Marostica Piazza degli Schacchi M.C. Escher Chess CONOSCERE CONOSCERSI COMUNICARE

Marostica Piazza degli Schacchi M.C. Escher “Chess”

CONOSCERE CONOSCERSI

COMUNICARE

Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

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Maurits Cornelis Escher(Olanda 17 Giugno 1898 – 27 Marzo 1972)

Ampia galleria delle opere:

http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/ggescher-main1.html

disegno di Escher









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Mosse del cavalloPossibili mosse del cavallo su una scacchiera


4

Problema

• Si può fare il giro di tutte le caselle di una scacchiera passando per ognuna una e una sola volta e tornare con un’ultima mossa nella posizione iniziale?

• Iniziare con scacchiere piccole.


5

Esempi

• 2X3

• 3X3

• 3X4

• ….

• ….

• 8X8


6

2X3

• Scacchiera minima compatibile con le mosse del cavallo.

• Non è possibile ricoprire tutta la scacchiera.


7

3X3• Si ricoprono tutte le

caselle?• Avanti per la

soluzione.

• Non è possibile ricoprire la scacchiera


8

3X4

• Si ricoprono tutte la caselle?

• Avanti per la soluzione.


9

3X4• Ecco tutte le

possibili mosse

• è possibile un tour completo?

• Proviamo a sciogliere il grafo.


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3X4• Grafo sciolto.

• Esiste un tour di tutti i vertici?

1

2

12

11

10

9

5 67 8

4

3

1 2

1211109

5 6 7 8

43


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3X4• Si, si ricopre la

tastiera• ma non è un ciclo

chiuso, un circuito. I vertici 2, 11, 10, 3 sono dispari, allora per il teorema di Eulero……

1

2

12

11

10

9

5 67 8

4

3


12

3X4• Cammino riportato sulla scacchiera


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8X8Si può provare a costruire un circuito

collegandosi al sito:

www.midaslink.com/east/knight.htm

è difficile!!

http://www.midaslink.com/east/knight.htm


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8X8 StrategiaRegola di H.C. Warnsdorff (1823-Germania):

• dalla casella occupata si individuano le caselle raggiungibili

• da ognuna si calcolano le possibili mosse

• si sceglie la casella con il numero minore

Questa è una regola EURISTICA: procedimento che sembra giusto ma di cui non si ha alcuna garanzia.


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8X8 I casi buoni

La regola funziona fino a scacchiere 76X76 (verifica con calcolatori).

Perché non ha soluzione con scacchiere con un numero dispari di caselle?

Il problema ha soluzione per scacchiere:• 3X10 o 5X6 minima rettangolare

• 6X6 minima quadrata……


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Ancora luiEulero aveva determinato una soluzione del problema per una scacchiera 8X8.

Osservare il circuito


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Definizioni• Cammino di Hamilton:

un cammino che passa da tutti i vertici una e una sola volta.

• Circuito di Hamilton:

un cammino di Hamilton in cui il punto di partenza e quello di arrivo coincidono.


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Sir William Rowan Hamilton(Irlanda 1805 – 1865)

• Matematico, fisico e astronomo molto precoce negli studi, studiò molte lingue straniere sia europee sia orientali.

• All’età di 22 anni fu nominato professore al “Trinity College” di Dublino.

• Inventore del gioco “The icosian game”


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The icosian gameTrovare un circuito di Hamilton del seguente grafo.

Questo è il grafo di un dodecaedro schiacciato su un piano


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I 5 solidi platonici• tetraedro

• cubo o isaedro

• ottaedro

• dodecaedro

• icosaedroper visione solidi in movimentowww.math.utah.edu/~alfeld/math/polyhedra/polyhedra.htmlper sviluppo piano dei solidi:http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html

http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/polyhedra/polyhedra.html

http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/polyhedra/polyhedra.html


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Platone (Grecia 428 - 347 a.c.)

Filosofo greco, aveva abbinato i cinque elementi della natura ai cinque solidi

• fuoco tetraedro• terra cubo• aria ottaedro• acqua icosaedro

• quinta essenza dodecaedro

Disegno di Johannes Kepler (tedesco 1571 – 1630)


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Relazioni solidi platonicinome tipo faccia Facce Vertici Spigoli

Tetraedro triangolo 4 4 6

cubo quadrato 6 8 12

ottaedro triangolo 8 6 12

dodecaedro pentagono 12 20 30

icosaedro triangolo 20 12 30


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Alcuni solidi schiacciati• tetraedro

• cubo

• dodecaedro


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Soluzione

Seguire i numeri

1 2

34

5

1617

18

14

1512

13

20

10

11

8

9

6

7

19


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Altri cammini

Trovare se esistono circuiti hamiltoniani per gli altri solidi platonici

Gioco di Mines weeper


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Conclusione

Non esiste ancora una regola generale dimostrata, cioè un teorema che ci assicuri l’esistenza o meno di un cammino di Hamilton di un qualunque grafo.


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Problemi NP = Problemi decisionaliUn problema è decisionale se dobbiamo

rispondere con un si o con un no, e la risposta si è accompagnata da una dimostrazione verificabile in modo efficiente.

La verifica se un cammino è di Hamilton in un grafo è un problema decisionale.

Ma….


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Ma….…..dato un grafo G, G è privo di circuiti di

Hamilton?

• trovare tutti i circuiti

• verificare che non sono di Hamilton.

Il numero di circuiti e di verifiche in generale diventa un numero enorme (ricordasi Giulio che vuole visitare tutti i suoi amici)….


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Hard…il problema è molto più difficile = NP Hard

Problemi P = trattabili

Problemi NP = difficili

Problemi NP-Hard = difficili in NP


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Esempi problemi NP-Hard• mosse del cavallo in una scacchiera• raccolta nettezza urbana caso misto• cammini minimi con pesi negativi• fori nelle schede elettroniche• disegnare con il plotter un insieme di punti• gioco “campo fiorito” o “minesweeper”• …problema del commesso viaggiatore• …sono tutti problemi di ricerca di un cammino di

Hamilton


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Esempi problemi più facili P• raccolta semplice nettezza urbana

• pulizia strade

• controllo linee elettriche

• cammino minimo

• …

sono tutti problemi di ricerca di un cammino di Eulero


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Ultime ricerche

Esistono algoritmi tali che

problemi NP = problemi P ?

E’ una delle domande a cui i ricercatori cercano di rispondere.

Uno dei 7 problemi del millennio


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Parole chiave

• Euristica

• Cammino di Hamilton

• Circuito di Hamilton

• Solidi platonici

• Problemi NP

• Problemi NP-Hard


34

Fine

sesta parte


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NP-Hard

• Se si riuscisse a risolvere in modo efficiente un problema NP-Hard allora sarebbero risolti tutti i problemi NP.

• Un algoritmo efficiente per risolvere un Problema NP-Hard, “Satisfiability” di Stefhen Cook (Toronto-Canada 1971), risolverebbe tutti gli altri problemi NP.

• Ma P = NP ?


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7 Problemi del millennioalle pagine: www.claymath.org/millennium/ oppurehttp://www.csapt.it/p/pr/premio_clay.htmlsi trovano 7 problemi non risolti:1. Ipotesi di Riemann: la distribuzione dei numeri

primi all’interno dei numeri naturali segue una legge? e in caso affermativo quale?

2. La teoria di Yang-Mills e l’ipotesi dei gap di massa. Le equazioni di Y-M derivano dalla fisica quantistica e furono formulate 50 anni fa per descrivere tutte le forze della natura, eccettuata la gravità.


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e ancora3. P = NP cioè per uno qualsiasi dei problemi

difficili in NP esiste un algoritmo efficiente?4. Le equazioni di Navier-Stokes. Le Equazioni di

Navier Stokes descrivono il comportamento dei fluidi e dei gas. Sono state scoperte nel diciannovesimo secolo ma ancora non sono state comprese. Il problema è elaborare una teoria matematica che consenta di comprenderle ed analizzarle. Questa teoria sarebbe molto utile per gli studi di aerodinamica.


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e infine5. La congettura di Poincarè. Se tendiamo un

elastico interno ad una mela, possiamo contrarlo fino a ridurlo ad un punto muovendolo lentamente (senza strapparlo e senza staccarlo dalla superficie)?

6. La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer. Quanti punti razionali ha una curva ellittica?

7. La congettura di Hodge. La Congettura Hodge riguarda gli spazi proiettivi e le varietà algebriche. I cicli di Hodge sono delle combinazioni lineari razionali di cicli algebrici.

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