................................... 44 2.7.4. Konsolen .............................................................................................................................. 44

2.7.4.1 Kurze und mittlere Konsolen .......................................................................................... 44 2.7.4.1.1 Fall1: ac/hc < 0,5....................................................................................................... 44 2.7.4.1.2 Fall 2: 0,5 ≤ ac/hc ≤ 1 ................................................................................................ 44

2.7.4.2 Lange Konsolen --> Fall 3+4: ac/hc >1............................................................................ 45 2.7.4.2.1 .................................................................................................................................. 45

2.7.5. Indirekte Lagerung ............................................................................................................... 45 2.7.6. Ausklinkungen...................................................................................................................... 45 2.7.7. Rahmenecken ...................................................................................................................... 45 2.7.8. Krümmungen........................................................................................................................ 46 2.7.9. Höhenversprünge................................................................................................................. 46

2.8 Platten ......................................................................................................................................... 46 2.8.1. Theorie ................................................................................................................................. 46 2.8.2. Abgrenzung von Platten....................................................................................................... 46 2.8.3. Einachsig gespannte Platten................................................................................................ 47

2.8.3.1 Tragverhalten.................................................................................................................. 47 2.8.3.2 Schnittgrößenermittlung/ Biegebemessung ................................................................... 47 2.8.3.3 Einzellasten .................................................................................................................... 47 2.8.3.4 Querkraftbemessung ...................................................................................................... 47

2.8.4. Schnittgrößenermittlung bei mehrachsig gespannten Platten ............................................. 47 2.8.4.1 Näherungsverfahren nach Marcus ................................................................................. 47 2.8.4.2 Verfahren mit Czerny-Tafeln .......................................................................................... 47

2.8.5. Punktförmig gelagerte Platten ( Flachdecken) ................................................................. 47 2.8.5.1 Durchstanzen.................................................................................................................. 48

2.8.6. Öffnungen in Platten ............................................................................................................ 48 2.8.7. Unterbrochene Stützung ...................................................................................................... 48 2.8.8. Bruchlinientheorie................................................................................................................. 48 2.8.9. Konstruktive Durchbildung ................................................................................................... 49

2.9 Scheiben/ wandartige Träger.................................................................................................... 49 2.9.1. Wandartige Einfeldträger ..................................................................................................... 49

2.9.1.1 Vertikale Gleichstreckenlast ........................................................................................... 49 2.9.1.2 Einzellast ........................................................................................................................ 49

2.9.2. Wandartige Mehrfeldträger .................................................................................................. 50 2.9.3. Scheibe unter horiz. Belastung ............................................................................................ 50

2.10 Grundlagen der Bewehrungsführung.................................................................................... 50 2.10.1. Verankerungslängen .......................................................................................................... 50 2.10.2. Stöße.................................................................................................................................. 51 2.10.3. Schubbewehrung ............................................................................................................... 51

2.10.3.1 Bügelabstand:............................................................................................................... 51 2.10.3.2 Bügelabstände in Querrichtung.................................................................................... 51 2.10.3.3 EC2............................................................................................................................... 51

2.10.4. Stützen ............................................................................................................................... 51


2.10.4.1 Längsbewehrung .......................................................................................................... 51 2.10.4.2 Querbewehrung............................................................................................................ 52

2.10.5. Zugkraftdeckung................................................................................................................. 52 2.10.6. Sonstige Konstruktionsregeln ............................................................................................ 52 2.10.7. Ober-/ Untergrenzen der Bewehrungsmenge.................................................................... 52

2.10.7.1 Mindestbiegebewehrung .............................................................................................. 52 2.10.7.2 Mindestquerkraftbewehrung......................................................................................... 53 2.10.7.3 Höchstbewehrungsgrad................................................................................................ 53

2.10.8. Sonstige Konstruktionsregeln ............................................................................................ 53 3. Spannbetonbau .................................................................................................. 54

3.1 Grundprinzip/ Begriffe/ Geschichtliches................................................................................. 54 3.1.1. Grundprinzip......................................................................................................................... 54 3.1.2. Vorteile ................................................................................................................................. 54 3.1.3. Auf Beton wirkende Kräfte ................................................................................................... 54 3.1.4. Begriffe ................................................................................................................................. 54

3.1.4.1 Art/ Aufbringung der Vorspannung................................................................................. 54 3.1.4.2 Spannglieder................................................................................................................... 55 3.1.4.3 Verankerung ................................................................................................................... 55 3.1.4.4 Wirkung der Vorspannung.............................................................................................. 55

3.2 Beanspruchung/ Nachweiskonzept am Beispiel eines Einfeldträgers ................................ 55 3.2.1. Vorspannung mit nachträglichem Verbund.......................................................................... 55

3.2.1.1 Annahmen/ Vereinfachungen......................................................................................... 56 3.2.1.2 ALR/ SG infolge Vorspannung ....................................................................................... 56 3.2.1.3 Betonspannungen in Feldmitte infolge Vorspannung..................................................... 56 3.2.1.4 Kriterien für erf. Spannstahl-QS ..................................................................................... 56 3.2.1.5 Begrenzung der Spannungen im Spannstahl................................................................. 56 3.2.1.6 Nachweis im ULS ........................................................................................................... 56

3.2.1.6.1 Biegung und Längskraft ........................................................................................... 56 3.2.1.6.2 Querkraft .................................................................................................................. 56

3.2.1.7 Nachweise im SLS ......................................................................................................... 56 3.2.2. Besonderheiten: sofortiger Verbund .................................................................................... 56 3.2.3. Besonderheiten: ohne Verbund ........................................................................................... 57

3.3 Spannkraftverluste .................................................................................................................... 57 3.3.1. infolge Reibung .................................................................................................................... 57

3.3.1.1 Ursachen ........................................................................................................................ 57 3.3.1.2 Berechnung der Reibungsverluste ................................................................................. 57 3.3.1.3 Reibungsmindernde Maßnahmen/ Spannkraftverlauf.................................................... 57

3.3.2. infolge Keilschlupf ................................................................................................................ 57 3.3.3. aus elast. Verformungen ...................................................................................................... 58

3.3.3.1 sofortiger Verbund .......................................................................................................... 58 3.3.3.2 nachträglicher Verbund .................................................................................................. 58

3.3.4. infolge Kriechen, Schwinden, Relaxation............................................................................. 58 3.4 Statisch unbestimmte Tragwerke ............................................................................................ 59 3.5 ULS.............................................................................................................................................. 59

3.5.1. Sicherheitskonzept ............................................................................................................... 59 3.5.2. Biegung mit Längskraft ........................................................................................................ 59

3.5.2.1 Konzept A gesamte Spanngliedkraft als Widerstand ..................................................... 59 3.5.2.2 Konzept B: Vorspannung als Einwirkung, Zuwachs als Widerstand.............................. 60 3.5.2.3 Konzept C: Gesamte Vorspannung als Einwirkung ....................................................... 60

3.5.3. Querkraft .............................................................................................................................. 60 3.5.3.1 Bemessungswert der Querkraft VSd ............................................................................... 60 3.5.3.2 Aufnehmbare Querkraft .................................................................................................. 60

3.6 SLS .............................................................................................................................................. 61 3.6.1. Begrenzung der Spannungen .............................................................................................. 61

• Betondruckspannungen mit Pm,t EC2, 4.4.1.2 (2)................................................ 61 • Betonstahlspannungen mit Pk,t ............................................................................ 61 • Spannstahlspannungen EC2, 4.4.1.1 (7).................................................................. 61

3.6.2. Begrenzung der Rissbreite Pk,t ........................................................................................ 61 3.6.2.1 Mindestbewährung bei Zwang ................................................................................... 61 3.6.2.2 Nachweis der Rissbreitenbeschränkung Zugkeildeckung ......................................... 61

3.6.3. Nachweis der Dekompression Pk,t ................................................................................... 61


3.7 Statisch unbestimmte Tragwerke ............................................................................................ 61 3.7.1. SG über Wirkung von Anker- / Umlenkkräften..................................................................... 62 3.7.2. KGV mit Eigenspannungszustand ....................................................................................... 62

3.8 Bauliche Durchbildung.............................................................................................................. 62 3.8.1. Verankerungslänge .............................................................................................................. 62 3.8.2. Verankerung an Endauflagern ............................................................................................. 62 3.8.3. Übergreifungsstöße.............................................................................................................. 62 3.8.4. Mindestbewehrungsgehalte ................................................................................................. 62 3.8.5. Höchstbewehrungsgehalte................................................................................................... 62 3.8.6. Mindestbügelbewehrung ...................................................................................................... 63 3.8.7. Höchstbügelabstände .......................................................................................................... 63

4. Brückenbau......................................................................................................... 64 5. Entwurfsformeln (Überschlägige Bemessung)................................................ 65

5.1 Grundlagen................................................................................................................................. 65 5.2 Balken ......................................................................................................................................... 65

5.2.1. erf. Höhe............................................................................................................................... 65 5.2.2. erf. Breite.............................................................................................................................. 65 5.2.3. Abschätzung der Biegezugbewehrung ................................................................................ 65 5.2.4. Biegebeanspruchung ........................................................................................................... 65

5.3 Platten ......................................................................................................................................... 66 5.3.1. erf. Nutzhöhe........................................................................................................................ 66

• analog Balken aus Begrenzung der Biegeschlankheit: ............................................... 66 • aus Schubbemessung:................................................................................................. 66 • bei Flachdecken --> Durchstanznachweis ................................................................... 66

5.3.2. Biegezugbewehrung ............................................................................................................ 66 5.3.3. Biegebeanspruchung ........................................................................................................... 66

5.3.3.1 einachsig gespannte Platte ............................................................................................ 66 5.3.3.2 zweiachsig gespannte Platte: ......................................................................................... 66

• Einfeldplatte.................................................................................................................. 66 • Mehrplattensystem....................................................................................................... 66

5.4 Stützen ........................................................................................................................................ 67 5.4.1. Lastermittlung....................................................................................................................... 67 5.4.2. Erf. Betonquerschnitt............................................................................................................ 67 5.4.3. Wahl der Abmessungen....................................................................................................... 67

5.5 Fundamente................................................................................................................................ 68 5.5.1. Bodenpressung .................................................................................................................... 68 5.5.2. Biegung ................................................................................................................................ 68

• Bemessungsmoment am Rand der Stütze: ................................................................. 68 • Bemessungsmoment in Feldmitte................................................................................ 68

5.5.3. Durchstanzen ....................................................................................................................... 68 6. Brandschutz........................................................................................................ 69

6.1 Normen ....................................................................................................................................... 69 6.2 Allgemeine Anforderungen....................................................................................................... 69 6.3 Nachweisformat ......................................................................................................................... 69 6.4 Einwirkungen ............................................................................................................................. 69 6.5 Nachweisverfahren.................................................................................................................... 69

7. Erdbeben............................................................................................................. 70 7.1 Materialverhalten ....................................................................................................................... 70 7.2 Grundlagen................................................................................................................................. 70

7.2.1. Einmassenschwinger ........................................................................................................... 70 7.2.1.1 Eigenfrequenz:................................................................................................................ 70 7.2.1.2 Periodische Anregung .................................................................................................... 70 7.2.1.3 Fußpunkterregung .......................................................................................................... 71

7.2.2. Mehrmassenschwinger ........................................................................................................ 71 7.2.3. Ausnutzung des nichtlinearen Materialverhaltens ............................................................... 71

7.3 Erdbebenbeanspruchung ......................................................................................................... 71 7.3.1. Maßzahlen............................................................................................................................ 71

7.3.1.1 Magnitudenskala (Richterskala) ..................................................................................... 71 7.3.1.2 für Erdbebenbeanspruchung.......................................................................................... 71

7.3.2. Ermittlung der Bauwerksreaktion: ........................................................................................ 71


7.3.3. Tragwiderstand und Duktilität............................................................................................... 71 7.3.4. Konstruktive Durchbildung ................................................................................................... 71

7.4 Bemessung................................................................................................................................. 72


1. Grundsätzliches 1.1 Einwirkungen 1.1.1. Lasteinwirkungen • Ständige Lasten G

o Eigengewicht o Vorspannung

• Veränderliche Lasten Q o Nutz-/ Verkehrslasten o Windlasten o Schnee/ Eis o Brems-/ Fliehkräfte

• Außergewöhnliche Lasten A o Anprallkräfte o Erdbeben

1.1.2. Verformungseinwirkungen • Stützensenkung • Temperatureinwirkungen αT • Schwinden • Kriechen • Erdbeben 1.2 Nachweiskonzept Anforderungen an Bauwerke: • Behalten der erf. Gebraucheigenschaften über vorgesehene Nutzungsdauer • Standhalten aller planmäßigen und unplanmäßigen Einwirkungen während Nutzungsdauer 1.2.1. Definition der Grenzzustände • Grenzzustand der Tragfähigkeit ULS

Nachweis, dass im denkbar ungünstigsten Fall unter Ausnutzung aller plastischen Reserven des Bauwerks ein Einsturz vermieden wird.

geringe Eintrittswahrscheinlichkeit bleibender Schaden i.a. Sanierung notwendig

o für Biegung mit und ohne Längskraft o für Querkraft o für Torsion o für Durchstanzen o beeinflusst durch Tragwerksverformungen o infolge Materialermüdung

• Grenzzustand der Gebrauchstauchlichkeit SLS Nachweis, dass unter normalen Bed. die zur Nutzung erf. Eigenschaften gewährleistet sind.

hohe Eintrittswahrscheinlichkeit keine/ geringe Beschädigung des Bauwerks zulässig

o Grenzzustände der Rissbildung bzw. Rissbreitenbeschränkung o Grenzzustände der Verformungen o Schwingungsverhalten


1.2.2. Sicherheitskonzept EC2 Teilsicherheitsbeiwerte Charakteristischer Wert der

Einwirkung

Bemessungswert der Einwirkung

Bemessungswert der Schnittgröße MSd < MRd

Charakteristischer Wert der Materialeigenschaften

Bemessungswert der Materialeigenschaften

Bemessungswert des Bautei lwiderstandes

Konzept der Schwachstelle

1.2.3. Nachweisformat für ULS dd RS ≤

• gewöhnliche Bemessungssituation

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ++= ∑ ∑>1

,,01,,i

ikiQkQikGd QQGS ψγγγ

• außergewöhnliche Bemessungssituation

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ +++= ∑ ∑>1

,,21,1,1,1,i

ikikdikGAd QQAGS ψψγ mit Ad = charakt. Wert der außergewöhnlichen E.

1.2.4. Nachweisformat SLS dd CE ≤

Cd Nennwert der Bauteileigenschaft Ed eingstellte Kenngröße • Seltene Kombination

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ++= ∑∑>1

,,01,i

ikikkd QQGE ψ

• Häufige Kombination

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ++= ∑∑>1

,,21,1,1i

ikikkd QQGE ψψ

• Quasi-Ständige Kombination

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ += ∑∑i

ikikd QGE ,,2ψ


2. Stahlbetonbau 2.1 Baustoffe 2.1.1. Beton 2.1.1.1 Bestandteile • Zement • Zuschlagstoffe (Kies/ Sand) • Wasser • Zusatzmittel (Verflüssiger, Verzögerer, Beschleuniger) • Zusatzstoffe (Farbe, Flugasche) Wasser + Zement = Zementleim Verarbeitbarkeit, Zusammenhalt erhärteter Zementleim Zementstein Bildemittel im Festbeton

Zweiphasensystem (Betonzuschlag + Zementstein) Eigenschaften des Beton:

Zementstein mech. Eigenschaften, Dauerhaftigkeit, Dichtheit w/z-Wert, Hydratationsgrad

- geringe Steifigkeit - geringe Festigkeit - Kriechen

Betonzuschlag fester, steifer, dichter als Zementstein E-Modul - große Steifigkeit - hohe Festigkeit

Kontaktfläche Schwachstelle Silicastaub bei hochfestem Beton - geringe Festigkeit - Schwachstelle

2.1.1.2 Festigkeitsklassen Druckfestigkeit = wichtigste E. des Betons Einteilung nach Festigkeit nach 28 Tagen

Abstimmung nicht auf fcm sondern auf fck fck = fcm – 1,64⋅σ Versuche fck = fcm – 8 N/mm² EC2 C fck,cyl 15/30 / fck,cube20 2.1.1.3 Eigenschaften des jungen Betons junger Beton bis 3 Tage • starke Wärmeentwicklung

Hydratation exothermer Prozeß Wärmemenge = f(Zementmenge, Zementart) W’Austausch = f(Verhältnis V/O, Wärmedurchgangskoeff., Schalung, Temp.)

• große Volumenänderung erster Temp.anstieg ΔTN (konst.) V’vergößerung/ -verkleinerung zweiter Temp.anstieg ΔTM (linear) Bauteilverkrümmung Behinderung Zwangkraft/ -spannung ΔTE (parabel) erzeugt immer Spannungen Eigenspannungen Wasserverluste große Zugspannungen Oberflächen-/ Trennrisse Nachbehandlung

• schnelle Änderung der mech. E. mit der Zeit erste 4-6h Ruhephase danach Phase sehr schneller Festigkeitsentwicklung

Verlangsamung nach 28 Tagen nur noch schwache Zunahme E-Modul/ Zugfestigkeit nehmen schneller zu als Druckfestigkeit

2.1.1.4 Eigenschaften des erhärteten Betons 2.1.1.4.1 Druckfestigkeit

w/z-Wert Zementfestigkeit

Erzielte Festigkeiten = f(Abmessungen/ Form d. Versuchskörpers, Geschwindigkeit, Nachbehandlung, Lagerungsbed.) Festlegung der 3 Faktoren in Normen: EC2 Zylinder d/h = 15/30 cm fck,cube20 = 0,95 fck, cube 15 = 1,18 fck,cyl (Behinderung der Querdehnung zweiaxialer Spannungszustand) Betondruckfestigkeit zu bel. Zeitpunkt:


( ) ( ) cmcccm fttf β=

mit ( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

5,0

1

281t

ts

cc etβ 2.1.1.4.2 Zugfestigkeit

zentr. Zug-, Biegezug-, Spaltzugfestigkeit Echte Materialeigenschaften zentr. Zugfestigkeit

gering, Streut stärker um Mittelwert

32

32

00 10

85,1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ck

ck

ckctct

fff

ff

Streunung 95.0,05.0, 54,07,0 ctctmctctk ffff ===

2.1.1.4.3 Elastizitätsmodul EC2 Sekante der σ-ε-Linie bei Druck zwischen σ=0 und σ ≈ 0,33 fc Ec = f(E-Modul d. Zementsteins, Zuschlagstoff)

31

31

00 10

21500 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= cm

Ecm

cmcEc

fff

EE αα mit αE Beiwert f. Zuschlag

2.1.1.4.4 Kriechen und Schwinden • Kriechen

Zeitabhängihge Vergrößerung der Verformung infolge Last

bis 0,4 fc linearer Zusammenhang zwischen Kriechen und σ ( ) ( )( )0

0, ,,

ttt

ttc

cco ε

ε=Φ

über 0,4 fc überproportionale Zunahme des Kriechens je früher Belastung, desto größer Kriechmaß Hauptsächl. Verantwortl. Kriechen des Zementsteins = f( Wasser im Zementstein)

• Schwinden Verkürzung durch Austrocknung

= f(w-z-Wert, Zementleimgehalt, Lagerungsbed.) Beton verträgt dauerhaft 85% α = 0,85 2.1.1.4.5 σ-ε-Linie unter einachsiger Druckbeanspruchung Verhalten unter Druck Rißentstehung und Ausweitung in Querrichtung, verursacht durch Krfatumlenkung infolge unterschiedl. Steifigkeiten zwischen Zement und Zuschlag Zugbeanspruchung in Querrichtung • für Schnittgrößenermittlung:

( )0

0,

2

00

%2,22

%2,21,11

%2,2%2,221²

c

c

nomc

cc

c

c

fE

k

kk

f ε

εε

ηηησ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−+

−=

εcu εc1

0,4fc

fc


• QS-Bemessung Bruckstauchung = 3,5 %o

o Parabel-Rechteck-Diagramm o Bilineare Spannung-Dehnungs-Linien o Spannungsblock

2.1.1.4.6 Beton unter Zugbeanspruchung bis fct linear-elastisches Verhalten, Nach Rissbildung fct ≈ 0 Kraft kann auch nach Rißbildung weiterhin aufgenommen werden, da Kornverzahnung am Rißufer

bei normalfesten Betonen besser als bei hochfesten 2.1.2. Betonstahl

heute fast ausschließlich BSt 500 (fy = 500 MPa) Kriterien: • Fließgrenze fy bzw. f0,2k • Zugfestigkeit ft

• y

t

ff

• Bruchdehung εcu • E-Modul Es • bezogene Rippenfläche fR • Gleichmaßdehnung εuk • Eignung zum Schweißen 2.1.2.1.1 σ-ε-Linie und Duktilität Verhaltung unter Zug = unter Druck Kennzeichnung charakteritische Werte = 95%-Fraktile Duktilitätsklassen: εuk ≥ 5,0 % und ft/ fy ≥ 1,08 hochduktile Klasse εuk ≥ 2,5 % und ft/ fy ≥ 1,03 normalduktile Klasse Bemessung vereinfachte σ-ε-Dehnungslinie:

bis fyk elastisch; danach plastisch

2.1.3. Verbundgesetze guter Verbund zugehöriger Schlupf einer geg. Verbundspannung ist klein Hauptfaktoren: • bezogene Rippenfläche fR • Betonfestigkeit fcm • Betondeckung c • Stabdurchmesser ∅s • Lage des Stabes beim Betonieren Versuche Pulloutmörper Vorraussetzungen für Zusammenwirken: • Korrosionsschutz

Beton stark basisch pH = 13 keine Stahlkorrosion

σ ftk

fyk

fyk/γ

ftk/γ

ε εuk


• Temperaturdehnung gleiche αT = 1⋅10-5 keine Eigenspannungen aus Verbund aus ΔT

2.1.4. Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen Riß Betondehung εc = 0 Stahl muß gesamte Last aufnehmen; Dehung über Länge l mittlere εc ≠ 0 und mittlere εs << εs,Riß Beton nimmt zwischen Rissen Zugkraft auf Tension-Stiffening 2.2 Schnittgrößenermittlung 2.2.1. Tragwerksidealisierung 2.2.1.1 Ermittlung der Stützweiten Balken Schwerlinie Platten Mittelebene

∑+=i

ineff all ln Lichte Weite ai Abstand der rechnerischen Auflagerlinie von AL-Vorderkante

2.2.1.2 Mitwirkende Plattenbreite Zusammenwirken von Steg und Flansch schubfeste Verbindung • symmetrischer Plattenbalken

blbb weff ≤+= 051

• einseitiger Plattenbalken

10101 bblbb wweff +≤+=

2.2.2. Verfahren zur Schnittgrößenermittlung • Lineare Verfahren

s=k⋅v s= Beanspruchung; v = Verschiebung; k= Propotionalitätsfaktor Superpositionsgesetz gültig

• Nichtlineare Verfahren s = k(v)⋅v

Iterative Schnittgrößenermittlung Superpositionsprinzip ungültig

• Verfahren auf Grundlage der Plastizitätstheorie Vernachlässigung der elastischen Verformung des Bauteils

2.2.3. Schnittgrößenumlagerung stat. unbest. Systeme Berechnung der Schnittgrößen mit GG-Bed. und Verträglichkeit Verträglichkeit Verdrehung, Verschiebung = f(EI,..) Beton lastabhängige Steifigkeit EI

„Umlagerung“ der nach E-Theorie ermittelten Schnittgrößen: ΔM = Mel – Mvorh

• Umlagerungsfaktor : el

vorh

MM

=δ

• Umlagerungsgrad: ( )elel

vorhel

MM

MMM Δ

=−

=− δ1

Abminderung der exttremalen Schnittgrößen in hoch beanspruchten Bereichen um δ und Erhöung in den übrigen Bereichen unter Wahrung des GG Momentenverhältnis während Verfprmungszuständen ≠ const. Umlagerung ändert sich ständig 2.2.4. Schnittgrößenermittlung nach EC2 2.2.4.1 Stabtragwerke • lineare Verfahren ohne Umlagerung

für ULS und SLS, da immer auf sicheren Seite • lineare Verfahren mit Umlagerung

starke Vereinfachung des nichtlinearen Verhaltens nur für ULS Nachweis der plastischen Rotation:

zulplerfpl ,, θθ ≤ Verzichtbar, wenn: δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d für Betone bis C35/45 δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d für Betone ab C40/50 und δ ≥ 0,7 für hochduktilen Stahl δ ≥ 0,85 für normalduktilen Stahl


• nichtlineare Verfahren auf Grundlage numerischer Methoden für SLS und ULS

• Verfahren nach Platizitätstheorie 2.2.4.2 Flächentragwerke

zweichasig gespannte Platten • lineare Verfahren • nichtlineare Verfahren auf Grundlage numerischer Methoden • Verfahren nach Platizitätstheorie 2.3 Verhalten von Stahlbetonelementen 2.3.1. Stäbe 2.3.1.1 Zugbeanspruchung

4 Bereiche

D

C

B

A

F F Kraft

Verformung

Fcr

Fy

Fu

As

Ac

• Bereich A

σc < fct Bauteil ungerissen Zustand I

εs = εc s

s

c

c

EEσσ

= cecc

ss E

Eσασσ ==

sss

cncc

AFAF

σσ

=

= , + sc FFF += cisenc

s AF

AF

AAF

≈=+

=α

σ,

mit Ac,n = Netto-QS; Ac = Brutto-QS; Ai =

ideeler QS Ac = Ac,n + As; Ai = Ac + (αe – 1)⋅As

ραρα

ρα

e

es

ec

FF

FF

+=

+=

1

1 mit

c

s

nc

s

AA

AA

≈=,

ρ “geometrischer Bewehrungsgrad“

bei gewöhnl. Bewehrungsgraden (bis 2%) Kraftanteil Stahl sehr klein Ac ≈ Ai Dehnsteifigkeit im Zustand I:

( ) ( ) ccescccssscc AEAEAEAEAAEEA ≈−+=+−= 1α • Bereich B

F = Fcr = Ai ⋅ fct Rißbildung Zustand II Rißstellen Stahl muß Kraft alleine aufnehmen Dehnungsunterschied Stahl-Beton

0=

==

c

s

cti

s

crs A

fAAF

σ

σ Spannungssprung umso größer, je kleiner As

bei F = Fcr Einzelriß (Dehnungsunterschied Beton-Stahl nur bereichsweise vorh.) bei F = 1,3⋅Fcr abgeschlossenes Rißbild (Dehnungsunterschied Beton-Stahl überall; Rißabstand ändert sich mit zunehmender Last nicht wesentlich)

( )12 srsrssm εεβεε −−= mit εsm = mittl. Stahldehnung über gesamte Bauteillänge εsr1 = Stahldehnung infolge Rißlast im Zustand I εsr2 = Stahldehnung infolge Rißlast im Zustand II εs = Stahldehnung infolge akt. Bel. im Zustand II β = Faktor zur Ber. d. Einflüsse des Rißabstandes( Bel.Dauer)


β = 0,4 für Kurzzeitfestigkeit β = 0,25 für Langzeitfestigkeit

( )sm

II FEAε

=

• Bereich C keine signifikante Änderung der Rißanzahl; Änderung der Steifigkeit durch Schädigung des Verbundes;

( )12 srsrssm εεβεε −−= analog Bereich B

( )sm

II FEAε

= analog Bereich B

• Bereich D Stahl erreicht in Rißstelen Fließgrenze; begrenzte Laststeigerung durch Verfestigung des Stahl möglich; Verbund Stahldehnung nicht überall gleich

( ) gyk

srsrsrsysm A

f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−= 1

12 1σ

δεεβεε

mit εsm = mittl. Stahldehnung nach Stahlfließen εsr1 = Stahldehnung infolge Rißlast im Zustand I εsr2 = Stahldehnung infolge Rißlast im Zustand II εsy = Fließdehnung des Stahls σsr1 = Sathlspannung infolge Rißlast im Zustand II As = Gleichmaßdehnung des Stahls δ = Faktor zur Berücksichtigung des Verbundes (geippter BSt δ=0,8) β = Faktor zur Ber. d. Einflüsse des Rißabstandes( Bel.Dauer)

lastabhängige Steifigkeit Rißbildung, Verbund, nichtlineares Verhalten von Beton und Stahl Rißbildung Entlastung des Betons unterschiedl. Dehnungen zwischen Beton und Stahl Verbund Abminderung der Dehnungsunterschiede Steifigkeit mittl. globale Denungsdifferenz Rißbreite lokale Dehnungsdifferenz

∑=

+=n

iicmsm wll

1εε mit n = Anzahl der Risse

wi = Breite des iten Risses plötzliches Versagen, wenn vom Stahl aufnehmbare Karft < Rißkraft des Betons Verformungseinwirkung Stahl fließt Kraftabbau

Ungleiches Verhalten unter Druck- und Zugbeanspruchung Vorspannung 2.3.1.2 Zentrischer Druck

σc << fcm σc fcm σc = fcm

σc fcm

σc << fcm

σc fcm Längsrisse an Bauteilaußenseite Laststeigerung Fortsetzen der Rissbildung ins Bauteilinnere; ε wachsen überproportional, je kleiner verbleibende rissfreie Kern wird; Versagen nach Abplatzen von Randbereichen, Ausbildung eines Schubrandes

ydscdcsc FAfAFFF +≈+= cd

yd

c ff

FF ρ+= 1 mit wachsender Betondruckfestigkeit nimmt Einfluss

der Bewehrung ab Mehraxialer Druck Überdrücken der Spaltzugspannungen höhere Festigkeit


2.3.2. Balken 2.3.2.1 Biegung mit/ ohne Normalkraft 2.3.2.1.1 Zustand I Ebenbleiben des QS σ = 0 und ε = 0 im SP Reine Biegung:

Schwerlinie =Nullinie

M M -

+

-

+

z h

ε2

ε1

σ2

σ1

σ1 < fctm

F1

F2

Zug + Druck Verkrümmung

EIM

h=

+= 21 εε

κ MR = MR(1/r)

Spannung yIM

=σ

GG zwischen inneren und äußeren Kräften zFzFM 21 == mit z = innerer Hebelarm Einfluss der Bewehrung vernachlässigbar klein ccIEEI = Gleichzeitige Wirkung einer Normalkraft Verschiebung der Nulllinie: NR = NR(εx)

Schwerlinie

M M -

+

z

ε2

ε1

σ2

σ1

σ1 < fctm

F1

F2

N N

-

+

-

+

+ -

σM

σN

=

Nullinie

Druckkraft

Schwerlinie

M M -

+

z

ε2

ε1

σ2

σ1

σ1 < fctm

F1

F2

N N

-

+

-

+

+ +

σM

σN

=

Nullinie

Zugkraft

nur für M < Mcr = W⋅fct

2.3.2.1.2 Zustand II M > Mcr Rißbildung in der Zugzone Zustand II

Rißbildung analog Zugstab: stärkste Änderung zwischen 1,0 und 1,3⋅Mcr QS-Reduzierung auf Biegedruckzone und gezogener BSt


Schwerlinie

M M -

+

z

εc

εs

Fc

Fs

Nullinie

-

Dehnung Spannung

+

x

d

GG cs FF = da As << Ac εs >> εc bei Rißbildung Verschiebung der NL in Druckzone zII > zI abh. von As Einfluß der Normalkraft: • Druck vergrößert Druckzonenhöhe • Zug Verkleinerung der Druckzonenhöhe Ebenbleiben der QS

Dehnungsunterschied zwischen Beton und Stahl wird durch engen Rißabstand lokal abgebaut Mindestbewehrung/ Verbund Rißabstand ausreichend klein Biegesteifigkeit im Zustand II

• Stahl noch elastisch κ

κ MEIEIM

=⇒=

• Abgeschlossenes Rißbild sms εε =

zAE

MzEAzFMss

sssss =⇒== εε

mit xd

s

−=

εκ ( )xdAzE

M

ss −=κ

( ) ( )xdzAEEI ssII −= (EI)II = f(z,x); da z,x ≈ const. bei geg. Bewehrungsgrad M(κ) ≈ linear

wenn Stahl fließt M(κ) ≠ linear Fließmoment nur noch geringe Laststeigerung durch Verfestigung des Stahls und Vergrößerung von z möglich bis Stahl/ Beton Grenzdehnung/ -stauchung

Betonversagen, wenn zuerst Grenzstauchung des Betons erreicht, Stahlversagen, wenn zuerst Grenzdehnung des Stahls erreicht wird.

Duktilität/ Begrenzung des Bewehrungsgrades Fließvermögen des Stahls >> Beton Stahlversagen duktiler als Betonversagen

Begrenzung des Bewehrungsgrades Vergrößerung des aufnehmbaren Momentes durch:

• Druckbewehrung • höhere Betonfestigkeit • Konstruktive Verbügelung 2.3.2.2 Biegung mit Querkraft 2.3.2.2.1 Zustand I

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )xbxI

xSxV

zyIyM

xAxN

y

yzxz

y

yx

==

+==

ττ

σσ

Hauptspannungen 22

, 22 xzxx

III τσσσ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛±= und ( )x

xz

στ

ϕ22tan −=


2.3.2.2.2 Zustand II

F

Bereich I Bereich II Bereich III Bereich III Bereich II F > FRiß zuerst Risse im Bereich I, da V klein σI,II || zu Randfasern Risse ⊥ Achse Versagen durch Biegedruck-/ Biegezugbruch Steigerung Risse im Bereich II Biegerisse am Rand, Biegeschubrisse innen Versagen durch Biegedruck-/ Biegezugbruch/ Biegeschubbruch Bereich III Randspannung < Zugfestigkeit; aber bei dünnen Stegen geneigte Risse Subrisse im Steg Schubdruck-/ Schubzugversagen Risse Hauptdruckspannungen können weiter wirken; GG FDü (Dübelwirkung) + Fk (Kornverzahnung) + [Fsw (Querkraftbewehrung)] inneres GG:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )αθ

αθ

cotcot2

cotcot2

−−=

−+=

xVzxMxF

xVzxMxF

c

s

Stahlspannung größer, Betonspannung kleiner als bei reiner

Biegung Fachwerkanalogie:

s

z

z

z 45°

F

F

Q-Bewehrung Diagonal-/ Vertikalzugstreben Beton zwischen Schubrissen Druckstreben Längsbewehrung Zuggurt Druckzone Druckgurt in Wirklichkeit Schubrisse flacher als 45° ungerissener Bereich = Bogen bzw. Sprengwerk; Teil der Last über Bogen/ Sprengwerk ins AL Bogen-/ Sprengwerkwirkung Einfluss der Normalkraft:

- Druckkraft flacherer Druckstrebenwinkel θ - Zugkraft steilerer Druckstrebenwinkel θ

2.3.2.3 Torsion Verdrehung um Längsachse ϑ und ϑ(x) ≠ konst. Torsionsbeanspruchung Torsion Last außerhalb SMP

eFmt ⋅= mit e = Hebelarm zwischen F und SMP Unterscheidung zwischen:

• Verträglichkeitstorsion z.B. Rand-ZU im Hochbau; tordiert durch Einspannmomente der Decke, Behinderung durch Biegesteifigkeit der Stützen

System aber auch mit gelenkigem Anschluß stabil Vernachlässigung beim Standsicherheitsnachweis zulässig


• Gleichgewichtstorsion z.B. Kragplatte an ZU; Torsion für Stabilität der Konstruktion notwendig

2.3.2.3.1 St. Venantsche Torsion/ Wölbkrafttorsion Torsion nur Schubspannungen St. Venantsche Torsion Torsion Schub- und Längsspannungen Wölbkrafttorsion QS im Stahlbetonbau Wölbbehinderung, jedoch Abbau durch Rißbildung des Betons; Restbeanspruchung Mindestbewehrung Vernachlässigung der Wölbkrafttorsion 2.3.2.3.2 Spannungen aus Torsion max. Schubspannung im Schnitt ⊥ zur Balkenlängsachse:

Tyz W

T=τ

System schiefer Hauptspannungen unter 45° bzw. 135° Zug in Drehrichtung; Druck in Gegenrichtung wendelartiger Hauptspannungsverlauf; außen am größten

Voll-QS = Hohl-QS keine Kraftumlagerung nach innen nach der Rißbildung passiver Kern Abnahme der Torsionssteifigkeit nach Rißbildung größer als bei Biegung Fachwerkmodelle

2.4 Ermittlung des QS-Widerstandes 2.4.1. σ-ε-Linien des Betons nach EC2

für alle: c

ckcd

ff

γαα = mit α = Faktor für Dauerstandsfestigkeit α=0,85 (Kreis α=0,8)

2.4.1.1 Parabel-Rechteck-Diagramm

σc

-2,0 -3,5

fck

idealisierter Verlauf

c

ckcd

ff

γαα =

εc [‰]

für gewöhnliche Bemessungsaufgaben

• maxmimale Randstauchung = -3,5 ‰ • max. σ bei –2,0 ‰ • -2,0 ≤ σ ≤ -3,5 ‰ σ = const.

d h

b

y x

z

a

Fsd

σc(y)

εs1

Fsd

Fcd

Msd

εc

bdfbxfFsc

ccdRcdRcd ⋅

+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

εεε

αα 85,085,0

mit bezogener Druckzonenhöhe: sc

c

dx

εεε

ξ+

==

bdfF cdRcd ⋅⋅⋅⋅⋅= ξα85,0


mit αR = Völligkeitsbeiwert der σ der Biegedruckzone: ( )

xbf

dyby

cd

xc

R ⋅⋅

⋅= ∫0σ

α

Lage von Fcd: ( ) ( )∫ ⋅⋅⋅=−x

ccd dybyyaxF0σ

mit xaka =

( )

xF

dybyyk

cd

xc

a ⋅

⋅⋅⋅−= ∫01

σ

• für |εc| <2‰ :

122

2cc

Rεε

α −= und c

cak

εε424

8−

−= (εc = 3,5 ‰ αR = 0,73; ka = 0,45)

• für |εc| ≥ 2‰ :

c

cR ε

εα

323 −

= und ( )

( )232243

−

+−=

cc

ccak

εεεε

(εc = 3,5 ‰ αR = 0,81 ; ka = 0,416)

2.4.1.2 Bilineare σ-ε-Linie Vereinfachung gegenüber PR-Diagramm für schnelle Handrechnung σc

-1,35 -3,5

fck

idealisierter Verlauf

c

ckcd

ff

γαα =

εc [‰]

εc2

εs

σs As

σc2

x

z

Ms

As

sc

c

dx

εεε−

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

xd

cs 1εε

σs = εs⋅Es; σc2 = εc2⋅Ec Fs = σs⋅As Fc = 0,5⋅b⋅x⋅σc2 GG --> Fs+Fc= 0

3xdz −=

3xa = x = ka⋅a ≈ 0,416⋅x (bei Ausnutzung von εc = -3,5 ‰)

zFM sS = • max. σ bei –1,35 ‰ • für |εc| < 1,35‰ :

35,15,0 c

R

εα = und

31

=ak

• für |εc| ≥ 1,35‰ :

c

cR ε

εα

675,0−= und ( )675,0

30375,0675,05,0 2

−

+−=

cc

ccak

εεεε

2.4.1.3 Spannungsblock Betonkraft in Biegedruckzone bei b = b(h) cdcdcdcd fAfbxF ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= 85,085,08,0

mit bxAcd ⋅⋅= 8,0


d h

x

z

0,4x

Fsd

α fcd

εs1

Fsd

Fcd

Msd

εc =-0,35%

bm

0,8x

Vorraussetzung: • Randspannung εc = -3,5 ‰ a= 0,8⋅0,5⋅x = 0,4⋅x ≈ αR Angriffspunkt von Fcd für εc = -3,5 ‰ Anwendung:

1. GG-Bed: MSds = Fcd⋅z = 0,8⋅b⋅x⋅α⋅fcd⋅(d - 0,4x)

2. dimensionslos:

==cd

SdsSds fbd

M²

μ 0,8⋅ξ⋅α⋅(1 – 0,4⋅ξ)

3. ==> ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= Sdsμ

αξ 21125,1

4. Erf. Bewehrung: z = d⋅(1 – 0,4⋅ξ)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= Sd

Sds

ydS N

zM

fA 1

2.4.2. Betonstahl

• s

ykyd

ff

γ=

• Zulässige Grenzdehnung: o Zunahme von σ nach fyd Grenzdehnung = 10‰ o keine Zunahme von σ nach fyd Grenzdehnung = 20 ‰

ssdsd AF σ= mit:

• für εs ≥ 2,174 ‰ σs = fyd • für εs < 2,174 ‰ σs =Es⋅εs

2.4.3. Annahmen • QS bleiben auch im ULS eben (Bernoulli-Hypothese) • fct wird im ULS vernachlässigt Zugkräfte Stahl • Vollkommener Verbund zwischen Betron und Stahl im ULS εc(y) = εs(y) • Tragfähigkeit ausgeschöpft, wenn entweder εs = 20 bzw. 10 ‰ oder εc = -3,5 ‰ 2.4.4. Zulässige Dehnungsverteilungen

εy=2,174‰

d h 1 2

3 4

5

εs1

-3,5‰ -2,0‰

0‰

0‰ -2,0‰

20/10‰

εs2

−εc1

−εc2

C

B

A

h73


• Bereich 1 Mittiger Zug/ Zug mit geringer Ausmitte

nur Zug Zugbewehrung fließt Beton keine Tragwirkung Bemessung nach Hebelgesetz

• Bereich 2 Reine Biegung/ Biegung mit Längskraft Nullinie innerhalb QS

Druck- / Zugzone εs = 20‰ |εc|< 3,5 ‰ Stahlversagen

• Bereich 3 Reine Biegung/ Biegung mit Längskraft

Beton voll ausgenutzt εc = -3,5 ‰ Stahl zwischen Fließdehnung εyd = 2,174 ‰ und Bruchdehnung εs = 20‰ Betonversagen

• Bereich 4 Reine Biegung/ Biegung mit Längskraft

Beton voll ausgenutzt Stahldehnung zwischen 0 und εyd Spannungsnullinie tief im QS Versagen ohne Vorankündigung Einlegen einer Druckbewehrung As2/ Begrenzung der Druckzonenhöhe

• Bereich 5 Längsdruckkraft mit kleiner Ausmitte

gesamter QS Druckspannungen εc liegt zwischen –2 und 3,5 ‰ am stärker beanspruchten Rand und zwischen 0 und –2‰ am

anderen Rand

alle Dehnungsebenen schneiden sich in Punkt C; Abstand h73 vom stärker gedrückten Rand

entfernt z.B. Beanspruchung von Druckgliedern

2.5 Grenzzustand der Tragfähigkeit 2.5.1. Biegung mit Normalkraft 2.5.1.1 Inneres GG für QS mit rechteckiger Druckzone Bemessungsgleichung:

RdSd

RdSd

NNMM

≤

≤

Zuverlässigkeit des Tragwerks • As für Zugzone? • Druckbewehrung erf.? • QS-Abmessungen ausreichen? Einwirkungen MSd und Nsd

h d

b

MSd

εc2

MSd

NSd

d1

d2

zs2

zs1

As2

As1

εs1

x=ξd

z=ζd

a=kax

Fsd2

Fcd

Fsd1

mit:


cdRcdRcd fbdfbxF ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ξαα 85,085,0

222 sssd AF σ=

111 sssd AF σ= Bedingung für Kräfte-GG:

SdsdcdsdRdRdSd NFFFNNN =−−=⇒= 21 QS ohne Druckbewehrung:

SdcdRssRd NbdfAN =⋅⋅⋅⋅−= ξασ 85,011

Für vorgegebene Dehnungsebene ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⋅⋅⋅⋅+= Sd

sSd

ss

cdRSds N

zMbdfN

A ,

11

185,0σσ

ξα

mit MSd,s = MSd – zs1⋅NSd

Überschlagsrechnung: d

Mf

A Sd

yds 9,0

1=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅= 12

dhNzFM SdcdRd

mit ( )ξζ ⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=⋅= a

c kdd

xkdadaddz 111

geg. QS für jede Dehnungsebene erf. As1 + MRd; Bemessung MSd ≤ MRd unter Bed.: As min Iteration

Günstigster Dehnungszustand: • z möglichst groß • Stahl bis zur Fließgrenze ausnutzen σs = fyd

Bewehrung am gezogenen QS-Rand Druckzonenhöhe x möglichst gering Stahldehnung möglichst groß

Vorgehen: • Wahl der Druckzonenhöhe

εc=εcu=-3,5‰ (Wirtschaftlichkeit) bzw. –2,0‰ (Duktilität) und σs = fyd εs = 2,18‰ ξlim = x/d = 0,616 bzw. 0,45 Fcd = α⋅fcd⋅αR(εcu)⋅ξ⋅b⋅d = 0,85⋅0,616⋅0,81⋅b⋅d⋅fcd = 0,424⋅b⋅d⋅fcd bzw. 0,31⋅b⋅d⋅fcd

• Ohne Druckbewehrung aufnehmbares Moment: MRd,lim = |Fcd|⋅z ≈ 0,9⋅d⋅|Fcd|

2.5.1.2 Druckbewehrung EC2 Begrenzung der Druckzonenhöhe ξ = x/d um rechnerischen Versagen ohne Ankündigung zu vermeiden Sicherstellen der Duktilität Sprödigkeit steigt mit zunehmender Betonfestigkeit ξ = x/d ≤ 0,45 für C12/15 bis C35/45 ξ = x/d ≤ 0,35 für C40/45 und höher

Stahldehnung als Mindestmaß der Duktilität εs1 = 4,278 ‰ für C12/15 bis C35/45 εs1 = 6,5 ‰ für C40/45 und höher

Einlegen einer Druckbewehrung bei Erreichen dieser Dehnungsebene; Erhöhung der Zugbewehrung zur Wahrung des GG Momentenanteil der von Druckbewehrung und zusätzl. Zugbewehrung aufgenommen wird:

lim,SdSdSd MMM −=Δ mit: MSd,lim Momentenateil, den QS ohne Druckbewehrung bei ξ = 0,45 bzw. ξ

= 0,35 entsprechen Betonfestigkeit aufnehmen kann ΔMSd Momentenanteil, der von Druckbewehrung zusätzl.

Zugbewehrung aufgenommen wird Da z = const.

( ) 2212

s

Sds ddh

MA

σ−−Δ

= mit:

• für εs ≥ 2,174 ‰ σs = fyd

• für εs < 2,174 ‰ σs =Es⋅εs und %35,02 xdx

s−

−=ε


( ) yd

Sds fddh

MA

211 −−

Δ=Δ

2.5.1.3 Bemessungshilfen Eindeutiger Zusammenhang zwischen Dehnungsebene und erf. As und damit MRd Bemessungshilfen in Form von Diagrammen, Tabellen Einwirkendes Moment auf Schwerpkt. der Zugbewehrung bezogen

äußere Normalkarft vorh.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 12

dhNMM SdSdSds Druckkraft negativ

Allgemeingültigkeit dimensionslose Eingangsgröße dimensionsloses Ergebnis 2.5.1.3.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm

dimensionslose Kennzahl: ζξαμ ⋅⋅⋅=⋅⋅

= Rcd

SdsSds fdb

M85,0

² Maß für Beanspruchung der

Betondruckzone unabhängig von QS-Abmessungen und Betonfestigkeitsklasse

Dehnungsebene eindeutiger µSds-Wert MRd in abh. von QS-Abmessungen und Betonfestigkeitsklasse

Übergang zwischen Stahl- und Betonversagen εs = 20‰ und εc = -3,5 ‰ µSds = 0,096 Druckbewehrung:

µSds = 0,252 für C12/15 bis C35/45 µSds = 0,206 für C40/45 und höher erf. Bewehrungsfläche:

• ohne Druckbewehrung: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= Sd

Sds

ss N

dM

Aζσ 1

11

• mit Druckbewehrung: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−Δ

+= SdSdsSds

sS N

ddM

dM

A2

lim,

11

1ζσ

21

21

ddM

A Sds

ss −

Δ=

σ

Betondruckkraft: cdcdcd fdbF ⋅⋅⋅= ν Auswirkung von µSds auf Dehnungszustand:

Je größer MSd, desto größer ist erf. Druckkraft mit steigendem µSds nimmt - x ↑ - εcu ↑

- z ↓ - εs ↓

- σs ↓

2.5.1.3.2 kd-Verfahren

cdRcdRSds

d

fdb

fbddb

Mk

⋅⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅= ζξα

ζξα85,0

²²85,0

²1

2

cdRSds

d fb

Mdk

⋅⋅⋅⋅==

ζξα85,01 mit fcd [kn/cm²]

yd

SdSds

ydSd

Sdss f

Nd

Mf

Nz

MA 11

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ζ

mit yd

dcdR

yd fkf

f

2

s85,01k

⋅⋅⋅⋅=

⋅=

ξαζ

ydSd

Sdsss f

Nd

MkA 1

1 += mit fyd [kN/ cm²]

für geg. Dehnungsebene direkte Ermittlung von ks und kd MRds möglich Iteration von ks nötig, wenn kd mit MSds bestimmt wird Tabellen für versch. Dehnungsebenen Grenzwert für Druckbewehrung:

cdd

fk

252,01

lim, = bis C35/45


cdd

fk

206,01

lim, = C40/45 und höher

1.

][][

][

mbkNmM

cmdkSds

d =

2. ][][][][ 1 mzkNNkNmMkNmM sSdSdSds −= 3. ks ablesen

4. ²]/[

1][][

][²][1 cmkNf

kNNcmdkNmM

kcmAyd

SdSds

ss +=

2.5.1.3.3 ϖ-Verfahren gleiche Zusammenhänge wie beim allgemeinen Bemessungsdiagramm

ζξαμ ⋅⋅⋅=⋅⋅

= Rcd

SdsSds fdb

M85,0

²

yd

Sd

yd

cdR

yd

Sd

yd

Sdss f

Nf

fbdfN

zfM

A +⋅⋅⋅⋅⋅

=+=ξα85,0

1

mit ξαω ⋅⋅= RM 85,0,1

yd

Sd

yd

cdMs f

Nf

fbdA +

⋅⋅⋅= ,11 ω

ζμ

ω SdsM =,1 mit ζξαμ ⋅⋅⋅= RSds 85,0

Vorgabe der Dehnungsebene alle notwendigen QS-Parameter Grenze für Druckbewehrung: ξlim = 0,45 bzw. µSds,lim =0,252 ξlim = 0,35 bzw. µSds,lim =0,206 Druckbewehrung: Vorgabe von ξlim erforderlich

( ) yd

cdSds

yd

Sdsss fdd

fdbzf

MAA

221

²−

⋅⋅⋅Δ=

Δ==Δ

μ

ddfdb

fA Sds

cd

yds

2

221

1−

Δ=

⋅⋅==Δ

μωω

Bemessungshilfen M,111 ωωω +Δ=

( )Sdcdyd

s Nfdbf

A +⋅⋅⋅= 111 ω

yd

cds f

fdbA ⋅⋅= 22 ω

2.5.1.3.4 µ-ν-Interaktionsdiagramm Bemessung für alle Dehnungsbereiche 1-5 möglich

Ermittlung der Interaktionsdiagramme: 1. Vorgabe eines Bewehrungsgrades ω 2. Variation der Dehnungen εs und εc 3. Ermittlung der zugehörigen Schnittgrößen MRd, NRd 4. aufnehmbare SG-Kombination 5. Summe aller Punkte (NRd, MRd) Grenzlinie für betrachteten ω

für symmetrische Bewehrung As1 = As2 1. Eingangswerte:

cd

SdSd bhf

N=ν

cd

SdSd fbh

M²

=μ

2. Diagramm mech. Bewehrungsgrad ϖtot


3.

cd

ydtotsstots

ff

bhAAA ω=+= 21,

2.5.1.4 Rechnerischer QS-Widerstand für Biegung aufnehmbares Moment bei geg. QS und Bewehrung Reparaturmaßnahme

2.5.1.4.1 mit ϖ-Verfahren

1. Berechnung von ϖ1 aus ( )Sdcdyd

s Nfdbf

A +⋅⋅⋅= 111 ω

2. Ablesen vonµSds 3. Berechnung von MSds

2.5.1.4.2 Iterativ 1. Vorgabe einer Dehnungsebene

εc = -3,5‰ εs = 20 ‰

2. bfbfxF cdsc

cRcdRcd ⋅⋅⋅

+⋅=⋅⋅⋅⋅= α

εεε

ααα1

11 sydsd AfF = 3. sdcdsdRd NFFN >−= 1 Vergrößerung der Druckzonenhöhe εs1 kleiner Betonversagen

sdcdsdRd NFFN <−= 1 Stahlversagen 4. ( )ξζ akdaddz −=−== 1

cdRd zFM = 2.5.1.5 Gegliederte Druckzone

Plattenbalken Hohlkasten

2.5.1.5.1 Schlanke Plattenbalken beff > 5⋅bw

Vernachlässigung der Druckkraft im Steg Fcd im Abstand hf/2 von oben

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= Sd

f

Sds

ss N

hdM

A2/

1

11 σ

mit σs1 = fyd

Überprüfung des Druckgurtes:

( ) cdIRfefff

Sdsc f

hbhdM

85,02/ )( ≤

−=

ασ mit αR

(I) Tabelle

2.5.1.5.2 Gedrungener Plattenbalken beff < 5⋅bw

Keine Vernachlässigung der Druckkraft im Steg 1. Liegt Nulllinie im Steg? 2. Nulllinie im Flansch Bemessung wie Rechteck-QS mit Breite beff 3. Nulllinie im Steg Bemessungshilfe für PB

Näherungsverfahren • Näherungsverfahren:

T-förmige Rechteckige Druckzone Unterschätzung von z sichere Seite effi bb λ= Tabelle

da x unbekannt Iteration: 1. Schätzung von ξ 2. mit x bi 3. Berechnung von ξ z.B. mit kd-Verfahren

• Bemessungshilfen entspricht ϖ-Verfahren

2.5.1.6 Ober-/ Untergrenzen der Bewehrungsmenge 2.5.1.6.1 Mindestbewehrung

Vermeidung plötzlichem Versagens Verhinderung breiter Risse

zfbdf

zfM

Ayk

ctm

yk

crs 6

²min, == mit z = 0,9⋅d

dfbdf

Ayk

ctms 9,06

²min, ⋅

=


EC2 dbf

dbA tyk

ts 0015,016,0min,1 ≥= mit bt = mittlere Breite der Zugzone

2.5.1.6.2 Obergrenze cs AA 04,0max, =

für Balken nicht für Stoßbereiche

2.5.2. Querkraft reicht Tragfähigkeit der Längsbewehrung für Querkraft

VRd1 Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Querbewehrung VRd2 Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft der Betondruckstreben VRd3 Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft mit Querbewehrung

Nachweise: VSd ≤ VRd1 für Bauteile ohne Querbewehrung VSd ≤ VRd3 für Bauteile mit Querbewehrung VSd ≤ VRd2 für Bauteile mit und ohne Querbewehrung VRd2 max. aufnehmbare Querkraft 2.5.3. Bewehrungsarten schräger Verlauf der Schubrisse folgende Querbewehrungsarten:

aufgebogene Stäbe große Rissabstände/ -breiten vertikale Bügel mittlere Rissabstände/ -breiten geneigte Bügel (i.d.R. 45°) kleinste Rissabstände/ -breiten geneigte Bügel am effektivsten senkrechte Bügel am zweckmäßigsten (Betonieren, Arbeitszeit)

2.5.4. Bauteile ohne Querbewehrung 2.5.4.1 Kraftübertragung Nach Rissbildung kammartige Struktur des Bauteils Kraftweiterleitung durch: • Kornverzahnung zwischen Rissufern f(Rissbreite w, Rissoberfläche)

Beschaffenheit der O B’Festigkeit, Zuschlag, Größtkorndurchmesser normale Betone Riss um Körner herum hochfeste Betone Riss durch Körner Kraftübertragung geringer

• Dübelkraft über Längsbewehrung FDü

Verhinderung der Klaffung Steifigkeit der Zugzone Qualität der Betondeckung Berücksichtigung durch ρ1

• direkt über Druckbogen (Bogenwirkung) Zugbewehrung = Zugband f(Abstand zum Auflager) Verhältnis x/d Schubschlankheit Berücksichtigung durch β

Steigerung der Last Bruch, wenn - Einspannung des Zahns in die Druckzone versagt - Dübelwirkung versagt

VRd = (f(fcd)⋅f(d)⋅f(ρ)+f(σ))⋅d⋅b Formel in EC2 rein empirisch Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen ohne Schubbewehrung beruht auf Ausnutzung der Zugfestigkeit ( sehr unsicher; Beeinträchtigt durch lokale Störungen) Ausnutzung nur bei Platten (Umleitung der Querkraft möglich); Balken Mindestschubbewehrung 2.5.4.2 Grundwert der Schubspannung nach EC2

5,13,07,025,025,0 67,0

05,0, ck

c

ctRd

ff ⋅⋅⋅==

γτ

2.5.4.3 Bauteile mit Querbewehrung deutlich anderes Rissverhalten als ohne Q’Bewehrung:

• schräger Verlauf unmittelbar oberhalb Zugbewehrung • Unterhalb Zugbewehrung Risse ||

Veränderter Kraftfluss: • Dübelkraft geringer • Q’Bewehrung Begrenzung der Schubrissbreite


Fachwerkmodelle Versagensarten:

- Schubdruckbruch - Schubzugbruch

2.5.4.3.1 Klassische Fachwerkanalogie Druck-/ Zuggurt, Druckstreben unter 45° und vertikale Zugstreben

Druck-/ Zuggurt Momenten-GG vert. Zugstreben Querkraftbewehrung diagonale Druckstreben Beton Höhe = z an höchstbeanspruchten Stelle

Sdydsw

ydsv Vfs

zAfA ==

zsA

a swsw

yd

Sd

fV

==

gesamte Querkraft Q’Bewehrung 2.5.4.3.2 Erweiterte Fachwerkanalogie

Querkraft Q’Bewehrung und Beton Spannungen in Q’Bewehrung < als nach allgemeiner Fachwerkanalogie, da Druckstreben steifer

als Druckgurt und Kraftübertragung analog ohne Q’Bewehrung Schubrisse flacher als 45° • Fachwerk mit veränderlicher Druckstrebenneigung

Druckstrebenneigung θ

Knoten-GG αsin

Sdswd

VF =

Standsicherheit Q’Bewehrung muß Fswd innerhalb Länge c mit fywd aufnehmen ywdswswd fAF = mit ( )αθ cotcot += zc

( ) ααθα sincotcotsin3 +== zfaFV ywdswswdRd

Kraft in Druckstreben θsin

Sdcwd

VF =

Aufnehmbare Kraft in Druckstreben θσ sin⋅= cbF wcwdcwd

θ

αθσ²cot1

cotcot2 +

+= zbV wcwdRd mit cdcwd f⋅= νσ da (unregelmäßiger Verlauf der Schubrisse,

Rissverzahnung, Q’Bewehrung); 5,0200

7,0 ≥−= ckfν

θαθν

²cot1cotcot

2 ++

⋅= zbfV wcdRd

Längsdruckkraft negative Beeinflussung der Tragfähigkeit der Druckstrebe

22,2 167,1 Rdcd

cpRdredRd V

fVV ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

σ mit

c

Sdcp A

N=σ

Verträglichkeit 0,4 ≤ cot θ ≤ 2,5 • Gesamttragfähigkeit = Q’Bewehrung + Bauteil ohne Q’Bewehrung


2.5.4.4 Querkraftbemessung nach EC2 Ermittlung von VSd

Ermittlung von VRd1

VRd1 ≥ VSd NSd < 0

und β>1

Ermittlung von VRd2

VRd2 ≥ VSd

Ermittlung von θ

θ<θmin oder

θ>θmax

Balken mit min ρw

Platte ohne min ρw

ja

ja

ja

nein nein

θ θ=45° θ=45° θ=θmin

θ>θmax ja

nein nein

Standardverfahren Verfahren mit var. Druckstrebenneigung

QS/ B‘Festigkeit

ändern

ja

2.5.4.4.1 Bemessungswert der Querkraft • Unmittelbare (direkte) Stützung

Einleitung der äußeren Kräfte im Bereich des Auflagers direkt maßgebende Querkraft im Abstand 1,0⋅d

• Mittelbare (indirekte) Stützung direkter Kraftfluss zum AL nicht möglich Querkraft am AL-Rand maßgebend + Aufhängebewehrung

2.5.4.4.2 Bauteile ohne Q’Bewehrung ( )[ ]cpRdwRd kdbV σρτ 15,0402,1 11 ++⋅⋅= mit:

k Faktor für Maßstabseffekt - k=1 wenn <50% von As gestaffelt - 16,1k ≥−= d mit d[m]

ρl Bewehrungsgrad der Zugzone

02,01 ≤=c

sl A

Aρ

σcp Spannung infolge N bw kleinste QS-Breite in der Nutzhöhe

VRd2 ≥ VSd nur zu prüfen, wenn: • N vorhanden • Einzelkraft im AL-Bereich 2.5.4.4.3 Bauteile mit Q’Bewehrung • Standardverfahren

Druckstrebenwinkel θ=45° wdRdRd VVV += 13

( )αα cot1sin11

+−

=zfVV

aywd

RdSdsw

( )αν cot15,02 +⋅= zbfV wcdRd • Verfahren mit variabler Druckstrebenneigung

Steuerung der Q’Bewehrungsmenge durch Wahl von θ; je kleiner θ, desto kleine Q’Bewehrungsmenge, desto größer ist Druckstrebenkraft kleinstmöglicher Winkel θ VRd2 = VSd

01cot²cot =+⋅

− θν

θSd

wcd

Vzbf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=ν

θcdw

Sd

fzbV2

arcsin21 mit z = 0,9d

Wenn N>0,4⋅fcd⋅Ac


01cot167,1²cot =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅− θ

σνθ

cd

cp

Sd

wcd

fVzbf

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅⋅=

cpcdw

Sd

fzbV

σνθ

67,12

arcsin21 mit z = 0,9d

Bedingungen für θ: o Balken mit konst Längsbewehrung

0,4 < cot θ < 2,5 21,8° ≤ θ ≤ 68,2° o Balken mit gestaffelter Längsbewehrung

0,5 < cot θ < 2,0 26,6° ≤ θ ≤ 63,4°

( ) ααθ sincotcot3 += zfaV ywdswRd und SdRd VV =3 ( )αθα cotcotsin1

+=

zfV

aywd

Sdsw

senkrechte Bügel θtanzf

Va

ywd

Sdsw =

2.5.4.4.4 Mindestbewehrung Verhinderung von plötzlichem Versagen „Riss vor Bruch“ nur für Stabtragwerke erf. Aufnahme der Schubrisslast ≈ Tragfähigkeit von Bauteilen ohne Q’Bewehrung

Tabelle ρw,min Mindestens 50% Bügel Platten bei rechnerisch erf. Bewehrung min 60% von ρw,min Höchstmaße für Bügelabstände 2.5.4.5 Sonderfälle 2.5.4.5.1 Bauteile mit veränderlicher Höhe Neigung der Gurtkräfte Vertikale Komponenten in Richtung der Querkräfte aus ∑ = 0V :

tdccddSd VVVV −−= 0 mit: V0d Bemessungswert von V bei konst. Bauteilhöhe Vccd Querkraftkomponente der Betondruckkraft

oSds

ccd zM

V ϕtan=

Vtd Querkraftkomponente der Stahlzugkraft

uSdSds

td Nz

MV ϕtan⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2.5.4.5.2 Schub im Flansch von T-Trägern gegliederte Träger schubfeste Verbindung zwischen Steg und Druck-/ Zuggurt • Druckgurt

EC2 Druckkraft wird im Flansch von M=0 bis M=Mmax =MSds gleichmäßig aufgebaut

cc

ca

v

Sds

v

cdSd A

Aza

MaF

v == mit: av Abstand M=0 und Stelle von MSds Acc Gesamtfläche der Druckzone Aca Fläche des Gurtes

fcdRd hfv 2,02 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

f

sfydfRdRd s

Afhv τ5,23

yd

fRdSd

f

sfsa f

hvsA

aτ5,2−

≥= mit: Asf Fläche des Bügels sf Abstand der Bügel im Druckgurt hf Dicke der Gurtplatte

• Zuggurt Annahme: Spannungen in allen Längsstäben gleich

tots

gurtsSd

Sds

tots

gurtsSdSd A

Aa

Nz

M

AA

aF

v,1

,1

,1

,11

νν

+==

yd

Sdsa f

va =

2.5.4.6 Durchstanzen bei Flachdecken Durchstanzkegel


2.5.4.6.1 Nachweis nach EC2: Kombiniertes Biege-/ Schubversagen

- Biegebemessung - Schubbemessung

Schubbemessung ohne Q-Bewehrung 1Rdsd vv ≤ mit

uVv SdSd

β=

VSd gesamte Bemessungsquerkarft β Faktor für Exzentrizität - keine Ausmitten β=1 - Innenstützen β=1,15 - Außenstützen β=1,4 - Eckstützen β=1,5 u Umfang des krit. Rundschnitts

( )dkv lRdRd ρτ 402,11 += τRd Grundwert der Schubfestigkeit k Maßstabeffekt ( ) 0,16,1 ≥−= dk ρ1 Bewehrungsgrad der Zugbewehrung 015,011 ≤= yxl ρρρ d gemittelte statische Höhe

( )

2yx dd

d+

=

vSd > vRd1 Durchstanzbewehrung erf. • Betondruckstreben

12 6,1 RdRdSd vvv =≤ • Durchstanzbewehrung

∑+=≤ αsin13 uf

Avvv ydswRdRdsd mit : α = Neigung der Durchstanzbewehrung zur

Plattenebene

α

βsin

1

yd

rdSdsw f

uvVerfA

−≥

Anordnung innerhalb der krit. Fläche mit: - konventioneller Bewehrung (aufgebogene Stäbe) - Dübelleisten

Biegebemessung: Mindestmomente SdSd Vm η=min Fundamentplatten:

Abminderung um Anteil der Bodenpressung pAVV critSdSd −=*

2.5.5. Torsion Torsion Wölbkraft- und St. Venantsche Torsion Kernzone von Voll-QS nicht an Lastabtragung beteiligt T’Steifigkeit nimmt deutlicher ab als B’steifigkeit Verzicht auf Untersuchung der Veträglichkeitstorsion Kraftfluss Schubwandmodell

aufnehmbare Beanspruchung der Druckstreben TRd1 aufnehmbare Beanspruchung der Druckstreben TRd2

Druckstreben wendelförmig Quer- und Längbewehrung erf. 2.5.5.1 Fachwerkmodell Rissbildung passiver Betonkern und Hohlkasten mit:

uAtc k ≤≤⋅2

mit: c Betondeckung A Gesamtfläche des QS u äußerer Umfang tk fiktive/ echte Wanddicke des Hohlkastens

22

22 k

kkSdk

kkSdSddbtbdtT ττ +=

k

Rd

kk

RdRd t

vtA

T==

2τ

Praxis orthogonale Bewehrung


θσ

sinkRd

kccwddv

th =

θcotkywdswkRd dfadv =

ydslkRd fAdv =θcot

mit: σcwd Bemessungswert der Betondruckspannung hc Breite der Druckstrebe asw Bügelbewehrungsfläche sw Bügelabstand fywd Bemessungswert der Stahlspannung = fyd θ Druckstrebenneigung Asl Torsionslängsbewehrungsfläche

θθθ cossincot kkc ddh ==

( )θθθθθσ

2sincossin2cossin11

kk

Rd

kk

Rd

k

Rdcwd tA

TtA

Tt

v===

mit cdcwd f⋅= νσ mit ν analog Querkraftbemessung; Voll-QS --> 35,0200

7,07,0 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ckf

ν

( )θθ

νθν

tancot2

2sin1 +⋅

=⋅= kkcdkkcdRd

tAftAfT mit 0,4 < cot θ < 2,5

mit Asw = Bügelfläche und sw = Bügelabstand Bügelfläche pro Längeneinheit w

swsw s

Aa =

θcot22 ywdw

swkRd f

sA

AT =

erf. Bügelbewehrung = θcot2 ywdk

Sdsw fA

Td =

erf. Längsbewehrung = θθ cot2

cot2

2

ydk

Sd

ydk

Rd

k

slsl fA

TfA

TdA

a ===

2.5.5.2 Bemessung nach EC2 immer rechnerischer Nachweis für GG-Torsion für Verträglichkeitstorsion nur Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

1. Wahl der Druckstrebenneigung 0,4 < cot θ < 2,5 2. Ermittlung der Tragfähigkeit der Druckstreben

( )θθ

νθν

tancot2

2sin1 +⋅

=⋅= kkcdkkcdRd

tAftAfT

3. Ermittlung der erf. Bügel- und Längsbewehrung

θtan2 ywdk

Sdsw fA

Ta =

θtan2 ydk

kSdsl fA

uTA =

2.5.5.3 Bemessung nach EC2 für komb. Beanspruchung Berechnung mit FEM möglich

Handrechnung • Torsion mit Biegung/ Normalkraft

getrennte Bemessung TslMslsl AAA ,, +=

Wenn Zugspannungen infolge Torsion von Normalkraft überdrückt werden Asl,T 0 Hauptdruckspannungen ≤ α⋅fcd

• Torsion und Querkraft Getrennt Bemessung möglich, wenn:

o θ einheitlich bei Torsion und Querkraft o Begrenzung der Beanspruchung der Betondruckstreben durch Interaktionsregeln

12

2

2

1

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Rd

Sd

Rd

Sd

VV

TT

für Voll-QS, offene QS

121

≤+Rd

Sd

Rd

Sd

VV

TT

für Kasten-QS

TswVswsw aaa ,, +=


2.5.6. ULS mit Tragwerksverformungen • Reine Biegung:

g+q g+q

x x l l

( )( ) ( )xlxqgM I

x −+

=2 ( )

( ) ( )xlxqgM IIx −

+=

2 • Biegung und Zugkraft

g+q g+q

x x l l

( )( ) ( )xlxqgM I

x −+

=2 ( )

( ) ( ) ( )xfNxlxqgM IIx ⋅−−

+=

2

f(x) N N N N

• Biegung und Druckkraft

g+q g+q

x x l l

( )( ) ( )xlxqgM I

x −+

=2

f(x)

( )( ) ( ) ( )xfNxlxqgM II

x ⋅+−+

=2

N N N N

Zug kleineres Moment MII Bemessung auf sicheren Seite Druck größeres Moment MII zusätzliche Belastung

( ) ²2485

3845

24 l

EI

lxMNlqg

EINlxfNM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

=+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =⋅=Δ M = M(EI, N, l)

Beton EI ≠ const. , da EI = EI(Last, Beton, Bewehrungsgrad) Last-Verformungs-Verhalten Momenten-Verkrümmungs-Beziehung 2.5.6.1 Momenten-Verkrümmungs-Beziehung

Bestimmung des Rotationswinkels über inneres GG

( )

hxx

rx Δ−

=⋅Δ=Δ

=≈ 21tan εεκθθ

κ⋅= EIM

rhEI

M 121 =−

==εε

κ

bei Wirkung von N = const. analog M-N-κ-Diagramm mehrere Knicke im Verlauf; dazwischen ≠ linear 1. Knick Erreichen des Rissmomentes

cc

ctmcr WANfM ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

( )Icr

cEIM

=κ

2. Knick Fließen der Druckbewehrung (εs2 = -2,174 ‰) Steifigkeit nimmt etwas ab


3. Knick Fließen der Zugbewehrung (εs1 = 2,174 ‰) Verkrümmung nimmt ohne Erhöhung des aufnehmbaren Momentes zu Fließmoment des Gesamt-QS

größte mögliche Vergrümmung εc2 = εcu = -3,5 ‰) Linie bis 1. Knick Steifigkeit Zustand I 1. – 3. Knick Steifigkeit Zustand II 3. Knick – Ende plastischer Zustand (Zustand III) Verlauf M-N-κ-Diagramm f(Normalkraft, Bewehrungsgrad) • Einfluss der Normalkraft

steigende Druckkraft Rissmoment/ aufnehmbares Moment nimmt zu sehr große Druckkraft QS-Versagen durch Erreichen der Betongrenzstauchung, Zugbewehrung fließt gerade

Nbal (balance force) = N, bei der M = Mmax Symmetrische Bewehrungsanordnung As1 = As2

cdRydsydsbal

cssbal

fbxfAfANFFFNN

⋅⋅+=+−+=+−=∑

α85,0:0

21

21

mit 81,05,33

25,33=

⋅−⋅

=Rα und ddx 617,0174,25,3

5,3=

+=

cdccdbal fAhdfbdN ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−≈⋅⋅⋅⋅⋅−= 1142,0617,081,085,0

• Einfluss des Bewehrungsgrades

mit zunehmendem mech. Bewehrungsgradcd

yd

c

s

ff

AA

=ω M-κ-Linien in Bereich Zustand II = f(σ-ε-

Linie des Stahls) bei großen ϖ M-κ = linear; kleine ϖ nichtlineare E. des Betons bezogene Verkrümmung h/r ab bestimmten Wert von ϖ konst:

hdr

h yd

9,02

21

εεε ≈−= für geg. System mit N = konst. κ = konst.

Bemessung Beanspruchung nimmt mit Verformung zu Stabilität 2.5.6.2 Tragverhalten einer Kragstütze

Kragstütze mit Länge l; Belastung: Normalkraft N, hor. Kraft H, Kopfmoment M0 Th. II.Ordnung Zusatzmoment M2 Verformung infolge Mtot etot

planmäßige Ausmitte N

Me 0

0 =

max. Zusatzausmitte N

Me 22 =

Moment nach Th. I. Ordnung: 01 MlHM +⋅= Moment nach Th. II. Ordnung: 22 eNM ⋅= Verformung infolge Gesamtmoment Mtot PvK:

( )∫∫ ==ll tot

tot dxMxdxMEI

Me

00κ

Annahme parabelförmiger Krümmungsverlauf etot am größten

( )max

²125²0

125

rllxetot === κ mit l0 = 2⋅l =Systemlänge zwischen WP der Verformungsfigur

max

020

max

20

max

²1,01

485

21

125

rl

lr

lr

etot ≈=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

max

011²1,0

rlNMMtot +=

Schnittgrößenermittlung: 1. Ermittlung nach Theorie I. Ordnung M0 2. Ermittlung der zugehörigen Verkrümmung aus M-κ-Beziehung (1/r)0

3. Biegelinie durch numerische Integration ( ) ( )∫=l

dxxMxw0κ w0

4. Ermittlung der zugehörigen SG nach Theorie II. Ordnung M1


5. Krümmung (1/r)1, Biegelinie (w1) wie oben 2.5.6.3 ULS durch Tragwerksverformungen nach EC2 Druckkraft Standsicherheit = f(...,Verformung, ...) Vernachlässigbar, wenn MII ≤ 1,1 MI EC2 Grenzwerte für Entscheidung:

Schlankheit il0=λ mit

c

c

AI

i = für Rechteck-QS i= 0,289⋅h

Bemessung von Druckgliedern

Bemessung als Einzeldruckglied Bemessung als Gesamtsystem

Ersatzlängenberechnung lo = β⋅l

Ber. der vorh. Schlankheit λ = lo/ i

Ber. der Grenzschlankheit λcrit

λ≤λcrit

Einfluß Th. II. Ordnung berücksichtigen

λ≤λcrit

e0/ h ≥ 0,1 Genaue Berechnung

• Modellstützenverfahren • μ-Nomogramm • e/d-Diagramm

Einfluß Th. II. Ordnung vernachlässigbar Bemessung mit NSd und MSd ≥NSd⋅h/20

ja

ja

nein

nein

2.5.6.3.1 Einteilung von Tragwerken/ -steilen • ausgesteifte

alle Horizontalkräfte werden durch Aussteifungen aufgenommen Aussteifungen große Biege-/ Schubsteifigkeit

kein Nachweis der horizontalen Kräfte • unausgesteifte Empfindlichkeit ggü. Th. II.Ordnung: • verschiebliche • unverschiebliche

wenn Einfluß der Kontenverschiebungen auf Schnittgrößen vernachlässigt werden kann: o Ausgesteifte TW (Aussteifung durch massive Wände, Kerne) o Ausgesteifte TW (Aussteifung symm. im Bauwerk verteilt) und Seitensteifigkeit

nIE

Fh

cm

vtot 1,02,0 +≤=α für n≤ 3

6,0≤=IE

Fh

cm

vtotα für n ≥ 4 mit:

α Labilitätszahl htot Gesamthöhe Fv Summe aller Vertikallasten Ecm⋅I Summe der B’steifigkeit aller aussteiftenden Bauteile n Anzahl der Geschosse

o Rahmen ohne aussteifende Bauteile, wenn jedes lotrechte Druckglied mehr als 70% der mittl. Längsdruckkraft aufnimmt und folgende Begrenzung einhält:

limλλ ≤ mit ccd

Sdu Af

N−=ν und

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=uν

λ 1525

maxlim

Bemessung analog Einzeldruckglieder möglich für: • Druckglieder in unverschieblichen Rahmen


• in verschieblichen aber regelmäßigen Rahmen • in aussteifenden Bauteilen • regelmäßige Rahmen aus Trägern/ Stützen mit annähernd gleicher Nennsteifigkeit, wenn

nil

nm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∑ 0

λ in jedem Geschoß und⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≤u

critmν

λλ 2025

max

2.5.6.4 Bemessung von Einzeldruckgliedern nach EC2 2.5.6.4.1 Arten von Einzeldruckgliedern • einzelne Druckglieder • Teile eines Gesamttragwerks Ersatzlänge l0 2.5.6.4.2 Ermittlung von l0

colll ⋅= β0 mit: β = Ersatzlängenbeiwert

• bei Einzelstützen Eulerfällen • bei Rahmentragwerken Nomogramme

verschiebl. Rahmen Verringerung von EIRiegel um 30% (Rissbildung)

mit ( )∑

∑

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

eff

bcm

col

colcm

BA

E

Ekk

lI

lI

α mit: Icol Trägheitsmoment der Stütze

Ib Trägheitsmoment der Balken leff wirksame Stützweiten der Balken α Beiwert für Einspannung am abliegenden Ende des Balkens

2.5.6.4.3 Anwendungskriterium für Th. II.Ordnung Einzeldruckglied schlank:

critλλ ≤ mit ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=u

critν

λ 1525

max ; Druckglieder in unverschieblichen Rahmen ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

02

01225ee

critλ

e01, e02 Lastausmitten nach Th. I.Ordnung Bemessung der Stabenden für NSd und 20/hNM SdSd = M-N-Interaktionsdiagramm

critλλ > Modellstützenverfahren 2.5.6.4.4 Modellstützenverfahren Anwendbar für Rechteck-/ Kreis-QS mit

• 140<λ bzw. 400 <hl

• 1,00 ≥he

mit Sd

Sd

NM

e =0

Beschränkung wirtschaftliche Überlegungen, nicht sicherheitstechnisch Bemessung des kritischen QS für

• NSd • MSd,tot = |Nsd|⋅etot

20 eeee atot ++= mit:

• Sd

Sd

NM

e 10 =

Druckglieder mit veränderl. Ausmitte e0 und konst. QS

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=02

0102

4,04,06,0

maxe

eeee mit 0201 ee ≤


• 20lea ν= mit

⎩⎨⎧

≥=Systemeesgefährdetstabilitätnicht1/400

Systemeesgefährdetstabilität200/1

1001

tothν

Verringerung von ν um 2

/11 nn

+=α wenn vert. aussteifende Bauteile vorh.

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

rlKe 1²

101

012

mit: K1 Korrekturfaktor zur Sicherstellung ders allmählichen Übergangs vom ULS für Biegung mit N (λ≤25) zum Knickproblem (λ>25)

75,0201 −=λK für 15 ≤ λ ≤ 35

11 =K für λ > 35 1/r Stabverkrümmung im maßgebenden QS im ULS

Bewehrung fließt auf Zugseite, εc2 = -3,5‰

d

Kr

yd

9,021 2ε

=

mit: 12 ≤−

−=

balud

Sdud

NNNN

K

mit: totsydccdud AfAfN ,85,0 +⋅⋅=

ccdbal AfN 4,0= unverschiebl. TW mit monolithischen Stützen Verzicht auf Ermittlung der Kriechverformung sonst:

1,

,1Sd

cSdc M

M+=η mit MSd,c = kriecherzeugendes Moment unter quasi-ständiger Last

0,0 ll cc η= erf. Bewehrung mit µ-ν-Interaktionsdiagramm

2.5.6.5 Bemessungshilfen für einachsige Biegung mit Druckkraft Verhinderung der Iteration von K2

2.5.6.5.1 µ-Nomogramme rechnerisch exakte Lösung für Modellstützenverfahren

Eingangsparameter: • bezogenes Moment µSd unter berücksichtigung von ea und ggf. ec

ca eeee ++= 01

11 eNM SdSd =

cd

SdSd fhb

M⋅⋅

=²

11μ

• bezogene Stützenlänge hl0

• bezogene Längskraft cd

SdSd fhb

N⋅⋅

=ν

2.5.6.5.2 e/h-Diagramme bezogene Lastausmitte e1/h ersetzt µSd1

ca eeee ++= 01 2.5.6.6 Sonderfall: Zweiachsig knickgefährdetes Druckglied

Biegung in 2 Richtungen Getrennte Betrachtung für beide Richtungen möglich, wenn:

2,0≤

be

he

y

z

oder 2,0≤

he

be

z

y

mit ey, ez = e1 ohne ea !!

z-Achse stärkere Achse 2,0>ze


Nachweis über schwache Achse mit ( )azz eehhh

++=

12²5,0'

2.5.6.7 Konstruktive Durchbildung/ Mindestbewehrung Sicherung gegen Ausknicken der Längsstäbe Bügel:

• Mindeststab-∅: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥≤

=mattenBetonstahlbeimm

mmdbeidmmdbeimm

d slsl

sl

sw

52525,0206

min

• Maximalabstand: ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

mmhb

ds

sl

w

300,min

12minmax

• Maximalabstand an Übergreifungsstößen mit dsl> 14mm und an Lasteinleitungsbereichen: ww ssred max6,0max =

Jede Ecke des Bügels bis zu 5 Längsstäbe EC2 min. 15% der Längsdruckkraft Bewehrung

cyd

Sds A

fN

A 003,015,0min, ≥= für Stützen

cs AA 004,0min, = für Wände Obergrenze:

cs AA 08,0max, =

2.6 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit SLS SLS = service ability limit state

Anforderungen für normale Nutzung dd RE ≤

echte Gebrauchsnachweise (müssen nur geführt werden wenn der Bauherr dies fordert) Nachweise der Dauerhaftigkeit versteckte Tragfähigkeitsnachweise müssen immer geführt

werden 2.6.1. Begrenzung der Stahl- und Betonspannung 2.6.1.1 Begrenzung der Stahlspannung

plastische, irreversible Verformungen des Stahls, breite Risse (Dauerhaftigkeit) seltene Lastkombination σs ≤ 400 MPa Kleinhalten der bleibenden plastischen Verformung

provs

reqsyds A

Af

,

,

4,1 δσ = 1,4 mittlerer Sicherheitsfaktor (1,35 + 1,5)2 ≈ 1,4

δ angenommener Umlagerungsgrad ULS Nachweis erfüllt, wenn Schnittgrößen nach E’Theorie ab Umlagerung von ≥ 20% Nachweis nötig

2.6.1.2 Begrenzung der Betonspannung starke Mikrorissbildung im Beton (Dauerhaftigkeit) Verhinderung nichtlinearen Kriechens (i.a. echte Gebrauchstauglichkeit)

• quasi-ständige Lastkombination ckc f45,0≤σ

Mikrorissbildung im Gefüge des Betons überproportionaler Anstieg der Kriechverformung • seltene Lastkombination

ckc f6,0≤σ Vermeidung der Bildung von Längsrissen Erhöhung der Betondeckung Anordnung einer Umschnürbewehrung/ Querbewehrung smax = 12 ∅s,l

2.6.2. Begrenzung der Durchbiegung Beschädigung nichttragender Trennwände (i.a. echte Gebrauchstauglichkeit) Beeinträchtigung der Nutzung (echte Gebrauchstauglichkeit)

2.6.2.1 Genaue Nachweise der TW-Verformung Begrenzung der Durchbiegung:

Gewährleistung des Wohlbefindens der Nutzer Vermeidung von Schäden an nichttragenden Bauteilen

Verformung in Feldmitte:


( ) 42/

0

2/

0 3845

22²

222 lq

EIdxxxqxlq

EIdxM

EIxMf

ll⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅⋅

== ∫∫

Beton EI = EI(Last) kein linearer Zusammenhang M-κ + Kriechen + Schwinden

2.6.2.1.1 Alternative 1 1. Erstellung der M-κ-Beziehung für QS

veränderl. QS-Abmessungen mehrere M-κ-Linien 2. Berechnung der Verkrümmung für best. Stellen 3. Berechnung der Verformung mit Simpson

umständlich 1. Annahme einer konst. Steifigkeit für Zustand II

( ) ( )zxdEAEI ssII −=

mit: dx ⋅= ξ und ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

dd

eee2

2'12'1'1

ρρρα

ρρρα

ρρραξ

αe’ = Es/ Ec; ρ = Bewehrungsgrad der Zugzone; ρ’ = Bewehrungsgrad der Druckzone

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

31

3ξdxdz

2. Einfluss des Kriechens

φ8,01, +=∞

cc

EE in αe

3. Einfluss des Schwindens Ebenbleiben des QS + Kräfte-GG

• Zustand I:

1

,,

y

Iss

IscI

s

εεκ

−=

mit: ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=

∞∞ Is

eIle

csIss

IA

y ,2

,

,

8,011 αραφ

εε

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+=

∞∞

∞

Is

eIle

lecsIsc

IA

y ,2

,

,,

8,011

8,01

αραφ

ραφεε

mit: εcs Endschwindmaß

bdAs

l =ρ Gesamtbewehrungsgrad

yI Abstand zwischen Schwerpunkten

( )( )

( )ρρρρ

+−−

='2

'2 ddyI

II Trägheitsmoment des Beton-QS im Zustand I

12

³hbI I ⋅=

• Zustand II:

II

IIss

IIscII

s y,, εε

κ−

=

mit:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+

⋅⋅⋅++

=

∞∞ ,

2

,

,18,011

cII

II

css

csIIss

EIy

EbdEA

ξφ

εε

( )

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

+=

∞∞∞

,

2

,,

,18,011

8,01

cII

II

cssc

csIIsc

EIy

EbdEAEbd

ξφξ

φεε


mit: yII Abstand zwischen Schwerpunkten

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−−=ρρ

ρξ

'

1'

21

2

dd

dyII

III Trägheitsmoment des Beton-QS im Zustand I

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+

⋅= ∞

222

,'112³4

12³

ddhbI e

II ξρρξραξ

4. Berechnung der Steifigkeiten (EcI)I und (EcI)II

5. Berechnung des Rissmomentes 2

²hbfM ctmcr⋅

= Unterscheidung gerissene/ ungerissene

Bereiche 6. Durchbiegung Integration über Bauteillänge unter Berücksichtigung der Steifigkeiten

gerissener und ungerissener Bereiche ( ) ( )

( ) ( )dxEI

xMxMf

dxEI

xMxMf

l

x II

x

I

∫

∫

=

=

2/2

01

1

1

2

2 Schwinden

( )

( )∫

∫=

=2/

2

01

1

1

2

2l

xS

IIs

xS

Is

dxxMf

dxxMf

κ

κ

Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwischen Rissen

sss

ctmeffc

Ss

EAfA

EE

ε1

,mod,

4,01−=

2.6.2.1.2 Alternative 2 Berechnung der Durchbiegung jeweils über Bauteillänge für (EI)I und (EI)II

( ) III fff ζζ −+⋅= 1 mit:

• linearer Momentenverlauf F

cr

MM

−= 1ζ

• parabolischer Momentenverlauf F

cr

MM

−= 1ζ

2.6.2.2 Vereinfachter Nachweis nach EC2

Begrenzung der Durchbiegung durch Einhaltung der zulässigen Biegeschlankheit d

leff mit

∑+=i

ineff all Tabelle

Abminderung für: • Plattenbalken mit beff/ stegdicke ≥ 3 ⋅0,8 • Stützweiten > 7m / Trennwände 7/ leff • Flachdecken ln > 8,5m 8,5/ leff größere Schlankheit rechnerischer Nachweis (s.o.) f ≤ l/250 (l/ 500) 2.6.3. Beschränkung der Rissbreiten

Korrosionsschutz (Dauerhaftigkeit) optisches Erscheinungsbild (echte Gebrauchstauglichkeit) Dichtigkeit (i.a. echte Gebrauchstauglichkeit)

2.6.3.1 Ursachen/ Rissarten Beanspruchung, Bewehrungsführung, Betoneigenschaften

Rissart Ursache Begrenzung Vermeidung Oberflächenrisse im jungen Betonalter

Feuchtigkeitsverlust in Ruhephase nach Herstellung

Einsatz von Fasern (begrenzt möglich)

Betonrezepturen, Nachbehandlung

Oberflächenrisse im späteren Betonalter

Eigenspannungen aus Schwinden bei dicken Bauteilen/ plötzl. starke Temperatureinwirkung

Einsatz von Fasern/ Oberflächenbewehrung

kaum möglich

Trennrisse zentr. Zug aus Last Begrenzung der Zwang Ausschalten


oder Zwang > Risslast bei As1 = As2

Stahlspannung + Wahl des Stab-∅

der Verformungsbehinderung

Biegerisse Biegung aus Last/ Zwang > Rissmoment Mcr bei etwa gleichmäßiger Bewehrungsanordnung in der Zugzone

Begrenzung der Stahlspannung + Wahl des Stab-∅

Zwang Ausschalten der Verformungsbehinderung

Sammelrisse wie Trenn-/ Biegerisse; Bewehrung aber konzentriert angeordnet

Begrenzung der Stahlspannung + Wahl des Stab-∅

Zwang Ausschalten der Verformungsbehinderung

2.6.3.2 Ermittlung der Rissbreiten 2.6.3.2.1 Rissbreite bei Einzelriss

εs = εc am ende der Einleitungslänge tritt ein, wenn: Fcr = Ac,eff⋅fctm durch Verbund eingeleitete Kraft: Fb = τb⋅les⋅Us = τb⋅les⋅∅s⋅π GG Fs = Fb Ac,eff⋅fctm = τb⋅les⋅∅s⋅π

Eintragungslänge ss

c

b

ct

sb

cctmes A

AfAfl ∅=

∅=

τπτ 41

mit: fctm Stahlspannung am Riss = Zugfestigkeit des Betons As Stahlfläche Ac,eff eff. Betonfläche Ac,net Us Umfang des Stahlstabes τb mittl. Verbundspannung ∅s Stab-∅ Grenzwerte des Rissabstandes sr: les < sr < 2⋅les Verlängerung des Zugstabes: Δls = εsm⋅sr Verlängerung des Betons: Δlc = εcm⋅sr

Rissbreite = Differenz ( )cmsmescs lllw εε −=Δ−Δ= 2

2.6.3.2.2 Abgeschlossenes Rissbild εc ≠ εs überall vorhanden tritt ein, wenn: Fs > Ac,eff⋅fctm

Rissbreite nicht mehr eindeutig bestimmbar Modell + Wahrscheinlichkeitsbetrachtung max. Kraft über Verbund = Kraft die Beton zwischen 2 Rissen reißt

sb

effcctmes U

Afl

σ,=

untere Grenze der Rissbreite: ( )cmsmeslw εε −=min obere Grenze der Rissbreite: ( )cmsmeslw εε −= 2max

• Bestimmung von Ac,eff Kraft über Verbund, um nächsten Riss zu erzeugen

konzentrierte Bewehrungsanordnung F< FI um Riss zu erzeugen Sekundärrisse Ersetzen der Betondruckzone durch einen zentr. beanspruchten Zugstab mit A = Ac,eff

(EC2 Verwendung von Ac,eff und k1 Falsch [G.König] ( )dhbA teffc −= 5,2, nur Modellvorstellung!!

( ) ( )tfAFtfA effctctI

ctmeffc ,, α=≤ mit fct,eff = Zugfestigkeit mit Eigenspannungen • Bestimmung der mittleren Verbundspannung

bekannter Rissabstand sr = 2⋅les

( )∫= esls

esbm dxx

l 0

1 ττ mit Verbundgesetzt: ( ) 3,031,0 sfx cms =τ

[ ] 3,0

23,01²]/[31,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

mmwbmmNfcm

bmτ mit b= Faktor zur Beschreibung des Schlupfverlaufs:

5,1

85,11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

s

cr

FF

b


einfache Berechnung ctmbm f8,1=τ • Bestimmung der mittleren Stahl-/ Betonspannung

mittlere Stahlspannung zwischen 2 Rissen: ssssm σασσ Δ−= mit αs⋅Δσs = Abzug infolge Verbund

( ) ( )∫∅=Δ

xs

ss dxxx

0

4 τσ

s

mss σ

σσα

ΔΔ−Δ

= mit ( )∫ Δ=Δ esls

essm dxx

l 0

1 σσ

bb

s 3,023,01

++

=α Vereinfachung αs = 0,6

o für Einzelriss: ( )srssrsm εεεε −+= 4,0

scrsrscmsm εεεεεε 4,06,06,04,0 =−+=− o für abgeschlossenes Rissbild

( )ss

ctmeffcssssm AE

tfA ,6,06,0 −=Δ−= εεεε

( ) ( )c

ctm

ss

ctmeffcscmsm E

tfAE

tfA6,06,0 , −−=− εεε

2.6.3.3 Formeln zur Ermittlung der Rissbreite 2.6.3.3.1 Einzelriss

( )ρατσ

esbm

ss

Ew

+∅⋅

=12

4,0 2

Rissbreite unter langer, wiederholter Belastung

( )ρατσ

esbm

ss

Ew

+∅

=12

6,0 2

2.6.3.3.2 Abgeschlossene Rissbildung ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∅= ρα

ρσ

ρτ es

ctm

s

s

bm

sctm

Etf

Ef

w 16,02

Rissbreite unter langer, wiederholter Belastung ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∅= ρα

ρσ

ρτ es

ctm

s

s

bm

sctm

Etf

Ef

w 14,02

größte zulässige Stab-∅/ Stababstand 2.6.3.4 Beschränkung der Rissbreite nach EC2 EC2 ∅- und Stababstandstabelle Stahlbeton zul. Rissbreite wcal = 0,3 mm Eingangsparameter Stahlspannung nach Rissbildung:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

zM

NA

s

ss

1σ unter quasi-ständiger Lastkombination (Druck +); z ≈ 0,9d

Erhöhung der Grenz-∅ möglich:

• bei Zwang um Faktor: ( ) 5,2105,2ctmctm f

dhhf

≥−

• bei Last um Faktor: ( ) 0,110

≥− dh

h

2.6.4. Verformungseinwirkung im Gebrauchszustand manche Bauteile >> als zur Lastabtragung notwendig Bewehrung für Zwang >> Bewehrung für Lastabtragung Zwang entsteht durch Behinderung der Verformung aus: • Abfließen der Hydratationswärme

je dicker Bauteil, desto größer Temp.gradient Zwang; dicke Bauteile max. Temp. später Zwang

Zement mit geringer Wärmeentwicklung Nachbehandlung


• Schwinden je kleiner A/U, desto größer ist Schwindverkürzung; dicke Bauteile unterschiedliche Verkürzung im Bauteil; Rand > Innen Eigenspannungen

• Klimatische Änderungen ähnlich Schwinden, Abfließen von Hydratationswärme

immer mit Eigenspannungen verbunden, da Verteilung ≠ linear innerer Zwang

Eigenspannung = f(Bauteildicke) Eigenspannungen lokales Problem; unabhängig von stat. System Bauteil Überlagerung von 3 Arten von Spannungen (konst., linear, parabol.) • Höhe der größeren Zugzone < h/2 Mindestbewehrung für Biegezwang • Gesamter QS unter Zug Mindestbewehrung für zentr. Zwang • andere Fälle Mindestbewehrung für Kombination Biegezwang/ zentr.

Zwang 2.6.4.1 Schnittgrößen bei vorwiegend Verformungeinwirkungen

beidseitig eingespannter Stahlbetonstab Verkürzung durch ΔTN

Verkürzung nimmt linear mit Zwangkraft zu, da Stabverformung durch Einspannung behindert: ( )tETAAF cNtctccts Δ== ασ

Wenn ( )tfAF effctcts ,= = Rissschnittgröße Fcr erster Riss ( ) ( )tfktf ctmeffct ⋅=, k Berücksichtigung der Eigenspannung (k=0,8 für Bauteile mit d ≤ 30cm; k=0,5 für

Bauteile mit d ≥ 80cm) nach 1. Riss Abnahme der Zwangkraft ∼ Abnahme der Steifigkeit Weitere Zunahme der Zwangverformung Zunahme der Zwangkraft Begrenzung durch Rissschnittgröße am nächsten Riss Streuung der Zwangkraft ∼ Streuung der Betonfestigkeit

Wiederholung bis „abgeschlossenes Rissbild“ (bei ca. 8‰ = ΔT von 80°C) Mindestbewehrung:

( )II

I

s

cteffcts z

zzul

AtfA

σα ,⋅

= mit: α Völligkeitsbeiwert der Betonspannung in Zugzone

α = 0,5 für Biegezwang α = 1,0 für zentr. Zwang

fct,eff(t) wirk. Biegezugfestigkeit zum Zeitpkt. der Rissbildung zI, zII innerer Hebelarm, vor/ nach Rissbildung

Biegezwang z ≈ 0,8 zentr. Zwang z = 1,0

zulσs Tabelle

• Biegezwang: ( )

s

ctctms zul

kAtfA

σ4,0

=

• zentr. Zwang: ( )

s

ctctms zul

kAtfA

σ=

2.6.4.2 Bodenplatten unter Verformungeinwirkung klassische Bemessung Reibungsmodell

Zwangkraft auf Bodenplatte:

cs hblF ρμ ⋅⋅=2

mit: µ Reibungsbeiwert zwischen Bodenplatte und Baugrund b,h,l Breite, Dicke, Länge der Bodenplatte ρc Rohdichte des Betons

Zwangspannung unabh. von h, Verformung anderes Rechenmodell Berücksichtigung, dass Ec >> EBaugrund

keine rel. Bewegung zwischen Baugrund und Bodenplatte Verformung Zwang in Bodenplatte Kraft in Baugrund Verformung im Baugrund Reduzierung der Zwangkraft abh. von Dicke der Bodenplatte/ Verformung

( )

bCC

CC

CbCF

c

e

c

u

ceucus

++

−−=

1

000 εεε

mit: εc0

, εu0 unbehinderte Verformungen d. Bodenplatte/ Untergrund

ccc EhC =

uuu EhC =


eeee EhbhC ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2

65,0 π

mit: Ec, Eu, Ee E-Modul der Bodenplatte, des Unterbetons, des

Baugrundes 2.6.4.3 Zwangkraft bei Wänden auf Fundamenten Wände auf fertiggestellten Fundamenten zentr. Zwang und Eigenspannung durch Abfließen der Hydratationswärme Zwangspannung = f(l/h) Annahme voller Einspannung am Wandfuß bei x/h = 0:

( ) ( )tftET effctcNtc ,≤Δ= ασ kleinere l/h-Verhältnisse Bereich voller Zwangbeanspruchung relativ klein unterschiedliche Nachgiebigkeit

Teilung der Wände in 3 Bereiche: • 1. Bereich Steuerung der Rissbildung durch schubfeste Verbindung

Nt

cal

Tw

hΔ

=α1

Bewehrung für Biegezwang ( )

s

ctctms zul

kAtfA

σ4,0

=

• 2. Bereich Begrenzung der Rissbreite durch Bewehrung

Bewehrung für zentr. Zwang: ( )

s

ctctms zul

kAtfA

σ=

• 3. Bereich kleine l/h-Verhältnisse εre,eff sehr gering

Bewehrung für Biegezwang ( )

s

ctctms zul

kAtfA

σ4,0

=

2.7 Diskontinuitätsbereiche best. Bereiche von TW nicht nach technischer Biegelehre zu bemessen

Unterscheidung: B-Bereiche (Bernoulli) D-Bereiche (Diskontinuität) keine Ebenbleiben der QS mehr

• B-Bereiche: Balken einachsig gespannten Platten Stützen (d=const.)

• D-Bereiche: ausgeprägte nicht-lineare Dehnungsverteilung

o geometrische Diskontinuität QS-Sprüngen Konsolen Aussparungen

o statische Diskontinuität Einleitung von Einzellasten AL-Kräfte

Diskontinuität begrenzt auf best. Bereiche Trajektorenbilder Lastabtragung D-Bereiche Spannungstrajektoren unruhiger/ stark gekrümmter Verlauf

Modellbildung: GG Verformungskompatibilität 2.7.1. Stabwerkmodelle

Fachwerkanalogie 1. Festlegung sämtlicher RB

Geometrie Belastung AL-Bedingung

2. ALR für idealisiertes stat. Gesamtsystem 3. Eigentliche Modellbildung Weg der Lasten; Grundsätze:

a. Kraft versucht immer direkten Weg zum AL zu finden Lastpfade


b. Lastpfade nicht kreuzen; beginnen/ enden im SP der Krafteinleitungs-/ AL-Flächen c. Verlauf der Lastpfade möglichst kurz/ stromlinienförmig ohne Knicke d. konz. Kräfte gleichmäßige Ausbreitung im Beton Lastpfade starke Krümmung

bei Einleitung; Verlauf ins Bauteilinnere e. Krümmung von Lastpfaden Umlenkkräfte

4. Stabwerkmodell (nur gerade Stäbe) 5. Kräfte an Einzelstäben Bemessung

yd

ss f

FerfA = (Zugstreben) und cd

cdc f

baF

6,0≤⋅

=σ (Druckstreben)

notwendige Verankerung muß sichergestellt sein Schlaufe Mindestbewehrung zur Min. von Rissen an Rändern/ Oberflächen 0,0015⋅Ac

2.7.2. Öffnungen in Trägern Störungen in Lastweiterleitung D-Bereiche

Fachwerkmodell zur Q-Bemessung kleine Öffnungen günstig zwischen Diagonaldruckstreben und Gurtstreben Nachweis der Streben mit vermindertem QS Öffnungen in Bereichen mit geringer Q-Kraft große Öffnungen verfeinerte Modelle

Anordnung möglichst in der Zugzone 2.7.3. Lasteinleitungsbereiche

z.B. Vorspannkräfte konz. Kräfte allmähliche Ausbreitung über QS; ab best. Entfernung gleichmäßiger Spannungszustand St.Venant’sche Störungslänge 2.7.4. Konsolen

statische und geometrische Diskontinuität Abgrenzung über ac/hc 4 Fälle Belastung VSd und HSd, wobie SdSd VH 2,0≥ (EC2 2.5.3.7.2 (4)) 2.7.4.1 Kurze und mittlere Konsolen 2.7.4.1.1 Fall1: ac/hc < 0,5

HSd

VSd

d

hc

ah

ac

θ

a1

z0

FSd

Fwd

a2

As,Gurt

As,Bü

Bügel

Stabwerkmodell Bewehrung

Abdeckung von Fwd horiz. Bügel Einzellast direkte Ableitung über Druckgurt Zugband Fwd Spaltzugspannungen FSd ≥ 0,4⋅VSd • VSd > 0,3 VRd2 zusätzl geschlossene

horiz./ geneigte Bügel: GurtsBüs AA ,, 5,0≥

• yd

cdcGurts f

fAA 4,0, ≥ und hc ≥ 30 cm

GurtsBüs AA ,, 4,0≥ als hor./ schräge Bügel

2.7.4.1.2 Fall 2: 0,5 ≤ ac/hc ≤ 1

HSd

VSd

d

hc

ah

ac

θ

a1

z0

FSd

a2

As,Gurt

Bügel

Stabwerkmodell Bewehrung

As,Bü

konstr.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

4,01Rd

Sdo V

Vdz

mit: zbfV wcdRd ν21

2 = oder

zbfV wcdRd νθ

θ²cot1

cot2 +

= mit

5,0200

7,0 ≥−= ckfν

aus GG:

Sdh

Sdc

Sd Hz

zAV

za

F0

0

0

++=

Abdeckung von FSd Schlaufen yd

SdGurts f

FA ≥,


• VSd > VRd1 geschlossene vert. Bügel

yd

sdBüs f

VA

7,0, ≥

• yd

cdcGurts f

fAA 4,0, ≥ und hc ≥ 30 cm GurtsBüs AA ,, 4,0≥ als hor./ schräge Bügel

2.7.4.2 Lange Konsolen --> Fall 3+4: ac/hc >1 2.7.4.2.1

HSd

VSd

d

hc

ah

ac

θ

a1

a2

Stabwerkmodell

direkte Einleitung nicht mehr möglich Bemessung der Konsole als Kragarm

2.7.5. Indirekte Lagerung Nebenträger indirekt an Hauptträger

AL der Nebenträger als Einzellast an Hauptträger Weiterleitung über Druckstreben im Beton Hochhängen über Schrägbewehrung Verschiede Stabwerkmodelle möglich:

2.7.6. Ausklinkungen

verschiedene Stabwerkmodelle möglich

• Verhinderung schräger Bewehrung

• Aufhängung der Last über Schrägbügel/ aufgebogene Gurtstäbe an den Druckgurt

Verankerung des Zugstabes ? Ankerplatten • Kombination o.g. Modelle 2.7.7. Rahmenecken • mit positivem Moment


D-Bereich bereits vorher in Stütze und Riegel • mit negativen Moment

o zstütze ≈ zRiegel Umleitung der äußeren Zugkraft durch Biegradius der Bewehrung Umlenkkräfte als Druck in radialer Richtung + horiz. Umlenkkräfte Leitern ausreichend großer Biegeradius:

eff

erfd ss

ck

ykbr

∅∅≥ 3 mit e = Abstand der Stäbe

o andernfalls gesonderte Modelle • Rahmenknoten mit durchlaufenden Riegel

o Innenstützen Stabendmomente vernachlässigbar klein ausreichende Verankerungslänge der Stützenbewehrung

in den Riegel o Außenstützen Rahmenecken

• Rahmenknoten mit durchlaufender Stütze Vorzeichenwechsel der Momente Wechsel von Zug- und

Druckspannungen + hohe Verbundspannungen • Rahmenknoten als Kreuzung von Stütze und Riegel

Umschließen des Kreuzungsbereichs mit Bewehrung 2.7.8. Krümmungen

analog Rahmenecke mit pos. Moment

rsF

suF BüsdBüSdBüs ==,

rfsF

erfAyd

BüsdBüs =,

2.7.9. Höhenversprünge Tragwirkung analog Öffnung

• Druckzone am nicht verspringenden Rand Durchführen eines Teils der Druckkraft Umlenkung der restl. Druckkraft senkrechte Umlenkzugkraft Verbügelung

• Druckzone am verspringenden Rand Aufteilung der Zugkraft senkrechte Verbügelung + schräge Druckkräfte im Beton

2.8 Platten 2.8.1. Theorie

Bauteile, die ⊥ zur Ebene belastet sind Breite hat Einfluß auf Tragverhalten

Plattengleichung: ( )B

yxpyw

yxw

xw ,2 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ mit:

w Verformung ⊥ zur Plattenebene p(x,y) Flächenlast B Biegesteifigkeit

( )²112³

²1 μμ −=

−=

EhEIB (Zustand I)

mit µ = Poisson’sche Querkontraktionszahl (Beton µ=0,2)

Zustand II Einfluß von µ durch Rissbildung kleiner µ ≈ 0 Steifigkeit nimmt immer mehr ab

RB + Lagerung:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=²

²²

²yw

xwBmx μ , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=²

²²

²xw

ywBmy μ und ( )

yxwBmxy ∂∂

∂−−=

²1 μ

und ALR ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+

∂∂

−=xy

wxwBv x ²

³2³

³ μ und ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+

∂∂

−=yx

wywBv y ²

³2³

³ μ

2.8.2. Abgrenzung von Platten • einachsig gespannte

Tragwirkung analog Balken (über kurze Spannweite), jedoch Behinderung der Querkontraktion Querzugspannungen Quermoment Querbewehrung

• mehrachsig gespannte Abtragung der vert. Lasten in mehr als 1 Richtung lx/ ly ≤ 2,5


• Kreisplatte Spzialfall einer mehrachsig gespannter Platte

• punktförmig gelagerte Platte Pilzdecken Flachdecken

2.8.3. Einachsig gespannte Platten 2.8.3.1 Tragverhalten Ausführung als Einfeld- oder Mehrfeldträger Berechnung für Streifen mit by = 1m Schnittgrößenermittlung analog Balken; Plastizitätstheorie sehr gut anwendbar

Schnittgrößenumlagerung ! Vordimensionierung Biegeschlankheit Platten im Hochbau niedrige Beanspruchung Mindestdicke: h = 5cm ohne Q-Bewehrung h= 20cm mit Q-Bewehrung 2.8.3.2 Schnittgrößenermittlung/ Biegebemessung Schnittgrößen wie bei Balken Streifen by = 1m mx Verformungen in y- und y-Richtung; Verformung in y-Richtung Behinderung durch nebenliegenden Streifen: EIx = EIy my = µ⋅mx; für Zustand I richtig; Zustand II EI = EI(As,x, As,y) mx sichere Seite stat. Nutzhöhe h ≤ 7cm Vorsicht, da Bauteilungenauigkeiten Streuung von z Tragfähigkeit

Faktor 18

15≥

+=

dk SdSd mkm ⋅=cal

2.8.3.3 Einzellasten nur Teil der Platte an Lastabtragung beteiligt mitwirkende Breite Tabelle

hhbt ++= 10 2 2.8.3.4 Querkraftbemessung Platten wenn möglich ohne Q-Bewehrung i.d.R. sinnvoller h zu erhöhen, als Q-Bewehrung einzulegen VSd ≤ VRd1 Verzicht auf Mindestquerkraftbewehrung möglich 2.8.4. Schnittgrößenermittlung bei mehrachsig gespannten Platten nach Schnittgrößenermittlung Bemessung analog Balken/ einachsig gespannte Platten mehrachsig gespannte Platten große Tragreserven mit E-Theorie nicht realistisch, aber auf sicheren Seite tatsächliches Tragvermögen nichtlineare Verfahren 2.8.4.1 Näherungsverfahren nach Marcus

Aufteilung von p in px und py + Kompatibilitätsbed. (wx(xi,yi) = wy(xi,yi))

yx ppp += und yx www == y

yy

x

xx

EIlp

EIlp

w44

3845

3845

==

Platten mit h = const. EIx = EIy

pkpll

lp x

xy

yx =

+= 44

4

und pkpll

lp y

xy

yy =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= 44

4

1 (weitere Lagerungsfälle Tabelle)

nur sinnvoll für ⅔ ≤ lx/ ly ≤ 3/2 2.8.4.2 Verfahren mit Czerny-Tafeln Auswertung von Hauptspannungstrajektorenbildern Drillmoment mxy in den Ecken bei frei drehbar gelagerten mehrachsigen Platten Abheben der Ecken Verhinderung durch Auflast ≥ 1/16 p, Zugverbindung oder biegesteif anschließende Platte neg. Moment Zugbewehrung 2.8.5. Punktförmig gelagerte Platten ( Flachdecken)

Einsparung von Konstruktionshöhe (Vermeidung von UZ) Tragverhalten Lastabtragung sowohl in radialer als auch in tangentialer Richtung zu AL Handrechnung Vereinfachungen:

Gurtstreifen Behandlung analog Balken Feldstreifen lagern auf Gurtstreifen Einsetzbar für Stützenraster 0,75 ≤ lx/ly ≤ 1,33

EC2 Biegeschlankheit ≤ 30 (niedrige Beanspruchen) bzw. ≤ 21 (hohe Beanspruchung)


2.8.5.1 Durchstanzen Einleitung einer konzentrierten Last hohe Schub- und Normalspannungen komb. Beanspruchung ringförmige Risse im Bereich Stütze Momentenumlagerung radial tangential radiale Risse Teilung der Platte Fortsetzung der Risse nach außen + Einschnüren der Biegruckzone durch Hineinwachsen von Schubrissen Durchstanzen, wenn Tragfähigkeit der Betondruckstreben/ Zugbewehrung erreicht ist komb. Biegeschubversagen Erhöhung der Durchstanztragfähigkeit durch: • Bewehrung in Zugzone (Dübelwirkung/ Rissbremsen) • Normaldruckkraft (Vergrößerung der Druckzone) • Q-Bewehrung (Rissbremsen, Entlastung der Druckstrebe) Nachweis nach EC2: Q-Bewehrung kann entfallen, wenn 1Rdsd vv ≤ mit

uVv SdSd

β=

VSd gesamte Bemessungsquerkarft β Faktor für Exzentrizität - keine Ausmitten β=1 - Innenstützen β=1,15 - Außenstützen β=1,4 - Eckstützen β=1,5 u Umfang des krit. Rundschnitts

( )dkv lRdRd ρτ 402,11 += τRd Grundwert der Schubfestigkeit k Maßstabeffekt ( ) 0,16,1 ≥−= dk ρ1 Bewehrungsgrad der Zugbewehrung 015,011 ≤= yxl ρρρ d gemittelte statische Höhe

( )

2yx dd

d+

=

vSd > vRd1 Durchstanzbewehrung erf. • Betondruckstreben

2RdSd vv ≤

12 6,1 RdRd vv = • Durchstanzbewehrung

3Rdsd vv ≤

∑+= αsin13 uf

Avv ydswRdRd α = Neigung der Durchstanzbewehrung zur Plattenebene

α

βsin

1

yd

rdSdsw f

uvVerfA

−≥

Anordnung innerhalb der krit. Fläche 2.8.6. Öffnungen in Platten

räumliche D-Bereiche Stabwerkmodelle deckengleiche UZ

2.8.7. Unterbrochene Stützung geänderte Tragwirkung:

• l/h ≤ 7 konstr. Bewehrung in Platte ohne rechn. Nachweis • 7 < l/h ≤ 15 Ersetzung durch deckengleichen UZ Bemessung als Balken mit bM,F für MFeld

und bM,S für MStützung • l/h ≥ 15 genauere Untersuchung nach Plattentheorie 2.8.8. Bruchlinientheorie Grundlage Plastizitätstheorie Versagen der Platte erst, wenn globales kinematisches System entsteht Verletzung der Fließbed. Versagen, wenn Bewehrung in Risslinien = Bruchlinien fließt Fließgelenke Vor.: ausreichendes Verformungsvermögen: • Verwendung hochduktilen Stahls • Bewehrungsgrad zwischen 0,3 bis 0,6%

Nachweis der Rotation analog Balken (aber schwieriger)


2.8.9. Konstruktive Durchbildung • Mindestbewehrung

Längsbewehrung analog Balken Mindestquerbewehrung nicht erf.

• Verankerung der Längsbewehrung min. 50% der Feldbewehrung zum AL durchführen und verankern

• Nicht berücksichtigte Einspannung min. 25 % der Beldbewehrung in Streifen von min. 0,2⋅l an Oberseite am Rand

• Bewehrung freier Ränder Steckbügel und Längsbewehrung

2.9 Scheiben/ wandartige Träger Scheiben plattenartige Bauteile in der Ebene belastet

kein Ebenbleiben der QS Lösungsansätze: • linear-elastische Berechnungsmethoden Rissbildung, spez. Tragverhalten von Stahlbeton nicht

erfassbar • nichtlineare Berechnungsverfahren unter Berücksichtigung des spez. Tragverhaltens von

Stahlbeton baupraktisch ungeeignet • plastische Berechnungsverfahren unter Berücksichtigung des spez. Tragverhaltens von

Stahlbeton baupraktisch gut geeignet Stabwerkmodelle

wandartige Träger Sonderfall der Scheibe, gelagert wie Balken • Einfeldträger/ Randfelder von DL-Träger l/h < 2 • Innenfelder von DL-Trägern l/h < 4 • Kragarmen l/h < 1 Mindestbewehrung min. 0,15 % je Seite 2.9.1. Wandartige Einfeldträger 2.9.1.1 Vertikale Gleichstreckenlast

nichtlinearer σx-Verlauf in der Druckzone l/h sehr klein obere Randspannung 0

Verschieben der Spannungsresultierenden nach unten z/h kleiner ( )

⎩⎨⎧

≤>≥+

=1/6,0

1/2/315,0dlfürh

dlfürhlhz (für Zustand I) Zustand II z größer

z

MF Sd

Sd =

besser Stabwerkmodelle σy Unterschied, ob oben oder unten angreifende Last:

z z

2.9.1.2 Einzellast

großer Teil kann direkt in AL geführt werden ≈ Balken unter auflagernaher Last


oben Spaltzugkräfte unten Hochhängen der Last 2.9.2. Wandartige Mehrfeldträger Vorgehensweise analog Einfeldträger 2.9.3. Scheibe unter horiz. Belastung Lastabtragung analog Konsolen Karftfluss Stabwerkmodelle 2.10 Grundlagen der Bewehrungsführung letzter Schritt der Tragwerksplanung konstruktive Detaillierung der Bauteile

Besonderheiten: • Herstellbarkeit

Bewehrung muß so angeordnet sein, dass Frischbeton eingebracht und verdichtet werden kann Rüttelgassen

• Rissbildung/ -verläufe, praxisgerechte Bewehrungselemente wesentl. Beeinflussung des Kraftflusses durch Rissbildung/ -verlauf

Einhaltung der konstruktiven Anforderungen ist Vorraussetzung für Anwendung der normativ geregelten Bemessungsmodelle! 2.10.1. Verankerungslängen Vor. guter Verbund = f(Rippengeometrie, Betondeckung/ -qualität, etc.) kleine Betondeckung/ geringe Stababstände Spaltrisse Verankerungslänge vereinfachend konst. Verbundspannung

lb

Länge

Ver

bund

span

nung

Gebrauchszustand

idealisiert Bruchzustand

τbm

Fs

ulF bbmb τ= und 4²π

σσ sssss AF

∅==

u

Fl

bm

sb τ

=

konst. Stahlspannung fy bm

ysb

fl

τ∅=

41

„Grundmaß der Verankerungslänge“

EC2 :

bd

ydsb f

fl ∅=

41

∅s Stab-∅ fbd Bemessungswert für Verbundspannung Tabelle

(Verbundbereich I) Verbundbereich II 0,7⋅fbd

Einfluß Betondeckung: hohe Verbundspannung & geringe Betondeckung Spaltrißbildung bzw. Abplatzen der Betondeckung Mindestbetondeckung (cmin > ds) & Querbewehrung Lage im Bauteil: Verdichtung Hohlraumbildung an Unterseite des B’stabes Verringerung der wirksamen Verbundfläche um bis zu 50%

Querdruck Faktor: ( ) 4,14,01

1≤

− p

Berücksichtigung der tatsächlichen Spannung in der Bewehrung und der Stabform

min,,

,, b

provs

reqsbanetb l

AA

ll ≥= α mit: αa Beiwert für Verankerungsart

yd

s

provs

reqs

fAA σ

=,

,

Mindestmaße:


• Verankerung von Zugstäben:

⎩⎨⎧ ∅

≥=mm

ll sbb 100

103,0min,

• Verankerung von Druckstäben

⎩⎨⎧ ∅

≥=mm

ll sbb 100

106,0min,

2.10.2. Stöße lange Bauteile/ mehrere Abschnitte Stäbe verlängern meistens Übergreifungsstoß (alternativ: Gewindestoß, Schweißverbindung, etc.)

Querzugspannungen Längsrisse Sicherung der Tragfähigkeit Q-Bewehrung EC2 Konstruktionsregeln: • Übergreifungslänge

min,1, snetbs lll ≥= α mit:

⎩⎨⎧ ∅≥

≥mm

ll sbas 200

153,0 1min,

αα

α1 Faktor f. Abmessungen/ Anteil gestoßener Bew. α1 = 1 Druck-/ Zugstäbe mit Stoßanteil ≤ 30% und a ≥ 10⋅∅s und b ≥

5⋅∅s α1 = 1,4 Zugstöße mit:

(1) Stoßanteil ≥ 30% oder (2) a < 10⋅∅s und b < 5⋅∅s

α1 = 2,0 Zugstöße mit Stoßanteil ≥ 30%, a < 10⋅∅s und b < 5⋅∅s • Querbewehrung

o ∅s ≤ 16mm und o Stoßanteil ≤ 20% und o aus anderen Gründen Querbewehrung vorh

keine Q-Bewehrung erf.

o ∅s > 16mm und o Stoßanteil ≤ 20% keine Q-Bewehrung erf.

o Stoßanteil > 20% o a ≤ 10⋅∅s

Umschließung der gest. Bew mit Bügeln ∑ ∑≥ sst AA

o Stoßanteil > 20% o a > 10⋅∅s

min. ∑ ∑≥ sst AA als gerade Stäbe außen

2.10.3. Schubbewehrung 2.10.3.1 Bügelabstand: • groß starke Einschnürung; starke Spannungskonzentration am Bügel • klein geringe Einschnürung; geringe Spannungskonzentration am Bügel 2.10.3.2 Bügelabstände in Querrichtung

Druckgewölbe breite Balken keine Ausbildung des Gewölbes möglich voller QS nicht nutzbar Zwischenbügel 2.10.3.3 EC2 • Längsrichtung:

o 1/5 VRd2 ≥ VSd smax = 0,8⋅d⋅ < 300 mm o 1/5 VRd2 < VSd < 2/3 VRd2 smax = 0,6⋅d < 300 mm o VSd > 2/3 VRd2 smax = 0,3⋅d < 300 mm

• Querrichtung o VSd ≤ 1/5 VRd2 smax < d < 800 mm o VSd > 1/5 VRd2 smax wie in Längsrichtung

2.10.4. Stützen Druckbeanspruchte Bewehrung knickgefährdet

Reduzierung der Knicklänge durch Bügel Erreichen der rechn. Tragfähigkeit Mindestbügelbewehrung 2.10.4.1 Längsbewehrung

cyd

Sds A

fN

A 003,015,0

min, ≥= und cs AA 08,0max, = (auch in Stößen)


Verteilung über QS: • polygonaler QS: in jeder Ecke ein Stab • Kreis-QS: mindestens 6 Stäbe

∅ > 12 mm 2.10.4.2 Querbewehrung

⎪⎩

⎪⎨⎧

∅≥

≥=∅

.max,.

41

16

LängsbewQuerbew

mm

Bügelmatten ∅ ≥ 5mm Verankerung geschlossene Bügel

Abstände: ⎪⎩

⎪⎨

⎧ ∅<

300mmeSeitenläng

12 .Längsbew

a

2.10.5. Zugkraftdeckung

reine Biegung Zugkraft = ( ) ( )( )xzxMxFs =

gleichzeitige Wirkung einer Q-Kraft Erhöhung um ( ) ( ) ( )αθ cotcot2

−=ΔxVxFs wg. Schrägrissen

verschieben der Zugkraftlinie um Versatzmaß ( )αθ cotcot2

−=zal

Abstufung der Bewehrung nach Momentenlinie Berücksichtigung der Verschiebung der Zugkraft infolge Q-Kraft Zugkraftdeckungslinie 2.10.6. Sonstige Konstruktionsregeln • Mindestbetondeckung

Vermeidung eines frühzeitigen Verbundversagens Brandschutz Korrosionsschutz min c

Abweichungen bei Bauausführung Δh hcc Δ+= minnom

• Mindestabstand der Bewehrung Einbringen des Betons in abh. vom Größtkorn-∅ dg

o dg ≤ 32mm ⎩⎨⎧

≥mm

da g

20

o dg > 32mm mmda g 5+> • Mindestbiegerolldurchmesser

Begrenzung des Umlenkdrucks bei Haken und Schlaufen (Spaltzugspannungen) 2.10.7. Ober-/ Untergrenzen der Bewehrungsmenge

Vermeiden eines spröden Versagens ohne Vorankündigung Robustheit Ausreichende Verformungsfähigkeit Ermittlung ohne Sicherheitsbeiwerte

2.10.7.1 Mindestbiegebewehrung Vermeidung eines spröden Versagens bei Erstrissbildung

Rissmoment : ctctucr fbhfWM6

²==

aufnehmbares Moment: yksu zfAM =

zfbhf

zfM

Ayk

ct

yk

crs 6

²min, == mit z = 0,9⋅d, d ≈ 0,95⋅h und fct ≈ 3 MPa

ykykyk

s fbh

fbh

fhbA 6,01555,0

95,09,063

min, ≈=⋅⋅

=

EC2 dbf

dbA tyk

ts 0015,016,0min,1 ≥= mit bt = mittlere Breite der Zugzone


2.10.7.2 Mindestquerkraftbewehrung Tabelle ρw,min

αρ sinwwsw ba ≥ Mindestens 50% Bügel Platten bei rechnerisch erf. Bewehrung min 60% von ρw,min Höchstmaße für Bügelabstände 2.10.7.3 Höchstbewehrungsgrad

Vermeidung eines spröden Versagens der Druckzone cs AA 04,0max, =

nicht für Stoßbereiche 2.10.8. Sonstige Konstruktionsregeln • Mindestbetondeckung

min c hcc Δ+= minnom

• Mindestabstand der Bewehrung in abh. vom Größtkorn-∅ dg

o dg ≤ 32mm ⎩⎨⎧

≥mm

da g

20

o dg > 32mm mmda g 5+> • Mindestbiegerolldurchmesser • Stabbündel:

nn ∅=∅


3. Spannbetonbau 3.1 Grundprinzip/ Begriffe/ Geschichtliches 3.1.1. Grundprinzip Beton sehr gut für Druckspannungen Zugfestigkeit sehr gering

cct ff101

≈

Vorspannen der Bereiche mit Zugspannungen infolge äußere Einwirkungen Beanspruchung auf Druck eventl. nicht nur auf Bereich mit +σ beschränken (z.B. zentr. vorgespannter Biegeträger)

Zugspannungen aus äußeren Lasten Abbau/ Umlagerung Aufnahme von Druckspannungen

ycp

l/2 l/2 I

I

I I I I

+

-

- - P P

+ = = =

infolge Vorspannung

I I

+

- =

infolge äußerer Belastung

+

-

Überlagerung

ycp

Gk, Qk

MP

MG+Q

cAP

c

cp

WPy

3.1.2. Vorteile • Rissbildung erst bei höherem Lastniveau

höhere Steifigkeit, i.a. Verbesserung der Dauerhaftigkeit • Ausnutzen der Festigkeit hochfester Stähle

schlankere Tragwerke, größere Stützweite • Geringere Spannungsschwankungen im Gebrauchszustand

höhere Ermüdungs-/ Betriebsfestigkeit für Stahl 3.1.3. Auf Beton wirkende Kräfte • Verankerungskräfte • Umlenkkräfte (nicht bei sofortigem Verbund) • Reibungskräfte (nicht bei sofortigem Verbund)

Spannkraftverlust Keilschlupf Umkehr der Wirkungsrichtung in best. Bereich hinter Spannstelle actio = reactio in jedem Schnitt Reaktionskraft im Beton-QS

keine Schnittgrößen/ ALR bei stat. best. gelagerten Trägern für Gesamt-QS Np und MP aus P und zP (Winkel i.a. vernachlässigt, nicht bei Q-Kraft)

vorgespanntes Tragsystem (beliebig gelagert) Belastung mit Verankerungs-, Umlenk-, Reibungskräften SG = Gesamtschnittgrößen desBeton-QS = Summe stat. best. + unbest. Wirkung der Vorspannung

Eingabe der Kräfte als äußere Einwirkung 3.1.4. Begriffe 3.1.4.1 Art/ Aufbringung der Vorspannung • Zeitpunkt:

o Spannen im Spannbett vor dem erhärten des Betons


o Spannen gegen den erhärteten Beton • Art der Verbundwirkung

o sofortiger Verbund o nachträglicher Verbund o ohne Verbund

3.1.4.2 Spannglieder • Stabspannglieder • Bündelspannglieder • Litzenspannglieder • glatt • profiliert • gerippt 3.1.4.3 Verankerung • Gewinde • Keile • aufgestauchte Köpfe • (Klemmverankerungen) 3.1.4.4 Wirkung der Vorspannung • Grad der Vorspannung

DIN 4227 o volle Vorspannung

Kein Zug mehr im QS bei Gebrauchszustand o beschränkte Vorspannung

best. Zugspannungsgrenzen o teilweise Vorspannung

keine Zugspannungsgrenzen EC2 Anforderungsklassen A-E

• Bezeichnung von QS-Teilen o Zugzone o Druckzone o vorgedrückte Zugzone

• Spannkraftverluste o Schwinden o Kriechen o Relaxation o Schlupf gezieltes Überspannen

• QS-Werte o Brutto-QS

ohne Abzug der Bewehrung/ Hüllrohre Näherungslösungen

o Netto-QS QS-Abschwächung durch Hüllrohre LF vor Verbund

o Ideelle QS Berücksichtigung der Bewehrung Alle LF nach Verbund

3.2 Beanspruchung/ Nachweiskonzept am Beispiel eines Einfeldträgers 3.2.1. Vorspannung mit nachträglichem Verbund

A B

H d h

zp


3.2.1.1 Annahmen/ Vereinfachungen • Dehnungen außerhalb der Störungsstellen (Verankerungsbereiche) linear verteilt • unverschieblicher Verbund zw. Spannstahl und Beton nach Verpressen • i.a. resultierende Spanngliedlage • ⊥ zum unverformten QS wirkende Spannkraftkomponente = Spannkraft 3.2.1.2 ALR/ SG infolge Vorspannung stat. best. 0=== ppp BAH SG in Feldmitte:

PNP −=

PP PzM −= 3.2.1.3 Betonspannungen in Feldmitte infolge Vorspannung

unten: cu

P

cucp W

PzAP

−−=,σ

oben co

P

cocp W

PzAP

−−=,σ mit Wco < 0

3.2.1.4 Kriterien für erf. Spannstahl-QS Lage durch statische, konstruktive und baubetriebl. RB festgelegt σzul,P abh. von fpk und fp0,1k • erf. Spannkraft aus Forderung σ=0 an irgendeiner Stelle (Rand) z.B. Nachweise der

Dekompression • erf. Spannstahl-QS über Nachweis für Biegung und Längskraft im ULS 3.2.1.5 Begrenzung der Spannungen im Spannstahl

Vermeidung einer nichtelastischen Verformung im SLS Sicherstellen einer zuverlässigen Kontrolle beim Spannvorgang

• größte Spannung beim Spannvorgang:

⎩⎨⎧

≤kp

pk

ff

1,0max,0 9,0

8,0σ

• unmittelbar nach Abschluß des Spannvorgangs

⎩⎨⎧

≤kp

pkpm f

f

1,00 85,0

75,0σ

• im SLS unter seltener Lastkombination pkp f75,0≤σ

3.2.1.6 Nachweis im ULS 3.2.1.6.1 Biegung und Längskraft

i.a. analog Stahlbeton, jedoch: • Einwirkung + stat. unbest. Wirkung der Vorspannung • Berücksichtigung der stat. best. Wirkung bei der QS-Bemessung 3.2.1.6.2 Querkraft

analog Stahlbeton Längsdruck flacher Druckstrebenwinkel • Standardverfahren höherer Abzugswert:

pddpddSd PVVVV ψsin00 −=−= mit tmpd PP ,γ= und ppmttm AP σ=, • Verfahren mit veränderl. Druckstrebenneigung Anwender günstige Spanngliedneigung σpmt mit allen Spannkraftverlusten ungünstige Spanngliedneigung Zustand vor Eintritt der Verluste maßgebend 3.2.1.7 Nachweise im SLS • Nachweis von Spannungen

o Spannstahlspannungen o Dekompression

• Beschränkung der Rissbreite 3.2.2. Besonderheiten: sofortiger Verbund • Spanngliedkraft wirkt auf ideellen QS • Kraft auf Widerlager/ Spannbett > Kraft auf ideellen QS (elastische Betonverkürzung) • Spannglieder i.d.R. gerade • Verankerung der Spannkräfte über Verbund


• Abstufung der Spannkraft über Abisolieren von Spanndrähten möglich 3.2.3. Besonderheiten: ohne Verbund • Spannglieder nur an diskreten Stellen mit TW verbunden • εP ≠ εc Spannungsänderung von Spannstahl nicht aus Dehnungszustand • Spannglieder eigener Korrosionsschutz • Sorgfältige Ausbildung der Umlenkstellen/ Verankerungen 3.3 Spannkraftverluste 3.3.1. infolge Reibung 3.3.1.1 Ursachen Spannen gegen erhärteten Beton (nachträglicher Verbund), ohne Vebund planmäßige/ unplanmäßige Umlenkwinkel Spannglieder gegen Hüllrohrinnenwand 3.3.1.2 Berechnung der Reibungsverluste

Abschätzen nach Coulomb’schen Reibungsgesetz nach Theorie der Seilreibung: ( ) ( )xP

dxdP

μμ μγ

−= mit ∑ +Θ= kxiγ und ( ) 00 PP =μ

( ) ( )∑= +Θ− kxiePxP μμ 0

( ) ( )[ ]∑−=Δ +Θ− kxiePxP μμ 10

mit: µ Reibungsbeiwert aus Zulassung, ansonsten:

µ ≈ 0,17 kaltgezogener Draht µ ≈ 0,19 Litze µ ≈ 0,33 glatter Rundstab µ ≈ 0,65 gerippter Stab

∑Θ i Summe der planmäßigen Umlenkwinkel über Länge x in Bogenmaß

Parabelförmiger Verlauf ( ) x

lfx²

8=Θ

vert. + horiz. Umlenkwinkel ( ) ( )[ ] ( )[ ]22 xxx vh Θ+Θ=Θ k ungewollter Umlenkwinkel pro Länge im Bogenmaß x Länge des Spanngliedabschnittes

für ( ) 1,0≤+Θ∑ kxiμ

( ) ( )kxPxP i +Θ=Δ ∑μμ 0

3.3.1.3 Reibungsmindernde Maßnahmen/ Spannkraftverlauf Geschmierte Gleitbleche Erzeugen von Längsschwingungen in Spanngliedern Kompensation durch Über-/ Nachspannen: σp = 0,95⋅fp0,1k ( ) Θ+= μ

μ ePxP oe für mΘ≤Θ

( ) Θ−= μμ ePxP oa für mΘ>Θ mit:

Poa = max. Pressenkraft beim Überspannen Po,max = max. zul. dauernde Spanngliedkraft oaoeo PPP =max, Poe = Pressenkraft nach Nachlassen

oe

oa

oe

oam P

PPP

ln21ln1μμ

==Θ

3.3.2. infolge Keilschlupf Verankerung mit Keilen: • Gleitkeile:

Spannlitze bewegt sich während Spannvorgang zw. lose anliegenden Keilen Nachlassen Eindrücken Querdruck Rückwärtsbewegung der Spannlitze

Gleitweg = Schlupf bis zu 10mm • Einpresskeile:

werden nach dem erzielten Spannweg hydraulisch eingepresst nur noch kleiner Schlupf Kraft der Keilverankerung = f(Keilneigung, reibungswert der Keilfläche)

Δlsl aus Zulassung


Schlupf Sinken der Vorspannkraft; begrenzt durch Reibung kurze Spannglieder u.U. erheblicher Spannkraftverlust Δσpsl nicht zu vernachlässigen

Nachlassweg lsl

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡Θ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−

−=k

PPP

l ma

slma

sl μ

μ

2

2ln für kleine Exponenten ( )slkl+Θμ mit

p

mapma A

P=σ und

p

slsl A

PΔ=Δσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ=

kl

f

Ell

totpma

pslsl

²8μσ

Verminderung durch Überspannen möglich

x(m)

Δσpsl

lsl

σpm0(x)

( )kxpm e +Θ−μσ 0

σpm0

( ) ( )( )slsl lkl

pmpmpsl e +Θ−−=Δ μσσσ 00 2 3.3.3. aus elast. Verformungen 3.3.3.1 sofortiger Verbund

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ²100 ip

i

i

i

ppm z

IA

AA

PP α mit ideellen QS-Werten

3.3.3.2 nachträglicher Verbund zeitlich versetztes Vorspannen

021

cpc

ppc E

Eσσ =Δ (Näherung)

3.3.4. infolge Kriechen, Schwinden, Relaxation ( ) ( )( )

( )[ ]02

000,

,8,0111

,,

ttzIA

AA

ttEtt

cpc

c

c

p

cpcgprssrscp

ϕα

σσαϕσεσ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++Δ+=Δ ++

mit: εs(t,t0) Schwindverformung

( ) ( )sscsscs tttt −=− βεε 0 mit ( ) RHcmscs f βεε =0 und ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

=−s

sss tth

tttt 2

0035,0β

Es = Ep Δσpr Relaxationsverlust

c

p

EE

=α

σcg Betonspannung infolge LF g σcp0 Spannstahlspannung zu t0 i.d.R. σc,max – Reibung – Keilschlupf ϕ(t,t0) Kriechzahl

ϕ(t,t0) = ϕ0⋅βc(t-t0) mit ϕo=ϕRH⋅β(fcm)⋅β(t0) zcp Ausmittigkeit der Spannglieder Achtung bei Kriechzahlen ϕ(∞,t0) und Schwindzahlen εcs∞ aus EC2:


• σc(t0)≤ 0,45⋅fck • +10°C ≤ Frischbetontemp. ≤ +20°C • -20°C ≤ Temp. ≤ +40°C • Frischkonsistenzklasse S2 und S3

S1 0,7⋅Wert S2 1,2⋅Wert FM Konsistenz vor Zugabe

3.4 Statisch unbestimmte Tragwerke ( )0ppxp SSS +=

ULS pxpqgdd SSS γ+= +, Verfahren zur SG-Ermittlung: • KGV mit Eigenspannungszustand

111101 δδδ X+= 11

101 δ

δ−=X

( ) ( ) ( )( )∫= dxxEI

xMxMp0

10δ und ( ) ( )( )∫= dxxEI

xMxM11δ

11MXMpx =

( )0ppxp MMM +=

• über Wirkung von Anker- / Umlenkkräften Betrachtung wie äußere Einwirkung

²²

dxydP

dxdPu ==

ψ

Parabel ²

8lfPu =

Kreis RPu =

3.5 ULS 3.5.1. Sicherheitskonzept

⎩⎨⎧

==

=== Wirkungrungünstige bei 1,1

Wirkunggünstiger bei 9,00,1

,,sup

,,inf,,

tktk

tktktktkpd PPr

PPrPPP γ

Unterschied zur Stahlbetonbemessung: Spannstahlspannung = Vorspannung – Spannkraftverluste + Spannungszuwachs aus äußerer Last

Spannstahlmenge i.a. bereits aus SLS bekannt Biegebemessung = Best. der zusätzl. erf. As

3.5.2. Biegung mit Längskraft 3.5.2.1 Konzept A gesamte Spanngliedkraft als Widerstand

o Transformation der angreifenden Schnittgrößen in Spanngliedachse: SdSdp MM =

zNN SdSdp =

o cdpf

SdpSdp fdb

M2=μ

o ω ξ Δεp = εs


13859,0 ==s

pkp

fγ

σ

o ( )Sdpcdp

p NbdfAerf += ωσ1.

o ( )s

p

s

preqpprovps z

zAAAerf

σσ

.,.,. −= (zusätzliche Betonstahlmenge)

3.5.2.2 Konzept B: Vorspannung als Einwirkung, Zuwachs als Widerstand wenig praxisgerecht

3.5.2.3 Konzept C: Gesamte Vorspannung als Einwirkung

1. Schätzung der Spannstahlkraft: 1385.9,0.0 ps

pkpPd Avorh

fAvorhPPF ==Δ+=

γ

2. Angreifende SG in Betonstahlachse ( )pspdsSdsdSds zzFzNMM −+−=

pdsdSds FNN −=

3. cds

SdsSds fbd

M2=μ

4. ω εs

5. Überprüfung der Spannstahlspannung inneres Spannglied

( )s

psccp d

dεεεε ++=Δ und ( )

rscp

pmp r

E ++Δ= inf00 σ

ε ( )pptot εεε Δ+= 0

1,7195000

13859,0, ==≥sp

pktotp E

fγ

ε ‰ Annahme korrekt

6. ( )Sdscdss

Nfbd −= ωσ1 Aerf. s

3.5.3. Querkraft 3.5.3.1 Bemessungswert der Querkraft VSd

günstige Wirkung der geneigten Spanngliedachse: pppmtdppmtdpddSd ArVPVVVV ψσψγ sinsin inf000 −=−=−=

V0d Bemessungswert der Querkraft im maßgebenden Schnitt 3.5.3.2 Aufnehmbare Querkraft

( )[ ]cpRdwRd kdbV σρτ 15,0402,1 11 ++⋅⋅= mit: k Faktor für Maßstabseffekt

- k=1 wenn <50% von As gestaffelt - 16,1k ≥−= d mit d[m]

ρl Bewehrungsgrad der Zugzone

02,01 ≤=c

sl A

Aρ

σcp c

ppmt

c

Sdcp A

ArA

N σσ inf==

bw kleinste QS-Breite in der Nutzhöhe VRd1 < VSd Fehler! Es ist nicht möglich, durch die Bearbeitung von Feldfunktionen Objekte zu erstellen. Fehler! Es ist nicht möglich, durch die Bearbeitung von Feldfunktionen Objekte zu erstellen. mit Fehler! Es ist nicht möglich, durch die Bearbeitung von Feldfunktionen Objekte zu erstellen. Zusätzliche Druckstrebenbeanspruchung durch Längsdruck

mit:


3.6 SLS Manche Nachweise charakteristische Werte:

mtmtk PPrP 1,1infinf, ==

mtmtk PPrP 9,0supsup, == 3.6.1. Begrenzung der Spannungen • Betondruckspannungen mit Pm,t EC2, 4.4.1.2 (2)

|σc| ≤ 0,45 fck unter quasi-ständiger LK |σc| ≤ 0,6 fck unter seltener LK für Bauteile mit Umweltklasse 3 & 4

• Betonstahlspannungen mit Pk,t σs ≤ 0,8 fyk unter seltner LK σs ≤ fyk bei vorwiegend Zwang

• Spannstahlspannungen EC2, 4.4.1.1 (7) σp ≤ 0,75 fpk unter seltener LK nach Abzug aller Verluste

3.6.2. Begrenzung der Rissbreite Pk,t 3.6.2.1 Mindestbewährung bei Zwang Kann entfallen, wenn: • kein Zug im QS EC2 4.4.2.2 (6) • bei Rechteck-QS Erstrisstiefe kleiner als best. Maß EC2, 4.4.2.2 (7)

s

cteffctcs

AkfkA

σ,min, = mit: kc Beiwert für Spannungsverteilung bei Erstriß

kc = 1,0 für reinen Zug kc = 0,4 für reine Biegung

k Beiwert zur Berücksichtigung nichtlinearer Eigenspannungen k = 0,8 Zwang allgemein k = 0,8 für h ≤ 30cm k = 0,5 für h ≥ 80 cm k = 1,0 für äußeren Zwang

fct,eff wirksame Zugfestigkeit

iu

c

keffct

effct y

AP

kf

kfxh

+=−

,

, Höhe der Zugzone Act

σs aus Tabelle EC2, Tab. 4.11 3.6.2.2 Nachweis der Rissbreitenbeschränkung Zugkeildeckung

1. Spannung am oberen QS-Rand: occ

co yIM

AN

+=σ

2. Spannung in der Schwerachse: cmσ

3. Höhe der Zugzone: cmco

coth

σσσ+

=

4. Zugkeilkraft: ctct AF σ= mit σ-Verlauf = Δ-förmig; Act über hat

5. s

cts

FAerfσ

=. mit σs aus Tabelle EC2 Tab 4.11

3.6.3. Nachweis der Dekompression Pk,t unter häufiger LK (Brückenbau abh. von Anforderungsklasse)

c

kductp

c

unbestp

bestppkhäufigQG

c

kductp

c

unbestPkbestpkhäufigQGhäufigc

Ap

zI

zPM

Ap

zI

MMM

inf,.,

,inf,,

inf,..,,,,

025,02

025,02

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∅

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∅

+++

=

+

+

δδ

σ

3.7 Statisch unbestimmte Tragwerke ( )0ppxp SSS +=

ULS pxpqgdd SSS γ+= +,


3.7.1. SG über Wirkung von Anker- / Umlenkkräften Betrachtung wie äußere Einwirkung

1. Erfassung des Spanngliedverlaufs Parabel y =ax² + bx +c

Verlauf: ²²

4 xlfy =

Verkrümmung rl

fay 1²

82'' ===

Umlenkkräfte innerhalb Parabel = konst. 2. Überprüfung des min. Krümmungsradius Zulassung

''1y

R =

3. Umlenkkräfte

²²

dxydP

dxdPu ==

ψ

Parabel ²

82''lfPaPPyu ===

Kreis RPu =

4. Endmomente aus Verankerungskräften

( ) ( ) pp PfM ψcos00 = 5. Schnittgrößen aus dieser Belastung = SG aus gesamter Wirkung Mp,tot 6. Aufteilung stat. best. – stat. unbest.

• stat. Best. Wirkung ( )( ) ( )xyPxM cpp ⋅−=0

• stat. unbest. Wirkung ( ) ( ) ( )( )xMxMxM ptotpx0−=

3.7.2. KGV mit Eigenspannungszustand 1. ( )( ) ( )xyPxM cpp ⋅−=0

2. ( )xM über stat. best. Hauptsystem

3. ( ) ( ) ( )

( )∫= dxxEI

xMxMp0

10δ und ( ) ( )( )∫= dxxEI

xMxM11δ

4. 111101 δδδ X+= 11

101 δ

δ−=X

5. 11MXMpx =

6. ( )0ppxp MMM +=

3.8 Bauliche Durchbildung 3.8.1. Verankerungslänge

Analog Stahlbeton 3.8.2. Verankerung an Endauflagern

Analog Stahlbeton 3.8.3. Übergreifungsstöße

Analog Stahlbeton 3.8.4. Mindestbewehrungsgehalte • Mindestbewehrung zur Vermeidung eines Versagens ohne Vorankündigung

Analog Stahlbeton • Mindestbewehrung zur Vermeidung eines Versagens ohne Vorankündigung bei

Spanndrahtbrüchen

ηλsyk

cucts zf

WfA =min mit:

häufigSd

seltenSd

MM

,

,=λ

η=1,3 Beiwert zur Berücksichtigung der Spanngliedgröße 3.8.5. Höchstbewehrungsgehalte

Analog Stahlbeton


3.8.6. Mindestbügelbewehrung Analog Stahlbeton

3.8.7. Höchstbügelabstände Analog Stahlbeton


4. Brückenbau


5. Entwurfsformeln (Überschlägige Bemessung) 5.1 Grundlagen

weniger scharfe Regeln für Überschlagsrechnung • Plattenbalken

o SLS Begrenzung der Biegeschlankheit Bauteilhöhe o ULS Biegung/ Querkraft Abmessungen/ Bewehrung

• Stützen: o ULS Druckspannungsnachweis, Schlankheit (Knicken) Abmessungen

• Fundamente o zul. Bodenpressung Fläche o Biegung/ Durchstanzen Höhe

5.2 Balken Breite Höhe Biegezugbewehrung As

5.2.1. erf. Höhe Begrenzung der Biegeschlankheit (EC2, 4.4.3.2 Tab. 4.14)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

dlzul

lderfeff

eff. mit: leff aus Geometrie leff>7m Abminderung von zul(leff/d) um 7/leff Plattenbalken mit bw < bm/3 zul(leff/d) auf 80%

85,0.. derdherf =

5.2.2. erf. Breite aus aufnehmbarer Querkraft ohne Versagen der Druckstrebe

dfV

berfcd

Sd

225,0. = für ν = 0,5

aus aufnehmbarer Querkraft mit Schubbewehrung

][²]/[39][

mdcmkNkNV

a sdsw ⋅

= [cm²/m] für fyd = 43,5 kN/m²

5.2.3. Abschätzung der Biegezugbewehrung

dM

dM

fAerf SdsSds

yds 399,0

1. == mit MSds [kNm], d[m]

Bei hoher Beanspruchung/ kleiner Druckzone Biegedruckzone überprüfen!! • Dachbinder Kippen:

lot < 50⋅b lot < 2,5⋅h

• Plattenbalken: i.a. schlanke bPlatte >> bSteg NL in Platte

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

25,43

.f

Sdss h

d

MAerf

max. mögl. Moment bei ausgenutzter Biegedruckzone:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧≥≤

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=50/4045/35

²240295

CC

fürbdfM cdRd [kNm] fcd[MN/m²], b,d[m]

bdfAerf cds⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=42,627,8

. [cm²]

5.2.4. Biegebeanspruchung

• ständige Einwirkung: g

gglMα

²= mit αg Tabellen

• veränderl. Lasten: q

qqlMα

²= mit αq Tabellen


qgSd MMM 5,135,1 += ∼ gleiche Stützweite:

αg = αq = 8

αg = 13 αq = 10 αg = 9,5

αq = 8,5

αg = 30 αq = 13

αg = 22 αq = 11,5 αg = -13

αq = -9

1-Feld 5-Feld

5.3 Platten 5.3.1. erf. Nutzhöhe • analog Balken aus Begrenzung der Biegeschlankheit:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

dlzul

lderfeff

eff.

• aus Schubbemessung: --> keine stat. erf. Schubbewehrung anstreben

Rd

SdVderf

τ2,1. = [m] für k=1, ρL =0

• bei Flachdecken --> Durchstanznachweis

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 1

²2

16

.cRd

Sdc

dVd

derfτ

β

mit: VSd [MN] τRd [MN/m²] dc = ∅-Stütze [m] (Rechteckstütze --> abdc 125,1= ) β=1,15 (Innenstützen) β=1,4 (Randstützen)

5.3.2. Biegezugbewehrung

dm

zd

mf

aerf SdsSds

yds 399,0

1. == [cm²/m] mit msds [kNm/m], d [m]

5.3.3. Biegebeanspruchung 5.3.3.1 einachsig gespannte Platte

wie Balken: Streifen 1m breit 5.3.3.2 zweiachsig gespannte Platte: • Einfeldplatte

• drillsteif, Ecken gegen Abheben gesichert:

27²plm =

• drillsteif, Ecken nicht gesichert:

20²plm =

• drillweich:

13²plm =

• Mehrplattensystem • drillsteif, ohne Einspannung in Querrichtung:

gg

glmα

²=

qq

qlmα

²=

q 14 12

29

28

35

30 30

35 αg

αq


• drillsteif, Einspannung in Querrichtung

gg

glmα

²=

qq

qlmα

²=

q 19 18

56

36

57

37 37

57 αg

αq

5.4 Stützen 5.4.1. Lastermittlung • Schätzen aus Einzugsflächen

o schnell o unabhängig von UZ-Bemessung o für überschlägige Kontrolle

• Ermittlung aus ALR der UZ o für Vorstatik

pro Stockwerk: ( ) iiiiSd AqgN 5,135,1, += gi Eigengewicht Platte + Wände (verschmierte Last)

qi Verkehrslast insgesamt:

( )∑=

+≈n

iiiiSd AqgN

15,135,1

für n ≤ 2

∑∑==

+≈n

iiin

n

iiiSd AqAgN

115,135,1 α

für n >2 Abminderung der Verkehrslast mit ( )

nn o

nψ

α22 −+

=

Flächen mit Fahrzeugverkehr αn = 1,0 5.4.2. Erf. Betonquerschnitt

ρα ydcd

Sdreqc ff

NA

+=, mit ρ ≈ 1,0 – 3,0 %, α = 0,85

%3,015,0

%8

min

max

≥=

=

ydc

Sd

fAN

ρ

ρ

5.4.3. Wahl der Abmessungen Rechteck-QS mit h ≥ b

Kriterien: - b⋅h ≥ Ac,req - Knicken - Mindestabmessungen Faustregeln: • e0,x = e0,y = 0, wenn:

o keine Knickgefahr: b ≈ h o Knicken in einer Richtung: ⅓ ≤ b/h ≤ 1 Zuschlag auf Abmessungen

• e0,x = e0,y ≠ 0, wenn: o Knicken in 2 Richtungen b/h = f(e0,x/e0,y) Zuschlag auf Abmessungen

Näherung für Stützen in unverschieblichen Systemen: βcll =0 β = 0,8 allgemein

β ≈ 0,5 Balkendecke & schlanke Stütze β ≈ 1,0 Flachdecke und dicke Stütze

ρ ≈ 3%; 1,01 ≈hd ;

4000lea = ;

hl

e1900

²02 ≈ ; e0 ≈ 0,1⋅h

Ablesung von zul N aus Diagramm


5.5 Fundamente rechnerisch gleiche Setzungen gleiche Bodenpressungen

bekannt: • NSd • cx, cy (Stützenabmessungen)

abzuschätzen: • bx, by • h

5.5.1. Bodenpressung

0zul4,1 σNbb yx ≥

Faustregel: y

x

y

x

cc

bb

≈ bx, by

5.5.2. Biegung • Bemessungsmoment am Rand der Stütze:

2

, 18 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

x

xxSdxSd b

cbNM

2

, 18 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

y

yySdySd b

cbNM

• Bemessungsmoment in Feldmitte

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

x

xxSdxSd b

cbNM 1

8,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

y

yySdySd b

cbNM 1

8,

Moment größer, aber auch größerer Hebelarm 5.5.3. Durchstanzen

( )dku

AA

NN lRd

V

critSd

Sd

Sd

ρτβ 402,1 +≤⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−44 344 21

Iterative Ermittlung von d Eckstütze β=1,5 Randstütze β=1,4 Innenstütze β=1,15 wenn nachgewiesen β=1,0


6. Brandschutz vorbeugender Brandschutz

6.1 Normen EC2, Teil 1-2

6.2 Allgemeine Anforderungen Erfüllung von bestimmten Kriterien über bestimmte Zeit t

Kriterien/ Zeit abh. von: • Bauwerk • Bauteil

Kriterien: • Resistance R

Vermeidung eines Einsturzes o Tragfähigkeit infolge T≠ 20°C veränderte Bauteileigenschaften o reduzierte Sicherheit

• Integrity E Verhinderung der Verbreitung heißer Gase/ Flammen

• Isolation I Gewährleistung einer guten thermischen Isolation

z.B. REI 120 6.3 Nachweisformat

( ) ( )tRtE fidfid ,, ≤

6.4 Einwirkungen außergewöhnliche Kombination

( ) ( )∑ ∑ ∑>

+++=1

,2,1,1,1,,i

diikkkAGdfi tAQQGtE ψψγ

Vereinfachung: ( ) dfifid EtE η=, mit Ed aus kalter Bemessung

ξγγξϕ

ηQG

fi ++

= 1,10,1 mit

k

k

GQ

=ξ

globale Vereinfachung ηfi = 0,6

6.5 Nachweisverfahren Wirklichkeitsnahe Berechnung Vereinfachte Berechnung von

Rd,fi

Vereinfachter Nachweis

1. Ermittlung der genauen T-Verteilung im Bauteil FEM

2. Materialkennlinie für Materialtemperatur

3. Bemessung

1. Ermittlung der T-Verteilung Tafeln/ Diagramme

2. Reduzierung auf wirksamen QS ( beschädigte Zonen in abh. von t abziehen)

3. Abminderung der Bauteileigenschaften (f, E-Modul)

4. Ermittlung von Bauteilwiderstand

vereinfachte Ansätze in EC2, Teil 1-2

Nachweis durch Einhalten konstruktiver Regeln: • Mindestdicke • Mindestachsabstand der

Bewehrung • Länge der Stützbewehrung


7. Erdbeben Unterschied zur Statik:

• Massenträgheit • Dynamisches Materialverhalten

7.1 Materialverhalten Belastungsgeschwindigkeit: • Beton:

ab 10-1 1/s abnehmende Druckfestigkeit • Stahl:

wird spröde Zyklische Belastung:# • Beton

linear bei geringen Lastamplituden Hysteresis bei größeren Amplituden Gefügezerstörung

• Stahl ideal elast./ plast. bei wenigen Lastzyklen bleibende plast. Verformung Bauschinger Effekt kin. Verfestigung

• Stahlbeton zunächst trilinear bleibende Verformung bei Entlastung Hysteresis

Vereinfachung viskose Dämpfung ξ (∼ zu v) abh. von Plastifizierung Hysteresis = Ellipse

7.2 Grundlagen 7.2.1. Einmassenschwinger

rheologisches Modell aus linearer Feder und Dämpfer punktförmige Masse lineare DGL 2. Ordnung:

( )tfkwwcwm =++ &&& mit dtdww =&

7.2.1.1 Eigenfrequenz: charakteristisches Polynom:

0² =++ kcm λλ ²²22

2

δωδλ −±−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−= i

mk

mc

mc

mit:

mk

=ω ; ωπ2

=T ; T

f 1=

ξωξδ ==mk

( )²1²²² ξξωωξωξωλ −±−=−±−= ii

²1 ξωω −=D = Eigenfrequenz des gedämpften Schwingers 7.2.1.2 Periodische Anregung Belastung: ( ) ( )tFtf Ω= sin0

( )α−Ω= tww dyn sin mit:

enVerformungstat.dyn.

=D

kF

DDww statdyn0==


22

²²1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

−

=

kc

D

ω

7.2.1.3 Fußpunkterregung Erdbebenbeanspruchung Massenträgheit = f(Gesamtverschiebung) Materialwiderstand = f(Relativverschiebung)

DGL: ( ) 0=+++ kwwcuwm &&&&&

( )tfumkwwcwm =−=++ &&&&& 7.2.2. Mehrmassenschwinger

FKwwCwM =++ &&& unendlich viele Eigenformen

Koordinatentransformation entkoppeltes GLS Mehrmassenschwinger mit n Freiheitsgraden zerfällt in n Einmassenschwinger mit 1 Freiheitsgrad

7.2.3. Ausnutzung des nichtlinearen Materialverhaltens dyn. Einwirkungen Beschleunigungen, Impulse, Energien

Kräfte in abh. von Systemeigenschaften mehr Fließgelenke größere Dissipation geringere Relativverschiebungen geringer Schädigungen Tragwerksbemessung, damit sich gewählter Mechanismus einstell Überfestigkeit

7.3 Erdbebenbeanspruchung 7.3.1. Maßzahlen 7.3.1.1 Magnitudenskala (Richterskala) M = Maß für Herdenenergie

[ ] SMergE 5,18,11log += mit: E = Herdenenergie MS = Oberflächenflächenwellen-Magnitude 7.3.1.2 für Erdbebenbeanspruchung

Intensitätsskala Europa: 35,0][log5,0 0 ++= kmhIM mit: h = Hertiefe 7.3.2. Ermittlung der Bauwerksreaktion: • Zeitverlaufsmethode

o hist./ num. generierte Beschleunigungsverläufe o num. Integration über Verlauf der Bodenschl. o exakte Schwingungsantwort o Untersuchung mehrerer Beben

• Stochastische Berechnung o Beben stochastischer Prozeß o lineare Systeme direkte Ermittlung der Bauwerksreaktion möglich

• Antwortspektren o Eigenformzerlegung o Bauwerksreaktion in jeder Eigenform o Superposition der Eigenformen

7.3.3. Tragwiderstand und Duktilität Güte des Erdbebenverhaltens = Tragwiderstand ⋅ Duktilität 7.3.4. Konstruktive Durchbildung • geeignete Wahl eines Standortes • Duktile Tragwerkstypen große Energiedissipation • Rahmensysteme günstiger aus MW-Scheiben • regelmäßige Bazuwerksgeometrie

o Anregung ungünstiger Eigenformen vermeiden SP = SM o Ungünstige Versagensmechanismen vermeiden

• Bewegungsfreiheit zu anderen Bauwerken • Räumliche Stabilität


7.4 Bemessung 1. Bestimmung der mitschwingenden Massen

vorhanden Anteil der Verkehrslast: ψ2⋅qk wirksamer Anteil: ϕ⋅ψ2⋅qk ϕ=1,0 im obersten Stockwerk ϕ=0,5 in allen anderen Stockwerken Eigengewicht der Decken g1k Eigengewicht Stützen/ Kern g3k

M1 M2

2. Bestimmung der Steifigkeit des Kerns I A EI

3. Bestimmung der ersten Eigenfrequenz Rayleigh-Verfahren (Energieerhaltung zu allen Zeitpunkten) ( ) ( ) ( )ttutxw 111 sin, ω=

max. Ekin:

( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ∫===l l l

kin dxxudxtxudxwE0 0 0

2 ²21²cos

21²

21 μωωωμμ mit µ = Masse pro Stablänge

max. Epot

( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ∫===l l l

pot dxxEIudxtxuEIdxEIwE0 0 0

2 '²'21sin'²'

21'²'

21 ω

Energieerhaltung: ( )

( )∫∫

=⇒=dxxu

dxxEIuEE potkin

²

'²'²

μω „Eigenfrequenz der Schwingung“

Iteration (z.B. mit Simpson-Regel)

ϖ² ωπ2

=T

4. Bestimmung der stat. Ersatzlasten (aus Antwortspektren) Parameter der Bodenklasse (s, β0, k1, k2, TB, TC, TD) (EC8-1) Korrekturfaktor q = q0⋅kD⋅kR⋅kW (aus EC8-3) Bemessungsantwortspektrum

TB<T<TC ( )q

sTSd

0β=

( ) gdgd aTSa =

Basisschubkraft ∑= igdb MaF

Verteilung auf Stockwerke: ∑

=ii

iibi Ms

MsFF

Torsionsmomente aus lea 005,0±= 5. Ermittlung der Verformungen

Elastische Verformungen:

max. Beschleunigung im obersten Stockwerk: 11

1maxMsFw =&&

max Verschiebung: ²

maxmaxω

wwel

&&=

Plast. Verformungen: elpl wqw maxmax = 6. Bemessungsschnittgrößen

Bemessungskombination: ∑∑ +++ kkdk QPEG 21 ψγ mit γ1 = Bedeutungsbeiwert 7. Modifikation der Bemessungsschnittgrößen

Erfassung höherer Eigenformen Erhöhung der Q-Kraft im Bereich der oberen Stockwerke Erfassen der Überfestigkeit Vermeidung eines spröden Querkarftversagens


Erhöhung der Q-Kraft mit: ( )( ) qTSTS

MM

qq

e

ce

Sd

RdRd ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

2

1,0γ

ε

mit: q Verhaltensbeiwert γRd =1,15 Überfestigkeitsbeiwert des Stahls Se(Tc)=Se(T1) elastisches Antwortspektrum

Erhöhung der räumlichen Ausdehnung von Fließgelenken Erhöhung des Biegemomentes durch Versatzmaß

8. Bemessung im ULS Materialfestigkeiten Abfall unter zyklischer Beanspruchung Bemessung/ Konstruktion sinnvolle konstr. Durchbildung extrem wichtig (Plastifizierungen!)

9. Nachweis im SLS Begrenzung der Relativbeschleunigungen

Abminderung für Gebrauchsbeben

ν

rd

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Massivbau - Daniel Ulbrich d ≤ d ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑∑+ + >1 ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑∑+ + + >1 d ≤ ()⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ + +∑ >1